Stadiul Actual Privind Corectarea LA Spectrul Secundar

Universitatea Politehnica timiȘoara

FACULTATEA DE MECANICĂ

STADIUL ACTUAL PRIVIND CORECTAREA LA SPECTRUL SECUNDAR

– REFERAT NR. 3 –

Conducător științific:

prof.dr.ing. Ioan NICOARĂ

Doctorand:

ing. Raneta BODEA

2004

Aberații cromatice

Aberațiile cromatice sunt determinate de policromatismul luminii albe în care lucrează majoritatea aparatelor optice. Aceste erori de formare a imaginii însoțesc aberațiile geometrice, dar nu depind de acestea și se manifestă chiar și în domeniul paraxial.

Aberațiile cromatice apar ca urmare a manifestării fenomenului de dispersie. Prin dispersie se înțelege descompunerea luminii policromatice în radiațiile monocromatice componente – fenomen generat de variația indicelui de refracție cu lungimea de undă a radiației. Ca urmare a acestei variații, abscisele imagine pentru diferite lungimi de undă nu coincid – refracția pe dioptrii sistemului optic având loc sub unghiuri diferite, funcție de lungimea de undă. De asemenea, mărimea imaginii diferă pentru culori diferite, astfel încât un alt efect al aberației cromatice este mărirea transversală variabilă cu lungimea de undă.

Dispersia materialelor optice în domeniul vizibil – numită dispersie normală – este monoton descrescătoare dar neliniară de la albastru spre roșu – (fig.1.1) – și, ca urmare, nu poate fi caracterizată printr-un singur parametru.

Fig.1.1. Dispersia în domeniul vizibil

Indicatorii de dispersie utilizați în proiectarea componentelor optice sunt:

dispersia medie (principală):

(1.1)

numărul Abbe:

(1.2)

dispersii parțiale:

, (1.3)

dispersii parțiale relative:

. (1.4)

Indicii Fraunhofer e, F’, C’ corespund liniilor spectrale cu lungimea de undă 546.074 nm (din spectrul Hg), 479.992 nm (din spectrul Cd) și respectiv 643.850 nm (din spectrul Cd), care definesc radiații de culoare verde – considerată de referință – , albastră și respectiv roșie. Radiațiile e, F’ și C’ reprezintă liniile de referință, F’ și C’ fiind linii de delimitare a domeniului vizibil de calcul, preferate în literatura de specialitate germană și, în general, europeană. Sistemul american de calcul mai admite și setul spectral de bază d (sau D), F și C. De remarcat este faptul că, în cele două grupuri de radiații implicate direct în calcule, liniile sunt foarte apropiate (d – 587.56 nm – linie galbenă din spectrul Na, D – 589.28 nm – linie galbenă din spectrul Na, F – 486.13 nm – linie albastră din spectrul H, C – 656.27 nm – linie roșie din spectrul H).

Se observă că în calculul de analiză și sinteză a sistemelor optice se utilizează linii spectrale de delimitare a domeniului vizibil diferite de cele care mărginesc domeniul și pentru care sensibilitatea spectrală a ochiului este nulă. Alegerea perechii de linii F’-C’ sau F-C este justificată prin faptul că între cele două linii, albastră și roșie, se găsește, practic, întreaga energie luminoasă din vizibil.

Aberația cromatică de poziție (longitudinală sau axială) determină formarea imaginii unui punct obiect axial sau poziția focarului în locuri distincte pe axa optică pentru lungimi de undă diferite.

Având în vedere relația dintre indicii de refracție:

(1.5)

rezultă aceeași relație de ordine între puterile unei lentile pentru cele trei linii spectrale:

(1.6)

(considerând lentila infinit subțire cu puterea =(n-1)c) sau

. (1.7)

Rezultă că planele focale ale unei lentile sunt situate la abscise diferite pe axa optică pentru lungimi de undă diferite (fig.1.2).

Eliminarea cromatismului presupune egalitatea absciselor imagine pentru toate lungimile de undă și pentru orice înălțime de incidență, ceea ce, practic, este imposibil. În proiectarea sistemelor optice, în mod curent, se urmărește suprapunerea a două sau trei abscise imagine (pentru două sau trei lungimi de undă), ceea ce se dovedește suficient pentru o bună calitate a imaginii.

Fig.1.2. Aberația cromatică pentru lentila convergentă (a) și divergentă (b)

Egalitatea absciselor imagine sau a distanțelor focale pentru două lungimi de undă se numește acromazie sau dicromazie, iar sistemul care îndeplinește această condiție se numește acromat sau dicromat. Această egalitate se regăsește, în general, numai pentru o singură înălțime de incidență. Considerând ca referință abscisa comună F’-C’, diferențele dintre abscisele imagine pentru orice linie spectrală și abscisa comună de referință determină spectrul secundar.

Egalitatea absciselor imagine sau a distanțelor focale pentru trei lungimi de undă se numește apocromazie sau tricromazie, iar sistemul care îndeplinește această condiție se numește apocromat sau tricromat.

Tricromatele au spectrul secundar redus față de acromate. Apocromatele sunt compuse din cel puțin trei lentile.

Egalitatea absciselor imagine sau a distanțelor focale pentru mai mult de trei lungimi de undă se numește policromazie, iar sistemul care îndeplinește această condiție se numește policromat. Policromatele de tipul supercromat sau semisupercromat conțin mai mult de trei lentile și sunt aplanetice pentru două radiații.

Determinarea aberației cromatice axiale presupune calculul aberației cromatice paraxiale și al aberației cromatice extraaxiale.

Aberația cromatică axială paraxială, pentru domeniul vizibil, este reprezentată de diferența absciselor imagine paraxiale pentru liniile de la marginea domeniului:

(1.8)

Aberația cromatică axială extraaxială se exprimă ca diferență a absciselor imagine extraaxiale de la marginile spectrului vizibil, la diverse înălțimi de incidență:

. (1.9)

Cu ajutorul punctelor determinate cu relația (1.8) și (1.9) se trasează o curbă de variație a aberației cromatice cu apertura (fig.1.3).

Fig.1.3. Variația aberației cromatice cu apertura

Având în vedere faptul că aberația cromatică este determinată de înălțimea de incidență, variația sa poate fi privită ca o aberație sferică în dependență de lungimea de undă. Cele două aberații, sferică și cromatică se analizează de obicei împreună, cu denumirea de sferocromatism. Curbele care definesc sferocromatismul au expresiile:

, (1.10)

, (1.11)

, (1.12)

și au ca variabilă independentă înălțimea de incidență h (fig.1.4.a). Curbele exprimă o variație cromatică a aberației sferice.

O altă formă a sferocromatismului este exprimarea aberației cromatice pentru anumite aperturi precizate (în general, înălțimea maximă de incidență, zona și paraxialul) având ca variabilă independentă lungimea de undă (fig.1.4.b).

Curbele (1.11) și (1.12) au un punct de intersecție care semnifică egalitatea absciselor imagine pentru radiațiile albastră și roșie la o anumită înălțime de incidență. Faptul că pentru celelalte lungimi de undă abscisele imagine nu se suprapun este interpretat ca o formă a aberației cromatice care poartă numele de spectru secundar. Considerând ca referință abscisa imagine comună roșu-albastru, spectrul secundar se definește numeric ca diferență între abscisele imagine pentru oricare altă lungime de undă și abscisa de referință, la înălțimea de incidență pentru care este realizată acromatizarea.

a.b.

Fig.1.4. Sferocromatismul caracterizat prin variația cromatică a aberației sferice (a), respectiv prin variația aberației cromatice funcție de lungimea de undă la diverse aperturi

Spectrul secundar poate fi apreciat pe baza curbelor care caracterizează sferocromatismul. Pentru un policromat ideal, la care abscisele imagine se suprapun pentru toate lungimile de undă și, ca urmare, este lipsit total de spectru secundar, curbele din figura 1.4.b sunt drepte verticale.

Fig.1.5. Variația distanței focale imagine caracteristică

sistemelor acromate, cu spectru secundar maxim în zona verde-galben

Pentru caracterizarea spectrului secundar se mai poate trasa și o variație a focarului (sau abscisei imagine) in raport cu lungimea de undă. În figura 1.5 se prezintă un exemplu de astfel de reprezentare, din care rezultă că sistemul analizat este un acromat pentru care s-a obținut un focar comun F’-C’. Diferențele măsurate pe direcția abscisei pentru celelalte puncte ale curbei, în raport cu focarul comun reprezintă spectrul secundar.

Se definesc și forme transversale de exprimare a aberației cromatice, prin diferența dintre înălțimile imaginilor paraxiale, respectiv extraaxiale pentru liniile albastră și roșie:

, (1.13)

. (1.14)

unde ’ și reprezintă unghiul dintre axa optică și raza emergentă paraxială, respectiv extraaxială pentru linia de referință de la mijlocul spectrului.

Toate expresiile aberației cromatice descrise anterior se bazează pe date obținute prin trasări paraxiale și trigonometrice ale razelor obiective.

Dacă se trasează raza pupilară principală se pot obține încă doi indicatori transversali de caracterizare a cromatismului: aberația cromatică laterală paraxială:

, (1.15)

respectiv aberația cromatică laterală extraaxială:

. (1.16)

Toleranțele pentru aberația cromatică după criteriul Rayleigh /4 (diferența OPD dintre frontul de undă real și ideal este mai mic sau egal cu /4) sunt de forma:

, (1.17)

, (1.18)

. (1.19)

Aceste toleranțe sunt mai puțin semnificative decât în cazul aberațiilor geometrice monocromatice. Încadrarea în intervalele prescrise indică respectarea criteriului pentru liniile extreme ale spectrului vizibil, pentru lungimile de undă intermediare diferența de drum optic fiind mai mică sau mult mai mică decât /4. Având în vedere sensibilitatea spectrală a ochiului, cu maxim la mijlocul spectrului, în aplicațiile curente se poate admite o majorare a valorilor date de relațiile (1.17…1.19) cu un factor de [1.8…2.5].

2. Repere istorice în proiectarea sistemelor corectare la aberații geometrice si cromatice

Isaac Newton (1642-1727), una dintre figurile cele mai proeminente ale tuturor timpurilor nu numai în domeniul opticii, ci în toate științele exacte, la numai 23 de ani, punea în evidență, printr-o simplă experiență cu o prismă de sticlă, fenomenul de dispersie, demonstrând caracterul spectral compus al luminii albe. Având la dispoziție această informație, a dedus existența aberațiilor cromatice, pe care s-a străduit, o perioadă, să le elimine prin diverse metode. Concluzia sa în această privință a fost, însă, foarte fermă și a influențat mult evoluția ulterioară a problemei corectării aberațiilor cromatice. A conchis că acestea sunt imposibil de eliminat dintr-un sistem optic și deși această concluzie este eronată, a avut partea ei pozitivă, prin faptul că a condus la inventarea telescopului. Pentru că obiectivul lunetei astronomice nu putea fi corectat la aberații cromatice, Newton a considerat că cea mai bună soluție era renunțarea la obiectivul lenticular și înlocuirea cu o altă componentă, oglinda, creând astfel un nou tip de instrument optic (1668), utilizat cu succes și astăzi în astronomie.

Leonard Euler (1707-1783) și suedezul Samuel Klingenstjerna (1698-1765), în ciuda autorității newtoniene, au reluat problema acromatizării, care, în final, a fost rezolvată de John Dolland (1706-1761). Acesta propune ca soluție, în 1758, asocierea sticlelor crown și flint.

Corectarea aberațiilor cromatice și, de asemenea, a celor geometrice, presupune impunerea unor condiții matematice care exprimă, de fapt, algoritmii de proiectare a subansamblurilor optice. Proiectarea sistemelor optice – sau elaborarea algoritmilor de calcul – face obiectul ingineriei optice. Aceasta s-a dezvoltat în paralel, cu mare întârziere față de optica teoretică și începuturile sale sunt greu de plasat cronologic.

Totuși, probabil că Gauss, prin definirea domeniului paraxial și stabilirea ecuațiilor de formare a imaginii în dioptrica de ordinul I, a fost primul care a pus la dispoziția fabricanților de instrumente optice, un set de relații simple prin care se putea imagina un calcul de gabarit al sistemului și se putea controla, cu oarecare aproximație, poziția planelor conjugate. Optica gaussiană este, însă, importantă mai ales pentru că, geometric, descrie sistemele optice ideale. Caracteristicile optice de referință se determină și în prezent cu relațiile indicate de Gauss.

Următoarele contribuții care conduc spre definirea unor criterii de proiectare, aparțin unui strălucit matematician, Phillip Ludwig von Seidel (1821-1896), elev al altor mari matematicieni, printre care Dirichlet, Bessel, Jacobi ș.a. Seidel este preocupat de optică și una dintre cele două teze de doctorat ale sale se referă la oglinzile de telescop. Lucrările sale în optică sunt elaborate în jurul anilor 1850 și clarifică amalgamul de cunoștințe anterioare privind erorile de formare a imaginii numite aberații, într-o forma matematică sintetică, clară și cu disponibilitate pentru utilizare în analiză și sinteză.

Seidel dezvoltă, de fapt, dioptrica de ordinul III, definește cinci tipuri de aberații geometrice, calculabile analitic. Ingineria optică modernă lucrează cu conceptele introduse de Seidel care a definit aberația sferică, coma, astigmatismul, curbura de câmp și distorsiunea. Acestora li se atașau aberațiile cromatice. Sumele lui Seidel, așa cum au fost numiți de el coeficienții corespunzători celor cinci aberații stau la baza metodelor ulterioare de proiectare a sistemelor optice.

Abbe, în calitate de director tehnic al firmei Karl Zeiss, a îmbogățit cunoștințele practice mai ales în domeniul microscopiei. El a determinat limitele privind grosismentul microscopului optic și a dezvoltat matematic condiția sinusurilor, care îi poartă numele.

Prima lucrare de mare extindere, cu referire directă la proiectarea sistemelor optice, aparține profesorului londonez Alexander Eugene Conrady (1866-1944), care, în 1929, publică Applied Optics and Optical Design. Part One. Conrady, pe lângă meritul de a fi sintetizat toate cunoștințele practice anterioare, le-a expus într-o formă coerentă și adresată direct inginerului proiectant. Contribuția sa majoră a constat în exploatarea teoriei aberațiilor de ordinul III, pe care le-a numit primare și cu ajutorul cărora a elaborat algoritmi de sinteză a componentelor lenticulare și a oglinzilor. Partea a doua a lucrării sale nu a fost finalizată în timpul vieții sale. Pe baza notițelor lui Conrady, un strălucit student și doctorand al acestuia, Rudolf Kingslake (1903-2003) își asumă rolul de continuator al operei magistrului. Kingslake devine el însuși un nume important în evoluția ingineriei optice a secolului trecut, pentru că adaptează metodele de calcul elaborate de Conrady, la posibilitățile noi de calcul ale anilor 1970-1980.

În prezent, există mai multe manuale valoroase de inginerie optică, printre care se remarcă lucrările cuprinzătoare ale profesorului Warren J. Smith (n. 1922), care include în materialele prezentate algoritmi de calcul ai funcției optice de transfer și, în general, elemente de evaluare a imaginii bazate pe optica Fourier. Alte lucrări ale sale extind proiectarea sistemelor optice în domeniul infraroșu.

S-a dezvoltat recent și metrologia optică, ca ramură dedicată descrierii metodelor și mijloacelor de măsurare a caracteristicilor sistemelor optice (Daniel și Zacarias Malacara).

Domeniul ingineriei optice a cunoscut un progres real abia în ultima jumătate a secolului al XX-lea, progres care s-a datorat în exclusivitate dezvoltării sistemelor de calcul automat. Spre deosebire de alte ramuri tehnice aplicative, calculul în optică este extrem de laborios și trebuie să fie foarte exact. În secolele trecute, într-o epocă oarecum romantică a opticii aplicate, numai pasionații adevărați aveau răbdarea de a petrece ani în șir pentru proiectarea unui subansamblu optic de calitate.

Abia după anii ’80 ai secolului trecut capacitatea de stocare și viteza de lucru a sistemelor de calcul automat au venit ca un sprijin real în calculul optic. Reducerea timpului de calcul cu câteva ordine de mărime și posibilitatea efectuării drumuirilor cu fascicule înclinate au încurajat dezvoltarea ingineriei optice. Totuși, calculatorul rămâne un instrument de calcul și nu de proiectare. Asigură viteza și precizia, dar algoritmii sunt încă fixați în lanțul Gauss-Seidel-Conrady-Kingslake. Nu există nici o rețetă precisă de a obține o componentă sau un subansamblu limitat la difracție sau cel puțin corectat la câteva aberații impuse. Și în prezent, abilitatea, experiența și intuiția proiectantului sunt indispensabile chiar pentru cel mai performant soft dedicat analizei și sintezei sistemelor optice. Aceste softuri oferă, în primul rând, o analiză complexă și completă, la nivelul cunoștințelor teoretice, adică de la caracteristicile de referință până la funcția optică de transfer. Pe lângă analiza rapidă, pot realiza eventual optimizarea unui sistem deja proiectat în linii mari. Optimizarea în sine este, însă, o problemă, pentru că funcțiile de merit, împrumutate din matematica minimizării funcțiilor de mai multe variabile (și într-adevăr numărul variabilelor poate crește oricât în raport cu exigențele operatorului), nu garantează găsirea unui minimum minimorum, ci de cele mai multe ori se opresc la minime locale.

Era nouă, deschisă de disponibilitatea metodelor numerice, trebuie să conducă la algoritmi noi de proiectare optică, cu soluții rapide și sigure. Acestea sunt așteptate de la opticienii și inginerii din domeniu, care știu că până la standardizarea calculului optic sub forma unor normative, așa cum există la nivel național sau internațional în alte domenii tehnice, mai este încă un drum lung de străbătut.

3. Observații privind metodele actuale de proiectare a dubletelor acromate și tripletelor apocromate. Direcții de cercetare

Subansamblurile de bază, a căror proiectare are în vedere corectarea aberațiilor cromatice sunt dubletele (lipite sau nelipite) și tripletele (lipite sau nelipite). Combinații ale acestora, în general în scheme simetrice și plasarea unor diafragme de deschidere bine determinată, conduc la sisteme mai complexe, care au corectate și coma, curbura de câmp sau astigmatismul. Este cazul subansamblurilor cu câmp obiect mare, la care aberațiile geometrice specifice fasciculelor înclinate sunt semnificative.

Sinteza dubletelor acromate, respectiv a tripletelor apocromate are la bază două elemente:

alegerea unor materiale optice având proprietăți dispersive diferite

asocierea lentilelor convergente cu cele divergente (atât pentru compensarea aberațiilor cromatice, cât și a celor de deschidere).

În ceea ce privește alegerea materialelor compatibile pentru proiectarea dubletelor sau tripletelor, literatura de specialitate nu conține indicații clare fundamentate pe studii matematice, ci, în cel mai bun caz recomandă câteva perechi sau triplete uzuale, cu eventuale comentarii ale influenței variației indicelui de refracție sau a coeficientului Abbe al sticlelor. Alegerea sorturilor este foarte importantă nu numai pentru corectarea aberațiilor cromatice, ci și pentru valorile reziduale ale aberațiilor geometrice, pentru că influențează forma constructivă a lentilelor care rezultă. Astfel, în cazul dubletului nelipit cu sortul crown-în-față, funcție de caracteristicile materialelor se poate obține una dintre soluțiile Fraunhofer sau Gauss (fig.3.1).

Fig.3.1. Forme constructive ale dubletului nelipit Fraunhofer și Gauss

Toate patru soluțiile pot rezulta utilizând același algoritm de proiectare, elementul hotărâtor fiind perechea de sorturi de sticle.

Pentru cazul flint-în-față se pot obține, de asemenea, forme constructive pentru soluțiile numite Steinheil (fig.3.2).

Fig.3.2. Forme constructive ale dubletului nelipit Steinheil

Fiecare formă prezintă avantaje și dezavantaje, descrise în detaliu la expunerea algoritmului de proiectare, dar controlul formei, cel puțin în prezent, nu se face pe baze matematice, ci prin încercări, eventual pe baza experienței anterioare a proiectantului.

Oferta producătorilor de sticle optice s-a extins foarte mult în ultimul timp, astfel încât exploatarea ei ar necesita o bază rațională de selecție a sorturilor, care să conducă direct la soluțiile dorite.

În ceea ce privește tripletele, compatibilitatea sorturilor de sticlă reprezintă o condiție și mai dificil de îndeplinit. Literatura face trimiteri relativ vagi la familiile de sorturi capabile să satisfacă apocromazia, ceea ce impune mai imperativ decât în cazul dubletelor o formulare analitică a relațiilor dintre indicii de refracție și indicatorii de dispersie ai tripletului de sticle, care să asigure obținerea unui triplet apocromat.

Este interesant de remarcat faptul că analiza difracțională a soluțiilor bazate pe algoritmi identici, atât în cazul dubletelor, cât și a tripletelor, cu perechi, respectiv triplete de sorturi diferite, pune în evidență caracteristici de rezoluție și contrast foarte diferite. Literatura de specialitate nu conține referiri la criterii de alegere a materialelor, care să conducă la soluții limitate la difracție.

Al doilea element care inspiră algoritmii de proiectare ai subansamblurilor optice vizează, ca principiu general, asocierea lentilelor convergente cu cele divergente, atât pentru compensarea aberațiilor cromatice, cât și a celor geometrice.

În prima etapă de sinteză a unui subansamblu la care se are în vedere corectarea cromatismului în sensul asigurării acromaziei sau apocromaziei, se apelează la dioptrica de ordinul I, care furnizează puterile lentilelor componente și curburile lor totale.

Problema mai complexă și nerezolvată complet până în prezent, în sensul că nu există nici un algoritm care să ofere o soluție finală, sigură, la parametrii de calitate impuși, este aceea a determinării efective a razelor și grosimilor componentelor.

Razele și grosimile reprezintă grade de liberate, care sunt introduse ca necunoscute în expresii ale unor aberații vizate a fi corectate. Din punct de vedere practic, expresiile analitice exacte, conținând mărimile reale (înălțimi de incidență, unghiuri de incidență și emergență, unghiuri ale razelor incidență și emergentă cu axa optică) sunt greu sau imposibil de scris și cu atât mai mult de rezolvat.

Practic, se apelează la simplificări bazate pe teoria lentilelor infinit subțiri și aberațiilor primare, care au forme matematice mai accesibile.

În cazul dubletului nelipit, separat cu un strat subțire de aer se apelează la expresii ale aberației sferice și comei, care permit determinarea primei razei a fiecărei lentile a dubletului. A două rază se calculează din expresia gaussiană a puterii funcție de curbura totală determinată în prima etapă.

Pentru dubletul Fraunhofer lipit este utilizată expresia aberației sferice primare cu ajutorul sumelor-G, care conduce la determinarea primei raze. Pentru ultima, se poate apela la metoda Conrady de acromatizare marginală.

În cazul tripletului, care este un subansamblu mai complex, ca și în cazul tripletului Cook (la care cele trei lentile sunt separate prin aer) nu s-au dezvoltat metode de determinare analitică a razelor. Toate sursele bibliografice indică alegerea unei valori arbitrare a primei raze și determinarea celorlalte trei din expresia puterii gaussiene.

Sistemele reale, calculate pe baza relațiilor din dioptrica de ordinul I și III, au caracteristici mai mult sau mai puțin diferite față de cele impuse și necesită corecturi iterative ale curburilor. Această problemă a condus la dezvoltarea unei teorii a funcțiilor de merit, prin care fiecărei aberații i se atribuie un factor de pondere și se urmărește o minimizare a funcției rezultate. De subliniat este faptul că funcțiile de merit nu au semnificație fizică și, deși s-au dezvoltat în numeroase variante, nu au asigurat succesul în proiectare a sistemelor optice.

Metodele de sinteză bazate pe dioptrica de ordinul I și III conduc la soluții cu aberații reziduale, care de cele mai multe ori nu sunt acceptabile.

În comparație cu ritmul relativ încet al evoluției în sinteză, analiza calității sistemelor optice s-a dezvoltat mult mai rapid, până la nivelul determinării componentelor funcției optice de transfer și a parametrilor derivați din acestea, care pot stabili valorile erorilor de formare a imaginii la scară nanometrică.

Analiza foarte rapidă, practic instantanee pentru orice parametru de calitate a imaginii a permis un studiu, cel puțin intuitiv, al influenței parametrilor geometrici ai componentelor. Aceste studii pot fi utilizate în scopul optimizării unui sistem dat, dar numai în limite relativ restrânse. De exemplu, variația grosimilor sau a curburilor unui triplet lipit nu modifică cromatismul secundar și alura curbelor de sferocromatism, ci le deplasează pe axa optică, ceea ce permite stabilirea celui mai bun plan de punere la punct a imaginii și respectiv o minimizare a aberației de undă, care este hotărâtoare pentru caracteristicile difracționale ale sistemului. Metoda este totuși limitată, pentru că nu poate modifica valorile absolute ale aberației sferice.

Având în vedere cele de mai sus, prezentate ca observații la metodele de proiectare actuale, descrise pe larg în referatele anterioare, rezultă următoarele direcții de cercetare:

elaborarea unor algoritmi de compatibilitate a materialelor optice în scopul obținerii unor soluții constructive impuse dubletului acromat și tripletului apocromat

aplicarea algoritmilor deduși analitic prin programe originale pe baze de date constituite din cataloagele unor firme producătoare de sticlă optică, astfel încât alegerea sorturilor să asigure corectarea cromatismului, respectiv spectrului secundar

dezvoltarea metodelor actuale de sinteză a tripletului acromat prin algoritmi care să elimine alegerea arbitrară a razelor subansamblului

studiul influenței perechii, respectiv tripletului de materiale asupra rezoluției, contrastului și iluminării în planul imagine

sinteza unor triplete apocromate limitate la difracție cu deschidere mare, în condițiile în care, în prezent, tripletele au deschidere limitată la f/8…f/10 și nu îndeplinesc condițiile de analiză difracțională datorită aberațiilor geometrice foarte mari.

4. Contribuții originale privind proiectarea subansamblurilor acromate și apocromate

4.1. Alegerea sorturilor de sticle pentru acromazia sau apocromazia subansamblului optic

4.1.1. Alegerea sorturilor de sticlă pentru dubletul acromat

În majoritatea cazurilor se preferă soluția crown-în-față, cu lentila convergentă biconvexă și lentila divergentă menisc, care, din experiența de proiectare, prezintă cele mai bune caracteristici privind calitatea imaginii, respectiv mărimea aberațiilor reziduale.

Aceste forme constructive de lentile, tot conform experienței acumulate în domeniu, rezultă dacă puterea componentei convergente este de aproximativ 2.5 ori mai mare decât a dubletului, iar raportul curburilor totale ale lentilelor componente, în jurul valorii de -2.

Aceaste condiții favorizează obținerea unor raze ale suprafețelor exterioare cu valori mari, astfel încât aberația sferică să poată fi corectată (matematic, asigură condiția ca ecuația de gradul II care conduce la soluția pentru prima curbură să aibă rădăcini reale).

Cu aceste rapoarte numerice impuse puterilor și curburilor se pot deduce relații între indicii de refracție de referință și numărul lui Abbe pentru cele două sticle.

Matematic, condițiile enunțate mai sus se pot scrie astfel:

(4.1)

, (4.2)

unde f’ reprezintă distanța focală a dubletului, a și b indicii pentru lentila convergentă, respectiv divergentă, – numărul lui Abbe, c – curbura totală a lentilei, n – indicele de refracție de referință pentru linia e.

Pe baza relațiilor (4.1) și (4.2) s-au formulat condițiile:

, (4.3)

care s-au aplicat unei bazei de date, conținând sorturile de sticle oferite de firma Schott (fig.4.1 și tab. 4.1).

Tabelul 4.1

S-au obținut familii de sorturi compatibile cu condițiile de acromatizare și corectare a sfericității. În tabelul 4.2 sunt prezentate soluțiile programului de selecție, într-o formă care, în prima coloană indică sortul crown pentru lentila convergentă, iar în a doua coloană sortul sau sorturile flint compatibile, pentru lentila divergentă.

Perechile de materiale din tabelul 4.2 asigură în mod cert obținerea unei soluții crown-în-față cu lentila convergentă biconvexă, iar lentila divergentă menisc, respectiv elimină posibilitatea ca rădăcinile ecuației de gradul II care furnizează valoarea primei curburi să fie complexe (ceea ce echivalează cu incompatibilitatea sorturilor pentru corectarea aberației sferice), de asemenea, ca formele lentilelor să fie altele decât cele dorite.

Efectiv, alegerea unei perechi de materiale din tabel mai poate fi condiționată de domeniul spectral de lucru (care, de exemplu, poate include infraroșul apropiat).

Calitatea de limitat la difracție a sistemului rezultat poate diferi de la pereche la pereche și depinde nu numai de materiale ci și de valorile concrete ale parametrilor impuși (focală, deschidere, unghi de câmp).

Urmează să se realizeze și un studiu din punct de vedere difracțional al sistemelor care se obțin utilizând sorturile indicate în tabelul 4.2, după care se poate face cel puțin o recomandare de familii de materiale care asigură rezoluție și contrast la valori ridicate.

Selecția materialelor prezentate în tabelul 4.2 s-a realizat pe baza unui program automat original.

Fig.4.1. Reprezentarea sorturilor de sticle Schott în diagrama n-

Tabelul 4.2

4.1.2. Alegerea sorturilor de sticlă pentru tripletul apocromat

Determinarea curburilor totale ale lentilelor care formează tripletul lipit are la bază următorul sistem de ecuații:

. (4.4)

unde c reprezintă curburile totale ale lentilelor, f’ – puterea sistemului, – coeficienții Abbe, n – dispersiile principale, P – dispersiile parțiale relative, a, b, c – indicii pentru cele trei lentile componente.

În expresia curburilor intervine, la numitor mărimea E:

, (4.5)

care depinde de indicatorii de dispersie ai sticlelor optice. Din experiența de proiectare anterioară, a rezultat că tripletul de materiale optice trebuie să aibă caracteristici între care să existe relațiile:

, (4.6)

ceea ce indică alegerea unor sorturi din familiile FK (Flor Crown) – KzFS (Flint special scurt) – SF (Flint greu). Caracteristicile acestor familii de sorturi sunt prezentate în tabelul 4.3, iar poziția lor relativă pe diagrama n- este redată în figura 4.2.

Tabelul 4.3

Mărimea E nu are semnificație fizică și nu a fost definită ca un parametru dispersiv, dar în reprezentarea grafică corespunde lungimii unui segment vertical situat între punctul care reprezintă sticla intermediară și dreapta care unește sticlele extreme. Segmentul E, măsurat de-a lungul axei dispersiilor parțiale relative, exprimă o relație între dispersiile parțiale relative ale tripletului de materiale.

Algebric, E trebuie să fie un număr negativ, pentru a obține curburi totale pozitive lentru lentilele a și c (lentile convergente) și curbură negativă pentru lentila b (divergentă). Ca valoare absolută, este de dorit ca E să fie cât mai mare pentru ca valorile curburilor totale ale lentilelor să rezulte cât mai mici (consecutiv, puterile mici și razele mari). Acest aspect este foarte important având în vedere faptul că în calculul de gabarit al tripletului se pot impune numai condițiile de putere, apocromazie și corectarea spectrului secundar. De aceea, în general aberațiile geometrice, în special cea sferică au valori mari, care limitează numărul de deschidere al tripletului apocromat la f/8…f/10. În condițiile în care oferta de sorturi de sticle s-a îmbogățit foarte mult se poate pune în discuție și studiul posibilităților de îmbunătățire și a acestei caracteristici importante.

Fig.4.2. Poziția relativă a familiilor de sticle care pot satisface condițiile de apocromazie și corectare a spectrului secundar

Cu ajutorul unui program de selecție automat în care s-au impus condițiile (4.6) și s-au căutat valorile cât mai mari pentru mărimea E (condiția ABS(E)>0.0145) din baza de date înscrisă în tabelul 4.1 s-au obținut următoarele combinații de sticle favorabile construirii unui triplet apocromat (tab.4.4).

Tabelul 4.4

Se observă faptul că tripletele de sorturi compatibile pentru a constitui un subansamblu apocromat sunt în număr foarte mic în raport cu combinările de câte trei materiale posibile, având în vedere baza de date care conține 199 de linii. Rezultă importanța practică deosebită a selecției automate realizate, urmând o rafinare a acesteia pe criterii difracționale.

4.2. Soluții originale de proiectare a tripletului apocromat

Pornind de la observația din paragrafele anterioare, și anume că sinteza tripletului apocromat se face atribuind o valoare arbitrară primei curburi, se propune determinarea acesteia din condiția de minimizare a aberației sferice, aberație care în cazul tripletului tradițional are valori mari, care limitează deschiderea.

Expresia aberației sferice longitudinale primare pentru un șir de lentile infinit subțiri este de forma:

, (4.7)

unde G1…G6 reprezintă coeficienți calculați ca funcții de indicele de refracție de referință al lentilelor, c este curbura globală, c1,2 simbolizează prima, respectiv a doua curbură a fiecărei lentile, p și p’ sunt inversul absciselor obiect, respectiv imagine pentru fiecare lentilă, reprezintă unghiul axei emergente din spațiul imagine pentru întregul sistem, cu axa optică, iar h este înălțimea de incidență. Suma se dezvoltă pe lentile, în cazul tripletului până la indicele 3.

Coeficienții G1…G6 sunt de forma:

, , (4.8)

, , (4.9)

, . (4.10)

Calculul mărimilor p sau p’ necesită efectuarea unei drumuiri paraxiale, pe lentile, cu algoritmul:

, (4.11)

, (4.12)

, s+=s’ (4.13)

. (4.14)

Considerând, pentru simplitate, că lentilele se disting prin indicii a, b și c, având în vedere relațiile:

c2=c1-ca, (4.15)

c3=c2-cb=c1-(ca+cb)=c1- k (4.16)

și utilizând expresia care conține prima curbură a fiecărei lentile, rezultă, pentru triplet, o expresie a aberației sferice primare de forma:

, (4.17)

unde:

(4.18)

.

Se impune condiția de extrem al aberației sferice primare și rezultă, consecutiv:

d(ds’)=0, (4.19)

, (4.20)

(4.21)

În referatul nr.2 s-a prezentat un exemplu de sinteză a tripletului apocromat, sinteză realizată conform metodelor indicate în literatura de specialitate actuală. Alegerea materialelor s-a făcut numai pe criteriul aparteneței la familiile de sorturi recomandate (s-au utilizat FK3, KzFS1, SF15) și s-a pornit de la valoarea arbitrară a curburii c1=0.075 (datele de intrare impuse au fost f’=100 și f’/D=10).

S-a obținut sistemul din figura 4.3.

f’ = 99.92; s’F’= 84.5087.

Fig.4.3. Triplet apocromat obținut prin metode tradiționale de proiectare

Din punct de vedere cromatic, sistemul se comportă foarte bine, aberațiile cromatice totale și spectrul secundar fiind de ordinul 10-2, dar aberația sferică are valori extrem de ridicate, peste 6 mm, chiar la deschiderea foarte mică f’/10. Valoarea mare a aberației sferice exclude sistemul optic din sfera proprietății de izoplanatism, astfel încât analiza difracțională să mai aibă sens.

Pentru verificarea eficacității metodelor noi propuse privind alegerea materialelor și calculul curburilor, se prezintă rezultatele obținute pentru aceleași date de intrare impuse (f’=100, f’/D=10).

S-a ales din tabelul 4.4 tripletul de materiale FK54-LaK28-TiF6.

Sinteza tripletului apocromat, cu determinarea primei curburi din condiția de minim al aberației sferice primare s-a realizat cu ajutorul unui program original scris în limbajul Qbasic și prezentat mai jos.

CLS

DEFDBL A-Z

f = 100: D# = f / 10: se(1) = 1E+30

DIM ne(5): DIM nc(5): DIM nf(5): DIM D(3)

REM sticle FK54, LaK28, TIF6

FOR j = 1 TO 5

READ ne(j)

NEXT j

DATA 1,1.438151,1.747779,1.621182,1

FOR j = 1 TO 5

READ nc(j)

NEXT j

DATA 1,1.435756,1.740556,1.611684,1

FOR j = 1 TO 5

READ nf(j)

NEXT j

DATA 1,1.440608,1.755353,1.631939,1

FOR j = 2 TO 4

nu(j) = (ne(j) – 1) / (nf(j) – nc(j)): PRINT "nu="; nu(j)

P(j) = (nf(j) – ne(j)) / (nf(j) – nc(j)): PRINT "P="; P(j)

INPUT A$

NEXT j

FOR j = 2 TO 4

dn(j) = nf(j) – nc(j)

NEXT j

e = (nu(2) * (P(3) – P(4)) + nu(3) * (P(4) – P(2)) + nu(4) * (P(2) – P(3))) / (nu(2) – nu(4))

PRINT "E="; e

ct = 1 / f / e / (nu(2) – nu(4))

ca = ct * (P(3) – P(4)) / dn(2): PRINT "ca="; ca

cb = ct * (P(4) – P(2)) / dn(3): PRINT "cb="; cb

cc = ct * (P(2) – P(3)) / dn(4): PRINT "cc="; cc

FOR j = 2 TO 4

g2(j) = .5 * (2 * ne(j) + 1) * (ne(j) – 1): PRINT "g2="; g2(j)

g4(j) = (ne(j) + 2) * (ne(j) – 1) / 2 / ne(j): PRINT "g4="; g4(j)

g5(j) = 2 * (ne(j) * ne(j) – 1) / ne(j): PRINT "g5="; g5(j)

NEXT j

fa = 1 / ca / (ne(2) – 1): PRINT "fa="; fa

fb = 1 / cb / (ne(3) – 1): PRINT "fb="; fb

fc = 1 / cc / (ne(4) – 1): PRINT "fc="; fc

pa = 0: pb = 1 / fa: PRINT "pb="; pb: pc = (fa + fb) / fa / fb: PRINT "pc="; pc

c(1) = (g2(2) * ca ^ 2 – g5(2) * ca * pa + g2(3) * cb ^ 2 + 2 * ca * g4(3) * cb + g5(3) * cb * pb + g2(4) * cc ^ 2 + 2 * (ca + cb) * g4(4) * cc + g5(4) * cc * pc) / 2 / (g4(2) * ca + g4(3) * cb + g4(4) * cc)

c(2) = c(1) – ca: c(3) = c(2) – cb: c(4) = c(3) – cc: PRINT "c1="; c(1)

FOR j = 1 TO 4

r(j) = 1 / c(j)

PRINT "r("; j; ")="; r(j)

NEXT j

sep(1) = ne(2) * r(1) / (ne(2) – ne(1)): PRINT "s'(1)="; sep(1)

FOR j = 1 TO 3

IF r(j) > 0 AND r(j + 1) < 0 THEN

D(j) = 1.5 + ABS(r(j)) + ABS(r(j + 1)) – (SQR(r(j) ^ 2 – D# ^ 2 / 4) + SQR(r(j + 1) ^ 2 – D# ^ 2 / 4))

END IF

IF r(j) > 0 AND r(j + 1) > 0 AND ABS(r(j)) < ABS(r(j + 1)) THEN

D(j) = 1.5 + r(j) – r(j + 1) – (SQR(r(j) ^ 2 – D# ^ 2 / 4) – SQR(r(j + 1) ^ 2 + D# ^ 2 / 4))

END IF

IF r(j) > 0 AND r(j + 1) > 0 AND ABS(r(j)) > ABS(r(j + 1)) THEN

D(j) = 1.5

END IF

IF r(j) < 0 AND r(j + 1) > 0 THEN

D(j) = 1.5

END IF

IF r(j) < 0 AND r(j + 1) < 0 AND ABS(r(j)) > ABS(r(j + 1)) THEN

D(j) = 1.5 + ABS(r(j + 1)) – ABS(r(j)) – (SQR(r(j + 1) ^ 2 – D# ^ 2 / 4) – SQR(r(j) ^ 2 – D# ^ 2 / 4))

END IF

IF r(j) < 0 AND r(j + 1) < 0 AND ABS(r(j)) < ABS(r(j + 1)) THEN

D(j) = 1.5

END IF

PRINT "d("; j; ")="; D(j)

NEXT j

FOR j = 2 TO 4

se(j) = sep(j – 1) – D(j – 1)

REM PRINT "s("; j; ")="; se(j)

sep(j) = ne(j + 1) * se(j) * r(j) / (r(j) * ne(j) + (ne(j + 1) – ne(j)) * se(j))

REM PRINT "s'("; j; ")="; sep(j)

NEXT j

fprim = sep(1) * sep(2) * sep(3) * sep(4) / se(2) / se(3) / se(4)

PRINT "f'="; fprim: PRINT "s'(4)="; sep(4)

S-au obținut următoarele soluții pentru raze și grosimi:

r( 1 )= 66.699

r( 2 )= – 22.012

r( 3 )= – 50.062

r( 4 )= – 41.501

d( 1 )= 2.26

d( 2 )= 1.5

d( 3 )= 1.55

f'= 98.59

s'(4)= 98.65

Analiza și optimizarea sistemului obținut s-a realizat utilizând softul specializat OSLO LT.

În figura 4.4 se pot urmări datele sistemului (au fost introduse valorile razelor, grosimilor, sorturile de sticle, înălțimea de incidență și semiunghiul de câmp, iar programul a determinat automat distanța focală – Efl – și abscisa imagine paraxială, înscrisă pe linia IMS, care este considerată ca poziție a planului imagine în analizele următoare). Se observă coincidența valorilor obținute prin programul original de proiectare și OSLO pentru f’ și s4’=s’F’.

Fig.4.4. Foaia de date a sistemului obținut prin utilizarea programului original de proiectare, introduse în programul de analiză automată OSLO LT

Fig.4.5. Aberațiile geometrice și cromatice ale tripletului

Se observă că aberația sferică longitudinală, singura care pune probleme de corectare, este mult mai scăzută decât în cazul sistemelor calculate în mod tradițional, dar trebuie încă micșorată, pentru a aduce sistemul la calitatea de precis sau chiar limitat la difracție. De reținut este faptul că pentru valorile ridicate ale aberației sferice nu există nici o metodă eficientă de scădere a acesteia.

Pentru sistemul cu aberație sferică de aproximativ 2 mm, micșorarea acesteia este posibilă prin simpla separare a lentilelor și introducerea unui strat subțire de aer între ele. În figura 4.6 este prezentată foaia de date, în care, față de cea inițială s-au introdus intercalat încă două suprafețe, astfel încât cele trei lentile să fie separate de un strat de aer având grosimea de 1 mm.

Fig.4.6. Foaia de date a sistemului cu lentile separate printr-un strat subțire de aer

În figura 4.7 este reprezentată noua formă a tripletului, având lentilele separate printr-un strat subțire de aer și aberațiile geometrice și cromatice ale acestui sistem.

Se observă o scădere de aproape 20 de ori a aberației sferice longitudinale, care are o valoare de aproximativ 0.3mm.

Din punct de vedere al toleranței admise pe baza criteriului Rayleigh /4, aberația sferică se poate încadra în intervalul:

,

ceea ce înseamnă că sistemul analizat se încadrează în condițiile impuse de oportunitatea analizei difracționale.

Se observă, de asemenea, o îmbunătățire a aberațiilor tangențiale (care s-au înjumătățit), a distorsiunii și aberației cromatice laterale (extraaxiale).

Variația cromatică a focarului în intervalul 0.1 poate fi, de asemenea, considerată corespunzătoare.

Fig.4.7. Aberațiile geometrice și cromatice ale tripletului cu lentile separate

Sistemul poate fi încă îmbunătățit printr-o mică defocusare, care deplasează curbele de sferocromatism spre stânga, astfel încât sistemul să fie ușor subcorectat până aproximativ în zonă și ușor supracorectat deasupra acesteia. Cu ajutorul modulului de optimizare al programului se poate găsi cel mai bun focar, respectiv plan de punere la punct a imaginii (în figura 4.6 este înscrisă deja abscisa corespunzătoare acestuia).

Sistemul optimizat poate fi analizat din punct de vedere al frontului de undă imagine și din punct de vedere difracțional. Parametrii RMS OPD și Raportul Strehl au valorile:

RMS OPD = 0.067195

STREHL RATIO = 0.838694.

Cei doi parametri încadrează sistemul în categoria de cea mai bună calitate – limitat la difracție (pentru care condițiile sunt RMS OPD<0.07 sau Strehl>0.80).

În figura 4.8 sunt prezentate aberațiile geometrice și cromatice ale sistemului optimizat. Se observă alura schimbată a curbelor de sferocromatism.

S-ar putea păstra acest sistem ca soluție finală și se poate completa analiza difracțională cu determinarea funcției optice de transfer de modulație și fază etc.

Totuși, având în vedere valoarea inițială impusă focalei sistemului, care s-a modificat puțin prin introducerea straturilor de aer, există posibilitatea scalării sistemului la valoarea cerută.

Operația de scalare poate fi realizată automat prin programul OSLO LT, care modifică valorile razelor și grosimilor pentru valoarea focalei indicate de către operator.

Ca observație, se poate spune că metoda scalării se poate aplica fără a afecta semnificativ caracteristicile de calitate a sistemului numai pentru valori apropiate de unitate a factorului de scalare (în cazul de față f’impus/f’inițial=100/95=1.052)

Fig.4.8. Aberațiile geometrice și cromatice ale sistemului optimizat

Datele sistemului scalat și optimizat prin defocusare pot fi vizualizate în figura 4.9.

Fig.4.9. Sistemul scalat la f’=100 și optimizat prin defocusare

În continuare este prezentată analiza completă a acestu sistem considerat ca soluție finală.

Analiza frontului de undă furnizează parametrii:

RMS OPD = 0.061348

STREHL RATIO = 0.864402.

În figurile 4.10-4.17 sunt redate toate elementele de analiză a calității imaginii.

Fig.4.10. Aberațiile geometrice și cromatice ale sistemului final

Fig.4.11. Analiza frontului de undă a sistemului final

Fig.4.12. Diagrama spot, cu evidențierea discului Airy, pentru

sistemul final

Fig.4.13. Analiza răspunsului impulsional PSF al sistemului final

Fig.4.14. PSF determinat difracțional prin metoda transformatei Fourier rapidă pentru sistemul final

Fig.4.15. Funcția de transfer de modulație (MTF) și de fază (PTF) a sistemului final

Fig.4.16. Distribuția iluminării exprimată prin parametrii LSF/KED, determinați difracțional pentru sistemul final

Fig.4.17. Distribuția iluminării exprimată prin parametrii LSF/KED, determinați geometric pentru sistemul final

Având la dispoziție sistemul final descris, cu caracteristici de cea mai bună calitate, se poate încerca creșterea deschiderii de la f’/10 la f’/8, respectiv de la înălțimea de incidență maximă 5 la 6.25.

Cu ajutorul unui modul de optimizare interactiv, în care modificările sunt impuse de către operator s-a procedat la mici corecturi ale razelor și grosimilor. Se subliniază faptul că în ceea ce privește sensul și mărimea modificărilor nu există nici o indicație în literatură. Soluția depinde de experiența, abilitatea și intuiția proiectantului.

Pentru sistemul analizat cea mai bună soluție la care s-a oprit proiectantul se află la limita dintre sistemele foarte precise și cele limitate la difracție, ceea ce asigură o calitate foarte bună a imaginii. Figura 4.18 conține foaia de date cu elementele geometrice și caracteristicile de referință optimizat ale sistemului rezultat.

Fig.4.18. Foaia de date a tripletului cu deschidere f’/8 optimizat

Analiza frontului de undă caracterizează sintetic sistemul prin valorile apropiate de sistemele care îndeplinesc criteriul Rayleigh:

RMS OPD = 0.080958

STREHL RATIO =0.780737

Fig.4.19. Aberațiile geometrice și cromatice ale tripletului f’/8

Fig.4.20. Analiza frontului de undă ale tripletului f’/8

Fig.4.21. Diagrama spot a tripletului f’/8

Fig.4.22. Analiza PSF a tripletului f’/8

Fig.4.23. PSF difracțional al tripletului f’/8

Fig.4.24. MTF și PTF ale tripletului f’/8

Fig.4.25. KED și LSF calculate difracțional ale tripletului f’/8

Fig.4.26. KED și LSF calculate geometric ale tripletului f’/8

Creșterea deschiderii la f’/7 determină o creștere a aberațiilor geometrice (fig.4.27), în special a celei sferice, ceea ce conduce la o scădere a calității imaginii, caracterizate prin:

RMS OPD = 0.136013

STREHL RATIO = 0.515109

Fig.4.27. Aberațiile geometrice și cromatice ale tripletului f’/7

Bibliografie

CUPRINS