Stabilizarea Prin Reacție a Sistemelor Liniare

2. STABILITATE

2.1. Stabilitatea sistemelor continue

Sistemele liniare sunt de forma:

Pentru cazul în care comanda u(t)=0, sistemul (1) devine sistem liniar și omogen:

=A(t)x(t) (1’)

Definiții:

Sistemul (1’) se numește sistem stabil, dacă ∀ ε>0 ∃ δ>0 astfel încât ∀ cu proprietatea ||||<δ. Soluția corespunzătoare sistemului, x(t)=Φ(t,) (3), verifică ||x(t) ||<ε, ∀ t

Sistemul (1’) este instabil dacă nu este stabil.

Sistemul (1’) este asimptotic stabil, dacă este stabil și în plus =

Observație 2.1.4:

Dacă =, din (3) x(t)=Φ(t,)= x(t)=, ∀ t≥, = se numește poziție de echilibru. Poziția de echilibru poate fi stabilă, instabilă sau asimptotic stabilă.

Se va considera cazul sistemelor staționare:

ẋ(t)=A(t)x(t) (1’)

CI: x(0)= (2)

Cu soluția sistemului x(t)= .

Considerând A o matrice constantă cu n linii și n coloane și -forma canonică Jordan a matricei A, rezultă că o matrice nesingulară T astfel încât (=AT)

A=T cu =, unde celulele Jordan corespund valorilor proprii ale matricei A (λσ(A)) și =[λ], dacă multiplicitatea algebrica a lui λ este egală cu multiplicitatea geometrică (λ)=(λ).

Multiplicitatea algebrică a lui λ se determina calculând det(λI-A)=0, iar multiplicitatea geometrică reprezintă numărul de vectori proprii liniar independenți asociați valorilor proprii λ.

Teorema 2.1.5:

Exponențiala matricei A, este dată de formulele

=T cu =, unde

=, dacă λ σ(A), având multiplicitățile egale: (λ)=(λ)

=, dacă (λ)(λ).

Corolar 2.1.6:

Matricea și soluția x(t)= au elemente combinații liniare de funcții de forma:

1., dacă λ σ(A), (λ)=(λ)

2., j1, dacă λ σ(A), (λ)(λ)

Demonstrație:

Formula ce duce la demonstrarea teoremei este formula de calcul a exponențialei unei matrice: =I++ +…+ +…, unde

= T

= T

Teorema 2.1.7:

Sistemul (1’) este asimptotic stabil dacă și numai dacă ∀ λ(A), Reλ<0 (toate valorile proprii ale matricei A au partea reală negativă).

Demonstrație:

Considerăm a0. Vom calcula , pentru j0

====0, rezultă că =0, ∀ j0 și

= sistemul este asimptotic stabil.

Teorema 2.1.8.

Dacă λ(A) cu Reλ0, atunci sistemul (1’) este instabil.

Demonstrație:

a) =, ∀ λ(A), dacă și numai dacă Reλ<0, ∀ λ(A).

Din Corolar 2.1.6, rezultă că soluția x(t)=∀ , este un vector alcătuit din elemente combinații liniare de fruncții: , pentru j0, λ(A). În acest caz, rezultă că =,

∀ dacă și numai dacă =, ∀ j0, λ(A).

b) Dacă λ(A) cu Reλ0, atunci , astfel încât cel puțin un element al soluției x(t)= să conțină în combinația liniară funcția , pentru j0, rezultând astfel

=.

Din a) si b) sistemul este instabil.

Teorema 2.1.9: Dacă ∀(A), Reλ0 și pentru λ cu Reλ=0, (λ)=(λ), atunci sistemul este stabil, dar nu asimptotic stabil.

Teorma2.1.10: Dacăλ(A) cu Reλ=0 și (λ)(λ), atunci sistemul este instabil.

Demonstrație: Dacă λ(A) cu Reλ=0 și (λ)(λ), conform Corolar 2.1.6, soluția x(t) este format din combinații liniare de funcții ce au forma , j1. Atunci ===, j1, rezultând astfel că sistemul este instabil.

2.2. Criteriul Rowth-Hurwitz

Criteriul Rowth-Hurwitz este un criteriu necesar și suficient pentru stabilitatea sistemelor liniare, dezvoltat în anul 1800 de către A. Hurwitz și E. J. Routh. Acest criteriu oferă răspunsuri întrebărilor legate de stabilitate, prin intermediul ecuațiilor caracteristice ale sistemelor. Metoda a fost dezvoltată inițial pentru determinanți, dar trebuie să construim corespunzător matricele.

Se consideră un sistem omogen de forma:

=A(t)x(t) (1’), ce îndeplinește condiția inițială

x(0)= (2), având soluția de forma x(t)=, unde A este o matrice constantă de dimensiune mn, m-linii și n-coloane și polinomul caracteristic al matricei A:

p(s)=++++…++, 0

Valorile proprii ale matricei A sunt rădăcinile polinomului p(s).

Notație: =numărul rădăcinilor λ cu Reλ0.

=numărul rădăcinilor λ cu Reλ0.

= numărul rădăcinilor λ cu Reλ0.

Sistemul (1’) este asimptotic stabil dacă și numai dacă =0, =0 ( ∀ λ(A) cu Reλ0).

Observație:

Dacă semnul coeficienților polinomului p(s) se schimbă, atunci polinomul are o rădăcină reală pozitivă (0), adică sistemul (1’) este instabil.

2.2.1. Algoritm de realizare al criteriului Hurwitz:

Pasul 1: Dacă nu există nicio variație de semn, se construiește matricea Hurwitz:

=

Pasul 2: Se calculează minorii principali corespunzători:

=

=

=

………………………………….

=

Pasul 3: Se stabilesc semnele determinanților Hurwitz. Sistemul (1’) este asimptotic stabil dacă și numai dacă 0, 0, 0, …, 0.

Teorema 2.2.2:

Numărul rădăcinilor cu partea reală pozitivă, , este egal cu numărul schimbărilor de semn, S, din șirul următor:

1,, , …,

Criteriul Routh-Hurwitz afirmă că numărul rădăcinilor polinomului p(s) cu partea reală pozitivă este egal cu numărul de schimbări de semn de pe prima coloană a matricei Routh. Criteriul impune faptul că nu trebuie să existe nicio schimbare de semn în prima coloană pentru ca sistemul să fie stabil.

Demonstrație:

Necesitatea “ ”: Dacă toți minorii caracteristici 0, ∀ i=, atunci nu există variație de semn, adică S=0, toate elementele 0, de unde rezultă ca numărul rădăcinilor λ cu Reλ0, =S=0, rezultând astfel că sistemul este asimptotic stabil.

Suficiența “”: Pentru a demonstra suficiența, vom presupune că toate elementele de forma sunt mai mari ca 0, =1

Deoarece 1⇒0 ⇒ 0 0

⇒…⇒ ⇒ 0.

0 ⇒ 0 0

Rezultând in acest fel că 0, 0, 0, …, 0 ⇒ relația 0, ∀ i= este adevărată.

2.3. Ecuația Liapunov

Definiție 2.3.1:

O matrice P, de dimensiune nn, este pozitiv definită dacă îndeplinește următoarele condiții:

P= (matricea P este matrice simetrică)

∀ V , v, numărul ·P·V0.

Propoziție:

Matricea P este pozitiv definită (notație: P0) dacă și numai dacă toți minorii principali , verifică proprietatea 0.

Considerăm A, matrice reală, constantă, de dimensiune nn și matricea Q, matrice pozitiv definită. Ecuația Liapunov asociată acestor matrice este de forma:

P+PA= -Q (4), unde P este o matrice necunoscută, de dimensiune nn.

Teoremă 2.3.2:

Sistemul (1’) este asimptotic stabil dacă și numai dacă ecuația Liapunov (4) are ca soluție matricea P0, pentru o matrice Q, pozitiv definită.

Definiție 2.3.3:

O aplicație V:→ℝ, se numește funcție Liapunov pentru sistemul (1’), dacă îndeplinește următoarele condiții:

V(x)0, ∀ x , x, V(x) este energia sistemului

0, x(t), este derivata în virtutea sistemului

Teorema 2.3.4:

Sistemul (1’) este asimptotic stabil dacă și numai dacă există o funcție Liapunov asociată acelui sistem.

Demonstrație:

Presupunem că sistemul este asimptotic stabil, alegem o matrice Q0, rezolvăm ecuația Liapunov și determinăm matricea P0.

Considerăm aplicația V(x)=Px și trebuie să arătăm ca este funcție Liapunov pentru sistemul (1’)

Deoarece P este matrice pozitiv definită (P0) și P=Px, rezultă că Px0

Calculăm derivate în virtutea sistemului:

=[·P·x(t)]’=·P·x(t)+·P·ẋ(t)=··P·x(t)+·P·A·x(t)= (P+PA)x(t)= -Qx(t) 0, pentru x(t).

0 Px este funcție Liapunov pentru sistemul (1’)

3. METODE FRECVENȚIALE

3.1.Transformarea Laplace

Definiție 3.1.1: O funcție f:→ se numește funcție original dacă îndeplinește condițiile :

f(t)=0, pentru t

funcția f este netedă pe porțiuni

M0, σ astfel încât |f(t)|M

Definiție 3.1.2: Se numește transformata Laplace a funcției original f, funcția L[f(t)]=F(s)=dt (integral improprie este convergentă pe semiplanul Re s)

Teorema 3.1.3 (Liniaritate): L[ αf(t)+βq(t) ]= αL[ f(t)] + βL[ q(t)], f,g-două funcții original, iar α, β

Demonstrație: L[ Ax(t)+Bu(t) ]=A L[ x(t) ] + B L[ u(t) ]=AX(s)+BU(s), X, U- vectori cu componente funcții original și A, B-matrice constant.

Teorema 3.1.4 (Derivare a originalului): L[f’(t)]=sF(s)-f(0+).

Demonstrație: L[]=sX(s)-x(0).

Teorema 3.1.5 (Produsul de convoluție):

L[ ]= F(s)·G(s)

Extindem transformarea Laplace la funcțiile vectoriale:

x(t)=

= L[ x(t) ]=.

Demonstrație:

L[(t-τ)·u(τ)dτ ]= L[ R(t)]·U(s), unde R(t) este o matrice de dimensiune pm, iar s se numește frecvență.

3.2. Matricea de transfer

Vom considera, în cele ce urmează, un sistem liniar staționar (LTI) * de forma:

, unde sistemul este reprezentarea in spațiul stărilor, iar matricele A(nn), B(nm), C(pn), D(pm) sunt matrice constante.

Se aplică transformata Laplace ecuațiilor (1) și (2), rezultând:

Cazul 1(Pentru ecuația (1)): L[]= L[ Ax(t)+Bu(t) ]= sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)

(sI-A)X(s)=BU(s)+x(0) (Conform teoremelor de liniaritate și derivare a originalului)

Demonstrație: det(sI-A)=0 -ecuația caracteristică. Rădăcinile sunt valori proprii care formeaza spectrul matricei A, σ(A).

Pentru sC\ σ(A), det(sI-A)0 . Înmulțim la stânga cu și rezultă astfel

X(s)=·BU(s)+·x(0) (3) ecuația de stare a sistemului X(s)

Cazul 2 (Pentru ecuația (2)): Conform teoremei de liniaritate, rezultă ecuația Y(s)=CX(s)+DU(s)

Demonstrație: Înlocuim X(s) în ecuația de stare (3)⇒

Y(s)=[CB+D]U(s)+Cx(0). (4)

Se obține astfel, urmatoarea relație:

Y(s)=T(s)·U(s) (5) – aplicația de intrare-ieșire a sistemului Σ=(A,B,C,D) pentru starea inițială x(0)=0, unde T(s)= CB+D este matricea de transfer a sistemului Σ, T(s) fiind o matrice de dimensiune pm. (T(s) mai poate fi notat și (s))

Pentru cazul în care p=m=1 (sistemul SISO-Single Input-Single Output), T(s) este o funcție numită funcția de transfer a sistemului Σ.

Propoziția 3.2.1: Sistemele izomorfe au aceeași matrice de transfer.

Se consideră Σ=(A,B,C,D) și , ), două sisteme izomorfe⇒ V o matrice nesingulară astfel încât .

Vom calcula matricea de transfer a sistemului :

(s) =+=

=(CV)+D

=(CV)+D

=(CV)[]·()+D

=CB+D

=(s)