Specializarea Matematic a – Informatic a Aplicat a [603648]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
Facultatea de S tiint e
Specializarea Matematic a – Informatic a Aplicat a
LUCRARE DE DIZERTAT IE
Student: [anonimizat]
2019

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
Facultatea de S tiint e
Specializarea Matematic a – Informatic a Aplicat a
MODELE ECONOMETRICE.
APLICAT II
Coordonator  stiint ic:
Prof. univ. dr. Ana Maria Acu
Student: [anonimizat]
2019
2

Cuprins
Introducere 4
1 Introducere ^ n econometrie 6
1.1 Denit iile econometriei  si geneza acesteia . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Contradict iile cu care se confrunt a
econometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Econometria  si  stiint ele economice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Modelarea econometric a 10
2.1 Construct ia modelelor econometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Variabilele  si relat iile dintre variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Liniarizarea modelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Principalele tipuri de modele econometrice utilizate ^ n economie 14
3.1 Modele unifactoriale  si modele multifactoriale . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Modele liniare  si modele neliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Modele part iale  si modele globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Modele statice  si modele dinamice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Modele cu o singur a ecuat ie  si modele cu ecuat ii multiple . . . . . . . 21
3.6 Modele euristice sau rat ionale  si modele
decizionale sau operat ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Modelul unifactorial 23
4.1 Denirea modelului unifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Identicarea modelului unifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Estimarea parametrilor unui model
econometric unifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Vericarea modelului econometric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.1 Vericarea ipotezelor pe care se fundamenteaz a
estimarea parametrilor unui model econometric . . . . . . . . 28
4.4.2 Vericarea semnicat iei estimatorilor parametrilor
modelului econometric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.3 Vericarea similitudinii modelului econometric . . . . . . . . . 29
4.5 Utilizarea modelului econometric unifactorial . . . . . . . . . . . . . . 29
3

5 Modelul multifactorial 30
5.1 Denirea modelului multifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Identicarea modelului multifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Estimarea parametrilor modelului
multifactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Vericarea semnicat iei modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Modalit at i de includere a variabilelor calitative ^ n modelul econo-
metric 35
6.1 Cazul 1: Variabil a endogen a binar a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Cazul 2: Variabil a exogen a binar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Cazul 3: Variabil a exogen a calitativ a
nealternativ a (polihotomic a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Bibliograe 40
4

Introducere
5

Capitolul 1
Introducere ^ n econometrie
Not iunile prezentate ^ n acest capitol au fost alese din [1].
1.1 Denit iile econometriei  si geneza acesteia
Dezvoltarea rapid a a econometriei a generat formularea mai multor denit ii cu
privire la domeniul acestei discipline economice. Exist a mai multe categorii de
denit ii:
a) denit ia istoric a;
b) denit ia restrictiv a;
c) denit ia extins a;
a)Denit ia istoric a a econometriei a fost formulat a de R. Frisch ^ n primul
num ar al revistei "Econometrica", ^ n ianuarie 1933: "experient a a ar atat c a ecare
din urm atoarele puncte de vedere, al statisticii, al teoriei economice  si al matema-
ticii, este o condit ie necesar a , dar nu  si sucient a, pentru o ^ nt elegere efectiv a a
realit at ilor cantitative din economia modern a; unicarea lor este aceea care asigur a
ecient a. Econometria este tocmai aceast a unicare ".
Conform acestei denit ii, sust in atorii ei consider a c a prin econometrie se ^ nt elege
studierea fenomenelor economice pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor
matematice.
b)Denit ia restrictiv a propus a de "Cowles Commission for Research in Eco-
nomy" (Chicago, 1940-1950), consider a c a nu exist a econometrie dac a investigarea
fenomenelor economice nu se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stocastice).
Sust in atorii acestei denit ii sunt L.R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier. Ei in-
clud ^ n domeniul econometriei doar cercet arile economice care utilizeaz a metodele
induct iei statistice – testarea estimat iei, vericarea ipotezelor statistice – la veri-
carea relat iilor cantitative formulate "^ n" teoria economic a cu privire la fenomenele
sau procesele economice cercetate.
6

c)Denit ia extins a a econometriei, promovat a de economi stii din t  arile anglo-
saxone, t ine seama de puternica dezvoltare, ap arut a dup a 1950, a metodelor cer-
cet arii operat ionale: teoria optimului, teoria stocurilor, teoria gafelor, teoria decizi-
ilor, teoria jocurilor, etc.
Prin domeniul econometric, ^ n sensul larg al termenului, se ^ nt elege econometria,
denit ^ n mod strict, adic a, incluz^ and domeniile ment ionate atunci c^ and ea este
^ nt eleas a ^ n mod restrictiv, la care ad aug am metodele cercet arii operat ionale.
Studierea econometriei  si aplicarea metodelor econometrice presupune:
a) cuno stint e importante de economie politic a;
b) cuno stint e de matematic a, cel put in matematica din liceu;
c) not iuni de statistic a;
d) cuno stint e de logic a  si metodologie  stiint ic a.
Cei care au inventat denumirea de "econometrie" au avut ^ n vedere dezvoltarea
cercet arilor economice ^ n leg atur a cu statistica  si matematica. Ei au fost ^ n acela si
timp  si ^ ntemeietorii Societ at ii Econometrice (Econometric Society).
^Intemeietorii acestei societ at i sunt mari personalit at i  stiint ice. Ragnar Frisch,
laureat al premiului Nobel pentru economie. ^In 1928, Frisch, "^ n acea vreme profesor
de economie la v^ arsta de 34 ani la Universitatea din Oslo, l-a ^ nt^ alnit pe Charles
F. Roos, un t^ an ar membru al facult at ii de matematic a a Universit at ii Princeton, pe
atunci secretar al sect iei K (economie, sociologie  si statistic a) a Societ at ii Americane
pentru Prop a  sirea  stiint elor. Roos  si Frisch se hot aresc s a ^ ntreprind a act iunea.
Prima mi scare a fost s a cear a ajutorul lui Irving Fisher  si, ^ n aprilie 1928, cei trei
b arbat i se ^ nt^ alnesc la New Haven, ^ n casa acestuia. Fisher nu a fost prea optimist,
dar a promis s a coopereze dac a Roos  si Frisch vor g asi 100 de persoane ^ n lume care
s a se arate interesate s a se asocieze la o astfel de societate. Ei au ^ ntocmit o list a,
dar nu au putut ^ n sira mai mult de 80 de nume. Totu si s-au hot ar^ at s a continue
act iunea, primul pas nd intrarea ^ n corespondent  a cu cei 80. Scrisorile s-au bucurat
de o primire favorabil a  si au rezultat ^ nc a alte aproximativ 80 de propuneri de nume
noi". S i astfel, la 29 decembrie 1930, la Cleveland, a fost ^ ntemeiat a Socitatea
Econometric a (Econometric Society.
Cre^ andu-se societatea, s-a creat  si termenul; not iunea s-a cristalizat abia mai
t^ arziu, pe baza experient ei mai vechi  si pe temeiul noilor cercet ari organizate.
1.2 Contradict iile cu care se confrunt a
econometria
Deoarece nici una dintre metodele cantitative nu descrie ^ n totalitate realitatea s-au
generat trei contradict ii importante:
7

1.Contradict ia dintre structural  si fenomenologic
Nu totdeauna m asur atorile (observat iile cantitative, statistice) se refer a la
structura real a pe care este construit un obiect economic. Datele, oric^ at de
exacte  si corecte ar  observat iile noastre, pot re
ecta aspecte de suprafat  a
at^ at de dep artate de esent a fenomenului cercetat, ^ nc^ at leg atura care o stabi-
lim ^ ntre ele s a nu aib a nimic comun cu leg atura structural a care st a la origine
lor.
2.Contradict ia dintre cauzal  si stochastic
Trebuie s a admitem, ^ n multe cazuri, ipoteze probabilistice asupra leg aturii
dintre variabilele observate pentru simplu motiv c a suntem ignorat i ^ n privint a
relat iilor cauzale "complete". De fapt, aceast a ignorant  a d a viat  a econome-
triei. Dac a am cuno ste leg aturile structurale c autate, am deslu si sistemul
relat iilor cauzale care act ioneaz a ^ n ele.
3.Contribut ia dintre rat ional  si empiric
Modelele noastre vin adesea ^ n contradict ie cu rezultatele cercet arii empirice.
La prima vedere s-ar p area c a trebuie s a ced am rezultatelor empirice. Cu-
nosc^ and ^ ns a deform arile la care sunt susceptibile, va  limpede c a nu putem
 si nu avem voie s a renunt  am ^ n orice ^ mprejurare la deduct iile strict teoretice.
Contradict iile enunt ate nu pot  rezolvate de o singur a metod a cantitativ a,  si, astfel,
econometria nu poate  admis a ca unic principiu de solut ie.
1.3 Econometria  si  stiint ele economice
Aparit ia rapid a armare a econometriei trebuie ^ nt eleas a  si explicat a prin prisma
raportului dialectic dintre teorie  si practic a, a conexiunii inverse pozitive care se
manifest a ^ ntre elementele acestui raport.
Necesitatea elebor arii unor instrumente de investigare  si de sprire a ecient ei
modelelor de organizare, dirijare  si conducere a economiei, pe de o parte,  si succesele
metodelor statistico-matematice ^ n alte domenii ale  stint ei, pe de alt a parte, au
determinat adoptarea de c atre  stiint ele economice a acestor metode. Econometria
s-a format  si de dezvolt a prin integrarea dintre teoria economic a, matematic a  si
statistic a.
^In cadrul acestei triade, teorie economic a – matematic a – statistic a, locul central
^ l ocup a teoria economic a. Fenomenele economice cont in aspecte care nu pot
reprezentate prin cantitate.
Econometria la r^ andul ei, contribuie la obt inerea variabilelor endogene ^ n diverse
alternative de act ionare a p^ arghiilor economice. Previziunii economice i se ofer a o
perspectiv a ^ n leg atur a cu ceea ce s-ar putea ^ nt^ ampla ^ n viitor, e  si ^ n linii mari,
^ n raport cu diferitele variante ale politicii economice care s-ar putea aplica.
Domeniul cooper arii economice internat ionale, ca, de altfel,  si cel privind comert ul
interior, domeniu ^ n care previziunile sunt greu de realizat, altfel dec^ at cu ajutorul
8

metodelor statistice, reprezint a sectoare ale aconomiei ce pot benecia de rezultatele
econometriei ^ n ceea ce prive ste planicarea  si ecientizarea economiilor desf a surate.
Este necesar s a subliniem frecvent a tot mai mare a aplic arii metodelor econometrice
^ n lucr ari din domeniul biologiei, medicinei, demograei  si, ^ n special, ^ n domeniul
marketingului sau managementului.
^In concluzie se poate ret ine ideea c a metoda econometriei este metoda model arii
sau metoda modelelor.
9

Capitolul 2
Modelarea econometric a
Not iunile  si rezultatele prezentate ^ n acest capitol au fost alese din [1].
2.1 Construct ia modelelor econometrice
Lucr arile de la sf^ ar situl anilor '40 ale laureat ilor Nobel, J. Tinbergen  si L. Klein, au
determinat ca modelarea economic a s a dob^ andeasc a un loc important, realiz^ andu-se
lucr ari de analiz a  si peviziune deosebit de complexe. Construct ia modelelor econo-
metrice ^ ncepe prin construirea unor b anci de date folosind seriile statistice. Al aturi
de acestea mai sunt utilizate seriile referitoare la ocuparea fort ei de munc a, cele care
corespund contabilit at ii nat ionale.
Odat a ce banca de date a fot construit a se poate ^ ncepe construirea modelului
propriu zis.
Modelarea econometric a este condit ionat a de utilizarea urm atorilor factori:
a) multiplicatorul keynesian;
b) evict iunea nanciar a;
c) evict iunea prin pret uri.
a) Atunci c^ and o component a este exogen a, cererea cre ste, determin^ and  si cre sterea
product iei, rezult a o distribuire de venituri suplimentare care determin a o nou a
cre stere, mai intens a dec^ at cea init ial a, astfel ap ar^ and not iunea de multiplicator
keynesian.
b) Efectul multiplicatorului este in
uent at cresc ator sau descresc ator de evict iunea
nanciar a. ^In cazul unei politici monetare stat ionare (oferta de bani nu variaz a), o
cre stere exogen a a cererii (o politic a bugetar a expansionist a care antreneaz a cre sterea
cheltuielilor publice) genereaz a tensiuni pe piet ele nanciare de dou a tipuri:
1) exces al cererii de credite din partea ^ ntreprinderilor ce doresc s a investeasc a
mai mult;
2) exces al emisiunii titlurilor de stat pentru nant area cheltuielilor publice f ar a
a apela la emisiunea monetar a.
10

Tensiunile de pe piat a nanciar a genereaz a^ n ambele cazuri sporirea ratei dob^ anzii
care reduce cre sterea cererii. Acest efect se nume ste evict iune nanciar a .
c)Evict iunea prin pret uri are loc atunci c^ and se^ nregistreaz a o cre stere a cererii  si
a ratei utiliz arii capacit at ii de product ie care genereaz a o cre stere a pret ului (in
at ie
prin cerere). Acest proces stimuleaz a ocuparea fort ei de munc a, fapt care se re
ect a
^ n cre steri salariale  si cu in
uent e asupra pret urilor (in
at ie prin costuri).
Odat a ce baza de date a fost constituit a se trece la elaborarea modelului. Folosind
datele cunoscute se contureaz a funct iile de regresie care cuprind variabile endogene,
exogene, de ecart(^ nt^ arziere)  si perturbatoare.
Expresia de mai jos este o ecuat ie de regresie care cont ine tipurile de variabile
precizate anterior: endogen a ( a0), exogen a ( xt), de ecart ( yt1)  si perturbatoare
(u):
yt=a0+a1
xt+a2
yt1 +


+u=
Se trece la aplicarea unor metode matematice de rezolvare a ecuat iei (metoda
celor mai mici p atrate). ^In cazul aparit iei erorilor, sunt realizate o serie de modic ari
e pentru ecuat ia de regresie, e ^ n bazele de date.
2.2 Variabilele  si relat iile dintre variabile
^Inc a din secolul al XVII-lea se pun bazele primelor metode de analiz a econome-
tric a, ele referindu-se la nant e  si comert  internat ional.
Analiza variabilelor economice presupune obt inerea de informat ii  si prelucrarea
acestora cu ajutorul indicatorilor statistici. Indicatorii pot  folositi at^ at din punct
de vedere dinamic, c^ at  si din punct de vedere al evolut iilor pentru anumite perioade
(sub forma seriilor cronologice). Informat iile obt inute prezint a variat ii ale procesului
economic.
Variabilele economice se clasic a astfel:
a)dup a natura lor:
– variabile endogene – sunt dependente  si caraterizeaz a ie sirile din cadrul
proceselor economice;
– variabile exogene – sunt independente  si se refer a la intr arile ^ n procesele
de product ie;
– variabile aleatoare – sunt de tip stocastic  si re
ect a perturbat iile din mo-
dele.
b)dup a modul de prezentare:
– variabile incerte;
– vriabile certe.
^In cadrul modelelor, pentru a putea exprima del un proces economic, variabilele
trebuie prelucrate folosind scala de m asurare sau alte procedee statistice. ^In cer-
cet arile econometrice se urm are ste determinarea variabilelor dependente ^ n raport
11

de cele independente, cea mai cunoscut a ind determinarea consumului ^ n funt ie de
venituri.
^In cadrul modelelor econometrice se ^ nt^ alnesc urm atoarele tipuri de relat ii:
1.de identitate – au rolul economic de balant  a  si contribuie la determinarea
formei reduse a modelului econometric;
2.tehnologice – se refer a la restrict iile impuse product iei ^ n raport cu intr arile
de factori;
3.institut ionale – aceste relat ii cuprind ansamblul m asurilor legislative ale eco-
nomiei nat ionale;
4.de comportament – se refer a la modicarea consumului  si investit iilor sub
impulsul viziunilor hedoniste. Prin hedonism se ^ nt elege obt inerea satisfact iei
maxime cu minim de efort.
Pentru a putea exemplica leg aturile dintre variabilele economice, economi stii au
^ ncercat s a explice intensitatea efectului modic arii unei variabile asupra celorlalte
 si s a transpun a numeric relat ia analizat a. Conexiuni de tip cauz a-efect apar pentru
prima dat a la reprezentant ii liberalismului clasic. Adam Smith arma c a proport ia
existent a pe piat  a dintr-un anumit bun  si cererea pentru bunul respectiv in
uent eaz a
pret ul acestora.
Pentru a prezenta relat ia dintre variabile voi prezenta exemplul:
Cantitatea cerut a dintr-o marf a pe piat  a este privit a ca funct ie de pret  Q=
f(p). Aceast a relat ie este numit a de simpl a cauzalitate  si se refer a la dou a variabile.
Realitatea economic a demonstreaz a c a o cantitate cerut a dintr-un anumit produs este
in
uent at a pe l^ ang a pret  de venitul disponibil (yD) si pret ul m arfurilor substituibile
(ps).
Q=f(p;ps;yD)
2.3 Liniarizarea modelelor
Nu pentru toate procesele economice funct iile ce le exprim a pot  de tip liniar.
Econometria, cu ajutorul metodelor statistice realizeaz a transformarea ecuat iilor
init iale ^ n forme liniare  si m asoar a intensitatea leg aturilor dintre variabile. Pentru
ca solut iile oferite de model s a e corecte, ecuat iile acestuia trebuie s a ^ ndeplineasc a
urm atoarele condit ii:
a) s a re
ecte procesul economic printr-o construct ie simpl a;
b) ecuat ia s a e plauzibil a din punct de vedere economic;
c) observat iile folosite s a e riguros colectate;
12

d) parametrii modelului s a poat a  extrapolat i.
Pentru corectitudinea rezultatelor, parametrii exprimat i cu ajutorul metodelor
matematice se exprim a pentru e santioane. Exprimarea parametrilor  si calitatea lor
se bazeaz a pe respectarea criteriilor:
– coecientul de determinat ie R2trebuie s a e maxim;
– abaterea dintre valorile empirice  si valorile rezultate ^ n aplicarea modelului s a
e minim a;
– estim arile s a e nedistorsionate;
– costul metodelor de estimare s a e minim.
Metoda care ^ ntrune ste aceste criterii se nume ste metoda celor mai mici p atrate .
^In cadrul modelelor, care folosesc ecuat ii de regresie cu nvariabile este mai
u sor de aplicat varianta matriceal a. Astfel, ecuat ia de regresie linear a devine una
matriceal a:
Y=BX+U
U-vectorul variabilei aleatoare;
Y-vectorul consumului;
B-matricea pret ului;
X-vectorul venitului disponibil.
13

Capitolul 3
Principalele tipuri de modele
econometrice utilizate ^ n economie
Not iunile prezentate ^ n acest capitol au fost alese din [2].
^In momentul actual, tipologia modelelor econometrice este extrem de diversi-
cat a, totu si, ^ n funct ie de anumite criterii de clasicare, ele se pot ^ ncadra ^ n c^ ateva
tipuri sau clase principale.
3.1 Modele unifactoriale  si modele multifactoriale
^Imp art irea modelelor ^ n aceste dou a clase este f acut a, a sa cum indic a  si denumi-
rea lor, ^ n funct ie de num arul variabilelor factoriale folosite ^ n vederea explic arii,
simul arii sau prognozei variabilelor dependente.
Modelul unifactorial y=f(x) +ueste folosit ^ n mod frecvent la modelarea
fenomenelor economice datorit a avantajelor pe care le prezint a: simplitate, opera-
tivitate  si cost redus pentru obt inerea lui. Utilizarea unui astfel de model se fun-
damenteaz a pe ipoteza c a ^ n r^ andul factorilor variabilei rezultative yexist a un factor
determinant x, ceilalt i factori, cu except ia acestuia, e au o in
uent  a ^ nt^ ampl atoare,
ace stia ind specicat i ^ n model prin intermediul variat iei reziduale u, e au fost
invariabili ^ n perioada analizat a  si, ca atare, nu are sens specicarea lor ^ n model.
Dac a ipoteza de mai sus nu poate  acceptat a, caz frecvent^ n domeniul economic,
se construie ste un model multifactorial de formay=f(x1;x2;;xn) +u;j=1;n,
unde k = num arul variabilelor factoriale.
Modelul multifactorial , elimin^ and decient a modelului unifactorial, trans-
form a ^ ns a avantajele acestuia ^ n dezavantaje. Din acest motiv, se recomand a ca,
^ n practic a, s a nu se foloseasc a un model cu mai mult de trei sau patru variabile
factoriale.
Toate modelele econometrice folosite p^ an a ^ n prezent pot  ^ ncadrate ^ ntr-una
dintre aceste clase. Din categoria modelelor unifactoriale ment ionez:
1. Legea cererii: C = f(p) + u, unde C = volumul cererii unui produs, iar p =
pret ul unitar al produsului;
14

2. Legea ofertei: O = f(p) + u, unde O = volumul ofertei;
3. Modelul consumului: Ci= f(V) + u, unde Ci= consumul unui produs i, iar
V = venitul unei familii;
4. Modelul cheltuielilor de product ie (Ch) ^ n funct ie de volumul product iei(Q):
Ch=f(Q) +u;
5. Modelul legii impozitului (I) pe venit (V): I=f(V) +u, variabila aleatoare
usemnic^ and abaterea de la dependent a funct ional a a impozitului pe venitul
salariat ilor, ca urmare a unor m asuri de politic a social a.
Structural, modelele multifactoriale sunt de o mare diversitate. Ca regul a gene-
ral a, ele se construiesc prin dezvoltarea modelului unifactorial al variabilei explicate
y. Pe l^ ang a variabila factorial a init ial a x1, se introduc e alte variabile exogene
x2;x3;:::;x k, e valori decalate ale acestora xt;xt1;:::;x th.
3.2 Modele liniare  si modele neliniare
Clasa acestor modele este denit a de forma leg aturii dintre variabila rezultativ a  si
variabilele factoriale. Sub form a general a, un model liniar multifactorial se prezint a
astfel:y=b0+b1x1+b2x2+:::+u. Modelele neliniare se identic a cu ajutorul
funct iilor neliniare, cum ar : funct ia exponent ial a, hiperbol a, funct ia logistic a,
parabol a etc.
Deoarece cele dou a grupe de modele posed a particularit at i specice, ne vom
referi la c^ ateva dintre ele, pornind de la un caz concret, care, de altfel, a  si generat
relevarea acestora.
Astfel, analiza leg aturii dintre consumul unui anumit produs  si venitul unei fa-
milii se poate face cu ajutorul unor modele de forma:
(3.1) C=a+bV+umodel liniar
(3.2) C=aVbumodel neliniar
Acest model poate  transformat prin logaritmare ^ ntr-un model liniar, ^ ntre
logaritmii celor dou a variabile exist^ and relat ia:
(3.3) log C= loga+blogV+ logu
unde:
C = cheltuielile medii de consum pe o familie;
V = venitul mediu pe o familie.
S-a constatat ^ ns a c a modelul liniar (3.1) prezint a c^ ateva neajunsuri. Primul
se refer a la faptul c a anumite elemente de consum nu se modic a ^ n mod liniar cu
evolut ia veniturilor familiei – unele prezint a un anumit nivel de saturat ie, produ-
sele alimentare, ^ n special, iar altele au o existent  a pasager a. Al doilea neajuns ^ l
15

constituie coecientul de elasticitate, care este variabil  si diferit de coecientul de
regresie.
Se  stie c a, ^ n cazul unui model liniar, coecientul de regresie este reprezentat
de parametrii variabilelor factoriale. Semnul coecientului indic a sensul leg aturii:
b >0!leg atur a direct a, b <0!leg atur a invers a, iar m arimea lui este m asura
variat iei lui yla o modicare cu o unitate a variabilei factoriale. Coecientul de
elasticitate se dene ste astfel:
(3.4) ce=dC
C:dV
V= 1a
a+bV
Acesta difer a  si el ^ n raport cu parametrul b. Pentru un nivel al lui "C" dat, ce
depinde de m arimea venitului. Dac a a>0  sib>0 atuncice<1.
Deoarece, ^ n practic a, era de dorit s a se dispun a de o elasticitate constant a a
consumului sau a cererii ^ n raport cu venitul familiei sau cu pret ul produsului, s-a
recurs la modelul (3.2).
^In acest caz, cei doi coecient i sunt egali b=ce si constant i pentru un anu-
mit element de consum, semnul  si m arimea lor oferind informat ii necesare analizei
economice a raportului cerere-ofert a ^ n sensul urm ator:
1. Dac ab<0, cererea sau consumul produsului respectiv tinde s a dispar a de pe
piat  a sau din consumul populat iei;
2. Dac a 0< b < 1, cererea sau consumul produsului tinde spre un anumit prag
de saturat ie;
3. Dac ab>1, cererea sau consumul produsului nu sunt satisf acute sau nu admit
un nivel de saturat ie.
3.3 Modele part iale  si modele globale
Aceste modele rezult a ^ n urma clasic arii modelelor econometrice ^ n raport cu
sfera lor de cuprindere. Includerea unui anumit model ^ n clasa modelelor part iale
sau globale este relativ a. Un exemplu ^ n acest sens poate  considerat urm atorul:
Exemplul 3.3.1. Modelarea consumului populat iei
Modelul consumului alimentar al populat iei este un model part ial ^ n raport cu modelul
global al consumului total al populat iei – acesta rezult^ and din agregarea consumuri-
lor: alimentar, nealimentar  si de servicii. ^In acela si timp, consumul alimentar al
populat iei apare ca un model global ^ n raport cu modelele part iale ale consumului pe
grupe omogene de consumatori etc.
Cu alte cuvinte orice descriere econometric a trebuie s a se fundamenteze pe o
concept ie economic a, explicit a sau implicit a, a fenomenului studiat. Un model eco-
nometric care nu respect a aceast a condit ie reprezint a o simpl a speculat ie matema-
tic a, f ar a valoare teoretic a sau practic a pentru  stiint a economic a.
16

Clasicarea modelelor econometrice ^ n cele dou a tipuri permite ^ ns a discut ia
problemei privind agregarea modelelor part iale sau, invers, despre semnicat ia mo-
delului global ^ n raport cu modelele part iale.
Aceast a problem a va  abordat a ^ n mod concret, ^ n cazul model arii consumului
populat iei, deoarece se vor putea formula observat ii pertinente, care r am^ an valabile
pentru orice alt a situat ie.
Fie modelul:
(3.5) yit=ai+bixit+uit(i=1;m; t =1;n)
unde:
y= consumul;
x= venitul grupei i^ n anult.
Acest model reprezint a modelul part ial al grupei omogene ide consumatori, ^ ntr-
o perioad a de nani.^Insum^ and cele imodele part iale (3.5) se obt ine modelul agregat
al acestora:
(3.6)X
iyit=X
iai+X
ibixit+X
iuit
Dac a se introduc notat iile:
X
iyit=Yt= consumul total al populat iei ^ n momentul t;
X
ixit=Xt= veniturile populat iei ^ n momentul t;
X
iai=a
X
iuit=ut:
Modelul agregat devine:
(3.7) Yt=a+X
ibixit+ut
Modelul global al consumului populat iei, construit ^ n aceea si perioad a de timp t, ^ n
funct ie de veniturile populat iei este de forma:
(3.8) Yt=a+bXt+ut
Dac a termenul X
ibixit
din relat ia (3.7) se ^ nmult e ste cuP
ixitP
ixit;
17

modelul agregat devine:
(3.9) Yt=a+P
ibixitP
ixit
X
ixit+ut=a+P
ibixitP
ixit
Xt+ut
Compar^ and modelul agregat (3.9), rezultat prin ^ nsumarea modelelor pat iale, cu
modelul global (3.8) se deduce c a:
(3.10) b=P
ibixitP
ixit
adic a parametrul bdin modelul global (coecientul de regresie al consumului
total ^ n raport cu veniturile populat iei) rezult a ca o medie aritmetic a a coecient ilor
part iali de regresie, ponderat i cu veniturile consumatorilor din grupa i,xit.
O alt a relat ie ce se poate deduce ^ ntre coecientul global al regresiei, b,  si cei
part iali,bi, se refer a la estimatorul acestuia, ^b.
Din modelul (3.8), prin aplicarea metodei celor mai mici p atrate, estimatorul lui
beste egal cu:
(3.11) ^b=P
t(YtY)(XtX)P
t(XtX)2
unde:
Y=1
n
X
tYtnivel mediu anual al consumului populat iei ^ n perioada t=1;n;
X=1
n
X
tXtnivel mediu anual al venitului populat iei :
Se calculeaz a media lui Ype baza modelului (3.7), se ^ nsumeaz a dup a t si se
^ mparte la n:
(3.12) Y=a+X
ibi
1
nnX
t=1xit!
=a+X
ibixi
unde:
xi=1
nnX
t=1xitreprezint a media veniturilor grupei ide consumatori ^ n perioada t:
Sc az^ and din modelul (3.7) modelul (3.12) se obt ine relat ia:
YtY=X
ibixitX
ibixi=X
ibi(xitxi)
care se introduce ^ n relat ia (3.11), obt in^ andu-se urm atoarea relat ie a coecientului
global de regresie:
(3.13) ^b=P
ibi[P
t(xitxi)(XtX)]P
t(XtX)2
18

Termenul
^qi=P
t(xitxi)(XtX)P
t(XtX)2
nu reprezint a altceva dec^ at estimatorul coecientului de regresie a veniturilor con-
sumatorilor din grupa i^ n funct ie de veniturile populat iei, estimat pe baza funct iei
de regresie:
xit= ^pi+ ^qiXt
S tiind c aX
ixit=Xt;
rezult a c a: X
i^pi= 0  siX
i^qi= 1:
Revenind la relat ia 3.13 se deduce c a :
(3.14) ^b=X
ibi
^qi
adic a coecientul global de regresie este egal cu suma produselor dintre coecient ii
part iali de regresie ai consumului ^ n funct ie de venit, pe grupe omogene de consuma-
tori  si coecient ii de regresie ai acestor venituri ^ n funct ie de veniturile populat iei.
Rezultatele obt inute mai sus se pot generaliza u sor, ele r am^ an^ and valabile ^ n
orice situat ie ^ n care se discut a raportul dintre un model part ial  si modelul global
al unei variabile rezultative y^ n funct ie de una sau mai multe variabile factoriale x,
^ ntre care exist a o relat ie de dependent  a liniar a. ^In cazul dependent elor neliniare,
dup a liniarizarea acestora, formulele de mai sus vor c ap ata particularit at i specice.
^In nal, discut ia raportului modele part iale-modele globale permite formularea
urm atoarelor concluzii:
1. Agregarea modelelor part iale nu conduce la obt inerea modelului global al va-
riabilei respective;
2. Modelul global rezult a ca o medie a modelelor part iale;
3.^In plan transversal, respectiv ^ n prol teritorial, de exemplu, sau ca explicat ie
istoric a a dependent ei dintre dou a sau mai multe fenomene economice, mo-
delul global se poate estima pe baza modelelor part iale, dac a se accept a ca
semnicativ a valoarea coecientului global de regresie;
4.^In scopuri de prognoz a, modelul global nu conduce la rezultate semnicative
dec^ at dac a coecientul global de regresie r am^ ane stabil.
Din relat ia 3.14 se deduce c a aceast a condit ie se realizeaz a ^ n urm atoarele situat ii:
a)bi=b(8)i=1;mcoecient ii part iali de regresie sunt constant i  si egali
cu coecientul global de regeresie;
b) ^qi= constant^ n orizontul de prognoz a, ceea ce presupune o cre stere proport ional a
^ ntre nivelul variabilei factoriale pe ansamblul unit at ilor statistice  si nivelul
acestei variabile, centralizate pe grupele colectivit at ii.
19

3.4 Modele statice  si modele dinamice
Un model econometric static este acela ^ n care dependent a variabilelor endo-
geneyfat  a de valorile variabilelor exogene xjse realizeaz a ^ n aceea si perioad a de
timp:
(3.15) y=f(x1t;:::;x jt;:::;x kt) +ut;t=1;n;j =1;k
Spre deosebire de acestea, modelele econometrice dinamice se denesc prin
urm atoarele tipuri:
a) Introducerea^ n pachetul de variabile explicative xj,^ n mod explicit, a variabilei
timp:
(3.16) yt=f(x1t;x2t;t) +ut
Un astfel de model se justic a atunci c^ and:
– printre factorii important i de in
uent  a ai variabilei yse a
 a  si factori de na-
tur a calitativ a, a c aror in
uent  a nu poate  re
ectat a de modelul econometric
datorit a lipsei unei m asuri statice adecvate, de exemplu, in
uent a preferint elor
sau gusturilor populat iei asupra consumului sau in
uent a progresului tehnic
^ n funct iile de product ie;
– poate  acceptat a ipoteza unui efect inert ial ^ n evolut ia fenomenului y, ipo-
tez a care, ^ n domeniul fenomenelor economice, poate  acceptat a datorit a
masei sociale care le genereaz a  si de care beneciaz a.
b) Modele autoregresive – c^ and ^ n pachetul de variabile explicative xjse introduce
 si variabila explicat a y, dar cu valori decalate: yt1;yt2;:::;y tk, reprezent^ and
un model autoregresiv de ordinul k:
(3.17) yt=f(xt;ytk) +ut
c) Model cu decalaj ^ n care variabila factorial a x^  si exercit a in
uent a asupra
variat iei variabilei ype mai multe perioade de timp:
(3.18) y=f(xt;:::;x t1;:::;x tk) +ut;t=1;n; j =1;k;k<t
unde:
k= lungimea perioadei de decalaj.
Exemple:
(3.19) Kt=f(It;:::;I t1;:::;I tk) +ut
unde:
Kt= fondurile xe puse ^ n funct iune ^ n perioada t;
It= investit iile efectuate ^ n perioada tk;:::;t .
(3.20) Qt=f(It;:::;I t1;:::;I tk) +ut
unde:
Qt= product ia medie la ha;
It= cantitatea de ^ ngr a s aminte la ha.
20

Aceste tipuri de modele ( a+b+c) se utilizeaz a, ^ n special, la prognoza feno-
menelor economice. Dac a primele modele tipul ( a+b) nu ridic a dicult at i privind
identicarea, estimarea  si vericarea acestora, ele ind de genul modelelor econome-
trice multifactoriale, modelele dinamice cu decalaj prezint a c^ ateva dicult at i.
Prima se refer a la m arimea decalajului k- cu c^ at acesta este mai mare, cu at^ at
se pierd mai multe valori ale variabilelor, neajuns ce impune construirea unei serii
lungi de date a fenomenelor analizate, pe c^ and ^ n economie se lucreaz a, de obicei,
cu e santioane de volum mic.
A doua dicultate o reprezint a existent a fenomenului de multicolinearitate ^ ntre
valorile decalate ale variabilei exogene – cov(xt;xtk)6= 0;(8)t=1;n;k < t –
multicolinearitate care conduce la obt inerea de estimatori nesemnicativi:bj
sbj<2:
3.5 Modele cu o singur a ecuat ie  si modele cu ecuat ii
multiple
Al aturi de aceste tipuri de modele econometrice se mai pot construi  si modele cu
o singur a ecuat ie  si modele cu ecuat ii multiple.
Din categoria modelelor cu singur a ecuat ie fac parte toate modelele prezen-
tate mai sus.
Modelele econometrice cu ecuat ii multiple sunt formate dintr-un sistem de
ecuat ii. Acestea se pot prezenta sub dou a forme: sub form a structural a  sisub
form a redus a saucanonic a .
Un model econometric sub form a structural a reprezint a transpunerea formal a
– printr-un sistem de ecuat ii – a procesului economic. Forma general a a acestui
model este urm atoarea:
(3.21)Y1+b12Y2+


+b1nYn+c11X1+c12X2+


+c1mXm=U1
b21Y1+Y2+


+b2nYn+c21X1+c22X2+


+c2mXm=U2























































bn1Y1+bn2Y2+


+Yn+cn1X1+cn2X2+


+cnmXm=Un
unde:
Yi(i= 1;:::;n ) – variabile explicate sau endogene;
Xj(j= 1;:::;m ) – variabile explicative sau exogene.
Rezolvarea unui model econometric presupune estimarea parametrilor bij sicij
cu ajutorul unei anumite metode stochastice de estimare a acestora.
Dintre metodele folosite la estimarea parametrilor unui model econometric, ment ion am:
1. Metoda celor mai mici p atrate ^ ntr-o singur a treapt a (M. Wald);
2. Metoda celor mai mici p atrate ^ n dou a trepte (H. Theil);
3. Metoda celor mai mici p atrate ^ n trei trepte (A. Zellner);
4. Metoda verosimilit at ii maxime cu informat ie limitat a (Anderson Rubin).
21

Deoarece aplicarea unei metode de estimare a parametrilor unui model sub form a
structural a conduce la obt inerea de estimat ii deplasate ale parametrilor bij sicij,
modelul econometric sub aceast a form a trebuie transformat sub form a redus a sau
canonic a.
Un model econometric este sub form a redus a sau canonic a dac a ecare variabil a
endogen a este exprimat a numai ^ n funct ie de variabilele exogene.
3.6 Modele euristice sau rat ionale  si modele
decizionale sau operat ionale
Tipologia modelelor econometrice este foarte vast a, totu si acestea pot  ^ mp art ite
^ n dou a mari grupe: modele euristice saurat ionale  simodele decizionale sau
operat ionale .
Modelele euristice saurat ionale sunt folosite ^ n special de teoria econo-
mic a pentru a explica pe o cale mai simpl a un sistem complex de dependent e  si
interdependent e ce se manifest a ^ n domeniul economic. Modelul teoretic reprezint a
de fapt o form a simplicat a a modelului real, deoarece ^ n cadrul acestuia nu pot
inclu si tot i factorii.
Modelele decizionale sauoperat ionale se utilizeaz a ^ n special ^ n practica
economic a, ele ind folosite la fundamentarea unor decizii de politic a economic a
(simulare)  si la prognoza fenomenelor economice.
Evident c a diferent a dintre aceste dou a modele nu este absolut a, adic a un model
rat ional sau teoretic poate  utilizat ca un model operat ional dac a pot  acceptate
anumite ipoteze.
22

Capitolul 4
Modelul unifactorial
Not iunile prezentate ^ n acest capitol au fost alese din [2].
4.1 Denirea modelului unifactorial
Specicarea unui model econometric se face pe baza teoriei economice a fenome-
nului observat  si const a ^ n precizarea variabilei endogene  si a variabilei exogene.
Un model unifactorial se prezint a astfel:
(4.1) y=f(x) +u
unde:
y= (y1;y2;:::;y n) – variabila endogen a sau rezultativ a;
x= (x1;x2;:::;x n) – variabila exogen a sau factorial a (cauzal a);
u= (u1;u2;:::;u n) – variabila rezidual a sau aleatoare (eroare).
Relat ia (4.1) reprezint a o ipotez a construit a pe baza teoriei economice  si presu-
pune c a fenomenul economic yeste rezultatul act iunii unui complex de factori: feno-
menul economic xeste factorul principal, esent ial, ce determin a fenomenul y, restul
factorilor ind considerat i neesent iali, cu act iune ^ nt^ ampl atoare, ei ind specicat i
^ n modelul econometric cu ajutorul variabilei aleatoare u. Ca orice ipotez a teoretic a,
ea poate  adev arat a sau fals a – xeste sau nu este factorul hot ar^ ator al fenome-
nuluiy- iar validarea sau invalidarea unei astfel de ipoteze se face ^ n urma unui
"experiment" statistic.
Teoria economic a a folosit  si folose ste ^ n numeroase cazuri modelul unifactorial
pentru a fundamenta  si descrie mecanismul de formare  si de manifestare a legilor
economice. ^In acest sens, pot  ment ionate:
1. Legea cererii C=f(P) +u;f0(P)<0!cererea (C) unui anumit produs
cre ste sau se reduce, dac a pret ul (P) acestuia se mic soreaz a sau se m are ste;
2. Legea ofertei O=g(P) +u;g0(P)>0!oferta (O) unui produs cre ste sau se
diminueaz a, dac a pret ul (P) acestuia se m are ste sau scade;
23

3. Funct ia de product ie a cheltuielilor totale ale unei rme: Ch=f(Q) +
u;f0(Q)>0!cheltuielile de product ie cresc sau scad, dac a volumul product iei
cre ste sau scade (^ n situat ia ^ n care productivitatea r am^ ane constant a);
4. Legile consumului – formulate de Engel  si descrise de funct iile lui Tornqvist
– consider a venitul (V) consumatorului ca principal factor al consumului (C)
unui produs sau grupe de produse C=f(V) +u;f0(V)>0.
De asemenea, foarte multe analize economice utilizeaz a modelul unifactorial pen-
tru a explica  si prospecta dependent a dintre dou a fenomene, cum ar :
– corelat ia dintre cre sterea pret urilor  si cre sterea salariilor;
– corelat ia dintre cre sterea pret urilor  si rata  somajului – curba lui Philips;
– corelat ia dintre cre sterea salariilor  si productivitatea muncii etc.
4.2 Identicarea modelului unifactorial
Identicarea modelului const a ^ n alegerea unei funct ii (sau a unui grup de funct ii)
matematice, cu ajutorul c areia se urm are ste s a se descrie (s a se aproximeze) valorile
variabilei endogene ynumai ^ n funct ie de variat ia variabilei exogene x. Funct iile
matematice care se pot utiliza ^ n acest sens – funct ii liniare sau neliniare – sunt nu-
meroase  si de forme diverse, printre acestea gur^ and  si cele prezentate ^ n continuare.
24

25

Alegerea unei anumite funct ii matematice ca funct ie de regresie a unui model
econometric ( Y=f(x)) se face pe baza valorilor reale sau empirice ale celor dou a
fenomene economice, sistematizate, e ^ n serii spat iale ( yi;xi);i=1;n,n= num arul
unit at ilor statistice omogene la care s-au ^ nregistrat, ^ ntr-o anumit a perioad a de
timp, valorile celor dou a fenomene y six, e ^ n serii de timp ( yt;xt);t=1;n,n=
num arul perioadelor de timp ^ n care s-au ^ nregistrat valorile celor dou a fenomene y
 sixla aceea si unitate statistic a.
Dispun^ and de o serie statistic a privind variat ia,^ n timp sau^ n spat iu, a celor dou a
variabile economice, problema identic arii const a ^ n a alege o funct ie matematic a,
Yt=f(xt), cu ajutorul c areia, cunosc^ and valorile fenomenului economic xt, s a se
aproximeze (s a se estimeze) c^ at mai bine (cu erori c^ at mai mici) valorile empirice
ale fenomenului yy= (y1;y2;:::;y n) prin valorile teoretice.
Aceast a operat ie se poate face, ^ n general, utiliz^ and urm atoarele procedee de
lucru:
a) procedeul grac;
b) procedeul conserv arii ariilor;
c) procedeul calculelor algebrice.
a) Procedeul grac const a ^ n construirea corelogramei dintre cele dou a variabile:
b) Procedeul conserv arii ariilor continu a procedeul grac  si const a ^ n a compara
suprafat a curbei empirice Scu suprafet ele teoretice Sj, ale celorh,j=1;h, funct ii
matematice: j= 1!funct ia liniar a, j= 2!funct ia putere etc.
c) Procedeul calculelor algebrice se fundamenteaz a pe proprietU at ile pe care le
posed a funct iile matematice y=f(x):
De ret inut c a, ^ n economia real a, datele statistice relev a corelat ii diverse  si con-
tradictorii, care nu pot  descrise cu o singur a funct ie matematic a. ^In astfel de cazuri
se recomand a ca identicarea modelului econometric s a se fac a cu ajutorul mai mul-
26

tor funct ii de regresie, urm^ and ca, ^ n nal (^ n etapa de vericare a modelului), s a se
decid a asupra unei singure forme a modelului.
4.3 Estimarea parametrilor unui model
econometric unifactorial
Parametrii unui model econometric sunt reprezentat i de coecient ii funct iei de
regresie acceptat a ^ n etapa de identicare a acestuia.
Ace sti parametrii ind necunoscut i, ei vor trebui estimat i (aproximat i) pe baza
datelor experimentale sistematizate ^ n seriile statistice ale celor dou a variabile y si
x, prin valorile yt;xt;t=1;n:
Funct iile de regresie ale unui model econometric unifactorial pot  funct ii linare,
Y=a+bx, sau funct ii neliniare, ca de exemplu: funct ia putere, funct ia exponent ial a,
funct ia de gradul doi, etc.
Deoarece, ^ n numeroase cazuri, funct iile neliniare (curbilinii) pot  liniarizate,
estimarea parametrilor unui model econometric se va axa numai pe cazul modelelor
liniare. Liniarizarea unui model neliniar se poate face prin mai multe procedee,
cum ar : logaritmarea modelului econometric, schimb ari de variabil a, stabilirea
arbitrar a a valorii unor parametri, etc.
Parametrii unui model econometric pot  calculat i cu ajutorul mai multor metode
cum ar :
a) metoda punctelor empirice;
b) metoda punctelor medii;
c) metoda celor mai mici p atrate;
d) metoda celor mai mici p atrate generalizat a;
e) metoda verosimilit at ii maxime cu informat ie limitat a sau complet a.
Metodele a)  si b) se folosesc atunci c^ and nu se urm are ste o rigoare statistic a a
calculelor, datorit a simplit at ii  si rapidit at ii calculelor, sau c^ and aplicarea metodei
celor mai mici p atrate este anevoioas a, necesit^ and calcule complicate.
Metodele d)  si e) au mai mult valoare teoretic a deoarece, ^ n economie, ipotezele
pe care se fundamenteaz a pot  acceptate cu mult a ret inere, ^ n plus, calculele com-
plicate pe care le solicit a, m aresc mult costul estim arii parametrilor, f ar a a genera
o cre stere pe m asur a a preciziei estimat iilor.
Estimarea parametrilor unui model liniar unifactorial presupune:
– existent a seriei statistice a celor dou a variabile economice;
-modelul econometric liniar;
-utilizarea unei metode de estimare pentru a calcula estimatorii parametrilor mode-
lului.
4.4 Vericarea modelului econometric
^Intruc^ at modelul econometric, ^ n etapele de specicare, identicare  si estimare,
se fundamenteaz a pe acceptarea unor ipoteze de lucru, c^ at  si pe date experimentale
27

de sondaj, este necesar ca, ^ nainte de utilizarea sa ca instrument pertinent scopului
urm arit, acesta s a e vericat (testat, ltrat).
^In aceast a etap a se pune problema similitudinii dintre modelul economic real,
descris de seriile statistice ale fenomenelor analizate,  si modelul teoretic, de natur a
econometric a, construit  si rezolvat.
^In economie, spre deosebire de domeniul tehnic, de exemplu, nu putem vorbi de o
similitudine absolut a^ ntre modelul teoretic  si modelul real (cum poate s a existe^ ntre
macheta unei cl adiri  si cl adirea construit a), ci de o similitudine statistic a ^ ntre cele
dou a modele, ^ n sensul c a modelul econometric posed a  si descrie ^ n mare principalele
caracteristici ale modelului economic real.
Practic, acceptarea econometric a a modelului teoretic ca model similar, ca aproximat ie
statistic a echivalent a cu modelul real, presupune:
– Vericarea ipotezelor pe care se fundamenteaz a estimarea parametrilor unui model
econometric;
– Vericarea semnicat iei estimatorilor pararametrilor modelului econometric;
– Vericarea similitudinii modelului econometric.
4.4.1 Vericarea ipotezelor pe care se fundamenteaz a
estimarea parametrilor unui model econometric
^In general, estimatorul sau estimat ia este o aproximat ie a unei dimensiuni privind
un anumit fenomen. Aceast a dimensiune (volum, suprafat  a, valoare etc.) exact a,
stabil a  si repetabil a, adic a constant a, reprezint a parametrul (m asura) unei caracte-
ristici, al unei ^ nsu siri a unit at ilor statistice.
Statistica calculeaz a parametrii caracteristicilor unit at ilor statistice ale unei populat ii
^ n urma unei observ ari totale asupra colectivit at ii statistice. Dac a datele privind va-
lorile caracteristicilor provin dintr-o observare selectiv a (sondaj), indicatorii calculat i
din aceste date reprezint a estimat iile statistice ale parametrilor, adic a ale indicato-
rilor care s-ar  obt inut din prelucrarea datelor provenite dintr-o observare total a.
Dar statistica nu folose ste orice fel de aproximat ii, de estimai i ale parametrilor, ci
numai estimat ii de maxim a verosimilitate.
Din acest motiv, estimarea parametrilor unui model econometric se fundamen-
teaz a pe cteva ipoteze pe care trebuie s a le posede modelul econometric yt=
a+bxt+ut:
4.4.2 Vericarea semnicat iei estimatorilor parametrilor
modelului econometric
Dac a ipotezele pot  acceptate, se poate demonstra c a metoda celor mai mici
p atrate este echivalent a metoda verosimilitii maxime  si, deci, estimatorii obt inut i ^ n
acest caz sunt nedeplasat i, convergent i  si ecient i.
Vericarea semnicat iei estimatorilor const a ^ n a accepta, sau a respinge, una
din cele dou a ipoteze:
H0:a= 0
b= 0
28

H1:a6= 0
b6= 0
4.4.3 Vericarea similitudinii modelului econometric
Modelul econometric, ^ yt= ^a+^bxteste expresia formal a a modelului economic
real,yt=f(xt) +ut=a+bxt+ut, conceput pe baza teoriei economice  si rezultat
pe baza unui singur experiment, unui singur sondaj statistic.
Ca atare, ^ n aceast a etap a se urm are ste s a se verice:
1) Dac a ipoteza de pornire x= principalul factor de in
uent  a a fenomenului yeste
corect a sau nu;
2) Dac a legitatea economic a dintre cele dou a variabile este de forma y=a+bx;
3) Dac a rezultatele obt inute pot  considerate sistematice ^ n sensul c a se vor obt ine
aproape acelea si rezultate dac a se va repeta experient a cu alte sondaje, de volum  si
structur a (alte unit at i statistice) diferite sau ^ nt^ ampl atoare, adic a rezultate diferite
pentru sondaje diferite.
^In general, scopurile urm arite ^ n aceast a etap a se rezolv a cu ajutorul metodei
analizei variat iei, cunoscut a  si sub numele de metoda ANOVA.
4.5 Utilizarea modelului econometric unifactorial
^In practica economic a, un model econometric se utilizeaz a pentru explicarea variat iei
fenomenului rezultativ y^ n raport cu variat ia factorului s au x, pentru estimarea va-
lorilor probabile ale fenomenului y^ n funct ie de posibilele valori pe care economic le
poate ^ nregistra factorul x,  si, ^ n nal, prognoza fenomenului y^ n funct ie de valorile
fenomenului x, pe intervalul de prognoz a v,v= 1;2;:::;h .
Pentru a permite ca utilizatorii s a verice propriet at ile unui model econometric
obt inut, acesta trebuie prezentat cu urm atoarele informat ii:
^yt= ^a+^bxt;
s^a;s^b;s^u;R;d
Dispun^ and de aceste informat ii se poate testa:
– independent a erorilor !testul "d" – Durbin – Watson;
– semnicat ia estimatorilor !testul "t";
– similitudinea modelului !testul "F".
29

Capitolul 5
Modelul multifactorial
Not iunile prezentate ^ n acest capitol au fost alese din [2].
5.1 Denirea modelului multifactorial
Sub form a general a, un model explicativ multifactorial se dene ste prin urm atoarea
relat ie:
(5.1) y=f(xj) +u
unde:
y = variabila endogen a, dependent a sau explicat a;
xj= variabilele exogene, independente sau explicative;
j=1;k;k = num arul variabilelor exogene;
u = variabila rezidual a sau aleatoare (eroare);
f(xj) = funct ia de regresie cu ajutorul c areia vor  estimate (aproximate) valorile
variabileiy, determinate numai de in
uent a factorilor xj, considerat i esent iali, prin-
cipali, hot ar^ atori, except^ and in
uent a celorlalt i factori ai fenomenului y, care sunt
considerat i factori neesent iali, nesemnicativi de explicare a aparit iei  si a evolut iei ^ n
timp  si ^ n spat iu a fenomenului y, ace stia ind tratat i separat cu ajutorul variabilei
rezidualeu.
Modelul econometric (5.1) trebuie interpretat ca o expresie formal a a metodei
econometrice de investigare a unui obiect economic:
Realitatea ( y) = Teoria [ f(xj)]+^Int^ amplarea ( u)
Ca regul a general a  si fundamental a, specicarea unui model econometric se face
pe baza teoriei economice. Fenomenul economic yse precizeaz a pe baza concep-
telor, denit iilor  si a relat iilor cauz a-efect elaborate de c atre aceasta  si se accept a
fenomenul xjca factor esent ial, sau se respinge  si se trece ^ n categoria factorilor
^ nt^ ampl atori prin intermediul variabilei aleatoare u.
30

Dimensiunea pachetului de variabile explicative xjdepinde ^ ns a  si de banca de
date statistice a variabilelor respective, de cantitatea  si de calitatea acestora.
^In economie, modelele multifactoriale au o arie vast a de aplicare, acestea put^ and
 utilizate ^ n mai multe situat ii  si sub diverse forme, ca, de exemplu:
a) modelarea consumului
(5.2) C=f(V;P;N ) +u
unde:
C= consumul unui produs sau grupe de produse;
V= venitul pe familie;
P= pret ul produsului sau indicele pret urilor grupei de produse;
N= num arul membrilor unei familii.
b) funct ia de product ie Cobb-Douglas
(5.3) Q=f(K;L) +u
unde:
Q= volumul (valoarea product iei);
K= capitalul;
L= fort a de munc a.
c) modelarea evolut iei pret urilor
(5.4) Ip=f(Iv;Icv;Im) +u
unde:
Ip= indicele pret urilor;
Iv= indicele veniturilor (salariilor) consumatorilor;
Icv= indicele cursului valutar;
Im= indicele masei monetare.
5.2 Identicarea modelului multifactorial
Ca  si ^ n cazul modelului unifactorial, identicarea econometric a const a ^ n alegerea
unei funct ii matematice ^ n vederea descrierii leg aturii, a relat iei dintre variabila
endogen ay si factorii s ai de in
uent  a, x1;x2;:::;x j;:::;x k. Aceast a alegere se face
^ n concordant  a cu seriile statistice (serii de spat iu sau de timp ale variabilei y si ale
variabilelor xj) ale acestor variabile, preluate dintr-o baz a de date sau construite ^ n
urma unor observ ari statistice special organizate dup a cum arat a urm atorul tabel:
x1tx2t


xktyt
x11x21


xk1y1
x12x22


xk2y2
……


……
x1nx2n


xknyn
31

unde:
t=1;n, n = num arul termenilor seriilor statistice;
j=1;k, k = num arul variabilelor exogene.
Identicarea presupune ca, pe baza datelor experimentale, yt sixjt, s a se g aseasc a
o funct ie matematic a, Yt=f(xjt), cu ajutorul c areia s a se estimeze valorile variabilei
ynumai pe baza valorilor variabilelor xjt.
Spre deosebire de cazul unifactorial, unde procedeul grac sau calculele algebrice
ofereau informat ii relativ corecte pentru identicarea funct iei de regresie, ^ n cazul
modelelor multifactoriale acest lucru r am^ ane valabil doar ^ n cazul ^ n care se va lucra
cu serii bidimensionale: yt,x1t;yt,x2t;yt,xjt; … ;yt,xkt.
Un alt mod de alegere a funct iei de regresie multifactoriale const a ^ n utilizarea,
estimarea, vericarea  si compararea mai multor tipuri de funct ii de regresie  si de a
decide ^ n nal care este cel mai performant model ^ n raport cu datele experimentale.
5.3 Estimarea parametrilor modelului
multifactorial
Estimarea parametrilor modelului se face ^ n urma etapei de identicare a acestuia.
Deoarece marea majoritate a modelelor econometrice pot  liniarizate, un model
multifactorial, ^ n form a general a, se prezint a astfel:
(5.5) yt=b0x0t+b1x1t+b2x2t+:::+bjxjt+:::+bkxkt+ut
unde:
t=1;n,n= num arul termenilor seriilor statistice;
j=1;k,k= num arul variabilelor exogene, ceea ce analitic devine:
(5.6)8
>><
>>:y1=b0+b1x11+b2x12+


+bkx1k+u1
y2=b0+b1x21+b2x22+


+bkx2k+u2








































yn=b0+bnxn1+b2xn2+


+bkxnk+un
unde:
x0= (1;1;:::;1) reprezint a variabila ce se ata seaz a termenului liber, ale c arei valori
xt0sunt egale cu unitatea 8t=1;n.
Denind cu:
Y=0
BBB@y1
y2
…
yn1
CCCAvectorul coloan a al variabilei endogene ( yt); t=1;nde dimensiune
(n;1);
32

X=0
BBBB@1×11








x1k
1×21








x2k
1×31








x3k



















1xn1








xnk1
CCCCA
matricea variabilelor exogene ( xj)j=0;kde dimensiune ( n;k+ 1);
B=0
BBBBB@b0
b1
b2
…
bn1
CCCCCA
vectorul coloan a al parametrilor ( bj)j=0;kde dimensiune ( k+ 1;1);
U=0
BBBBB@u1
u2
u3
…
un1
CCCCCA
vectorul coloan a al variabilei aleatoare ( ut)t=1;nde dimensiune ( n;1).
Relat ia (5.5), sub form a matriceal a, devine:
(5.7) Y=X
B+U
Relat ia (5.7) se mai poate scrie astfel:
(5.8)0
BBB@y1
y2
…
yn1
CCCA=0
BB@1×11





x1k
1×21





x2k
















1xn1





xnk1
CCA
0
BBB@b0
b1
…
bk1
CCCA+0
BBB@u1
u2
…
un1
CCCA
Funct ia de regresie corespunz atoare modelului, scris a sub forma unei ecuat ii
matriceale, este:
(5.9) ^Y=X
^B
Reziduurile ^ ut(estimat iile variabilei aleatoare u) se denesc astfel:
(5.10) ^U=Y^Y=YX
^B
unde: ^Y= valorile estimate (ajustate) ale variabilei Y.
33

^In cazul unui model multifactorial parametrii pot  estimat i prin intermediul
mai multor metode cum ar : metoda punctelor empirice, metoda punctelor medii,
metoda celor mai mici p atrate, metoda verosimilit at ii maxime, etc
Metoda punctelor empirice  si metoda punctelor medii sunt folosite ^ n cazul mo-
delelor ^ n care aplicarea metodei celor mai mici p atrate este anevoioas a, necesit^ and
calcule complicate, de regul a pentru funct iile neliniare (funct ia logistic a).
Metoda celor mai mici p atrate este metoda cel mai des utilizat a. ^In cazul unui
model multifactorial aplicarea acesteia presupune minimizarea funct iei:
F(^B) = minnX
t=1u2
tminU0U= min(Y^Y)2= min(YX^B)2= min(YX^B)0(YX^B)
= min(Y0Y2^B0(X0Y) +^B0(X0X)^B)(5.11)
care implic a calculul derivatei funct iei ^ n raport cu estimatorul  si anularea acesteia:
(5.12)@F(^B)
@^B= 0) 2(X0Y) + 2(X0X)^B= 0
(5.13) )(X0X)^B=X0Y
^In cazul ^ n care matricea ( X0X) admite invers a, prin ^ nmult irea la st^ anga a
ecuat iei matriceale (5.13) cu ( X0X)1rezult a c a:
(5.14) ( X0X)1(X0X)^B= (X0X)1(X0Y)
Estimatorii parametrilor se calculeaz a astfel cu ajutorul relat iei:
(5.15) ^B= (X0X)1(X0Y) =0
BBB@^b1
^b2
…
^bk1
CCCA:
Estimarea parametrilor unui model econometric multifactorial liniar se poate
face  si pe baza matricei variant elor  si covariant elor  si a matricei coecient ilor de
corelat ie liniar a simpli.
5.4 Vericarea semnicat iei modelului
Vericarea semnicat iei modelului presupune: vericarea ipotezelor de aplicare a
metodei celor mai mici p atrate, vericarea semnicat iei estimatorilor, a verosimi-
lit at ii modelului  si a semnicat iei raportului de corelat ie.
^In aceast a etap a este necesar a vericarea ipotezelor de aplicare a metodei celor
mai mici p atrate, deoarece, ^ n general, estimarea parametrilor se efectueaz a ^ n urma
accept arii apriorice a valabilit at ii ipotezelor enunt ate.
Vericarea ipotezelor, ca  si testarea estimatorilor a modelului  si a raportului de
corelat ie se face dup a acelea si principii prezentate ^ n cazul regresiei unifactoriale.
34

Capitolul 6
Modalit at i de includere a
variabilelor calitative ^ n modelul
econometric
Not iunile prezentate ^ n acest capitol au fost alese din [2].
^Intr-un model econometric, de regul a, at^ at variabilele endogene, c^ at  si variabi-
lele exogene sunt variabile economice cuanticabile, exprimate ^ n unit at i de m asur a
specice naturii lor.
Dar, ^ n anumite situat ii, ambele grupe de variabile, endogene  si exogene, pot
de natur a calitativ a (nenumerice), variantele lor prezent^ andu-se prin cuvinte  si nu
prin numere.
Variabilele calitative se refer a la ^ nsu siri, calit at i, categorii, etc. a c aror di-
mensiune este exprimat a prin atribute sau denumiri. Aceste variabile, denumite  si
variabile atributive, se ^ mpart ^ n dou a categorii: variabile dihotomice (binare sau
alternative)  si variabile polihotomice (nealternative).
De exemplu, referindu-ne la consumul populat iei, acesta ca variabil a endogen a,
poate  analizat at^ at ca variabil a numeric a: cheltuieli efectuate de o familie pentru
consumarea sau procurarea unui anumit produs, sau nivelul(volumul) consumului
unui anumit produs pe familie sau pe membru de familie, dar  si ca variabil a calitativ a
alternativ a, dac a se caut a r aspunsul la ^ ntreb ari de genul: de la ce venit pe membru
de familie sau pe familie, familiile consum a sau dispun de un anumit produs? De la
ce venit pe membru de familie consumul familiilor este mai mare sau mai mic fat  a
de media consumului pe familie ?
Se pot formula numeroase ^ ntreb ari de genul celor de mai sus,  stiind c a orice
variabil a cantitativ a poate  tranformat a ^ ntr-o variabil a alternativ a prin raportarea
variantelor ei la o anumit a m arime, care poate  media ei sau o m arime standard.
La r^ andul lor, variabilele exogene pot  at^ at cantitative, c^ at  si calitative. ^In cazul
consumului populat iei, factorii explicativi ai acestuia pot : venitul pe membru de
familie sau pe familie, num arul membrilor de familie, pret ul sau tariful bunurilor
materiale sau al serviciilor, dar  si sexul, mediul de provenient  a, categoria socio-
profesional a, nat ionalitatea (tradit ii), etc.
35

^In cazul variabilelor exogene calitative se pot ^ nt^ alni dou a situat ii:
1. variabila prezint a numai dou a variante, x1saux2, cum ar : sexul sau mediul
de provenient  a, denumite  si variabile dihotomice sau binare;
2. variabila prezint a mai multe variante nenumerice cum ar : categoria socio-
profesional a sau nat ionalitatea.
Pe baza celor spuse mai sus, utilizarea variabilelor calitative ^ ntr-un model eco-
nometric poate  sintetizat a prin trei cazuri: variabila endogen a Y este de natur a
calitativ a binar a; variabila exogen a X este de natur a calitativ a alternativ a (binar a
sau dihotomic a) sau nealternativ a (polihotomic a).
6.1 Cazul 1: Variabil a endogen a binar a
Fie modelul econometric:
(6.1) yi=a+bxi+ui
unde:
n= num arul unit at ilor statistice din e santion, respectiv num arul familiilor, i=1;n;
yi=1;dac a familia iconsum a produsul H sau yiy
0;dac a familia inu conum a produsul H sau yiy
xi= variabila explicativ a venitul mediu al familiei i, pe membru de familie;
ui= variabila rezidual a.
Spre deosebire de celelalte modele econometrice, ^ n care variabila explicat a este
cantitativ a, modelul (6.1) prezint a dou a particularit at i.
Prima se refer a la natura variat iei variabilei reziduale ui. Din modelul (6.1)
rezult a c a:
ui=yiabxi
S tiind c ayieste o variabil a alternativ a (binar a) ce poate lua doar dou a valori,
y2f0;1g, pentru orice valoare a variabilei explicative xi, perturbat ia uipoate avea
doar dou a valori distincte ( abxi)  si (1abxi).^In concluzie variabila rezidual a
uinu este distribuit a normal, ci are o distribut ie discret a, de forma:
ui:abxi1abxi
p 1p
p0;
cu media:M(ui) = 0)p= 1abxi;
 si dispersia:
(6.2) M(ui)2= (a+bxi)(1abxi) =M(yi)
[1M(yi)]
Relat ia (6.2) evident iaz a faptul c a perturbat iile reziduale nu mai sunt homosce-
dastice, ci heteroscedastice. Din acest motiv, parametrii modelului (6.1) trebuie
36

estimat i cu ajutorul metodei celor mai mici p atrate generalizat a sau cu metoda re-
gresiei ponderate, deoarece metoda celor mai mici p atrate obi snuit a nu conduce la
obt inerea de estimat ii eciente ^ n cazul existent ei fenomenului de heteroscedastici-
tate.
A doua particularitate se refer a la interpretarea previziunii efectuate cu modelul
(6.1).
Admit ^ and c a pentru momentul ( n+v) se cunoa ste distribut ia familiilor dup a
m arimea venitului mediu pe membru de familie  si, modelul (6.1) permite s a se
cunoasc a c^ ate familii vor utiliza  si c^ ate nu vor utiliza produsul H ^ n momentul
(n+v).
Folosind modelul (6.1) ^ n acest scop, utilizarea sau neutilizarea produsului H
apare ca o probabilitate de^ nsu sire (de posedare) a produsului respectiv, previziunile
^Y
(n+v;i)= ^a+^bx(n+v;i)ind interpretate^ n funct ie de valorile pe care le va avea ^Y
(n+v;i)
^ n raport cu intervalul [0 ;1].
Deoarece predict iile ^Y
(n+v;i)sunt coliniare, ele vor putea lua valori  si ^ n afara
intervalului [0 ;1]. Exist mai multe procedee de a evita acest inconvenient, cel mai
simplu, practic, ind acela de a lucra cu estimat iile ^ a si^b si de a calcula valorile
Y
(n+v;i)^ n funct ie de o valoare luat a de variabila explicativ a x(n+v;i). Acestea sunt
denite dup a cum urmeaz a:
1.Y
(n+v;i)=Y
(n+v;i)dac a 0<Y
(n+v;i)<1; adic a, ^ n caz concret, familia00i00, av^ and
venitulx(n+v;i)are probabilitatea y
(n+v;i)de a poseda (a consuma) produsul H;
2.Y
(n+v;i)= 1 dac aY
(n+v;i)1; adic a, ^ n caz concret, familia00i00, av^ and venitul
x(n+v;i)posed a produsul H;
3.Y
(n+v;i)= 0 dac aY
(n+v;i)01; adic a, ^ n caz concret, familia00i00, av^ and venitul
x(n+v;i)nu posed a produsul H;
Ment ionez c a problemele expuse^ n acest caz pot  rezolvate  si pe baza distribut iei
empirice a variabilei dependente Y, condit ionat a de variabila exogen X, folosind ^ n
acest scop tabelul de corelat ie sau tabelul de asociere.
Modelul (6.1) prezint a avantajul c a poate  folosit ca model de simulare (^ n
cazul consumului populat iei este utilizat ^ n vederea estim arii venitului minim pe
membru de familie, pentru a consuma sau a poseda un anumit produs sau a utiliza
un anumit serviciu). ^In plus, acest model poate  generalizat  si pentru o dependent  a
multifactorial a a variabilei endogene binare Y.
6.2 Cazul 2: Variabil a exogen a binar
Referindu-ne la consumul populat iei, mediul de provenient  a rural, urban, sexul
etc., acestea reprezint a variabile exogene calitative, care nu pot avea dec^ at dou a
variante.
Fie:
n = num arul familiilor din e santion, i=1;n;
37

xi=0;dac a familia i posed a varianta A ;
1;dac a familia i posed a varianta B
n1= num arul familiilor ce posed a varianta A;
n2= num arul familiilor ce posed a varianta B( n1+n2=n);
yi= consumul familiei i.
Admit ^ and c a variabila endogen a Y (consumul populat iei, de exemplu) urmeaz a
o distribut ie normal a, de abatere standard y si cu media egal a cu:
M(yjx=0) =m1consumul mediu al familiilor ce posed a varianta A;
M(yjx=1) =m2consumul mediu al familiilor ce posed a varianta B;
atunci modelul econometric al variabilei dependente Y ^ n funct ie de variabila exo-
gen a binar a X este de forma:
(6.3) yi=a+bxi+ui
unde:
yi= consumul familiei i;
xi= variabila binar a;
xi= 0 dac a familia posed a varianta A;
xi= 1 dac a familia posed a varianta B;
ui= variabila rezidual a.
Valorile medii ale variabilei ycondit ionate de variabila xrezultate din modelul
econometric (6.3) sunt:
M(yjxi=0) =M(a+bxi+ui) =M(a) +M(b)
0 +M(ui) =a
Observat ie: M(ui) = 0
M(yjxi=1) =M(a) +M(b)
1 +M(ui) =a+b
Rezult a c a:
M(yjxi=0) =m1=a
M(yjxi=0) =m2=a+b)b=m2m1
adic a termenul liber al modelului (6.3) punctul ^ n care dreapta intersecteaz a axa Oy
– m asoar a nivelul mediu al caracteristicii ypentru unit at ile statistice (familiile) care
posed a varianta A, iar coecientul unghiular al dreptei ( b) m asoar a diferent a dintre
nivelul mediu al caracteristicii ypentru unit at ile statistice care posed a varianta B
 si nivelul mediu al lui ypentru unit at ile ce posed a varianta A.
6.3 Cazul 3: Variabil a exogen a calitativ a
nealternativ a (polihotomic a)
Uneori, anumit i factori semnicativi ai unei variabile endogene Ysunt necuanti-
cabili, av^ and un anumit num ar de variante nenumerice. ^In domeniul consumului
populat iei, ace sti factori se refer a la categoria socioprofesional a, zona geograc a,
tradit iile generate de nat ionalitate etc.
O manier a de cuanticare a unor astfel de variabile exogene const a ^ n a codica
variantele lor cu numerele: x1= 0;x2= 1;x3= 2;:::;x k=k1.
38

Modelul econometric constituit ^ n aceast a ipotez a este:
(6.4) yi=a+bxij+ui
unde:
i=1;n;
j=0;k1;
yi=consumul familiei i
xij=8
>><
>>:0;dac a familia face parte din categoria socio-profesional a x1;
1;dac a familia face parte din categoria socio-profesional a x2;
2;dac a familia face parte din categoria socio-profesional a x3;
k1;dac a familia face parte din categoria socio-profesional a xk
^In acest caz, mediile variabilei endogene Y, condit ionate de variabila explicativ
(x), calculate pe baza modelului (6.4) sunt:
M(yjxi=0) =a=y1
M(yjxi=1) =a+b=y2
M(yjxi=2) =a+ 2b=y3






















M(yjxi=k2) =a+ (k2)b=yk1
M(yjxi=k1) =a+ (k1)b=yk
Din relat iile de mai sus rezult a c a nivelul mediu al consumului unei familii cre ste
^ n mod constant cu m arimea b, pe m asur a ce se trece de la o categorie social-
economic a la alta, sau c a diferent a dintre consumul mediu a dou a familii ce fac parte
din dou a categorii social-economice succesive este constant a  si egal a cu coecientul
de regresie b:
y2y1=y3y2=:::=ykyk1=b
Acordarea de valori echidistante variantelor unei variabile exogene calitative neal-
ternative nu poate  folosit a dec^ at ^ ntr-un caz particular, atunci c^ and  si mediile
condit ionate ale variabilei exogene sunt echidistante.
Pentru a evita aceast a restrict ie ^ ntr-un model econometric, variabila explicativ a
calitativ a nealternativ a se introduce prin ( k1) variabile binare, dac a ea prezint a
kvariante relative.
Astfel, dac a o variabil a explicativ a prezint a trei variante calitative ( A;B;C ),
modelul econometric va  de forma:
(6.5) yi=a0+a1x1i+a2x2i+ui;
unde:
yi= consumul familiei i;
x1=1;dac a familia i posed a varianta B ;
0;daca familia i nu posed a varianta B
x2=1;dac a familia i posed a varianta C ;
0;daca familia i nu posed a varianta C
39

De ret inut c a, dac a:
1: x1= 1)x2= 0
2: x2= 1)x1= 0
3: x1=x2= 0)familiaiposed a varianta A.
^In acest caz, modelul (6.5) devine echivalent cu modelul (6.3):
M(yjx0=1;x1=x2= 0) =a0=y0
M(yjx1=1;x2= 0) =a0+a1=y1
M(yjx2=1;x1= 0) =a0+a2=y2
Rezult a c a parametrii modelului sunt egali cu:
a0=y0
a1=y1y0
a2=y2y0
unde:y0;y1 siy2reprezint a nivelul mediu al consumului pentru familiile care
posed a varianta A, respectivB, respectivC.
40

Bibliograe
[1] Conf. univ. dr. Gabriel Sorin Badea, Econometrie , Departamentul de
^ nv at  am^ ant a facult at ii de S tiint e Economice, 2011.
[2] Prof.univ.dr. Ovidiu Tanasoiu; Lect.univ.dr.Andreea Iacob Modele econo-
metrice ,.
41