Structura Algebrica de Inel

Capitolul I.

STRUCTURA ALGEBRICĂ DE INEL.

EXEMPLUL INELULUI POLINOAMELOR ÎNTR-O NEDETERMINATĂ.

DEFINIȚIE ;

Se consideră o mulțime conținând cel puțin două elemente în care se dă o lege de compoziție internă notate multiplicative, în raport cu care există în un element neutru ex și care satisface următoarele axiome :

dacă și oricare ar fi și

Dacă se vede că atunci

Într-adevăr, prin inducție completă iar dacă atunci

Se consideră mulțimea un corp comutativ și fie cuplul format cu elementele și deci Acestui cuplu i se atașează un element nou, unic nedeterminat, notat cu (aceasta fiind o notație, nu o operație între și ). Un astfel de element se va numi monom, iar componentele lui le vom numi astfel :

a = coeficient ;

x = nedeterminată ;

n = gradul monomului.

Se consideră că două astfel de monoame sunt asemenea dacă au același grad este domeniul de operatori al monoamelor și se adminte ca axiomă că, oricare ar fi atunci De asemenea

Definiția 1 ;

O expresie de forma :

se numește polinom de nedeterminată peste corpul A.

Mulțimea de coeficienți care este un șir finit de elemente din A , este luată la întâmplare din această mulțime; în particular, unii din termenii acestui șir pot fi nuli. Se va numi gradul unui polinom exponentul acelui monom cu coeficient nenul din scrierea polinomului, care are gradul cel mai mare. Coeficientul acestuia îl denumim coeficient dominant.

Mulțimea tuturor polinoamelor de nedetarminată x peste corpul A se va nota . Prin urmare, un element din este un polinom de nedeterminată x și ceea ce îl definește este șirul coeficienților care sunt elemente din A. În acest fel un polinom din se poate scrie fie sub forma ;

sau sub forma ;

Observăm importanța faptului că trebuie reținut că atunci când este vorba despre un polinom, trebuie cunoscută și mulțimea din care acesta face parte.

EGALITATEA POLINOAMELOR

Definiția 2 ;

Se consideră două polinoame și din ;

și

Polinioamele și sunt egale cu o condiție: coeficienții corespunzători monoamelor asemenea să fie egali. De aici concluzionăm că două polinoame egale nu pot să difere decât prin monoame care au coeficienți nuli. De asemenea, observăm că :

– două polinoame egale au în mod necesar același grad ;

– relația de egalitate a polinoamelor definite astfel este o relație de echivalență.

OPERAȚII CU POLINOAME :

Definiția 3 ;

Considerând numim sumă a polinoamelor și polinomul pe care îl notăm definit prin:

Propoziția 1 ; Suma de polinoame definește în mulțimea o structură de grup comutativ.

Demonstrație :

Deoarece A este un corp comutativ observăm că iar adunarea polinoamelor este o operație asociativă și comutativă ;

Considerând polinomul care are toți coeficienții nuli, observăm că oricare ar fi se va ajunge la , deci polinomul pe care îl numim polinom nul este elementul neutru al mulțimii față de adunarea polinoamelor ;

Dacă se va nota polinomul definit vom observă că:

și, de asemenea. , adică polinomul are un opus în iar acesta este care îl vom scrie sub forma :

Definiția 4 ; Se numește produs al polinoamelor și polinomul notat definit prin: unde :

Propoziția 2 ; Produsul de polinoame este o operație internă în asociativă, comutativă și distributivă față de adunare.

Demonstrație :

Din definiție observăm că oricare ar fi , atunci iar gradul polinomului produs este egal cu suma gradelor polinoamelor care se înmulțesc.

Produsul este comutativ deoarece:

Produsul este asociativ deoarece, considerând trei polinoame oarecare :

atunci, polinomul are coeficientul termenului general egal cu:

iar polinomul are coeficientul termenului general egal cu:

și este adevărată egalitate :

Produsul de polinoame este distributiv față de sumă deoarece, considerând polinoamele oarecare polinomul are coeficientul termenului general egal cu ;

unde și presupunând atunci

(se consideră )

Dar

Este tocmai coeficientul general al sumei de polinoame

Coborând propozițile 1 și 2 deja demonstrate, se poate exprima faptul că este mulțimea cele două operații (adunarea și înmulțirea) definesc o structură de inel comutativ și unitar.

Observații ;

Mulțimea A a fost considerată corp comutativ lucru care a influențat decisiv modul cum este structurată mulțimea de către operațiile de adunare și înmulțire definite în ea. Se poate însă ca, în loc să fie un corp, mulțimea să aibă altă structură și atunci se pot obține familii de polinoame care să nu fie inele. De exemplu, dacă luăm A = N, se obține mulținum a polinoamelor de o nedeterrninată cu coeficienți naturali care este structurată ca un monoid comutativ atât cu adunarea cât și cu înmulțirea polinoamelor. Dacă se ia A = Z, Q, R, C se obțin familiile de polinoame de o nedeterminată : inelul polinoamelor întregi (cu coeficienți raționali, reali sau complex).

În cazul în care mulțimea coincide cu corpul literele care apar în scrierea unui polinom sunt legate prin operații (cele din A). Astfel, dacă în polinomul: se înlocuiește x printr-un element atunci avem: . Acest element se va numi valoarea numerică a polinomului

S-a putut observa că, dacă atunci .

Considerând acum și de unde grad egalitate, evident, absurdă în muItimea a numerelor natura1e. Din această cauză se va spune că polinomul nul are grad nedetenninat.

TEOREMA ÎMPĂRȚIRII CU REST :

Dându-se în inelul polinoamele D și Î dintre care cel puțin unul este nenul – fie acesta Î – atunci există două polinoarne C și R în astfel că :

Polinoamele și sunt unic determinate (se face abstracție de un factor constant nenul). Se va numi polinomul câtul iar restul împărțirii polinoamelor D și Î.

Observații ;

Dacă două polinoame se înmulțesc cu un al treilea (care este nenul), atunci câtul lor nu se schimbă, iar restul este înmulțit și el cu cel de-al treilea polinom ;

Dacă i(x)=x-a unde avem și cum rezultă că Luând acum și înlocuind obținem , ceea ce arată că restul unui polinom prin se poate obține înlocuind cu în expresia polinomului, adică este egal cu valoarea polinomului în

Dacă restul este cgal cu 0, atunci , deci polinomul D este divizibil prin polinomuI Î.

1.4. APLICAȚII

A) Să de calculeze :

Suma pătratelor numerelor și

Diferența pătratelor și

Rezolvare :

B) Să se efectueze:

a)

b)

Rezolvare :

a)

b)

C) Să se determine valoarea expresiei pentru

Rezolvare :

Se înlocuiește variabila x cu numărul real se va obține rezultatul adică 24 .

D) Dacă să se calculeze

Rezolvare:

Se ridică la pătrat și se obține

În același mod ridicând la pătrat se obține

E) Să se detennine parametrii reali astfel încăt polinomul să fie egal cu polinomul

Rezolvare :

Se aduce polinomul g la forma

Așadar

Mai departe

F) Calculați în cazurile:

a)

b)

c)

Rezolvare :

Pentru iar pentru a calcula se aplică distributivitatea înmulțirii în raport cu operația de adunare.

Astfel

G) Determinați astfel încât polinomul să fie pătratul altui polinom.

Rezolvare :

Cum iar coeficientul dominant al lui este 1, atunci va trebui să se găsească polinomul cu proprietatea că Ridicând pe g la pătrat și ordonând cele două polinoame se obțină identificării, valorile

H) Se consideră polinomul Să se discute gradul polinomului după valorile parametrului real .

Rezolvare :

Coeficientul lui este . Dacăadică

atunci Mai precis, dacă , atunci deci, iar dacă , atunci , caz în care

H) Să se determine polinoamele

Rezolvare :

Pentru relația devine De aici , adică este al polinomului. Se folosește în aceeași relație și rezultă De aici este al polinomului în relația dată se va pune și se obține După același raționament, pentru relația devine , deci se verifică.

Prin urmare Înlocuind în relația din problemă, rezultă , oricare ar fi . În particular Astfel, de grad se anulează în valori distinct. Deci , adică deci

Să se determine polinoamele pentru care

Rezolvare :

Relația din enunț se poate scrie sub forma : sau , oricare ar fi

Dacă se notează , reIația devine , oricare ar fi . (2)

Se va demonstra că . Dacă polinornul admite o rădăcină . Folosind relația (2) se deduce că sunt rădăcini distincte ale polinomului , ceea ce este o contradicție, deoarece un polinom are un număr finit de rădăcini. De aici rezultă aici , oricare ar fi , de unde .

Capitolul II.

2.1 DIVIZIBILITATEA ÎN INEL DE POLINOAME ȘI CALCULUL EXPRESIILOR ALGEBRICE

2.1 Noțiuni teoretice

Definiția 1:

Dându-se polinoamele și din inelul se numește cel mai mare divizor comun al lor (c.m.m.d.c.) un polinom care are următoarele proprietăți :

– ( divide atât polinomul cât și polinomul ;

– orice divizor comun al polinoamelor și divide polinomul

Cel mai mare divizor comun al polinoamelor și se notează , iar existența lui este dovedită prin următoarea teoremă :

Teorema 1:

Dacă și sunt două polinoame din atunci există un polinom în care este cel mai mare divizor comun al lor, precum și două polinoarne și tot din astfel încât : , (dernonstrația acestei teoreme se bazează pe un raționament analog celui de la teorema împărțirii cu rest)

Definiția 2 :

Două polinoame al căror c.m.m.d.c. este de gradul zero se zic prime între ele.

Exemple :

Polinoamele și Q(x)–x2+x-2 au și prin urmare sunt prime între ele ;

Polinoamele și au deci nu sunt prime între ele ;

Observație :

Convențional se notează dacă polinoamele și sunt prime între eIe în cazul când este un corp numeric avem . Atunci din teorema de mai sus rezultă o condiție neeesară și suficientă ca două polinoame și să fie prime între ele și anume să existe în două polinoame și astfel încât să fie valabilă egatitatea :

Acest rezultat constituie teorema lui Bezout :

Consecințe :

Dacă sunt polinoame din astfel încât polinomul și este prim cu unul din factori, atunci el divide celălalt factor.

Într-adevăr, dacă polinomul este prim cu , conform teoremei lui Bezout, există în polinoamelc și astfel că și înmulțind această relație în ambii membri cu avem Dar în membrul drept al egalității apare o sumă de doi termeni divizibili fiecare prin . Atunci suma însăși este divizibilă prin și prin urmare divide

Dacă un polinom din este ireductibil și divide produsul altor două polinoame și din , atunci el divide cel puțin pe unul din factori. Într-adevăr, polinomul fiind ireductibil atunci avem una din alternativele : divide pe sau este prim cu și atunci, conforrn consecinței 1, va divide polinomul .

Teorema fundamentală de descompunere a unui polinom în factori ireductibili :

Dacă este un polinom din atunci el se poate descompune în mod unic într-un produs de factori ireductibili (abstracție făcând, eventual, de factori constanți).

Demonstrație :

Presupunern prin absurd că polinomul ar admite două descompuneri în produsele , (dacă înseamnă că însuși este ireductibil și teorema este demonstrată), presupunem .

Așadar, avem ;

sunt polinoame ireductibile din . Conform consecinței 2, polinomul va divide unul din factorii produsului , , fie acesta Dar este ireductibil, așa că vom avea Raționând analog pentru factorii rezultă că avem și prin urmare egalitatea admisă inițial ne dă de unde rezultă că produsul de polinoame are gradul zero adică el se reduce la o constantă, ceea ce impune rezultatul .

Atunci avem ceea ce ne arată că cele două descompuneri ale polinomului conțin (abstracție făcând de factorii constanți) aceiași factori ireductibili.

APLICAȚII:

Să se descompună în factori :

Rezolvare :

Fiecare din exercițiile propuse corespund celor trei metode de desompunere în factori utilizate în gimnaziu :

– metoda factorului comun :

– metoda formulelor de calcul prescurtat

– metoda disocierii termenilor (constă în desfacerea unui termen sau a mai multora în sume algebrice de termeni asemenea, astfel încât, grupîndu-i astfel fiecare grupare să aibă un factor comun).

a)

b)

c)

Să se determine cel mai mare divizor comun al polinoamelori :

și

Rezolvare :

Se aplică algoritmul lui Euclid și se obține cmmdc

Să se arate că nu există polinoame de gradul întăi astfel încăt să se dividă cu

Rezolvare :

Fie Restul împărțirii lui Dacă s-ar divide prin atunci ; ecuația în care

nu are rădăcini reale .

Fie polinomul Știind că împărțind pe rând se obțin respectiv resturile și că este divizibili prin să se determine coeficienții

Rezolvare :

Se știe că Polinomul este divizibil prin

Acesta reprezintă trei ecuații pentru cele trei necunoscute.

Astfel :

Așa dar avem

Se dă polinurnul Să se determine restul împărțirii lui prin

Rezolvare :

Se va scrie teorema împărțirii cu rest pentru polinoamele

Deci este cel mult 2. Fie

Pentru a determina acest rest trebuie să se determine coeficienții . Din egalitatea , oricare ar fi rezultă prin particularizare următoarele ecuații în :

– Dacă se obține ;

– Dacă se obține ;

– Dacă se obține

Din ultimele două ecuații se obțin valorile Așadar restul căutat

Fie un polinom cu proprietatea oricare ar fi. să se afle restul împărțirii polinomului prin

Rezolvare :

Deoarece se împarte la un polinom de gradul doi restul va fi un polinom de grad cel mult unu, Are loc egalitatea Se dorește să se calculeze valorile acestor polinoame egale în caz în care se obține Așadar se vor determina dacă se cunosc valorile Aceste valori se pot determina din relația dată în enunțul problemei pentru când se obține

și respective

Astfel sistemul de mai sus este cu soluția și

Deci

Determinați parametrii reali astfel încât polinomul să fie divizibil cu polinomul

Rezolvare :

Metoda 1 – Se observă că împărțitorul se poate srie ca un produs de factori de .

Polinomul se divide prin polinomul dacă și numai dacă este divizibil cu este divizibil cu

Astfel, Se obține sistemul de ecuații:

cu soluția

Metoda 2 (metoda coeficienților nedeterminați)

Când trebuie să fie un polinom de gradul 1 de forma

Se obține egalitatea de polinoame

Din această egalitate rezultă sistemul: cu soluția

Metoda 3 (prin împărțire directă)

Se efectuează împărțirea și se obține câtul Condiția de divizibilitate a lui prin este ca restul să fie polinom nul.

Deci conduce la sistemul

Metoda 4 (schema lui Horner)

Cum se divide prin rezultă că valorile și -1 sunt rădăcini ale polinomului Se aplică de două ori schema lui Horner.

Prima dată pentru pentru polinomul și apoi pentru câtul obținut (din prima aplicare a schemei lui Horner) pentru

Din și

8. Să arate că

Rezolvare :

Se observă că

Pentru deci polinomul se divide cu . Pentru a arăta că se divide și cu se observă că în cazul în care Prin urmare se divide prin , deci prin

Să se afle rădăcinile polinomului

Rezolvare :

Se dă , de unde rezultă că

cu rădacinile

Capitolul III.

Inegalități în expresie algebrică.

3.1 Rezolvări adaptate persoanelor cu nevoi speciale

3.2. NOȚIUNI TEORETICE

O inegalitate este o relație care există între oricare două mărimi care nu sunt egale. Se notează de obicei cu semnul („ inegal "). Dacă se dau două numere reale atunci există notațiile:

Relația de inegalitate are următoarele proprietăți :

TRIHOTOMIE

Între două numere reale există numai una din relațiile :

ANTISIMETRIE

TRANZITIVITATE

Fie numere reale astfel încât :

Există, în matematică, câteva inegalități celebre dintre care se amintesc :

INEGALITATEA CAUCHY-SCHWARZ se întâlnește în algebra liniară, când se poate aplica vectorilor, în analiză, când se poate aplica seriilor infinite sau integrării produselor și în teoria probabilităților, când se poate aplica varianțelor și covarianțelor.

Enunțul acestei inegalități spune că pentru toti vectorii ai unui spațiu cu produs real sau complex, , unde este produsul scalar. Dacă se extrage rădăcină pătrată din ambele părți și se tratează produsul scalar al unui vector cu el însuși ca normă, inegalitatea poate fi scrisă ca . Egalitatea are loc dacă și numai dacă sunt liniari independenți, sau dacă unul dintre vectori este egal cu .

Dacă al, sunt componentele lui respectiv în raport cu o bază ortinormată a lui inegalitatea poate fi scrisă astfel :

Egalitatea intervine dacă și numai dacă fie , fie există un scalar astfel încât :

În spațiul euclidian cu produsul scalar standard, inegalitatea Cauchy – Schwarz

Se scrie :

.

INEGALITATEA TRIUNGHIULUI pentru produsul scalar este deseori privită ca o consecință a inegalității lui Cauchy – Schwartz. Ea exprimă sub o formă matematică idea că drumul drept este drumul cel mai scurt dintre două puncte.

Enunțată, inegalitatea spune că într-un triunghi , suma laturilor este întotdeauna mai mare sau cel putin egală cu lungimea celei de-a treia laturi,

Egalitatea apare doar atunci când în triunghi laturile devin segmente parțiale ale laturii Se consideră triunghiul , în plan euclidian. Lungimile laturilor A verifică inegalitatea :

Această inegalitate este completată de două proprietăți :

INEGALITATEA LUI BERNOULLI

este una dintre inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Dacă

Inegalitatea mediilor se referă la mai multe formule :

MEDIA ARITMETICĂ a numerelor reale strict mai mari decât zero este :

Generalizând, media aritmetică a numerelor , unde , sunt numere mai mari decât zero, este :

MEDIA GEOMETRICĂ a numerelor este :

Ca generalizare, media geometrică a numerelor se scrie :

MEDIA ARMONICĂ a numerelor este :

În caz general, media armonică a numerelor

MEDIA PĂTRATICĂ a numerelor :

Generalizând, media pătratică a numerelor

Folosind aceste formule se poate spune că :

Egalitatea este obținută doar în cazul în care . Generalizând inegalitatea de mai sus se obține :

Aplicații :

Să se demonstreze următoarea inegalitate și să se precizeze în ce caz aceasta devine egalitate :

Rezolvare :

Se va demonstra această inegalitate folosind echivalențele :

ceea ce este evident oricare ar fi În ceea ce priveste egalitatea, aceasta este posibilă dacă și numai dacă

Fie două numere în astfel încât

Să se demonstreze că

Rezolvare :

Aducând la același numitor obținem

Rescriem

Avem

Adunând ultimele două relații membru cu membru plus 1, obținem inegalitatea cerută .

Demonstrați că dacă numere întregi, verifică

Rezolvare :

Ambii membrii ai inegalități sunt pozitivi, deci prin ridicare la pătrat se obține inegalitatea echivalentăDe aici Presupunând, prin absurd, că , rezultă . Cum sunt numere întregi, rezultă că . Dar atunci Contradicție

Concluzia este deci demonstrată.

Fie trei numere reale strict pozitive astfel că

Să se demonstreze că :

Rezolvare :

Să se scrie inegalitatea de demonstrat astfel :

Notăm

Inegalitatea devine

În concluzie

Arătați că dacă , atunci :

Rezolvare :

Scriem și analoagele

Adunând (1), (2), (3) obținem

Deci

Fie trei numere reale strict pozitive. Să se arate că :

Rezolvare :

Folosim metoda reducerii se poate scrie :

Se dau numere strict pozitive.

Să se arate că :

Rezolvare :

Se obțin inegalitățile

Egalitatea are loc dacă

Numerele reale

Să se calculeze media geometrică a numerelor

Rezolvare :

Se ridică la pătrat relația dată și se obține

Să se arate că dacă numerele naturale sunt pătrate perfecte diferite între ele, atunci

Rezolvare :

Din ecuația dată rezultă că Aceste fracții pot avea valori maxime atunci când numitorii sunt cei mai mici posibili, adică

Așadar

Fie media aritmetică respectiv media geometrică a numerelor

Rezolvare :

Dacă se notează

Se obține egalitatea

Această inegalitate devine

Capitolul IV.

ELEMENTE DE COMBINATORICĂ

4.1. ELEMENTE DE COMBINATORICĂ

Se consideră că produsul se citește Prin convenție

Proprietăți :

Fie o mulțime finită, nevidă, ce conține elemente

Definiție 1 :

Se numește permutare a mulțimii ordonată ce conține elementele lui astfel încât fiecărui element să i se fixeze un loc pe care îl ocupă în mulțimea respectivă.

Numărul de permutări ale lui se noteză ( ) și se calculează astfel

Definiție 2 :

Se numește aranjamemt de o submulțime ordonată a lui formată din .

Numărul acestor aranjamentc se notează (aranjamente de ) și se calculează

Definiție 3 :

Se numește combinare de o submulțime a lui formată din .

Numărul acestor submulțimi se notează (combinări de ) și se calculează ,

Proprietăți :

4.2. BINOMUL LUI NEWTON

Teoremă :

Pentru orice număr natural și orice numere reale există următoarea relație :

(cunoscută sub denumirea de binom al lui Newton).

Demonstrație :

Și cum

Conform principiului inducției matematice rezultă că

este adevărată pentru orice

Observații :

Coeficienții ; se numesc coeficieți binominali și sunt (ca număr). Trebuie făcută o distincție clară între coeficientul binomial al unui termen și coeficientul numeric al aceluiași termen.

Spre exemplu în dezvoltarea al doilea termen are coeficient binomial pe în timp ce coeficientul numeric este 8.

2. Coeficienții binomiali egali depărtați de termenii extreni sunt egali între ei :

3. Numerele .reprezintă coeficienți binomiali de rang par iar numerele sunt coeficienții binomiali de rang impar.

4. Termenul general al binomului este dat de formula :

Relația între terrnenii succesivi este :

6. Exponenții puterilor lui descresc de la iar exponenții puterilor lui cresc de la

7. Se poate aplica binomul lui Newton pentru diferența numerelor reale astfel :

8. Pentru se obține

4.3. APLICAȚII

Să se afle numerele reale pentru care :

Rezolvare :

Expresia se poate scrie

De unde rezultă .

Determinați natura triunghiului în care are loc relația :

Rezolvare :

Egalitatea se înmulțește cu 2, se trece totul într-un mernbru și se formează o sumă de pătrate perfecte : , de unde rezultă triunghiul este echilaterat .

Care este valoarea minimă a expresiei și pentru ce valoare a lui se obține?

Rezolvare :

Expresia se poate scrle ; cum un pătrat perfect este întotdeauna mai mare sau egal cu zero, valoarea minimă se obține când păratul este zero.

Deci când . Valoarea minimă este

În câte moduri pot fi aranjate persoane la o masă circulară ?

Rezolvare :

Dacă persoanele ar fi aranjate la o masă în linie dreaptă, atunci numărul de moduri de aranjare a acestora corespunde cu numărul de permutări a . Dacă persoanele sunt aranjate la o masă circulară atunci poziția lor față de această masă nu este esesțială. Presupunem că cele personae au fost puse pe scaune la masă. Acum dacă aceste persoane se rotesc în jurul mesei în sens trigonometric sau nu) astfel încăt fiecare să ocupe următorul scaun, atunci este clar că avem practic aceeași permutare (într-o astfel de permutare contează doar poziția unei persoane în raport cu cele vecine ei). Repetând procedeu1 de rotire în jund mesei, se constată că din fiecare permutare din cele se obțin încă identice (obținute prin rotire în jurul mesei). Deci numărul de permutări distincte al celor persoane la o masa circulară este .

În câte moduri se pot așeza opt ture pe o tablă de șah astfel încăt nici un turn să nu poată fi luată de altă tură ? ( O tură poate fi luată de altă tură dacă cele două ture sunt situate pe aceeași linie sau pe aceeași coloană.).

Rezolvare :

În mod evident o singură tură poate ocupa o linie și o coloană. Se va nota cu numărul pătratului ocupat din prima linie, cu numărul pătratului ocupat din a doua linie numărul pătratului ocupat din a opta 1inie. Atunci va fi o anumită permutare a munerelor Reciproc, dacă este o anumită permutare a numere1or . atunci ei îi corespunde o anumită poziție a turelor pe tabla de șah astfel încât oricare două dintre ele să nu se atace. Așadar, numărul de aranjări ale turelor este egal cu numărul de permutări ale numerelor care este egal cu

Să se calculeze următoarea sumă :

Rezolvare :

Se utilizează, formula de recurență :

Surna se rescrie, .

7. Să se demonstreze egalitatea :

Rezolvare :

Se consideră egalitatea adică exact produsul

a două binoame la puterile sugerate de prezența simbolurilor .

În membrul din dreapta este coeficientul lui din dezvoltarea

binomului Din aceasta cauză vom găsi coeficientul lui din membrul stâng.

Acest lucru îl vom obține dezvoltând cele două binoame după formula lui Newton

și făcând produsul dezvoltărilor urmărind aici numai monoamele care conțin pe

Așadar prin identificarea coeficienților lui rezultă egalitatea dorită .

Să se arate că :

Rezolvare :

Și atunci :

Rezolvați ecuația unde

Rezolvare :

Evident Folosind relația ecuația din enunț se rescrie sub forma

Deoarece în membrul stâng al ultimei egalități sunt termeni naturali, atunci fiecare din aceștia este egal cu 1. Deci :

Arătați că oricare ar fi numere natural,

Rezolvare :

Oricare ar fi