Specializarea MATEMATIC A INFORMATIC A APLICAT A [626378]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
Facultatea de S TIINT  E
Specializarea MATEMATIC A INFORMATIC A APLICAT A
DERIVABILITATEA
^IN
ANALIZA MATEMATIC A
Coordonator  stiint ic:
Profesor univ. dr. Suciu Laurian
Absolvent: [anonimizat] sca Sergiu-Vlad
SIBIU
2020

Tel: +40 (269) 216 062
Fax: +40 (269) 21 7 887

Ministerul Educa ției Naționale
Universitatea “Lucian Blaga” din Sibiu

Adresa: Bd -ul. Victoriei, n r. 10
Sibiu, 550024, Rom ânia
e-mail: rectorat @ulbsibiu.ro
www.ulbsibiu.ro

VIZAT
Conducător științific
Prof. Univ. Dr. Suciu Laurian

Declarația pentru conformitate asupra originalității operei științifice

Subsemnatul Pașca Serg iu-Vlad domiciliat în localitatea Sibiu adresa poștală Calea
Cisnădiei, nr. 9, bl. 5, sc. A, ap. 4.
având actul de identitate seria SB nr. 659331 , codul numeric personal [anonimizat] înscris
pentru susținerea lucrării de licență / proiectului de diplomă cu titlul DERIVABILITATEA ÎN
ANALIZA MATEMATICĂ.
declar următoarele:
 opera științifică nu aparține altei persoane, instituții, entități cu care mă aflu în relații de
muncă sau altă natură;
 opera științifică nu este contrară ordinii publice sau bunelor mora vuri, iar prin aplicarea
acesteia nu devine dăunătoare sănătății ori vieții persoanelor, animalelor sau plantelor;
 opera științifică nu a mai fost publicată de subsemnatul / subsemnata sau de o terță persoană
fizică sau juridică, în țară sau în străinătate, anterior datei depunerii acesteia spre evaluare în
scopul obținerii recunoașterii științifice în domeniu.
Specifi c explicit că ideile prezentate sunt originale, iar sursele de informații care stau la
baza emiterii unor teorii originale au fost corect citate și prezentate în opera științifică.
Data 20.06.2018
Numele și prenumele Pașca Sergiu -Vlad
Semnătura………… ……………………………….
Notă: Prezenta declarație va purta viza conducătorului științific.

Cuprins
Introducere 4
1 Spat ii liniar-topologice 5
1.1 Mult imi m arginite  si mult imi compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Spat ii liniare topologice metrizabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Spat ii local convexe 13
2.1 Mult imi convexe  si mult imi absolut convexe . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Corpuri algebric convexe. Funct iile distant  a . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Spat ii local convexe. Topologii generate de seminorme . . . . . . . . . 15
2.4 Spat ii bornologice  si spat ii tonelate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Topologii inductive pe spat ii local convexe . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Distribut ii 22
3.1 Spat iulE(
)  si spat iulS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Spat iile Lp(
)  siLp
loc(
), (1p1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Spat iul C1
c(
). Spat iileDK(
)  siD(
) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Relat iile de scufundare ^ ntre spat iile de baz a . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Denit ia  si caracterizarea distribut iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Funct iile local sumabile  si m asurile pe Rn, ca distribut ii . . . . . . . . 28
3.7 Propriet at i locale. Distribut ii cu suport compact . . . . . . . . . . . . 29
3.8 Derivarea distribut iilor  si ^ nmult irea lor cu funct ii . . . . . . . . . . . 30
3.9 Derivarea  si structura distribut iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.10 Distribut ii temperate  si transformata lor Fourier . . . . . . . . . . . . 32

Introducere
Analiza matematic a este acea ramur a a matematicii care studiaz a funct iile, lim-
itele, derivatele, integralele  si aplicat iile lor, precum  si operatori de spat ii de funct ii,
categorii algebrice de spat ii vectoriale.
Analiza matematic a este ^ mp art it a ast azi ^ n urm atoarele sub-domenii: analiz a
real a, analiz a funct ional a, analiz a numeric a  si analiz a complex a.
Prezenta lucrare ^  si propune s a realizeze un studiu am anunt it al not iunii de
derivat a ^ n analiza matematic a  si este structurat a ^ n 4 capitole, dup a cum urmeaz a:
1.Calcul diferent ial pentru funct ii vectoriale de pvariabile;
2.Not iuni introductive de spat ii normate  si operatori liniari;
3.Diferent iabilitatea ^ n spat ii normate;
4.Diverse aplicat ii.
Primul capitol, furnizeaz a elementele care stau la baza analizei reale, respectiv
analizei ^ n Rp. Au fost evident iate not iunea de derivabilitate (cu tot ce presupune
aceasta)  si teoremele de medie, dar  si dezvoltarea ^ n serie Taylor a funct iilor.
Cel de-al doilea capitol, descrie conceptele fundamentale ale spat iilor studiate,
 si anume: metrice, Banach, Hilbert. De asemenea, sunt reg asite  si informat ii referi-
toare la operatorii liniari  si continui pe spat ii Banach.
^In capitolul trei, not iunea de diferent iabilitate a fost tratat a la nivelul spat iilor
normate, ind prezentate aspecte legate de: diferent iabilitate Fr echet, funct ii olo-
morfe, teoreme de medie etc.
Ultimul capitol, prezint a o serie de exercit ii  si probleme care vor s a ^ nt areasc a as-
pectele teoretice ment ionate mai sus, precum  si s a reliefeze c^ ateva rezultate inedite,
dar importante de ret inut.
^In nal, doresc s a ^ mi exprim stima  si sentimentele de admirat ie fat  a de coor-
donatorul  stiint ic al lucr arii, domnul profesor Laurian Suciu,  si s a ^ i mult umesc
pe aceast a cale pentru suportul moral, devotamentul  si implicarea manifestate ^ n
realizarea acestei lucr ari.

Capitolul 1
Spat ii liniar-topologice
Vom considera Xun spat iu liniar peste corpul K siAo parte a lui X.
Denit ia 1.0.1. Vom spune c a Aeste absorbant a, dac a pentru orice x2X, exist a
">0, astfel ca
2K;0<jj<"=)x2A:
Mult imeaBXse va numi echilibrat a dac a
2K;jj0; x2B=)x2B:
sau pe scurt dac a BB, unde  =f;2K;jj1g:
Observat ia 1.0.1. Dac aBeste echilibrat a, atunci jjjimplic aBB:
^Intr-adev ar, pentru = 0, implicat ia este trivial a, iar pentru 6= 0:
1implic a


BB, adic aBB: Evident c a, ^ n particular, B=jjB:
^In continuare, pe K^ l vom considera dotat cu topologia natural a a dreptei,
respectiv a planului, dup a cum KesteRsauC:
Denit ia 1.0.2. Vom spune c a spat iul XpesteKeste un spat iu liniar topologic (sau
spat iu vectorial topologic), dac a pe Xeste dat a o topologie astfel ^ nc^ at operat iile
XX3(x;y)7!x+y2X
KX3(;x)7!x2X
sunt continue (pe XX si peKX, consider^ andu-se topologiile produs).
Este evident c a, din continuitatea prin raport cu ansamblul variabilelor rezult a
 si continuitatea part ial a a ec arei operat ii.
Fiex0un punct xat^ n X si2K,6= 0:Este clar din denit ie c a aplicat ia x7!x
este continu a  si apoi prin compunere x7!x0+xeste de asemenea continu a. Prin
simpl a vericare se constat a c a aceasta este injectiv a, surjectiv a  si c a are inversa
5

x7!1
x0+1
x; adic a de aceea si form a cu aplicat ia init ial a  si deci continu a. Astfel
x7!x0+xeste un homeomorsm al spat iului Xpe el ^ nsu si. ^In particular,
prinx7!x0+xtoate vecin at at ile lui zero se transport a ^ n toate vecin at at ile lui
x0, adic a orice vecin atate a lui x0este de forma x0+V;undeVeste o vecin atate
a originii. A sadar, clasa vecin at at ilor lui x0esteV(x0) =fx0+V;V2V()g:
De asemenea, un sistem fundamental de vecin at at i Eale originii genereaz a prin
x0+E=fx0+E;E2Eg =E(x0) este un sistem fundamental de vecin at at i ale lui
x0. De aceea, pentru a descrie complet topologia unui spat iu liniar topologic este
sucient s a cunoa stem un sistem fundamental de vecin at at i ale originii. De multe ori
prezint a important  a alegerea unui sistem fundamental de vecin at at i ale originii, care
s a e formate din mult imi cu propriet at i remarcabile (echilibrate, ^ nchise etc.). S a
remarc am mai ^ nt^ ai ^ ns a c a orice vecin atate a originii este absorbant a. ^Intr-adev ar,
dac aV2V()  six2X, din continuitatea aplicat iei 7!xva exista o vecin atate
a lui zero ^ n K, adic a unV>0;astfel ca:
jj<V)x2V;
deciVeste absorbant a. D am acum o condit ie de separat ie.
Teorema 1.0.1. Spat iul liniar topologic Xeste separat (Hausdor), dac a  si numai
dac a pentru orice element x2X,x6= 0 exist a o vecin atate a originii V2V()
astfel cax =2V.
Demonstrat ie. Dac aXeste separat  si x6= 0, este clar c a exist a V2V, =2V.
Reciproc, dac a condit ia teoremei este ^ ndeplinit a vom ar ata c a diagonala
a lui
XXeste ^ nchis a. Pentru aceasta observ am mai ^ nt^ ai c a fgeste ^ nchis a, deoarece
pentrux6= 0,x2X, exist a, conform condit iilor din teorem a, V2V() cux =2V
sau =2x+V, adic ax =2fg. Acum s a consider am aplicat ia
XX3(x;y)7!xy2X;
care este continu a. Atunci imaginea invers a a mult imii fgva  ^ nchis a. Dar acesta
este, evident
. Deci, Xeste separat.
Consecint a 1.0.1. Spat iul liniar topologic Xeste separat dac a  si numai dac a\
V2V()V=fg:
Consecint a 1.0.2. Dac aEeste un sistem fundamental de vecin at at i ale originii ^ n
X, atunci\
E2EV=fgdac a  si numai dac a Xeste separat.
Teorema 1.0.2. Orice spat iu liniar topologic Xse scufund a topliniar ^ ntr-un spat iu
liniar topologic complet ~X, astfel c aXeste dens ^ n ~X.~Xse nume ste completatul
luiX si este unic determinat p^ an a la un izomorsm topliniar.
6

1.1 Mult imi m arginite  si mult imi compacte
O submult ime Ba spat iului liniar topologic Xse nume ste m arginit a, dac a oric arei
vecin at at i a originii U^ i corespunde un  > 0 astfel ca BU. Prin urmare,
mult imile m arginite din Xsunt "absorbite" de toate vecin at at ile originii. Submult imea
BdinXse zice total m arginit a, dac a oric arei vecin at at i a originii U^ i corespunde
o parte nit a B0Bastfel ^ nc^ at BB0+U. Este u sor de constatat c a orice
mult ime total m arginit a ^ n Xeste m arginit a. S a observ am c a orice submult ime
a unei mult imi m arginite (total m arginite) este m arginit a (total m arginit a), orice
mult ime nit a este m arginit a (deoarece toate vecin at at ile originii sunt absorbante),
acoperirea echilibrat a a unei mult imi m arginite este m arginit a (deoarece se poate
lucra cu un sistem fundamental de vecin at at i echilibrate ale originii).
Propozit ia 1.1.1. Reuniunea  si suma unui num ar nit de mult imi m arginite (total
m arginite) sunt m arginite (respectiv total m arginite).
Demonstrat ie. Este sucient s a veric am propozit ia pentru dou a mult imi, restul
rat ionamentului f ac^ andu-se standard prin induct ie. Fie B1 siB2m arginite, Uo
vecin atate echilibrat a a originii, iar 1>0  si2>0 astfel caB11U siB22U.
Pun^ and atunci =maxf1;2g, rezult aB1SB2pU. Fie acum Vechilibrat a
cuV+VU si, ca mai sus, se poate obt ine B1V,B2V, de unde
B1+B2V+VU.^In cazul total m arginirii proced am similar.
Propozit ia 1.1.2. Aderent aBa unei mult imi m arginite (total m arginite) Beste
m arginit a (respectiv total m arginit a).
Demonstrat ie. Rezult a din faptul c a ^ ntr-un spat iu vectorial topologic exist a un
sistem fundamental de vecin at at i echilibrate  si ^ nchise ale originii. ^Intr-adev ar, dac a
Ueste o astfel de vecin atate  si BU, atunci evident BU. Analog se
procedeaz a  si pentru cazul total m arginit.
Propozit ia 1.1.3. O submult ime Beste m arginit a ^ n spat iul liniar topologic X,
dac a  si numai dac a pentru orice  sir fxngn2NB si oricefngn2NK,nconver-
gent la zero, rezult a c a nxnconverge la zero ^ n X.
Demonstrat ie. FieBm arginit a  si Uo vecin atate echilibrat a a originii. Din BU
rezult a c axn2Upentru orice n2N, de undenxn2nU,n2N.
Fien0^ nc^ atjnj1 pentrunn0.
Atunci pentru nn0avemnxn2U, ^ n virtutea echilibr arii lui U si aceasta implic a
nxn!, deoareceUera echilibrat a arbitrar a. Reciproc, s a presupunem pentru
mult imeaBXcondit ia din teorem a ^ ndeplinit a  si s a admitem prin absurd c a
Bnu este m arginit a. Atunci exist a o vecin atate echilibrat a a originii U, astfel ca
pentru orice n2Nse poate determina un xn2B, care satisface xn=2nU. Atunci
 sirul1
nxn, a
^ andu-se ^ n afara lui U, nu converge la zero, ceea ce contrazice ipoteza
f acut a.
7

S a consider am acum X siYdou a spat ii liniare topologice  si Tun operator liniar
 si continuu de la XlaY. Deoarece Ttransform a  sirurile convergente la zero, ^ n
 siruri convergente la zero ( T=!), aplic^ and propozit ia precedent a rezult a c a T(B)
este de asemenea m arginit a ^ n Y. Atunci are loc
Propozit ia 1.1.4. Imaginea liniar a  si continu a a unei mult imi m arginite este m arginit a.
Propozit ia 1.1.5. Orice mult ime compact a KdinXeste total m arginit a.
Demonstrat ie. FieUo vecin atate echilibrat a a originii. Dac a Geste o vecin atate
deschis a a originii inclus a ^ n U, s a observ am c a familia fx+Ggx2Kconstituie o
acoperire deschis a a lui K. S a extragem din aceasta una nit a fxj+Ggn
j=1.
Vom avea atunci  sin[
j=1(xj+U)K, de undeKK0+U, cuK0=fx1;:::;xng,
deciKeste total m arginit a.
Corolarul 1.1.1. Orice mult ime relativ compact a este total m arginit a.
Demonstrat ie. FieLrelativ compact a; ea este total m arginit a ind parte a com-
pactuluiL.
Propozit ia 1.1.6. FieK1;:::;Kncompacte ^ n X si1;:::;n2K.
Atunci1K1+


+nKneste compact a ^ n X.
Demonstrat ie. Reamintim c a imaginea continu a a unui compact este compact a.
AtuncijKjeste compact a ca ind imaginea continu a prin x7!jxa luiKj
(j= 1;2;:::;n ). Este sucient atunci s a ar at am c a K1+K2+


+Kneste com-
pact. DarK1K2


Kneste compact a ^ n XX


X(n-factori). Imaginea
acestui compact prin aplicat ia (evident continu a) ( x1;:::;xn)7!nX
j=1xjeste chiar
K1+K2+


+Kn si propozit ia este demonstrat a.
Corolarul 1.1.2. Dac aK1;:::;Knsunt relativ compacte ^ n X si1;:::;n2K,
atunci1K1+


+nKneste relativ compact a.
Demonstrat ie. Se utilizeaz a relat ia 1K1+


+nKn1K1+


+nKn:
Propozit ia 1.1.7. Dac aMeste ^ nchis a ^ n X siKun compact astfel ca M\K= ,
exist a o vecin atate Ua originii ^ nc^ at (M+U)\(K+U) =  .
Demonstrat ie. Fiec aruiy2K^ i corespunde o vecin atate deschis a  si echilibrat a Vy
a originii astfel ca ( y+Vy+Vy+Vy)\M= . Atunci ( y+Vy+Vy)\(M+Vy) = .
Ca mai sus, Kva  acoperit cu un num ar nit de yj+Vyj(j= 1;:::;n ). Dac a
U=n\
j=1Vyj, pentru orice y2Kare loc
y+Uyj+Vyj+Uyj+Vyj+Vyj;
deci (y+U)\(M+U) = , pentru orice y2K.
8

Propozit ia 1.1.8. Dac aMeste ^ nchis a  si Keste compact a ^ n X, atunciM+K
este ^ nchis a.
Demonstrat ie. Dac ax =2M+K, atunci (xM)\K= .
CumxMeste ^ nchis a, din propozit ia precedent a exist a o vecin atate a originii
astfel ca ((xM) +U)\K= , de unde ( x+U)\(M+K) =  decix =2M+K.
Aceasta ^ nseamn a c a M+K^  si cont ine toate punctele de acumulare, deci este
^ nchis a.
1.2 Spat ii liniare topologice metrizabile
O important  a deosebit a ^ n aplicat ii o prezint a spat iile liniare topologice metrizabile.
Un spat iu liniar topologic se nume ste metrizabil, dac a topologia sa poate  generat a
cu ajutorul unei metrici. O metric a dpe spat iul liniar topologic Xeste translatabil a
dac a pentru orice x;y;z2Xare locd(x+z;y+z) =d(x;y).
Teorema 1.2.1. Pentru ca un spat iu liniar topologic s a e metrizabil este necesar
 si sucient ca el s a satisfac a prima axiom a de num arabilitate. Mai mult, pe orice
spat iu liniar topologic metrizabil se poate deni o metric a translatabil a, care s a-i
genereze topologia.
Demonstrat ie. Se vede mai ^ nt^ ai clar c a dac a spat iul liniar topologic este metrizabil,
atunci, de exemplu, bilele centrate ^ n origine  si de raze1
n(n2N) formeaz a un
sistem fundamental num arabil de vecin at at i ale originii. Reciproc, s a admitem c a
^ n spat iul liniar topologic Xexist a un sistem fundamental numb arabil U=fUngn2N
de vecin at at i ale originii. Atunci putem construi un sistem de vecin at at i ale originii
fVngn2Ncare s a satisfac a
(1.1) Vn+1+Vn+1+Vn+1Vn;(n2N):
Aceasta se poate face aleg^ and, de exemplu, V1echilibrat a cu V1U1, iarV2echili-
brat a astfel ca: V2+V2+V2U2\V1 si apoi prin induct ie: dac a avem Vn1construit,
punemVnechilibrat a astfel ^ nc^ at Vn+Vn+VnUn\Vn1.
Denim acum funct ia astfel
(x;y) =8
>>>>>><
>>>>>>:0;dac axy21\
n=1Vn
1
2k;dac axy2k\
n=1Vn sixy =2Vk+1
1;dac axy =2V1:
Din cauza condit iei de separat ie este clar c a (x;y) = 0, dac a  si numai dac a x=y;
din echilibrarea Vn-urilor,este simetric a; ea este evident  si pozitiv a. Pentru a
obt ine inegalitatea triunghiului, func atia va trebui modicat a. Denim de aceea
d(x;y) = infp1X
j=0(zj;zj+1);
9

unde marginea inferioar a se ia dup a mult imea tuturor sistemelor nite ( z0;z1;:::;zp)
cuz0=x sizp=y. Acum funct ia dva satisface evident toate axiomele distant ei.
Deoarece(x;y) depinde doar de diferent a xyse vede c asatisface condit ia de
translabilitate. Atunci, aplic^ and aceasta, deducem succesiv
d(x;y) = infp1X
j=0(zj;zj+1) = infp1X
j=0(zj+z;zj+1+z)d(x+z;y+z):
Translat^ and ^ n continuare cu ( z) obt inem inegalitatea contrar a, deci deste trans-
latabil a. Ea va induce pe Xo topologie, despre care vrem s a ar at am c a este chiar
topologia dat a. Pentru aceasta demonstr am inegalitatea
(1.2)1
2(x;)d(x;):
Este sucient s a ar at am c a pentru orice p= 1;2;:::
1
2(x;y)p1X
j=0(zj;zj+1);z0=x;zp1=y
cux siyarbitrari ^ n X.
Inegalitatea este evident satisf acut a pentru p= 1. S a presupunem c a ea are loc
pentruq1  si ea=Pq
j=0(zj;zj+1). Dac aa1
2, atunci1
2(x;y)1, deoarece
(x;y)1. Fie deci a<1
2; not am cu hcel mai mare dintre indicii kpentru care
X
j<k(zj;zj+1)a
2;
atunci
(1.3)X
j<h(zj;zj+1)a
2 siX
j<h+1(zj;zj+1)>a
2
(1.4)X
j>h(zj;zj+1)a
2:
Din ipoteza de induct ie aplicat a lui x siz si prin formula (1.3) deducem
1
2(x;zh)h1X
j>h(zj;zj+1)a
2sau(x;zh)a. Analog, aplic^ and ipoteza de
induct ie asupra lui zh1 siycu(1.4) se obt ine(zh+1;y)a. Pe de alt a parte,
din denit ia lui a,(zh;zh+1)a. S a ^ nseamn am acum prin mcel mai mic ^ ntreg
pentru care 2ma. Dina <1
2rezult a c am2. De asemenea, din inegalit at ile
consemnate mai sus  si din denit ia lui avem
xzh2Vm; zhzh+12Vm; zh+1y2Vm;
10

de unde aplic^ and (1.1)
xy2Vm+Vm+VmVm1;
ceea ce implic a
(x;y)21m2a
 si(1.2) are loc. Compar^ and acum sistemele fundamentale de vecin at at i ale originii
^ n cele dou a topologii fVmg si bilele de raz a1
n^ n metrica d,
B1
n

n, avem c a
B1
n

cont ine peVmdac a1
2m<1
n(deoareced(0;x)(0;x)).
Reciproc, folosind (1.2) avem c aVmdat a cont ine pe B1
2m+1

dac a1
2m<1
n.
Deoarece metrica e translatabil a, B(x;1
n) =x+B(1
n)  si deci echivalent a sistemelor
fundamentale ^ n cele dou a topologii are loc pentru ecare x2X.
Teorema 1.2.2. Pe un spat iu liniar topologic metrizabil X, topologia poate  denit a
prin intermediul unei funct ionale jxjX, cu propriet at ile
(F.1)jxjX0,(x2X),
(F.2)jxjX= 0)x=,
(F.3)jxjXjxjX,(2),
(F.4)jx+yjXjxjX+jyjX,(x;y2X),
(F.5)jxnjX!0)jxnjX!0,2K,
(F.6)n!0)jnxjX!0,(x2X).
Demonstrat ie. (F.5)  si (F.6) rezult a din faptul c a xn!, respectiv nx!^ n
sensul topologiei din X, decid(xn;)!0, respectiv d(nx;)!0.
O funct ional a cu propriet at ile (F.1)-(F.6) se nume ste F-norm a, iar un spat iu pe care
s-a denit o F-norm a se nume ste spat iu F-normat. ^Intr-un spat iu F-normat se de-
ne ste o topologie de spat iu liniar topologic prin sistemul fundamental de vecin at at i
ale originii S(") =fxjx2X:jxjX"g, (" > 0).^Intr-adev ar S(") sunt, din
cauza lui (F.3), echilibrate  si, din (F.5), absorbante; dac a "= minf"1;"2g, atunci
clarS(")S("1)\S("2).^In acest mod se vede c a S(") dene ste o topologie pe
X^ n care suma este continu a, iar (F.5)  si (F.6) asigur a continuitatea produsului cu
scalari prin intermediul relat iei x0x0= (0)(xx0)+(0)x0+0(xx0),
care dac an!0 sixn!x0implic ajnxn0x0jXj(n0)(xnx0)jX+
j(n0)x0jX+j0(xnx0)jX!0. Primul termen tinde la zero, deoarece m acar
de la un rangjn0j1  si aplic am (F.5).
Are loc  si teorema reciproc a.
11

Teorema 1.2.3. Un spat iu F-normat este un spat iu liniar topologic metrizabil.
Metrica se va deni prin d(x;y) =jxyjX si este translatabil a.
De acum ^ nainte c^ and vom vorbi de spat ii liniare topologice metrizabile vom
sub^ nt elege c a topologia lor este denit a printr-o F-norm a  si ca atare le vom numi
F-normate. Pentru spat iile liniare topologice metrizabile complete vom utiliza den-
umirea deF-spat ii.
S a remarc am c a o funct ional a j
jXsatisf ac^ and (F.1) – (F.4) se nume ste pseudo-
norm a, iar topologia pe Xgenerat a de metrica dX(x;y) =jxyjXeste compatibil a
cu structura de spat iu liniar, dac a  si numai dac a j
jXeste oF-norm a.
12

Capitolul 2
Spat ii local convexe
^In acest capitol abord am studiul spat iilor local convexe, cea mai important a clas a
de spat ii liniare topologice, care intervin ^ n aplicat ii. Dup a ce ar at am c a o structur a
topologic a a acestor spat ii poate  descris a cu o familie de seminorme  si punem ^ n
evident  a c^ ateva propriet at i importante ale acestora, trecem la limite inductive de
spat ii local convexte, ceea ce va permite ^ n paragraful urm ator un studiu lejer al
spat iilor de baz a din teoria distribut iilor.
Primele dou a subcapitole le rezerv am ^ ns a introducerii unor not iuni preliminare
necesare ^ n studiul spat iilor local convexe.
2.1 Mult imi convexe  si mult imi absolut convexe
O mult ime Ma spat iului liniar Xpeste Kse nume ste convex a, dac a ea cont ine
odat a cu orice dou a puncte x;y si pe (1)x+y, pentru orice 2[0;1].Mse va
numi absolut convex a, dac a o data cu x siycont ine  si punctele x+y, pentru orice
;2Kcujj+jj1. Aici este vorba de valoarea absolut a sau de modul, dup a
cumXeste considerat spat iu liniar real sau spat iu liniar complex. De aceea, c^ and
va  pericol de confuzie, vom specica dac a este vorba de mult imi absolut convexe
reale sau de mult imi absolut convexe complexe. Din denit iile de mai sus rezult a
nemijlocit c a o intersect ie arbitrar a de mult imi convexe, respectiv absolut convexe
dintr-un spat iu liniar este convex a, respectiv absolut convex a. Acoperirea convex a
a unei mult imi Meste intersect ia tuturor mult imilor convexe care cont in pe M si
o vom nota prin co M. Corespunz ator se dene ste  si acoperirea absolut convex a a
luiM, pe care o vom nota cu jcoj(M). Deoarece mult imile absolut convexe sau
convexe, rezult a c a are loc co( M)jcoj(M).
Propozit ia 2.1.1. coMconst a din toate elementele de formanX
1ixi,i0,
nX
1i= 1,xi2M,n2N, ^ n timp cejcoj(M)este mult imea elementelor de forma
nX
1ixi,i2K,nX
1jij1,xi2M,n2N.
13

Propozit ia 2.1.2. Acoperirea absolut convex a a unei mult imi Meste acoperirea
convex a a acoperirii echilibrate a lui M. ^In particular, orice mult ime convex a  si
echilibrat a este absolut convex a  si reciproc.
Propozit ia 2.1.3. Dac aC1;C2;:::;Cnsunt mult imi convexe, respectiv absolut con-
vexe  si1;2;:::;n2K, atunci1C1;2C2;:::;nCneste de asemenea convex a,
respectiv absolut convex a.
Demonstrat ie. Deoarece odat a cu C siCeste convex a, respectiv absolut convex a,
este sucient s a demonstr am proprietatea pentru C1+C2. Or aceasta rezult a direct
din denit ie.
Propozit ia 2.1.4. Imaginea (sau preimaginea) printr-un operator liniar a unei
mult imi convexe, respectiv absolut convexe este convex a, respectiv absolut convex a.
Demonstrat ie. Dac aAeste liniar de la XlaY siCeste convex a ^ n A(X),A1(C)
este convex a ^ n X, deoarece dac a x;y2A1(C) rezult aA((1)x+y) = (1
)Ax+yAy2C, sau (1)x+y2A1(C) pentru orice 2[0;1]. Restul
cazurilor se demonstreaz a analog.
2.2 Corpuri algebric convexe. Funct iile distant  a
Ne ocup am ^ n acest subcapitol de o clas a important a de mult imi convexe, anume de
corpurile algebrice convexe. O mult ime convex a dintr-un spat iu liniar o vom numi
corp algebric convex, dac a ea posed a cel put in un punct algebric interior. Dac a M
este o mult ime absolut convex a, cu proprietatea c a pentru orice x2Xexist a un
2K(6= 0) astfel ca x2M, atunci originea este un punct algebric interior.
^Intr-adev ar, este clar c a Mind absolut convex a cont ine pe zero  si ind absorbant a
cont ine  si puncte diferite de zero. Fie atunci d=fx;2Rgo dreapt a oarecare
prin origine, cu xarbitrar ^ n X. Exist a atunci 02K,06= 0 astfel ca 0x2M.
CumMeste, ^ n particular, echilibrat a rezult a j0jx2M sij0jx2M. Atunci ^ n
baza convexit at ii lui M, segmentul [j0jx;j0jx] al dreptei deste cont inut ^ n M si
cont ine originea ^ n interior. Astfel, originea este algebric interior pentru M si are
loc
Propozit ia 2.2.1. Orice mult ime absorbant a  si absolut convex a este un corp alge-
bric convex, care are originea ca punct algebric interior.
Denit ia 2.2.1. O aplicat ie p:X!R, care pentru orice x;y2X,2Ksatisface
(N.1)p(x) =jjp(x),
(N.2)p(x+y)p(x) +p(y),
se nume ste seminorm a. Dac a ^ nlocuim ( N.1) cup(x)0,x2X, aplicat ia se
nume ste subnorm a, iar dac a la pozitivitate ad aug am
(N.1)0p(x)p(x),0,
aplicat iapse nume ste funct ional a subliniar a.
Dac apare propriet at ile (N.1) ,(N.2)  si
(N.3)p(x) = 0)x=,
ea se nume ste norm a.
14

Teorema 2.2.1. Dac aCXeste un corp algebric convex, care are pe zero ca
punct algebric interior, atunci aplicat ia pCdenit a prin
pC(x) = inff;>0 :x2Cg
este o funct ional a subliniar a pe X. Ea se va numi funct ia distant  a ata sat a lui C.
Teorema 2.2.2. Orice funct ional a subliniar a pdene ste prin p(x)<1, respectiv
p(x)1un corp algebric convex cu zero ca punct algebric interior, care este algebric
deschis, respectiv algebric ^ nchis.
Aceste corpuri algebric convexe au pe pca funct ie distant  a.
Demonstrat ie. Mult imeaCa punctelor x2Xpentru care p(x)1 este convex a
deoarecepsatisface:p[(1)x+y](1)p(x) +p(y) pentru2[0;1].^In
afar a de aceasta, pentru o dreapt a arbitrar a dcare trece prin ,d=fy;2Rg,
cuyoarecare ^ n Xavem c a:y
p(y) +" siy
p(y) +"2C si, ^ n baza convexit at ii lui
C, segmentul
y
p(y) +";y
p(y) +"
=
y;2y
p(y) +";y
p(y) +"
de pe dreapta d, care-l cont ine pe ^ n interior (pentru = 0!), este cont inut ^ n C.
Astfel,Ceste convex a cu originea ca punct algebric interior. Putem construi atunci
pC(x) = inffj>0;x2Cg. Cumx2Ceste echivalent cu p(x), este clar
c apC(x) =p(x), (x2X).
Dac a acum asupra corpului algebric convex C, cu zero ca punct algeric interior,
facem ipoteza s a e absolut convex, folosind relat ia C=jjCobt inem direct, ^ n
loc de (N.2)0, proprietatea (N.2) :pC(x) =jjpC(x),2K. Combin^ and aceasta
cu propozit ia 2.2.1 , are loc
Teorema 2.2.3. Funct ia distant  a a oric arei mult imi absorbante  si absolut convexe
este o seminorm a  si reciproc, orice seminorm a este funct ia distant  a a unei mult imi
absorbante  si absolut convexe.
2.3 Spat ii local convexe. Topologii generate de
seminorme
O topologie pe un spat iu liniar Xse nume ste local convex a, dac a ea este compat-
ibil a cu structura de spat iu liniar din X si dac a ^ nexist a un sistem fundamental
de vecin at at i convexe ale originii. Un spat iu liniar ^ nzestrat cu o astfel de topologie
se nume ste spat iu local convex.
Propozit ia 2.3.1. Completatul unui spat iu local convex este local convex.
15

Propozit ia 2.3.2. Fiepo seminorm a pe spat iul liniar X.
Dac a not am E(p;") =fx:p(x)<"g,E=fx:p(x)"g, atunci
(i)E(p;") =E(p;jj");E(p;") =E(p;jj")pentru2K;6= 0;
(ii)E(p;") siE(p;")sunt absorbante  si absolut convexe;
(iii)pE=pE=p, undeE=E(p;1),E=E(p;1).
Demonstrat ie. (i) Dac a2K,6= 0, atunci x2E(p;"),p(x) =jjp(x)<
jj",x2E(p;jj"). Analog se demonstreaz a cealalt a egalitate de la (i). (i)
mai arat a c a E(p;")  siE(p;") sunt absorbante. Acum, dac a x;y2E(p;")  si2
[0;1], atuncip((1)x+y)(1)p(x) +p(y)<(1)"+"=", deci
(1)x+y2E(p;"). AnalogE(p;") este convex a. Astfel (ii) are loc. Pentru
(iii) reamintim c a pE(x) = inff; >0 :x2E(p;1)g. De aici deducem c a dac a
x2E(p;1) =E(p;), avemp(x)< , decip(x)pE(x). S a observ am acum c a
pentru orice ">0;x2E(p;p(x) +") = (p(x) +")E, decipE(x)p(x) +". Cum"
este arbitrar, rezult a p(x) =pE(x). Analog se demonstreaz a pE=pE.
Remarca 2.3.1. Cu notat iile de mai sus, dac a Ceste o mult ime absorbant a  si
absolut convex a, iar pC- funct ia distant  a asociat a, atunci
E(pC;1)CE(pC;1):
Aceste conexiuni ^ ntre seminorme  si mult imile absorbante  si absolut convexe
las a s a se ^ ntrevad a c a este posibil ca topologiile local convexe s a poat a  descrise
cu familii de seminorme. Un prim pas ^ n aceast a direct ie ^ l constituie
Propozit ia 2.3.3. FieCo mult ime absorbant a  si absolut convex a ^ n spat iul liniar
topologicX. Atunci funct ia distant  a pCasociat a este continu a, dac a  si numai dac a
Ceste vecin atate a originii.
Teorema 2.3.1. FieP=fpg2Ao familie de seminorme pe spat iul liniar X.
Atunci exist a o cea mai put in nit a topologie pe Xcompatibil a cu structura de
spat iu liniar a lui X si ^ n care ecare norm a peste continu a. Cu aceast a topologie
Xdevine local convex. Un sistem fundamental de vecin at at i ale originii este dat de
CP=E(pH;") :">0;H2F(A);
undeF(A)este clasa p art ilor nite din A, iarpH- seminorma denit a de
pH(X) = max
2Hp(x);(x2X):
Remarca 2.3.2. Topologia local convex a Pdeterminat a de familia de seminorme
Peste separat a, dac a  si numai dac a pentru orice x2X;x6=exist ap2P astfel
cap(x)6= 0. O astfel de familie poart a numele de familie sucient a de seminorme.
^Intr-adev ar, dac a Peste separat a pentru x2X;x6=exist aE(pH;")2CPcu
x =2E(pH;"), adic a max
2Hp(x)". Rezult a c a exist a 2Hastfel cap(x)".
Reciproc, dac a exist a p2P cup(x)6= 0, atunci pun^ and "=p(x)
2este clar c a
x =2E(p;")2CP, ceea ce, conform teoremei 1.0.1. , este sucient pentru ca Xs a
e separat.
16

Remarca 2.3.3. Fiind dat a o familie de seminorme P sipo seminorm a continu a
peX^ n topologia determinat a de P, atunci topologia local convex a determinat a de
P0=P[fpgnu se schimb a.
^Intr-adev ar, cum E(p;")trebuie s a e vecin atate a originii ^ n P0, avem c a exist a
E(pH;"0)cont inut ^ n E(p;").Pe de alt a parte, avem c a PP0 si evidentCP0CP
 si deciPP0. AstfelP=P0.
Remarca 2.3.4. Dac aPeste un sistem dirijat de seminorme (adic a pentru orice
perechep0,p002P, exist ap2P ^ nc^ atp(x)max(p0(x);p00)), atunci topologia
Pse descrie mai simplu cu sistemul
Cd
P=fE(p;") :">0;2Ag:
Remarca 2.3.5. Dac aP=fpg2Aeste un sistem oarecare de seminorme, atunci
exist a un sistem dirijat de seminorme care genereaz a aceea si topologie local convex a
^Intr-adev ar, este clar c a Pd=fpHgH2F(A)este dirijat  si c aCd
Pd=CP:
^In ne, rezultatul fundamental al acestui subcapitol ^ l enunt  am ^ n
Teorema 2.3.2. Orice topologie local convex a poate  generat a cu ajutorul unei
familii de seminorme.
2.4 Spat ii bornologice  si spat ii tonelate
^In acest subcapitol ne referim la dou a clase speciale de spat ii local convexe ale c aror
propriet at i le fac importante ^ n dezvoltarea teoriei operatorilor  si funct ionalelor pe
spat ii local convexe. Mai ^ nt^ ai abord am ^ ns a clasa spat iilor local convexe metrizabile
(respectiv metrizabile complete) cont inute ^ n clasa spat iilor bornologice, respectiv
tonelate.
S a observ am mai ^ nt^ ai c a dac a pe spat iul liniar Xavem dat a o seminorm a p, atunci
fE(p;");" > 0gconstituie un sistem fundamental de vecin at at i ale originii ^ ntr-o
topologie local convex a. Un astfel de spat iu poart a numele de spat iu seminormat.
Deoarece sistemul format cu o seminorm a este sucient dac a  si numai dac a semi-
norma este norm a, un spat iu seminormat este separat dac a  si numai dac a seminorma
dat a este o norm a. Se vede imediat c a dac a punem d(x;y) =p(xy), obt inem c a d
este o semidistant  a, dac a peste seminorm a, iar dac a peste o norm a, atunci deste
distant  a.
A sadar, topologia unui spat iu normat este de fapt descris a cu ajutorul unei metrici.
^In cele ce urmeaz a ne intereseaz a problema metrizabilit at ii spat iilor local convexe
separate  si, ^ n particular, problema normabilit at ii acestora. Un spat iu local convex
metrizabil complet ^ l vom numi spat iu Fre chet. Este clar c a spat iile Fr echet sunt F-
spat ii, deci  si spat ii liniare topologice Baire. Dac a Xeste un spat iu local convex sep-
arat, a c arui topologie poate  generat a de o singur a seminorm a (deci de o norm a),
Xeste un spat iu normabil. ^In acest caz norma este  si F-norma care genereaz a
metrica  si topologia spat iului. Un spat iu normat complet mai poart a numele de
spat iu Banach. Se vede c a orice spat iu Fr echet este, ^ n particular, un F-spat iu.
17

Av^ and ^ n vedere teorema 1.2.1. , un spat iu local convex este metrizabil dac a  si nu-
mai dac a el posed a un sistem fundamental num arabil de vecin at at i ale originii. Cum
acestea vor cont ine ecare la r^ andul lor c^ ate o vecin atate absolut convex a, putem
presupune c a topologia unui spat iu local convex metrizabil admite un sistem funda-
mental num arabil de vecin at at i absolut convexe ale originii fC1;C2;:::;Cn;:::g, cu
intersect ia nul a. Este atunci imediat c a fUn=n\
k=1Ck;n2Ngformeaz a de aseme-
nea un sistem fundamental de vecin at at i ale originii cu intersect ia nul a. Am obt inut
astfel
Teorema 2.4.1. Topologia unui spat iu local convex metrizabil admite un sistem
fundamental num arabil descresc ator U1U2


Un:::de vecin at at i absolut
convexe ale originii, pentru care1\
n=1Un=fg.
Teorema 2.4.2. Un spat iu local convex separat Xeste metrizabi, dac a  si numai
dac a topologia sa poate  determinat a de o familie sucient a num arabil a de semi-
norme. ^In acest caz exist a un  sir cresc ator de seminorme p1(x)p2(x)



pn(x)


, care determin a topologia lui X, iar
E(pn;1
n)
n2Nconstituie un sistem
fundamental de vecin at at i ale originii.
Demonstrat ie. Dac aXeste local convex metrizabil  si dac a U1U2


Un
:::este sistemul fundamental de vecin at at i ale originii asigurat de teorema 2.4.1. ,
atunci seminormele asociate vor forma – evident – un  sir cresc ator sucient, pU1
pU2


pUn


. Dac a1este topologia local convex a generat a de fpUngn2N,
^ n baza faptului c a pUnsunt continue ^ n topologia init ial a (vezi propozit ia 2.3.3. ),
rezult a cu teorema 2.3.1. ,1, adic a=1.
Reciproc, dac afqngn2Neste o familie num arabil a sucient a de seminorme pe X,
care-i genereaz a topologia, atunci seminormele pn(x) = max
1knqk(x) formeaz a un  sir
cresc ator sucient  si determin a – a sa cum am v azut – aceea si topologie local convex a.
Atunci, dup a cum rezult a din remarca 2.3.4. de la teorema 2.3.1. ,fE(pn;");n2
N;"> 0gformeaz a un sistem fundamental de vecin at at i ale originii. Dar dac a m>
max(n;[1
"]) avemE(pn;") ="E(pn; 1)1
mE(pn; 1)1
mE(pm; 1) =E(pm;1
m),
ceea ce probeaz a c a fE(pn;1
n);n2Ngeste un sistem fundamental num arabil de
vecin at at i ale originii. Aceasta asigur a metrizabilitatea lui Xconform teoremei
1.2.1. .
Mai folositoare ^ n aplicat ii este
Teorema 2.4.3. Dac a pe spat iul liniar Xavem dat a o familie sucient a num arabil a
cresc atoarefpngde seminorme, atunci
jxjX=1X
n=11
2n
pn(x)
1 +pn(x);(x2X)
dene ste o F-norm a, care determin a pe X, aceea si topologie ca  si fpngn2N
18

Teorema 2.4.4. Un spat iu local convex Xeste bornologic, dac a  si numai dac a
orice seminorm a qpeX, cu proprietatea c a q(B)este m arginit a pe Rpentru orice
Bm arginit a ^ n X, este continu a pe X.
Spat iile liniare topologice Baire, deci ^ n particular  si F-spat iile, respectiv spat iile
Fr echet au proprietatea c a seminormele pe ele continue inferior sunt continue. Pen-
tru spat iile local convexe, condit ia de a  spat iu Fr echet nu este neap arat necesar a
pentru implicat ia de mai sus. Categoria natural a de spat ii local convexe pentru care
se ^ nt^ ampl a acest lucru este aceea a spat iilor tonelate. Clasa lor constituie  si un
cadru mai natural dec^ at spat iile Fr echet pentru valabilitatea principiului m^ arginirii
uniforme.
O mult ime dintr-un spat iu liniar topologic (separat) care este absorbant a, absolut
convex a  si ^ nchis a o vom numi mult ime tonelat a. Dup a cum este vizibil din discut iile
anterioare, ^ n orice spat iu local convex (separat) exist a un sistem fundamental de
vecin at at i const^ and din mult imi tonelate. Spat iile local convexe separate ^ n care
toate mult imile tonelate sunt vecin at at i ale originii se numesc spat ii tonelate. Este
u sor de vericat c a ^ ntr-un spat iu tonelat, clasa mult imilor tonelate constituie un
sistem fundamental de vecin at at i ale originii. Ca  si ^ n cazul spat iilor bornologice
are loc o caracterizare a spat iilor tonelate ^ n limbaj de seminorme.
Teorema 2.4.5. Un spat iu local convex Xeste tonelat, dac a  si numai dac a orice
seminorm a inferior continu a pe Xeste continu a.
2.5 Topologii inductive pe spat ii local convexe
Am denit pe un spat iu Xtopologia inductiv a asociat a topologiilor de pe spat iile
X(2A), corespunz atoare aplicat iilor f:X!X. Reamintim c a aceasta este
cea mai tare topologie pe X^ n care apliat iile fsunt continue  si c a familia deschiselor
dinXeste format a din mult imile G, pentru care f1
(G) este deschis a ^ n X, oricare
ar 2A.
Un caz particular remarcabil de topologie inductiv a relativ a la scufund arile j:
X!X(2A) este acela ^ n care familia de indici Aeste dirijat a  si pentru orice
pereche;2A cuare locXX sijX, ceea ce echivaleaz a cu
faptul c a scufundarea canonic a ja luiX^ nXeste continu a. Aceast a topologie
inductiv ase mai nume ste limit a inductiv a a topologiilor local convexe  si se mai
noteaz a cu lim!
2A, respectivX= lim!
2AXsauX= lim!
2BjX. Dac a mai sus se cere
chiarjX=, atuncise nume ste limit a inductiv a stric a a topologiilor local
convexe, relativ la aplicat iile j sij(;2A). Desigur c a limita inductiv a
a unei familii dirijate de spat ii local convexe indexat a dup a o familie dirijat a de
indici se poate deni  si pe un cadru mai general, unde Xse ^ nlocuie ste cu suma
direct aM
2AX,jcu scufundarea canonic a a lui X^ n suma direct a, iar j;cu
funct ii liniare continue. ^In termenii particulari ment ionat i putem formula c^ ateva
consecint e utile ^ n aplicat ii.
19

Consecint a 2.5.1. Limita inductiv a a spat iilor local convexe fXg2Acoincide cu
limita inductiv a a sistemului fXg2B, undeBeste o parte conal a ^ n A.
Consecint a 2.5.2. ^In condit iile anterioare, dac a limita inductiv a este strict a, atunci
jX=.
Aceste consecint e prezint a avantaje practice ^ n cazul ^ n care pentru familia dat a
de indici exist a o subfamilie num arabil a conal a. De aceea este important a abor-
darea limitelor inductive de familii num arabile de spat ii local convexe, caz pentru
care vom  si dovedi enunt ul din consecint a 2.5.2. de mai sus.
Fie deciXun spat iu liniar  si fXngn2Nun  sir strict cresc ator de subspat ii ale sale
^ nc^ at1[
n=1Xn=X. Vom presupune c a pe ecare Xneste dat a o topologie local con-
vex an sin+1jXn=n. Aceasta ^ nseamn a c a Xnse scufund a algebric  si topologic
^ nXn+1pentru orice n; deci  si ^ nXn+ppentru orice p2N. Topologia limit a induc-
tiv acare se obt ine ^ n acest caz va  limit a inductiv a strict a a familiei num arabile
fngn2Nde topologii local convexe, topologiilor local convexe n. Din denit ia lui 
urmeaz ajXnn.^In ipotezele de limit a inductiv a strict a are loc
Teorema 2.5.1. Dac a (X;)este limita inductiv a strict a a spat iilor local convexe
(Xn;n) (n2N), atuncijXn=n.
Demonstrat ie. FieCno vecin atate arbitrar a absolut convex a a originii ^ n Xn. Vom
ar ata c a exist a o vecin atate absolut convex a Ca originii ^ n Xn, astfel ^ nc^ at C\Xn=
Cn. Deoarece n+1jXn=n, exist a o vecin atate absolut convex a Cn+1a originii ^ n
Xn+1astfel caCn+1\XnCn. Continu^ and procesul, pentru orice k1 exist a o
vecin atate absolut convex a Cn+ka originii ^ n Xn+kastfel ^ nc^ at
(2.1) Cn+k\Xn+mCn+m; (0mk):
Fie acumCacoperirea absolut convex a ^ n Xa lui1[
k=0Cn+k. Este evident c a
(2.2) Cn+kC\Xn+k(k0):
Dac ax2C=jcoj(1[
k=0)Cn+k, atunci, deoarece xeste combinat ie absolut convex a
(a unui num ar nit) de elemente din1[
k=0Cn+k, evident c a va apart ine acoperirii
convexe a unui num ar nit de mult imi Cn+k. Fiercel mai mic num ar pentru
carex2jcoj(Cn[Cn+1[


[Cn+r).xeste de formarX
j=0jxjcurX
j=0jjj1,
xj2Cn+r\Xn+r1 si cu (2.1)xr2Cn+r1, ceea ce contrazice denirea lui r. De
aici urmeaz a simplu c a x2Xn+r1. Aceasta ne arat a c a x2C\Xnimplic ar= 0,
adic ax2Cn si cu aceasta
(2.3) C\Xn=Cn:
20

Mai departe, dac a nnatunciC\Xm=C\Xm\Xn=Cn\Xm, care este
vecin atate a originii ^ n Xm, ^ ntruc^ atnjXm=m. Pentrum > n relat ia (2.2) ne
arat a c aC\Xmeste vecin atate a originii ^ n Xm. AstfelCeste vecin atate a originii
^ n. Relat ia (2.3) arat a c ajXnn, de undejXn=n si teorema este complet
demonstrat a.
Teorema 2.5.2. FieXlimita inductiv a strict a a spat iilor local convexe Xn(n2N)
 si s a presupunem c a, pentru orice n,Xneste ^ nchis ^ n Xn+1. Atunci o mult ime B
dinXeste m arginit a, dac a  si numai dac a ea este situat a ^ ntr-un anumit Xn si acolo
este m arginit a.
21

Capitolul 3
Distribut ii
Lema 3.0.1. Pentru orice mult ime deschis a
2Rnexist a o exhaustiune cu mult imi
compacte.
Demonstrat ie. Dac aFm:=
x:d(x;{
)1
m
, unded(x;C
) = infjjxyjj;y2{
,
atunci, ^ n virtutea continuit at ii distant ei, Fmeste ^ nchis a. De asemenea, este clar
c a
=1[
m=1Fm. Acum dac a x2Fm1 siysatisfacejjxyjj<1
m11
m, atunci
pentruz2{
are locjjyzjjjjxyjj+jjxzjj. Trec^ and aici la inmum dup a
z2{
obt inem
d(y;{
)d(x;{
)jjxyjj>1
m11
m11
m
=1
m
sauy2Fm, adic ax2Fm si, cu aceasta,
(3.1) Fm1Fm;(m2N):
Dac a not am acum cu Bmbila ^ nchis a centrat a ^ n origine  si de raz a m, care, ind
m arginit a  si ^ nchis a, este compact a. Este evident c a
(3.2) Bm1Bm:
Dac a not am acum Km=Fm[Bm, obt inem ^ n baza (3.1)  si(3.2)Km1Km. De
asemenea, dac a x2
este clar c a d(x;{
)>0 (
este deschis a!), deci exist a mx
astfel cad(x;{
)1
mx, adic ax2Fmx. De asemenea, m0
x2Ncujjxjjm0
x, sau
x2Bm0x. Lu^ andmmax(mx;m0
x) obt inemx2Fm[Bm=Km, ceea ce ^ nseamn a
c a
=1[
m=1Km.
3.1 Spat iulE(
) si spat iulS
Dac a not am cu C1(
) mult imea tuturor funct iilor cu valori ^ n corpul C, denite
 si continue pe
, admit ^ and derivate continue de orice ordin prin raport cu toate
22

variabilele  si ne folosim de rezultatele cunoscute din analiz a cu privire la operat iile
cu astfel de funct ii, este clar c a, cu operat iile naturale
('+ )(x) ='(x) + (x)
(')(x) ='(x);(x2
)
de adunare a funct iilor  si ^ nmult ire cu scalari, C1(
) constituie un spat iu liniar
pesteC. Este imediat c a acest spat iu cont ine toate polinoamele ^ n nvariabile  si
cont ine de asemenea funct iile de forma ejjxjj2saue(xj)cuxat ^ n Rn si (xj) =
x11+x22+


+xnn, produsul scalar ^ n Rn.
Dac a'2C1(
),Keste un compact din
, iar k2N, atunci funct ionalele denite
prin
pK;k(') = sup
x2K
jjkjD'(x)j('2C1(
))
sunt seminorme pe C1(
). Demonstrarea propriet at ilor (N.1),(N.2),(N.3) uti-
lizeaz a propriet at ile elementare ale modulelor  si marginii superioare  si liniaritatea
operatorului de derivare D, cunoscut a de la operat iile cu funct iile derivabile  si se
face prin vericare direct a. ^In continuare vom nota prin E(
) spat iul C1(
) dotat
cu topologia local convex a generat a de familia de seminorme fpK;kgK;k.
Teorema 3.1.1. E(
) este un spat iu local convex metrizabil. S a remarc am c a o
Fnorm a peE(
)este dat a de
j'jE(
)=1X
m=11X
k=01
2k+m
pKm;k(')
1 +pKm;k('):
Teorema 3.1.2. Un  sirf'mgm2NE(
)converge la zero ^ n E(
), dac a  si numai
dac aD'm(x)converge la zero uniform prin raport cu xpe orice compact din
,
oricare ar  multiindicele = (1;2;:::;n),j2N(j= 1;2;:::;n ).
Demonstrat ie. Fie c a'm!0m!1 ^ nE(
)  si eKun compact arbitrat ^ n
,
iarun multiindice. Pentru vecin atatea E(pK;jj;") va exista un rang m0astfel
^ nc^ at
mm0)'m2E(pK;jj;") saupK;jj('m)<":
Dac a"este arbitrar  si, pentru moment, K sisunt xat i, atunci relat ia de sus
ne arat apK;jj('m)!0 (m!1 ), sau ^ n particular sup
x2KjD'm(x)j! 0, adic a
D'm(x) converge uniform la zero pe K.^In baza arbitrarit at ii lui K si, rezult a
armat ia direct a. Reciproc, dac a D'm(x)!0 uniform pe orice compact din
 si
pentru orice multiindice , rezult a c a pK;jj('m) = sup
x2K
jjkjD'(x)j!0 (m!1 ).
Atunci pentru E(pK;jj;") exist a un m0astfel ca
mm0)'m2E(pK;jj;");
 si cumfE(pK;jj;");K;k ;">0geste un sistem fundamental de vecin at at i ale originii
^ nE(
), aceasta implic a 'm!0 ^ nE(
).
23

Acum putem enunt a  si
Teorema 3.1.3. E(
)este un spat iu Fr echet.
Demonstrat ie. R am^ ane de vericat completitudinea lui E(
). Fief'mgm2Nun  sir
fundamental de elemente din E(
). Aceasta ^ nseamn a c a
'm'k!0 (m;k!1 ) ^ nE(
)
DarD('m'k)!0m;k!1 uniform pe orice compact din
si pentru orice
. Dac afKmgm2Neste o exhaustiune a lui
, din convergent a la zero uniform a pe
Kma lui'r(x)'k(x) (r;k!1 ), rezult a cu criteriul lui Cauchy de la convergent a
uniform a a  sirurilor de funct ii continue pe compacte, c a exist a o funct ie '(m)pe
Kmastfel ca'k(x)'(m)(x)!0 (k!1 ) uniform pe Km. Deoarece convergent a
uniform a a  sirurilor de funct ii continue implic a convergent a punctual a, este clar c a
pentrux2Kmare loc'(m+1)(x) ='(m)(x). Atunci, cum1[
m=1Km=
, se poate
deni':
!Kprin'(x) ='(m)(x) dac ax2Km si cum pe ecare Km, coincide cu
'(m) si1[
m=1Km=
, rezult a c a 'este continu a pe
. R am^ ane de ar atat c a '2E(
)
 si'k!'^ nE(
). Pentru aceasta va  sucient s a ar at am c a exist a D'(x)
pentrux2Km si c aD'k(x)!D'(x) uniform pe Km1, pentru orice m2N si
pentru orice .^Intr-adev ar, t in^ and cont de rezultatul binecunoscut din analiz a c a
"limita unui  sir uniform convergent de funct ii derivabile, pentru care  sirul derivatelor
converge uniform este de asemenea derivabil a  si derivata sa egal a cu limita uniform a
a  sirului derivatelor (pe interiorul mult imii de convergent  a uniform a)", pornind de
la faptul c a 'k(x)!'(x),k!1 uniform pe orice Km, pe baza unui rat ionament
prin induct ie, obt inem c a pentru orice multiindice , exist aD'(x) pentrux2Km
 si ^ n plusD'k(x)!D'(x) uniform pe Kmdeci  si pe Km1.
Vom presupune acum
= Rn si vom notaE(Rn) =
. ^In continuare vom pune
^ n evident  a un subspat iu remarcabil al lui E, spat iul funct iilor care descresc rapid.
Vom spune c a '2Eeste o funct ie rapid descresc atoare, dac a oricare ar  m2N
are loc
sup
x2Rn(1 +jjmjj)mj'(x)j<1:
Mult imea funct iilor ', care descresc rapid ^ mpreun a cu toate derivatele lor D',
formeaz a evident un subspat iu liniar al lui E. Acest spat iu va  notat peste tot ^ n
continuare prinS si va  considerat ca spat iu local convex, cu topologia generat a
de familia de seminorme:
qm;k(') = sup
x2Rn
jjk(1 +jjxjj)mjD'(x)j; '2S:
Este clar c a familia fqm;kgm;keste dirijat a  si sucient a pe S. Ea ind num arabil a,
rezult a ca  si ^ n cazul lui E, c aSeste un spat iu local convex metrizabil.
Convergent a la zero a  sirurilor de funct ii din Sse caracterizeaz a cu
Teorema 3.1.4. Un  sir de funct ii f'jgj2NdinSconverge la zero ^ n S, dac a  si
numai dac ajjxmjj(D'j(x))converge uniform la zero pe Rn.
24

3.2 Spat iile Lp(
) siLp
loc(
),(1p1 )
Dac a not am cu =(
) tribul borelian al p art ilor boreliene din
, iar dxeste
restrict ia m asurii lui Lebesgue ndimensionale din Rnla
, atunci prin denit ie
Lp(
) esteLp(
;;dx ). Vom considera ca de obicei pe spat iul Lp(
) norma
jjfjjp=Z
jf(x)jpdx1=p
;
care induce metrica d(f;g) =R
jf(x)g(x)jpdx
1=p si fat  a de care Lp(
) este un
spat iu complet. Peste tot ^ n continuare Lp(
) va  structura ^ n acest mod. Prin
Lp
loc(
) vom ^ nt elege mult imea funct iilor (^ n care nu distingem funct iile egale ^ ntre
eledx- aproape peste tot pe
) cu valori ^ n K, care sunt psumabile pe orice
compact din
. Elementele din Lp
loc(
) le vom numi funct ii local psumabile. Este
aproape imediat c a Lp
loc(
) este un spat iu liniar cu operat iile de adunare  si ^ nmult ire
cu scalari a funct iilor. Lp
loc(
) devine un spat iu local convex separat cu sistemul de
seminormefsp
KgK
, undeKparcurge compactele din
 si
sp
K(f) =0
@Z
Kjf(x)jpdx1
A1=p
; f2Lp
loc(
):
Este u sor de vericat c a pentru o exhaustiune fKmgmcu compacte a lui
, sistemul
fsp
Kmgm2Nde seminorme este cresc ator  si genereaz a topologia local convex a init ial a
peLp
loc(
). De aici rezult a acum c a Lp
loc(
) este metrizabil. S a observ am c a dac a
f2Lp(
)  siKeste un compact oarecare ^ n
, din
Z
Kjf(x)jdx0
@Z

jf(x)jpdx1
A1=p

0
@Z
K1dx1
A1=p0
;1
p+1
p0= 1
rezult a c aLp(
) pentru orice n1.
Punem ^ n evident  a organizarea lui L1=L1(Rn) ca algebr a Banach.
3.3 Spat iul C1
c(
). Spat iileDK(
) siD(
)
Vom nota prin C1
c(
) funct iile din C1(
), care se anuleaz a ^ n afara unei mult imi
compacte din
. Denim suportul unei funct ii f, notat prin supp f, ^ nchiderea (^ n

) a mult imiifx:f(x)6= 0g. Cu alte cuvinte, suportul lui feste complementul celei
mai mari mult imi deschise pe care fse anuleaz a. S a observ am c a pentru operat iile
naturale cu funct ii sunt imediate relat iile:
(3.3) supp ( f+g)suppf[supp
(3.4) supp g= suppg
25

(3.5) supp fgsuppf\suppg(6= 0):
Cu acest limbaj putem spune c a C1
c(
) este spat iul funct iilor scalare indenit deriv-
abile pe
, cu suport compact. Cu relat iile (3.3);(3.4);(3.5) se observ a u sor c a
C1
c(
) este un subspat iu liniar ^ n C1(
).
Teorema 3.3.1. Pentru orice compact K
,DK(
)este un spat iu Fr echet, deci
 si spat iu tonelat.
Teorema 3.3.2. O mult ime BDK(
)este m arginit a, dac a  si numai dac a pentru
orice multiindice
supfjD'(x)j;x2K;'2Bg<1:
Teorema 3.3.3. D(
)este at^ at spat iu bornologic, c^ at  si spat iu tonelat.
Teorema 3.3.4. D(
) este limita inductiv a strict a a unui  sir monoton de spat ii
Fr echet. AnumeD(
) = lim!
mDKm(
)
Teorema 3.3.5. Dac aeste topologia lui D(
), atunci pentru orice K
avem
jDK(
)=K:
Corolarul 3.3.1. D(
)nu este metrizabil.
Teorema 3.3.6. O mult ime BdinD(
)este m arginit a, dac a  si numai dac a exist a
un compact K
astfel ca:
a) supp'K,('2B)
b) suppfjD'(x)j;x2K;'2Bg<1, pentru orice multiindice .
Deoarece  sirurile convergente sunt ^ n particular m arginite, ^ n baza teoremei
3.3.5. putem caracteriza convergent a la zero ^ n D(
).
Corolarul 3.3.2. Un  sirf'jgj2ND(
)converge la zero ^ n D(
), dac a  si numai
dac a exist a un compact K
astfel ca:
a) supp'jK,(j2N)
b)D'j!0 (j!1 )uniform pe K, pentru orice
3.4 Relat iile de scufundare ^ ntre spat iile de baz a
Teorema 3.4.1. D(
)este dens ^ n Lp(
) si inject ia canonic a a lui D(
)^ nLp(
)
este continu a.
Demonstrat ie. Este  stiut c a funct iile continue cu suport compact formeaz a o submult ime
dens a ^ nLp(
). De aceea, pentru f2Lp(
)  si">0 exist ag2C1
c(
) cu propri-
etateajjfgjjp<"=3. Atunci exist a k0astfel ^ nc^ at
kk0)g(k)2C1
c(
)  si sup
x2Kk0jg(x)g(k)(x)j<"
3M:
26

undeK= suppg, iarMeste m asura lui Lebesgue a lui Kk0. T  in^ and cont  si de
alegerea lui grezult a
jjfgjj(k0)jjfgjjp+jjgg(k0)jjp<2"
3<":
Cumg(k0)2C1
c(
), rezult a c aD(
) este dens ^ n Lp(
). Inject ia canonic a a lui
D(
) ^ nLp(
) este evident continu a, deoarece convergent a la zero a unui  sir ^ n D(
)
implic a convergent a sa la zero ^ n norma Lp.
Teorema 3.4.2. Pentru orice deschis a
Rn,D(
)este dens ^ nE(
), iar scu-
fundarea canonic a a lui D(
)^ nE(
)este continu a.
Teorema 3.4.3. Spat iulD=D(Rn)este dens ^ nS si inject ia de scufundare a lui
D^ nSeste continu a.
3.5 Denit ia  si caracterizarea distribut iilor
Teorema 3.5.1. O funct ional a liniar a upeD(
) este distribut ie pe
, dac a  si
numai dac a ueste m arginit a pe orice mult ime m arginit a din D(
).
Demonstrat ie. Cu teorema (3.3.3.) ,D(
) este bornologic  si cum '!ju(')jeste
continu a, concluzia teoremei rezult a cu teorema (2.4.4) .
Consecint a 3.5.1. O funct ional a liniar a upeD(
)este distribut ie pe
, dac a  si
numai dac a, pentru orice compact Kdin
exist ac>0 sik2Nastfel ca
j(u;')jcsup
jjk
x2KjD'(x)j; '2DK(
):
Observat ia 3.5.1. Din consecint a precedent a se vede c a funct ionala liniar a upe
D(
) este distribut ie, dac a  si numai dac a restrict ia sa la ecare DK(
) este con-
tinu a.
De aici  si din caracterizarea convergent ei la zero a  sirurilor ^ n D(
)rezult a
Consecint a 3.5.2. Funct ionala liniar a upeD(
)este distribut ie, dac a  si numai
dac a pentru orice  sir (num arabil!) f'jgj2N D (
),'j!0^ nD(
), are loc
(u;'j)!0.
Dac aueste o distribut ie pe
, pentru care se poate determina un num ar natural
k, independent de Kastfel ca (3.5.1.) s a aib a loc, atunci upoart a numele de
distribut ie de ordin nit, iar cel mai mic ^ ntreg mcu aceast a proprietate se nume ste
ordinul distribut iei.
27

3.6 Funct iile local sumabile  si m asurile pe Rn, ca
distribut ii
Fief2L1
loc(
)  si funct ionala ufdenit a prin
(3.6) ( uf;') =Z
f(x)'(x)dx; '2D(
)
Este clar c a integrala (3.6) este nit a pentru orice '2D(
)  si c a (3.6) dene ste o
distribut ie de ordin zero. ^Intr-adev ar, pentru compactul K
are loc
j(uf;')jsup
x2Kj'(x)j
Z
Kjf(x)jdx; '2DK(
):
ufse va numi distribut ie regulat a, sau, mai precis, distribut ia de tip funct ie generat a
def. Deoarece f!ufeste o inject ie a lui L1
loc(
) ^ nD0(
), vom considera L1
loc(
)
scufundat ^ nD0(
), prin identicarea fuf. Din acest motiv, precum  si datorit a
faptului c a o serie de operat ii din spat iile de funct ii, ca: ^ nmult irea cu funct ii,
derivarea, convolut ia se extind  si ^ n D0(
), distribut iile se mai numesc  si funct ii
generalizate.
O alt a clas a remarcabil a de distribut ii pe
este furnizat a de m asurile boreliene pe

. Dac aeste o m asur a borelian a (regulat a) pe
, atunci distribut ia de tip m asur a
asociat a se dene ste prin
(3.7) ( u;') =Z
'(x)d(x);('2D(
)):
Ca  si ^ n cazul precedent se arat a c a ueste de ordin zero.
Cel mai simplu exemplu de distribut ie de tip m asur a, care nu este de tip funct ie ^ l
constituie distribut ia lui Dirac ua=adenit a prin
(a;') ='(a) =Z
'(x)da(x);('2D(
)):
(Aiciaapare ca m asur a borelian a de mas a 1 concentrat a^ n a2
). Dac aa= 02
,
vom nota pe scurt 0=. Se observ a c a  si spat iul M(
) al m asurilor boreliene
(regulate) pe
, se scufund a algebric izomorf ^ n D0(
). ^Intr-adev ar, din (3.7) se
vede u sor c a !ueste liniar a. Acum dac a u= 0, din (3.7) va rezulta
(3.8)Z
'(x)d(x) = 0; ('2D(
)):
FieKun compact din
 si f=Kfunct ia sa caracteristic a. Pentru k2Ndat s a
not am cufkfunct ia dinD(
), care ia valoarea 1 pe vecin atatea de raz a1
2ka luiK
 si are suportul cont inut ^ n vecin atatea K(k)de raz a1
ka luiK. Este clar c a pentru
x2K,fk(x) = 1!f(x). Pentrux =2Kexist a unk0sucient de mare, ^ nc^ at
28

x =2K(k0). Atuncifk(x) = 0 pentru kk0, decifk(x)!0 =f(x).
^In concluzie, fkconverge punctual la f, iar diferent a fkfeste m arginit a de
funct ia caracteristic a a compactului K(m0), unde1
m0<d(K;{
). Astfel, cu trecerea
dominant a la limit a are loc
lim
k!1Z
fk(x)d(x) =(K):
Cumfk2D(
), cu (3.8) rezult a(K) = 0. Folosind regularitatea lui , obt inem
= 0. Liniaritatea aplicat iei !urezult a din liniaritatea prin raport cu a
integralei (3.8) . Avem a sadar (abstract ie f ac^ and de o inject ie algebric a):
L1
loc(
)M (
)D0(
):
3.7 Propriet at i locale. Distribut ii cu suport com-
pact
Prin restrict ia lui u2D0(
) la o deschis a
1
notat a cu uj
1vom ^ nt elege
restrict ia lui ulaD(
1). Este clar c a uj
1este o distribut ie pe
1, adic a face parte
dinD0(
1). Vom spune c a u(pe
) este o distribut ie local zero ^ ntr-un punct a2
,
dac a exist a o vecin atate deschis a
aa luiaastfel cauj
a= 0. Dou a distribut ii
u1 siu2coincid local ^ n a, dac au1u2este local zero ^ n a. Denim suportul unei
distribut iiunotat suppuprin:
(3.9) a =2suppu,ueste local zero ^ n a:
Din(3.9) rezult a imediat c a dac a a =2suppu, atunci
a[suppu=?, deci supp u
este o mult ime ^ nchis a. Pentru alte propriet at i locale  si pentru o caracterizare
"global a" a suportului avem nevoie de
Lema 3.7.1. (partit ia restr^ ans a a unit at ii). Dac a
este deschis a ^ n Rn,Kun
compact din
,Km[
j=1
jcu
jdeschise cont inute ^ n
, atunci exist a 'j2D(
j)
(j= 1;2;:::;m )astfel ^ nc^ at 'j0,mX
j=1'j1, iar pe o vecin atate a lui Kare loc
mX
j=1'j(x) = 1 .
Demonstrat ie. Ar at am ^ nt^ ai existent a compactelor Kj
j(j= 1;:::;m ) astfel ca
(3.10)m[
j=1KjK:
29

Dac ax2K, not am cu r(x) num arul pozitiv cu proprietatea c a B(x;r(x))
j,
pentru tot i indicii jpentru care x2
j(cel put in un astfel de jexist a din in-
cluziuneaKm[
1
j). Acum familia
B
x;r(x)
2
x2Kacoper a pe K si e
Bk=B
xk;r(xk)
2
,k= 1;:::;s o subacoperire nit a a lui Kextras a de aici.
Dac a not am cu Kjreuniunea acelor bile Bkcare sunt cont inute ^ n
j, av^ and
^ n vedere alegerea init ial a a bilelor avem c as[
k=1Bk=m[
j=1Kj, de unde rezult a
(3.10) . Atunci exist a j2D(
j), j= 1 pe o vecin atate a lui Kj. Funct iile
'j= (1 1):::(1 j1), (j= 1;:::;m ), unde 0= 1, satisfac evident cerint ele
lemei.
Propozit ia 3.7.1. u2D0(
)este nul a pe o deschis a
1
dac a  si numai dac a
ueste o distribut ie local zero ^ n ecare punct din
1.
Demonstrat ie. Dac auj
1= 0 este clar c a ea e local zero ^ n ecare punct din
1.
Reciproc, dac a ueste local zero ^ n ecare a2
1, atunci not^ and
avecin atatea lui
apentru care uj
a= 0  si aleg^ and
a1[
a2[


[
amo acoperire a compactului
supp'cu'dat ^ nD(
1), putem construi partit ia unit at ii relativ a la supp ' si la
acoperireaf
ajgm
j=1,'1;'2;:::;'m. Este clar c a ''j2D(
aj), iaru(') = 0.
Propozit ia 3.7.2. Orice distribut ie este nul a pe complementul suportului s au. Mai
mult, suportul unei distribut ii coincide cu complementul celei mai mari mult imi
deschise pe care distribut ia este nul a.
Demonstrat ie. Din(3.9) se vede c a u2 D0(
) este local zero pe {suppu. Cu
propozit ia precedent a rezult a c a ueste zero pe {suppu. Fie pentru partea a doua
o deschis a
1pe careueste nul a. Atunci ueste local nul a ^ n ecare punct din
1,
deci cu (3.9)
1{suppu.
Teorema 3.7.1. O distribut ie u2D0(
) admite suport compact, dac a  si numai
dac au2E0(
).
Teorema 3.7.2. Orice distribut ie pe
cu suport compact este de ordin nit.
3.8 Derivarea distribut iilor  si ^ nmult irea lor cu
funct ii
Am v azut c a pentru orice multiindice , operatorul de derivare D2B(D(
)).
Pentru= (1;:::;n), cuk=i
knot am, ca mai^ nainte, operatorul corespunz ator
prinDj. Dac au2D0(
), atunci denim
(3.11) ( Dju;') = (1)(u;Dj');('2D(
)):
30

Din(3:11) se vede c a Dju= (1)(Dj)0u, unde (Dj)0este operatorul adjunct al lui
Dj(considerat ^ nD(
)). Astfel, operatorul Djastfel denit peD0(
) ia valori tot
^ nD0(
)  si este liniar  si continuu. Aplic^ and (3.11) din aproape ^ n aproape se obt ine
(3.12) ( Du;') = (1)jj(u;D');('2D(
))
sauDu= (1)jj(D)0u, undeD2B(D0(
)).
Prima problem a pe care ne-o punem ^ n leg atur a cu derivarea distribut iilor este aceea
a coerent ei acestei extensii a deriv arii, cu not iunea clasic a de derivare. ^Intr-adev ar
are loc
Propozit ia 3.8.1. Dac af2C1(
), atunciDjuf=uDjf, pentruj= 1;:::;n .
Demonstrat ie. Din ipotez a este clar c a f siDjfsunt local sumabile. Are deci sens
s a consider am distribut iile asociate (sau s a le privim pe f siDjfca distribut ii).
^In continuare ment inem totu si separat notat ia pentru f si pentru distribut ia uf
asociat a. Integr^ and prin p art i ^ n expresia lui ( Djuf;'), cu'2D(
) obt inem
(Djuf;') = (1)(uf;Dj') =Z
f(x)@
@xj'(x)dx=Z@
xjf(x)
'(x)dx= (uDjf;'):
(Integrarea prin p art i s-a facut relativ la variabila xj, iar termenul f(x)'(x) ^ ntre
limitele de integrare se anuleaz a deoarece este cu suport compact).
Consecint a 3.8.1. Dac af2Cm(
) sijjm, atunci
(3.13) Duf=uDf:
Relat ia (3.13) arat a c a de fapt derivata ^ n sensul distribut iilor a funct iilor cu
derivat a continu a, coincide cu derivata ^ n sens clasic  si de aceea notat ia identic a cu
cea clasic a este justicat a.
3.9 Derivarea  si structura distribut iilor
^In acest subcapitol prezent am la ^ nceput derivatele unor distribut ii remarcabile,
urm^ and apoi teorema de structur a pentru distribut iile cu suport nit  si ^ n nal,
teorema de structur a local a pentru distribut ii arbitrare. Fie pe dreapta R1funct ia
h(x) a lui Heaviside, denit a prin valoarea 1, dac a x0  si egal a cu zero dac a x<0.
Este clar c a h2L1
loc(R1). S a calcul am derivata lui hca distribut ie:
d
dxh;'
=
h;d
dx'
=1Z
1h(t)'0(t)dt=1Z
0'0(t)dt='(0) = (;');('2D(R1)):
A sadar:d
dxh=; derivata funct iei lui Heaviside este distribut ia lui Dirac. Ob-
serv am pe acest exemplu c a o distribut ie care nu este de tip funct ie am exprimat-o –
prin intermediul operatorului de derivare – cu ajutorul unei distribut ii de tip funct ie.
31

Teorema 3.9.1. Dac au2D0(
) si suppu=f0g, atunci exist a un ^ ntreg m0 si
constantele castfel ca
u=X
jjmcD:
^In realitate c= (1)jj(u;M1)
!.
Remarca 3.9.1. Este u sor de observat c a dac a ueste o distribut ie cu suport discret
( si nit), atunci ueste o sum a de distribut ii cu suport unipunctual, deci ueste
o combinat ie liniar a de derivate de distribut ii Dirac, concentrate ^ n punctele care
compun suportul.
Remarca 3.9.2. Cu tehnici asem an atoare se poate ar ata c a orice distribut ie cu
suport compact este derivata de un anumit ordin a unei funct ii continue.
^In cele ce urmeaz a, vom determina structura local a a unei distribut ii arbitrare
u2D0(
).
Teorema 3.9.2. Dac au2D0(
)  siKeste un compact din
, atunci exist a un
num ar pozitiv m0=m0(u;K) si o funct ie f2L2(K)astfel ^ nc^ at
(u;') =Z
f(x)@nm 0'(x)
@m0x1@m0x2:::@m0xndx; ('2DK(
));
ceea ce este echivalent cu
ujK= (1)nm 0)Df;  = (m0;m0;:::;m 0):
3.10 Distribut ii temperate  si transformata lor Fourier
Am ar atat c a spat iul Deste dens ^ n spat iul Sal funct iilor care descresc rapid  si
cont inut ^ n el cu inject ie continu a. Atunci avem S0D0. Astfel am pus ^ n evident  a
prinS0o nou a clas a de distribut ii (pe Rn). Aceste distribut ii le vom numi distribut ii
temperate. Dup a cum se vede ele se prelungesc continuu de la DlaS. Ca  si ^ n
cazul distribut iilor cu suport compact, prelungirea lui ulaSo vom nota tot cu u.
CumSeste dens ^ nE si cont inut ^ n el cu inject ie continu a, observ am c a distribut iile
cu suport compact sunt temperate: E0S0. Alte clase remarcabile de distribut ii
temperate sunt furnizate de funct iile din spat iile Lebesgue Lp(Rn) (1p1 ).
^Intr-adev ar, observ^ and c a SLp0(Rn) (1p01 ), dac af2Lp(Rn), atunci,
not^ and cup0conjugatul lui p si aplic^ and inegalitatea lui H older
Z
f(x)'(x)dxZ
jf(x)jpdx1=pZ
j'(x)jp0dx1=p0
;
obt inem c a
'!Z
f(x)'(x)dx
32

dene ste o funct ional a liniar a ufpeS. Dac a'j!0 ^ nS, cu trecerea dominat a la
limit a sub semnul integral, rezult a c a ( uf;'j)!0, de unde uf2S0. Ca  si ^ n cazul
m asurilor se obt ine c a f!ufeste o aplicat ie liniar a injectiv a a lui Lp(Rn) ^ nS0,
deci pentru 1p1 putem scrie
Lp(Rn)S0:
Aceste clase sunt cuprinse ^ n clasa funct iilor lent cresc atoare, care la r^ andul ei este
cont inut a ^ n clasa m asurilor boreliene (regulate pe Rn) lent cresc atoare. Denim
aceasta doar pentru m asurile pozitive. O m asur a borelian a, 0 peRnse nume ste
lent cresc atoare, dac a exist a k>0, astfel ca
Z
Rn(1 +jxj2)kd(x)<1:
O astfel de m asur a dene ste o distribut ie temperat a uprin:
(u;') =Z
'(x)d(x);('2S):
33