Spre deosebire de unele capitole ale zicii moderne (cum ar cele referitoare la interact iunile nucleare slabe si/sau tari), care sufer a modi c… [607794]
RUPEREA SPONTAN A A
SIMETRIILOR IN TEORIA
CUANTIC A A C ^AMPURILOR
Absolvent: [anonimizat] ,i,2018
Introducere
Spre deosebire de unele capitole ale zicii moderne (cum ar cele referitoare la
interact iunile nucleare slabe si/sau tari), care sufer a modi c ari importante ^ ntr-un
ritm destul de alert, electrodinamica cuantic a este considerat a la ora actual a un
capitol foarte bine sistematizat si pus la punct, al zicii. Dac a pentru acele capitole
ale zicii care sufer a o schimbare rapid a si relativ important a, ^ nc a nu a sosit
vremea unei sistematiz ari consistente, electrodinamica cuantic a, cu toate c a are o
istorie relativ scurt a (doar aproximativ 30 { 40 de ani), se bucur a de statutul de
capitol pe deplin sistematizat, ^ ntr-o manier a unitar a, coerent a si consistent a.
Elaborarea electrodinamicii cuantice relativiste nu a fost posibil a dec^ at dup a
aparit ia la ^ nceputul secolului al XX-lea a celor dou a teorii de-a dreptul
revolut ionare, care au marcat ^ nceputul unei noi ere a zicii; este vorba despre
teoria cuantelor si teoria relativit at ii speciale. Prima are la origini ipoteza cuantelor
a lui Planck (1900), iar cea de-a doua, analiza lui Einstein asupra spat iului si
timpului (1905). Odat a cu aparit ia acestor dou a teorii geniale, practic orice
abordare ulterioar a, serioas a si pertinent a a fenomenelor zice din Microcosmos, ^ n
care sunt implicate particule atomice si/sau subatomice si energii mari, se vedea
obligat a s a aib a un caracter dublu: at^ at cuantic, c^ at si relativist. A luat astfel
na stere un nou capitol al zicii teoretice, care la ora actual a este cunoscut sub
numele de Teoria Cuantic a a C^ ampurilor (TCC, sau QFT { ^ n limba englez a), si
care ^ si are originile ^ n cea de-a doua cuanti care. Acest formalism a fost dezvoltat
pentru a descrie din punct de vedere cuantic si relativist sistemele cu un num ar
mare de particule. El mai este cunoscut si sub denumirea de cuanti care canonic a
(terminologie speci c a teoriei cuantice a c^ ampurilor) si implic a ^ nlocuirea funct iilor
de c^ amp cu operatorii de c^ amp, urm^ and ideea similar a din cadrul primei
cuanti c ari, ^ n care m arimile zice (cum ar : impulsul, energia, momentul cinetic
etc.) sunt ^ nlocuite cu operatorii corespunz atori. Ideile de baz a ale acestui nou
formalism ^ i apart in lui Dirac (1927), ind ulterior dezvoltate si aprofundate de
c atre Fock si Jordan (1932). ^In aceast a abordare, st arile cuantice multi-particul a
sunt reprezentate ^ n a sa-numitul spat iu Fock al st arilor cuantice, ind \construite"
pornind de la st arile uni-particul a. Formalismul cuanti c arii a doua introduce
a sa-numit ii operatori de creare si de anihilare (distrugere), cu ajutorul c arora \se
construiesc si se manipuleaz a" st arile spat iului Fock, ace stia reprezent^ and un
instrument deosebit de util ^ n studiul teoriei cuantice a sistemelor multi-particul a.
Teoria cuantic a a c^ ampurilor a ^ nceput realmente prin cuanti carea energiei de
c atre Planck (1900), bazele teoriei ind prezentate ^ ntr-o manier a clar a si
sistematic a ^ n lucr arile lui Jordan si Wigner. Cronologic vorbind, primul c^ amp
cuanti cat a fost c^ ampul electro-magnetic, teoria cuantic a a c^ ampului
electromagnetic ind formulat a ^ n anul 1930 de c atre Pauli si Heisenberg. Aceasta
s-a dezvoltat ulterior ^ ntr-un ritm vertiginos, d^ and na stere la ceea ce ast azi este
^ ndeob ste cunoscut sub denumirea de Electrodinamica cuantic a. Trec^ and ^ n anii
1
treizeci si patruzeci prin mai multe faze de dezvoltare, aceasta a devenit ^ n cele din
urm a o teorie veri cat a experimental cu o precizie impresionant a, valorile teoretic a
si experimental a ale constantei structurii ne (cea mai important a constant a a
electrodinamicii cuantice) ind ^ ntr-o deplin a concordant a (cu opt zecimale exacte).
Dup a perioada init ial a a dezvolt arii electrodinamicii cuantice, care a fost
^ ncununat a de o serie ^ ntreag a de succese, ulterior au ap arut unele di cult at i
serioase legate de interpretarea zic a a unor termeni divergent i care au rezultat ^ n
urma calculelor unor procese zice concrete. Aceste di cult at i au fost remediate ^ n
anul 1938 de c atre Heisenberg, care a propus a sa-numita teorie a matricii . Aceast a
teorie s-a dezvoltat ulterior, devenind o structur a matematic a complex a, ideal a
pentru descrierea interact iunilor cuantice dintre particule. Matricea (sau matricea
de ^ mpr a stiere) reprezint a ^ n fapt setul de amplitudini de probabilitate ale
tranzit iilor unui sistem de particule ^ ntre toate st arile posibile { din st arile init iale
(speci cate, date), ^ n st arile nale (de asemenea, cunoscute, date). Aceast a matrice
cont ine ^ ntreaga informat ie despre procesele de interact iune cu semni cat ie zic a,
ale unui sistem de particule. Cea mai adecvat a cale de a de ni matricea este oferit a
de a sa-numita reprezentare de interact iune (Tomonaga-Schwinger) a dinamicii unui
sistem zic cuantic. Acestui subiect ^ i este dedicat, de altfel, si primul capitol al
lucr arii de fat a. Pentru a ^ nt elege c^ at mai bine acest subiect, capitolul I cont ine si o
serie de elemente referitoare la modalit at ile de descriere a evolut iei ^ n timp a
sistemelor cuantice, precum si celelalte dou a tipuri de reprezent ari ale dinamicii
unui sistem zic cuantic (ce sunt utilizate de la caz la caz, ^ n funct ie de necesit at i),
anume, reprezentarea Schr odinger si reprezentarea Heisenberg. Capitolul al doilea
este consacrat elementelor de baz a ale teoriei matricii , precum si diagramele si
regulile Feynman-Dyson pentru electrodinamica cuantic a, ce se dovedesc extrem de
utile ^ n studiul diverselor procese de interact iune dintre particule. Acest capitol este
completat cu prezentarea unor elemente care sunt absolut necesare aplic arii
formalismului matricei , ^ n str^ ans a leg atur a cu utilizarea regulilor Feynman-Dyson,
anume, produsul normal si produsul cronologic de operatori si teoremele lui Wick.
Capitolul al treilea este consacrat prezent arii principalelor aspecte legate de
calcularea sect iunilor e cace de difuzie/^ mpr a stiere ale diverselor procese de
interact iune dintre particulele din microcosmos, o atent ie deosebit a ind acordat a
modalit at ii de de nire si calculare a probabilit at ilor de tranzit ie ^ ntre diversele st ari
posibile ale sistemului. Capitolul al patrulea si ultimul al lucr arii este dedicat
studiului (aplicativ al) efectului M oller (difuzia electronului pe electron) ^ n cadrul
formalismului electrodinamicii cuantice relativiste, ind determinat a sect iunea
e cace de ^ mpr a stiere la difuzia M oller. De asemenea, a fost studiat a si aproximat ia
nerelativist a, ind prezentat modul de deducere a formulei lui Mott (din care
rezult a ca un caz particular si formula lui Rutherford). Lucrarea se ^ ncheie cu
sect iunea intitulat a Concluzii (^ n care sunt trecute ^ n revist a ^ n mod succint
principalele rezultate prezentate ^ n lucrare) si lista referint elor bibliogra ce, care
cuprinde 31 de titluri.
2
Cuprins
1 Degenerarea st arii de vid si ruperea simetriei 4
1.1 Starea de vid. Semni cat ,ie si de nit ,ii . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Degenerarea si invariant ,a st arii de vid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Ruperea explicit a s ,i ruperea spontan a a unei simetrii . . . . . . . . . 18
1.4 Teorema Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Ruperea spontan a a simetriilor globale 22
2.1 Clasi carea simetriilor in teoria cuantic a a c^ ampurilor . . . . . . . . 22
2.2 Simetriile locale si teoriile gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Simetria exact a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Ruperea spontan a a unei simetrii globale . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Ruperea spontan a a simetriilor locale 33
3.1 Simetria exact a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Ruperea spontan a a unei simetrii locale abeliene . . . . . . . . . . . 35
3.3 Ruperea spontan a a unei simetrii locale neabeliene . . . . . . . . . . 42
4 Simetria Rezidual a 47
4.1 Uni carea unei interact iuni cu raza in nit a de act iune cu o
interact iune cu raz a foarte mic a de act ,iune . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Cazul interact iunii electroslabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Simetria rezidual a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
1 Degenerarea st arii de vid si ruperea simetriei
1.1 Starea de vid. Semni cat ,ie si de nit ,ii
Dac a consider am un sistem cuantic descris de un Lagrangen, L si de un
Hamiltonian, H, putem scrie pentru acest sistem ecuatia general a:
H n=En n
Prin rezolvarea acestei ecuat ,ii de vectori si valori proprii vom obt ,ine bineint ,eles,
valorile proprii Ensi funct ,iile de und a proprii n. Aici,Enreprezint a energia st arii
n. Astfel, putem de ni ^ ntr-o prim a faz a starea de vid ca acea stare de energie
minim a,E0c areia ^ i corespunde starea 0.
Impropriu numit a, starea de vid se mai numes ,te in teoria cuantic a a c^ ampurilor s ,i
stare cuantic a de vid sau pentru un anumit camp descris de o stare de vid se mai
foloses ,te si termenul de c^ amp de zero (din englez a: Zero-point eld ZPF). Numele
de stare de vid este impropriu dat, deoarece conform tuturor teoriilor cuantice,
not ,iunea de vid ca s ,i neexistent , a absolut a a materiei nu are sens. Exist a totus ,i un
vid cuantic, perpetuum
uctuant. Astfel, orice vid este caracterizat de o
multitudine de unde electromagnetice
uctuante s ,i de o serie de particule ce apar s ,i
se anihileaz a spontan. Astfel, not ,iunea de stare de vid cap at a un sens zic mai
puternic, dac a se cupleaz a cu not ,iunea de energia de zero a unui sistem. Astfel,
energia unei st ari de vid are aceeas ,i valoare cu energia de zero a acelui sistem.
Pentru a int ,elege conceptul de stare de vid, trebuie int ,eles mai ^ nt^ ai conceptul de
energie de zero, not ,iune introdus a prima oar a ^ n cadrul studiului problemei corpului
negru.
Problema corpului negru Una dintre cele mai importante probleme ale
sfars ,itului secolului 19, ^ nceputul secolului 20 a reprezentat-o problema corpului
negru, ^ n sensul c a, nici un model zic de p^ an a atunci nu se potrivea cu datele
observate experimental. Chiar dac a au fost preluate concluzii empirice din datele
experimentale, nu a fost introdus un model zic care s a explice rezultatele
experimentale p^ an a ^ n anul 1912, an ^ n care Max Karl Ernst Ludwig Planck s ,i-a
publicat ce-a de a a doua lucrare pe tema problemei corpului negru, care introducea
conceptul de energie de zero. ^In lucrarea sa, Planck presupune c a absorbt ,ia
radiat ,iei de c atre corpul negru are loc ^ n mod continuu, cum prevedea modelul
clasic,^ ns a emisia radiat ,iei avea loc ^ n mod discret, sub forme de cuante de energie.
Planck consider a corpul negru ca ind format dintr-un numar foarte mare, dar nit
de oscilatori ce pot emite radiat ,ie doar dupa ce au absorbit (^ n mod continuu) o
cuant a de energie h. Dac aPneste probabilitatea ca oscilatorul s a aib a energie
^ ntre (n 1)hsinh, atunci c^ and printr-un proces de absorbt ,ie de radiat ,ie,
energia lui cres ,te p^ an a lanh, exist a o probabilitate p ca acesta s a ^ s ,i piard a toat a
energia sub form a de radiat ,ie si o probabilitate (1-p) ca oscilatorul s a continue s a
4
absoarb a energie fara a emite radiat ,ie. Astfel,P2=P1(1 p),
P3=P2(1 p) =P1(1 p)2,….,Pn=P1(1 p)n 1, iar
1X
n=1Pn= 1 =1X
n=1P1(1 p)n 1=P1
p=)P1=p
Urm^ and formalismul lui Boltzmann, Planck de nes ,te entropia unui oscilator ca :
S= k1X
n=1PnlogPn
S= k(P1lnP1+P2lnP2+:::)
Notamq= 1 p=)Pn=P1qn 1
S= k(plnp+pqln(pq) +pq2ln(pq2) +:::)
S= kp(lnp+qln(pq) +q2ln(pq2) +:::)
S= kp(lnp+q(lnp+ lnq) +q2(lnp+ 2 lnq) +:::)
S= kp(lnp+qlnp+q2lnp+:::) kp(qlnq+ 2q2lnq+ 3q3lnq+:::)
S= kplnp(1 +q+q2+:::) qkplnq(1 + 2q+ 3q2+:::)
Stim ca progresia:(1 + q+q2+:::) =1
1 q
Si observam ca:(1 + 2 q+ 3q2+:::) =d
dq(1 +q+q2+:::) =d
dq(1
1 q) =1
(1 q)2
S= kplnp1
1 q qkplnq1
(1 q)2
S= (kplnp)1
p [p(1 p)kln(1 p)]1
p2
S= klnp k1 p
pln(1 p)
S=k[ lnp 1 p
pln(1 p
p) 1 p
plnp]
S= k[lnp(1 +1 p
p) +p 1
pln(1 p
p)]
S= k[1
plnp+ (1
p 1)ln(1
p 1)]
Mai departe, Planck presupune c a toate energiile dintre (n-1)h si nhau aceeas ,i
probabilitate de a exista, astfel ^ nc^ at energia medie a oscilatorului cu energie
^ ntre(n-1) h si nheste1
2(n+n 1)h= (n 1
2)h. Energia medie a oscilatorului
5
este astfel:
U=1X
n=1(n 1
2)hPn=h1X
n=1(n 1
2)p(1 p)n 1
1X
n=1np(1 p)n 1=p1X
n=1n(1 p)n 1=p(1 + 2(1 p) + 3(1 p)2+:::)
=pd
dp(1 (1 p) (1 p)2 (1 p)3 :::) =pd
dp( 1
p)
=1
p
1X
n=1( 1
2p(1 p)n 1) = 1
2p1X
n=1(1 p)n 1
= 1
2p(1 + (1 p) + (1 p)2+:::) = 1
2p
p
= 1
2
U= (1
p 1
2)h,1
p=U
h+1
2
Astfel, relat ,ia entropiei devine:
S=k[(U
h+1
2) ln(U
h+1
2) (U
h 1
2) ln(U
h 1
2)]
Folosind relat ,ia@S
@U=1
T, putem scrie forma nal a a energiei:
U=1
2heh
kT+ 1
eh
kT 1=h
eh
kT 1+1
2h
De aici se observ a c a, dac a T!0, atunciU=1
2h. Astfel, apare pentru prima
oar a not ,iunea de energie de zero, ce semni c a energia minim a ce o poate lua un
anumit sistem, dar care va ^ ntotdeauna nenula. Aceast a not ,iune elementar a
introdus a de catre Planck poate extrapolat a pentru orice sistem cuantic,
anticip^ and practic relat ,iile de imprecizie Heisenberg, care ^ n esent , a a rm a acelas ,i
lucru. Mai departe, vom analiza not ,iunea de vid in alte cazuri s ,i interpret ari, toate
baz^ andu-se pe not ,iunea de energie de zero observat a de Planck.
St ari de vid in reprezentarea Fock Deoarece mecanica cuantic a
"clasic a"(Schr odinger, Dirac, Heisenberg, de Broglie …) nu explic a procesele de
creeare si disparitie a particulelor ^ ntr-un mod consecvent s ,i riguros, a ap arut
6
necesitatea g asirii unui nou formalism cuantic care s a explice mai bine aceste
fenomene. Acest formalism poart a numele de TCC (Teoria Cuantic a a Campurilor)
si presupune cuanti carea m arimilor introduse de c atre interpretarea ondulatorie a
mecanicii cuantice date de S ,coala de la Copenhaga. Cuanti carea vectorilor de
und a, s,i implicit a probabilit at ,ilorjcij2, de nite cu ajutorul transform arii ^ n serie
a vectorilor dup a o baz a ortonormat a de vectori proprii,
j i=X
icij'ii
introduce implicit nevoia de a asocia m arimilor ci,un set de operatori ^ c i. Pentru a
lua in calcul creearea/ anihilarea de particule, trebuie sa consideram ca
probabilitatea se modi c a in timpul procesului, astfel incat dupa un timp t, cel
put ,in o particul a va trece din starea j'ii, intr-o alt a stare j'ki. Formal, acest lucru
se explic a prin de nirea operatorului de absorbtie sau anihilare c, care elimin a
particula din starea j'iis,i a unui alt operator, numit operator de emisie sau creeare
cy, care creeaz a particula ^ n starea j'ki
Aprofund^ and reprezentarea de impuls a cuanti c arii c^ ampului se g ase ste c a pentru
un c^ amp scalar complex exist a 2 tipuri de particule, a c aror densitate se poate scrie
^ n analogie cu reprezentarea "clasic a" a num arului de particule: ni=cy
ici:
N+(~ p) ='y
+(~ p)' (~ p)
N (~ p) ='+(~ p)'y
(~ p)
, unde'y
+(~ p)si' (~ p) sunt operatorii de creeare, respectiv anihilare al unui tip de
particule, iar '+(~ p)si'y
(~ p) sunt operatrii de creeare, respectiv anihilare al celuilalt
tip de particule.
^In cazul c^ ampului scalar complex se reg asesc expresiile pentru impuls, Hamiltonian
(energie) si sarcin a:
P =Z
P [N+(~ p) +N (~ p)]d~ p
H=Z
Ep[N+(~ p) +N (~ p)]d~ p
Q=Z
e[N+(~ p) +N (~ p)]d~ p
^In cazul c^ ampului scalar real se observ a c a cele 2 tipuri de particule coincid , deci
vom avea:
N(~ p) ='+(~ p)' (~ p) =>
7
P =Z
P N(~ p)d~ p
H=Z
EpN(~ p)d~ p
Q=0
Astfel, ^ n c^ amp scalar complex avem 2 tipuri de particule ce posed a acela si impuls
si energie dar au sarcina diferit a. Pe de alt a parte, ^ n cazul c^ ampului scalar real,
'+(~ p) reprezint a un operator de emisie, iar ' (~ p) un operator de absorbt ie. Astfel,
^ ntr-un asemenea c^ amp vom avea doar un singur tip de particulade impuls p,
energie E si sarcin a 0.
Condens^ and aceste rezultate, tragem concluzia c a este vorba despre mezonii + si
descri si de c^ ampul scalar complex si de mezonii 0descri si de c^ ampul scalar
real.
^In teoria cuantic a a c^ ampurilor, o stare de vid se noteaz a cu vectorul de stare ket
j0i si reprezint a un vector care, act ionat cu orice operator de anihilare va da
rezultatul 0. Aceasta de nit ie este echivalent a cu a rmarea c a starea de vid este
acea stare ^ n care nu exist a nici o particul a. Dac a act ion am cu vectorii de anihilare
' si'y
asupra st arii de vid obt inem:
' (~ p)j0i= 0;'y
(~ p)j0i= 0
T,inand cont de faptul c a [ '(~ p)]y='y
(~ p), conjugatul hermitic a celor 2 relat ,ii de
mai sus este:
h0j'y
+(~ p) = 0;h0j'+(~ p) = 0
Observ am, deci c a act ,iunea operatorilor de creeare 'y
+(~ p) si'+(~ p) asupra vectorului
brah0jva da tot 0.
Totu si, pentru a respecta relat iile de comutare a operatorilor de creeare si anihilare:
['y
(~p0);'(~ p)] =(~p0 ~ p)
act ,iunea operatorilor de anihilare asupra vectorului h0j si act iunea operatorilor de
creeare asupra vectorului ket j0iva da un rezultat diferit de 0.
'+(~ p)j0i6= 0
Consider am o relatie operatorial a de form a:
'+(~p00)'+(~p0)j0i6= 0
Act iunea operatorului de creeare '+(~p0) va da o particul a de impuls ~p0, iar act iunea
operatorului '+(~p00) va da o particul a de impuls ~p00. Astfel, se poate creea un sir
arbitrar de vectori proprii, care la r^ andul lor descriu aparit ia unor particule de
impulsuri~p0;~p00;:::. Setul de vectori proprii asociat i ec arei particule astfel creeate
8
poate ortonormat astfel ^ nc^ at orice stare a sistemului s a poat a reprezentat a ca o
combinat ie liniara a acestor vectori. O asemenea reprezentare a funct iilor de stare a
unui sistem poart a numele de reprezentarea Fock .
^In continuare, este necesar s a consider am c a pentru o stare de vid ( h0j;j0i) ,
valoarea medie a tuturor observabilelor este 0. Astfel ^ nc^ at, pentru un operator ^T,
valoarea sa medie ^ n starea de vid se scrie:
h0j^Tj0i= 0 care se mai noteaza si <^T>0= 0
Toate m arimile de c^ amp necuanti cate sunt preluate ^ n teoria cuantic a a
c^ ampurilor sub semnul produsului normal. Produsul normal are rolul de a conferi
sens zic formalismului operatorilor de creeare si anihilare astfel ^ nc^ at, aplicat unui
num ar de operatori, reprezint a aranjarea acestora ^ n a sa fel ^ nc^ at operatorii de
anihilare s a e scri si ^ ntotdeauna ^ n dreapta operatorilor de creeare .
T in^ and cont de rezultatele de mai sus , putem trage concluzia c a valoarea medie a
unui produs normal este mereu zero.
1.2 Degenerarea si invariant ,a st arii de vid
Consider am, la fel ca mai sus un sistem cuantic descris de Lagrangeanul L si
Hamiltonianul H. Sistemul poate lua diferite valori discrete ale energiei date de En,
determinate de ecuat ia lui Schr odinger:
H n=En n
Fiecare stare cuantic a este dat a de energia proprie En si funct ia proprie (funct ia de
und a) n. Dac a o singur a stare cuantic a corespunde unei valori En, atunci numim
acea stare, nedegenerat a, altfel o vom numi degenerata. Dac a starea degenerat a
este stare de vid, starea corespunz atoare energiei de zero, E0,atunci aceasta se va
numi stare de vid degenerat a . Mai departe, vom observa c a pentru a vorbi despre
degener ari si sisteme degenerate, trebuie s a vorbim de fapt despre o anumit a
simetrie. Pentru un sistem ^ n care Hamiltonianul ia valori discrete ( spre exemplu,
electronul legat ^ n atom), pentru ca dou a st ari s a aib a exact aceea si energie (f ar a
absolut nici o aproximat ,ie), trebuie s a vorbim despre o simetrie. ^In natur a singurele
simetrii exacte sunt date de relat ii de simetrie. Simetriile implic a uneori degener ari,
dar nu ^ ntotdeauna. De aici, reiese practic utilitatea analizei simetriilor, deoarece
este singurul mod de a determina degenerarea unui sistem. Aceasta nu poate
observat a experimental ^ n mod direct, deoarece st arile ocup a celasi nivel energetic.
Vom lua mai deparete urm atorul exemplu:
Simetria de rotat ,ie
Consider am o particul a constr^ ans a s a se mi ste pe un cerc (pe o traiectorie
circular a). Pentru a ne folosi de simetria de rotat ie a sistemului,vom lucra mai
9
departe ^ n coordonate polare plane, unde r=const. Deoarece avem doar un grad de
libertate, funct ia de und a va depinde doar de coordonat a , = (). Dac a rotim
sistemul ^ n sens invers trigonometric cu un unghi in nitezimal : ()! ( )
vom obt ine o variat ie a funct iei de und a dat a de :
= @
@= i( i@
@)
,unde identi c am operatorul moment cinetic (consider^ and binent ,eles c a h=1),
conform formalismului teorii cuantice a c^ ampului : L= i@
@. Putem scrie, astfel:
= iL
Scriind variat ia funct iei de und a, ne ajut a s a de nim operatorul moment cinetic, L
c a generatorul rotat iei. Genereatorul simetriei se poate de ni ^ n acest caz astfel:
Dac a operat ia de simetrie este ^ ntr-un anumit fel astfel ^ nc^ at are o versiune a sa
pentru numere in nitezimale, atunci de nit ia generatorului este ^ n termeni de
schimbarea in nitezimal a a acestei operat ii.
Ecuat ia de vectori si valori proprii pentru operatorul L este:
Lj i=mj i=) i@
@ () =m () Solut ,ia ecuat ,iei este:
() =eim
Pentru a completa sensul zic trebuie s a lu am ^ n considerare condit ia de normare,
reprezentat a aici de c atre condit ia: (0) = (2 ), adic a starea init ial a trebuie s a
coincid a cu starea dup a o rotat ie complet a.
(0) = 1 = (2 ) =ei2m=)m trebuie sa e un num ar ^ ntreg
O valoare pozitiv a a lui m va corespunde momentului cinetic datorat rotirii
sistemului ^ n sens trigonometric, ^ n timp ce valoarea negativ a a lui m va corespunde
10
momentului cinetic datorat rotirii sistemului ^ n sensul acelor de ceasornic. Acum ne
putem ^ ntrebarea dac a: E( m) =E(m)?.
Pentru acest exemplu, ^ n mod evident sistemul va avea ceeasi energie indiferent de
sensul de rotat ie a particulei pe cerc E( m) =E(m). Practic, observ am c a ^ n
sistem avem o degenerare, deoarece pentru 2 valori diferite ale lui L, +m, -m
sistemul va ocupa aceea si energie.
Mai departe, dac a introducem sistemul cuantic ^ ntr-un c^ amp magnetic
perpendicular pe acesta si av^ and sensul intr arii ^ n foaie.
Prin interact iunea sistemului cu c^ ampul magnetic, consider am c a energia asociat a
lui +m va cre ste, iar energia asociat a lui -m va sc adea, astfel ^ nc^ at c^ ampul
magnetic va rupe degenerarea ^ ntre -m, +m. Totu si, act iunea c^ ampului nu
contrazice sub nici o form a simetria rotat ionala, ^ n alte cuvinte nu modi c a
invariant ,a sistemului ^ n raport cu rotirea. Astfel, tragem concluzia c a simetria de
rotat ,ie a unui sistem nu este su cient a pentru a trage o concluzie asupra
degener arii nivelurilor energetice. Trebuie s a mai introducem o simetrie discret a, si
anume simetria de re
exie ^ n raport cu o ax a (^ n oglind a). Vom nota aceast a
simetrie, ca ind descris a de operatorul M si putem s a ^ l ^ nt elegem ca act iunea
asupra unui sistem ce va da imaginea acestuia ^ n oglind a.
Dac a sistemul nu posed a o simetrie M, E( )6=E( ), dar dac a sistemul posed a
o simetrie M, E( ) =E( )^In cazul nostru, sistemul ^ n oglind a ^ l va reprezenta
sistemul ^ n care particul a se mi sca ^ n sens opus.
Pentru a ar ata ^ n exemplul nostru c a st arile sunt degenerate, trebuie s a consider am
simetria de rotat ie, care ne arat a c a momentul cinetic se conserv a si c a energia
depinde de momentul cinetic, al aturi de simetria de re
exie (de oglind a), care ne
arat a c aE(m) =E( m), adic a st arile sunt degenerate.
O proprietate important a a sistemelor zice este c a dac a avem dou a simetrii diferite
care nu comut a (operat iile din cadrul simetriilor nu comut a cu operat iile celeilalte
11
simetrii, sau mai clar operatorii ce de nesc cele dou a simetrii nu comut a), atunci
aceast a condit ie implic a existent a unei degener ari.
Pentru a veri ca proprietatea, vom considera simetria de re
exie aplicat a c^ ampului
magnetic. Astfel, dac a avem un c^ amp magnetic produs de un solenoid parcurs de
curent ^ n sensul acelor de ceasornic, acesta va produce un c^ amp magnetic. ^In
oglind a, solenoidul va parcurs de curent ^ n sens invers.
Conform regulei lui Fleming, dac a un curent ce parcurge un circuit ^ nchis ^ si
schimb a sensul, atunci si c^ ampul magnetic produs de curentul electric ^ si schimb a
sensul, de unde rezult a c a acest sistem nu prezint a simetrie de re
exie.
Extrapol^ and, tragem concluzia c a ^ n general c^ ampul magnetic nu prezint a simetrie
de re
exie. Mai departe, vom ^ ncerca s a veri c am proprietatea enunt at a mai sus,
care leag a degenerarea unui sistem de faptul ce generatorii simetriilor nu comut a.
Practic vom ar ata c a simetria de rotat ie nu comut a cu cea de re
exie, adic a
generatorul rotat iilor, L nu comut a cu operatorul act iunii de re
exie (^ l vom numi
12
operatorul de re
exie), M.
M () = ( )- Relat ,ia de de nit ,ie a operatorului de re
exie
[M;L ] () = [M;L ]eim= (ML LM)eim
M(Leim) =M( i2m)eim=Mmeim=me im
L(Meim) =Le im= (i2m)e im= me im9
>=
>;[M;L ]6= 0
Mis ,carea orbital a clasic a
^In cazul orbitelor clasice, cum ar cele din cadrul mi sc arii planetare, vor exista o
in nitate de orbite cu aceea si energie E, dac a lu am ^ n considerare simetria de
rotat ,ia sistemului la rotirea orbitei cu un unghi dup a o ax a. Astfel, la o rotire ^ n
jurul unei axe a orbitei, sistemul ^ si modi ca momentul cinetic L06=L, darE0=E,
ceea ce ne indic a c a avem o degenerare de ordin in nit.
13
Mis ,carea unei particule libere ^ ntr-un spatiu bidimensional
Dac a particul a se g asea init ial ^ n punctul A, dup a o rotat ie de unghi in nitezimal
, particula se va g asi ^ n pozit ia B. Observ am c a fat , a de pozit ia A, pozit ia B este
deplasat a cu un x;y . Dac aeste su cient de mic, se stie c a
x= y
y=x
Sistemul considerat are 2 grade de libertate, deci funct ia de und a va depinde de 2
coordonate ( x;y). Rotat ia sistemului cu un anumit unghi va induce o variat ie a
funct iei de und a egal a cu:
=@
@xx+@
@yy=) = @
@xy+@
@yx=
= (@
@xy @
@yx) =
i(i@
@xy i@
@yx) =
=
i( Lxy+Lyx) =i(xLy yLx) =
=iLz
Operatorul impuls se de nes ,te prin:
@
@x=ipx
@
@y=ipy
14
Putem scrie deci, variat ,ia funct ,iei de und a s ,i sub forma:
= ( iypx+ixpy) =iLz =)
Lx=ypz zpy
Ly=zpx xpz
Lz=xpy ypx9
>=
>;deci obt ,inem acelas ,i rezultat ca cel din zica clasic a, Li= (~ r~ p)i
Ace sti operatori descri si sunt simetrii doar dac a sistemul este invariant de rotat ie,
adic a [Li;H] = 0. Un exemplu de sistem ce prezint a simetrie de rotat ie este
macroparticula a
at a ^ ntr-un c^ amp central de fort e. Mai departe, vom analiza ce se
^ nt^ ampl a atunci c^ and comutatorul a 2 simetrii este diferit de 0. Consider am 2
simetrii A, B (practic 2 operatori care act ioneaz a asupra vectorilor de stare j i,
care pot at^ at generatori in nitezimali ai rotat iei (spre exemplu, operatorul
moment cinetic L), c^ at si chiar ^ ntreaga operatie a simetriei (spre exemplu,
operatorul de re
exie, M). Mai departe vom considera doar generatorii
in nitezimali ai transform arilor. Dup a cum stim, o simetrie este dat a de faptul ca
operatorul acelei simetrii comut a cu Hamiltonianul:
[A;H ] = 0; [B;H ] = 0
Mai departe vom considera c a prin relat ,ia de comutare a operatorilor A, B se va
obt ,ine un operator C care nu poate scris ca o combinat ,ie liniar a a operatorilor A,
B:
[A;B] =iC
^In relat ia de mai sus am introdus un i, deoarece comutatorul a 2 operatori hermitici
d a un operator nehermitic.
Putem demonstra u sor c a si C comut a cu Hamiltonianul:
[C;H ] =CH HC
iC=AB BA)
=)1
i(AB BA)H 1
iH(AB BA) =1
iABH 1
iHAB +1
iHBA 1
iBAH
[B;H ] = 0 =)BH=HB =)ABH =AHB
[A;H ] = 0 =)AH=HA =)AHB =HAB)
[C;H ] = 0
Astfel, deoarece C comut a cu H si dac a ^ n plus C nu se poate scrie ca o combinat ie
liniar a de A si B, ^ nseamn a c a am g asit o nou a simetrie. Mai departe putem lua
[A;C]; [B;C] si s a facem acela si lucru, put^ and astfel s a cree am o alt a simetrie D si
a sa mai departe. Repet^ and acest proces, vom descoperi e un num ar in nit de
15
simetrii (caz mai put in probabil), sau acest proces se va opri atunci c^ and
comutatorul a 2 operatori [X,Y] din acest proces vor da un operator ce se poate
scrie c a o combinat ie liniara de X si Y, obt in^ and ^ n acest caz un num ar nit de
simetrii. Comutatorii tuturor simetriilor, ^ mpreun a cu tot i comutatorii dintre
operatorii simetriilor si Hamiltonian formeaz a o algebr a de comutatori. Astfel,
creeam un grup de simetrie, G, al c arui generatori, A,B,C… formeaz a o algebr a Lie.
Algebra Lie, ind o algebr a pe care se de ne ste operat ia de comutare drept produs
si care are proprietatea c a orice comutator al elementelor va da ca rezultat unul din
ceilalt i operatori. Simetriile formate din repetarea continu a a generatorilor
in nitezimali A,B,C,.. formeaz a ^ ns a si elementele acestui grup.
Mai departe, vrem s a veri c am dac a lu^ and componentele dup a x,y a lui L: Lx;Ly
si calcul^ andu-le comutatorul vom obt ine Lzsau un o combinat ie liniara a acestora.
S tiind relat iile comutatorilor:
[xi;xj] = 0
[pi;pj] = 0
[xi;pj] = 0;i6=j; [xi;pj] =i;i=j
,calcul am:
[Lx;Ly] = [ypz zpy;zpx xpz] = iypx+ixpy=i(xpy ypx) =iLz
Am g asit deci cu ajutorul comutatorului [ Lx;Ly], generatorul simetriei dup a axa
z,Lz. Dac a am calcula mai departe restul comutatorilor dintre Lx;Ly;Lz, nu am
obt ine un al patrulea operator, ci obt inem prin permut ari ciclice aceia si operatori:
[Lx;Ly] =iLz
[Ly;Lz] =iLx
[Lz;Lx] =iLy
Obt ,inem astfel o algebr a Lie compus a din ace sti comutatori, ^ mpreun a cu
comutatorii L siH:[Li;H] = 0. Algebra Lie descris a de generatorii: Lx;Ly;Lz
Conform formalismului lui Dirac, putem de ni 2 operatori nehermitici, numit i
operator de incrementare si operator de decrementare:
L+=Lx+iLy
L =Lx iLy
[L+;Lz] = L+; [L ;Lz] =L
[L+;Lz]jmi= (L+Lz LzL+)jmi= L+jmi
mL +jmi+L+jmi=LzL+jmi=)
(m+ 1)L+jmi=LzL+jmi
16
Din acest rezultat, observ am c a obt inem o alt a ecuat ie de vectori si valori proprii
pentruLz. Deci obt inem o nou a valoare proprie m+1 pentru Lz, c areia ^ i
corespunde vectorul propriu L+jmi. Astfel, am g asit o metod a de a genera orice
num ar de valori proprii plec^ and de la valoarea proprie m a momentului cinetic.
Observ am c a acela si lucru este adev arat si pentru operatorul L , numit si operator
de decrementare care ne va genera valorile proprii m-1,… . Am g asit, folosind
relat ia de comutare [ L+;Lz]; [L ;Lz], un spectru de valori proprii pentru Lz, care
sunt separate de un num ar natural, 1. Spectrul de valori poate e nit, dac a
act iunea lui L , respectivL+asupra vectorului jmiva genera vectorul j0i, sau
in nit. Dup a cum se observ a si din gur a, pentru ca sistemul s a prezinte simetrie
de rotat ie, m trebuie s a ia valori ^ ntregi (0,1,2,3,…) , ^ n cazul momentului cinetic
orbital sau semi^ ntregi ( 1
2;0;1
2;1
3;:::) ^ n cazul momentului cinetic de spin. ^In
continuare pentru a trage concluzia asupra degener arii sistemului vom lua cazul
momentului cinetic orbital si vom demonstra c a toate aceste valori din spectrul
descoperit au aceea si energie.
Hjmi=Ejmi (1.2.1)
L+jmijm+ 1i
Daca aplic am operatorul L+(la st^ anga) relat ,iei 1.2.1, obt ,inem:
HL +jmi=L+Hjmi=L+Ejmi
Hjm+ 1i=Ejm+ 1i
Dac a g asim o valoare proprie m si descoperim spectrul de valori proprii, vom g asi
st ari de aceea si energie. Aceasta este practic ideea de existent a a unei degener ari ^ n
momentul ^ n care simetriile nu comut a.
17
Invariant ,a st arii de vid
Cosider am un grup de transform ari, G. Spunem c a starea de vid, 0se nume ste
invariant a fat a de acest grup de transform ari dac a se transform a ^ n ea ins as ,i fat , a
de acest grup; ^ n caz contrar ea se nume ste neinvariant a .
Dac a consider am spre exemplu transfom arile Lorentz si grupul de transform ari
aferent acestora, legea de transformare a oric arui tip de c^ amp (x) este:
Uy() (x)U( =S() (x)
undeU() este reprezentarea grupului Lorentz ^ n spat iul st arilor zice. Aceast a
concluzie ^ nseamn a de fapt c a sub transformarea , o stare jpise transform a ^ n
jp0i=U()jpi.S() este o reprezentare a grupului Lorentz ^ n spat iul operatorilor
(a c^ ampului) si are rolul de a transforma, spre exemplu, componentele vectorului,
dac a respectivul c^ amp este vectorial (ex: C^ ampul Electromagnetic). C^ and cerem c a
starea de vid s a e invarianta, cerem de fapt:
U()j0i=j0i
Dac a impunem condit ia de invariant , a si determin am valoarea medie a st arii de vid
(Vacuum expectation value) obt inem:
h0j (x)j0i=h0jUy() (x)U()j0i
Aceast a ecuat ie este satisf acut a pentru transformarea de c^ amp S() = 1, adic a nu
are nici o component a care se schimb a (ex. c^ ampul scalar).
Se poate trage aceea si concluzie dac a se consider a o transformare de translat ie cu
un parametru a,a c arui lege de transformare este:
Uy(a) (x)U(a) = (x+a)
Pentru a invariant a starea de vid, valoarea medie trebuie s a e la fel ca mai sus:
h0j (x)j0i=h0j (x+a)j0i
Practic, relat ia reprezint a valoarea medie a st arii de vid ^ n 2 puncte x;x+a si va
implica invariant ,a st arii de vid doar dac a valoarea medie r am^ ane constant a ^ n
funct ie de x.
1.3 Ruperea explicit a s ,i ruperea spontan a a unei simetrii
^In contextul interpret arii relativiste a teoriei cuantice a c^ ampului se arat a c a exist a
o leg atur a intrinsec a ^ ntre invariant ,a unei st ari de vid a unui grup de transform ari
dat si invarianta Lagrangeanului ^ n raport cu acela si grup. Aceast a leg atur a este
reprezentat a de c atre teorema Coleman-Mandula:
18
Spat iu-timpul si simetriile interne nu pot combinate dec^ at ^ ntr-un mod trivial .
Prin aceast a ^ nt elegem c a singura simetrie a unui grup Lie este un produs direct
dintre un grup Poincar e si un grup de simetrie intern a. Teorema ne conduce la 2
concluzii importante:
1) Dac a starea de vid este invariant a, atunci si Lagrangeanul trebuie s a e la r^ andul
s au invariant. Cazul ^ n care at^ at starea de vid si Lagrangeanul sunt invariante,
corespunde cazului simetriei exacte .
2) Dac a starea de vid nu este invariant a, Lagrangeanul poate at^ at invariant, c^ at
si ne-invariant. ^In ambele cazuri, simetria ca un ^ ntreg este rupt a. ^In cazul ^ n care
at^ at Lagrangeanul, c^ at si starea de vid sunt invariante, vom vorbi despre o rupere
de simetrie explicit a . Dac a starea de vid este ne-invariant a, iar Lagrangeanul este
invariant, vom vorbi despre o rupere spontan a de simetrie .
1.4 Teorema Goldstone
T in^ and cont de teorema lui Noether: Invariant ,a Lagrangeanului sub un grup
continuu de transform ari implic a o lege de conservare pentru anumite cantit at i
numite sarcini. Invariant ,a Lagrangeanului ^ n urma unor transform ari locale este
legat a de conservarea unor curent i j.
19
Mai departe vom considera c a exist a un curent conservat j:
@j(x) = 0
De nim atunci, generatorul QR(t) =R
d3xj0(x;t). Dac a consider am un set de
operatori A, putem scrie (t ,inand cont de relat ,ia de de nit ,ie a unei simetrii):
Z
d3x[@j(x);A] = 0<=>[@0QR(t);A] + [Z
(R)d~ ~j;A] = 0
, undedreprezint a elementul de hypersuprafat , a.
Pentru un R su cient de mare vom g asi ca:
[Z
(R)d~ ~j;A] = 0 =>[@0QR(t);A] = 0 => (1.4.1)
[QR(t);A] =B;dB
dt= 0
Trebuie ment ,ionat c a ar putea exista cazuri in care termenul 1.4.1 se anuleaz a doar
la limitaR!1 :
lim
R!1[Z
d~ ~j;A] = 0 =>lim
R!1[QR(t);A] =B;dB
dt= 0 (1.4.2)
Dac a not am lim R!1QR(t) =Q, ecuat ,ia 1.4.2 devine:
[Q;A] =B
Acum, facem presupunerea clasic a a ruperii de simetrie:
h0jBj0i6= 0, undej0ieste starea de vid invariant a la translat ,ie.
Consider^ and relat ,ia 1.4.2 s ,i inser^ and un set complet de st ari jniobt ,inem:
lim
R!1X
n(h0jQR(t)jnihnjAj0i h0jAjnihnjQR(t)j0i) =h0jBj0i6= 0 (1.4.3)
Operatorul j0(x) il vom considera a local, ind descris de relatia:
j0(x) =e iPxj0(0)eiPx, iar mai departe vom asuma c a: eiPxj0i=j0i (1.4.4)
T,in^ and cont de 1.4.4, ecuat ,ia 1.4.3 devine;
lim
r!1X
nZ
d3x(h0je iPxj0(0)eiPxjnihnjAj0i h0jAjnihnje iPxj0(0)eiPxj0i) =
lim
r!1X
nZ
d3x(h0jj0(0)jnihnjAj0ieiPx h0jAjnihnjj0(0)j0ie iPx) =
lim
r!1X
n(2)3(~ pn)(h0jj0(0)jnihnjAj0ie iP0
nx0 h0jAjnihnjj0(0)j0ieiP0
nx0) =
=h0jBj0i
20
Aceast a ecuat ie trebuie s a e valid a pentru orice x0,iar deoarecedB
dx0= 0, pentru
a ment ine valid a condit ia de rupere a simetriei , termenul din st^ anga ecuat iei nu
trebuie s a depind a de x0=> P0
n= 0. Rezult a c a pentru o stare jni, at^ atEn, c^ at si
~Pntrebuie s a e egale cu 0.
Din relat ia relativist a:
En=p
P2
n+m2
n=>mn= 0
Prin aceasta, am ar atat c a dac a avem o rupere de simetrie, atunci trebuie s a existe
moduri de excitare a spectrului de generatori a respectivei simetrii a c aror energie
se anuleaz a ^ n limita ^ n care impulsul se anuleaz a. ^In cazul relativist considerat mai
sus, aceast a concluzie se materializeaz a sub forma existent ei unor particule de mas a
0. Aceasta este formularea teoremei Goldstone .
Particulele de mas a 0 prezise de teorema Goldstone se numesc bosoni Goldstone
sau goldstoni. ^In teoria relativist a a c^ ampului, particulele f ar a mas a au de fapt
rolul de mediere a unor fort e de raz a lung a. Experimental, nu s-a g asit ^ ns a nici o
dovad a a existent ei acestor goldstoni, singura particula f ar a mas a cunoscut a ^ n
prezent ind fotonul.
21
2 Ruperea spontan a a simetriilor globale
2.1 Clasi carea simetriilor in teoria cuantic a a c^ ampurilor
Propriet at ,ile de simetrie ale c^ ampurilor, descrise in T.C.C. se clasi c a in:
1)Simetrii spat ,io-temporale (externe) : simetrii ale c aror transform ari las a
invariante toate proprietat ,ile c^ ampului, mai put ,in coordonatele spat ,io-temporale ale
domeniului pe care este de nit c^ ampul;
x!x06=x;u (r)(x)!u0
(r)(x0) =u(r)(x0)
2)Simetrii interne : simetrii ale c aror transform ari conduc la schimbarea
proprietat ,ilor c^ ampurilor, l as^ and invariante coordonatele spat ,io-temporale ale
domeniului pe care este de nit c^ ampul.
x!x0=x;u (r)(x)!u0
(r)(x0) =u0
(r)(x)6=u(r)(x)
Fiecare simetrie, intern a sau extern a, poate la r^ andul ei o simetrie local a sau
global a . Transform arile de simetrie global a sunt acelea ale c aror parametri r am^ an
aceeas ,i ^ n ^ ntregul domeniu spat io-temporal (nu variaz a de la punct la punct), ^ n
timp ce transform arile de simetrie local a sunt acelea a c aror parametrii depind de
coordonatele spat io-temporale.
Invariant ,a local a a unei simetrii este o cerint a mult mai riguroas a si mai general a
dec^ at invariant ,a global a. Aceast a a rmat ,ie reiese ^ n mod natural, din faptul c a
dac a o simetrie are proprietatea de a invariant a local, ^ n mod automat va avea si
o invariant , a global a, ^ n timp ce a rmat ,ia invers a nu este ^ ntotdeauna adev arat a.
22
2.2 Simetriile locale si teoriile gauge
Cel mai adesea un Langrangean al unui c^ amp invariant global este ne-invariant sub
un set de transform ari locale. Pentru a obt ine un Langrangean invariant local,
trebuie introduse un set de c^ ampuri noi, numite c^ ampuri gauge, care nu au o
semni cat ie zic a.
Mai departe vom analiza metoda de obt inere a unui Lagrangean invariant local
dintr-un Lagrangean invariant global corespunz ator. Vom particulariza problema
pentru cazul ^ n care grupul de simetrie extern a (grupul Lorentz, grupul Poincare)
este global, iar grupul de simetrie intern a este local.
Un grup de transform ari globale este caracterizat de o relat ,ie de tipul:
ui(x)!u0
i(x) =ui(x) +ui(x);
ui(x) =Tk
ij"kuj(x)
Unde,Tk
ijsunt generatorii grupului de transform ari, iar "ksunt parametrii
in nitezimali ai grupului, care ^ n acest caz nu depind de coordonatele
spat io-temporale.
^In cazul unui grup de simetrie intern a, parametrii in nitezimali vor dependent i de
coordonate, "k.
ui(x) =Tk
ij"k(x)uj(x)
Se poate ar ata c a ^ n acest caz, Lagrangeanul nu mai este invariant.
^In cazul grupului global de simetrie, Lagrangenaul l-am considerat invariant:
L=@L
@uiui+@L
@(@ui)(@ui) = 0<=>
@L
@uiTk
ij"kuj+@L
@(@ui)Tk
ij"k@uj= 0 (2.2.1)
^In cazul grupului local, trebuie s a t ,inem cont de faptul c a:
(@ui(x)) =@(ui(x)) =@(Tk
ij"k(x)uj(x)) =
=Tk
ij"k(x)@uj(x) +Tk
ijuj(x)@"k(x)
^In acest caz:
L=@L
@uiTk
ij"k(x)uj(x) +@L
@(@ui)Tk
ij"k(x)@uj(x) +@L
@(@ui)Tk
ijuj(x)@"k(x)
Din ecuat ,ia (2.2.1)se observ a c a:
L=@L
@(@ui)Tk
ijuj(x)@"k(x)6= 0 (2.2.2)
23
Din aceast a relat ie reiese ne-invariant ,a Lagrangeanului ^ n grupul de transform ari
locale. Pentru a obt ine un Lagrangean invariant, vom introduce un nou set de
c^ ampuri,A0
l(x);l=1;M, pe l^ ang a c^ ampurile ui(x), pentru a compensa termenul
din partea dreapt a. Acest c^ amp introdus, se nume ste c^ amp de compensare sau
c^ amp gauge .
Lagrangeanul nou format, L, va cont ine doar c^ ampurile gauge, A0
l(x), nu si
derivatele dup a coordonatele spat io-temporale: L =L(ui;@ui;A0
l).
Transform arile de c^ amp in nitezimale vor :
ui(x) =Tk
ij"k(x)uj(x)
A0
l(x) =Pk
liA0
i(x)"k(x) +Rk
l@"k(x)
Al doilea termen din transformarea de c^ amp in nitezimal a a c^ ampului gauge a fost
introdus a pentru a compensa termenul din dreapta ecuat ,iei (2.2.2). De asemenea, P
si R sunt 2 matrici constante, ce pot determinate printr-un rat ,ionament simplu.
Condit ,ia de invariant , a local a a Langrangeanului L(ui;@ui;A0
l) este:
L=@L
@uiui+@L
@(@ui)(@ui) +@L
@A0
lA0
l= 0,
@L
@uiTk
ijuj(x)"k(x) +@L
@(@ui)Tk
ij@uj(x)"k(x) +@L
@(@ui)Tk
ijuj(x)@"k(x)+
+@L
@A0
lPk
liA0
i(x)"k(x) +@L
@A0
lRk
l@"k(x) = 0,
(@L
@uiTk
ijuj(x) +@L
@(@ui)Tk
ij@uj(x) +@L
@A0
lPk
liA0
i(x))"k(x)+
+(@L
@(@ui)Tk
ijuj(x) +@L
@A0
lRk
l)@"k(x) = 0
Deoarece parametrii in nitezimali ai grupului, "ksunt arbitrari, implicit si @"k(x),
atunci coe cient ,ii ecuat ,iei de mai sus trebuie s a e zero:
(@L
@uiTk
ijuj+@L
@(@ui)Tk
ij@uj+@L
@A0
lPk
liA0
i= 0
@L
@(@ui)Tk
ijuj+@L
@A0
lRk
l= 0(2.2.3)
Setul de ecuat ii 2.2.3.2 este alc atuit din 4n ecuat ii, deoarece indicele = 0;1;2;3(
conform metricii reprezent arii hiperbolice a spat iului Minkowski) si k ia valori k=
1;n. Pentru valorile singulare ale dependent ei lui LdeA0
l, num arul de componente
A0
l(l=1;M) trebuie s a e egal cu num arul de ecuat ii din set, adic a M=4n. De
asemenea, presupunem c a exist a inversa matricelor R de forma:
(Rk
l) 1Rk
=lm; (Rk
l) 1Ri
l=kig
24
Putem exprima deci c^ ampul gauge ca:
Ak
= (Rk
l) 1A0
l
de unde reiese c a, sub grupul Lorentz de transform ari, c^ ampul gauge se transform a
ca un cuadrivector. Putem rescrie deci ecuat ,ia 2.2.3 ca:
@L
@(@ui)Tk
ijuj+@L
@Ak
= 0
Pentru ca Lagrangeanul s a satisfac a sistemul de ecuat ,ii, c^ ampurile gauge, A
trebuie s a intre in Lca o combinat ,ie:
rui=@ui Tk
ijujAk
- derivata covariant a
Cel de-al doilea termen reprezint a interact ,iunea dintre c^ ampurile de materie si
c^ ampurile gauge. De aici rezult a forma local a a Lagrangeanului:
L(ui;@ui;A0
l) =L0(ui;rui)L(ui;rui)
8
>>>>>>><
>>>>>>>:@L
@ui=@L0
@ui
rui=ct: @0
@ruj
ui=ct:Tk
jiAk
@L
@(@ui)=@L0
@rui
ui=ct:
@L
@A0
l= @L0
@rui
ui=ct:Tk
ijuj(Rk
l) 1(2.2.4)
Ak
= (Rk
l) 1A0
l= (Rk
l) 1Pk
liA0
i"k(x) + (Rk
l) 1Rk
l@"k(x) =
(Rk
l) 1(Pk
li)(Rk
l)Ak
"k(x) +@"k(x)
Pentru a nu restr^ ange generalitatea rezultatului vom rescrie relat ,ia de mai sus,
generaliz^ and indicii:
(Rk
i) 1(Pj
il)(Rm
l)Am
"j(x) +@"k(x)
Not am: (Ck
)jm
= (Rk
i) 1(Pj
il)(Rm
l) s,i obt ,inem:
Ak
= (Ck
)jm
Am
"j(x) +@"k(x)
Dac a ^ nlocuim setul de ecuat ,ii 2.2.4 ^ n ecuat ,ia 2.2.3.1, obt ,inem:
@L0
@uiTk
ijuj @L0
@ruiTl
ijTk
jnAl
un+@L0
@ruiTk
ij(ruj+Tl
jnunAl
)
@L0
@rui(Rl
i) 1(Pk
is)(Rm
s)Tl
ijujAm
= 0)@L0
@uiTk
ijuj+@L0
@ruiTk
ijruj+
+@L0
@rui( Tl
ijTk
jnAl
un+Tk
ijTl
jnAl
un (Cl
)km
Tl
ijujAm
) = 0
25
Condit ,ia de invariant , a pentru L0(ui;rui) se scrie in analogie cu cea pentru
L(ui;@ui:
L=@L
@uiui+@L
@(@ui)(@ui) = 0,@L
@uiTk
ij"kuj+@L
@(@ui)Tk
ij"k@uj= 0,
@L
@uiTk
ijuj+@L
@(@ui)Tk
ij@uj= 0
Prin analogie:
@L0
@uiTk
ijuj+@L0
@ruiTk
ijruj= 0
Dac a introducem acest rezultat in ecuat ,ia de mai sus obt ,inem:
@L0
@]nablaui((Tk
ijTl
jn Tl
ijTk
jn)Al
un (Cl
)km
Tl
ijujAm
) = 0
Dar, stim c a algebra Lie a grupului de transform ari este de nit a de operat ,ia:
[Ti;Tk] =fiklTl,fikl-constantele de structur a
Obt ,inem deci:
@L0
@rui(fkmlTl
ijujAm
(Cl
)km
Tl
ijujAm
) = 0)
fkmlTl
ijujAm
(Cl
)km
Tl
ijujAm
= 0)
(Cl
)km
=fkmlg
Putem acum s a explicit am relat ,ia de transformare a c^ ampurilor gauge Ak
Ak
=fkmlgAm
"j(x) +@"k(x) =flmkAm
"l(x) +@"k(x)
Lagrangeanul Leste format din Lagrangeanul c^ ampurilor materiale ais,i din
interact ,iunea Lagrangeanului c^ ampurilor materiale cu Ak
- c^ ampurile gauge. Pasul
urmator il reprezint a determinarea formei Lagrangeanului c^ ampurilor gauge,
L0(Ak
;@Ak
). Condit ,ia de inariant , a pentru acesta este:
L0=@L0
@Ak
Ak
+@L0
@(@Ak
)(@Ak
) = 0
26
Lu^ and ^ n considerare relat ,ia de transformare a c^ ampurilor gauge, vom avea c a:
@L0
@Ak
flmkAm
"l(x) +@L0
@Al
@"l(x) +@L0
@(@Ak
)@(Ak
) = 0
@L0
@Ak
flmkAm
"l(x) +@L0
@Al
@"l(x) +@L0
@(@Ak
nu)(flmk@Am
"l(x)+
+flmk@"l(x)Am
+@@"k(x)) = 0
(@L0
@Ak
flmkAm
+@L0
@(@Ak
)flmk@Ak
)"l(x) + (@L0
@Al
+@L0
@(@Ak
)flmkAk
)@"l(x)+
+@L0
@(@Ak
)@@"k(x) = 0
Datorit a alegerii arbitrare a lui "k(x), coe cient ,ii din paranteze trebuie s a e
neap arat 0.
Dac a t ,inem cont de faptul c a:@L0
@(@Ak)@@"k(x) =1
2(@L0
@(@Ak)+@L0
@(@Ak))@@"k(x),
obt ,inem setul de ecuat ,ii:8
>><
>>:@L0
@AkflmkAm
+@L0
@(@Ak)flmk@Am
= 0
@L0
@Al+@L0
@(@Ak)flmkAm
= 0
@L0
@(@Ak)+@L0
@(@Ak)= 0(2.2.5)
Ultima identitate din setul de ecuat ,ii g asite indic a faptul c a, Ak
trebuie s a intre in
Lagrangean ca o combinat ,ie:
Ak
=@Ak
@Ak
in care,
Ak
= Ak
@L0
@(@Ak
)= 2@L0
@Ak
;@L0
@(@Ak
)= 2@L0
@Ak
Relat ,iile 2.2.5.1 s ,i 2.2.5.2 devin:
(@L0
@AkflmkAk
2@L0
@Akflmk@Am
= 0
@L0
@Al 2@L0
@AkflmkAm
= 0
Din ultima identitate din acest set de ecuat ,ii rezult a ^ nc a o dat a ca Ak
s,iAk
intr a
^ nL0prin combinat ,ia:
Fk
=Ak
1
2flmk(Al
Am
Al
Am
)!
L0(Ak
;@Ak
) =L0
0(Fk
)
Lagrangeanul complet Lal sistemului de c^ ampuri materiale s ,i c^ ampuri gauge va
compus dintr-un Lagrangean al c^ ampurilor gauge L0
0s,i un Lagrangean al
c^ ampurilor materiale, L0
L=L0
0+L0
27
2.3 Simetria exact a
S a condier am un c^ amp dat de Lagrangeanul:
L= (@ )(@ ) m2 1
4f( )2
unde, (x) este un c^ amp scalar complex, f este o constant a de cuplaj, iar m este
masa particulei scalare, m2>0 Se poate ar ata usor c a acest Lagrangean este
invariant sub grupul de transform ari global de faz a U1:
(x)! 0(x) =e ig" (x); (x)! 0(x) =eig" (x)
Conform formalismului Hamiltonian, H=T+V=E- energia total a a sistemului ^ n
cazul ^ n care consider am c a acel sistem este stat ,ionar.
H(Qi;Pi) =X
iPi_Qi L(Qi;Pi)
Pi=@L
@_Qi-impulsurile generalizate
Qi(t)-coordonatele generalizate. ^In cazul nostru Qi (x) Mai departe vom ^ ncerca
s a descoperim expresia energiei asociate c^ ampului considerat. Pentru a obt ,ine acest
rezultat vom ^ ncepe prin a explicita termenulP
iPi_Qi:
X
iPi_Qi!X
@L
@(@ (x))(@ (x)) =@L
@(@0 (x))(@0 (x)) +X
i@L
@(@i (x))(@i (x)) =
=@L
@(@0 (x))(@0 (x)) +@L
@(@0 (x))(@0 (x)) +X
i@L
@(@i (x))(@i (x))+
+X
i@L
@(@i (x))(@i (x)) =
= (@0 (x))(@0 (x)) + (@0 (x))(@0 (x)) + (@i (x))(@i (x)) + (@i (x))(@i (x)) =
= 2((@0 (x))(@0 (x)) + (@i (x))(@i (x))) = 2(@ (x))(@ (x))
)E= 2(@0 )(@0 )+2(@i )(@i ) (@0 )(@0 ) (@i )(@i )+m2 +1
4f( )2)
)E= (@0 )(@0 ) + (@i )(@i ) +m2 +1
4f( )2
Minimul energiei numit si valoarea de vid a energiei se determin a din relat ,iile:
@E
@ =m2 +1
2f 2 = 0 ;@E
@ =m2 +1
2f 2= 0
28
(m2+f
2 ) = 0
Deoarecef > 0 si consider am c a m2>0, rezult a c a singura solut ie posibil a este
(x) = (x) = 0. Acest rezultat ne indic a faptul c a starea de vid este nedegenerat a
sub setul de transform ari al grupului U1.
Lagrangeanul este de asemenea invariant sub grupul de transform ari, deci putem
spune c a modelul studiat de noi are simetrie exact a U1, iar starea de vid
corespunde valorii minime, deci este o stare stabil a.
29
2.4 Ruperea spontan a a unei simetrii globale
Consider am de aceast a dat a un model zic descris de Lagrangeanul:
L= (@ )(@ ) +m2 1
4f( )2
Chiar dac a semnul termenului m2 difer a fat a de Lagrangeanul considerat
anterior, modelul considerat r am^ ane invariant sub grupul global de transform ari U1.
Putem scrie energia sistemului nou descris prin analogie cu primul sistem:
E= (@0 )(@0 ) + (@i )(@i ) m2 +1
4f( )2
Valoarea de vid a energiei va determinat a tot de relat ,iile:
@E
@ = m2 +1
2f 2 = 0 ;@E
@ = m2 +1
2f 2= 0
( m2+f
2 ) = 0
De aici rezult a c a valoarea de vid a emergiei se obt ,ine ^ n cazul ^ n care:
m2+f
2 = 0, =2m2
f,j j2=2m2
f,j j=p
2pfm
^In acest caz, valoarea de vid nu mai este invariant a ^ n raport cu sistemul de
transform ari, valorile de vid trec^ and unele ^ n altele, ecare valoare corespunz^ and
unui punct de pe un cerc de raza R=p
2mpfdin planul complex .^In acest caz,
starea de vid este degenerat a de grad nedeterminat.
Transform arile de faz a din cadrul grupului U1transform a o stare de vid ^ ntr-o alt a
stare de vid de pe suprafat a cercului, deci ^ n acest caz, starea de vid nu mai este
invariant a ^ n raport cu grupul de transform ari U1. Cu toate acestea, de la bun
^ nceput am considerat c a L este invariant ^ n raport cu grupul U1. De aici tragem
concluzia c a sistemul descris de acest Lagrangean are o rupere de simetrie spontan a
U1.
Trebuie ment ionat faptul c a ^ ntre diferitele valori ale st arilor de vid nu se poate
descrie o relat ie de supersimetrie, adic a ecare valoare distinct a a valorii de vid va
descrie un alt "univers". Dintre aceste valori va trebui s a alegem una care s a
modeleze teoria noastr a.
Acest fapt se poate explica simplu dac a lu am ^ n considerare faptul c a probabilitatea
de tunelare ^ ntre 2 minime scade o dat a cu cre sterea gradelor de libertate ale
sistemului. ^In cazul nostru, ^ n care avem un num ar in nit de st ari de vid,
probabilitatea de tunelare se anuleaz a
Deoarece toate punctele din cerc se transform a unele ^ ntr-altele cu ajutorul
transform arilor asociate grupului U1, la o prim a vedere alegerea nivelului
30
fundamental pare arbitrar. Cel mai adesea, starea de vid se alege la intersect ia
dintre planul complex descris de (x) si axa real a a planului (x): Putem scrie (x)
^ ntr-un prim sistem de coordonate, t ,inand cont de faptul c a spat ,iul are o
component a real a s ,i una imaginar a:
(x) =1p
2(2mpf+ 1(x) +i 2(x)) ; (x) =1p
2(2mpf+ 1(x) i 2(x))
1(x)-componenta real a a funct ,iei (x)
2(x)-componenta imaginar a a funct ,iei (x)
Substituind funct ,ia (x) explicitat a ^ n forma Lagrangeanului obt ,inem:
L( )!L0( 1; 2) =1
2(@ 1(x))2+1
2(@ 2(x))2+m21
2(2mpf+ 1(x) i 2(x))
(2mpf+ 1(x) +i 2(x)) 1
4f((2mpf+ 1(x) i 2(x))(2mpf+ 1(x) +i 2(x))1
2)2
(x) (x) =1
2(2mpf+ 1(x) i 2(x))(2mpf+ 1(x) +i 2(x)) =
=1
2(4m2
f+2mpf 1(x) +i2mpf 2(x) +2mpf 1(x) + 1(x)2+i 1(x) 2(x)
2mpfi 2(x) i 1(x) 2(x) + 2
2(x)) =1
2(4m2
f+4mpf 1(x) + 2
1(x) + 2
2(x))
31
( (x) (x))2=1
4(4m2
f+4mpf 1(x) + 2
1(x) + 2
2(x))(4m2
f+4mpf 1(x) + 2
1(x) + 2
2(x)) =
= 1
4(16m4
f2+16m3
fpf 1+4m2
f 2
1+4m2
f 2
2+16m3
fpf 1+16m2
f 2
1+
+4mpf 3
1+4mpf 1 2
2+4m2
f 2
1+4mpf 3
1+ 3
1+ 4
1+ 2
1 2
2+4m2
f 2
2+
+4mpf 1 2
2+ 2
1 2
2+ 4
2)
Dac a introducem aceste rezultate in L' obt ,inem:
L0=1
2(@ 1(x))2+1
2(@ 2(x))2+2m4
f+4m3
pf 1+m2
2 2
1+m2
2 2
2 m4
f
m3
pf 1 m2
4 2
1 m2
4 2
2 m3
pf 1 m2 2
1 mf
4 3
1 mf
4 1 2
2 m2
4 2
1
mf
4pf 3
1 f
16 4
1 f
16 2
1 2
2 m2
4 2
2 mf
4pf 1 2
2 f
16 2
1 2
2 f
16 4
2
Ajungem la forma nal a a noului Lagrangean:
L0( 1; 2) =1
2(@ 1)2+1
2(@ 2)2 1
2m2
1 2
1 f
16( 4
1+ 2 2
1 2
2+ 4
2) mpf
2( 2
1+ 2
2) 1
Unde,m1=p
2meste masa particulei c^ ampului real 1(x).
Observ am c a noul Lagrangean, L0( 1; 2) nu cont ine un termen care s a ^ l asociem
unei masem2a c^ ampului imaginar 2(a sa cum este termenul1
2m2
1 2
1), ceea ce ne
duce la concluzia c a particula ce descrie acest c^ amp nu are mas a. Acest rezultat
este evident dac a, consider am c a termenul 2(x) a ap arut ^ n urma unei ruperi
spontane de simetrie, iar atunci particula asociat a este un goldstone.
Acest rezultat ne indic a faptul c a Lagrangeanul init ial L1sufer a o rupere de
simetrie spontan a, care duce la aparit ia unui c^ amp real si a unui goldstone. De aici
tragem imediat concluzia c a o rupere spontan a de simetrie va cre ste implicit
num arul de goldstoni al sistemului considerat.
Sum^ and toate aceste concluzii putem de ni principalele caracteristici ale ruperii
de simetrie: 1) din condit ia de minim g asit a observ am c a exist a un punct critic, ^ n
cazul nostru m2= 0, care determin a dac a ruperea spontan a de simetrie are sau nu
loc; 2) dac a m2<0, obt inem o stare stabil a, nedegenerat a si invarianta; 3) dac a
m2>0, apar mai multe st ari stabile de vid, care conduce la un sistem degenerat de
grad nede nit si ne-invariant.
Cazulm2<0 nu implic a introducerea unor particule ctive de mas a imaginar a,
deoarece termenul din cadrul Lagrangeanului, m2 este termen de mas a doar
pentru starea de vid = 0. ^In cazul nostru, se observ a u sor c a pentru = 0
avem un maxim local ^ ncadrat de 2 minime. Pentru a determina masele particulelor
vom nevoit i s a efectu am un set de dezvolt ari ^ n serie a energiei potent iale ^ n jurul
adev aratelor valori de minim.
32
3 Ruperea spontan a a simetriilor locale
3.1 Simetria exact a
Vom considera din nou Lagrangeanul pentru un c^ amp scalar complex:
LL0= (@ )(@ ) m2 1
4f( )2
Dup a cum am ar atat, acest Lagrangean este invariant sub grupul de transform ari
globaleU1:
(x) 0(x) =e ig (x) ; (x) 0(x) =eig (x)
Dorim acum s a g asim o form a a Lagrangeanului care s a e invariant a sub setul de
transform ari locale U1.^In acest scop, vom urm ari algoritmul prezentat ^ n pargraful
2.2.
Simetria local a se traduce matematic ^ ntr-o dependent , a de coordonate a
parametrilor grupului, "(x). Dup a cum am demonstrat ^ n capitolul anterior,
dependent ,a de coordonate a lui "induce un termen ^ n plus ^ n forma lui L, care
stric a invariant ,a local a a Lagrangeanului. Pentru a compensa acest termen,
introducem un c^ amp gauge care s a elimine ne-invariant ,a.
C^ ampul vectorial ad augat (c^ ampul gauge) va intra ca o combinat ie ^ n L, form^ and
derivata covariant a, care este un invariant gauge:
D = (@+igA) ;D = (@ igA)
33
Sub transform arile grupului U1, derivata covariant a se transform a simplu:
D (x) = (D (x))0=e ig(x)D (x)
Introduc^ and forma covariant a ^ n ecuat ,ia Lagrangeanului, vom obt ,ine forma pentru
c^ ampul de materie:
L0
0= (@ igA )(@ +igA ) m2 1
4f( )2
C^ ampul gauge ^ l vom alege sub cea mai simpl a form a. Aceasta a fost gasit a de
Yang si Mills, iar Lagrangeanul acestui termen invariant gauge de dimensiune 4 sau
mai put ,in a fost numit Lagrangean Yang-Mills:
LYM= 1
4FF
Unde,F =@A @Aeste tensorul c^ amp electromagnetic. Practic, alegem
c^ ampul gauge ca ind chiar c^ ampul electromagnetic.
Lagrangeanul total va compus din Lagrangeanul pentru c^ ampul material (ce
cont ,ine s ,i interact ,iunea cu, c^ ampul gauge) si Lagrangeanul pentu campul gauge:
L=L0+LYM= 1
4FF+ (@ igA )(@ +igA ) +m2 +f
4( )2
Prin analogie, putem scrie forma Hamiltonianului ca s ,i energia total a a sistemului
cu ajutorul formalismului lui Hamilton:
H=X
iPi_Qi L(Qi;Pi)
E=1
4FF+ (@ igA )(@ +igA ) +m2 +f
4( )2
Condit ,ia de minim a energiei este:
@E
@ =m2 +f
2 2 = 0
@E
@ =m2 +f
2 2= 0
Din condit ,ia de minim deducem simplu ecuat ,ia:
(m2+f
2j j2) = 0
Deoarecem2;f > 0 s,i respectivj j2>0, singura solutie a ecuat ,iei este:
= = 0
La fel ca ^ n cazul reg asit ^ n paragraful 2.2, datorit a semnului "+" al termenului ce
descrie masa particulei c^ ampului complex (x), valoarea de vid v= 0 ne conduce
la concluzia c a modelul considerat are o simetrie exact a sub grupul U1
34
3.2 Ruperea spontan a a unei simetrii locale abeliene
^In cadrul acestui capitol vom studia ruperea spontan a de simetrie sub grupul
abelianU1 si vom considera, la fel ca ^ n capitolul III.1 cea mai simpl a form a a
Lagrangeanului ce descrie c^ ampul gauge si anume c^ ampul electromagnetic, descris
de tensorul c^ amp electromagnetic F.
Formalismul spinorial Pentru a descrie interact iunea dintre particule cu spin,
trebuie s a ne folosim de ecuat ia Dirac pentru funct ia de und a, care t ine cont si de
spinul particulei:
(i
@ m) = 0
unde,
= (
0;
1;
2;
3) sunt matricile lui Dirac
0=0
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 11
CCA;
1=0
BB@0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 01
CCA
2=0
BB@0 0 0 i
0 0i0
0i0 0
i0 0 01
CCA;
3=0
BB@0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 01
CCA
Funct ,ia de c^ amp (x) se numes ,te spinor si in cel mai general caz are 4 componente:
(x) =0
BB@ 1(x)
2(x)
3(x)
4(x)1
CCA
(x) se numes ,te spinorul Dirac conjugat s ,i se de nes ,te ca:
(x) = y(x)
0=
1(x);
2(x);
3(x);
4(x)
0
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 11
CCA)
(x) =
1(x);
2(x);
3(x);
4(x)
Num arul de componente ale multipletului de nesc dimensiunea reprezent arii.
Se poate ar ata u sor, lu^ and combinat ii de funct ii de und a, c a pentru un c^ amp
spinorial, invariant ii Lorentz au form a: (x)
@ (x)
Lagrangeanul pentru un c^ amp spinorial (x) de mas a M este:
L=i
2( (x)
@ (x) @ (x)
(x)) M (x) (x)
35
Am ales acest Lagreangean datorit a invariant ,ei sale sub grupul Abelian de
transform ari de faz a U1:
! 0=e ig" ; ! 0= eig"
Rezult a c a, transformarea de c^ amp in nitezimal a este:
= i"g ; =i"g
Compar^ and aceste rezultate cu expresia general a a transform arii de camp
in nitezimale:
ui(x) =Tk
ij"kuj(x)
g asim c a:
u1= ,u2= sunt campuri independente
^In cazul nostru, deoarece "este o m arime scalar a:
ui(x)Tij"uj(x) ,i;j= 1;2)
T11= ig;T22=ig;T12=T21= 0
^In mod normal, elementele matriceale ale generatorilor grupului, Tk
ijrespect a
ecuat ,ia:
[Tk;Tl] =fklmTm
^In cazul nostru, reiese imediat faptul c a fklm= 0, rezultat general valabil pentru
orice grup de simetrie Abelian.
Dup a cum am observat si mai sus, cel mai simplu c^ amp gauge pe care ^ l putem
alege ^ n acest context, este c^ ampul electromagnetic, descris de Lagrangeanul:
L)= 1
4FF, iar interact iunea dintre un c^ amp spinorial si un c^ amp vectorial
gauge este descris a de un Lagrangean de interact iune:
L1= g
A
Lagrangeanul total invariant este:
L=i
2(
@ @
) M 1
4FF g
A
^In cadrul grupului abelian, U1, dimensiunea spinorului este 1, ^ ncat reg asim :
,
36
Ruperea de simetrie ^ n cadrul grupului Abelian U1La fel ca ^ n capitolul
trecut, vom considera cazul unui Lagrangean a c arui termen de mas a are semnul
"-":
L0
1= 1
4FF+ (@ igA )(@ +igA ) +m2 f
4( )2
Energia acestui model reiese prin analogie cu cazul precedent:
E=1
4FF+ (D )(D ) m2 +f
4( )2
Condit ,ia de minim a energiei devine:
@E
@ = m2 +f
2 2 = 0 ;@E
@ = m2 +f
2 2= 0
( m2+f
2j j2) = 0
^In cazul ^ n care m2>0 sif > 0, rezult a c a starea de vid corespunde unui cerc de
raza R. Dup a cum am ar atat, acest lucru conduce la ruperea spontan a de simetrie
care se coreleaz a cu stare de vid obt inut a: = =p
2pfm. S i de aceast a dat a, vom
selecta o singur a stare de vid din in nitatea de solut ii:
(x) =1p
2(2mpf+ 1(x) +i 2(x)) ; (x) =1p
2(2mpf+ 1(x) i 2(x))
L1( ;A)!L0
2( 1; 2;A)
@ (x) =@ 1(x) +i@ 2(x) ;@ (x) =@ 1(x) i@ 2(x)
^In capitolul anterior am g asit c a:
m2 f
4( )2= m2 2
1 f
16( 4
1+ 4
2+ 2 2
1 2
2) m
2p
f( 2
1+ 2
2) 1+m4
f
(@ igA )(@ +igA ) =
= (1p
2@ 1(x) ip
2@ 2(x) igA1p
22mpf 1p
2igA 1(x) 1p
2gA 2(x))
(1p
2@ 1(x) +ip
2@ 2(x) +igA1p
22mpf+1p
2igA 1(x) 1p
2gA 2(x)) =
37
=1
2(@ 1(x)@ 1(x) +i@ 1(x)@ 2(x) +igA2mpf@ 1(x) +igA 1(x)@ 1(x)
gA 2(x)@ 1(x) i@ 2(x)@ 1(x) +@ 2(x)@ 2(x) +gA2m
sqrtf@ 2(x)+
+igA 1(x)@ 2(x) igA 2(x)@ 2(x) igA2mpf@ 1(x) +gA2mpf@ 2(x)+
+g2AA4m2
f+g2A2
2mpf 1(x) +g2A2
2
1(x) +ig2A2
2mpf 2(x) igA 1(x)@ 1(x)+
+gA 1(x)@ 2(x) +g2A2
2mpf 2
1(x) +ig2A2
1(x) 2(x) gA 2(x)@ 1(x)
igA 2(x)@ 2(x) ig2A2
2mpf 2(x) ig2A2
1(x) 2(x) +g2A2
2
2(x)) =
=1
2(@ 1(x) 2gA 2(x)@ 1(x) +@ 2(x)@ 2(x) + 2gA2mpf@ 2(x)+
+igA 1(x)@ 2(x) 2igA 2(x)@ 2(x) +g2AA4m2
f+g2A2mpf 1(x)+
+gA 1(x)@ 2(x) +g2A2
2mpf 2
1(x) +g2A 2
2(x) +g2A 2
1(x)) =
=1
2@ 1(x)@ 1(x) +gA( 2(x)@ 1(x) + 1(x)@ 2(x)) +1
2@ 2(x)@ 2(x)+
+ 2mgpfA@ 2(x) + 2g2m2
fAA+g2A2
2( 2
1(x) + 2
2(x)) + 2g2mpf 2
1(x)
Forma nal a a Lagrangeanului este:
dL0
2( 1; 2;A) = 1
4FF+ 2g2m2
fAA+1
2@ 1@ 1+
+1
2@ 2@ 2 m2 2
1+ 2mgpfA@ 2+LI
LIreprezint a Lagrangeanul de interact ,iune:
LI=gA( 1@ 2 2@ 1) + 2g2mpfA2
1+g2
2A2
( 2
1+ 2
2)+
+m4
f 1
16f( 4
1+ 4
2+ 2 2
1 2
2) 1
2mp
f( 2
1+ 2
2) 1
Acest Lagrangean va invariant in funct ,ie de transform arile:
(x) =1p
2(2mpf+ 1(x) +i 2(x))! 0(x) =2mpf+ 0
1(x) +i 0
2(x),
2mpf+ 0
1(x) +i 0
2(x) =e ig"(x)(2mpf+ 1(x) +i 2(x)))
38
0
1(x) =e ig"(x)(2mpf+ 1(x) +i 2(x)) 2mpf i 0
2(x)
T,in^ and cont de formula lui Euler: e ig"(x)=cos(g"(x)) isin(g"(x))
0
1(x) =cos(g"(x))(2mpf+ 1(x)) +icos(g"(x)) 2(x)
isin(g"(x))(2mpf+ 1(x)) +sin(g"(x)) 2(x) 2mpf i 0
2(x))
0
1(x) =cos(g"(x))(2mpf+ 1(x)) +sin(g"(x)) 2(x) 2mpf+
i(cos(g"(x) 2(x) sin(g"(x))(2mpf+ 1(x)) 0
2(x))
1(x) reprezint a componenta real a a spat ,iului complex (x) =1p
2(2mpf+ 1(x) +
i 2(x)))
0
1(x)Re( 0
1(x)) =cos(g"(x))(2mpf+ 1(x)) +sin(g"(x)) 2(x) 2mpf
^In acelasi mod, determin am expresia lui 0
2(x):
i 0
2(x) =e ig"(x)(2mpf+ 1(x) +i 2(x)) 2mpf 0
1(x))
i 0
2(x) = cos(g"(x))(2mpf+ 1(x)) +i 2(x)cos(g"(x))
isin(g"(x))(2mpf+ 1(x)) + sin(g"(x)) 2(x) 2mpf 0
1(x))
0
2(x) = icos(g"(x))(2mpf+ 1(x)) + 2(x) cos(g"(x))
sin(g"(x))(2mpf+ 1(x)) isin(g"(x)) 2(x) +i2mpf+i 0
1(x))
2(x) este partea imaginar a a functiei (x), deci vom obt ,ine din nou c a:
0
2(x)Re( 0
2(x)) = cos(g"(x)) 2(x) sin(g"(x))(2mpf+ 1(x))
^In concluzie, noul Lagrangean, L0
2( 1; 2;A) este invariant sub transform arile:
8
><
>: 1(x)! 0
1(x) = cos(g"(x))(2mpf+ 1(x)) + sin(g"(x)) 2(x) 2mpf
2(x)! 0
2(x) = cos(g"(x)) 2(x) sin(g"(x))(2mpf+ 1(x))
A!A0
(x) =A(x) +@"(x)
39
Observ am c a ^ n noul Lagrangean, L0
2(x) a ap arut un termen de mas a proport ,ional
cuAA:p
2gmpf2AA. Acesta descrie aparit ia unei particule vectoriale masive de
mas ap
2gmpf. La o prim a vedere, acest termen nu putea ap area init ial datorit a ne-
invariant ,ei lui la primul set de transform ari. O dat a cu aparit ia ruperii de simetrii,
valoarea de vid se mut a din = = 0, ^ n = =p
2mpf. Ruperea de simetrie a
introdus termenul de mas a care r am^ ane invariant sub noul set de transform ari.
De asemenea, ne a stept am ca, la fel ca ^ n capitolul anterior s a apar a un termen ce
descrie un c^ amp real descris de o particul a lipsit a de mas a, 2(x) – goldstone.
Aceast a concluzie este dat a de lipsa unui termen de mas a proport ional cu 2
2(x).
Datorit a termenului2mgpfA@ 2(x), care rezult a din interact iunea a dou a c^ ampuri,
Lagrangeanul liber nu mai este diagonal. Pentru a diagonaliza Lagrangeanul facem
o transformare de c^ amp cu scopul de a compensa termenul ce introduce
nediagonalitatea:
A(x) =B(x) @ 2(x)
Unde, este un paramteru deocamdat a necunoscut. Pentru a determina valoarea
acestui parametru, vom introduce forma nou a a lui AinL2( 1(x); 2(x);A):
L2( 1; 2;A= 1
4FF+ 2g2m2
f(B(x) @ 2(x))(B(x) @ 2(x))+
+1
2@ 1(x)@ 1(x) m2 2
1+1
2@ 2(x)@ 2(x) +2mgpf(B(x)
@ 2(x))@ 2(x) +LI=
L2( 1; 2;A)!L3= 1
4FF+2g2m2
f(B(x)B(x) 2B(x) @ 2(x) + 2@ 2(x))+
+1
2@ 1(x)@ 1(x) m2 2
1+1
2@ 2@ 2(x) +2mgpfB(x)@ 2(x)
2mgpf @ 2(x)@ 2(x) +LI=
=1
4FF+2g2m2
fB(x)B(x) +B(x)@ 2(x)(2mgpf
4g2m2
f ) + (2g2m2
f 2+1
2 2mgpf )@ 2(x)@ 2(x)+
+1
2@ 1(x)@ 1(x) m2 2
1+LI
Pentru ca Lagrangeanul s a ram^ an a invariant dup a componenta c^ ampului gauge, A
trebuie s a anul am coe cientul lui B(x)@ 2(x):
2mgpf 4g2m2
f = 0) =2mgpff
4g2m2) =pf
2mg
40
Astfel,Adevine:
A(x) =B(x) pf
2mg@ 2(x)
T,inand cont de faptul c a, F=@A @A=@B @Bobt ,inem forma
Lagrangeanului diagonal:
L3!L4= 1
4(@B @B)2+2g2m2
fB(x)B(x) +1
2@ 1(x)@ 1(x)
m2 2
1+LI+ (2g2m2
ff
4m2g2+1
2 2mgpfpf
2mg)@ 2(x)@ 2(x)
Efectu^ and calculele din ultima parentez a obt ,inem usor, c a termenul @ 2(x)@ 2(x)
se anuleaz a. ^In acest caz, forma nal a a Lagrangeanului liber va :
L4= 1
4(@B @B)2+2g2m2
fB(x)B(x) +1
2@ 1(x)@ 1(x) m2 2
1+LI
^In Lagrangeanul liber exist a acum 2 termeni ce descriu particule masive, dar si un
termen ^ n Lagrageanul de interact ,iune ce descrie goldstoneul 2(x). Observ am c a
termenul 2a disp arut deja din restul Lagrangeanului liber, ^ nc^ at trebuie s a g asim
o metod a de a anula goldstoneul din Lagrangeanul de interact iune. ^In scopul acesta
vom modi ca, pe l^ ang a c^ ampul A si c^ ampul complex (x), lu^ and ca etalon
2(x) = 0:
(x) =1p
2(2mpf+ 1+i 2)! 0(x) =1p
2(2mpf+ 1(x))
Lagrangeanul devine astfel ne-invariant gauge.
^In Lagrangeanul liber r am^ an 2 termeni ce descriu particule masive, una real a,
scalara, dat a de 2
1(x) si una vectorial a dat a de termenul B(x)B(x).
Observ am c a, ^ n urma ruperii spontane de simetrie local a r am^ an doar particule
gauge masive, ^ n timp ce goldstoneul dispare.
Ruperea spontan a de simetrie se manifest a diferit ^ n cazul global, fat a de cazul
local. Init ial, am operat cu (x) – c^ ampul scalar complex. ^In urma ruperii de
simetrie spontan a global a, am obt inut un c^ amp scalar real 1(x) si un goldstone
descris de c^ ampul scalar imaginar 2(x).
^In cazul grupului de simetrie local a abelian a, U1, pe l^ ang a c^ ampul complex (x),
apare si un c^ amp vectorial gauge f ar a mas a, A(x).^In urma ruperii de simetrie
spontan a va rezulta c^ ampul scalar real 1(x), dar al 2-lea grad de libertate va
ocupat de c atre c^ ampul gauge B(x), ^ n timp ce goldstoneul 2(x) dispare. Aceast a
proprietate a c^ ampului gauge se nume ste mecanismul Higgs .Acest mecanism se
refer a practic la faptul c a, goldstoneul 2a fost ^ nlocuit de o particul a vectorial a
masiv a, un boson.Particula scalar a 1(x) este chiar bosonul Higgs .
41
3.3 Ruperea spontan a a unei simetrii locale neabeliene
SimetriaSU2Aceasta descrie propriet at ile izotopice ale particulelor. Dup a acest
criteriu, putem grupa particulele cu propriet at i asem an atoare ^ n multiplet i. Grupul
SU2are 3 parametri/ generatori dat i de algebra Lie:
[Tl;Tm] =flmkTk (3.3.1)
Datorit a algebrei Lie, grupul este neabelian, deoarece generatorii nu comut a ^ ntre
ei.
Grupul Lie are at^ at interpret ari tensoriale c^ at si interpret ari spinoriale. ^In ceea ce
ne prive ste pe noi, vom lucra doar cu reprezent ari izodublet, care act ioneaz a asupra
funct iilor de und a formate din 2 componente:
a(x) = 1(x)
2(x)
;a= 1;2
Generatorii reprezent arii trebuie ales ,i, astfel ^ ncat s a satisfac a algebra Lie. Cel mai
adesea sunt alese matricile Pauli:
1=0 1
1 0
; 2=0 i
i0
; 3=1 0
0 1
Lagrangeanul reprezent arii trebuie s a e invariant at^ at sub grupul Lorentz, c^ at si
grupul de simetrie SU2
Grupul neabelian SU2. C^ ampul Yang – Mills
L=i
2( a
@ a @ a
a) M a a
Acest Lagrangean este invariant sub grupul de transform ari SU2sub care, c^ ampul
se transform a astfel:
a! 0a= (e i
2g"k k)ba b
a! 0a= b(ei
2g"k k)ba
De aici reies transform arile in nitezimale:
a= i
2g"k( k)ab b
a=i
2g"k b( k)ba
Dac a compar am transform arile in nitezimale g asite cu forma general a :
ui(x) =Tk
ij"kuj(x)
42
putem face urm atoarele corelat ,ii:
Tk
ab= i
2g( k)ab
uj a
[Tl;Tm] = (ii
2g)2[ l; m] = g2
4[ l; m] (3.3.2)
1 2=i0
0 i
=i 3; 1 3=0 1
1 0
=i 2; 2 3=0i
i0
=i 1
2 1= i0
0i
= i 3; 3 1=0 1
1 0
= 2 ; 3 2=0 i
i0
= i 1
Comutatorii [ l; m] = l m m lgenereaz a forma general a:
[ l; m] = 2i"lmk k (3.3.3)
Unde,"lmkeste tensorul total antisimetric.
Dac a ^ nlocuim ecuat ,ia 3.3.3 ^ n 3.3.2 obt ,inem:
[Tl;Tm] = g2
42i"lmk k=g"lmkTk(3.3.4)
^Inlocuind ecuat ,ia 3.3.4 ^ n ecuat ,ia 3.3.1 g asim c a:
flmk=g"lmk
^In cazul grupului local de transform ari, Lagrangeanul va un invariant gauge, doar
dac a se introduce termenul de c^ amp A, care trebuie s a intre ca o combinat ,ie in
Lagrangean, form^ and derivata covariant a:
@ a!r a=@ a aAk
, r a=@ a+ig
2"k( k)ab bAk
,k= 1;2;3
Deoarece num arul de c^ ampuri gauge trebuie s a e egal cu num arul de generatori ai
grupului, am introdus tripletul de vectori de c^ amp, Ak
,k= 1;2;3;
Lagrangeanul c^ ampurilor gauge se alege s ,i ^ n acest caz, sub cea mai simpl a form a,
s,i anume Lagrangeanul c^ ampului Yang – Mills:
LYM= 1
4Fk
Fk
Unde,Fk
=@Ak
@Ak
g
2"klm(Al
Am
Al
Am
) este tensorul c^ ampului Yang –
Mills.
Lagrangeanul c^ ampurilor gauge cont ine termeni de c^ amp Ak
de ordinul 2,3 si 4,
astfel ^ nc^ at, spunem c a acest camp gauge interact ioneaz a singur (este
self-interacting).
Transformarea in nitezimal a a c^ ampului gauge ^ n acest caz este:
Ak
=g"klmAm
"l(x) +@"k(x)
43
Ruperea de simetrie ^ n grupul SU2Lagrangenul liber ce caracterizeaz a
modelul nostru va avea aceeas ,i form a ca s ,i ^ n cazurile anterioare:
L= (@ a)(@ a) +m2 a a f
4( a a)2
Pentru a g asi forma Lagrangeanului total, vom ^ nlocui termenul @phia, cu expresia
derivatei covariante r a, sum^ and de asemenea s ,i Lagrangeanul c^ ampului gauge,
c^ ampul Yang-Mills.
L1= 1
4Fk
Fk
+(@ a ig
2 b( k)baAk
)(@ a+ig
2( k)ab bAk
)+m2 a a f
4( a a)2
(3.3.5)
Pentru a determina valoarea de vid, vom scrie expresia energiei:
E=1
4Fk
Fk
+ (r a)(r a) m2 a a+f
4( a a)2
Minimul energiei este:
@E
@ a= m2 a+f
2( a)2 a= 0 ;@E
@ a= m2 a+f
2( a)2 a= 0
m2 a+f
2( a)2 a= 0, a( m2+f
2 a a) =0
1
f;m2>0) m2+f
2j a(x)j2=0
1
,j a(x)j2=2m2
f0
1
,
a(x) =p
2mpf0
1
La fel ca ^ n cazul grupului Abelian, vom rescrie funct ,ia de und a complex a cu
ajutorul a 2 c^ ampuri scalare: (x),k(x),k= 1;2;3.
a=1p
2(2mpf++i kk)0
1
a=1p
2
0 1
(2mpf+ i kk)
^Inlocuim mai departe noua form a a funct ,iei de und a ^ n ecuat ,ia 3.3.5:
L1( a; a;A)!L2(;k;A) = 1
4Fk
Fk
+ (@(1p
2(2mpf+ i kk))
(3.3.6)
i
2g1p
2(2mpf+ i kk)( k)baAk
)(@(1p
2(2mpf++i kk))+
+i
2g( k)ab1p
2(2mpf++i kk)Ak
) +m21
2(2mpf+ i kk)(2mpf++i kk)
f
16((2mpf+ i kk)(2mpf++i kk))2
44
1p
2@(2mpf+ i kk) =1p
2@ i1p
2 k@k(3.3.7)
(1p
2@ ip
2 k@k igm( k)bap2fAk
) ig( k)ba
2p
2Ak
kkg( k)ba
2p
2Ak
)
(1p
2@+ip
2 k@k+ig( k)abmp2fAk
+ig( k)ab
2p
2Ak
g( k)ab kk
2p
2Ak
) =
=1
2(@@+i@ k@k+@ig( k)abmAk
pf+@ig( k)ab
2Ak
@g( k)ab kk
2Ak
i k@k@+ 2
k@k+ k@kg( k)abmpfAk
+
+ k@kg( k)ab
2Ak
+ig 2
k@k
2Ak
@igm ( k)bapfAk
+gm( k)ba k@k
pfAk
+
+g2m2( k)ab( k)ba
fAk
Ak
+g2m( k)ba( k)ab
2pfAk
Ak
+ig2m( k)ba( k)ab kk
2pfAk
Ak
ig( k)ba@
2Ak
+g( k)ba k@k
2Ak
+g2( k)ba( k)abm
2pfAk
Ak
+
+g22( k)ba( k)ab
4Ak
Ak
+ig2( k)ba( k)ab kk
4Ak
Ak
@ kk( k)ba
2Ak
i 2
kk)( k)ba@k
2Ak
i kkg2( k)ba( k)abm
2pfAk
Ak
ig2 kk( k)ba( k)ab
4Ak
Ak
)+
+g2 2
k(k)2( k)ba( k)ab
4Ak
Ak
) =
=1
2(@@ @g( k)ab kk
2Ak
+ 2
k@k@k+ k@mukg( k)abmpfAk
+ (3.3.8)
+ k@kg( k)ab
2Ak
+gm( k)ba k@k
pfAk
+g2m2( k)ab( k)ba
fAk
Ak
+
+g2m( k)ba( k)ab
2pfAk
Ak
+g( k)ba k@k
2Ak
+g2( k)ba( k)abm
2pfAk
Ak
+
+g22( k)ba( k)ab
4Ak
Ak
@ kk( k)ba
2Ak
+g2 2
k(k)2( k)ba( k)ab
4Ak
Ak
)
Dup a cum ne asteptam, termenii imaginari se reduc. De asemenea termenii k kse
reduc deoarece:
1 1= 2 2= 3 3=1 0
0 1
=I2matricea unitate de ordin 2
45
Ecuat ,ia 3.3.8 devine:
=1
2(@@ @gk
2Ak
+@k@k+@mukgmpfAk
+@kg
2Ak
+ (3.3.9)
+gm@k
pfAk
+g2m2
fAk
Ak
+g2m
2pfAk
Ak
+g@k
2Ak
+g2m
2pfAk
Ak
+
+g22
4Ak
Ak
@k
2Ak
+g2(k)2
4Ak
Ak
)
(2mpf+ i kk)(2mpf++i kk) = (3.3.10)
4m
f+2mpf+i kk2mpf+2mpf+i kk i kk2mpf i kk+ 2
k(k)2=
(3.3.11)
=4m
f+4mpf+ 2
k(k)2
((2mpf+ i kk)(2mpf++i kk))2= (4m
f+4mpf+ 2
k(k)2)2= (3.3.12)
=16m2
f+16m2
fpf+4m 2
k(k)2
f+16m2
fpf+16m22
f+
+4m 2
k(k)2
pf+ 2
k(k)24m
f+4m 2
k(k)2
pf+ 4
k(k)4=
=16m2
f2+32m2
fpf+8m 2
k(k)2
f+16m22
f+ 8m 2
k(k)2+ 4
k(k)4
Fk
Fk
= (@Ak
@Ak
)2(3.3.13)
^Inlocuim acum rezultatele: 3.3.7,3.3.9,3.3.10,3.3.11,3.3.12, in forma Lagrangeanului,
3.3.6:
L2= 1
4(@Ak
@Ak
)2+1
2(@@ @gk
2Ak
+@k@k+@mukgmpfAk
+@kg
2Ak
+
+gm@k
pfAk
+g2m2
fAk
Ak
+g2m
2pfAk
Ak
+g@k
2Ak
+g2m
2pfAk
Ak
+
+g22
4Ak
Ak
@k
2Ak
+g2(k)2
4Ak
Ak
) +2m3
f+2m3
f+m2 2
k(k)2
2
m2
f 2m2pf m 2
k(k)2
2 m22 mf 2
k(k)2
2 4
k(k)4f
16)
46
L2= 1
4(@Ak
@Ak
)2+g2m2
2fAk
Ak
+1
2@@ m22+1
2@k@k+gmpf@kAk
+LI
Forma Lagrangeanului total cont ,ine un triplet de Goldstoni: k(x)
Pentru a elimina Goldstonii, vom xa 0k(x) = 0, ajung^ and la expresia nal a a
Lagrangeanului:
L3= 1
4(@Ak
@Ak
)2+g2m2
2fAk
Ak
+1
2@@ m22L0
I
Acest Lagrangean descrie un model ce cont ine un triplet de c^ ampuri vectoriale
reale, date de termenul Ak
, toate caracterizate de o particul a de mas agmpf si un
c^ amp scalar real (x), cu masap
2m.
4 Simetria Rezidual a
4.1 Uni carea unei interact iuni cu raza in nit a de act iune
cu o interact iune cu raz a foarte mic a de act ,iune
^In acest capitol vom studia procesul de uni care a dou a tipuri de interact iuni, care
la o prim a vedere nu au nimic ^ n comun. Consider^ and dou a interact iuni generice,
una av^ and o raz a de act iune in nit a (ex: fort a de atract ie gravitat ional a,
interact iunea electromagnetic a), una av^ and o raz a de act iune mic a (ex:
interact iunea slab a, interact iunea tare). Deoarece aceste tipuri de interact iuni sunt
mediate de particule diferite si sunt guvernate de legi diferite, o uni care a acestora
poate realizat a doar folosind mecanismul de rupere spontan a de simetrie. Prin
aceasta, ^ nt elegem c a ^ n urma unei ruperi spontane de simetrie rezult a cele 2
interact iuni cu propriet at i diferite. Mecanismul Higgs, confer a mas a particulelor ce
mediaz a interact iunile cu raz a mic a de act iune, cum ar bosonii vectoriali
W+;W ;Z0, ce mediaz a interact iunile slabe, sau gluonul, gce mediaz a
interact iunile tari. Modelul considerat trebuie de asemenea s a explice fenomenul
prin care spre exemplu, fotonul, ^ n cazul interact iunii electromagnetice ^ si p astreaz a
masa nul a. Dup a cum vom vedea ^ n cele ce urmeaz a, acest proces se realizeaz a prin
mecanismul de simetrie rezidual a .
4.2 Cazul interact iunii electroslabe
Plec^ and de la ce am ment ionat ^ n cadrul capitolului IV.1, vom particulariza pentru
cazul uni c arii interact iunii electroslabe. Dup a cum am ment ionat, cele 2 tipuri de
interact iuni au propriet at i extrem de diferite:
– C^ ampul electromagnetic are o raz a in nit a de act iune, ^ n timp ce interact iunea
slab a are o raz a de act iune nit a; – Interact ,iunile electromagnetice sunt mediate de
47
particule cu masa nul a, fotonul, ^ n timp ce interact iunile slabe sunt mediate de
particule vectoriale de mas a nenul a (bosonii vectoriali intermediari: W+;W ;Z0).
Singura posibilitate de a uni ca aceste dou a interact iuni ^ ntr-una singur a,
interact iunea electroslaba, este prin a g asi o teorie gauge care caracterizeaz a un
c^ amp scalar fotonic, a c arui rupere de simetrie spontan a da na stere unui triplet de
bosoni vectoriali, care prin mecanismul Higgs cap at a mas a.
Exist a un num ar nedeterminat de posibilit at i de a alege aceast a teorie gauge, totu si
cea mai simpl a interpretare asupra interact iunilor electroslabe dintre leptoni a fost
dat a de S. Glashow, S. Weinberg, A. Salam , ind cunoscut a ast azi sub numele de
modelul standard .
Num arul de c^ ampuri gauge introduse trebuie s a e egal cu dimensiunea
reprezent arii considerate. Deoarece interact iunile slabe sunt mediate de particule
vectoriale, acestora li se vor asocia 3 c^ ampuri gauge. Cel mai simplu grup de
simetrie ce permite o astfel de reprezentare este grupul de simetrie SU2. C^ ampul
electromagnetic, ind un c^ amp mediat de o particul a scalara, i se va asocia un
singur c^ amp gauge. Grupul de simetrie sub cea mai simpl a forma ce poate ales
pentru aceasta interact iune, este grupul de simetrie U1. Grupul gauge al modelului
^ l vom considera drept produsul direct al celor 2 grupuri: SU2U1.
Pentru a obt ine cea mai simpl a reprezentare posibil a, vom alege drept particule de
plecare ale modelului leptonii fundamentali: e ; ; si neutrinii lor: e;; .
Conform reprezent arii SU2, cea mai "joas a" reprezentare este cea a izodublet ,ilor de
particule:e
e
;
;
Deoarece propriet at ,ile particulelor sunt str^ ans legate de chiralitatea lor, vom
considera separat spinorii de tip st^ anga (left handed) s ,i cei de tip dreapta (right
handed).
L=1
2(1 +
5)e
e
=e
e
LLa
R=1
2(1
5)e
e
=e
e
RRa
a= 1;2
5=i
0
1
2
3
sunt matricile Dirac s ,i se de nesc ca:
0=0
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 11
CCA,
1=0
BB@0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 01
CCA
48
2=0
BB@0 0 0 i
0 0i0
0i0 0
i0 0 01
CCA,
3=0
BB@0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 01
CCA
Un spinor se de nes ,te ca:
= R
L
R; Lsunt am^ andoi spinori cu 2 componente. Prin aceste convent ,ii ^ nt ,elegem c a:
eR= R
0
,eL=0
L
,e
R='R
0
,e
L=0
'L
e
Rformeaz a un singlet ^ n SU2, ^ n timp cee
e
Lformeaz a un dublet. Idem pentru si
Experimental, s-a observat c a neutrinii de tip dreapta ( eR;R; R), c^ at s ,i dublet ,ii
de tip dreapta nu sunt observabili in domeniile de energie accesibile, ^ ncat modelul
se va limita la abordarea dublet ,ilor de tip st^ anga si singlet ,ilor de tip dreapta:
e
e
L,
L,
L,e
R,
R,
R
Teoria gauge va introduce un triplet de c^ ampuri gauge Ak
,k= 1;2;3 asociat
grupului de simetrie SU2 si un c^ amp gauge Aasociat grupului U1. Problema
const a ^ n faptul c a trebuie s a obt inem la nal un c^ amp f ar a mas a si trei c^ ampuri ce
descriu bosoni masivi. ^In acest scop, trebuie s a folosim mecanismul Higgs pentru a
da mas a tripletului de c^ ampuri gauge. Dup a cum am observat si ^ n capitolul trecut,
ecare c^ amp vectorial care cap at a mas a, se pune ^ n corelat ie cu un c^ amp scalar,
care devine un goldstone si dispare. De aici rezult a c a trebuie s a introducem cel
put in patru c^ ampuri scalare complexe, pe care le vom grupa ^ ntr-un dublet: a(x),
a= 1;2.^In concluzie, modelul considerat cont ine:
– 3 dublet ,i leptonici de tip st^ anga:
La(x) =e(x)
e (x)
L,(x)
(x)
L, (x)
(x)
L
– 3 singlet ,i leptonici de tip dreapta:
R(x) =e
R(x) ,
R(x) ,
R(x)
– 1 dublet de c^ ampuri Higgs:
a(x);a= 1;2
Sectoarele electronice, miuonice si tauonice sunt identice, astfel ^ nc^ at este su cient a
analizarea unui singur sector. Mai departe vom analiza doar sectorul electronic.
49
Lagrangeanul sectorului electronic global invariant sub grupul SU2U1este:
L=iLa
@La+iR
@R+@ a@ a+m2 a a hL aR hR aLa 1
4f( a a)2
(4.2.1)
Lagrangeanul cont ine at^ at Lagrangenii liberi ai c^ ampurilor fermionice f ar a mas a si
a c^ ampurilor scalare Higgs, c^ at si termeni care descriu cuplajul c^ ampurilor Higgs cu
electronii (termenii Yukawa, descris ,i de constanta de cuplaj h) si self-interact ,iunea
c^ ampurilor Higgs, caracterizat a de constanta de cuplaj, f.
Termenul de mas a fermionic, =LR+RLnu apare ^ n termenul Lagrangeanului
deoarece nu este un invariant gauge.
Potent ialul c^ ampurilor Higgs are forma:
V( ) = m2 a a+1
4f( a a)2
Vom folosi aceast a form a la fel ca t ,n cazurile anterioare pentru a determina valorile
de vid:
@V
@ a= m2 a+f
2( a)2 a= 0 ;@V
@ a= m2 a+f
2 a( a)2= 0
a(f
2j j2 m2) = 0
f;m2>0)
j j2=2m2
f)j j=p
2mpf0
1
Deoarece valoarea de vid este ne-invariant a ^ n raport cu grupul de simetrie SU2
U1, rezult a ruperea de simetrie.
C^ ampurile se transform a sub grupul SU2conform relat ,iilor:
La(x)!L0a(x) =exp
i
2g k"k
abLb(x)
R(x)!R0(x) =R(x)
a(x)! 0a(x) =exp
i
2g k"k
ab b(x)
,iar sub grupul U1:
La(x)!L0a(x) =exp
i
2g1Y2"
abLb(x)
R(x)!R0(x) =exp
i
2g1YR"
R(x)
a(x)! 0a(x) =exp
i
2g1"
ab b(x)
50
Y este operatorul hypersarcin a de nit ca:
1
2Y=Q I3, Q-operatorul sarcin a
I3=1
2 3este operatorul izo-spin. Obt ,inem deci c a:
1
2YL= 1
20
0 1
2
;1
2YR= 1
Pasul urm ator ^ l reprezint a considerarea unei simetrii locale "k!"k(x).^In acest
scop, vom ^ nlocui termenul @, cu derivata covariant a r, care cont ,ine c^ ampurile
gauge introduse s a compenseze termenii invariant ,i locali. De asemenea, vom
introduce ^ n expresia Lagrangeanului 4.2.1, termenii corespunzatori celor 2 c^ ampuri
gauge.
rcont ,ine 3 termeni dat ,i de campul Higgs si cele 2 campuri gauge:
D1 a= i
2g1 aA; D1 a=i
2g1 aA
D2 a= i
2g b( k)baAk
; D2 a=i
2g( k)ab bAk
r a=@ a i
2g1 aA i
2g b( k)baAk
r a=@ a+i
2g1 aA+i
2g( k)ab bAk
g1- constanta de cuplaj pentru grupul U1
g- constanta de cuplaj pentru grupul SU2
Derivata covariant a ^ n cazul c^ ampurilor La;Rse construies ,te ^ n acelasi mod:
D1La=i
2g( k)abLbAk
D2La=i
2g1(YL)abLbA
rLa=@La+i
2g( k)abLbAk
+i
2g1(YL)abLbA
D1R=0
D2R=i
2g1YRRA
rR=@R+i
2g1YRRA
51
^Inlocuim formele derivatelor covariante s ,i obt ,inem forma Lagrangeanului invariant
local, t ,inand cont de Lagrangeanul c^ ampurilor gauge pentru cele dou a grupuri de
simetrie (C^ amp Yang-Mills)
LSU2= 1
4Fk
Fk
LU1= 1
4FF
L= 1
4Fk
Fk
1
4FF+iLa
@La+i
2g( k)abLbAk
+i
2g1(YL)abLbA
+
(4.2.2)
+iR
@R+i
2g1YRRA
+
@ a i
2g1 aA i
2g b( k)baAk
@ a+i
2g1 aA+i
2g( k)ab bAk
+m2 a a hLa aR hR aLa
1
4f( a a)2
Mai departe vom urma mecanismul de rupere spontan a de simetrie dezvoltat ^ n
capitolul 3.3. Expresia valorii de vid ne indic a necesitatea introducerii a unui c^ amp
scalar singlet (x) si un triplet k(x), la fel cum am procedat ^ n cazul ruperii
spontane de simetrie ^ n cazul grupului SU2:
a=1p
22mpf++i kk0
1
a=1p
2
0 1
(2mpf+ ik k)
Tensorii ce exprim a Lagrangenii c^ ampurilor gauge se de nsc ca:
Fk
=@Ak
@Ak
g"klmAl
Am
F=@A @A
^Inlocuind aceste rezultate ^ n forma Lagrangeanului dat a de ecuat ,ia 4.2.2, obt ,inem
52
urm atoarea form a:
L!L1= 1
4(@Ak
@Ak
g"klmAl
Am
)(@Ak
@Ak
g"klmAl
Am
) (4.2.3)
1
4(@A @A)(@A @A) +iLa
@La g
2La
( k)abLbAk
g1
2La
(YL)abLbA+iR
@R g1
2R
YRRA+
+1p
2@2mpf+ ik k
i
2g11p
22mpf+ ik k
A
i
2g1p
22mpf+ ik k
( k)baAk
1p
2@2mpf++ik k
+
+i
2g11p
22mpf++ik k
A i
2g1p
22mpf++ik k
( k)baAk
+
+m2
22mpf+ ik k2mpf++i kk
hLa1p
22mpf++i kk
R hR1p
22mpf+ ik k
La
1
16f2mpf+ ik k
2mpf++i kk2
Mai departe vom dezvolta ecare termen, pentru a g asi forma nal a a
Lagrangeanului.
1
2
@ i k@k ig1mpfA 1
2g1A g1
2k kA igmpf( k)baAk
ig
2( ba
kAk
g
2k k( k)baAk
@+i k@k+ig1mpfA+i
2g1A
g1
2k kA+igmpf( k)abAk
+ig
2( k)abAk
g
2 kk( ab
kAk
)
=
53
=1
2
@@+i k@k@+ig1mpfA@+i
2g1A@ g1
2k kA@+
+igmpf( k)abAk
@+ig
2( k)abAk
@ g
2 kk( k)abAk
@ i k@k@+
+ k k@k@k+ kg1mpfA@k+g1
2 kA@k+ig1
2 kk kA@k+
+g kmpf( k)abAk
@k+g
2 k( k)abAk
@k+ig
2 k kk( k)abAk
@k
ig1mpfA@+g1mpf kA@k+g2
1m2
fAA+g2
1mpfAA+
+ig2
1
2mpfk kAA+g1gm2
f( k)abAk
A+g1g
2mpf( k)abAk
A+
+ig1g
2mpf kk( k)abAk
A ig1
2A@+g1
2 kA@k+g2
1
2mpfAA+
+g4
1
42AA+ig2
1
4k kAA+g1g
2mpf( k)abAk
A+g1g
42( k)abAk
A+
+ig1g
4 kk( k)abAk
A g1
2k kA@ ig1
2 kk kA@k ig2
1
2mpfk kAA
ig2
1
4k kAA+g2
1
4kk k kAA ig1g
2mpfk k( k)abAk
A
ig1g
4k k( k)abAk
A+g1g
4 k kkk( k)abAk
A igmpf( k)baAk
@+
+g kmpf( k)baAk
@k+g1gm2
f( k)baAk
A+g1gmpf( k)baAk
A+
+ig1g
2mpfk k( k)baAk
A+g2m2
f( k)ba( k)abAk
Ak
+g2
2mpf( k)ba( k)abAk
Ak
+
+ig2
2mpf kk( k)ab( k)baAk
Ak
ig
2( k)baAk
@+g
2 k( k)baAk
@k+
+g1g
2mpf( k)baAk
A+g1g
42( +k)baAk
A+ig1g
4k k( k)baAk
A+
+g2
2mpf( k)ba( k)abAk
Ak
+g2
42( k)ab( k)baAk
Ak
+ig2
4 kk( k)ba( k)abAk
Ak
g
2k k( k)baAk
@ ig
2k k k( k)baAk
@k ig1g
2mpfk k( k)baAk
A
ig1g
4k k( k)baAk
A+g1g
4kk k k( k)baAk
A ig2
2mpfk k( k)ba( k)abAk
Ak
ig2
4k k( k)ba( k)abAk
Ak
+g2
4k k kk( k)ba( k)abAk
Ak
=
54
Dup a cum ne astept am, termenii imaginari se reduc, astfel ^ nc^ at obt ,inem:
=1
2
@@ g1
2k kA@ g
2 kk( k)abAk
@+ k k@k@k+ kg1mpfA@k+
+g1
2 kA@k+g kmpf( k)abAk
@k+g
2 k( k)abAk
@k+g1mpf kA@k+
+g2
1m2
fAA+g2
1mpfAA+g1gm2
f( k)abAk
A+g1g
2mpf( k)abAk
A+
+g1
2 kA@k+g2
1
2mpfAA+g4
1
42AA+g1g
2mpf( k)abAk
A+
+g1g
42( k)abAk
A g1
2k kA@+g2
1
4kk k kAA+g1g
4 k kkk( k)abAk
A+
+g kmpf( k)baAk
@k+g1gm2
f( k)baAk
A+g1gmpf( k)baAk
A+
+g2m2
f( k)ba( k)abAk
Ak
+g2
2mpf( k)ba( k)abAk
Ak
+g
2 k( k)baAk
@k+
+g1g
2mpf( k)baAk
A+g1g
42( +k)baAk
A+g2
2mpf( k)ba( k)abAk
Ak
+
+g2
42( k)ab( k)baAk
Ak
g
2k k( k)baAk
@+g1g
4kk k k( k)baAk
A+
+g2
4k k kk( k)ba( k)abAk
Ak
=
=1
2
@@ g1k kA@ gkAk
@+@k@k+ 2g1mpf kA@k+
+g1 kA@k+ 2gmpfAk
@k+gAk
@k+g2
1m2
fAA+ 2g2
1mpfAA+
+ 2g1gm2
fAk
A(( k)ab+ ( k)ba) +g1gmpf( k)abAk
A+g2
1
42AA+
+g1g
42Ak
A(( k)ab+ ( k)ba) +g2
1
4kkAA+g1g
4kk(( k)ab+ ( k)ba)Ak
A+
+g1gmpf( k)baAk
A+g2m2
fAk
Ak
+3
2g2mpfAk
Ak
+g2
42Ak
Ak
+g2
4kk
=
55
Fix am s ,i de aceast a dat a 0k(x) = 0 s ,i obt ,inem ^ n continuare:
=1
2
@@+g2
1m2
fAA+g2
1mpfAA+ 2g1gm2
f(( k)ab+ ( k)ba)Ak
A+
+g2
1
42AA+g1g
42(( k)ab+ ( k)ba)Ak
A+g1gmpf(( k)ab+ ( k)ba)Ak
A+
+g2m2
fAk
Ak
+3
2g2mpfAk
Ak
+g2
4Ak
Ak
=
=1
2@@+g2
1m2
2fAA+g2
1m
2pfAA g1gm2
fA3
A+g2m2
2fAk
Ak
(4.2.4)
g1gmpfA3
A+g2m
2pfAk
Ak
+g2
1
82AA g1g
42A3
A+g2
82Ak
Ak
iLa
@La=iL1
@L1+iL2
@L2(4.2.5)
g
2La
( k)abLbAk
=g
2L1
L1A3
g
2L2
L2A3
+g
2L2
L1(A1
+iA2
)+ (4.2.6)
+g
2L1
L2(A1
iA2
)
g1
2La
(YL)abLbA= g1
2L1
L1A g1
2L2
L2A (4.2.7)
g1
2R
YRRA= g1R
RA (4.2.8)
hLa1p
22mpf++i kk
RhLap
2mpfR+hLa1p
2R=hLap
2mpfR+hLap
2
2R=
=hL2p
2mpfR+hL2p
2
2R (4.2.9)
hR1p
22mpf+ ik k
La=hRp
2mpfL2+hRp
2
2L2(4.2.10)
56
1
4(@Ak
@Ak
g"klmAl
Am
)(@Ak
@Ak
g"klmAl
Am
) =
1
4((@Ak
@Ak
)(@Ak
@Ak
g"klmAl
Am
) g"klmAl
Am
(@Ak
@Ak
g"klmAl
Am
)) = 1
4((@Ak
@Ak
)(@Ak
@Ak
) g"klmAl
Am
(@Ak
@Ak
)
g"klmAl
Am
@Ak
+g"klmAl
Am
@Ak
+g"klmAl
Am
g"klmAl
Am
) =
1
4(@Ak
@Ak
)(@Ak
@Ak
) 1
4(@Ak
@Ak
) g"klmAl
Am
(@Ak
@Ak
)
g2
4"klmAl
Am
"klmAl
Am
) = 1
4(@Ak
@Ak
)(@Ak
@Ak
)+
+g
4"klm(@Ak
@Ak
)(Al
Am
AlA ) g2
8(Al
Am
AlAm
)(Al
Am
AlAm
)
(4.2.11)
m2
22mpf+ ik k)(2mpf++ik k
m2
22mpf+2mpf+
=
=m2
24m2
f+4mpf+2
=2m4
f+2m3pf+m22
2(4.2.12)
1
16f2mpf+ ik k2mpf++ik k2
f
42mpf+4
=
f
1616m4
f2+16m3
fpf+4m22
f+16m3
fpf+16m22
f+4m3
pf+
+4m22
f+4m3
pf+4
= m4
f m3pf m22
4 m3pf
m22 pfm3
4 m22
4 pfm3
4 f4
16=
m4
f 2m3pf m22
2 pfm3
2 m22 f4
16(4.2.13)
^Inlocuind rezultatele obt ,inute ^ n ecuat ,iile: 4.2.4, 4.2.5, 4.2.6, 4.2.7, 4.2.8,
57
4.2.9, 4.2.10, 4.2.11, 4.2.12, 4.2.13 ^ n forma Lagrangeanului, 4.2.3 obt ,inem:
L= 1
4(@Ak
@Ak
)(@Ak
@Ak
) +g
4"klm(@Ak
@Ak
)(Al
Am
Al
Am
)
g2
8(Al
Am
Al
Am
)(Al
Am
Al
Am
) 1
4(@A @A)(@A @A)+
+iL1
@L1+iL2
@L2 g
2L1
L1A3
+g
2L2
L2A3
g
2L2
L1(A1
+iA2
)
g
2L1
L2(A1
iA2
) +g1
2L1
L1A+g1
2L2
L2A+g1R
RA+iR
@R+
+1
2@@ +g2
1m2
2fAA+g2
1m
2pfAA g1gm2
fA3
A+g2m2
2fAk
Ak
g1gmpfA3
A+g2m
2pfAk
Ak
+g2
1
82AA g1g
42A3
A+g2
82Ak
Ak
+m4
f+
+2m3pf+m22
2 hL2p
2mpfR hL2p
2
2R hRp
2mpfL2 hRp
2
2L2 m4
f
2m3pf m22
2 pfm3
2 m22
Putem rearanja Lagrangeanul total ^ n 2 componente: L=L0+LI,L0
-Lagrangeanul c^ ampurilor libere; LI-Lagrangeanul de interact ,iune ^ ntre c^ ampuri.
L0= 1
4(@Ak
@Ak
)(@Ak
@Ak
) 1
4(@A @A)(@A @A)+
(4.2.14)
+g2m2
2fAk
Ak
+g2
1m2
2fAA g1gm2
fA3
A+1
2@@ m22+
+iR
@R+iL1
@L1+iL2
@L2 p
2hmpfL2R p
2hmpfRL2
LI=g
4"klm(@Ak
@Ak
)(Al
Am
Al
Am
) g2
8(Al
Am
Al
Am
)(Al
Am
Al
Am
)+
+g2
1m
2pfAA+g2
1
82AA+g2m
2pfAk
Ak
+g2
82Ak
Ak
g1gmpfA3
A
g1g
42A3
A+g1R
RA+g1
2L1
L1A+g1
2L2
L2A g
2L1
L1A3
+
+g
2L2
L2A3
g
2L2
L1(A1
+iA2
) g
2L1
L2(A1
iA2
)
p
2
2hL2R p
2
2hRL2 1
2mp
f3 1
16f4
La fel ca ^ n cazul ruperii de simetrie neabelian a, Lagrangeanul rezultant este
nediagonal, deoarece cont ,ine termenii mixti, A3
A. Pentru a diagonaliza
58
Lagrangeanul vom introduce c^ ampurile:
W=1p
2(A1
+iA2
) W
=1p
2(A1
iA2
) (4.2.15)
Z=A3
cos Asin B =A3
sin+Acos (4.2.16)
unde,este un parametru necunoscut.
W+W
=1p
2(A1
+iA2
+A1
iA2
),A1
=1p
2(W+W
)
W W
=1p
22iA2
)A2
=p
2
2i(W W
)
Folosim expresiile celor dou a c^ ampuri, Z;B, pentru a g asi expresiile lui A3
;A:
Zcos=A3
cos2 Acossin
Bsin=A3
sin2+Acossin
Adun^ and aceste dou a ecuat ,ii, obt ,inem:
A3
=Zcos+Bsin
Bcos=A3
sincos+Acos2
Zsin=A3
sincos Asin2
A=Bcos Zsin
Dac a aducem aceste rezultate ^ mpreun a obt ,inem:
8
>>>><
>>>>:A1
=1p
2(W+W
)
A2
=p
2
2i(W W
)
A3
=Zcos+Bsin
A=Bcos Zsin(4.2.17)
Vom alege convenabil paramterul , ^ nc^ at:
8
<
:cos=gp
g2+g2
1
sin=g1p
g2+g2
1
Mai departe, vom introduce ^ n forma noului Lagrangean Ltermenii de
diagonalizare W;W
;B;Z. Prima oar a vom determina expresiile tuturor noilor
59
termeni din cadrul Lagrangeanului liber, L0:
1
4(@Ak
@Ak
)(@Ak
@Ak
) = 1
4(@Ak
@Ak
2@Ak
@Ak
+@Ak
@Ak
) =
1
4(@A1
@A1
+@A2
@A2
+@A3
@A3
2@A1
@A1
2@A2
@A2
2@A3
@A3
+@A1
@A1
+@A2
@A2
+@A3
@A3
)
@A1
@A1
=1
2(@W+@W
)(@W+@W
)
@A1
@A2
=1
2i(@W+@W
)(@W @W
)
@A1
@A3
=1p
2(@W+@W
)(@Zcos+@Bsin)
@A2
@A2
= 1
2(@W @W
)(@W @W
)
@A2
@A3
=1
ip
2(@W @W
)(@Zcos+@Bsin)
@A3
@A3
= (@Zcos+@Bsin)(@Zcos+@Bsin)
^Inlocuim acestea in termenul de mai sus s ,i obt ,inem:
= 1
41
2@W@W+@W
@W+1
2@W
@W
1
2@W@W+
+@W@W
1
2@W
@W
+ cos2@Z@Z+ 2 sincos@Z@B+
+ sin2@B@B @W@W @W@W
@W
@W
@W
@W
+@W@W @W@W
@W
@W+@W
@W
2 cos2@Z@Z 2 sincos@Z@B 2 sincos@B@Z
2 sin2@B@B+1
2@W@W+@W
@W+1
2@W
@W
1
2@W@W+@W@W
1
2@W
@W
+ cos2@Z@Z+
+ 2 sincos@Z@B+ sin2@B@B
=
= 1
4(2@W
@W 2@W@W
2@W
@W+ 2@W
@W+ (4.2.18)
+ cos2(@Z@Z+@Z@Z+ sin2(@B@B+@B@B)+
+ 2 sincos(@Z@B @Z@B @B@Z+@Z@B)
2 cos2@Z@Z 2 sin2@B@B) =
60
Mai departe vom explicita al doilea termen din Lagrangeanul liber L0:
1
4(@A @A)(@A @A) =
1
4(cos@B sin@Z cos@B+ sin@Z)
(cos@B sin@Z cos@B+ sin@Z) =
= 1
4(cos2@B@B cossin@B@Z cos2@B@B+
+ sincos@B@Z sincos@Z@B+ sin2@Z@Z+
+ sincos@Z@B sin2@Z@Z cos2@B@B+
+ sincos@B@Z+ cos2@B@B sincos@B@Z+
+ sincos@Z@B sin2@Z@Z sincos@B@Z
sincos@Z@B+ sin2@Z@Z) =
= 1
4(cos2@B@B 2 sincos@B@Z cos2@B@B+
+ 2 sincos@B@Z+ sin2@Z@Z+ 2 sincos@Z@B
sin2@Z@Z cos2@B@B+ cos2@B@B
2 sincos@Z@B sin2@Z@Z+ sin2@Z@Z) =
= 1
4cos2(@B@B 2@B@B+@B@B) (4.2.19)
1
4sin2(@Z@Z 2@Z@Z+@Z@Z)
1
2sincos(@B@Z+@B@Z @B@Z @Z@B)
Adun^ and rezultatele obt ,inute la 4.2.18 s ,i 4.2.19 vom g asi c a:
1
4(@Ak
@Ak
)(@Ak
@Ak
) 1
4(@A @A)(@A @A) =
=1
2(@W
@W
)(@W @W) 1
4cos2(@Z@Z 2@Z@Z+
+@Z@Z) 1
4sin2(@Z@Z 2@Z@Z+@Z@Z)
1
4cos2(@B@B 2@B@B+@B@B)
1
4sin2(@B@B 2@B@B+@B@B)
1
2sincos(@B@Z+@B@Z @B@Z @Z@B)+
+1
2sincos(@Z@B+@B@Z @Z@B @Z@B) =
61
= 1
2(@W
@W
)(@W @W) 1
4(@Z @Z)(@Z @Z) (4.2.20)
1
4(@B @B)(@B @B)
g2m2
2fAk
Ak
=g2m2
2f(A1
A1
+A2
A2
+A3
A3
) =
=g2m2
2f1
2WW+WW
+1
2W
W
1
2WW+WW
1
2WW
+
+g2m2
2f
Zcos+Bsin
Zcos+Bsin
=
=g2m2
2fWW
+g2m2
2f(cos2ZZ+ 2 sincosZB+ sin2BB) =
=g2m2
2fWW
+g2m2
2fg2
g2+g2
1ZZ+g2m2
2f2g1g
g2+g2
1ZB+g2m2
2fBB=
=g2m2
2fWW
+g4m2
2f(g2+g2
1)ZZ+g1g3m2
f(g2
1+g2)ZB+g2g2
1m2
2f(g2+g2
1)BB(4.2.21)
g2
1m2
2fAA=g2
1m2
2f(Bcos Zsin)2=
=g2
1m2
2f(cos2BB 2 sincosBZ+ sin2ZZ) =
=g2
1m2
2fg2
g2+g2
1BB g2
1m2
fg1g
g2+g2
1BZ+g2
1m2
2fg2
1
g2+g2
1ZZ (4.2.22)
g1gm2
fA3
A= g1gm2
f(Zcos+Bsin)(Bcos Zsin) =
= g1gm2
f(cos2ZB sincosZZ+ sincosBB sin2BZ) =
= g1gm2
fg2
g2+g2
1ZB+g1gm2
fg1g
g2+g2
1ZZ g1gm2
fg1g
g2+g2
1BB+
+g1gm2
fg2
1
g2+g2
1BZ (4.2.23)
62
Adun^ and relat ,iile 4.2.21, 4.2.22,4.2.23 obt ,inem:
g2m2
fWW
+g4m2
2f(g2+g2
1)ZZ+g1g3m2
f(g2
1+g2)ZB+g2g2
1m2
2f(g2+g2
1)BB+
+g2
1g2m2
2f(g2+g2
1)BB g3
1gm2
f(g2+g2
1)BZ+g4
1m2
2f(g2+g2
1)ZZ g1g3m2
f(g2+g2
1)ZB+
+g2
1g2m2
f(g2+g2
1)ZZ g2
1g2m2
f(g2+g2
1)BB+g3
1gm2
f(g2+g2
1)BZ=
=g2m2
fWW
+m2
2f(g2+g2
1)ZZ(g4+g4
1+ 2g2
1g2) +m2
f(g2+g2
1)BB(g2g2
1 g2
1g2)+
+m2
f(g2+g2
1)ZB(g1g3 gg3
1 g1g3+gg3
1) =g2m2
fWW
+m2(g2+g2
1)2
2f(g2
1+g2)ZZ=
=g2m2
fWW
+m2(g2+g2
1)
2fZZ (4.2.24)
^In continuare explicit am expresiile termenilor La;R:
iR
@R=i1
2(1
5)e@e (4.2.25)
iL1
@L1=i1
2(1 +
5)e@e (4.2.26)
Adun am expresiile 4.2.25 s ,i 4.2.26 si obt ,inem:
iR
@R+iL1
@L1=ie
@e (4.2.27)
iL2
@L2=ie1 +
5
2@e (4.2.28)
p
2hmpfL2R= p
2hmpfe1 +
5
2e (4.2.29)
p
2hmpfRL2= p
2hmpfe1
5
2e (4.2.30)
p
2hmpf(L2R+RL2) = p
2hmpfee (4.2.31)
63
Dac a ^ nlocuim relat ,ile 4.2.20,4.2.24,4.2.27,4.2.28,4.2.29,4.2.30,4.2.31 ^ n forma
Lagrangeanului 4.2.14 s ,i obt ,inem forma diagonal a a Lagrangeanului liber:
L0= 1
2(@W
@W
)(@W @W) 1
4(@Z @Z)(@Z @Z)
1
4(@B @B)(@B @B) +g2m2
fW
W+m2(g2+g2
1)
2fZZ+
+1
2@@ m22+ie
@e+ie
1 +
5
2@e p
2hmpfee
^In continuare, vom proceda la fel pentru Lagrangeanul de interact ,iune,LI.
(Al
Am
Al
Am
)(Al
Am
Al
Am
) =
Al
Am
Al
Am
Al
Am
Al
Am
AAm
Al
Am
+Al
Am
Al
Am
(4.2.32)
Al
Am
Al
Am
=A1
A1
A1
A1
+A1
A2
A1
A2
+A1
A3
A1
A3
+A2
A1
A2
A1
+
+A2
A2
A2
A2
+A2
A3
A2
A3
+A3
A1
A3
A1
+A3
A2
A3
A2
+
+A3
A3
A3
A3
=
=1
4(W+W
)(W+W
)(W+W
)(W+W
)
1
4(W+W
)(W W
)(W+W
)(W W
)+
+1
2(W+W
)(cosZ+ sinB)(W+W
)(cosZ+ sinB)
1
4(W W
)(W+W
)(W W
)(W+W
)+
+1
4(W W
)(W W
)(W W
)(W W
)
1
2(W W
)(cosZ+ sinB)(W W
)(cosZ+ sinB)+
+1
2(cosZ+ sinB)(W+W
)(cosZ+ sinB)(W+W
)
1
2(cosZ+ sinB)(W W
)(cosZ+ sinB)(W W
)+
+ (cosZ+ sinB)(cosZ+ sinB)(cosZ+ sinB)(cosZ+ sinB) =
64
=1
4(WW+WW
+W
W+W
W
)(WW+WW
+W
W+W
W
)
1
4(WW WW
+W
W W
W
)(WW WW
+W
W W
W
)+
+1
2(cosWZ+ sinWB+ cosW
Z+ sinW
B)
(cosWZ+ sinWB+ cosW
Z+ sinW
B)
1
4(WW+WW
W
W W
W
)(WW+WW
W
W W
W
)+
+1
4(WW WW
W
W+W
W
)(WW WW
W
W+W
W
)
1
2(cosWZ+ sinWB cosW
Z sinW
B)
(cosWZ+ sinWB cosW
Z sinW
B)+
+1
2(cosZW+ cosZW
+ sinBW+ sinBW
)
(cosZW+ cosZW
+ sinBW+ sinBW
)
1
2(cosZW cosZW
+ sinBW sinBW
)
(cosZW cosZW
+ sinBW sinBW
)+
+ (cos2ZZ+ cossinZB+ sincosBZ+ sin2BB) =
65
=1
4WWWW+1
4WWWW
+1
4WWW
W+1
4WWW
W
+
+1
4WW
WW+1
4WW
WW
+1
4WW
W
W+1
4WW
W
W
+
+1
4W
WWW+1
4W
WWW
+1
4W
WW
W+1
4W
WW
W
+
+1
4W
W
WW+1
4W
W
WW
+1
4W
W
W
W+1
4W
W
W
W
1
4WWWW+1
4WWWW
1
4WWW
W+1
4WWW
W
+
+1
4WW
WW 1
4WW
WW
+1
4WW
W
W 1
4WW
W
W
1
4W
WWW+1
4W
WWW
1
4W
WW
W+1
4W
WW
W
+
+1
4W
W
WW 1
4W
W
WW
+1
4W
W
W
W 1
4W
W
W
W
+
+1
2cos2WZWZ+1
2cossinWZWB+1
2cos2WZW
Z+
+1
2cossinWZW
B+1
2sincosWBWZ+1
2sin2WBWB+
+1
2sincosWBW
Z+1
2sin2WBW
B+1
2cos2W
ZWZ+
+1
2cossinW
ZWB+1
2cos2W
ZW
Z+1
2cossinW
ZW
B+
+1
2sincosW
BWZ+1
2sin2W
BWB+1
2sincosW
BW
Z+
+1
2sin2W
BW
B 1
4WWWW 1
4WWWW
+1
4WWW
W+
+1
4WWW
W
1
4WW
WW 1
4WW
WW
+1
4WW
W
W+
+1
4WW
W
W
+1
4W
WWW+1
4W
WWW
1
4W
WW
W
1
4W
WW
W
+1
4W
W
WW+1
4W
W
WW
1
4W
W
W
W
1
4W
W
W
W
+1
4WWWW 1
4WWWW
1
4WWW
W+
+1
4WWW
W
1
4WW
WW+1
4WW
WW
+1
4WW
W
W
1
4WW
W
W
1
4W
WWW+1
4W
WWW
+1
4W
WW
W
1
4W
WW
W
+1
4W
W
WW 1
4W
W
WW
1
4W
W
W
W
66
+1
4W
W
W
W
1
2cos2WZWZ 1
2cossinWZWB+
+1
2cos2WZW
Z+1
2cossinWZW
B 1
2sincosWBWZ
1
2sin2WBWB+1
2sincosWBW
Z+1
2sin2WBWB+
+1
2cos2W
ZWZ+1
2cossinW
ZWB 1
2cos2W
ZW
Z
1
2cossinW
ZW
B+1
2sincosW
BWZ+1
2sin2W
BWB
1
2sincosW
BW
Z 1
2sin2W
BW
B+1
2cos2ZWZW+
+1
2cos2ZWZW
+1
2cossinZWBW+1
2cossinZWBW
+
+1
2cos2ZW
ZW+1
2cos2ZW
ZW
+1
2cossinZW
BW+
+1
2cossinZW
BW
+1
2sincosBWZW+1
2sincosBWZW
+
+1
2sin2BWBW+1
2sin2BWBW
+1
2sincosBW
ZW+
+1
2sincosBW
ZW
+1
2sin2BW
BW+1
2sin2BW
BW
1
2cos2ZWZW+1
2cos2ZWZW
1
2cossinZWBW+
+1
2cossinZWBW
+1
2cos2ZW
ZW 1
2cos2ZW
ZW
+
+1
2cossinZW
BW 1
2cossinZW
BW
1
2sincosBWZW+
+1
2sincosBWZW
1
2sin2BWBW+1
2sin2BWBW
+
+1
2sincosBW
ZW 1
2sincosBW
ZW
+1
2sin2BW
BW
1
2sin2BW
BW
+ cos4ZZZZ+ cos3sinZZZB+
+ cos3sinZZBZ+ cos2sin2ZZBB+ cos3sinZBZZ+
+ cos2sin2ZBZB+ sin2cos2ZBBZ+ cossin3ZBBB+
+ sincos3BZZZ+ sin2cos2BZZB+ sin2cos2BZBZ+
+ sin3cosBZBB+ sin2cos2BBZZ+ sin3cosBBZB+
+ sin3cosBBBZ+ sin4BBBB=
67
=1
2WWWW
+1
2WWW
W
+1
2WW
WW+1
2WW
W
W+
+1
2W
WWW
+1
2W
WW
W
+1
2W
W
WW+1
2W
W
W
W+
+ cos2WZW
Z+ cossinWZW
B+ sincosWBW
Z+
+ sin2WBW
B+ cos2W
ZWZ+ cossinW
ZWB+
+ sincosW
BWZ+ sin2W
BWB 1
2WWWW
+
+1
2WWW
W
1
2WW
WW+1
2WW
W
W+1
2W
WWW
1
2W
WW
W
+1
2W
W
WW 1
2W
W
W
W+ cos2ZWZW
+
+ cossinZWBW
+ cos2ZW
ZW+ cossinZW
BW+
+ sincosBWZW
+ sin2BWBW
+ sincosBW
ZW+
+ sin2BW
BW+ cos4ZZZZ+ cos3sin(ZZZB+
+ZZBZ+ZBZZ+BZZZ) + cos2sin2(ZZBB+
+ZBZB+ZBBZ+BZZB+BZBZ+BBZZ)+
+ cossin3(ZBBB+BZBB+BBZB+BBBZ)+
+ sin4BBBB=
=WWW
W
+WW
W
W+W
WWW
+W
W
WW+ (4.2.33)
+ cos2(WZW
Z+W
ZWZ+ZWZW
+ZW
ZW)+
+ sin2(WBW
B+W
BWB+BWBW
+BW
BW)+
+ cossin(WZW
B+WBW
Z+W
ZWB+W
BWZ+
+ZWBW
+ZW
BW+BWZW
+ +BW
ZW) + cos4ZZZZ+
+ cos3sin(ZZZB+ZZBZ+ZBZZ+BZZZ)+
+ cos2sin2(ZZBB+ZBZB+ZBBZ+BZZB+
+BZBZ+BBZZ) + cossin3(ZBBB+BZBB+
+BBZB+BBBZ) + sin4BBBB
68
Prin analogie, cu acest rezultat obt ,inem celelalte componente ale termenului 4.2.32:
Al
Am
Al
Am
=WWW
W
+WW
W
W+W
WWW
+W
W
WW+
(4.2.34)
+ cos2(WZW
Z+W
ZWZ+ZWZW
+ZW
ZW)+
+ sin2(WBW
B+W
BWB+BWBW
+BW
BW)+
+ cossin(WZW
B+WBW
Z+W
ZWB+W
BWZ+
+ZWBW
+ZW
BW+BWZW
+ +BW
ZW)+
+ cos4ZZZZ+ cos3sin(ZZZB+ZZBZ+ZBZZ+
+BZZZ) + cos2sin2(ZZBB+ZBZB+ZBBZ+
+BZZB+BZBZ+BBZZ) + cossin3(ZBBB+
+BZBB+BBZB+BBBZ) + sin4BBBB
Al
Am
Al
Am
=WWW
W
+WW
W
W+W
WWW
+W
W
WW+
(4.2.35)
+ cos2(WZW
Z+W
ZWZ+ZWZW
+ZW
ZW)+
+ sin2(WBW
B+W
BWB+BWBW
+BW
BW)+
+ cossin(WZW
B+WBW
Z+W
ZWB+W
BWZ+
+ZWBW
+ZW
BW+BWZW
+ +BW
ZW)+
+ cos4ZZZZ+ cos3sin(ZZZB+ZZBZ+ZBZZ+
+BZZZ) + cos2sin2(ZZBB+ZBZB+ZBBZ+
+BZZB+BZBZ+BBZZ) + cossin3(ZBBB+
+BZBB+BBZB+BBBZ) + sin4BBBB
Al
Am
Al
Am
=WWW
W
+WW
W
W+W
WWW
+W
W
WW+
(4.2.36)
+ cos2(WZW
Z+W
ZWZ+ZWZW
+ZW
ZW)+
+ sin2(WBW
B+W
BWB+BWBW
+BW
BW)+
+ cossin(WZW
B+WBW
Z+W
ZWB+W
BWZ+
+ZWBW
+ZW
BW+BWZW
+ +BW
ZW)+
+ cos4ZZZZ+ cos3sin(ZZZB+ZZBZ+ZBZZ+
+BZZZ) + cos2sin2(ZZBB+ZBZB+ZBBZ+
+BZZB+BZBZ+BBZZ) + cossin3(ZBBB+
+BZBB+BBZB+BBBZ) + sin4BBBB
69
Dac a adun am acum relat ,iile 4.2.33,4.2.34,4.2.35,4.2.36, obt ,inem:
(Al
Am
Al
Am
)(Al
Am
Al
Am
) =WWW
W
+WW
W
W+W
WWW
+
+W
W
WW+WWW
W
+WW
W
W+
+W
WWW
+W
W
WW WWW
W
WW
W
W W
WWW
W
WWW
WWW
W
WWW
WW
WWW
W
W
WW+ cos2(WZW
Z+W
ZWZ+
+ZWZW
+ZW
ZW+WZW
Z+
+W
ZWZ+ZWZW
+ZW
ZW
WZW
Z W
ZWZ ZWZW
ZW
ZW WZW
Z W
ZWZ
ZWZW
ZW
ZW) + sin2(WBW
B+
+W
BWB+WWBW
+BW
BW+
+WBW
B+W
BWB+BWBW
+
+BW
BW WBW
B WBWB
BWBW
BW
BW WBW
B
W
BWB+BWBW
BW
BW)+
+ cossin(WZW
B+WBW
Z+W
ZWB+
+W
BWZ+ZWBW
+ZW
BW+
+BWZW
+BW
ZW+WZW
B+
+WBW
Z+W
ZWB+W
BWZ+
+ZWBW
+ZW
BW+BWZW
+
+BWZW
WZW
B WBW
Z
W
ZWB W
BWZ ZWBW
ZW
BW BWZW
BW
ZW
WZW
B WBW
Z W
ZWB
W
BWZ ZWBW
ZW
BW
BWZW
BW
ZW) + cos4(ZZZZ+
+ZZZZ ZZZZ ZZZZ)+
+ cos3sin(ZZZB+ZZBZ+ZBZZ+
+BZZZ+ZZZB+ZZBZ+ZBZZ+
+BZZZ ZZZB ZZBZ ZBZZ
70
BZZZ ZZZB ZZBZ ZBZZ
BZZZ) + cos2sin2(ZZBB+ZBZB+
+ZBBZ+BZZB+BZBZ+BBZZ+
+ZZBB+ZBZB+ZBBZ+BZZB+
+BZBZ+BBZZ ZZBB ZBZB
ZBBZ BZZB BZBZ BBZZ
ZZBB ZBZB ZBBZ BZZB
BZBZ BBZZ) + cossin3(ZBBB+
+BZBB+BBZB+BBBZ+ZBBB+
+BZBB+BBZB+BBBZ ZBBB
BZBB BBZB BBBZ ZBBB
BZBB BBZB BBBZ)+
+ sin4(BBBB+BBBB BBBB
BBBB) =
= g2
2W
WW
W+g2
2W
W
WW g4
g2+g2
1W
WZZ+ (4.2.37)
+g4
g2+g2
1W
WZZ g2g2
1
g2+g2
1W
WBB+g2g2
1
g2+g2
1W
WBB
2g3g1
g2+g2
1W
WZB+g3g1
g2+g2
1W
WZB+g3g1
g2+g2
1W
WZB
g
4(@Ak
@Ak
)(Al
Am
Al
Am
)"lmk=
=g
4(@Ak
Al
Am
@Ak
Al
Am
@Ak
Al
Am
+@Ak
Al
Am
)"lmk
@Ak
Al
Am
"lmk=@A1
A2
A3
+@A2
A3
A1
+@A3
A1
A2
@A1
A3
A2
@A3
A2
A1
@A2
A1
A3
=
71
=1
2i(@W+@W
)(W W
)(cosZ+ sinB)+
+1
2i(@W @W
)(cosZ+ sinB)(W+W
)+
+1
2i(cos@Z+ sin@B)(W+W
)(W W
)
1
2i(@W+@W
)(cosZ+ sinB)(W W
)
1
2i(cos@Z+ sin@B)(W W
)(W+W
)
1
2i(@W @W
)(W+W
)(cosZ+ sinB) =
=1
2i
(@WW @WW
+@W
W @W
W
)(cosZ+ sinB)+
+ (cos@WZ+ sin@WB cos@W
Z sin@W
B)(W+W
)+
+ (cos@ZW+ cos@ZW
+ sin@BW+ sin@BW
)(W W
)
(cos@WZ+ sin@WB+ cos@W
Z+ sin@W
B)(W W
)
(cos@ZW cos@ZW
+ sin@BW sin@BW
)(W+W
)
(@WW+@WW
@W
W @W
W
)(cosZ+ sinB)
=
=1
2i(cos@WWZ+ sin@WWB cos@WW
Z sin@WW
B+
+ cos@W
WZ+ sin@W
WB cos@W
W
Z sin@W
W
B+
+ cos@WZW+ cos@WZW
+ sin@WBW+ sin@WBW
cos@W
ZW cos@W
ZW
sin@W
BW sin@W
BW
+
+ cos@ZWW cos@ZWW
+ cos@ZW
W cos@ZW
W
+
+ sin@BWW sin@BWW
+ sin@BW
W sin@BW
W
cos@WZW+ cos@WZW
sin@WBW+ sin@WBW
cos@W
ZW+ cos@W
ZW
sin@W
BW+ sin@W
BW
cos@ZWW cos@ZWW
+ cos@ZW
W+ cos@ZW
W
sin@@BWW sin@BWW
+ sin@@BW
W+ sin@@BW
W
cos@WWZ sin@WWB+ cos@W
WZ+ sin@W
WB+
+ cos@W
W
Z+ sin@W
W
B cos@WW
Z sin@WW
B) =
72
=1
2i
2 cos@WW
Z 2 sin@WW
B+ 2 cos@W
WZ+ (4.2.38)
+ 2 sin@W
WB+ 2 cos@WZW
+ 2 sin@WBW
2 cos@W
ZW 2 sin@W
BW 2 cos@ZWW
+
+ 2 cos@ZW
W 2 sin@BWW
+ 2 sin@BW
W
Analog, vom scrie expresiile pentru @Ak
Al
Am
"lmk;@Ak
Al
Am
"lmk;@Ak
Al
Am
"lmk
@Ak
Al
Am
"lmk=1
2i
2 cos@WW
Z 2 sin@WW
B+ 2 cos@W
WZ+
(4.2.39)
+ 2 sin@W
WB+ 2 cos@WZW
+ 2 sin@WBW
2 cos@W
ZW 2 sin@W
BW 2 cos@ZWW
+
+ 2 cos@ZW
W 2 sin@BWW
+ 2 sin@BW
W
@Ak
Al
Am
"lmk=1
2i
2 cos@WW
Z 2 sin@WW
B+ 2 cos@W
WZ+
(4.2.40)
+ 2 sin@W
WB+ 2 cos@WZW
+ 2 sin@WBW
2 cos@W
ZW 2 sin@W
BW 2 cos@ZWW
+
+ 2 cos@ZW
W 2 sin@BWW
+ 2 sin@BW
W
@Ak
Al
Am
"lmk=1
2i
2 cos@WW
Z 2 sin@WW
B+ 2 cos@W
WZ+
(4.2.41)
+ 2 sin@W
WB+ 2 cos@WZW
+ 2 sin@WBW
2 cos@W
ZW 2 sin@W
BW 2 cos@ZWW
+
+ 2 cos@ZW
W 2 sin@BWW
+ 2 sin@BW
W
73
Adun^ and relat ,iile 4.2.38,4.2.39,4.2.40,4.2.41 obt ,inem:
g
4(@Ak
@Ak
)(Al
Am
Al
Am
)"lmk=
=g
4i
cos( @WW
Z+@W
WZ+@WZW
@W
ZW
@ZWW
+@ZW
W+@WW
Z @W
WZ @WZW
+
+@W
ZW+@ZWW
@ZW
W+@WW
Z @W
WZ
@WZZ+@W
ZW+@ZWW
@ZW
W @WWZ+
+@W
WZ+@WZW
@W
ZW @ZWW
+@ZW
W)+
+ sin( @WW
B+@W
WB+@WBW
@W
BW
@BWW
+@BW
W+@WW
B @W
WB @WBW
+
+@W
BW+@BWW
@BW
W+@WW
B @W
WB
@WBW
+@W
BW+@BWW
@BW
W @WW
B+
+@W
WB+@WBW
@W
BW @BWW
+@BW
W)
= ig2
p
g2+g2
1W
W(@Z @Z) ig1gp
g2+g2
1W
W(@B @B)+ (4.2.42)
+ig2
p
g2+g2
1(W
@W W@W
+W@W
W
@W)Z+
+ig1gp
g2+g2
1(W
@W W@W
+W@W
W
@W)B
g2
1m
2pfZA=g2
1m
2pf(Bcos Zsin)(Bcos Zsin) = (4.2.43)
=g2
1m
2pf(cos2BB ZBsin BZsincos+ sin2ZZ) =
=g2
1m
2pfg2
g2+g2
1BB g2
1m
2pfg1g
g2+g2
1ZB g2
1m
2pfg1g
g2+g2
1BZ+
+g2
1m
2pfg2
1
g2+g2
1ZZ
74
g2m
2pfAk
Ak
=g2m
2pf(A1
A1
+A2
A2
+A3
A3
) =g2m
2pf1
2(W+W
)(W+W
)
1
2(W W
)(W W
) + (cosZ+ sinB)(cosZ+ sinB))
=
=g2m
2pf1
2WW+1
2WW
+1
2W
W+1
2W
W
1
2WW+
+1
2WW
+1
2W
W 1
2W
W
+ cos2ZZ+ sincosZB+
+ sincosBZ+ sin2BB
g2m
2pfWW
+g2m
2pfW
W+g2m
2pfg2
g2+g2
1ZZ+ (4.2.44)
+g2m
2pfg1g
g2+g2
1ZB+g2m
2pfg1g
g2+g2
1BZ+g2m
2pfg2
1
g2+g2
1BB
g1gmpfA3
A= g1gmpf(cosZ+ sinB)(cosB sinZ) = (4.2.45)
g1gmpf(cos2ZB cossinZZ+ sincosBB sin2BZ) =
g1gmpfg2
g2+g2
1ZB+g1gmpfg1g
g2+g2
1ZZ g1gmpfg1g
g2+g2
1BB+
+g1gmpfg2
1
g2+g2
1BZ
Adun^ and rezultatele g asite la 4.2.43,4.2.44,4.2.45 obt ,inem:
g2
1
2pfg2
g2+g2
1BB g2
1m
2pfg1g
g2+g2
1ZB g2
1m
2pfg1g
g2+g2
1BZ+
+g2
1m
2pfg2
1
g2+g2
1ZZ+g2m
2pfWW
+g2m
2pfW
W+g2m
2pfg2
g2+g2
1ZZ+
+g2m
2pfg1g
g2+g2
1ZB+g2m
2pfg1g
g2+g2
1BZ+g2m
2pfg2
1
g2+g2
1BB
g1gmpfg2
g2+g2
1ZB+g1gmpfg1g
g2+g2
1ZZ g1gmpfg1g
g2+g2
1BB+
+g1gmpfg2
1
g2+g2
1BZ=g2mpfW
W+m(g2+g2
1)
2pfZZ (4.2.46)
Prin analogie:
g2
1
82AA+g2
82Ak
Ak
g1g
42A3
A=g2
42W
W+g2+g2
1
82ZZ(4.2.47)
75
g1R
RA=g1e
e(Bcos Zsin) = (4.2.48)
=g1gp
g2+g2
1e
eB g2
1p
g2+g2
1e
eZ1
4(1
5)2
g1
2L1
L1A=g1
2e
e(Bcos Zsin) = (4.2.49)
g1g
2p
g2
1+g2e
eB g2
1
2p
g2
1+g2e
eZ1
4(1 +
5)2
g1
2L2
L2A=g1
2e
e(Bcos Zsin) = (4.2.50)
g1g
2p
g2
1+g2e
eB g2
1
2p
g2
1+g2e
eZ1
4(1 +
5)2
g
2L1
L1A3
= g
2e
e(Zcos+Bsin) = (4.2.51)
g2
2p
g2+g2
1e
eZ g1g
2p
g2
1+g2e
eB1
4(1 +
5)2
g
2L2
L2A3
=g
2e
e(Zcos+Bsin) = (4.2.52)
g2
2p
g2+g2
1e
eZ+g1g
2p
g2+g2
1e
eB1
4(1 +
5)2
g
2L2
L1(A1
+iA2
) = g
2L2
L1A1
ig
2L2
L1A2
= (4.2.53)
= g
2p
2e
e(W+W
) ig
i2p
2e
e(W W
) =
=
g
2p
2e
eW g
2p
2e
eW
g
2p
2e
eW+g
2p
2e
eW
1
4(1 +
5)2
g
2L1
L2(A1
iA2
) = g
2e
eA1
+ig
2e
eA2
= (4.2.54)
= g
2p
2e
e(WW
) +ig
i2p
2e
e(W W
) =
=
g
2p
2e
eW g
2p
2e
eW
+g
2p
2e
eW g
2p
2e
eW
1
4(1 +
5)2
76
Adun am mai departe relat ,iile 4.2.48,4.2.49,4.2.50,4.2.51,4.2.52,4.2.53,4.2.54:
=g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1
5)2 g2
1p
g2+g2
1e
eZ1
4(1
5)2+
+g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 +
5)2 g2
1p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 +
5)2+
+g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 +
5)2 g2
1p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 +
5)2
g2
p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 +
5)2 g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 +
5)2+
+g2
p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 +
5)2+g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 +
5)2
g
2p
22
eW1
4(1 +
5)2 g
2p
2e
e
eW1
4(1 +
5)2
g
2p
2e
eW
1
4(1 +
5)2 g
2p
2e
eW
1
4(1 +
5)2=
=g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 2
5+
2
5) g2
1p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 2
5+
2
5)+
+g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 + 2
5+
2
5) g2
1p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 + 2
5+
2
5)+
+g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 + 2
5+
2
5) g2
1p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 + 2
5+
2
5)
g2
p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 + 2
5+
2
5) g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 + 2
5+
2
5)+
+g2
p
g2+g2
1e
eZ1
4(1 + 2
5+
2
5) +g1gp
g2+g2
1e
eB1
4(1 + 2
5+
2
5)
g
2p
2e
eW1
4(1 + 2
5+
2
5) g
2p
2e
eW1
4(1 + 2
5+
2
5)
g
2p
2e
eW
1
4(1 + 2
5+
2
5) g
2p
2e
eW
1
4(1 + 2
5+
2
5) =
77
=g1gp
g2+g2
1e
eB1
42 g2
1
2p
g2+g2
1e
eZ1
42 g2
1p
g2+g2
1e
eZ1
4(2 + 2
5)+
+g1g
2p
g2+g2
1e
eB1
4(2 + 2
5) g2
2p
g2+g2
1e
eZ1
4(2 + 2
5)+
+g2
2p
g2+g2
1e
eZ1
4(2 + 2
5) +g1g
2p
g2+g2
1e
eB1
4(2 + 2
5)
g
2p
2e
eW1
4(2 + 2
5)2 g
2p
2e
eW
1
4(2 + 2
5)2 =
=g1gp
g2+g2
1e
eB g
2p
2e
(1 +
5)eW g
2p
2e
(1 +
5)eW
g2
1+g2
4p
g2
1+g2e
eZ+1p
g2
1+g2
g2
1e
eZ1
2+g2e
eZ1
4(1 +
5)
=
=g1gp
g2+g2
1e
eB g
2p
2e
(1 +
5)eW g
2p
2e
(1 +
5)eW
g2
1+g2
4
e
(1 +
5)e e
4
g1+g2g2
11
2+4
g1+g2g21
4(1 +
5)e
Z=
=g1gp
g2+g2
1e
eB g
2p
2e
(1 +
5)eW g
2p
2e
(1 +
5)eW
(4.2.55)
p
g2
1+g2
4
e
(1 +
5)e e
5+g2 3g2
1
g2
1+g2
e
Z
p
2
2h(L2R+RL2) = p
2
2h
ee1
4(1
5)(1 +
5)
= 1p
2hee (4.2.56)
^Inlocuind ^ ntr-un nal rezultatele g asite la 4.2.37, 4.2.42,4.2.46,4.2.47,4.2.55,4.2.56,
^ n Lagrangeanul nediagonalizat LI, obt ,inem forma nal a a Lagrangeanului de
78
Interact ,iune:
LI= ig2
p
g2+g2
1W
W(@Z @Z) ig1gp
g2+g2
1W
W(@B @B)+
+ig2
p
g2+g2
1(W
@W W@W
+W@W
W
@W)Z+
+ig1gp
g2+g2
1(W
@W W@W
+W@W
W
@W)B
g2
2W
WW
W+g2
2W
W
WW g4
g2+g2
1W
WZZ+
+g4
g2+g2
1W
WZZ g2g2
1
g2+g2
1W
WBB+g2g2
1
g2+g2
1W
WBB
2g3g1
g2+g2
1W
WZB+g3g1
g2+g2
1W
WZB+g3g1
g2+g2
1W
WZB+
+g2mpfW
W+m(g2+g2
1)
2pfZZ+1
4g22W
W+g2+g2
1
82ZZ+
+g1gp
g2+g2
1e
eB g
2p
2e
(1 +
5)eW
g
2p
2e
(1 +
5)eW
p
g2+g2
1
4
e
(1 +
5)e e
5+g2 3g2
1
g2+g2
1
e
Z 1p
2hee
1
2mp
f3 1
16f4
Am descoperit astfel forma nal a a Langrangeanului nal, L=L0+LI, unde
forma lui L0, este cea gasit a mai sus:
L0= 1
2(@W
@W
)(@W @W) 1
4(@Z @Z)(@Z @Z)
1
4(@B @B)(@B @B) +g2m2
fW
W+m2(g2+g2
1)
2fZZ+
+1
2@@ m22+ie
@e+ie
1 +
5
2@e p
2hmpfee
Observ am din aceste rezultate, c a Lagrangeanul L0este compus din c^ ampul
bosonicW(x) de mas agmpf, c^ ampul vectorial bosonic intermediar, Z(x) de mas a
mp
g2
1+g2
pf, c^ ampul electromagnetic B(x) lipsit de mas a, c^ ampul scalar real (x) de
mas amp
2, c^ ampul electronic de mas amhp
2pf si c^ ampul neutrinoului electronic, eL(x),
lipsit de mas a, ^ n timp ce Lagrangeanul LIcont ine termenii ce reprezint a
interact iunea acestor c^ ampuri.
Dac a generaliz am problema, astfel ^ nc^ at s a cuprindem toate sectoarele (electronic,
muonic, tauonic), Lagrangeanul de interact iune este constituit din:
79
1)Lagrangeanul pentru interact iunea electromagnetic a dintre leptoni :
LI= eJe;l
(x)B(x) ,e=g1gp
g2+g2
1
Je;l
=e(x)
e(x) +(x)
(x) + (x)
(x) -curentul electromagnetic leptonic
2)Lagrangeanul pentru interact ,iunea slaba a leptonilor ^ nc arcat ,i:
LI= g
2p
2J(+);l
(x)W
(x) + Hermitian conjugate
unde,W+
;W sunt de fapt c^ ampurile bosonice W;W
J(+);l
=e(x)
Le(x) +(x)
L(x) + (x)
L (x)- curentul slab leptonic incarcat
3)Lagrangeanul pentru interact ,iunea slab a a neutrinilor leptonici
LI= 1
2q
g2+g2
1
Jn;
(x) +Jn;l
(x)
Z(x)
Jn;
(x) =1
2
e(x)
Le(x) +(x)
L(x) +
L (x)
– curentul slab neutrinic
Jn;l
(x) =
1
2+
e(x)
Le(x) +(x)
L(x) + (x)
L (x)
+
+
e(x)
Re(x) +(x)
R(x) + (x)
R (x)
– curentul slab al leptonilor incarcati
Parametrii
L;
Rse de nesc prin relat ,iile:
L=
(1 +
5)
R=
(1
5)
iar parametrul prin relat ,ia:
= sin2W=g2
1p
g2+g2
1
Dup a cum am ar atat s ,i ^ n capitolul 3.3, orice spinor care satisface ecuat ,ia lui
Dirac veri c a relat ,iile:
L=1
2(1 +
5) , R=1
2(1
5)
L= 1
2(1
5) , R= 1
2(1 +
5)
80
L- spinor left-handed (de tip st^ anga), R- spinor right-handed (de tip dreapta)
Folosind proprietatea:
(1 +
5) =1
2(1
5)
(1 +
5), g asim c a:
L
L=1
4 (1
5)
(1 +
5) =1
2
(1 +
5) )
L = 2 L
L
R = 2 L
R
Aceste rezultate indic a faptul c a acei curent ,i calculat ,i mai sus, pot exprimat ,i cu
ajutorul unor spinori polarizat ,i sau nepolarizat ,i.^In acest sens putem de ni
conjugata hermitic a a curentului J(+):
J(+)
(x)y=J( )
(x)
Observ am faptul c a modelul standard ne conduce la un Lagrangean al interact iunii
slabe si electromagnetice invariant local si diagonal,rezultat ce duce la concluzia c a
acesta este un model uni cat.
Lagrangeanul pentru interact iunea electromagnetic a dintre leptoni 1), are o form a
analoag a cu Langrangeanul interact iunii electromagnetice din electrodinamica
cuantic a:
LI= e
A,e= g1gp
g2+g2
1
De aceasta, este rezonabil s a identi c am c^ ampul B(x) drept c^ ampul
electromagnetic, mediat de particule f ar a mas a, fotoni, dup a cum reiese si din
Lagrangeanul total g asit anterior.
Din toate aceste rezultate, demonstr am faptul c a interact iunile electromagnetice
dintre leptoni sunt mediate de particule f ar a mas a, fotoni. Deoarece fotonii nu au
mas a de repaus, interact iunile electromagnetice sunt interact iuni cu raz a lung a de
act iune. ^In contrast, interact iunea slab a ^ ntre leptoni este mediat a de c atre bosoni
intermediari ^ nc arcat i W si bosoni neutri Z.
Schematic, interact iunile se reprezint a astfel:
81
Interact ,iunea electromagnetic a, mediat a de fotoni
Interact ,iunea slab a, mediat a de bosonii W;Z
4.3 Simetria rezidual a
Relu^ and forma Lagrangeanului invariant global sub grupul de transform ari global
SU2U1, vom determina mecanismul prin care, ^ n urma ruperii de simetrie
spontan a, doar trei din cei patru goldstoni sunt eliminat i, obt in^ and astfel, datorit a
mecanismului Higgs, trei particule cu mas a si o particul a lipsit a de mas a.
82
Dup a cum am ar atat deja, grupul de simetrie SU2U1, transform a funct ia a(x)
astfel:
a!( a)0= exp
i
2g k"k i
2g1"4
a
a!( a)0= exp
i
2g k"k+i
2g1"4
a
De aceast a dat a vom analiza Lagrangeanul modelului ^ ntr-un context independent
de modelul standard, astfel ^ ncat forma Lagrangeanului total va avea forma:
L1= 1
4Fk
Fk
1
4FF+
@ a i
2 b( k)baAk
i
2g1 aA
@ a+i
2 b( k)baAk
+i
2g1 aA
+m2 a a f
4( a a)2
Invariant ,a acestui Lagrangean sub grupul local de transform ari SU2U1se
regases ,te prin acelas ,i mecanism exprimat ^ n capitolul IV.2:
L2= 1
4Fk
Fk
1
4FF+g2m2
2fAk
Ak
+g2
1m2
2fAA
g1gm2
fAA3
+1
2@@ m22+LI
Pentru a elimina nediagonalitatea Lagrangeanului adus a de tremenul mixt AA3
vom apela la acelea si patru c^ ampuri: W
;W;Z;Bdescrise de setul de ecuat ii
4.2.15
Apel^ and la legile de transformare 4.2.17, termenii ce cont in funct iile A(x) siA3
(x)
se transform a:
g2m2
2fA3
A3
+g2
1m2
2fAA g1gm2
fAA3
=
g2m2
2f(Zcos+Bsin)(Zcos+Bsin)+
+g2
1m2
2f(Bcos Zsin)(Bcos Zsin)
g1gm2
f(Bcos Zsin)(Zcos+Bsin) =
=m2
fg2
2cos2ZZ+g2
2cossinZB+g2
2cossinBZ+g2
2sin2BB+
+g2
1
2cos2BB g2
1
2cossinBZ g2
1
2cossinZB+g2
1
2sin2ZZ
g1gcos2BZ g1gcossinBB+g1gcossinZZ+g1gsin2ZB
=
83
=m2
f
ZZ g2
2cos2+g2
1
2sin2+g1gcossin
+
+BB g2
2sin2+g2
1
2cos2 g1gcossin
+
+BZ
cossin(g2 g2
1) +g1g(sin2 cos2)
=
=m2
f
ZZ g2
2cos2+g2
1
2sin2+g1gcossin
+
+BB g2
2sin2+g2
1
2cos2 g1gcossin
+
+BZ 1
2(g2 g2
1) sin 2 g1gcos 2
Vom explica mai departe alegerea parametrului sub forma pe care am ales-o ^ n
capitolul IV.2. Pentru a asigura proprietatea de diagonalitate, trebuie s a alegem
parametrul , astfel ^ nc^ at termenul BZdispare.
1
2(g2 g2
1) sin 2 g1gcos 2= 0)
(g2 g2
1) sincos=g1g(cos2 sin2))
(g2 g2
1) sinp
1 sin2=g1g(1 2 sin2))
(g2 g2
1)2sin2(1 sin2) =g2g2
1(1 2 sin2)2)
(g4+g4
1 2g2g2
1)(sin2 sin4) =g2g2
1(1 + 4 sin4 4 sin2))
(g2
g2
1+g2
1
g2 2) =1
sin2 4 + 4 sin2
1 sin2)
g4+g4
1
g2
1+g2=1
sin2+ 2 sin2 2
1 sin2)
2 sin2= 1q
g4+g4
1
g2
1g2 2
q
g4+g4
1
g2
1g2+ 2)
2 sin2=1q
g4+g4
1 2g2g2
1
g2
1g2q
g4+g4
1+2g2
1g2
g2
1g2= 1s
(g2 g2
1)2
g2+g2
12
)
2 sin2= 1g2 g2
1
g2+g2
1)sin2=g2
1
g2+g2
1
84
De aici ajungem la rezultatele
sin=g1p
g2+g2
1, cos=gp
g2+g2
1
^In urma procesului de diagonalizare, Lagrangeanul nal are o form a asem an atoare
cu cea gasit a ^ n capitolul 4.2:
L3= 1
2(@W
@W
)(@W @W) +g2m2
fW
W
1
4(@Z @Z)(@Z @Z) +m2(g2+g2
1)
2fZZ
1
4(@B @B)(@B @B) +1
2@@ m2+LI
Observ am din nou c a Lagrangeanul total al c^ ampurilor libere este compus dintr-un
c^ amp vectorial ^ nc arcat, W(x) cu masagmpf, un c^ amp vectorial real Z(x) cu masa
mp
g2+g2
1pf, un c^ amp vectorial real f ar a mas a, B(x) si un c^ amp sclar real, de mas ap
2m.
Observ am c a ^ n acest exercit iu, doar 3 din cele 4 c^ ampuri gauge cap ata mas a, ^ n
forma nal a a Lagrangeanului r am^ an^ and un goldstone.
Faptul c a doar 3 din cele 4 c^ ampuri gauge cap ata mas a, poate atribuit
mecanismului Higgs ce act ioneaz a ^ n contextul grupului de simetrie SU2. Prin
aceast a a rmat ie, ^ nt elegem de fapt c a starea de vid este ne-invariant a doar ^ n cazul
grupului de simetrie SU2, ^ n timp ce sub grupul de simetrie U0
1, aceasta r am^ ane
invariant a.
C^ ampurile B(x);Z(x);W(x);(x) se transform a sub grupul U0
1astfel:
B(x)!B(x)0=B(x) +p
g2+g2
1
g@"0(x)
W(x)!W0
(x) =W(x) +ig1"0(x)W(x)
Z(x)!Z0
(x) =Z(x)
(x)!0(x) =(x)
Cu ajutorul acestor relat ii, putem demonstra simplu invariant ,a Lagrangeanului sub
grupul de transform ari U0
1.
Identi c am c^ ampul B(x) drept c^ ampul electromagnetic, datorit a faptului c a intr a
^ n Lagrangeanul total cu o form a analoag a cu cea din electrodinamica cuantic a.
Doarece, starea de vid r am^ ane invariant a ^ n raport cu grupul de simetrie U1, iar
Lagrangeanul total este xat gauge s a e un invariant local, observ am c a simetria
^ n cadrul grupului U1r am^ ane exact a si nu sufer a o rupere de simetrie. Aceast a
proprietate se nume ste simetrie rezidual a.
85
Simetria rezidual a se manifest a si ^ n cadrul altor grupuri de simetrie. ^In funct ie de
multiplet ii Higgs de c^ ampuri scalare, vom obt ine un grup de simetrie rezidual a
de nit de un num ar de generatori egal cu num arul de c^ ampuri gauge ce r am^ an
lipsite de mas a, ^ n urma x arii gauge.
86
Bibliogra e
[1] Michel Goossens, Frank Mittelbach, and Alexander Samarin. The LATEX
Companion , Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1993.
[2] H. Vic Dannon. Zero Point Energy: Planck Radiation Law , Gauge Institute
Journal Vol.1 No 3, August 2005.
[3] Peter W. Milonni. The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum
Electrodynamics , Academic Press, Boston, November 1993.
[4] Ling-Fong Li. Introduction to Spontaneous Symmetry Breaking , Carnegie Mellon
University,2011 BCVSPIN, 25, July 2011.
[5] G.S. Guralnik; C.R. Hagen; T.W.B. Kibble. Broken Symmetries and the
Goldstone Theorem , Adv.Part.Phys. 2 (1968) 567-708.
[6] Dariescu, C., Dariescu, M.-A., Gottlieb, I. Capitole de baz a ^ n Mecanica
Cuantic a. Microparticule si c^ ampuri , Casa de Editur a"Venus", Ia si, 2007.
[7] Gottlieb, I., Merche s, I., T at omir, D. Teoria cuantic a a c^ ampului , fascicula I,
Universitatea"Alexandru Ioan Cuza", Ia si, 1975.
[8] Gottlieb, I., Merche s, I., T at omir, D. Teoria cuantic a a c^ ampului , fascicula II,
Universitatea"Alexandru Ioan Cuza", Ia si, 1981.
[9] Zet, Gh. Simetrii unitare si teorii gauge , Ed."Gh. Asachi" Ia si (1998).
[10] M. Chaichan N. F. Nelipa Introduction to Gauge Field Theories , Springer-
Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo 1984.
87
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Spre deosebire de unele capitole ale zicii moderne (cum ar cele referitoare la interact iunile nucleare slabe si/sau tari), care sufer a modi c… [607794] (ID: 607794)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.