Str. Calea Mărășești, nr. 157, Bacău, 600115 [603472]

1
UNIVERSITATEA „VASILE ALECSANDRI”
DIN BACĂU
Facultatea de Științe
Departamentul pentru Pregătirea
Personalului Didactic
Str. Calea Mărășești, nr. 157, Bacău, 600115
Tel. ++40 -234-542411, tel./ fax ++40 -234-588935
www.ub.ro ; e-mail: [anonimizat]

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. GÂRTU MANUELA

CANDIDAT: [anonimizat]. RUSU IULIAN ADRIAN

SPECIALIZAREA:
MATEMATICĂ

BACĂU
2020

2
UNIVERSITATEA „VASILE ALECSANDRI”
DIN BACĂU
Facultatea de Științe
Departamentul pentru Pregătirea
Personalului Didactic
Str. Calea Mărășești, nr. 157, Bacău, 600115
Tel. ++40 -234-542411, tel./ fax ++40 -234-588935
www.ub.ro ; e-mail: [anonimizat]

Ecuații algebrice cu coeficienți reali.
Considerații metodice

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. Gartu Manuela

CANDIDAT: [anonimizat]. Rusu Iulian Adrian

BACĂU
2020

3
CUPRINS
INTRODUCERE
Capitolul I. NOTIUNI PRELIMINARE
1.1. Scurt istoric
1.2. Aflarea unui termen necunoscut
1.3. Relația de egalitate in R

Capitolul II. ECUAȚII. NOTIUNI GENERALE
2.1. Noțiunea de ecuație
2.2. Soluți a unei ecuații
2.3. Rezolvarea unei ecuații
2.3.1. Transformări echivalente ale ecuațiilor
2.3.2. Transformări neechivalente ale ecuațiilor

CAPITOLUL III. ECUAȚII ALGEBRICE CU COEFICIENȚI REALI.
CONSIDERAȚII METODICE.
3.1. Generalități . Ecuații alge brice cu coeficienți reali.
3.2. Ecuația de gradul I
3.3. Ecuații reductibile la ecuația de gradul I
3.4. Ecuația de gradul al II -lea
3.4.1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea
3.4.2. Relații intre rădăcini si coeficienți . Relațiile lui Viѐte
3.4.3. Studiul semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al doilea
3.4.4. Compararea rădăcinilor unei ecuați i de gradul al II -lea cu un număr real.
3.5. Rezolvarea diferitelor ecuații algebrice cu ajutorul ecuației de gradul al II -lea
3.5.1. Ecuații bipătrate
3.5.2. Ecuații reciproce de gradul III și de gradul IV
3.5.3 . Ecuații binome
3.5.4. Ecuații tr inome
3.6. Ecuații iraționale

Capitolul IV. ECUAȚII IN PROGRAM ELE SCOLARE
4.1. Importanța temei din perspectiva programei școlare de matematică.
4.2. Studiu comparativ programele școlare pentru învățământul gimnazial 2009 –
2017
4.2. Ecuații in N

4
4.3. Ecuații in Z
4.4. Ecuații in Q
4.5. Ecuații in R
SAU
Capitolul IV. APLICAȚII ALE ECUAȚIILOR DE GRADUL AL DOILEA
4.1. Calculul sumelor de puteri ale rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea
4.2. Formarea ecuației de gradul al doilea cunoscând rădăcinii
4.3. Descompunerea trinomului de gradul al doilea în factori liniari
4.4. Semnele rădăcinilor ecuației de gradul al doilea
4.5. Poziția rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea față de un n umăr real
4.6. Poziția rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea față de un interval mărginit
4.7. Condiția ca două ecuații de gradul al doilea să aibă o rădăcină comună
4.8. Probleme cu caracter aplicativ
SAU
Capitolul IV. SISTEME DE ECUATII
4.1. Noțiuni generale
4.2. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare
4.2.1. Metoda grafică
4.2.2. Metoda substituției
4.2.3. Metoda reducerii
4.2.4. Metoda lui Cramer
SAU
CAPITOLUL IV. Strategii didactice, aspecte metodice ale predării –
învățării si evaluarii ecuațiilor algebrice în învățământul preuniversitar

3.1. Demersuri tipice și creative în predare și învățare
3.1.1. Strategia didactică
3.1.2. Componentele strategiei didactice
3.1.3. Factorii determinanți în alegerea strategiei
3.1.4. Etapele elaborării unei strategii didactice
3.2. Metode didactice
3.2.1. Definiția și clasificarea metodelor
3.2.2. Metode tradiționale

5
3.2.3. Metode activ -participative
3.3. Strategii de evaluare
3.3.1. Forme, metode și instrumente de evaluare
3.3.2. Categorii de itemi
Capitolul V. CERCETAREA PSIHOPEDAGOGICĂ
5.1. Ipoteza cercetării
5.2. Scopul și obi ectivele cercetării
5.3. Tema cercetării
5.4. Metodologia de cercetare
5.5. Testul de evaluare inițială
5.6. Testul de evaluare f ormativa
5.7. Testul de evaluare finală
5.8 Analiza comparativă a testelor
CONCLUZII
ANEXE
BIBLIOGRAFIE

6
INTRODUCERE

Matematica evoluează dinamic atât cantitativ cat si calitativ, c ercetările și
descoperirile contemporane redimensionează domeniile ei și impun exigențe deosebite
fundamentelor sale. Învățământul nu poate sa rămână dator evoluției ; el are de rezolvat
probleme noi referitoare la introducerea noilor științe in vocabularul școlarului , a viitorului
individ, precum si dezvoltarea abilitaților cognitive necesare înțelegerii transformărilor
vremii. În ultimele decenii matematica a cunoscut o dezvoltare de o asemenea manieră încât
pătrunde tot mai mult în cele mai diferite domen ii ale științei și ale producției.
,,Matematica este regina științelor , iar teoria nume relor este regina matematicilor’ ’a
evidențiat Carl Friedrich Gauss importanta matematicii in evoluția științelor , cu certitudine
nimeni nu se îndoiește astăzi, că matem atica nu poate fi considerată cea mai rafinată
construcție a minții umane. Marii matematicieni au susț inut și îmbrățișat această idee, de
exemplu cuvintele marelui Platon, potrivit cărora ”matematica ar reprezenta cea mai înaltă
formă a înțelepciunii omene ști”, ea ar fi expresia maturității depline a gândirii.
Dintre materiile școlare m atematica este cea mai educativă pentru că atinge în gradul
cel mai înalt, părți ale intelectului omenesc, dar nu în ultimul rând și pe cele ale sufletului,
așa cum susținea matematicianul Gheorghe Țițeica.
Precum „Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul ” conform lui
Galileo Galilei , consider ca tema ” Ecuații algebrice cu coeficienți reali. Considerații
metodice ” are un rol important în învățarea matematicii, exercițiile și problemele prin
aplicabil itatea lor în vaste domenii , precum si ajutorul pe care îl oferă diferitelor noțiuni
matematice, facilitând înțelegerea si rezolvarea unor probleme matematice complexe,
stimulând gândirea și creativitatea.
In gimnaziu, ecuațiile ocupă un loc de seamă, dato rat importanței lor atât pe plan
teoretic, cât și datorită multiplelor aplicații practice, mai ales în viața de zi cu zi constituind
un ajutor remarcabil în rezolvarea problemelor cu caracter practic.
Lucrarea pe care am realizat -o este structurată în 5 c apitole, finalizându -se cu bibliografia
pe care am folosit -o în redactarea acesteia. Primul capitol al acestei lucrări este dedicat
noțiunilor preliminare ecuației, unde am cuprins istori a matematicii, mai exact reprezintă o
scurtă trecere în ”revistă” un or mari matematicieni care au avut o contribuție neasemuită în

7
descoperirea ecuațiilor, mai întâi a celor de g radul întâi, ajungând în cele din urmă la
descoperirea rezolvării ecuațiilor de grad superior , aflarea termenului necunoscut ca si
metoda premergă toare ecuații lor, dar si relația de egalitate cu toate mirajele ei.
Al doilea capitol al lucrării l -am rezervat prezentării noțiunilor generale cu privire la ecuații,
abordându -se aspecte precum noțiunea de soluție a unei ecuații, rezolvarea unei ecuații prin
transformări echivalente dar și transformări neechivalente ale unei ecuații .
Capitolul al III -lea l -am intitulat ”Ecuații algebrice cu coeficienți reale. Considerații
metodice” . Am început cu studiul cu câteva generalități despre ecuațiile algebric e, cum ar
fi: gradul unei ecuații, soluția unei ecuații și am prezentat Teorema fundamentală a algebrei,
cunoscută mai degrabă sub numele de Teorema lui D‘Alembert -Gauss. Tot în acest capitol
am trata aspecte despre ecuațiile de gradul întâi și ecuațiile d e gradul al doilea – prezentare
generală, discuția asupra existenței acestora în funcție de natura coeficienților, rezolvări ale
acestor ecuații, dar au fost abordate și alte tipuri de ecuații care se rezolvă cu ajutorul
ecuațiilor de gradul întâi sau a ec uațiilor de gradul al doilea: ecuații bipătrate, ecuații
reciproce de grad ul al III -lea, ecuații binome sau ecuații trinome, însoțite de exerciții
aplicative concludente.
Capitolul IV …………………………………………………………… ……………………………………
Ultimul capitol al acestei lucrări este rezervat cercetării psihopedagogice pe care am
realizat -o și în care am urmărit importanța în procesul instructiv educativ a aplicării
metodelor activ participative la o cla să de elevi în vederea îmbunătățirii performanțelor
școlare. În acest capitol sunt prezentate ipoteza și obiectivele cercetării, eșantionul de elevi
pe care sa realizat cercetarea, etapele și metodele folosite, precum și înregistrarea , analiza
și interpre tarea rezultatelor cercetării .

8
Capitolul I. NOTIUNI PRELIMINARE

1.1. Scurt istoric
Antichitate
Ecuațiile de gradul întâi și doi erau rezolvate, prin indicarea verbală
a operațiilor , cu circa 2000 de ani î.Hr., de când datează documentele scrise
egiptene și caldeene. În antichitatea greacă erau cunoscute unele identități
algebrice, exprimate sub formă geometrică și erau rezolvate grafic unele
ecuații de gradul al treilea și al patrulea prin intersecții de conice .
Diofant (sec. III) utiliza litere speciale pentru operații și numere, inițiind
notațiile simbolice.
Evul mediu
Ideile algebrice, conținute , în germene, în operele antichității , au fost dezvoltate de
matematicienii indieni: Brahmagupta (598 – 660) a introdus numerele negative iar Bhaskara
II (?1114 – 1178) a extins notația simbolică.

Algebra a fost cultivată mai ales de către matematicienii de limbă arabă: Al-Horezmi (780 ?
– 850) a formulat în cuvinte regula generală de grupare a termenilor și de trecere a lor dintr –
o parte în alta, pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi; Omar Khayyam (1036 – 1123) a
scris o carte importantă de algebră .

Epoca modernă
Algebra s -a dezvoltat considerabil în Renaștere , fixându -se
acum notația simbolică actuală: Niccolò Tartaglia (? – 1557) a dat
metoda generală de rezolvare a ecuației de gradul al treilea și Ludovico
Ferrari (1522 – 1565) a ecuației de gradul al patrulea.

François Viète (1540 – 1603) a efectuat calcule algebrice cu
formule literale și a dat relațiile dintre rădăcini și coeficienți (Formulele
lui Viète); John Neper (1550 – 1617) a inventat logaritmii; René
Descartes (1540 – 1650) a ridicat calculul algebric la semnificația lui generală, abstractă, și
a dat o limitare a numărului rădăcin ilor pozitive ale unei ecuații algebrice; John Wallis (1616
– 1703) l -a exprimat pe π ca limită a unui șir de numere raționale; Isaac Newton (1642 –
1727) a extins formula pute rii binomului pentru exponenți raționali , a dat o metodă de calcul
prin aproximație a rădăcinilor iraționale (vezi Binomul lui Newton), o formulă de
interpolare, formula de recurență pentru suma rădăcinilor unei ecuații ; Gottfried Wilhelm von
Leibniz (1646 – 1716) a stabilit criteriul de convergență al seriilor numerice
alternante; Michel Rolle (1652 – 1719) a dat o regulă de separare a rădăcinilor ecuațiilor
algebrice (Teorema lui Rolle ).
În secolul XVIII, James Stirling (1696 – 1770) a dat formula de calcul prin
aproximație a factorialului pentru valori mari ale numărului n, a adus contribuții în teoria
diferențelor finite; Gabriel Cra mer (1704 – 1752) a stabilit legea de scriere directă a
soluției unui sistem de ecuații liniare, sub formă de rapoarte de determinanți.
Niccolo

Tartaglia

9
Leonhard Euler (1707 – 1783) a expri mat cu ajutorul numerelor
complexe funcțiilor trigonometrice prin exponențiale și dezvoltarea lor în serie, a
introdus noțiunea de determinant ortogonal.
Étienne Bézout (1730 – 1783) a formulat o regulă de eliminare a necunoscutei
între două ecuații. Eduar d Waring (1734 – 1798) a furnizat o metodă pentru calculul
funcțiilor simetrice de rădăcinile unei ecuații algebrice și formula clasică
de interpolare prin polinoame.
Alexandre -Théophile Vandermonde (1735 – 1796) a stabilit
proprietățile determinanților. Joseph -Louis Lagrange (1736 – 1813) a sintetizat
teoria ecuațiilor algebrice, a introdus formele pătratice, a dat, independent de Waring,
formula de interpolare prin polinoame.

Pierre -Simon Laplace (1749 – 1827) a formulat regula
dezvoltării determinanțilo r după minori de diferite ordine.

Secolul al XIX -lea
În secolul al XIX -lea s -au obținut rezultate remarcabile în teoria ecuațiilor
algebrice prin lucrările lui Niels Henrik Abel (1802 – 1829)
care a arătat că, în general, ecuațiile de gradul al cincilea și
superior nu sunt rezolubile în radicali și Évariste Galois (1811
– 1832 ) care a stabilit condițiile în care o ecuație algebrică este
rezolubilă în radicali.
În ceea ce privește metodele de rezolvare prin
aproximații , Charles Sturm (1803 – 1855) a dat o teoremă
generală de determinare a numărului rădăcinilor reale într –
un interval dat.

În teoria numerelor complexe s-au dat reguli corecte de calcul: Gauss (1777 – 1855)
a dat reprezentarea numerelor complexe în plan; Hamilton (1805 –
1865) le -a introdus axiomatic ca o pereche ordonată de numere reale,
supuse unor reguli de calcul. S -au deschis domenii noi de cercetare
în algebră. A fost inițiată teoria abstractă a operați ilor.
Astfel, Hamilton a scos în evidență proprietățile
de comutativitate, asociativitate, distributivitate; De Morgan (1806 –
1871) a creat logica formală a operațiilor ; Benjamin Peirce (1809 –
1880) a studiat diferite tipuri posibile de algebre pe baza operațiilor
introduse axiomatic.
S-a extins teoria numerelor complexe:
Hamilton a introdus cuaternionii,
Cayley (1821 – 1895) octavele, Grassmann (1809 – 1877) sistemele
cu n unități; Kummer (1810 – 1893) numerele ideale, adică numerele complexe de
forma a+bρ, unde ρn=1; Clifford (1845 – 1879) numerele duale, adică de
forma a+bε, unde ε2=0,ε≠0.
Hamilton pune bazele calculului vectorial.
S-a creat teoria matricelor prin lucrările lui Cauchy (1789 – 1857) care a formulat regulile de
calcul în cazul numerelor reale.

10

Preocuparea pentru studierea matematicii datează din cele mai vechi timpuri. Primele
problemelor cu care sau confruntau oamenii au fost numărătoarea, compararea, calculul
unor suprafețe sau a unor volume, ceea ce a condus omul p e calea cunoașterii, de la
necesități practice la plăcerea de a descoperi noul. Astfel s -a cristalizat matematica și a
parcurs scara dezvoltării de la concret la abstract.
1.2.Aflarea unui termen necunoscut
Aflarea unui termen necunoscut reprezintă modalitatea de introducere a ecuațiilor in
vocabularul elevului, într-un mod intuitiv si care are la început un caracter mai degrabă ludic
decât riguros si care de zvolta intuiția si creativitatea, acest mod de a cunoaște ecuațiile oferă
posibilit atea educabilului sa realizeze conexiuni cognitive precum si consolidarea
operațiilor cu numere încă de la o vârsta frageda.
Voi prezenta o activitate de învățare la nivelul clasei a II -a.
Explicații teoretice cu exemplific ări
a) Ai da avea 18 șervețele în colecție .
Câte șervețele a mai primit dacă acum are 56?
Rezolvare:
Notăm datele problemei sub formă de exercițiu :
18 + a = 56 numărul șervețelelor pe care îl are acum
numărul șervețelelor avute
numărul șervețelelor primite( nu știm câte a primit, deci e un număr necunoscut pe care îl
înlocuim cu o literă )
Cum gândim?
Pentru a afla câte șervețel e a mai primit Ai da,(a) luăm din totalul obținut ,(56)numărul
șervețelelor pe care le avea(18), astfel:
18 + a = 56 →problema pusă sub formă de exercițiu ; a =
56 – 18 → scădem din sumă termenul cunoscut; a
= 38 →a flăm termenul necunoscut;
Verificare: 18 + 38 = 56 →verificăm dacă am lucrat corect prin înlocuirea termenului
necunoscut cu numărul a flat Răspuns: 38 șervețele

11
Reținem :
Termenul necunoscut la adunare se calculează prin operația de scădere, scăzând din
sumă termenul cunoscut.
b) Mar a avea 65 de mărgele.
Câte mărgele a rătăcit dacă i -au mai rămas doar 49 ?
Rezolvare:
Notăm datele problemei sub formă de exercițiu

65 – a = 49 numărul mărgelelor pe care îl are acum
numărul mă rgelelor avute
numărul mărgelelor rătăcite (nu știm câte a rătăcit, deci e un număr necunoscut, îl vom
înlocui cu o literă)
Cum gândim?
Pentru a afla câte mărgele a rătăcit Mar a, luăm din totalul inițial (65), mărgelele rămase(49),
astfel:
65 – a = 49 → problema pusă sub formă de exercițiu ; a = 65 – 49
→scăzătorul se află prin scăderea diferenței din descăzut; a = 16 →
aflarea scăzătorului;
Verificare: 65 – 16 = 49 → verificăm dacă am lucrat corect prin înlocuirea termenului
necunoscut cu numărul aflat;
Reținem :
Scăzătorul se află prin operația de scădere, scăzând diferența din descăzut.

c) După ce a spart 17 baloane , Mihai a rămas cu 38 baloane. Câte baloane a avut la început
Mihai?
Rezolvare:
Notăm datele problemei sub formă de exercițiu :
a – 17 = 38 numărul baloanelor rămase
numărul baloanelor sparte
numărul baloanelor existente, la
început

12
Cum gândim?
Pentru a afla câte baloane a avut Mihai, la numărul de baloane rămase(38), adăugăm numărul
de baloane pe care le -a spart(17), astfel:
a – 17 = 38 →problema sub formă de exerci țiu; a = 38 + 17
→descăzutul se află adunând diferența cu scăzătorul; a = 55
→aflarea descăzutului;
Verificare: 55 – 17 = 38 → verificăm dacă am lucrat corect prin înlocuirea termenului
necunoscut cu numărul aflat;
Reținem :
Descăzutul se află prin operația de adunare, adunând diferența cu scăzătorul.
Concluzii:
a) Termenul necunoscut la adunare se calculează prin operația de scădere.
Formule de calcul:
a+b=c a=c-b a= primul termen, b=al doilea termen
b=c-a c= sumă
b) Al doilea termen al scăderii (scăzătorul) se calculează prin operația de scădere.
Formula de calcul:
a – b = c b= a – c scăzătorul

c) Primul termen al scăderii (descăzutul) se calculează prin operația de adunare.
Formula de calcul:
a – b = c a = c + b a→ descăzutul

Conform Program ei școlar e pentru disciplina Matematica clasele V -VIII nr.
3393/28.02.2017 ,,Aflarea termenului necunoscut ,, rămâne procedeul de rezolvare a
diferitelor tipuri de exerciții , ecuațiile urmând a fi introduse în clasa a VI -a la sfârșitul ,,
Num ere întregi,,. Consider ca aceasta modificare influențează activitățile de învățare, in
consecință oferă profesorului o problema in vederea organizării conținuturilor, dar acest
aspect îl voi trata la capitolul IV .

13
1.3. Relația de e galitate in mulțimea numerelor reale

Egalitatea nu exista decât in matematica este citatul lui Mihai Eminescu,
dar eu as puncta ca Egalitate este modul prin care matematica înțelege viața .
În mod concret , in fata elevului , profesorul este nevoit sa transp ună percepția elevului
asupra egalității din diverse domenii in acea proprietate, stricta si riguroasa , de compara doua
numere, doua mărimi, cantități si a le asocia aceeași valoare .
Semnul egalității folosit astăzi, ”=”, a fost propus de engle zul Robert Recorde (1510
– 1558) într -un manual de algebră scris sub formă de dialog, intitulat ” The Whetstone of
Witte” (”Piatra Spiritului”) apărută în anul 1557 motivând -o prin afirmația că ”nimic nu este
mai egal decât două drepte paralele”.
Fie a și b două numere reale ; scrierea a=b desemnează egalitatea numerelor a și b.
În această egalitate, a se numește membrul stâng al egalității (membrul întâi al egalității ),
iar b membrul drept al egalității (membrul doi al egalității ).

Exemple: 1) 7 = 7 2) 15
3=5 3) −√36=−6

Relația de egalitate dintre numerele reale are următoarele proprietăți :
1. Reflexivitatea : a = a
2. Simetria : daca a = b ⇒ b = a
3. Tranzitivitatea : daca a = b si b = c ⇒ a = c
Daca a = b, atunci:
a + c = b + c
a – c = b – c
a * c = b * c c≠0
a : c = b : c, c≠0
Daca a = b si c = d, atunci:
a + c = b + d
a – c = b – d
a * c = b * d
a : c = b : d, cu c si d ≠ 0

14
Exemplu 1. Copiați si completați:
a) Daca a=b, atunci a+√3=b+…… si a-…….=b -3,7
b) Daca a=b, atunci 4
7*a=b*…. si a:….. .=b:3
Rezolvare:
a) Daca a=b, atunci a+√3=b+ √3 si a-3,7=b-3,7
b) Daca a=b, atunci 4
7*a=b*4
7 si a:3=b:3
Exemplu 2. a) Daca x=√7 si y=5 atunci x-….= √7-5 si x+y=…………
b) Daca x=4+2√3 si y=+ 2√3 atunci x+y=……….si x-y=…………
c) a) Daca x=12 si y= 3 atunci x*……. =36 si x:y=…………
Rezolvare: a ) Daca x=√7 si y=5 atunci x-y=√7-5 si x+y= √7+5
b) Daca x=4+2√3 si y= 2√3 atunci x+y=4+4 √3 si x-y=4
c) a) Daca x=12 si y= 3 atunci x*y=36 si x:y=4
Exemplu 3. Știind ca a+b= √2−√5, c+d= −2√2+3√5, m*n= √3+√2 si p*q= √3−
√2
Calculează: a) 2a+2b+c+d b)-3*(a+b) +2c+2d
c) m*n+p*q d) 2mn -3pq

Rezolvare: a ) 2a+2b+c+d=2(a+b)+(c+d)=2*( √2−√5) −2√2+3√5+()
=2√2−2√5−2√2+3√5= √5
b) -3*(a+b) +2c+2d= -3*( √2−√5 ) +2*(c+d)= −3√2+3√5+2(−2√2+
3√5)=−3√2+3√5−4√2+6√5=−7√2+9√5
c) m*n+p*q= √3+√2+ √3−√2 =2√3
d) 2mn-3pq= 2∗(√3+√2)-3*( √3−√2)= 2√3+2√2-3√3+3√2=−√3+
5√2

15
Capitolul II ECUAȚII. PREZENTARE GENERALĂ
2.1. Noțiunea de ecuație
Termenul de ecuație poate fi definit cu un limbaj adaptat, astfel încât aceasta definiție
sa fie cat mai clara si cat mai pe înțelesul educabilului, astfel voi prezenta doua definiții
generale ale termenului de ecuație, o definiție în limbajul comun și o alta care face apel la
limbajul matematic.
Definiție. Ecuația este o egalitate care conține una sau mai multe litere si care este
adevărată pentru anumite valori date literelor.
Observații :
1. Ecuația fiind o egalitate, semnul „=” trebuie să apară o singură dată.
2. O parte dintre literele care apar într -o ecua ție se numesc necunoscute.
3. Termenii care nu conțin necunoscuta se numesc termeni liberi.

Definiție. Fie M o mulțime nevidă. Se numește ecuație cu o necunoscută în
mulțimea M, un predicat de o singură variabilă (unar) 𝒑(𝒙): ”𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙), 𝒙 ∈ M”,
unde 𝒇 și 𝒈 sunt
funcții definite pe mulțimea M, cu valori în aceeași mulțime P.
Mulțimea M pe care o parcurge 𝑥 se numește mulțimea de definiție sau mulțimea de
valorilor a ecuației, dar denumirea cea mai uzuală este cea de domeniul de definiție al
ecuației.
În matematica de gimnaziu se consideră de obicei M ⊆ ℝ , iar funcțiile 𝑓, 𝑔 din
membrul stâng, respectiv me mbrul drept al ecuației) iau valori reale ( P ⊆ ℝ ). În cazul
sistemelor de ecuații liniare cu două necunoscute avem M ⊆ ℝ2. Pentru sistemele de ecuații
liniare cu 𝑛 necunoscute, studiate în liceu, avem M ⊆ ℝ𝑛.
În clasa a V -a metodele de rezolvare a ecuaț iilor au la bază proprietățile operațiilor
de adunare, scădere, înmulțire și împărțire, cu observația ca ecuații nu exista in programa
de clasa a V -a, acele exerciții presupun aflarea termenului necunoscut, metoda studiata in
clasele primare.

16
În clasa a VI -a se prezintă ecuația de gradul I cu o necunoscută cu rezolvarea în Z și
în Q, tot aici se utilizează ecuațiile in rezolvări de probleme, pana in clasa a VI -a se pune
accentul pe rezolvarea de probleme cu ajutorul metodelor aritmetice (metoda reducerii la o
unitate, metoda comparației , metoda figurativa, metoda falsei ipoteze si metoda mersului
invers).
Ecuația de gradul I cu o necunoscuta, in clasa a VII -a, este extinsa peste mulțimea
numerelor reale, dar si completata cu noțiunea de echivalenta a relației de egalitate, ceea ce
extinde aria exercițiilor utilizând diverse proprietăți cum ar fi, ale modulu lui, ecuația de
gradul II, forma incompleta x2=a. Tot in clasa a VII -a se studiază ecuația de gradul I cu doua
necunoscute respectiv sisteme de doua ecuații cu doua necunoscute.
Ecuația de gradul al doilea cu o necunoscut a se preda in clasa a VIII -a, rezol varea
acesteia pe lângă formula clasica, reprezintă diversitatea aplicațiilor in capitolul calcul
algebric(mutat in totalitate in clasa a VIII -a conform programei din 2017)
In învățământul liceal ecuațiile își continua evoluția prin studiul mai in detaliu a
ecuației de gradul al doilea, prin ecuațiile iraționale, ecuația dreptei, ecuațiile trigonometrice,
etc.

2.2. Noțiunea de soluție a unei ecuații
După valorile atribuite lui 𝑥 din M⊆ ℝ, propoziția 𝑝(𝑥): ”𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)” este adevărată sau
falsă.
Definiție. Un element 𝒙𝟎 din M pentru care egalitatea 𝒇(𝒙𝟎) = 𝒈(𝒙𝟎) este adevărată se
numește soluție (sau rădăcină ) a ecuației 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙), 𝒙 ∈ M.
Se mai spune că 𝑥0 verifică ecuația 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Dacă 𝑥0 aparține mulțimii M, dar
propoziția logică 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0) este falsă, atunci 𝑥0 nu este soluție a ecuației.
De asemenea, dacă 𝑥0 nu aparține lui M, dar 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0), atunci 𝑥0 nu este soluție a
ecuației date 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ M, ci unei ecu ații înrudite, de forma 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷,
unde 𝐷 ⊃ M.
Pentru a verifica dacă elementul 𝑥0 ∈ M este soluție a ecuației 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) este suficient să
înlocuim în ecuație necunoscuta 𝑥 prin 𝑥0. Se obține egalitatea numerică 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0).

17
Dacă această egalitate este adevărată, atunci elementul 𝑥0 este o soluție a ecuației, iar dacă
această egalitate este falsă, atunci 𝑥0 nu este soluție a ecuației.
De reținut este faptul că soluțiile (rădăcinile ) ecuației 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) se află în M ⊆ ℝ.
Exemplu. Verificați dacă elementul −3 este soluție a ecu ației 2(𝑥 + 5) = 4.
Rezolvare. Cum domeniul de definiție a ecuației nu este precizat se consideră M =ℝ, −1
∈ ℝ.
Prin înlocuirea lui 𝑥 cu −3 obținem 2∙ (−3 + 5) = 4, o egalitate adevărată, ceea ce rezultă
că −3 este soluție a ecuației date 𝑆 = {− 3}.
Definiție. A rezolva ecuația 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) (în M) înseamnă a determina toate
soluțiile sale. Aceste soluții formează mulțimea soluțiilor ecuatiei date si se noteaza de
regula cu S . Deci,
𝑺 = {𝒙𝟎 ∈ M; 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0)}.
Spunem ca o ecuație este consistenta daca admite cel puțin o soluție in M dacă după
efectuarea calculelor, se obține :
a) 2x=4 , 𝒙 ∈ M are soluția unica 2. Scriem S= {2}−
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑡𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎
b) 0x=0, 𝒙 ∈ M are ca soluție orice număr din M -Ecuație compatibil nedeterminată
O astfel de ecuație se numește și identitate , iar mulțimea de soluții este ℝ (𝑆 = M = ℝ) .
Ecuația care nu are nici o soluție se numește ecuație incompatibilă (în acest caz mai
spunem că ecuația este imposibilă sau inconsistentă ) dacă după efectuarea calculelor, se
obține 0x = 𝑎, (𝑎 ≠ 0) . O astfel de ecuație are mulțimea soluțiilor vidă (𝑆 = ∅) .
Această situație este posibilă dacă:
• domeniul de definiție a ecuației este M = ∅;
• M ≠ ∅, dar egalitatea 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) nu are loc pentru nici un 𝑥 ∈ M.

18
Exemplul. 1 . Determinați mulțimea soluțiilor pentru ecuația .
Rezolvare. Stabili m domeniului de definiție, condiția de existență a radicalilor de
ordinul 2.
Fie funcțiile .
Pentru funcția avem 𝐷𝑓: 𝑥 − 2 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 2 (1).
Pentru funcția avem 𝐷𝑔: 1 − 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ 1 (2).
Pentru stabilirea domeniului de definiție al ecuației date, vom intersecta cele doua domenii
ale funcțiilor de mai sus și obținem: 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = ∅ ⟹M = ∅, deci 𝑆 = ∅.
Exemplul. 2. Rezolvați ecuația 𝑥2 = − 2.
Rezolvare. Studiem domeniul de definiție și observăm că M= ℝ și −2 ∈ ℝ.
Ecuația nu admite soluții reale deoarece numărul 𝑥2 ≥ 0 (un nu măr pozitiv nu poate fi egal
cu un număr negativ ( -2)). Deci, 𝑆 = ∅.
Observație. Mulțimea de soluții 𝑆 depinde de mulțimea M (în care considerăm ecuația dată).
Exemplul. 3. Rezolvați ecuația (𝑥+2)(3𝑥−2)(2𝑥−√3)=0 dacă :
a)M = ℤ; b) M = ℚ; c) M = ℝ.
Rezolvare. Pentru rezolvare utilizăm rezultatul: ”un produs este egal cu zero dacă
cel puțin unul din factori este nul”.
Din (𝑥+2)(3𝑥−2)(2𝑥−√3)=0 rezultă (𝑥+2)=0 𝑠𝑎𝑢 (3𝑥−2)=0 𝑠𝑎𝑢 (2𝑥−
√3)=0
a) Dacă M = ℤ , constatăm că doar ecuația 𝑥 +2 = 0 are soluția 𝑥 = -2 ∈ ℤ.
În acest caz 𝑆 = {-2}.
b) Dacă M = ℚ, se constantă că prim a și a doua ecuație furnizează soluțiile x1=-2 și
𝑥2 =2
3, dec i 𝑆={−2; 2
3}.
c) Dacă M = ℝ, atunci ecuația are soluțiile date de cele trei ecuații care rezultă din
ecuația dată : x1=-2, 𝑥2 =2
3și, 𝑥3=√3
2 deci 𝑆={−2; 2
3;√3
2}

19
2.3. Transformări echivalente ale ecuațiilor
Se consideră două ecuații definite pe 𝐸1, respectiv 𝐸2: 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥) și 𝑓2(𝑥) = 𝑔2(𝑥)
având mulțimea de soluții 𝑆1 respectiv 𝑆2.
Definiție. Fie două ecuații 𝒇𝟏(𝒙) = 𝒈𝟏(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑬𝟏 (𝟏) și 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒈𝟐(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑬𝟐
(𝟐) cu intersecția 𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 nevidă, având mulțimile de soluții 𝑺𝟏 respectiv 𝑺𝟐.
Ecuațiile (1) și (2) se numesc echivalente și scriem (𝟏) ⇔ ( 𝟐) dacă au aceeași mulțime
de soluții, adică 𝑺𝟏= 𝑺𝟐. Așadar, (𝟏) ⇔ ( 𝟐) dacă și numai dacă 𝑺𝟏= 𝑺𝟐.
Corolar : Doua ecuații care care se rezolva in aceeași mulțime si au aceeași mulțime de
soluții se numesc ecuații echivalente.
Exemplu. Fie ecuațiile 3𝑥 + 5= 17 și 2𝑥 − 1 = 7. Arătați că ecuațiile sunt
echivalente.
Rezolvare. Separăm termenii ecuației 3𝑥 + 5 = 17 și obținem 3𝑥 = 12, deci 𝑥 = 4.
Așadar, soluția ecuației este 𝑆1 = {4}.
Separăm termenii ecuației 2𝑥−1=7 și obținem 2𝑥=8, deci 𝑥=4. Soluția ecuației este 𝑆2 =
{4}.
Așadar, 𝑆1 ⇔ 𝑆2 ⇒ 3𝑥 + 5 = 17 ⇔ 2𝑥 −1 = 7.
Proprietăți ale relației de echivalenț a
Fie ecuațiile 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐸 și f2(x) = g 2(x), x ∈ E . Au loc următoarele proprietăți:
𝑃1: Reflexivitatea : Ecuațiile 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) și 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) sunt echivalente.
𝑃2: Simetria : Dacă ecuațiile 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥), și f2(x) = g 2(x) sunt echivalente, atunci și
ecuațiile f2
𝑃3: Tranzitivitatea
Dacă perechile de ecuații (𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥); f 2(x) = g 2(x)), (𝑓2(𝑥) = 𝑔2(𝑥); f 3(x) = g 3(x))
sunt formate din ecuații echivalente, atunci perechea de ecuații (𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥); f 3(x)
=g 3(x)) conține ecuații echivalente.

20
Teoreme de echivalență
Următoarele t eoreme stau la bază rezolvării ecuațiilor aceste a exprimă condițiile
suficiente pentru a transforma o ecuație într -o ecuație echivalentă utilizând proprietățile
relației de egalitate.
Teorema 1. Fie ecuațiile în 𝑹, f(x)=g(x) (1) și f(x)+h(x)=g(x) +h(x) (2) .
Dacă Df(domeniul membrului stâng din (1)) și Dg(domeniul membrului drept din (1))
sunt incluse în Dh , atunci ecuațiile (1) și (2) sunt echivalente.
Prin adăugarea unei expresii algebrice h(x) celor doi membri ai ecuației f(x)=g(x) , se obține
o ecuație echivalentă cu aceasta dacă 𝐷𝑓∩𝐷𝑔⊆𝐷ℎ
Adăugând la ambii membri ai ecuației (2) termenul h(x) se obține ecuația echivalentă (1);
spunem că am trecut h(x) dintr -un membru în altul, cu semn schimbat.
Corolar. Dacă într -o ecuație se trece un termen dintr -un membru în celălalt schimbându –
i semnul, atunci se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
Această teoremă permite să grupăm termenii care conțin necunoscuta într -un membru, iar
ceilalți termeni în celălalt membru, obținând în final o ecuație echivalentă cu cea dată.
Exemplu. Fie ecuația în .
Rezolvare. În acest caz, și cu . Fie
expresia pentru . Avem 𝐷𝑓∩𝐷𝑔=𝐷ℎ=𝑅𝑇2⇒2𝑥+1+(−1−
𝑥)=𝑥−3+(−1−𝑥) sau , deci .

Teorema 2. Fie ecuațiile în , f(x)=g(x) (1) și f(x)∙h(x)=g(x) ∙h(x)(2)
Dacă 𝑫𝒇∩𝑫𝒈⊆𝑫𝒉 și h(x)≠0 pentru orice x∈𝐷ℎ, atunci ecuațiile (1) și (2) sunt
echivalente.
Înmulțind ambii membrii ai ecuației f(x)=g(x) printr -o expresie algebrică h(x) se obține o
ecuație echivalentă cu cea dată dacă:
și .
Exemplu. Fie ecuația în .

21
Rezolvare. Se înmulțesc ambii membrii ai ecuației date prin numitorul comun al
fracțiilor
care este 12 și se obține ecuația echivalentă

4𝑥 − 6𝑥 = 4 + 3 ⟺
−2𝑥 = 7 ⟺

Observație. Dacă împărțim ambii membrii printr -o expresie care conține necunoscuta se pot
pierde soluții, iar dacă se înmulțește o ecuație cu o expresie care conține necunoscuta pot
apărea soluții suplimentare.
Teorema 3. Transformarea unui membru sau a ambilor membr i ai unei ecuații
cu ajutorul regulilor de calcul literal, fără modificarea domeniului de definiție,
conduce la obținerea unei ecuații echivalente cu cea dată.
Exemplu. Ecuațiile în sunt echivalente, căci ele
au
unica soluție 𝑥 = 1. Totuși, domeniul m embrului stâng al ecuației (1) este ℝ − {−1} , în
timp ce domeniul membrului stâng al ecuației (2) este ℝ.
Acest exemplu ilustrează faptul că cerința de a nu schimba domeniul de definiție al ecuației,
impusă de teorema 1, nu este o condiție necesară.
Teorema 4. Dacă cei doi membri ai egalității sunt numere pozitive, atunci se
pot obține egalități echivalente și astfel:
a) Se ridică la puterea n, număr întreg, ambii membri ai egalității.
b) Se extrage radical din ambii membri ai egalității.
Exemplu: Daca √𝒙+𝟐𝟐𝟐 =𝟐𝟐 atunci x este…
√𝒙+𝟐𝟐𝟐 =𝟐𝟐 ridicam la puterea a doua ambii membri
x+222=222 ⇔x+222=484 scădem 222 din ambii membri
x=262

22
2.4 Transformări neechivalente ale ecuațiilor
Presupune m doua numere reale egale a si b
a=b înmulțim cu a ambii membrii

a² = ab scădem b2 din ambii membri

a² – b² = ab – b2 descom punem expresiile din fiecare membru

(a+b)(a -b) = b(a -b) împărțim cu a -b ambii membri

(a+b) = b înlocuim a cu b

b+b = b

2b = b împărțim la b

2 = 1
Am demonstrat ca 2=1, eroarea vine de la împărțirea la a -b, deoarece daca a=b in
mod evident a -b=0, de aceea prin înmulțirea sau împărțirea la 0 obținem o ecuație
neechivalenta cu ecuație inițiala
Se consideră două ecuații în M, 𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥) (1); f 2(x) = g 2(x) (2) având mulțimea
de soluții 𝑆1, respectiv 𝑆2.
Definiție. Dacă orice rădăcină a primei ecuații (1) este o rădăcină a celei de -a doua
ecuații (2), atunci a doua ecuație este o consecință a primei ecuații și scriem:
𝑓1(𝑥) = 𝑔1(𝑥) ⟹ f2(x) = g 2(x) sau simplu (1) ⟹ (2).
Exemplu. Fie ecuațiile .
Rezolvare. Prima ecuație are soluția 𝑥 = 4 ⟹ 𝑆1 = {4} , iar cea de -a doua
ecuație are soluțiile 𝑥1 = −4 și 𝑥2 = 4 ⟹ 𝑆2 = {−4; 4} . Deci 𝑆1 ⊂ 𝑆2 sau putem scrie (1) ⟹
(2).
Propoziție. Avem implicația 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) (𝟏) ⟹ 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒈𝟐(𝒙) (𝟐). Mulțimea de soluții
în E a ecuației 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) este inclusă în mulțimea de soluții a ecuației 𝒇𝟐(𝒙) = 𝒈𝟐(𝒙),
adică 𝑺𝟏 ⊆ 𝑺𝟐.

23
Mulțimea 𝑆2 poate conține elemente din E care nu sunt soluții ale ecuației (1). Aceste
elemente se numesc ”soluții străine” pentru ecuația (1).
Demonstrație. Fie 𝑥0 – soluție arbitrară a ecuației (1), adică 𝑥0 ∈ 𝑆1. Atunci avem
egalitatea numerică 𝑓(𝑥0) = 𝑔(𝑥0) ⟹ [𝑓(𝑥0)]2 = [𝑔(𝑥0)]2 care este adevărată, ceea ce arată
că 𝑥0 este soluție a ecuației (2).
Cum 𝑥0 ∈ 𝑆1 a fost o soluție arbitrară rezultă S1 ⊆ S 2.
Observație. Reciproca acestei propoziții nu este adevărată, adică mulțimea S2 ⊆ S 1. Deci
ridicând la pătrat ambii membrii ai unei ecuații se pot introduce alte soluții decât cele ale
ecuației date.
Exemplu. Să se rezolve ecuația .
Rezolvare. Ridicăm la pătrat ambii membrii ai ecuații și obținem
3𝑥2 + 25 = 4 𝑥2 și de aici 𝑥2 − 25 = 0 sau (𝑥 − 5)( 𝑥 + 5) = 0 , deci obținem 𝑥1 = 5, 𝑥2 =
−5, deci 𝑆2 = {−5, 5} .
Verificând cele două soluții obținem:
• Pentru 𝑥 = 5, avem , ceea ce este adevărat, deci 5 ∈ 𝑆1;

• Pentru 𝑥 = −5 , avem √3 ∙ (−5)2 + 25 = 2 ⋅ (−5) , ceea ce -i fals, adică −5 ∉ 𝑆1.
În concluzie mulțimea de soluții a ecuației este 𝑆1 = {5} , deci 𝑆1 ⊂ 𝑆2.
Putem remarca că valoarea -5 este soluție străină a ecuației propuse spre rezolvare.

24
Capitolul III. ECUATII ALGEBRICE CU COEFICIENTI REALI.
GENERALITATI

3.1. Generalități. Ecuații algebrice cu coeficienți reali.
Evoluția cercetărilor in teoria ecuațiilor algebrice a corelat o strânsă legătură cu
polinoamele conducând la rezultate importante cu privire la rădăcinile ecuațiilor algebrice
de orice grad.
Definiție. Fie P(x) un polinom în mulțimea M . Ecuația de forma P(x)=0 se
numește ecuație algebrica .
Fie polinomul 𝑃(𝑥)=𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥1+𝑎0𝑥0 cu coeficienți reali
𝑎𝑖∈𝑀⊆𝑅, 𝑖=1,𝑛 ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑛≠0 𝑠𝑖 𝑛∈𝑁, ecuația algebrica asociata acestui polinom este
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥1+𝑎0𝑥0=0
Gradul polinomului este și gradul ecuației , acesta fiind dat de puterea cea mai mare
a necunoscutei ecuației algebrice, gradul ecuației dă și numărul de soluții, care pot fi diferite
sau identice.
Dacă 𝑃(𝑥)=𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥1+𝑎0𝑥0 este un polinom iar x0 este un
număr real , atunci prin valoarea polinomului in punctul x0 înțelegem numărul
𝑎𝑛𝑥0𝑛+𝑎𝑛−1𝑥0𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥01+𝑎0
Valoarea polinomului in punctul se notează P(x 0), x0 se numește rădăcina polinomului P
dacă P(x 0)=0.
Definiție: Numărul x0 este o rădăcin ă a ecuației algebrice P(x)=0 dacă si numai dacă
este rădăcina polinomului P(x).
Exemplu:
Ecuația 𝑥3−2𝑥2−𝑥+2=0 admite rădăcinile 1, -1 și 2 deoarece
13-2∙12-1+2=0
(-1)3-2∙(-1)2-(-1)+2=0
23-2∙22-2+2=0

In studiul polinoamelor respectiv a rădăcinilor unui polinom au fost formulate câteva
teoreme, din care am sa evidențiez câteva ,, consecințe ,, prin următoarea afirmație .
Dacă x 0 este rădăcină a polinomului P(x), adică P(x 0)=0, atunci restul împărțirii lui
P(x) la x-x0 este nul, deci x 0 este un divizor al polinomului P(x).

25
3.2. Ecuația de gradul întâi
Ecuația de forma
𝑎𝑥+𝑏=0, 𝑎≠0,𝑎,𝑏∈𝑅 (1)
se numește ecuația de gradul întâi cu o necunoscuta.
Numerele 𝑎 și 𝑏 se numesc coeficienții ecuației, iar 𝑥 este termenul necunoscut sau
variabila ecuației.
Exemplu. Ecuația 3𝑥 − 5 = 0 are coeficienții 𝑎 = 3 ș𝑖 𝑏 = −5, iar 𝑥 este necunoscuta.
Observați e. Ecuația de gradul întâi de necunoscută 𝑥 este o ecuație algebrică de gradul întâi,
deoarece membrul stâng al ei este polinom de gradul întâi de neterminată 𝑋, 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑋 + 𝑏,
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0.
A rezolva ecuația de gradul întâi înseamnă a determina mulțimea soluțiilor:
𝑆={𝑥| 𝑎𝑥+𝑏=0}
Pentru determinarea lui S se aduce mai întâi ecuația de gradul întâi cu necunoscuta x
la forma ax+b=0 , folosind teoremele de echivalenta ale ecuațiilor.
Discuție:
A. Daca 𝑎≠0 atunci soluția ecuației ax+b=0 este unica 𝑥=−𝑏
𝑎, 𝑆={−𝑏
𝑎}
este ecuație compatib il determinata .
B. Daca a=0 si b=0 atunci avem o infinitate de soluții, S=R, este ecuație
compatibil nedeterminata.
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑎 = 𝑏 = 0. Astfel obținem:
0 ∙ 𝑥 + 0 = 0
0 ∙ 𝑥 = 0
0 = 0 . (propoziție adevărată)

C. Daca a=0 si 𝑏≠0 atunci ecuația nu are nici o soluție, S= ∅, ecuație
incompatibila .
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0. Astfel obținem:
0 ∙ 𝑥 + 𝑏 = 0
0 ∙ 𝑥 = − 𝑏
0 = − 𝑏. (propoziție falsă)

26
1. Să se rezolve următoarele ecuații
a) în N: 2x-10 = 0
b) în Z: 6x +4 = 5 x -8
c) în Q: 𝑥−1
2+ 𝑥−2
3 = 𝑥+3
6
d) în R: a) √16 + √4+ √64 = x√2 + x√8 + x√32

b) 2( x-2)√5 +√5 (x + 4) = √15
Soluție:
1. 2x = 10
x = 10
2 = 5 , S = {5}

2. 6x – 5x = – 8 – 4
 x = – 12 , S = {- 12}
3. 3𝑥−3
6+ 2𝑥−4
6 = 𝑥+3
6
 3x + 2x – x = 3 + 7 , 4 x = 10, x = 5
2 , S={ x = 5
2 }

4. a) 4 + 2 + 8 = x√2 + 2x√2 + 4x√2
 14 = 7 x√2, x = 14
7√2 , x = √2 , S={√2 }
b) 2x√5 – 4√5 + x√5 + 4√5 = √15
 3x√5 = √15, 3x = √3 , x = √3
3 , S={ √3
3 }

Rezolvarea grafică a ecuațiilor este bazată pe corespondența dintre soluții și punctele
planului. Se pot obține soluții aproximative ale ecuațiilor, reprezentând aceste puncte într –
un sistem de coordonate.
Se consideră funcția liniară f(x)=ax+b asociata e cuației de gradul întâi 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0,
cu a≠0, Reprezentare grafică pentru această funcție este o dreaptă, fapt pentru care ecuația
de gradul întâi se mai numește și ecuație liniară . Această dreaptă intersectează axa
absciselor în punctul a cărei coordonat a reprezintă soluția ecuației 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0.

Exemplu: Fie ecuația 3
2𝑥−3=0
Se trece la funcția 𝑓(𝑥)=3
2𝑥−3.
Graficul ei intersectează axa 𝑂𝑥 în punctul 𝐴 (2; 0) , abscisa acestuia 2 fiind soluția ecuației.

27

3.3. Ecuații reductibile la ecuația de gradul întai

De cele mai multe ori ecuațiile au forme mai complicate, dar utilizând proprietățile
relației de egalitate ele se pot transforma într -o ecuație echivalenta cu cea din relația (1).
Cu ecuațiile de gradul întâi cu o singură necunoscută ne ocupăm deja din clasa a V –
a, fără ca elevii să cunoască noțiunea de ecuație, utilizând procedeul numit aflarea unui
termen necunoscut studiat încă din clasele primare. În clasa a VI -a se prezintă rezolvarea în
Z și în Q a ecu ației de gradul I cu o necunoscută și se dă algoritmul de calcul în rezolvarea
ecuației de gradul I. În clasa a VII -a se reformulează definiția ecuației de gradul I sub forma:
O ecuație de forma (1), real, unde a și b sunt numere reale iar (1) se numește ecuație de
gradul I cu o necunoscută .
Ecuației de gradul I îi este dedicată o așa întindere mare în programa școlară
deoarece de cele mai multe ori diferite ecuații sunt reductibile la ecuații de gradul I și
rezolvarea lor presupune metode de calcul, f olosirea formulelor de calcul prescurtat, grupări
de termeni, scoaterea factorului comun, descompunerea în factori. Acum este introdusă și
ecuația de gradul al doilea, dar ca ecuație reductibilă la ecuații de gradul I , astfel de ecuații
le vom numi ecuații reductibile la ecuația de gradul întâi cu o necunoscută.
Voi prezenta o serie de exerciții unde ecuația de gradul întâi este procedeul folosit in
rezolvarea acestora utilizându -se ecuații reductibile la ecuația de gradul întâi, acestea se
regăsesc in parcurgerea programei școlare pentru disciplina matematica, clasele 5 -8 din
2017.

28
1. Ecuații in scrierea numerelor in baza 10.
Exemplu :
Determinați numerele de forma 𝑎𝑏̅̅̅ pentru care are loc egalitatea
17𝑎𝑏̅̅̅̅̅̅̅+𝑎𝑏57̅̅̅̅̅̅̅=5191
b+7=.1 ⇒ b=4