Specializarea: Matematic a si Informatic a Aplicat a n Inginerie [624941]

UNIVERSITATEA POLITEHNIC A DIN BUCURES TI
Facultatea de S tiint e Aplicate
Specializarea: Matematic a  si Informatic a Aplicat a ^ n Inginerie
APROBAT DECAN,
Prof. Univ. Dr. EMIL PETRESCU
STRUCTURI COMPLEXE ^IN
LATEX
Coordonator  stiint ic, ABSOLVENT: [anonimizat] avan Ofelia-Elena
BUCURES TI 2017

Introducere ^ n LATEX
TEX este un program de redactare a textelor  si a formulelor matematice.
El a fost creat de renumitul informatician  si matematician american Donald
Knuth ^ n anul 1977.
LATEX este un pachet de macrouri construit pentru T EX ce aduce
^ mbun at at iri ^ n ce prive se calitatea  si u surint a de redactare. LATEX este
interfat a  si a fost elaborat a de Leslie Lamport ^ n anul 1984, devenind ^ n
timp principala metod a pentru programarea ^ n T EX. Datorit a capacit at ilor
de a programa ^ n am anunt orice aspect care t ine de publicarea unui material
(articol, carte, tratat, bro sur a), LATEX este folosit ^ n general ^ n mediul aca-
demic de matematicieni, ingineri, etc. dar  si ^ n mediul comercial, datorit a
costurilor reduse de utilizare (LATEX  si T EX ind gratuite).
Cea mai des ^ nt^ alnit a ^ ntrebare se refer a la preferint a utilizatorilor de
a redacta ^ n T EX  si nu ^ n Microsoft Oce Word. Ca r aspuns la aceast a
^ ntrebare furniz am doar c^ ateva argumente:
^ n LATEX scrierea formulelor matematice este mult mai u soar a;
se pot genera cu u surint  a structurile complexe (e.g., bibliograe, note
de subsol, liste cu tabele, notarea relat iilor matematice);
se poate folosi ^ n orice sistem de operare  si este gratis;
foarte multe reviste  stiint ice primesc numai articole scrise ^ n LATEX ;
se poate folosi pentru prezent ari cu beamer sau slide-uri, CV, pentru
c art i, note muzicale, etc.;
O caracteristic a a program arii ^ n T EX este aceea c a rezultatul propriu-
zis nu se poate vizualiza imediat, ^ n acela si e sier de lucru, ind necesar a
deschiderea unui  sier adit ional care se creeaz a automat.
Dar ca ecare program pe care ^ l utiliz am are  si c^ ateva dezavantaje. S i
anume:
uneori este destul de dicil s a obt inem un anumit rezultat;
pentru a pre^ nt^ ampina adunarea mai multor gre seli de redactare este
indicat s a rul am  si s a salv am  sierul la intervale scurte de timp.
Preambulul unui  sier LATEX poate  format din urm atoarele p art i:
1

1.ndocumentclass[ opt iuni ]fstilg.
Aceasta este prima linie de comand a ce apare ^ n orice  sier .tex. Are
dou a argumente: opt iuni  sistil .
Opt iunile difer a ^ n funct ie de stiluri  si reprezint a o parte opt ional a.
Aici se pot preciza anumite caracteristici (formatul paginii, m arimea
fontului, modul de aranjare ^ n pagin a a ecuat iilor). Partea obligatorie
estefstilg si arat a tipul de document ce urmeaz a s a e creat. Stilurile
pot : book, report, article, letter, slide sau beamer.
Stilul book este caracteristic documentelor de tip carte deoarece per-
mite o organizare specic a, utiliz^ and capitole sau p art i. Acestea ^ ncep
^ n mod predenit doar pe paginile impare(eventual l as^ and pagina ante-
rioar a liber a). O alt a caracteristic a a acestui stil este aceea c a antetul
paginilor este diferent iat la pagin a par a.
Stilul report este folosit la furnizarea de rapoarte. S i acest stil permite
organizarea pe capitole,dar spre deosebire de stilul book capitolele pot
^ ncepe  si pe pagin a par a, nu doar pe pagina impar a. Are antet care nu
este diferent iat pentru paginile pare, respectiv impare.
Stilul article este caracteristic redact arii textelor cu cont inut  stiint ic
deoarece nu permite organizarea pe capitole, iar antetele sunt goale,
ceea ce ^ nseamn a c a utilizatorul le poate completa cu ce dore ste. Spre
deosebire de celelalte stiluri acesta permite inserarea unor p art i speciale
(bibliograe, index,etc.).
Stilul letter este specic scrisorilor ociale care au format x deoarece
permite pozit ionarea corect a ^ n pagin a a informat iilor legate de expe-
ditor, destinatar, funct ia lor, data emiterii, etc.
Stilul slide sau beamer folosit pentru realizarea unor prezent ari.
2.ntitlefTitlulg
Aceasta este o alt a component a a preambulului unui  sier T EX , ind o
parte opt ional a, ce se activeaz a prin comanda nmaketitle care trebuie
s a apar a imediat dup a linia de comand a nbeginfdocumentg.
3.ndatefDatag
Este o comand a optional a care ne furnizeaz a data curent a, iar dac a^ ntre
cele dou a acolade nu se insereaz a nimic  sierul .dvi nu ne va furnizeaz a
2

data. Dac a nu utiliz am nicio instruct iune dup a linia de comand a, ^ n
 sierul .dvi se returneaz a data curent a.
4.nbeginfdocumentg
nendfdocumentg
^In acest mod se anunt  a ^ nceputul  si respectiv sf^ ar situl textului docu-
mentului. Document este cadru obligatoriu pentru un  sier T EX.^In el
sunt cuprinse liniile de comand a ce conduc la realizarea  sierului .dvi.
Orice comand a inserat a dup a comanda nendfdocumentgnu va  luat a
^ n considerare de compilator.
TEX permite utilizarea a dou a moduri de scriere:
modul paragraf (implicit);
modul matematic.
Exist a comenzi care sunt valabile doar ^ n unul dintre cele dou a moduri.
Tranzit ia de la un mod la cel alalt se realizeaz a prin utilizarea unor comenzi
specice cum ar  $ $ sau cadre matematice . ^In cadrul modului paragraf,
formulele matematice se delimiteaz a prin inserarea a dou a caractere $.
Modul paragraf
Modul paragraf este modul implicit de scriere al programului T EX  si
cuprinde mai multe caracteristici.
Tipul fontului ^ n tehnoredactarea computerizat a  si graca pe calculator
se dene ste ca ind un set complet de caractere av^ and aceea si politic a ti-
pograc a  si acela si stil, corp tipograc  si grosime. LATEXpune la dispozit ie
mai multe tipuri de font:
nrm – roman – acesta este implicit;
nbf -bold – ^ ngro sarea cuvintelor;
nit -italic – literele sunt ^ nclinate de la st^ anga la dreapta, se apropie
mai mult de scrisul de m^ an a, iar distant ele dintre caractere sunt mai
condensate;
nsl -^ nclinat – ^ nclinarea cuvintelor spre dreapta;
3

nsf – sans serif – literele nu au serife  si au liniile uniforme;
nsc -small caps – scris cu majuscule de dimensiune redus a;
ntt -type writer – folosit cel mai des pentru redactarea documentelor;
nmathcal -Caligrafic – ce poate  utilizat doar ^ n modul matematic.
Dac a utilizatorul dore ste s a foloseasc a un alt font dec^ at cel roman, care este
implicit, poate s a foloseasc a una din um atoarele dou a metode:
1. Textul care se dore ste a ap area ^ n noul font se insereaz a ^ ntre dou a
acolade, prima dintre ele ind urmat a imediat de comanda nfont, astfel:
fnfont textg. Exemplu:fnitTipuri de fontg;
2. Folosim comanda nfont pentru a insera tipul de font pe care dorim s a ^ l
utiliz am dup a care scriem textul, iar pentru a reveni la fontul implicit
folosim comandanrm, astfel:
nfont nou
text
nrm pentru a reveni.
Exemplu:nitTipuri de fontnrmAm revenit la tipul roman.
LATEX pune la dispozit ie mai multe dimensiuni ale fontului, precum:
5pt -ntiny;
7pt -nscriptsize;
8pt -nfootnotesize;
10pt -nnormalsize (implicit);
12pt -nlarge;
14pt -nLarge;
20pt -nhuge;
25pt -nHuge.
4

Pentru a modica m arimea fontului de la cea de 10 pt, care este implicit a,
la o alt a dimensiune dorit a de utilizator se poate folosi una din urm atoarele
dou a metode:
1. Textul a c arui dimensiune se dore ste a  modicat a se insereaz a ^ ntre
dou a acolade, prima dintre ele ind urmat a imediat de comanda
ndimensiune, astfel: fndimensiune textg.
Exemplu:fntiny Schimb am m arimea fontului g;
2. Folosim comanda ndimensiune pentru a insera dimensiunea pe care
dorim s a o utiliz am dup a care scriem textul, iar pentru a reveni la
dimensiunea implicit a folosim comanda nnormalsize, astfel:
ndimensiune nou a
text
nnormalsize pentru a reveni.
Exemplu:nlargeSchimb am m arimea fontului nnormalsize Am
revenit la m arimea normal a.
Spat ierea pe orizontal a se poate realiza cu ajutorul mai multor instruct iuni:
n, – impune un spat iu liber;
 – fort eaz a un spat iu liber mai mic decat n,;
nquad – fort eaz a un spat iu liber de 6 ori mai mare dec^ at n,;
nqquad – fort eaz a un spat iu liber de 10 ori mai mare dec^ at n,;
Pentru apropriere avem:
$n!$ ;
nhspacefxcmg- care impune o distant  a egal a cu cea indicat a ^ ntre
acolade p^ an a la cuv^ antul imediat urm ator. Dac a xeste negativ efectul
este de apropiere a cuv^ antului urmator de cuv^ antul care percede linia
de comand a. Unitatea de m asur a trebuie neap arat precizat a.
Toate aceste linii de comand a sunt active at^ at ^ n modul paragraf, c^ at  si
^ n cel matematic, spre deosebire de comanda $ n!$, care funct ioneaz a doar ^ n
modul matematic.
Spat ierea pe vertical a se poate realiza astfel:
Pentru distant area r^ andurilor ^ ntre ele putem folosi una din urm atoarele
comenzi:
5

nsmallskip – pentru o distant iere mai mic a;
nmedskip – pentru o distant iere medie;
nbigskip – pentru o distant iere mai mare.
Sau putem folosi comanda nvspacefxcmg- care impune scrierea r^ andului
care urmeaz a la o distant  a egal a cu cea indicat a ^ ntre acolade. Dac a xeste
negativ efectul este de apropiere a r^ andului urmator de r^ andul care percede
linia de comand a. Unitatea de m asur a trebuie neap arat precizat a.
Gestionarea r^ andurilor  si paginilor:
Trecerea de pe un r^ and pe cel alalt la un moment dorit de utilizator se
poate realiza cu una din urm atoarele comenzi: nlinebreak saunnewline. Efec-
tul contrar se realizeaz a cu linia de comand a nnolinebreak. De exemplu,
trecerea pe un r^ and nou ^ n momentul dorit de utilizator se obt ine folosind
comandanlinebreak saunnewline: LATEX este un limbaj de
tehnoredactare, de fapt un compilator.
Pentru scrierea pe o pagina nou a se utilizeaz a una din comenzile ur-
matoare:nnewpage saunpagebreak, iar efectul contrar se obt ine folosind
comandannopagebreak.
Simboluri rezervate ^ n modul paragraf – se refer a la anumite caractere
care act ioneaz a ^ n sine ca linii de comand a, de aceea simpla lor tastare nu
are ca efect tip arirea cacacterului respectiv:
1. $ – el marcheaz a trecerea de la modul paragraf la cel matematic. Se
neutralizeaz a efectul cu n$ ;
2.n- pentru a ne a sa semnul nfolosim comanda $ nbackslash$ ;
3.f sig- perechea de acolade delimiteaz a un anumit mod de editare de
restul textului  si apare doar ca pereche. Se neutralizeaz a efectul cu nf
 sing;
4. % – are ca efect anularea tuturor intruct iunilor ce urmeaz a de pe
acela si r^ and cu ea (se comenteaz a), iar efectul se neutralizeaz a folosind
comandan%;
5.<- simpla tastare ne va a sa semnul <, iar ca s a neutraliz am efectul
folosim $<$ ;
6

6.>- simpla tastare ne va a sa semnul >, iar ca s a neutraliz am efectul
folosim $>$ ;
7. & – este un separator utilizat ^ n cadrul tabular, iar pentru a sarea
semnului ^ n sine folosim n& ;
Utilizarea cadrelor ^ n T EX
Prin cadru se int elege o unitate ^ n interiorul c ariua se pot scrie comenzi
specice ei, av^ and un rezultat predenit.
LATEX pune la dispozit ia utilizatorului mai multe tipuri de cadre, aces-
tea av^ and ca scop delimitarea unor entit at i, precum ecuat ii, tabele, versuri,
guri, etc.
Toate cadrele ^ ncep  si se termin a ^ n acela si mod:
nbeginfnume cadrug
text
nendfnume cadrug
^In continuare sunt prezentate unele din cadrele puse la dispozit ie de
LATEX, pun^ and accent pe acele facilit at i ce permit crearea ^ n LATEXa textelor
 stiint ice.
1. Cadrul document
nbeginfdocumentg
text
nendfdocumentg
Singurul cadru obligatoriu pentru un  sier T EX este cadrul document.
2. Cadrul quotation
nbeginfquotationg
text
nendfquotationg
Acest cadru este utilizat pentru evident ierea unui citat mai mare care
este compus din mai multe paragrafe. Marginile cadrului sunt indentate
la st^ anga  si la dreapta. Textul este aliniat (justied) la aceste margini
 si paragrafele sunt indentate. O linie goal a ^ n text genereaz a un nou
paragraf.
Exemplu:
7

"C^ and, dup a r azboi, Moromete deveni proprietar, el tr aia
at^ at de deplin bucuria de a  sc apat de mo sier, ^ nc^ at nu bag a
de seam a c a unii nu se mai g^ andeau de mult la asta, ci la
cu totul altceva: La ce anume? S a fac a comert ! A sadar, cu
cereale  si s a c^ a stige bani! S i cu banii ce s a fac a? S a pl ateasc a
impozitele!
Asta era ceva de r^ as, cum de nu vedeau? Ce ciudat, unde
ajunseser a! ^ n sf^ ar sit, e  si comert , dar s a m ^ nt ele si c a nu
 asta e scopul…"1
3. Cadrul quote
nbeginfquoteg
text
nendfquoteg
Cadrul quote este asem an ator cadrului quotation, dar este folosit pen-
tru evident ierea unor citate mai scurte, care cuprind doar un singur
paragraf sau unor secvent e de citate scurte, ind separate prin linii
goale. Marginile din st^ anga  si din dreapta sunt indentate, iar textul
este aliniat la ambele margini.
Exemplu:
"Dac a vrei s a faci din aceast a lume un loc mai bun, trebuie s a
te uit i ^ n primul r^ and la tine ^ nsut i  si s a te schimbi. ^Incepe cu
persoana care se re
ect a la tine ^ n oglind a – cu tine ^ nsut i!"2
4. Cadrul verse
nbeginfverseg
text
nendfverseg
Este un cadru specic poeziilor deoarece permite uniformizarea modu-
lui ^ n care apar distant ate versurile fat  a de marginile paginii, spat ierea
dintre dou a strofe. Versurile se despart prin nncu except ia ultimului
vers din strof a care se marcheaz a printr-un r^ and liber.
Exemplu:
1Moromet ii, Vol.I, Marin Preda
2Democlit
8

C a n-am s a pot purta ^ n larg de t ar a
Icoanele ce azi le am ^ n g^ and;
C^ and sub un deal opait  tremur^ and…
Tu,satule,r am^ ai o ulcioar a
^In care-am ^ ngropat pe ve snicie
At^ ata clocot din copil arie…
C^ antec de departe , Gh. N. Jacot a
Glasul nostru , Anul I, nr. 6-7, Ianuarie 1931
5. Cadrul
ushright
nbeginf
ushrightg
text
nendf
ushrightg
Acest cadru pozit ioneaz a textul din interior ^ n partea din dreapta. Tre-
cerea la r^ and nou se face prin nn.
Exemplu:
LATEX
6. Cadrul center
nbeginfcenterg
text
nendfcenterg
Acest cadru pozit ioneaz a textul din interior ^ n partea din centru. Tre-
cerea la r^ and nou se face prin nn.
Exemplu:
LATEX
7. Cadrul
ushleft
nbeginf
ushleftg
text
nendf
ushleftg
Acest cadru pozit ioneaz a textul din interior ^ n partea din st^ anga. Tre-
cerea la r^ and nou se face prin nn. Exemplu:
9

LATEX
8. Cadrul itemize
nbeginfitemizeg
nitem[etichet a]text1
nendfitemizeg
Este un cadru specic enumer arilor, ecare enitate enumerat a ind
marcat a prin linia de comand a nitem urmat a opt ional de o etichet a.
Textul entit at ii respective apare scris ^ n continuarea comenzii
nitem[etichet a], sf^ ar situl entit at ii ind marcat prin o nou a comand a
nitem sau prinnendfitemizeg. Fiecare item apare aliniat ^ n  sierul
.dvi. Dac a este specicat a o etichet a aceasta apare la^ nceputul itemului
corespunz ator . ^In general etichetele sunt obiecte matematice, deci se
trec ^ ntren$. Dac a nu specic am nicio etichet a itemizarea se face cu
. Un dezavantaj al acestui cadru este c a nu permite utilizarea altei
itemiz ari ^ n interiorul s au.
Exemple:
1. Algoritmul euclidian pentru calcularea celui mai mic divizor comun
a dou a numere a;b2Z+const a ^ n urm atorii pa si:
nbeginfitemizeg
nitem $a0 =nmax(a;b)$; $a1 =nmin(a;b)$;iar$i= 1$:
nitem[$nstar$] Dac a $ai= 0$;atunci $afi1g=gcd(a;b)$:
nitem[$ndiamondsuit $] Dac a $ainne0$;se^ mparte $afi1g$la$ai$;
$ndisplaystyleffafi1ggnoverfaigg$  siseobt ine $afi1g=qai+
r$:
nitem Se ^ nlocuie ste $ i$cu$i+ 1$:
nitem[$nspadesuit $] $ai$ prime stevaloarea $ai=r$:
nitem Se ^ ntoarcelapasul $nstar$:
nendfitemizeg, ce are ca rezultat:
a0= max(a;b);a1= min(a;b), iari= 1.
?Dac aai= 0, atunci ai1=gcd(a;b).
}Dac aai6= 0, se ^ mparte ai1laai,ai1
ai si se obt ine ai1=qai+r.
Se ^ nlocuie ste icui+ 1.
aiprime ste valoarea ai=r.
10

Se ^ ntoarce la pasul ?.
2. Funct ia distant  a D, denit a pe Zn
2Zn
2cu valori ^ n Rsatisface
urm atoarele propriet at i:
nbeginfitemizeg
nitem$D(v;w) = 0$pentru oricare $vninnmathbbfZg2^n$;
nitemFie $v;wninnmathbbfZg2^n$;dac a $D(v;w) = 0$;atunci $v=
w$;
nitem$D(v;w) =D(w;v)$pentru oricare $v;wninnmathbbfZg2^n$;
nitem$D(v;w)nleD(v;u) +D(u;w)$;pentru oricare $u;v;wnin
nmathbbfZg2^n$:
nendfitemizeg, av^ and ca rezultat:
D(v;w) = 0, pentru oricare v2Zn
2;
Fiev;w2Zn
2, dac aD(v;w) = 0, atunci v=w;
D(v;w) =D(w;v), pentru oricare v;w2Zn
2;
D(v;w)D(v;u) +D(u;w), pentru oricare u;v;w2Zn
2.
3.
nbeginfitemizeg
nitem[$ndiamondsuit $] $x:=a+b; $
nitem $x:= 0:$
nitem [$nheartsuit $] $x=nlog3ndisplaystyleffnsqrt3ncdot3^
fnover4ggnoverfnsqrt[3]f81ggg; $
nitem [$nstar$]$x=ndisplaystylef2^f16gnover256g; $
nitem[$nspadesuit $]$x=nlimnlimitsfxntoninftyg
ndisplaystyleffndisplaystylef1noverfncos^2x1gggnoverf1ncosxgg; $
nitem[$nclubsuit $]$x=ndisplaystylef1+ndisplaystylef1nover6gnover3g; $
nendfitemizeg, ce are ca rezultat:
}x=a+b;
x= 0;
~x= log3p
3
35
4
3p
81;
? x=216
256;
11

x= lim
x!11
cos2x1
1cosx;
|x=1 +1
6
3;
9. Cadrul enumerate
nbeginfenumerateg
nitem text1
nitem text2
nendfenumerateg
Este un cadru specifc enumer arilor, ecare entitate apare dup a linia de
comand anitem. Nu exist a comand a opt ional a pentru etichete. Spre de-
osebire de cadrul itemize, acest cadru permite utilizarea altei enumer ari
^ n interiorul s au p^ an a la nivelul patru de ad^ ancime. Fiecare item este
evident iat ^ n mod predenit ^ n funct ie de nivelul de ad^ ancime astfel:
primul nivel cu cifre arabe, al doilea nivel cu litere mici ale alfabetului
latin, al treilea nivel  si respectiv al patrulea cu cifre romane mari, re-
spectiv mici. Un dezavantaj al acestui cadru este faptul c a ^ nceputul
ec arui item (numerotarea acestuia) este predenit a  si nu poate s a e
impus a de utilizator prin folosirea etichetei.
Exemplu:
nbeginfenumerateg
nitem for afrom 1to n do
nbeginfenumerateg
nitem a :=a+ 1
nitem b :=a
nitem c :=a+ 1
nitem for xfrom a to n
nbeginfenumerateg
nitem y :=x
nitem x :=z
nitem z :=y
nendfenumerateg
nitem end:
nendfenumerateg
12

nitem end:
nendfenumerateg, ce produce urm atorul rezultat:
1. forafrom 1 tondo
(a)a:=a+1
(b)b:=a
(c)c:=a+1
(d) forxfromaton
(i)y:=x
(ii)x:=z
(iii)z:=y
(e) end.
2. end.
10. Cadrul tabular
nbeginftabulargfformatg
text
nendftabularg
Cadrul tabular este utilizat pentru scrierea tabelelor  si este caracter-
istic modului paragraf. Comanda fformatgse refer a la informat iile
care precizeaz a num arul de coloane ce alc atuiesc tabelul, alinierea tex-
tului (st^ anga, dreapta sau centrat) pentru ecare coloan a, precum
 si informat ii legate de existent a liniilor verticale care separ a sau nu
coloanele. Drept comenzi specice, enumer am urm atoarele:
nhline – are ca efect trasarea unei linii orizontale pe toat a suprafat a
^ ntregului tabel;
nclinefi-jg- treaseaz a o linie orizontal a de la coloana i la coloana
j;
& – separ a elementele a dou a coloane diferite;
nmulticolumnfnum argfformatgftextg- formeaz a o cutie orizon-
tal a ^ n care verticalele nu apar. Num ar simbolizeaz a num arul de
coloane peste care se ^ ntinde cutia orizontal a, format precizeaz a
modul de aliniere a textului ^ n cutia orizontal a  si eventualele linii
verticale care pot ap area ^ n p art ile din st^ anga  si din dreapta ale
13

cutiei, iar text se refer a la partea care se scrie efectiv ^ n cutia
orizontal a.
Exemple:
1.nbeginfcentergnn
nbeginftabulargfcjccccccccgnn
$x$&$ninfty $&&$f1gnoverf2g$&&$f4gnoverf3g$&&$ninfty $nn
nhline $3x+ 4$&$ + $&$ + $&$ + $&$ + $&0&$ $&$$nn
nhline $2x1$&$$&$$&0&$ + $&$ + $&$ + $&$ + $ nn
nhline $ndisplaystyleff3x+4gnoverf2x1gg$&$$&$$&$nvert$&$+
$&0&$$&$$nn
nendftabularg
nendfcenterg, av^ and urm atorul rezutat:
x11
24
31
3x+ 4 + + + + 0
2x1 0 + + + +
3x+ 4
2x1 j + 0
2.nbeginfcenterg
nbeginftabulargfjcjcjcjcjg
nhline
nmulticolumnf2gfjcjgfSect iuneaIg
&nmulticolumnf2gfjcjgfSect iuneaIIgnn
nhline
Punctaje &Num ar de studen t i&Punctaje &Num ar de studen t inn
nhline
5059&3&4049&2nn
nhline
6069&16&5059&15$nn
nhline
7079&22&6069&16nn
nhline
8089&7&7079&4nn
nhline
14

nendftabularg
nendfcenterg, av^ and urm atorul rezutat:
Sect iunea I Sect iunea II
Punctaje Num ar de student i Punctaje Num ar de student i
5059 3 4049 2
6069 16 5059 15
7079 22 6069 16
8089 7 7079 4
3.nbeginfcenterg
nbeginftabulargfcjcjcjcjcjcjcjg
&$X^n$&
$X^fn1g$&
$X^fn2g$&
$nldots $&
$X^1$&
$X^0$
&
$an$&
$afn1g$&
$afn2g$&
$nldots $&
$a1$&
$a0$
nhline
a&
$an$&
$afn1g+abfn1g$&
$afn2g+abfn2g$&
$nldots $&
$a1 +ab1$&
$a0 +ab0$
nhline
&
$bfn1g$&
$bfn2g$&
15

$bfn3g$&
$nldots $&
$b0$&
$r$
nendftabularg
nendfcenterg, ce produce urm atorul rezultat:
XnXn1Xn2:::X1X0
anan1 an2:::a1a0
aanan1+abn1an2+abn2:::a1+ab1a0+ab0
bn1bn2 bn3:::b0r
11. Cadrul array
$nbeginfarraygfformatg
formul a
nendfarrayg$
Acest cadru se poate utiliza doar ^ n modul matematic.
Exemple de utilizare a acestui cadru:
1.
$$nbeginfarraygfcccg
nXi&nstackrelfnscriptstyleniotagfnhboxfnLarge $nlongrightarrow $gg&
nUpsilonnn
nvarpinBigndownarrow &&nBigndownarrowfnscriptstylenchignn
nTheta &nstackrelnzetafnhboxfnLarge $nlongrightarrow $gg&nSigmann
nendfarrayg$$ , ce are ca rezultat:
! 
$??y??y
! 
2.
$$nbeginfarraygfllga=bq1;&nvarphi (r1)<nvarphi (b);nn
b=r1q2 +r2;&nvarphi (r2)<nvarphi (r1);nn
nvdots &nvdotsnn
rfn2g=rfn1gqn+rn;&nvarphi (rn)<nvarphi (rfn1g);nn
16

rfn1g=rnqfn+ 1g;&rfn+ 1g= 0:
nendfarrayg$$, av^ and ca rezultat:
a=bq1; ' (r1)<'(b);
b=r1q2+r2; ' (r2)<'(r1);
……
rn2=rn1qn+rn; '(rn)<'(rn1);
rn1=rnqn+1; r n+1= 0:
3.
$$nbeginfarraygfcccccg
F(X)nstackrelfnvarphi (X)gfnhboxfnLarge $nlongrightarrow $gg&
G(X)&nstackrelfnpsi(X)gfnhboxfnLarge $nlongrightarrow $gg&H(X)nn
nhspacef0:9cmgfnscriptstyleF (u)gnBigndownarrow &nBigndownarrow
fnscriptstyleG (u)g&&nBigndownarrowfnscriptstyleH (u)gnn
F(Y)nstackrelfnvarphi (Y)gfnhboxfnLarge $nlongrightarrow $gg&
G(Y)&nstackrelfnvarphi (Y)gfnhboxfnLarge $nlongrightarrow $ngng&H(Y)nn
nendfarrayg$$, ce are ca rezultat:
F(X)'(X)!G(X) (X)!H(X)
F(u)??y??yG(u)??yH(u)
F(Y)'(Y)!G(Y)'(Y)!H(Y)
4.
$$nbeginfarraygfcccg
&Z&nn
fnscriptstylep xgfnhboxfnLarge $nswarrow $gg&&fnhboxfnLarge $nsearrow $gg
fnscriptstylep ygnn
X&fnscriptstylehgnBiggndownarrow &Ynn
fnscriptstylefgfnhboxfnLarge $nsearrow $gg&&fnhboxfnLarge $nswarrow $gg
fnscriptstyleggnn
&S&nn
nendfarrayg$$, av^ and ca rezultat:
17

Z
px. & py
Xh????yY
f& . g
S
12. Cadrul equation
nbeginfequationg
formul a matematic a
nendfequationg
Partea din interiorul cadrului equation apare scrisa central ^ n modul
matematic  si relat ia respectiv a este numerotat a automat, num arul ecuat iei
ind plasat ^ n marginea din dreapta. ^In situat ia ^ n care nu se dore ste
numerotarea relat iei se folose ste cadrul equation*. Un dezavantaj al
acestui cadru ar  faptul c a relat iile matematice se scriu pe un singur
r^ and, nu se las a r^ and liber, dar avem  si avantaje precum: numerotarea
relat iilor  si etichetarea acestora.
Exemple:
1.
nbeginfequationgnlimfnnrightarrowninftygndisplaystyleffnln(x^2+
x)gnoverfnln(x^4 + 2x)gg=nlimfnnrightarrowninftyg
ndisplaystyleffnlnx^2(1 +nfracf1gfxg)gnoverfnlnx^4(1 +
nfracf2gfx^3g)gg=nlimfnnrightarrowninftygndisplaystyleff2nlnx+
nln(1 +nfracf1gfxg)gnoverf4nlnx+nln(1 +nfracf2gfx^3g)gg=
nfracf1gf2gnendfequationg, av^ and urm atorul rezulat:
lim
n!1ln(x2+x)
ln(x4+ 2x)= lim
n!1lnx2(1 +1
x)
lnx4(1 +2
x3)= lim
n!12 lnx+ ln(1 +1
x)
4 lnx+ ln(1 +2
x3)=1
2
(1)
2.
nbeginfequationg
nintffBRg[x]gndisplaystyleff1gnoverfjjxyjj^nalphaggdy=
18

nintf0g^fRgnleft(nintf0g^fnpignleft(nintf0g^f2npig
ndisplaystyleffnrho^2nsinnthetagnoverfnrho^nalphaggdnrhonright )
dnthetanright )d= 4npinintf0g^fRgnrho^f2nalphagdnrho=
nfracf4npigf3nalphagR^f3nalphag
nendfequationg, av^ and urm atorul rezulat:
Z
BR[x]1
jjxyjjdy=ZR
0Z
0Z2
02sin
d
d
d= 4ZR
02d=4
3R3
(2)
3.
nbeginfequationg
nsumnlimitsff1nle inlenbetagnatopfngammange jnge1gga^fi^3g
ncdotnleft(b^fj^4gnright )^3
nendfequationg, av^ and urm atorul rezulat:
X
1i

j1ai3

bj43
; (3)
4.
nbeginfequationg
nsqrtf3^xnsqrt[3]f3^fx1ggnsqrt[4]f3^fx2ggg= 81
nendfequationg, av^ and urm atorul rezulat:
q
3x3p
3x14p
3x2= 81 (4)
5.
nbeginfequationg
u(x) =f(x) +nlambdansumfi= 1g^fNgnleft(nsumfk= 1g^fNg
ndisplaystyleffnleft(nsumnlimitsfl= 1g^fNgflal^f(k)gnright )
ai^f(k)ggnoverfnmuknlambdaggnright )npsii
nendfequationg, av^ and urm atorul rezulat:
19

u(x) =f(x) +NX
i=10
BBB@NX
k=1NP
l=1fla(k)
l
a(k)
i
k1
CCCA i (5)
13. Cadrul eqnarray
nbeginfeqnarrayg
formul a matematic a
nendfeqnarrayg
Acest cadru permite scrierea mai multor linii care pot  aliniate ^ n
funct ie de indicatorul &  si pot  numerotate, ^ mbin^ and cadrul equation
cuarray . Etichetele se insereaz a pe ecare linie numerotat a. Dac a
una dintre linii nu se dore ste a  numerotat a ^ n interiorul acesteia se
insereaz a comanda nnonumber. Liniile se separ a prin nn si nu permit
l asarea unui r^ and liber.
Exemple de utilizare a acestui cadru:
1.^In continuare, se poate observa alinierea semnelor "=" unul sub
cel alalt, cu except ia celui de al doilea, precum  si efectul liniei de co-
mand annonumber.
nbeginfeqnarrayg
neta& = &1ndisplaystyleffjQ2jgnoverfQ2gg= 1
ndisplaystyleffnnundisplaystyleffRgnoverfngamma1gg(T2T1)+
nnuRT 1nlnnfracfV3gfV1ggnoverfnnundisplaystyleffngammaRg
noverfngamma1gg(T2T1)ggnnonumbernn
& = &ndisplaystyleffngamma1nleft(ndisplaystyleffT2g
noverfT1gg 1nlnnvarepsilonnright )gnoverfngammanleft(
ndisplaystyleffT2gnoverfT1gg 1nright )ggnnonumber
nendfeqnarrayg, ce produce urm atorul rezultat:
20

= 1jQ2j
Q2= 1R

1(T2T1) +RT 1lnV3
V1

R

1(T2T1)
=
1T2
T11ln"

T2
T11
Pentru a vedea mai clar efectele pe care le au cele dou a comenzi, &=&
 sinnonumber, vom da acela si exemplu ca cel precedent f ar a s a folosim
comenziile respective:
nbeginfeqnarrayg
neta= 1ndisplaystyleffjQ2jgnoverfQ2gg= 1ndisplaystyle
ffnnundisplaystyleffRgnoverfngamma1gg(T2T1) +nnuRT 1
nlnnfracfV3gfV1ggnoverfnnundisplaystyleffngammaRgnover
fngamma1gg(T2T1)ggnn =ndisplaystyleffngamma1nleft(
ndisplaystyleffT2gnoverfT1gg 1nlnnvarepsilonnright )gnover
fngammanleft(ndisplaystyleffT2gnoverfT1gg 1nright )gg
nendfeqnarrayg, av^ and ca rezultat:
= 1jQ2j
Q2= 1R

1(T2T1) +RT 1lnV3
V1

R

1(T2T1)(6)
=
1T2
T11ln"

T2
T11 (7)
Se poate observa cu u surint  a c a semnele "=" nu mai sunt aliniate unul
sub cel alalt, iar ecare linie este numerotat a.
2.^In acest exemplu vom utiliza cadrul eqnarray* deoarece nu dorim nu-
merotarea liniilor, ind echivalentul comenzii nnonumber  si vom alinia
21

primele dou a semne "=" unul sub cel alalt, iar pe cel de al treilea nu,
cu ajutorul indicatorului &.
nbeginfeqnarrayg
nvarphi (z1+z2)& = &nleft(nbeginfarraygfccga+c+2(b+d)&2(b+
d)nn
(b+d)&a+c2(b+d)nendfarraygnright )nn
& = &nleft(nbeginfarraygfccga+ 2b&2bnn
b&a2bnendfarraygnright )+nleft(nbeginfarraygfccgc+2d&2dnn
d&c2dnendfarraygnright )nn
=nvarphi (z1) +nvarphi (z2)
nendfeqnarrayg, ce produce urm atorul rezultat:
'(z1+z2) =a+c+ 2(b+d) 2(b+d)
(b+d)a+c2(b+d)
=a+ 2b 2b
b a2b
+c+ 2d 2d
d c2d
='(z1) +'(z2)
Mediul de imagine ^ n LATEX
Elemente de baz a
Un mediu de imagine ^ n LATEX este creat folosind una din urm atoarele
dou a comenzi:
nbeginfpictureg(xdim,ydim). . .nendfpictureg,
nbeginfpictureg(xdim,ydim)(x0,y0). . . nendfpictureg.
Numerele xdim, ydim, x0  si y0 se refer a la comanda nunitlength , care
poate  resetat a^ n orice moment folosind comanda nsetlengthfnunitlengthgf1.2cmg.
Valoarea implicit a pentru nunitlength este 1pt. Prima pereche, (xdim,
ydim),….
Cele mai multe comenzi de desenare au una din urm atoarele dou a forme:
nput(x;y)fobjectg,
nmultiput(x;y)(4x;4y)fngfobjectg,
22

undeobject poate , de exemplu nline(2,4)f1.5gsauncircle*f0.5g, cum vom
vedea  si ^ n exemplele ce vor urma. Avem  si except ii de la aceste dou a mod-
uri de creare a desenelor, iar una dintre ele o rezprezint a Curbele p atratice
Bezier. Ele pot  desenate cu comenzi precum:
nqbezier(x1;y1)(x;y)(x2;y2),
undeP1= (x1;y1);P2= (x2;y2) sunt capetele intervalului, m1 sim2pantele
corespunz atoare, iar S= (x=y) este punctul de control intermediar, pe care
^ l putem obt ine din urm atoarele ecuat ii:8
<
:x=m2x2m1x1(y2y1)
m2m1
y=yi+mi(xxi); ( i= 1;2)
^In continuare vom desena trei curbe p atratice B ezier:
Un alt exemplu mai complex este urm atorul:
nsetlengthfnunitlengthgf1:5cmg
nbeginfpictureg(6;4)
nlinethicknessf0:05mmg
nmultiput (0;0)(1;0)f7gfnline(0;1)f4gg
nmultiput (0;0)(0;1)f5gfnline(1;0)f6gg
nput(:5;:5)fncirclef:1gg
nput(1;3)fncirclef:1gg
nput(3;3:5)fncirclef:1gg
nthicklines
nput(:5;:5)fnline(1;5)f:5gg
nput(1;3)fnline(4;1)f2gg
nqbezier (:5;:5)(1;3)(3;3:5)
nthinlines
nput(2:5;2)fncirclef:1gg
nput(5:5;:5)fncirclef:1gg
23

nput(5;3)fncirclef:1gg
nput(2:5;2)fnline(2;1)f3gg
nput(5:5;:5)fnline(1;5)f:5gg
nlinethicknessf1mmg
nqbezier (2:5;2)(4:5;1:5)(5;3)
nthinlines
nqbezier (4;2)(4;3)(3;3)
nqbezier (3;3)(2;3)(2;2)
nqbezier (2;2)(2;1)(3;1)
nqbezier (3;1)(4;1)(4;2)
nendfpictureg, care ne genereaz a urm atorul desen:
sss

s
ss
HHHHHHHHHHHHHDDDDDDDDDDD
Aceste desen ne arat a efectul comenzii nlinethickness pe liniile orizon-
tale sau verticale, dar  si efectul comenziilor nthinlines  sinthicklines pe
segmente de linie oblic a. De asemenea ne arat a c a ambele tipuri de comenzi
afecteaz a curbele p atratice B ezier, ecare comand a trec^ and peste toate cele
anterioare.
Segmente de linie
Comandanline are dou a argumente:
un vector de direct ie,
o lungime.
Componentele vectorului de direct ie trebuie s a e prime ^ ntre ele (nici un
divizor comun cu except ia lui 1),  si acestea sunt limitate la numere ^ ntregi
[-6, 6].
24

nsetlengthfnunitlengthgf5cmg
nbeginfpictureg(1, 1)
nput(1, 0)fnline(0, 1)f1gg
nput(1, 0)fnline(1, 0)f1gg
nput(1, 0)fnline(1, 1)f1gg
nput(1, 0)fnline(1, 2)f0.5gg
nput(1, 0)fnline(2, 1)f1gg
nendfpictureg


















nsetlengthfnunitlengthgf6cmg
nbeginpicture(1, 1)
nput(0, 0)fnline(0, 1)f1gg
nput(0, 0)fnline(1, 0)f1gg
nput(0, 0)fnline(1, 1)f.65gg
nput(0, 0)fnline(1, 2)f.5gg
nput(0, 0)fnline(1, 3)f.33333gg
nput(0, 0)fnline(1, 4)f.25gg
nput(0, 0)fnline(1, 5)f.2gg
nput(0, 0)fnline(1, 6)f.16667gg
nput(0, 0)fnline(2, 1)f1gg
nput(0, 0)fnline(2, 3)f.6667gg
nput(0, 0)fnline(2, 5)f.4gg
nput(0, 0)fnline(3, 1)f1gg
nput(0, 0)fnline(3, 2)f1gg
nput(0, 0)fnline(3, 4)f.75gg
nput(0, 0)fnline(3, 5)f.6gg
nput(0, 0)fnline(4, 1)f1gg
nput(0, 0)fnline(4, 3)f1gg
25

nput(0, 0)fnline(4, 5)f.8gg
nput(0, 0)fnline(5, 1)f.75gg
nput(0, 0)fnline(5, 2)f1gg
nput(0, 0)fnline(5, 3)f.5gg
nput(0, 0)fnline(5, 4)f1gg
nput(0, 0)fnline(5, 6)f.8333gg
nput(0, 0)fnline(6, 1)f1gg
nput(0, 0)fnline(6, 5)f1gg
nendfpictureg


































!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"""""""""
##################
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
((((((((((((((((((
,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Acest desen ilustreaz a toate cele 25 posibile valori de pant a ^ n primul
cadran. Lungimea este relativ a la nunitlength . Argumentul lungime este
coordonat a vertical a ^ n cazul unui segment de linie vertical a, iar ^ n toate
celelalte cazuri este coordonat a orizontal a.
Din cauza restrict iilor la vectorii de direct ie, trasarea segmentelor de linie,
de obicei, necesit a o vast a c autare pentru puncte adecvate. ^In multe cazuri,
desenarea segmentelor de linie dorite nu poate  posibil a f ar a utilizarea unor
pachete suplimentare, precum epic saupstricks .
Cercuri
Comandancircle are un singur argument relativ la nunitlength  si de-
termin a diametrul (nu raza). Mediul original de creare al imaginilor, admite
numai diametre de p^ an a la aproximativ 14mm,  si chiar mai jos de aceast a
limit a. Nu toate diametrele sunt posibile. Comanda ncircle * produce cer-
curi pline (discuri). Vom da c^ ateva exemple de desenare a cercurilor:
nsetlengthfnunitlengthgf1mmg
nbeginfpictureg(30, 40)
26

nput(20, 30)fncirclef30gg
nput(10,15)fncirclef30gg
nput(10,15)fncirclef5gg
nput(30,15)fncirclef30gg
nput(30,15)fncirclef5gg
nput(30,15)fncirclef10gg
nendfpictureg
&%'$
&%'$
m
&%'$
m

nsetlengthfnunitlengthgf1.5mmg
nbeginfpictureg(30, 40)
nput(40, 30)fncirclef1gg
nput(40, 30)fncirclef2gg
nput(40, 30)fncirclef3gg
nput(40, 30)fncirclef4gg
nput(40, 30)fncirclef5gg
nput(40, 30)fncirclef6gg
nput(40, 30)fncirclef7gg
nput(40, 30)fncirclef8gg
nput(40, 30)fncirclef9gg
nput(40, 30)fncirclef10gg
nput(40, 30)fncirclef11gg
nput(40, 30)fncirclef12gg
nput(40, 30)fncirclef13gg
nput(40, 30)fncirclef14gg
nendfpictureg
27

chl





"!#
&%'$
&%'$
&%'$
&%'$
&%'$
&%'$
nsetlengthfnunitlengthgf1mmg
nbeginfpictureg(30, 40)
nput(45, 10)fncircle*f1.5gg
nput(50, 10)fncircle*f2.5gg
nput(55, 10)fncircle*f3.5gg
nput(60, 10)fncircle*f4.5gg
nput(65, 10)fncircle*f5.5gg
nendfpictureg
svy|~
nbeginftikzpictureg
nbeginfscopeg[very thick,dashed]
ndraw (0,0) circle (.5cm);
ndraw (0,0) circle (1cm);
nendfscopeg
ndraw[thin] (0,0) circle (1.5cm);
nendftikzpictureg
28

Vectori
Pentru s aget i, componentele vectorului de direct ie sunt chiar mai limitate
dec^ at ^ n cazul segmentelor de linie,  si anume numerele ^ ntregi ^ n intervalul
[-4, 4]. Componentele trebuie, de asemenea, s a e prime ^ ntre ele (nici un
divizor comun cu except ia lui 1). Se observ a efectul comenzii nthicklines
pe cele dou a s aget i ^ ndreptate spre st^ anga sus, ^ n cel de al doilea desen care
urmeaz a.
nsetlengthfnunitlengthgf1mmg
nbeginfpictureg(60, 40)
nput(60, 20)fnvector(-1, -1)f5gg
nput(60, 20)fnvector(1, 0)f30gg
nput(60, 20)fnvector(1, 1)f5gg
nput(60, 20)fnvector(-3, 1)f15gg
nendfpictureg
– PPPPP i
nsetlengthfnunitlengthgf1mmg
nbeginfpictureg(70, 40)
nput(30, 20)fnvector(1, 0)f30gg
nput(30, 20)fnvector(4, 1)f20gg
nput(30, 20)fnvector(3, 1)f25gg
nput(30, 20)fnvector(2, 1)f30gg
nput(30, 20)fnvector(1, 2)f5gg
nthicklinesnput(30, 20)fnvector(-4, 1)f30gg
nput(30, 20)fnvector(-1, 4)f3gg
29

nthinlinesnput(30, 20)fnvector(-1, -1)f5gg
nput(30, 20)fnvector(-1, -4)f5gg
nendfpictureg
–  :
 1
 *




XXXXXXXXX y
CCCCO





Triunghiuri
Pentru desenarea triunghiurilor vom folosi pachetul tikz . Desenarea unui
triunghi se poate face ^ n mai multe moduri, unele ind mai avantajoase, iar
altele mai put in.
nbeginftikzpictureg
ndraw (0,0) node[anchor=north] fAg
– – (4,0) node[anchor=north] fBg
– – (4,4) node[anchor=south] fCg
– – cycle;
nendftikzpictureg, acest cod ne genereaz a un triunghi dreptunghic ( 4ABC ):
A BC
???!!!
ntikzndraw (0,0) – – (0,4) – – (4,0)- – (0,0);
30

A BC
Vom desena un triunghi isoscel folosind pachetul tikz  si comandandraw:
ntikzndraw (0,0) – – (2,4) – – (4,0)- – (0,0);
C AB
Urmeaz a s a desen am ^ nc a un triunghi, dar unul echilateral:
ntikzndraw(0,0) – – (2,3)- -(4,0)- -(0,0);
C AB
31

???!!!Comparat ie
nbeginftikzpictureg
ndraw (0,0)node[anchor=north] fAg
– – (2,3)node[anchor=north] fBg
– – (4,0)node[anchor=south] fCg
nendftikzpictureg
AB
C
Mediana unui triunghi
nbeginfpictureg(60;60)
nsetlengthfnunitlengthgf1ptg
nput(20;2)fnline(0;3)f100gg
nput(20;2)fnline(3;1)f100gg
nput(120:5;35:1)fnline(3;2)f100gg
nput(20;2)fnline(3;4)f50gg
nendfpictureg
QQQQQQQQQQ
MA
BC
Dicultatea care apare la desenarea medianelor ^ n LATEX este alegerea
corect a a unghiurilor de ^ nclinat ie:
32

nbeginfpictureg(60;60)
nsetlengthfnunitlengthgf1ptg
nput(20;2)fnline(0;3)f100gg
nput(20;2)fnline(3;1)f100gg
nput(120:5;35:1)fnline(3;2)f100gg
nput(20;2)fnline(3;4)f50gg
nput(20;102)fnline(3;5)f50gg
nendfpictureg
QQQQQQQQQQ
T
T
T
T
T
T
T
TTM
GA
BC
Cunosc^ and coordonatele  si lungimile celor trei laturi dintr-un triunghi, se
poate construi u sor o paralel a la una din laturile triunghiului, care determin a
pe celelalte dou a laturi sau pe prelungirile acestora segmente proport ionale,
conform Teoremei lui Thales.
Astfel, ^ n triunghiul ABC din exemplul urm ator, MNjjAC, deci se
pot scrie urm atoarele egalitat i ^ ntre rapoartele unor laturi:BM
MA=BN
NC,
BM
BA=BN
BC siMA
BA=NC
BC. De asemenea, spunem c a triunghiul creat prin
trasarea acestei paralele este asemenea cu cel init ial.
nbeginfpictureg(60;60)
nsetlengthfnunitlengthgf1ptg
nput(20;2)fnline(0;3)f100gg
nput(20;2)fnline(3;1)f100gg
33

nput(120:5;35:1)fnline(3;2)f100gg
nput(60;15)fnline(3;2)f40gg
nendfpictureg
QQQQQQQQQQ
QQQQQA
BCM
N
34