Specializarea: Matematică informatică [605888]

UNIVERSITATEA „LUCIAN BLAGA ” DIN SIBIU
FACULTATEA DE ܇TIIN܉E

Specializarea: Matematică informatică

LUCRARE DE
LICEN܉Ă

Coordonator ܈tiin܊ific:
Prof. univ. dr. Laurian Suciu Absolven t:
Andreea – Maria Andrei

Sibiu
2018

UNIVERSITATEA „LUCIAN BLAGA ” DIN SIBIU
FACULTATEA DE ܇TIIN܉E

Specializarea: Matematică informatică

Operatori și matrice pe spații
Hilbert

Coordonator ܈tiin܊ific:
Prof. univ. dr. Laurian Suciu Absolvent: [anonimizat] –Maria Andrei

Sibiu
2018

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 SPAT ¸II LINIAR TOPOLOGICE 4
1.1 Not ¸iunea de spat ¸iu liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Spat ¸iu liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Dependent ¸a liniar˘ a. Baze. Dimensiune . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Alte not ¸iuni de Algebr˘ a liniar˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Nucleu. Imagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Spat ¸iu liniar normat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Spat ¸ii Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Spat ¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Propriet˘ at ¸i ale produsului scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Not ¸iunea de spat ¸iu Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Ortogonalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Proiect ¸iiˆ ın spat ¸ii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Descompuneri ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6 Familii ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.7 Baze ortonormate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 MATRICE 16
2.1 Matrice finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Not ¸iunea de matrice. Operat ¸ii cu matrice . . . . . . . . . . . . 16
1

2 CUPRINS
2.1.2 Determinant ¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Matrice infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Operatori liniari reprezentat ¸i prin matrice infinit e . . . . . . . 21
2.2.2 Reprezentarea matriceal˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
2.2.3 Matricea Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Operat ¸ii de baz˘ a asupra matricelor infinite . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Conjugarea ¸ si transpunerea matricelor . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Adunarea matricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Multiplicarea matricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.4 Inversarea matricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 OPERATORI LINIARI 29
3.1 Operatori Autoadjunct ¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
3.1.1 Conjugatul unui spat ¸iu Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Adjunctul unui operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Operatori autoadjunct ¸i pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.4 Operatori normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Rezolventa ¸ si spectrul unui operator autoadjunct . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Valori proprii ¸ si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Rezolventa ¸ si spectrul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Descompunerea spectral˘ a a operatorilor. Funct ¸ii de o peratori. . . . . 36
3.3.1 Descompunerea spectral˘ a a unui operator autoadjunc t . . . . 36
3.3.2 Descompunerea spectral˘ a a operatorilor unitari ¸ si normali . . 38
3.3.3 Funct ¸ii de operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 APLICAT ¸II DIVERSE 42

INTRODUCERE
ˆIntˆ alnit ¸i pentru prima oar˘ a de eleviˆ ın programa de lice u sub forma matricilor si
a aplicat ¸iilor liniare asociate, operatorii liniari se po t extinde intr-un cadru mult mai
general. Scopul lucr˘ arii este de a da sens acestei extinder i pe spat ¸ii infinit dimensio-
nale (din punct de vedere algebric) si a vedea utilitatea ace storaˆ ın noul context mai
abstract. Se va prezenta o leg˘ atur˘ a permanent˘ a cu cazul finit dimensional . Partea
teoretic˘ a a lucr˘ arii este structurat˘ aˆ ın trei capitole urmate de un capitol de aplicat ¸ii.
ˆIn primul capitol reg˘ asim principalele tipuri de spatii li niar topologice din analiza
matematic˘ a, cu care vom lucra in continuare. Am preferat o ab ordare de la general
la particular in ceea ce prive¸ ste rezultatele fundamental e din contextul acestor spat ¸ii.
Un accent deosebit s-a pus pe not ¸iunea de spat ¸iu Hilbert ¸ si c ea de baz˘ a ortonormat˘ a
(hilbertian˘ a), utile in urm˘ atoarele p˘ art ¸i ale lucr˘ ar ii.
Capitolul al doilea trateaz˘ a not ¸iunea de matrice ¸ si prop riet˘ at ¸i fundamentale ale aces-
teia atat in cazul finit dimensinonal cˆ at ¸ si ˆ ın cel infinit d imensional. Un exemplu
deosebit de ilustrativ de matrice infinit˘ a studiat este mat ricea lui Hilbert.
Capitolul al treilea este rezervat operatorilor liniari pe spat ¸ii Hilbertˆ ın special cei po-
zitivi, autoadjuncti, unitari si normali. In studiul acest ora se areˆ ın vedere mult ¸imea,
rezolventa, ¸ sispectrul asociat . Not ¸iuni introductive de calcul funct ¸ional cu operatori
normali se consider˘ aˆ ın ultima parte a acestui capitol evi dent ¸iˆ and rolul descompune-
rilor spectrale ale operatorilor. Aceste tipuri de operator i generalizeaza diferite cazuri
speciale ale corpului numerelor complexe. Leg˘ atura dintr e matrice ¸ si operatori este
de asemenea bine fundamentat˘ a.
Ultimul capitol al lucr˘ arii, cel al aplicat ¸iilor, ilustre az˘ a prin exercit ¸ii caracterul prac-
tic al teoriei. Se au ˆ ın vedere diverse situat ¸ii reprezent ative ale contextului teoretic
abordat.
3

Capitolul 1
SPAT ¸II LINIAR TOPOLOGICE
Algebra matricelor ¸ si analiza matricelor constituie capit ole ale alge-
brei, respectiv analizei liniare. Este firesc deci ca primul capitol al aces-
teilucr˘ aris˘ afieconsacratacelorfaptegeneraledealgeb r˘ a¸ sianaliz˘ acare
integreaz˘ a conceptul de matriceˆ ın unitatea matematic˘ a. Rezultatele
din acest capitol au fost preluate din [3]
1.1 Not ¸iunea de spat ¸iu liniar
1.1.1 Spat ¸iu liniar
FieXo mult ¸ime nevid˘ a¸ si fie Γ un corp. Suma (respectiv produsul) elementelor α
¸ siβdin Γ va fi notat˘ a α+β(respectiv α·β). Elementele corpului Γ vor fi numite
scalari.
Definit ¸ie 1.1.1. Se spune c˘ a pe Xs-a definit o structur˘ a de spat ¸iu liniar (sau
vecorial ), dac˘ a s-a definit o lege de compunere intern˘ a (x, y)→x+y,(x, y∈X),
¸ si o lege de compunere extern˘ a (α, x)→α·x,(α∈Γ, x∈X), av˘ and urm˘ atoarele
propriet˘ at ¸i:
a)(x+y)+z=x+(y+z),(∀)x, y, z ∈X, (asociativitatea);
b) (∃) 0X∈Xastfelˆ ıncˆ at 0 X+x=x,(∀)x∈X;
c) (∀)x∈X(∃)x′∈Xastfelˆ ıncˆ at x+x′= 0X;
4

1.1. NOT ¸IUNEA DE SPAT ¸IU LINIAR 5
d) 1·x=x,(∀)x∈X, (1 reprezint˘ a elementul unitate al corpului Γ);
e) (α+β)x=αx+βx,(∀)x∈X¸ siα, β∈Γ;
f)α(x+y) =αx+αy,(∀)x∈X¸ siα∈Γ;
g)α(βx) = (αβ)x,(∀)x∈X¸ siα, β∈Γ.
Definit ¸ie 1.1.2. FieXun spat ¸iu liniar ¸ si fie Xoo parte a mult ¸imii X. Dac˘ aXo
este o parte stabil˘ a fat ¸a de operat ¸iile de adunare a vecto rilor (pentru x, y∈Xoavem
x+y∈Xo) ¸ siˆ ınmult ¸ire a vectorilor cu scalari (pentru α∈Γ¸ six∈Xoavemαx∈Xo),
atunci se spune c˘ a Xoeste unsubspat ¸iu liniar a luiX.
1.1.2 Dependent ¸a liniar˘ a. Baze. Dimensiune
Definit ¸ie 1.1.3. FieXunΓ- spat ¸iu vectorial. Vectorii xi∈X,(i= 1, …, n)se
numescliniari independent ¸i , dac˘ a o combinat ¸ie liniar˘ a a lor:
α1×1+α2×2+…+αnxn,
αi∈Γ, estevector nul dac˘ a ¸ si numai dac˘ a tot ¸i scalarii αisunt egali cu zero. ˆIn
caz contrar, vectorii xise numesc liniar dependent ¸i .
Propozit ¸ie 1.1.4. O condit ¸ie suficient˘ a ca p+1vectori din Xs˘ a fie liniar dependent ¸i
este ca fiecare din ace¸ stia s˘ a fie o combinat ¸ie liniar˘ a de a ceea¸ sipvectori dn X.
Demonstrat ¸ie. Fiey1, … y p, yp+1∈X. Excludem cazul cˆ and unul dintre ace¸ sti
vectori ar fi 0 X, ˆ ın acest caz dependent ¸a liniar˘ a ar fi evident˘ a. Demonst rat ¸ia se va
face prin metoda induct ¸iei complete.
Dac˘ ap= 1, fiey1=α11×1, y2=α21×1(α11, α21/ne}ationslash= 0). Rezult˘ a
α21y1−α11y2= 0X.
S˘ a presupunem acum c˘ a propozit ¸ia este adev˘ arata pentru poarecare. Fie:
yh=p/summationdisplay
j=1αhjxj,(h= 1, …, p, p +1), yh/ne}ationslash= 0X.
Se poate admite c˘ a α11/ne}ationslash= 0, pentru c˘ a αh1trebuie s˘ a fie nenul! Introducem:
zh=yn−αh1
α11·y1(h= 2, …, p+1).

6 CAPITOLUL 1. SPAT ¸II LINIAR TOPOLOGICE
Vectoriizhsuntˆ ın num˘ ar de p¸ si:
zh=p/summationdisplay
j=2/parenleftbigg
xhj−xh1
x11·α1j/parenrightbigg
·xj.
Rezult˘ a c˘ a ace¸ sti vectori sunt liniar dependent ¸i, adic ˘ a∃βh∈Γ,(n= 2, …, p+1)
nu tot ¸i nuli, astfelˆ ıncˆ at:
p+1/summationdisplay
h=2βhzh= 0X.
Substituind pe zhse obt ¸ine dependent ¸a liniar˘ a a vectorilor yh(h= 1, …, p+1).
Definit ¸ie 1.1.5. O mult ¸ime (nevid˘ a) B⊆Xse nume¸ ste liniar independent˘ a , dac˘ a
orice parte finit˘ a a ei este format˘ a din vectori liniar inde pendent ¸i.
Definit ¸ie 1.1.6. FieAo parte a spat ¸iului liniar X. O mult ¸ime liniar independent˘ a
maximal˘ a de vectori din Ase nume¸ ste baz˘ aa mult ¸imii A.
Propozit ¸ie 1.1.7. Vectorii liniar independent ¸i x1, …, x p∈Aconstituie o baz˘ a
pentruA, dac˘ a ¸ si numai dac˘ a orice vector din Ase reprezint˘ a ca o combinat ¸ie liniar˘ a
de vectori x1, …, x p.
Demonstrat ¸ie. ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ a x∈A, atunci vectorii x, x1, …, x psunt liniari
dependent ¸i, deoarece constituie o mult ¸ime de p+ 1 vectori, deci exist˘ a α/ne}ationslash= 0 ¸ si
α1, …, α p∈Γ, astfelˆ ıncˆ at:
αx+p/summationdisplay
i=1αixi= 0X.
Propozit ¸ie 1.1.8. Dac˘ a vectorii xj, …, x pconstituie o baz˘ a a mult ¸imii A, atunci
reprezentarea unui vector xdinAca o combinat ¸ie liniar˘ a de vectori x1, …, x peste
unic˘ a.
Demonstrat ¸ia acestei propozit ¸ii prin metoda reducerii l a absurd este imediat˘ a.
Propozit ¸ie 1.1.9. Fie{x1, …, x p}o baz˘ a ˆ ın mult ¸imea A¸ si fiex∈A. Dac˘ a ˆ ın
reprezentarea:
x=p/summationdisplay
i=1αixi

1.1. NOT ¸IUNEA DE SPAT ¸IU LINIAR 7
scalarulαieste nenul, atunci {x1, …, x i−1, x, x i+1, …, x 0}este de asemenea o
baz˘ aˆ ınA.
Demonstrat ¸ie. S˘ a presupunem c˘ a α1/ne}ationslash= 0. Pentru orice y∈Aavem:
y=p/summationdisplay
i=1βixi=β1/parenleftbigg1
α1x−α2
α1×2−…−αp
α1×0/parenrightbigg
+β2×2+…+βpxp
deoarece:
x1=1
α1x−α2
α1×2−…−αp
α1xp.
A¸ sadar, orice vector din Aeste o combinat ¸ie liniar˘ a de vectori x, x2, …, x p. Pe
de alt˘ a parte, vectorii x, x2, …, x psunt liniar independent ¸i, ceea ce se arat˘ a prin
reducere la absurd.
Definit ¸ie 1.1.10. Dac˘ a mult ¸imea A(ˆ ın particular spat ¸iul X) are o baz˘ a finit˘ a, atunci
se spune c˘ a Aaredimensiune finit˘ a .ˆIn caz contrar, se spune despre Ac˘ a are
dimensiune infinit˘ a .
Dac˘ aAare dimensiune finit˘ a, atunci num˘ arul vectorilor dintr-o baz˘ a a mult ¸imii
Ase nume¸ ste dimensiunea (saurangul) mult ¸imii A¸ si se noteaz˘ a dimA.
1.1.3 Alte not ¸iuni de Algebr˘ a liniar˘ a
O subclas˘ a a clasei spat ¸iilor liniare o constituie not ¸iu nea de algebr˘ a.
Definit ¸ie 1.1.11. Γ- spat ¸iu liniar pe Xse spune c˘ a este o algebr˘ a, dac˘ a ˆ ın plus,
s-a definit o operat ¸ie (x, y)→xyde ˆ ınmult ¸ire a vectorilor din Xastfel ˆ ıncˆ at s˘ a fie
satisf˘ acute condit ¸iile:
a)(xy)z=x(yz),(asociativitatea);
b)x(y+z) =xy+xz,(x+y)z=xz+yz, (distributivitatea);
c) (αx)(βy) = (αβ)(xy);
pentru orice x, y, z ∈X¸ siα, β∈Γ.

8 CAPITOLUL 1. SPAT ¸II LINIAR TOPOLOGICE
1.1.4 Nucleu. Imagine
Definit ¸ie 1.1.12. Numimnucleual transform˘ arii liniare f:V→Wmult ¸imea
Kerf={u∈V|f(u) = 0W}.
Definit ¸ie 1.1.13. Numimimagine a transform˘ arii liniare f:V→Wmult ¸imea
Imf={v∈W|(∃)u∈V,a.ˆ ı.f(u) =v}.
Propozit ¸ie 1.1.14. Fief:V→Wtransformare liniar˘ a, atunci:
i)Kerfeste subspat ¸iu liniarˆ ın V;
ii)Imfeste subspat ¸iu liniarˆ ın W.
Propozit ¸ie 1.1.15. Fief:V→Wtransformare liniar˘ a, atunci:
i)feste injectiv˘ a ⇔Kerf={0V}
ii)feste surjectiv˘ a ⇔Imf=W.
1.1.5 Spat ¸iu liniar normat
Definit ¸ie 1.1.16. FieXun spat ¸iu vectorial complex. O aplicat ¸ie /bardbl·/bardbl:X→[0,∞)
cu propriet˘ at ¸iile:
a)/bardblx+y/bardbl/lessorequalslant/bardblx/bardbl+/bardbly/bardbl,
b)/bardblαx/bardbl=|α|·/bardblx/bardbl,
c)/bardblx/bardbl= 0⇔x= 0,
pentru(∀)x, y∈X¸ siα∈Γse nume¸ ste norm˘ a. O aplicat ¸ie care verific˘ a numai
condit ¸iile a), b)se nume¸ ste seminorm˘ a .
Definit ¸ie 1.1.17. Se nume¸ ste spat ¸iu liniar normat un spat ¸iu liniar Xpe care
este dat˘ a o anumit˘ a norm˘ a p. Dac˘ aXeste un spat ¸iu normat cu norma p, se noteaz˘ a
/bardblx/bardbl=p(x). Un spat ¸iu liniar normat este deci un spat ¸iu liniar Xpe care s-a dat o
funct ¸ional˘ a real˘ a (pozitiv˘ a) cu urm˘ atoarele proprie t˘ at ¸i:
i)/bardblx/bardbl= 0⇒x= 0;
ii)/bardblx+y/bardbl/lessorequalslant/bardblx/bardbl+/bardbly/bardbl,(∀)x, y∈X;

1.1. NOT ¸IUNEA DE SPAT ¸IU LINIAR 9
iii)/bardblαx/bardbl=|α|/bardblx/bardbl,(∀)x∈X¸ siα∈Γ.
Spat ¸iul liniar este realsaucomplex dup˘ a cum Γ = Rsau Γ =C.
ˆIntr-un spat ¸iu liniar normat Xse poate introduce distant ¸a dintre dou˘ a elemente x, y
prin formula:
d(x, y) =/bardblx−y/bardbl,(∀)x, y∈X
¸ sitopologia definit˘ a de aceast˘ a distant ¸˘ a (numit˘ a topologia normei ).
Convergent ¸aˆ ın topologia normei se nume¸ ste convergent ¸a ˆ ın norm˘ a .
Definit ¸ie 1.1.18. Dou˘ a norme p1, p2definite pe acela¸ si spat ¸iu liniar Xse numesc
echivalente , dac˘ a exista dou˘ a numere α, β >0, a¸ sa ˆ ıncˆ at:
αp1(x)/lessorequalslantp2(x)/lessorequalslantβp1(x),(∀)x∈X.
Dou˘ a norme pe acela¸ si spat ¸iu liniar Xdefinesc acea¸ si topologie dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
sunt echivalente.
1.1.6 Spat ¸ii Banach
Definit ¸ie 1.1.19. Perechea (X,/bardbl·/bardbl)se nume¸ ste spat ¸iu normat . Orice spat ¸iu nor-
mat este¸ si spat ¸iu metric, distant ¸a dintre x, yfiind, prin definit ¸ie: d(x, y) =/bardblx−y/bardbl.
Dac˘ a, ˆ ın plus, orice ¸ sir Cauchy este convergent, atunci (x,/bardbl·/bardbl)se nume¸ ste spat ¸iu
Banach sauspat ¸iu normat complet .
Se poate demonstra u¸ sor c˘ a operat ¸iile algebrice sunt con tinue:
dac˘ a lim
n→∞xn=x¸ si lim
n→∞yn=y, atunci lim
n→∞(xn+yn) =x+y¸ si analog pentru
ˆ ınmult ¸irea cu scalari.
Dac˘ aXeste un spat ¸iu vectorial ¸ si /bardbl·/bardbl1,/bardbl·/bardbl2sunt dou˘ a norme pe Xacestea se numesc
echivalente dac˘ a exist˘ a c¸ sikconstante pozitive astfelˆ ıncˆ at /bardblx/bardbl1/lessorequalslantc/bardblx/bardbl2/lessorequalslantk/bardblx/bardbl1;
ˆ ın acest caz,
lim
n→∞xn=xˆ ın/bardbl·/bardbl1⇔lim
n→∞xn=xˆ ın/bardbl·/bardbl2
deci, structurile topologice coincid.
FieX¸ siYdou˘ a spat ¸ii vectoriale; o aplicat ¸ie T:X→Yse nume¸ ste aplicat ¸ie
liniar˘ a(sauoperator liniar ) dac˘ a:
T(αx+βy) =αTx+βTy ,(∀)x, y∈X,¸ siα, β∈Γ

10 CAPITOLUL 1. SPAT ¸II LINIAR TOPOLOGICE
1.2 Spat ¸ii Hilbert
1.2.1 Propriet˘ at ¸i ale produsului scalar
Fie un spat ¸iu liniar fat ¸˘ a de corpul Γ.
Definit ¸ie 1.2.1. O aplicat ¸ie Ψ :X×X→Γse nume¸ ste funct ¸ionl˘ a hermitic˘ a ,
dac˘ a are propriet˘ at ¸iile:
i)Ψ(x, y) =Ψ(x, y) ;
ii)Ψ(αx+βy, z) =αΨ(x, z)+βΨ(y, z)
Dac˘ a o funct ¸ional˘ a hermitic˘ a Ψare proprietatea:
iii)Ψ(x, x)/greaterorequalslant0¸ siΨ(x, x) = 0⇔x= 0
atunci,Ψse nume¸ ste produs scalar ˆ ınX.
Dac˘ a Ψ este o funct ¸ionl˘ a hermitic˘ a, atunci:
Ψ/parenleftiggm/summationdisplay
j=1αjxj,n/summationdisplay
k=1βkyk/parenrightigg
=m/summationdisplay
j=1n/summationdisplay
k=1αjβkΨ(xj, yk)
Dac˘ a Ψ este un produs scalarˆ ın Xatunci are loc inegalitatea lui
Cauchy-Schwarz-Buniakovski .
Lema 1.2.2. (Inegalitatea lui Cauchy-Schwarz-Buniakovski)
Dac˘ a/an}bracketle{t·,·/an}bracketri}hteste un produs scalar pe un spat ¸iu vectorial X, atunci pentru x, y∈X
avem:
|/an}bracketle{tx , y/an}bracketri}ht|2/lessorequalslant/an}bracketle{tx , x/an}bracketri}ht/an}bracketle{ty , y/an}bracketri}ht.
Lema 1.2.3. Norma elementului x∈Xpoate fi definit˘ aˆ ın modul urm˘ ator:
Dac˘ a/an}bracketle{t·,·/an}bracketri}hteste un produs scalar pe un spat ¸iu vectorial X, atunci:
/bardblx/bardbl=/radicalbig
/an}bracketle{tx, x/an}bracketri}ht
este o norm˘ a pe X

1.2. SPAT ¸II HILBERT 11
1.2.2 Not ¸iunea de spat ¸iu Hilbert
Definit ¸ie 1.2.4. Se nume¸ ste spat ¸iu Hilbert , un spat ¸iu Banach ˆ ın care norma este
generat˘ a de un anumit produs scalar. Dac˘ a Ψeste produsul scalar care genereaz˘ a
norma unui spat ¸iu Hilbert X, atunci se va nota:
/an}bracketle{tx , y/an}bracketri}ht= Ψ(x, y) ;
precum ¸ si:
|/an}bracketle{tx , y/an}bracketri}ht|/lessorequalslant/bardblx/bardbl·/bardbly/bardbl,(∀)x, y∈X;
adic˘ a inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakovski.
Teorema 1.2.5. Pentru ca un spat ¸iu Banach Xs˘ a fie un spat ¸iu Hilbert este necesar
¸ si suficient ca:
/bardblx+y/bardbl2−/bardblx−y/bardbl2= 2/parenleftbig
/bardblx/bardbl2+/bardbly/bardbl2/parenrightbig
,(∀)x, y∈X.
Demonstrat ¸ie. Dac˘ aXeste spat ¸iu Hilbert, atunci:
/bardblx+y/bardbl2−/bardblx−y/bardbl2=/an}bracketle{tx+y , x+y/an}bracketri}ht+/an}bracketle{tx−y , x−y/an}bracketri}ht
=/bardblx/bardbl2+/an}bracketle{tx , y/an}bracketri}ht+/an}bracketle{ty , x/an}bracketri}ht+/bardbly/bardbl2+/bardblx/bardbl2−/an}bracketle{tx , y/an}bracketri}ht−/an}bracketle{ty , x/an}bracketri}ht+/bardbly/bardbl2
= 2/parenleftbig
/bardblx/bardbl2+/bardbly/bardbl2/parenrightbig
deci are loc relat ¸ia din teorema de mai sus.
1.2.3 Ortogonalitate
FieXun spat ¸iu Hilbert.
Definit ¸ie 1.2.6. Dou˘ a elemente x, y∈Xse numesc ortogonale ¸ si se noteaz˘ a x⊥y
dac˘ a/an}bracketle{tx , y/an}bracketri}ht= 0. Dou˘ a submult ¸imi a lui Xse numesc ortogonale ¸ si se noteaz˘ a A⊥B
dac˘ ax⊥y,(∀)x∈A, y∈B.ˆIn particular, dac˘ a A={x0}¸ siA⊥Bse noteaz˘ a
x0⊥B¸ si se spune c˘ a x0esteortogonal luiB
Ca urmare, urm˘ atoarele trei propozit ¸ii se demonstreaz˘ a imediat:
a) Dac˘ a x⊥yi,(i= 1,2, …, n) atunci:
x⊥n/summationdisplay
i=1ciyi

12 CAPITOLUL 1. SPAT ¸II LINIAR TOPOLOGICE
b) Dac˘ a x⊥yn,(n∈N) ¸ si dac˘ a lim
nyn=yatunci:
x⊥y.
c) Dac˘ a elementele x1, x2, …, x nsunt ortogonale dou˘ a cˆ ate dou˘ a, atunci:
/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddoublen/summationdisplay
j=1xj/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble2
=m/summationdisplay
j=1/bardblxj/bardbl2.
d) Fie{xn}n∈Nun¸ sir deelementeortogonaledou˘ acˆ atedou˘ a. Pentrucas eria/summationdisplay
nxn
s˘ a fieconvergent˘ a este necesar ¸ si suficient ca seria/summationdisplay
n/bardblxn/bardbl2s˘ a fie convergent˘ a.
Demonstrat ¸ie. Necesitatea rezult˘ a imediat cu propozit ¸ia precedent˘ a. S uficient ¸a re-
zult˘ a din faptul c˘ a, punˆ and/summationdisplay
n=n/summationdisplay
i=1xiavem pentru m > n:
/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/summationdisplay
m−/summationdisplay
n/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble2
=m/summationdisplay
i=n+1/bardblxi/bardbl2.
e) Dac˘ aAeste o submult ¸ime dens˘ a a lui X, iarX⊥Aatunci:
X= 0.
Demonstrat ¸ie. exist˘ a un ¸ sir {xn}n∈Nde elemente din Aa¸ sa c˘ ax= lim
nxn. Cum
x⊥xn(∀)n∈Nrezult˘ aX= 0 datorit˘ a propriet˘ at ¸ii de la punctul urm˘ ator.
f) Oricare ar fi A⊂X, are loc egalitatea:
A⊥=/parenleftbig
Sp(A)/parenrightbig⊥
Demonstrat ¸ie. Not˘ amE=Sp(A). DinA⊂E⇒A⊥⊂E⊥.
Fiex∈A¸ si not˘ am B={x}⊥. Atunci B⊃A¸ si cumBeste un subspat ¸iu liniarˆ ınchis,
rezult˘ aB⊃A. Deci,X⊥E, adic˘ ax∈E⊥.ˆIn concluzie, B⊥=E⊥.

1.2. SPAT ¸II HILBERT 13
1.2.4 Proiect ¸ii ˆ ın spat ¸ii Hilbert
Vom nota cu d(x, y) distant ¸a dintre dou˘ a elemente x, yale unui spat ¸iu Hilbert X¸ si
cud(x,E) distant ¸a de la un element din Xla o submult ¸ime Ea luiX. Deci:
d(x,E) = inf{/bardblx−y/bardbl |y∈E}.
Lema 1.2.7. Dac˘ aEeste o submult ¸ime convex˘ a ¸ si ˆ ınchis˘ a (nevid˘ a) a unui s pat ¸iu
HilbertX, atunci pentru orice element x∈Xexist˘ a un element x′∈Eastfel ˆ ıncˆ at
d(x,x′) =d(x,E).
Teorema 1.2.8. Dac˘ aEeste un subspat ¸iu liniar ˆ ınchis al unui spat ¸iu Hilbert X,
atunci orice element x∈Xse reprezint˘ aˆ ın mod unic sub forma x=x′+x′′cux′∈E
¸ six′′∈E⊥.
Demonstrat ¸ie. Dac˘ ax∈Ese alegex′=x, ¸ six′′= 0.
Presupunem x /∈E¸ six′∈Eastfelˆ ıncˆ at ( x, x′) =d(x,E), conform lemei de mai sus.
Notˆ andx′′=x−x′, r˘ amˆ ane de ar˘ atat c˘ a x′′∈E⊥. Notˆ and α=d(x,E), avem:
/bardblx′′+λy/bardbl=/bardblx−(x′−λy)/bardbl/greaterorequalslantα .
Definit ¸ie 1.2.9. Dac˘ aEeste un subspat ¸iu liniar ˆ ınchis al unui spat ¸iu Hilbert X, se
nume¸ ste proiect ¸ia unui element x∈XpeE, elementul x′∈Epentru care x=x′+x′′
cux′∈E⊥. Se noteaz˘ a x′=/bracketleftbig
E/bracketrightbig
x. Elementul x′′din definit ¸ie este evident proiect ¸ia
luixpeE⊥.
1.2.5 Descompuneri ortogonale
FieXun spat ¸iu Hilbert.
Definit ¸ie 1.2.10. O familie {Ej}j∈Jde spat ¸ii liniare ˆ ınchise ale lui Xse nume¸ ste o
descompunere ortogonal˘ a a luiX, dac˘ a:
Sp/parenleftigg/uniondisplay
j∈JEj/parenrightigg
=X.
Teorema 1.2.11. Dac˘ a{Ej}j∈Jeste o descompunere ortogonal˘ a a lui X, atunci orice
elementx∈Xse reprezint˘ a sub forma:
x=/summationdisplay
j∈Jxjcuxj∈Ej.

14 CAPITOLUL 1. SPAT ¸II LINIAR TOPOLOGICE
1.2.6 Familii ortogonale
FieXun spat ¸iu Hilbert.
Definit ¸ie 1.2.12. O familie {ej}j∈Jde elemente din spat ¸iul Xse nume¸ ste familie
ortogonal˘ a , dac˘ aei⊥ej,(i/ne}ationslash=j); dac˘ a familia {ej}j∈Jeste ortogonal˘ a ¸ si dac˘ a
/bardblej/bardbl= 1,(∀)j∈J, atunci familia se nume¸ ste ortonormat˘ a .
Definit ¸ie 1.2.13. Dac˘ a{ej}j∈Jeste o familie ortonormat˘ a de elemente, iar x∈
X, atunci numerele ϕj(x) =/an}bracketle{tx, ej/an}bracketri}ht,(j∈J)se numesc coeficient ¸i Fourier ai
elementului xˆ ın raport cu familia ortonormat˘ a considerat˘ a.
Propozit ¸ii:
a) Dac˘ a {ej}j∈Jeste o familie ortonormat˘ a oarecare, atunci pentru orice x∈X
familia de numere/braceleftbig
|ϕj(x)|2/bracerightbig
j∈Jestesumabil˘ a ¸ si are loc inegalitatea:
/summationdisplay
j∈J|ϕj(x)|2/lessorequalslant/bardblx/bardbl2.
b) Fie{ej}j∈Jo familie ortonormat˘ a ¸ si {αj}j∈Jo familie de scalari. Pentru ca
familia{αjej}j∈Js˘ a fie sumabil˘ a este necesar ¸ si suficient ca familia/braceleftbig
|αj|2/bracerightbig
j∈Js˘ a
fie sumabil˘ a.
c) Dac˘ a{ej}j∈Jeste o familie ortonormat˘ a ¸ si
x=/summationdisplay
j∈Jξj,ej, y=/summationdisplay
j∈Jηj,ej,
atunci:
/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht=/summationdisplay
j∈Jξj·ηj.
d) Dac˘ a {ej}j∈Jeste o familie ortonormat˘ a, iar elementul x∈Xse reprezint˘ a sub
forma:
x=/summationdisplay
j∈Jξj,ej,
atunci reprezentarea este unic˘ a ¸ si:
ξj=ϕj(x),(∀)j∈J.

1.2. SPAT ¸II HILBERT 15
1.2.7 Baze ortonormate.
FieXun spat ¸iu Hilbert ¸ si fie {ej}j∈Jo familie ortonormat˘ a de elemente din X.
Familia se nume¸ ste maximal˘ a , dac˘ a pentru orice alt˘ a familie ortonormat˘ a {ej}j∈J1,
notˆ andE={e,j∈J}¸ siE′={e,j∈J1}incluziunea E⊂E′implic˘ aE=E′
Cu axioma lui Zorn se deduce c˘ a exist˘ a familii ortogonale m aximale.
Definit ¸ie 1.2.14. Se nume¸ ste baz˘ a ortonormat˘ a a spat ¸iului Hilbert Xo familie
ortonormat˘ a maximal˘ a.
Lema 1.2.15. Pentru ca o familie ortonormat˘ a {ej}j∈Js˘ a fie baz˘ a ortonormat˘ a este
necesar ¸ si suficient ca familia s˘ a fie maximal˘ a.
Demonstrat ¸ie. PunemE={ej|j∈J}. Dac˘ a ar exista un element x/ne}ationslash= 0 astfelˆ ıncˆ at
x⊥Eatunci, cu notat ¸ia e=/bardblx/bardbl−1·x, aveme⊥E¸ si/bardble/bardbl= 1, ¸ si notˆ and E′=E/uniontext{e},
avemE⊂E′¸ siE/ne}ationslash=E′deci familia {ej}j∈Jnu poate fi o baz˘ a ortonormat˘ a. Reciproc,
dac˘ a familia {ej}j∈Jnu este maximal˘ a, atunci exist˘ a un element e/ne}ationslash= 0 astfel ˆ ınc˘ at
e⊥ej,(∀)j∈J.
Teorema 1.2.16. Pentru ca o familie ortonormat˘ a {ej}j∈Js˘ a fie o baz˘ a ortonormat˘ a,
este necesar ¸ si suficient ca orice element x∈Xs˘ a poat˘ a fi reprezentat ˆ ın mod unic
sub forma:
x=/summationdisplay
j∈Jξjej.
Teorema 1.2.17. Fie{ej}j∈Jo familie ortonormat˘ aˆ ın spat ¸iul Hilbert X. Pentru ca
un element x∈Xs˘ a se reprezinte sub forma:
x=/summationdisplay
j∈Jϕi(x)·ej,
este necesar ¸ si suficient ca xs˘ a apart ¸in˘ a spat ¸iului ˆ ınchis generat de mult ¸imea
E={ej|j∈J}.

Capitolul 2
MATRICE
ˆIn acest capitol voi scrieˆ ın sens larg, despre matrice finite¸ siinfinite,
deoarece calculul matricial reprezint˘ a un instrument de c ercetare bine
definit ¸ si deosebit de eficient ˆ ın matematic˘ a, atˆ at ˆ ın Alg ebr˘ a c˘ at ¸ si ˆ ın
Analiza Matematic˘ a. Rezultatele din acest capitol au fost p reluate din
[4] ¸ si [3]
2.1 Matrice finite
2.1.1 Not ¸iunea de matrice. Operat ¸ii cu matrice
Definit ¸ie 2.1.1. Se nume¸ ste matrice real˘ a cumlinii ¸ sincoloane o funct ¸ie care
asociaz˘ a fiec˘ arei perechi (i, j), i= 1, …, m ,j = 1,…, nun num˘ ar real aij. Se
folose¸ ste notat ¸ia:
A=
a11a12… a1n
a21a22… a2n
……
am1am2… amn

Mult ¸imea tuturor matricelor reale cu mlinii ¸ sincoloane o vom nota Mm,n(R).
Numerele aij, i= 1, …, m ,j = 1,…, nse numesc elementele matricei .
16

2.1. MATRICE FINITE 17
Dup˘ a cum sunt numerele m, nputem defini urm˘ atoarele tipuri de matrice:
•Dac˘ am=n, matricea se nume¸ ste matrice p˘ atratic˘ a .
•Dac˘ am= 1, matricea se nume¸ ste matrice linie .
•Dac˘ an= 1, matricea se nume¸ ste matrice coloan˘ a .
Se nume¸ ste matrice nul˘ a o matrice care are toate elementele egale cu 0.
Matricea p˘ atratic˘ a:
In=
1 0…0
0 1…0
……
0 0…1

se nume¸ ste matricea unitate de ordinul n.
Definit ¸ie 2.1.2. Prinsumaa doua matrice A, B ∈ Mm,n(R)ˆ ıntelegem o nou˘ a
matriceC=A+B∈ Mm,n(R)ale c˘ arei elemente sunt suma elementelor cores-
punz˘ atoare din cele doua matrice:
cij=aij+bij,(∀)i= 1, …, m, j = 1, …, n .
Definit ¸ie 2.1.3. Prinprodusul matricei A ∈ Mm,n(R)cuscalarul α∈Rse
ˆ ınt ¸elege o nou˘ a matrice, de acelea¸ si dimensiuni, obt ¸i nut˘ a prinˆ ınmult ¸irea tuturor ele-
mentelor lui A cu scalarul α
αA=
αa11αa12… αa 1n
αa21αa22… αa 2n
……
αam1αam2… αa mn
.
Teorema 2.1.4. Fie A, B, C ∈ Mm,n(R)¸ si fieα, β∈R. Atunci avem urm˘ atoarele
propriet˘ at ¸i:
a)A+B=B+A;

18 CAPITOLUL 2. MATRICE
b)(A+B)+C=A+(B+C);
c)A+0 =A;
d)α·(A+B) =αA+αB;
e)(α+β)A=αA+βA;
f)α(βA) = (αβ)A .
Definit ¸ie 2.1.5. Prinprodusul matricelor A∈ Mm,n(R)¸ siB∈ Mn,p(R)se
ˆ ınt ¸elege o nou˘ a matrice C=AB, ale c˘ arei elemente sunt date prin:
cij=n/summationdisplay
k=1aikbkj,(∀)i= 1, …, m, j = 1, …, p .
Teorema 2.1.6. Fie A, B, C ∈ Mm,n(R)matrice ale c˘ aror dimensiune s˘ a permit˘ a
efectuarea operat ¸iilor indicate, ¸ si α∈R. Atunci avem:
a)A(BC) = (AB)C;
b)A(B+C) =AB+AC;
c)(B+C)A=BA+CA;
d)α(AB) = (αA)B=A(αB);
e)ImA=AIm.
Definit ¸ie 2.1.7. Pentru o matrice A ∈ Mm,n(R), se nume¸ ste transpusa lui A,
matricea obt ¸inut˘ a prin interschimbarea liniilor ¸ si col oanelor lui A, adic˘ a:
AT=
a11a21… am1
a12a22… am2
……
a1na2n… amn
.
Teorema 2.1.8. Fie A, B dou˘ a matrice ale c˘ aror dimensiuni s˘ a permit˘ a efe ctuarea
operat ¸iilor indicate ¸ si α∈R. Atunci avem:
a)/parenleftbig
AT/parenrightbigT=A;
b)(A+B)T=AT+BT;

2.1. MATRICE FINITE 19
c)(αA)T=αAT;
d)(AB)T=BT·AT.
O matrice p˘ atratic˘ a Acare are proprietatea AT=Ase nume¸ ste matrice sime-
tric˘ a.
2.1.2 Determinant ¸i
Definit ¸ie 2.1.9. Fie o matrice p˘ atratic˘ a A ∈ Mn(R). Se nume¸ ste determinant al
matricei A ¸ si se noteaz˘ a det A, un num˘ ar real definit recurentˆ ın felul urm˘ ator:
i) dac˘ an= 2, atunci:
detA=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglea11a12
a21a22/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=a11·a22−a12·a21;
ii) dac˘ an >2, atunci:
detA=n/summationdisplay
i=1(−1)1+i·a1i∆1i=a11∆11−a12∆12+…+(−1)1+n·a1n∆1n,
unde∆1iestedeterminantul matricei p˘ atratice de ordinul n−1, obt ¸inut˘ a prin
eliminarea primei linii ¸ si a coloanei idin matricea A, pentrui= 1,2, …, n.
Pentrun= 3 se obt ¸ine regula lui Sarrus :
detA=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglea11a12a13
a21a22a23
a31a32a33/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=a11·a22·a33+a21·a32·a13+a31·a12·a23−
−a13·a22·a31−a23·a32·a11−a33·a12·a21.
Num˘ arul Aij= (−1)i+j∆ijse nume¸ ste complementul algebric
corespunz˘ ator liniei i¸ si coloanei j, pentru i, j= 1, …, n. Folosind complement ¸ii
algebrici corespunz˘ atori unei linii sau coloane, putem ca lcula determinantul unei ma-
trice prin dezvoltarea dup˘ a o linie sau coloan˘ a oarecare a matricei.

20 CAPITOLUL 2. MATRICE
Teorema 2.1.10. Fie A∈ Mn(R). Atunci, pentru i,j∈ {1,2, …, n}fixat ¸i,
avem:
detA=n/summationdisplay
k=1aikAik=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=
=n/summationdisplay
k=1akjAkj=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj.
Teorema 2.1.11. Fie A, B ∈ Mn(R). Atunci:
a)detAT= detA;
b)detAB= detA·detB.
Teorema 2.1.12. Fie A∈ Mn(R). Atunci avem:
i) dac˘ a matricea B este obt ¸inut˘ a prin ad˘ augarea la o lini e a lui A a unei alte linii
ˆ ınmult ¸it˘ a cu o constant˘ a, atunci:
detB= detA;
ii) dac˘ a matricea B este obt ¸inut˘ a prin interschimbarea a dou˘ a linii ale lui A, atunci:
detA=−detA;
iii) dac˘ a matricea B este obt ¸inut˘ a prin ˆ ınmult ¸irea une i linii a lui A cu o constant˘ a
α∈R, atunci:
detB=αdetA .
Observat ¸ie. Acelea¸ si propriet˘ at ¸i r˘ amˆ an valabile dac˘ a operat ¸ii le de mai sus se efec-
tueaz˘ a asupra coloanelor matricei A.
Definit ¸ie 2.1.13. O matrice p˘ atratic˘ a A ∈ Mn(R)se nume¸ ste nesingular˘ a dac˘ a
are determinantul nenul ¸ si se nume¸ ste singular˘ a dac˘ adetA= 0.
Definit ¸ie 2.1.14. Fie A∈ Mn(R)o matrice nesingular˘ a. Se nume¸ ste matrice
invers˘ a a lui A, o matrice A−1∈ Mn(R)cu proprietatea c˘ a:
AA−1=A−1A=In.
Teorema 2.1.15. Fie A∈ Mn(R)o matrice p˘ atratic˘ a nesingular˘ a. Atunci, inversa
acesteia este dat˘ a prin:

2.2. MATRICE INFINITE 21
A−1=1
detA
a11a21… a n1
a12a22… a n2
…………
a1na2n… a nn
.
Matricea de mai sus se noteaz˘ a cu A⋆:
A⋆=
a11a21… a n1
a12a22… a n2
…………
a1na2n… a nn

¸ si se nume¸ ste matricea adjunct˘ a a luiA.
Definit ¸ie 2.1.16. Fie A∈ Mmn(R)¸ sip/lessorequalslantmin(m, n).
a) Se nume¸ ste minor de ordinul p al matricei A, orice determinant al unei
matrice obt ¸inute prin intersectarea a p linii ¸ si p coloane din A;
b) Se nume¸ ste rangulmatricei A, ordinul maxim al minorilor nenuli a lui A.
Operat ¸iile care p˘ astreaz˘ a rangul unei matrice se numesc transform˘ ari elemen-
tare, ¸ si acestea sunt:
•ˆ ınmult ¸irea unei linii cu o constant˘ a nenul˘ a;
•interschimbarea a dou˘ a linii;
•adunarea unei liniiˆ ınmult ¸it˘ a cu o constant˘ a la o alt˘ a l inie, precum ¸ si operat ¸iile
analoage pe coloane.
2.2 Matrice infinite
2.2.1 Operatori liniari reprezentat ¸i prin matrice infinit e
Definit ¸ie 2.2.1. Unoperator liniar A:X→YcuX,Yspat ¸ii normate cu norma:
/bardblA/bardbl= sup/braceleftbigg
/bardblAx/bardbl:x∈x,/bardblx/bardbl/lessorequalslant1/bracerightbigg

22 CAPITOLUL 2. MATRICE
este m˘ arginit, dac˘ a
/bardblA/bardbl/lessorequalslant∞.
Definit ¸ie 2.2.2. Avˆ and un operator liniar m˘ arginit A pe un spat ¸iu Hilbert H¸ si{en}n∈I
o baz˘ a ortonormat˘ a pentru H, atunci matricea lui A este notat˘ a astfel:
Amn=
a11a12… a 1j…
a21a22… a 2j…
……………

Produsul scalar pe l2(X, µ)undeµeste o m˘ asur˘ a pozitiv˘ a se define¸ ste:
/an}bracketle{tf, g/an}bracketri}ht=/integraldisplay
Xf·g dµ
Observat ¸ie. Vom nota operatorii cu majuscule, de exemplu A, U sau S0, etc. Cˆ and
se face referire la o matrice infinit˘ a care provine de la ace¸ sti operatori respectˆ and o
baz˘ a ortonormat˘ a, vom folosi litere majuscule Ai,j;Uα,βsauS0α,β, undei,jsauα,β
sunt indicii bazei ortonormate.
Discutˆ and de un element particular al unei matrice, vom fol osi litere mici cu in-
diciAi,j,Uα,βsauS0α,β, unde, deasemenea, i,jsauα,βsuntindiciibazeiortonormate
¸ si se refer˘ a la pozit ¸ia (rˆ and, coloan˘ a) elementuluiˆ ı n matrice.
2.2.2 Reprezentarea matriceal˘ a
Putem spune c˘ a o matrice d˘ a na¸ stere unui operator liniar d ac˘ a fiecare linie ¸ si
coloan˘ a a unei matrice este p˘ atrat sumabil˘ a1. Aceasta, deoarece, dac˘ a alegem
ei={0,0, …,1,0…, …}, un vector unitate ˆ ın pozit ¸ia i, atunci, dac˘ a Aeste
un operator liniar, prin definit ¸ia 2.2.1, unde /bardblAei/bardbl<∞¸ siAeise refer˘ a la coloana
i. Deci, fiecare coloan˘ a trebuie s˘ a fie ˆ ın l2.ˆIn mod similar, dac˘ a Aeste m˘ arginit,
atunci ¸ si A⋆este m˘ arginit˘ aˆ ın l2.
Exemplu: Consider˘ am matricea:
Ai,j=
1 0 0…0…
0 2 0…0…
0 0 3…0…
……………

1Aceastaˆ ınseamn˘ a c˘ a, toate liniile ¸ si coloanele trebuie s˘ a fieˆ ın l2.

2.2. MATRICE INFINITE 23
unde, pentru fiecare rˆ and n, singurul element nenul este npe diagonal˘ a. Ret ¸inem
c˘ a fiecare linie ¸ si fiecare coloan˘ a este sum˘ a p˘ atrat˘ a. D ac˘ a se alege vectorul f=
/parenleftbig
0,1
2,0,1
4,0,0,0,1
8,0,…/parenrightbig
unde, pentru m= 1,2,3, …, termenul este1
2m,
deci avem:
/bardblf/bardbl/lessorequalslant0
dar,
/bardblAi,jf/bardbl=∞.
Acum, c˘ a avem o condit ¸ie necesar˘ a pentru ca o matrice s˘ a de a na¸ stere unui
operator m˘ arginit, ment ¸ion˘ am o condit ¸ie suficient˘ a pe ntru o matrice ( aij) s˘ a genereze
un operator liniar m˘ arginit:
/summationdisplay
i/summationdisplay
j|aij|2<∞.
Pentru a deduce acest lucru, lu˘ amˆ ın considerare un vector f
cu/bardblf/bardbl/lessorequalslant1. Deci, avem:
/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/summationdisplay
jaij/an}bracketle{tf, ej/an}bracketri}ht/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle2
/lessorequalslant/summationdisplay
j|aij|2/bardblf/bardbl2,
pentru fiecare i¸ sif. Apoi, luˆ and suma peste tot ¸i i, avem:
/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/summationdisplay
i/summationdisplay
jaij/an}bracketle{tf, ej/an}bracketri}htei/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble2
/lessorequalslant/summationdisplay
i/summationdisplay
j|aij|2/bardblf/bardbl2
Dar, din moment ce avem:
/summationdisplay
i/summationdisplay
j|aij|2<∞¸ si/bardblf/bardbl/lessorequalslant1
obt ¸inem:
/bardblA/bardbl/lessorequalslant∞
Cu toate c˘ a, avest lucru nu este necesar.
2.2.3 Matricea Hilbert
Matricea Hilbert:

24 CAPITOLUL 2. MATRICE

11
21
3…0…
1
21
31
4…0…
1
31
41
5…0…
1
41
51
6…0…
………………

este o matrice care provine de la un operator m˘ arginit Acu/bardblA/bardbl=π.
Exemplu: Matricea exponent ¸ial˘ a Hilbert este un alt exemplu a unei matrice
ce provine dintr-un operator liniar: aij= 2−(i+j−1), undei,j= 0,1,2, …este
de asemenea o matrice Hankel2. Pentru a g˘ asi norma acestei matrice, lu˘ am ˆ ın
considerare faptul c˘ a liniile riale acestei matrice sunt multiple de Γ 0=/parenleftbig
2(+0+j+1)/parenrightbig
j=
/parenleftbig1
2,1
4,1
8, …/parenrightbig
. Apoi,Ar= 2/an}bracketle{tr, r0/an}bracketri}htr0¸ si
/bardblA/bardbl= 2/bardblr0/bardbl2= 2/summationdisplay1
4n=2
3.
2.3 Operat ¸ii de baz˘ a asupra matricelor infinite
2.3.1 Conjugarea ¸ si transpunerea matricelor
Observat ¸ie. Vom folosi notat ¸ile:
•Ai,j= (aij)- pentru a reprezenta matricea conjugat˘ a a matricei Ai,j;
•A′
i,j= (aji) =Aj,i- pentru a reprezenta matricea transpus˘ a a matricei Ai,j;
•A⋆
i,j- pentru a reprezenta matricea conjugat˘ a Hermitic a matricei Ai,j, unde
A⋆
i,j= (aj,i).
Definit ¸ie 2.3.1. O matrice infinit˘ a Ai,j= (aij)estesimetric˘ a dac˘ a
aij=aji.
Exemplu: Unbunexempludematriceinfinit˘ asimetric˘ aˆ ıntr-odimens iuneinfinit˘ a
este matricea lui Hilbert ¸ si este format˘ a astfel:
ai,j=1
i+j−1, i, j= 0,1,2, …
2O matrice Hankel este o matrice Aij= (aij), undeaij=i+j

2.3. OPERAT ¸II DE BAZ ˘A ASUPRA MATRICELOR INFINITE 25
ceea ce duce la: 
11
21
3…0…
1
21
31
4…0…
1
31
41
5…0…
1
41
51
6…0…
………………
.
O extensie a matricelor simetriceˆ ın spat ¸iul complex Csunt matricele hermitice.
Definit ¸ie 2.3.2. Spunem c˘ a Ai,jeste o matrice hermitic˘ a , dac˘ aA⋆
i,j=Ai,j.
Exemplu: Un exemplu de matrice hermitic˘ aˆ ın spat ¸iul finit-dimensional este:

1 1+i2+i
1−i2 3+i
2−i3−i3

Observ˘ am c˘ a ˆ ın cazul matricei hermitice, elementele dia gonale trebuie s˘ a fie reale,
pentru ca acestea s˘ a corespund˘ a propriului conjugat ( aii=aii).
Exemplu: Matricea identitate (sauunitate) – infinit˘ a sau finit˘ a – este un exemplu
de matrice simetric˘ a ¸ si hermitic˘ a.
2.3.2 Adunarea matricelor
Adunareamatricelor infiniteesteidentic˘ acuceaamatricelor finite. FieAi,j= (aij),
undeaijreprezint˘ a elementul ( i,j) al matricei infinite Ai,j¸ siBi,j= (bij) reprezint˘ a
elementul ( i,j) al matricei infinite Bi,j; atunci putem defini adunarea matricelor A¸ si
Bsub forma:
(A+B)i,j= (cij)
undecijpoate fi dezvoltat sub forma:
cij=aij+bij.
Nu ne vom pune problema dac˘ a Ai,j¸ siBi,jau origineaˆ ın operatori m˘ arginit ¸i sau
nem˘ arginit ¸i, atˆ at timp cˆ at Ai,j¸ siBi,jexist˘ a. Aici, exist˘ aˆ ınseamn˘ a c˘ a, elementele
sunt finite.

26 CAPITOLUL 2. MATRICE
2.3.3 Multiplicarea matricelor
Fiind date dou˘ a matrice infinite Ai,j¸ siBi,j, multiplicarea acestora este definit˘ a
asemeni cazului matricelor finite, elementul ( i,j) al matricei ( AB)i,jfiind dat de:
/summationdisplay
kaik·bik.
De¸ si acest lucru pare s˘ a fie doar o extindere a operat ¸iei de multiplicare a ma-
tricelor finite, pentru matricele infinite trebuie s˘ a punem problema ca aceasta s˘ a fie
bine definit˘ a. Este posibil ca matricele Ai,j¸ siBi,js˘ a existe, dar ( AB)i,js˘ a nu existe
(altfel spus,/summationdisplay
kaik·bikeste divergent).
Exemplu: Consider˘ am matricea:

1 1 1 …1…
1 1 1 …1…
1 1 1 …1…
……………………
.
ˆIn acest caz, ( AB)i,jnu este definit˘ a, deoarece pentru elementul ( i,j), respectiv
(1,1) avem:/summationdisplay
kaik·bik=/summationdisplay
k1→ ∞.
Dac˘ aAi,j¸ siBi,jauorigineaˆ ınoperatorim˘ arginit ¸i, atunci( AB)i,jexist˘ a. Trebuie
s˘ a verific˘ am absolut-convergent ¸a produsului matricelo r, deoarece, cˆ and avem sume
convergente pentru fiecare element, matricea este bine defin it˘ a.
Lema 2.3.3. Fie A, B operatori liniari definit ¸i pe l2(N0)¸ siA⋆conjugata hermitic˘ a
a matricei A, astfel ˆ ıncˆ at, Aej,A⋆ej, ¸ siBejsunt definite ˆ ın l2(N0)pentru fiecare
element al bazei ortonormate {ej}j∈N0. Atunci, Ai,j¸ siBi,j, reprezentarea matriceal˘ a
infinit˘ a a lui A, respectiv B, sunt definite, ¸ si produsul mat riceal(AB)i,jeste bine
definit.
2.3.4 Inversarea matricelor
Multiplicarea matricelor infinite conduce laˆ ıntrebarea c um ¸ stim dac˘ a matricea Ai,j
este sau nu inversabil˘ a .ˆIn cazul matricelor finit-dimensionale, o matrice p˘ atrat˘ a

2.3. OPERAT ¸II DE BAZ ˘A ASUPRA MATRICELOR INFINITE 27
Aare o invers˘ a dac˘ a det A/ne}ationslash= 0. De fapt, determinant ¸ii joac˘ a un rol important ˆ ın
calculul matricei A−1ˆ ın cazul finit-dimensional.
Definit ¸ie 2.3.4. Omatriceinfinit˘ aeste injectiv˘ a dac˘ a vectorulnul (0,0, …,0, …)
este singurul vector (xk)astfelˆ ıncˆ at:
/summationdisplay
jaijxj= 0.
Definit ¸ie 2.3.5. O matrice infinit˘ a este surjectiv˘ a dac˘ a pentru fiecare vector yk
exist˘ a un vector (xk)astfelˆ ıncˆ at:
/summationdisplay
jaijxj=yk.
Definit ¸ie 2.3.6. O matrice infinit˘ a Ai,jesteinversabil˘ a dac˘ a exist˘ a Bijastfelˆ ıncˆ at:
(AB)ij= (BA)ij=Iij,
unde,Iijeste matricea unitate infinit˘ a:
Iij=/braceleftigg
1,dac˘ ai=j
0,dac˘ ai/ne}ationslash=j.
Exemplu: Matricea Hilbert infinit˘ a este de forma:
Aij=1
i+j−1,undei,j= 0,1,2, … .
Deci, matricea se scrie astfel:

11
21
3…0…
1
21
31
4…0…
1
31
41
5…0…
1
41
51
6…0…
………………
.
Observ˘ am c˘ a, aceast˘ a matrice este injectiv˘ a, adic˘ a:
/summationdisplay
jaijαj= 0 ;
numai pentru cazul cˆ and, ( αi) este vectorul nul.

28 CAPITOLUL 2. MATRICE
De asemenea, matricea nu este surjectiv˘ a dac˘ a Apuneˆ ın corespondent ¸˘ a un ¸ sir
infinit (b1, b2,b3, …) cu¸ sirul (1 ,0,0, …). Totodat˘ a, Apuneˆ ın corespondent ¸˘ a¸ sirul
(0, b1, b2, …) cu ¸ sirul (0 ,0,0, …), deci, (1 ,0,0, …) nu este ˆ ın imaginea lui A.
Ceea ceˆ ınseamn˘ a, de asemenea, c˘ a Anu este inversabil˘ a.

Capitolul 3
OPERATORI LINIARI
Rezultatele din acest capitol au fost preluate din [5].
3.1 Operatori Autoadjunct ¸i
3.1.1 Conjugatul unui spat ¸iu Hilbert
Teorema 3.1.1. (Riesz) Dac˘ a feste o funct ¸ional˘ a liniar˘ a ¸ si continu˘ a pe spat ¸iul
HilbertX, atunci exist˘ a un element unic y∈X, astfelˆ ıncˆ at:
f(x) =/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht,/parenleftbig
x∈X/parenrightbig
¸ si are loc egalitatea:
/bardblf/bardbl=/bardbly/bardbl
Reciproc, pentru orice element y∈X, relat ¸ia:
f(x) =/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht,/parenleftbig
x∈X/parenrightbig
,
define¸ ste o funct ¸ional˘ a liniar˘ a ¸ si continu˘ a pe X.
Teorema 3.1.2. Orice spat ¸iu Hilbert este un spat ¸iu reflexiv.
29

30 CAPITOLUL 3. OPERATORI LINIARI
3.1.2 Adjunctul unui operator
Lema 3.1.3. Pentru ca un operator liniar U:X→Xs˘ a fie continuu, este necesar ¸ si
suficient s˘ a existe un num˘ ar µ >0astfelˆ ıncˆ at:
|/an}bracketle{tU(x), y/an}bracketri}ht|/lessorequalslantµ/bardblx/bardbl/bardbly/bardbl,(∀)x, y∈X (*)
Cel mai mic num˘ ar µcare verific˘ a relat ¸ia de mai sus este /bardblU/bardbl.
Demonstrat ¸ie. Dac˘ aU∈ L(X), atunci exist˘ a µ >0 astfelˆ ıncˆ at:
/bardblU(x)/bardbl/lessorequalslantµ/bardblx/bardbl (**)
¸ si cu inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakovski:
|/an}bracketle{tU(x), y/an}bracketri}ht|/lessorequalslant/bardblU(x)/bardbl/bardbly/bardbl/lessorequalslantµ/bardblx/bardbl/bardbly/bardbl.
Reciproc, s˘ a presupunem c˘ a relat ¸ia (*) esteˆ ındeplinit ˘ a. Luˆ and y=U(x), obt ¸inem:
/bardblU(x)/bardbl2/lessorequalslantµ/bardblx/bardbl/bardblU(x)/bardbl;
de unde deducem:
/bardblU(x)/bardbl/lessorequalslantµ/bardblx/bardbl.
Ultima afirmat ¸ie din enunt ¸ul lemei, rezult˘ a din faptul c˘ a un num˘ ar µverific˘ a
relat ¸ia (*) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a, verific˘ a relat ¸ia (**).
Teorema 3.1.4. Dac˘ aU∈ L(X), atunci exist˘ a U⋆∈ L(x)astfelˆ ıncˆ at:
• /an}bracketle{tU(x), y/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tx, U(y)/an}bracketri}ht,(∀)x,y∈X
• /bardblU⋆/bardbl=/bardblU/bardbl
Definit ¸ie 3.1.5. Dac˘ aU∈ L(X), atunci operatorul U⋆dat de egalitatea /bardblU⋆/bardbl=/bardblU/bardbl
se nume¸ ste adjunctul operatorului U.
Teorema 3.1.6.
Dac˘ aU, V∈ L(X), iarα∈Γ, atunci:
a)(U+V)⋆=U⋆+V⋆;
b)(αU)⋆=αU⋆;

3.1. OPERATORI AUTOADJUNCT ¸I 31
c)(U⋆)⋆=U;
d)(UV) =V⋆U;
e)/bardblU⋆U/bardbl=/bardblU/bardbl2.
Demonstrat ¸ie. Primele patru propriet˘ at ¸i rezult˘ a din relat ¸ia /bardblU⋆/bardbl=/bardblU/bardbl, deci demon-
str˘ am ultima proprietate. Avem:
/bardblU(x)/bardbl2=/an}bracketle{tU(x), U(x)/an}bracketri}ht=|/an}bracketle{tU⋆(U(x)), x/an}bracketri}ht|/lessorequalslant
/lessorequalslant/bardblU⋆(U(x))/bardbl·/bardblx/bardbl/lessorequalslant/bardblU⋆U/bardbl/bardblx/bardbl2
de unde rezult˘ a:
/bardblU/bardbl2/lessorequalslant/bardblU⋆U/bardbl.
Pe de alt˘ a parte,
/bardblU⋆U/bardbl/lessorequalslant/bardblU⋆/bardbl/bardblU/bardbl
¸ si cum/bardblU⋆/bardbl=/bardblU/bardbl, are loc inegalitatea:
/bardblU⋆U/bardbl/lessorequalslant/bardblU/bardbl2.
Rezult˘ a deci:
/bardblU⋆U/bardbl=/bardblU/bardbl2.
Definit ¸ie 3.1.7. Un operator U∈ L(x)se nume¸ ste autoadjunct dac˘ aU⋆=U.
Din definit ¸ie rezult˘ a c˘ a Ueste autoadjunct, dac˘ a:
/an}bracketle{tU(x), y/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tx, U(y)/an}bracketri}ht,(∀)x, y∈X
ˆIn particular, rezult˘ a c˘ a dac˘ a Ueste autoadjunct, /an}bracketle{tU(x), x/an}bracketri}htesterealoricare
ar fix∈X

32 CAPITOLUL 3. OPERATORI LINIARI
3.1.3 Operatori autoadjunct ¸i pozitivi
Definit ¸ie 3.1.8. Un operator U∈ A(X)se nume¸ ste operator autoadjunct pozitiv ,
¸ si se noteaz˘ a U/greaterorequalslant0dac˘ a/an}bracketle{tU(x), x/an}bracketri}ht/greaterorequalslant0,(∀)x∈X.
Teorema 3.1.9. ˆIn mult ¸imea A(X), pentru orice ¸ sir cresc˘ ator ¸ si m˘ arginit superior
{Un}n∈N, exist˘ a limita superioar˘ a U a ¸ sirului, ¸ si anume, U este l imita punctual˘ a a
¸ sirului.
Teorema 3.1.10. Dac˘ a U ¸ si V sunt operatori autoadjunct ¸i pozitivi, iar UV=VU
atunciUVeste un operator autoadjunct pozitiv.
Teorema 3.1.11. Orice operator autoadjunct pozitiv U admite o r˘ ad˘ acin˘ a p ˘ atrat˘ a
pozitiv˘ a V ¸ si numai una singur˘ a.
3.1.4 Operatori normali
Definit ¸ie 3.1.12. Un operator U∈ L(X)se nume¸ ste normal dac˘ aUU⋆=U⋆U.
Este evident c˘ a un operator autoadjunct este normal.
Propozit ¸ie 3.1.13. Pentru ca un operator U∈ L(X)s˘ a fie normal este necesar ¸ si
suficient ca acesta s˘ a fie autoadjunct.
Propozit ¸ie 3.1.14. Un operator U care aplic˘ a un spat ¸iu Hilbert complex pe elˆ ı nsu¸ si
este normal dac˘ a ¸ si numai dac˘ a se poate reprezenta sub for ma:
U=V1+iV2,
undeV1, V2sunt operatori autoadjunct ¸i permutabili.
Definit ¸ie 3.1.15. Un operator U:X→Xse nume¸ ste unitardac˘ a are urm˘ atoaele
propriet˘ at ¸i:
i)(∀)y∈X(∃)x∈X,astfelˆ ıncˆ at U(x) =y
ii)/an}bracketle{tU(x), U(y)/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht,(∀)x, y∈X.
Propozit ¸ie 3.1.16. Dac˘ a U este un operator unitar, atunci U este liniar, contin uu,
¸ si inversabil.

3.2. REZOLVENTA S ¸I SPECTRUL UNUI OPERATOR AUTOADJUNCT 33
3.2 Rezolventa ¸ si spectrul unui operator autoadjunct
3.2.1 Valori proprii ¸ si vectori proprii
Definit ¸ie 3.2.1. Un subspat ¸iu liniar E⊂Xse nume¸ ste invariant pentru un ope-
ratorU:X→Xdac˘ aU(E)⊂E.
Propozit ¸ie 3.2.2. Dac˘ aU∈ A(X), iarEeste subspat ¸iu invariant pentru U, atunci
¸ siE⊥este subspat ¸iu invariant pentru U.
Demonstrat ¸ia acestei propozit ¸ii este imediat˘ a.
Definit ¸ie 3.2.3. Un num˘ ar λ∈Γse nume¸ ste valoare proprie pentru un operator
U:X→Xdac˘ a exist˘ a x/ne}ationslash= 0astfel ˆ ıncˆ at U(x) =λx.ˆIn acest caz, se spune c˘ a x
estevector propriu corespunz˘ ator valorii proprii λ.
Mult ¸imea valorilor proprii pentru un operator Uva fi notat˘ a cu P(U). Aceast˘ a
mult ¸ime poate fi ¸ si vid˘ a.
Dac˘ aU∈ L(X), iarλ∈ P(U), vom nota:
Eλ(U) ={x∈X|U(x) =λx}.
Mult ¸imea Eλ(U)esteunsubspat ¸iuliniar¸ siˆ ınchis,invariantpentru U. Verificarea
acestui fapt este imediat˘ a.
Propozit ¸ie 3.2.4. Dac˘ aU∈ A(x), atunciP(U)⊂[wu,Ωu].
Demonstrat ¸ie. Fieλ∈ P(U) ¸ si 0/ne}ationslash=x∈ Eλ(U). Se poate presupune /bardblx/bardbl= 1, c˘ aci
Eλ(U) este un subspat ¸iu liniar. Avem:
/an}bracketle{tU(x), x/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tλx, x/an}bracketri}ht=λ
deci:
wu/lessorequalslantλ/lessorequalslantΩu.
Propozit ¸ie 3.2.5. Dac˘ aU∈ A(x), iarλ, µ∈ P(U), ¸ siλ/ne}ationslash=µatunci
Eλ(U)⊥ Eµ(U).

34 CAPITOLUL 3. OPERATORI LINIARI
Demonstrat ¸ie. Dac˘ ax∈ Eλ(U) ¸ siy∈ Eµ(U), atunci:
λ/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tλx, y/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tU(x), y/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tx, U(y)/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tx, µy/an}bracketri}ht=µ/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht
deci,/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht= 0
Teorema 3.2.6. FieU∈ A(X)¸ si fieλ∈Γ. Pentru ca λ∈ P(U)este necesar ¸ si
suficient ca:
(U−λI)(X)/ne}ationslash=X
Demonstrat ¸ie. Fieλ∈ P(U) ¸ si 0/ne}ationslash=x0∈ Eλ(U). Pentru orice x∈Xavem:
/an}bracketle{tx0,(U−λI)(x)/an}bracketri}ht=/an}bracketle{t(U−λI)(x0), x/an}bracketri}ht= 0,
deci,x0⊥(U−λI)(X), de unde, x0⊥(U−λI)(X). Deoarece x0/ne}ationslash= 0, rezult˘ a c˘ a are
loc relat ¸ia din teorem˘ a.
Reciroc, presupunemc˘ aarelocrelat ¸iadinteorem˘ a, deci exist˘ aatunciunelement
x0/ne}ationslash= 0 astfelˆ ıncˆ at:
x0⊥(U−λI)(X).
Rezult˘ a:
/angbracketleftbig
x,/parenleftbig
U−λI/parenrightbig
(x0)/angbracketrightbig
=/an}bracketle{t(U−λI)(x), x0/an}bracketri}ht= 0 (∀)x∈X,
prin urmare,/parenleftbig
U−λI/parenrightbig
(x0) = 0. Rezult˘ a c˘ a λ¸ siλsunt valori proprii pentru U.
3.2.2 Rezolventa ¸ si spectrul
FieU∈ A(X)λ∈Γ ¸ si not˘ am:
Xλ(U) = (U−λI)(X).
S˘ a consider˘ am ecuat ¸ia:
(U−λI)(x) =y (*)
cuy∈Xλ(U). Dac˘ aλ /∈ P(U) atunci ecuat ¸ia:

3.2. REZOLVENTA S ¸I SPECTRUL UNUI OPERATOR AUTOADJUNCT 35
(U−λI)(x) = 0
are doar solut ¸ia nul˘ a (¸ si reciproc), iar ecuat ¸ia (*) are o solut ¸ie unic˘ a (pentru fiecare
y∈Xλ(U)).
Definit ¸ie 3.2.7. FieU∈ A(X)¸ siλ∈Γ. Se spune c˘ a λeste o valoare regulat˘ a
pentruU, dac˘ a(U−λI)−1∈ L(X). Mult ¸imea tuturor vectorilor regulat ¸i se nume¸ ste
rezolventa luiU¸ si se noteaz˘ a R(U). Complementara lui R(U)ˆ ınΓse nume¸ ste
spectrul luiU¸ si se noteaz˘ a S(U).
Teorema 3.2.8. FieU∈ A(X)¸ siλ∈Γ. Pentru ca λ∈R(U)este necesar ¸ si
suficient s˘ a existe un num˘ ar µ >0astfelˆ ıncˆ at:
/bardbl(U−λI)(x)/bardbl/greaterorequalslantµ/bardblx/bardbl,(∀)x∈X. (**)
Demonstrat ¸ie. Dac˘ aλ∈R(U) atunci exist˘ a evident µ >0 pentru care s˘ a aib˘ a loc
relat ¸ia din teorema de mai sus.
Corolar 3.2.9. Un num˘ ar λapart ¸ine spectrului unui operator autoadjunct Udac˘ a ¸ si
numai dac˘ a exist˘ a un ¸ sir {xn}n∈Nde elemente din Xcu/bardblxn/bardbl= 1, astfelˆ ıncˆ at:
lim
n(U(xn)−λxn) = 0
Demonstrat ¸ie. Num˘ arul λapart ¸ine spectrului lui U, dac˘ a ¸ si numai dac˘ a condit ¸ia (**)
nu esteˆ ındeplinit˘ a. Condit ¸ia se mai poate scrie:
/bardbl(U−λI)(x)/bardbl/greaterorequalslantµ
pentru/bardblx/bardbl= 1, de unde rezult˘ a afirmat ¸ia din corolar.
Corolar 3.2.10. Dac˘ aXeste un spat ¸iu Hilbert complex, iar U∈ A(X), atunci orice
num˘ ar complex λ=α+iβcuβ/ne}ationslash= 0este o valoare regulat˘ a pentru U.
Demonstrat ¸ie. Notˆ and:
y=U(x)−λx ,
se verific˘ a imediat c˘ a:
/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht−/an}bracketle{ty, x/an}bracketri}ht=/parenleftbig
λ−λ/parenrightbig
/bardblx/bardbl2= 2β/bardblx/bardbl2i

36 CAPITOLUL 3. OPERATORI LINIARI
¸ si, deci:
2β/bardblx/bardbl2/lessorequalslant|/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht|+|/an}bracketle{ty, x/an}bracketri}ht|/lessorequalslant2/bardblx/bardbl/bardbly/bardbl
de unde rezult˘ a c˘ a:
/bardblU(x)−λx/bardbl/greaterorequalslant|β|/bardblx/bardbl.
3.3 Descompunerea spectral˘ a a operatorilor. Funct ¸ii de ope-
ratori.
ˆIn cele ce urmeaz˘ a, vom trata cazul operatorilor pe spat ¸ii finit dimensionale .
3.3.1 Descompunerea spectral˘ a a unui operator autoadjunct
Teorema 3.3.1. Vectorii proprii ai unui operator autoadjunct A, care au valori pro-
prii egale, genereaz˘ a un subspat ¸iu invariant.
Totalitatea subspat ¸iilor astfel generate sunt ortogonal e ˆ ıntre ele ¸ si suma ortogonal˘ a
acoper˘ a tot spat ¸iul.
Demonstrat ¸ie. Fiex,ydoi vectori proprii, apart ¸inˆ and valorii proprii λ. Atunci, orice
combinat ¸ie liniar˘ a αx+βyeste un vector propriu, avˆ and aceea¸ si valoare proprie,
ceea ce demonstreaz˘ a prima afirmat ¸ie. Ultima afirmat ¸ie rez ult˘ a din observat ¸ia c˘ a
totalitateavectorilorpropriiaiunuioperatorautoadjun ctformeaz˘ aobaz˘ aaspat ¸iului.
Fiee11,…, e 1rvectori proprii care apart ¸in valorii proprii λ1;e21,…, e 2svectori
proprii care apart ¸in valorii proprii λ2¸ si a¸ sa mai departe, ek1,…, e ktvectori proprii
care apart ¸in valorii proprii λk, presupunˆ and c˘ a exist˘ a kvalori proprii distincte.
Notˆ and cu L1subspat ¸iul generat de vectorii e11,…, e 1r, cuL2subspat ¸iul generat
de vectorii e21,…, e 2s, cuLksubspat ¸iul generat de vectorii ek1,…, e kt, atunci
r+s+…+t=n. Se observ˘ a c˘ a:
Un=L1⊕L2⊕…⊕Lk. (1)
Nimicnuneˆ ımpiedic˘ as˘ apresupunemc˘ avalorilepropriis untnumerotateˆ ınordi-
nea m˘ arimii lor. Not˘ and cu Pλ1,Pλ2, …, P λkoperatorii de proiect ¸ie a subspat ¸iilor

3.3. DESCOMPUNEREA SPECTRAL ˘A A OPERATORILOR. FUNCT ¸II DE OPERATORI. 37
L1, L2, … L kvom avea urm˘ atoarea descompunere a operatorului unitate, ˆ ın opera-
tori de proiect ¸ie:
In=Pλ1+Pλ2+…+Pλk. (2)
Descompunˆ and un vector arbitrar xdup˘ a relat ¸ia de mai sus, obt ¸inem:
x=I·x=Pλ1x+Pλ2x+…+Pλkx
¸ si vom avea:
Ax=A(Pλ1x+Pλ2x+…+Pλkx) =λ1·Pλ1x+λ2·Pλ2x+…+λk·Pλkx ,
adic˘ a, vom obt ¸ine relat ¸ia:
A=λ1·Pλ1+λ2·Pλ2+…+λk·Pλk. (3)
Teorema 3.3.2. Fiec˘ arui operator autoadjunct Aˆ ıi corespunde o descompunere a
unit˘ at ¸ii ˆ ın operatori de proiect ¸ie ¸ si operatorul Aadmite reprezentarea spectral˘ a din
relat ¸ia(3).
ˆIn particular, dac˘ a toate valorile proprii sunt distincte , vom avea:
Ix=n/summationdisplay
i=1(ei, x)ei
¸ si:
Ax=n/summationdisplay
i=1λi(ei, x)ei. (4)
Familia de operatori de proiect ¸ie Pλicare formeaz˘ a o descompunere a unit˘ at ¸ii,
se nume¸ ste uneori familie spectral˘ a a operatorului A.
ˆIn baza format˘ a din vectorii proprii eiai operatorului A, relat ¸ia (3) exprim˘ a faptul
evident c˘ a matricea diagonal˘ a Ase descompune intr-o sum˘ a de matrice de proiect ¸ie:
A=
λ1Is0r…0t
0sλ2Ir…0t
0s0r…0t
0s0r… λ kIt


38 CAPITOLUL 3. OPERATORI LINIARI
unde, prin λ1Isam notat matricea diagonal˘ a, cu scoloane:
λ1Is=
λ10…0
0λ1…0
………………
0 0 … λ 1

¸ si prin 0 smatricea nul˘ a cu scoloane.
De asemenea, am folosit aceea¸ si notat ¸ie pentru λ2Ir, respectiv λ3It, ¸ si 0r, respectiv
0t, matrice diagonale cu r, respectiv tcoloane.
Prin urmare, vom avea:
A=
λ1Is0r…0t
0sλ2Ir…0t
0s0r…0t
0s0r… λ kIt
=
=/parenleftigg
λ1Is0n−s
0s0n−s/parenrightigg
+
0s0r0n−s−r
0sλ2Ir0n−s−r
0s0r0n−s−r
+…+/parenleftigg
0n−t0t
0n−tλ2It/parenrightigg
.
Relat ¸ia (3) arat˘ a c˘ a aceast˘ a descompunere se p˘ astreaz ˘ a ˆ ın orice baz˘ a ¸ si c˘ a, ˆ ın
fiecare subspat ¸iu Li, operatorul Ase reduce laˆ ınmult ¸irea cu valoarea proprie λi.
3.3.2 Descompunerea spectral˘ a a operatorilor unitari ¸ si n ormali
Teorema 3.3.3. Unui operator unitar U, definit pe un spat ¸iu unitar Unˆ ıi corespunde
o descompunere a unit˘ at ¸ii:
I=k/summationdisplay
i=1λiPλi,
λ1=eiU1,λ2=eiU2, …, λ k=eiUkfiind valorile proprii distincte ale operatorului
U. Operatorul Uadmite reprezentarea spectral˘ a:
U=n/summationdisplay
j=1λjPλj=n/summationdisplay
j=1eiUjPλj (5)

3.3. DESCOMPUNEREA SPECTRAL ˘A A OPERATORILOR. FUNCT ¸II DE OPERATORI. 39
Teorema 3.3.4. Unui operator normal N, definit pe un spat ¸iu unitar Unˆ ıi cores-
punde o descompunere a unit˘ at ¸ii:
I=k/summationdisplay
i=1λiPλi,
λ1=λ(1)
1+iλ(2)
1,λ2=λ(1)
2+iλ(2)
2, … λ k=λ(1)
k+iλ(2)
kfiind valorile proprii distincte
ale operatorului N. Operatorul Nadmite reprezentarea spectral˘ a:
N=k/summationdisplay
j=1λjPλj=k/summationdisplay
j=1/parenleftig
λ(1)
j+iλ(2)
j/parenrightig
Pλj (6)
Problema valorii proprii pentru un operator autoadjunct, u nitar sau normal T,
se poate formula astfel:
Se caut˘ a o descompunere a unit˘ at ¸iiˆ ın operatori de proie ct ¸iePλi, corespunz˘ atori unor
subspat ¸ii Liinvariante fat ¸˘ a de operatorul dat, astfel ˆ ıncˆ at operat orulTs˘ a admit˘ a
descompunerea spectral˘ a:
T=k/summationdisplay
i=1λiPλi, λi/ne}ationslash=λj
adic˘ a,ˆ ın fiecare dintre subspat ¸iile Li, act ¸iunea operatorului s˘ a se reduc˘ a laˆ ınmult ¸irea
vectorului cu acela¸ si num˘ ar (real sau complex).
3.3.3 Funct ¸ii de operatori
Descompunerea spectral˘ a a operatorilor ne d˘ a posibilita tea de a construi funct ¸ii ale
unui operator. Pentru un operator Tdefinit pe un spat ¸iu vectorial cu ndimensiuni,
se definesc, f˘ ar˘ a dificultate, polinoame de orice grad:
Pm(T) =m/summationdisplay
k=1αk·Tk(7)
t ¸inˆ and seama de definit ¸ia puterilor unui operator. Utiliz ˆ and teoremele obi¸ snuite
dinanaliz˘ a, sevorputeaconstruifunct ¸iicontinuedeope ratori,calimitedepolinoame.
Pornind de la descompunerea spectral˘ a din relat ¸ia (3) a op eratorului autoadjunct :
A=k/summationdisplay
i=1λiPλi,

40 CAPITOLUL 3. OPERATORI LINIARI
vom ar˘ ata c˘ a orice putere a lui Ase poate exprima prin formula:
Ap=k/summationdisplay
i=1λp
iPλi (8)
ˆIn adev˘ ar, deoarece Pλisunt operatori de proiect ¸ie ai unor subspat ¸ii ortogonale ,
avem:
P2
λi=Pλi, Pλi·Pλj= 0 ;
deci,
A2=/parenleftiggk/summationdisplay
i=1λiPλi/parenrightigg2
=/parenleftiggk/summationdisplay
i=1λiPλi/parenrightigg/parenleftiggk/summationdisplay
j=1λjPλj/parenrightigg
=k/summationdisplay
i=1λ2
iPλi
identic pentru orice putere.
ˆIn consecint ¸˘ a, definit ¸ia unui polinom oarecare (cu coefic ient ¸i reali sau complec¸ si)
Qm(A) de operatorul Acorespunz˘ ator polinomului Qm(t) de variabil˘ a real˘ a teste
imediat˘ a:
Qm(A) =k/summationdisplay
i=1Q(λi)Pλi (9)
Analog, se poate defini o funct ¸ie analitic˘ a f(A) a operatorului A, asociat˘ a
funct ¸iei analitice f(t) =∞/summationdisplay
j=1αjtj, de variabil˘ a real˘ a t:
Se observ˘ a faptul c˘ a funct ¸ia f(A) trebuie s˘ a fie analitic˘ a doar pe spectrul ope-
ratorului A, adic˘ aˆ ın cele kpuncte,λ1,…λk. Analog, se pot defini funct ¸ii continue
de operatori ca limite de polinoame.
f(A) =k/summationdisplay
i=1f(λi)Pλi=k/summationdisplay
i=1/parenleftigg∞/summationdisplay
i=1αjλj
i/parenrightigg
Definit ¸ie 3.3.5. O funct ¸ie F(N)a unui operator normal Ndefinit pe Un, asociat˘ a
unei funct ¸ii de variabil˘ a complex˘ a F(z)se define¸ ste prin relat ¸ia:
F(N) =k/summationdisplay
i=1F(λi)Pλi (11)
Funct ¸iaF(z) nu trebuie s˘ a existe dec˘ at pe spectrul operatorului N.
Exemplu: FieF(t) =eit. Vom avea:
U=eiA=k/summationdisplay
j=1eiλjPλj.

3.3. DESCOMPUNEREA SPECTRAL ˘A A OPERATORILOR. FUNCT ¸II DE OPERATORI. 41
Comparˆ and relat ¸ia cu descompunerea spectral˘ a a unui ope rator unitar (5) se vede
c˘ aeiAeste operator unitar, Aoperator autoadjunct, iar invers, orice operator unitar
admite o reprezentare asem˘ anatoare, ¸ si deci, orice opera tor unitar are forma:
U=eiA.

Capitolul 4
APLICAT ¸II DIVERSE
Aceste aplicat ¸ii trateaz˘ a cazul spat ¸iilor infinit dimens ionale. Rezulta-
tele din acest capitol au fost preluate din [7]
Exercit ¸iu 1. a) S˘ a se arate c˘ a exist˘ a un izomorfism izometric ˆ ıntre fiec are spat ¸iu
normatX¸ siL(Γ,X)
b) Utilizˆ and punctul precedent, s˘ a se arate c˘ a Xeste spat ¸iu Banach dac˘ a ¸ si numai
dac˘ aL(Γ,Y)este spat ¸iu Banach, pentru orice spat ¸iu Banach Y.
Solut ¸ie:
a) Definim ϕ:X→ L(Γ,X) astfel: Pentru fiecare x∈X, ϕ(x) este aplicat ¸ia
definit˘ a pe Γ cu valoriˆ ın X, prin
ϕ(x)(λ) =λx .
Avem:
ϕ(x)(αλ+βµ)x= (αλ+βµ) =α(λx)+β(µx) =αϕ(x)(λ)+βϕ(x)(µ)
Deci,ϕ(x) este liniar˘ a. Apoi:
/bardblϕ(x)(λ)/bardbl=/bardblλx/bardbl=/bardblx/bardbl·|λ|
ceea ce arat˘ a c˘ a ϕ(x) este continu˘ a ¸ si /bardblϕ(x)/bardbl=/bardblx/bardblDeci,ϕeste corect definit˘ a,
¸ si este izometric˘ a.
Avem, pentru ( ∀)λ∈Γ:
ϕ(αx+βy)(λ) =λ(αx+βy) =α(λx)+β(λy) =αϕ(x)(λ)+βϕ(y)(λ)
42

43
adic˘ a:
ϕ(αx+βy) =αϕ(x)+βϕ(y)
deci,ϕeste liniar˘ a.
Mai este de ar˘ atat c˘ a ϕeste surjectiv˘ a. Fie f∈ L(Γ,X) ¸ si s˘ a not˘ am x=f(1).
Pentru fiecare λ∈Γ avem:
f(λ) =f(λ,1) =λf(1) =λx=ϕ(x)(λ)
ceea ce arat˘ a c˘ a ϕ(x) =f .
b) Necesitatea condit ¸iei este evident˘ a. Dac˘ a presupunem c˘ aL(Γ,Y) este spat ¸iu
Banach, pentru orice spat ¸iu Banach Y, ˆ ın particular, L(Γ,X) rezult˘ a spat ¸iu
Banach. Cu punctul precedent ⇒Xspat ¸iu Banach.
Exercit ¸iu 2. FieXun spat ¸iu Banach, Yun spat ¸iu normat, iar T∈ L(X,Y)cu
proprietatea c˘ a (∃)m >0astfelˆ ıncˆ at
/bardblTx/bardbl/lessorequalslantm/bardblx/bardbl,(∀)x∈X.
S˘ a se arate c˘ a T(X)este subspat ¸iu liniarˆ ınchisˆ ın Y.
Solut ¸ie:
Fiey∈T(X), deci exist˘ a yn∈T(X) astfelˆ ıncˆ at y= lim
n→∞yn. Fiexn∈Xastfelˆ ıncˆ at
yn=T(xn). Deoarece:
/bardblxn−xm/bardbl/lessorequalslantm−1/bardblT(xn−xm)/bardbl=m−1/bardblyn−ym/bardbl
iar{yn}este ¸ sir convergent, deducem c˘ a {xn}este un ¸ sir Cauchy. Fie x= lim
n→∞xn.
Deoarece Teste continuu, T(x) = lim
n→∞T(xn) =y, adic˘ ay∈T(X).
Exercit ¸iu 3. FieXun spat ¸iu normat, Yun spat ¸iu Banach, iar X1⊆Xun subspat ¸iu
liniar dens ˆ ın X. Dac˘ aT1∈ L(X1,Y)atunci exist˘ a ¸ si este unic T∈ L(X,Y)astfel
ˆ ıncˆ atT|x1=T1, iar/bardblT/bardbl=/bardblT1/bardbl.
Solut ¸ie:
Fiex∈X=X1astfelˆ ıncˆ at x= lim
x→∞xn. Avem:
/bardblT1xn−T1xm/bardbl=/bardblT1(xn−xm)/bardbl/lessorequalslant/bardblT1/bardbl/bardblxn−xm/bardbl.
{xn}fiind ¸ sir convergent, este ¸ sir Cauchy, deci {T1xn}este ¸ sir Cauchyˆ ın Y, deci
exist˘ a lim
n→∞T1xn.

44 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸II DIVERSE
S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a aceast˘ a limit˘ a nu depinde de ¸ sirul {xn}ales:
Fiex′
n∈X1, astfelˆ ıncˆ at x′
n→x¸ si s˘ a definim y2n=xn,y2n+1=x′
n. Evident, yn→x,
deci, ca mai sus, exist˘ a lim
n→∞T1yn.ˆIns˘ a:
lim
n→∞T1yn= lim
n→∞T1xn= lim
n→∞T1x′
n.
Deci, dac˘ a definim Tx= lim
n→∞T1xn, obt ¸inem c˘ a aplicat ¸ia T:X→Yeste bine
definit˘ a. Este evident c˘ a Teste liniar˘ a, ¸ si c˘ a T|x1=T1.ˆIn sfˆ ar¸ sit, avem:
/bardblTx/bardbl=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddoublelim
n→∞T1xn/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble= lim
n→∞/bardblT1xn/bardbl/lessorequalslant/bardblT1/bardbllim
n→∞/bardblxn/bardbl=/bardblT1/bardbl/bardblx/bardbl,
ceea ce ne arat˘ a c˘ a Teste continuu ¸ si /bardblT/bardbl/lessorequalslant/bardblT1/bardbl. Inegalitatea invers˘ a, este o
consecint ¸˘ a a faptului c˘ a Tprelunge¸ ste T1. Unicitatea lui Trezult˘ a din faptul c˘ a X1
este densˆ ın X.
Exercit ¸iu 4. FieXun spat ¸iu normat. 1Xeste operator compact, dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
Xeste de dimensiune finit˘ a. Deci, dac˘ a exist˘ a T∈ L(X)compact ¸ si T−1∈ L(X),
atunciXeste de dimensiune finit˘ a.
Solut ¸ie:
1Xeste compact, dac˘ a¸ si numai dac˘ a {x∈X| /bardblx/bardbl/lessorequalslant1}este mult ¸ine relativ compact˘ a,
ceea ce este echivalent cu faptul c˘ a Xeste finit dimensional. Dac˘ a T∈ L(X) este
compact ¸ si exist˘ a T−1∈ L(X), atunci 1 X=TT−1este compact; cu cele mai de sus,
Xrezult˘ a finit dimensional.
Exercit ¸iu 5. FieXun spat ¸iu Banach, Yun spat ¸iu normat, iar T:X→Yo aplicat ¸ie
liniar˘ a.
a) Dac˘ a not˘ am /bardblx/bardbl1=/bardblx/bardbl+/bardblTx/bardbl, atunci/bardbl·/bardbl1este o norm˘ a pe X.
b) Urm˘ atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente:
(a)Teste continuu;
(b) Normele /bardbl·/bardbl¸ si/bardbl·/bardbl1sunt echivalente;
(c)(X,/bardbl·/bardbl1)este spat ¸iu Banach.
Solut ¸ie:

45
a) Este evident c˘ a /bardbl0/bardbl1= 0. Dac˘ a /bardbl0/bardbl1= 0, urmeaz˘ a c˘ a /bardblx/bardbl= 0 implic˘ a x= 0.
Apoi,
/bardblλx/bardbl1=/bardblλx/bardbl+/bardblT(λx)/bardbl=|λ|/bardblx/bardbl1
¸ si:
/bardblx+y/bardbl1=/bardblx+y/bardbl+/bardblT(x+y)/bardbl/lessorequalslant/bardblx/bardbl+/bardbly/bardbl+/bardblTx/bardbl+/bardblTy/bardbl=/bardblx/bardbl1+/bardbly/bardbl1
b) 1)⇒2). Avem:
/bardblx/bardbl/lessorequalslant/bardblx/bardbl1/lessorequalslant(1+/bardblT/bardbl)/bardblx/bardbl.
2)⇒3). Evident, 3) ⇒2), (X,/bardbl·/bardbl) este spat ¸iu Banach prin ipotez˘ a, iar /bardbl·/bardbl1
este mai fin˘ a ca /bardbl /bardblprin construct ¸ie. Din principiul aplicat ¸iei deschise, r ezult˘ a
c˘ a cele 2 norme sunt echivalente. 2) ⇒1). FieMastfelˆ ıncˆ at /bardblx/bardbl1/lessorequalslantM/bardblx/bardbl.
Atunci
/bardblTx/bardbl=/bardblx/bardbl1−/bardblx/bardbl/lessorequalslant(M−1)/bardblx/bardbl,
ceea ce dovede¸ ste continuitatea lui T.
Exercit ¸iu 6. Oricare ar fi T∈ L(c0), exist˘ a ¸ si sunt unic determinat ¸i αm,n∈Γ,
astfelˆ ıncˆ at:
T(em) =∞/summationdisplay
m=1αmnem,(∀)n∈N. (*)
ˆIn plus:
1◦.
lim
m→∞αmn= 0,(∀)n∈N;
2◦.∞/summationdisplay
n=1|αmn|<+∞,(∀)n∈N;
3◦.
sup
n∈N∞/summationdisplay
n=1|αmn|<+∞;
4◦.
/bardblT/bardbl= sup
n∈N∞/summationdisplay
n=1|αmn|.
a) Reciproc, dat˘ a fiind o serie dubl˘ a (αmn), cu proprietat ¸ile 1,2,4exist˘ a un singur
T∈ L(c0)astfelˆ ıncˆ at s˘ a aib˘ a loc (*)

46 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸II DIVERSE
Solut ¸ie:
a) Deoarece {em}n∈Nesteobaz˘ aSchauderˆ ın c0,existent ¸a¸ siunicitateacoeficient ¸iilor
{αmn}este asigurat˘ a. Deoarece T(em)∈c0, avem lim
n→∞αmn= 0,(∀)n∈N. Fie
acumαmn=eiνmn|αmn|¸ sixk=k/summationdisplay
n=1e−iνmnen. Deci,/vextenddouble/vextenddoublexk/vextenddouble/vextenddouble= 1 ¸ si/vextenddouble/vextenddoubleTxk/vextenddouble/vextenddouble/lessorequalslant/bardblT/bardbl.
ˆIns˘ a,/vextenddouble/vextenddoubleTxk/vextenddouble/vextenddouble/greaterorequalslantk/summationdisplay
n=1|αmn|, ceeacearat˘ ac˘ a/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglek/summationdisplay
n=1αmn/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle<∞¸ sichiarsup
n∈N∞/summationdisplay
n=1|αmn|/lessorequalslant
|T|.ˆIn sfˆ ar¸ sit, oricare ar fi x∈emcu/bardblx/bardbl/lessorequalslant1, adic˘ a, |x|/lessorequalslant1,(∀)n∈N, putem
scrie:
/bardblTx/bardbl=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddoubleT/parenleftigg∞/summationdisplay
n=1xnen/parenrightigg/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble∞/summationdisplay
n=1xnTen/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble∞/summationdisplay
n=1xn∞/summationdisplay
n=1αmnem/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble=
=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble∞/summationdisplay
n=1∞/summationdisplay
n=1αmnxnen/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble= sup
n∈N/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle∞/summationdisplay
n=1αmnxn/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/lessorequalslantsup
n∈N∞/summationdisplay
n=1|αmn|
deci,
/bardblT/bardbl/lessorequalslantsup
n∈N∞/summationdisplay
n=1|αmn|.
b) Datorit˘ a condit ¸iei 1◦seria∞/summationdisplay
m=1αmnemconvergeˆ ın c0, pentru fiecare n∈N. De-
oarece{en}n∈Neste baz˘ a Schauder ˆ ın c0, exist˘ a cel mult un T∈ L(c0) care s˘ a
satisfac˘ a (*). S˘ a ar˘ at˘ am deci existent ¸a.
Fiex∈c0oarecare, ¸ si s˘ a definim Tx=∞/summationdisplay
n=1∞/summationdisplay
m=1αmnxnem. Deoarece
/bardblTx/bardbl=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble∞/summationdisplay
n=1∞/summationdisplay
m=1αmnxnem/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/lessorequalslantsup
m∈N/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle∞/summationdisplay
n=1αmnxn/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/lessorequalslant/bardblx/bardblsup
m∈N/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle∞/summationdisplay
n=1αmn/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
deducem c˘ a seria considerat˘ a este convergent˘ a, deci Teste bine definit. Tfiind,
evident, liniar, inegalitatea precedent˘ a asigur˘ a conti nuitatea lui T.
Exercit ¸iu 7. Oricare ar fi T∈ L(l∧), exist˘ a ¸ si sunt unic determinat ¸i αmn∈Γastfel
ˆ ıncˆ at
T(en) =∞/summationdisplay
m=1αmnem (**)

47
ˆIn plus:
1◦.
sup
n∈N|αmn|<+∞;
2◦.
/bardblT/bardbl= sup
n∈N|αmn|.
Reciproc, fiind dat˘ a o serie dubl˘ a (αmn)care satisface 1◦, exist˘ a ¸ si este unic T∈ L(l1)
astfelˆ ıncˆ at s˘ a aib˘ a loc (**)
Solut ¸ie:
a) Deoarece {en}n∈Neste baz˘ a Schauder ˆ ın l1, exstent ¸a ¸ si unicitatea coeficient ¸ilor
αmneste asigurat˘ a. Dac˘ a αmn=|αmn|ei0mnatunci, notˆ and x=k/summationdisplay
n=1e−i0mnen,
avem:
/bardblTx/bardbl=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddoubleT/parenleftigg∞/summationdisplay
n=1xnen/parenrightigg/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble∞/summationdisplay
n=1xnTen/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble∞/summationdisplay
n=1k/summationdisplay
m=1xnαmnen/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble=
=k/summationdisplay
m=1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle∞/summationdisplay
n=1xnαmn/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=k/summationdisplay
m=1|αmn|
de unde:
/bardblT/bardbl/greaterorequalslantsup
n∈N∞/summationdisplay
m=1|αmn|
Dac˘ ax∈l1este oarecare, cu /bardblx/bardbl/lessorequalslant1,
/bardblTx/bardbl=∞/summationdisplay
m=1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle∞/summationdisplay
n=1xnαmn/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/lessorequalslant∞/summationdisplay
m=1∞/summationdisplay
n=1|xn||αmn|/lessorequalslantsup
n∈N∞/summationdisplay
n=1|αmn|
ceea ce arat˘ a c˘ a:
/bardblT/bardbl/lessorequalslant∞/summationdisplay
m=1|αmn|
b) Datorit˘ a condit ¸iei 1◦, seriaTx=∞/summationdisplay
m=1∞/summationdisplay
n=1αmnxnemeste convergent˘ aˆ ın l1, ¸ si
/bardblTx/bardbl/lessorequalslant/bardblx/bardbl/parenleftigg
sup
n∈N∞/summationdisplay
m=1|αmn|/parenrightigg
ceea ce dovede¸ ste continuitatea lui T, liniaritatea fiind u¸ sor de verificat.

48 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸II DIVERSE
Exercit ¸iu 8. S˘ a se verifice c˘ a, dac˘ a Xeste spat ¸iu prehilbertian, atunci
|/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht|=/bardblx/bardbl·/bardbly/bardbl
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a x¸ siysunt liniar dependent ¸i.
Solut ¸ie:
S˘ a presupunem c˘ a |/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht|=/bardblx/bardbl · /bardbly/bardbl. Not˘ and λ=−/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht/bardbly/bardbl−2, dac˘ ay/ne}ationslash= 0,
putem scrie:
0 =−/parenleftbig
|/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht|2−/bardblx/bardbl2/bardbly/bardbl2/parenrightbig
/bardbly/bardbl−2=|λ|2/bardbly/bardbl−2+2Reλ/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht+/bardblx/bardbl2=
=/an}bracketle{tx+λy, x+λy/an}bracketri}ht
deunde,rezult˘ ac˘ a x¸ siysuntliniardependent ¸i. Reciporoc,fie x,yliniardependent ¸i.
Dac˘ ay= 0, egalitatea este evident˘ a. Vom presupune y/ne}ationslash= 0, deci exist˘ a λ∈Γ astfel
ˆ ıncˆ atx=λy. Deducem:
|/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht|=|λ|/bardbly/bardbl2=/bardblλy/bardbl/bardbly/bardbl=/bardblx/bardbl/bardbly/bardbl
Exercit ¸iu 9. Fie(xi)i∈Io familie de spat ¸ii prehilbertiene. Not˘ am:
/circleplusdisplay
i∈IXi=/braceleftigg
(xi)∈/productdisplay
i∈Ixi/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/summationdisplay
i∈I/bardblxi/bardbl<∞/bracerightigg
S˘ a se verifice c˘ a, prin:
/bardbl(xi)/bardbl=/parenleftigg/summationdisplay
i∈I/bardblxi/bardbl2/parenrightigg1
2
,
se obt ¸ine o norm˘ a/circleplustext
i∈IXi, care este indus˘ a de un produs scalar./circleplustext
i∈IXipoart˘ a numele
desum˘ a direct˘ a ortogonal˘ a a spat ¸iilor Xi.
Solut ¸ie:
S˘ a not˘ am, pentru ( xi),(yi)∈/circleplustext
i∈IXi:/an}bracketle{t(xi),(yi)/an}bracketri}ht=/summationdisplay
i∈I/an}bracketle{txi, yi/an}bracketri}ht. Deoarece, pentru
orice parte finit˘ a J⊆I, avem:
/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/summationdisplay
j∈J/an}bracketle{txi, yi/an}bracketri}ht/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/lessorequalslant/summationdisplay
j∈J|/an}bracketle{txj, yj/an}bracketri}ht|/lessorequalslant/parenleftigg/summationdisplay
j∈J/bardblxj/bardbl/bardblyj/bardbl/parenrightigg
/lessorequalslant/parenleftigg/summationdisplay
j∈J/bardblxj/bardbl/parenrightigg1
2
·/parenleftigg/summationdisplay
j∈J/bardblyj/bardbl/parenrightigg1
2

49
deducem c˘ a definit ¸ia este corect˘ a.
Se verific˘ a acum, f˘ ar˘ a nici o dificultate c˘ a s-a definit un p rodus scalar, care induce
norma considerat˘ a.
Exercit ¸iu 10. Folosind notat ¸iile din exercitiul anterior, fie Xi= Γ,∀i∈Icu struc-
tura de spat ¸iu Hilbert uzual˘ a./circleplustext
i∈IXise noteaz˘ a ˆ ın acest caz cu l2(I). S˘ a se arate
c˘ a, pentru fiecare spat ¸iu Hilbert X, exist˘ a o mult ¸ime Iastfel ˆ ıncˆ at X¸ sil2(I)s˘ a fie
izomorfe ca spat ¸ii Hilbert (deci s˘ a existe o aplicat ¸ie li niar˘ a, bijectiv˘ a, care s˘ a conserve
produsul scalar ˆ ıntre X¸ sil2(I)).
Solut ¸ie:
FieXun spat ¸iu Hilbert, iar {ej}j∈Io baz˘ a ortonormat˘ a. S˘ a definim ϕ:X→l2(I)
prin:ϕ(x) = (/an}bracketle{tx, ei/an}bracketri}ht). Conform identitit˘ at ¸ii lui Parseval, /bardblx/bardbl2=/summationdisplay
i∈I|/an}bracketle{tx, ei/an}bracketri}ht|2,
ceea ce arat˘ a c˘ a ϕeste corect definit˘ a ¸ si /bardblϕ(x)/bardbl=/bardblx/bardbl. Liniaritatea lui ϕeste
o consecint ¸˘ a imediat˘ a a liniarit˘ at ¸ii produsului scal ar ˆ ın prima variabil˘ a. Faptul c˘ a
ϕeste o izometrie garanteaz˘ a injectivitatea. Dac˘ a ( λi)∈l2(I), fie seria/summationdisplay
i∈Iλiei.
Deoarece/summationdisplay
i∈I|λi|2<∞, deducem c˘ a seria considerat˘ a este convergent˘ aˆ ın X. Notˆ and
X=/summationdisplay
i∈Iλiei, avem, evident, ϕ(x) = (λi), deciϕeste surjectiv˘ a. Dar,
/an}bracketle{tϕ(x), ϕ(y)/an}bracketri}ht=/summationdisplay
i∈I/an}bracketle{tx, ei/an}bracketri}ht/an}bracketle{ty, ei/an}bracketri}ht=/summationdisplay
i∈I/an}bracketle{txi,/an}bracketle{ty,ei/an}bracketri}htei/an}bracketri}ht=
/angbracketleftigg
x,/summationdisplay
i∈I/an}bracketle{ty, ei/an}bracketri}htei/angbracketrightigg
=/an}bracketle{tx, y/an}bracketri}ht
Exercit ¸iu 11. FieXspat ¸iu prehilbertian, iar T:X→Xliniar. S˘ a se arate c˘ a T= 0
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a /an}bracketle{tTx, x/an}bracketri}ht= 0,(∀)x∈X.
Solut ¸ie:
Dac˘ a presupunem Xspat ¸iu complex:
/an}bracketle{tT(x+y), x+y/an}bracketri}ht−/an}bracketle{tT(x−y), x−y/an}bracketri}ht+i/an}bracketle{tT(x+iy), x+iy/an}bracketri}ht−
−i/an}bracketle{tT(x−iy), x−iy/an}bracketri}ht=/an}bracketle{tTx, x/an}bracketri}ht+/an}bracketle{tTx, y/an}bracketri}ht+/an}bracketle{tTy, x/an}bracketri}ht+/an}bracketle{tty, y/an}bracketri}ht−/an}bracketle{tTx, x/an}bracketri}ht+
+/an}bracketle{tTx, y/an}bracketri}ht+/an}bracketle{tTy, x/an}bracketri}ht−/an}bracketle{tTy, y/an}bracketri}ht+i/an}bracketle{tTx, x/an}bracketri}ht+/an}bracketle{tTx, y/an}bracketri}ht−/an}bracketle{tTy, x/an}bracketri}ht−i/an}bracketle{tTy, y/an}bracketri}ht=
= 4/an}bracketle{tTx, y/an}bracketri}ht

50 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸II DIVERSE
Folosind /an}bracketle{tTx, x/an}bracketri}ht= 0,(∀)x∈X, rezult˘ a:
/an}bracketle{tTx, y/an}bracketri}ht= 0,(∀)x, y∈X
de unde, Tx= 0(∀)x,∈X, adic˘ aT= 0
Exercit ¸iu 12. FieHun spat ¸iu Hilbert, T∈L(H), iarP∈C[x]. Dac˘ a not˘ am
P(T) =a01X+a1T+…+anTn(undeP(x) =a0+a1x+anxn), atunci:
a) Dac˘ a ai∈R,i= 0,1, …, n iarTeste autoadjunct, atunci P(T)este autoad-
junct.
b) Dac˘ a Teste normal, atunci P(T)este normal.
Solut ¸ie:
a) Avem:
P(T)⋆= (a01H+a1T+…+anTn)⋆=a01H+a1T⋆+…+an(T⋆).
Dac˘ aai∈R, atunci, evident, T=T⋆implic˘ aP(T)⋆=P(T)
b) FieTnormal. Aven:
P(T)P(T)⋆=n/summationdisplay
i,j=1aiajTi(T⋆)j,
iar
P(T)⋆P(T) =n/summationdisplay
i,j=1aiaj(T⋆)iTj.
Deoarece Teste normal, din TT⋆=T⋆Trezult˘ a prin recurent ¸a:
Ti(T⋆)j= (T⋆)iTjdeci:P(T)P(T)⋆=P(T)⋆P(T)
ceea ce arat˘ a c˘ a P(T) este normal.
Exercit ¸iu 13. FieT:l2→l2definit prin:
T((x1, x2, …)) =/parenleftbigg2
1×1,−3
2×2, …/parenrightbigg
a) S˘ a se verifice c˘ a T∈ L(l2)¸ si/bardblT/bardbl= 2.
b) S˘ a se arate c˘ a σp(T) ={λ∈C||λ|/lessorequalslant1}.

51
c) S˘ a se arate c˘ a r(T) = 1.
Solut ¸ie:
a) Avem:
/bardblTx/bardbl=/parenleftigg∞/summationdisplay
n=1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglen+1
nxn+1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle2/parenrightigg1
2
/lessorequalslant/parenleftigg
4∞/summationdisplay
n=1|xn|2/parenrightigg1
2
= 2/bardblx/bardbl
Liniaritatea fiind evident˘ a, rezult˘ a c˘ a Teste continuu ¸ si /bardblT/bardbl/lessorequalslant2.ˆIn sfˆ ar¸ sit,
/bardblT/bardbl/greaterorequalslant/bardblTe2/bardbl=/bardbl2e1/bardbl= 2 arat˘ a c˘ a /bardblT/bardbl= 2
b) Dac˘ a Tx=λx, urmeaz˘ an+1
nxn+1=λxn, de unde, x1fiind arbitrar, xn=
λnn−1×1. Punˆ and condit ¸ia ca xastfel obt ¸inut s˘ a fie din l2, obt ¸inem |λ|<1.
c) Prin recurent ¸˘ a se constat˘ a c˘ a
Tkx=/parenleftbiggk
1xk,k+1
2xk+1, …/parenrightbigg
deci,/vextenddouble/vextenddoubleTk/vextenddouble/vextenddouble=k. Vom avea σ(T)⊆ {λ∈C||λ|/lessorequalslant1}. Pe de alt˘ a parte, σp(T)⊆
σ(T), ceea ce demonstreaz˘ a egalitatea propus˘ a.
Exercit ¸iu 14. S˘ a se verifice c˘ a urm˘ atoarele condit ¸ii sunt echivalente :
a)Teste autoadjunct ¸ si pozitiv.
b)σ(T)⊆[0,+∞).
c) Exist˘ a S∈Xautoadjunct, astfelˆ ıncˆ at T=S2.
d) Exist˘ a S∈ L(X)astfelˆ ıncˆ at T=SS⋆
Solut ¸ie:
a⇒b. Fieλ∈C[0,+∞) ¸ siλ=λ1+iλ2. Atunci:
/bardbl(λ1X−T)x/bardbl2=/an}bracketle{tλ1x+iλ2x−Tx, λ 1x+iλ2x−Tx/an}bracketri}ht=
λ2
1/bardblx/bardbl2−2λ1/an}bracketle{tTx, x/an}bracketri}ht+/bardblTx/bardbl2+λ2
2/bardblx/bardbl2.
Dac˘ aλ2= 0, ˆ ın mod necesar λ1<0, deci/bardbl(λ1X−T)/bardbl2/greaterorequalslantλ2
1/bardblx/bardbl2, ¸ si (λ1X−T)
rezult˘ a inversabil. Dac˘ a λ2/ne}ationslash= 0 atunci λ2
1/bardblx/bardbl2−2λ1/an}bracketle{tTx, x/an}bracketri}ht+/bardblTx/bardbl2/greaterorequalslant0 deci
/bardblλ1X−T/bardbl2/greaterorequalslantλ2
2/bardblx/bardbl2.

52 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸II DIVERSE
O inegalitate asem˘ an˘ atoare are loc ¸ si pentru ( λ1X−T)⋆, ceea ce dovede¸ ste c˘ a, ˆ ın
aceasta situat ¸ie ( λ1X−T) este inversabil, demonstrˆ and c˘ a σ(T)⊆[0,∞).
b⇒c. Deoarece σ(T)⊆[0,∞), rezult˘ a c˘ a exist˘ a f(T) =S, undef(λ) =λ1
2.
Deoarece f(λ)/greaterorequalslant0(∀)λ∈[0,+∞), urmeaz˘ a c˘ a Seste autoadjunct. Rezult˘ a u¸ sor
S2=f(T)f(T) = (f◦f)(T) =T.
c⇒dEvident.
d⇒aEvident.
Exercit ¸iu 15. FieXun spat ¸iu Hilbert ¸ si T∈ L(X)un operator autoadjunct. S˘ a se
arate c˘ a exist˘ a cel mult o aplicat ¸ie λ→Pλ, definit˘ a pe mult ¸imea numerelor reale, cu
propriet˘ at ¸iile:
a)(∀)λ∈R,Pλeste proiector;
b)λ <−/bardblT/bardbl ⇒Pλ= 0;
c)/bardblT/bardbl ⇒Pλ= 1x
d)λ/lessorequalslantµ⇒Pλ/lessorequalslantPµPλ= inf{Pµ|µ > λ};
e)(∀)n∈N¸ six, y∈Xare loc egalitatea1:
/an}bracketle{tTnx, y/an}bracketri}ht=/integraldisplay/bardblT/bardbl
−/bardblT/bardblλnd/an}bracketle{tPλx, y/an}bracketri}ht.
Solut ¸ie:
Condit ¸ia e) arat˘ a c˘ a, pentru orice polinom P∈R[x], avem:
/an}bracketle{tP(T)x, y/an}bracketri}ht=/integraldisplay/bardblT/bardbl
−/bardblT/bardblf(λ)d/an}bracketle{tPλx, y/an}bracketri}ht.
Prin trecere la limit˘ a, deducem:
/an}bracketle{tf(T)x, y/an}bracketri}ht=/integraldisplay/bardblT/bardbl
−/bardblT/bardblf(λ)d/an}bracketle{tPλx, y/an}bracketri}ht,
pentru orice funct ¸ie continu˘ a f∈ C([−/bardblT/bardbl,/bardblT/bardbl]). Din d), aplicat ¸ia λ→ /an}bracketle{tPλ, y/an}bracketri}ht
rezult˘ a cresc˘ atoare ¸ si continu˘ a la dreapta, deci, t ¸in ˆ and seama ¸ si de b), exist˘ a, pentru
fiecarex, y∈X, cel mult o aplicat ¸ie λ→ /an}bracketle{tPλ, y/an}bracketri}ht. Deci, exist˘ a cel mult o aplicat ¸ie
λ→Pλcu propriet˘ at ¸iile a) – e).
1Integrala Riemann-Stieltjes.

Bibliografie
[1] Dumitru Bu¸ sneag, Algebr˘ a liniar˘ a , Editura didactic˘ a ¸ si pedagogic˘ a, Bucure¸ sti.
[2] Nicolae Cotfas, Elemente de algebr˘ a liniar˘ a , Editura Universit˘ at ¸ii din Bucure¸ sti.
[3] Romulus Cristescu, Analiz˘ a funct ¸ional˘ a , Editura didactic˘ a ¸ si pedagogic˘ a, Bu-
cure¸ sti.
[4] Aristide Leonte, George Vraciu, Elemente de calcul matriceal cu aplicat ¸ii , Editura
Tehnic˘ a, Bucure¸ sti.
[5] M. E. Mayer, Operatori liniariˆ ın spat ¸ii unitare , Editura Tehnic˘ a.
[6] Emil C. Popa, Alina Totoi, Petric˘ a Dicu, Introducere ˆ ın teoria matricelor ¸ si
aplicat ¸ii, Editura Universit˘ at ¸ii ”Lucian Blaga” din Sibiu, 2013.
[7] Eugen Popa, Culegere de probleme de analiz˘ a funct ¸ional˘ a , Editura didactic˘ a ¸ si
pedagogic˘ a, Bucure¸ sti, 1981.
53