Specializarea: Metode » si modele ^ ³n inteligent »a arti¯cial¸ a MODELAREA DISCRET ¸A A SISTEMELOR ECOLOGICE Craiova 2011 Cuprins 1 Introducere 3 2… [608018]

Universitatea din Craiova
Facultatea de Matematic¸ a » si Informatic¸ a
LUCRARE DE DISERTAT »IE
Profesor coordonator,
Conf. Dr. Costin-Radu Boldea
Absolvent: [anonimizat],
Silvia Vl¸adut »
Craiova 2011

Universitatea din Craiova
Facultatea de Matematic¸ a » si Informatic¸ a
Specializarea: Metode » si modele ^ ³n inteligent »a arti¯cial¸ a
MODELAREA DISCRET ¸A A
SISTEMELOR ECOLOGICE
Craiova 2011

Cuprins
1 Introducere 3
2 Modele de cre» stere exponent »ial¸ a a populat »iilor de bacterii 5
2.1 Modelul lui Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Modelul logistic al lui Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Ipoteza de modelizare f¸ acut¸ a de Verhulst . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Modelul logistic continuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3 Ecuat »ia logistic¸ a : modelul discret . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.4 Abordarea computat »ional¸ a a modelului logistic al lui
Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Modelul Lotka-Volterra 12
3.1 Dinamica populat »iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Modelul Lotka – Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Un model numeric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Remarci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Comunit¸ at »ile speciilor multiple 22
4.1 Modele considerate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 St¸ arile de echilibru » si stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.1 St¸ arile de echilibru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.2 St¸ arile de stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Criteriile Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1

5 Aplicat »ie 27
5.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 Codul surs¸ a al aplicat »iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2

Capitolul 1
Introducere
Bioinformatica este un domeniu al » stiint »ei^ ³n care biologia, » stiint »a despre calculatoare
» si tehnologia informat »iei se contopesc^ ³ntr-o singur¸ a disciplin¸ a. Scopul ¯nal al acestei
» stiint »e este de a permite at^ at descoperirea unor noi cuno» stint »e ^ ³n biologie, c^ at » si de
a crea o perspectiv¸ a global¸ a din care principiile uni¯catoare ale biologiei s¸ a poat¸ a ¯
deosebite.
^In bioinformatic¸ a la ora actual¸ a au fost dezvoltat »i » si implementat »i c^ at »iva algo-
ritmi pentru a asigura o interfat »¸ a gra¯c¸ a ce permite utilizatorului accesul la bazele
de date existente. ^In acest mod, compararea secvent »elor nou g¸ asite cu acelea stocate
^ ³n baza de date este o problem¸ a de c^ ateva minute. Dar chiar » si a» sa, este necesar¸ a o
analiz¸ a atent¸ a a rezultatului » si, eventual, reluarea c¸ aut¸ arii ^ ³n baza de date cu un ¯l-
tru de select »ie mai ¯n. Astfel, este posibil¸ a determinarea rapid¸ a a diferent »elor dintre
specii, precum » si diferent »ele dintre un individ s¸ an¸ atos » si unul bolnav. Bioinformatica
poate de aceea conduce la o mai bun¸ a ^ ³nt »elegere a viet »ii » si a cauzelor moleculare ale
diferitelor boli.
Una dintre problemele de care se ocup¸ a bioinformatica se refer¸ a la crearea » si
ment »inerea bazelor de date cu informat »ii biologice.
^In modelul lui Malthus el se^ ³ntreab¸ a dac¸ a legile naturale pot s¸ a reprezinte » si ele o
cauz¸ a. Modelul logistic a lui Verhulst r¸ aspunde ipotezei urm¸ atoare: Cre» sterea rela-
tiv¸ a a populat »iei per unitate de timp este o funct »ie a¯n¸ a descresc¸ atoare a populat »iei.
Aprofundarea interact »iuni model¸ ari tro¯ce a fost promovat¸ a independent de
3

americanul ¯zician chimist Alfred Lotka ^ ³n 1925 » si italianul matematician Vito
Volterra ^ ³n 1926. Ace» sti autori au argumentat ca consumatori » si resursele populat »iei
ar putea ¯ tratate ca o intereact »iune de particule ^ ³ntr-un amestec omogen de gas
sau lichid » si, ^ ³n aceste condit »ii, rata ^ ³ntalnirilor dintre consumatori » si resurse (rata
react »iei) ar ¯ proport »ional¸ a cu produsul maselor ("legea act »iuni maselor").
Modelul Lotka – Volterra este cel mai simpu model de interact »ie prad¸ a – pr¸ ad¸ ator.
Modelul descrie interact »iunea dintre dou¸ a specii dintr-un ecosistem, un pr¸ ad¸ ator » si
o prad¸ a.
4

Capitolul 2
Modele de cre» stere exponent »ial¸ a a
populat »iilor de bacterii
^In ce sens pot interact »iunile (durabile), ^ ³ntre specii sau ^ ³n snul unei specii, s¸ a
in°uent »eze sau s¸ a participe la select »ia natural¸ a » si la evolut »ia speciilor ?
Un nuf¸ ar, Victoria regia, ^ ³» si dubleaz¸ a suprafat »a la ¯ecare 9 zile. Dup ¸3 luni, un
singur nuf¸ ar acoper¸ a cu totul o jum¸ atate din suprafat »a de ap¸ a. C^ at timp este necesar
pentru a acoperi cealalt¸ a jum¸ atate de ap¸ a?
2.1 Modelul lui Malthus
Thomas Robert Malthus (1766-1834) a fost un pastor anglican » si economist. ^In acest
sf^ ar» sit de secol XVIII, reformatorii ^ ³l acuz¸ a pe guvernatorul englez W. Pitt pentru
existent »a unui num¸ ar foarte mare de familii s¸ arace engleze» sti. Malthus se ^ ³ntreab¸ a
dac¸ a legile naturale pot s¸ a reprezinte » si ele o cauz¸ a.
5

Astfel, ^ ³» si pune 2 ^ ³ntreb¸ ari :
²Care ar putea ¯ cre» sterea natural¸ a a populat »iei dac¸ a ea s-ar l¸ asa ^ ³n voia sort »ii?
²Care ar putea ¯ cre» sterea produselor de pe P¸ am^ ant?
Evolut »ia populat »iei:
Pentru el, ipoteza de baz¸ a este dublarea populat »iei ^ ³n 25 de ani. Ne baz¸ am deci pe
o serie geometric¸ a, cu termenul principal 2.
Evolut »ia resurselor naturale:
^In revan» s¸ a, el consider¸ a c¸ a dac¸ a capacitatea de product »ie s-ar dubla ^ ³n primii 25
de ani, ea ar cre» ste ^ ³n continuare, de-a lungul perioadelor de c^ ate 25 de ani, p^ an¸ a la
maximul product »iei init »iale.
Avem deci o serie aritmetic¸ a , cu termenul principal, primul termen.
Malthus preconizeaz¸ a deci c¸ a familiile s¸ arace ^ ³n propriul lor interest limiteaz¸ a
voit num¸ arul de na» steri.
La^ ³nceputul secolului XIX, acest model a fost contestat de c¸ atre Marx bine^ ³nt »eles
pentru care problemele veneau din partea repartit »iilor de bog¸ at »ii, dar de asemenea » si
de c¸ atre Pierre-Francois Verhulst (1804-1849) care se interesa de statisticile sociale
» si propunea un nou model numit modelul logistic.
2.2 Modelul logistic al lui Verhulst
2.2.1 Ipoteza de modelizare f¸ acut¸ a de Verhulst
Pentru Malthus, pentru o perioad¸ a limitat¸ a de timp, populat »ia este modelizat¸ a
printr-o serie geometric¸ a: Pn+1=¸Pn.
^In acest caz, cre» sterea relativ¸ a a populat »iei per unitate de timp este constant¸ a:
Pn¡1¡Pn
Pn=¸¡1 constant¸ a notat¸ a a. Avem deci: a=k¡1
Verhulst consider¸ a c¸ a dac¸ a populat »ia s-ar putea dezvolta^ ³n conformitate cu mod-
elul lui Malthus, ^ ³n timpul unei scurte perioade de "explozie demogra¯c¸ a", resursele
ne¯ind inepuizabile, cre» sterea populat »iei va ¯ apoi fr^ anat¸ a » si limitat¸ a.
6

Trebuie deci introdus un factor de fr^ anare. Cre» sterea relativ¸ a a populat »iei per
unitate de timp nu trebuie s¸ a mai ¯e constant¸ a , ci trebuie s¸ a ¯e o funct »ie de-
scresc¸ atoare a populat »iei. Se poate lua o funct »ie descresc¸ atoare, cea mai simpl¸ a
posibil¸ a: o funct »ie a¯n¸ a.
Modelul logistic r¸ aspunde deci ipotezei urm¸ atoare, enunt »at¸ a de Verhulst:
"Cre» sterea relativ¸ a a populat »iei per unitate de timp este o funct »ie a¯n¸ a de-
scresc¸ atoare a populat »iei."
2.2.2 Modelul logistic continuu
Aceast¸ a ipotez¸ a va ¯ tradus¸ a de maniera urm¸ atoare :
P(t+ ¢t)¡P(t)
P(t)¢t=uP(t) +v
cu urm¸ atoarele condit »ii care permit determinarea valorilor u » si v:
²u <0 (funct »ia P a¯n¸ a » si descresc¸ atoare)
²dac¸ a P este mic¸ a, modelul este conform modelului lui Malthus, deci cre» sterea
relativ¸ a a populat »iei per unitate de timp este aproximativ egal¸ a cu ¸¡1 = a:
Propunem deci ca lim P(t)!0uP(t) +v=a, unde v = a.
²Populat »ia P(t) admite o limit¸ a K (numit¸ a capacitate de ^ ³nc¸ arcare) » si c^ and
P(t) tinde la K, cre» sterea relativ¸ a a populat »iei per unitate de timp tinde la 0. Apoi,
uK+v= 0 deci u=¡v
K=¡a
K:
Obt »inem deci succesiv :P(t+¢t)¡P(t)
P(t)¢t=
a³
1¡P(t)
K´
apoi, f¸ ac^ and pe ¢t s¸ a tind¸ a
la 0,dP
dt=a³
1¡P(t)
K´
numit¸ a ecuat »ia
logistic¸ a » si pun^ and Q=1
P0; Q0=¡aQ+
a
Kde unde, not^ and P0=P(0),
P(t) =K
1+³
K
P0¡1´
e¡at.
Curba descris¸ a de funct »ia P este nu-
mit¸ a curba logistic¸ a.
7

^In form¸ a de S, ea prezint¸ a o " ple-
care rapid¸ a ", traduc^ and o cre» stere
cvasi exponent »ial¸ a (ca ^ ³n modelul lui
Malthus) cu un punct de in°exiune
de ordonat¸ ak
2» si o asimptot¸ a core-
spunz¸ atoare capacit¸ at »ii de ^ ³nc¸ arcare K.
Verhulst procedeaz¸ a bine f¸ ac^ and veri¯c¸ ari statistice pornind de la datele de-
mogra¯ce de care dispunea ^ ³n epoca sa. El utilizeaz¸ a apoi acest model pentru a face
previziuni. Astfel, ^ ³n 1837, prezice c¸ a ^ ³n 1930 vor ¯ 40 milioane de francezi. Putem
posteriori s¸ a apreciem aceast¸ a previziune, c¸ aci : ^ ³n 1931, francezii erau ^ ³n num¸ ar de
41,5 milioane.
Totu» si lucr¸ arile sale vor ¯ uitate de-a lungul aproape a unui ^ ³ntreg secol. Vor ¯
reluate cam prin 1920 de c¸ atre demogra¯i americani » si de c¸ atre zoologul Raymond
Pearl. El face diferite experimente (studiaz¸ a reconstituirea unei cozi de » sop^ arl¸ a dup¸ a
ce o avuse t¸ aiat¸ a, studiul unei populat »ii de mu» ste ^ ³nchise ^ ³ntr-un borcan) » si toate
rezultatele sale sunt ^ ³n conformitate cu legea logistic¸ a.
Pearl va face tranzit »ia de la studiul de mu» ste la cel al populat »iilor umane. El
prevede astfel un prag de 2,6 milliarde de locuitori ^ ³n 2100. S »i noi suntem deja mai
mult »i dec^ at 6 miliarde.
De fapt, acest model era validat de c¸ atre Pearl pentru o populat »ie de animale
^ ³ntr-un spat »iu^ ³nchis » si un mediu de viat »¸ a constant. El nu putea ¯ transpus a» sa brutal
spre populat »ia uman¸ a, unde mediul de viat »¸ a nu e constant ; exist¸ a de exemplu ciclii
demogra¯ci provocat »i de schimb¸ arile tehnice, culturale sau sociale, av^ and un impact
asupra evolut »iei populat »iei.
Totu» si, acest model este utilizat foarte des pentru a studia diferite fenomene ca:
– Propagarea unei epidemii (din 30 Aprilie 1760, ^ ³ntr-un memoriu al academiei
de » stiint »e, D. Bernoulli propune o modelizare a unei epidemii de variol¸ a astfel pentru
a studia interesul inoculat »iei maladiei pentru populat »ie, deci tehnic¸ a foarte contro-
versat¸ a. El introduce de fapt, cu aceast¸ a ocazie un model logistic)
– Variat »ia aparit »iei a anumitor gene ^ ³n s^ anul unei populat »ii
– Maniera r¸ asp^ andirii unui zvon
8

-^In¸ alt »imea medie a heliotropilor unui c^ amp de-a lungul unei s¸ apt¸ am^ ani
Putem, de asemenea s¸ a cit¸ am teoriile de ^ ³nv¸ at »are, creat »ia muzical¸ a, » si chiar » si
evolut »ia num¸ arului de mile de cale ferat¸ a construit¸ a ^ ³ntre 1830 » si 1920 pe care-l
modeleaz¸ a foarte bine.
2.2.3 Ecuat »ia logistic¸ a : modelul discret
Traduc^ and ipoteza lui Verhulst de manier¸ a discret¸ a obt »inem :
Pn+1¡Pn
Pn=a¡
1¡Pn
K¢
.^Inlocuim deci, seria ( Pn) printr-o serie care^ ³i este proport »ional¸ a
^ ³n 2 etape. Punem : pn=Pn
K, » si obt »inem pn+1=pn+apn(1¡pn) – apoi xn=a
a+1pn
, » si ar¸ at¸ am c¸ a ( xn) veri¯c¸ a relat »ia de recurent »¸ a :
xn+1=kxn(1¡xn) numit¸ a ecuat »ia logistic¸ a ^ ³n care k = 1 + a, » si pentru orice
n,xneste un num¸ ar real cuprins ^ ³ntre 0 » si 1.
Comportarea seriei
Se pune problema g¸ asirii unei serii de iterat »ie a funct »iei f de¯nit¸ a prin :
f(x) =kx(1¡x). Cum f are 2 puncte ¯xe care sunt 0 » sik¡1
k=a
a+1singurele limite
posibile pentru aceast¸ a serie sunt 0 » sik¡1
k.
Reprezentarea gra¯c¸ a a primilor termeni ai seriei permite precizarea comporta-
mentului pentru diferite valori ale lui k.
Mai precis :
" Dac¸ a k·1, seria converge la 0. Ea este descresc¸ atoare » si minorat¸ a de 0. Cum
cel¸ alalt punct ¯x este negativ, singura sa limit¸ a posibil¸ a este 0. " Dac¸ a 1 < k < 3,
seria converge lak¡1
k. Seria este monoton¸ a pentru 1 < k < 2, apoi ea devine
ne-monoton¸ a pentru 2 < k < 3. Convergent »a este rapid¸ a pentru k apropiat de 2 » si
lent¸ a pentru un k de valoare apropiat¸ a de 3.
"Dac¸ a k > 3, nu se mai observ¸ a convergent »¸ a c¸ atre un un punct ¯x, except »ie
f¸ ac^ and seriile stat »ionare (de exemplu dac¸ a x0este unul din punctele ¯xe . De ex-
emplu, pentru k = 3.2, seria posed¸ a 2 subserii convergente. Populat »ia va cunoa» ste
cicluri de perioad¸ a 2. Vorbim despre ciclu atractor de perioad¸ a 2.
" Continu^ and s¸ a cre» stem k, aceste 2 puncte atractoare se apropie de un punct ¯x
p^ an¸ a c^ and o nou¸ a bifurcat »ie are loc pentru k = 3.4495. Vom avea deci un ciclu de
9

perioad¸ a 4. Spunem c¸ a s-a produs o dublare de perioad¸ a. Acest fenomen se repet¸ a,
produc^ and bifucat »ii ^ ³nspre ciclurile de perioad¸ a 8 ;16;32etc pentru valori k din ce ^ ³n
ce mai apropiate » si care converg spre 3.57. Vorbim acum despre cascad¸ a de dublare
de perioad¸ a. ^Incep^ and de aici, sistemul ^ ³ncepe s¸ a devin¸ a haotic.
^In 1975, Feigenbaum se interesa de valorile lui k pentru care exist¸ a bifurcat »ie. El
a descoperit c¸ a seria diferent »elor dintre aceste valori k trebuie s¸ a ¯e geometric¸ a. El
ia alte funct »ii (asemeni acesteia de gradul 2) pentru care acest fenomen ce conducea
la haos prin dublarea perioadei era observabil. El constat¸ a deci c¸ a seria diferent »elor
r¸ am^ ane geometric¸ a » si mai mult, r¸ am^ ane aceea» si!
Acest motiv notat cu 1 =±sau±¼4:6692016609 este numit constanta lui Feigen-
baum. Ea const¸ a ^ ³ntr-o constant¸ a universal¸ a, precum e ¼… Aceste munci, publicate
spre 1978 au ¯xat o schem¸ a simpl¸ a de tranzit »ie ^ ³nspre haos dublnd perioada.
Totu» si, nimic nu ne-a demonstrat nc¸ a dac¸ a tranzit »ia ^ ³nspre haos a sistemelor
¯zice a putut urm¸ ari schema. Un experiment montat ^ ³n 1979 pe helium lichid per-
mite demonstrarea ei. Mai mult, pertinent »a teoriilor despre haos au fost ^ ³ntru totul
elocvente. Aceste aproxim¸ ari au deschis c¸ ai de cercetare ^ ³n biologie (adaptarea sis-
temului imunitar),^ ³n meteorologie,^ ³n astronomie,^ ³n ¯zic¸ a (fenomene de turbulent »¸ a).
Aceasta munc¸ a a lui Feigenbaum a format un cadru de ^ ³nt »elegere a haosului
^ ³ntregii lumi.
2.2.4 Abordarea computat »ional¸ a a modelului logistic al lui
Verhulst
Se pune problema g¸ asirii solut »iei problemei Cauchy:
Propun implementarea calcul¸ arii solut »iei ^ ³n Matlab. Astfel:
>>t0=0; te=10;
>>P0=1;
>>a=1; K=10;
>>[t,P] = ode45(@logistic, [t0 te],P0,[],a,K);
>>plot(t,P);
>>title(' solution logistic equation')
Unde:
10

" funct »ia logistic¸ a este function dPdt = logistic(t,P,a,K); dPdt=a*P*(1-P/K);
" ultimele dou¸ a argumente corespund ^ ³n ecuat »ia logistic¸ a ultimelor dou¸ a argu-
mente ale lui ode45;
" a – rata de natalitate;
" K – capacitatea de transport;
" t0 – momentul initial (timpul de start);
" te – momentul ¯nal;
" P0 – populat »ia init »ial¸ a;
11

Capitolul 3
Modelul Lotka-Volterra
Aprofundarea interact »iuni model¸ ari tro¯ce a fost promovat¸ a independent de ameri-
canul ¯zician chimist Alfred Lotka ^ ³n 1925 » si italianul matematician Vito Volterra ^ ³n
1926. Ace» sti autori au argumentat ca consumatori » si resursele populat »iei ar putea ¯
tratate ca o intereact »iune de particule ^ ³ntr-un amestec omogen de gas sau lichid » si,
^ ³n aceste condit »ii, rata ^ ³ntalnirilor dintre consumatori » si resurse (rata react »iei) ar ¯
proport »ional¸ a cu produsul maselor ("legea act »iuni maselor"). Dinamica interact »iuni
dintre resursa populat »iei H » si consumatorii populat »iei C este descris¸ a de ecuat »ia
diferent »ial¸ a:
dH
dt=aH¡bHC
dC
dt=cbHC ¡mC
unde:
a = procentul pe cap de erbivor ^ ³n absent »a consumatorilor
b = procentul consumului la consumatori
c = constanta conversiei resurselor ^ ³n consumatori dupa prim¸ avar¸ a
m = procentul mortalit¸ at »i pe cap de consumator ^ ³n absent »a resurselor.
Termenii din ecuat »ie au urm¸ atorul ^ ³nteles:
1. aH = procentul de cre» stere al erbivorilor ^ ³n absent »a pr¸ ad¸ atorilor. Ace» stia, ^ ³n
12

absent »a pr¸ ad¸ atorilor, populat »ia erbivorilor cre» ste conform ecuat »iei
dH
dt=aH
care duce la Ht=H0eat, ecuat »ia cre» steri exponent »iale
2. bHC = procentul consumului de erbivori, sau procentul mortalit »¸ at »i ^ ³n urma
atacurilor pr¸ ad¸ atorilor.
3. cbHC = procentul de pr¸ ad¸ atori dup¸ a prim¸ avar¸ a, care este legat de num¸ arul
de pr¸ azi consumate.
4. mC = procentul mortalit¸ at »i ^ ³n absent »a hranei. Ace» stia, ^ ³n absent »a pradei,
pr¸ ad¸ atorii mor conform ecuat »iei
dC
dt=¡mC
care duce la Ct=C0e¡mt, ecuat »ia sc¸ aderi exponent »iale.
Datorit¸ a legii cre» sterii exponent »iale aplicate tuturor populat »iilor tot timpul este
mult mai interesant » si util s¸ a studiem procentele ratelor pentru ¯ecare populat »ie.
Vom face acest lucru diviz^ and ¯ecare ecuat »ie dup¸ a num¸ arul indivizilor din populat »ie.
Rh=dH
Hdt=a¡bC
Rc=dC
Cdt=cbH¡m
unde:
Rh= procentul pe cap de prad¸ a
Rc= procentul pe cap de pr¸ ad¸ ator.
Aceste ecuat »ii sunt acum cunoscute ca R-funct »ii pentru populat »iile prad¸ a, re-
spectiv pr¸ ad¸ ator.
13

3.1 Dinamica populat »iei
Natura general¸ a a rezultatelor dinamice ale interact »iuni celor dou¸ a specii poate ¯
dedus¸ a calcul^ and indicele cre» sterilor zero dintr-un habitat pentru cele dou¸ a specii.
Este evident c¸ a populat »iile prad¸ a- pr¸ ad¸ ator vor ¯ ^ ³n echilibru c^ and ratele vor ¯
zero deoarece p¸ as¸ arile vor egala moarte ^ ³n aceste condit »ii. Putem g¸ asi echilibrul
^ ³n habitat, ^ ³n liniile unde ¯ecare specie este constant¸ a, rezolv^ and ecuat »ia dinamic¸ a
prad¸ a-pr¸ ad¸ ator unde Rh=Rc= 0 . Pornind cu L-V pentru prada » si R-funct »ie,
avem 0 = a – bC
C=a
b
Cu alte cuvinte, indicele cre» steri zero a pr¸ azilor este o constant¸ a care intersecteaza
axa pr¸ ad¸ atorilor ^ ³n a/b. La fel indicele cre» steri zero pentru pr¸ ad¸ atori:
0 =cbH¡m
H=m
cbeste o constant¸ a care intersecteaz¸ a axa pr¸ azi ^ ³nm
cb. Ace» sti indici sunt
prezentat »i ^ ³n ¯gurile de mai jos.
(St^ anga) Erbivore (H) » si carnivore (C) arat^ and indicele cre» sterilor zero pentru
modelul L-V (indicele erbivorilor = orizontal linia albastr¸ a,indicele carnivorilor =
vertical linia ro» sie).S¸ aget »ile arat¸ a direct »ia vectorilor pentru schimbarea populat »iei ^ ³n
cele 4 regiuni.
(Dreapta) Erbivore (albastru) » si carnivore (ro» su) pe linia timpului arat¸ a oscilat »iile
de abundent »a pentru pr¸ ad¸ atori l¸ as^ and ^ ³n urm¸ a prada. De ret »inut c¸ a un echilibru
^ ³ntre comuniuni se ^ ³ntampl¸ a c^ and cei doi indici se intersecteaz¸ a, deoarece, ^ ³n acel
punct, ambele populat »ii r¸ am^ an neschimbate. Spat »iul prad¸ a-pr¸ ad¸ ator este ^ ³mpart »it
^ ³n 4 regiuni de indici de echilibru.
14

1. ^ ³n aceast¸ a regiune ambele populat »ii cresc » si vectorii populat »iei se ^ ³ndreapta
spre colt »ul din dreapta sus
2. ^ ³n aceast¸ a regiune populat »ia pr¸ ad¸ atorilor cre» ste ^ ³n timp ce a pr¸ azilor scade » si
vectorii populat »iei se ^ ³ndreapta spre colt »ul din st^ anga sus.
3. ^ ³n aceast¸ a regiune ambele populat »ii scad » si vectori populat »iei se ^ ³ndreapta
spre colt »ul din st^ anga jos.
4. ^ ³n aceasta regiune populat »ia pr¸ azii cre» ste ^ ³n timp ce populat »ia pr¸ ad¸ atorilor
scade, deci de acea vectorii se ^ ³ndreapta spre colt »ul din dreapta jos.
3.2 Modelul Lotka – Volterra
Modelul Lotka – Volterra este cel mai simpu model de interact »ie prad¸ a – pr¸ ad¸ ator.
Modelul descrie interact »iunea dintre dou¸ a specii dintr-un ecosistem, un pr¸ ad¸ ator » si o
prad¸ a. Toate descrierile acestui model prezentate ^ ³n acest capitol au fost prelucrate
din Chapman [1].
Deoarece consider¸ am dou¸ a specii, modelul va avea dou¸ a ecuat »ii diferent »iale, una
care s¸ a descrie cum se schimb¸ a populat »ia pr¸ azilor » si a doua care descrie cum se
schimb¸ a populat »ia pr¸ ad¸ atorilor:
(
dH
dt=aH¡rHC
dC
dt=cHC¡mC
unde:
H = populat »ia prad¸ a
C = populat »ia pr¸ ad¸ ator
a = rata de cre» stere a populat »iei prad¸ a
b = factorul de e¯cient »¸ a a pr¸ ad¸ atorilor
c = rata reproduceri pr¸ ad¸ atorilor s¸ atui
m = procentul mortalit¸ ati pr¸ ad¸ atorilor.
M¸ asur^ and parametri modelului Lotka -Volterra urm¸ atorul set de experiment »e ar
trebui f¸ acute:
1. T »inem populat »ia pr¸ azi departe fat »¸ a de pr¸ ad¸ atori » si estim¸ am rata de cre» stere
15

(a)
2. Punem c^ ate un pr¸ ad¸ ator ^ ³n c^ ate o cu» sc¸ a cu diferite cantit¸ at »i de prad¸ a » si es-
tim¸ am rata mortalitat »i la pr¸ azi » si valoarea k corespunz¸ atoare ¯ec¸ arei cu» sti. A» sa cum
» stim valoarea k este egal¸ a cu rata mortalitat »i instantanee multiplicate ^ ³n timp. Deci,
rata pr¸ ad¸ atorilor (b) este egal¸ a cu valoarea k ^ ³mpart »it¸ a la durata experimentului.
Ex: O vulpe omoar¸ a 60 de iepuri din 100 ^ ³n 2 zile. Atunci valoarea k=
¡ln¡
1¡60
100¢
= 0:92 » si b=0:92
2= 0:46.
Not¸ a: dac¸ a valorile b estimate la diferite cantit¸ at »i de pr¸ azi nu sunt su¯cient de
egale, atunci modelul L-V nu va funct »iona. Totu» si modelul poate ¯ modi¯cat pentru
a cuprinde relat »ia densit¸ at »ii pr¸ azi.
3. Estimarea parametrilor c » si m: T »inem constanta densitatea pr¸ azilor (H=0,5,10,20,100
pr¸ azi per cu» sc¸ a), » si estim¸ am rata de cre» stere a populat »iei pr¸ ad¸ atorilor la aceste can-
tit¸ ati de pr¸ azi. Realiz^ and gra¯cul ^ ³ntre rata de cre» stere a pr¸ ad¸ atorilor » si cantit¸ at »ile
de pr¸ azi, regresia liniar¸ a a acestei linii este: ap=cH¡m
Cum rezolv¸ am aceste ecuat »ii diferent »iale?
Sunt dou¸ a abord¸ ari majore: analitic¸ a si numeric¸ a. Metoda analitic¸ a este complicat¸ a
» si necesit¸ a bune cuno» stint »e matematice. Deasemenea multe ecuat »ii diferent »iale nu
au nici o solut »ie analitic¸ a(¯gura de mai jos)
16

Metodele numerice sunt mai u» soare » si mai universale (totu» si, sunt probleme de
convergent »a). Cea mai simpl¸ a » si cea mai utilizat¸ a metod¸ a este cea a lui Euler.
Consider¸ am o ecuat »ie diferent »ial¸ a stat »ionar¸ a:dx
dt=f(x)
^Int^ ai avem nevoie de condit »iile init »iale. Vom presupune c¸ a la timpul t0valoarea
funct »iei este x(to). Acum putem estima valoarea x mai devreme (sau mai t^ arziu) ^ ³n
timp utiliz^ and ecuat »ia: x(t0+ ¢t) =x(t0) + ¢ t¢f(x(t0)).
Cea mai mare surs¸ a de erori ^ ³n metoda lui Euler este estimarea derivatelor de la
^ ³nceputul intervalului. Direct »ia solut »iei actuale se poate schimba drastic ^ ³n timpul
intervalului de timp » si punctul numeric precizat poate ¯ departe de actuala solut »ie
(vezi ¯gura).
Metoda lui Euler poate ¯ ^ ³mbun¸ at¸ at »it¸ a, dac¸ a derivatele sunt estimate ^ ³n centrul
intervalului de timp ¢ t. Totu» si, derivatele ^ ³n centru depind de valoarea funct »iei ^ ³n
centru care este necunoscut¸ a. Deci, pentru ^ ³nceput avem nevoie s¸ a estim¸ am valoarea
funct »iei ^ ³n punctul din mijloc utiliz^ and metoda Euler simpl¸ a, » si apoi putem estima
derivatele ^ ³n punctul din mijloc.
k=x(to) + 0:5¢¢t¢f(x(t0) unde k este valoarea funct »iei ^ ³n centrul intervalului
de timp ¢ t.^In ¯nal, putem estima valoarea funct »iei la sf^ ar» situl intervalului:
x(t0+ ¢t) =x(t0) + ¢ t¢f(k).
17

Mai ^ ³nt^ ai estim¸ am densitatea prad¸ a-pr¸ ad¸ ator ( H1» si respectiv C1) ^ ³n centrul
intervalului:
(
H1=H+ 0:5¢¢t¢(aH¡bHC)
C1=C+ 0:5¢¢t¢(cHC¡mC)
Urm¸ atorul pas este s¸ a estim¸ am densitatea prad¸ a – pr¸ ad¸ ator ( H11» siC11) la
sf^ ar» situl intervalului timpului din pasul 1 ¢ t:
(
H11=H+ ¢t¢(aH1¡bH1C1)
C1=C+ ¢t¢(cH1C1¡mC1)
Cele dou¸ a gra¯ce de mai jos au fost f¸ acute utiliz^ and acela» si model pentru parametri.
Singura diferent »¸ a este densitatea init »ial¸ a a pr¸ azi. Acest model nu are stabilitate
asimptotic¸ a, nu converge c¸ atre un atractor.
18

Figura de mai jos arat¸ a schimb¸ arile relative^ ³n densit¸ at »ile prad¸ a – pr¸ ad¸ ator pentru
ambele condit »ii init »iale. Traiectoriile sunt linii ^ ³nchise.
Modelul Lotka – Volterra nu este foarte realistic. Nu sunt considerate competit »ii
^ ³ntre pr¸ azi » si pr¸ ad¸ atori. Ca rezultat, populat »ia pr¸ azilor poate cre» ste la in¯nit f¸ ar¸ a
nici o resurs¸ a limitat¸ a. Pr¸ ad¸ atori nu se satur¸ a: rata de consum este nelimitat¸ a.
Rata consumului la pr¸ azi este proport »ional¸ a cu densitatea pr¸ azii. De aceea nu este
de mirare comportamentul modulului ce nu arat¸ a ^ ³n mod nenatural nici o stabilitate
asimptotic¸ a. Totu» si exist¸ a numeroase modi¯c¸ ari ale modelului , ceea ce ^ ³l face » si
mai realist.
3.3 Un model numeric
Pentru a obt »ine un model interactiv c^ at mai realistic al celei de a doua specie vom
include efectul de competit »ie al pr¸ azilor H(t) ^ ³ntre ele pentru resursele limitate » si
efectul de competit »ie pentru pr¸ ad¸ atorii pentru num¸ arul de pr¸ azi limitat. Obt »inem
sistemul:
(
Hn+1¡Hn=aHn¡bCnHn¡eH2
n
Cn+1¡Cn=dHnCn¡cCn¡fC2
n(3.1)
unde e,f > 0 sunt constante. Acest sistem se numeste modelul speciilor con-
curente , iar aplicat »ia lucr¸ arii este o simulare direct¸ a a acestui model.
Modelul discret corespunz¸ ator sistemului original Lotka-Volterra ([2], [3])se obt »ine
pentru a= b = c= d=1 » si e = 0.5, f = 0.2. Modelul de mai sus (3.1) devine:
(1)(
Hn+1¡Hn=Hn¡CnHn¡1
2H2
n
Cn+1¡Cn=HnCn¡Cn¡1
5C2
n
19

Modelul posed¸ a 4 puncte ¯xe st0= (0;0),st1= (0;2),st2=¡12
11;5
12¢
,st3=
(0;¡5) .
S¸ a studiem propriet¸ at »ile de stabilitate pentru aceste puncte folosind Jocobianul
sistemului de mai sus.
Ã
1¡C¡H ¡H
C ¡1 +H¡2
5C!
atunci
J(st0) =Ã
1 0
0¡1!
, deci st0este un punct instabil,
J(st1) =Ã
¡1¡2
0 1!
, deci st1este un punct instabil,
J(st2) =Ã
¡6
11¡12
11
5
11¡1
11!
, deci st2este un punct asimptotic focus,
J(st3) =Ã
6 0
¡5 1!
, deci st3este un nod instabil.
^In mod natural pentru modelarea populat »iei, sistemul este folositor doar cad-
ranului pozitiv al planului, deci st3nu va ¯ luat ^ ³n considerare » si numai valorile
init »iale pozitive sunt valabile, H0>0; C0>0. Orbitele din spat »iul model vor spi-
rala spre punctul de echilibru (presupunem ( H0; C0=x0>0; x06= (0;0); x06= (0;2)
). De ret »inut c¸ a ^ ³n acest model rezultatul nu arat¸ a oscilat »ii sust »inute. Traiectoriile
celor dou¸ a specii vor prezenta un comportament oscilator, care va aborda o valoare
constant¸ a.
Metode numerice pot ¯ aplicate problemei (1) ^ ³n ideea de a ^ ³nt »elege c^ at de repede
oscilat »iile decad. Apletul din Aproxim¸ arile numerice ne las¸ a s¸ a test¸ am 3 metode.
Putem veri¯ca c¸ a ¯ecare din ele ne d¸ a o secvent »¸ a diferit¸ a (vezi Figura 10.) ¯x^ and o
valoare init »ial¸ a a sistemului (1) nu foarte aproape de st2, dimensiunea H ar trebui
s¸ a varieze ^ ³n punctul integr¸ arii. Apoi poate ¯ v¸ azut c¸ a pentru anumite metode nu-
merice solut »iile nu vor prezenta un comportament spiral¸ a, ^ ³n timp ce "va exploda".
Repet^ and acest experiment pentru diferite valori putem observa c¸ a depinde aproxi-
20

mativ at^ at de x0c^ at » si de H.
3.4 Remarci
²Aceste observat »ii ne conduc la concluzia c¸ a metodele numerice pot duce la aproxim¸ ari
precise, dar » si la comportamente false. Le vom folosi cu precaut »ie » si vom observa
rezultatele.
²^In realitate ca oscilat »iile s¸ a decad¸ a complet este un proces foarte lung. P^ an¸ a
c^ and aceste s¸ a decad¸ a ceva poate ap¸ area » si s¸ a le determine s¸ a revin¸ a. Un alt aspect
serios ^ ³n modelul Lotka-Volterra este urm¸ atorul: o idee realist¸ a a modelului este c¸ a
poate exista o minim¸ a populat »ie disponibil¸ a. Este foarte important deoarece este
nevoie doar de 2 indivizi pentru reproducere. ^In practic¸ a, avem nevoie poate de mai
mult »i pentru o populat »ie potrivit¸ a. Dac¸ a facem aceast¸ a presupunere, atunci pentru
anumite cadrane spiralele nu vor ap¸ area. Dac¸ a se trece pe axa zero, o specie va
pieri. Dac¸ a se ^ ³mputineaza pr¸ ad¸ atori mai ^ ³nt^ ai, atunci pr¸ azile tr¸ aiesc fericite. Dac¸ a
scad pr¸ azile atunci » si pr¸ ad¸ atori vor pieri deoarece nu mai au ce m^ anca. ^In acest caz,
interact »iunea dintre diferite ecuat »ii poate ¯ folositoare ^ ³ntr-un model din realitate.
21

Capitolul 4
Comunit¸ at »ile speciilor multiple
4.1 Modele considerate
Modele luate ^ ³n considerare:
dN1
dt=f(N1; N2)
dN2
dt=g(N1; N2)
Se aplic¸ a criteriile de stabilitate simple si elegante » si metodele planului de faz¸ a.
^In general:
dN1
dt=f1(N1; N2:::N k)
dN2
dt=f2(N1; N2:::N k)
dN3
dt=f3(N1; N2:::N k)
…
dNk
dt=fk(N1; N2:::N k)
Un sistem poate cuprinde ^ ³n mod realist specii sau populat »ii k.
22

Notare scurt¸ a
Notare condensat¸ a:
dN1
dt=fi(N1; N2:::N k) i=1,2,… k
Notare vector:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯N1
N2
…
Nk¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯dN
dt=F(N) unde F=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯f1
f2
…
fk¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
4.2 St¸ arile de echilibru » si stabilitate
4.2.1 St¸ arile de echilibru
St¸ arile de echilibru satisfac:
F(N) = 0
Pentru a se determina trebuie s¸ a se linearizeze starea de echilibru. Adic¸ a caut¸ a
solut »ii de forma: N=N+n
Aceasta duce la calcularea derivatei part »iale » si evaluarea la starea de echilibru.
Fie:
J=±f1
±N(N) =0
BBBB@±f1
±N1±f1
±N2¢¢¢±f1
±Nk
±f2
±N1±f2
±N2¢¢¢±f1
±Nk…
±fk
±N1±fk
±N2¢¢¢±fk
±Nk1
CCCCA
N
Matricea J este numit¸ a maticea Jacobian¸ a. Aceast¸ a notare este ^ ³ntotdeauna
dimensiunea kxk.
23

4.2.2 St¸ arile de stabilitate
Determinarea stabilit¸ at »ii
Prin urmare, sistemul linearizat estedn
dt=Jn.
Dac¸ a c¸ aut¸ am solut »ii de forma: n(t) =ve¸t, g¸ asim ¸ve¸t=Jve¸t!(
Jv¡¸v= 0
(J¡¸I)v= 0,
unde I este matricea identitate.
(J¡¸I)v= 0
²Prin urmare, ¯e v=0(solut »ie trivial¸ a) ¯e matricea ( J¡¸I)nu e inversabil¸ a.
²O matreice nu e inversabil¸ a dac¸ a » si numai dac¸ a determinantul s¸ au e zero.
det(J¡¸I)v= 0
²Calcul^ and determinantul » si d^ andu-i valoare 0 rezult¸ a ecuat »ia:
¸k+a1¸k¡1+a2¸k¡2+:::+ak¡1¸+ak= 0
Criteriile de stabilitate
²Ca » si ^ ³nainte, toate valorile proprii trebuie s¸ a aib¸ a parte real¸ a negativ¸ a pentru
o stare de echilibru pentru a ¯ stabile.
²Aceasta este adevarat¸ a dac¸ a sunt ^ ³ndeplinite urm¸ atoarele condit »ii:
Fie:
¸k+a1¸k¡1+a2¸k¡2+:::+ak¡1¸+ak= 0
Stabilitatea este asigurat¸ a dac¸ a:
k= 2 a1>0a2>0
k= 3 a1>0a3>0 a1a2> a 3
k= 4 a1>0a3>0a1a2a3> a2
3+a2
1a4
Condit »iile de stabilitate pentru st¸ arile constante asociate cu sisteme cu 2 sau mai
multe ecuat »ii sunt date de criteriile Routh-Hurwitz.
24

4.3 Criteriile Routh-Hurwitz
-a1>0 – aceast¸ a condit »ie se aplic¸ a c^ and z¤exist¸ a.
-a3>0 – aceast¸ a condit »ie se aplic¸ a c^ and ( x¤; y¤; z¤) exist¸ a.
-a1a2> a 3:r3z¤(d2ax¤y¤+d3r1x¤z¤)> r3d2ax¤y¤z¤- aceast¸ a condit »ie se aplic¸ a
^ ³ntotdeauna.
4.4 Exemple
– Pr¸ ad¸ ator:dx
dt=r1xz+axy¡d1x
– Prada 1:dy
dt=r2y¡d2xy
– Prada 2:dz
dt=r3z(k¡z)¡d3xz
St¸ arile de echilibru
– Eliminare: x=0, y=0, z=0
– Prada 2 – singurul supraviet »uitor: x=0, y=0, z=k
– Coexistent »a cu prada 1: x=r2=d2; y=d1=a; z = 0
– Coexistent »a cu prada 2: x=x+; y= 0; z=d1=r1
Stabilitatea st¸ arii de eliminare
Generarea matricii Jacobian¸ a a derivatelor part »iale
J=0
B@r1+ay¡d1 ax r 1x
¡d2y r 2¡d2x 0
¡d3z 0 r3k¡2r3z¡d3x1
CA
Evaluarea matricii Jacobiene la(0,0,0)
JjEstate =0
B@¡d10 0
0r20
0 0 r3k1
CA)J¡¸I=0
B@¡d1¡¸ 0 0
0 r2¡¸ 0
0 0 r3k¡¸1
CA
25

Se stabile» ste det(J¡¸I) = 0 pentru a da ecuat »ia:
(¡d1¡¸)(r2¡¸)(r3k¡¸) = 0
De ret »inut: C^ and J este diagonal¸ a, valoriile proprii sunt elemente diagonal¸ a.
Concluzii ale st¸ arii de eliminare
²Valorile proprii sunt: ¡d1; r2; r3k
²De aceea starea de eliminare este instabil¸ a » si populat »iile nu vor disp¸ area.
Stabilitatea coexistent »ei ideale
Evaluarea matricii Jacobiene la ( r2=d2; y¤; z¤)
JjICsate =0
B@0 ax¤r1x¤
¡d2y¤0 0
¡d3z¤0r3z¤1
CA)J¡¸I=0
B@¡¸ ax¤r1x¤
¡d2y¤¡¸ 0
¡d3z¤0r3z¤¡¸1
CA
Se stabile» ste det(J¡¸I) = 0 pentru a da ecuat »ia:
¸3+a1¸2+a2¸+a3= 0
a1=r3z¤
a2=d2ax¤y¤+d3r1x¤z¤
a3=d2ax¤y¤z¤
Concluzii ale coexistent »ei ideale
– Criteriile Routh-Hurwitz sunt ^ ³ntotdeauna ^ ³ndeplinite at^ ata timp c^ at exist¸ a
starea coexistent »ei ideale.
– De aceea, aceast¸ a stare de echilibru este local stabil¸ a.
Observat »ie
Deoarece calcularea determinant »ilor de ordin 3×3(» si de ordin mai mare) poate
¯ complicat¸ a, este de preferat s¸ a se exprime matricea Jacobian¸ a ^ ³n cel mai simplu
mod posibil. Adic¸ a s¸ a lase entit¸ at »ile ca x¤y¤z¤cu except »ia c^ and alte simpli¯c¸ ari pot
¯ f¸ acute.
26

Capitolul 5
Aplicat »ie
5.1 Modelul discret simulat » si rezultatele simul u
arii
^Ia acest capitol am implementat ^ ³n C, folosind compilatorul BloodSheet Dev C,
modelul Lotka Volterra (3.1) descris la subcapitolul 3.3:
(
Hn+1¡Hn=aHn¡bCnHn¡eH2
n
Cn+1¡Cn=dHnCn¡cCn¡fC2
n: (5.1)
Programul cere introducerea unui num¸ ar de parametrii:
²a = rata de cre» stere a populat »iei prad¸ a
²b = factorul de e¯cient »¸ a a pr¸ ad¸ atorilor
²
²
²
²gen = numar de generatii
27

iar dup¸ a simularea a gengenerat »ii, programul a¯» seaz¸ a gra¯c evolut »ia demogra¯c¸ a
comparativ¸ a a celor dou¸ a populat »ii.
^In urma simul¸ arilor efectuate, am pus ^ ³n evident »¸ apari ctia unor cicluri periodice
stabile de cre» stere descre» stere a dimensiunii populat »iior prad¸ a, respectiv predator,
pentru anumite valori ale parametrilor. Pe de alt¸ a parte, sistemul este instabil,
o foarte mic¸ a variat »ie a parametrilor induce o puternic¸ a instabilitate a ciclurilor,
put^ and ajunge p^ ana la extinct »ia unei specii sau a am^ andoura.
^ ³n ceee ce urmeaz¸ a am prezentat c^ ateva cazuri reprezentative.
Cazul 1:
Figura 5.1: Valorile pentru a=1.38, b=0.009, c=0.03, d=0.21, e=0.015, f=0.02,
num¸ arul de generat »ii=60, x=70, y=30(x » si y reprezent^ and populat »iile init »iale)
Cazul 2:
28

Cazul 3:
Cazul 4:
Cazul 5:
29

Figura 5.2: Gra¯cul pentru a=1.38, b=0.009, c=0.03, d=0.21, e=0.015, f=0.02,
num¸ arul de generat »ii=60, x=70, y=30(x » si y reprezent^ and populat »iile init »iale)
30

Figura 5.3: Valorile pentru a=1.5, b=0.002, c=0.025, d=0.24, e=0.019, f=0.02,
num¸ arul de generat »ii=50, x=70, y=30
31

Figura 5.4: Gra¯cul pentru a=1.5, b=0.002, c=0.025, d=0.24, e=0.019, f=0.02,
num¸ arul de generat »ii=50, x=70, y=30
32

Figura 5.5: Valorile pentru a=1.4, b=0.001, c=0.02, d=0.23, e=0.02, f=0.02,
num¸ arul de generat »ii=50, x=60, y=30
33

Figura 5.6: Gra¯cul pentru a=1.4, b=0.001, c=0.02, d=0.23, e=0.02, f=0.02,
num¸ arul de generat »ii=50, x=60, y=30
34

Figura 5.7: Valorile pentru a=1.6, b=0.02, c=0.03, d=0.24, e=0.019, f=0.02,
num¸ arul de generat »ii=60, x=60, y=30
35

Figura 5.8: Gra¯cul pentru a=1.6, b=0.02, c=0.03, d=0.24, e=0.019, f=0.02,
num¸ arul de generat »ii=60, x=60, y=30
36

Figura 5.9: Valorile pentru a=1.35, b=0.009, c=0.022, d=0.22, e=0.013, f=0.016,
num¸ arul de generat »ii=60, x=50, y=30
37

Figura 5.10: Gra¯cul pentru a=1.35, b=0.009, c=0.022, d=0.22, e=0.013, f=0.016,
num¸ arul de generat »ii=60, x=50, y=30
38

5.2 Codul surs¸ a al aplicat »iei
#include <stdio.h>
#include <graphics.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <fstream>
#define pi 3.14;
using namespace std;
float x1,x2,yy1,yy2, alfa=3.1415/8;
int xemax,yemax;
float r1=0.3,r2=0.9,a11=0.01,a12= 0.1,a21=0.1,a22=0.02; // parametrii 1
float a,b,c,d,e,f;// parametrii 2
float x[200], y[200]; // populatii
int gen=100; // nr generatii
int xe(float x)
// normalizarea coordonatei x
{return((int) floor((x-x1)/(x2-x1)*xemax));}
int ze(float z)
// normalizarea coordonatei y
{return((int) floor((yy2-z)/(yy2-yy1)*yemax));}
void axe()
{setcolor(0);
line(xe(0),ze(0),xe(x2),ze(0));
line(xe(0),ze(0),xe(0),ze(yy2));
39

outtextxy(xe(0)-15,ze(0)-15,"O");
outtextxy(xe(x2)-90,ze(0)-20,"generatii");
outtextxy(xe(x2)-6,ze(0)-7,">");
outtextxy(xe(0)+15,ze(yy2)+5,"dimensiune populatie");
outtextxy(xe(0)-1,ze(yy2)+1,"^");
outtextxy(xe(0)-20,ze(yy2/3),"50");
outtextxy(xe(x2/3)-20,ze(0)-20,"25");
outtextxy(xe(2*x2/3)-20,ze(0)-20,"50");
setcolor(1);
outtextxy(30,40,"Prada");
setcolor(4);
outtextxy(30,70,"Pradator");
}
void grafic() {
float t,h;
int j,k,xx,yy,zz,xx2,yy2,zz2;
float pie=3.1415;
setcolor(1);
for(j=1; j<=gen; j++){
xx=2*(j-1); yy=0 ; zz=(int)(x[j-1]);
xx2=2*j; yy2=0 ; zz2=(int)(x[j]);
line(xe(xx-yy*cos(alfa) ),ze(zz-yy*sin(alfa)), xe(xx2-yy2*cos(alfa) ),ze(zz2-yy2*sin(alfa)));
circle(xe(xx2-yy2*cos(alfa) ),ze(zz2-yy2*sin(alfa)), 1); };
setcolor(4);
40

j=0; xx=j; yy=0 ; zz=(int)floor(y[j]);
putpixel(xe(xx-yy*cos(alfa) ),ze(zz-yy*sin(alfa)),14);
for(j=1; j<=gen; j++){
xx=2*(j-1); yy=0 ; zz=(int)floor(y[j-1]);
xx2=2*j; yy2=0 ; zz2=(int)floor(y[j]);
line(xe(xx-yy*cos(alfa) ),ze(zz-yy*sin(alfa)), xe(xx2-yy2*cos(alfa) ),ze(zz2-yy2*sin(alfa)));
circle(xe(xx2-yy2*cos(alfa) ),ze(zz2-yy2*sin(alfa)),1);
};
}
int main()
{int gd,gm;
int i,j,k;
x1=-50; x2=+150;
yy1=x1; yy2=x2;
//parametrii
printf("Parametrii modelului Lotka \n");
printf("_____________________________\n");
printf("rata de crestere a populatiei prada a=");
scanf("%f", &a);
printf("factorul de eficienta a pradatorilor b=");
scanf("%f", &b);
printf("rata reproduceri pradatorilor satui c=");
scanf("%f", &c);
printf("rata mortalitatii pradatorilor d=");
scanf("%f", &d);
41

printf("factorul de competitie pe resurse limitate in cadrul populatiei prada e=");
scanf("%f", &e);
printf("factorul de competitie in cadrul populatiei pradator f=");
scanf("%f", &f);
printf("numarul de generatii gen=");
scanf("%d", &gen);
//calcul valori populatii
x[0]=50; y[0]=30; // populatie initiala
ofstream outfile ("lotka.out");
if (!outfile) {
cerr << "Can't open lotka.out" << endl;
exit (2);
}
outfile << " Prada Pradator ";
outfile << endl;
for(i=1;i<=gen; i++)
{ x[i]= floor((1+a)*x[i-1]-b*y[i-1]*x[i-1] -e *x[i-1]*x[i-1]);
if (x[i]<0) x[i]=0;
y[i]= floor ( c*x[i-1]*y[i-1] + (1-d)*y[i-1] -f*y[i-1]*y[i-1]);
if (y[i]<0) y[i]=0;
printf( "i= %d –> prada: %5.2f, pradator: %5.2f \n", i, x[i],y[i] );
outfile << x[i];
outfile << " ";
outfile << y[i];
outfile << endl;
42

};
getchar(); getchar();
initwindow(800,800, "Lotka Volterra",200,200);
xemax=getmaxx(); yemax=getmaxy();
setbkcolor(15);
cleardevice();
axe();
setcolor(YELLOW);
grafic();
getchar(); getchar();
closegraph();
return 0;
}
43

Bibliogra¯e
[1]Chapman R. N. Animal ecology . McGraw-Hill, New York, 1931.
[2]Lotka, A. J. Elements of physical biology , Williams and Wilkins, Balti-
more,1925.
[3]Volterra, V. "Variazioni e °uttuazioni del numero d'individui in specie animali
conviventi", Mem. R. Accad. Naz. dei Lincei. Serie VI, vol. 2, 1926.
44