Ssandu63@gmail.com 794 Manual Algebra Text

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI INVĂȚĂMÎNTULUI Matematică Lei 11,10 Editura Didactică și Pedagogică, București, 1988 MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI INVATAMINTULUI C. NĂSTĂSESCU E. NIȚĂ GH. RIZESCU Matematică a ebra | Manual pentru clasa a IXa @ EDITURA. DIDACTICĂ ȘI PEDAGOGICĂ — BUCURESTI Manualul fot elabora în 1878 ye baza programe edae aprobate de Minstrel “guta vam ce nr. 9400/1078 revizui 1 1980. Retea: Prof. uni. de O. STĂNĂȘILĂ Tmanedetor: ANA TIMPĂU Coperta N. SIRBU stari Prof, VIORICA FATU etice e eta ap exemouL 1 ECUAȚII DE GRADUL INTII-ȘI DE GRADUL AL DOILEA (RECAPITULARE) Șt. ECUAȚII ȘI INECUATII DE GRADUL INTII 14. Forma general ecuctiel de rodul în ete az+b=0, a40 w 4, fiind numere reale. Obureaye În practică vom consider șia nea unor ecuații o gradul al ata (9 ae ridin 2. Iazprea pemerie (gL. Graal tuoi [= B, = = az +}, esta o dreaptă care intersectează axa Oz în punctul de abscisă — 2 ( traficul pentru cazul : a >0 și d >0. Exempla, Să se rezolve ecuația în 2, mami — me, @ n chro resovare se reduce a real 2 find rădăcina ecunii az += 0). în figura 14 am construit această ecuție devine modei. Dacă mt 1 popa mpi gm = atunci n ecua (a) ete de gradul In, Avind raita / ze a => CEI) Dată m = 1, ceaația (2) devine mz=0 4 care te Adevărata pentr orice număr real = Deal m= 1,00 bine oe ‘are au este vericată pentru net o valoare a ia Pig ha 12, Ineeuațle de forma a2 40>0, az+b>0, az+b<0 mu artb<0, unde a gi int numere reale date, iar a 0, se numeso ineeuapi de gradul mai Ohrațiîn price von, considera ee invenție car a redare, fleină pro privtăți înger lao nseatie de radu ati 4. Să considerăm inecuatia de gradul intii az +0 >0, a 40. G) 4° Dacă a >0, atunci 2 >— 4 2 Dacă a <0, atunci z<— A tate în figura 1.2 respect în figura 13, por- sas iunile hagurate mareind muljimea soluțiilor Li 2 Pentru incouatia az > 0, avem: ana dă Delite 0, sana > — 5, et = ze [ Tp Dă <0; amet e 4, ulei me. ia sefa. Observăm că punctul —* face parte din mulțimea. soluțiilr. Romie 4) 84 wrt nee r44>—3e43, Obține succesiy: e + 22> ~4 + 3, sau Sa > —1, de unde 2 > -4 Deci se(-t 2) Să se reznve inovația 406 — 3) > dle — 13). ‘Obtnem sucrsiv: 24 — de de — 99, sau — de — 32> — 30 = 24, de unde 052 adie 2 <9, Dest ze (0, 9 4 ee. 13. Feast care conin necunotcuta în modul Valoarea absolută a unvi număr a, notată prin Le | se definește astfel: 4, deck a> 0, lai={ 0, dich a =0, ai dacă a< 0. De exempt: 19 | = 4, )= 30) aa, Val Vă ee Valoarea absolută a numărului a se mai numește madalul numărului a. Rezultă că || = max (—2, 2) i deci: 2 < | 2], —2 < |], (max (—z, 2) fiind cel mai mare dintre numerele —= ți 2). ‘Si menționăm proprietățile fundamentale ale modulului Dacă a gid sint mumere, atunci: 1 dela 2. la1=0 dacă gi numai deck a 3 Lab |= lal-l8l 4 abis lel+ Id}. Primele tei proprietăți snt evidenta, după definiția modulului. Să o demonstrăm po ultima. Intr-adovar, dacă a = 0 sau b = 0, atunci este clar că la 4 b] = le] Ip |. Deci să presupunem a 409i B x 0. Să considerăm cele patru cazuri posibile i) Dacăa > 051d >0, atunci ab >0. Deci ja + b|= la] 1b) îi) Dacă a <0 și 8 <0, atunci ab <0. În acest caz [a | = —a, lol =, lad [= (+8) și deci Jat b= lat 1d iii) Dacă a> 094d <0, atunci [a | a ași [D | = —b. In această situație m, ta a+b > 0, mu a+b <0. Dacă a+b > 0, atunci latb[math canal 0 n practică este foare utilă următoarea proprietate: 5. la] e dacă și numai dack —e 3 arom 2 delat ecu ») Duet << sat o raicind a ecua. Del rocii sca (6 sit 2 e de unde x = 7, Cum 7 >, remlță că 7 te e [6-2 )—ar+a ) Gn dete 20, i () devi vem 16— t= { Ada, en 4) Dacd 6 — 2 > 0, aed 2 e 6, vem 6 = r= 22 4-2, de unde ai acei rel tate rădăcină a cotit îi Dusk 6 — 2 <0 = 9 mu erik inc sin (5) are com vem —6 4 5 = 24-43, do unde 3 = 29. Cum (49 mu ete racing 4 ec 6. Deci evn §2. ECUAȚII DE GRADUL At DOILEA CU RĂDĂCINI REALE 2.4, Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu rădăcini reale Fie ecua ar fbr te=0,a40, n se numește ecuație de gradul al doilea ew eveficienti reali. Se numește soluje sau rădăcină reală a ecuației un număr real «gstfel închisă avem ast + dat e= 0, ane lg nnn Infeloge determinarea dacă în — hae > 0. Dacă bn — dac < 0, ecuația mu are rădăcini reale. Existenja rădăcinilor reale ale ecuatiei da gradul al doilea, precum și numărul lor depind de expresa DE — dac. Accasti expresie se numește diseri. minantul ecuației de gradul al doile gi se notează cu A* “Dacă discriminantal ecuației de gradul al doilea est pozitiv, atunci ecuația are doud rădăcini reale diferite între ele vă, Vă Dacă diseriminantul ecuației de gradul al doilea este egal ew zero, atunci ecuația are două rădăcini reale egale . spies 1) Bremța 22% — 5320 are deriminantul A = (= ta) 35 > o. Dec natin are dat remi role atente 2) ața 27 — ta 4 2 = 0 ar dsciminantal Ben (rile e7a ta 7 0, Anal tan ar rădăcini reale gale 3) Erin 254 241 = 0 are dlariminantol A 1 4-2 esi m ar rudicii ale Dim acum citeva forme particulare importante ale ecuajei de gradul al doilea, care are discriminantal A > 0. a2! 4 br -+¢ = 0 și să presupunem că b are forma b = = B, (de exemplu, b = 2, = 4/2 ete). a2! 4 Dye em 0 sint iene Ezemplu. SA se rezolve covația Ba — 1074320, * nora Ii — ae se mal meq reliant ecua Deoarece seen n ohne: 2. Forma redusă a ecuației de gradul al doilea. O eevate de gradul al doilea sa numește redusd dacă coeficientului 2 esta egal cu 1. Forma generală a ecuației reduse este Bt pete=0, (o) unde p și sint numere real Ponind în formula generelă a rădăcinilr eouatiei de gradul al doilea a @=4, b= p și e= g ee obține formula pentru rădăcinile ecuației de gradul Al doilea sub formă redusă: zeii Ve tea Vela PE a 248 e nde Obnvație. Orice cane e gradul nl oi art 4 br +e = (a 0) poate să te ada te forma redusă mpărțind ami membri ni ot prin ai avize cate cerinta + Br 4 Eco 2.2, Relații ître cosficeni și rădăcinile une ecuall d gradul al dolla 4. Relațiile tui Vidte Dacă rădăcinile ecuației ast tbațe=0 (a4 0, Ab hae > 0) Sint 2, și atunci Sp o Aceste relații poartă numele de relațiile tai Vite Parmpla. Pewala si — 9-1 ~ 0 ace diinintntul = 94 16 = 25 > Dect caația are do rldicink ral alinta sy 1 an, ar 2 Formarea uni eo e grade al olen dnd e cane răăcnte up sn eine suai do gindul 4 olt 2-92-49 = 0 lotradevir, af pata a — (a + an ana a ~~ — au Frey 2-0. Analog, vam of pata 0. Delay aco re 23, Studiul semnelor rădăcinilor ecumiei de gradul at doilea Fie ecuația de gradul al doilea aa bet 0040 w eu Azi dap > 0. Să notăm cu 5 și P suma, respectiv produsul rădăcinilor xy, zale ecua:, ic (1), aoa: sta Po sas nbri ai eeu npărțind ambii valenta: ini (1) prin a, so obține o ecuație echi watett st Sr p-0, [E Vom arăta cum, în raport de semnul lui P și 5, se poate stabili dacă rădăcinile ecuației sint positive sau nogative, fără a le ala efectiv. Sint posibile următoarele combinații als semnelor ui P și ȘI 4 P 330, Deoarece 2,2, = P >0 rezultă et ambele rădăcini au același semn. Dacă S >0, atunci 2; + z4 = $ >0 gi deci Ambele rădăcini tive, Daca 5 <0, at negative, posi inci 2, + 2,25 <0 și deci ambele rădăcini snt AS TE 2 P< 0. Dronrea uzi = P < 0, alunei una dintre rădărin wate poi: tiva, iar cealaltă negativă. Dacă 5 >0, atunci zf ap 530 și daci rădăcina poritivă este mai mare decit valoarea absolută a rădăcini negative Dacă 5 < 0, atunci 2, + y= 5 <0 gi deci valoarea abrolută « rădăcinii nogative ete mai mare desit rădăcina pozitivă. Rezultatele obținute se pot reprezenta în următorul tabel: s>a m>0, me | seo neo | Bs: see i | 330 mase atenti 8 Inul [ul > 20 Observajii: 1. Fie $= 0. Beustia are rădăcini rele numai dacă P < 0. în acest caz avem 2, + 24 0, adică 2, — 2. Fie P=0. At Ezsmple 4) Pie ceulin 20! — se 47 20 > 0. Dea = 6 aa suma și se ‘eam are mă di terte Com ir, = 2 gn mu produsul rider snt positive, rezultă că abel rein snt polive. 43) Fe ecuația + 2x — 15 = 0, Avem A= 4-+ 60 = 64 > 0, deci ecu are out cnt tert, Denton sue, = — 18 xj + a = — 2 reală că radical ay ene’ dieta i valoarea bolita‘ rSdfelat negative este mal mere dec riding 24. Descompunere trinomului de gradul al doles în produs de polinoame de gradul ni Fie polinomul de gradul al doilea aX? + BX 4 a 7.0, in nedetrmi nada? X. Un astel de polinom se numește trinom de gradul al doilea 4. Si presupunem că ecuația ast + be +e 0 aiv rădăcini reale, fie cetea za și za: Atunci aX! OX pe = a(X— 2) (X— a) ai + OX +e = (eX — ax) (X — 2p) Așadar, dacă 4 — fae > 0, atunci tinomul aX? + DX +6, a #0, se descompune în produs de facori de gradul tnt cu coefcieni rei. 2. Reciproc, fio trinomul aX? 4 6X 4-6, aș. 0, și să presupunem că acesta se descompune In produs de fatori de gradul îti cu coefciengi reali, adică at fe (GX d) lasă + by, w 2 Neanerminata plinamlui se notează, wet, cu eră mare unde e +e am by snt numere reale. Atunci rădăcinile ecuației az + be + 0 sint reale Intradevăr, din relația (1) identifitnd coeficienții lui X3, avem a — aa. Cam a 0, mentă că 4 și a 7.0. Prod (xe) (ue +) yi deni ecuația azi + bf cate zero pentru oare rutene eu = ph Emme, 4) 84 sa devcompund trinomul GX*— X — 4, în Ietei d gradul îti a conica al Rdicnle eevație dat — e = 1 = 0 sint: mi = d și ai = tone ‘ anus se +4)- 2) Deoarece discriminantal ecateh zi + 2 + 2 = 0 ete At result of trinomul X42 nu ae decorapune n acri degrada ni el ex uri, exenceri Sa. Sa an rezete nație n zi @) be + 1 = mid) me — mt = 6 ter n mei ÎN pe ta m LED lat m a-i Byte tly iat 14 la oala st edi la unsa 2. a sa revolve neeațile = 94; A rio ae pasat: Miel a De – 0c 04 niQ- @)or+ b> 3 ti De Sats to catia rates Gite iei Mie 2) leat 4S. detcemine yloile ul» penta cre exe radicali riot (n mulțimea ume- tele ral VEI VEI OVETE OVI HV 4.6 ott eae: : memoria a sinoi e) —a hte =o, 5. SA se determine m, sate tet comin 20 ma} 1 — 0: să aia race ele să ai orale arte e) a mu ab rind VL a Acelasi en cala problems Sypentra cetei st — tmz} mit + m) = 0 1. Lae, haa. Lu. Ais 1, n Să determine valrile ni m pin că cotațiile x? + = 4 m = Osha! + 2 — m = 0 a acdag! număr de reala rute SA e ormze couple de radu al dole, care au rie n ay = ăia = Sia om + ția om nica Vian Vi Vino avi. – Pe 2; a nile renal + pr + = 0. 84 se fermez een de gradu i ‘les În ale cre radia ant 2/32 3 mo eine 2 mit Limo ati dm = letal Pie a rezolva eeațile următoare, să e determine semnele radacinile Lr me oi eo aie aaa. e |. 38 determine veri în e aie inl rile ceil i + 1 — mz — m = 0 1) acl sm; sean diete ase descompună In factor d gradu n rinoamele: m) GX = 9495 BY AP A) 20 mă mt ‘8 9 determine vilei îl m, ate int ecanțile n ma O tz m= 0 al aba o riding comun, Si se studieze semen rid met al 4 thet m-ai m fina un parame real Fie ecuafa Ama + 61 ma am — 1) = 0. SA se determine valeile nl m ambele Gdn sa ie mai mii ret 1; 1) able rădăcini fe mat mari det 1: o ricing mal mică deat 1 alta mai mare ded 1 se determine valor poartă m, ate nett următoarele cual să aibă două teal gue: mei me $9 = 0; D) mat be + = si a1 ame aa Tim) = 0 Drscompunină membra sting în factor, să se rezolve eae: aa za as — 62 = 0; b) BP at = Ge + BL = 0; att te wae a A) at phe 10 by at tet 1 = Feel era alors Inaiearie. a) Năeni În ambit membri ge 25 1 e em eu i = = VE 15) Se mea nea + is jie ceai dea poeta) «) Aa tm n ambii membri i cena p 30. Fie cousin i — |x| = ma 4: 1. SA se determine m nație să abt trl raed reale Tndieay ie. Se corsiăeră canu temeti, {21,84 e rezave cousin, m ind un parametru rea: 3) Set mz am = 0; 8) alDe + 8) — mle + 3) — 3. epost mele +t); d) ao Inaieagin aa mt 0, Dacă i n stune «= SU Dy An (m 47. Dacă m= —7, tanti A = 0 Și rem ai = se mp —7, alin 0 și z= e unde cxeroiui ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ, MULȚIMI, FUNCȚII $1. ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ ui. Elemente de calculul prepozițiler Noțiunea de propoziție. Se numește propoiie un enunj* despre care șim că cate su adevărat sau fals tnd na și una și ala simultan. “Ezemple. Considerăm enun(urile: 4) În orice triunghi suma unghi sal ate egală cu 180%; 2) ,3 42 = 5°; 3),2 > 5%; 4) „Balea ato un for; 8) „Planeta Venus ete etait al Pimintui “Toate aceste enunțuri sint propoziții, deoarece despre ficare putem să stim dacă ete adevărată sau fasa. De exemplu 4), 2) și 4) unt propoziții adevărate, iar 9) și 5) sint propoziții fale. brațe. O că ete lrg d prepozăți devărae o came erele din matei Ezemple. Considerăm enunfurile: 4) se 425%; 2) pat 9° gig: „Balena tate un posta. Propoziția p y q: „2 >8 anu balena este un peșo” erle o, propoziție Tulea, deoarece p, sint amindows propoziții fals. Gu propozițiile p, 4, re. am construit propoziție: Tp, A a, p V ayo Din acestea obținem ate proporții, ca de exemplu: (Ip)vg, (ip)A (la). Op) Ar ete Nea proporție p se mi notează p 15 Propozițile care se obfin din proporițile p, gr.» (numite propoziții simple), aplicind de un număr finit de ari coneatorii logici «1, AV, e vor numi propoziții compuse. Caleulul prapozțiar studiază propuzțile compuse din punctul de vedere al adevărului sau falsului lor în raport eu valorile logice ale propozițiile simple care le compun. Timplicafia proposiflor. Să considerăm propoziția compusă (1p)V4 a cărei valoare de adevăr rezultă din tabela următoare pla lam | Oplve 1 1 1lolo| o o|ai|a 4 ololal 4 Observăm că propoziția compusă 1p) y 9 este fled atunei yi mumai atunci mă p este adevărată $9 fală, în ceelale cazuri find adevărată. Proporția compusă (1p) vg se notează p + q și se citele, dacă p, uci g* sau „p implică g*. Ea so numește implicapia propozților p, q dn mccastă ordine, Tn implicața „p 9″, se numește ipoteza sau antecedent implictie, iar proporiia se numește concluzia sau conteevental impli De exemplu, să considerăm propaziție p: „2-2 = 8% gig: „Balena este ‘un mamifer”. Propoziția p = g este „dacă 3-3 = 5, atunci balena este un mamier“, care este o propoziție adevărată deoarece peste fală, nr q adaă- mia. beret. Deer se intimplă bizare ra în exemplul dat mn aa 1e cont să fe fr in petal de vede a ost ml Eohivalenfa proposifiler. Cu propozițiile p, g putem forma proporiția compusă (P + 6) A (4 = ph, care se notează p= ¢ si se citește ap dacă și dacă g”.Din-tabela de mai joe se vede că proporția p == 4 cate ade vărată atunci și mumai atunci cină p gig sot în aceași imp adevdrate sau false. pla pala | pond ri a e Te A eS ea solo alo (foresee eal os] roi ae ee en Formule echivalente în calculul propozitional A um în clasele miei ou itarele a,b, ¢ „— 1% putem forma expreile algebrce, aga gi în caleulul propositional cu vitezele p, res (au pm Pa; Ps) 9 eu simbolurile eonectorior logici: V, A, =, == pater să formém diverse expresii numite formule ale caeulului pre poziționat. Formulele calculului propozițional le notam cu literele a, , Y, d, um și simbolurile ++, 16 Exemple: pVa, (PVOAT (DV) (PAM (OVP, =P sint formule ale caleuului proposition Fiind dată o formulă e = « (ps) n erirea căreia întră literele p, mori de ete ori nlocuim literele p, 7, cu diverse propoziții obținem, 9 nouă propoziție (adevărată saw fală) care 20 va numi valoarea formulbi « pentru propozițiile p, 9, e . date Otaereaie, Giitoru pane să facă media legătura ex valoarea unei expresii age nica entra diverse valori numtece date Merele ce © compun 0 formula ap, cum snt propoziție pg, re. e oie. Două formule itn srirea cărora întră literele p 4,7 e io eehi- salen dacă i mamai dacă penru aie nocaire a tere py, P=. divert ropa, alor edr două formule sn propoziții (ompase) cre eu acea Valoare de adevăr Cin două formule și tnt echivalente eren «=. 7.) ear are valoarea o propoziție adevărată indiferent mește formulă identc adevdraté sau tau- Obuvație Și sick ititaral poate sgh dea seams imediat că echivaleta frmalder în caoaalpropexfon esto analoagă nopuni do Idattate a dout expres ageri Pentru a dovedi că dovă formule ale calcului propoztional snt echi tente se folosee tabelele de adevăr Berle). Fh aooV B= (9) Ata), Din ura de ma jt rei pt evel e [felt Ei 2) Fie sean 4 = (lV (ag. Din Pe pa ra cor REE : |! 1. Sa se decid care din enunjurile următoare. iți de adevăr nu era se pote 32:30; b) 04+5):0-+8)=80; 0) [a] 30 (e număr real); d) Oricare ar li numărul real z avem || > 0; e) Închide carteal; ) Există on mumă reals, aril incit 27.4 27 — 3 =0;) Dreptele did snt paralele. 3. Din. propoziție p ip: să <5" aletuiți conjuneția, 3 Foosină tabelele de adevăr, să se verifce: 4) PVGAN=@VDAGVA: 6) PAGYD (p).8) Pa e valori ADVAN: 12 +193 6) PVE = aVp Hh PAG =P. 1 4. Să se arate că următoarele propoziții au valoarea de adevăr yf indi- feront de propoziție simple ce În compun: 8) potpVmi DAM =pi d (PAD) 45, n (P>DAG = =n Pa + > aM; n pV GP) die AMP). 4,2, Elemente de calculul predicatelor Noțiunea de predicat are o importanță deosebită în inatematică. Fără ‘a exagere, aproape orice teoremă din matematică este un enunț ce conține, nul sau mai multe predicate i Noțiuaea de predicat. Să considerăm enunhu mea 303 2) ge divide și. Să luăm enunțul z + 2 < 3", Se vede că dacă Inlocuim x eu 2, obținem propoziția fasi, „2 +2 < 3". Dacă facem z= 0, obținem propoziția adevă- rath „0 2 <3" ete Să considerim enunțul yx divide y*, Pentru x = 2 și y = 6 obfinem pro- poziția adevărată 2 divide 6°. Pentru 2 =A și y = 6 obținem propoziția fală „A divide 6° ote Un enunț care depinde de una saw mai multe variabile și are proprisatea că pentr orice ator date variabilelor corespunde o propoziție (adevărată sau falnt) se numeste predict (sax propoziție ea variable). Predicatele snt: unare, binare ternare ele., după cum depind respectiv de 4, 2, 3... variabil. Notăm prodieatele cu p (2, 2), (e Va) Ori de ete ori definim un predicat, trebuie să indicăm și mulțimile în care variabilele ian valor. Emempe 1) nj pla): me 1 = 77, unde eemnează un monte Tanti pl): wz ee ate oy nde, y deemacant oameni, tă în pr oe) unl pls, e ice PT) Dacă avem două predic cesta viile putea oa ajar cametair loge ma pred PVG Pg, pica sa Sus pr ee iu entre predicate, pa) et print care vă soy cand propia le): Cuantifcatoral existential (3) și cuaxtfialral universal (0), Steins legată de noțiunea de predicat apare noțiunea de cuantificatar, Fie prodioatul unar la), undo 7 desemneazi un element oareare din mulțimea E. Patem forma enunțul: std cl puțin un 2 din E astfel incl pla), cae se notează (32) pls). Acel enunț sto © propoziție are este adevărată cnd există el pain un ele. ment xy din E, sttl înot propoziția play) ete adevărată și ete falsă cnd nu rit mei un xy din E asl nat pt) 3 [i adevărată. desea punere întregi te y+ es unde sy plas yes) i Q = lay eB are cain TPP AG. ‘aria ponte te 18 Exemple 1) Comierăm peedictsl pla) ut 4 3 ~ 0%, nde 2 destmmează on mumie ints. Propoiia (Baie + 3 2 0) wate adevărată, dooce pentr ay = —3 propoiiap(-3)2 y=3+ A= onto adevtal 2) Fi produ plana} ton trytmde doweancax n număr ea, repezi (ay) (at 1 at a, parece mu ex ne un mura atl în ave Cu predicatul p(2) putem forma și enunțul: oricare ar fix din E are Ie pla)", car se notează (V2) p(s). Acest enunț este o propoziție; care ete adevărată ducă pentru orice element zu din E, pty) este adevărată și est falsă în cazul cină ezită el puțin un 25 din E pentru care plz) este falsă Ezompl. 1 Fe pedal pi vrapenția Welle + 3/2) ete Pls gb a 0 eae fl 3) Conair predcatalp(c)w3* > 0″ unde = seemaeash un sume tlc, Pro oa (ellet> 0) sole aderat deoarec petra orcs mumă Intre zy avem B30. Echicalena predicatelor. Dowi predicate pe echivalente gi scrim p(y, 2») «© (3) sa.) dacă oricum am alege valorile variabileler za, Yo îm Bropotițiile play, Yo ye) i (za Yo zu) au annaași valoare de adevir. Dacă oricum am alege valorile variabilelor ze, Yo în, pentru care propăziția pty, Yo zyx) este adevărată rezultă că gi propoziția (za Ym îm) este adevărată, vom serie Pl ui 8,0) ata Hy Bod Se vede că plz yy zica) ee alts paz) atunci și numai n PAE Hy 25) e la Hy în) i ME By Bn) Pa, pi a) Baample 1) Considerăm prdictele pla} m < O° # all: at 3 1 unde 2 deem. east va mumie ral, Se aber eh “lew al) si 1) pa) 2 Sorin peat iy = i ll e wy dem ple, seas d 4) Considerăm prodiatle pl): ma > O° le): na? > O, unde deemnensh în mumie rl ‘Se vada că ps) = a, d carena ee ‘ate fa, 3 + 3 Ci onde x devmnonad vn ste Intre, A! incarce de exemple pentr ey =, proper os ala.) se zio ae în implini as) m pe) deoarece pentr zu Sea aderat Po cmd propos pa Reguli de negajie. Fie p(2) un prodicat unar, unde x dsemnează un ale- 1 din mulțimea E. Atunei 8) U2) pa) 02) 1pta), 2) 10002) pe) 3 2) pla) (ici semnul, 23“ desemnează faptul că cole două propoziții au acooasi v toare de adevăr) esmple 1) SA conser pretetul pl): e — 2 = număr între. Propontia (32) la) cate adevărată deanec pe Plas wb = ate advătată, Munci propose as) la) ie flat. PO Forts, predict pe) este echivlent eu prodatal „e 2 #3″ Prop PATH a eat ala, dare pentr mu = 8, propoziția 3 — 2 3″ eal fad, Deck am aa) (e = 2 = 9) = (Ve) We 2 = 9) 2) Considerăm preiatul pla): se > 7, unde desemnează ya număr fatrey. Peopoaia(eila-> 0 al aa donreo pentru zy = —Iy «=> 0 ete o proper fate, Atunci propoziția (Yehe > 0) ete adevăr ‘edo ll part, ps} st chvalent eu prenatal < 7. Prope (3) (e < 0) sate adevărul, Dest am Terbeat că E ave) le > 0) = (ae) ale > 9) Predicate de mai multe variabile. Fie p(x, y) un predicat binar. Folosind cuantificatorii (3) i (¥), putem forma predicatele unare: (32) p(y) și (2) plz, ), unde y este variabila acestor două predicate (y se see variabilă era, ar 2 variabilă legată). Din aceste două predicate unare putem forma propoziție „3 apa, 9,0 (Bx) pC ws By) (V2) w(x 9) și (29) (Va) ra pr Semnalăm următoarele proprietă de comutativitate ale cuantiicato muti de aeolag fel: (¥2) (We) ple, 9) = (Vu) (V2) pla) 2) Gy) ple, = x) p (=, 9). Din regulile de negație pentru. predicatele unare obținem regulile de negate pentru predicatele binare. De exemplu: AG) (y) plz 3) = (V2) (VI) Ia, v) Intradevăr: (G2) Gy) p(s, y)) m (Va) 130) pl) = (Va) Vp) 12 1 CConsiderafiianaloage se pot face pentru predicate cu 3,4 sau mai multe va- rinbite. Oberati 1) Dacă play, =.) ge ays) tnt dow prelate, tanc plz. e poat dick ai mom doc cal adevleatt propoziția: (Va) (Vy) (9 i Ac a tay ay Breall De asemenea, play 9, sn) lar 5) ate! și tm atl lad ste adbvral prope 9) Wah (2) la ve în m) lee n oT 2 ate ware se ia mă forma implicate Me e n meta n oh ema cat de ec pl, pe la, 3, ‘nt mdioele unul tang lar es 9,3) at prelata x,y, tat concurente „Fie teorema! An ABC soe om teanght dreptanghc, and BET = ABS + „+ AGH ovat taram ese de forma ple, ys abe ales nd nde pte, 2) eta predict: ay yy # snt lata unul teianghidreptunghie Ae < i) AH ar te. te preity = a 2 7. Teorema vrmăteare: „tr dont 9 lina de de arta sah fo pla a, a), unde pin pl ete prot: le A 9! A de
A. Dacă A nu este incusă în B se serie A 2 B. All spus, A @ B înseamnă că există x E A asfel incit 2 a B. Cind A este inclusă în B se mai spune că B conține pe A tau că A este o submuljime (sau parte) a Ii B. Exonple n, 2, 3) st into n (h, 2. 9,6 42} Malle mamare matale pare ele tcl a) Nezeqen 4) Se face conveni et pentru vice mulțime A, mulțimea vid este inclusa în A 2) Mains 2,8) tact maine 3.4 7) ame e pa Fie A o mulțime și o proprietate P(z); mulțimea elementalor din A care nu proprietatea P(x) se notează: B= ee AlPa): Parmpe. 1 Molinea numelor naturale care za divid cy 5 se notems A = = (e sf armat i = lee za po), Be vede ch A 2002). adie (1, 2 e 2, 3.53) ma aere nara Din definiția relatiei do incluziune rezultă că aceasta are următoarele proprietăți. 2) este nelexivă, adică A CA; ») ete antisimotrică, adică dacă ACB și BCA, atunci A = Bs e) cate tranzitiva, adică din ACB și BCC rezultă ACC Proprietatea b) se utilizează în practică în sensul că pentru a dovedi ca se probează incluriunile AC B și BCA Dacă A este o mulțime, atunci mulțimea care re ea elemente toate sub; Iai A, se numegte mulțimea părților Iui-A gi se notează cu PLA). PA) = {X| XC A}. Observăm că mulțimea vidă O și mulțimea totală A sint elemente ale Ii lay. Exemple. Fie A= (1, 2,3). Avem Pla) = 40, {1}, 12), 13}, (1,2), (1,3) 42,3), 4,2,