Strategii de Hedging pe Piata Financiara

Strategii de hedging pe piata financiara

Cuprins:

Introducere

Rentabilitate si risc

Volatilitate

Volatilitate implicita

Delta

Gamma

Vega

Theta

Rho

Black-Scholes

Stadiul cunoasterii

Prezentarea metodologiei cercetarii si a rezultatelor obtinute

Definiție

Concluzii si recomandari

Volatilitatea asteptata joaca un rol foarte important in teoria financiara, estimarea acestui parametru este cruciala cand este vorba de a lua o decizie. Cercetatorii financiari in general iau in considerare evolutia istorica a activelor pentru a putea face o previziune asupra volatilitatii. Cu toate acestea metoda aceasta se refera la proiectarea viitorul avand ca baza data trecute, insa o alta metoda ce o vom lua in considerare in aceasta lucrare este sa folosim pretul optiunilor si sa aflam volatilitatea respectiva. Deoarece pretul optiunilor depinde de volatilitate , aceasta se poate afla usor din formula lui Black-Scholes care presupune ca activul suport urmeaza o miscare browniana geometrica cu volatilitate constanta, optiunile care au acelasi activ suport trebuie sa prezinte aceeasi volatilitate implicita. Cu toate acestea in practica volatilitatiile implicite difera in functie de pretul de exercitare si maturitate.

Optiunile care sunt foarte puternic in afara banilor au o volatilitate implicita mai mare decat cele care sunt la bani. Problema cea mai mare este aceea ca Black-Scholes au considerat volatilitatea este constanta, fapt ce nu se respecta in realitate. S-a observat ca atunci cand pretul activului suport creste volatilitatea scade, iar cand pretul activului suport scade volatilitatea creste , ceea ce este usor de observat datorita faptului ca odata ce incepe sa scada pretul oamenii se panicheaza iar cum volatilitea masoara panica aceasta creste si invers. In aceasta lucrare am considerat ca volatilitatea poate fi considera ca o functie deterministica de pretul activului suport si timp.

Importanta acestei lucrari este sa vedem daca volatilitatea este o functie determinita de pretul activului si maturitea. Pentru a verifica daca este adevarat vom luat preturile optiunilor de azi si analizam daca functia volatilitatii implicite va fi aceeasi cu cea pe care o vom determina din pretul optiunilor din urmatoarea zi. Daca volatilitatea estimata este stabila in timp, asta va insemna ca presupunerea noastra a fost corecta si va fi o noua metoda de a determina procesul din spatele preturilor pentru pietele financiare, precum rata de hedging si evaluare optiunilor exotice. Pe de alta parte, daca estimarea noastra nu este stabila in timp, va trebui sa concluzionam ca folosirea presupunerii noastre, ca volatilitatea este o functie deterministica de pretul activului si maturitatea, nu a fost una corecta si trebuie sa cautam alta metoda de a determina volatilitatea implicita.

Lucrarea va fi organizata astfel: In prima parte, vom povesti despre problemele modelului Black-Scholes si anume despre volatilitatea implicita. In a doua parte, se va prezenta procedura empirica. In a treia parte, se va estima volatilitatea implicita folosind 4 modele diferite de volatilitate care le vom aplica pe optiunile CAC40, dupa care vom compara modelele intre ele pentru a decide care este cel mai bun. In a 4-a parte, vom verifica cat de mult s-a respectat modelul pentru o perioada de o saptamana. In a 5-a parte , se va decide care model este cel mai bun pentru strategia de hedging, mai exact care a avut cea mai mica eroare. In a 6-a parte , se va prezenta concluzia acestei lucrari percum si cateva sugestii legate de cercetari pe viitor.

Managementul de risc a devenit tot mai important in ultimele decenii pentru companii, lucru fiind vizibil din marimea tot mai mare a bugetelor alocate acestui departament. Companiile trebuie sa isi asume anumite riscuri daca vor sa supravietuiasca si sa aiba o crestere durabila sustenabila. Principala persoana care se ocupa de riscuri este managerul de risc, acesta avand responsabilitatea sa inteleaga riscul portofoliului pe care compania il are in prezent precum si cel care urmeaza sa il detina in viitor. Totodata acesta trebuie sa decida daca riscurile sunt acceptabile, in caz contrar el trebuie sa ia anumite decizii pentru a le elimina.

1.1 Rentabilitate si Risc

Intre risc si rentabilitate exista o relatie direct proportionala, cu cat este mai mare riscul cu atat castigul asteptat poate fi mai mare. De exemplu daca am avea 1 milion de $ de investit pentru un an , o alternativa ar fi sa cumparam obligatiuni zero cupon care au un randament de 3% , generand un castig de 30.000 $ cu un risc aproape inexistent. O alta alternativa ar fi sa investim aceasta suma de bani in actiuni. Presupunem ca aceste actiuni prezinta urmatoarele castiguri pentru anumite probabilitati cum ar fi cele din tabelul 1.1. Observam ca pentru o praobabilitate de 10 % randamentul este de 40%, pentru o probabilitate de 20% randamentul este de 20% si asa mai departe. In urma unor calcule putem observa ca randamentul asteptat pe an este :

0.1*0.4+0.2*0.2+0.4*0.1+0.2*(-0.15)+0.1*(-0.3)=0.06

Acest rezultat ne arata ca daca suntem de acord sa ne asumam anumite riscuri randamentul pentru investitia initiala este dublu fata de cel a obligatiunilor zero cupon. Daca lucrurile merg bine randamentul poate fi chiar si de 40% ( 400.000 $), dar exista si posibilitatea ca pierderea sa fie de 30% si anume 300.000 $.

Tabel 1.1 Rentabilitatea pentru un an a investitie de 1 milion $ in actiuni

O metoda de cuantificare a riscului este deviatia standard a rentabilitatiilor pe parcursul unui an. Aceasta este prezentata de urmatoarea formula:

Sqrt(E(R^2)-E(R)^2)

Unde R este rentabilitatea anuala. E(R) reprezinta rentabilitatea anuala asteptata, luand in considerare tabelul 1.1 am aratat ca E(R)=0.06. Pentru a calcula E(R^2) trebuie sa modificam R cu R^2 la probabilitatiile aferente:

E(R^2)=0.1*0.4^2+0.2*0.2^2+0.4*0.1^2+0.2*(-0.15)^2+0.1*(-0.3)^2=0.0415

Deviatia standard a rentabilitatiilor este sqrt(0.0415-0.06^2)=0.1947 sau 19.47%

1.2 Volatilitatea

Variabila σ reprezinta volatilitatea si aceasta este definita ca fiind abaterea medie patratica a pretului unui activ in timp. Cand vorbim de managementul riscului volatilitatea este exprimata ca fiind deviatia standard a schimbarilor proportionale a unei variabile pe parcursul unei zile.

Sa presupunem ca pretul unui activ este de 100$ si volatilitatea zilnica este de 4%. Asta inseamna ca pretul activului se poate modifica de la o zi la alta cu 100*0.04 adica 4 $. Daca presupunem ca pretului activului urmeaza o distributie normala , putem fi 95% siguri ca pretul activului va oscila intre 100-1.96*4=92.16 si 100+1.96*4=107.84 la sfarsitul zilei.

1.3 Volatilitatea Implicita

Singurul parametru care nu poate fi observat direct din formula lui Black-Scholes-Merton de evaluare a optiunilor este volatilitatea pretului activului. Volatilitatea implicita este obtinuta din inversarea functiei lui Black-Scholes aplicata la pretul optiunii de pe piata , ea fiind posibila deoarece este functie crescatoare in σ. Observam ca nu este greu sa demonstram ca volatilitatea implicita este aceeasi pentru optiunile call si put. Din paritatea put-call in lipsa oportunitatiilor de arbitraj reies urmatoarele ecuatii:

Pmkt+St=Cmkt+K*e^(-r(T-t)) si Pbs(σ)+St=Cbs(σ)+K*e^(-r*(T-t)) pentru orice σ.

Facand diferenta intre cele doua obtinem Pbs(σ)-Pmkt=Cbs(σ)-Cmkt. Deci daca σ este in asa fel incat Cbs(σ)=Cmkt atunci reiese clar ca Pbs(σ)=Pmkt. In practica este mai comun sa folosim optiuni in afara banilor pentru a construi volatilitatea implicita deoarece sunt mai multe preturi de exercitare .

Pentru un anumit activ suport al unei optiuni la momentul de timp t, suprafata reprezentata 3D reprezinta volatilitatea implicita a optiunii, ea fiind o functie cu variabilele moneyness ( raportul dintre pretul de exercitare si pretul activului suport) si data expirarii.

Se observa in Figura 1.1 ca volatilitatea maxima este de 90% in momentul in care optiunea este in afara banilor si maturitatea este aproape. Cel mai scazut nivel al volatilitatii este vizibil pentru optiunea cu maturitate lunga si care este in afara banilor. De asemenea optiunile care sunt la bani si care au maturitate scurta prezinta si ele o volatilitate destul de ridicata deoarece ele pot ajunge usor in bani sau in afara banilor datorita maturitatii scurte.

Figura 1.1 Sursa: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/23316-volatility-surface/content/VolSurface.m

1.4 Delta

In institutiile finaciare exista doua departamente care se ocupa de managementul riscului. Primii sunt traderii cei care se ocupa de riscurile asupra variabilelor individuale ale pietei si verifica daca sunt acceptabile, iar al doilea departament se ocupa de expunerea fiecarui trader si verifica daca riscul total este acceptabil.

In acest capitol vom explica mai pe scurt ce inseamna fiecare litera greceasa si cum este aceasta folosita de traderi in practica , ele mai au denumire si de “Greek letters”. Traderii isi calculeaza literele grecesti la finalul zilei si sunt responsabili sa actioneze in cazul in care riscul limita al institutiei financiare pentru care lucreaza este depasit.

Una dintre cele mai importante litere grecesti este Delta. Aceasta ne arata cum se modifica pretul produsului derivat la o mica modificare a pretului activului suport al derivatului. Pentru optiunile call si put delta reprezinta derivata de ordinul 1 in functie de pretul activului suport al formulei lui Black-Scholes. Deci este usor vizibil ca pentru optiunile call vom aveam un delta pozitiv, iar pentru optiunile put un delta negativ. Pentru a evidentia cum functioneaza delta vom lua in considerare urmatorul exemplu:

Sa presupunem ca un trader lucreaza pentru o banca si este responsabil de tranzcatiile de petrol. Fie pretul curent al petrolului fiind 100$ pe baril. Tabelul 1.2 arata starea portofoliul traderului la momentul prezent. Intrebarea este cum poate acesta sa isi managerieze riscurile?

Valoarea portofoliului nostru este de 115.000 $. O metoda de a preveni riscul este sa reevaluam portofoliul la o modificare a pretului barilului de petrol de la 100$ la 101$. Pentru o crestere a pretului petrolului cu 1$ valoarea portofoliului va scadea cum 2000$, asta insemnand ca sensibilitatea portofoliului la pretul petrolului este de -2000$, acesta este delta portfoliului. Portofoliul pierede valuare cu o rata de 2000$ la o crestere a pretului petrolului cu 1 $ , similar va avea o valoare mai mare la scaderea pretului barilului de petrol cu 1$. Pentru a elimina acest risc traderul poate cumpara petrol in valoare de 2000$. Acesta strategie mai este numit ca si delta hedging. Cand folosim o asemenea strategie dorim ca portofoliul nostru sa nu se modifice la mici modificare ale preturilor activurilor suport.

Tabel 1.3 Portofoliul traderului

Un produs liniar este acel produs care valoare lui la orice moment de timp este dependenta de valoarea de piata a activului suport. Un astfel de pordus liniar sunt contractele forward, optiunile nu sunt produse liniare.

Totodata un produs liniar poate fi hedged destul de simplu. Ca si exemplu sa consideram ca BNR a intrat intr-un contract forward cu un client in care s-a ajuns de acord ca BNR sa ii vanda 1 milion $ pentru 4 milioane RON. Sa presupunem ca rata anuala la dolar si la RON este de 5% si 6%. Asta inseamna ca valoarea prezenta la 1 milion $ pe un an este de 1.000.000/1.05 = 952.380 dolari. Valoarea prezenta a 4 mil RON va fi urmatoarea 4.000.000/1.06 = 3.773.584 RON. Sa presupunem ca X RON reprezinta un dolar. Valoarea contractului prezent in RON este de:

3.773.584-952.380*X

Aceasta ne arata ca valoarea contractului este liniara in functie de cursul de schimb X. Delta unui asemenea contract este de -952.380, iar acesta poate fi hedged prin cumpararea a 952.380 de dolari. In caz contrar daca banca ar fi intrat intro tranzactie inversa si anume sa cumpere 1 milion de dolari pentru 4 miliane RON, atunci valoarea portofoliului ar fi fost 952.380*X- 3.773.548 iar delta era +952.380 adica pentru a face hedging ar fi trebuit sa vanda 952.380 dolari.

Optiunile call si put sunt produse derivate mai complexe care nu sunt liniare. Relatia dintre valoare produsului si activul suport la orice moment de timp este neliniara. Aceasta poate creea dificultati cand vorbim de hedging deoarece un portofoliu delta- neutral te protejeaza doar impotriva micilor modificari in pretul activului suport, iar totodata hedgingul trebuie facut frecvent ( hedging dinamic). Ca si exemplu sa presupunem ca un trader care vinde 100.000 optiuni call europene neplatitoare de dividend cand :

Pretul activului suport este 49$, Pretul de exercitare este de 50$, rata dobanzii la obligatiuni este de 5%, volatilitatea pretului activului suport este de 20% annual si maturitatea optiunii este de 20 de saptamani.

Sa presupunem ca valoarea primita din vanzarea optiunilor este de 300.000$ si traderul nu mai are nicio pozitie dependenta de respectivul activ deschisa. Valoarea unei optiuni in functie de pretul activului suport este prezentata in Figura 1.2 , iar delta unei optiuni la modificarea pretului activului suport este prezentata in Figura 1.3. La momentul tranzctiei valoarea optiunii reprezinta 2.40 $ si delta optiunii 0.522. Din cauza ca traderul a vandut 100.000 de optiuni, valoarea portofoliului este de $-240.000 si delta portofoliului este de $-52.200. Traderul poate fi multumit de tranzactie deoarece el a vandut optiunile pentru o valoare de 300.000 $ deci a facut un profit de 60.000$ insa acesta intampina problema de a se acoperi impotriva riscului portofoliului.

Figura 1.2 Valoarea optiunii

Figura 1.3 Delta optiunii

Figura 1.4 Optiuni care se termina in bani

Figura 1.5 Optiuni care se termina in afara banilor

Imediat dupa tranzactie, portofoliul traderului poate fi facut delta neutral cumparand 52.200 de actiuni ale activului suport. Daca apare o crestere ( descrestere) a pretului activului suport, castigul ( pierderea) ale traderului la pozitia de vanzare a optiunii se vor anula cu pierderea ( castigul) de la actiunile cumparate. De exemplu, daca pretul activului suport creste de la 49$ la 49.10 $ , valoarea optiunii va scadea cu 52.200 * 0.10 = 5.220, in timp ce valoarea actiunilor va creste cu aceeasi suma. In cazul produselor liniare hedgingul era indeajuns sa fie facut o singura data dupa care nu trebuia schimbat, insa in cazul produselor liniare hedgingul trebuie ajustat periodic, aceasta operatiune avand denumirea de rebalansare.

Figura 1.4 si 1.5 arata doua exemple de cum se face ajustarea , aceasta fiind facuta saptamanal. Dupa cum am mentionat, valoarea initiala pentru delta a unei singure optiuni a fost de 0.522 si delta portofoliului era de -52.200, asta insemnand ca imediat ce optiunea a fost vanduta 2.557.800 $ trebuie imprumutati pentru a putea cumpara 52.200 de actiuni la un pret de 49$. Rata de doabanda este de 5% deci dobanda va fi aproximativ 2.500 $ in prima saptamana.

In Figura 1.4 pretul activului suport a scazut la sfarsitul primei saptamani la valoarea de 48.12 $. Delta a scazut si el la valoarea de 0.458, deci o pozitie de cumparare a 45.800 de actiuni este necesara pentru a face hedging. Din moment ce avem in portofoliu 52.200 rezulta ca 6.400 ( 52.000- 45.800) de actiuni trebuie vandute pentru a mentine portofoliul delta neutral. Strategia aduce un venit de 308.000$ iar suma banilor imprumutati se reduce la 2.252.300$. Pe parcursul a celei de a doua saptamana pretul activului suport scade iar la 47.37$ si delta scade din nou, urmand apoi sa se vanda 5.800 actiuni. Pe parcursul celei de a treia saptamani, pretul activului suport creste la 50 $ si delta la fel, ceea ce duce la o cumparare de 19.600 de actiuni. La finalul saptamanii 20, hedgerul detine 100.000 de actiuni in urma carora primeste 5.000.000$ pentru aceste actiuni cand optiunea este exercitata, vanzarea propriu zisa impreuna cu hedgingul este de 263.300$ pentru respectivele optiuni.

In Figura 1.5 avem aceeasi situatie ca in Figura 1.4 doar ca singura diferenta este ca optiunea se termina in afara banilor. Deci optiunea nu este exercitata ceea ce rezulta ca delta este zero. Totodata observam ca , costul hedgingului este aproape dar nu exact la fel ca cel al lui Black Scholes. Daca hedgingul ar functiona perfect in timp instantaneu atunci pretul ar fi exact ca cel al lui Black Scholes. Motivul pentru care apar variatiile acestea in costul cu delta hedging este acela ca hedginul este facut odata pe saptamana. Daca ar fi facut mai des atunci variatia ar fi redusa, ins trebuie luat in considerare ca nu sunt introduse si comisioanele de tranzactionare , care acestea ar putea fi foarte mari daca am face hedgingul mai rapid decat 1 saptamana. In general mentinerea portofoloiului delta neutral se face doar pentru acele portofolii de derivate dependente de un singur activ suport, pentru ca o singura tranzactie este necesara pentru a mentine delta zero pentru intreg portofoliul.

1.5 Gamma

Urmatoarea litera greceasca importanta este Gamma, aceasta masoara cat de tare se modifica delta pentru o optiune la o modifica mica a pretului activului suport , altfel spus este a doua derivata a portofoliului in functie de pretul activului suport. Daca Gamma este mic, atunci delta se modifica incet, si ajustarea pentru a pastra portofoliul delta neutral se poate face mai rar. Cand pretul activului se modifica de la S la S1 , delta hedging presupune ca pretul derivatului se modifica de la C la C1, insa acesta de fapt se modifica de la C la C2. Diferenta dintre C1 si C2 este eroarea de heging, gamma masoara aceasta eroare. In Figura 1.6 putem observa cum variaza gamma in functie de pretul activului suport. Se observa ca gamma este mai mare pentru optiunile unde pretul activului este mai aproape de pretul de exercitare K.

Figura 1.6 Relatia dintre Gamma si pretul activului suport

Un produs derivat liniar are un gamma zero , fapt ce este clar deoarece delta pentru aceste produse nu se modifica. Sa presupunem ca un portofoliu delta neutral are un gamma egal cu г, si o optiune tranzactionata are un gamma egal cu г1, daca adaugam W optiuni cu acel gamma, atunci gamma portofoliului va fi : W*г1+г

Deci, pentru a face portofoliul gamma neutral trebuie sa adaugam W= -г/г1 optiuni. Adaugand noi optiuni se poate sa modifice delta portofoliului, deci trebuie sa ajutam astfel incat sa avem delta neutral portofoliul. Trebuie retinut ca portofoliul gamma neutral poate fi mentinut doar pe o perioada scurta de timp, el poate fi mentinut asa numai in cazul in care ajustam pozitiile deschise de optiuni. Sa presupunem ca un portofoliu este delta neutral si are un gamma de -3.000. Delta si gamma a unei optiuni particulare este de 0,62 si 1,50. Portofoliul poate fi gamma neutral cumparand 3.000/1,5=2.000 call option ( gamma portofoliului va fi -3.000+1,5*2.000=0). Cu toate acestea, delta portofoliului se va mofica de la zero la 2.000*0,62=1.240. Deci o cantitate de 1.240 de actiuni trebuie vandute pentru a mentine portofoliul delta neutral.

1.6 Vega

Vega este litera greceasca care ne arata cum se modifica produsul derivatat la o modificare a volatilitatii. Volatilitatea reprezinta incertitudinea legata de valoarea viitoare a unei variabile. In evaluarea optiunilor volatilitatea se presupune ca este constanta, dar in practica aceasta se modifica. Pozitiile Spot si forward nu depind de volatilitatea pretului activului dar optiunile si alte produse derivate mai complexe depind. Vega unui portofoliu, V, reprezinta modificarea valorii portofoliului la o modificare a volatilitatii, σ, a unui activ suport. Daca vega este mare atunci portofoliul este foarte sensibil la modificari mici ale volatilitatii, pe de alta parte daca vega este mic atunci modificarea volatilitatii are un impact nesemnficativ asupra valorii portofoliului.

Vega a unui portofoliu poate fi modificat adaugand pozitii noi pe anumite optiuni. De exemplu daca V este vega unui portofoliu si V1 este vega unei optiuni tranzactionate, atunci o pozitie –V/V1 deschisa pe respectiva optiune va face portofoliul vega neutral. Cu toate acestea un portofoliu care este gamma neutral nu va putea fi in general vega neutral sau invers. Pentru a putea face un portofoliu vega si gamma neutral , trebuie sa tranzactionam cel putin doua derivate cu acelaasi activ suport. La fel ca si pentru gamma variatia lui vega in functie de pretul activului suport prezinta acelasi grafic ca in Figura 1.7

Figura 1.7 Variatia lui Vega in functie de pretul activului suport

1.7 Theta

Theta unui portofoliu,θ, reprezinta modificarea valorii portofoliului in raport cu maturitatea, toate celalalte variabile nefiind modificate. Theta este in general negativ pentru optiuni, pentru ca odata ce maturitatea scade si celalalte varibile ramanand la fel optiunea tinde sa devina tot mai putin valoroasa. Variatia lui Theta in functie de pretul activului suport pentru o optiune call este prezentat in Figura 1.8. Cand pretul activului suport este foarte scazut atunci theta este aproape de zero, insa pentru optiuni la bani theta este foarte mare si negativ. Figura 1.9 ne arata variatia lui theta in functie de maturitate pentru optiuni call in afara banilor ,la bani si in bani. De multe ori multi traderi considera theta mai mult ca si instrument statistic pentru portofoliu.

Figura 1.8 Variatia lui theta pentru optiuni call cu pret de exercitare K

Figura 1.9 Diferite variatii ale lui theta pentru optiuni cu preturi de exercitare diferite

1.8 Rho

Ultima litera greceasca care este luata in considerare de traderi este Rho. Ea reprezinta sensibilitatea valorii portofoliului la modificarile ratei dobanzii. Optiunile pe valuta au doua Rho, una pentru rata de dobanda nationala si alta pentru rata de dobanda pentru moneda straina. Cand un portofoliu este compus din obligatiuni si optiuni pe rata de dobanda, traderii iau foarte in serios riscul care il poate produce o modificare a ratei de dobanda.

1.9 Black-Scholes-Merton

Ecuatia diferential a lui Black-Scholes-Merton este ecuatia ce trebuie sa fie verificata de orice pret al unui instrument derivat. Natura ecuatiei porneste de la portofoliu fara risc compus din derivate si activul suport. In absenta oportunitatilor de arbitraj, rentabilitatea portofoliului trebuie sa fie egala cu rata dobanzi la obligatiuni. Motivul pentru care un portofoliu fara risc poate fi construit este acela ca pretul activului suport si al derivatului sunt afecatati de aceeasi sursa de incertitudine si anume miscarile pretului activului suport. Pe o perioada scurta de timp pretul derivatului este perfect corelat cu pretul activului suport. Cand apar mici modificari castigul ( pierderea) din detinerea activului suport se anuleaza cu pierderea( castigul) din detinerea derivatului pe acelasi activ suport, ceea ce face ca acel portofoliu sa fie unul care nu prezinta incertitudine. Teoretic portofoliul ramane fara risc doar pentru o scurta perioada de timp, iar pentru a pastra aceasta certitudine portofoliul trebuie ajustat des.

Prezumtiile in modelul Black-Scholes-Merton

Pretul activului suport urmeaza un proces stochastic cu medie si volatilitate constanta

Nu exista costuri de tranzactionare sau alte taxe, toate titlurie sunt perfect divizibile

Tranzactionarea de titluri este continua

Rata de dobanda la obligatiuni este constanta pentru toate maturitatiile

Nu exista dividende dealungul perioadei derivatului

Volatilitatea este considerata constanta

3.Prezentarea metodologiei cercetarii si a rezultatelor obtinute.

3.1 Problemele Volatilitatii implicite din modelul Black-Scholes

Motivatia de a considera ca volatilitatea este o functie deterministica in evaluarea optiunilor apare din deficienta modelului Black-Scholes.