Specializarea Matematică și Informatică [606108]

Ministerul Educat ,iei Nat ,ionale s ,i Cercetării S ,tiint ,ifice
Universitatea “OVIDIUS” Constant ,a
Facultatea de Matematică și Informatică
Specializarea Matematică și Informatică
Lucrare de Licență
ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
Coordonator științific:
Lector dr. Iorgulescu Gabriel
Absolvent: [anonimizat]
2017

Cuprins
Introducere 3
1 Inele. Not ,iuni generale 4
1.1 Caracteristica unui inel (corp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Inelul întregilor raționali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Inele euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Ideale prime și ideale maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Inele de fracții . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Inele de polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Corp prim. Subcorp prim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Grupuri rezolubile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienți într-un corp 13
2.1 Elemente algebrice și transcendente. Extinderi algebrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Proprietăți ale rădăcinilor unui polinom. Corpul de descompunere al unui polinom . . . . . . . . . . . 20
2.3 Corpuri algebric închise
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Teoria lui Galois 31
3.1 Grupul lui Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Corpuri finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Extinderi algebrice normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Extinderi algebrice separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Teorema fundamentală a teoriei lui Galois
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Caracterizarea ecuațiilor rezolubile prin radicali
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Extinderi transcendente. Gradul de transcendență al unei extinderi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Aplicații . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Elemente algebrice construibile geometric 50
4.1 Elemente algebrice “construibile cu rigla și compasul” peste un câmp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Concluzii 59
Bibliografie 60
1

Listă de figuri
4.1 Construcția unei perpendiculare pe o dreapta d dintr-un punct al ei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Determinarea mijlocului P al unui segment [BC]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Coborârea unei perpendiculare pe o dreapta data, d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Construirea unei drepte paralele la o dreapta dată. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Construcția a
bșia
b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Construcția segementului [ AN] astfel încât,a
b=y
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7 Construcția unui segment de lungimepa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.8 Construcția cercului trigonometric de rază 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2

Introducere
Lucrarea de față reprezintă o mică parte din algebră, fiind una dintre ramurile cele mai
importante ale matematicii. Ea prezintă principalele aspecte teoretice și practice în legătură cu
tema aleasă, fiind vorba despre elementele algebrice pe care le vom construi cu ajutorul riglei
și al compasului. Lucrarea este structurată în patru capitole.
Primul capitol prezintă noțiuni și rezultate generale ale teoriei inelelor, cum ar fi: caracteris-
tica unui inel, inelul întregilor raționali, inele euclidiene, ideale prime și ideale maximale, inele
de fracții, inele de polinoame, corp prim și grupuri rezolubile; ce ne vor fi necesare în capitolele
următoare, pentru studierea extinderilor de corpuri comutative.
În capitolul al II-lea, sunt studiate extinderile de corpuri, urmărind două direcții principale.
Pe de o parte se urmărește extinderea unui corp de bază la un corp în care un polinom are toate
rădăcinile. În acest mod se ajunge la noțiunea de corp de descompunere al unui polinom și
închidere algebrică. Pe de altă parte, se urmărește proprietatea elementelor unei extinderi de a
fi rădăcini ale unor polinoame cu coeficienți în corpul de bază, rezultând în acest mod noțiunile
de element algebric și element transcendent. Este pus în evidență corpul numerelor algebrice
(al elementelor algebrice ale extinderii CQ) care face obiectul teoriei algebrice a numerelor.
ÎncapitolulalIII-leaaparelementeledeteorialuiGalois, șivomvorbiînprincipaldeteorema
fundamentală a teoriei lui Galois, pentru cazul extinderilor finite de corpuri. Se demonstrează
câteva proprietăți ale corpurilor finite și ale extinderilor transcedente. Dar pentru a demonstra
teorema fundamentală, vom avea nevoie de câteva concepte, cum ar fi: extinderile algebrice
normale și extinderile algebrice separabile. Iar în final sunt cuprinse aplicații importante ale
teoriei lui Galois. Una dintre ele se referă la rezolvarea ecuațiilor algebrice prin radicali. Astfel,
folosind teorema fundamentală a teoriei Galois, se stabilesc condițiile necesare și suficiente ca o
ecuație algebrică să fie rezolvabilă prin radicali. Și tot în acest capitol se vorbește de gradul de
transcendență al unei extinderi și sunt rezolvate câteva aplicații cu privire la conținutul acestui
capitol.
Iarînultimulcapitol,maipreciscapitolulIV,aprofundămnoțiunicuprivințălatemalucrării,
ceea ce implică stabilirea unor condiții necesare și suficiente de constructibilitate cu rigla și
compasul. În acest mod se obține un răspuns elegant la problemele clasice de constructibilitate.
Fiecare capitol are o contribuție majoră, care ne ajută să lămurim semnificația construcțiilor
cu rigla și compasul, mai exact abordarea geometrică, folosind un limbaj algebric.
3

Capitolul 1
Inele. Not ,iuni generale
În acest capitol, vor fi prezentate și fixate, notațiile, definițiile și rezultatele din algebră, ne-
cesare studierii extinderilor de corpuri comutative, adică câmpuri. Este realizată o selecție a
conceptelor necesare. Sunt trecute în revistă noțiuni, cum ar fi: caracteristica unui inel( corp),
inel euclidian, ideal prim, ideal maximal, inel de fracții, polinom de una sau mai multe nede-
terminate peste un inel unitar comutativ, corp prim. Amintim proprietățile inelelor euclidiene,
mai ales pentru inelul întregilor raționali.
1.1 Caracteristica unui inel (corp)
FieRun inel unitate, adică 16= 0.
1.1.1. Definiție. Caracteristica inelului Reste:
i)ordinul lui 1, în grupul (R;+), dacă acest ordin este un număr natural nenul;
sau
ii)zero, dacă 1 n-are ordin finit în (R;+).
Dacă notăm caracteristica lui RprincharRși fixăm mulțimea
M =fn2N;n
1 = 0g,
definiția de mai sus va deveni:
charR=
infM\{0}, dacăM6=f0g
0; dacăM=f0g.
Exemple.
1)charR=charZ= 0;
2)charZn=n.
Proprietăți ale caracteristicii unui inel R:
1)FiecharR=n;n > 0. Atunci, pentru orice x2R;nx= 0. Dar, în realitate, vom avea:
nx=n(1
x) = (1)
x= 0
x= 0. Mai mult, pentru orice m2N, avemmx= 0, care este
multiplu de n.
2)DacăReste inel integru și charR=n > 0, atuncineste număr prim. În particular, un
4

1.2. INELUL ÎNTREGILOR RAȚIONALI CAPITOLUL 1. INELE. NOT ,IUNI GENERALE
corp are caracteristica egală cu 0 sau cu un număr prim.
3)DacăSeste subinel unitar în R, atuncicharS =charR. Deci, vom avea charZ=charQ=
charR=charC=0.
4)FiecharR=p, un număr prim, și Rinel comutativ. Oricare ar fi x;y2Rșim2N, are
loc egalitatea:
(x+y)pm=xpm+ypm,
deoarecep=Ct
pm;8t2f1;2;:::;pm– 1}.
1.1.2. Definiție. Pentru un inel comutativ unitar R, cucharR=p, număr prim, endo-
morfismulv1=v,v:R!R;v(x) =xp, se numește endomorfismul lui Frobenius.
1.2 Inelul întregilor raționali
Inelul Zal întregilor raționali este un domeniu de integritate de caracteristică zero, și are o
mulțime numărabilă de elemente.
Se consideră NZ. Grupul elementelor inversabile, adică al unităților lui Zrelative la
înmulțire este U(Z) =f1; 1g.
1.2.1. Teoremă ( a împărțirii cu rest în Z).Pentru orice a2Zși oriceb2Zf0g,
existăq;r2Z, unice, astfel încât, a=bq+rși0rjbj. Numim a deîmpărțit, b împărțitor,
q cât și r rest.
1.2.2. Corolar. Inelul Zare numai ideale principale.
Demonstrație. Dacă A este ideal în ZșiA=f0g, atunciA= 0
Z= (0). DacăA6=f0g,
atunciA=bZ= (b), undeb= inffx2A;x> 0g.
1.2.3. Teoremă. ( Algoritmul lui Euclid). Pentru orice numere întregi, a și b există
cel mai mare divizor comun al lor, d= (a;b). Avem următoarele afirmații:
i)Dacăb= 0, atuncid=a;
ii)Dacăb=a, atuncid=b;.
iii)Dacăb6= 0și b nu divide a, atunci d este ultimul rest diferit de zero din împărțirile succe-
sive, ale algoritmului care urmează:
a=bq0+r0,
b=r0q1+r1;
r0=r1q1+r1,
……………………
rk2=rk1qk+rk,
……………………
rn2=rn1qn+rn,
rn1=rnqn+1.0<r 0<jbj,
0<r 1<r 0,
0<r 2<r 1,
……………………
0<rk<rk1,
……………………
0<rn<rn1,
rn+1= 0.
Deci, rezultă că d=rn.
5

1.3. INELE EUCLIDIENE CAPITOLUL 1. INELE. NOT ,IUNI GENERALE
1.3 Inele euclidiene
Inelele euclidiene sunt inele al căror comportament relativ la divizibilitate seamănă cel mai
mult cu acela al lui Z.
FieRun domeniu de integritate. Relația de divizibilitate , pentrua;b2R, se definește
astfel:
“a divide b”( notație: a=b) dacă există c2R, astfel încât b=a
c.
Alte denumiri pentru a/ b: “a este un divizor al lui b” sau “b este un multiplu al lui a” sau
“b este divizibil cu a”.
Proprietățile de bază ale divizibilității pe Rsunt următoarele:
1)Elemente având o comportare deosebită relativ la divizibilitate:
i)elementul unitate 1 și, în general, unitățile lui R, care sunt: 1=așiu=a, pentru orice
a2R;u2U(R) =fx2Rj9x12R;x
x1=x1
x= 1g;
ii)elementul zero: a=0,a2R.
2)Divizibilitatea este o preordine pe R, adică este reflexivă și tranzitivă.
3)Relația de echivalență definită de divizibilitate este:
00ab, dacăa=bșib=a
este numită asocierea în divizibilitate. Spunem că “ a este asociat cu b”. Se observă imediat
faptul căabdacă și numai dacă există u2U(R), astfel încât b=au, dacă și numai dacă
aR=bR.
4)Fiea;b;c2R. Atunci au loc următoarele implicații:
a=bșia=c=)a=(bc);
a=b=)a=(b
x), pentru orice x2R;
a=bșia=c=)a=(bx+cy)pentru orice x;y2R.
5)Fiep2R, un element nenul și neinversabil. Atunci p se numește:
i) element prim, dacă satisface condiția:
p=(a
b) =)p=asaup=b, undea;b2R;
ii) element ireductibil, dacă singurii divizorii ai săi sunt cei improprii, adică unitățile și
asociații.
6) Cel mai mare divizor comun d2Rșicel mai mic multiplu comun m2Rpentru
perechea de elemente a;b2Rse definesc ca și în Z, cu notații similare:
d= (a;b), dacă:
i)d=așid=b;
ii)d1=așid1=b=)d1=d;
m= [a;b], dacă:
i)a=mșib=m;
ii)a=m 1șib=m 1=)m=m 1.
6

1.4. IDEALE PRIME ȘI IDEALE MAXIMALE CAPITOLUL 1. INELE. NOT ,IUNI GENERALE
Dacăd= (a;b)șia=d
a1;b=d
b1, atunci există (a1;b1)și acesta este asociat cu 1.
Spunem astfel că a1,b1sunt relativ prime.
1.3.1. Propoziție. Într-un inel integru R, orice element prim este ireductibil.
1.3.2. Definiție. Un domeniu de integritate Rse numește inel euclidian, dacă există funcția
':R!N, astfel încât pentru orice a;b2R,b6= 0existăq;r2R, astfel încât a=bq+rși
r= 0sau'(r)<'(b)( axioma împărțirii cu rest în R).
Exemple de inele euclidiene:
1)Orice câmp K este inel euclidian cu '(a) = 1, pentru orice a2K.
2)Zeste inel euclidian cu '(n) =jnj, pentru orice n2Z.
1.4 Ideale prime și ideale maximale
1.4.1. Teoremă. FieRun inel comutativ unitar. Pentru un ideal P al lui R, diferit de R, sunt
echivalente următoarele afirmații:
1)Dacăa
b2P, pentru a și b din R, atuncia2Psaub2P.
2)Pentru orice ideale I, J ale lui R, dacăI
JP, atunciIPsauJP.
3)R=Peste domeniu de integritate.
1.4.2. Definiție. Un ideal P al inelului R;P6=R, este numit ideal prim, dacă satisface
una din condițiile echivalente din 1.4.1.
Observăm că idealul nul este ideal prim în R, dacă și numai dacă Reste inel integru, conform
teoremei 1.4.1.
1.4.3. Definiție. Fie P un ideal în R;P6=R. Idealul P se numește ideal maximal, dacă din
incluziunile PAR, pentru idealul Aal luiR, rezultăP=AsauA=R.
1.4.4. Teoremă. Un ideal P al lui Reste maximal, dacă și numai dacă R=Peste corp.
1.4.5. Corolar. Orice ideal maximal Pal luiReste ideal prim în R.
Demonstrație. R=Peste corp, deci domeniu de integritate. Se va aplica Teorema 1.4.1.
Reciproca ultimei afirmații nu este adevărată. De exemplu, {0} este ideal prim în Z, fără a fi
maximal. 
1.5 Inele de fracții
FieRun inel comutativ unitar și, S un submonoid al monoidului (R;
;1), deci 12Sși
pentru orice a;b2S, produsula
bse află în S. Numim astfel un asemenea submonoid sistem
multiplicativ înRși vom presupune că 0=2S.
7

1.5. INELE DE FRACȚII CAPITOLUL 1. INELE. NOT ,IUNI GENERALE
Exemple de sisteme multiplicative în R:
1)f1;a;a2;:::g, undea2Reste un element nenilpotent, adică nu există n2N, astfel încât
an= 0.
2)R=Psau, mai general, Rn([
i2IPi), unde P, respectiv Pi,i2I, sunt ideale prime în R.
3)Mulțimea nondivizorilor lui 0 din R; dacă Reste integru, această mulțime este R.
4)Mulțimea unităților lui R,U(R) =fx2R=9x12R;x
x1=x1
x= 1g.
1.5.1. Teoremă. FieRun inel comutativ unitar, S un sistem multiplicativ al său, 0=2S.
Atunci:
1)S1Reste un inel comutativ unitar, iar 'S:R!S1R;'S(r) =r
1, , este omomorfism unitar
de inele, cu proprietatea că 'S(S)U(S1R).
2)Pentru orice inel comutativ unitar R0și pentru orice omomorfism unitar de inele :R!R0
astfel încât (S)U(R0), există un unic omomorfism unitar de inele :S1R!R0astfel încât
'S= .
3)Dacă perechea (T;'0
S), unde T este inel comutativ unitar și '0
S:R!Teste omomorfism
unitar de inele astfel ca '0
S(S)U(T)„ satisface condiția 2, atunci T și S1Rsunt inele unitare
izomorfe.
Demonstrație.
Se verifică definițiile, ținând seama de cele precizate. Dacă există un astfel de , atunci
satisface condiția: (r
1) ='S(r) = (r), deoarecer
s=r
1
1
s=r
1
s
r
1,(r
s) =(r
1)
((s
r)1)
= (r)
( (s))1, deci dacă există, el este de această formă. Se verifică faptul că definit
astfel este omomorfism unitar de inele.
Înlocuind în condiția 2, R0cu T și cu'0
S, găsim că există :S1R!T,'S='0
S
și există0:T!S1R,0'0
S='S, de unde(00
S) ='0
Sși0('S) ='S, adică
(0)'0
S='0
S=1T'0
Sși(0)'S='S=1(S1)R'S, de unde, din unicitatea omomorfismelor
, rezultă0= 1Tși0= 1S1T, decieste izomorfism de inele. 
Dacă S este totalitatea nondivizorilor lui zero ai inelului R, atunci se obține inelul total de
fracțiial luiR, notat, de obicei, cu Q(R).
DacăReste integru, inelul Q(R)este corp, numit corpul de fracții al luiR.
1.5.2. Propoziție. Dacă S este un sistem multiplicativ de nondivizori ai lui zero, atunci
există un omomorfism injectiv de inele de la S1RlaQ(R).
1.5.3. Definiție. Sistemul multiplicativ S al lui Rse numește saturat, dacă, pentru orice
s2Sși oricex;y2R, astfels=x
y, elementele x și y se află în S.
1.5.4. Observație. DacăRK,Rfiind subinel unitar al corpului comutativ K, atunci
se poate lua drept corp de fracții pentru Rcel mai mic subcorp al lui K incluzând R, deci
Q(R) =Tfab1=a2R;b2Rg, cum se constată imediat. Omomorfismul canonic este
R!Q(R), în acest caz este chiar omomorfismul de incluziune.
8

1.6. INELE DE POLINOAME CAPITOLUL 1. INELE. NOT ,IUNI GENERALE
1.6 Inele de polinoame
Vom da câteva definiții, teoreme și construcții referitoare la inelele de polinoame de una sau
mai multe nedeterminate peste un inel comutativ unitar R.
Notăm cuR[X]inelul polinoamelor de nedeterminata X peste R, un polinom nenul
f2R[X]fiind notat prin f=nX
i=0aiX0,ai2R;i= 0;1;:::;n;a n6= 0;n0, unde elementele
aise numesc coeficienții luif.
1.6.1. Corolar. ( Teorema împărțirii cu rest în K[X]) Fie K un corp comutativ,
f;g2K[X];g6= 0. Atunci există q;r2K[X]unice, satisfăcând condițiile:
f=gq+rșir= 0saugrad(r)<grad (g).
În acest caz, K[X]este inel euclidian, cu funcția ':K[X]!N, definită prin '(f) =
grad(f).
1.6.2. Corolar.( Teorema restului). FieRun inel integru, f=nX
i=0aiXi2R[X];n1.
Pentru orice c2R, există un polinom unic q2R[X], astfel încât
f= (Xc)q+f(c).
1.6.3. Corolar. Fie K un corp comutativ, f2K[X]un polinom ireductibil. Atunci:
i)Dacă charK= 0,fn-are rădăcini multiple.
ii)Dacă charK=p, cu p număr prim , și dacă fare rădăcini multiple într-un supracorp L al
lui K, atunci există g2K[X], astfel încât f=g(Xp).
1.6.4. Teoremă.(Proprietatea de universalitate a inelului de polinoame) FieRși
K inele,t2Kun element fixat, ':R!Kun omomorfism unitar de inele. Există un omo-
morfism unitar de inele unic ~':R[X]!K, astfel încât ~'jR='și~'(X) =t.
Demonstrație. Dacăexistă ~'atunci,pentruorice f=nX
i=0aiXi2R[X],~'(f) =nX
i=0~'(ai)~'(x)i
=nX
i=0'(ai)
ti.Vom arăta că ~'definit astfel este omomorfism de inele, prin verificarea proprie-
tăților din definiție. 
1.6.5. Corolar. DacăRși K sunt inele, Rsubinel în K, iar t un element din K, există
un unic omomorfism de inele 't:R[X]!K, astfel încât 't(a) =a, pentru orice a2Rși
't(X) =t.
1.6.6. Propoziție. FieRși K inele, t1,t2, …,tn2Kelemente fixate și ':R!Kun
9

1.7. CORP PRIM. SUBCORP PRIM. CAPITOLUL 1. INELE. NOT ,IUNI GENERALE
omomorfism unitar de inele. Există un omorfism de inele unic ~':R[X1, …,Xn]!K, prelun-
gind'și având proprietatea că ~'(Xi) =ti,i= 1;2;:::;n.
1.6.7. Corolar. FieRun inel șiSngrupul permutărilor de grad n. Penrtu orice a2Sn
există un unic omomorfism de inele ~:R[X1, …,Xn]!R[X1, …,Xn], astfel încât ~(a) =a,
pentru orice a2Rși~(Xi) =X(i). Acest ~este un automorfism al inelului R[X1, …,Xn].
1.6.8. Observație. Fie un inel R, astfel putem vorbi despre inelul polinoamelor având
coeficienți în R, de oricâte nedeterminate, mai precis de nedeterminatele fXtjt2Tg,
unde T este o mulțime nevidă de cardinal arbitrar. Construcția se bazează pe situația cunoscută
din cazul finit, și anume:
R[fXtjt2Tg] =[
JT;JFinitR[fXJjj2Jg].
Operațiile de inel se definesc utilizând observația că, dacă J1șiJ2sunt submulțimi finite din
T,J1[J2este tot o submulțime finită din T iar R[fXtjt2Jig]R[Xtjt2J1[J2], pentru
i= 1;2.
1.7 Corp prim. Subcorp prim.
1.7.1. Definiție. Se numește corp prim un corp fără subcorpuri proprii.
Așadar, singurul subcorp al unui corp prim este corpul însuși.
Exemple de corpuri prime sunt corpul numerelor raționale Qși corpurile Zp.
1.7.2. Teoremă. ( Teorema de structură a corpurilor prime).
Fie P un corp prim. Atunci:
i)PentrucharP = 0,Peste izomorf cu Q;
ii)PentrucharP =p,pnumăr prim, Peste izomorf cu Zp.
Demonstrație. Aplicația':Z!P;'(n) =n1;nZ, unde 1 este elementul unitate din P, este
un omomorfism unitar de inele, având Im' =fn1jn2Zg, un subinel în P, și Ker' =fn2
Zjn1 = 0gun ideal în Z.
În cazulcharP = 0,Ker' =f0g, iar în cazul charP =p,Ker' =pZ. Dacă aplicăm teorema
principală de omomorfism pentru inele, rezultă, în cazul (i), Im'=Zcare este izomorfism de
inele, iar în cazul (ii), Im'=Z=pZ=Zpeste corp.
Astfel, în cazul (ii), Im'este subcorp în corpul prim P, și atunciIm' =P=Zp. Revenind
la cazul (i), din izomorfismul domeniilor de integritate ZșiIm', rezultă izomorfismul corpurilor
de fracții. Dar pentru Im'corpul de fracții este chiarP, iar pentru Zacesta este Q. Deci,
rezultăP=Q.
De aici, va rezulta și faptul că orice corp prim este comutativ.
1.7.3. Propoziție. Orice corp K are un subcorp prim P izomorf cu Q, în cazul caracte-
risticii 0, si cu Zp, în cazulcharK =p;p> 0.
10

1.8. GRUPURI REZOLUBILE CAPITOLUL 1. INELE. NOT ,IUNI GENERALE
1.7.4. Propoziție. Orice corp finit K are caracteristica p, p > 0, și arepnelemente, cu
n2N;n1.
Demonstrație. Fie grupul (K;+)finit, atunci orice element, în particular 1, are ordin finit.
DecicharK =p;p > 0, și din 7.3, subcorpul prim P al lui K este izomorf cu Zp, deci are
p elemente. Dacă considerăm K spațiu vectorial peste corpul comutativ P, în mod cannonic,
dimPK=n(<1);n1, deoarece K este finit. Fie fx1,x2, …,xn} o bază în K peste P; atunci
K=fnX
i=1aixijai2P;i= 1;:::;ngși, cum doi vectori distincți diferă prin măcar o coordonată
aiși fiecare coordonată poate lua p valori, rezultă că există pnelemente în K. 
1.8 Grupuri rezolubile
1.8.1. Definiție. Fie(G;
)un grup. Un șir descrecător de subgrupuri ale lui G,
G = G 0G1G2:::Gn=feg, (1.1)
este normal dacă Gi+1este subgrup normal în Gipentru orice i= 0;1;:::;n1. Numărul
natural n se numește lungimea șirului, iar grupurile Gi=Gi+1factorii șirului. Spunem că șirul
normal (1.1) este rezolubil dacă toți factorii săi sunt grupuri abeliene. Un grup se numește
rezolubil dacă posedă un șir rezolubil. [ ALGEBRA, ION D.ION și R.NICOLAE, pg 42.]
Exemple de grupuri rezolubile:
i)Orice grup abelian este rezolubil.
ii)S3>A 3>f"g, cu"permutarea identică, este șir rezolubil, deci S3este grup rezolubil.
iii)S4> A 4> K >f"g, undeK=f";(1;2)(3;4);(1;3)(2;4);(1;4)(2;3)g, este șir rezolubil,
deciS4șiA4sunt grupuri rezolubile.
iv)Grupul diedral Dngenerat de elementele a și b, satisfăcând relațiile: an= 1;b2= 1;ab=
ban1, este grup rezolubil cu șirul rezolubil: Dn>[a]n>f1g.
v)Orice grup izomorf cu un grup rezolubil este rezolubil.
Acum vom demonstra câteva proprietăți ale grupurilor rezolubile.
1.8.2. Propoziție. Un subgrup al unui grup rezolubil este rezolubil.
Demonstrație. Fie G un grup rezolubil și G0un subgrup al său. Dacă șirul (1.1) este un șir
rezolubil al lui G, vom arăta că șirul
G0=G0
0G0
1:::G0
n= (e), (1.2)
11

1.8. GRUPURI REZOLUBILE CAPITOLUL 1. INELE. NOT ,IUNI GENERALE
undeG0
i=G0\Gi,i= 0;1;:::;n, este un șir rezolubil al grupului G0.
În realitate, nucleul morfismului canonic G0
i!Gi=Gi+1este egal cu G0
i+1, undeG0
i+1este su-
bgrup normal în G0
ișiG0
i=G0
i+1este subgrup în Gi=Gi+1, de unde rezultă că este grup abelian. 
1.8.3. Propoziție. Orice grup factor al unui grup rezolubil este grup rezolubil.
1.8.4. Propoziție . Dacă un grup G are un șir normal finit cu factorii grupuri rezolubile,
atunci G este grup rezolubil.
Demonstrație. Este suficient să demonstrăm propoziția în cazul în care G are un șir normal de
lungime 2 cu factorii rezolubili, deoarece cazul genreal se va obține prin inducție după lungimea
șirului. Fie GG0(e)un șir normal în care G0este un subgrup rezolubil și grupul G=G0este
de asemenea rezolubil. Fie G=G0=H0H1:::Hs= (e)un șir rezolubil în G=G0,G0
i,
i= 0;1;:::;s, imaginea inversă a lui Hiîn G,G0=G00
0G00
1:::G00
t= (e)un șir rezolubil
înG0. Atunci șirul
G0=G0
0G0
1:::G0
s=G0=G00
0G00
1:::G00
t= (e)
este evident un șir rezolubil în G. 
1.8.5. Propoziție. Un grup G finit este rezolubil dacă și numai dacă posedă un șir nor-
mal cu factorii ciclici. [ ALGEBRA, ION D.ION și R.NICOLAE, pg 43.]
12

Capitolul 2
Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienți
într-un corp
În acest capitol, toate corpurile pe care le folosim sunt comutative. Vor fi demonstrate căteva
proprietăți ale extinderilor algebrice și ale rădăcinilor unui polinom, și se introduc corpurile
algebric închise. Astfel se demonstrează că, corpul numerelor complexe este algebric închis și se
arată că orice corp are o extindere algebrică care este algebric închisă.
2.1 Elemente algebrice și transcendente. Extinderi algebrice
Fiekun corp,Ko extindere a sa și Mo submulțime a lui K. Atunci intersecția tuturor
subcorpurilor lui Kcare conțin pe kși submulțimea Meste un subcorp al lui Kși o extindere
a luikcare conține mulțimea M. Acest subcorp al lui Kse notează cu k(M)și se spune că
este corpul obținut prin adjuncționare laka elementelor mulțimii M.
Corpulk(M)este corpul de fracții al inelului k[M]generat peste kde mulțimea M.
FieIo mulțime; notăm cu k[X;I]inelul polinoamelor de I-nedeterminate cu coeficienți în
corpulkși cuk(X;I)corpul său de fracții. Corpul k(X;I)poate fi privit, ca rezultat prin
adjuncționare la ka nedeterminatelor Xi,i2I.
2.1.1. Definiție. O extindere Ka unui corp keste de tip finit dacă există o submulțime
finităMa luiK, astfel încât k(M) =K. Dacă există un element x2Kastfel încât K=k(x),
atunciKse numește extindere simplă a luik.
2.1.2. Propoziție. FiekKo extindere de corpuri. Atunci următoarele afirmații sunt
adevărate:
i)k(K) =K, iark(M) =kdacă și numai dacă submulțimea Meste dink.
ii)DacăMșiNsunt două submulțimi ale lui K, atuncik(M[N) =k(M)(N) =k(N)(M).
iii)DacăfMig;i2I, este un sistem de submulțimi ale lui Kfiltrant la dreapta, adică pentru
oricei;j2Iexistăl2Iastfel încât MiMlșiMjMlșiM=[
i2IMi, atunci
13

2.1. ELEMENTE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE. EXTINDERI ALGEBRICE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
k(M) =[
i2IK(Mi)
.Toate afirmațiile rezultă direct din definiția de mai sus. Pentru demonstrarea afirmației
din iii), este suficient să se observe că întrucât sistemul fMig;i2I, trecut printr-un filtru, la
dreapta[
i2IK(Mi)este un subcorp al lui K.
În condițiile din propoziția precedentă, corpul k(M[N)se notează de obicei cu k(M;N ).
2.1.3. Definiție. Fie A un inel comutativ și BA-algebră (nu neapărat comutativă). Atunci
adunarealuiBșioperațiaexternădefinităprin ab=u(a)b, pentrua2A;b2B, undeu:A!B
estemorfismul canonic , ce determină pe Bo structură de A-modul.
2.1.4. Definiție. Se numește gradul extinderii lui Kpestek, numărul elementelor dintr-o
bază arbitrară a lui Kpestek, și se notează [K:k].
Comentarii. CorpulKse numește extindere finită a luikdacă [K:k]<1șiinfinită
dacă [K:k] =1. Revenindlacazulextinderilorcomutative, observămcăoextinderefinită Ka
unui corpkeste de tip finit. Mai mult,dacă x1,x2, …,xneste un sistem de generatori de spațiu
vectorial al lui Kpestek, atunciK=k(x1,x2, …,xn) =k[x1,x2, …,xn]. Reciproca acestei
afirmații nu este adevărată,după cum arată exemplul corpului k(X)al funcțiilor raționale de o
nedeterminată cu coeficienți în k,care este o extindere simplă a lui k, însă elementele 1;X;X2,
…,Xn, sunt liniar independente peste kși deci [k(X) :k] =1.
FiekKo extindere de corpuri, Mo parte a lui Kșik[X;M]inelul polinoamelor de M-
nedeterminate cu coeficienți în k. Atunci există un morfism unic de k-algebreu:k[X;M]!K
cu proprietatea u(Xm) =mpentru orice m2M. Avem egalitatea ImU =k[M]șiuinduce un
morfism surjectiv u0:k[X;M ]!k[M]pe care îl numim în continuare canonic.
Dacăueste injectiv, adică u0este izomorfism, se spune că elementele lui Msunt algebric
independente peste k; în caz contrar se spune că ele sunt algebric dependente peste k.
Un element dinKse numește algebric peste kdacă morfismul canonic v:k[X]!k[]nu
este injectiv , adică Ker v6= 0sau, echivalent, există un polinom nenul fdink[X]astfel încât
f) = 0, adică este o rădăcină a lui f.
Dacă nucleul lui veste egal cu (0), deci dacă nu există nici un polinom nenul care are pe
ca rădăcină, se spune că este transcedent peste k. Așadar, este transcedent dacă și
numai dacă morfismul veste injectiv, adică k]estek-izomorf cu inelul polinoamelor k[X]și
decik()'k(X).
Fieesteelementalgebricpeste k,atunciKerv6= (0)șirezultăun k-izomorfism k[X]=Kerv
k()care duce clasa lui Xîn. Deoarece k[]este subinel nenul al unui corp, rezultă că este
inel integru, deci Kerveste ideal prim nenul în k[X].
Dacăk[X]este inel principal, atunci Kerveste generat de un polinom ireductibil.
2.1.5. Definiție. Un polinom care generează idealul Kervse numește polinom minimal
al lui .
Prin urmare este, ireductibil și două polinoame de tipul acesta sunt asociate. Deci au în
14

2.1. ELEMENTE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE. EXTINDERI ALGEBRICE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
particular același grad și există unul singur cu coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1,
numit polinomul minimal al lui . Oservăm că Kerv =ff2k[X]jf[] = 0g. Dacă un polinom
minimal al lui generează pe Kerv, atunci rezultă că el este un polinom de grad minim care
are pe ca radăcină.
O extindere Ka unui corp kse numește algebrică dacă orice element din Keste algebric
pestek.
2.1.6. Propoziție. Orice extindere finită este algebrică.
Demonstrație. FiekKo extindere finită de corpuri și x2K. Atunci elementele
1;x;:::;xn;:::nu pot fi liniar independente, căci altfel ar rezulta [K:k] =1. Așadar
existăai2k;i= 1;2;:::;n, nu toate nule, astfel cănX
i=0aixi= 0. Rezultă atunci că polinomul
f=nX
i=0aiXi2k[X]este nenul și f(x) = 0:
2.1.7. Propoziție. FiekKo extindere de corpuri și 2K. Atunci următoarele afirmații
sunt echivalente:
a)este algebric peste k;
b)k[]este corp;
c)k[] =k();
d)[k() :k]<1
Demonstrație. a)=)b) rezultă din faptul că k[] =k[X]=fk[X], undefeste un po-
linom ireductibil. Deci idealul fk[X]este maximal, adică k[X]=fk[X]este corp.
b)=)a) algebric. Dacă k[]este corp, atunci morfismul canonic k[X]!k[]nu este
izomorfism, deci este algebraic peste k.
Echivalența dintre afirmațiile b) și c) este imediată.
Implicația d) =)a) rezultă din propoziția precedentă.
a)=)d) rezultă din faptul că k[]=k[X]=fk[X], undef6= 0este un polinom nenul,
aplicând lema care urmează. 
2.1.7.1. Lemă. Fiekun corp,k[X]inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți
înk;f2k[X]șiA=k[X]=(f)inelul factor. Atunci dim Aeste finită dacă și numai dacă f6= 0.
Dacăf6= 0șigrad f =n, atunci clasele elementelor 1;X;:::;Xn1înAconstituie o bază
pestek, decidimA =n.
Demonstrație. Înk[X]există o infinitate de elemente liniar independente peste k; de exemplu,
elementele 1;X;:::;Xm,… după cum rezultă din însăși definiția inelului k[X],sunt liniar inde-
pendente. Pentru a încheia demonstrația lemei este sufiecient să demonstrăm ultima afirmație
a sa.
Notăm cu g clasa polinomului g2k[X]înA. Orice element din Aeste clasa unui polinom
g2k[X]. Din teorema împărțirii întregi rezultă că există q;r2k[X], cugradr <gradf astfel
încâtg=fg+r. Atunci rezultă că g=r, de unde se deduce că 1;X;:::;Xn1constituie un
sistem de generatori ai lui Apestek.
15

2.1. ELEMENTE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE. EXTINDERI ALGEBRICE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
Să arătăm că acest sistem este liber peste k. În caz contrar, ar exista o relație de forma:
n1X
i=0aiXi= 0;ai2k, (2.1)
unde elementele ainu sunt toate nule. Fie g=n1X
i=0aiXi2k[X]. Din relația (1) rezultă că f
divide pegșig6= 0, ceea ce contrazice faptul că grad g<n .
2.1.8. Propoziție. FiekKLextinderi de corpuri. Dacă Keste extindere finită a
luiks,iLextindere finită a lui K, atunciLeste extindere finită a lui kși în plus
[K : k] [L: K]= [L: k] : (2.2)
(Tranzitivitatea extinderilor finite).
Demonstrație. Fiex1,x2, …,xm,m= [K:k], o bază a lui Kpestekșiy1, …,yn,
n= [L:K], o bază a lui LpesteK. Va fi suficient să arătăm că elementele
xiyj,i= 1;:::;m ;j= 1;:::n. (2.3)
constituie o bază a lui Lpestek. Aceste elemente constituie un sistem de generatori; căci dacă
x2L, atuncix=nX
j=1ajyj, cuaj2K, deoarecey1, …,yneste un sistem de generator al lui L
pesteK.
Pe de altă parte , deoarece x1, …,xmeste un sistem de generator ai lui Kpestek, există
bij2kcu proprietatea că aj=mX
i=1bijxij= 1;:::;n. Deci de aici se obține x=m;nX
i;j=1bijxiyj.
Să arătăm acum că sistemul (2.3) este liber peste k. Dacăm;nX
i;j=1cijxiyj= 0, cucij2k, atunci
dinnX
j=1(mX
i=1cijxi)yj= 0șimX
i=1cijxi2K, iar elementele y1, …,ynsunt liniar independente peste
K, deducem cămX
i=1cijxi= 0, pentru toți j= 1;:::;n. Apoi din faptul că sistemul x1, …,xm
este liber peste kse obține că cij= 0 ,i= 1;:::;m ;j= 1;:::;n.
16

2.1. ELEMENTE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE. EXTINDERI ALGEBRICE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
Relația (2.2) din propoziția precedentă rămâne adevărată și pentru extinderile infinite de cor-
puri dacă convenim să notăm a1=1, pentrua2Nși11 =1. Mai precis, se poate arăta
că dacăfxig;i2I, este o bază a lui Kpestekșifyjg;j2J, o bază a lui LpesteK, atunci siste-
mul de elementefxiyjg;i2I;j2Jeste o bază a lui Lpestek, pentruIșiJmulțimi arbitrare. 
2.1.9. Propoziție. FieKun corp, extindere a corpului kși1,2, …, n2Kelemente
algebrice peste k. Atuncik[1,2, …, n]este corp, extindere finită a corpului k.
Demonstrație. Vom folosi procedeul de inducție, după n.
Pentrun= 1, afirmația a fost dovedită în propoziția 2.1.3. Presupunem că ea este adevărată
pentrun–1. Atunci rezultă că k[1,2, …, n] =K0este corp, extindere finită a lui k. Avem
k[1,2, …, n] =k[1,2, …, n1][n] =K0[n]. Însă neste element algebric peste
K0, deci din propoziția 2.1.3 se obține că K0[n] este corp de extindere finită a lui K0. Aplicând
acum propoziția precedentă la extinderile kK0K0[n] =k[1, …, n], se obține afirmația
propoziției pentru n.
Cu notațiile din propoziția precedent, dacă Meste o submulțime de elemente din Kalgebrice
pestek, rezultă că k(M)este extindere algebrică a lui k, deoarecek(M) =[k(M0)cândM0
parcurge submulțimile finite ale lui Mși o extindere a corpului k care este reuniune de extinderi
algebrice ale lui keste și ea o extindere algebrică a lui k.
2.1.10. Corolar. DacăkKeste o extindere de corpuri și 1, …, n2Ksunt ele-
mente algebrice peste k, atuncik[1, …, n]=k(1, …, n), iar nucleul morfismului canonic
de k-algebre k[K1, …,Kn]!k[1, …, n] este ideal maximal în k[K1, …,Kn].
2.1.11. Propoziție. Fiekun corp și Ko extindere a sa. Atunci mulțimea K0a elemen-
telor dinKalgebrice peste kformează un subcorp al lui Kcare conține pe k.
Demonstrație. Incluziunea kK0rezultă din faptul că orice element a2keste rădăcină a
polinomului X–a2k[X].
Pentru a arăta că submulțimea K0este subcorp va trebui să arătăm că pentru orice două
elemente;2K0, rezultă2K0și dacă6= 0, atunci12K0.
Considerăm corpul k(;). Deoarece șisunt algebrice peste kdin 2.1.5 și 2.1.6 rezultă
căk(;)este o extindere finită a lui k. Din propoziția 2.1.2 deducem atunci că orice element
dink(;)este algebric peste k, în particular, și1sunt elemente algebrice peste k,
deci aparțin lui K0.
Este valabilă următoarea proprietate de tranzitivitate a extinderilor algebrice.
2.1.12. Propoziție. FiekKLextinderi de corpuri. Dacă Keste extindere alge-
brică a luik, iarLeste extindere algebrică a lui K, atunciLeste extindere algebrică a lui k.
Demonstrație. Fie2L. Va trebui să arătăm că este algebric peste k. Însăeste algebric
pesteK. Deci există un polinom f2K[X];f6= 0, astfel înât să fie o rădăcină a lui f. Fie
f=anXn+an1Xn1+ … +a0, undeai2K;i= 0;1;:::;n. Atunci este clar că este
algebric și peste corpul K0=k(a0,a1, …,an) care este extindere finită a lui k. Rezultă astfel
că corpulK0()este extindere finită a lui K0și, conform propoziției 2.1.4, este extindere finită
și a corpului k. Atunci din propoziția 2.1.2 se obține că este algebric peste k.
Exemple.
17

2.1. ELEMENTE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE. EXTINDERI ALGEBRICE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
1)FieQcorpul numerelor raționale. Numerele complexe algebrice peste Qse numesc, de obi-
cei, numere algebrice, iar numerele complexe care nu sunt algebrice peste Qse numesc numere
transcedente. Numerele complexe i=p1;p2;4p3;p5;(1 +ip
3)=2sunt numere alge-
brice, deoarece ele sunt rădăcini ale polinoamelor din Q[X]:X2+ 1,X2+ 2,X4+ 3,X2+ 5,
X2+X+ 1.
2)Din propoziția 2.1.7 rezultă că mulțimea numerelor algebrice formează un subcorp al corpului
numerelor complexe, numit corpul numerelor algebrice. Se poate arăta că mulțimea numerelor
algebrice este numărabilă,adică este equipotentă cu N, pe când mulțimea numerelor complexe
este nenumărabilă. De aici rezultă că mulțimea numerelor transcedente este și ea nenumărabilă.
2.1.13. Teoremă. Fieun număr real care este rădăcina unui polinom ireductibil de
gradr2, iarpsiq > 0numere întregi. Atunci există un număr real c > 0, care nu de-
pinde depșiqastfel încâtj–p=qj>c=qr.
Demonstrație. Fief=arXr+ar1Xr1+ … +a0polinomul minimal al lui .
Putem presupune că j–p=qj<1, deoarece în caz contrar putem lua c= 1. Atunci fie 1
=1,2, …,rtoate rădăcinile lui f. Avem
|f(p / q)| = |a rjj–p=qjjrY
i=2(i–p=q)j
jarjj–p=qjrY
i=2(jj+ 1 +jaij) =c0j–p=qj, (2.4)
undecr> 0 este o constantă care evident nu depinde de pșiq. Pe de altă parte, avem
|f(p / q)|1=qr. (2.5)
Atunci, din relațiile (2.4) și (2.5) rezultă afirmația teoremei. 
Într-un anumit mod, numerele algebrice nu pot fi suficient de bine aproximate prin numere
raționale. Din acest lucru se poate deduce că, de exemplu,numărul
=1X
n=11
3n!
estetranscedent.
Vom arăta mai întâi că nu poate fi număr rațional. Presupunem că =p=q, undepși
qsunt numere întregi pozitive. Considerăm atunci un număr întreg k1și înmulțim relația
=p=qcu3k!q.
18

2.1. ELEMENTE ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE. EXTINDERI ALGEBRICE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
Obținem o relație de forma
a=b+q1X
n=k+11
3n!k!,
undeașibsunt numere întregi. Este suficient să arătăm că numărul
d=q1X
n=k+13n!+k!
nu este întreg pestru ksuficient de mare. Un astfel de kexistă pentru că deste restul unei
serii convergente. Deci nu poate fi număr întreg. Să presupunem că ar fi algebric. Atunci
polinomul său minimal ar avea gradul r2. Fiecconstanta din asociată lui . Considerăm
un număr întreg k1șiS=kX
n=13n!. Atunci avem
jSj=kX
n=k13n!
Luând unksuficient de mare, obținem inegalitatea
3rk!1X
n=k+13n!<c
ceea ce contrazice criteriul lui Liouville.
Hermit, a demonstrat transcedența numărului
e=1X
n=01
n!
iar Liendermann, a demosntrat transcedența numărului (raportul dintre lungimea cercului
și diametrul său). Importanța demonstrării transcendenței numărului constă în faptul că
prin aceasta s-a dat un răspuns negativ unei vechi probleme de matematică cunoscută încă
din antichitate sub numele de problema cuadraturii cercului (construcția cu ajutorul riglei și
al compasului a unui pătrat cu aceeași arie ca a unui cerc dat). De mult s-a arătat că, cu
ajutorul riglei și al compasului se pot construi doar rădăcinile unor clase particulare de ecuații
cu coeficienți întregi.
FieRcorpul numerelor reale și Ccorpul numerelor complexe. Atunci, după cum știm, orice
2Cse scrie în mod unic sub forma a+bi, undeașibsunt numere reale, iar i2=1. Decii
este algebric peste R. Atunci morfismul de R-algebreu:R[X]!Ccu proprietatea că u(X) =i
este surjectiv, fiindcă C= R [i]. Deoarece u(X2+1) = 0, rezultă că u determină un morfism
tot surjectiv u0:R[X]=(X2+1)!C. Morfismul u0este și injectiv, deoarece primul inel este
19

2.2. PROPRIETĂȚI ALE RĂDĂCINILOR UNUI POLINOM. CORPUL DE DESCOMPUNERE AL UNUI
POLINOM CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
corp,iar polinomul X2+1fiind ireductibil în R[X]. Așadaru0este izomorfism. Din propoziția
2.1.2 rezultă că orice număr complex este algebric peste R. Dacăa+bieste un număr complex,
undeașibsunt numere reale, atunci el este rădăcină a polinomului
X2aX+a2+b2
dinR[X]. Din cele de mai sus deducem că [C:R] = 2.
2.2 Proprietățialerădăcinilorunuipolinom. Corpuldedescompunere
al unui polinom
2.2.1. Propoziție. FieAun inel comutativ unitar, f un polinom de o nedeterminată cu
coeficienți în Așia2A. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
a)aeste rădăcină a lui f;
b)fse divide cu X–a.
Demonstrație. Pentrudemonstrațienevomfolosideteoremaîmpărțiriiîntregi,deunderezultă
că existăf12A[X]șir2A[X], așa căf= (X–a)f1+r, cugrad r0. Avem însă r= 0,
deoarecer=r(a) =f(a) = 0. Implicația b) =)a) este evidentă. 
Din propoziție rezultă că dacă Aeste un inel integru, atunci un polinom de grad > 1din
A[X], care are o rădăcină în A, este reductibil.
Însă recirproca acestei afirmații nu este întotdeauna adevărată, adică un polinom reductibil
nu are neapărat radăcină în inelul coeficienților. Astfel polinomul (X2+1)2este reductibil în
Q[X], dar n-are nici o rădăcină în Q. Afirmația este adevărată pentru polinoamele de grad 2și
3cu coeficienți într-un corp, în acest caz cel puțin un factor ireductibil al său este de gradul 1
și orice polinom de grad 1 are o rădăcină în corpul coeficienților.
2.2.2. Definiție. Spunem că o rădăcină a2Aa unui polinom nenul f2A[X]este o ră-
dăcină multiplă de ordin s, dacă (X–a)Sdivide pefși(X–a)S+1nu divide pe f. Numărul sse
numește ordinul de multiplicitate al rădăcinii ași există întotdeauna.
2.2.3. Propoziție. FieAun inel factorial și f2A[X]un polinom nenul. Dacă a1,a2,
…,an2Asunt rădăcini distincte ale lui fcu ordinele de multiplicitate i1,i2, …,in, atunci
fse scrie sub forma:
f= (X–a1)i1(X–a2)i2…(X–an)ing,
undeg2A[X].
2.2.4. Corolar. FieAun inel integru. Atunci un polinom f2A[X]degrad n > 0are
cel mult n rădăcini în A.
Din faptul că f2A[X]rezultă căf2K[X], undeKeste corpul de fracții al lui A. Putem
astfel să deducem afirmația din propoziția 2.2.2.
20

2.2. PROPRIETĂȚI ALE RĂDĂCINILOR UNUI POLINOM. CORPUL DE DESCOMPUNERE AL UNUI
POLINOM CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
2.2.5. Corolar. FieAun inel integru și fun polinom nenul din A[X]de grad n. Dacă
f=a0+a1X+:::+anXn
și1, …,nsuntnrădăcini ale lui fînA, atunci
f = an(X1)(X2)…(Xn). (2.6)
și
an1=an(1+2+:::+n),
n1=an(12+13+ … +n1n) =anX
1i<jnij,
……………………………………………………………….. (2.7)
(1)na0=an12…n.
Se consideră f2K[X], undeKeste corpul de fracții al lui A, și în cazul acesta se aplică
propoziția 2.2.2. Egalitățile (2.7) se numesc relațiile dintre rădăcini și coeficienți.
2.2.6. Corolar. În condițiile din corolarul precedent, dacă a2Aeste o rădăcină a lui f,
atunciadivide pea0.
2.2.7. Corolar. (Teorema lui Wilson). Dacă p > 1este un număr întreg prim, atunci (p
–1)! + 1 = 0( modp ).
Considerăm corpul Zpși polinomul Xp1-1, cu coeficienți în acest corp. Putem observa că
orice element nenul din acest corp este rădăcină a acestui polinom, căci elementele nenule din
Zpformează un grup multiplicativ de ordin p1.Dacă scriem ultima relație din relațiile (2.7)
de mai sus pentru acest polinom, vom obține congruența cerută.
2.2.8. Corolar. FieAun subinel al unui inel integru Bșif2A[X]un polinom unitar
degrad n. Dacăg2A[X1, …,Xn] este polinom simetric iar b1,b2, …,bnsunt rădăcinile
luifînB, atuncig(b1,b2, …,bn)2A.
Dacă considerăm inelul ZZși polinomul f= (1;0)Xcu coeficienți în ZZatunci
f(0;a) = 0, pentru orice a2Z.Decifare o infinitate de rădăcini, deși este un polinom de
gradul 1. Evident, propozițiile și corolarele precedente rămân adevărate pentru polinoamele cu
coeficienți într-un corp.
21

2.2. PROPRIETĂȚI ALE RĂDĂCINILOR UNUI POLINOM. CORPUL DE DESCOMPUNERE AL UNUI
POLINOM CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
2.2.9. Corolar. Fiekun corp,f2k[X]un polinom de gradul n șia1,a2, …,anrădăcinile
luifîntr-o extindere Ka luik. Atunci pentru orice fracție rațională simetrică h=f=g2k(X1,
X2, …,Xn) cug(a1,a2, …,an)6= 0, avem:h(a1,a2, …,an)2k.
2.2.10. Propoziție. Fie k un corp și f2k[X]un polinom ireductibil. Atunci corpul
L=k[X]=fk[X]este o extindere finită a corpului kde grad egal cu gradul lui fși clasa lui X
în acest corp este o rădăcină a lui f.
Demonstrație. Deoarecefeste ireductibil,rezultă că fk[X]este ideal maximal în k[X]și deci
Keste corp. Corpul Keste o extindere de grad egal cu gradul lui f, fiindcă elementele 1;x;x2,
…,xn1, unden=gradf, iarxeste clasa lui X, constituie o bază a lui Kpestek. Din faptul
că clasa lui feste0deducem că f(x) = 0.
2.2.11. Corolar. Fiekun corp și f2k[X]un polinom cu grad f =n > 0. Atunci
există o extindere a corpului kîn carefare n rădăcini.
Din propoziția precedentă rezultă că pentru un factor ireductibil al lui fexistă o extindere
a luikîn care acesta are o rădăcină. Atunci este clar că această rădăcină este și o rădăcină a
lui f.
Vom demonstra acest corolar prin inducție după n. Pentrun= 1afirmația este evidentă,
polinomul are o rădăcină în k.
Fien>1și presupunem afirmația dovedită pentru orice polinom de grad n-1cu coeficienți
într-un corp. Atunci pentru polinomul fdegrad nexistă, o extindere Ka luik, în carefare
o rădăcină ași deci, înK[X]șigrad g =n-1. Din ipoteza inductivă rezultă că există o ex-
tindereLa luiKîn caregaren-1rădăcini. Este clar atunci că în Lpolinomulfarenrădăcini.
2.2.12. Propoziție. Fie k un corp și f2k[X]un polinom ireductibil. Dacă KșiK0sunt
extinderi ale lui kși2K;02K0rădăcini ale lui f, atuncik()șik(0)suntk-izomorfe
printr-un izomorfism care duce pe în0.
Propoziția rezultă din următoarea lemă mai generală.
2.2.13. Lemă. Fieu:k!k0un izomorfism de corpuri și v:k[X]!k0[X]izomorfis-
mul obținut prin extinderea lui u punând v(X) =X. Fiefun polinom ireductibil din k[X]și
o rădăcină a sa într-o extindere a lui k,f0=v(f)și0o rădăcină a lui f0într-o extindere a
luik0. Atunci există un izomorfism u0:k()!k0(0)care extinde pe u, încâtu0() =0.
Demonstrație. Fiew:k[X]!k0(0)morfismulsv, undes:k0[x]!k0(0)este morfismul
canonic. Este clar că Kerwfk[X]. Cumfeste ireductibil, fk[X]este ideal maximal în k[X],
deciKerw =fk[X]. De aici rezultă izomorfismul k[X]=fk[X]'k0(0)care extinde pe u.
Însă știm că k[X]=fk[X]estek-izomorfism cu k(). De aici obținem ceea ce am dorit, izo-
morfismulu0.
2.2.14. Definiție. Fiekun corp,f2k[X]cugrad f =n > 0șiKo extindere a lui k
în carefare rădăcinile 1,2, …,n.Atuncik(1,2, …,n) se numește corp de descompu-
nere sau de reductibilitate al lui f.
Îl considerăm pe fun polinom cu coeficienți în k(1,2, …,n) ce se descompune în factori
22

2.2. PROPRIETĂȚI ALE RĂDĂCINILOR UNUI POLINOM. CORPUL DE DESCOMPUNERE AL UNUI
POLINOM CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
liniari și acest corp este cel mai mic subcorp al lui Kcu această proprietate, de aici și denumi-
rea de mai sus. Corpul de descompunere al lui fdepinde de kși de extinderea Kconsiderată.
Astfel, dacă k=Rși considerăm polinomul X2+1, atunci corpul său de descompunere în C
esteC, iar dacă luăm k=Q, atunci corpul de descompunere al aceluiași polinom în CesteQ(i)
deci mulțimea numerelor complexe de forma r+iscur;s2Q.
2.2.15. Propoziție. Două corpuri de descompunere ale unui polinom cu coeficienți în corpul
ksuntk-izomorfe.
Propoziția va rezulta din următoarea lemă.
2.2.16. Lemă. Fieu:kf!k0un izomorfism de corpuri, v:k[X]f!k0[X]izomorfismul ob-
ținut prin extinderea lui u astfel încât v(X) =X,fun polinom în k[X]cugrad f > 0și
f0=v(f). DacăKeste un corp de descompunere al polinomului fpestek, iarK0un corp de
descompunere al polinomului f0pestek0, atunci există un izomorfism u0:K!K0care extinde
peu.
Demonstrație. Vom face inducție după gradul lui f. Dacă grad f=grad f0= 1, atunci
K=kșiK0=k0, de unde rezultă că lema este demonstrată.
Fie astfeln=gradf > 1și fiepun factor ireductibil al lui f. Decipeste ireductibil, rezultă
căp0este ireductibil. Din lema 2.2.12 rezultă că, corpurile k1=k()șik0
1=k0(0)sunt izomorfe
printr-un izomorfism u1care extinde pe u. Deoarece în k1[X]avemf= (X-)f1și înk1[X]
avemf0= (X-0)f0
1, undef0
1=v1(f1);v1:k1[X]!k0
1[X]este izomorfismul cu v1(X) =Xși
care extinde pe u1. EvidentK;K0sunt corpuri de descompunere ale lui f1șif0
1respectiv peste
k1șik0
1. Din ipoteza inductivă rezultă că există un izomorfism u0:K!K0care extinde pe u1
și deci acesta extinde și pe u.
Exemplu.
1)Fie polinomul X4+b12Z3[X].
Ne propunem să găsim un corp de descompunere al acestui polinom.Observăm că:
X4+b1 = (X2-X+b2)(X2+X+b2)
și cele două polinoame ale descompunerii sunt ireductibile, deoarece ele n-au rădăcini în Z3.
Considerăm extinderea lui Z3:
K=Z3[X]
(X2+X+b2).
Știm că elementele lui Kpot fi scrise sub forma =a+bx;a;b2Z3iarxeste clasa lui Xîn
K. Deoarece xeste rădăcină a polinomului X2+X+b2înK, rezultă că acesta se descompune
înK[X]în factori liniari. Dacă și polinomul X2-X+b2se descompune în K[X]în factori liniari,
rezultă căKeste corpul de descompunere al polinomului X4+1pesteZ3. Însă polinomul X2-
X+2este reductibil în K[X]dacă și numai dacă are o rădăcină în K, fiind polinom de gradul 2.
Fie=a+bxastfel încât 2-+b2 = 0. Atunci avem:
(a+bx)2-(a+bx) +b2 =a2+b2abx+b2x2-a-bx+b2=
23

2.2. PROPRIETĂȚI ALE RĂDĂCINILOR UNUI POLINOM. CORPUL DE DESCOMPUNERE AL UNUI
POLINOM CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
=a2+b2abx+b2(-x-b2)-a-bx+b2 =b(b2a-b-1)x+a2-b2b2+b2-a= 0,
de unde rezultă :
b(b2a-b-1) = 0;a2-b2b2-a+b2 = 0:
Din prima relație rezultă b= 0saub2a-b-b1 = 0. Dacăb= 0, atunci2Z3ceea ce este
imposibil fiindcă polinomul X2-X+b2n-are rădăcini în Z3.
Rămâne să analizăm cazul în care b=b2a-1. Atunci înlocuind această valoare aluibîn a
doua relație de mai sus, obținem:
a2-b2(b2a-b1)2-a+b2 =a2-b2(b4a2-b4a+ 1)-a+b2 =a2-b2a2+b2a-b2-a+b2 =-a2+a= 0.
De aici rezultă a=b1saua= 0. Adicăx+b1este o rădăcină a polinomului X2-X+b2în
K, a doua rădăcină a acestui polinom se obține pentru a= 0șib=-b1. Deci –xeste a doua
rădăcină a polinomului X2-X+b2. DeciKeste corp de descompunere al polinomului X4+b1.
Se observă, de asemenea, că – x-b1este a doua rădăcină a polinomului X2+X+b2înKși deci
înK[X]polinomulX4+b1are următoarea descompunere în factori liniari:
X4+b1 = (X-x)(X+x+b1)(X+x)(X-x-b1).
Vom da în cele ce urmează un criteriu ca un polinom să aibă rădăcini multiple. Pentru
aceasta introducem noțiunea de derivată a unui polinom cu coeficienți într-un inel.
FieAun inel comutativ unitar. Inelul polinoamelor de o nedeterminată A[X]esteA-
modul liber, de bază 1;X;X2, …,Xn, … . Există deci un unic morfism de A-module
d:A[X]!A[X], cu proprietatea că dXi=iXi1pentru orice i2N;i1șid1 = 0. Obținem
pentrua2A;da =ad1 = 0și deoarece dXi+j=(i+j)Xi+j1=iXjXi1+jXjXi1=XjdXi
+XidXj, rezultă că pentru orice f;g2A[X]avem
d(fg) =gdf+fdg.
Pentruf2A[X];dfse numește derivata polinomului fși dacă
f=nX
i=0aiXi,
atunci
df=nX
i=0aidXi=nX
i=1iaiXi1.
În particular, gradul lui dfesten-1dacă gradul lui festen. Derivata lui fse mai
notează cu f0sauf(1). Prin recurență, se definește f(n)=dnf=d(dn1f)pentru orice întreg
24

2.2. PROPRIETĂȚI ALE RĂDĂCINILOR UNUI POLINOM. CORPUL DE DESCOMPUNERE AL UNUI
POLINOM CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
n>1și se numește derivata de ordin na luif. Pentrun= 0se noteazăd0f=f(0)=f.
2.2.17. Propoziție. FieAun inel integru, f2A[X]un polinom nenul și s1un nu-
măr întreg.
i)Dacăa2Aeste o rădăcină multiplă a lui fde ordinS, atuncif(i)(a) = 0, pentru
i= 0;1;2;:::;s-1.
ii)DacăAeste de caracteristică 0șif(i)(a) = 0, pentrui= 0;1;2;:::;s-1iarf(s)(a)6= 0,
atunciaeste rădăcină multiplă de ordin sa luif.
Demonstrație. Observăm mai întâi că fse poate scrie în mod unic sub, forma:
f =nX
i=0bi(X–a)i, (2.8)
unden=grad f. Relația (2.8) se poate obține dezvoltând membrul drept și identificând
coeficienții. Apoi se observă că bi,i= 0;1;2;:::;n, sunt unic determinați de coeficienții lui f.
Se mai poate demonstra relația (2.8) și prin inducție după gradul lui f. Pentrun= 1relația
este evidentă, iar pentru n>1, din teorema împărțirii întregi, rezultă că există g2A[X]șib0
2Aunic, astfel încât
f = (Xa)g + b 0. (2.9)
Deoarece gradul lui g este egal cu n-1, din ipoteza inductivă, gse scrie sub forma (2.8) în mod
unic. Înlocuind această expresie a lui gîn (2.9) se obține (2.8).
Din relația (2.8) rezultă că pentru orice număr întreg i;1inavem:
f(i)(a) =i!bi. (2.10)
i)Dacăaeste rădăcină multiplă de ordin sa luif, atuncibi=0;i= 0;1;:::;s-1. Deci din
(2.10) rezultă f(i)(a) = 0;i= 0;1;:::;s-1.
ii)DacăAeste de caracteristică 0șif(i)(a) = 0, pentrui= 0;1;:::;s-1, atunci din (2.10)
rezultăbi= 0;i= 0;1;:::;s-1. Deciaeste rădăcină multiplă de ordin s. Nu poate fi rădăcină
multiplă de ordin s, căci atunci ar rezulta f(s)(a) = 0.
Afirmația ii) a teoremei precedente nu rămâne adevărată pentru inelele de caracteristică ne-
nulă. Astfel dacă keste un corp de caracteristică p>0, atunci polinomul f=Xp+Xp2are pe
0ca rădăcină multiplă de ordin p. Darfi(0) = 0, pentru orice i>0.
25

2.3. CORPURI ALGEBRIC ÎNCHISE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
2.3 Corpuri algebric închise
Fiekun corp șiKo extindere a sa. Se spune că corpul keste algebric închis în K, dacă orice
element din K, algebric peste k, aparține lui k.
Dacă corpul kse consideră ca extindere a lui însuși, atunci keste, evident, algebric închis în
k. Un exemplu important de corp algebric închis într-o extindere a sa este dat de propoziția
care urmează.
2.3.1. Propoziție. DacăkKeste o extindere de corpuri și k0corpul elementelor din
Kalgebrice peste k, atuncik0este algebric închis în K.
Demonstrație. Fiea2Kun element algebric peste k0. Atunci, din faptul că corpul k0este
extindere algebrică a lui k, iaraeste algebric peste k0, rezultă că aeste algebric peste k, adică
a2k0.
Spunem că un corp keste algebric închis dacă el este algebric închis în orice extindere a sa,
cu alte cuvinte, dacă orice element dintr-o extindere a lui k, care este algebric peste k, aparține
luik.
2.3.2. Propoziție. Fiekun corp. Următoarele afirmații sunt echivalente:
a)keste algebric închis;
b)orice polinom de grad1dink[X]are o rădăcină în k;
c)orice polinom de grad1dink[X]are toate rădăcinile în k;
d)orice polinom de grad1dink[X]se descompune în produs finit de factori liniari;
e)singurele polinoame ireductibile din k[X]sunt cele de gradul 1.
Demonstrație. a)=)b). Fief2k[X]cu gradulf1. Atunci, după cum știm, există o
extindereKa corpuluikîn carefare o rădăcină. Atunci din a) rezultă că a2k, decifare o
rădăcină în k.
b) =)e). Fiequn polinom ireductibil din k[X]. Atunci rezultă că qare o rădăcină în kși
deci nu poate fi de grad mai mare decât 1.
Implicațiile e) =)d) =)c) =)b)sunt echivalente. Astfel pentru a termina
demonstrația propoziției este suficient să arătăm că e) =)a). Fie a un element algebric
dintr-o extindere a lui k. Atunci polinomul minimal al lui aeste ireductibil, deci de gradul 1,
așadara2k.
Corpul numerelor raționale Qnu este algebric închis pentru că polinomul X2+12Q[X]
este ireductibil și nu este de gradul 1. Analog, corpul numerelor reale nu este algebric închis,
deoarece același polinom considerat ca polinom în R[X]este ireductibil.
Alte exemple de corpuri care nu sunt algebric închise vor reieși din propoziția următoare.
2.3.3. Propoziție. Un corp finit nu este algebric închis.
Demonstrație. Fiekun corp finit. Va fi suficient să arătăm că există un polinom de grad> 1
înk[X]care n-are nici o rădăcină în k. Vom considera polinomul:
26

2.3. CORPURI ALGEBRIC ÎNCHISE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
f=X(X-1)nY
i=0(X-ai) + 1,
unde 0;1;a1,a2, …,ansunt elementele corpului k. Se observă că fn-are nici o rădăcină în k,
căci pentru orice a2kavemf(a) = 1.
Următoarea teoremă, cunoscută sub numele de teorema fundamentală a algebrei sau teorema
lui d’Alembert, dă un exemplu important de corp algebric închis.
2.3.4. Teoremă. Corpul numerelor complexe este algebric închis.
Demonstrație. Vom observa mai întâi că orice polinom cu coeficienți reali de grad impar are
o rădăcină reală. Deci, fie fun astfel de polinom. Notăm tot cu ffuncția de la RlaRasociată
luif. Știm căfeste funcție continuă și f(a)f(-a)<0pentru un număr real suficient de mare.
De aici rezultă că există un b2Rastfel caf(b) = 0, adicăbeste o rădăcină a lui f.
Observăm că orice polinom de gradul 2cu coeficienți complecși are o rădăcină complexă.
Acest lucru rezultă din faptul că orice polinom de forma X2-a;a2C, are o rădăcină complexă,
numită rădăcină pătrată(sau rădăcină de ordin 2) a numărului complex ași că orice polinom
degradul 2cu coeficienți complecși de forma X2+bX+cse poate scrie sub forma
(X+b
2)2+c-b2
2
Vom demonstra că orice polinom de grad > 1cu coeficienți reali are o rădăcină complexă.
Fiefun polinom din R[X]cugrad f =n>1și fies2Nastfel încât 2ssă dividă pe nși2s+1
să nu dividă pe n. Dacăs= 0, atuncineste impar și afirmația de mai sus a fost probată. Vom
face o inducție după s. Presupunem că afirmația este adevărată pentru s-1. FieKun corp
de descompunere al polinomului fpesteC,adicăK=C(t1,t2, …,tn), undeti;i= 1;2;:::;n,
sunt rădăcinile lui f. Fie apoi a un număr real arbitrar și elementele din K:ua
ij=titj+a(ti
+tj),1i<jn. Considerăm polinomul:
ga=Y
1i<jn(X-ua
ij)
cu coeficienți în K, care are gradul egal cu m=n(n+1)
2. Se observă că 2s1divide pem, iar 2s
nu divide pe m. Coeficienții polinomului gasunt polinoame simetrice de ua
ij. Mai mult, sunt
polinoame simetrice de t1,t2, …,tn, căci la o permutare a lor se obține o permutare a ele-
mentelorua
ij, deci polinomul rămâne neschimbat. Din corolarul 2.2.10, va rezulta că coeficienții
polinomului gasunt în R.
Conform ipotezei de inducție, rezultă că polinomul gaare cel putin o rădăcină complexă.
Afirmația precedentă este adevărată pentru orice a2R. Deoarece mulțimea perechilor de
indici (i;j), cui<j, este finită iar mulțimea numerelor reale infinită, rezultă că există numere
realea;bdistincte și cel puțin o pereche de indici (i;j), cuij, astfel încât rădăcinile ua
ijșiub
ij
să fie numere complexe. Rezultă că ua
ij-ub
ij=(a-b)(ti+tj)2C, adicăti+tjeste un număr
complex. Atunci rezultă că și titjeste un număr complex.
27

2.3. CORPURI ALGEBRIC ÎNCHISE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
Deci, prin urmare, tișitjsunt rădăcini ale unui polinom de gradul 2cu coeficienți complecși,
decitișitjsunt numere complexe.
Până acum am arătat că orice polinom de grad n1, cu coeficienți reali, are cel puțin o
rădăcină complexă. Fie
f=nX
i=0aiXi
un polinom cu coeficienți complecși de grad n> 1și
f=nX
i=0aiXi
unde aieste conjugatul numărului complex ai,i= 0;1;:::;n. Atunciffeste un polinom cu
coeficienți reali, deci are cel puțin o rădăcină complexă.
Fieto astfel de rădăcină. Din f(t)f(t) = 0rezultăf(t) = 0sauf(t) = 0. În primul caz
teste o rădăcină a lui f, iar în cel de-al doilea caz se observă că teste o rădăcină a lui f.
Astfel,teorema a fost demonstrată. 
2.3.5. Propoziție. Fiekun corp siKun corp algebric închis, extindere a corpului k. Atunci
corpulk0al elementelor din Kalgebrice peste keste și el algebric închis.
Demonstrație. Fie6= 0un element dintr-o extindere a corpului k0care este algebric peste
k0șifpolinomul minimal al lui pestek0. CumKeste algebric închis, fare o rădăcină 0în
K. Deoarece k0este algebric închis în Krezultă02k0. Așadarfeste un polinom de gradul
1și deci0=2k0.
Din această propoziție și din teorema 2.3.4 rezultă în particular că corpul numerelor algebrice
este algebric închis.
2.3.6. Teoremă. Orice corp kare o extindere Kcare este corp algebric închis.
Demonstrație. Vom construi mai întâi un corp K1în care orice polinom din k[X]degrad1
are o rădăcină. Pentru aceasta se consideră mulțimea Sa tuturor polinoamelor de grad1
dink[X]și inelulA=k[X;S]al polinoamelor de S-nedeterminate. Elementele acestui inel
sunt polinoame cu un număr finit de nedeterminate din S. Notăm cu Xfnederminata asociată
polinomului fdink[X]. FieIidealul generat în Ade toate polinoamele de forma f(Xf). Să
arătăm căI6=A. Presupunem dimpotrivă că am avea I=A. De aici rezultă că există o relație
de forma
Pgifi(Xfi) = 1, (2.11)
undegi2A. FieLo extindere a corpului k, în care polinoamele f1, …,fnau respectiv cate o
rădăcină1,2, …,n. Înlocuind în relația (2.11) pe Xficuiși peXfcu0pentruf6=f1,
…,fn, obținem 0 = 1, contradicție. Așadar I6=A.
28

2.3. CORPURI ALGEBRIC ÎNCHISE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
FieMun ideal maximal în Acare conține pe IșiK1=A=M. Se observă că orice polinom
dinKdegrad1are o rădăcină în K1și anume imaginea lui XfînK1.
În mod analog, pentru K1putem construi un corp K2cu proprietatea că orice polinom de
grad1cu coeficienți în K1[X]are o rădăcină în K2etc.
Putem astfel construi un șir crescător de corpuri kK1K2:::, cu proprietatea că
orice polinom de grad1dinKiare cel puțin o rădăcină în Ki+1. FieK=1[
i=1Ki. PeK
introducem o structură de corp astfel: fie x;y2K; atunci există i2N, astfel încât x;y2Ki
și deci putem defini suma x+yși produsul xyca fiind aceste operații din Ki. Deoarece Ki
este subcorp al lui Kjpentruij, rezultă că legile de compunere astfel definite nu depind de
alegerea lui iși că, cu ele, Kdevine corp.
Pentru a demonstra teorema va fi suficent să arătăm că corpul Keste algebric închis. Astfel,
vom arăta că orice polinom f2K[X], cugradf1, are o rădăcină în K. Din definiția lui
Krezultă că există i2Nastfel încât f2Ki[X]. Dar atunci fare o rădăcină în Ki+1deci o
rădăcină în K.
2.3.7. Corolar. Pentru orice corp kexistă o extindere algebrică ka luikcare este un corp
algebric închis.
Considerăm un corp Kcare conține pe kși care este algebric închis; atunci mulțimea ele-
mentelor din Kcare sunt algebrice peste kconstituie un corp extindere algebrică a lui kși care
este algebric închis conform propoziției 2.3.5.
O extindere algebrică ka corpuluikcare este algebric închisă se numește închidere algebrică
a luik. Corolarul precedent arată că orice corp are o închidere algebrică.
2.3.8. Observație. DacăkKeste o extindere algebrică de corpuri, atunci există o în-
chidere algebrică a lui kcare conține pe K. În realitate, o închidere algebrică Ka luiKare
această proprietate, căci este algebrică peste kși este algebric închisă.
2.3.9. Teoremă. FiekKo extindere algebrică de corpuri și Lo extindere a lui kcare este
algebric închisă. Atunci orice morfism de k-algebreu0de la o extindere K0a luikconținută în
KlaLse extinde la un morfism de k-algebreu:K!L.
Demonstrație. FieLmulțimea tuturor cuplurilor (K00;u00), formate dintr-o extindere K00a
luikconținută în Kși care conține pe K00șiu00:K00!Lun morfism de k-algebre care extinde
peu0. Această mulțime este nevidă, căci conține pe (K0;u0).
Pe această mulțime considerăm relația de ordine (K1,u1)(K2,u2) dacă și numai dacă K1
K2șiu2jk1=u1. Se observă că Leste inductivă superior. Fie fK,ug;2o submulțime
total ordonată din L. AtunciK=[
2Keste un subcorp al lui Kșiu:K!Ldefinit prin
u(x) =u(x), pentrux2K, este o margine superioară a acestei submulțimi. Prin urmare,
conform lemei lui Zorn există un element maximal în L.
Fie aceasta (K1,u1). Vom arăta că K1=K. Presupunem K16=K, atunci există un element
y2K;y =2K1. Fief2K1[X]polinomul minimal al lui ypesteK1șif0=u1(f)imaginea lui
înu(K1)[X]. Atunci în L,f0are o rădăcină pe care o notăm cu y0. Din lema 2.2.12 rezultă că
29

2.3. CORPURI ALGEBRIC ÎNCHISE
CAPITOLUL 2. RĂDĂCINI ALE POLINOAMELOR CU COEFICIENȚI ÎNTR-UN CORP
există un izomorfism între corpurile K1(y)șiu1(K1)(y0)care extinde pe u1. Deci cuplul (K1,
u1) n-ar fi maximal, contradicție! 
2.3.10. Corolar. Două închideri ale unui corp ksuntk-izomorfe. Fie LsiL0două în-
chideri algebrice ale corpului k. Conform teoremei precedente există un morfism de k-algebre
:L!L0. Cum(L)este corp algebric închis, rezultă (L) =L0.
30

Capitolul 3
Teoria lui Galois
Una dintre principalele probleme ale matematicii din secolele XIV-XVIII a fost rezolvarea
ecuațiilor algebrice și rezolvarea lor prin radicali.
Evarist Galois(1811-1832) a dat condiții necesare și suficiente ca o ecuație algebrică să fie
rezolvabilă prin radicali. Pentru aceasta Galois a utilizat asocierea la o extindere de corpuri a
unui grup, care azi poartă numele de grupul lui Galois.
În acest capitol, în principal, este vorba despre teorema fundamentală a teoriei lui Galois
pentru cazul extinderilor finite de corpuri.Sunt studiate câteva concepte necesare formulării
și demonstrării teoremei fundamentale: cum sunt extinderile algebrice normale și extinderile
algebrice separabile.Totodata, se demonstrează câteva proprietăți ale corpurilor finite și ale
extinderilor transcedente. În final, sunt caracterizate ecuațiile algebrice peste un corp de ca-
racteristică zero care sunt rezolvabile prin radicali. Teoria lui Galois are numeroase aplicații în
algebră, teoria numerelor, geometrie. O teorema analoagă se poate demonstra și pentru extin-
derile algebrice finite, folosind însă grupurile topologice. Dar există o teorie a lui Galois pentru
extinderile de corpuri diferențiale care se aplică în rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare.
În afara de aceasta, teoria lui Galois este una dintre primele și cele mai pregnante teorii
care își propune să studieze o structură matematică (extinderi de corpuri) cu o altă structură
matematică (grupurile).
Toate corpurile și inelele din acest capitol vor fi presupuse comutative dacă nu se specifică
altfel.
3.1 Grupul lui Galois
FieKun corp. Notăm cu Aut(K)mulțimea tuturor automorfismelor (unitare) de inel ale
luiK.Aut(K)este o submulțime nevidă a grupului S(K)al tuturor permutărilor mulțimii K,
este chiar un subgrup al lui S(K), căci dacă ;2Aut(K), atunci12Aut(K).
3.1.1. Definiție. Fiekun subcorp al lui K. Notăm cu G(K=k)mulțimea acelor elemente
2Aut(K)care au proprietatea că (a) =a, pentru orice a2k, adică cele care sunt k-
automorfisme.
31

3.2. CORPURI FINITE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
Se verifică imediat că G(K=k)este un subgrup al lui Aut(K)și îl vom numi grupul lui Galois
al extinderii Ka luik.
Exemple.
i)FiePun corp prim. Atunci Aut(P)este constituit dintr-un singur element, identitatea lui
P.
DacăPeste infinit, el este izomorf cu Q. Orice automorfism al lui Qinduce pe Zautomorfis-
mul identic, Zfiind generat ca grup aditiv de 1, care are osingură extindere la Q: automorfismul
identic.
Mai mult, dacă Keste un corp și Peste corpul prim conținut în K, atunci orice automorfism
al luiKinduce pePautomorfismul identic. Așadar, Aut(K) =G(K=P ).
ii)FieQ(ip
2)extinderea lui Q. Să determinăm grupul G(Q(ip
2)=Q). Fieu2G(Q(ip
2)=Q).
Atunciu(r+sip
2) =u(r) +u(s)u(ip
2) =r+su(ip
2). Deoarece (ip
2)2+2 = 0, obținem
0 =u((ip
2)2) + 2 = (u(ip
2))2+2. De aici deducem că u(ip
2) =ip
2sauu(ip
2) =-ip
2.
În primul caz ueste automorfismul identic, iar în al doilea este automorfismul definit prin
u(r+sip
2) =r-sip
2. Deci grupul G(Q(ip
2)=Q)este format din două elemente și prin
urmare este izomorf cu Z2.
3.1.2. Definiție. FieKun corp, extindere a corpului kșiHun subgrup al lui G(K=k).
Notăm cuKHelementele x2Kcu proprietatea u(x) =x, pentru orice x2H, adică elemen-
tele dinKcare sunt invariate de elementele din H. Se constată imediat că KHeste un subcorp
al luiKcare conține pe k. Dacăx;y2KH, rezultău(x-y) =u(x)-u(y) =x-y, pentru orice
u2H, decix-y2KHși dacăy6= 0,u(xy1)=u(x)u(y1)=xy1, pentru orice u2H, deci
xy12KH.
DacăH0H, atunci rezultă KH0KH. Se stabilește astfel o funcție de la mulțimea
subgrupurilor lui G(K=k)la mulțimea extinderilor lui kconținute în K, funcție care este anti-
monotonă dacă considerăm pe cele două mulțimi ordonarea dată de relația de incluziune.
3.1.3. Definiție. FieLun subcorp al lui Kcare conține pe k. Acestui corp îi putem asocia
grupulG(K=L)care este evident un subgrup al lui G(K=k), iar dacăL0este un alt subcorp al
luiKcuL0L, atunciG(K=L0)G(K=L). Se obține astfel o funcție antimonotonă de la
subcorpurile lui Kcare conțin pe kla subgrupurile grupului lui Galois G(K=k).
În principal, teorema fundamentală a teoriei lui Galois dă condiții în care cele două funcții
definite mai sus sunt inverse una celeilalte.
3.2 Corpuri finite
În prima parte a acestui paragraf ( până după demonstrația teoremei 2.2.5) vom presupune
corpuri care nu sunt comutative, dacă nu se specifică altfel.
FieKLo extindere de corpuri cu un număr finit de elemente; presupunem că corpul K
areqelemente. Corpul Leste spațiu vectorial peste Kși fier=dimKL. Atunci, din faptul că
orice element x2Lse scrie în mod unic sub forma x=rX
i=0aixi,x1,x2, …,xrfiind o bază a
32

3.2. CORPURI FINITE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
luiLpesteKșiai2K, deducem că corpul Lareqrelemente. Dacă L0este un subcorp al lui
Lcare conține pe Kșis=dimKL0, atuncisdivide per.
3.2.1. Teoremă. Orice subgrup finit al grupului multiplicativ al elementelor nenule dintr-
un corp comutativ este ciclic.
Demonstrație. FieKun corp comutativ. Notăm cu Kgrupul multiplicativ al elementelor
nenule dinK. FieGun subgrup finit al lui Kde ordinh.
Este suficient să arătăm că în Gexistă un element de ordin h. Fieh=pr1
1pr2
2…prk
kdescom-
punerea în factori primi a lui h;p 1,p2, …,pk>0fiind numere prime distincte. Pentru orice
i= 1;2;:::;kexistă un element xi2Gastfel încât xh=pi
i6= 1, căci în caz contrar polinomul
Xh=p1-1ar avea mai multe rădăcini decât gradul său.
Vom arăta că elementul yi=xh=pri
i
iare ordinul pri
i. Este clar că ypri
i
i=1, căciypri
i
i=xh
i
=1. Rezultă atunci că ordinul elementelui yieste un divizor al lui pri
i, adică de forma ps
i, cu
1sri. Dacăs<ri, ar rezulta ypr1
i
i
i=xh=pi
i=1, în contradicție cu alegerea elementului xi.
Decis=riși ordinul elementului yiestepri
i. Atunci din lema care urmează rezultă că elementul
y=y1y2…ykeste un element din Gde ordinh.
3.2.2. Lemă. FieGun grup comutativ și ai,i= 1;2;:::;k, elemente din Gde ordin respectiv
ni,i= 1;2;:::;k, astfel încât numerele naturale nisă fie relativ prime două câte două. Atunci
ordinul elementelui a=kY
i=1aieste egal cu a=nY
i=1ni.
Comentarii. FieKun corp comutativ algebric închis, de exponent caracteristic pșin >1
un număr întreg cu proprietatea (p;n) = 1. Notăm cu Unmulțimea rădăcinilor polinomului Xn
-1înK. Elementele lui Unse numesc rădăcini de grad nale unității în K.Se verifică că
Uncu înmulțirea din K, este grup, numit grupul rădăcinilor de grad nale unității dinK.
Unarenelemente. Din teorema precedentă, rezultă că Uneste grup ciclic și deci este izomorf
cuZn.
Orice generator al grupului Unse numește rădăcină primitivă de grad na unității.
Numărul acestor rădăcini este '(n), unde'este funcția lui Euler.
3.2.3. Definiție. Fien > 1un număr natural, notăm cu '(n)numărul numerelor natu-
rale nenule mai mici decât nși prime cu n. Acest număr se numește indicatorul lui Euler.
3.2.4. Teoremă( Teorema lui Euler). Fiennumăr natural >1, șiaun număr întreg
prim. Atunci a'(n)1(mod n ).
3.2.5. Corolar. (Teorema lui Fermat) Dacăp > 1este număr natural prim și aun
număr întreg care nu se divide cu p, atunciap11(mod p ).
În demonstrația teoremei care urmează este necesară următoarea lemă.
3.2.6. Lemă. FieAun inel factorial, Kcorpul său de fracții, xun element dintr-o ex-
tindere a lui Kcare este rădăcină a unui polinom unitar h2A[X]. Atunci polinomul minimal
33

3.2. CORPURI FINITE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
al luixpesteKare coeficienții în A.
3.2.7. Teoremă. Fieo rădăcină de grad na unității din Cșifpolinomul minimal al
lui(peste Q). Atuncif2Z[X]și este polinomul minimal al oricărei rădăcini primitive de
gradna unității. În plus, gradul lui feste egal cu '(n)și deci [Q() :Q] ='(n).
Demonstrație. Prima afirmație a teoremei rezultă din lema precedentă. Este clar că orice
rădăcină0a luifeste tot o rădăcină primitivă de grad na unității, căci Q()este izomorf cu
Q(0)printr-un izomorfism care duce pe în0și decim= 1dacă și numai dacă 0m= 1.
Vom arăta că orice rădăcină primitivă de grad na unității este rădăcină a lui f. Din cele
de mai sus rezultă că este suficient să arătăm că m, pentrumrelativ prim cu n, este încă
o rădăcină a lui f. Pentru aceasta, efectuând un raționament de inducție, este suficient să
demonstrăm afirmația când m=peste un număr prim care nu divide pe n.
Fiegpolinomul minimal a lui 0p. Din lema precedentă rezultă că g2Z[X]. Va fi suficient
să arătăm că f=g, deci căfșigau un factor comun de grad1, căcifșigsunt polinoame
ireductibile în Z[X]. Presupunem dimpotrivă că (f;g) = 1. Atunci rezultă că
Xn-1 =fgh;h2Z[X]. (3.1)
Notămgp=g(Xp). Avemgp() = 0, deci (gp,f)6= 1și cumfeste ireductibil în Z[X], obținem
gp=fh0;h02Z[X]. (3.2)
Fieu:Z[X]!Zp[X]extinderea unică a morfismului canonic Z!Zp, cu proprietatea
u(X) =X. Notăm cu r2Zp[X]imaginea prin u a unui polinom r2Z[X]. Atunci din (3.1) și
(3.2) obținem:
Xn-1 =fgh. (3.3)
gp=fh0. (3.4)
Deoarece pentru a2Zpavemap=a, rezultă că gp=(g)pși relațiile (3.3) și (3.4) arată că
polinomulXn-12Zp[X]are rădăcini multiple. Însă (Xn-1)0=nXn1șipnu divide pe n,
34

3.2. CORPURI FINITE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
deci (Xn-1)2Zp[X]nu poate avea rădăcini multiple, contradicție. Celelelate afirmații ale
teoremei rezultă din cele demonstrate. 
Polinomul minimalal unei rădăcini primitive a unității de grad nse numește al n-lea polinom
ciclotomic și se notează cu Fn(saun).
FieGun grup șiC(G)centrul grupului G, adică multțimea elementelor din Gcare comută
cu orice element din G. Se verifică imediat că C(G)este subgrup abelian și orice subgrup al lui
C(G)este subgrup normal al lui G.
Pentru un element a2Gnotăm cuC(a) =fx2Gjax=xag.C(a)este un subgrup în Gși se
numștecentralizatorul elementelui a.
Pentru un grup Gse introduce următoarea relație de echivalență: dacă a;b2G, se spune că
aeste conjugat cu bdacă există x2Gastfel încât x1ax=b. Clasele de echivalență asociate
acestei relații de echivalență se numesc clase de elemente conjugate. Pentru fiecare element
a2Gaplicația care asociază unui element x2Gelementulx1axdin clasa de echivalență a lui
aeste evident surjectivă și se verifică imediat că relația de echivalență asociată acestei aplicații
coincide cu relația de echivalență la dreapta asociată centralizatorului elementelui a.
În realitate, relația x1ax=y1ayeste echivalentă cu relația yx1a=ayx1adică cuyx1
2C(a). De unde rezultă că numărul elementelor din clasa de elemente conjugate cu acoincide
cu indicile centralizatorului elementului a.
Dacă notăm cu [G:N]indicile subgrupului Nal grupului G, din cele de mai sus rezultă
[G: (3:1)] = [C(G) : (3:1)] +X
a[G:C(a)],
unde suma se extinde după elementele unui sistem de reprezentanți ai claselor de elemente con-
jugate care nu aparțin lui C(G). Această relație este cunoscută sub numele de formula claselor
de elemente conjugate.
3.2.8. Teoremă (Wedderburn). Orice corp finit este comutativ.
Demonstrație. FieKun corp și C=fx2Kjax=xa;pentru orice a 2Kg.Ceste un
subcorp comutativ al lui K, numit centrul corpului K. Avem ZpCK, undepeste ca-
racteristica corpului K. AtunciCareq=pmelemente, unde m= [C:Zp], iarKareqn
elemente, unde n= [K:C]. Este suficient să demonstrăm că n= 1, căci atunci rezultă K=C.
Presupunem n>1, atunciC=Cnf0geste centrul grupului multiplicativ K=Kn0. Pentru
a2K, fieK(a) =fx2Kjxa=axg. EvidentK(a)este un subcorp a lui KșiK(a)n0este
centralizatorul lui aînK.
Există incluziunile ZpCK(a)K.
CorpulK(a)areqd(a)elemente, unde d(a) = [K(a) :C], șid(a)divide pen. Aplicând
formula claselor de elemente conjugate în K, se obține:
qn-1 =q-1 +X
aqn1
qd(a)1, (3.5)
undeaparcurge elementele care nu sunt în Cdintr-un sistem de reprezentanți ai claselor de
elemente conjugate.
35

3.2. CORPURI FINITE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
Din relația, Xn-1 =Y
d=nFd,d1rezultă căFndivide polinomul Xn-1=Xd(a)-1, căcid(a)
divide penșiXd(a)-1 =Y
sjd(a)Fs.
Din relația (3.5) rezultă că Fn(q)divide peq-1. Dacăn>2, deducem că orice rădăcină pri-
mitivădegradnaunitățiieste6=1șijj= 1. Atuncijq-j=jq-a-bij=p
q22aq+ 1>q
-1, dacă=a+bi. Deoarece Fn(q) =Y
(q-), cândparcurge rădăcinile primitive de grad
nal unității, rezultă jFn(q)j>q-1, ceea ce contrazice faptul că Fn(q)divide peq-1.
Pentrun= 2rezultăF(q) =q+ 1și deciF(q)nu divide pe q-1.
Deci neapărat n= 1șiK=C, de unde rezultă teorema demonstrată. 
3.2.9. Teoremă. Două corpuri finite cu același număr de elemente sunt izomorfe.
Demonstrație. FieKun corp cu prelemente. Atunci orice element x2Keste rădăcină
a polinomului Xpr-X2Zp[X], căci un element nenul x2Ksatisface relația Xpr1= 1,
deoarece grupul multiplicativ al elementelor nenule din Kare ordinul pr-1. De unde rezultă
că corpulKeste corpul de descompunere al polinomului Xpr-X2Zp[X], rezultă că două
astfel de corpuri sunt izomorfe. 
FieKun corp de caracteristică p>0. Atunci aplicația u:K!K, definită prin u(x) =xp,
este un endomorfism de inel al lui K, numitendomorfismul lui Frobenius, căci pentru
x;y2kavem evident u(xy) =u(x)u(y). De asemenea, u(x+y) =u(x) +u(y), căci (x+y)p=
xp+yp, deoareceCs
pse divid cu pdacăp>1este un număr prim.
În general ueste un endomorfism injectiv, iar dacă Keste finit sau este algebric închis,
rezultă imediat că este și surjectiv, deci în aceste două cazuri este automorfism al lui K.
3.2.10. Definiție. Un corpKde caracteristică zero sau de caracteristică p > 0pentru
care morfismul ude mai sus este izomorfism se numește corp perfect.
Exemple. Corpurile finite și cele algebric închise sunt corpuri perfecte.
Notăm cuusputerea de ordin sa endomorfismului ual corpului Kde caracteristică p>0.
Evidentueste automorfism dacă și numai dacă u2este automorfism.
3.2.11. Propoziție. FieKun corp algebric închis de caracteristică p>0. AtunciKconține
un singur corp finit cu prelemente pentru orice r >0. Acest corp este format din elementele
luiKinvariate de ur.
3.2.12. Corolar. FieKun corp finit cu prelemente. Corpul Kconține un subcorp Lcu
pselemente dacă și numai dacă sdivide per.
În realitate, dacă Kconține subcorpul L, atunci [K:L][L:Zp] = [K:Zp] și decisdivide
per, căcir= [K:Zp] iars= [L:Zp]. Reciproc, fie r=stșiKo închidere algebrică a lui K.
Atunci, conform propoziției precedente, Keste subcorpul lui Kformat din elementele invariate
deur, iar elementele invariate de usformează un subcorp Lal luiKde ordinps, undeueste
endomorfismul lui Frobenius.
Corpul finit care are prelemente,p >0fiind un număr întreg prim, se notează cu Fprsau
36

3.3. EXTINDERI ALGEBRICE NORMALE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
GF(pr). În particular, corpul prim de caracteristică pse noteazăFp.
3.3 Extinderi algebrice normale
3.3.1. Lemă. FieKo extindere algebrică a corpului kșiuun endomorfism a lui Kcare lasă
invariate elementele lui k. Atunciueste automorfism.
3.3.2. Propoziție. Fiekun corp,Ko extindere algebrică a sa și ko închidere algebrică
a luikcare conține pe K. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
a)Oricek-automorfism al lui kinduce unk-automorfism al lui K.
b)Orice polinom ireductibil din k[X], care are o rădăcină în K, are toate rădăcinile în K.
c)Pentru orice automorfism ual lui kpestek, rezultău(K)K.
Demonstrație. a) =)b). Fiefun polinom ireductibil din k[X]șixo rădăcină a sa în K.
Dacăyeste o altă rădăcină a lui fînk, atunci știm că există un k-automorfism u:k(x)!k(y).
Daruse extinde la un k-automorfism al lui kși dina)rezultă atunci că k(y)K, deciy2K.
b) =)c). Fieu:k!kunk-automorfism al lui kșix2K. Va trebui să arătăm că
u(x)2K. Fiefpolinomul minimal al lui x. Atuncif(x) = 0. Deciu(f(X)) =f(u(x)) = 0,
adicău(x)este o rădăcină a lui fși prin urmare, aparține lui K.
Implicațiac) =)a)rezultă din lema precedentă. 
3.3.3. Definiție. FieKun corp, extindere algebrică a corpului k. Se spune că corpul K
esteextindere normală a luikdacă satisface proprietățile echivalente din propoziția prece-
dentă.
Exemple.
1)Închiderea algebrică ka corpuluikeste extindere normală a lui k.
2)Fiekun corp și Kun corp de descompunere al unui polinom f2k[X]. AtunciKeste
extindere normală a lui k.
3)Orice extindere de grad 2a unui corp este normală.
De fapt, fie kun corp șiKun corp extindere de grad 2a luik. Dacăx2K;x =2k, atunci
1;xeste o bază a lui Kpestek, deciK=k(x). Dacăfeste polinomul minimal al lui x, atunci
gradul luifeste2. Deoarece fare o rădăcină în K, rezultă că și cealaltă rădăcină este tot în
K. AșadarKeste corpul de descompunere al lui fși prin urmare Keste extindere normală a
luik.
4)Orice corp finit Keste extindere normală a oricărui subcorp al său.
5)CorpulK=Q(4p
3), considerat ca extindere a lui Q, nu este extindere normală.
3.3.4. Propoziție. FieLKkextinderi algebrice de corpuri. Dacă Leste extindere
normală a lui k, atunciLeste extindere normală a lui K.
Demonstrație. Fieko închidere algebrică a lui kcare conține pe L. Din ipoteză rezultă că
orice element u2G(k=k)induce unk-automorfism al lui Lși afirmația propoziției rezultă din
faptul căG(k=K)este un subgrup al lui G(k=k).
37

3.4. EXTINDERI ALGEBRICE SEPARABILE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
3.3.5. Propoziție. FiekLo extindere de corpuri și K1,K2două extinderi algebrice
ale luikconținute în L. Se notează cu K1K2subcorpul lui Lgenerat de K1șiK2(K1K2) =
k(K1,K2) și este numit compozitul corpurilor K1,K2.
i)DacăK1este extindere normală a lui k, atunciK1K2este o extindere normală a lui K2.
ii)DacăK1șiK2sunt extinderi normale ale lui k, atunciK1K2șiK1\K2sunt extinderi
normale ale lui k.
3.3.6. Propoziție. Fiekun corp și Ko extindere finită a sa. Atunci există o extindere
normală finită a lui kcare conține pe K.
Demonstrație. FieK=k(x1,x2, …,xn) șifi2k[X]polinomul minimal al lui, xi,
i= 1;2;:::;n. Atunci corpul de descompunere Lal polinomului f=nY
i=1ficonținut într-o
închidere algebrică ka luikcare conține pe Keste evident o extindere finită și normală a lui
kcare conține pe K.
Putem observa că Lconstruit în propoziția precedentă este cea mai mică extindere normală
a luikcare conține pe K.
Fiekun corp și ko închidere algebrică a sa. Atunci două elemente x;y2kse numesc con-
jugate peste kdacă au același polinom minimal. Numărul elementelor conjugate cu un element
xdinkeste egal cu numărul rădăcinilor distincte ale polinomului minimal al lui x.
3.3.7. Propoziție. Fiekun corp și K=k(x)o extindere algebrică normală simplă a sa.
Atunci ordinul grupului G(K=k)este egal cu numărul conjugaților lui x. În particular, ordinul
grupuluiG(K=k)este cel mult egal cu [K:k].
3.3.8. Corolar. FieKun corp finit cu prelemente și kun subcorp al său cu pselemente,
undep>0este caracteristica lui K. AtunciG(K=k)este un grup ciclic de ordin d=r=sși un
generator al său este us, undeu:K!Keste morfismul u(x) =xp, pentru orice x2K. În
particular,G(K=Zp) este ciclic, un generator al său fiind u.
3.3.9. Observații. 1) Extinderile algebrice normale de corpuri nu au proprietatea de tranzi-
tivitate. În realitate, am văzut că Q(4p
3)nu este extindere normală a lui Q, deșiQ(p
3)este
extindere normală a lui Q, iarQ(4p
3)este extindere normală a lui Q(p
3).
2) Noțiunea de extindere normală a fost extinsă de către matematicianul român Dan Barbilian
(1895 – 1961), la cazul extinderilor nealgebrice.
3.4 Extinderi algebrice separabile
3.4.1. Definiție. 1) FiekKo extindere algebrică de corpuri și x2K. Vom spune că x
este separabil peste kdacă polinomul minimal al lui xn-are rădăcini multiple. În caz contrar
vom spune că xeste neseparabil peste k.
2)Extinderea Ka luikse numește separabilă dacă orice element din Keste separabil peste k,
în caz contrar extinderea este numită neseparabilă.
38

3.4. EXTINDERI ALGEBRICE SEPARABILE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
3.4.2. Propoziție. Fiekun corp. Dacă caracteristica lui keste 0, orice element algebric
pestekeste separabil peste k. Dacă caracteristica lui kestep6= 0, atunci un element xalgebric
pestekeste separabil peste kdacă și numai dacă polinomul minimal al lui xpesteknu aparține
luik[Xp].
3.4.3. Propoziție. i) Un corpkeste perfect dacă și numai dacă orice element algebric peste
keste separabil.
ii)Un corpkeste perfect dacă și numai dacă orice extindere algebrică a sa este separabilă.
Demonstrație. A doua afirmație a propoziției rezultă evident din prima. Pentru a demonstra
prima afirmație, conform propoziției precedente, este suficient să o demonstrăm numai în cazul
în care caracteristica lui kestep6= 0. Dacă un element xdintr-o extindere a lui kar fi nesepara-
bil pestek, atunci polinomul minimal al lui xpestekaraparține lui k[Xp]. Decif=nX
i=0aiXpi.
Dacă corpul keste perfect, există bi2Kcubp
i=ai. Atuncif=nX
i=0bp
iXpi=(nX
i=0biXi)pdeci
far fi reductibil în k[X], contradicție!
Vom demonstra în continuare că dacă corpul knu este perfect, atunci există un element
algebric peste kcare este neseparabil. Corpul knefiind perfect, înseamnă că există un polinom
de formaXp-a;a2k, care n-are nici o rădăcină în k. Dacăxeste o rădăcină a acestui polinom
într-o extindere a lui k, vom arată că xeste element neseparabil peste k.
În realitate, Xp-a2k[Xp] și deci este suficient să arătăm că acest polinom este ireductibil
înk[X]. Acest fapt rezultă din lema care urmează. 
3.4.4. Lemă. Fiekun corp de caracteristică p > 0șia2kastfel încât polinomul Xp-
asă nu aibă rădăcini în k. Atunci polinomul Xpm-aeste ireductibil în k[X], pentru orice
m1număr întreg. În particular, polinomul Xp-aeste ireductibil.
Demonstrație. Fiexșiyrădăcini ale lui Xpm-aîntr-o închidere algebrică ka luik. Atunci
rezultă căxpm=ypm, de unde deducem x=y. Așadar, polinomul Xpm-aare o singură
rădăcinăxînk, cu ordinul de multiplicitate pm. Dacăgeste polinomul minimal al lui xpeste
k, rezultă
Xpm-a=gs. (3.6)
Fiebtermenul de grad zero al lui g. Obținem a=bs, undeseste de forma pt, cut0un
număr întreg, căci din relația (3.6) deducem pm=sgradg. Deoarece polinomul Xp-an-are
rădăcini în k, rezultăt= 0, decis= 1și prin urmare polinomul Xpm-aeste ireductibil în
k[X].
Din propoziția precedentă rezultă de asemenea că un corp keste perfect dacă și numai dacă
închiderea sa algebrică este o extindere separabilă.
39

3.4. EXTINDERI ALGEBRICE SEPARABILE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
3.4.5. Propoziție. FiekKLextinderi algebrice de corpuri. Dacă x2Leste un
element separabil peste k, atuncixeste separabil peste K. În particular, dacă Leste extindere
separabilă a lui k, atunciLeste extindere separabilă a lui K.
Demonstrație. Fief2k[X]polinomul minimal al lui xpestekșig2K[X]polinomul mini-
mal al luixpesteK. Atunci rezultă imediat că f=ghînK[X]. Cumxeste separabil peste
k,fn-are rădăcini multiple. Deci nici gn-are rădăcini multiple și xrezultă element separabil
pesteK.
3.4.6. Corolar. Orice extindere algebrică a unui corp perfect este corp perfect. În parti-
cular, o extindere algebrică a unui corp finit este un corp perfect.
3.4.7. Propoziție. FiekKo extindere algebrică de corpuri de caracteristică p>0.
i) DacăKeste o extindere algebrică separabilă a lui k, atunciK=k(Kp).
ii) Dacă [K:k]<1șiK=k(Kp), atunciKeste extindere separabilă a lui k.
3.4.8. Corolar. Fiekun corp de caracteristică p > 0șixun element dintr-o extindere a
luikalgebric peste k. Atuncixeste separabil peste kdacă și numai dacă k(x) =k(xp). Dacă
xeste separabil peste k, atuncik(x)este extindere separabilă a lui k.
În realitate, dacă xeste separabil peste k, atunci din propoziția 3.4.4 rezultă că xeste sepa-
rabil pestek(xp). Dar dacă x =2(xp), atunci ar rezulta xneseparabil peste k(xp). Decix2k(xp)
șik(x) =k(xp). Reciproc, dacă k(x) =k(xp), atunci rezultă k(x) =k(k(x))pși din propoziția
3.4.6 rezultă că orice element din k(x)este separabil peste k.
3.4.9. Propotiție. DacăkKșiKLsunt extinderi algebrice separabile de corpuri,
atuncikLeste extindere separabilă.
Demonstrație. Presupunem că, corpurile sunt de caracteristică p6= 0. Fiex2L. Atuncix
este separabil peste corpul K0, generat peste kde coeficienții polinomului minimal al lui xpeste
K. Din 3.4.7 rezultă K0(xp)=K0(x)iar din 3.4.6 că k(K0p)=K0. Decik((K0(x))p) =K0(xp)
=K0(x)și aplicând din nou 3.4.7, obținem că xeste separabil peste k.
3.4.10. Corolar. Dacăkeste un corp și Mo submulțime de elemente algebrice separabile
dintr-o extindere a lui k, atunci corpul k(M)este o extindere algebrică separabilă a lui k.
3.4.11. Corolar. FiekKo extindere algebrică de corpuri. Atunci mulțimea elemente-
lor dinKseparabile peste kformează un subcorp al lui Kcare conține pe k.
Comentarii. 1)Dacăkeste un corp și ko închidere algebrică a sa, atunci subcorpul k0al
elementelor din kcare sunt separabile peste kse numește închiderea separabilă a lui k.
2)FiekKo extindere simplă de corpuri. Un generator al lui Kpestekse mai numește
element primitiv al extinderii K. Teorema care urmeză dă un criteriu ca o extindere a unui
corp să fie simplă și este cunoscută sub denumirea de teorema elementului primitiv.
3.4.12. Teoremă. Fiekun corp și Ko extindere finită și separabilă a lui k. AtunciK
este extindere simplă a lui k.
40

3.4. EXTINDERI ALGEBRICE SEPARABILE CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
Demonstrație. În cazul în care keste corp finit rezultă că și Keste un corp finit și dacă xeste
un generator al grupului multiplicativ al elementelor nenule din K, atunci evident K=k(x).
Rămâne să arătăm cazul în care keste corp finit. Deoarece Keste extindere finită a lui k,
rezultăKde formaK=k(x1,x2, …,xn), undex1,x2, …,xnsunt elemente din Kalgebrice
pestek. Făcând inducție după n, putem observa că este suficient să demonstrăm afirmația
pentrun= 2, adică putem presupune că K=k(x;y).
Fiefpolinomul minimal al lui x;gpolinomul minimal al lui yșiKo închidere algebrică a
corpuluiK. În K, conform ipotezei, polinomul faren=gradfrădăcini distincte x=x1,x2,
…,xniar polinomul garem=grad grădăcini distincte y=y1,y2, …,ym. Deoarece corpul
kare o infinitate de elemente, există în kun element c astfel încât egalitatea
x1+cy1=xi+cyj. (3.7)
să fie verificată dacă și numai dacă i=j= 1. Vom arăta că elementul z=x1+y1=x+cyare
proprietatea k(z) =K. Pentru aceasta va fi suficient să arătăm că x;y2k(z)și pentru aceasta
este suficient să observăm că unul dintre aceste elemente aparține lui k(z) =k0. Se observă că
polinoamele f(z-cX)șig, cu coeficienți în k0, au ca rădăcină comună pe yși numai pe aceasta.
Rezultă că cel mai mare divizor comun al acestor polinoame în k0[X]esteX-y, deciy2k0.
3.4.13. Corolarul. FieKun corp, extindere finită de gradul na corpuluik. DacăKeste
extindere normală și separabilă a lui k, atunci ordinul grupului G(K=k)este egal cu n.
3.4.14. Definiție. 1) FieAun inel. Un element x2A, se numește nilpotent, dacă există un
întregn>1, astfel încât xn=0. Evident 0este element nilpotent.
2)Dacă 0este singurul element nilpotent din A, vom spune că Aeste inel redus.
3.4.15.Teoremă. Fie K o extindere algebrică a corpului k. Atunci următoarele afirmații sunt
echivalente:
a)Keste extindere separabilă a lui k.
b)Pentru orice extindere finită k0a luik, cuk0pk, undepeste exponentul caracteristic al
luik, inelulK
kk0este redus.
c)Pentru orice extindere finită k0a luik, inelulK
kk0este redus.
Demonstrație. a) =)c). Fiex2K
kk0șim> 1astfel încât xm=0. Fiex=sX
i=1y1
xi,
cuyi2K;xi2k0;i= 1;2;:::;sșiK0=k(y1,y2, …,ys).
UndeK0este extindere separabilă a lui kși deci din teorema 3.4.11 rezultă că există un
elementy2K0astfel încât K0=k(y). Elementul yfiind algebric și separabil peste k, polinomul
minimalfal său n-are rădăcini multiple. Avem K0=k[X]=(f)șiK0
kk0=k0[X]=(f) =k0(y).
Deoarecex2K0
kk0, existăg2k0[X]astfel încât x=g(y). Atuncixm=gm(y)și decifdivide
pegmînk0[X].
Cumfn-are rădăcini multiple, rezultă că fdivide peg, decix= 0.
41

3.5. TEOREMA FUNDAMENTALĂ A TEORIEI LUI GALOIS
CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
Implicațiac) =)b)este evidentă.
b) =)a). Observăm că a)șib)sunt adevărate în cazul în care p= 1. Rămâne să mai
demonstrăm implicația în cazul p6= 1. Fiex2K. Dacăxar fi neseparabil peste k, atunci
polinomul minimal fal luixar fi de forma f=g(Xp), cug2k[X]. Fiek0extinderea finită a
luikobținută adjucționând la ktoate rădăcinile conținute într-o închidere algebrică a lui k, a
polinoamelor de forma Xpa, când a parcurge toți coeficienții polinomului f. Atunci în k0[X]
există un polinom g0astfel încât f= (g0)pși gradg0<n=gradf.
FieK0=k(x). Rezultă că K0
kk0=k0[X]=fk0[X]=k0[X]=g0pk0[X]. Deci elementul
y=g0(x)dink
kK0este nilpotent și este nenul. Atunci și imaginea sa în k0
kKeste un
element nilpotent nenul, căci aplicația canonică k0
kK0!k
kKeste injectivă( k0estek-modul
plat).
3.5 Teorema fundamentală a teoriei lui Galois
3.5.1. Definiție. O extindere algebrică Ka unui corp kse numește galoisiană dacă este nor-
mală și separabilă.
3.5.2. Teoremă ( Teorema fundamentală a teoriei lui Galois). Fie Ko extindere galoisi-
ană și finită a corpului kcu grupul lui Galois G. Aplicația care asociază fiecărui subgrup Hal
luiGsubcorpulKHal luiKeste bijectivă și antimonotonă. Corpul KHeste extindere normală
a luikdacă și numai dacă subgrupul Heste normal în G. Atunci dacă Heste subgrup normal
înGrestricția elementelor lui GlaKHinduce un izomorfism al grupului G=Hcu grupul Galois
al extinderii KHk.
Demonstrație. Știm deja că aplicația este antimonotonă. Mai avem de demonstrat faptul că
este și bijectivă. Pentru acest lucru este suficient să arătăm că avem relațiile:
G(K=KH) =H. (3.8)
pentru orice subgrup Hal luiGși
KG(K=L)=L (3.9)
pentru orice extindere La luikconținută în K.
Defapt,acesterelațiispuncăinversaaplicațieidemaisusesteceacareasociazăuneiextinderi
La luikconținută în Ksubgrupul lui Gformat din elementele care invariază elementele lui L.
Incluziunea G(K=KH)Heste evidentă.
42

3.6. CARACTERIZAREA ECUAȚIILOR REZOLUBILE PRIN RADICALI
CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
Fienordinul subgrupului H. Pentru ca relația (3.8) să fie demonstrată, trebuie să arătăm
că ordinul lui G(K=KH) este cel mult n. Dar din faptul că, Keste extindere finită normală și
separabilă a lui KHdeducem că ordinul lui G(K=KH) este egal cu [K:KH].
Fiexun element primitiv al extinderii KHK. Vom considera polinomul
f=Y
x2H(X-(x)).
Coeficienții lui fsunt invariați la elementele din H, ceea ce implică că f2KH[X]. Așadar
rezultă că gradul lui xestenși deci [K:KH]n.
Mai avem de arătat relația (3.9). Este evident că KG(K=L)L. De aici rezultă că grupul lui
Galois al lui KpesteLeste același cu grupul lui Galois al lui KpesteKG(K=L). Dar cum K
este extindere galoisiană finită a lui KG(K=L)șiL, putem aplica corolarul 3.4.12. De unde vom
obține că [K:KG(K=L)] = [K:L] =ordG (K=L), din care se obține egalitatea (3.9).
FieHsubgrup normal în Gșix2KH. Este suficient să arătăm că toți conjugații lui x
aparțin lui KH.
Dacăx0este un astfel de conjugat, atunci există un element u2G(K=k)astfel încât x0=
u(x). Atunci vom avea uvu1(x0) =uv(x) =u(x) =x0, pentru orice v2H, și deoarece
uHu1=H, rezultă că x02KH.
Reciproc, fie KHextindere normală a lui kși aplicația de restricție, f:G(K=k)!G(KH=k).
Aplicațiafexistădeoarece KHesteextinderenormalăalui k. Darfesteunmorfismdegrupuri,
deoarece restricția de aplicații păstrează compunerea lor, și în plus, ea este surjectivă, pentru
că orice element udinG(KH=k)se extinde la un automorfism ual închiderii algebrice a lui k
care la rândul său induce un automorfism u0al luiKpesteka cărui restricție la KHcoincide
cu u.
Nucelul lui feste subgrupul lui G(K=k)care invariază toate elementele lui KH, adică
Kerf =H, conform relației (3.8). Astfel rezultă că Heste subgrup normal în Gși rezultă
de asemenea ultima afirmație a teoremei. 
3.5.3. Propoziție. Fiekun corp și K;Ldouă extinderi ale lui kconținute într-o închi-
dere algebrică ka luik. DacăKeste extindere galoisiană finită a lui k, atunciKL=k(L;K)
este o extindere galoisiană finită a lui Lși aplicația f:G(KL=L )!G(K=k), definită prin
f(u)=restricia lui u la K , este injectivă.
3.5.4. Propoziție. FieKo extindere galoisiană finită de grad na corpuluik. Atunci grupul
lui GaloisG(K=k)este un grup de permutări de grad n.
3.6 Caracterizarea ecuațiilor rezolubile prin radicali
Fiekun corp de caracteristică zero. În acest paragraf vom considera o închidere algebrică k
a luik, și toate extinderile algebrice ale lui kvor fi în k.
43

3.6. CARACTERIZAREA ECUAȚIILOR REZOLUBILE PRIN RADICALI
CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
3.6.1. Definiție. Un element x2k, este radical peste k, dacăxeste o rădăcină a unui
polinom de forma
Xn-a;a2k. (3.10)
Un polinom de acest tip nu are rădăcini multiple si ele se obțin din una dintre ele prin
înmulțire cu rădăcinile polinomului
Xn-1, (3.11)
mai exact cu rădăcinile de grad n ale unității.
Prin urmare, dacă este o rădăcină a polinomului Xn-a, șio rădăcină primitivă de grad
na unității, atunci toate rădăcinile lui Xn-asunt de forma i;in-1și sunt distincte.
3.6.2. Definiție. Se numește extindere radicală simplă a luik, corpul de descompunere al
unui polinom de forma, Xn-a.
3.6.3. Observație. Deci, dacă Keste acest corp, el este extindere normală a lui kși cu
notațiile de mai sus avem K=k(;).
3.6.4. Definiție. O extindere algebrică La luikse numește radicală peste k, dacă există
șirul de subcorpuri:
k=K0K1K2:::Ks=L, astfel încât Ki+1să fie extindere radicală simplă a lui Ki,
pentrui= 0;1;:::;s-1.
Comentarii. 1)Rezultă imediat, din definiție, că dacă Keste o extindere radicală a lui k,
iarLo extindere radicală a lui K, atunciLeste o extindere radicală a lui k( tranzitivitatea
extinderilor radicale), și orice extindere radicală este extindere finită.
2)Însă extinderile normale nu au proprietatea de tranzitivitate, o extindere radicală nu este
neapărat normală. Prin urmare Q(4p
3)este extindere radicală a lui Qcare nu este normală.
3.6.5. Teoremă. Orice extindere radicală La corpului keste conținută într-o extindere
radicală normală.
3.6.6. Definiție. 1) Fief2k[X]un polinom de grad > 0, spunem că ecuația f= 0
esterezolubilă prin radicali , dacă există o extindere radicală Ka luik( deci și o extindere
radicală normală), care conține toate rădăcinile lui f.
2)Dacăf2k[X]este un polinom de grad > 0, numim grupul lui Galois al lui f, grupul lui
Galois al corpului de descompunere al lui fpestek.
44

3.6. CARACTERIZAREA ECUAȚIILOR REZOLUBILE PRIN RADICALI
CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
Comentarii. FieGun grup. Șirul de subgrupuri: G=G0G1G2:::Gn=(3:10),
este un șir normal, dacă Gi+1este subgrup în Gi, pentru orice i= 0;1;:::;n-1. Numărul n se
numește lungimea șirului, iar grupurile Gi=Gi+1se numesc factorii șirului.
Spunem că șirul normal, G=G0G1G2:::Gn=(3:10)este rezolubil, dacă toți
factorii săi sunt grupuri abeliene.
Un grup se numește rezolubil, dacă posedă un șir rezolubil. Rezultă astfel, că orice grup
abelian este rezolubil. Dar există și grupuri neabeliene care sunt rezolubile.
Un subgrup al unui grup rezolubil este rezolubil. Orice grup factor al unui grup rezolubil
este rezolubil.
3.6.7. Teoremă. FieHun subgrup normal al unui grup G. AtunciGeste rezolubil dacă
și numai dacă HșiG=Hsunt rezolubile.
3.6.8. Teoremă. Fiekun corp de caracteristică zero și f2k[X]un polinom de grad > 0.
Atunci ecuația f= 0este rezolubilă prin radicali dacă și numai dacă grupul lui Galois al lui f
este rezolubil.
Această teoremă este o consecință a teoremei care urmează.
3.6.9. Teoremă. Fiekun corp de caracteristică zero și Ko extindere finită și normală
a sa. Atunci Keste conținută într-o extindere radicală dacă și numai dacă grupul lui Galois
G(K=k)este rezolubil.
Comentarii. FieKun corp comutativ, atunci ordinul elementului 12K, în grupul aditiv
(K;+)poate fi finit sau infinit. Spunem că, corpul Kare caracteristica zero (sau este de
caracteristică zero), dacă ord(1)este infinit, adică m6= 0, pentru orice număr întreg pozitiv m.
Spunem că, corpul Keste de caracteristică n, dacăord(1) =n, adicăneste cel mai mic număr
întreg pozitiv astfel încât n= 0.
Caracteristica unui corp Keste0sau un număr prim.
Exemple. 1) Dacăpeste prim , atunci Zpeste un corp de caracteristică p.
2)Corpurile Q;R;Cau caracteristică zero.
3)Într-un corp Kde caracteristică psunt adevărate egalitățile:
px= 0;
(xy)p=xpyp;
(xy)p=xpyp.
3.6.10. Propoziție. Fiekun corp șiKo extindere finită și normală a sa cu G(K=k)grup
ciclic.Atunci corpul Kface parte dintr-o extindere radicală a lui k.
Demonstrație. Fiem= [K:k] =ordG (K=k),"fiind o rădăcină primitivă de gradul m a uni-
tății șiL=K("). Observăm că Leste o extindere normală a lui k. Este suficient să arătăm că
Leste extindere radicală a lui k(")și astfel și a lui k. Putem observa că G(L=k("))G(K=k).
Deci, prin urmare G(L=k("))este un grup ciclic de ordin n, undeneste un divizor al lui m.
Afirmația propoziției va rezulta din următoarea lemă. 
3.6.11. Lemă. DacăkLeste o extindere normală de corpuri de grad ncu grupul lui
Galois, ciclic și corpul kconține rădăcinile de gradul nale unității, atunci K=k(), unde
45

3.7. EXTINDERI TRANSCENDENTE. GRADUL DE TRANSCENDENȚĂ AL UNEI EXTINDERI
CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
este rădăcină a unui polinom de forma Xn-a2k[X].
3.6.12. Corolar. Orice ecuație algebrică de grad4este rezolubilă prin radicali.
Rezultă din teorema 3.6.3 și din faptul că pentru n4grupurileSnsunt rezolubile.
3.7 Extinderi transcendente. Gradul de transcendență al unei extin-
deri
3.7.1. Definiție. Fiekun corp șiKo extindere a sa. Spunem că Keste o extindere transce-
dentă a lui kdacă nu este algebrică peste k.
Exemple. 1) Orice corp de fracții raționale peste un corp keste evident o extindere transce-
dentă a lui k.
2)Corpul numerelor reale Reste extindere transcedentă a corpului numerelor raționale Q.
Comentarii. 1)DacăMeste o submulțime de elemente algebric independente dintr-o extin-
dereKa corpuluik, atunci orice submulțime a sa este algebric independentă.
2)Extinderea Ka corpuluikse numește extindere transcedentă pură dacă se obține prin ad-
juncționare la ka unei mulțimi de elemente algebric independente peste k.
3)Orice extindere transcedentă pură a unui corp keste izomorfă peste kcu un corp de fracții
raționale peste k.
3.7.2. Propoziție. Fie K un corp, extindere a corpului k si M,N două sisteme de elemente
din K. Presupunem că elementele din M sunt algebric independente peste k. Atunci următoarele
afirmații sunt echivalente:
a)Elementele reuniunii disjuncte a lui McuN, sunt algebric independente peste k.
b)Elementele mulțimii Nsunt algebric independente peste k(M).
3.7.3. Definiție. FieKun corp extindere a corpului k. O submulțime Ma luiKse nu-
meștebază de transcedență a luiKpestekdacă elementele sale sunt algebric independente
pestekșiKeste extindere algebrică a lui k(M). Desigur, nedeterminatele constituie o bază de
transcedență peste k, pentru orice corp de fracții raționale k(X;I).
3.7.4. Teoremă. FieKun corp, extindere a corpului k,Mo submulțime din Kcu ele-
mentele algebric independente peste kșiNMun sistem de elemente din K, astfel încât
corpulKsă fie extindere algebrică a lui k(N). Atunci există o bază de transcedență Ba luiK
pestekcare conține pe Mși este conținută în N.
3.7.5. Teoremă. FieKun corp, extindere a corpului k. Atunci orice două baze de transce-
dență ale lui Kpestek, sunt cardinal echivalente ( adică există o bijecție între cele două baze
de transcedență).
3.7.6. Definiție. Cardinalul unei baze de transcedență a extinderii K, a corpului kse numește
46

3.8. APLICAȚII CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
gradul de transcendență al luiKpestekși va fi notat cu grad trkK. DacăKnu posedă o bază
de transcendență finită, se notează de obicei grad trkK=1.
3.7.7. Propoziție. FiekKLextinderi de corpuri. Atunci
Grad trkL=grad trkK+grad trKL.
Demonstrație. FieMșiNo bază de transcendență a lui Kpestek, respectiv o bază de
transcendență a lui LpesteK. Este suficient să arătăm că M[Neste o bază de transcen-
dență a lui Lpestek. Din propoziția 3.7.1 rezultă că elementele acestei mulțimi sunt algebric
independente peste k. Mai avem să arătăm că, Leste extindere algebrică a lui k(M), deci
K(N) =k(M[N)(K)este extindere algebrică a lui k(M[N). DarLeste extindere algebrică
a luik(M[N). Și cumLeste extindere algebrică a lui K(N), atunci rezultă că Leste și
extindere algebrică a lui k(M[N).
3.7.8. Observație. Noțiunile de independență algebrică și de bază de transcendență sunt
analoage cu noțiunile de independență liniară și de bază pentru module.
3.8 Aplicații
1)FieAun inel comutativ unitar. Notăm cu U(A)mulțimea elementelor inversabile din A.
AtunciU(A)este grup abelian față de operația de înmulțire din inelul A.
NotămM(A) =U(A)A. PeM(A)definim operația0000astfel: fie (a;b)și(c;d)două
elemente din M(A); atunci
(a;b)(c;d) = (ac;bc +d).
Se verifică imediat , că operația0000este asociativă. Elementul (1;0)este element neutru în
M(A), iar dacă (a;b)2M(A), atunci (a1,ba1) este inversul său. Deci M(A)este un grup(
în general neabelian).
Definim aplicația ':M(A)!U(A),'(a;b) =a. Aplicația 'este omomorfism surjectiv de
grupuri șiKer' =f(a;b)='(a;b) = 1g=f(a;b)2M(A)=a= 1g=f(1;b)=2Ag.Ker'este
izomorf cu grupul abelian subiacent structurii de inel a lui A.
Conform teoremei: Un grup Geste rezolubil dacă și numai dacă HșiG=Hsunt rezolubile,
undeHeste subgrup al lui G, rezultă că M(A)este un grup rezolubil.
Considerăm un caz particular.
Fie inelulA=Zn. AtunciU(Zn) =Z
n=fba =(a;n) = 1g.
NotămMn=M(Zn) =Z
nZn. Se observă că Mneste un grup finit rezolubil. Ordinul său
este egal cu n'(n), unde'(n)este indicatorul lui Euler al numărului natural n.
2)Grupurile simetrice 1,2,3,4sunt rezolubile.
( Grupul de permutări al mulțimii f1;2;:::;ngse numește grupul simetric de grad n,notat
nsauSn).
47

3.8. APLICAȚII CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
Într-adevăr, considerăm grupul altern An( format din toate permutările pare ale lui n).An
este subgrup al lui nșin=An=f-1;1g.Anaren!
2elemente. Studiem grupurile An, pentru
n= 1;2;3;4.
Pentrun= 1.A1=feg; pentrun= 2;A2=feg. Dacăn= 3;A3este ciclic ( are trei
elemente) și deci este abelian. Rezultă că 1,2,3sunt rezolubile.
Pentrun= 4.A4are12elemente. Considerăm în A4elementele: H=fe;t1= (12)(34);t2
=(13)(24);t3=(14)(23)g. EvidentHA4.
Au loc relațiile:
t2
1=t2
2=t2
3=e;t1t2=t2t1=t3,t1t3=t3t1=t2,t2t3=t3t2=t1.
DeciHeste un subgrup al lui A4. Mai mult, Heste abelian și este un subgrup normal în
4. Demonstrăm că atia12H, pentru orice a24șii2f1;2;3;4g. Cumaeste un produs
de transpoziții, este suficient să considerăm cazul cănd aeste o transpoziție:
a= (12); (12) t1(12) =t1;(12)t2(12) =t3;(12)t3(12) =t2;
a= (13); (13) t1(13) =t3;(13)t2(13) =t3;(13)t3(13) =t3;
a= (14); (14) t1(14) =t2;(14)t2(14) =t1;(14)t3(14) =t3;
a= (23); (23) t1(23) =t2;(23)t2(23) =t1;(23)t3(23) =t3;
a= (24); (24) t1(24) =t3;(24)t2(24) =t2;(24)t3(24) =t1;
a= (34); (34) t1(34) =t1;(34)t2(34) =t3;(14)t3(14) =t2;
DeoareceA4/Hare trei elemente, înseamnă că este grup ciclic, deci abelian. Atunci A4
este grup rezolubil. Deoarece 4=A4este izomorf cu grupul f-1;1g, în raport cu operația de
înmulțire, rezultă că 4este rezolubil.
Deci, pentru 4se construiește următorul șir normal de subgrupuri cu factorii grupuri abe-
liene: (e)KA44, în care:
K=fe;(12)(34);(13)(24);(14)(23)geste numit grupul lui Klein.
3)Grupurilen, pentrun5, nu sunt grupuri rezolubile.
Demonstrație. Vom folosi metoda reducerii la absurd. Presupunem că nar fi rezolubil.
Atunci ar exista un șir rezolubil: n=G0G1:::Gm=(e); (3.1). Demonstrăm că acest
fapt ne conduce la o contradicție. Spunem că o permutare u2neste un ciclu, dacă există
1i1,i2, …,isndistincte, astfel încât u(ik)=ik+1,k= 1;2;:::;s-1șiu(is) =i1, iar
u(j) =j, pentruj=i1,i2, …,is. Ciclul de mai sus se noteză, de obicei, cu (i1,i2, …,is) și
se numește lungimea lui u. O transpoziție este un ciclu de lungime 2.
FieGun subgrup al lui n, care conține toate ciclurile de lungime trei și H, un subgrup
normal înG, cuG=Hgrup abelian. Fie (ijk)un ciclu de lungime trei din G. Considerăm, de
asemenea, ciclurile (ijk),(kit), unde 1i;j;k;s;tnsunt numere distincte.
Atunciv= (ijk)1(kit)1(ijk)(kit) = (ijk). Deoarece G=Heste grup abelian, rezultă că
(ijk)2Hși deciHconține și el toate ciclurile de lungime trei. Aplicând rezultatul de mai sus,
șirului (3.1), rezultă că, fiecare Gi,i= 0;1;:::;m, conține toate ciclurile de lungime trei, ceea
ce este imposibil.
Mai mult, pentru n5,Annu conține subgrupuri normale proprii (adică diferite de (3.1) si
deAn). Un astfel de grup se numește grup simplu .
48

3.8. APLICAȚII CAPITOLUL 3. TEORIA LUI GALOIS
4)Exemplu de grup Galois.
FieQ(p
3) =fa+bp
3=a;b2Qg). Este limpede că [Q(p
3) :Q] = 2șiQ(p
3)este o
extindere normală a lui Q, ca fiind corpul de descompunere al polinomului X2-3. Rezultă că
grupul lui Galois, (G(Q(p
3)=Q)are două elemente și anume aplicația identică a lui Q(p
3)și
automorfismul :Q(p
3)!Q(p
3),(a+bp
3) =a-bp
3.
5)Exemplu de extindere normală.
a)Q(p
2) =fa+bp
2=a;b2Qgeste o extindere normală a lui Q. Într-adevăr, [Q(p
2) :Q] = 2
și conjugatul lui a+bp
2estea-bp
2.
b)Ceste o extindere normală a lui R. Într-adevăr, [C:R] = 2și conjugatul lui a+bp
2estea
-bi.
49

Capitolul 4
Elemente algebrice construibile geometric
4.1 Elemente algebrice “construibile cu rigla și compasul” peste un
câmp
Un punct din plan se construiește cu rigla și compasul, dacă se obține:
i)prin intersecția a două drepte din plan;
ii)prin intersecția a două cercuri din plan;
iii)prin intersecția unui cerc cu o dreaptă;
iv)printr-un lanț finit de construcții de tipul (i)- (iii).
Există câteva principii, care sunt derivate din axiome de geometrie plană:
1)o dreaptă este complet determinată de două puncte distincte ale sale; date aceste puncte,
dreapta se “construiește” folosind rigla;
2)un cerc este complet determinat de trei puncte distincte ale sale; date trei puncte necoliniare
în plan, există un cerc unic trecând prin ele;
3)date un punct Oși un segment de lungime r, se poate construi, cu compasul, un cerc de rază
rși de centrul O, în plan;
4)date segmente de lungime așib(6= 0)în plan, se pot construi segmente de lungime a

b;a
b;pa;ja-bj;a+b, utilizând rigla și compasul.
Amintim câteva construcții de bază:
1. Ridicarea unei perpendiculare pe o dreaptă d dintr-un punct al ei, A.
Cu ajutorul compasului, găsim, folosind cercul de rază r(arbitrar fixată) de centru A, punc-
teleB;C2d. Apoi, ducem din BșiC, cercurile de raze egale cu r1>r, ce se intersectează în
puncteleMșiN. Dacă unim cu rigla McuN, dreapta obținută trece prin Ași este perpendi-
culară ped.
50

4.1. ELEMENTE ALGEBRICE “CONSTRUIBILE CU RIGLA ȘI COMPASUL” PESTE UN CÂMP
CAPITOLUL 4. ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
Figura 4.1: Construcția unei perpendiculare pe o dreapta d dintr-un punct al ei.
2. Determinarea mijlocului P al unui segment [BC] se face, ca la punctul precedent,
“uitând punctul A”, ce se obține la intersecția perpendicularei MNcu dreapta d, ce trece prin
BșiC.
Figura 4.2: Determinarea mijlocului P al unui segment [BC].
3. Coborârea unei perpendiculare pe o dreaptă dată, d, dinA =2d.Având cen-
51

4.1. ELEMENTE ALGEBRICE “CONSTRUIBILE CU RIGLA ȘI COMPASUL” PESTE UN CÂMP
CAPITOLUL 4. ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
trulAși razăr( mai mare ca distanța de la Alad), ducem un cerc ce taie dînBșiC. Apoi
dinBșiCducem cercurile de aceeași rază, AC, cercuri ce se taie în AșiD. DreaptaADeste
perpendiculară pe d și trece prin mijlocul segmentului [BC], adică este mediatoarea sa.
Figura 4.3: Coborârea unei perpendiculare pe o dreapta data, d.
4. Construirea dreptei paralele la dreapta dată dprin punctul dat A =2d.
Figura 4.4: Construirea unei drepte paralele la o dreapta dată.
Se duceAM?dși se contruiește d0perpendiculară pe dreapta AMînA. Atuncid0este
paralelă cu dși sunt perpendiculare pe AM.
5.Sunt date segmentele de lungime așib, să se construiască a
bșia
b,unde suma
și diferența au construcții imediate.
Se iau două semidrepte dșid0de origine comună, O. Apoi se iau segmentele [OA]ped,
de lungime a, iar [OM]si[MB]ped0de lungime 1șib, se unescAșiM, și, prinB, se duce
paralela la dreapta AM, care taiedînNși[AN], are lungimea x=a
b. În realitate,a
1=x
b,
52

4.1. ELEMENTE ALGEBRICE “CONSTRUIBILE CU RIGLA ȘI COMPASUL” PESTE UN CÂMP
CAPITOLUL 4. ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
de unde rezultă că x=a
b.
Figura 4.5: Construcția a
bșia
b.
Pe două semidrepte de origine comună O,dșid0, se iau punctele A2d,B;M2d0, astfel
încât segmentele [OA];[OB];[BM]să aibă lungimile a;bși1.
Se va duce, prin M, paralela la AB, ce taiedînN. Fie lungimea lui [AN]egală cuy. Atunci
avem că,a
b=y
1, undey=a
b.
Figura 4.6: Construcția segementului [ AN] astfel încât,a
b=y
1.
6. Construcția unui segment de lungimepa, dacă se știe segmentul de lungime a.
Figura 4.7: Construcția unui segment de lungimepa.
53

4.1. ELEMENTE ALGEBRICE “CONSTRUIBILE CU RIGLA ȘI COMPASUL” PESTE UN CÂMP
CAPITOLUL 4. ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
I)Pe o dreaptă, se iau punctele A;B;C; astfel încât [AB]să aibă lungimea a,[BC]să aibă
lungimea 1șiBsă fie între AșiC.
Se duce cercul de rază (a+ 1)/ 2 , de centru mijlocul segmentului [AC], și se ridică perpen-
diculara pe AC prin B, care taie cercul în M. Atunci [MB] are lungimeapa, care este înălțimea
dusă din vârful unghiului drept în triunghiul dreptunghic AMC.
II)Este vorba despre o altă construcție. Se iau segmentele [AB]și[BC], pe aceeași dreaptă de
lungimia și 1,undeCeste întreAșiB.
Se duce cercul de diametru [AB]și perpendiculara din CpeAB, care taie cercul în M.
Atunci [MB]are lungimeapa, care este catetă în triunghiul dreptughic AMB.
Vom da, acum, o interpretare analitică a construirii intersecțiilor de drepte și cercuri pentru
un plan determinat de un subcorp al corpului numerelor reale, F, și anume QFR.
Vom considera planuldeterminat de F, ca fiind=FF, care semnifică mulțimea punc-
telor din planul RRce au coordonatele în F.
Dreptele din sunt mulțimi de puncte:
f(x;y)2FFjax+by+c= 0g,
undea;b;c2F, iar coeficienții așibnu sunt în același timp nuli.
Sunt date două puncte, P1(x1,y1),P2(x2,y2)2;P 16=P2, care determină o dreaptă unică
dată de ecuația:
y-y1=(y2-y1)
(x2-x1)1(x-x1),(x;y)2,
dacăx26=x1, și dată de: x-x1=0, dacăx2=x1, așadar,f(x1,y)jy2Fg.
Un cerc de centru A(a, b) și de rază r2Feste mulțimea punctelor:
(C)f(x;y)2j(x-a)2+(y-b)2-r2=0g,
ce se mai poate scrie și de forma, f(x;y)2jx2+y2+mx+my+p= 0g.
Două drepte:
(d)ax+by+c= 0;(x;y)2,
(d0)a0x+b0y+c0= 0;(x;y)2
pot fi:
i) paralele , dacăa
a0=b
b06=c
c0,
ii) concurente , dacăa
a06=b
b0,
iii) coincidente , dacăa
a0=b
b0=c
c0.
Deci (d)\(d0)este mulțimea vidă, în cazul (i).Pentru cazul (ii) avem mulțimea formată din
punctul de intersecție, și pentru (iii), dacă dreptele coincid.
Un cerc și o dreaptă:
(C)x2+y2+mx+ny+p= 0,
(d)ax+by+c= 0
pot avea în comun:
i)m două puncte,
54

4.1. ELEMENTE ALGEBRICE “CONSTRUIBILE CU RIGLA ȘI COMPASUL” PESTE UN CÂMP
CAPITOLUL 4. ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
ii)un punct, unde dreapta este tangentă,
iii)nici un punct.
Putem remarca faptul că, în cazul (i), punctele trebuie să fie în , ceea ce presupune ca
b6= 0, și dacă înlocuim în (C) y=-a
bx-c
b, găsim ecuația de gradul al doilea:
(a2+b2)x2+(2ac+b2m-abn)x+ (pb2-bcn) = 0
care are rădăcini în F, dacă există d2F, astfel încât
= (2ac+b2m-abn)2-4(a2+b2)(pb2-
bcn)să fie egal cu d2.
Dacă nu, cele două puncte se află într-un plan “ extins” cup

, când
>0.
Dacă
<0, atunci apare cazul (iii).
Dacă
= 0, apare cazul (ii).
Cât despre intersecția a două cercuri, vom avea:
(C)x2+y2+mx+ny+p= 0,
(C0)x2+y2+m0x+n0y+p0= 0,
aceasta este aceeași cu intersecția lui (C) cu dreapta, care este numită axă radicală:
(d) (m-m0)x+ (n-n0)y+ (p-p0) = 0.
Din cele de mai sus, rezultă următoarele proprietăți ale mulțimilor de numere reale în ceea
ce privește „construirea” lor cu rigla și compasul:
1)Plecând de la Z, se „construiesc” numerele raționale „ cu rigla și compasul”.
2)Mulțimea numerelor reale construibile cu rigla și compasul peste Qeste un corp incluzând
Q.
3)FieKRun câmp și Fun câmp intermediar: KFR,[F:K] = 2. Atunci există
a2K;a> 0, astfel caF=K(pa)și, dacă înKerau numere construibile cu rigla și compasul,
la fel se întâmplă și în F.
4)Dacă2Reste construibil cu rigla și compasul peste Q, atuncieste algebric peste Qde
grad 2t,t2N
În realitate, 2F=Q(1, …,n):::Q(1)Q, fiecare câmp fiind de grad 1sau2
peste vecinul din dreapta, deci gradul lui FpesteQeste2t1, iar gradul lui , care este algebric,
este un divizor al lui 2t1, deci de forma 2t, cut2N;tt1.
5)Pentru un număr 2R, care este exprimat în radiani, sunt echivalente următoarele afirmații:
i)unghiul de măsură se construiește cu rigla și compasul;
ii)cosse construiește cu rigla și compasul;
iii)sinse construiește cu rigla și compasul.
În realitate, utilizând cercul trigonometric de rază 1, vom găsi:
jABj= sin;jOAj= cos.
55

4.1. ELEMENTE ALGEBRICE “CONSTRUIBILE CU RIGLA ȘI COMPASUL” PESTE UN CÂMP
CAPITOLUL 4. ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
Figura 4.8: Construcția cercului trigonometric de rază 1.
6)Dacă;2Rsunt unghiuri exprimate în radiani, m;n2Z, iar unghiurile șisunt
construibile cu rigla și compasul, atunci la fel este unghiul de măsură m+n.
7)Fien2N;n3. Laturalna poligonului regulat cu n laturi este construibilă cu rigla și
compasul dacă și numai dacă unghiul n=2
neste construibil cu rigla și compasul.
8)Folosind notațiile de mai sus, avem că, dacăm;n2N,m;n3șimneste construibil, la
fel suntm=n
mnșin=m
mn. Dacă (m;n) = 1șim,nsunt construibile, atunci mn
este construibil.
În realitate, din (m;n) = 1, rezultă că există p;q2Z, astfel încât pm+qn= 1. Atunci
mn=2
l
mn=2(pm+qn)
m=p
n+q
m.
( Se aplică 6.)
Astfel, cum laturile pentagonului regulat, hexagonului regulat, triunghiului echilateral în-
scrise în cerc, se construiesc cu rigla și compasul, se va construi cu rigla și compasul latura
poligonului regulat cu 15laturi înscris în cerc și se va face, cu rigla și compasul, trisecția un-
ghiului de 72(=5). Se va găsi cos2
15=1+p
5+p
6(5p
5)
8.
9)Fien=Qk
1pi
i
neste construibil dacă și numai dacă pi
i,i= 1;2;:::;ksunt construibile.
10)Fien2N.n3;no rădăcină primitivă de grad na lui 1.neste construibil dacă și
numai dacă [Q(n) :Q] = 2k, pentru un k2N.
În realitate, fie n=cosn+isinn. Atunci:2
n-2 cosnn+1 = 0și[Q(n) :Q(cosn)]2
f1;2g. Atunci [Q(cosn) :Q] = 2tdacăneste construibil și reciproc.
11)Fiepun număr prim impar. Atunci peste construibil dacă și numai dacă p= 22m+ 1.
Comentariu: Primele cinci numere prime de această formă sunt: 3;5;17;257;65537. Pentru
3și5se face calculul și în cărțile de liceu: cos3= -1
2;cos5=p
51
4. Construcția laturii
poligonului regulat cu 17vârfuri a fost publicată de Huguenin în 1803,iar a celui cu 257vârfuri
a fost publicat de Richelot, în 1832.S-a încercat pentru p= 65537, dar datorită calculelor foarte
complicate, nu s-a ajuns la niciun rezultat manevrabil.
În continuare, vom schița calculul lui 17, după cartea lui Ian Stewart [36], pag. 188-190.
56

4.1. ELEMENTE ALGEBRICE “CONSTRUIBILE CU RIGLA ȘI COMPASUL” PESTE UN CÂMP
CAPITOLUL 4. ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
Vom nota=2
17; rădăcinile complexe de ordin 17ale lui 1sunt"k=cosk+isink;k =
1;2;:::; 16. Apoi, notăm ="1.
Atunci [Q() :Q] = 16și grupul Galois este ciclic, izomorf cu Z16,G= [u]16=G0>G 1=
[u2]8G2=[u4]4G3=[u8]2G4=fdirj=Q()g.
În conexiunea Galois, găsim:
F0=Q=FG0F1=FG1F2=FG2F3=FG3F4=Q()
șiFi=Fi1(i),i= 1;2;3;4cu2
i2Fi1.
Fiex1="1+"9+"13+"15+"16+"8+"4+"2șix2="3+"10+"5+"11+"14+"7+"12
+"6. Atunci:x1=2(cos+ cos 8+ cos 4+ cos 2)șix2=2(cos 3+ cos 7+ cos 5+ cos 6)
sunt numere reale.
La fel va fi și pentru: y1="1+"13+"16+"4=2(cos+ cos 4),y2="9+"15+"8+"2
=2(cos 8+ cos 2),y3="3+"5+"14+"12=2(cos 3+ cos 5),y4="10+"11+"17+"6
=3(cos 7+ cos 6),x1+x2= -1șix1x2= -4, decix1șix2sunt rădăcini ale ecuației x2+x-
4 = 0,×1>0șix2<0. Vom găsi încă: y1+y2=x1,y1y2=x1,y1y2= -1, deciy1șiy2sunt
rădăcini ale ecuației x2-x1x-1 = 0,y1>y 2; la fel,y3șiy4sunt rădăcini pentru ecuația, x2-
x2x-1 = 0,y3>y 4. Dacă vom nota, z1=2 cosșiz2=2 cos 4, care sunt rădăcinile ecuației
x2-y1x+y3=0;z1>z 2.
Vom găsi:
cos=1
16f-1+p
17+p
342p
17+q
68 + 12p
1716p
34 + 2p
172(1p
17)p
342p
17g
și construcția geometrică va rezulta imediat.
Utilizând 4., putem răspunde cu ușurință la întrebări celebre, apărute în antichitatea greacă:
1)Nu este posibilă dublarea ( duplicarea) cubului, deci construcția cu rigla și compasul a
laturii unui cub de volum dublu față de volumul unui cub dat. Acest lucru se întâmplă, deoarece
gradul lui3p
2este3și36= 2t,t2N.
2)Este imposibilă cuadratura cercului, adică obținerea prin construcții cu rigla și compasul a
laturiilaunuipătrat, careareariaegalăcuariaunuicercderază r, deoareceestetranscendent
pesteQ, mai precis l=rpșipeste transcendent peste Q.
3)În general, și trisecția unghiului , adică împărțirea în trei părți congruente, este imposibilă.
Vom nota: x= cos'
3șia= cos', unde trisecția unghiului 'este același lucru cu construcția
rădăciniixsituată între 0și1a polinomului f= 4X3-3X-a2R[X].
Pentru'= 60,a=1
2,f2Q[X]și este ireductibil, deci xare gradul 3pesteQ. Dar există
și cazuri în care trisecția se face, de exemplu pentru '= 90sau'= 72.
4)În general, problema celor trei bisectoare, are răspuns negativ. Această problemă cere
construirea triunghiului căruia i se știu bisectoarele.
Din trigonometrie se știu expresiile ce leagă lungimile bisectoarelor de unghiuri și perimetru:
a=2psinB
2cosC
2
cosA
2cosBC
2,b=2psinC
2cosA
2
cosB
2cosCA
2,c=2psinA
2cosB
2
cosC
2cosAB
2,
57

4.1. ELEMENTE ALGEBRICE “CONSTRUIBILE CU RIGLA ȘI COMPASUL” PESTE UN CÂMP
CAPITOLUL 4. ELEMENTE ALGEBRICE CONSTRUIBILE GEOMETRIC
Chiar dacă, B=Cșib=c, deciA+ 2B=,sinA
2= cosB;cosA
2= sinB;cosCA
2=
sin3B
2;cosBC
2= 1, împărțind alabvom găsi:k=sin3B
2
2 cosB,kfiinda
b.
Dacă notăm, x= sinB
2, vom obține:
4×3-4kx2-3x+ 2k= 0,
iarf= 4X3-4kX2-3X+ 2keste ireductibil deoarece k= 3, de exemplu, intersectează ire-
ductibilitatea peste Q(k).
5) Lunulele lui Hippocrate sunt figuri mărginite de două arce de cerc care sunt echivalente,
ca arie, cu un pătrat dat. În particular, să se construiască un cerc echivalent cu un pătrat. Dacă
=m,=n, fiem>nși(m;n) = 1, o lunulă cuadrabilă este = 90,= 45. În general,
dacă se știe , sunt cuadrabile numai cinci lunule:
(m= 2;n= 1);(m= 3;n= 1);(m= 3;n= 2);(m= 5;n= 1);(m= 5;n= 3):
Astfel de probleme au apărut tocmai datorită faptului că vechii greci găseau soluții ale unor
ecuații pătratice prin construcții geometrice. Mai mult, ei rezolvau unele ecuații cubice prin
intersecții de conice. Evident, nu este vorba, decât de cazurile particulare.
Pentru heptagonul regulat, înscris în cerc, latura sa nu se construiește cu rigla și compasul.
Dacăxj=cos2j
7+isin2j
7;j= 1;:::; 6sunt rădăcinile primitive de grad 7ale lui 1, atuncix1
+x6=2 cos2
7;x1x6=1, și dacă notăm x1+x6cuy, vom găsi ecuația y3+y2-2y-1 = 0,
care este provenită dintr-un polinom ireductibil peste Q, deci având rădăcina y= 2 cos2
7ne-
construibilă cu rigla și compasul, are gradul 3pesteQ.
58

Concluzii
În lucrarea de față am încercat să scoatem în evidență, construcția elementelor algebrice cu
ajutorul riglei si al compasului.
Darpentruaarătaacestlucruamavutnevoiesătrecemînrevistăanumitenoțiunișirezultate
esențiale ale teoriei inelelor, care ne vor ajuta la studierea extinderilor de corpuri comutative.
Extinderile de corpuri reprezintă obiectul principal de studiu în teoria corpurilor comutative.
Mai departe am avut nevoie și de noțiunea de corp de descompunere al unui polinom și închi-
derea algebrică a sa. Scoatem in evidență și noțiunea de element algebric și element transcen-
dent, care ne face trecerea spre teoria lui Galois, esențială pentru tema lucrării.
Una dintre principalele probleme ale matematicii din secolele XIV-XVIII a fost rezolvarea
ecuațiilor algebrice, și mai precis, rezolvarea lor prin radicali.
Niels Henrik Abel ( 1802- 1829) a fost primul care a arătat că nu toate ecuațiile de gradul 5
se pot rezolva prin radicali.
Evarist Galois ( 1811- 1832) a formulat condițiile necesare și suficiente ca o ecuație algebrică
să fie rezolubilă prin radicali. Grupul lui Galois al unei anumite extinderi Galois de corpuri este
un grup asociat respectivei extinderi. Studiul extinderilor de corpuri și a polinoamelor generate
de ele cu ajutorul grupurilor Galois se numește Teoria lui Galois, în onoarea matematicianului
Évariste Galois, care le-a inventat.
În continuare, cu ajutorul noțiunilor despre extinderile algebrice normale și extinderile alge-
brice separabile vom demonstra teorema fundamentală a teoriei lui Galois, care la rândul ei ne
ajută să arătăm că o ecuație algebrică poate să fie rezolvabilă prin radicali.
În încheiere putem să spunem că toate acestea ne conduc, la problemele de construcție
folosind rigla și compasul.
Faptul că anumite numere nu sunt construibile arată imposibilitatea rezolvării unor probleme
la care au meditat filozofii din Grecia antică și anume nu se poate realiza trisecția oricărui unghi
doar cu rigla și compasul, nu se poate construi un cub cu volumul dublu față de volumul unui
cub dat, nu se poate construi un pătrat de arie egală cu a unui cerc dat.
59

Bibliografie
[1] D. Barbilian, Teoria aritmetică a idealelor . Editura Academiei, București, 1956.
[2]D. Barbilian, Algebra. Editura Didactică și Pedagogică, București, 1985.
[3]I. Creangă, Enescu I., Algebre. Editura Tehnică, 1973.
[4]Ion D. Ion, R. Nicolae, Algebra, Ediția a III-a . Editura Didactică și Pedagogică, București,
1981.
[5]Ion D. Ion, C. Niță, Nicolae Radu, Dorin Popescu, Probleme de algebră . Editura Didactică
și Pedagogică, București, 1981.
[6]Moisil Gr. C., Introducere în algebră. Inele și ideale, vol. I . Editura Academiei, București,
1954.
[7]C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu, Bazele algebrei, vol. I . Editura Academiei Republicii
Socialiste România, București, 1986.
[8]N.Radu, Inele locale, vol. I, I . Editura Academiei, București, 1968.
[9]Mirela Ștefănescu, Teoria lui Galois . Ex Ponto, Conștanța, 2002.
[10]Tofan, I, Volf, A. C, Algebra, Inele, Module, Teorie Galois . Editura Matrix Rom, București,
2001.
[11]http://www.galois-group.net/teorialuigalois.pdf
60