Specializarea : Profesor de Matematică [626420]
UNIVERSITATEA DIN ORADEA
Departamentul pentru Pregătirea Personalului Didactic
Specializarea : Profesor de Matematică
ELEMENTE DE ARITMETICĂ ȘI TEORIA NUMERELOR
ASPECTE METODICO – ȘTIINȚIFICE
Conducător științific: Con f. Univ. Dr. FECHETE IOAN
Autor: Prof. SERE IOANA ALEXANDRA
Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială “Miron Pompiliu”
Localitatea: Ștei
Județul: Bihor
-Oradea 2020 –
2
Cuprins
Argument ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 3
Capitolul 1. Proprietăți aritmetice ale inelelor ………………………….. ……………………… 5
1. Divizibilitatea în inele. Preliminarii ………………………….. ………………………….. … 5
2. Inele factoriale ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 11
3. Factorialitatea inelelor de fracții ………………………….. ………………………….. ……… 16
4. Inele principale și inele euclidiene ………………………….. ………………………….. ….. 18
5. Exemple de inele euclidiene ………………………….. ………………………….. …………… 21
6. Factorialitatea inelelor de polinoame ………………………….. ………………………….. . 31
7. Factorialitatea inelelor de serii formale ………………………….. ………………………… 37
8. Criterii de ireductibilitate pentru polinoame ………………………….. …………………. 38
Capitolul 2. Relația de divizibilitate în N și ℤ ………………………….. ………………………. 45
1. Divizibilitatea în mulțimea numerelor naturale ………………………….. ……………… 45
2. Divizibilitatea în mulțimea numerelor întregi ………………………….. ……………….. 52
Capitolul 3. Aplicații și aspecte metodico -științifice ………………………….. ………………. 75
1. Aplicații ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 75
2. Aspecte metodico -științifice ………………………….. ………………………….. …………… 94
Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 120
Bibliog rafie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 121
3
Argument
Teoria numerelor este denumită “ regina matematicii “. Vorbind de ea, Gauss a
afirmat : “ Este remarcabil că oricine se ocupă serios de această știință, este cuprins de o
adevărată pasiune.“ ( Gauss 1808 – către prietenul său din tinerețe, Bolyai).
Teoria numerelor este azi, o ramură cu multe ramificații, înrudită cu algebra abstractă
(în sp ecial în ceea ce privește teoria algebrică a numerelor ) și care folosește cele mai rafinate
metode ale analizei (în teoria analitică a numerelor). Apar astfel probleme și subdomenii care
au numai indirect legătură cu numerele întregi.
Obiectul inițial al teoriei numerelor a fost studiul proprietăților numerelor întregi. Ca
ramură a matematicii, teoria numerelor s -a constituit sistematic abia mai târziu.
Spre deosebire de alte domenii ale matematicii, multe rezultate ale teoriei numerelor
sunt accesibile și unor nespecialiști , fără cunoștințe temeinice , aprofundate. Demonstrațiile
acestor rezultate necesită un instrument matematic foarte complicat.
Rezultate separate se cunosc încă din antichitate și aparțin lui Euclid (300 î. H.) și lui
Diofante (250 î. H.) . În secolul al XVII –lea, în cercetările sale, Pierre Fermat ( 1601 -1666)
face descoperiri remarcabile, de o reală valoare științifică. Progrese mari a realizat , prin
numeroasele sale lucrări , Leonhard Euler (1707 -1783) ale cărui idei au fost deosebit de
fructuoase.
Alegerea temei ,, Elemente de aritmetică și teoria numerelor. Aspecte metodico –
științifice”, lucrarea realizată în vederea obținerii gradului didactic I, a fost determinată de
faptul că studiul elementelor de aritmetică și teoria numerelor joacă un rol esențial în algebră
și mai ales în viața noastră. Viața, natura, societatea, sunt supuse unor l egi care se exprimă
prin relații matematice stâns legate de teoria numerelor care există, chiar dacă vrem noi sau
nu. De aceea trebuie să acordăm o atenție deosebită acestui capitol important al matematicii.
Prin programa analitică, pentru realizarea competențelor generale ale învățământului
matematic în gimnaziu, este prevăzut să se formeze elevi lor cunoștințe și deprinderi de a
stabili r elații de divizibilitate cât mai devreme, chiar din clasele primare. Elevii vin în contact
4
cu aspec tele legate de teoria numerelor, încă din clasele primare, unde stabilesc , fară a face
împărțirea dacă un număr este divizibil cu un alt num ăr natural, fără a folosi cuvântul
“divizibilitate”. A poi în clasa a V -a elevii vin în contact cu conceptul de divizibilitate , prin
parcurgerea materiei prevăzute în programa școlară, urmând ca în clasa a VI -a să dezvolte
aceste noțiuni și să le a plice în prob leme ce inte rvin în viața cotidiană. În ceea ce privește
perioada învâțământului liceal, elevii dezvoltă studiul conceptel or legate de teoria numerelor și
teoria divizibilității în cazul polinoamelor.
Prezent a lucrare prezintă noțiuni rezultate și aplicații din aritm etica și teoria numerelor
și este structurată în trei capitole.
În primul capitol se face referire la prorietățile aritmetice ale inelelor, capitol în care
am abordat teme care prezintă divizibilitatea în inele, inele factoriale, factorialitatea inelelor de
polinoame, inele principale și inele de polinoame, factorialitatea inelelor de polinoame și
factorialitatea inelelor de serii formale, criterii de ireductibilitate pentru polinoame și am dat
exemple de inele de polinoame.
În capitolul al doilea se cercetează relația de divizibilitate în cazul numerelor naturale
și în cazul numerelor întregi.
În ultimul capitol , am prezentat aplicații și aspecte metodico -științifice cu privire la
divizibilitatea numerelor naturale și a numerelor întregi. În aces t capitol am evidențiat
aspectele practice ale teoriei numerelor prin cele 50 de probleme cu grad diferit de dificultate,
expuse împreună cu soluțiile lor. De asemenea, tot cu referire la partea practică, am evidențiat
trei proiecte didactice utile în cadr ul procesului instructiv -educativ.
5
Capitolul 1 . Proprietăți aritmetice ale inelelor
1. Divizibilitatea în inele. Preliminarii .
Pe parcursul întregului capitol, R va desemna un domeniu de integritate.
Vom nota cu 𝑈(𝑅) mulțimea elementelor inversabile din R; 𝑈(𝑅) cu operația de înmulțire este
un grup abelian numit grupul unităților lui R. Vom nota 𝑅∗=𝑅−{0}.
Exemple :
i) 𝑈(𝑍)={−1,1};
ii) Dacă 𝐾 este corp atunci 𝑈(𝐾)=𝐾∗ și invers, 𝑈(𝐾)=𝐾∗ dacă atunci 𝐾 este corp.
iii) Dacă R este domeniu de integritate, atunci 𝑈(𝑅[𝑋])=𝑈(𝑅). Într-adevăr dacă 𝑓=𝑎0+
𝑎1𝑋+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛 este un element din 𝑈(𝑅[𝑋]) atunci există 𝑔=𝑏0+𝑏1𝑋+⋯+𝑏𝑚𝑋𝑚 un
polinom astfel încât fg=1. Evident că această egalitate implică în mod necesar că m=n=0 și
𝑎0𝑏0=1 adică 𝑓=𝑎0 este un element inversabil în R.
Fie R un domeniu de integritate ; spunem c ă un element 𝑎∈𝑅 divide elementul 𝑏∈𝑅 (sau că
a este un divizor a lui b sau că b este un multiplu a lui a) și scriem a|b dacă există
cR astfel
încât
. b ac= Când a nu e ste divizor a lui b notăm 𝑎∤𝑏.
Notăm cu R(a) sau cu (a) idealul principal generat de 𝑎∈𝑅 adică 𝑅𝑎={𝜆𝑎|𝜆∈𝑅}.
Vom da cele mai simple proprietăți ale relației de divizibilitate.
Propoziția 1. Relația de divizibilitate are următoarele prop rietăți :
1)
|a b Rb Ra
2)
|,a a a R
3) Dacă a|b și b|c atunc i a|c.
4) Dacă 𝑎|𝑏𝑖,𝑖=1,2,3,…,𝑛 atunci 𝑎|𝑐1𝑏1+⋯+𝑐𝑛𝑏𝑛,𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒 𝑎𝑟 𝑓𝑖 𝑐1,𝑐2…𝑐𝑛∈ℕ.
6
5) a|b și b|a
() u U R astfel încât
. b ua=
Demonstrație. 1) Presupunem că a|b deci există
cR astfel încât
. b ac= Dacă
, x Rb
atunci există
R astfel încât
. xb= Cum
b ac= atunci
()x c a= deci
x Ra adică
. Rb Ra
Invers, presupunem că
. Rb Ra Cum
, b Rb atunci
b Ra și deci există
cR astfel încât
b=ac, adică a|b.
2) Relația a|a rezultă din faptul că a=1a.
3) Dacă a|b și b|c atunci există elementele
, R astfel încât
ba= și
, cb= deci
( ) ( ) c a a ==
adică a|c.
4) Cum 𝑎|𝑏𝑖 oricare ar fi
1,2,3,…,in= , există 𝜆𝑖∈𝑅 astfel încât 𝑏𝑖=𝜆𝑖𝑎,
1, 2,..,in= . Deci
1 1 1 1 1 1… … ( … )n n n n n n c b c b c a c a c c a + + = + + = + +
și deci
11| …nn a c b c b++ .
5) Presupunem că a|b și b|a. Înseamnă că există 𝑢,𝑣∈𝑅 astfel încât b=ua și a=bv. Dacă a=0
obținem b=0 și putem lua u=1. Dacă b=0 obținem a=0 și în mod similar putem lua u=1. Dacă
𝑎,𝑏≠0 atunci din relațiile de mai sus obținem a=(uv)a și cum
0a rezultă
1uv= adică
( ). u U R
Invers dacă b=uv, unde 𝑢∈𝑈(𝑅) atunci a|b. Cum
1a u b−= atunci avem și b|a.
Observație . Proprietățile 2 ) și 3) arată că relația de divizibilitate pe R este o relație binară
reflexivă și tranzitivă. Relația de divizibilitate nu este reflexivă așa cum se vede din relațiile
2 | 4
și 4∤2 în inelul ℤ.
Relația de divizibilitate nu este nici antisimetrică așa cum se vede din exemplul 2|-2 și -2|2 dar
2≠-2.
Proprietatea 5) din propoziția 1) permite să definim o altă relație binară pe mulțimea R dacă
𝑎,𝑏∈𝑅 spunem că a,b sunt asociate în divizibilitate și notăm 𝑎~b, dacă a|b și b|a.
Propoziția 2 . Relația "~"are următoarele propietăți :
7
1. 𝑎~𝑏⟺𝑅𝑎=𝑅𝑏.
2. "~" este o relație de echivalență pe R.
3. 𝑎~1⟺𝑎∈𝑈(𝑅)⟺𝑅𝑎=𝑅.
Demonstrație :
1) Rezult ă din afirmația 1) din Propoziția 1)
2) Rezultă din 1) deoarece relația de egalitate pe mulțimea idealelor principale este o
relație de echivalență.
3) Dacă 𝑎~1 atunci a|1 deci există
bR astfel încât 1=ab și a|b. Cum 1|a atunci 𝑎~1 .
Echivalența
() a U R Ra R = este evidentă.
C.m.m.d.c și c.m.m.m.c. a două elemente
Definiția 3 . Fie 𝑎,𝑏∈𝑅. Un element 𝑑∈𝑅 se numește un cel mai mare divizor comun
(prescurtat c.m.m.d.c.) al elementelor 𝑎,𝑏∈𝑅 dacă are următoarele proprietăți :
i) 𝑑|𝑎 și 𝑑|𝑏 adică d este un divizor comun al elementelor 𝑎,𝑏∈𝑅.
ii) Dacă 𝑑′|𝑎 și 𝑑′|𝑏 atunci 𝑑′|𝑑.
Este clar că dacă
12,dd au proprietățile i ) și ii), atunci 𝑑1~𝑑2, și invers, dacă d are proprietățile
i) și ii), atunci orice elemen t asociat în divizibilitate cu d are aceleași proprietăți.
În concluzie , orice două elemente
1d și
2d care sunt fiecare un cel mai mare divizor comun al
elementelor a și b se gă sesc în aceiași clasă de echivalență relativ la relația "~".
Din aceste motive vom nota cu (a,b) sau c.m.m.d.c. (a,b) orice element care este un cel mai
mare divizor comun, adică nu vom face nici o distincție între elementele asociate.
Două elemente a și b din R se numesc prime între ele dacă (a,b)=1. Cu această convenție
putem da proprietățile cele mai importante ale c.m.m.d.c. a două elemente :
8
Propozi ția 4. Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea că pentru orice două elemente
există un c.m.m.d.c. Atunci următoarele afirmații sunt adevărate :
1)
( , ) |a b a a b=
2)
( ,0)aa=
3) Dacă
( , )a b d= , unde
0a și
0b și scriem
'a da= și
'b db= atunci (𝑎′,𝑏′)=1.
4)
( , ) ( , )ac bc c a b=
5)
( ,( , )) (( , ), )a b c a b c=
Demonstrație: 1) și 2) sunt evidente.
3) Fie 𝑑′=(𝑎′,𝑏′). Cum 𝑑′|𝑎′ și 𝑑′|𝑏′ atunci evident
'|d d a și
'|d d b și deci
'|.d d d
Cum 𝑑′≠0 atunci 𝑑′|1 adică 𝑑~1 ceea ce arată că (𝑎′,𝑏′)=1.
4) Fie
( , )d a b= și
'( , ).d ac bc= Evident putem presupune că
0d și
0.c Cum
( , )d a b=
atunci
'a da= și
'b db= și deci
'() ac dc a= și
'() bc dc b= ceea ce implică că 𝑑𝑐|𝑑′
adică 𝑑=(𝑑𝑐)𝑑′′. Deoarece 𝑑′=(𝑎𝑐,𝑏𝑐) obținem că 𝑏𝑐=𝑑′𝜆 și 𝑏𝑐=𝑑′𝜇 de unde rezult ă
𝑎𝑐=𝑑𝑐𝑑′′𝜆 și 𝑏𝑐=𝑏𝑐𝑑′′𝜇 sau 𝑑𝑐𝑎′=𝑑𝑐𝑑′′𝜆 și 𝑑𝑐𝑏′=𝑑𝑐𝑑′′𝜇. Cum 𝑑𝑐≠0 atunci 𝑎′=
𝑑′′𝜆 și 𝑏′=𝑑′′𝜇 ceea ce implică 𝑑′′|𝑎′ și 𝑑′′|𝑏′. Cum (𝑎′,𝑏′)=1 atunci 𝑑′|1 adică 𝑑′′este
inversabil și deci 𝑑′~𝑑𝑐 ceea ce trebuia demonstrat.
5) Rezultă din definiția 3. Proprietatea 5 din propoziția 1.4 ne permite s ă extindem
noțiunea c.m.m.d.c. la un număr finit de elemente : dacă
12, ,… ,n a a a R atunci definim
1 2 1 2 . . . . .( , ,… ) . . . . .( , ,…), )nn c m m d c a a a c m m d c a a a =
pe care îl vom nota mai simplu
12( , ,… ).n a a a
Alături de c.m.m.d.c. apare și conceptul de cel mai mic multiplu comun (prescurtat
c.m.m.m.c.) .
Definiția 5. Fie a,b∈𝑅. Un element m∈𝑅, se numeșt e un c.m.m.m.c. al numerelor a și b dacă
are următoarele proprietăți :
i) a|m și b|m adică m este un multiplu comun al numerelor a și b.
ii) Dacă a|m’ și b|m’ atunci m|m’.
Din definiția 1.5 rezultă imediat că c.m.m.m.c. a două elemente (dacă există) este unic,
abstracție facând de o multiplicare cu un element inversabil. Din aceste motive vom nota [a,b]
sau c.m.m.m.c. (a,b) orice element care este un cel mai mic multiplu comun .
9
Teorema 6. Fie R un domeniu de integritate. Următoarele afirmații sunt adevărate :
1) Pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c.
2) Pentru orice două elemente există un c.m.m.m.c.
3) Intersecția oricăror două ideale principale este un ideal principal. În plus, dacă este
verifi cată una din condițiile echivalente de mai sus , atunci pentru orice 𝑎,𝑏∈𝑅 avem
egalitatea (𝑎,𝑏)∙[𝑎,𝑏]=𝑎𝑏.
Demonstrație : Să arătăm mai întâi că 2)⇒3). Este ușor de văzut că dacă m=[a,b], atunci
Rm Ra
și
Rm Rb adică
. Rm Ra Rb Dacă
'm Ra Rb , atunci a|m’ și b|m’ și deci
m|m’ adică
'm Rm și deci avem și incluziunea
Ra Rb Rm și deci
. Rm Ra Rb= Invers
se arată ușor că dacă
, Rm Ra Rb= atunci
[ , ].m a b=
1)⇒2) Fie 𝑎,𝑏∈𝑅. Dacă a=0 sau b=0, atunci [𝑎,𝑏]=0. Deci presupunem că 𝑎≠0
și 𝑏≠0și fie 𝑑=(𝑎,𝑏). Înseamnă că 𝑎=𝑑𝑎′ și 𝑏=𝑑𝑏′ unde (𝑎′,𝑏′)=1.Să notăm
''abm a b abd= = =
și să dovedim că 𝑚=[𝑎,𝑏]. Se vede că a|m și b|m. Fie acum
'mR
astfel încât a|m’ și b|m’ deci exist ă 𝜆𝜇∈𝑅, astfel încât 𝑚′=𝑎𝜆=𝑏𝜇. Deci 𝑑𝑎′𝜆=𝑑𝑏′𝜇 și
cum
0d rezultă că 𝑎′𝜆=𝑏′𝜇. Cum (𝑎′,𝑏′)=1,atunci din propoziția 1.4 rezultă că 𝜆=
(𝑎′𝜆,𝑏′𝜆)=(𝑏′𝜇,𝑏′𝜆) și deci 𝑏′|𝜆 adică 𝜆=𝑏′𝜆1. Deci 𝑚′=𝑎𝜆=𝑎𝑏′𝜆1=𝑚𝜆1 adică m|m’.
2) 1) . Evident că putem presupune că
0a și
0b și fie
[ , ].m a b= Atunci există
', ' ,a b R
astfel încât
' '. m aa bb== Deoarece
|a ab și
|b ab atunci
|,m ab și deci există
, dR
astfel încât
. ab md= Să dovedim că
( , ).d a b= Deoarece
' ' , ab aa d bb d== obținem
prin simplificare că
' b a d= și
' a b d= și deci
|da și
|.db Fie
'|da și
' | .db Deci
1' a d a=
și
1'. b d b= Punem
1 1 1 1 ' ' .m d a b ab ba= = = Deci
|'am și
|'bm de unde rezultă
|'mm adică
'm mc=
și deci
' ' ' .d m d mc= Cum
2
1 1 1 1 ' ' ' ( ' ) ( ' ) ,d m d a b d a d b ab= = = = obținem că
' ab d mc=
sau
' md d mc= și prin simplificare rezultă că
', d d c= adică
' | .dd
Elemente prime și elemente ireductibile într -un inel
Definiție 7. Fie
R un domeniu de integritate. Un element 𝑝∈𝑅 se numește prim dacă :
i)
0p și
( ). p U R
10
ii)
||p ab p a sau
|.pb
Un e lement q din R se numește ireductibil dacă
i)
0q și
() q U R
ii) Dacă q=ab ⇒ a sau b este inversabil.
Este evident că un element asociat cu un element prim (respectiv ireductibil) este prim
(respectiv ireductibil).
Următoarea teoremă caracterizează elementele prime și ireductibile într -un inel oarecare.
Teorema 8. Fie p și q două elemente nenule dintr -un domeniu de integritat e R.
1) p este un element prim dacă și numai dacă i dealul principal (p) este prim.
2) q este un element ireductibil dacă și numai dacă idealul (q) este maximul în mulțimea
idealelor principale și proprii ale lui R.
3) Orice element prim este ireductibil.
4) Dacă inelul R are proprietatea că pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c. ,
atunci orice element ireductibil este prim .
Demonstrație .
1) Presupunem c ă p este element prim în R și fie
,a b R astfel încât
( ). ab p Deci
există
R cu
ab p= adică
|.p ab Deci
|pa sau
|pb de unde rezultă că
()ap sau
()bp
și prin urmare idealul (p) este prim. Invers, presupunem că (p) este un ideal prim și
presupunem că
|.p ab Atunci
() ab p și deci
()ap sau
()bp adică
|pa sau
|.pb Deci p
este un element prim în R.
2) Presupunem că q este ireductibil și fie 𝑎∈𝑅, astfel încât (𝑞)⊂(𝑎)⊄𝑅. Atunci a|q și
deci există 𝑏∈𝑅, astfel încât b=ab . Cum a nu este inversabil, deoarece (𝑎)≠𝑅 rezultă că b
este inversabil și deci q|a adică (𝑎)⊂(𝑞) și deci (𝑎)=(𝑞). Pentru implicația inversă se
parcurge raționamentul de mai sus.
3) Fie p=ab, unde p este un element prim ; atunci p|ab și deci p|a sau p|b. Dacă p|a,
atunci a=pa’ și prin urmare p=pa’b de unde rezultă a’b=1 adică b este inversabil. Analog
se arată că dacă p|b rezultă că a este inversabil. Deci p este ireductibil.
11
4) Presupunem că q este ireductibil și că q|ab. Fie d=(q,a). Cum d|q rezultă că d este
inversabil sau că d este asociat î n div izibilitate cu q. În caz ul că d este inversabil, atunci
1=(q,a) și deci b=(qb,ab) și cum q|ab rezultă că q|b. Dacă q este asociat î n divizibilitate cu d,
atunci q|d și cum d|a rezultă q|a. În concluzie , q este un element prim în R.
Observație. Într-un domeniu de integritate oarecare noțiunile de element prim și element
ireductibil sunt în general distincte așa cum rezultă din exemplul următor :
Considerăm mulțimea 𝑅=ℤ[𝑖𝑅√5]={𝑎+𝑖𝑏√5|𝑎,𝑏∈𝑅},care este un subinel al
corpului ℂ. Considerăm funcția 𝜑:ℤ[𝑖𝑅√5]→ℕ,
22( 5) 5 .a ib a b+ = + Este ușor de văzut că
dacă 𝑧𝑧′∈ℤ[𝑖√5], atunci 𝜑(𝑧∙𝑧′)=𝜑(𝑧)∙𝜑(𝑧′). Rezultă ușor că
( [ 5]) ( ) 1 ( ) 1. z U i z z
− = =+
Cum ℤ⊂ℤ[𝑖𝑅√5] avem în ℤ[𝑖𝑅√5] descompunerea
6 2 3 (1 5)(1 5). ii = = + −
Se verifică ușor folosind funcția
, că elementele
2,3,1 5,1 5 ii+−
sunt ireductibile , dar nu sunt prime în ℤ[𝑖𝑅√5].
Într-adevăr , să arătăm că 3 este ireductibil. Fie
123,zz= unde
1 1 1 5 z a ib=+ și
2 2 2 5. z a ib=+
Din
1 2 1 2 (3) ( ) ( ) ( ) z z z z == obținem că
2 2 2 2
1 1 2 2 9 ( 5 )( 5 )a b a b= + + și deci
22
115 ab+=
1,3 sau 9. Egalitatea
22
1150 ab+= implică
1 1 a
−=+ și
10,b= adică
1z este
inversabil. Egalitatea
22
1153 ab+= este imposibilă , dar egalitatea
22
1159 ab+= implică
2( ) 1z=
adică
2z este inversabil. Deci 3 este ireductibil în ℤ[𝑖𝑅√5]. Similar se arată că
2,1 5,1 5 ii+−
sunt ireductibile în ℤ[𝑖𝑅√5].
Dacă 3 ar fi prim , atunci cum
3| (1 5)(1 5) ii+− obținem
3 |1 5 i+ și
3 |1 5, i−
adică
1 5 3( 5)i a ib+ = + și
1 5 3( 5)i a ib− = − cu 𝑎,𝑏∈ℤ. Deci 3a=1 contradicție.
2. Inele factoriale
Propoziția 1. Fie
R un domeniu de integritate. Dacă
12, ,…n p p p sunt elemente prime , iar
12, ,…m q g q
sunt elemente ireductibile astfel încât
11… …nm p p q q=
12
atunci
mn= și există o permutare
nS , astefel încât
ip și
()iq sunt asociate, oricare ar fi
1,2,…, .in=
Demonstrație : Vom proceda prin induc ție după
n . Dacă
1,n= din egalitatea
11 …m p q q=
avem faptul că
1p este ireductibil rezultă
1m= deci
11 . pq=
Presupunem că
1.n Cum
11/ …m p q q și
1p este prim, există
kq astefel încât
1/.k pq Cum
kq
este ireductibil rezultă că
1p și
kq sunt asociate. Renumerotând elementele
1…m qq putem
presupune că
1p și
1q sunt asociate. Deci
11q p u= unde
( ). u U R Înlocuind pe
1q în
egalitatea din enunț obținem
1 1 2… … .nm p p p uq q= Simplificând cu
1p obținem egalitatea
22… ( )… .nm p p uq q=
Cum
2uq este ireductibil, putem aplica ipoteza de inducție. Deci
1 1,nm− = −
adică
mn= și abstracție facând de o renumerotare a elementelor
2…m uq q avem
𝑝2~𝑢𝑞2, 𝑝𝑖~𝑢𝑞𝑖, oricare ar fi
2.i Cum
u este inversabil avem că 𝑝2~𝑢𝑞2. Deci, 𝑝𝑖~𝑢𝑞𝑖
oricare ar fi
1.i
Propoziția 2. Fie
R un domeniu de integritate și
,.a b R Dacă elementul
ab este un produs
de elemente prime , atunci atât a, cât și b este un produs de elemente prime (inversabile).
Demonstrație : Presupunem c ă
1…n ab p p= , unde
1… .n pp Vom proceda prin inducție după
.n
Dacă
1n= atunci
1. ab p= Cum
1p este ireductibil, atunci
a este asociat în divizibilitate cu
1p
și
beste inversabil sau
b este asociat în divizibilitate cu
1p și
beste inversabil . În primul
caz
a este prim ; în cel de -al doilea caz
b este prim. Presupunem că
1.n Cum
1|p ab rezultă
că
1|pa sau
1|.pb Să presupunem că
1|;pa atunci
1 a p c= și înlocuind obținem că
11 … ,n p bc p p=
sau simplificând cu
1,p rezultă că
2… .n bc p p= Aplicând ipoteza de inducție
rezultă că
b și
c sunt produse de elemente prime (sau inversabile) și deci
a este un produs
de elemente prime.
Definiția 3. Un domeniu de integritate R se numește factorial dacă orice element nenul și
neinversabil al lui R este produs de elemente prime ale lui R.
Deoarece relația de asociere este o relație de echivalență pe mulțimea R, putem vorbi
de un sistem de reprezentanț i de elemente prime pe care îl vom nota cu
( ) .i i I Pp= Deci
()i i Ip
are următoarele proprietăți :
13
i) Dacă
, , ,i j I i j atunci elementele
ip și
jp nu sunt asociate în divizibilitate.
ii) Dacă
p este un element prim al lui
,R există
iI astfel încât
i pp
(
ip este unic).
De exemplu , în inelul ℤ un sistem de reprezentanți de elemente prime poate fi mulțimea
{2,3,5,7,11,…}.P=
Un alt sistem de reprezentanți de elemente prime este și mulțimea
'{ 2, 3, 5, 7, 11,…}.P= − − − − −
Dacă inelul R este factorial , iar
()i i Ip este un sistem de reprezentanți de elemente prime,
atunci este evident că orice
aR ,
0a se poate scrie sub forma
im
i
iIap
=
(1)
Unde
( ), u U R
0im și numai un număr finit dintre numerele
()i i Im sunt nenule. Mai
mult, conform propoziției 2.1 . scrierea lui
a sub forma (1) este unică, în sensul că numerele
im
sunt unic determinate.
Propoziția 4. Fie
R un inel factorial. Dacă
,a b R sunt două elemente nenule scrise sub
forma (1) adică
im
i
iIa u p
=
și
in
i
iIb v p
= ,
atunci elementul
, min( )ijmn
i
iIdp
= (respectiv
, max( )ijmn
i
iImp
= ) este c.m.m.d.c. (respectiv
c.m.m.m.c.) al numerelor a și b.
Demonstrație. Se vede imediat că
|da și
|.db Fie
'dR astfel încât
'|da și
' | .db
Deoarece
R este factorial, putem scrie
',i
i
iId w p
= unde
( ), w U R
0,is și numai un
număr finit dintre numere
()i i Is sunt nenule.
Utilizând propoziția 2.1. din faptul că
'|da rezultă că
,iism oricare ar fi
.iI Analog din
'|db
rezultă că
,,iis n i I și deci
min( , ), ,i i is m n i I ceea ce implică
' | .dd
Teorema 5. Fie
R un domeniu de integritate . Următoarele afirmații sunt adevărate :
14
1)
R este factorial.
2) Orice element nenul și neinversab il al lui R se scrie în mod unic ca un produs de
elemente ireductibile.
3) Orice element nenul și neinversabil este un produs de elemente ireductibile și orice
element ireductibil este prim.
4) Orice element nenul și neinversabil este un produs de elemente ireductibile și pentru
orice două elemente există un c.m.m.d.c. (sau un c.m.m.m.c.).
5) Orice ideal prim nenul al lui R conține un element prim.
6) a) Orice lanț ascendent de id eale principale este staționar, adică dacă
12 … …n Ra Ra Ra
este un lanț ascendent de ideale principale, există un n, astfel încât
1…nnRa Ra+==
b) Intersecția a două ideale pricipale este un ideal principal.
Demonstație :
1 2. Rezultă din propoziția 2.1.
2 3.
Trebuie să dovedim că dacă
q este ireductibil, atunci
q este prim. Presupunem că
|q ab
atunci
. ab qc= Dar
1… ,s a q q=
12' '…. ',r b q q q=
1"… ",t c q q= unde
1 1 1… , '…. ' ''… ''s r t q q q q q q
sunt elemente ireductibile. Din egalitatea
1 1 2… , ' '…. ' ''… ''s r r t q q q q q qq q =
și din faptul că scrierea unui element ca produs de elemente
ireduct ibile este unică, rezultă că există
kq sau
1'q , astfel încât 𝑞~𝑞𝑘 sau 𝑞~𝑢𝑞1, deci
|qa
sau
|.qb Deci
q este prim.
3) 1)
. Este evidentă.
1) 4)
. Rezultă din propoziția 2.4 . iar
4) 3) rezultă din teorema 1.8.
1) 5)
. Dacă
p este un ideal prim nenul al lui R, există
, ap
0.a Cum
a este
neinversabil, atunci
1… ,n a p p= unde
1…n pp sunt elemente prime. Cum
1…n p p p rezultă
că există
1,kn astfel încât
.kpp
5) 1).
Notăm cu
{ | 0, ( )S a R a a U R= și
aeste un produs de elemente prime }. Este
clar c ă
S este un sistem multiplicativ închis. Pentru a încheia demonstrația este suficient să
arătăm că dacă
, aR
0a și
() a U R atunci
. aS Prin reducere la absurd presupunem
că
. aS Din propoziția 2.2. rezultă că
( ) .aS = Înseamnă că aplicând lema lui Zorn,
15
există
p
− maximal cu proprietatea
pS
− = și
( ) .ap Să dovedim că
p
− este ideal prim.
Fie, pentru aceasta,
,, R astfel încât
,. p
− Dacă
p
− și
,p
− atunci
S și
S
(deoarece în cazul în care
S−
rezultă că avem
_
() pp
=+ și deci
( ( )) 0.pS+
Rezultă că există
1sS de forma
1 1 1sa=+ cu
1ap . Similar , din faptul că
( ( )) 0,pS+
există
2 , sS astfel încât
22 ' sa=+ cu
2 . ap
− Atunci
1 2 1 2 ( ')( ') s s a a = + +
de unde rezultă că
12 , s s p
− contradicție.
Cum
,, S rezultă că
și
sunt produse de elemente prime și deci cum
este un
produs de elemente prime, adică
, pS
− contradicție.
1) 6)
Considerăm șirul ascendent de ideale
12 … …n Ra Ra Ra
Atunci rezultă că
1|,naa oricare ar fi
n . Cum inelul
R este factorial, atunci
1a este un produs
finit de elemente. Deci
1a are un număr finit de divizori și prin urmare există un
0n astfel încât
oricare ar fi
0 nn ,
na și
1na+ sunt asociate în divizibilitate și deci
1,nnRa Ra+= oricare ar fi
0. nn
6) 1).
Ținând cont de teorema 1.6., este suficient să dovedim că orice element din
R nenul
și neinversabil este un produs finit de elemente ireduc tibile. Prin reducere la absurd vom
presupune că afirmația nu este adevărată și fi e
a un element de acest fel. Vom nota cu
{ | 0, ( )X a R a a U R=
și
a nu este un produs finit de elemente ireductibile }. Deci
0.X
Dacă
, aX atunci
a este ireductibil ; deci exist ă
11,,a b R astfel încât
11 a a b= și
11, ( ).a b U R
Evident unul dintre elementele
11,ab nu aparține mulțimii X. Să presupunem că
1 . aX
În particular,
1a nu este ireductibil. Dacă există
22, ( ),a b U R astfel încât
1 2 2 . a a b=
Unul din elementele
22,ab nu aparține mulțimii X, deci putem presupune că
2 . aX
Continuând procedeul găsim șirurile de elemente :
1 ()nna și
1 ()nnb astfel încât
11,n n na a b++=
unde
, ( )nna b U R și
11. a a b= Deoarece
( ),nb U R atunci șirul de ideale
12 …n Ra Ra Ra
este strict crescător, deci o contradicție.
16
3. Factorialitatea inelelor de fracții
Fie
R un domeniu de integritate și
SR un sistem multiplicativ închis al lui
;R vom nota
cu
1SR− inelul de fracții asociat . Evident că
1SR− este conținut în corpul de fracții al lui
.R
Propoziția 1. Dacă
R este un inel factorial, atunci
1SR− este un inel factorial.
Demonstrație . Fie
, pR un element prim astfel încât
p nu divide nici un element al
mulțimii
;S atunci
p este un element prim și în inelul
1. SR− Într-adevăr,
p este nenul și
neinversabil în
1,SR− deoarece
p nu divide nici un element al lui
.S Presupunem că
| ; ,abp a b Rst
și
,.s t S Deci
a b p c
s t s r = unde
.rS Există
,,u v S astfel încât
. uab pcv=
Cum
p este prim, atunci
|pu sau
|pa sau
|.pb Cum situația
|pu este
imposibilă, atunci avem
|pa sau
|pb și deci
|aps și
|bps în inelul
1. SR−
Fie acum
a
s= un element oarecare din inelul
1. SR− Cum
R este factorial ,
atunci
1…n a p p= , unde
1…n pp sunt elemente prime care divid cel puțin un element din
.S
Rezultă că în inelul
1SR− avem :
1 1 1 1… … …1 1 1 1 1 1n r r r p p p p p pasus− += = =
unde am notat cu
1…rnppus+= care este elementul inversabil în
1. SR− Deci
este în
1SR−
egal cu produsul a
r elemente prime.
Fie
R un domeniu de integritate oarecare și
()i i Ip o mulțime nevidă de elemente
prime ale lui R. Vom nota cu
S sistemul multiplicativ generat de această mulțime, adică un
element din
S este un produs finit din elemente
()i i Ip și un element inversabil al lui
.R
Următoarea teoremă constituie o rec iprocă a propoziției 3.1 .:
17
Teorema 2. Fie
R un domeniu de integritate cu proprietatea că orice lanț asce ndent de
ideale principale este s taționar. Fie
()i i Ip o mulțime de elemente prime și
S sistemul
multiplicativ generat de această mulțime. Dacă inelul
1SR− este factorial, atunci
R este
factorial.
Demonstrație. Conform teoremei 2.5. este suficient să dovedim că orice ideal nenul
p
− al lui
R
conține un element prim. Dacă
pS
− , atunci este evident că
p
−conține un element
prim din mulțimea
( ) .i i Ip Presupunem deci că
. pS
− = Vom nota
1{ | , }aS p a p s Ss−
−−=
care este un ideal prim al inelului
1. SR− Cum
1SR− este inel factorial, atunci
1Sp−
− conține un
element prim ; fie acesta
q
s , unde
. qp
− Cum
s este inversabil, atunci
1Sp−
− conține
elementul
.1q Putem alege elementul
q astfel încât să nu fie divizibil cu nici un element
.ip
Intr-adevăr , dacă
q este divizibil cu
,ip atunci
'i q p q= și cum
,ipp
− rezultă
'qp
− și în
plus
1q și
'
1q sunt asociate în divizibilitateîn inelul
1. SR− Deci putem înlocui pe
1q cu
'.1q
Continuând procedeul de dividere de elemente
,jp deoarece inelul
Rsatisface condiția
lanțurilor ascendente pentru idealele principale, după un număr finit de pași găsim un element
0
1q
cu
0qp
− astfel încât
1q și
0
1q sunt asociate în divizibilitate și
0q nu se mai divide cu
niciun element
( ).ip i I
Să dovedim acum că
q este un element prim. Fie
|q ab în R. Atunci
|1 1 1q a b în
1SR− și cum
1q
este element prim în
1,SR− obținem
|11qa și
|.11qb Presupunem că
|.11qa Deci
11a q c
s=
și deci
sa qc= în
,R unde
.sS Fie
1… ;
r ii s p p= atunci avem
1… .
r iip p a qc= Cum
q nu se
18
divide cu nici un
ip rezultă că
1…
r iipp divide pe
c și deci
1… '.
r ii c p p c= Înlocuind și făcând
simplificările , obținem că
' a qc= adică
|qa și deci
q este un element prim în R.
4. Inele principale și inele euclidine
Un inel se numește pricipal dacă este un domeniu de integritate și orice ideal al său este
principal.
Teorema 1. Dacă
R este un inel principal , atunci
R este factoria l.
Demonstrație. Conform teoremei 2.5 ., afirmația 6), este suficient să dovedim că orice lanț
ascendent de ideale este staționar.
Fie pentru aceasta lanțul ascendent de ideale
12 … …n I I I
Vom nota cu
1.nnII
== Este evident că
I este un ideal. Cum inelul
R este principal, atunci
există
, aR astfel încât
. I Ra= Cum
, aI atunci
1nnaI
= și deci există un
1,r astfel
încât
.raI Deci
,r Ra I adică
r II și, în particular,
,krII oricare ar fi
1.k În
particular, dacă
, kr obținem
,k r kI I I și deci
.rkII= Deci
1…rrII+== .
Teoreme 2. Fie
R un inel principal și
,.a b R Dacă
d este un c.m.m.d.c. al elementelor
a și
,b
atunci există
,, R astfel încât
. d a b=+
În particular, elementele
a și
b sunt prime între ele dacă și numai dacă există
,, R astfel
încât
1. ab=+
19
Demonstrație. Considerăm idealul
Ra Rb+ care fiind principal, există
, dR astfel încât
. Ra Rb Rd+=
Cum
, d Rd atunci există
, R astfel încât
. d a b=+ Cum
, Ra Ra Rb+
atunci
Ra Rd și deci
|.da Analog avem și relația
|.db
Fie
',dR astfel încât
'|da și
' | ;db atunci
' | ,d a b+ adică
' | .dd Deci
d este un
c.m.m.d.c.. Cum orice alt c.m.m.d.c. al numerelor
a și
beste asociat cu
d , atunci rezultă
imediat p rima afirmație din teorema 4.2.
A doua afirmație rezultă imediat din prima , folosind definiția eleme ntelor prime
între ele.
În continuare vom introduce noțiunea de inel eucli dian.
Definiția 3. Se numește inel euclidian un domeniu de integritate R pentru care există o
funcție
{0} ,RN= − → având proprietatea următoare : oricare ar fi
, , 0,a b R b există
,,q r R
astfel încât
(1)
a bq r=+ , unde
0r= sau
( ) ( ).rb
Egalitatea din (1) se numeș te formula împărțirii cu rest în inelul euclidian R. Elementele
q și
r
se numesc câ tul, respectiv restul împărțirii.
Legătura dintre inelele euclidiene și inelele principale este dată de următoarea teoremă :
Teorema 4. Dacă R este un inel euclidian, atunci R este un inel principal. În particular , orice
inel euclidian este factorial.
Demonstrație. Fie
I un ideal al lui R. Dacă
(0),I= atunci
I este un ideal principal. Deci
putem presupune
(0).I Vom nota cu
{ ( ) | , 0}.A a a I a= Cum
A și 𝐴⊂ℕ există
un cel mai mic element al lui
;A fie acesta
0.n Atunci există
0, nI astfel încât
00 ( ). na=
Vom dovedi că
0. I Ra= Cum
0, aI este evidentă incluziunea
0 . Ra I Invers fie
.xI
Cum
00, a atunci există
,,q r R astfel încât
0 , x a q r=+ unde
0r= sau
0 ( ) ( ).ra
20
Dacă
0,r atunci
0 r x a q I= − și deci
( ) .rA Cum
00 ( ) ( ) ,r a n= obținem o
contradicție. Deci trebuie ca
0r= și
0, x a q= adică
0. x Ra Prin urmare are loc egalitatea
0. I Ra=
Observație . Reciproca teoremei 4.4. nu este adevărată. Există inele principale care nu sunt
euclidiene. De exemplu ℤ[1+𝑖√19
2]={𝑎+𝑏(1+𝑖√19
2)|𝑎,𝑏∈ℤ} este un inel principal care nu
este euclidian.
În cazul în care inelul R este euclidian se poate determina un c.m.m .d.c. a două
elemente prin aplicarea de un număr finit de ori a formulei împărțirii cu rest. Mai exact , fie
,.a b R
Dacă
0b= , atunci
( ,0) .aa= Deci presupunem că
0.b Aplicând formula
împărțirii cu rest , avem egalitatea
(
1E)
11 a bq r=+ cu
10r= sau
1( ) ( ).rb
Dacă
10,r aplicăm din nou formula împărțirii cu rest și găsim elementele
22,qr astfel încât
(
2E)
1 2 2b rq r=+ cu
20r= sau
21( ) ( ).rr
Repetând acest procedeu , obținem elementele
234, , … ,…n q q q q și
234, , … ,…n r r r r din R, astfel
încât
(
3E)
1 2 3 3r r q r=+ cu
30r= sau
32( ) ( ).rr
……………………………………………………………………………
(
nE)
21n n n nr r q r−−=+ cu
0nr= sau
1 ( ) ( )nnrr−
(
1nE+ )
1 1 1n n n nr r q r− + +=+ cu
10nr+= sau
1( ) ( )nnrr+
Cum
1 2 1( ) ( ) … ( ) ( ) …nn r r r r + și cum ℕ este bine ordonată există un număr
natural n, astfel încât
0nr și
10.nr+=
21
Vom arăta că
nr este un c.m.m.d.c. al elementelor
a și
.b Cum
11 ,n n nr r q−+= rezultă
1|.nnrr−
Dar deoarece
21 ,n n n nr r q r−−=+ rezultă că
2|.nnrr− În continuare , folosim egalitatea
3 2 1 1n n n nr r q r− − − −=+
și ținând cont de egalitățile (
nE ), rezultă că
nr divide elementele
1 2 2 1, ,… , .nnr r r r−−
Din egalitatea
2()E rezultă că
|,nrb iar din egalitatea
1()E obținem că
|.nra Deci
nr este un
divizor comun al elementelor
a și
.b Din
1()E obținem că
11r a bq=− și deci
1' | .dr Din
egalitatea
2()E obținem
2 1 2 . r b r q=− Cum
1'|dr și
' | ,db atunci
2'| .dr
Acum, folosind egalitățile
3()E ,…,
()nE ,… obținem că
'd divide elementele
3 4 1, ,…, , .nn r r r r−
Așadar
nr (ultimul rest nenul) este un c.m.m.d.c. al elementelor
a și
.b
Șirul de egalități
3()E ,…,
()nE ,…, poartă denumirea de algoritmul lui Euclid.
5. Exemple de inele euclidiene
1. Inelul (ℤ,+,∙) este un inel euclidian.
Într-adevăr , în acest inel are loc formula împărțirii cu rest ; dac ă 𝑎,𝑏∈ℤ cu 𝑏≠0, există
𝑞,𝑟∈ℤ unic determinate cu proprietatea
(1)
a bq r=+ , unde
0 | | .rb
Evident că dacă considerăm funcția
𝜑:ℤ−{0}→ℕ
;0
;0 ( ) | | {nn
nn nn
−==
această funcție satisface proprietatea (1) din definiția 4.3.
22
Observație. Formula (1) se poate pune sub forma următoare : dac ă 𝑎,𝑏∈ℤ cu
0,b
există 𝑞0,𝑟0∈ℤ, astfel încât
(2)
00 a bq r=+ , unde
0| | .2br
În general , numerele
0q și
0r nu sunt unic determinate.
2. Fie
K un corp comutativ. Inelul de polinoame într -o singură variabilă
[]KX este
un inel euclidian. Într-adevăr , fie
, [ ]f g K X cu
0.g Vom dovedi că există două
polinoame
, [ ]q r K X astfel încât
(3)
, f gq r=+ unde grad
r <grad
.g
Într-adevăr , fie
01 …n
n f a a X a X= + + + și
01 … ,m
m g b b X b X= + + + unde
0mb și
0.m
Vom demonstra că există formula (3) prin inducție după
. gradf n=
Dacă
n grad
,g atunci punem
0g= și
. rf=
Dacă
n grad
,g considerăm polinomul
1'.nm
mn f f b a X g−−=− Se observă imediat că
grad
'fn și conform ipotezei de inducție , există polinoamele
', 'qr astfel încât
' ' 'f gq r=+
unde
grad r' grad g sau
1''nm
mn f b a X g gq r−−= = + de unde
1( ' ) '.nm
mn f g q b a X r−−= + +
Notând
1'nm
mn q q b a X−−=+ și
' rr= obținem
, f gq r=+ unde
grad r grad g. Formula (3)
ne sugerează să considerăm funcția
: [ ] {0} , ( )K X N f gradf− → =
care se vede imediat că satisface proprietatea (1) din definiția 4.3.
3. Fie
K un corp comutativ. Inelul de serii formate într -o singură variabilă
[[ ]]KX este un
inel euclidian.
23
Într-adevăr , dacă
01 … …n
n f a a X a X= + + + + este o serie formală, atunci
f este un element
inversabil în
[[ ]]KX dacă și numai dacă
00. a Rezultă că orice
[[ ]], f K X
0f este de
forma
,nf X u= unde
u este element inversabil în
[[ ]],KX iar
n este unic determinat.
În particular , rezultă că dacă
, [[ ]],f g K X atunci avem
|fg sau
|.gf Definim funcția
: [[ ]] {0} , () ,K X N n − → =
unde 𝑛∈ℕ cu proprietatea că
,nf X u= unde
u este un elem ent
inversabil în
[[ ]].KX Este evident că
satisface proprietatea (1) din definiția 4.3.
4. Fie 𝑎,𝑏∈ℤ și fie
o rădăcină a ecuației
(4)
20 x ax b+ + =
Vom nota cu ℤ[𝜃]={𝑚+𝑛𝜃|𝑚,𝑛∈ℤ}. ℤ[𝜃] are următoarele proprietăți :
i) ℤ[𝜃] este un subinel a lui ℂ și ℤ⊂ℤ[𝜃]. Într-adevăr, dacă 𝑚∈ℤ, atunci putem
scrie
0 mm= + și deci 𝑚∈ℤ[𝜃]. Deci ℤ⊂ℤ[𝜃]. Dacă 𝑧1,𝑧2∈ℤ[𝜃]. atunci
există numerele întregi
11,,mn astfel încât
1 1 1z m n=+ și există numerele întregi
𝑚2,𝑛2∈ℤ, astfel încât
2 2 2 . z m n =+ Dar cum
1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , z z m m n n + = + + +
rezultă că 𝑧1+𝑧2∈ℤ[𝜃]. Pe de altă parte
1 2 1 1 2 2
2
1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( )
( ) .z z m n m n
m m m n m n n n
= + + + =
= + + +
Dar cum
20 ab+ + = , avem
2ab=− − și deci
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )z z m n m n m m m n m n n n a b
m m bn n m n n m an n
= + + + = + + + − − =
= − + + −
ceea ce arată că 𝑧1𝑧2∈ℤ[𝜃]. În concluzie ℤ[𝜃] este un subinel a lui ℂ.
Cazuri particulare. Dacă
0a= și
1,b= atunci ecuația (4) devine
210x+= și
i= este
rădăcină a acestei ecuații. În acest caz avem inelul ℤ[𝑖]={𝑚+𝑛𝑖|𝑚,𝑛∈ℤ}. Inelul ℤ[𝑖]
se numește inelul întregilor lui Gauss.
Dacă
0a= și
2, b=− atunci ecuația (4) devine
220x−= și
2.= În acest caz obținem
inelul
24
ℤ[√2]={𝑚+𝑛√2|𝑚,𝑛∈ℤ}.
ii) Dacă
' este cealal tă rădăcină a ecuției (4), avem ℤ[𝜃]=ℤ[𝜃′]. Într-adevăr cum
𝜃+𝜃′=−𝑎∈ℤ, rezultă că 𝜃′=−𝑎−𝜃∈ℤ și deci din afirmația i) avem 𝜃′=
ℤ[𝜃] și incluziunea ℤ[𝜃′]⊂ℤ[𝜃] și deci ℤ[𝜃]=ℤ[𝜃′].
iii) Notăm
24; d a b=− deci
24
.2a a b
−− + −
= Dacă
0d și
d este un pătrat
perfect atunci 𝜃∈ℤ. Într-adevăr , dacă
a este par, atunci
24ab− este un număr
întreg și par și deci
24ab− este par, ceea ce ne arată că
24 a a b
−− + − este
număr par. Dacă
a este impar, atunci
24ab− este impar și deci
24ab− este
impar ceea ce ne arată că
24 a a b
−− + − este par. În concluzie , 𝜃∈ℤ și deci
ℤ[𝜃]=ℤ.
iv) Vom studia în continuare cazul când
0d sau
0d și
dnu este pătrat perfect.
Să presupunem că
24
.22a a b a d
−−− + − − +
==
Atunci ℤ[𝜃]={𝑚+𝑛𝜃|𝑚,𝑛∈ℤ}={(𝑚−𝑎
2𝑛)+√𝑑𝑛
2|𝑚,𝑛∈ℤ}. Dacă 𝑧∈ℤ[𝜃],
atunci
z este de forma
( ) ,22anz m n d= − + unde 𝑚,𝑛∈ℤ. Se observă că avem
0z=
dacă și numai dacă
0. mn==
Într-adevăr ,
0z= implică
( ) 0.22anm n d− + = Cum
d este număr complex (când
0d
și
d nu este pătrat perfect), atunci
02amn−= și
02a= și deci
0n= și
0.m=
Notăm prin
( ) .22anz m n d−
= − −
25
Cum 𝑧+𝑧=2𝑚−𝑎𝑛∈ℤ, atunci 𝑧̅∈ℤ[𝜃]. Numărul 𝑧1,𝑧2∈ℤ[𝜃] îl vom numi
conjugatul lui
z în inelul ℤ[𝜃]. Se observă că
' este cealaltă rădăcină a ecuației (4),
atunci dacă 𝑧=𝑚+𝑛𝜃 avem 𝑧̅=𝑚+𝑛𝜃′. Dacă 𝑧1,𝑧2∈𝑧̅[𝜃], atunci au loc egalitățile :
(5)
1 2 1 2
1 2 1 2, z z z z
z z z z+ = +
=
Într-adevăr,
1 1 1 , z m n =+
2 2 2 , z m n =+ unde 𝑚1,𝑛1,𝑚2,𝑛2∈ℤ. Deci
1 1 1 ', z m n=+
2 2 2 '. z m n =+
Vom verifica a doua egalitate din (5) , deoarece prima este evidentă.
Avem
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) z z m m bn n m n n m an n = − + + −
și deci
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) '. z z m m bn n m n n m an n = − + + −
Pe de altă parte, cum
1 1 1 ' z m n=+ și
2 2 2 ', z m n =+ avem
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ')( ') ( ) ' ' . z z m n m n m m m n n m n n = + + = + + +
Cum
2' ' 0ab+ + = avem că
2'' ab=− − și deci
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ' z z m m bn n m n n m an n = − + + −
și deci
1 2 1 2 . z z z z=
v) Definim funcția : 𝑁:ℤ[𝜃]→ℤ,𝑁(𝑧)=𝑧∙𝑧̅,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑧∈ℤ[𝜃].
Dacă
( ) ,22anz m n m n d= + = − + atunci
26
22( ) [( ) ][( ) ] .2 2 2 2a n a nN z m n d m n d m amn bn= − + − − = − +
Numărul întreg
()Nz îl vom numi norma lui
.z
Funcția
N are următoarele proprietăți :
a)
N este multiplicativă , adică
1 2 1 2( ) ( ) ( ),N z z N z N z= oricare ar fi 𝑧1,𝑧2∈ℤ[𝜃].
Într-adevăr,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( ).N z z z z z z z z z z z z z z N z N z= = = =
b) Dacă 𝑧∈ℤ[𝜃], atunci
( ) 0 0.N z z= =
Este clar că dacă
0,z= atunci
( ) 0.Nz=
Invers , dacă presupunem că
( ) 0Nz= și
, z m n=+ cum
22( ) ,N z m amn bn= − + obținem
220. m amn bn− + =
Dacă
0n atunci avem
2
0mmabnn − + = și deci
24.22m a a b a d
n+ − +==
Cum 𝑚
𝑛∈ℚ, rezultă că √𝑑∈ℚ contradicție. Deci
0n= și atunci avem
20 m= și atunci
0m=
de unde
0.z=
c) 𝑧∈ 𝑈(ℤ[𝜃]). (adică
z este inversabil în inelul ℤ[𝜃].
( ) 1Nz=+ ). Într -adevăr , dacă
𝑧∈ 𝑈(ℤ[𝜃]), există 𝑧′∈𝑈(ℤ[𝜃]), astfel încât
' 1.zz= Cum
N este multiplicativă,
avem
( ') (1) 1N zz N== sau
( ) ( ') 1.N z N z = Cum 𝑁(𝑧)∈ℤ, atunci
( ) 1.Nz=+
Invers, dacă
( ) 1,Nz=+ atunci
( ) 1.N z z z= =+ Dacă
1, zz= atunci inversul lui
z este
.z
27
vi) Definim funcția 𝜑:ℤ[𝜃]→𝑁,|𝜑(𝑧)|=|𝑁(𝑧)|=|𝑚2−𝑎𝑚𝑛 +𝑏𝑛2|. Din
proprietățile a), b) și c) ale funcției
N obținem că
are proprietățile :
a’)
este multiplicativă :
( ') ( ) ( ').zz z z =
b’)
( ) 0 0.zz= =
c’) 𝑧∈ℤ[𝜃] este inversabil
( ) 1.z=
De exemplu în cazul întregilor lui Gauss ℤ[𝑖], funcția
este următoarea :
𝜑:ℤ[𝑖]→𝑁,𝜑(𝑚+𝑛𝑖)=𝑚2+𝑛2.
În continuare vom studia posibilitățile inelului ℤ[𝜃] de a fi euclidian relativ la
funcția
.
Fie 𝑧,𝑧′∈ℤ[𝜃] cu
' 0.z Avem
1
1',( ') ' ' 'z z zz
Nz z z z== unde am notat cu
1 '. z zz=
Aplicând formula împărțirii cu rest , sub forma în care este dată în egalitatea (3) ,
obținem : exist ă 𝑞1,𝑟1∈ℤ astfel încât :
(6)
11( ') m N z q r=+ cu
11| | | ( ') |2r N z
Există 𝑞2,𝑟2∈ℤ, astfel încât
(7)
22 ( ') n N z q r=+ cu
21| | | ( ') | .2r N z
Atunci
1 1 2 2 1 2
12( ') ( ').' ( ') ( ') ( ')N z q r N z q r r r z m nqqz N z N z N z + + + + += = = + +
Notăm
12 Q q q=+ și
12'( ).( ')z r rRNz+= Atunci este clar că
(8) 𝑄∈ℤ[𝜃] și
'z z R=+
Cum 𝑧,𝑧′∈ℤ[𝜃] și cum
', R z z=− obținem că și 𝑅∈ℤ[𝜃]. Pe de altă parte, cum
12 ( ') '( ),RN z z r r =+
aplicând funcția
, obținem
12 ( ) ( ( ')) ( ') ( )R N z z r r =+
Sau
2
12 ( ) ( ') | ( ') | ( )R N z N z r r =+
De unde prin simplificare cu
( ')Nz obținem
28
12()( ')rrRz+=
Dar cum
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) | | | | | | | | | | | | ,r r r ar r br r a r r b r+ = − + + +
folosind egalitățile din (6) și (7) , obținem că
2 2 2 2
121 | | 1 | | | |( ) ( ') | | ( ') ( ') ( ') .4 4 4 4 4 4a b a br r z z z z + + + = + +
Deci
(9)
1 | | | |( ) ( ') .4 4 4abRz + +
Dacă
| | | | 3,ab+ atunci din (9) deducem că
(10)
( ) ( ')Rz
Să vedem când este verificată egalitatea
(11)
| | | | 3ab+
Dacă
0,a= atunci din (11) rezultă
| | 1b= sau
| | 2.b= Adică
1 b=+ sau
2. b=+
Pentru
0a= și
1,b= ecuația (4) devine
210x+= și deci
.i= În acest caz ,
obținem inelul întregilor lui Gauss ℤ[𝑖]. Pentru
0a= și
1 b=− ecuația (4) devine
210x−=
și deci
1.= În acest caz obținem inelul ℤ[𝜃]=ℤ.
Pentru
0a= și
2,b= ecuația (4) devine
220x+= și
2.i= În acest caz ,
obținem inelul ℤ𝑖√2={𝑚+𝑛𝑖√2|𝑚,𝑛∈ℤ}. Pentru
0a= și
2 b=− ecuația (4)
devin e
220x−= și deci
2.= În acest caz obținem inelul ℤ[√2]=
{𝑚+𝑛√2|𝑚,𝑛∈ℤ}. Dacă
| | 1a= atunci din (11) rezultă că
| | 0b= sau
| | 1.b= În
cazul
| | 1a= și
| | 0b= ecuația (4) devine
20, xx+= adică
0= sau
1.= În
acest caz obținem ℤ[𝜃]=ℤ.
În cazul
| | 1a= și
| | 1b= ecuația (4) ia una din următoarele forme :
21 0; xx+ + =
21 0; xx− + =
210 xx+ − = și
21 0. xx− − =
În cazul
210 xx− + = obținem
13
2i+= și deci avem inelul
ℤ[1+𝑖√3
2]={𝑚+𝑖√3
2𝑛|𝑚,𝑛∈ℤ}.
29
În cazul
210 xx+ + = obținem același inel.
În cazul
210 xx− − = obținem
15
2+= și deci avem inelul
ℤ[1+𝑖√5
2]={𝑚+𝑖√5
2𝑛|𝑚,𝑛∈ℤ}
În cazul când
210 xx+ − = obținem același inel.
În concluzie, ținând cont de cele de mai sus și de relațiile (9) și (10) , avem
următorul rezultat :
Teorema 5. Inelele urm ătoare :
ℤ[𝑖],ℤ[√2],ℤ[𝑖√2],ℤ[1+𝑖√3
2],ℤ[1+𝑖√5
2] sunt inele euclidiene.
În continuare , vom da o demonstrație geometrică a faptului că inelul
întregilor lui Gaus s ℤ[𝑖] este un inel euclidian relativ la funcția
𝜑:ℤ[𝑖]→𝑁,
𝜑(𝑚+𝑛𝑖)=𝑚2+𝑛2,𝜑(𝑚+𝑛𝑖) 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝ă𝑡𝑟𝑎𝑡𝑢𝑙 𝑛𝑢𝑚 ă𝑟𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥 𝑚+𝑛𝑖.
Folosim reprezentarea geometric ă a numerelor complexe în plan.
Numărul complex z=a+ib, a,b ∈ℝ i se asociază în plan punctul
M de coordonate
( , ).ab
Numerele complexe din mulțimea ℤ[𝑖] sunt reprezentat e în plan prin
puncte ale căror coordonate sunt numere întregi. În felul acesta obținem o rețea în
plan (fig.1).
30
Fie 𝑧,𝑧′∈ℤ[𝑖] cu
' 0.z Fie
M punctul din plan asociat numărului
complex
.'z
z Există un pătrat
ABCD din rețea în care se găsește punctul M.
Presupunem că A este vârful cel mai apropiat de M. Dacă
( , ),A a b atunci a,b∈ℤ și
A
este asociat numărului complex
. q a ib=+
Pe de altă parte, cum latura pătratului
ABCD este unitate și cum A a
fost ales cel mai aproape de M, obținem că distanța
MA este mai mică decât
jumătate din diagonala pătratului ABCD . Deci
2| | 12MA=
Dar
||MA este egal cu modulul numărului complex
.'zqz− Deci avem
(12)
| | 1'zqz−
Notăm cu
'. r z q z= − Avem atunci din (12) că
| ' | | ' |z q z z− sau
| | | ' |rz sau
22| | | ' |rz
și deci
( ) ( ').rz
În concluzie , avem
(13)
' z qz r=+ cu
( ) ( ')rz
ceea ce arată și pe această cale că ℤ[𝑖] este euclidian.
Din această demonstrație , rezultă imediat că restul și câtul împărțirii în
(13) nu sunt unic determinate.
31
Într-adevăr, dacă
M este centrul pătratului
, ABCD atunci putem alege
câtul
q al împărțirii din egalitatea (13) numărul complex
q a ib=+ cu 𝑎,𝑏∈ℤ,
pentru care
( , )ab să fie coordonatele oricăruia din vârfurile pătratului ABCD.
Exemplu. Să considerăm în ℤ[𝑖] numerele
6zi= și
' 2 2 .zi=+ Avem
6 3 3.' 2 2 2 2ziizi= = ++
În figura 2
punctul M, care este reprezentarea geometrică a numărului complex
33,' 2 2ziz=+
cade în centrul pătratului ABCD. Deci putem alege câturile
11qi=+
sau
22 qi=+ sau
322qi=+ sau
41 2 .qi=+
Avem egalitățile
11' z z q r=+ unde
12ri=
22' z z q r=+ unde
2 2 r=−
33' z z q r=+ unde
32 ri=−
44' z z q r=+ unde
42.r=
Se observă ușor că în toate cele 4 cazuri avem
( ) ( ')irz
(1 4).i
6. Factorialitatea inelelor de polinoame
În acest paragraf vom aproba următoarea teoremă:
32
Teorema 1. Fie
R un inel factorial. Atunci inelul de polinoame
[]RX este
factorial.
Pentru demonstra ția acestei teoreme avem nevoie de o serie de rezultate
preliminare.
Lema 1 . Fie
aR și
01 … [ ].n
n f a a X a X R X= + + + Dacă a divide f, atunci
|,iaa
oricare ar fi
0,1, 2,…, .in=
Demonstrație. Cum
|,af există
01 … ,m
m g b b X b X= + + + astfel încât
01 … .m
m f a g ab ab X ab X= = + + +
Evident dacă
0,f= atunci
0ia= și deci
|,iaa oricare ar fi
.i Putem presupune
că
0f și în acest caz avem
mn= și
,iia ab= adică
|.iaa
Lema 2 . Fie
R un domeniu de integritate. Dacă
pR este un element prim în
R ,
atunci
p este element prim în
[ ].RX
Demonstrație. Fie
, [ ]f g R X astfel încât
|.p fg Presupunem că
01 …n
n f a a X a X= + + +
și
01 …m
m g b b X b X= + + și că
p nu divide
f și că
p nu
divide
.g Conform lemei 1, d in
p nu divide
f rezultă că există un
,ka astfel
încât
p nu divide
.ka Alegem
k cel mai mic număr cu această proprietate. Deci
01| ,…, |k p a p a−
și
p nu divide
.ka Analog din
p nu divide g, există un
l astfel
încât
01| ,…, |l p b p b− dar
p nu divide
.lb
Coeficientul lui
1kX+ din produsul
fg este elementul
1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 … … .k i j k l k l k l k l k l k
i j k lc a b a b a b a b a b a b a b+ + + − − + + − +
+=+= = + + + + + + +
Deoarece
|ijp a b cu
ik și
jl și
p nu divide
,klab rezultă că
p nu divide
1kc+
și deci
p nu divide fg, contradicție. Deci trebuie ca
|pf sau
|.pg Presupunem
acum că inelul
R este factorial și fie
01 …n
n f a a X a X= + + + un polinom din
[ ].RX
Vom nota cu
()cf c.m.m.d.c. al elementelor
01, ,…, .n a a a
()cf
se numește conținutul polinomului f.
Dacă
( ) 1,cf= atunci polinomul
f se numește primitiv.
33
Se observă că putem scrie
( ) ', f c f f= unde
'f este un polinom primitiv.
Lema 3. (Gauss). Dacă
R este un inel factorial și
, [ ],f g R X atunci
( ) ( ) ( ).c fg c f c g=
Demonstrație. Cum
( ) ' f c f f= și
( ) ', g c g g= unde
'f și
'g sunt polinoame
primitive, obținem
( ) ( ) ' ' fg c f c g f g= și deci
( ) ( ) ( ) ( ' ').c fg c f c g c f g= Deci
trebuie probat că
( ' ') 1.c f g= Presupunem că
( ' ') 1.c f g Deci există
pR
element prim astfel încât
| ( ' ').p c f g Deci
| ' 'p f g și conform lemei 2, rezultă că
|'pf
sau
|'pg și conform lemei 1, rezultă că
| ( ')p c f sau
| ( '),p c g contradicție ,
deoarece polinoamele
'f și
'g sunt primitive.
Lema 4 . Fie
R un inel factorial și
, [ ],f g R X unde
g este un polinom primitiv.
Dacă
, aR
0a și
|,g af atunci
|.gf
Demonstrație. Avem
af gh= unde
[ ]. h R X Din lema 3 obținem
( ) ( ) ( ) ( ).ac f c g c h c h==
Cum
( ) ', h c h h= atunci obținem
( ) ' af gac f h= și
simplificând cu
a , avem
( ) ' f c f gh= și deci
|.gf
Vom nota cu
K corpul de fracții al domeniului de integritate R.
Lema 5. Fie
R un inel factorial al corpului de fracții
K și fie
, [ ]f g R X două
polinoame primitive. Atunci
f și
g sunt asociate în
[]RX dacă și numai dacă
sunt asociate în
[ ].KX
Demonstrație. Evident că dacă
f și
g sunt asociate în
[ ],RX sunt asociate și în
inelul
[ ].KX Invers, presupunem că
f și
g sunt asociate în
[ ].KX Deci există
[] u K X
element inversabil , astfel încât
. g fu= Cum
, uK atunci putem scrie
aub=
cu
,a b R și
0,a
0.b Deci
. bg af= Aplicând lema 4 , obținem
|fg
și
|,gf adică
f și
g sunt asociate în divizibilitate în inelul
[ ].RX
Lema 6. Fie
R un inel factorial și
K corpul său de fracții. Fie
[] f R X un
polinom primitiv cu grad
1.f Atunci
f este ireductibil în
[]RX
f este
ireductibil în
[ ].KX
34
Demonstrație. Presupunem că
f este ireductibil în
[]RX și fie
, f gh= unde
[] g K X
și
[] h K X și grad
1,g grad
1.h Evident , că putem scrie
1,aggb=
unde
,,a b R
( , ) 1ab= și
1[ ]. g R X Analog
1,chhd= unde
,,c d R
( , ) 1,cd=
1[ ]. h R X
În plus , grad
g =grad
1g și grad
h =grad
1.h Deci
11.acf g hbd= Cum
()1 1 1 ' g c g g=
și
()1 1 1 ' h c h h= unde
1g și
1h sunt polinoame primitive, obținem că
11', f ug h=
unde
u este un element inversabil din
.K Deci
f și
11''gh sunt
asociate în
[ ].KX Conform lemei 5 . rezultă că
f și
11''gh sunt asociate în
[ ],RX
adică
11', f vg h= unde
( ). v U R Cum grad
1'1g și grad
1'1h , rezultă că
f nu
este ireductibil în
[ ],RX contradicție. Inv ers, presupunem că
f este ireductibil în
[]KX
și presupunem că
f gh= cu
, [ ].g h R X Cum
f este ireductibil în
[]KX
rezultă că
, gK adică
. g a R= Prin urmare
. f ah= Cum
f este primitiv,
rezultă că
a este inversabil în R. Deci
f este ireductibil în
[ ].RX
Demonstrația teoremei 1. Fie
[ ]. f R X Putem scrie
0( ) , f c f f= unde
0f este un
polinom primitiv. Cum
0 [] f K X iar
[]KX este un inel factorial (fiind euclidian),
rezultă că
0 1 2 3 … ,n f f f f f= unde
1 2 3, , ,…, [ ]n f f f f K X și sunt polinoame
ireductibile. Putem scrie evident pentru
,if
,i
ii
iafgb= unde
,iia b R și
[]ig R X
este un polinom primitiv. Conform lemei 6, rezultă că
ig este ireductibil în
[ ].RN
Rezultă că
0f se scrie sub forma
0 1 2 …naf g g gb= unde
,.a b R Cum
0f este
primitiv și produsul
12…n g g g este un polinom primitiv, din lema 5 rezultă că
0 1 2 … ,n f ug g g=
unde
( ). u U R Cum
()cf este un produs finit de elemente prime
în
R care sunt prime și în
[]RX (conform lemei 2) rezultă că
f este un produs
finit de elemente ireductibile în
[ ].RX Vom demonstra acum unicitatea scrierii lui
f
ca produs de elemente ireductibile în
[ ].RX
Într-adevăr, să presupunem că avem egalitatea
35
1 2 3 1 2 3 … …nn f f f f f g g g g==
Unde
, [ ]iif g R X sunt elemente ireductibile în
[ ].RX Dacă grad
1,if atunci
evident
( ) 1.icf= Deci putem scrie
1 2 3 1 1 2 3 1 … , … … …s s n r r n f f f f f f f g g g g g g++ ==
Unde
1 2 3 1 2 3, , … , , , …sr f f f f g g g g R și
11,… , ,…s n s mf f g g++ sunt polinoame de grad
1.
Aplicând lema lui Gauss , obținem că
1 2 3 …s f f f f și
1 2 3 …r g g g g sunt asociate în
divizibilitate în R. Cum R este factorial , rezultă că
rs= și abstracție făcând de o
numerotare , avem 𝑔𝑖~𝑓𝑖, oricare ar fi
1.is
Din egalitatea de mai sus , rezultă că
11… … .s n r mf f g g++=
Din lema 6 , această egalitate gândită în inelul
[ ],KX implică
mn= și 𝑔𝑘~𝑓𝑘 în
[ ],KX
oricare ar fi
1,…, . k s n=+
Aplicând din nou lema 5, obținem 𝑔𝑘~𝑓𝑘 în
[ ],RX oricare ar fi
1,…, . k s n=+ Cu
aceasta am demonstrat și unicitatea lui
f ca produs de elemente ireductibile în
[ ].RX
Corolar 2. Dacă
R este un inel factorial, atunci inelul de polinoame în n variabile
1[ ,… ]n R X X
este factorial .
Demonstrație . Se procedează prin inducție după n. Dacă n=1, atunci se aplică
teorema 6.1. Presupunem afirmația adevărată pentru n-1. Deci inelul
11[ ,… ]n R X X−
este factorial. Cum
1 1 1[ ,… ] [ ,… ][ ],n n n R X X R X X X− = aplicând din nou teorema 6.1.
obținem afirmația noastră.
Corolarul 3. Fie
K un corp ; atunci inelul de polinoame în
n variabile
1[ ,…, ]n K X X
este factorial.
Corolarul 4. Inelul ℤ[𝑋1,…𝑋𝑛] este factorial.
Observație. Deoarece inelul ℤ[𝑋] este factorial și nu este inel principal (idealul
(2, )X
de exemplu nu este principal), atunci avem incluziuni stricte :
{Inele euclidiene}
{Inele principale}
{Inele factoriale }.
Apendice. A doua demonstrație pentru teorema 6.1.
36
Considerăm în inelul
[]RX mulțimea
()i i Ip a tuturor elementelor prime din
R .
Sistemul multiplicativ
S generat de această mulțime este mulțimea tuturor
elementelor nenule ale lui R. Atunci inelul de fracții
1[]S R X− este exact inelul
[ ],KX
unde
K este corpul de fracții al lui
.R Cum
[]KX este un inel euclidian,
deci factorial, conform teoremei 3.2. este suficient să dovedim că orice lanț
ascendent de ideale principale ale lui
[]RX este staționar. Fie, deci, lanțul
ascendent de ideale principale ale lui
[ ]:RX
12( ) ( ) … ( ) …n f f f
Unde
[ ].if R X Rezultă că avem relațiile :
1|,nnff+
oricare ar fi
1.n
Scriind
( ) ',n n nf c f f= unde
'nf este un polinom primitiv, din relația
1|nnff+
rezultă, conform lemei 1, că
1( ) | ( )nnc f c f+ și conform lemei 4 obținem că
1' ) | ' .nnff+
În particular , rezultă că avem șirul ascendent de ideale principale în R.
12( ( )) ( ( )) … ( ( )) …n c f c f c f
și șirul descendent de numere naturale
grad
1'f grad
2' ….f
grad
' ….nf
Cum inelul
R este factorial și cum mulțimea ℕ a numerelor naturale este bine
ordonată , există un 𝑠∈ℕ, astfel încât să avem
1 ( ( )) ( ( ))ssc f c f+=
Și
grad
'sf= grad
1' …sf+=
Evident că avem 𝑐(𝑓𝑘)~𝑐(𝑓𝑘+1), oricare ar fi
.ks Cum
1' | ' ,ssff+
1' , 'ssff+ sunt
primitive și au același grad, rezultă că
'sf și
1'sf+ sunt asociate în divizibilitate.
Deci
kf și
1kf+ sunt asociate în divizibilitate, oricare ar fi
, ks adică
1 ( ) ( ) ….ssff+==
37
7. Factorialitatea inelelor de serii formale
În acest paragraf, ne propunem să demonstrăm următorul rezultat:
Teorema 1. Dacă inelul
R este principal, atunci inelul de serii formale într -o variabilă
[[ ]]RX
este factorial.
Demonstrație. Notăm cu
: [[ ]]R X R → aplicația care asociază unei serii formale
01 … f a a X= + +
termenul
0,a adică
0 ( ) .fa= Se vede imediat că
este un omomorfism
surjectiv de inele. Pentru a arăta că
[[ ]]RX este un inel factorial este suficient să dovedim,
conform teoremei 2.5. afirmația 5), că dacă
p este un ideal prim al lui
[[ ]],RX atunci
p
conține un element prim. Dacă
, Xp atunci cum
X este un element prim în
[[ ]],RX
p
conține un element prim.
Presupunem că
Xp și vom arăta în acest caz că
p este un ideal principal. Într -adevăr,
notăm cu
*() pp= care este un ideal al inelului R. Cum
R este inel principal, atunci există
aR
astfel încât
*. p Ra= Există
, fp astfel încât
( ). af= Deci
f este de forma
1 … .n
n f a a X a X= + + +
Vom arăta că
[[ ]] . p R X f= Cum
, fp este evidentă incluziunea
[[ ]] .R X f p
01 … …n
n g b b X b X= + + + + un element oarecare din
.p Cum
0 ( ), bg=
atunci
*
0bp și deci există
0 ,R astfel încât
00 . ba= Dar atunci
0 gf− se scrie sub
forma
1Xg și cum
1Xg p dar
Xp , rezultă că
1 . gp Înseamnă că există un
1 ,R astfel
încât
11gf− este de forma
2.Xg
Deci
01 g f Xg−= și
1 1 2g f Xg−= de unde obținem că
2
0 1 2 0 1 2 ( ) ( ) . g f X f Xg X X g = + + = + +
Continuând procedeul cu
2gp , găsim
2 ,R astfel încât
22gf− este de forma
3Xg și deci
23
0 1 2 3( ) .g X X f X g = + + +
Recursiv găsim elementele
12, ,…, ,…,n astfel încât dacă notăm
01 … …n
n h X X = + + + +
avem egalitatea
, g hf= adică
[[ ]] g R X f și deci
p este un
38
ideal principal generat de f. Cum
p este un ideal prim , atunci
f este un element prim în
[[ ]].RX
Deci , orice ideal prim al inelului
[[ ]],RX conține un element prim.
Corolarul 2. Dacă
K este un corp, atunci inelul de serii formale în două variabile
[[ , ]]K X Y
este inel factorial.
Demonstrație. Avem
[[ , ]] [[ ]][[ ]]K X Y K X Y= și cum
[[ , ]],K X Y este inel euclidian (deci
factorial), aplicând teorema 7.1. rezultă afirmația din corolarul 7.2.
Observație. Un rezultat similar teoremei 6.1. nu are loc pentru inelele de serii formale, adică
dacă
R este un inel factorial, atunci inelul de serii formale
[[ ]]RX nu este în general un inel
factorial. Evident , sunt cunoscute rezultatele mult mai generale decât corolarul 7.2., ca, de
exemplu : dac ă
K este un cor p, atunci inelul de serii formale în
n variabile
1[[ ,… ]]n K X X este
inel factorial.
8. Criterii de ireductibilitate pentru polinoame
Teorema 1. Fie R un inel factorial și
01 …n
n f a a X a X= + + + un polinom cu coeficienți în R.
Presupunem că există un element prim
pR și un
k cu
0,kn cu proprietățile :
i)
0 1 1| , | ,…, | .k p a p a p a−
ii)
p ∤
.ka
iii)
2p ∤
0.a
Atunci
f are în descompunerea sa în factori ireductibili, un polinom de grad
.k
Demonstrație. Deoarece inelul
[]RX este factorial, atunci
12… ,i f f f f= unde
if sunt
polinoame ireductibile. Trebuie să dovedim că unul din aceste polinoame are grad
k . Prin
reducere la absurd , presupunem că grad
,ifk oricare ar fi
1,…, .it=
39
Considerăm inelul
()Rp care este domeniu de integritate , deoarece
()p este un ideal prim și
vom nota
:()R Rp→ surjecția can onică , adică
()aa
= (clasa elementului a).
induce morfismul de inele
: [ ] [ ]()R R X Xp→
,
01 ( ) … .n
n f a a X a X
= + +
Cum
0 1 1| , | ,… | ,k p a p a p a− rezultă că
0 1 1 … 0 k a a a
− = = = și deci
( ) …kn
kn f a X a X
=+ și
deci
| ( )kXf adică
1| ( )… ( ).k
i X f f Cum
X este un element prim în inelul
[ ],()R Xp
rezultă că
X divide în particular unul dintre factorii
1( ),…, ( ).i ff Să presupunem că
1| ( ).Xf
În acest caz rezultă că
1| ( ),kXf deoarece dacă am avea
2| ( )kXf de exemplu,
atunci notând cu
0ia termenul liber al polinomului
if (
1it ), rezultă că
0 01 02 0 … .i a a a a= Pe
de altă parte , din faptul că
1| ( )Xf și
2| ( )Xf rezultă că
01 02 0, aa
== adică
01|pa și
02|pa
adică
2
01 02 0| … ,i p a a a adică
2
0|,pa contradicție. Cum am presupus că grad
1( ) ,fk
trebuie ca
1( ) 0,f= dar atunci
( ) 0f= și deci
0, ka
= adică
|,kpa ceea ce constituie o
contradicție. În concluzie , există un i,
1,it astfel încât grad
.ifk
Corolarul 2. (Criteriul de ireductibilitate al lui Eisenstein) Fie
R un inel factorial,
01 …n
n f a a X a X= + + +
un polinom cu coeficienți în R. Presupunem că există un element
prim
pR cu proprietățile :
i)
0 1 1| , | ,…, | .n p a p a p a− .
ii)
p ∤
.na
iii)
2p ∤
0.a
Atunci
f este ireductibil în
[]KX , unde
K este corpul de fracții al lui R.
Demonstrație. Aplicând teorema 8.1. polinomul
f are un factor ireductibil de gradul n.
Deci putem scrie
, f ag= unde
. aR Cum
g este ireductibil în
[ ],RX atunci conform
lemei 6. rezultă că
g este ireductibil în
[]KX și deci
f este ireductibil în
[]KX .
40
Exemple. 1. Fie polinomul
5 4 315 20 40 35 f X X X X= + + − +
Acest polinom este ireductibil în ℚ[𝑋], deoarece luând numărul prim p=5, sunt îndeplinite
condițiile din corolarul 8.2.
2. Fie polinomul
2.nX+ Acest polinom este ireductibil , conform criteriului lui Eisentein.
Acest exemplu ne arată că pentru orice număr natural n, există un polinom ireductibil
în ℚ[𝑋] având gradul n.
3. Fie
p un număr prim. Polinomul
12… 1ppf X X X−−= + + + +
este ireductibil în ℚ[𝑋]. Sub această formă
nu putem aplica criteriul lui Eisentein pentru a arăta că
f este ireductibil în
ℚ[𝑋]. Dar se vede imediat că
f este ireductibil dacă polinomul
( 1) g f X=+
este ireductibil. Cum
1()1pXfXX−=− obținem că
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 ( 1) 1( ) … … .p
p p p p p p p p
p p p p p pXg X X C X C X C X C X C X C X pX− − − − − − +−= = + + + + = + + + + +
Deoarece
p este prim , avem că
|,k
p pC oricare ar fi
11kp − și deci, co nform
criteriului lui Eisentein ,
()gX este un polinom ireductibil.
4. Polinomul
21nfX=+ este ireductibil în ℚ[𝑋]. Dar sub această formă nu putem
aplica criteriul lui Einsenstein. Vom arăta în schimb că polinomul
2( ) ( 1) ( 1) 1ng X f X X= + = + +
este ireductibil. Într -adevăr avem
2
2
1 2 1( ) 2.n
n
nkk
kg X X C X
−= + + Vom dovedi că
22|nkC
oricare ar fi
1 2 1.nk −
41
Avem că
22 (2 1)(2 2)…(2 1).!nn n n n
k kCk− − − +=
Fie
1 ' ;kk putem scrie atunci
' 2 ,pkr= unde
pn și
r este număr impar.
Deoarece
2 ' 2 (2 ) 2 2,'2n p n p n p
pkr
k r r−−− − −== atunci
2'
'nk
k− este egal cu câtul a două
numere impare. Deci produsul
(2 1)(2 2)…(2 ( 1))
1 2…( 1)n n nk
k− − − −
− este câtul a două numere impare.
Cum
2,nk atunci câtul
2n
k apare cel puțin un factor egal cu 2. Deci
22| .nkC
Luând numărul prim
2p= și aplicând criteriul lui Eisenstein , obținem că polinomul
()gX
este ireductibil. Aceasta arată că
2( ) 1nf X X=+ este un polinom ireductibil în ℚ[𝑋].
5. Să arătăm că polinomul
1,npf X p= + − unde
p este un număr prim, este
ireductibil.
Vom proceda ca în cazul precedent . Pentru a arăta că
()fX este ireductibil , este
suficient să dovedim că polinomul
( ) ( 1)g X f X=+ este ireductibil. Într -adevăr, avem
1 1 1 1( ) ( 1) 1 1 1 .n n n
nn
nnp p k k p k k
pp
k p k pg X f X p X C X p X C X p
− −= + + − = + + + − = + +
Vom dovedi că
|nk
ppC , oricare ar fi
1 1.nkp −
Dar
( 1)…( 1).!nn n n
k
pp p p kCk− +=
Fie
1 ' ;kk putem scrie atunci
',tk p r= unde
tn și
( , ) 1.pr=
Deoarece
' ( )
'n n n t n t
tp k p p r p r
k p r r−−− − −==
42
se observă că din condiția
( , ) 1pr= rezultă că fracția
','npk
k− după simplificare,
numărătorul și numitorul nu se mai divid cu p. Deci fracția
( 1)…( ( 1),1 2 … ( 1)n n np p p k
k− − −
− după
simplificare , este câtul a două numere naturale în care , atât numărătorul , cât și numitorul , nu
se mai divid cu p. Deci
,nkp atunci putem scrie
1,sk p k= unde
sn și
1( , ) 1.pk= Deci
1.n n spp
kk−
=
Deci numărul întreg
nk
pC este câtul a două numere naturale în care numărătorul
se divide cu
p (de fapt cu
nsp− ) și numitorul nu se divide cu p.
În concuzie ,
|.nk
ppC Aplicând criteriul lui Eisenstein pentru numărul prim p, obținem
că polinomul
()gX este ireductibil și deci polinomul
( ) 1npf X X p= + − este ireductibil în
ℚ[𝑋].
Observație. Am văzut că
1nkp și
1,sk p k= unde
sn și
1( , ) 1,pk= atunci în
descompunerea în factori primi a lui
,nk
pC numărul
p apare la puterea
nsp− .
În particular când
1,nkp−= atunci în descompunerea în factori primi a lui
1n
np
pC−
numărul
p apare la puterea
1p .
Deci rezultă că c.m.m.d.c. al numerelor
nk
pC (
11nkp − ) este egal cu p.
Un alt criteriu de ireductibilitate simplu , dar util este următorul :
Teorema 3. Fie
R și
S două inele factoriale ;
:RS→ un morfism de inele cu
(1) 1,=
: [ ] [ ]R X S X→
morfis mul de inele ce extinde pe
, adică dacă
01 … [ ],n
n f a a X a X R X= + + +
atunci
01 ( ) ( ) ( ) … ( ) .n
n f a a X a X = + + +
43
Presupunem că
f este un polinom primitiv în
[]RX , astfel încât grad
f =grad
()f
și
()f este ireductibil în
[ ];SX atunci
f este ireductibil.
Demonstrație. Presupunem că
f nu este ireductibil în
[ ].RX Atunci
, f gh= cu
, [ ]g h R X
și cum
g și
h nu sunt inversabile în
[ ].RX Cum
f este primitiv , atunci trebuie
ca grad
1g și grad
1.h Dar din egalitatea
f gh= rezultă că
( ) ( ) ( )f g h = și cum grad
()g
grad
g și grad
()h
grad
1,h ceea ce arată că
()f nu este ireductibil în
[ ].SX
Exemplu. Fie
p un număr prim și 𝑎∈ℤ, astfel încât
( , ) 1.ap= Să arătăm că
polinomul
pX X a−+ este ireductibil în ℤ[𝑋].
Într-adevăr , să considerăm inelul ℤ𝑝=ℤ/𝑝ℤ care este corp finit și fie 𝜑:ℤ→ℤ𝑝,
surjecția canonică , adică
( ) .xx
= Conform teoremei 8.3. pentru a arăta că polinomul
pf X X a= − +
este ireductibil este suficient să dovedim că polinomul 𝑔=𝑋𝑝−𝑋+𝑎̂∈
ℤ𝑝[𝑋] este ireductibil în ℤ𝑝[𝑋].
Cum ℤ𝑝 este corp , există o extindere
K a lui ℤ𝑝 astfel încât
g are toate cele
p
radăcini în K. Fie
K o rădăcină a lui g. Vom dovedi că
, 1, 2,…, 1, p
+ + + − sunt
toate rădăcinile lui g. Într-adevăr , fie
,k
=+
0 1,kp − una dintre aceste rădăcini.
Cum corpul
K are caracteristica p, avem că
( ) ( ) ( ) .
( ) .p
p p p
p
pg a k k a k k a
a k k
= − + = + − + + = + − − +
= − + + −
Cum
0pa
− + = și ținând cont de teorema lui Fermat, avem
0.p
kk
−= Deci
( ) 0.g=
Presupunem că
g nu este ireductibil în ℤ𝑝[𝑋]. Atunci exist ă 𝑔1,𝑔2∈ℤ𝑝[𝑋], astfel
încât
12 g g g= și grad
11g și grad
21.g
44
Cum
( )( 1)( 2)…( 1)g X X X X p
= − − − − − − − − rezultă că
1g este de forma
11( )…( ),s g X k X k
= − − − −
unde
1,…,sp k k Z
iar
1.sp Cum 𝑔1∈ℤ𝑝[𝑋],atunci
coeficientul termenului de gradul
1sX− a lui
1g este
1 ( ) … ( )s kk
+ + + + și aparține lui
ℤ𝑝[𝑋]. Deci 𝑠𝛼∈ℤ𝑝[𝑋], de unde rezultă că 𝛼∈ℤ𝑝[𝑋] Cum
( ) 0,g= atunci
20a
− + =
și cum
0,p−= din teorema lui Fermat obținem că
0,a
= adică
|,pa contradicție. Deci
polinomul
g este ireductibil și conform teoremei 8.3. rezultă că
f este ireductibil în ℤ[𝑋].
45
Capitolul 2. Relația de divizibilitate în ℕ și ℤ.
1. Divizibilitatea în mulțimea numerelor naturale
Ce este divizibilitatea ? Ce este un criteriu de divizibilitate? Care sunt criteriile de
divizibilitate? A evoluat tehnica privind divizibilitatea numerelor?
Iată câteva întrebări ale căror răspunsuri le veți găsi cu ușurință în cele ce urmează.
Divizibilitatea. Am văzut că un număr natural y este divizibil cu un număr natural x dacă
există un număr t, astfel încât y=xt.
Unele teoreme ne dau posibilitatea ca în anumite cazuri să găsim reguli, pe baza cărora putem
spune că y este divizibil cu x, fără a face împărțirea. O astfel de teoremă se numește criteriu de
divizibilitate .
Prezentăm în continuare un criteriu general de divizibilitate , pe baza căruia se formează
criteriile particulare de divizibilitate cu diferite numere.
Teorema 1 . Criteriul general de divizibilitate.
Pentru ca numărul 𝑦∈ℕ să fie divizibil cu 𝑥∈ℕ, este necesar și suficient ca suma
produselor numerelor reprezentate de cifrele numărului y prin resturile de la împărțirea la x
a puterilor respective ale numărului 10 să se dividă cu x(y>x).
În continuare vom prezenta criteriile particulare de divizibilitate, precum și alte reguli de
divizibilitate pe care le vom considera adevărate fără demonstrația lor.
Criteriul de divizibilitat e cu 2 .
Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este pară.
Exemplu : 2020; 2022; 1990 .
46
Criteriul de divizibilitate cu 3 .
Un num ăr natural este divizibil cu 3 da că și numai dacă suma cifrelor sale reprezintă un
număr divizibil cu 3.
Exemple : 123; 201; 1989.
Criteriul de divizibilitate cu 4 .
Un num ăr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele două cifre sunt zerouri sau
formează un număr divizibil cu 4.
Exemplu : 2020; 2024; 200.
Criteriul de divizibilitate cu 5 .
Un număr natural este diviz ibil cu 5 dac ă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
Exemple: 515; 2020; 325.
Criteriul de divizibilitate cu 6 .
1. Un număr natura l este divizibil cu 6 dacă și numai dacă este divizibil cu 2 și cu 3.
2. Un număr natural este divizibil cu 6 dacă și numai dacă cifra unită ților adunată cu
suma celorlalte mărită de 4 ori, dă un număr divizibil cu 6.
Exemplu : 6|426 pentru c ă 6+(2+4)4=30, iar 6|30.
Num ărul 7 i-a plăcut foarte mult poporului, fiind folosit deseori în cântece și zicători:
măsoară de 7 ori și croiește o dată ; șapte vineri pe săptămână ; șapte dintr -o lovitură ;
unul la munc ă, șapte la mâncare.
Numărul 7 are diferite reguli de divizibilitate :
Criteriul I de divizibilitate cu 7 .
Pentru a stabili dacă un nu măr este divizibil cu 7 procedăm astfel: Se înmulțește cu 3
prima cifră din stânga numărului dat și se adună cu cifra următoare, rezultatul se
înmulțește cu 3 și i se adună cifra următoare ș.a.m.d. până la ultima cifră. Pentru
47
simplificare , se admite ca după fiecare operație să se scadă din rezultat ul obținut 7 sau un
multiplu a lui 7 , atunci când este posibilă scăderea în ℕ.
Dacă rezultatul final se împarte /nu se împarte la 7 , atunci și numărul dat se împarte /nu
se împarte la 7.
Criteriul II de divizibilitate cu 7 .
În cazul acestu i criteriu vom proceda ca în cazul anterior , cu deosebirea că vom începe
înmulțirea , nu de la ultima cifră din stânga , ci de la ultima cifră din dreapta și nu o să o
înmulț im cu 3, ci cu 5.
Teorema 1.
Dacă un număr oarecare format din două cifre se împarte la 7, atunci se împarte la 7 și
numărul format din aceleași cifre scrise în ordine inversă, mărit cu cifra zecilor numărului
dat inițial.
Exemplu : 14 se împarte la 7, prin urmare se împarte la 7 și numărul 41 +1=42.
Teorema 2.
Dacă un număr oarecare format din 3 cifre se împarte la 7, atunci se împarte la 7 și
numărul format din aceleași cifre înscrise în ordine înversă , micșorat cu diferența dintre
cifrele unităților și sutelor numărului dat.
Exemplu: Num ărul 126 se împarte la 7. Prin urmare se împarte la 7 și numărul 621 -(6-
1)=616.
Teorema 3.
Dacă suma cifrelor unui număr cu trei cifre este egală cu 7, el se împarte cu 7 numai cu
condiția ca cifra zecilor și cifra unităților să fie identice.
Regula comun ă a divizibilității cu 7, 11, 13.
Dacă diferența sumelor grupelor numărului dat , adunate din 2 în 2, se împarte la 7, sau la
11, sau la 13, atunci numărul respectiv se împarte la 7, la 11 sau la 13.
48
Exemplu : Este u șor să stabilim că numărul 29575 se împarte la 7 și la 13 , dar nu se
împarte la 11. Într -adevăr, diferența dintre cele două grupe este 575 -29=546, iar numărul
576 este divizibil cu 7 și cu 13, dar nu este divizibil cu 11.
Primul criteriu de divizibilitate cu 8
Un num ăr natural este divizibil cu 8, dacă ultimele trei cifre ale sale sunt zerouri sau
formează un număr divizibil cu 8. Uneori , ultimele tr ei cifre ale unui număr reprezintă un
număr destul de mare și este greu de stabilit dacă este divizibil cu 8. Atunci se apelează la
o altă regulă : la 8 se împarte orice număr par de trei cifre, la care numărul de două cifre
format din cifrele sutelor și zecilor, adunat cu jumătatea numărului unităților, se împarte
la 4.
Exemplu : Aplic ăm acest procedeu pentru numărul 592 :
59+1=60, 4|60 deci 8|592
Al doilea c riteriu de divizibilitate cu 8
Un num ăr natural este divizibil cu 8 când cifra unităților adunată cu dublul cifrei zecilor
și cu cifra sutelor , mărită de 4 ori, dă o sumă divizibilă cu 8.
Exemplu 8 |1432: 2+3∙2+4∙4=2+6+16=24,8|24.
Criteriul de divizibilitate cu 9
Un număr natural este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă
cu 9.
Exemplu : 333; 2025.
Criteriul de divizibilitate cu 11.
Un număr natural este divizibil cu 11, dac ă suma cifrelor numărului respectiv adunate din
doi în doi este egală cu suma celorlalte cifre rămase sau dacă diferența acestor cifre – în
cazul în care nu sunt egale – se împarte la 11.
Exemplu : 11|3528041?
49
𝑆1=3+2+0+1=6
𝑆2=5+8+4=17
𝑆2−𝑆1=17−6=11
Deci num ărul dat se împarte la 11.
Regula comună de divizibilitate cu 7, cu 11 sau cu 13 .
Un număr natural de șase cifre este divizibil cu 7, cu 11 sau cu 13 dacă sunt respectiv
egale cifra I cu a IV-a, cifra II cu a V -a, cifra III cu a VI -a.
Exemplu : 7|134134; 11| 126126; 13| 546546.
Criteriul de divizibilitate cu 12 .
Un num ăr natural este divizibil cu 12 dacă și numai dacă este divizibil cu 3 și cu 4.
Exemplu : 12|144 pentru c ă 3|144 și 4|144.
Criteriul de divizibilitate cu 15 .
Un număr natural este divizibil cu 15 dac ă și numai dacă este divizibil cu 3 și cu 5.
Exemplu : 15| 405 pentru c ă 3|405 și 5|405.
Criteriul de divizibilitate cu 18 .
Un num ăr nat ural este divizibil cu 18 dacă și numai dacă este divizibil cu 2 și cu 9.
Exemplu : 18|162 pentru c ă 9|162 și 2|162.
Regula comună de divizibilitate cu 13, cu 17 și cu 19.
Pentru a stabili dacă un număr este divizibil cu 13, cu 17 sau cu 19 , trebuie să înmulțim
prima cifră din stâng a numărului dat cu 3, respectiv cu 7 sau cu 9; dac ă rezultatul este
mai mic decât 3, respectiv 7, sau 9, din el scădem cifra următoare (a doua cifră din
stânga) ; dac ă însă rezultatul este mai mare, atunci se ia în calcul restul împărțirii acestuia
la 13, respectiv la 17, sau la 19, după care se scade a doua cifră din stânga ; noul rezultat
50
îl înmulțim iarăși cu 3, respectiv cu 7 sau cu 9, și adunăm cifra următoare etc., alternând
scăderea și adunarea cifrelor u rmătoare după fiecare înmulțire. Dacă rezultatul final se
împarte /nu se împarte la 13, respectiv la 17, sau la 19, atunci se împarte / nu se împarte la
numărul dat.
Criteriul de divizibilitate cu 24 .
Un număr natural este divizibil cu 24 dacă și numai dacă este divizibil cu 8 și cu 3.
Exemplu: 24 |45 000 pentru c ă 8|45000 și 3| 45000.
Criteriul de divizibilitate cu 25 .
Un num ăr natural este divizibil cu 25 dacă și numai dacă numărul format din ultimele
două cifre (în ordinea în care sunt scrise) reprezintă un număr divizibil cu 25.
Exemplu : 25|2300, 25|475.
Criteriul de divizibilitate cu 45 .
Un num ăr natural este divizibil cu 45 dacă și numai dacă este divizibil cu 5 și cu 9.
Exemplu : 45|27450 deoarece 9|27450 și 5|27450.
Criteriul de divizibilitate cu 100 .
Un num ăr natural este divizibil cu 100 dacă și numai dacă ultimele sale două cifre sunt
zerouri.
Exemplu : 23200;
Criteriul de divizibilitate cu 125 .
Un num ăr natural este divizibil cu 125 dacă și numai dacă ultimele trei cifre ale sale sunt
zerouri sau formează un număr divizibil cu 125.
Exemplu : 125|12125; 125|23250;
Criteriul de divizibilitate cu 1000.
51
Un număr natural este divizibil cu 1000 dacă și numai dacă ultimele sale trei cifre sunt
zerouri.
Exemplu : 23000, 121000;
Criteriul de divizibilitate cu 1001 .
Un num ăr natural este divizibil cu 1001 dacă și numai dacă sunt respectiv egale cifrele I
cu a IV-a, a II -a cu a V -a și a III -a cu a VI -a.
Exemplu : 1001|136136;
Următoarele propoziții sunt considerate adevărate fără demonstrație :
1. Un num ăr natural de trei cifre , cu toate cifrele egale între ele , este divizibil cu 3.
2. Orice număr natural divizibil cu 9 este divizibil și cu 3 , dar reciproca nu este
adevărată întotdeauna.
3. Un număr natural divizibil cu 4 este divizibil și cu 2 , dar nu orice număr divizibil cu 2
va fi divizibil cu 4.
4. Dacă ultima cifră a unui număr natural este 4, atunci numărul nu se divid e cu 4 dacă
cifra zecilor acelui număr este impară.
5. Un număr natural divizibil cu 100 va fi întotdeauna divizibil cu 4 și cu 25.
6. Numărul natural 0 este divizibil cu orice alt număr natural diferit de 0, iar câtul
împărțirii este egal cu 0.
7. Numărul natural 0 este multiplul oricărui număr natural.
8. Orice număr divizibil cu 4 poate fi descompus într -o sumă de două numere impare
consecutive.
9. Două numere pare consecutive nu sunt prime între ele.
10. Două numere impare consecutive sunt întotdeauna pri me între ele.
11. Produsul a trei numere consecutive este întotdeauna divizibil cu 6.
12. Produsul a 4 numere consecutive este întotdeauna divizibil cu 24.
13. Câturile împărțirii a două numere prin c.m.m.d.c. al acestor numere sunt numere
prime între ele.
14. Orice multi plu comun a două numere este un multiplu a c.m.m.m.c. al acestora.
52
15. Produsul dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere naturale este egal cu produsul
numerelor date.
16. Nu orice număr mai mare ca 5 poate fi scris ca sumă a trei numere prime.
17. Într-o împărți re cu rest, dacă deîmpărțitul și împărțitorul se divid printr -un număr dat,
atunci și restul se divide prin acel număr.
18. Produsul dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere este egal cu produsul lor.
19. C.m.m.m.c. al mai multor numere naturale divide orice multiplu comun al lor.
20. Dacă numerele întregi a și b sunt prime între ele, atunci și perech ile de numere întregi
a și a+b, a+b și 2a +b, a și 2a +b sunt prime între ele.
2. Divizibilitatea în mulțimea numerelor întregi
Definiția 1. Un întreg n este divizor al unui întreg p dacă există un întreg q, astfel încât
p=nq.
În cazul în care există un q ℤ, spunem că n este un divizor al lui p și p este un
multiplu de n. În acest caz , mai spunem că p se împarte exact cu n sau că n îl divide pe p și se
scrie :
np sau
p⋮n
În caz contrar scriem:
n∤p (n nu divide pe p).
Relația de divizibilitate în mulțimea numerelor întregi este o relație binară, pe această
mulțime.
Proprietățile relației de divizibilitate
1. Relația de diviz ibilitate este reflexivă, adică pentru orice p ℤ:
p=p1, deci
pp.
53
2. Relația de divizibilitate este antisimetrică, adică: dacă n p și pn, atunci n=p .
Avem: p=nq 1 și n=pq 2, deci p=pq 1q2, de unde 1=q 1q2, deci: q1=q2=1.
3. Relația de divizibilitate este tranzitivă:
n|p, p|r ⇒ n|r
p=nq, r=pq 1 ⇒ r=n(qq 1)
4. Orice număr întreg divide pe zero.
0=n×0 ⇒ n|0
5. Zero nu e ste divizorul nici unui număr întreg p 0.
Nu există: p=q×0 când p0.
6. Numerele 1 și p sunt întotdeauna divizori ai lui p.
Numerele 1 și p se numesc divizori improprii ai lui p, orice alt divizor n diferit de 1 se
numește divizor propriu.
Un număr întreg diferit de 1 care nu admite divizori proprii , se numește număr
nedecompozabil . Un număr întreg care admite divizori proprii , se numește număr compus .
7. Orice divizor al unui număr întreg p, diferit de zero, este cel mult egal cu p.
Generalitatea propoziției nu se restrânge în ceea ce privește relația de divizibilitate
dacă vom considera întregii pozitivi.
Dacă: p0 și q0, avem q1 și nqn, sau pn.
8. Dacă np și nq, atunci oricare ar fi întregii x și y, n(px+qy).
Dacă: n|p, n|q ⇒ p=hn și q=kn
Avem:
px+qy=hnx+kny=n(kx+ky)
În particular: n|(p+q) și n|(p–q).
Mulțim ea divizorilor și a multiplilor comuni a i mai multor numere
Fie un număr finit de numere naturale a1,a2,…,a k. Valoarea absolută a unui număr
întreg este un număr pozitiv, iar din punctul de vedere al adunării și înmulțirii , nu se face
distincție între numerele întregi pozitive și numerele naturale. De aceea, pentru ușurință
folosim în acest paragraf numerele naturale.
54
Notăm cu D mulțimea divizorilor comuni ai acestor numere, prin M mulțimea
multiplilor comuni diferiți de ze ro. Mulțimea D conține cel puțin un element, numărul 1; este
o submulțime a lui ℕ, nevidă. D este mărginită superior prin fiecare din numerele a1,a2,…,a k.
Există , prin urmare , în D un element d mai mare decât toate celelalte; numim acest element
c.m.m.d.c. al numerelor a1,a2,…,a k.
Mulțimea M a multiplilor comuni diferiți de zero ai numerelor a1,a2,…,a k nu este vidă,
conține cel puțin produsul a1,a2,…,a k. Această submulțime a lui ℕ este mărginită inferior de
cel mai mare dintre numerele a1,a2,…,a k, prin urmare are un element m mai mic decât toate
celelalte ; numim acest element c.m.m.m.c. al numerelor a1,a2,…,a k.
Dacă notăm cu A1 mulțimea divizorilor lui a1, cu A2 mulțimea divizorilor lui a2, …, cu
Ak mulțimea divizorilor lui ak, atunci avem: D=A 1∩A 2∩…∩A k. Deoarece mulțimile A1, A2,, …,
Ak sunt finite și intersecția lor D este finită.
Dacă notăm cu A'1 mulțimea multiplilor lui a1, cu A'2 mulțimea multiplilor lui a2, …, cu
A'k mulțimea multiplilor lui ak, atunci avem: M= A’1∩A’ 2∩…∩A’ k.
Ideale principale de numere întregi
Definiția 2 . O mulțime de numere întregi I, care se bucură de proprietățile:
1) diferența dintre două elemente p și p' a lui I este un element a lui I;
2) produsul dintre un element p a lui I cu un număr întreg h este un element a lui I,
se numește ideal al lui ℤ.
Observația 3. Mulțimea I0 care conține numai elementul 0 este ideal. Mulțimea I1 care
conține elementul 1 este idealul format din toate numerele întregi. Aceste două ideale se
numesc ideale improprii.
Pe lângă ideale improprii există și ideale proprii, mulțimea multiplilor unui n umăr
întreg a formează idealul I(a), generat de elementul a, numit ideal principal.
Cel mai mare divizor comun al mai multor numere
55
Definiția 4. Fie a1, a2, …, a k, k numere întregi pozitive date și x1, x2, …, x k, k numere întregi
oarecare, numim idealul I(a1,a2,…,a k) generat de elementele a1, a2, …, a k, mulțimea I a
numerelor pozitive:
p=|x 1a1+x2a2+…+x kak|.
Această mulțime I are următoarele proprietăți:
1. I este o mulțime de numere întregi pozitive.
2. I conține pe zero; este suficient să se ia:
x1=-a2; x2=a1; x3=x4=…x k=0.
3. Elementele diferite de 0 formează o submulțime a lui ℤ +, există deci un element d,
care este cel mai mic element diferit de zero din I.
4. Produsul dintre un element p I cu un număr întreg pozitiv h este un element al lui I.
Într-adevăr, dacă hZ+, avem:
hp=|hx 1a1+hx 2a2+…+hx kak|,
care este un element al lui I.
5. Valoarea absolută a diferenței între două elemente p și p' a lui I este un elem ent care
aparține lui I.
Dacă:
p=|x 1a1+x2a2+…+x kak|, și
p’=|x’ 1a1+x’ 2a2+…+x’ kak|,
avem:
|p–p’|=|(x1 – x1’)a1+ (x2 – x2’)a2+…+ (xk – xk’)ak|
sau
|p–p’|=|(x1 + x 1’)a1+ (x2 + x 2’)a2+…+ (xk + x k’)ak|.
În ambele cazuri | p–p’| este un element al lui I.
Teorema 5. Orice element diferit de zero al lui I este un multiplu de d.
Demonstrație: Fie p un element diferit de 0 din I. Deoarece d este cel mai mic dintre
elementele diferite de 0 ale lui I, avem pd. Identitatea împărțirii dintre p și d ne dă:
p=dq+r , cu r<d.
Dar dq este un element al lui I (proprietatea 4). Numărul r=p-dq este, de asemenea, element al
lui I. Singurul element al lui I mai mic ca d este 0; avem deci:
p=dq .
56
Prin urmare, mulțimea I(a1,a2,…,a k) este un ideal egal cu I(d), care este un ideal principal.
I(a1,a2,…,a k)=I(d) .
Consecinț e:
1. d este un divizor comun al numerelor a1, a 2, …, a k. Fie i un element al mulțimii
{1,2,3,…,k}. Numărul ai este un element al lui I obținut, dând numărului întreg xi valoarea
+1 și tuturor celorlalți întregi xi valoarea 0. Deci ai este un multiplu de d.
2. Orice divizor comun al numerelor a1, a2, …, a k este un divizor al lui d. Într -adevăr, dacă
un număr d1 divide fiecare din numerele a1, a 2, …, a k, el va divide orice e lement
p=|x 1a1+x2a2+…+x kak|, deci d1 divide și pe cel mai mic element al lui I diferit de zero,
care este d.
3. Rezultă că dintre toți divizorii comuni ai numerelor a1, a2, …, a k , numărul d este cel mai
mare și îl numim cel mai mare divizor comun al numerelor a1, a2, …, a k.
Numere prime între ele
Definiția 7. Spunem că numerle întregi a1, a2, …, a k sunt prime între ele dacă c.m.m.d.c. al lor
este 1.
Teoremă 8. Dacă d este c.m.m.d.c. al numerelor a1, a2, …, a k, atunci numerele:
daadaadaak
k= == ;…; ;2
21
1
sunt prime între ele.
Dacă d este c.m.m.d.c. al numerelor a1, a2, …, a k există k numere întregi x1, x2, …, x k,
astfel ca:
|x1a1+x2a2+…+x kak|=d,
deducem că:
|x1a’1+x2a’2+…+x ka’k|=1.
Aflarea celui mai mare divizor comun a l două numere date
Algoritmul lui Euclid
C.m.m.d.c. a două numere a, b notat (a,b) este ultimul rest diferit de 0 al împărțirilor
succesive:
57
a=bq+r, 0rb;
b=rq 1+r1, 0r1r;
r=r 1q2+r2, 0r2r1;
……………………………
rP-2=rP-1qP+rp, 0rPrP-1;
rP-1=rPqP+1
Într-adevăr, orice divizor comun între a și b este divizor comun între b și r și reciproc.
a=bq+r ⇒ r=a–bq
Deci, cel mai mare divizor comun între a și b este c.m.m.d.c. între b și r.
d=(a,b)=(b,r)=(r,r 1)=…=r p
Acest procedeu de a găsi ( a,b) prin cel mult b împărțiri succesive , poartă numele de
algoritmul lui Euclid .
Teorema 9. (Bézout) Dacă d=(a,b) , atunci există două numere naturale u și v, astfel că :
d=ua –vb sau d=vb –ua.
Demonstrație: Am arătat că dI și că este de forma: |x1a1+x2a2+…+x kak|, unde a1, a2, …, a k
sunt naturale, iar x1, x2, …, x k sunt numere întregi. Punând :
x1=x, x 2=y, a 1=a, a 2=b, a 3=…=a k=0,
avem:
d=|xa+yb |
Cum d este mai mic decât a și b sau cel mult egal cu unul dintre ele, pentru ca relația
d=|xa+yb | să aibă loc , este necesar ca x și y să fie de semne contrare. Luăm | x|=u și |y|=v.
Egalitatea d=|xa+yb | implică una din următoarele egalități:
d=ua –vb sau
d=vb –ua .
Coeficienții u și v se pot calcula din aproape în aproape , cu ajutorul relațiilor algoritmului lui
Euclid. Din:
d=(a,b)=(b,r)=(r,r 1)=…=r n
scoatem:
d=r 2k=ua–vb și
d=r 2k+1=vb–ua
58
Teorema 10. Două numere naturale a și b sunt prime între ele dacă și numai dacă există
două numere întregi pozitive u și v, astfel încât:
au+bv=1.
Demonstrație: 1=au –vb sau 1=vb –au. Conform teoremei precedente , condiția este necesară,
adică există două numere u și v, astfel că:
(a,b)=1=au –bv sau (a,b)=1=bv –au.
Condiția este suficientă, căci din d|a și d|b ⇒ d|1, deci d=1. Dacă există o pereche de numere
întregi pozitive u și v, astfel că bv–au=1 , există , de asemenea , o pereche u1, v1 de numere
întregi pozitive, astfel că au1–bv1=1. Să luăm număru l natural n suficient de mare, astfel ca
întregii u1=nb–u și v1=na–v să fie pozitivi. Atunci avem:
au1–bv1=a(nb –u)–b(na–v)=bv –au=1
Dacă există o pereche de numere întregi u și v astfel ca au–bv=1 , atunci există o
infinitate de perechi. Într -adevăr, oricare ar fi n
N, numerele: u1=u+nb și v1=v+na verifică
relația:
au1–bv1=a(u+nb) –b(v+na)=au –bv=1 .
Consecința 11. Dacă un număr a este prim cu un număr b și cu un număr c, este prim și cu
produsul bc.
Demonstrație: Dacă (a,b)=1 și (a,c)=1 ,
avem:
au1–bv1=1
au2–cv2=1,
de unde:
bv1=au 1–1
cv2=au 2–1.
Înmulțind membru cu membru, obținem:
bcv 1v2=(au 1–1)(au 2–1)
Punem:
v1v2=U și
au1u2 – u2 – u1=V.
Există două numere U și V, astfel că:
(bc)U -aV=1 .
59
Aceasta arată că bc și a sunt prime între ele.
Teorema 12. (Gauss) Dacă numerele a și b sunt prime între ele și dacă a divide produsul bc,
atunci a divide pe c.
Demonstrație: Dacă (a,b)=1 , avem au–bv=1 , de unde:
cau – cbv=c
a|cau și a|cbv ⇒ a|(cau –cbv)
deci:
a|c.
Consecința 13. Dacă b|a și c|a și (b,c)=1, atunci bc|a.
Demonstrație: Avem: bu–cv=1 sau abu – acv=a . Dar bc|abu și bc|acu , deci bc|a.
Cel mai mic multiplu comun a două numere
Notația 14. Notăm c.m.m.m.c. a două numere a și b cu m=[a,b].
Teorema 15. Dacă ( a,b)=d și [a,b]=m, atunci avem: ab=md.
Demonstrație: Într-adevăr: M=aq 1=bq 2 (M multiplu comun a lui a și b), deci:
aq1=bq 2 sau
2 1 qdbqda=
1qda
db
, dar
1 ,=
da
db .
Rezultă:
1qdb
,
deci:
ndbq=1
.
Avem:
ndba aq M==1
.
Când n=1, avem M=m , deci:
dabm=
60
sau:
ab=md .
Teorema 16. Orice multiplu comun a k numere a1, a2, …, a k este multiplu a lui m.
Demonstrație: Fie p un multiplu a numerelor a1, a2, …, a k și m c.m.m.m.c. al lor. Există două
numere întregi q și r, astfel că :
p=mq+r , cu rm,
sau
p-mq=r , cu rm.
Dar p și m sunt multipli comuni ai numerelor a1, a2, …, a k. Rezultă că numărul r este, de
asemenea , multiplu comun al celor k numere și este mai mic ca m, c.m.m.m.c. al lor, r nu
poate fi decât 0. Deci:
p=mq .
Numere prime
Definiția 17. Un număr natural p 1 care admite doi și numai doi divizori (pe 1 și pe p), se
numește număr prim.
Definiția 18. Orice număr natural p 1 care admite și alți divizori în afară de 1 și de p, se
numește număr compus.
Deci, numerele naturale se împart din punct de vedere al descompunerii lor în:
1. unitatea – cu un singur divizor;
2. numere prime – cu doi divizori;
3. numere co mpuse – cu mai mult de doi divizori.
Teorema 19. Numerele prime sunt nedecompozabile.
Demonstrație: Presupunem că numărul p este compus și că am avea p=ab, cu a divizor
propriu. Rezultă că 1ap și 1bp; relația p=ab arată că p(ab), conform definiției pa sau
pb, deci pa sau pb, ceea ce contrazice inegalitățile de mai sus. Deci: p=a sau p=b și a=1.
Teorema 2 0. Dacă un număr natural n este compus, cel mai mic divizor propriu este
nedecompozabil.
Demonstrație: Fie D mulțimea divizorilor lui n diferiți de 1. Această mulțime este o parte a
lui ℕ; deci conține un element d mai mic decât celelalte. Acest element es te nedecompozabil.
61
Dacă d ar fi un număr compus , ar admite un divizor d1 mai mic decât d. Acest divizor al lui d
ar fi și un divizor al lui n mai mic ca d, ceea ce ar contrazice ipoteza că d este cel mai mic
divizor propriu al lui n.
Teorema 21. (Euclid) Mulțimea numerelor nedecompozabile nu este mărginită.
Demonstrație: Să arătăm că oricare ar fi p număr nedecompozabil, există altul mai mare.
Considerăm numărul:
n=p!+1 .
Cele două numere n și p! sunt prime între ele, deoarece avem:
n-p!=1.
Numărul n nu se divide cu nici unul din numerele 2, 3, …, p, deoarece toate aceste numere
divid pe p!. Cu excepția numărului 1, toți divizorii lui n sunt mai mari ca p; cel mai mic dintre
acești divizori este nedecompozabil. Există deci, oricare ar fi p, numere nedecompo zabile mai
mari ca p.
Descompunerea unui număr în factori primi
Teorema 2 2. Orice număr întreg mai mare decât 1se descompune într -un produs de factori
prim.
Demonstrație: Am arătat că orice număr compus n admite cel puțin un divizor prim a1 (cel
mai mic divizor propriu). Avem deci:
n=a 1q1 cu q1n.
Dacă q1 este prim, n este un produs de doi factori primi. Dacă q1 nu este prim, ad mite cel puțin
un divizor prim pe a2; avem: q1=a2q2 cu q2q1, și deducem: n=a 1a2q2. Dacă q2 nu este prim,
admite pe a3 ca divizor prim , și avem: n=a 1a2a3q2 cu q3q2q1n. Efectuând această operație ,
atât cât este posibil, obținem câturile q1, q2, q3, … aranjate în ordine descrescătoare. Mulțimea
acestor câturi este o submulțime a lui ℕ. Deci va avea un element qk mai mic decât toate
celelalte. qk nu este zero, deoarece produsul n=a 1a2…a kqk nu este zero. qk nu este egal cu 1,
deoarece în egalitatea qk-1=qkak numărul
1−kq , nu este prim și ak este prim. qk este prim (am
arătat că numerele prime sunt nedecompozabile și reciproc), căci dacă nu ar fi prim, ar avea un
divizor prim ak+1; am avea: qk=ak-1qk+1 cu qk+1qk, iar numărul qk nu ar fi cel mai mic din
mulțimea q1, q2, q3, …qk. Notând cu ak+1 numărul prim qk, avem:
62
n=a 1a2…a kak+1.
Dacă numărul n este prim, avem: n=n1.
Descompunerea unui număr în factori primi se mai numește și descompunerea
canonică a lui n și în această descompunere unii factori pot fi egali, caz în care descompunerea
se repr ezintă în felul următor:
n=
ka
ka ap p p …2 1
2 1 ,
cu pi diferiți și ai numere naturale.
Unicitatea descompunerii în factori primi
Teorema 2 3. Orice număr natural n 1, se descompune într -un produs unic de factori primi.
Demonstrație: Presupunem că am descompus pe n în două moduri diferite în factori primi:
n=
ka
ka ap pp …2 1
2 1
n=
kb
kb bq qq …2 1
2 1 .
Un factor prim de la prima descompunere, p1, de exemplu, divide produsul:
kb
kb bq qq …2 1
2 1 . Dacă
nu este egal cu nici unul din numerele q2, q3, …, qk este prim cu ele, deci este prim și cu
produsul lor:
kb
kbq q…2
2 ; urmează că p1 divide pe
1
1bq . Dar numerele p1 și q1 sunt prime, rezultă
că p1=q1. Orice factor prim din prima descompunere este factor prim și în cealaltă
descompunere. Dacă doi factori p1 și q1, de exemplu ar fi de ordin de multiplicitate diferit,
adică dacă b1a1, atunci numărul întreg
1
11 apnn= ar avea două descompuneri în factori primi:
n1=
ka
ka ap p p …3 2
3 2 și
n=
kb
kb abq q q −…2 1 1
2 1 ,
care n -ar conține aceleași numere prime, fapt ce ar contrazice prima parte a teoremei.
Descompune rea în factori primi este deci unică.
63
Funcții numerice
Orice aplicație a mulțimii numerelor întregi pozitive în mulțimea numerelor întregi
pozitive se numește funcție numerică.
Se mai poate lua ca domeniu de definiție mulțimea numerelor naturale, codomeniul
putând fi mulțimea numerelor reale sau complexe. În unele cazuri, chiar domeniul de definiție
al funcției poate fi extins la alte mulțimi numerice, nu neapărat ℕ.
În continuare , vom da noțiuni asupra anumitor funcții (aritmetice) numerice definite în
mulțimea numerelor naturale.
Funcții importante în teoria numerelor sunt funcțiile multiplicative.
Definiția 24. O funcție numerică f(n) definită pe mulțimea numerelor natu rale se n umește
multiplicativă, dacă pentru orice pereche (m,n)=1 avem:
f(mn)=f(n)f(m).
Observația 25. Dacă nu se pune condiția (m,n)=1 , adică pentru orice (m,n) , avem
f(mn)=f(n)f(m)
atunci funcția f(n) este total multiplicativă sau multiplicativă în sens gene ralizat.
Teorema 26. Dacă f(n) este multiplicativă și nu se anulează pentru toate valorile lui n, atunci
f(1)=1.
Demonstrație: Avem: f(n0)≠0 și f(n0)=f(n 01)=f(n 0)f(1).
Simplificând cu f(n0), rezultă 1=f(1).
Suma divizorilor numărului n inclusiv 1 și n este dată de formula:
.11…11
11)(1
21
2
11
12 1
−−−−−−=+ + +
ka
ka a
pp
pp
ppnk
Fie:
ka
ka ap ppn …2 1
2 1= descompunerea canonică a lui n într-un produs de factori primi.
Un divizor d al lui n este de forma:
kb
kb bp ppd …2 1
2 1= , cu 0biai, i=1,2,3,…,k .
Obținem suma divizorilor lui n pe care o notăm cu
)(n , făcând produsul:
). … 1)…( … 1)( … 1(2 1
22
2 2 12
1 1ka
k ka ap p p p p p p p P +++++++++++=
Termenii obținuți prin efectuarea produsului sunt divizorii distincți ai lui n.
Înlocuind parantezele prin suma progresiilor geometrice respective, avem:
64
.11…11
11)(1
21
2
11
12 1
−−−−−−=+ + +
ka
ka a
pp
pp
ppnk
Numărul divizorilor
Dacă în produsul:
) … 1)…( … 1)( … 1(2 1
22
2 2 12
1 1ka
k ka ap p p p p p p p P +++++++++++=
facem pe a1=a2=…=a k=0, obținem numărul termenilor produsului P care este tocmai numărul
divizorilor lui n, inclusiv 1 și n.
Notăm prin:
(n)=(a 1+1)(a 2+1)…(a k+1) numărul acestor divizori.
Aritmetica modulară
Congruențe
Teorema 27. Fiind date două numere întregi a și b, cu b diferit de zero, există două numere
întregi q și r unic determinate, astfel încât a=bq+r, cu 0≤r≤ b.
Numerele a și b poartă numele de deîmpărțit și împărțitor, iar q și r de cât, respectiv rest.
În cazul în care r=0, spunem că b divide pe a.
Definiția 28. Două numere întregi a și b se numesc congruente modulo m, m fiind un număr
întreg diferit de zero, dacă prin aplicarea teoremei împărțirii întregi lui a și m obținem același
rest ca și la aplicarea teoremei împărțirii întregi lui b și m.
Notația 2.2 .1.3: Se va nota a≡b(mod m) și se va citi: a congruent cu b modulo m.
Exemplul 2 9. 136≡ -46 (mod 13), deoarece
136=1 3∙10+6 și -46=13∙( -4)+6.
Teorema 30. Două numere întregi a și b se numesc congruente modulo m, m fiind un număr
întreg diferit de zero, dacă și numai dacă m divide pe a -b.
Demonstrație: Dacă a≡b ( mod m), atunci avem:
a=mq 1+r, b=mq 2+r,
deci:
a-b=m (q 1-q2) sau a-b=mt , unde q1-q2=t,
relație care arată că m divide pe a-b.
65
Reciproc, dacă:
m(a-b), adică a-b=mt ,
care se mai poate scrie:
a=b+mt
și dacă:
b=mq+r cu condiția 0≤r≤m,
atunci:
a=mq+r+mt=m(q+t)+r,
deci a în împărțirea întreagă cu m dă același rest ca și numărul întreg b. Deci există
echivalența logică:
a≡b (mod m) este echivalent cu m(a-b) .
Notația 31. Dacă două numere întregi m și n nu sunt congruente modulo p se va nota:
m≢n (mod p).
Observația 32. Deoarece două numere întregi oarecare pot fi congruente modulo m sau nu,
relația de congruență este o relație binară, mai mult, ea este o relație de echivalență.
Într-adevăr ea este:
(i) reflexivă: a≡a (mod m);
(ii) simetrică: a≡b (mod m) b≡a (mod m). Aceste proprietăți sunt evidente.
(iii) tranzitivă: a≡b (mod m) și b≡c (mod m) a≡c (mod m).
Folosind proprietățile relației de divizibilitate, se obține:
m(a-b) și m(b-c) m[(a-b)+(b -c)] m(a-c).
Clase de resturi modulo m
Din cauză că relația de congruență pentru numere întregi, pentru fiecare modulo m,
este o relație de echivalență, putem forma clase de echivalență pe care le vom numi clase de
resturi.
Definiția 33. O clasă de resturi este mulți mea numerelor întregi congruente modulo m cu un
număr întreg dat.
Notația 34. Clasa de resturi se notează cu C a, unde a este un număr întreg care aparține
clase i, numit reprezentantul clasei.
66
Deoarece a≡r (mod m), unde r este restul împărțirii lui a la m, se poate lua ca
reprezentant al clasei de resturi Ca chiar restul r.
Observația 35. Numerele din două clase diferite C r și C r nu sunt congruente modulo m.
Demonstrație: Considerând r și r chiar resturile, atunci dacă aCr și bCr, se poate scrie:
a=mq 1+r, b=mq 2+r,
și deci:
a-b=m(q 1-q2)+r-r .
Deoarece 0≤ r≤m și 0≤r≤m, va rezulta că m nu divide r-r și deci nu divide nici pe a-b.
Observația 36. Două clase de resturi sunt egale , dacă și numai dacă reprezentanții lor sunt
congruenți, adică:
Ca≡C b dacă și numai dacă a≡b (mod m).
Regula 37. (Adunarea și scăderea congruențelor) Două congruențe în raport cu același modul
se adună sau se scad membru cu membru.
(i) dacă a≡b (mod m) și c ≡d (mod m), atunci a+c≡b+d (mod m).
Dacă m(a-b) și m(c-d), atunci m [(a-b)+(c -d)], adică m [(a+c) -(b+d)].
Regula adunării se poate generaliza pentru un număr finit de congruențe.
(ii) dacă a≡b (mod m) și c≡d (mod m), atunci a -c≡b-d (mod m).
Dacă m(a-b) și m(c-d), atunci m [(a-b)-(c-d)], atunci m[(a-c)-(b-d).
(iii) a≡b+c ( mod m) dacă și numai dacă a -c≡b(mod m), deoarece m [a-(b+c)] exact
dacă m[(a-c)-b].
Adică se poate trece un termen dintr -un membru al congruenței în celălalt cu semn
schimbat.
Regula 38. (Adunarea claselor de resturi) Suma a două clase de resturi C a și C b este clasa de
resturi C a+b , deci C a+C b=C a+b.
Unicitatea sumei claselor de resturi rezultă din faptul că suma a două clase de resturi
este independentă de alegerea p articulară a reprezentanților. Astfel dacă Ca=C a și Cb=C b,
atunci Ca+b=C a+b, deoarece din a≡a (mod m) și b≡b (mod m) se deduce a+b=a+b (mod
m).
Pentru a cunoaște sumele se pot alcătui tabele.
67
Exemplul 39. m=3 m=4
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Se observă că fiecare linie , respectiv coloană , reprezintă o permutare circulară a
resturilor modulo m.
Proprietățile adunării claselor de resturi
(i) Suma claselor de resturi este asociativă, deoarece adunarea întregilor are această
proprietate.
Ca+(C b+C c)=(C a+C b)+C c, adică
a+(b+c)≡(a+b)+c (mod m).
(ii) Suma claselor de resturi este comutativă, deoarece adunarea întregilor are această
proprietate.
Ca+C b=C b+C a, adică
a+b≡b+a (mod m)
(iii) Elementul neutru la adunarea claselor de resturi este C 0.
Ca+C 0=C a+0=C a.
Observația 40. Ecuația C b+C x=C a are soluția C x=C a–b, deoarece: C b+C a–b=C a.
Regula 41. (Înmulțirea congruențelor) Două congruențe în raport cu același modul se pot
înmulți membru cu membru.
dacă mod m) și c≡d (mod m), atunci ac≡bd (mod m).
dacă m(a-b) și m(c-d), atunci m c(a-b)+b(c -d), adică m (ac-bd).
Observația 42. Această regulă se generalizează pentru un număr natural n. Astfel, din
congruențele:
a1≡b1 (mod m) și a 2≡b2 (mod m) și … și a n≡bn (mod m)
se obține:
a1a2…an≡b1b2…bn (mod m). + 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
68
Cazuri particular e:
(i) a≡b (mod m) implică an≡bn (mod m).
(ii) a≡b (mod m) implică ac≡bc (mod m).
(iii) a≡b (mod m) implică ac≡bc (mod mc).
Regula 43. (Înmulțirea claselor de resturi) Produsul claselor de resturi C a și C b este clasa de
resturi C ab ,deci C a∙Cb=C ab, suma este clasa de resturi C a+b, deci C a+C b=C a+b.
Unicitatea produsului claselor de resturi rezultă din faptul că produsul a două clase de
resturi este independent de alegerea particulară a reprezentanților. Astfel dacă Ca=C a și
Cb=C b, Cab=C ab deoarece din a≡a (mod m ) și b≡b (mod m) se deduce a∙b=a∙b(mod m).
Pentru a cunoaște produsele se pot alcătui tabele.
Exemplul 44. m = 3 m = 4
Proprietățile înmulțirii claselor de resturi
(i) Înmulțirea claselor de resturi este asociativă, deoarece produsul întregilor are
această proprietate.
Ca(Cb∙Cc)=(C a∙Cb)Cc, adică
a(b∙c)≡(a∙b) c (mod m)
(ii) Înmulțirea claselor de resturi este comutativă, deoarece produsul întregilor are
această proprietate.
Ca∙Cb=C b∙Ca, adică
a∙b≡b∙a (mod m)
(iii) Elementul neutru la în mulțirea claselor de resturi este C 1.
C1∙Ca=C a.
(iv) Înmulțirea claselor de resturi este distributivă față de adunare, pentru că această
proprietate o au și operațiile respective cu numere întregi.
Ca(Cb+C c)=C aCb+C aCc, adică ∙ 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1 ∙ 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
69
a(b+c)≡ab+ac (mod m).
Observația 45. Aceste proprietăți ale operațiilor de adun are și înmulțire demonstrează că
mulțimea claselor de resturi pentru un modul m dat este inel comutativ cu element neutru la
înmulțire.
Teorema 46. Dacă într -o sumă cu coeficienți întregi P=
n
nx xxA …2 1
2 1 se înlocuiesc
numerele A,x 1,x2,…,x n prin numerele A , x1, x2, …, xn congruente modulo m, atunci noua
sumă P’=
n
nx x xA …2 1
2 1 va fi congruentă modulo m cu P.
Demonstrație: Din congruențele:
A≡A (mod m), x1≡x1 (mod m), x2≡x2 (mod m), … , xn≡xn (mod m)
se deduc și următoarele:
). (mod ,…), (mod ), (mod2 2 1 1
2 2 1 1 m x x m x xm x xn n
n n
Înmulțind c ongruențele se obține:
n
nx xxA …2 1
2 1 ≡
n
nx x xA …2 1
2 1 (mod m).
Având câte o astfel de congruență pentru fiecare termen al sumei P și făcând suma lor,
obținem:
n
nx xxA …2 1
2 1 ≡
n
nx x xA …2 1
2 1 (mod m).
Sisteme complete de resturi modulo m
Definiția 47. Se numește sistem complet de resturi modulo m o mulțime de numere întregi
formate din reprezentanții tuturor claselor de resturi modulo m, din fiecare clasă de resturi
fiind luat câte un reprezentant.
Dacă m≠0, atunci numărul elementelor dintr -un sistem complet de resturi modulo m
este egal cu m. Se pot lua ca reprezentanți ai claselor de resturi modulo m numerele întregi
diferite , două câte două, care au proprietatea 0≤m≤m, numărul lor este m.
În consecință, numărul claselor de resturi modulo m este egal cu m.
Un sistem complet de resturi modulo m, cu m≠0, este caracterizat prin următoarele
două proprietăți:
70
Proprietăți:
1. este format din m numere întregi;
2. diferența a două numere întregi oarecare din acest sistem nu se divide prin numărul
întreg m.
Ultima proprietate se justifică prin faptul că aceste numere întregi fac parte din clase de
resturi diferite și deci nu sunt congruente modulo m.
Consecința 48. Dacă m este un număr întreg diferit de zero, atunci m numere întregi
consecutive formează un sistem complet de resturi modulo m.
Demonstrație: Fie a+1, a+2, …, a+ m, m numere întregi consecutive. Diferența a două
numere oarecare a+i-(a+j)=i – j, unde i-j<m și deci m nu poate divide i-j.
Teorema 49. Dacă x 1, x2, … ,x │m│ este un sistem complet de resturi modulo m și dacă
(a,m)=1, atunci și numerele ax 1, ax 2, … , ax │m│ formează un sistem complet de resturi modulo
m.
Demonstrație: Din ipoteză xi≢xj (mod m) și (a,m)=1 ar însemna că x i≡xj (mod m), ceea ce ar
contrazice ipo teza. Deci m nu divide diferența axi-axj și cum produsele sunt în număr de m,
constituie un sistem de resturi modulo m.
Sistem redus de resturi
Definiția 50. Se numește sistem redus de resturi modulo m, o mulțime de numere întregi
formată din reprezentanții tuturor claselor de resturi modulo m prime cu modulul, din fiecare
clasă de resturi fiind luat câte un singur reprezentant.
Teorema 51. Numerele întregi pr ime cu modulul m dintr -un sistem complet de resturi modulo
m este un sistem redus de resturi modulo m.
Fiecare număr întreg dintr -un sistem complet de resturi modulo m face parte dint -o
clasă de resturi modulo m și numai din una singură și dacă reținem num erele întregi prime cu
modulul m dintr -un sistem complet de resturi modulo m, obținem un sistem redus de resturi
modulo m.
Dacă se consideră sistemul complet de resturi modulo m format din 0, 1, 2, … , m-1,
atunci numărul numerelor prime cu m și mai mici decât el este dat de funcția lui Euler, φ(m) .
Astfel, dacă m=
n
np p p …2 1
2 1 descompus în factori primi, atunci:
71
φ(m)=
) (…) () (1 1
2 21
1 12 2 1 1 − − −−−−n n
n n p p p p p p .
Exemplul 52. Dacă m=360=23∙32∙5, atunci:
φ(m)=(23-22)(32-3)(5-1)=4∙6∙4=96 .
În cazul particular când p este un număr prim, atunci φ(m)=p -1.
Teorema 53. Dacă c 1, c2, … , c s unde s=φ(m) este un sistem redus de resturi modulo m, iar a
este un număr întreg prim cu m, atunci ac 1, ac 2, … , ac s este de asemenea un sistem redus de
resturi modulo m.
Demonstra ție: Fiecare număr aci, unde 1≤i≤s , reprezintă o clasă de resturi primă cu modulul
m, deoarece atât a cât și ci sunt primi cu m. Două numere aci și acj, unde 1≤ j≤ s, fac parte din
clase de resturi diferite, pentru că aci≡acj (mod m) , prin împărțire cu a s -ar obține ci≡cj (mod
m), ceea ce ar contrazice ipoteza cum că i≠j.
Teorema 54 (Euler ) Pentru orice număr întreg a prim cu un număr întreg m avem aφ(m)
≡1(mod m).
Demonstrație: Dacă c1, c2, … , cφ(m) un sistem redus de resturi modulo m. Atunci ac1, ac 2, … ,
acφ(m) este, de asemenea , un sistem redus de resturi modulo m, deoarece a este prim cu m. Între
numerele din aceste două șiruri se stabilește o corespondență biunivocă prin asocierea lui aci
din șirul al doilea cu un număr ci din primul șir, făcând parte din aceeași clasă de resturi. Vom
avea deci aci≡ci(mod m ).
Prin înmulțirea celor φ(m) congruențe se obține:
aφ(m)c1 c2 … c φ(m)=c1 c2 … cφ(m) (mod m)
având c1 c2 … cφ(m)=c1 c2 … c φ(m).
Împărțind cu acest produs , se obține formula pe care am vrut să o demonstrăm:
aφ(m)≡1 (mod m).
Teorema 55 (Fermat). Pentru orice număr întreg a care nu se divide cu un număr prim p
avem:
a│p│-1 ≡1 (mod p).
Demonstrație: Pentru demonstrație este suficient să facem în formula precedentă φ(m)= │p│ –
1, p fiind un număr prim.
72
Ecuația diofantică – Diofant – „tatăl algebrei ”.
Diofant, tatăl algebrei , este cel mai bine cunoscut pentru cartea sa Aritmetica , o lucrare
asupra ecuațiilor algebrice și despre teoria numerelor. Nimic important nu se știe însă despre
viața lui și exis tă unele controverse relative în legătură cu perio ada în care el a trăit.
Diofant și -a desfășurat activitatea în marele oraș antic , Alexandria. În timpul vieții lui,
Alexandria era centrul universal al învățământului matematic. Între 250 î.e.n. și 350 e.n.,
Alexandria era în epoca de argint , cunoscută, de asemenea, ca epoca alexandriană târzie. În
toată această perioadă matematicieni i au descoperit multe idei care au condus ulterior la
concepte matematice moderne. Argintul vine de la faptul că perioada la care ne referim
urmează celei numite ca era de aur , timp în care matematica s -a dezvoltat vertiginos. Era de
aur este considerată c ea în jurul căreia a trăit marele Euclid. Matematica acestor timpuri a
influențat -o mult pe cea contemporană.
Cu toate că epoca în care Diofant a trăit este în linii mari cunoscută, este extrem de
greu de specificat perioada exactă în care el a trăit. Deși s-au făcut numeroase referiri la opera
lui Diofant, el însuși a făcut extrem de puține în ceea ce privește alți matematicieni, acest lucru
făcând foarte anevoioasă precizarea anilor vieții lui.
Diofant a citat definiția unui număr poligonal din opera lui Hypsicle, care a trăit înainte
de 150 î.e.n., deci putem afirma că Diofant a trăit după această dată. Pe de altă parte, Theon,
de asemenea un matematician din Alexandria, l -a citat pe Diofant în anul 350 î.e.n.. Mulți
istorici apreciază așadar că Diofa nt a fost în apogeul carierei sale în jurul anilor 250 î.e.n.. Cea
mai mare parte a informațiilor despre viața lui Diofant își au originea într -o colecție de șarade
scrise de Metrodorus în jurul anilor 500 e.n.. Una dintre ele sună așa:
“… copilăria i -a du rat o șesime din viață; după o altă șeptime s -a
căsătorit; după o altă doisprezecime i -a crescut barba; fiul lui s -a născut
după alți cinci ani și a trăit jumătate cât a trăit Diofant; Diofant a murit
patru ani după ce i -a murit fiul”.
Dacă nu se cunoaște mult despre viața lui Diofant, nu același lucru se poate spune
despre opera lui Aritmetica . Diofant a folosit abreviații atât pentru puterile numerelor , cât și
pentru relații și operații. Acest lucru arată , în mod clar , că Aritmetica aparține celui de -al
73
doilea stadiu de dezvoltare al algebrei. Înainte de Diofant, abrevierile pentru puteri, relații ș i
operații nu au fost folosite. Introducând aceste prescurtări, Diofant și -a ridicat opera deasupra
standardului calitativ al epocii alexandriene.
Aritmetica este o colecție de 150 de probleme cu soluții aproximative ale unor ecuații
determinate de grad , cel mult trei , și conținând totodată și ecuații nedeterminate. Acestea din
urmă sunt legate de teoria numerelor.
De-a lungul timpurilor , au existat mai multe cărți Aritmetica . Sunt șase cărți din care au
fost preluate cele 150 de probleme. Se crede că inițial au existat 13 cărți în colecția Aritmetica .
Cele șapte cărți sunt considerate pierdute și se presupune că au pierit într -un incendiu care a
izbucnit la sc urtă vreme după ce Diofant și -a terminat opera1.
Ecuații diofantiene.
Definiția 56. O ecuație de forma
ax+by=c,
unde a, b, c sunt numere întregi, iar necunoscutele x și y sunt de asemenea numere întregi, se
numește ecuație diofantică de gradul I.
Definiția 57. Se numește soluție a ecuației diofantice
ax+by=c
orice pereche de numere întregi (x 0,y0), astfel ca relația ax 0+by 0=c să fie adevărată.
A rezolva o ecuație diofantică înseamnă a -i găsi toate soluțiile.
Problema determinării numărului de soluții diferite a unei ecuații diofantice este strâns
legată de teoria congruențelor.
Într-adevăr, ecuația
ax=c -by
1 „O introducere în studiul ecuațiilor diofantiene” – Titu Andr eescu, Dorin Andrica
74
poate fi pusă în legătură cu congruența
ax≡c(mod b) .
Prin urmare, pentru rezolvarea ecuației:
ax+by=c
distingem trei cazuri:
1. Dacă (a,b)= 1, atunci x este soluția congruenței ax≡c(mod b), adică x=x 0+bh, iar:
.) (
00 0ahybabh by
bbhxacy −=−=+−=
2. Dacă (a,b)=d și d nu divide pe c, ecuația este imposibilă, deoarece membrul întâi se
divide prin d, însă membrul al doilea nu se divide.
3. Dacă a=a 1d, b=b 1d cu (a,b)=1 și c=c 1d, atunci ecuația se poate simplifica prin d și
obținem a1x+b 1y=c 1, care am văzut că admite soluția x=x 0+bh și y=y 0-ah
Definiția 58. O ecuație de forma:
(i) f(x 1, x2, … , x n)=0,
unde f este o funcție de n variabile și n≥2, se numește ecuație diofantiană.
Observația 59. Dacă f este o funcție polinomială cu coeficienți întregi, (i) poartă numele de
ecuație diofantiană algebrică.
Definiția 60. Un n -uplu (x 10,x20,…,x n0) ℤ n care satisface (i) se numește soluție a ecuației (i).
Definiția 61. O ecuație care are una sau mai multe soluții se numește solvabilă.
75
Capitolul 3. Aplicații și aspecte metodico – științifice
1. Aplicații
Problema 1 . Se consider ă numerele naturale
a 5n 6, =+
b 4n 5=+ și
c n 1,=+ unde 𝑛∈ℕ.
Să se arate că
[ , ]b c b c= și că suma
( , ) ( , )a b a c+ este un număr par (
[ , ]xy reprezintă cel mai
mic multiplu comun a l numerelor x și y iar
( , )xy reprezintă cel mai mare divizor comun a l
numerelor x și y).
Soluție : Demonstr ăm prin reducere la absurd că
( , ) 1.bc=
Presupunem deci că ∃𝑑∈ℕ,𝑑≠1,
( , ).d b c=
Atunci
/ / 4 5 / 4 5
/ / 1 / 4 4
/ 4 5 4 4 /1 1d b d n d n
d c d n d n
d n n d d + +
+ +
+ − − =
Contradicție cu ipoteza de la care am pornit deci
( , ) 1.bc=
În relația
( , ) [ , ]b c b c b c = înlocuim
( , ) 1bc= și obținem
[ , ] .b c b c=
Se demonstrează pri n reducere la absurd că
( , ) 1ac= și
( , ) 1ab= de unde
( , ) ( , ) 2.a b a c+=
Problema 2 . Arătați că dacă
9 | ,xyz atunci
9 | 51 71 67 . x y z++
Solu ție. Din
9 | 9 | .xyz x y z + +
51 71 67 (510 ) (710 ) (670 ) 1890 ( )x y z x y z x y z+ + = + + + + + = + + +
Deoarece
9 |1890 și
9|x y z++ rezultă că
9 |1890 ( ) x y z+ + + , deci
9 | 51 71 67 . x y z++
Problema 3. Arătați că printre oricare patru numere naturale există două a căror diferență este
un număr divizibil cu 3.
76
Soluție. Dintre oricare patru numere naturale există două care dau același rest la împărțirea
prin 3 (restul împărțirii poate fi 0,1,2). Diferența celor două numere care dau același rest la
împărțirea prin 3 , este un număr divizibil cu 3.
Problema 4. Se consideră numărul
2 3 20151 3 3 3 … 3a= + + + + + . Arătați că :
a) a este num ăr par ;
b) numărul a se divide cu 13.
Solu ție.
a) Numărul conține 2016 t ermeni , numere impare și grupându -i câte doi se obține suma a
1008 termeni pare care este un număr par.
b) Grupăm termenii câte trei și obținem 672 grupe, adică
2 3 2 2013 2
3 2013
3 2013(1 3 3 ) 3 (1 3 3 ) … 3 (1 3 3 )
13 3 13 … 3 13
13 (1 3 … 3 ) 13a
a
a= + + + + + + + + +
= + + +
= + + +
Problema 5. Numerele naturale 1,2,3,…,2013 sunt scrise pe cartonașe și aș ezate cu fața scrisă
în jos. Spunem că un cartonaș este cu noro c dacă numărul scris pe el este divizibil cu 20 sau
cu 13. Care este cel mai mic număr de cartona șe pe care trebuie să le întoarcem , fără a le privi
pentru a fi siguri că cel puțin unul dintre ele este cu noroc ?
Solu ție. Avem [20,13]=260. Sunt 7 multipli a i lui 260 mai mici decât 2013: {1∙260 ;2∙
260 ;3∙260 ;4∙260 ; 5∙260 ; 6∙260 ;7∙260 }. Folosind pricipiul includerii -excluderii,
numărul cartonașelor cu noroc este 100 +154 -7=247, iar num ărul celorlalte este 1766. Deci
trebuie întoarse 1767 de cartonașe.
Problema 6. Fie numărul 𝑎=𝑥𝑦𝑧̅̅̅̅̅+𝑦𝑧𝑥̅̅̅̅̅+𝑧𝑥𝑦̅̅̅̅̅.
a) Arătați că a se divide cu 11.
b) Poate fi numărul a pătrat perfect ? Justifica ți.
Soluție.
77
a)
100 10 100 10 100 10
111 111 111
111( ) 11.a xyz yzx zxy
x y z y z x z x y
x y z
x y z a= + + =
= + + + + + + + + =
= + + =
= + +
b) Cum
111( ) 3 37( )a x y z x y z= + + = + + a este pătrat perfect dacă și numai dacă
2111 x y z m+ + =
. Cum x, z, y sunt cifre
27 x y z + + și prin urmare 𝑥+𝑦+
𝑧=111 ∙𝑚2, adică a nu poate fi pătrat perfect.
Problema 7. Să se afle numărul de forma 2𝑥𝑧977 𝑧 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, când știm că se divide prin 792.
Soluție.
32792 2 3 11= deci numărul 2𝑥𝑧977 𝑧 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ trebuie să fie divizibil cu 8, cu 9 și cu 11, deci
ultimele 3 cifre trebuie să formeze un număr divizibil cu 8, 8 |776. Numărul 2𝑥𝑧977 𝑧 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, trebuie
să se dividă cu 9, deci suma cifr elor să fie multiplu de 9. Diviz ibil cu 11 este numărul care are
diferența dintre suma cifrelor de rang par și suma cifrelor de rang impar multiplu de 11, deci
11 2 7 6 9 7y x M+ + + − − − =
. Numărul căutat este 2239776.
Problema 8. Să se afle numerele de forma 198𝑎𝑏𝑐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, scrise în baza 10 care se divid cu 125.
Soluție.
125 1988 1988000 abc abc M abc= + = + deci
{ 125,250,375,500,625,750,825} abc de
unde numerele căutate sunt 1988125, 1988250, 1988375, 1988500, 1988625, 1988750,
1988825.
Problema 9. Să se arate că dacă 𝑛∈ℕ și
1 1 2 25 7 5 7 25 35n n n n nA+ + + += + + atunci 257|A.
Soluție.
5 7 35 5 7 25 49 25 35 35 5 257n n n n nA= + + = de unde 257 |A.
Problema 10. Dacă
1 1 1 23 5 3 5 27 15n n n n nB+ + + += + + atunci
39 |B .
Soluție. Folosind reguli de calcul cu puteri ave m
3 5 15 3 5 3 25 15 27 15 117n n n n n nB= + + =
și cum
39 |117 atunci 39|B.
Problema 11. Suma a două numere este 1107, iar c.m.m.m.d.c. al lor este 123. Găsiți
numerele.
78
Soluție.
1107
123
123
123 123 1107
9xy
xa
yb
ab
ab+=
=
=
+=
+=
A 1 2 3 4 5 6 7 8
B 8 7 6 5 4 3 2 1
X 123 246 369 492 615 738 861 984
Y 984 861 738 615 492 369 246 123
Problema 12. Găsiți numerele x și y care au c.m.m.d.c. =30, iar c.m.m.m.c.=360.
Solu ție. Folosim proprietatea
[ , ]( , )xyxyxy= o să obținem
90, 120; 60, 180…x y x y= = = =
Problema 13. Arătați că produsul a trei numere naturale consecutive este întotdeauna divizibil
cu 6.
Soluție.
3 4 5 60 = care este divizibil cu 6,
4 5 6 120 = care este divizibil cu 6. În general,
dacă primul număr este n, al doilea va fi n+1, al treilea va fi n+2, atunci produsul
n(n+1)(n+2) =multiplu de 6 , deoarece cel puțin unu l dintre numere este par, iar altul divizibil
cu 3, deci produsul numerelor va fi divizibil cu
2 3 6= .
Problema 14. Arătați că produsul a patru numere consecutive este totdeauna divizibil cu 24.
Soluție. n(n+1)(n+2)(n+3) multiplu de 24, deoarece: acest produs, după rezultatele
exercițiului precedent, este divizibil cu 3 ; de asemenea, în acest produs sunt două numere pare
consecutive, deci produsul este divizibil și cu 8. Fiind divizibil și cu 8 și cu 3 este divizibil cu
produsul lor , adică cu 24.
79
Problem a 15. Trei numere naturale a, 3a, 6a satisfac condiția că produsul lor P se divide prin
suma lor. Să se arate că :
a) Suma celor trei numere este divizibi lă prin 50.
b) Câtul dintre produsul P și suma S este un număr natural divizibil cu 45.
Soluție.
3
323 6 10
3 6 18
18 9
10 5S a a a a
P a a a a
P a a
Sa= + + =
= =
==
a)
29
5a= număr natural, deci
29a este multiplu de 5. Cum 9 nu se divide cu 5,
atunci
5ak= , deci suma va fi
10 10 5 50S a k k= = = , deci fiind multiplu
de 50 se divide cu 50.
b)
22
2 9 9 254555P a kkS= = =
Problema 16. Trei numere naturale îndeplinesc condițiile : B este egal cu
2
3 din A; C este egal
cu
4
7 din suma celorlalte două ; iar produsul P al celor trei numere se divide prin suma lor.
Să se arate că :
a) Suma acestor numere se divide prin 605.
b) Fracția
P
S este multiplu de 12936.
c) Care pot fi cele mai mici numere posibile A, B, C ?
Solu ție. Primul număr A
Al doilea număr
2
3BA=
80
Al treilea număr
4 2 4 5 20
7 3 7 3 21AC A A A = + = = .
Notăm
21Ak= și în acest caz
221 143B k k==
44(21 14 ) 35 2077C k k k k= + = =
2
2
221
14
20
(21 14 20) 55
21 14 20
21 14 20 84 14
55 11
11 ,
55 11 605 ,
84 14 11
12936Ak
Bk
Ck
S k k
P k k k
k k k k
k
km
S m m
Pm
Pm=
=
=
= + + =
=
=
=
= =
=
=
Problema 17. Într-una din piramidele Egiptului , savanții au descoperit, pe o placă de piatră
care acoperea mormântul , hieroglifa numărului 2520. Este greu de precizat motivul pentru
care i s -a acordat o cinste atât de mare acestui număr. Poate pentru că se împarte exact la toate
numerele întregi de la 1 până la 10. Într -adevăr, nu există un alt număr, mai mic ca 2520, care
să aibă această proprietate.
Soluție. C.m.m.m.c al mai multor numere este produsul tuturor factorilor primi comuni și
necomuni la puterea cea mai mare. Pentru numerele de la 1 la 10, c.m.m.m.c. este alcătuit,
evident, din următorii factori :
322 3 5 7 care dau numărul 2520.
Se observă că c.m.m.m.c. al numerelor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 coincide cu c.m.m.m.c. al
celei de -a doua jumătăți a acestor zece numere, adică cu c.m.m.m.c. al numerelor 6, 7, 8, 9, 10
ceea ce ilustrează teorema generală că c. m.m.m.c. al oricărui număr par de numere naturale
81
din șirul 0,2,4, …,2n, coincide cu c.m.m.m.c. al numerelor din jumătatea a doua a șirului
respectiv n+1, n+2, …,2n.
Problema 18. O femeie se ducea la pia ță să vândă niște ouă. Un trecător neatent a îmbrâncit –
o, iar coșul în care avea ouăle i -a scăpat din mâini, ouăle, bineî nțeles, spărgându -se. Dorind s –
o despă gubească , vinovatul a întrebat -o:
-Câte ouă ai avut în coș ?
-Nu-mi aduc aminte , i-a răspuns femeia, dar știu că dacă le scoteam câte 2, câ te
3, câte 4, câte 5 sau câte 6, în coș rămânea mereu câte un ou , dar dacă le scoteam câte 7, nu
rămânea n iciunul. D upă câteva minute de gândire, respectivul trecător a calculat câte ouă erau.
Dumneavoastră puteți ?
Solu ție. C.m.m.m.c. al numerelor 2, 3, 4, 5, și 6 este 60. Trebuie să găsim un multiplu al lui 7,
mai mic cu 1 decât multiplul lui 60. Observăm că
60 1 7 8 4 1.n n n+ = + + Numărul
60 1n+ se
împarte la 7, dacă 4n +1 se împarte la 7. Cea mai mică valoare al lui n pentru care 7 |4n+1 este
n=5. Prin urmare , în coș erau 301 ouă (valoarea următoare a lui n este n=12 , dar acestei valori
îi corespunde un număr de 721 ouă, posibilitate exclusă, căci femeia nu ar fi putut duce o
asemenea cantitate de ouă).
Problema 19. (jocul div izorilor) Doi jucători joacă următorul joc : ei aleg, pe r ând, un divizor
natural pozitiv al numărului 1000, cu condiția ca, de fiecare dată, numărul ales să nu dividă
niciunul dintre divizorii deja aleș i până atunci. Primul care alege 1000 ca divizor , pierde. Ce se
întâmplă dacă jocul se schimbă, în sensul că fiecare număr nou ales să nu aibă mai puțini
divizori decât oricare din numerele ante rioare alese ?
Să se arate că cel care începe jocul , câștigă întotdeauna.
Soluție. Primul jucător câștigă întotdeauna , deoarece poate alege 500 , iar al doilea jucător nu
mai are de ales decât pe 1000 și pierde jocul.
Problema 20. Într-o localitate oarecare , autobuzele pleacă din același loc în patru direcții
diferite. Plecările se fac pentru fiecare traseu la următoarele intervale de timp : 5 minute, 8
82
minute, 12 minute și 18 minute. O plecare simultană are loc la ora 7 dimineața. Care sunt orele
zilei la ca re au loc celelalte plecări simultane ?
Solu ție. Pentru a afla care sunt orele zilei la care au loc celelalte plecări simultane, va trebui să
găsim după câte minute de la ora 7 dimineața va avea loc următoarea plecare simultană a
autobuzelor. Deci va trebui să determinăm cel mai mic multiplu comun al numerelor 5, 8, 12,
18. Deoarece
3
2
2
3255
82
12 2 3
18 2 3
. . . . . 2 3 5 360c m m m c=
=
=
=
= =
Deci , după 360 minute =6 ore autobuzele vor pleca simultan din sta ție. Orele de plecare vor fi
13 și 19.
Problema 21. Timpul de revoluție în jurul Soarelui al primelor trei planete din sistemul solar
este:
La Mercur cca. 88 de zile, la Venus de cca. 225 de zile, iar P ământul cca. 365 de zile.
Dacă într -o anumită zi Soarele și cele trei planete s -ar afla în linie dreaptă, aflați peste câți ani
pământeni s -ar putea repeta fenomenul.
Soluție. Va trebui să determinăm c.m.m.m.c. al numerelor reprezentând cele trei perioade de
revoluție. Avem descompunerile :
3
22
3 2 288 2 11
225 3 5
365 5 73
[88, 225,365] 2 3 5 11 73 1445400=
=
=
= =
Adică peste 1445400 zile pământene adică peste 3960 ani pământeni.
Problema 22. Tatăl și fiul au hotărât să măsoare cu pasul distanța dintre doi pomi și pentru
aceasta au pornit simultan de la unul și același pom. Lungimea pasului tatălui este de 70 cm,
83
iar lungimea pasului fiului este de 56 cm. Găsiți distanța dintre acești pomi , știind că, în afara
coincidenței din dreptul primului pom, urmele lor au coincis de 10 ori, ultima dată coincizând
în dreptul pomului al doilea.
Soluție. Distanța la care va coincide urma tatălui cu a fiului, pentru prima dată de la pornire,
este c.m.m.m.c al numerelor 70 și 56 adică:
3
370 2 5 7
56 2 7
[70,56] 2 5 7 280=
=
= =
Dacă urmele au coincis de 10 ori, atunci distanța dintre pomi este de 10 ori mai mare decât
280cm, adică de 2800cm =28m.
Problema 23. Dintre numerele prime 13,17, 37, 79 se obțin tot numere prime , scriind cifrele
în ordine inversă. Există oare numere prime de trei cifre care să aibă toate cifrele diferite și din
care, schimbând oricum ordinea lor, să se obțină tot numere prime de trei cifre ?
Solu ție. Evident , notând prin
abc un număr de tipul căutat, rezultă că cifrele a,b,c nu pot fi
nici pare și nici 5, deoarece la o schimbare convenabilă a lor , am obține , fie un număr par , fie
un număr divizibil cu 5. Deci
, , { 1,3,7,9},abc
, a b c a încât toate numerele căutate să
se găsească printre numerele : 137, 139, 179, 173, 193, 197, 317, 319, 379, 371, 391, 397, 713,
719, 731, 791, 79 3, 913, 917, 937, 931, 971, 937.
Dintre ele , prime sunt numai 137, 139, 173, 179, 193, 197, 317, 379, 397, 719, 739, 937, 971.
Problema 24. Având patru bețișoare cu lungimea de 1 dm fiecare, cinci bețișoare cu lungimea
de 2 dm fiecare, șapte bețisoare cu lu ngimea de 3 dm fiecare și opt bețișoare de 4 dm fiecare ,
se poate forma un dreptunghi , având așezate toate aceste bețișoare cap la cap pe conturul său ?
Solu ție. Dacă notăm cu L lungimea dreptunghiului și cu l lățimea dreptunghiului pe care vrem
să-l const ruim, atunci perimetrul său este de 2(L+l), adică un număr par. Dar suma lungimilor
tuturor bețișoarelor este
4 1 5 2 7 3 8 4 67 dm + + + = , număr impar, deci cu toate aceste
bețișoare , nu se poate forma un dreptunghi.
84
Problema 25. Câtul împărțirilor succesive, pentru a afla cel mai mare divizor comun a două
numere, dă trei numere pare consecutive, a căror sumă este 12. Cel mai mare divizor comun al
acestor două numere este 15. Care sunt numerele ?
Solu ție. Cele trei numere pare consecutive vor fi de forma 2𝑘,2𝑘+2,2𝑘+4;𝑘∈ℕ. Punând
condiția ca suma lor să fie 12 obținem
2 2 2 2 4 12 6 6 1.k k k k k+ + + + = = = Prin urmare
câturile împărțirilor succesive pentru aflarea celui mai mic divizor comun , vor fi 2, 4, 6.
Fie a și b cele două numere cerute în problemă. Conform algoritmului lui Euclid, avem :
𝑎:𝑏=2 𝑟𝑒𝑠𝑡 𝑟1 𝑐𝑢 𝑟1≠0 𝑠𝑎𝑢 𝑎=2𝑏+𝑟1(1)
𝑏:𝑟1=4 𝑟𝑒𝑠𝑡 𝑟2 𝑐𝑢 𝑟2≠0 𝑠𝑎𝑢 𝑏=4𝑟1+𝑟2(2)
𝑟1:𝑟2=6 𝑟𝑒𝑠𝑡 0 𝑠𝑎𝑢 𝑟1=6𝑟2(3)
Ultimul rest diferit de zero este 𝑟2 și el va fi cel mai mare divizor comun al numerelor a și b,
deci 𝑟2=15.
Din (3 )
126 90,rr = = iar din (2)
124 4 90 15 375.b r r = + = + = Din (1)
2 375 90 840.a = + =
Deci numerele căutate sunt 375 și 840.
Problema 26. Să se determine un număr cu două cifre distincte divizibil cu 11.
Soluție. Pentru a rezolva problema, este necesar să cunoaștem regula de divizibilitate cu 11.
Un număr nat ural este divizibil cu 11 , dacă diferența dintre suma cifrelor care ocupă poziții
impare (de la dreapta la stânga) și suma cifrelor care ocupă poziții pare , este divizibilă cu 11.
Să presupunem că cifrele numărului căutat sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 și 8. Trebuie să împărțim
aceste cifre în două grupe care să aibă proprietatea că diferența dintre suma cifrelor conținute
de prima grupă și suma cifrelor conținute de a doua grupă este număr divizibil cu 11.
(Observație : diferen ța poate fi egală și cu 0, acest număr fiind și el divizibil cu 11). Ca o primă
observație, una din grupe trebuie să conțină 4 cifre , iar cealaltă cinci cifre, deoarece un număr
de nouă cifre are patru cifre care ocupă poziții impare.
Sunt posibile mai multe variante pe care le vom exemplifica în cazul în care diferența căutată
este egală cu 0. Cum suma cifrelor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 este 36 , rezultă că suma numerelor
85
din fiecare grupă trebuie să fie 36 :2=18. Putem alege patru cifre a că ror sum ă să fie 18, anume
8, 7, 2, 1. Atunci în cealaltă grupă se află cifrele 0, 3, 4, 5, 6. Deci un număr de tipul celui
cerut în enunț este, de e xemplu, 310247586.
Cifrele 8, 7, 2, 1 ocupă poziții pare, iar celelalte, poziții impare. Permutând cifrele 8, 7, 2 și 1
pe pozițiile pare, respectiv cifrele 0, 3, 4, 5 și 6 pe pozițiile impare , obținem alte numere de
nouă cifre de tipul cerut.
Problema 27 . Care dintre numerele cuprinse între 1 și 100 se descompun în cel mai mare
număr de factori primi ?
Solu ție. Cel mai mic număr prim fiind 2, cel mai mare număr de factori primi în
descompunerea unui număr se realizează atunci când toți factorii primi sunt egali cu 2 sau
când toți factorii primi sunt egali cu 2 sau când aproape toți factorii sunt egali cu 2. Număr ul
cuprins între 1 și 100 care are în descompunere cei mai mulți factori de 2 este 64=26. În
acest caz 64 are șase factori.
Numărul prim următor lui 2 este 3. Să încercăm să găsim un număr , schimbând unul din
factorii egali cu 2 prin factorul 3. Se obține astfel numărul 96=25∙3, care are tot șase factori
și, dintre numerele căutate , este cel mai apropiat de 100. În concluzie , există 2 numere, 64 și
96, cuprinse între 1 și 100 care se descompun în cel mai mare număr de factori primi, și
anume, șase factori primi.
Problema 28. Să se determine toate perechile de numere prime (a,b) , a căror sumă și
diferență sunt tot numere prime.
Soluție. Pentru ca suma și deferența a două numere să fie tot numere prime , este necesar ca
unul din cele două să fie par, iar celălalt să fie impar. Dar 2 este singurul număr prim, care
împreună cu 5 îndeplinește condițiile din enunț : 5+2=7; 5 -2=3, numere 7 și 3 fiind prime între
ele.
Să arătăm acum că n u există nici o altă pereche de numere prime, cu proprietatea din enunț.
Orice număr prim este de forma 𝑀3+1 sau 𝑀3+2. Dacă un număr prim este de forma
𝑀3+1, atunci adunându -l pe acesta cu 2 obținem un multiplu de 3, adică un număr compus;
86
dacă un număr prim este de forma 𝑀3+2, atunci diferen ța dintre acesta și 2 este un multiplu
al lui 3, adică tot un număr compus.
Problema 29. Fiecare cifră a unui număr de trei cifre, scris în baza 10, este pară, ia r numărul
este divizibil cu 77. Să se afle acest număr.
Soluție. Numărul cerut în problemă face parte din mulțimea numerelor de trei cifre care
provin din înmulțirea lui 77 cu un număr par. Acești multipl i sunt : 77∙2=154 ,77∙4=
308 ,77∙6=462 ,77∙8=616 ,77∙10=770 ș𝑖 77∙12=924 Dintre ace ști multipli
numai 462 îndeplinește condițiile problemei.
Problema 30. Să se afle cel mai mare multiplu de 8 care are toate cifrele distincte.
Soluție. Analog criteriului de divizibilitate cu 4, un număr este divizibil cu 8 dacă ultimele
sale trei cifre formează un număr divizibil cu 8. Cel mai mare număr cu toate cifrele distinct e
este 9876543210. Acest număr nu este divizibil cu 8. Păstrând ordinea pri melor 7 cifre (ca să
fie cel m ai mare) și observând că printre numerele 021,012,102,120 și 201 există unul singur
divizibil cu 8, anume 120, dedu cem că numărul căutat este 9876543120.
Problema 31. Să se arate că numărul 𝑁=9+92+93+⋯+91986este divi zibil cu patru
numere natural e impare consecutive.
Solu ție. Evident 3|𝑁 ș𝑖 9|𝑁. Vom ar ăta că 5|𝑁 și7|𝑁. Într -adevăr 𝑁=(9+92)+
(93+94)+⋯+(91985+91986)=9(1+9)+93(1+9)+⋯+91985(1+9)⇒5|𝑁. Apoi
𝑁=(9+92+93)+(94+95+96)+⋯+(91984+91985+91986)=9(1+9+92)+
94(1+93+⋯+91983)=9∙91∙(1+93+96+⋯+91983)⇒7|𝑁,3|𝑁 ș𝑖 13|𝑁.
Problema 32. Să se găsească toate numerele naturale de două cifre scrise în baza 10, care se
divid simultan prin suma și produsul cifrelor lor.
Soluție. Orice număr de două cifre are forma 𝑎𝑏̅̅̅. Ținând seama că numărul căuta t se divide la
produsul cifrelor lui, rezultă că nici a și nici b, nu pot fi zero, deoarece împărțirea la 0 nu are
sens.
87
Din 𝑎𝑏̅̅̅|(10𝑎+𝑏) ș𝑖 𝑎|10𝑎 rezult ă 𝑎|𝑏. Tot din 𝑎𝑏̅̅̅|(10𝑎+𝑏) ș𝑖 𝑏|𝑏⇒𝑏|10𝑎. Din b|10a și
a|b⇒a=b sau b are ca divizori pe 2 sau pe 5. Dac ă a=b obținem că numărul 𝑎𝑎̅̅̅̅=𝑎∙11,
care, atunci c ând se divide cu 𝑎∙𝑎=𝑎2, conduce la a=1.
Dacă b are ca divizor pe 2, atunci b poate lua valorile 2, 4, 6, 8. Pentru b=2, ținând seama că
a|b, deduce m că a poate lua valorile 1 sau 2. Dintre numerele 12 și 22, numai 12 se divide cu
produsul cifrelor sale : 1∙2=2.
Pentru 𝑏=4⇒𝑎𝑏̅̅̅=24,𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑏=6⇒𝑎𝑏̅̅̅=36,𝑖𝑎𝑟 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑏=8 nu se găsește nici o
soluție.
Prin urmare , mulțimea numerelor de două cifr e care se divide prin produsul lor este {11, 12,
24, 36 }, iar dintre numerele g ăsite numai 12, 24 și 36 se divid și prin suma cifrelor lor.
Problema 33. Câte numere natural e de trei cifre, scrise în baza 10 , împărțite la 111, la 222 și
la 333 dau același rest? C âte sunt de forma 𝑎𝑎𝑏̅̅̅̅̅,𝑎𝑏𝑎̅̅̅̅̅,𝑏𝑏𝑎̅̅̅̅̅ 𝑐𝑢 𝑎≠𝑏?
Solu ție. Singurul număr de trei cifre care se divide simultan cu numerele 111, 222 și 333 este
cel mai mic multiplu comun al lor, adică 666. Numerele naturale cuprinse între 666 și 776 v or
da același rest la împărțirea cu numerele 111, 222 și 333. Este vorba deci , de numerele
cuprinse între 666 și 776 inclusiv, adică 111 numere. Această afirmație rezultă din teorema
împărțirii cu rest : orice num ăr cuprins între 666 și 766 este de forma 666+𝑎,𝑎∈
{0,1,…,110}, 666 fiind multiplu în același timp de 111, 222 și 333, deci 666 +a la împărțirea
cu unul din numerele 111, 222, 333, dă restul a.
Dintre toate acestea , de forma 𝑎𝑎𝑏̅̅̅̅̅ vor fi numerele : 667, 668, 669, 770, 771, 772, 773, 774,
775 și 776, deci 10 numere.
De forma 𝑎𝑏𝑎̅̅̅̅̅ vor fi numerele: 676, 686, 696, 707, 717, 727, 737, 747, 757 și 767, adică tot
10 numere.
De forma 𝑏𝑎𝑎̅̅̅̅̅ vor fi : 677, 688, 699, 700, 711, 722, 733, 744, 755 și 766, adic ă tot 10 numere.
Problema 34. Trei numere naturale înmulțite cu 5, cu 7 și cu 9 dau același rezultat. Care sunt
cele trei numere , dacă produsul lor este 793800 ?
88
Solu ție. Să notăm cu a,b și c numerele căutate. Deci abc=793800 și 5a=7b=9c=n.
Descompunerea în factori primi a lui n conține pe 5 (întrucât n=5a ), pe 7 (deoarece n=7b ) și
pe 32 (fiindcă n=9c). Din egalitatea 5a=7b rezultă că 5 divide pe b, iar 7 divide pe a, deoarece
5 și 7 sunt numere prime între ele. Din egalitatea 5a=9c rezultă că 5 divide pe c, iar 9 divide pe
a; în sfârșit din egalitatea 7b=9c rez ultă că 7 divide pe c, iar 9 divide pe a. Deci ,
descompunerea în factori primi a lui a conține pe 32 și pe 5, iar a lui b conține pe 5 și pe 7.
Deoarece 593800 este un număr par, din egalitatea abc=593800 rezultă că măcar unul din
numerele a, b, c este par. Dar oricare ar fi acel număr par dintre numerele a, b, c numărul n se
divide cu el, fiindcă n=5a+7b=9c, rezultă că a, b, c sunt numere pare. Ținând seama de
descompunerea 793800 =23∙52∙72∙34 și de rezultatele anterioare (a este multiplu de 7∙
32, b este multiplu de 5∙32, c este multiplu par de 5∙7), rezultă că 𝑎=2∙32∙7=126 ,𝑏=
2∙32∙5=90,𝑖𝑎𝑟 𝑐=2∙5∙7=70.
Problema 35. Se consideră mulțimea E a numerelor naturale pare , de la 2 la 20. Să se afle :
a) Cel mai mic p ătrat perfect, care se divide cu toate elementele mulțimii E.
b) Cel mai mic cub perfect care satisface aceiași condiție.
Soluție.
a) E={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}. Cel mai mic p ătrat perfect care divide toate
elementele mulțimii E este, evident , un multiplu a l celui mai mic multiplu comun al
elementelor mulțimii E. Atunci, deoarece 2=2,4=22,6=2∙3,8=23,10=2∙
5,12=22∙3,14=2∙7,16=24,18=2∙32,20=22∙5, c.m.m.m.c. al
elementelor mulțimii E este 24∙32∙5∙7. Pentru a afla cel mai mic pătrat perfect care
se divide cu toate elementele mulțimii E, trebuie să înmulțim pe cel mai mic multiplu
comun cu 5∙7, deci cel mai mic pătrat perfect care se divide cu elementele mulțimii E
este (24∙32∙5∙7)∙(5∙7)=176400 .
b) Pentru a afla cel mai mic cub perfect care se divide cu toate elementele mulțimii E,
trebuie să înmulțim pe cel mai mic multiplu comun cu 22∙52∙3∙72, obținân d
(22∙52∙3∙72)∙(24∙32∙5∙7)=74088000 .
89
Problema 36. Să se arate că diferența dintre un număr natural de trei cifre 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅,𝑎>𝑐 și
răsturnatul său este un număr divizibil cu 9 și cu 11 .
Soluție. Fie 𝑁=𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅,𝑎>𝑐; 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅−𝑐𝑏𝑎̅̅̅̅̅=100 𝑎+10𝑏+𝑐−100 𝑐−10𝑏−𝑎=99𝑎−
99𝑐=99(𝑎−𝑐), care este un num ăr divizibil cu 9 și cu 11.
Problema 37. Să se determine numerele de forma 𝑁=𝑎𝑏𝑐𝑎̅̅̅̅̅̅̅ în baza 10, divizibile cu 9,
știind că a=2c. (G.M. NR.9/1984 ).
Soluție. Suma cifrelor numărului N, luate ca simple unități, este numărul
a+b+c+a=2c+b+c+2c=5c+b, care trebuie să fie multiplu de 9. Avem cazurile :
a) c=1; b=4; a=2, deci N=2412;
b) c=2; b=8; a=4, deci N=4824;
c) c=3; b=3; a=6, deci N=6336;
d) c=4; b=7; a=8, deci N=8748.
Alte cazuri nu convin.
Problem a 38. Să se determine a astfel ca numărul 𝑎∙𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅̅
148 să fie natural. (G.M. nr.
2/1985 )
Soluție. Numărul 𝑎∙𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅ se poate scrie 𝑎2∙111 . Dar 148 =22∙37. Cum 111 este
divizibil cu 37, rezultă că numărul dat este natural dacă 𝑎∈{2,4,6,8}.
Problema 39. Să se arate că numărul 𝑁=1+2∙3+4∙5∙6+7∙8∙9∙10+⋯ nu este
pătrat perfect, dacă numărul termenilor este mai mare decât 1. (G.M. nr. 11/1979 )
Soluție. Pentru n=2, numărul 𝑁=1+2∙3=7, care nu este pătrat perfect.
Pentru n=3, numărul 𝑁=1+2∙3+4∙5∙6, care se termină cu cifra 7, deci nu este
pătrat perfect. Deoarece toate numerele de forma 4∙5∙6; 7∙8∙9∙10;… vor avea factori
primi pe 2 și pe 5, acestea vor avea ultima cifră 0 . Rezultă că numărul 𝑁=1+2∙3+4∙
5∙6+7∙8∙9∙10+⋯ are ultima cifră 7, deci nu este pătrat perfect.
90
Problema 40. În numărul natural 𝑁=𝑎𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅̅̅ cifrele reprezint ă numere consecutive. Să se
afle cifrele numărului N, știind că suma lor este egală cu 11. ( Concurs Matematică Cluj ,
1979 ).
Soluție. Dacă 𝑁=𝑎𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅̅̅ cifrele se pot scrie: b=a+1;c=b+1=a+2. Cum a+a+b+c=11
rezult ă că a=2; b=3; c=4. Num ărul este N=2234.
Problema 41. Să se găsească toate numerele de trei cifre scrise în baza 10 divizibile cu 7
și care dau același rest la împărțirea cu numerele 4, 6, 8 și 9. ( G.M. nr. 7/1979 ).
Soluție. Numerele sunt de forma 7p, unde p este un număr natural. Cel mai mic multiplu
comun al numerelor 4, 6, 8 și 9 este 72. Nume rele sunt de forma N=72k+l, unde k și l sunt
numere naturale. Avem egalitatea : 7p=72k+l. Deoarece prin împărțirea numerelor la 4, la
6, la 8 și 9 o bținem același rest, acesta poate fi unu l din numerele 1, 2 sau 3 (am ex clus
cazul în care numerele s -ar putea împărți exact la 4, 6, 8, 9). 𝑝=72𝑘+𝑙
7=70𝑘+2𝑘+𝑙
7=
10𝑘+2𝑘+𝑙
7.
Cum p este un num ăr natural, trebuie ca ( 2k+l) să se împartă exact la 7. Avem situațiile:
a) pentru l=1, găsim k=3 și k=10, deci numerele sunt 217 și 721.
b) pentru l=2, găsim k=6 și k=13, deci numerele sunt 434 și 938.
c) pentru l=3, găsim k=2 și k=9, deci numerele sunt 147 și 651.
Problema 42. Să se găsească două numere prime, ast fel încât suma lor să fie un număr
natural impar de forma 𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅ (numerele scrise în baza 10). ( G.M. nr.7/1983 ).
Soluție. Numerele natural e impare de forma 𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅ sunt: 111, 333, 555, 777, 999. Deoarece
suma celor dou ă numere naturale căutate este un număr natural impar , rezultă că un termen
al sumei trebuie să fie număr par și celălalt trebuie să fie număr impar. Dar, singurul
număr natural, prim, care este cu soț , este 2. Așadar, se calculează diferențele 111 -2, 333 –
2, 555 -2, 777 -2, 999 -2. Problema admite trei soluții (2; 109), (2; 331), (2; 997).
Problema 43. Fie x, y, z cifre consecutive, în ordinea scrierii, astefel încât 𝑥𝑦̅̅̅=𝑧+19.
Să se arate că 𝑥𝑦𝑧̅̅̅̅̅ este multiplu de 13 (numerele sunt scrise în baza 10). ( G.M. nr.
5/1983 ).
91
Soluție. Cifrele fiind consecutive, există două cazuri :
a) x=m; y=m -1; z=m -2, unde 𝑚∈{2,3,…,9} și relația 𝑥𝑦̅̅̅=𝑧+19 devine : 10m+m –
1=m -2+19, adică m=1,8 care nu convine.
b) x=m; y=m+1; z=m+2, cu x=2, y=3, z=4, adică numărul este 234, care se scrie 13∙
18.
Problema 44. Să se arate că fracția 2𝑛+1
5𝑛+3 este ireductibil ă, oricare ar fi numărul natural n.
(G.M. nr. 6/1978 ).
Solu ție. Fie d cel mai mare divizor comun al numerelor 2n+1 și 5n+3. Rezult ă că: 2𝑛+
1=𝑑∙𝑎 ș𝑖 5𝑛+3=𝑑∙𝑏,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑑,𝑎∈ℕ∗. Eliminăm pe n din cele două relații și
obținem: 𝑑∙(2𝑏−5𝑎)=1. Deoarece 𝑎,𝑏∈ℕ∗, rezultă că 2𝑏−5𝑎∈ℤ. Dar cum 𝑑∈ℕ∗
și 2𝑏−5𝑎∈ℤ și produsu l 𝑑∙(2𝑏−5𝑎) este egal cu 1, rezultă că ambii factori trebuie să
fie egali cu 1, adică d=1 și 2b-5a=1.
Dacă d=1 rezult ă că fracția 2𝑛+1
5𝑛+3 este ireductibilă, pentru orice număr natural n, având cel
mai mare divizor comun al numitorului și numărătorului egal cu 1.
Problema 45. Să se afle restul împărțirii numărului 57𝑛,𝑛∈ℕ, prin 31. ( G.M.
nr.11/1980 ).
Soluție. Numărul 57𝑛 poate fi scris 57𝑛=5(3∙2+1)𝑛=5𝑀3∙2+1𝑛=5∙5𝑀3∙2=5∙53𝑀2=
5∙(53)𝑀2=5∙(125 )𝑀2=5∙(124 +1)𝑀2=5∙(31∙4+1)𝑀2=5∙(𝑀31+1)𝑀2.
Rezult ă că restul împărțirii lui 57𝑛 la 31 este 5.
Problema 46. Să se scrie încă două cifre la dreapta numărului 1979, astfel ca numărul
obținut să fie divizibil cu 36.
Soluție. Fie 𝑁=1979 𝑎𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. Ca să fie divizibil cu 36 , acesta trebuie să fie divizibil cu 4 și cu
9. Deci 𝑎𝑏̅̅̅ trebuie să fie divizibil cu 4, iar 1 +9+7+9+a+b să fie multiplu de 9, adică a +b+8
să se împartă exact la 9. Deci a +b+8=9 sau a+b+8=18, de unde ob ținem a +b=1 sau
a+b=10. Cum 𝑎𝑏̅̅̅ este divizibil cu 4, r ezult ă că b poate lua valorile : 0, 2, 4, 6 și 8.
Corespunzător cazurilor de mai jos găsim:
92
a) b=0 și a=10, nu convine;
b) b=2 și a=8, nu convine;
c) b=4 și a=6, convine, deci N=197964 ;
d) b=6 și a=4, nu convine;
e) b=8 și a=2, convine, deci N=197928 ;
Problema 47. Să se determine cifra x astfel ca numărul 38𝑥54̅̅̅̅̅̅̅̅ să se dividă cu 31. (G.M.
nr. 7/1963 ).
Soluție. Numărul 38𝑥54̅̅̅̅̅̅̅̅ poate fi scris 38∙1000 +𝑥∙100 +54=38054 +100𝑥.
Restul împărțirii lui 38054 la 31 este 17, iar restul împărțirii lui 100 la 31 este 7. Deci
pentru ca numărul 38𝑥54̅̅̅̅̅̅̅̅ să se dividă cu 31 , trebuie ca 100 𝑥+17=93𝑥+7𝑥+17 să
se împartă exact la 31 sau 7𝑥+17 să fie divizibil cu 31. Deoarece x reprezintă o cifră,
rezultă că 7𝑥+17 poate lua valorile 31 sau 62. Dacă 7𝑥+17=31,𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑥=2. Dacă
7𝑥+17=62,𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑥∉ℤ. Deci numărul c ăutat este 38254.
Problema 48. Să se arate că numărul 𝑁=𝑎𝑏51̅̅̅̅̅̅̅+2𝑎𝑏̅̅̅̅̅ este divizibil cu 51. (G. M. F. nr.
1/1960).
Solu ție. 𝑁=𝑎𝑏51̅̅̅̅̅̅̅+2𝑎𝑏̅̅̅̅̅=𝑎𝑏51̅̅̅̅̅̅̅+2∙𝑎𝑏̅̅̅=100 𝑎𝑏̅̅̅+51+2𝑎𝑏̅̅̅=102 𝑎𝑏̅̅̅+51, deci N
este num ăr divizibil cu 51.
Problema 49. Să se afle numărul despre care știm că dublul cubului unei treimi din el este
mai mic cu 88 decât cubul jumătății lui (soluție aritmetică).( G. M. Nr. 6/1979 ).
Soluție. Notăm cu 1 (un întreg) numărul. Dublul cubului unei treimi din numărul dat este
2
27 din cubul său. Cubul jumătății numărului este 1
8 din cubul numărului. Rezultă că 88
reprezintă 1
8−2
27=11
8∙27 din cubul num ărului dat : 11
8∙27=88∙8∙27:11=82∙38=26∙
33=(22∙3)3=123. Adic ă numărul dat este 12.
Problema 50. Arătați că numărul 𝑁=𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏̅̅̅̅̅̅̅̅−2𝑏 este divizibil cu 7, cu 11 , iar num ărul
𝑁=𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅̅−9𝑏 este divizibil cu 13, oricare ar fi a,b, numere naturale 1≤𝑎,𝑏≤9. (G.
M. nr. 7/1976 )
93
Soluție. Numărul 𝑁=𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏̅̅̅̅̅̅̅̅−2𝑏 se poate scrie:
𝑁=104𝑎+103𝑏+102𝑏+10𝑏+𝑏−2𝑏=10010 𝑎+1099 𝑏. Dar 10010 și 1099 sunt
divizibile cu 7 și cu 11 ; rezult ă că N este divizibil cu 7 și cu 11. Analog se arată că 𝑁=
𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏̅̅̅̅̅̅̅̅−9𝑏 este divizibil cu 13.
94
2. Aspecte metodico -științifice
În școală, noțiunea de număr, noțiune fundamentală în matematică, se dezvoltă treptat
în diferiți ani de studiu, urmărindu -se atingerea jaloanelor fixate pentru însușirea conținutului
acestei noțiuni în ultimii ani ai liceului. În fiecare treaptă a acestui proces, elevul trebuie să
înțeleagă principiile de bază care conduc la lărgirea noțiunii de număr; trebuie de asemenea
insistat pe cunoașterea și folosirea relației de ordine pe fiecare din aceste mulțimi și
înțelegerea logică de către elevi a incluziunil or ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ.
Pornind de la importanța faptului că elevul trebuie să înțeleagă în primul rând
principiile de bază care conduc la lărgirea noțiunii de număr, este necesar studiul aritmeticii și
teoriei numerelor. Elevul trebuie să perceapă următoarele element e matematice legate de
noțiunea de număr și anume:
• Ce problemă , ce necesitate impune această lărgire ?
• Noua lărgire conduce la o mulțime de numere care o include pe cea precedentă,
cunoscută;
• Odată cu definiția ce se dă noilor numere trebuie să se dea noi d efiniții și pentru
operații: aceste noi definiții se dau în așa fel încât să lărgească, fără a le
contrazice pe cele date anterior; trebuie arătat, de asemenea, că proprietățile se
mențin.
Deprinderea de a utiliza teorema împărțirii cu rest în exerciții și probleme, dezvoltarea
capacității de a folosi cunoștințele de la divizibilitate în ℕ și ℤ în rezolvarea problemelor și în
studiul numerelor raționale, înțelegerea noțiunilor de divizibilitate a polinoamelor și de
polinoame reductibile, aflarea c.m.m.d.c ș i c.m.m.m.c al două polinoame (inclusiv prin
folosirea algoritmului lui Euclid, în primul caz) constituie tot atâtea puncte de reper necesare
în atingerea obiectivelor specifice și generale ale învățării matematicii.
Astfel, importanța noțiunilor de teoria numerelor, cuprinse în manualele școlare,
începând chiar cu clasa a -V-a, este cu atât mai dovedită, cu cât apare fiecare obiectiv din cele
enunțate. Aceste obiective se pot realiza și prin abordarea acestui cerc de probleme.
Importanța subiectului tratat în această lucrare poate rezulta din considerațiile care urmează.
95
În literatura de specialitate s -a cristalizat teoria că noțiunile și cunoștințele se pot ordona,
pentru predare -învățare în două sisteme: sistemul liniar și sistemul concentric (cantitativ și
calitativ). După cum se știe, sistemul liniar desemnează modul de organizare a cunoștințelor
cu noțiuni care se însușesc în formă definitivă și într -o sferă de curprindere, fără reluări
succesive. Sistemul concentric cantitativ desemnează forma de organ izare a noțiunilor care au
sferă largă de componență și care se predau prin reluări, lărgindu -se complementar cu fiecare
reluare aria cunoștințelor, fără restructurări ale conceptelor și ale modelelor logice stabilite
anterior. Problemele legate de teoria numerelor oferă un model de organizare a cunoștințelor,
noțiunilor într -un sistem concentric cantitativ.
Astfel, noțiunea de divizibilitate este introdusă în clasele mici, definită în clasa a -V-a și
dezvoltată în clasele următoare, până la teoria divizibil ității polinoamelor. Chiar din clasele II –
IV, prin exercițiile cu împărțiri fără rest se intuiește noțiunea de divizibilitate. În clasa a V -a se
oferă copilului definiția divizibilității. În clasa a -V-a se studiază un capitol bine structurat,
conținând noț iunile de divizor, multiplu, divizibilitatea cu 10, 2, 5, numere pare și numere
impare. În clasa a -VI-a se revine, conform modelului de organizare a cunoștințelor, noțiunilor
într-un sistem concentric cantitativ și se prezintă noțiunile de divizor, multip lu, criteriile de
divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, proprietăți ale relației de divizibilitate în ℕ, numere prime și
numere compuse, descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime,
divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c .m.m.d.c. numere prime între ele,
multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.
Obiective de referință precum „să utilizeze de teoria mulțimilor și de divizibilitate,
pentru a justifica valoarea de adevăr a unor enunțuri” sunt realizat e prin activități de învățare
de tipul: exerciții de identificare a numerelor divizibile cu 2, 3, 5, 10, dintr o mulțime de
numere întregi; exerciții de calcul al c.m.m.d.c. și al c.m.m.m.c.; verificarea corectitudinii unor
calcule, folosind: ultima cifră, criterii de divizibilitate etc.; exerciții ce folosesc proprietățile
relației de divizibilitate; exerciții de identificare a numerelor prime și a perechilor de numere
prime între ele.
De remarcat este faptul că, încă din clasa a VI -a, se urmărește la elev i dezvoltarea
capacităților de explorare/ investigare a modalităților de descompunere a numerelor întregi și
raționale, folosind operațiile studiate prin diferite tipuri de activități :
96
▪ exerciții de scriere a unui număr ca o sumă, diferență, produs, cât, putere de două sau
mai multe numere;
▪ descompunerea numerelor, respectând criterii suplimentare date; cazuri speciale de
descompunere: descompunerea în produs de puteri de numere prime; descompunerea în
baza 10; „proba împărțirii” (teorema împărțirii c u rest);
▪ utilizarea descompunerilor pentru a calcula rapid.
În clasa a VII -a, sunt reluate noțiuni ca divizibilitate, divizor, multiplu în mulțimea ℤ;
prezentându -se mulțimea numerelor raționale ℚ, incluziunile ℕ inclus în ℤ inclus în ℚ,
numere reale, apro ximări, reprezentare pe axă prin aproximări. Se revine, astfel, la noțiuni
studiate deja în clasele anterioare, adăugându -se cantitativ noi noțiuni, insistând continuu pe
compararea cu noțiunile deja cunoscute. Spre exemplu :
▪ construirea unor exemple de mulțimi finite și de mulțimi infinite (de exemplu: mulțimea
divizorilor naturali ai unui număr natural; mulțimea multiplilor naturali ai unui număr
natural);
▪ analiza unor exemple de mulțimi întâlnite în studiul altor discipline;
▪ scrierea mulțimii divizoril or întregi ai unui număr întreg; compararea cu mulțimea
divizorilor naturali;
▪ scrierea mulțimii multiplilor întregi ai unui număr întreg; compararea cu mulțimea
multiplilor naturali.
Un “câștig” remarcabil a studiului noțiunilor de teoria numerelor îl repr ezintă determinarea
practică a unei aproximări a numărului π precum si descompuneri în factori, utilizând regulile
de calcul în ℝ.
În clasa a VIII -a, se urmărește la elevi înțelegerea noțiunii de număr real și relațiile dintre
mulțimile de numere studiate, remarcabile fiind:
▪ reprezentarea numerelor pe axă, recurgând, acolo unde este cazul, la aproximări sau
folosind relații metrice în triunghiul dreptunghic;
▪ descompunerea unui număr real în: sumă, produs, diferență, cât, putere de două sau mai
multe numere reale;
97
▪ compararea unor modalități diferite de a organiza efectuarea unui calcul; folosirea
formulelor de calcul prescurtat, inclusiv pentru calcule numerice;
▪ utilizarea aproximărilor prin lipsă sau adaos pentru a compara numere întregi, raționale
sau reale ;
▪ rotunjirea până la cea mai apropiată zece, sută etc., sau zecime, sutime, miime.
Începând cu clasa a IX -a, ciclul inferior al liceului, programa de matematică este structurată
pe formarea de competențe. Acest tip de proiectare curriculară își propune
focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale în formarea
personalității elevului. Se studiază, astfel la un alt nivel mulțimea numerelor reale, aproximări
prin lipsă sau prin adaos.
În clasa a XII -a, aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor în
calculul cu polinoame, compararea proprietăților operațiilor cu numere reale și aplicarea
acestor proprietăți în rezolvarea ecuațiilor se studiază astfel împărțirea polinoamelor, teorema
împărț irii cu rest a polinoamelor, studiul divizibilității polinoamelor. “Spirala” se completează
studiind noțiunile de grup, inel ( ℤ, ℤ𝑛, inele de funcții, polinoame), corp.
Pentru a exemplifica modul de lucru în ceea ce privește studiul teoriei numerelor
prezentăm mai jos câteva proiecte didactice pe care le considerăm edificatoare :
98
Proiect didactic
Data:
Clasa: a V -a
Profesor:
Disciplina: Matematică – Algebră
Subiectul: Divizor, multiplu. Divizor comun, multiplu comun .
Unitate de învățare: Divizibilitatea numerelor naturale
Tipul lecție i: Lecție de însușire de noi cunoștiințe
Scopul: Familiariza rea cu noțiunea de d ivizor al unui număr natural, cu noțiunea de multiplu
al unui număr natural și cu divizibilitatea numerelor naturale .
Competenț e generale și specifice:
CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice;
CS 3.1. Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale și pentru
divizibilitate;
CG 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date;
CS 5.1. Analizarea unor situații date în care intervin numere naturale pentru a estima sau
pentru a verifica validitat ea unor calcule .
Competențe derivate:
Cognitive:
● verificarea, având mai multe obiecte, dacă un număr natural este divizibil cu un alt
număr natural;
● identificarea divizorilor unui număr natural;
99
● identificarea multiplilor unui număr natural;
Afective:
• stimularea curiozității și a imaginației elevilor;
• dezvoltarea spirit ului de obsevație și a atenției concentrate;
• dezvoltarea simțului critic și apreciativ;
• formarea și dezvoltarea spiritului competitiv.
Metode și procedee didactice : Conversația, observația sistematică, învățarea prin
descoperire, algoritmizarea, problematizarea, exercițiul .
Mijloace didactic e: Fișe de lucru, fișe de evaluare.
Forme de organizare: Frontală, individual, pe grupe .
Tip de evaluare : formativă.
Bibliografie:
1. http://www.math -aids.com/Division/
2. Chirtop P., Radu V., Rosu M., Ross G., Matematică , Manual pentru clasa a V -a, Editura
Didactică si Pedagogică, 2017.
3. Perianu M., Stănică C., Smărăndoiu Șt. , Matematică . Manual pentru clasa a V -a, Editura
Art, București, 2017.
100
Scenariu didactic :
Momentele
Lecției Obiec
tivele
vizate Desfășurarea lecției Strategiile didactice
Metode și
procedee Forme
Activitatea profesorului Activitatea
elevului
Moment
organizatoric
1 min . Se notează absenț ele.
Elevii pregătesc
manualele, caietele de
notițe, caietele de teme,
instrumentele de scris.
Verificarea
temei
4 min. Se v erific ă tema prin
sondaj . Conversația Frontală
Captarea
atenției.
Anunțarea
titlului lecției .
8 min. Elevii vor avea ca sarcină
să se grupeze , cât mai
rapid , la cererea
profesorului , în grupe de
căte 2, 3, 5. În funcție de
numărul de elevi din clasă,
profesorul alege numărul
de copii dintr -o grupă ,
astfel încât totalul de elevi
să se poată împărți exact
sau nu în astfel de grupe.
După fiecare grupare,
profesorul le cere elevilor
să observe dacă sunt toți
cuprinsi în grupele cu
numărul specificat. Ultima Elevii se
conformează
solicitării
profesorului ;
noteză titlul
lecție i în
caiete Conversația
Jocul Frontală
101
grupare va fi în grupe de
câte 1 și apoi vor merge în
băncile așezate în forma
literei U.
Întrebări care ghidează
conversația :
• Ați reușit să vă grupati
cu toții câte trei (de ex.)?
Ce puteți spune despre
numărul de elevi din clasa
noastră și numărul trei (de
ex.)?
• Ați reușit să vă grupați
cu toții câte cinci (de ex.)?
Câți copii au rămas
negrupați? Ce puteți spune
despre numărul de elevi
din clasa noastră față de
numărul 5? Se evidențiază
de fiecare dată dacă
împărțirea s -a făcut exact
sau nu și profesorul anunță
și scrie pe tablă titlul
unitătii de învățare
Divizibilitatea numerelor
naturale și titlul lecției
Divizor, multiplu. D ivizor
comun, multiplu comun.
102
Dirijarea
învățării
15 min
O1
O2
Scop : Elevii să descopere
definiția divizibilității, să
înteleagă noțiunea de
divizor și multiplu al unui
număr natural și criteriile
de divizibilitate .
Profesorul va iniția o
discuție cu elevii , folosind
întrebări care să îi ajute să
facă legătura cu noțiunile
învățate sau cunoscute
anterior lecției:
• Ce vă sugerează vouă
cuvântul divizibilitate? L –
ați mai întâlnit?
• Ce credeți voi că
înseamnă, de exemplu, că
numărul de elevi ai clasei
noastre, 24 este divizibil
cu 8?
• Cu cine mai este
divizibil 24? De ce?
• Cum credeți că spunem
dacă împărțirea nu se face
exact, de exemplu 24 la 5?
• Care credeți voi că este
condiția ca un număr a să
fie divizibil cu un număr b
diferit de 0?
• De exemplu, atunci când Elevii noteză
în caiete .
Elevii
răspund la
întrebări Conversația
Conversația Frontală
Frontală
103
v-ați grupat câte 8, ați
format 3 grupe, deci 24
este divizibil cu 8 pentru
că există numărul 3, astfel
încât 8∙3=24. Dați și alte
exemple.
Se prezintă elevilor
definiția divizibilității. Se
stabilește ce înseamnă
divizor, multiplu. Se
solicită exemple de la
elevi.
Fixarea
cunoștintelor .
Asigurarea
retenției și
transferului.
20 min O1
O2
O3
O4
Scop: Elevii să -și
îsușească cunoștintele
despre divizor, multiplu,
divizorii și multiplii unui
număr natural în contexte
cât mai variate cu ajutorul
fișei de lucru. Întrebări de
reflecție:
● Cum vi s -au părut
sarcinile?
● Ce v -a plăcut? Ce v -a
plăcut mai puțin?
● Ce ați învățat din acest
exercițiu?
● Cum puteți să folosiți
divizibilitatea în viața de zi
cu zi?
Elevii sunt supravegheați Elevii
primesc fișa
de lucru .
Indică soluții
și rezolvă
exercițiile
sub
îndrumarea
profesorului
se corectează
răspunsurile .
Activitatea
independent
ă
Frontală
104
și ajutați cu explicații
suplimentare în legatură cu
rolul divizibilității în viața
de zi cu zi și în
soluționarea problemelor
care apar pe parcursul orei.
Tema pentru
acasă
2 min Se evaluează și notează în
catalog activitatea elevilor
care au manifestat interes
pentru lec ția susținută.
Tema pentru acasă –
problemele rămase
nerezolvate din fișă . Notează tema Frontală
105
Fișa de lucru nr. 2.
1. Se consideră șirul numerelor de la 0 la 30. Scrieți care dintre aceste numere sunt:
a. divizorii lui 10; b. divizorii lui 9;
c.multiplii lui 10; d. multiplii lui 9.
2. Uniți prin săgeți fiecare enunț din coloana A cu rezultatul din coloana B, astfel încât să
obțineți propoziții adevărate:
A B
a. un multiplu al lui 7 este 1) 6
b. un divizor al lui 225 este 2) 28
c. un multiplu comun al numerelor 24 și 36 este 3) 91
d. un divizor comun al numerelor 100 și 250 este 4) 30
e. numărul divizorilor lui 18 este 5)15
f. suma divizorilor lui 12 e ste 6) 288
7) 25
Fiecărui enunț din coloana A îi corespunde un singur răspuns corect din c oloana B.
3. Încercuiți pe fișă doar răspunsul corect. Numai un răspuns din cele patru este corect.
a) Dintre numerele 445, 654, 753 și 833, divizibil cu 5 este numărul: A. 445 ; B. 654 ; C.
833; D. 753 ;
b) Un divizor a lui 36 este: A. 5; B. 9; C. 11 ; D. 8;
c) Un multiplu a lui 7 este: A. 15 ; B. 50 ; C. 56 ; D.78;
d) Numărul divizorilor lui 24 este: A. 6; B. 24 ; C. 8; D. 7;
4. Determinați mulțimea de divizori ai numerelor: 48, 96,144, 324, 100, 72 și 500.
5. a) Scrieți toți multiplii lui 11 mai mici decât 142;
b) Scrieți toți multiplii lui 5, mai mari decât 24 și mai mici decât 54.
c) Scrieți toți multiplii lui 14 de două cifre.
6. Aflați divizorii lui 15 și determinați numărul natural x, știind că 15 | (x+1).
106
Proiect didactic
Data:
Clasa: a V -a A
Profesor:
Disciplina: Matematică – Algebră
Subiectul: Criterii de divizibilitate. Criteriul cu 2, 5, 10, 3 și 9
Unitate de învățare: Divizibilitatea numerelor naturale
Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștiințe
Scopul: Familiariza rea cu noțiunea de divizibilitate și aplicarea corectă a criteriilor
învățate.
Competente generale și specifice:
CG 3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice;
CS 3. 1. Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale și
pentru divizibilitate;
CG 5. Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date;
CS 5.1. Analizarea unor situații date în care intervin numere naturale pentru a estima sau
pentru a verifica validitatea unor calcule .
Competențe derivate:
Cognitive :
● Verificarea, având mai multe obiecte, dacă un număr natural este divizibil cu un
alt număr natural;
● Selectarea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu numere
naturale și pentru divizibilitatea cu 2, 5, 10 ;
● Selectarea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu numere
naturale și pentru divizibilitatea cu 3, 9 .
Afective:
107
• stimularea curiozității și a imaginației elevilor;
• dezvoltarea spiritului de obsevație și a atenției concentrate;
• dezvoltarea simțului critic și apreciativ;
• formarea și dezvoltarea spiritului competitiv.
Metode și procedee :
• conversația , observația sistematică , învățarea prin descoperire , algoritmizarea ,
problematizarea , jocul didactic , exercițiul;
Material didactic:
• fișe de lucru;
• fișe de evaluare.
Forme de organizare:
• frontal;
• individual;
• pe grupe;
Tip de evaluare: formativă.
Bibliografie:
1. http://www.math -aids.com/ Division/
2. Perianu M., Stănică C., Smărăndoiu Șt, Matematică, Manual pentru clasa a V -a, Editura
Art, București, 2017.
3. Turcitu G., Basarab C., Dragonu T., Ghiciu N., Rizea I., Smărăndoiu Șt., Matematică ,
Manual pentru clasa a V -a., Editura Radical, D.T. Severin, 2011
108
Momentele
lecției
Obiective
Desfășurarea lecției
Activitatea profesorului
Activitatea elevilor
Strategia didactică
Metode Mijloace Mod de
organizare
Moment
organizatoric
1 min. Salutul;
Consemnarea absențelor;
Asigurarea unui climat favorabil
desfășurării lecției conversația catalogul frontal
Verificarea
temei și
Captarea
atenției
7 min. Profesorul verifică tema prin sondaj
iar elevii răspund la solicitările
profesorului și întreabă acolo unde
au avut neclarități la exercițiile
primite pentru tema de casă.
Elevii vor avea ca sarcină să se
grupeze , cât mai rapid , la cererea
profesorului în grupe de căte 2, 3, 5.
În funcție de numărul de elevi din
clasă, profesorul alege numărul de
copii dintr -o grupă , astfel încât
totalul de elevi să se poată împărți
exact sau nu în astfel de grupe. După
fiecare grupare, profesorul le cere
elevilor să observe dacă sunt toți
cuprinsi în grupele cu numărul
specificat. Ultima grupare va fi în
grupe de câte 1 și apoi vor merge în
băncile așezate în forma literei U.
Întrebări care ghidează conversația :
• Ați reușit să vă grupati cu toții câte
trei (de ex.)? Ce puteți spune despre
numărul de elevi din clasa noastră și
numărul trei (de ex.)?
• Ați reușit să vă grupați cu toții câte conversația
109
cinci (de ex.)? Câți copii au rămas
negrupați? Ce puteți spune despre
numărul de elevi din clasa noastră
față de numărul 5? Se evidențiază de
fiecare dată dacă împărțirea s -a făcut
exact sau nu.
Anunțarea
subiectulu i și
a
obiectivelor
2 min . Profesorul scrie titlul lecției de azi:
„Criterii de divizibilitate .” În cadrul
lecției , ne propunem consolidarea
cunoștințelor dobândite anterior,
notarea corectă a relației de
divizibilitate, identificarea numerelor
divizibile cu 2, 5, 10, 3 și 9 dintr -un
șir de numere naturale și utilizare a
criteriilor de divizibilitate pentru
numerele scrise în baza 10 care au în
componența lor litere în loc de cifre. expunere tabla,
caietul
elevului Frontal
Dirijarea
învățării
28 min. O2 ,
O3,
O4 Întrebări adresate elevilor:
„Care sunt primii 6 multipli ai lui 2?”
„Care sunt primii 6 multipli ai lui 5?”
„Care sunt primii 6 multipli ai lui
10?”
Elevii vor nota răspunsurile pe tablă
și în caiete sub forma unor coloane.
În continuare, elevii vor primi câte o
fișă de lucru, cu trei aplicații (aflate
pe fișa de lucru A), pe care le vor
rezolva singuri.
Prima aplicație : Alegeți dintre
perechile de numere de mai jos, în
ordinea în care sunt așezate (22 -I,
55-L, 37 –
O, 26 -S, 59 -A, 70 -T, 64 -E, 43 -M,
exercițiul
învățare
prin
descoperie
conversația
jocul
conversația
caietul
elevului
fișa de
lucru
Individual
Frontal
110
11-U, 88 -T), pe cele care sunt
divizibile cu 2 și scrieți în casuțele
libere literele care le corespund. Veți
obține astfel un cuvânt.
Apoi, elevii vor răspunde la
întrebarea următoare: Care este
ultima cifră a numerelor alese?
Enunțarea criteriului de divizibilitate
cu 2
Un număr natural este divizibil cu 2
dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6
sau 8 .
A doua aplicație : Alegeți dintre
numerele de mai jos (25, 40, 67, 99,
75, 80) pe cele care sunt divizibile cu
5. Haideți să le descoperim!
Din nou elevilor li se adresează
întrebarea: Care este ultima cifră a
numerelor alese? Enunțarea
criteriului de divizibilitate cu 5 : Un
număr natural este divizibil cu 5
dacă ultima s a cifră este 0 sau 5.
Aplicația a treia : Alegeți dintre
numerele de mai jos (82, 50, 77,120,
35, 68, 300) pe cele care sunt
divizibile cu 10. Apoi, se cere
elevilor să răspundă la întrebarea
următoare: Care este ultima cifră a
numerelor alese?
Enunțarea criteriului de divizibilitate
cu 10 : Un număr natural este
divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră
este 0 .
conversația
111
Crite riul de divizibilitate cu 3: Un
număr este divizibil cu 3 dacă suma
cifrelor sale este multiplu de 3 (suma
cifrelor sale se împarte la 3) .
Exemplu: Stabiliți dacă următoarele
numere sunt divizibile cu 3:
9, 10, 75, 124, 125, 64, 71, 72
Criteriul de divizi bilitate cu 9: Un
număr este divizibil cu 9 dacă suma
cifrelor sale este multiplu de 9.
Exercițiu: Stabiliți dacă următoarele
numere sunt divizibile cu 9: 81, 181,
345, 769, 342, 1134
Fixarea
cunoșțiințelor
Asigurarea
transferului și
a retenției
10 min . O1,
O2
Se va distribui elevilor o nouă fișă de
lucru (fișa B), iar după expirarea
timpului , se vor rezolva la tablă prin
sondaj. exercițiul
explicația fișa de
lucru
tabla individual
frontal
Tema pentru
acasă
2 min . Se apreciază activitatea elevilor pe
parcursul lecție i prin notarea acestora
în catalog ș i se explică tema pentru
acasă(Restul exercițiilor neefectuate
de pe fișa B). expunere
explicație
frontal
112
B Fișă de lucru
1. Alegeți dintre următoarele numere : 25, 40, 67, 99, 75, 80, 119, 296, 790 pe cele care
sunt divizibile cu 5.
2. Alegeți dintre următoarele numere : 82, 50, 77,120, 35, 68, 300, 110, 55, 38 pe cele care
sunt divizibile cu 10.
3. Stabiliți dacă următoarele numere sunt divizibile cu 3:
9, 10 , 75, 124, 125, 64, 71, 72, 276, 398, 282, 828
4. Stabiliți dacă următoarele numere sunt divizibile cu 9: 81, 181, 345, 769, 342, 1134
5. Determinați numerele naturale de forma:
a) 23𝑥̅̅̅̅̅ divizibile cu 2 d) 𝑥75𝑥̅̅̅̅̅̅̅ divizibile cu 9
b) 113𝑥̅̅̅̅̅̅̅ divizibile cu 5 e) 2𝑥𝑦̅̅̅̅̅ divizibile cu 10 .
c) 𝑥2𝑦̅̅̅̅̅ divizibile cu 3
6. Determinați numerele naturale de forma:
a) 67𝑥̅̅̅̅̅ divizibile cu 15 b) 57𝑥̅̅̅̅̅ divizibile cu 6
c) 14𝑥̅̅̅̅̅ divizibile cu 18 d) 36𝑥̅̅̅̅̅ divizibile cu 30
7. Moș Crăciun are în sac 72 de bomboane, 36 de banane și 45 de portocale, pe care trebuie
să le împartă copiilor în pachete cu același conținut, iar sacul să rămână gol.
a) Arătați că darurile nu pot fi împărțite în mod egal la 18 copii .
b) Determinați numă rul maxim de copii la care Moș Crăciun poate împărți în mod egal
toate darurile din sac.
113
Proiect didactic
Data:
Clasa: a VI-a
Disciplina: Matematică
Profesor:
Unitatea de învațare: Divizibilitatea numerelor naturale
Titlul lecției: Divizibilitate. Recapitulare
Tipul lecției: Sistematizarea și aprofundarea cunoștinț elor
Competențe generale:
CG1: Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul î n
care au fost definite;
CG2: Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enun țuri matematice;
CG3: Utilizarea algoritmilor ș i a conceptelor matemat ice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situaț ii concrete;
CG4: Modelarea matematică a unor contexte matema tice va riate, prin integrarea
cunostinț elor din diferite domenii;
CG5: Analiza ș i interpretarea caracteristi cilor matematice ale unei situații -problemă ;
CG6: Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștinț elor din diferite domenii.
Competențe operaț ionale:
Cognitive:
CC1. Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a noțiunilor: c.m.m.d.c și
c.m.m.m.c.;
114
CC2. Aplicarea criteriilor de divizibilitate pentru de scompunerea numerelor naturale î n
produs de puteri de numere prime;
CC3. Utilizarea algoritmilor pentru determinarea c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două sau a mai
multor numere naturale;
CC4. Exprimarea unor caracteristici ale relației de divizibilitate în mulțimea numerelor
naturale, în exerciții și p robleme care se rezolvă folosind divizibilitatea;
CC5. Deducerea u nor reguli de calcul cu puteri și a unor proprietăți ale divizibilității în
mulțimea numerelor naturale, în exerciții ș i probleme;
CC6. Transpunerea unei situații -problemă în limbajul divizi bilității în mulțimea numerelor
naturale, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.
Afective:
1) stimularea curiozității și a imaginaț iei elevilor;
2) de zvoltarea spiritului de obsevație și a atenț iei concentrate;
3) dezvoltarea simțului critic ș i apreciativ;
4) formarea ș i dezvoltarea spiritului competitiv.
Metode si procedee:
• conv ersația euristi că, explicația, problemarizarea , exercițiul, munca individuală;
Tip de evaluare :
• formativă ;
• aprecierea corectitudinii r ezolvării aplicațiilor (verbală / notarea activității elevilor),
verificarea prin lucări practice, observarea elevilor.
Bibliografie:
– Turcitu G., Basarab C., ș .a., Manual pentru clasa a VI -a, Edi tura Radical, D.T.
Severin, 2011 .
– Șerdean, I., Zaharia, D., Zaharia, M., Aritmetica, Algebra, Geometrie: clasa a VI –
a, Colecț ia Mate 2000+19/20 , Editura Paralela 45, Piteș ti, 2019.
115
Scenariu didactic :
Momentele
Lecției Desfășurarea lecției Metode și
procedee Evaluare
Activitatea profesorului Activitatea
elevilor
Moment
Organizatoric
2 min. Profesorul stabilește ordinea,
climatul necesar începerii
activității.
Se notează elevii absenți în
catalog. Elevii se
pregătesc
pentru lecție. conver –
sația
Reactualizarea
cunoștinț elor
8 min.
Pentru început , profesorul
solicită elevilor definirea
noțiunilor de divizor și
multiplu pentru un număr
natural, enunțarea criteriilor de
divizibilitate cu 2,3,4,5,9,10 și
25, enunțarea proprietăților
relației de divizibilitate,
prezentarea etapelor pentru
aflarea celui mai mare divizor
comun, mltiplu comun a două
sau mai multe numere naturale
și definirea noțiunii de număr
prim și compus , precum și
numere prime între ele.
Se verifică tema prin sondaj,
iar în cazul în care există
exerciții pe care nu le -au Pentru fiecare
noțiune în
parte , câte un
elev va
raspunde .
Elevii sunt
atenți, pun
întrebari
legate de
exercițiile pe
care nu le -au
putut rezolva
și își
corectează
eventualele
greșeli din
temă. conver –
sația
exerciț iul formativă
116
rezolvat mai m ulți elevi, se
rezolvă exercițiile respective la
tablă, profesorul explicând
metoda de rezolvare.
Captarea
atenției și
anunțarea
lectiei noi
3 min. Profesorul anunț ă titlul lecției
“Recapitulare divizibilitate ”
și obiectivele lecției:
sistematizarea și aprofundaraea
noțiunilor de divizibilitate, a
criteriilor de divizibilitate, a
c.m.m.m.c și c.m.m.d.c.,
rezolvarea de probleme
folosind divizibilitatea. Elevii sunt
atenți și își
notează titlul
lecției pe
caiete.
conver –
sația
Dirijarea
învăță rii
25 min. Profes orul propune pentru
rezolvare câ teva subpuncte
din exerci țiile aflate pe fișa de
lucru :
1. Aflați mulțimea D 20 .
2. Enum erați cel puț in 7
elemente ale mulțimii
M6
3. Fie mulțimea A={5, 6,
12, 17, 25, 120, 459 }.
Alegeți numerele
divizibile pe râ nd cu 2,
3, 5, 9, 10.
Profesorul cere, din nou,
definirea numerelor prime între
ele și algoritmul de calcul
pentru c.m.m.d.c. -ul și
c.m.m.m.c. -ul a două sau mai
multe numere naturale și Elevii
răspund, pe
rând, la
întrebarile
adresate.
Elevii trec pe
rând la tablă
să rezolve
exercițiile.
conver sați
a
exerci țiul
formativă
117
propune pentru rezolvare
exercițiile:
4.Aflați c.m.m.d.c. și
c.m.m.m.c. al numerelor 36 si
54.
5. Aratați că numerele 3n+1 – 3n
și 7n+1 – 7n nu sunt prime între
ele.
6.Să se arate că :
A=1+2+3+4+…………….+50
este divizibil cu 3.
B= 7n + 7n+1 + 7n+2 este divizibil
cu 19, pentru orice n€N.
C=3∙2n + 2n+1 +5∙2n+1 +2n+3
este divizibil cu 23, pentru
orice n€N.
D=12n∙24 +3n+2∙4n+1 + 2n+3∙6n
este divizibil cu 17, pentru
orice n€N.
E= 1+2+22+……….+2107 este
divizibil cu 7.
F=3+31+32+…………………+
3143 este divizibil cu 13.
7.Să se determine două num ere
naturale știind că suma lor este
231 și cel mai mare divizor
comun al lor este 21.
8.Știind că cel mai mare
divizor comun a două numere
naturale este 12 și că suma lor
este 96, aflați numerele.
9. Să se determine două Elevii
precizează
modul de
determinare a
c.m.m.d.c. și
c.m.m.m.c. a
două sau mai
multe numere
naturale.
Pe urmă
elevii trec la
tablă pentru
rezolvarea de
aplicații.
Pe rând, câte
un elev
rezolv ă la
tabla c âte un
exercițiu.
proble –
matizare
118
numere naturale știind că cel
mai mare divizor comun al lor
este 5 și produsul lor este 250.
10.Să se determine două
numere naturale știind că cel
mai mare divizor comun al lor
este 14, iar cel mai mic
multiplu comun al lor este 490.
11. Să se determine două
numere naturale , știind că
produsul lor este 6912 și cel
mai mic multiplu comun al lor
este 144.
Obținerea
performanț ei
10 min. Profesorul le cere elevil or să
rezolve individual de pe fișa de
lucru un exercițiu, iar pe urmă
în cazul în care elevii rezolvă
corect exercițiul , se notează c u
note sau puncte munca lor. Elevii rezolvă
aplicația.
Apoi, un elev
trece la tablă
pentru a scrie
rezolvarea
corectă și
completă a
exercițiilor. exercițiul
explica ția
Tema pentru
acasă
2 min. Profesorul no tează tema pentru
acasă la tablă și oferă indicații
de rezolvare a problemelor. Elevii își
notează tema
pe caiete și
pun întrebări
legate de
problemele
pe care le au
ca temă. explicaț ia
119
FIȘA DE LUCRU
1. Aflați mulțimea D 20 .
2. Enumerați cel puțin 7 elemente ale mulțimii M 6 .
3. Fie mulțimea A ={5, 6, 12, 17, 25, 120, 459 }. Alegeți numerele divizibile pe rând
cu 2, 3, 5, 9, 10.
4. Aflați c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor 36 ș i 54.
5. Arătați că numerele 3n+1 – 3n si 7n+1 – 7n nu sunt prime între ele.
6. Să se arate că :
A=1+2+3+4+…………….+50 este divizibil cu 3.
B= 7n + 7n+1 + 7n+2 este d ivizibil cu 19, pentru orice 𝑛∈ℕ.
C=3∙2n + 2n+1 +5∙2n+1 +2n+3 este di vizibil cu 23, pentru orice 𝑛∈ℕ.
D=12n∙24 +3n+2∙4n+1 + 2n+3∙6n este d ivizibil cu 17, pentru orice 𝑛∈ℕ.
E= 1+2+22+……….+2107 este divizibil cu 7.
F=3+31+32+…………………+3143 este divizibil cu 13.
7. Să se determine două numere natural, știind că suma lor este 231 și cel mai mare
divizor comun al lor este 21.
8. Știind că cel mai mare divizor comun a două numere naturale este 12 și că suma lor
este 96 , aflați numerele.
9. Să se determine două numere natural e, știind că cel mai mare divizor comun al lor
este 5 și produsul lor este 250.
10. Să se determine două numere natural e, știind că cel mai mare divizor comun al lor
este 14, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 490.
11. Să se determine două numere natural e, știind că produsul lor este 6912 și cel mai
mic multiplu comun al lor este 144 .
120
Concluzii
Perfecționarea continuă a muncii didactice în școală, aplicarea cât mai variată a
metodelor existente, căutarea în permanență a noi forme de predare, îmbinarea acestor
forme cu experiența acumulată de -a lungul anilor, creează acea atmosferă la clasă în care
elevii se simt bine și participă la lecții în mod independent.
În lucrarea de față, am scos în evidență particularitățile studiul teoriei numerelor și
a relațiilor de divizibilitate în ciclul gimnazial. Din punct de vedere al dezvoltării
intelectuale, însușirea relațiilor de divizibilitate exersează judecata, îl ajută pe elev să
distingă adevărul științific de neadevăr, să -l demonstreze, antrenează organizarea logică a
gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezei și a consecințelor. Astfel, la finalul
ciclului gimnazial, elevii, prin însuși rea noțiunilor aritmetice existente, capătă o astfel de
experiență intelectuală, cu ajutorul metodelor moderne și a celor c lasice pe care le -am
aplicat la clasă. Metodele moderne solicită mult gândirea copilului, îi activează mai mult în
însușirea noilor cunoștințe, stimulează imaginația, gândirea copiilor, creativitatea,
personalitatea, lucrul în echipă, ajută la fixarea mai rapidă a cunoștințelor dobîndite, permit
elevilor să -și expună punctul de vedere, sunt stimulative. Cunoștințele dobândite se fixează
în memoria de lungă durată, antrenează competiția, nu impun un stereotip, permit
autoevaluarea elevilor, îmbunătățesc comu nicarea între elevi -elevi și între elevi -profesor.
În cazul utilizării metodelor clasice, aplicate la clasă, e nevoie de mai puține materiale
didactice, evaluarea fiind mai obiectivă . Pentru studierea divizibilității la clasele
gimnaziale, pe lângă manuale le școlare în care am găsit exerciții variate, am folosit și
culegeri de exerciții cuprizând o mare diversitate de exerciții de diferite t ipuri de
dificultate. Toate aceste material e, precum și îmbinarea metodelor tradiționale cu cele
modern, m -au ajutat l a realizarea sarcinilor actuale p rivind studierea teoriei numerelor.
Aruncând o privire de ansamblu asupra rezultatelor obținute și asupra ativității
desfășurate cu elevii pentru educarea creativității, precum și a proceselor de evaluare a
progresului șco lar, se poate afirma că, în vederea dezvoltării gândirii critice a elevilor,
trebuie să utilizăm, cu precădere, unele strategii activ -participative, creative. Acestea nu
trebuie rupte de cele tradiționale, ele marcând un nivel superior în spirala moderniză rii
strategiilor didactice.
„Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul. ” Galileo Galilei.
121
Bibliografie
1. Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45, Pitești,
2010.
2. Chirtop P., Radu V., Roșu M., Ross G., Matematică, Manual pentru clasa a V-a,
Editura Didactică si Pedagogică, București, 2019.
3. Constantinescu D., Probleme de algebră pentru gimnaziu , Volumul I, Editura Conus,
Râmnicu Vâlcea, 1996.
4. Dumitru V. G., Cunoștiin țe vechi și noi despre divizibilitate , Editura Științifică și
Pedagogică, București, 1990.
5. Gheba G., Cîrnu C., Exerciții și probleme de matematică , Editura ICAR, Editura RAI,
București, 1991.
6. Murariu P., Metodica predării matematicii , Editura Didactică și Pedagogică, București,
1984.
7. Năstăsescu C., Niță C., Vraciu C., Bazele algebrei, Volumul 1, Editura Academiei
Române, București, 1986.
8. Olivotto I., Culegere de exerciții și probleme de Algebră pentru gimnaziu , Editura Ara,
București, 1992.
9. Olivotto I., Culegere de exerciții și probleme de aritmetică , Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1976.
10. Perianu M., Stănică C., Smărăndoiu Ș., Matematică , Manual pentru clasa a V-a,
Editura Art, București, 2017.
11. Petrică I., Alexe Ș., Ștefan C., Probleme de matematică pentru gimnaziu , Editura
Petrion, București, 1992.
12. Șerdean I., Zaharia D., Zaharia M., Aritmetică, Algebră, Geometrie: clasa a VI-a,
Colecția Mate 2000+19/20, Editura Paralela 45, Pitești, 2019.
13. Turci tu G., Basarab C., ș.a., Manual pentru clasa a VI-a, Editura Radical, D.T.
Severin, 1999.
14. Turcitu G., Basarab C., Dragonu T., Ghiciu N., Rizea I., Smarandache Ș., Matematică.
Manual pentru clasa a V-a, Editura Radical, D.T. Severin, 2011.
15. Zaharia D., Zahar ia M., Peligrad S., Aritmetică, Algebră, Geometrie: clasa a V-a,
Colecția Mate 2000+19/20, Editura Paralela 45, Pitești, 2019.
16. Zaharia D., Zaharia M., Peligrad S., Aritmetică, Algebră, Geometrie: clasa a VI-a,
Colecția Mate 2000+19/20, Editura Paralela 45, Pitești, 2019.
17. *** Programa școlară aprobată prin O.M. nr.3393/ 28.02.2017.
18. http://www.math -aids.com/Division/
19. http://www.didactic.ro/
122
DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE
A AUTORULUI
LUCRĂRII METODICO – ȘTIINȚIFICE PENTRU ACORDAREA
GRADULUI DIDACTIC I
Titlul lucării ELEMENTE DE ARITMETICĂ ȘI TEORIA NUMERELOR.
ASPECTE METODICO – ȘTIINȚIFICE .
Autorul lucrării(nume și prenume)
Prof. SERE IOANA ALEXANDRA
Instituția de învățământ superior: UNIVERSITATEA DIN ORADEA
Centrul de perfecționare: DPPD ORADEA, 2020.
Prin prezenta, subsemnatul declar pe proprie răspundere că această lucrare a
fost elaborată de mine, fără nici un ajutor neautorizat și că nici o par te a lucrării nu
conține aplicații sau studii de caz publicate de alți autori.
Declar, de asemenea, că în lucrare nu există idei, tabele, grafice, hărți sau alte
surse folosite fără respecterea legii române și a convențiilor internaționale privind
drept urile de autor.
Lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.
Data predării lucrării Semnătura
_________________ _______________
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Specializarea : Profesor de Matematică [626420] (ID: 626420)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.