Structuri Algebrice Necomutative In Matematica Preuniversitara

CUPRINS

Introducere

CAPITOLUL I. NOȚIUNI PRELIMINARE

1.1. Legi de compoziție și grupuri

1.1.1. Concepte și notații din teoria grupurilor

1.2. Inele

1.2.1. Concepte și notații din teoria inelelor

1.2.2. Teoreme de izomorfism pentru inele

1.2.3. Centrul unui inel

1.2.4. Inelul integru

1.2.5. Aproape-inele

1.2.6. Subinelul

1.2.6.1. Operații cu subinele

1.2.7. Inele de polinoame

CAPITOLUL AL II-LEA. GRUPURI

2.1. Aspecte generale

2.2. Grupul endomorfismelor

2.3. Grupul de permutări

2.4. Grupul diedral Dn

CAPITOLUL AL III-LEA. INELE NECOMUTATIVE

3.1. Aspecte generale

3.2. Inele de matrici

3.3. Izomorfisme de inele

CAPITOLUL AL IV-LEA. CORPUL CUATERNIONILOR

4.1. Corpul numerelor complexe

4.2. Corpul cuaternionilor

CAPITOLUL AL V-LEA. APLICAȚII REZOLVATE

Concluzii

Bibliografie

INTRODUCERE

Motivația alegerii temei rezidă în faptul că studiul structurilor algebrice necomutative prezintă un interes deosebit, datorită importanței lor pe plan teoretic precum și a multiplelor aplicatii.

Lucrarea realizează o prezentare sistematică a problemelor fundamentale din teoria structurilor algebrice necomutative. Apar rezultate clasice importante, mai puțin atinse de programele analitice din liceu, cu exemplificări multiple și aplicații reprezentative.

Lucrarea Structuri algebrice necomutative în algebra preuniversitară se înscrie în domeniul algebrei necomutative și are ca și scop final, așa cum reiese chiar din titlu, prezentarea unor clase speciale de structuri algebrice: grupuri, inele necomutative, corpul cuaternionilor.

Lucrarea este structurata pe cinci capitole.

Capitolul I, intitulat Noțiuni preliminare, prezintă binecunoscutele noțiuni de lege de compoziție, grup și inel, dar și noțiuni noi, proprietăți și rezultate importante ce vor fi folosite în capitolele următoare.

Capitolul al II-lea, intitulat Grupuri, debutează cu grupul endomorfismelor, iar apoi se continuă cu elemente specifice grupului de permutări, pentru ca în final capitolul să se încheie sugestiv, cu grupul diedral Dn. Partea centrală a acestui capitol o reprezintă, desigur, studiul unor clase speciale de grupuri necomutative.

Capitolul al III-lea, intitulat Inele necomutative, prezintă început inelele de matrici și izomorfismele de inele.

Capitolul al IV-lea, intitulat Corpul cuaternionilor, insistă asupra corpului numerelor complexe și asupra corpului cuaternionilor.

Capitolul al V-lea, intitulat Aplicații, conține o prezentare sistematizată a aplicațiilor curente din programa de liceu, constituind un veritabil ghid pentru cei interesați în rezolvarea problemelor din manuale și culegeri de probleme.

Lucrarea se încheie cu Concluzii, cu rolul de a fixa obișnuitele concluzii cu privire la tema aleasă.

CAPITOLUL I

NOȚIUNI PRELIMINARE

1.1. Legi de compoziție și grupuri

Fie o mulțime nevidă. Se numește operație algebrică binară (sau lege de compoziție internă sau simplu lege de compoziție) definită pe o aplicație care asociază fiecărei perechi un unic element. Elementul se numește compusul lui (Andrica et al., 2002).

O lege de compoziție internă pe mulțime, o vom numi adunare, iar compusul îl vom numi suma elementelor x și y. În acest caz vom spune că legea a fost notată aditiv.

O altă lege de compoziție internă pe mulțime o vom numi înmulțire, iar compusul îl vom numi produsul elementului x cu y. În acest caz vom spune că legea a fost notată multiplicativ.

În situația în care compusul aparține tot lui, atunci spunem că este parte stabilă a lui în raport cu operația (Bușneag, 1999).

Elementul neutru al unei legi * pe trebuie să aparțină mulțimii și nu orice lege de compoziție pe o mulțime admite element neutru.

Dacă o lege de compoziție admite element neutru, atunci acesta este unic.

Un element este neutru pentru legea * dacă și numai dacă este element neutru atât la stânga cât și la dreapta.

Cuplul se numește grup dacă au loc următoarele axiome: legea este asociativă, legea are element neutru, orice element este simetrizabil, legea este comutaivă, caz în care cuplul se numește grup comutativ (abelian).

1.1.1. Concepte și notații din teoria grupurilor

Un domeniu important al algebrei moderne îl constituie teoria hiperstructurilor. În cadrul acesteia un rol fundamental îl are conceptul de hipergrup, introdus în anul 1934 de către F. Marty, ca o extindere firească a noțiunii de grup.

Prezentăm în cele ce urmează câteva definiții și rezultate uzuale (preluate după P. Corsini și I. Tofan) relative la hipergrupuri.

Fie H o mulțime nevidă și P∗(H) mulțimea părților nevide ale lui H.

O aplicație ∗ : H×H → P∗(H) se numește hiperoperație pe H.

O mulțime nevidă H înzestrată cu o hiperoperație ∗ se numește hipergrupoid.

Un hipergrupoid (H, ∗) ce satisface axioma de asociativitate: a∗(b∗c)=(a∗b)∗c, oricare ar fi a,b,c∈H, este numit semihipergrup.

Un semihipergrup (H, ∗) ce satisface axioma de reproductibilitate: a∗H=H∗a=H, oricare ar fi a∈H, este numit hipergrup.

Un hipergrup (H, ∗) ce satisface axioma de comutativitate: a∗b=b∗a, oricare ar fi a,b∈H, este numit hipergrup comutativ.

Exemple de hipergrupuri. Orice spațiu liniar real V este un hipergrup împreună cu hiperoperația x∗y={αx+βy|α,β∈IR∗+, α+β=1}.

Dacă (H,∧,∨) este o latice admițând element inițial, atunci, relativ la hiperoperația x∗y = {z ∈ H | z ≥ x∧y}, mulțimea H este un hipergrup, numit hipergrupul asociat laticei (H, ∧, ∨).

Orice latice distributivă (L, ∧, ∨) este un hipergrup comutativ relativ la hiperoperația x ∗ y = {z ∈ L | z = (x∧y) ∨ (x∧z) ∨ (y∧z)}.

(R, ∗) constituie un hipergrup comutativ, unde hiperoperația ∗ pe R este definită prin x∗x = {x}, oricare ar fi x ∈ R, respectiv x∗y = (x, y) (interval deschis), pentru x ̸= y.

(R2,∗) constituie un hipergrup comutativ, unde hiperoperația ∗ pe R2 este definită prin: P,Q ∈ R2, P = P(x1,x2), Q = (y1,y2)

O submulțime nevidă H′ a unui hipergrup (H,∗) se numește subhipergrup al lui H, dacă satisface următoarele proprietăți: H′ ∗ H′ ⊆ H′; a∗H′ =H′∗a=H′, oricare ar fi a∈H′ (Bakhvalov, 1976).

O submulțime a a unui hipergrup (H,∗) se numește parte completă a lui H, dacă, pentru orice n ∈ N și orice x1, x2, …, xn ∈ H, (x1 ∗ x2∗···∗xn)∩A=∅ implică x1∗x2∗···∗xn ⊆A.

Dacă X este o submulțime nevidă a unui hipergrup (H, ∗), atunci intersecția tuturor părților complete ale lui H ce conțin mulțimea X se numește închiderea completă a lui X în H și se notează cu C(X).

Fie (H,∗) un hipergrup. Dacă ρ este o relație de echivalență pe H, atunci notăm cu ρ relația binară pe P∗(H) definită prin aρB, dacă și numai dacă, pentru orice a ∈ A, există b ∈ B astfel încât aρb.

În cadrul teoriei hipergrupurilor există numeroase variante ale conceptului de morfism de hipergrupuri (Ebâncă, 1994).

Fie (H1, ·) și (H2, ∗) două hipergrupuri. O aplicație f: H1→H2 se numește (Comincioli, 1998):

Morfism slab de hipergrupuri, dacă f(x · y) ∩ (f(x) ∗ f(y)) ̸= ∅, oricare ar fi x, y ∈ H1.

Morfism de hipergrupuri, dacă f(x · y) ⊆ f(x) ∗ f(y), oricare ar fi x, y ∈ H1.

Morfism tare de hipergrupuri, dacă f(x · y) = f(x) ∗ f(y), oricare ar fi x, y ∈ H1.

Dacă (H, ∗) este un hipergrup și ρ este o relație de echivalență tare regulată pe H, atunci aplicația canonică π: H → H/ρ este un morfism tare de hipergrupuri, numit proiecția canonică asociată lui ρ. Vom nota cu πH proiecția canonică asociată relației de echivalență tare regulate pe H.

Fie în continuare f: H1 → H2 un morfism de hipergrupuri.

Are loc relația: f(C({x})) ⊆ C({f(x)}).

Dacă, în plus, f este morfism tare de hipergrupuri, atunci Im f este un subhipergrup al lui H2.

Mulțimea K (f ) = {x ∈ H1 | πH2 (f (x)) = eH2} se numește nucleul morfismului f.

Dintre proprietățile remarcabile ale nucleului amintim (Dragomir, 1981):

K(f) este subhipergrup al lui H1.

K(f) este parte completă a lui H1.

x∗K(f)=K(f)∗x, oricare ar fi x∈H1.

1.2. Inele

Fie A o mulțime înzestrată cu doua operații binare notate prin simbolurile + și ⋅ și numite operație de adunare respectiv de înmulțire. Tripletul (a,+, ⋅) se numește inel dacă satisface condițiile (axiomele): (a,+) este grup abelian (comutativ); (a, ⋅) este semigrup; pentru orice a, b, c A, a ⋅ (b + c) = ab + ac, (a + b) ⋅ c = ac + bc, adică operația de înmulțire este distributivă, atât la stânga cât și la dreapta, față de operația de adunare.

Explicitând proprietățile 1, 2 si 3, (A, +, ⋅) este inel dacă:

(x + y) + z = x + (y + z) , () x, y, z A.

∃ 0 ∈ A a.î. 0 + x = x + 0 = x , (∀) x∈A.

(∀) x∈A , ∃ -x ∈A a.î. x + (- x ) = (- x) + x = 0.

x(yz) = (xy)z , () x, y, z ∈A.

Observăm că A∅, deoarece cel puțin elementul neutru față de operația de adunare trebuie să aparțină lui A, adică notând acest element prin 0, neapărat 0A. Elementul 0 se numește elementul zero al inelului, prin analogie cu numărul întreg zero, care joacă rolul de element neutru față de operația de adunare în Z.

Dacă A nu conține alte elemente, diferite de elementul zero, atunci inelul (a,+, ⋅) se numește inel nul. Mai mult, se observă că pentru orice mulțime formată dintr-un singur element există o singură structură de inel, inelul nul.

Exemple de inele. (Z,+, ⋅), (Q,+, ⋅), (R,+, ⋅), (C,+, ⋅) sunt inele comutative și unitare. Menționăm că mulțimea numerelor naturale, împreună cu operațiile de adunare și înmulțire, definite în modul cunoscut în această mulțime, nu formează inel, întrucât (N, +) nu b#%l!^+a?este grup (Pic, 1977).

(Z[i],+, ⋅) este numit inelul întregilor lui Gauss, unde Z[i] = {z/z = a + bi; a, b ∈ Z}, iar operațiile + și ⋅ sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifică ușor ca (Z[i], +, ⋅) este inel comutativ unitar.

(Zn ,+, ⋅) este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.

Presupunând cunoscută construcția numerelor naturale N, precum și proprietățile operațiilor de adunare și înmulțire cu numere naturale, putem construi inelul numerelor întregi. Pentru aceasta să considerăm produsul cartezian și definim în această mulțime o relație binară ≈ astfel:

Relația ≈ este o relație în N x N, deci putem construi mulțimea cât Z = N x N/≈, adică , unde

Definind în Z operațiile binare + și ⋅ prin se constată că (Z, +, ⋅) este un inel unitar și comutativ, având ca element zero clasa iar ca element unitate clasa . Pentru simplificarea scrierii se notează = 1 și = 1 (Ion et al., 1991).

Să arătăm că inelul (Z, +, ⋅) nu admite divizori ai lui zero nebanali. Pentru aceasta, fie și două numere întregi pentru care ab = 0 , adică, deci: , de unde obținem .

Dacă m = n sau p = q , atunci sau .

Dacă m>n (> fiind relația de ordine definită în modul cunoscut în N) , atunci există l ∈ N, l ≠ 0, astfel încât m = n + l , deci (n + 1)p + nq = (n + 1)q + np, adică: np + lp + nq = nq + lq + np de unde , aplicând legile comutativității și simplificării valabile pentru operațiile din N , primim p = q , prin urmare (Albu și Ion, 1997).

În cazul m < n se obține b = 0, iar în cazul p < q sau p > q se obține a = 0.

Să notăm prin Mn mulțimea tuturor matricilor pătratice de ordin n (n ∈ N) având elementele dintr-un inel (a,+, ⋅). Definind operațiile de adunare și înmulțire a matricilor în modul cunoscut, adică: , (i, j= 1,2, …,n) tripletul (Mn, +, ⋅) devine inel. Elementul zero al acestui inel este matricea care are toate elementele egale cu elementul 0 ∈ a. Dacă inelul posedă element unitate, atunci și inelul (Mn, +, ⋅), posedă element unitate. De asemenea, se știe că operația de înmulțire a matricilor este, în general, necomutativă, deci inelul (Mn, +, ⋅), va fi necomutativ. În sfârșit, se constată că (Mn, +, ⋅), admite divizori ai lui zero. Într-adevăr, dacă considerăm de exemplu inelul matricilor cu elemente din Z, atunci, deși fiecare dintre matricile ce se înmulțesc sunt diferite de matricea zero (Coman, 1995).

Fie (A, +, ⋅) un inel și M o mulțime, M ≠ Ø. Să notăm prin AM mulțimea tuturor funcțiilor de la M la A. Pentru fiecare f, g ∈AM să definim suma și produsul acestor două funcții astfel: (f + g) (x) = f(x) + g(x), (f ⋅g) (x) = f(x) ⋅ g(x).

Se observă imediat că f + g inel. Elementul zero al acestui inel este matricea care are toate elementele egale cu elementul 0 ∈ a. Dacă inelul posedă element unitate, atunci și inelul (Mn, +, ⋅), posedă element unitate. De asemenea, se știe că operația de înmulțire a matricilor este, în general, necomutativă, deci inelul (Mn, +, ⋅), va fi necomutativ. În sfârșit, se constată că (Mn, +, ⋅), admite divizori ai lui zero. Într-adevăr, dacă considerăm de exemplu inelul matricilor cu elemente din Z, atunci, deși fiecare dintre matricile ce se înmulțesc sunt diferite de matricea zero (Coman, 1995).

Fie (A, +, ⋅) un inel și M o mulțime, M ≠ Ø. Să notăm prin AM mulțimea tuturor funcțiilor de la M la A. Pentru fiecare f, g ∈AM să definim suma și produsul acestor două funcții astfel: (f + g) (x) = f(x) + g(x), (f ⋅g) (x) = f(x) ⋅ g(x).

Se observă imediat că f + g și f⋅g sunt funcții de la M la A, adică f + g, f ⋅ g ∈ AM. Apoi se constată că (AM, +, ⋅) formează un inel pentru care elementul zero este funcția z: M → A definită prin z(x) = 0 (x∈M). Acest inel este cu element unitate dacă (A, +, ⋅) posedă element de unitate. Într-adevăr, dacă 1 ∈ A este elementul unitate în inelul (A, +, ⋅), atunci funcția ε : M → a, definită prin ε(x) = 1 va fi element unitate în inelul (AM, +, ⋅). De asemenea, dacă (A, +, ⋅) este comutativ, atunci și inelul (AM, +, ⋅) va fi comutativ (Coman, 1995).

În sfârșit, se constată că acest inel este cu divizori ai lui zero. Pentru a dovedi acest lucru să considerăm, de exemplu, în inelul (ZZ, +, ⋅)

funcțiile f, g: Z → Z definite prin

dacă x ≤ 0

dacă x > 0

în rest

Observăm că pentru orice x ∈ Z avem (fg) (x) = f(x) ⋅ g(x) = 0, adică fg = z, deși atât f cât și g sunt diferite de elementul zero al inelului (ZZ, +, ⋅).

1.2.1. Concepte și notații din teoria inelelor

Pentru fiecare a ∈ A, a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0.

Pentru orice a ∈ a, a ⋅ 0 = a(0 + 0) = a ⋅ 0 + a ⋅ 0, deci simplificând în grupul aditiv (A, +) prin a ⋅ 0, obținem a ⋅ 0 = 0. Similar se demonstrează că 0 ⋅ a = 0.

Pentru orice a, b, c ∈ âa, a(b – c) = ab – ac; (a – b)c = ac – bc, adică operația de înmulțire este distributivă față de operația de scădere, atât la stânga cât și la dreapta.

În grupul (A, +) operația de scădere se definește prin formula: a – b = a + ( – b), deci pentru orice a, b, c ∈ A , (b – c) + c = b, adică a[(b – c) + c] = ab deci: a(b – c) + ac = ab, de unde primim a(b – c) = ab – ac. A doua egalitate se demonstrează similar (Bucur et al., 1983).

Pentru orice a, b ∈ A, (-a)b = a(-b) = -ab și de asemenea (- a)(- b) = ab.

Dacă a, b ∈ A, atunci ab + (-a)b = [a + (-a)]b = 0⋅b = 0 și la fel, ab + a(-b) = a[b + (-b)] = 0, deci (-a)b = a(-b) = -ab.

Apoi, (-a) (-b) = -[a(-b)] = ab.

Inelul (A, +, ⋅) se numește inel cu element unitate (sau inel unitar), dacă satisface condiția: există elementul 1 ∈ A, astfel încât pentru orice a ∈ A, a ⋅ 1 =1 ⋅ a = a.

Dacă inelul (a, +, ⋅) este unitar, atunci are sens să vorbim despre elementele inversabile (simetrizabile) ale acestui inel. Anume, elementul a ∈ A se numește inversabil dacă există a– 1 ∈ A cu proprietatea aa – 1 = a – 1 a = 1.

Inelele (Z ,+ , ⋅), (Q , + , ⋅), (R ,+ , ⋅), (C , + , ⋅), (Z[i], + , ⋅) sunt domenii de integritate. Dacă A este un inel unitar, elementele lui simetrizabile în raport cu înmulțirea se numesc elemente inversabile sau unități ale inelului (Ion et al., 1984).

Mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar (A, +, ⋅) formează grup în raport cu operația de înmulțire indusă.

Fie S = {a ∈ A ‌ a – 1 ∈ A : aa – 1 = a – 1 a = 1} și să arătăm că (S, ⋅) satisface axiomele grupului. Dacă a, b ∈ S , atunci a – 1, b – 1 ∈ A, astfel încât aa – 1 = a – 1 a = 1 și bb –1 = b – 1 b = 1, deci: (ab) (b – 1 a – 1 ) = a(bb – 1 )a – 1 = a ⋅ 1 ⋅ a – 1 = aa – 1 =1, (b – 1 a –1 )(ab) = b –1 (a –1 a)b = b –1 ⋅ 1 ⋅b = b –1 b = 1, adică ab ∈ S.

Asociativitatea operației induse este evidentă, ea se transmite de la inelul (a, +, ⋅).

Deoarece 1⋅1 = 1, obținem 1 ∈ S și astfel acesta va juca rol de element neutru și pentru elementele din S.

În sfârșit, dacă a ∈ S, atunci există a –1 ∈ A astfel încât aa –1 = a –1 a = 1, deci întrucât proprietatea de „a fi simetric” este reciprocă, obținem că a –1 ∈ S.

Inelul (A, +, ⋅) se numește comutativ dacă satisface condiția: oentru orice a, b ∈A, ab = ba.

Fie (A, +, ⋅) un inel. Elementul a ∈A se numește divizor al lui zero, dacă există b ∈ A, b ≠ 0, astfel încât ab = ba = 0.

Observăm imediat că, pentru orice inel (A, +, ⋅) nenul, elementul 0 este în mod banal divizor al lui zero. Prezintă interes faptul dacă un inel admite și divizori ai lui zero nebanali (Niță et al., 1998).

Un inel care nu admite divizori ai lui zero nebanali se va numi inel fără divizori ai lui zero.

Inelul (A, +, ⋅) se numește domeniu de integritate dacă este comutativ, cu element unitate și fără divizori ai lui zero.

Exemple. (Z, +, ⋅) este un domeniu de integritate deoarece: este comutativ; este unitar, – conține pe 1; nu are divizori ai lui zero

Dacă (A, +, ⋅) este inel și a ∈ A nu este divizor al lui zero, atunci ax = ay sau xa = ya implică x = y. În particular, într-un domeniu de integritate este valabilă legea simplificării.

Dacă ax = ay, atunci ax – ay = 0, deci a(x – y) = 0, prin urmare x – y = 0 și astfel x = y.

Elementele inversabile dintr-un inel unitar nu sunt divizori ai lui zero.

Să presupunem că elementul a ∈ A este inversabil, adică există a –1 ∈ A cu proprietatea aa –1 = a –1 a = 1. Dacă a ∈ A ar fi divizor al lui zero, atunci există b ∈ A, b ≠ 0, astfel încât ab = 0, deci a –1 (ab) = (a –1 a)b = b = 0, ceea ce contrazice faptul că b ≠ 0.

Din această teorie rezultă că un inel unitar este nenul, deoarece conține cel puțin elementele 0 și 1, 1 ≠ 0.

1.2.2. Teoreme de izomorfism pentru inele

Fie un morfism de inele. atunci este un ideal bilateral al lui și există un unic izomorfism de inele: astfel încât unde morfismul canonic.

Definim funcția

arătăm că este corect definită (nu depinde de alegerea reprezentantului).

Fie b#%l!^+a?

Demonstrăm că:

Din

arătăm că este morfism de inele (Kurosh, 1972):

;

Din relații rezultă că este morfism de inele.

arătăm că este injectivă.

Fie:

Din relațiile și rezultă că este injectivă.

este surjectivă prin construcție.

În concluzie este izomorfism și deci .

Mai mult, unde morfismul canonic.

1.2.3. Centrul unui inel

Fie R un inel. Multimea este un subinel comutativ al lui R care poartă denumirea de centrul inelului R. R este comutativ, dacă și numai dacă. Este clar că .

1.2.4. Inelul integru

Un element care este în același timp divizor al lui zero la stînga și la dreapta se numește simplu, divizor al lui zero.

Observăm că, dacă este un inel comutativ, noțiunile de divizor al lui zero la stânga și la dreapta coincid cu cea de divizor al lui zero (Hernstein, 1975).

Un inel unitar nenul fără divizori ai lui zero la stânga și la dreapta nenuli se numește inel integru. Dacă, în plus, inelul este și comutativ, va fi numit domeniu de integritate.

Observăm că un inel unitar este integru dacă și numai dacă sunt adevărate regulile de simplificare.

1.2.5. Aproape-inele

Se numește aproape-inel un triplet ordonat, unde N este o mulțime nevidă, + și ⋅ sunt legi pe compoziție N, satisfăcând următoarele axiome: (N, +) este grup; (N, ⋅) este semigrup; pentru a, b, c ∈ N, a ⋅ (b + c) = a ⋅ b +a ⋅ c.

1.2.6. Subinelul

Fie (a,+, ⋅) un inel și Sa, S ∅ . Considerând operațiile induse în S din a, tripletul (S,+, ⋅) se numește subinel al inelului (a,+, ⋅) dacă la rândul sau formează inel.

Dacă (a,+, ⋅) este inel și Sa, S ∅, atunci S va fi subinel dacă și numai dacă se satisfac condițiile: pentru orice a, b S, a + b S (teorema de închidere a sumei); pentru orice a S, -a S; pentru orice a, b S, a b S (condiția de închidere a produsului) (Dragomir, 1975).

Aceste condiții sunt evident necesare, deoarece coincid cu o parte dintre axiomele ce definesc inelul. Observăm însă că ele sunt și suficiente. Într-adevăr condiția (1) ne asigură închiderea parte din axiomele ce definesc inelul operației de adunare în S, legile asociativității și comutativității păstrându-se evident și pentru operația de adunare indusă, condiția (2) ne asigură existența opusului pentru fiecare element din S. apoi, observăm că deoarece S ∅, există aS astfel încât, -aS, deci prin condiția (1) a + (-a) = 0S. Proprietatea de asociativitate a operației de înmulțire și legile distributivității ale acesteia față de adunare se transmit de la întregul inel a.

Dacă (a,+, ⋅) este inel și S a, S ∅, atunci (S,+, ⋅) va fi subinel dacă și numai dacă satisface condițiile: pentru orice b S, a – b S (condiția de închidere a operației de scădere); pentru orice a, b S, a b S (condiția de închidere a produsului).

Dacă (S, +, ⋅) este subinel, atunci rezultă că pentru orice b S, -b S, deci pentru orice b S, a + (-b) = a – b S și astfel este satisfăcută condiția (1), iar condiția (2) coincide cu condiția (3) din teorema precedentă.

Invers, să presupunem că submulțimea S satisface condițiile (1) și (2). atunci, pentru orice a S, a – a = 0 S, deci pentru orice b S , 0 – b = – b S și astfel pentru orice a b S , a – (- b) = a + b S. Prin urmare se satisfac condițiile teoremei, deci (S, +, ⋅) este subinel al inelului (a, +, ⋅) (Dragomir, 1975).

1.2.6.1. Operații cu subinele

Dacă (A, +, ⋅) este inel și SA, S ∅ este o submulțime finită a lui A, atunci (S, +, ⋅) va fi subinel dacă și numai dacă satisface condițiile: pentru orice a, b S , a + b S; pentru orice a, b S, a⋅b S.

Condițiile sunt evident necesare. Să arătăm că ele sunt și suficiente. Pentru aceasta observăm că este de ajuns să demonstrăm că este satisfăcută condiția (2). Fie S = {a1, a2, … , an} și pentru a S să notăm a + S = {a + a1, a + a2, … , a + an}. Se constată că pentru orice a S, a + S = S, deci pentru orice a, b S ecuația a + x = b are soluție în S. În particular, ecuația a + x = a are soluție în S, deci există x0 S astfel încât x0 + a = b. Prin urmare, pentru orice b S, b + 0 = ( x0 + a ) + 0 = x0 + ( a + 0 ) = x0 + a = b, adică 0 joacă rol de element neutru pentru operația de adunare din S. În sfârșit, din faptul că pentru orice a S ecuația a + x = 0 are soluție în S rezultă condiția de demonstrat (Rădescu, 1997).

Observăm că dacă (A, +, ⋅) este unitar și (S, +, ⋅) este un subinel al acestui inel, atunci elementul 1 A nu aparține obligatoriu și lui S. Așa, de exemplu, (2Z, +, ⋅) este un subinel al inelului (Z, +, ⋅) pentru care 1 2Z.

Pentru fiecare inel (A, +, ⋅) tripletele ({0}, +, ⋅) și însăși (A, +,⋅) sunt subinele banale ale acestui inel. Există insă inele care admit subinele nebanale. Un astfel de inel, este, de exemplu (Z, +, ⋅) care admite ca subinele toate tripletele (nZ, +, ⋅), oricare ar fi n N.

Dacă (Si, +, ⋅), i ∈ I, sunt subinele ale inelului (A, +, ⋅), atunci este subinel al inelului (A, +, ⋅).

Observăm că ≠ Ø, deoarece cel puțin 0 ∈ . Apoi, (, +, ⋅), este subgrup al grupului (A, +, ⋅), deci va fi suficient să arătăm că operația de înmulțire indusă pe este închisă. Pentru aceasta, observăm că dacă a, b ∈ , atunci pentru fiecare i∈ I; a, b ∈ Si, deci pentru fiecare i ∈ I; ab ∈ Si, adică ab ∈ .

Se constată însă că, în general, reuniunea unei familii de subinele nu este subinel. Pentru a ne convinge de acest lucru să considerăm subinelele (2Z, +, ⋅) și (3Z, +, ⋅) ale inelului (Z, +, ⋅). Se știe că operația de adunare indusă pe submulțimea 2Z ∪ 3Z nu este închisă, deci reuniunea acestor două subinele nu va fi subinel al inelului (Z, +, ⋅).

Dacă (Si, +, ⋅), este o familie de subinele ale inelului (A, +, ⋅), atunci există subinelul (S, +, ⋅) al inelului cu proprietățile: pentru fiecare i∈ I ,S ⊇ Si ; dacă pentru fiecare i ∈ I subinel (S’, +, ⋅) al inelului are proprietatea S’⊇ Si, atunci S’⊇ S (Trâmbițaș, 2005).

Subinelul (S, +, ⋅), astfel determinat, se numește subinelul generat în inelul (A, +, ⋅) de familia de subinele Si.

Se consideră mulțimea tuturor subinelelor (X, +, ⋅) ale inelului (A, +, ⋅) care posedă proprietatea că pentru fiecare i ∈ I, X ⊇ Si. Această mulțime este nevidă, deoarece cel puțin A posedă această proprietate. Intersecția tuturor acestor subinele este un subinel care posedă proprietățile (1) și (2).

Dacă (A +, ⋅) este inel și M ⊆ A, atunci există subinelul (S, +, ⋅) al inelului (A, +, ⋅) cu proprietățile: S ⊇ M; dacă (S’, +, ⋅) este un subinel al inelului (A, +, ⋅) cu proprietatea S’ ⊇ M, atunci S’ ⊇ S (Radu, 1998).

Subinelul (S, +, ⋅) astfel determinat, se numește subinelul generat în inelul (A, +, ⋅) de submulțimea M⊆A. Evident, dacă M = Ø, atunci subinelul generat de M coincide cu subinelul zero.

Deoarece teoremele precedente ne asigură numai existența subinelului generat, e bine să arătăm și modul cum se poate obține efectiv acest subinel.

Subinelul generat în inelul (A, +, ⋅) de submulțimea M ⊆ A, M ≠ Ø, este format din toate sumele finite de forma, unde xk ∈ M sau – xk ∈ M (k = 1, 2, …, n). În particular, subinelul generat de familia de subinele (Sj, + , ⋅) i ∈ I, va fi format din toate sumele finite de forma , unde xk ∈ .

Notând , se constată că S ⊇ M și că diferența și produsul a două elemente din S sunt tot elemente din S. Deci (S, +, ⋅), este un subinel al inelului (A, +, ⋅). Apoi , dacă (S’, +, ⋅) este un subinel al inelului (A, +, ⋅) care conține pe M, atunci acesta (prin calitatea sa de subinel) va conține și elementele din S, deci S’ ⊇ S (Niță et al., 1998).

În sfârșit, observăm că oricare ar fi subinelele (S1, +, ⋅) și (S2, +, ⋅) ale inelului (A, +, ⋅), S1 ∩ S2 ∈ Inf⊆ {S1, S2}. De asemenea, notând prin <S1 ∪ S2> subinelul generat de aceste subinele, < S1 ∪ S2> ∈ Sup⊆ {S1,S2}.

Exemple. Dacă A este un inel, atunci A și {0} sunt subinele, numite subinele improprii.

(Z, +, ⋅) și (Q, +, ⋅) sunt subinele ale inelului (R, +, ⋅).

Z Q R sunt subinele unul în altul, cu adunarea și înmulțirea numerelor. b#%l!^+a?

Fie n∈N. Mulțimea H = nZ = {nk / k ∈Z} este un subgrup al grupului aditiv (Z, +). Dacă avem x, y ∈ H, atunci x = nk1, y = nk2, k1, k2 ∈ Z, deci xy = nk1k2 ∈ H, adică H este un subinel al lui Z. Deci, orice grup al grupului aditiv al lui Z este un subinel al inelului Z, deoarece orice subgrup al lui (Z, +) este de forma nZ , cu n ∈ N.

Reciproc, deoarece orice subinel al unui inel trebuie sa fie subgrup al grupului aditiv al inelului respectiv, rezultă că orice subinel al lui Z este de forma H = nZ. Deci subinelele inelului Z coincid cu subgrupurile lui (Z, +), care sunt de forma nZ, n ∈ N.

Mai exact fiecare subinel este format din multipli întregi ai celui mai mic număr natural nenul sau zero ce aparține subinelului.

1.2.7. Inele de polinoame

Fie un inel comutativ și unitar. Vom da mai întâi o construcție a inelului seriilor formale peste . Fie N mulțimea funcțiilor de la N la . Dacă scriem o astfel de funcție prin mulțimea ordonată a valorilor sale, atunci N este mulțimea șirurilor N. Șirurile si sunt egale dacă și numai dacă .

Pe mulțimea N definim două operții algebrice, adunarea și înmulțirea, în raport cu care N devine inel comutativ. Dacă N, și adunarea se definește astfel: . Se verifică ușor că N împreună cu adunarea formează un grup abelian, adică adunarea este asociativă, comutativă, are element nul și orice element are un opus. Elementul nul (zero) este iar dacă N, atunci opusul său este . Înmulțirea pe N se definește astfel: dacă și N, atunci unde Înmulțirea pe N este asociativă, comutativă și are element unitate . În concluzie,N împreună cu adunarea și înmulțirea formează un inel comutativ și unitar. Elementele inelului N construit mai înainte se numesc serii formale cu coeficienți în (Dragomir, 1975).

Fie funcția N definită prin . avem că este un morfism injective de inele.

Într-adevăr, dacă , atunci:

și

Mai mult, dacă atunci și deci .

Morfismul dă un izomorfism al lui pe subinelul al lui N, ceea ce permite să se identifice elementul din cu imaginea sa prin , adică cu polinomul dinN. astfel se poate considera ca un subinel al lui N. Pe de altă parte, notăm prinseria formala care se numește nedeterminata .

Înmulțirea seriilor formale ne dă și ,mai general,N avem: .

Fie o serie formală din N.

Folosind adunarea și înmulțirea definite pe N se obtine:

Mai mult, după cele precedente putem scrie: obținând astfel scrierea obișnuită a unei serii formale.

Inelul N se numește inelul seriilor formale în nedeterminatacu coeficienți în inelul și se notează prin. Inelul se mai numește și inelul seriilor formale într-o nedeterminată.

O serie formală în nedeterminata o vom scrie, condensat,aceasta fiind pur și simplu o notație, fără sens de adunare (Fărcaș, 2001).

O serie formală din care are doar un număr finit de coeficienți nenuli se numește polinom cu coeficienți în . Notăm cu mulțimea polinoamelor peste.

Dacă este un polinom cu coeficienți în , ,atunciN astfel încât , .

Dacă este un polinom nenul din , atunci se numește gradul polinomului, și se notează cu .Coeficientul , unde , se numește coeficientul dominant al polinomului .

Pentru polinomul nul, convenim să considerăm gradul său ca fiind , adoptând convențiile uzuale și anume: N, . Dacă ,nenul, atunci se numesc coeficienți polinomului , care se va scrie: (Fărcaș, 2001).

Mulțimea a polinoamelor împreună cu adunarea și înmulțirea seriilor formale, formează un inel.

Fieși

.

Analog,, prin urmare este un subinel al seriilor formale și deci la rândul său un inel. acest inel se numește inelul polinoamelor în nedeterminata , cu coeficienți în inelul .

Fie un inel și. atunci: , . Mai mult, dacă și sunt nenule și coeficienții dominanți ai lui și nu sunt divizori ai lui zero, atunci avem egalitate.

Fie un inel comutativ și unitar și inelul polinoamelor .atunci au loc afirmațiile: un element este inversabil în dacă și numai dacă este inversabil in ; dacă domeniu de integritate, atunci este domeniu de integritate si (Albu și Ion, 1997).

Pentru orice inel asociativ, comutativ, cu unitate și orice omomorfism uitar și orice există un omomorfism unitar unic astfel încât si cu .

Definimastfel: pentru

Din unicitatea screrii lui rezultă că funcția este corect definită. Dacă este un inel ,atunci inelul polinoamelor în nedeterminatele cu coeficienți în inelul , notat prin se defineste inductiv astfel: este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul , este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul și, în general, este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul .

Deci l-am construit și atunci:

.

Dacă este un polinom din inelul ,atunci el este un polinom în nedeterminata cu coeficienți în inelul : ,unde .Rezultă de aici că se scrie ca o sumă finită de forma în care elementele se numesc coeficienții polinomului .

Orice polinom din inelul are o scriere unică sub forma: (Coman, 1995).

CAPITOLUL AL II-LEA

GRUPURI

2.1. Aspecte generale

O mulțime nevidă G împreună cu o operație algebrică definită pe G se numește grup dacă operația algebrică este asociativă, are element neutru și orice element din G este inversabilă. Dacă operația algebrică este în plus comutativă, spunem că grupul este comutativ sau abelian.

Pe o mulțime formată dintr-un singur element avem o singură structură de grup în care elemental respectiv este element unitate. Acest grup îl numit grupul unitate sau, dacă operația este scrisă aditiv, grupul nul.

O funcție f : G→G’ se numește morfism de grupuri de la G la G’ dacă verifică relația: f (xy) = f(x) f(y), pentru orice x, y ∈G.

Pentru un morfism de grupuri ϕ : G→G’, sunt echivalente următoarele afirmații: ϕ este injectiv; pentru orice grup H și orice două morfisme de grupuri f, g: H→G, astfel încât: ϕf = ϕg rezultă f = g.

Fie G un grup, o submulțime M ≠∅, M ⊆G se numește subgrup al lui G, dacă operația lui G induce pe M o operație algebrică împreună cu care M formează grup.

Fie G un grup și H o submulțime a lui G. Următoarele afirmații sunt echivalente: H este subgrup al lui G; sunt satisfăcute condițiile: x, y ∈H ⇒ xy∈H; 1∈H; x∈H ⇒ x-1∈H; H este o submulțime nevidă a lui G și x, y ∈H ⇒ xy-1∈H;

Fie G un grup și H o submulțime nevidă a lui G. Atunci H este subgrup al lui G dacă și numai dacă HH = H și H-1 = H. Presupunând în plus că H este o submulțime finită, H este subgrup al lui G dacă și numai dacă HH ⊂ H (Bucur et al., 1983).

Fie H, K subgrupuri ale unui grup G. Atunci HK este un subgrup al lui G dacă și numai dacă HK = KH.

Fie G un grup și H un subgrup al lui G. Pe mulțimea elementelor lui G considerăm relația ≡s(mod H) definită prin: x≡sy(mod H) ⇔ x-1y∈H și numită relația de congruență la stânga modulo H. Analog, pentru relația de congruență la dreapta.

Mulțimile (G/H)s și (G/H)d sunt cardinal echivalente.

Numărul cardinal |(G/H)s| = |(G/H)d| se notează |G:H| și se numește indicele subgrupului H în G.

Pentru orice subgrup H al unui grup G avem: | G | = | H | | G :H |.

Un grup G se numește de tip finit sau finit generat dacă există o mulțime finită de elemente în G care generează pe G. Un grup generat de un singur element se numește grup ciclic (Dragomir, 1981).

Fie G un grup și H un subgrup al său. Se spune că H este un subgrup normal dacă pentru orice x∈G și h∈H, xHx-1∈H, condiție care se mai scrie xHx-1⊆ H, unde prin xHx-1 notăm submulțimea lui G formată din toate elementele de forma xHx-1, cu h∈H.

Dacă p : G→ G’ este un morfism surjectiv de grupuri, se spune că cuplul (G’,p) este un grup factor sau grup cât al grupului G. Se mai spune că G’ este grup factor al lui G, iar p este surjecția canonică sau morfismul canonic.

Fie G un grup. G se numește grup finit dacă mulțimea G este finită. Se numește ordinul unui grup G numărul natural egal cu numărul elementelor grupului G dacă G este finit și simbolul ∞ în caz contrar. Este clar că ordinul unui grup G este egal cu 1 dacă și numai dacă G este grupul unitate. În particular, orice subgrup și orice grup factor al unui grup finit este un grup finit (Groza, 2005).

Dacă G este grup finit de ordin n și H este un subgrup de ordin h, atunci n = hi, unde i este indicele lui H în G. În particular, ordinul unui subgrup al grupului G este totdeauna un divizor al ordinului grupului G.

Fie G un grup și a∈G. Vom numi ordinul elementului a ordinul subgrupului ciclic generat de elementul a în G.

Fie G un grup și a∈G un element de ordin finit n. Atunci n este cel mai mic număr natural nenul pentru care an = 1.

Dacă G este un grup finit de ordin n, atunci oricare ar fi a∈G, avem an = 1.

Fie A o mulțime finită cu n elemente, să zicem A = {x1,x2, …,xn}. O aplicație σ : A → A se poate descrie printr-un tablou cu două linii, in linia de sus apărând elementele lui A într-o ordine arbitrară, iar, in linia de jos, imaginile lor prin σ:  = .  este o permutare a lui A (adică o aplicatie bijectivă) dacă si numai dacă  este o aplicație injectivă (adică, în linia de jos, pe locuri distincte apar elemente distincte) sau dacă și numai dacă  este aplicație surjectivă (adică, în linia de jos apar toate elementele lui A). Putem descrie acum operațiile în grupul simetric S(a) astfel: dacă ,  ∈ S(A),  = ,  = , atunci  = . 1 = ,  -1 = .

Conform propoziției următoare: Dacă două mulțimi A și B sunt cardinal echivalente atunci grupurile simetrice S(a) și S(B) sunt izomorfe, tipul grupului S(a) nu depinde de natura elementelor lui A, ci numai de numărul de elemente ale lui A. De obicei se ia A= {1,2,…,n}, mulțimea primelor n numere naturale și Sn = S(A).

Grupul Sn este un grup finit și |Sn| = n|.

Pentru a demonstra aceasta, să observăm că putem defini o permutare ∈Sn luând imaginea primului element 1∈A = {1,2,…,n} în mod arbitrar; deci sunt n posibilități de a defini pe (1). Dacă (1) a fost definit (2) poate fi orice element din A diferit de (1); deci n(n-1) posibilități de a defini perechea ((1), (2)). Dacă (1) și (2) poate fi orice element din A diferit și de (1) și de (2), deci sunt n(n-1)(n-2) posibilități de a defini tripletul ((1), (2), (3)).

Continuând în acest mod vedem că numărul tuturor permutărilor ∈Sn este n(n-1)…3⋅2⋅1 = n|

Avem S1 = 1, deoarece |S1| = 1. |S2| = 2| = 2 și anume S2 = {1, } cu  = . Avem evident 2 = 1 și S2 ≅ C2.

Avem |S3| = 3| = 6. Considerând permutările , ∈S3,  =  = avem: 2 = , 3 = 1, 2 = 1,  = , 2 = ,  = 2.

Rezultă S3 = {1, , 2, , , 2}. În plus, relațiile 3 = 1, 2 = 1,  = 2 ne permit să contruim imediat tabla de înmulțire a lui S3.

Un = {ξ∈/ ξ n = 1} se numește grupul rădăcinilor de ordin n ale unității Un ≤(*, ⋅ ).

Generatorii grupului Un se numesc rădăcini primitive de ordin n ale unității.

 este rădăcină primitivă de ordin n a unității.

Fie a∈N*⇒  a este rădăcină primitivă ⇔ (a, n) =1, Un ={1, , …,  n-1} ≈ Zn ={,,…,}  i→ .

(G / k) ≈ cu un subgrup de ordin d (d/ϕ(n)) al lui U(Zn).

Fie f : (G / k) →U(Zn) astfel f() =, unde (a, n) = 1 și () = a.

∈(G, k) și  rădăcină primă de ordinul n a unității ⇒ () este rădăcină prmitivă de ordin n a unității: ( )n =( n) =(1) = 1; ( )m = 1⇒ ( m) = 1 =(1) ⇒ ( n) =(1) ⇒  n = 1⇒ n/m

f morfism de grupuri: f(1, 2) = f(1)f(2); 1( ) = ⇒ f(1) = ; 2( ) = ⇒ f(2) = ; 12( ) = 1() = ⇒ f(1, 2) = = = f(1)f(2) ⇒ f este morfism.

Dacă f injectivă, atunci f() = ⇒ ( ) =  ⇒  = idK. Deci (G / k) ≈ inf ≤ U(Zn).

| U(Zn)| = ϕ(n), unde d ϕ(n) reprezintă indicatorul lui Euler.

| G(K/ k) | = d/ϕ(n).

Fie {1, 2,…, r}, cu r = ϕ(n), atunci {1, 2,…, r} reprezintă numărul rădăcinilor prime de ordin n ale unității.

(Z, +), unde Z este mulțimea numerelor întregi și + este adunarea numerelor întregi, este un grup. acest grup se numește grupul aditiv al numerelor întregi și se va nota tot cu Z, ca mulțimea numerelor întregi (Ionescu, 1975).

Grupul Z este un grup ciclic, un generator al său fiind numărul întreg 1: < 1 > = {m1 | m∈Z} = Z. <-1 > = Z.

1 și -1 sunt singurii generatori ai lui Z. Dacă n∈Z și < n > = Z, avem 1∈< n >, deci 1 = mn cu m∈Z de unde rezultă n = 1. În general, pentru un număr n∈Z subgrupul lui Z generat de n este < n > = {nk|k∈Z}. Notăm acest subgrup cu nZ.

Pentru orice subgrup H al lui Z există un unic număr natural n, astfel că H =nZ.

Pentru m, n∈ Z avem: mZ ≤ nZ⇔ n|m.

Pentru m, n∈Z avem: mZ+nZ = (m, n)Z și mZ∩nZ = [m, n]Z (unde (m, n) este cel mai mare divizor comun al lui m și n, iar [m, n] este cel mai mic multiplu comun al lor).

Fie H ≤ Z. Dacă H este subgrupul trivial avem H = {0}= 0Z. Presupunem că H este netrivial. Atunci există un n∈H, n ≠0. Avem n < 0 sau n > 0 și, în ultimul caz, avem –n∈H, -n >0. Deci, există un n∈H, n > 0. Putem considera atunci cel mai mic număr întreg pozitiv n care aparține lui H. Deoarece n∈H avem nZ = < n > ≤ H. Fie m∈H. Aplicând teorema împărțirii cu rest avem m = nq+r cu q, r∈Z și 0 ≤ r < n. Deoarece m∈H și nq∈nZ ≤ H, avem r = m – nq∈H. Astfel H ≤ nZ, deci H = nZ (Groza, 2005).

Pentru m, n∈Z avem: mZ ≤ nZ ⇔ <m> ≤ nZ ⇔ m∈nZ ⇔ n|m. Acum dacă H = mZ = nZ cu m și n numere naturale, rezultă m|n și n|m, deci m = n.

Deoarece Z este grup abelian, mZ+nZ este subgrup al lui Z conform propoziției următoare: Fie H, K subgrupuri ale unui grup G. Atunci HK este un subgrup al lui G dacă și numai dacă HK=KH. Prin urmare mZ+nZ =dZ, cu d număr narural. Avem mZ ≤ mZ+nZ = dZ, deci d|n. Pentru orice număr întreg d’ cu d’|m și d’|n, rezultă mZ ≤ d’Z și nZ ≤ d’Z, deci dZ =mZ+nZ = mZ٧nZ≤ d’Z, de unde d’|d.

Astfel d =(m, n) și mZ+nZ =(m, n)Z. Egalitatea mZ∩nZ = [m, n]Z se demonstrează într-un mod analog.

Date două numere întregi m și n, m și n sunt prime între ele (adică (m, n) =1) dacă și numai dacă există două numere întregi m’ și n’ astfel că mm’+nn’ =1: (m, n) = 1 ⇔ mZ+nZ = Z ⇔ 1∈mZ+nZ ⇔ există m’, n’∈Z cu 1 = mm’+nn’.

Pentru orice număr natural n, avem: |Z:nZ| =

Pentru n = 0, 0Z este subgrupul trivial, deci |Z:0Z| = |Z| = . Presupunem n 1. Pentru orice x∈Z avem x = nq+r cu q, r∈Z și 0 ≤ r < n; deoarece x – r = nq∈nZ, avem xdr (mod nZ) deci x+nZ = r+nZ. Astfel (Z/nZ)d = {x+nZ| x∈Z} = {r+nZ| 0 ≤ r < n}.

Este suficient să demonstrăm că mulțimea {r+nZ| 0 ≤ r < n} are exact n elemente. Pentru aceasta observăm că dacă i,j∈{0, 1,…, n-1} și i < j, atunci i+nZj+nZ ar implica j – i∈nZ, deci 0 < j – i < n și totodată n|j – i, ceea ce este absurd (Ion et al, 1981).

De obicei, pentru x,y∈Z scriem xy (mod n) în loc de xdy (mod nZ) (în acest caz relația de congruență la stânga nZ coincide cu relația de congruență la dreapta).

Notând pe scurt clasa de congruență x+nZ cu , avem: (Z/nZ)d = și această mulțime are n elemente.

Pentru orice număr întreg pozitiv n se notează cu v(n) numărul tipurilor de grupuri de ordin n. Nu se cunoaște nicio formulă generală pentru funcția v. Se cunosc însă diferite majorări ale sale și una din aceste majorări rezultă imediat din teorema lui Cayley: Orice grup G este izomorf cu un grup de permutări pe mulțimea G. Avem v(n) ≤ 2n|. Deoarece pentru orice n există cel puțin un grup de ordinul n, avem 1 ≤ v(n). Evident v(1) = 1 (Fărcaș, 2001).

Pentru orice număr prim p, avem v(p) = 1. Acesta rezultă imediat folosind următoarele două propoziții.

Orice grup finit G de ordin p, unde p este un număr prim, este ciclic. Fie 1g∈G și H = <g>, subgrupul ciclic al lui G generat de g. Deoarece |H| |G| = p și 1|H| avem |H| = |G|, astfel că G = H = <g>.

Orice două grupuri ciclice având același ordin sunt izomorfe (G1, G2 sunt grupuri ciclice finite, |Gi | =mi, i =1,2. G1G2 grup ciclic ⇔ (m1, m2) =1),

„⇐” Z Z≈ Z,

Fie funcția f: Z,→ Z Z f() = (, ), = a mod m1 și = a mod m2.b#%l!^+a?

f este morfism de grupuri.

f este injectivă (ker (f) = (0)) ⇒ f este surjectivă (adică numărul de elemente al domeniului = numărul de elemente al codomeniului).

„⇒” Z Z este grup ciclic ⇒ (m1, m2) =1.

Presupunem d = (m1, m2) > 1. Din Z Z este grup ciclic ⇒ ∃(, ) astfel încât <(, )> = Z Z( <(, )> ⇒ ord(, ) = m1m2).

Fie m’1 și m’2 astfel că: m’1 = m1 și m’2 = m2, dar d(m’1m’2) (, ) = (, ) m1m2/d m’1m’2 d2 m’1m’2/d m’1m’2 d/1 este o contradicție: (=1 , =m2)

Fie G un grup de ordinul 4. Presupunem că există un element x∈G cu x21. Nu putem avea x3 = 1 deoarece în acest caz {1, x, x2} ar fi un subgrup de ordinul 3 al lui G, contrar teoremei lui Lagrange. Prin urmare x3 1 și evident x3 x, x3 x2. Aceasta arată că G = {1, x, x2, x3} = < x>, deci G este un grup ciclic. Presupunem acum că pentru orice element x∈G avem x2 = 1. Fie x, y∈G cu x1, y1, xy. Deoarece xy = x implică y = 1, xy = y implică x = 1, iar xy = 1 implică x = x1 = x y2 = xyy = 1y = y, rezultă G = {1, x, y, xy}. În plus, avem yx = y-1x-1 = (xy)-1 = xy (ultima egalitate are loc, deoarece (xy)2 =1). Relațiile x2 = 1, y2 = 1 și xy = yx arată că tabla de înmulțire a lui G coincide cu tabla de înmulțire a grupului D2, de unde rezultă GD2. Prin urmare G este ciclic sau GD2. Deoarece orice două grupuri ciclice având același ordin sunt izomorfe, avem GC4 sau GD2. Pe de altă parte, este evident că C4D2. Astfel v(4) = 2 (Hernstein, 1975).

Fie G un grup de ordinul 6. Atunci există un element x∈G cu x2≠1. Într-adevăr, dacă pentru orice x∈G, avem x2 = 1, atunci, alegând două elemente, x,y∈G cu x1, y1, xy, se constată, ca mai sus, că xy = yx și relațiile x2 = 1, y2 = 1 și xy = yx arată că {1, x, y, xy} este un grup de ordinul 4 al lui G, contrar teoremei lui Lagrange.

Fie deci x∈G cu x21 și fie H = <x>, subgrupul ciclic al lui G generat de x. Dacă x3 1, atunci 1, x, x2, x3 sunt patru elemente distincte, două câte două, din H, deci 3 < |H| < 6. Aceasta arată că |H| = 6 = |G|, deci H = G și G ciclic. Presupunem acum că G nu este ciclic. Atunci x3 =1 și H = {1, x, x2}. Alegem un element y∈G-H și avem, deoarece |G:H|= = = 2. Deci (G/H)d = {H, Hy} și G = HHy = {1, x, x2, y, xy, x2y}. Nu putem avea y2 = xy sau y2 = x2y (y2 = xy implică y = x∈H, iar y2 = x2y implică y2 = x2∈H). De asemenea, nu putem avea y2 = x sau y2 = x2 (dacă y2 = x, atunci G ={1,y2, y4, y, y3, y5} = <y> și dacă y2 = x2, atunci 1 = x3 = x2x = y2 = y2x, deci x = y-2 și iarăși, rezultă G = <y>). Prin urmare y2 = 1. Nu putem avea yx = 1, yx = x, yx = x2, yx = y(yx = 1 y =x-1∈H, yx = x y = 1, yx = x2 y = x, yx = y x = 1). De asemenea nu putem avea yx = xy (dacă yx = xy, atunci (xy)2 = x2y2 = x2, (xy)3 = x3y3 = y, (xy)4 = x4y4 = x, (xy)5 = x5y5 = x2y și rezultă G = <xy>). Prin urmare yx = x2y. Relațiile x3 = 1, y2 = 1, yx = x2y arată imediat că tabla înmulțirii a lui G este identică cu tabla de înmulțire a grupului S3. Astfel GS3.

Prin urmare, pentru orice grup G de ordin 6, avem GC6 sau GS3. Deoarece evident C6S3, rezultă v(6) =2.

Grupurile finite simple și abeliane sunt grupuri ciclice de ordin p, unde p este un număr prim. În continuare ne propunem să arătăm că orice grup finit simplu și neabelian, de ordin ≤ 100, este izomorf cu grupul altern A5. Primul pas al deminstrației constă în a arăta că dacă G este un grup simplu neabelian de ordin n și n ≤ 100, atunci n = 60 = | a5 | .Pentru aceasta trebuie să vedem că anumite numere întregi pozitive n nu pot fi ordinul unui grup simplu abelian. Relativ la această problemă există în teoria grupurilor două teoreme celebre: teorema lui Burnside: Orice grup finit simplu neabelian are cel puțin trei divizori primi distincți; teorema lui Feit-Thomson: Orice grup finit simplu neabelian are ordinul par (Fărcaș, 2001).

Teorema lui Burnside a fost demonstrată la începutul acestui secol într-un mod relativ simplu, dar folosind tehnica reprezentărilor de grupuri. Ulterior s-au obținut și demonstrații care nu utilizează reprezentările de grupuri, dar respectivele demonstrații sunt deja foarte complicate. Teorema lui Feit-Thomson a fost demonstrată în 1963, folosind o mulțime de tehnici de teoria grupurilor, care de care mai sofisticată (Groza, 2005).

În demonstrațiile ce urmează, nu vom folosi aceste două teoreme celebre. Vom folosi teoremele lui Sylow (Pelea și Purdea, 2008):

Orice grup finit de ordin pn nu este grup simplu abelian. Acesta rezultă din faptul că dacă G este un grup de ordin pn și n ≥1, atunci Z(G) ≠1. Deoarece Z(G) G, avem Z(G) = G și atunci G este abelian, sau Z(G) G și atunci Z(G) este un subgrup normal propriu și netrivial al lui g, deci G nu este grup simplu.

Orice grup finit de ordin pq nu este grup simplu.

Orice grup finit de ordin p2q nu este grup simplu.

În aceeași direcție avem și: Orice grup de ordin pqr nu este grup simplu.

Putem presupune că p, q, r sunt distincte două câte două și fie p  q  r. Presupunem, prin absurd, că G este un grup simplu de ordin pqr. Atunci notând cu np, nq, nr, numărul p, q, r-subgrupurilor Sylow ale lui G, avem np 1, nq 1, nr 1. Deoarece p-subgrupurile Sylow ale lui G au ordinul p, numărul elementelor lui G de ordin p este np(p-1). Analog, numărul elementelor G de ordin q este nq(q -1), iar numărul elementelor de ordin r este nr(r – 1). Prin urmare pqr = | G | ≥1 + np(p-1) + nq(q -1) + nr(r – 1). Avem np|qr, deci np = q, np = r sau np = qr. În plus np ≡1(mod p), deci np p și deoarece pqr, avem np = qr. Avem nq|pr și nq ≡1(mod q) și rezultă ca mai sus că nq = p sau nq = pr și, în ambele cazuri, avem nq ≥ p. De asemenea nr|pq, deci nr = p, nr = q sau nr = pq și în toate situațiile posibile avem nr ≥ q. Rezultă pqr ≥1 + np(p-1) + nq(q -1) + nr(r – 1) ≥1 + qr(p-1) + p(q -1) + q(r – 1) = pqr + pq – p –q + 1, sau 0 ≥ pq –p –q + 1 = (p -1)(q -1), ceea ce evident nu se poate (Groza, 2005).

Listând toate numerele naturale n cuprinse între 1 și 100 și descompunându-le în factori primi, vedem că dacă G este un grup finit simplu neabelian de ordin n, atunci conform rezultatelor 1-3 și propoziției precedente, nu putem avea decât următoarele posibilități pentru n: 24 = 23⋅3, 36 = 22⋅32, 40 = 23⋅5, 48 = 24⋅3, 54 = 2⋅33, 56 = 23⋅7, 60 = 22⋅3⋅5, 72 = 23⋅33, 80 = 24⋅5, 84 = 22⋅3⋅7, 88 = 23⋅11, 90 = 2⋅32⋅5, 96 = 25⋅3 și 100 = 22⋅52.

Unele din aceste posibilități se pot elimina folosind următoarea propoziție: Fie G un grup finit simplu neabelian și H un subgrup propriu al lui G. atunci | G : H | ≥ 5.

Fie n = | G : H | și fie HG interiorul normal al lui H în G. Avem HG ≤ H ≤ G și HG G astfel că, deoarece G este un grup simplu avem HG = 1. În plus, grupul factor G/HG se poate scufunda în grupul simetric Sn astfel că, deoarece HG = 1, G se poate scufunda în grupul simetric Sn. Vom demonstra că grupul simetric Sn nu are grupuri simple neabeliene pentru n∈{1, 2, 3, 4}. Acesta este clar pentru n = 1 și n = 2 deoarece în aceste cazuri Sn este abelian. Pentru n = 3, avem | S3| = 6. S3 nu este simplu deoarece A3 S3, iar subgrupurile proprii ale lui S3 având ordinele 1, 2, sau 3 sunt abeliene. Pentru n = 4, avem |S4| = 24 = 23⋅3⋅S4 nu este simplu deoarece A4 S4. Un subgrup simplu și neabelian H al lui S4 nu poate avea ordinul egal cu 2 sau cu 3 deci acest ordin se divide și cu 2 și cu 3 și vom avea |H| = 2⋅3 sau |H| = 23⋅3. Ambele aceste posibilități sunt însă deja excluse (Groza, 2005).

Fie G un grup finit simplu neabelian de ordin n, unde n este unul dintre numerele listate mai sus. Dacă n = 24 = 23⋅3, n = 48 = 24⋅3, n = 96 = 25⋅3, considerăm un 2-subgrup Sylow H al lui G și avem | G : H | = 3 5, ceea ce contrazice propoziția precedentă. Dacă n = 36 = 22⋅32, n = 54 = 2⋅33, considerăm un 3-subgrup Sylow H al lui G și avem | G : H | = 4 în primul caz și |G : H| = 2 în al doilea caz, ambele situații contrazicând propoziția precedentă. De asemenea când n = 100 = 22⋅52 și H este un 5-subgrup Sylow al lui G, avem | G : H | =4, contrar propoziției.

În cazurile n = 40 = 23⋅5, n = 56 = 23⋅7, n = 72 = 23⋅33, n = 88 = 23⋅11, considerăm un p-subgrup Sylow H al lui G, unde p este respectiv 5, 7, 3, 11 și notăm cu np numărul p-subgrupurilor Sylow ale lui G. În toate aceste cazuri, np|23 = 8 și, în plus np 1. Deoarece np = |G: NG(H)| și NG(H) este un subgrup propriu al lui G avem conform propoziției precedente np ≥ 5, astfel că np = 8. Acest lucru nu se poate în cazurile p = 5, 3, 11 deoarece np ≡1(mod p). Rămâne p = 7 deci n = 23⋅7 = 56. În acest caz deoarece 7-subgrupurile Sylow ale lui G este n7(7 -1) = 8⋅6 = 48, astfel că numărul elementelor lui G care nu sunt de ordinul 7 este 56 – 48 = 8. Orice 2-subgrup Sylow al lui G este normal în G, ceea ce contrazice faptul că G este grup simplu (Larionescu, 1989).

Cazurile care nu se pot elimina pe baza propoziției precedente sunt n = 60 = 22⋅3⋅5, n = 80 = 24⋅5, n = 84 = 22⋅3⋅7, n = 90 = 2⋅32⋅5.

Fie G un grup simplu de ordin 84, H un 7-subgrup Sylow al lui G și n7 numărul 7-subgrupurilor Sylow ale lui G. Avem n7|12 și n7≡1(mod 7); dar divizorii proprii 2, 3, 4, 6, 12 ai lui 12 nu sunt ≡1(mod 7), astfel că n7 = 1, deci H G, ceea ce contrazice faptul că G este grup simplu.

Fie p un număr prim și m, r numere întregi astfel că m 0, r 1 și pr. Fie G un grup simplu de ordin pmr, H un p-subgrup Sylow al lui G și HG inima lui H în G. Deoarece | G : H | = r, grupul factor G/HG se poate scufunda în grupul simetric Sr. Deoarece G este grup simplu, avem HG = 1, astfel că G se poate scufunda în Sr.

Prin urmare pmr = | G | | | Sr| = r|, astfel că pm| (r -1)|.

În particular, când p = r și r = 5, ar trebui să avem 2m|4| = 24 ceea ce implică m ≤5. În concluzie nu există grupuri simple de ordin 2m5 cu m ≥4 și, în particular, nu există grupuri simple de ordin 80 = 24⋅5.

Fie n = 2r, unde r este un număr întreg impar și fie G un grup simplu de ordin n. Există un element t∈G de ordinul 2. Considerăm acțiunea lui G pe el însuși prin multiplicarea la dreapta și reprezentarea prin permutări φ : G→S(G) asociată acestei acțiuni (Groza, 2005).

Dacă G = {x1, x2, …, xn}, atunci permutarea τ = φ(t) = ∈S(G)Sn are ordinul 2 ca și t, deoarece φ este un morfism de grupuri injectiv. Rezultă că τ este un produs de transpoziții disjuncte două câte două și deoarece nu putem avea tx = x pentru vreun x∈G, rezultă că τ este produs de r transpoziții. Prin urmare sgn(τ) = (-1)r = -1, astfel că τ∉ An. Prin urmare grupul H = φ(G) nu este inclus în grupul altern An. Deoarece φ este un morfism de grupuri injective, H este un grup simplu, ca și G. Deoarece An Sn, avem An ∩ H H, deci An ∩H = 1. Atunci H ≈ H/An∩H ≈ HAn/An ≈ Sn/An și deoarece |Sn/An| = 2, rezultă |H| = 2, deci n = |G| = | H| = 2, adică r = 1. Prin urmare nu există grupuri simple de ordin n = 2r, unde r este un număr întreg impar 1 și, în particular, nu există grupuri simple de ordin n = 90 (Haimovici și Creangă, 1984).

Grupul altern A5 este un grup simplu de ordin 60. Vom demonstra că orice grup simplu de ordin 60 este izomorf cu A5. Fie G un grup simplu de ordin 60 = 22⋅3⋅5. Fie P un 5-subgrup Sylow al lui G, H = NG(P) și n5 numărul 5-subgrupurilor Sylow ale lui G. Avem n5 = |G : H|, n5|22⋅3 = 12 și n5 ≡1(mod 5); în plus, n5 1 deoarece G este grup simplu. Rezultă n5 = 6, deci |G : H| = 6. Considerând interiorul normal HG al lui H în G, avem HG = 1 și G ≈ G/HG se poate scufunda în S6. Prin urmare G este izomorf cu un subgrup K al lui S6. Deoarece K∩A6 K, avem K∩A6 = 1, caz în care rezultă |K| = 2, ceea ce nu este cazul, sau K∩A6 = K caz în care avem K ≤ A6. Deoarece |A6| = , |K| = |G| = 60 = , rezultă |A6 : K| = 5 și rezultă K ≈ A5, deci G ≈ K ≈ A5.

Avem C4 = {1, z, z2, z3} cu z4 = 1 sau altfel spus C4 = {1, -1, i, -i}≤C*. În afara subgrupurilor evidente 1 și C4 de ordin 1 și respectiv de ordin 4, C4 mai poate avea, conform teoremei lui Lagrange, subgrupuri de ordin 2. Un subgrup H de ordin 2 este de forma H = {1, x} cu x∈C4 și x2 = 1, x1. Singurul element x∈C4 cu x2 = 1, x1 este x = z2. Prin urmare H = {1, z2} este unicul subgrup de ordinul 2 al lui C4, iar laticea subgrupurilor lui C4 se reprezintă prin (Groza, 2005):

C4

|

{1, z2}

|

1

Conform teoremei lui Lagrange subgrupurile lui S3 pot avea ordinele 1, 2, 3 sau 6. Subgrupurile de ordinul 2 ale lui S3 sunt de forma H ={1, x} cu x∈S3, x2 = 1, x1. Examinând tabla de înmulțire a lui S3, găsim trei astfel de subgrupuri: {1, }, {1, }, {1, 2}.

Subgrupurile de ordinul 3 ale lui S3 sunt de forma H = {1, x, x2} cu x∈S3, x2 =1, x1.

Avem D2 = {1, , , o }cu 2 = 1, 2 = 1, o = o. Se vede că elementele x∈D2 cu x2 =1, x1 sunt , , o . Prin urmare D2 are trei subgrupuri de ordin 2, anume {1, }, {1, }, {1, } și laticea subgrupurilor lui D2 se reprezintă prin (Groza, 2005):

D2

{1, } {1, } {1, }

1

Găsim un singur subgrup de ordinul 3 și anume {1, , 2}. Laticea subgrupurilor lui S3 se reprezintă prin (Groza, 2005):

D2

{1, } {1, , 2} {1, } {1, 2}

1

Subgrupurile lui D4 pot avea ordinele 1, 2, 4 sau 8. Subgrupurile de ordinul 2 sunt de forma H ={1, x}cu x∈D4, x2 = 1, x1. Examinând tabla de înmulțire a lui D4, găsim cinci astfel de subgrupuri: {1, ρ}, {1, ρ}, {1, }, {1, 3ρ}, {1, 2}.

Subgrupurile de ordinul 4 ale lui D4 sunt fie ciclice, deci de forma {1, x, x2, x3} cu x∈D4, x1, x4 = 1, fie de tipul grupului Klein D2, deci de forma {1, x, y, xy}cu x, y∈G cu x1, y1, x2 = 1, y2 = 1 și xy = yx. Găsim un unic subgrup ciclic de ordinul 4, anume {1, ,  2,  3} și două subgrupuri de tipul grupului lui Klein, anume {1,  2, ρ ,  2ρ}, {1,  2, ρ , 3ρ}. Laticea subgrupurilor lui D4 se reprezintă prin (Groza, 2005):

D4

{1,  2, ρ ,  2ρ} {1, ,  2,  3} {1,  2, ρ , 3ρ}

{1, ρ} {1, 2ρ} {1, 2} {1, ρ} {1, 3ρ}

1

Conform tablei sale de înmulțire grupul Q are un unic subgrup de ordin 2, anume {1, j2}și trei subgrupuri ciclice de ordinul 4. Datorită faptului că singurul element x∈Q, x2 =1, x1 este j2, Q nu are subgrupuri de tipul grupului lui Klein.

Laticea subgrupurilor lui Q se reprezintă prin (Groza, 2005):

Q

{1, k, j2, j2k} {1, j, j2, j3} {1, jk, j2, j3k}

{1, j2}

1

2.2. Grupul endomorfismelor

Fie o aplicație liniară, endomorfism, cu . T este endomorfism diagonalizabil, dacă există o bază în V în raport cu care matricea atașată lui T să fie diagonală.

Știm că, în baze diferite, aplicației liniare T îi corespund matrice diferite, matrice care sunt asemenea. În cazul în care T este diagonalizabil, matricele din clasa de asemănare corespunzătoare transformării liniare T se numesc matrice diagonalizabile (Breaz et al., 2010).

Fie o aplicație liniară (endomorfism). Atunci el este endomorfism diagonalizabil dacă și numai dacă există o bază a spațiului V formată din vectori proprii ai lui T.

Presupunem că T este diagonalizabil. Atunci există o bază a spațiului V față de care matricea acestui endomorfism are forma diagonală:.

Deci , pentru orice , baza fiind constituită din vectori proprii ai endomorfismului T.

Pentru a demonstra reciproca vom considera o bază în V formată din vectori proprii ai lui T, adică , . Atunci matricea lui A în această bază este:, cu nu neapărat distincte, .

Putem formula această propoziție în limbaj matriceal, astfel: Condiția necesară și suficientă ca matricea aplicației liniare într-o bază dată să poată fi redusă la forma diagonală este ca ea să admită n vectori proprii liniar independenți.

Dimensiunea unui subspațiu propriu al aplicației liniare este cel mult egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzătoare (Coman, 1995).

Vom considera o valoare proprie de ordin de multiplicitate p și subspațiul propriu corespunzător. Vom nota cu și o bază a acestui subspațiu propriu pe care o vom completa la o bază a spațiului V de forma . Din cele de mai sus avem că , (pentru că ei sunt vectori proprii corespunzători valorii proprii , ) și cu . Deci matricea aplicației T în această bază este:

Dacă atunci , iar dacă rezultă . Deci avem .

Fie cu o aplicație liniară. T este endomorfism diagonalizabil dacă și numai dacă polinomul său caracteristic are toate rădăcinile în corpul comutativ peste care a fost considerat V, iar dimensiunea fiecărui subspațiu propriu este egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzătoare (Dragomir, 1975).

Presupunem că este diagonalizabil. Atunci există o bază în V formată din vectori proprii pentru T față de care matricea asociată lui T este diagonală.

Fie , adică , sunt valorile proprii ale lui T de multiplicități cu . Putem presupune că, fără a restrânge generalitatea, primii vectori din baza corespund lui , următorii lui , etc. Atunci avem că vectorii aparțin subspațiului propriu corespunzător valorii proprii , ceea ce înseamnă că numărul lor , este mai mic sau cel puțin egal cu . Deci și avem că . Rezultă atunci că . Analog vom demonstra că , (Groza, 2005).

Presupunem că , . Atunci fie , cu o mulțime de valori din V astfel încât primii vectori constituie o bază în , următorii să constituie o bază în ș.a.m.d. Prin inducție după p se arată că B este o bază a lui V. Față de această bază matricea transformării liniare este: adică o matrice diagonală.

Fie V un spațiu vectorial cu și și endomorfism diagonalizabil. Atunci, avem că: .

Considerăm o bază în V și determinăm matricea a lui T în această bază.

Determinăm valorile proprii ale lui T și verificăm care dintre ele se găsesc în corpul K.

Aflăm apoi câte valori proprii există și care este ordinul lor de multiplicitate. Presupunem că avem q valori proprii distincte cu cu ordinele de multiplicitate . Calculăm apoi rangul fiecărei matrice cu . Dacă rangul fiecărei matrice este , , atunci T este diagonalizabil. (În caz contrar T nu este diagonalizabil și oprim procedeul).

Vom rezolva apoi cele q sistme omogene cu . Un sistem fundemental de soluții al unui astfel de sistem reprezintă baza în subspațiul propriu . Deci matricea lui T în raport cu baza formată din vectorii proprii astfel găsiți are pe diagonală valorile proprii (Comincioli, 1998)

Dacă este matricea diagonală astfel găsită mai sus și este matricea de trecere de la baza inițială la baza formată din vectorii proprii, atunci .

se numește endomorfism nilpotent dacă există un număr natural astfel încât , adică este element nilpotent al inelului

Orice endomorfism nilpotent are ca valoare proprie elementul nul al spațiului V.

Fie astfel încât . Cum .

Un element este regulat dacă este inversabil atât la dreapta cât și la stânga; deci dacă există un element astfel încât .

Un endomorfism care nu este regulat se numește singular (Groza, 2005).

Dacă V este finit – dimensional peste K, atunci este inversabil dacă și numai dacă termenul constant al polinomului minimal pentru T nu este 0.

Fie , polinomul minimal al lui T peste K. (Este polinomul de grad cel mai mic astfel încât . El divide polimomul caracteristic al lui T).

se comportă ca fiind inversa lui T, de unde rezultă că T este inversabil.

Pe de altă parte, presupunem că T este inversabil, cu toate că . Așadar, .

Înmulțind la dreapta, relația de mai sus, cu rezultă că , astfel că T satisface polinomul . Deoarece gradul lui este mai mic decât gradul lui , rezultă că presupunerea este greșită. Prin urmare, și cealaltă parte a teoremei este demonstrată (Dragomir, 1981).

Dacă V este finit-dimensional peste K și este inversabil, atunci poate fi scris ca o expresie polinomială funcție de T cu coeficienți din K.

Deoarece T este inversabil, avem că cu . Dar atunci .

Dacă V este finit-dimensional peste K șieste singular, atunci există , , astfel încât .

Deoarece T nu este regulat, termenul constant al polinomului minimal trebuie să fie 0. Acesta este, , de unde . Dacă , b#%l!^+a?atunci (deoarece gradul lui este mai mic decât gradul lui ) și .

Dacă este invariant față de T, atunci T induce o transformare liniară pe , definită prin . Dacă T satisface relația polinomială , atunci și satisface aceeași relație. Dacă este polinomul minimal pentru peste K și dacă este polinomul minimal pentru T, atunci (Flaut, 2000).

Fie . Elementele lui sunt clasele . Știind că , definim. Pentru a verifica dacă are toate proprietățile unei transformări liniare pe verificăm mai întâi dacă este bine definit pe . Presupunem că , unde . Trebuie să arătăm că . Deoarece , trebuie sa fie în W, și deoarece W este invariant față de T, trebuie, de asemenea să fie W. Prin urmare, de unde rezultă că. Acum știm că definește o transformare liniară pe . (este spațiul factor)

Dacă , atunci:

.

Similar, pentru orice . Prin urmare, pentru orice polinom , . Pentru orice cu , deoarece este transformarea zero pe , .

Fie polinomul minimal peste K, verificat de . Dacă pentru, atunci . Dacă este polinomul minimal pentru T peste K, atunci , de unde rezultă că ; în consecință, .

Dacă are toate rădăcinile caracteristice în K, atunci există o bază a lui V în care matricea lui T este triungiulară (Groza, 2005).

Demonstrarea se face prin inducție după dimensiunea lui V peste K. Dacă , atunci fiecare element din este un scalar, si deci teorema este adevărată.

Presupunem că teorema este adevărată pentru toate spațiile vectoriale peste K cu dimensiunea n – 1, și fie V de dimensiune n peste K.

Transformarea liniară T peste V are toate rădăcinile caracteristice în K; fie o rădăcină caracteristică a lui T. Atunci există un vector nenul în V astfel încât . Fie ; W este un subspațiu unidimensional a lui V, și este invariant față de T. Fie ; atunci . T produce o transformare liniară pe al cărui polinom minimal peste K divide polinomul minimal al lui T peste K. Aceste rădăcini ale polinomului minimal al lui , fiind rădăcinile polinomului minimal al lui T, trebuie să fie în K. Transformarea liniară satisface ipoteza teoremei. Deoarece este (n – 1) – dimensional peste K, după ipoteza de inducție, există o bază a lui V peste K astfel încât:

.

Fie elementele lui V și clasele lor din spațiul factor . Atunci formează o bază a lui V. Deoarece și trebuie să fie în W. Astfel este un multiplu al lui , să spunem, deci:

.

Similar, , de unde. Baza a lui V peste K ne dă o bază unde fiecare este o combinație liniară a lui și predecesorii lui sunt baza. Deci, matricea lui T în această bază este triunghiulară. Aceasta completează inducția și demonstrează teorema (Fărcaș, 2001).

Dacă unde fiecare subspațiu este de dimensiune ni și este invariant față de , o bază din V poate fi găsită astfel încât matricea lui T în această bază este de forma unde fiecare Ai este o matrice de tip nini și este matricea transformării liniare indus prin T pe Vi.

Alegem o bază a lui V după cum urmează: este o bază al lui , este o bază a lui , și așa mai departe. Deoarece fiecare este invariant în T, deci este o combinație liniară de , și este unica combinație liniară. Așadar, matricea de T în baza astfel aleasă este de forma dorită. Astfel, fiecare Ai este o matrice de Ti,.

Dacă este nilpotent, atunci , unde este inversabil dacă .

Dacă S este nilpotent și, un calcul simplu arată că

,

dacă . Dacă , , S trebuie să satisfacă relația . Rezultă că pentru în K, este inversabil. (Știm că suma dintre un inversabil și un nilpotent este element inversabil)

Dacă este nilpotent, de indicede nilpotență n1, atunci găsim o bază în V astfel încât matricea lui T în această bază are următoarea formă , unde și unde .

Deoarece dar , putem găsi un vector astfel încât . Vrem ca vectorii să fie liniar independenți peste K. Pentru aceasta, presupunem că unde; fie primul element nenul, astfel încât: . Deoarece , rezultă că, este inversabil, și deci . Deoarece , aceasta contrazice faptul că . Astfel, nici un nenul nu există și s-a arătat că sunt liniar independent peste K (Groza, 2005).

Fie subspațiu al lui V, dat prin . este invariant față de T, și în baza de mai sus, transformarea liniară indusă de T pe V1 are ca matrice pe . Ș.a.m.d.

Există un subspațiu W al lui V, invariant față de T, astfel încât .

Fie W un subspațiu al lui V, de cea mai mare dimensiune posibilă, astfel încât:; W este invariant în T.

Vrem să arătăm că . Presupunem că nu este adevărat. Atunci există un element astfel încât . Deoarece , atunci există k, număr întreg, , astfel încât și astfel încât pentru . Astfel, , unde și unde .

Dar atunci. Deoarece și V1 și W sunt invarianți față de T, și .

Deoarece , avem că, rezultând că . pentru orice .

Astfel, .

Fie , atunci, și deoarece W este invariant față de T, rezultă că pentru orice . Pe de altă parte, dacă , , altfel trebuie să cadă în , contazicând alegerea lui k.

Fie W1 un subspațiu al lui V generat de W și. Deoarece, și cum , dimensiunea lui W1 trebuie să fie mai mare decât cea a lui W. Mai mult chiar, deoarece și deoarece W este invariant față de T, W1 trebuie să fie invariant față de T.

După mărimea maximă a lui W, trebuie să existe un element de forma

în , unde (Ion et al., 1981).

Nu toate elementele pot fi 0. Pe de altă parte am avea , contradicție. Fie primul element nenul , atunci. Deoarece , conform Lemei 2.11., este inversabilă și inversa lui, R, este polinomială în T. Cu toate acestea W și V1 sunt invariante față de R. Totuși, din cele de mai sus, , forțând . Deoarece acest lucru este imposibil; cu toate că . Pentru că , , lema este demonstrată (Hernstein, 1975).

Două transformări liniare nilpotente sunt asemenea dacă și numai dacă au aceeași invarianți (Groza, 2005).

Dacă atunci este suma rădăcinilor caracteristice ale lui T (folosind fiecare rădăcină caracteristică de câte ori este ordinul ei de multiplicitate).

Dacă T este nilpotent atunci toate rădăcinile sale caracteristice sunt nule, deci . Dar dacă T este nilpotent , atunci la fel sunt și ; astfel, pentru toți .

Ce putem spune dacă pentru , atunci rezultă că T este nilpotent? În această generalitate răspunsul este negativ, pentu că în cazul în care K este un câmp de caracteristică 2, atunci matricea unitate în are urma 0 (deoarece 1+1=0), cu toate că matricea unitate nu este nilpotentă. Dacă caracteristica lui K este zero, rezultatul rămâne adevărat (Fărcaș, 2001).

Dacă K este un câmp de caracteristică zero, și dacă este astfel încât pentru orice atunci T este nilpotent.

Deoarece , T satisface relația polinomială

Din , luând urmele ambelor părți ale rezultatelor și rezultă că .

Presupunând că pentru , avem . Dacă , , de unde . Dar caracteristica lui F este 0, așadar, , deci rezultă că . Deoarece termenul liber al polinomului minimal T este 0, T este singular și deci 0 este o rădăcină caracteristică a lui T (Bușneag, 1999).

Putem considera că T, fiind o matrice din și de asemenea ca matrice în , unde F este o prelungire a lui K , care conține toate rădăcinile caracteristice ale lui T. În , putem aduce pe T la forma triunghiulară. Astfel, este o matrice cu proprietatea că pentru orice . Fie folosind inducția după n, fie repetând argumentul folosit pentru T, pentru că sunt rădăcinile caracteristice pentru , avem că . Astfel, când T este adus la forma triunghiulară, toate elementele de pe diagonala principală sunt 0, deci T este nilpotent (Groza, 2005).

b#%l!^+a?

2.3. Grupul de permutări

Fie M o mulțime nevidă. Notam S(M) mulțimea tuturor funcțiilor f bijective fM -> M Această mulțime împreună cu operația de compunere formează un grup numit grupul simetric pe mulțimea M sau grupul permutărilorlui M (Groza, 2005).

Dacă între M și M' există o bijecție, atunci grupurile S(M) și S(M') sunt izomorfe.

Fief M -> M bijecție și fie F: S(M) -> S(M'), F(x )= f x f- 1 F este morfism de grupuri și în plus este bijectivă (Bucur, 1986).

Admitem fără demonstrație teorema lui Cayley: orice grup G este izomorf cu un grup de permutări pe mulțimea G (adică este izomorf cu un subgrup al grupului S(G)).

Dacă M conține n elemente, grupul său de permutări se notează Sn s1 se numește grupul de permutări de grad n.

T este morfism injectiv de grupuri, deoarece Ker T = {e}, iar din teorema de izomorfism Sm este izomorf cu Im(T) deci Sm este privit ca un subgrup al lui Sn și anume cu acele permutări care lasă invariante numerele m+l, …, n.

Clasele de echivalență din {I, 2, …, n} se numesc orbitele lui u. O orbită se numește netriviala dacă are cel puțin două elemente. u se numește ciclu sau permutare ciclică dacă și numai dacă are o singură orbita netrivială (Breaz et al., 2010).

Dacă u este un ciclu și orbita sa netriviala are cardinalul l atunci l se numește lungimea ciclului. Orice transpoziție este ciclu de lungime

Două cicluri se numesc disjuncte dacă orbitele lor netriviale sunt disjuncte (Ebâncă, 1994).

Dacă 2 cicluri din Sn sunt disjuncte, atunci ele comută.

Fie n un număr natural și considerăm o permutare ∈ Sn. O pereche ordonată (i, j) cu 1 ≤ i < j ≤ n și (i) = (j) se numește inversiune a lui . Notăm cu Inv() numărul de inversiuni ale permutării . Permutarea  se numește permutare pară dacă Inv() este un număr par și impară dacă Inv() este un număr impar (Ilioi, 1990).

Număr sgn() =se numește signatura permutării . Acest număr se poate scrie sub forma sgn() = = unde (i, j) = , și găsim sgn()= =(-1)Inv(). Prin urmare sgn() = .

Pentru orice două permutări , ∈ Sn avem sgn() = sgn() sgn().

Avem sgn() = = . .

Deoarece = , evident avem = = sgn(). Rezultă sgn() = sgn() sgn() .

Propoziția precedentă arată că aplicația sgn: Sn→C2 = {-1, 1}, este un morfism de grupuri. Nucleul acestui morfism de grupuri se notează An și se numește grupul altern pe n elemente (Gtoza, 2005): An = Ker(sgn) = {∈ Sn |  este permutare pară}.

Dacă n = 1, avem A1 = S1 = 1. Dacă n ≥ 2, morfismul sgn: Sn→C2 este surjectiv. Într-adevăr, 1 = sgn(1) și, deoarece n ≥ 2, putem considera cicluri de lungime 2, (i, j), i≠j. Ciclurile de lungime 2 se numesc transpoziții și se va demonstra că orice transpoziție este o permutare impară. În particular, vom avea -1 = sgn((i, j)), ceea ce arată că într-adevăr sgn este un morfism surjectiv (Fărcaș, 2001). Aplicând teorema fundamentală de izomorfism, avem că An este subgrup normal al lui Sn și Sn/An ≈ C2.

Aplicând teorema lui Lagrange, rezultă că n! = | Sn | = | An | | Sn/An | = 2 | An |, deci | An | = (pentru n ≥ 2).

Orice transpoziție (i, j), i, j ∈{1, 2, …,n}, i≠j este o permutare impară.

Deoarece  = (i, j) = (j, i), putem presupune i < j. Vom considera toate perechile ordonate (k,l) cu k,l ∈{1, 2, …,n}, k < l. Dacă k,l∉{i, j}, avem (k) = k, (l) = l și (k, l) nu este inversiune a lui ; dacă l = i, avem (k) = k < l = i < j = (l); deci nici în acest caz perechea (k, l) nu este inversiune; dacă k < i < j = l, avem (k) = k < i = (l) și perechea (k, l) nu este inversiune; dacă i < k < l = j, avem (l) = i < k = (k) și perechea (k, l) este inversiune, numărul inversiunilor de acest tip fiind j – i – 1; dacă i = k < l < j avem (l) = l < j = (k) și perechea (k, l) nu este inversiune. Rezultă că numărul total de inversiuni ale permutării  = (i, j) este 2(j-i)+1, deci  este o permutare impară (Dragomir, 1975).

Pentru orice ciclu (i1, i2,…, im)∈Sn avem evident (i1, i2,…, im) = (i1, i2) (i2, i3)…(im-1, im) de unde rezultă că sgn(i1, i2,…, im) = (-1)m-1.

În particular, dacă permutarea ∈Sn are tipul de descompunere (k1, k2,…, kn), atunci sgn () ==.

Rezultă că orice permutare ∈ Sn este un produs de transpoziții și anume  este o permutare pară dacă și numai dacă este produsul unui număr par de transpoziții (Dragomir, 1975).

2.4. Grupul diedral Dn

Printre izometriile planului euclidian E2 sunt: translațiile, rotațiile in jurul unui punct, simetriile in raport cu o dreaptă. De asemenea, o izometrie ∈Izom (E2) este unic determinată de imaginile a trei puncte necolineare, mai exact, dacă , ∈ Izom (E2) și x1, x2, x3∈E2 sunt trei puncte necolineare astfel ca (xi) = (xi), i∈{1, 2, 3}, atunci  = (Groza, 2005).

Fie n un număr, n ≥ 3, și Pn un poligon regulat cu n laturi în E2. Grupul de simetrie Dn = SE2(Pn) se numește grupul diedral de grad n. Fie O centrul poligonului Pn, A1, A2, … , An vârfurile sale și r = d(O, A1) = … = d(O, An) raza cercului circumscris polinomului Pn. Pentru orice A∈Pn,, avem d(O, A) ≤ r și punctul O este unic determinat de aceasta proprietate; în plus, pentru A∈Pn, d(O, A) = r dacă si numai dacă A∈{A1, A2,…,An}. Pentru ∈Dn și orice A’ = (A)∈Pn, avem d((O),A’) = ((O), (A)) = d(O, A) ≤ r, ceea ce arată că (O) = O; în plus, d(O,(A)) = ((O), (A)) = d(O, A), deci A∈{A1, A2,…,An} dacă si numai dacă (A)∈{A1, A2,…,An}. Astfel, orice izometrie ∈Dn induce o permutare a mulțimii {A1, A2,…,An} și aplicația ϕ: Dn→Sn, ϕ() = este un morfism de grupuri injectiv (ϕ este aplicație injectivă deoarece există cel puțin trei vârfuri A1, A2, A3 și acestea sunt necolineare). Prin urmare grupul Dn se poate scufunda în Sn (Bușneag, 1999).

Pentru a defini o izometrie ∈Dn, (A1) poate fi oricare din cele n vârfuri A1, A2,…,An, dar dacă (A1) a fost definit, (A2) nu poate fi decât unul din cele două vârfuri alăturate lui (A1) (deoarece d((A1),(A2)) = d(A1, A2) și distanța între două vârfuri nealăturate > d(A1, A2)). Dacă (A1) și (A2) sunt definite, izometria este perfect determinată ((O) = O și  este unic determinată de imaginile a trei puncte necolineare). Rezultă ca există cel mult 2n posibilități de a defini o izometrie ∈Dn; altfel spus |Dn| ≤ 2n. Pe de altă parte, rotațiile de unghi , k∈{0, 1, …, n-1}, în jurul lui O si simetriile în cele n axe de simetrie ale poligonului Pn sunt izometrii aparținând lui Dn. Prin urmare 2n ≤ |Dn| și deci |Dn| = 2n. Dacă  este rotația de unghi în jurul lui O și  este simetria într-una din axele de simetrie ale lui Pn avem n, 2 = 1, po = n-1op și Dn = {1, , 2,…, n-1, p, op, 2op,…, n-1op} (Fărcaș, 2001).

Deoarece D3 se poate scufunda în S3 și |D3| = |S3| = 6, rezultă D3 ≈ S3. Pentru a descrie grupul diedral D4 se observă că: D4 = {1, , 2, 3, p, op, 2op, 3op} și 4 = 1, p2 = 1, po = 3op și se poate obține imediat tabla de înmulțire a grupului D4 (Groza, 2005).

Grupul diedral Dn se poate defini și pentru numere naturale n ≤ 2. Astfel D2 se definește ca grupul de simetrie al unui dreptunghi care nu este pătrat. Notând cu  și  simetriile în raport cu cele două axe de simetrie ale dreptunghiului, o = o este simetria în raport cu centrul dreptunghiului (Groza, 2005). Avem: D2 = {1, , , o }cu 2 = 1, 2 = 1, o = o.

Grupul D2 se numește de obicei grupul lui Klein (Breaz et al., 2010).

Grupul D1 se definește ca fiind grupul de simetrie al unui segment. Notând cu  simetria în raport cu mijlocul segmentului avem D1 și C2 sunt izomorfe (Bușneag, 1994).

Grupul D0 se poate defini ca fiind grupul trivial D0 = 1 (Haimovici și Creangă, 1984).

CAPITOLUL AL III-LEA

INELE NECOMUTATIVE

3.1. Aspecte generale

Mulțimea Z a numerelor întregi, înzestrată cu operațiile de adunare și de înmulțire a servit ca bază aritmeticii, dar și algebrei, în care, prin preluarea diferitelor proprietăți ale acestei mulțimi, s-au construit structuri noi.

Se numește inel, o mulțime nevidă R, înzestrată cu două legi de compoziție, notate de obicei aditiv și multiplicativ, astfel încât: R are structură de grup abelian în raport cu legea aditivă; R are structură de smigrup în raport cu legea multiplicativă; legea multiplicativă este distributivă în raport cu legea aditivă (Albu și Ion, 1997).

Pentru a nu complica scrierea, atunci când este posibil, vom folosii notațiile și pentru cele două legi de compoziție, prin analogie cu cele două operații din mulțimea numerelor întregi. Convenim de asemenea să scriem în loc de . Elementul neutru al operației aditive îl vom nota cu 0. Simetricul elementului x îl notăm cu și îl numim opusul lui x, iar în loc de notăm pe scurt . Condiția c) din definiție se scrie: și

În teoria generală a inelelor se consideră și alte sistemede axiome pentru structura de inel, diferite de cele de mai sus. De exemplu, condiția de asociativitate a operației multiplicative este eliminată, iar un inel care satisface și această condiție este numit inel asociativ. Această variantă adaugă sistemului de axiome condiția ca operația multiplicativă să aibă element unitate. Păstrând sistemul de axiome, un inel în care operația multiplicativă are element unitate se va numi inel cu unitate sau inel unitar, iar elementul său unitate, atunci când nu există pericolul unei confuzii se va nota cu 1 (Dodescu, 1981).

Dacă legea de compoziție multiplicativă a inelului R este comutativă, atunci inelul R se numește inel comutativ.

Pe mulțimea R formată dintr-un singur element x, se poate defini o singură structură de inel, punând . În aceste caz x=1=0 și R se numește inel nul. Un inel care conține cel puțin două elemente se numește inel nenul (Groza, 2005).

Dacă R este un inel unitar, atunci elementele lui R simetrizabile în raport cu operația multiplicativă, se numesc elemenete inversabile sau unități ale inelelui R. Inversul sau simetricul lui x îl vom nota cu . Mulțimea unităților inelului R se notează cu U(R) și, așa cu este cunoscut din cazul monoizilor, U(R) are o structură de grup în raport cu operația multiplicativă. Acest grup se numește grupul multiplicativ al elementelor inversabile ale inelului R . Elementul unitate 1 al inelului R este una din unitățile inelului R și are rol de element neutru al grupului U(R).

Mulțimea numerelor întregi Z cu adunarea și înmulțirea obișnuită formează un inel numit inelul numerelor întregi, notat . Acesta este un inel comutativ. Elementul nul este 0, iar elementul unitate este 1 (Fărcaș, 2001). Pentru inelul , .

este un inel comutativ, numit inelul numerelor raționale. Pentru , .

este un inel comutativ numit inelul numerelor reale (Fărcaș, 2005). Pentru , .

este un inel comutativ, numit inelul numerelor complexe (Fărcaș, 2005). Pentru , .

Dacă M este o mulțime, atunci tripletul este un inel comutativ, unde se numește diferența simetrică definită astfel:

Elementul nul este, elementul unitate este M. În acest inel

Pe mulțimea se definesc operațiile obișnuite de adunare și înmulțire ale numerelor complexe. Tripletul este un inel comutativ numit inelul întregilor lui Gauss. Elementul nul este , iar elementul unitate este . Atunci .

Dacă sunt inele, atunci produsul cartezian este inel în raport cu operațiile de adunare și înmulțire definite astfel:

Fie G un grup abelian, mulțimea endomorfismelor lui G. Definim pe următoarele operații:

Atuncieste un inel unitar necomutativ. Elementul unitate este funcția identică.

Fie un inel și mulțimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente din R. Atunci este un inel, unde și, reprezintă adunarea, respectiv înmulțirea matricelor.

Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecințe care sunt numite reguli de calcul într-un inel (Bușneag, 1999).

Dacă R este un inel, atunci (Groza, 2005):

și

unde . În particular,

, unde

Dacă R este un inel comutativ, x și y sunt elemente din R și atunci are loc formula binomului lui Newton (Fărcaș, 2001):

Pentru orice avem datorită distributivității înmulțirii față de adunare. Adunând la ambii membrii ai egalității obținem Analog, se arată că,

avem: și , deci Analog, se arată că În plus,

Relația se obține prin calcul:

Analog, .

Relația se demonstrează prin inducție după . Pentru relația devine Presupunând egalitatea adevărată pentru un număr natural n:

Relația se demonstrează prin inducție după m.

Relația se demonstrează prin inducție după n.

Dacă în inelul unitar R, 1=0 atunci R este inel nul. Întradevăr pentru orice element , avem: .

Prin urmare, condiția, 1=0, este necesară și suficientă ca un inel să fie nul.

Rezultă că dacă în produsul xy unul din factori este 0, atunci produsul este 0. Este posibil și cazul în care produsul este 0 fără ca vreunul din factorii săi să fie 0. Acești factori se numesc divizori ai lui zero (Cerchez, 1977).

Elementul , se numește divizor la stânga (la dreapta) al lui zero dacă există , astfel încât

Dacă inelul R este comutativ, atunci noțiunile de divizor la stânga și divizor la dreapta al lui zero coincid.

Dacă nu este divizor la stânga (la dreapta) al lui zero și , atunci din rezultă Într-adevăr, din se obține, de unde sau Analog se demonstrează și pentru cazul al doilea.

Un element x al inelului R se numește element regulat dacă nu este divizor al lui zero nici la stânga, nici la dreapta.

Un inel R nenul comutativ, unitar și fără divizori ai lui zero diferiți de zero se numește domeniu de integritate sau inel integru (Trâmbițaș, 2005).

Inelele sunt inele integre.

În inelul matricelor pătratice de ordinul doi, cu elemente din R, matricele: ; (matricea nulă – elementul nul al inelului .

; sunt divizori ai lui zero deoarece .

În general în inelul există divizori ai lui zero (Trâmbițaș, 2005).

Fie R un inel și M o mulțime oarecare nevidă. Mulțimea a funcțiilor definite pe M și cu valori în inelul R se poate înzestra în mo natural cu o structură de inel, definind următoarele operații pentru f și g :

Elementul neutru al acestui inel este funcția definită prin . Funcția definită prin este opusa lui f în raport cu structura aditivă definită pe . Dacă R este un inel unitar atunci și este inel unitar, având ca element unitate funcția , definită prin . Dacă M conține cel puțin două elemente, atunci în există divizori ai lui zero (Spircu, 1991). Într-adevăr, fie fixat și funcțiile definite prin: ,

Funcțiile f și g sunt divizori ai lui zero deoarece și

Deaoarece în produsul direct al inelelor A și B există totteauna divizori ai lui zero pentru A și B inele nenule, rezultă că produsul direct a două inele integre nu este un inel integru.

Dacă A și B sunt inele unitare atunci:

Dacă și iar și sunt inversele acestor elemente în A, respectiv în B, atunci Analog, Deci, și Dacă , atunci există pentru care . De aici rezultă că și adică și iar și

Se numește corp un inel K cu astfel încât orice este inversabil (Groza, 2005).

Dacă în plus în corpul K are loc relația: atunci corpul K se numește corp comutativ (Fărcaș, 2001).

Într-un corp nu există divizori ai lui zero.

Fie K un corp și , astfel încât Vom arăta că sau .

Dacă atunci există și deci de unde

Orice corp comutativ este domeni de integritate.

Fie inelul , unde Următoarele afirmații sunt echivalente: este domeniu de integritate; n este număr prim; este corp.

Presupunem prin reducere la absurd că n nu este prim. Deci , astfel încât

Din și din Avem însă că Adică ar avea divizori ai lui zero, ceea ce ar contrazice ipoteza.

Să arătăm că orice element nenul este inversabil. Din rezultă că n nu este b#%l!^+a?divizibil cu x și cum n este prim, rezultă deci există astfel încât de unde Deci există astfel încât adică este inversabil. Prin urmare este corp (Groza, 2005).

Fie un inel. Pentru și , definim:

Pentru orice și orice avem:

Fie un inel. Următoarele afirmații sunt echivalente: sau ; și și și

Presupunem că există și astfel încât Atunci sau Cum ceea ce contrazice presupunerea făcută. Analog se verifică cea de-a doua implicație (Răduică, 1992).

Fie . Vom arăta că sau . Dacă atunci din

Fie un inel și Vom spune că dacă:. Vom spune că , dacă

Fie un inel. Dacă x are ordin finit, atunci caracteristica lui R (notată carR) este . Dacă astfel încât , atunci caracteristica lui R este 0.

Fie un inel cu . Atunci toate elementele regulate ale lui R au același ordin și carR coincide cu ordinul comun al elementelor regulate.

Fie un element regulat și y un element oarecare al lui R. Cum sunt finite. Notăm și . Vom arăta că .

Avem: și, pe de altă parte, . Deoarece x este element regulat, rezultă că deci de unde deoarece

Dacă este un alt element regulat al lui R și atunci, conform celor de mai sus, rezultă că Reluând raționamentul pentru element regulat și x element al lui R obținem Deci, , adică toate elementele regulate au același ordin (Purdea și Pop, 2003).

Mai mult, obținem unde neste ordinul comun al elementelor regulate.

Fie un inel unitar. Avem dacă și numai dacă n este cel mai mic întreg pozitiv astfel încât

Dar, de unde . Deci, .

Vom arăta că n este cel mai mic număr întreg cu această proprietate. Presupunem că astfel încât În particular, contradicție cu

Vom arăta că Notăm deci de unde avem Ținând cont de ipoteză, rezultă și tot din ipoteză, avem de unde deci Așadar,

Fie un domeniu de integritate. Atunci sau carR este un număr prim.

Presupunem că avem și n nu este un număr prim. Deci astfel încât Fie Cum R este domeniu de integritate, rezultă că x este element regulat. Conform teoremei 1.21. avem deci, de unde Deaorece R nu are divizori ai lui zero avem că, sau contradicție cu și

Așadar, este un număr prim sau

Orice corp are caracteristica zero sau un număr prim.

Pentru orice există un inel de caracteristică n.

Pentru considerăm inelul a cărui caracteristică este zero (Groza, 2005), deoarece

Pentru considerăm inelul nul (Groza, 2005), iar pentru considerăm inelul Avem

3.2. Inele de matrici

Fie o mulțime și N*. O funcție se numește matrice de tipul cu elemente din .Daca matricea se numește matrice pătratică de ordinul. Pentru vom scrie matricea sub forma:=

Mulțimea matricelor de tipul cu elemente din o vom nota cu M,iar pentru matricele pătratice cu M. Dacă este un inel, operațiile din induc două operații în M în raport cu care M este un inel (Haimovici, 1984).

Cele două operații se definesc astfel:

M cuatunci:

Denumirea de înmulțire a matricelor este întrebuințată pentru operația definită în mulțimea MN* N*, astfel dacă M și M ,atunci M, cu .

Înmulțirea matricelor are următoarele proprietăți (Dragomir, 1975).

Dacă atunci (proprietatea de asociativitate).

Dacă , atunci (proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunarea matricelor).

Din cele demonstrate mai sus rezultă că (M,+,∙) formează inelul matricelor de tipul , operația de adunare având elemetul nul matricea nulă cu =0 . Elementul unitate față de înmulțirea matricelor îl constituie matricea unitate M,cu (simbolul lui Kronecker) (Groza, 2005)

Matricea unitate are forma :

Daca este un inel, atunci: si;

Dacă,în plus, este comutativ, atunci:n=n+ (formula binomului lui Newton) (Groza, 2005).

Avem: . Adunând în ambii membri ai egalității de mai sus , obținem .Analog,

Avem:,rezultă . Analog

Se demonstrează prin inducție matematică după n.

Considerăm propoziția:

Propoziția este evident adevărată din condiția din definiția inelului.

Presupunem adevărată, adică: Atunci?

și deci adevărată. Din principiul inducției matematice rezultă: adevărată . Analog se demonstrează cealaltă relație.

Se demonstează prin inducție matematică după n.

Considerăm propozitia: : n=n+ adevărată (Năstăsescu et al., 1993).

Presupunemadevărată, adică:

:=+

Avem:

Având in vedere că: si , avem:și deci adevarată. Din principiul inducției matematice rezultă adevărată .

Fie un inel și .Spunem că elementul este divizor al lui zero la stânga sau dreapta dacă există , astfel încât sau .

Un element care este in același timp divizor al lui zero la dreapta și la stânga se numește divizor al lui zero (Groza, 2005).

Dacă este inel comutativ, noțiunile de divizor al lui zero la stânga și la dreapta coincid cu cea de divizor al lui zero (Năstăsescu et al., 1986).

Un inel unitar nenul fără divizori ai lui zero la stânga și la dreapta nenuli se numește inel integru. Dacă inelul este și comutativ, va fi numit domeniu de integritate (Pic, 1977).

Dacă este inel unitar, un element se numeste inversabil dacă există astfel încât .

Vom nota inversabil .

Dacă , atunci: și deci .

are o structura de grup față de operația de înmulțire din , grup numit grupul elementelor inversabile ale inelului .

De exemplu:

Fie .un inel. O submulțime nevidă se numește subinel al lui dacă împreună cu operațiile induse de cele două operații algebrice de pe formează la rândul său un inel adică: ; .

Dacă este un inel, atunci și sunt, evident, subinele ale sale.

ZQR sunt subinele unul în altul, cu adunarea și inmulțirea numerelor.

Fie inelul,RRcontinuă.Atunci submulțimea , R R derivabilă a inelului ,R formează un subinel al acestuia.

Dacă N, atunci este clar că mulțimea Z Zeste un subinel al lui Z. Deci orice subgrup al grupului aditiv Z, este subinel al inelui Z. Reciproca fiind mereu adevarată, rezultă că subinele lui Z sunt tocmai subgrupurile lui Z,. Deci subinelele inelului Z sunt date de mulțimea Z (Pelea și Purdea, 2008).

Fie inelul Z al claselor de resturi modulo . Subgrupurile grupului aditiv subadiacent lui Z sunt ciclice și sunt deci de forma Zunde Z. Dar este clar că orice b#%l!^+a?subgrup este în același timp subinel..Prin urmare, subinelele lnelului Z coincid cu subgrupurile grupului aditiv Z(Mirică și Drăghicescu, 2002).

Fie un inel și o familie de subinele ale lui . Atunci este un subinel al lui .

Din teoria grupurilor avem: este un subgrup al grupului aditiv adiacent lui . Fie subinel al lui .

Fie un inel și o submulțime nevidă a sa . Spunem că este un ideal la stânga(respectiv,la dreapta) al inelului dacă: (respectiv ).

Un ideal care este în același timp ideal la stânga și ideal la dreapta se numește ideal bilateral (Fărcaș, 2001).

Dacă este inel comutativ atunci evident că cele două noțiuni coincid, în acest caz vom spune simplu ideal al inelului .

Din definiție rezultă că orice ideal la stânga (la dreapta sau bilateral) este un subinel al inelului, pe când, reciproc nu este adevărat. Astfel Z este un subinel al lui Q, însă nu este ideal deoarece, de exemplu, Z și Q ,iar Z.

Dacă este un inel, atunci și sunt evident ideale bilaterale ale sale (Bușneag, 1999).

Din exemplele de mai sus avem că subinelele inelului Z sunt submlțimile sale de tipul Z cu N. Este clar că orice astfel de submulțime este un ideal al lui Z și deci idealele lui Z coincid cu subinele sale adică sunt date de Z.

Am arătat că subinelele inelului Z al claselor de resturi modulo coincide cu subgrupurile grupului aditiv subadicent lui Z,fiind de forma Z}.

3.3. Izomorfisme de inele

Fie și două inele. O aplicație se numește morfism (sau omomorfism) de inele dacă satisface următoarele două condiții:

Din definițe rezultă că orice morfism de inele este morfism de grupuri, de la grupul aditiv al lui R, la grupul aditiv al lui R’. Atunci dacă este morfism de inele, din proprietatea morfismelor de grupuri, avem că: (unde zero este elemental nul al lui R, iar 0’ este elemental nul al lui R’ (vom spune simplu că un morfism de inele duce elementul nul în elementul nul); (imaginea opusului din morfism este opusul imaginii) (Fărcaș, 2001).

Condiția spune că este morfism de semigrupuri (Niță et al., 1998).

Pentru inelele R și R’ nu se poate deduce că (1 este elementul unitate pentru R iar 1’ este elementul unitate al lui R’. Dacă în plus, R’ este domeniu de integritate atunci

Fie și două inele uinitare. Un morfism de inele cu proprietatea că se numește morfism unitar de inele. (1, respectiv 1’ sunt elemente unitate din R, respective R’).

Un morfism de inele de la un inel la el însuși se numește endomorfism al inelului respectiv.

Fie R și R’ două inele. Aplicația definită definită prin este un morfism de inele numit morfismul nul (Groza, 2005).

Se verifică ușor cele două condiții din definiție:

Fie R un inel. Aplicația identică este un morfism unitar de inele aparținând endomorfismelor lui R.

Fie inelul . Atunci aplicația definită prin este un morfism de inele pentru că avem:

Aplicația este un morfism de inele, numit morfismul canonic.

Un morfism de inele se numește morfism injectiv, dacă f este injectivă (Kurosh, 1972).

Un morfism de inele se numește morfism surjectiv, dacă f este surjectivă (Kurosh, 1972).

Un morfism de inele se numește izomorfism dacă f este bijectivă (Kurosh, 1972).

Dacă între două inele R și R’ există cel puțin un izomorfism de inele spunem că inelele sunt izomorfe și scriem (citim: inelul R este izomorf cu inelul R’).

Aplicația este izomorfism de inele dacă: f este morfism de inele; f este bijectivă.

Dacă două inele sunt izomorfe, atunci grupurile aditive sunt izomorfe, iar monoizii sunt de asemenea izomorfi.

Morfismul de inele este injectiv dacă ( se numește nucleul morfismului f).

Un izomorfism de la inelul R la el însuși se numește automorfism.

Fie R un inel. Aplicația identică este un automorfism al inelului R. Am arătat la exemplul 3.4. 2) că este endomorfism al inelului R. Cum este o aplicație bijectivă, deducem că este automorfism al inelului R.

Morfismul este bijectiv, deoarece f este injectiv, adică dacă: și , ceea ce dă

Aplicația f este surjectivă deoarece pentru , atunci există pentru care .

Comportarea subinelelor la morfisme de inele este dată de următoarea teoremă.

Fie un morfism de inele. Atunci, pentru orice subinel B al lui R, mulțimea B’=f(B) este subinel al lui R’; în particular este subinel al lui R’. Dacă f este morfism injectiv, atunci R este izomorf cu un subinel al lui B (Pic, 1977).

Se traduce morfismul de inele în limbaj de morfism de grupuri aditive și morfism de monoizi , iar subinelul B al lui R ca subgrup al lui și respective monoid al lui și se ține seama că imaginea unui subgrup al lui prin f este subgrup al lui și imaginea unui monoid al lui este tot monoid al lui demonstrația lui 1) este imediată.

Dacă R este morfism injectiv de inele, atunci ( este subinel al lui R’.

Prima afirmație se poate formula astfel: imaginea unui subinel printr-un morfism de inele este de asemenea un subinel. Partea a doua a teoremei afirmă că: inelul R se poate scufunda izomorf într-un subinel al lui B printr-un morfism injectiv (Radu și Tamas, 1998).

Dacă R și R’ sunt inele și un morfism de inele, atunci este un ideal b#%l!^+a?bilateral al lui R.

este subgrup în Să arătăm acum că și avem și . Întradevăr, Analog, dacă Deci Ker f este ideal bilateral al lui R.

În stabilirea unor proprietăți ale inelelor, un rol important revine următoarelor rezultate care poartă numele de teoreme de izomorfism pentru inele.

Fie R și R’ inele și un morfism de inele. Atunci există un izomorfism canonic

Conform primei teoreme de izomorfism de la grupuri, rezultă că există izomorfismul de grupuri Se mai verifică faptul că

Avem:

Deci, este izomorfism de inele.

Fie R un inel, R’ un subinel al lui R și I ideal bilateral în R. Atunci există un izomorfim de inele

este grup comutativ, deci și sunt divizori normali în

Conform celei de-a doua teoreme de morfism de la grupuri, rezultă că există un izomorfism de grupuri:

Pe de altă parte, din faptul că I este ideal bilateral rezultă că este ideal bilateral în R’ și este subinel în R, deoarece R’ este subinel în R. Mai mult, I este ideal bilateral în deci și sunt inele factor (Smirnov, 1933).

Mai rămâne să verificăm că:

Întradevăr:

Deci, este izomorfism de inele.

Fie R un inel, I și J ideale bilaterale în R., . Atunci există un izomorfism canonic de inele

Conform celei de-a treia teoreme de izomorfism a grupurilor, pentru grupul și divizorii normali, I și J cu , obținem că există izomorfismul de grupuri

este ideal bilateral în inelul deci putem considera inelul factor

Să mai verificăm că, Întradevăr,

Fie și două inele. Spunem că se scufundă în dacă există un morfism injectiv de inele

Orice inel fără unitate se scufundă într-un inel cu unitate (Trâmbițas, 2005).

Fie R un inel fără unitate. Definim pe operațiile:. Se verifică ușor faptul că este subgrup abelian și este monoid cu element neutru (1,0), cât și distributivitatea înmulțirii față de adunare. Așadar, este inel unitar. Dacă R este comutativ, atunci și inelul este comutativ (Groza, 2005).

Definim

Pentru:

au loc egalitățile: .

Deci este morfism de inele. Ma mult, este injectivă, deci inelele R și sunt izomorfe (Fărcaș, 2001). Din acest motiv putem identifica R cu și spunem că am scufundat inelul R în inelul

Constatăm că este ideal bilateral în

CAPITOLUL AL IV-LEA

CORPUL CUATERNIONILOR

4.1. Corpul numerelor complexe

Un = {∈/  n = 1} se numește grupul rădăcinilor de ordin n ale unutății Un ≤(*, ⋅ ).

Generatorii grupului Un se numesc rădăcini primitive de ordin n ale unității (Becheanu et al., 1998).

 este rădăcină primitivă de ordin n a unității (Albu și Ion, 1997).

Fie a∈N*⇒  a este rădăcină primitivă ⇔ (a, n) =1, Un ={1, , …,  n-1} ≈ Zn ={,,…,}  i→ .

(G / k) ≈ cu un subgrup de ordin d (d/ϕ(n)) al lui U(Zn).

Fie f : (G / k) →U(Zn) astfel f( ) =, unde (a, n) = 1 și ( ) = a.

∈(G, k) și  rădăcină primă de ordinul n a unității ⇒ () este rădăcină prmitivă de ordin n a unității (Dragomir, 1981).

( )n =( n) =(1) = 1

( )m = 1⇒ ( m) = 1 =(1) ⇒ ( n) =(1) ⇒  n = 1⇒ n/m

f morfism de grupuri (Groza, 2005):

f(1, 2) = f(1)f(2)

1( ) = ⇒ f(1) =

2( ) = ⇒ f(2) =

12( ) = 1() = ⇒ f(1, 2) = = = f(1)f(2) ⇒ f este morfism.

Dacă f injectivă, atunci f() = ⇒ ( ) =  ⇒  = idK. Deci (G / k) ≈ inf ≤ U(Zn).

| U(Zn)| = ϕ(n), unde d ϕ(n) reprezintă indicatorul lui Euler.

| G(K/ k) | = d/ϕ(n).

Fie {1, 2,…, r}, cu r = ϕ(n), atunci {1, 2,…, r} reprezintă numărul rădăcinilor prime de ordin n ale unității (Trâmbițaș, 2005).

4.2. Corpul cuaternionilor

Considerând matricele complexe j = , k = se observă ca avem j4 = 1 (1 este aici matricea identică 1 =, j2 = k2, kj = j3k). Datorită relațiilor de mai sus, mulțimea Q = {1, j, j2, j3, k, jk, j2k, j3k} este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor. Înmulțirea matricelor, în general, este asociativă și are ca element neutru matricea identică 1 =. Examinând tabla de înmulțire a legii de compoziție induse de înmulțirea matricelor pe Q, se constată imediat că Q este grup în raport cu această lege de compoziție indusă. Grupul Q se numește grupul cuaternionilor (Groza, 2005).

Fie K un corp ce conține R și posedă elementele i, j și k. Corpul K este minimal cu aceste proprietăți (adică este un sistem de cuaternioni) dacă și numai dacă orice element x din K posedă o reprezentare (unică) în forma x = a + bi + cj + dk, unde a, b, c, d ∈ R .

Fie K un sistem de cuaternioni. Separăm în K următoarea submulțime: K ′ = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R} .Utilizând proprietățile operațiilor din K (asociativitatea și distributivitatea), se verifică ușor faptul că operațiile în K′ se efectuează conform următoarelor reguli (Hernstein, 1975):

(a1 + b1i + c1 j + d1k ) ± (a2 + b2i + c2 j + d2k ) =

= (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i + (c1 ± c2 ) j + (d1 ± d2 ) k,

și:

(a1 + b1i + c1 j + d1k )⋅ (a2 + b2i + c2 j + d2k ) =

= (a1a2 – b1b2 – c1c2 – d1d2 ) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 – d1c2 )i +

+ (a1c2 + c1a2 + d1b2 – b1d2 ) j + (a1d2 + d1a2 + b1c2 – c1b2 ) k.

Din aceste relații se vede că mulțimea K′ este închisă în raport cu adunarea și înmulțirea, definite în K. Mai mult, K′ ⊇ R (această incluziune o obținem luând b = c = d = 0 ) și K′ conține elementele i, j, k (de exemplu, i = 0 +1⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k ). Deoarece a1 + b1i + c1j + d1k = a2 + b2i + c2j + d2k ⇔ a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 , d1 = d2, orice element din K′ se exprimă în mod unic (Fărcaș, 2001).

Pentru a vedea că K′ este un subcorp în K să arătăm că K′ este închis în raport cu operația împărțirii. Considerăm ecuația: (a + bi + cj + dk)(x + yi + uj + vk) = 1 = 1+ 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k unde a + bi + cj + dk ≠ 0 , adică a2 + b2 + c2 + d2 ≠ 0 . Efectuând înmulțirea conform regulii, obținem: (ax – by – cu – dv) + (ay + bx + cv – du)i +(au + cx + dy – bv) j + (av + dx + bu – cy)k = 1. Egalând coeficienții respectivi, avem următorul sistem de ecuații și matricea lui (Mirică și Drăghicescu, 2002):

ax – by – cu – dv = 1, a -b -c -d 1

bx + ay – du + cv = 0, b a -d c 0

cx + dy + au – bv = 0, c d a -b 0

dx – cy + bu + av = 0. d -c b a 0

Determinantul sistemului este (a2 + b2 + c2 + d2)2 ≠ 0 , deci acest sistem are o singură soluție.

Din cele demonstrate mai sus rezultă că orice element nenul din K′ posedă element invers, adică în K′ are loc operația împărțirii (la elemente nenule), prin urmare K′ este un corp. Acum din minimalitatea lui K rezultă că K ′ = K , adică orice element din K posedă reprezentare (unică) în formă (Trâmbițaș, 2005).

Fie K ⊇ R și K conține elementele i, j, k , care se înmulțesc conform egalităților. Atunci orice subcorp K1 ⊆ K , ce conține R și elementele i, j, k , este obligat să conțină și toate elementele de forma a + bi + cj + dk, unde a, b, c, d ∈ R, prin urmare K1 = K. Deci corpul K este minimal cu proprietățile arătate.

Lema demonstrată ne permite să arătăm unicitatea sistemului de cuaternioni, abstracție făcând de izomorfism (Groza, 2005).

Orice două sisteme de cuaternioni sunt corpuri izomorfe (Năstăsescu, 1976).

Lema arată că orice element din H′ și H′′ se exprimă în mod unic prin unitățile respective, de aceea este clar că corespondența: a + bi '+ cj '+ dk ' → a + bi ''+ cj ''+ dk ‘' din H′ în H′′ definește un izomorfism de corpuri.

Trecem la demonstrarea existenței sistemului de cuaternioni, arătând două interpretări ale lui.

Fie H = {(a, b, c, d ) | a, b, c, d ∈ R} mulțimea tuturor cuadruplelor (cuartetelor) ordonate de numere reale.

H (+, ⋅ ) este un sistem de cuaternioni. Proprietățile operațiilor în H se verifică în mod direct. Elementul neutru pentru adunare este (0, 0, 0, 0), iar elementul opus lui (a, b, c, d) este (-a, -b, -c, -d). Unitatea în H are forma (1, 0, 0, 0). Prin urmare, H este un corp. Incluziunea R → H se obține prin aplicația: a → (a, 0, 0, 0). Rolul unităților imaginare îl joacă elementele din H : i = (0,1, 0, 0), j = (0, 0,1, 0), k = (0, 0, 0,1).

Din regula înmulțirii elementelor din H, se deduce faptul că elementele 1, i, j, k din H se înmulțesc și comută cu numerele reale. Mai mult, identificând elementul a ∈ R cu (a, 0, 0, 0) ∈ H , avem (a, 0, 0, 0) ⋅ (0,1, 0, 0) = ai, și orice element din H are o descompunere unică în forma: (a, b, c, d ) = (a, 0, 0, 0) + (0, b, 0, 0) + (0, 0, c, 0) + (0, 0, 0, d ) = a + bi + cj + dk.

Din existența acestei reprezentări, rezultă minimalitatea lui H, prin urmare H este un sistem de cuaternioni.

Această formă de reprezentare a cuaternionilor (și însăși sistemul de cuaternioni) a fost creată de celebrul matematician irlandez W. Hamilton în anul 1843 (Kurosh, 1972).

Ca și în cazul numerelor complexe, pentru cuaternioni mai avem o interpretare interesantă, bazată pe matrice cu elemente din câmpul C. Operațiile de adunare și înmulțire în H1 se efectuează conform regulilor obișnuite de adunare și înmulțire a matricelor. Mai întâi se verifică faptul că mulțimea de matrice H1 este închisă în raport cu operațiile (+) și ( ⋅ ). Mai mult, pentru orice matrice din H există matricea opusă, care la fel este din H, deci H (+,⋅) este un inel. Mai mult, acest inel este necomutativ.

Orice matrice nenulă din H are determinantul nenul: dacă α = a + bi și β = c + di, atunci numărul este egal cu zero, dacă și numai dacă a = b = c = d = 0. Prin urmare, orice matrice nenulă din H, posedă matrice inversă, dar aceasta înseamnă că H este un corp.

Este interesant de observat – câmpul numerelor complexe C poate fi inclus în H în trei moduri (Trâmbițaș, 2005):

C ≅ {a + bi | a, b ∈ R},

C ≅ {a + cj | a, c ∈ R},

C ≅ {a + dk | a, d ∈ R}.

Teoria cuaternionilor este bine dezvoltată și ea are o serie de aplicări interesante în multe domenii ale matematicii (teoria numerelor, calculul vectorial, etc.).

CAPITOLUL AL V-LEA

APLICAȚII REZOLVATE

1). Să se arate că dacă într-un grup finit mai mult de jumătate din elementele grupului comută cu toate elementele din grup , atunci grupul este abelian.

Soluție: Fie grupul cu proprietatea din enunț și să considerăm mulțimea elementelor care comută cu orice element din grup , H=.Se arata ușor că este subgrup abelian al grupului , numit centrul grupuluiG.

Conform ipotezei, avem, , adică . Dar conform teoremei lui Lagrange ordinul unui subgrup divide ordinul grupului , deci există n∈N* astfel încât .Obținem , adică n<2 , deci neapărat n=1. Atunci , adică H=G, deci G este abelian.

2). Fie un grup comutativ finit cu elementul neutru și fie .Dacă , pentru mai mult de jumătate din elementele grupului , atunci ,

Soluție: Fie se constată ușor că H este subgrup al lui G.

Într-adevăr, dacă și cum G este abelian, putem scrie

Fie n ordinul grupului G și k ordinul subgrupului H. Din ipoteză avem (1)

Conform teoremei lui Lagrange, k divide n, adică există p natural cu Nu putem avea deoarece ar rezulta , ceea ce contrazie (1).

Așadar , ceea ce încheie demonstrația.

3). Fie un grup cu cel puțin trei elemente și elementul neutru.

Spunem că are proprietatea dacă există z (care depinde de x și y) astfel încât

Arătați ca într-un grup cu proprietatea , astfel încât

Arătați ca grupul are proprietatea ;

Să se arate ca grupurile și nu sunt izomorfe.

Soluție: a) Fie .Dacă x = e, luăm u = e și egalitatea este verificată. Fie acum , .Deoarece G are cel puțin trei elemente, putem alege un element .

Putem scrie , unde ambele elemente a și aparțin lui . Conform ipotezei, există un element astfel încât , adică .

b). Dacă , luăm și avem deci grupul are proprietatea .

c). Grupul nu are proprietatea , căci dacă luăm de exemplu ,atunci pentru orice avem ,deoarece în timp ce ;

Deoarece grupul are proprietatea , iar grupul nu are această proprietate , deducem că cele două grupuri nu sunt izomorfe.

4). Fie un număr natural. Să se arate ca n este număr prim dacă și numai dacă orice grup cu n elemente are exact două subgrupuri.

Soluție: Dacă n este număr prim, considerând un grup arbitrar G cu n elemente, orice subgrup al acestuia va avea ca ordin un divizor al lui n (Lagrange), adică 1 sau n. Rezultă că G are numai două subgrupuri șu anume și G (subgrupurile sale improprii).

Reciproc, să admitem că orice grup cu n elemente are numai două subgrupuri și să arătăm ca n este prim. Presupunem prin absurd ca n nu este prim și fie atunci p un divizor prim al lui n, p<n. Să considerăm grupul aditiv cu n elemente . Subgrupul ciclic generat de clasa , are p elemente și cum 1<p<n, urmează că H este un subgrup propriu al grupului . Așadar am găsit grupul cu n elemente , care are cel puțin trei subgrupuri și anume și . Aceasta contrazice ipoteza că orice grup cu n elemente are numai două b#%l!^+a?subgrupuri. Așadar presupunerea făcută este falsă , deci n este număr prim.

5). Să se arate ca grupurile aditive și nu sunt izomorfe.

Soluție: Să presupunem prin absurd că există un izomorfism de grupuri ϕ : . Fie un polinom nenul și să considerăm polinomul.

Polinomul va fi de asemenea nenul.

Alegem un număr și să considerăm polinomul

Rezultă și aplicând izomorfismul ϕ obținem (1)

Ținând seama de alegerea lui k și de faptul că este nenul, din (1) rezultă că , ceea ce reprezintă o contradicție.

Un grup aditiv (G,+) se numește grup divizibil dacă:

.

Soluția de mai sus marchează în esență faptul că grupul este divizibil, în timp ce grupul nu este divizibil. Ca atare aceste grupuri nu pot fi izomorfe.

6). Să se determine morfismele de grup de la grupul (Q,+) la grupul simetric (.

Soluție: Fie un morfism de grupuri. Pentru x∈Q arbitrar, să notăm cu permutarea care este imaginea prin morfismul ϕ a numărului rațional , adică = ϕ(). Atunci putem scrie: , unde e este permutarea identică. Cum x a fost ales arbitrar în (Q,+), deducem că singurul morfism de grupuri de la (Q,+) la ( este cel banal, adică ϕ(x) = e.

Evident, problema se poate extinde pe aceeași idee: singurul morfism de la un grup (G,+) divizibil la un grup finit este morfismul banal.

7). Fie Q corpul numerelor raționale. Să se determine toate morfismele de grup de la grupul în grupul .

Soluție: Fie , un morfism de grupuri. Pentru oriceputem scrie: , deci f ia valori strict pozitive.

Se arată relativ ușor că , pentru orice .Vom arăta că f(1) = 1. Să presupunem prin absurd că prime.

Fie p natural, .Atunci cel puțin unul din numerele a sau b nu este putere de ordin p a unui număr natural și deci fracția a/b nu este putere de ordin p a unui număr rațional. Luând de exemplu , avem care nu este număr rațional, contradicție. Deci f(1) = 1, . Prin urmare, singurul morfism de grupuri de la la este cel constant, care duce toate elementele lui în elementul neutru 1 din grupul.

8). Arătați că fiecare din următoarele mulțimi de funcții reale definite pe împreună cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este inel comulativ unitar: 1) mulțimea tuturor funcțiilor continue; 2) mulțimea tuturor funcțiilor pare; 3) mulțimea tuturor funcțiilor polinomiale; 4) mulțimea tuturor funcțiilor derivabile; 5) mulțimea tuturor funcțiilor mărginite.

Determinați în aceste inele elementele inversabile. În care din aceste inele există divizori ai lui zero? Precizați perechi de inele dintre care unul este subinel al celuilalt.

Soluție: Elementele inversabile se află în fiecare inel.

Divizori ai lui zero se află în inele: 1), 2), 4), 5).

De exemplucând f⋅g=0.

9). Să se arate că mulțime cu următoarele operații este inel comulativ unitar în fiecare din cazurile:

1)

(Se obține produsul direct de inele: al inelului cu el însuși).

2)

Determinați în aceste inele elementele inversibile. În inelele cu divizori ai lui zero găsiți acești divizori ai lui zero.

(Două elemente sunt egale dacă și numai dacă a = b și x = y).

Soluție: Elemente inversabile: 1) (1,1), (1,-1), (-1,1) (-1, -1); 2) -4) (1,0), (-1;0).

Divizori ai lui zero: 1) ; 2) .

10). Arătați că următoarele mulțimi împreună cu aplicațiile considerate în dreptul lor au structurile indicate:

1) este domeniu de integritate.

Determinați elementele inversabile și inversele lor.

Soluție: e = element neutru în raport cu prima lege și u = element neutru în raport cu a doua lege.

e= 3, u = 4; elemente inversabile x = 4, x = 2 când x1 = 4 și respective x1 = 2;

2) este domeniu de integritate.

Determinați elementele inversabile și inversele lor.

Soluție: e = -3, u= -2; elemente inversabile x = -2, x= -4 când x1 = -2 și respective x1 = -4;

3) este domeniu de integritate.

Determinați elementele inversabile și inversele lor.

Soluție: e = -2; u =-1; elemente inversabile x = -1, x = -3 când x1 = -1 și respectiv x1 = -3.

4) este domeniu de integritate.

Determinați elementele inversabile și inversele lor.

Soluție: e = 1, u = 3; x = 3 și x = -1 când x1 = 3 și respectiv x1 = -1;

5) este domeniu de integritate. Determinați elementele inversabile.

Soluție: ;

6)P (P(M),,⋅) este inel comutativ unitary cu divizori ai lui zero.

Soluție: , u = M; inelul are divizori ai lui zero deoarece din și rezultă;

7) A(A,+,⋅) este inel comutativ, unitar, în raport cu adunarea și înmuțirea obișnuită a matricilor.

Soluție: e = O2, u = I2;

8) M(Ma,+,⋅) este un inel în raport cu adunarea și înmulțirea matricilor;

Soluție: Din cu rezultă x= t și z=0; ;

9) A(A,+,⋅) este domeniu de integritate în raport cu adunarea și înmulțirea matricilor.

Soluție: ;

10) A(A,+,⋅) este inel comulativ unitar cu divizori ai lui zero

Soluție: ;

11) A(A,+,⋅) este inel necomutativ unitar.

Determinați elementele inversabile din inel.

Soluție: ; , ; A∈A, A’∈A astfel încât . Aplicând determinantul acstei egalități rezultă det(A)det(A1) = 1. Cum det(A) = a3 se deduce ;

12) A(A,+,⋅) este inel unitar, necomutativ în raport cu operațiile uzuale;

Soluție: e = O3, u = I3; ;

13) A(A,+,⋅) este inel comulativ, unitar, în raport cu operațiile uzuale.

Soluție: Se verifică ecuația ;

14) A(A,+,⋅) este inel comulativ, unitar cu divizori ai lui zero în raport cu adunarea și înmulțirea funcțiilor.

Soluție: e = 0 (funcție zero), u = 1 (funcția constantă 1); ;

15) Q x R; este inel comulativ unitar. Determinați elementele inversabile.

(Două elemente sunt egale dacă și numai dacă a = b și x = y).

Soluție: , când ;

11). Fie A un inel unitar și astfel încât . Demonstrați pentru orice că are loc egalitatea .

Soluție:

.

b#%l!^+a?

CONCLUZII

Lucrarea tratează aspectul necomutativ al structurilor algebrice prin prezentarea unor teoreme de structură a acestora. Inelele, de exemplu, sunt parte ca inele de matrici, peste anumite corpuri, lucru ce permite determinarae structurii acestora și vizualizarea descompunerii inelului în sumă de subinele sau ideale.

S-au prezentat câteva clase particulare de structuri algebrice cum ar fi: grupuri, permutări, endomorfisme,inele de matrici, din perspectiva izomorfismului acestora din urmă.

Teoremele cercetate sunt extrem de variate, care ne arată comutativitatea și necomutativitatea acestor structuri algebrice.

Lucrarea este clară, corect scrisă, conceptele sunt bine definite și dificulatea materialului prezentat este ridicată.

Originalitatea lucrării constă în maniera de prezentare a conceptelor prin alegerea inspirată a exemplelor și a aplicațiilor acestora.

BIBLIOGRAFIE

Albu, Toma, Ion D. Ion, Capitole de teoria algebrică a numerelor, Ed. Academiei, București, 1984.

Albu, Toma, Ion D. Ion, Itinerar elementar în algebra superioară, Ed. All, București, 1997.

Andrica, D., D. Duca, I. Purdea, I. Pop, Matematica de bază. Ed. Studium, Cluj-Napoca, 2002.

Bakhvalov, N. S., Methodes numériques, Edition Mir, Moscou, 1976.

Becheanu, M., C. Niță, M. Ștefănescu, A. Dincă, I. Pudrea, I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu, Algebră, Ed. All Educational, București, 1998.

Breaz, S., T. Coconet, C. Contiu, Lecții de algebră, Ed. Eikon, Cluj-Napoca, 2010.

Bucur, C. M., Metode numerice, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1986.

Bucur, G., C. Popeea, G. Simion, Calcul numeric, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Bușneag, D., Algebra, Ed. Universitaria, Craiova, 1999.

Bușneag, D., Teoria grupurilor, Ed. Universitaria, Craiova, 1994.

Cerchez, Mihu, Metode numerice în algebra liniară, Ed. Tehnică, București, 1977.

Coman, Gheorghe, Analiza numerică, Ed. Libris, Cluj, 1995.

Comincioli, V., Analisi numerica. Metodi, modelli, applicazioni, Mc.Grow-Hill Book Co. Milano, 1998.

Dodescu, Gh., Metode numerice în algebră, Ed. Tehnică, București, 1979.

Dodescu, Gh., M. Toma, Metode de calcul numeric, Ed. Tehnică, București, 1981.

Dragomir, P., Structuri algebrice, Ed. Facla, Timișoara, 1975.

Dragomir, P., A. Dragomir, Structuri algebrice, Ed. Falca, Timișoara, 1981.

Ebâncă, D., Metode numerice, Ed. Sitech, Craiova, 1994.

Fărcaș, Gheorghe, Algebră, Ed. Universității Petru Maior, Târgu Mureș, 2001.

Flaut, C., Lecții de algebră liniară, Ovidius University Press, Constanța, 2000.

Groza G., Analiza numerică, Ed. MatrixRom, București, 2005.

Haimovici, C., I. Creangă, Algebra, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1984.

Hernstein, I. N., Topics in Algebra, John Wiley and Sons, New-York, 1975.

Ilioi, C., Analiză numerică, curs universitar, vol. 1, Ed. Universității Al. I. Cuza, Iași, 1990.

Ion, D. Ion, C. Niță, C. Năstăsescu, Complemente de algebră, Ed. Ștințifică și Enciclopedică, București, 1984.

Ion, D. Ion, C. Niță, D. Popescu, N. Radu, Probleme de algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981.

Ion, D. Ion, N. Radu, Algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1991.

Ionescu, V., Curs de algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1975.

Kurosh, A. G., Course of Higher Algebra, 1972.

Larionescu, Dan, Metode numerice, Ed. Tehnică, București, 1989.

Mirică S., I. Drăghicescu, Aplicații de algebră și geometrie analitică, Ed. Aramis, București, 2002.

Năstăsescu, C., Inele, module, categorii, Ed. Academiei, București, 1976.

Năstăsescu C., C. Niță, C. Vraciu, Aritmetică și algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1993.

Năstăsescu, C., C. Niță, C. Vraciu, Bazele algebrei, vol. 1, Ed. Academiei, București, 1986.

Nicholson, W., K., Linear Algebra and with Applications, PWS Publishing Company, Boston, 1995.

Niță, C., M. Becheanu, M. Ștefănescu, A. Dincă, Algebra, Ed. All, București, 1998.

Niță, C., T. Spircu, Probleme de structure algebrice, Ed. Tehnică, București, 1974.

Pelea, C., I. Purdea, Probleme de algebră, Ed. Eikon, Cluj-Napoca, 2008.

Pic, Gheorghe, Tratat de algebră modernă, vol. 1, Ed. Academiei Române, București, 1977.

Popovici, C. P., Teoria numerelor, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Postolache, Mihai, Metode numerice, Ed. Sirius, București, 1994.

Purdea, I., I. Pop, Algebra, Ed. Gill, Zalău 2003.

Radu, Gh., V. Tamas, Elemente de algebra, Univ. Al. I. Cuza din Iași, 1998.

Rădescu, Eugenia, Algebră liniară, Ed. Universitaria, Craiova, 1997.

Răduică, Mihaela, Curs de algebră liniară, Brașov, 1992.

Rice, J. Numerical Methods – Software and Analysis, Mc.Grow-Hill Book Co. New York, 1982.

Serge, Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer, Verlag, 1993.

Smirnov, V. I., Course of Higher Mathematics, 1933.

Spircu, T., Structri algebrice prin probleme, Ed. Științifică, București, 1991.

Toma, M. I. Odăgescu, Metode numerice și subrutine, Ed. Tehnică, București, 1980.

Trâmbițaș, R. Analiză numerică, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 2005.

Velicu, G., „The number 26, between 25 and 27. Resolution of the Diophantine equation using the factorial ring ”, Journal of Science and Arts, 2(9), 2008, pp. 224-227.

BIBLIOGRAFIE

Albu, Toma, Ion D. Ion, Capitole de teoria algebrică a numerelor, Ed. Academiei, București, 1984.

Albu, Toma, Ion D. Ion, Itinerar elementar în algebra superioară, Ed. All, București, 1997.

Andrica, D., D. Duca, I. Purdea, I. Pop, Matematica de bază. Ed. Studium, Cluj-Napoca, 2002.

Bakhvalov, N. S., Methodes numériques, Edition Mir, Moscou, 1976.

Becheanu, M., C. Niță, M. Ștefănescu, A. Dincă, I. Pudrea, I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu, Algebră, Ed. All Educational, București, 1998.

Breaz, S., T. Coconet, C. Contiu, Lecții de algebră, Ed. Eikon, Cluj-Napoca, 2010.

Bucur, C. M., Metode numerice, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1986.

Bucur, G., C. Popeea, G. Simion, Calcul numeric, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Bușneag, D., Algebra, Ed. Universitaria, Craiova, 1999.

Bușneag, D., Teoria grupurilor, Ed. Universitaria, Craiova, 1994.

Cerchez, Mihu, Metode numerice în algebra liniară, Ed. Tehnică, București, 1977.

Coman, Gheorghe, Analiza numerică, Ed. Libris, Cluj, 1995.

Comincioli, V., Analisi numerica. Metodi, modelli, applicazioni, Mc.Grow-Hill Book Co. Milano, 1998.

Dodescu, Gh., Metode numerice în algebră, Ed. Tehnică, București, 1979.

Dodescu, Gh., M. Toma, Metode de calcul numeric, Ed. Tehnică, București, 1981.

Dragomir, P., Structuri algebrice, Ed. Facla, Timișoara, 1975.

Dragomir, P., A. Dragomir, Structuri algebrice, Ed. Falca, Timișoara, 1981.

Ebâncă, D., Metode numerice, Ed. Sitech, Craiova, 1994.

Fărcaș, Gheorghe, Algebră, Ed. Universității Petru Maior, Târgu Mureș, 2001.

Flaut, C., Lecții de algebră liniară, Ovidius University Press, Constanța, 2000.

Groza G., Analiza numerică, Ed. MatrixRom, București, 2005.

Haimovici, C., I. Creangă, Algebra, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1984.

Hernstein, I. N., Topics in Algebra, John Wiley and Sons, New-York, 1975.

Ilioi, C., Analiză numerică, curs universitar, vol. 1, Ed. Universității Al. I. Cuza, Iași, 1990.

Ion, D. Ion, C. Niță, C. Năstăsescu, Complemente de algebră, Ed. Ștințifică și Enciclopedică, București, 1984.

Ion, D. Ion, C. Niță, D. Popescu, N. Radu, Probleme de algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981.

Ion, D. Ion, N. Radu, Algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1991.

Ionescu, V., Curs de algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1975.

Kurosh, A. G., Course of Higher Algebra, 1972.

Larionescu, Dan, Metode numerice, Ed. Tehnică, București, 1989.

Mirică S., I. Drăghicescu, Aplicații de algebră și geometrie analitică, Ed. Aramis, București, 2002.

Năstăsescu, C., Inele, module, categorii, Ed. Academiei, București, 1976.

Năstăsescu C., C. Niță, C. Vraciu, Aritmetică și algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1993.

Năstăsescu, C., C. Niță, C. Vraciu, Bazele algebrei, vol. 1, Ed. Academiei, București, 1986.

Nicholson, W., K., Linear Algebra and with Applications, PWS Publishing Company, Boston, 1995.

Niță, C., M. Becheanu, M. Ștefănescu, A. Dincă, Algebra, Ed. All, București, 1998.

Niță, C., T. Spircu, Probleme de structure algebrice, Ed. Tehnică, București, 1974.

Pelea, C., I. Purdea, Probleme de algebră, Ed. Eikon, Cluj-Napoca, 2008.

Pic, Gheorghe, Tratat de algebră modernă, vol. 1, Ed. Academiei Române, București, 1977.

Popovici, C. P., Teoria numerelor, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Postolache, Mihai, Metode numerice, Ed. Sirius, București, 1994.

Purdea, I., I. Pop, Algebra, Ed. Gill, Zalău 2003.

Radu, Gh., V. Tamas, Elemente de algebra, Univ. Al. I. Cuza din Iași, 1998.

Rădescu, Eugenia, Algebră liniară, Ed. Universitaria, Craiova, 1997.

Răduică, Mihaela, Curs de algebră liniară, Brașov, 1992.

Rice, J. Numerical Methods – Software and Analysis, Mc.Grow-Hill Book Co. New York, 1982.

Serge, Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer, Verlag, 1993.

Smirnov, V. I., Course of Higher Mathematics, 1933.

Spircu, T., Structri algebrice prin probleme, Ed. Științifică, București, 1991.

Toma, M. I. Odăgescu, Metode numerice și subrutine, Ed. Tehnică, București, 1980.

Trâmbițaș, R. Analiză numerică, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 2005.

Velicu, G., „The number 26, between 25 and 27. Resolution of the Diophantine equation using the factorial ring ”, Journal of Science and Arts, 2(9), 2008, pp. 224-227.