Științe Aerospațiale “Elie Carafoli” Influen ța vitezei, a altitudinii de zbor și a pantei traiectoriei asupra stabilității dinamice longitudinale a… [629910]
1
Științe Aerospațiale “Elie Carafoli”
Influen ța vitezei, a altitudinii de zbor și a pantei traiectoriei asupra
stabilității dinamice longitudinale a avionului.Efectele feedback -ului
profundorului în raport cu incidența de zbor și cu viteza unghiulară de
tangaj asupra caracteristicilor de stabilitate dinamică longitudinală.
Proiect de Diplomă
Autor : Croitoru Georgian -Mihail
Îndrumător : S.l. dr. ing. Teodorescu Bogdan
Sesiunea : iulie 2018
2
Declarația Anti -Plagiat
Subsemnatul Croitoru Georgian Mihail , student: [anonimizat], Facultatea de
Inginerie Aerospațială declar prin prezenta și certific că acest proiect de diplomă este rezultatul muncii
mele proprii, originale și individuale. Toate sursele externe de informații utilizat e au fost citate și incluse
în bibliogr afie. Toate figurile, diagramele și tabelele luate din surse externe includ o referință către sursă .
Data: _________ Semnătura: __________________________
3
Cuprins
1.Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 6
1.1 Prezentarea aeronavei militare MIG – 21 LANCER ………………………….. ………………………….. …….. 10
1.2 Descrierea tehnică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 11
1.3 Caracteristici tehnice ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 14
1.4 Fundamente generale de dinamica zborului ………………………….. ………………………….. …………….. 15
2. Zborul orizontal rectiliniu și uniform ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 17
2.1 . Determinarea parametrilor (
, , ,eTr ) în zborul orizontal rectili niu ………………………….. ……. 17
2.2. Performanțe în zborul orizontal rectiliniu și uniform. ………………………….. ………………………….. .. 23
3. Stabilitate. Control și echilibru ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 24
3.1 Stabilitatea mișcării. Teoria stabilității în sens Liapunov ………………………….. …………………………. 27
3.2 Metode de analiză a stabilității în sens Liapunov ………………………….. ………………………….. ………. 29
3.2.1 Metoda funcției lui Liapunov ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 29
3.2.2 Metoda liniarizării ecuațiilor de mișcare. ………………………….. ………………………….. …………… 31
4.Stabilitatea dinamică a aeronavei Mig -21 Lancer. ………………………….. ………………………….. …………… 36
4.1 Caracteristicile modale ale aeronavei Mig -21 Lancer. ………………………….. ………………………….. … 47
4.2 Relația stabilitate – calități de zbor. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 50
4.2.1 Scări de calități de zbor -Scara Cooper Harper ………………………….. ………………………….. …….. 50
4.2.2 Cerințe de calități de zbor exprimate prin caracteristicile modale. ………………………….. ……… 54
5. Utilizarea sistemelor automate de îmbunătățire a stabilității. ………………………….. ………………………. 56
5.1 Noțiunea de feed -back. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 56
5.2 Reacții necesare îmbunătățirii calităților de zbor. ………………………….. ………………………….. ……… 56
5.3 Îmbunătățirea caracteristicilor modului longitudinal de scurtă perio adă. ………………………….. ….. 57
6. Concluzii……………………………………………………………… …………………………………………………………………………….61
7. Bibliografie…………………………………………………………… …………………………………………………………………………..62
Anexa 1. Detertminarea coeficienților din mișcarea de bază………………………………………………………………..63
Anexa 2. Calcului matrice de stabilitate – Mach 0.9… …………………………………………………………………………..66
Anexa 3. Calculul caracteristicilor modale……………… …………………………………………………………………………….71
4
Lista de simboluri
-incidența avionului [grade]
rT
-tracțiunea avionului [N]
H
-altitudine de zbor [m]
-densitatea aerului [
3/kg m ]
T
-temperatură [
K
]
S
-suprafață [
2m]
m
-masa avionului [kg]
aF
-componentă aerodinamică
,,u v w
-componenta vectorului V
-unghiul de derapaj al avionului [grade]
Ψ-unghiul de azimut [grade]
-unghiul de altitudine longitudinală [grade]
G
-greutatea avionului [kg]
,,x y zI I I
-momente de inerție axiale
,,xz yz xzI I I
-momente de inerție centrifugale
LC
-coeficient de portanță
DC
-coeficient de rezistență la înaintare
e
-bracaj de profundor [grade]
b
-anvergură [m]
dP
-presiune dinamică
5
g-accelerație gravitațională [
2/ms ]
t- timp [s]
-pulsație naturală [
1s]
-raport de amortizare
T-perioada convențională [s]
0,5t
-timp de înjumătățire [s]
LA
-matrice de stabilitate
LB
-matrice de comandă
MC
-coeficient de mome mnt
M-număr Mach
qmC
-derivată de amortizare de tangaj
elC
– eficacitatea profundorului
6
Listă figuri
Figura 1.1 D iagrama block a disciplinelor ………………………….. ………………………….. ………………. 16
Figura 2.1 Reprezentarea celo r 4 forțe importante pe avion ………………………….. ……………………. 17
Figura 2.2 Variația unghiulu i de incidență cu altitudinea ………………………….. ……………………….. 21
Figura 2.3 Variația bracaju lui de profundor cu incidența ………………………….. ……………………….. 21
Figura 2.4 Variaț ia tracțiunii cu altitudinea ………………………….. ………………………….. …………….. 22
Figura 2.5 Cl în funcție de
………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 23
Figura 2.6 Cd în funcție de
………………………….. ………………………….. ………………………….. … 24
Figura 3.1 Tipuri de stabilitate ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 25
Figura 4.1 Scara Cooper Harper ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 52
7
Listă Tabele
Tabelul 1.1 Caracteristici tehnici ale avionului ………………………….. ………………………….. ………… 1
Tabelul2.1 Valori ai parametrilor în mișcarea de bază ………………………….. ………………………….. . 20
Tabelul 4.1 Valoarile coeficienți lor ecuațiilor caracteristice ………………………….. …………………… 44
Tabelul 4.2 Valorile caracteristicilor modale ………………………….. ………………………….. …………… 49
Tabelul 4.3 Limitele raportuli de amortizare
SP ………………………….. ………………………….. …….. 54
8
Abstract
The purpose of this paper was the study of speed and flight altitude on the dynamic staibility of
the Mig -21 aircraft. In the first part of the paper we considered that the plane will fly to a constant altitude
of 6000 m at a constant speed, the speed whi ch depends on the number of Mach chosen (0.6, 0.8, 0.9, 1.1,
1, 6), and we determined the value of the essential coefficients during evolution (evolution also called the
basic movement of the aircraft).
Then we studied the stability of the aircraft according to the parameters obtained in the
calculation of the basic motion, the motion equations were linearized as a result of the determination of
the coefficients of the stability matrices. Once the stability matrices were obtained for each flight regi me,
my purpose was to see if the plan was stable or not. We used the Matlab program to calculate the values
for each Mach number. The plane was established in each regime, except for the characteristic features of
Mach 1.6, where the airplane is stable o nly in fast mode, not in fugoid mode.
In the last part of this paper I tried to improve my short -term features using an automated control
system. In the first phase, I had to show that feedback is needed to improve these features by calculating
amortizatio n values. After calculations, it was found that for Mach 0.6, 0.8 and 0.9 no improvement is
needed because the values meet the requirements of level 1 (category A). So we improved the features for
Mach 1.1 and 1.6, respectively.
9
Sumar
In această lucrare scopul meu a fost sa studiez influența vitezei și a altitudinii de zbor asupra
stabilității dinamice a aeronavei Mig -21. În prima parte a lucrării am considerat că avionul va zbura la o
altitudine constantă de 6000 de m cu o viteza consta ntă, viteză ce depinde în funcție de numărul de Mach
ales ( 0.6, 0.8, 0.9, 1.1, 1.6), și am determinat valorile coeficienților esențiali în timpul evoluției, (
evoluție numită și mișcare de bază a aeronavei).
În continuare am studiat stabilitatea aero navei în funcție de parametrii obținuți în calculul
mișcării de bază, s -au liniarizat ecuațiile de mișcare în urma cărora au fost determinați coeficienții
matricilor de stabilitate. O data obținute matricile de stabilitate pentru fiecare regim de zbor in parte
scopul meu a fost acela de a observa daca avionul este stabil sau nu .Am folosit programul Matlab pentru
calculul valorilor proprii pentru fiecare număr Mach.Avionul s -a stabilitazat în fiecare regim, cu excepția
regimului caracteristic numarului Mac h 1,6 unde avionul este stabil doar pe modul rapid, nu și pe modul
fugoid.
În ultima parte a acestei lucrari am încercat îmbunătățirea caracteristicilor modului de scurtă
perioadă folosind un sistem automat de comandă.În prima fază am fost nevoit să arăt că este nevoie de un
feedback pentru îmbunătățirea acestor caracteristici calculând valorile amortizării (
SP ).În urma
calculelor s -a constatat ca pentru numerele Mach 0.6, 0.8 și 0.9 nu este nevoie de o îmbunătățire deoarece
valoril e satisfac cerințele de nivel 1 (Categoria A).Așadar am realizat îmbunătățirea caracteristicilor
pentru numerele Mach 1.1, respectiv 1.6.
10
1.Introducere
1.1 Prezentarea aeronavei militare MIG – 21 LANCER
Evoluția avioanelor de lupta in ultimii 20 de ani a însemnat un salt tehnologic fantastic, în special
în domeniul avionicii și al armamentului de bord inclusiv și în construcția celulei sau a motoarelor.
Totuși, dobândirea acestor noi abilități încarcă foarte mult bugetele de apărare ale țărilor care doresc să
dispună de astfel de arme reductibile.Din acest motiv, multe țări au in vedere aducerea la standardele
actuale a aparatelor care încă sunt competitive, prin programe speciale de modernizare. MIG -21 a fost
proiectar ca un avion de intercepta re de front, destinat să execute misiuni în condiții meteorologice
normale si a zburat pentru prima dată in anul 1957. Avionul a intrat în producție de serie in anul 1958,
fiind echipat cu un motor cu reacție, atingând forma finala un an mai târziu sub den umirea MIG –
21F.Asfel s -a deschis drumul versiunilor ulterioare, primul fiind MIG -21PF, lansat in producție in anul
1960, cu un motor îmbunătățit R 11F și un dispozitiv de admisie al aerului în motor mărit, pentru a
permite instalarea radarului de intercepț ie R-1L. Au urmat MIG -21PES și MIG -21PFM, cel din urmă
fiind urmat de o varianta îmbunătățită, MIG -21 RFMM care a vizat mărirea tracțiunii motorului ș i
extinderea razei de acțiune. [11]
Prototipul Ye -7M, precursorul variantei PFM -denumită RFMM la noi in țară, acronim ce
desemna îmbunătățirile aduse acestei variante față de varianta PF, adică ‘’Radar, Forțaj, Motor,
Modernizat’’ -a faimosului avion supersonic de vânătoare MIG -21 de fabricație sovietică, a decolat în
primul său zbor la inceputul anului 1963 pentru ca anul următor să fie acceptat pentru producție in serie și
introducere in serviciul operativ al Aviației Militare Sovietice (VVS), precum si al aliților săi tradiționali.
MIG -21 RFMM (Izdelie 94A) este un avion supersonic de vânătoare -interceptare de front cu
simplă comandă, ce poate îndeplini si misiuni de vânătoare -bombardament. Este destinat operațiunilor
executate vizual si instrumental, atât pe timp de zi cât si pe timp de noapte, in toate condițiile
meteorologice și poate executa misiuni intr -o gamă largă de înălțimi si viteze.De asemenea, poate executa
întreaga gamă a figurilor acrobatice, păstrând o eficacitate bună a suprafețelor de comandă
Din punct de vedere constructiv, prezintă un anumit număr de particularități, si anume aripă
triungh iulară ( delta) prevăzuta cu dispozitive de hipersustentație ( volet de bord de fugă cu ax deplasabil)
și de întârziere a desprinderii stratului limită (ASL), derivă cu suprafață mare si stabilizator comandat (
integral mobil), fuselaj cu alungire mare ( î n care sunt amplasate majoritatea echipamentelor, motorul,
11
combustibilul si postul de pilotaj), dispozitiv de admisie de tip axial simetric (dotat cu un con de
transformare a undelor de șoc reglabil), sistem de comenzi prevăzut cu pilot automat tip KAP -2 (cu canal
de ruliu) si dispozitiv de reglare automată a comenzilor longitudinale tip ARU -3V, scaun de catapultare
KM-1 si parașută de frânare. [8]
1.2 Descrierea tehnică
Celula construcția avionului MIG -21 RGMM este în întregime metalică, înglobând în mare parte
deraluminiu ( tip D -16 ), dar și aliaje de aluminiu ( tip V -95-T și VM -65-1) si magneziu, precum si oțel
înalt aliat ( tip 30 HGSA și 30 HGSMA), folosit în construcția ansamblurilor puternic solicitate. Caranjele
antenelor radio si conul ce acoperă antena radarului de bord sunt realizate din fibră de sticla și sunt
vopsite in culoarea verde.
Fuselaj este de tip semimonococă, de construcție clasică, integral metalică, având in compunere
cadre, lonjeroane, lise si învelis de grosime diferită (între 1, 2 și 3,5 milimetri). Este împărțit in trei
secțiuni (reductibil la numai două), și anume fuselajul anterior, fuselajul central și fuselajul posterior (
demotabil), primele două secțiuni făc ând corp comun
Aripa sunt triunghiulare (delta), au un profil sime tric foarte subțire, sunt poziționate median,
montate în lateralele fuselajului principal, având unghiul de săgeată la bordul de atac de 57° și bordul de
fugă orientat la 90° față de axa longitudinală a avionului, unghiul diedru de –2° și unghiul de calare de 0°.
Coarda maximă de la baza aripii este de 5,97 metri, iar la vârful aripii de 0,462 metri.
Aripile găzduiesc câte două rezervoare integrate de combustibil fiecare (capacitatea totală a celor
patru rezervoare este de 580 litri), butelii de aer din com punerea instalației pneumatice și butelii de
oxigen, nișele jambelor principale și hidraulica de escamotare a lor, flapsurile acționate hidraulic și având
două poziții de scoatere, bracându -se (în sensul fileurilor de aer) la decolare la unghiul de 25° și la
aterizare pe 45°, canalizația de aer a sistemului de suflare a stratului limită pe flaps (ASL), precum și cele
două eleroane cu compensare axială, ce au un unghi maxim de bracare (perpendicular pe axa de rotație)
de ±20°, eleronul din stânga posedând o lamelă de compensare cu efect de trimer la bordul de fugă
(asigură centrajul avionului în momentul lansării de acroșaje).
La intradosul aripilor sunt montate cele două faruri escamotabile de rulaj -aterizare tip MPRF -1A,
antenele radioaltimetrului RV -UM (un a pentru emisie, sub aripa stângă, și una pentru recepție, sub aripa
dreaptă), două antene circulare din material radiotransparent (fibră de sticlă vopsită în culoarea verde) din
completul aparatului de interogare -răspuns din sistemul de recunoaștere prin radiolocație SRZO -2 (pentru
12
gama II), destinate recepției/emisiei din/cătreemisfera inferioară, și câte -o grindă de armament
demontabilă tip BD3 -60-21U.
La extradosul aripilor, avionul MiG -21 RFMM este prevăzut cu câte un cuțit aerodinamic pentru
reglarea curgerii stratului limită (eficientizare eleron), în timp ce pe bordul de atac se găsesc montate
lămpile de poziție tip BANO -45 (roșu – stânga, verde – dreapta), două antene din completul aparatului de
răspuns din sistemul de recunoaștere prin radiolocație SRZO -2 (pentru gama I), destinate emisferei
frontale (pastile dielectrice de culoare albă integrate unui carenaj metalic vopsit în culoarea verde), și
două antene din fibră de sticlă tip DDV -3 ale stației de răspuns activ SOD -57M, destinate, de asemenea,
emisferei frontale (vopsite în culoarea verde și dispuse între capătul de plan și lampa de poziție).
În plus, însemnul distinctiv de țară al României (înainte de 1985 – steaua roșie cu un chenar alb, ce
are două cercuri concentrice în mijloc, unul galben ș i ultimul albastru, iar după 1985 – cocarda tricoloră)
este vopsit pe intradosul și extradosul fiecărei aripi.
Ampenajul orizontal este de tip stabilizator comandat, poziționat median la fuselajul posterior,
montajul executându -se prin intermediul a patru bolțuri pe câte un ax de rotație atașat cadrului C38 al
fuselajului posterior, cele două axe aflându -se la un unghi de săgeată de 56°.
Constructiv, stabilizatorul comandat este compus dintr -o grindă de rezistență, lise, nervuri și înveliș
rezistent. Inserția de la bordul de fugă are rol de compensare. Este dotat cu o contragreutate antiflutter la
extremități, în partea inferioară a s tructurii de susținere a contragreutății fiind practicat un orificiu de
scurgere a condensului, în timp ce în bordul de fugă al ei se găsește montat un eclator pentru descărcare
electrostatică.Unghiul maxim de bracare al stabilizatorului comandat este de + 7°30’ și –16°30’.
Ampenajul vertical este montat la fuselajul posterior prin intermediul a t rei bolțuri, fiind alcătuit
din derivă și direcție
Deriva are înălțimea de 1,91 metri (măsurată de la încastrarea cu fuselajul), suprafața de 5,32 m2,
coarda aerod inamică medie (CAM) de 3,137 metri, unghiul de săgeată la ¼ din CAM de 61,27° și
grosimea medie relativă în sensul fileurilor de aer de 4,4%.
În partea de jos a ei și în zona încastrării cu fuselajul posterior (înainte de gondola parașutei de
frânare), deriva adăpostește amplificatorul hidraulic BU -51MS al stabilizatorului comandat, caseta RAU –
107 din alcătuirea pilotului automat KAP -2, pompa h idraulică de avarie NP -27T, precum și elemente din
compunerea sistemului automat ARU -3V.[8]
13
În jumătatea superioară, deriva adăpostește o antenă de tip ORD -2 din completul stației de răspuns
activ SOD -57M, în montaj vertical stânga -dreapta, integra tă în învelișul derivei (carenaj radiotransparent
îngust din fibră de sticlă), un transmițător cu inducție ID -2 (dispus în derivă sub antena ORD -2, acoperit
de un carenaj metalic semieliptic localizat între nervurile N10 și N11) din completul KSI, în timp ce pe
suprafața carenajului superior este montată o antenă (metalică) cu trei elemente (pentru gama III) și câte o
antenă (gama I) în montaj stânga -dreapta (pastile dielectrice de culoare albă integrate unui carenaj metalic
vopsit în culoarea verde), toate destinate recepției/emisiei din/în emisfera posterioară și aflate în
completul aparatului de interogare -răspuns din sistemul de recunoaștere prin radiolocație SRZO -2. În
compunerea derivei mai întâlnim și o antenă tip DDV -3 din compunerea stației de răspu ns activ SOD –
57M destinată emisferei posterioare (carenaj dielectric conic de culoare verde), un eclator pentru
descărcare electrostatică și o lampă de poziție de culoare albă tip HS -39, toate cele trei elemente fiind
dispuse pe bordul de fugă, în montaj p e suprafața carenajului terminal.
Direcția este acționată de către pilot prin intermediul palonierelor și are un unghi de bracare de ±25°
stânga -dreapta față de axa de simetrie a avionului.
Trenul de aterizare este de tip triciclu, escam otabil în zbor, dotat cu câte -o singură roată per jambă
și sistem pneumatic de frânare, retractabil hidraulic în fuselaj și aripi, având un ecartament de 2,790 metri
și un ampatament de 4,710 metri. Presiunea în sistemul de frânare este de 19,4 kgf/cm2, toate cele trei
jambe înglobând în construcție amortizoare oleopneumatice pe bază de azot pentru absorbția șocurilor
aterizării și rulajului la sol, amortizoare ce utilizează lichid hidraulic AMG -10.
Sistemul de comenzi al avionului MiG -21 RFMM est e unul hidraulic clasic (tije și balansiere),
compus din comanda stabilizatorului, a eleroanelor, a direcției și a frânelor aerodinamice.
Controlul zborului în jurul axei transversale (axa de tangaj) este realizat prin intermediul
slabilizatorulu i integral mobil (stabilizator comandat), bracat la tragerea, respectiv împingerea, manșei de
către pilot, fiind acționat prin intermediul unui sistem de tije și balansiere rigide și al unui amplificator
hidraulic cu două camere tip BU -51MS. În lanțul de c omandă al stabilizatoarelor comandate se află cuplat
un dispozitiv automat de tipul ARU -3V, sistem ce reglează automat efortul la manșă și permite ca
pilotarea avionului să aibă același caracter la regimuri de zbor diferite, în timp ce acționarea trimerulu i se
realizează prin apăsarea unui comutator de coman dă cu două poziții de pe manșă.
Controlul zborului în jurul axei longitudinale (axa de ruliu) este realizat prin intermediul celor
două eleroane cu compensare axială, dispuse în structura a ripilor, către capetele lor. Eleroanele sunt
comandate printr -un sistem cinematic rigid, alcătuit din tije și balansiere, bracarea lor executându -se (prin
14
acționarea laterală a manșei) prin intermediul unor amplificatoare hidraulice cu o singură cameră tip BU-
45A.
În sistemul de comandă al eleroanelor este cuplat un pilot automat monocanal (de înclinare) tip
KAP -2, destinat creșterii siguranței zborului în special noaptea și în condiții meteorologice grele, pilot
automat ce are două moduri de lucru: regim de amortizare și regim de stabilizare. [8]
1.3 Caracteristici tehnice
MIG -21 RFMM
Echipaj 1 pilot
Anvergură 7,15 m
Suprafată portantă 23
2m
Unghi de săgeată aripă 57°
Lungime 14,5 m
Înălțime 4,125 m
Greutate gol 5330 kg
Greutate normală la decolare 7820 kg
Greutate maximă la decolare 8639 kg
Viteză maximă 2175 km/h ( M 2.05)
Plafon static 19000m
Distanța maximă de zbor 15500 km
Autonomie maximă de zbor 1.52 h
Motorizare 1 x Tumanskii R11F2S -300
Tabel 1. 1 Caracteristici tehnice [8]
15
1.4 Fundamente generale de dinamica zborului
Dinamica zborului descrie mișcarea vehiculelor care zboara in atmosfera.Ca atare, este vorba de
ramura științei inginerești numită mecanică aplic ată. Pentru a defini cuvantul „zbor” dicționarul nu este
foarte restrictiv, deși implică miscarea prin aer, cea mai veche aplicație fiind, bineinteles zborul
păsărilor.Se propune ca o definiție științifică logică ca zborul să fie definit ca mișcarea printru -un mediu
fluid sau spațiu gol.As tfel un satelit „zboara” prin aer si un marin zboara prin „apa” .Este de retinut faptul
că un dirijabil in aer si un submarin în apă sunt aceleași din punct de vedere mecanic -greutatea in fiecare
caz este echilibrata de flotabilitate.Prin vehicul se inteleg e orice obiect zburator care este alcatuit dintr -un
sistem arbitrar de corpuri deformabile care sunt intr -un fel unite.Pentru o claritate mult mai precisă o să
enumăr cateva exemple:
– Un glonț de puscă este cel mai simplu tip, care poate fi considerat un singur corp ideal
– Un vehicul cu motoare jet este un vehicul mai complex, care cuprinde un corp elastic
principal (structura corpului si toate părțile atașate acestuia), subsisteme rotative (motoare
cu jet), subsisteme articulate ( controlul aerodinamic) s i subsisteme fluide ( rezervoarele) .
Este de reținut faptul că prin definiția de mai sus, un vehicul nu trebuie neaparat să transporte marfuri
sau pasageri.Logica definițiilor este pur si simplu că stiința ingineriei este comuna tuturor acestor
exemple, ia r metodele de formulare si rezolvare a problemelor legate de miscare sunt in mod fundamental
aceleasi. [1]
După cum se obișnuieste putem găsi exemple care nu sunt destul de potrivite. Există cazuri specilae
de mișcare la o interfață pe care le putem sau nu include în discuția noastră atunci când vine vorba de
cuvântul zbor – de exemplu, nave, ambarcațiuni si vehicule cu pernă de aer (ACV -uri). În acest sens
trebuie remarcat faptul că evoluția celor recent enumerate este frecvent asociată cu industria aerospa țială.
Principala diferență dintre aceste cazuri si cele ale zborului ‘’adevărat’’ este că acestea din urmă sunt în
esență tridimensionale, in timp ce vehiculele de interfață menționate (precum mașinile, trenurile, etc) se
deplasează aproximativ intr -o dir ecție de camp bidimensională. Principiile si metodele ce stau la bază
sunt totuși identice, cu anumite modificări detaliate necesare pentru a trata aceste vehicule de suprafață.
În continuare având noțiunea de vehicul de zbor definit, privim mai atent la ceea ce înțelegem prin
mișcare.Este de preferat să o împartim in mai multe părți:
– Traiectoria centrului de masă al vehiculelor
– Mișcarea „atitudinii” sau rotația vehiculului „ca intreg”.Mișcarea fină.
16
– Mișcarea relativă a subsistemelor rotative sau articulat e, cum ar fi motoare, giroscoape sau
suprafețe de control aerodinamic.
– Mișcarea distorsionată a structurilor deformabile, cum ar fi indoirea si răsusirea aripilor
Această subdiviziune este utilă atât din punct de vedere al problemelor tehnice asociate cu d iferitele
mișcări, cat si din formularea analizei lor.Este cu siguranță evident ca studiile acestor mișcări trebuie sa
fie esențiale pentru proiectarea si exploatarea aeronavelor, navelor spațiale, rachetelor, etc.
Pentru a putea formula si si rezolva problemele relevante, trebuie sa ne bazam pe mai multe discipline de
bază din știința ingineriei.Relațiile sunt prezentate in figura ce urmează.
Figura1. 1 Diagrama block a disciplinelor [1]
Este evident din această figură faptul că personalul ce se ocupa de dinamica zborului necesită o
formare intensiva in mai multe ramuri ale știnței inginerești si o perspectivă largă in ceea ce privește
ramnificațiile practice ale muncii sale.In clasele de vehicule, in tipurile de mișcări si în me diul de zbor
această lucrare va trata un set restrans de probleme, mai exact, problemele de stabilitate statica si
dinamica ale zborurilor aeronavelor in atmosferă.Ecuatiile generale derivate si metodele de soluționare
prezentate sunt totuși usor modifica te si extinse pentru a trata multe din celelalte situații.Pentru a dezvolta
acest subiect expus in literatură până când au zburat pentru prima dată frații Wright a fost nevoie de o
cunoastere a matematicii fundamentale si a multor alte științe.Newton si alți giganți din secolulul al XVII
17
lea și al XIX -lea, cum ar fi Bernoulli, Euler, Lagrange si Laplace, au pus la dispozitie o mare parte din
descoperirile lor si multe alte fundamente ale matematicii și mecanicii fluidelor. Aplicațiile necesare
pentru aer onautică au fost făcute mai ales după 1900 de către muncitori din multe țări, dintre care ar
trebui să facem referire specială la acești doi frați Wright, G. H. Bryan, F. W. Lanchester, J.C. Hunsaker,
H.B. Glauert, B. M. Jones si S. B. Gates. Acești pioni eri au introdus si lărgit baza pentru analiza si
experimentele ce stau la baza tuturor practicilor moderne. Acestea au fost studiate și dezbătute in mai
multe cărti ale acelei perioade, cum ar fi, Bairstow (1939). În același timp, in Statele Unite ale Amer icii și
Marea Britanie, a fost acumulat un număr mare de date aerodinamice, care servesc dr ept pentru
proiectarea practică.
Legile mișcării lui Newton furnizează legatura dintre forțele de mediu si mișcarea rezultantă
pentru toate procesele relativiste si cuantice -dinamice, incluzând toată mecanica obișnuita si cea mai mare
parte a mecanicii celastice .[2]
2. Zborul orizontal rectiliniu și uniform
2.1 . Determinarea parametrilor (
, , ,eTr ) în zborul orizontal rectiliniu
În timpul zborului rectiliniu si uniform la orizontală avionul se afla in echilibru.Aceasta inseamnă
că toate forțele care acționeaza asupra sa se află in stare de echilibru și că nu există nici o forță care să -i
modifice această stare.Accelerarea reprezintă o creștere în vi teză sau o schimbare in direcție, sau
ambele.În zborul rectiliniu la orizontală, avionul nu este forțat sa schimbe nici viteza nici direcția.
Figura 2 .1 Reprezentarea celor 4 forțe importante pe avion
18
Cele patru forțe principale care acționeaza asupra avionului sunt:
– Portanța
– Greutatea
– Trancțiunea
– Rezistența la înaintare
Presupunem că tracțiunea acționează in direcția zborului.Fiecare dintre cele patru forțe principale
enumerate mai sus are propriul său punct de acțiune
– Portanța prin centrul de presiun e
– Greutatea prin centrul de gravitație
– Tracțiunea si rezistența la înaintare in direcții opuse, paralele cu direcția zborului, prin puncte
care variază cu atitudinea si proiectarea avionului.
Presupunem că forța tracțiune de la motor -elice, acționeaza in d irecția zborului, desi nu se
întâmplă asa întotdeauna.De exemplu, la un unghi de atac mare si la viteză redusă avionul are o
atitudine cu botul ridicat cu axa elicei inclinată vertical pe direcția orizontală a zborului.Acesta
presupune că in zborul rectili niu si uniform:
Portanța = Greutatea
Tracțiunea = Rezistenta la inaintare
Centrul de presiune (CP) si centrul de greutate (CG) variaza ca poziție . Coeficientul de presiune
(CP) variază în funcție de unghiul de atac, și centrul de greutate variază în func ție de consumul de
combustib il și/sau mișcarea pasagerilor ș i a încărcă turii.Rezultatul este că această combinație portanță –
greutate determină un cuplu care va cauza un moment de înclinare după axa transversal cu botul ridicat
sau coborât, daca portanța ac ționează în spatele sau in fața centrului de greutate (CG).
În mod asemănator, efectul cuplului tracțiune -rezistență la înaintare depinde de poziția liniei
tracțiunii daca se află sub linia rezistenței la înaintare ( asa cum se întămpla de obicei) sau in vers. [5]
Proiectarea aeronavelor se face in general cu centrul de presiune (CP) în spatele centrului de greutate
( CG), asfel încât cuplul portanță – greutate este cu vârful în jos, și linia de tracțiune mai joasă decât linia
rezistenței la înaintare as tfel încât cuplul tracțiune – rezistență la înaintare este cu vârful în sus. Orice
pierdere de putere va slăbi cuplul tracțiune -rezistență la înaintare, și în consecință cuplul portanță -greutate
19
cu vârful in jos va înclina avionul intr -o coborâre, menținând astfel viteza de zbor -ca o măsură de
siguranță.
Cuplul portanță -greutate și cuplul tracțiune -rezistență la înaintare ar trebui sa se contacareze reciproc
în zborul rectiliniu la orizontală astfel încât să nu existe nici un moment rezidual care tinde să in cline
avionul să fie ascendant, fie descendent.Această situație ideala între cele patru forțe există rar, și astfel
stabilizatorul orizontal al avionului, profundorul este proiectat pentru a produce o fortă de
echilibru.Această forta poate fi pozitionată î n sus sau in jos, depinzând de relația care există în momentul
respective între cuplul descendent portanță -greutate si cuplul ascendant tracțiune -rezistență la înaintare.
Pentru zborul la orizontală, portanța=greutatea.Din formula portanței:
2 1
2ZZF C V S
(2.1)
Putem observa că dacă factorul de viteza V ( viteza adevărata TAS) este redus, atunci coeficientul
de portanța
ZC trebuie crescut pentru a menține echilibrul portanță=greutate.
V-viteza adevărată -viteza relativă a avionului față de masa de aer prin care trece.Aceasta nu este
indicate in cabina pilotului, ceea ce putem citi in cabina este viteza de aer indicate ( IAS), aceasta
depinzând de presiunea dinamică
2 1**2dPV
(2.2)
Pentru a obține portanța necesară la o viteză redusă este necesar un unghi de atac ridicat (
ZC
mare) în timp ce la viteză mare este nevoie numai de un unghi de atac mic (
ZC )[8]
În cele ce urmează voi prezenta sistemul format din ecuațiile de mișcare a avionului în zborul
orizontal rectiliniu și uniform și datele necesare calculuilui, pe baza căruia voi determinata parametrii
, , ,eTr
.Acest sistem este format din patru ecuații neliniare după cum urmează :
2cos( ) 02D T V SC
(2.3)
2[ ( )2LD V S C C tg mg
(2.4)
20
0MC (2.5)
2.6)
unde
* ˆ ˆ ( , )
qe L L L L L eC C C C q C
(2.7)
*( , )DDCC
(2.8)
* ˆ ˆ ( , )
q eM M M M M eC C C C q C
(2.9)
dar, parametrii care intervin în rezolvarea sistemului de mai sus au valori diferite în funcție de numarul
Mach, (conform Tabelului 2 Valori ai parametrilor
LC
,
qLC ,
eLC
,
MC
,
qMC ,
eMC
. )
Tabelul2. 1 Valori ai parametrilor
LC
,
qLC ,
eLC
,
MC
,
qMC ,
eMC
.
În cele ce urmează vom prezenta evoluția unghiului de incidență, a bracajului de profundor și a
tracțiunii o data cu creșterea altitudinii și în consecință a vitezei de zbor la orizontală.
0.6 0.8 0.9 1.1 1.6
3.382 1.702 1.333 1.344 0.250
e
-4.164 -3.788 -4.022 -3.094 -1.501
Tracțiunea
21
Figura2 .2 Variația unghiului de incidență cu altitudinea
Se poate observa că unghiul de incidență are tendința de a se mări o dată cu creșterea altitudinii la
număr Mach constant și de a se micșora o dată cu păstrarea altitudini i constate, dar variînd numărul
Mach.
Figura 2 .3 Variația bracajului de profundor c u altutudinea
22
Ca în cazul figurii anterioare există o variație ,de această dată bracajului de pro fundor tinde sa
scadă dar să crescă în modul o data cu creșterea altitudinii , în schimb menținând constantă altitudinea,
dar vaiînd numarul Mach bracajul incepe să crească.
Figura2.4 Variația tracțiunii cu altitudinea
De această dată după cum se poate observa o dată cu creșterea numărului Mach la o altitudine
constantă, tracțiunea va crește și ea, în schimb daca vom crește simultan altitudinea și numărul Mach,
tracțiunea va scădea.
23
2.2. Performanțe în zborul orizontal rectiliniu și uniform.
Pentru a determina performanțele si eficiența unui profil la un anumit unghi de atac trebuie luate
in considerate atât portanța cât si rezistența la îna intare.Relația uneia cu cealalta, num ită raportul de
portanță/rezistență la înaintare, este foarte importantă.
Mai jos am reprezentat grafic dependența coeficientului de portanță și a coeficientului de
rezistență la înaintare in funcție de unghiul de inci dență pentru avionul pe care l -am avut ca model ( MIG –
21 LANC ER, avion ce l -am prezenta t în primul capitol) la diferite numere Mach. [5]
Figura 2.5 Cl funcție de
Curba portanței arată o creștere constantă a coeficientului de portanță pe măsură ce unghiul de
atac crește, până la unghiul critic, dincolo de care
ZC scade.
24
Figura 2.6 Cd funcție de
Curba rezistenței la înaintare arată că rezistența crește constant cu schimbarea unghiului de atac,
fiind cea mai mica la unghiuri de atac pozitive mici si crescând de fiecare data când unghiul de atac crește
sau scade.Pe măsură ce se apropie de unghiul de atac critic rezis tența la înaintare creș te cu o rată mai
mare. La viteză limită, ruperea curentului laminar și formarea de turbulențe, sau vârtejuri, generează o
mare creșt ere a rezistenței la înaintare. [5]
3. Stabilitate. Control și echilibru
In acest capitol vom defini termenii de stabilitate si control ai unei aeronave.Pentru acest lucru
vom avea nevoie de a defini și si de a înțelege termenul de echilibru.
25
Un corp este în echilibru atunci când este in repaus sau in mișcare uniformă ( adică are momente
constante liniar e si unghiulare). Cele mai cunoscute exemple de echilibru sunt cele statice, ceea ce
înseamna ca, corpul este in repaus. Totuși, echilibrul unui avion in zbor este de tipul unui mișcării
uniforme.Deoarece forțele aerodinamice sunt dependente de orientarea unghiulară a avionului față de
traiectoria de zbor și, datorită faptului că rezultatul acestora trebuie să echilibreze greutatea sa, starea de
echilibru nu este rotativă, adică este o mișcare rectilinie. Stabilitatea sau lipsa de stabilitate este o
proprie tate a unei stări de echilibru.Echilibru este stabil dacă, atunci când corpul este ușor perturbat în
oricare dintre gradele sale de libertate el revine în cele din urmă la starea sa inițială.Acest lucru este
ilustrat in figura 5.1 a.Schițele din figură cinc i reprezintă si un exemplu de stabilit ate neutra si
instabilă.Figura 5.1 d este un tip mai co mplex decât cel din figura 5.1 b prin faptul că mingea este stabilă in
ceea ce privește distanțarea in direcția y, dar este instabilă în raport cu deplasările pe x.P e de altă parte
acesta poate fi stabilă în raport cu un anumit grad de libertate și instabil cu altul.Două tipuri de stabilitate
prezintă interes în dinamica avionului. În primul caz, numim instabilitate statică, corpul se îndepărtează
continuu de starea d e echilibru,așa cum se va comporta mingea din figura 5.1 b dacă are un comportament
dezordonat.Al doilea caz in numim instabilitate dinamică si este un fenomem mai complicat în care
corpul oscilează cu starea de echilibru cu o amplificare tot mai mare. [1]
Figura 3.1 Tipuri de stabilitate [1]
26
Atunci cand se aplica conceptual de stabilitate la o aeronava, exista doua clase care trebuie luate în
considerare : stabilitate inerent ă și stabilitate sintetică.
Discuția paragrafului precedent se referă implicit la st abilitatea inerentă, care este o proprietate a
corpului de baza, cu un control fix sau liber, adică stabilitatea este cu un control fix sau este o stabilitate
incontrolabila.Pe de alta parte, stabilitatea sintetică este cea furnizată de un sistem automat d e control al
zborului (AFC S) și dispare in momentul în care acest control automat nu funcționează.Asfel de sisteme
automate de control sunt capabile să stabilizeze un avion instabil inert sau pur si simplu sa -și
îmbunătățească stabilitatea cu ceea ce se n umește SAS( augmentation stabily systems),Întrebarea cu
privire la cât de benefic este acest sistem pentru o aeronava pentru a îl face navigabil atrage un
compromis între greutate, cost, fiabilitate si sigurantă. Daca SAS funcționează în majoritatea cazuri lor și
dacă avionul poate fi controlat si aterizat după ce acest sistem nu mai funcționeaza, deși cu calități reduse
de manevră, poate fi acceptată o stabilitate inerentă slabă.Tehnologia aviației actuale arată că acest sistem
SAS este din ce în ce mai acc eptat pentru toate clasele de aeronave. [1]
Dacă avionul este sub controlul unui pilot, poate fi tolerată o instabilitate inerentă ușoară, dacă este
ceva pe care pilotul îl poate controla, cum ar fi o divergență lenta. Pe de alta parte, nu trebuie sa exis te
nici o marjă de eroare atunci când aeronava este sub controlul pilotului automat, deoarece atunci sistemul
de buclă închisă cunoscut și sub numele de sistem de control al feed -back -ului trebuie să fie stabil in
răspunsul său la perturbațiile atmosferice și la comenzile care provin dintr -un sistem de navigație.Pe langa
rolul important al controalelor în stabilizarea unei aeronave, exista înca două funcții extrem de importante
:
– prima este de a fixa sau de a schimba condițiile de echilibru (viteza sau un ghiul de urcare).Un
control adecvat al acestor condiții trebuie să fie suficient de puternic pentru a produce intreaga
gama de stări de echilibru de care avionul este capabil din punct de vedere al
performanțelor.Dinamica tranziției de la o stare de echili bru la alta este de foarte mare interes si
este strans legată de stabilitate
– a doua funcție a controlului este să produca mișcări de neechilibru sau accelerate;adica
manevre.Aceste manevre pot fi stari stabile în care forțele și accelerațiile sunt constant e atunci
când sunt privite dintr -un cadru de referință fixat pe avion (de exemplu, o intoarcere
constanta).sau pot fi stari tranzitorii.Investigațiile privind trecerea de la echilibru la starea de
echilibru non -echilibru sau de la o stare de manevră la sta rea de echilibru, fac parte din obiectul
controlului avionului [1]
27
3.1 Stabilitatea mișcării. Teoria stabilității în sens Liapunov
Teoria stabilității mișcării studiază influența factorilor perturbatori asupra evoluției sistemelor
dinamice. În consecință, prezintă interes caracteristicile evoluțiilor sistemelor ( mișcărilor) posibile în
apropierea unei mișcări de referință neperturbate, a sistemului considerat.
Dacă perturbațiile care acționează asupra sistemului considerat sunt de scurtă durată, influența
acestora poate fi an alizată descompunând în timp mișcarea sistemului respectiv, astfel:
– Până în momentul apariției perturbațiilor, se desfășoară mișcarea de bază;
– Pe durata de acțiune a perturbațiilor, sistemul are o evoluție complexă, de regula, dificil de
descris matematic.
– După incetarea perturbațiilor,mișcarea sistemului dinamic diferă de mișcarea de bază ( este
„perturbată” in raport cu aceasta); se consideră, insă, că ambele mișcări sunt soluții ale
aceluași sistem de ecuții ( presupunând, evident, c ă perturbațiile nu au afectat structural, în
etapa anterioară, modelul matematic utilizat)
Efectul perturbațiilor de scurta durată, cercetat din momentul încetării acestora, este luat în
considerare prin modificarea condițiilor inițiale ale mișcării .Se definesc, în cele ce urmează, noțiunile
fundamentale ale teoriei stabilității mișcării in sens Liapunov. [7]
Fie un sistem dinamic neliniar descris de ecuția
( , ) x f x t
(3.1)
unde :
– x si f sunt vectori n -dimensionali
– t – variabilă independentă ce reprezintă timpul ( se consideră ca momentul inițial (
0t ) coincide cu
momentul încetării perturbațiilor.
D1: Soluția
0
00 ( ) ( ; ; )x t x t t x a sistemului (3 .1), corespunde condiției inițiale
00()x t x
(3.2)
se numește mișcare de bază, mișcare de referință sau mișcare neperturbată a sistemului
considerat
28
D2: Soluția
*
00 ( ) ( ; ; )x t x t t x a sistemului (3.1), corespunzătoare condiției inițiale perturbate
C.I perturbată
*
0 0 0 0()x t x x x (3.3)
unde
0x este perturbația inițială, se numește mișcare perturbată.
D3 Mișcarea de bază
0()xt se numește simplu ( n eutral, marginal) stabile dacă:
0, 0
,
0( , )t ,
( , ) R (3.4)
astfel încât,
* * 0
00 ( ) ( ) x x x t x t
,
0tt (3.5)
(Simbolul || || desemnează o normă vectorială).
D4 Mișcarea de bază
0()xt se numește asimptotic stabilă dacă:
0()xt
este asimptotic stabil (3.6)
*0lim ( ) ( ) 0
xx t x t
(3.7)
Dacă în definițiile de D3 și D4, scalarul
nu depinde de momentul initial
0t , atunci se spune că
proprietatea de stabilitate ( simplă, respective asimptotică) este uniformă.(Această noțiune de stabilitate
asimptotică a fost introdusă in anul 1933 de către Persidskii).În aplicațiile practice ne interesează, evident,
asigurarea caracterului uniform al stabilității mișcării, astfel încât proprietatea de stabilitate să nu depindă
de momentul
0t , în care acțiunea perturbată încetează. [7]
Conform precizărilor anterioare dacă perturbația inițială este suficient de mica, atunci perturbația
instantanee
*0( ) ( ) ( )x t x t x t nu depășește o valoare impusă, arbitrar de mica (în cazul stabilității
simple) și, în plus, tinde la z ero când timpul tinde la infinit ( în cazul stabilității asimptotice) .[7]
29
Se poate afirma așadar, calitativ, că stabilitatea în sens Liapunov este proprietatea mișcării de
bază de a menține în vecinătatea sa mișcările perturbate corespunzătoare unor pert urbații sificient de mici
ale condițiilor inițiale.
În cele ce urmează, sunt prezentate aspectele esențiale ale următoarelor doua metode de analiză a
stabilității in sens Liapunov .
– Metoda funcției lui Liapunov
– Metoda liniarizării ecuațiilor de mișcare
3.2 Metode de analiză a stabilității în sens Liapunov
3.2.1 Metoda funcției lui Liapunov
Ideea pe care se bazează metoda funcției lui Liapunov ( numită și metoda direct a lui Liapunov)
este sugerată de observația că, în orice sistem di namic disi pat, derivate energiei totale în raport cu timpul
este negative, astfel încât energia totala scade pâna la atingerea unei valori minime, care corespunde unei
stări de echilibru.
Extinzând conceptul de energie totală, Liapunov, a asociat sistemului dynami c o funcție scalar de
stare și a pus în evidență legătura existentă între anumite proprietăți ale acestei funcții și stabilitatea (
instabilitatea) mișcării de bază. Deoarece metoda considerate face apel la noțiunile de funcție de semn
definit si funcție de semn semidefinite, se prezintă mai întâi , semnificația acestor noțiuni
Fie funcția scalar V, de variabi lă vectorială n -dimensională x,
:nV D R R
(3.8)
Definită intr -o vecinătate D a originii
{ : , }nD x R x h h R
(3.9)
D1. Funția V se numește pozitiv ( negativ) definită în domeniul D dacă este pozitivă respectiv
negativă in D si
( ) 0 0V x x ( i.e, singurul punct în care V se anulează este originea)
D2. Funcțiile pozitiv definite și cele negativ definite se numesc, cu un termen comun, funcții de
semn determinat.
30
D3. Funcția V se numește pozitiv ( negativ) semidefinită in domeniul D dacă este pozitivă
(negativă) în D si se anulează nu numai in origine, ci și în alte puncte din D.
D4. Funcțiile pozitiv semi definite și cele negativ semidefinite se numesc, cu termen comun,
funcții de semn constant.
D5. Funcția V se numește de semn variabil în domeniul D dacă se anulează în origine, iar în
punctele diferite de origine are atât v alori pozitive, cât si negative.
Exemple :
Funcția
222
1 2 3 1 2 3( , , )V x x x x x x este, conform definiției 1, pozitiv definită (în orice vecinătate a
originii);
Funcția
22
1 2 3 1 2 3( , , ) ( )V x x x x x x este, conform definiției 3, pozitiv semidefinită.
Funcția
1 2 3 2 1 1 3 2 3( , , )V x x x x x x x x x este, confo rm definiției 5, se semn varaibil
Se consideră în cele ce urmează sistemul :
() x f x
,
nxR (3.10 )
cu f(0)=0, deci admițând soluția nulă (
0( ) 0xt ), sistem căruia i se asociază o funcție de stare
V(x),diferențiabilă în vecinătatea originii
D6. Se numește derivata funcției V “d e-a lungul soluțiilor” sistemului (3 .10), funcția :
( ( ))dVxtdt
(3.11 )
Din ecuația (3 .11) rezultă
12
12…….n
ndV dV dVx x xdx dx dx
(3.12 )
Efectuând calculele în continuare ne va rezulta din ecuația precedentă ,
31
12
12( ) ( ) …. ( )n
ndV dV dVf x f x f xdx dx dx (3.13 )
Stabilitatea soluției nule a sistemului considerat poate fi investigată pe baza următoarelor teoreme: [4]
Teorema1:
Soluția nulă a sistemului (3 .10) este simplu stabilă dacă există o funcție de stare, V(x), pozitiv
definită intr -o vecinătate a originii, a cărei derivată în virtutea sistemului respectiv să fie negativ
semidefinită sau identic nulă.
Teorema 2:
Soluția nulă a sistemului (3 .10) este asimptot ic stabilă dacă există o funcție de stare, V(x), pozitiv
definită intr -o vecinătate a originii, a cărei derivată în virtutea sistemului res pectiv să fie negativ definită.
D7. O funcție care satisface condițiile din Teorema 1 se numește funcție Liapunov sla bă.
D8. O funcție care satisface condițiile din Teorema 2 se numește funcție Liapunov tare [4]
3.2.2 Metoda liniarizării ecuațiilor de mișcare.
Presupunând că, față de valorile corespunzătoare unei mișcări de bază specificate, variațiile (
perturbaț iile) mărimilor de stare și de comandă ale sistemului neliniar ( SNL) considerat sunt mici,
ecuațiile de mișcare ale acestuia pot fi liniarizate ( în raport cu variațiile menționate)
În cele ce urmează, se consideră cazul mișcărilor de bază staționare ale unor sisteme neliniare
invariante în timp. [4]
Stabilitatea unor astfel de mișcări de bază este investigată, „dup ă (în) prima aproximație” (
fig3.2 ),cu ajutorul unui sistem liniar asociat ( SLA), ale cărui variabile sunt perturbațiile mărimilor de
stare (
x ) și de comandă (
u ) ala SNL,
*
0 ( ) ( )x t x t x
(3.14 )
*
0 ( ) ( )u t u t u
(3.15)
32
(Conform notațiilor anterioare ( * și 0) desemnează mișcarea perturbată a sistemului și, respective,
mișcarea de bază a acestuia)
Sistem neliniar
(SNL):
( , ) x f x t
Liniarizarea ecuațiilor SNL în
jurul valorilor corespunzătoare
mișcării de bază studiate Sistem linear asociat
(SLA)
**dx A x B udt
Substituirea sistemului neliniar ( initial) cu un sistem linear în perturbații ( numit, uzual, “sistemul
primei aproximații) se bazează, evident, pe relația existent între stabilitatea mișcării de bază a SNL si
stabilitatea SLA.
Este de reținut că la sistemele dinamice neliniare , stabilitatea ( instabilitatea) este, în general, o
proprietate a soluției studiate, nu a sistemului, (același sistem neliniar poate avea și soluții stabile, și
soluții instabile); în schimb, în cazul sistemelor dinamice liniare,stabilitatea ( instabilita tea) reprezintă o
proprietate a sistemului respectiv ( a tuturor soluțiilor acestuia). [4]
În studiul stabilității dupa prima aproximație de disting două etape:
– Analiza stabilității sistemului liniar al primei aproximații ( SLA)
– Utilizarea unor teoreme de legătură între caracteristicile de stabilitate ale SLA și cele ale mișcării
de bază considerate a SNL
3.2.2.1 Sistemul liniar al primei aproximații
Se liniarizează sistemul :
( , ) x f x u
(3.16 )
unde :
nxR – reprezintă un vector de stare
muR – reprezintă un vector de comandă
33
f – reprezintă o funcție derivabilă în raport cu variabilele x și u, în jurul mișcării de bază staționare
definite de relațiile:
00
00 ( ) , ( )x t x cst u t u cst
(3.17 )
Trunchiind dezvoltarea în serie Taylor a funcției f la nivelul termenilor liniari în variațiile
x și
u
( considerate variații mici).Se obține, astfel, sistemul :
0 0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( )d df dfx x f x u x udt dx du
(3.18 )
și întrucât mișcarea de bază consid erată este soluția sistemului (3 .16), aceasta este :
00( , ) x f x u
(3.19 )
rezultând astfel următorul sistem liniar ( al primei aproximații) :
dx A x B udt
(3.20 )
unde s -au introdus următoarele notații :
00( ) , ( )df dfABdx du
(3.21 )
Matricea A este așa numita matrice dinamică de stabilitate a sistemului pe când B reprezintă
matricea de comandă a acestuia. De remarcat este faptul că, întrucât, mișcarea de bază este staționară,
matricea A și B sunt constante; elementele celor două matrice sunt valorile, în mișcarea de bază, ale
derivatelor componetelor funcției vectoriale f în raport cu variabilele de stare, respectiv de comandă [4]
Fiind dată legea de comandă
()ut ,
0tt , soluția sistemului neomogen (3 .20)
corespunzătoare condiției inițiale
00()x t x este, în virtutea liniarității sistemului respectiv, de forma :
34
( ) [ ( )] [ ( )]lf x t x t x t (3.22 )
( ) [ ( )] [ ( )]lf x t x t x t
unde primul termen reprezintă componenta liberă ( cum ar fi pentru
( )] 0ut
) a răspunsului, corespunzătoare condiției inițiale precizate
0) 0()x t x , iar cel de -al doilea
reprezintă componenta forța tă (aferentă legii date
()ut cu condiție inițială nulă
0) 0()x t x .[7]
Caracteristicile dinamice ( în particular,cele de stabilitate) “proprii” sau “naturale” ale sistemului
considerat sunt determinate de componenta li beră
[ ( )]lxt , care, evident, satisfice sistemul linear
omogen.
dx A xdt
(3.23 )
scris, scalar, sub forma :
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2….
….
.
.
.
….nn
nn
n n n nn ndx a x a x a xdt
dx a x a x a xdt
dx a x a x a xdt
(3.23 )
După cum se știe, soluția generală a unei astfel de sistem de ecuații diferențiale ( liniare cu
coeficienți constanți) depinde de mulțimea valorilor proprii ale matricei A, mulțime notată, de obicei, cu
()A
și numită spectrul matricii A.Elementele mulțimii
()A sunt rădăcinile ecuației caracteristice :
det( ) 0AI
(3.23 )
care este, corespunzător ordinului matricei pătrate A, o ecuație algebrică de gradul n în necunoscuta
( I
reprezintă matricea unitate de același ordin cu matricea A) [4]
35
Se notează
12, ,…n cele n valori proprii – eventual, nu toate distincte – ale matricei. Deoarece
elementele matricei A sunt reale, valorile sale proprii sunt fie reale, fie complex conjugate.
Se consideră, în cele ce urmează, două cazuri, fiecare cu câte două subcazuri:
1. Cazul valorilor proprii simple ( ordin de multiplicitate algebrică algebrică egal cu unu)
– O valoare proprie reală
j , contribuția aferentă unei astfel de valori proprii în soluția general a
sistemului linear (3.23) fiind de forma :
( ) , 1,2,…jt
ij ijx t K e i n
(3.24 )
– O pereche de valori proprii complex -conjugate,
kn i t , contribuția corespunzătoare fiind de
forma:
( ) sin( ), 1,2,…,nkt
ij ik kx t A e t ik i n
(3.25 )
2. Cazul valorilor proprii multiple
– O valoare proprie reală,
j , cu ordin de multiplicitate
jm , contribuția aferentă acesteia în soluția
general fiind de forma
( ) ( ) , 1,2,3,….,jt
ij ijx t P t e i n
(3.26 )
unde
()ijPt sunt funcții polinomiale de grad cel mult egal cu
1jm .
– O pereche de valori proprii complex conjugate,
k k kni , cu ordinal de multiplicitate
km ,
contribuția corespunzătoare fiind de forma :
( ) sin( ), 1,2,….., ,nkt
ik kx t e t ik i n
(3.27 )
unde
()ikQt sunt funcții polinomiale de grad cel mult egal cu
1km
36
Noțiunea de mod propriu de mișcare
Se numește mod propriu ( natural) de mișcare o component a soluției generale a sistemului
considerat ( l iniar și omogen) corespunzătoare unei valori proprii reale sau unei perechi de valori proprii
complex conjugate
Modurile de mișcare aferente unor valori proprii reale sunt moduri aperiodice, iar cele aferente
unor perec hi de valori proprii complex conjugate – moduri oscilatorii.
În funcție de semnul valorii proprii reale ( în cazul unui mod aperiodic) sau de semnul părții reale
a valorilor proprii complex – conjugate ( în cazul unui mod oscilatoriu), se disting următoarele situații:
Mod de mișcare aperiodic – convergent (
0j )
jR – divergent (
0j
Mod de mișcare oscilatoriu – convergent (
Re 0j )
kkn i k C – divergent (
Re 0j )
Perturbațiile corespunzătoare unui mod convergent se amortizează în timp ( tind la 0 atunci când t
tinde la infinit în timp ce perturbațiile corespunzătoare modului divergent cresc nemărginit ( tind la infinit
atunci când t tinde la infinit) [7]
4.Stabilitatea dinamică a aeronavei Mig -21 Lancer.
Teoria clasică a stabilității dinamice a avionului este, în esentă, o teorie a stabilit ății mișcării în
prima aproximație. Într -o astfel de abordare, excluzând așa – numitele cazuri critice, stabilitatea oricărei
soluții ( mișcare de bază) a sistemului neliniar care modelează avionul in zbor orizontal rectiliniu si
uniform este analizabilă p rin intermediul sistemului linear asociat soluției respective. [1]
Se aplică metoda liniarizării ecuațiilor de mișcare în cazul modelului matematic, model de
forma :
( , ), x f x u
(4.1)
37
unde:
00 []Tx V p r X Y H
(4.2)
sau
00 []Tx u v w p q r X Y H
(4.3)
reprezintă vectorul de stare , iar
[]T
a e r t u
, (4.4)
vector de comand ă .
Ecuațiile cinematice referitoare la variabilele
00,,XY , pot fi tratate separat de restul ecuațiilor (
în care variabilele respective nu intervin), de asemeni, poate fi separată de restul ecuațiilor și ecuația
cinematică referitoare la variabila H (altitudinea de zbor) în ipoteza în care variația altitudinii nu
influențează semnificativ forțele și momentele ca re acționează asupra avionului.În ipoteza menționată
anterior sistemul diferențial care modelează mișcarea generală a avionului se descompune astfel:
– un subsistem independent, de ordin opt, referitor la variabilele de stare V
( sau u v w ),p ,q,r,θ
;
– un subsistem de ordinul patru, dependent de primul, compus din ecuațiile cinematice care descriu
mișcarea centrului de masă al avionului și din ecuația ecuația unghiului de azimut.
Se consideră așadar, sistemul neliniar independent ( de ordinul opt); [1]
1[ cos( )cos ] ( cos cos sin sin cos sin sin cos cos co s) V T D gm
(4.5)
1( cos sin ) [ sin( )] (sin sin cos cos cos )cos cosgq p r tg L TmV V
(4.6)
38
22
24 ()
yMq i rp i r pI
(4.7)
cos sinqr
(4.8)
1sin cos [ cos( )sin ]cos
(cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos )Yp r Dtg TmV
g
V
(4.9)
'
15 ' xz
xLp i qr i pq I NI
(4.10 )
'
35 ' xz
zNr i pq i pq I LI
(4.11 )
( sin sin )p q r tg
(4.12 )
în care ecuațiile sunt ordonate corespunzător poziționării vectorului de stare x sub forma :
L
LDXxX
(4.13 )
T
LX V q
(4.14 )
T
LDX p r
(4.15 )
39
Făcând, astfel distincția între variabilele de stare longitudinală( în speță componentele vectorului
LX
) și variabilele de stare lateral direcțională ( componentele vectorului
LDX ).Cele două tipuri de
mișcări sus – menționate sunt, în cazul general, cuplate, sursele cuplării dintre mișcarea longitudinală și
mișcarea lateral direcțională fiind de natură mecanică și aerodinamică. [7]
Pentru a se studia stabil itatea avionului pe direcție longitudinală este nevoie să se decupleze
mișcarea longitudinală de cea laterală si să se liniarizeze ecuațiile în anumite ipoteze:
Mișcarea de bază a avionului ( specificată in calculele de față prin prin indicele ‘’0’’)
este o translație, simetrică și uniformă,fără înclinare laterală în care mărimile de stare
satisfac condițiile de staționaritate)
00
0 0 0
0, , 0
0
,0V cst cst
pqr
cst
(4.16 )
Se neglijează cuplajul aerodinamic și cel giroscopic dintre gradele de liberate
longitudinale și cele lateral – direcționale ale mișcării avionulu i.
În ipotezele menționate, întrucât ,
0 0 0 0
00( ) 0 , ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0
( ) 0, ( ) 0 , 1,…,4i i i i
ii
arf f f f
pr
ffdacăi
(4.17 )
0 0 0 0 0
00( ) 0 , ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0
( ) 0, ( ) 0 , 5,…,8i i i i i
ii
etf f f f f
Vq
ffdacăi
(4.18 )
sistemul liniar asociat mișcării de bază considerate se descompune în două seturi independente de ecuații:
40
Ecuațiile liniarizate ale mișcării perturbate longitudinale
Ecuațiile liniarizate ale mișcării liniarizate ale mișcării perturbate lateral direcționale.
În continuare vom scrie forma ecuațiilor liniarizate ale mișcării perturbate longitudinal .Se vor
liniariza ecuațiile ( 4.5 -4.12) în jurul mișcării de bază ținând cont de ipotezele (4 .16). Ne va rezulta în
cazul mișcării longitudinale, următ orul sistem diferențial în perturbații (presupuse mici) ale variabilelor
de stare și comandă. [4]
1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 00et
etd f f f d f f f fV V qdt V dt q
(4.19 )
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 00et
etd f f f d f f f fVqdt V dt q
(4.20 )
3 3 3 3 3 3 3
0 0 0 0 0 00et
etd f f f d f f f fq V qdt V dt q
(4.21 )
4 4 4 4 4 4 4
0 0 0 0 0 00et
etd f f f d f f f fVqdt V dt q
(4.22 )
În urma rezolvării acestui sistem se pot scrie ecuațiile matricei de stabilitate, matrice ce ne va
oferii informații cu privire la stabilitatea ( instabilitatea) avionului studiat.
Forma elementelor matricei :
11 12 13 11
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44La a a a
a a a aAa a a a
a a a a
41
este:
11 01[ cos ( )VV a T Dm
(4.23 )
2
0
12 0 ()LDVCcaC
(4.24 )
130 a
(4.25 )
14 cos ag
(4.26 )
21 0
01[ sin( ) ]VV a T LmV L
(4.27 )
0 0
222
2LD
LCCVacC
(4.28 )
231 a
(4.29 )
0
24
0sinmgamV L
(4.30 )
31 211()V
ya M a MI
(4.31 )
42
32 221()
ya M a MI
(4.32 )
33 231()q
ya M a MI
(4.33 )
34 241
ya a MI
(4.34 )
410 a
(4.35 )
420 a
(4.36 )
431 a
(4.37 )
440 a
(4.38 )
În urma soluționării fiecărui coeficient conform datelor avionului, la Mach 0.6, 0.8, 0.9, 1.1, 1.6
s-au obtinut matricile de stabilitate ale fiecărui regim de zbor.În ceea ce urmea ză voi prezenta forma
matricelor .
3
4
39.401 10 3.447 0 9.81
1.288 10 0.847 1 0
4.844 10 2.423 1.082 0
0 0 1 0
Mach 0.6 (4.39 )
43
4
30.015 0.968 0 9.81
2.358 10 1.377 1 0
6.416 10 2.808 1.693 0
0 0 1 0
Mach 0.8 (4.40 )
4
30.02 1.514 0 9.81
2.691 10 1.38 1 0
3.461 10 4.995 1.974 0
0 0 1 0
Mach 0.9 (4.41 )
5
30.052 0.456 0 9.81
1.978 10 1.964 1 0
3.069 10 47.518 1.927 0
0 0 1 0
Mach 1.1 (4.42 )
4
5
34.977 10 28.048 0 9.81
7.722 10 2.01 1 0
3.671 10 113.428 1.108 0
0 0 1 0
Mach 1.6 (4.43 )
În continuare, având matricile de stabilitate calculate pentru fiecare regim de zbor la altitudine
constantă putem afla modurile proprii ale mișcării perturbate longitudinale .
Dacă vom considera că pe durata mișcării perturbate mărimile de comandă sunt menținute
constant (cazul comenzilor blocate), corespunzător valorilor din mișcarea de bază (
0Lu ), mișcarea
perturbată longitudinală liberă este descrisă de sistemul linear omogen
L L Ldx A xdt (4.44 )
a cărui ecuație caracteristică este scrisă sub forma :
44
4 4 2
3 2 1 0 0 c c c c (4.45 )
unde coeficienții se exprimă în funcție de elementele matricei de stabilitate
LA după cum urmează:
3 11 22 33c a a a (4.46 )
2 11 22 11 33 22 33 12 21 13 31 23 32 34c a a a a a a a a a a a a a (4.47 )
1 11 23 32 22 33 12 21 33 23 31 34 11 22 ( ) ( ) ( ) c a a a a a a a a a a a a a (4.48 )
0 11 24 32 22 34 12 21 34 24 31 14 22 31 21 32 ( ) ( ) ( ) c a a a a a a a a a a a a a a a (4.49 )
În cee a ce urmează voi prezenta un table cu coeficienții ecuației caracteristice in cazul fiecărui
regim de zbor, coeficienți ce ne va conduce la determinarea modurilor mișcărilor perturbate longitudinale.
Nr.Mach
0c
1c
2c
3c
0.6 0.066 0.07 3.675 2.469
0.8 0.093 0.132 5.185 3.085
0.9 0.059 0.184 7.523 3.372
1.1 0.051 2.665 50.768 3.356
1.6 -0.036 -0.012 114.95 2.485
Tabelul 4.1 Valoarile coeficienților ecuațiilor caracteristice
Pentru configurațiile de avion convenționale, longitudinal static stabile, spectrul matricei de stabilitate
LA
are, la regimurile uzuale de zbor, următoarea structură tipică:
A) Două valori proprii complex conjugate,
1,2 ppni , având, partea reală ( care poate fi
negativă sau pozitivă) și partea imaginară mică în modul (comparativ cu celelalte valori proprii),
perechea
1,2 corespunzând unui mod oscilatoriu lent ( convergent sau di vergent) numit mod
fugoidal ( phugoid mode)
45
B) Două valori proprii reale (
1,2R ), corespunzătoare, fiecare, câte unui mod de mișcare
aperiodic lent ( în general, unul dintre ele convergent, iar celălalt divergent. [4]
Mișcarea fugoidă este una din mișcările fundamentale ale unei aeronave ( alaturi de cea de scurta
perioadă) constând în urcări și coborâri acompaniate de creșterea de viteză (la urcare) și scăderea de
viteză ( la coborîre).Este o oscilație cu o perioadă destul de mare.Fugoida este caracterizată printr -un
unghi de atac aproape constant și un unghi de tangaj variabil în funcție de viteză și altitudine.
Perioadele de revenire în poziția de echilibru pot varia semnificativ de la mai puțin de 30 de secunde
la aeronavele ușoare până la câteva minute la aeronavele mari.Un model classic pentru perioada fugoidală
poate fi simplificat pentru aeronavele mari la aproximativ (0.85 x viteza în noduri) secunde. [9]
Acest mod poate deveni periculos în anumite condiții, de exemplu cum s -a întâmpl at în anul 1975 cu
o aeronavă militară americană care avea comenzile de zbor deteriorate, aeronava întâlnind oscilații ale
modului fugoidal s -a prăbușit în apropierea unui aeroport.Din cei 328 de pasageri aflați la bord, 153 au
decedat, astfel devenind cel mai mortal accident aviatic care a implicat o aeronava militară americană.
Două valori proprii complex conjugate
3,4 sp spni , cu partea reala (negative) și cu partea
imaginară relative mare în modul ( comparative cu
1,2 ), perechea
3,4 corespunzân unui mod
mod oscilatoriu puternic amortizat, de frecvență mare, numit, de obicei, mod de scurtă perioadă
(SP- Short Period Mode), sau mod rapid al mișcării longitudinale.
Cu nici un nume special, modul de perioadă mai scurtă se numește pur si simplu” modul de scurtă
perioadă”.Acest mod este o oscilație “obosită”, de obicei, cu o perioadă de doar câteva secunde.Mișcarea
este o așezare rapidă în jurul centrului de greutate. Perioada este atât de scurtă în cât viteza nu are timp să
se schimbe, astfel, încât oscilația este în esență o variație a unghiului de atac.Timpul de amortizare a
amplitudinii la o jumatate din valoarea sa este, de obicei, de ordinul unei secunde. [10]
Modurile oscilatorii tipice menționa te anterior (fugoid și rapid) pot fi considerate, în esență,
mișcări longitudinal -simetrice cu două grade de liberate întrucât:
– Variația incidenței de zbor (
) este neglijabilă în cazul modului fugoid
– Variația vitezei de zbor (
V ) este neglijabilă în cazul modului de scurtă perioadă
Discrepanța ordinelor de mărime ale celor două perechi de valori proprii aferente modurilor rapid și
fugoid determină, practic, separarea în timp a acestora, în următoarele su ccesiuni:
46
– Într-o primă etapă ( câteva secunde), mișcarea perturbată longitudinală este determinată, practic,
numai de modul de scurtă perioadă și constă din oscilații rapide, puternic amortizate ale unghiului
de incindență (
) și a le vitezei unghiulare de tangaj (q)
– În cea de a doua etapă ( de ordinul minutelor), în care se minifestă modul fugoid, mișcarea
perturbată este reprezentată de variația lentă a vitezei de zbor (V) și a unghiului de atitudine (
)
În cazul avionului Mig 21, considerând ca mișcare de bază zborul orizontal rectiliniu și uniform, la o
altitud ine de 6000 m, cu o viteză de (4 .50), se obțin următoarele ecuații caracteristice ale mișcărilor
perturbate longitudinale :
0
0
0
0
0189.84 / 0.6
253.11 / 0.8
284.76 / 0.9
348.04 / 1.1
506.24 / 1.6V m s Mach
V m s Mach
V m s Mach
V m s Mach
V m s Mach
(4.50 )
4 3 22.469 3.675 0.070 0.066 0.6 Mach (4.51 )
4323.085 5.185 0.132 0.093 0.8 Mach (4.52 )
4 3 23.372 7.523 0.184 0.059 0.9 Mach (4.53 )
4 3 23.356 50.768 2.665 0.051 1.1 Mach (4.54 )
4 3 22.485 114.952 0.012 0.036 1.6 Mach (4.55 )
Rezolvând fiecare ecuație în parte de mai sus se vor obține rădăcinile acestor ecuații (valorile proprii
ale matricilor (
LA )
47
1,2
3,40.9635 1.5475
0.0057 0.1140i
i
Mach 0.6 (4.56 )
1,2
3,41.5348 1.6627
0.0077 0.1347i
i
Mach 0.8 (4.57 )
1,2
3,41.6751 2.1535
0.0104 0.0885i
i
Mach 0.9 (4.58 )
1,2
3,41.6517 6.9184
0.0263 0.0177i
i
Mach 1.1 (4.59 )
1,2
3,41.2428 10.6494
0.0177i
Mach 1.6 (4.55 )
1,2
– valorile corespunzătoare modului rapid
3,4
-valorile corespunzătoare modului fugoid
După cum se poate observa, valorile obținute indeplinesc fundamementele teoretice, avionul fiind
stabil atat pe modul rapid cât si pe modul fugoid până la valoare lui Mach 1.1, la Mach 1.6, intr -un regim
supersonic avionul d e studiu Mig 21 nu se mai stabilizează pe modul rapid [2]
4.1 Caracteristicile modale ale aeronavei Mig -21 Lancer [7].
Pentru a putea descrie matematic modurile proprii de mișcare se utilizează diverși parametric,
denumiți uzual, caracteristici modale. Cele mai importante dintre aceste caracteristici le voi prezenta
succint în cee ace urmează :
Timpul de înjumătățire (
0.5 1/2;tt ), respective timpul de dublare (
2;dtt ) reprezintă intervalul
de timp în care valoare perturbaț iei ( în cazul unui mod aperiodic ) sau a amplitudinii mișcării
48
perturbate ( în cazul unui mod oscilatoriu) scade la jumătate sau se dublează. Prin urmarea
timpul de înjumătățire se definește ca fiind:
0.5( )ln 2
Redt (4.56 )
Constanta de timp (
) reprezintă intervalul de timp în care valorile sus menționate scad ( în
cazul unui mod convergent) sau cresc (în cazul unui mod divergent) de e ori (e=baza
logaritmilor naturali).Așadar in cazul de față constanta de tim p este:
1
Re (4.57 )
Pseudoperioada sau perioada convențională (T) este intervalul de timp dintre două maxime
(minime) consecutive ale funcției care descrie oscilatorie a unei perturbații.
2T
(4.58 )
Pseudofrecvența sau frecvența convențională (
) reprezintă numărul de pseudoperioade în
unitatea de timp. Între mărimile
si T există relația :
1
T (4.59 )
Pulsația natural (
) reprezintă numărul de pseudoperioade in
2 unități de timp; Este de
reținut faptul că pentru a desemna pulsația se folosește, uneori, termenul echivalent de
frecvență unghiulară și
Im
22T (4.60 )
49
Pulsația natural neamortizată (
n ) reprezintă pulsația unei oscilații neamortizate ipotetice,
corespunzătoare, matematic, anulării părții reale a rădăcinilor ecuației caracteristice a
modului de mișcare considerat.Astfel pulsația naturala neamortizată are forma :
2 2 2 2(Re ) (Im )n n (4.61 )
Numărul de cicli de înjumătățire sau de dublare reprezintă numărul de pseudoperioare în
timpul cărora valoarea amplitudinii scade la jumătate, respective se dublează
0.5( ) 0.11RecdN
(4.62 )
Raportul de amortizare (
).În funcție de relația dintre n si pulsația naturală neamortizată
acest raport are pentru cazul de față forma :
Re
n (4.63 )
Valorile acestor caracteristici modale pot fi vizualizate în tabelul 4.2.
0.6 0.8 0.9 1.1 1.6
0,5t
0.563 0.452 0.414 0.42 0.558
0.812 0.652 0.597 0.605 0.805
1.4576 1.6627 2.1535 6.9184 10.649
T
4.308 3.777 2.916 0.908 0.59
0.232 0.265 10.343 1.101 1.695
n
1.908 2.263 2.728 7.113 10.722
50
0.64 0.68 0.61 0.23 0.12
0.5cN
0.192 0.191 0.141 0.191 0.143
Tabelul 4.2 Valorile caracteristicilor modale
4.2 Relația stabilitate – calități de zbor.
Noțiunea de calități de zbor reunește acele caracteristici ale unui avion care determină ușurința și
precizia executării de către pilotul umin a misiunilor specifice avionului respectiv.În mod evident, cele
cele mai importante dintre caracteristicile menționate sunt stabilitatea si comanda avionului .
Analiza calităților de zbor ale unui avion presupune studiul unui sistem dinamic de o complexitate
deosebită -ansamblul avion -pilot uman, care este de cele mai multe ori foarte dificil de modelat matematic.
În plus, trebuie avut în vedere ca de fiecare dată aprecierea calităților de zbor ale avionului, joacă un rol
foarte important în deciziile piloților.În acest context, este evidentă importanța metodelor experimentale
de investigare a calităților de zbor.
Cercetările experimentale viz ând, în mod specific, domeniul calităților de zbor au fost inițiate în al
treilea deceniu al secolului trecut.Odată cu acumularea datel or și prelucrarea acestora, pun ând în evidență
anumite corelații între părerile piloților de încercare și caracteristicil e dinamice ale avionului, au apărut, în
anii 1943 și 1943, primele specificații privind calitățile de zbor. [2]
4.2.1 Scări de calități de zbor -Scara Cooper Harper
Studiul calităților de zbor se sprijină, în mod decisiv pe opiniile piloților. Necesitatea de a
compara într -un mod cât mai obiectiv calitățiloe de zbor ale diverselor avioane a condus la elaborarea
unor sisteme numerice de ierarhizare a opiniilor exprimate de piloți, numite in cele mai multe rânduri
scări de calități de zbor.
Prima scar ă de calități de zbor care s -a bucurat de o largă utilizare aparține lui G.E. Cooper (Scara
Cooper, 1957). În anul 1969, G.E. Cooper și R.P Harper au propus o scară imbunătățită de apreciere a
calităților de zbor, care s -a impus ulterior în comunitatea ști ințifică și este astăzi utilizată in mod curent.
51
Scara Cooper – Harper este constituită din note (“Pilot Ratings” – PR sau, specific, “Cooper –
Harper Ratings” – CHR ) de la 1 la 10, corespunzând fiecare unor fraze tip; în funcție de aceste fraze, în
urma executării unei misiuni specificate, pilotul este solicitat să acorde avionului o notă. Procedura de
acordare a notelor pe scara Cooper – Harper este dată de răspunsurile piloților la trei întrebări esențiale.
Prima întrebare urmărește estimarea riscului pierderii controlului aeronavei în timpul zborului. În
cazul în care pilotul răspunde afirmativ la această întrebare aeronavei i se acordă nota zece, putând fi
considerat în acest caz, drept catastrofală și necesitând în consecință, modificări drastice ( chiar și
reproiectarea integrală a acestuia).
În caz contrar, dacă pilotul poate controla avionul pe întreaga durată a zborului se apelează la
următoarea întrebare care urmărește performanțele aeronavei, mai exact daca este posibilă efectuarea
zborului cu un efort de manevrare tolerabil.Datorită caracterului adaptiv al pilotului uman, performanța
nu poate fi separată de activitatea de pilotaj în sensul că,printr -un efort superior de pilotaj,se pot “masca”
deficiențele avionului,realizând, în ciuda acestora , performanțe acceptabile.Este evident că pentru a
răspunde la această întrebare trebuie definit termenul de “performanță adecvată” pentru fiecare misiune
de zbor considerate. În acest context, pilotul constată dacă poate obține performanțele adecvate unei
anumite misiuni de zbor printr -un effort de pilotaj, fizic și psihic, suportabil.Răspunsul negative la
intrebarea anterioară plasează avionul în intervalul notelor 7 – 9, caz în care modificările sunt obligatorii.
În acest interval de notare distincția în tre note se realizează pe baza mărimii efortului de compensare
depus de pilot pentru a menține controlul avionului.
Dacă răspunsul este afirmativ, se abordează ultima întrebare care urmărește obținerea unor
performanțe satisfăcătoare fără a se efectua modi ficări ale avionului.Răsăunsul la această întrebare
delimitează intervalele de notare 4 – 6 ( atingerea unor performanțe satisfăcătoare implică modificări ale
avionului.), respective 1 – 3 ( nu sunt necesare modificări). Este de reținut faptul că, pentru a utiliza
sistemul de notare Cooper -Harper, piloții trebuie să dispună de definiții care ale tuturor termenilor folosiți
în aprecierea și, totodată, misiunea de zbor trebuie precizată în detaliu.
Pentru un avion controlabil, se pot delimita trei nivele de c alități de zbor.Acestea sunt definite, conform
regulamentelor militare și pot fi observate în următoarea figură. (Figura 4.1) [2]
52
Este
controlabil avionul?
PR = 10
Deficiențe majore Se pierde controlul
avionului pe durata
zborului
NIVEL
3 PR = 9
Deficiențe majore Avion controlabil cu un
52efort intens de pilotaj
Se pot obține
performanțe adecvate misiunii cu
un efort de pilotaj
tolerabil? PR = 8
Deficiențe majore Avion controlabil cu un
efort considerabil de
pilotaj
PR = 7
Deficiențe majore Avion controlabil fără un
efort de compensare
sensibil
Este avionul satisfăcător fără a suferi
modificări?
NIVEL
2 PR = 6
Deficiențe mari Performanțe adecvate
obținute cu un efort de
compensare intens
PR = 5
Deficiențe moderate Performanțe adecvate
obținute cu un efort de
compensare considerabil
PR = 4
Deficiențe mici Performanțe adecvate
obținute cu un efort de
compensare mediu
NIVEL
1 PR = 3
Deficiențe minore Performanțe dorite
obținute cu un efort de
compensare minim
PR = 2
Deficiențe neglijabile Performanțe dorite
obținute
(Avion foarte bun)
PR=1
Fără deficiențe Fără efort de compensare
(avion excelent)
Figura 4.1 Scara Cooper Harper
NU
DA
NU
DA
NU
DA
53
NIVELUL 1: Calități de zbor perfect adecvate fazei de zbor considerate ( note cuprinse între 1 și 3 pe
scara Cooper – Harper )
NIVELUL 2: Calități de zbor adecvate fazei de zbor considerate. Dar există o anumită îngreunare a
pilotajului și / sau o scădere a eficienței în îndeplinire a misiunii ( note cuprinse între 4 și 5 pe scara
Cooper – Harper)
NIVELUL 3: Calități de zbor care asigură controlul avionului, dar efortul de pilotaj este excesiv și / sau
eficiența în îndeplinirea misiunii nu este satisfăcătoare. ( note cuprinse între 7 și 9 pe scara Cooper –
Harper)
Este important de remarcat faptul că definirea nivelelor de calități de zbor pe scara Cooper –
Harper implică raportarea la așa numitele faze de zbor. În conformitate cu regulamentele în vigoare se
disting 3 categorii de faze de zbor:
– Categoria A: Faze de zbor neterminale, care necesită manevrarea rapidă, urmărirea precisă
sau control precis al traiectoriei.Din această categorie de fază de zbor fac parte, de exemlu
lupta aeriană, atacul la sol, urmărirea terenului, zborul în f ormație strânsă, etc
– Categoria B: Fazele de zbor neterminale executate, în mod normal, prin manevre gradate,
(linie), fără urmărire precisă, dar cu un control precis al traiectoriei.Din această categorie de
faze de zbor fac parte, de exemplu, urcarea, zbor ul de croazieră, coborârea, coborârea forțată,
zborul de așteptare.
– Categoria C: Fazele de zbor terminale, executate prin manevre gradate ( linie), cu un control
precis al traiectoriei.Sunt incluse în această categorie decolarea, decolarea prin catapultare ,
apropierea la aterizare, aterizarea.
Totodată, pe baza criteriilor de greutate și de manevrabilitate, sunt definite patru clase de avioane:
– Clasa I: Avioane mici, ușoare ( de exemplu, utilitare, de antrenament primar, de observație)
– Clasa a II -a: Avioane de greutate medie, cu manevrabilitate mica / medie ( de exemplu, utilitare
grele, de transport ușor / mediu, bombardier tactic)
– Clasa a III -a: Avioane de greutate mare, cu manevrabilitate mica / ,medie ( de exemplu, de
transport greu, bombardier greu
– Clasa a IV -a: Avioane de mare manevrabilitate ( de exemplu, de luptă, de interceptare, de atac la
sol.)[7]
54
4.2.2 Cerințe de calități de zbor exprimate prin caracteristicile modale.
Aceste cerințe depind, în mod decisiv, de caracteristicile de stabilitate și comandă ale vehiculului
considerat.Este important de remarcat influența caracteristicilor modurilor rapide ale mișcării perturbate
întrucât, în cazul acestora intervenția compensatoare a pilotului uman este practic imposibilă, ținând cont
de scara de timp la care se desfășoară fenomenele.
În ceea ce urmează voi prezenta principalele criterii de apreciere a nivelului calității de zbor în
funcție de caracteristicile modale longitudinale și încadrarea avionului studiat la unul din nivele de calități
de zbor.
Modul longitudinal de scurtă perioadă.
În funcție de valorile raportului de amortizare (
SP ), nivelele de calități de zbor sunt delimitate așa cum
se poate observa în tabelul de mai jos
Tabel 4.3 Limitele raportuli de amortizare
SP [7]
Legat de limitele impuse raportului de amortizare, se pot face următoarele precizări cu caracter
general :dacă amortizarea este prea mică, suprareglajul răspunsului răspunsului avionului la comenzi și Nivel de calități de
zbor Categoriile A și C Categoria B
Minimum Maximum Minimum Maximum
1 0.35 1.30 0.30 2.00
2 0.25 2.00 0.20 2.00
3 0.15 – 0.15 –
55
timpul de înjumătățire a perturbațiilor sunt prea mari și, de asemenea, crește sensibilitatea la turbulența
atmosferică . În schimb, dacă amortizarea este prea mare, răspunsul la comenzi este prea lent.
Cerințele referitoare la pulsația naturală neamortizată a oscilațiilor ce aparțin modului rapid (
SPn )
depind, în mod esențial, de valorile parametrului de sensibilitate a accelerației normale la variația
incidenței de zbor, paramentru notat, de cele mai multe ori,
/n (sau
n ) .Acest parametru
/n
reprezintă raportul dintre răspunsul staționar al factorului de sarcină normală la traiectorie (n) și
răspunsul staționar al incidenței de zbor (
) generate de o comandă tip treaptă de profundor.Ținând cont
de definiția precedent ă, se obține, în aproximația de „scurtă perioadă ”,[4]
2
)() 2/*(2
e q eee LL
Lq LM
MDM
MC C C C C VnCC g CC c
(4.64 )
Cercet ările au pus în evidență existența unor intervale de valori ale pulsației naturale în care
amplificarea comenzii de tangaj poate fi proiectată optimal din punct de vedere al calităților de
zbor.Pentru fiecare nivel de calități de zbor și catergorie de faze de zbor, astfel de intervale sunt definite
în funcție de valorile parametrului
/n și sunt corelate cu valorile limită dintre patratul pulsației
naturale neamortizate și
/n .Acest raport constituie o buna apro ximație pentru un alt parametru
important, parametrul de anticipare a comenzii ( CAP – Control Anticipation Parameter)
2/ ( / )
SPn CAP n (4.65 )
CAP – este definit ca raportul dintre accelerația unghiulară de tangaj produsă inițial de o comandă
tip treaptă de profundor și variația finală a factorului de sarcină normal, obținută ca urmare a comenzii
respective,
0( ) / CAP q t n (4.66 )
Pentru realizarea unui control foarte precis al traiectoriei de zbor, pilotul trebuie s ă poată anticipa
exact răspunsul final al vehiculului pe baza comportării inițiale a acestuia, fapt ce a condus la definiția de
mai sus.Diagrama prezentată anterior poate fi sintetizată dupa cum urmează pentru avionul de studiu :
Fiind un avion militar de l uptă acesta se încadrează în categoria A a fazelor de zbor.
56
– Pentru faze de zbor de categoria A:
– Nivelul I : 0,28 (
2s )
2
SPn /
2( / ) 3,6 ( )ns și
11( )
SPn s
– Nivelul II : 0.16 (
2s )
2
SPn /
2( / ) 10 ( )ns și
10.6 ( )
SPn s
– Nivelul III :
2
SPn /
( / )n
20.16 ( ) s [4]
5. Utilizarea sistemelor automate de îm bunătățire a stabilității.
5.1 Noțiunea de feed -back.
Conexiunea inversă, cunoscută și sub numele de “reacție” sau “feed -back”, reprezintă elementul
fundamental al structurii de sistem automat. În cazul unui astfel de sistem, mărimea de comandă ( u) este
elaborate în funcție de abaterea sau eroarea (
) dintre valoarea de referinț ă a mărimii de ieșire (
ry ) și
valoarea măsurată (y) a acesteia.
( ) ( ) ( )r t y t y t (5.1)
Determinarea erorii (
()t ) presupune includerea în structura sistemului automat (alături de
traductori adecvați) a unui element de comparație prin diferență
Cel mai simplu tip de feed -back este cel proporțional ( P ), definit printr -o lege de forma :
( ) ( )u t k t (5.2)
unde k reprezintă constanta de proporționalitate al reacției considerate. [6]
Primul pilot automat a fost realizat de Sperry în 1914, cu scopul menținerii în zbor a unor valori
constante ale unghiurilor de atitudine ale avionului și folosea feed -back-ul proporțional. [6]
5.2 Reacții necesare îmbunătățirii cal ităților de zbor.
Dupa cum am discutat anterior, standardele calității de zbor impun satisfacerea anumitor cerințe
privind caracteristicile de stabilitate ale avionului.Este evident că, în cazul avioanelor cu o anvelopă de
zbor extinsă, cerințele menționat e anterior nu pot fi îndeplinite în toate punctele anvelopei în mod natural.
57
În cele ce urmează voi prezenta principalele reacții utilizabile în cadrul unui așa numit “sistem de
îmbunătățire a stabilității” ( SAS – Stability Augmentation System).Acțiunea un ui sistem automat de
îmbunătățire a stabilității poate fi echivalată, theoretic cu modificarea valorilor derivatelor aerodinamice
ale avionului său, eventual, cu introducerea unor derivate noi.
– Reacția q
e ( specifică amortizorului de tangaj) dintre bracajul de profundor și viteza
unghiulară de tangaj, este utilizată cu scopul de a mări valoarea raportului de amortizare al
modului de scurtă perioadă (
SP ) fără a influența sensibil cei lalți parametri ai mișcării perturbate
longitudinale.
– Reacția
t , dintre bracajul de profundor și incidența de zbor este utilizată, de regulă, în
scopul de a mării valoarea parametrului
SPn (pulsația naturală neamortizată a modului de scurtă
perioadă). De reținut este faptul că mărimea, astfel obținută, a valorii pulsației
SPn este însoțită
de micșorarea valorii raportului de amortizare (
SP ), fapt care impune anumite condiții în
utilizarea acestei reacții.
– Reacția V –
e, ( care leagă bracajul de profundor de viteza de zbor, se poate utiliza pentru a mări
valorile parametrilor
P și
Pn ( ai modului de mișcare fugoidal) fără a afecta în mod
semnificativ modul de scurtă perioadă
– Reacția V
t dintre poziția manetei de gaze și viteza de zbor, are același efect ca și reacția de
la punctul precedent.
– Reacția
e , are ca efect, pe de o parte, creșterea amortizării modului fugoid ( valoarea
P va
crește), și pe altă parte, micșorarea amortizării modului rapid.(valoarea
SP scade) .[6]
5.3 Îmbunătățirea caracteristicilor modului longitudinal de scurtă perioadă.
În primul rând este nevoie să se arate că est e nevoie de feed -back pentru îmbunătățirea caract
modului de scurtă perioadă prin calcularea valorilor amortizării. Conform Tabelului 4.3 pentru regimurile
subsonice nu este nevoie de nicio îmbunătățire deoarece se satisfac cerințele de nivel 1 ( Categoria
A).Prin urmare se face îmbunătățirea prin feed -back doar pentru regimul supersonic (Mach 1.1, Mach 1.6)
Sistemele automate sunt proiectate pentru îmbunătățirea stabilității longitudinale ce vizează
prioritar caracteristicile modurilor rapide ale mișcării perturbate ( în particular caracteristicile modul
longitudinal de scurtă perioadă), a căror influență asupra calităților de zbor ale avionului este
58
preponderată. În cele ce va urma este studiată problema proiectării unui sistem automat de îmbunătățire a
stabilității dinamice longitudinale a avionului.
Se are în vedere determinarea parametrilor astfel încât, în circuitul închis, pulsația proprie
neamortizată și raportul de amortizare ale modului longitudinal de scurtă perioadă să satisfacă cerințele
impuse d e regulamentele de calități de zbor.
Vom considera următorul model liniar al mișcării longitudinale a avionului.
L L L L Ldx A x B udt (5.3)
unde
Lx și
Lu reprezintă vectorii perturbațiilor instantanee ale mărimilor de stare și, respectiv, de
comandă longitudinale ( în raport cu valorile corespunzătoare unei mișcări de bază specficicate) ,
[]T
Lx V q (5.4)
[]T
L e tu (5.5)
unde
LA și
LB sunt matricile de stabilitate și de comandă aferente .
În aproximația de scurtă perioadă unde
V =0 și
=0, rezultă următoarele ecuații :
22 23 21 22 , etda a q b bdt (5.6)
32 33 31 32 , etdq a a q b bdt (5.7)
Pentru realizarea obiectivului men ționat, relativ la valorile
spn și
sp , se utiliează un sistem automat
bazat pe reacțiile
e și
e q , sub forma proporțională
eqk k q (5.8)
59
unde
k și
qk reprezintă factorii de amplificare ai reacției respective.
Acești parametri esențiali urmând sa fie determinați din condițiile impuse mărimilor
spn și
sp .
Dacă se va introduce rel ația anterioară în ecuațiile ( 4.13) și (4 .14) se va obține următorul sistem
în circuit în chis.[7]
22 23da a qdt
(5.9)
32 33dq a a qdt
(5.10 )
unde :
22 22 21a a k b
(5.11 )
23 23 21 q a a k b
(5.12 )
32 32 31a a k b
(5.13 )
33 33 1 31a a k b
(5.14 )
sistem a cărui ecuație caracteristică este :
2
22 33 22 33 23 32( ) 0a a a a a a
(5.15 )
sau ținând cont de expresiile 5.11 – 5.14 este :
60
2
22 23 21 31 22 33 23 32 33 21 23 31
22 31 32 21( ) ( )
( ) 0q
qa a b k b k a a a a a b a b k
a b a b k
(5.16 )
În care nu se cunosc constantele de amplificare
qk și
k
Constantele de amplificare (
qk și
k ) se determină imunând valorile raportului de amortizare (
SP
) și a pulsației naturale neamortizate (
SPn
) în buclă închisă (cu feedback), astfel încât sa fie
satisfăcute cerințele pentru Nivelul 1 ( Categoria A faza de zbor).
Impunem :
SP
=0.8
SPn
=3 rad/sec
și ținem cont că ecuația caracteristică (5.16) se scrie, în funcție de
qk și
k sub forma :
222
SP SP SP n n
(5.17 )
Pentru valorile impuse, rezultă ecuația caracteristică:
24.8 9
(5.18 )
Se identific ă apoi coeficienții ecuațiilor (5.16) și (5.18), formăndu -se sistemul pentru determinarea
constantelor de amplitudine.
Pentru Mach 1.1 se obține sistemul :
0.383 60.77 1.496
60.032 102 41.594q
qkk
kk
(5.19 )
de unde rezultă constantele de amplificare :
k= -0.695
qk =0.029
Pentru Mach 1.6 se ob ține sistemul :
61
0.338 79.432 1.682
79.808 121 106.57q
qkk
kk
(5.20 )
de unde rezult ă constantele de amplificare :
k= -1.36
qk = 0.027
6. Concluzii
În concluzie, în urma tutuor cercetărilor făcute am constatat că altit udinea și viteza de
zbor a aero navei joacă un rol foarte important în stabilitatea aeronavei.În funcție de altitudine ,
unghiul de incidență și unghiul de b racare al profundorului variază, valori ce intervin în matricea
de stabilitate aer onavei.În urma ca lculelor efectuate am concluzionat că aeronava Mig -21 este
stabilă la toate regimurile de zbor la care am studiat stabilitatea.(Mach 0.6, 0.8, 0.9, 1.1, 1.6).
Caracteristicile modale au și ele un rol important atunci cand vine vorba de
manevrabilitatea avionului. În funcție de aceste caracteristici putem observa daca se po ate
îmbunătății modul de scurtă perioadă . În cazul meu, unde am studiat îmbunățirea caracteristicilor
de scurtă perioadă s -a constatat că aeronava nu necesită îmb unătățir i la Mach 0.6, 0.8, 0.9, ci doar
la Mach 1.1 , 1.6 unde am obținut valorile constantele de amplificare
qk și
k.
62
7.Bibliografie
1.David A. Caughey, Introduction to Aircraft Stability and Control Course Notes for M&AE 5070,Sibley
Schoo; of Mechanical & Aerospace Engineering Cornell University Ithaca, New York, 2011
2.Michael V. Cook, Second Edition Flight Dynamics Principles , 2007
3 Donald McLean,,Automatic Flight Control Systems, Prenttice Hall In ternational (UK), 1990
4 Bernand Etkin( University Professor Emeritus Institute for Aerospace Studies University of Toronto )
and Lloyd Duff Reid (Professor Institute for Aerospace Studies University of Toronto ),Dynamics of
Flight -Stability and Control, Third Edition,John Wiley & Sons, 1996.
5 Aeroclubul Romaniei, Principiile Zborului,Bucuresti 2011.
6 Dr Robert C. Nelson, Flight Stability and Automatic Control, WBC McGraw -Hill,1998
7 Dr ing Bogdan Teodorescu, Dinamica Avionului –Stabilitatea zborului, Printech Bucuresti 2005
8 http://www.aripi -argintii.ro/aparatdezbor.php?p=123
9 https://en.wikipedia.org/wiki/Phugoid
10. https://en.wikipedia.org/wiki/Aircraft_dynamic_modes
11 https://ro.wikipedia.org/wiki/Mikoian -Gurevici_MiG -21
63
ANEXA 1. Determinarea coeficien ților din mișcarea de bază
Program:
clear all
clc
H = 5000:1000:7000;
alpha = [];
theta = [];
de = [];
Tr = [];
for i = H
sol = sistem(i);
a = rad2deg(double(sol.alpha));
b = rad2deg(double(sol.theta));
c = rad2deg(double(sol.de));
d = double(sol.Tr);
alpha = cat(1, alpha, a);
theta = cat(1, theta, b);
de = cat(1, de, c);
Tr = cat(1, Tr, d);
End
plot(H, alpha);
title( 'alpha functie de H' );
xlabel( 'H');
ylabel( 'alpha' );
figure
plot(H, de);
title( 'de functie de H' );
64
xlabel( 'H');
ylabel( 'de');
figure
plot(H, Tr);
title( 'Tr functie de H' );
xlabel( 'H');
ylabel( 'Tr');
Sistem:
function sol = sistem(H)
% Date avion
ce = 2;
c0 = 6;
S = 28;
b = 9.8;
m = 8700;
% Date zbor
M = 1.1;
g = 9.81;
% Calcule date altitudine
T = 288.15 – H/1000*6.5;
p0 = 1.01325;
p = p0*(1 – 2.256*(10^( -5))*H)^(5.256);
rho0 = 1.225;
rho = rho0*(1 – 2.256*(10^( -5))*H)^(4.256);
% Calcul viteze
V0 = M*sqrt(1.4 * 287 * 288.15);
V = M*sqrt(1.4 * 287 * T);
65
% Coeficienti
clap = 2.09;
clq = 6.25;
clde = 1.04;
cmap = -3.15;
cmq = -5.25;
cmde = -1.30;
apt = 0;
tau = 0;
% Calcul coeficienti
r = c0/ce;
q = (r -1)/r;
c = 3.4;
qt = (q*c)/(2*V0);
alpha = sym( 'alpha' );
theta = sym( 'theta' );
de = sym( 'de');
Tr = sym( 'Tr');
sol = solve([
Tr*cos(alpha + tau) – rho/2*(V^2)*S*( 0.052 – 0.14*alpha + 4.52*(alpha^2) -1.55*(alpha^3)) == 0
,
rho/2*(V^2)*S*(( -0.011 + 5.21*alpha + 2.3*(alpha^2) – 11.95*(alpha^3)) + clap*apt
+ clq*qt + clde*de + (0.052 – 0.14*alpha + 4.52*(alpha ^2)-1.55*(alpha^3))*tan(alpha + tau)) == m*g
,
-0.03 – 1.03*alpha – 0.22*(alpha^2) – 2.12 *(alpha^3)+ cmap*apt + cmq*qt + cmde*de == 0,
theta == alpha
],[alpha, theta, de, Tr]);
end
66
ANEXA 2. Calculul matricii de stabilitate – Mach 0.9
m 8700
TV0
0.02089
0
60000.659692
S 28
M 0.9
T6000249.15
V0M1.4287 T6000 284.759
CD00.028 0.10 3.992 0.983 0.028
CDV0.011
DV6000V0S2CD0 CDV
2
174.33
a11TVcos( ) DV
m
0.02
V028.109 104
c3.4
2m()
6000Sc
277.058
c 941.998
CD0.10 23.99 0.9832 0.065
CLp3.30
p 0
CLq7.10
qc 0
67
CLe0.96
e 0.0631
0
0.021
CL( )0.048 4.58 0.062 13.33
CL( )0.144
CL0CL( )CLpp CLqqc CLee 0.083
a12V02CL0CD
c
1.514
a130
a149.81
m 8.7 103
V0284.759
TV0
0.021
0
CLp3.3
Lp6000V0ScCLp
4
Lp1.475 104
CLV0.089
LV6000V0S2CL0 CLV
2
LV670.664
a21TVsin( ) LV
mV0 Lp2.691 104
68
CD00.028
CL4.58 0.062 313.32 4.565
2 554.116
CLCD0
2 CLp8.239 103
2V0
c167.505
a228.239 103 167.505( ) 1.38
a231
00
a24m9.81 sin0
mV0 Lp
a240
Iy81000
CMV0
CM( ) 0.049 0.24 1.282 7.973
CM( ) 0.054
CMp4.62
p 0
CMq5.90
qc 0
CMe1.08
CM( ) 0.054
e 0.063
69
CM0CM( )CMpp CMqqc CMee 0.015
MV6000V0Sc2CM0CMV
2
MV261.465
Mp6000V0Sc2CMp
4
Mp7.023 104
a31MVa21Mp
Iy
a313.461 103
CM0.24 21.28 37.972 0.197
M6000V02 ScCM
2
M5.015 105
a32Ma22Mp
Iy
a324.995
Mq6000V0Sc2CMq
4
Mq8.969 104
a33Mqa23Mp
Iy
a331.974
a340
a410
a420
a431
70
a440
a11
a21
a31
a41a12
a22
a32
a42a13
a23
a33
a43a14
a24
a34
a44
0.02
2.691 104
3.461 103
01.514
1.38
4.995
00
1
1.974
19.81
0
0
0
c3a11 a22 a33
c33.374
c2a11a22 a11a33 a22a33 a12a21 a13a31 a23a32 a34
c27.787
c1a11a23a32 a22a33 a12a21a33 a23a31 a13a22a31 a21a32 a14a31 a24a32 a34a11a22
c10.184
c0a11a24a32 a22a34 a12a21a34 a24a31 a14a22a31 a21a32
c00.06
71
ANEXA 3. Calculul caracteristicilor modale
Mach 0.6
Mach 0.8
Mach 0.9 Timpul de înjumătățire.
Constanta de timp
Pulsatia naturala
Perioada conventionala
Frecventa conventionala
Pulsatia neamortizata
Numarul de cicli de injumatatire
Timpul de înjumătățire.
Constanta de timp
Pulsatia naturala
Perioada conventionala
Frecventa conventionala
Pulsatia neamortizata
Numarul de cicli de injumatatire
T0.5ln2()
1.23080.563
1
1.23080.812
1.4576
T 23.14
0.59
1
0.5631.776
1.230821.45762 1.908
Nc0.50.11
1.2308 0.952
T0.5ln2()
1.53480.452
1
1.53480.652
1.6627
T 23.14
0.59
1
0.4522.212
1.534821.66272 2.263
Nc0.50.11
1.5348 0.763
72
Mach 1.1
Mach 1.6 Timpul de înjumătățire .
Constanta de timp
Pulsatia naturala
Perioada conventionala
Frecventa conventionala
Pulsatia neamortizata
Numarul de cicli de injumatatire
Timpul de înjumătățire.
Constanta de timp
Pulsatia naturala
Perioada conventionala
Frecventa conventionala
Pulsatia neamortizata
Numarul de cicli de injumatatire
T0.5ln2()
1.67510.414
1
1.67510.597
1.6751
T 23.14
0.59
1
0.591.695
1.675122.15352 2.728
Nc0.50.11
1.6751 0.699
T0.5ln2()
1.65170.42
1
1.65170.605
6.9184
T 23.14
0.59
1
0.591.695
1.651726.91842 7.113
Nc0.50.11
1.2428 0.943
73
Timpul de înjumătățire.
Constanta de timp
Pulsatia naturala
Perioada conventionala
Frecventa conventionala
Pulsatia neamortizata
Numarul de cicli de injumatatire
T0.5ln2()
1.24280.558
1
1.24280.805
10.6494
T 23.14
0.59
1
0.591.695
1.2428210.64942 10.722
Nc0.50.11
1.6517 0.709
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Științe Aerospațiale “Elie Carafoli” Influen ța vitezei, a altitudinii de zbor și a pantei traiectoriei asupra stabilității dinamice longitudinale a… [629910] (ID: 629910)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.