SPECIALIZAREA MATEMATICI – APLICATE LUCRARE DE LICENT  A Candidat : Coordonator  stiint i c: Grasu Georgiana Bogdana Conf.Dr. Dan Com anescu… [600963]

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SPECIALIZAREA MATEMATICI – APLICATE
LUCRARE DE LICENT  A
Candidat: [anonimizat]  stiint ic:
Grasu Georgiana Bogdana Conf.Dr. Dan Com anescu

TIMIS OARA
2016
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIS OARA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I INFORMATIC A
SPECIALIZAREA MATEMATICI – APLICATE
MIS CAREA PUNCTULUI MATERIAL
SUB ACT IUNEA FORT EI DE ATRACT IE
GRAVITAT IONAL A MODIFICAT A
Candidat: [anonimizat]  stiint ic:
Grasu Georgiana Bogdana Conf.Dr. Dan Com anescu
2

TIMIS OARA
2016
3

Cuprins
1 Elemente de mecanica punctului material 6
1.1 Timpul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Spat iul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Vectori legat i  si vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Mi scarea mecanic a a punctului material . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Impulsul, viteza  si accelerat ia . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Mi sc ari particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Legile lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Tipuri de fort e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Legea gravitat iei universale a lui Newton . . . . . . . . 11
1.5.2 Greutatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.3 Fort a elastic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.4 Fort a de frecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 C^ amp de fort  a potent ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4

Introducere
5

Capitolul 1
Elemente de mecanica
punctului material
1.1 Timpul
Modelul matematic al timpului zic acceptat de c atre Mecanica newto-
nian a este spat iu punctual euclidian 1-dimensional si ^ l not am cu E1. Ele-
mentele spat iului se numesc "momente de timp". Reprezentarea grac a a lui
E1este o dreapt a  si uneori este numit a "axa timpului".
Un reper temporal , ^ n E1este ansamblul ( 0; !s), unde02E1se nume ste
moment init ial, iar !seste un vector legat nenul cu originea ^ n 0.
Mult imea format a cu vectorul !seste o baz a a spat iului vectorial real
1-dimensional V1al vectorilor liberi.
Prin alegerea unui reper temporal putem stabili o corespondent  a bijectiv a
^ ntreE1 siR, care asociaz a la momentul timpult.
^In Sistemul Internat ional de Unit at i ( S:I:) unitatea de m asur a pentru
timp este secunda .
1.2 Spat iul
Modelul matematic al spat iului zic este spat iul euclidian 3-dimensional
pe care ^ l not am E3. Elementele spat iului se numesc puncte geometrice.
Pentru a determina pozit ia unui obiect ^ n spat iu, trebuie s a x am un
reper. Spat iul const a ^ ntr-o mult ime de repere  si traiectorii.
6

1.2.1 Vectori legat i  si vectori liberi
Denit ia 1.2.1. Se nume ste vector legat cu originea ^ n A si v^ arful ^ n B
dubletul (A;B)2E3E3 si ^ l not am AB.Mult imea vectorilor legat i
este:
V=fAB=A;B2E3g:
Denit ia 1.2.2. FieA siBdou a puncte distincte. Se nume ste dreapta su-
port a vectorului legat AB,dreapta determinat a de cele doua puncte. Orice
dreapt a ce trece prin punctul Aeste dreapt a suport pentru vectorul AA.
Fie vectorii legat i AB siCDastfel ^ nc^ at A6=B siC6=D. Cei doi vectori
auaceea si direct ie dac aABkCD.
Spunem c a vectorii AB siCD auacela si sens dac a au accea si direct ie,
dreptele suport nu coincid  si pentru nici unul dintre cei doi vectori v^ arful nu
coincide cu originea.
VectoriiAB siCD auaccea si m arime dac a au aceea si direct ie, acela si
sens, dreptele suport nu coincid, originea ec aruia nu coincide cu v^ arful, iar
ABDC este un paralelogram.
Pe mult imea vectorilor legat i Vse introduce relat ia de echipolent  a .
Aceasta este o relat ie de echivalent  a pe V. Spunem ca ABCDdac a  si
numai dac a vectorii AB siCD au aceea si direct ie, acela si sens  si aceea si
m arime.
Mult imea vectorilor liberi se dene ste ca mult imea factor:
V=V=:
Denit ia 1.2.3. Elementele lui Vse numesc vectori liberi  si sunt clase
de echivalent  a de vectori legat i relativ la relat ia de echipolent  a.Vom nota
vectorii liberi!AB.
1.2.2 Repere carteziene
Denit ia 1.2.4. Cvadruplul<(O, !e1, !e2, !e3) este un reper cartezian ^ nE3
cu originea ^ n O2E3 sif !e1, !e2, !e3geste o baz a ^ n V.
Vom utiliza repere carteziene ortonormate , denite prin:
~ ei
~ ej=ij;8i;j2f1;2;3g;
undeijeste simbolul lui Kroneker.
Denit ia 1.2.5. Un reper cartezian ortonormat se nume ste drept dac a
~ e1~ e2=~ e3 sist^ ang dac a~ e1~ e2=~ e3.
Unitatea de m asur a pentru lungime ^ n spat iu, ^ n S.I.,este metrul .
7

1.3 Mi scarea mecanic a a punctului material
Denit ia 1.3.1. Mi scarea mecanic a a unui punct material reprezint a
corespondent a dintre timp si pozit ia acestuia, mai precis funct ia:
:
E1!E3;
care asociaz a unui moment de timp 2
pozit ia in spat iu a punctului ma-
terialP=().
Vom numi reper universal <((0, !s),(O, !e1, !e2, !e3)) alegerea unui reper
temporal  si a unuia cartezian spat ial. F ac^ and aceast a alegere apar dou a
descrieri importante ale mi sc arii:
1.)descrierea vectorial a a mi sc arii;
2.)descrierea scalar a a mi sc arii.
Prin alegerea unui reper universal <se introduc biject iile  <:E1!R,
f<:E3!V,  siF<:E3!R3.
Descrierea vectorial a a mi sc arii este !<:IR!V:
!<=f<1
<
.
Descrierea scalar a a mi sc arii este funct ia <:IR!R3:
<=F<1
<
.
Denit ia 1.3.2. Funct iilexi:IR!Rse numesc componentele mi sc arii
dac a<= (x1;x2;x3).
Denit ia 1.3.3. Traiectoria mi sc arii unui punct material este
(
)E3;
dac a mi scarea sa este :
E1!E3.
Traiectoria mi sc arii reprezint a un punct sau o curb a ^ n spat iul E3.
1.3.1 Impulsul, viteza  si accelerat ia
Se d a un punct material de mas a mce realizeaz a mi scarea :
E1!
E3 si un reper universal <^ n care unit at ile de m asur a pentru distant  a  si timp
sunt cel din ( S:I:). S tim c a<:IR!R3mi scarea ^ n descrierea scalar a
a punctului material  si are componentele x1;x2 six3. Fie2
un moment
de timp  sit2Itimpul corespunz ator acestui moment.
8

Denit ia 1.3.4. Vectorul liber !p() ce are urm atoarele componente
(m_x1(t),m_x2(t),m_x3(t)) este impulsul punctului material la momentul
.
Sensul dat de impuls pe direct ia mi sc arii poart a numele de sensul mi sc arii .
Denit ia 1.3.5. FiePun punct material de mas a m si !p() funct ia sa
impuls. Viteza punctului material la momentul este vectorul legat v()
cu originea ^ n pozit ia punctului material  si apart ine vectorului liber:
!v() =1
m !p():
Viteza este prima derivat a a mi sc arii:
!v(t) =_ !x(t):
Unitatea de m asur a pentru vitez a ^ nS:I:, estem
s1.
Denit ia 1.3.6. Accelerat ia punctului material la momentul este vec-
torul legat a() cu originea ^ n pozit ia punctului material  si are urmatoarele
componente _ v1(t), _v2(t), _v3(t).
^Intre mi scare, vitez a  si accelerat ie exist a urm atoarea relat ie:
!a(t) =_ !v(t) = !x(t):
Unitatea de m asur a pentru accelerat ie ^ nS:I:, estem
s2.
1.3.2 Mi sc ari particulare
Un punct material se a
 a ^ n repaus dac a funct ia sa de mi scare este con-
stant a.
Mi scarea punctului material se nume ste plan a atunci c^ and traiectoria ei
se a
 a ^ ntr-un plan x din spat iul E3.
Atunci c^ and traiectoria mi sc arii unui punct material se a
 a pe o dreapt a
x a din spat iul E3, mi scarea se nume ste rectilinie.
Dac a viteza punctului material este constant a ^ n timp atunci mi scarea
punctului material se nume ste uniform a .
9

1.4 Legile lui Newton
Mecanica newtonian a a punctului material are la baz a trei legi care au
fost formulate prima dat a de c atre Isaac Newton ^ n anul 1686 ^ n lucrarea sa
"Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (Principiile matematice ale
 stiint elor naturii) . Trebuie s a amintim c a o mare parte din bazele acestor legi
au fost puse de c atre G. Galilei ^ n studiile sale dedicate mi sc arilor accelerate.
Aceste legi sunt cunoscute sub numele de legile lui Newton .
LEGEA I. (PRINCIPIUL INERT  IEI): Ficare corp continu a s a r am^ an a
^ n starea sa de repaus sau de mi scare rectilinie  si uniform a p^ an a c^ and el este
obligat de fort e care act ioneaz a asupra lui s a ^  si schimbe acea stare.
LEGEA A II-A: Variat ia mi sc arii unui corp este proport ional a cu fort a
motoare aplicat a  si este ^ ndreptat a ^ n direct ia dup a care act ioneaz a fort a.
LEGEA A III-A: (PRINCIPIUL ACT  IUNII S I REACT  IUNII): Oric arei
act iunii i se opune ^ ntotdeauna o react iune: act iunile mutuale a dou a corpuri
sunt ^ ntotdeauna egale  si orientate ^ n sens contrar.
Pentru a putea  mai bine ^ nt elese aceste enunt uri necesit a comentarii.
Prima lege a lui Newton evident iaz a faptul c a poate s a existe o mi scare
rectilinie  si uniform a a punctului material chiar dac a asupra acestuia nu
act ioneaz a nici o fort  a.O fort  a care act ioneaz a asupra unui punct material
are rolul de a produce o variat ie a vitezei acestuia.
^In cea de-a doua lege a lui Newton apare expresia "fort  a motoare"
care nu se mai folose ste ^ n zilele noastre ind ^ nlocuit a cu "fort  a" . Newton
utilizeaz a expresia "variat ia mi sc arii" prin care noi ^ nt elegem viteza, el
referindu-se la accelerat ie.
Scrierea matematic a a acestui enunt  este:
!F=m
!a;
unde !Feste fort a care act ioneaz a asupra punctului material, meste masa
acestuia  si !aeste accelerat ia punctului material.
Unitatea de m asur a pentru fort  a este kg
m
s2care se nume ste newton
 si se noteaz a cu N.
Legea a III-a a lui Newton pune ^ n evident  a faptul c a dac a un punct
materialAact ioneaz a asupra unui punct material Bcu o fort  a !FABnumit a
act iune  si punctul material Bva act iona asupra punctului material Acu
o fort  a !FBAnumit a react iune. Cele dou a fort e au aceea si m arime aceea si
direct ie, dar sensuri opuse.
10

1.5 Tipuri de fort e
1.5.1 Legea gravitat iei universale a lui Newton
FieP1 siP2dou a puncte materiale de mas a m1 si respectiv m2.
Fort a cu care punctul material P1act ioneaz a asupra punctului material
P2se nume ste fort a de atract ie gravitat ional a , o not am cu!F12 si are
expresia:
!F12=fm 1m2
!P1P2
k!P1P2k3;
iar modulul ei este:
k!F12k=fm 1m2
k!P1P2k2:
1.5.2 Greutatea
P am^ antul act ioneaz a asupra unui punct material Pde mas amsituat ^ n
"vecin atatea" acestuia cu o fort  a !G, numit a greutate , ce are urm atoarele
caracteristici:
1. direct ia acestei fort e este dreapta ce trece prin pozit ia punctului material
P si este perpendicular a pe suprafat a P am^ antului;
2. sensul greut at ii este de la punctul material Pspre suprafata P am^ antului;
3. m arimea greut at ii este m
g, undegesteaccelerat ia gravitat ional a .
^In expresia acestei fort e intervine vectorul accelerat iei gravitat ionale !g:
!G=m
!g:
^In Rom^ ania valoarea acceptat a pentru accelerat ia gravitat ional a este:
g= 9;81ms2:
Unitatea de m asur a pentru greutate ^ n (S:I:) este newton .
1.5.3 Fort a elastic a
Aceast a fort  a apare atunci c^ and un punct material este act ionat de un resort.
Vom considera cazul ideal ^ n care resortul se poate comprima total  si se poate
^ ntinde oric^ at de mult.
Not am cuO2E3punctul geometric ^ n care se a
 a cap atul x al resortului
 si cuPpozit ia punctului material la un moment dat.
Resortul produce o fort  a Fe, numit a fort  a elastic a ce act ioneaz a asupra
11

punctului material  si are urm atoarele caracteristici:
– direct ia este dreapta ce trece prin cap atul x al resortului Osi prin pozit ia
punctului material la un moment dat P;
– sensul este de la PspreO;
– m arimea este direct proport ional a cu distant a dintre O siP; constanta de
proport ionalitate – k- se nume ste constant a elastic a .
Expresia fort ei elastice este:
!Fe=k!OP:
Unitatea de m asur a a constantei elastice kesteN m1=kg s2
1.5.4 Fort a de frecare
Acest tip de fort  a apare atunci c^ and corpul de studiat intr a ^ n contact cu
un alt corp.
Fort a de frecare Ffla care este supus punctul material are urm atoarele
caracteristici: – direct ia fort ei de frecare, la un moment dat, este aceia si cu
direct ia mi sc arii;
– sensul fort ei de frecare este opus mi sc arii;
– m arimea fort ei de frecare depinde de modulul vitezei punctului material la
momentul respectiv.
^In urma celor spuse mai sus deducem existent a unei funct ii ':R+!R+
astfel ^ nc^ at s a avem: !Ff='(k !vk) !v:
Funct ia', ^ n cazul contactului cu aerul, are urm atoarele expresii deduse
pe cale experimental a:
' v (m=s)
k1<1
k2v 1 – 250
k3v2250 – 300
k4v3300 – 375
k5v2375 – 420
k6v 420 -550
k7v0;7550 – 800
unde constantele k1;:::;k 7depind de forma corpului de studiat.
12

1.6 C^ amp de fort  a potent ial
Acest tip de c^ amp de fort  a este important at^ at practic c^ at  si teore-
tic. C^ ateva exemple de c^ ampuri de fort e potent iale sunt: c^ ampul constant,
c^ ampul elastic  si c^ ampul de atract ie gravitat ional a produs de c atre un punct
material x.
Pentru a da denit ia c^ ampului de fort  a potent ial trebuie s a denim
c^ ampurile de fort  a dependente numai de pozit ie.
Denit ia 1.6.1. Un c^ amp de fort  a !F:DE1E3V!Veste dependent
numai de pozit ie dac a 8(;P; !v);(0;P; !v0)2Davem:
!F(;P; !v) = !F(0;P; !v0):
C^ ampul constant, c^ ampul elastic, c^ ampul de atract ie gravitat ional a pro-
dus de un punct material x sunt exemple de c^ ampuri de fort  a dependente
numai de pozit ie. C^ ampul de fort  a de frecare produs de c atre un corp asupra
unui punct material nu este un c^ amp de fort  a dependent numai de pozit ie.
Conform denit iei, un c^ amp de fort  a dependent numai de pozit ie poate
i privit ca o funct ie !F:DE3!V.
Denit ia 1.6.2. Un c^ amp de fort  a !F:DE3!V, dependent numai
de pozit ie, este potent ial dac a exist a un reper x < si un c^ amp scalar de
clas aC1;D<:D<R3!Rastfel ^ nc^ at pentru orice ( x1;x2;x3)2D<
componentele c^ ampului de fort  a sunt date de relat iile:
Fi(x1;x2;x3) =@U<
@xi(x1;x2;x3);8i2f1;2;3g:
FieF<:E3!R3biject ia denit a de reperul dat. Denim funct ia
U:D=F1
<(D<)E3!Rdat a de:
U(P) =UR(F<(P)):
Funct iaUse nume ste funct ie potent ial a c^ ampului de fort  a sau potent ial
al c^ ampului de fort  a sau energie potent ial a a c^ ampului de fort  a.
Teorema 1.6.1. Fie !F:DE3!Vc^ amp de fort  a potent ial  si U:D!
Run potent ial. Consider am reperul x <0, biject ia denit a de acest reper
F<0:E3!R3 si funct iaU<0:D<0=F1
<0(D)!R:
U<0=UF1
<0:
13

Avem:
(i)U<0este de clas a C1;
(ii) Componentele c^ ampului de fort  a, relativ la <0sunt:
F0
i(x0
1;x0
2;x0
3) =@U<0
@x0
i(x0
1;x0
2;x0
3);8i2f1;2;3g:
Demonstrat ie. Coordonatele unui punct din Dle not am cu x1;x2;x3^ n re-
perul<pus ^ n evident  a prin denit ia c^ ampului potent ial  si cu x0
1;x0
2;x0
3^ n
reperul<0din enunt ul teoremei. Cu aceste notat ii  si utiliz^ andu-le  si pe cele
de mai sus avem:
U<(x1;x2;x3) =U<0(x0
1;x0
2;x0
3):
Leg atura dintre coordonatele unui punct ^ n cele dou a repere este:
xi=xiO0+3X
j=1ajix0
j;8i2f1;2;3g
undexiO0sunt coordonatele originii reperului <0^ n<, iaraijsunt coordona-
tele matricii de trecere de la <la<0.
Pe baza relat iilor de mai sus deducem:
@U<0
@x0
i(x0
1;x0
2;x0
3) =3X
j=1aij@U<
@xj(x1;x2;x3);
iar pe baza denit iei avem:
@U<0
@x0
i(x0
1;x0
2;x0
3) =3X
j=1aijFj(x1;x2;x3):
^Intre componentele vectorului !F^ n cele dou a repere avem:
F0
i(x0
1;x0
2;x0
3) =3X
j=1aijFj(x1;x2;x3)
de unde se v ad imediat rezultatele enunt ate.
Propozit ia 1.6.2. Propriet at ii ale c^ ampurilor de fort  a potent iale:
(i) dac a !Feste un c^ amp de fort  a potent ial atunci exist a o innitate de funct ii
potent ial asociate c^ ampului. Putem remarca u sor c a dac a Ueste o funct ie
potent ial  si c2RatunciU+ceste tot o funct ie potent ial;
(ii) dac a !F:DE3!Veste un c^ amp potent ial, Deste un domeniu conex
14

 siU1;U2:D!Rsunt funct ii potent ial ale lui !Fatunci exist a c2Rastfel
^ nc^ at s a e adev arat a egalitatea funct ional a:
U1U2=c;
(iii) Fie !F:DE3!Vun c^ amp de clas a C1. Condit ia necesar a ca !F
s a e potent ial este ca el s ae un c^ amp vectorial irotat ional; dac a Fisunt
coordonatele c^ ampului de fort  a ^ ntr-un reper ortonormat atunci:
@Fi
@xj=@Fj
@xi;8i;j2f1;2;3g;
(iv) dac a !F:DE3!Veste un c^ amp vectorial irotat ional  si Deste
un domeniu simplu conex atunci el este potent ial. Un potent ial al c^ ampului
de fort  a , relativ la un reper spat ial ortonormat, se calculeaz a cu ajutorul
formulei:
UR(x1;x2;x3) =Z
dP0P3X
i=1Fidxi
undeP0;P2D;P are coordonatele x1;x2;x3^ n reperul dat  si dP0Peste un
drum oarecare care apart ine lui Dcu originea ^ n P0 si cap atul ^ n P;
(v) FieDE3 si mult imea:
=(D) =f !F:D!V= !Festepoten t ialg
atunci (=(D);+;
) formeaz a un spat iu vectorial real. Aceast a proprietate
ne spune, printre altele, c a prin suprapunerea unui num ar nit de c^ ampuri
potent iale se obt ine tot un c^ amp potent ial.
15