SPECIALIZAREA PEDAGOGIA ÎNVĂȚĂMÂNTULUI PRIMAR ȘI PREȘCOLAR [617813]

UNIVERSITATEA OVIDIUS DIN CONSTANȚA
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚE ALE EDUCAȚIEI
SPECIALIZAREA PEDAGOGIA ÎNVĂȚĂMÂNTULUI PRIMAR ȘI PREȘCOLAR

STRATEGII DIDACTICE PENTRU
ÎNȚELEGEREA METODEI GRAFICE
ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR
DE ARITMETICĂ

2
CUPRINS
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………….. 4
1. Justificarea temei alese ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 4
2. Prezentarea capitolelor lucrării ………………………….. ………………………….. ………………………. 5
Capitolul I Caracteristici psihopedagogice ale vârstei școlare mici ………………………….. ………………………… 7
1.1 Caracterizarea generala a vârstei -personalitate -implicaț ii ………………………….. ………………. 7
1.1.1. Cunoașterea și caracterizarea psihologică a personalității ………………………….. ……………….. 9
1.1.2. Cunoașterea personalității elevilor ………………………….. ………………………….. …………………. 10
1.2 Dezvoltarea cognitivă ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 13
1.2.1 Senzațiile și percepțiile ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 15
1.2.2 Reprezentarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 16
1.2.3 Gândirea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 17
1.2.4 Memoria și atenția ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 18
1.2.5 Învățarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 20
1.2.6 Imaginația ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 21
1.2.7 Creativita tea ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 22
1.2.8 Limbajul ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 24
1.3. Particularitățile procesului de învățământ și implicațiile psihopedagogice ………………….. 25
Capito lul II Metoda grafică de rezolvare a problemelor de aritmetică ………………………….. ………………….. 32
2.1. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică ………………………….. ………………………… 32
2.1.1. Metoda Grafică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 34
2.1.2. Metoda Figurativă ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 36
2.1.3. Metoda drumului (mersului) invers ………………………….. ………………………….. ……………….. 38
2.2. Tipuri de probeleme care se pot rezolva prin metoda grafică ………………………….. ………… 40
2.2.1. Probleme de sumă și diferență ………………………….. ………………………….. ………………………. 40
2.2.2. Probleme de sumă și raport ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 42
2.2.3. Probleme de sumă și produs ………………………….. ………………………….. ………………………….. 43
2.2.4. Probleme de diferență și raport ………………………….. ………………………….. ……………………… 45
2.2.5. Probleme de dublu raport ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 46
2.2.6. Probleme în care intervin fracții dintr -un întreg ………………………….. ………………………….. . 47
2.2.7. Probleme cu sumă, cât și rest ………………………….. ………………………….. ………………………… 48

3
2.2.8. Probleme cu diferență, cât și rest ………………………….. ………………………….. …………………… 49
2.2.9. Probleme cu numere consecutive ………………………….. ………………………….. …………………… 51
2.2.10. Probleme cu numere necunoscute ………………………….. ………………………….. ………………….. 52
Capitolul III Tema de cercetare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 54
3.1. Motivația cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 55
3.2. Scopul cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 56
3.5. Obiectivele cercetării și ipoteza de lucru ………………………….. ………………………….. ……….. 56
3.6. Metodele utilizate în cercetare ………………………….. ………………………….. ……………………… 56
3.7. Prezentarea experimentului ………………………….. ………………………….. ………………………….. 57
3.7.1. Evaluarea inițială a elevilor ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 57
3.7.2. Activitatea experimentală ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 60
Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea. ………………………….. ………….. 73
3.8. Aplicarea limbajului grafic ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 74
Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea. ………………………….. ………….. 77
Învățătorul reaminteșt e etapele rezolvării problemelor prin metoda grafică : ………………………….. …………. 79
Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea. ………………………….. ………….. 79
Învățătorul prezintă următorul model grafic pe baza căruia elevii trtebuie să compună probleme care să se
rezolve prin metoda gr afică …………………………… ………………………….. ………………………….. …………………… 81
Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea. ………………………….. ………….. 81
3.9. Evaluarea finală ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 82
CONCLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 89
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 90
ANEXE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 93

4
Introducere
Încă din primii ani de viață , copilul încearcă să -și rezolve singur situațiile ,,de viață” cu
care se întâlnește. El descoperă, (își) pune întrebări, creează ,,probleme” și încearcă să -și rezolve
,,problemele”.
A ezita, a acționa, a greși, a clasifica, a alege, a evalua efectele, a căuta modalități atunci
când intră în impas, iată situațiile în care este ( și trebuie pus) un copil spre a -l pregăti pentru
viață.
Ajuns la școală copilul trebuie să intuiască, să descopere, să cunoască situațiile în care
cunoștințele lui dobândite la or a de matematică se pot aplica și el trebuie să se convingă treptat
că posibilitățile de a rezolva o problemă de viață sunt mult mai mari , dacă gândește problema în
termeni matematici.
Pentru micul elev situațiile de viață prind sens matematic, iar lecțiil e de matematică
capătă sens în activitățile de cunoaștere a lumii.
Tocmai de aceea noile concepții pedagogice privind studiul matematicii în școala primară
sunt axate pe o optică constructivistă: A face matematică înseamnă a rezolva probleme!
Pedagogul matematician G. POLYA considera că scopul predări imatematicii de a-i face
pe tineri să gândească precum și mijlocul îl reprezintă rezolvarea de către elevi a problemelor
care cer un anumit grad de creație,de nerutinare. (Polya, 1971, p. 15)
Iar R. Gagne arată că rezolvarea de probleme poate fi privită ca un proces prin care elevul
descoperă problema ca o combinație de reguli învățate anterior și o poate aplica pentru a ajunge
la o soluție referitoare la o nouă situație problematică (Gagne, 1975, p. 18)
1. Justificarea temei alese
Am ales această temă pentru a mă documenta și a intra în fascinanta lume a rezolvării
problemelor prin figurarea datelor sub forma de linii, figuri sau diferite ale forme grafice , ca
după aceea să fiu capabilă să invit pe elevi ca să le -o prezint.

5
Metoda grafică de rezolvare a problelelor de matematică este ,,Hercule ” al matematicii .
Problemele care s e rezolvă prin această metodă, elevii mai mari le rezolvă cu ajutorul ecuațiilor
sau a sistemelor de ecuații.
Pentru ca elevi i să perceapă matematica ca fiind grea sau neprietenoasă trebuie să
descompunem problemele în etape cu cerințe cât mai simple, să l e dăm posibilitatea de a se ajuta
de desene cât mai simple, cum ar fi segmentele pentru a le facilita rezolvarea problemelor de
matematică.
Așa cum atunci când au învățat să numere s -au ajutat de bețișoare, bile sau alte obiecte și
acum la rezolvarea probl emelor de matematică putem să le punem la dispoziție mijloace și
metode pentru a simplifica operațiile matematice și pentru a înțelege modul de rezolvare a
problemelor și pentru a -și forma un mod de gândire propriu care să -i ajute în acest sens.
De asemenea, având în vedere marea disponibilitate a noii generații pentru însușirea
tehnicii moderne și abilitățile pe care le au lucrul cu aceasta le putem pune la dispoziție mici și
simple programe care să -i ajute să folo sească metoda grafică pentru rezolvarea operațiilor
matematice și ale problemelor care se pretează la rezolvare prin această metodă.
La finalul lucrării voi prezenta câteva sugestii pentru utilizarea metodei grafice pentru
rezolvarea exercițiilor de matema tică la care elevii vor fi foarte receptivi.
2. Prezentarea capitolelor lucrării
Rezolvarea problemelor de aritmetică este una dintre cele mai importante părți ale
aritmeticii și a constituit multă vreme obiectul principal al acesteia, având în vedere faptul că se
pot rezolva prin această metodă probleme de o complexitate sporită care depășește vârsta micii
școlarități .
Lucrarea de față încearcă să prezinte problematica rezolvării ecuațiilor algebrice
diofantice punând accent pe metodele de rezolvare a ecuații lor algebice în mulțimea numerelor
întregi .

6
Pentru început, în Capitolul 1 am considerat necesar a face o prezentare a caracteristici lor
psihopedagogice ale vârstei școlare mici .
Capitolul 2 Strategii didactice pentru înțelegerea metodei grafice în rezolvarea
problemelor de aritmetică ,face o trecere în revistă a tipurilor de metode de rezolvare a
problemelor de aritmetică pentru clasele I -IV, apoi a tipurilor de probleme care se pot rezolva
prin metoda grafică, cu exemple și moduri de abordare .
Capit olul 3 Tema de cercetare cu o prezentarea metodologiei cercetării, a obiectivelor
cercetării și ipoteza de lucru, metodele utilizate în cercetare, evaluarea inițială și evaluarea finală
a elevilor din cele două eșantioane: experimental și de control .
Am trecut apoi la Bibliografie s ursele bibliografice din care m -am documentat.
Lucrarea se încheie cu Capitolul Anexe care cuprinde materiale folosite la clasă , precum
și metode și mijloace de atragere a elevilor pentru învățarea matematicii .

7
Capitolul I Caracteristici psihopedagogice ale vârst ei școlare mici
1.1 Caracterizarea generala a v ârstei -personalitate -implicații
Etapa micii școlarități este perioada când situațiile repetate duc la constituirea de mijloace
de gândire mai operative în care devin active o serie de deprinderi, priceperi de a stabili legături
între cunoștințe, precum și deprinderi, priceperi de a valorifica cunoștințele. În intimitatea
activității de învățare, unele obișnuințe, deprinderi și priceperi intelectuale – în calități
psihoindividuale specif ice.”(Cosmovici, A., Iacob, L., 1999, p. 18)
Perioada de vârstă 6/7 – 10/11 ani este cea a școlarului mic. Începutul vieții școlare este și
începutul unei activități de învățare, copilului cerându -i-se un efort intelectual considerabil și o
mare rezistență fizică. Educația organizată din școală, tutela egalitară asupra copiilor, aprecierile
obiective, standardizate, alfabetizarea copilului influențează particularitățile sale psihologice de
vârstă și individuale.
Copilul are formate deprinderile necesare școlarității, dispune de suficiente capacități de
concentrare, de un limbaj destul de dezvoltat. Copilul crește în înălțime și greutate, se dezvoltă
sistemul său osos și muscular, iar sistemul nervos se desăvârșeșt e sub raport funcțional. Între cele
două sisteme de semnalizare predomină acum primul (senzații, percepții). Se trăiește foarte mult
în acest plan și mai puțin în cel reflexiv.
Activitatea dominantă este învățătura. Jocul continuă să ocupe un rol importan t, dar prin
învățătură copilul pătrunde în cultura elementară. Treptat, controlul părinților sau al altor
persoane asupra studiului se reduce, sporind rolul autocontrolului.
Percepția este foarte vie, dar superficială și incompletă. Atenția este labilă și involuntară.
Astfel, pauzele de deconcentrare pe parcursul unei lecții vor fi absolut indispensabile. Atracția
spre obiectele și fenomenele concrete, intuitive, care se reflectă în senzații, percepții și
reprezentări, pretind utilizarea unui limbaj de ase menea intuitiv, în explicarea diverselor
probleme muzicale și instrumentale, abstractizările fiind încă inoportune.

8
Datorită capacității reduse de analiză și sinteză a copilului, o importanță majoră revine
demonstrației practice a profesorului de instrume nt. Pentru a fi intuită corect problema,
demonstrația va trebui să fie de asemenea plastică, corectă și în consecință sugestivă.
Memoria este preponderent mecanică, vie, dar instabilă. Gândirea este promptă, dar
superficială, pripită. Pe plan afectiv, copi lul prezintă capacitatea de a avea sentimente vii, dar
încă instabile. Voința este puțin tenace, fiind supusă impulsurilor, capriciilor.
În viața copilului de 6-7 ani, se întâmplă un mare eveniment: intrarea în școală. Acest
moment este amplu pregătit încă din păerioada preșcolară în planul intereselor copilului, al
preocupărilor sale, al întregii dezvoltări psihice, ca și pe planul unor forme de deprinderi
elementare de muncă și de activitate organizată.
Copilul de 7 ani dispune de mijloace de investigație remarcabile, de o curiozitate
organizată. Îl interesează din ce sunt formate obiectele -părțile lor componente -la ce folosec
acestea. Interesele cognitive se manifestă și prin interesul pentru cărți, pentru literatura tipărită.
Mai mult decât atât, școlarul mic dispune de posibilitatea de a recunoaște în textul cărților sale
literele cunoscute.
Perioada micii școlarități devine perioada în care copilul pentru prima dată trebuie să aibă
inițiativă, simț de răspundere, perioada în care i se crează noi condiții de viață și activitate ți noi
perspective în dezvoltarea psihică.
Perioada micii școlarități se caracterizează prin alfabetizarea copilului , prin învățarea
citit-scrisului, a socotitului elementar, a cunoștințelor generale de framatică, istorie, geografie,
științele naturii, literatură etc. În primul an de școală, elevul începe să sesizeze și să aprecieze
(relativ) calitatea activității sale școlare în comparație cu a celorlalți copii.
Ca o primă consecință, viața și activitate a școlară vor stimula creșterea independenței
micului școlar. El va manifesta independență în muncă prin organizarea unor deprinderi și
abilități de muncă organizată, își va elabora un program, se va supune în mod voluntar acestui
program, va deveni astfel un mic organizator al timpului de care dispune. (Șchiopu, 1963, pg.
280, 283)

9
1.1.1. Cunoașterea și caracterizarea psihologică a personalității
Componentele psihologice ale personalității sunt:
-Temperament
-Caracter
-Aptitudini
-Creativitate
Termenul „personalitate” (lat. persona = masca actorului)
Conceptul de personalitate prezintă două sensuri principale:
-din punct de vedere psihologic – orice om este o personalitate, o unicitate, o
individualizare irepetabilă
– din punct de vedere valoric – un individ reprezintă o personalitate, înțeleasă ca valoare
socială asigurată de performanțele socio -profesionale deosebite.
S(Stimul) – P(Persoană/Personalitate) – R(Răspuns)
Dezvoltarea ființei umane are loc pe trei planuri interdependente:
-Biologic – cel al dezvoltării biologice, transformările fizice, fiziologice, biochimice care
au loc la nivelul organismului.
-Psihologic – în care se formează și se dezvoltă procesele, funcțiile, și însușirile psihice,
personalitatea în ansamblul ei.
-Social – transformări care au loc la nivelul conduitei și personalității în raport cu mediul
social și cultural.
Personalitate = definire operațională, ansamblu de trăsături fizice, fiziologice , și
psihologice care asigură adaptarea unică și nuanțată a individului la mediul său.
Personalitatea este un produs bio-psiho -social, se dezvoltă în cursul ontogenezei
(personalitate – persoană – individualitate – individ) reprezentând relația dintre individ,
individualitate, persoană si personalitate .(Zorgo, 1980, p. 32)

10
1.1.2. Cunoaș terea personalit ății elevilor
Cunoașterea psihologică a copilului este pentru educatoare, înv ățători, institutori și
profesori un deziderat major ce privește înțelegerea personalității acestuia, care în prima treime a
vieții este în curs de structurare. De altfel, psihologii urmăresc să descrie diferențele
interindividuale evidente și să le sintetizeze într -o viziune integratoare asu pra personalității, pe
baza căreia să explice stilul personal al fiecărui individ de a interacționa în cadrul mediului
social.
Privite din punct de vedere psihopedagogic, cunoașterea și evaluarea personalității
copilului, precum și a progresului educativ realizat de acesta, constituie demersuri științifice în
activitatea cadrului didactic, preocupat de aplicarea principiului trată rii individuale a elevilor în
procesul instructiv -educativ. Pe această bază științifică, infinitele diferențe individuale pot fi
reduse, prin intermediul unor metode statistico -matematice, la un set de dimensiuni, factori sau
scale, ușor de gestionat, care puse la îndemâna educatorilor, oferă răspunsuri la problematica
ridicată de acțiunea educativă:
– delimitarea domeniului și al obiectului cunoașterii în relația cadru didactic -elev;
– specificul modalităților și instrumentelor de cunoaștere și evaluare psihologică a
progresului educativ;
– specificul psihologic al stadiilor devenirii ontogenetice a copilului;
– înregistrarea datelor culese în procesul instructiveducativ și evaluarea acestora în urma
unei prelucrări statistice și calificative a datelor;
– accelerarea const rucției personalității elevului.
Cunoscând particularitățile individualității elevilor cu care lucrează, educatorul își va
putea alege cele mai eficiente metode de predate și intervenție psihopedagogică eficientă.
De asemenea, o bună cunoaștere psihologică a elevilor îi va oferi cadrului didactic
posibilitatea ca, pe de o parte, s ă identifice cauzele ce conduc la manifestarea dificultăților de
învățare în cazul unor elevi, iar pe de altă parte să valorizeze disponibilitățile psihice ale elevilor
capabili de performanțe școlare superioare.

11
În ultimă instanță, cunoașterea temeinică a psihologiei elevului îi permite cadrului
didactic să realizeze obiectivele consilierii psihopedagogice și a unei eficiente orientări școlare și
profesionale. „Dacă în problemele de care ne ocupăm a cunoaște înseamnă a înțelege, a cunoaște
pentru a îndrum a copilul înseamnă însă mult mai mult, înseamnă un diagnostic, dar și un
prognostic. În general, posibilitatea de a lucra cu un om implică cunoașterea modalităților sale de
reacție, aceasta în vederea alegerii celor mai eficiente procedee de stabilire a re lației, ceea ce în
plan practic înseamnă a ști să dozezi solic itările, reacțiile, atitudinile ”(Holban, 1978, pg. 20 -21)
Analizând procesul cunoașterii și evaluării psihologice a elevilor M. Golu identifică
următoarele a specte pe care educatorul trbuie să le aibă în vedere:
– unitatea circular -dinamică dintre planul subiectivintern („sistemul psihic”) și planul
obictiv -extern („sistemul comportamental”);
– conexiunea și inetrdependența dintre toate componentele sistemul ui psihic;
– valoarea instrumental -adaptivă a psihicului ca factor de mediere și reglare a întregului
mod de raportare și interacțiune a omului cu lumea externă;
– interacțiunea factorilor ereditari și a celor de mediu în determinarea modului de
elaborar e a structurilor psihocomportamentale la nivel individual;
– unitatea individual -tipic-general în structura personalității umane;
– legitatea și ireductibiliatea diferențelor în plan interindividual și intergrupal;
– prevalența factorilor socioculturali asupra factorilor mediului natural în condiționarea
profilului personalității umane. (Golu, 1997, p. 13)
A cunoa ște elevul înseamn ă a-ți da seama de interesele, înclina țiile și aptitudinile sale, de
volumul cuno ștințelor, de nivelul proceselor intelectuale, afective și voli ționale, al motiva țiilor și
aspira țiilor sale, precum și de valoarea sa caracterial –temperamental ă, înseamn ă a defini
personalitatea elevului prin elementele ei caracteristice. Mai înseamn ă a surprinde nivelul
dezvoltă rii sale fizice în conformitate cu cerin țele v ârstei, care poate influen ța favorabil sau
nefavorabil formarea personalit ății .(Suteu, 1978, p. 27)
Cunoa șterea personalit ății elevului nu se realizeaza u șor și nici într-o perioad ă scurt ă de
timp. Ea presupune parcurgerea unor etape ierarhice, situa ții diferite, observarea continu ă a
creșterii ș i dezvolt ării individului, precum și a atitudinilor sale, în urma unor evenimente ap ărute

12
sau provocate. Cu alte cuvinte este vorba de adoptarea unei viziuni longitudinale , care
const ăîn observarea și examinarea evolu ției aptitudinilor, capacit ăților și performan țelor elevilor
de-a lungul școlarit ătii(Tomșa, 1999, p. 37)
Învățarea și alfabetizarea constituie condițiile majore implicate în viața de fiecare zi a
copilului de după 6 ani. Această condiție nouă de existență acționează profund asupra
personalității lui. Efectele directe asupra dezvoltării psihice sunt secundate de numeroase efecte
indirecte ale vieții școlare. Prin alfabetizarea copilului, acesta câștigă potențial instrumente
valide de apropiere de toate domeniile culturii și științei contemporane și a celei ce s -a dezvol tat
în decursul timpului.
Lecțiile de aritmetică sunt preferate la 7 -8 ani față de lecțiile de științe ale naturii, ulterior
și cele de științe ale naturi încep să fie privite cu interes. După 9 ani încep să prezinte interes
cărțile cu povești, cu acțiuni palpitante. Tot în perioada micii școlarități se constituie un adevărat
delir de colecționare. Copiii încep să facă mici colecții de ilustrate, timbre, plante, frunze, insecte
etc. Sertarele și buzunarele lor devin pline de tot felul de lucruri. Această ex presie a personalității
(„colecționarea”) pune în evidență, după Gesell, cerința internă de reunire și clasificare. Micile
colecțiile permit detașarea caracteristicilor diferențiale ale obiectelor asemănătoare. De altfel,
copiii devin spre clasele III și I V mici geografi, botaniști, zoologi, ceea ce constituie un indiciu
de evidentă expansiune și decentrare care se instituie în universul copilului pe plan mintal și
afectiv. Orientarea gândirii spre concretul complex detașat de percepția imediată se însoțeșt e de
operații logice, ce substituie intuiția neelaborată de la nivelul perceptual, sau cel puțin o supune
unei ordini logice.
O altă caracteristică pregnantă a acestei perioade este aceea a unei mai mari atenții
acordate jocului cu reguli în colectiv. Regu la devine fenomen central, un fel de certitudine ce -l
ajută în adaptare și pe care o consideră reper ca atare. Regula se detașează însă de condiționarea
singulară a jocului. Ea se manifestă extrem de organizatoare pentru conduita de colectiv a
copilului. S e poate presupune că această organizare de dependență de reguli, uneori excesivă (la
nivelul copiilor de clasele II și III) exprimă o formă de restructurare a disponibilităților
personalității, în care crește emanciparea de dependență față de regulile fami liei și subordonarea

13
acestora cerințelor școlare. Nu sunt puține situațiile în care copilul impune acasă reguli noi
motivate de faptul că „așa a spus doamna învățătoare la școală”.
Se consideră că fiecare persoană posedă o hartă sau imagine mintală a ambia nței – mai
precisă a spațiului personal care se referă la zonele în care se află toate obiectele personale într -o
ordine ce permite utilizarea lor fără efort și găsirea lor rapidă. Acest plan este cel mai clar al
imaginii mintale. Aceste dimensiuni se form ează în perioada școlară mică. Spațiul personal se
structurează spre 10 ani și este impregnat de expansiunea personalității. Una din expresiile
acestui fapt este organizarea de adevărate bătălii strategic complexe de menținere a teritorialității
și franjur ilor acesteia în viața cetății de către cetele de copii dintr -un cartier sau stradă.
Reproducerea activă utilizată în reproducerea de poezii, dar și în timpul lecțiilor, este în
clasa I și II -a un fel de obiectiv al învățării. Reproducerile mnemice sunt nu numai verbale ci și
de acțiuni, și chiar afective. În aceste condiții, memoria se constituie ca un fel de șira spinării a
personalității și capătă funcții psihologice numeroase. Reproducerile mne zice acționale devin
deprinderi și au o mare stabilitate. Re producerea din lecție este relativ fidelă la copii de 7 -8 ani,
deși necompletă.
O deosebită importanță capătă două categorii de probleme strâns legate între ele:
dezvoltarea interrelațiilor sociale și caracteristicile acestora, a doua privește rezonanțele în
structura personalității a noi experiențe – inclusiv a celei sociale – pe care o traversează
dezvoltarea psihică.
1.2 Dezvoltarea cognitiv ă
Dezvoltarea cognitivă include toate procesele mintale care intervin în actul cunoașterii
sau a l adaptării la mediul înconjurător. În acest stadiu includem : senzația, percepția,
reprezentarea, gândirea, memoria, învățarea ,imaginația, creativitatea și limbajul. (Găișteanu,
2006, p. 4)
Reprezentantul de seamă al teori ei cognitive este Jean Piaget 1896 -1980. El a elaborat
anumite întrebări legate de dezvoltarea cognitivă (intelectuală) întrebări considerate ca standard
și care au fost incluse în testarea nivelului de inteligență al copilului.

14
El și -a propus să găsească vâ rsta la care cei mai mulți copii pot să răspundă corect la
fiecare întrebare. A descoperit astfel că la un anumit nivel de vârstă copiii au cam aceleași reușite
și mai ales aceleași greșeli, lucru care l -a determinat să considere că dezvoltarea intelectual ă se
face secvențial, în etape. Jean Piaget considera că pentru dezvoltarea abilităților cognitive este
mai important cum gândește copilul decât ceea ce știe la un moment dat.
Piaget descoperă patru stadii de dezvoltare intelectuală, fiecăruia dintre ele
corespunzându -i un anumit tip de gândire :
a) de la naștere la 2 ani – stadiul senzorio – motor
Copilul folosește simțurile și abilitățile motorii pentru a înțelege lumea. Această perioadă
începe cu reflexele și se termină cu schemele senzori -motorii. Copilul înțelege că un
obiect există chiar dacă nu se mai află permanent în câmpul său vizual. Începe să -și
amintească și să -și reprezinte experiențele (reprezentări mintale).
b) de la 2 la 6 ani – stadiul preoperațional
Copilul folosește gândirea simbolică incluzând achizițiile din sfera limbajului în
activitatea de cunoaștere a lumii înconjurătoare. Gândirea este egocentrică, cunoașterea
fiind făcută din perspectivă proprie.
c) de la 7 la 11 ani – stadiul concret operațion al.
Copilul înțelege și folosește operațiile logice în rezolvarea de probleme. În această
perioadă copilul își definește noțiunea de "număr", "clasificare" și "conservare".
d) de la 12 ani – stadiul operațiilor formale
Copilul începe să abstractizeze, să g ândească de la real la concret la ceea ce poate fi
posibil, ipotetic.
Teoria cognitivă este valoroasă prin aceea că permite factorilor educaționali să solicite
copiii în funcție de posibilitățile lor la un anumit int erval de vârstă. (Găișteanu, 2006, pg. 12 -13)
Perioada școlarului mic este apreciată de unii autori sfârșitul la copilărie și un început
primar al pubertății. Problemele acestei etape sunt legate de adaptarea școlară și de învățare.
Învățarea devine tipul fundamental de activitate, solicitând intens intelectul și determinând
dezvoltarea unor capacități și strategii de învățare. În paralel cu acest proces copilul face achiziții

15
importante : deprinderile de scris -citit, care devin condiția și instrumentul însușirii celorlalte
achiziții. (Găișteanu, 2006, p. 46)
Intrarea copilului în școală, contactul cu specificul activității școlare creează condiții noi
favorizante pentru dezvoltarea gândirii copilului deter minând un proces important în cunoașterea
lumii înconjurătoare. Copilul își însușește pe parcursul acestei perioade un mare volum de
cunoștințe, dezvoltându -și concomitent modalități noi de înțelegere. Astfel se dezvoltă o serie de
calități ale cunoașterii cum ar fi: observarea atentă, atenția, exprimarea în mod desfășurat a
ideilor, imaginația. Dezvoltarea gândirii este condiționată și strâns legată de dezvoltarea
limbajului, dar și de dezvoltarea experienței cognitive directe – senzații, percepții, reprez entări.
Învățarea sris -cititului este considerată deschizătoarea tuturor drumurilor elevului către
informație și cunoaștere. Toate aceste achiziții fac să deosebească semnificativ elevul de 10 -11
ani față de cel de 6 -7 ani prin modul de gândire, exprimare, învățare, limbaj, rezolvare de
probleme.
Piaget susține că între 7 -11 ani copilul se află în perioada operațiilor concrete. Aceasta
înseamnă că el începe să înțeleagă principiile logicii atâta timp cât ele se referă la concretul
obiectelor și fenomenelor .(Găișteanu, 2006, p. 47)
1.2.1 Senzațiile și percepțiile
Prin senzații omul captează, înregistrează și efectuează o prelucrare inițială, destul de
simplă, am spune precoce, a informațiilor. La nivelul lor nu -i sunt accesibile decât însușirile
concrete, simple, izolate ale obiectelor și fenomenelor, care suntînsă insuficiente pentru
asigurarea unei adaptări rapide la solicitările mediului. De aceea el recurge la percepțiica
mecanisme psihice de prelucrare aprofundată, nu a însușirilor, ci a obiectelor luate ca întreguri
distincte, ca structuri ce conțin elemente interrelaționate. (Zlate, 2006, p. 27)
Contactul cel mai direct al copilului cu mediul fizic la care trebuie să se adapteze es te
realizat prin organele de simț. Deși copilul este capabil de senzații chiar de la naștere acestea se
deosebesc mult de cele ale adultului.
În ceea dezvoltarea diferitelor organe de simț, în perioada micii școlarități, se fac
evidențiate o serie de parti cularități de creștere ale receptorilor, ca și a porțiunii corticale a
analizatorilor. În același timp perioada micii școlarități se caracterizează printr -o remarcabilă

16
dezvoltare a sensibilității și receptivității senzoriale. Școala, prin cerințele ei de muncă, de
învățare, cează treptat tot mai multe și complicate situațiiîn care micul școlartrebuie să facî
diferențieri analitice fine, să observe cu mare atenție și precizie, să asculte cu multă concentrare
ceea ce i se spune la lecții. Toate acestea se sc ontează cu modificarea planului absolutal
sensibilității, prin creșterea potențialului sensibilității diferențiale.
Dezvoltarea celui de al doilea sistem de semnalizare fixează și măresc posibilitățile de
diferențiere, precizia în analiza senzorială și în același timp dă senzațiilor un caracter conștient.
O apreciabilă dezvoltare cunoaște în perioada micii școlarități sensibilitatea tactilă.
Copilul și -a însușit până acumo extrem de vastă experiențătactilă, o bogată experiență faătică.
Datorită acestui fapt, el diferențiază și recunoaște forma obiectelor, mărimea etc. Finețea tactilă
este influențată deosebit de mult de dezvoltarea limbajului, care permite stabilizarea verbală a
diferențierilor, și în al doilea rând, este influențată de creșterea acuității vizuale. (Șchiopu, 1963,
p. 287)
1.2.2 Reprezentarea
Reprezentarea apare în două situații: atunci când un obiect sau un ansamblu de obiecte se
găsesc re -exprimate sub forma unui nou obiectsau a unui nou ansamblu de ob iecte și atunci când
este realizată o corespondență între obiectul de la care s -a pornit și imaginea rezultată, aceasta
din urmă conservând în ea anumite relații existente în obiectul inițial. De aici derivă cel puțin
două concluzii. Prima: reprezentarea n u este o simplă reproducerea obiectului, dimpotrivă, ea
angajează o anumită transformare a obiectului de la care s -a pornit. A doua concluzie:
transformarea obiectului nu este radicală, în reprezentare perseverândstructura de informațiidin
obiectul repreze ntat. Dacă transformarea ar fi radicală, atunci ar fi vorba nu de re -prezentarea
obiectului, ci de imaginarea sau crearea lui. (Zlate, 2006, p. 184)
Reprezentările au un rol foarte important în însușirea noțiunii de număr – în activitatea
didacticăfolosindu -se reprezentări ale obiectelor, persoanelor, cum ar fi bețișoare, bile, păpuși
etc. În însușirea și înțelegerea științelor naturii, biologie, anato mie, geografie folosirea
reprezentărilor ocupă un loc important. Cu alte cuvinte reprezentările devin tot mai variate și pot
fi treptat desprinse de obiecte, ceea ce îi dă copilului independența de a opera cu obiecte noi.

17
În procesul învățării copilul ope rează frecvent cu scheme și imagini ce facilitează
transmiterea unor informații. Pe baza acestora se vor forma simbolurile și conceptele. Văzută în
acest fel reprezentarea constituie veriga de legătură între concret și abstract. Odată schema
însușită copii i o pot aplica în diverse contexte – ei știu că numărul 24 rămâne neschimbat
indiferent dacă el este 10+14 sau 23+1.
La această vârstă copilul, aplicând regulile acestui tip de gândire, poate să desprindă
trăsăturile caracteristici, definitorii ale obiect elor, fenomenelor, persoanelor sau situațiilor.
Strâns legat de dezvoltarea intelectuală și implicate direct în activitatea de învățare sunt
memoria și atenția. Ele capătă noi dimensiuni la această vârstă. Se cunoaște faptul că elevii cu
probleme de conce ntrare a atenției au dificultăți în activitatea de învățare și mai ales în fixarea și
reactualizarea cunoștințelor.
Înțelegerea numeroaselor fenomene din natură se realizează prin mijlocirea
reprezentărilor. Fenomenele observate și reprezentate devin mijlo cul de explicare a unor
fenomene mai complicate. Exemplu: dilatarea corpurilor, explicată prin diverse exemple din
natură, devine punct de plecare în înțelegerea unor procese geologice – dezintegrarea rocilor sub
acțiunea schimbărilor de temperatură. (Găișteanu, 2006, pg. 47 -49)
1.2.3 Gândire a
Gândirea ocupă un loc central , așa că părerile autorilor care subliniază acest fapt nu ne
miră deloc. Gândirea reprezintă, poate, subiectul cel mai important al întregii psihologii, scriau
doi binecunoscuți psihologi americani (Lindsay și Norman, 1980, pag. 579). Deoarece toate
creațiile artei și științeiîși au originea în gândire, ea este de o importanță evidentă, nota un alt
psiholog (Gilhooly, 1988, pag. 1). Și totuși c eea ce contrariază este multitudinea punctelor de
vedereemise cu privire la natura, conținutul, mecanismele, structura șu rolul gândiriiîn ansamblul
cunoașterii umaneși chiar al întregii psihologii, vis a vis de alte mecanisme și funcții psihice. Cu
timpul s-au conturat chiar tablouri frapantelegate de unele sau altele dintre problemele ei. (Zlate,
2006, p. 227)

18
Dezvoltarea gândirii este condiționată și strâns legată de dezvoltarea limbajului, dar și de
dezvoltarea experien ței cognitive directe – senzații, percepții, reprezentări. (Găișteanu, 2006, p.
47)
Pe planul dezvoltării proceselor de cunoaștere copilul de 7 ani este capabil de a înțelege
un sistem mai amplu de cunoștințe. Gândirea sa s e exprimă deja sub forma raționamentului
deductivsau sub forma judecății inductive.
Gândirea sa s -a angajat pe linia unui sistem de prelucrare activă, analitică a
datelorrealității nemojlocite. Copilul de 7 ani simte plăcerea conversației, planul său minta l e
relativ bogat -gândirea este activă și iscoditoare. Gândirea sa dispune de procese largide
generalizare, analiză și sinteză.
Gândirea copilului are la 7 ani un caracter concret, intuitiv, care surprinde feluritelerelații
dintre fenomene, succesiunea cau zală, necauzală, relații cantitative, calitative etc. (Șchiopu, 1963,
p. 281)
Gândirea copilului la această vârstă este strâns legată de dezvoltarea senzațiilor și
percepțiilor. Gândirea copilului începe prin investigații practice asupra obiectelor și fenomenelor
din jurul lui, bazându -se în continuare pe actul percepției (din acest motiv se spune că la acest
moment gândirea copilului este concretă).
Gândirea copilului școlar capătă o calitate nouă : reciprocitatea. În această perioadă copiii
încep să clasifice, să includă obiectele după anumite însușiri esențiale în categorii și clase (baza
formării noțiunilor). Includerea în clase mai relevă și ideea că un anumit obiect sau persoană pot
aparține cel mult unei clase. Altă caracteristică a cogniției școlarului mic o constituie
posibilitatea creării de serii : aranjarea în serie a obiectelor în funcție de mărime, grosime, culoare
etc.(Găișteanu, 2006, pg. 48 -49)
1.2.4 Memor ia și atenția
Memoria și imaginația afectivă sunt de asemenea deosebit de dezvoltate la copilul de 7
ani,acesta știe să-și amintească unde a pus mama sau tatăl vreun obiect, unde ar fi putut să -l

19
pună, dacă aceasta a avut loc în prezența sa sau cumva s -a vorbit de aceasta în prezența
lui.(Șchiopu, 1963, p. 281)
Strâns legat de dezvoltarea intelectuală și implicate direct în activitatea de învățare sunt
memoria și atenția. Ele capătă noi dimensiuni la această vârstă. Se cunoaște faptul că elevii cu
probleme de concentrare a atenției au dificultăți în activitatea d e învățare și mai ales în fixarea și
reactualizarea cunoștințelor. În primii 6 -7 ani ai vieții atenția este definită ca expresie a orientării
și concentrării activității psihice.
În general, copilul de 6 -7 ani nu poate fi atent în cadrul unei activități m ai mult de 25 -30
minute. În momentul intrării în școală atenția este destul de bine dezvoltată (atenția voluntară
este mai puțin conturată). Stabilitatea și durata atenției urmează să se dezvolte în următorii ani.
Alte calități ale atenției, ca: volumul, d istribuția, concentrarea etc, se dezvoltă după 6 -7
ani. Deoarece atenția are o funcție extensivă și intensivă dezvoltată, sub influența condițiilor
generale de viață, activitate și educație, cu cât au fost mai numeroase situațiile în care copilul a
trebuit să fie atent, să se concentreze sau să țină sub observațiemai multe fenomene (volum,
distribuție) cu atât calitățile atenției au o dezvoltare mai completă și intensă. (Șchiopu, 1963, p.
374)
Educarea atenției este inclusă în procesul instructiv -educativ prin stimularea interesului
copilului pentru activitățile școlare prin dezvoltarea dorinței de a duce la bun sfârșit o activitate
și, în general, prin realizarea unei motivații pozitive față de întreaga activitate de învăța re.
Memoria se referă la fixarea informațiilor școlare, la modul cum elevul recunoaște și
reproduce oral sau scris ceea ce a fost memorat. Fixarea, recunoașterea și reproducerea sunt
legate direct de nivelul dezvoltării inteligenței la copil.
Tot ceea ce se fixează în memorie fără ca elevul să înțeleagă, să descopere cauzalitatea se
uită repede : memoria de scurtă durată. Memoria școlarului mic se sprijină pe concret, pe
perceptibil. De aceea, folosirea materialului didactic ilustrații, planșe este foarte indicată. În acest
mod se face o fixare concret -senzorială care este fragmentată de detalii n esemnificative (legată
de perioada concretului în gândirea elevului mic). Copilul păstrează informațiile care l -au
impresionat mai mult. Mai târziu, elevul își va organiza activitatea de memorare selectiv.

20
În opoziție cu memorarea mecanică, imitativă se de zvoltă caracterul logic al memorării :
elevul înțelegând ceea ce a memorat. Spre sfârșitul acestei perioade se dezvoltă exactitatea,
promtitudinea și rapiditatea reproducerii. (Găișteanu, 2006, pg. 49 -50)
1.2.5 Învățarea
Legile de bază ale teoriei învățării explorează relația dintre stimuli și răspunsul la aceștia,
între un anume fel de comportament și stimulul care l -a provocat. Unele răspunsuri sunt
automate -reflexele (clipitul , respirația, la un stimul puternic , etc ). Altele sunt răspunsuri
învățate(acestea sunt cele mai multe), pe acest lucru se bazează teoria învățării, care susține că
viața este un proces continuu de învățare, condiționare.
Condiționarea sau învățarea condiționată se desfășoară în două direcții:
a) Condiționarea clasică : este învățarea prin asociere. Cel care a făcut legătura între
stimu l și răspuns este neurologul Pavlov. Făcând cercetări asupra procesului salivației la câini, a
observat că aceștia nu salivau doar la apariția hranei ci și a altor stimuli nespecifici (dacă se
aprindea un beculeț concomitent cu aducerea hranei după un anum it timp câinele saliva numai la
aprinderea beculețului).
b) Condiționarea operantă – reprezentantul cel mai important al acestei teorii este F.
Skinner. El este de acord cu teoria învățării prin asociere, dar afirmă că un rol mult mai
important îl are învăța rea condiționată. În accepțiunea acestei teorii un sistem de recompensare
poate fi utilizat în învățarea câinelui să dezvolte comportamente care nu sunt în repertoriul unui
câine în mod obișnuit (câinii care detectează drogurile sau câinii folosiți în prin derea hoților).
Odată învățat acest comportament câinele îl va repeta chiar dacă nu mai este recompensat.
În învățarea condiționată o mare importanță o are recompensa . Dacă apariția unui nou
comportament este întărită șansele ca acest comportament să se re pete mai des sunt mai mari.
Întărirea este obținută prin recompensare (a unui comportament pozitiv al copilului întărește
posibilitatea repetării lui și învățării acestuia). Acest sistem caracterizează recompensarea
pozitivă. Dacă dorim ca un anumit compor tament să nu se mai producă (de exemplu plânsul
copilului mic care nu obține ceea ce își dorește) atunci recompensarea va fi negativă prin
ignorare (aceasta scăzând frecvența apariției comportamentului negativ până la dispariția lui) .

21
Recompensele pot fi: biologice (dulciuri, fructe etc), materiale (jucării, jetoane, steluțe,
bile), sociale (lauda, evidențierea). Alegerea acestora variază în funcție de vârstă, persoană și
scop. Studiul științific al comportamentului uman, posibilitatea schimbării și modific ării
comportamentului, descoperirea modului în care copilul poate fi ajutat să dobândească anumite
abilități, iată doar câteva din aspectele acestei teorii care au ajutat și ajută și în prezent medici,
psihologi, educatori în munca lor de recuperare, vinde care. (Găișteanu, 2006, pg. 10 -11)
În legătură cu activitatea de însușire controlată a cunoștințelor (învățarea) se modifică
fundamental și relațiile dintre copil și cei din jurul său și aceasta datorită faptului că situ ația de
elev este legată de o serie întreagă de obligații pe care copilul le are și de drepturi (pe care de
asemenea le are) în perspectiva nouă a viețiipe care începe să o ducă. Din aceste obligații prima
și cea mai importantă este aceea de a -și efectua l ecțiile în cele mai buna condiții. (Șchiopu, 1963,
p. 281)
După cum a reieșit, învățarea este de maximă implicație în procesul dezvoltării psihice.
Bazându -se pe înțelegere, învățarea se dezvoltă ca însăși antrenată nu num ai prin utilizarea
intensivă a percepției observative și a memoriei, ci și a strategiilor diversede învățare și de
exercitare a acestora în situații foarte diverse, care fac să capete consistență planul intelectual.
Există o evoluție a învățării în decursul primilor 4 ani de școală. În prima clasă copiii
utilizează forme de învățare simple (repetiții fidele de formulări sau texte scurte). Învățarea până
la perioada școlară se suplimentează cu o mai înaltă antrenare a verbalizării. (Șchiopu, U., Verza,
E., 1997, p. 189)
1.2.6 Imaginația
Activitatea umană nu se limitează la captarea, înregistrarea și prelucrarea informațiilor
actuale, prezente. Ea nu este eficientă prin simpla readucere a trecutului în prezent, chiar dacă o
face în funcție de condițiile schimbate ale prezentului. Pentru a fi eficientă și adaptată, activitatea
trebuie să anticipe, să prefigureze viitorul obiectului, al situației, al evenimentului. Or acest lucru
este posibildatorită intrării în funcțiune a unu i nou mecanism psihic, cu ajutorul căruia
informațiile actuale și cele trecute sunt transformate, modificate, ma mult, sunt create altele noi.
Acest nou mecanism psihic se numește imaginație. (Zlate, 2006, p. 479)

22
Imaginația elevului mic devine mai complexă, mai bogată, se bazează pe termeni și
împrejurări din ce în ce mai variați. Creșterea impresionabilității și sensibilități micului școlar
contribuie mult la dezvoltarea imaginației reproductive. El se entuziasmeaz ă repede, are o mare
admirație pentru faptele eroice și pentru întâmplările neobișnuite, îi place să aibă roluri în care să
interpreteze personajele preferate.
Învățarea cititului îi dă posibilitatea să citească cu plăcere basme și povestiri, toate
aceste a stimulându -i imaginația și interesul pentru tot ceea ce există și ar putea exista pe lume. În
aceste condiții imaginația devine instrument al cunoașterii. (Găișteanu, 2006, p. 50)
1.2.7 Creativitatea
Mult ă vreme procesul de cre ație, a fost considerat un fenomen ra r, prezent exclusiv la
elitele ș tiințifice și la marii creatori de opere literare și artistice. Î n prezent, creativitatea apare ca
o necesitate social ă și economic ă, devenind obiect de cercetare de sine st ătător.
Conceptul de creativitate se aplic ă deja at ât copilului care se joac ă, cât ș i inventatorului
sau omului de art ă. Creativitatea a fost definit ă în mai multe feluri, cea mai relevant ă defini ție
fiind aceea conform careia creativitatea este „un complex de însușiri și aptitudini psihice care în
condi ții favorabile genereaz ă produse noi și de valoare pentru societate”
Creativitatea implic ă o dispozi ție inventiv ă, sau o capacitate de re înnoire existent ăîn stare
poten țială la orice individ uman și la toate v ârstele. Copiii sunt de regul ă considera ți prototipul
creativit ății, structura lor interioar ă nefiind încă influen țată de stereotipurile vie ții cotidiene.
Puterea creativ ă a unui copil poate fi fr înată sau dezvoltat ăși aceasta ține de prezentul pe
care trebuie s ă-l antren ăm pentru dezvoltarea sa. Func ția pedagogic ă a creativit ății implic ă
realizarea a doua ac țiuni:
– elaborarea unui model de educare a creativit ății;
– proiectarea unei învățări creative.
Acestea sunt posibile prin stimularea g ândirii p rin sesizarea și rezolvarea unor situa ții
problem ă din ce în ce mai complexe, prin dezvoltarea capacit ăților opera ționale definitorii pentru
personalitatea creatoare (analiz ă, sintez ă, abstractizare, generalizare). În afar ă de g ândire,

23
procesul psihic care face posibil ă dezvoltarea creativit ății este imagina ția definit ă ca aptitudine
de a reprezenta obiecte absente și de a combina imaginile acestora între ele. Cea mai
reprezentativ ăpentru crearea noului este imagina ția creativ ă, care permite reprezentarea unor
fapte inexistente încă. Imagina ția reproductiv ă este legat ă de trecut și utilizeaz ă elemente
furnizate de memorie.
Creativitatea este un rezultat a mai multor procese și aptitudini psihice, practic sinteza
acestora , iar co ndiția care favorizeaz ă apari ția ei este spontaneitatea. Între spontaneitate și joc,
linia de demarca ție este aproape insesizabil ă; copilul care -și manifest ă permanent mirarea și
supriza încerc ând să surprind ă ineditul lumii este considerat prototipul crea tivității. Copilul este
spontan, iar jocul este activitatea de baz ă a copilariei.
J. Piaget a pus în eviden ță aportul jocului la dezvoltarea intelectual ă a școlarilor, jocurile
didactice, definind jocul ca mijloc activ și eficace de instruire și educare a școlarului. ,,Jocul –
susține Piaget – este o asimilare a realului la activitatea proprie, oferindu -i acestei activit ăți
alimenta ția necesar ăși transform ând re alul în func ție de multiplele trebuin țe ale eului.
Iată de ce, toate metodele active de educare a copiilor mici cer s ă li se furnizeze acestora
un material corespunzator pentru ca, juc ându-se, ei s ă reușească să asimileze realita țile
intelectuale care, f ără aceasta, r ămân exterioare inteligen ței copilului”. (Bărboiu, 2016, p. 2)
În timp ce școlarul din clasele I -II se izbește și este dominat de rigolile regulilor și cerința
de operare cu concepteîn moduri specifice, a căror încălcare este sancționată prin blam și note
școlare, aspectele implicate în fantezie, ca și investigația liberă se interiorizează discret în aceste
noi condiționări. Școlarul din primele două clasemanifestă fantezii mai reduse în execuț ii de
desene, modelaje, colaje. Manifestă și un spirit ridicat față de propriile produse pentru că le
evaluează mai sever din punctul de vedere (realist) al recognoscibilității ca formă. Totuși,
fantezia începe să găsească noi domenii de exercitare. Se for mează treptat după vârsta de 8 -9 ani,
capacitatea de a compune, crește capacitatea de a povesti și de a crea povestiri, se creează în
povestiri intriga de acțiune, culoarea locală, abilitatea de a folosi elemente descriptive literare.
Spre 9 -10 ani desenul devine mai încărcat de “atmosferă”. (Șchiopu, U., Verza, E., 1997, p. 187)

24
1.2.8 Limbaj ul
La vârsta de 6 ani copilul ajunge să cunoască aproximativ 2600 de cuvinte. La această
vârstă raportul între vocabularul pasiv (cel înțeles) și cel activ (folosit) se modifică, astfel încât
limbajul pasiv se apropie de cel activ ca valoare de comunicare.
Spre vârsta de 6 ani copilul se exprimă prin propoziții și fraze tot mai corecte gramatical
folosind epitete, comparații, verbe, adverbe. Toate au loc concomitent cu dezvoltarea
corectitudinii pronunțării. În această perioadă datorită unor defecte anatomice ale mandibulei
(buze de iepure), anomalii ale maxilarului , prezența unor vegetații adenoide, lipsa dinților se
observă deficiențe în articularea anumitor cuvinte, sunete, consoane etc. (Găișteanu, 2006, p. 42)
Dezvoltarea limbajului la școlarul mic este remarcabilă, școala și fa milia stimulând acest
proces. Școlarul mic se exprimă mult mai bine, în fraze corecte din punct de vedere gramatical,
folosește cuvinte de legătura "că", "pentru că", "deoarece".
Vocabularul lui activ ajunge la 2000 -2500 de cuvinte. Dezvoltarea limbajului scris este
strâns legată de învățarea și diferențierea fonemelor (aspectul sonor al literei). Dezvoltarea
vocabularului este evidentă prin numărul mare de cuvinte folosite : vocabular activ, forma
expresivă a limbajului și prin diminuarea numărul ui de cuvinte pe care nu le rostește, dar le
înțelege.
Dezvoltarea structurilor gramaticale corecte este corelată cu învățarea regulilor
gramaticale care sunt identice pentru cele două forme ale limbajului. Tot acum se dezvoltă
limbajul interior "pentru sine" . Dezvoltarea limbajului are loc odată cu creșterea interesului
pentru citit, iar exprimarea se perfecționează în activitățile de dezvoltare a vorbirii libere, de
compunere. (Găișteanu, 2006, p. 50)
Există dife rențe, relativ importante în ceea ce privește gradul de dezvoltare al limbajului
copiilor la intrarea în școală. Aceste diferențe privesc nivelul exprimării, latura fonetică a vorbirii
orale (dialecte, jargouri din mediul lingvistic de proveniență al copil ului), structura lexicului,
nivelul exprimării gramaticale și literare.

25
În școală se manifestă cerințe mai subtile privind exprimarea. În afară de dovada
rerespectării normelor gramaticale, se consideră neavenite expresiile șablonarde, folosite excesiv
la un moment dat, expresiile și formulările neclare, neglijente, cele de argou, cele prea familiare,
cele lipsite de eleganță.
La sfârșitul perioadei școlare mici, vocabularul activ va ajunge la aproximativ 1500 -1600
cuvinteși vocabularul tota l la 4000 -4500 c uvinte. Debitul verbal /oral se modifică de asemenea,
crescând de la circa 80 de cuvinte pe minut la nivelul clasei I, la aproximativ 105 cuvinte pe
minut la nivelul clasei a IV -a., iar debitul verbal scris crește de la circa 3 cuvinte pe minut la
nivelul c lasei I la aproape 4 cuvinte pe minut, în medie. (Șchiopu, U., Verza, E., 1997, pg. 193 –
194)
1.3. Particularit ățile procesului de învățământ și implica țiile psihopedagogice
Educația formală și nonformală este realizată organizat, conform finalităților sale, printr –
un ansamblu de instituții specializate, la nivel central sau al organizațiilor, comunităților, cu
structuri la nivel de macrosistem sau microsistem.
Sistemul de în vățământ este componenta principală a sistemului instituțional al educației,
cuprinzând instituțiile specifice, care realizează scopurile învățământului (vezi Legea
învățământului art. 3, 4), printr -un management axat pe coordonarea influențelor pedagogice
formale și nonformale.
În sens restrâns, sistemul de învățământ cuprinde sistemul instituțiilor școlare, pe care se
desfășoară specific procesul instructiv -educativ, cu prioritate între 3 -18 ani, dar cu deschideri
spre educația permanentă. În realizarea finalităților sale, sistemul de învățământ colaborează și
cu alte medii educaționale: familia, organizațiile de copii și tineret, mass -media, biserica.
O sinteză a notelor esențiale ale conceptului de proces de învățământ evidențiază că
acesta:
– în esență , realizează acțiunea de instruire și educare prin învățământ (lat. „actio ”, faptul
de a face ceva, desfășurare a unei activități, influențare);
– în sensul larg utilizat, accepția ca proces ilustrează o caracteristică a acestei acțiuni (lat.
„processus" – mers, evoluție, dezvoltare, desfășurare, prefacere, transformare succesivă,

26
progresivă) în raport cu scopurile și obiectivele învățământului, cu sensul acțiunii asupra
obiectului educației (elevul);
– implică un sistem de acțiuni informative, formative și educative; – analizează sistemul
de influențare, formale, nonformale sau informale, le conștientizează, le optimizează;
– studiază sistemul de efecte, transformări asupra elevilor (studenților, adulților), în raport
cu scopurile și obiectivele stabilit e, cu particularitățile individuale, cu așteptările sociale;
– este orientat, dirijat către realizarea scopurilor, obiectivelor formării și educării, stabilite
conștient;
– este o acțiune de instruire, informare și formare, de predare și însușire de cuno ștințe,
capacități, deprinderi, priceperi, competențe;
– se desfășoară într -un cadru instituționalizat (de stat, particular) de diferite grade și
tipuri, ca forma cea mai înaltă de organizare conștientă, ca problemă de interes național;
– în conceperea, interpretarea, organizarea, evaluarea acțiunilor utilizează abordarea intra –
, inter -, pluridisciplinară;
– vehiculează conținuturi (valori informative, formative, educative) definite, structurate,
precizate, perfecționate după criterii pedagogice, în raport cu scopurile, obiectivele stabilite;
– respectă norme, principii, reguli, cerințe în conceperea, desfă șurarea, antrenarea
elementelor componente ale acțiunii specifice;
– utilizează strategii didactice (metode și mijloace de învățământ, forme și moduri de
activitate) după criterii de eficiență;
– se desfășoară cu cadre didactice, ca principali factori, special formate și perfecționate,
cu statut precizat;
– evidențiază complexitatea, osatura de relații pedagogice între factorii implicați (cadre
didactice, elevi), între subsistemele acțiunii;
– solicită un continuu management, conducere optimizată a acțiunii (proiectare,
organizare, decizie, coordonare, control, evaluare );
– presupune determinarea, organizarea, utilizarea eficientă a timpului cerut de activitate,
pe etape scurte, medii și lungi;
– sprijină trecerea de la instruire la autoinstruire, prin antrenarea elevului în transformarea
progresivă din obiect în subie ct al acțiunilor specifice învățământului;

27
– urmărește dezvoltarea în spirală a sistemului de acțiuni instructiv -educative, în raport cu
etapele realizării scopurilor, cu evoluția personalității elevilor: are caracter dinamic;
– manifestă deschidere cătr e influențele externe sistemului, corelează cu alte sisteme
nonformale (extrașcolare) de activitate și își perfecționează, optimizează continuu elementele,
organizarea.
Deosebita complexitate a acțiunii instructiv -educative din învățământ/a procesului de
învățământ este evidentă, de unde responsabilitatea abordării lui teoretice și practice,
profesionalizării pedagogice a cadrelor didactice, a susținerii lui sociale.
Complexitatea esenței procesului de învățământ impune și o analiză de detaliu a
principal elor sale trăsături, care explică mecanismul, procesul, acțiunile proiectate și
realizate, conținuturile selectate, strategiile alese, criteriile și modurile de evaluare, direcțiile
conducerii, relaționarea factorilor implicați, structurarea în timp, optimi zarea sistemului. (Anton,
I. și alții, 2005, pg. 69 -71)
În dezvoltarea caracteristicilor procesului de învățământ, se ține seama de criteriile:
– dacă notele esențiale prezentate ale acțiunii instructiv -educative prezin tă specificul
acesteia în raport cu alte acțiuni umane, sociale, culturale, caracteristicile pun în lumină
condițiile de eficiență, eficacitate ale acesteia, direcțiile de acțiune, conținuturile, funcțiile,
laturile, perspectivele de abordare;
– caracteri sticile acțiunii pot fi abordate și ca principii teoretice, organizatorice generale
pentru procesul de învățământ (spre deosebire de principiile clasice, limitate la acțiuni de
predare -învățare);
– anumite trăsături pot fi înțelese și ca exprimând roluri ale procesului de învățământ,
latura funcțională a sa: să comunice conținuturi, să formeze capacități ș.a., să sprijine învățarea
organizată, să urmărească dezvoltarea personalității conform particularităților, să asigure
condițiile desfășurării optime a a cțiunilor etc;
– literatura didactică (clasică și actuală) prezintă un număr variat de trăsături, după
perspectiva de abordare a procesului de învățământ (psihologică, sistemică, managerială,
praxiologică etc).

28
Integrând într -un sistem posibilele trăsături bine conturat e ale acestuia, se răspunde mai
adecvat cerințelor logice de interpretare, dar, mai ales, așteptărilor acțiunii concrete, care
„unifică" idei, teorii, modele și creează situații instructiv -educative în deosebit de multe variante
strategice.
De pe această poziție metodologică, în căutarea condițiilor de eficiență reală a procesului
de învățământ, sistemul caracteristicilor sale poate fi următorul, pe principalele etape:
– privind pregătirea, orientarea, conceperea, explicarea procesului:
• caracterul formativ
• caracterul informativ
• caracterul logic, rațional
• caracterul normativ
• caracterul axiologic
• caracterul sistemic
– privind desfășurarea, realizarea, dirijarea acțiunilor:
• Proces de predare
• Proces de învățare
• Proces managerial
• Proces interactiv
• Proces educativ
• Factor de autoinstruire
– privind finalizarea, evaluarea, perfecționarea procesului:
•Proces bazat pe evaluare
•Proces bazat pe reglare, optimizare.
Urmărind dezvoltarea cercetărilor și a literaturii afectate procesului de învățământ,
constatăm și evoluția modurilor de interpretare, abordare a problemelor sale.
Este un proces normal al dezvoltării, maturizării didacticii ca știință, al dezvăluirii
deosebitei complexități a procesului de învățământ, al explicării locului și rolului său în sistemul

29
social și în relație cu alte domenii de activitate, al căutării celor mai adecvate soluții pentru
optimizarea practicii instructiv -educative.
Urmând istoria învățământului, a fundamentării sale teoretice și practice constatăm
conturarea mai evidentă a următoarelor perspective de abordare a lui: filosofică, psihologică,
sociologică, structurală, sistemică, cibernetică, operațională, funcțională, managerială,
praxiologică sau combinat.
Principiul interdisciplinarității trebuie să fie cel mai dominat în teoria și practica
învățământului, iar nu interpretarea, analiza orientată unilateral, către o abordare sau alta, sub
influența de moment a conturării și dezvoltă rii cercetării în anumite domenii, care pot oferi
explicații, aplicații și în învățământ.
Fiecare dintre aceste perspective pun in evidență fațete ale procesului de învățământ și
astfel putem construi un sistem al caracteristicilor sale principale, mai di versificat decât didactica
tradițională sau cea actuală, care prezintă direcțiile nou conturate.
Cercetarea, teoria pot dezvolta studii asupra învățământului numai dintr -o perspectivă,
dar practica, acțiunea concretă obligă la unitate, globalitate, adapta rea unora sau altora dintre
explicații, modele la situațiile de fapt. (Anton, I. și alții, 2005, pg. 157 -161)
Implicații psihopedagogice
Analiza formelor comunicării ne permite acum evidențierea unor aspecte demne de luat
în seamă pentru o conduită didactică eficientă:
a) randamentul comunicării didactice nu se reduce la formularea conținuturi lor
verbale. Dacă prin componenta verbală se expr imă referențial și explicit un anumit conținut
categorial, în același timp, prin componenta parași nonverbală se exprimă atitudini. Acestea
vizează conținutul transmis, receptorul și situația comunicării.
Prin orientările lor atitudinale, pozitive, neutre sau negative, profesorul și elevul
potențează sau frânează comunicarea, sporesc sau anulează efectele conținuturilor didactice
propuse. Astfel, un conținut verbal strict și precis delimitat – o teoremă matematică, spre

30
exemplu – în funcție de conduita par ași nonverbală a profesorului poate fi percepută de clase
paralele, sau de aceeași clasă, în momente diferite, destul de divers:
• ca o provocare adresată imaginației și puterile lor euristice;
• ca o expresie clară a neîncrederii profesorului în puteril e clasei;
• ca o chestiune de rutină;
• ca o propunere de tip concurențial, „care pe care";
• ca o pedeapsă administrativă etc.;
b) comunicările parași nonverbală pregătesc terenul pentru mesajul verbal. Înainte de
a „traduce" și accepta rațional importan ța unei demonstrații, elevul are sentimentul importanței
conținutului ce i se propune, transmis de către profesor concomitent cu mesajul verbal al
demonstrației, dar decodificat mai rapid, cum s -a precizat anterior.
Rolul afectivității nu trebuie neglijat și din alt considerent. S -a demonstrat experimental că
informațiile recepționate pe un fond afectiv pozitiv sunt mai bine reținute, în timp ce un climat
afectiv stresant (frică, neplăcere, efort excesiv etc.) facilitează uitarea;
c) o comunicare complexă (V, PV și NV), convergentă, ușurează îndeplinirea unor
sarcini diferite – impuse de diversele roluri didactice – prin realizarea lor concomitentă, dar prin
mijloace diferite (exemplu: verbal se oferă o explicație clasei, para verba l sunt atenționați cei
neatenți, prin ridicarea tonului și nonverbal se solicită caietul unui elev pentru a verifica o
informație oferită anterior);
d) folosirea multicanalității în transmiterea și receptarea mesajului facilitează prelucrarea
și reținerea unei mai mari cantități de informații și, în același' timp, sporește varietatea și
atractivitatea actului de comunicare. Înlăturând pericolul monotoniei (gândiți -vă la o „lecție"
prezentată exclusiv verbal, fără nici o modificare a intensității, ritmului, tonalității etc. vorbirii și
la consecința ei naturală: suprasolicitarea și blocarea recepției auditive), o astfel de comunicare
facilitează procesul concentrării atenției;
e) combinarea variată și convergentă a mesajelor verbale, parași nonverbale, poat e
reprezenta, nu de puține ori, un spor de claritate (cât de puțini sunt cei care, în explicarea noțiunii
de spirală, nu recurg la gestul „clarificator") și, prin aceasta, economie de timp;

31
f) comunicarea divergentă însă poate produce confuzii, nesiguranț ă și chiar refuzul
conținuturilor transmise. Să ne gândim la situația în care mesajul verbal al profesorului afirmă
importanța deosebită a ceva, în timp ce mesajul parași nonverbal trădează o indiferență totală.
Ceea ce nu -l interesează și nu -l pasionează pe profesor nu are de ce să -l atragă mai mult pe elev.
Divergența se poate plasa și la nivelul obiectului atitudinii noastre. Prin conținutul
științific la care apelează, prin felul în care îl prezintă, profesorul poate transmite o valorizare
deosebită a ideilor propuse, dar, în același timp, o desconsiderare a celor care îi sunt parteneri în
acel moment.
Reducerea partenerului – în cazul de față elevul/elevii – la statutul de receptor pasiv și
depersonalizat transformă comunicarea didactică în simplu act de informare, scăzându -i simțitor
randamentul și denaturându -i menirea.
Mai poate fi vorba de comunicare și încă didactică, în situația în care profesorul, din chiar
momentul intrării în clasă, se „lipește" de tablă, „dialoghează" exclusiv cu aceasta și câteva zeci
de minute nici nu -și privește clasa pentru a afla dacă a putut fi urmărit, dacă s -a făcut înțeles,
dacă a interesat pe cineva ceea ce el a predat etc.?
Un astfel de profesor își va justifica conduita considerând că elevii săi – apreciați, de
regulă, ca slabi și neinteresați – nici nu merită mai mult. El „uită" faptul că cel care, de regulă,
induce un anumit comportament de răspuns este, în situația didactică, chiar profesorul. „Prin
modul său de a preda, un profesor produce în mod constant indi ci în legătură cu ceea ce
consideră a fi important, cu modelul de comportament pe care -l așteaptă de la elevi, cu tipurile
de participare pe care le dorește, cu calitatea de activitate pe care o va accepta.
Indiferent dacă acești indici sunt verbali sau no nverbali, dacă sunt conștienți sau
inconștienți, elevii își modelează comportamentul în funcție de ei" (Cucoș, 2016, pg. 232 -235)

32
Capitolul II Metoda grafic ă de rezolvare a problemelor de aritmetică
2.1. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică
Rezolvarea problemelor de matematică este una din cele mai sigure căi ce duce la
dezvoltarea gândirii, imaginației, atenției și spiritului de observație al elevilor. Această activitate
pune la încercare în cel mai înal t grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora
toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care, programa de matematică
din ciclul primar acordă rezolvării problemelor o importanță deosebită.
Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci
despre a -i crea elevului situații noi de învățare, la care să răspundă cât mai adecvat, în urma unui
demers de explorare și investigație.
Prin rezolvarea de probleme, elevii își form ează priceperi și deprinderi de a analiza
situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în
problemă.
Rezolvarea problemelor contribuie astfel la cultivarea și dezvoltarea capacităților
creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ -imaginative, la
educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele
proprii. (Chiriac, 2017)
Rezolvarea problemelor de matematică cu grad de dificultate sporit, care de regulă se
rezolvă folosind proporții derivate sau sisteme de ecuații, se poate realiza și la nivelul
cunoștințelor acumulate în școala primară prin utilizarea metodelor cu reprezentare grafică.
Metodele care utilizează reprezentarea grafică pentru rezolvarea problemelor de
aritmetică sunt:
-metoda grafică
-metoda figurativă
-metoda mersului invers

33
În aceste metode pentru reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele
utilizează elemente grafic e sau desene și scheme .
În aplicarea acestor metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau
combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie adecvate naturii datelor problemei și specificului
lor. Astfel, se pot întâlni:
-desene car e reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente (pentru clasele mici);
-figuri geometrice diferite: segmentul de dreaptă, triunghiul, dreptunghiul, pătratul,
cercul;
-figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei;
-diverse semne convenționale, unele obisnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii;
-elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete, etc.
Această metodă este situată pe primul loc în ceea ca privește utilitatea ei, datorită
avantajelor pe care le prezintă. Astfel:
-are caracter general, utilizându -se la orice categorii de probleme în care se preteaz ă
figurarea și pe diferite trepte ale școlarizării;
-are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându -se pe baza
imaginil or vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunerea acesteia pe plan
mintal;
-prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează variate
modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferite le valori ale mărimilor, se sugerează
aceste relații, se pun în evidență.
Pașii urmați în rezolvarea unei probleme prin această metodă sunt:
– se reprezintă fiecare necunoscută printr -o figură (segment , dreptunghi, cerc etc.);
– fiecare relație din tex tul problemei se schematizează utilizând figurile alese, obținând
modelul grafic al problemei;
– se fac legături pe schemă între necunoscute și datele problemei și se identifică
raționamentul de rezolvare;
– se fac calculele și se determină necunoscutele ;(Chiriac, 2017, p. 177)

34
Deși în literatura de specialitate metoda grafică este prezentată împreună cu metoda
figurativă, considerîndu -le similare , în cele ce urmează le vom prezenta separat precizând
specificul fiecăreia.
2.1.1. Metoda Grafică
Metoda grafică este cea mai sugestivă metodă prin care o situație reală se poate
transpune în limbaj matematic. Reprezentarea datelor se face, de regulă prin segmente de
dreaptă, care vor fi luate ca părți egale dintr -un întreg. Prin această metodă se pot rezolva
următoarele tipuri de probleme:
-Probleme de sumă și diferență
-Probleme de sumă și raport
-Probleme de sumă și produs
-Probleme de diferență și raport
-Probleme de dublu raport
-Probleme în care intervin fracții într-un întreg
-Probleme cu sumă, cât și rest
-Probleme cu diferență, cât și rest
-Probleme cu numere consecutive
-Probleme cu numere necunoscute
Metoda grafică se mai numește Metoda segmentelor , este de fapt tot metod ă figurativ ă,
dar se refer ă doar la problemele în care reprezentarea datelor problemelor se face cu ajutorul
segmentelor.
Aplicând metoda, luăm una dintre mărimi drept reper, de regulă cea mai mică, în funcție
de care se vor reprezenta celelalte.
Să analizăm împreună pașii care se cer parcurși în rezolvarea problemelor care
necesită rezolv area cu ajutorul acestei metode:
1. Cunoașterea și înțelegerea enunțului problemei :
•se citește cu atenție enunțul problemei;
•se repetă de mai multe ori acest enunț, până la însușirea lui de către elevi;
•se clarifică înțelesul tuturor cuvintelor problemei;

35
•se scrie schematic problema, așa încât să poată fi reprodusă după notațiile făcute;
2. Analizarea problemei și întocmirea unui plan de rezolvare :
•se subliniază informați ile esențiale, separându -se „ce se cunoaște” de „ce trebuie
să aflăm” și punându -se în evidență relațiile dintre mărimi;
• se transpune problema în desen/schemă;
3. Redactarea planului
• se aleg operațiile corespunzătoare și se efectuează calculele din planul de rezolvare;
4. Activități suplimentare
•se verifică soluțiile problemei;
•se compune o problemă asemănătoare, cu aceleași date sau cu date schimbate;
•se stabilește schema generală de rezolvare a categoriei de probleme despre care
discutăm. (Todor, 2016, pg. 1 -2)
Problemele care se rezolvă prin metoda grafică sunt cu date sau mărimi”continui”, caz în
care le figurăm prin segmente de dreaptă. Figurile geometrice reprezentative care se folosesc în
rezolvarea problemelor de aritmetică nu sunt altceva decât literele ce țin locul necunoscutelor în
ecuație sau în sistemul de ecuații.
Exemplu:
Suma a două numere este 35 , iar diferența lor este cât a treia parte din numărul mai mic.
Aflati cele două numere.
Rezolvare.
Punem în evidență “informația” care ne spune că diferența numerelor este 1/3 din
numărul mai mic, adică cel mic are 3 părți , iar cel mare 4 părți.

Din desen rezultă că 7 părți, fiecare egală cu a treia parte din b, reprezint ă 35. O parte
reprezintă 35 : 7 = 5.

36
Atunci b = 3 ∙ 5 = 15 și a = 35 – 15 = 20. (Chiriac, 2017, p. 178)
2.1.2. Metoda Figurativă
Rezolvarea problemelor tipice, de aritmetică, este de multe ori îngreunată și de faptul că
unele date sunt mai ascunse sau dependența mărimilor nu este așa de evidentă. În această situație
se apelează la metoda figurativă, care constă în faptul de a reprezenta datele sau mărimile din
probl emă prin diferite desene, schite sau figuri geometrice conven țional alese, cărora apoi li se
fac unele modificări impuse de enunțul problemei.
În acest fel se poate urmări intuitiv dependența mărimilor și, odată cu aceasta, se
figurează mai clar raționame ntul care conduce la rezultatul cerut de problemă. În ceea ce privește
aplicarea acestei metode, precum și alegerea figurilor reprezentative nu se pot da reguli generale,
deoarece aceasta difer ă de la o problemă la alta.
Cele mai des folosite figuri sunt : dreptunghiuri , cercuri, ovale sau cilindri, și alte
simboluri, acestea însă nu se cer să fie făcute la scară.
Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă sunt cu date sau mărimi ”discrete”,
înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte u na și că se pot pune în corespondență
după anumite criterii, în acest caz mărimile le figurăm prin simboluri .
Însă valoarea intuitivă a figurilor geometrice este mult mai mare decât a literelor în
algebră, este evident că această metodă este însușită cu ma i mare ușurință de cei care încep
studiul aritmeticii și deci este des folosită în rezolvarea problemelor de aritmetică.
Metoda figurativă este una dintre metodele cele mai la îndemâna profesorilor și elevilor
pentru rezolvarea unor probleme care cer gînd ire abstractă peste puterea copiilor. (Chiriac, 2017,
p. 177)
Problemele care se rezolvă cu această metodă se referă de obicei la dispuneri, aranjari,
care necesită schițe, așa cum la problemele de geometrie necesită figuri.
Exemplul 1.

37
Daca se așează câte un elev în fiecare bancă rămân 14 elevi în picioare. Dacă așezăm căte
2 elevi în fiecare bancă rămân 3 bănci libere. Câți elevi și câte bănci sunt?
Rezolvare.
Din analiza primei părți a enunțului desprind em că mulțimea elevilor și mulțimea
băncilor pot fi în așa fel “privite” încât elementele lor să fie organizate astfel: fiecărui elev îi
corespunde o bancă, situație în care 14 elevi rămân în picioare, deci nu au loc , aceasta înseamnă
că numărul băncilor e ste mai mic cu 14decât numărul elevilor .
Figurăm această situație convenind să reprezentăm banca printr -un dreptunghi și elevul
printr -un cerc.

Analizând a doua parte a enunțului procedăm în felul următor: distribuim câte unul dintre
cei 14 elevi rămași în picioare în câte o bancă. Se observă că aceștia vor ocupa 14 bănci, deci se
vor completa cu ei 14 bănci cu câte 2 elevi, dar pentru că trebuie să rămână trei bănci libere
înseamnă că din băncile cu un copil s -au ridicat încă trei elevi care au co mpletat ca și ceilalți
colegi ai lor trei bănci cu 2 elevi. Recapitulând, avem 14 bănci cu câte 2 elevi completate de cei
14 elevi ce erau în picioare și încă trei bănci cu 2 elevi completate prin ridicarea câte unui elev
din 3 banci care trebuiau sa r ămână libere.

Deci erau în clasă: 14 + 3 + 3 = 20 bănci și 20 + 14 = 34 elevi. (Chiriac, 2017, p. 178)
Exemplul 2 .
Într-o curte sunt g ăini ș i iepuri. Știind c ă în total sunt 11capete si 34 de picioare, s ă se afle
câte găini și câți iepuri sunt.
Rezolvare.

38
Având în vedere că î n curte sunt 11 capete, înseamn ă că sunt de fapt 11
animale,unele cu doua picioare (g ăinile) și altele cu 4 picioare (iepurii).
Vom desena cele 11 animale prin 11 ovale:

Trebuie în continuare să distribuim cele 34 de picioare. Fiecare dintre animale are cel
puțin câte două picioare. Din acst motiv, vom desena, pentru început, câte doua picioare fiecărui
animal.

Am distribuit astfel 2 x 11 = 22 picioare din totalul de 34. Au mai rămas în plus 34 – 22 =
12 picioare.
Plusul de 12 picioare se datorează faptului că unele animale (iepurii) nu au numai 2
picioare, ci au patru picioare. Nu ne mai rămâne decăt să distribuim pe desen câte două picioare
în plus la 6 an imale (12 : 2 = 6):

După ce am distribuit restul de picioare, numărăm câte animale cu 2 picioare și câte cu 4
picioare avem. Obținem:
6 animale cu patru picioare (iepuri)
5 animale cu doua picioare (găini). (Necșuliu, 2015, pg. 7 -8)
2.1.3. Metoda d rumului (mersului) invers
Prin metoda mersului invers se rezolvă aritmetic anumite probleme în care elementul
necunoscut apare în faza de început a șirului de calcule care se impun. Această metodă de
rezolvare a problemelor de aritmetică se numește a mersului invers, deoarece opera țiile se

39
reconstituie în sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei operații
corespunzându -i inversa ei.
Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin
necunoscută, cât și în rezolvare a problemelor care se încadreaza în tipul respectiv, adică în care
datele depind unele de altele succesiv, iar enunțul respectivei probleme trebuie urmărit de la
sfârsit spre început și în fiecare etapă se face operația inversă celei apărute în problemă.
Deci, nu numai mersul este invers, ci și operațiile care se fac pentru rezolvare sunt
inverse celor din problema , adică adunarea devine scădere, scăderea devine adunare, înmulțirea
devine împărțire și împărțirea devine înmulțire .
Proba se face aplicând as upra numărului găsit operațiile indicate în enunțul problemei.
Exemplu l 1:
Mă gândesc la un număr. Acest număr îl împart la 7, câtului obținut îi adaug 4, suma o
înmulțesc cu 8 , iar din produs scad 12 și obțin 60. La ce număr m -am gândit?
Rezolvare.
Plecăm de la rezultatul final, în cazul nostru 60, și efectuăm de la sfărșit spre început
operațiile inverse celor din enunț.
Obținem : 60+12=72, 72:8=9, 9 – 4=5, 5*7=35.Deci numărul inițial este 35. (Chiriac,
2017, p. 180)
Exemplu l 2:
Un elev merge într -o excursie. Are la el, pentru cheltuieli, o sumă de bani. Pentru masa
de prânz folosește o treime din sumă, pentru biletul de intrare la muzeu chetuiește un sfert din
banii rămași, iar ca să -și cumpere o amintire încă un sfer t din noul rest. Se întoarce acasă cu 45
de lei.Cu ce sumă de bani a plecat elevul în excursie?
Soluție.
Pentru a folosi metoda mersului invers, realizăm mai întâi un desen ajutător.

40

Urmărind schița observăm că tot segmentul de pe ultima poziție reprezintă 45:3  4 = 60
lei. Atunci segmentul al doilea reprezintă 60:3  4 = 80 lei. În final, primul segment reprezintă
80:2  3 = 120 lei și deci elevul a plecat în excursie cu 120 lei.
Verificare:
120:3 =40 lei pentru masă, rămân 80 lei; 80: 4 =20 lei pentru muzeu; rămân 80 – 20 =
60 lei; 60: 4 =15 lei pentru amintire; rămân 60 -15=45 lei. (Necșuliu, 2015, p. 9)
2.2. Tipuri de probeleme care se pot rezolva prin metoda grafică
Prin metoda grafică se pot rezolva următoarele tipuri de probleme:
-Probleme de sumă și diferență
-Probleme de sumă și raport
-Probleme de sumă și produs
-Probleme de diferență și raport
-Probleme de dublu raport
-Probleme în care intervin fracții într -un întreg
-Probleme cu sumă, cât și rest
-Probleme cu diferență, cât și rest
-Probleme cu numere consecutive
-Probleme cu numere necunoscute
2.2.1. Probleme de sum ă și diferență
Problemele se încadrează în acest tip dacă în conținutul lor se afirmă că o mărime este
cu… mai mare (mai mică) decât cealaltă (semnificând diferența dintre cele două mărimi), iar

41
expresii precum: în total, la un loc, împreună ș.a. sugereaz ă suma. (Perianu, M., Stănică, C.,
Smărăndoiu, Șt., 2017, p. 67)
Exemplu:
Suma a două numere este 24. Unul este cu 6 mai mare decât celălat. Care sunt numerele?
Reprezentăm numerele prin segmente.Numărul mai mare va avea un segment mai lung,
partea care este în plus fiind desenată punctat.

Putem observa că dacă ar lipsi surplusul de 6, cele două numere ar fi egale. Numărul
obținut prin îndepărtarea surplusului este, de fapt, de 2 ori valoarea celui de -al doilea număr.
Acesta poate fi, deci, aflat prin împărțire la 2. Readăugând valorii obțin ute surplusul, vom obține
primul număr.
a) Câte segmente egale sunt?
1+1=2
b) Cât este suma segmentelor egale?
24-6=18
c) Cât este un segment?
18: 2=9(al doilea număr)
d)Cât este primul număr?
9+6=15

Verificare: 15 + 9 = 24
Răspuns: numerele sunt: 15 și 9
Putem concluziona:
b = (suma –diferența):2,
a = suma –b.(Todor, 2016, p. 2)
Exemplul 2

42
Două persoane au împreuna 540 lei.Să se afle ce suma are fiecare persoană, dacă prima
persoană are mai mult decât a doua persoană cu 120 lei.
Soluție :
Reprezentăm cele două mărimi care intervin (sumele celor douăpersoane) prin două
segmente, din care unul are lungimea mai mare (sumaprimei persoane este mai mare cu 120 lei):

Diferența dintre lungimile segmentelor CE și AB (adică segmentul DE) reprezintă
diferența dintre cele două sume. Segmentul care reprezintă suma pe care o au împreună cele două
persoane este format din două segmente de aceeașilungime (fiecare segment reprezintă suma
celei de -a doua p ersoane) și un segment ce reprezintă suma de 120 lei.

Suma celei de -a doua persoane este (540 – 120) : 2 = 210 (lei).
Suma primei persoane este 210 + 120 = 330 (lei) (sau 540 – 210 = 330). (Năchilă, P.,
Năchilă, P., E., 2018, pg. 5 -6)
2.2.2. Probleme de sumă și raport
Prin raportul a două numere naturale a și b, b > 0, înțelegem a : b. Raportul numerelor a și
b (în această ordine) se notează cu a /b.
Exemplul 1:
Suma a două numere este 224, iar unul din numere este de trei ori mai mare decât celălalt
număr. Să se determine cele două numere.
Soluție:
Reprezentăm numerele astfel:

43

Suma celor două numere este dată de:

Numărul mai mic este: 224 : 4 = 56
Numărul mai mare este: 56 x 3 = 168 (sau 224 – 56 = 168).
Exemplul 2:
Un muncitor a săpat trei sferturi din cât a săpat alt muncitor, împreună au săpat 714 m2.
Cât a săpat fiecare muncitor?
Soluție:
Reprezentăm suprafețele săpate astfel:

Suprafața săpată de cei doi muncitori este suprafața a 4 + 3 = 7 dreptunghiuri egale.
Primul muncitor a săpat: 714 : 7 x 3 = 306 m2.
Al doilea muncitor a săpat: 714 : 7 x 4 = 408 m2 (sau 714 – 306 = 408 m2)(Năchilă, P.,
Năchilă, P., E., 2018, pg. 6 -7)
2.2.3. Probleme de sum ă și produs
Exemplul 1:
Într-o pădurice sunt 2478 de stejari și fagi. Numărul fagilor este de 5 ori mai mare decât
al stejarilor.
Câți fagi și câți stejari sunt în pădurice?
Rezolvare:

44
Dacă reprezentăm numărul stejarilor printr -un segment, atunci numărul f agilor trebuie
reprezentat prin tr-un segment de 5 ori mai mare (ca în figură).
Deci în total, numărul stejarilor și al fagilor este reprezentat prin două segmente, care
însumează 6 părți egale, o parte reprezentând chiar numărul stejarilor, iar 5 părți egale numă rul
fagilor.

Vom afla valoarea unei părți din cele 6 părți egale, adică în cazul nostru, numărul
stejarilor astfel:
2478 : 6 = 413
Apoi vom afla numărul fagilor:
413 . 5 = 2065
sau
2478 – 413 = 2065
Verificare:
413 + 2065 = 2478 .(Cherata, 1994, pg. 32 -33)
Exemplul 2 :
Pe ultimul raft al unei biblioteci sunt de două ori mai multe cărți decât pe primul raft.
Știind că pe cele două rafturi sunt 66 de cărți, să se afle câte cărți sunt pe ultimul raft al
bibliotecii.
În total, numărul cărților de pe cele două rafturi este reprezentat prin două segmente, care
însumează 3 părți egale, o parte reprezentând chiar numărul cărților de pe primul raft, iar 2 părți
egale numărul cărților de pe ultimul raft.

Vom afla valoarea unei părți din cele 3 părți egale, adică în cazul nostru, numărul cărților
de pe primul raft astfel:
66 : 3= 22 cărți

45
Apoi vom afla numărul cărților de pe ultimul raft:
22 . 2 = 44 cărți
sau
66 – 22 = 44 cărți
Verificare:
22 + 44 = 66 . (Schneider, 1991, p. 6)
2.2.4. Probleme de d iferență și raport
Exemplul 1:
Un obiect a este de patru ori mai scump decât un obiect b. Obiectul a a costat cu 369 lei
mai mult decât obiectul b.
Să se determine cât costă fiecare obiect.
Soluție:
Reprezentăm prețurile celor două obiecte astfel:

Prețul obiectului b este reprezentat prin segmentul AB, iar prețul segmentului a prin
segmentul CG, care este format din 4 segmente: CD, DE, EF și FG, care au aceeași lungime ca și
segmentul AB. Diferența celor două prețuri este dată de segmentul DG, care are lungimea de trei
ori mai mare decât segmentul AB.
Obiectul b costă: 369 : 3 = 123 lei, iar obiectiul a costă 123 x 4 = 492 lei.
Exemplul 2:
În urmă cu 2 ani, vârst a mamei era de 7 ori vârsta fiicei. Peste 6 ani, vârsta mamei va fi
de 3 ori vârsta fiicei.
Să se determine ce vârstă are fiecare.
Soluție:
Vârstele fiicei și mamei în urmă cu 2 ani sunt reprezentate astfel:

46

Peste 6 ani, vârstele fiicei și mamei sunt rep rezentate astfel:

Comparăm vârsta mamei de acum 2 ani cu cea a memei de peste 6 ani. Diferența acestor
vârste este de 8 ani. Cu ajutorul segmentelor avem:
7x + 2 + 6 = 3(x + 2 + 6), de unde 7x – 3x = 24 – 8, adică x = 4.
Fiica are 6 ani, iar mama are 7 x 4 + 2 = 30 ani. (Năchilă, P., Năchilă, P., E., 2018, p. 8)
2.2.5. Probleme de dublu raport
Un număr este de 5 ori mai mic decât al doilea. Dacă al doilea număr se mărește cu 9,
devine de 8 ori mai mare decât primul.
Să se afle cele două numere.
Rezolvare:
Avem două rapoarte:
-de 5 ori mai mic;
-de 8 ori mai mare.
Fie a primul număr și b al doilea număr.
Conform primei propoziții din enunț avem reprezentarea grafică:

Din fraza următoare din enunț, avem reprezentarea grafică:

Comparând reprezentările lui b și b + 9, deducem că 3 părți reprezintă 9.
Deci, 9 : 3 = 3, reprezintă o parte, adică numărul a.

47
3 x 5 = 15, este numărul b.
Răspuns: a = 3; b = 15.
Verificare:
3 x 5 = 15
15 + 9 = 24
24 : 8 = 5. (Grozăvescu, 2017, p. 14)
2.2.6. Probleme în care intervin fracții di ntr-un întreg
Exemplul 1:
Jumătatea unui număr este egală cu sfertul altui număr. C are sunt numerele, știind că
suma lor este 264.
Rezolvare:
Reprezentăm cele două numere:

a) Care este valoarea jumătății/ sfertului numerelor? 264 : 6 = 44
b) Care este primul număr? 44 x 2 = 88
c) Care este al doilea număr? 44 x 4 = 176 Verificare: 88 + 176 = 264
Răspuns: numerele sunt: 88, 176 . (Todor, 2016, p. 5)
Exemplul 2:
Un elev intră într -o librărie, având 10 lei. Cărțile pe care le cumpără îl costă 3 cincimi din
sumă. Cât au costat cărțile?
Rezolvare:
Vom reprezenta suma printr -un segment de dreaptă pe care îl vom împărți în 5 părți
egale:

48
Trei cincimi din sumă reprezintă cărțile.
Cât reprezintă o parte – 1/5?
10 : 5 = 2 lei
Cât costă cărțile (3/5)?
2 lei x 3 = 6 lei
Observație:
Ideea de rezolvare decurge din semnificația celor 2 termeni ai fracției:
-numitorul 5, ne arată în câte părți egale trtebuie să împărțim întregul;
-numărătorul 3, ne arată câte părți egale trebuie să luăm din întreg. (Grozăvescu, 2017, p. 15)
2.2.7. Probleme cu sumă, cât și rest
Exemplul 1:
Suma a două numere este 966. Câtul lor este 4 și restul 6. Să se afle numerele.
„Câtul unor numere este” înseamnă că unul dintre ele este de … ori mai mare decât
celălat.
„Restul este…” înseamnă că unul dintre numere este și cu.. mai mare decât celăl alt.

a) Care este valoarea numerelor, fără surplus? 966 – 6 = 960
b) Care este al doilea număr? 960 : 5 = 192
c) Care este valoarea primului număr? 192 x 4 + 6 = 774 Verificare: 774 + 192 = 966
Răspuns: numerele sunt: 774, 192 (Todor, 2016, pg. 3 -4)
Exemplul 2 :
Împărțind un număr natural la un alt număr natural obținem câtul 3. Să se afle cele două
numere știind că suma lor este 36.
Rezolvare:
Fie numărul natural d deîmpărțitul și î, un număr natural nenul, împărțitorul. Din teorema
împărțirii cu rest, d = î . c + r, cu condiția r < î, un de c și r sunt numere naturale. Datele din enunț
se transpun în următoarea reprezentare grafică:

49

Deoarece 4p + r = 36, restul trebuie să fie un număr natural care se împarte exact la 4.
Cazul I: Dacă r = 0, atunci î = 9 și ținând cont că îndeplinește condiția r < î, avem d = 27.
Cazul al II -lea: Dacă r = 4, atunci î = 8 și, ținând cont că îndeplinește condiția r < î,
avem d = 28.
Cazul al II I-lea: Dacă r = 8, atunci î = 7 nu îndeplinește condiția r < î și, în consecință nu
avem soluție.
Cazul al I V-lea: Dacă r >8, cu atât mai mult condiția r < î nu este îndeplinită. Deci
problema admite două soluții:
a) d = 27; î = 9; c = 3 și r = 0
b) d = 28; î = 8; c = 3 și r = 4 . (Perianu, M., Stănică, C., Smărăndoiu, Șt., 2017, p. 69)
2.2.8. Probleme cu diferenț ă, cât și rest
Exemplul 1 :
În grădina școlii au răsărit cu 17 mai multe lalele decât zambile. Știind că dacă împărțim
numărul lalelelor la numărul zambilelor obținem câtul 4 și restul 2. Aflați numărul lalelelor și
numărul zambilelor care au răsărit în curtea școlii.
Rezolvare:
Reprezentăm grafic cele două numere:

Cunoaștem că numărul lalelelor este mai mare cu 17 decât numărul zambilelor:

50

Diferența dintre cele două numere este formată din 3 segmente egale de valoare
necunoscută și un segment de valoare egală cu 2.
Putem afla valoarea segmentelor egale: 17 = 3a + 2 → 3a = 15 → a = 5
Deci reprezentarea grafică ne arată și numărul de zambile:

Răspuns: Z = 5 bucați și L = 22 bucăți (Cristina, 2017, pg. 1 -6)
Exemplul 2:
La o gradini ță s-au adus 138 de cutii: cutii cu unt, cutii cu lapte de trei ori multe, iar cutii
cu iaurt cu 2 mai pu ține dec ât cele de lapte. C âte cutii de fiecare fel s -au primit?
Rezolvare :
Reprezentăm grafic cele 3 numere:

(138 + 2) : 7 = 140 : 7 = 20 (1parte = cutii cu unt)
20 x 3 = 60 (cutii cu lapte)

51
60 – 2 = 58 (cutii cu iaurt)
Verificare: 20+60+58=138 cutii (Blogger, 2016, p. 3)
2.2.9. Probleme cu numere consecutive
Exemplul 1 :
Suma a trei numere naturale consecutive impare este 81. Care este valoarea numerelor?

a) Care ar fi suma numerelor, egale? 81 – (2 + 2 + 2) = 75
b) Care este primul număr? 75 . 3 = 25
c) Care este al doilea număr? 25 + 2 = 27
d) Care este al treilea număr? 27 + 2 = 29 Verificare: 25 + 27 + 29 = 81
Răspuns: numerele sunt: 25, 27, 29 .(Todor, 2016, p. 5)
Exemplul 2 :
Suma a trei numere consecutive este 39. Care sunt numerele?
Rezolvare:
a + b + c = 39
a, b, c – numere consecutive
a = ? b = ? c = ?
b = a + 1
c = a + 2
Se obișnuiește să se figureze în două feluri:

Se rezolvă ca o problemă de sumă și diferență:
39 – 3 = 36 (3a)

52
36 : 3 = 12 (a)
a = 12; b = 13 și c = 14 (Dudău, M. și colaboratorii, 2016, pg. 22 -23)
2.2.10. Probleme cu numere necunoscute
Andrei, Radu și Mihai ai făcut împreună 38 de poze la grădina zoologică. Câte poze a
făcut fiecare dacă știm că Andrei a făcut cu 6 mai multe decât Mihai, iar Radu a făcut cu 5 mai
multe d ecât Mihai?
Rezolvare:
Reprezentăm grafic datele problemei:

Pentru a obține suma celor 3 segmente egale scădem din valoarea totală valorile
cunoscute:
38 – 6 – 5 = 27
Valoarea unuia din cele 3 segmente egale este:
27 : 3 = 9 și corespunde cu pozele lui Mihai
9 + 6 = 15 reprezintă pozele lui Andrei
9 + 5 = 14 reprezintă pozele lui Radu
Reprezentăm grafic valorile obținute:

Răspuns:

53
9 poze a făcut Mihai
15 poze a făcut Andrei
14 poze a făcut Radu (Cristina, 2017)

54
Capitolul III Cercetarea pedagogică
Prin metodele grafică și figurativă reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor
dintre ele utilizează elemente grafice sau desene și scheme. În aplicarea acestei metode se poate
face apel la categoria de element e grafice sau combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie
adecvate naturii datelor problemei și specificului lor cît și etapei de școlarizare.
1. Figurarea prin desen – se folosește încă din clasa I, când elevii fac cunoștință cu
noțiunea de problemă – când baza o constituie intuiția.
2. Figurarea prin segmente – este folosită în clasa a II -a, când se introduc problemele
tipice: aflarea a două numere când se cunoaște suma și diferența lor.
3. Figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei .(Alixandroaia,
2010, pg. 55 -56)
Metoda figurativă ajută la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor
condițiilor problemei. În rezolvarea unei probleme care face apel la această metodă, spriji nul se
face pe raționament, folosind întelesul concret al operatiilor.
Metoda figurativă este situată pe primul loc în ceea ca privește utilitatea ei, datorită
avantajelor pe care le prezintă. Astfel:
-are caracter general, utilizându -se la orice categor ii de probleme în care se preteaza
figurarea și pe diferite trepte ale scolarizării;
-are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându -se pe baza
imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și transpunere a acesteia pe plan
mintal;
-prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează variate
modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează
aceste relații, se pun în evidență .
Pașii urmați în rezolvarea unei probleme prin această metodă sunt:
– se reprezintă fiecare necunoscută printr -o figură (segment, dreptunghi, cerc etc.);
– fiecare relație din textul problemei se schematizează utilizând figurile alese, obținând
modelul grafic al problemei;

55
– se fac legături pe schemă între necunoscute și datele problemei și se identifică
raționamentul de rezolvare;
– se fac calculele și se determină necunoscutele;
Problemele rezolvabile prin metoda figurativă se pot împărți în două m ari caregorii :
1. Cu date sau mărimi ”discrete” – înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate
una câte una sau pot fi puse în corespondență după anumite criterii transfigurate simbolic.
2. Cu date sau mărimi ”continui” – în acest caz mărimile le c onfigurăm de obicei prin
segmente .(Chiriac, 2017, p. 177)
3.1. Motivația cercetării
Nevoile și cerințele învățământului modern pretind cadrelor didactice o schimbare
radicală a modului de abordare a activității didactice, regândirea educației formale se impune și
ne obligă să schimbăm relația cu elevii și între elevi, promovând sprijinul reciproc și dialogul
constructiv, prin noi strategii folosite în activitatea didactică și prin folosirea mijloacelor
moderne de care elevii sunt atrași .
Folosirea tehnicii moderne oferă elevilor ,,cunoaștere prin aventură”, o modalitate plăcută
de a găsi răspunsuri la întrebări, de a căuta idei și de a cunoaște , de a se autoinstrui . Elevul este
captat, devine activ în căutarea de soluții, își antrenează toate capacitățile creatoare, dar și cele
cognitive. Prin aceasta , elevii își exersează capacitatea de a alege, de a filtra, de a învăța lucruri
utile pentru viața de școlar, dar și pentru cea de adult.
În acest cadru, elevii acce ptă responsabilități, caută, formulează și verifică soluții,
colaborează, își dezvoltă spiritul competitiv în activități de grup, individual sau în perechi. Elevii
descoperă experiențe noi, interrelaționând, studiind, investigând și căpătând încredere în
capacitățile individuale și ale grupului. Proiectarea activităților de învățare în acest sens trebuie
să fie în concordanță cu particularitățile de vârstă și posibilitățile cognitive și practice ale
acestora.

56
3.2. Scopul cercetării
Cercetarea urmărește să s urprindă măsura în care un demers didactic bazat pe învățare
prin strategii didactice moderne , conduce la obținerea unor rezultate superioare față de cele
obținute printr -un demers didactic traditional , făcându -se comparație cu nivelul de pregătire
anterio r aplică rii strategiilor didactice pentru înțelegerea metodei grafice în rezolvarea
problemelor asupra rezultatelor elevilor.
3.5. Obiectivele cercetării și ipoteza de lucru
Obiectivele cercetării sunt:
a) Identificarea valențelor formative și aprecierea eficienței aplicării de strategii didactice
de înțelegere a metodei grafice în rezolvarea problemelor de aritmetică ;
b) Validarea condițiilor pedagogice ale evaluării .
Ipotez a de lucru
Dacă elevii sunt f amiliarizați cu limbajul grafic de rezolvare a unei probleme , atunci
elevii vor obține rezultate mai bune în rezolvarea prin metoda grafică a problemelor de
aritmetică .
3.6. Metodele utilizate în cercetare
• observări sistematice
• experimentul pedagogic

Eșantionarea
Având în vedere obiectivele propuse s -a optat metodologic pentru următorul mod de
eșantionare: în cadrul cercetării s -a desemnat un lot unic format din C lasa a IV a Bde la Liceul
Tehnologic din C omuna Ciobanu , Județul Constanța .

57
Nivelul Clasei a IV -a B este unul mediu , are un efectiv de 21 de elevi din care 8 fete și 13
băieți cu vîrsta cuprinsă între 10 -11 ani și provin din mediul rural.
3.7. Prezentarea experimentului
Experimentul cuprinde următoarele etape:
E1. Evaluarea inițială – se realizează prin evaluare scrisă -test de evaluare
E2. Activitatea experimentală – cuprinde:
– 4 activități de familiarizare a elevilor cu limbajul grafic înainte de începerea rezolvării
problemelor prin metoda grafică
-4 activități de rezolvare a problem elor prin metoda grafică.
E3. Evaluarea finală -se realizează prin evaluare scrisă -test de evaluare.
3.7.1. Evaluarea inițială a elevilor
Are loc la începutul anului școlar sau al unui ciclu de învățământ, înaintea intrării
propriu -zise într -un program specific de instruire și formare (cazul de față).
Este necesară pentru a cunoaște condițiile de start și pentru a ține cont de acestea în
proiectarea programului de instruire, alegerea strategiilor didactice, aceasta permite cunoașterea
aptitudinilor, a abilităților și a cunoștințelor inițiale ale elevilor, a eventualelor lipsuri sau
dificultăți în bagajul de cunoștințe al acestora.
Evaluarea inițială a elevilor reprezintă o premisă necesară pentru conturarea programului
instruirii și al formării, pentru stabilirea c ondițiilor în care elevii se pot integra în activitatea
didactică următoare;
Evaluarea inițială ee realizează în special prin probe scrise, dublate uneori de probe orale.
Aceste probe îndeplinesc o funcție de diagnoză, pentru identificarea nivelului de pr egătire a
elevilor, a gradului de stăpânire a unor cunoștințe, abilități etc. în momentul intrării într -un
program de instruire, dar și o funcție de prognoză sau predictivă.

58
Succesul activității didactice este determinat de cunoașterea capacităților de înv ățare ale
elevilor, a nivelului de pregătire de la care se pleacă, de gradul de stăpânire a unor cunoștințe și
abilități necesare parcurgerii unei etape de formare. Se identifică două etape în contextul
evaluării inițiale:
1. M ăsurarea și aprecierea nivelului de pregătire a elevilor înaintea începerii unui ciclu,
an, semestru școlar, respectiv înaintea începerii studiului unei discipline de învățământ;
2. Decizia cu privire la proiectarea activităților didactice în funcție de n ivelul de pregătire
a elevilor. (Cristea, 1996, p. 94) , (Momanu, 2016, p. 29)
Evaluarea inițială s -a efectuat printr -un test de evaluare cu trei probleme care se rezolvă
prin metoda grafică, fiecare din tre probleme avînd câte 2 itemi:
-realizarea modelului care se notează cu 2 puncte;
-rezolvarea problemei care se notează cu 1 punct.
S-a acord at un punct din oficiu. Rezultatele testului sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Nr.
crt. Inițialele
elevului Problema 1 Problema 2 Problema 3
Oficiu Total
puncte % I1
model
2p I2 rez.
1p I3
model
2p I4 rez.
1p I5
model
2p I6 rez.
1p
1 A. I. F. 2 1 0 0 0 0 1 4 40%
2 C.M. C. 2 1 0 0 0 0 1 4 40%
3 C.O. D. 2 1 0 0 2 0 1 6 60%
4 C. V. P. 0 0 2 1 2 0 1 6 60%
5 C. D. G. 0 0 0 0 2 1 1 4 40%
6 D. D. F. 2 0 2 0 0 0 1 5 50%
7 D. A. G. 2 1 0 0 2 0 1 6 60%
8 D. P. M. 2 1 2 1 0 0 1 7 70%
9 G. A. 2 1 2 0 2 0 1 8 80%
10 G. C. A. 2 0 0 0 2 0 1 5 50%
11 G. C. G. 2 1 0 0 2 1 1 7 70%
12 I. C. M. 2 1 2 0 0 0 1 6 60%
13 L. C. I. 2 0 0 0 2 0 1 5 50%
14 M. A. G. 2 0 2 0 0 0 1 5 50%
15 M. I. V. 2 1 0 0 0 0 1 4 40%
16 N. S. A. 0 0 2 0 2 0 1 5 50%

59
17 P. M. 0 0 2 1 0 0 1 4 40%
18 P. M. C. 2 0 2 0 2 0 1 7 70%
19 P. G. A. 2 1 2 0 2 1 1 9 90%
20 T. D. 0 0 2 1 2 0 1 6 60%
21 V. A. C. 2 1 2 0 0 0 1 6 60%
Total 32 11 24 4 24 3 21 119
Tabelul nr. 1 Rezultatele la evaluarea inițială
Media ponderală a notelor Clasei a IV -a B la evaluarea inițială este de 5,57.
Graficele de distribuție a notelor , precum și poligonul frecvențelor sunt prezentate mai
jos:

Graficul nr. 1 tip bare: Rezultatele la evaluarea inițială 0 0 05 56
3
1 1
0
01234567
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Evaluare inițială
evaluare inițială

60

Graficul nr. 2 tip pie: Distribuția r ezultatel or la evaluarea inițială

Graficul nr. 3 Poligonul frecvențelor: Rezultatele la evaluarea inițială
3.7.2. Activitatea experimentală
Pașii ce trebuie urmați în rezolvarea unei probleme prin această metodă sunt:
– se reprezintă fiecare necunoscută printr -o figură (segment, dreptunghi, cerc etc.);
– fiecare relație din textul problemei se schematizează utilizând figurile alese, obținând
modelul grafic al problemei; 0 00
5
563110Evaluare inițială
1
2
3
4
5
6
7
8
9
01234567
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Evaluare inițială
evaluare inițială

61
– se fac legături pe schemă între necunoscute și datele problemei și se identifică
raționamentul de rezolvare;
– se fac calculele și se determină necunoscutele;
Problemele rezolvabile prin metoda figurativă se pot împărți în două mari caregorii
1. Cu date sau mărimi ”discrete” – înțelegând prin aceas ta că mărimile pot fi numărate
una câte una sau pot fi puse în corespondență după anumite criterii transfigurate simbolic.
2. Cu date sau mărimi “continui” – în acest caz mărimile le configurăm de obicei prin
segmente (Chiriac , 2017, p. 177)
Se observă că parcurgerea primelor etape depinde de formarea limbajului grafic, fiind o
condiție necesară, dar nu și sufucientă în rezolvarea problemelor prin metoda grafică.
3.7.2.1. Formarea limbajului grafic
Atunci când rezolvăm probleme de matematică trebuie să avem în vedere următoarele:
întâi de toate, înțelegerea problemei și exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre
mărimile care apar în textul acesteia.
Trebuie să înțelegem exprimările ce apar în textul pro blemelor și să le transpunem în
limbaj matematic .Mă refer la formulări le, pe care le găsim în culegeri și care dețin, de cele mai
multe ori, cheia rezolvării unei probleme:
Expresia cu atât mai mult(mai m are) înseamnă o adunare cu numărul indicat ;
Expresia cu atât mai puțin (mai mic ) înseamnă o scădere cu numărul indicat ;
Expresia de atâtea ori mai mult(mai m are) înseamnă o înmulțire cu numărul indicat ;
Expresia de atâtea ori mai puțin (mai mic ) înseamnă o împărțire la numărul indi cat.
Sunt de asemenea combinații între expresii le de mai sus care trebuie abordate cu atenție
și în ordinea efectuării operațiilor.
Apoi transpunem prin reprezentare grafică cerințele problemei.
Exemplul 1
Ce înseamnă expresia “ al doilea număr este cu 5 mai mare decât primul ”?

62
Pentru a reprezenta grafic această situație facem următorii pași:
1. Reprezentăm grafic primul număr printr -un segment;
2. Reprezentăm cu roșu magenta un segment cu valoarea 5, alipit de primul segment;

Figura nr. 1
Exemplul 2
Ce înseamnă expresia “ al doilea număr este cu 5 mai mic decât primul ”?
Pentru a reprezenta grafic această situație facem următorii pași:
1. Reprezentăm grafic primul număr printr -un segment;
2. Reprezentăm cu roșu magenta un segment cu valoarea 5, în cadrul primulu i
segment, pe care ulterior îl vom decupa din primul segment;

Figura nr. 2
Exemplul 3
Ce înseamnă expresia “ al doilea număr este de 3 ori mai mare decât primul ”?
Pentru a reprezenta grafic această situație facem următorii pași:
1. Reprezentăm grafic primul număr printr -un segment;

63
2. Desenăm din nou primul segment și în continuare alipim încă două de aceeași
valoare;

Figura nr. 3
Exemplul 4
Ce înseamnă expresia “ al doilea număr este de 4 ori mai m ic decât primul ”?
Pentru a reprezenta grafic această situație facem următorii pași:
1. Reprezentăm grafic primul număr printr -un segment, pe care îl împărțim în 4 părți
egale;
2. Desenăm doar prima parte a segmentului, care va fi de fapt al doilea număr;

Figura nr. 4
Exemplul 5
Ce înseamnă expresia “ al doilea nu măr este de 4 ori mai m ic decât numărul mai mic cu 5
decât primul ”?
Pentru a reprezenta grafic această situație facem următorii pași:
1. Reprezentăm grafic primul număr printr -un segment, pe care marcam cu roșu
magenta un segment de valoare 5, apoi restul seg mentului îl împărțim în 4 părți
egale;

64
2. Desenăm doar prima parte a segmentului, care va fi de fapt al doilea număr;

Figura nr. 5
Reprezentarea schematică
Această metodă folosește pentru ilustrare mici desene sau simboluri pentru ca elevul să
înțelegă mai ușor datele problemei, precum și pentru a rezolva mai ușor problema.
Exemplul 6
Ce înseamnă expresia “ al doilea număr este mai mare decât primul (care are valoarea
5) cu suma dintre 4 și 3 ”?
Precizăm că pentru reprezentarea schematică trebuie să cunoaștem toate valorile inițiale.
Pentru a reprezenta grafic această situație facem următorii pași:
1. Reprezentăm grafic primul număr prin 5 bile;
2. Reprezentăm apoi al numărul 4 și numărul 3;
3. Calculăm apoi suma 4 +3 = 7;
4. În final aflăm numărul cerut (5 + 7 = 12).

65

Figura nr. 6

66
ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ 1
Reprezentarea grafică a situațiilor cu atât mai mult (cu atât mai mare)
Resurse umane: elevii Clasei a IV-a B – 21 de elevi.
Organizare: frontal ă, individual ă.
Resurse oficiale :-Programa Școlară pentru disciplina Matematică, clasa a III -a și a IV -a.
-Manualul de Matematic ă, clasa a III -a, semestrul al II -lea, Mirela Mihăescu,
2016, Editura I ntuitext
Ținte: Predarea interactiv ă centrat ă pe elev ș i evaluarea continu ă.
Desfășurarea lecției

Învățătorul actualizează cunoștințele care sunt necesare predării/învățării lecției.
Care este rezultatul operației de adunare:
7 + 5 = ?
Puteți reprezenta grafic această operație matematică, prin segmente cu creioane colorate, în caiete?
Învățătorul trec e pe la fiecare și observă ce au făcut apoi prezintă cu video -proiectorul răspunsul
corect, explicând fiecare element grafic:

Învățătorul definește ce înseamnă expresia “cu atât mai mult”: “Cu atât mai mult” înseamnă cu un
număr mai mar e, adică adunarea cu acel număr.
În exemplul de mai sus spunem că 12 este cu 5 mai mult (mai mare) decât 7. De asemenea putem
spune că 12 este cu 7 mai mult (mai mare) decât 5.
În continuare sunt prezentate, cu ajutorul videoproiectorului, câteva probleme care conțin expresiile
“cu atât mai mult (cu atât mai mare)” -Anexa 1
Apoi sunt prezentate, cu ajutorul video -proiectorului datele fiecărei probleme și explică modul de
realizare a graficelor. – Anexa 2
Efectuează observarea sistematică a elevilor și dă indicații celor care nu au înțeles.

Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea.
Se fac aprecieri asupra activității întregii clase și aprecieri individuale.
Se propune tema pentru acasă, un set de probleme asemănătoare ce lor lucrate în clasă. -Anexa 3

67
Observații :
Reacțiile elevilor
Elevii, în timpul lecției, ascultă cu atenție indicațiile date de către profesor/învățător,
privesc tabla și ecranul cu imaginile proiectate de videoproiector și notează în caiete și pe fișele de
lucru ceea ce li se comunică. Dacă au nedumeriri, neînțelegeri sau întrebări le notează și le
transmit la sfârșit.
Dificultăți profesor/elevi
Relațiile dintre profesor și clasă se polarizează, în general, în sentimente de simpatie,
încredere reci procă sau, dimpotrivă, de antipatie, neîncredere și chiar ostilitate. Sunt și cazuri când
contactul spiritual dintre profesor și elev nu trece de zona indiferenței (clasa nu există pentru
profesor și nici profesorul pentru clasă).Inițiativa trebuie să apar țină însă profesorului, care ținând
seama de legea esențială a relațiilor afective interumane potrivit căreia: „simpatia și bunăvoința
naște simpatie și bunăvoință, antipatia și ostilitatea trezesc sentimente de aceiași calitate”, trebuie
să conducă, să di rijeze aceste relații și să le structureze pe relații de colaborare. În urma studiilor
efectuate s -a constatat că o parte dintre profesori nu reacționează adecvat nici în cazul
răspunsurilor bune (corecte) ale elevilor și nici în cazul răspunsurilor greșit e (nule) ele elevilor.
Așa cum am precizat mai sus, dacă elevii au nedumeriri, neînțelegeri sau întrebări le
notează și le transmit la sfârșit, însă de multe ori elevii nu au răbdare și întrerup firul lecției,
perturbându -i atât pe profesor cât și pe coleg i.
Avantaje/limite
Avantaj ele pe care le prezintă metoda grafică o situeaz ă pe primul loc în ceea ce prive ște
utilizarea ei :
-are un caracter general, aplicandu -se la orice caregorii de probleme în care se preteaz ă
figurarea
-are un caracter intuitiv , întelegerea rela țiilor dintre datele problemei f ăcându-se pe baza
imaginilor vizuale, uneori intervenind actiunea direct ă, mișcarea ș i transpunerea acesteia pe plan
mental.

68
-prin dimensiunile elementelor figurative și prin propor țiile dintre ele se creaz ă variate
modalit ăți de stabilire a rela țiilor cantitative dintre valorile m ărimilor.
– una dintre problemele de baz ă ale metode i grafice este problema dublului raport. Poart ă
aceast ă denumire datorit ă faptului c ă ea con ține în partea ini țială un raport între dou ă mărimi și în
partea final ă un alt raport între acelea și mărimi.
Limitele acestei lecții (reprezentarea grafică a sintag mei “cu atât mai mult”) constau în
faptul că în foarte multe probleme nu apare explicit aceasta, ci este definită prin alte expresii sau
cu alte cuvinte.
Sugestii
Pentru a mări posibilitățile de înțelegere a enunțurilor similare cu sintagma “cu atât mai
mult” ar trebui inventariate expresiile cu acest înțeles, a le explica și a le transpune în practică.

ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ 2
Reprezentarea grafică a situațiilor cu atât mai mult (cu atât mai mare)

Resurse umane: elevii Clasei a IV-a B – 21 de elevi.
Organizare: frontal ă, individual ă.
Resurse oficiale :-Programa Școlară pentru disciplina Matematică, clasa a III -a și a IV -a.
-Manualul de Matematic ă, clasa a III -a, semestrul al II -lea, Mirela Mihă escu,
2016, Editura Intuitext
Ținte: Predarea interactiv ă centrat ă pe elev ș i evaluarea continu ă.

69
Desfășurarea lecției

Învățătorul actualizează cunoștințele care sunt necesare predării/învățării lecției.
Ce sunt numerele consecutive?

Puteți reprezenta grafic trei numere consecutive, prin segmente cu creioane colorate, în caiete?
Învățătorul trece pe la fiecare și observă ce au făcut, apoi prezintă cu video -proiectorul răspunsul
corect, explicând fiecare element grafic:

Învățătorul definește ce înseamnă expresiile similare sintagmei “cu atât mai mult”: În lecția trecută
am învățat sensul sintagm ei “cu atât mai mult”, expresiile similare acesteia înseamnă că au același
înțeles cu această sintagmă, adică un număr mai mare implică adunarea cu acel număr.
În exemplul de mai sus spunem că două numere sunt consecutive dacă al doilea număr este cu 1 mai
mult (mai mare) decât primul. De asemenea putem spune că al treilea număr este cu 1 mai mult (mai
mare) decât al doilea număr.
În continuare sunt prezentate, cu ajutorul videoproiectorului, câteva probleme care conțin expresiile
“cu atât mai mult (cu a tât mai mare)” -Anexa 1

Apoi sunt prezentate, cu ajutorul video -proiectorului datele fiecărei probleme și explică modul de
realizare a graficelor. – Anexa 2
Efectuează observarea sistematică a elevilor și dă indicații celor care nu au înțeles.

Se reami ntesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea.
Se fac aprecieri asupra activității întregii clase și aprecieri individuale.
Se propune tema pentru acasă, o problemă asemănătoare celor lucrate în clasă. -Anexa 3
.
Dificultăți profesor/elevi
Nu au fost dificultăți de comunicare între profesor și elevi .
Avantaje/limite

70
Avantaj ele prezentării expresiilor similar sintagmei cu atât mai mult (cu atât mai mare)
reprezintă faptul că elevii și -au mărit capacitatea de înțelegere și interpretare a enunțurilor
problemelor.
Limita reprezintă faptul că nu pot fi inventariate toate expresiile similare sintagmei cu
atât mai mult (cu atât mai mare).
Sugestii
Se poate trece la predarea lecției următoare cu sintagma “cu atât mai puțin” (cu atât mai
mic). Tema pentru acasă poate fi formată doar dintr -o singură problemă.

ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ 3
Reprezentarea grafică a situațiilor cu atât mai puțin (cu atât mai mic)
Resurse umane: elevii Clasei a IV-a B – 21 de elevi.
Organizare: frontal ă, individual ă.
Resurse oficiale :-Programa Școlară pentru disciplina Matematică, clasa a III -a și a IV -a.
-Manualul de Matematic ă, clasa a III -a, semestrul al II -lea, Mirela Mihăescu,
2016, Editura Intuitext
Ținte: Predarea interactiv ă centrat ă pe elev ș i evaluarea continu ă.
Desfășurarea lecției

Învățătorul actualizează cunoștințele care sunt necesare predării/învățării lecției.
Care este rezultatul operației de adunare:
12 – 7 = ?
Puteți reprezen ta grafic această operație matematică, prin segmente cu creioane colorate, în caiete?
Învățătorul trece pe la fiecare și observă ce au făcut apoi prezintă cu video -proiectorul răspunsul
corect, explicând fiecare element grafic:

71
Observații:
Reacțiile elevilor
Elevii, în timpul lecției au dat dovadă că au înțeles expresiile similare sintagm ei cu atât
mai puțin (cu atât mai m ic), au înțeles de asemenea că acele segmente pe care le desenează au o
mărime arbitrară și nu sunt proporționale cu mărimile cunoscute din desen .
Dificultăți profesor/elevi
Nu au fost dificultăți de comunicare între profesor și elevi .
Avantaje/limite
Avantajele prezentării expresiilor similare sintagmei cu atât mai puțin (cu atât mai m ic)
reprezintă faptul că elevii și -au mărit capacitatea de înțelegere și interpretare a enunțurilor
problemelor , ei au înțeles mai ușor, fiind familiarizați cu sintagm a cu atât mai mult (cu atât mai
mare) din activitățile experimentale precedente .
Limita reprezintă faptul că în multe probleme întâln im sintagm a cu atât mai puțin (cu atât
mai m ic), cu care trebuie să se familiarizeze .
Sugestii
Trebuie date exemple cu expresii similare sintagmei “cu atât mai puțin” (cu atât mai
mic). Învățătorul definește ce înseamnă expresia “cu atât mai puțin”: “Cu atât mai mic” înseamnă cu un
număr mai mic, adică scăderea cu acel număr.
În exemplul de mai sus spunem că5 este cu 7 mai puțin (mai mic) decât 12. De asemenea putem
spune că 7 este cu 5 m ai puțin (mai mic) decât 12.
În continuare sunt prezentate, cu ajutorul videoproiectorului, câteva probleme care conțin expresiile
“cu atât mai puțin (cu atât mai m ic)” și “cu atât mai mult” -Anexa 1
Apoi sunt prezentate, cu ajutorul video -proiectorului datele fiecărei probleme și explică modul de
realizare a graficelor. – Anexa 2
Efectuează observarea sistematică a elevilor și dă indicații celor care nu au înțeles.

Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea.
Se fac aprecieri asupra activității întregii clase și aprecieri individuale.
Se propune tema pentru acasă, un set de probleme asemănătoare celor lucrate în clasă. -Anexa 3

72

ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ 4
Reprezentarea grafică a situațiilor cu atât mai puțin (cu atât mai mic)
.
Resurse umane: elevii Clasei a IV-a B – 21 de elevi.
Organizare: frontal ă, individual ă.
Resurse oficiale :-Programa Școlară pentru disciplina Matematică, clasa a III -a și a IV -a.
-Manualul de Matematic ă, clasa a III -a, semestrul al II -lea, Mirela Mihăescu,
2016, Editura Intuitext
Ținte: Predarea interactiv ă centrat ă pe elev ș i evaluarea continu ă.
Desfășurarea lecției

Învățătorul actualizează cunoștințele care sunt necesare predării/învățării lecției.

Ce operație matematică se folosește când întâlnim în enunțurile problemelor următoarele expresii: s -a
consumat, s -a vândut, au zburat, au plecat, au fost -au rămas etc?

Puteți reprezenta grafic prin segmente cu creioane colorate, în caiete enunțul următor: Din 29 de elevi
ai Clasei a IV -a nu au promovat 5 elevi. Câți elevi vor fi la începutul Clasei a V -a?
Învățătorul trece pe la fiecare și observă ce au făcut, apoi prez intă cu video -proiectorul răspunsul
corect, explicând fiecare element grafic:

Învățătorul definește ce înseamnă expresiile similare sintagmei “cu atât mai puțin”: În lecția trecută
am învățat sensul sintagmei “cu atât mai puțin”, expresiile similare acesteia înseamnă că au același
înțeles cu această sintagmă, adică un număr mai mic implică scăderea cu acel număr.
Din exemplul de mai sus înțelegem că efectivul elevilor la începutul Clasei a V -a este mai puțin (mai
mic) decât efectivul elevilor Clasei a IV -a cu numărul celor care nu au promovat.

73
În continuare sunt prezentate, cu ajutorul videoproiectorului, câteva probleme care conțin expresiile
similare sintagmei “cu atât mai puțin (cu atât mai m ic)”-Anexa 1
Apoi prezentă, cu ajutorul video -proiectorului datele fiecărei probleme și explică modul de realizare a
grafi celor. – Anexa 2
Efectuează observarea sistematică a elevilor și dă indicații celor care nu au înțeles.
Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea.
Se fac aprecieri asupra activității întregii clase și aprecieri individual e.
Se propune tema pentru acasă, o problem ă asemănătoare celor lucrate în clasă. -Anexa 3 și se solicită
ca elevii să revadă exemplele din activitățile experimentale 1 și 2.

Observații :
Reacțiile elevilor
Elevii, în timpul lecției au dat dovadă că au înțeles sintagma cu atât mai mult (cu atât mai
mare) cât și expresiile similare acestora.
Dificultăți profesor/elevi
Nu au fost dificultăți de comunicare între profesor și elevi .
Avantaje/limite
Avantaj ele pre zentării expresiilor similar sintagmei cu atât mai mult (cu atât mai mare)
reprezintă faptul că elevii și -au mărit capacitatea de înțelegere și interpretare a enunțurilor
problemelor.
Limita reprezintă faptul că nu pot fi inventariate toate expresiile simi lare sintagmei cu
atât mai mult (cu atât mai mare).
Sugestii
Se poate trece la predarea lecției următoare cu sintagma “cu atât mai puțin” (cu atât mai
mic). Pe lângă t ema pentru acasă elevii trebuie să revadă exemplele din activitățile
experimentale1 și 2 care vor fi continuate în activitatea experimentală viitoare .

74
3.8. Aplicarea limbajului grafic
Rezolvarea problemelor prin metoda figurativă pres upune : realizarea unei figuri prin
care n umerele/mărimile prezente în pr oblemă se repr ezint ă grafic , precum și relațiile
matematice dintre ele.
Pentru rezolvare a problemei trebuie să se aibă în vedere obținerea de părți egale .
ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ 5
Rezolvarea prin metoda grafică a problemelor ale căror enunțuri conțin expresia cu atât
mai mult (cu atât mai mare) sau similare acesteia.
Scopul: -Rezolvarea problemelor prin metoda grafică ale căror modele grafice au fost realizate ;
-Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme.
și/sau compune rea de probleme cu raționamente simple , prin metoda grafică
Resurse umane: elevii Clasei a IV-a B – 21 de elevi.
Organizare: frontal ă, individual ă.
Resurse oficiale :-Programa Școlară pentru disciplina Matematică, clasa a III -a și a IV -a.
-Manualul de Matematic ă, clasa a III -a, semestrul al II -lea, Mirela Mihăescu,
2016, Editura Intuitext
Ținte: Predarea interactiv ă centrat ă pe elev ș i evaluarea continu ă.
Desfășurarea lecției
Învățătorul actualizează cunoștințe -le care sunt necesare predării/învățării lecției.
Invită la tablă un elev pentru a realiza modelul grafic realizat în una din activitățile experimentale 1 și
2. Citește enunțul problemei:
Liviu, Mircea și Dan au adunat din pădure un coș cu 103 ciuperci. Mircea a adunat cu 15 ciuperci mai
multe decât Dan, iar Liviu a reușit să culeagă cu 4 ciuperci mai multe decât Mircea. Câte ciuperci a
adunat fiecare ?
Învățătorul trece pe la fiecare și observă ce au făcut apoi prezintă cu video -proiectorul răspunsul
corect, explicând fiecare element din modelul grafic:

75
Învățătorul prezintă etapele rezolvării problemelor prin metoda grafică .
Etapele sunt:
a)-cunoașterea enunțului problemei;
b)-înțelegerea enunțului problemei, scrierea datelor și a cerințelor problemei;
c)-analiza problemei, întocmirea planului logic și al modelului grafic;
d)-alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților în planul logic;
e)-verificarea rezultatului;
f)-scrierea sub formă de exercițiu;
g)-găsirea altei căi sau metode de rezolvare;
h)-generalizare;
i)-compunerea de probleme după un model grafic asemănător etc
Apoi precizează că primele trei etape au fost parcurse deja.
În cadrul etapei d) sunt prezentate cu videoproiectorul urmăroarele subetape:
-egalarea segmentelor, prin scăderea din total a valoriilor segmentelor cunoscute:
103 – 15 – 15 – 4 = 69
-aflăm câte ciuperci a cules Dan:
69 : 3 = 23
– aflăm câte ciuperci a cules Mircea:
23 + 15 = 38
– aflăm câte ciuperci a cules Liviu:
23 + 15 + 4 = 42
Propune trecerea la etapa e) verificarea rezultatului și confruntarea cu valoarea din enunțul problemei.
Pentru aceasta se adună cele 3 rezultate:
23 + 38 + 42 = 103
Cei trei copii au cules 103 ciuperc i, așa cum este prevăzut și în enunțul problemei.
Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea.
Se fac aprecieri asupra activității întregii clase și aprecieri individuale.
Se propune tema pentru acasă pe grupe: rezolvarea unei probleme din activitățile experimentale 1 și 2,
cu excepția celei de mai sus care a fost lucrată în clasă.

Observații :
Reacțiile elevilor
Elevii, în timpul lecției au dat dovadă că au înțeles rezolvarea problemelor care au în
enunț sintagma cu atât mai mult (cu atât mai mare) cât și expresiile similare acestora.

Dificultăți profesor/elevi
Nu au fost dificultăți de comunicare între profesor și elevi .
Avantaje/limite

76
Avantaj ul prezentării rezolvării problemelor prin metoda grafică constă în faptul că elevii
din clasele mici pot rezolva unele probleme, pe care elevii mai mari le rezolvă prin ecuații sau
sisteme de ecuații.
Limita repre zintă faptul că nu pot fi inventariate toate expresiile similare sintagmei cu
atât mai mult (cu atât mai mare), pentru a fi luate ca model.
Sugestii
Se poate trece la compunerea problemelor după o reprezentare grafică rezolvabilă prin
metoda grafică cu sintagma “cu atât mai mult” (cu atât mai mare). Pe lângă tema pentru acasă
elevii trebuie să revadă exemplele din activitățile experimentale 1 și 2 care vor fi continuate în
activitatea experimentală viitoare.

ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ 6
Compunerea de probleme după o reprezentări grafice, rezolvabile prin metoda grafică ale
cu enunțuri care conțin expresia cu atât mai mult (cu atât mai mare) sau similare acesteia.
Scopul: -Rezolvarea problemelor prin metoda grafică ale căror modele grafice au fost realizate ;
-Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme.
Resurse umane: elevii Clasei a IV-a B – 21 de elevi.
Organizare: frontal ă, individual ă.
Resurse oficiale :-Programa Școlară pentru disciplina Matematică, clasa a III -a și a IV -a.
-Manualul de Matematic ă, clasa a III -a, semestrul al II -lea, Mirela Mihăescu,
2016, Editura Intuitext
Ținte: Predarea interactiv ă centrat ă pe elev ș i evaluarea continu ă.
Desfășurarea lecției
Învățătorul actualizează cunoștințe -le care sunt necesare predării/ învățării lecției.
Ce reprezintă modelul grafic al unei probleme?

77

Învățătorul confirmă definiția data de către elev și propune scrierea acesteia în caiete de către toți
elevii
Învățătorul prezintă următorul model grafic pe baza căruia elevii trtebuie să compună probleme
care să se rezolve prin metoda grafică .

Pe baza modelului grafic de mai sus propune prim ul exemplu:
Liviu, Mircea și Dan au adu s la școală 103 kg de maculatură . Mircea a adu s cu 15 kg de
maculatură mai mult decât Dan, iar Liviu a adus cu 4 kg de maculatură mai mult decât Mircea.
Ce cantitate de maculatură a adus fiecare ?
Apoi propune al doilea model de problemă pe aceiași reprezentare grafică, pentru a arăta că nu se
schimbă modul de rezolvare și nici rezultatul:
Un ciclist a parcurs distanța de 103 km în trei zile după cum urmează:marți a parcurs cu 15 km
mai mult decât duminică , iar luni a parcurs cu 4 km mai mult decât marți . Ce distanță a parcurs
ciclistul în fiecare din cele trei zile ?
Propune elevilor să compună pe caiete cîte o problemă pe baza aceluiași model grafic.
Apoi verifică prin sondaj cel puțin 5 propuneri.

Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea.
Se fac aprecieri asupra activității întregii clase și aprecieri individuale ale elevilor nominalizați.
Se propune tema pentru acasă pe grupe: compunerea de probleme pe baza modelelor grafice din
activitățile experimentale 1 și 2, cu excepția celei de mai sus care a fost lucrată în clasă.

Observații :
Reacțiile elevilor
Elevii, în timpul lecției au dat dovadă că au înțeles compunerea de probleme cu sintagma
cu atât mai mult (cu atât mai mare) cât și expresiile similare acestora.

78
Dificultăți profesor/elevi
Nu au fost dificultăți de comunicare între profesor și elevi .
Avantaje/limite
Avantaj ul compunerii de probleme care se rezolvă prin metoda grafică constă în faptul că
elevilor li se dezvoltă creativitatea și înțeleg mai bine modul de rezolvare a problemelor .
Limita reprezintă faptul că sunt foarte multe expresii similare sintagmei cu atât mai mult
(cu atât mai mare), pentru a fi luate ca model și poate fi creată o rețetă de compunere a
problemelor .
Sugestii
Se poate trece la rezolvarea problemelor prin metoda grafică cu sintagma “cu atât mai
puțin ” (cu atât mai m ic). Pe lângă tema pentru acasă elevii trebuie să revadă exemplele din
activitățile experimentale 3 și 4 care vor fi continuate în activitatea experimentală viitoare.

ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ 7
Rezolvarea prin metoda grafică a problemelor ale căror enunțu ri conțin expresia cu atât
mai puțin (cu atât mai mic) sau similare acesteia.
Scopul: -Rezolvarea problemelor prin metoda grafică ale căror modele grafice au fost realizate ;
-Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme.
Resurse umane: elevii Clasei a IV-a B – 21 de elevi.
Organizare: frontal ă, individual ă.
Resurse oficiale :-Programa Școlară pentru disciplina Matematică, clasa a III -a și a IV -a.
-Manualul de Matematic ă, clasa a III-a, semestrul al II -lea, Mirela Mihăescu,
2016, Editura Intuitext
Ținte: Predarea interactiv ă centrat ă pe elev ș i evaluarea continu ă.
Desfășurarea lecției
Învățătorul actualizează cunoștințele care sunt necesare predării/ învățării lecției.
Invită la t ablă un elev pentru a realiza modelul grafic realizat în una din activitățile experimentale 3 și
4. Citește enunțul problemei:

79
În parc se joacă 20 de fete și baieti. Știind că baieții sunt cu 10 mai puțini decât fetele, aflați câti băieți
și câte fete se joacă î n parc?
Învățătorul trece pe la fiecare și observă ce au făcut apoi prezintă cu video -proiectorul răspunsul
corect, explicând fiecare element din modelul grafic:

Învățătorul reamintește etapele rezolvării problemelor prin metoda grafică :
Etapele sunt:
a)-cunoașterea enunțului problemei;
b)-înțelegerea enunțului problemei, scrierea datelor și a cerințelor problemei;
c)-analiza problemei, întocmirea planului logic și al modelului grafic;
d)-alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților în planul logic;
e)-verificarea rezultatului;
f)-scrierea sub formă de exercițiu;
g)-găsirea altei căi sau metode de rezolvare;
h)-generalizare;
i)-compunerea de probleme după un model grafic asemănător etc
Apoi precizează că primele trei etape au fost parcurse deja.
În cadrul etapei d) sunt prezentate cu videoproiectorul urmăroarele subetape:
-egalarea segmentelor, prin adunarea la total a valorii segmentului cunoscut:
20+ 10 = 30
-aflăm numărul de fete :
30 : 2 = 15
– aflăm numărul de băieți :
15 -10 = 5
Propune trecerea la etapa e) verificarea rezultatului și confruntarea cu valoarea din enunțul problemei.
Pentru aceasta se adună cele 2 rezultate:
15 + 5 = 20
Numărul de copii (băieți și fete) care se joacă în parc este20, așa cum este prevăzut și în enunțul
problemei.
Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea.
Se fac aprecieri asupra activității întregii clase și aprecieri individuale.
Se propune tema pentru acasă pe grupe: rezolvarea unei probleme din activitățile experimentale 3 și 4,
cu excepția celei de mai sus care a fost lucrată în clasă.

Observații :
Reacțiile elevilor

80
Elevii, în timpul lecției au dat dovadă că au înțeles rezolvarea problemelor care au în
enunț sintagma cu atât mai puțin (cu atât mai m ic) cât și expresiile similare acestora.
Dificultăți profesor/elevi
Nu au fost dificultăți de comunicare între profesor și elevi .
Avantaje/limite
Avantaj ul prezentării rezolvării problemelor prin metoda grafică constă în faptul că elevii
din clasele mici pot rezolva unele probleme, pe care elevii mai mari le rezolvă prin ecuații sau
sisteme de ecuații.
Limita repre zintă faptul că nu pot fi inventariate toate expresiile similare sintagmei cu
atât mai puțin (cu atât mai m ic), pentru a fi luate ca model.
Sugestii
Se poate trece la compunerea problemelor după o reprezentare grafică ,rezolvabil e prin
metoda grafică cu sintagma “cu atât mai puțin ” (cu atât mai m ic). Pe lângă tema pentru acasă
elevii trebuie să revadă exemplele din activitățile experimentale 3 și 4 care vor fi continuate în
activitatea experimentală viitoare.

ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ 8
Compunerea de probleme după o reprezentări grafice, rezolvabile prin metoda grafică ale
cu enunțuri care conțin expresia cu atât mai puțin (cu atât mai mic) sau similare acesteia.
Scopul: -Rezolvarea problemelor prin metoda grafică ale căror modele grafice au fost realizate ;
-Dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme.
Resurse umane: elevii Clasei a IV-a B – 21 de elevi.
Organizare: frontal ă, individual ă.
Resurse oficiale :-Programa Școlară pentru disciplina Matematică, clasa a III -a și a IV -a.
-Manualul de Matematic ă, clasa a III -a, semestrul al II -lea, Mirela Mihăescu,
2016, Editura Intuitext
Ținte: Predarea interactiv ă centrat ă pe elev ș i evaluarea cont inuă.

81
Desfășurarea lecției
Învățătorul actualizează cunoștințe -le care sunt necesare predării/ învățării lecției.
Ce reprezintă modelul grafic al unei probleme?

Învățătorul confirmă definiția data de către elev și propune scrierea acesteia în caiete de către toți
elevii
Învățătorul prezintă următorul model grafic pe baza căruia elevii trebuie să compună probleme care să
se rezolve prin metoda grafică .

Pe baza modelului grafic de mai sus propune prim ul exemplu:
Într-o curte sunt 20 de păsări domestice (găini și rațe) . Știind că rațele sunt cu 10 mai puțin e decât
găinile , aflați cât e găini și câte rațesunt în curte .
Apoi propune al doilea model de problemă pe aceiași reprezentare grafică, pentru a arăta că nu se
schimbă modul de rezolvare și nici rezultatul:
Golgheterul echipei de handbal a înscris 20 de goluri în două meciuri . Știind că în al doilea meci a
înscris cu 10 goluri mai puțin edecât în pr imul meci, aflați câte goluri a marcat în fiecare din cele două
meciuri .
Propune elevilor să compună pe caiete cîte o problemă pe baza aceluiași model grafic.
Apoi verifică prin sondaj cel puțin 5 propuneri.

Se reamintesc aspectele importante și pune întrebări referitoare la acestea.
Se fac aprecieri asupra activității întregii clase și aprecieri individuale ale elevilor nominalizați.
Se propune tema pentru acasă pe grupe: compunerea de probleme pe baza modelelor grafice din
activitățile experimentale 3 și 4, cu excepția celei de mai sus care a fost lucrată în clasă.

Observații :
Reacțiile elevilor
Elevii, în timpul lecției au dat dovadă că au înțeles compunerea de probleme cu sintagma
cu atât mai puțin (cu atât mai m ic) cât și expresiile similare acestora.

82
Dificultăți profesor/elevi
Nu au fost dificultăți de comunicare între profesor și elevi .
Avan taje/limite
Avantaj ul compunerii de probleme care se rezolvă prin metoda grafică constă în faptul că
elevilor li se dezvoltă creativitatea și înțeleg mai bine modul de rezolvare a problemelor.
Limita reprezintă faptul că sunt foarte multe expresii similare sintagmei cu atât mai puțin
(cu atât mai m ic), pentru a fi luate ca model și poate fi creată o rețetă de compunere a
problemelor.
Sugestii
După efectuarea celor 8 activități experimentale s e poate efectua evaluarea finală a
elevilor Clasei a IV -a B.
3.9. Evaluarea finală
-Se realizează la sfârșitul unei perioade instrucționale mai mari (semestru, an școlar sau
ciclu de învățământ) și are un caracter retrospectiv, în sensul că se raportează la o perioadă de
formare care s -a scurs, fără a fi posibilă o implicare decizională care să vizeze o recuperare
imediată a elevilor cu dificultăți de învățare;
-Constituie expresia modelului evaluativ tradițional, cu funcție principală de ie rarhizare și
selecșie a elevilor pe criteriul performanțelor obținute,
Este mai degrabă o formă a controlului social, interesând mai mult instituțiile cu putere
de control și decizie, decât educatorii, implicați direct în actul formativ și preocupați mai mult de
recuperarea lipsurilor într -un regim specific (cât se poate de individualizat) decât de ierarhizarea
elevilor;
-Se realizează mai ales prin probe scrise, dar și prin examinări orale și oferă o diagnoză a
pregătirii elevilor, dar și o prognoză, deo arece rezultatele obținute stabilesc contextul și condițiile
în care elevii vor reuși să asimileze conținuturile noului program de instruire.

83
Principalul merit al evaluării cumulative este acela că permite constatarea progresului
obținut prin compararea r ezultatelor cu obiectivele propuse, dar și cu nivelul la care se aflau
subiecții la începutul acțiunii.
Principalul neajuns al evaluării cumulative pare a fi acela că răspunde doar parțial
scopului propus de orice acțiune de evaluare, pentru că “orice est imare finală servește sistemului
pentru a reformula eventual strategia instructiv -educativă, dar nu și elevilor care au parcurs un
ciclu de instruire și nu -și mai pot ameliora deficiențele eventual constatate”. (Neculau, 1983)
Evaluarea sumativă nu oferă, deci, informații complete cu privire la progresele sau
nereușitele parțiale ale fiecărui elev și nu -i poate ajuta pe elevi să -și corecteze greșelile, să -și
completeze cunoștințele.
Evaluarea cumulativă servește ca mijloc de dia gnosticare, apreciază I.T.Radu, oferind
informațiile necesare care, în cele din urmă, duc la ameliorarea strategiei de învățare, la
adoptarea unei “politici” noi pentru stadiul următor; principala problemă, din care decurg toate
criticile aduse acestei for me de evaluare, constă în faptul că aceste ameliorări nu mai pot ajuta cu
nimic elevii care au parcurs perioada de instruire evaluată.
Un alt reproș adus evaluării sumative este acela că nu poate oferi informații complete
asupra măsurii în care fiecare el ev stăpânește un anumit conținut, deoarece nu însoțește procesul
didactic pas cu pas, secvență cu secvență. (Radu, 1995)
Evaluarea finală s -a efectuat printr -un test de evaluare cu trei probleme care se rezolvă
prin metoda grafică, fiecare dintre probleme avînd câte 2 itemi:
-realizarea modelului care se notează cu 2 puncte;
-rezolvarea problemei care se notează cu 1 punct.
S-a acordat un punct din oficiu. Rezultatele testului sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Nr.
crt. Inițialele
elevului Problema 1 Problema 2 Problema 3
Oficiu Total
puncte % I1
model
2p I2 rez.
1p I3
model
2p I4 rez.
1p I5
model
2p I6 rez.
1p
1 A. I. F. 2 1 2 0 0 0 1 6 60%

84
2 C.M. C. 2 1 0 0 2 0 1 6 60%
3 C.O. D. 2 1 2 0 2 0 1 8 80%
4 C. V. P. 2 0 2 1 2 0 1 8 80%
5 C. D. G. 0 0 2 0 2 1 1 6 60%
6 D. D. F. 2 0 2 0 2 1 1 8 80%
7 D. A. G. 2 1 1 0 2 0 1 7 70%
8 D. P. M. 2 1 2 1 2 0 1 9 90%
9 G. A. 2 1 2 1 2 1 1 10 100%
10 G. C. A. 2 0 2 0 2 0 1 7 70%
11 G. C. G. 2 1 2 0 2 1 1 9 90%
12 I. C. M. 2 1 2 0 2 0 1 8 80%
13 L. C. I. 2 0 2 0 2 1 1 8 80%
14 M. A. G. 2 0 2 0 2 0 1 7 70%
15 M. I. V. 2 1 0 2 1 0 1 7 70%
16 N. S. A. 2 0 2 0 2 0 1 7 70%
17 P. M. 2 0 2 1 0 0 1 6 60%
18 P. M. C. 2 1 2 0 2 1 1 9 90%
19 P. G. A. 2 1 2 1 2 1 1 10 100%
20 T. D. 2 0 2 1 2 0 1 8 80%
21 V. A. C. 2 1 2 0 2 0 1 8 80%
Total 40 12 37 8 37 7 21 162
Tabelul nr. 2 Rezultatele la evaluarea finală
Media ponderală a notelor Clasei a IV -a B la evaluarea finală este de 7,71.
Graficele de distribuție a notelor, precum și poligonul frecvențelor sunt prezentate mai
jos:

85

Graficul nr. 4 tip bare: Distribuția rezultatelor la evaluarea finală

Graficul nr. 5 tip pie: Distribuția r ezultatel or la evaluarea finală 0 0 0 0 0457
3
2
012345678
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Evaluare afinală
evaluare finală
000
00
4
5
732Evaluare finală
1
2
3
4
5
6
7
8
9

86

Graficul nr. 6 Poligonul frecvențelor: Rezultatele la evaluarea finală
Pentru a analiza comparativ mai rezultatele celor două evaluări le vom prezenta pe
aceleași grafice:

Graficul nr. 7 tip bare: Distribuția comparativă a rezultatelor 0 0 0 0 0457
3
2
012345678
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Evaluare finală
evaluare finală
0 0 05 56
3
1 1
0 0 0 0 0 0457
3
2
012345678
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Analiză comparativă
Analiză comparativă Clasa a IV -a B Evaluare inițială
Analiză comparativă Clasa a IV-a B Evaluare finală

87

Graficul nr. 8 Poligonul frecvențelor: Rezultatele comparative
Din graficele de mai sus se observă o deplasare spre dreapta a notelor, iar distribuția
rezultatelor evaluării finale a elevilor Clasei a IV -a B se apropie de o distribuție tip Gauss
normală, av ând maximul în dreptul notei 8.
Nr.
crt. Activitatea Perioada Observații
1 Evaluarea inițială (rezolvarea
problemelor prin metoda grafică) S Evaluare scrisă -test de
evaluare
2 Activitarea experimentală 1 Formarea
limbajului grafic S
3 Activitarea experimentală 2 Formarea
limbajului grafic S
4 Activitarea experimentală 3 Formarea
limbajului grafic S
5 Activitarea experimentală 4 Formarea
limbajului grafic S
6 Activitarea experimentală 5 Rezolvarea
problemelor prin metoda grafică S
7
Activitarea experimentală 6 Rezolvarea S 0 0 05 56
3
1 1
0 0 0 0 0 0457
3
2
012345678
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Analiza comparativă
Clasa a IV -a B Evaluare inițială Clasa a IV-a B Evaluare finală

88
problemelor prin metoda grafică
8 Activitarea experimentală 7 Rezolvarea
problemelor prin metoda grafică S
9 Activitarea experimentală 8 Rezolvarea
problemelor prin metoda grafică S
10 Evaluarea finală (rezolvarea problemelor
prin metoda grafică) S Evaluare scrisă -test de
evaluare
Tabelul nr. 3. Graficul de desfășurare al experimentului

89
CONCLUZII
Analizând rezultatele cercetării constatăm că se confirmă ipotez a de lucru :
Dacă elevii sunt famili arizați cu limbajul grafic de rezolvare a unei probleme , atunci
elevii vor obține rezultate mai bune în rezolvarea prin metoda grafică a problemelor de
aritmetică.
Se confirmă aceasta comparând rezultatele evaluării finale cu rezultatele evaluării inițiale
constatându -se o creștere a mediei ponderale a notelor de 38,84 % (de la 5,57 la 7,71) .
De asemenea se confirmă că strategia adoptată este foarte bună și a adus rezultate.

90
BIBLIOGRAFIE
1. Alixandroaia, M. (2010). Strategii de rezolvare a problemelor de matematică la Clasele
I-IV. Bacău: Editura Rovimed Publisher.
2. Anton, I. și alții. (2005). O pedagogie pentru Învățământul Primar. Arad: Editura
Universității Aurel Vlaicu.
3. Bărboiu, E. S. (201 6). Jocul didactic -modalitate de dezvoltare și stimulare a creativității.
http://www.sinuc.utilajutcb.ro/IV.1.pdf.
4. Blogger. (2016). Metoda figurativa – Metoda grafica – Metoda segmentelor – Tipuri de
probleme rezolvate. http://proparinti.blogspot.com/2013/ 10/metoda -figurativa -metoda –
grafica -metoda.html.
5. Cherata, V. (1994). Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică pentru clasele I -VI.
Craiova: Editura Sibila.
6. Cherata, V. și colaboratorii. (1994). Metode și tehnici de rezolvare Clasele I -IV. Craiova:
Editura Sibila.
7. Chiriac, C. C. (2017). Metode specifice de rezolvare a problemelor de aritmetică, Annals
of the „Constantin Brâncuși” University of Târgu Jiu, Letter and Social Science Series,
Supplement 3/2017. Târgu Jiu: Academica Brâncuși Publisher.
8. Cosm ovici, A., Iacob, L. (1999). Psihologie școlară. Iași: Editura Polirom.
9. Cristea, S. (1996). Pedagogie generală. Managementul educației. București: Editura
Didactică și Pedagogică RA.
10. Cristina. (2017). Probleme cu diferență, cât și rest.
http://www.matecucristina.ro/copii/metoda -figurativa -probleme -cu-diferenta -cat-si-rest.
11. Cucoș, C. (2016). Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice ,
Ediția a III -a. Iași: Editura Polirom.
12. Dudău, M. și colaboratorii. (2016). Aproa pe totul despre metoda figurativă – Matematică
pentru învățământul primar. Pitești: Editura Carminis.
13. Gagne, R. (1975). Condițiile învățării. București: Editura Didactică și Pedagogică.
14. Găișteanu, M. (2006). Psihologia copilului. București: Editura Leonard o Da Vinci.
15. Golu, M. (1997). Fundamentele Psihologiei, Ediția a V -a. București: Editura Fundației
România Mare.

91
16. Grozăvescu, N. S. (2017). Metode de rezolvare a problemelor aritmetice tipice. Caracal:
http://www.isjolt.ro/wp -content/uploads/2017/11/GROZAVES CU-Nadia_Metode -de-
rezolvare -a-problemelor -aritmetice -tipice.pdf.
17. Holban, I. (1978). Cunoașterea elevului: o sinteză a metodelor. București: Editura
Didactică și Pedagogică.
18. Momanu, M. (2016). Curs Pedagogie II. Teoria și metodologia instruirii. Teoria și
metodologia evaluării. http://www.psih.uaic.ro/dppd/postuniv/15 –
16/teme_pedagogieII.pdf.
19. Năchilă, P., Năchilă, P., E. (2018). Exerciții și probleme pentru cercurile de matematică.
Pitești: Editura Nomina.
20. Necșuliu, I. (2015). Metodica predării un ității de învățare ,,Metode aritmetice de
rezolvare a problemelor”. Râmnicu Vâlcea:
http://isjvl.ro/images/stories/food/site/resurse%20educationale/MATEMATICA/archive/
MET%20PRED.pdf.
21. Neculau, A. (1983). Dinamica grupurilor și a echipei. Iași: Editura Polir om.
22. Perianu, M., Stănică, C., Smărăndoiu, Șt. (2017). Matematică Clasa a V -a. București:
Editura Art.
23. Polya, G. (1971). Descoperirea matematică. Euristica rezolvării problemelor. București:
Editura Didactică și Pedagogică.
24. Radu, I. T. (1995). Elemente de d ocimologie didactică. Cluj-Napoca: Editura Dacia.
25. Schneider, M. (1991). Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică pentru clasele I –
IV. Craiova: Editura Apolo.
26. Suteu, T. (1978). Cunoașterea și autocunoașterea elevilor. București: Editura Politică.
27. Șchiopu, U. (1963). Psihologia copilului. București: Editura Didactică și Pedagogică.
28. Șchiopu, U., Verza, E. (1997). Psihologia vârstelor. București: Editura Didactică și
Pedagogică RA.
29. Todor, L. (2016). Probleme care se rezol vă prin metoda figurativă.
https://www.scribd.com/doc/53419168/Probleme -Care -Se-Rezolva -Prin-Metoda –
Figurativa.
30. Tomșa, G. (1999). Consilierea și orientarea în școală. București: Casa de Editură și
Presă Vatra Românească.

92
31. Zlate, M. (2006). Psihologia mecani smelor cognitive, Ediția a II -a. Iași: Editura Polirom.
32. Zorgo, B. (1980). Probleme fundamentale ale psihologiei. București: Editura Academiei.

UNIVERSITATEA OVIDIUS DIN CONSTANȚA
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚE ALE EDUCAȚIEI
SPECIALIZAREA PEDAGOGIA ÎNVĂȚĂMÂNTULUI PRIMAR ȘI PREȘCOLAR

UNIVERSITATEA OVIDIUS DIN CONSTANȚA
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚE ALE EDUCAȚIEI
SPECIALIZAREA PEDAGOGIA ÎNVĂȚĂMÂNTULUI PRIMAR ȘI PREȘCOLAR

ANEXE
Anexa 1
1. Suma a două numere n și b este 19. Al doilea număr (m) este cu 3 mai mare decât
primul număr (n) . Află numerele.
2. Suma a trei numere este 25. Al doilea număr este cu 4 mai mare decât primul număr ,
iar al treilea cu 2 mai mare decât al doilea . Care sunt cele trei numere ?
3. La o librărie s -au adus în trei zile 1868 de cărți. Câte c ărți s -au adus în fiecare zi, dacă
în prima zi s -au adus cu 32 mai multe decât în a doua zi, iar în a doua zi cu 18 mai
multe decât a treia zi?
4. Liviu, Mircea și Dan au adunat din pădure un coș cu 103 ciuperci. Mircea a adunat cu
15 ciuperci mai multe decât Dan, iar Liviu a reușit să culeagă cu 4 ciuperci mai multe
decât Mircea. Câte ciuperci a adunat fiecare ?
Anexa 2
1. a) Se scriu datele și cerințele problemei:
m + n = 19
m = n + 3
n = ?, m = ?
b) Se face reprezentarea grafică:
Expresia matematică cu at ât mai mult (cu 3 mai mare), conduce la următorulraționament:
după ce reprezentăm primul număr (n), vom reprezenta și numărul al doilea (m) astfel: desenăm
mai întâi un segment de mărimea primului număr (n) și în prelungirea acestui segment , desenăm ,
arbitrar, un alt segment care indică cu cât este mai mare al doilea număr (m) + 3 , obținând astfel
al doilea număr :

95

2. a) Se scriu datele și cenințele problemei:
m + n + r = 25
m = n + 4
r = m + 2
m = ?, n = ?, r = ?
b)Se face reprezentarea grafică:

3. a) Se scriu datele și cerințele problemei:
I + II + III = 1868
II = III + 18
I = II + 32
I = ?, II = ?, III = ?
b)Se face reprezentarea grafică:

4. a) Se scriu datele și cerințele problemei:
L + M + D = 103
M = D + 15
L = M + 4
D = ?, M = ?, L = ?
b) Se face reprezentarea grafică:

96

Anexa 3 Tema pentru acasă
Realizați modelul grafic pentru rezolvarea următoarelor probleme:
1. Mihai are împreună cu fratele lui 50 de ani. Fratele este cu 4 ani mai în vârstă decât
el. Câți ani are fiecare?
2. Dan a citit într -o săptămână 175 de pagini dintr -o carte de povești. Știind că în fiecare zi
băiatul a citit cu 5 pagini mai mult decât în ziua precedentă, află la ce pagină a ajuns după 5 zile
de lectură, dacă prima poveste a început la pagina 6.
Anexa 4
1. Ionel deschide o carte de povești. Suma numerelor celor două pagini este 21.Ce
număr are pagina din partea dreaptă? (paginile sunt consecutive)
2. Suma a trei numere consecutive pare este 18. Care sunt numerele ?
3. Suma a trei numere impare consecutive este 21. Află cele trei numere.
4. Mihai este mai în vârstă decât Geanina cu 6 ani . Împreună au 24 de ani. Ce vârstă are
fiecare?
Anexa 5
1. a) Se scriu datele și cerințele problemei:
a + b = 21
b = a + 1
a , b = ?
b)Se face reprezentarea grafică:

97

2. a)Se scriu datele și cerințele problemei :
b = a + 2
c = b + 2
a, b, c = ?
b)Se face reprezentarea grafică:

3. a)Se scriu datele și cerințele problemei:
a + b + c = 21
b = a + 2
c = b + 2
a , b , c = ?
b)Se face reprezentarea grafică:

4. a)Se scriu datele și cerințele problemei:
M + G = 24
M = G + 6
M = ? G = ?
b)Se face reprezentarea grafică:

Anexa 6

98
Trei numere consecutive au suma 402, care sunt aceste numere ?