SPECIALIZAREA MATEMATIC A – INFORMATIC A [627041]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT E
SPECIALIZAREA MATEMATIC A – INFORMATIC A
APLICAT A
LUCRARE DE DISERTAT IE
Coordonator S tiint ic:
Prof. Univ. Dr. Laurian Suciu
Student: [anonimizat]-Razvan Nenit oiu
SIBIU
2019

2
UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
FACULTATEA DE S TIINT E
SPECIALIZAREA MATEMATIC A – INFORMATIC A
APLICAT A
DIVERSE TIPURI DEINTEGRALE S ,I APLICAT ,IILE
LOR
Coordonator S tiint ic:
Prof. Univ. Dr. Laurian Suciu
Student: [anonimizat]-Razvan Nenit oiu
SIBIU
2019

Cuprins
1 Diferent ,ierea funct ,iilor 6
1.1 Not ,iuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Maxime locale, minime locale s ,i derivate . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Functii monotone s ,i derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Studiul funct ,iilor cu ajutorul derivatelor. S ,irul lui Rolle . . . . 9
1.4 Derivatele funct ,iilor inversabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Regula lui L'Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Integrala Riemann 16
2.1 Partit ,ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Funct ,ii constante pe port ,iuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Integrala Riemann superioar a s ,i inferioar a . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Propriet at ,i elementare ale integralei Riemann . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Integrala Riemann a funct ,iilor continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Integrabilitatea Riemann a funct ,iilor monotone . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Functii neintegrabile Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Integrala Riemann-Stieltjes 31
3.1 Not ,iuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Cele dou a teoreme fundamentale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Consecinte ale teoremelor fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Integrale generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3

4
4 Aplicat ,ii integrala Riemann 41
4.1 Integrale rezolvate standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Integrarea prin p art ,i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Metoda substitut ,iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Integrarea funct ,iilor rat ,ionale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Integrarea funct ,iilor rationale pentru care numitorul are r ad acini reale
multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6 Integrarea unor funct ,ii rationale care au numitorul cu r ad acini com-
plexe simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.7 Integrarea funct ,iilor trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.8 Volumul corpurilor de rotat ,ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Integrala Lebesgue 56
5.1 Funct ,iile simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Integrarea funct ,iilor m asurabile ne-negative . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Integrarea funct ,iilor absolut integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Compararea cu integrala Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Teorema lui Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Integrale Poisson 66
6.1 Spat ,ii Hardy pe discul unitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Funct ,ii armonice versus funct ,ii olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Integrale Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5
Introducere
^In analiza matematic a, integrala unei funct ,ii este o generalizare a not ,iunilor
de arie, mas a, volum s ,i sum a. Procesul de determinare a unei integrale se numes ,te
integrare.
Spre deosebire de not ,iunea ^ nrudit a de derivat a, exist a mai multe denit ,ii
posibile ale integralei, ecare cu suportul s au tehnic. Acestea sunt ^ ns a compatibile.
Oricare dou a moduri de integrare a unei funct ,ii vor da aceleas ,i rezultate c^ and ambele
sunt denite.
Termenul "integral a" se poate referi s ,i la not ,iunea de primitiv a a unei funct ,ii,
adic a o funct ,ie F a c arei derivat a este funct ,ia dat a f. ^In acest caz, se numes ,te integral a
nedenit a, pe c^ and integralele discutate ^ n acest articol sunt numite integrale denite.
Principiile integr arii au fost enunt ,ate de Isaac Newton s ,i Gottfried Wilhelm
Leibniz la sf^ ars ,itul secolului al XVII-lea.
Prin teorema fundamental a a calculului integral, pe care au dezvoltat-o inde-
pendent unul de altul, integrarea este legat a de derivare, iar integrala denit a a unei
funct ,ii poate  us ,or calculat a odat a ce este cunoscut a o primitiv a a ei. Integralele s ,i
derivatele au devenit uneltele de baz a ale analizei matematice, cu numeroase aplicat ,ii
^ n s ,tiint , a s,i inginerie.
O denit ,ie riguroas a a integralei a fost dat a de Bernhard Riemann. Ea este
bazata pe o trecere la limit a prin care se aproximeaz a aria unei regiuni curbilinii prin
descompunerea acesteia ^ n zone verticale subt ,iri.
Din secolul al XIX-lea, au ^ nceput s a apar a tipuri de integrale mai sosticate,
^ n care at^ at tipul funct ,iei c^ at s ,i domeniul peste care se face integrarea au ^ nceput
s a e generalizate. O integral a curbilinie este denit a pentru funct ,ii de dou a sau
trei variabile, iar intervalul de integrare [a,b] este ^ nlocuit de o anumit a curb a care
leag a dou a puncte din plan sau din spat ,iu.^Intr-o integral a de suprafat , a, curba este
^ nlocuit a de o bucat a de suprafat , a din spat ,iul tridimensional.
Integralele formelor diferent ,iale joac a un rol fundamental^ n geometria diferent ,ial a
modern a. Aceste generaliz ari ale integralelor au ap arut datorit a necesit at ,ilor din -
zic a, s ,i joac a un rol important ^ n formularea multor legi din zic a, ^ n principal a
celor din electrodinamic a. Conceptele moderne ale integr arii se bazeaz a pe teoria
matematic a abstract a numit a integral a Lebesgue, dezvoltat a de Henri Lebesgue.
Leibniz a introdus notat ,ia standard a integralei, de forma unui S alungit.
Integrala din paragraful anterior se noteaz aRb
af(x)dx. SemnulR
noteaz a integrarea,
a s,i b sunt extremit at ,ile intervalului, f(x) este funct ,ia care se integreaz a, iar dx
noteaz a variabila ^ n care se face integrarea. La ^ nceput, dx reprezenta o "cantitate
innitezimal a", iar S-ul alungit ^ nsemna"sum a". ^Ins a teoria modern a a integralei
este construit a pe alte fundamente, iar aceste simboluri tradit ,ionale au devenit simple
notat ,ii.

Capitolul 1
Diferent ,ierea funct ,iilor
1.1 Not ,iuni generale
Avantajul lucrului analitic este acela c a (a) nu trebuie s a s ,tim axiomele geometrice s ,i
(b), aceste funct ,ii pot  modicate pentru a manipula funct ,ii de mai multe variabile
sau funct ,ii ale c aror valori sunt vectori. Mai mult, intuit ,ia geometric a devine foarte
dicil a atunci c^ and dep as ,im 3 dimensiuni. Rigoarea analitic a poate extinde intuit ,ia
geometric a la niveluri abstracte; cele dou a puncte de vedere complet^ andu-se.
Denit ia 1.1.1 (Diferent ,iabilitatea ^ ntr-un punct ). FieXo submult ,ime a
luiRs,i ex02Xun element al lui Xcare este de asemenea limita lui X. Fie
f:X!Ro funct ,ie. Dac a limita
lim
x!x0;x2Xx0f(x)f(0)
xx0
converge la un num ar real L, atunci spunem c a f este diferent ,iabil a ^ nx0peXcu
derivataL. Vom scrie f0(x0) :=L.
Dac a limita nu exist a sau dac a x0nu este un element al lui Xsau o limit a a
luiX,f0(x0) nu este denit a s ,i vom spune c a fnu este diferent ,iabil a ^ nx0peX.
Exemplul 1.1.1 Fief:R!R,f(x) :=x2s,i ex02R. Pentru a vedea dac a f
este diferent ,iabil a ^ nx0peR, calcul am limita
lim
x!x0;x2Xx0f(x)f(0)
xx0= lim
x!x0;x2Xx0x2x02
xx0:
6

7
Deoarece num ar atorul (x2x02)se poate scrie ca (xx0)(x+x0), putem scrie
limita de mai sus ca
lim
x!x0;x2Xx0x+x0
care va  egal a cu 2×0.
As ,adar funct ,iaf(x)este diferent ,iabil a ^ nx0cu derivata egal a cu 2×0.
Remarca 1.1.1 Putem scriedf
dx^ n loc def0. Aceast a notat ,ie este foarte familiar a
s,i convenabil a, dar folosirea ei trebuie f acut a cu grij a, funct ,ia respectiv a trebuie s a
cont ,in a ^ n cazul acesta x.
Propozit ia 1.1.1 (Aproximarea lui Newton ). FieXo submult ,ime a lui R, e
x02Xun punct limit a a lui X, ef:X!Ro funct ,ie s ,iLun num ar real. Atunci
urm atoarele armat ,ii sunt echivalente:
(a)feste diferent ,iabil a ^ nx0peXcu derivata L.
(b) Pentru orice  >0;9 > 0astfel ^ nc^ at f(x)estejxx0j-aproape de f(x0) +
L(xx0)de ecare dat a c^ and x2Xeste-aproape de x0, avem
jf(x)(f(x0) +L(xx0))jjxx0j
c^ andx2Xs,ijxx0j.
Remarca 1.1.2 Putem formula aceast a propozit ,ie ^ ntr-un mod mai informal: dac a
f este diferent ,iabil a ^ nx0atunci vom avea aproximarea
f(x)f(x0) +f0(x0)(xx0):
Denit ia 1.1.2 (Diferent ,iabilitatea pe un domeniu ). Fie X o submult ,ime pe
Rs,i ef:X!Ro funct ,ie. Spunem c a feste diferent ,iabil a peXdac a pentru orice
punct limit a x02X, funct ,ia f este diferent ,iabil a ^ nx0peX.
Corolarul 1.1.1 FieXo submult ,ime al lui Rs,i ef:X!Ro funct ,ie care este
diferent ,iabil a peX. Atuncifeste de asemenea continu a pe X.
Teorema 1.1.1 (Regula lant ,ului ). FieX;Y submult ,imi ale lui R, ex02Xun
punct limit a al lui Xs,i ey02Yun punct limit a al lui Y. Fief:X!Yo

8
funct ,ie astfel ^ nc^ at f(x0) =y0, astfel ^ nc^ at f este diferent ,iabil a ^ nx0. Presupunem c a
g:Y!Reste o funct ,ie care este diferent ,iabil a ^ ny0. Atunci funct ,iagf:X!R
este diferent ,iabil a ^ nx0s,i
(gf)0(x0) =g0(y0)f0(x0):
Exemplul 1.1.2 Dac af:Rf1g!Reste funct ,iaf(x) :=x2
x1s,ig:R!Reste
funct ,iag(y) :=y2, atuncig
f(x) = (x2
x1)2s,i din regula lant ,ului avem:
(g
f)0(x0) = 2(x02
x01)1
(x01)2:

9
1.2 Maxime locale, minime locale s ,i derivate
Denit ia 1.2.1 Fief:X!Ro funct ,ie s ,i ex02X. Spunem c a fatinge un ma-
xim local ^ nx0dac a s ,i numai dac a exist a >0astfel ^ nc^ at restrict ,iafjX\(x0;x0+)
a lui f laX\(x0;x0+)atinge un maxim ^ n x0.
Spunem c a fatinge un minim local ^ nx0dac a s ,i numai dac a exist a  >0astfel
^ nc^ at restrict ,iafjX\(x0;x0+)a lui f laX\(x0;x0+)atinge un minim ^ n x0.
Teorema 1.2.1 (Teorema lui Rolle ). Fiea<b numere reale s ,i eg: [a;b]!R
o functie continu a care este diferent ,iabil a pe (a;b). Presupunem de asemenea c a
g(a) =g(b). Atunci exist a x2(a;b)astfel ^ nc^ at g0(x) = 0 .
Corolarul 1.2.1 Corolar. (Teorema de medie ). Fiea < b numere reale s ,i e
f: [a;b]!Ro functie continu a pe [a;b]s,i diferent ,iabil a pe (a;b). Atunci exist a
x2(a;b)astfel ^ nc^ at f0(x) =f(b)f(a)
ba.
1.3 Functii monotone s ,i derivate
Propozit ia 1.3.1 Fie X un subspat ,iu al lui R, ex0un punct limit a al lui X s ,if:
X!Ro funct ,ie. Dac afestemonoton cresc atoare s,ifeste diferent ,iabil a ^ nx0,
atuncif0(x0)0. Dac afestemonoton descresc atoare s,ifeste diferent ,iabil a
^ nx0, atuncif0(x0)0.
1.3.1 Studiul funct ,iilor cu ajutorul derivatelor. S ,irul lui Ro-
lle
Studiul funct ,iilor cu ajutorul derivatelor S ,irul lui Rolle Se d a un interval de numere
realeIRs,i funct ,iaf:I!R.
Dac a funct ,ia f este continu a, atunci se pot g asi solut ,iile reale pe intervalul I
ale ecuat ,iei f(x)=0. Ne punem problema separ arii acestor solut ,ii.

10
Atunci c^ and vrem s a separ am solut ,iile ecuat ,iei f(x)=0, trebuie s a preciz am
num arul de solut ,ii reale ale ecuat ,iei s ,i intervalele ^ n care sunt situate aceste solut ,ii.
Astfel, s-a determinat o metod a pentru separarea solut ,iilor ecuat ,iei f(x)=0,
numit a s ,irul lui Rolle.
Etape:
1.Fix am intervalul I de studiu al ecuat ,iei f(x)=0 s ,i denim funct ,iaf:I!R,
derivabil a pe intervalul denit.
2.Calcul am f'(x), x2Is,i determin am solut ,iile ecuat ,iei f'(x)=0 din intervalul I s ,i
anumex1;x2;:::;xn2I, cu proprietatea c a x1<x 2<:::<x n.
3.Form am s ,irul;f(x1);f(x2);:::;f (xn);, undes,isunt valorile funct ,iei cal-
culate ^ n capetele intervalului I sau limitele funct ,iei f la capetele intervalului.
4.Organiz am rezultatele ^ ntr-un tabel cu liniile x, f'(x), f(x) s ,i o linie ^ n care tre-
cem semnele valorilor ;f(x1);f(x2);:::;f (xn);.
Acest s ,ir al semnelor valorilor funct ,iei f este de fapt ceea ce numim noi s ,irul lui
Rolle.
Interpretarea tabelului
-Dac a s ,irul lui Rolle cont ,ine dou a semne al aturate identice, atunci ^ n intervalul co-
respunz ator nu exist a nici o solut ,ie real a a ecuat ,iei f(x)=0.
-Dac a ^ n s ,irul lui Rolle apar dou a semne consecutive diferite, ecuat ,ia f(x)=0 are
o singur a solut ,ie real a ^ n intervalul studiat.
-Dac a ^ n s ,irul lui Rolle apare 0, de exemplu f(xk) = 0, atunci xkeste r ad acin a
multipl a a ecuat ,iei f(x)=0.
-^In funct ,ie de num arul schimb arilor de semn s ,i al zerourilor din s ,irul lui Rolle, putem
determina num arul solut ,iilor reale ale ecuat ,iei f(x)=0, acestea ind egale.
Exemplu :
S a se contruiasc a s ,irul lui Rolle pentru funct ,iaf:R!R,f(x) = 3×48×3
6×2+ 24x1.
Rezolvare:
Atas , am funct ,iei ecuat ,ia f(x)=0.
f(x) = 0,3×48×36×2+ 24x1 = 0.
Funct ,ia este derivabil a pe R, ind o compunere de funct ,ii derivabile pe R. Derivata

11
funct ,iei este:
f0(x) =
3×48×36×2+ 24x1
0
= (3×4)0(8×3)0(6×2)0+ (24x)010
= 3
(x4)08
(x3)06
(x2)0+ 24
x00
= 3
4×38
3×26
2x+ 24
1
= 12×324×212x+ 24
= 12(x32×2x+ 2)
= 12
x2(x2)(x2)
= 12(x2)(x21)
= 12(x1)(x2)(x+ 1)
)f0(x) = 12(x1)(x2)(x+ 1):
A
 am r ad acinile ecuat ,iei f'(x)=0.
f0(x) = 0,
,12(x1)(x2)(x+ 1) = 0
x1 = 0sau x2 = 0sau x + 1 = 0
x= 0 + 1sau x = 0 + 2sau x = 01
x= 1sau x = 2sau x =1
Deci, am g asit solut ,iile:
x1=1;x2= 1;x3= 2:
Capetele intervalului de denit ,ie al funct ,iei sunt1 s,i +1.
Avem c a:
= lim
x!1f(x) = +1
.
= lim
x!+1f(x) = +1
.
f(1) = 3
(1)48
(1)36
(1)2+ 24
(1)1
= 3
18
(1)6
1241
= 3 + 86241
=20

12
)f(1) =20
.
f(1) = 3
148
136
12+ 24
11
= 3
18
16
1 + 241
= 386 + 241
= 12
)f(1) = 12
.
f(2) = 3
248
236
22+ 24
21
= 3
168
86
4 + 481
= 486424 + 481
= 7
)f(2) = 7:
Facem tabelul corespunz ator s ,irului lui Rolle.
x1 -1 12+1
f'(x) 0 00
f(x) +1-20 12 7+1
S,irul lui Rolle + -++ +
Se poate observa c a ^ n s ,irul lui Rolle sunt doar dou a schimb ari de semn.
As,adar, ecuat ,ia 3×48×36×2+ 24x1 = 0 are dou a solut ,ii reale: o solut ,ie
^ n intervalul (1;1) s ,i o solut ,ie ^ n (-1,1).

13
1.4 Derivatele funct ,iilor inversabile
Lema 1.4.1 Fief:X!Yo funct ,ie inversabil a cu inversa f1:Y!X. Presu-
punem c ax02Xs,iy02Yastfel ^ nc^ at y0=f(x0). Dac afeste diferent ,iabil a ^ nx0
s,if1este diferent ,iabil a ^ ny0atunci
(f1)0(y0) =1
f0(x0):
Demonstratie.
Din regula lant ,ului avem
(f1f)0(x0) = (f1)0(y0)f0(x0):
Darf1feste funct ,ia identitate pe Xind diferent ,iabil a ^ nx0s,i astfel (f1
f)0(x0) = 1. Astfel armat ,ia este adevarat a.
Teorema 1.4.1 (Teorema funct ,iilor inversabile ). Fief:X!Yo funct ,ie
inversabil a cu inversa f1:Y!X. Presupunem c a x02Xs,iy02Yastfel ^ nc^ at
f(x0) =y0. Dac afeste diferent ,iabil a ^ nx0,f1este continu a ^ n y0s,if0(x0)6= 0,
atuncif1este diferent ,iabil a iny0s,i
(f1)0(y0) =1
f0(x0):
1.5 Regula lui L'Hopital
Propozit ia 1.5.1 (Regula lui L'Hopital ). FieXun subspat ,iu al lui R,f:X!R
s,ig:X!Rfunct ,ii s ,i ex02Xun punct limit a al lui X. Presupunem c a
f(x0) =g(x0) = 0 astfel c afs,igsunt diferent ,iabile ^ nx0, darg0(x0)6= 0. Atunci
exist a>0astfel ^ nc^ at g(x)6= 0 pentru orice x2(X\(x0;x0+))fx0gs,i
lim
x!x0;x2(X\(x0;x0+))fx0gf(x)
g(x)=f0(x0)
g0(x0):
Prezent ,a luipoate p area put ,in surprinz atoare, dar este necesar a deoarece
g(x) se poate anula ^ n alte puncte dec^ at x0, ceea ce ar insemna ca s ,i coecientulf(x)
g(x)
nu este necesar denit a in toate punctele din Xfx0g.
O versiune mai sosticat a a regulii lui L'Hopital este dup a cum urmeaz a.

14
Propozit ia 1.5.2 (Regula lui L'Hopital II ). Fiea < b numere reale s ,i ef:
[a;b]!Rs,ig: [a;b]!Rfunct ,ii diferent ,iabile pe [a;b]. Presupunem c a f(a) =
g(a) = 0 , c ag0este nenul a pe [a;b]s,ilimx!a;x2(a;b]f0(x)
g0(x)exist a s ,i egaleaz a pe L.
Atuncig(x)6= 0 pentru oricare x2(a;b]s,ilimx!a;x2(a;b]f(x)
g(x)exist a s ,i este egal a cu
L.
Remarca 1.5.1 Aceast a propozit ,ie consider a doar limitele la dreapta lui a, ^ ns a pu-
tem formula cu usurint , a s ,i demonstra o propozit ,ie similar a pentru limitele la st^ anga
lui a sau ^ n ambele part ,i ale lui a. ^Intr-un mod foarte informal, propozit ,ia arm a c a
lim
x!af(x)
g(x)= lim
x!af0(x)
g0(x);
insa trebuie s a ne asigur am c a toate condit ,iile propozit ,iei sunt satisf acute ( f(a) =
g(a) = 0 s,i existent ,a limitei la dreapta) ^ nainte s a aplic am regula lui L'Hopital.
Exercit ,ii:
1. limx!1npx1
mpx1;m;n2Nf1g.
Rezolvare:
Facem notatiile:
f(x) =npx1;f(x) =mpx1.
Avem o nedeterminare de tipul0
0. Deci, putem aplica regula lui l'Hospital.
lim
x!1×1
n1
x1
m1= lim
x!1(x1
n1)0
(x1
m1)0= lim
x!11
nx1
n1
1
mx1
m1=m
n:
2. limx!1lnx
x.
Rezolvare:
Avem cazul de nedeterminare1
1.
Deci, mai departe, aplic am regula lui L'Hospital:
lim
x!1lnx
x= lim
x1(lnx)0
x0= lim
x!11
x= 0:
3. limx!0ln cosax
ln cosbx.

15
Rezolvare:
Avem cazul de nedeterminare1
1.
Aplic am regula lui L'Hospital:
lim
x!0ln cosax
ln cosbx= lim
x!0(ln cosax)0
(ln cosbx)0= lim
x!0asinax
cosax
cosbx
bsinbx=a
blim
x!0tanax
tanbx=
=a
blim
x!0a
cos2ax
cos2bx
b=a
b2
:

Capitolul 2
Integrala Riemann
^In capitolul anterior am rev azut diferent ,ierea (derivarea) -unul din pilonii calcu-
lului cu variabile singulare. Celalalt pilon este de sigur, integrarea , punctul de atent ,ie
in cadrul acestui capitol. Mai precis, vom ajunge la integrala denit a, integrala unei
funct ,ii pe un interval xat, contrar integralei nedenite, cunoscut a ca s ,i antiderivata.
Acestea dou a sunt legate prin teorema fundamental a a calculului despre care vom
spune mai tarziu.
Pentru noi, studiul integralei denite va ^ ncepe cu un interval Icare poate
deschis, ^ nchis sau mixt s ,i o funct ,ief:I!R, ceea ce ne va conduce la un num arR
If; putem scrie aceast a integral a caR
If(x)dx(evident, putem ^ nlocui pe xcu orice
alta variabil a) sau ^ n cazul ^ n care Iare capetele as,ibputem scrie aceast a integral a
caRb
afsauRb
af(x)dx.
Pentru a deni aceast a integral aR
Ifeste oarecum delicat (^ n special dac a nu
ne asum am axiome cu privire la not ,iuni geometrice cum ar  aria) s ,i nu toate funct ,iile
sunt integrabile.
Exista dou a moduri prin care putem deni aceast a integral a:
-integrala Riemann , numit a dupa Georg Riemann (1826-1866)
-integrala Lebesque , numit a dupa Henri Lebesque (1875-1941).
Exista de asemenea s ,iintegrala Riemann-SteiltjesR
If(x)d(x), o generalizare a in-
tegralei Riemann datorat a lui Thomas Stieltjes (1856-1894).
Strategia noastr a in denirea integralei Riemann este dupa cum urmeaz a.Vom
^ ncepe prin denirea not ,iunii de integrare pe o clas a simpla de funct ,ii s,i anume
funct ,iile constante pe port ,iuni.
Avantajul acestor funct ,ii este acela c a integrarea este foarte us ,oar a pentru
aceste funct ,ii s,i veric a toate propriet at ,ile uzuale. Apoi vom manipula funct ,ii mai
generale prin aproximarea lor prin funct ,ii constante pe port ,iuni.
16

17
2.1 Partit ,ii
^Inainte de a introduce conceptul unei integrale, trebuie s a descriem cum putem
partit ,iona un interval mare ^ n intervale mai mici. ^In acest capitol, toate intervalele
vor  intervale m arginite.
Denit ia 2.1.1 FieXo submult ,ime a lui R. Spunem c a Xeste conex a dac a s ,i
numai dac a urm atoarea proprietate este adev arat a: pentru x;y2Xastfel ^ nc^ at x<
y, intervalul m arginit [x;y]este o submult ,ime a luiX.
Lema 2.1.1 FieXo submult ,ime a lui R. Urm atoarele armat ,ii sunt echivalente:
(a)Xeste m arginita s ,i conexa.
(b)Xeste un interval m arginit.
Corolarul 2.1.1 Dac aIs,iJsunt intervale m arginite, atunci intersect ,iaI\Jeste
de asemenea un interval m arginit.
Exemplul 2.1.1 Intersect ,ia intervalelor m arginite [2;4]s,i[4;6]estef4g, care este
de asemenea un interval m arginit.
Vom da acum o lungime ec arui interval m arginit.
Denit ia 2.1.2 (Lungimea intervalelor ). Dac aIeste un interval m arginit, de-
nim lungimea lui I, notat a cujIjdupa cum urmeaz a. Dac a Ieste unul din intervalele
[a;b],(a;b),[a;b),(a;b],a;bnumere reale cu a < b , atunci denimjIj:=ba. In
cazul in care Ieste un punct sau mult ,imea vid a, denim jIj= 0.
Exemplul 2.1.2 Lungimea lui [3;5]este 2, ca s ,i lungimea lui (3;5); lungimea lui 5
sau a mult ,imii vide este 0.
Denit ia 2.1.3 (Partit ,ii). FIeIun interval m arginit. O partit ,ie a luiIeste o
mult ,ime nit a Pde intervale m arginite cont ,inute ^ nIastfel ^ nc^ at oricare xdinIse
a
 a ^ n exact unul dintre intervalele m arginite JdinP.

18
Teorema 2.1.1 (Lungimea este nit aditiv a ). FieIun interval m arginit, nun
num ar natural s ,i ePo partit ,ie a luiIde cardinalitate n. Atunci
jIj=X
J2PjJj:
Denit ia 2.1.4 FieIun interval m arginit s ,i ePs,iP'dou a partit ,ii ale luiI.
Spunem c a P'este mai ranat a dec^ at Pdac a pentru oricare JdinP'exist a unK
dinPastfel ^ nc^ at JK.
2.2 Funct ,ii constante pe port ,iuni
^In aceast a sectiune putem descrie clasa funct ,iilor "simple" pe care le putem
integra us ,or.
Denit ia 2.2.1 (Funct ,iile constante ). FieXo submult ,ime a lui Rs,i funct ,ia
f:X!R. Spunem c a feste constant a dac a s ,i numai dac a exist a un num ar real
castfel ^ nc^ at f(x) =cpentru oricare x2X. Dac aEeste o submult ,ime a luiX
spunem c a feste constant a pe Edac a restrict ,iafjEa luiflaEeste constant a, cu
alte cuvinte, exist a un num ar real castfel ^ nc^ at f(x) =c, pentrux2E. Vom spune
c aceste valoarea constant a a lui fpeE.
Denit ia 2.2.2 (Funct ,iile constante pe port ,iuni I ). FieIun interval m arginit,
f:I!Ro funct ,ie s ,iPo partit ,ie a luiI. Spunem c a feste constant a pe port ,iuni
cu privire la Pdac a pentru oricare J2P,feste constant a pe J.
Exemplul 2.2.1 Funct ,iaf: [1;6]!Rdenit a prin
f(x) =n
7dac a 1x<3
4dac ax= 3
5dac a 3<x< 6
2dac ax= 6

19
este constant a pe port ,iuni raportat la partit ,iaf[1;3);f3g;(3;6);f6gga[1;6].
Observ am c a este constant a pe port ,iuni cu privire la alte partit ,ii de asemenea; de
exemplu cu privire la partit ,iaf[1;2);f2g;(2;3);f3g;(3;5);[5;6);f6g;;g.
Denit ia 2.2.3 (Funct ,ii constante pe port ,iuni II ). FieIun interval m arginit
s,i ef:I!Ro funct ,ie. Spunem c a feste constant a pe port ,iuni peIdac a exist a
o partit ,iePa luiIastfel ^ nc^ at feste constant a pe port ,iuni cu privire la P.
Lema 2.2.1 FieIun interval ^ nchis s ,i ef:I!Rs,ig:I!Rfunct ,ii constante pe
port ,iuni pe intervalul I. Atunci funct ,iilef+g,fg,max(f;g)s,ifgsunt de asemenea
constante pe port ,iuni peI. Aicimax(f;g) :I!Reste funct ,iamax(f;g)(x) :=
max(f(x);g(x)). Dac agnu se anuleaz a pe Iatuncif=g este de asemenea o funct ,ie
constant a pe port ,iuni peI.
Denit ia 2.2.4 (Integrale constante pe port ,iuni I ). FieIun interval m arginit,
Po partit ,ie a luiI. Fief:I!Ro funct ,ie constant a pe port ,iuni cu privire la P.
Denim integrala constant a pe port ,iunic:p:R
[P]fprin formula
c:p:Z
[P]f:=X
J2PcJjJj;
unde pentru ecare JdinP,cJva  valoarea constant a a lui fpeJ.
Exercit iul 2.2.1 Fief: [1;4]!Rfunct ,ia
f(x) =n
2dac a 1x<3
4dac ax= 3
6dac a 3<x4
s,i eP:=f[1;3);f3g;(3;4]g. Atunci
c:p:Z
[P]f=c[1;3)j[1;3)] +cf3gjf3gj+c(3;4]j(3;4]j= 2
2 + 4
0 + 6
1 = 10:
Dac a P0:=f[1;2);[2;3);f3g;(3;4];;gatunci
c:p:Z
[P]f=c[1;2)j[1;2)]+cf3gjf3gj+c[2;3)j[2;3)j+c(3;4]j(3;4]j+c;j;= 2
1+2
1+4
0+6
1+c;
0 = 10 :

20
Acest exemplu sugereaz a c a aceast a integral a nu depinde neaparat de ce partit ,ie
alegem, at^ ata timp c^ at funct ,ia este constant a pe port ,iuni referitor la acea partit ,ie.
Propozit ia 2.2.1 (Integrala constant a pe port ,iuni este independent a de
partit ,ii). FieIun interval m arginit s ,i ef:I!Ro funct ,ie. Presupun^ and c a P
s,iP'sunt partit ,ii ale luiIastfel ^ nc^ at feste constant a pe port ,iuni at^ at pe Pc^ at s ,i
P'. Atuncic:p:R
[P]f=c:p:R
[P']f.
Denit ia 2.2.5 (Integrale constante pe port ,iuni II ). FieIun interval m arginit
s,i ef:I!Ro funct ,ie constant a pe port ,iuni peI. Denim integrala constant a pe
port ,iunic:p:R
Ifprin formula
c:p:Z
If:=c:p:Z
[P];
unde Peste orice partit ,ie a luiIpentru care feste constant a pe port ,iuni.
Teorema 2.2.1 (Legile integr arii ). FieIun interval m arginit s ,if:I!Rs,i
g:I!Rfunct ,ii constante pe port ,iuni peI.
(a) Avem
c:p:Z
I(f+g) =c:p:Z
If+c:p:Z
Ig:
(b)c:p:R
I(cf) =c
c:p:R
If,8c2R.
(c) Avem
c:p:Z
I(fg) =c:p:Z
Ifc:p:Z
Ig:
(d) Dac af(x)0;8x2I, atunci
c:p:Z
If0:
(e) Dac af(x)g(x);8x2I, atunci
c:p:Z
Ifc:p:Z
Ig:
(f) Dac afeste o funct ,ie constant a f(x) =c,8x2I, atunci
c:p:Z
If=cjIj:
(g) FieJun interval m arginit care cont ,ine peIs,i eF:J!Rfunct ,ia
F(x) :=
f(x)dac ax2I
0dac ax =2I

21
AtunciFeste constant a pe port ,iuni peJs,ic:p:R
JF=c:p:R
If.
(h) Presupunem c a fJ;Kgeste o partit ,ie a luiIin dou a intervale Js,iK. Atunci
funct ,iilefjJ:J!Rs,ifjK:K!Rsunt constante pe port ,iuni peJs,iK:
c:p:Z
If=c:p:Z
JfjJ+c:p:Z
KfjK:
Concluzion am integrarea funct ,iilor constante pe port ,iuni. Ne vom ^ ndrepta
atent ,ia asupra modului de integrare a funct ,iilor m arginite.
2.3 Integrala Riemann superioar a s ,i inferioar a
Fief:I!Ro funct ,ie m arginit a denit a pe un interval m arginit I. Vom
deni integrala RiemannR
If.
Pentru a putea realiza acest lucru trebuie s a denim not ,iunea de integral a Riemann
superioar aR
Ifs,iinferioar aR
If.
Denit ia 2.3.1 (Majorarea funct ,iilor ). Fief:I!Rs,ig:I!R. Spunem
c agmajoreaz a fpeIdac a avem g(x)f(x),8x2Is,i c agminoreaz a fpeI
dac ag(x)f(x),8x2I.
Ideea integralei Riemann este de a^ ncerca s a integram o funct ,ie prin majorarea
sau minorarea acelei funct ,ii printr-o funct ,ie constant a pe port ,iuni.
Denit ia 2.3.2 (Integrala Riemann superioar a s ,i inferioar a ). Fief:I!
Ro funct ,ie m arginit a denit a pe un interval m arginit I. Denim integrala Riemann
superioara prin formula
Z
If:= infc:p:Z
Igjg este o funct ,ie constant a pe port ,iuni pe I care majoreaza funct ,ia f
s,i integrala Riemann inferioara prin formula
Z
If:= supc:p:Z
Igjg este o funct ,ie constant a pe port ,iuni pe I care minoreaza funct ,ia f
Lema 2.3.1 Fief:I!Ro funct ,ie pe un interval m arginit I, m arginita de num arul
realM,Mf(x)M,8x2I. Vom avea
MjIjZ
IfZ
IfMjIj:
^In particular, cele dou a integrale sunt numere reale (nu sunt innite).

22
Demonstrat ,ie.
Funct ,iag:I!Bdenit a prin g(x) =Meste constant a, asadar constant a pe
port ,iuni s ,i majoreaz a funct ,iaf; astfelR
Ifc:p:R
Ig=MjIjprin denit ,ia integralei
superioare Riemann.
Analog vom avea MjIjR
If:
^In nal, vom arata c aR
IfR
If. Fiego funct ,ie care majoreaz a pe fs,iho funct ,ie
ce minoreaz a f. Atuncigmajoreaz a funct ,iah, astfelc:p:R
Ihc:p:R
Ig. Lu^ and
supremum ^ n h, obt ,inem c aR
Ifc:p:R
Ig. Lu^ and inmum ^ n g, obt ,inemR
IfR
Ig.
Acum stim c a integrala superioar a Riemann este ^ ntotdeauna cel put ,in la fel de mare
ca s ,i integrala inferioar a. Dac a cele dou a integrale coincid, putem deni integrala
Riemann:
Denit ia 2.3.3 (Integrala Riemann ). Fief:I!Ro funct ,ie m arginit a pe un
interval m arginit I. Dac aR
If=R
If, spunem c a festeintegrabil a Riemann pe
Is,i denimZ
If:=Z
If=Z
If:
Dac a integrala superioar a s ,i inferioar a sunt diferite, spunem c a fnu este in-
tegrabil a Riemann.
Observ am c a nu consider am funct ,iile nem arginite ca ind integrabile Riemann;
integrala unei astfel de funct ,ii se numeste integrala improprie . Este totus ,i posibil sa
evalu am astfel de integrale folosind metode de integrare mai sosticate (cum ar
integrala Lebesgue); urm^ and s a le discut am ^ n capitolele urm atoare.
Integrala Riemann coincide (s ,i ^ nlocuieste) integrala constant a pe port ,iuni:
Lema 2.3.2 Fief:I!Ro funct ,ie constant a pe port ,iuni pe un interval m arginit
I. Atunci f este integrabil a Riemann s ,iR
If=c:p:R
If.
Din acest moment nu ne vom mai referi la integrala constant a pe port ,iuni
c:p:R
Ifs,i vom folosi integrala RiemannR
If(pana c^ and s ,i aceast a integral a va
^ nlocuit a de c atre integrala Lebesgue). Observ am un caz special al lemei anterioare:
dac aIeste un punct sau mult ,imea vida, atunciR
If= 0 pentru toate funct ,iile
f:I!R.
Tocmai am aratat c a orice funct ,ie constant a pe port ,iuni este integrabil a Rie-
mann. Totus ,i, aceast a integral a este mai generala s ,i poate integra o clasa mai larg a de
funct ,ii. Pentru moment, conect am integrala Riemann la conceptul de suma Riemann .
Denit ia 2.3.4 (Sume Riemann ). Fief:I!Ro funct ,ie m arginit a pe un
interval m arginit Is,iPo partit ,ie a luiI. Denim suma superioara Riemann

23
U(f,P) s ,isuma inferioar a Riemann L(f,P) prin
U(f;P) :=X
J2P:J6=;(sup
x2Jf(x))jJj
s,i
L(f;P) :=X
J2P:J6=;(inf
x2Jf(x))jJj:
Restrict ,iaJ6=;este necesar a deoarece cantit at ,ile infx2Jf(x) s,i supx2Jf(x) sunt
innite dac a Jeste vid a.
Vom conecta acum aceste sume Riemann cu integrala Riemann superioar a s ,i infe-
rioar a.
Lema 2.3.3 Fief:I!Ro funct ,ie m arginit a pe un interval m arginit Is,i ego
funct ,ie care majoreaz a fs,i care este constant a pe port ,iuni cu privire la unele partit ,ii
Pale luiI. Atunci
c:p:Z
IgU(f;P):
Similar, dac a heste o funct ,ie care minoreaz a fs,i este constant a pe port ,iuni cu privire
laP, atunci
c:p:Z
IhL(f;P):
Propozit ia 2.3.1 Fief:I!Ro funct ,ie m arginita pe un interval m arginit I.
Atunci
Z
If= inffU(f;P) :PP este o partit ,ie a lui I
s,iZ
If= supfL(f;P) :PP este o partit ,ie a lui I:

24
2.4 Propriet at ,i elementare ale integralei Riemann
^In aceast a sectiune. vom enumera legile de baz a necesare pentru a manipula
integrala Riemann. Aceste legi vor  eventual^ nlocuite de legile corespondente pentru
integrala Lebesgue.
Teorema 2.4.1 (Legile de integrare Riemann ). FieIun interval m arginit s ,i
ef:I!Rs,ig:I!Rfunct ,ii integrabile Riemann pe I.
(a) Functia f+geste integrabil a Riemann s ,i avem
Z
I(f+g) =Z
If+Z
Ig:
(b) Pentru8c2R, funct ,iacfeste integrabil a Riemann s ,i avem
Z
I(cf) =c(Z
If):
(c) Functia fgeste integrabil a Riemann s ,i avem
Z
I(fg) =Z
IfZ
Ig:
(d) Dac af(x)0,8x2I, atunci
Z
If0:
(e) Dac af(x)g(x),8x2I, atunci
Z
IfZ
Ig:
(f) Dac afeste o funct ,ie constant a f(x) =c,8x2I, atunci
Z
If=cjIj:
(g) FieJun interval m arginit care cont ,ine peIs,i eF:J!Rfunct ,ia
F(x) :=n
f(x);dac ax2I
0dac ax =2I

25
AtunciFeste integrabil a Riemann pe Js,iR
JF=R
If.
(h) Presupunem c a fJ;Kgeste o partit ,ie a luiIin 2 intervale Js,iK. Atunci
funct ,iilefjJ:J!Rs,ifjK:K!Rsunt integrabile Riemann pe Js,iKs,i avem
Z
If=Z
JfjJ+Z
KfjK:
Teorema 2.4.2 (Maximul s ,i minimul p astreaz a integrabilitatea ). FieIun
interval m arginit s ,i ef:I!Rs,ig:I!Ro funct ,ie integrabil a Riemann. Atunci
funct ,iilemax(f;g) :I!Rs,imin(f;g) :I!Rdenite prin max(f;g)(x) :=
max(f(x);g(x))s,imin(f;g)(x) :=min(f(x);g(x))sunt de asemenea integrabile Ri-
emann.
Teorema 2.4.3 (Produsul pastreaz a integrabilitatea Riemann ). FieIun
interval m arginit. Dac a f:I!Rs,ig:I!Rsunt integrabile Riemann, atunci
fg:I!Reste integrabil a Riemann.
Demonstrat ,ie.
Vom desp art ,if=f++fs,ig=g++g^ n p art ,ile lor pozitive s ,i negative, acestea
ind funct ,ii integrabile Riemann. Din moment ce
fg=f+g++f+g+fg++fg
va  sucient s a ar at am c a funct ,iilef+g+;f+g;fg+;fgsunt integrabile Riemann.
Vom ar ata acest lucru pentru f+g+; celelalte trei ind similare.
Din moment ce f+s,ig+sunt m arginite s ,i pozitive, exist a M1;M2>0 astfel
^ nc^ at
0f+(x)M1s,i0g+(x)M2
8x2I. Fie > 0 arbitrar. Vom g asi o funct ,ie constant a pe port ,iunif+care
minoreaz af+peIs,i o funct ,ie constant a pe port ,iuni f+care majoreaz a f+peIastfel
^ nc^ at Z
If+Z
If++
s,iZ
If+Z
If+:
Observam c a f+poate  negativ a in anumite puncte, ^ ns a putem repara acest
lucru ^ nlocuind f+cumax(f+;0) din moment ce acesta ^ nc a minoreaz a f+, iar in-
tegrala este ^ nc a mai mare sau egal a dec^ atR
If+. Asa c a f ar a pierderea ge-
neralit at ,ii putem presupune c a f+(x)0;8x2I. Similar, putem presupune c a

26
f+(x)M1:8x2I; as,adar
0f+(x)f+(x)f+(x)M1
pentru8x2I.
Prin rat ,ionamente similare putem g asi o funct ,ie constant a pe port ,iunig+care
minoreaz a pe g+s,i g+care majoreaz a g+astfel ^ nc^ at
Z
Ig+Z
Ig++
s,iZ
Ig+Z
Ig+;
s,i
0g+(x)g+(x)g+(x)M2
pentru8x2I.
Observ am c a f+g+este constant a pe port ,iuni s ,i minoreaz a f+g+,^ n timp ce f+g+este
constant a pe port ,iuni s ,i majoreaz a f+g+. Astfel
0Z
If+g+Z
If+g+Z
If+g+f+g+:
Totus ,i avem
f+(x) g+(x)f+(x)g+(x) =f+(x)( g+g+)(x) +g+(x)(f+f+(x))
M1( g+g+)(x) +M2(f+f+(x))
8x2Is,i astfel
0Z
If+g+Z
If+g+M1Z
I( g+g+) +M2Z
I(f+f+)
M1(2) +M2(2):
Din moment ce a fost arbitrar, concluzion am c a f+g+este integrabil a Ri-
emann, ca mai ^ nainte. Un argument similar ne arat a c a f+g;fg+;fgsunt
integrabile Riemann; combin^ andu-le, obt ,inem c afgeste integrabil a Riemann.

27
2.5 Integrala Riemann a funct ,iilor continue
Vom ar ata c a o clas a mare de funct ,ii utile sunt Riemann integrabile. Vom
^ ncepe cu funct ,iile uniform continue.
Teorema 2.5.1 FieIun interval m arginit s ,i efo funct ,ie uniform continu a pe I.
Atuncifeste Riemann integrabile.
Demonstrat ,ie.
Observ am c a feste m arginit a. Acum trebuie s a ar at am c a intIf=R
If.
Dac aIeste un punct sau mult ,imea vid a atunci teorema este trivial a,as ,a c a presupu-
nem c aIeste unul din cele 4 intervale [ a;b];(a;b);(a;b];sau [a;b) pentru anumite
numere reale a<b .
Fie >0 arbitrar. Din uniform continuitate exist a un  > 0 astfel ^ nc^ atjf(x)
f(y)j< de ecare dat a c^ and x;y2Iastfel ^ nc^ atjxyj< . Din principiul lui
Arhimede, exist a un ^ ntreg N > 0 astfel ^ nc^ at ( ba)=N < .
Observ am c a putem partit ,ionaI^ nNintervaleJ1;J2;:::::;JN, ecare de lungime
(ba)=N. Vom avea
Z
IfNX
k=1(supf(x))jJkj
s,iZ
IfNX
k=1( inf
x2Jkf(x))jJkj
as,adar ^ n particular avem
Z
IfZ
IfNX
k=1(sup
x2Jkf(x)inf
x2Jkf(x))jJkj:
Totus ,i avemjf(x)f(y)j< ,8x;y2Jk, din moment cejJkj= (ba)=N <  .^In
particular avem
f(x)<f(y) +;8x;y2Jk:
Lu^ and supremum ^ n x, obt ,inem
sup
x2Jkf(x)f(y) +;8y2Jk;
s,i apoi f ac^ and inmum ^ n y, obt ,inem
sup
x2Jkf(x)inf
y2Jkf(y) +:
Inser^ and aceast a limit a ^ n inegalitatea anterioar a, obt ,inem
Z
IfZ
IfNX
k=1jJkj;

28
Z
IfZ
If(ba):
Dar>0 a fost ales arbitrar, ^ n timp ce ( ba) este xat. As ,adarR
IfR
Ifnu
poate  un rezultat pozitiv. Din lema 2.3.1. s ,i din denit ,ia integrabilit at ,ii Riemann
ne rezult a c a feste integrabil a Riemann.
Propozit ia 2.5.1 FieIun interval m arginit s ,i ef:IRo funct ,ie continu a s ,i
m arginit a. Atunci feste integrabil a Riemann pe I.
Aceste rezultate ne-au oferit o clas a larg a de funct ,ii integrabile Riemann; clasa
funct ,iilor continue s ,i m arginite. ^Ins a putem extinde ^ nc a put ,in aceast a clas a, in-
cluz^ and funct ,iile continue pe port ,iuni m arginite.
Denit ia 2.5.1 FieIun interval m arginit s ,i ef:I!R. Spunem c a feste
continu a pe port ,iuni peIdac a s ,i numai dac a exist a o partit ,iePa luiIastfel ^ nc^ at
fjJeste continu a pe J,8J2P.
Exemplul 2.5.1 Funct ,iaf: [1;3]!Reste denit a prin
F(x) :=
x2daca 1x<2
7daca x = 2
x3daca 2<x3
nu este continu a pe [1;3], dar este continu a pe port ,iuni (din moment ce este continu a
pe restrict ,iile[1;2);f2g, sau (2;3]).
Propozit ia 2.5.2 FieIun interval m arginit s ,i ef:I!Rcontinu a pe port ,iuni
s,i m arginit a. Atunci feste integrabil a Riemann.

29
2.6 Integrabilitatea Riemann a funct ,iilor mono-
tone
O alt a clas a vast a de funct ,ii integrabile Riemann este cea a funct ,iilor monotone.
Propozit ia 2.6.1 Fie[a;b]un interval ^ nchis s ,i m arginit s ,i ef: [a;b]!Ro
funct ,ie monoton a. Atunci feste integrabil a Riemann pe [a;b].
Corolarul 2.6.1 FieIun interval m arginit s ,i ef:I!Rmonoton a s ,i m arginit a.
Atuncifeste integrabil a Riemann pe I.
Vom enunt ,a acum renumitul test al integralei pentru determinarea convergent ,ei
seriilor monoton descresc atoare.
Propozit ia 2.6.2 (Testul integralei. ) Fief: [0;1)!Ro funct ,ie monoton
descresc atoare cu f(x)0;8x0. Atunci sumaP1
n=0f(n)este convergent a dac a
s,i numai dac a supN>0R
[0;N]feste nit a.
Corolarul 2.6.2 Fiepun num ar real. AtunciP1
n=11
npconverge absolut c^ and p>1
s,i diverge c^ and p1.
2.7 Functii neintegrabile Riemann
Am ar atat c a exist a clase largi de funct ,ii m arginite care sunt integrabile Rie-
mann. Din p acate, exist a funct ,ii m arginite care nu sunt integrabile Riemann.
Propozit ia 2.7.1 Fief: [0;1]!Rfunct ,ia discontinu a
f(x) :=
1daca x2Q
0daca x =2Q:
Atuncifeste m arginit a, dar nu este integrabil a Riemann.

30
Demonstrat ie .
Este evident c a feste m arginita, asa c a vom ar ata c a nu este integrabil a Rie-
mann.
FiePorice partit ,ie a lui [0;1]. Pentru8J2P, observ am c a dac a Jnu este un
punct sau mult ,imea vid a, atunci
sup
x2Jf(x) = 1:
^In particular avem
(sup
x2Jf(x))jJj=jJj:
Observam c a aceast a relat ,ie este adev arat a s ,i dac aJeste un punct, din moment ce
ambele p art ,i sunt 0. ^In particular avem
U(f;P) =X
J2P:J6=;jJj=j[0;1]j= 1
din Teorema 2.1.1.;observ am c a mult ,imea vid a nu contribuie cu nimic la lungimea
total a. Vom aveaR
[0;1]f= 1.
Un argument similar ne arat a c a
inf
x2Jf(x) = 0
oricare ar  J(^ n afar a de mult ,imea vid a sau puncte) s ,i as,adar
L(f;P) =X
J2P:J6=;0 = 0:
Pe de alt a parte,R
[0;1]f= 0. As ,adar integralele Riemann superioar a s ,i inferioar a
nu coincid, astfel aceast a funct ,ie nu este integrabil a Riemann.
Dupa cum se poate observa, ^ ndeosebi funct ,iile m arginite "articial" nu sunt
integrabile Riemann. Datorit a acestui lucru, integrala Riemann nu este ^ ndeajuns de
folositoare pentru o gam a variat a de cazuri.
Exist a, ^ ns a, moduri de a generaliza sau de a ^ mbun at at ,i aceast a integral a.
Unul din aceste moduri este integrala Lebesgue. Un altul este integrala Riemann-
StieltjesR
Ifd, unde:I!Reste o funct ,ie cresc atoare pe care o vom deni ^ n
urm atorul capitol.

Capitolul 3
Integrala Riemann-Stieltjes
3.1 Not ,iuni introductive
FieIun interval m arginit, e :I!Ro funct ,ie cresc atoare s ,if:I!R
o funct ,ie. Avem o generalizare a integralei Riemann, numit a integrala Riemann-
Stieltjes . Aceast a integral a este denit a ca s ,i integrala Riemann, dar cu o diferent , a:
^ n locul consider arii lungimii jJja intervalelor J, vom lua lungimea ,[J], denit a
dupa cum urmeaz a. Dac a Jeste un punct sau mult ,imea vid a, atunci [J] := 0.
Dac aJeste un interval de forma [ a;b];(a;b);(a;b] sau [a;b), atunci[J] :=
(b)(a). Observ am c a ^ n cazul special ^ n care este funct ,ia identitate (x) :=x,
atunci[J] coincide cujJj.
Totus ,i, pentru funct ,ii monotone mai generale, lungimea ,[J], este o
cantitate diferit a de jJj.
Cu toate acestea, se poate ajunge la rezultate utiliz^ and teoria de mai sus, schimb^ and
pe parcursjJjcujJj.
Denit ia 3.1.1 (Lungimea ). FieIun interval m arginit s ,i e:X!Ro funct ,ie
denit a pe un domeniu Xcare cont ,ine peI. Atunci denim lungimea  [I]a luiI
dup a cum urmeaz a. Dac a Ieste un punct sau mult ,imea vid a, avem [I] = 0 . Dac a
Ieste un interval de forma [a;b];(a;b);(a;b]sau[a;b)pentrub > a atunci avem
[I] =(b)(a).
Exemplul 3.1.1 Fie:R!Rfunct ,ia(x) :=x2. Atunci[[2;3]] =(3)(2) =
94 = 5 , c^ at timp[(3;2)] =5.^Intre timp[f2g] = 0 s,i[;] = 0 .
Lema 3.1.1 FieIun interval m arginit, e :X!Ro funct ,ie denit a pe un
31

32
domeniuXcare cont ,ine peIs,i ePo partit ,ie a luiI. Atunci avem
[I] =X
J2P[J]:
Denit ia 3.1.2 (Integrala Riemann-Stieltjes constant a pe port ,iuni). Fie Iun in-
terval m arginit s ,i ePo partit ,ie a luiI. Fie:X!Ro funct ,ie denit a pe un
domeniuXcare cont ,ine peIs,i ef:I!Ro funct ,ie constant a pe port ,iuni cu
privire la P. Atunci denim
c:p:Z
[P]fd:=X
J2PcJ[J]
undecJeste valoarea constant a a lui fpeJ.
Exemplul 3.1.2 Fief: [1;3]!Rfunct ,ia
f(x) =
4×2[1;2)
2×2[2;3];
e:R!Rfunct ,ia(x) :=x2s,i eP,partit ,iaP:=f[1;2);[2;3]g. Atunci
c:p:Z
[P]fd=c[1;2)[[1;2)] +c[2;3][[2;3]]
= 4((2)(1) + 2((3)(2)) = 4
3 + 2
5 = 22:
Exemplul 3.1.3 Fie:R!Rfunct ,ia identitate (x) :=x. Atunci pentru ecare
interval m arginit I, oricare partit ,iePa luiIs,i ecare funct ,iefcare este constant a
pe port ,iuni cu privire la Pvom aveac:p:R
[P]fd=c:p:R
[P]f.
Putem obt ,ine o propozit ,ie analoag a Propozit ,iei 2.2.1 prin ^ nlocuirea tuturor
integralelor c:p:R
[P]fcuc:p:R
[P]fd. Denim astfel c:p:R
Ifdpentru oricare funct ,ie
constant a pe port ,iunif:I!Rs,i orice:X!Rdenit a pe un domeniu care
cont ,ine peI, prin formula
c:p:Z
Ifd:=c:p:Z
[P]fd
pentru orice partit ,iePpeIpentru care feste constant a pe port ,iuni.
Pana la acest moment, funct ,ia noastr a:R!Rputea  arbitrar a.
S a presupunem c a este cresc atoare. Acest lucru implic a faptul c a (I)0 pentru
toate intervalele din X. Se poate observa c a toate rezultatele teoremei referitoare la

33
legile de integrare se conrm a c^ and integralele c:p:R
Ifsunt ^ nlocuite cu c:p:R
Ifd
s,i lungimilejIjsunt ^ nlocuite cu lungimile ,(I).
Putem deni integralele superioare s ,i inferioare Riemann-StieltjesR
Ifd s,iR
Ifd c^ andf:I!Reste m arginit a s ,ieste denit a pe un domeniu care cont ,ine
peI, prin formula obis ,nuit a
Z
Ifd:= inffc:p:Z
Igd: g este c.p. pe I s ,i majoreaza f
s,iZ
Ifd:= supfc:p:Z
Igd: g este c.p. pe I s ,i minoreaza f :
Vom spune ^ n continuare c a festeintegrabil a Riemann-Stieltjes peIreferitor la
dac a integralele Riemann-Stieltjes superioar a s ,i inferioar a coincid. ^In cazul acesta
avem Z
Ifd:=Z
Ifd=Z
Ifd:
Ca s ,i mai ^ nainte, c^ and este funct ,ia identitate (x) :=x, integrala Riemann-
Stieltjes coincide cu integrala Riemann; as ,adar integrala Riemann-Stieltjes este o ge-
neralizare a integralei Riemann.
Datorit a acestui fapt, scriemR
Ifc aR
IfdxsauR
If(x)dx.
Mare parte din teoria integralei Riemann poate  transformat a cu us ,urint , a, ^ nlocuind
integralele Riemann cu integrale Riemann-Stieltjes s ,i lungimile cu lungimi .

34
3.2 Cele dou a teoreme fundamentale de calcul
In aceast a sectiune, vom conecta integrarea s ,i diferent ,ierea prin teoremele fun-
damentale familiare de calcul. Avem, de fapt, dou a astfel de teoreme, una care
implic a derivata unei integrale s ,i cealalta care implic a integrala derivatei.
Teorema 3.2.1 (Prima teorem a fundamental a de calcul).
Fiea < b numere reale s ,i ef: [a;b]!Ro funct ,ie integrabil a Riemann. Fie
F: [a;b]!Rfunct ,ia
F(x) :=Z
[a;x]f:
AtunciFeste continu a. Mai mult, dac a x02[a;b]s,ifeste continu a pe x0, atunci
Feste diferent ,iabil a ^ nx0s,iF0(x0) =f(x0).
Demonstrat ,ie.
Din moment ce feste integrabil a Riemann, este m arginit a (prin denit ,ia integra-
lei Riemann). Avem num arul real Mastfel ^ nc^ atMf(x)M,8×2[a;b].
Fiex<y dou a elemente ale lui [ a;b]. Atunci vom observa c a
F(y)F(x) =Z
[a;y]fZ
[a;x]f=Z
[x;y]f
din teorema legilor de integrare Riemann. Din aceast a teorem a avem
Z
[x;y]fZ
[x;y]M=c:p:Z
[x;y]M=M(yx)
s,iZ
[x;y]fZ
[x;y]M=c:p:Z
[x;y]M=M(yx)
as,adar
jF(y)F(x)jM(yx):
Prin interschimbarea lui xcuyobt,inem
jF(y)F(x)jM(xy)
c^ andx>y .
Evident, vom avea F(y)F(x) = 0 c^ and x=y. As ,adar, ^ n toate cele trei ca-
zuri avem
jF(y)F(x)jMjxyj:
Acum, ex2[a;b], s,i e (xn)1
n=0orice s ,ir din intervalul [ a;b] convergent la x.
Avem
MjxnxjF(xn)F(x)Mjxnxj;8n:

35
DarMjxnxjs,iMjxnxjconverg la 0 c^ and n!1 , as,adarF(xn)F(x)
converge la 0 c^ and n!1 , deci lim n!1F(xn) =F(x). Din moment ce acest lucru
este adev arat pentru toate s ,irurilexn2[a;b] care converg la x, se observ a c a Feste
continu a ^ n x. Cumxa fost ales arbitrar din intervalul [ a;b], se poate vedea c a F
este continu a.
Presupunem acum c a x02[a;b] s,ifeste continu a ^ n x0. Alegem >0. Din conti-
nuitate, g asim  >0 astfel ^ nc^ atjf(x)f(x0)j;8x2I:= [x0;x0+]\[a;b]
sau cu alte cuvinte
f(x0)f(x)f(x0) +;8x2I:
Acum ar at am c a
jF(y)F(x0)f(x0)(yx0)jjyx0j;
8y2Idin moment ce Propozit ,ia 1.1.1. va implica faptul c a Feste diferent ,iabil a ^ n
x0cu derivata F0(x0) =f(x0).
Fix am acum y2I. Exista 3 cazuri. Dac a y=x0atunciF(y)F(x0)
f(x0)(yx0) = 0, as ,adar armat ,ia este evident a. Dac a y>x 0atunci
F(y)F(x0) =Z
[x0;y]f:
Din moment ce x0;y2Is,iIeste o mult ,ime conex a, atunci [ x0;y] este un
subspat ,iu a luiI, as,adar avem
f(x0)f(x)f(x0) +;8×2[x0;y];
astfel
(f(x0))(yx0)Z
[x0;y]f(f(x0) +)(yx0)
s,i in particular
jF(y)F(x0)f(x0)(yx0)jjyx0j:
Analog pentru y<x 0.
Denit ia 3.2.1 (Antiderivate) . Fie I un interval m arginit s ,i ef:I!Ro
funct ,ie. Spunem c a o funct ,ieF:I!Reste o antiderivata a lui fdac aFeste
diferent ,iabil a peIs,iF0(x) =f(x),8x2I.
Teorema 3.2.2 (A doua teorem a fundamental a de calcul.) Fiea;bnumere
reale cua<b s,i ef: [a;b]!Ro funct ,ie integrabil a Riemann. Dac a F: [a;b]!R
este o antiderivat a a lui f, atunci
Z
[a;b]f=F(b)F(a):

36
Demonstrat ,ie.
Vom folosi sumele Riemann. Ideea este de a ar ata c a
U(f;P)F(b)F(a)L(f;P)
pentru orice partit ,iePa lui [a;b]. Inegalitatea din st^ anga arm a c a F(b)F(a) este o
limit a inferioar a pentru fU(f;P) :Peste o partit ,ie a lui [a;b]g, ^ n timp ce inegalitatea
din dreapta arm a c a F(b)F(a) este o limit a superioar a pentru fL(f;P) :Peste
o partit ,ie a lui [a;b]g. Dar din Propozit ,ia 2.3.1. avem
Z
[a;b]fF(b)F(a)Z
[a;b]f;
dar din moment ce fse presupune c a este integrabil a Riemann, at^ at integrala Rie-
mann superioar a c^ at s ,i cea inferioar a egaleaz aR
[a;b]f. Armat ,ia este adev arat a.
Trebuie sa ar at am c a U(f;P)F(b)F(a)L(f;P):Vom demonstra prima
inegalitate, cealalt a ind similar a.
FiePo partit ,ie a lui [a;b]. Din Lema 3.1.1. avem
F(b)F(a) =X
J2PF[J] =X
J2P:J6=;F[J];
^ n timp ce din denit ,ie avem
U(f;P) =X
J2P:J6=;sup
x2Jf(x)jJj:
Va  sucient s a ar at am c a
F[J]sup
x2Jf(x)jJj
,8J2P(^ n afara mult ,imii vide).
C^ andJeste un punct atunci armat ,ia este evident a, din moment ce rezultatul
^ n ambele p art ,i este zero.
Presupunem acum c a J= [c;d];(c;d];[c;d);sau (c;d) pentruc < d . Atunci, partea
din stanga este F[J] =F(d)F(c). Din teorema de medie, rezultatul este egal cu
(dc)F0(e) pentru anumite valori e2J. Dar, din moment ce F0(e) =f(e), obt ,inem
rezultatul dorit
F[J] = (dc)f(e) =f(e)jJjsup
x2Jf(x)jJj:
Evident, a doua teorema fundamental a de calcul se poate folosi pentru a com-
pune integrale relativ usor, prin faptul c a se poate gasi o antiderivata a lui f. Obser-
vam c a prima teorema fundamental a de calcul asigura c a ecare funct ,ie integrabil a
Riemann continu a are o antiderivata. De asemenea, nu orice funct ,ie ce are o antide-
rivata este integrabil a Riemann.
Lema 3.2.1 FieIun interval m arginit s ,i ef:I!Ro funct ,ie. FieF:I!Rs,i
G:I!Rdou a antiderivate ale lui f. Atunci exist a un num ar real Castfel ^ nc^ at
F(x) =G(x) +C,8x2I.

37
3.3 Consecinte ale teoremelor fundamentale
Vom introduce acum c^ ateva consecint ,e folositoare ale teoremelor fundamentale
de calcul. Prima aplicat ,ie este formula familiar a a integr arii prin p art ,i.
Propozit ia 3.3.1 (Formula integr arii prin p art ,i).FieI= [a;b]s,iF: [a;b]!
Rs,iG: [a;b]!Rfunct ,ii diferent ,iabile pe [a;b]astfel ^ nc^ at F0s,iG0sunt integrabile
Riemann pe I. Vom avea
Z
[a;b]FG0=F(b)G(b)F(a)G(a)Z
[a;b]F0G:
^In continuare, vom ar ata c a sub anumite circumstant ,e, putem scrie o inte-
gral a Riemann-Stieltjes ca o integral a Riemann. Vom ^ ncepe cu funct ,ii constante pe
port ,iuni.
Teorema 3.3.1 Fie: [a;b]!Ro funct ,ie cresc atoare s ,i presupunem c a este de
asemenea diferent ,iabil a pe [a;b]cu0ind integrabil a Riemann. Fie f: [a;b]!Ro
funct ,ie constant a pe port ,iuni pe [a;b]. Atuncif0este integrabil a Riemann pe [a;b]
s,iZ
[a;b]fd=Z
[a;b]f0:
Demonstrat ,ie.
Din moment ce feste constant a pe port ,iuni, este integrabil a Riemann s ,i din moment
ce0este de asemenea integrabil a Riemann, atunci f0este integrabil a Riemann din
Teorema 2.4.2.
Presupunem c a feste constant a pe port ,iuni referitor la unele partit ,iiPale lui [a;b];
f ar a a pierde generalitatea, putem presupune c a Pnu cont ,ine mult ,imea vid a. Atunci
avem Z
[a;b]fd=c:p:Z
[P]fd=X
J2PcJ[J]
undecJeste valoarea constant a al lui fpeJ. Pe de alt a parte, din Teorema legilor
de integrare avem
Z
[a;b]f0=X
J2PZ
Jf0=X
J2PZ
JcJ0=X
J2PcJZ
J0:
Dar din a doua teorem a fundamental a de calcul,R
J0=[J], rezult^ and
armat ,ia.

38
Corolarul 3.3.1 Fie: [a;b]!Ro funct ,ie cresc atoare s ,i presupunem c a este
de asemenea diferent ,iabil a pe [a;b]cu0integrabil a Riemann. Fie f: [a;b]!Ro
funct ,ie integrabil a Riemann-Stieltjes cu privire la pe[a;b]. Atuncif0este inte-
grabil a Riemann pe [a;b]s,iZ
[a;b]fd=Z
[a;b]f0:
Lema 3.3.1 (Schimbare de variabila I). Fie[a;b]un interval ^ nchis s ,i e:
[a;b]![(a);(b)]o funct ,ie continu a s ,i cresc atoare. Fie f: [(a):(b)]!Ro
funct ,ie cresc atoare pe port ,iuni pe [(a);(b)]. Atuncif: [a;b]!Reste de
asemenea constant a pe port ,iuni pe [a;b]s,i
Z
[a;b]fd=Z
[(a);(b)]f:
Demonstrat ,ie.
FiePo partit ,ie a lui [(a);(b)] astfel ^ nc^ at feste constant a pe port ,iuni referi-
tor la P; putem presupune c a Pnu cont ,ine mult ,imea vid a. Pentru orice J2P, e
cJvaloarea constant a a lui fpeJ, as,adar
Z
[(a);(b)]f=X
J2PcJjJj:
Pentru ecare interval J, e1(J) :=fx2[a;b] :(x)2Jg. Atunci1(J) este
conex a, astfel ind un interval. Mai mult, cJeste valoarea constant a a lui fpe
1(J). Astfel, dac a denim Q:=f1(J) :J2Pg, atunci Qpartit ,ioneaz a pe [ a;b]
s,ifeste constant a pe port ,iuni referitor la Q. As ,adar
Z
[a;b]fd=Z
[Q]fd=X
J2PcJ[1(J)]:
Dar[1(J)] =jJj, rezult^ and armat ,ia.
Lema 3.3.2 (Schimbare de variabila II). Fie[a;b]un interval ^ nchis s ,i e:
[a;b]![(a);(b)]o funct ,ie continu a s ,i cresc atoare. Fie f: [(a);(b)]!Ro
funct ,ie integrabil a Riemann pe [(a);(b)]. Atuncif: [a;b]!Reste integrabil a
Riemann-Stieltjes cu privire la pe[a;b]s,i
Z
[a;b]fd=Z
[(a);(b)]f:
Demonstrat ,ie.

39
Observ am mai ^ ntai c a din moment ce feste integrabil a Riemann. este m arginit a s ,i
fva trebui s a e m arginita de asemenea.
Fie: 0. Putem g asi o funct ,ie constant a pe port ,iuni fcare majoreaz a pe fpe
[(a);(b)] s,i o funct ,ie constant a pe port ,iuni care minoreaz a fpe [(a);(b)] astfel
^ nc^ atZ
[(a);(b)]fZ
[(a);(b)]fZ
[(a);(b)]fZ
[(a);(b)]f+:
Aplic^ and schimbarea de variabila I , obt ,inem
Z
[(a);(b)]fZ
[a;b]fdZ
[(a);(b)]f+:
Din moment ce feste constant a pe port ,iuni s ,i minoreaz a favem
Z
[a;b]fdZ
[a;b]fd:
Similar avem c a Z
[a;b]fdZ
[a;b]fd:
As,adar
Z
[(a);(b)]fZ
[a;b]fdZ
[a;b]fdZ
[(a);(b)]f+:
Cum>0, rezult a c a
Z
[(a);(b)]fZ
[a;b]fdZ
[a;b]fdZ
[(a);(b)]f:
Combin^ and aceast a formul a cu Corolarul 3.3.1. obt ,inem urm atorul rezultat:
Propozit ia 3.3.2 (Schimbare de variabila III). Fie[a;b]un interval ^ nchis s ,i
e: [a;b]![(a);(b)]o funct ,ie diferent ,iabil a cresc atoare astfel ^ nc^ at 0este
integrabil a Riemann. Fie f: [(a);(b)]!Ro funct ,ie integrabil a Riemann pe
[(a);(b)]. Atunci (f)0: [a;b]!Reste integrabil a Riemann pe [a;b]s,i
Z
[a;b](f)0=Z
[(a);(b)]f:

40
3.4 Integrale generalizate
^In denit ,ia integralei I==Rb
af(x)dxse presupune c a intervalul [ a;b] este de
lungime nit a s ,i c a f este o funct ,ie m arginit a pe [a ;b].
Vom conveni s a numim generalizate integralele pentru care lungimea intervalului
de integrare este nit a sau f nu este m arginit a pe [a ;b] s ,i se va utiliza urm atoarea
clasicare:
1.Integrale generalizate de spet ,a ^ nt^ ai:
I=Z1
af(x)dx;I =Zb
1f(x)dx;I =Z1
1f(x)dx
f r am^ an^ and m arginit a pe intervalul de integrare.
2. Integrale generalizate de spet ,a a doua: b-a<1dar f este nem arginit a pe [a ;b]
.
3.Integrale generalizate de spet ,a a treia dac a at^ at intervalul de integrare este de
lungime innit a c^ at s ,i f este nem arginit a pe aceste intervale .
Teorema 3.4.1 (Formula lui Leibniz-Newton generalizat a) . Dac af: [a;b]!
Reste integrabil a pe (8)[a;t][a;b)s,i admite primitiva Fpe[a;b)atunciRb
af(x)dx
este convergent a dac a s ,i numai dac a (9) limt!F(t).
^In plus avemRb
af(x)dx= limt!F(t)F(a).
Teorema 3.4.2 (Formula de integrare prin p art ,i generalizat a) . Fief;g:
[a;b)!Rderivabile cu derivate continue. Dac aRb
af(x)
g0(x)convergent a s ,i exist a
limt!bf(t)g(t)atunciRb
af0(x)
g(x)este convergent a s ,i
Zb
af0(x)
g(x)dx= lim
t!bf(t)g(t)f(a)g(a)Zb
af(x)
g0(x)dx:
Teorema 3.4.3 (Formula schimb arii de variabil a generalizat a) . Fie':
[a;b)!Jderivabil a cu derivata continu a L= limt!b'0(t);f:J!Rcontinu a.
Atunci:Zb
af('(t))'0(t)dt=ZL
'(a)f(x)dx:

Capitolul 4
Aplicat ,ii integrala Riemann
4.1 Integrale rezolvate standard
1.Rx2
x2+1dx=?
Solut ,ie:
Rx2+11
x2+1dx=xarctg(x) +}:
2.R
(x3+x2+ 1)dx=?
Solut ,ie:
R
x3dx+R
x2dx+R
dx=x4
4+x3
3+x+}.
3.R2xp
(2×2+3)dx=?
Solut ,ie:
De obicei c^ and ^ nt^ alnim radicalul la numitor deriv am s ,i observ am ce form a obt ,inem:
Pentru cazul nostru observ am c a:p
2×2+ 3
0=4x
2p
2×2+3=2xp
2×2+3ceea ce reprezint a exact valoarea din integral aR2xp
2×2+3dx=Rp
2×2+ 3
0dx=p
2×2+ 3 +}:
4.I=Rdxp
14×2;x2
1
2;1
2

;I=?
Solut ,ie:
41

42
I=Rdxp
12(2x)2=1
2arcsin(2x) + }
Vericare:1
2arcsin(2x)

=1
2
1p
12(2x)2
2 =1p
12(2x)2
5.I=R
2px3
3px
dx;x> 0;I=?
Solut ,ie:
I= 2R
x1
2dx3R
x1
3dx= 2
x1
2+1
1
2+13
x1
3+1
1
3+1+}
I=2px
23×2
3
3+}
I= 4px9
23p
x2+}.
6.I=R(x21)2
x4dx;x> 0;I=?
Solut ,ie:
(x21)2=x42×2+ 1
I=Rx4
x4dx2Rx2
x4dx+R1
x4dx=R
1dx2R1
x2dx+R1
x4dx
I=R
dx+ 2R
x2dx+R
x4dx=x+2
x1
3×3+}.
7.I=R3+p
x2+4
x2+4dx;x2R;I=?
Solut ,ie:
I=R
3
x2+4+p
x2+4
x2+4
dx= 3Rdx
x2+4+Rdxp
x2+4
I=3
2arctgx
2

+ ln
x+p
x2+ 4

+}.

43
4.2 Integrarea prin p art ,i
1.R
xln(x)dx;x> 0:
Solut ,ie:
Alegemf(x) = ln(x);g0(x) =x:^In concluzie:
f0(x) =1
x;g(x) =x2
2
Aplic am formula integr arii prin p art ,i:R
xln(x)dx=R
ln(x)

x2
20
dx= ln(x)
x2
21
2R
x2
1
xdx=
=x2
2ln(x)1
4×2+}:
2.R
x2exdx;x2R:
Solut ,ie:
f(x) =ex;g0(x) =x2;atunci:
f0(x) =ex;g(x) =x3
3;deci:
R
x2exdx=R
x3
30

exdx=x3
3ex1
3R
x3
exdx
Observ am c a integrala astfel obt inut a este mult mai complicat a
Atunci vom alege f(x) =x2g0(x) =excu
f0(x) = 2x;g(x) =ex
Deci :Z
x2exdx=Z
x2(ex)0dx=
=x2ex2Z
xexdx
Aplic am ^ nc a odat a formula de integrare prin p art i  si alegem:
f(x) =x;g0(x) =exastfel ^ nc^ at:
f0(x) = 1;g(x) =exs,i obt ,inem:R
xexdx=R
x(ex)0dx=xexR
ex
x0dx=xexex+}
^In nal:R
x2exdx=x2ex2 (xexex) +}=
=ex(x22x+ 2) +}:
3.R
xsin(x)dx;x2R:
Solut ,ie:
Not amf(x) =x;g0(x) = sin(x) s,i avem:
f0(x) = 1;g(x) =cos(x)
Deci:R
xsin(x)dx=R
x(cos(x))0dx=
=xcos(x)R
cos(x)dx=
=xcos(x) + sin(x) +}:
4.Rp
x29dx;x> 3:

44
Solut ,ie:
I=Rp
x29
2
p
x29
1dx= (am rat ,ionalizat) =Rx29p
x29dx=
=Rx2p
x29dx9Rdxp
x29
ixundeI=I1I2
I2= 9
lnx+p
x29
Pentru a calcula I1;not amf(x) =x;g0(x) =p
x29
0adic a g0(x) =zx
2p
x29=
x
x29
unde:
f0(x) = 1 s ,ig(x) =p
x29
^Inconcluzie:Rx2p
x29dx=R
x
p
x29
0dx=
=xp
x29Rp
x29dx=xp
x29I;DarI=I1I2!
!I=xp
x29I9 lnx+p
x29!
!I=1
2
xp
x299 lnx+p
x29

+}:
Formula general a:
Zp
x2a2dx=1
2
xp
x2a2a2lnjx+p
x2a2b
+};x2[a;a];a> 0:
5.Rp
9x2dx;x2(3;3):
Solut ,ie:
I=Rp
9x2dx=R9x2p
9x2dx=
= 9R1p
9x2dxRx2p
9x2dxp
9x2
I2
I1= 9 arcsinx
3

+}
I2=R
x
xp
9x2dx
Observ am c a:p
9x2
0=xp
9x2
DeciI2se poate calcula prin p art i astfel :
I2=R
xp
9x2
0dx=xp
9x2+Rp
9x2dx
Finalizare :
I=I1I2= 9 arcsinx
2

+xp
9x2I!
!I=1
2
xp
9x2+ 9 arcsinx
3

+}:
Formula general a:
Zp
a2x2dx=1
2
xp
a2x2+a2
arsinx
a
+}x2[a;a];a> 0
6.R
excos(x)dx;x2R:
Solut ,ie:
Not amf(x) = cos(x) s,ig0(x) =ex!f0(x) =sin(x) s,ig(x) =ex

45
Integrala devine:
I=Rx
xexcos(x)dx=R
(ex)0cos(x)dx=
=excos(x)R
ex(sin(x))dx=
=excos(x) +RZ
exsin(x)dx
|{z}
Pentru a calcula integrala I0folosim iar a si formula de integrare prin p art i astfel :
f(x) = sin(x) s,ig0(x) =ex!f0(x) = cos(x) s,ig(x) =ex
I0=R
(ex)0sin(x)dx=exsin(x)R
excos(x)dx
^In concluzie:
I=excos(x) +exsin(x)I!
!I=ex
2(cos(x) + sin(x)) +}
4.3 Metoda substitut ,iei
1.f(x) =2x+1
x2+x+7;x2R:
Solut ,ie:
Not amx2+x+ 7 =ts,i deriv am:
(x2+x+ 7)0dx=t0dt!(2x+ 1)dx=dt
Integrala devine:
I=R2x+1
x2+x+7dx=Rdt
t= lnjtj+}
Revenind la substitut ,ia facut a avem:
I= ln (x2+x+ 7) +}:
2.f(x) =x3ex4;x2R:
Solut ,ie:
Not am ex=tderiv^ and constat am:
4
x3ex4=dt!x3ex4dx=dt
4^In aceste circumstant ,e:
I=R
x3ex4dx=1
4Rdt
t=1
4lnjtj+}
I=1
4ln
ex4
+}:
3.f(x) = sin3(x)
cos3(x);x2R:
Solut ,ie:
Not am cos( x) =t! sin(x)dx=dt

46
I=Z
sin3(x)
cos3(x)dx=Z
sin2(x)
sin(x)
cos3(x)dx=
=Z
1cos2(x)


sin(x)
cos3(x)dx=Z
1t2


t3dt=
=Z
t5t3

dt=Z
t5dtZ
t3dt=
=t6
6t4
4+}0
Finalizare:
I=cos6(x)
6cos4(x)
4+}:
4.f(x) =etg(x)
cos2(x);x2

2;
2

:
Solut ,ie:
Not am tg(x) =t!dx
cos2(x)=dt
Prin schimbare de variabil a :
I=Retg(x)
cos2(x)dx=R
etdt=et+}
Revenind la schimbarea f acut a:
I=eg(x)+}.
5.f(x) =1
x2+x+1;x2R:
Solut ,ie:
Observ am c a x2+x+ 1 =
x2+2x
1
2+1
4

1
4+ 1 =
=
x+1
2
2+3
4
I=Rdxpx+2+x+1=Rdx
(x+1
2)2+p
3
22
Not amx+1
2=t!dx=dt
I=Rdtr
t2+p
3
22= lnt+r
x+1
2
2+p
3
22+}
^In nal:
I= ln
x+1
2
2+q
x+1
2
2+p
3
22
+}sau
I= lnh
x+1
2
2+p
x2+x+ 1i
+}:
4.4 Integrarea funct ,iilor rat ,ionale simple
1.f(x) =x
(x+1)(2x+1);x>1;x2R.
Solut ,ie:
Calculul primitivei acestei funct ii presupune mai ^ nt^ ai descompunerea ei ^ n funct ii
rat ionale simple, adic a:

47
x
(x+1)(2x+1)=A
x+1+B
2x+1
Dupa ce aducem la acelas ,i numitor obt ,inem:
x
(x+1)(2x+1)=2Ax+A+Bx+B
(x+1)(2x+1);de fapt:
x+ 0 =x(2
A+B) +A+B
Trecem la identicarea coecient ,ilor:
2
A+B= 1
A+B= 0
pentru c a coecientul lui x este 1 iar coecientul liber este 0.
Rezolv^ and sistemul obt inem:
A= 1 s ,iB=1
Ajungem la concluzia:x
(x+1)(2x+1)=1
x+11
2x+1;prin urmare:
Z
f(x) =Z1
x+ 11
2x+ 1
dx=
=Zdx
x+ 1Zdx
2x+ 1=
= ln(x+ 1)1
2ln(2x+ 1) +}=
= lnx+ 1p2x+ 1
+}:
2.f(x) =6x+21
x2+x2;x> 1.
Solut ,ie:
Calcul am solut iile ecuat iei x2+x2 = 0 cu scopul de a descompune funct ia f(x) ^ n
funct ii rat ionale simple.
x2+x+ 2 = 0
D= 1 + 8 = 9!D= 1!x1= 1 s ,ix2=2
Observ am c a:6x+21
x2+x2=6x+21
(x1)(x+2)=A
x1+B
x+2
6x+ 21 =Ax+ 2A+BxB
6x+ 21 =x(A+B) + 2AB
Indentic am coecient ,ii :
A+B= 6
2AB= 21
3A = 27!A= 9 s ,iB=3
Astfel am a
at c a:
I=Z6x + 21
x2+x2dx= 9Zdx
x13Zdx
x+ 2== 9 ln(x1)3 ln(x+ 2) +}
I= ln(x1)9
(x+ 2)3+}

48
4.5 Integrarea funct ,iilor rationale pentru care nu-
mitorul are r ad acini reale multiple
1.f(x) =1
x(x+1)2;x> 0.
Solut ,ie:
^In acest caz funct ia admite descompunerea :
1
x(x+1)2=A
x+B
x+1+C
(x+1)2
1 =A(x+ 1)2+Bx(x+ 1) +Cx
1 =x2(A+B) +x(2A +B+C) +A8
<
:A+B= 0
2A+B+C= 0
A= 1()A= 1;B=C=1
Deci:f(x) =1
x1
x+11
(x+1)2iar,R
f(x)dx= ln(x)ln(x+ 1)R
(x+ 1)2dx
Pentru a calculaRdx
(x+1)2notx+ 1 =t!dx=dts,i (x+ 1)2=t2
Rdx
(x+1)2=Rdt
t2=R
t2dt=1
t+}
Finalizare :Z
f(x)dx= lnx
x+ 1

1
x+ 1
+}=
=1
x+ 1+ lnx
x+ 1
+}.
2.f(x) =x2
(x+1)(x+2)2;x>1.
Solut ,ie:
Descompunem funct ia f(x)
x2
(x+1)(x+2)2=A
x+1+B
x+2+C
(x+2)2
x2=A(x+ 2)2+B(x+ 1)(x+ 2) +C(x+ 1)
8
<
:A+B= 1
4A+ 3B+C= 0()A= 1;B= 0;C=4
4A+ 2B+C= 0
Z
f(x)dx=Zdx
x+ 14Zdx
(x+ 2)2=
= ln(x+ 1) +4
x+ 2+}.

49
4.6 Integrarea unor funct ,ii rationale care au nu-
mitorul cu r ad acini complexe simple
1.f(x) =1
x3+1;x> 0.
Solut ,ie:
Descompunem funct ,ia:
1
x3+1=1
x(x2+1)=A
x+Bx+C
x2+1
Observ am c a numitorul x2+1 admite r ad acini complexe. Datorit a acestui fapt ^ n des-
compunerea f acut a ^ nt^ alnim mai nou termenul"Bx+C" ^ n loc de obi snuitul \B+C".
1 =A(x2+ 1) +x(Bx+C)
A+B= 0
C= 0
A= 1!B=1 Z
f(x)dx=Z1
x1
x2+ 1
dx=
=Zdx
xZdx
x2+ 1=
=arctgx+ ln(x) +}.
2.f(x) =4x+5
(x+2)(x2+x+1);x> 0.
Solut ,ie:
4x+5
(x+2)(x2+x+1)=A
x+2+Bx+C
x2+x+1
4x+ 5 =A(x2+x+ 1) + (Bx+C)(x+ 2)
4x+ 5 =A(x2+x+ 1) +Bx2+ 2Bx+Cx+ 2C
8
<
:A+B= 0!B=A
A+ 2B+C= 4
A+ 2C= 5()A+C= 4
A+ 2C= 5()A=1;B= 1;C= 3
Z
f(x) =Zdx
x+ 2+Zx+ 3
x2+x+ 1dx=
=ln(x+ 2) +I0;undeI0=Zx+ 3
x2+x+ 1dx
Observ am c a ( x2+x+ 1)0= 2x+ 1 ,a sadar pentru a efectua o schimbare de va-
riabil a modic am put in forma integralei I ' .
I0=1
2R2x+6
x2+x+1dx=1
2Z2x + 1
x2+x+ 1|{z}I0
1dx+3
2Rdx
x2+x+1
Pentru a rezolva integrala I0
1efectu am schimbarea de variabil a:
x2+x+ 1 =a
(2x + 1)0dx=da
I0
1=1
2Rda
a=1
2ln(a) +}
I0
1=1
2ln (x2+x+ 1) +}
I0
2=3
2Rdx
x2+x+1=3
2Rdx
(x+1
2)2+p
3
22=

50
=3
2
2p
3
arctgx+1
2p
3
2+}
Finalizare :Z
f(x)dx=ln(x+ 2) +I0
1+I0
2=
=ln(x+ 2) + lnp
x2+x+ 1 +p
3
arctg2x+ 1p
3+}=
= lnp
x2+x+ 1
x+ 2+p
3 arctg2x+ 1p
3+}.
4.7 Integrarea funct ,iilor trigonometrice
^In caculul integralelor trigonometrice putem folosi e formula integr arii prin
p art i, e metoda substitut iei. ^In utimul caz, putem apela la substitut iile:
1. Dac a funct ,ia este impar a ^ n sin x,
R(sinx;cosx) =R(sinx;cosx), atunci cos x=t.
2. Dac a funct ia cos x,
R(sinx;cosx) =R(sinx;cosx), atunci sin x=t.
3. Dac a funct ia este par a ^ n raport cu ambele variabile
R(sinx;cosx), atuncitgx=t.
4. Dac a o funct ie nu se ^ ncadreaz a ^ n cazurile 1,2,3 atunci se utilizeaz a substitut iile
universale:
sinx=2t
1+t2;cosx=1t2
1+t2;undet= tgx
2
5. Mai putem folosi  si alte formule trigonometrice:
sin 2x= 2 sinx
cosx;sin2x=1cos 2x
2;cos2x=1+cos 2x
2:
1.f(x) = cos3x
sin 2x.
Solut ,ie:
Not am cosx=t! sinxdx=dtR
cos3x
sin 2xdx=R
cos3x
2 sinxcosxdx= 2R
cos4xsinxdx=
=2R
t4dt=2
t3
5+}=2
5cos5x+}.
2.f(x) =1
53 cosx;x2
0;
2

.
Solut ,ie:
Not amt= tgx
2:Cum cosx=1t2
1+t2;integrala asociat a este:
I0=R2dt
1+t2
53(1t2)
1+t2=1
4Rdt
t2+(1
2)2=1
4
2 arctg(2t) + }=1
2arctg(2t) + }
Finalizare :

51
R
f(x)dx=1
2arctg
2 tgx
2

+}:
3.f(x) =sinx
1+cosx+cos2x;x2
0;
2

.
Solut ,ie:
Not am cosx=t! sinxdx=dtR
f(x)dx=Rdt
1+t+t2
dar;1
t2+t+1=1
(t+1
2)2+p
3
22
Rdt
1+t+t2=Rdt
(t+1
2)2+p
3
22=2p
3arctgt+1
2p
3
2
Finalizare :R
f(x)dx=2p
3
3arctg2 cosx+1p
3+}

52
4.8 Volumul corpurilor de rotat ,ie
Denit ia 4.8.1 Fiea;b2R;a<b s,if: [a;b]!R+.
Mult ,imeaCf=n
(x;y;z )2R3=p
y2+z2f(x);axbo
se nume ste corpul de
rotat ,iedeterminat de funct ,ia f sau corpul obt ,inut prin rotirea subgracului funct ,iei
f ^ n jurul axe Ox.
Observat ia 4.8.1 Dac a funct ,iag: [a;b]!R+este constant a pe port ,iuni, adic a
dac a exist a o diviziune
= (a=x0<:::<x n=b)a lui [a;b]astfel ^ nc^ at geste
constant a pe ecare interval (xi1xi);g(x) =ci;(8)x2(xi+1xj)atunci corpul de
rotat ,ie determinat de geste o reuniune nit a de cilindri. Volumul unui asemenea
corp de rotat ,ie este:
vol(Cg) =nX
i=1c2
i(xixi1)
.
Denit ia 4.8.2 Se numes ,te mult ,ime cilindric a elementar a orice mult ,ime care se
obt ,ine prin rotirea subgracului unei funct ,ii constante pe port ,iuni in jurul axei Ox.
Cel mai mic (respectiv cel mai mare) dintre numerele pozitive c1;:::;cnva  numit
raza minim a (respectiv raza maxim a) a mult ,imii cilindrice elementare Cf.
Denit ia 4.8.3 Fief: [a;b]!R+s,iCfcorpul de rotat ,ie determinat de funct ,ia
f. Spunem c a Cfare volum dac a exist a dou a s ,iruri (Gn)n2Ns,i(Hn)n2Nde mult ,imi
cilindrice elementare astfel ^ nc^ at:
(1.)GnCfHn; (8)n2N si
(2.) limn!1vol(Gn) = limn!1vol(Hn):
^In acest caz volumul lui Cfse denes ,te prin:
vol (Cf) = lim
n!1vol(Gn) = lim
n!1vol(Hn):
Observat ia 4.8.2 Denit ,ia volumului corpului de rotatie Cfnu depinde de  sirurile
(Gn)n2Nsi (Hn)n2Nconsiderate.

53
Teorema 4.8.1 Dac af: [a;b]!R+este o funct ,ie continu a atunci corpul de rotat ,ie
determinat de fare volum s ,i
vol (Cf) =Zb
af2(x)dx
Corolarul 4.8.1 Dac a funct ,iilef1f2: [a;b]!R+sunt integrabile pe [a;b]iar
f1(x)f2(x);(8)x2[a;b]atunci corpul obt ,inut prin rotirea ^ n jurul axei Oxa
funct ,ieif2(x)f1(x)are volum  si
vol(Cf) =Zb
a
f2
2(x)f2
1(x)
dx
Exemplul 4.8.1 S a se calculeze volumul sferei de raz a R. Sfera se obt ,ine rotind
semicercul de raz a R ^ n jurul axei Ox. Ecuat ,ia arculuiAB estey=p
R2x2;x2
[R;R]: Vol (Cf) =RR
Rp
R2x2
2dx=RR
R(R2x2)dx=4R3
3:
Exemplul 4.8.2 S a se calculeze volumul trunchiului de con. Trunchiul de con se
obt ,ine prin rotirea trapezului O0ABO00^ n jurul axei. Fie rs,iRrazele bazelor trun-
chiului de con. Ecuat ,ia drepteiAB estey=Rr
ba(xa) +r;iarh=bain alt ,imea
conului.
vol (Cf) =Zb
aRr
ba(xa) +r2
dxxa=t=
=Zb
aRr
ht+r2
dt=
=~h
3
R2+r2+Rr

54
Exemplul 4.8.3 Volumul elipsoidului de rotat ,ie. Se obt ,ine prin rotirea mult ,imii
E=n
(x;y)2R2=x2
a2+y2
b21o
;(a;b)>0^ n jurul axei Ox. Datorit a simetriei elip-
soidului fat , a de planul yOz este sucient s a calcul am numai volumul jum at at ,ii situate
^ n partea dreapt a ( x>0) a planului yOz.
Fie
f[0;a]!R;f(x) =b
ap
a2x2
vol (Cf) = 2Za
0f2(x)dx= 2b2
a2Za
0
a2x2

dx=
= 2b2
a2
a2xx3
3a
0= 2b2
a2
a3a3
3
=4
3b2a:
Observat ,ie: Pentru a=b=r se g ase ste for-
mula volumului sferei.
Exemplul 4.8.4 Volumul paraboliodului de rotat ,ie. Se obt ,ine prin rotirea ^ n jurul

55
axei Ox a funct ,iei
f: [0;b]!R+;f(x) =p
2ax
vol (Cf) =Zb
0f2(x)dx= 2aZb
0xdx= 2ax2
2b
0=ab2:
Exemplul 4.8.5 Volumul hiperboloidului de rotat ,ie. Fie
f: [a;b]!R+;f(x) =p
x2a2
vol (Cf) =Zb
af2(x)dx=Zb
a
x2a2

dx=x3
3a2xb
a=
=b3
3a2b
a3
3a3
=
3
b3+ 2a33a2b

:

Capitolul 5
Integrala Lebesgue
^In capitolele anterioare, am analizat integrala Riemann integr^ and pentru^ nceput
o clas a particular a de funct ,ii s,i anume, funct ,iile constante pe port ,iuni. Acestea obt ,in
^ ns a un num ar nit de valori (fat , a de multe funct ,ii din viat ,a real a, care pot lua un
num ar innit de valori). Putem integra aceste funct ,ii prin procedee similare.
Vom folosi o lozoe similar a pentru a construi integrala Lebesgue. Vom
^ ncepe prin a considera o subclasa special a de funct ,ii m asurabile- funct ,iile simple .
Vom ar ata cum s a integr am funct ,ii simple s ,i apoi vom putea integra toate funct ,iile
m asurabile (sau cel put ,in cele absolut integrabile).
5.1 Funct ,iile simple
Denit ia 5.1.1 (Funct ,iile simple). Fie
o submult ,ime masurabil a a lui Rn
s,i ef:
!Ro funct ,ie masurabil a.Spunem c a feste o funct ,ie simpl a dac a
imagineaf(
) este nit a. Cu alte cuvinte, exist a un num ar nit de numere reale
c1;c2;:::;cNastfel ^ nc^ at pentru 8×2
, avemf(x) =cjpentru 1jN.
Remarc am trei propriet at ,i de baz a ale funct ,iilor simple: formeaz a un spat ,iu
vectorial, sunt combinat ,ii liniare de funct ,ii caracteristice s ,i aproximeaz a funct ,ii m asurabile.
Mai precis, vom avea urm atoarele trei leme:
Lema 5.1.1 Fie
o submult ,ime masurabil a a lui Rns,i ef:
!Rs,ig:
!R
funct ,ii simple. Atunci f+geste de asemenea o funct ,ie simpl a. Totodat a, pentru
8c2R, funct ,iacfeste de asemenea o funct ,ie simpl a.
56

57
Lema 5.1.2 Fie
o submult ,ime masurabil a a lui Rns,i ef:
!Rfunct ,ii simple.
Atunci exist a un num ar nit de numere reale c1;:::;cNs,i un num ar nit de mult ,imi
disjuncte m asurabile E1;E2;:::;ENdin
astfel ^ nc^ at f=PN
i=1ciXEi.
Lema 5.1.3 Fie
o submult ,ime m asurabil a a lui Rns,i ef:
!Ro funct ,ie
m asurabil a. Presupunem c a feste totdeauna pozitiv a, f(x)0,8×2
. Atunci
exist a un s ,irf1;f2;f3;:::de funct ,ii simple,fn:
!Rastfel ^ nc^ at funct ,iilefnsunt
pozitive s ,i cresc atoare,
0f1(x)f2(x)f3(x):::;8×2
s,i
lim
n!1fn(x) =f(x);8×2
:
Denit ia 5.1.2 (Integrala Lebesgue a funct ,iilor simple). Fie
o submult ,ime
masurabil a a lui Rns,i ef:
!Ro funct ,ie simpl a pozitiv a; astfel feste masurabil a
s,i imagineaf(
)este nit a s ,i cont ,inut a ^ n [0;1). Denim apoi integrala Lebesgue
R

fa luifpe
prin
Z

f:=X
2f(
);>0m(fx2
:f(x) =g):
Vom scrie c^ ateodata f
fc aR

fdm (pentru a evident ,ia rolul m asurii Lebesgue
m) sau folosim o variabil a cum ar  x,R

f(x)dx.
Propozit ia 5.1.1 Fie
o mult ,ime masurabil a s ,i ef:
!Rs,ig:
!Rfunct ,ii
simple nenegative.
(a) Avem 0R

f1 . Mai mult, avem f
f= 0 dac a s ,i numai dac a m(fx2
:
f(x)6= 0g) = 0 .
(b) AvemR

(f+g) =R

f+R

g.
(c) Pentru8num ar pozitiv c, avemR

cf=cR

f.
(d) Dac af(x)g(x),8xR

, avemR

fR

g.

58
Vom face o notat ,ie foarte convenient a: dac a proprietatea P(x) este adev arat a
pentru toate punctele din
, except^ and o mult ,ime de m asur a zero, atunci spunem c a
Peste adev arat a pentru aproape toate punctele din
. Atunci (a) arm a c aR

f= 0
dac a s ,i numai dac a feste 0 pentru aproape orice punct din
.
5.2 Integrarea funct ,iilor m asurabile ne-negative
Vom trece acum de la integrarea de funct ,ii simple ne-negative la integrarea
funct ,iilor m asurabile ne-negative. Vom permite funct ,iilor noastre m asurabile s a ia
c^ ateodat a valoarea + 1.
Denit ia 5.2.1 (Majorarea). Fief:
!Rs,ig:
!Rfunct ,ii. Spunem c a f
majoreaz a gsaugminoreaz a f, dac a s ,i numai dac a avem f(x)g(x),8×2
.
Folosim c^ ateodat a fraza " fdomin ag" ^ n loc de " fmajoreaz ag".
Denit ia 5.2.2 (Integrala Lebesgue pentru funct ,ii ne-negative). Fie
o
submult ,ime m asurabil a a lui Rns,i ef:
![0;1]o funct ,ie m asurabil a s ,i ne-
negativ a. Denim integrala LebesgueR

fa luifpe
ca
Z

f:= supfZ

s:s este simpla s ,i ne-negativa s ,i minoreaza fg:
Propozit ia 5.2.1 Fie
o mult ,ime m asurabil a s ,i ef:
![0;1]s,ig:
![0;1]
funct ,ii ne-negative m asurabile.
(a) Avem 0R

f1 . Mai mult, avemR

f= 0 dac a s ,i numai dac a f(x) = 0
pentru aproape orice x2
.
(b) Pentru orice num ar pozitiv c, avemR

cf=cR

f.
(c) Dac af(x)g(x),8×2
, atunci avemR

fR

g.
(d) Dac af(x) =g(x)pentru aproape orice x2
, atunciR

f=R

g.
(e) Dac a
0
este m asurabil a, atunciR

0f=R

fX
0R

f.

59
Propozit ,ia anterioar a este foarte interesant a; arm a c a putem modica valorile
unei funct ,ii pe orice spat ,iu de m asur a zero (putem modica o funct ,ie pe orice num ar
rat,ional) s ,i nu ^ i afect am integrala. Este ca s ,i c^ and nici unul din punctele individuale
sau o mult ,ime de puncte de m asur a zero nu are un rol ^ n integrala unei funct ,ii; doar
mult ,imea colectiv a de puncte are o in
uent , a pe o integral a.
Teorema 5.2.1 (Teorema convergent ,ei monotone a lui Lebesgue). Fie
o
submult ,ime m asurabil a a lui Rns,i e(fn)1
n=1un s ,ir de funct ,ii m asurabile nenegative
de la
laRcare este cresc ator ^ n urm atorul mod
0f1(x)f2(x)f3(x)::::8×2
:
Observat ia 5.2.1 Presupunem c a fn(x)este cresc atoare cu privire la n; aceasta este
o not ,iune diferit a de cazul ^ n care fn(x)este cresc atoare cu privire la x. Avem
0Z

f1Z

f2Z

f3:::
s,iZ

sup
nfn= sup
nZ

fn:
Aceast a teorem a este extrem de folositoare. De exemplu, putem interschimba
suma cu integrarea:
Lema 5.2.1 (Interschimbarea sumei s ,i integr arii). Fie
o submult ,ime m asurabila
a luiRns,i ef:
![0;1]s,ig:
![0;1]funct ,ii m asurabile. Atunci
Z

(f+g) =Z

f+Z

g:
Demonstrat ,ie.
Din lema …, exist a un s ,ir 0s1s2:::fde funct ,ii simple astfel ^ nc^ at
supnsn=fs,i similar un s ,ir 0t1t2:::gde funct ,ii simple astfel ^ nc^ at
supntn=g. Din moment ce s ,irurilesns,itnsunt cresc atoare este us ,or de vericat c a
sn+tneste de asemenea cresc ator s ,i supn(sn+tn) =f+g. Din teorema convergent ,ei
monotone avem Z

f= sup
nZ

sn
Z

g= sup
nZ

tn
Z

(f+g) = sup
nZ

(sn+tn):

60
AvemR

(sn+tn) =R

sn+R

tn.R

sns,iR

tnsunt cresc atoare in n, as,adar
sup
n(Z

sn+Z

tn) = (sup
nZ

sn) + (sup
nZ

tn):
Bine^ nt ,eles, putem schimba o integral a cu o sum a de dou a funct ,ii, put^ andu-se
manipula o integral a sau orice num ar nit de funct ,ii prin induct ,ie. Mai surprinz ator,
se pot manipula sume innite s ,i funct ,ii nenegative:
Corolarul 5.2.1 Dac a
este o submult ,ime m asurabil a a lui Rns,ig1;g2;:::e un s ,ir
de funct ,ii m asurabile nenegative de la
la[0;1], atunci
Z

1X
n=1gn=1X
n=1Z

gn:
Observ am c a nu trebuie s a presupunem nimic despre convergent ,a sumelor de
mai sus; se poate ^ nt^ ampla c a ambele p art ,i sa e egale cu1. Totus ,i, trebuie s a
presupunem pozitivitatea .
Lema 5.2.2 (Lema lui Fatou). Fie
o submult ,ime m asurabil a a lui Rns,i e
f1;f2;:::un s ,ir de funct ,ii ne-negative de la
la[0;1]. Atunci
lim

lim
n!1inffnlim
n!1infZ

fn:
Demonstrat ie.
Ne amintim c a
lim inf
n!1fn= sup
n( inf
mnfm)
s,i astfel, din teorema convergent ,ei monotoneZ

lim inf
n!1fn= sup
nZ

( inf
mnfm):
Avem Z

( inf
mnfm)Z

fj
8jn; lu^ and inmum ^ n jobt,inemZ

( inf
mnfm)inf
jnZ

fj:
As,adar
lim inf
n!1fnsup
ninf
jnZ

fj= lim inf
n!1Z

fn:
Observ am c a permitem funct ,iilor s a ia valoarea 1^ n anumite puncte. Este
posibil ca o funct ,ie s a ia valoarea1, dar s a aib a o integral a nit a; de exemplu, dac a
Eeste un spat ,iu de m asur a zero s ,if:
!Reste egal a cu1peE, dar egal a cu 0
^ n orice alt punct, atunciR

f= 0. Totus ,i, dac a integrala este nit a, funct ,ia trebuie
s a e nit a aproape peste tot.

61
5.3 Integrarea funct ,iilor absolut integrabile
Am ^ ncheiat teoria pentru integrala Lebesgue a funct ,iilor nenegative. Acum,
vom considera cum s a integr am funct ,iile care pot  s ,i pozitive s ,i negative. Totus ,i,
^ ncerc am s a evit am expresiile nedenite 1+ (1), asa c a ne vom r asfr^ ange atent ,ia
asupra unei subclase de funct ,ii m asurabile-funct ,iile absolut integrabile.
Denit ia 5.3.1 (Functii absolut integrabile). Fie
o submult ,ime m asurabil a a lui
Rn. O funct ,ie m asurabil a f:
!Reste absolut integrabil a dac a integralaR

jfj
este nit a.
Evident,jfjeste ^ ntotdeauna pozitiv a, asa c a denit a are sens chiar dac a sem-
nul luifse schimba. Funct ,iile absolut integrabile mai sunt cunoscute ca funct ,iiL1(
).
Dac af:
!Reste o funct ,ie, denim partea pozitiv a f+:
![0;1] s,ipar-
tea negativ a f:
![0;1] prin formula
f+:= max(f;0);
f:=min(f;0):
Remarca 5.3.1 Observ am c a f+s,ifsunt pozitive s ,i
f=f+f;
jfj=f++f:
Denit ia 5.3.2 (Integrala Lebesgue). Fie f:
!Ro funct ,ie absolut integrabil a.
Denim integrala LebesgueR

fa luifca ind cantitatea
Z

f:=Z

f+Z

f:
Observ am c a din moment ce feste absolut integrabil a,R

f+s,iR

fsunt
mai mici sau egale cuR

jfj, astfel ind nite. As ,adarR

feste ^ ntotdeauna nit a;
nu ^ nt^ alnim niciodat a forma nedeterminat a 11 .
Aceast a denit ,ie corespunde denit ,iei noastre anterioare a integralei Lebesgue
pentru funct ,ii nenegative, din moment ce feste nenegativ a atunci f+=fs,if= 0.
Avem de asemenea, folositoarea inegalitate a triunghiului
jZ

fjZ

f++Z

f=Z

jfj:
Alte propriet at ,i ale integralei Lebesgue:

62
Propozit ia 5.3.1 Fie
o mult ,ime m asurabil a s ,i ef:
!Rs,ig:
!Rfunct ,ii
absolut integrabile.
(a) Pentru8c2Ravem c acfeste absolut integrabil a s ,iR

cf=cR

f.
(b) Funct ,iaf+geste absolut integrabil a s ,iR

(f+g) =R

f+R

g.
(c) Dac af(x)g(x),8×2
, atunci avemR

fR

g.
(d) Dac af(x) =g(x),pentru aproape8x2
, atunci avemR

f=R

g.
Teorema 5.3.1 (Convergent ,a dominat a a lui Lebesgue). Fie
o submult ,ime m asurabil a
a luiRns,i ef1;f2;:::un s ,ir de funct ,ii m asurabile de la
laRcare converge punc-
tual. Presupunem c a exist a o funct ,ie integrabil a absolut F:
![0;1]astfel ^ nc^ at
jfn(x)jF(x),8×2
s,in= 1;2;3;:::. Atunci
Z

lim
n!1fn= lim
n!1Z

fn:
Denit ia 5.3.3 (Integrala Lebesgue superioar a s ,i inferioar a). Fie
o submult ,ime
m asurabil a a lui Rns,i ef:
!Ro funct ,ie (nu neaparat m asurabil a). Denim
integrala superioar a LebesgueR

fca ind
Z

f:= inffZ

g:g este o funct ,ie absolut integrabil a de la
laRcare majoreaza funct ,ia fg
s,i integrala inferioar a LebesgueR

fca ind
Z

f:= supfZ

g:g este o funct ,ie absolut integrabil a de la
laRcare minoreaza funct ,ia fg
Este us ,or de observat c a
fR

f(folosind punctul (c) de la propozit ,ia an-
terioar a). C^ and feste absolut integrabil a avem egalitate. Reciproca este adev arat a.
Lema 5.3.1 Fie
o submult ,ime m asurabil a a lui Rns,i ef:
!Ro funct ,ie
(nu neap arat m asurabil a). Fie Aun num ar real s ,i presupunem c aR

f=R

f=A.
Atuncifeste absolut integrabil a s ,i
Z

f=Z

f=Z

f=A:

63
5.4 Compararea cu integrala Riemann
Ne vom adresa acum modului ^ n care trebuie s a compunem orice integral a
Lebesgue s ,i s a vedem dac a integrala Lebesgue este diferit a de integrala Riemann.
Acum vom ar ata c a integrala Lebesgue este o generalizare a integralei Riemann. Vom
distinge temporar integrala Riemann de cea Lebesgue scriind integrala RiemannR
If
caR:R
If.
Propozit ia 5.4.1 FieIRun interval s ,i ef:I!Ro funct ,ie integrabil a
Riemann. Atunci feste absolut integrabil a s ,iR
If=R:R
If.
Demonstrat ,ie.
ScriemA:=R:R
If. Din moment ce feste integrabil a Riemann, s ,tim c a integralele
superioare s ,i inferioare Riemann sunt egale cu A. As ,adar, pentru orice >0, exist a
o partit ,iePa lui I ^ n intervale mai mici astfel ^ nc^ at
AX
J2PjJjinf
x2Jf(x)AX
J2PjJjsup
x2Jf(x)A+;
undejJjdenot a lungimea lui J. Observ am c ajJjcoincide cu m(J). Fief
:I!R
s,if+
:I!Rfunct ,iile
f
(x) =X
J2Pinf
x2Jf(x)XJ(x)
s,i
f+
(x) =X
J2Psup
x2Jf(x)XJ(x);
sunt funct ,ii simple s ,i astfel m asurabile s ,i absolut integrabile. Avem
Z
If
=X
J2PjJjinf
x2Jf(x)
s,iZ
If+
=X
J2PjJjsup
x2Jf(x)
s,i astfel
AZ
If
AZ
If+
A+:
Din moment ce f+
majoreaz afs,if
minoreaz af, avem
AZ

fZ

fA+
pentru8, as,adarZ

f=Z

f=A

64
s,i astfel din Lema 4.3.1., feste absolut integrabil a cuR
If=A, dupa cum ne-am
dorit.
As,adar ecare funct ,ie integrabil a Riemann este de asemenea integrabil a Le-
besgue, cel put ,in pe intervale m arginite, astfel notat ,iaR:R
Ifnu mai este necesar a.
Totus ,i, reciproca nu mai este adev arat a.
Lu am, de exemplu, funct ,iaf: [0;1]!Rdenit a prin f(x) := 1 c^ and xeste rat ,ional
s,if(x) := 0 c^ and xeste irat ,ional.
Atunci funct ,iafnu este integrabil a Riemann. Pe de alt a parte, feste funct ,ia
caracteristic a pe mult ,imeaQ[[0;1], care este m asurabil a s ,i de masur a zero.
As,adarfeste integrabil a Lebesgue s ,iR
[0;1]f= 0. As ,adar integrala Lebesgue
poate manipula mai multe funct ,ii dec^ at integrala Riemann; acest fapt este unul din
motivele principale pentru care folosim integrala Lebesgue ^ n analiz a.
Un alt motiv este acela c a integrala Lebesgue interact ,ioneaz a foarte bine cu
limitele dup a cum atest a teorema convergent ,ei monotone a lui Lebesgue, lema lui
Fatou s ,i teorema convergent ,ei dominate. Pentru integrala Riemann nu avem teoreme
comparabile.
5.5 Teorema lui Fubini
Am ar atat ^ ntr-o dimensiune c a integrala Lebesgue este legat a de integrala
Riemann. Acum vom incerca s a ^ nt ,elegem aceast a conexiune ^ n dimensiuni mai
mari. Pentru a simplica aceast a discut ,ie, vom studia integralele bi-dimensionale,
argumentele prezentate aici put^ and  extinse cu us ,urint , a la dimensiuni mai inalte.
Vom studia integralele de formaR
R2f. Observ am c a odat a ce s ,tim s a integr am
peR2putem integra pe submult ,imi m asurabile
ale lui R2, din moment ceR

fpoate
 rescris a caR
R2fX
.
Fief(x;y) o funct ,ie de dou a variabile. ^In principiu, avem trei c ai diferite de
a integrafpeR2.^In primul rand, putem folosi integrala bi-dimensional a pentru a
obt,ineR
R2f.
^In al doilea rand, x am xs,i compunem o integral a uni-dimensional a ^ n y, apoi
lu am acea cantitate s ,i integr am ^ n x, astfel obt ,in^ andR
R(R
Rf(x;y)dy)dx. Apoi, putem
xays,i integra ^ n xs,i apoi integram ^ n y, astfel obt ,in^ andR
R(R
Rf(x;y)dx)dy.
Din fericire, dac a funct ,iafeste absolut integrabil a pe fatunci cele trei inte-
grale sunt egale:
Teorema 5.5.1 (Teorema lui Fubini). Fie f:R2!Ro funct ,ie absolut integrabil a.
Atunci exist a funct ,ii absolut integrabile F:R!Rs,iG:R!Rastfel ^ nc^ at pentru

65
aproape oricare x,f(x;y)este absolut integrabil a ^ n ycu
F(x) =Z
Rf(x;y)dy;
s,i pentru aproape oricare y,f(x;y)este absolut integrabil a ^ n xcu
G(y) =Z
Rf(x;y)dx:
^In concluzie, avemZ
RF(x)dx=Z
R2f=Z
RG(y)dy:
Remarca 5.5.1 ^In termeni rigizi, teorema lui Fubini spune c a
Z
R(Z
Rf(x;y)dy)dx=Z
R2f=Z
R(Z
Rf(x;y)dx)dy:
Acest lucru ne permite s a compunem integrale bi-dimensionale ^ mp art ,indu-le in dou a
integrale uni-dimensionale.
Motivul pentru care nu scriem teorema lui Fubini ^ n acest fel, este acela c a este
posibil ca integralaR
Rf(x;y)dynu exist a pentru oricare xs,i, similar,R
Rf(x;y)dxnu
exist a pentru oricare y. Teorema lui Fubini arm a c a aceste integrale exist a pentru
aproape orice xs,iy.
De exemplu, dac a f(x;y)este funct ,ia egal a cu 1 c^ and y >0s,ix= 0, egal a
cu1c^ andy <0s,ix= 0, ^ n rest ind 0, atunci feste absolut integrabil a pe R2
s,iR
R2f= 0(din moment ce feste nul a ^ n aproape tot R2), darR
Rf(x;y)dynu este
absolut integrabil a c^ and x= 0 (des ,i este absolut integrabil a pentru oricare alt x).

Capitolul 6
Integrale Poisson
6.1 Spat ,ii Hardy pe discul unitate
^Incepem prin a prezenta propriet at ,ile principale ale spat ,iilor Hardy pe discul
unitate
D=fz2C:jzj<1g:
Not am cu Tmarginea lui D. As ,adar
T=fz2C:jzj= 1g=
eit:t2R=2Z
:
Integralele pe Tvor  int ,elese cu privire la m asura normalizat a Lebesgue
1
2dt. Vom folosi ca notat ,ie alternativ a pentru o integral a pe T, oricare din notatiile
urm atoare:Z
Tf
eit

dt;1
2Z
f
eit

dt;Z
Tf(t)dt;1
2Z
f(t)dt:
Spat ,iileLp(T) se vor lua cu privire la m asura normalizat a Lebesgue.
M asura Lebesgue bi-dimensional a pe Cva  reprezentat a prin dz. Astfel, ^ n
coordonate polare z=reit,
dz=r dr dt:
Fief(z) o funct ,ie olomorf a pe D. Fier2[0;1) s ,ip1, denim
Mp(f;r) =Z
Tf
reit
pdt1=p
;
s,i de asemenea
M1(f;r) = max
eit2Tf
reit
:
Dac a stabilim
fr
eit

=f
reit

pentru 0r<1, putem spune c a
Mp(f;r) =kfrkp:
66

67
Denit ia 6.1.1 Fie1p1 . Not am cu Hp(D)spat ,iul funct ,iilor olomorfe pe D
astfel ^ nc^ at
sup
0r<1Mp(f;r) =kfkHp<1:
Este us ,or de vericat c a relat ,ia denes ,te o norm a. Pentru implicat ,iakfkHp=
0)f= 0, putem observa c a oricare f2Hp(D) este continu a pe D, astfel ^ nc^ at
kfrkp= 0)fr= 0;dac ar<1.
Este evident c a H1(D) cont ,ine funct ,iile olomorfe m arginite pe D.
Propozit ia 6.1.1 Dac a 1p < q1 , atunciHq(D)Hp(D), s ,i pentruf2
Hq(D),
kfkHpkfkHq:
Propozit ia 6.1.2 f2Hp(D)dac a s ,i numai dac a p< 1.
Lema 6.1.1 Fief2Hp(D). Atunci, pentru orice z2D,
jf(z)jCpkfkHp
(1jzj)1=p:
Corolarul 6.1.1 Convergent ,a ^ nHp(D)implic a uniform convergent ,a pe submult ,imi
compacte ale lui D.
Remarca 6.1.1 Hp(D)este un spat ,iu Banach.

68
6.2 Funct ,ii armonice versus funct ,ii olomorfe
O funct ,ie-C2u denit a pe o mult ,ime deschis a
Rnse numes ,te armonic a pe

dac a Laplacianul sau u, denit a prin

u=nX
j=1@2
xju
este nul a pe
.
O funct ,ie olomorf a feste armonic a pe domeniul s au ^ n R2. Acest lucru rezult a
din faptul c a funct ,iile olomorfe sunt C2s,i din ecuat ,ia Cauchy-Riemann
@zf=1
2(@xf+i@yf) = 0:
Diferent ,i^ and ^ nx, g asim c a
@2
xf=i@x@yf=@2
yf:
Din moment ce este real a, dac a ueste armonic a, la fel se ^ nt^ ampl a pentru
u;Reus,iTmu.^In particular, funct ,iile antiolomorfe sunt de asemenea armonice.
Functiile armonice sunt caracterizate prin proprietatea valorii medii . FieSn1sfera
unitate ^ n Rns,idm asur a de suprafat , a.
Denit ia 6.2.1 O funct ,ie continu a usatisface proprietatea valorii medii pe
dac a,
pentru orice x2
s,ir>0astfel ^ nc^ at B(x;r)este cont ,inut a ^ n
,
u(x) =1
(Sn1)Z
Sn1u(x+ry)d(y):
^In dou a dimensiuni, relat ,ia devine
u(z) =Z
Tu
z+reit

dt:
Teorema 6.2.1 Fieuo funct ,ie continu a pe
. Atunciueste armonic a dac a s ,i
numai dac a proprietatea valorii medii este adev arat a.
Corolarul 6.2.1 Functiile armonice satisfac principiul modulului maxim: dac a u
este armonic a pe o mult ,ime deschis a conex a
s,i atinge modulul maxim ^ ntr-un punct
din
, atunci este constant a.
Ne vom restrict ,iona acum la n= 2 s ,i ne vom concentra atent ,ia ^ ntre funct ,iile
armonice s ,i olomorfe. Avem nevoie de urm atoarea lem a de analiz a Fourier.

69
Lema 6.2.1 Fiefo funct ,ieC2peTreprezentat a prin ^f(n), cun2Zcoecient ,ii
s ai Fourier. Atunci
n2j^f(n)jkfkC2;
s,i seriile Fourier ale lui fconverg lafuniform pe T.
Teorema 6.2.2 Fieuarmonic a pe o vecinatate a discului ^ nchis B(z0;R)C.
Atunciuadmite o dezvoltare ^ n serie de puteri
u(z) =a0+1X
n=1an(zz0)n+1X
n=1an(zz0)n;
uniform convergent a pe B(z0;R).^In particular, ueste analitic-real a s ,i este suma
unei funct ,ii olomorfe s ,i a uneia anti-olomorfe.
Denit ia 6.2.2 Functia ~use numes ,te conjugata armonic a a lui upe
. Dac au=
u1+iu2este armonic a s ,i cu valori complexe, conjugatele armonice ale lui usunt
funct ,iile~u= ~u1+i~u2, cu ~u1s,i~u2conjugatele armonice ale lui u1s,iu2.
Dac a
=Dputem normaliza funct ,ia armonic a conjugat a a lui uimpun^ and
ca ~u(0) = 0. Consider am dezvoltarea ^ n serie de puteri a lui u,
u(z) =a0+1X
n=1anzn+1X
n=1anzn:
Faptul c aueste real a este re
ectat de condit ,iile
a02R; an=an:
Atunci
u(z) =a0+ 2<e 1X
n=1anzn!
:
Vom lua
~u(z) = 2=m 1X
n=1anzn!
;
pentru a avea
u+i~u=a0+ 21X
n=1anzn:
As,adar, dezvoltarea ^ n serie de puteri a lui ~ ueste
~u(z) =i1X
n=1anzn+i1X
n=1anzn:

70
6.3 Integrale Poisson
Problema Dirichlet pe Dconsist a ^ n a desemna o funct ,ie continu a fpeTs,i a
c auta o funct ,ieucontinu a pe Ds,i armonic a ^ n D, care coincide cu fpeT. Cu alte
cuvinte, vrem s a rezolv am
u= 0 inD
u=f onT
cuu2CD. Principiul modulului maxim implic a faptul c a o solut ,ie, dac a exist a,
este unic a. De fapt,se observ a doar c a diferent ,a a dou a solut ,ii ar  continu a pe D,
armonic a in Ds,i nul a pe T.
Vom demonstra existent ,a solut ,iei s ,i vom da forma acesteia.
Dac af(eit) =eintcun2Z, solut ,ia sistemului de mai sus este g asit a us ,or ca
u(z) =znifn0;
u(z) =zjnjifn<0
Presupunem c a f2C2(T) s,i e
f
eit

=X
n2Z^f(n)eint
seria ei Fourier. Este natural s a construim
u(z) =1X
n=0^f(n)zn+1X
n=1^f(n)zn:
Rezult a din Lema 6.2.1. c a aceast a serie converge uniform pe D. Din moment
ce ecare termen este armonic ^ n D, la fel va  s ,i suma. As ,adar este solut ,ie a siste-
mului init ,ial.
Folosim analiza Fourier pentru a deriva o formul a de integral a ^ n funct ,ie de u. Din
solut ,ie, seria Fourier a lui ur(eit) =u(reit) este, pentru r<1,
ur
eit

=X
n2Z^f(n)rjnjeint:
Stabilim
Pr
eit

=X
n2Zrjnjeint;
unde seria converge uniform pe T. Atunci
ur
eit

=fPr
eit

=Z
Tf
ei(tu)

Pr
eiu

du:
Funct ,iilePrformeaz a nucleul Poisson peT.
Lema 6.3.1 Nucleul Poisson este egal cu
Pr
eit

=1r2
1 +r22rcost; r< 1:
Funct ,iaP(reit) =Pr(eit)este armonic a pe D.

71
Denit ia 6.3.1 Fief'rgr<1o familie de funct ,ii integrabile pe T. Spunem c a for-
meaz a o identitate aproximat a pentru r!1dac a
(1)Z
Tj'r(t)jdtCpentru C constante s ,i orice r;
(2)Z
T'r(t)dt= 1oricare r;
(3)pentru oricare >0;
lim
r!1Z
jtjj'r(t)jdt= 0:
Not ,iunea de identitate aproximat a este destul de general a. Am ales aici s a
d am denit ,ia cu un parametru rcare tinde la 1. Aceeas ,i denit ,ie poate  dat a, cu
modic arile de rigoare, cu parametri care variaz a pe o mult ,ime diferit a, de exemplu
pentru un s ,ir de funct ,ii.
Mai t^ arziu, vom g asi identit at ,i aproximate care depind de un parametru real
pozitivcare tinde la 0.
Termenul de identitate aproximat a este justicat prin urm atoarea proprietate.
Propozit ia 6.3.1 Fiefrgo identitate aproximat a pe T. Dac af2C(T),
lim
r!1f'r=f
uniform pe T. Dac af2Lp(T), cu1p<1, limita este adev arat a ^ n norma Lp.
Propozit ia 6.3.2 Nucleul PoissonfPrgeste o identitate aproximat a pentru r!1.
Teorema 6.3.1 Pentruf2C(T)solut ,ia unic a a problemei Dirichlet este u(reit) =
fPr(eit).
Demonstrat ,ie.
Rezult a din convergent ,a uniform a a lui urlafs,i din principiul maximului.
Aceeas ,i abordare folosit a pentru a obt ,ine integrala Poisson ua unei funct ,ii conti-
nuefpoate  folosit a pentru a da o formul a pentru conjugata armonic a a funct ,iei ~u.
Folosind dezvoltarile ^ n serie Fourier, obt ,inem
~u(z) =i1X
n=1^f(n)zn+i1X
n=1^f(n)zn:
Atunci
~ur
eit

=1X
n6=0^f(n) sgnnrjnjeint=f~Pr
eit

;

72
unde
~Pr
eit

=iX
n6=0sgnnrjnjeint
= 2=m1X
n=0rneint
= 2=m1
1reit
=2rsint
1 +r22rcost:
Funct ,iile~Prformeaz a nucleul conjugat Poisson.

Bibliograe
[1] Analysis I, Terence Tao, Editura Hindustan Book Agency, New Delhi, 2015
[2] Analysis II, Terence Tao, Editura Hindustan Book Agency, New Delhi, 2015
[3] Calculus-one and single variable, Salas S, Hille E, Editura John Wiley and Sons,
New York, 2007
[4] Exercises in integration, Claude George, Editura Springer, New York, 1984
[5] Advanced calculus of several variables, C.H. Edwards, Editura Academic Press,
New York, 1973
[6] Theories of integration, Douglas Kurts, Editura World Scientic, 2004
[7] Hardy spaces in one complex variable, Fulvio Ricci
[8] Integrale nedenite rezolvate am anunt ,it, Gheorghit , a S,tefan
[9]http://matematic.eu/Clasa12/Volumul%20corpurilor%20de%20rotatie.pdf
[10] Elementary mathematical analysis, Charles Slichter, Editura Forgotten Books,
2017
73