SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE MV-centrul unei BL-algebre Profesor ^ ndrum ator, Conf. Univ. Dr. DANA PICIU Student, MIHAI M. ELENA DANIELA… [616620]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE S TIINT  E
SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE
MV-centrul unei BL-algebre
Profesor ^ ndrum ator,
Conf. Univ. Dr. DANA PICIU
Student: [anonimizat] 2018

Cuprins
Capitolul 1. BL-algebre 2
1. Exemple de BL-algebre 5
2. Filtre  si congruent e 8
3. Filtre generate de o mult ime 14
4. Centrul boolean al unei BL-algebre 17
5. Spectrul prim  si maximal al BL-algebrei 24
6.MV-centrul unei BL-algebre 28
Capitolul 2. Obiecte injective ^ n categoria Bl-algebrelor 32
1. Subcategorii re
exive 32
Bibliograe 36
1

CAPITOLUL 1
BL-algebre
BL-algebrele au fost introduse de H ajek [63] pentru a investiga
algebrele logicii multivalente. Motivat ia lui pentru introducerea BL-
algebrelor a fost de dou a tipuri.
^In primul r^ and, a fost furnizarea unei corespondent e algebrice pen-
tru logica propozit ional a, numit a Logica de Baz a , care ^ nglobeaz a cele
mai importante logici multivalente, numite logica Lukasiewicz, logica
G odel  silogica Product . Aceast a Logic a de baz a (BLpe scurt) este pro-
pus a ca ind \cea mai general a" logic a cu mai multe valori de adev ar
^ n [0,1].BL-algebrele corespund algebrelor Lindenbaum-Tarski.
Al doilea motiv a fost acela de a asigura un mijloc algebric pen-
tru studiul t-normelor(normelor triunghiulare) pe [0 ;1]. Un tratament
exhaustiv al t-normelor poate  g asit ^ n monograe.
VarietateaBL-algebrelor este generat a de clasa algebrelor de forma
([0;1];min;max;;!;0;1);
undeeste o t-norm a continu a  si !este un reziduum. Aceast a algebr a
este numit a BL-algebr a standard.
OBL-algebr a este o algebr a ( A;^;_;;!;0;1) cu patru operat ii
binare^;_;;! si dou a constante 0 ;1 astfel ^ nc^ at ( A;^;_;0;1) este
o latice m arginit a, ( A;;1) este un monoid comutativ  si pentru orice
a;b;c .
(1.1) ca!b,acb
(1.2) a^b=a(a!b)
(1.3) ( a!b)_(b!a) = 1
Observat ia 1.BL-algebrele sunt exact laticile reziduale comuta-
tive ce veric a (1) si(2).
Pentru a simplica notat ia, o BL-algebr a (A;^;_;;!;0;1) va
notat a prin A.
OBL-algebr a A este nontrivial a dac a  si numai dac a 0 6= 1. Pentru
oriceBL-algebr aA, redusaL(A) = (A;^;_;0;1) este o latice distribu-
tiv a m arginit a. O BL-algebr a este total ordonat a dac a laticea Aeste
total ordonat a.
2

1.BL-ALGEBRE 3
Pentru orice a2A, denima=a!0. Vom nota mult imea
numerelor naturale cu N. Denim a0= 1  sian=an1apentru
n2Nf0g.
Ordinul lui a2A, notatord(a), este cel mai mic n2Nastfel ^ nc^ at
an= 0. Dac annu exist a, atunci ord(a) =1.
Propozit ia 1.ClasaBLaBL-algebrelor formeaz a o varietate.
Propozit ia 2.Urm atoarele proprit at i au loc ^ n orice BL-algebr a
A si ele vor  folosite ^ n continuare:
(1.4) a!b= 1,ab
(1.5) aba^ba;b
(1.6) ab)acbc
(1.7) a!b= 1,ab
(1.8) 0 !a= 1,1!a=a
(1.9) ab)c!ac!b
(1.10) ab)b!ca!c
(1.11) ba!b
(1.12) a(b^c) = (ab)^(ac)
(1.13) a!(b!c) = (ab)!c
(1.14) ( a!b)(c!d)(ac)!(bd)
(1.15) ( a!b)(b!c)a!c
(1.16) ( a_b)(a_c)a_(bc)
(1.17) a(b_c) = (ab)_(ac)
(1.18) ( a!b)(c!d)(a_b)!(c_d)
(1.19) 1= 0  si 0= 1
(1.20) a= 1,a= 0
(1.21) aa
(1.22) a=a
(1.23) ab= 0,ab

1.BL-ALGEBRE 4
(1.24) aa= 0
(1.25) ( a^b)=a_b si (a_b)=a^b
(1.26) ( ab)=a!b
(1.27) a_b= 1)an_bn= 1
(1.28) a_b= 1)a^b=ab
(1.29) a_b= ((a!b)!b)^((b!a)!a)
(1.30) ( a_b)!c= (a!c)^(b!c)
(1.31) ( ab)=ab
Lema 1.(a!c)(b!d)(a^b)!(cd)
Demonstrat ie. Aplic am (1:0:1),
(a!c)(b!d)(a^b)!(cd),(a!c)(b!d)(a^b)cd
Avem c a:
(a!c)(b!d)(a^b) = (a!c)(b!d)a(a!b);din (1)
=a(a!c)(a!b)(b!d)
= (a^c)(a!b)(b!d) din (1)
=(a^c)(a!d);din (1.15):
=cd;din (1.11)):

Lema 2.Fiea2Aastfel ^ nc^ at aa=a. Atunci:
(i)ax=a^x, pentru orice x2A
(ii)a^a= 0
(iii)a_(xy) = (a_x)(a_y)
(iv)a^(xy) = (a^x)(a^y)
Demonstrat ie. (i) Avem:
a^x=a(a!x);mboxdin (1)
=aa(a!x) =a(a^x)
= (aa)^(ax);din (1.12)
=a^(ax) =ax;de laaxa:
(ii) Aplic am ( i)  si (1.24).
(iii) Aplic am (1.17)  si ( i)  si obt inem :
(a_x)(a_y) = ((a_x)a)_((a_x)y))
= (aa)_(xa)_(ay)_(xy)
= (a_(x^a)_(a^y))_(xy)
=a_(xy)

1. EXEMPLE DE BL-ALGEBRE 5
(iv) Din (i), urmeaz a:
a_(xy) =a(xy) =aaxy= (ax)(ay) =
(a^x)(a^y) 
FieA;B dou aBL-algebre. Un BL-morsm este o funct ie h:A!
Bastfel ^ nc^ at h(a^b) =h(a)^h(b);h(a_b) =h(a)_h(b);h(ab) =
h(a)h(b);h(a!b) =h(a)!h(b)  sih(0) = 0;h(1) = 1.
Vom notaBLcategoria ale c arei elemente sunt BL-algebrele non-
triviale  si ale c arei morsme sunt BL-morsme.
1. Exemple de BL-algebre
O t-norm a continu a este o funct ie continu a : [0;1][0;1]![0;1]
astfel ^ nc^ at ([0 ;1];) este un monoid comutativ part ial ordonat. Exist a
trei t-norme fundamentale:
t-norma Lukasiewicz: xLy= max(x+y1;0)
t-norma G odel: xGy= minfx;yg
t-norma Produs: xPy=xy
Observ am c a orice alt a t-norm a este un mix ^ ntre cele trei t-norme
de mai sus.
Ling [97] a ar atat c a orice t-norm a arhimedean a, adic a o t-norm a
are 0  si 1 ca singurele elemente idempotente, este izomorf a e cu t-
norma Produs, e cu t-norma Lukasiewicz,  si orice t-norm a continu a
este e t-norm a G odel, e este o sum a ordonat a de t-norme G odel  si
t-norme arhimedeene.
Deoarece ^ mpreun a cu ordonarea natural a, [0,1] este o latice com-
plet ordonat a, ecare t-norm a continu a induce natural un reziduum
sau o implicat ie ^ n termeni mai logici, de:
x!y= maxfzjzxyg
Implicat iile asociate celor trei norme fundamentale sunt:
x!Ly= min(yx+ 1;1)
x!Gy=
1;dac axy;
y;^ n caz contrar.
x!Py=
1;dac axy;
y
x;^ n caz contrar.
Exemplu 1.Dac aeste o t-norm a continu a  si !este reziduum,
atunci ([0;1];min;max;;!;0;1)este oBL-algebr a. Aceast a algebr a
se nume ste BL-algebr a standard sau t-algebr a.
VarietateaBL-algebrelor este generat a de clasa standard a algebre-
lor. Lu^ and cele trei norme fundamentale  si reziduurile lor, avem trei
BL-algebre particulare:
structura Lukasiewicz : ([0;1];min;max;L;!L;0;1)
structura G odel: ([0;1];min;max;G;!G;0;1)
structura Produs : ([0;1];min;max;P;!P;0;1)

1. EXEMPLE DE BL-ALGEBRE 6
AxiomeleBLsunt:
(i) ('! )!(( !)!('!))
(ii) ('& )!'
(iii) ('& )!( &')
(iv) ('&('! ))!( &( !'))
(v) ('!( !))!(('& )!)
(vi) (('& )!)!('!( !))
(vii) (('! )!))!((( !')!)!)
(viii) 0!'
Regula de deduct ie este modus ponens : dac a' si'! atunci .
Spunem c a 'este o teorem a  si not am cu `'dac a'este demonstrat a
folosind axiomele ( A1A8)  si regula de deduct ie modus ponens . Teo-
rema de completitudine ^ n BLspune c a`'dac a  si numai dac a 'este
tautologie ^ n orice BL-algebr a standard.
^In mult imea Fmla a tuturor formulelor ce le-am denit cu relat ia
de echivalent  ade:
' , `'$
S a not am cu [ '] clasa echivalent elor a formulei ' si cuLBLmult imea
tuturor claselor de echivalent  a.
Denim:
0 := [ 0]
1 := [ 1]
[']^[ ] := ['^ ]
[']_[ ] := ['_ ]
['][ ] := [' ]
[']![ ] := ['! ]
^In acest fel, ( LBL;^;_;;!;0;1) este oBL-algebr a.
Exemplu 2.MV-algebrele au fost introduse de Chaung [30] ca
structuri algebrice corespunz atoare logicii Lukasiewicz No-valente. Re-
ferint a standard pentru domeniul MV-algebre este monograa [35].
Exemplu 3.O algebr a Produs (sau PL-algebr a) [63;37]este oBL-
algebr aAce satisface:
(i)c(ac!bc)!(a!b)
(ii)a^a= 0
Algebrele Produs sunt omologii algebrice ale logicii Produs [78;63].
Not am cuPvarietatea algebrelor Produs. Algebrele standard Produs
sunt structuri Produs.
Exemplu 4.OG-algebr a [63;Denit ia 4.2.12 ]este oBL-algebr a
ce satisface:
(G)aa=a

1. EXEMPLE DE BL-ALGEBRE 7
G-algebrele sunt omoloage algebrice ale algebrelor G odel.
Exemplu 5.Dac a (A;^;_;;!;0;1)este oBL-algebr a  si Xo
mult ime nevid a, atunci mult imea AxdevineBL-algebr a (Ax;^;_;;!
;0;1)cu operat iile denite punctual. Dac a f;g2Ax, apoi
(f^g)(x) =f(x)^g(x);(fg)(x) =f(x)g(x)
(f_g)(x) =f(x)_g(x);(f!g)(x) =f(x)!g(x) si0;1:X!A
sunt funct ii constant asociate cu 0;12A.
Exemplu 6.Dac a (A;_;^;;0;1)este o algebr a Boole, atunci
(A;^;_;;!;0;1)esteBL-algebr a unde operat ia coincide cu^ si
a!b=a_b, pentru orice a;b2A.
Exemplu 7.(Afrodita Iorgulescu) D am un exemplu de BL-algebr a
nit a care nu este BL-lant . Lu am A=f0;a;b;c; 1g:Denim pe A
urm atoarele operat ii:
!0 c a b 1
01 1 1 1 1
c0 1 1 1 1
a0 b 1 b 1
b0 a a 1 1
10 c a b 1
0 c a b 1
00 0 0 0 0
c0 c c c c
a0 c a c a
b0 c c b b
10 c a b 1
_0 c a b 1
00 c a b 1
cc c a b 1
aa a a 1 1
bb b 1 b 1
11 1 1 1 1
^0 c a b 1
00 0 0 0 0
c0 c c c c
a0 c a c a
b0 c c b b
10 c a b 1

2. FILTRE S I CONGRUENT E 8
Prin urmare, 0ca;b1, dara;bsunt incomparabile. Ob-
serv am c axy=x^y, pentru orice x;y2A, deciord(x) =1pentru
oricex2A;x6= 0. Deducem deci c a xx=x^x=xpentru orice
x2A, deciAeste oG-algebr a. Este u sor de v azut c a 0= 1  six= 0
pentru orice x2A,x6= 0,deci 0= 0  six= 1, pentru orice x2A,
x6= 0. Astfel, Anu esteMV-algebr a.
2. Filtre  si congruent e
FieAoBL-algebr a. Un ltru al lui Aeste o mult ime nevid a FA
astfel ^ nc^ at pentru orice a;b2Aavem:
(i)a;b2F)ab2F
(ii)a2F siab)b2F
Exemple triviale ale ltrului sunt f1g siA.
Din 2 este evident c a orice ltru a lui Aeste, de asemenea, un ltru
al laticeiL(A).
Not am cuF(A) mult imea ltrelor lui A.
Un sistem deductiv [131] a lui Aeste mult imea DAastfel ^ nc^ at:
(i)12D
(ii) pentru tot i a;b2A;
a;a!b2D)b2D
Propozit ia 3.Lu amFA. Urm atoarele armat ii sunt echiva-
lente:
(i)Feste un ltru a lui A
(ii)Feste un sistem deductiv a lui A
Observat ia 2.FieFs un ltru a lui A sia;b2A. Atunci:
(i)ab2F, dac a  si numai dac a a^B2F;a2F;b2F
(ii)a2F, dac a  si numai dac a an2Fpentru orice n2!
Un ltruFal luiAeste propriu,F6=A.
Propozit ia 4.FieFun ltru al lui A. Urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
(i)Feste propriu
(ii)06=F
(iii) nu exist a un element a2Aastfel ^ nc^ at a2F sia2F
Demonstrat ie. (i))(ii) Presupunem c a O2F. Fiea2A.
Din 0a si 02F, rezult aa2F. Prin urmare, F=A.
(ii))(iii) Evident
(iii))(ii) Avem c a 12F. Prin urmare, 0 = 162F 
Propozit ia 5.FiefFigi2Io familie de ltre(proprii) ale lui A.
(i)T
i2IFieste un ltru(propriu) al lui A
(ii)dac a familiafFigi2Ieste liniar ordonat a de incluziune, atunci
F=Ui2IFieste un ltru(propriu) al lui A.
Demonstrat ie. (i) Evident.

2. FILTRE S I CONGRUENT E 9
(ii) Aplic am Propozit ia 3.
Evident 12F. Fiea;a!b2F. Atunci exist a i1;i22Iastfel
^ nc^ ata2Fi1; a!b2Fi2. Din faptul c a familia este liniar ordonat a
rezult a c aa;a!b2Fi2, decib2Fi2. Prin urmare, b2F. Dac aFi
este propriu pentru tot i i2I, atunci 062Fi, pentru tot i i2I.
Prin urmare, 062F. Aceasta este, Feste propriu. 
Un ltru propriu Mal luiAeste numit maximal(sau ultratru)
dac a nu este cont inut ^ n orice alt ltru propriu al lui A.
Not amMax(A) mult imea ltrelor maximale ale lui A si cuRad(A)
intersect ia tuturor ltrelor maximale ale BL-algebreiA. Dac aAeste
trivial a, atunci Anu are ltre maximale  si Rad(A) =A=f1g. Dac a
Aeste nontrivial a, atunci Max(A)6=? siRad(A) este ltru propriu
al luiA.
Un ltru propriu Pal luiAse numet e prim dac a el este ltru prim
al luiL(A), adic a
a_b2P)a2Psaub2P
^In continuare, not am cu Spec(A) mult imea ltrelor prime ale lui A.
Observat ia 3.Dac aAeste unBL-lant , atunci orice ltru propriu
al luiAeste un ltru prim al lui A.
Exemplu 8.FieAoBL-algebr a cu 5 elemente din exemplul (1.1.7).
Atunci ltrele lui Asuntf1g;fa;1g;fb;1g;fa;b;c; 1g siA. Deoarece
=^, ltrele lui Acoincid cu ltrele asociate laticii L(A). Este u sor
de v^ azut c a Aare 3 ltre prime: fa;1g;fb;1g;fa;b;c; 1g si un unic
ltru maximal:fa;b;c; 1g. Prin urmare,Rad(A) =fa;b;c; 1g.
Propozit ia 6.[132;Propozi t ia7]
Orice ltru maximal al lui Aeste ltru prim al lui A.
Lema 3.[48;Propozi t ia1:13]
FieAoBL-algebr a nontrivial a  si Mun ltru propriu al lui A.
Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
(i)Meste maximal
(ii) pentru orice x2A,
x62M)(xn)2Mpentru un anumit n2N
Propozit ia 7.[47;Cordarul 4:26]
Dac aPeste un ltru prim al lui A siFeste un ltru propriu al lui
Aastfel ^ nc^ at PF, atunciFeste, de asemenea, ltru prim.
Propozit ia 8.[131;Propozi t ia6]
FiePun ltru prim al unei BL-algebre nontriviale A. Atunci
mult imeaF=fFjPF siFeste ltru propriu al lui Ageste liniar
ordonat a ^ n raport cu incluziunea.
Observat ia 4.Dac aPeste un ltru prim al lui A, atunciAP
este un ideal al L(A).

2. FILTRE S I CONGRUENT E 10
Demonstrat ie. DeoarecePeste propriu, avem c a 0 2AP.
Dac aab sib2AP, atuncia2APdeoarecePeste ltru al lui
A. Dac aa;b2AP, atuncia_b2AP, deoarecePeste prim. 
Propozit ia 9.[48;Teorema 4:28]
FieFun ltru al unei BL-algebreA si eS6=?oV-submult ime
^ nchis a a lui A(a;b2S)a_b2S)astfel ^ nc^ at F\S=?. Atunci
exist a un ltru prim Pal luiAastfel ^ nc^ at FP siP\S=?:
Propozit ia 10.[131;Teorema 3]
Dac aAeste oBL-algebr a nontrivial a, atunci orice ltru propriu al
luiApoate  extins la ltru prim, maximal.
Propozit ia 11.[77;Lema 2:3:15]
Fiea2A;a6= 1. Atunci este un ltru prim Pal luiAastfel ^ nc^ at
a62P.
Propozit ia 12.Dac aAeste oBL-algebr a nontrivial a, atunci
orice ltru prim al lui Aeste cont inut ^ ntr-un unic ltru maximal.
Demonstrat ie. Aplic am Proprozit iile 10  si 8). 
Propozit ia 13.Dac aAeste oBL-algebr a nontrivial a, atunci
Spec(A)6=? siMax(A)6=?.
Propozit ia 14.Dac aAeste oBL-algebr a nontrivial a, atunci
orice ltru propriu Fal luiAeste intersect ia tuturor ltrelor proprii
cont in^ andF.
Lema 4.FieAoBL-algebr a  si denim
FM=fa2Ajmult imeafM2Max(A)ja62Mgeste nit ag
Atunci:
(i)FMeste ltru al lui A
(ii) pentru orice submult ime nit a fM1;:::;Mngal luiMax(A),
\fMjM2Max(A)fM1;:::;MnggFM.
Demonstrat ie. (i) Avem c a 12FM, deoarecefM2Max(A)j162
Mg=?.
Dac aa;b2A, atunci
fM2Max(A)jab62Mg=fM2Max(A)ja62Mg[fM2
Max(A)jb62Mg, atuncia;b2FM)ab2FM.
Dac aabatunci
fM2Max(A)jb62MgfM2Max(A)ja62Mg, prin urmare
a2FM)b2FM.
(ii) Dac aa62FM, atunci mult imea fM2Max(A)ja62Mgeste
innit a, prin urmare este M2Max(A)nfM1;:::;Mngastfel ^ nc^ at a62
M. Prin urmare, a62\fMjM2Max(A)nfM1;:::;Mngg:


2. FILTRE S I CONGRUENT E 11
Oric arui ltru a lui A^ i putem asocia o relat ie de congruent  a 
(modF ) peAdenit a astfel:
ab(modF ),a!b2F si
b!a2F,(a!b)(b!a)2F
^In acest caz, avem o biject ie ^ ntre mult imea F(A) a ltrelor lui A
 si mult imeaCon(A) a congruent elor lui A. Pentru orice a2A, e
a=F echivalent a claselor a=(modF ). Dac a not am cu A=F mult imea
factorA=(modF ), atunciA=F devine oBL-algebr a cu operat ii naturale
induse de cele ale lui A.
Propozit ia 15.[17]
FieFun ltru a lui A sia;b2A.
(i)a=F = 1=F,a2F
(ii)a=F = 0=F,a2F
(iii) Dac aFeste propriu  si a=F = 0=F, atuncia62F
(iv)a=Fb=F,a!b2F
(v)A=F este unBL-lant ,Feste un ltru prim a lui A
Propozit ia 16.[Teorema restului chinezesc]
FieF1;:::;Fnltre aBL-algebreiAastfel ^ nc^ at Fi_Fj=Apentru
oricei6=j; i;j =1;n. Atunci pentru orice a1;:::;an2Aexist aa2A
astfel ^ nc^ at aai(modFi)pentru tot i i=1;n.
Demonstrat ie. Acest a propozit ie rezult a dintr-un rezultat gene-
ral din algebra universal a.[25]. O demonstrat ie pentru acest caz par-
ticular este foarte asem an atoare cu demonstrat ia la [59, Propozit ia
1]. 
S a ne amintim c a o BL-algebr aAeste un produs subdirect a familiei
fAigi2IaBL-algebrelor dac a :
(i)Aeste oBL-subalgebr aQ
i2IAi
(ii) pentru tot i j2I,BL-morsmul.
A,!Y
i2IAiQ
j!Ajeste surjectiv a
O reprezentare a BL-algebreiAca produs subdirect al BL-algebrelor
nontrivialefAigi2I(sau reprezentare subdirect a a lui A) const a ^ n mo-
nomorsmul :A!Q
i2IAiastfel ^ nc^ at (A) este un produs subdi-
rect al familieifAigi2I.
Teorem a1.[77;Lemma 2:3:16]
FiecareBL-algebr a este un produs subdirect de BL-lant uri.
Aplic^ and rezultatul general al algebrei universale [25, Lemma II.8.2,p.57],
avem, de asemenea, rezultatul generalizat al teoremei de mai sus.
Teorem a2.Dac afFigi2Ieste familia ltrelor lui Aastfel ^ nc^ at
\i2IFi=f1g, atunci familiafA=Figi2Idetermin a o reprezentare sub-
direct a a lui A.

2. FILTRE S I CONGRUENT E 12
Dac ah:A!BesteBL-morsm, atunci nucleul lui heste
mult imeaKer(h) =fa2Ajh(a) = 1g.
Propozit ia 17.Fieh:A!B BL -morsm. Atunci urm atoarele
propriet at i au loc:
(i) pentru orice ltru GsauB(propriu, prim), mult imea h1(G) =
fa2Ajh(a)2Fgeste un ltru (propriu, prim) al lui A; prin urmare,
^ n particular, Ker(h)este un ltru propriu al lui A.
(ii) dac aNeste un ltru maximal al lui B, atuncih1(N)este
ltru maximal al lui A
(iii) dac aheste surjectiv a  si Fltru al lui A, atuncih(F)este
ltru al lui B
(iv) dac aheste surjectiv a  si Mltru maximal al lui Aastfel ^ nc^ at
h(M)este propriu, atunci h(M)este ltru maximal al lui B
(v)heste injectiv a dac a  si numai dac a Ker(h) =f1g.
Demonstrat ie. (i) Evident.
(ii) Din (1) avem c a h1(N) este ltru propriu al lui A. Pentru
a avea c a este maximal, trebuie s a aplic am 3. Fie x2Aastfel ^ nc^ at
x62h1(N), prin urmare h(x)62N. Deoarece Neste ltru maximal
al luiB, exist an2!astfel ^ nc^ at (( h(x)n)2N, aste esteh((xn))2
N, deoareceheste homomorsm a BL-algebrelor. Avem c a ( xn)2
h(N).
(iii) Evident, 1 = h(1)2h(F). Fiex;y2h(F), asta ^ nseamn a c a
sunta;b2Fastfel ^ nc^ at h(a) =x,h(b) =y. Rezult a c a ab2F
 sixy=h(a)h(b) =h(ab)2h(F). Fiex;y2Bastfel ^ nc^ at
xy six2h(F). Prin urmare, exist a a2Fastfel ^ nc^ at h(a) =x si
deoareceheste surjectiv a, exist a b2Aastfel ^ nc^ at h(b) =y. Atunci
y=x_y=h(a)_h(b) =h(a_b)  sia_ba2F, decia_b2F.
Prin urmare, y2h(F).
(iv) Fie N un ltru propriu al lui Bastfel ^ nc^ at h(M)N. Avem
c aMh1(h(M))h1(N)  si deoarece h1(N) este propriu, trebuie
s a avemM=h1(N):Rezult a c a h(M) =h(h1(N)) =Ndeoareceh
este surjectiv a.
(v) Evident.

Pentru orice ltru Fal luiA, not am cu [ ] FBL-morsmul natural
dinApeA=F, denit de [ ] F(a) =a=F pentru orice a2A. Atunci
F=Ker([ ]F). Urm atoarele propozit ii sunt u sor de obt inut.
Propozit ia 18.FieAoBL-algebr a  siFun ltru al lui A.
(i) Funct ia G ![ ]F(G)este o incluziune care p astreaz a corespon-
dent a bijectiv a dintre ltrele lui Acont in^ andF si ltrele lui A=F ;
funct ia invers a este, de asemenea, o incluziune.
(ii)Geste un ltru al lui Acont in^ andFdac a  si numai dac a [ ]F(G)
este un ltru propriu al lui A=F ; prin urmare, exist a o biject ie ^ ntre
ltrele proprii ale lui Acont in^ andF si ltrele proprii ale lui A=F .

2. FILTRE S I CONGRUENT E 13
(iii) Exist a o biject ie ^ ntre ltrele maximale ale lui Acont in^ andF
 si ltrele maximale ale lui A=F .
Propozit ia 19.FieA;BBL -algebre astfel ^ nc^ at AesteBL-subalge-
bra luiB. S a denim ':F(A)! F (B); '(F) =< F >B, unde
< F >Beste ltru generat de F^ nB si :F(B)!F (A); (G) =
G\A. Atunci :
(i)'; sunt bine denite  si p astreaz a incluziunea.
(ii)'(F) =fb2Bjabpentru unii a2Fg
(iii) dac ai:A ,!Beste incluziunea lui A^ nB, atunci'(G) =
i1(G).
(iv)( ')(F) =Fpentru orice ltru Fal luiA, prin urmare '
este injectiv a  si surjectiv a.
(v)( ')(G)Gpentru orice ltru Gal luiB
(vi) dac aFeste un ltru propriu al lui A, atunci'(F)este un ltru
propriu al lui B; dac aGeste ltru propriu al lui B, atunci (G)este
ltru propriu al lui A.
(vii) (Spec(B)) =Spec(A)
(viii) (Max(B)) =Max(A)
(ix)jF(A)jjF (B)j;jSpec(A)jjSpec(B)j sijMax(A)j=jMax(B)j.
Demonstrat ie. (i)(vi) Demonstrat iile sunt imediate. S a ob-
serv am c a^ n (5), incluziunea este, ^ n general, strict a. De exemplu, dac a
Beste oBL-algebr a cu ltru propriu G6=f1g siA=f0;1g, atunci
(' )(G) =<G\A>B=f1gB=f1g6=G.
(vii) "" Este u sor de v azut c a dac a Qeste ltru prim al lui B,
atunci (Q) =Q\Aeste ltru prim al lui A.
"" Dac aP2Spec(A), atunciAPesteV-subspat iu ^ nchis
nevid al lui B si'(P) =fb2Bjbapentru unii a2Pgeste ltru
propriu al lui B. Dac ax2'(P)\(AP), atuncix2A;x62P si
estea2Pastfel ^ nc^ at ax. Deoarece Peste ltrul lui A, rezult a c a
x2P, asta este contradict ie. Prin urmare, '(P)\(AP) =?. Prin
urmare, aplic am 9  si avem Q2Spec(B) astfel ^ nc^ at P'(P)Q si
Q\(AP) =?. Rezult a c a (Q) =Q\A= (Q\P)[(Q\(AP)) =
Q\P=P.
(viii) "" Dac aM2 Max(B), atunci (M) =i1(M)2
Max(A), din Propozit ia 17.
"" FieM2Max(A). Din (vi), '(M) este ltru propriu al lui
B, prin urmare putem extinde la ltru maximal Nal luiB. Dovedim
c aM= (N) =N\A. Avem c a '(M)N, deciM= ('(M))
M(N). Presupunem c a este a2N\AM. Rezult a c a MM[
fag<M[fag>A, prin urmare trebuie s a avem <M[fag>A=A,
deoareceMeste ltru maximal al lui A. Prin urmare, este n2! si
b2Mastfel ^ nc^ at anb= 0. Deoarece a2N;M'(M)N, avem
Q2N, deciNnu este propriu, contradict ie.
(ix) Aplic am (vii), (viii)  si faptul c a este surjectiv a. 

3. FILTRE GENERATE DE O MULT  IME 14
Propozit ia 20.Fieh:A!BunBL-morsm surjectiv. Atunci:
jF(B)jjF (A)j;jSpec(B)jjSpec(A)j siMax(B)jjMax(A)j
Demonstrat ie. Denimh:F(B)!F (A) cuh(G) =h1(G)
pentru orice ltru Gal luiB. Este u usor de v azut, folosind Propozit ia
17 (1)  si faptul c a heste surjectiv a, c a heste bine denit a  si injectiv a.
Prin urmare,jF(B)jjF (A)j. Aplic^ and Propozit ia 17 (1), (2) avem c a
hjSpec (B):Spec(B)!Spec(A)  sihjMax(B):Max(B)!Max(A).
3. Filtre generate de o mult ime
FieXA. Filtrul lui Agenerat de X^ l vom nota cu < X > .
Avem c a<?>=f1g si dac aX=?,< X > =fy2Ajx1:::
xnypentru un anumit n2Nf0g si anumit ix1;:::xn2Xg=
fy2Ajxn!(xn1!:::!(x1!y):::) = 1 pentru un n2N
f0g si anumit ix1;:::;xn2Xg.
Pentru orice a2A,<a> not am ltrul principal al lui Agenerat de
fag. Atunci:<a> =fb2Ajanbpentru un anumit n2Nf0gg.
Rezult a imediat c a <1>=f1g si<0>=A.
De asemenea, not am cu [ X) (respectiv ( X]) ltrul (idealul) laticii
L(A) generat de X si de [a) (respectiv ( a]) ltrul(idealul) principal al
laticiiL(A) generat defag.
Exemplu 9.FieAoBL-algebr a din Exemplul 7. Atunci <a> =
[a) =fa;1g,<b> = [b) =fb;1g si<c> = [c) =fa;b;c; 1g.
Propozit ia 21.(i)Dac a?6=XA, atunci
[X) =fa2Ajx1^:::^:::xnapentrun2Nf0g six1;:::;xn2Xg
(X] =fa2Ajx1_:::_:::xnapentrun2Nf0g six1;:::;xn2Xg
(ii)Dac a?6=XA siXesteV-^ nchis a, atunci
[X) =fa2Ajexist ax2Xastfel ^ nc^ at xag
(iii)Dac a?6=XA siW-^ nchis a, atunci
(X] =fa2Ajexist ax2Xastfel ^ nc^ at xag
(iv) [?) =f1g;(?] =f0g
(v)pentru ecare a2A,[a) =fx2Ajaxg
(a] =fx2Ajaxg
Propozit ia 22.FieXA sia2A.
(i) [X)<X >
(ii)Dac aX6=?esteJ-^ nchis a, atunci
<X > = [X) =fa2Ajexist ax2Xastfel ^ nc^ atxag
(iii)Dac aX6=?,xx=xpentru orice x2X siXesteV-^ nchis a,
atunci<x> = [X) =fa2Ajexist ax2Xastfel ^ nc^ at xag

3. FILTRE GENERATE DE O MULT  IME 15
(iv)Dac aX6=?esteJ-^ nchis a  sib2A, atunci
<X[fbg>=fa2Ajabnxpentru unii x2X sin2!g
Demonstrat ie. (i) Din faptul c a aba^b.
(ii) Este clar c a < X > =fa2Ajexist ax2Xastfel ^ nc^ atxag
din (i)  si din faptul c a XesteJ-^ nchis a. Ca urmare a ( iii), r am^ ane de
demonstrat c a <X >[X). Fiea2<X > . Atunci, este x2Xastfel
^ nc^ atxa. Deoarece x2[X)  si [X) este ltrul lui L(A), rezult a c a
a2[X).
(iii) Deoarece XesteV-^ nchis a, din Propozit ia 21 ( ii), avem c a
[X) =fa2Ajexist ax2Xastfel ^ nc^ at xag. Fiea2< X > .
Atunci, este n2!f0g six1;:::;xn2Xastfel ^ nc^ at x1:::xna.
Aplic^ and Lema 2( i), avem c a x1^:::^xn=x1:::xna. Fie
x=x1^:::^xn. Deoarece Xeste^-^ nchis a, rezult a c a x2X sixa.
Prin urmare, a2[X).
(iv) Aplic am denit ia. 
Propozit ia 23.(F(A);)este latice complet a. Pentru orice fa-
miliefFigi2Ide ltre din A, avem c a
^
i2IFi=\
i2IFi,_
i2I=<[
i2IFi>
O familie de ltre este comaximal a dac a exist a supremul lor.
Observat ia 5.Dac aF;G sunt ltre ale lui A, atunci:
F_G=<F[G>=fa2Ajbcapentru unii b2F;c2Gg
Observat ia 6.(F(A);)este o latice complet a Bronwerian , adic a:
F^(_
i2IGi) =_
i2I(F^Gi);
pentru orice ltru F si orice familie de ltre fGigi2Iale luiA; ^ n
particular, (F(A)este o latice m arginit a distributiv a.
Propozit ia 24.(i)<a> = [a),aa=a(ii)ab)<b><
a>(iii)<a_b>=<a>\<b> (iv)<a>_<b> =<a^b>=<
ab >(v)dac aFeste ltrul lui A, atuncia2F,< a >F(vi)
<a> =f1g,a= 1
Demonstrat ie. (i) ")" Deoarece aa2< a > , rezult a c a
aa2[a), deciaaa. Daraaa, din Ecuat ia 2. Prin urmare,
aa=a.
"(" Aplic am Propozit ia 22 (ii) :
(ii) Fiec2< b > . Atunci este n2!f0gastfel ^ nc^ at cbnan,
prin urmare c2<a> .
(iii) Din [47;Lema 4:11]
(iv) Deoarece aba^ba;b, din (iv) avem c a
<a>_<b><a^b><ab>

3. FILTRE GENERATE DE O MULT  IME 16
R am^ ane s a demonstr am c a < ab >< a >_< b > . Fie
x2< a >_< b > . Din Observat ia 5, sunt y2< a >;z2< b >
astfel ^ nc^ at yzx. Prin urmare, sunt n;m2!f0gastfel ^ nc^ at
any;bmz, decianbmz. Lu^ andk= maxfn;mg, rezult a c a
akbkz, adic a (ab)kz, deciz2<ab>.
(v);(vi) Evident. 
Propozit ia 25.[27, Propozit ia 28]
(F(A);)este o latice algebric a, elementele compacte ind exact
ltrele principale ale lui A.
Demonstrat ie. Dac aFeste un ltru al lui A, atunci evident c a
F=Va2F< a > . R am^ ane de ar atat c a elementele compacte sunt
exact ltrele principale ale lui A. FieFun element compact al lui A.
DeoareceF=Va2F< a > , suntn2!f0g sia1;:::;an2Aastfel
^ nc^ atF=< a 1>_:::_< an>=< a 1:::an>, din Propozit ia 24
(iv). Prin urmare, Feste ltrul principal al lui A. Invers, lu am a2A
 sifFigi2Io familie de ltre ale lui Aastfel ^ nc^ at < a >Vi2IFi, deci
a2Vi2IFi=<[i2IFi>. Prin urmare, sunt n2!f0g,i1;:::;in2I
 sixi12Fi1;:::;xin2Finastfel ^ nc^ at axi1:::xin. Rezult a c a
a2<Fi1[:::[Fin>, deci<a><Fi1[:::[Fin>=Fi1_:::_Fin.
Propozit ia 26.FieAoBL-algebr a. Atunci Fp(A)o sublatice
m arginit a a luiF(A).
Demonstrat ie. Aplic am Propozit ia 24 ( iii);(iv)  si faptul c a
f1g=<1>2F(A)  siA=<0>2Fp(A). 
Not am cuLD01 categoria laticilor m arginite distributive. Atunci
putem deni un functor Fp:BL!LD 01. Dac ah:A!Beste
BL-morsm, atunciFp(h) :F(A)!F (B) este denit de
Fp(h)(<a> ) =<h(a)>.
Propozit ia 27.Fpeste un functor de la categoria BL-algebrelor
la categoria laticilor m arginite distributive.
Demonstrat ie.
Fp(h)(<a>_<b> ) =Fp(h)(<a^b>)
=<h(a^b)>=<h(a)^h(b)>
=<h(a)>_<h(b)>;
Fp(h)(<a>^<b> ) =Fp(h)(<a_b>)
=<h(a_b)>=<h(a)_h(b)>
=<h(a)>^<h(b)>;
Fp(h)(<1>) =<h(1)>=<1>
Fp(h)(<0>) =<h(0)>=<0>:


4. CENTRUL BOOLEAN AL UNEI BL-ALGEBRE 17
4. Centrul boolean al unei BL-algebre
^In aceast a sect iune vom studia centrul boolean al unei BL-algebre,
adic a mult imea elementelor complementate ale lui A.
FieAoBL-algebr a. Vom nota cu B(A) algebra Boolean a a tu-
turo elementelor complemente ^ n laticea distributiv a L(A). Ne referim
laB(A) ca ind centrul lui A si elementele lui B(A) ca elementele
booleene ale lui A.
Observat ia 7.Dac aAeste unBL-lant , atunci B(A) =f0;1g.
Propozit ia 28.Fiee2A. Urm atoarele armat ii sunt echiva-
lente:
(i)e2B(A)
(ii)ee=e sie=e
(iii)ee=e sie!e=e
(iv)e_e= 1
(v)(e!a)!e= 1 pentru tot i a2A
Demonstrat ie. (i))(ii) Presupunem c a e2B(A). Atuncie_
a= 1  sie^a= 0, pentru unii a2A. Din 1.28  si 1.23, obt inem ae.
Mai mult, aplic am 1.17  si 1.24. Avem c a e= 1e= (e_a)e=
(ee)_(ae) =aea. Prin urmare, a=eeste complementul
luie. Rezult a c a e2B(A)  si asem an ator, eeste complementul lui
e. Dar complementul lui eeste, de asemenea, e. Deoarece L(A) este
distributiv a, avem e=e.
(ii))(iii) Avem c a ee!e, din 1.11. Din Lema 2 (ii),
e^e= 0. Deoarece e(e!e) =e^e=e^e= 0, avem c a
e!ee=e, din 1.23
(iii))(iv) Aplic^ and 1.29, e_e= 1,(e!e)!e= 1  si
(e!e)!e= 1. Din (iii), e!e=e, prin urmare ( e!e)!e=
1. De asemenea, avem c a e!e=e!(e!0) = (ee)!0 =e!
0 =e:Deci, (e!e)!e= 1.
(iv))(i) Dine_e= 1 rezult a din 1.28  si 1.24 c a e^e=ee= 0.
Prin urmare, eeste complementul lui e. Aste este, e2B(A).
(i))(v) [27, Propozit ia 1.5] 
Propozit ia 29.Presupunem c a a;b2A sie;f2B(A). Atunci:
(i)<e> =fa2Ajeag
(ii)<e> =e_A=fe_aja2Ag
(iii)e=f,<e> =<f >
(iv)ea=e^a
(v)e^e= 0
(vi)e_(ab) = (e_a)(e_b)
(vii)e^(ab) = (e^a)(e^b)
(viii)a_e= 1,ea,a2<e>
(ix)a_e= 1,ae
(x) Dac aea_a, atunciea2B(A)

4. CENTRUL BOOLEAN AL UNEI BL-ALGEBRE 18
(xi)a^e= 0,a_e= 1,ae
(xii)D(e) =Spec(A)D(e) siDmax(e) =Max (A)Dmax(e)
Demonstrat ie. (i) Aplic am Propozit ia 28 (ii)  si Propozit ia 22
(ii).
(ii) "" Dac aa2< e > , atunciea, decia=e_acare este
a2e_A.
"" Aplic am (i).
(iii) Dac a< e > =< f > , atunci, din (i) e2< f > , decief si
f2<e> , decief.
(iv), (v), (vi), (vii) Aplic am Lema 2.
(viii) Dac a ea, atuncie^a=e, prin urmare
1 =e_e=e_(e^a) = (e_e)^(e_a) = 1^(e_a) =e_a
Invers, dac a a_e= 1, atunci
e=e^1 =e^(a_e) = (e^a)_(e^e) = (e^a)_0 =e^a
deci,aa.
(ix) Dac aa_e= 1, atunci a^e= 0, deciae= 0. Prin
urmare,ae=e
(x) C acie2B(A), din Propozit ia 28 (iv) avem c a e_e= 1.
Rezult a c a : ( ea)_(ea)= (e^a)_(e^a)= (e^a)_(e_a) =
= (e^a)_((e_a)^1) = (e^a)_((e_a)^(e_e)) =
(e^a)_((e^a)_e) = (e^(a_a))_e=e_e= 1.
Aplic am din nou Propozit ia 28 (iv)  si obt inem c a ea2B(A).
(xi) Dac aae, atuncie_a=e, atunci 0 = e^e=e^(e_a) =
(e^e)_(e^a) = 0_(e^a) =e^a. Invers, dac a a^e= 0,
atuncie=e_0 =e_(a^e) = (e_a)^(e_e) = (e_a)^1 =e_a,
deciae.
Dac aa^e= 0, atunci a_e= 1, decia_e= 1. Invers,
a_e= 1 implic a ae= 0, decia^e= 0, indc a aa.
(xii) Fiindc a e_e= 1, rezult a imediat c a pentru orice ltru prin
P,e2P,e62P. 
FieAoBL-algebr a. Pentru orice x2A, consider am operat iile
!x:AA!A sihx:A!Adenite de :
a!xb=x_(a!b)
hx(a) =x_a
Propozit ia 30.FieAoBL-algebr a  sie2B(A). Atunci :
(i)<e> = (<e>;^;_;;!e;e;1)este oBL-algebr a.
(ii)<e> este nontrivial dac a  si numai dac a e6= 1.
(iii)< e > este o subalgebr a a lui Adac a  si numai dac a e= 0,
dac a  si numai dac a <e> =A.
(iv)B(<e> ) =<e>\B(A)
(v)he(A) =<e>
(vi)heesteBL-morsm din Ape<e>

4. CENTRUL BOOLEAN AL UNEI BL-ALGEBRE 19
(vii)Ker(he) =<e>
(viii) Planul ':A!A!<e><e>;'(a) = (he(a);he(a)) =
(a_e;a_e)esteBL-izomorsm.
(ix) Dac aFeste ltru al lui A, atunciF\< e > =fe_aja2Fg
 siF\<e> este un ltru al lui <e> .
(x) Dac aFeste ltrul lui A, atunci pentru tot i a;b2A,a
b(modF )^ nAimplic aa_eb_e(modF\<e> )^ n<e> .
Demonstrat ie. (i) Din Propozit ia 29 (i), avem c a < e > =fa2
Ajeag. Rezult a imediat c a ( < e >;^;_;e;1) este latice m arginit a.
Fiindc a<e> este ltrul lui A,<e> este-^ nchis  si, evident, ( <e>
;;1) este monoid comutativ.
S a veric am alte axiome din denit ia BL-algebrei.
1.1 Fiea;b;ce. Dac aabc, atuncisb!ce_(b!c) =
b!ec. Invers, presupunem c a ba!ec, decibe_(a!c). Apoi,
din 1.6, 1.17, Propozit ia 29 (iv)  si 1, avem c a aba[e_(a!
c)] = (ae)_[a(a!c)] = (a^e)_(a^c) =e_(a^c) =a^cc.
1 Fiea;be. Atuncia(a!eb) =a[e_(a!b)] =
(ae)_[a(a!b)] = (a_e)_(a^b) =a^b.
2 Fiea;b2A. Din 2, avem c a ( a!eb)_(b!ea) =e_(a!
b)_e_(b!a) =e_1 = 1. Prin urmare, ( <e>; 1;_;;!e;e;1) este
oBL-algebr a.
(ii), (iii) Sunt evidente.
(iv) Fiea2<e>; asta esteea. Dac aa2B(<e> ), atuncibe
astfel ^ nc^ at a^b=e sia_b= 1. Lu^ and c=b^e, avem c aa^c= 0  si
a_c=a_(b^e) = (a_b)^(a_e) = 1^(a_e) =a_ee_e= 1.
Invers, presupunem c a a2B(A), prin urmare este un b2Aastfel
^ nc^ ata_b= 1  sia^b= 0. Fiec=e_b. Atuncice sia_c= 1,
a^c=a^(e_b) = (a^e)_(a^b) =e_0 =e.
(v) Pentru orice a2<e> , avem c ahe(a) =e_a=a. Prin urmare,
<e>he(A). Cealalt a incluziune este evident a.
(vi) Este o vericare u soar a.
(vii) Aplic^ and Propozit ia 29 (viii), avem c a a2Ker(he) dac a  si
numai dac a he(a) = 1,a_e= 1,a2<e>.
(viii) Aplic^ and (vi), avem c a 'esteBL-morsm surjectiv. R am^ ane
s a ar at am c a este injectiv. Dac a a;b2Asunt astfel ^ nc^ at a_e=b_e
 sia_e=b_e, atuncia=a^1 =a^(e_e) = (a_e)^(a_e) =
(b_e)^(b_e) =b^(e_e) =b^1 =b. Prin urmare, eeste injectiv a,
de asemenea.
(ix) Dac aa2F, atuncie_ae, decie_a2<e>  sie_aa2F,
decie_a2F, indc aFeste ltrul lui A. Invers, dac a b2F\<e> ,
rezult a c ab2F sibe, prin urmare b=b_e. S a demonstr am c a
F\<e> este ltrul lui <e> .
Dac aa;b2F, atunci (e_a)(e_b) =e_(ab)  siab2F.
Fiea2F sib2<e> astfel ^ nc^ at a_eb. Atunciab, decib2F.
Rezult a c a b=b_e2F\<e> .

4. CENTRUL BOOLEAN AL UNEI BL-ALGEBRE 20
(x)^Intr-adev ar, dac a ab(modF ), atuncia!b,b!a2F.
Aplic^ and 1.30  si 1.4, avem c a a_e!eb_e=e_(a_e!b_e) =
e_[(a!b_e)^(e!b_e) =e_[(a!b_e)^1] =e_(a!b_e). Din
bb_e si 1.9, avem c a a!ba!b_e, prin urmare a!b_e2F,
indc aa!b2F. Aplic^ and acum (i), rezult a c a e_(a!b_e)2
F\< e > , aste este a_e!eb_e2F\< e > . Avem similiar c a
b_e!ea_e2F\<e> , prin urmare a_eb_e(modF\<e> ).
Propozit ia 31.FieAoBL-algebr a. Atunci B(A)\Rad(A) =
f1g.
Demonstrat ie. Evident, 12B(A)\Rad(A). Fiee2B(A);e6=
1. Aplic^ and Propozit ia 11, exist a un ltru prim Pal luiAastfel ^ nc^ at
e62P. Din Propozit ia 28 (iv), avem c a e_e= 12P, decie2P,
indc aPeste prim  si e62P. Aplic^ and Propozit ia 10, exist a un ltru
maximalMastfel ^ nc^ at PM. Rezult a c a e2M, decie62M. Prin
urmare,e62Rad(A). 
Pentru oBL-algebr aA, not am:
D(A) =fa2Aja=ag
mult imea tuturor elementelor acare sunt egale cu a si cu
H(A) =fa2Aja=aag;
mult imea tuturor elementelor idempotente ale lui A.
Un rezultat bine  stiut, datorat lui Glivenko, spune c a dac a Aeste
o algebr a Heyting, atunci D(A) este algebr a Boolean a, unde supremul
luia sib^ nD(A) este (a_b).
Lema 5.Dac aAeste oBL-algebr a, atunci H(A)este cea mai
mare subalgebr a a lui Acare este o G-algebr a.
Demonstrat ie. ^In primul r^ and, 0 ;12H(A). Acum, observ am
c a dac aa2H(A), atunciab=a^bpentru orice b2A.^Intr-
adev ar,a^b=a(a!b) =aa(a!b) =a(a^b)ab;
aba^brezult^ and din izotonia . Am ar atat c a H(A) este o
subalgebr a. Lu am orice a;b2H(A). Deoareceeste distributiv a
peste^, avem c a (a^b)(a^b) = (aa)^(ab)^(bb) =a^b,
adic aH(A) este ^ nchis sub^.^In plus, (a_b)(a_b) = (aa)_
(ab)_(bb) =a_(a^b)_b=a_b, adic aH(A) este ^ nchis sub
_.^In nal, (ab)(ab) = (aa)(bb) =ab, dovedind
^ nchiderea sub. Am ar atat c a H(A) este ^ nchis sub !: Fiecare
BL-algebr a este un produs subdirect a BL-algebrelor liniar ordonate.
Trebuie, prin urmare, s a presupunem c a Aeste liniar ordonat a. Dac a
ab, atuncia!b= 12H(A). Fiea>b . Am ar atat c a a!b=b.
Deoareceba!beste mereu adev arat a, este sucient s a ar t am
c ab < a!beste imposibil. Fie b < a!b. Deoarece a2H(A),

4. CENTRUL BOOLEAN AL UNEI BL-ALGEBRE 21
avem c aa^(a!b) =a(a!b)b. Din liniaritatea lui A,
a^(a!b) = min(a;a!b)>b, este contradict ie.
Dac aH0H(A) este alt a subalgebr a a lui A. Aceasta este o G-
algebr a atunci pentru orice a2H0,aa=a, adic aa2H(A), deci
H0=H(A). Asta demonstreaz a c a H(A) este cea mai mare subalgebr a,
aceasta ind o G-algebr a. 
Lema 6.Dac aAeste oBL-algebr a, atunci D(A)este cea mai mare
subalgebr a a lui Acare este o MV-algebr a.
Demonstrat ie. Mai ^ nt^ ai, ar at am c a D(A) este o subalgebr a a
luiA. Deoarece x=xeste valid ^ n A,D(A) =faja2Ag.
Clar, 0;12D(A). Deoarece ( a!0)^(b!0) = (a_b)!0,D(A)
este ^ nchis fat  a de ^. Pentru a vedea c a D(A) este ^ nchis fat  a de _,
veric am (a!0)_(b!0) = (a^b)!0. Partea "" rezult a din
antitonia negat iei. Invers, ( a^b)!0 = ((a^b)!0)((a!b)_(b!
a)) = ((a!b)((a^b)!0))_((b!a)((a^b)!0))(a!
0)_(b!0).x(x!y)yne d aa!b= (ab)(^ ntr-adev ar,
aplic^ and proprietatea de adjunct ie lui b(a(a!b))0  si lui
(ab)((ab)!0)0 obt inem ""  si "" inegalit at i).
Acum, introducem operat ia binar a peD(A) cuab= (ab). Am
ar atat c a<D(A);;1>este monoid comutativ. Clar, ab2D(A).
^In plus,este comutativ  si deoarece ( a1)=a, 1 este element
neutru. Pentru a verica asociativitatea, ar at am dup a cum urmeaz a:
((ab)c)(a(bc)),
(a(bc))((ab)c),
(ab)c(a(bc))0,
c(a(bc))(ab)= (ab),
abc(a(bc))0
care rezult a din bc(bc). Am demonstrat ( ab)ca(bc),
inegalitatea invers a este simetric a. Prin urmare, < D(A);;1>este
monoid comutativ.
^In plus, ca a!b= (ab),D(A) este ^ nchis sub!. Acum
veric am c a si!satisfac proprietatea de adjunct ie: Deoarece ab
(ab),abcimplic aab!cdin proprietatea de adjunct ie  si
!. Dac aab!c, atunciabc, deciab= (ab)c=c.
Acum, avem abab,ab!(ab),abab, adic a
abab.^Intr-un fel similiar, obt inem abab, deciab=ab
pentru orice a;b2D(A). Prin urmare, D(A) este o subalgebr a a lui
A.
Evident,D(A) satisfacex=x si, deciD(A) este oMV-algebr a.
Este cea mai mare MV-algebr a ce cont ine Aca o subalgebr a deoarece,
^ n caz contrar, exist a a2AnD(A) astfel ^ nc^ at a=a, contradict ie
cu denit ia lui D(A). 

4. CENTRUL BOOLEAN AL UNEI BL-ALGEBRE 22
Observat ia 8.Not am ^ ntr-un mod diferit faptul c a D(A)este o
MV-algebr a.
Teorem a3.(1)Dac aAeste oMV-algebr a, atunci D(A) =A si
H(A)este cea mai mare subalgebr a a lui Acare este o algebr a Boolean a.
(2) Dac aAeste oG-algebr a, atunci H(A) =A siD(A)este cea
mai mare subalgebr a a lui Acare este o algebr a Boolean a.
(3) Dac aAeste oQ-algebr a, atunci D(A) =H(A)este cea mai
mare subalgebr a a lui Acare este o algebr a Boolean a.
Demonstrat ie. (1) Dac aAeste oMV-algebr a, atunci evident
D(A) =A. Cea de-a doua parte rezult a direct din Lema 5.
(2) Analog, Aeste oG-algebr a, atunci rezult a H(A) =A si restul
rezult a din Lema 6.
(3) Cu cele ment ionate mai sus, ecare BL-algebr aAeste un produs
subdirect a BL-algebrelor liniare ordonate. Mai mult, ca urmare a
demonstrat iei, factorii liniari ordonat i satisfac toat a identitatea lui A.
Prin urmare, ecareQ-algebr a este un produs subdirect aQ-algebrelor
liniar ordonate.
FieAifactorii liniari ordonat i ai lui A. Identic am ecare a2A
cu elementul corespunz tor (:::;ai;:::) a produsului direct al Ai.
FieAoQ-algebr a. ^In primul r^ and, ar at am c a a= (:::;ai;:::)2
H(A),ai= 0 sauai= 1 pentru tot i i. De la dreapta la st^ anga este
evident. Invers, lu am a2H(A)  si 0< ai. Deoarece Aieste liniar
ordonat,a
i= 0, decia
i= 1. Prin urmare, pun^ and x= 1;y=
ai siz=ai,
z((xz)!(yz))!(x!y))1(ai!ai)!(1!ai);
deciai= 1. Prin urmare, pentru ecare i, eai= 0 sauai= 1.
^In al doilea r^ and, veric am a= (:::;ai;:::)2D(A),ai= 0 sau
ai= 1 pentru tot i i. Din nou, de la dreapta la st^ anga, este evident.
Invers, deoarece Aieste liniar ordonat  si ai^a
i= 0, 0<ai)a
i= 0.
Rezult a c a 0 < ai siai2D(Ai) implic aai=a
i= 1. Prin urmare,
H(A) =D(A),  si cerint a direct a rezult a din Lema 5  si Lema 6. 
Observat ia 9.(1) Not am c a (1) din Teorema 3 poate , de aseme-
nea, ar atat din metoda reprezent arii subdirect a: a= (:::;ai;:::)2H(A)
implic aai2H(A), adic aaiai=ai. Obt inem c a ai= 0 sauai= 1.
Din contradict ie, lu am 0< ai<1. Deoarece Aieste liniar ordo-
nat a, 0< aiairezult aa
i< ai(aia
ine d aaia
i= 0) . Cum
x_y= (x!y)!y six!y= (xy), concluzion am c a :
a=a_a= (a!a)!a= (aa)!a=a!a= 1;
contradict ie cu a < 1. Restul este clar. ^Intr-un mod asem an ator,
putem demonstra (2) din Teorema 3.

4. CENTRUL BOOLEAN AL UNEI BL-ALGEBRE 23
(2) O consecint  a direct a a lui (2) din Teorema 3 este c a dac a algebra
HeytingAsatisface (x!y)_(y!x) = 1 , atunci introducerea ^ n
algebra Boolean a D(A)coincide cu introducerea ^ n A.
Prin urmare, avem urm atoarea teorem a.
Corolar 1.Dac aAeste oBL-algebr a, atunci D(A)\H(A)este
cea mai mare subalgebr a a lui Acare este o algebr a Boolean a.
Consider am A=f0;a;b;c; 1goBL-algebr a cu operat iile de  si!
denite astfel:
0 a b c 1
00 0 0 0 0
a0 0 a a a
b0 a b b b
c0 a b b c
10 a b c 1
!0 a b c 1
01 1 1 1 1
aa 1 1 1 1
b0 a 1 1 1
c0 a c 1 1
10 a b c 1
Observ am c a :
0= 0!0 = 1 deci 0= 1= 0
a=a!0 =adecia=a=a
b=b!0 = 0 deci b= 0= 1
c=c!0 = 0 deci c= 0= 1
1= 1!0 = 0 deci 1= 0= 1
deciMV(A) =fx2Ajx=xg=f0;a;1gesteMV-centrul lui A.
Cum pentru orice x;y2MV(A);xy= (xy), avem :
0 a 1
00 a 1
aa 1 1
11 1 1

5. SPECTRUL PRIM S I MAXIMAL AL BL-ALGEBREI 24
5. Spectrul prim  si maximal al BL-algebrei
^In aceast a sect iune, studiem spectrul prim Spec(A)  si spectrul ma-
ximalMax(A) alBL-algebrei, urm^ and o metod a standard.
Se  stie c aSpec(A) este un spat iu topologic compact To siMax(A)
este un spat iu topologic compact Hausdor.
FieAoBL-algebr a netrivial a. Pentru ecare submult ime Xa lui
A, denim:
V(X) =fP2Spec(A)jXPg
Propozit ia 32.FieAoBL-algebr a netrivial a. Atunci:
(i)XYAimplic aV(Y)V(X)Spec(A).
(ii)V(f0g) =? siV(?) =V(f1g) =Spec(A).
(iii)V(X) =?,<X > =A.
(iv)V(X) =Spec(A),X=?sauX=f1g.
(v) Dac afXigi2Ieste orice familie a submult imii lui A, atunci
V([i2IXi) =\i2IV(Xi).
(vi)V(X) =V(<X > ).
(vii)V(X)[V(Y) =V(<X >\<Y > ).
(viii) Dac a X;YA, atunci<X > =<Y >,V(X) =V(Y).
(ix) Dac aF;G sunt ltre ale lui A, atunciF=G,V(F) =V(G).
Demonstrat ie. (i) Evident.
(ii) Pentru orice P2Spec(A),Peste ltru propriu al lui A, deci
062P, asta ^ nseamn a P62V(f0g). Prin urmare, V(f0g) =?. Este
evident c aV(?) =Spec(A). Fiindc a 1 este element al oric arui ltru al
luiA, rezult a c a 1 este un element al oric arui ltru prim al lui A, asta
^ nseamn aV(f1g) =Spec(A).
(iii) ")" Presupunem c a < X >6=A, asta este < X > ltru
propriu al lui A. Aplic^ and Propozit ia 10, exist a un ltru prim Pal lui
Acare include ltru propriu < X > . Fiindc aX< X > rezult a c a
XP, deciP2V(X). Prin urmare, V(X)6=?.
"(" Dac aV(X)6=?, atunci este P2V(X). Fiindc a Peste
ltru incluz^ and X si< X > este ultimul ltru al lui Acu aceast a
proprietate, rezult a c a A=< X >P, adic aP=A. Avem c a Pnu
este ltru propriu. Aceasta este contradict ie, indc a Peste prim.
(iv) ")" Din (ii).
"(" Presupunem c a X6=? siX6=f1g. Atunci, este a2
X;a6= 1. Aplic^ and Propozit ia 11, exist a un ltru prim Pal luiA
astfel ^ nc^ at a62P. Prin urmare, XP, deciP62V(X). Asta este,
V(X)6=Spec(A).
(v) "" Avem c a Xi[i2IXipentru tot i i2I. Aplic^ and (i),
rezult a c aV([i2IXi)V(Xi) pentu tot i i2I, prin urmare V([i2I)
\i2IV(Xi).
"" Dac aP2\i2IV(Xi), atunciXiPpentru tot i i2I. Lu am
c aUi2IXiP, asta ^ nseamn a P2V(Ui2IXi).
(vi) "" Fiindc aX<X > , din (i) avem c a V(<X > )V(X).

5. SPECTRUL PRIM S I MAXIMAL AL BL-ALGEBREI 25
"" FieP2V(X), deciXP. Rezult a c a < X >P, adic a
P2V(<X > ).
(vii) "" Aplic am (i).
"" FieP2V(< X >\< Y > )  si presupunem c a P62
V(X)[V(Y). Prin urmare, P62V(X) =V(< X > )  siP62V(Y) =
V(< Y > ), adic a< X >6P si< Y >6P. Prin urmare, exist a
x2< X >; y2< Y > astfel ^ nc^ at x;y62P. Fiindc ax;yx_y si
<X >;<Y > sunt ltre ale lui A, avem c ax_y2<X >\<Y >
P. Prin urmare, obt inem x;y2Aastfel ^ nc^ at x_y2P six;y62P.
Aceasta contrazice faptul c a Peste prim.
(viii) ")" Aplic^ and (vi), avem c a V(X) =V(< X > ) =V(<
Y >) =V(Y).
"(" Dac a<X > =A, atunciV(X) =?, din (iii). Prin urmare,
V(Y) =?, deci, aplic^ and din nou (iii) avem c a < Y > =A. Prin
urmare,< X > =< Y > =A. Presupunem acum c a < X >;< Y >
sunt ltre proprii ale lui A. Aplic^ and de 2 ore Propozit ia 14  si (vi),
rezult a c a:
<X > =\fP2Spec(A)jP2V(<X > )g
=\fP2Spec(A)jP2V(X)g
=\fP2Spec(A)jP2V(Y)g
=\fP2Spec(A)jP2V(<Y > )g
=<Y >
(ix) Aplic^ and (viii)  si faptul c a, indc a F;G sunt ltre ele lui A,
avem<F > =F si<G> =G. 
Din propozit ia 32 (ii), (v),  si (vii) rezult a c a familia fV(X)gXAa
submult imilor lui Spec(A) satisface axiomele pentru mult imi ^ nchise ^ n
spat iul topologic.
Aceast a topologie este numit a topologia Zariski  si spat iul topologic
Spec(A) este numit spectrul prim al luiA.
Pentru orice XA, not am complementul lui V(X) cuD(X). Prin
urmare,
D(X) =fP2Spec(A)jX6Pg
Rezult a c a familia fD(X)gXAeste familia mult imilor deschise a to-
pologiei Zariski.
Prin dualitate, din Propozit ia 32 avem urm atoarele :
Propozit ia 33.FieAoBL-algebr a netrivial a. Atunci:
(i)XYAimplic aD(X)D(Y)Spec(A)
(ii)D(f0g) =Spec(A) siD(?) =D(f1g) =?
(iii)D(X) =Spec(A),<X > =A
(iv)D(X) =?,X=?sauX=f1g
(v) Dac afXigi2Ieste orice familie a submult imilor lui A, atunci
D([i2IXi) =[i2ID(Xi)

5. SPECTRUL PRIM S I MAXIMAL AL BL-ALGEBREI 26
(vi)D(X) =D(<X > )
(vii)D(X)[D(Y) =D(<X >[<Y > )
(viii) Dac a X;YA, atunci<X > =<Y >,D(X) =D(Y)
(ix) Dac aF;G sunt ltre ale lui A, atunciF=G,D(F) =D(G)
Pentru orice a2A, not amV(fag)cuV(a) siD(fag)cuD(a).
Atunci:
V(a) =fP2Spec(A)ja2Pg si
D(a) =fP2Spec(A)ja62Pg.
Propozit ia 34.Fiea;b2A. Atunci:
(i)D(a) =Spec(A),<a> =A
(ii)D(a) =?,a= 1
(iii)D(a) =D(b),<a> =<b>
(iv)V(a)D(a)
(v) Dac aab, atunciD(b)D(a).
(vi)D(a)\D(b) =D(a_b)
(vii)D(a)[D(b) =D(a^b) =D(ab)
Demonstrat ie. (i), (ii), (iii) Aplic^ and Propozit ia 33 (iii), (iv)  si
(viii).
(iv) FieP2V(a), prin urmare a2P. Dac aa2P, atunci
0 =aa2P, deciPnu este propriu. Prin urmare, trebuie s a avem
a62P, asta ^ nseamn a P2D(a).
(v) FieP2D(b), decib62P. Dac aP62D(a), atuncia2P si din
abavem c ab2P; aceasta este contradict ie.
(vi) Pentru orice ltru prim Pal luiA, avem c aa_b62P,a62P
 sib62P. Prin urmare, P2D(a_b),a_b62P,a62P si
b62P,P2D(a)  siP2D(b),P2D(a)\D(b).
(vii) Aplic^ and Obsevat ia 2 (i), avem c a orice ltru Fal luiA, (a62
Fsaub62F),ab62F,a^b62F. Rezult^ and c a pentru orice ltru
primPal luiA,P2D(a)[D(b),P2D(ab),P2D(a^b)
Propozit ia 35.FieAoBL-algebr a netrivial a. Familia fD(a)ga2A
este o baz a pentru topologia lui Spec(A).
Demonstrat ie. FieXA siD(X) o submult ime deschis a a lui
Spec(A). AtunciD(X) =D([a2Xfag) =[a2XD(a), din Propozit ia ??
(v). Prin urmare, orice mult ime deschis a a lui Spec(A) este reuniune
de submult imi din familia fD(a)ga2A. 
Mult imileD(a) se vor numi mult imi de baz a deschise ale lui Spec(A).
Propozit ia 36.Pentru orice a2A;D(a)este compact ^ n Spec(A).
Demonstrat ie. Este sucient s a demonstr am c a orice acoperire
a luiD(a) cu submult imi deschise de baz a cont ine o acoperire nit a
a luiD(a). FieD(a) =[i2ID(ai) =D([i2Iai). Din Propozit ia 33
(viii), avem c a < a > =<[i2Iai>, decia2<[i2Iai>. Prin urmare,
exist an1  sii1;:::;in2Iastfel ^ nc^ at ai1:::aina:Trebuie s a

5. SPECTRUL PRIM S I MAXIMAL AL BL-ALGEBREI 27
demonstr am c a D(a) =D(ai1)[:::[D(ain). Aplic^ and Propozit ia 34
(v)  si (vi), obt inem c a D(a)D(ai1:::ain) =D(ai1)[:::[D(ain).
Cealalt a incluziune este evident a, de unde: D(ai1)[:::[D(ain)
[i2ID(ai) =D(a). 
Propozit ia 37.Submult imile deschise  si compacte ale lui Spec(A)
sunt exact reuniunile nite ale mult imilor deschise din baz a.
Demonstrat ie. Deoarece orice mult ime deschis a de baz a este com-
pact deschis a, atunci o reuniune nit a a mult imilor deschise de baz a
este, de asemenea, un compact deschis. Fie D(X), cuXA, o
submult ime compact deschis a al lui Spec(A). Deoarece D(X) este
deschis, avem c a D(X) este reuniune de mult imi deschise de baz a. De-
oareceD(X) este compact, rezult a c a D(X) este reuniune nit a de
mult imi deschise de baz a. 
Teorem a4.Spec(A)este un spat iu topologic To.
Demonstrat ie. Aplic^ and Propozit ia 33 (ii), avem c a Spec(A) =
D(0). Aplic^ and acum Propozit ia 36 avem c a Spec(A) este compact.
R am^ ane spat iu To, care ^ nseamn a c a pentru orice dou a ltre prime
distincteP6=Q2Spec(A) exist a o mult ime deschis a UdinSpec(A)
astfel ^ nc^ at P2U;Q62UsauQ2U;P62U. Deoarece P6=Q, avem
c aP6QsauQ6P. Presupunem c a P6Q, deci exist a a2Pastfel
^ nc^ ata62Q. Lu amU=D(a). AtunciQ2U siP2U. Analog dac a
Q6P. 
^In continuare, lu am Max(A) s a e mult ime ltrelor maximale ale
luiA. Deoarece, din Propozit ia 6, Max(A)Spec(A), consider am pe
Max(A) topologia indus a de topologia Zariski. Prin urmare, obt inem
un spat iu topologic numit spectrul maximal al luiA.
Pentru orice XA sia2A, denim:
VMax(X) =V(X)\Max(A) =fM2Max(A)jXMg
DMax(X) =D(X)\Max(A) =fM2Max(A)jX6Mg
 siVMax(a) =V(a)\Max(A) =fM2Max(A)jaMg
DMax(a) =D(a)\Max(A) =fM2Max(A)ja6Mg
Rezult a c a familia fVMax(X)gXAeste familia mult imilor ^ nchise
a spectrului maximal, familia fDMax(X)gXAeste familia mult imilor
deschise a spectrului maximal  si familia fDMax(a)ga2Aeste o baz a
pentru topologia lui Max(A).
Propozit ia 38.FieAoBL-algebr a nontrivial a, X;YA;fXigi2I
o familie a submult imilor lui A sia;b2A. Atunci :
(i)XYAimplic aDMax(X)DMax(Y)Max(A)
(ii)DMax(0) =Max(A) siDMax(?) =DMax(1) =?
(iii)DMax(X) =Max(A),<X > =A
(iv)DMax(Ui2IXi) =Ui2IDMax(Xi)

6.MV-CENTRUL UNEI BL-ALGEBRE 28
(v)DMax(X) =DMax(<X > )
(vi)DMax(X)\DMax(Y) =DMax(<X >\<Y > )
(vii)DMax(a) =Max(A),<a> =A
(viii) Dac a ab, atunciDMax(b)DMax(a)
(ix)VMax(a)DMax(a)
(x)DMax(a)\DMax(b) =DMax(a_b)
(xi)DMax(a)[DMax(b) =DMax(a^b) =DMax(ab)
Demonstrat ie. Avem de ar atat doar (iii), celelalte ind consecint e
imediate ale propriet at ilor corespunz atoare pentru Spec(A).
(iii) ")" Dac a<X >6=A, atunci<X > este ltru al lui A, prin
urmare, aplic^ and Propozit ia 10, exist a un ltru maximal Mal luiA
astfel ^ nc^ at <X >M. Rezult a c a XM, care esteM62DMax(X).
Acest lucru contrazice faptul c a DMax(X) =Max(A).
"," Dac a< X > =A, atunciD(X) =Spec(A), din Propozit ia
33 (iii), deci DMax(X) =Max(A). 
Teorem a5.Max(A)este spat iu topologic compact Hausdor.
Demonstrat ie. Demonstr am mai ^ nt^ ai c a Max(A) este spat iu
topologic compact. Fie Max(A) =Ui2IDMax(ai) =DMax([i2Iai),
din Propozit ia 38 (iv). Aplic^ and acum Propozit ia 38 (iii), avem c a
A=<[i2Iai>, deci 02<[i2Iai>. Rezult a c a exist a n1  si
i;:::;in2Iastfel ^ nc^ at ai1:::ain= 0. Din Propozit ia 38 (ii)  si (ix),
avem c aMax(A) =DMax(0) =DMax(ai1:::ain) =DMax(ai1)[
:::[DMax(ain). Prin urmare,Max(A) este compact.
FieM siNdou a ltre maximale distincte ale lui A. Deoarece
M6=N, exist ax2MnN siy2NnM. Fiea=x!y sib=y!x.
Atunci, utiliz^ and Propozit ia 3 (ii), deducem imediat c a a62M sib62N.
Prin urmare, M2DMax(a)  siN2DMax(b).^In plus, din Propozit ia
38 (x), (ii)  si (2), DMax(a)\DMax(b) =DMax(a_b) =DMax(1) =?.
Prin urmare,Max(A) este Hausdor. 
6.MV-centrul unei BL-algebre
^In aceast a sect iune prezent am MV-centrul unei BL-algebre, de-
nit de Turunem  si Sessa. Acesta este o construct ie important a, care
asociaz a unei BL-algebre oMV-algebr a. Astfel, multe propriet at i pot
 transferate din MV-algebre la BL-algebre  si invers.
Cum am v azut ^ n Exemplul 2, MV-algebrele sunt BL-algebre,  si,
mai mult o BL-algebr aAeste oMV-algebr a,a=apentru orice
a2A.
FieAoBL-algebr a.MV-centrul lui A, notat cu MV(A), este
denit astfel:
MV(A) =fa2Aja=ag=faja2Ag
Prin urmare, o BL-algebr aAeste oMV-algebr a,A=MV(A).

6.MV-CENTRUL UNEI BL-ALGEBRE 29
Exemplu 10.Dac aAeste o algebr a produs sau o BL-algebr a,
atunciMV(A)este o algebr a Boolean a. Dac a Aeste structur a Produs
sau structur a G odel, atunci MV(A) =f0;1g.
Exemplu 11.Dac aAesteBL-algebra cu 5 elemente de la Exem-
plul 7, atunci MV(A)=f0,1g.
Propozit ia 39.[134, Teorema 2]
FieAoBL-algebr a  si denim pentru orice a;b2A, o nou a operat ie:
ab= (ab)
Atunci:
(i)(MV(A);;;)este oMV-algebr a
(ii) Ordinea^ nMV(A), este denit a de:
aMVb,ab= 0;pentru orice a;b2MV(A)
(iii) Reziduumul!dinAcoincide cu reziduumul !MVdinMV(A),
denit de :
a!MVb=ab;pentru orice a;b2MV(A)
(iv) ^Inmult ireaMVpeMV(A)este denit a astfel:
aMVb= (ab)=ab;pentru orice a;b2MV(A)
(v)MV(A)este cea mai mare MV-subalgebr a a lui A.
Propozit ia 40.B(A) =B(MV(A))
Demonstrat ie. Aplic^ and Propozit ia 28 (ii), avem c a B(A) =
MV(A)\fa2Ajaa=ag=B(MV(A)). 
Deoarecea2MV(A) pentru orice a2A, putem deni planul :
':A!MV(A);'(a) =a.
Propozit ia 41.FieAoBL-algebr a. Atunci, pentru orice a;b2A
 sin2N, urm atoarele sunt adev arate:
(i)'este o funct ie surjectiv a.
(ii)'(a^b) ='(a)_'(b)
(iii)'(a_b) ='(a)^'(b)
(iv)abimplic a'(a)'(b)
(v)'(ab) ='(a)'(b)
(vi)'(an) =n'(a)
(vii)'(1) = 0
(viii)'(a) = 1,a= 0
Reamintim c a ^ ntr-o MV-algebr a (B;;;) denima= 0  si
na= (n1)aa, pentrun2Nf0gMV-ordinul lui a2B, notat
MV-ord(a), este cel mai mic n2Nastfel ^ nc^ at na= 1. Dac a nu exist a
un astfel de n, atunciMV-ord(a)=1.

6.MV-CENTRUL UNEI BL-ALGEBRE 30
Lema 7.FieAoBL-algebr a netrivial a. Atunci :
(i) pentru orice a2A;ord (a) =MVord('(a))
(ii)'(D(A)) =D(MV(A)),'1(D(MV(A))) =D(A), unde
D(MV(A)) =fa2MV(A)jMVord(a) =1g.
Propozit ia 42.Presupunem c aIeste ideal al lui MV(A) siF
este ltrul lui A. Atunci :
(i)'1(I)este ltrul lui A.
(ii)'(F)este idealul lui MV(A).
(iii)F'1('(F))
(iv)I='1('1(I))
(v)Ieste propriu,'1(I)este propriu
(vi)Feste propriu,'(F)este propriu
(vii) Dac aFeste ideal maximal al lui A, atunciF='1('(F))
(viii)Dac aIeste ideal maximal al lui MV(A), atunci'1(I)este
ltru maximal al lui A.
(ix) Dac aFeste ltru maximal al lui A, atunci'(F)este ideal
maximal al lui MV(A).
Demonstrat ie. (i) Deoarece '(1) = 02I, avem c a 12'1(I).
Fiea1;a22'1(I). Rezult a c a '(a1);'(a2)2I, deci'(a1a2) =
'(a2)'(a1)2I. Fiea12'1(I);a22Aastfel ^ nc^ at a1a2. Din
Propozit ia 41 (iv), avem c a '(a2)'(a1)2I, deci'(a2)2I, asta
^ nseamn aa22'1(I). Deci, am ar atat c a '1(I) este ltru al lui A.
(ii) Avem c a 0 = '(1)2'(F). Fieb1;b22'(F). Asta ^ nseamn a
c a exist aa1;a22Fastfel ^ nc^ at b1='(a1)  sib2='(a2). Avem c a
a2a12F sib1b2='(a2a1)2'(F). Fieb1;b22MV(A)
astfel ^ nc^ at b1b2 sib22'(F). Rezult a c a b2='(a2) cua22F si,
deoarece'este o funct ie surjectiv a, exist a a2Aastfel ^ nc^ at '(a) =b1.
Fiea1=a_a2. Atuncia2a1 sia22F, decia12F si'(a1) =
'(a)^'(a2) =b1^b2=b1, din Propozit ia 41 (iii). Prin urmare,
b12'(F).
(iii) Este evident.
(iv) Rezult a din faptul c a 'este o funct ie surjectiv a.
(v)Inu este propriu dac a  si numai dac a 1 2I, dac a  si numai dac a
'(0)2Idac a  si numai dac a 0 2'1(I) dac a  si numai dac a '1(I)
nu este propriu.
(vi) Dac a 02F, atunci 1 = '(0)2'(F). Presupunem c a 1 2
'(F). Atunci, exist a a2Fastfel ^ nc^ at '(a) = 1. Aplic^ and Propozit ia
??(viii), avem c a a= 0, prin urmare 0 2F.
(vii) Presupunem c a Feste ltru maximal al lui A. Atunci, din
(v)  si (vi), '1('(F)) este ltru propriu al lui A si, din (iii), F
'1('(F)). Deoarece Feste maximal, avem c a F='1('(F)).
(viii) Presupunem c a '1(I)F, undeFeste propriu. Rezult a
c aI='('1(I))'(F). Deoarece '(F) este propriu, avem c a
I='(F), deci'1(I) ='1('(F))F. Prin urmare, '1=F.

6.MV-CENTRUL UNEI BL-ALGEBRE 31
(ix) Presupunem c a '(F)I, undeIeste ideal propriu al lui
MV(A). Rezult a c a F='1('(F))'1(I). Deoarece '1(I) este
propriu, avem c a F='1(I), deci'(F) ='('1(I)) =I. 
Urm atorul rezultat este o consecint  a a propozit iei de mai sus.
Propozit ia 43.Funct ia'este o biject ie ^ ntre mult imea ltrelor
maximale ale lui A si mult imea idealelor maximale ale lui MV(A).
Corolar 2.[134, Propozit ia 6] Fie AoBL-algebr a. Atunci A
este local a dac a  si numai dac a MV(A)este oMV-algebr a local a.
Propozit ia 44.[134] Dac a Rad(MV(A))este intersect ia tutu-
ror idealelor maximale ale MV-algebreiMV(A), atunci'(Rad(A)) =
Rad(MV(A)).

CAPITOLUL 2
Obiecte injective ^ n categoria Bl-algebrelor
Am studiat ^ n capitolul anterior MV-centrul unei BL-algebre, de-
nit de Turunem  si Sessa. Acesta este o construct ie important a, care
asociaz oMV-algebr a cu ecare BL-algebr a. ^In acest fel, multe pro-
priet at i pot  transferate din MV-algebre la BL-algebre  si invers.
Scopul acestui capitol este de a prezenta c^ ateva rezultate despre
BL-algebrele injective. Se  stie c a o MV-algebr aAeste injectiv a dac a
 si numai dac a Aeste complet a  si divizibil a, adic a pentru orice a2A si
orice num ar natural n1 exist ax2Anumit n-divizor al lui A, astfel
^ nc^ atnx=a sia[(n1)x] =x.
Vom ar ata c a MV-algebrele complete  si divizibile sunt obiecte in-
jective ^ n categoria de BL-algebre.
MVcentruluneiBLalgebre : Cum am v azut, MV-algebrele
suntBL-algebre,  si mai mult, o BL-algebr aAeste oMV-algebr a
,a=apentru orice a2A.
MV-centrul lui A, notatMV(A) este denit astfel :
MV(A) =fa2Aja=ag=faja2Ag
Prin urmare, o BL-algebr aAeste oMV-algebr a,A=MV(A).
Rezult a c a B(A)MV(A).
Propozit ia 45.B(A) =B(MV(A))
Demonstrat ie. Aplic^ and faptul c a ee=e sie=e, avem c a
B(A) =MV(A)\fa2Ajaa=ag=B(MV(A)). 
Teorem a6.Pentru ecare element edinMV-algebraA, urm atoa-
rele condit ii sunt echivalente:
(i)e2B(A)
(ii)e_e= 1
(iii)e^e= 0
(iv)ee=e
(v)ee=e
1. Subcategorii re
exive
Observat ia 10.Deoarece categoriile MV  siBLsunt ecuat ionale,
atunci ^ n aceste categorii monomorsmele sunt exact morsmele injec-
tive.
32

1. SUBCATEGORII REFLEXIVE 33
Definit ie 1.O subcategorie Ba categoriei Aeste re
exiv a dac a
exist a un functorR:A!B numit re
ector, astfel ^ nc^ at pentru ecare
A2Ob(A), exist a un morsm R(A) :A!R (A)^ n categoriaAcu
urm atoarele propriet at i:
(R1): Dac a f2HomA(A;A0), atunciR(A0)f=R(f)R(A),
exist a diagrama:
A A0
R(A)R(A0)R(A)f
R(f)R(A0)
comutaviv a;
(R2): Dac a B2Ob(B) sif2Hom (A;B), atunci exist a un unic
morsmf02HomB(R(A;B)), astfel ^ nc^ at f0R(A) =f, exist a
diagrama:
A R(A)
BfR(A)
f0
comutativ a.
Teorem a7.PresupunemR:A ! B un re
ector. Atunci R
p astreaz a limitele inductive.
Teorem a8.PresupunemR:A!B un re
ector care p astreaz a
monomorsme. Dac a Beste un obiect injectiv ^ n B, atunci este, de
asemenea, injectiv ^ n A.
Teorem a9.CategoriaMV aMV-algebrelor este subcategorie re-

exiv a a categoriei BLaBL-algebrelor  si re
ectorul R:BL!MV
p astreaz a monomorsmele.
Demonstrat ie. Fie (A;^;_;;!;0;1)2Ob(BL)  si denim
R(A) =MV(A) =fx:x2Ag=fx2A:x=xg
(R(A);^;_;;;0) este cea mai mare MV-subalgebr a a lui Aprin
intermediul operat iilor:
xy=x!y= (xy)= (xy)
x_y= (x!y)!y= (y!x)!x
x^y= (x_y)
DenimR(A) :A!R (A) cuR(A)(x) =xpentru orice x2A.
Deducem c a R(A) este morsm ^ n BL.

1. SUBCATEGORII REFLEXIVE 34
Dac aA;A02Ob(BL)  sif2HomBL(A;A0), atunciR(f) :R(A)!
R(A0) denit deR(f)(x) =f(x) = (f(x))pentru ecare x2A
este morsm ^ nMV.
^Intr-adev ar, dac a x;y2A, atunciR(f)(xy) =R(f)((x
y)) = (f(xy))= (f(x)f(y))=f(x)f(y)= (R(f)(x))
(R(f)((x)) = (f(x))= (f(x))= (R(f(x))).
Deci, am obt inut un functor R:BL!MV .
Pentru a demonstra c a Reste re
ector, consider am diagrama:
A A0
R(A)R(A0)R(A)f
R(f)R(A0)
cuA;A02Ob(BL).
Dac ax2A, atunci (R(A0)f)(x) =R(A0)(f(x)) = (f(x))
 siR(f)R(A)(x) =R(f)(R(A)(x)) =R(f)(x) = (f(x))=
(f(x))= (f(x)), prin urmare R(A0)f=R(f)R(A), care
este diagrama comutativ a de mai sus.
Lu am acum A2Ob(BL),M2Ob(MV)  sif:A!Mun morsm
^ nBL.
A R(A)
MfR(A)
f0
Pentrux2A, denimf0(x) =f(x) =f(x), prin urmare,
f0=fR(A).
Pentrux;y2A, avemf0(xy) =f0((xy)) = (f(xy))=
(f(x)f(y))=f(x)f(y),f((x)) =f(x)=f(x) =
(f(x)) sif0(0) =f0(1) =f(1)= 1= 0, prin urmare f0este
monomorsm ^ n MV. Deoarece ( f0R(A))(x) =f0(R(A)(x)) =
f0(x) =f(x)=f(x), deducem c a f0R(A) =f.
Dac a avem f00:R(A)!Mmorsm ^ nMV astfel ^ nc^ at f00
R(A) =f, atunci pentru orice x2A, (f00R(A))(x) =f(x), prin
urmare,f00(x) =f(x) =f0(x), decif00=f0.
Lu am acum f:A!A0monomorsm ^ nBL six;y2Aastfel ^ nc^ at
R(f)(x) =R(f)(y).
Atuncif(x) =f(y), prin urmare, x=y, asta ^ nseamn a c a
R(f) este monomorsm ^ n MV. 
Ne amintim c a o MV-algebr a este numit a complet a dac a ea cont ine
cea mai mare limit a inferioar a  si cea mai mic a limit a superioar a a
oric arei submult imi.

1. SUBCATEGORII REFLEXIVE 35
Definit ie 2.OMV-algebr a este numit a divizibil a dac a pentru
oricea2A si pentru orice num ar natural n1, exist ax2Aastfel
^ nc^ atnx=a sia[(n1)x] =x.
Teorem a10.Pentru orice MV-algebr aA, urm atoarele armat ii
sunt echivalente:
(i)Aeste obiect injectiv ^ n categoria MV .
(ii)Aeste oMV-algebr a complet a  si divizibil a.
Teorem a11.Dac aAesteMV-algebr a complet a  si divizibil a, atunci
Aeste obiect injectiv ^ n categoria BL.
Demonstrat ie. Din Teorema 10, Aeste obiect injectiv ^ n cate-
goriaMV. DeoareceMV este subcategorie re
exiv a a lui BL si re-
frectorulR:BL!MV p astreaz a monomorsme (din Teorema 9),
atunci din Teorema 8 deducem c a Aeste obiectiv injectiv ^ n categoria
BL. 

Bibliograe
[1] D. Piciu: Algebras of fuzzy logic , Editura Universitaria, Craiova,
2007
[2] L. Leu stean: Representations of many-valued algebras , PH.D. Thesis,
Universitatea Bucure sti, 2003
[3] R. Blokl avik: Boolean Part of BL-algebras , Mathematics Subject
Classication, 2000
36