Specializarea: MATEMATICĂ [629709]
UNIVERSITATEA DIN ORADEA
Departamentul pentru Pregătirea și Perfecționarea Personalului Didactic
Specializarea: MATEMATICĂ
LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
ACORDAREA GRADULUI DIDACTIC I
Conducător științific:
Conf. univ. dr. Georgia Irina Oros
Autor: Prof. Vereș Nicolae Cosmin
Unitatea de învățământ: Liceul Teoretic Nr. 1 Bratca
Localitatea: Bratca
Județul: Bihor
– Oradea 2016 –
UNIVERSITATEA DIN ORADEA
Departamentul pentru Pregătirea și Perfecționarea Personalului Didactic
Specializarea: MATEMATIC Ă
FUNCȚII DERIVABILE
Conducător științific:
Conf. univ. dr. Georgia Irina Oros
Autor: Prof. Vereș Nicolae Cosmin
Unitatea de învățământ: Liceul Teoretic Nr. 1 Bratca
Localitatea: Bratca
Județul: Bihor
– Oradea 2016 –
Funcții derivabile
1
CUPRINS
Argument ……………. ……………………………………………………………………….. …………………………. 4
Capitolul I. Introducere ………… …………… ……………………… …….. …………………. 6
1.1. Rolul și locul matematicii, respectiv al „Analizei matematice”, în învățământul
liceal din România …………………… ……………………………………… ………………………… . 6
1.2. Conceptul de funcție derivabilă în programa școlară de liceu …….. …………………… 7
1.3. Obiective specifice în predarea „Analizei matematice” de liceu și cu referiri
concrete la Capitolul „Funcții derivabile” ………………………………… …………………………. 8
1.4. Motivarea alegerii temei ………………………………………………….. …………………………. 11
1.5. Ipoteze de lucru ………………….. ………………………………………….. …………………………. 12
Capitolul II. Funcții derivabile – prezentare generală …………………………………………………… 14
2.1. Definiția derivatei ………………………………………………………………………………………. 14
2.1.1. Funcții derivabile într -un punct ……… ………………………….. …………………. 14
2.1.2. Funcție derivabilă pe o mulțime …….. …………………… …………………………. 15
2.2. Interpretarea geometrică a derivatei unei funcții într -un punct ……………………… 15
2.3. Continuitatea funcțiilor derivabile ……… ……………………………. …………………………. 17
2.4. Aplicații ……… …………………………………………………………………. …………………………. 18
2.5. Derivate laterale ……… ……………………………………………. ……….. …………………………. 21
2.5.1. Definiții ……… ……………………………………………………. …………………………. 21
2.5.2. Derivate laterale – interpretare geometrică ………. ……………………. ……….. 21
2.5.3. Puncte remarcabile pentru graficul unei funcții ………………………………. 24
2.5.4. Derivate laterale – Aplicații ……… ……………………………. ……………………… 26
2.6. Derivatele funcțiilor elementare ……… ……………………………….. …………………………. 27
2.6.1. Derivatele funcțiilor elementare ……… ……………………………………………… 27
2.6.2. Tabloul derivatelor funcțiilor elementare …………….. …………………………. 31
2.7. Operații cu funcții derivabile …….. …………………………………….. …………………………. 32
2.7.1. Scopul introducerii operațiilor cu funcții derivabile ……… ………….. …….. 32
2.7.2. Teoreme cu privire la operațiile cu funcții derivabile, derivabilitatea
funcțiilor compuse și a funcției inverse ………. ………………… …………………………. 33
2.7.3. Tabloul derivatelor funcțiilor compuse ………. ……….. …………………………. 38
Funcții derivabile
2
2.7.4. Aplicații ………. …………………………………………………… …………………………. 39
2.8. Derivate de ordin superior ……………………………………………… …………………………… 43
2.8.1. Funcție indefinit derivabilă – definiții și exemple …….. ……………………… 43
2.8.2. Aplicații ……….. ………………………………………………….. …………………………. 45
2.9. Diferențiala unei funcții …….. …………………………………………… …………………………. 47
2.9.1. Diferențiala unei funcții ……… …………………………….. …………………………. 47
2.9.2. Reguli de diferențiere ………………………………………… …………………………. 49
2.9.3. Diferențiala unei funcții compuse ………………………………………………. …. 50
Capitolul III. Metodica predării capitolului „Funcții derivabile” ………………………………….. 51
3.1. Introducere …….. …………………………………………………………….. ………………………….. 51
3.2. Derivata unei funcții într -un punct …….. ……………………………. …………………………. 52
3.2.1. Scurt istoric ……… ………………………………………………. …………………………. 52
3.2.2. Probleme care au condus la noțiunea de derivată ………. …………………… 52
3.2.3. Derivata unei funcții într -un punct – aplicații ………. …………………………. 55
3.3. Folosirea noțiunii de derivată pentru calculul unor limite(fără a folosi Regulile lui
L'Hospital) ……………………………. ……………………………………………… …………………………. 61
3.3.1. Teorie ………….. ………………………………………………………………………………. 61
3.3.2. Aplicații …………… ………………………………………………. …………………………. 62
3.4. Extinderi ………… ………………………………………………………………………………. ………… 64
3.4.1 . Studiul continuității și derivabilității unor funcții speciale ……………….. 64
3.4.2. Probleme date la Examenele de Bacalaureat și admitere în învățământul
superior ……………………….. ……………………………………………………….. ……………… 82
Capitolul IV. Concluzii …….. …………………………………………………………………………………………. 86
4.1. Concluzii asupra structu rii și conținutului lucrării ……………. …………………………. 86
4.2. Metode de cercetare științifică …….. ………………………………….. ………………………….. 88
4.2.1. Experimentul – metodă de cercetare și evaluar e ……………………………….. 8 8
4.2.2. Metode de investigare ………… ……………………………… …………………………. 90
4.2.3. Evaluarea progresului școlar prin folosirea testelor …………………………. 90
4.2.4. Prelucrarea statistică a rezultatelor obținute de elevi la cele două teste:
Testul 1 și Testul 2 ……………… …………………………………….. …………………………. 102
4.3. Fișe de lucru utilizate la Capitolul „Funcții d erivabile” ………………………………. 107
Funcții derivabile
3
4.4. Proiect de tehnologie didactică(Plan de lecție) ……………………………………….. …. 109
Bibliografie ……………………………………………………………………………………………………………….. 117
Funcții derivabile
4
ARGUMENT
Lucrarea metodico – științifică pentru obținerea gradului didactic I, intitulată „Funcții
derivabile”, cuprinde patru capitole:
Capitolul I: Introducere
Capitolul II: Funcții derivabile – prezentare generală
Capitolul III: Metodica predării capitolului „Funcții derivabile”
Capitolul IV: Concluzii
În capitolul I se evidențiază rolul Analizei matematice respectiv, rolul capitolului „Funcții
derivabile , în cadrul Calculului diferențial , din programa de liceu, prin prezentarea conceptelor
fundamentale „derivată” și „funcție derivabilă” .
În cel de -al doilea capitol al lucrării sunt preze ntate succint, noțiunile principale de la
Capitolul „Funcții derivabile” , precum și observații metodologice, utile în fixarea și reținerea
acestora, în vederea aplicării lor, cu succes în exerciții și probleme cât mai variate.
În capitolul III este aborda tă metodica predării capitolului „Funcții derivabile” , din
programa de liceu. În prima parte a capitolului sunt prezentate două seturi de lecții, iar în cea de a
doua parte, la „Extinderi” , a fost tratat un subiect teoretic intitulat: „Studiul continuității și
derivabilității unor funcții speciale” , apoi au fost rezolvate ca model, probleme date la Examenul
de Bacalaureat și la Examenul de admitere în învățământul superior, folosindu -se noua
metodologie în evaluarea cunoștințelor: teste inițiale , teste de progres, precum și fișe de
lucru(pentru activitatea independentă a elevilor).
În capitolul IV, sunt prezentate următoarele:
modele de fișe de lucru, utilizate la Capitolul „Funcții derivabile” (fișe clasice și
fișe de tip grilă);
prelucrarea sta tistică a rezultatelor obținute de elevi la cele două teste de evaluare
a cunoștințelor;
un proiect de tehnologie didactică.
De un real folos în elaborarea acestei lucrări mi -au fost sfaturile și recomandările primite
de la doamna conf. univ. dr. Georgia Irina Oros – coordonatorul științific al lucrării.
Funcții derivabile
5
Astfel, d -na profesoară mi -a recomandat cu multă competență și profesionalism, modul de
prezentare riguros și coerent, a noțiunilor de bază cuprinse în capitolele II și III, amintite în
lucrare.
Prof. Ve reș Nicolae Cosmin
Funcții derivabile
6
CAPITOLUL I.
INTRODUCERE
1.1. Rolul și l ocul matematicii, respectiv al „Analizei matematice” , în învățământul liceal
din România.
În epoca contemporană, se impune înnoirea învățământului matematic (secundar și al
celui superior) din România.
Primele noțiuni de matematică apar în învățământul secundar la nivel preșcolar, se
continuă cu învățământul primar și gimnazial, iar apoi cu nivelul liceal și se finalizează cu cel
superior (inclusiv studii postuniversitar e).
În continuare ne vom referi doar la nivelul liceal, mai precis la nivelul clasei a XI -a de
liceu, unde vom aborda câteva probleme, privind predarea din punct de vedere metod ic a
conceptelor fundamentale: „derivata unei funcții” și „derivabilitatea funcțiilor” , concepte
întâlnite în „Analiza matematică” de clasa a XI -a.
Prin predarea matematicii (în general) și a „Analizei matematice” (în special), urmărim
realizarea a trei aspecte:
1. Latura instructivă – urmărește dobândirea la elevi a unor noțiuni și cunoștințe
fundamentale de matematică ( în cazul de față, conceptul de „derivată” ), ocupând un loc central
în cadrul „Calculului dif erențial” – capitol de bază al „Analizei matematice” .
2. Latura educativă – contribuie la dezvoltarea capacităț ilor mintale, mai ales la
dezvoltarea gândirii logice, realizată prin însușirea conștientă a noțiunilor și operațiilor de bază
precum și prin rezolvări de probleme, corespunzătoare scopului propus.
3. Latura practică – urmărește formarea la elevi a capac ităților de a utiliza noile
cunoștințe predate și însușite, în rezolvarea exercițiilor și problemelor cu conținut practic,
întâln ite foarte des în viață (vezi: „Aplicații ale derivatelor în fizică” ).
Până în anii 1995 – 1996, învățământul secundar românes c (ce include și învățământul
liceal), cuprindea:
1) Planurile de învățământ:
care au un caracter unitar și obligatoriu;
au ca și scop principal pregătirea temeinică a tinerilor în scopul integrării lor în
producție, în viața socială;
Funcții derivabile
7
2) Programele școlare (programele analitice)
care stabilesc conținutul fiecărui obiect (pe clase și ani de studiu);
care urmăresc parcurgerea materiei după anumite criterii (planurile
calendaristice semestriale și anuale):
3) Manualul școlar:
care prezintă în detaliu conținutul p rogramei școlare;
reprezintă principalul material bibliografic pentru informarea elevului și un
auxiliar prețios pentru profesor
După anul 1998, când a început reforma în învățământul românesc, planul de învățământ –
ca element reglator al Curriculum -ului Național, devine: Planul cadru.
Apar concepte noi, ca de exemplu:
Trunchiul comun – pentru fiecare clasă și disciplină, se referă la numărul
minim de ore obligatorii (pentru școlile de același tip);
Discipline opționale – care oferă elevilor dreptul de a alege anumite discipline
Curriculum la decizia școlii – discipline stabilite local, de fiecare unitate de
învățământ
1.2. Conceptul de funcție derivabilă în programa școlară de liceu
În cadrul Analizei matematice de clasa a XI – a, se studiază probleme mari, ca:
șiruri de numere reale;
limite de funcții;
continuitatea funcțiilor;
funcții derivabile;
reprezentarea grafică a funcțiilor;
Dintre aceste probleme, vom prezenta succint, doar noțiunile legate de conceptul de
„funcție deriv abilă”. După un scurt istoric privind introducerea noțiunii de derivată, se trece la
probleme care au condus la definirea noțiunii de derivată, apoi se dă definiția derivatei unei
funcții într -un punct, urmată de o interpretare geometrică pentru această no țiune.
Funcții derivabile
8
Urmează prezentarea derivatelor laterale (ale unei funcții într -un punct) completată cu
exemple concrete și interpretări geometrice pentru punctele de întoarcere și punctele unghiulare
ale graficului unei funcții, într -un punct
DxxfxP 0 0 0 , , .
Se prezintă apoi, derivatele funcțiilor elementare, unde se deduc formule utile în
„Calculul diferențial” , sintetizate într -un tablou al acestor derivate.
În scopul completării acestui tablou, sunt prezentate câteva teoreme cu demonstrațiile
corespun zătoare, teoreme ce se referă la:
operații cu funcții derivabile;
derivabilitatea funcției compuse și a funcției inverse;
Capitolul II, intitulat „Funcții derivabile – prezentare generală” se încheie cu paragrafele:
Derivata de ordin superior și diferenți ala unei funcții.
În capitolul III, intitulat „Metodica predării funcțiilor derivabile” sunt prezentate din
punct de vedere metodic câte va teme, dintre care amintesc: „Derivate de ordin superior” sau
„Folosirea noțiunii de derivată în calculul unor limite” .
Pentru evaluarea cunoști nțelor elevilor, din capitolul „Funcții derivabile” s-au prezentat
ca model câteva probleme date la Examenul Național de Bacalaureat sau la Examenul de
Admitere în învățământul superior, iar apoi au urmat teste de verifica re a cunoștințelor, din astfel
de probleme enunțate mai sus.
Observații:
1. Au fost omise în lucrare câteva teo reme, de altfel importante din „Analiza
matematică” , teoreme ce vizează proprietățile funcțiilor derivabile și anume: teoremele lui
Fermat, Ro lle, Lagrange, Cauchy, Darboux. Aceste teoreme n -au fost prezentate în lucrare în
mod intenționat, deoarece nu făceau în mod direct, obiectul lucrării.
2. O parte din aceste teoreme se vor găsi totuși în câteva aplicații din lucrare
1.3. Obiective specifice în predarea „ Analizei matematice” de liceu și cu referiri concrete
la Capitolul „Funcții derivabile”.
Studiul „ Analizei matematice” în liceu (pentru clasa a XI – a și a XII – a) are ca obiectiv
fundamental:
Funcții derivabile
9
formarea și dezvoltarea capacității t inerilor de a formula și rezolva probleme din
diferite domenii de activi tate, folosind cunoștințele de „ Analiză matematică” ce le
au la bază;
șiruri (convergența șirurilor);
limita unei funcții;
probleme de continuitate și derivabilitate a unei funcții;
reprezentarea grafică a unor funcții elementare;
calculul primitivelor unei funcții precum și aplicațiile lor geometrice (calculul
ariilor cuprinse între două curbe, volumul corpurilor de rotație) sau aplicațiile din
fizică (determinarea centrului de greut ate al unei plăci omogene sau calculul
lucrului mecanic generat de o forță
F care acționează asupra unei particule de
masă m și care se deplasează în intervalul
ba, ).
Analiza matematică de clasa a XI-a, Capitolul „ Funcții derivabile” (fără proprietățile
acestora) are următoarele obiective specifice:
1) Elevii trebuie să dobândească un sistem de cunoștințe specifice relative la
derivabilitatea funcțiilor, care presupune cunoașterea următoarelor aspecte:
problema derivat ei sau a derivabilității unei funcții reale, de tipul
R Ef:
, (
RE și
E x0 ) se pune doar în puncte
0x aflate în
domeniul de definiție al lui f care în plus sunt puncte de acumulare pentru
aceasta;
derivata unei funcții într -un punct
E x0 este un element din
R , deci este
un număr real finit sau infinit;
derivata unei funcții într -un punct
E x0 , fiind o limită (de tip special:
00
0` )( )(lim)(
0 xxxf xfxf
xxdef
) rezultă că se poate aplica teoria limitelor
laterale, ceea ce conduce la considerarea derivatelor laterale, care se
definesc astfel:
00
0` )( )(lim)(
00 xxxf xfxf
xxxxdef
s
respectiv
00
0` )( )(lim)(
00 xxxf xfxf
xxxxdef
d
. Dacă avem îndeplinită condiția:
Funcții derivabile
10
)( )(0`
0`xf xfd s (există și sunt egale), atunci spunem că funcția f are
derivată în
0x și reciproc. Dacă în plus, cele două derivate laterale sunt
egale și finite, atunci spunem că funcția f este derivabilă în punctul
0x .
2) Elevii să cunoască unele aspecte mai deosebite legate de derivabilitatea funcțiilor,
ca de exemplu:
a) Dacă o funcție nu este continuă într -un punct, atunci ea nu este derivabilă
în acel punct.
Exemplu: Funcția signum definită astfel:
}1,0,1{ :sgn R
,
0 ,10 ,00 ,1
sgn
xxx
x x . În punctul
R x00 ,
avem
1 sgnlim)( lim)0(
00
00
x xf l
xxxx
xxxxs
, iar
1 sgnlim)( lim)0(
00
00
x xf l
xxxx
xxxxd
)0( )0(d s l l , iar
00sgn)0( f , adică funcția signum nu este
continuă în punctul
0x
funcția signum nu este derivabilă în origine.
b) O funcție poate fi continuă într -un punct
fD x0 , fără ca ea să fie
derivabilă în acel punct.
Exemplu: Funcția radical (de ordin impar):
0 ; )(, :03 xx xfR Rf
Continuitatea funcției radical în origine:
)0( )0( )0(
00 )0(0 0 lim)0(0 0 lim)0(
33
003
00
f l l
fx lx l
d s
xxdxxs
funcția radical
3)( x xf
este continuă în punctul
00x .
Derivabilitatea funcției radical, în origine:
Funcții derivabile
11
01 1lim lim)( )(lim)0(
3 2 03
000
0`
x xx
xxxf xff
x x x. Deci
)0(`f
, adică derivata funcției
3)( x xf , în origine există, dar este
infinită.
În concluzie funcția radical (de ordin impar)
3)(, : x xfR Rf , nu
este derivabilă în origine, în rest, adică pe milțimea
}0{\R funcția radical
de ordin impar este derivabilă.
3) După definirea și lămurirea conceptului de derivată a unei funcții într -un punct,
trebuie să trecem la fixarea interpretării geometrice a derivatei, inclusiv
recunoașterea punctelor de întoarcere și a punctelor unghiulare pentru graficul
unei funcții reale.
4) Funcțiile elementare sunt indefinit derivabile pe orice interval deschis, conținut în
domeniul maxim de definiție.
1.4. Motivarea alegerii temei
În alegerea temei: „Funcții derivabile” am avut în vedere următoarele aspecte:
1. Importanța deosebită a noțiunii de derivată în predarea Analizei matematice de
liceu, alături de alte noțiuni fundamentale ale calculului diferenția l:
limita unei funcții;
continuitatea funcțiilor;
2. Diversitatea problemelor legate de conceptele de derivata unei funcții într -un
punct și derivabilitatea funcțiilor, noțiuni ce presupun cunoașterea și stăpânirea
multor noțiuni, ca de exemplu:
limite de funcții;
continuitatea funcțiilor, care sub aspect calitativ, pretinde introducerea unei
terminologii adecvate, legate de condițiile în care se definește funcția
continuă într -un punct.
În acest sens, noțiunile necesare studiului continuității funcțiilor (care reprezintă condiția
necesară, dar nu și suficientă pentru derivabilitatea unei funcții) sunt următoarele:
punct de acumulare pentru o mulțime (nevidă);
Funcții derivabile
12
mulțime mărginită;
definițiile echivalente pentru limita unei funcții într -un punct.
3. Importanța c onceptelor de derivată a unei funcții într -un punct și pe o mulțime și a
proprietății de derivabilitate a unei funcții, rezultă și din ponderea problemelor
care s -au dat și se dau la diferite concursuri:
o Examenul Național de Bacalaureat;
o Examenul de admite re în învățământul superior;
o Examenul de obținere a gradului didactic II, în învățământul
preuniversitar;
o Examenul de ocupare a unui post în învățământ.
1.5. Ipoteze de lucru
În lucrarea de față, mi -am propus să realizez următoarele aspecte:
1) Necesitatea introducerii noțiunii de derivată în programa școlară de liceu.
2) Prezentarea noțiunilor pregătitoare care au stat la baza definirii conceptelor
derivată și funcție derivabilă, respectiv:
punct de acumulare a unei mulțimi;
limita unei funcții înt r-un punct;
continuitatea unei funcții într -un punct:
puncte de discontinuitate de speța I -a și a II -a;
prelungirea prin continuitate a unei funcții;
continuitatea funcțiilor compuse;
derivata unei funcții într -un punct (definiție și interpretare geometric ă);
continuitatea funcțiilor derivabile;
derivate laterale
)( )( )(0`
0`
0`xf xf xfd s ;
derivatele funcțiilor elementare (deducerea formulelor și prezentarea
tabloului acestor derivate);
proprietățile funcțiilor derivabile.
3) Prezentarea unor noțiuni, privind metodica predării acestor noțiuni: derivata unei
funcții, fucție derivabilă, precum și metodica rezolvării problemelor în care apar
Funcții derivabile
13
aceste noțiuni fundamentale ale Calculului diferențial din Analiza matematică de
liceu.
4) O atenție deosebită am acordat -o celor mai semnificative probleme din manualele
alternative actuale de Analiză matematică sau din culegerile de probleme care
vizau această tematică, în vederea pregătirii cât mai temeinice a Examenului de
Bacalaureat și a Exa menului de admitere în învățământul superior.
5) Privind strategia didactică , utilizată la Capitolul „Funcții derivabile” am utilizat
ca metode informative (observația, demonstrația, explicația) și metode formative
(problematizarea învățarea prin descoperire), folosite pentru a tingerea unor
obiective de tip „deprinderi intelectuale” .
6) În ceea ce privește evaluarea progresului elevilor, am utilizat:
o evaluare continuă (s -au folosit teste de evaluare a cunoștințelor pe tot
parcursul procesului de instruire);
o evaluare finală (evaluarea de la sfârșitul capitolului, având drept scop
evidențierea rezultatelor instruirii).
Ca instrument de evaluare s -a folosit testul . Dintre testele utilizate cu acest prilej, un rol
deosebit l -au avut:
Testele diagnostice (sau testele inițiale), date la începutul semestrului, având drept
scop depistarea lacunelor și a greșelilor din Capitolul „ Funcții derivabile”;
Teste de randament care au avut drept scop evidențierea a ceea ce și -au însușit
elevii din programa școlară, relativ la Capitolul Funcții derivabile”.
Funcții derivabile
14
CAPITOLUL II.
FUNCȚII DERIVABILE – PREZENTARE GENERALĂ
În acest capitol, intitulat „Funcții de rivabile – prezentare generală” , vor fi reamintite
principalele noțiuni, privind:
derivata unei funcții într -un punct de acumulare a unei mulțimi;
derivata unei funcții pe o mulțime;
derivate laterale;
derivatele funcțiilor elementare;
derivate de ordin superior;
diferențiala unei funcții.
Aceste noțiuni, cât și aplicațiile, vor fi urmate de observații metodologice corespunzătoare
având în vedere faptul că lucrarea este una metodică.
Scopul prezentării noțiunilor de bază este acela de a avea o bază pentru capitolul următor
(cel de metodică) unde se vor prezenta două teme:
1. Introducerea noțiunii de derivată;
2. Folosirea noțiunii de derivată, pentru calculul unor limite.
2.1. Definiția derivatei.
2.1.1 . Funcție derivabilă într -un punct.
Definiția 1. Fie
RE și
E x0 (
0x- punct de acumulare pentru
E ). Spunem că funcția
R Ef:
este derivabilă în punctul
0x , dacă limita
00)( )(lim
0 xxxf xf
xx
există în
R (există și
este finită). Notație:
00
0' )( )(lim)(
0 xxxf xfxf
xx
.
Observații:
1) Se spune că funcția are derivată în punctul
0x dacă limita
00)( )(lim
0 xxxf xf
xx
există
în
.R
Funcții derivabile
15
2) Pentru
)(0'xf se utilizează uneori notațiile:
.)(),(0
0dxxdfxDf
3) Notație utilizată în fizică:
xfxf
x
00'lim)( , unde
)( )(0xfxff este numită
creșterea funcției, iar
0xxx este numită creșterea argumentului.
2.1.2 . Funcție derivabilă pe o mulțime
Definiția 2. Fie
RE , iar
R Ef: ,
Exxfy x ),( (x – punct arbitrar). Dacă funcția
f este derivabilă în orice punct al mulțimii
E , atunci se va spune că f este derivabilă pe
mulțimea
E , adică
)( , :' 'xf xR Ef (derivata lui f pe mulțimea
E este o funcție) .
1) Operația prin care se obține
'f din f se numeș te operație de derivare.
2)
'f și
)(0'xf sunt două noțiuni distincte, respectiv:
'f derivata (o funcție) funcției f
pe o mulțime, iar
)(0'xf derivata funcției f în punctul
0x (număr)
)(0' 'xf f .
3) Dacă
)()( )(lim0'
00
0xfxxxf xfnot
xx
este finită
funcția f are derivată în punctul
RExx0 0;
;
Dacă
)()( )(lim0'
00
0xfxxxf xfnot
xx
este infinită
funcția f are derivată în
R .
4) Derivabilitatea unei funcții într -un punct
0x nu este echivalentă cu existența derivatei
în acest punct, ci cu existența și simultan finitudinea acesteia, adică:
f derivabilă în
punctul
0x dacă
)(0'xf și
)(0'xf este număr finit.
Definiția 3. Domeniul de derivabilitate al une i funcții. Fie funcția
)( , : xfyR Df .
Mulțimea punctelor în care f este derivabilă se numește domeniul de derivabilitate al funcției f
și se notează
,Df unde
D Df .
2.2. Interpretarea geometrică a derivatei unei funcții într – un punct.
Fie funcția
DxR Df 0, : , (C) curba sa reprezentativă și
)(),(0 0 C yxM . Panta
secantei
0MM este :
xxf
xxxf xftg)( )( )(
00 .
Funcții derivabile
16
Dacă
00 x x x , atunci punctul M ”tinde” să se confunde cu punctul
0M . În
aceste condiții:
)( lim lim)( )(lim0'
00
0 0xf tg tg m mxxxf xf
xxx xx
și reprezintă panta
tangentei la curba (C) , în punctul
C M0 (Figura 1 ).
y
)(xf y M
0M
)(0 0 xf y
O
0x x x
Figura 1
Observații:
1) Dacă derivata funcției f în punctul
0x este finită
)(0'xf tg (coeficientul unghiular al
tangentei
tg , este chiar derivata funcției f în punctul
0x )
2 ( Figura 2 ).
y
M
tg
0M
O
0x x x
Figura 2
Funcții derivabile
17
2) Dacă derivata
)(0'xf este infinită, atunci tangenta este paralelă cu axa Oy, sau echivalent
2
, pentru care tangenta nu are sens, adică
2tg nu există( Figura 3 ).
y
Tg
2
0M
O x
Figura 3
3) Cunoscând panta tangentei la curba (C) și coordonatele punctului
)(,0 0 0 xfxM , adică
)()(,)(
0 0 00'
C xfxMxf tgm
Ecuația tangentei la curba (C), în punctul
)(,0 0 0 xfxM se poate scrie:
) )(( )( ) (0 0'
0 0 0 xxxf xfy xxm yy
.
2.3. Continuitatea funcțiilor derivabile .
Legat de funcțiile derivabile are loc următorul rezultat:
Teoremă. Orice funcție derivabilă într -un punct este continuă în acel punct.
Demonstrație: Fie
R Df: și
D x0 un punct în care f este derivabilă. Să arătăm că f este
continuă în
0x .
Funcții derivabile
18
Pentru orice
0 , xxDx are loc egalitatea
) ()( )()( )(0
00
0 xxxxxf xfxf xf .
Trecând aici la limită după
0x x și ținând seama că
)()( )(lim0'
00
0xfxxxf xf
xx
se obține
)( )( lim0'
0xf xf
xx
, ceea ce arată că f este continuă în
0x .
Observații:
1) O funcție poate fi continuă în
0x, fără a fi derivabilă în
0x . De exemplu funcția
R Rf:
,
x xf)( , care este continuă în
00x , dar nu este derivabilă în acest punct
)0( 11 )0(' '
d s f f
. Deci condiția de continuitate într -un punct este condiție necesară
pentru derivabilitatea funcției în acel punct. Nu are sens să punem problema derivabilității într -un
punct în care funcția nu este continuă.
2) Există funcție continuă în orice punct dintr -un interval, dar care nu este derivabilă în
nici un punct din acest inte rval (exemplul lui Weierstrass).
2.4. Aplicații .
1. Să se studieze continuitatea și derivabilitatea următoarelor funcții, în punctele
specificate:
a)
0 ,2 30 ,20 ,2 3
)(; :
x xxx x
xfR Rf
00x
b)
0 ,0 ,)(; :33
3
xxxxx xfR Rf
00x
Rezolvare
a) Continuitatea
)0( )0( )0(
2)0(2)2 3(lim)0(2)2 3(lim)0(
0000
f l l
fx lx l
d s
xxdxxs funcția f este continuă în punctul
00x
.
Funcții derivabile
19
Derivabilitatea
)0( )0(
33lim2)2 3(lim0)0( )(lim)0(33lim2)2 3(lim0)0( )(lim)0(
' '
00
00
00'00
00
00'
d s
xx
xx
xxdxx
xx
xxs
f f
xx
xx
xf xffxx
xx
xf xff f nu
este derivabilă în punctul
00x .
b) Continuitatea
)0( )0( )0(
0)0(0)(lim)( lim)0(0) (lim)( lim)0(
3
00
003
00
00
f l l
fx xf lx xf l
d s
xx
xxsxx
xxs f este continuă în punctul
00x
.
Derivabilitatea
)0( )0(
0 lim lim0)0( )(lim)0(0 lim lim0)0( )(lim)0(
' '
2
003
00
00'2
003
00
00'
d s
xx
xx
xxdxx
xx
xxs
f f
xxx
xf xffxxx
xf xff
f este derivabilă în
origine.
Observație.
Funcția
3)(; : x xfR Rf , este continuă și derivabilă pe R, deoarece ea se compune
din două funcții elementare:
0, )(3 xxxf și
0, )(3 xx xf care sunt continue și
derivabile pe intervalele :
)0;( și
);0( . Derivata funcției f pe
}0{\R are forma
0 ,30 ,3)(22
'
xxxxxf
iar
0)0(' f .
2. Utilizând definiția derivatei, să se calculeze derivatele funcțiilor următoare, în punctele
specificate:
a)
x xf Rf sin)(],1;1[ : ;
60x
b)
2 )(, );2[: x xfR f ;
20x
Funcții derivabile
20
Rezolvare
a)
23
6cos*12)6/ (coslim*
2)6/ (2)6/ (sin
lim2)6/ (cos*
2)6/ (2)6/ (sin
lim62)6/ (cos*2)6/ (sin2
lim
66sin sin
lim
66)(
lim6
6 6 66 6 6'
x
xx
x
xxxx x
xx
xf xf
f
x x xx x x
.
b)
41
221lim
22 )2(2lim22 )2(42lim
22 )2(22 22lim222lim2)2( )(lim)2(
2 22 2 2 2
x x xxx xx
x xx x
xx
xf xff
x xx x x x
Observații.
1) La calculul primei derivate am utilizat formula
2cos2sin2 sin sin .
2) Pentru înlăturarea nedeterminării
00 , la cea de -a doua derivată, am amplificat cu
conjugata numărătorul fracției.
3) Să se scrie ecuația tangentei la graficele funcțiilor următoare în punctele indicate:
a)
2 ),3 ln()(, );3(:0 x x xfR f
b)
0,cos)(],1;1[ : xx xf Rf
Rezolvare
Se știe că ecuația tangentei, într -un punct
)(,0 0 0 xfxM aparținând curbei reprezentative
pentru funcția f , are ecuația :
) (0 0 xxm yy , unde
)(0'xf m și
)(0 0 xf y .
a)
131)3 ln()2( )(
2'
2'
0'
xxxx f xf .
.2 01ln)2( )(0 0 xy f xf y Ecuația tangentei este:
02yx .
b)
0 sin cos)( )(' '
0' x x x x f xf .
Funcții derivabile
21
.1 cos)( )(0 0 f xf y Ecuația tangentei este:
01y .
2.5. Derivate laterale .
Pentru studiul derivabilității unei funcții într -un punct este necesar să studiem limitele
laterale pentru raportul:
00)( )(
xxxf xf
, adică limitele laterale.
2.5.1 . Definiții.
Definiția 4 .
Fie
R Ef: și
E x0 un punct de acumulare pentru mulțimea
E x );(0 . Dacă
există (finită sau infinită), următoarea limită:
)()( )(lim0'
00
00xfxxxf xf
snot
xxxx
, atunci spunem că
funcția f are derivată la stânga în punctul de abscisă
0x . Dacă limita este finită, se spune că
funcția f este derivabilă la stânga în
0x .
Definiția 5 .
Fie
R Ef: și
E x0 un punct de acumulare pentru mulțimea
E x);(0 . Dacă
există (finită sau infinită), următoarea limită:
)()( )(lim0'
00
00xfxxxf xf
dnot
xxxx
, atunci spunem că
funcția f are derivată la dreapt a în punctul de abscisă
0x . Dacă limita este finită, se spune că
funcția f este derivabilă la dreapt a în
0x .
În legătură cu derivatele laterale are loc următoarea:
Teoremă. Dacă
R Ef:
(
REx0 un punct de acumulare ) este o funcție derivabilă în
punctul
0x , atunci:
)( )( )(0'
0'
0'xf xf xfd s .
Reciproc, dacă funcția f are derivate laterale finite în
0x și
)( )(0'
0'xf xfd s atunci
spunem că funcția f este derivabilă în punctul
0x .
2.5.2 . Derivate laterale – interpretare geometrică.
a) Pentru derivata laterală la stânga în punctul
0x , avem situațiile următoare:
Funcții derivabile
22
1. Dacă
Gf xfs )(0' are semitangentă la stânga în punctul
Gf xfxP )(,0 0 0
de ecuație:
0xx , iar
Gf este situat la stânga lui
0x și
)(0xfy ( Figura 4).
y Tg
)(0 0 xf y
0P
O
0xx x
Figura 4
2. Dacă
Gf xfs )(0' are semitangentă la stânga în punctul
Gf xfxP )(,0 0 0
de ecuație:
0xx , iar
Gf este situat la stânga lui
0x și
)(0xfy ( Figura 5).
y
0P
Tg
O
0xx x
Figura 5
3. Dacă
Gf R xfs)(0' are semitangentă la stânga în punctul
Gf xfxP )(,0 0 0 de
ecuație:
) )(( )(0 0'
0 xxxf xfy , iar
0xx ( Figura 6,7).
Funcții derivabile
23
y Tg y Tg
2/
2
)(0xf
0P
)(0xf
0P
O
0x x O
0x x
Figura 6 Figura 7
b) Pentru derivata laterală la dreapta în punctul
0x , avem situațiile următoare:
1. Dacă
Gf xfd )(0' are semitangentă la dreapta în punctul
Gf xfxP )(,0 0 0
de ecuație:
0xx , iar
Gf este situat la dreapta lui
0x și
)(0xfy ( Figura 8).
y
)(0xf
0P
Tg
O
0x x
Figura 8
2. Dacă
Gf xfd )(0' are semitangentă la dreapta în punctul
Gf xfxP )(,0 0 0
de ecuație:
0xx , iar
Gf este situat la dreapta lui
0x și
)(0xfy ( Figura 9 ).
y Tg
)(0xf
0P
O
0x x
Figura 9
Funcții derivabile
24
3. Dacă
Gf R xfd)(0' are semitangentă la dreapta în punctul
Gf xfxP )(,0 0 0 de
ecuație:
) )(( )(0 0'
0 xxxf xfy , iar
0xx (Figura 10,11 ).
y y Tg
Tg
)(0xf
0P
)(0xf
0P
O
0x x O
0x x
Figura 10 Figura 11
2.5.3 . Puncte remarcabile pentru graficul unei funcții.
Fie
R Ef: și
E x0 un punct de acumulare pentru mulțimea
E . Dacă există și au
sens
)(0'xfs și
)(0'xfd , atunci putem să avem următoarele situații:
1.
R xf xfd s )( )(0'
0' . În acest caz spunem că funcția f este derivabilă în
0x și
Gf are
tangentă în punctul
GfP0 , de ecuație
Rx xxxf xfy ), )(( )(0 0'
0 .
2.
};{)( )(0'
0' xf xfd s . În acest caz funcția f nu este derivabilă în
0x , dar are
derivată în
0x ( Figura 12,13 ):
)( )(0'
0'xf xfd s sau
)( )(0'
0'xf xfd s
y y
)(0xf
)(0xf
O
0x x O
0x x
Figura 12 Figura 13
Funcții derivabile
25
Gf are ca tangentă în punctul
GfP0 dreapta de ecuație
0xx . Punctul
0P se numește
punct de inflexiune al funcției f.
3.
};{)(),(0'
0'xfxfd s și
)( )(0'
0'xf xfd s . În acest caz, f nu este derivabilă în
0x
și nu are derivată în
0x . Punctul
)(,0 0 0 xfxT se numește punct de întoarcere pentru
Gf (
Figura 14,15 ).
)(0xfy
)(0xfy
y
)(0xf
)(0xf
O
0x x O
0x x
Figura 14 Figura 15
4.
)( )(0'
0'xf xfd s și cel puțin una dintre derivatele laterale este finită. În acest caz
punctul
))(,(0 0 0 xfxT se numește punct unghiular pentru Gf. Graficul funcției admite în
0T două
semitangente (Figura16,17 ).
)( )(
)()(
0'
0'
0'0'
xf xf
R xfxf
d s
ds
Tg Gf Tg
Figura16
sau
)( )(
)()(
0'
0'
0'0'
xf xf
R xfR xf
d s
ds
Gf
Tg Tg
Figura17
Funcții derivabile
26
2.5.4 . Derivate laterale – aplicații.
1. Să se studieze derivata funcției
9 )(, :2 x xfR Rf în punctele
1x și
3x .
Rezolvare
]3;3[, 9);3[]3;(,99 )(22
2
xxx xx xf
)3;3(1x
21)1)(1(lim11lim18 9lim1)1( )(lim)1(
12
12
1 1'
xx x
xx
xx
xf xff
x x x x
deci
2 )1(' f ,
adică funcția este derivabilă în punctul
1x .
);3[3x
63) 3)( 3(lim39lim3)3( )(lim)3(
332
33
33'
xx x
xx
xf xff
xx
xx
xxs
63)3 )(3(lim39lim3)3( )(lim)3(
332
33
33'
xx x
xx
xf xff
xx
xx
xxd
)3( )3(' '
d s f f
funcția nu este derivabilă în punctul
3x . Punctul
)0.3( ))3(,3( P f P este
un punct unghiular pentru graficul funcției f.
2. Să se determine punctele unghiulare sau punctele de întoarcere pentru următoarele
funcții:
a)
1 ;1 )(, :0 x xxxfR Rf
b)
2 ;
2 ,)2(2 ,0
)(, :03 2
x
x xx
xfR Rf
Rezolvare
a)
1, 11,1)(
xx xx xxxf
01
1lim
) 1(1lim11lim10 1lim1)1( )(lim)1(
11 2
11
11
11
11'
xx
xx x
xx x
xx x
xf xff
xx
xx
xx
xx
xxs
Funcții derivabile
27
01
1lim
)1 (1lim11lim101lim1)1( )(lim)1(
11 2
11
11
11
11'
xx
xxx
xxx
xxx
xf xff
xx
xx
xx
xx
xxd
)1()1(
''
ds
ff
Punctul
))1(,1(fP este un punct de întoarcere pentru Gf.
b)
2 ;
2 ,)2(2 ,0
)(, :03 2
x
x xx
xfR Rf
0200lim2)2( )(lim)2(
22
22'
x xf xff
xx
xxs
01
21lim
)2()2(lim20)2(lim2)2( )(lim)2(
3
22332
223 2
22
22'
x xx
xx
xf xff
xx
xx
xx
xxd
))2(,2( )2( )2(
)2(0)2(' '
''
f U f f
ff
d s
ds
este un punct unghiular pentru Gf.
2.6. Reguli de derivare. Derivatele funcțiilor elementare .
2.6.1. Derivatele unor funcții elementare .
1. Funcția constantă.
Fie funcția
RxcxfR Rf ,)(, : unde c este un număr real dat. Funcția constantă
cxf)(
este derivabilă pe R și derivata sa este egală cu zero, adică
Rx xf ,0)(' .
Demonstrație. Fie
R x0 , un punct arbitrar. Raportul R(x) devine:
0)( lim ,0)( )()(
00
00
00
xR xxxxcc
xxxf xfxR
xx
adică
0)(0'xf . Cum
0x a fost ales
arbitrar se deduce că
Rx xf ,0)(' .
2. Funcția identică.
Fie funcția
RxxxfR Rf ,)(, : . Funcția identică este derivabilă pe R și derivata
sa este egală cu unu, adică
Rx xf ,1)('
Demonstrație. Fie
R x0 , un punct arbitrar. Pentru
0xx , raportul R(x) devine:
Funcții derivabile
28
1)( lim)( 1)( )()(
00'
00
00
xR xfxxxx
xxxf xfxR
xx. Deoarece
0x a fost ales arbitrar se
deduce că
Rx xf ,1)(' .
3. Funcția putere cu exponent natural.
Fie funcția
*, )(, : nxxfR Rfn . Funcția
*, )(, : nxxfR Rfn este
derivabilă pe R și derivata sa este egală cu
Rx nxxfn, )(1 ' .
Demonstrație. Fie
R x0 , un punct arbitrar. Pentru
0xx , raportul R(x) se scrie succesiv:
1
02
03
02 1
01
0 02 1
0
00
00…) … )( ( )( )()(n n n nn n n n n
x xxxx xxxx xx xxx
xxx x
xxxf xfxR
1
01
02
03
02 1
00'… )( lim)(
n
orinn n n n
xxnx x xxxx xxR xf
. Cum
0x a fost ales arbitrar se
deduce că
Rx nxxfn, )(1 ' . Notație :
1'n nnx x .
4. Funcția radical de ordin n.
Fie funcția
2, , , )(, : n nExx xfR Efn , unde
);0[E dacă n este par
și
RE , dacă n este impar. Funcția radical este derivabilă în orice punct
Ex x,0 și derivata
sa este egală cu
0 ,1)(
1'
x
xnxf
n n . În punctul
0x funcția radical nu este derivabilă, dar
are derivata
)('xf .
Demonstrație. Fie
0 ,0 0 xE x un punct arbitrar din E. Pentru
0xx , raportul R(x) devine:
n n n n n nxn n n nn n
x x x x x x xxxx
xxx x
xxxf xfxR
1
01 1
0 02 1
00
00
00
…1
… ) ()( )()(
n n xxxnxR xf
1
00' 1)( lim)(
0
. Cum
0x a fost ales arbitrar se deduce că
0 , ,1)(
1'
xEx
xnxf
n n
. Dacă
00x , atunci
, )( lim)0(
0'
xR f
x ceea ce arată că f nu
este derivabilă în
00x , dar are derivată în acest punct. Notație :
n nn
xnx
1' 1
.
Funcții derivabile
29
Observații.
1) Dacă
2n , atunci
0 ,
21)(' x
xx .
2) Dacă
3n atunci
0 ,
31)(
3 2' 3 x
xx .
5. Funcția trigonometrică sinus.
Fie funcția
Rxx xfR Rf ,sin)(, : . Funcția trigonometrică sinus este derivabilă
pe R și derivata sa este egală cu
Rxx x xf ,cos)( (sin))(' ' .
Demonstrație. Fie
R x0 , un punct arbitrar. Atunci pentru
0xx , raportul R(x) se scrie
succesiv:
2cos*
22sin2cos2sin2sin sin)( )()(0
00
00 0
00
00 xx
xxxx
xxxx xx
xxx x
xxxf xfxR
. Trecând
la limită rezultă:
00 0
00
0'cos2cos*12coslim*
22sin
lim)( lim)(
0 0 0xxx xx
xxxx
xR xf
xx xx xx
.
Cum
0x a fost ales arbitrar se deduce că
Rxx xf , cos)(' . Notație
x x cos) (sin' .
6. Funcția trigonometrică cosinus.
Fie funcția
Rxx xfR Rf ,cos)(, : . Funcția trigonometrică cosinus este
derivabilă pe R și derivata sa este egală cu
Rxx x xf ,sin )( (cos))(' ' .
Demonstrație. Fie
R x0 , un punct arbitrar. Atunci pentru
0xx , raportul R(x) se scrie
succesiv:
2sin*
22sin2sin2sin2cos cos)( )()(0
00
00 0
00
00 xx
xxxx
xxxx xx
xxx x
xxxf xfxR
. Prin
trecere la limită rezultă:
Funcții derivabile
30
00 0
00
0'sin2sin*12sinlim*
22sin
lim )( lim)(
0 0 0xxx xx
xxxx
xR xf
xx xx xx
. Cum
0x a fost
ales arbitrar se deduce că
Rxx xf ,sin )(' . Notație
x x sin ) (cos' .
7. Funcția exponențială.
Fie funcția
0,1,0, )(),;0( : x a aaxf Rfx . Funcția exponențială este
derivabilă pe R și
0 ,ln )()(' ' xa a a xfx x .
Demonstrație. Fie
R x0 .
Raportul R(x) devine:
0 0 00 )1 ( )( )()(0 0 0
xxaa
xxa a
xxxf xfxRxx x x x
. Trecând la limită se
obține:
a axxaaxR xfxxx
xxx
xxln*1lim* )( lim)(00
00
000'
, unde am utilizat
axuaxu
xuln)(1lim)(
0)(
,
cu
0 )( xxxu . Deoarece
0x a fost ales arbitrar, deducem formula de derivare
Rxa axfx ,ln )('
. Notație :
a a ax xln )(' .
Consecință:
x xe e')( .
8. Funcția logaritm natural.
Fie funcția
x xfR f ln)(, );0(: . Funcția logaritmică este derivabilă pe
);0( și
0 ,1)(ln)(' ' xxx xf
.
Demonstrație. Fie
00x și
);0( ,0 0 xxx .
Raportul R(x) devine:
01
0 0 0 00
00ln ln1 ln ln)( )()(xx
xx
xx
xx xxx x
xxxf xfxR
. Trecând
la limită când
0x x se constată că avem cazul de nedeterminare
1 . Limita se calculează
adunând și scăzând 1 în bază,astfel :
Funcții derivabile
31
00
00
00
011
001
01 lim 1 1limxx
xxx
xxxx
xxexxx
xx
, unde am utilizat:
e xuxu
xu
)(1
0)())(1(lim , cu
00)(xxxxu
.
011
00' 1ln limln)( lim)(00
0 0 xexxxR xfxxx
xx xx
. Deoarece
0x a fost ales arbitrar din
);0(
se deduce că
0 ,1)(' xxxf . Notație:
xx1)(ln' .
Observație. Dacă se consideră funcția
1,0, log)(, );0(: a ax xfR fa , funcția
logaritmică de bază a, atunci
0 ,ln1) (log' xaxxa . Pentru demonstrație se ține cont că
axxalnlnlog
.
2.6.2. Tabloul derivatele funcțiilor elementare.
Nr.crt Funcția elementară Derivata funcției
f
fD
'f
'fD
1.
c
R 0
R
2.
*,nxn
R
1nnx
R
3.
*, R x
);0(
1x
);0(
4.
*,nxn
);0[ dacă n este par
R
, dacă n este impar
n nxn11
);0( dacă n este par
R
, dacă n este impar
5.
1,0,a aax
R
a axln
R
6.
1,0, log a axa
);0(
axln1
);0(
Funcții derivabile
32
7.
xln
);0(
x1
);0(
8.
xsin
R
xcos
R
9.
xcos
R
xsin
R
10.
tgx
k k R ,2)12(\
x2cos1
k k R ,2)12(\
11.
ctgx
kk R ,(\
x2sin1
kk R ,(\
12.
x arcsin
]1;1[
211
x
)1;1(
13.
x arccos
]1;1[
211
x
)1;1(
14.
arctgx
R
11
2x
R
15.
arcctgx
R
11
2
x
R
Tabelul 1
Observație. În tabel au fost introduse funcțiile trigonometrice tg și ctg și funcțiile
trigonometrice inverse, a căror formule se vor demonstra după ce în prealabil se va trata
paragraful ” Operații cu funcții derivabile ”
2.7. Operații cu funcții derivabile
2.7.1. Scopul introducerii operațiilor cu funcții derivabile.
Operațiile cu funcții derivabile sunt:
1.
)(0'xgf
2.
)(0'xgf unde:
'
0, :, DDxR Dgf sunt funcții
3.
)(0'x cf derivabile în punctul
0x
Funcții derivabile
33
4.
)(0'
xgf
precum și compunerea funcțiilor derivabile:
)( )( )() (0'
0'
0'xf xfg xfgdef
conduc tot la funcții derivabile.
Tot în acest paragraf se va trata și ” Derivarea funcției inverse ”, problemă utilă în calculul
formulelor pentru derivatele funcțiilor trigonometrice inverse.
2.7.2 . Teoreme cu privire la operațiile cu funcții derivabile, derivabilitatea funcțiilor
compuse și a funcției inverse.
T1. Operații cu funcții derivabile.
1. Funcția
gf este derivabilă în
0x și
)()( )(0 0'
0'xg xf xgf
2. Funcția
cf este derivabilă în
0x și
)( )(0'
0'xfc xcf
3. Funcția
gf este derivabilă în
0x și
)()( )()( )(0'
0 0 0'
0'xgxf xgxf xgf
4. Funcția
gf este derivabilă în
0x și
)()()( )()()(
020'
0 0 0'
0'
xgxgxf xgxfxgf
, dacă
0g
pentru
Dx .
Demonstrație. Folosind operațiile aritmetice cu limite de funcții și definiția derivatei unei
funcții într -un punct, afirmațiile de mai sus devin:
1) Notând
gfh , obținem:
)( )()( )(lim)( )(lim)( )( )( )(lim)()(lim)( )() (
0'
0'
0000
00
00
00
0'
0'
00 0 0
xg xfxxxgxgxxxf xf
xxxgxg
xxxf xf
xxxhxhxh xgf
xxxx xx xx
deci
Dxxg xf xgf 0 0 0'
0'),()( )( arbitrar, atunci
fDxxgxf xgf ),()( )(' '
sau
' ' ') ( gf gf (derivata sumei a două funcții derivabile este egală cu suma derivatelor
celor două funcții) .
2) Dacă
fch , atunci:
Funcții derivabile
34
)()( )(lim)()(lim)( )(0'
00
00
0'
0'
0 0xfcxxxfcxfc
xxxhxhxh x cf
xx xx
, deci
)( )(0'
0'xfc xcf
,
D x0 arbitrar
fDxxfcxfc ),( )() (' ' sau
' ') ( fc fc
Observații.
Dacă
' ')(1 f f c
Dacă f și g sunt funcții derivabile, atunci:
' ' ' ' ' ')( )( ) ( gf g f g f gf
deci
' ' ') ( gf gf .
3) Dacă
gfh , atunci:
)()()()( )()( )(lim)()( )(lim)()( )()(lim)()( )()(lim)()( )()(lim)()(lim)( )(
0'
00 0'
0
00
00
00 0 000
00 0
00
0'
0'
0 0 00 0 0
xgxfxgxf xfxxxgxgxgxxxf xf
xxxgxf xgxfxxxgxf xgxf
xxxgxf xgxf
xxxhxhxh xgf
xx xx xxxx xx xx
deci
Dxxgxf xgxf xgf 0 0'
0 0 0'
0'),()( )()( )( arbitrar
)()( )()( )() (' ' 'xgxfxgxf xgf
Dx sau
' ' ') ( gfgf gf .
Observație. Prin inducție matematică, se poate arăta că: produsul a ”n” funcții derivabile pe D
este derivabil pe D și
n
in i i i n f ff f ff f ff
11'
1 2 1'
2 1 … … … (*)
Pentru
3n relația (*) devine:
'
3 2 1 3'
2 1 3 2'
1'
3 2 1 fffffffff fff .
4) Demonstrăm că dacă f, g sunt derivabile în
0)(,0 0xgx , atunci și funcția cât
gf este
derivabilă în
0x și are loc egalitatea
)()()( )()()(
020'
0 0 0'
0'
xgxgxf xgxfxgf
. Dacă
gfh
atunci
Funcții derivabile
35
)()()( )()(
)()(1)()( )()()( )(lim)()() ()()( )( )()( )(lim)()() ()()( )()(lim)()(
)()(
lim)( )(
lim)()(lim)( )(
020'
0 0 0'
00
00
0
000 00 0 0 0
0 00 0000
00
00
0'
0'
00 00 0 0
xgxgxf xgxf
xgxgxfxxxgxgxgxxxf xfxgxgxxxf xgxg xg xf xf
xgxgxxxgxf xgxfxxxgxf
xgxf
xxxgfxgf
xxxhxhxh xgf
xxxx xxxx xx xx
deci
D x
xgxgxf xgxfxgf
0
020'
0 0 0'
0'
,
)()()( )()()( arbitrar
)()()( )()()(2' ''
xgxgxf xgxfxgf
,
Dx sau
2' ''
ggfgf
gf
.
T2. Derivabilitatea funcțiilor compuse.
Fie funcțiile
E Df: și
'
0, : DDxR Eg (
0x arbitrar),
'
0 0 )( EE xf y .
Dacă funcția
f este o funcție derivabilă în
0x și
g este o funcție derivabilă în
0y , atunci funcția
compusă
R Dfg: este derivabilă în
0x și
)( )( )() (0'
0'
0'xf xfg xfg , pentru
0x
arbitrar.
Demonstrație. Trebuie arătat că
)( )())( ())( (lim0'
0'
00
0xf xfgxxxfg xfg
xx
.
Definim funcția
R JF: astfel:
0
0 0'00
,
),()( )(
)( yy
yyygyyygyg
yF
.
Evident
F este continuă în
0y deoarece
)( )()()(lim)( lim0 0'
00
0 0yF ygyyygygyF
yy yy
. Are
loc egalitatea:
00
00 )( )()()( )(
xxxf xfxfFxxxfg xfg
, dacă
0xx (1)
Într-adevăr, dacă
)( )(0xf xf , atunci ambii membrii sunt nuli. Dacă
)( )(0xf xf , atunci
0 () yxf
și
00
)()( )()(yxfyg xfgxfF și se constată că relația (1) se verifică.
Funcții derivabile
36
Trecând la limită în (1) după
0x x avem:
00
00
0' )( )(lim)( lim)( )(lim)() (
0 0 0 xxxf xfxfFxxxfg xfgxfg
xx xx xx
)()( )()(0'
0'
0'
0'xfxfg xfyg
unde am utilizat relațiile
)( )( )( lim0'
0
0yg yF xfF
xx
și
faptul că funcția
f este derivabilă în
0x . Deci
Dxxfxfgxfg ),( )( )() (' ' ' .
T3. Derivata funcției inverse.
Fie
RJI, două intervale și
J If: o funcție strict monotonă cu proprietatea că
JIf)(
și
f- funcție derivabilă în
I x0 , iar
0)(0'xf , atunci funcția inversă
I J f:1
este derivabilă în
)(0 0 xf y și
)(1)(
0' 0'1
xfy f .
Demonstrație.
Din faptul că funcția
f este strict monotonă
f este injectivă, iar din
f JIf)(
este surjectivă
f este bijectivă
f este inversabilă. Inversa funcției este
I J f:1 . Cum
0)(0'xf
atunci
R
xf
)(1
0' .
Pentru a proba relația din concluzia teoremei va trebui examinată limita raportului
001 1)( )(
yyy f y f
(1)
când
0y y și
0yy . Din
0y y și continuitatea lui
1f în
0y , se deduce
)( )(01
01yf x xyf
.
Scriem (1) sub forma
00 00
001 1
001 1
)( )(1
)( )( )( )()( )( )( )(
xxxf xf xf xfxx
xf xfxff xff
yyy f y f
, unde am folosit
că
x xff)(1 , și apoi trecem la limită după
0y y , c\nd se obține:
)(1
)( )(lim1lim
0'
00 001 1
00 xf
xxxf xf yyy f y f
xxyy
, ceea ce arată că
)(1
0' 01
xfy f sau
Funcții derivabile
37
JxfyIx
xfy f )( , ,
)(1
''1.
Consecință.
Dacă
J If: este o funcție strict monotonă pe
I și derivabilă pe
I (
I – interval),
atunci
JIf)( este interval , iar dacă în plus, avem
Ix xf ,0)(' , vom avea
I J f:1
funcție derivabilă și
Jy
yffyf ,1
1 '1
.
Interpretare geometrică.
1) Graficele funcțiilor
f și
1f sunt simetrice față de prima bisectoare, adică (Figura 18 ):
y
1fG Tg y=x
Tg
fG
O x
Figura 18
),( )(01
0 0 0 yf x y xf
deci
1 ),( ),(0 0 0 0 f f G xy G yx .
2) Funcția
f este derivabilă în
0x , cu proprietatea
0)('xf , înseamnă că
fG admite în
punctul
),(0 0yx tangenta de pantă
)(0'xf tg (2)
iar faptul că
1f este funcție derivabilă în
0y cu proprietatea
0
)(1
0' 0'1
xfy f , înseamnă
că
1fG admite în punctul
),(0 0yx tangenta de pantă
)(1
0'xftg (3).
Funcții derivabile
38
Din relațiile (2) și (3)
tgtg1 , adică
2 .
2.7.3. Tabloul derivatele funcțiilor compuse.
Nr.crt Funcția compusă Derivata funcției compuse
1.
*,nun
' 1u nun
2.
*, R u
' 1u u
3.
*,nun
'
11u
unn n
4.
1,0,a aau
'ln ua au
5.
ue
'ueu
6.
1,0, log a aua
'
ln1uau
7.
uln
'1uu
8.
usin
'cos uu
9.
ucos
'sin uu
10.
tgu
'
2cos1u
u
11.
ctgu
'
2sin1u
u
12.
u arcsin
'
211u
u
13.
u arccos
'
211u
u
14.
arctgu
'
211u
u
Funcții derivabile
39
15.
arcctgu
'
211u
u
16.
vu
uuvu vuv'
'ln
17.
2u u defeeshu
'u chu
18.
2u u defeechu
'u shu
19.
chushuthu
'
21u
uch
20.
shuchucthu
'
21u
ush
Tabelul 2
Observație.
Funcția compusă
vu se derivează astfel:
uuvu vu u vu v e e uv uv uv v'
' ' ' ln'ln'ln )(ln ln
.
2.7.4. Aplicații.
1) Derivatele funcțiilor trigonometrice tg x, ctgx, respectiv tg u, ctgu.
x xx x
xx x x x
xx x x x
xxtgx2 22 2
2 2' ' '
'
cos1
cossin cos
cos)sin( sin cos cos
coscos sin cos sin
cossin)(
x xx x
xx x x x
xx x x x
xxctgx2 22 2
2 2' ' '
'
sin1
sincos sin
sincos cos sin sin
sinsin cos sin cos
sincos) (
uuu
uuutg tgu2'
'
2' ' '
cos cos1
uuu
uuuctg ctgu2'
'
2' ' '
cos sin1
.
2) Derivatele funcțiilor trigonometrice inverse.
Funcții derivabile
40
a) Funcția arcsinus. Fie
x xf f sin)(],1;1[2;2:
care se știe că este continuă,
bijectivă și
0 cos)(' x xf pentru
2;2x . Se poate aplica teorema de derivare funcției
inverse
y yf f arcsin)(,2;2]1;1[:1 1
. Fie
)1;1(0y arbitrar.
Avem
2
0 02
0 0' 0'
11
sin11
cos1
)(1)( (arcsin)
y x x xfy
. Dacă
10y , atunci
20x
și
0)(0'xf . Cum
f este strict crescătoare
)1( (arcsin)' . Analog dacă
10y
, atunci
20x și
0)(0'xf când
)1( (arcsin)' . Deci funcția
x xf arcsin)( este
derivabilă pe
)1;1( și
)1;1( ,
11arcsin
2'
x
xx .
b) Funcția arctangentă. Fie
tgxxfR f
)(,2;2: , care este continuă, bijectivă
și
0
cos1)(2'
xxf ,
2;2x . Funcției inverse
arctgyyf R f
)(,2;2:1 1 i
se poate aplica teorema de derivare a funcției inverse. Fie
R y0 arbitrar. Atunci
0 02 02
0' 0'
11
11cos
)(1)() (y xtgx
xfy arctg
. Deci funcția
arctgxxf)( este derivabilă
pe
R și
Rx
xarctgx
,
11) (2' .
Observație.
În mod analog se demonstrează că funcția
x xf arccos)( este derivabilă pe
)1;1( și
)1;1( ,
11arccos
2'
x
xx
, respectiv funcția
arcctgxxf)( este derivabilă pe
R și
Rx
xarcctgx
,
11) (2'
.
3) Utilizând regulile de derivare pentru funcțiile compuse, să se calculeze derivatele
următoarelor funcții:
)6,1(, : iR Dfi i
Funcții derivabile
41
a)
xxxfln)(1
b)
3 3
2 2 3 )( x x xf
c)
231arccos)(
xxxf
d)
xx xfsin
4 cos)(
e)
xx
xfsin
5 2)(
f)
tgxxxfx
2sin)(3
6
Rezolvare.
a)
2 2'' '
'
12ln2ln21
21ln1
ln ln ln)(xx x
xxxx
xxx xx
xx x x x
xxxf
.
b)
3232
3232'3
323'3 3 '
2
2 3)1 (
2 3 3)1 (32 3
2 3 312 3 )(
x xx
x xxx x
x xx x xf
c)
22'2
22
22'2 2 ''
2'
31121arccos
11
11 arccos 1 arccos
1arccos)(xxxx
xx
xx x x x
xxxf
2 22 22
1) 1(2arccos
11
112)2(arccos1
x xx x
x xxxx
d)
x x xxxx x x x x xfx x xcosln cos ) (coscos) (cossin cosln) (sin ) (cos ) (cos)(sin'
' sin'sin '
4
Funcții derivabile
42
xxx x xxxxx
cossincosln cos ) (coscossinsin2
sin. Condiții:
0 cosx și
0 cosx .
e)
xx xx
xx xx x
xxxfxx
xx
xx
xx
2sin
2' '
sin'
sin'
sin '
5sincos sin2ln 2
sin) (sin sin2ln 2sin2ln 2 2)(
Condiție:
0 sinx .
f)
2' 3'3'3
'
62) 2( sin 2 sin
2sin)(
tgxtgx x tgx x
tgxxxf
xx x
x
xtgxtgx x
xtgx
xtgtgx tgx x tgx
x
xx xx
xx x x
2 223
3 2
2 2' ' 3
3 2
2cos12 2ln2 sin
sin32
2)(2 )2( sin 2
sin31
xtgxtgx x
xtgx
xtgxtgx x
xtgx
x xx
223
3 2
2 223
3 2
2cos12ln sin
sin3
2cos12ln sin
sin32
.
4) Fie funcția
2 )(, :2 3 x xxxfR Rf . Să se arate că
f este bijectivă
(inversabilă), derivabilă în punctul
)(0 0 xf y și să se calculeze
)2('1f .
Rezolvare.
2 )(, :2 3 x xxxfR Rf
. Arătăm că din
2 1 2 1 )( )( xx xf xf
0 2 2 )( )(2 12
22
13
23
1 22
23
2 12
13
1 2 1 xx xx xx xxx xxx xf xf
f x x xx xx xxx x xx
2 1 2 1
02 12
2 212
1 2 1 0 0 1 ) (
injectivă.
2 )(, :2 3 x xxxfR Rf
funcție elementară. Aplicăm proprietatea lui Darboux
(proprietatea valorilor intermediare) și obținem:
3 2 3)(2 lim)( lim x xx xf
x x
, iar
f R Rf x xx xf
x x
)( )(2 lim)( lim3 2 3
surjectivă.
Funcții derivabile
43
Din faptul că
f injectivă și surjectivă
f bijectivă
f inversabilă adică există
1f ,
Rx x xxxf ,2 )(2 3
este funcție elementară
f este continuă și derivabilă pe
)(0'xf R
,
R D xf ' 0 .
)(1)(
0' 0'1
xfyf
, unde
20y .
0 0 1 2 2 )(0
002
0 0 02
03
0 0 0
x x xx x x x xf y
1 12 3 2 )0(02'
02 3 ' x x x x x xx f
Atunci
111
)0(1)2(''1
ff .
2.8. Derivate de ordin superior .
2.8.1. Funcție indefinit derivabilă – definiții și exemple.
Fie
RD , interval sau reuniune de intervale din
R și fie
REf: o funcție.
Definiția 1. Funcția
f este de două ori derivabilă în
E x0 , dacă:
f este derivabilă într -o vecinătate a lui
0x ;
'f este derivabilă în
0x , adică
)()( )(lim0''
00' '
0xfxxxf xfnot
xx
.
Exemple :
1)
32 5)(, :2 3 x xx xf f R R
2 2 15)(2 ' x x xf
2 30)(''x xf ,
28)1('' f , (derivata de ordinul 2 în punctul
10x )
2)
x xg g ln)(, );0(: R
xxg1)('
2'' 1)(
xxg ,
);0(2 ;41)2(0'' x g .
Funcții derivabile
44
Definiția 2. Funcția
f este de două ori derivabilă dacă
'f este derivabilă. Funcția
''f se
numește derivata de ordinul doi a lui
f .
Se notează:
)2(f – notația lui Lagrange
22
dxfd – notația lui G. Leibnitz
fD2 – notația lui A. Cauchy.
Definiția 3. Fie
n . Funcția
f se numește derivabilă de ordinul
1n dacă este derivabilă de
ordinul
n și dacă derivata sa de ordinul
n ,
)(nf este derivabilă. Se notează
)1(nf și se numește
derivata de ordin
1n a lui
f .
Definiția 4. Funcția
f se numețte derivabilă de ordinul
sau încă funcție indefinit derivabilă
dacă este derivabilă de orice ordin
n ,
n .
Observație. Orice funcție elementară este indefinit derivabilă.
Exemple :
1) Funcția polinomială.
0 11
1 … )(, : axa xaxaxf fn
nn
n
R R
01 22
11 '2… )1( )( axa x na nxaxfn
nn
n
23
12 ''2… )2 )(1( )1( )( a x n na x nnaxfn
nn
n
! )( 123)…2 )(1( )()( )(naxf n nnaxfnn
nn
0 ! )(' )1(
x nnna x f .
Deci
! )()(naxfnn , iar
k x fkn,0)() ( .
2) Funcția exponențială.
1,0, )(),;0( : a aaxf fxR .
a a a xfx xln )(''
a a a a xfx x 2'''ln ln )(
Funcții derivabile
45
na axfn x n, ln )()(
2.8.2. Aplicații.
1) Să se calculeze derivata de ordin
) ,1( Nn nn pentru funcțiile:
a)
x xf f cos)(],1;1[ : R
b)
},{\ ,1)(, :2 2aa D
axxg Dg
R R
c)
R R aexh hax(, )(),;0( : constantă)
Rezolvare:
a)
x xf cos)( .
Pentru
2cos sin ) (cos)( 1' ' x x x xf n .
Pentru
22cos2sin2cos)( 2'
'' x x x xf n .
În general
2cos)()( nx xfn ,
) (n . Demonstrăm formula prin inducție matematică.
Pentru
' ') (cos sin2cos)( 1 x x x xf n
adevărat.
Presupunem
kkx xfkPk,2cos)( :)()( adevărată și demonstrăm că
kkx x f kPk,2)1(cos)( :)1()1(
adevărată.
2)1(cos2 2cos2sin2cos )( )( :)1('
')( )1( kxkxkxkx xf x f kPk k
, adevărat
2cos)( :)()( nx xfnP nn adevărată
n .
b)
axaxaxg
axxg1 1
21)(1)(2 2 .
Pentru
2 2'
'
) (1
) (1
21 1 1
21)( 1
ax axa axaxaxg n
Funcții derivabile
46
2 21
21
21
) (1
) (1
2!1)1(
) (1)1(
) (1)1(21
ax ax a ax ax a
Pentru
3 32
''
) (1
) (1
2!2)1()( 2
ax ax axg n .
În general
n
ax ax anx gn nn
n,
) (1
) (1
2!)1()(1 1)( .
Observație. Demonstrarea formulei de mai sus se face tot prin inducție matematică.
c)
axexh)(
Pentru
ax axea e xh n '')( 1
Pentru
ax axea ea xh n 2''')( 2
În general
n eaxhax n n, )()( și
Ra (constantă).
Observație. Demonstrarea formulei de mai sus se face tot prin inducție matematică.
2) Să se arate că pentru
R R:,gf are loc egalitatea:
n
kk kn k
nng f C gf
0)( ) ( )( – relația lui Leibniz.
Rezolvare:
' 1
1'0
1' ' ':)1( gfCgfCgfgf gf P
'' 2
2' '1
2''0
2'' ' ' ' ' '' '' ' '':)2( gfCgfCgfC gf gf gfgf gfgf gf P
Presupunem că
m
kk km k
mmg f C gf mP
0)( ) ( )(:)( adevărată și arătăm că
1
0)( )1 (
1)1(:)1 (m
kk km k
mmg f C gf mP
este adevărată.
)1( 1
1)( '
1'' )1( 2
1'' )( 1
1)1( 0
1)1( )( ' 1 '' )1( 2 1'' )( 1 0 )1( 0)1( )( ' '' )1( 1 ' )( 1'' )( 0 )1( 0')( ' )1( 1 )( 0')( )1(
………… :)1 (
m m
mm m
mm
mm
mm
mm m
mm m
mm
mm
m mm
m mm
mm m
mm m
mm
mm
mm
mm
mm m
mm
mm
mm m
gf C gf C g f C g f Cg f CgfC gfC C g fC C g fC Cg fCgfC gfC g fCg fC g fCg fCgfC g fCg fC gf gf mP
Funcții derivabile
47
)()( )1 (1
01 nP g f Ck kmm
kk
m
adevărată
n .
Am folosit
k
mk
mk
mm
mm
m m m C C C C C C C11 1
10
10;1 ;1
.
2.9. Diferențiala unei funcții.
2.9.1. Diferențiala unei funcții.
Definiția 1. Fie o funcție
R);(:baf derivabilă și
);(0 ba x . Atunci există și este finită
limita:
00
0' )( )(lim)(
0 xxxf xfxf
xx
. Relația spune că pentru valori ale lui
x suficient de aproape
de
0x
) (0xx , raportul
00)( )(
xxxf xf
devine aproximativ egal cu
)(0'xf .
)()( )(
0'
00xfxxxf xf
.
Dacă se notează
h xx0 , atunci
hxx0 și relația precedentă se scrie
hxf xf hxf )( )( ) (0'
0 0
, care se traduce astfel: la creșteri suficient de mici ale argumentului,
de la
0x la
hx0 , creșterea corespunzătoare
)( ) (0 0 xf hxf a funcției poate fi aproximată
prin produsul
hxf )(0' . Cu cât c reșterea
h este mai mică (cu cât
x este mai apropiat de
0x ) cu
atât produsul
hxf )(0' este mai apropiat de
)( ) (0 0 xf hxf și implicit eroarea comisă în
aproximație este cu atât mai mică.
Definiția 1. Funcția dată de corespondența
hxf h )(0' se numește diferențiala funcției
f în
punctul
0x și se notează
)(0xdf .
R hhxf hxdf ,)( ))((0'
0 .
Diferențiala funcției într -un punct
);(bax se scrie:
hxf hxdf )( ))((' .
Pentru funcția
xxg)( avem:
hx dxxdg ')( , ceea ce arată că diferențiala funcției
identice este egală cu creșterea
h a argumentului.
Pentru
dx se utilizează denumirea diferențiala argumentului.
Funcții derivabile
48
Din raportul
dxxf xdf xfhhxf
dxxdf )( )( )()( )(' '' , adică diferențiala lui
f este
egală cu produsul dintre derivata lui
f și diferențiala argumentului.
Definiția 2. Dacă funcția
RDf: este diferențiabilă în orice punct din
D , atunci se spune că
funcția
f este diferențiabilă pe mulțimea
D .
Interpretare geometrică.
Considerând funcția
R}0{\:D , definită prin re lația:
0)( lim)( )()( )(
000
0'
xxxxf xfxf x
xx
, ceea ce înseamnă că pentru
0x x avem
0)(x
0)(x
, de unde formula aproximativă:
) )(( )( )(0 0'
0 xxxf xf xf (*), cu proprietatea
00xx
.
Interpretarea geometrică a acestei relații, este următoarea (Figura 19 ):
Cu notațiile anterioare relația (*) devine:
PQ MP hxf xf hxf )( )( ) (0'
0 0 , unde:
y
fG
PMPQtg xfhPMhxf PQf xf hxf MP
00'00'0 0
)()()( ) (
) (0hxf M
Q
Ecuația tangentei:
hxf)(0'
)(0xf
) )((0 0'
0 xxxf yy
0M h P
Diferențiala funcției
f în punctul
0x :
hxf hxdf )( ))((0'
0
O
0x
hx0
Figura 19
Funcții derivabile
49
Observație.
Făcând raportul dintre diferențiala funcției
)(xdf și diferențiala argumentului
dx ,
obținem:
dxxf xdf xfdxxdf )( )( )()(' '
y
fG
În
NTM0 (dreptunghic în N), avem :
) (dxxf M
dxxdf
NMNTxf tg)()(
0'
T
deci,
)(xf
0M
N
dxxf xdfdxxdfxf )( )()()(' '
. dx
O x
dxx x
Figura 20
În punctul
0M , pe o porțiune suficient de mică, graficul poate fi înlocuit cu un segment al
tangentei.
2.9.2. Reguli de diferențiere.
din fiecare regulă de derivare se obține o regulă de diferențiere, înlocuind derivata unei
funcții, cu diferențiala sa:
1)
dgdf gfd ) ( ;
2)
dgdf gfd ) ( ;
3)
dgf dfg gfd ) ( ;
4)
dfcfcd ) ( ;
5)
2gdgf dfg
gfd
Exemple:
1)
dxx dx x xd2 '3 39 )3()3(
Funcții derivabile
50
2)
dxx x e dxx ex e dxx e x edx x x x x) cos (sin cos sin sin sin'
3)
dxxx xxdxxx xx xdxxx
xxd2 2' ' '
cossin cos
cos) (cos cos
cos cos
2.9.3. Diferențiala unei funcții compuse.
duuf dxxuxuf dxxuf xufd
du)( )( )( )( )(' ' ' '
Exemple.
1)
xxdxdx
x xxd
xx arctgd
)1(2 21
11
11
2
2)
1211 21 2
12
1212
12
12ln
12ln
2222 2
'
2
2'
2
2'
2 2
xxxxx x
dx
xx
xxxx
xxd
xx
xxd
.
112122
21
122
141 2
12141 2
11 21 )2(
3222222 2
222
222 2
2222 2
22'2 2 '
dx
xxxxx
xx
xxdx
xx x
xxxx x
dx
xxx x x
Funcții derivabile
51
CAPITOLUL I II.
METODICA PREDĂRII CAPITOLULUI „FUNCȚII DERIVABILE”
3.1. Introducere .
Metodica, ca parte a didacticii generale, studiază principiile, metodele și normele de
predare adaptate specificului fiecărui obiect.
Metodica predării Capitolului „Funcții derivabile” din cadrul Calculului diferențial ( ca
parte a „ Analizei matematice”, care se oc upă cu studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor) are
drept principii – idei de bază ce fundamentează teoria științifică a acestui capitol fundamental în
„Analiza matematică” și metode – căi proprii de cercetare și cun oaștere, privind conceptele de
„derivată” și „derivabilitate”.
Strategia folosită în acest capitol va fi următoarea:
În prima parte a capitolului vom prezenta din punct de vedere metodic câteva lecții sau
seturi de lecții, respectiv:
)1L
Derivata unei funcții într -un punct
)2L
Folosirea noțiunii de derivată, pentru calculul unor limite (fără regulile lui
L'Hospital).
În a doua parte a capitolului, respectiv la „Extinderi” se va trata:
)1E
Subiect teoretic – Studiul continuității și derivabilității unor funcții speciale:
Funcția modul;
Funcția „parte întreagă”;
Funcția „parte fracționară”;
Funcția semn;
)2E Aplicații practice cu privire la derivate: proble me date recent la examenul de
Bacalaureat și admitere în învățământul superior.
Observație.
La „Extinderi” vor fi prezentate probleme care depășesc programa școlară, având un
caracter facultativ, însă probleme utile pentru activitățile din cadrul Cercului de matematic ă, unde
vor fi antrenați elevi cu aptitudini deosebite la obiectul matematică.
Funcții derivabile
52
3.2. Derivata unei funcții într -un punct(L
1 ).
3.2.1. Scurt istoric.
Posibilitatea de a construi o tangentă într -un punct la graficul unei funcții este studiată cu
ajutorul noțiunii de derivată.
Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor poartă numele de „Calcul diferențial”. Calculul
diferențial a provenit din:
1) Probleme de geometrie – calculul tangentei la o curbă (C), într -un punct
)(,0 0xfxP
;
2) Probleme de mecanică – problema calculării vitezei uni punct în mișcare,
adică:
)(')()(lim0
00
0tstttstsv
t
sau problema accelerației în mișcarea rectilinie:
00
00 0)()(lim)(')(tttvtvtv ta
t
, ambele probleme având la bază viteza de variație a unei funcții,
adică:
00)( )(
xxxf xf
xf „Creșterea funcției ” / „Creșterea argumentului”, iar
xfxf
x00 lim)('
00
0)( )(lim)('
0 xxxf xfxf
xx
.
Regulile generale ale „Calculului diferențial” au fost e laborate de către marii
matematicieni: Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibnitz (în sec. XVIII).
Obiectul „Calculului diferențial” sunt funcțiile (derivabile), iar metodele ei privesc în
general, calculul valorilor limită.
Conceptul central: „derivata unei funcții”, modelează „viteza de variație a unei funcții” ,
permițând studiul local și global al funcțiilor.
3.2.2. Probleme care au condus la noțiunea de derivată.
1) Problema calculării vitezei unui punct de mișcare.
Să considerăm un mobil M care se mișcă pe o dreaptă Ox (Figura 21 ).
Funcții derivabile
53
00;ts
O
0M
))((tsM x
s;t
Figura 21
Presupunem că la fiecare moment t cunoaștem abscisa s, pentru punctul M.
)(tss , deci
))(( )( tsMsM .
În punctul
0M , viteza mobilului va fi:
)(')()(lim)(0
00
0
0tstttststvnot
tt
, adică – viteza
mobilului M la momentul
0t este egală cu derivata spațiului pentru
0tt sau viteza în mișcarea
rectilinie este derivata spațiului în raport cu timpul.
Exemplu: Legea de mișcare a unui mobil, de -a lungul axei Ox este:
25)(t ts
(legea spațiului)
viteza mobilului este :
5)'25()(')( t tstv
(constantă).
2) Accelerația în mișcarea rectilinie.
Definiție. Accelerația la momentul
0t , reprezintă raportul dintre creșterea vitezei
)(v și
creșterea timpului
)(t , când
0t , adică:
)(')()(lim lim)(0
00
00
0tvtttvtv
tvta
tt t
deci, accelerația, în mișcarea rectilinie este derivata vitezei în raport cu timpul. Însă viteza
este derivata spațiului în raport cu timpul, adică accelerația se mai poate defini și ca:
)('')(')(0 0 0 ts tv ta
.
Exemplu: Să considerăm un mobil ce se deplasează rectiliniu, după legea:
53)(t tv
(nu este constantă)
mișcarea mobilului nu este uniformă
există o variație a
vitezei de timp. Pentru a calcula aceas tă variație procedăm astfel:
Fie
01t și
22t
6)503()523()()(202
1 2 11 2 1
tv tvvttt
Pentru
21t și
42t
6)()(224
1 2 21 2 2
tv tv vttt
Funcții derivabile
54
În general pentru
0 1tt și
20 2tt
6)5 3(5)2 (3)()(2 )2 (
0 0 1 20 0 1 2
t t tv tvvt t ttt .
Concluzie. În orice interval de timp
2t (secunde), variația vitezei
6v (m/s), adică viteza
crește cu 6 m/s, iar raportul
smssm
tv/32/62 (constant), adică raportul dintre creșterea
vitezei și creșterea timpului este constant
accelerația medie este
sm/32 (mișcarea mobilului
este uniform accelerată).
Considerând limita raportului
tv
, obținem accelerația mobilului, adică:
)()()(lim lim0'
00
00tatttvtv
tv
tt t
(accelerația mobilului
accelerația momentană). Pentru
53)(t tv
, am obținut :
)/(3)(2
0'sm ta .
Observație. La același rezultat am fi ajuns direct (fără interpretarea fenomenului fizic), dacă
aplicăm teoria expusă anterior:
3013)5 3()( )('
0 0'
0 t t tv ta .
3) Intensitatea curentului electric.
Notăm:
Q cantitatea de electricitate (măsurată în Coulombi);
t intervalul de timp (măsurat în secunde);
)(tQ cantitatea de electricitate scursă în intervalul de timp printr -o secțiune de circuit;
)( ) ( tQttQQ variația cantității de electricitate.
Definim:
a) Intensitatea medie a curentului, în intervalul de timp
t :
tQIm
b) Intensitatea curentului la un moment t :
)()( ) (lim lim lim'
0 0 0tQttQttQ
tQI Inot
t tmt
adică intensitatea curentului electric
se definește astfel:
00 ' )( )(lim)( )(
0 tttQtQtQtI
tt
sau
dtdQtQtI )( )(' .
Funcții derivabile
55
3.2.3. Derivata unei funcții într -un punct – aplicații.
A
1) Rata de creștere a unei funcții.
1) Determină creșterea funcției
2)(, : xxfR Rf corespunzătoare schimbării argumentului
de la
11x la
32x .
2131 2 xxx
813)( )(2 2
1 2 xf xff (creșterea funcției).
2) Calculează
y pentru funcția
) ( )(3Rxx xfy , dacă
01x și
001,0x .
001,0 0 001,02 2 1 2 x x xxx
1,0100010 001,0 )( )( 33 3 3
13
2 1 2 x x xf xfy
3) Determină rata de creștere a funcției
) (3Rxxy pentru intervalul
]4;1[ .
6314)( )(3 3
1 2 xf xfy
4) Determină
xy
pentru funcția
xy1 în punctul
21x dacă
1,0x și calculeaza
)2('y .
1,2 2 1,02 2 1 2 x x xxx
421
21
1,21 1 1)( )(
1 21 2 x xxf xfy
21510421
xy
41 1 1)2(
22'
2'
x x x xy
A
2) Continuitatea și derivabilitatea unei funcții într -un punct.
1) Să se studieze continuitatea și derivabilitatea funcțiilor următoare, în origine:
a)
0 , sin)(],1;1[ :0 xx xf Rf
b)
0 , 20 ,)(, :32
xx xxx xxfR Rf ,
00x
Funcții derivabile
56
Rezolvare.
a)
…]2;3[]0;[…]4;3[]2;[0 sin,sin…]3;4[];2[…]3;2[];0[0 sin,sin
sin)(
xsau xx xxsau xx x
x xf și
Rx x xf ,0 sin)(
.
Continuitatea:
)0( )0( )0(
00sin)0(0 sinlim)( lim)0(0)sin(lim)( lim)0(
00
0000
00
f l l
fx xf lx xf l
d s
xx
xxdxx
xxs
funcția
x xf sin)( este continuă
în punctul
00x .
Derivabilitatea:
)0( )0(
1sinlim)( )(lim)(1sinlim)( )(lim)(
' '
0000
0'0000
0'
0000
d s
xx
xxxxdxx
xxxxs
f f
xx
xxxf xfxfxx
xxxf xfxf
funcția
x xf sin)( nu
este derivabilă în origine.
b)
0 , 20 ,)(, :32
xx xxx xxfR Rf ,
00x
Continuitatea:
)0( )0( )0(
0)0(0 2lim)( lim)0(0) (lim)( lim)0(
3
00
002
00
00
f l l
fx x xf lx x xf l
d s
xx
xxdxx
xxs
funcția f este continuă în punctul
00x
.
Funcții derivabile
57
Derivabilitatea:
)0( )0(
11 2lim2lim)( )(lim)(1)1(lim lim)( )(lim)(
' '
2
003
0000
0'002
0000
0'
0000
d s
xx
xx
xxxxdxx
xx
xxxxs
f f
xxx
xx x
xxxf xfxfxxx
xx x
xxxf xfxf
funcția f
este derivabilă în origine.
2) Se dă funcția
0 ,00 ,1sin)(, :
xxxxxfR Rf .
a) Demonstați că funcția f este continuă în punctul
00x ;
b) Demonstrați că funcția f nu are derivate laterale și nici derivată în punctul
00x .
Rezolvare.
a) Funcția f este continuă în
)0( )( lim 0
00 f xf x
x
0)0( f
0)0( )( lim 01sin lim
0 lim lim1sin1sin 0
0 0
0 0
f xfxx
x xxxxxx
x xcriteriul
majorarii
x x
, adică funcția f este
continuă în punctul
00x .
b) Există
)(0'xf dacă există și este finită
00)( )(lim
0 xxxf xf
xx nu există
)(0'xf dacă nu există
00)( )(lim
0 xxxf xf
xx
.
x xxx
xf xf
xxxf xf
x x x xx1sinlim1sin
lim0)0( )(lim)( )(lim
0 0 000
0
nu există deoarece folosind
metoda reducerii la absurd, avem:
Presupunem contrariul:
)(0'xf
Alegând șirul
'
1nnx , cu termenul general
nxn2 , vom obține:
Funcții derivabile
58
11sin12 ,12 ,1 1sin
nn n x k nk n
x nu are limită unică
nu există
xx1sinlim
0 .
Funcția dată nu are derivată în punctul
00x .
În concluzie funcția
0 ,00 ,1sin)(, :
xxxxxfR Rf este continuă în origine, nu este derivabilă
în origine și nu are derivate laterale în punctul
00x (nu există
)0('
sf și
)0('
df ).
3) Să se determine constantele reale a și b astfel încât funcția
3 ,3,)(, :2
xbaxxxxfR Rf să
fie continuă și derivabilă în punctul
3 .
Funcția f este continuă în
3 dacă
)3( )( lim
3f xf
x
.
9 3
9 3)3(3 lim)( lim)3(9 lim)( lim)3()3( )3( )( lim
233
332
33
333
ba
fba b ax xf lx xf ll l xf
xx
xxdxx
xxsd sx
Funcția f este derivabilă în punctul
)3( )3( 3' '
d s f f .
6)3(lim3)3 )(3(lim39lim3)3( )(lim)3(
33
332
33
33'
xxx x
xx
xf xff
xx
xx
xx
xxs
axxa
xa ax
xba bax
xbax
xf xff
xx
xx
xx
xx
xxd
3)3(lim33lim3) 3() (lim39) (lim3)3( )(lim)3(
33
33
33
33
33'
6 )3( )3(' ' a f fd s
96
9 36
ba
baa
.
Pentru
6a și
9b funcția f este continuă și derivabilă în punctul
3 .
A
3) Ecuațiile tangentelor la graficul unei funcții f, într -un punct
)(,0 0 0 xfxM
1) Se dă funcția
53 )(, :2 x xxfR Rf . Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f, în
punctul
20x .
Funcții derivabile
59
Ecuația tangentei la
fG în punctul
)(,0 0 0 xfxM are forma:
) )((0 0'
0 xxxf yy
35232)2( )( 22
0 0 0 f xf y x
1 32 52 )2( )(2'
22 '
0' x x x x x f xf
01 1 )2(13 yx xy x y
(ecuația tangentei la
fG în punctul
3,20M ).
2) Există tangentă la graficul funcției:
3 ,83 ,12
)(, :
2x xxx xfR Rf , în punctul
30x ?
Există tangentă la graficul funcției dacă
)2( )('
0'f xf , adică funcția este derivabilă în
punctul
30x . Funcția f este derivabilă în
30x dacă:
)3( )3( lim
3f f
x
și
)3( )3(' '
d s f f .
1)3( )3( )3(
1)3(112lim)3(18 lim)3(
332
33
f l l
fxlx l
d s
xxdxxs
funcția dată este continuă în
30x .
6)3(lim3)3 )(3(lim39lim318lim3)3( )(lim)3(
33
332
332
33
33'
xxx x
xx
xx
xf xff
xx
xx
xx
xx
xxs
21
11lim)3 )(1()3(1lim)3 )(1(1 2lim3112
lim3)3( )(lim)3(
33
33
33
33
33'
x x xx
x xx
xx
xf xff
xx
xx
xx
xx
xxd
)3( )3(
21)3(6)3(
' ;
''
d s
ds
f f
ff
(derivatele laterale sunt finite)
punctul
)1,3( )(,0 0 0 0 M xfxM
este punct unghiular pentru
fG .
Concluzie.
În punctul
)1,3(0M există două semitangente: o semitangentă la stânga, având ecuația:
0 17 6)3(61 ) )((0 0'
0 yx x y xxxf yys
, și o semitangentă la dreapta, având
ecuația:
05 2 )3(211 ) )((0 0'
0 y x x y xxxf yyd .
Funcții derivabile
60
A
4) Determinarea punctelor unghiulare și de întoarcere.
1) Să se determine punctele unghiulare și de întoarcere pentru funcțiile definite mai jos:
a)
0 ,0 ,)(, :
xxxxxfR Rf în punctul
00x
b)
1)(, : xex xfR Rf în punctele
01x și
12x
c)
3 21 )(, : x xfR Rf în punctul
10x
Rezolvare.
a)
f
fx lx l
xxdxxs
0)0(0 lim)0(0 lim)0(
0000
este continuă în
00x .
f
x xx
xf xffx xx
xf xff
xx
xx
xxdxx
xx
xxs
01 1lim lim0)0( )(lim)0(01 1lim lim0)0( )(lim)0(
00
00
00'00
00
00'
nu este derivabilă în origine:
)0,0(
)0()0(
''
'O
ff
ds
este punct de întoarcere pentru
fG . În punctul
)0,0(O avem o
semitangentă verticală de ecuație
0x .
b)
);1[,)1;0[,)0;(,
)(
111
1
x xex xex xe
ex xf
xxx
x
f f l ld s 0)0( )0( )0(
este continuă în
01x .
);1(,)1()1;0(,)1()0;(,)1(
)(
111
'
x e xx exx e x
xf
xxx
Funcții derivabile
61
)0,0(
)1(lim)0()1(lim)0(
1
00'1
00'
O
e ex fe e x f
x
xxdx
xxs
este punct unghiular pentru
fG .
Ecuațiile semitangentelor sunt
0exy , respectiv
0exy .
f f l ld s 1)1( )1( )1(
este continuă în
12x .
)1,1(
2 )1(lim)1(0 )1(lim)1(
1
11'1
11'
M
e x fex f
x
xxdx
xxs
punct unghiular pentru
fG .
Ecuațiile semitangentelor sunt
01y , respectiv
01 2yx .
c)
f f l ld s 0)1( )1( )1( este continuă în
10x .
)0;1(
01
11lim
1 )1()1(lim1)1(lim1)1( )(lim)1(01
11lim
1 )1()1(lim1)1(lim1)1( )(lim)1(
3
11 33 3
113 2
11
11'3
11 33 3
113 2
11
11'
M
x x xx
xx
xf xffx x xx
xx
xf xff
xx
xx
xx
xxdxx
xx
xx
xxs
este punct de întoarcere pentru
fG .
3.3. Folosirea noțiunii de derivată pentru calculul unor limite (fără a folosi Regulile lui
L'Hospital).
3.3.1. Teorie.
Fie funcția
),( , , :0 ba DDx Df R interval deschis. Spunem că funcția
RDf:
este derivabilă în punctul
D0x , dacă:
1)
*)( )(lim
00
0 xxxf xf
xx
și
2) Limita (*) este finită
Observații.
1.
)()( )(lim0'
00
0xfxxxf xf
xx
(derivata funcției în punctul
0x ) (**)
Funcții derivabile
62
2. Pentru a putea folosi definiția scrisă mai sus, la calcularea limitelor unor funcții (sau a
unor expresii) va trebui să se îndeplinească următoarele condiții:
a) Să punem în evidență funcția
)(xf , care apare în relația (**);
b) Să calculăm valoarea funcției în punctul
D0x , adică
)(0xf ;
c) Să înlocuim aceste expresii în formula (**);
d) Să utilizăm formulele cunoscute și demonstrate anterior la:
– derivatele funcțiilor (compuse);
– regulile de derivare.
3. Pentru unele limite, este necesar uneo ri să punem în evidență, la numărătorul relației
(**), două funcții:
)(),( xgxf astfel încât în final vom obține, prin înlocuire în relația (**) o sumă
(diferență) de două limite (respectiv suma (diferența) a două derivate calculate în punctul
D0x
3.3.2 . Aplicații .
A1) Să se calculeze următoarele limite, folosind formula:
)()( )(lim0'
00
0xfxxxf xf
xx
.
1)
2ln2 2ln 2 24
4)4( )(
lim
42 2lim
42 2lim
4'
4'
44
4 4
xtgx
xtgx
xtgtgx
xtgx
xf
xf xf
x x
2)
ln ln )( lim'' e
exx
exxe x
exefex
.
3)
12
12)1 ln()1 ln()1 ln(lim2 2'22 2
xxx xxxxx .
4)
2'
22
22
212ln2 2
22 2 2lim
22 2 2limxx
xxx
xx
xx
xx
xx
2ln212
.
A2) Să se calculeze următoarele limite, în condițiile specificate:
1)
xf xf
x)0( )(lim
0
, dacă
11)(. :23
xxxf f R R (Bacalaureat, sesiunea august 2013 ,
matematică – informatică) .
Funcții derivabile
63
2)
2)2( )(lim
0
xf xf
x , dacă
4 5 )(. :5 x xxf f R R (Bacalaureat, sesiunea august 2011 ,
matematică – informatică ).
Rezolvare.
1)
0
)1 (2 3
)1 ()1 (2)1 (3
11)0()0( )(lim
02 22 4
02 23 2 2'
023
'
0
x x xx xx x x
xxx xx
xxfxf xf
.
2)
75 )5 5( )4 5 ()2(2)2( )(lim24 '
25 '
0
x xxx x x fxf xf .
A3) Să se calculeze limitele următoare:
1)
327lim
3
xxx
x .
2)
xx
x exex
3 53
0lnlnlim
3)
111
lim22
1
xxxarctg
x .
Rezolvare.
1) Se știe de la teoria privind studiul derivatelor că:
, lim'
0axxa x
aaxxaxx x
uuvu vu uv v'
''ln
și
v uvu eln .
3ln1273ln13 ln133lim ln13
3'
33
3' xx
xxx
xx xx x xxxx x x
.
2) Pentru calculul limitei:
xx
x exex
3 53
0lnlnlim
, procedă astfel:
a) Prin ”înlocuire” directă avem:
00
1ln1ln
lnlnlim3 53
0
xx
x exex (nedeterminare)
b) Folosim un artificiu de calcul, rspectiv:
Funcții derivabile
64
31
53
lnln
00ln lnlim00ln lnlim
lnlnlim
054032
05'503'3
'
05'
03
0 5
00 3
0
3 53
0
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
x
xx
x
xx
x
exe xexe x
exexexex
exex
xe exxe ex
exex3)
12
22'
22
'
122 22
122
1
11111
11
10
11
lim111
lim
xxx x
xxxx
xxarctgxarctg
xxarctg
xxxarctg
122
12
1 21 1 2
11 111 21 2
14
142 2
1222222222 2
x x
xxx
xx xx
xx xxxx xx
3.4. Extinderi .
Acestă parte va cuprinde prezentarea unor teme neobligatorii, în programa școlară și a
unor aplicații, cu grad sporit de dificultate, prezentate la orele de pregătire a elevilor pentru
Examenul Național de Bacalaureat și Examenul de admitere în învățământul superior. Aceste
teme vor fi:
1. Studiu l continuității și derivabilității unor funcții speciale (funcția modul, funcția ”parte
întreagă”, funcția semn).
2. Probleme date la Examenele de Bacalureat și admitere în învățământul superior.
3.4.1 . Studiul continuității și derivabilității unor funcții speciale.
1. Funcția modul.
a) Definiție și grafic. ( Figura 22 )
0 ,0 ,)(; :xxxxx xfR Rf .
Funcții derivabile
65
y
0 : )(2 xx xf
0 : )(1 xxxf
O x
Figura 22
b) Proprietățile funcției modul.
P1. Funcția modul este funcție pară, adică
)( )( xf xf deoarece
).( )( xfxx xf
P2. Funcția modul nu este injectivă, deoarece pentru
)( )(2 1 2 1 xf xf xx când
2 1x x
.
P3. Funcția modul este continuă pe R, deoarece:
f f xf
fx x lx x l
x
xx
xxdxx
xxs
0)0( )( lim
0)0(0 lim lim)0(0)(lim lim)0(
0
00
0000
00
este continuă în origine, iar
0 , )(0 ,)(
21
xx xfxx xf
sunt funcții continue pe domeniile lor de definție.
P4. Funcția modul este derivabilă pe
}0{\R .
)0( )0(
10)0( )(lim)0(10)0( )(lim)0(
' '
00'00'
d s
xxdxxs
f f
xx
xf xffxx
xf xff
funcția modul nu este derivabilă în
origine
funcția modul este derivabilă pe
}0{\R .
Funcții derivabile
66
Aplicație.
Să se studieze continuitatea și derivabilitatea funcției:
xxf Rf 3)(),,0( : în
punctul
00x .(Figura 23 )
Rezolvare.
0 ,310 ,3
)( 3)(),,0( :
xx
xf xf Rfxx
x
.
x
xf
31)(2 y
xxf 3)(1
Tg2 Tg1
O x
Figura 23
Continuitatea în punctul
00x .
1)0( )0( )0(
0)0(1 3 3lim)0(131
31lim)0(
0
000
00
f l l
fll
d sx
xxdx
xxs
funcția este continuă în origine.
Derivabilitatea în punctul
00x .
Funcții derivabile
67
)0( )0(
3ln 3ln3 30)0( )(lim)0(3ln 3ln3 30)0( )(lim)0(
' '
00'
00
00'00'
00
00'
d s
xxx
xxx
xxdxxx
xxx
xxs
f f
xf xffxf xff funcția nu este
derivabilă în origine.
Observație.
Punctul
)1;0(M este punct unghiular pentru
fG prin care trec două semitangente (vezi
graficul de mai sus).
2. Funcția ”parte întreagă”.
a) Definiție și grafic.
x xfR Rf )(, : , unde
Rx xxx ,1 .
x – partea întreagă a unui număr real x. (Figura 24 )
y
x xf)( (fcț. ”scară”)
2
1
-2 -1 O 1 2 3 x
-1
-2
Figura 24
Exemple.
2 37,2 ;
1 43.0 ;
77 .
b) Proprietăți
P1. Funcția „parte întreagă” aproximează prin lipsă numerele reale.
P2. Funcția „parte întreagă” nu este injectivă, deoarece pentru
2 1 2 1 x x xx ,
),[ ,2 1 ba xx
.
Funcții derivabile
68
P3. Funcția „parte întreagă” este surjectivă, adică:
x Rx xîa.. .
P4. Funcția „parte întreagă” este discontinuă în orice punct de abscisă întreagă (în rest,
pentru celelalte puncte, funcția fiin d continuă).
P5. Funcția „parte întreagă”, fiind constantă în orice interval de forma
1:kk este
continuă și derivabilă în acel interval.
Aplicație.
Să se traseze graficul funcției
2)(, : x xf Rf , pentru restricția
]2;1[x . (Figura 25 )
2 ;4)2;3[;3)3;2[;2)2;1[}1{;1)1;1( ;0
)(2
xxxxx
x xf
.
y
4 M2
3
2
M1 1
-1 O 1 2 x
Figura 25
fG se compune din reuniunea de intervale deschise, paralele cu axa Ox, de ecuații:
0x ,
1x
,
2x și
3x reprezentate mai sus și punctele
)1;1(1M și
)4;2(2M .
3. Funcția „parte fracționară”.
a) Definiție și grafic. ( Figura 26 )
}{)(),1;0[ : x xf Rf , unde
Rxxxx ],[ }{ .
Funcții derivabile
69
Exemple.
Pentru
R x 217,4 , avem:
783,0 217,45)5( 217,4]217,4[ 217,4 }217,4{ .
y
1
1y
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
Figura 26
b) Proprietăți
P1. Partea fracționară a oricărui număr real x, este un număr subunitar, adică
Rx x ),1;0[}{
.
P2. Funcția „parte fracționară” este continuă pe
\Rx .
P3. Funcția „parte fracționară” este derivabilă pe
\Rx .
Aplicație.
Să se studieze continuitatea și derivabilitatea funcției „parte fracționară”.
I. Continuitatea:
i) Pentru
}{)( x xf x este continuă.
Verificare: Pentru
0}2{lim)2(1}2{lim)2(
2
2222
0
xxdxxs
ll
x
Exemplu : Pentru
1 998,0}{ 998,1 x x .
Pentru
0 001,0}{ 001,2 x x
)2( )2(d s l l
funcția
}2{)(xf este discontinuă în punctul
20x .
ii) Pentru
}{)( \ x xf Rx este o funcție continuă (fiind formată dintr -o reuniune
infinită de intervale deschise).
II. Derivabilitatea
i) Pentru
}{)( x xf x nu este derivabilă.
Funcții derivabile
70
ii) Pentru
}{)( \ x xf Rx este o constantă, deci o funcție derivabilă a cărei
derivată este 0
4. Funcția signum.
a) Definiție și grafic. ( Figura 27 )
}1,0,1{ :sgn R ,
0 ;10 ;00 ;1
) sgn(
xxx
x .
y
1
1y
O x
1y -1
Figura 27
b) Proprietăți
P1. Funcția nu este injectivă, deoarece pentru
);0( ,,1)( )(2 1 2 1 2 1 xx xf xf xx .
P2. Funcția este surjectivă, deoarece:
x xfy Rx yîasgn)( }1,0,1{.. .
P3. Funcția semn nu este bijectivă și deci neinversabilă.
P4. Funcția semn este continuă pentru orice punct
}0{\Rx și discontinuă în
00x deoarece:
)0( )0(1) (sgnlim)0(1 ) (sgnlim)0(
0000
d s
xxdxxs
l lx lx l
.
P5. Funcția semn este derivabilă pentru orice punct
}0{\Rx .
P6. În aplicații sunt utile formulele:
0 , sgn xxxx sau
)()( sgn)( xfxf xf .
Funcții derivabile
71
Aplicații.
A1) Să se traseze graficele funcțiilor: ( Figura 28, 29, 30 )
a)
Rxx xxf , sgn )(
b)
]2;2[ ), sgn(sin)( xx xf
c)
Rx x x xf ,65 sgn)(2
Rezolvare.
a)
0 ,0 ,00 ,
sgn )(
xxxxx
x x xf
y
x xf)(2
xxf)(1
O x
Figura 28
Observație.
Funcția
x xxf sgn )( coincide cu funcția modul:
x xf)( .
b)
0 sin,10 sin,00 sin,1
) sgn(sin)(
xxx
x xf , însă pe intervalul
]2;2[x avem:
)2;()0;(,1}2;;0;;2{,0);0();2(,1
) sgn(sin)(
xxx
x xf
.
Funcții derivabile
72
y
( ) 1( )
-2
–
O
2
( ) -1 ( )
Figura 2 9
c)
)2;1( 02 3 ,1}2,1{ 02 3 ,0);2()1;( 02 3 ,1
2 3 sgn)(
222
2
x x xx x xx x x
x x xf deoarece:
x
2 3
232x x ++++++++++++++++ 0 – – – – – – – – – 0 +++++++++++++++
Tabelul 3
Atunci, graficul funcției f arată astfel:
y
1 ) (
1y
O 1 2 x
-1 ( )
Figura 30
Funcții derivabile
73
A2) Să se studieze continuitatea și derivabilitatea funcției:
4 sgn4 )(, :2 2 x x xfR Rf , în punctele
20x și
20x .
Rezolvare.
)2,2( 04 ;4}2,2{ 04 ;0);2()2;( 04 ;4
4 sgn4 )(
2 222 2
2 2
x x xx xx x x
x x xf
adică
4 4 sgn4 )(2 2 2 x x x xf .
Observație. La același rezultat ajungeam folosind proprietatea P 6:
)()( sgn)( xfxf xf
Continuitatea funcției:
)2( )( lim
0)2(04 lim)2(04 lim)2(
22
222
22
f xf
fx lx l
x
xxdxxs
deci funcția dată este continuă în punctul
20x
.
Analog se demonstrează continuitatea în punctul
20x .
Derivabilitatea funcției:
4 )2( 4 )2( )2(4 )2( 4 )2( )2(
22'2 ' '22'2 ' '
xxd sxxd s
x x f fx x f f
funcția dată este derivabilă în punctele
20x
și
20x .
5. Funcțiile
)();( xgxfaxm și
)();( xgxfinm .
a) Definiții.
1) Funcția „max” definită pentru numere este:
yxyyxxyx yxfR RRf,,), max(),(, :
.
Exemple.
5}5,3 max{
2 }2,5 max{ .
Funcții derivabile
74
2) Funcția „max” definită pentru funcții este:
gfggffgf F FFf,,), max(, : .
Observații.
Funcțiile f și g sunt funcții de variabilă „x”, adică:
)(xff și
)(xgg , iar F este
mulțimea funcțiilor.
Exemple.
a)
}1{\ 12 ;1 12;12;12 max2 22
2
Rx x xxx x x xx x
0)1( 012 122 2 2 x x x x x
adevărat doar pentru
1x ;
0)1( 012 122 2 2 x x x x x
adevărat pentru
}1{\Rx .
b)
13;113;3
1 ;3max
xxxxxxxx ,
0x
03132
xx xxx
x
0
32xx
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + +
xx x 32
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – / + + + + + + + + + + + + + + + +
Tabelul 4
032
xx x
adevă rat pentru
);0(x
)0;( ;1);0( ;3
1 ;3max
x xxx xx .
3) Funcția „min” definită pentru numere este:
yxyyxxyx yxfR RRf,,), min(),(, :
.
Funcții derivabile
75
Exemple.
5}10,5min{
215
215;6,2 min
.
4) Funcția „min” definită pentru funcții este:
gfggffgf F FFf,,), min(, :
Exemple.
a)
2 22
2
;;); min(
xxxxxxxx
0)1( 02 2 xx xx xx
adevărat pentru
);1[]0;( x
0)1( 02 2 xx xx xx
adevărat pentru
)1;0(x .
x
0 1
x x2 + + + + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – – – – – 1 + + + + + + + + + + + + +
Tabelul 5
)1;0(;);1[];(;); min(22
xxxxxx
.
b)
xx xxxxxx 11;111;1
1;1min .
01112
xx xxx
adevărat pentru
;25 10;25 1x .
01112
xx xxx
adevărat pentru
25 1;025 1; x .
Funcții derivabile
76
x
25 1 0
25 1
12x x
+ + + + + + + + 0 – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + +
x – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + ++
xx x 12
– – – – – – – – 0 + + + + + + + + / – – – – – – – 0 + + + + + + + + +
Tabelul 6
25 1;025 1; ;1;25 10;25 1;1
1;1min
x xxx
xx
.
b) Proprietăți.
P1. Funcțiile „max” și „min” nu sunt injective.
Exemplu.
3)3;5 max()3;2 max( dar
)3;5()3;2(
Observație. Analog se arată că funcția „min” nu este injectivă.
P2. Funcțiile „max” și „min” sunt surjective .
Fie
Rx (arbitrar) și
0
xx xxx x
); ( max); (min)0 ;0 ( .
P3. Pentru numere sunt utile în aplicații formulele:
2}; max{yxyxyx și
2}; min{yxyxyx .
Demonstrație.
yx yxyyxyxyx yxxyxyx
yxyx
0 ;20 ;2
2
2}; max{yxyxyx .
Analog se demonstrează că
2}; min{yxyxyx .
Observație.
Formulele analoage se pot verifica în cazul funcțiilor:
Funcții derivabile
77
2)()( )()()();( maxxgxf xgxfxgxf și
2)()( )()()();( minxgxf xgxfxgxf
.
P4. În aplicații este utilă următoarea formulă :
Rxx xx , }; max{ .
Aplicații.
A1) Trasând graficele funcțiilor:
x xgx xf gf cos)(,sin)(,1;1 2;0:,
în același sistem de axe, să se deducă graficul
funcției:
)(),( max xgxf
pentru
2;0x .
Rezolvare. Din studiul funcțiilor trigonometrice elementare
x xf sin)( și
x xg cos)(
rezultă că graficele acestor fu ncții, pentru
2;0x , arată astfel: ( Figura 31, 32 )
y
x xf sin)(
1
1y
M1
x2 Figura 31
O x 1
2
23
2 x
-1 M2
1y
x xg cos)(
1 1
-1 1 -1 1
cos
-1 -1
Figura 32
Funcții derivabile
78
Aflăm abscisele punctelor de intersecție, dintre graficele funcțiilor
x xf sin)( și
x xg cos)(
, respectiv
1x și
2x .
2;0 ,cos sin 2;0 ),( )( xx x xxgxf
41 01 0 cos|:0 cos sin cos sin1 x tgx tgx x x x x x
sau
45
2x .
Având în vedere graficele funcțiilor
x xf sin)( și
x xg cos)( pentru
2;0x ,
precum și definiția funcției „max”, aplicată funcțiilor f și g, obținem:
45;4;sin2;45
4;0 ; cos
cos,sin max)(),( max
xxxx
x x xgxf
, pentru
2;0x .
A2) Se dau funcțiile
2; max)( xx xf ,
2
1 ;;1min)( xx xg ,
2
2 ;;1max)( xx xg și
x x xh ;1max||)(
.
a) Să se reprezinte grafic funcțiile
hggf ,,,2 1 .( Figura 33, 34,35, 36, 37 )
b) Să se studieze continuitatea și derivabilitatea funcției
x x xh ;1max||)( în punctul
10x .
Rezolvare.
a)
);1()0;( 0 ;1;0 0 ;; max)(2 2 22 2
2
x x x xxxx x x xxxxx xf , deci
);1()0;(;1;0 ;; max)(22
xxxxxx xf
.
y
2
2)( xxf
1
xxf)(1
O 1 x
Figura 33
Funcții derivabile
79
Pentru a trasa graficul funcțiilor
2
1 ;;1min)( xx xg și
2
2 ;;1max)( xx xg procedăm
astfel:
reprezentăm în același sistem de axe, cele 3 funcții componen te ale funcțiilor „min” și
„max” ;
calculăm abscisele punctelor de intersecție dintre graficele funcțiilor:
2
3 2 1 , ,1 x yx y y
;
explicităm funcțiile „min” și „max”, respectiv trasăm grafice le acestor funcții, având în
vedere faptul că pentru funcția „min” vom lua graficele de jos iar pentru funcția „max”
vom lua graficele de sus , adică:
y
2
3x y
x y2
11y
-1 O 1 x
Figura 34
Având în vedere observațiile de mai sus, explicitarea funcțiilor „min” și „max”,
precum și graficele lor, arată astfel:
);1[;1)1;0( ;]0;( ;
;;1min)(2 2
1
xxxxx
xx xg
y
1
11y
2
3x y
O 1 x
x y2 Figura 35
Funcții derivabile
80
)1;1(;1);1[]1;(;;;1max)(2
2
2xxxxx xg
y
1||;2
3 xx y
( )
1||,11x y
-1 O 1 x
Figura 36
Pentru trasarea graficului funcției
x x xh ;1max||)( , procedăm astfel:
Explicităm funcțiile
||1x y și
};1 max{2 x y , funcții care intră în componența
funcției h.
0 ;0 ;||1xxxxx y
,
1;1;1};1 max{2xxxx y
Scriem funcțiile
1y și
2y pe intervale, iar apoi explicităm funcția dată:
Pentru
x x x x xhyx yx
1 };1 max{||)(1]0;(
21 .
Pentru
x x x x xhyx yx
1 };1 max{||)(1]1;0(
21 .
Pentru
2
21};1 max{||)( );1( xxx x x xhx yx yx
.
Funcții derivabile
81
Graficul funcției
);1( ;]1;0( ;]0;( ;
};1 max{||)(
2xxxxxx
x x xh arată astfel:
y
x xf)(1
2
3)( xxf
1
xxf)(2
O 1 x
Figura 37
b) Studiem continuitatea și derivabilitatea funcției
);1( ;]1;0( ;]0;( ;
};1 max{||)(
2xxxxxx
x x xh în
punctul
10x .
1)1( )( lim
1)1(1 lim)( lim)1(1 lim)( lim)1(
12
11
1111
11
hxh
hx xh lx xh l
x
xx
xxdxx
xxs
, deci funcția h este continuă în punctul
10x
.
)1( )1(
2 )2( )1(1 )()1(
' '
11'
112 ''
11'
d s
xxxxdxx s
h h
x x hx h
, deci funcția h nu este derivabilă în punctul
10x
.
Funcții derivabile
82
3.4.2 . Probleme date la examenele de Bacalaureat și admitere în învățământul superior.
I. Probleme date la examenul de Bacalaureat.
1) Se consideră funcția
xxxfR f 11ln)(, )1;1(: .
a) Calculați
)1;1( ),('xxf ;
b) Verificați dacă funcția f este descrescătoare pe intervalul
)1;1( ;
c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției f.
(Bacalaureat 2013 – sesiunea specială, 28 mai; Profil: matematică – fizică, informatică)
Rezolvare.
a)
12
12
11
11)(2 2'
'
x x xx
xxxf , pentru orice
)1;1(x ;
b)
012x pentru orice
0)( )1;1(' xf x pentru orice
f x )1;1( este decrescătoare
pe intervalul
)1;1( ;
c)
22'
2''
14
12)(
xx
xxf , pentru orice
)1;1(x
0 0 4 0)('' x x xf
0)(''xf , pentru orice
]0;1(x ,
0)(''xf pentru orice
)1;0[x , deci punctul de
inflexiune al funcției este
0x .
2) Fie funcția
Rae axx xfR Rfx ,1 )(, :2 .
a) Să se determine parametrul a pentru care funcția este crescătoare pe domeniul de
definiție;
b) Pentru a=0 determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de intersectie cu
axa Oy.
c) Să se demonstreze că
xe x xg Rg 1 )(),;0( :2 este bijectivă , cu inve rsa
derivabilă în punctul 1 și să se calculeze derivata inversei în pucntul 1.
(Bacalaureat 1998 – sesiunea august; Profil: matematică – fizică, informatică – Varianta 1).
Rezolvare.
a) f crescătoare pe R
Rx xf ,0)('
x x x xe ax a x e axx eax e axx xf 1 )2( 1 ) 2( 1 )(2 2'2 '
Funcții derivabile
83
0 0)1(4)2( 0 01 )2( 0 1 )2(2 2 2 2a a a ax a x e ax a xx
0a
.
b) Ecuația tangentei la graficul funcției
xe x xf 1 )(2 este:
) )(( )(0 0'
0 xxxf xfy unde
00x
.
Punctul de intersecție cu axa Oy:
)1;0( 1)0( M f
1 )10()0(02 ' e f
.
Ecuația tangentei:
01 1 yx x y
c) Funcția
xe x xg Rg 1 )(),;0( :2 este bijectivă dacă g este injectivă și surjectivă.
Injectivitatea:
g Rx e x xgx ,0 1 )(2 ' crescătoare pe
g R injectivă (1)
Surjectivitate:
g Rgxgxg
xx
);0()(0)( lim)( lim surjectivă (2)
Din (1) și (2)
g bijectivă.
Dacă
xe x xg Rg 1 )(),;0( :2 , g continuă, bijectivă și derivabilă pe R,
Rx xg ,0)('
atunci există
R g );0(:1 derivabilă pe
);0( și
0 1 1 1)(,
)(1)(02
0 0
0' 010 x e x xg
xgy gx
.
111
)1(1
)0(1)1(
02 ''1
xxe x gg
.
3) Se consideră funcția
1 2004 )1()(, :2004 x x xfR Rf .
a) Să se calculeze
Rxxf),(' ;
b) Să se calculeze
)0(f și
)0('f ;
c) Să se arate că funcția este convexă pe R;
d) Să se arate că
Rx xf ,0)( ;
e) Să se arate că
0 ,1 2005 1002 2005 )1(2 2005 x x x x .
(Bacalaureat 2004 – sesiunea august; M1 – 3 ore – Varianta 1)
Rezolvare.
a)
2004 )1( 2004)(2003 ' x xf
Funcții derivabile
84
b)
0)0( f
0)0(' f
c)
f Rx x xf ,0 )1( 2004 2003)(2002 '' este convexă pe R.
d)
' '',0)( f Rx xf crescătoare;
0 .0)(0 ,0)(0)0(''
'
x xfx xff adică f este descrescătoare pe
]0;( și crescătoare pe
);0[
, și din
Rx xf f ,0)( 0)0( .
x
0
)('xf
+ + + + + + + + + + + +
)(''xf
– – – – – – 0 + + + + +
)(xf
+ + + + + + 0 + + + + +
Tabelul 7
II. Probleme date la examenul de admitere în învățământul superior.
1) Să se determine
Rm pentru care funcția
) 1ln( )(, :2x mxxfR Rf să fie monoton
descrescătoare pe R. (Admitere, matematică, Iași, 1996).
Rezolvare.
f monoton descrescătoare
Rx xf ,0)(' .
) 1ln( )(2x mxxf
0
12) 1ln( )(2'2 '
xxm x mx xf
01
00 44
000 2 0
122 2
2
2mm
mm
mmx mx
xxm
]1;()0;();1[]1;(
mmm
.
2) Să se arate că
1,0 ,ln1 x xx x . (Admitere, matematică, Universitate, Timișoara,
1997).
Funcții derivabile
85
Rezolvare.
Notăm
x xxf ln1 )( și arătăm că
1,0 ,0)( x x xf .
Calculăm
xx
xxf1 11)(' ,
x 0 1
)('xf
– – – 0 + + + + + + + +
)(xf
0
Tabelul 8
1,0 ,ln1 1,0 ,0)( x xx x x x xf
.
Funcții derivabile
86
CAPITOLUL IV.
CONCLUZII
4.1. Concluzii asupra structurii și conținutului lucrării.
Lucrarea metodico – științifică, intitulată „Funcții derivabile ”, este structurată pe 4
capitole , intitulate astfel:
Capitolul I : Introducere;
Capitolul II: Funcții derivabile – prezentare generală ;
Capitolul III : Metodica predării capitolului „Funcții derivabile”;
Capitolul IV : Concluzii.
În rezumat, conținutul acestor capitole se prezintă astfel:
Capitolul I, cuprinde următoarele probleme:
1. Rolul și locul „Analizei matematice” , respectiv al capitolului „Funcții
derivabile” din cadrul „Calculului diferențial” , în contextul învățământului liceal din România.
2. Prezentarea conceptelor de „derivată” și „funcție derivabilă”, în programa de
matematică din liceu.
3. Motivarea alegerii temei, dintre care amintesc doar importanța deosebită a acestor
concepte, în ponderea problemelor, care s -au dat și se vor da la diferite concursuri școlare:
examenul de Bacalaureat, examenul de admitere în învățământul superior.
Capitolul II, prezintă noțiunile de bază de la capitolul „ Funcții derivabile” , urmate de
observații metodologice, foarte utile în fixarea și reținerea noțiunilor, în vederea aplicării ace stora
în exerciții și probleme. În acest capitol sunt prezentate, printre altele:
1. Definiția derivatei unei funcții într -un punct și interpretarea geometrică.
2. Derivatele laterale și interpretarea lor geometrică.
3. Derivatele funcțiilor elementare și deducerea formulelor acestora.
4. Teoreme cu privire la operații și funcții derivabile.
5. Derivatele funcțiilor.
6. Derivate de ordin superior.
7. Diferențiala unei funcții.
Capitolul III, reia o parte din noțiunile amintite mai sus, predate din punct de vedere
metodic. Astfe l sunt prezentate două teme mari:
Funcții derivabile
87
La tema T1 sunt tratate:
1. Problemele care au condus la noțiunea de derivată (calculul vitezei unui mobil sau
intensitatea curentului electric);
2. Diverse aplicații, cu privire la derivata unei funcții într -un punct, respectiv :
rata de creștere a unei funcții;
continuitatea și derivabilitatea unei funcții într -un punct și pe o mulțime, pentru
diverse cazuri:
funcții modul;
funcții trigonometrice;
ecuațiile tangentelor la graficul unei funcții într -un punct;
determinarea punctelor unghiulare și a punctelor de întoarcere.
La tema T2 intitulată „Folosirea noțiunii de derivată” pentru calculul unor limite (fără a
folosi Regulile lui L'Hospital)”, după o succintă prezentare teoretică, au urmat aplicații diverse
privind calcul ul unor limite care implicau:
utilizarea definiției derivatei unei funcții într -un punct
0x , sau
aplicarea unor artificii de calcul.
În partea a II -a a Capitolului III, intitulată „Extinderi” , sunt prezentate de asemenea două
teme:
E1) Studiul continuității și derivabilității unor funcții speciale:
funcția modul;
funcția „parte întreagă”;
funcția „parte fracționară”;
funcția semn;
funcțiile „min” și „max” .
E2) Probleme date la examenele de Bacalaureat și admitere în învățământul su perior; au
fost selecționate și rezolvate un număr de 5 probleme, scopul principal al acestora fiind acela de a
testa și a evalua cunoștințele elevilor la sfârșitul primei părți a Capitolului „Funcții derivabile”.
În Capitolul IV, intitulat „Concluzii” mi-am propus:
1. Să prezint succint conținutul și structura primelor 3 capitole;
2. Să includ la „Anexe” următoarele probleme:
Funcții derivabile
88
a) Un proiect de tehnologie didactică (plan de lecție) intitulat „Funcții derivabile –
aplicații” (lecție de fixare – consolidare);
b) Fișe de lucru utilizate la Capitolul „Funcții derivabile”;
c) Metode de cercetare științifică, utiizate în lucrare, respectiv
metode informative (observația, demonstrația, explicația);
metode formative (problematizarea, învățarea prin descoperire);
metode de inve stigare, testele:
diagnostice (teste inițiale);
de randament.
d) Bibliografia, care cuprinde:
lucrări de specialitate și
alte lucrări.
4.2. Metode de cercetare științifică.
Dintre metodele utilizate în lucrare, în scopul eficientizării lecțiilor, amintesc:
metode informative;
metode formative;
metode de investigare și evaluare.
În ceea ce privește prelucrarea rezultatelor obținute la cele două teste: un test inițial (test
de diagnosticare a lacunelor și greșelilor tipice ale elevilor, la Capitolul „Funcții derivabile” ) și u
test de randament (care are drept scop evidențierea a ce ea ce și -au însușit elevii la Capitolul
„Funcții derivabile” ), am utilizat elemente de statistică matematică: diagrame și tabele.
4.2.1. Experimentul – metodă de cercetare și evaluare.
A evalua înseamnă a măsura și a emite judecăți de valoare asupra un ui obiect, asupra unei
activități în raport cu altă activitate.
Evaluarea este o componentă esențială a activității în învățământul liceal. Esența acțiunii
de evaluare este cunoașterea rezultatelor școlare, în vederea perfecționării procesului de
învățămâ nt.
Funcția principală a evaluării, în relația cu rezultatele școlare, este de a determina dacă
acestea sunt în concordanță cu scopurile și obiectivele pedagogice stabilite.
Funcții derivabile
89
Efectele pozitive ale evaluării școlare se reflectă și în atitudinea elevilor fa ță de activitatea
școlară.
Educarea capacității elevilor de autoevaluare, constituie un mjloc de formare a elevilor,
ajutându -i să înțeleagă criteriile de apreciere, după cum se conduc acestea.
Autoaprecierea controlată de profesor, dirijată și confirmat ă de colegi, delimitarea
răspunsurilor corecte de cele incorecte, oferă elevilor repere în aprecierea rezultatelor obținute.
Aplicarea probelor de control (a testelor) care să pună în evidență realizarea obiectivelor
prevăzute în programa școlară se face p e tot parcursul anului școlar.
Evidențiind nivelul de cunoștințe al elevilor, testele de evaluare a cunoștințelor permit
intervenții prompte în vederea remedierii lipsurilor constatate.
Rezultatele obținute constituie criterii pentru organizarea lecțiilo r de recapitulare finală.
Experimentul este o metodă riguroasă în cercetarea pedagogică însemnând o modalitate
nouă, o inovație în contextul obișnuit al activității didactice.
Această modalitate inedită, menită să optimizeze procesul educațional este exp resia unei
idei sau ipoteze, iar experimentul însuși se organizează pentru a proba sau a testa ipoteza
respectivă.
Experimentarea pedagogică se desfășoară de regulă în trei etape:
1. O fază cu caracter de constatare;
2. Etapa fundamentală ce cuprinde experiment ul propriu -zis;
3. Etapa finală(sau etapa de control).
În didactica modernă, evaluarea progresului școlar se realizează pentru a constata: drumul
parcurs de elev și poziția lui în raport cu ceea ce reprezintă obiectivele instruirii.
Progresul elevilor este evaluat de obicei pentru a fi consfințit printr -o notă sau un
calificativ, care să ateste poziția elevului în raport cu ceilalți elevi din clasă sau din școală,
aceasta fiind semnificația docimologică a evaluării.
Pe tot parcursul experimentului pe care l -am efectuat la clasa a XI -a, am avut ca obiective
principale: îmbinarea muncii independente a elevilor, cu învățarea prin descoperire, precum și
dezvoltarea gândirii creatoare a elevilor, prin rezolvări de exerciții și probleme, cu grijă alese și
corespunzătoare scopului propus.
Funcții derivabile
90
4.2.2. Metode de investigare.
Ca metode de investigare, am folosit:
1. Observația zilnică a activității elevilor, respectiv: cunoașterea lacunelor și progreselor în
însușirea cunoștințelor și aplicarea lor în rezolvări de probleme, cu grad de dificultate sporit.
2. Analiza modului în care și -au rezolvat tema de casă și problemele date în clasă : ca muncă
independentă sau cele din teste.
3. Pentru formarea deprinderilor de muncă independentă am îmbinat activitatea frontală, cu
munca individuală(cu fișe de lucru individuale, teste de evaluare și autoevaluare a cunoștințelor
dobândite).
Pentru testele d e evaluare, am folosit, în principal:
1) Subiecte date la examenul de Bacalaureat;
2) Modele de teste la Capitolul „Funcții continue și funcții derivabile”;
3) Teste recapitulative, din noile manuale alternative.
4.2.3. Evaluarea progesului școlar prin folosirea testelor
În ceea ce privește evaluarea progresului școlar, am utilizat o evaluare continuă(s -au
folosit teste de evaluare a cunoștințelor pe tot parcursul procesului de instruire) și o evaluare
finală(evaluare l a sfârșitul capitolului, având drept scop evidențierea rezultatelor instruirii).
Ca instrument de evaluare s -a folosit:
1. Testele diagnostic(testele inițiale), date la începutul capitolului, și
2. Testele de randament, care au drept scop evidențierea a ceea ce și-au însușit elevii din
programa școlară, relativ la Capitolul: „Funcții derivabile”.
Testul 1.
1. Folosind definiția derivabilității unei funcții într -un punct, să se studieze derivabilitatea
următoarelor funcții, în punctele indicate:
1 ,23 )(, :02 x x xxfR Rf
0 ,sin)(],1;1[ :0 xx xg Rg
.
2. Calculați următoarele limite:
a.
xtgx
x0lim
Funcții derivabile
91
b.
xx
xarcsinlim
0
c.
tgx
xlim ? De ce?
3. Scrieți cinci limite „remarcabile”, utile în calculul limitelor funcțiilor continue.
4. Determinați constantele reale a și b, astfel încât funcția:
2 ,
2 ; 12 ;)(, :0 2
x
xxxbaxxfR Rf
să fie derivabilă în
20x .
5. Studiați continuitatea și derivabilitatea funcției:
1 ,
1;11;3 2)(, :02
x
xxx x xxfR Rf
.
Barem de notare:
Oficiu: 1 punct
1) 2 puncte
2) 1,5 puncte: 0,5 * 3 = 1,5 puncte
3) 2,5 puncte: 0,5 * 5 = 2,5 puncte
4) 1,5 puncte
5) 1,5 puncte
Total: 10 puncte
Timp de lucru: 50'
Observație: Toate subiectele sunt obligatorii
Testul 2.
1) Subiect teoretic.
a. Funcția
3)(, : xxfR Rf este derivabilă pe R și
0)0(' f . Este
00x un punct de
extrem al funcției? De ce?
b. Fie
x xfR f 3)(, ]1;0[: . Funcția f este evident o funcție derivabilă pe intervalul
]1;0[
și
03)1(' f și totuși
10x este punct de maxim al funcției f. Se contrazice astfel,
Teorema lui Fermat ?
2) Subiect mixt.
Funcții derivabile
92
a. Să se demonstreze că suma a două funcții convexe
RIgf:, (I- interval deschis în R)
este o funcție convexă.
b. Să se arate că următoarele funcții sunt convexe:
0,, ,,, )(, :2 4 baRdcbadcx bx axxfR Rf
x x x x xgR g
312 3log7 5 3 4)(, );0(:
(Bacalaureat 1999 – sesiunea iunie; Profil: matematică – fizică, informatică – Enunț parțial).
3) Se consideră funcția
) (, 4 ln2)(, :2Rmmx xx xfR Df .
a. Să se stabilească domeniul de definiție și domeniul de derivabilitate a funcției f și apoi să
se rezolve ecuația
0)('xf .
b. Să se discute în funcție de parametrul m, numărul de soluții reale ale ecuației
0)(xf .
(Bacalaureat 1999 – sesiunea iunie; Clase cu profil industrial – Enunț parțial).
4) Să se determine numerele reale a și b pentru care funcția:
0 ;4cos sin20 ;)(, :2
xx bxx eaxfR Rfx
este derivabilă pe R.
Barem de notare:
1) 2 puncte
2) 3 puncte: 1,5 * 2 = 3 puncte
3) 2,5 puncte: 1 punct + 1,5 puncte = 2,5 puncte
4) 1,5 puncte: 0,5 puncte pentru continuitatea funcției în punctul
00x
1 punct pentru derivabilitatea funcției în punctul
00x
Total: 10 puncte
Timp de lucru: 1h30'
Observație: Toate subiectele sunt obligatorii.
Observații cu privire la testele aplicate.
Testul 1.
O1. Testul 1 este un test inițial aplicat elevilor din clasa a XI -a la începutul capitolului
„Funcții derivabile”, fiind un test de tip diagnostic, în sensul diagnosticării lacunelor elevilor
referitoare la capitolul anterior „Funcții continue” și începutul capitolului „Funcții derivabile”.
Funcții derivabile
93
O2. Analizând succint conținutul problemelor din Testul 1, putem spune următoarele:
Unul din lucrurile urmărite în problemele dn testul dat se referă la limitele remarcabile
întâlnite în capitolul „Funcții continue”, limite foarte utile, în continuare în capitolul „Funcții
derivabile”, motiv pentru care s -a făcut o recapitulare si fixare a ace stor limite, în vederea
reținerii principalelor aspecte legate de acestea, respectiv:
deducerea unor formule de bază(
1sinlim
0
xx
x ,
1)1ln(lim
0
xx
x …) precum și
cunoașterea algoritmului utilizării acestor formule în diferite situații (calculul unor
limite mai dificile, ca de exemplu
1arcsinlim
0
xx
x ,
axax
xln1lim
0
, etc.).
Al doilea lucru se referă la verificarea continuității și derivabilității un ei funcții într -un
punct
fD x0 , în două situații:
când utilizăm doar expresia derivatelor laterale într -un punct, sau
când utilizăm calculul limitelor laterale și a derivatelor laterale într -un punct
O3. În ceea ce privește nivelul de dificultate al testului 1, acesta poate fi considerat unul
mediu.
O4. Statistic, situația notelor obținute de elevii clasei a XI -a (30 elevi), la Testul 1, se
prezintă astfel:
3 elevi(adică 10%) nu au obținut note de trecere(au primit 3 note de 4);
15 elevi(adică 50%) au primit note de 5,6 și 7;
12 elevi(adică 40%) au obținut note de 8, 9 și 10.
Media clasei la acel test a fost:
96,630209
2467443102948677645443M .
O5. Având la îndemână încă de la început „Baremul de notare”, pentru acest test, elevii
au avut pos ibilitatea de a -și autoaprecia răspunsurile și de a -și autoevalua nota, o parte dintre ei
reușind o autoevaluate corectă (foarte puțin diferită de nota pe care au primit -o).
Testul 2.
O1. Testul 2 este un test de randament, având drept scop:
evidențierea volumului de cunoștințe, precum deprinderile de calcul, care au fost
dobândite de elevi, la capitolul „Funcții derivabile”;
Funcții derivabile
94
de asemenea, s -a pus în evidență nivelul de performanță la care au ajuns unii
elevi(dintre cei interesați de matematică ), prin rezolvarea corectă a unor probleme
care solicită din partea lor, spirit de observație(pb. 1), care solicită reciproca
Teoremei lui Fermat;
discuția numărului de soluții reale ale unei ecuații
0)(xf , în funcție de un
anumit parametr u real m, folosind Șirul lui Rolle.
O2. Testul 2, se pretează a fi dat elevilor din clasa a XI -a, la sfârșitul capitolului „Funcții
derivabile”, sau a elevilor din clasa a XII -a, după ce în prealabil, s -a repetat capitolul respectiv.
O3. Situația statistică a notelor obținute de către elevii clasei a XI -a la Testul de
randament este următoarea:
3 elevi(adică 10%) nu au obținut note de trecere(au primit 3 note de 4);
12 elevi(adică 40%) au primit note de 5,6 și 7;
15 elevi(adică 50%) au obținut note de 8, 9 și 10.
Media clasei la acel test a fost:
26,730218
2467443103968675645343M .
Răspunsurile corecte.
Testul 1.
1.
1 ,23 )(, :02 x x xxfR Rf .
Știm că fiind dată funcția:
R Df: și
D x0 atunci spunem că funcția f este
derivabilă în punctul
0x , dacă:
1)
)()( )(lim0'
00
0xfxxxf xf
xx
(*)
2)
00)( )(lim
0 xxxf xf
xx
este finită.
Observație.
O1. Limita scrisă mai sus,
)()( )(lim0'
00
0xfxxxf xf
xx
, reprezintă derivata funcției f în
punctul
0x . Vom pune în evidență, relația (*), pentru funcțiile f și g.
Funcții derivabile
95
)1( 1 )2(lim1)2 )(1(lim1)231(2 3lim1)1( )(lim)1('
1 12
1 1'f xxx x
xx x
xf xff
x x x x
și
1 )1(' f , adică funcția f este derivabilă în punctul
10x și
1 )1(' f .
Analog procedăm pentru funcția
0 ,sin)(],1;1[ :0 xx xg Rg .
)0( 1sinlim0sin sinlim0)0()(lim)0('
0 0 0'gxx
xx
xgxgg
x x x
și
1)0(' g , adică funcția g
este derivabilă în punctul
00x și
1)0(' g .
O2. Funcțiile date mai sus sunt două funcții elementare(respectiv funcția de gradul II și
funcția trigonometrică
xsin ) care sunt continue și derivabile pe domeniile lor de definiție
Rx ,
deci și în punctele
10x și
00x .
O3. Având în vedere observația anterioară, calculul valorilor
)1('f și
)0('g , se putea
face direct, astfel:
1 )32( 23 )1(1'
12 ' x x x x x f
respectiv
1 ) (cos ) (sin)0(0'
0' x x x x g
.
2. Calculul limitelor:
a)
111cos1limsinlimcos1 sinlimcossin
lim lim
0 0 0 0 0
x xx
x xx
xxx
xtgx
x x x x x
b)
?arcsinlim
0
xx
x
Notăm:
u x u x ux sin sin) sin(arcsin arcsin însă când
0 sin0 u x
Limita dată devine:
111
sinlim1
sin1limsinlimarcsinlim
00 0 0
uu
uu uu
xx
uu u x deci
1arcsinlim
0
xx
x .
c)
tgx
xlim ?
Nu există, deoarece considerând șirurile distincte
nx și
ny , având termenul general:
n xn și
nnnnn y x Nn n y lim lim ,4 , iar
Funcții derivabile
96
0 lim
nntgx și
1 lim
nntgy (limite diferite)
deci nu există
tgx
xlim . Analog se demonstrează că nu există
tgx
xlim .
3. Limitele sunt:
a)
1sinlim
0
xx
x ;
b)
1)1ln(lim
0
xx
x ;
c)
axax
xln1lim
0
;
d)
e xx
x
1
0)1(lim ;
e)
exx
x
11lim ;
4. Determinați constantele reale a și b, astfel încât funcția:
2 ,
2 ; 12 ;)(, :0 2
x
xxxbaxxfR Rf
să fie derivabilă în
20x .
Rezolvare. Continuitatea.
3 2 )2( )2( )2(
3 )2(3 1lim)( lim)2(2 ) (lim)( lim)2(
2
22
2222
22
ba f l l
fx xf lba bax xf l
d s
xx
xxdxx
xxs .
Derivabilitatea.
4) 2(lim2) 2)( 2(lim24lim2)3( 1lim)2()2( )(lim)2(2)2(lim233 2lim2)3(lim)2()2( )(lim)2(
22
222
222
22
22'22
22
22
22'
xxx x
xx
xx
xf xffaxxa
xa ax
xbax
xf xff
xx
xx
xx
xx
xxdxx
xx
xx
xxs
5 3 8 4 )2( )2(' ' b b a f fd s
.
Funcții derivabile
97
Concluzie.
Pentru
54
ba funcția dată devine
2 , 12 ,5 4)(2xxx xxf și ea este continuă și derivabilă în
punctul
20x .
5. Studiați continuitatea și derivabilitatea funcției:
1 ,
1;11;3 2)(, :02
x
xxx x xxfR Rf
.
Rezolvare. Continuitatea
)1( )1( )1(
0)1(0 1lim)( lim)1(03 2 lim)( lim)1(
11
112
11
11
f l l
fx xf lx x xf l
d s
xx
xxdxx
xxs
adică
0)1( )( lim
1f xf
x
funcția f este continuă în punctul
10x .
Derivabilitatea.
)1( )1(
11)1(lim10 1lim1)1( )(lim)1(4)3(lim1)3 )(1(lim103 2lim1)1( )(lim)1(
' '
11
11
11'11
112
11
11'
d s
xx
xx
xxdxx
xx
xx
xxs
f f
xx
xx
xf xffxxx x
xx x
xf xff
adică funcția f nu este derivabilă în punctul
10x
Concluzie. Funcția dată
1,11,3 2)(, :2
xxx x xxfR Rf este continuă în punctul
10x ,
dar nu este derivabilă în punctul
10x .
Testul 2.
1) Rezolvare.
a. Funcția
3)(, : xxfR Rf este derivabilă pe R și
0)0(' f . Este
00x un punct de
extrem al funcției? De ce?
Funcția
3)(, : xxfR Rf este strict crescătoare pe R, deoarece:
]0{\ ,0 3)(2 'Rx x xf
așa cum rezultă și din graficul funcției
Rxxxf , )(3 .( Figura 38 ).
Funcții derivabile
98
y
3)( xxf
1
-1 O 1 x
Figura 38
Însă
0)0(' f . Aplicând Teorema lui Fermat ar trebui ca punctul
)0;0(O să fie punct de extrem,
ceea ce nu este adevărat deoarece:
0 ,00 ,06)(''
xxx xf
0 0)0(0' x f
punct de inflexiune pentru
fG .
b. Fie
x xfR f 3)(, ]1;0[: . Funcția f este o funcție elementară, deci este o funcție
derivabilă pe intervalul
]1;0[ și
03)('xf (funcție constantă și pozitivă), iar
03)1(' f .
Observații.
O1. Cu toate că
03)1(' f totuși
10x este punct de extrem pentru graficul funcției
date
x xf 3)( , așa cum rezultă și din figura de mai jos. (Figura 39 )
y
x xf 3)(
O x
Figura 39
Funcții derivabile
99
O2. Explicația pentru faptul că
10x este punct de extrem pentru
fG , cu toate că
03)1(' f
nu contrazice Teorema lui Fermat, deoarece aceasta nu se aplică la capetele
intervalului, așa cum rezultă din enunțul teoremei: „O funcție f , derivabilă pe intervalul
) ( RII
are derivată nulă în orice punct de extrem
0x situat în interiorul intervalului
I ”.
2) Rezolvare.
a. Să se demonstreze că suma a două funcții convexe
RIgf:, (I- interval deschis în R)
este o funcție convexă.
Cazul I.
Dacă f și g sunt funcții ce admit derivata a II -a pe intervalul
I (f și g sunt funcții de două ori
derivabile pe intervalul
I ), atunci f și g sunt funcții convexe pe
Ix xf I ,0)('' și
Ix xg ,0)(''
deci:
) ( ,0)() ( ,0)( )('' '' ''gf Ix xgf Ix xgxf
convexă pe
I .
Cazul II.
Dacă f și g nu sunt funcții de două ori derivabile pe intervalul, atunci pentru funcțiile f
și g vom folosi definiția pentru o funcție convexă, respectiv:
Definiție.
Funcția f este convexă pe
)( )()1( )1(2 1 2 1 xtf xft txxt f I , unde
I xx2 1, ,
iar
]1;0[t . (*)
Observație.
Utilizând definiția (*), pentru funcțiile f și g – funcții convexe pe intervalul
) ( gf I
este o funcție convexă pe
I , adică:
))( ())( )(1( )1() (2 1 2 1 xgft xgft txxt gf
Demonstrație:
)( )()1( )1( )1( )1() (2 1 2 1 2 1 2 1 xtf xft txxt g txxt f txxt gf
))( ())( )(1()( )()1(2 1 2 1 xgft xgft xtg xgt
,
deci:
))( ())( )(1( )1() (2 1 2 1 xgft xgft txxt gf adevărat,
I xx2 1, și
]1;0[t
adică: din f și g funcții convexe pe
) ( gf I funcție convexă pe
I .
b. Să se arate că următoarele funcții sunt convexe
0,, ,,, )(, :2 4 baRdcbadcx bx axxfR Rf
Funcții derivabile
100
cbx ax xf 2 4)(3 '
0 2 12)(2 '' b ax xf
adevărat, deoarece
0,0b a , adică f funcție convexă pe R.
Analog:
x x x x xgR g
312 3log7 5 3 4)(, );0(:
5ln15 6 12)(2 '
xx x xg
g
xx xg 0
5ln16 24)(2''
funcție convexă pe
);0(
(Bacalaureat 1999 – sesiunea iunie; Profil: matematică – fizică, informatică – Enunț parțial).
3) Se consideră funcția
) (, 4 ln2)(, :2Rmmx xx xfR Df .
a. Să se stabilească domeniul de definiție și domeniul de derivabilitate a funcției f și apoi să
se rezolve ecuația
0)('xf .
Rezolvare.
xln
pentru
);0( );0( 0 fD x x
);0( 4 224 ln2)( ''2 'fD xxmx xx xf
2|02 4 204 220)(2
' x
xx xxxxf
1 0)1( 0122 12 2 xx x x x
.
b. Să se discute în funcție de parametrul m, numărul de soluții reale ale ecuației
0)(xf .
Rezolvare. Folosim șirul lui Rolle.
4 22)(' xxxf
.
1 0)(2 1' xx xf
);0(fD
m mx xx l
xxd 00)(2 4 ln2lim)0(2
00
3 )1(m f
xmxxxxxmxxxx mx xx
x x x x x xlim4 limlnlim2 lim 4ln2lim 4 ln2lim2
)04 02(
Funcții derivabile
101
Observație.
01lim11
lim)(lnlimlnlim'' '
xx
xx
xx
x x xHL
x
.
Șirul lui Rolle devine:
x 0 1
f(x)
m-3
Tabelul 9
Semnul expresiei
3 )1(m f pe domeniul
);0(fD este:
m
1
m-3 – – – 0 + + + + +
Tabelul 10
Discuția rădăcinilor reale ale ecuației:
Rm mx xx xf ,0 4 ln2 0)(2
x 0 1
m f(x)
m-3
Discuție
)3;(m – – + Ecuația are o rădăcină reală,
);1(x
3m – 0 + Ecuația are o rădăcină reală,
1x
);3(m – + + Ecuația are o rădăcină reală,
)1;0(x
Tabelul 11
Pentru
)3;(m Ecuația
0)(xf are o rădăcină reală situată în intervalul
);1(
Pentru
3m Ecuația
0)(xf are o rădăcină
1x
Pentru
);3(m Ecuația
0)(xf are o rădăcină reală situată în intervalul
)1;0(
4) Să se determine numerele reale a și b pentru care funcția:
0 ;4cos sin20 ;)(, :2
xx bxx eaxfR Rfx
este derivabilă pe R.
Funcții derivabile
102
Rezolvare.
Condiția necesară și suficientă ca funcția f să fie derivabilă pe R, este ca ea să fie
continuă și derivabilă în origine.
Continuitatea.
ba l l
b b x bx la ea ea l
d s
xxdx
xxs
)0( )0(
0cos 0sin2)4cos sin2(lim)0(lim)0(
000 2
00
(1)
Derivabilitatea.
2 )sin4 cos2( ) cos sin2()0(2 2 )0(
0'
0'02'
02 '
x x dxx
xx
s
x bx x bx fa ea ea f
Din condiția
1 2 2 )0( )0(' ' a a f fd s (2)
Din relațiile (1) și (2)
1 ba
Concluzie: Pentru
1ba funcția dată este derivabilă în punctul
00x și de asemenea este
derivabilă pe R.
4.2.4. Prelucrarea statistică a rezultatelor obținute de elevi la cele două teste.
Testul 1.
1) Gruparea datelor:
Populația statistică: numărul de elevi din clasa a XI -a A: 30;
Unitatea statistică: fiecare elev din clasă;
Caracteristica: nota elevilor.
Vom grupa datele obținute la Testul 1 , astfel:
Nota obținută la test Frecvența absolută
(numărul notelor) Frecvența relativă
(procentul)
1 – 0%
2 – 0%
3 – 0%
4 3 10%
5 4 13,33%
Funcții derivabile
103
6 4 13,33%
7 7 23,35%
8 6 20%
9 4 13,33%
10 2 6,66%
Tabelul 12
2) Calculul frecvențelor:
absolute;
relative;
după valorile caracteristicii(notei) grupate pe clase(pe intervale) și calificativele corespunzătoare:
insuficient: <5;
suficient: 5 și 6;
bine: 7 și 8;
foarte bine: 9 și 10.
Calificativul I S B FB
Clase [1;5) [5;7) [7;8] [9;10]
Frecvența absolută 3 8 13 6
Frecvența relativă 10% 26,66% 43,34% 20%
Tabelul 12
3) Media pe clasă: calculată cu ajutorul mediei aritmetice ponderate.
96,630209
2467443102948677645443M
Funcții derivabile
104
4) Reprezentarea grafică a datelor statistice, folosind:
a) Diagrame circulare;
Figura 40
b) Reprezentarea prin histograme.
Figura 41
10%
27%
43%20%
I
S
B
FB
0.00%5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%30.00%35.00%40.00%
[1;5) [5;7) [7;8] [9;10]
Funcții derivabile
105
Testul 2.
1) Gruparea datelor:
Nota obținută la test Frecvența absolută
(numărul notelor) Frecvența relativă
(procentul)
1 – 0%
2 – 0%
3 – 0%
4 3 10%
5 3 10%
6 4 13,33%
7 5 26,67%
8 6 20%
9 6 20%
10 3 10%
Tabelul 14
2) Calculul frecvențelor:
Calificativul I S B FB
Clase [1;5) [5;7) [7;8] [9;10]
Frecvența absolută 3 7 11 9
Frecvența relativă 10% 23,33% 36,67% 30%
Tabelul 1 5
3) Media pe clasă: calculată cu ajutorul mediei aritmetice ponderate.
26,730218
2467443103968675645343M
4) Reprezentarea grafică a datelor statistice, folosind:
Funcții derivabile
106
a) Diagrame circulare;
Figura 42
b) Reprezentarea prin histograme.
Figura 13
10%
23%
37%30%
I
S
B
FB
10.00%23.33%36.67%
30.00%
0.00%5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%30.00%35.00%40.00%
[1;5) [5;7) [7;8] [9;10]Series1
Funcții derivabile
107
Observații.
O1. Prin prelucrarea statistică a rezultatelor obținute de elevi la cele două teste, s -a reușit
o vizualizare intuitivă asupra acestor date.
O2. Cunoscând nivelul relativ bun al cunoștințelor elevilor la obiectul matematică, am
putut constata că la cele două teste, diferența între ce au realizat elevii și ceeace bănuiam la
început, respectiv: între nivelul de realizare și cel d e aspirație a fost destul de mică(sub un punct).
4.3. Fișă de lucru utilizate la Capitolul „Funcții derivabile” .
1. Se consideră funcția
1 :2009 x e f(x) fx R, R .
a) Să se calculeze
. ),( Rxxf
b) Să se rezolve ecuația
.0)(xf
c) Să se studieze monotonia funcției f.
Rezolvare
a)
2008 2009 1 1 12009 2009 2009 2009 x e x e x e x e (x) fx x x x
b)
0)(xf
0 2008 20092009 x ex
0 2008 2009 ) (02009 x sau imposibil ex
20092008x
c) Monotonia funcție f rezultă din tabelul cu semnul primei derivate.
X -
20092008 +
xe2009
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2008 2009x
– – – – – – – – – – – – – – 0 ++++++++++++++++
2008 20092009 x e (x) fx
– – – – – – – – – – – – – -0 ++++++++++++++++
)(xf
Tabelul 16
2. Se dă functia
xen mxx f(x) f 2: R, R , unde m și n sunt parametrii reali.
a) Să se determine parametrii reali m și n astfel încât
.0)1( )1( f f
b) Pentru m = 2 si n = 1 să se studieze monotonia functiei f. m
Funcții derivabile
108
Rezolvare
a)
11)1( enm f
x x x xenmx m x en mxx emx en mxx xf 2 2 )(2 2 2
11 )1( e n f
0)1( )1( f f
12
11
0 10 1
11
nm
nnm
e nenm
b). Pentru m = 2 și n = 1 obținem
xe x x xf 34 )(2 . Pentru a studia monotonia funcției f
alcătuim un tabel cu semnul primei derivate.
Atașăm ecuația
0 34 0)(2xe x x xf
0 0342 xe sau x x
x = -3 sau x = -1.
X - -3 -1 +
xe
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
342x x
+ + + + + + 0 – – – – – – – – – – 0 + + + + + + +
xe x x xf 34 )(2
+ + + + + + 0 – – – – – – – – – – -0 + + + + + + +
)(xf
Tabelul 17
Din tabelul anterior rezultă că f este strict crescătoare pe intervalele ( -,-3] și [ -1,+) și
este strict descrescătoare pe intervalul [ -3, -1].
3. Fie func ția f:R – { -1,0}
R, f(x) =
2 2112
xxx . Demonstra ți că f nu are puncte de extrem
local.
4. Se consideră funcția f:
,0
R, f(x) = lnx –
11 2
xx .
a) Să se calculeze derivata funcției f.
b) Determinați punctele graficului funcției f, în care tangenta la grafic este paralelă
cu dreapta de ecuație: 9y = 2x.
c) Să se arate că, dacă x > 1, atunci: lnx
11 2
xx .
5. Demonstra ți că funcția f : R
R, f(x) = x + cosx, este strict cresc ătoare pe R. f(-3) f(-1)
Funcții derivabile
109
4.4. Proiect de tehnologie didactică (plan de lecție).
Școala: Liceul Teoretic Nr. 1 Bratca
Profesor: Vereș Nicolae Cosmin
Clasa : a XI -a A
Obiectul : Matematică – Analiză
Unitatea de învățare: Funcții derivabile
Scopul lecției: Recapitularea, fixarea și consolidarea cunoștințelor teoretice întâlnite la Capitolul
„Funcții derivabile”
Competențe generale:
CG1. Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare
CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri
matematice
CG3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme
CG 4. Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a
strategiilor de rezolvare a unei probleme
CG 5. Analiza de situații -problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor
CG 6. Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului in ițial de definire a problemei
sau prin generalizarea algoritmilor
Competențe specifice :
CS.1. Caracterizarea unor funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare
CS.2. Interpretarea unor proprietăți ale funcții cu ajutorul reprezentărilor grafice
CS.3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme
CS.4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor
proprietăți cantitative și calitative ale unei funcții
CS.5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru
identificarea unor proprietăți
CS6. Determinarea unor optimuri situaționale prin aplicarea calculului diferențial în probleme
practice
Funcții derivabile
110
Competenț e operaționale:
a) Cognitive:
1) Să-și reamintească și să rețină noțiunile de bază învățate anterior, la Capitolul „Funcții
derivabile”, respectiv:
Continuitatea și derivabilitatea unei funcții într -un punct și pe o mulțime;
Formulele (și algoritmul de obținere) pentru derivatele funcțiilor elementare și a
funcțiilor compuse;
Cunoașterea aplicațiilor de bază de la Capitolul „Funcții derivabile”:
folosirea noțiunii de derivată, pentru calculul unor limite (cu și fără Regula lui
L'Hospital);
determinarea punctelor de extrem, a punctelor unghiulare și a punctelor de
întoarcere , pentru graficul unei funcții (într -un punct de abscisă
fD x0 ).
2) Aplicarea acestor cunoștințe teoretice, în rezolvări de exerciții și probleme.
3) Formarea de priceperi și deprinderi de calcul de elevi, realizată prin alegerea de exerciții
și probleme corespunzătoare, în cadrul muncii independente a elevilor.
4) Dezvoltarea gândirii creatoare la elevi, prin alegerea și rezolvarea unor exerciții care să
solicite gândirea logică și activitatea creatoare a elevilor.
b) Afective
o Stimularea curiozitatii si dezvoltarea simtului critic.
o Dezvoltarea spiritului de observatie si a concentrarii in rezolvarea problemelor
o Concentrarea afectiva la lectie
o Dezvoltarea unei gandiri deschise, creative
c) Psihomotorii:
o Să participe activ la desfășurarea lecției.
o Să utilizeze rațional mijloacele de învățământ.
STRATEGII DIDACTICE
Principii didactice :
Principiul participării și învățării active.
Principiul asigurării progresului gradat al performanței.
Principiul conexiunii inverse.
Funcții derivabile
111
Metode de învățare/ de instruire:
Conversația
Conversația euristică
Algoritmizarea
Explicația
Exercițiul
Problematizarea
Forme de organizare a clasei :
Frontală
Individuală
De grup
Forme de evaluare :
Observația
Aprecierea
Conținutul învățării :
Câmpul de informații: manualul de matematică, clasa a XI -a (T. C. și C. D. ) editura Carminis,
autori Marius si Georgeta Burtea.
Resurse materiale :
Materiale didactice : manual, fise de lucru
Mijloace de învățământ : tab la, creta.
Resurse procedurale :
Observarea sistematică a elevului.
Rezolvarea de probleme/situații problemă.
Funcții derivabile
112
Desfășurarea lecției.
Etapele lecției Conținutul lecției Metode Modul de
organizare Procedee de
evaluare
1. Moment
organizatoric
(3 min) Verificarea prezenței elevilor, notarea absențelor în catalog. Conversație Frontal
2. Captarea
atenției
(5 min) a) Verificarea cantitativă a temei
1) Determină constantele
Rba, astfel încât funcția:
0 ; 1 ln0 ;2)(, :24
xb xx ax xxfR Rf
să fie derivabilă pe R.
Răspuns: f continuă în punctul
2 00 b x
f derivabilă în punctul
0 00 a x
2) Scrie ecuația tangentei la graficul funcției f, dacă:
1 ,5 3 )(, :02 3 x x xxfR Rf
Răspuns:
) )((0 0'
0 xxxf yy
Ecuația tangentei:
0 10 9)1(91 yx x y
b) Verificarea calitativă a temei
Se pun întrebări referitoare la tema de casă. Acolo unde este cazul, se
dau indicațiile necesare, sau se reface, dacă este necesar exercițiul
rezolvat greșit. Conversație Frontal
Individual analiza
răspunsurilor
Funcții derivabile
113
3. Anunțarea
temei
(2 min) 1. Lecția: Funcții derivabile – exerciții și probleme recapituative
2. Obiective operaționale: se reamintesc obiectivele date la începutul
lecției Conversație Frontal observarea
elevilor
4. Recapitularea
conținutului
(5 min) Prezentarea pe fișă de lucru a unor probleme rezolvate model:
(Aici prezentăm o rezolvare schematică, pe fișele de lucru fiind
rezolvarea în detaliu).
1) Studiază continuitatea și derivabilitatea funcției:
1 ,1 )(, :0 x x xfR Rf
Răspuns: Funcția dată f :
este continuă în punctul
10x , deoarece
0)1( )1( )1( f l ld s
nu este derivabilă în punctul
10x , deoarece
)1( 11)1(' '
d s f f
2) Folosind definiția derivatei unei funcții într -un punct, calculează
următoarele limite:
a)
43 3lim
4
xtgx
x
b)
00
0)( )(limxxxf xf
x
, dacă
2016)1()(x xf
Răspuns:
00
0' )( )(lim)(
0 xxxf xfxf
xx
Conversație
Explicație
Exercițiul Frontal
Individual analiza
răspunsurilor
Funcții derivabile
114
a)
42'
44
4 43ln
cos13 3
43 3lim
43 3lim
xtgx
xtgxtgtgx
xtgx
x xx x
3ln6
b)
2016 )1()0()( )(lim02016 '
00
0
xxx fxxxf xf
3) Calculează derivatele următoarelor funcții compuse:
R Dfi:
35
1 )32()(x xf
;
3 2
2)( x x xf ;
bx exfaxcos )(3 .
Răspuns:
34 ' 34 '
1 )32(70)32()32(35)( x x x xf
3 2 2 3 2 2' 2
'
2) (312
) (3) ()(
x xx
x xx xxf
) sin cos( sin cos )('
3 bxbbx ae bx bebx aexfax ax ax
5. Consolidarea
cunoștințelor
(20 min) „Funcții derivabile – exerciții și probleme recapitulative”
I. Exerciții și probleme „clasice”.
1) Fie funcția
5 )(, :2 3 x xxxfR Rf . Să se arate că funcția f
este derivabilă în
10x și să se scrie ecuația tangentei în punctul
respectiv.
Răspuns: Funcția dată este o funcție elementară , în consecință este
derivabilă pe
f R Df este derivabilă în
10x . Muncă
independentă Individual analiza
răspunsurilor
Funcții derivabile
115
2) Să se determine funcția
baxxxfR Rf 2)(, : , știind că
graficul său trece prin punctul (1;3), iar tangenta la graficul funcției în
acest punct este paralelă cu prima bisectoare.
Răspuns:
2 31 3)1( )3;1( ba ba f Gf
Prima bisectoare are ecuația:
1 m n mxy (panta dreptei).
Tangenta la graficul funcției în punctul (1;3) este paralelă cu prima
bisectoare
1)1(' f .
1 12 2 )1( 2)(' ' a a a f ax xf
3 )(31
212
x xxfba
baa
.
II. Exerciții și probleme tip „grilă”.
Fie funcția
xxexfR Rf )(, : . Alege răspunsul corect:
1) Să se calculeze
Rxxf),(' .
a)
xex2 ; b)
xe x)1( ; c)
xe x)1( ; d)
xex
Răspuns:
x x x xe x e xe xe xf )1( )(''
2) Să se calculeze
)0() 2016(f , unde s -a notat cu
)()(xfn derivata de
ordinul n a funcției f în x.
a)
22016 ; b)
2016 ; c)
2016 ; d)
1
Răspuns:
2016)0( ) 2016()() 2016( ) 2016( f e x x fx
Funcții derivabile
116
6. Evaluare
(13 min) Elevii care au avut o contribuție mai mare în desfășurarea lecției (elevii
care au fost mai activi și au răspuns bine la întrebările teoretice și
problemele propuse spre rezolvare), vor fi notați de către profesor
Observație: Obligatoriu se vor motiva notele primite de fiecare elev care
a fost verificat și notat( avându -se în vedere și răspunsurile anterioare). Conversație
Frontal
Individual
7. Tema pentru
acasă
(2 min) Tema de casă: 2-3 probleme din manual sau culegere.
Observații:
1) Problemele de la temă vor fi și de tip grilă
2) Pentru problemele cu grad de dificultate sporit, se vor da
indicațiile necesare Conversație
Explicația Frontal
Funcții derivabile
117
BIBLIOGRAFIE
I. Culegeri de probleme.
1. Andrica, D.; Bălună, M.;…: „Bac 2003” , Editura GIL.
2. Aramă, Lia; Morozan Teodor: „Probleme de calcul diferențial și integral” , Editura
Tehnică, București, 1978.
3. Bătinețu, D. M.; Maftei, I.V.; Stancu Minasian I. M.: „Exerciții și probleme de analiză
matematică pentru clasele a XI -a și a XII -a”, E.D.P.R.A., București, 1993.
4. Ionescu C -tin; Pîrșan Liviu: „Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate” ,
Editura Albatros, 1975.
5. Giurgiu, I.; Turtoiu, F.: „Culegere de probleme de matematică” , E.D.P., București, 1981.
6. Angelescu, C.; Bădescu, O.: „Pregătirea examenului de Bacalaureat în 30 de
săptămâni” , Editura Sigma, 2014.
7. Angelescu, C.; Bădescu, O.: „Ghid de pregătire pentru Bacalaureat 2013” , Editura
Sigma, 2013.
8. Andronache, M. ; Perianu, M.: „Matematică pentru examenul de Bacalaureat” , Clubul
Matematicienilor, 2015.
9. Năchilă, P.; Savu, L.;…: „Ghid de pregătire pentru examenul de Bacalaureat la
matematică” , Editura Sigma, 2003.
10. Niculescu, C. Petru: „Analiză matematică” , Editura Albatros, 1987.
11. Oros, Gheorghe: „Analiză matematică: Matematici superioare” , vol. II, Editura
Universității din Oradea, 2001.
12. Roșculeț, M.; Bucur, C.; Trandafir, R.: „Culegere de probl eme de analiză matematică” ,
E.D.P., 1968.
II. Lucrări de specialitate.
13. Rus, Ileana: „Metodica predării matematicii” , Editura Servo -Stat, Arad, 1996.
14. Stănășilă, Octavian; Cătană, Aurelia; Săcuiu, Mihaela: „Metodica predării analizei
matematice” , E.D.P., Bucureș ti, 1983.
15. Popa, C.; Hiriș, V.; Mergea, M.: „Introducere în analiza matematică prin exerciții și
probleme” , Editura Facla, Timișoara, 1976.
16. Udriște, C -tin; Dogaru, O.; Cojocaru, Al.: „Comentarii matematice” , Editura Politehnică,
București, 1995.
Funcții derivabile
118
III. Manuale alternative.
17. Constantinescu, G.; Chiteș, C.; Singer, B.;…: „Matematică – Manual pentru clasa a XI -a”,
Editura Sigma, 2001.
18. Ganga, M.: „Elemente de analiză matematică (cls. a XI -a)”, Editura Mathpress, 2002.
19. Stănescu, I.: „Analiză matematică – Manual pent ru clasa a XI -a, Calcul diferențial”,
Editura Ananda Kali, 1999.
Funcții derivabile
119
DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE
A
LUCRĂRII METODICO – ȘTIINȚIFICE PENTRU ACORDAREA
GRADULUI DIDACTIC I
Titlul lucrării __________ FUNCȚII DERIVABILE _____________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Autorul lucrării _____Prof. Vereș Nicolae Cosmin_______________
Lucrarea este elaborată în vederea obținerii gradului didactic I organizat de către
D.P.P.D. din cadrul Universității din Oradea, sesiunea August, _____2016______
Prin prezenta, subsemna tul declar pe proprie răspundere că această lucrare a fost
elaborată de către mine, fără nici un ajutor neautorizat și că nici o parte a lucrării nu conține
aplicații sau studii de caz publicate de alți autori.
Declar de asemenea, că în lucrare nu există idei, tabele, grafice, hărți sau alte surse
folosite fără respectarea legii române și a contravențiilor internaționale privind drepturile de
autor.
Data, Semnătura,
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Specializarea: MATEMATICĂ [629709] (ID: 629709)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.