Specializarea: Pedagogia Învățământului Primar și Preșcolar [631807]

UNIVERSITATEA CREȘTINĂ ”DIMITRIE CANTEMIR”, BUCUREȘTI
Facultatea de Științe ale Educației
Specializarea: Pedagogia Învățământului Primar și Preșcolar

METODE ACTUALE ÎN PROBLEMATICA
ARITMETICII ÎN CICLUL PRIMAR

Profesor coordonator ,
Lect.univ.dr. CHITEȘ COSTEL
Absolvent: [anonimizat] 2020

2
CUPRINS

Argument ……………………………………………………………………………………….. 3
CAPITOLUL I
ASPECTE TEORETICE PRIVIND REZOLVAREA PROBLEMELOR MATEMATICE
1.1 Conceptul de problemă matematică …………………………………………. ……………………. ……… 5
1.2 Tipuri de probleme matematice în învățământul primar ……………….. ………….. …….. …….. 6
1.3 Conceptul de rezolvare a problemelor matematice ……………………… …………………….. …. 7
1.4 Etapele rezolvării unei probleme ……………………………………………. …………………………. … 9

CAPITOLUL II
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR MATEMATICE
2.1 Metode generale de rezolvare a problemelor ………………………………. ………………………. 14
2.1.1 Metoda analitică …………………………………………. ……………. …………………………. 14
2.1.2 Metoda sintetică ………………………………………………………… ……………………….. 16
2.2 Metode particulare de rezolvare a problemelor ………………… ………. ……………………….. 18
2.2.1 Metoda figurativă (grafică) ………………………………………………………………………. .. 19
2.2.2 Metoda comparației ………………………………………….. …………………………………… 29
2.2.3 Metoda mersului invers …………………………………………………………………………… 33
2.2.4 Metoda reducerii la unitate ………………………………………………………………………. 35
2.2.5 Metoda balanței …………………………………………………………………………………….. 36

CAPITOLUL III
METODOLOGIA CERCETĂRII PRIVIND TEMA ”METODE ACTUALE ÎN
PROBLEMATICA ARITMETICII ÎN CICLUL PRIMAR”
3.1 Coordonate generale ale cercetării ………………………………………………………………………. 39
3.2 Prezentarea și interpretarea rezultatelor obținute …………………………………………………… 41
CONCLUZII GENERALE ………………………………………………………………………………… 54
BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………………………………………………… 56
ANEXE ………………………………………………………………………………………………………….. 58

3
ARGUMENT

Lucrarea de licență ”Metode actuale în problema tica aritmeticii în ciclul primar” se
încadrează într -o temă deosebit de importantă în matematică, rezolvarea de probleme, o
componentă căreia programa școlară îi acordă o importanță deosebită.
Rezolvarea de probleme îi oferă învățătorului posibilitatea de a cunoaște comportamentul
și cunoștințele matematice pe care le are elevul care rezolvă problema și îi crează acestuia situații
noi de învățare la care să răspundă prin capacitățile sale de explorare și inve stigare.
Confruntarea elevului cu o problemă matematică implică scopul de a rezolva,
conștientizarea dificultăților de rezolvare și a motivației corespunzătoare.
Din perspectiva procesului de rezolvare a problemelor matematice am ales să studiez
metodele d e rezolvare, deoarece sunt o latură importantă a matematicii, mai ales în clasele
primare când elevul învață limbajul matematic, raționamentele rezolvării pornind de la probleme
simple până la cele mai complexe.
Identificarea metodei de rezolvare a unei pr obleme este simplă dacă elevul poate încadra
problema într -o categorie deja cunoscută. Dacă a înțeles particularitățile categoriei respective,
raționamentul rezolvării ei, dacă o poate cunoaște în diferite contexte, atunci poate încadra corect
problema.
Varietatea și complexitatea problemelor, și implicit a metodelor de rezolvare, dezvoltă
gândirea elevilor prin sporirea efortului mintal al acestora, dar și eficiența formativă a
activităților de rezolvare a problemelor.
Principalul obiectiv în înțelegerea ș i aplicarea metodelor de rezolvare a problemelor de
către elevi este ca aceștia să dezvolte abilitatea de a rezolva probleme matematice, de a rezolva
problemele din viața reală.
Experiența elevilor în rezolvarea problemelor crește pe măsură ce aceștia își însușesc
modalitățile de rezolvare.
În această lucrare, mi -am propus, pe baza cercetărilor experimentale să evidențiez
metodele de rezolvare a problemelor atingând următoarele obiective:
O1- Elaborarea unor probleme de matematică în funcție d e nivelul de vârstă al elevilor.
O2 – Analizarea etapelor demersului proces ului de rezolvare a problemelor.

4
O3 – Evaluarea eficienței metodelor de rezolvare a problemelor matematice prin aplicarea
acestora în teste de evaluare;
O4 – Studierea modificării gradului de di ficultate al problemelor din testele de evaluare
odată cu creșterea nivelului de vârstă al elevilor.
Am ales această temă din dorința de a -mi îmbogăți cunoștințele despre procesul de
rezolvare a problemelor matematice , pentru a cerceta tipurile de metode de rezolvare și pentru a
vedea nivelul de adaptabilitate al elevilor la gradul de dificultate a acestora.
Experimentul pedagogic s -a desfășurat în anul școlar 2019 – 2020 și a constat în aplicarea
unor teste la clasa a III -a (24 elevi) și clasa a IV -a (26 elevi). Testele au fost elaborate cu itemi de
tip rezolvare de probleme, câte unul pentru fiecare tip de metodă cercetată și au fost aplicate
pentru două clase de nivel diferit pentru a studia creșterea gradului de dificultate al problemelor
în funcție de vârstă și pentru a observa ce tip de metodă a fost mai bine înțeleasă și mai
accesibilă elevilor.
Lucrarea este structurată pe trei capitole, concluzii generale, bibliografie și anexe.
În capitolul I ”Aspecte teoretice privind rezolvarea problemelor matema tice” sunt
prezentate conceptele de problemă matematică și rezolvare de probleme, tipurile de probleme
matematice din învățământul primar și etapele rezolvării unei probleme.
În capitolul al II -lea ”Metode de rezolvare a problemelor matematice” sunt prezen tate
metodele generale de rezolvare a problemelor – metoda analitică și metoda sintetică și metodele
particulare de rezolvare a problemelor – metoda figurativă, metoda comparației, metoda mersului
invers, metoda reducerii la unitate și metoda balanței.
În capitolul al III -lea ”Metodologia cercetării privind tema – Metode actuale în
problematica aritmeticii în ciclul primar” , am realizat cercetarea experimentală în cadrul căreia
am prezentat perioada de desfășurare a experimentului, ipoteza de cercetare, ob iectivele,
metodologia utilizată, precum și rezultatele obținute și interpretarea acestora.
Sursele bibliografice sunt lucrări ce conțin studii relevante cu tema aleasă.

5
CAPITOLUL I
ASPECTE TEORETICE PRIVIND REZOLVAREA PROBLEMELOR MATEMATICE

1.1 Conceptul de problemă matematică
Problemele matematice sunt un instrument de bază pentru dobândirea cunoștințelor
matematice și realizarea obiectivelor educației matematice.
Conceptul de problemă, se referă la orice dificultate de natură practică sau teoretică ce
necesită o soluție finală. Problema matematică există dacă soluția este posibilă și găsirea acesteia
se realizează prin mijloace intelectuale și nu prin aplicarea unui algoritm standard.
O problemă devine mai dificilă cu cât aceasta diferă de cele rezolvate anterior de elev.
Problema matematică vizează o situație a cărei rezolvare se obține prin procese de
gândire și calcul, implicând în rezolvarea ei o activitate de descoperire.
În matematica școlară, problemele reprezintă calea principală pr in care se verifică modul
și gradul în care s -au asimilat noțiunile teoretice.
”O problemă reprezintă un enunț prin care se oferă anumite informații elevilor și în care
se cere să se demonstreze un fapt matematic sau să se calculeze valorile (măsurile) uno r
elemente, astfel încât rezolvarea să implice o inițiativă din partea rezolvitorului.” (Ch.-Th.Dan,
S.- T. Chiosa, 2008, p. 199)
”Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui
complex de situații practice sau a unui comp lex de situații practice în relații cantitative și în
care, pe baza valorilor numerice date și aflate într -o anumită dependență unele față de altele și
față de una sau mai multe valori numerice necunoscute , se cere determinarea acestor valori
necunoscute.” (I. Neacșu, Gh. Dascălu, H. Radu, V. Tăgirț, M. Roșu, M. Roman, Gh. Zafiu,
1988, p.196)
Conform Dicționarului Universal al limbii române cuvântul problemă are următoarele
definiții:
 ”Problema este o chestiune care prezintă aspecte dificile, neclare, discu tabile, care
necesită o lămurire, care așteaptă o rezolvare, o soluție .”
 ”Problema este o chestiune sau situație în care se cere să se determine anumite date
pe baza unor ipoteze, cu ajutorul metodelor matematice.” (I. Oprea, C -G. Pamfil, R.Radu, V.
Zăstroiu, 2006, p. 1120)

6
1.2 Tipuri de probleme matematice în învățământul primar
Din punct de vedere matematic, problemele pot fi clasificate după diferite criterii:
După numărul de operații:
o probleme simple – care se rezolvă printr -o singură operație
o probleme compuse – care se rezolvă prin două sau mai multe operații

După metoda de rezolvare folosită:
o probleme generale – care se rezolvă prin metoda analitică sau prin metoda
sintetică
o probleme tipice (particulare) – care se rezolv ă prin metode specifice: figurativă
(grafică) , reducere la unitate, a falsei ipoteze, a comparației, a mersului invers , a
balanței

După aplicabilitate sau finalitate:
o probleme teoretice
o probleme practice (aplicații ale noțiunilor învățate)

După conținutul lor:
o probleme de aritmetică
o probleme de geometrie
o probleme de mișcare

După algoritmul de lucru:
o probleme standard
o probleme nonstandard – recreative, rebusistice, de perspicacitate și ingeniozitate
Identificarea modului de rezolvare a unei probleme este simplă dacă elevul poate încadra
problema într -o categorie deja cunoscută. Această încadrare se poate face corect numai dacă
elevul a înțeles particularitățile categoriei respective, raționamentul rezolvării ei, dacă o poate
recunoaște în dif erite contexte.
Varietatea și complexitatea problemelor dezvoltă gândirea elevilor prin sporirea efortului
mintal al acestora, precum și eficiența formativă a activităților de rezolvare a problemelor.

7
1.3 Conceptul de rezolvare a problemelor matematice
”A găsi rezolvarea unei probleme este o performanță specifică inteligenței, iar
inteligența este un atribut al speciei umane.” ( E. Dăncilă, I. Dăncil, 2005, p.70)
Rezolvarea problemelor este cea mai importantă activitate din matematica ciclului
primar.
Conf runtarea elevului cu o problemă matematică implică scopul de a rezolva,
conștientizarea dificultăților de rezolvare și a motivației corespunzătoare.
Rezolvarea problemelor de matematică este unul dintre cele mai importante subiecte de
învățat pentru elevi și deasemenea unul dintre cele mai complexe de predat pentru învățători.
Activitatea de r ezolvare a problemelor poate fi folosită ca o metodă de predare pentru o
înțelegere mai aprofundată a conceptelor.
Rezolvarea problemelor îndeplinește mai multe funcți i instructiv -educative:
o repetarea noțiunilor cu scopul de a le învăța în mod adecvat și a le reține permanent;
o stabilirea relațiilor dintre noțiuni ;
o învățarea regulilor de bază pentru a trage concluzii permițând aplicarea adecvată ;
o formarea noțiunii unui m odel matematic ;
o descoperirea proceselor și înțelegerea relațiilor ;
o dezvoltarea aptitudinilor și obiceiurilor pentru exprimare matematică orală și scrisă ;
o dezvolt area aptitudinilor și obiceiurilor pentru lucrul cu reguli, instrumente.
Este bine știut că ed ucația, peste toate, educă prin conținut, prin fapte și interpretarea lor.
În orice caz realizarea funcțiilor educaționale depinde de cum este prezentat materialul
intrucțional elevilor și organizarea lecției.
Funcțiile care dezvoltă abilitățile creative ale elevilor se referă la funcțiile care sunt
îndreptate spre dezvoltarea elevilor, a procesului de gândire.
Principalul obiectiv în învățarea rezolvării problemelor de matematică de către elevi este
ca aceștia să dezvolte abilitatea de a rezolva probleme în viața reală.
Elevii își formează priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a
descoperi soluția corectă pentru ceea ce se cere în problemă.
În rezolvarea de probleme este foarte importantă identificarea implicațiilor ascunse, a
datelor necunoscute.
Problemele de matematică sunt compuse din 3 elemente:

8
o contextul problemei (datele) – ceea ce este cunoscut, ceea ce se dă sub formă de valori
numerice și relații;
o întrebările problemei (cerințele) – ceea ce trebuie determinat utilizând datele problemei;
o condițiile – arată în ce fel cerințele sunt legate de contextul problemei.
Pentru a răspunde cerințelor unei probleme elevul trebuie să aplice cunoștințele dobândite
anterior și metodele de rezolvar e cunoscute. Pornind de la contextul problemei elevul aplică
cunoștințe care sunt în relație cu datele pe care problema i le oferă. Elevul din învățământul
primar trebuie ajutat, întrucât această capacitate de a folosi cunoștințele anterioare este încă
nedezvoltată.
Înțelegând contextul problemei și raportând datele cunoscute la ceea ce se cere (la
întrebările problemei) și condiții, elevul trebuie să construiască judecăți care conduc la găsirea
soluției problemei.
Experiența elevilor în rezolvarea probleme lor crește pe măsură ce aceștia își însușesc
modalitățile de rezolvare, ceea ce dezvoltă capacitățile de rezolvare și investigare.
Pentru a rezolva probleme de matematică, elevul, trebuie să cunoască și să respecte
anumite reguli: (Chr. -Th. Dan, S. Chiosa, 2008, p. 201)
o Citirea corectă a enunțului problemei și construirea exactă a figurii (la problemele de
geometrie), pentru a evita erorile de raționament. Citirea enunțului este necesară deoarece elevul
poate identifica astfel indicații cu ajutorul cărora s ă caute metode de rezolvare.
o Însușirea enunțului problemei constă în cunoașterea datelor problemei, a cerințelor, a
concluziei și a legăturii dintre acestea, precum și a noțiunilor legate de problemă. O înțelegere
clară a enunțului problemei reduce calcule le ce trebuie efectuate pe parcursul rezolvării
problemei. Elevii din învățământul primar nu identifică întotdeauna elementele componente ale
enunțului problemei, mai ales în problemele în care cerința este la începutul sau la mijlocul
textului, sau când nu sunt evidențiate relațiile dintre condiții și cerințe. Î n astfel de cazuri, elevii
nu înțeleg în totalitate problema și soluția învățătorului este de a parcurge cunoștințele anterioare
și un antrenament prin rezolvarea de probleme.
o Cunoașterea unor procedee și metode pentru rezolvarea problemelor matematice pentru
a identifica mai ușor pașii de rezolvare.
o Construirea de raționamente noi pe baza cunoștințelor și a raționamentelor învățate
anterior. Pentru fiecare problemă trebuie realizată o schemă de rezolvare care constă în analiza

9
enunțului, motivarea alegerii metodei de rezolvare, raționamentul, oferite mai multe variante de
rezolvare.Toate acestea sprijină obținerea altor raționamente.
o Discuția problemei . După citirea enunțului și însușirea acestuia, învățătorul trebuie să
discute cu elevii despre metoda de r ezolvare și aplicarea acesteia. În unele cazuri, rezolvarea unei
probleme nu se încheie la aflarea soluției , ci apar situații în care elevii identifică alte modalități
de rezolvare. Sunt studiate diferite cazuri particulare care pot apărea sau se încheie r ezolvarea
problemei cu soluția găsită.
o Verificarea soluțiilor problemei.
Înainte de a rezolva o problemă, învățătorul trebuie să se asigure că aceasta a fost
înțeleasă de către elevi. Apoi, împreună cu elevii, întocmește un plan de rezolvare și stabilește
etapele de lucru. În final, elevii redactează soluția corectă. Învățătorul trebuie să -i învețe să -și
recitească rezolvarea problemei pentru a se asigura de acuratețea și corectitudinea
raționamentului.
Introducerea elevilor în procesul de rezolvare a probl emelor matematice se face
progresiv, antrenându -le gândirea pe măsură ce înaintează în studiu și pe măsură ce experiența
lor în rezolvarea problemelor se îmbogățește. Astfel, odată cu învățarea primelor operații
matematice, de adunare și scădere, învățător ul trebuie să introducă activitatea de rezolvare a
problemelor simple, pe cal e orală și pe bază de intuiție, apoi în formă scrisă. Trecerea de la
rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor complexe reprezintă un salt important
și necesită un efort mintal din partea elevilor.

1.4 Etapele rezolvării unei probleme
În activitatea de rezolvare a problemelor matematice sunt evidențiate două situații care
solicită în mod diferit gândirea elevilor:
 cazul în care elevul trebuie să rezolve o problemă tip, care se rezolvă prin aceeași
metodă ca cea rezolvată anterior;
 cazul în care elevul trebuie să rezolve probleme necunoscute, fără să aibă ca exemplu
o problemă rezolvată anterior prin aceeași metodă și unde acesta trebuie să găsească o modalitate
de rezolvare pentru a găsi soluția problemei.
Rezolvarea unei probleme simple se realizează prin mai multe etape:
Citirea enunțului problemei

10

Însușirea enunțului problemei care cuprinde:
o repetarea problemei de către învățător;
o schițarea datelor pe tablă;
o explicarea cuvintelor sau a expresiilor necunoscute;
o repetarea enunțului problemei de fiecare elev;
o ilustrarea problemei (unde este cazul).
Separarea datelor din conținut , astfel încât să se evidențieze ceea ce se cere
Identificarea operațiilor matematice și efectuarea calculului;
Evidențierea răspunsului problemei.
Pentru a rezolva cu mai multă ușurință problemele simple este necesar:
o să se rezolve un număr mare de probleme;
o analizarea temeinică a rezolvării fiecărei probleme;
o abordarea unui număr mare de probleme;
o prezentarea unor probleme cu enunțuri lacunare pe ca re elevii să le completeze;
o compunerea unor probleme cunoscând anumite date;
o alcătuirea unor probleme de către elevi în care învățătorul nu impune nicio cerință.

Rezo lvarea problemelor compuse este un proces multifazic care se desfășoară după
următori i pași: (Roșu M., 2006 , p.70)
Înțelegerea problemei , realizarea unei analize preliminare a problemei, de a pune în
evidență condițiile și concluziile, analizarea tuturor afirmațiilor prezente în conținutul problemei
și în concluzie, determinând datele concrete și care sunt necunoscute, ce trebuie calculat în
problemă. Cu alte cuvinte, în acest pas, elevii evaluează informația din cerință.
În această etapă, sunt necesare o serie de activități:
o Expunerea/ citirea textului problemei – poate fi făcută de către învățător, de către
unul sau mai mulți elevi, d e către fiecare elev individual. Problema va fi citită de mai
multe ori, până la însușirea ei de către toți elevii. Vor fi puse în evidență anumite
date și legătura dintre ele, dar și ceea ce se cere în problemă.
o Explicarea cuvintelor/ expresiilor necunoscute – este o activitate necesară doar dacă
în conținutul problemei se găsesc cuvinte necunoscute elevilor. Neînțelegerea unor

11
cuvinte de către elevi conduce la incapacitate a acestora de a elabora un raționament
pentru problemă.
o Discuții cu privire la datele problemei – sunt necesare atunci când nu au înțeles
problema toți elevii.
o Scrierea datelor problemei – reprezintă un pas spre esențializarea textului.
Dezvoltarea unei i dei și dezvoltarea unui plan pentru rezolvarea problemei , care
necesită un efort intelectual și înțelegerea problemei. În timp ce se parcurge acest pas, calea spre
soluție este dezvăluită gradual. Examinarea problemei se poate realiza prin metode sintetice sau
analitice. Ambele metode constau în împărțirea problemei compuse în probleme simple, care
prin rezolvarea lor se ajunge la soluția finală a problemei. Rezolvarea problemelor prin cele două
metode se realizează diferit: în cazul metodei sintetice se po rnește cu datele problemei spre
determinarea soluției; în cazul metodei analitice se pornește de la ce se cere, adică de la
întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea legăturilor dintre acestea. Metoda sintetică este
mai accesibilă elevilor din clas ele I și a II -a, dar nu necesită un efort mintal din partea elevilor.
Metoda analitică este utilizată î n clasele a III -a și a IV -a, fiind mai dificilă, dar mai eficientă în
dezvoltarea gândirii elevilor.
Dezvoltarea unui plan pentru rezolvarea problemei î ncepe cu împărțirea problemei
compuse date în probleme simple. Planul de rezolvare se realizează începând cu rezolvarea
primei probleme simple și continuând cu celelalte probleme simple, ce au fost identificate prin
metoda sintetică. Întrebările acestor pr obleme simple alcătuiesc planul de rezolvare, ce poate fi
scris sub formă interogativă sau poate fi scris prin exprimări clare, enunțiative.
Rezolvarea propriu -zisă a problemei – constă în identificarea operațiilor
corespunzătoare întrebărilor problemei și efectuarea calculelor. Se realizează în același timp cu
alcătuirea planului de rezolvare. Pe măsură ce se stabilesc întrebările se efectuează și calculele
corespunzătoare. Rez olvarea se încheie cu identificarea soluției finale, cu menționarea
răspunsului final la întrebarea problemei.
Activități suplimentare după ce problema a fost rezolvată – constă în verificarea
întregii probleme și reluarea rezolvării dacă este cazul, în gă sirea altor metode de rezolvare și de
alegere a celei mai bune. Elevul trebuie să înțeleagă că în rezolvarea unei probleme trebuie să
reia și să reexamineze întreaga problemă și să fie gata să reia dacă este cazul.
Aceste activități constau în:

12
o revederea planului de rezolvare – contribuie la formarea abilităților, a priceperilor și a
deprinderilor de a rezolva probleme;
o verificarea soluției – îi dă elevului încredere în forțele proprii, îi conferă siguranță și
constituie o deprindere de muncă intelectual ă.
o rezolvarea prin alte procedee – o problemă poate admite mai multe procedee de
rezolvare. Învățătorul poate solicita elevilor să rezolve în alt mod problema. După ce au
descoperit toate căile de rezolvare, acestea pot fi analizate și trebuie aleasă cea m ai bună. În
cadrul acestei activități se dezvoltă capacitatea de explorare/ investigare a elevilor, implicați într –
o activitate de descoperire.
o scrierea expresiei numerice corespunzătoare rezolvării problemei – reprezintă un pas
spre descoperirea tipurilor de probleme și le poate fi de folos elevilor în activitatea de compunere
a problemelor.
o rezolvarea de probleme asemănătoare – se poate realiza schimbând datele numerice,
mărimile ce intervin în problemă.
o complicarea problemei – constă în găsirea altor î ntrebări posibile, particularizări ale
soluției prin introducerea de date noi. Această activitate contribuie la dezvoltarea gândirii
divergente a elevilor, a inventivității și creativității acestora.
o compunerea unor probleme de același tip – dezvoltă elev ilor imaginația creatoare.

13
Bibliografie
1. Dan Ch., Chiosa S. (2008), Didactica matematicii, Craiova, Editura Universitaria
2. Dăncilă E, Dăncilă I., (2005), Matematică pentru învingători cls. III -IV, București,
Editura Erc Press
3. Dendane A., (2007), Skills Needed for Mathematical Problem Solving, 8 th anual
research conference, UAE University
4. Glavche M., Anevska K., Malceski R., (2014), Learning the Methodology of
mathematical problem solving in Elementary Education, Vol. 3, Issue 9
5. Muntean A. M., (2010), Valențe formative ale activității de rezolvare și compunere
de probleme în direcția cultivării creativității, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, ISBN 978 – 606 –
577 – 114 – 7
6. Neacșu I., Dascălu Gh., Radu H., Tăgirț V., Roșu M., Roma n M., Zafiu Gh. (1988),
Metodica predării matematicii la clasele I -IV, București, Editura Didactică și Pedagogică
7. Oprea I., Pamfil C., Radu R., Zăstroiu V., (2006), Noul dicționar universal al limbii
române , București, Editura Litera
8. Roșu M., (2006), Didactica matematicii în învățământul primar, Program universitar
de formare în domeniul Pedagogie pentru Învățământ Primar și Preșcolar adresat cadr elor
didactice din mediul rural, Ministerul Educației și Cercetării

14
CAPITOLUL II
METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR MATEMATICE

Metodele actuale de rezolvare a problemelor în învățământul primar se împart în două
categorii principale:
Metode generale sau fundamentale
Metode specifice sau particulare

2.1 Metode generale de rezolvare a problemelor
Metodele generale se utilizează în rezolvarea tuturor problemelor de matematică.
În cazul metodelor generale se disting:
o Metoda analitică
o Metoda sintetică
Utilizarea celor două metode are la bază operațiile de analiză și sinteză ale gândirii.
2.1.1 Metoda analitică
Metoda analitică este o metodă complexă, dificilă ce solicită un efort mintal mai mare al
elevilor.
În cazul acestei metode elevul trebuie să analizeze problema, privind -o în ansamblu, ca
mai apoi să o împartă în probleme simple, pe care s ă le așeze într -o ordine logică , astfel încât
rezolvarea lor să conducă la găsirea soluției finale pe care o cere întrebarea problemei.
Elevul trebuie să analizeze ce date sunt utile pentru a ajunge la ceea ce îi cere în final
problema dată, adică la într ebarea acesteia.
Pentru a rezolva o problemă prin metoda analitică, elevul trebuie să abordeze problema
plecând de la cerințe spre date.
Este important ca în analizarea unei probleme elevul să realizeze o schemă logică a
acesteia.
Exemplu:
La un magazin de jucării s -au adus păpuși în două zile diferite. În prima zi s -au adus 5
cutii a câte 15 păpuși , iar a doua zi 8 cutii a câte 18 păpuși . Care este valoarea totală a păpușilor,
știind că o păpușă costă 58 lei?

15
Analizarea problemei:
Pentru a afla valoarea t otală a păpușilor și cunoscând valoarea unei păpuși, ar trebui să se
afle numărul total al păpușilor aduse la magazin în cele două zile. În acest scop este necesar să se
afle câte păpuși s -au adus în I zi, apoi câte păpuși s -au adus a II -a zi. Numărul păpu șilor aduse
într-o zi se poate afla utilizând datele problemei, și anume înmulțind numărul cutiilor cu numărul
păpușilor dintr -o cutie.
Schema logică a problemei în urma analizării acesteia prin metoda analitică este
următoarea:

Figura 2.1 – Schema logică a problemei date – metoda analitică

Valoarea totală a
păpușilor
Numărul total de
păpuși
Valoarea unei păpuși
(58 lei)
Numărul păpușilor aduse în
prima zi
Numărul păpușilor aduse a
doua zi
Numărul cutiilor
aduse în prima zi
(5 cutii)
Numărul
păpușilor dintr -o
cutie
(15 păpuși)
Numărul cutiilor
aduse a doua zi
(8 cutii)
Numărul păpușilor
dintr -o cutie
(18 păpuși)

16
Pe baza acestor detalii stabilite analitic, se realizează un plan de rezolvare care cuprinde
enunțarea problemelor simple în care s -a împărțit problema dată și indică ordinea acestor
probleme în procesul de efectuare a calculelor.
Planul de rezolvare:
1. Care este numărul păpușilor aduse în prima zi?
5 x 15 = 75 (păpuși aduse în I zi)
2. Care este numărul păpușilor aduse a II -a zi?
8 x 18 = 144 (păpuși a II -a zi)
3. Care este numărul total al păpușilor aduse în cele două zile?
75 + 144 = 219 (păpuși în cele două zile)
4. Care este valoarea totală a păpuș ilor aduse la magazin?
58 lei x 219 = 12 702 lei (toate păpușile)
R: 12 702 lei

2.1.2 Metoda sintetică
A analiza o problemă prin metoda sintetică înseamnă că învățătorul trebuie să orienteze
gândirea elevilor spre datele problemei, pentru ca aceștia să le grupeze după legăturile dintre ele,
astfel încât să formuleze cu datele date toate problemele simple posibile și să așeze aceste
probleme într -o ordine logică astfel încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare
coincide cu întrebarea prob lemei date.
Pentru a rezolva o problemă prin metoda sintetică, elevul trebuie să abordeze problema
plecând de la date spre cerințe.
Metoda analitică este o metodă mai accesibilă, mai ușoară care nu necesită un efort de
gândire foarte mare din partea elevul ui.
Exemplu:
La un magazin de jucării s -au adus păpuși în două zile diferite. În prima zi s -au adus 5
cutii a câte 15 păpuși, iar a doua zi 8 cutii a câte 18 păpuși. Care este valoarea totală a păpușilor,
știind că o păpușă costă 58 lei?
Analizarea problem ei:
Această problemă se analizează prin metoda sintetică astfel:

17

Cunoscând numărul cutiilor aduse în prima zi și numărul păpușilor dintr -o cutie, se
află numărul păpușilor aduse în prima zi.
Cunoscând numărul cutiilor aduse a doua zi și numărul păpușilor dintr -o cutie, se află
numărul total al păpușilor aduse a doua zi.
După ce se află numărul păpușilor aduse în prima și a doua zi, se poate afla numărul
total de păpuși aduse în cele două zile.
Din datele problemei se cunoaște valoarea unei păpuși și cunosc ând numărul total al
păpușilor, se poate afla valoarea totală a acestora.
Schema logică a problemei în urma analizării acesteia prin metoda sintetică este
următoarea:

Figura 2.2 – Schema logică a problemei – metoda sintetică
Numărul cutiilor
aduse în I zi
(5 cutii)
Numărul
păpușilor dintr -o
cutie (15 păpuși)
Numărul cutiilor
aduse a II -a zi
(8 cutii)
Numărul
păpușilor dintr -o
cutie (18 păpuși)

Numărul păpușilor aduse în
prima zi
Numărul păpușilor aduse a
doua zi
Numărul total de păpuși
Valoarea unei păpuși
(58 lei)
Valoarea totală
a păpușilor

18
Planul de rezolvare:
Planul de rezolvare se realizează pe baza acestor detalii stabilite sintetic și este același cu
cel întocmit în cazul metodei analitice.
1. Care este numărul păpușilor aduse în prima zi?
5 x 15 = 75 (păpuși aduse în I zi)
2. Care este numărul p ăpușilor aduse a II -a zi?
8 x 18 = 144 (păpuși a II -a zi)
3. Care este numărul total al păpușilor aduse în cele două zile?
75 + 144 = 219 (păpuși în cele două zile)
4. Care este valoarea totală a păpușilor aduse la magazin?
58 lei x 219 = 12 702 lei (toate păpușile)
R: 12 702 lei
Întrucât cele două operații ale gândirii, analiza și sinteza, se găsesc într -o strânsă
conexiune și interdependență , metoda analitică nu apare și nu se poate prodece separat de metoda
sintetică, ele condiționându -se una pe cealaltă și realizându -se împreună. În analizarea unei
probleme intervin ambele operații ale procesului de gândire, însă în anumite cazuri una din ele
devine mai dominantă. Astfel, împărțirea unei probleme compuse în probleme simple este un
proces de analiză, însă realizarea planului de rezolvare, cu stabilirea ordinii problemelor simple,
este un proces de sinteză. De aceea, în unele cazuri, cele două metode apar sub denumirea de
metoda analitico -sintetică.

2.2 Metode particulare de rezolvare a problemelor
Metodele matematice particulare sunt mai variate decât cele generale și diferă de la o
categorie de probleme la alta.
Metodele particulare se aplică problemelor tipice prin care ”înțelegem acea construcție
matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui al goritm specific fiecărui tip” . (N.S.
Grozăvescu , 2017, p.4)
În ciclul primar, problemele tipice se pot rezolva prin următoarele metode particulare:
o Metoda figurativă sau grafică
o Metoda comparației
o Metoda falsei ipoteze

19
o Metoda mersului invers
o Metoda reducerii la unitate
o Metoda balanței
2.2.1 Metoda figurativă (grafică)
Metoda figurativă sau grafică ”constă în reprezentarea mărimilor necunoscute prin
diferite simboluri, evidențiind în această reprezentare și posibilele relații dintre mărimile
problemei ”. (M. Dudău, F. Dudău, T. Ștefănică, M. Oanea, R. Ștefănică, D. Oanea, 2006, p. 6)
Metoda figurativă este doarte des întâlnită în clasele primare în procesul de rezolvare a
problemelor, ușurând trecerea de la abstract la concret și invers, utilizând pentr u reprezentarea
mărimilor segmente de dreaptă, figuri geometrice sau scheme ale obiectelor despre care se
vorbește în problemă.
Astfel, pentru reprezentarea mărimilor necunoscute se pot întâlni:
o desene care reprezintă datele problemei (pentru clasele mici) ;
o figuri geometrice: segmente de dreaptă, triunghiuri, dreptunghiuri, pătrate, cercuri;
o semne convenționale;
o elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cercuri, etc.
o litere și combinații de litere.
Metoda figurativă ajută la realizarea schemei probleme i, la concentrarea asupra tuturor
condițiilor problemei.
Există două tipuri de probleme care pot fi rezolvate prin metoda figurativă: (N.C. Chiriac,
2017, p.177)
o Cu date sau mărimi discrete – mărimile pot fi numărate una câte una sau pot fi puse în
corespo ndență după anumite criterii transfigurate simbolic.
o Cu date sau mărimi continui – mărimile le figurăm prin segmente.
Etapele rezolvării problemelor prin metoda figurativă sunt următoarele: (M. Dudău, F.
Dudău, T. Ștefănică, M. Oanea, R. Ștefănică, D. Oanea, 2006, p. 7)
Cunoașterea sau înțelegerea enunțului problemei
În cadrul acestei etape sunt necesare mai multe activități:
o Citirea atentă a textului și însușirea acestuia de către elevi – în clasele mici de către
învățător, apoi în clasele mai mari de către elevi;
o Explicarea cuvintelor necunoscute;

20
o Scrierea schematică – se includ în schemă numai informații esențiale – de regulă
cantitative și care permit reconstituirea textului după schemă;
o Evidențierea informațiilor esențiale, a detaliilor, a relațiilo r dintre date.
G. Polya (1965) recomanda să se pornească întotdeauna de la enunțul problemei,
afirmând: ”Mergi înainte abia când acest enunț îți este atât de clar și de bine imprimat în minte
încât poți să nu te mai uiți la problemă pentru o clipă, fără te amă că ai să pierzi din vedere
ansamblul.”
Analiza enunțului și întocmirea unui plan de rezolvare:
Analizând relațiile dintre datele cunoscute și cele necunoscute, dintre ceea ce se dă și
ceea ce se cere, se descoperă idei privind aflarea datelor necunosc ute sau a unor date
intermediare ce pot conduce la aflarea acestora, și implicit se ajunge la întocmirea unui plan de
rezolvare a problemei.
Realizarea planului
Coincide cu rezolvarea propriu -zisă a problemei, prin alegerea și efectuarea operațiilor
coresp unzătoare, care se stabilesc în etapele anterioare, când citirea și însușirea textului,
identificarea legăturilor dintre date, întocmirea planului de rezolvare conduc spre calculele ce
trebuie efectuate.
Activități suplimentare
În această etapă se verifică soluțiile problemei, se compun alte probleme asemănătoare
celei rezolvate anterior, se stabilește raționamentul de rezolvare a acestei categorii de probleme.
Problemele tip specifice metodei figurative sunt următoarele:
o Probleme cu sumă și diferență – determinarea a două numere când se cunoaște suma
și diferența lor .
o Probleme cu sumă și cât – determinarea a două numere când se cunoaște suma și de
câte ori este mai mare unul decât celălalt (câtul) .
o Probleme cu diferență și cât – determinarea a două numere când se cunoaște
diferența și de câte ori este mai mare unul decât celălalt (câtul) .
o Probleme referitoare la împărțirea cu rest – determinarea a două numere când se
cunoaște suma sau diferența, câtul împărțirii celui mai mare la cel mai mic și restul aces tei
împărțiri .

21
o Probleme cu numere consecutive – determinarea unor numere consecutive când se
cunoaște suma sau diferența .
o Probleme de transfer – se evaluează diferențele ce apar între mărimi de același fel,
precum și modalitățile prin care ele pot fi creat e, schimbate sau anulate .
o Probleme cuprinzând evoluția în timp a unor mărimi – există valori despre evoluția în
timp a unor mărimi, evoluție ce necesită schimbarea, atât a valorilor pe care le iau aceste mărimi,
cât și a legăturilor dintre aceste valori.
o Probleme cu egalități date sau obținute – reprezentarea grafică pune în evidență
egalități, diferențe și modificările realizate, sugerând astfel modul de rezolvare a problemei.
o Probleme cu fracții – se evidențiază âmpărțirea unui întreg în unități fracțion are de un
anumit tip.
Probleme cu sumă și diferență
Suma numerelor a și b este 229. Să se afle cele două numere știind că primul număr este
cu 29 mai mare decât al doilea.
Rezolvare:
Se realizează scrierea schematică:
a + b = 229
a – b = 29
a = ? b = ?
Se reprezintă numerele prin segmente. Numărul mai mare (primul număr) va avea un
segment mai lung, partea care este în plus va fi desenată cu albastru .
a .
b 229

Se egalează cele două numere:
o prin scădere
a 29
b 229

Se îndepărtează surplusul, adică se scade din sumă 29.
229 – 29 = 200 (suma numerelor fără surplus)

22
Se observă că dacă ar lipsi surplusul de 29, cele două numere ar fi egale.
a
b 200

Se observă că după îndepărtarea surplusului rămân două segmente egale, ceea ce
înseamnă că al doilea număr se obține prin împărțire la 2:
200 : 2 = 100 (al doilea număr – b)
Primul număr se obține adăugând lui b valoarea surplusului:
100 + 29 = 129 (primul număr – a )
Se face verificarea soluțiilor problemei:
V: 129 + 100 = 229
Răspuns: numerele sunt: 129 și 100
o prin adunare:
a
b 229
29
Se adaugă lui b surplusul, adică se adaugă 29 sumei.
229 + 29 = 258 (suma numerelor cu surplus)
Se observă că adăugând numărului mai mic b 29, atunci va fi egal cu numărul mai mare
a.
a
b 258

Se observă că după adăugarea surplusului rămân două segmente egale, ceea ce înseamnă
că primul număr se obține prin împărțire la 2:
258 : 2 = 129 (a)
Al doilea număr se obține prin scăderea surplusului din primul număr.
129 – 29 = 100 (b)
Se face verificarea soluțiilor problemei:
V: 129 + 100 = 229
Răspuns: numerele sunt: 129 și 100

23

Probleme cu sumă și cât
Suma a două numere este 80. Să se afle numerele, știind că al doilea număr este de 3 ori
mai mare decât primul.
Rezolvare:
Se realizează scrierea schematică:
a + b = 80
b = 3 x a
a = ? b = ?
Se reprezintă numerele prin segmente. Se obsevă că primul număr este mai mic decât al
doilea. Pe al doilea îl vom desena de 3 ori mai mare.
a
b 80

Se observă că 4 segmente reprezintă suma 80, atunci un segment reprezintă un număr de
4 ori mai mic, adică primul număr a.
80 : 4 = 20 (a)
Din datele problemei știm că al doilea număr este de 3 ori mai m are decât primul:
3 x 20 = 60 (b)
Se face verificarea soluțiilor problemei:
V: 20 + 60 = 80
Răspuns: numerele sunt: 20 și 60
Probleme cu diferență și cât
Alina are lale le albe și roșii . Numărul lalelelor albe este de 4 ori mai mare decât cel al
lalelelor roșii, iar diferența este 24. Câte lalele albe are Alina? Dar roșii?
Rezolvare:
Se notează cu: a = numărul lalelelor roșii
b = numărul lalelelor albe
Se realizează scrierea schematică:
b – a = 24
b = 4 x a
a = ? b = ?

24
Se reprezintă numărul lalelelor roșii printr -un segment de dreaptă și numărul lalelelor
albe prin 4 segmente de aceeași lungime cu primul.

a
b

24
Se observă că 3 segmente reprezintă împreună numărul 24, atunci un segment reprezintă
un număr de 3 ori mai mic.
Aflăm astfel câte lale le roșii are Alina.
24 : 3 = 8 (lalele roșii)
Știind numărul lalelelor roșii putem să aflăm numărul lalelelor albe care sunt de 4 ori mai
multe.
8 x 4 = 32 (lalele albe)
Se face verificarea soluțiilor problemei:
V: 32 – 8 = 24
Răspuns: 8 (lalele roșii)
32 (lalele albe)
Probleme referitoare la împărțirea cu rest
Suma a două numere este 850. Câtul împărțirii numărului mai mare la cel mic este 5, iar
restul 4. Care sunt cele două numere?
Rezolvare:
Se realizează scrierea schematică:
a + b = 850
a = b x c + r = b x 5 + 4
a = ? b = ?
Se reprezintă numerele prin segmente. Al doilea număr fiind cel mai mic va avea un
segment, iar primul număr va fi reprezentat prin 5 segmente egale, care reprez intă câtul și un
segment albastru , care reprezintă restul.
Al doilea număr fiind mai mic va fi reprezentat primul:

25
b 850
a
4

Din figură se observă că dacă din suma 850 îl scădem pe 4, obținem 6 segmente egale,
adică de 6 ori b.
850 – 4 = 846 (6 x b)
Al doilea număr va fi suma obținută fără surplus împărțită la numărul de segmente
rămase:
846 : 6 = 141 (un segment, adică b)
Valoarea primului număr se află înlocuind pe b în relația:
a = b x 5 + 4 = 141 x 5 + 4 = 705 + 4 = 709
Se face verificarea soluțiilor problemei:
V: 709 + 141 = 850
Răspuns: numerele sunt: 7 09 și 141
Probleme cu numere consecutive
Suma a trei numere naturale consecutive este 69. Care sunt numerele?
Rezolvare:
Se realizează scrierea schematică:
a + b + c = 69
a, b, c – numere consecutive
b = a + 1
c = a + 2
a = ? b = ? c = ?
Se reprezintă numerele prin segmente:
a
b +1 69
c +1 +1

Se egalează numerele, scăzând din suma 69 surplusul de la al doilea și de la al treilea
număr.
69 – 1 – 2 = 66 (suma numerelor egale)

26
Se observă că îndepărtând surplusul celor două numere, se obțin 3 segmente egale, ceea
ce înseamnă că primul număr se obține prin împărțire la 3.
66 : 3 = 22 (a)
22 + 1 = 23 (b)
22 + 2 = 24 (c)
Se face verificarea soluțiilor problemei:
V: 22 + 23 + 24 = 69
Răspuns: numerele sunt: 22, 23, 24

Probleme de transfer
Pe două rafturi este așezat același număr de cărți. Dacă mutăm 5 cărți de pe primul raft
pe al doilea, a tunci pe primul raft vor fi de 2 ori mai puține cărți decât pe al doilea. Câte cărți
sunt pe cele două rafturi la un loc?
Rezolvare:
Se reprezintă grafic datele problemei:

.

5
Din figură se observă că, după mutarea cărților de pr primul raft pe al doilea, vor fi de 2
ori mai multe cărți pe al doilea raft decât pe primul și că, prin mutarea cărților, pe al doilea raft
vor fi 4 părți a câte 5 cărți, iar pe primul raft 2 părți a câte 5 cărți.
Planul de rezolvare:
1. Câte cărți vor fi pe al doilea raft după mutarea cărților de pe primul raft?
4 x 5 = 20 (cărți după mutarea pe al doilea raft)
2. Câte cărți sunt pe primul raft?
2 x 5 = 10 (cărți pe primul raft)
3. Câte cărți sunt pe cele două rafturi la un loc?
20 + 10 = 30 (cărți pe cele două rafturi)
Răspuns: 30 (cărți)

27

Probleme cuprinzând evoluția în timp a unor mărimi
Peste 5 ani Maria va avea 15 ani, iar mama sa 45. Aflați în urmă cu câți ani vârsta
Mariei a f ost de 6 ori mai mică decât vârsta mamei sale.
Rezolvare:
Se observă din datele problemei că peste 5 ani:
Mama: 45 ani
Maria: 15 ani
1. Câți ani are Maria în prezent?
15 – 5 = 10 (ani)
2. Câți ani are mama în prezent?
45 – 5 = 40 (ani)
3. Care este diferența de vârstă dintre cele două?
40 – 10 = 30 (ani)
Se reprezintă grafic datele problemei pentru trecut:
M
m
30 ani
Se observă că 5 segmente reprezintă împreună numărul 30, a tunci un segment reprezintă
un număr de 5 ori mai mic.
30 : 5 = 6 ani (Maria)
6 x 6 = 36 ani (mama)
4. Cu câți ani în urmă Maria avea 6 ani, iar mama ei 30 ani?
10 – 6 = 4 ani
Sau: 40 – 36 = 4 ani
Răspuns: 4 ani
Probleme cu egalități date sau obținute
Suma a trei numere este 152. Dacă scădem din primul număr 15, din al doilea 35 și din
al treilea număr 30, obținem numere egale. Care au fost numerele inițiale?
Rezolvare:
Se notează numerele inițiale cu: a = primul număr
b = al II -lea număr

28
c = al III -lea număr
Se notează numerele egale obținute cu: n
Se realizează scrierea schematică:
a + b + c = 152
a – 15 = n
b – 35 = n
c – 30 = n
a = ? b = ? c = ?
Se reprezintă numerele prin segmente:
n
a – 15
n
b ….. – 35 152
n
c – 30

Se egalează numerele, obținându -se astfel suma celor trei numere egale:
152 – 15 – 35 – 30 = 72 (suma numerelor egale)
Numerele egale se obțin prin împărțirea sumei obținute la 3:
72 : 3 = 24 (numerele egale obținute)
Numerele inițiale se obțin adunând numerelor egale ceea ce s -a scăzut inițial din fiecare
număr:
24 + 15 = 39 (primul număr)
24 + 35 = 59 (al doilea număr)
24 + 30 = 54 (al treilea număr)
Se face verificarea soluțiilor proble mei:
V: 39 + 59 + 54 = 152
Răspuns: numerele inițiale sunt: 39, 59, 54
Probleme cu fracții
Treimea unui număr este egală cu sfertul altui număr. Știind că suma celor două numere
este 196, să se afle numerele.
Rezolvare:

29
Se realizează scrierea schematică a problemei:
a + b = 196
a : 3 = b : 4
a = ? b = ?
Se reprezintă grafic treimea primului număr și sfertul celui de -al doilea număr:
a
treimea 196
b
sfertul
Din reprezentarea grafică se observă că reprezentând treimea primului număr și sfertul
celui de -al doilea se obțin 7 segmente egale.
1. Care este valoarea treimii primului număr sau a sfertului celui de -al doilea număr?
196 : 7 = 28 (treimea primului număr sau sfertul celui de -al doilea)
2. Care este valoarea primului număr?
28 x 3 = 84 (primul număr)
3. Care este valoarea celui de -al doilea număr?
28 x 4 = 112 (al doilea număr)
Răspuns: numerele sunt: 84, 112

2.2.2 Metoda comparației
Metoda comparației se folosește la problemele cu două sau mai multe mărimi
necunoscute între care se pot stabili tot atâtea relații câte necunoscute sunt și se cere aflarea
acestor mărimi necunoscute. ( I. Magdaș, 2017, p.55)
Relațiile ce se pot stabili între mărimile necunoscute se exprimă prin cuvinte, astfel încât
prima relație să fie scrisă pe un rând, a doua relație pe al doilea, valorile mărimilor de același fel
fiind scrise unele sub altele.
Determinarea fiecărei mărimi necunoscute implică eliminarea uneia dintre mărimi prin
înlocuire sau prin reducere, adică prin adunare sau scădere.
Etapele rezolvării problemelor prin metoda comparației sunt următoarele: (N.C.Chiriac,
2017, p.178)
Citirea ș i înțelegerea enunțului problemei;

30

Analiza enunțului și întocmirea unui plan de rezolvare
Analizând relațiile dintre mărimile necunoscute, se descoperă idei de rezolvare privind
aceste mărimi, se compară relațiile date între mărimi, și implicit se ajunge l a întocmirea planului
de rezolvare.
Realizarea planului de rezolvare
În această etapă sunt necesare mai multe activități:
o se realizează scrierea în mod convenabil pe două linii a datelor din enunțul problemei;
o se transformă relațiile – prin operații de înm ulțire, adunare, etc., pentru a obține
același termen de comparație, aceleași mărimi pentru două sau mai multe necunoscute;
o prin reducere sau înlocuire se elimină una sau mai multe mărimi necunoscute în așa
fel încât să rămână o singură necunoscută;
o se det ermină necunoscuta rămasă;
o se determină celelalte necunoscute.
Activități suplimentare:
În această etapă se realizează verificarea soluțiilor problemei, se compun alte probleme
asemănătoare celei rezolvate anterior.
Exemplul 1:
Elevii din clasa a IV -a au vândut în cadrul unui târg de 1 Martie, mărțișoare și felicitări.
Un set format din 3 mărțișoare și 2 felicitări s -a vândut cu 35 lei, iar un set format din 3
mărțișoare și 5 felicitări s -a vândut cu 56 lei. Câți lei costă un măr țișor și câți lei costă o
felicitare, știind că elevii au vândut mărțișoare și felicitări de același fel în ambele seturi?
Rezolvare:
Se observă din enunțul problemei că sunt:
o două mărimi: mărțișoare și felicitări
o două situații diferite: – 3 mărțișoare și 2 felicitări
– 3 mărțișoare și 5 felicitări
Planul de rezolvare:
Scrierea datelor problemei pe două linii:
3 mărțișoare ……………….. 2 felicitări ……………… 35 lei
3 mărțișoare ……………….. 5 felicitări ……………… 56 lei

31
Se compară datele de pe cele două linii și se observă că numărul mărțișoarelor este
același în cele două seturi, dar nu și același număr de felicitări.
Se observă că 3 mărțișoare și 5 felicitări s -au vândut cu un preț mai mare decât 3
mărțișoare și 2 felicit ări. Diferența dintre prețurile celor două seturi de pe cele două linii provine
din diferența de felicitări.
1. Câte felicitări sunt în plus în al doilea set față de primul set?
5 – 2 = 3 (felicitări)
2. Câți lei au costat 3 felicitări?
56 lei – 35 lei = 21 lei (3 felicitări)
3. Câți lei a costat o felicitare?
21 lei : 3 = 7 lei (o felicitare)
4. Câți lei au costat două felicitări?
7 lei x 2 = 14 lei (două felicitări)
5. Câți lei au costat 3 mărțișoare?
35 lei – 14 lei = 21 lei (3 mărțișoare)
6. Câți lei a costat un mărțișor?
21 lei : 3 = 7 lei (un mărțișor)
Răspuns: 7 lei (un mărțișor); 7 lei (o felicitare)
Verificarea soluțiilor problemei:
V: 3 x 7 lei + 2 x 7 lei = 21 lei + 14 lei = 35 lei
3 x 7 lei + 5 x 7 lei = 21 lei + 35 lei = 56 l ei

Exemplul 2:
Lucas și Andra își cumpără rechizite de același fel. Lucas cumpără 3 caiete și 5 pixuri,
plătind 24 lei, iar Andra cumpără 6 caiete și 8 pixuri, plătind 42 lei. Cât costă un caiet? Dar un
pix?
Rezolvare:
Se observă din enunțul problemei că sunt:
o două mărimi: caiete și pixuri
o două situații diferite: – 3 caiete și 5 pixuri
– 6 caiete și 8 pixuri

32
Planul de rezolvare:
o Scrierea datelor problemei pe două rânduri:
3 caiete …………… 5 pixuri ………………. 24 lei
6 caiete …………… 8 pixuri ……………….. 42 lei
Se compară datele de pe cele două linii și se constată că numărul caietelor, dar și al
pixurilor de pe prima linie este diferit de cel de pe a doua linie.
o Egalarea numărului de caiete:
Se egalează numărul caietelor, gân dind astfel: dacă se înmulțește numărul caietelor de pe
prima linie cu 2, se observă că va fi un număr egal de caiete cu cel de pe a doua linie.
2 x 3 = 6 2 x 5 = 10 2 x 24 = 48
6 caiete ……………….. …. 10 pixuri …………………………. 48 lei
6 caiete …………………… 8 pixuri ………………………….. 42 lei
Se compară datele de pe cele două linii și se observă că numărul caietelor este același , iar
numărul pixurilor este di ferit.
1. Câte pixuri sunt în plus?
10 – 8 = 2 (pixuri)
2. Cât costă două pixuri?
48 lei – 42 lei = 6 lei (două pixuri)
3. Cât costă un pix?
6 lei : 2 = 3 lei (un pix)
4. Cât costă 8 pixuri ?
3 lei x 8 = 24 lei (8 pixuri)
5. Cât costă 6 caiete?
42 lei – 24 lei = 18 lei (6 caiete)
6. Cât costă un caiet?
18 lei : 6 = 3 lei (un caiet)
Răspuns: 3 lei (un caiet), 3 lei (un pix)
o Verificarea soluțiilor problemei:
V: 3 x 3 lei + 5 x 3 lei = 9 lei + 15 lei = 24 lei
6 x 3 lei + 8 x 3 lei = 18 lei + 24 lei = 42 lei

33
2.2.3 Metoda mersului invers
Prin metoda mersului invers se rezolvă anumite probleme în care valoarea necunoscută
care se cere a fi aflată se află la începutul enunțului, iar datele problemei depind unele de altele
succesiv.
Această metodă de rezolvare se numește a mer sului invers, deoarece operațiile de
rezolvare se reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început. Deci,
nu numai enunțul trebuie urmărit de la sfârșit spre început, ci și operațiile care se fac pentru
rezolvare sunt invers e celor din problemă.
În cazul anumit or probleme, metoda mersului invers este combinată cu cea figurativă,
rezolvarea acestora făcându -se mai ușor dacă se folosește și un model grafic al problemei.
Etapele rezolvării problemelor prin metoda mersului invers sunt următoarele:
1. Citirea și înțelegerea enunțului problemei
2. Identificarea tipului de problemă: care se rezolvă printr -un exercițiu cu o necunoscută
sau probleme care se rezolvă cu ajutorul graficelor
3. Realizarea schemei problemei: scrierea exercițiului cu o necunoscută sau realizarea
schemei grafice
4. Rezolvarea problemei pornind de la ultima informație
5. Verificarea soluției problemei
Exemplul 1:
Un tren a plecat din Urziceni spre București. În prima gară au coborât 10 călători și au
urcat 5, la a doua gară au coborât 35 și au urcat 15, în a treia gară au mai urcat 5 călători și au
coborât 7. La București erau 315 de călători în tren. Câți călători au fost î n tren la plecarea din
Urziceni ?
Rezolvare:
o Se notează cu n numărul călătorilor care au fost la început în tren, apoi se scrie
expresia numerică.
o Se rezolvă exercițiul de la sfârșit către început:
n – 10 + 5 – 35 + 15 + 5 – 7 = 315
n – 10 + 5 – 35 + 15 + 5 = 315 + 7
n – 10 + 5 – 35 + 15 + 5 = 322
n – 10 + 5 – 35 + 15 = 322 – 5

34
n – 10 + 5 – 35 + 15 = 317
n – 10 + 5 – 35 = 317 – 15
n – 10 + 5 – 35 = 302
n – 10 + 5 = 302 + 35
n – 10 + 5 = 337
n – 10 = 337 – 5
n – 10 = 332
n = 332 + 10
n = 342 (călători)
R: 342 (călători)
Exemplul 2:
Într-o librărie s -au vândut în trei zile un număr de cărți. În prima zi s -a vândut o treime
din numărul de cărți, a doua zi un sfert din ce a rămas , iar a treia zi restul de 36 de cărți.
Câte cărți s -au vândut în cele trei zile?
Rezolvare:
 Se notează datele problemei astfel:
a = numărul total de cărți
b = numărul cărților vândute în prima zi
c = numărul cărților vândute a doua zi
r1 = restul după vânzarea din prima zi
r2 = restul după vânzarea din a doua zi, adică numărul cărților vândute a treia zi
 Se reprezintă prin segmente datele problemei:
a
b ( I zi )
r1
c ( a II -a zi)
r2 ( a III -a zi)
36
Din reprezentarea grafică se observă următoarele:
o că r 2 reprezintă numărul 36 . Dacă 3 segmente egale reprezintă numărul 35, atunci un
segment reprezintă un număr de trei ori mai mic decât 36;

35
o că r 1 reprezintă un număr de 4 ori mai mare decât numărul cărților vândute a doua zi;
o că r 1 reprezintă două treimi din numărul total de cărți;
Dacă două treimi reprezintă numărul cărților rămase după vânzarea din prima zi, atunci o
treime reprezintă un număr de două ori mai mic.
Dacă o treime din numărul total de cărți reprezintă numărul cărțilo r vândute în prima zi,
atunci 3 treimi reprezintă un număr de trei ori mai mare.
 Se rezolvă problema pornind de la ultima informație:
1. Câte cărți s -au vândut a doua zi?
36 : 3 = 12 (cărți a doua zi)
2. Câte cărți au rămas după vânzarea din prima zi?
12 x 4 = 48 (cărți) – restul 1
3. Câte cărți s -au vândut în prima zi?
48 : 2 = 24 (cărți în prima zi)
4. Câte cărți s -au vândut în cele trei zile?
24 + 12 + 36 = 72 (cărți s -au vândut)
Răspuns: 72 (cărți)
 Se verifică soluția problemei:
(36 + 12) : 2 x 3 = 48 : 2 x 3 = 24 x 3 = 72
72 : 3 + (72 : 3 x 2 : 4) + 36 = 24 + 12 + 36 = 72

2.2.4 Metoda reducerii la unitate
” Metoda reducerii la unitate se aplică acelor probleme în care pentru anumite valori
date mărimilor este cunoscută o valoare totală și se cere aflarea unei valori totale pentru alte
valori date mărimilor.” (I. Magdaș, 2017, p. 51)
O problemă în care se dau două mărimi se rezolvă cu metoda reducerii la unitate. Pentru
una dintre mărimi se dau două valori, cealaltă mărime urmând a fi aflată. Pentru a afla valoarea
acesteia, se calculează mai întâi valoarea unei unități din prima mărime.
Metoda reducerii la unitate este foarte accesibilă elevilor, singura dificultate fiind să
stabilească felul dependenței între mărimi: direct proporționale (de câte or i crește sau scade o
mărime de atâtea ori crește sau scade cealaltă mărime) sau invers proporționale (de câte ori
crește sau scade o mărime de atâtea ori scade sau crește cealaltă mărime).

36
Etapele rezolvării problemelor prin metoda reducerii la unitate sun t următoarele:
1. Citirea și însușirea enunțului problemei de către elevi
2. Scrierea schematică a datelor problemei
3. Reducerea la unitate pe rând a mărimilor care se modifică în cerință, calculând
valoarea necunoscută
4. Reducerea pe rând a mărimilor la valorile ce rute, calculând valoarea necunoscută.
Exemplu:
Anda cumpără 5 tricouri și plătește 45 lei. Află cât ar plăti pentru 13 tricouri de același
fel.
Rezolvare:
Scrierea schematică a datelor problemei:
5 tricouri …………………….. 45 lei
13 tricouri …………………….. ? lei

5 tricouri …………………………. 45 lei
1 tricou …………………………… 45 lei : 5 = 9 lei
13 tricouri ……………………….. 9 lei x 13 = 117 lei
Răspuns: 117 lei (13 tricouri)

2.2.5 Metoda balanței
Metoda balanței se aplică problemelor în care valoarea necunoscută care se cere se poate
afla prin rezolvarea unei ecuații.
Cu o balanță se poate afla orice valoare necunoscută, atrăgând atenția asupra modelului
balanței în rezolvarea ecuațiilor.
Alături de problemele de cântărire, balanța permite intuirea pașilor spre conceptul de
ecuație, adică de aflare a unui termen sau factor necunoscut.
Metoda balanței se bazează pe următoarele principii:
 Echilibrul balanței rămâne neschimbat dacă se adaugă sau se ia aceeași cantitate pe
fiecare taler.
 Echilibrul balanței rămâne neschimbat dacă se multiplică sau se reduce de același
număr de ori cantitățile de pe fiecare taler.

37
Etapele rezolvării problemelor cu ajutorul metodei balanței sunt următoarele:
1. Citirea și însușirea textului de către elevi
2. Identificarea procedeului pentru aflarea valorii necunoscute
3. Realizarea schemei problemei: scrierea exercițiului cu o necunoscută
4. Rezolvarea problemei
5. Verificarea soluției problemei
Exemplu 1:

3 500 + a = 4 600 3 500 + a – 3 500 = 4 600 – 3 500
a = 1 100
V: 3 500 + 1 100 = 4 600

Exemplul 2:

b – 12 456 = 8 237 b – 12 456 + 12 456 = 8 237 + 12 456
b = 20 693
b – 12 456 = 8 237
b = 8 237 + 12 456
b = 20 693
V: 20 693 – 12 456 = 8 237

a
– 12456
8237
12456

38
Bibliografie:
1. Ana D., Ana M.L., Logel D., Logel – Stroescu E., (2005), Metodica predării
matematicii la clasele I – IV, Pitești, Editura Carminis
2. Chiriac N.C., (2017), Metode specifice de rezolvare a problemelor de aritmetică,
Târgu – Jiu, Annals of the ”Constantin Brâncuși” University, Letter and Social Science Series,
Supplement 3/2017
3. Dăncilă e., Dăncilă I., (2005), Matematica pentru învingători clasele III – IV,
București, Editura Erc Press
4. Dudău M , Dudău F., Ștefănică T., Oanea M., Ștefănică R., Oanea D., (2006),
Aproape totul despre metoda figurativă , Pitești, Editura Carminis
5. Grozăvescu N.S (2017), Metode de rezolvare a problemelor aritmetice tipice
6. Ivășchescu N., Pătrașcu I., (2014), Matematica pentru clasele 3 – 4, Pitești, Editura
Carminis
7. Magdaș I., (2010), Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar –
actualitate și perspective, Cluj – Napoca, Editura Presa Universitară Clujeană
8. Magdaș I., (2017), Probleme pentru pregătirea did actică matematică în învățământul
primar. Ghid pentru studenți , Cluj – Napoca, Presa Universitară Clujeană
9. Neacșu I., Gălățeanu M., Predoi P., Dumitrescu V., (2001), Didactica matematicii în
învățământul primar, Craiova, Editura Aius
10. Polya G., (1965), Cum rezolvăm o problemă , București, Editura Științifică
11. Purcaru M.A.P., (2008), Metoda activităților matematice și a aritmeticii , Brașov,
Editura Universității Transilvania

39
CAPITOLUL III
METODOLOGIA CERCETĂRII PRIVIND TEMA ”METODE ACTUALE ÎN
PROBLEMATICA ARITMETICII ÎN CICLUL PRIMAR”

3.1 Coordonate generale ale cercetării
Lucrarea de licență a fost realizată în anul universitar 2019 – 2020, începând cu luna
octombrie a anului 2019 și finalizându -se în luna mai a anului 2020, cercetarea desfășurân du-se
cu acordul directorului unității de învățământ, a învățătoarei de la clasele studiate și a părinților
elevilor implicați.
Cercetarea pornește de la încadrarea temei ”Metode actuale în problematica aritmeticii
în ciclul primar” într-un spațiu teoretic , și ajunge la cercetarea experimentală în care se
evidențiază importanța, gradul de dificultate pentru elevi în funcție de nivelul clasei și avantajele
utilizării metodelor de rezolvare a problemelor în învățământul primar.
Rezultatul cercetărilor urmăreș te formarea unei imagini cât mai realiste asupra integrării
metodelor de rezolvare a problemelor în procesul didactic de predare -învățare -evaluare și a
efectelor acestora asupra performanțelor elevilor.
Tema cercetării: ”Metode actuale în problematica arit meticii în ciclul primar”
Perioada de desfășurare a experimentului:
1. Experimentul pedagogic – s-a desfășurat în anul școlar 2019 -2020, în semestrul al II-
lea, Școala Gimnazială nr. 2, orașul Voluntari, județul Ilfov.
La cercetare a experimentală au participat 50 de elevi din două clase de niveluri diferite,
clasele a III -a și a IV -a.
Experimentul s -a bazat pe metoda testelor în care itemii au fost de tip rezolvare de
probleme și în care am evidențiat metodele de rezolvare a problemelor studiate în cl asele a III -a
și a IV -a.
Datele furnizate de experiment au fost prelucrate și interpretate cu ajutorul tehnicilor
statistico -matematice: tabele cu rezultatele elevilor la testele de evaluare, reprezentarea grafică a
acestor date, dar și interpretarea ches tionarului aplicat.

40
Ipoteza cercetării:
Presupunem că metodele de rezolvare a problemelor sunt apreciate și aprofundate diferit
de către elevi în funcție de nivelul de vârstă al acestora , astfel că unele metode sunt înțelese și
aplicate mai ușor decât a ltele.
Prin utilizarea metodelor de rezolvare a problemelor în procesul de predare -învățare –
evaluare, învățătorul oferă posibilitatea elevilor din ciclul primar de a -și dezvolta gândirea prin
oprațiile logice de analiză, sinteză , comparație, abstractizare și generalizare.
Stabilirea variabilelor:
2. Variabila independentă – este reprezentată de tematica propusă privind implicațiile
aplicării metodelor de rezolvare a problemelor prin teste de evaluare
3. Variabila dependentă – urmărește nivelul rezultatelor școl are ale elevilor în urma
aplicării testelor privind rezolvarea de probleme.
Obiectivele cercetării:
4. elaborarea unor probleme de matematică în funcție de nivelul de vârstă al elevilor;
5. analizarea etapelor demersului procesului de rezolvare a problemelor;
6. evaluarea eficienței metodelor de rezolvare a problemelor matematice prin aplica rea
acestora în teste de evaluare;
7. studierea modificării gradului de dificultate al problemelor din testele de evaluare
odată cu creșterea nivelului de vârstă al elevilor.
Desf ășurarea experimentului:
8. Experimentul pedagogic – etapa evaluării la clasele a III -a și a IV -a
9. Grupul experimental: 50 de elevi de la clasele a III -a și a IV -a (clasa a III -a – 24 de
elevi; clasa a IV -a – 26 de elevi)
Cercetarea experimentală a constat în elaborarea unor teste de evaluare (Anexele 1 și 2 )
care conțin probleme ce pot fi rezolvate prin me todele de rezolvare învățate de către elevi.
Metodele de rezolvare a problemelor matematice învățate de către elevi și aplicate în
testele de evaluare elabor ate sunt: metoda figurativă, metoda mersului invers, metoda reduceri i la
unitate, metoda analitico -sintetică și metoda balanței. Toate metodele au fost predate de către
învățătoare și însușite de către elevi pe parcursul anului școlar 20 19-2020 și evaluate în semestrul
al II-lea.

41
Testele au fost aplicate pe fiecare nivel, clasele a III -a și a IV -a, pentru a studia creșterea
gradului de dificultate al problemelor în funcție de nivelul de vârstă, gradul de înțelegere a
metodelor de rezolvare aplicate de către elevi, precum și gradul în care ei și -au însușit
raționamentele de rezolvare a problemelor prin aceste metode.
Rezultatele testelor aplicate oferă o imagine a nivelului de achiziții privind rezolvarea de
probleme matematice ale elevilor de la clasa a III -a și clasa a IV -a. Dintre elevii evaluați, unii
doar au identificat tipul de problemă și metoda de rezolvare și au rezolvat doar anumite
probleme, alții au fost capabili să identifice tipul și metoda de rezolvare a problemei, să analizeze
și să aplice cuno ștințele dobândite, rezolvând toate problemele date. Majoritatea elevilor au
identificat tipul problemelor date și raționamentul de rezolvare a acestora, au respectat și aplicat
corect etapele fiecărei metode de rezolvare.
Calificativele obținute de elevi în urma aplicării testelor de evaluare au fost trecute în
tabelele 3.1 și 3.2.
Interpretarea procentuală a rezultatelor a fost realizată sub fo rmă de grafice reprezentate
în figurile 3.1 și 3.3.

3.2 Prezentarea și interpretarea rezultatelor obținute

Tabelul 3.1 – Calificativele obținute de elevii clasei a III -a

Nr. total de
elevi
Calificativele obținute

24
FOARTE BINE BINE SUFICIENT INSUFICIENT

12
8
4
0

42

Figura 3.1 – Situația procentuală – Calificative Test – clasa a III -a
Centralizarea calificativelor obținute de elevii clasei a III -a a fost reprezentată grafic în
figura 3.2.
La testul aplicat la disciplina Matematică, clasa a III -a, bazat pe rezolvarea de probleme
prin metodele studiate, elevii au obținut în proporție de 50% calificativ ul Foarte bine, în
proporție de 33,34 % calificati vul Bine și în proporție de 16,66 % calificativul Suficient. Se
observă că niciunul dintre elevii evaluați nu a obținut calificativul Insuficient.

Figura 3.2 – Centralizarea calificativelor obț inute de elevii clase a III -a la testul aplicat
50%
33.34% 16.66% Calificative/procentual
FB
B
S
I
Nr.eleviNr.total elevi 0510152025
FBBSI12
8
4
0 24 24 24 24
Nr.elevi
Nr.total
elevi

43
Tabelul 3.2 – Calificativele obținute de elevii clasei a IV -a
Nr. total de
elevi
Calificativele obținute

26
FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT
INSUFICIENT

12
6
8
0

Figura 3.3 – Situația procentuală – Calificative test – clasa a IV -a
Datele din tabelul 3.2 au fost reprezentate procentual în figura 3.3 și grafic în figura 3.4.
Din datele centralizate în tabelul 3.2, se observă că din toți elevii evaluați la clasa a IV -a,
niciunul nu a obținut calificativ ul Insuficient, aproximativ jumătate din numărul de elevi
obținând calificativul Foarte bine, adică un procent de 46,15 %.
Din reprezentarea grafică a datelor din tabel, figura 3.4, se observă că numărul elevilor
care au obținut calificativul Bine este mai mic decât al elevilor care au obținut calificativul
Suficient.

46,15 %
23,08 % 30,77 % Calificative/procentual
FB
B
S
I

44

Figura 3.4 – Centralizarea calificatifelor obținute de elevii clasei a IV -a la testul aplicat

Din centralizarea datelor obținute după corectarea testelor aplicate elevilor din clasele a
III-a și a IV -a se constată că niciun elev nu a obținut calificativul Insuficient. Aproximativ 50%
din elevii din cele două clase au obținut calificativul Foarte bine.

Tabelul 3.3 – Calificativele obținute la testele aplicate la disciplina Matematică – clasele a III -a, a IV -a

CALIFICATIVE

CLASA a III -a
CLASA a IV -a
Nr. elevi Procente Nr. elevi Procente
Foarte bine 12 50% 12 46,15 %
Bine 8 16,66% 6 23,08 %
Suficient 4 33,34% 8 30,77 %
Insuficient 0 0% 0 0%
Nr. eleviNr. total de elevi
051015202530
FB B S I12
6 8
0 26 26 26 26
Nr. elevi
Nr. total de elevi

45

Figura 3.5 – Centralizarea rezultatelor obținute la test – clasa a III -a și clasa a IV -a
În figura 3.5, centralizarea rezultatelor obținute la testul aplicat la Matematică la clasele a
III-a și a IV -a, se observă o scădere procentuală a numărului de copii care au luat Foarte Bine și
Bine cu cât nivelul de vârstă al elevilor crește.
În continuare, în tabelele 3.4 și 3.5, am centralizat rezultatele obținute de toți elevii din
cele două clase, a III -a și a IV-a, pentru fiecare item tip rezolvare de problemă, și implicit pentru
fiecare metodă de rezolvare. Aceste date au fost reprezentat e grafic în figurile 3.6 și 3.7.

Tabelul 3.4 – Centralizarea rezultatelor obținute pentru toți itemii – clasa a III -a
Calificative I1
Metoda
analitico –
sintetică I2
Metoda
balanței I3
Metoda
reducerii la
unitate I4
Metoda
mersului
invers I5
Metoda
figurativă
Foarte bine 18
(75%) 16
(66,67 %) 14
(58,33 %) 12
(50%) 10
(41,67 %)
Bine 4
(16,66%) 5
(20,83%) 6
(25%) 6
(25%) 5
(20,83%)
Suficient 2 3 3 5 6
FBBS
024681012
Clasa a III-a – 24 elevi
Clasa a IV-a – 26 elevi12
50% 12
46,15% 8
16,66%
6
23,08% 4
33,34% 8
30,77%
FB
B
S

46
(8,34 %) (12,5%) (12,5%) (20,83%) (25%)
Insuficient 0 0 1
(4,17 %) 1
(4,17 %) 3
(12,5%)

Figura 3.6 – Centralizarea rezultatelor obținute la testul aplicat pentru toții itemii tip rezolvare de
probleme – clasa a III -a
Din reprezentarea grafică se observă că majoritatea elevilor din clasă, 70% din numărul
total de elevi, au rezolvat itemul 1, adică problema prin metoda analitico -sintetică, ceea ce
înseamnă că această metodă a fost înțeleasă și aplicată mai ușor decât celelal te. Un număr de 10
elevi, adică un procent de 41,67% din numărul total de elevi din clasa a III -a, au rezolvat corect
problema prin metoda figurativă și un număr de 3 elevi (12,5%) au luat la acest item calificativul
Insuficient , ceea ce înseamnă că rațion amentul de rezolvare al acestei metode a fost mai greu de
înțeles pentru elevi.
În cazul celorlalți itemi, mai mult de jumătate din numărul total de elevi (66,67% – I2 –
metoda balanței, 58,33 % – I3 – metoda reducerii la unitate , 50% – I4 – metoda mersului invers ) au
luat calificativul FB, ceea ce înseamnă că aceste metode sunt mai accesibile elevilor din clasa a
III-a.
024681012141618
I1 I2 I3 I4 I518
16
14
12
10
4 5 6 6
5
2 3 3 5 6
0 0 1 1 3 FB
B
S
I

47
Tabelul 3.5 – Centralizarea rezultatelor obținute pentru toți itemii – clasa a IV -a
Calificative I1
Metoda
analitico –
sintetică I2
Metoda
balanței I3
Metoda
reducerii la
unitate I4
Metoda
mersului
invers I5
Metoda
figurativă
Foarte bine 16
(61,55 %) 14
(53,85%) 12
(46,16 %) 10
(38,46 %) 8
(30,77%)
Bine 4
(15,38%) 5
(19,23%) 6
(23,07 %) 9
(34,62 %) 10
(38,46%)
Suficient 6
(23,07%) 7
(26,92%) 6
(23,07 %) 4
(15,38 %) 2
(7,7%)
Insuficient 0
0
2
(7,7%) 3
(11,54 %) 6
(23,07%)

Figura 3.7 – Centralizarea rezultatelor obținute la testul aplicat pentru toți itemii tip rezolvare de
probleme – clasa a IV -a
Din centralizarea rezultatelor obținute la testul aplicat la disciplina Matematică privind
metodele de rezolvare a problemelor , clasa a IV -a, constatăm că 16 elevi (61,55%) au luat
calificativul FB la primul item, problema rezolvată prin metoda analitico -sintetică fiind rezolvată
0246810121416
I1 I2 I3 I4 I516
14
12
10
8
4 5 6 9 10
6 7
6
4
2
0 0 2 3 6 FB
B
S
I

48
de mai mult de jumătate din numărul de elevi din clasă, ceea ce înseamnă că această metodă este
mai accesibilă elevilor. Itemul 5, adică problema rezolvată prin metoda grafică, a fost rezolvat
de 8 elevi, adică un procent de 30,77% d in numărul total de elevi , iar itemul 4 , metoda mersului
invers, a fost rezolvat de 10 elevi (38,46%), ceea ce înseamnă că aceste metode sunt mai greu de
înțeles și de aplicat de către aceștia.
În tabelel e următoare 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10 sunt centraliza te rezultatele obținute de elevii
din clasele a III -a și a IV -a pentru fiecare item și implicit pentru fieca re metodă de rezolvare
aplicată. Reprezentarea grafică a acestor rezultate este redată în figurile 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12.
Tabelul 3.6 – Centralizarea rezultatelor obținute pentru I 1 – metoda analitico -sintetică
clasa a III -a, clasa a IV -a

Calificative

Clasa a III -a
Clasa a IV -a
Foarte bine 18 (75%) 16 (61,55%)
Bine 4 (16,66%) 4 (15,38%)
Suficient 2 (8,34%) 6 (23,07%)
Insuficient 0 0

Figura 3.8 – Rezultatele obținute de elevi pentru I 1 – metoda analitico – sintetică
024681012141618
Clasa a III-a Clasa a IV-aFB
B
S
I

49
Din centralizarea rezultatelor pentru primul item, metoda analitico -sintetică, reiese că un
număr de 18 (75%), respectiv 16 (61,55%) elevi au obținut calificativul Foarte bine, ceea ce
înseamnă că raționamentul de rezolvare al ecestei metode a fost înțeles de majoritatea elevilor
din cele două clase. Constatăm că numărul elevilor din clasa a I V-a care au obținut calific ativul
Foarte bine este mai mic decât numărul elevilor din clasa a III -a, problema având un grad de
dificultate mai mare în testul aplicat în clasa a IV -a, dar niciun elev din cele două clase nu a
obținut calificativul Insuficien t.
Tabelul 3.7 – Centralizarea rezultatelor obținute pentru I 2 – metoda balanței
clasa a III -a, clasa a IV -a

Calificative

Clasa a III -a
Clasa a IV -a
Foarte bine 16 (66,67%) 14 (53,85%)
Bine 5 (20,83%) 5 (19,23%)
Suficient 3 (12,5%) 7 (26,92%)
Insuficient 0 0

Figura 3.9 – Rezultatele obținute de elevi pentru I 2 – metoda balanței
0246810121416
Clasa a III-a Clasa a IV-aFB
B
S
I

50
Din reprezentarea grafică a rezultatelor obținute de elevii din cele două clase pentru
itemul al II -lea, metoda balanței, se observă că numărul elevilor care au rezolvat corect și
complet această problemă este mai mare de 50%, ceea ce înseamnă că metoda de rezolvare a fost
înțeleasă de majoritatea elevilor. Procentual observăm că numărul elevilor care au obținut FB
scade o dată cu creșterea nivelului de vârstă, pr oblemele complicându -se în clasa a IV -a față de
clasa a III -a.
Tabelul 3.8 – Centralizarea rezultatelor obținute pentru I 3 – metoda reducerii la unitate
clasa a III -a, clasa a IV -a

Calificative

Clasa a III -a
Clasa a IV -a
Foarte bine 14 (58,33 %) 12 (46,16 %)
Bine 6 (25%) 6 (23,07 %)
Suficient 3 (12,5%) 6 (23,07 %)
Insuficient 1 (4,17 %) 2 (7,7%)

Figura 3.10 – Rezultate le obținute de elevi pentru I 3 – metoda reducerii la unitate
02468101214
Clasa a III-a Clasa a IV-aFB
B
S
I

51
În cazul lui I 3, metoda reducerii la unitate, din centralizarea datelor, constatăm că
numărul elevilor care au obținut FB este mai mic decât în cazul primilor doi itemi, deci această
metodă este mai greu de aplicat de către elevi. Observăm că un elev de la clasa a III -a și doi elevi
de la clasa a IV -a au luat calificativul Insuficient, ceea ce înseamnă că nu au înțeles
raționamentul de rezolvare al acestei metode.
Tabelul 3.9 – Centralizarea rezultatelor obținute pentru I 4 – metoda mersului invers
clasa a III -a, clasa a I V-a

Calificative

Clasa a III -a
Clasa a IV -a
Foarte bine 12 (50%) 10 (38,46%)
Bine 6 (25%) 9 (34,62%)
Suficient 5 (20,83) 4 (15,38%)
Insuficient 1 (4,17%) 3 (11,54%)

Figura 3.11 – Rezultate le obținute de elevi pentru I 4 – metoda mersului invers
024681012
Clasa a III-a Clasa a IV-aFB
B
S
I

52
Tabelul 3.10 – Centralizarea rezultatelor obținute pentru I 5 – metoda figurativă
Clasa a III -a și clasa a IV -a

Calificative

Clasa a III -a
Clasa a IV -a
Foarte bine 10 (41,67%) 8 (41,67%)
Bine 5 (20,83%) 10 (20,83%)
Suficient 6 (25%) 2 (7,7%)
Insuficient 3 (12,5) 6 (23,07 %)

Figura 3.12 – Rezultatele obținute de elevi pentru I 5 – metoda figurativă
Din rezultatele centralizate în tabelele 3.9 și 3.10, în cazul itemilor 4 (metoda mersului
invers) și 5 (metoda figurativă), observăm că o dată cu creșterea nivelului de vârstă al clasei,
scade numărul elevilor care au obținut calificativul Foarte bine și crește numărul elevilor care au
012345678910
Clasa a III-a Clasa a IV-aFB
B
S
I

53
obținut calificativul Insuficient, problemele având un grad de dificultate mai mare în testul
aplicat pentru clasa a IV -a decât cel aplicat elevilor din clasa a III -a.
Din datele din tabele, dar și din reprezentările grafice putem observa o scădere a
numărului de elevi care au rezolvat corect și complet problemele în cazul metodei mersului
invers și a metodei grafice comparativ cu metodele anterioare, aceste metode fiind mai greu de
înțeles și raționamentul mai greu de însuși t de către elevi.
Testele aplicate la cele două clase au fost elaborate astfel încât să punem în evidență
metodele de rezolvare a problemelor, dar și gradul lor de înțelegere de către elevi, dificultatea
problemelor crescând o dată cu nivelul de vârstă al clasei.
Testele au fost corectate în funcție de descriptorii de performanță stabiliți pentru fiecare
item.

Bibliografie:
*** Programa școlară pentru disciplina Matematică , clasele a III -a, a IV -a, București,
2014

54
CONCLUZII GENERALE

Prin cercetarea experimentală desfășurată la clasa a III -a și clasa a IV -a din cadrul Școlii
gimnaziale nr. 2, Voluntari, am demonstrat că există un grad diferit de înțelegere și de aplicare a
raționamentelor fiecărei metode de rezolvare a problemelor.
Prin rez olvarea de probleme ca și metodă de evaluare învățătoarea poate să -și dea seama
de capacitatea intelectuală a fiecărui elev, de cunoștințele matematice însușite, le solicită acestora
inteligența, gândirea, formându -le priceperi și deprinderi de a analiza s ituația dată de problemă și
a descoperii raționamentul metodei de rezolvare a acesteia.
Analiza rezultatelor testelor aplicate la cele două clase, oferă o imagine a nivelului de
cunoștințe matematice ale elevilor, privind metodele de rezolvare a problemelo r. În urma acestei
analize, am constatat că unele metode au fost înțelese mai ușor și mai rapid și anume metoda
analitico -sintetică, metoda balanței și metoda reducerii la unitate, în timp ce metoda mersului
invers și metoda figurativă nu au fost înțelese în totalitate de către elevi, aceștia nereușind să
identifice raționamentul de rezolvare a problemelor prin aceste metode.
Majoritatea elevilor au reușit să identifice tipul de problemă și metoda de rezolvare, au
reușit să aplice cunoștințele matematice dobândite anterior într -un context nou, să analizeze și să
sintetizeze aceste cunoștințe, să rezolve probleme cu un înalt grad de dificultate.
În urma cercetării testelor am constatat că aproximativ 50% dintre elevii evaluați au
identificat și aplicat core ct metodele de rezolvare a problemelor, niciun elev nu a luat
calificativul Insuficient.
Din centralizările rezultatelor obținute pentru fiecare item, am observat că metodele
analitico -sintetică, balanței și reducerii la unitate sunt mai accesibile elevilo r, fiind mai bine
înțelese de către aceștia. Itemii 4 și 5 au fost rezolvați de aproximativ 40% dintre elevi, ceea ce
înseamnă că metoda mersului invers și metoda figurativă sunt mai greu de aplicat pentru elevi,
deoarece presupun operații mintale mai comp lexe și nu au același grad de aplicabilitate ca
celelalte metode evidențiate în itemii 1, 2 și 3. În cazul celor două metode se observă o scădere a
numărului de elevi care au obținut calificativul Foarte bine (aproximativ 40%), dar și o creștere a
numărulu i de elevi care au obținut calificativul Insuficient.
Rezultatele obținute în urma testelor confirmă ipoteza de la care am pornit și arată că
obiectivele cercetării au fost realizate, indicând faptul că numărul elevilor care au obținut

55
calificativul Foarte bine a scăzut, iar numărul elevilor care au obți nut Bine și Suficient a crescut
o dată cu creșterea nivelului de vârstă al clasei, și implicit a gradului de dificultate al problemelor
din testele de evaluare aplicate la disciplina Matematică privind meto dele de rez olvare a
problemelor matematice.

56
Bibliografie:
1. Ana D., Ana M.L., Logel D., Logel – Stroescu E., (2005), Metodica predării
matematicii la clasele I – IV, Pitești, Editura Carminis
2. Chiriac N.C., (2017), Metode specifice de rezolvare a problemelor de aritmetică,
Târgu – Jiu, Annals of the ”Constantin Brâncuși” University, Letter and Social Science Series,
Supplement 3/2017
3. Dan Ch., Chiosa S. (2008), Didactica matematicii, Craiova, Editura Universitaria
4. Dăncilă E, Dăncilă I., (2005), Matematică pentru învingători cls. III -IV, București,
Editura Erc Press
5. Dendane A., (2007), Skills Needed for Mathematical Problem Solving, 8 th anual
research conference, UAE University
6. Dudău M, Dudău F., Ștefănică T., Oanea M., Ștefănică R., Oanea D., (2006),
Aproape totul despre metoda figurativă , Pitești, Editura Carminis
7. Glavche M., Anevska K., Malceski R., (2014), Learning the Methodology of
mathematical problem solving in Elementary Education, Vol. 3, Issue 9
8. Grozăvescu N.S (2017), Metode de rezolvare a problemelor aritmetice tipice
9. Ivășchescu N., Pătrașcu I., (2014), Matematica pentru clasele 3 – 4, Pitești, Editura
Carminis
10. Magdaș I., (2010), Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar –
actualitate și perspective, Cluj – Napoca, Editura Presa Universitară Clujeană
11. Magdaș I., (2017), Probleme pentru pregătirea didactică matematică în învățământul
primar. Ghid pentru studenți , Cluj – Napoca, Presa Universitară Clujeană
12. Muntean A. M., (2010), Valențe formative ale activității de rezolvare și compunere
de probleme în direcția cultivării creativității, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, ISBN 978 – 606 –
577 – 114 – 7
13. Neacșu I., Dascălu Gh., Radu H., Tăgirț V., Roșu M., Roman M., Zafiu Gh. (1988),
Metodica predării matematicii la c lasele I -IV, București, Editura Didactică și Pedagogică
14. Neacșu I., Gălățeanu M., Predoi P., Dumitrescu V., (2001), Didactica matematicii în
învățământul primar, Craiova, Editura Aius
15. Oprea I., Pamfil C., Radu R., Zăstroiu V., (2006), Noul dicționar univers al al limbii
române , București, Editura Litera

57
16. Polya G., (1965), Cum rezolvăm o problemă , București, Editura Științifică
17. Purcaru M.A.P., (2008), Metoda activităților matematice și a aritmeticii , Brașov,
Editura Universității Transilvania
18. Roșu M., (2006), Didactica matematicii în învățământul primar, Program universitar
de formare în domeniul Pedagogie pentru Învățământ Primar și Preșcolar adresat cadrelor
didactice din mediul rural, Ministerul Educației și Cercetării
19. *** Programa școlară pentru disciplina Matematică , clasele a III -a, a IV -a,
București, 2014

58
ANEXE
Anexa 1 – Testul de evaluare aplicat clasei a III -a
Nume și prenume: Data:
Clasa a III -a

Test de evaluare

1. Într-o florărie s -au adus 10 cutii a câte 20 garoafe și 15 cutii a câte 30 trandafiri. Câte
flori sunt acum în florărie dacă știm că s -au vândut 275?

2. Află numărul necunoscut prin metoda balanței.
1 725 + a = 5 785

3. Mama cumpără 3 kg de mere și plătește 15 lei. Află cât ar plăti mama pentru 12 kg de
mere de același fel.

4. Dana se gândește la un număr pe care îl adună cu 750, apoi scade 125 și obține 815.
La ce număr s -a gândit Dana?

5. Suma numerelor x și y este 125. Să se afle cele două numere ș tiind că al doilea număr
este cu 35 mai mic decât primul.

59
Obiective:
1. Să identifice și să analizeze datele dintr -o problemă dată
2. Să identifice metoda de rezolvare și raționamentul pentru fiecare problemă dată
3. Să rezolve probleme cu mai multe operații
4. Să afle numărul necunoscut
5. Să efecueze corect adunări, scăderi, înmulțiri și împărțiri
6. Să rezolve probleme folosind simboluri, numere sau reprezentări grafice
7. Să verifice soluțiile problemei în urma rezolvării acesteia

Descriptorii de performanță :
Itemul Calificative
Foarte bine Bine Suficient Insuficient
I1
(metoda
analitico –
sintetică) Rezolvă corect
problema cu plan
de rezolvare Rezolvă
problema cu plan
de rezolvare dar
greșește la
calcule Rezolvă parțial
problema Nu rezolvă
problema sau o
rezolvă greșit
I2
(metoda
balanței) Află numărul
necunoscut
aplicând corect
metoda balanței Rezolvă
operațiile dar
greșește la
calcule Face operațiile
necorespunzătoare
și greșește
rezultatul Nu rezolvă
problema
I3
(metoda
reducerii la
unitate) Identific ă și
aplică metoda
rezolvând corect
problema Identifică
metoda, rezolvă
problema, dar
greșește la
calcule Rezolvă incorect
operațiile Nu rezolvă
problema
I4
(metoda
mersului invers) Rezolvă corect
problema aflând
numărul la care
s-a gândit Dana Aplică
raționamentul de
rezolvare, dar
greșește la
calcule Rezolvă parțial
problema Nu rezolvă
corect problema
sau deloc

60
I5
(metoda
figurativă) Rezolvă corect
problema prin
reprezentare
grafică Rezolvă
problema dar
fără reprezentare
grafică Rezolvă problema
dar greșește la
calcule Nu rezolvă
corect problema
sau deloc

61
Anexa 2 – Testul de evaluare aplicat clasei a IV -a
Nume și prenume: Data:
Clasa a IV -a

Test de evaluare

1. La o excursie organizată de școală, au participat 152 de elevi. Pentru fiecare elev s -a
plătit un bilet la muzeu de 15 lei și un bilet la Zoo de 25 de lei. Cât a cheltuit școala pentru
această excursie?

2. Află numărul necunoscut folosind metoda balanței:
m – 16 256 = 8 192

3. Pentru 15 rochii, Ana a plătit 25 350 lei. Cât ar plăti Ana pentru 8 rochii de același fel?

4. La un magazin de îmbrăcăminte s -au vândut în trei zile un număr de fuste. În prima zi
s-a vândut o treime din numărul de fuste, a doua zi un sfert din ce a rămas, iar a treia zi restul de
22 de fuste. Câte fuste s -au vândut în cele trei zile?

5. Suma a două numere este 4595. Câtul împărțirii primului număr la al doilea este 8, iar
restul 5. Care sunt cele două numere?

62
Obiective:
1. Să identifice și să analizeze datele dintr -o problemă dată
2. Să identifice metoda de rezolvare și raționamentul pentru fiecare problemă dată
3. Să rezolve probleme cu mai multe operații
4. Să afle numărul necunoscut
5. Să rezolve probleme folosind simboluri, numere sau reprezentări grafice
6. Să verifice soluțiile problemei în urma rezolvării acesteia

Descriptorii de performanță:
Itemul Calificative
Foarte bine Bine Suficient Insuficient
I1
(metoda
analitico –
sintetică) Rezolvă corect
problema cu plan
de rezolvare Rezolvă
problema cu plan
de rezolvare dar
greșește la
calcule Rezolvă parțial
problema Nu rezolvă
problema sau o
rezolvă greșit
I2
(metoda
balanței) Află numărul
necunoscut
aplicând corect
metoda balanței Rezolvă
operațiile d ar
greșește la
calcule Face operațiile
necorespunzătoare
și greșește
rezultatul Nu rezolvă
problema
I3
(metoda
reducerii la
unitate) Identifică și
aplică metoda
rezolvând corect
problema Identifică
metoda, rezolvă
problema, dar
greșește la
calcule Rezolv ă incorect
operațiile Nu rezolvă
problema
I4
(metoda
mersului invers) Rezolvă corect
problema aflând
numărul fustelor
vândute în cele
trei zile Aplică
raționamentul de
rezolvare, dar
greșește la
calcule Rezolvă parțial
problema Nu rezolvă
corect problema
sau deloc
I5 Rezolvă corect Rezolvă Rezolvă problema Nu rezolvă

63
(metoda
figurativă) problema prin
reprezentare
grafică problema dar
fără reprezentare
grafică dar greșește la
calcule corect problema
sau deloc