Stimularea Si Dezvoltarea Gandirii Creatoare a Elevilor Prin Rezolvarea Problemelor de Matematica

Introducere

În procesul constituirii și dezvoltării științelor, matematica a cunoscut o evoluție mai rapidă decât celelalte științe. Aceasta datorită specificului ei.

Dezvoltarea uimitoare pe care a atins-o știința matematică, pătrunderea ei în aproape toate domeniile de cercetare și contribuția pe care o aduce în dezvoltarea tuturor ștințelor, ca și contribuția adusă în studierea și dirijarea științifică a procesului de învățământ și chiar a întregului sistem de infulențe implicate în procesul formării omului- constituie argumente incontestabile privind necesitatea asimilării ei la un nivel superior.

„Intrarea în țara cunoașterii se face pe podul matematicii” spune prof. univ. Ștefan Bârsănescu. De aceea, cultura științifică matematică a devenit un element de bază al culturii omului modern, cultura generală a oricărui cetățean trebuind să cuprindă cunoștințe matematice de un nivel tot mai înalt. Indiferent în ce domeniu va lucra, omul zilelor noastre, și cu atât mai mult omul viitorului, trebuie să posede o bună pregătire matematică. Astăzi toți oamenii pot și trebuie să aibă cunoștințe și deprinderi matematice la un nivel corespunzător cerințelor vieții. Matematica nu se învață numai de specialiști, ci, până la un anumit nivel, ea face parte din cultura generală, dobândind în cadrul acestei culturi o pondere din ce în ce mai mare.

Așadar, matematica nu este numai o știință, o simplă știință. Matematica este mai mult decât atât; este un act de cultură. Se ocupă cu matematica nu numai marii matematicieni, ci și cei mici, nenumărații matematicieni mici, care nu creează opere fundamentale, dar trăiesc – fie și în cadrul unei probleme elementare – un act de creație propriu-zisă.

Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor oferă terenul cel mai fertil din domeniul activităților matematice pentru cultivarea și educarea creativității, inventivității. În clasele primare se formează noțiunile elementare, cu care omul va lucra pe tot parcursul vieții, noțiuni pe care se clădește întregul sistem de achiziții imperios necesare.

Factorul esențial în stimularea spiritului creator este cadrul didactic prin caracteristicile personalității sale, prin conduita sa profesională, prin atitudinile manifestate în clasă sau în afara ei față de personalitatea și comportamentul copiilor. El asigură climatul favorabil pentru exprimarea ideilor proprii, creează oportunități pentru autoînvățare, încurajează gândirea divergentă.

Ceea ce-l caracterizează pe om este gândirea, proces prin care se descifrează tainele naturii și societății și prevede dezvoltarea lor viitoare. Cultura gândirii constituie lucrul cel mai de preț. De aceea, alături de problema construirii unor mașini speciale, problema îmbunătățirii propriului sau mod de a gândi rămâne pentru om o problemă deschisă.

Acest „instrument”, gândirea, cu care este integrată speța umană, înscrie pe o traiectorie vastă întregul proces pe care l-a realizat omeniea de la desprinderea omului din cele mai vechi timpuri și până la marea aventură a călătoriilor în Cosmos.

Existența umană, experiența, viața presupun elaborarea unor multiple și complexe relații, aprecieri de diferite niveluri, presupun activitatea gândirii, care este stimulată și ajutată în mare măsură de matematică. „Tot ce este gândire – spune prof. Grigore Moisil– este sau matematică sau este susceptibilă de matematizare”. Ritmul crescând al competiției în toate domeniile: tehnico-industrial, științific, cultural, economic ne obligă să gândim repede și mai ales să gândim corect. Tot efortul omenesc, de-a lungul secolelor a fost îndreptat spre prelungirea posibilităților de acșiune în toate direcțiile indicate și în multe altele. Automobilul pe uscat, vaporul pe apă și avionul în aer se deplasează în locul omului și pentru om, din ce în ce mai repede, ne fac să economisim timp și energie. Telefonul și apoi radioul ne permit să auzim de la orice distanță. Televizorul ne premite să vedem oricât de departe. Ce lucru va ajuta să gândim mai repede decât o facem și mai ales fără risc de eroare în decizii? Răspunsul este cunoscut de multă vreme. Este vorba de ansamblul de metode, de reguli de calcul ale gândirii, de concepte, de fapte, carese numește matematică.

Deci matematica înseamnă gândire, gândire organizată, în ultima perioadă extinsă, prelungită cu ajutorul calculatoarelor electronice. Nu există gândire organizată fără matematică. Nu există decizie fără cântărire de obiective cel puțin. Pentru a decide, cineva trebuie să spună ce vrea. Ca să spună ce vrea trebuie să aleagă. Ca să aleagă trebuie să compare și să afirme că pentru el obiectivul I are mai mare importanță decât obiectivul II. Ori, comparația este o relație matematică.

Trăsăturile caracteristice ale științei impun formarea unei gândiri care să corespundă modelului științei. Astăzi, știința operează din ce în ce mai puțin cu entități simple, omogene, independente unele cu altele. Gândirea științifică modernă, în calitatea ei de gândire dialectică, impune tot mai mult categoria de „sistem”, caracterizată prin tipuri specifice de structuri, adică prin anumite forme de interacțiuni între elementele care-l alcătuiesc (în funcție de tipul de interacțiuni ce se manifestă între ele, elementele se structurează în anumite moduri, alcătuind diferite sisteme). Iar în ceea ce privește metodele de investigație, știința contemporană a trecut de la inducție la mdoelarea analogică al cărei specific este caracterul euristic, faptul că impulsionează gândirea spre fomularea unor ipoteze și descoperirea unor noi adevăruri.

Matematica este disciplina care prin însăși esența ei – de știință a structurilor, creatoare de „modele și limbaje științifice ale realității”, ce folosește cu precădere modele analogice – poate și are menirea de a forma o gândire investigatoare, creatoare, o apropiere de necunoscut printr-un adevărat stil de cercetare.

Matematica constituie o sursă și totodată o cale de dezvoltare a gândirii elevilor. Pentru procesul didactic reprezintă o importanță deosebită eforturile de a gândi drumul cel mai potrivit pentru a-i conduce pe elevii claselor I-IV spre cunoașterea matematicii.

Optimizarea procesului de învățare a matematicii la aceste clase poate fi realizat prin asigurarea conștientizării tehnicilor de calcul, prin cultivarea elementelor de creativitate și flexibilitate a gândirii matematice. Elevii trebuie învățați să înțeleagă noțiunile, să și le însușească prin efort propriu, să învețe gândind.

Formele de activizare permit performanțe diferite. Motivația, nota primită pentru răspuns și, mai ales, satisfacția elevului rezultând din bucuria de a rezolva el singur un exercițiu sau o problemă este o componentă a creativității ce trebuie luată în considerare ori de câte ori practica didactică o reclamă.

Copiilor le plac sarcinile cu caracter creator, nu se simt suprasolicitați, ci le doresc, le așteaptă. Ei lucrează cu încordare și entuziasm, manifestă interes tot mai crescut pentru acțiuni în care-și pot încerca posibilitățile, în care reușesc să se afirme, sunt bucuroși când reușesc și nemulțumiți când rezolvările lor dau greș. Chiar și elevii timizi sau cei slabi la învățătură dobândesc încredere în forțele proprii și obțin rezultate bune.

Formarea gândirii matematice, a deprinderilor de calcul, rezolvarea de probleme necesită o acțiune intensă, susținută, deoarece aceste cunoștințe vor fi utilizate în întregul parcurs al învățării și în viață.

Deprinderile de calcul stau la baza întregului sistem de deprinderi matematice, de asemenea constituie deprinderi pentru rezolvarea problemelor, elevul putându-se concentra asupra principiului de rezolvare și nu cum efectuează exercițiul.

În ceea ce privește formarea algoritmilor de calcul trebuie insistat nu numai asupra conștientizării relațiilor matematice. Elevii trebuie să rezolve exerciții în mod conștient, dozând efortul după dificultatea calculului, prezentând exerciții sub forme cât mai variate.

Gândirea elevilor se dezvoltă mai ales prin rezolvări și compuneri de probleme. Deprinderea căii de rezolvare a problemei nu este un produs de inspirație ci, rezultatul proceselor de gândire, formarea și dezvoltarea capacităților necesare și utile activității de rezolvare a problemelor, care se realizează printr-o activitate susținută și de durată, prin îndrumarea și stimularea continuă a gândirii la efort creator.

Datorită experienței sărace a eleviilor mici, în ciclul primar nu se poate vorbi de o independență totală; ci e necesar să fie ajutați, îndrumați.

Rezultate bune se obțin dacă se cunoaște cât mai bine nivelul de cunoștințe al fiecărui elev. După fiecare capitol un test arată lacunele din cunoștințele elevilor.

Cele mai substanțiale rezultate se obțin într-un cadru problematic, într-o atmosferă care să activeze gândirea și celelalte funcții de cunoaștere, să susțină interesul și curiozitatea de studiu a elevilor, să le dezvolte spiritul critic.

Concepute în spirit problematic lecțiile de matematică ridică elevilor o serie de probleme-întrebări atât prin conținutul învățământului, cât, mai ales prin formele de abordare.

Alături de formarea noțiunilor, un loc important îl ocupă aplicarea acestora la noi cazuri particulare, astfel cunoștințele de matematică presupun un mod deosebit de gândire și ca urmare, în învățarea matematicii nu este nimic mai important decât a oferi cât mai de timpuriu posibilitatea ca toți elevii să-și împrospăteze acest mod de gândire.

Matematica nu se învață povestind, ci se învață lucrând, exersând și mai seamă rezolvând multe probleme.

Succesul elevilor în activitatea de rezolvare și compunere a problemelor în scopul dezvoltării gândirii logico-matematice, depinde de modul în care învățătorul reușește să-l angajeze în procesul învățării, depinde de motivația intrinsecă a elevului, de trăirea activă în procesul studiului, de particularitățile psihice și capacitățile intelectuale ale subiectului.

Ca și viitor cadru didactic, îmi propun să urmăresc întotdeauna să ajut elevii ca printr-un efort cât mai mic să obțină un randament școlar cât mai bun, să le dezvolt plăcerea de a învăța, înlocuind educația prin efort cu plăcerea efortului educației.

Înainte de a folosi orice metode sau procedee care ar duce la sporirea valențelor formative, ale dezvoltării capacităților de rezolvare și compunere a problemelor, am să caut să asigur calitatea cunoștințelor pe care să și le însușească. Astfel voi da curs tuturor metodelor și procedeelor cunoscute, pentru ca activitatea de rezolvare și compunere a problemelor să-și materializeze valențele în cultivarea disponibilităților creative ale elevilor.

Acestea fiind spuse, consider că matematica are un rol foarte important în dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor, prin rezolvarea și compunerea problemelor, fapt pentru care am ales această temă.

CAP. 1 Rolul și importanța predării matematicii

1.1 Locul și rolul matematicii în școală

În perioada actuală, omenirea traversează o revoluție științifico-tehnică, ca urmare a exploziei științei și tehnicii, care modifică vertiginos modul și mijloacele noastre de viață cotidiană, punându-ne în fața unei multitudini de obiecte și instrumente, mașini, instalații tehnice, de mijloace și forme de energie și de transmitere de energie și a informației.

În această postură societatea nu se mai poate dispensa de învățământ, nu mai poate funcționa fără a folosi pregătirea tuturor membrilor ei prin învățământ la diverse nivele, tendința fiind vizibil, de a se ridica întreaga masă a popoarelor la un nivel de instruire cât mai ridicat. Învățământul a căpătat o funcție socială cu atât mai importantă cu cât stadiul de dezvoltare al unui popor este mai înalt.

În ceea ce privește matematica, ramură venerabilă prin apariția ei timpurie în viața omenirii, tulburătoare prin rădăcinile ei concrete în necesități străvechi ale vieții sociale, aceasta a știut să se înalțe printr-un proces natural și intim legat de actul cunoașterii științifice, prin clasificare, de la particular la general, de la concret la abstract, atingând chiar în antichitate culmi la care nici o altă ramură nu putea aspira.

Evoluția rapidă a matematicii a dus-o de la calitatea de știință a formelor spațiale și ale raporturilor cantitative ale lumii reale la un conținut și o orientare mai vastă, care o caracterizează. Astfel, matematica, văzută prin prisma modelării, apare ca o furnizoare de modele și limbaje ale realitații.

Matematica românească a fost și este prezentă în toate marile cuceriri ale gândirii științifice prin contribuții ale marilor matematicieni: Spiru Haret, Octav Onicescu, Ghe. Mihoc, Traian Lalescu, Ghe. Țițeica, Grigore Moisil etc. Prin înaltul său grad de generalizare și abstractizare, prin capacitatea de sinteză a esențelor și de exprimare a lor cu ajutorul simbolurilor, dobândește tot mai mult atributele pluridisciplinarității.

Prin problematica diversă și complexă care-i formează obiectul, prin solicitările la care-l obligă pe elev, prin metodologia extrem de bogată pe care o propune, prin antrenarea și stimularea tuturor forțelor intelectuale, psihice și fizice ale elevilor, matematica contribuie la dezvoltarea personalității umane și la perfecționarea structurilor cognitive și a metodelor de cunoaștere a lumii precum și la diversificarea căilor de acțiune a omului în natură și societate.

Matematica este disciplina care prin însăși esența ei – de știință a structurilor, creatoare de „modele și limbaje științifice ale realității”, ce folosește cu precădere modele analogie – poate și are menirea de a forma o gândire investigatoare, creatoare, o apropiere de necunoscut printr-un adevărat stil de cercetare.

Matematica constituie o sursă și totodată o cale de dezvoltare a gândirii elevilor. Pentru procesul didactic reprezintă o importanță deosebită eforturile de a gândi drumul cel mai potrivit pentru a-i conduce pe elevii claselor I-IV spre cunoașterea matematicii.

Optimizarea procesului de învățare a matematicii la aceste clase poate fi realizat prin asigurarea conștientizării tehnicilor de calcul, prin cultivarea elementelor de creativitate și flexibilitate a gândirii matematice.

Elevii trebuie învățați să înțeleagă noțiunile, să și le însușească prin efort propriu, să învețe gândind.

Formele de activizare permit performanțe diferite. Motivația, nota primită pentru răspuns și, mai ales, satisfacția elevului rezultând din bucuria de a rezolva el singur un exercițiu sau o problemă este o componentă a creativității ce trebuie luată în considerare ori de câte ori practica didactică o reclamă.

Metodele și mijloacele de învățare trebuie să pună accentul pe copil. Ele trebuie să insiste pe motivație și de aceea se axează pe activitățile ludice și pe acelea care corespund intereselor elevilor. În scopul realizării acestei cerințe, trebuie găsite procedee care să solicite activitatea elevilor. Copilul trebuie îndrumat în permanență ca tot ceea ce scrie să treacă prin filtrul gândirii. Lucrul trebuie să fie individualizat. Cadrul didactic trebuie să intervină în activitate și trebuie să participe astfel încât elevii să dobândească cunoștințe și deprinderi de natură matematică.

Formarea gândirii matematice, a deprinderilor de calcul, rezolvarea de probleme necesită o acțiune intensă, susținută, deoarece aceste cunoștințe vor fi utilizate în întregul parcurs al învățării și în viață.

Înglobată în îndeplinirea obiectivelor fundamentale ale fiecărei etape de școlaritate, matematica îndeplinește și funcții umaniste, contribuind la autoperfecționarea omului.

Școala are obligația, așadar, să facă din studiul matematicii, nu un scop în sine, ci un instrument de acțiune eficientă, constructivă și modelatoare asupra personalității elevului. Prin intermediul matematicii, elevul trebuie să ajungă la descoperirea existentului, dar și să formuleze și să prefigureze stări esențiale în perspectiva devenirii universale și eterne a lumii.

1.2 Baze psihopedagogice ale rezolvării problemelor

În clasele primare trebuie să se urmărească dezvoltarea tuturor proceselor psihice pe care le solicită activitatea de rezolvare a problemelor, activitatea de învățare în general.

Activitatea psihică a celui care rezolvă o problemă este foarte complexă. George Polya în lucrarea sa „Descoperirea în matematică” spune: „Activitatea cerebrală a celui care rezolvă probleme nu este decât foarte schematic, foarte imperfect cunoscută și complexitatea ei s-ar putea să se dovedească chiar insondabilă”.

Reușita activității de rezolvare a problemelor are la bază factorii psihologici grupați în:

factori intelectuali (aptitudinea școlară, mobilitatea proceselor intelectuale, capacitatea de concentrare a atenției);

factori nonintelectuali (afectiv-emoționali, temperamentali sau dinamico-energetici și volitivi-atitudinali).

În rezolvarea problemelor sunt mobilizate nu doar procesele de cunoaștere, ci și întreaga personalitate a celui care rezolvă problema în toate coordonatele ei noționale, afective și volitive.

„Nu se lucrează în matematică numai cu mintea – scria Eugen Rusu – Pasiunea matematică, ea este motorul activității. Un rol important este să călăuzescă activitatea celui care învață în așa fel încât acesta să resimtă farmecul, atracția specifică acestei activități. Nu numai să-l ajute să înțeleagă, ci să-l ajute să simtă. Pentru înțelegere, profesorul poate fi înlocuit cu un text bun. Profesorul adevărat, neidentificabil cu textul, are și rolul călăuzirii sentimentelor intrinseci, proprii în mod natural activității matematice.”

Rezolvarea problemelor este un tip de învățare care necesită eforturi interioare, care necesită gândire. Rezolvarea de probleme presupune existența spiritului de observație, existența gândirii și a imaginației creatoare, presupune capacitatea de a înțelege semnificația valorilor numerice, a datelor problemei, necesită cunoștințe matematice însușite în mod conștient prin munca independentă.

Soluționarea problemelor pune la încercare gândirea elevilor, îndeamnă la observații, la cugetare având în vedere faptul că în actul de rezolvare a problemelor intră un sistem întreg de deprinderi intelectuale.

În general, dezvoltarea gândirii copilului parcurge drumul de la gândirea concretă, intuitivă la gândirea abstractă; se formează și se dezvoltă operațiile gândirii și treptat calitățile gândirii, cum ar fi:

flexibilitatea, calitate a gândirii pe care Alexandru Roșca o definește ca o „modificare rapidă a mersului gândirii, când situația o cere, restructurarea ușoară a vechilor legături corticale în conformitate cu cerințele noii situații, pe bază de analiză și sinteză, realizarea ușoară a transferului în rezolvarea problemelor”. Gândirea flexibilă sesizează alternativele, diferitele căi care conduc către aceeași soluție și îi îngăduie elevului să treacă de la un mijloc de rezolvare a unei probleme la altul mai rațional, mai elegant. Cunoștințele, în procesul dobândirii cărora gândirea a acționat cu flexibilitate, sunt investite cu o mai mare capacitate de transfer putând fi mai ușor și mai eficient folosite în situații noi, diferite de aceea în care s-a produs asimilarea de cunoștințe.

operativitatea gândirii, care constă în acomodarea rapidă la o situație nouă, actualizarea cunoștințelor care pot servi ca instrumente de acțiune, selecționarea lor în funcție de datele problemelor, integrarea acestora într-un sistem, folosirea într-un mod original al cunoștințelor pentru realizarea unei noi achiziții cognitive;

fluiditatea este o calitate a gândirii care presupune efectuarea cu rapiditate și ușurință a asociațiilor, operație care este implicată în manifestarea operativității gândirii;

capacitatea de integrare, de cuprindere în sisteme din ce în ce mai largi mulțimea informațiilor care se adună;

independența;

creativitatea, care este un fenomen complex, aptitudinal, ce ține de intersectarea operațională a celor mai importante procese cognitive și noncognitive.

„Creativitatea în sens individual-psihologic poate fi și gândirea unei persoane care ajunge să descopere lucrari deja cunoscute pentru știință, dar pe care le dobândește pe care independentă. Creatoare este și gândirea unui elev care găsește rezolvarea unei probleme de matematică pe o cale diferită eventual mai elegantă, decât cea din manual sau decât cea care a fost prezentată de profesor în clasă, chiar dacă modul de rezolvare direct de elev nu este nou pentru știință.”

Pe lângă toate aceste calități ale gândirii, un rol important în procesul rezolvării problemelor îl are atenția. Atenția elevului trebuie să fie stabilită, elevul să posede capacitatea de concentrare a atenției un timp mai îndelungat, să fie voluntară.

În rezolvarea exercițiilor și problemelor sunt implicate acțiunile mentale automatizate ale elevului, care trebuie să aibă mobilitate destulă ca să poată restructura, în funcție de cerințele noii situații, să intre sub controlul conștient, pentru a evita influența lor perturbantă.

Pentru rezolvarea cu succes a problemelor, elevii trebuie să posede unele aptitudini și deprinderi cum ar fi capacitatea de a: observa, compara, selecta, generaliza, redacta, efectua, intui etc; aptitudini și deprinderi formate la toate obiectele de învățământ prin participarea directă a elevilor la elaborarea cunoștințelor. Deci rezolvarea problemelor pune la încercare gândirea elevilor, îndeamnă la observații, la cugetare, la originalitate în găsirea soluțiilor pentru că în rezolvarea problemelor intră în acțiune un întreg sistem de deprinderi intelectuale, moduri de acțiune fixate prin exerciții.

Orice raționament, orice rezolvare de probleme sunt în același timp și o manifestare a creativității, a gândirii, deoarece duc la o concluzie nouă sau la o soluție nouă. Se formează deprinderi, aptitudini, iar în formarea lor trebuie să se țină seama de particularitățile proceselor psihice de reflectare și cunoaștere a realității, la școlarii de vârstă mică. Percepția acestor școlari capătă caracterul unei activități dirijate spre un anumit scop. Ea devine organizată, selectivă, diferențiată în cadrul activităților desfășurate. Prin informațiile pe care elevul le primește, el trebuie învățat să le prelucreze, să le sistematizeze și să le organizeze într-un sistem de cunoștințe care să-i permită aplicarea acestora în activitatea continuă ce o desfășoară, de instruire și formare.

Mobilitatea de cunoaștere senzorială care sprijină elaborarea percepțiilor, dar în același timp sprijină și valorificarea lor la nivelul intelectual este observația. Observația trebuie orientată spre realizarea formelor de cunoaștere superioară. De asemenea, cu ajutorul observațiilor elevul trebuie învățat să selecționeze esențialul de ceea ce este neesențial.

Toate informațiile pe care elevul le primește pe calea observației sunt supuse procesului de analiză și sinteză. Forma corectă a acestui proces o constituie comparația, înțeleasă la început de către elevii mici ca o stabilire numai a deosebirilor dintre lucruri, fenomene. Trecerea de la comparația bazată pe descoperiri la stabilirea asemănărilor și deosebirilor reprezintă un criteriu de apeciere a gradului de dezvoltare a gândirii școlarului mic.

La formarea noțiunilor, la baza formelor de manifestare a gândirii stau generalizarea, abstractizarea, inducția și deducția. Rezultatul dintre inducție și deducție este cunoașterea științifică.

Inducția sau raționamentul inductiv este operația mintală prin care cunoașterea se realizează de la particular către general, obținându-se generalizări, concepte, legi. Raționamentul deductiv este operația mintală prin care gândirea merge de la general la particular. În procesul de învățământ, în activitatea pe care o desfășoară școlarul în situațiile de învățare sunt prezente ambele forme de raționament. La baza oricărui act de învățare se află, pe lângă gândire și memoria. Creșterea randamentului școlar al fiecărui elev necesită și o memorie logică, voluntară, intenționată. Volumul memoriei trebuie îmbunătățit mereu cu noi informații despre aspectele esențiale ale lucrurilor, cu operațiile artistice și proprietățile lor, cu metode sau scheme de rezolvare a problemelor; toate constituind materiale asupra cărora acționează gândirea.

În procesul rezolvării problemelor are loc un transfer de cunoștințe, o transpunere a procedeelor de rezolvare de la o problemă la alta, elevul apelând la experiența anterioară. În acest caz realizează o structurare a datelor propriilor sale experiențe, iar flexibilitatea gândirii joacă un rol important. În rezolvarea problemelor asemănătoare și a problemelor tipice elevii ajung să cunoască algoritmul de rezolvare, care se fixează în mintea lor ca o schemă, iar aplicarea acestui algoritm nu constituie nici o greutate.

În lucrarea „Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar” Nicolae Oprescu presupune existența unor „capacități” importante, care ar constitui succesul în activitatea de rezolvare a problemelor. Câteva dintre aceste capacități ar fi:

capacitatea de a înțelege condiția problemei, de a avea mereu în atenție întrebarea problemei și de a dirija raționamentul pe calea întâmpinării necunoscutei;

capacitatea de a cuprinde în raza gândirii a întregului raționament de rezolvare și nu numai secvențe din raționamentul problemei.

Deci, putem afirma pe drept cuvânt ca rezolvarea problemelor necesită un efort deosebit al gândirii și mobilizează toate procesele pshice.

1.3 Valențe formative ale activității de rezolvare a problemelor

Studierea matematicii urmărește formarea unor deprinderi matematice: de calcul, de rezolvare de probleme etc. Acestea se pot realiza numai prin exerciții. Referindu-se la necesitatea antrenamentului, George Polya spune ca: „a ști să rezolvi probleme este o îndemânare practică – o deprindere – cum este înotul, șahul sau cântatul la pian, care se poate învăța numai prin imitare și exerciții…dacă vreți să învățați probleme trebuie să rezolvați probleme”.

Această antrenare a efortului personal constituie o condiție necesară pentru cel ce învață matematica.

Matematica contribuie nemijlocit la dezvoltarea gândirii, la realizarea laturii formative a învățământului. Dezvoltarea independenței și craetivității elevului se poate realiza prin activități de rezolvări și compuneri de probleme.

Rezolvarea probemelor pune la încercare gândirea elevilor, îndeamnă la observații, la cugetare, la originalitate în găsirea soluțiilor pentru că în rezolvarea unei probleme intră în acțiune un întreg sistem de deprinderi intelectuale, moduri de acțiune fixate prin exerciții.

Rezolvarea unei probleme este o activitate inventivă, creatoare; în această activitate gândirea este confruntată cu o necunoscută pentru a cărei descoperire trebuie să întreprindă căutări, presupuneri de soluții, combinații noi în legături noi, să adopte strategii care să conducă la soluția problemei.

A rezolva o problemă de matematică înseamnă ca din datele cunoscute să deducem necunoscuta, care se află în relații neexprimate în textul problemei și care trebuie descoperite. Rezolvarea unei probleme constă în dezvăluirea implicațiilor ascunse în care se găsește necunoscuta față de datele cunoscute. Practic în rezolvarea problemei intervine raționamentul matematic, care va fi cu atât mai complex și mai riguros cu cât necunoscuta se găsește în relații mai îndepărtate, mai mascate față de datele cunoscute ale problemei.

Procesul rezolvării unei probleme se prezintă ca o activitate mintală de căutări în cursul căreia, la baza datelor problemei sunt emise diferite ipoteze care sunt supuse verificării, pe rând. În cursul rezolvării unei probleme are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor, apar noi formulări ale problemei care conduc către soluție. De foarte mare importanță în rezolvarea problemei este găsirea ideii centrale, a principiului de rezolvare a problemei, a ideii decisive a rezolvării. Apariția ideii conducătoare constituie momentul de încheiere a fazei de tensiune a căutării, un moment de destindere care marchează satisfacția descoperirii.

Activitatea de rezolvare a unei probleme se desfășoară prin parcurgerea mai multor etape asupra cărora părerile sunt unanime. Toate aceste etape formeză, însă, o activitate unitară, una din cele mai complexe activități intelectuale, care cuprinde: inducții și deducții logice, analogii, raționamente, analize și generalizări, iar în ultimă instanță, creație.

În activitatea de rezolvare a problemelor există o fază de tensiune, neliniște, căutare, o fază dramatică; se fac o serie de încercări „în schiță”, atenția concentrându-se nu asupra fiecărei verigi în parte, ci asupra totului, asupra felului cum se vor lega verigile. Aceste tatonări reprezintă activitatea gândirii de descoperire, care nu construiește soluția etapă cu etapă pe un drum linear. Astfel, în prima etapă nu căutăm primul element al rezolvării, ci direct soluția, întregul și pentru ca să-l putem găsi căutăm să eliminăm treptat conturul întregului „după modelul pictorului care creionează conturul și apoi precizează treptat detaliile, având atenția mereu îndreptată spre ansamblu”. După ce a fost descifrat drumul către soluție, urmează partea de executare a construcției, care constă în aplicarea atentă a unor metode și tehnici cunoscute lipsite de problematic.

Orice rezolvare de probleme, orice raționament sunt în același timp și o manifestare a creativității gândirii deoarece duc la o concluzie nouă sau la o soluție nouă.

În tehnica rezolvării problemelor nu se urmărește cum elevul cunoaște tehnica efectuării calculelor, ci scopul esențial este de a pune în evidență tipurile principale de raționament și demersurile generale ale gândirii elevilor.

În momentul când citește problema, elevul trebuie s-o vadă în spațiu desfășurată, să-i vadă calea de rezolvare. Elevul care știe să compună probleme asemănătoare celor rezolvate în clasă, înseamnă că în mod conștient și-a însușit modul de rezolvare, iar când va întâlni astfel de probleme le va descifra fără dificultate.

Elevul trebuie obișnuit să privească o problemă din unghiuri de vedere diferite, să caute singur o soluție, să acționeze ca și când ar descoperi pentru sine acele cunoștințe.

Învățătorului îi revine sarcina de a organiza activitatea de gândire a școlarului în mod judicios și corespunzător forțelor sale, de a-l face să aibă încredere în el, de a-l stimula pornind de la probleme simple către cele complexe. Elevul să vadă gradarea dificultăților, să poată face comparații, să găsească el exerciții și probleme ce se rezolvă în genul celor efectuate în clasă.

Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva o problemă nouă, necunoscută, este necesar ca ei sa dispună de o serie de competențe din domeniile informativ, instrumental, formativ.

O condiție de bază a unei activități mintale cu adevărat productive este existența unei informații bogate și foarte clar organizate.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de procedee, de moduri de acțiune, deprinderi de muncă intelectuală, independentă. Astfel sunt unele deprinderi cu caracter general, ca:

organizarea activității mintale asupra datelor problemei;

punerea în legătură a datelor;

posibilitatea de a izola ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, atragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la dezlegarea problemei.

Efortul pe care-l face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune mobilizarea proceselor psihice de cunoaștere, cu precădere a gândirii; se formează astfel priceperea de a analiza situația dată de problemă (relațiile și datele numerice), dar și ceea de a descoperi calea care duce la răspunsul problemei. Aceasta duce la antrenarea gândirii, la dezvoltarea limbajului matemtic, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă.

Nu întotdeauna acest efort făcut de elev pentru a rezolva o problemă dă roade. Se poate întâmpla de multe ori ca elevul să nu descopere calea de rezolvare. În acest sens elevii trebuie educați să nu cedeze până nu ajung la răspuns. Reluarea muncii și ducerea până la capăt este un bun exercițiu pentru educarea voinței, a perseverenței.

Activitatea matematică de rezolvare de probleme este cea mai bogată în valențe formative, deoarece în ea se concentrează toată experiența dobândită de elev în studierea și cunoașterea numerelor, a calculului, acestea devenind elemente auxiliare în rezolvarea problemelor.

Problemele oferă aprofundarea și exersarea cunoștințelor dobândite de către elevi, stimulează inițiativa, captează atenția elevilor, mobilizează și trezesc interesul lor. Ele contribuie la formarea unei atitudini conștiente și concrete față de muncă, la dezvoltarea voinței, a perseverenței, a spiritului de răspundere față de îndeplinirea sarcinilor, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Rezolvând și compunând probleme, elevii capătă încredere în munca intelectuală, învață să aplice matematica în viață, prin sesizarea și înțelegerea relațiilor dintre mărimi, prin soluționarea matematică a diferitelor aspecte ale proceselor de producție și ale împrejurărilor vieții sociale; deoarece viața de toate zilele pune în față noi și variate probleme pentru a căror rezolvare nu este suficientă cunoașterea exclusivă a tehnicii de calcul.

Numeroasele valențe formative ale activității de rezolvare a problemelor nu se valorifică de la sine în mod spontan. Lăsată pe seama spontaneității, eficiența formativă a rezolvării problemelor este limitată și se poate dirija în direcții negative, dacă se pot forma unele priceperi și deprinderi care formează dezvoltarea gândirii și a atitudinii independente a elevilor. De aceea, învățătorul trebuie să fie într-o permanentă preocupare pentru valorificarea valențelor formative ale activității de rezolvare a problemelor și de sporire a eficienței formative a acestei activități.

CAP. 2 Creativitatea-trăsătură a gândirii umane

2.1 Conceptul de creativitate

În psihologie, termenul de creativitate a fost introdus abia în deceniul al V-lea al secolului nostru. Reprezentanți de seamă ai școlii românești de psihologie – cu deosebire profesorul Al. Roșca de la Universitatea „Babeș-Bolyai” din Cluj-Napoca – a abordat cu mult succes această temă.

Pentru a defini termenul de creativitate s-a pornit de la constatarea că orice individ dispune de un potențial creativ evident, în forme și grade diferite. Caracteristic creativității este calitatea ei de a produce și de a descoperi noul, originalul măsurat prin distanța dintre noul produs și cel cunoscut și uzual.

Conceptul de creativitate este complex și este exprimat prin mai mulți termeni: fluiditate, originalitate, elaborare, capacitatea de a rezolva probleme, sensibilitatea la implicații și asociativitatea, intuiție, profunzime intelectuală, capacitatea evaluativă și de a forma ipoteze.

Putem afirma despre un individ că are o gândire creatoare dacă respectivul ajunge să descopere noi relații, noi rapoarte între obiectele, fenomenele studiate, noi metode și procedee de investigație. Tot creatoare poate fi și gândirea unei persoane care ajunge să descopere lucruri deja cunoscute, dar care ajung la ele pe o cale necunoscută până atunci.

În caracterizarea creativității accentul poate fi pus pe produsul creat sau pe procesul creator. În situația în care accentul este pus pe persoană, creativitatea este definită fie ca o caracteristică a peroformanței personale, fie ca o capacitate de a inventa, de a descoperi sau crea, deci de a realiza un produs nou, valoros.

Marele psiholog Al. Roșca în lucrarea sa „Creativitatea generală și specifică” afirmă că „unii autori definesc creativitatea ca fiind aptitudinea sau capacitatea de produce ceva nou și de valoare”, în timp ce pentru alții creativitatea nu este o aptitudine sau o capacitate, ci este un proces, care dă naștere produsului. Pentru tot mai mulți, creativitatea implică realizarea unui produs nou, original și de valoare pentru societate.

Alți psihologi, cum ar fi: Simon, Newell sau Shaw, consideră gândirea creatoare ca o formă aparte a comportamentului de rezolvare de probleme. Totodată, afirmă că rezolvarea de probleme este socotită creativă în măsura în care satisface următoarele condiții:

produsul gândirii reprezintă unitate și valoare;

gândirea cere modificarea sau respingerea ideilor concepute anterior;

gândirea implică motivație și persistență ridicată.

Consider despre un elev că are o gândire creatoare, dacă acesta a reușit să rezolve problema de matematică pe o altă cale decât cea prezentată în manual sau de profesor. Spre deosebire de alte domenii de activitate, unde conceptul de creativitate exprimă produsul realizat, în educație el se referă la procesul prin care se formează personalitatea creatoare. În acest sens, învățătorul are un rol foarte important în formarea unor elevi foarte creativi, interesați pentru ceea ce este nou, capabili în viitor să contribuie la progresul social.

Prin urmare, învățătorul trebuie să fie el însuși creativ prin ideile lui, pregătirea lui profesională, prin crearea de material didactic variat și atractiv, originalitate în prezentarea unor teme, informarea lui cu tot ceea ce apare nou și la zi.

Procesul de învățământ, având o activitate educativă bine organizată, oferă dascălilor numeroase posibilități și condiții pentru educarea creativității elevilor. Dar nu orice activitate desfășurată de învățător cu elevii poate contribui la stimulrea spiritului creativ, ci numai acelea care vizează originalitatea în munca didactică, bazate pe un conținut deosebit, pe strategii și tehnici diferite, de stimulare a creativității.

Învățarea creatoare, după Ioan Nicola, „…se întâlnește în toate situațiile care se subsumează strategiei generale a rezolvării de probeleme”.

Utilizarea celor învățate în noi contexte ridică întotdeauna anumite probleme, obstacole care urmează să fie depășite.

„Rezolvarea de probleme este uzual definită ca formulare de noi răspunsuri, mergând de la simpla aplicare a unor reguli învățate la crearea soluției”.

Deducem de aici că gradul de implicare creatoare este diferit de la aplicarea unei reguli la o situație asemănătoare până la crearea unei noi soluții pentru o problemă dată. Învățarea creatoare presupune cu precădere acest din urmă aspect, descoperirrea unei soluții originale pentru rezolvarea situațiilor problematice. Ea intervine atunci când simpla aplicare a unor răspunsuri automatizate sau algoritmi nu este suficientă pentru descoperirea soluției.

Mecanismul psihologic intern implicat în acest proces este prea puțin cunoscut. De cele mai multe ori intervine operația de combinare într-o structură cognitivă nouă a regulilor învățate anterior. Acest fapt este generat și întreținut de un fond motivațional, stimulat din exterior sau autostimulat. Prin acces de combinare a vechilor reguli în altele noi, omul rezolvă probleme noi pentru el și formează astfel mai multe capacități noi. Soluțiile sunt, deci, originale sau creatoare doar pentru cei care învață și nicidecum pentru cunoașterea umană în general.

În timp ce unii autori consideră activitatea creatoare ca și o clasă specială a activității de rezolvare de probleme, caracterizată prin noutate, neconvenționalitate, persistență și dificultate în formularea problemei, alții, abordând studiul rezolvării de probleme, spun că și mai importantă este capacitatea de a găsi probleme, în primul rând de a descoperi, a inventa sau recunoaște o problemă.

În literatura de specialitate sunt menționate mai frecvent următoarele dimensiuni principale ale creativității: procesul de creație, produsul creat, personalitatea creatore. La aceste patru dimensiuni, Al Roșca este de părere că s-ar mai putea adăuga și a cincea, adică grupul sau colectivul creativ (sau creativitatea colectivă). Chiar dacă unii autori apuseni exprimă îndoieli cu privire la acest aspect, cercetările tot mai numeroase o afirmă și o confirmă.

2.2 Factorii creativității și interrelația dintre ei

Factorii care determină sau pot influența creativitatea sunt foarte numeroși și variați. Ei se pot combina în structuri foarte diferite, ceea ce face ca fiecare creator – chiar când este vorba de același domeniu de activitate sau aproximativ același nivel al creației – să aibă particularitățile sale caracteristice, personalitatea sa proprie, care-l diferențiază de ceilalți.

În mod cu totul general, factorii creativității pot fi clasificați astfel:

factori subiectivi:

intelectuali: fluiditatea, flexibilitatea, originalitatea;

nonintelectuali: motivația, temperamentul, caracterul;

factori obiectivi:

condiții sociale;

condiții educative.

Fluiditatea exprimă bogăția și ușurința actualizării asociațiilor și desfășurarea ușoară a ideilor. Ea nu poate fi însă o componentă a creativității, decât atunci când elementele asociativ-verbale exprimă și un conținut de idei.

Important de știut este și faptul că fluiditatea este implicată atât în gândirea reproductivă, cât și în cea creatoare. Din acest motiv, se consideră că principala componentă a gândirii creatoare este flexibilitatea.

Caracteristica principală a flexibilității gândirii este restructurarea ușoară a vechilor legături temporare, a vechilor asociații, în conformitate cu cerințele noii situații, schimbarea ușoară a punctului de vedere, a direcției gândirii, a modului de abordare a unei situații sau probleme în funcție de cerințele noii situații.

Opusul flexibilității este rigiditatea sau inerția gândirii, care înseamnă perseverarea într-o situație nouă cu modalitățile anterioare de rezolvare a problemelor.

A treia componentă a gândirii creatoare ar fi originalitatea. Aceasta constă în capacitatea subiectului de a produce imagini, idei, soluții noi neuzuale, rare în raport statistic.

Se știe că gândirea operează pe baza informației stocate prin procesul de memorare. Gândirea creatoare are nevoie de material bogat cu care să opereze și să faciliteze generalizarea. O memorie bună, bine stocată și organizată aduce o contribuție indirectă și de o mare importanță la realizarea unor performanțe creatoare. Învățătorul are datoria să încurajeze și să ajute elevul pentru a dobândi cunoștințe cât mai bogate cu care să opereze și pe care să le aplice în condiții cât mai variate.

Pentru atingerea unor performanțe creatoare, pe lângă factorul intelectual, trebuie să fie prezenți și factorii nonintelectuali, cum ar fi, aptitudinile speciale pe lângă implicația unor factori motivaționali sau a unor însușiri și trăsături de personalitate.

Aptitudinile speciale și mai ales corelația dintre inteligență și aptitudini sunt de mare importanță în actul creației, pentru că „nu putem deduce aptitudinile din inteligență și nici invers”. Pentru a fi creativ într-un anumit domeniu de activitate, trebuie să existe o corelație bună între factorul intelectual și aptitudinile din acel domeniu.

Ca și factori nonintelectuali, îi amintim pe cei motivaționali și pe cei de personalitate.

Prin motivație se înțelege „tot ceea ce dezlănțuie, susține și orientează activitatea”.

Motivația extrinsecă se referă la condițiile exterioare învățării, cum ar fi: frica de pedeapsă, pretențiile părinților, dorința de a obține note mari când este vorba de elevi, sau ambiția, dorința de a obține o recompensă când este vorba de activitatea de creație propriu-zisă.

Motivația intrinsecă operează din interior și se exprimă prin dorința de a cunoaște, având satisfacția succesului propriu. În procesul de creație, motivația intrinsecă este decisivă.

Motivația oamenilor creatori se manifestă în domeniul lor favorit de creație, dar în alte activități motivația aceluiași om poate să fie foarte redusă.

Trăsăturile de temperament și caracter au și ele o influență marcantă asupra creativității individului. Sensibilitatea față de obiectul creației, inițiativa, tenacitatea și atitudinea activă în fața greutăților, încrederea în forțele proprii au o mare importanță în actul creației.

Personalitatea creatoare este influențată în mediul social în care trăiește individul, de mediul familial, științific, prieteni, colectivul de muncă etc.

Toți acești factori amintiți pot duce la performanțe creatoare dacă activează simultan în direcția gradientului creativității. Nu este suficientă prezența unor factori intelectuali sau aptitudinali dacă factorii motivaționali sunt deficitari sau dacă lipsesc condițiile social-educative minime. Pentru a putea vorbi de o performanță creatoare, combinația tuturor factorilor trebuie să fie optimă, cu un caracter optim, adică unii dintre ei putându-se schimba în timp.

2.3 Stimularea creativității elevilor din ciclul primar

Au apărut opinii care susțin că, la această vârstă, copilul nu este pregătit pentru a realiza o activitate creatoare. Pentru aceasta ar fi necesară o experiență mai bogată și instrumentele necesare pentru prelucrarea informațiilor. Toate acestea se găsesc într-un stadiu elementar, într-o fază incipientă și de aceea copilul de vârstă școlară mică nu ar fi pregătit pentru a primi o educație în spiritul creativității; de unde și concluzia că trebuie să așteptăm până când copiii își însușesc și-și consolidează instrumentele de muncă intelectuală – funcția principală a învățământului primar fiind funcția instrumentală – și după aceea, începând cu ciclul gimnazial să ne preocupăm de cultivarea creativității.

Un asemenea mod de a pune problema denaturează interesul termenului de creativitate. Există oare o vârstă a creativității? Putem condamna copilul ca într-o anumită etapă a dezvoltării sale să fie reproductiv, conformist pentru a se „pregăti” ca în etapa următoare să adopte o atitudine creatoare?

Creativitatea înscriindu-se în planul comportamental nu are voie să aștepte până se „coc” condițiile cultivării ei. La diferite nivele de vârstă, copilul își manifestă, în mod spontan, tendința de a executa o activitate astfel încât ceilalți, în a pune ceva „de la el” în tot ceea ce face. Copilul care strică o jucărie și încearcă să o refacă este supus unui exercițiu de inventivitate. În învățământul preșcolar există discipline, precum și o categorie de jocuri care au obiective precise în cultivarea creativității.

Învățământul primar are menirea de a valorifica experiența acumulată de copii în învățământul preșcolar în direcția creativității și de a o continua și extinde. Orele de matematică oferă largi și bogate posibilități în acest sens.

În actul cunoașterii nu se poate face o delimitare precisă a dimensiunilor creativității. Gândirea prin însăși natura ei are un caracter creativ. Dar, în complexul reproducere-creație, componenta creatoare poate avea un rol mai redus sau mai important. Așa cum arată J. Piaget, procesul învățării constă în integrarea unor date noi în cadrul existent (asimilare), în îmbogățirea și diferențerea schemelor existente (acomodare), în achiziționarea unor modele de activitate practică și mintală care implică restructurarea schemelor existente. O achiziție nouă își are întotdeauna baza în achizițiile existente, trecerea de la un stadiu la altul făcându-se printr-o dezvoltare continuă. În acest proces de dezvoltare continuă se împletesc și se restructurează achizițiile noi cu cele vechi, actele de reproducere (pentru fixare, consolidare) cu cele de creație. În procesul însușirii instrumentelor de muncă intelectuală, copilul poate să manifeste o atitudine creatoare chiar și atunci când nu se depărtează prea mult de model (de exemplu, schimbarea datelor unei probleme, enunțul rămânând același).

Creativitatea de tip școlar, realizată de elev în cadrul orelor de matematică, nu trebuie confundată cu creativitatea scriitorului, artistului, tehnicianului, unde originalitatea și productivitatea se interpretează în sensul strict al cuvântului. Copilul de vârstă școlară mică adoptă o atitudine creatoare atunci când, pus în fața unei probleme îi restructurează datele, descoperă calea de rezolvare, rezolvând-o într-un mod personal.

Activitatea desfășurată cu elevii în orele de matematică oferă bogate prilejuri de cultivare a creativității. Prof. universitar A. Roșca în lucrarea sa, „Creativitate” arată că, în funcție de felul cum este organizată și orientată ora de matematică, ea poate duce la dezvoltarea gândirii creatoare, după cum poate duce și la formarea unei gândiri șablon.

Gândirea creatoare se formează în orele de matematică prin orientarea și stilul activității elevilor, prin tipuri de sarcini și exerciții care pot constitui un antrenament al gândirii. Însăși creativitatea se învață; elevul învață modul în care se gândește creator.

Pentru educarea creativității în activitatea instructiv-educativă sunt necesare anumite condiții, Astfel, o condiție esențială a creativității o constituie fondul de cunoștințe de care dispune individul și gradul de stăpânire a acestora. Gândirea nu operează în gol. Sărăcia în informații constituie un obstacol în formarea creativității gândirii. „Cunoștințele multilaterale și bine asimilate se organizează în sisteme asociative multiple, care favorizează mobilitatea acțiunilor și operațiilor mintale, realizarea de combinații multiple și variate”.

O a doua condiție esențială a creativității constă în existența unor capacități și deprinderi intelectuale cu care să fie prelucrat fondul de informații.

Deprinderile intelectuale – scheme cu grad diferit de generalitate sau specificitate și cu grad diferit de elasticitate sau de rigiditate, mergând de la scheme foarte generale și elastice, care reprezintă cadrul de mișcare al gândirii, până la algoritmii cei mai specifici și mai rigizi – funcționează în interiorul gândirii, ca laturi sau momente ale acesteia și oglindesc procedee centralizate și automatizate de acțiune. În această calitate, deprinderile intelectuale constituie disponibilități pentru activitatea creatoare.

O altă condiție o constituie climatul educațional care trebuie să fie favorabil creativității. Însuși stilul de muncă al învățătorului poate fi sursa educării elevilor în spiritul conformist sau creator. Prin selecționarea materiei astfel încât să cuprindă probleme care incită intelectul elevilor la frământări, rezolvări, descoperiri, prin utilizarea unor metode, mijloace și forme stimulatoare, prin solicitări care să activeze mintea elevilor, puterile lor creative de colaborare independentă, învățătorul poate contribui la asigurarea unui climat care să favorizeze creativitatea.

Sistemul de îndrumare și conducere fără o gradare corespunzătoare a independenței ce trebuie acordată elevului nu trebuie practicat deoarece el constituie un teren favorabil conformismului (cu precădere intelectual). Desigur că este nevoie de îndrumare atentă, este necesară formarea unor stereotipii, dar concomitent se impune să facem tot mai mult loc independenței, originalității, creativității.

De asemenea nu este permisă situația când, din grija pentru o exprimare corectă, copilul este oprit din fluența gândirii (de exemplu, din prezentarea căii de rezolvare a problemei sau a altei modalități de rezolvare), pentru a-și corecta exprimarea deficitară din prima frază sau propoziție formulată.

Creativitatea nu se poate cultiva decât într-o atmosferă de antrenare liberă a elevilor în căutări, schimb de idei, verificări, în cadrul cărora forțele psihice ale lor sunt solicitate la un efort susținut de aprecierile tonice ale rezultatelor, de cultivarea încrederii în forțele proprii. De aceea, se recomandă „amânarea evaluării” și crearea condițiilor pentru obținerea unui flux educațional optim, după care să se facă selectarea critică a ideilor. Elevii trebuie să se manifeste liber, fără teama de a greși, de a li se face imediat aprecierea critică. În felul acesta se poate cultiva îndrăzneala, independența, originalitatea.

Creativitatea nu se învață prin lecții speciale, ci mai degrabă se dezvoltă prin întreaga activitate a elevilor desfășurată în procesul învățării. Se poate vorbi de stilul învățării creatoare.

Nu trebuie să punem în opoziție învățarea creatoare cu învățarea reproductivă. Învățarea nu poate fi în întregime creativă. În studierea matematicii există o serie de cunoștințe (definiții, reguli etc.) care trebuie învățate întocmai; trebuie să asigurăm însușirea algoritmilor cu care se operează. Funcția principală a ciclului primar este funcția instrumentală. Dar trebuie să selecționăm în mod precis materialul care necesită o învățare reproductivă, pentru formarea și consolidarea cunoștințelor și deprinderilor respective, de restul activității. Utilizarea procedeelor algoritmice de activitate mintală eliberează forțele intelectuale pentru rezolvarea creatoare a unor probleme noi, mai complexe. De exemplu, nu poate rezolva în mod conștient și creator o problemă nouă, un exercițiu ce pune mintea la încercare, elevul care nu stăpânește bine tehnica (elementară) de calcul și atenția lui se concretizează tocmai asupra acelei tehnici. Odată însușiți algoritmii utili, gândirea se eliberează de eforturile pe care le solicitau activitățile respective, când nu erau algoritmizate, și-și poate canaliza energia spre soluționarea unor probleme ce nu pot fi soluționate pe bază de algoritmi. De aceea, formarea și însușirea algoritmilor este foarte necesară în procesul învățării. Dar, algoritmii se elaborează și se învață nu pentru „a se ști” pur și simplu, ci pentru a se utiliza în mod creator, în rezolvarea exercițiilor și problemelor. Este vorba de două niveluri diferite: un nivel de activitate intelectuală la care se produce elaborarea și consolidarea algoritmului – nivel la care se impune formarea unor agoritmi cât mai bine stablizați – și un nivel superior al acestei activități unde se realizează utilizarea și mobilizarea algoritmului în rezolvarea unor situații noi, mai complexe, mai dificile. La acest al doilea nivel se impune formarea unor automatisme intelectuale, care să devină suple, flexibile și perfectibile, să poată fi mobilizate cu ușurință în moduri variate, să fie adaptabile la situații diferențiate și transferabile dintr-o situație în alta. Altfel, algoritmii pot duce la componente rigide. Învățarea algoritmică poate să fie o învățare creatoare.

Însăși învățarea reproductivă poate fi de tip reproductiv-formal și reproductiv-inteligibil, acest al doilea tip constituind un pas de deschidere către învățarea creatoare. Stilul creativ de învățare echivalentă cu învățarea de tip euristic, prin investigație, punere și rezolvare de probleme, descompunere preusupune o cucerire a cunoștințelor și nu pur și simplu preluare. Elevul trebuie astfel stimulat și dirijat în efortul său intelectual încât să-și sondeze mintea în căutarea dezlegărilor cât mai variate și mai originale, înlăturând încătușarea gândirii într-un cadru rigid pentru a depăși permanent elementele învățate și a construi sisteme noi.

Învățarea creatoare este tipul cel mai productiv de învățare. Ea atinge un grad înalt de productivitate în cadrul activității în grup. Există anumite strategii ale gândirii care, utilizate într-un spirit creator pot duce la formarea calităților specifice gândirii creatoare.

În procesul însușirii cunoștințelor și al formării deprinderilor este antrenată o gamă complexă și diversă de funcții de la simpla reproducere până la creație, care implică:

recunoașterea;

reproducerea;

înțelegerea;

transferul.

La toate aceste nivele pot apărea într-o măsură mai mare sau mai mică operații de analiză, construcții, combinări și recombinări – un grad mai mare sau mai mic de creativitate.

Strategiile moderne de tip euristic sporesc posibilitățile pentru educarea creativității la toate nivelurile. N. I. Kuliutkin definește „metodele euristice” drept acele metode „cu ajutorul cărora omul descoperă noi mijloace de rezolvare, construiește planuri și progrese nestereotipe”. Nu este vorba de activitatea obișnuită a gândirii (analiză, sinteză, generalizare), ci de „mijloace prin care diversele operații se structurează în formațiuni complexe, de tipul strategiilor și tacticilor, dirijate în vederea căutării informației necesare și a elaborării rezolvărilor. Aceste structuri informaționale complexe se manifestă ca un rezultat al combinării unităților informaționale elementare”.

Defapt, nu putem vorbi de „metode euristice”, ci de atitudini euristice (a gândi prin punere și rezolvare de probleme), de strategii euristice, tehnici mintale de mobilizare a intelectului în rezolvarea unor situații necunoscute, nestereotipe.

Învățarea prin rezolvarea problemelor duce la dezvoltarea gândirii creatoare. Creativitatea se cultivă pe terenul conflictual al situației problematizate și constituie rezultatul ei necesar, asigurând flexibilitatea gândirii, finețea analitică, dar mai ales caracterul ei critic.

Modelarea și exersarea elevilor în trecerea de la un model la altul, cu descoperirea unor elemente noi duce la creșterea intensității proceselor intelectuale. Stimularea activității de investigație, pe baza raționamentului analogic, înseamnă un antrenament al gândirii creatoare. Analogiile cu realul, comparațiile între modele (materiale grafice logice, matematice) constituie un mijloc eficient în dezvoltarea flexibilității gândirii. De exemplu, utilizarea unor asemenea strategii duce la educarea, la nivelul înalt a motivației învățării.

În raport cu modul în care sunt utilizate strategiile euristice, putem avea și modalități practice cu valențe creative de grade diferite, astfel:

activități care solicită elevului recunoașterea și reproducerea (pe baza celor învățate i se cere să recunoască un anumit procedeu de calcul, o anumită problemă pe care s-o raporteze la categoria respectivă). De fiecare dată recunoașterea se face pe baza actualizării cunoștințelor respective (definiții, reguli) și a încadrării cazului particular în clasa respectivă. Pe acest drum, există un bogat teren pentru creativitate, dependent de măsura în care elevul este ajutat să elaboreze cunoștințele, nu să le învețe pur și simplu.

activități creative constituite din continuarea de către elevi a construcției sistemului sau structurii după modelul dat de învățător și lucrat până la un anumit punct sub conducerea lui. De exemplu, continuarea construirii tablei înmulțirii (împărțirii) unui număr, continuarea rezolvării exercițiilor, a problemelor etc.

activități care creează câmp și mai larg educării creativității sunt cele de elaborare sau de transformare a unui sistem sau structuri pe baza modelului dat. Această categorie implică un grad mai mare de independență din partea elevilor. De exemplu, să compună exerciții, probleme, care să întrunească condițiile prescrise de învățător. Aici se încadrează și transformarea exercițiilor în probleme și invers.

activități creative care se referă la elaborarea variantelor. Se cere copiilor să găsească cât mai multe variante (prin construcția de variante noi sau prin transformări operate asupra variantelor cunoscute), care să se încadreze în modelul dat: să găsească toate posibilitățile de compunere și descompunere a unui număr în mulțimea numerelor 1-10, să compună variante de exerciții și probleme de un anumit tip, să găsească toate variantele de adunare (scădere) a două numere pe baza cunoașterii sumei sau diferenței, să găsească toate combinațiile posibile de factori care duc la un produs dat etc. Aici se încadrează și un număr mare de jocuri didactice.

activitățile în care se lasă elevilor independența deplină în compunerea și rezolvarea pe căi diferite a exercițiilor și problemelor – categoria de activități care oferă terenul cel mai extins pentru cultivarea creativității. În ciclul învățământului primar nu se poate vorbi de independența totală. Datorită experienței limitate a elevilor, se impune să fie ajutați cu puncte de sprijin (un model sugestiv, o indicație). Pe măsură ce înaintăm către clasele a III-a, a IV-a trebuie sporit continuu gradul de independență ce se acordă elevilor, astfel ca ei să poată elabora prin forțe proprii, cu o imaginație descătușată, produse originale ale activității școlare.

Defapt, nu se poate vorbi de activitățile creative și activitățile necreative. Orice activitate poate avea o doză mai mare sau mai mică de creativitate după modul cum este îndrumat elevul în desfășurarea ei.

CAP. 3 Stimularea și dezvoltarea creativității prin rezolvarea problemelor de matematică

3.1. Noțiunea de problemă

Activitatea gândirii se manifestă, cu precădere în rezolvarea de probleme. O problemă de gândire apare atunci în calea activității practice sau teoretice apare un obstacol, când nu putem face față unei situații noi prin soluții existente în experiența dobândită, prin mijloacele învățate.

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii diferite. În sens psihologic, „o problemă” este o situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat. Dificultatea se prezintă subiectului ca o lacună cognitivă, constând dintr-o necunoscută.

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică, ce necesită o rezolvare, o soluționare, poartă numele de problemă.

O problemă există doar dacă soluția posibilă și depășirea obstacolului se face prin mijloace intelectuale, soluția problemei fiind rezultatul elaborării prin gândire și nu al aplicării standard a unui algoritm.

Pe parcursul vieții, gândirea individului uman este în permanență confruntată cu diverse probleme de diferite grade de dificultate, care necesită să fie rezolvate. O problemă devine cu atât mai dificilă cu cât aceasta diferă de acelea rezolvate anterior de subiect.

Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.

Noțiunea de problemă ca moment inițial al activității de gândire este una dintre noțiunile fundamentale ce străbate aproape întreaga psihologie a gândirii. Acolo unde nu există o problemă sau o întrebare, o sarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat și rezolvat, acolo lipsește fluiditatea gândirii.

Gândirea copilului se dezvoltă prin exerciții și în special prin probleme bine alese, grupate, pornind de la simplu spre complex.

Astfel selecționând și ordonând problemele după gradul de dificultate pe care-l ridică în rezolvare vom ajuta mult elevii să parcurgă drumul ascendent al formării capacităților necesare rezolvării problemelor, printr-un efort gradat, printr-un antrenament permanent.

Dacă rezolvarea problemei se gândește, raționamentul care duce către soluție se descoperă, apoi tehnica rezolvării problemelor se învață. Așa cum i se prezintă elevului categorii de numere, cazuri și tehnici, definiția și proprietăților operațiilor matematice, tot așa trebuie să i se prezinte și problema (datele, condițiile, întrebarea), să înțeleagă ce înseamnă rezolvarea, cum se rezolvă ea. Toate acestea trebuie să facă parte din corpul de cunoștințe matematice care se predau elevilor în clasele I și a II-a.

Elevii claselor I-IV trebuie învățați din ce și cum să creeze. Confruntarea elevului cu problema implică scopul rezolvării, conștiința dificultăților de rezolvare și o anume motivație corespunzătoare. Se spune că o problemă bine pusă – formulată în limbajul adecvat elevului – este pe jumătate rezolvată. Punerea problemei și progresele în rezolvare reprezintă pași siguri în structurarea problemei, respectiv în programarea rezolvării ei.

Aceasta presupune formarea la elevi a capacității de a sesiza problema, de a spune și a conștientiza problema.

În rezolvarea unei probleme, subiectul, arată R. Gagné, procedează la reactualizarea conceptelor disponibile și a regulilor cunoscute anterior, la evaluarea conceptelor pe baza experienței, la formarea de ipoteze specifice, la demersul de descoperire orientat spre soluție, la verificarea soluției alese drept optimă.

Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției problemei. Prezentarea de enunțuri, la care elevii să completeze întrebarea și invers, a întrebării pe baza căreia elevul să formuleze răspunsul, întăresc convingerea acestora despre unitatea celor două componente, iar pe de altă parte, dezvoltă gândirea creatoare, căutând răspunsul la întrebare sau reflectând asupra a ce întrebare sau enunț să formuleze, în legătură cu cerința problemei.

În general, pentru formularea noțiunii de problemă se parcurg câteva etape:

rezolvări de probleme simple cu date din mediul înconjurător:

Ex: Într-o livadă sunt 5 meri și 2 peri. Câți pomi sunt în livadă?

rezolvări de probleme după date desenate:

Ex:

+ =

completarea de către elevi a datelor care lipsesc dintr-o problemă astfel ca să se poată rezolva, urmând apoi rezolvarea ei:

Ex: Într-o parcare erau … mașini, dintre care 4 erau albastre, 6 verzi și restul galbene. Câte mașini galbene erau?

compuneri de probleme de către elevi după un dicționar de întrebări, de produse sau alte elemente orientative:

Ex.1: … 3 cărți … 4 caiete

Câte cărți și caiete sunt în ghiozdan?

Ex.2: … 2 banane și … portocale a mâncat Ana.

Câte fructe a mâncat în total Ana?

completarea de către elevi a întrebărilor la o problemă, apoi rezolvarea ei:

Ex: Un vânător a vânat 3 fazani, iar iepuri cu 4 mai mulți.

Puneți întrebarea și rezolvați problema.

În majoritatea acestor etape, elevii sunt puși în situația de a gândi creator. La rezolvarea problemelor după datele desenate, imaginația elevului și analiza situațiilor posibile îl ajută în stabilirea corespondenței dintre datele schițate și realitate. La completarea datelor care lipsesc dintr-o problemă, astfel încât să se poată rezolva, elevul este pus în situația să caute situații posibile și eventual optime, realizându-se astfel educarea flexibilității gândirii în acest proces continuu de autocontrol. La completarea întrebării care lipsește de la problemă, elevii sunt puși în situația de a lua decizii legate de practica vieții, precum și în situația realizării unei concordanțe între cele două componente ale problemei (enunț și întrebare).

În ultima etapă, când elevul are sarcina de a compune probleme după un „dicționar” de date sau întrebări, elevii sunt puși în situația de a formula problema în complexul și unitatea ei, creativitatea având un câmp deschis, astfel compoziția fiind direcționată de niște termeni care lămuresc sfera și conținutul noțiunii de problemă și este dublat de procesul de dezvoltare a gândirii creatoare.

Prin activitatea de compunere a problemelor, elevul își dă seama de corelația dintre exerciții și probleme. În lipsa acestei corelații, elevul ar rămâne cu ideea că exercițiile și problemele sunt activități fără legătură. Etapa pregătitoare muncii de compunere a problemelor este aceea de formare a noțiunii de problemă. Etapele pătrunderii complete în activitatea de compunere a problemelor pot fi clasificate astfel:

compuneri de probleme după date numerice indicate, iar tema la liberă alegere;

Ex: Să se compună o problemă cu numerele 4,5,6.

compuneri de probleme după tema indicată, iar datele numerice la liberă alegere;

Ex: Să se compună o problemă cu datele dintr-o școală.

compuneri de probleme după un exercițiu numeric dat;

Ex: Să se compună o problemă sub forma exercițiului:

45 + 26 – 13 = R

compuneri de probleme după exercițiul literal dat;

Ex: Să se compună o problemă după exercițiul:

Maria are 6 lei. Fratele ei are 4 lei. Tatăl le dublează suma.

Câti lei au împreună cei doi frați?

Activitatea de compunere a problemelor le solicită elevilor un efort de muncă independentă și de creație, de analiză și sinteză, de confruntare a cunoștințelor teoretice cu cele practice.

George Polya în lucrarea sa ”Euristica rezolvării problemelor” spune: ”A rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței, iar inteligența este apanajul specific speciei umane; se poate spune că dintre toate îndeletnicirile omenești cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică.”

Deprinderile de muncă intelectuală care se formează prin activitatea de rezolvare a problemelor, se vor reflecta pozitiv și la celelalte discipline de învățământ. Tocmai în acest scop este bine ca fiecare elev să rezolve probleme de logică matematică.

3.2. Clasificarea problemelor și etapele de rezolvarea a acestora

În funcție de conținutul problemelor, în funcție de domeniul de aplicabilitate, de metoda sau algoritmul de rezolvare a complexităților, există mai multe de posibilități de clasificare a problemelor.

Dacă problema este rezolvată prin procedee și metode standardizate, atunci această problemă poate fi numită o problemă standard, dar dacă problema prezintă situații noi pentru care nu se aplică algoritmul de rezolvare însușit anterior, aceasta se numește o problemă nonstandard care poate fi: recreativă, de perspicacitate și rebusistică.

În funcție de dificultățile care apar, clasificarea noțiunilor matematice se poate face în exerciții și probleme.

Exercițiul în general nu conține text, ci numai o formulă numerică, iar sarcina constă în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute:

ordinea operațiilor;

calcule cu paranteze;

relații între termeni și rezultat etc.

Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descompunere și analiză. Textul problemei conține datele (valorile numerice), condiția problemei (relații dintre date și necunoscute) și întrebarea problemei care se referă la valoarea necunoscutelor.

Problema presupune un efort de rezolvare spre deosebire de exercițiu. Elevul sau cel care rezolvă o problemă trebuie ca, pe baza înțelegerii datelor, a relațiilor dintre ele, să alcătuiască un plan de rezolvare care să cuprindă judecățile, apoi rezolvarea și în final găsirea soluției problemei.

Distincția dintre exercițiu și problemă trebuie făcută după natura rezolvării ei și nu după forma exterioară a acesteia.

Din punct de vedere didactic, este necesară o clasificare a problemelor după diferite criterii, mai ales că termenii acestei clasficări sunt destul de folosiți în limbajul metodologic.

Astfel, se face următoarea clasificare:

După algoritmul de lucru:

probleme standard;

probleme nonstandard: recreative, de perspicacitate, rebusistice.

După gradul de dificultate al rezolvării:

exerciții;

probleme.

După sfera de aplicabilitate sau finalitatea lor:

probleme teoretice;

probleme practice.

După conținutul lor:

probleme de geometrie;

probleme de mișcare;

probleme de amestec și de aliaj;

procente și dobânde.

După numărul operațiilor folosite în rezolvarea lor:

probleme simple (care cuprind o singură operație):

probleme de adunare;

probleme de scădere;

probleme de înmulțire;

probleme de împărțire;

probleme compuse (care cuprind mai multe operații).

După generalitatea metodei folosite:

probleme rezolvate prin metode generale:

sintetice;

analitice;

analitico-sintetice;

probleme rezolvate prin metode particulare:

teoretice;

practice: algebrice și aritmetice.

Probelemele de aritmetică folosesc ca metodă de rezolvare:

metoda grafică (figurativă);

metoda comparației;

metoda falsei ipoteze;

metoda mersului invers;

metoda înlocuirii;

metoda reducerii la unitate;

metoda rapoartelor și proporțiilor;

metoda regulii de trei simplă;

metoda regulilor amestecurilor.

Etapele rezolvării problemelor

Introducerea în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, punându-i pe elevi la eforturi din ce în ce mai mărite pe măsură ce înaintează în studii și pe măsură ce experiența lor se îmbogățește. Varietatea și complexitatea problemelor sporește efortul mintal al elevilor și eficiența formativă a activităților de rezolvare a problemelor. Se delimitează două situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor:

când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă tip (care se rezolvă prin aceeași metodă);

când elevul are de-a face cu probleme noi, necunoscute, unde nu se mai poate aplica o schemă mintală cunoscută și unde elevul trebuie să găsească o cale nouă de rezolvare, de găsire a soluției problemei.

Activitatea de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze și verificarea lor. Aici intervin o serie de tehnici, procedee, moduri de acțiune, deprinderi de muncă intelectuală independentă. Astfel, sunt necesare unele deprinderi și abilități de muncă cu caracter mai general, cum sunt: orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legătură logica a datelor, capacitatea de a separa ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei și formarea unei deprinderi de calcul.

În rezolvarea unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de formulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvării, pe drumul de găsire a soluției.

Etapele rezolvării unei probleme simple sunt:

cunoașterea enunțului problemei;

înțelegerea enunțului problemei care cuprinde:

repetarea problemei de către învățător și schițarea datelor pe tablă;

explicarea cuvintelor sau expresiilor mai dificile;

repetarea problemei de către elevi;

ilustrarea problemei prin material concret sau prin imagini.

separarea întrebării de conținut, astfel încât să se precizeze clar ce se cere;

alegerea operațiilor respective și efectuarea calculului;

formularea răspunsului problemei, arătarea semnificației lui, scrierea lui.

Etapele rezolvării problemelor compuse sunt:

cunoașterea conținutului problemei;

înțelegerea și însușirea enunțului problemei;

analiza problemei și întocmirea planului logic sau graficul ei (schema logică).

Aceasta este faza în care se constituie raționamentul prin care se rezolvă o problemă, drumul de la datele problemei la necunoscută.

Examinarea unei probleme compuse se poate face prin două metode: metoda analitică sau metoda sintetică.

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta atenția elevilor asupra a două din acele date ale problemei și a formula cu acestea o problemă simplă, al cărei rezultat să constituie o dată cunoscută pentru o nouă problemă simplă și tot așa până când se ajunge la ultima problemă simplă al cărei rezultat răspunde la întrebarea problemei compuse.

Uneori datele problemei sunt în concordanță cu ordinea de alcătuire a problemelor simple, alteori însă ele trebuie culese și grupate convenabil.

A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a porni de la întrebarea problemei, a stabili datele, în general necunoscute, astfel încât cu ajutorul lor să se formuleze prima problemă simplă a cărei întrebare să coincidă cu întrebarea finală din problemă, urmând apoi să se stabilească alte probleme simple a căror întrebări să-i folosească din problema anterioară. Succesiunea de probleme simple, astfel eșalonate, vor duce la ultima problemă simplă care se poate rezolva cu ajutorul datelor cunoscute.

Aceste două metode se pot folosi simultan sau una cu preponderență mai mare. Ambele metode constau în descompunerea problemei date în probleme simple, care, prin rezolvarea lor succesivă, duc la găsirea soluției finale. Deosebirea dintre cele două metode de rezolvare constă în punctul de plecare al raționamentului.

Se utilizează și denumirea de metodă analitico-sintetică, atunci când în unele probleme compuse nu este evidentă delimitarea problemelor simple, nu este indicată succesiunea lor și atunci în prima fază, apare o descompunere a problemei în probleme compuse a căror rezolvare se efectuează prin metoda sintetică.

Odată cu analiza și sinteza problemei, se întocmește schema logică (graficul problemei) și planul de rezolvare. Acest moment caracterizează judecata problemei și constă în desenarea de blocuri (în cazul graficului) sau formularea și scrierea succesivă a problemelor simple interogativ sau enunțiativ, sub formă de propoziții.

Rezolvarea problemelor simple

Copilul vine în contact cu probleme simple chiar în familie, la joacă, în activitatea zilnică de la școală. Toate aceste probleme sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Problema simplă este aceea care necesită pentru rezolvarea ei o simplă operație.

Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret, ca acțiuni de viață ilustrate prin imagini sau chiar de acșiuni executate de copil. În rezolvarea problemelor simple se respectă cele cinci etape enunțate anterior. Pentru ca elevul să memoreze cu ușurință cuprinsul problemei se pot utiliza următoarele procedee:

repetarea problemei de către învățător cu scrierea datelor pe tablă;

explicarea cuvintelor sau expresiilor mai dificile;

repetarea problemei de către elevi;

ilustrarea problemei prin material concret sau prin imagini.

În categoria problemelor simple intră următoarele tipuri de probleme:

probleme de adunare: de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități sau zeci și unități decât un număr dat;

probleme de scădere: – de aflare a restului (diferenței);

– de aflare a unui număr care să aibă cu un număr de unități

mai puține sau zeci și unități mai puține decât numărul dat;

– de aflare a unui termen atunci când se cunoaște suma sau

unul din termeni;

probeleme de înmulțire: – de repetare de un număr de ori a unui număr dat;

– de aflare a produsului;

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât numărul dat;

probleme de împărțire: – de împărțire a unui număr dat în părți egale;

– de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul;

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;

– de aflare a unei părți dintr-un întreg;

– de aflare a raportului dintre două numere;

– de aflare a unui factor când se cunoaște produsul și unul din factori.

Pentru a lucra cu cât mai mare ușurință la rezolvarea problemelor simple se impune:

– rezolvarea unui număr mare de probleme;

– analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;

– abordarea unei mari varietăți de probleme și enunțuri;

– prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii să le completeze;

– prezentarea datelor unor probleme și elevii să pună întrebarea, și invers;

– prezentarea unor povestiri care nu sunt decât probleme latente;

– completarea unui test dat cu valori numerice conforme cu realitatea;

– compunerea de probleme după anumite date sau formule;

– alcătuirea unor probleme de către copii în care nu se impune nici o cerință.

Rezolvarea problemelor simple constituie primii pași spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii. În acest context ei ajung să opereze cu numere în mod real, fără să se facă operații de compunere și descompunere, să folosească strategii și metode mintale anticipative.

Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea problemelor compuse solicită într-o măsură mai mare gândirea logică decât în cazul rezolvării problemelor simple. Pe lângă rezolvarea fiecărei probleme simple, ce intră în componența problemei compuse, cu stabilirea operațiilor corespunzătoare este necesară punerea în corespondență a datelor problemei compuse, sesizarea legăturilor dintre ele, a dependenței lor reciproce, în așa fel încât copilul să poată stabili succesiunea problemelor simple în vederea găsirii rezultatului final. În introducerea problemelor compuse sunt două posibilități:

– să se regizeze o acțiune care cuprinde două faze distincte, formularea problemei care să cuprindă două faze distincte și apoi rezolvarea ei;

Ex: O cloșcă are 5 pui negri și 2 galbeni. Unul dintre ei s-a rătăcit.

Câti pui mai are cloșca?

– rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel încât rezultatul primei probleme să constituie o dată numerică pentru cea de a doua problemă;

Ex.1: La un magazin s-au adus 40 de lăzi cu portocale și 17 lăzi cu banane.

Câte lăzi cu fructe s-au adus?

(40 lăzi +17 lăzi = 57 lăzi)

Ex.2: Din cele 57 de lăzi cu fructe care se aflau în magazin s-au vândut 20 de lăzi cu fructe.

Câte lăzi cu fructe au rămas nevândute?

Unificarea celor două probleme:

La un magazin s-au adus 40 de lăzi cu portocale și 17 lăzi cu banane din care s-au vândut 20 de lăzi de fructe.

Câte lăzi cu fructe au rămas nevândute?

( 40 lăzi + 17 lăzi = 57 lăzi

57 lăzi – 20 lăzi = 37 lăzi)

Etapele de rezolvare a problemelor compuse sunt:

– enunțarea problemei;

– însușirea enunțului problemei;

– examinarea problemei;

– stabilirea planului de rezolvare;

– stabilirea operației pentru fiecare judecată din planul de rezolvare, scrierea și efectuarea calculelor;

– munca suplimentară;

– repetarea problemei și a procesului de gândire;

– repetarea operațiilor și justificarea lor;

– stabilirea semnificației rezultatelor parțiale și a celui din final;

– rezolvare prin alte procedee;

– formularea de probleme asemănătoare.

Așa cum am mai enunțat anterior, examinarea problemelor compuse se face de obicei prin metoda analitică sau sintetică. Metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevului, în schimb, metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevului, îl ajută să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție planul de rezolvare și întrebarea problemei. Odată cu analiza problemei se formulează și planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învățător pe tablă și de elevi în caietele lor (la clasa I se face oral).

Ex: Un fermier crește 95 de oi, porci cu 15 mai puțin, iar vaci de 8 ori mai puțin decât porci. Câte animale crește fermierul?

Planul rezolvării:

Câți porci crește?

95-15=80 porci

Câte vaci crește?

80:8=10 vaci

Câte animale crește?

95+80+10=185 animale

R: 185 animale

Trebuie să acordăm o atenție deosebită problemelor care admit mai multe căi de rezolvare, datorită faptului că prin rezolvarea unor asemenea probleme se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea, se formează simțul estetic al școlarului – prin eleganță, simplitate, economicitate și organizarea modului de rezolvare.

Formarea priceperilor de a găsi noi soluții de rezolvare constituie o adevărată gimnastică a minții, educându-se astfel, atenția, spiritul de investigație, perspicacitatea elevilor. Supun spre exemplificare următoarea problemă:

Maria are 80 de bețișoare. Ea îi dă fratelui său 20 de bețișoare și surorii ei îi dă 25 de bețișoare. Câte bețișoare i-au mai rămas?

I 1. Câte bețișoare îi mai rămân după ce îi dă fratelui 20 de bețișoare?

80-20=60 bețișoare

Câte bețișoare îi mai rămân după ce-i dă și surorii sale cele 25 de bețișoare?

60-25=35 bețișoare

II 1. Câte bețișoare a dat Maria?

20+25=45 bețișoare

2. Câte bețișoare i-au mai rămas Mariei?

80-45=35 bețișoare

R: 35 bețișoare

3.3. Strategii didactice folosite în procesul de rezolvare a problemelor

În vederea obținerii unor rezultate cât mai bune în procesul de educare a creativității prin activitatea de rezolvare a problemelor, cadrele didactice trebuie să folosească strategii didactice moderne și variate care să-l determine pe elev să participe conștient și activ la întregul proces instructiv-educativ. Dacă strategia de tip clasic potențează operațiile memoriei, ale imaginației sau ale gândirii logice, strategia euristică declanșează procese cu care operează gândirea creatoare la întregul proces instructiv-educativ.

Pus în situația de a descoperi adevărul, elevul își selecționează metode proprii de învățare, dobândește curaj și perseverență, în urmărirea unor obiective, câștigă independență și originalitate în acțiune.

Modalitățile didactice prin care elevul este pus în situația să descopere, să rezolve situații noi, neînvățate anterior, sunt denumite ”metode euristice”, fiind acele metode cu ajutorul cărora omul găsește noi mijloace de rezolvare pentru anumite situații, construiește planuri și diferite programe nestereotipe.

Dintre metodele de tip euristic sunt: modelarea, problematizarea, învățarea prin descoperire, algoritmizarea etc.

Problematizarea este o strategie instructivă prin care se recurge la cunoașterea realității, stimulând elevul să participe conștient și intensiv la autodezvoltarea sa pe baza unei probleme, capabile să producă un conflict între experiența dobândită și o nouă experiență care tinde să restructureze această experiență.

”Predarea problematizată presupune un ansamblu de activități desfășurate pentru formularea de probleme propuse spre rezolvare elevilor, cu acordarea unui ajutor minim și coordonarea procesului de găsire a soluției, de fizare, sistematizare și aplicare a noilor achiziții inclusiv în rezolvarea altor probleme.”

În școală trebuie să facem totul să stimulăm gândirea creatoare a elevilor, curiozitatea și să cultivăm tendințele spre exprimarea originală.

Stimularea spre gândire trebuie să se facă și atunci când elevul dă un răspuns greșit, ajutându-l: ”Cum mai putem socoti?”, ”Nu se poate altfel?”, ”Cum mai putem spune?”. În acest mod, elevul va reuși și el să rezolve problema și nu se vor crea situații de punere în inferioritate față de alți colegi.

Prin problematizare trebuie să vedem necesitatea orientării gândirii elevului spre problema a cărei soluție are un caracter inductiv, pornind de la ideea găsirii soluției optime din mai multe posibile.

În acest scop trebuie folosite exerciții în care elevii sunt puși în a găsi mai multe variante de scriere a unor numere, spre exemplu:

Ex: ? + ? = 10

? – ? = 5

Pentru înmulțire și aprofundarea tablei înmulțirii și împărțirii se pot folosi exerciții ca:

? x ? = 24 ? x ? = 36

100 – 99 = ? : ? ? : ? = 5

Situații problematice pot fi create și cu ajutorul problemelor, atunci când rezolvarea lor nu se reduce la simpla aplicare a unui algoritm învățat.

Spre exemplificare am să dau o problemă în care se cunoaște suma și diferența a două numere și se cere aflarea lor:

Ex: Dan și Vlad au împreună 100 de creioane. Dan are mai mult decât Vlad cu 20 de creioane. Câte creioane au fiecare?

Am lăsat ca fiecare elev să calculeze oral și au dat răspunsul: unii s-au gândit numai ca numai suma numerelor să fie 100, fără să se gândească că, Dan are mai mult decât Vlad cu 20 de creioane. Au dat răspunsuri de genul: 50 și 50, 70 și 30, 60 și 40 etc. Am reprezentat datele problemei folosind segmente:

Dan (I)

I + II = 100

Am făcut astfel ca numerele să fie egale, lăsând la o parte cele 20 de creioane, deci 100 – 20 = 80. Dacă sunt egale cele două părți, putem să aflăm o parte, deci creioanele lui Vlad, împărțind suma la 2: 80:2=40. Se continuă împreună rezolvarea problemei.

Rezolvarea în modalități variate (reprezentarea grafică prin cerculețe, dreptunghiuri, litere, segmente) este un instrument ajutător rezolvării problemei. Reușind să alcătuiască modelul, elevul parcurge deja o etapă, pătrunde în procesul de rezolvare. Întocmirea modelului nu este o activitate exterioară judecății problemei. Realizând modelul, elevul probează dacă a înțeles structura logică a conținutului problemei, își exercită gândirea creatoare și iscusința compunerii problemelor.

Metoda exercițiului este o metodă mult folosită în matematică pentru formarea deprinderilor de calcul, a tehnicii efectuării operațiilor, a celor de scriere și citire a numerelor, de rezolvare a problemelor; toate se realizează cu ajutorul unor exerciții variate, repetate cu perseverență și reluate periodic. Această metodă poate fi folosită în toate categoriile de exerciții, atât în calculul oral, mintal, cât și în scris.

Tot o metodă de lucru în cadrul orelor de matematică o constituie folosirea fișelor de muncă independentă, având avantajul că pot cuprinde o gamă variată de întrebări, exerciții și probleme, pot fi individualizate, adresându-se fiecărui elevi pentu a reliefa măsura în care el trebuie ajutat.

Am să exemplific cu câteva fișe folosite în orele de matematică:

Fișe în predare care au ca scop stimularea gândirii elevilor pentru înțelegerea noilor cunoștințe predate.

Ex: Calculați înmulțirile:

46×5= 42×5= 23×11= 36×12=

Fișe pentru consolidarea și fixarea cunoștințelor asimilate ulterior, scopul lor fiind acela de a consolida o anumită temă sau o unitate de învățare, de a descoperi eventualele greșeli colective și individuale pe care le fac elevii, precum și de a fixa mai bine cazurile dificile.

Ex: Pentru studierea înmulțirii și a împărțirii cu 7:

I 3×7= II 42:7= III 5×7:5=

7×7= 56:7= 6×4:3=

7×9= 63:7= 21:7×6=

Fișe de verificare a cunoștințelor și testare a greșelilor

Ex: 1) Găsiți numerele:

Cu 6 mai mari decât: 10, 6, 8, 9, 7;

Cu 6 mai mici decât: 8, 9, 6, 7, 10;

De 6 ori mai mari decât: 6, 8, 9, 7, 10.

2) Alina citește 2 povești pe zi. Câte povești va citi în 9 zile dacă păstrează același ritm?

3) Aflați produsul numerelor: 2 și 6, 9 și 7, 4 și 8, 5 și 7, 6 și 9, 8 și 7.

Jocurile didactice dau posibilitatea elevilor să-și dezvolte fantezia, modalitatea unor substituții satifăcătoare, emoțional pozitive. Starea de joc devine propice creației. Jocul răspunde nevoii de libertate și de mișcare a copilului, permite angajarea sa treptat în acțiune, participarea de bună voie. Poate fi folosit cu succesul scontat în captarea atenției elevilor pe tot parcursul activității didactice, în înlăturarea plictiselii, dezinteresului.

Folosirea jocului didactic în procesul instructiv-educativ face ca elevul să învețe cu plăcere, să devină interesat față de activitatea pe care o desfășoară, face ca cei timizi să devină mai volubili, mai activi, mai curajoși, să capete mai multă înceredere în capacitățile lor, mai multă siguranță și tenacitate în răspunsuri și nu în ultimul rând să-și dezvolte creativitatea.

La sfârșitul clasei I și începutul clasei a II-a, problemele compuse sunt deja ”o problemă” pentru elevi. Traspunându-le în versuri, plăcerea este mai mare, iar planul de rezolvare nu li se mai pare impus:

”Pe poteca din pădure

Au plecat s-adune mure

Cinci băieți și trei fetițe

Cu găleți și coșulețe.

De un urs s-au speriat,

Patru-n vale-au alergat.

Socotiți dacă veți ști

Câți la număr vor mai fi?”

La clasa a III-a la capitolul Înmulțire, pentru verificarea cunoștințelor, flexibilitatea gândirii, atenției, se poate organiza jocul ”Urmărește săgeata”. Acesta poate îmbrăca diverse variante ce pot fi folosite la clasă, la înmulțirea numerelor, rezolvându-se individual pe fișe.

Ex:

În funcție de metodele și procedeele folosite de cadrul didactic în cadrul orelor de matematică, rezultatele pe linia creativității vor fi mai bune sau mai puțin bune. Măiestria didactică a învățătorului va influența gradul la care va ajunge capacitatea creatoare a elevului.

Prin modalități specifice de formare și dezvoltare a creativității, matematica își sporește eficiența formativă. Procesul studierii matematice cultivă curiozitatea științifică, frământarea pentru descifrarea necunoscutului și duce la formarea unor priceperi și capacități (a gândi personal și activ, a analiza o problemă și a descompune în elementele sale simple).

3.4. Utilizarea metodelor activ-participative

Învățarea activă înseamnă, conform dicționarului, procesul de învățare calibrat pe interesele/nivelul de înțelegere/nivelul de dezvoltare al participanților la proces. În cadrul învățării active se pun bazele unor comportamente, de altfel observabile:

comportamente ce denotă participarea (elevul este activ, ia parte la activități);

gândirea creativă (elevul are propriile sale sugestii, propune noi interpretări);

învățarea aplicată (elevul devine capabil să aplice o strategie de învățare într-o anumită situație de învățare);

construirea cunoștințelor (în loc să fie pasiv, elevul îndeplinește sarcini care îl vor conduce la înțelegere).

Competențele generale urmărite în învățarea activă sunt:

Dezvoltarea capacității de abordare sistematică a procesului de învățământ, prin evidențierea interdependenței dintre funcțiile sale principale (predare, învățare, evaluare);

Prezentarea principalelor teorii ale învățării, insistând asupra variabilelor care argumentează ideea unei învățări active;

Dezvoltarea capacității de aplicare a strategiilor de învățare activă în procesul de predare – învățare a diferitelor discipline de învățământ;

Dezvoltarea abilităților de comunicare și de lucru în echipă;

Însușirea unor metode și tehnici de cunoaștere a elevilor și de autocunoaștere.

Metodele de învățare activă fac lecțiile interesante, ajută elevii să realizeze judecăți de substanță și fundamentate, sprijină elevii în înțelegerea conținuturilor pe care să fie capabili să le aplice în viața reală.

Printre metodele care activează predarea – învățarea sunt și cele prin care elevii lucrează unii cu alții, își dezvoltă abilități de colaborare și ajutor reciproc. Ele pot avea un impact extraordinar asupra elevilor datorită denumirilor, caracterului ludic și oferă alternative de învățare cu priză la copii.

În vederea dezvoltării gândirii la elevi, trebuie să utilizăm, cu precădere unele strategii activ – participative, creative. Acestea nu trebuie rupte de cele tradiționale, ele marcând un nivel superior în spirala modernizării strategiilor didactice.

Spcific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină identificarea subiectului cu situația de învățare în care acesta este antrenat, ceea ce duce la transformarea elevului în stăpânul propriei formări.

Brainstorming

Brainstorming-ul este una dintre cele mai răspândite metode în stimularea creativității. Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele brain (creier) și storm (furtună), plus desinența ing specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă furtună în creier, efervescență, aflux de idei, o stare de intensă activitate de imaginație. Un principiu al brainstorming-ului este cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare.

Brainstorming-ul este prezent chiar în activitatea de compunere de probleme. În momentul când în fața elevului așezăm două numere și îi cerem să formuleze o problemă în care să le integreze, în mintea acestuia apare o avalanșă de idei, de operații matematice cărora le-ar putea asocia enunțul unei probleme. În scopul stimulării creativității, trebuie apreciat efortul fiecărui elev și să nu se înlăture nici o variantă propusă de aceștia.

Exemplu:

Compuneți o problemă folosind numerele 20 și 4.

Prin folosirea acestei metode se provoacă și se solicită participarea activă a elevilor, se dezvoltă capacitatea de a trăi anumite situații de a analiza, de a lua decizii în ceea ce privește alegerea soluțiilor optime și se exersează atitudinea creativă și exprimarea personalității.

Ciorchinele

Ciorchinele este o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis. Ciorchinele este un brainstorming necesar, prin care se stimulează evidențierea legăturilor dintre idei; o modalitate de a construi sau realiza asociații noi de idei sau de a releva noi sensuri ale ideilor. Este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut.

Metoda ciorchinelui dă rezultate deosebite și atunci când elevii lucrează în echipă. Observând și aprobând variantele colegilor, copilul își dezvoltă imaginația și creativitatea.

Prin întrebări dascălul dirijează gândirea elevilor, notează și schematizează cunoștințele teoretice matematice.

Exemplu:

Prin această tehnică se fixează mai bine ideile și se structurează informațiile facilitându-se reținerea și înțelegerea acestora. Tehnica ciorchinelui poate fi aplicată atât individual, cât și la nivelul întregii clase pentru sistematizarea și consolidarea cunoștințelor. În etapa de reflecție elevii pot fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii.

Metoda cadranelor

Metoda cadranelor urmărește implicarea elevilor în realizarea unei înțelegeri cât mai adecvate a unui conținut informațional. Această metodă se poate folosi frontal și individual, în rezolvarea problemelor prin metoda grafică.

Prin trasarea a două axe perpendiculare, fișa de lucru este împărțită în patru cadrane, repartizate în felul următor:

I – textul problemei;

II – reprezentarea grafică a problemei;

III – rezolvarea problemei;

IV – răspunsul problemei.

Exemplu:

Metoda știu/vreau să știu/am învățat

Metoda se bazează pe cunoaștere și pe experiențele anterioare ale elevilor, pe care le vor lega de noile informații ce trebuie învățate.

Etape:

Listarea cunoștințelor anterioare despre tema propusă;

Construirea tabelului;

Completarea primei coloane;

Elaborarea întrebărilor și completarea coloanei a doua;

Citirea textului;

Completarea ultimei coloane cu răspunsuri la întrebările din a doua coloană, la care se adaugă noile informații;

Compararea informațiilor noi cu cele anterioare;

Reflecții în perechi/cu întreaga clasă.

Exemplu:

Cu ajutorul acestor metode moderne, dar și cu ajutorul celor tradiționale, dascălul are menirea de a atrage elevii în înțelegerea, cunoașterea metodologiei proprii activității de rezolvare a problemelor matematice. Aceasta presupune învățarea elevilor cu marile posibilități, precum și limitele procesului de matematizare, deci de construire a unui model plecând de la o situație concretă, cât și de concretizare a rezultatelor obținute de model. Totodată se impune acordarea importanței cuvenite diverselor forme ale demonstrațiilor matematice.

Trebuie să existe o preocupare sporită pentru dezvoltarea la elevi a motivației învățării și a atitudinii pozitive față de problemele matematice. În acest sens se recomandaă utilizarea jocurilor matematice, aplicațiilor interesante, creatoare (”La piață”, ”La cumpărături”), concursurilor, etc.

Probleme propuse

Problema 1- clasa a III-a

Suma a două numere este 27. Unul dintre numere este cu 3 mai mic decât celălalt. Să se afle cele două numere.

Pentru început se discută cu elevii problema, iar apoi se trece la reprezentarea grafică:

a

b

Din figură, observăm următoarele:

I) dacă la suma numerelor se adaugă diferența 3, se obțin două numere egale cu numărul mai mare. Deci:

a

b ––-

27 + 3 = 30

Împărțind la 2 se obține numărul mai mare:

30 : 2 = 15

Numărul mai mic se poate obține astfel:

15 – 3 = 12 sau 27 – 15 = 12

II) dacă din suma numerelor se scade diferența 3, se obțin două numere egale cu numărul mai mic. Deci:

a

b

27 – 3 = 24

Împărțind la 2 se obține numărul mai mic:

24 : 2 = 12

Numărul mai mare se poate obține:

12 + 3 = 15 sau 27 – 12 = 15

Răspuns: numerele sunt 15 și 12

Problema 2 – clasa a IV-a

Bunica le oferă celor trei nepoți câte o sumă de bani astfel: primul nepot împreună cu al doilea primesc 9 lei, al doilea și al treilea au împreună 15 lei, iar primul cu al treilea au împreună 20 lei. Ce sumă de bani a primit fiecare nepot?

Problema propusă are un nivel ridicat de dificultate, iar soluționarea ei implică rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu trei ecuații și trei necunoscute.

Înainte de a trece la rezolvarea efectivă a problemei, în vederea dezvoltării creativității elevilor, se pot efectua câteva analize sumare referitoare la cele trei cantități care trebuie determinate.

Pentru realizarea unei imagini vizuale asupra problemei, fiecărei necunoscute i se poate asocia câte o culoare. Va rezulta o reprezentare similară cu cea de mai jos:

Prin observații dirijate, mai exact prin compararea primelor două linii, se ajunge la concluzia că prima necunoscută (segmentul roșu) este mai mică decât cea de a treia necunoscută (segmentul albastru). Reprezentarea realizată permite chiar determinarea diferenței dintre cele două cantități, . În mod analog, compararea informațiilor de pe linia a doua și a treia va duce la concluzia că cea de-a doua necunoscută (segmentul mov) este mai mică decât prima necunoscută (segmentul roșu), diferența dintre cele două cantități fiind .

În urma acestor discuții, se poate concluziona că:

adică, ordinea crescătoare a celor trei necunoscute va fi: a doua necunoscută (segmentul mov), prima necunoscută (segmentul roșu) și a treia necunoscută (segmentul albastru).

Analizările precedente nu conduc către soluția problemei, dar pot oferi ideea de rezolvare și aici intervine din nou apelarea creativității elevului. Comparările precedente trebuie folosite la dirijarea raționamentului elevului înspre metoda de rezolvare a problemei propuse. Se știe că fiecare necunoscută este mai mică decât suma celor trei necunoscute, iar diferența dintre ele este chiar suma celorlalte două necunoscute. Astfel, cheia de soluționare a problemei este determinarea sumei celor trei necunoscute!

O modalitate de rezolvare a problemei poate fi cel de mai jos:

Vom începe prin notarea celor 3 sume astfel:

= suma de bani primită de primul nepot;

= suma de bani primită de al doilea nepot;

= suma de bani primită de al treilea nepot;

Apoi vom scrie următoarele relații cu ajutorul celor 3 sume de bani primite de nepoți:

(1)

(2)

(3)

Prin însumarea lor vom obține:

După împărțirea cu doi, rezultă:

(4),

adică cei trei nepoți au împreună 22 lei.

Înlocuind pe rând relațiile (1), (2) și (3) în relația (4), se obține soluția unică:

Răspuns: cele 3 sume de bani sunt: 7, 2, 13

După rezolvarea problemei se pot purta din nou discuții în urma cărora să se verifice informațiile obținute. Mai exact, având valoarea celor trei necunoscute se poate verifica că:

În continuare, stimularea creativității poate culmina prin solicitarea compunerii unei noi probleme asemănătoare.

De exemplu: Pe o masă sunt așezate trei vaze cu flori astfel că în prima și a doua vază sunt 18 flori, în cea de a doua și cea de a treia sunt 12, iar în prima și cea de a treia vază sunt 16 flori. Determinați câte flori se află în fiecare din cele trei vaze.

Concluzii

Să ne punem în situația unui băiețel de clasa a IV-a care își dorește foarte mult o minge de fotbal. Dacă în timp a economisit destui bani, nu are nicio problemă: știe unde să găsească mingea, are cu ce să o cumpere, o cumpără și gata. Dorința i-a fost îndeplinită! Dacă nu are banii, are deja o problemă. Trebuie să convingă pe cineva să-i dea acești bani, să convingă că merită un astfel de cadou și abia apoi, dacă a avut succes, să capete mingea.

În această ultimă situație e posibil ca satisfacția să fie mai mare, a depus un efort și a avut argumente ce i-au permis atingerea scopului.

Reiese din acest exemplu că ”a avea o problemă înseamnă a căuta în mod conștient o acțiune adecvată pentru a atinge un scop clar conceput care este imediat accesibil”.

Pentru școlarii mici o problemă de matematică este, în general, o decupare a unei realități, prezentată schematic prin date și relații cantitative, în care apar unele necunoscute ce trebuie aflate.

Elevul pus în situația de a rezolva o problemă trebuie să descopere legăturile dintre informațiile problemei și necunoscutele ei, precum și calea care duce de la datele necunoscute la cele cunoscute.

Consider că cele mai bogate valențe formative le are activitatea de rezolvare și compunere a problemelor. În cadrul acestei activități se pot valorifica atât cunoștințele matematice de care dispune elevul la un moment dat, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia. Tocmai în acest sens, această activitate nu trebuie luată în considerare ca fiind o activitate auxiliară, ci ea trebuie să constituie o preocupare permanentă și o preocupare incependentă.

În vederea formării și dezvoltării la elevi a capacităților necesare și utile activității de rezolvare a problemelor, se impune ca și aici, ca și în întreaga activitate matematică să gradăm efortul la care supunem gândirea elevilor. Trebuie să avem grijă ca să nu predomine problemele cu rol de exercițiu care nu solicită elevului decât un efort de calcul. De asemenea, să ținem seama de clasificarea problemelor în categorii după gradul de efort la care este supusă gândirea în procesul rezolvării.

Este important să se folosească modalități de rezolvare a problemelor sistematizate astfel încât elevii să ajungă să cunoască principiul general de rezolvare valabil pentru o multitudine de probleme. De aceea, trebuie să se rezolve cu elevii nu numai probleme independente, ci și categorii de probleme în care se încadrează fiecare problemă rezolvată. În acest sens fiecare categorie constituie obiect de studiu în sensul că în activitatea de rezolvare a problemelor cu elevii, aceștia să fie ajutați să sesizeze structura raționamentului și diversitatea problemelor care se pot constitui pe acea structură. Elevii trebuie ajutați să generalizeze principiul de rezolvare pentru întreaga categorie de probleme.

Acest mod de lucru nu permite elevilor să rezolve fragmentar sau să încerce niște legături întâmplătoare între datele cunsocute ale problemei, principiul de rezolvare, întregul șir de judecăți și raționamente care duc la soluție, ci să realizeze întâi formula numerică și apoi să generalizeze într-o formulă literală.

Prin antrenarea gândirii elevilor la un efort gradat, prin însușirea matematicii prin efort propriu putem spori eficiența formativă a învățământului matematic, contribuind cu precădere la dezvoltarea mobilității gândirii și la sporirea interesului elevilor pentru studiul matematicii.

Creativitatea gândirii nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect formate, deprinderi de a stabili raționamente logice, un volum bogat de cunoștințe. Compunerea de probleme constituie o premisă reală și eficientă pentru viitoarea muncă în domeniul cercetării și pentru activitatea viitoare de creație.

Este datoria noastră, a cadrelor didactice, să imprimăm elevilor dragoste față de muncă, să le formăm cunoștințe și deprinderi practice, folositoare în pregătirea pentru viață.

Bibliografie

Kuliutkin, N. I. , Metode euristice în structura rezolvării de probleme, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1974 ;

Nicola, Ioan, Tratat de pedagogie școlară, Ed. Aramis, București, 2000;

Polya, George, Descoperirea în matematică. Euristica rezolvării problemelor, Ed. Științifică, București, 1971;

Roșca, Alexandru, Creativitatea, Ed. Enciclopedică Română, București, 1972;

Roșca, Alexandru, Creativitatea generală și specifică, Ed. Academiei Republicii Socialiste România, București, 1981;

Roșca, Alexandru, Creativitate, modele, programare, Ed. Stiințifică, București, 1967;

Roșca, Alexandru, Psihologia școlară, Ed. Științifică, București, 1978;

Rusu, Eugen, Atracția pentru problematic în activitatea matematică, R. PSIHOLOGIE, Nr.1/1995;

Rusu, Eugen, Psihologia activității matematice, Editura Științifică, București, 1969;

Trană, D.M., Utilizare a problemtizării în predarea matematicii la ciclul primar, Înv. Primar 1/2001;

***, Învățămâtul primar și preșcolar 1 și 2, Ed. Discipol, 1996.