Strategii de Optimizare a Structurilor Metalice Bazate pe Algoritmi Genetici

Introducere

Motivația alegerii temei

Economia de cost, de forță de munca, aplicarea de metode noi, simplificate, utilizarea de materiale inovative și tehnologii ecologice, forme și design remarcabile; toate acestea sunt trăsături fundamentale ale optimizării structurale. Noile tendințe și cercetarea în acest domeniu au fost conduse, în ultimele decenii, de aplicarea cunoștințelor și observațiilor obținute din studiul proceselor naturale, a organismelor, a structurilor și materialelor, de la nivelul particulelor subatomice la comportamentul insectelor și animalelor, a anatomiei, a relațiilor ecologice din habitate naturale, și apoi aplicarea acestor cunoștințe la designul structurilor și mediului construit. Rezultatele sunt extrase din analiza atentă și sistematică a modurilor în care natura a proiectat structuri. Pe această bază putem dezvolta criterii și strategii pentru a evolua construcțiile într-o manieră asemănătoare, în mod eficient și sustenabil, găsind resurse noi, și răspunzând la mediul dinamic în care structurile sunt plasate.

O structură ușoară necesită mai puțin material pentru construcție și astfel reușește să asigure utilizarea maximă, rațională a resurselor. Utilizând geometrii optimale pentru structuri este asigurată rezistența superioară a acestora și redus consumul și pierderile. În natură întâlnim nenumărate exemple de optimizare. Structura fagurelui este un exemplu de aranjare compactă eficientă. În cazul metalelor și aliajelor, atomii iau pozițiile care necesită consumul minim de energie posibil prin formarea de celule unitare care definesc structura cristalina a materialului. Pentru stâlpi, optimizarea nu este o tendință nouă. Tehnicile de optimizare sunt în prezent utilizate în majoritatea domeniilor industriale, cum sunt industria aeronautică, industria constructoare de automobile, industria electrică, chimică, etc. Câteva exemple de aplicații industriale diversificate ale tehnicii de optimizare sunt enumerate mai jos:

1. Greutate, vibrații, zgomot și optimizarea consumului de combustibil la automobile, reducerea costurilor de fabricație, precum și îmbunătățirea calității

2. Proiectarea aeronavelor și a structurilor aerospațiale de greutatea minimă.

3. Proiectarea de structuri, cum ar fi poduri, turnuri, baraje pentru un cost minim.

4. Proiectarea optimă a diferitelor componente mecanice cum ar fi legături, came, mașini-unelte, etc

5. Proiectarea optimă a rețelelor electrice.

6. Optimizarea producției, a planificării, și a controlului, etc.

Motivația acestei lucrări a fost dată de observația prevalentei studiilor de analiză și unei insuficiente atenții acordate dezvoltării proiectării capabile să folosească eficient noile metode dezvoltate de designul conceptual și optimizare. În domeniul mecanicii structurilor este posibilă analiza unei structuri aflate sub acțiunea unei solicitări date, pentru a se obține valorile exacte ale tensiunilor, deformațiilor și frecvențelor naturale. Nu este însă evident cum structura poate fi configurată geometric și proporționată pentru a ne asigura că ea este cea mai eficientă în satisfacerea cerințelor de rezistență, serviceabilitate, estetica, etc, impuse.

Figura 1.1: Aceasta este o fotografie aeriană a unui râu care curge printr-un deșert, în Baja California, Mexic. Se poate observa similaritatea dintre acesta și ramurile copacilor. Acest tip de ramificare se regăsește în numeroase locuri diferite din natura, vasele de sânge fiind un alt exemplu unde se observa modelul de ramificare. Tiparele în natură sunt relații care apar atât pentru forma structurii cat și a proceselor. Atunci când procesele naturale întâlnesc forme care funcționează bine, tiparele par să se imite reciproc

Când optimizarea topologică este realizată fără a ține cont de restricții de fabricație, structuri foarte atractive sunt adesea produse, însă acestea nu pot fi realizate prea ușor. Figura 1.2 este un astfel de exemplu, unde peste un milion de variabile de proiectare au fost utilizate. Această structură a fost optimizata pentru a minimiza energia de deformare sub încărcări. Este de remarcat faptul că optimizarea topologică produce rareori designul final, chiar dacă sunt utilizate restricții de fabricație. Acest lucru se datorează faptului ca optimizarea topologică, în mod normal, nu include restricții de tensiuni. Cu toate acestea, ajută la identificarea căilor de descărcare a forțelor aplicate și oferă un punct foarte bun de plecare pentru optimizarea formei și optimizarea dimensională.

Figura 1.2: Exemplu de optimizare topologică a unei grinzi

În general în cazul în care se pretinde ca s-a optimizat o structură, în fapt, doar câteva părți structurale alese sunt optimizate. Proiectanții caută, pentru dimensiunea minimă a secțiunii transversale, satisfacerea codului de proiectare, încearcă să găsească numărul minim de șuruburi necesare într-o anumită conexiune de oțel, caută aria minimă necesară de oțel pentru armarea unei grinzi de beton, etc. Toate părțile structurale sunt proiectate optim, dar aceasta nu înseamnă că întreaga structură este optimizată pentru, spre exemplu, costurile materialelor, timpul de construcție, prețul forței de muncă, etc. Am incercat in aceasta lucrare sa testez cele mai des utilizate tipuri de algoritmi evolutionisti si sa realizez o analiză critică a modului in care aceștia pot fi aplicați cît mai eficient în domeniul optimizării structurilor metalice.

Obiective

Obiectivul optimizării structurale este maximizarea performanței unei structuri sau a unei componente structurale. Aceasta este motivata de resursele limitate, impactul asupra mediului și de concurența tehnologica care cere structuri ușoare, ieftine și de înalta performanță. Designul optim reprezintă cel mai bun proiect fezabil care satisface criteriile de performanță prescrise prin norme și tipologia particulară proiectului (Muller, 2002). Proiectarea optimală a structurilor are ca scop realizarea unor construcții la prețuri mici și consum mic de materiale, respectând cerințele de siguranță, funcționalitate și exploatare.

În cadrul lucrării au fost vizate următoarele obiective:

Elaborarea unui studiu privind stadiul actual al cunoașterii în domeniul optimizării structurale evolutive.

Prezentarea analizei cercetărilor efectuate și sistematizarea cunoștințelor într-o formă coerentă ușor aplicabilă în rezolvarea problemelor de optimizare cu algoritmi genetici.

Prezentarea sistematică a procesului de calcul iterativ de optimizare și analiza sub forma de funcții multi-nivel (nested), alături de folosirea celor mai utili algoritmi evoluționiști în domeniul structurilor.

A fost descrisă o procedură de realizare a analizei structurale în MATLAB, și a posibilităților oferite de Global Optimization Toolbox, și cu algoritmii de optimizare în mediul de programare vizuală parametrică Grasshopper (McNeel Rhinoceros).

Realizarea unui program de optimizare care implementează un algoritm genetic simplu în MATLAB și realizarea unui program de optimizare care implementează o strategie multi-nivel prin utilizarea a trei tipuri de algoritmi intr-un program capabil de parametrizarea structurilor (Rhino Grasshopper). Etapa de evaluare a indivizilor s-a realizat printr-o modelare numerică, folosind funcții fitness dar există și posibilitatea alegerii unor soluții bune, chiar daca nu optime global, pe criterii estetice, utilizatorul având astfel ultimul cuvânt de spus în alegerea soluției finale.

Structura lucrării

Cap 1. Primul capitol conține introducerea în domeniul studiat și structura lucrării.

Cap 2. Optimizarea structurală. În al doilea capitol este prezentată o introducere în optimizarea structurală, formularea matematica a problemelor de optim, tipuri de optimizare structurala, respectiv o clasificare în funcție de variabilele de proiectare, restricțiile structurale și funcția obiectiv. Sunt prezentate metodele tradiționale de optimizare după cum urmează: metode unidirecționale, metode bazate pe gradientul funcției, metode de programare liniară, metoda de penalizare, metode de liniarizare și metode de programare geometrică și stocastică.

Cap 3. Strategii de optimizare. Este comparata eficiența procesului de optimizare și cel al ciclurilor clasice de proiectare, sunt prezentate direcțiile de cercetare din domeniul optimizării structurilor și rolul pe care îl are inspirația proceselor și structurilor naturale în îmbunătățirea designului structurilor.

Cap 4. Algoritmi utilizați în optimizarea structurilor. Capitolul patru prezinta structura și componentele de baza ale algoritmilor utilizați în domeniul optimizării structurale, de la modul specific de formulare al problemelor la analiza modelelor și explorarea spațiului de soluții.

Cap 5. Algoritmi stocastici. Capitolul cuprinde documentația sintetizata, pentru metodele evolutive de optimizare, continuând cu descrierea algoritmilor genetici. Se descrie în detaliu stadiul actual al algoritmilor genetici, respectiv clasificarea și elementele acestora.

Cap 6. Modelare parametrica. Capitolul șase cuprinde descrierea modului în care modelarea parametrica poate oferi o soluție, în contextul descris, la problema numărului mare de variabile necesare descrierii unei structuri. Modelele parametrice sunt capabile sa descrie geometrii complexe utilizând un număr relativ redus de variabile, lăsând totodată loc pentru o marja mare de variație.

Cap 7. Programe de optimizare structurala. Aceasta parte începe cu descrierea algoritmilor de optimizare și a programelor elaborate. Conținând descrierea modul de codare a funcției fitness pentru algoritmul genetic, elaborata de autor și operatorii genetici folosiți în algoritm. Ultima parte a acestui capitol reprezintă testarea programului de optimizare pe probleme benchmark și variații la acestea.

Ultimul capitol conține concluzii și direcții viitoare de cercetare.

Optimizare globală vs. optimizare structurală

Optimizarea structurală implică determinarea variabilelor de proiectare, care controlează forma, proprietățile materialului sau dimensiunile unei structuri, astfel încât să respecte anumite restricții și să îmbunătățească anumite proprietăți pentru a obține structuri optime.

Atunci când ne ocupam de probleme de inginerie, se pot discuta două domenii diferite de optimizare:

– Primul este numit optimizare globală (Global optimization). Prin acest termen se va înțelege optimizarea uneia sau mai multor funcții, fără o cunoaștere a-priori a problemei exprimate prin aceste funcții (numite uneori funcții "black-box").

– Al doilea domeniu, numit optimizare structurală, poate fi descris ca o știință aplicată, unde metodele din domeniul optimizării globale sunt aplicate la un model al unei structuri sau al unui material.

În procesul proiectării structurilor, în diverse domenii inginerești, proiectanții aleg cea mai buna variantă decizională, la fiecare pas, legată de aspecte structurale și non-structurale, cum ar fi rigiditatea, rezistența, serviceabilitatea, proprietățile estetice. Cu alte cuvinte iau decizii pentru a realiza cel mai bun design; astfel încât procesul proiectării structurale poate fi privit ca design optimal chiar dacă nu urmărește expres găsirea unui optim. Optimizarea structurală este privită ca aplicarea metodelor de optimizare în proiectarea structurală.

Problema tipică de optimizare structurală este formulată ca minimizarea unei funcții obiectiv (funcții de cost), de obicei reprezentând greutatea structurii sau volumul acesteia. Luând în considerare modul în care se poate rezolva această problemă de optimizare generală, o abordare ar fi alegerea unor multiple combinații de variabile de proiectare și apelarea la un program de analiză pentru a evalua fiecare dintre acestea, spre a alege una cu cele mai bune valori ale funcției obiectiv, și care, de asemenea, îndeplinește toate restrictiile. Aceasta ar fi o abordare clasică de căutare aleatorie sau versiunea moderna cunoscută sub numele de căutare genetică (Hajela, 19ățească anumite proprietăți pentru a obține structuri optime.

Atunci când ne ocupam de probleme de inginerie, se pot discuta două domenii diferite de optimizare:

– Primul este numit optimizare globală (Global optimization). Prin acest termen se va înțelege optimizarea uneia sau mai multor funcții, fără o cunoaștere a-priori a problemei exprimate prin aceste funcții (numite uneori funcții "black-box").

– Al doilea domeniu, numit optimizare structurală, poate fi descris ca o știință aplicată, unde metodele din domeniul optimizării globale sunt aplicate la un model al unei structuri sau al unui material.

În procesul proiectării structurilor, în diverse domenii inginerești, proiectanții aleg cea mai buna variantă decizională, la fiecare pas, legată de aspecte structurale și non-structurale, cum ar fi rigiditatea, rezistența, serviceabilitatea, proprietățile estetice. Cu alte cuvinte iau decizii pentru a realiza cel mai bun design; astfel încât procesul proiectării structurale poate fi privit ca design optimal chiar dacă nu urmărește expres găsirea unui optim. Optimizarea structurală este privită ca aplicarea metodelor de optimizare în proiectarea structurală.

Problema tipică de optimizare structurală este formulată ca minimizarea unei funcții obiectiv (funcții de cost), de obicei reprezentând greutatea structurii sau volumul acesteia. Luând în considerare modul în care se poate rezolva această problemă de optimizare generală, o abordare ar fi alegerea unor multiple combinații de variabile de proiectare și apelarea la un program de analiză pentru a evalua fiecare dintre acestea, spre a alege una cu cele mai bune valori ale funcției obiectiv, și care, de asemenea, îndeplinește toate restrictiile. Aceasta ar fi o abordare clasică de căutare aleatorie sau versiunea moderna cunoscută sub numele de căutare genetică (Hajela, 1990).

O altă abordare ar fi perturbarea fiecărei variabile de proiectare și evaluarea funcției obiectiv și a restrictiilor. Astfel se poate determina sensibilitatea (gradientul) designului în raport cu variabilele. Cu ajutorul acestor informații, putem matematic (numeric) determina modul în care se pot modifica variabilele de proiectare spre a îmbunătăți modelul în timp ce obiectivul satisface restrictiile. Există o multitudine de astfel de metode "pe bază de gradient" și considerabil de multe software-uri disponibile în prezent (Vanderplaats, 2004).

Proprietățile mecanice, ce includ deplasările de noduri, tensiunile în elemente, frecvente de vibrație, încărcări de flambaj sunt luate drept variabile de proiectare. Problema de optimizare structurală poate fi formulată, ca alternativa, pentru a urmări maximizarea unei proprietăți mecanice, supusa unor restricții de cost. Deși exista multiple formulări ale problemei de optimizare, ex. design pentru greutate minima, design pentru rigiditate maxima, termenul de optimizare structurală sau design optimal se refera la toate tipurile de probleme de optimizare asociate designului structural.

Designul optim se realizează în mai multe faze consecutive:

Proiectarea conceptuală este faza în care are loc identificarea configurației de bază a sistemului structural împreuna cu ansamblul obiectivelor. Este important, de asemenea, să se identifice domeniile de variație ale valorilor parametrilor ce descriu sistemul, astfel încât pentru orice parametru cu valori din domeniul corespunzător, sistemul să satisfacă funcțiile identificate în pasul precedent. Prin urmare, se identifică mulțimea parametrilor ce descriu diverse sisteme admisibile.

Proiectarea optimă are ca obiectiv alegerea parametrilor rămași nedeterminați în pasul precedent. Acești parametri trebuie să aibă valori în domeniile definite de restricțiile tehnologice și de funcțiile sistemului. Criteriul pentru alegerea parametrilor sistemului este, de cele mai multe ori, minimizarea costului, a greutății, a consumului anumitor materiale, maximizarea eficientei etc.

Mai trebuie specificat faptul că proiectarea unui sistem structural este un proces caracterizat de proprietatea că parcurgerea etapelor sale poate declanșa contrareacții (feedback). Asta înseamnă că după parcurgerea unei etape este posibil să nu se treacă la etapa următoare, ci să se reia procesul de proiectare de la o anumită etapă anterioară, sau chiar de la început, de atâtea ori până când sunt îndeplinite anumite restricții, impuse în etapa curentă. Acest proces iterativ de proiectare se oprește doar atunci când se consideră că structura simulata poate fi aplicata în realitate. Se subliniază că această ultimă decizie este mai mult de natură umană decât de programare matematică.

Conditii necesare pentru implementarea designului optimal al structurilor

Existenta unei funcții pentru proiectarea optimă a elementelor structurale specifice, cum ar fi grinzi de oțel, grinzi de beton, prinderile din oțel, blocuri de fundație, etc De obicei, dimensiunile minime, mărimea sau numărul elemetelor sunt cifrele căutate. Elementul trebuie să îndeplinească criteriile corespunzătoare codurilor de proiectare.

Trebuie să existe o posibilitate de a parametriza structura. Proiectantul trebuie să decidă, ceea ce este fixat ca dimensiune în structura și ceea ce poate fi schimbat – deschideri, adâncimi, dimensiuni ale secțiunilor transversale, grosimi de plăci și pereți, sarcini, etc. Fiecare trăsătură care poate varia trebuie să poată fi descrisă de un parametru independent. Alte dimensiuni pot fi dependente de parametri, creând un model structural inteligent parametrizat.

Trebuie să existe o posibilitate de a defini funcția obiectiv. Ea poate fi greutatea oțelului structural necesar, volumul de beton utilizat, greutatea armaturii, dar poate fi, de asemenea, deplasarea maximă sau orice altceva. Situația ideală este dacă sistemul este capabil să calculeze o valoare globala precum costul total al constructiei.

Trebuie să existe capacitatea evaluerii funcției obiectiv pentru setul specific de parametri. Aceasta înseamnă că o funcție capabilă să citească setul de parametri și sa returneze o valoare obiectiv trebuie să fie disponibila.

Rezolvatorul optimizării – un instrument care generează diferite seturi de parametri, calculează funcția obiectiv, și propune în cele din urmă setul optim de parametri trebuie sa fie creat.

Metoda elementului finit poate fi folosită ca nucleu numeric pentru rezolvarea generală a problemelor de calcul pentru cele mai diverse tipuri de structuri și solicitări. Există o multitudine de programe de calcul care folosesc MEF, acestea furnizând toate datele necesare pentru a fi procesate în algoritmul de optimizare. Pentru a lucra în regim integrat este necesară folosirea unor automatisme software pentru definirea problemei și rezolvarea ei automată folosind MEF. De asemenea, este necesar ca programul să poată prelua automat datele din programul de element finit și să le folosească mai departe. Formularea problemei de optimizare ar trebui făcută automat. Întrucât rezolvarea problemelor folosind MEF este un proces costisitor din punct de vedere al calculului, este necesar să se minimizeze numărul de rulări ale modelului folosind MEF. Pentru a evita deteriorarea modelului structural modelat în urma ajustării geometriei sau topologiei în procesul de optimizare, este necesară definirea unui set de restricții suplimentare față de restricțiile ce țin de configurația structurii (tensiuni, eforturi, deplasări). Pentru o bună poziționare a procesului de căutare în spațiul soluțiilor este foarte utilă analiza senzitivității. Folosind analiza senzitivității, spațiul de căutare este redus la șablonul sugerat de coeficienții de senzitivitate.

Formularea matematică a problemelor de optim

Problemele de optimizare pot fi rezolvate prin aplicarea "conceptului de trei coloane" (Three-Columns Concept). Cele trei coloane sunt modelul structural, modelul de optimizare și algoritmul de optimizare. Optimizarea automată a structurilor este o sarcină complexă și dificil de organizat. Conceptul prezentat a fost dezvoltat de Eschenauer [Eschenauer,2007]. Acesta pornește de la ideea descompunerii problemei în subprobleme care pot fi rezolvate direct, iar conceptul a fost dezvoltat pentru a lucra cu algoritmi de programare matematică (dar este valid și în cazul tehnicilor de soluționare de tipul algoritmilor genetici).

Modelul structural, necesar pentru traducerea structurii reale în vederea realizării procesului de optimizare computerizata, descrie matematic sau numeric comportamentul fizic al structurii, adică răspunsul la încărcări, sau proprietăți structurale cum sunt frecvențe proprii de vibrație sau greutate. În cazul în care structura este modelata prin FEM variabilele de stare ale problemei sunt deplasările nodale u. Alte valori care ne pot interesa, cum ar fi tensiunile, sunt calculate din valorile deplasărilor în etapa de postprocesare.

Problemele de optimizare reale sunt în general neliniare și cu restricții, iar algoritmii care le pot rezolva se bazează pe proceduri iterative care pornesc de la un design inițial x0 și produc vectori de variabile de design îmbunătățiți xk. Procedura este oprita când un anumit criteriu de convergenta predefinit este satisfăcut. Numeroase studii au arătat ca alegerea celui mai bun algoritm de optimizare se face în strânsă legătură cu problema tratată.

Modelul de optimizare face legătura intre modelul structural și algoritmul de optimizare. Modelul de evaluare are rolul de a evalua designul în funcție de obiectivul de optimizare și de starea restricțiilor (încălcate sau nu) din valorile variabilelor de stare și alte informații obținute din modelul structural. Obiectivul optimizării este adesea formulat ca o funcție obiectiv scalara f, sau, în cazul optimizării multicriteriale, ca un vector f. Restricțiile designului sunt formulate sub forma de funcții de restricție incluse în vectorii g (inegalități) și h (restricții de tip egalitate). Modelul de evaluare se poate baza pe variabilele de stare u (când sunt luate în considerare tensiunile) sau alte variabile care influențează designul (necesare calculării greutății totale, de exemplu). Modelul de optimizare mai conține definițiile variabilelor și transformările acestora sub denumirea de parametrizare. Pozițiile nodurilor aflate la granița domeniului modelului structural definesc forma acestuia și se modifica în timpul unui proces de optimizare a formei. Forma unei structuri sau unui design este definita explicit în termeni de variabilele de design x. Modelul de design descrie relația matematica dintre variabilele de analiza y și variabilele de design x. Adițional, acestea din urma pot fi transpuse în variabile de transformare z în scopul adaptării problemei de optimizare la unele cerințe ale algoritmului de optimizare. Analiza senzitivitații demonstrează susceptibilitatea obiectivului și restricțiilor fata de mici schimbări ale variabilelor de design. Aceasta informație e folosita la controlul algoritmului de optimizare și la alegerea unui design.

Evaluarea designului. În optimizarea structurilor este folosita, în general, MEF pentru obținerea răspunsului structural la încărcări sub anumite condiții limita. Soluția sistemului de ecuații oferă soluția primara în termeni de grade de libertate nodale (în cazul structurilor acestea se traduc prin deplasări), iar din acestea, alte valori pot fi obținute (tensiuni). Valorile tensiunilor pot fi utilizate pentru a formula un obiectiv când se dorește maximizarea rezistentei unui element, sau la formularea restricțiilor când dorim minimizarea greutății unei structuri și asigurarea rezistentei necesare acesteia. În cazul general, răspunsul structural e necesar atât pentru evaluarea obiectivului cat și a restricțiilor.

Evaluarea modelului

Spațiul și subspațiul de proiectare

Prin convenție, se consideră structura ca fiind un punct într-un spațiu de proiectare abstract. În acest spațiu, coordonatele punctului corespunzător structurii sunt dimensiunile geometrice ale acesteia și constantele de materialul. Aceste coordonate care vor fi denumite parametri structurii, pot fi numere reale, funcții sau vectori (mulțimi total ordonate de numere reale). Pentru o înțelegere mai profundă a spațiului figurativ de proiectare, se prezintă, mai jos, parametrii ce sunt utilizați de proiectant pentru a specifica o structură.

Parametri geometrici:

geometria secțiunii transversale a elementelor structurale unidimensionale;

forma axei longitudinale a elementelor structurale unidimensionale;

forma geometrică a suprafeței mediane a plăcii sau membranei;

legea de variație a grosimii plăcii;

forma conturului plăcii sau mambranei;

poziția spațială a nodurilor unei grinzi cu zăbrele sau unui cadru;

loalizarea spațială a elementelor componente ale structurii.

Constante de materialul:

modulul de elasticitate;

densitatea ;

coeficientul de conductivitate și de dilatare termică;

coeficienții legilor constitutive cere stabilesc legătura dintre tensiuni și deformațiile elsatice, elasto-plastice, vîsco-elastice, etc.;

tensiunile de cedare ale materialului la diverse solicitări;

constantele de oboseală ale materialului;

constantele de anizotropie ale materialului.

Starea de pretensionare a unei structuri poate, de asemenea, fi considerată ca un parametru de calcul.

Evident, această trecere în revistă a parametrilor structurii nu este completă, însă include parametrii cei mai frecvent utilizați în proiectare. O problemă particulară generată de optimizarea structurii este așa-numitul subspațiu de proiectare.

În situația concretă în care se dorește proiectarea unei grinzi, pentru început, proiectantul decide dinainte dacă grinda va fi o grindă cu secțiune I, sau grindă cu zăbrele. Această alegere implică restricții asupra parametrilor de proiectare ca, de exemplu, înălțimea maximă a grinzii I. Deasemenea, deși nu este strict necesar, proiectantul își alege dinainte materialul folosit, adăugîndu-se astfel noi restricții.

Constantele materialului pot fi introduse printre variabilele de proiectare ce vor fi determinate în procesul de optimizare, însă trebuie subliniat că puțini autori au abordat acest aspect, existînd puține lucrări dedicate acestei probleme.

Subspațiul admisibil

Subspațiul de proiectare ce conține structura satisface un număr de cerințe, necesar pentru acceptabilitatea funcțională a structurii, aflată sub acțiunea solicitărilor ce decurg din îndeplinirea rolului funcțional. În general, condițiile impuse asupra rezistenței, rigidității, duratei de viață, etc., limitează răspunsul structurii la solicitarea dată.

Acestea condiții pot fi, însă, concepute ca restricții ce împart subspațiul de proiectare într-un subspațiu admisibil și un subspațiu neadmisibil.

Printre restricțiile cele mai utilizate sunt:

tensiuni maxime ;

deformație maximă ;

coeficient de siguranță maxim la pierderea stabilității, sau la rupere;

minimum de senzitivitate la imperfecțiuni de execuție, de montaj, etc.;

minimumul frecvenței fundamentale de oscilație proprie;

maximul vitezei de deformare în curgerea plastică staționară;

maximul duratei de viață sub solicitări ciclice;

greutate sau volum minim ;

rigiditate maximă la diverse solicitări (încovoiere, torsiune etc.);

moment de inerție maxim;

solicitări de stabilitate maximă ;

ductilitate maximă la solicitări dinamice.

Diferite teorii de rupere sunt luate în considerație, în concordanță și pe baza unor indicatori de material, solicitare, etc., prin restricții adecvate din subspațiul de proiectare.

Restricțiile sunt exprimate ca limite de funcționale definite pe subspațiul de proiectare, acest subspațiu fiind delimitat numai implicit.

Dificultăți de calcul apar atunci când solicitările sunt aleatoare sau dinamice, în cazul unor tipuri de solicitări diferite, restricțiile fiind diferite pentru fiecare dintre acestea. Acesta este, în mod obișnuit, cazul când se consideră diferite suprasarcini, în condiții de exploatare.

Cel mai adesea, restricțiile asupra limitelor răspunsului nu sunt de natură fizică ci rezultă din reglementări sau standarde. Când este cazul, o problemă de proiectare optimă este cea a senzitivității soluției optime la mici modificări în aceste standarde. Privind lucrurile și prin prisma acestui ultim aspect menționat, se pune problema și a optimizării standardelor sau a reglementărilor. În formularea matematică a problemei, restricțiile apar în mod obișnuit sub formă de inegalități.

Drept restricții se pot considera: ecuațiile de echilibru și de compatibilitate, (ecuații diferențiale cu derivate parțiale sau ecuații diferențiale ordinare), inegalități algebrice de tip unilateral sau bilateral (suprafețe, dimensiuni, momente de inerție etc), tensiuni normale, tangențiale, principale, echivalente, critice la stabilitate elastică, în regim static sau dinamic, deformații locale sau generale, viteza critică de deformare plastică etc., sau de tip izoparametric cum ar fi: volum constant, deformare constantă, potențial elastic constant etc.

După ce variabilele de proiectare au fost alese, problema de proiectare optimă poate fi formulată astfel:

Să se găsească astfel încât:

(2.3)

unde este un punct în spațiul de proiectare, caracterizat de variabilele alese. În multe probleme există condițiile impuse funcționalelor și , datorită restricțiilor impuse răspunsului structurii la solicitări, însă unele dintre acestea pot să fi exprimate prin delimitări ale subspațiului de proiectare. Funcționala obiectiv este notată cu .

Existența soluției și a unicității acesteia, când există, pentru problema definită, la modul general, prin (2.3), este o chestiune deschisă la care numai în rare cazuri se poate răspunde pe baza intuiției. Din (2.3) rezultă că, dacă este optim, pentru mici variații în domeniul subspațiului de proiectare, există relațiile:

(2.4)

Această formulare variațională dă condiția necesară pentru existența unei soluții optime.

Condițiile din formularea variațională (2.4) pot fi exprimate printr-o altă formă mult mai folosită. Se presupune că variabilele de proiectare sunt numere reale, astfel încît spațiul de proiectare poate fi interpretat ca un spațiu euclidian -dimensional.

Fie o soluție admisibilă și o variație arbitrară în domeniul subspațiului de proiectare. Cum , variația este normală la toți vectorii (). În mod similar, restricțiile descrise prin inegalitățile sugerează că nu are componentă în direcția pozitivă a lui . Prin urmare, se poate deduce că pentru orice numere reale și orice , proiecția lui pe vectorul

(2.5)

este nepozitivă. În rel (2.5), simbolul indică faptul că sumarea este restricționată la acele valori ale indicelui valorile lui j pentru care . Cu alte cuvinte, orice vector care are o componentă pozitivă pe direcția vectorului dat de rel. (1.5) se găsește în subspațiul neadmisibil.

În scopul descreșterii funcționalei obiectiv , este necesar să se producă o mișcare din sens pozitiv în sensul negativ al direcției .

Dacă această direcție (-) este direcția vectorului dat de rel (2.5), o deplasare în subspațiul admisibil va descrește funcționala obiectiv. Prin urmare, la punctul de optim, – are direcția identică cu direcția vectorului (5.3). Utilizând acest fapt, se deduce că dacă este soluție optimală, atunci există o mulțime de numere reale și de numere nenegative , astfel, încât are loc ecuația:

(2.6)

Relația (2.6) este cunoscută sub numele de condiția Kuhn-Tucker. Se observă că, dacă nu există restricțiile inegalități, poate fi interpretat ca multiplicator Lagrange.

Pentru o problemă fără restricții, condiția (2.6) se reduce la . Ca toate soluțiile staționare, însă, condițiile (2.4) și (2.6) nu pot asigura optimul global.

Utilizarea unor teste adiționale asigură însă optimul global. În particular, dacă spațiul de proiectare admisibil este convex și dacă funcționala obiectiv este fie convexă, fie concavă, atunci unele teoreme ale programării neliniare pot da informații importante despre optimul global și/sau pozițiile soluțiilor posibile.

Pot exista probleme care din punct de vedere matematic sunt total diferite de cea formulată prin relațiile (2.3), dar care exprimă același model fizic. În acest context, de exemplu, problema determinării celui mai înalt stâlp posibil, de material și volum dat (considerând și flambajul sub greutatea proprie), este, din punct de vedere principial, identică cu problema determinării volumului minim al stâlpului, de material și înălțime date. Deși problemele sunt, în fond, identice, formularea lor cu ajutorul relațiilor (2.1) este diferită. Acest lucru nu este trivial, deci prezintă un interes deosebit, deoarece, inevitabil, una din formulări conduce la o soluție mai ușor de obținut.

Pentru unele modele speciale de structuri (ca de exemplu o grindă elastică pentru care rigiditatea la încovoiere este proporțională cu masa), cu una sau mai multe restricții ce sunt caracterizate prin principiile de extrem ale teoriei structurilor (principiul lui Rayleigh și principiul minimului energiei potențiale), condițiile necesare obținute prin metode variaționale pot fi suplimentate cu condiții suficiente. În dependență de principiul de minim al structurii cu caracter global sau local, condiția rezultată este, de asemenea, suficientă pentru un optim global sau local.

Faptul că formularea directă, dată de rel. (2.3) și formularea variațională, dată de rel. (2.4) a problemei de proiectare optimă sunt esențial diferite, afectează alegerea metodelor folosite la rezolvarea problemei.

Din punct de vedere principal, problemele formulate prin rel. (2.3) sunt rezolvate, prin utilizarea unor procedee iterative în care, la fiecare iterație se obține o soluție „mai bună” decât cea obținută la iterația anterioară.

Problemele formulate variațional conduc, pe de altă parte, la sisteme de ecuații diferențiale cu condiții pe contur. Numai în cazuri cu totul excepționale (de regulă, când problema prezintă suficiente simetrii), o soluție este dată sub formă analitică cunoscută. De regulă, se aplică algoritmi pentru obținerea de soluții numerice.

Datorită faptului că ecuațiile diferențiale sunt adesea neliniare și nu au soluții regulate (adesea apar singularități pe contur), aceste probleme prezintă un grad sporit de dificultate.

În consecință, există o diferență importantă între formularea variațională (2.4) și formularea mai generală (2.3). Formularea variațională poate da o soluție (presupunând că ea există) optimală (sau mai curînd, staționară), funcționalele (2.3) fiind aplicate la orice proiectare admisibilă. Această diferență devine pregnantă atunci când soluția este singulară sau nu există. În sens larg, aceasta înseamnă că o soluție bazată pe formularea (2.3) poate conduce la o proiectare „mai bună”, chiar dacă nu la „cea mai bună”.

Procedeele iterative menționate mai sus sunt metodele programării matematice și cele formulate de R.L. Fox. Trăsătura lor comună este generarea unui șir de puncte în subspațiul de proiectare

(2.7)

începând cu un punct arbitrar .

Pasuldineste determinat folosind gradienții funcționalelor restricții , și funcționala obiectiv în punctul . Diferența între diferitele metode constă în relația dintre gradienți și pasul .

În cel mai simplu caz, problemele cu restricții liniare și funcționala obiectiv liniară pot fi rezolvate prin metodele ale programării liniare. Pentru restricții liniare și anumite tipuri de funcționale obiectiv neliniare există metodele programării pătratice.

Cazurile mult mai generale de probleme neliniare pot fi rezolvate fie cu metode directe, fie cu metode indirecte.

Metode de optimizare

În procesul tipic de optimizare a structurilor finit dimensionale, proprietățile secționale, localizarea nodurilor și poziționarea elementelor structurale sunt alese ca variabile ale problemei. Exista numeroase metode de optimizare, care pot fi clasificate în:

Metodele analitice de optimizare utilizeazã teorii matematice de calcul și metode variationale în studiul optimului pentru formele geometrice simple ale elementelor structurale, cum ar fi grinzi, bare, plãci. Aceste metode pot fi folosite cu succes pentru componente structurale singulare, dar nu sunt posibil de utilizat la structuri complexe. Cu acest tip de metode optimul este calculat foarte exact prin solutionarea unui sistem de ecuatii și inecuatii ce exprimã conditiile de optim.

Metodele numerice sunt reprezentate de metode de programare în cadrul aplicatiilor matematice. Cele mai noi cercetãri în domeniu [Murren,2011] sunt legate direct de cresterea aproape exponentialã a capacitãtii de calcul a computerelor și au ca directii de dezvoltare: – programarea liniarã;

– programarea neliniarã;

– programarea dinamicã;

– proceduri neconventionale.

Optimizarea cu aceastã clasã de metode se face printr-un proces iterativ, definindu-se o stare initialã folositã ca punct de start pentru o cãutare sistematicã în scopul îmbunãtãtirii structurii. Procesul iterativ este stopat când toate criteriile sunt satisfãcute, astfel încât configuratia curentã obtinutã sã fie cât mai aproape de optimul căutat.

Clase de metode de optimizare:

› Metode directe;

› Metode bazate pe optimalitatea Kuhn-Tucker;

› Metode de penalizare;

› Metode de punct interior de urmărire a traiectoriei centrale.

Principalele mărimi ce trebuie evaluate în cadrul metodelor de programare matematică ce folosesc tehnici derivative sunt Gradientul și Hessianul funcției obiectiv, coeficienții Lagrange, Jacobianul restricțiilor. Toate aceste mărimi joacă un rol determinant în determinarea admisibilității soluțiilor și a existenței acesteia.Punctul candidat la optim trebuie să se afle în domeniul fezabil (gradientul restricțiilor trebuie să fie liniar independente). Din studii ale metodelor de mai sus se poate trage concluzia că optimul poate fi găsit prin rezolvarea unor ecuații diferențiale cu o formă clar precizată. Această observație ne poate conduce la concluzia parțial adevărată că optimul ar putea fi găsit întotdeauna cu ajutorul unui algoritm clar formulat. Totuși, trebuie precizat că ecuațiile ce definesc condițiile de optimalitate sunt supuse unor condiții extrem de restrictive. Din acest motiv, o alternativă la aceste metode sunt cele de căutare directă. Spre deosebire de metodele derivative ce presupun calculul unor mărimi complexe, metodele de căutare directe folosesc cicluri de calcul cu un cost computațional mic.

Metodele directe de căutare permit optimizarea funcțiilor pentru care nu putem aplica metodele derivative de optimizare. Metodele de căutare evaluează funcția f în k puncte {x} urmărind evoluția funcției în scopul găsirii punctului de optim x*k.

Situațiile în care se recomandă folosirea uneia dintre metodele directe de căutare sunt următoarele:

› funcția f nu este derivabilă,

› derivatele sunt foarte greu de evaluat sau sunt discontinue,

› nu este necesară o soluție foarte precisă a problemei.

Alegerea uneia dintre metodele prezentate se face în functie de tipul de problemã practicã ce trebuie rezolvatã. O tehnicã destul de des utilizatã în rezolvarea problemelor simple este cea care presupune cã setul de restrictii este activ în punctul de optim, caz în care acestea sunt considerate ca egalitãti, fiind utilizate pentru a elimina variabilele libere. În concluzie, numãrul de restrictii active poate, în general, sã fie cel mult egal cu numãrul de variabile libere. În general, în problemele mai complexe, numãrul total de restrictii este mai mare decât numãrul de variabile, fiind dificil de a cunoaste care constante sunt active în punctul de optim.

O solutie optimã “x” a problemei de optimizare structuralã este caracterizatã prin proprietatea cã nu existã alte solutii fezabile într-o vecinãtate apropiatã lui “x”, ce corespunde unei valori minime a functiei obiectiv. Din punct de vedere matematic, acest concept se exprimã prin conditiile Kuhn-Tucker (Kuhn, Tucker, 1951):

i = 1…m (2.8)

ujgj(x) = 0 j = 1…m

uj ≥ 0 j = 1…m

Este important de remarcat faptul că aceste condiții sunt valabile doar pentru problemele de programare neliniare convexe.

Pentru a rezolva problema de optimizare structurală au fost dezvoltate diferite tehnici, putând fi amintite trei abordări în modul de rezolvare.

Astfel, Moses (1968), și Romstad și Wang (1978) au construit aplicații bazate pe metoda Simplex de programare liniară. În lucrãrile lor, acesti autori aproximeazã o problemã de programare neliniarã cu o secventã de probleme de programare liniarã. Gellatly și Gallagher (1976), și Moses și Onoda (1979) au utilizat metode de tip “directii posibile” sau “directii fesabile” pentru a rezolva problema de optimizare structuralã.

O a treia categorie de metode de programare neliniarã este bazatã pe asa-numitele functii de penalizare. Acest tip de metodã este utilizatã de Schmidt și Fox (1975), folosind tehnici de penalizare exterioare, în timp ce Kavlie, Moe și Kowalik (1979) aplicã tehnici de penalizare interioarã. Ideea “functiilor de penalizare” constã în transformarea problemei de optimizare cu restrictii, într-o problemã fãrã restrictii, prin adãugarea la functia obiectiv a unor termeni suplimentari, care sã înlocuiascã efectul restrictiilor. Astfel o problemã de minimizare fãrã restrictii poate fi rezolvatã cu o functie transformatã, care are forma generalã:

(2.10)

unde al doilea termen al ecuatiei este denumit termen de penalizare.

Fiacco și McCormick (1969) au adus o contributie importantã la dezvoltarea acestei abordãri a problemei de optimizare, numind-o “Tehnicã de minimizare secventialã fãrã restrictii” sau “SUMT Sequentiall Unrestricted minimization technique”. Unul din elementele comune pentru clasele de metode de programare neliniarã amintite este faptul cã folosesc variabile continue.

În activitatea curentã de proiectare, însã, multe variabile sunt limitate de valori discrete, cum ar fi grosimile tablelor sau plãcilor, diversi parametri geometrici (lungimi, diametre), s.a., și în lipsa unor metode eficiente de cuantificare a acestor mãrimi discrete, este totusi acceptatã formularea continuã a problemelor de optimizare, a cãror solutie este în final rotunjitã. Acest mod de lucru furnizeazã rezultate satisfãcãtoare pentru problemele de optimizare de mici dimensiuni, dar poate da solutii relativ depãrtate de optim dacã numãrul de variabile creste foarte mult.

O problemã de optimizare cu variabile discrete este formulatã asemãnãtor cu problema generalã, și anume:

Sã se determine minimul functiei: f (x)

cu restrictiile: g j (x i ) =0 j=1,2,… m (2.12)

unde: i=1,2,…n (2.13)

(2.14)

în care: f (x) este functia obiectiv; g j (x) sunt restrictiile; x i este vectorul variabilelor de

proiectare; și reprezintã limita superioarã și inferioarã a variabilelor; m este numãrul

de restrictii; D i este multimea finitã de variabile discrete.

Problema de optimizare formulatã matematic prin relatiile (12)-(14) este, în general o problemã de programare neliniarã, fiind studiate și folosite diverse tehnici de rezolvare.

Este important de subliniat cã majoritatea algoritmilor au ca cerintã o valoare initialã pentru variabile, fiecare evaluare a functiei necesitând de fapt o nouã analizã a structurii. Din acest motiv, dacã se lucreazã cu structuri complexe, este necesar un numãr mare de analize cu elemente finite, deci un consum mare de timp și resurse, eficient numai în cazul folosirii unui calculator și a unui program performante.

Deci pentru rezolvarea eficientã a problemei ar fi necesare o aproximare de calitate a problemei, precum și rezolvarea într-un numãr redus de pasi, existând solutii, cum ar fi :

Reducerea numãrului de variabile prin realizarea de legãturi între acestea, abordare rezonabilã, deoarece în practicã o serie de variabile au aceeasi valoare (table și plãci de aceeasi grosime, din motive constructive și tehnico-economice cum ar fi usurinta în aprovizionare,etc.), și reducerea restrictiilor prin luarea în considerare doar a celor critice la fiecare iteratie.

Utilizarea de functii de aproximare pentru reprezentarea restrictiilor, din punct de vedere matematic fiind folosite serii Taylor. Aceastã tehnicã de rezolvare genereazã o formã de aproximare a restrictiilor în functie de variabile, bazându-se pe constatarea cã vectorii de rãspuns structural, cum ar fi tensiuni sau deplasãri sunt cvasilineari în raport cu variabilele, desi în practicã însã, restrictiile de proiectare sunt în general neliniare în raport cu variabilele.

Utilizarea unei tehnici de generare aproximativã [Arora, 1997], la care rãspunsul structurii la încãrcarea exterioarã, definit prin deplasãri, frecvente, etc., devine în problema de optimizare ca primã aproximare. În acest mod este creatã o problemã explicitã neliniarã, a cãrei solutionare necesitã mai putin de 10 pasi.

De asemenea, în vederea creșterii eficientei acestei metode este folositã o asa-numitã strategie dualã, în care optimizarea cu variabile discrete este realizatã dupã optimizarea cu variabile continue. Statistic a fost stabilit cã acestã metodã dualã este cu cel putin un ordin de mãrime mai eficientã decât alte metode, în cazul problemelor de optimizare cu mai mult de 20 de variabile. Analiza diversilor algoritmi de optimizare are în vedere aspecte generale ale optimizãrii, dar și posibilitãtile reale ale soft-ului utilizat, fiind necesar sã se compare posibilitãtile de optimizare, atât prin metode clasice, cât și prin metode moderne.

Algoritmii clasici de optimizare, dezvoltati și implementati în multe soft-uri performante, oferã posibilitatea optimizãrii unei structuri prin urmãtoarele clase de metode: metoda Simplex, metoda directiilor fesabile sau metoda functiilor de penalizare.

Ca element de noutate în toate aceste metode este, asa cum s-a mentionat, posibilitatea folosirii unei multimi discrete pentru variabilele de proiectare, lucru care reprezintã de fapt o abordare pragmaticã a procesului de optimizare structuralã, prin posibilitatea obtinerii de valori tehnologic posibile. De asemenea, toti acesti algoritmi clasici au ca element de legãturã utilizarea metodei elementului finit ca procedurã de calcul a tensiunilor și deformatiilor structurii analizate.

Analiza acestor metode, atât prin prisma faptului cã se foloseste MEF pentru calculul deplasãrilor și tensiunilor, cât și în ceea ce priveste usurinta în aplicare, precum și necesitatea unei anumite accesibilitãti hardware și software, duce la concluzia cã pot fi considerate douã variante de lucru în vederea optimizãrii structurale: fie utilizarea unui modul de optimizare cuplat cu un modul de analizã structuralã cu MEF, fie crearea unui modul de optimizare propriu, cuplat cu un modul de analizã structuralã cu MEF, care sã rãspundã unor anumite cerinte specifice.

Forme de optimizare structurală

În conformitate cu Steven Grant [Steven, 2003], patru forme diferite de optimizare structurală pot fi distinse. Fiecare poate fi rezolvată cu o strategie de optimizare distinctă, dar rezolvarea problemelor reale, de obicei, solicită a combinație a acestor forme.

Optimizarea topologică

Prin optimizarea topologiei înțelegem găsirea unei structuri fără a cunoaște forma sa finală în prealabil [Bendsøe și Sigmund, 2003].

Figura 2.3.1: Exemplu de design optimal pentru stalp

Doar condițiile externe, criteriile de optimalitate și restricțiile sunt cunoscute. Acest tip de probleme vin de obicei din domeniul ingineriei mecanice, unde conceperea unor piese pentru masini sau avioane sunt temele de proiectare cele mai frecvente. Structurile reprezentative din ingineria civilă servesc drept instrument de decizie în alegerea unui sistem static adecvat al unei structuri noi. Ele sunt aplicate mai ales la structurile articulate, în cazul în care coordonatele nodale ale îmbinărilor sunt variabilele de optimizare. Luând în considerare poziția suporturilor și a funcțiilor obiectiv, sisteme istorice bine-cunoscute fi descoperite prin optimizare topologică.

Figura 2.3.2: (a) Diagrama de calcul a problemei, (b) solutia optimală a problemei, (c) configurația optimizată formată prin concatenarea modulelor de bază și (d) First of Forth Bridge, construit 1883–1890 ca un exemplu de optimizare topologică prezentat în [Gil și Andreu, 2001].

Exemplul tipic pentru aceasta forma de optimizare în domeniul constructiilor metalice este plasarea elementelor din oțel. Cu alte cuvinte, căutăm cel mai potrivit model pentru o structura în care poziția elementelor de oțel nu este cunoscută în avans. În acest caz, obiectivul este, de obicei, reducerea la minimum a cantitatii de oțel, supus cerințelor structurale. În primii ani de optimizare numerică procedura tradițională pentru rezolvarea acestor probleme a fost proiectarea pentru tensiune limita (fully stressed design), insemnand ca toate elementele structurii sub incarcari să fie cât mai aproape posibil de limitele materialului.

În primii ani de optimizare numerică procedura tradițională pentru rezolvarea acestor probleme a fost design la tensiune limita (fully stressed design),astfel incat tensiunile în toate elementele sunt menite să fie cât mai aproape posibil de limitele materialului. Dezavantajul este vizibil pentru cazurile de încărcare multiple sau mai multe cazuri de sprijinire. În prezent, metodele cele mai frecvent utilizate pentru rezolvarea aceastei categorii de probleme sunt criteriile de optimalitate, abordare bazată pe teoria dualitatii sau programare convexă [Olhoff, 1996], omogenizarea combinata cu metodele de programare matematică [Allaire, 2002] sau [Cherkaev, 2000], optimizare structurală evolutivă (ESO) [Xie și Steven, 1997] – o altă metodă bazată pe eliminarea elementelor ineficiente din mesh-ul de EF, automate celulare – o veche metoda de simulare dinamică studiată inca din anii 1960 [von Neumann, 1966] bazata pe construirea de sisteme bloc cu comportament predefinit [Wolfram, 2002] și, în cele din urmă, Algoritmii Evolutivi (EAs) bazati pe principiile selectiei naturale.

Figura 3: Guangzhou Opera House, Arhitect: Zaha Hadid, Structura: Shanghai Tongking (SHTK), China „Siguranța fiind numarul unu intre obiectivele noastre, dorim sa reducem greutatea oțelului

pentru a încerca să facem costul structurilor metalice apropiat de cel al clădirilor din beton, în condiții similare.”

Optimizarea formei

În această formă de optimizare, topologia structurii este cunoscută a-priori, dar poate exista o parte și / sau de detaliu al structurii, în care, de exemplu, tensiuni mari pot produce probleme. Prin urmare, obiectivul este, de obicei, găsirea celei mai bune forme, care va duce la distribuirea tensiunilor cât mai eficient. Parametrii de forma sunt dimensiuni ale pieselor optimizate sau un set de variabile care descriu forma, de exemplu coeficienții de funcții spline. Din punct de vedere matematic, două reprezentări de variabile – cele continue și discrete – pot fi găsite în domeniul optimizării formei. Prezentare generală a primului caz poate fi găsită în [Sokolowski și Zolesio, 1992], și al doilea caz ​​rezumat în [Bauer și Gutkowski, 1995]. Algoritmii disponibili pentru rezolvarea acestor probleme sunt programarea matematică [Haslinger și Neittaanmaki, 1996], din nou ESO; o nouă metodă în acest context, este creșterea biologica simulată bazata pe definiția de temperatură "falsă", sau artificială [Mattheck și Burkhardt , 1990], și din nou Algoritmii Evolutivi (EAs).

Potrivit cărții Space Craft: Developments în Architectural Computing (RIBA Publishing, 2008), "fizicienii irlandezi Denis Weare și Robert Phelan au putut să calculeze că modul cel mai eficient de a împărți un spațiu în celule de volum egal minimizând în același timp suprafața specifica între ele a fost să utilizeze un aranjament suprapus compus din 75% forme cu 14 fețe și 25% forme cu 12 fețe. "Până aici toate bune, dar din moment ce structura rezultată va avea 22.000 de elemente din oțel conectate la 12.000 de noduri, generarea unui model real bazat pe idee depășeste posibilitatile proiectării convenționale.”

Figura 4: Designul optimal al Water Cube (China) a fost determinat prin analizarea a multiple configuratii ale miilor de elemente structurale din otel și a conexiunilor (nodurilor).

În schimb, în conformitate cu cartea, a manipula dinamic acest sistem geometric complex, Arup a scris parametric un software care a automatizat procesul de desen și de analiză. Bazat pe restricții specifice de proiectare și mai puțin de 190 de scenarii de încărcare, algoritmul verifică iterativ distribuția a forțelorprin întreaga structură pe baza dimensiunilor specifice ale elementelor, permițând echipei să testeze diferite configurații de proiectare și primească feedback-ul în 25 de minute.Rezultatul a fost o cladire spectaculoasa, cu o structură sofisticată, care este optimizată din punct de vedereraport material de greutate-rezistență pentru a-, și a fost realizat cu o relativă ușurință. În plus față de avantajele structurale, Arup a estimat că a economisit 10 milioane dolari la costurile de proiectare, comparativ cu metodele tradiționale de proiectare.

Optimizarea dimensională

Acestea sunt combinate pentru a atinge criteriile de optimalitate dorite. În cadrul acestui domeniu două grupe principale de structuri pot fi distinse [2].

Structuri discrete. Aici pot aparea structuri articulate și structuri cu legaturi rigide. În cazul structurilor din oțel, aproape toate problemele posibile de optimizare au fost supuse unei anumite forme de investigație. Pentru a enumera o serie de probleme rezolvate cu succes, optimizarea structurilor cu legaturi semi-rigide [Kameshki și Saka, 2001], optimizarea împotriva flambajului [Rong et al, 2001.], sau găsirea unei greutati minime în cazul folosirii unui număr minim de profile de oțel într-un design [Greiner et al, 2001.] și [Greiner et al, 2003.]. Multe exemple de probleme de dimensiuni mici din acest domeniu servesc drept benchmarks pentru diferite tipuri de algoritmi de optimizare, cum sunt grinda cu zăbrele din 10 bare [Belegundu, 1982] și grinda cu zăbrele spațiala din 25 bare [Adeli și Kamal, 1986], acestea fiind cele mai des citate. Aici, toate variabilele sunt selectate din setul discret de valori admisibile predefinite.

Structuri continue. Acest grup cuprinde structuri asemanatoare grinzilor- definite de variabile continue, care nu sunt cunoscute în avans, în contrast cu cazul anterior exemplul de bază este o grinda cu momente de inerție definite ca variabile continue [Lagaros et al, 2002.]. Încă o dată, metodele disponibile de optimizare sunt programarea matematică pe bază de gradient, criteriile de optimalitate, metode hard-kill, cum sunt cele menționate anterior: ESO și din nou EA. Ca o consecință a definițiilor introduse de mai sus, putem distinge o formă suplimentară de optimizare structurală. În cazul în care o variabilă de design – dimensiunea unui element sau valoarea unei proprietăți materiale – poate ajunge la valoarea zero, adică nu este necesară în structura și poate fi eliminata, atunci acest tip de optimizare este adesea numit Optimizare de Configurație, de exemplu, [Kirsch, 1995]. Piatra de temelie a acestei abordări este așa-numita structura de baza (ground structure), care definește toate pozițiile posibile ale nodurilor și setul tuturor elementelor / conexiunilor posibile între aceste noduri. Apoi, scopul este eliminarea de elemente ineficiente pentru a obține o structură optimă. În cazul în care coordonatele de noduri sunt de asemenea necunoscute, atunci aceasta formulare devine parte din optimizarea topologiei, a se vedea secțiunea 1.2.1. Prin urmare, optimizarea configuratiei poate fi văzută ca punct de legătură între cele două tipuri menționate anterior, de optimizare.

Optimizarea topografica

Această formă este cel mai puțin investigată parte a optimizarii structurale. Aici se pot intalni căutarea de forme eficiente pentru structuri de tip shell, membrana sau cort. Doar câteva lucrări pe această temă pot fi găsite în literatura de specialitate, de exempu [Goslingt și Lewist, 1996] sau [Schwarz et al, 2001]. Metodele programării matematice sunt cunoscute ca singurele soluții eficiente pentru acest tip de probleme de optimizare.

În calculele de optimizare a structurilor se operează cu o serie de noțiuni și concepte ale teoriei matematice a optimizării, care capătă semnificații specifice corespunzătoare scopului urmărit și restricțiilor impuse.

Algoritmii stocastici

Designul optim generat de aceste metode este dependent de mai mulți factori: designul de la care se pornește, numărul iterațiilor de optimizare și gradul de aleatoriu al metodei. În cazul general, nu este cunoscută configurația optima globala, iar rezultatele obținute în cursul a doua rulări al aceluiași algoritm stocastic pot fi diferite. De aceea este necesară executarea multiplă a optimizării pentru a putea fi evaluata performanta designului. Metodele stocastice pot fi evaluate referitor la performanta și eficacitate luând în considerare acuratețea rezultatelor, cat sunt acestea de robuste și care este costul computațional.

După mai multe rulări ale algoritmului poate fi măsurată acuratețea în funcție de greutatea medie a cadrului optim obținut. Robustețea se va măsura în funcție de deviația standard a greutăților structurilor, iar costul computațional se măsoară în numărul de analize structurale necesare obținerii rezultatelor. Un algoritm bun nu generează doar modele structurale mai ușoare, ci le și generează în mod consecvent cu un cost computațional rezonabil. Dintre metodele stocastice utilizate în literatura, incluzând algoritmii genetici (GA), optimizare cu colonie de furnici (ant colony optimization), călire simulata (simulated annealing SA), căutarea tabu (tabu search), optimizare cu roiuri de particule (particle swarm optimization PSO), harmony search și metode hibride, și care au dovedit capacități ample în obținerea de configurații pentru cadre optime, nici una dintre aceste metode nu s-a dovedit a fi superioară celorlalte în termenii celor trei caracteristici metrice (acuratețe, robustețe și eficiență computațională).

Optimizarea structurală poate fi formulată în mai multe moduri – într-un spațiu de variabile discrete sau continue, cu funcții obiectiv care calculează costurile în diferite moduri, și o multitudine de posibile restricții. Pentru a genera un context pentru formularea problemei și a algoritmilor utilizați în studiile de caz, este prezentat în continuare un studiu al literaturii și sunt prezentate avantaje și dezavantaje ale celor mai utilizate metode de formulare. Problema de optimizare din acest studiu are un număr semnificativ de variabile discrete alese din domenii care variază intre zeci și sute de posibilități. Funcția obiectiv aleasa este discontinua, ceea ce face nepractică utilizarea metodelor de gradient. Algoritmii stocastici sunt recunoscuți pentru performanta lor în optimizarea structurală în spatii de căutare ample, cu variabile discrete. Multe metode stocastice au fost aplicate în optimizarea structurilor, însă fiecare algoritm are aceeași forma de baza în care soluția cea mai eficienta este îmbunătățită gradual cu fiecare generație. La fiecare iterație, un număr stabilit de vectori de design este generat și valoarea fitness a fiecăruia este evaluata cu ajutorul funcției obiectiv și a restricțiilor. Cele mai bune soluții sunt selectate și utilizate la crearea generației următoare de soluții candidat. Procesul este repetat pana când un criteriu stabilit de convergenta este îndeplinit. Datorita acestor asemănări cu teoria darwinista – supraviețuirea celor mai potrivite soluții (fittest), reținerea celor dorite și înmulțirea soluțiilor optime din mulțimea acestora – a algoritmilor utilizați la optimizarea cu variabile discrete, metodele se numesc algoritmi evoluționiști.

Aceștia oferă numeroase avantaje: nu necesita calculul gradienților și matricelor hessiene – făcându-i eficienți în identificarea soluțiilor pentru funcții neliniare și cu "vârfuri" ascuțite. Generarea aleatorie, prin încercări consecutive, a soluțiilor candidat, permite algoritmilor sa realizeze o căutare eficienta a spatiilor unor probleme cu multe posibile variabile de design. Deoarece fiecare generație de soluții iterative este stocastic derivata din precedenta, acești algoritmi sunt buni candidați pentru calculul paralel, unde multiple lanțuri de soluții pot fi calculate pe procesoare paralele. Cel mai însemnat punct slab al acestor algoritmi este costul computațional mare, dependenta lor de parametri specifici care controlează nivelul variabilității de la o generație la alta, și – deoarece optimalitatea și convexitatea funcției obiectiv nu pot fi verificate cu gradienți și matrice hessiene – incapacitatea de a determina cu siguranță dacă soluția obținută este optimul global [Murren,2011].

Algoritmii stocastici incorporează restricțiile, în mod tipic, sub forma funcțiilor de penalizare:

Unde este un vector de variabile de design reprezentând locația secțiunilor disponibile în lista de posibilitati. Astfel, fiecare variabila poate fi aleasa din aceste posibilitati. Se asigura satisfacerea restricțiilor prin aplicarea factorului de penalizare la functia de cost Restrictiile sunt exprimate în termeni de funcția auxiliara într-o maniera în care când restrictia este satisfacuta și >0 în caz contrar.

Algoritmii evoluționiști

Sunt o categorie de metode numerice stocastice bazate pe analogii cu genetica. Paradigmele AE au fost dezvoltate de cercetători începând cu 1960. Principiile evoluționiste au fost implementate în algoritmi cu ajutorul cărora se pot soluționa probleme de optimizare. Diferența între algoritmii evoluționiști și algoritmii tradiționali constă în crearea unei populații. Prin adaptarea de generații succesive și a unui număr mare de indivizi, algoritmii evoluționiști efectuează o căutare directă și eficientă .

Metodele care sunt aplicate în arhitectura și inginerie sunt:

Algoritmi genetici (GAs)

Strategii evoluționiste (ESs)

Calcul evoluționist interactiv (IEC)

Aceste metode au punct comun în utilizarea unor generații de populații de soluții pentru căutarea în spațiul de soluții a celor care corespund cel mai bine criteriilor funcțiilor obiectiv. Performanta unei soluții este măsurată în fitness, și populația evoluează gradual prin încrucișare, mutație și selecție spre soluții mai bune. Soluțiile individuale, care în aceasta lucrare sunt forme structurale, geometrice, sunt descrise de variabile. Variabilele sunt reprezentate intr-un cromozom asupra căruia sunt aplicați operatorii genetici pentru a crea indivizi noi mai performanți.

Cu cat e nevoie de mai multe variabile pentru a descrie geometria structurii, cu atât lungimea șirului cromozomului va fi mai mare. Mărimea populației este proporțională cu lungimea cromozomului iar numărul de generații necesare pentru convergenta depinde de ambii factori. Așadar, cu cat e nevoie de mai multe variabile de proiectare cu atât problema devine mai intensiva computațional (Goldberg, Deb & Clark 1991).

Algoritmii genetici

Algoritmilor genetici li s-a acordat o atenție deosebită datorită potențialului de a reprezenta o modalitate nouă de optimizare.

Primul cercetător al teoriei algoritmilor genetici a fost John Holland, care i-a descris în cartea „Adaptation în Natural and Artificial Systems” în 1975. Domeniul algoritmilor evoluționiști include strategii evoluționiste (ES), programare evoluționistă (EP), viața artificială (AL), programare genetică (GP). În 1960 Ingo Rechenberg și Hans-Paul Schwefel din Germania au dezvoltat ideea strategiilor evoluționiste, în același timp în USA Lawrence Fogel și alții au pus bazele programării evoluționiste. Aceste teorii aveau în comun ideea procesului de mutație și selecție, inspirat din teoria evoluționistă a lui Darwin, Bremermann și Fraser au folosit teoria recombinării (crossover) [Hayalioglu,2001].

Algoritmii genetici sunt construiți pentru a efectua căutarea structurilor din ce în ce mai bune, iar această procedură necesită o funcție obiectiv – funcția „fitness” a cărei valoare este asociată unui sir numit „individ”. GA utilizează trei operații de baza pentru crearea unei noi generații: selecție, încrucișare și mutație grupate sub denumirea de reproducere. Operația de reproducere cuprinde copierea sau modificarea unor indivizi dintr-o generație în alta, în funcție de valoarea funcției „fitness”. Funcția de selecție poate fi implementată într-un algoritm în diferite forme. Cea mai simplă formă a funcției se bazează pe teoria „roulette wheel” sau [Sivanandam,2008].

GA sunt avantajoși și eficienți când: spațiul de căutare este mare, complex sau dificil de definit, domeniu de răspuns este redus sau condițiile sunt dificil de codat pentru a obține un spațiu de răspuns concentrat, metodele tradiționale de optimizare nu generează soluții satisfăcătoare.

Printre avantajele folosirii GA merita menționate ușurința cu care se pot aplica tipuri de restricții arbitrare și varietatea mare a posibilelor funcții obiectiv. Toate aceste lucruri pot fi manipulate ca componente de penalizare a funcției de fitness, făcând ușoară adaptarea algoritmului la cerințele specifice ale unei varietăți de obiective generale [Sivanandam,2008].

Figura 6.1.1 Schema unui algoritm genetic simplu

Mecanismele fundamentale care realizează legătura dintre algoritmul genetic și problema care trebuie rezolvată sunt următoarele:

– codificarea problemei în termeni de cromozomi,

– funcția de evaluare, care furnizează o măsură a calității fiecărui cromozom în contextul problemei respective.

Codificarea se realizează de obicei prin șiruri de cifre binare. S-a demonstrat că acest mod de codificare este robust, în sensul adaptării lui la o mare varietate de probleme practice. Ceea ce i se reproșează uneori este precizia soluției, limitată la numărul de biți, pe care se face reprezentarea. Alegerea unui număr suficient de mare de biți pentru reprezentarea valorilor reale din problemă înlătură însă acest dezavantaj.

Mai jos sunt prezentate programe scrise în MATLAB, care fac conversia zecimal-binar și invers.

Funcția de evaluare primește la intrare șirul de cromozomi și returnează numere sau liste de numere ce reprezintă performanța cromozomilor. Ea are rolul mediului înconjurător pentru evoluția naturală.

Structura unui algoritm genetic fundamental este dată mai jos:

1. Se inițializează populația de cromozomi:

2. Se evaluează fiecare cromozom din populație. Se selectează părinții noii populații.

3. Se creează o nouă generație de cromozomi prin împerecherea cromozomilor selectați, folosind operatori genetici.

4. Se șterg membrii populației inițiale, pentru a fi înlocuiți cu noua generație.

5. Se evaluează noii cromozomi și se inserează în noua populație.

6. Dacă timpul de căutare nu s-a terminat, se merge la pasul 3. În caz contrar, se oprește execuția algoritmului.

Modul de reprezentare a populației de cromozomi, modul de evaluare a cromozomilor și modul de reproducere sunt componente esențiale ale algoritmului genetic și sunt prezentate în cele ce urmează.

Valoarea fitness a unui individ, într-un algoritm genetic este dată de funcția obiectiv (funcția fitness). În cazul optimizării multicriteriale funcția obiectiv se determină mai dificil. Pentru problemele de optimizare multicriteriale exista o problemă legată de evaluarea soluției optime . Când procesul AG de căutare începe, populația este supusă unei evaluări cu ajutorul funcției fitness. În funcție de această evaluare se va alcătui noua populație. La acel moment, în fiecare generație, soluțiile relativ bune sunt reproduse și soluțiile cu valoare fitness mică sunt abandonate. Pentru a distinge soluțiile avem nevoie de o funcție de evaluare (funcția fitness), aceasta are un rol important în procesul evoluționist, precum și mecanismele de scalare. Atunci când se evaluează funcția fitness a unor indivizi, avem nevoie de o procedură de decodare [Bendsœ, 1988].

O componentă necesară în aplicarea algoritmilor genetici este modul de manipulare a restricțiilor, deoarece operațiile algoritmilor genetici asupra indivizilor creează indivizi nefezabili [Bendsœ, 1988]. Algoritmii genetici generează indivizi care urmează să fie testați cu ajutorul funcției fitness și a restricțiilor .

Clasificarea tehnicilor de manipulare a restricțiilor:

Strategiile de respingere elimină indivizii nefezabili creați printr-un proces evoluționist. O astfel de abordare este limitată în cazul în care populația inițială conține mulți indivizi nefezabili care trebuie îmbunătățiți pentru a trece în domeniul fezabil, dar deseori pentru ca algoritmul să ajungă la un optim, individul trebuie să traverseze un domeniu nefezabil [Bendsœ, 1988].

Strategiile de reparare implică selectarea unui individ nefezabil și prin anumite procese de reparare se transformă într-un individ fezabil. Aceste strategii depind de existența unor proceduri deterministice de reparare a soluțiilor nefezabile inlocuindu-i cu indivizi fezabili. Dificultatea acestor metode constă în definirea unui algoritm de reparare pentru fiecare problemă de optimizare în parte. Orvosh și Davis a definit regula de 5%, această regulă euristică prevede ca AG cu o procedură de reparare oferă cele mai bune rezultate atunci când 5% din cromozomi sunt reparați înlocuind indivizii nefezabili. Michalewicz a raportat că regula de înlocuire de 15% indicata pentru probleme de optimizare numerică cu restricții neliniare.

Aplicând strategiile de modificare a operatorilor genetici vom genera indivizi fezabili, astfel încât algoritmul genetic lucrează în domeniul fezabil. Michalewicz a subliniat faptul că de multe ori astfel de sisteme sunt mult mai fiabile decât oricare alți algoritmi genetici bazați pe metodele de penalizare. Avantajul strategiile descrise anterior constă în eliminarea generării de soluții nefezabile, dar au dezavantajul că nu consideră puncte din afara regiunilor fezabile. Pentru problemele cu restricții majore soluțiile nefezabile pot ocupa un procent mare din totalitatea soluțiilor. Într-un astfel de caz, soluțiile fezabile pot fi greu de găsit dacă vom limita căutarea în zona regiunilor fezabile [Bendsœ, 1988]. Pentru ca AG să opereze cu soluțiile nefezabile se pot aplica strategii de penalizare a funcției obiectiv. Aceste strategii transformă problema de optimizare cu restricții într-o problemă de optimizare fără restricții cu ajutorul unei funcții de penalizare .

Procesul de scalare are rolul de a evita o convergență prematură a algoritmului sau terminare înceată. De obicei la începutul algoritmului variația între indivizi este mare și doar o mică parte dintre ei sunt mai buni decât restul indivizilor. Cu o selecție conform valorii fitness nescalate acestea se vor multiplica repede și vor împiedica algoritmul să exploreze spațiul soluțiilor, acest fenomen este cunoscut drept o convergența prematură [Melanie, 1996].

Scalarea liniara a valorii fitness se face cu relația:

Cu această metodă valoarea fitness medie a indivizilor trebuie sa se păstreze și după scalare. Pentru a înlătura posibilitatea ca indivizii superiori să domine procesul de scalare trebuie respectată egalitatea:

Unde: C – reprezintă numărul indivizilor cu valoarea fitness optimă.

Metoda de scalare sigma are rolul de a exercita o presiune constantă asupra procesului. Valoarea fitness a individului se recalculează în funcție de valoarea fitness medie a populației și de deviația standard [Arora, 1997].

reprezintă valoarea scalată a individului , reprezintă valoarea fitness a individului, iar este valoarea medie a populației și este deviația standard a fitness-ului populației [Arora, 1997].

Scalarea prin metoda puterii se aplică cu ajutorul relației:

Unde: k – constanta (1.005)

Această metodă se folosește împreună cu metoda de selectare „roulette wheel” .

Selecția este un operator genetic care stabilește șirurile populației curente care vor fi alese pentru a transmite materialul lor genetic generației următoare.

Există trei tehnici de selecție:

• cea mai utilizată este selecția proporțională, care modelează mecanismul selecției naturale, în care cromozomii cu o evaluare mai mare au o șansă mai mare de a fi aleși. Cunoscută și sub numele de principiul ruletei, această tehnică presupune parcurgerea următoarelor etape:

1. Se stabilește funcția de evaluare pentru fiecare cromozom din populație feval(xi)

2. Se sumează toate funcțiile de evaluare

3. Cromozomilor li se atribuie aleator numerele naturale i.

Repetă până la crearea unui număr suficient de perechi de cromozomi:

4. Se generează numerele aleatoare n și m, astfel ca 1≤n, m ≤ feval ,

5.Se alege cromozomul xi , unde i este cel mai mic număr care satisface relația:

6. Se alege cromozomul xj, ca la pasul 5, cu m în loc de n

7. Se stabilește perechea de cromozomi xi și xj.

Această modalitate de selecție insa poate genera serioase probleme dacă un cromozom din populație are o funcție de evaluare de valoare mult mai mare decât a celorlalți cromozomi, aceasta fiind departe de optim, iar atunci selecția proporțională va extinde foarte repede caracteristicile acestui cromozom în populație. În câteva generații populația ar putea fi alcătuită numai din astfel de cromozomi și algoritmul genetic nu ar mai putea evolua, deci optimul nu mai poate fi găsit. Acest fenomen este cunoscut sub numele de convergență prematură.

O altă problemă o constituie gradientul scăzut al funcției de evaluare spre sfârșitul căutării. Treptat soluția optimă este preluată de întreaga populație. Efectul este cunoscut sub numele de terminare lentă (slow finishing).

O altă tehnică de selecție este selecția pe baza rangului, în care probabilitatea de a fi ales este o funcție liniară de locul ocupat de individ (cromozom) în cadrul populației. Avantajul constă în faptul că nu mai este necesară interpolarea permanentă a evaluării ca în cazul precedent. Un caz special de selecție de acest tip este selecția prin trunchiere, prin care se elimină o parte din cromozomii cu cea mai slabă evaluare, iar în locul lor se generează alții, după diferite scheme posibile. Un exemplu este prezentat în continuare:

1. Din populația actuală se elimină n cromozomi care au evaluarea cea mai slabă.

2. Se generează un nou cromozom x, folosind principiul ruletei

3. Dacă x diferă de toți ceilalți cromozomi ai populației actuale, atunci el este inclus în populație; în caz contrar, este supus operatorului de “mutație” (explicat mai jos) până ce devine diferit de ceilalți cromozomi și este inclus în populație.

O metodă euristică de selecție este selecția elitistă, care reține întotdeauna cei mai buni cromozomi ai populației (de regulă unul singur). Ea garantează convergența asimptotică spre un minim global, dar rata de convergență este variabilă, funcție de problemă. Elita poate introduce un efect de dominanță asupra populației care să ducă la o stagnare timpurie a procesului de evoluție. Soluția constă în utilizarea operatorului de mutație pentru reducerea acestui efect.

Încrucișarea (crossover) este operatorul necesar pentru construcția noilor indivizi ai populației.

Populația intermediară, formată din n cromozomi , este împărțită în n/2 perechi și operatorul de încrucișare este aplicat fiecărei perechi cu o anumită probabilitate χ. Valoarea lui χ este de obicei mai mare de 0,6 și de cele mai multe ori se alege χ= 1.

Noii indivizi ai populației sunt generați prin combinarea unor părți alternative de material genetic provenind din două șiruri părinte a1 și a2. Cea mai simplă schemă este încrucișarea cu un singur punct. Dacă numărul de biți din cromozomul-șir este l= numbt, atunci punctul de încrucișare este ales aleator între 1 și l. Această schemă de încrucișare este prezentată mai jos:

1. Se generează aleator un număr natural p în intervalul [ 1 , l ( ai) ] ;

2. Se generează noua pereche de cromozomi a1new și a2new , după cum urmează:

Pentru i≤p se execută următoarea secvență:

și

Pentru i>p se execută următoarea secvență:

și

Mutația permite algoritmului genetic să găsească noi soluții în cadrul populației și îl protejează

împotriva pierderii de informație în cazul unor încrucișări nepotrivite. Rata mutației este foarte

redusă, probabilitatea mutației având valori cuprinse între 0,001 și 0,01. Dacă

operatorul de selecție reduce diversitatea în populație, cel de mutație determină o nouă creștere a diversității. Cu cât probabilitatea mutației este mai mare, cu atât mai redus este riscul convergenței premature, dar apare un nou risc datorită faptului că o rată mare de mutație va transforma algoritmul genetic într-un algoritm de căutare aleatoare.

O schemă tipică de mutație pentru un cromozom este:

1. Se generează aleator un număr z astfel încât 1≤z≤n;

2. Se selectează gena ;

3. .

Criterii de convergenta: Numărul maxim de generații – algoritmul genetic se oprește la îndeplinirea unui număr maxim de generații, stabilit de utilizator. Timpul de executare – algoritmul genetic se poate opri după o anumită perioadă setată de utilizator. Nici o schimbare a valorii fitness – valoarea minimă sau maximă a funcției fitness rămâne constantă pentru un număr de generații stabilit. Stall generations- algoritmul se oprește dacă nu apare nicio îmbunătățire în funcția obiectiv pentru un numar de generații consecutive. Stall time limit- algoritmul se oprește dacă nu apare nici o îmbunătățire în funcția fitness pe parcursul unui interval de timp echivalent în secunde cu stall time limit. Best individual – criteriu de convergență pentru determinarea celui mai bun individ oprește căutarea dacă valoarea minimă fitness dintr-o populație scade sub valoarea de convergentă. Acest lucru aduce procesului de căutare rapiditate, garantând cel puțin o soluție fezabilă .

Problemele tipice la care sunt aplicați algoritmii genetici includ designul grinzilor cu zăbrele de greutate minimă, optimizare topologică, analiza limitelor, design cu număr minim de bare.

m bare de lungime l și arii secționale xi

N noduri; nodurile 1,…,n sunt libere, nodurile n+1,…,N sunt fixate

încărcări externe: forțe la nodurile i=1,…,n.

Probleme de design:

dată fiind topologia (pozițiile barelor și a nodurilor), sa se găsească cea mai ușoară structură care poate purta o încărcare dată (variabile: dimensiunea barelor, cost: greutatea totală)

aceeași problemă, dar costul include numărul barelor utilizate

găsirea topologiei optime

găsirea celei mai ușoare configurații care poate purta încărcările date

Problema de analiză: pentru o structură dată, care este încărcarea limită?

Caracteristicile materialului:

este forța în bara i (ui>0: intindere, ui<0: compresiune)

este deformația barei i (și>0: alungire, și<0: scurtare)

și = 0 dacă − α < ui /xi < α

ui /xi = α dacă și > 0

ui /xi = − α dacă și < 0 (α este o constantă de material)

Structura de greutate minimă în condițiile de încărcare date:

relațiile de echilibru pentru nodul liber i:

depinde de topologie

dacă bara j nu este legată de nodul i

altfel

design de greutate minimă utilizând programare liniară (LP):

să se minimizeze

în condițiile în care

(variabile )

Exemplu:

să se minimizeze

în condițiile în care

Modelarea topologică:

Se creează un grid de noduri unit cu bare între fiecare pereche de noduri

Se caută designul structurii de greutate minima: pentru majoritatea barelor

Topologia optima: se utilizează doar barele cu

Exemplu:

Grid de 20 x 11, adică 220 de noduri potențiale și 24.090 bare potențiale.

Nodurile a, b, c sunt fixate iar în nodul d este aplicată o forță verticală unitară.

Topologia optimă are 289 de bare.

Scenarii de incarcare multiple

Structura de greutate minima care poate rezista la M posibile incarcari :

Sa se minimizeze

Considerand restrictiile

(variabile )

Pentru a asigura robustetea designului: structura rezista la orice incarcare

Unde

Analiza limitei

Structura are geometria data (inclusiv ariile sectiunilor ).

Incarcarea este data de , cu valorile și .

Sa se gaseasca cea mai mare valoare a incarcarii capabile:

Sa se maximizeze

Considerand restrictiile

Are forma unei probleme de programare liniara (LP) în variabilele . Pentru valoarea maxima admisa se numește factor de siguranță.

Design cu număr minim de bare

Formulare LP cu numere întregi (considerând

Sa se minimizeze

Considerand restrictiile

Variabile

Extrem de greu de rezolvat; uneori trebuie enumerate toate cele valori posibile ale lui .

În formularea euristica se inlocuieste cu

Genereaza o problema LP; în puctul de optim cele mai mule valori vor fi 0 sau 1 (insa nu toate). Se numeste relaxare LP a problemei de LP cu numere intregi.

MATLAB dispune și de “Genetic Algorithm and Direct SearchToolbox” care permite utilizarea algoritmilor genetici intr-un domeniu amplu de probleme. Acest toolbox include multiple optiuni în ceea ce priveste parametrii programului, ca de exemplu operatori de selectie, crossover și mutatie variati, o interfata grafica interactiva, reprezentarea grafica a curbei de convergenta și a indivizilor, etc.De asemenea, datorita faptului ca algoritmii sunt scrisi în limbajul MATLAB, utilizatorul poate inspecta și modifica aceste fisiere și pote crea functii personalizate

Pentru a putea aplica acest GA toolbox unei probleme de optimizare, Functia MATLAB trebuie sa fie implementata cu o reprezentare specifica problemei, sa aiba un sistem propriu de codare genotip/fenotip, o metoda de evaluare a functiei fitness și a functiei de penalizare..

Optimizarea structurală evolutivă (ESO)

Tehnica a fost inițial propusă în 1992 de către profesorii Mike Xie și Steven Grant [17]. Ei au propus să a dezvolta o tehnica foarte simpla, dar versatilă pentru a găsi modele optime structurală. ESO se bazează pe conceptul de eliminare a materialelor ineficiente încet dintr-o structură, astfel încât structura reziduală evoluează spre optim.

metoda ESO se dovedește a fi capabilă să rezolve dimensiuni, formă și optimizarea topologie structurală pentru statică, stabilitate dinamică, și probleme de transfer de căldură sau combinații ale acestora [17-28]. are aplicabilitate ESO metoda de a practica mulți ingineri și arhitecți, în special datorită simplității și eficienței. Orice persoană care are cunoștințe de bază de analiză cu element finit (FEA), poate înțelege cu ușurință și aplica metoda ESO. Un alt avantaj al metodei ESO este că poate fi ușor de implementat și legat de pachetele comerciale, FEA, cum ar fi ABAQUS, ANSYS și NASTRAN.

Pentru structuri aflate numai în tensiune sau numai în compresie, metoda tradițională ESO elimină material de la o structură de baza pe criterii definite pentru tensiuni von Mises sau energia de deformare a fiecărui element.Anumite materiale de constructii, cum ar fi betonul și cablurile de oțel, sunt potrivite numai pentru supunerea la tensiuni de exclusiv de compresiune sau întindere. Metoda ESO a fost extinsa la proiectarea structurilor de tensiune și comprimare exclusiva.

Pentru a realiza o structura optimădoar de tensiune-, elemente cu cele mai mari tensiuni de compresie vor fi înlăturate în prima etapă. Apoi, elementele mai puțin intinse vor fi șterse din structura de asemenea. În mod similar, pentru a obține o structură optimădoar comprimat-, elemente cu cele mai mari tensiuni de intindere vor fi înlăturate în prima etapă. Apoi, elementele mai puțin comprimate vor fi șterse din structura de asemenea.

Figura 6.1.1: Soluție ESO a unei structuri în compresie exclusiv (simularea fațadei Patimilor a bisericii Sagrada Familia din Barcelona, Prof. Mark Burry al SIAL Sursa: http://isg.rmit.edu.au/research_ESO.html)

Pentru a obține un design ESO ne-liniar, modele de elemente finite sunt analizate prin luarea în considerare a neliniarității materiale și / sau a neliniarității geometrice. Două criterii pentru îndepărtarea materialului au fost experimentate. Unul se bazează pe ștergerea elementelor cu tensiuni von Mises mici, cealaltă se bazează pe eliminarea elementelor cu energie de deformare scăzută. Exemplul de mai jos se bazează pe criteriul energiei de deformare.

Figura 6.1.2: Comparație acapacității de transmitere a sarcinii-intre modele ESO liniar și ne-linear (soluție ESO neliniară presupunând că σ =ε0.2)

Figura 6.13: Modelarea unui spatiu subteran sustinut de 16 stalpi

Figura 6.14: Sistem de transfer al incarcarilor pentru un atrium al unei cladiri multietajate

Optimizare de tip PSO (particle swarm optimization)

PSO a fost formulată de către Edward și Kennedy în 1995. Algoritmul a fost inspirat din comportamentul social al animalelor, cum ar fi comportamentul păsărilor sau a peștilor. Asemănarea între PSO și AG este dată de operarea cu ajutorul unei populații aleatoare (exprimată sub formulare matriceală). Spre deosebire de AG, PSO nu folosește procesele de mutație sau încrucișare. Elementele matricei sunt numite particule (la fel ca cromozomii pentru AG). Fiecare particulă se mișcă pe suprafața de răspuns cu o anumită viteză [Otten, 1989].

Optimizare de tip Simulated Annealing

A fost introdusă de Kirkpatrick (1983); această teorie se bazează pe procesul termic prin care se modifică microstructura materialului cu implicații directe asupra proprietăților fizice. Algoritmul analog acestui proces începe prin atribuirea de valori aleatoare variabilelor, iar procesul de încălzire este reprezentat prin modificarea aleatoare a variabilelor [Otten, 1989].

Procesul începe cu un algoritm care are ca efect selectarea aleatorie a variabilelor funcției obiectiv, iar încălzirea însemnând modificarea aleatorie a acestor valori, o valoare mai mare a încălzirii atrage după sine o mai mare fluctuație a valorii factorului aleator care modifică respectivele valori. Funcția obiectiv returnează rezultatul , f, cu un set cunoscut de variabile. Dacă rezultatul scade de-a lungul procesului, atunci rezultatul nou îl înlocuiește pe cel vechi. Dacă rezultatul crește, atunci rezultatul acceptat are ca variabile un număr aleator "r" și un T care este o variabilă, altfel setul nou de variabile este respins. Astfel, chiar dacă una dintre diferitele seturi de variabile duce spre o funcție obiectiv mai slabă, ea poate fi eligibilă cu o anume probabilitate. Setul nou de variabile este calculat aplicându-i un pas aleator setului vechi de variabile [Otten, 1989].

Exista anumite probleme de optimizare care devin prea complexe pentru metodele clasice, odată cu creșterea numărului de variabile considerate. Pentru acest tip de probleme algoritmul de tip călire simulata (numit astfel deoarece mimează procesul la care sunt supuși atomii unui metal când acesta este încălzit și apoi supus unei răciri lente) se dovedește foarte eficient. Chiar dacă aceasta tehnica are puține șanse sa găsească soluția optima, poate adesea găsi soluții foarte bune, chiar și în cazul unui domeniu de valori cu zgomot. Călirea simulata este o strategie care se bazează pe doua trucuri. Primul este așa numitul „algoritm Metropolis” " (Metropolis et al.1953), care permite selectarea unor soluții care nu reduc funcția fitness dar care permit explorarea mai vasta a spațiului de soluții posibile. Acestea sunt permise prin utilizarea criteriului ca:

unde  este distanta dintre soluțiile interschimbate (negativa în cazul unui schimb „bun”, pozitiva în cazul unei schimbări nefavorabile),  este „temperatura sintetica” (synthetic temperature), iar  este o valoare aleatorie în intervalul .  se numește "funcție de cost," și ii corespunde energiei libere din cazul călirii unui metal (caz în care parametrul de temperatura ar fi chiar , unde  este constanta lui Boltzmann iar  este valoarea temperaturii pe scara Kelvin. Daca  este mare, sunt acceptate multe schimbări nefavorabile, și astfel o mare parte a spațiului de căutare este accesat. Valorile schimbate sunt alese, în mod normal, aleatoriu, dar exista și tehnici mai sofisticate de generare a soluțiilor. Al doilea truc este, de asemenea prin analogie la călirea metalului, scăderea „temperaturii”. După realizarea multor schimburi de soluții și observarea scăderii lente a funcției de cost, va fi scăzută temperatura, și limitat astfel numărul de schimburi nefavorabile. După scăderea repetata a temperaturii înspre o valoare scăzută, poate fi „stins” procesul prin acceptarea exclusiva a schimburilor bune, spre a găsi minimul local al funcției de cost. Existe numeroase scheme de temperatura de călire, însă rezultatele nu sunt de obicei foarte sensibile la detalii.

Mai exista o alta strategie rapida numita prag de acceptare (threshold acceptance, Dueck and Scheuer 1990). Acesta strategie accepta toate schimburile bune, și pe cele nefavorabile dar care cresc valoarea funcției cost cu o valoarea aflata sub un anumit prag stabilit. Acest prag de acceptare este scăzut progresiv, asemenea temperaturii sistemului în cazul călirii simulate. Astfel este eliminat exponentul și generarea de numere aleatorii din cazul criteriului Boltzmann. Din acest motiv metoda poate fi mai rapida în simulările computaționale.

Strategii de optimizare

Prin strategie de optimizare înțelegem ansamblul de proceduri, descrise in metode si algoritmi de optimizare matematica sau non-matematică, care pot fi combinate pentru obținerea rezultatului căutat .

Direcții de cercetare

Diferitele direcții de cercetare din domeniul optimizării structurale evoluționiste au fost împărțite în trei categorii: design structural specializat, îmbunătățiri ale GA, și obiective ale optimizării.

Designul structural specializat implica algoritmii genetici care sunt adaptați unor tipuri specifice de structuri. Aceste tipuri includ grinzi cu zabrele, cadre plane, cadre spatiale, turnuri tip latice, ferme pentru acoperisuri.

Imbunatatiri ale algoritmilor genetici – includ cercetarea condusa spre imbunatatirea robustetii programelor de optimizare (timp de executie, tehnici crossover, comunicare binivel, operatori fuzzy, selectie).

Obiective de optimizare – atentia este acordata algoritmilor genetici creati în mod specific pentru imbunatattirea unuia sau mai multor obiective (dimensiunile, forma elementelor, topologia, detectarea daunelor, controlul vibratiilor).

Multe modele inginerești implica folosirea unor algoritmi speciali de optimizare pentru a încerca să minimizeze sau sa maximizeze funcția merit sau obiectiv. Deseori, obiectivul este o sumă ponderată de mai multe sub-obiective. Cele mai simple probleme de optimizare au vectorul variabilelor definit prin secțiunile elementelor. Adăugând la vectorul variabilelor alți parametrii de proiectare problema crește în dificultate .

Un astfel de software impune constrângeri privind soluțiile optime. Ele constau în restricții regionale care limitează o dimensiune, de exemplul și, restricțiile funcționale care limitează o funcție calculată, cum ar fi o valoare de tensiune. În cele mai multe probleme există multe variabile de analizat. Acestea includ atât dimensiuni fizice cât și proprietăți materiale.

Optimizare Multi-Modala

Figura 3.1 Prezenta mai multor puncte de optim local pe suprafata domeniului de solutii.

Utilizatorul trebuie să selecteze un sub-set de variabile de proiectare, dintre toate variabilele analizate, care va fi variat de algoritmul de optimizare. Variabilele de analiză sunt utilizate pentru a calcula funcții de analiză, cum ar fi: tensiuni, deformații, deplasări, flux termic, frecvențele naturale, etc Unele dintre multiplele functii de analiza sunt combinate pentru a defini obiectivul, sau funcția merit. Software-ul de optimizare, de obicei, utilizeaza un alt set de programe pentru a calcula funcțiile obiectiv și pentru a analiza structura. SolidWorks și ANSYS sunt exemple tipice, alaturi de subrutine scrise de utilizator. Cele mai multe modele reale au mai multe locații ale punctelor de minim local și, de obicei, nu putem fi siguri dacă a fost găsit cel mai bun design (minim global). Suprafețele funcției merit arata de multe ori ca în figura de mai jos, care are un minim global la (0, 0), dar mai multe minime locale în jurul acestuia.

Aplicarea pe scară largă a algoritmilor evoluționiști în probleme inginerești a fost împiedicată de cerințele computaționale restrictive. Algoritmii genetici necesită multe (de obicei de ordinul sutelor) soluții candidat să fie create și analizate pe durata execuției. Astfel, dacă evaluarea valorii funcției fitness pentru o structură (incluzând analiza structurii) durează 5 minute, pentru o structură de dimensiuni mari, evaluarea repetată necesară pentru o populație de 100 de structuri pe durata a 50 de generații ar fi estimată să se extindă pe 25.000 de minute (417 ore). O metodă tradițională de optimizare ar putea să necesite mai puțin timp pentru rezolvarea problemei, acesta fiind un argument pentru utilizarea acestora în cercetarea designului structural optim. Însă metodele tradiționale adesea au nevoie de premise restrictive și soluțiile găsite au nevoie sa fie transformate pentru a echivala restricțiile practice de design, ceea ce necesită îndepărtarea lor de la soluția matematic optimă. Deoarece GA utilizează variabile de design discrete, pot adesea găsi soluții practice mai bune decât metodele tradiționale.

Eficienta și incertitudine în procesul de Optimizare

Problemele pot ajunge în mod curent sa aibă mii sau zeci de mii de soluții, fiecare necesitând a fi analizata pentru a i se determina valoarea fitness. Ca rezultat, nivelul de complexitate a structurii este limitat de numărul de variabile necesare descrierii acesteia, și a nivelului de efort de calcul necesar găsirii unor soluții bune (în termen de zile de rulare).

Figura 3.2 Numărul de ore mediu dedicat unui proiect

Din punct de vedere statistic, erorile umane în domeniul proiectării și construcției tind sa crească considerabil atunci când inovația este fragmentata și brusca și atunci când nu exista o evoluție graduala bazata pe cunoaștere științifica. Morfologia structurală libera (free-form design, FFD) care își are originea în dezvoltarea FFD, a avut o adevărată explozie în știința și tehnologia construcțiilor, care sunt în mod tradițional ancorate în tipologii și geometrii convenționale (cadre, grinzi, placi, etc). Acest fapt a generat o modificare radicala în metodologia ingineriei structurale, mai ales referitor la controlul interpretativ al rezultatelor, a stării de tensiuni și deformații a structurilor supuse la încărcări gravitaționale, vânt, cutremur, obținute prin analiza cu element finit.

În EN 1990:2002 se încearcă garantarea nivelului de siguranță și performanta prin o strategie de asigurarea calității – Quality Assurance (QA) strategy și proceduri de controlul calității procedeului de design (punctul 2), în încercarea de minimizare a erorilor umane (punctul 8).

Estimarea fiabilității structurale depinde de calitatea cunoștințelor disponibile proiectantului. Cu cat acestea sunt completate cu cunoștințe noi despre structura, estimările devin mai complexe și, în general, gradul de incertitudine este redus – în mod deosebit acest lucru este vizibil în faza de design conceptual, când informațiile referitoare la rezistența materialelor, tipologia structurii, etc. devin disponibile și înlocuiesc prezumțiile bazate pe performante trecute sau experiența cu structuri similare. În cazul FFB nu exista încă un feedback util disponibil în literatura tehnica.

Conform Majowiecki (1998, 1990), reducerea incertitudinilor în designul structurilor speciale poate fi realizata dacă sunt luate în considerare următoarele: evitarea colapsului progresiv al sistemului structural datorat cedării locale al elementelor structurale secundare; compatibilitatea restricțiilor și detaliilor de design cu ipotezele de modelare și răspunsul real al structurii; senzitivitatea parametrica a structurii, care depinde de tipul și gradul de nedeterminare statica. Este de asemenea util accesul la un feedback sistematic asupra răspunsului structurii și monitorizarea performantelor unor astfel de structuri pentru ca eficiența pe termen lung a designului sa poată fi evaluata.

În cazul structurilor deplasabile, baza cunoașterii se refera în principal la sistemul de macarale iar procesul de design conceptual legat de acestea trebuie sa ia în considerare observațiile existente, teste și specificații legate de comportarea unor structuri similare. Pentru a acoperi lacunele în acest domeniu, IASS a realizat un raport cu state of the art al acestor sisteme de acoperișuri (IASS, 2000), care include recomandări pentru design bazate pe observații ale unor cedări și colapsuri.

Incertitudinile fizice sunt legate de încărcări și de caracteristicile materialului. În cazul unor suprafețe construite extinse sau al clădirilor înalte cu morfologii neobișnuite, incertitudinile legate de încărcări pot fi reduse dacă se iau în considerare: distribuția și acumularea zăpezii în relație cu intensitatea și direcția vântului corelata statistic; distribuția presiunii vântului luând în considerare valori time-history sau puteri spectrale teoretice și experimentale corelate; efectul în timp al acțiunilor indirecte co-active ca și tensiuni inițiale, curgere lenta și efectele temperaturii.

Designul asistat de experimente (Eurocode 3 – punctul 8), cum sunt investigarea experimentala în tuneluri de vant a modelelor la scara, și monitorizarea structurilor construite, au un rol important în designul structural al sistemelor structurale atipice. Incertitudinile legate de material, asociate cu raporturi foarte mari de incarcari utile/greutate proprie, care sunt o caracteristica evidenta a structurilor usoare, cresc considerabil aceste incertitudini statistice.

Utilizarea unor forme naturale

Formele din natură au parte de aceleași limitări ca și mediul construit și de aceea au o relevanță majoră în a servi drept inspirație. Economia de cost, de forță de munca, aplicarea de metode noi, simplificate, utilizarea de materiale inovative și tehnologii ecologice, forme și design remarcabile; toate acestea sunt trăsături fundamentale ale optimizării structurale. Noile tendințe și cercetarea în acest domeniu au fost dezvoltate în ultimele decenii de aplicarea cunoștințelor și observațiilor obținute din studiul proceselor naturale, a organismelor, a structurilor și materialelor, de la nivelul particulelor subatomice la comportamentul insectelor și animalelor, a anatomiei, a relațiilor ecologice din habitate naturale, și apoi aplicarea acestor cunoștințe la designul structurilor și mediului construit. Rezultatele sunt extrase din analiza atenta și sistematică a modurilor în care natura a proiectat structuri. Pe acesta baza putem dezvolta criterii și strategii pentru a evolua construcțiile într-o maniera asemănătoare, în mod eficient și sustenabil, găsind resurse noi, și răspunzând la mediul dinamic în care structurile sunt plasate.

Ca forma structurală, forma de ramuri este capabila sa fragmenteze forțele prin distribuția mai uniforma a încărcării în structura și transferarea lor fundației construcției. Inspirația acestor forme a dus la dezvoltarea de soluții pentru unele din cele mai înalte clădiri din lume. Amalgamarea ingineriei cu biologia permite structurilor sa fie eficiente și durabile, iar beneficiile utilizării unor precedente organice are un impact major asupra designului, îmbunătățind calitatea generala a proiectelor.

Dar dacă formele din natură asigură o sursă abundentă de inspirație, Tsui avertizează ca nu putem alege o forma și sa încercăm sa o aplicam la o scara mai mica sau mai mare fără consecințe dezastruoase (Tsui,1999:pp,21). Teoreticienii structurali Edward Allen și Waclaw Zalewski (1998) au explorat prin diagrame o serie de soluții pentru grinzi în consola, analizând modul în care designul elementului evoluează ca răspuns la vectorii forțelor interioare. Aceștia au observat faptul ca, cu cat elementele structurale sunt modificate pentru a urma aceste linii de forte, cu atât structura este mai rezistența, înspre punctul în care din setul de configurații, cea mai expresiva ca forma, eficientă structural este de asemenea și cea mai eficientă ca și consum de material. Forma evoluata devine „potrivita intrinsec” pentru mediul exterior dat, și conectează obiectul final cu conceptul formarii acestuia.

Figura 3.3: Acest set de schițe (Zalewski, 2002) ilustrează derivarea unei forme structurale eficiente care sa preia forțele la care e supusa o grinda în consola. Odată cu alinierea progresiva a elementelor structurale cu direcțiile vectorilor de tensiuni în grinda în consola conceptuala (schițată în primele 5 diagrame), cantitatea de material utilizata în structura descrește. Daca formei ii este permisa extinderea nerestricționată, acesta devine și mai eficienta.

Zalewski subliniază ca structurile nu sunt arta, ele existând pentru un singur scop, a satisface nevoile umane. Însă pot fi elegante și estetice, nu datorita faptului ca imita o forma naturala, copaci, oase, etc. – criteriile de frumusețe pentru flori nu sunt aceleași cu cele pentru structuri. Aceste forme sunt la o scara diferita, prea mica pentru a fi transpusa direct în structuri de dimensiunile la care avem nevoie. Structurile trebuie sa găsească propria forma naturala, care sa reiasă din curbe funiculare, diagrame de momente, curgerea internă a forțelor .

Aliniat cu metodologia designului (planul de lucru), designul conceptual poate fi definit ca o abordare bazata pe cunoștințe și intuiție care permite identificarea tipologiei structurii, elaborarea unui model numeric preliminar și apoi aplicarea analizei structurale și verificării fiabilității. Aceste concepte sunt incluse în unele coduri de construcție naționale, care sunt în mod normal îndreptate doar spre sisteme structurale convenționale. În ceea ce privește designul inovativ, cum este cazul majorității construcțiilor recente de tip free-form, exista puține recomandări.

Tiparele de crestere

Figura 3.4 Evolutia formei adoptate pentru proiectul China World Trade Center Tower

Forma iconica a multor turnuri a rezultat din sintetizarea biomimetismului (derivat din cuvintele bios, însemnând viată, și mimica, imitație) și a designului structural. Influenta biologica a început prin investigarea secțiunilor transversale a unor structuri naturale care prezinta un tipar de creștere exponențial, cu segmentare predictibila matematic, care au rol de contravântuiri. Luând ca exemplu tiparele de creștere ale tulpinii de bambus și geometria fractala a unei cochilii de nautilus se pot deduce anumite criterii de formare a rezistentei naturale. Aplicațiile acestor principii împrumută secvențe specifice ale structurilor organice pentru a replica caracteristicile cele mai atractive ale acestora: o valoare mare a raportului rezistența-greutate, comportament elastic, anduranța pe termen lung, și o forma eficienta care rezista încărcărilor și maximizează stabilitatea.

Tulpina de bambus are caracteristici structurale unice. Aceste tulpini lungi și subțiri asigura suportul unui frunziș extins, pe durata vieții plantei, și este un material de construcție rezistent atunci când este folosit la structuri construite. Chiar și atunci când este supus la tsunami, bambusul răspunde eficient la încărcările laterale, datorita proporțiilor geometrice. Nodurile, sau diafragmele, în forma de inele pe lungimea tulpinii, nu sunt distribuite uniform – sunt mai apropiate intre ele la baza tulpinii, și distanțate progresiv înspre vârf. Localizarea acestor diafragme nu este aleatorie și poate fi determinata matematic. Acestea sunt distribuite astfel pentru a preveni flambajul pereților subțiri ai bambusului, sub încărcările gravitaționale și laterale. Grosimea pereților și diametrul pot fi calculate în mod similar. Toate ecuațiile care definesc localizarea diafragmelor, diametrul și grosimea pereților se bazează pe o formulare pătratică. Daca se face un grafic cu dimetrul necesar vs. înălțimea tulpinii (cu relația dintre diafragme și grosimea pereților similara), acesta arata ca și diagrama de încovoiere a unei grinzi în consola sub încărcări laterale – teoria structurală este aceeași pentru bambus și alte structuri în consola. Bambusul e format dintr-o tulpina, compusa din noduri și internoduri. Nodurile marchează localizarea diafragmelor unde exista o ușoară modificare în diametru. Internodurile sunt goale, formând o cavitate înconjurată de pereții tulpinii. Materialul tulpinii este localizat la cea mai mare distanta de axa neutra a tulpinii, asigurând cea mai mare rezistența la încovoiere posibila, și permițând încărcărilor gravitaționale sa existe doar în anvelopa și minimizând astfel greutatea totala. Caracteristicile geometrice ale bambusului sunt aplicate la sistemul structural al proiectului China World Trade Center Tower. Turnul este divizat în opt segmente pe înălțime. Cerințele structurale datorate încărcării laterale au cele mai mari valori la baza tulpinii (sau turnului) și de aceea distantele inter nodale sunt mai mici comparate cu jumătatea superioară. Distanta mai mica creste momentul capabil și rezistența la flambaj. În jumătatea superioară a turnului, distantele inter nodale scad proporțional cu diametrul diafragmelor. Astfel forma tulpinii (turnului) răspunde la încărcările exterioare. Proiectul foarte eficient pentru China World Trade Center a fost realizat cu un nucleu intern conectat la un tub perimetral, aceste conexiuni fiind definite matematic pentru a contra vântui cadrul împotriva flambajului în concordanta cu tiparele creșterii bambusului.

Diagrid

Figura 3.5 Conceptul structural al Jinling Hotel Tower în Nanjing, China a condus la reduceri substantiale în cantitatea de material structural și dimensiunea elementelor structurii necesare cadrului perimetral.

Gridul, care formeaza cadrul structural perimetral este modelat dupa forma de mesh a structurilor celulare biologice. Acest cadru e caracterizat de o membrana de diagonale cu spatiu mic intre ele, care este mult mai deasa decat forma unui diagrid conventional.

Diafragmele de nivel concentrice sunt rotite pe inaltimea cladirii pentru a spori stabilitatea. Spatiul dintre cele patru elemente masive devine mai mic la jumatatea inaltimii apoi converge spre baza, astfel incat etajele inferioare asigura rigiditate și echilibru în timp ce etajele superioare sunt mai flexibile, acolo unde fortele de incarcare din vant sunt mai mari.

Pentru a rezista încărcărilor laterale, elementele verticale și orizontale ale sistemului lateral sunt combinate pentru a crea un mesh diagonal, unde fiecare element este în intindere sau compresiune, fara forte de incovoiere, rezultand o structura optima cu rezistența și rigiditate potrivite pentru inaltimea cladirii. Compozitia gridului structural s-a bazat pe derivarea matematica a grinzii în consola optime create original de Anthony Mitchell în 1904, oferind o geometrie eficienta. Forma optima a unei grinzi în consola este rotunjita, compusa din liniile de curgere a fortelor. Bazat pe seria Fibonacci și proportional cu tiparul spiralelor unei cochilii de nautilus, gridul structural a fost realizat cu un factor de scalare care concentreaza diagonalele intr-un punct și apoi devine progresiv mai putin concentrat inspre exterior.

Variabile de proiectare si varibile de optimizare

Sunt cantități numerice reale care trebuie determinate în urma proiectării unei structuri. În cadrul variabilelor de proiectare pot să apară și cantități cunoscute (determinate din condiții de funcționare a sistemului), care poartă numele de parametri.

În funcție de natura variabilelor de proiectare există două tipuri de aplicații de optimizare: optimizare dimensională și optimizare configurativă. Optimizarea dimensională se referă la acea clasa de probleme la care modificarea variabilelor de proiectare nu schimbă geometria problemei sau modul de discretizare. Optimizarea configurației se referă la acea clasă de probleme la care orice schimbare a variabilelor de proiectare produce modificări în geometria problemei sau a discretizării. În afara problemelor tipice de optimizare dimensională și de formă mai există o clasa specială de probleme la care atât parametrii dimensionali cât și cei de formă se definesc ca variabile de proiectare.

Intr-o etapă timpurie a procesului de proiectare (conceptuală și faza de definire a proiectului), este de o mare importanță găsirea celei mai bune topologii structurale posibile, în contextul obiectivelor de proiectare și constrângerilor. Astfel, în ultimul deceniu, eforturi de cercetare substanțiale au fost dedicate dezvoltării unor metode computaționale de optimizare structurală eficiente și de încredere cum sunt optimizarea formei structurale [Bletzinger, Ramm, 2001] și optimizarea topologiei (metode de optimizare structurale evolutive, ESO).

Cele mai utilizate criterii care stau la baza modelelor de calcul pentru optimizarea structurilor sunt: greutate minimă, tensiuni minime (rezistență maximă), energie potențială de deformație minimă, rigiditate maximă, deplasări minime, rigiditate maximă pentru o greutate dată, formă de egală rezistență, cost minim etc. Relația dintre tensiuni (uneori eforturi) și forma structurii este factorul fundamental atât în proiectarea curentă, cât și în cea optimală, această dependență folosindu-se fie pentru determinarea tensiunilor când se cunoaște configurația structurii, fie pentru determinarea formei structurii când se cunosc (sau se impun) valorile maxime ale tensiunilor. Criteriul de alegere a formei structurii depinde de condițiile care trebuie satisfăcute de structură, fiecare criteriu având o importanță decisivă asupra rezultatului optimizării. Criterii “absolute” de optimizare nu există și nici nu par a fi de dorit. Cea mai simplă procedură de „optimizare” este “optimizarea intuitivă”, care constă în realizarea de modele ale unor soluții alternative ale structurii și – prin încercări repetate – de a obține o variantă optimă a acesteia. Procesul este empiric și nu duce cu certitudine la cea mai bună soluție posibilă. Aceste instrumente de calcul în general nu sunt utilizate de arhitecți sau ingineri care ar avea nevoie de metode simplificate de calcul al formei și optimizării structurale în stadiile incipiente critice ale procesului de proiectare. "Principiile structurilor ușoare din natură" introduc metode de legătură între teoria de optimizare structurală și aplicarea acesteia în practica de proiectare structurală, care utilizează metode simplificate și programe pentru form-finding și optimizare bazate pe procesele din natura.

Integrarea morfologiei structurale în practica curenta (form-finding) ar simplifica considerabil procesul de optimizare. Aplicarea unor metode robuste de analiza structurală, cum este metoda elementelor finite (FEM), reduce timpul necesar unui ciclu de optimizare prin determinarea caracteristicilor de performanta a structurii și informarea directa a proiectantului despre modalitatile în care structura poate fi modificata pentru a i se imbunatati proprietatile în functie de cerinte sau obiective. Procedurile complet automatizate de proiectare permit participarea eficienta, activa și creativa la procesul de dezvoltare a unui design. Acestea reduc timpul necesar acestui proces și gasesc cele mai bune solutii în mod sistematic [Kress, Keller, 2007].

Diferiți algoritmi de optimizare au puncte forte si puncte slabe diferite. Unii funcționează bine pentru anumite clase de probleme in timp ce pentru altele sunt ineficienți. Nu doar au performante diferite pentru clase diferite de probleme, ci se si comporta diferit in funcție de diverse instanțe ale aceleiași probleme. Conform teoremei „No free lunch”, in categoria algoritmilor euristici nu exista un algoritm care sa aibă in general o performanta mai buna ca a celorlalți. In procesul rezolvării unei probleme concrete, primul pas este alegerea unui algoritm. Însă, deoarece majoritatea algoritmilor au un set de parametrii care le controlează comportarea, această alegere devine si mai dificila. Alegerile referitoare la valorile acestor parametrii pot avea un impact major asupra performantei algoritmului. In cazul GA, acest lucru a fost exemplificat in si . Alegerea parametrilor optimi pentru un singur algoritm pentru rezolvarea unei singure probleme de optimizare este deja o problema non-triviala. DeJong a încercat sa găsească parametri optimi pentru GA care sa funcționeze pentru orice problema, însă, deși unele dintre aceste valori sunt in prezent utilizate ca valori implicite pentru GA, in cele mai multe cazuri, acestea necesita a fi adaptate pentru fiecare instanță a problemei vizate, pentru a obține o performanta optima a algoritmului .

Modificarea acestor parametri se poate face in doua moduri: prin tuning si prin control. Tuningul parametrilor este cea mai des întâlnită opțiune, care caută valorile cele mai potrivite ale acestor parametrii înaintea începerii optimizării. Aceste valori rămân fixe pe întreaga durata a rulării algoritmului.

Controlul parametrilor

Când valorile parametrilor sunt schimbate in timpul execuției unui algoritm, trebuie să fie definite unele reguli care guvernează această schimbare. Există mai multe abordări diferite pentru aceasta:

• control determinist: O regulă determinista este folosita pentru a se adapta valorile parametrilor de comportament fără să reacționeze la vreun feedback de la procesul de căutare. Aceste reguli se bazează de obicei pe timp sau pe numărul de iterații.

• Control adaptiv al parametrilor: Când o regulă de adaptare este implementata, feedback-ul de la procesul de căutare este utilizat pentru a controla modul în care valorile parametrilor se schimba. De exemplu, dacă algoritmul detectează că diversitatea populației devine prea scăzută, aceasta ar putea crește valoarea operatorul de mutație și vice-versa. Regula 1/5 in ES este un exemplu de control al parametrilor de adaptare.

• Controlul auto-adaptiv al parametrilor: Auto-adaptarea este inspirata de Ideea de evoluție a evoluției. Parametrii sunt codați in cromozomii indivizilor și se supun acelorași mecanisme ca indivizi, și anume mutația, recombinarea, și selecția. Indivizii cu fitness mare răspândesc cromozomii lor în rândul populației cu o probabilitate mai mare, astfel încât valorile bune ale parametrilor sunt folosite mai des. Ele se pot schimba, de asemenea, in timp datorită mutației. Totuși, această abordare este posibilă numai pentru parametrii la nivel de individ, cum ar fi valoarea mutației. La nivel de populație, parametrii cum ar fi mărimea populației sau operatorul de selecție nu pot fi adaptate în acest fel.

Tuningul parametrilor

Chiar dacă controlul parametrilor are avantajele sale, este mult mai complexa problema găsirii unor reguli și metode care sa poată adapta o valoare parametru într-un mod care beneficiază performanța unui algoritm, decât găsirea in avans a unei valori a unui parametru. Metodele de control al parametrilor sunt, de asemenea, in cea mai mare parte adaptate pentru parametrii cu valori reale. Când vine vorba de alegerea operatorilor potriviți pentru un algoritm, tuningul parametrilor este frecvent utilizat. Cu toate acestea, alegerea valorilor parametrilor rămâne o sarcină complexă, care necesită ca un utilizator sa aibă experiență și o înțelegere profundă în interdependențele parametrilor și a impactului acestora. Metodelor de ajustare a parametrilor pot fi clasificate după cum urmează:

• Ad-Hoc: Pentru alegerea valorilor parametrilor, mulți utilizatori se bazează pe convenții și valorile implicite . Bazat pe valorile implicite valorile parametrilor sunt variate până când se atinge o performanță acceptabilă. Problema este că uneori valorile optime ale parametrilor diferă foarte mult de la valorile implicite. În plus, numărul de repetiții pentru o parametrizare testata este adesea prea scăzut. Cât de bine funcționează această abordare depinde de experiența utilizatorului. Cu toate acestea, acesta este, de obicei, o abordare foarte rapida.

• Experimental: Efectuarea de experimente sistematice cu diferite setări de parametri este o abordare mai științifică. Cu toate acestea, încercarea tuturor valorilor diferite ale parametrilor și combinații ale acestora este imposibila, în cele mai multe cazuri. Acest lucru conduce la reducerea combinațiilor sau variația doar a parametrilor individuali. Optimizarea parametrilor unul câte unul mai mult ca sigur nu conduce la setările optime, deoarece majoritatea parametrilor tind să aibă efecte asupra altora. Bartz-Beielstein a dedicat o carte întreagă pentru domeniul de testare și cercetare experimentala în calcul evolutiv .

• Meta-optimizarea: O altă abordare de control al parametrilor este de a vedea căutarea pentru parametrii optimi ca o problemă de optimizare sine. Din această perspectivă, căutarea pentru setări optime are mult în comun cu probleme tradiționale de optimizare. Valorile pentru un set de variabile de intrare (valorile parametrilor), trebuie să fie găsit pentru a maximiza calitatea atunci când e evaluat (in timpul execuției algoritmului). Interdependențele variabilelor de intrare și efectele lor asupra calității soluțiilor sunt cunoscute și spațiul de căutare este foarte mare. Pentru a rezolva această problemă de optimizare, un algoritm de optimizare este aplicat ca un optimizator meta-nivel. Acest concept este numit meta-optimizare.

Restricții de proiectare

Un set de valori atribuit variabilelor de proiectare reprezintă o soluție de proiectare care definește o structură. Dacă structura respectivă îndeplinește condițiile pentru care a fost proiectată, aceasta este o structură fezabila. Condițiile care trebuie să le îndeplinească o structură ca să fie fezabilă poartă numele de restricții de proiectare. Numărul de restricții al unei probleme nu este obligatoriu să fie egal cu numărul variabilelor de proiectare. În majoritatea cazurilor, numărul restricțiilor de proiectare este mai mare decât numărul variabilelor de proiectare.

În proiectarea structurală se întâlnesc două tipuri de restricții: restricții de comportament și restricții de mărginire. Restricțiile de comportament sunt date de condițiile de rezistență și rigiditate impuse structurii, care permit acesteia să-și îndeplinească rolul pentru care a fost proiectată. Tensiunile echivalente von Mises reprezintă un exemplu tipic de condiții de comportament în proiectarea structurală (σech≤σa).

Restricțiile de mărginire provin din condițiile de limitare a unor variabile de proiectare. Restricțiile de proiectare se notează cu rk (k=1…K) și se pot exprima explicit în funcție de variabilele de proiectare x.

Restricțiile de comportament determină domeniul în care se face proiectarea. Ele pot fi formulate pentru o comportare a structurii în domeniul elastic și în acest caz proiectarea se face în domeniul elastic. După cum este cunoscut, în cazul solicitării în domeniul elastic, structurile posedă o importantă rezervă de capacitate portantă pe care proiectarea în acest domeniu nu o poate utiliza. Dacă restricțiile de proiectare sunt formulate prin intermediul criteriilor de plasticitate, proiectarea optimală se face în domeniul plastic.

Funcția obiectiv

Funcția obiectiv este o funcție f(x), definită ca o funcție de variabile de proiectare, (ce figurează și în restricțiile de proiectare) care este extremizată în cadrul procesului de optimizare.

Greutatea (sau volumul) unei structuri este un exemplu tipic de funcție obiectiv. Alegerea funcției obiectiv reprezintă unul din cele mai importante aspecte ale procesului de optimizare. Construirea modelului matematic al unei probleme de optimizare impune o cunoaștere temeinică a comportarii sistemului studiat. Scrierea incorectă a unei condiții, sau omiterea unor condiții importante pot conduce la obținerea unor rezultate inaplicabile în proiectare, deși din punct de vedere matematic acestea pot fi juste.

Există situații în care funcția obiectiv este constituită din două sau mai multe cantității. În asemenea situații se definește o funcție obiectiv compusă. Astfel dacă f1(x) și f2(x) sunt două funcții obiectiv ale unei probleme, se poate defini o funcție obiectiv compusă de forma

unde și sunt constante de pondere.

Restricțiile rk (k=1…K) și funcția obiectiv f(x) reprezintă modelul problemei de optimizare formulată. În cadrul unui proces de optimizare, funcția obiectiv este extremizată în vederea găsirii combinațiilor de variabile de proiectare pentru care aceasta capătă valori maxime sau minime.

Dacă se consideră o funcție obiectiv

dependentă de două variabile, graficul acesteia este dat de suprafața Σ.

Intersecția acestei suprafețe cu plane paralele cu planul orizontal (x10x2), dă naștere unor contururi închise, care proiectate în planul orizontal formează o familie de curbe circumscrise Γi. Curbele rezultate din secționarea suprafeței Γ cu plane mai apropiate de planul orizontal sunt situate în interiorul curbelor corespunzătoare unor înălțimi de secționare mai mari, dacă suprafața Σ admite un punct de minim. Dacă suprafața Σ ar admite un punct de maxim, dispunerea acestor curbe ar fi inversă.

Funcții-obiectiv globale

O funcție obiectiv globala definește modul în care obiectivul global depinde de parametrii de design și cum va fi influențat de modificările valorilor variabilelor de design. Însă, ca proprietate globala, va fi independenta de coordonate spațiale. Funcția obiectiv globala este formulată astfel incat valoarea sa minima absoluta sa corespunda obiectivului, sau celei mai bune soluții referitor la obiectiv,

min{f(x)},

iar dacă obiectivul este maximizarea unei proprietăți cum ar fi volumul V, funcția obiectiv va lua fie forma f(x)=-V(x) ori f(x)=1/V(x). În contextul utilizării tehnicilor algoritmilor evoluționiști, funcția obiectiv este numita funcție fitness.

Restricțiile sunt exprimate prin funcții de restricție., care sunt împărțite în egalități g și inegalități h:

Inegalitățile formează hiperplanuri în spațiul de căutare împărțindu-l în regiuni fezabile și regiuni nefezabile, unde restricțiile sunt încălcate. Atât timp cat vectorul variabilelor de optimizare este îndreptat spre o regiune fezabila, inegalitățile sunt inactive și nu restricționează căutarea. Inegalitățile devin active când restricțiile sunt încălcate sau e atinsa starea limita

Restricțiile tip egalitate sunt întotdeauna active.

Problemele de optimizare multicriteriala pot fi reduse la probleme de optimizare cu o functie obiectiv scalara prin formularea unei probleme substitutive cu o funcție de preferință p astfel încât

Astfel încât

Eshenauer [6] citează variate formulări ale funcțiilor de preferință dintre care menționez suma ponderata a obiectivelor:

Daca sunt considerate doua sau mai multe criterii de design, respectivele funcții obiectiv pot fi minimizate simultan. Aceste proceduri se numesc optimizare multicriteriala, optimizare vectoriala sau optimizare multiobiectiv. În practica, mai multe tipuri de răspuns structural sau moduri de cedare trebuie considerate în procesul de design, iar aici intervine relevanta acestui tip de optimizare. Forma care o ia problema este:

Unde este numit vectorul functiilor obiectiv ale variabilelor de design

La un anumit stagiu al procesului de optimizare se observa ca o continuare a minimizării uneia dintre funcțiile obiectiv determina creșterea valorii unei alte funcții. Situația descrisa se numește conflict de obiective deoarece niciuna dintre soluții nu permite optimizarea simultana a tuturor obiectivelor.

Un vector se numește Pareto-optim dacă și numai dacă nu exista nici un vector pentru care

Daca toate obiectivele sunt convexe, un set de soluții Pareto-optimale poate fi generat prin rularea unei secvențe de probleme scalare substitut unde funcțiile de preferință acoperă un interval de valori potrivit pentru factorii de ponderare w. Daca unul sau mai multe obiective nu sunt convexe, setul Pareto-optim poate fi greu de generat.

Metode de transformare și pseudo-obiective

Găsirea minimului unei funcții obiectiv cu restricții complica și mai mult procesul de menținere a soluțiilor candidat în zona fezabila. Algoritmii existenți pentru căutare fără restricții pot fi utilizați pentru rezolvarea problemelor cu restricții care sunt supuse unor anumite transformări. Printre acestea se numără metoda penalizărilor și metoda multiplicatorilor.

Metodele de penalizare transforma funcția obiectiv și functiile de restrictie și intr-o functie obiectiv transformata fara restrictii explicite. Funcția devine un pseudo-obiectiv și este obținută prin adăugarea la a functiei de penalizare care este compusa din restrictii și parametrii de penalizare .

Funcția poate fi definita ori prin metoda punctului exterior ori metoda punctului interior.

Un exemplu de aplicare a metodei punctului exterior este utilizarea penalizării cvadratice astfel încât încălcarea restricțiilor este penalizata:

Astfel, dintre restricțiile doar cele active sunt considerate în formulare. Prin adaugarea acesteia la rezulta o functie fara restrictii al carei punct de minim se afla în afara regiunii fezabile, de unde se trage și denumirea metodei. Prin creșterea valorilor parametrului de penalizare minimul se deplaseaza tot mai aproape de zona fezabila din spatiul de cautare dar nu poate sa o atinga.

O metoda de penalizare de punct interior rezulta din selectarea unei forme pentru care sa forteze punctele stationare ale sa fie fezabile. Acestea se mai numesc metode de bariera, deoarece penalizarea formeaza o bariera de valori la limita regiunii fezabile. Deoarece pastrarea restrictiilor poate fi esentiala pentru obtinerea de solutii sigure de design, este preferata acesta metoda de gasire a solutiilor imbunatatite în interiorul domeniului fezabil. Pentru restrictiile sub forma de inegalitati, este penalizata apropierea de zona nefezabila, inainte chiar de incalcarea restrictiilor. Acesta se poate obtine, de exemplu, prin factorul de penalitate invers:

Prin reducerea valorii lui punctul de minim al obiectivului transformat se deplaseaza mai aproape de zona nefezabila sau de minimul restrictionat.

Solutiile aflate aproape de minimul restrictionat pot fi obtinute prin utilizarea de valori foarte mari respectiv foarte mici pentru factorii de penalizare R sau R', și minimizarea pseudo-obictivelor pentru aceste valori, insa pseudo-obiectivele sunt distorsionate în comparatie cu obiectivele originale. Metodele de cautare ale sunt în general create sa functioneze pentru functii obiectiv care se comporta asemanator functiilor cuadratice și pot sa esueze aplicate functiilor pseudo-obiectiv foarte distorsionate rezultate în urma aplicarii parametrilor de penalizare astfel incat minimul sa fie foarte aproape de punctul minim restrictionat. De aceea, problema de optimizare cu restrictii este rezolvata printr-un sir de subprobleme fara restrictii, în care parametrii de penalizare sunt adaptati la fiecare pas. Prin metoda punctului exterior, parametrului ii sunt atribuite valori mici, uneori zero la primul pas, și majorate succesiv în pasii urmatori. Pentru metoda punctului interior, se incepe cu o valoare mare a lui care este progresiv scazuta. Este insa inevitabil ca subproblemele generate sa devina progresiv rau-conditionate, astfel incat, la un moment dat, iteratia sa fie incheiata nu datorita gasirii unei aproximatii suficient de bune pentru punctul de minim restrictionat, ci datorita esuarii algoritmului de cautare.

Modelare Parametrica

Problema de optimizare include restricții, criterii de calitate și funcția obiectiv care trebuie minimizată sau maximizată în funcție de variabilele de proiectare. În general variabilele determină direct geometria și proprietățile unei structuri .

Modelarea parametrica poate oferi o solutie, în contextul descris, la problema numarului mare de variabile necesare descrierii unei structuri. Modelele parametrice sunt capabile sa descrie geometrii complexe utilizand un numar relativ redus de variabile, lasand totodata loc pentru o marja mare de variatie. Software-uri care permit acest tip de manipulare a datelor structurale au fost dezvoltate – Generative Components (Bentley Systems), Grasshopper (Robert NcNeel), Digital Project (Gehry Technologies – Dassault Systemes) – special pentru tehnici de modelare parametrica la indemana inginerilor și arhitectilor.

Aceste solutii care pot fi explorate cu ajutorul modelarii parametrice pot fi insa în numar foarte mare, iar problema devine gasirea în randul acestora a celor mai bune din punct de vedere al performantelor dorite. Pentru acest tip de cautare, algoritmii genetici sunt foarte potriviti, datorita capacitatii modelului parametric de utiliza un numar relativ mic de variabile.

Termenul  parametric își are originea în matematica, dar exista opinii divergente despre când a început sa fie utilizat de către proiectanți. David Gerber [2007], în teza de doctorat intitulata Parametric practice, citează pe Maurice Ruiter ca fiind primul care utilizează termenul într-o lucrare din anul 1988 cu titlul Parametric Design. 

În sensul utilizat astăzi de matematicieni,  parametric semnifica un set de ecuații care exprima un set de cantități ca funcții explicite de un număr de variabile independente, cunoscute ca „parametri” [Weisstein, 2003]. Acesta definiție subliniază doua criterii importante: o ecuație parametrica exprima un set de cantități cu un număr de parametri; și rezultatele (setul de cantități) sunt legate de parametri prin funcții explicite. Un exemplu de ecuație parametrica este formula ce descrie o curba catenara:

Aceste doua formule intrunesc criteriile mentionate deoarece exprima un set de cantitati (x și y) în termeni de un numar de parametri (a, care controleaza forma curbei, și t, care controleaza locul de pe lungimea curbei unde se afla punctul). În același timp rezultatele (x și y) sunt legate de parametrii (a și t) prin funcții explicite (nu exista ambiguitate în relația dintre aceste variabile). Aceasta este originea termenului parametric: un set de cantități exprimate ca funcție explicita de un anumit număr de parametri.

Utilizarea ecuațiilor parametrice în modelarea structurilor este cel mai bine cunoscută prin proiectele lui Gaudi, dar este cel mai bine ilustrata de modelul lănțișorului [Burry, 2011].

Gaudi folosește acest principiu la designul capelei Colònia Güell prin crearea unui model răsturnat al capelei folosindu-se de sfori de care atârna greutăți. Datorita principiului lui Hooke, sforile vor găsi pozițiile de echilibru în forma care, inversata, va fi în compresiune pura. Modelul lănțișorului are toate componentele unei ecuații parametrice. Comparat cu utilizarea anterioara a ecuațiilor parametrice de matematicieni, inovația modelului lui Gaudi consta în calcularea automata a rezultatelor parametrice (în schimbul calculului manual al soluțiilor formulei parametrice a curbei catenare, Gaudi a derivat automat forma acestora prin utilizarea încărcărilor gravitaționale asupra sforilor). Aceasta metoda a calculului analog a fost mai departe dezvoltata de Frei Otto, care a inclus, printre altele, suprafețe minime obținute cu ajutorul baloanelor de săpun și căile minime obținute cu lână uda.

Modelarea parametrica trebuie sa permită proiectantului sa exploreze „o varietate de soluții” [Teresko, 1993]. Acest lucru este posibil prin manipularea directa a parametrilor și prin modificarea relațiilor ce compun modelul. Modelele parametrice permit ca deciziile sa fie făcute târziu în procesul de design, acest fapt fiind unul dintre cele mai interesante caracteristici ale modelarii parametrice.

Ipek Dino [2012] argumentează ca scripturile sunt inerent parametrice, notând faptul ca sistemele parametrice se bazează pe principii algoritmice deoarece un algoritm ia un set de valori de intrare, executa o serie de pași computaționali care transforma datele de intrare, și produce un alt set de valori ca ieșiri. Interfețele de codare nu au observat o dezvoltare semnificativa de la introducerea AutoCAD în proiectare, însă în ultima decada s-a observat emergenta unei noi forme de interfețe de codare, interfața vizuala.

Programarea vizuala se bazează pe reprezentarea programelor nu ca text ci ca diagrame.

În arhitectura a fost introdus primul limbaj de programare vizuala când Robert Aish a început testarea variantei beta a Generative Components cu câteva firme de arhitectura în 2003. Rhinoceros (Rhino) este un program comercial de modelare 3D pe baza de geometrii NURBS, dezvoltat de Robert McNeel & Associates.

Ca multe alte aplicatii de modelare, Rhino utilizeaza limbaje de scripting, bazate pe Visual Basic iar Grasshopper permite modelarea de componente în C#,Visual Basic și Python. David Rutten a creat pentru McNeel versiunea proprie a acestui mediu, în 2007, numit Explicit History, nume schimbat mai apoi în Grasshopper.

Ambele medii de programare sunt bazate pe grafuri care reprezintă relațiile dintre parametri, prin funcții definite de utilizator. Modificările aduse parametrilor sau relațiilor modelului determina propagarea schimbărilor prin funcțiile explicite și actualizarea automata a rezultatelor finale. Astfel, acestea reprezintă o metoda eficienta de creare a modelelor parametrice.

Modelarea datelor in Grasshopper

Grasshopper nu folosește, spre deosebire de alte medii de programare, nici un nume de obiect pentru a defini un obiect. Acest lucru poate suna banal, dar este una dintre diferențele cele mai fundamentale fata de un mediu de programare tradițional. În Grasshopper obiectul sau obiectele sunt plasate într-o listă. Diferitele liste de date sunt organizate într-o structură de date arbore în care fiecare ramură și conținut de date a ramurei să aibă un număr de index. Accesarea obiectul este astfel mai problematică decât într-un mediu obisnuit de scripting. Grasshopper dispune de diferite instrumente pentru a remedia această problemă. Aceste instrumente sprijină editarea și selectarea conținutului listei și editarea structurii de arbore de date. Cunoașterea acestor tehnici este esențiala pentru utilizarea eficientă a Grasshopper.

Parametrizarea designului inseamna definirea variabilelor de design și a parametrilor de design ficși. Variabilele de design pot descrie configuratia structurii, caracteristici cantitative cum sunt caracteristicile sectionale, grosimi ale peretilor, forme și proprietatile materialului.

Figura 6.1.1: Clasificarea problemelor de optimizare pentru structuri articulate plane în termeni de variabile de design, conform Eschenauer

Optimizarea structurilor poate fi clasificata în functie de tipul variabilelor de design. Luand în considerare o structura articulata plana, și pornind de la [Schmit, 1963] [Olhoff, 1983], variabilele de design pot fi impartite în urmatoarele clase indicate în Fig. 6.1.1

a. Forma constructiva. Determinarea celei mai bune forme presupune optimizarea fiecarui model luat în considerare și compararea solutiilor optime rezultate.

b. Topologia. Topologia sau aranjarea elementelor în structura este în cele mei multe cazuri descrisa de parametri care pot fi modificati doar în pasi de valori discrete. Topologii diferite mai pot fi obtinute prin eliminarea de noduri și a elementelor de legatura. Este notabila metoda de optimizare topologică introdusa de Bendsoe și Kikuchi [Bendsœ, 1988].

c. Proprietatile materialului. Acestea, în cazul materialelor de constructie cum sunt otelul sau aluminiul decsriu rigiditatea cu ajutorul modulului lui Young și a coeficientului lui Poisson, rezistența prin tensiunea maxima admisibila sau alte limite de tensiuni, sau greutatea în functie de greutate specifica sau densitatea materialului. designerul poate adesea selecta cel mai potrivit material dintr-o selectie de aliaje și uneori poate decide dacă otelul, aluminiul sau alt tip de aliaj este cel mai potrivit pentru a satisface cerintele obiectivului de design. Toate aceste alegeri sunt de natura discreta, ceea ce duce la un set discret de variabile de design cuprins în baza de date. Exceptie o fac laminatele din materiale compozite anizotropice care pot avea variabile continue în functie de orientarea fibrelor.

d. Geometria și forma. Geometria cadrelor sau fermelor este descrisa de coordonatele nodale. Forma corpurilor solide e data de suprafetele care le definesc.

e. Conditii de rezemare și incarcari. Designul poate fi imbunatatit prin modificarea conditiilor limita.

f. Dimensiuni. Pentru structuri de tip bare, ferme, grinzi, placi sau membrane și modelele lor FEM pot fi folosite ca variabile de design grosimea, aria sectiunii, momentul de inertie, etc. Este importanta distinctia intre variabile de design independente și variabile dependente. Cand geometria sectiunii este exprimata printr-o variabila, proprietatile enumerate mai sus sunt dependente de aceasta. Optimizarea dimensională conduce de obicei la probleme de optimizare discrete datorita valorilor dimensionale discrete ale sectiunilor comerciale disponibile.

Formularea obiectuala in procesul de calcul

Există două metode principale de utilizare a arborilor de catre componentele create si folosite in studiul de fata. Pentru definirea geometriei, legaturilor, proprietatilor fizice ale materialelor, incarcarilor, etc., sunt utilizate componente, care functioneaza ca un schelet pentru arhitectura programului. Componentele pot lucra pe seturi de obiecte (denumite ramuri), sau pot sa combine elemente din mai multe intrări. Desigur, combinații din mai multe componente avansate sunt de asemenea posibile, dar, pentru claritate, voi începe cu cele două opțiuni principale:

Componente care lucreaza pe ramuri de la o singură intrare. In primul caz, componenta va funcționa numai pe datele de pe aceeași ramură din același arbore. De exemplu, o polilinie utilizează datele unei serii de puncte de pe o singură ramură pentru a defini polilinia. Deci, pornind de la conținutul unei ramuri este generata o polilinie și astfel pentru fiecare ramură al arborelui va fi creata o polilinie. Există un singur canal de intrare pentru punctele necesare pentru a defini polilinia.

Componente care lucreaza pe ramuri de la mai multe intrari. Exmplul cel mai simplu este componenta care genereaza linii utilizand input de la doua puncte. Diferența fundamentală fata de prima opțiune este că avem nevoie întotdeauna de două intrări și două structuri de date care vor interacționa la același nivel de ramură.

Pentru a explica felul in care este definita o problema in mediul de programare vizuala Grasshopper, de aici inainte numit GH, voi utiliza un exemplu de problema structurala simpla.

Figura prezinta configuratia structurii:

Grinda este articulata la ambele capete, incarcata la mijloc, si avand o dimensiune variabila in intervalul 10 ≤ L ≤ 20 [m].

Modelul parametric in GH poate varia prin valorile introduse si astfel se obtin diferite modele structurale. Avem doua variabile: lungimea grinzii si incarcarea, astfel modelul este simplu. Utilizand variabile de tip <slider> se introduce dimensiunea in metri si valoarea incarcarii in kN. Geometria si topologia structuri sunt acum definite si lungimea grinzii poate fi controlata. Este definit punctul de incarcare la jumatatea barei apoi toate aceste variabile intra in componenta de asamblare a structurii.

Este definit apoi tipul de material (in cazul de fata otel s235), iar din baza de date cu sectiuni este aleasa o valoare.

Sunt definite tipul de sprijiniri la capetele barei si valoarea încărcării la mijlocul barei (pentru care am setat limite [25,50] kN).

Următorul pas, după definirea completa a structurii, este analizarea acesteia. Este aleasa o analiza statica pentru configurația curenta a modelului parametric.

Rezultatele sunt apoi extrase si vizualizate, iar pe baza acestora se poate trece la urmatoarea etapa – configurarea modulului de optimizare.

In cazul structurilor mai complexe au fost folosite urmatoarele functii, pentru identificarea punctelor de interes (sprijin, incarcare):

Tree Branch (TB) – identificarea elementelor incluse intr-o ramura anume a arborelui de date

Această componentă va prelua toate elementele dintr-o ramură de index specificat dintr-un arbore de date. Acest lucru este util în stadiile initiale ale unui proiect pentru debugging și / sau atunci când este necesara vizualizarea de date care aparțin unei ramuri anume și pentru a vedea cum ramurile sunt ordonate în 3D.

Tree Item (Ti) – identificarea unui singur element dintr-o ramura specificata din arborele de date

Această componentă va prelua un anumit element dintr-o anumită ramură de date dintr-un arbore. Se comportă similar cu componenta de ramură în modul în care se accesează ramurile unui arbore de date, dar preia numai elementul solicitat (cu ajutorul unui indice de bază zero) de la arborele solicitat. Din nou, acest lucru este util pentru debugging și vizualizarea datelor 3D.

Crearea functiei fitness

Despre importanta functiei fitness

Adesea, partea cea mai dificila in utilizarea unui algoritm evolutionist in probleme de optimizare este definirea functiei fitness. Problemele cel mai adesea analizate au un numar relativ mare de variabile ce trebuie determinate. Uneori aceste variabile lucreaza impreuna si prin imbunatatirea uneia rezulta imbunatatirea celorlalte, alteori sunt complet independente unele de altele sau chiar functioneaza in mod competitiv. Putem avea adesea functii care le dorim minimizate respectiv maximizate sau optimizate in jurul unei valori absolute. Pentru formularea aceasta nu exista nici o regula. Trebuie doar gasita o functie fitness care combina cele trei valori. Forma genrala poate lua urmatoarea forma:

F = -X + Y – Abs(Z – const)

Unde X este valoarea ce se doreste minimizata, Y este valoarea ce se doreste maximizata, iar Z este valoarea ec tinde spre valoarea absoluta constanta. La acesta poate fi necesara adaugarea de factori de penalizare pentru a evita ca una dintre variabile sa fie mult mai puternica decat celelalte.

Se doreste o normalizare a componentelor functiei fitness, adica asigurarea valorii fitness cea mai buna si valorii fitness cea mai slaba pentru fiecare component sa fie aceeasi.

Daca utilizam exemplul anterior, avand functia compusa din valorile X, Y si Z. X va fi maximizata, Y minimizata si Z se doreste optimizata la valoarea absoluta de 15. Mai stim ca valoarea lui X poate varia intre 10 si 500, Y poate varia intre 0.1 si 0.8 iar Z intre 5 si 60.

In aceste conditii, cea mai buna valoare fitness va fi pentru  {X=10, Y=0.8, Z=15} si cea mai slaba va fi {X=500, Y=0.1, Z=60}.

 Aceste proprietati ale problemei pot fi exprimate in forma tabelara:

X {min = 10; max = 500; interval = 490; valoare tinta = 10}

Y {min = 0.1; max = 0.8; interval = 0.7; valoare tinta = 0.8}

Z {min = 5; max = 60; interval = 55; valoare tinta = 15}

Intervalul de variatie e important deoare ofera informatii legate de influenta variabilei in cadrul intregii functii. In mod tipic se urmareste ca toate variabilele sa aiba un grad de influenta egala. Asta inseamna ca functia fitness va avea nevoie de introducerea unor factori de penalizare pentru a adduce toate valorile ce intra in component ei in intervalul {0.0, 1.0}.

Noua functie va lua urmatoarea forma: 

f = -((X-10) / 490) + ((Y-0.1) / 0.7) – Abs((Z-15) / 55)

Regulile acestor transformari pot fi exprimate in modul urmator:

Semnul din fata fiecarei variabile indica strategia ce va fi aplicata: (+) maximizare, (-) minimizare sau optimizare – asta in cazul in care algoritmul utilizat nu are alte setari de tip min/max.

Daca dorim optimizarea unei variabile, atunci functia fitness este definite ca Abs(x – c), unde x este variabila iar c este constanta tinta. Altfel spus, optimizarea este echivalentul minimizarii diferentei dintre variabila si valoarea tinta.

Este necesara o centrare a variabilelor la valoarea zero (sau o alta constanta numerica, insa spre zero este cel mai simplu), prin scaderea valorii minime pe care o pot lua.

Variabilele trebuie normalizate pe domeniul {0,1} sau un alt domeniu constant, prin impartirea variabilei centrate la intervalul domeniului.

In cazul unor functii liniare (caz rar intalnit), valorile inainte de normalizare arata in felul urmator: 

Prin normalizare, factorii de penalizare aceste valori se grupeaza astfel:

De obicei, valoarea minima respective maxima a unei component a functiei fitness nu pot fi deduse din formularea problemei. In acest caz, o metoda de a le gasi este prin incercarea a cat mai multe combinatii si inregistrarea modificarilor intervalului.

In cazul ideal exista o intelegere aprofundata a problemei ce se doreste rezolvata, si aceste valori pot fi cel putin approximate. 

Cand incercam sa modelam o structura, in general luam in considerare urmatoarele variabile:

(V) Volumul,

(M) tipul de material si implicit greutatea si proprietatile de rezistenta si comportare elastica.

(U) Gradul de utilizare al elementului (se doreste evitarea irosirii de material)

(D) Limitarea deplasarilor si deformatiilor structurii

(C ) Minimizarea costurilor – care pot depinde, pe langa consumul de material, de tipul conexiunilor, complexitatea structurii (topologia) care poate duce la o durata mai lunga a procesului de constructie si a necesitatii utilizarii unor unelte si utilaje mai costisitoare.

Sa numim aceste cinci proprietati V, M, U, D, si respectiv C. V va fi codat ca o singura valoare scalara. Unele dintre aceste proprietati sunt (cel putin partial) interdependente. O crestere in volum va rezulta intr-o crestere a greutatii (G), si respectiv a consumului de material si costului total. Insa e probabil ca acest fapt sa determine o reducere in deplasari si deformatii. Practic ne confruntam cu cinci forte care trag de solutie in directii diferite.

Cea mai directa formulare a functiei fitness (pe care dorim sa o minimizam) poate arata in felul urmator:

F = G(V,M) – U + D + C,

Unde semnul din fata variabilelor determina daca variabila respectiva se doreste a fi minimizata sau maximizata. Desi functia poate arata simplu, progresia algoritmului inspre o solutie poate fi dificila. Ceea ce nu rezulta din formularea de mai sus este relatia dintre variabilele incluse in functia fitness si acele variabile de intrare (genele) cu care ii permitem algoritmului sa lucreze. Aceste relatii vor fi in cele mai multe cazuri complicate si interdependente. In cazul prezentei formulari generale se pot trage urmatoarele concluzii, bazate pe unele cunostinte preliminare despre formularea problemei:

Toate aceste variabile sunt tratate in mod egal, ceea ce este foarte probabil in dezavanatjul nostru, deoarece toate aceste variabile au unitati de masura diferite. Volumul poate fi exprimat in m3, greutatea in tone sau kN, Deplasarile in cm, gradul de utilizare sub forma de procent iar costul fara unitate de masura.

Functia este lineara. Asta insemna ca un volum mic poate fi rasplatit cu un fitness foarte bun iar deplasarile pot fi inacceptabile.

Pentru a rezolva aceste neajunsuri pot fi introdusi factori in functia fitness care sa aduca variabilele pe un teren comun. Daca luam de exemplu volumul si gradul de utilizare, V va lua valori intre 0.01 m3 si volumul pentru structura luata in calcul dat de sectiunea cea mai mare – zeci de mii de m3, iar gradul de utilizare variaza intre 0 si 1 (pentru ipoteza utilizarii la limita).

Aceasta diferenta mare poate duce la ignorarea completa a criteriului de utilizare a elementului. Pentru a preveni acest lucru se poate introduce un factor de multiplicare.

Descrierea algoritmului genetic

Selecția. Selectia naturala determina directia fondului genetic prin regularizarea caror indivizi li se permite sa se reproduca. În cazul rezolvarii problemelor cu algoritmi evolutionisti se utilizeaza o anumita forma de selectie artificiala. Nu sunt utilizate notiuni de gen (feminin sau masculin) în forma utilizata de calculator. Exista doar un set mic de operatori de selectia, insa par sa fie eficienti. Selectia isotropica, sau uniforma este cea mai simpla forma a operatorului, și este de fapt o lipsa a selectiei, tuturor indivizilor permițându-li-se sa se reproducă.

Figura7.2 Selecție de tip uniform, exclusivista și partinitoare.

Deși pare o strategie de selecție ineficienta, deoarece nu face nimic spre a spori evoluția fondului genetic, ea are precedent în natura (polenizarea prin vânt, înmulțirea coralilor). Selecția uniforma are rolul de a reduce viteza de convergenta a populației, și astfel protejează împotriva unei colonizări premature a unui punct de optim local posibil inferior. Selecția exclusivista, unde doar cei mai buni N% indivizi sunt copiați în fondul de reproducere: acei indivizi selecționați au probabilitate mare sa aibă urmași multipli. Un alt tipar de selecție întâlnit frecvent în natura este Selecția părtinitoare, unde șansa de a se reproduce a unui individ e proporțională cu valoarea sa fitness comparata cu a celorlalți. Acesta poate fi amplificata prin utilizarea unor functii de putere pentru a aplatiza sau exagera curba.

Cuplarea. S-ar părea ca cea mai buna opțiune ar fi un echilibru intre reproducerea în mediul genetic familial și cea cu indivizi foarte diferiți din punct de vedere genetic prin selectarea indivizilor nici pre îndepărtați nici prea aproape unii de alții. În Galapagos acest factor variază intre (-100% și +100%, în totalitate cei mai apropiați/îndepărtați).

Genomul este reprezentat pe o harta. Aceasta conține toți indivizii dintr-o anumita populație ca puncte pe un grid. Distanta dintre doua genoame pe grid este aproximativ analoaga cu distanta dintre genoame în spațiul de gene, în măsura în care se poate aproxima distanta pe o harta. Un singur genom este definit de un număr de gene, iar în cazul de fata toate genoamele speciei au același număr de gene. Astfel distanța dintre doua genoame este o valoare n-dimensională, unde n este numărul de gene. Este imposibila reprezentarea precisa a norului de puncte n-dimensionale pe o suprafața bidimensionala, astfel încât harta genomului este doar o aproximare grosiera, care reprezinta aproximativ cat de similare/apropiate sunt doua puncte.

Imperechere. Genele în Galapagos sunt stocate ca și variabile floating point, care pot lua valori intre doua extreme definite.

Pentru generarea urmasilor, la nivel genetic, procesul biologic este extrem de complicat și el insusi supus evolutiei (de ex. genele evolueaza sa afecteze procesul de meioza și isi imbunatatesc astfel sansele sa fie transmise urmasilor). Varianta digitala este mult mai simpla, partial datorita faptului ca genele algoritmilor evolutionisti nu sunt foarte similare genelor biologice. În mod ironic, genele biologice sunt mult mai digitale decat cele programatice. Asa cum Mendel a descoperit în 1860, genele nu sunt cantitati variabile continue. Acestea se comporta ca un intrerupator electric (mazarea obtinuta de Mendel prin incrucisarea populatiilor diferite a rezultat în procente diferite de indivizi cu trasaturi mostenite de la parinti, nu cu mazare putin neteda și putin striata). Algoritmii evoluționiști, însă fac exact acest lucru prin interpolarea genelor. Galapagos are mai multe mecanisme de transmitere parțială a genelor.

Daca sunt considerate doua genoame a cate patru gene fiecare, intr-un proces simetric (fără determinarea genului individului) exista următoarele posibilități de încrucișare: Crossover – unde progenitura moștenește un număr de gene de la mama și restul de la tata. Aceasta metoda funcționează bine când părinții sunt similari. Daca se considera ca genele din fiecare dintre genoame trebuie sa coopereze pentru a da o valoare fitness buna, nu are logica combinarea aleatoare a acestora. Interpolarea calculează valori noi pentru gene, făcând o medie intre valorile părinților în locul copierii lor. O alta varianta a acestui operator este interpolarea preferențială, unde valorile genelor părintelui cu valoarea fitness mai mare sunt mai dominante.

Figura 7.5 Crossover, interpolare genetica și interpolare preferentiala

Mutația. O metoda des utilizata de reprezentare a punctelor multi-dimensionale pe un mediu bidimensional este desenarea lor ca o serie de linii care conectează diferite valori pe un set de abscise verticale. Fiecare abscisa reprezintă o singura dimensiune. În acest fel pot fi reprezentate ușor nu doar puncte cu orice număr de dimensiuni, ci și puncte cu alt număr de dimensiuni pe același grafic. În exemplu avem un genom format din cinci gene (un punct în spațiul cu 5 dimensiuni) care definește acesta specie anume. Poziționarea lui G0 la o treime înseamnă ca valoarea este la o treime intre limita inferioara și cea superioară pentru gena respectiva. Printre beneficiile acestui tip de grafic se numără ușurința identificării unor sub-specii într-o populație, și a unor indivizi izolați. Când este aplicata mutația asupra genomului, se observa o modificare în grafic, deoarece fiecare genom are un grafic unic.

Implementarea strategiilor de optimizare structurală cu algoritmi genetici

Programul elaborat în platforma MATLAB

A fost dezvoltat pentru a rezolva problemele de optimizare folosind algoritmii genetici simpli. Pentru soluționarea restricțiilor s-au folosit programe de element finit, elaborate în MATLAB. Obiectivul optimizării este reducerea greutății structurilor metalice plane și spațiale, alcătuite din bare articulate și supuse la restricții de deplasări și tensiuni. Optimizarea structurilor spațiale alcătuite din bare articulate spuse la restricții de deplasări și tensiuni, variind coordonatele nodurilor și secțiunile barelor.

Pentru analiza rezultatului obținut după rezolvarea problemei, sunt generate două grafice care prezinta soluția optimă, valoarea soluției optime, timpul de rulare, numărul de generații și viteza de convergență. Primul grafic reprezintă valoarea diversității pentru fiecare generație, utilizând ca marker distanța medie între indivizi. În al doilea grafic sunt reprezentate mediile valorilor fitness și soluția optimă pentru fiecare generație.

Figura 8.1 Evoluția valorilor funcției fitness și a diversității populației în timpul unei rulări tipice

Probleme testate

Cadrul plan și structura articulata plana

Problema a fost formulată dupa cum urmeaza, pentru o structura definita de M noduri și N bare cu ariile sectiunilor: Ai, i=1,2,…,N. Toate ariile Ai compun vectorul x al parametrilor de optimizare:

(6.1)

Problema consta în calcularea vectorului x pentru care greutatea minima W a cadrului sau grinzii cu zabrele este obtinuta:

(6.2)

Pentru restrictiile de tensiuni și deplasari date:

(6.3)

În ecuatia (5.3), s0i și u0i sunt limitele superioare pentru valorile admisibile ale tensiunilor și deplasarilor, respectiv.

Analiza conform prevederilor Eurocod

Restrictiile legate de rezistența și stabilitate sunt luate din “EN 1993: Design of steel structures” și implementate în algoritm. Rezistenta de proiectare pentru secțiuni este calculata:

(6.4)

Si încărcările aplicate structurii:

(6.5)

Unde:

– design load

– Partial coefficient

– Permanent action

– Variable action

– Coefficient variable action

Algoritmul de optimizare

Desi exista o multime de implementari diferite a algorimilor evolutionisti (EA), conceptul de baza al asa-numitului EA canonic reprezita baza tuturor acestora. Procesul de selectie utilizat favorizeaza indivizii cu cele mai mari valori ale functiei fitness fata de candidatii cu valori sub medie. Indivizii noi sunt creati prin copiere și aplicarea operatorilor genetici de variatie – mutatie și recombinare. Acesti pasi sunt repetati pana la indeplinirea conditiei de terminare a algoritmului – numarul maxim de genratii este atins sau variatia solutiei candidat celei mai bune ramane neschimbata pentru un numar de iteratii.

Tabelul 6.1: Valorile parametrilor algoritmului genetic utilizat

Problema adresata are un singur obiectiv insa este supusa unui numar arbitrar de restrictii. Numarul parametrilor de optimizare determina dimensiunea genotipului și a spatiului de cautare. O functie fitness care atribuie rigiditatii, rezistentei și greutatii evaluate din modelul FE o valoare fitness unica este definita și testata pe un cadru cu 8 elemente, o structura articulata plana cu 9 bare și una spatiala cu 120 elemente. Din 20 de rulari au fost alese cele mai bune 5 și valorile sunt prezentate în tabel.

Prima problema: cadru 8 bare 8 noduri

Problema are 8 variabile reprezentate de sectiunile elementelor.

Figura 6.1: Structura 8 bare

Încărcările pe structura:

Tabel 6.2: Incarcari problema 1.

Tabel 6.3: Profile alese de algoritm

Figura 6.2: Cel mai bun individ

Figura 6.3: Convergenta algoritmului

Structura a vost verificata cu ajutorul programului Autodesk Robot Structural Analysis. O greutate totala de 1466 kg a fost obtinuta, în comparatie cu solutia de 1152 kg obtinuta utilizand programul creat în MATLAB.

A doua problema: grinda cu zabrele 9 bare 6 noduri

Figura 6.4: Structura no. 2 – 9 bare

Problema are 9 variabile reprezentate de sectiunile elementelor.

Tabel 6.4: Incarcari pe structura

Tabel 6.5: Profile alese de algoritm

Figura 6.5: Convergenta algoritmului

Figura 6.6: Cel mai bun individ

Utilizand Autodesk Robot Structural Analysis s-a obtinut o structura cu o greutate totala de 1403 kg apropiata de valoarea de 1402 kg a solutiei obtinute utilizand algoritmul implementat în MATLAB.

Problema a 3-a structura articulata spatiala 120 bare 49 noduri

Figura 6.7: Structura no. 3 – 120 bare

Problema are 120 de variabile reprezentate de sectiunile elementelor.

Tabel 6.7: Greutatea solutiilor obtinute

Figura 6.8: Convergenta algoritmului

Figura 9: Cel mai bun individ

Programe cu formulare parametrica

In formularea problemelor uni și multi-obiectiv de optimizare a topologiei, datorită minimelor locale care apar, metodele iterative de căutare locala nu sunt foarte eficiente. Pe de altă parte algoritmi de optimizare globala pot deveni prea scumpi, datorită numărului mare de variabile de proiectare. O metodă hibrid propusa in este bazata pe algoritmi de optimizare globala, cum ar fi Particle Swarm Optimization (PSO) și Differential Evolution (DE), folosind o metodă iterativă de căutare locala ca instrument de evaluare. In lucrarea de fata, metoda iterativă locală se bazează pe discretizarea spațiului de proiectare cu sectiuni de otel din industrie.

Functia fitness descrisa mai jos a fost implementata în Grasshopper, un plug-in pentru Rhino.

Structura a fost analizata cu ajutorul unor componente din Karamba. Optimizarea s-a bazat pe utilizarea de algoritmi evolutionisti via Galapagos Evolutionary Solver și cu Force Flow Finder.

Karamba este incorporat în mediul parametric al Grasshopper. Acest fapt face usoara combinarea modelelor parametrice, calculului cu element finit și a algoritmilor de optimizare.

Valoarea fitness a structurii a fost calculata pe baza greutatii. Optimizarea tensiunilor a fost realizata prin adoptarea de tensiuni admisibile maxime pentru material, iar deplasarile au fost limitate prin penalizare. Functia fitness adaptata din [Hayalioglu,2001], este definita ca:

(6.1)

Unde (dW) și (sW) sunt constante de penalizare pentru deplasari și tensiuni și sunt inmultite cu valorile incalcarilor restrictiilor de tensiuni și deplasari (dV) și (sV).

Valorile acestora sunt calculate conform (6.2) și (6.3).

(6.2)

(6.3)

Magnitudinea incalcarii restrictiilor de deplsare (Dl,n) respectiv tensiune (sl,n) sunt insumate pe toate cazurile de incarcare (NL), noduri (NN), și elemente (NE) unde este aplicabil. Pentru a asigura ca doar incalcarile limita contribuie la presiunea mediului de selectie au fost utilizate formulele (6.4) și (6.5).

(6.4)

(6.5)

Valoarea limita a deplasarii pentru fiecare nod este (dLIM=5 cm) iar limita tensiunilor (sLIM) pentru fiecare elemnt este definita ca rezistența ultima a materialului (S235). Setul de funcții fitness necesita patru valori obtinute din analiza structurală: greutate, tensiuni, deplasări și nivelul de utilizare a elementelor.

O valoare de penalizare este folosita pentru determinarea importantei conditiilor limita. Am folosit valoarea 15.5 și a produs structuri care nu depasesc restrictiile impuse.

Daca valoarea acestor coeficienți de penalizare este prea mica structurile rezultate pot frecvent depăși limitele domeniului fezabil. Însă dacă acestea sunt prea mari, structura converge spre o forma suboptima datorita presiunii selective crescute. Valoarea fitness ajustata (scalata) este utilizata pentru a ierarhiza indivizii din populație, care este apoi folosita la selectia exclusivista pe baza de rang. Aceste seturi de ecuatii rezulta intr-o valoare pozitiva ce depinde de magnitudinea încălcărilor. Nu se vor rasplati valori ale modelelor care nu incalca restrictiile deoarece deplasarile și tensiunile sunt invers proportionale cu greutatea, astfel incat rasplatirea acestor valori va determina generarea de structuri grele și rigide datorita valorilor fitness mari. În general, fitnessul unei structuri este egal cu (în cazul ideal), sau mai mare decât, greutatea acesteia.

Probleme testate

GA Galapagos pare sa nu dea rezultate optime chiar și atunci cand problema are o forma simpla. Se observa o convergenta prea rapida sau lipsa unei convergente (gaseste o solutie admisibila dar mai apoi nu gaseste optimul). Pentru a gasi solutia optima algoritmul a fost rulat de mai multe ori, pentru aproximativ 300 de generatii. Populatia utilizata a fost de 50 de indivizi, cu o populatie initiala dubla, și o valoare mica pentru recombinare pentru a preveni convergenta prematura. Rezultatele obtinute au fost imbunatatite prin utilizarea SA pentru gasirea unei solutii suficient de bune, care mai apoi este preluata ca punct de plecare pentru GA. Folosirea algoritmilor evolutionisti in tandem a dat rezultate bune si in cazul altor tipuri de probleme de optimizare dificile. Amintesc aici folosirea a DE (Differential evolution), PSO si GA pentru optimizarea de controllere fuzzy pentru structuri inteligente (smart structures) cu rezultate superioare fata de metodele fuzzy clasice, sau metode fuzzy utilizand doar unul dintre algoritmii mentionati .

Problema 1: Structura articulata cu 10 bare

Este utilizata des in literatura pentru testarea algoritmilor – valorile variabilelor sunt luate din cataloage de profile, incluzand 1407 tipuri de profile (IPE, HEA, HEB, FRQ, RR). Structura este incarcata în nodurile 0 și 2 cu o forta de 444.5 kN. Modulul de elsticitate utilizat E=21000 kN/cm2, fy=23.5 kN/cm2, densitate gamma=78.5kN/m3, corespund materialului S235.

Figura 7.2. Structura cu 10 bare benchmark și rezultatele obtinute

Figura 7.3. Rezultate obtinute și convergenta ambilor algoritmi

Figura arată rezultatele obținute cu algoritmi genetici și călire simulată și indivizii cei mai buni din ultima rulare. Am folosit urmatoarele setari pentru algoritm:

Pentru a putea compara rezultatele cu cele din literatură am schimbat caracteristicile materialului pentru a corespunde cu cele ale aluminiului și am obținut următoarele rezultate:

Optimizare sectiuni

Optimizare topologie si sectiuni

Dupa 10 rulari:

Dupa 50 de rulari:

Optimizare topologie, sectiuni si eliminare elemente subutilizate (BESO)

O variație a acestei structuri este obținută prin plasarea de elemente pe liniile de curgere a forțelor în structura, iar GA este utilizat concomitent pentru optimizarea secțiunilor. Valorile obtinute pentru greutatea structurii variaza intre 4100 kg și 6196 kg pentru condițiile impuse.

Figura 7.4. Rezultatele optimizarii cu Force Flow Finder (BESO) și GA

Rezultat intermediar 3424 kg. De la valorile parametrilor acestei structuri am continuat spre obtinerea formei optime si greutatii minime:

Tabel 11.1 Cel mai bun rezultat găsit pentru problema benchmark cu 10 bare din diferite surse, pentru optimizarea sectiunilor.

Figura 7.6 Forma optima a structurii conform literaturii (aceeasi forma a fost gasita pentru valoarea minima a greutatii in studiul prezent).

Figura 7.7 Rezultate obtinute pentru niveluri diferite de discretizare.

Problema 2: Grinda cu zabrele cu 9 bare

Structura plană cu zăbrele alcătuită din 6 noduri și 9 bare, care a fost optimizata in programul in platforma Matlab este acum optimizata in programul conceput in Grasshopper. Metalul folosit este oțel S235. Structura este încărcată cu o forță verticală distribuita având valoarea variabila 10-50 kN și greutatea proprie. Pentru optimizarea acestei structuri, din punct de vedere al volumului, se impun restricții asupra tensiunilor din bare, deplasării maxime și gradului de utilizare a elementelor.

Figura 7.8 Structura articulata plana cu 9 bare

Optimizare geometrie și secțiuni ale barelor: sunt introduse deschiderea grinzii și înălțimea ca variabile de design.

dimensiuni 2.00m pe 15.00m, LC1.

Problema 3: Structura cu 120 de bare

Structura articulata cu 120 de elemente optimizata cu Galapagos. Sectiunea este fixata și forma este optimizata sub restrictii de deplasare. Structura este supusa la incarcari în 61 de noduri cu valoarea de 100 kN.

Este cautata o solutie aproximativa cu SA apoi acesta este folosita ca punct de plecare pentru algoritmul evolutionist.

Optimizare sectiuni si topologie

Pozitia nodurilor este introdusa ca variabile in coordonate cilindrice.

Rezultat obtinut dupa 10 rulari, functia obiectiv incluzand doar masa structurii. Mai jos este prezentata o rulare tipica, valorile obtinute si convergenta.

Am folosit apoi doar deplasarea ca obiectiv pentru a observa influenta in cadrul functiei obiectiv a acestei valori. Din nou sunt prezentate valorile obtinute pentru variabile, valoarea obiectiv si convergenta.

Se observa ca masa structurii creste de la 3584 kg la 6368.47 kg pentru o reducere a deplasarii maxime de la 0.02 m la 0.0016 m. Plecand de la cele doua extreme posibile, introducem ambele obiective in functia fitness, fara penalizari.

Problema 4: Cadru multi-nivel

Varianta 1: 3 deschideri @ 7.315m si 4 niveluri @3.658 m

Incarcarile gravitationale cu coeficientul 2 si incarcarea din vant distribuita uniform pe directia x sunt luate in calcul. Materiale: Steel 'S235' E:21000[kN/cm2] G:8076[kN/cm2] gamma:78.5[kN/m3] alphaT:1.2E-5[1/C°] fy:23.5[kN/cm2], Steel 'S275' E:21000[kN/cm2] G:8076[kN/cm2] gamma:78.5[kN/m3] alphaT:1.2E-5[1/C°] fy:27.5[kN/cm2], Steel 'S355' E:21000[kN/cm2] G:8076[kN/cm2] gamma:78.5[kN/m3] alphaT:1.2E-5[1/C°] fy:36[kN/cm2], 'Aluminum' E:7000[kN/cm2] G:2700[kN/cm2] gamma:27[kN/m3] alphaT:2.4E-5[1/C°] fy:12[kN/cm2].

La fel ca si incazul structurilor studiate anterior, este formulata functia fitness pentru problema de fata cu coeficienti de penalizare adaptati la nivelul de influenta al componentelor functiei fitness. Am rulat algoritmul SA pentru functiile simple de greutate si deplasare pentru a determina doemiul de variatie al valorilor si apoi sunt calculati coeficientii de penalizare pentru functia compusa care vizeaza minimizarea greutatii si deplasarilor si maximizarea gradului de utilizare al elementelor.

Tipul de material si dimensiunile sectiunilor de la care se pleaca pentru cautarea locala sunt luate ca variabile in cautarea evolutionista.

Problema 5: Structura diagrid

Concluzii și direcții de cercetare viitoare

In lucrare sunt prezentate studii parametrice pentru structuri articulate plane, structuri articulate spațiale, cadre plane si spațiale întâlnite frecvent in practica si in literatura de specialitate. Sunt testați diverși algoritmi evoluționiști pe probleme cu formulare multi-obiectiv, si care au un număr de variabile intre câteva zeci si câteva sute, sub condiții diverse de încărcare. Sunt evaluate si analizate critic formulările funcțiilor fitness si apoi propusa o strategie de formulare a acestora care sa poată fi de ajutor in proiectarea optimala a structurilor.

Adaugarea mai multor obiective la o problema de optimizare sporeste complexitatea acesteia. În cazul designului structural, se doreste un rezultat ca este în cea mai mare putinta usor și rigid. Deoarece aceste doua obiective sunt conflictuale, trebuie sa existe un compromis. Va exista un design de greutate minima, un design de rigiditate maxima și un numar infinit de solutii care sunt un compromis intre greutate și rigiditate.

Acestea solutii care nu pot fi imbunatatite din punctul de vedere al unuia dintre criterii fara a influenta negativ rezultatul altuia formeaza setul Pareto, și curba descrisa de aceste solutii cu greutate și rigiditate pe axele de referinta formeaza frontiera Pareto. Un design Pareto optim nu este dominat de nici un altul, adica nici unul dintre celelate nu au valori mai bune pentru toate criteriile considerate. Alegerea aceasta este delegata decizionarului, care va alege solutie preferata. Cu alte cuvinte, a defini o problema ca multiobiectiv semnaleaza lipsa unor informatii legate de aceasta: obiectivele dorite sunt stiute dar nu și deliul combinarii lor. În unele cazuri, aceasta informatie poate fi dedusa printr-un calcul interactiv.

Adesea problemele de optimizare sunt multi-modale, adica au un numar multiplu de solutii bune. Pot fi solutii bune global (aceesi functie obiectiv) sau poate exista un amestec de solutii bune locale și globale. Obtinerea cel putin partiala a acestora este scopul optimizarii multi-modale.

Tehnicile de optimizare clasica, datorita metodei iterative utilizate, nu au o comportare satisfacatoare cand sunt utilizate la obtinerea de solutii multiple, neffind garantata obtinerea de solutii diferite chiar și cu pornirea din solutii initiale diferite la fiecare rularea algoritmilor. Algoritmii evolutionisti, pe de alta parte, sunt foarte populari în utilizarea lor la obtinerea de solutii multiple la probleme multi-modale.

Contribuții personale

Pornind de la stadiul actual în domeniul optimizării structurilor, descrierea conceptului, a tipurilor de optimizare posibila în domeniu, din punct de vedere al variabilelor alese și al obiectivelor vizate, algoritmi utilizați în domeniu, metode de calcul și metode de modelare alternative, teza trece în revistă avantajele utilizării optimizării în proiectare.

Utilizarea tehnicilor de optimizare descrise duce la un proces de proiectare rapid, eficient, la obținerea unui consum proiectat redus al materialelor, avantaje care trebuie speculate în condițiile dezvoltării actuale și ritmului alert de pe piața construcțiilor .

A fost descrisă o procedură de realizare a optimizării structurale în MATLAB, și a posibilităților oferite de Global Optimization Toolbox, și codarea operatorilor proprii.

Utilizând programele de optimizare în mediul de programare vizuala parametrica Grasshopper (McNeel Rhinoceros), am descris o strategie de aplicare a doi algoritmi evoluționiști care conduc la găsirea mai rapida a soluțiilor bune. Au fost testate toate tipurile de optimizare cu algoritmi evoluționiști (topologică, geometrica, secțională).

Etapa de evaluare a indivizilor s-a realizat printr-o modelare numerică, folosind funcții fitness dar exista posibilitatea alegerii unor soluții bune, chiar dacă nu optime global, pe criterii estetice, utilizatorul având astfel ultimul cuvânt de spus în alegerea soluției finale.

Au fost efectuate studii teoretice și calculul unor structuri benchmark cu rezultate comparabile cu cele din literatura.

Am studiat dimensionarea aceleiași grinzi cu zabrele păstrând deschiderea și alternând parametrii care influențează dimensionarea și geometria.

Realizarea unei analize critice a performantelor diverșilor algoritmi.

Direcții de cercetare viitoare

Optimizarea este o provocare pentru ingineri și arhitecți, și, deși s-au făcut un număr mare de pași înspre introducerea ei în practica curenta încă nu este adoptata de nespecialiști. Totuși accesul la algoritmi simpli este extrem de util atât în calcului structurilor clasice cat și în inovația structurilor free-form. Din punct de vedere structural, pentru a garanta nivelul necesar de fiabilitate, e nevoie de expertiza de specialitate în designul și construcția de morfologii free-form. Optimizarea este recomandata în procesul preliminar de design pentru a găsi cele mai potrivite soluții în concordanta cu funcția așteptată a structurii. Dar utilitatea strategiei de optimizare este limitata de includerea unei analize avansate în procedura. Autoarea își dorește sa dezvolte în continuare soluțiile de formulare a problemelor în domeniul plastic și experimentarea cu formulări geometrice fractale (lucrare în curs de publicare).

Bibliografie

Anderson, S., 2004. Eladio Dieste : innovation în structural art. New York: Princeton Architectural Press.

Arora, J. S. ,1989. Introduction to optimum design. McGraw-Hill, New-York.

Arora, J. S. ,1997. Guide to structural optimization. ASCE Manuals and Reports on Engineering Practice No. 90.

Barakat SA, Altoubat S. Application of evolutionary global optimization techniques în the design of RC water tanks. Eng Struct 2009;31(2):332_44.

Bartz-Beielstein, T. C. L. a. M. P., 2005. Sequential Parameter Optimization. IEEE, s.l.: s.n.

Bäck, T., 1993. Optimal mutation rates in genetic search. In Proceedings of the fifth International Conference on Genetic Algorithms, pp. 2–8. Morgan Kaufmann, s.l.: s.n.

Bendsœ, M. & N., K., 1988. Generating optimal topologies în structural design using a homogenization method. Computer Methods în Applied Mechanics and Engineering, Volumul 71, p. 197–224.

Bletzinger. K-U și R. E., „Structural optimization and form finding of lightweight structures,” Computers & Structures, vol. 79, pp. 2053-2062, 2001.

Buelow,v. P. et.al., „Optimization of structural form using a genetic algorithm to search associative parametric geometry”.

Burry, Mark. 2007. “Innovative Aspects of the Colònia Güell Chapel Project.” În Gaudí Unseen: Completing the Sagrada Famíla, edited by Mark Burry, 59-61. Berlin: Jovis

Burry, Mark. 2011. Scripting Cultures. Chichester: Wiley.

Camp CV, Pezeshk S, Cao G. Optimized design of two dimensional structures using a genetic algorithm. J Struct Eng ASCE 1998;124(5):551_9.

Coello Coello CA. Theoretical and numerical constraint-handling techniques used with evolutionary algorithms: A survey of the state of the art. Comput Methods Appl Mech Eng 2002;191(11_12):1245_87.

Coello Coello, C., 1994. Discrete Optimization of Trusses Using Genetic Algorithms. In Expert Systems Applications and Artifficial Intelligence EXPERSYS-94.International Technology Transfer Series, pp. 331-336., s.l.: s.n.

Colin , R. R. & Jonathan, E. R., 2002. Genetic Algorithms Principles and Perspectives. New York: Kluwer Academic .

De Jong, K., 1975. An analysis of the behavior of a class of genetic adaptive systems. PhD thesis, University of Michigan, s.l.: s.n.

Dino, Ipek. 2012. “Creative Design Exploration by Parametric Generative Systems în Architecture.” METU Journal of Faculty of Architecture 29 (1): 207–224.

Dueck, G. and Scheuer, T. "Threshold Accepting: A General Purpose Optimization Algorithm Appearing Superior to Simulated Annealing." J. Comp. Phys. 90, 161-175, 1990.

EN 1990:2002 (English): Eurocode – Basis of structural design [Authority: The European Union Per Regulation 305/2011, Directive 98/34/EC, Directive 2004/18/EC]

Erbatur F, Hasancebi O, Tutuncil I, Kihc H. Optimal design of planar and space structures with genetic algorithms. Comput Struct 2000;75:209_24.

Eurocode 3: EN 1993-1-1 Design of steel structures – Part 1-1: general rules and rules for buildings. s.l.:s.n.

Gallagher, R. H.,Gellatly,R.A.,"A procedure for automated minimum weight structural design"-1.Theoretical basis, 2.Application, Aeronaut J.,1976.

Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox 2.4.2. (2009). The MathWorks.. s.l.:s.n.

Gerber, David. 2007. “Parametric Practices: Models for Design Exploration în Architecture.” PhD dissertation, Harvard University.

Gutkowski, W.,Bauer,J.,º.a.”Explicit formulation of Kuhn-Tucker necessary conditions în structural optimization”, Computers & Structures, vol.37, 1990.

H., E., N., O. & W., S., 1997. Applied Structural Mechanics. s.l.:Springer.

Hajela, P. 1990: Genetic search – an approach to the nonconvex optimization problem.AIAA J. 26, 1205–1210. s.l.:s.n.

Hayalioglu, M., 2001. Optimum load and resistance factor design of steel space frames using genetic algorithm. Structural and Multidisciplinary Optimization, 21(4), pp. 292-299.

Heyman, Jacques. 1995. The Stone Skeleton: Structural Engineering of Masonry Architecture. Cambridge: Cambridge University Press.

Hoenderkamp, J.C.D. și Snijder, H.H., Preliminary Analysis of High-Rise Braced Frames with Facade Riggers, Journal of Structural Engineering, vol.129, no.5, May 2003, p.640–647.

Hooke, Robert. 1675. A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments. London: Royal Society.

Hristache, P. & Veturia, C., 1981. Calculul Structurilor Optimale. Bucuresti: s.n.

Hulea, R., 2011. Cercetari Privind optimizarea structurilor la stadioane medii si mari, Departamentul de Mecanica Constructiilor, Universitatea Tehnica Cluj-Napoca.

Hulea, R., Nicoreac, M., Pârv, B., & Petrina, B., 2011. Optimum design of outrigger and belt truss systems using genetic algorithm, Structural Engineers World Congress, Como, Italy.

Ingber, L. "Simulated Annealing: Practice Versus Theory." Math. Comput. Modelling 18, 29-57, 1993.

Iordăchescu, A. 2001: Construcții inteligente, Editura Reg. Arcadia.

K., D. & S., G., 2001. Design of truss-structures for minimum weight using genetic algorithms. Finite Elements în Analysis and Design, Volumul 37, pp. 447-465.

Kaminakis, N, G. E. Stavroulakis, 2012. Topology optimization for compliant mechanisms, using evolutionary-hybrid algorithms and application to the design of auxetic materials, s.l.: Composites Part B Engineering (Impact Factor: 2.14).; 43(6):2655–2668. DOI: 10.1016/j.compositesb.2012.03.018.

Kaveh A, Abditehrani A. Design of frames using genetic algorithm, force method and graph theory. Int J Numer Methods Eng 2004;61:2555_65.

Kaveh A, Rahami H. Analysis, design and optimization of structures using force method and genetic algorithm. Int J Numer Methods Eng 2006;65(10): 1570_84.

Kaveh, A. & Talatahary, S., 2009. Particle Sworm Optimization, Ant Colony Strategy and Harmony Search Scheme Hybridized for Optimization of Truss Structures. Computers and Structures.

Kavlie,D.,Moe,J.,"Application of nonlinear programming to optimum grillage design with nonconvex sets of variables",J.Numerical Meth. 4,1979.

Kirkpatrick, S.; Gelatt, C. D.; and Vecchi, M. P. "Optimization by Simulated Annealing." Science 220, 671-680, 1983.

Kress, G. & Keller, D., 2007. Structural optimization, Zurich: Swiss Federal Institute of Technology.

K-U, B. & E., R., 2001. Structural optimization and form finding of lightweight structures. Computers & Structures, Volumul 79, pp. 2053-2062.

Kripka, M., 2004. Discrete Optimization of Trusses by Simulated Aneealing, Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, Vol. XXVI, No. 2, s.l.: s.n.

Kuhn, H. W.; Tucker, A. W. ,1951. "Nonlinear programming". Proceedings of 2nd Berkeley Symposium. Berkeley: University of California Press. pp. 481–492. MR47303

Lagaros ND, Psarras LD, Papadrakakis M, Panagiotou G. Optimum design of steel structures with web openings. Eng Struct 2008;30(9):2528_37.

Lee, K. S. & Geem , Z. W., 2004. A New Structural Optimization Method Based on the Harmony searth Algorithm. Computers and Structures.

Leite ,J.P.B., B.H.V. Topping, Improved genetic operators for structural engineering optimization, Advances în Engineering Software, Volume 29, Issues 7–9, August–November 1998, Pages 529-562, ISSN 0965-9978, http://dx.doi.org/10.1016/S0965-9978(98)00021-0.

Lightweight wide span coverings, International Association for Wind Engineering, ANIV, 1990.

Liu, T. & Deng, Z., 2006. Design optimization for truss structures under elasto-plastic loading condition. Acta Mechanica Solida Sinica, 19(3), pp. 264-274.

M. Majowiecki: Snow and wind experimental analysis în the design of long span subhorizontal structures, J. Wind Eng. Ind. Aerodynamics, 1998

M. Marinaki, G. Stavroulakis, 2012. "A Differential Evolution Algorithm for Fuzzy Control of Smart Structures", Stirlingshire, UK, Paper 277, doi:10.4203/ccp.99.277: in B.H.V. Topping, (Editor), "Proceedings of the Eleventh International Conference on Computational Structures Technology", Civil-Comp Press.

M¨uller, S., 2002. Bio-inspired optimization algorithms for engineering applications. Dissertation, s.l.: Swiss Federal Institute of Technology Zurich.

McNeel B., Rhino, http://www.rhino3d.com

Melanie, M., 1996. An Introduction to Genetic Algorithms. London: Massachusetts Institute of Technology.

M.P., B. & N., K., 1988. Generating Optimal Topologies in Structural Design using a Homogenization Method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Volumul 71, pp. 197-224.

Metropolis, N.; Rosenbluth, A. W.; Rosenbluth, M.; Teller, A. H.; and Teller, E. "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines." J. Chem. Phys. 21, 1087-1092, 1953.

Michalewicz, Z . “Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs”, SpringerVerlag , 1996

Mitsuo, G., Runwei, C. & Lin, L., 2008. Network Models and Optimization Multiobjective Genetic Algorithm Approach. London: Springer-Verlag London Limited.

Moses,F., Onoda,S., "Minimum weight design of structures",J. Numerical Meth. 4,1979.

Moses,F.,"Optimum structural design using linear programming",J.Str.Div.ASCE 90,1968.

Murren, P. C., 2011. Development and implementation of a design-driven harmony search algorithm în steel frame optimization. Notre Dame, Indiana : University of Notre Dame.

M. Nicoreac, B. Pârv, M. Petrina: “Analysis of Tall Buildings with Braced Frames and Outrigger Trusses”, Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture, ClujNapoca, Romania, ISSN 1221-5848, http://constructii.utcluj.ro/ActaCivilEng/

M. Nicoreac, B. Pârv, R. Hulea, B. Petrina: “An Approximate Method of Analysis for Tall Buildings Comprising Outrigger Braced Cores”, Conferința Internațională DEDUCON, 11 noiembrie 2011, Iași, ISSN 2248-0293.

Ochoa, G. I. H. a. H. B., 2000. Optimal mutation rates and selection pressure in genetic algorithms. In Genetic And Evolutionary Computation Conference, s.l.: s.n.

Olhoff, N. & J.E., T., 1983. On structural optimization.. J. Applied Mechanics, Volumul 50, p. 1139–1151.

Otten, R. H. J. M. and van Ginneken, L. P. P. P. The Annealing Algorithm. Boston, MA: Kluwer, 1989.

P., v. Buelow. & et.al., fără an Optimization of structural form using a genetic algorithm to search associative parametric geometry, s.l.: s.n.

Petrina, M., 1982. Probleme ale Optimizării proiectării structurilor alcătuite din bare. Cluj-Napoca: s.n.

Petrina, M., Cătărig, A., ș.a., 2007, Statica constructiilor în formulare matriceală, Editura U.T. Press.

Petrina, M. , B. Pârv, M. Nicoreac, ș.a., Comparative Study of a Tall Building using Equivalent Column and FEM, Conference Proceedings of the IASS-IABSE "Taller, Longer, Lighter – Meeting Growing Demand with Limited Resources" 2011 Symposium, 20-23 Septembrie 2011, Londra, Marea Britanie, http://www.iabse-iass-2011.com/.

Petrina, M., Cătărig, A. și S.a., Statica Construcțiilor în Formulare Matriceală, Editura U.T. Press, 2007.

B. Pârv, M. Nicoreac, M. Petrina, T. Petrina : “Results of the Romanianresearchers from Cluj Napoca concerning high-rise structures”, Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture, Vol. 53, No. 1, (2011),Cluj-Napoca, Romania, UTPRESS, ISSN 1221-5848, http://constructii.utcluj.ro/ActaCivilEng/

Pezeshk S, Camp CV, Chen D. Design of nonlinear framed structures using genetic algorithms. J Struct Eng ASCE 2000;126(3):382_8.

Popa, R. “Cercetari privind elaborarea unor noi metode de testare a structurilor numerice”, Teza de doctorat , Universitatea "Dunarea de Jos" din Galati , 1998 .

Poterasu, V. F. & Florea, N., 1984. Practica Optimizatii Structurilor. Iasi: Editura Junimea.

Rahami H, Kaveh A, Gholipour Y. Sizing, geometry and topology optimization of trusses via force method and genetic algorithm. Eng Struct 2008;30(9):2360_9.

Rajeev S, Krishnamoorthy CS. Discrete optimization of structures using genetic algorithms. J Struct Eng ASCE 1992;118(5):1233_50.

Randy, L. H. & Sue, E. H., 2004. Practical Genetic Algorithms. New Jersey: Publeshed by John Wiley & Sons.

Robert McNeel & Associates, 2012. Available at: http://www.rhino3d.com/features/.

Robot, usa.autodesk.com/robot-structural-analysis-professional/

Roe¨ sset, Jose M. , Hon.M., James T. P. Yao, State of the Art of Structural Engineering, 2003

Romstad, K.,Wang,C.,"Optimum design of framed structures", J.Str.Div.ASCE 94, 1978.

Rozvany, G.,”Structural optimization”, Springer-Verlag, Heidelberg, 1999.

Rutten D., Grasshopper, www.grasshopper3d.com

Saka MP, Kameshki ES. Optimum design of multi-story sway steel frames to BS 5950 using a genetic algorithm. În: Topping BHV, editor. Advances în engineering computational technology. Civil-Camp press; 1998. p. 135_41.

SAP 2000, www.csiberkeley.com/sap2000.

Schmidt, L.A., Fox, R.L., "An integrated approach to structural synthesis and analysis", AIAA J. 6, 1975.

Schmit, L. & R.H., M., 1963. Structural synthesis and design parameters. Hierarchy. s.l., Journal of the Struct. Division, Proceedings of the ASCE, 89:269–299, 1963..

Sivanandam, S. N. & Deepa, S. N., 2008. Introduction to Genetic Algorithms. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Smit, S. a. A. E., 2009. Comparing parameter tuning methods for evolutionary algorithms. In IEEE Congress on Evolutionary Computation, pp.399–406, s.l.: s.n.

Sousa, F. V. V. R. F., 2003. Generalized Extremal Optimization for Solving Complex Optimal design Problems. Presented in: Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO-2003), Chicago, Illinois USA, pp. 1-11, s.l.: s.n.

Structural Design Of Retractable Roof Structures, IASS working group n°16, WIT Press, 2000

Teresko, John. 1993. “Parametric Technology Corp.: Changing the way Products are Designed.” Industry Week, December 20.

Thompson, D. W., 1917. On Growth and Form. s.l.:Cambridge University Press.

Tsui, E., 1999. Evolutionary architecture: nature as a basis for design. N.Y.: John Wiley.

Turkkan, N., 2003. Discrete Optimization of Structures Using a Floating Point Genetic Algorithm, Proceedings of the Annual Conference of the Canadian Society for Civil Engineering,Moncton, Nouveau-Brunswick, Canada, pp. GCM-134-1/8, s.l.: s.n.

V. Fiacco/G. P. McCormick, Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. XIV + 210 S. m. Fig. New York/London/Sydney/Toronto 1969.

Valery, V. V., 1999. Optimal Design Theory and Applications to Materials and Structures. Lancaster: Technomic .

Vanderplaats, G., 1984. Numerical Optimization Techniques for Engineering Design: with Applications. s.l.:McGraw-Hill: Series în Mechanical Engineering.

Wang D. Optimal shape design of a frame structure for minimization of maximum bending moment. Eng Struct 2007;29(8):1824_32.

Weisstein, Eric. 2003. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Second edition. Boca Raton: Chapman &amp; Hall/CRC.

X. Huang and Y.M. Xie, Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures: Methods and Applications, John Wiley & Sons, Chichester, England, 2010, 235 pp., ISBN: 9780470746530.

Y.M. Xie and G.P. Steven, 'A simple evolutionary procedure for structural optimization', Computers & Structures, Vol. 49, No. 5, pp 885-896, 1993.

Y.M. Xie and G.P. Steven, Evolutionary Structural Optimization, Springer-Verlag, London, June, 1997, xii+188 pp., ISBN 3-540-76153-5.  

Y.M. Xie, Z.H. Zuo, X. Huang, J.W. Tang, B. Zhao and P. Felicetti, ‘Architecture and urban design through evolutionary structural optimisation algorithms’, Keynote Lecture of International Symposium on Algorithmic Design for Architecture and Urban Design, Tokyo, Japan,  March 14-16, 2011, 11pp.

Zawlewski, Waclaw, and Edward Allen. Shaping Structures: Statics. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

LUCRARI PUBLICATE

ing. Ioana BALEA

Ioana D. Balea , Radu Hulea, Georgios E. Stavroulakis. „Implementation of Eurocode Load Cases în Optimization Problems of Steel Frames, Based on Genetic Algorithms”, February, 2013, Applied Mechanics and Materials, 310, 609, DOI 10.4028/www.scientific.net/AMM.310.609

Ioana D. Balea, Adina M. Popescu, Georgios E. Stavroulakis. „Parametric design and optimization of steel roof trusses”, 10th HSTAM International Congress on MechanicsChania, Crete, Greece, 25 – 27 May, 2013

Ioana D. Balea, Radu Hulea, Georgios E. Stavroulakis. „Discrete optimization approach for steel frames and trusses, based on genetic algorithms ” SEECCM III 3rd South-East European Conference on Computational Mechanicsan ECCOMAS and IACM Special Interest Conference, Kos Island, Greece, 12–14 June 2013

Popescu A. M, Balea I. D. “Steel multi-story structures with added damping. A consumption approach” 13th International Scientific Conference VSU’ 2012, 6-7 June, 2013, Sofia, Bulgaria- Proceedings.

Popescu A. M, Balea I. D. „Optimal Steel Multi-Storey Structures. Added Damping vs. Stiffness.” C60 International Conference, 7-9 November,2013, Cluj-Napoca, Romania.

Bibliografie

Anderson, S., 2004. Eladio Dieste : innovation în structural art. New York: Princeton Architectural Press.

Arora, J. S. ,1989. Introduction to optimum design. McGraw-Hill, New-York.

Arora, J. S. ,1997. Guide to structural optimization. ASCE Manuals and Reports on Engineering Practice No. 90.

Barakat SA, Altoubat S. Application of evolutionary global optimization techniques în the design of RC water tanks. Eng Struct 2009;31(2):332_44.

Bartz-Beielstein, T. C. L. a. M. P., 2005. Sequential Parameter Optimization. IEEE, s.l.: s.n.

Bäck, T., 1993. Optimal mutation rates in genetic search. In Proceedings of the fifth International Conference on Genetic Algorithms, pp. 2–8. Morgan Kaufmann, s.l.: s.n.

Bendsœ, M. & N., K., 1988. Generating optimal topologies în structural design using a homogenization method. Computer Methods în Applied Mechanics and Engineering, Volumul 71, p. 197–224.

Bletzinger. K-U și R. E., „Structural optimization and form finding of lightweight structures,” Computers & Structures, vol. 79, pp. 2053-2062, 2001.

Buelow,v. P. et.al., „Optimization of structural form using a genetic algorithm to search associative parametric geometry”.

Burry, Mark. 2007. “Innovative Aspects of the Colònia Güell Chapel Project.” În Gaudí Unseen: Completing the Sagrada Famíla, edited by Mark Burry, 59-61. Berlin: Jovis

Burry, Mark. 2011. Scripting Cultures. Chichester: Wiley.

Camp CV, Pezeshk S, Cao G. Optimized design of two dimensional structures using a genetic algorithm. J Struct Eng ASCE 1998;124(5):551_9.

Coello Coello CA. Theoretical and numerical constraint-handling techniques used with evolutionary algorithms: A survey of the state of the art. Comput Methods Appl Mech Eng 2002;191(11_12):1245_87.

Coello Coello, C., 1994. Discrete Optimization of Trusses Using Genetic Algorithms. In Expert Systems Applications and Artifficial Intelligence EXPERSYS-94.International Technology Transfer Series, pp. 331-336., s.l.: s.n.

Colin , R. R. & Jonathan, E. R., 2002. Genetic Algorithms Principles and Perspectives. New York: Kluwer Academic .

De Jong, K., 1975. An analysis of the behavior of a class of genetic adaptive systems. PhD thesis, University of Michigan, s.l.: s.n.

Dino, Ipek. 2012. “Creative Design Exploration by Parametric Generative Systems în Architecture.” METU Journal of Faculty of Architecture 29 (1): 207–224.

Dueck, G. and Scheuer, T. "Threshold Accepting: A General Purpose Optimization Algorithm Appearing Superior to Simulated Annealing." J. Comp. Phys. 90, 161-175, 1990.

EN 1990:2002 (English): Eurocode – Basis of structural design [Authority: The European Union Per Regulation 305/2011, Directive 98/34/EC, Directive 2004/18/EC]

Erbatur F, Hasancebi O, Tutuncil I, Kihc H. Optimal design of planar and space structures with genetic algorithms. Comput Struct 2000;75:209_24.

Eurocode 3: EN 1993-1-1 Design of steel structures – Part 1-1: general rules and rules for buildings. s.l.:s.n.

Gallagher, R. H.,Gellatly,R.A.,"A procedure for automated minimum weight structural design"-1.Theoretical basis, 2.Application, Aeronaut J.,1976.

Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox 2.4.2. (2009). The MathWorks.. s.l.:s.n.

Gerber, David. 2007. “Parametric Practices: Models for Design Exploration în Architecture.” PhD dissertation, Harvard University.

Gutkowski, W.,Bauer,J.,º.a.”Explicit formulation of Kuhn-Tucker necessary conditions în structural optimization”, Computers & Structures, vol.37, 1990.

H., E., N., O. & W., S., 1997. Applied Structural Mechanics. s.l.:Springer.

Hajela, P. 1990: Genetic search – an approach to the nonconvex optimization problem.AIAA J. 26, 1205–1210. s.l.:s.n.

Hayalioglu, M., 2001. Optimum load and resistance factor design of steel space frames using genetic algorithm. Structural and Multidisciplinary Optimization, 21(4), pp. 292-299.

Heyman, Jacques. 1995. The Stone Skeleton: Structural Engineering of Masonry Architecture. Cambridge: Cambridge University Press.

Hoenderkamp, J.C.D. și Snijder, H.H., Preliminary Analysis of High-Rise Braced Frames with Facade Riggers, Journal of Structural Engineering, vol.129, no.5, May 2003, p.640–647.

Hooke, Robert. 1675. A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments. London: Royal Society.

Hristache, P. & Veturia, C., 1981. Calculul Structurilor Optimale. Bucuresti: s.n.

Hulea, R., 2011. Cercetari Privind optimizarea structurilor la stadioane medii si mari, Departamentul de Mecanica Constructiilor, Universitatea Tehnica Cluj-Napoca.

Hulea, R., Nicoreac, M., Pârv, B., & Petrina, B., 2011. Optimum design of outrigger and belt truss systems using genetic algorithm, Structural Engineers World Congress, Como, Italy.

Ingber, L. "Simulated Annealing: Practice Versus Theory." Math. Comput. Modelling 18, 29-57, 1993.

Iordăchescu, A. 2001: Construcții inteligente, Editura Reg. Arcadia.

K., D. & S., G., 2001. Design of truss-structures for minimum weight using genetic algorithms. Finite Elements în Analysis and Design, Volumul 37, pp. 447-465.

Kaminakis, N, G. E. Stavroulakis, 2012. Topology optimization for compliant mechanisms, using evolutionary-hybrid algorithms and application to the design of auxetic materials, s.l.: Composites Part B Engineering (Impact Factor: 2.14).; 43(6):2655–2668. DOI: 10.1016/j.compositesb.2012.03.018.

Kaveh A, Abditehrani A. Design of frames using genetic algorithm, force method and graph theory. Int J Numer Methods Eng 2004;61:2555_65.

Kaveh A, Rahami H. Analysis, design and optimization of structures using force method and genetic algorithm. Int J Numer Methods Eng 2006;65(10): 1570_84.

Kaveh, A. & Talatahary, S., 2009. Particle Sworm Optimization, Ant Colony Strategy and Harmony Search Scheme Hybridized for Optimization of Truss Structures. Computers and Structures.

Kavlie,D.,Moe,J.,"Application of nonlinear programming to optimum grillage design with nonconvex sets of variables",J.Numerical Meth. 4,1979.

Kirkpatrick, S.; Gelatt, C. D.; and Vecchi, M. P. "Optimization by Simulated Annealing." Science 220, 671-680, 1983.

Kress, G. & Keller, D., 2007. Structural optimization, Zurich: Swiss Federal Institute of Technology.

K-U, B. & E., R., 2001. Structural optimization and form finding of lightweight structures. Computers & Structures, Volumul 79, pp. 2053-2062.

Kripka, M., 2004. Discrete Optimization of Trusses by Simulated Aneealing, Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, Vol. XXVI, No. 2, s.l.: s.n.

Kuhn, H. W.; Tucker, A. W. ,1951. "Nonlinear programming". Proceedings of 2nd Berkeley Symposium. Berkeley: University of California Press. pp. 481–492. MR47303

Lagaros ND, Psarras LD, Papadrakakis M, Panagiotou G. Optimum design of steel structures with web openings. Eng Struct 2008;30(9):2528_37.

Lee, K. S. & Geem , Z. W., 2004. A New Structural Optimization Method Based on the Harmony searth Algorithm. Computers and Structures.

Leite ,J.P.B., B.H.V. Topping, Improved genetic operators for structural engineering optimization, Advances în Engineering Software, Volume 29, Issues 7–9, August–November 1998, Pages 529-562, ISSN 0965-9978, http://dx.doi.org/10.1016/S0965-9978(98)00021-0.

Lightweight wide span coverings, International Association for Wind Engineering, ANIV, 1990.

Liu, T. & Deng, Z., 2006. Design optimization for truss structures under elasto-plastic loading condition. Acta Mechanica Solida Sinica, 19(3), pp. 264-274.

M. Majowiecki: Snow and wind experimental analysis în the design of long span subhorizontal structures, J. Wind Eng. Ind. Aerodynamics, 1998

M. Marinaki, G. Stavroulakis, 2012. "A Differential Evolution Algorithm for Fuzzy Control of Smart Structures", Stirlingshire, UK, Paper 277, doi:10.4203/ccp.99.277: in B.H.V. Topping, (Editor), "Proceedings of the Eleventh International Conference on Computational Structures Technology", Civil-Comp Press.

M¨uller, S., 2002. Bio-inspired optimization algorithms for engineering applications. Dissertation, s.l.: Swiss Federal Institute of Technology Zurich.

McNeel B., Rhino, http://www.rhino3d.com

Melanie, M., 1996. An Introduction to Genetic Algorithms. London: Massachusetts Institute of Technology.

M.P., B. & N., K., 1988. Generating Optimal Topologies in Structural Design using a Homogenization Method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Volumul 71, pp. 197-224.

Metropolis, N.; Rosenbluth, A. W.; Rosenbluth, M.; Teller, A. H.; and Teller, E. "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines." J. Chem. Phys. 21, 1087-1092, 1953.

Michalewicz, Z . “Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs”, SpringerVerlag , 1996

Mitsuo, G., Runwei, C. & Lin, L., 2008. Network Models and Optimization Multiobjective Genetic Algorithm Approach. London: Springer-Verlag London Limited.

Moses,F., Onoda,S., "Minimum weight design of structures",J. Numerical Meth. 4,1979.

Moses,F.,"Optimum structural design using linear programming",J.Str.Div.ASCE 90,1968.

Murren, P. C., 2011. Development and implementation of a design-driven harmony search algorithm în steel frame optimization. Notre Dame, Indiana : University of Notre Dame.

M. Nicoreac, B. Pârv, M. Petrina: “Analysis of Tall Buildings with Braced Frames and Outrigger Trusses”, Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture, ClujNapoca, Romania, ISSN 1221-5848, http://constructii.utcluj.ro/ActaCivilEng/

M. Nicoreac, B. Pârv, R. Hulea, B. Petrina: “An Approximate Method of Analysis for Tall Buildings Comprising Outrigger Braced Cores”, Conferința Internațională DEDUCON, 11 noiembrie 2011, Iași, ISSN 2248-0293.

Ochoa, G. I. H. a. H. B., 2000. Optimal mutation rates and selection pressure in genetic algorithms. In Genetic And Evolutionary Computation Conference, s.l.: s.n.

Olhoff, N. & J.E., T., 1983. On structural optimization.. J. Applied Mechanics, Volumul 50, p. 1139–1151.

Otten, R. H. J. M. and van Ginneken, L. P. P. P. The Annealing Algorithm. Boston, MA: Kluwer, 1989.

P., v. Buelow. & et.al., fără an Optimization of structural form using a genetic algorithm to search associative parametric geometry, s.l.: s.n.

Petrina, M., 1982. Probleme ale Optimizării proiectării structurilor alcătuite din bare. Cluj-Napoca: s.n.

Petrina, M., Cătărig, A., ș.a., 2007, Statica constructiilor în formulare matriceală, Editura U.T. Press.

Petrina, M. , B. Pârv, M. Nicoreac, ș.a., Comparative Study of a Tall Building using Equivalent Column and FEM, Conference Proceedings of the IASS-IABSE "Taller, Longer, Lighter – Meeting Growing Demand with Limited Resources" 2011 Symposium, 20-23 Septembrie 2011, Londra, Marea Britanie, http://www.iabse-iass-2011.com/.

Petrina, M., Cătărig, A. și S.a., Statica Construcțiilor în Formulare Matriceală, Editura U.T. Press, 2007.

B. Pârv, M. Nicoreac, M. Petrina, T. Petrina : “Results of the Romanianresearchers from Cluj Napoca concerning high-rise structures”, Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture, Vol. 53, No. 1, (2011),Cluj-Napoca, Romania, UTPRESS, ISSN 1221-5848, http://constructii.utcluj.ro/ActaCivilEng/

Pezeshk S, Camp CV, Chen D. Design of nonlinear framed structures using genetic algorithms. J Struct Eng ASCE 2000;126(3):382_8.

Popa, R. “Cercetari privind elaborarea unor noi metode de testare a structurilor numerice”, Teza de doctorat , Universitatea "Dunarea de Jos" din Galati , 1998 .

Poterasu, V. F. & Florea, N., 1984. Practica Optimizatii Structurilor. Iasi: Editura Junimea.

Rahami H, Kaveh A, Gholipour Y. Sizing, geometry and topology optimization of trusses via force method and genetic algorithm. Eng Struct 2008;30(9):2360_9.

Rajeev S, Krishnamoorthy CS. Discrete optimization of structures using genetic algorithms. J Struct Eng ASCE 1992;118(5):1233_50.

Randy, L. H. & Sue, E. H., 2004. Practical Genetic Algorithms. New Jersey: Publeshed by John Wiley & Sons.

Robert McNeel & Associates, 2012. Available at: http://www.rhino3d.com/features/.

Robot, usa.autodesk.com/robot-structural-analysis-professional/

Roe¨ sset, Jose M. , Hon.M., James T. P. Yao, State of the Art of Structural Engineering, 2003

Romstad, K.,Wang,C.,"Optimum design of framed structures", J.Str.Div.ASCE 94, 1978.

Rozvany, G.,”Structural optimization”, Springer-Verlag, Heidelberg, 1999.

Rutten D., Grasshopper, www.grasshopper3d.com

Saka MP, Kameshki ES. Optimum design of multi-story sway steel frames to BS 5950 using a genetic algorithm. În: Topping BHV, editor. Advances în engineering computational technology. Civil-Camp press; 1998. p. 135_41.

SAP 2000, www.csiberkeley.com/sap2000.

Schmidt, L.A., Fox, R.L., "An integrated approach to structural synthesis and analysis", AIAA J. 6, 1975.

Schmit, L. & R.H., M., 1963. Structural synthesis and design parameters. Hierarchy. s.l., Journal of the Struct. Division, Proceedings of the ASCE, 89:269–299, 1963..

Sivanandam, S. N. & Deepa, S. N., 2008. Introduction to Genetic Algorithms. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Smit, S. a. A. E., 2009. Comparing parameter tuning methods for evolutionary algorithms. In IEEE Congress on Evolutionary Computation, pp.399–406, s.l.: s.n.

Sousa, F. V. V. R. F., 2003. Generalized Extremal Optimization for Solving Complex Optimal design Problems. Presented in: Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO-2003), Chicago, Illinois USA, pp. 1-11, s.l.: s.n.

Structural Design Of Retractable Roof Structures, IASS working group n°16, WIT Press, 2000

Teresko, John. 1993. “Parametric Technology Corp.: Changing the way Products are Designed.” Industry Week, December 20.

Thompson, D. W., 1917. On Growth and Form. s.l.:Cambridge University Press.

Tsui, E., 1999. Evolutionary architecture: nature as a basis for design. N.Y.: John Wiley.

Turkkan, N., 2003. Discrete Optimization of Structures Using a Floating Point Genetic Algorithm, Proceedings of the Annual Conference of the Canadian Society for Civil Engineering,Moncton, Nouveau-Brunswick, Canada, pp. GCM-134-1/8, s.l.: s.n.

V. Fiacco/G. P. McCormick, Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. XIV + 210 S. m. Fig. New York/London/Sydney/Toronto 1969.

Valery, V. V., 1999. Optimal Design Theory and Applications to Materials and Structures. Lancaster: Technomic .

Vanderplaats, G., 1984. Numerical Optimization Techniques for Engineering Design: with Applications. s.l.:McGraw-Hill: Series în Mechanical Engineering.

Wang D. Optimal shape design of a frame structure for minimization of maximum bending moment. Eng Struct 2007;29(8):1824_32.

Weisstein, Eric. 2003. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Second edition. Boca Raton: Chapman &amp; Hall/CRC.

X. Huang and Y.M. Xie, Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures: Methods and Applications, John Wiley & Sons, Chichester, England, 2010, 235 pp., ISBN: 9780470746530.

Y.M. Xie and G.P. Steven, 'A simple evolutionary procedure for structural optimization', Computers & Structures, Vol. 49, No. 5, pp 885-896, 1993.

Y.M. Xie and G.P. Steven, Evolutionary Structural Optimization, Springer-Verlag, London, June, 1997, xii+188 pp., ISBN 3-540-76153-5.  

Y.M. Xie, Z.H. Zuo, X. Huang, J.W. Tang, B. Zhao and P. Felicetti, ‘Architecture and urban design through evolutionary structural optimisation algorithms’, Keynote Lecture of International Symposium on Algorithmic Design for Architecture and Urban Design, Tokyo, Japan,  March 14-16, 2011, 11pp.

Zawlewski, Waclaw, and Edward Allen. Shaping Structures: Statics. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

LUCRARI PUBLICATE

ing. Ioana BALEA

Ioana D. Balea , Radu Hulea, Georgios E. Stavroulakis. „Implementation of Eurocode Load Cases în Optimization Problems of Steel Frames, Based on Genetic Algorithms”, February, 2013, Applied Mechanics and Materials, 310, 609, DOI 10.4028/www.scientific.net/AMM.310.609

Ioana D. Balea, Adina M. Popescu, Georgios E. Stavroulakis. „Parametric design and optimization of steel roof trusses”, 10th HSTAM International Congress on MechanicsChania, Crete, Greece, 25 – 27 May, 2013

Ioana D. Balea, Radu Hulea, Georgios E. Stavroulakis. „Discrete optimization approach for steel frames and trusses, based on genetic algorithms ” SEECCM III 3rd South-East European Conference on Computational Mechanicsan ECCOMAS and IACM Special Interest Conference, Kos Island, Greece, 12–14 June 2013

Popescu A. M, Balea I. D. “Steel multi-story structures with added damping. A consumption approach” 13th International Scientific Conference VSU’ 2012, 6-7 June, 2013, Sofia, Bulgaria- Proceedings.

Popescu A. M, Balea I. D. „Optimal Steel Multi-Storey Structures. Added Damping vs. Stiffness.” C60 International Conference, 7-9 November,2013, Cluj-Napoca, Romania.