Spirale In Plan

INTRODUCERE

Ca definiție generală, o spirală reprezintă o curbă ce pornește dintr-un punct, originea, și în mod continuu își micșorează curbura pe măsură ce se îndepărtează de acest punct sau cu alte cuvinte raza curburii crește în mod constant.

Este o funcție naturală pentru o ființă umană, să crească, să se modifice și să evolueze. Spirala reprezintă unul din simbolurile cele mai pregnante pentru procesul de creștere și evoluție. Este procesul prin care se revine în mod ciclic într-un același punct, dar la un nivel diferit, astfel încât totul capătă noi valențe și este privit dintr-o nouă perspectivă.

Unul dintre cele mai vechi simboluri, spirala apare de-a lungul timpului, în numeroase culturi, răspândite pe întreg spațiul locuit. Încă din vremurile preistorice, oamenii au observat tiparul spiralei în lumea înconjurătoare, în mișcarea sistemului solar, în formele scoicilor. Au ales spirala ca simbol de bază pentru evoluție și expansiune, dar și pentru decădere și moarte. În încercarea de a înțelege spirala, dar și pentru a o aprecia au început să o picteze pe pereții peșterilor, să o sculpteze în piatră și în lemn.

Studiul științific al spiralelor începe încă din Grecia Antică, proprietățile acestora au atras atenția matematicienilor. Spiralele nu au rămas un obiect de studiu exclusiv pentru matematicieni, numeroși arhitecți, ingineri și designeri care au studiat formele structurilor naturale cu scopul de a descoperi secretele construcțiilor naturale au descoperit că spirala este un motiv arhetipal care ne înconjoară în diferite forme. Prin urmare, ea a fost studiată amănunțit pentru a se revela misterele naturii.

Spira mirabilis – spirala miraculoasă, miraculoasă datorită proprietății de a crește fără a-și modifica forma, a creat un adevărat curent în artă, unul din marii admiratori fiind Leonardo da Vinci. Se considera că, o operă ca să fie plăcută ochiului uman trebuie să respecte proporțiile naturale, practic devenise un sine qua non ca o operă de artă să se bazeze pe proporția divină sau pe numerele lui Fibonacci.

Lucrarea metodico-științifică „Spirale în plan: construcție și aplicații” este structurată în trei capitole.

Capitolul 1, intitulat Definiții și proprietăți, este o succesiune de definiții și proprietăți, cele mai importante, ale celor cinci spirale tratate în această lucrare: Spirala lui Arhimede, Spirala logaritmică, Spirala hiperbolică, Lituus, Spirala lui Cornu.

Capitolul 2, intitulat Aplicații și construcții ale spiralelor, prezintă, pe rând aplicațiile, cele mai răspândite și cunoscute și metodele de construcție ale spiralelor plane. Am ales, cu prioritate, metode de construcție simple, care pot fi aplicate și de către elevii de clasa a VII-a, în cadrul opționalului „Construcții cu rigla și compasul”. Aplicațiile spiralelor sunt numeroase, am ales doar pe cele mai relevante, aproape că nu există domeniu în care să nu găsim pattern-ul spiralelor, am ales aplicațiile cu un impact vizual mare și al căror efect sunt pe înțelesul tuturor, aplicații cu un efect spectaculos care sunt prezente și în opționalul din capitolul metodic. Am evitat să prezint aplicații de genul dispunerea nervilor în cornee, tocmai pentru a putea folosi majoritatea aplicațiilor din lucrare în cadrul orelor de opțional.

Capitolul 3, reprezintă capitolul metodic și este format din opționalul „Construcții cu rigla și compasul”, opțional pentru clasa aVII-a, două proiecte didactice și un test de evaluare. Inițial am încercat să elaborez un opțional referitor strict la spirale, dar am considerat că ar fi fost plictisitor pentru elevi să studieze un an întreg doar despre spirale și aș fi obținut un efect contrar celui urmărit, interesul pentru studiul spiralelor. Am ales varianta de a aloca spiralelor, aproape o treime din orele opționalului. Obiectivul major al opționalului este de a prezenta elevilor, modul în care lucrau matematicienii din Antichitate, doar cu ajutorul riglei și a compasului, rezultatele remarcabile pe care le-au obținut, în comparație cu instrumentele, metodele și cunoștințele pe care le au la dispoziție elevii clasei a VII-a.

Capitolul 1

DEFINIȚII ȘI PROPRIETĂȚI

1.1 Spirala lui Arhimede

Dacă o semidreaptă se rotește în jurul originii sale, punctul fix O, cu o mișcare uniformă, iar un punct mobil al semidreptei se deplasează pe semidreaptă cu o mișcare uniformă, atunci punctul descrie o curbă numită spirală, care înconjură punctul O de un număr infinit de ori.

În Antichitate, în cercurile matematicienilor, se obișnuia ca atunci când un matematician reușea să descopere sau să demonstreze un adevăr matematic nou, înainte de a face cunoscută demonstrația respectivă, el împărtășea concluzia la care ajunsese celor mai valoroși matematicieni ai momentului. Arhimede (fig.1) nu a făcut excepție de la regulă și respectând uzanțele, obișnuia ca înainte de a da publicității adevărurile nou găsite să le trimită, prin corespondență, spre demonstrare lui Conon din Samos (sec. 3. î.Hr.). Acest fapt ne este cunoscut dintr-o scrisoare adresată de Arhimede lui Dositheos, un talentat discipol al lui Conon, după moartea acestuia (Conon). Arhimede i-a trimis spre rezolvare o parte din teoremele care au fost incluse mai târziu în lucrările:,, Despre sferă și cilindru”,,, Despre conoizi și sferoizi” și ,,Despre spirale”.

Lucrarea ,,Despre spirale” este dedicată găsirii ariei determinate de o spiră a spiralei denumite mai târziu Spirala lui Arhimede. Aceasta este o spirală a cărei rază-vectoare, dreapta dusă din centrul spiralei la un punct de pe curbă, se rotește în jurul centrului, iar lungimea acestei raze crește direct proporțional cu creșterea unghiului de rotație. Definiția spiralei, dată în această lucrare, este deosebit de interesantă deoarece denotă faptul că Arhimede a fost în primul rând un mecanician. Pentru prima dată în istoria matematicii, este dată definiția mecanică a genezei spiralei, considerată ca fiind o curbă descrisă prin mișcarea uniformă a unui punct din plan de-a lungul unei drepte, în timp ce dreapta respectivă execută și ea o mișcare uniformă de rotație în jurul unui punct fix (centrul spiralei). În această lucrare Arhimede dă, pentru prima oară, o definiție clară noțiunilor: mișcarea rectilinie uniformă, mișcarea de rotație uniformă.

Definiția 1.1.1 Se numește Spirala lui Arhimede curba plană descrisă de un punct care se mișcă uniform pe o semidreaptă, în timp ce semidreapta se rotește în jurul originii sale, cu o viteză unghiulară constantă.

Fig. 2 Spirala lui Arhimede

Sistemul de coordonate polare

Este un sistem de coordonate bidimensional în care fiecărui punct din plan îi sunt asociate două valori, o distanță și un unghi. Este un sistem de coordonate foarte util de folosit atunci când poziția a două puncte din plan este mai ușor de exprimat în termeni de distanțe și direcții (unghiuri), o astfel de relație ar putea fi găsită , într-un sistem cartezian , doar cu ajutorul formulelor de trigonometrie.

În ,, Despre spirale”, Arhimede a descris Spirala lui Arhimede drept o funcție a cărei rază depinde de unghi.

Deoarece sistemul de coordonate polare este bidimensional, fiecare punct din plan este determinat de două coordonate polare: coordonata radială și coordonata unghiulară. Coordonata radială ρ reprezintă distanța dintre punct și originea sistemului de coordonate numit pol (echivalent cu originea sistemului de axe cartezian). Coordonata unghiulară ϴ cunoscută și ca unghi polar sau azimut, reprezintă unghiul, în sensul trigonometric, format de direcția 0o (numită și axă polară)și dreapta determinată de punct și pol.

Cele două coordonate polare ρ și ϴ pot fi transformate în coordonate carteziene prin utilizarea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus:

y

Curba numită Spirala lui Arhimede poate fi definită și ca fiind traiectoria descrisă de un punct care se mișcă uniform pe o rază care trece prin pol, în timp ce raza se rotește uniform în jurul polului.

Matematicienii greci defineau curbele cu ajutorul mișcării unui punct, drept exemplu avem modul în care este definită spirala.

Ecuația Spiralei lui Arhimedei parametrizată în coordonate polare este:

, cu ,

unde v este viteza constantă cu care punctul se mișcă uniform pe rază (semidreapta) și w este viteza unghiulară constantă cu care raza (semidreapta) se rotește în jurul polului (originii).

Reprezentarea în coordonate carteziene a spiralei lui Arhimede este:

, , .

Proprietăți

Proprietatea 1.1.1 Spirala lui Arhimede este curba pentru care subnormala polară este constantă, deoarece =a

Fie M un punct al curbei ρ = f( ϴ) . Ducem perpendiculara OY pe OM și notăm cu T și N punctele unde tangenta și normala în M la curbă taie dreapta OY (fig.3). Semidreapta [OA este axa polară.

Segmentele OT și ON se numesc subtangentă și subnormală polară a punctului M.

Fig. 3 Subtangenta și subnormala polară

Proprietatea 1.1.2 Distanța dintre două spire consecutive ale Spiralei lui Arhimede este constantă (distanță măsurată pe aceeeasi rază vectoare).

Considerăm două puncte A1 (ρ1, 1), A2 (ρ2, 1+2π), pe aceeași rază vectoare.

ρ1=a1, ρ2=a(1 + 2π), rezultă ρ2- ρ1=2πa.

Proprietatea 1.1.3 Pe măsură ce spirala se îndepărtează de pol, spirele ei tind să intersecteze razele vectoare sub un unghi drept.

Fie unghiul făcut de o spiră oarecare cu raza vectoare, într-un punct oarecare al spirei.

, vectorul de poziție

= =

pentru

Proprietatea 1.1.4 Raza vectoare ρ este proporțíonală cu unghiul de rotație ϴ.

Această proprietate, unică, a spiralei lui Arhimede rezultă din ecuația în coordonate polare a acestei spirale.

Fig. 4 Spirala lui Arhimede

1.2 Spirala logaritmică

Spirala logaritmică este o spirală fascinantă descoperită de către René Descartes (fig.5), în anul 1638, după introducerea funcției logaritm și studiată în detaliu de către Jacob Bernoulli (fig.6), care a denumit-o Spira mirabilis, datorită proprietății sale de a crește în mărime fără a-și modifica forma, este traiectoria unui punct mobil, supus în același timp unei rotații și unei omotetii.

Forma spiralei logaritmice este dată de o proprietatea matematică unică, raza vectoare formează un unghi constant cu tangenta în fiecare punct de pe spirală. Datorită acestei proprietăți, spirala logaritmică mai este numită și spirala echiunghiulară.

Considerată o spirală miraculoasă ,Spira mirabilis, această curbă plană se regăsește în natură sub mai multe forme, cum ar fi nervii de la nivelul corneei, traiectoria zborului unor insecte în jurul unei surse punctiforme de lumină, forma unor galaxii, forma unor cicloni tropicali, forma cochiliei de la nautilus.

Un tip special de spirală logaritmică este spirala de aur care se obține pentru o valoare specială a factorului de creștere a acesteia: numărul de aur, (sectio aurea în limba latină), acesta se notează cu litera grecească phi. Denumirea lui provine de la sculptorul grec Phidas. Mai este cunoscut ca fiind proporția divină, secțiunea de aur,  raportul de aur – raportul divin.

Sau matematic, cel mai simplu, 1,618033….. .

.

Este numărul care guvernează totul în natură, tangenta unghiului de răsucire a frunzelor in jurul tulpinii oricărei plante, dispunerea petalelor de trandafir, spirala cochiliei de melc, mișcarea curenților de aer, raportul de înmulțire a animalelor.

Dacă unghiul polar din reprezentarea spiralei logaritmice este un unghi drept, atunci raza vectoare va fi reprezentată de numărul de aur.

Spirala de aur se află în strânsă legătură cu șirul lui Fibonacci, ea putând fi aproximată cu spirala lui Fibonacci care mai este cunoscută și ca un simbol al frumuseții și al armoniei.

Denumirea curbei Spirala logaritmică a fost propusă de P. Varignon (1702) datorită faptului că ecuația ei se poate scrie și sub forma

din care se rezultă , unde sunt constante și (u fiind unghiul format de o rază vectoare cu tangenta dusă la curbă în punctul de tangență.

Descartes a introdus această spirală de înmulțire a animalelor.

Dacă unghiul polar din reprezentarea spiralei logaritmice este un unghi drept, atunci raza vectoare va fi reprezentată de numărul de aur.

Spirala de aur se află în strânsă legătură cu șirul lui Fibonacci, ea putând fi aproximată cu spirala lui Fibonacci care mai este cunoscută și ca un simbol al frumuseții și al armoniei.

Denumirea curbei Spirala logaritmică a fost propusă de P. Varignon (1702) datorită faptului că ecuația ei se poate scrie și sub forma

din care se rezultă , unde sunt constante și (u fiind unghiul format de o rază vectoare cu tangenta dusă la curbă în punctul de tangență.

Descartes a introdus această spirală prin proprietatea ei de a avea arcul s proporțional cu raza vectoare

S = cp

și a arătat că spirala logaritmică își taie razele vectoare sub un unghi constant.

Începând din anul 1692 Jacob Bernoulii a studiat spirala logaritmică, arătând că desfășurata ei este tot o spirală logaritmică și că această curbă rămâne asemenea cu ea însăși (ceea ce reprezintă, de altfel, și proprietatea ei fundamentală), ceea ce înseamnă că această spirală este expresia geometrică a dezvoltării unui organism ce reprezintă continuu asemănare cu forma pe care a prezentat-o în stadiile anterioare, cum ar fi: femurul piciorului unui om, coarnele animalelor, cochiliile melcilor și ale scoicilor.

Definiția 1.2.1 Se numește spirală logaritmică curba plană care taie toate razele sale vectoare sub un unghi u constant.

Ecuația spiralei logaritmice în coordonate polare este:

Prin urmare, ecuațiile parametrice ale spiralei logaritmice sunt:

Ecuația carteziană a spiralei logaritmice este:

sau

.

Proprietăți

Proprietatea 1.2.1 Dacă valorile lui cresc în progresie aritmetică atunci valorile lui cresc în progresie geometrică.

Fie pentru care avem , prin urmare sunt în progresie aritmetică.

În acest caz valorile lui sunt:

Din

obținem

= = =

= (progresie geometrică)

Proprietatea 1.2.2 Raportul distanțelor dintre două spire consecutive, măsurate pe aceeași rază vectoare, este constant.

Considerăm punctele , , pe aceeași rază vectoare:

, ,

= = constant

Proprietatea 1.2.3 Dacă în punctul curent M ducem tangenta și perpendiculara OT din O pe raza vectoare OM, atunci (fig. 9)

MT este egal cu arcul întreg al spiralei, pornind din O.

Aria triunghiului OMT este dublul ariei descrisă de raza vectoare, plecând din O.

Fig. 9 MN normala polară a spiralei logaritmice

Unghiul u, format de raza vectoare cu tangenta în M este dat de formula:

.

Atunci

,

Aria descrisă de raza vectoare plecând din O este:

Proprietatea 1.2.4 Lungimea normalei spiralei logaritmice este egală cu raza ei de curbură.

De multe ori se impune necesitatea de a aproxima o curbă în jurul unui punct al său printr-un arc de cerc care are aceeași curbură ca și curba în punctul respectiv.

Fie o curbă plană și M un punct ce aparține curbei.

Se numește cerc de curbură al curbei în punctul M cercul care:

este tangent în punctul M la curbă;

are convexitatea în jurul punctului M îndreptată în aceeași parte ca și curba;

are aceeași curbă ca și curba în punctul M.

Centrul cercului de curbură se numește centru de curbură.

Cercul de curbură într-un punct M al unei curbe se mai poate defini ca fiind poziția limită a unui cerc care trece prin trei puncte necoliniare ale curbei, apropiate de punctul M, când acestea tind către punctul M.

O interpretare „intuitivă” a cercului de curbură este următoarea:

Presupunem că un automobil se mișcă de-a lungul unei curbe și că la un moment dat volanul se blochează. Atunci automobilul începe să se miște pe cercul de curbură corespunzator punctului de pe curbă în care se afla automobilul în momentul blocării volanului.

În fig. 9 construim normala în punctul M. Fie N intersecția ei cu perpendiculara din O pe raza vectoare.

Segmentul MN, numit normala polară, are lungimea

.

Proprietatea 1.2.5 Centrul de curbură în punctul M este punctul N.

Proprietatea 1.2.6 Fie o mulțime de triunghiuri asemenea OAM1, OM1M2, OM2M3,… Punctele A, M1,M2,M3 … sunt situate pe o spirală logaritmică (fig.10).

Fie OAM1 OM1M2 OM2M3 … ,

m () = m () = … =

Notăm OA = a, pentru punctul oarecare Mn , avem = ,

Eliminând pe n obținem

Luând obținem

Proprietatea 1.2.7 Spirala logaritmică rămâne asemenea cu ea însăși.

Fig. 10 Spirala logaritmică asemenea cu ea însăși

1.3 Spirala hiperbolică

În anul 1704, P. Varignon (fig. 11) introduce noțiunea de Spirală hiperbolică (fig. 12), denumirea ei, însă, a fost dată de Jean Bernoulli (care independent de P. Varignon), a descoperit-o în anul 1710, datorită asemănării ecuației ei

,

cu cea a hiperbolei echilatere raportată la asimptote, în coordonate carteziene (fig. 13).

În coordonate polare spirala hiperbolică este dată prin ecuația:

Definiția 1.3.1 Se construiesc în jurul polului O o serie de cercuri concentrice, care taie axa polară în A1, A2, … . Din aceste puncte se duc pe cercurile respective arce de lungimi egale cu a . Locul geometric al extremităților acestor arce se numește spirală hiperbolică.

Proprietăți

Proprietatea 1.3.1 Reprezentarea în coordonate carteziene a spiralei hiperbolice este :

Fie , …, , , arcele de cerc descrise.

= = … = =

,

unde este unghiul corespunzător arcului de cerc

Pentru orice punct de pe curbă, dat în coordonate polare, , are loc

, pentru . Astfel ecuațiile parametrice sunt:

Observații:

1. Pentru avem , punctul de pe curbă tinde să ajungă în pol după un număr infinit de rotiri în jurul originii. Polul se mai numește și punct asimptotic.

2. Dreapta este asimptotă orizontală pentru spirala hiperbolică.

Fig. 13 Spirală hiperbolică pentru a = 2

3. Curba se depărtează de asimptota sa, descrie o infinitate de spire în jurul polului O , care se apropie în mod constant și nedefinit.

Proprietatea 1.3.2 Subtangenta polară (fig.3) a spiralei hiperbolice este constantă.

,

Proprietatea 1.3.3 Graficul spiralei hiperbolice are o infinitate de puncte duble

A1, A2, A3, …, situate pe axa de simetrie Oy (fig. 14).

Fig. 14 Puncte duble situate pe axa de simetrie

1.4 Lituus (sau Cârja)

Curba Lituus a fost descoperită, studiată și descrisă de către Roger Cotes (fig. 15) ,un matematician englez renumit, cunoscut pentru colaborarea sa cu Isaac Newton. Munca sa a fost semnificativă, dar din păcate nu a putut arăta potențialul său maxim, deoarece a murit la vârsta de 33 de ani. Majoritatea lucrărilor sale au fost publicate după moartea sa.

În anul 1714 a descris curba Lituus (Cârja) ca fiind locul geometric al extremitățiilor subnormalelor polare la spirala parabolică.

Această spirală a fost denumită Lituus, pentru prima dată, de către matematicianul scoțian Colin Maclaurin în lucrarea

Harmonia Mensurarum apărută în anul 1722, la șase ani după moartea lui Roger Cotes.

Spirala parabolică cunoscută și ca Spirala lui Fermat este dată de următoarea ecuație în coordonate polare:

Spirala parabolică este o formă particulară de Spirală arhimedică.

Fig. 16 Spirala parabolică

Fig. 17 Lituus

Definiția 1.4.1 Lituusul este curba pentru care unghiul polar este invers proporțional cu pătratul razei vectoare.

Prin urmare, în coordonate polare spirala Lituus este dată prin ecuația:

, a ≥ 0,

și .

Rezultă astfel și ecuațiile parametrice ale spiralei Lituus:

Proprietăți

Proprietatea 1.4.1 Aria limitată de un arc, al spiralei Lituus, și de două raze vectoare este egală cu logaritmul raportului celor două raze (fig. 17).

Fig. 18.

Proprietatea 1.4.2 Aria oricărui sector circular este constantă (fig.19).

1.5 Spirala lui Cornu (sau Spirala lui Euler sau Clotoida)

Spirala lui Cornu a fost studiată pentru prima dată, în 1744, de către celebrul savant elvețian Leonhard Euler (fig.20). Euler a fost un matematician și fizician elvețian considerat a fi unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului al XVIII –lea și unul dintre cei mai remarcabili savanți multilaterali ai omenirii.

Fizicianul francez Marie Alfred Cornu (1841-1902) a utilizat Clotoida pentru a descrie spirala de difracție de la marginea unui semiplan.

Clotoida a fost des folosită în zilele de început ale căilor ferate, era adecvată pentru construcția traseelor de cale ferată cu ajutorul liniilor drepte și a curbelor circulare plane. De asemenea Spirala lui Cornu este folosită în proiectarea și construcția navelor.

Fig. 21 Spirala lui Cornu

Definiția 1.5.1 Spirala lui Cornu este curba plană a cărei curbură este proporțională cu lungimea L a arcului cuprins între un punct fix al curbei, O, și cel considerat.

Ecuația intrinsecă a clotoidei este:

(1)

unde R este raza de curbură, s lungimea arcului și a o constantă

Din (1) se obține:

pentru se obține , originea, punctul O, (fig. 22)

pentru obținem , punctele A și B, (fig. 22), lungimea arcului este infinită, se obțin o infinitate de spire care se rotesc în jurul punctelor A și B.

Fig. 22

Proprietăți

Proprietatea 1.5.1 Reprezentarea în coordonate carteziene a spiralei lui Cornu este:

Demonstrație:

Fie curba căutată și s parametrul său lungime de arc. Conform definiției, avem:

, și curbura curbei. (1.1)

Cum s este parametru lungime de arc, va vea loc relația: . De aici rezultă o funcție unghi, astfel încât

. (1.2)

Prin derivare, obținem

, (1.3)

de unde obținem , cu unghi geometric neorientat. Astfel vom avea

, (1.4)

dar, cum , vom ajunge la ecuația diferențială . (1.5)

Dacă vom considera că punctul fix O este originea sistemului de coordonate în care lucrăm, va rezulta că , deci relația (1.5) devine .

Integrând în raport cu , vom obține:

, . (1.6)

Ținând cont de relațiile (1.2) și (1.6), curba care trece prin origine și are proprietățile din definiție va fi dată de relațiile:

Observație

Se poate observa că în ecuațiile parametrice ale Spiralei lui Cornu apar integralele Fresnel. Acestea au forma generală:

și sunt funcții impare, cu proprietatea că

Capitolul 2

CONSTRUCȚII ȘI APLICAȚII

2.1 Spirala lui Arhimede

Construcții

Voi prezenta o metodă simplă cu ajutorul căreia oricine poate construi Spirala lui Arhimede folosind instrumentele geometrice și respectând câteva reguli simple.

Pentru a construi Spirala lui Arhimede prin această metodă avem nevoie de un compas, un raportor, un florar (florarul este o placă subțire de lemn sau material plastic, tăiată cu diferite curburi și servește pentru trasarea liniilor curbe diferite de arcele de cerc, care nu pot fi trasate cu compasul) și o riglă negradată și trebuie să cunoaștem originea și pasul spiralei. Cunoscând originea și pasul spiralei, se ia ca centru originea dată, apoi cu o deschidere de compas egală cu pasul se descrie un cerc. Acest cerc se împarte cu ajutorul raportorului într-un număr de 12 părți egale. Se duc apoi prin cele 12 diviziuni razele prelungite. Din punctul O ca origine pe raza OA1, se ia lungimea corespunzătoare lui R/12 și se obține primul punct al spiralei. Pe raza OA2 se ia această dimensiune de două ori apoi pe razele următoare de 3…12 ori determinându-se astfel cele 12 puncte M1…M12 ale spiralei. Pentru a obține alura curbei se unesc punctele astfel determinate cu ajutorul florarului, (fig.23). (vezi [9])

În funcție de rafinamentul desenatorului sau de precizia instrumentelor folosite, în special al florarului, cercul se poate împărți în 8, 16, … 4n diviziuni.

Următoarea metodă poate fi folosită pentru realizarea Spiralei lui Arhimede atât manual, cu ajutorul instrumentelor geometrice cât și cu ajutorul calculatorului, mai exact cu ajutorul software-ului AutoCAD.

Se stabilește originea spiralei, apoi din centrul spiralei se desenează un număr de cercuri concentrice, echidistante. Se desenează un număr de diametre, multiplu de 4, cu cât sunt mai multe cu atât acuratețea spiralei va fi mai mare.

Se alege un diametru ințial, un sens de parcurs și, plecând de la cercul exterior, cu raza cea mai mare, spre originea spiralei, se unesc cu ajutorul floralului, pe rând punctele de intersecție ale cercurilor cu diametrele.

Figura 24 a fost realizată manual. Limitat fiind de dimensiunile A4 am desenat doar 9 cercuri concentrice echidistante.

Fig. 24

Aplicând aceeași metodă, dar folosind computerul, respectiv lucrând în AutoCAD, se obțin imagini (fig. 25), (fig. 26) , ale Spiralei lui Arhimede, mai edificatoare.

Fig. 25

După îndepărtarea rețelei de cercuri concentrice și de diametre se obține Spirala lui Arhimede din (fig. 26).

Fig. 26

Următoarea metodă de desenare a unei spirale arhimedice este foarte practică și poate fi realizată cu mijloace simple chiar și de către elevii din clasele mici, totul ține de îndemânarea și răbdarea cu care sunt urmați pașii.

Avem nevoie de un cui sau de un cilindru care poate fi fixat pe o foaie de hârtie, o sfoară , ață sau nylon de pescuit foarte subțire și un instrument de scris, creion pix, cariocă. Un capăt alt sforii se atașează de cilindru, celălalt se atașează de instrumentul de scris (fig. 27). Sfoara se înfășoară pe cilindrul iar acesta se fixează cu un capăt pe foaia de hârtie, în punctul ce reprezintă originea spiralei. Creionul se rotește pe hartie în sensul desfășurării sforii de pe cui, spirala se desenează de la originea spiralei până la spira exterioară. Putem să desenăm spirala de la spira exterioară spre originea spiralei astfel: se fixează cilindrul în originea spiralei și cu sfoara desfășurată se rotește creionul în sensul înfășurării acesteia pe cilindru.

Fig. 27 Spirala lui Arhimede

Aplicații

Cea mai mare parte a vieții Arhimede și-a petrecut-o în orașul Siracuza. A iubit orașul și pe locuitorii acestuia și, drept urmare, foarte multe din descoperirile lui au fost dedicate modernizării sau chiar apărării acestui oraș.

Spre deosebire de vremurile moderne când oamenii de știință precum fizicianul englez Stephen Hawking sunt considerați și apreciați pe bună dreptate ca iluștri savanți doar pe baza studiilor și lucrărilor pur teoretice efectuate de aceștia, în Antichitate un om de știință căpăta cu adevărat o conotație de savant în măsura în care rezultatele studiilor lor aveau un efect imediat în viața de zi cu zi. Arhimede este unul dintre acești savanți, care s-au implicat concret în viața urbei și a concetățenilor săi prin invențiile sale tehnologice. Cele mai remarcabile, în domeniul militar, ar fi catapultele ajustabile care puteau fi reglate astfel încât să arunce proiectilele la distanțe variabile și Gheara lui Arhimede, un dispozitiv asemănător cu o macara ale cărei brațe puternice erau capabile să agațe navele inamice, să le zdruncine sau chiar să le scufunde (fig 28).

Fig. 28 Gheara lui Arhimede

Cel mai celebru dispozitiv, inventat de Arhimede, cu numeroase aplicații și în zilele noastre, pare a fi Șurubul lui Arhimede (fig. 298).

Fig. 29 Șurubul lui Arhimede

Arhimede ar fi realizat acest dispozitiv pentru a ușura transportul alimentelor din magazia unei corăbii uriașe numite Syracusia. Există și posibilitatea ca Șurubul lui Arhimede descris de Vitruvius să fi fost o variantă îmbunătățită a pompelor folosite la irigarea grădinilor suspendate ale Semiramidei. (vezi [5])

Aplicațiile Spiralei lui Arhimede în lumea reală sunt variate și numeroase găsindu-se în zilele noastre în diverse domenii.

Compresoarele Scroll sunt dispozitive în care se folosesc două spirale arhimedice de aceeași dimensiune, intercalate și sunt utilizate pentru comprimarea fluidelor( fig. 30). De regulă o spirală este fixă, statorul (fig. 31), în timp ce cealaltă, rotorul( fig. 3210), orbitează excentric, fără să se rotească, reușind astfel să înmagazineze, să pompeze sau să comprime fluidul. Fluidul este absorbit, printr-un orificiu exterior, între cele două spirale și apoi după ce, spirala mobilă orbitează, este comprimat și eliminat spre destinație prin orificiul din mijloc.

Fig. 30 Principiul de funcționare al unui compresor Scroll

Fig. 31 Statorul unui compresor Scroll

Fig. 32 Rotorul unui compresor Scroll

În industrie Spirala lui Arhimede se regăsește și la construcția arcurilor, de diferite tipuri și pentru diferite aplicații și la trasarea camelor.

Folosirea pentru prima dată a arcurilor de oțel, răsucite în spirală, ca element motor în cadrul unui ceas mecanic, este atribuită ceasornicarului Peter Henlein. Acesta se pare că a fost cel care a folosit pentru prima dată un arc spiralat pentru înmagazinarea energiei mecanice, în jurul anilor 1510, atunci când a început să construiască primele ceasuri cunoscute sub denumirea ”Ouă de Nuremberg”( fig. 33).

Fig. 33 Ceas ”Ou de Nuremberg”

De regulă la construcția ceasurilor mecanice se folosesc arcurile răsucite în formă de spirală arhimedică( fig. 34) și, mai nou, arcurile răsucite în dubla spirală Cornu( fig. 35). Principiul arcurilor spiralate, în construcția ceasurilor, este foarte simplu, prin încovoiere ele înmagazinează energia mecanică, care ulterior este restituită prin forța de torsiune sistemului de roți dințate al ceasului. Principalul avantajul al arcului spiralat plan este acela că poate înmagazina multă energie într-un gabarit mic, aproximativ 0,3 N/cm. De regulă, arcul ceasului este o bandă lungă din oțel, cu secțiune dreptunghiulară, înfășurată în spirală.

Fig. 34 Arc spiralat plan Spirala lui Arhimede

Fig. 35 Arc spiralat plan Spirala lui Cornu

Discurile de vinil sau plăcile de gramofon( fig. 36) folosesc un șanț în spirală, Spirala lui Arhimede, care pornește din marginea exterioară a discului și ajunge până în centru. Inițial înregistrările audio se făceau pe cilindrii fonografici, după modelul patentat de inventatorul american Thomas Edison, până când s-a descoperit că adoptând modelul discurilor plate înscripționate în formă de spirală arhimedică se poate încărca o cantitate de muzică mai mare decât pe cilindrii fonografici. Ulterior s-a renunțat la ideea de a încărca mai multă muzică pe un disc de vinil deoarece calitatea înregistrării avea de suferit, dar înregistrările audio au continuat să fie făcute sub formă de disc de vinil.

Fig. 36 Disc de vinil

În Neurologie, Spirala lui Arhimede este folosită ca un test sumar pentru diagnosticarea bolilor neurologice. În cadrul consultațiilor neurologice doctorii solicită pacienților să deseneze, după model, o spirală arhimedică. Se pare că, dacă unii pacienți reușesc să deseneze linii sau poligoane simple, cei care suferă de anumite afecțiuni neurologice nu reușesc să deseneze corect o spirală arhimedică.

Spirala lui Arhimede este folosită și în proiectarea și construcția mecanismelor cu came. Mecanismele cu came sunt dispozitive ce transformă o mișcare rotativă uniformă într-o mișcare rotativă neuniformă alternativă sau într-o mișcare liniară. În aceste mecanisme mișcarea se transmite de la un element conducător profilat, cama, la un element condus, tachet. În (fig. 37) este prezentat un ax cu came o piesă importantă a sistemului de propulsie al unei mașini ce funcționează pe combustibil fosil, cu rol de transmitere și transformare a mișcării de rotație într-o mișcare de translație.

Fig. 37 Ax cu came

Un alt domeniu în care găsim aplicații ale spiralelor, cu rezultate spectaculoase, este Arhitectura. Frecvent arhitecții se inspiră din formele pe care le găsim în natură. Este foarte posibil ca formele și curbele scoicilor să fi inspirat arhitecții din întreaga lume din cele mai vechi timpuri. Legenda spune că,de fapt, chiar celebrul Turn al lui Babel ar fi fost conceput după forma unei spirale arhimedice, acesta apare desenat sub forma unei spirale în aproape toate lucrările de artă. Artistul Gustave Doré care a pictat Turnul lui Babel în lucrarea ,, Confuzia limbilor” (fig. 38), a recunoscut că s-a inspirat din celebrul minaret Malwiya al Marii Moschei din Samara.

Fig. 38 ”Confuzia limbilor” Gustave Doré

Imensul Minaret al Marii Moschei din Samara (fig. 39) este numit Malwiya ceea ce în limba arabă înseamnă cochilie de melc.

Fig. 39 Minaretul Malwiya, Marea Moschee din Samara

Marea Moschee din Samarra  a fost construită în secolul al IX-lea , de către califul abbasid Al-Mutawakkil. La vremea ei, moscheea era cea mai mare din lume. Pelerinii au posibilitatea să urce până în vârful ei, pe treptele exterioare.

În fig. 40 avem celebrul turn spiralat al bisericii ”Church of our Saviour”, (Biserica Mântuitorului Nostru), din Copenhaga.

Fig. 40 Church of our Saviour

Spirala neagră cu auriu atinge o înălțime de 90 metri și scările exterioare înconjoară de patru ori turnul, în sens invers mișcării acelor de ceasornic.

Se pare că arhitectul Laurids de Thurah s-a inspirat după cupola bisericii Chiesa di Sant'Ivo alla Sapienza din Roma( fig 41).

Fig. 41 Cupola bisericii Chiesa din Sant’lvo alla Sapienza

3.2 Spirala logaritmică

Construcții

Spirala logaritmică se poate desena cu ajutorul termenilor șirului Fibonacci. Șirul lui Fibonacci se obține astfel: se pornește de la 0 și 1 și fiecare termen al șirului este obținut prin adunarea celor doi termeni care-l preced.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …………

În fig. 42 am desenat un dreptunghi care are lungimea 55 unități de măsură (u) și lățimea 34 u. Lungimea și lățimea dreptunghiului pot lua ca valori oricare 2 termeni consecutivi ai șirului lui Fibonacci. Cu cât valorile sunt mai mari cu atât rezultatul este mai spectaculos, desenatorul este limitat doar de limitele suprafeței de desenat și de acuratețea instrumentelor folosite.

În interiorul dreptunghiului, cu ajutorul riglei gradate și a echerului cu unghi drept, desenăm un pătrat cu latura egală cu lățimea dreptunghiului, 36 u. Am obținut un pătrat cu latura 36 u și un dreptunghi cu lungimea de 34 u și lățimea de 21 u, se repetă procedeul, în interiorul dreptunghiului desenăm un pătrat cu latura egală cu lățimea dreptunghiului, respectiv 21u, procedeul se repetă până când vom obține două pătrate cu latura de 1 u. Am terminat lucrul cu rigla gradată și cu echerul cu unghi drept.

Cu ajutorul compasului desenăm în fiecare pătrat câte un arc de cerc cu măsura de 900, astfel încât fiecare arc de cerc să se unească cu precedentul în punctul de tangență a dreptei care include laturile celor două pătrate învecinate.

Prin următoarea metodă se poate desena o spirală logaritmică atât manual, cât și cu ajutorul programului AutoCAD.

Manual, metoda poate fi utilizată și de către elevii de clasa a 6-a după ce sunt învățați să construiască unghiuri cu ajutorul raportorului.

Fig. 42

În cercul din fig. 43 am trasat 6 diametre echidistante, obținând 12 raze care au împărțit cercul în 12 unghiuri ascuțite cu măsura de 300. Am ales unghiuri cu măsura de 300 pentru că pot fi construite fie cu ajutorul raportorului fie cu ajutorul echerului cu unghiuri cu măsura de 900, 600 și 300. Pe una din raze se alege un punct care va fi punctul spiralei cel mai îndepărtat de originea spiralei, A1, apoi se alege sensul spiralei, am ales sensul trigonometric și se trasează perpendiculara din punctul A1 pe următoarea raza, piciorul perpendicularei se notează cu A2, din A2 se trasează perpendicualara pe următoarea raza și se repetă procedeul până când se ajunge în centrul centrul cercului care reprezintă și originea spiralei.

Rezultate edificatoare pentru această metodă se obțin cu ajutorul AutoCad-ului ( fig. 44).

Fig. 43

Fig. 44

Spirala logaritmică se poate construi și cu ajutorul triunghiului de aur. Triunghiul de aur este un triunghi isoscel în care unghiurile alăturate bazei au măsura de 720 și unghiul opus bazei are măsura de 360. Se numește triunghiul de aur pentru faptul că raportul dintre o latură alăturată bazei și baza este egal cu proporția de aur:

.

În fig. 45 avem triunghiul de aur A1A2A3, din punctul A2 trasăm bisectoarea [A2A4 a unghiului A1A2A3, vom obține triunghiul de aur A4A2A3, fixăm compasul în punctul A4 și unim punctele A1 și A2 cu un arc de cerc de rază A4A1, din punctul A3 trasăm bisectoarea [A3A5 a unghiului A2A3A4 , vom obține triunghiul de aur A4A2A3, fixăm compasul în punctul A5 și unim punctele A2 și A3 cu un arc de cerc de rază A5A2 procedeul se repetă atât cât permit dexteritatea și instrumentele desenatorului. Arcele de cerc formează o spirală logaritmică.

Fig. 45

Aplicații

Aproape că nu există domeniu în care să nu întâlnim aplicații ale spiralei logaritmice, pornind de la forma unor nervi din corpul uman și până la forma uraganelor și a galaxiilor.

Natura este bogată în spirale logaritmice, le găsim în anatomia umană, la animale, în forma coarnelor, a mușchilor, a oaselor, a cochiliilor. Le găsim în botanică, în forma frunzelor, a florilor, a fructelor (ananas, conuri de rășinoase) și în forma truchiurilor de arbori.

Nu este deloc surprinzător faptul că studiul spiralei logaritmice a atras atenția atât matematicienilor, cât și biologilor, zoologilor, paleontologilor, artiștilor etc.

Există trei tipuri de galaxii: spirale, eliptice și neregulate. Galaxiile spirale au, spre deosebire de cele eliptice și neregulate, o structură bine determinată compusă dintr-un nucleu și brațe spiralate. De regulă, în centrul nucleului se află o gaură neagră masivă, iar în brațele spiralate se află stele tinere și mult praf și gaz interstelar. Aceste galaxii au primit denumirea de galaxii spiralate deoarece brațele de stele tinere ce se desfășoară în jurul nucleului, se formează după o spirală logaritmică. Galaxiile spiralate pot avea nucleul sub formă sferică sau sub formă de bară, așa cum este și nucleul galaxiei Calea Lactee din care face parte și sistemul nostru solar. Galaxia noastră este o galaxie spiralată barată.

Calea Lactee este imensă, în comparație cu alte galaxii. Are o masă de aproximativ 1000 de ori mai mare decât cea a Soarelui și un diametru de aproximativ 100.000 de ani lumină. Galaxia noastră face parte, împreună cu alte 32 de galaxii, din ceea ce astronomii numesc Grupul local.

Grupul local este format din 3 galaxii mari și 30 de galaxii mici, cea mai mare galaxie este Andromeda, iar următoarea este Calea Lactee. În fig. 46 Calea Lactee este reprezentată artistic, reprezentare ce a rezultat din analiza a milioane de stele.

Fig. 46 Calea Lactee

Ciclonul tropical este o furtună în formă de spirală logaritmică care se formează deasupra oceanelor, în zonele tropicale ale globului pământesc. Cicloanele tropicale sunt cele mai dezastruoase catastrofe naturale de pe Pământ. Se numesc uragane doar cicloanele tropicale care se formează deasupra Oceanului Atlantic sau deasupra zonei estice a Oceanului Pacific.

Un ciclon tropical poate să aibă un diametru de câteva mii de km și este format din nori care se rotesc în spirală. Rotația norilor este provocată de un sistem de vânturi circulare care uneori depășesc viteza de 300 km/h.

Fig. 48

O aplicație interesantă a spiralei logaritmice o întâlnim la zborul șoimului, în momentul în care acesta lansează atacul asupra pradei. Fovea reprezintă cea mai sensibilă zonă a retinei, este o depresiune a retinei aflată chiar în centrul petei galbene. La șoim, fovea se află mai în spate față de axa longitudinală a capului ceea ce face ca șoimul, în momentul în care atacă, pentru a avea o acuitate vizuală optimă, zboară în mod constant la un unghi de 400 față de dreapta care unește șoimul cu prada sa. Rezultatul este o concospirală care reprezintă traiectoria în picaj a șoimului.

Concospirala este o spirală tridimensională a cărei proiecție plană este o spirală logaritmică.

Fig. 49 O ilustrație a traiectoriei șoimului în timpul unui atac asupra țintei

Aplicații ale spiralei logaritmice le întâlnim și în anatomia umană. Pavilionul urechii este în formă de spirală logaritmică, această formă ajută la colectarea sunetului și la transmiterea acestuia către urechea internă ( fig. 50). Spirala logaritmică se întâlnește și în interiorul urechii umane.Urechea internă cuprinde un organ de echilibru numit aparatul vestibular și un organ de auz cochilia sau melcul. Cochilia este o cavitate umplută cu un lichid fluid care primește undele sonore transmise pe calea aerului prin urechea externă și medie. Cochilia are o formă spiralată( fig. 5118).

Fig. 51 Urechea internă

Muflonul este un mamifer, înrudit cu oaia, care a trăit și pe teritoriul României până prin perioada Evului Mediu, când a dispărut. Coarnele muflonului sunt în formă de spirală logaritmică (fig. 52). În cazul masculului, coarnele cresc odată cu vârsta ajungând să măsoare 1 metru și să cântărească chiar și 14 kg, cât restul scheletului la un loc.

Fig. 52 Muflonul

Șopârlele cu coada curbată, originare din Insulele Bahamas, folosesc coada pentru a comunica cu celelalte șopârle, ele transmit mesaje prin curbarea cozii în formă de spirală( fig. 53).

Fig. 53 Șopârla cu coada curbată

S-ar putea crede, la prima vedere, că creșterea animalelor și plantelor, datorită formelor elaborate pe care le prezintă este guvernată exclusiv de legi și reguli cu grad înalt de complexitate. Este surprinzător să aflăm că nu întodeauna așa stau lucrurile.

Ideea că matematica este profund implicată în designul formelor naturale pleacă de la matematicienii din Grecia Antică.

La baza unora dintre cele mai frumoase forme de evoluție din natură stau tipare matematice simple. Multe aspecte ale creșterii plantelor și animalelor sunt descrise de legi matematice.

Un exemplu evident este reprezentat de cochiliile scoicilor și melcilor, cochiliile la fel ca și unghiile și firele de păr cresc prin adăugarea de material la bază. Acest proces de creștere a cochiliei care păstrează forma cochiliei se numește gnomonic. Pentru o figură dată, gnomon se numește o a doua figură care adunată sau substrasă din figura dată duce la obținerea unei figuri identice, de dimensiuni mai mari sau mai mici. Aceste proces de creștere este atât de comun încât este considerat de multă lume ca fiind o lege a naturii. Majoritatea cochiliilor, a coarnelor, urmează practic, în procesul de creștere, o spirală logaritmică.

Fig. 54

Fig. 55

Întâlnim spirala logaritmică și în cazul plantelor care folosesc spirala logaritmică pentru a-și aranja frunzele și petalele într-un mod în care să-și maximizeze expunerea la Soare.

Fig. 56 Aloe vera

Frunzele de Aloe Vera( fig. 56) sunt astfel dispuse încât suprapunerea să fie cât mai mică. Petalele trandafirului sunt așezate în formă de spirală logaritmică ( fig. 57).

Fig. 57

Semințele conului de pin sunt așezate într-un tipar în spirală logaritmică (fig 58). Pe fiecare con se află câte o pereche de spirale fiecare răsucindu-se în sus și în direcții opuse. Cele două spirale se intersectează după un număr de pași reprezentat de o pereche de numere din șirul lui Fibonacci, numerele fiind consecutive. Conurile de pin au 8 spirale în sensul trigonometric și 5 în sens invers, 5 și 8 sunt numere Fibonacci.

Fig. 58

Ananasul (fig. 5925) are 13 spirale în sens trigonometric și 8 spirale în sens invers, 8 și 13 sunt numere Fibonacci.

Și la floarea soarelui ( fig. 60), întâlnim un tipar compus din două spirale, una în sensul trigonometric și una în sens invers. Pentru majoritatea plantelor, media este de 21 sau 34 de spirale în sensul acelor de ceasornic și 34 sau 55 de spirale în sensul trigonometric. Mai rar se întâlnesc și flori cu 89, 144 și chiar cu 233 de spirale, toate fiind numere Fibonacci.

Fig. 60

Fig. 6126

Numeroși arhitecți și designeri au studiat din cele mai vechi timpuri structurile naturale pentru a învăța secretele construcțiilor create de natură. Spirala este unul din motivele arhetipale care ne înconjoară în natură, în numeroase forme. Prin urmare, a fost studiată în profunzime pentru a revela misterele construcțiilor naturale. Puternica versatilitate și impactul vizual al spiralei au făcut ca aceasta să fie intens folosită în proiectele arhitectonice din cele mai vechi timpuri.

Spiralele au fost și sunt intens utilizate în arhitectură și spațiile interioare. În antichitate se considera că o clădire, o operă de artă, trebuia să conțină sau să fie construită pe cât de mult posibil după proporția de aur.

Unul dintre cele mai celebre edificii care respectă proporția de aur este Partenonul ( fig. 62), construit pe Acropole (Orașul de sus) din Atena. Partenonul a fost construit în timpul Epocii de Aur a lui Pericle, de către Fidias și reprezintă practic apogeul artei dorice. Este cea mai importantă construcție care a supraviețuit din Grecia Antică.

Fig. 62 Partenonul

Universitatea Politehnică de Stat California, a proiectat și a construit Engineering Plaza astfel încât să respecte spirala logaritmică( fig. 63).

Fig. 63 Schița: California Polytechnic Engineering Plaza, California, USA

Fig. 64 California Polytechnic Engineering Plaza, California, USA

O construcție modernă, în formă de spirală, este și Thanksgiving Chapel din Dallas, Texas ( fig. 65). În interior se poate admira o spirală logaritmică formată din vitralii ( fig. 66).

Fig. 66

O altă construcție modernă în formă de spirală logaritmică este Independece Temple din Missouri, U.S.A.( fig.67). Clădirea este înfășurată de o spiră de oțel inoxidabil ce ajunge la o înălțime de 91 m.

Fig. 6830 Tavanul Independence Temple

Aplicațiile spiralei logaritmice în domeniul mobilierului și a decorațiunilor interioare sunt nenumărate. Cele mai spectaculoase sunt scările interioare din stilul Bramante. În fig. 69 avem scările de ieșire ale muzeului din Vatican. Au fost create de către Giuseppe Momo în 1932. Acesta a fost inspirat de revoluționarele scări în spirală proiectate și construite de către Donato Bramante, în 1512, pentru Papa Iulius al II-lea și făceau legătura între oraș și Palatul Belvedere. Scările sunt formate din două rânduri de scări elicoidale, pentru fluidizarea traficului, astfel încât vizitatorii care intră și cei care ies să nu se întâlnească.

Fig. 69 Scările de ieșire ale Muzeului Vatican

Proporția de aur a fost observată, studiată și exploatată, în lucrările lor, și de către artiști. Apogeul folosirii ei a fost atins în Evul Mediu în perioada lui Leonardo da Vinci. Se considera că este proporția perfectă, proporția divină, cheia pentru ca o lucrare să fie plăcută, înțeleasă și admirată de privitori. Multe din lucrările lui Leonardo da Vinci sunt reprezentative pentru folosirea spiralei logaritmice, fig. 70, fig. 71.

Fig. 70 Sfânta Ana, Fecioara și Pruncul cu mielul

Fig. 71 Mona Lisa

3.3 Spirala hiperbolică

Construcții

Spirala hiperbolică este rezultatul mișcării unui punct pe o rază astfel încât distanța acestuia fața de centrul de rotire este tot timpul invers proporțională cu unghiul de rotație al razelor, măsurat față de o poziție inițială.

Ecuația spiralei hiperbolice este :

,

unde a reprezintă distanța asimptotei acestei spirale față de originea coordonatelor.

Pentru realizarea spiralei hiperbolice din fig.72 am avut nevoie de o riglă, un echer dreptunghic cu un unghi de 300, un compas și un florar. Figura poate fi realizată chiar și de către elevii de clasa a VI-a după prezentarea și învățarea utilizării raportorului.

Se stabilește centrul O al unui cerc oarecare, se împarte cercul la un număr de părți egale, l-am împărțit la 12 pentru a putea utiliza echerul cu unghi de 300.

Vom obține

, , , …….. , ,

, , , , …….. ,

Segmentele OMn se iau corespunzător pe razele OAn rezultând punctele M1, M2, …, Mn. Se unesc punctele M1, M2, …. , Mn cu ajutorul floralului și obținem o spirală hiperbolică.

Pentru , spirala se apropie ,asimptotic, de asimptota d , pentru spirala se apropie de originea O.

Fig. 72 Spirala hiperbolică

Aplicații

O aplicație importantă și interesantă a spiralei hiperbolice se găsește în construcția elementelor de propulsie a rachetelor spațiale. Conturul duzei de admisie a combustibilului, în general, este sub formă de spirală hiperbolică, fapt ce ajută la accelerarea uniformă a fluxului de gaze de ardere până la o viteză supersonică.

3.4 Lituus (sau Cârja)

Construcții

Ecuațiile parametrice ale Spiralei Lituus sunt:

Aplicații

Spirala Lituus este o formă recurentă în artă unde o întâlnim sub denumirea de volută. Cel mai des întâlnită este la capătul cu scroll al violinelor, (al instrumentelor cu coarde și arcuș), (fig.73).

Fig. 73 Scroll de vioară

Capătul toiagului episcopal este o aplicație a spiralei Lituus (fig.73).

Fig. 74

O importantă aplicație a spiralei Lituus o întâlnim în tehnică, în domeniul pompelor centrifugale. Pompele centrifugale cu volută sunt folosite în irigare și în sitemele de răcire performante. Pompa centrifugală cu volută se află situată, de regulă, după rotor și are rolul de a micșora viteza apei care trece prin sistem și în același timp de a mări presiunea apei care iese din volută (fig. 74).

Fig. 75 Pompă centrifugală cu volută.

3.5 Spirala lui Cornu (sau Spirala lui Euler sau Clotoida)

Construcții

Ecuațiile parametrice ale Spiralei lui Cornu sunt:

Aplicații

Cea mai importantă aplicație a spiralei lui Cornu o găsim în designul căilor de transport, rutiere și feroviare.

Atunci când se pune problema proiectării unei rute de transport din start se alege ruta care presupune costuri mici și ideal ar fi ca această rută să se apropie cât mai mult de linia dreaptă care unește cele două puncte. Bineînțeles că în cele mai multe cazuri situația din teren nu se apropie foarte mult de dorințele constructorilor, sunt forme de relief a căror ocolire presupune un cost mai mic decât străbaterea lor, de multe ori o nouă rută de transport își găsește rentabilitatea doar după conectarea a unui anumit număr de localități, obiective etc. Rutele de transport în linie dreaptă sunt specifice marilor obiective industriale, sunt rute interne folosite pentru aprovizionare.

Astfel se ajunge, de cele mai multe ori, la imposibilitatea respectării liniei drepte, inițiale. La o abordare simplă a problemei cineva ar fi tentat să traseze ruta doar cu ajutorul liniilor drepte și al arcelor de cerc, soluție adoptată în anii de pionierat ai transportului mecanizat. Primele căi ferate erau proiectate și semănau cu o curea de transmisie ce trece peste un număr de tamburi ( fig. 76).

O soluție care s-a dovedit viabilă în primii ani, atunci când nu se punea problema ca vehiculele, trenurile, automobilele, să se deplaseze cu viteze mari. În momentul în care performanța locomotivelor, datorită concurenței și a cererii, a crescut au început să apară problemele create de forța centrifugă și forța centripetă la abordarea curbelor cu viteze mari. Exista riscul ca trenul să părăsească calea ferată, să deraieze, și poate cel mai important, disconfortul creat pasagerilor era considerabil.

Fig. 7635

Economia în plină dezvoltarea impunea viteze mari de transport a pasagerilor și de livrare a mărfurilor, astfel că adoptarea unei limitări de viteză era exclusă, prin urmare singurul domeniu în care se putea interveni a rămas forma căilor de transport.

O variantă luată în calcul pentru scurt timp a fost mărirea razei arcelor de cerc, variantă care presupunea achiziția unor suprafețe mai mari de teren pentru construcția căilor de comunicație.

Această variantă a rezultat din studiul forței centripete, aceasta are formula:

Forța centripetă este direct proporțională cu masa vehiculului, implicit a pasagerilor și viteza liniară, pătratul vitezei liniare și invers proporțională cu raza de curbură. Valoarea forței centripete scade atunci când scade masa și viteza vehiculului sau când crește valoarea razei de curbură.

Soluția acestei probleme a fost ca între liniile drepte și arcele de cerc să se intercaleze porțiuni de spirală, spirala lui Cornu, datorită ecuației acestei spirale.

Așa cum am văzut ecuația intrinsecă a clotoidei este:

unde R este raza de curbură, s lungimea arcului și a o constantă

După cum se vede în formula de mai sus raza de curbură R și lungimea arcului s sunt invers proporționale, deci pe măsură ce scade s, lungimea arcului, crește R raza de curbură, dacă crește R atunci scade modulul forței centripete.

Fig. 77

În fig. 77 sectorul roșu reprezintă porțiunea de spirală Cornu intercalată între linia dreaptă și arcul de cerc .

Un șofer care parcurge cu viteză constantă o porțiune de clotoidă va putea învârti volanul cu o viteză unghiulară constantă.

O aplicație a clotoidei, asemănătoare cu cea prezentată, o întâlnim și la rollercoastere (fig. 78). Primele rollercoastere construite, pe la sfârșitul secolului al XIX-lea, aveau bucla asemănătoare cu un cerc. Problema, destul de serioasă, cu care se confruntau aceste rollercoastere era forța G, uriașă, la care erau supuși oamenii la ieșirea din buclă, uneori se depășea chiar și 5G deseori se ajungea chiar și la pierderea cunoștinței. Durerile de gât erau omniprezente după parcurgerea unui traseu cu un rollercoster din perioada de pionierat.

Problema ce trebuia rezolvată era micșorarea și menținerea constantă a valorilor Forței G.

Forța G are un rol foarte important, măsoară accelerarea și decelerarea aplicată asupra unui organism și simțită de acesta ca o greutate. Este impropriu folosit termenul forță, forța se măsoară în Newtoni, iar Forța G se măsoară în m/s2. O viteză mare de deplasare nu este fatală pentru om, practic de când ne naștem, având în vedere latitudinea României, în fiecare moment ne deplasăm cu aproximativ 1000 km/h în jurul axei Pământului și cu aproximativ 100 000 km/h în jurul Soarelui. În schimb, o accelerare sau o decelerare mare pot fi fatale oricui.

Forța G se măsoară în m/s2 , unde g este accelerația gravitațională a Pământului, 1G are valoarea standard de 9.80665 m/s2. Majoritatea oamenilor pot rezista la o variație între 4G și 6G. O accelerație de peste 6G susținută pe o durată de câteva minute poate fi fatală.

Prin renunțarea la bucla perfect circulară și introducerea în vârful buclei a unei porțiuni de clotoidă s-a reușit obținerea unei Forțe G constante și păstrarea unor valori care să nu pună în pericol integritatea oamenilor.

Fig. 78 Rollercoaster

Capitolul 3

CAPITOL METODIC

DISCIPLINĂ OPȚIONALĂ

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Tema opționalului: CONSTRUCȚII CU RIGLA ȘI COMPASUL

Tipul : opțional la nivelul disciplinei

Clasa: a VII-a

Durata: 1 an școlar

Număr ore pe săptămână: 1 oră

PROGRAMA PENTRU CURS OPȚIONAL

CONSTRUCȚII CU RIGLA ȘI COMPASUL

Propunǎtor : prof. Berizovschi Doru Viorel

Unitatea de învǎțǎmânt : Școala Gimnazială Salcea – Prelipca

Notă de prezentare

Studiul matematicii în învățământul obligatoriu își propune să asigure pentru toți elevii formarea competențelor de bază în rezolvarea de probleme implicând calculul algebric și raționamentul geometric.

Învățarea matematicii în școală urmărește conștientizarea naturii matematicii ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un corpus de cunoștințe și de proceduri, dar și ca o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanța sa în cotidian și prin rolul său în științele naturii, în tehnologii și în științele sociale.

Sensul major al referințelor actuale în predarea-învățarea matematicii este mutarea accentului de pe predarea de informații care, în esență, au rămas aceleași din vechile programe, pe formarea de capacități.

S-a mutat accentul de pe predarea centrată pe comunicarea informațiilor, pe un mod de predare care să aibă în vedere în primul rând formarea și dezvoltarea capacităților intelectuale, antrenarea gândirii. Pentru realizarea acestui deziderat, programa trebuie să cuprindă obiective clar precizate și ușor transferabile într-un conținut adecvat.

Programa își propune să integreze organic teme specifice matematicii ca știință, respectând următoarele principii:

asigurarea continuității la nivelul claselor și ciclurilor;

actualizarea informațiilor predate și adaptarea lor la nivelul de vârstă al elevilor;

formarea și stimularea capacităților mentale specifice domeniului;

asigurarea interdisciplinarității;

abordarea predominantă a matematicii din perspectiva aspectelor calitative ca știință;

integrarea domeniului probabilistic al matematicii, precum și a unor aspecte aplicative;

promovarea aspectelor funcționale ale alfabetizării matematice;

introducerea și folosirea unor concepte în contexte anterioare apariției lor în succesiunea ,,științifică” a conținutului matematic;

folosirea demersului inductiv în locul celui deductiv, atât timp cât nivelul de abstractizare depășește posibilitățile specifice stadiului de dezvoltare intelectuală a elevilor;

construirea sistematică a ,,punților” între concepte;

posibilitatea alegerii succesiunii temelor de conținut și posibilitatea extinderii prin activități de dezvoltare;

teme noi semnificative în ceea ce privește aspectul calitativ al matematicii moderne;

folosirea unor metode noi de introducere a unor concepte;

efectuarea unor activități practice;

folosirea calculatorului de buzunar.

În condițiile descentralizării predării prin folosirea mai multor manuale a devenit deci necesar ca programa să precizeze:

ce trebuie predat? (prin conținuturi);

în ce scop? (obiective) și de asemenea ;

cum ? (metode și activități de învățare).

Capacitățile, atitudinile și valorile vizate de profilul de formare au un caracter transdisciplinar și definesc rezultatele învățării urmărite prin aplicarea noului curriculum.

Elevii învățământului general și obligatoriu ar trebui:

să demonstreze gândire creativă prin:

utilizarea, evaluarea și ameliorarea permanentă a unor strategii proprii pentru rezolvarea de probleme;

elaborarea unor modele de acțiune și de luare a deciziilor adecvate într-o lume dinamică;

formarea și utilizarea unor deprinderi de judecată critică;

folosirea unor tehnici de argumentare variate în contexte sociale diferite.

să folosească diverse modalități de comunicare în situații reale, prin:

dobândirea deprinderilor specifice achizițiilor fundamentale ( citit, scris, calcul aritmetic) și aplicarea lor efectivă în procesul comunicării;

formarea și utilizarea deprinderilor de comunicare socială, verbală și nonverbală;

cunoașterea și utilizarea eficientă și corectă a codurilor, a limbajelor și a convențiilor aparținând terminologiei diferitelor domenii ale cunoașterii.

să înțeleagă sensul apartenenței la diverse tipuri de comunități prin:

participarea la viața socială a clasei, a școlii și a comunității locale din care fac parte;

identificarea drepturilor și a responsabilităților care le revin;

înțelegera și evaluarea interdependențelor dintre identitate și alteritate, dintre local și național, dintre național și global.

să demonstreze capacitate de adaptare la situații diferite, prin:

folosirea unei varietăți de limbaje și de instrumente pentru a transmite idei, experiențe și sentimente;

cunoașterea diverselor roluri sociale și a implicațiilor acestora asupra vieții cotidiene;

demonstrarea capacității de a lucra în echipă, respectarea sarcinilor primite;

exprimarea voinței de a urmări un țel prin mijloace diferite.

să contribuie la construirea unei vieți de calitate prin:

dezvoltarea unor atitudini pozitive față de sine și față de semeni, toleranță, responsabilitate, rigoare;

formarea și exprimarea opțiunii pentru o viață sănătoasă și echilibrată;

acceptarea și promovarea unui mediu natural propice vieții;

cunoașterea și respectarea drepturilor fundamentale ale omului;

formularea unor judecăți estetice privind diferite aspecte ale realității naturale și sociale;

formarea unei sensibilități spre valorile estetice.

să înțeleagă și să utilizeze tehnologiile în mod adecvat prin:

folosirea de idei, modele și teorii diverse pentru a investiga și a descrie procesele naturale și sociale;

folosirea echipamentelor informatice în calitatea lor de instrumente ale comunicării;

cunoașterea și utilizarea tehnologiilor întâlnite în viața cotidiană;

înțelegerea consecințelor etice ale dezvoltării științei și tehnologiei asupra omului și mediului.

să-și dezvolte capacitățile de investigare și să-și valorizeze propria experiență, prin:

dezvoltarea unei metodologii de muncă intelectuală și a capacității de explorare a realității înconjurătoare;

dobândirea unei culturi a efortului fizic și intelectual, ca expresie a dorinței de realizare personală și socială.

să-și construiască un set de valori individuale și sociale și să-și orienteze comportamentul și cariera în funcție de acestea prin:

demonstrarea competenței de a susține propriile opțiuni;

înțelegerea modului în care mediul social și cultural (familia, normele sociale, codurile lingvistice, tradițiile istorice, etc.) influențează ideile și comportamentele proprii, precum și pe ale altora;

cunoașterea și analiza oportunităților oferite de diferite filiere vocaționale, în funcție de aptitudinile individuale;

realizarea unor planuri personale de acțiune și motivarea pentru învățarea continuă.

Învățământul românesc în prezent se desfășoară pe cicluri curriculare, care reprezintă periodizări ale școlarității și au în comun obiective specifice.

Introducerea ciclurilor curriculare se exprimă la nivel de:

obiective care particularizează finalitățile;

metodologie didactică specifică.

Fiecare ciclu curricular oferă un set coerent de obiective de învățare care consemnează ce ar trebui să dobândească elevii la capătul unei anumite etape a parcursului lor școlar. Prin aceste obiective, ciclurile curriculare conferă diferitelor etape ale școlarității o serie de dominante.

Introducerea ciclurilor curriculare vizează următoarele efecte:

crearea continuității la trecerea de la o treaptă de școlaritate la alta prin: transferul de metode și stabilirea de conexiuni explicite la nivelul curriculumului;

crearea premiselor necesare pentru extinderea școlarității;

construirea unei structuri a sistemului de învățământ mai bine corelată cu vârstele psihologice.

Întrucât activitatea la clasǎ ar trebui orientatǎ cǎtre atingerea obiectivelor ciclurilor curriculare, le reamintim :

1.Ciclul achizițiilor fundamentale care are ca obiective majore acomodarea la cerințele sistemului școlar și alfabetizarea inițialǎ. Acest ciclu curricular vizeazǎ :

asimilarea elementelor de bazǎ ale principalelor limbaje convenționale;

stimularea copilului în vederea perceperii, cunoașterii și stǎpânirii mediului apropiat;

stimularea potențialului creativ al copilului, a intuiției și a imaginației acestuia;

formarea motivației pentru invǎțare, înțeleasǎ ca o activitate socialǎ;

2.Ciclul de dezvoltare ce are ca obiectiv major formarea capacitǎților de bazǎ necesare pentru continuarea studiilor. El vizeazǎ :

dezvoltarea achizițiilor lingvistice și încurajarea folosirii limbii române pentru exprimarea în situații variate de comunicare;

dezvoltarea unei gândiri structurate și a competenței de a aplica în practicǎ rezolvarea de probleme;

familiarizarea cu o abordare pluridisciplinarǎ a domeniilor cunoașterii;

constituirea unui set de valori consonante cu o societate democraticǎ și pluralistǎ;

încurajarea talentului, a experienței și a expresiei în diferite forme de artǎ;

formarea responsabilitǎții pentru propria dezvoltare;

formarea unei atitudini responsabile fațǎ de mediu.

3.Ciclul de observare și orientare are ca obiectiv major orientarea în vederea optimizǎrii opțiunii școlare și profesionale ulterioare . El vizeazǎ :

descoperirea de cǎtre elevi a propriilor afinitǎți, aspirații și valori în scopul construirii unei imagini de sine pozitive;

formarea capacitǎții de analizǎ a setului de competențe dobândite prin învǎțarea în scopul orientǎrii spre o anumitǎ carierǎ profesionalǎ;

dezvoltarea capacitǎții de a comunica inclusiv prin folosirea diferitelor limbaje specializate;

dezvoltarea gândirii autonome și a responsabilitǎții fațǎ de integrarea în mediul social.

Programa școlarǎ este parte a Curriculumului Național. Filozofia contemporanǎ a educației a evidențiat diferența dintre o educație bazatǎ pe curriculum, adicǎ având ca element central la toate etapele sale activitatea de proiectare și programa analiticǎ, document care are în centrul activitǎții didactice ideea de programare a traseului elevului cǎtre un țel cunoscut și impus doar de cǎtre adulți.

Programa analiticǎ este posesoarea în mod absolut și univoc a tuturor competențelor procesului instructiv – educativ stabilit la nivel central.

Programele școlare subliniazǎ importanța rolului reglativ al obiectivelor pe cele douǎ niveluri de generalitate : obiective cadru și obiective de referințǎ.

Celelalte componente ale programei au ca principal scop realizarea cu succes a obiectivelor de cǎtre elevi. În contextul învǎțǎmântului obligatoriu, centrarea pe obiective ( competențe ) reprezintǎ unica modalitate care face ca sintagma centrarea pe elev sǎ nu rǎmânǎ un slogan fǎrǎ conținut.

Programa școlarǎ descrie oferta educaționalǎ a unei discipline pentru un parcurs școlar determinat.

Programa școlarǎ cuprinde: nota de prezentare, obiective cadru (competențe generale), obiective de referințǎ ( competențe specifice ), exemple de activitǎți de învǎțare, conținuturi ale învǎțǎrii și standarde curriculare de performanțǎ.

ARGUMENT

Învățarea matematicii în școala generală urmărește conștientizarea de către elevi a noțiunii acestui obiect de studiu ca o activitate de rezolvare de probleme, bazată pe un corpus de cunoștințe și proceduri, dar și ca o disciplină strâns legată de societate prin relevanța sa în cotidian.

Opționalul urmărește să ofere elevilor experiența utilizării tehnicilor și a limbajului matematic în situații practice, accesibile lor.

Pornind de la realitatea că matematica este aplicată în viața de zi cu zi în numeroase domenii, prin intermediul a ceea ce elevul poate învăța în cadrul acestei discipline, va putea folosi cunoștințele din matematică în alte domenii.

Venind în întâmpinarea nevoii de a aplica matematica în cât mai multe domenii, prin propunerea acestei discipline urmăresc:

Posibilitatea de aprofundare a unor noțiuni teoretice și învățarea altora care nu se regăsesc în programele școlare actuale;

Dezvoltarea abilităților de a aplica noțiunile teoretice în aplicații practice;

Dezvoltarea creativității, a spiritului de observație, de investigare, de estimare, și de aproximare;

Asigurarea libertății de acțiune a elevilor, a studiului individual, dar și educarea elevilor în spiritul unei activități desfășurate în grup.

Educarea elevilor pentru realizarea unor produse utilizabile, dezvoltarea spiritului inventiv și creator apare ca un obiectiv impus de sistemul în care trăim și vom trăi în viitor. Indiferent de conținutul aplicației, ceea ce realizează elevul, trebuie să fie utilizabil.

Datorită implicației pe care matematica o are în cât mai multe domenii rezultă caracterul ei interdisciplinar.

In geometria elementară majoritatea rezultatelor teoretice sunt obținute pe baza unor raționamente ce au ca suport configurații geometrice. Aceste configurații, joacă rol de modele. De obicei modelul geometric este considerat cu toate calitățile necesare pentru a efectua un bun raționament pe el. Răspunzând la cerința cu privire la aspectul calitativ al conținutului, profesorul de matematică are posibilitatea să demonstreze unele construcții geometrice care au fost introduse pe baza unor modele pentru care nu s-a pus în mod deosebit problema existenței. În această viziune curriculară se încadrează și construcțiile numai cu rigla si compasul.

Opționalul ” Construcții cu rigla si compasul ” vizează dezvoltarea deprinderilor elevilor de a trasa figuri geometrice, cu un grad cât mai mare de precizie, arătând întâi că soluția poate fi găsită din punct de vedere teoretic.

In problemele de construcție elevul are ocazia să aplice cunoștințele de geometrie, aceasta având un puternic rol formativ. Activitățile de învățare propuse contribuie la formarea unor capacități și atitudini specifice geometriei elementare.

Competențe generale competențe specifice

și activități de învățare

C1. Identificarea  unor date și relații matematice, corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite, etapele de rezolvare a problemelor de construcție cu rigla si compasul.

C2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice, deducerea proprietăților unor figuri geometrice.

C3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea localǎ sau globalǎ a unei situații concrete, a proprietăților calitative și metrice ale figurilor geometrice pentru rezolvarea unor probleme speciale de construcție.

C4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora, argumenterea construcțiilor geometrice efectuate utilizând limbajul matematic adecvat.

C5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemǎ, colaborarea în cadrul unei echipe la activități specifice disciplinei.

C6. Modelarea matematicǎ a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii, aplicarea cunoștințelor de matematică în rezolvarea lor.

Valori și atitudini

Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate;

Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive;

Dezvoltarea spiritului de observație;

Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii;

Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice;

Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională.

4. Sugestii metodologice

Conținuturile au fost alese astfel încât să vină în completarea materiei studiate la orele prevăzute în trunchiul comun. Partea teoretică necesară rezolvării aplicațiilor propuse va fi prezentată de către profesor sau se va recapitula cu ajutorul elevilor.

Mare parte a timpului va fi alocat aplicațiilor (exerciții și probleme). Acestea se vor prezenta secvențial pe fișe. Elevii vor lucra în grup, dar și individual (alternativ).

Secvențele de lucru efectiv sunt intercalate cu secvențe de discutare, comentare, sistematizare a metodelor de rezolvare.

CONȚINUTURI

I. Construcții geometrice elementare ( 6 ore ).

1. Instrumente geometrice (rigla negradată și compasul) și utilizarea lor pentru a desena diferite configurații geometrice.

2. Etape în rezolvarea unei probleme de construcții.

3. Construcții geometrice fundamentale.

4. Construcția unor linii importante în triunghi.

5. Construcția cercului înscris (circumscris) triunghiului.

II. Construcții de figuri echivalente ( 5 ore ).

1. Triunghiuri echivalente, triunghi echivalent cu un paralelogram dat, triunghi echivalent cu un trapez dat.

2. Construcții geometrice datorate lui Leonardo da Vinci.

III. Construcții de spirale ( 12 ore).

1. Spirala lui Arhimede. Construcții, aplicații.

2. Spira Mirabilis. Construcții, aplicații.

3. Spirala Hiperbolică. Construcții, aplicații.

IV. Construcții in cerc ( 5 ore ).

1. Construcția tangentei la cerc.

2. Construcția tangentelor dintr-un punct exterior la cerc.

3. Construcția tangentelor comune exterioare la două cercuri.

4. Construcția tangentelor comune interioare a două cercuri.

V. Construcția de poligoane regulate ( 4 ore ).

1. Construcția unor poligoane regulate înscrise (circumscrise) în cerc.

2. Probleme de construcții-poligoane regulate.

PLANIFICARE SEMESTRIALĂ

Standarde minime de performanțǎ

Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

utilizarea unor elemente de logicǎ pentru a stabili valoarea de adevǎr a unor enunțuri;

utilizarea unor proprietǎți metrice ale figurilor și corpurilor geometrice;

stabilirea și utilizarea proprietǎților calitative ale figurilor și corpurilor geometrice;

utilizarea localizǎrii figurilor geometrice și a unor elemente de transformǎri geometrice;

înregistrarea , prelucrarea și prezentarea datelor pe baza unor elemente de statistica și probabilitǎți;

sǎ recunoascǎ drepte perpendiculare și oblice, sǎ citeascǎ și sǎ exprime matematic relația de perpendicularitate;

sǎ deseneze drepte perpendiculare cu ajutorul echerului ( riglei );

sǎ recunoascǎ prin distanța dintre un punct și o dreaptǎ lungimea segmentului determinat de punct și de piciorul perpendicularei din acel punct pe dreaptǎ;

sǎ citeascǎ și sǎ exprime matematic aceastǎ noțiune;

sǎ poatǎ desena cu ajutorul echerului mediatoarea unui segment , sǎ citeascǎ și sǎ exprime matematic aceastǎ noțiune;

sǎ recunoascǎ și sǎ deseneze unghiurile opuse la vârf;

sǎ deseneze în spațiu figurile geometrice plane studiate;

sǎ recunoascǎ când o dreaptǎ este perpendicularǎ pe un plan;

sǎ aplice în probleme rezultatele perpendicularitǎții în spațiu;

sǎ recunoascǎ douǎ plane perpendiculare și sǎ poatǎ demonstra în probleme perpendicularitatea a douǎ plane;

sǎ construiascǎ proiecțiile ortogonale ale unui punct , segment , dreaptǎ pe un plan.

Dezvoltarea capacitǎții de explorare / investigare și

rezolvare de probleme

1. identificarea unei situații problemǎ și organizarea eficientǎ a modului de rezolvare a acesteia;

2. utilizarea unor reprezentǎri și metode variate pentru clarificarea și justificarea unor enunțuri;

3. identificarea și colectarea dintr-un set de date a informațiilor relevante pentru rezolvarea unor probleme sau pentru crearea de probleme;

4. utilizarea de instrumente geometrice pentru reprezentarea unor configurații geometrice în contexte variate.

Formarea și dezvoltarea capacitǎții de a comunica utilizând limbajul matematic

1. înțelegerea semnificației globale a informațiilor cu caracter matematic extrase din diferite surse de documentare;

2. expunerea coerentǎ oralǎ sau scrisǎ a propriilor demersuri de rezolvare a unei probleme corelând diverse modalitǎți de exprimare : cuvinte , simboluri matematice , diagrame , tabele , grafice , construcții cu rigla și compasul;

3. angajarea de discuții în cadrul unui grup privind avantajele și dezavantajele utilizǎrii unei metode de rezolvare sau a unei modalitǎți de prezentare a unui demers matematic.

EVALUAREA

1. Probe orale, probe scrise, probe practice.

2. Portofoliul individual ( miniproiecte, rezultate la probe scrise ).

3. Referatul

4. Participarea activă la rezolvarea frontală dirijată a problemelor.

5. Redactarea clară, riguroasă și concisă a unei demonstrații matematice.

6. Rezolvarea problemelor practice prin metode variate.

BIBLIOGRAFIE

1. Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematicǎ, București 2001.

2. Brânzei D. « Bazele raționamentului geometric », Editura Academiei RSR, București, 1983;

3. Dancila I. « Construcții cu rigla și compasul », Editura SIGMA 2003;

4. Gardner M. «  Amuzamente matematice », Editura Științificǎ 1968;

5. Geangălău V. « Construcții geometrice cu rigla și compasul », Eurocart, Iași, 1997 ;

6. Hadamard J. « Lecții de geometrie elementară »,vol. I, Editura Tehnică, București, 1960-1961 ;

PROIECT DIDACTIC

DATA:

UNITATEA DE ÎNVĂȚĂMÂNT: Școala Gimnazială Salcea

CLASA: a VII-a

PROFESOR: Berizovschi Doru Viorel

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe ale naturii

DISCIPLINA: Opțional – Construcții cu rigla și compasul

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Construcții geometrice elementare

SUBIECTUL LECȚIEI: Construcția medianelor în triunghi.

TIPUL LECȚIEI: Lecție de consolidare și sistematizare a cunoștințelor

DURATA LECȚIEI: 50 min

COMPETENȚE GENERALE:

C2.prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice, deducerea proprietăților unor figuri geometrice;

C3. utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea localǎ sau globalǎ a unei situații concrete, a proprietăților calitative și metrice ale figurilor geometrice pentru rezolvarea unor probleme speciale de construcție;

C4.exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora, argumenterea construcțiilor geometrice efectuate utilizând limbajul matematic adecvat.

COMPETENȚE SPECIFICE:

1. identificarea utilizând proprietǎți precizate;

2. utilizarea proprietǎților calitative și metrice în rezolvarea unor probleme;

3. utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietǎți;

4. exprimarea proprietăților figurilor geometrice;

5 exprimarea în limbaj matematic.

VALORI ȘI ATITUDINI:

1.dezvoltarea unei gândiri deschise și creative, dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate;

2. manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive;

3. dezvoltarea spiritului de observație;

4. dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii.

5. formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice;

6. formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională.

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili:

să definească și să recunoască medianele unui triunghi;

să utilizeze corect rigla și compasul în construcția medianelor unui triunghi;

să construiască generalizări și să investigheze valoarea de adevăr a unor enunțuri matematice.

Strategii didactice:

Resurse materiale: Resurse procedurale:

caietul elevului observarea

manual cls. a VII-a ,Teora explicația

culegere Mate 2000 + Consolidare conversația euristică

tabla, trusa de geometrie exercițiul Forme de organizare a lecției: Forme de evaluare:

activitate frontală observarea sistematică

activitate individuală aprecieri verbale

evaluare frontală

evaluare formativă

PROIECT DIDACTIC

DATA:

UNITATEA DE ÎNVĂȚĂMÂNT: Școala Gimnazială Salcea

CLASA: a VII-a

PROFESOR: Berizovschi Doru Viorel

ARIA CURRICULARĂ: Matematică și științe ale naturii

DISCIPLINA: Opțional – Construcții cu rigla și compasul

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Construcții în cerc

SUBIECTUL LECȚIEI: Construcția tangentelor dintr-un punct exterior la cerc

TIPUL LECȚIEI: Lecție mixtă

DURATA LECȚIEI: 50 min

COMPETENȚE GENERALE:

C1. Identificarea  unor date și relații matematice, corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite, etapele de rezolvare a problemelor de construcție cu rigla si compasul ;

C2.prelucrarea datelor de tip cantitativ , calitativ , structural , contextual cuprinse în enunțuri matematice , deducerea proprietăților unor figuri geometrice;

C3. utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea localǎ sau globalǎ a unei situații concrete, a proprietăților calitative și metrice ale figurilor geometrice pentru rezolvarea unor probleme speciale de construcție;

COMPETENȚE SPECIFICE:

1. recunoașterea și descrierea unor configurații geometrice date;

2. identificarea utilizând proprietǎți precizate;

3. stabilirea relației prin metode diferite;

4. utilizarea noțiunilor pentru caracterizarea localǎ a unei configurații geometrice date;

5. exprimarea proprietăților figurilor geometrice;

6. exprimarea în limbaj matematic.

VALORI ȘI ATITUDINI:

1.dezvoltarea unei gândiri deschise și creative, dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate;

2. manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive;

3. dezvoltarea spiritului de observație;

4. dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii.

5. formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice;

6. formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională.

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili:

să definească și să recunoască elementele unui cerc, noțiunile tangenta, secanta;

să utilizeze corect rigla și compasul în construcțiile geometrice;

să construiască generalizări și să investigheze valoarea de adevăr a unor enunțuri matematice.

Strategii didactice:

Resurse materiale: Resurse procedurale:

caietul elevului observarea

manual cls. a VII-a ,Teora explicația

culegere Mate 2000 + Consolidare conversația euristică

tabla, trusa de geometrie exercițiul Forme de organizare a lecției: Forme de evaluare:

activitate frontală observarea sistematică

activitate individuală aprecieri verbale

evaluare frontală

evaluare formativă

Test de evaluare

1. (30p) Definiți următoarele linii importante ale unui triunghi:

Mediana……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………..

Bisectoarea………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………….

Mediatoarea……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

2. (40p) Completați următoarele propoziții:

Punctul de intersecție a mediatoarelor este…………………………………………………………

Medianele triunghiului se intersectează în …………………………………………………………

Mediatoarele triunghiului dreptunghic se intersectează……………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

Centrul cercului înscris triunghiului se află la intersecția …………………………………………

Punctul de intersecție a medianelor se numește …………………………………………………..

Dacă mediatoarele triunghiului se intersectează în exteriorul triunghiului atunci…………………

………………………………………………………………………………………………………

3. (20p) Construiți: a) mediatoarele unui triunghi ascuțitunghic

c) medianele unui triunghi dreptunghic

BIBLIOGRAFIE

1. Botez, M. Șt., Geometrie descriptivă. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.

2. Brânzei, D., Metodica predării matematicii. Editura Paralela 45, 1998.

3. Gavril, Ș., Proiectare didactică la matematică. Sugestii metodologice. Editura Alfa, 2002.

4. Gheorghiev Gh., Geometrie analitică și diferențială. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1968.

5. Luria, S.I., Arhimede. Editura Științifică, București, 1958.

6. Mihu, C. și Iambor, I.P., Curbe plane. Editura Tehnică, București, 1989.

7. Pleșcan, T., Geometrie descriptivă și desen proiectiv. Editura „TEHNICA – INFO”, Chișinău, 2010.

8. Thompson, D.W., On Growth and Form. Cambridge University Press, 1992.

9. Tudose, M., Desen tehnic – Noțiuni introductive. Cls 6 – 8. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.

Adrese de internet:

http://www.didactic.ro/resurse-educationale/invatamant-gimnazial/matematica

http://www.edu.ro/ index.php/articles/c213/

http://en.wikipedia.org

http://mathworld.wolfram.com

CUPRINS

Introducere

CAPITOL. Definiții și proprietăți

Spirala lui Arhimede

Spirala logaritmică

Spirala hiberbolică

Lituus (sau Cârja)

Spirala lui Cornu (sau Spirala lui Euler sau Clotoida)

CAPITOL. Construcții și aplicații

Spirala lui Arhimede.

Construcții

Aplicații

Spirala logaritmică.

Construcții

Aplicații

Spirala hiperbolică.

Construcții

Aplicații

Lituus (sau Cârja)

Construcții Aplicații

Spirala lui Cornu (sau Spirala lui Euler sau Clotoida)

Construcții Aplicații

CAPITOL. Partea metodică

Opțional „Construcții cu rigla și compasul”

Proiecte didactice

Test de evaluare

Bibliografie

Cuprins

BIBLIOGRAFIE

1. Botez, M. Șt., Geometrie descriptivă. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.

2. Brânzei, D., Metodica predării matematicii. Editura Paralela 45, 1998.

3. Gavril, Ș., Proiectare didactică la matematică. Sugestii metodologice. Editura Alfa, 2002.

4. Gheorghiev Gh., Geometrie analitică și diferențială. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1968.

5. Luria, S.I., Arhimede. Editura Științifică, București, 1958.

6. Mihu, C. și Iambor, I.P., Curbe plane. Editura Tehnică, București, 1989.

7. Pleșcan, T., Geometrie descriptivă și desen proiectiv. Editura „TEHNICA – INFO”, Chișinău, 2010.

8. Thompson, D.W., On Growth and Form. Cambridge University Press, 1992.

9. Tudose, M., Desen tehnic – Noțiuni introductive. Cls 6 – 8. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.

Adrese de internet:

http://www.didactic.ro/resurse-educationale/invatamant-gimnazial/matematica

http://www.edu.ro/ index.php/articles/c213/

http://en.wikipedia.org

http://mathworld.wolfram.com