Specializarea Matematic a – Informatic a [615232]

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
Facultatea de S tiint e
Specializarea Matematic a – Informatic a
LUCRARE DE LICENT  A
Student: [anonimizat]
2019

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
Facultatea de S tiint e
Specializarea Matematic a – Informatic a
CLASE DE FUNCT ,II^IN ANALIZA
MATEMAIC A
Coordonator  stiint ic:
Prof. univ. dr. SUCIU LAURIAN
Student: [anonimizat]
2019
2

Cuprins
Capitolul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Continuitatea funct iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Limita funct ,iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Funct ,ii continue pe intervale compacte . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Funct ,ii continue pe spat ,ii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Spat ,ii Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Derivabilitatea funct ,iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Teoreme de baz a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Formula Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Capitolul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Funct ,ii convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Derivabilitatea s ,i convexitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Primitive exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Operat ii cu funct ii primitivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Primitivabilitatea funct iilor continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Metode de primitivare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Primitive Bourbaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Primitive Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Capitolul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1 Integrarea funct ,iilor regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Teoreme fundamentale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Spat ,ii BanachLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Funct ,ii m asurabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Capitolul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1 Leg aturi ^ ntre clasele de funct ,ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Diverse aplicat ,ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3

Capitolul 1
^In acest capitol vom studia continuitatea funct iilor  si derivabilitatea acestora. At^ at
^ n natur a c^ at  si^ n  stiint  a sunt diferite puncte de vedere^ n dezvoltarea c arora trecerea de
la o stare la alta are loc f ar a ^ ntreruperi, f ar a salturi, de exemplu: varia t ia temperaturii
apei ^ n procesul de r acire sau ^ nc alzire. Acestea au fost numite ^ n mod axiomatic
procese continue.
Un exemplu de proces lipsit de ^ ntreruperi este mi scarea rectilinie  si uniform a
a unui obiect, cu viteza contant a, v. Dac a la momentul t0, distant a era s0, atunci
lungimea parcurs a de obiect se poate determina u sor din formula s=v
t, av^ and un
proces f ar a rupturi. Multe dintre aceste procese continue sunt prezentate cu ajutorul
unor funct ii reale, de aici, ap ar^ and ideea de funct ii continue.
Contribut ii remarcabile la dezvoltarea not iunii de continuitate a funct iilor au avut
matematicienii francezi A. Cauchy( 1789- 1857), G. Darboux( 1842- 1917), matema-
ticianul german K. Weierstrass(1815- 1897)  si matematicianul ceh B. Bolzano( 1781-
1848).
1.1 Continuitatea funct iilor
^In cele ce urmeaz a vom lua ^ n considerare funct iile f:A! B, care act ioneaz a
asupra sumult imilor nevide ale mult imii numerelor reale, R.^In mod obi snuit, Aeste
o submult ime a lui R, iarR. Dorim s a discut am comportamentul local al acestor
funct ,ii ^ n jurul diferitelor puncte din domeniul de denit ,ie, not ,iunea de baz a ind cea
a continuit at ,ii.
1.1.1 Denit ,ie:Spunem c a funct ,iaf:A!Reste continu a ^ n punctul a2A,
sau altfel spus, aeste punct de continuitate pentru f, dac a pentru orice ">0, num ar
dat, exist a >0 astfel ^ nc^ at orice x2Acujxaj<, avemjf(x)F(a)j<".
Dac a funct ,iaf:A!Rnu este continu a ^ n punctul a2A, atunci ea se numes ,te
discontinu a ^ n acest punct.
Num aruldepinde, ^ n general, de ", punctulas,i funct ,iaf. O funct ,ief:A!B
se numes ,te continu a dac a este continu a ^ n toate punctele din domeniu. De asemenea,
4

toate funct ,iile elementare sunt continue.
O clas a larg a de funct ,ii continue este cea a funct ,iilor Lipschitz. O funct ,ief:
A!Bse numes ,te Lipschitz dac a exist a o constant a L>0 astfel ^ nc^ at:
jf(x)f(y)jLjxyj;8x;y2A
1.1.2 Caracterizarea topologic a a continuit at ,ii:Funct ,iaf:A!Reste
continu a ^ n punctul a2Adac a s ,i numai dac a pentru orice vecin atate Va luif(a)
exist a o vecin atate Ua luiaastfel ^ nc^ at f(U)V. Cu alte cuvinte, funct ,iafeste
continu a ^ n punctul adac a s ,i numai dac a imaginea invers a a oric arei vecin at at ,i a lui
f(a) este o vecin atate a punctului a.
Demonstrat ,ie:
Din deinit ,ia continuit at ,ii avem c a8">0,9>0 astfel^ nc^ at: x2(a;a+)\A
ceea ce implic a f(x)2(f(a)";f(a)+"). Prin urmare, pentru V= (f(a)";f(a)+")
putem g asi U= (a;a+)\Acare este o vecin atate a punctului a^ n topologia
relativ a a mult ,imiiA, ceea ce este sucient pentru demonstrat ,ie, deoarece, ^ n general,
orice vecin atate Va luif(a) este o mult ,ime care cont ,ine o"vecin atate a ei.
1.1.3 Caracterizarea lui Heine a continuit at ,ii:O funct ,ief:A!Reste
continu a ^ n punctul adac a s ,i numai dac a transform a ecare s ,ir (an)nde elemente din
Acare converge la a^ ntr-un s ,ir (f(an))ncare converge la f(a).
Demonstrat ,ie:
Presupunem c a funct ,iafeste continu a ^ n punctul as,i c aan!a^ nA. Vom
ar ata c af(an)!f(a). FieVo vecin atate a lui f(a). Din caracterizarea topologic a a
continuit at ,ii, mult ,imeaU=f1(V) este o vecin atate a punctului a^ n timp cean!a.
Prin urmare, pentru orice nN;f(an)2V, de undef(an)!f(a).
Apoi presupunem fsatisface condit ,ia de a transforma ecare s ,ir (an)nde elemente
dinAcare converge la a^ ntr-un s ,ir (f(an))ncare converge la f(a), ^ ns afnu este
continu a ^ n punctul a. Atunci, exist a o vecin atate Va luif(a) astfel ^ nc^ at f(U)=2V,
8Uvecin atate a punctului a. Prin urmare, pentru orice num ar natural n, exist a un
punctan2Un=fx2A:jxaj<2ng, astfel ^ nc^ at f(an)=2V. As ,adar,an!a,
^ ns a (f(an))nnu converge la punctul a, de unde se ajunge la o contradict ,ie, teorema
ind astfel demonstrat a.
^In cele ce urmeaz a vom discuta despre operat ,ii cu funct ,ii continue.
1.1.4 Lem a: Fief:A!Rsig:B!Rdou a funct ,ii astfel ^ nc^ at f(A)B,
fcontinu a ^ n punctul as,igcontinu a ^ n f(a). Atuncigf, compunerea celor dou a
funct ,ii va  continu a ^ n a.
Aceast a lem a implic a imediat faptul c a valoarea absolut a a ec arei funct ,ii contine
este o funct ,ie continu a.
5

1.1.5 Lem a: Fie funct ,iile continue, f;g:A!R, ^ n punctul as,i,dou a
numere reale. Atunci funct ,iilef+gsunt continue ^ n a.
1.1.6 Denit ,ie:Un homeomorsm este o funct ,ie bijectiv a f:A!Bastfel
^ nc^ at at^ atf, c^ at s ,i inversa ei, f1, sunt funct ,ii continue. Dou a submult ,imiAs,iBale
luiRse numesc homeomorfe dac a exist a un homeomorsm f:A!B.
De exemplu, daca a<b , atunci ecare interval [ a;b] este homeomorf cu intervalul
[0;1]. Un homeomorsm este dat de funct ,ia:
f: [a;b]![0;1];f(x) =xa
ba
^In acelas ,i mod, toate intervalele deschise de forma ( a;b) sunt homeomorfe cu in-
tervalul (0;1).
1.2 Limita funct ,iilor
Comportamentul unei funct ,ii ^ n jurul unui punct de acumulare din domeniul s au,
^ ns a nu neap arat din domeniu, poate  descris folosind conceptul de limit a. ^In conti-
nuare vom considera funct ,iaf:A!Rs,i punctula2Rcare este punct de acumulare
pentru mult ,imeaA.
1.2.1 Denit ,ie:Spunem c a l2Reste limita funct ,ieif^ n punctul a, scris astfel:
lim
x!af(x) =l, dac a pentru ecare vecin atate Va luilexist a o vecin atate Ua punctului
aastfel ^ nc^ at x2U;x6=aimplic af(x)2V. Dac a limita exist a, atunci ea este unic a.
Aceasta este o consecint , a a propriet at ,ii de separare a topologiei pe R.
1.2.2 Remarc a: Este important s a aducem la cunos ,tiint , a caracterizarea limitelor
cu"s,i. Aceasta depinde de natura lui as,il. De exemplu:
(1)Dac aas,ilsunt ambele numere reale, atunci lim
x!af(x) =l^ nseamn a c a pentru
un">0 dat, exist a >0 astfel ^ nc^ at:
x2A;0<jxaj<implic ajf(x)lj<"
(2)Dac aaeste un num ar real, atunci lim
x!af(x) =1^ nseamn a c a pentru un ">0
dat, exist a >0 astfel ^ nc^ at:
x2A;0<jxaj<implic af(x)>"
(3)Dac a lim
x!1f(x) =1^ nseamn a c a pentru ">0 dat, exist a >0 astfel ^ nc^ at:
x2A;x> implic af(x)<"
C^ ateva exemple simple de limite, sunt:
(1)Dac a>0, atunci lim
x!1x=1s,i lim
x!1x= 0
(2)lim
x!1ex=1 si lim
x!1ex= 0
6

(3)lim
x!0lnx=1 s,i lim
x!1lnx=1
1.2.3 Teorema lui Heine de caracterizare a limitelor: Fie funct ,iaf:A!R
s,i punctula2R, punct de acumulare pentru A. Atunci limita lim
x!af(x) =ldac a s ,i
numai dac a f(an)!lpentru orice s ,ir (an)nde puncte din Anfagcuan!a.
Acum existent ,a dintre continuitate s ,i existent ,a limitei este clar a.
1.2.4 Teorem a: Fie funct ,iaf:A!Rs,ia2Aun punct de acumulare pentru
A. Atunci funct ,iafeste continu a ^ n punctul adac a s ,i numai dac a limita funct ,iei ^ n
punctulaexist a s ,i este egal a cu valoarea funct ,iei ^ n acel punct.
1.2.5 Teorema lui Cauchy: Fie funct ,iaf:A!Rs,i punctul de acumulare al
mult ,imiiA,a2R. Atunci funct ,iafadmite o limit a nit a ^ n punctul adac a s ,i numai
dac a pentru orice ">0 exist a>0 astfel ^ nc^ at:
x;y2(Anfag)\I(a) implic ajf(x)f(y)j<"
Ment ,ion am faptul c a I(a) = (a;a+) dac aa2R,I(a) = (1;) dac a
a=1 s,iI(a) = (;1) dac aa=1.
1.2.6 Denit ,ie:Fie funct ,iaf:A!Rs,i punctulade acumulare pentru
mult ,imeaA\(1;a). Spunem c a l2Reste limita la st^ anga a funct ,ieif^ n punctula.
Dac a pentru orice vecin atate Va luilexist a o vecin atate Ua luiaastfel ^ nc^ at pentru
oricex2Ucux<a , avemf(x)2V.
Aceasta se noteaz a: l= limx!a
x<af(x).
^In mod analog, denim limita la dreapta, notat a l= limx!a
x>af(x), bine^ nteles, aceasta
implic a ca punctul as a e punct de acumulare pentru mult ,imeaA\(a;1).
1.2.7 Teorema Bolzano- Weierstrass: Orice s ,ir m arginit are un subs ,ir conver-
gent.
1.3 Funct ,ii continue pe intervale compacte
Funct ,iile continue pe intervale compacte au o serie de propriet at ,i, ceea ce le face
foarte speciale.
1.3.1 Teorema K. Weierstrass: Fie funct ,iaf: [a;b]!Rcontinu a. Atunci f
este m arginit a s ,i-s,i atinge marginile. Cu alte cuvinte, exist a dou a puncte xms,ixMdin
[a;b] astfel ^ nc^ at:
f(xm) = inf
x2[a;b]f(x) s,if(xM) = sup
x2[a;b]f(x).
Demonstrat ,ie:
7

Prima dat a demonstr am c a funct ,iafeste m arginit a inferior s ,i ^ s,i atinge cea mai
mare margine inferioar a. De fapt, lu^ and m= inf
x2[a;b]f(x) deducem existent ,a s,irului (xn)n
de elemente din [ a;b] astfel ^ nc^ at f(xn)!m. Din teorema Weierstrass, avem c a un
subs ,ir (xkn)nconverge la c. Folosindu-ne de caracterizarea lui Heine a continuit at ,ii,
ajungem la f(xkn)!f(c) s,i prin urmare, f(c) =m.
Cazul pentru cea mai mic a margine superioar a reiese din urm atoarea substitut ,ie:
sup
x2[a;b]f(x) =inf
x2[a;b](f(x)).
1.3.2 Corolar: Fie funct ,iaf: [a;b]!Rcontinu a s ,i ems,iMcea mai mare
margine inferioar a, respectiv cea mai mic a margine superioar a. Atunci:
f([a;b]) = [m;M ].
1.3.3 Corolar: Presupunem c a1<a<b1 . Atunci orice funct ,ie denit a
astfel:f: [a;b]!Rcare admite o limit a nit a ^ n punctul beste m arginit a.
O alt a proprietate remarcabil a a funct ,iilor continue pe intervale compacte este
continuitatea uniform a.
1.3.4 Denit ,ie:FieAo submult ,ime a lui R. O funct ,ief:A!Rse numes ,te
uniform continu a dac a pentru orice ">0 exist a>0 astfel ^ nc^ at:
x;y2A;jxyj<implic ajf(x)f(y)j<".
^In mod evident, continuitatea uniform a implic a continuitatea. ^In timp ce continu-
itatea are un caracter punctual, proprietatea de a  uniform continu a are un caracter
global, urm^ and comportamentul funct ,iei pe ^ ntreg domeniul.
1.3.5 Teorema H. E. Heine: Orice funct ,ie continu a f: [a;b]!Reste uniform
continu a.
Demonstrat ,ie:
Presupunem c a exist a ">0 s,i dou a s ,iruri (xn)ns,i (yn)ndin [a;b] astfel ^ nc^ atjxn
ynj<1
ns,ijf(xn)f(yn)j"pentru orice n1. Din teorema lui Weierstrass rezult a
c a putem alege un subs ,ir convergent ( xk(n))na s,irului (xn)n.^In mod analog, subs ,irul
(yk(n))ncont ,ine un subs ,ir convergent ( yl(k(n)))n. Lu am lim
n!1xk(n)=xs,i lim
n!1yl(k(n))=y.
Cumjxl(k(n))yl(k(n))j<1
l(k(n))<1
npentru orice n1, deducem c a x=y.
Pe de alt a parte, relat ,iajf(xl(k(n)))f(yl(k(n)))j"ne duce la rzultatul jf(x)
f(y)j", de unde ajungem la o contradict ,ie. Prin urmare, teorema a fost demonstrat a.
1.3.6 Corolar: Orice funct ,ie continu a f:R!Rpentru care lim
x!1f(x) =
lim
x!1f(x) = 0 este uniform continu a.
Demonstrat ,ie:
8

Pentru orice ">0 arbitrar ales, exist a un interval compact [ A;A] ^ n afara c areia
jf(x)j<"
2.^Intruc^ at funct ,iafeste uniform continu a pe [ A1;A+1] exist a2(0;1)
astfel ^ nc^ at:
x;y2[A1;A+ 1] s ,ijxyj<implic ajf(x)f(y)j<".
Prin urmare, pentru orice x;y2Rcujxyj<avemjf(x)f(y)j<".
1.4 Funct ,ii continue pe spat ,ii metrice
^In cele ce urmeaz a vom discuta not ,iunea de funct ,ie continu a ^ n contextul spat ,iilor
metrice. Necesitatea acestora este motivat a de ^ nt ,elegerea unor fenomene profunde ^ n
analiza real a pe intervale.
Denit ,ia 1.1.1 a continuit at ,ii unei funct ,ii ^ n punctul apoate  us ,or adaptat a ^ n
acest context ^ nt ,eleg^ and c ajxajested(x;a).
1.4.1 Denit ,ie:Fie M o mult ,ime. Aplicat ,iad:XX!R, cu urm atoarele
propriet at ,i:
(1)d(x;y)0, pentru orice x;y2M;
(2)d(x;y) = 0 dac a s ,i numai dac a x=y;
(3)d(x;y) =d(y;x), pentru orice x;y2M;
(4)d(x;z)d(x;y) +d(y;z), pentru orice x;y;z2M.
se numes ,tedistant , asaumetric a . Perechea ( M;d) se numes ,tespat ,iu metric .
FieMs,iNdou a spat ,ii metrice.
1.4.2 Denit ,ie:O funct ,ief:M!Nse numes ,tecontinu a ^ n punctul a2
Mdac a pentru orice " > 0 exist a > 0 astfel ^ nc^ at x2M,d(x;a)<  implic a
d(f(x);f(a))<".
1.4.3 Limita inferioar a s ,i limita superioar a a funct ,iei: Presupunem c a
f:A!Reste o funct ,ie denit a pe o submult ,imeAa spat ,iului metric Ms,ia2M
este un punct de acumulare pentru A. Urm^ and cazul s ,irurilor, ^ i putem atas ,a luif
dou a limite de margine a, care exist a ^ n Rchiar dac a limita ^ n anu exist a. Acestea se
numesc limita superioar a:
lim
x!asupf(x) = lim
"!0sup
x2A\(B"(a)nfag)f(x),
respectiv limita inferioar a:
lim
x!ainff(x) = lim
"!0inf
x2A\(B"(a)nfag)f(x),
undeB"(a) este bila deschis a de raz a "s,i cu centrul ^ n a.
9

^In mod clar,1 inf
x2Af(x)lim
x!ainff(x)lim
x!asupf(x)sup
x2Af(x)1 ,
iar limita lui f^ n punctul aexist a s ,i estel2Rdac a s ,i numai dac a lim
x!ainff(x) =
lim
x!asupf(x) =l.
^In ^ ncheierea acestui subcapitol vom discuta dou a clase de funct ,ii care interpre-
teaz a variante mai slabe de continuitate.
O funct ,ief:M!R[f1g se numes ,tesemicontinu a inferior ^ n punctul a2M
dac a pentru orice  < f (a) exist a o vecin atate Ua punctului aastfel ^ nc^ at x2U
implic af(x).
O funct ,ief:M!R[f1g se numes ,tesemicontinu a superior ^ n punctul
a2Mdac a pentru orice  > f (a) exist a o vecin atate Ua punctului aastfel ^ nc^ at
x2Uimplic af(x).
^In mod evident, o funct ,ief:M!R[f1g este semicontinu a superior ^ n
punctuladac a s ,i numai dac a funct ,iafeste semicontinu a inferior^ n punctul respectiv.
Aceasta reduce studiul semicontinuit at ,ii superioare la semicontinuitatea inferioar a.
Funct ,iaf:M!Reste continu a dac a s ,i numai dac a ea este ^ n acelas ,i timp at^ at
semicontinu a inferior, c^ at s ,i superior ^ n toate punctele din domeniu.
C^ and toate punctele din Msunt puncte de acumulare, proprietatea unei funct ,ii
f:M!R[f1g de a  semicontinu a inferior pe Meste echivalent a cu f(a)
lim
x!ainff(x) pentru orice a2M.
1.4.4 Teorem a: Fiecare funct ,ie semicontinu a inferior denit a pe un spat ,iu metric
compactKeste m arginit a inferior s ,i ^ s,i atinge marginile inferioare. Cu alte cuvinte,
exist a un punct a2Eastfel ^ nc^ at f(a) = inf
x2Kf(x).
Demonstrat ,ie:
^Intr-adev ar, pentru ecare >m = inf
x2Kf(x), not am cu Kmult ,imea tuturor X2
Kastfel ^ nc^ at f(x). Aceast a mult ,ime este nevid a s ,i ^ nchis a. Fiecare intersect ,ie
nit aK1\K2\


\Kneste nevid a, ind egal a cu Kminf1;:::;ng.
CumKeste compact a,\>mKnevid a. Fie punctul aun punct de intersect ,ie.
Atuncif(a)m, as ,adar,f(a) =m.
1.5 Spat ,ii Banach
FieKun spat ,iu metric compact, ^ n caz particular, Kpoate  orice interval com-
pact sau disc compact. Mult ,imea tuturor funct ,iilor cu valori complexe pe K,C(K), este
un spat ,iu liniar cu operat ,iile punctuale de adunare s ,i multiplicare cu scalari complecs ,i.
^Intruc^ at ecare funct ,ie continu a pe un spat ,iu compact este m arginit a, acest spat ,iu
10

poate  ^ nzestrat cu norma innit: kfk1= sup
x2Kjf(x)j, ^ ns a cum convergent ,a asociat a
acestei norme este convergent ,a uniform a, numim k
k1norma convergent ,ei uniforme.
C(K) este un spat ,iu Banach ^ n raport cu norma k
k1, denumit a spat ,iu Banach al
funct ,iilor continue pe K.
1.5.1 Teorema de completitudine pentru C(K): Dac aKeste un spat ,iu
metric complet, atunci orice s ,ir Cauchy este convergent ^ n C(K).
Pentru a putea demonstra avem nevoie de teorema K. Weierstrass: Fie ( gn)nun
s,ir de funct ,ii continue care converg uniform la o funct ,ieg. Atuncigeste continu a.
Demonstrat ,ie:
Fie (gn)nun s ,ir Cauchy pe C(K). Atunci pentru orice " > 0 exist a un num ar
naturalNastfel ^ nc^ at pentru orice m;nN, avem:
sup
x2Kjgm(x)gn(x)j<"
^In particular, pentru x2Karbitrar ales, avem:
jgm(x)gn(x)j<";8m;nN (1)
Aceasta ^ nseamn a c a ( gn(x))neste un s ,ir Cauchy ^ n Cpentru orice x. Din moment
ceCeste o mult ,ime complet a, s ,irul (gn(x))ntrebuie s a convearg a la g(x). Aceasta ne
d a limita punctual a g, a s ,irului (gn)n.^In ecuat ,ia (1), atunci c^ and m!1 obt ,inem:
jg(x)gn(x)j";8nN.
^Intruc^ atxa fost ales arbitar, obt ,inem:
sup
x2Kjg(x)gn(x)j" (2)
As,adar, s ,irul (gn)neste convergent uniform la g. Cumg2C(K) s,i din inecuat ,ia
(2) obt ,inem c agn!g^ nC(K).
Dac aMeste un spat ,iu metric, atunci un argument similar ne permite s a consi-
der am spat ,iul Banach Cb(M) al tuturor funct ,iilor continue s ,i m arginite g:M!C
^ nzestrate cu operat ,iile algebrice punctuale s ,i norma innit. Mai mult, dac a Meste un
spat ,iu metric discretf1;:::;pg, atunci spat ,iul Banach C(M;R) =Cb(M;R), care este
o versiune real a a spat ,iului Banach Cb(M), coincide cu spat ,iul realp- dimensional, Rp
c^ and este ^ nzestrat cu norma innit.
Considerarea spat ,iuluiCb(M;R) ne conduce spre o cocluzie interesant a c a orice
spat ,iu metricMeste izometric pentru o submult ,ime al unui spat ,iu Banach adecvat.
Pentru un element arbitrar ales, a, din spat ,iul metric, M, putem considera funct ,ia:
U:M!Cb(M;R) care asociaz a ec arui x2Mfunct ,iaU(x)2Cb(M;R) denit a
11

prin:U(x)(z) =d(x;z)d(z;a). M arginirea funct ,ieiU(x) reiese din inegalitatea:
jd(x;z)d(z;a)j< d(x;a). Aceleas ,i argumente ne conduc spre: kU(x)U(y)k=
d(x;y);8x;y2Mde unde rezult a c a Ueste izometrie.
1.6 Derivabilitatea funct ,iilor
Vom considera funct ,iile reale denite pe submult ,imi ale lui Ra c aror puncte sunt
toate de acumulare.
1.6.1 Denit ,ie:Spunem c a funct ,iageste diferent ,iabil a ^ n punctul adac a limita
lim
h!0g(a+h)g(a)
hexist a s ,i este nit a. Valoarea acestei limite se numes ,te derivata
funct ,ieig^ n punctul as,i se noteaz a cu g0(a) saudg
dx(a) sau _g(a).
As,adar,f0(a) = lim
x!ag(x)g(a)
xa.
Dac a limita de mai sus exist a s ,i este innit a, atunci funct ,iagnu este diferent ,iabil a,
^ ns a putem spune c a gare derivat a ^ n punctul a. Numim o funct ,ie,g, diferent ,iabil a
dac a aceasta este diferent ,iabil a ^ n orice punct din domeniu. ^In acest caz, funct ,ia care
asociaz a ec arui xvaloarea derivatei^ n punctul xse numes ,te derivata lui gs,i se noteaz a
cug0saudg
dxsau _g.
Cumg(x) =g(a)+g(x)g(a)
xa(xa) pentru orice x;a2I,x6=a, undeIeste un
interval din R, diferent ,iabilitatea ^ ntr-un punct a, implic a continuitatea ^ n acel punct.
Este us ,or de v azut, ^ ncep^ and de la denit ,ie, c a multe dintre funct ,iile obis ,nuite sunt
diferent ,iabile pe R. C^ ateva exemple sunt:
(C0) = 0; unde Ceste o constant a;
(xn)0=nxn1; pentru orice n2N;
(sinx)0= cosx;
(cosx)0=sinx;
(ex)0=ex;
(ax)0=axlna.
Alte funct ,ii, des ,i sunt continue, pot ridica probleme. De exemplu, funct ,iapx,
des ,i este continu a pe intervalul [0 ;1), este diferent ,iabil a doar pentru x >0, ^ n acest
caz avem:
(px)0=1
2px
12

Pentrux= 0, avem lim
x!0pxp
0
x= lim
x!01px=1, adic a derivata pentru x= 0
este1. Mai multe exemple rezult a din operat ,iile algebrice cu funct ,ii diferent ,iabile:
(g+h)0=g0+h0;
(g)0=g0;
(gh)0=g0h+gh0;
(g
h)0=g0hgh0
g2.
Aceste operat ,ii lucreaz a punctual. De exemplu, dac a gs,ihsunt dou a funct ,ii
diferent ,iabile ^ n punctul a, atuncig+hsunt, de asemenea, diferent ,iabile ^ nas,i (g+
h)0(a) =g0(a) +h0(a).
1.6.2 Teorem a: Fie funct ,iag:I!R. Aceasta este diferent ,iabil a ^ n punctul
adac a s ,i numai dac a exist a un num ar real s,i o funct ,ie
:I!Rastfel ^ nc^ at
lim
x!a
(x) =
(a) = 0 s ,ig(x) =g(a) +(xa) +
(x)jxajpentru orice x2I.^In
acest caz,=g0(a).
1.6.3 Teorem a: Dac ag:I!Reste diferent ,iabil a ^ n punctul as,ih:J!R,
cuJg(I), este diferent ,iabil a ^ n punctul b=g(a), atuncigheste diferent ,iabil a ^ n
punctulas,i (gh)0(a) = (h0(g(a)))g0(a).
Demonstrat ,ie:
Conform teoremei 1.6.2, cele dou a funct ,ii,gs,ih, pot  scrise ca:
g(x) =g(a) +g0(a)(xa) +
(x)jxajs,i
h(y) =h(b) +h0(b)(yb) + (y)jybj;
unde lim
x!a
(x) =
(a) = 0 s ,i lim
y!b(y) = (b) = 0. Atunci:
h(g(x)) =h(g(a)) +h0(g(a))(g(x)g(a)) + (g(x))jg(x)g(a)j=
=h(g(a)) +h0(g(a))g0(a)(xa) + ~
(x)jxaj;
unde ~
(x) =h0(g(a))
(x) + (g(x))jg(x)g(a)
xaj, pentrux6=as,i ~
(a) = 0. Cum
lim
x!0~
(a) = 0, ajungem la concluzia c a gheste diferent ,iabil a^ n punctul as,i (gh)0(a) =
(h0(g(a)))
g0(a), conform teoremei 1.6.2.
Teorema diferent ,iabilit at ,ii funct ,iilor inverse: Fieg:I!Ro funct ,ie
continu a, injectiv a. Dac a geste diferent ,iabil a ^ n punctul a, atunci inversa funct ,iei,
g1:g(I)!Ieste diferent ,iabil a ^ ng(a) dac a s ,i numai dac a g0(a)6= 0. ^In plus,
(g1)0(g(a)) =1
g0(a).
Demonstrat ,ie:
13

Presupunem c a funct ,iag1este diferent ,iabil a ^ ng(a). Lu^ and ^ n considerare for-
mulag0g=idIs,i diferent ,iind-o ^ n punctul a, obt ,inem c a: (g1)0
(g(a))
g0(a) = 1.
Apoi presupunem c a g0(a)6= 0. Din teorema pe care o vom enunt ,a ulterior,ginduce
un homeomorsm din Ipeg(I). As ,adar, dac a yn!g(a) ^ ng(I) s,iyn6=g(a),
pentru orice n, atuncixn=g1,yn!a^ nIs,ixn6=a, pentru orice n. Cum
g1(yn)g1(g(a))
yng(a)=1
g(xn)g(a)
xna!1
g0(a)c^ andn!1 , din caracterizarea lui Heine
a limitei, vom obt ,ine c a: (g1)0
g(a) = lim
y!g(a)g1(y)g1(g(a))
yg(a), limit a care exist a s ,i
este egal a cu1
g0(a).
Teorem a: FieIun interval s ,i funct ,iag:I!Ro funct ,ie continu a, injectiv a.
Atuncigstabiles ,te un homeomorsm ^ ntre intervalele Is,iJ=g(I).
Din teorema diferent ,iabilit at ,ii funct ,iilor inverse, reies noi exemple importante de
funct ,ii diferent ,iabile:
(ln(x))0=1
x;x>0;
(arcsinx)0=1p
1x2;x2(1;1);
(arccosx)0=1p
1x2;x2(1;1);
(arctanx )0=1
1 +x2;x2R
(arccotx )0=1
1 +x2;x2R
Acest lucru ne permite s a g asim solut ,ia pentru diferent ,iabilitatea funct ,iilor expo-
nent. ^Intr-adev ar, xa=ealnxs,i prin urmare, ( xa)0=axa1;8×2(0;1) s,ia2R.
Derivata la st^ anga, respectiv la dreapta ^ ntr-un punct a, este denit a prin:
g0
s(a) = limx!a
a<0g(x)g(a)
xa,
respectiv g0
d(a) = limx!a
a>0g(x)g(a)
xa.
Diferent ,iabilitatea ^ ntr-un punct interior este echivalent a cu faptul c a at^ at derivata
la dreapta, c^ at s ,i cea la st^ anga exist a s ,i mai mult, sunt egale.
Derivatele pentru ordin n2, sunt denite prin formula:
dng
dxn=d
dxdn1g
dxn1

Observ am c a pentru a denidng
dxn^ n punctul a, avem nevoie de existent ,a derivatei
de ordin (n1) pe o vecin atate a punctului a.
14

Pentru completitudine, denim derivata de ordin 0 ca ind^ nsus ,i funct ,ia:d0g
dx0=g.
Derivata de ordin n, de asemenea se noteaz a cu g(n). Cu toate acestea, este obis ,nuit
ca derivatele de ordin inferior s a se noteze cu cifre romane: g;gI;gII;gIII;:::.
Urm atoarele formule sunt pentru derivatele de ordin superior:
(g+h)(n)=g(n)+h(n);
(g)(n)=g(n);
(gh)(n)=nP
k=0
n
k!
g(nk)h(k)- Formula Leibniz
Funct ,iile polinomiale, exponent ,iale, logaritmice, funct ,ia sinus s ,i cosinus sunt funct ,ii
innit diferent ,iabile, adic a au derivate de orice ordin. Funct ,iile care au derivate con-
tinue de ordin nsunt numite funct ,ii de clas aCn, ^ n timp ce funct ,iile care au derivate
de orice ordin, se numesc funct ,ii de clas aC1.
1.6.5 Teorem a: Fieg:I!Jun homeomorsm diferent ,ial. Dac ag0(x)6= 0 pe
Is,igeste de clas a Cn, atuncigeste de asemenea un difeomorsm de clas a Cn.
1.6.6 Remarc a: Diferent ,iabilitatea unei funct ,iig:I!C^ nseamn a diferent ,iabilitatea
p art ,ii reale,Reg, respectiv imaginare, Img.^In acest caz, avem: g0= (Reg)0+i(Img)0.
^In particular, ( eiax)0= (cosax+isinax)0=asinx+iacosx=iaeiax.
1.6.6 Lem a: Fieg: [a;b]!Ro funct ,ie care este diferent ,iabil a ^ n punctul cdin
(a;b) s,i e (an)ns,i (bn)ndou a s ,iruri din [a;b] care converg la punctul castfel ^ nc^ at
an<c<bnpentru orice n. Atunci:
lim
n!1g(bn)g(an)
bnan=g0(c).
1.6.7 Corolar:
(a)Dac ag00 pe un interval, atunci geste descresc atoare pe acel interval.
(b)Dac ag0= 0 pe un interval, atunci geste constant a pe acel interval.
(c)Dac ag0>0 pe un interval, atunci geste strict cresc atoare pe acel interval.
1.6.8 Corolar: Dac ageste continu a pe [ a;b], diferent ,iabil a pe (a;b) s,im
g0(x)Mpe (a;b), atuncim(xa)g(x)g(a)M(xa);8×2[a;b].
1.6.9 Teorem a: Fiegs,ihdou a funct ,ii care sunt continue pe un interval Is,i
diferent ,iabile pe interiorul mult ,imiiI. Dac ag0(x)h0(x) ^ n ecare punct interior al
mult ,imiiI, atuncig(x)g(a)h(x)h(a);8x;a2I;xa.
15

1.7 Teoreme de baz a
Una dintre principalele aplicat ,ii ale calculului diferent ,ial este de a asigura verica-
rea us ,oar a a condit ,iilor necesare s ,i/ sau suciente pentru extrema funct ,iilor. Spunem
c a funct ,iag:I!Rare un maxim local ^ n punctul pdac a exist a o vecin atate V
a punctului p, astfel ^ nc^ at g(x)g(p) pentru orice x2V\I. Punctele de maxim,
respectiv de minim local se numesc puncte de extrem. Dac a aceast a inegalitate este va-
labil a pentru orice xdin domeniul funct ,iei, atunci punctul se va numi punct de maxim,
respectiv punct de minim global.
Spunem c a o funct ,iegare un punct de maxim strict local, respectiv minim strict
local ^ n punctul pdac a exist a o vecin atate Va punctului p, astfel ^ nc^ at g(x)< g(p),
respectivg(x)>g(p) pentru orice x2Vs,ix6=p. Aceste puncte se numesc puncte de
extrem strict locale.
1.7.1 Teorema Fermat: Fieg:I!Ro funct ,ie care are un punct de extrem
local ^ ntr-un punct interior, a, dinI. Dac ageste diferent ,iabil a ^ na, atuncig0(a) = 0.
Demonstrat ,ie:
Presupunem c a aeste punct de maxim local, de unde rezult a c a exist a ">0 astfel
^ nc^ at (a";a+")Is,ig(x)g(a);8×2(a";a+");
g0
s(a) = limx!a
a<0g(x)g(a)
xa0;
g0
d(a) = limx!a
a>0g(x)g(a)
xa0;
Cumgeste derivabil a ^ n punctul a, reiese c ag0
s(a) =g0
d(a) =g0(a), de unde rezult a c a
g0(a) = 0.
1.7.2 Teorema Darboux: Dac a o funct ,ie real ageste diferent ,iabil a pe un inter-
val, atunci derivata acesteia are proprietatea valorii intermediare pe acel interval.
Demonstrat ,ie:
Este sucient s a ar at am c a dac a g: [a;b]!Reste o funct ,ie diferent ,iabil a astfel
^ nc^ atg0(a)<s,ig0(b)>0, atunci exist a un punct c2(a;b) astfel ^ nc^ at g0(c) = 0. Cum
derivata ^ ntr-un punct este o limit a, putem cu us ,urint , a deduce c a gare maxime locale
stricte ^ nas,ibastfel ^ nc^ at gs a-s ,i ating a minimul ^ ntr-un puct interior c2(a;b). Din
teorema Fermat avem c a g0(c) = 0
1.7.3 Teorema Rolle: Fiego funct ,ie real a continu a pe [ a;b], diferent ,iabil a pe
(a;b) s,ig(a) =g(b). Atunci exist a un punct c2(a;b) astfel ^ nc^ at g0(c) = 0.
Demonstrat ,ie:
Cazul I: Cum g(x) =g(a);8×2[a;b] rezult a c a g0(x) = 0;8×2(a;b)
16

Cazul II: Dac a exist a x2(a;b) cug(x)> g(a). Cumgcontinu a pe [ a;b], din
teorema Weierstrass avem c a exist a xM2[a;b] astfel ^ nc^ at g(xM) = sup
x2[a;b)g(x), dar
xM6=as,ixM6=b, deoarece am presupus c a exist a x2(a;b) cug(x)> g(a) =g(b).
Prin urmare, c=xM2(a;b) este punct de maxim local. Din teorema Fermat avem c a
g0(c) = 0.
Cazul III: Analog cu cazul II ar at am c a g0(c) = 0 pentru un x2(a;b) cug(x)<
g(a).
1.7.4 Teorema de medie Cauchy: Fieg;hdou a funct ,ii reale continue pe [ a;b]
s,i diferent ,iabile pe (a;b) cuh0(x)6= 0, oricare x2(a;b). Atunci exist a c2(a;b) astfel
^ nc^ atg(b)g(a)
h(b)h(a)=g0(c)
h0(c).
Demonstrat ,ie:
Fie': [a;b]!R,'(x) =g(x)kh(x); undek2Rastfel ^ nc^ at '(a) ='(b).
Atunci:g(a)kh(a) =g(b)kh(b), undek=g(b)g(a)
h(b)h(a).
Din teorema lui Rolle avem c a exist a c2(a;b) astfel ^ nc^ at '0(c) = 0. Cum
'0(x) =g0(x)kh0(x) ajungem la g0(c)kh0(c) = 0, de unde k=g0(c)
h0(c).
Prin urmare, k=g(b)g(a)
h(b)h(a)=g0(c)
h0(c).
1.7.5 Teorema de medie Lagrange: Fieg: [a;b]!Ro funct ,ie real a, continu a
pe [a;b] s,i diferent ,iabil a pe (a;b). Atunci exist a c2(a;b) astfel ^ nc^ at g(b)g(a) =
g0(c)(ba).
Demonstrat ,ie:
Fie': [a;b]!R,'(x) =g(x)kx; undek2Rastfel ^ nc^ at '(a) ='(b). Atunci:
g(a)ka=g(b)kb, undek=g(b)g(a)
ba.
Din teorema lui Rolle avem c a exist a c2(a;b) astfel ^ nc^ at '0(c) = 0. Cum
'0(x) =g0(x)kajungem la '0(c)k= 0, de unde rezult a k=g(b)g(a)
ba='0(c),
adic ag(b)g(a) =g0(c)(ba).
Aceast a teorem a este sursa unei estim ari utile:
jg(b)g(a)j(ba) sup
a<x<bjg0(x)j.
1.7.6 Corolar: Fiego funct ,ie continu a pe [ a;b], diferent ,iabil a pe (a;b) astfel
^ nc^ at exist a 2R,= limx!a
a>0g0(x). Atuncigare derivata la dreapta ^ n punctul as,i
g0
d(a) =.
Demonstrat ,ie:
17

Aplic^ and teorema de medie Lagrange, ar at am c a exist a cx2(a;b) astfel ^ nc^ at
g0(cx) =g(x)g(a)
xa.^In mod evident, cx!ac^ andx!as,i prin urmare
lim
x!ag0(cx) =.
Prin urmare, limita la dreapta a funct ,iei exist a s ,i este egal a cu .
1.7.7 Teorema Bernoulli- L'H^ opital pentru forma nedeterminat a0
0:Fie
gs,ihdou a funct ,ii diferent ,iabile pe un interval ( a;b), cu1a<b1 astfel ^ nc^ at
h0(x)6= 0 pentru orice x2(a;b). Dac a lim
x!ag(x) = lim
x!ah(x) = 0 s ,i lim
x!ag0(x)
h0(x)exist a ^ n
R, atunci lim
x!ag(x)
h(x)de asemenea exist a s ,i lim
x!ag(x)
h(x)= lim
x!ag0(x)
h0(x).
Demonstrat ,ie:
^In timp ce derivatele au proprietatea teoremei lui Darboux, ^ nseamn a c a gare semn
constant pe ( a;b). Putem presupune c a h0>0. Din corolarul 1.6.7, (c), reiese c a geste
strict cresc atoare s ,i de asemenea, pozitiv a pe ( a;b). Dac aa2Rputem extinde funct ,iile
gs,ih^ n punctulaprin continuitate s ,i concluzia teoremei lui B.- L'H^ opital poate deriva
din teorema de medie Cauchy. ^Intr-adev ar, folosindu-ne de aceast a teorem a pentru
oricex2(a;b) exist a un punct cx2(a;x) astfel ^ nc^ at:g(x)
h(x)=g(x)g(a)
h(x)h(a)=g0(cx)
h0(cx).
Cumx!as,icx!as,i prin urmare lim
x!ag0(cx)
h0(cx)= lim
x!ag0(x)
h0(x), deci lim
x!ag(x)
h(x)=
lim
x!ag0(x)
h0(x).
Dac aa=1atunci alegem un num ar real c2(1;b) s,i observ am c a schimbarea
variabileix=c1
tstabiles ,te un difeomorsm ^ ntre intervalele (0 ;1) s,i (1;c).
^In timp ce,l= lim
x!1g0(x)
h0(x)= lim
t!0+g0(c1
t)
h0(c1
t)= lim
t!0+g0(c1
t)t2
h0(c1
t)t2= lim
t!0+d
dtg(c1
t)
d
dth(c1
t)
deducem:
l= lim
t!0+g(c1
t)
h(c1
t)= lim
x!1g(x)
h(x)
1.7.8 Teorema Bernoulli- L'H^ opital pentru forma nedeterminat a1
1:Fie
gs,ihdou a funct ,ii denite s ,i diferent ,iabile pe intervalul ( a;b), cu1a < b1
astfel ^ nc^ at h0(x)6= 0 pentru orice x2(a;b). Dac a lim
x!ajh(x)j=1s,i lim
x!ag0(x)
h0(x)exist a
^ nR, atunci lim
x!ag(x)
h(x)de asemenea exist a s ,i lim
x!ag(x)
h(x)= lim
x!ag0(x)
h0(x).
Demonstrat ,ie:
Cazul I: Consider am at^ at a, c^ at s ,il= lim
x!ag0(x)
h0(x)dou a numere reale. Presupunem
c ah0>0 ceea ce implic a lim
x!ah(x) =1.
Fie">0 rezult a c a exist a
>0 astfel ^ nc^ at:
18

(l")h0(x)g0(x)(l+")h0(x)
pentru orice x2V
= (a;a+
].
Apoi din teroema 1.6.9 obt ,inem inegalitatea:
l"g(a+
)g(x)
h(a+
)h(x)l+",
adic a:
l"[g(x)
h(x)g(a+
)
h(x)] : [1h(a+
)
h(x)]l+";8×2(a;a+
].
^In timp ce: lim
x!ag(a+
)
h(x)= lim
x!ah(a+
)
h(x)= 0, rezult a c a:
l"lim
x!ainfg(x)
h(x)lim
x!asupg(x)
h(x)l+"
s,i prin urmare,
llim
x!ainfg(x)
h(x)lim
x!asupg(x)
h(x)l
pentru orice ">0 arbitrar ales.
Celelalte cazuri pot  demonstrate prin adaptarea argumentului de mai sus. De
exemplu, c^ and a=1s,il=1, ^ ncepem prin a observa c a pentru orice ">0 arbitrar
ales, exist a
>0 astfel ^ nc^ atg0(x)
h0(x)", oricarex
. Din teorema 1.6.9 obt ,inem c a:
g(x)g(
)"(h(x)h(
)); pentru orice x
, unde lim
x!1infg(x)
h(x)".
Deoarece" > 0 a fost ales arbitrar, concluzion am c a lim
x!1infg(x)
h(x)=1s,i prin
urmare: lim
x!1g(x)
h(x)=1.
1.8 Formula Taylor
^In continuare vom prezenta o generalizare a teoremei de medie, pentru aproximarea
unei funct ,ii date, prin polinoame. Fie funct ,iag:I!Ro funct ,ie de n ori diferent ,iabil a
^ n punctul a, undea2I. Vom studia leg atura dintre funct ,iags,i polinomul Taylor de
ordinnal funct ,ieig^ n punctul a:
Tn(x) =nP
k=0(xa)k
k!g(k)(a).
Polinomul lui Taylor, Tn(x), este unicul polinom de grad ncare are aceeas ,i deri-
vat a, p^ an a la ordinul n, cag^ n punctul a.
T(k)
n(a) =g(k)(a); pentruk= 0;1;2;:::;n .
19

Pricipala problem a este de a studia diferent ,aRn(x) =g(x)Tn(x), cunoscut a sub
numele de restul formulei lui Taylor. Acest lucru se va face sub o ipotez a suplimen-
tar a despre netezirea funct ,ieig.^In cazul teoremei de medie, am folosit continuitatea,
echivalent cu de 0 ori diferent ,iabil a peIs,i diferent ,iabilitatea ^ n interiorul mult ,imiiI
pentru a dovedi c a pentru orice x;a2I, exist a un c^ ntre a s ,i x, astfel ^ nc^ at:
g(x) =g(a) + (xa)g0(c).
^In acest caz, n= 0,Tn(x) =g(a) s,iRn(x) = (xa)g0(c). Funct ,iile diferent ,iabile
de ordin superior, au ca obiectiv urm atorul rezultat:
1.8.1 Teorema Taylor: Fieg:I!Ro funct ,ie denori diferent ,iabil a peIs,i de
(n+ 1) ori diferent ,iabil a pe interiorul mult ,imiiI. Atunci pentru orice x;a2I, exist a
un punctc^ ntreas,ixastfel ^ nc^ at:
g(x) =g(a) +xa
1!g0(a) +


+(xa)(n)
n!g(n)(a) +(xa)(n+1)
(n+ 1)!g(n+1)(c).
Demonstrat ,ie:
Fiex2Is,ix6=a. Presupunem c a a<x , iar pentru a>x vom proceda analog.
Lu am funct ,ia': [a;x]!R.
'(c) =g(t) +xt
1!g0(t) +


+(xt)(n)
n!g(n)(t) +k(xt)(n+1)
(n+ 1)!;
undekeste astfel ^ nc^ at:
g(x) =g(a) +xa
1!g0(a) +


+(xa)(n)
n!g(n)(a) +k:(xa)(n+1)
(n+ 1)!;
'(a) =g(x) ='(x).
Cum'continu a pe [ a;x] s,i derivabil a pe ( a;x), aplic^ and teorema lui Rolle rezult a
c a exist ac2(a;x) astfel ^ nc^ at '0(c) = 0.
'0(t) =g0(t)'0(t) +xt
1!g00(t)xt
1!g00(t) +


(xt)n1
(n1)!gn(t)+
+(xt)(n)
n!g(n+1)(t)k(xt)(n)
n!:
De unde ajungem la:
'0(t) =(xt)(n)
n!(g(n+1)(t)k).
'0(c) = 0()(xc)(n)
n!(g(n+1)(c)k) = 0.
Deoarecec2(a;x) rezult a c a k=g(n+1)(c).^Inlocuindk^ n formul a vom obt ,ine o
contradict ,ie s ,i astfel teorema a fost demonstrat a.
20

1.8.2 Remarc a: Pentru funct ,iile de clas a Cnpe intervalul I, formula lui Taylor
are urm atoarea form a: g(x) =Tn(x) +(xa)(n)
n!!(x), unde!>I!Reste o funct ,ie
astfel ^ nc^ at lim
x!a!(x) =!(a) = 0. Cu alte cuvinte g(x) =Tn(x) + 0(jxaj(n))
C^ andx!a, din teorema 1.8.1, vom avea:
g(x) =g(a) +xa
1!g0(a) +


+(xa)(n1)
(n1)!g(n)(a) +(xa)(n)
(n)!g(n)(c) =
=g(a) +xa
1!g0(a) +


+(xa)(n)
n!g(n)(a) +(xa)(n)
(n)!!(x) =
=Tn(x) +(xa)(n)
n!!(x)
unde!(x) =8
<
:g(n)(c)g(n)(a) dac ax6=a;
0 dac a x=a:
^In timp cef(n)este o funct ,ie continu a, concluzion am c a lim
x!a!(x) =!(a) = 0.
1.8.3 Teorem a: Fieg2c2(R;R) o funct ,ie astfel ^ nc^ at at^ at g, c^ at s ,ig00sunt
m arginite. Atunci, g0este de asemenea m arginit s ,iM2
12M0M2, undeMk=
sup
x2Rjg(k)(x)jpentruk2f0;1;2g.
Demonstrat ,ie:
Fiex2Rs,if >0. Din teorema Taylor avem: g(x+f) =g(x) +g0(x)f+g00(c1)f2
2
s,ig(xf) =g(x)g0(x)f+g00(c2)f2
2, pentruc1;c2puncte num arabile.
Sc az^ and cele dou a ecuat ,ii, obt ,inem:
2g0(x)f=g(x+f)g(xf)[g00(c1)g00(c2)]f2
2
s,i prin urmare,
jg0(x)jjg(x+f)g(xf)j
2f+jg00(c1)g00(c2)j
4fM0
f+M2
2f
Deci,
jg0(x)jf infM0
f+M2
2fjf >0g= (2M0M1)1
2.
Lu^ and o funct ,ieg, diferent ,iabil a innit pe un interval Is,i un puncta2I, putem
s a-i asociem o serie de puteri, numit a seria Taylor centrat a ^ n punctul a:
P
n0(xa)(n)
(n)!g(n)(a).
1.8.4 Teorema Cauchy: FieIun interval deschis s ,ig2C1(I;R). Presupunem
c a avem dou a constante M > 0 s,i
>0 astfel ^ nc^ at sup
x2Ijg(n)(x)jM
nn! pentru orice
n2N. Atuncig(x) =1P
n=0g(n)(a)
n!(xa)npentru orice x;a2Iastfel ^ nc^ atjxaj<1

.
21

1.8.5 Teorema de limit a Abel: Dac a seriile complexe de puteriP
n0cn(zz0)n
coverg laz1, atunci seria converge uniform pentru orice zdintrez1s,iz0, adic a pentru
z^ n: [z0;z1] =f(1)z0+z1j2[0;1]g.
1.8.6 Corolar: Fiego funct ,ie real a, continu a, denit a pe intervalul [ a;b]. Dac a
g(x) =1P
n=0cn(ba)n.
Urm atoarea teorem a d a o condit ,ie sucient a ^ n care derivata limitei este egal a cu
limita derivatei.
1.8.7 Teorema Weierstrass: Fie (gn)nun s ,i de funct ,ii diferent ,iabile, denite
pe un interval I, care este convergent punctual la funct ,iags,i pentru orice punct
a2I, exist a un num ar real, >0 astfel ^ nc^ at ( g0
n)neste uniform continu a pe I(a) =
I\(a;a+). Atuncign!guniform pe ecare mult ,imeI(a), funct ,iageste
diferent ,iabil a s ,i derivata ei este egal a cu limita punctual a a s ,irului (g0
n)n. Cu alte
cuvinte, ( lim
n!1gn)0= lim
n!1g0
n.
Des ,i nu toate funct ,iile de clas a C1admit expansiunea seriei Taylor, toate funct ,iile
continue pot  aproximate uniform, pe intervale compacte, prin polinoame.
22

Capitolul 2
Not iunea de primitiv a s-a degajat din aplicat iile matematicii ^ n situat ii concrete,
care const a ^ n determinarea modelului matematic al unui proces atunci c^ and se d a
viteza de variat ie a acestuia.
^In mod abstract, problema primitivei se formuleaz a astfel: ind dat a funct ia deri-
vat aG=g0:IR!Rse cere s a se determine funct iile g:I!R. Problema pri-
mitivelor este deci inversa problemei fundamentale a calculului diferent ial, care const a
^ n determinarea derivatei unei funct ii date, cum am ar atat ^ n capitolul anterior.
Not ,iunea de primitiv a generalizat a a fost introdus a de N. Bourbaki, care este
pseudonimul matematicienilor francezi, fos ,ti student ,i ai S ,colii Normale din Paris, care
au constituit un colectiv cu scopul de a publica un tratat de matematic a cu dezideratele
s,colii axiomatice ale lui David Hilbert, des ,i anumite variante ale ei se ^ nt^ alnesc la J.
Thomas(1875) s ,i L. Scheefer(1884).
2.1 Funct ,ii convexe
2.1.1 Denit ,ie:Fie (X;+;
) un spat ,iu vectorial real, iar a;b2X. Mult ,imea
[a;b] =fa+(ba)j2[0;1]gse numes ,te segmentul determinat de as,ib(sau de
extremit at ,ias,ib).
Analog, vom nota cu ( a;b) =fa+(ba)j2(0;1)g
2.1.2 Denit ,ie:O mult ,imeC2Xse numes ,te convex a, dac a pentru orice a;b2C
avem c a [a;b]C.
2.1.3 Remarc a: ^In cazul particular X=R, avem c aCReste convex a dac a s ,i
numai dac a este interval.
Evident,Ceste convex a dac a s ,i numai dac a pentru orice a;b2Cs,i orice2[0;1]
avem c a (1)a+b2C.
2.1.4 Propozit ,ie:O mult ,imeCeste convex a dac a s ,i numai dac a pentru orice
n2Ncun2 s,i oricec1;::::;cn2Cs,i orice1;::::n2R+cu1+:::+n= 1 avem
c ac11+:::+cnn2C
23

2.1.5 Denit ,ie:Funct ,iagse numes ,te convex a, respectiv strict convex a, dac a
pentru orice a;b2Cs,i oricea2[0;1] avem c a g((1)a+b)(1)g(a) +g(b),
respectiv inegalitatea strict a pentru a6=bs,i 0<< 1.
O funct ,iegcu proprietatea c a geste convex a, respectiv strict convex a, se numes ,te
funct ,ie concav a, respectiv funct ,ie strict concav a.
Funct ,iile care sunt s ,i convexe s ,i concave se numesc funct ,ii ane.
2.1.6 Remarc a: Evident orice funct ,ie strict convex a este convex a. Reciproca nu
este adev arat a.
2.1.7 Propozit ,ie:O funct ,ieg:I!Reste convex a dac a s ,i numai dac a pentru
oricen2Ncun2 s,i oricet1;:::;tn2Is,i1;:::;n2R+cu1+:::+n= 1 avem
c a:
g(1t1+:::+ntn)1g(t1) +:::+ng(tn)- inegalitatea lui Jensen.
Demonstrat ,ie:
Necesitatea se demonstreaz a prin induct ,ie. Cazuln= 2 este chiar denit ,ia funct ,iei
convexe. Presupunem adev arat a armat ,ia pentruns,i s a demonstr am pentru n+ 1.
Fie decit1;:::;tn21;:::;:n+12R+cu1+:::+n+1= 1
i) Dac aan+1= 1 atunci concluzia rezult a imediat.
ii) Dac aan+16= 1, atunci:
t=n+1P
k=1ktk= (1n+1)s+n+1tn+1
, undes=nP
k=1k
1n+1tks,i conform ipotezei avem:
g(t)(1n+1)g(s) +n+1g(tn+1)(1n+1)nP
k=1k
1n+1g(tk) +n+1g(tn+1) =
n+1P
k=1kg(tk)
Sucient ,a este evident a.
^In cazul funct ,iilor strict convexe inegalitatea lui Jensen este strict a dac a elementele
t1;:::;tnsunt distincte dou a c^ ate dou a s ,i numerele1;:::;napart ,in intervalului (0 ;1).
2.1.8 Denit ,ie:O funct ,ieg:I!Rse numes ,te convex a ^ n sens Jensen sau
strict semiconvex a, dac a pentru orice a;b2I, avem:
g(a+b
2)g(a) +g(b)
2,
respectiv inegalitatea strict a dac a a6=b.
24

2.1.9 Remarc a: Evident orice funct ,ie convex a, strict convex a, este convex a ^ n
sens Jensen, strict convex a ^ n sens Jensen.
2.1.10 Teorem a: O funct ,ieg:I!Rm arginit a superior este convex a dac a s ,i
numai dac a este convex a ^ n sens Jensen.
2.1.11 Corolar: Fieg:I!Rcontinu a. Atunci geste convex a dac a s ,i numai
dac ageste convex a ^ n sens Jensen.
Demonstrat ,ie:
Rezult a imediat din teorema precedent a s ,i observat ,ia c ag:I!Reste convex a
dac a s ,i numai dac a restrict ,ia sa la orice segment [ a;b]Ieste convex a. Dar gind
continu a rezult a c a orice restrict ,ie a sa la orice segment este m arginit a s ,i deci prin
aplicarea teoremei 2.1.10 se obt ,ine rezultatul dorit.
2.2 Derivabilitatea s ,i convexitate
2.2.1 Teorem a: Fieg:I!Rconvex a s ,ia=infI,b=supI. Atunci:
i)geste derivabil a pe ( a;b) s,i pentru orice t1;t22(a;b) cut1<t2avem:
g0
s(t1)g0
d(t1)g0
s(t2)g0
d(t2);
ii) dac aa2I, respectivb2I, atuncigare derivat a la dreapta ^ n a, respectiv la st^ anga
^ nbs,i:
g0
d(a)g0
s(t), respectiv g0
d(t)g0
s(b),
pentru orice t2I;
iii) exist a o mult ,ime cel mult num arabil a AIastfel ^ nc^ at geste derivabil a pe InA.
2.2.2 Corolar: Dac ag:I!Reste convex a atunci geste continu a pe intervalul
lui I.
2.2.3 Corolar: Fieg:I!Rderivabil a pe I. Atuncigeste convex a dac a s ,i
numai dac a:
g(t)g(t0) +g0(t0)(tt0)
pentru orice t;t02I.
2.2.4 Corolar: Fieg:I!Rconvex a s ,i derivabil a. Atunci pentru orice t0punct
inferior al intervalului Iurm atoarele armat ,ii sunt adev arate:
i)t0este punct de minim global pentru g;
ii)t0este punct de extrem local pentru g;
iii)g0(t0) = 0
25

2.2.5 Corolar: Dac ag:I!Reste convex a atunci geste lipschitzian a pe orice
segment [a;b] inclus ^ n interiorul lui I.
Demonstrat ,ie:
Fie [a;b] inclus ^ n interiorul lui Is,iu;v2[a;b] cuu < v . Not^ and cu M=
maxfjg0
d(a)j;jg0
s(b)jgavem:
Mg0
d(a)g0
d(u)g(u)g(v)
uvg0
s(v)g0
s(b)M
s,i decijg(u)g(v)jMjuvjpentru price u;v2[a;b].
2.2.6 Corolar: O funct ,ie derivabil a g:I!Reste concav a, strict concav a, dac a
s,i numai dac a derivata sa este descresc atoare, strict descresc atoare.
2.2.7 Corolar Jensen: Fieg:I!Rderivabil a de dou a ori pe I. Atuncigeste
convex a, concav a, dac a s ,i numai dac a g000,g000.
Demostrat ,ie:
Rezult a imediat t ,in^ and seama c a funct ,iag0este cresc atoare, descresc atoare, dac a
s,i numai dac a derivata este g00este pozitiv a, negativ a.
2.2.8 Denit ,ie:Fieg:I!Rs,it02(a;b)I, adic at0este punct inferior lui
I. Punctult0se numes ,te punct de in
exiune pentru gdac a:
i)geste derivabil a ^ n t0
ii) exist ar>0 cu (t0r;t0+r)Iastfel ^ nc^ at geste convex a pe ( t0r;t0) s,i concav a
pe (t0;t0+r) sau invers.
Cu alte cuvinte un punct t02Ieste punct de in
exiune pentru gdac a s ,i numai
dac ageste derivabil a ^ n t0, adic a gracul lui gadmite tangent a ^ n t0s,ig^ s,i schimb a
concavitatea ^ n t0.
2.3 Primitive exacte
FieIRun interval s ,ig:I!R.
2.3.1 Denit ,ie:Funct iagse numes ,teprimitivabil a sau spunem c a este o derivat a
pe I  si not am g2PI, dac a exist a G:I!Rderivabil a cu
G0(t) =g(t) pentru orice t2I.
Funct iaGse nume ste primitiv a sauprimitiv a exact a pentru funct ia gpe intervalul
I. Evident, dac a g2PIatunci,gare o innitate de primitive, c aci dac a Geste o
primitiv a pentru gpeIatunci pentru orice C2R si funct iaG+Ceste o primi-
tiv a pentru g. Dac ag2PIatunci vom nota cuR
gsauR
g(t)dtmult imea tuturor
primitivelor funct iei gpeI.
26

2.3.2 Remarc a: Dac ag:I!Reste primitivabil a pe Iatunci pentru orice
dou a primitive G1 siG2ale luigavem c aG0
1(t) =G0
2=g(t) pentru orice t2I.
Din teorema lui Lagrange rezult a c a exist a c2Rastfel ^ nc^ at G2(t) =C+G1(t)
pentru orice t2I.
^In consecint  a, dac a g:I!Reste primitivabil a atunci:
R
g(t)dt=fG+CjC2Rg=G+R,
pentru orice primitiv a Ga luigpe intervalul I.
2.3.4 Remarc a: Dac ag:I!Reste primitivabil a, t02I siC02Ratunci
exist a o unic a primitiv a G0a luigcuG0(t0) =C0.
^Intr-adev ar, dac a Geste o primitiv a pentru g, atunci:
G0:I!R,G0(t) =G(t)(G(t0)C0).
este o primitiv a pentru gcuG0(t0) =C0.
2.3.5 Remarc a: O funct ieg:I!Reste primitivabil a pe intervalul Idac a  si
numai dac a este primitivabil a pe orice segment [ a;b]I.
2.3.6 Teorema Darboux: . Dac a funct ia g:I!Reste primitivabil a pe
intervalulIatuncigare proprietatea lui Darboux, adic a:
P1D1.
Demonstratie:
FieGo primitiv a a funct iei g, iara;b2Icua < b  sicuprins ^ ntre g(a)  sig(b),
s a zicemg(a)<<g (b). Atunci funct ia:
H: [a;b]!R,H(t) =G(t)t
este continu a, ind derivabil a pe segmentul [ a;b]  si deci exist a c2[a;b] ^ n careH^  si
atinge marginea inferioar a. Ar at am c a c2(a;b), adic ac6=a sic6=b.
^Intr-adev ar , din
H0(a) = lim
t!a
t>aH(t)H(a)
ta<0
rezult a c a exist a r>0 cuH(t)<H(a) pentru orice t2(a;a+r)  si decic6=a.
Analog din H0(b)>0 rezult ac6=b. Deciceste un punct de minim pentru Hcu
c2(a;b)  si din teorema lui Fermat rezult a c a H0(c) = 0, adic a g(c) =.^In concluzie
geste o funct ie Darboux.
2.3.7 Corolar: Orice primitiv a a unei funct ii primitivabile g:I!Reste strict
monoton a.
27

Demonstrat ie:
Dac aGeste o primitiv a a funct iei g:I!R, atunci:
G0(t) =g(t)6= 0, pentru orice t2I.
Cumgare proprietatea lui Darboux, rezult a c a g>0 peIsaug <0 peI.De aici,
obt inem c a Geste strict monoton a pe I.
2.3.8 Corolar: Orice funct ie primitivabil a g:I!Rnu are discontinuit at i de
spet a ^ nt^ ai.
2.4 Operat ii cu funct ii primitivabile
2.4.1 Propozit ie: Dac ag;h:I!Rsunt primitivabile  si ;2R, atunci
g+heste primitivabil a. ^In plus, dac a 2+2>0, atunci :
R
(g+h) =R
g+R
h.
Demonstrat ie:
FieG2R
g sih2R
h. AtunciF=G+este derivabil a s ,iF0=G0+H0=
g+h=f. De aici rezult a c a:
R
g+R
hR
(g+h),
pentru orice ;2R.
Pentru a demonstra incluziunea reciproc a ^ n cazul 2+2>0 presupunem c a
6= 0 s ,i eF2R
f,G2R
g. Atunci:
H=FG
,
este derivabil a cu:
H0=fg
=h,
adic aH2R
h.^In plus,F=G+H2R
g+R
h. Astfel am demonstrat
urm atoarea incluziune care trebuia demonstrat a:
R
(g+h)R
g+R
h, pentru2+2>0.
2.4.2 Remarc a: Produsul a dou a funct ,ii primitivabile nu este totdeauna o funct ,ie
primitivabil a.
2.4.3 Propozit ie: Dac ag:I!Reste primitivabil a  si h:I!Rde clas aC1
peI, atuncigheste primitivabil a pe I.
2.4.4 Propozit ie: Dac ag:I!Reste primitivabil a  si h:I!Reste
continu a, atunci gheste primitivabil a.
28

Demonstrat ie:
FieGo primitiv a a lui g. Cumg=G0p astreaz a un semn constant, ind nenul a, cu
proprietatea lui Darboux, rezult a c a Geste strict monoton a. Atunci G1este derivabil a
peG(I)  si decihG1este continu a pe G(I).^In consecint  a, hG1este primitivabil a
peG(I). FieHo primitiv a a lui hG1. Atunci:
(HG)0= (H0G)
G0= (hG1G)
g=hg
 si decigheste primitivabil a.
2.4.5 Corolar: Dac ag:I!Reste primitivabil a s ,i m arginit a, iar h:I!R
este continu a, atunci gheste primitivabil a.
2.4.6 Propozit ie: . Dac af:I!R sig:I!Rsunt primitivabile atunci
c^ atul lorf
gare proprietatea lui Darboux.
Demonstrat ie:
Fieh=f
g, iara;b2Icua < b s,icuprins ^ ntre h(a)  sih(b), de exemplu
h(a)<<h (b). Deoarece gare proprietatea lui Darboux  si g6= 0 rezult a c a p astreaz a
un semn constant pe I, decig(a)  sig(b) au acela si semn.
Presupunem, de exemplu, c a g(a)>0,g(b)>0. Dinf(a)
g(a)<<f(b)
g(b)rezult a c a
f(a)g(a)<0<f(b)g(b).
Cumfgare proprietatea lui Darboux, ind primitivabil a, exist a c2(a;b) cu
f(c)g(c) = 0, adic a h(c) = si decihare proprietatea lui Darboux.
^In general, compusa a doua funct ii primitivabile nu are ^ n mod necesar aceast a
proprietate.
2.4.7 Propozit ie: Fief:I!Rprimitivabil a  si g:I!Rde clas aC1peI.
Dac aheste o primitiv a a funct iei1
gatuncifheste primitivabil a.
Demonstrat ie: FieFo primitiv a a lui f. Atunci funct ia G:I!R,G(t) =
g(t)F(h(t)) este derivabil a cu
G0(t) =g0(t)F(h(t)) +g(t)f(h(t))h0(t) =g0(t)F(h(t)) +f(h(t))
pentru orice t2I. De aici  si din faptul c a g0este continu a  si Fheste continu a
rezult a c afheste primitivabil a.
2.5 Primitivabilitatea funct iilor continue
Am v azut c a primitivabilitatea unei funct ii g:I!Reste echivalent a cu primiti-
vabilitatea pe orice segment [ a;b]I. De aici rezult a c a este important s a cunoa stem
29

criterii de primitivabilitate pe segmente.
Rezultatul esent ,ial al acestei sect ,iuni este faptul c a orice funct ,ie continu a pe un
segment este primitivabil a. Pentru aceasta este sucient s a demonstr am c a orice funct ,ie
g: [a;b]!Rcontinu a este primitivabil a. ^In vederea demonstr arii acestui rezultat
fundamental din calcul integral aveam nevoie de c^ ateva rezultate preliminarii.
Fie decig: [a;b]!Rm arginit a, iar m, respectiv Mmarginea inferioar a, res-
pectiv superioar a a lui gpe [a;b].
Pentru orice diviziune d=fa=t0;t1;::::;tn=bga segmentului [ a;b] s a not am cu
mk, respectiv Mkmarginea inferioar a, respetcitv superioar a a funct ,ieigpe intervalul
Ik= [tk1;tk] undek2f1;::::;ng.
2.5.1 Denit ,ie:Num arul real s(g;d) =Pn
k=1mk(tktk1) se numes ,te suma
inferioar a Darboux a funct ,iei m arginite g: [a;b]!R^ n raport cu diviziunea d.
2.5.2 Remarc a: DinmmkMkM, prin ^ nmult ,ire cu (tktk1) s,i apoi
^ nsumare de la 1 la nrezult a
m(ba)s(g;d)M(ba)
pentru orice diviziune da segmentului [ a;b]. De aici obt ,inem c a mult ,imea tuturor
sumelor inferioare Darboux ale funct ,iei m arginite, g: [a;b]!Reste o mult ,ime
m arginit a.
2.5.3 Denit ,ie:Num arul real I= sup
ds(g;d) se numes ,te integral a inferioar a
Darboux a funct ,iei m argnite, g: [a;b]!Rpe segmentul [ a;b] s,i se noteaz a cu
Rb
agsauRb
ag(t)dt.
2.5.4 Remarc a: Din cele de mai sus rezult a c a:
m(ba)Rb
ag(t)dtM(ba).
2.5.5 Propozit ,ie:Fieg:I= [a;b]!Rm arginit a s ,iG:I!R;G(t) =Rt
ag.
Atunci:
i)G(b) =G(c) +Rb
cgpentru orice c2(a;b);
ii) exist aL>0 cujG(t0)G(t00)jLjt0t00jpentru orice t0;t002I.
Demonstrat ,ie:
i) Fiec2(a;b), iard1respectivd2diviziuni arbitrare ale segmentelor I1= [c;b].
Not^ and cu d=d1[d2, atunci:
s(g;d1) +s(g;d2) =s(g;d)G(b).
Trec^ and la supremum ^ n raport cu d1s,i apoi ^ n raport cu d2, se obt ,ine:
G(c) +Rb
cgG(b).
30

^In vederea demonstr arii inegalit at ,ii de sens contrar consider am o diviziune d,arbitrar a,
a segmentului I. Dac ac2datunci not^ and d1=d\[a;c] s,i respectiv d2=d\[c;b]
avem:
s(g;d) =s(g;d1) +s(g;d2)G(c) +Rb
cg
Aceast a inegalitate r am^ ane adev arat a s ,i ^ n cazul ^ n care c6=d, atunci not^ and cu
d=d[fcg, avem:
s(g;d)s(g;d)G(c) +Rb
cg.
Prin trecere la supremum ^ n raport cu drezult a egalitatea de la i).
ii) Fiet0;t002Icut0<t00s,iL= sup
t2Ijg(t)j. Atunci din i) rezult a:
jG(t0)G(t00)j=jRg00
g0gL(t00t0) =Ljt0t00j,
ceea ce trebuia demonstrat.
2.5.6 Teorem a: Orice funct ,ie continu a g:I!Reste primitivabil a, adic a:
C1P1.
Acest rezultat a fost demonstrat prima data de Issac Barrow, profesorul lui New-
ton.
Demonstrat ,ie:
Din Remarca 2.3.4 este sucient s a demonstr am c a orice funct ,ie continu a g:
[a;b]!Reste primitivabil a. Fie G: [a;b]!R,G(t) =Rt
ag.
Vom ar ata c a Geste o primitiv a pe [ a;b] a funct ,ieig.
Fiet02[a;b]. Vom ar ata c a Geste derivabil a la dreapta ^ n t0s,iG0
d(t0) =g(t0).
Analog, se arat a c a pentru orice t02(a;b], funct ,iaGeste derivabil a la st^ anga ^ n t0cu
G0
s(t0) =g(t0). Fie decit02[a;b). Din continuitatea la dreapta ^ n t0a luigrezult a c a
pentru orice >0 exist a>0 astfel ^ nc^ at pentru orice t2(t0;t0+)(t0;b), avem:
g(t0)<g (t)<g(t0) +,
ceea ce implic a
g(t0))(tt0)Rt
t0g(g(t0) +)(tt0),
pentru orice t2(t0;t0+). De aici obt ,inem:
jG(t)G(t0)
tt0g(t0)j<,
pentru orice t2(t0;t0+), adic aGeste derivabil a la dreapta ^ n t0s,iG0
d(t0) =g(t0),
ceea ce trebuia demonstrat.
31

Se pune problema dac a inversa unei funct ,ii primitivabile inversabil a este primiti-
vabil a. R aspunsul este armativ s ,i este cont ,inut ^ n urm atorul corolar.
2.5.7 Corolar: Dac a funct ,ia primitivabil a g:I!Reste injectiv a atunci
g1:g(1)!Reste continu a, deci primitivabil a.
Demonstrat ,ie:
Dac ag:I!Reste primitivabil a atunci gare proprietatea lui Darboux s ,i deci
nu are puncte de discontinuitate de spet ,a ^ nt^ ai.
Pe de alt a parte, gind o funct ,ie Darboux injectiv a, este strict monoton a s ,i deci
nu are puncte de discontinuitate de spet ,a a doua.
^In concluzie, geste o funct ,ie continu a s ,i strict monoton a pe intervalul I, ceea ce
conduce la faptul c a g1este continu a, deci primitivabil a pe intervalul g(I).
2.6 Metode de primitivare
O prim a metod a ce permite determinarea primitivelor unor funct ,ii date este oferit a
de teorema de primitivare prin p art ,i, dat a de:
2.6.1 Teorem a: Fief;g:I!Rderivabile. Atunci:
i)fg0este primitivabil a dac a s ,i numai dac a f0geste primitivabil a;
ii) dac afg0este primitivabil a, atunci:
R
fg0=fgR
f0g
Demonstrat ,ie:
i) Dac afs,igsunt derivabile atunci s ,if
geste derivabil a cu ( f
g)0=f0g+fg0de
unde rezult a imediat armat ,ia de la i).
ii) Presupunem c a fg0este primitivabil a s ,i eH2R
fg0. Atunci funct ,iaF=fgH
este derivabil a cu:
F0= (fg)0H0=f0g,
ceea ce arat a c a F2R
f0g. Deci:
H=fgF2fgR
f0g
ceea ce conduce la:
R
fg0fgR
f0g
Pentru demonstrarea incluziunii contrare, consider am G2R
gR
f0g. Atunci
exist aH2R
f0gcuG=R
gH. AtunciG0= (fg)0H0=fg0s,i deciG2R
fg0,
adic a am demonstrat s ,i incluziunea:
32

R
fg0fgR
f0g,
ceea ce trebuia ar atat.
Un alt procedeu pentru determinarea mult ,imii primitivelor unei funct ,ii este schim-
barea de variabil a. Vom prezenta dou a astfel de metode.
2.6.2 Teorem a: Prima metod a de schimbare de variabil a: FieI;JR
dou a intervale s ,iu:I!Jderivabil a, iar f:J!Rprimitivabil a.
Atunci (fu)
u0este primitivabil a s ,i pentru orice primitiv a Fa luifavem c a:
R
(fu)u0=Fu+R
2.6.3 Remarc a: Teorema precedent a furnizeaz a o metod a de determinare a
mult ,imii primitivelor unei funct ,iig:I!Rcare se scrie sub forma g(t) =f(u(t))
u0(t).
Prin substitut ,iau(t) =y, determinarea mult ,imii primitivelor funct ,ieigse reduce la
determinarea mult ,imii primitivelor funct ,ieif.
2.6.4 Remarc a: Nu se poate pune egalitate ^ ntre mult ,imileR
f(u(t))u0(t)dts,iR
f(y)dy, deoarece prima mult ,ime este format a din funct ,ii denite pe I, ^ n timp ce a
doua mult ,ime reprezint a mult ,imea primitivelor funct ,ieifcare sunt funct ,ii denite pe
J. Chiar dac a I=J, ^ n general, cele doua mult ,imi sunt distincte.
2.6.5 Teorem a: A doua metod a a de schimbare de variabil a: FieI;JR
intervale s ,iu:I!Jbijectiv a, derivabil a cu u0(t)6= 0 pentru orice t2I. Atunci
funct ,iaf:I!Reste primitivabil a pe fdac a s ,i numai dac a funct ,iag= (fu)
u0
este primtivabil a pe I.^In plus avem c a:
R
f=Gu1+Rpentru orice G2R
g
2.6.7 Remarc a: Teorema precedent a arat a c a pentru calculul luiR
f(y)dyse face
substitut ,iay=v(t) s,i se reduce problema la calculul luiR
f(v(t))v0(t)dt.
2.6.8 Remarc a: Analog ca ^ n Remarca 2.6.4 nu se poate pune egalitate ^ ntre
mult ,imileR
f(y)dys,iR
f(v(t))
v0(t)dt.
2.7 Primitive Bourbaki
Fieg:I!RundeIReste un interval.
2.7.1 Denit ,ie:Funct ,iagse numes ,te primitivabil a ^ n sens Bourbaki sau primi-
tivabil a ^ n sens generalizat pe Is,i not amg2~P1dac a exist a o funct ,ieG:I!Rcu
propriet at ,ile:
i)Geste continu a;
ii) exist a o mult ,ime cel mult num arabil a AIastfel ^ nc^ at Geste derivabil a pe InA
s,iG0(t) =g(t) pentru orice t2InA.
33

Funct ,iaGse numes ,te primitiv a ^ n sens Bourbaki, pe scurt primitiv a Bourbaki,
sau primitiv a ^ n sens generalizat a funct ,ieig, iar mult ,imea primitivelor Bourbaki ale
funct ,ieig2~P1o vom nota cu:
~R
gsau~R
g(t)dt.
2.7.2 Remarc a: Evident, orice funct ,ie primitivabil a g:I!Reste primitivabil a
^ n sens Bourbaki s ,i orice primitiv a exact a a lui geste o primitiv a Bourbaki a lui g,
adic a:
P1~P1s,iR
g~R
g.
2.7.3 Remarc a: Dac ag:I!Reste primitivabil a ^ n sens Bourbaki pe I,
atunci pentru orice dou a primitive Bourbaki G1s,iG2a luigexist a o mult ,ime cel mult
num arabil a AIastfel ^ nc^ at G1s,iG2s a e derivabile pe InAs,iG0
1(t) =G0
2(t) =g(t)
pentru orice t2InA.
Din Corolarul teoremei lui Denjoy-Bourbaki pe care ^ l vom enunt ,a ulterior, rezult a
c a exist aC2Rastfel c aG2=G1+C.
2.7.4 Corolarul teoremi lui Denjoy-Bourbaki: Fief;g:I!Rcontinue pe
intervalulI. Atunci:
i)feste constant a pe Idac a s ,i numai dac a exist a o mult ,ime cel mult num arabil a AI
astfel ^ nc^ at feste derivabil a la dreapta pe InAs,if0
d(t) = 0 pentru orice t2InA;
ii)fs,igdifer a printr-o constant a pe Idac a s ,i numai dac a exist a o mult ,ime cel mult
num arabil a AIastfel cafs,igs a e derivabile la dreapta pe InAs,if0
d(t) =g0
d(t)
pentru orice t2InA.
^In consecint , a ca s ,i ^ n cazul primitivelor exacte avem c a dac a f:I!Reste
primitivabil a ^ n sens Bourbaki pe intervalul I, atunci:
~R
f=fF+CjC2Rg=F+R,
pentru orice primtiv a Bourbaki Fa luif.
2.7.5 Remarc a: Procend^ and aboslut ca ^ n cazul primitivelor exacte, se obt ,ine c a
o funct ,ief:I!Reste primitivabil a ^ n sens Bourbaki pe intervalul I, dac a s ,i numai
dac a ea este primitivabil a ^ n sens Bourbaki pe orice segment [ a;b]I.
2.7.6 Remarc a: Analog ca ^ n Propozit ,ia 2.4.1 avem c a ~P1este un spat ,iu vectorial
real, adic a dac a f;g:I!Rsunt primitivabile ^ n sens Bourbaki s ,i;2Ratunci
f+geste primitivabil a ^ n sens Bourbaki. ^In plus avem:
~R
(f+g) =~R
f+~R
g,
pentru orice 2Rcu2+2>0.
2.7.7 Teorem a: Fieg:I!Rm arginit a pe orice segment [ a;b]I. Dac a exist a
o mult ,ime cel mult nenum arabil a AIastfel ^ nc^ at geste continua pe InA, atuncig
34

este primitivabil a ^ n sens Bourbaki pe I.
Demonstrat ,ie:
Este sucient s a demonstr am c a geste primitivabil a ^ n sens Bourbaki pe orige
segment [a;b]I. Fie deci [ a;b]I. Deoarece geste m arginit a pe I, are sens s a
consider am funct ,ia:
G: [a;b]!R,G(t) =Rt
ag.
Absolut analog ca ^ n demonstrat ,ia Teoremei 2.5.6 se arat a c a pentru orice t02
[a;b]n(A\[a;b]) funct ,iaGeste derivabil a ^ n t0s,iG0(t0) =g(t0). Funct ,iaGeste
lipschitzian a pe [ a;b] s,i deci s ,i continu a. ^In consecint , a,Geste o primitiv a Bourbaki
pentrugs,i decig2~P1.
Din aceast a teorem a obt ,inem clase de funct ,ii primitivabile^ n sens Bourbaki precum
s,i relat ,ia de incluziune dintre mult ,imea ~P1s,i alte mult ,imi de funct ,ii studiate.
2.7.8 Corolar: Orice funct ,ie riglat a este primitivabil a ^ n sens Bourbaki, adic a
R1~P1.
2.7.9 Corolar: Orice funct ,ie monoton a este primitivabil a ^ n sens Bourbaki.
2.7.10 Corolar: Orice funct ,ieg: [a;b]!Rcu variat ,ie m arginit a pe [ a;b] este
primitivabil a ^ n sens Bourbaki.
2.8 Primitive Lebesgue
2.8.1 Denit ,ie:O mult ,imeARse zice neglijabil a, sau de m asur a Lebesgue
nul a, dac a pentru orice >0 exist a o familie cel mult num arabil a de intervale deschise
(a1;b1);(a2;b2);:::(an;bn) astfel ^ nc^ at
AS
n(an;bn) s,iP
n(bnan)<
Dac a o proprietate are loc cu except ,ia unei mult ,imi neglijabile atunci spunem c a
ea are loc aproape peste tot s ,i not ama:p:t.
Astfel o funct ,ieg:I!Reste:
i) nul a aproape peste tot s ,i not amg= 0a:p:t: dac aft2Ijg(t)6= 0geste neglijabil a;
ii) continu a aproape peste tot dac a mult ,imeaD(g), a punctelor sale de discontinuitate
este neglijabil a.
Dac ag;h:I!Ratuncigs,ihsunt egale aproape peste tot s ,i not amg=ha:p:t:
dac aft2I:g(t)6=h(t)geste neglijabil a.
S a not am cu Nfamilia mult ,imilorARcare sunt neglijabile.
35

2.8.2 Remarc a: Orice mult ,ime cel mult num arabil a este neglijabil a. ^Intr-adev ar,
dac aA=ft1;t2;:::geste o mult ,ime cel mult num arabil a atunci pentru orice  >0 s,i
oricen2Nexist aan;bn2Rcuan<tn<bns,ibnan=
2n+1. Atunci:
AS
n(an;bn) s,iP
n(bnan)<1P
n=1
2n+1=
2<,
ceea ce arat a c a A2N.
^In particular:
i) orice mult ,ime nit a este neglijabil a;
ii) orice mult ,ime num arabil a, ^ n particular Q, este neglijabil a.
2.8.3 Remarc a: Orice reuniune cel mult num arabil a de mult ,imi neglijabile este
neglijabil a.
^Intr-adev ar dac a A1;A2;:::sunt neglijabile atunci pentru orice m 2Ns,i orice
>0 exist a o familie cel mult num arabil a de intervale deschise
Jm
1= (am
1;bm
1);Jm
2= (am
2;bm
2):::,
cu
AmS
nJm
ns,iP
n(bm
nam
n)<
2m+1.
Atunci:
A=
dS
nAnS
m;nJm
ns,iP
m;n(bm
nam
n)<1P
m=1
2m+1<,
s,i deciAeste neglijabil a.
2.8.4 Remarc a: Un rezultat fundamental al analizei reale, demonstrat cu aju-
torul teoriei integralei Lebesgue, arm a c a orice funct ,ie monoton a g:I!Reste
derivabil aa:p:t: . De aici rezult a c a orice g: [a;b]!Rcu variat ,ie m arginit a este deri-
vabil aa:p:t: .^In particular orice funct ,ie absolut continu a g: [a;b]!Reste derivabil a
a:p:t: .
2.8.5 Teorem a: Dac aG: [a;b]!Reste absolut continu a cu G0= 0a:p:t: ,
atunciGeste constant a pe [ a;b].
2.8.6 Corolar: Dac a funct ,iile absolut continue G;H : [a;b]!Rau proprietatea
c a:
G0=H0a:p:t: ,
atunciGs,iHdifer a printr-o constant a pe [ a;b], adic a exist a C2Rcu
H(t) =G(t) +C,
pentru orice t2[a;b].
36

2.8.7 Denit ,ie:O funct ,ieg:I!Rse numes ,te primitivabil a ^ n sens Lebesgue,
pe scurt primitivabil a Lebesgue, s ,i not amg2LI, dac a9G:I!Rabsolut continu a
cuG0=ga:p:t: . Funct ,iaGse numes ,te primitiv a Lebesgue a funct ,ieig2LI. Mult ,imea
tuturor primitivelor Lebesgue ale funct ,ieig2LIle vom nota cu:
LgsauLg(t)dt.
2.8.8 Remarc a: Oricare dou a primitive Lebesgue a unei funct ,ii primitivabile Le-
besgue difer a printr-o constant a s ,i deci, analog ca s ,i la celelalte concepte de primitivare,
este sucient s a cunoas ,tem o primitiv a Lebesgue a unei g2LI.^In plus avem c a:
Lg=fG+C:C2Rg=G+R,
pentru orice primitiv a Lebesgue Fa luig.
2.8.9 Remarc a: Se arat a c a g:I!Reste primitivabil a Lebesgue pe Idac a s ,i
numai dac a geste primitivabil a pe orice segment [ a;b]I.
2.8.10 Remarc a: Mult ,imeaLI, a funct ,iilorg:I!Rprimitivabile Lebesgue,
pe I, este un spat ,iu vectorial, adic a dac a gs,ihsunt primitivabile Lebesgue s ,i;2R
atunci s ,ig+heste primitivabil a Lebesgue, c aci dac a G2Lg;H2Lh, atunci
G+H2L(g+h).
2.8.11 Teorem a: Fieg:I!Rm arginit a pe orice segment [ a;b]I. Dac ag
este continu a a:p:t: , atuncigeste primitivabil a Lebesgue.
Demonstrat ,ie:
Este sucient s a ar at am c a geste primitivabil a Lebesgue pe orice segment [ a;b]
I. Atunci funct ,iaG: [a;b]!R,G(t) =Rt
ageste lipschitzian a pe [ a;b] s,i deciGeste
absolut continu a. Deoarece geste continu a a:p:t: rezult a c a exist a o mult ,ime neglijabil a
A[a;b] astfel ^ nc^ at geste continu a pe [ a;b]nA. AtunciGeste derivabil a pe [ a;b]nA
s,iG0(t) =g(t) pentru orice t2[a;b]nA. De aici rezult a c a Geste o primitiv a Lebesgue
pentrugs,i decig2L[a;b].
2.8.12 Corolar: Dac ag:I!Reste m arginit a pe orice segment inclus ^ n I
s,i mult ,imea punctelor sale de discontinuitate este cel mult num arabil a atunci geste
primitivabil a Lebesgue. ^In particular:
i) orice funct ,ie continu a este primitivabil a Lebesgue;
ii) orice funct ,ie riglat a este primitivabil a Lebesgue;
iii) orice funct ,ie monoton a este primitivabil a Lebesgue;
iv) orice funct ,ie cu variat ,ie m arginit a este primitivabil a Lebesgue.
Demonstrat ,ie:
Rezult a imediat din teorema precedent a t ,in^ and seama c a orice mult ,ime cel mult
37

num arabil a este neglijabil a s ,i ^ n ecare dintre cele patru cazuri mult ,imea punctelor de
discontinuitate este cel mult num arabil a.
2.8.13 Remarc a: Primitivabilitatea ^ n sens Lebesgue nu implic a primitivabilita-
tea ^ n sens Bourbaki s ,i deci nici primitivabilitatea. Nici reciprocele nu sunt adev arate.
38

Capitolul 3
^In acest capitol vom studia funct ,iile integrabile. ^Inc a din antichitate oamenii erau
interesat ,i de calculul lungimii curbelor, ariilor sau volumul corpurilor solide. ^Incet, pas
cu pas, a fost dezvoltat a o metod a general a de rezolvare a acestor probleme, numit
calcul integral s ,i av^ and o conexiune str^ ans a cu calculul diferent ,ial.
Cunosc^ and conceptul de lungime a unui interval, putem, imediat, deni integrarea
unei funct ,ii constante, apoi integrarea unei funct ,ii liniare pe un interval compact. ^In
acest capitol vom descrie integrala Riemann, des ,i este limitat a de unele restrict ,ii foarte
mare, are marele avantaj de a  at^ at simpl a, c^ at s ,i sucient de mare pentru a acoperi
mult ,i factori interesant ,i. Vom descrie o important a extensie a integralei Riemann, in-
tegralei Lebesgue, a c aror tr as atur a principal a este completitudinea spat ,iului funct ,iilor
integrabile.
3.1 Integrarea funct ,iilor regulate
Printr-o diviziune a unui interval compact [ a;b], ne referim la o mult ,ime nit a

=fx0;x1;:::;xngastfel ^ nc^ at a=xo< x 1<


< xn=b. Intervalele [ xk;xk+1]
sunt numite intervale part ,iale asociate diviziunii
. Oricare dou a subintervale sunt
e disjuncte, e au ^ n comun un punct nal. Dac a
1s,i
2sunt dou a diviziuni ale
intervalului [ a;b], vom nota cy
1[
2diviziunea determinat a de toate punctele din
cele dou a diviziuni.
3.1.1 Denit ,ie:O funct ,ieg: [a;b]!Rse numes ,te funct ,ie unitate dac a exist a o
diviziune
astfel ^ nc^ at restrict ,ia sa la interiorul ec arui interval part ,ial este constant a.
Dac ageste o funct ,ie unitate s ,ig(x) =ck, undex2(xk;xk+1), atunci denim
integrala Riemann a lui gdup a formula:
I
(g) =n1P
k=ock(xk+1xk).
Este natural s a not am integralele de mai sus cu I(g) in loculI
(g). Pentru a
evident ,ia intervalul de integrare, vom folosi unul dintre simbolurile:
Ib
a(g) saubR
ag(x) saubR
agdx
39

pentru a deni integrantul Riemann a lui gpe intervalul [ a;b].
Prin denit ,ie, integrala pe un interval se reduce la un punct egal cu 0, care este:
bR
agdx = 0.
Mult ,imea,U([a;b];R), funct ,iilor unitate de viariabile reale, denite pe [ a;b], este
o latice de funct ,ii liniare.
Funct ,iaIb
a:U([a;b];R)!Rcare asociaz a ec arei funct ,ii unitate valoarea inte-
gralei sale Riemann, Ib
a(g),se numes ,te funcs ,ionala de integrare. Principalele propriet at ,i
ale funct ,ionalei de integrare, sunt:
(P1) ( Liniaritate) Pentru orice ;2Rs,i toate funct ,iileg;h2U([a;b];R),
avem:
Ib
a(g+h) =Ib
a(g) +Ib
a(h).
(P2) ( Pozitivitate) Dac a g2U([a;b];R) s,ig0, atunciIb
a(g)0.
(P3) ( Aditivitate) Dac a g2U([a;b];R) s,ic2[a;b], atunci:
Ib
a(g) =Ic
a(g) +Ib
c(g).
(P4)Ib
a(1) =ba.
3.1.2 Remarc a: Pornind de la (P1) s ,i (P4), deducem c a:
Ib
a(C) =C(ba),
pentru orice constant a C, ^ n timp ce din (P1) s ,i (P2), deducem proprietatea de mono-
tonie a funct ,ionalei de integrare:
ghimplic aIb
a(g)Ib
a(h).
Prin urmare, dac a funct ,iageste m arginit a s ,imgM, atunci:
m(ba)Ib
a(g)M(ba).
O consecint , a a acestei duble inegalit at ,i este proprietatea de m arginire a funct ,ionalei
de integrare:
jIb
a(g)jIb
a(jgj)(ba) supfjg(x)jjx2[a;b]g.
3.1.3 Remarc a: Formula aditivit at ,ii,(P3), poate  extins a prin induct ,ie la orice
num ar nit de puncte intermediare.
3.1.4 Remarc a: Denit ,ia integralei nu depinde de valorile pe care le ia funct ,ia
^ n punctele nale ale intervalului. Prin urmare, dac a g;h2U([a;b];R) difer a ^ n multe
puncte nite, atunci:
Ib
a(g) =Ib
a(h).
40

Pentru a ar ata, lu am at0< t 1<


< tnbca ind mult ,imea tuturor
punctelor unde funct ,iile difer a. Atunci:
Ib
a(g) =It0a(g) +It1
t0(g) +


+Ib
tn(g) =It0a(h) +It1
t0(h) +


+Ib
tn(h) =Ib
a(h).
3.1.5 Denit ,ie:O funct ,ieg: [a;b]!Reste numes ,te regulat a dac a este limita
uniform a a s ,irului de funct ,ii unitate.
Fiecare funct ,ie regulat a este m arginit a. O funct ,ie regulat a are multe puncte de
discontinuitate num arabile. Mult ,imeaR([a;b];R) de funct ,ii regulate, g: [a;b]!R,
contituie o latice liniar a de funct ,ii care satisfac operat ,iile algebrice s ,i cele punctuale.
3.1.6 Teorem a( N. Bourbaki): O funct ,ieg: [a;b]!Reste regulat a dac a s ,i
numai dac a are numai discontinuit at ,i de spet ,a ^ nt^ ai.
Prin urmare, R([a;b];R) cont ,ine toate funct ,iile continue s ,i monotone pe intervalul
[a;b].
Demonstrat ,ie:
Necesitatea: Presupunem c a g: [a;b]!Reste o funct ,ie regulat a. Vom ar ata c a
gare limita la dreapta nit a, ^ n orice punct c2[a;b).^Intr-adev ar, datorit a faptului
c ageste regulat a, exist a un s ,ir (gn)nde funct ,ii unitate, uniform convergent la g. Fie
">0, atunci exist a un num ar natural N, astfel ^ nc^ at:
jg(x)gn(x)j<"
3,
pentru orice x2[a;b] s,inN. Cum lim
x!c+gN(x) exist a, atunci exist a un c"2(c;b]
astfel ^ nc^ at, pentru orice x;y2(c;c"], avemjgN(x)gN(y)<"
3. Prin urmare, dac a
x;y2(c;c"], atunci:
jg(x)g(y)jjg(x)gN(x)j+jgN(x)gN(y)j+jgN(y)g(y)j<".
Din criteriul Cauchy pentru limite, limita lim
x!c+g(x) exist a s ,i este nit a. ^In mod
analog, lim
x!cg(x) exist a s ,i este nit a pentru orice c2(a;b]. Deci,gare numai puncte
de discontinuitate de spet ,a ^ nt^ ai.
Sucient ,a: Presupunem c a geste o funct ,ie care are limite laterale nite ^ n orice
punct din domeniu. Vom ar ata c a geste limita uniform a a s ,irului de funct ,ii unitate.
Fienun num ar ^ ntreg pozitiv s ,ix2[a;b] arbitrar ales. Atunci, exist a rx>0
astfel ^ nc^ at, oscilat ,ia funct ,ieigpe (xrx;x)\[a;b] s,i pe (x;x+rx)\[a;b] este
mai mic a dec^ at1
n. Lu amVx= (xrx;x+rx), cum [a;b] [xVx, ^ nseamn a c a
avem un nu ar nit de puncte x1;x2;:::;xp, astfel ^ nc^ at [ a;b][ =k= 1pVxk. Punc-
telea;b;xk;max (xkrxk);min (xk+rxk) pentruk= 1;2;:::;p pot  puse ^ n ordine
cresc atoare pentru a obt ,ine o diviziune a intervalului [ a;b] astfel ^ nc^ at oscilat ,ia funct ,iei
g^ n interiorul oric arui interval part ,ial este mai mic a dec^ at1
n.
41

Fiea=a0>a 1<


<am=bo diviziune. Pentru k= 0;1;:::;m1 s,i aleg^ and
arbitrarck2(ak;ak+1), consider am funct ,ia unitate:
gn(x) =8
<
:g(x) dac ax2fa0;a1;:::;amg;
g(ck) dac ax2(ak;ak+1); k2f0;1;:::;m1g):
Atunci:
jg(x)gn(x)j1
npe [a;b],
de unde rezult a c a gn!guniform.
^In cele ce urmeaz a vom face extinderea funct ,ionalelor de integrare la mult ,imea
R([a;b];R). Fieg2R([a;b];R) s,i s,irul de funct ,ii unitate convergent la g, (gn)n. Lu am
">0, atunci exist a un num ar natural N, astfel ^ nc^ at:
jgn(x)gm(x)j<"
ba,
pentru orice x2[a;b] s,i ecaren;mN. Din m arginirea funct ,ionalelor de integrare,
avemjIb
a(gn)Ib
a(gm)j< "pentru orice n;mN. Prin urmare, ( Ib
a(gn)) este un s ,ir
Cauchy s ,i putem deni:
Ib
a(g) = lim
n!1Ib
a(gn).
Ib
a(g) se numes ,te integrantul Riemann a funct ,ieigs,i, ca s ,i ^ n cazul funct ,iilor
unitate, se noteaz a cu:
bR
ag(x)dxsaubR
agdx.
^In cazul funct ,iilor pozitive, regulate, g: [a;b]!R,semnicat ,ia geometric a a in-
tegralei denite anterior este aria de sub grac:
Aria (f(x;y)jx2[a;b] s,i 0yg(x)g) =bR
ag(x)dx.
Urm atorul rezultat arat a c a integrarea Riemann a funct ,iilor regulate au aceleas ,i
propriet at ,i de baz a ca ^ n cazul funct ,iilor unitate.
3.1.7 Propozit ,ie:Integrantul Riemann al funct ,iilor regulate este o procedur a
de asociere oric arui interval compact [ a;b] o funct ,ional aIb
a:R([a;b];R)!Rcu
urm atoarele propriet at ,i:
(P1) ( Liniaritate) Pentru orice ;2Rs,i pentru orice g;h2R([a;b];R),
avem:
Ib
a(g+h) =Ib
a(g) +Ib
a(h).
(P2) ( Pozitivitate) Dac a g0, atunciIb
a(g)0.
(P3) ( Aditivitate) Dac a g2R([a;b];R) s,ic2[a;b], atunci:
Ib
a(g) =Ic
a(g) +Ib
c(g).
42

(P4)Ib
a(1) =ba.
Pentru a oferi mai mult a
exibilitate formulei aditivit at ,ii, denim:
aZ
bgdx =bZ
agdx: (3)
pentru orice g2R([a;b];R). Acest lucru ne permite s a d am formula aditivit at ,ii ^ ntr-o
form a mult mai general a:
vR
ugdx =wR
ugdx +vR
wgdx pentru orice u;v;w2[a;b].
Ecuat ,ia (1) arat a c a procesul de integrare act ,ioneaz a asupra intervalelor compacte
orientate, c^ and se schimb a orientarea, semnul integralei se schimb a. As ,adar:
bR
agdx =bR
agdx +aR
bgdx = 0.
3.1.8 Propozit ,ie:Dac ag2R([a;b];R) s,ih: [a;b]!Reste o funct ,ie astfel
^ nc^ ath(x) =g(x), cu except ,ia unui num ar nit de puncte, atunci h2R([a;b];R) s,i:
bR
ahdx =bR
agdx.
3.1.9 Teorem a: Dac a (gn)neste un s ,ir de funct ,ii ^ nR([a;b];R) s,ign!g
uniform, atunci g2R([a;b];R) s,iIb
a(g) = lim
n!1Ib
a(gn).
Cu alte cuvinte, Ib
a( lim
n!1gn) = lim
n!1Ib
a(gn).
Demonstrat ,ie:
Cumgn2R([a;b];R), exist a o funct ,ie unitate,hn, astfel ^ nc^ at:
jgn(x)hn(x)j<1
n,
pentru orice punct x2[a;b]. As ,adar:
jg(x)hn(x)jjg(x)gn(x)j+jgn(x)hn(x)jsup
x2[a;b]jg(x)gn(x)j+1
n,
pentru orice punct x2[a;b]. Prin urmare,
sup
x2[a;b]jg(x)hn(x)jsup
x2[a;b]jg(x)gn(x)j+1
n!0
c^ andn!1 . Aceasta arat a c a geste o limit a uniform a a funct ,iilor unitate, prin
urmare,g2R([a;b];R) s,iIb
a(g) = lim
n!1Ib
a(gn). Deci:
jIb
a(g)Ib
a(gn)jjIb
a(g)Ib
a(hn)j+jIb
a(hn)Ib
a(gn)j
jIb
a(g)Ib
a(hn)j+1
n(ba)!0;
c^ andn!1 .
43

Observat ,ie: Integrala Riemann a funct ,iilor regulate este unic a.
3.1.10 Teorem a: Integrala Riemann a funct ,iilor regulate este singura procedur a
de a asocia oric arui interval compact [ a;b] o funct ,ional aFb
a:R([a;b];R)!Rcare
satisface propriet at ,ile (P1), (P2), (P3), (P4) ale propozit ,iei 3.1.7.
Demonstrat ,ie:
^Intr-adev ar, acest lucru este clar la nivelul funct ,iilor unitate. Cele patru propriet at ,i
enumerate ^ n ipotez a dau proprietatea monotoniei, adic a:
ghimplic aFb
a(g)Fb
a(h).
Atunci:
jFb
a(g)jFb
a(jgj)(ba) sup
x2[a;b]jg(x)j,
pentru orice g2R([a;b];R), acest lucru asigur^ and comutarea limitelor cu funct ,ionalele
Fb
a. Prin urmare, dac a g2R([a;b];R) s,i (gn)neste un s ,ir de funct ,ii unitate convergent
uniform lag, din teorema 3.1.9, avem:
Fb
a(g) = lim
n!1Fb
a(gn) = lim
n!1bR
agndx=bR
agdx.
3.1.11 Remarc a: Teoria de mai sus poate  extins a s ,i la cazul funct ,iilor com-
plexeg: [a;b]!C. Spunem c a geste regulat a dac a at^ at Reg, c^ at s ,iImg sunt
funct ,ii regulate, conform denit ,iei 3.1.5. Deoarece, convergent ,a ^ nCeste echivalent a
cu convergent ,a punctual a, geste regulat a dac a s ,i numai dac a admite limite laterale ^ n
ecare punct. Mai mult,
bR
ag(x)dx=bR
aReg(x)dx+ibR
aImg(x)dx.
3.2 Teoreme fundamentale de calcul
Calculul integral al funct ,iilor regulate este profund legat de calculul diferent ,ial.
3.2.1 Lem a: Fieg:I!Ro funct ,ie a c arei restrict ,ie la orice subinterval compact
al luiIeste regulat a s ,ic2I. Atunci formula:
G(x) =xR
cg(t)dt,x2I
denes ,te o funct ,ie continu a, av^ and derivatele laterale nite ^ n toate punctele s ,i aceste
derivate egale cu limitele laterale ale lui g.
^In consecint , a,Geste diferent ,iabil a ^ n ecare punct de continuitate aa funct ,ieig
s,iG0(a) =g(a).
3.2.2 Teorem a: Fieg: [a;b]!Ro funct ,ie punctual a continu a s ,iGo primitiv a
a ei. Atunci:
44

bR
ag(x)dx=G(b)G(a) =G(x)jb
a.
3.2.3 Teorem a. Formula de integrare prin p art ,i:Dac ag;h: [a;b]!R
sunt dou a funct ,ii punctuale de clas a C1, atunci:
bR
ag0(x)h(x)dx=g(x)h(x)jb
abR
ag(x)h0(x)dx.
Demonstrat ,ie:
Dac ags,ihsunt funct ,ii de clas aC1, atunci vom integra ecuat ,iag0h+gh0= (gh)0s,i
aplic am teorema fundamental a de calcul al integralei ^ n partea dreapt a. Pentru cazul
general, lu am a=x0<x 1<


<xn=bca o diviziune a intervalului [ a;b] astfel ^ nc^ at
pe interiorul oric arui subinterval, at^ at g, c^ at s ,ihsunt de clas a C1. Atunci:
bZ
ag0hdx =n1X
k=0xk+1Z
xkg0hdx =
=n1X
k=0(g(x)h(x)jxk+1
xkxk+1Z
xkgh0dx) =
=n1X
k=0g(x)h(x)jxk+1
xkn1X
k=0xk+1Z
xkgh0dx=
=g(x)h(x)jb
abZ
agh0dx:
3.2.4 Teorem a. Formula de schimbare de variabile: Fieg: [a;b]!Ro
funct ,ie punctual a continu a s ,i e': [;]!Ro funct ,ie punctual a, de clas a C1astfel
^ nc^ at'([;])[a;b]. Atunci:
'()R
'()g(x)dx=R
g('(t))
'0(t)dt.
Demonstrat ,ie:
Vom considera doar cazul c^ and funct ,iageste continu a s ,i'este de clas a C1. Cazul
general se va face ca ^ n teorema anterioar a. Fie Go primitiv a a lui g. Atunci:
(G')0= (G0')('0) = (g')('0).
Din teorema fundamental a de calcul, avem:
R
g('(t))
'0(t)dt=G('())G('()) ='()R
'()g(x)dx
3.2.5 Teorem a: Fie (gn)nun s ,ir de funct ,ii dinC1([a;b];R) astfel ^ nc^ at pentru
orice puct c2[a;b], limita lim
n!1gn(c) =Aexist a ^ n R. Dac a s ,irul derivatelor lor
45

converge uniform la o funct ,ieh: [a;b]!R, atunci ^ nsus ,i s,irul (gn)neste convergent
uniform la o anumit a funct ,ieg. Mai mult, g2C1([a;b];R) s,ig0=h.
3.2.6 Teorema de medie: Fieg: [a;b]!Ro funct ,ie continu a s ,ih: [a;b]!R
o funct ,ie regulat a pozitiv a. Atunci exist a un punct c2[a;b], astfel ^ nc^ at:
bR
ag(x)h(x)dx=g(c)
bR
ah(x)dx.
Demonstrat ,ie:
Fiem= min
x2[a;b]g(x) s,iM= max
x2[a;b]g(x). Atuncimh(x)g(x)h(x)Mh(x) pentru
oricex2[a;b]. Integr^ and aceast a inegalitate, obt ,inem:
mbR
ah(x)dxbR
ag(x)h(x)dxMbR
ah(x)dx.
Dac abR
ah(x)dx= 0, atunci din inegalitatea anterioar a rezult a c abR
ag(x)h(x)dx=
0 s,i prin urmare, aceast a relat ,ie este adev arat a pentru orice c. Dac abR
ah(x)dx6= 0,
atunci:
mbR
ag(x)h(x)dx
bR
ah(x)dxM
s,i vom aplica teorema valorii intermediare.
3.2.7 Corolar: Dac ag;h: [a;b]!Rsunt funct ,ii continue, astfel ^ nc^ at g(x)
h(x) pentru orice x2[a;b] s,igs,ihdifer a cel put ,in ^ ntr-un punct, atunci:
bR
ag(x)dx>bR
ah(x)dx.
3.2.8 Teorema lui Bonnet: Presupunem c a gs,ihsunt dou a funct ,ii reale denite
pe intervalul [ a;b] astfes ,^ nc^ atgeste continu a s ,iheste monoton a. Atunci exist a
c2[a;b] astfel ^ nc^ at:
bR
ag(x)h(x)dx=h(a+)
cR
ag(x)dx+h(b)
bR
cg(x)dx.
^In mod evident, este sucient s a se ia^ n considerare cazul^ n care heste cresc atoare.
Apoi, concluzia urmeaz a prin ^ nlocuirea lui h(x) cuh(x)h(a+) ^ n urm atoarea lem a.
3.2.9 Lem a: Presupunem c a gs,ihsunt dou a funct ,ii reale denite pe un interval
[a;b] astfel ^ nc^ at geste continu a s ,iheste cresc atoare s ,i pozitiv a. Atunci, exist a un
punctc2[a;b], astfel ^ nc^ at:
bR
ag(x)h(x)dx=h(b)
bR
cg(x)dx.
Demonstrat ,ie:
46

Fie
diviziunea determinat a de punctele xk=a+kba
n, pentruk= 0;1;:::;n .
Atunci:
I=bR
ag(x)h(x)dx=n1P
k=0xk+1R
xkh(x)g(x)dx=n+n,
unde:
n=n1P
k=0h(xk)xk+1R
xkg(x)dxs,in=n1P
k=0xk+1R
xkg(x)(h(x)h(xk))dx.
Dac aLeste mrginea superioar a pentru jgj, atunci:
jnjn1X
k=0xk+1Z
xkjg(x)j(h(x)h(xk))dx
Ln1X
k=0!h([xk;xk+1])(xk+1xk)
L(ba)
n(h(b)h(a))!0
c^ andn!1 . Consider^ and funct ,iaG(x) =bR
xg(t)dt, care este continu a, obt ,inem:
n=n1X
k=0h(xk)xk+1Z
xkg(x)dx
=n1X
k=0h(xk)(G(xk)G(xk+1))
=n1X
k=1G(xk)(h(xk)h(xk+1)) +G(x0)h(x0)G(xn)h(xn1)
=n1X
k=1G(xk)(h(xk)h(xk+1)) +G(x0)h(x0)
cumG(b) = 0. ^In ^ ncheiere, m= min
x2[a;b]G(x) s,iM= max
x2[a;b]G(x), este us ,or de v azut c a
nse a
 a ^ ntre mh(xn1) s,iMh(xn1) s,i prin urmare, ^ ntre mh(b) s,iMh(b).
Deoarece acesta este intervalul funct ,iei continue h(b)
G, trebuie s a existe un
num arcn2[a;b] astfel ^ nc^ at h(b)
G=n. Demonstrat ,ia se termin a aleg^ and ca
limit a a s ,irului (cn)npunctulc.
3.3 Spat ,ii Banach Lp
3.3.1 Denit ,ie:Lu amLun spat ,iu liniar arbitrar peste corpul K, unde Keste
e domeniul real, R, e cel complex, Cs,iUo funct ,ie real a.k
k :L!Reste o
47

norm a pe Ldac a sunt satisf acute urm atoarele condit ,ii pentru tot ,i vectoriig;hdinL
s,i tot ,i scalariidinK:
(a)kgk0;
(b)kgk>0 dac ag6= 0;
(c)kgk=jjkgk;
(d)kg+hkkgk+khk.
Orice spat ,iu liniar, Lcu o norm a,k
k, pe el, este un spat ,iu normat. Un spat ,iu
liniar este real sau complex, dac a K=RsauK=C, iar cu normak
k se va numi
spat ,iu liniar normat real sau complex. Spat ,iul liniar normat se noteaz a cu ( L;k
k).
3.3.2 Denit ,ie:Un s ,ir de vectori, ( gn), ^ ntr-un spat ,iu normat ( L;k
k), converge
^ nLla un vector g, dac a pentru orice ">0 exist a un num ar ^ ntreg, pozitiv n"astfel
^ nc^ atnn"implic akgngk<".
3.3.3 Propozit ,ie:Consider am un spat ,iu normat arbitar, ( L;k
k), atunci:
(a) Orice s ,ir convergent ^ n ( L;k
k) este un s ,ir Cauchy;
(b) Orice s ,ir Cauchy ^ n ( L;k
k) este m arginit;
(c) Dac a un s ,ir Cauchy ^ n ( L;k
k) are un subs ,ir care converge ^ n ( L;k
k), atunci
s,irul ^ nsus ,i converge ^ n ( L;k
k) s,i limita lui va coincide cu limita s ,irului convergent.
3.3.4 Denit ,ie:O mult ,imeMde submult ,imi ale mult ,imii nevide X, se numes ,te
- algebr a ^ n Xdac a satisface propriet at ,ile:
(a)X2M(cont ,ine mult ,imea total a);
(b) Dac aA2M, atunciCA2M, undeCA=XnA;
(c) Dac aA1;A2;


2M, atunciA=1S
n=1An2M.
3.3.5 Denit ,ie:Perechea (X;M ), undeMeste- algebr a ^ n X, se numes ,te
spat ,iu m asurabil, iar elementele lui Mse numesc mult ,imi m asurabile ^ n X.
3.3.6 Denit ,ie:Fie (X;M ) un spat ,iu m asurabil. Aplicat ,ia:M!R+care
satisface condit ,iile:
(a)() = 0-este nul a pe mult ,imea vid a;
(b)este num arabil aditiv a, adic a oricare ar  ( An)1
n=1McuAj\Ak=,
pentru orice j6=k,j;k=1;1, avem(1S
n=1An) =1P
n=1(An);
poart a numele de m asur a pozitiv a pe X.
3.3.7 Denit ,ie:Tripletul (X;M; ), undeMeste- algebr a ^ n Xs,i:M!
R+este o m asur a pe M, se numes ,te spat ,iu cu m asur a pozitiv a.
48

3.3.8 Propozit ,ie:FieL=L(X;M; ). Funct ,iak
k :L!R, denit a
prinkgk=R
jgjdpentru orice g2L(X;M; ), este o seminorm a aspat ,iului liniar
L(X;M; ) astfel  anc^ atkgk= 0 dac a s ,i numai dac a g= 0- aproape peste tot.
Lu am un spat ,iu m asurabil ( X;M; ) s,i dou a funct ,ii reale ^ n M(X;M ), unde
M=M(X;M ) =fg:X!RjgesteM- m asurabil ag. Spunem c a gs,ihsunt
echivalente, sau - echivalente, notat prin gh, dac ag=haproape peste tot, adic a
- aproape peste tot. Aceast a relat ,ie, "" este o relat ,ie de echivalent , a peM(X;M ).
Pentru ecare funt ,ie real ag^ nM(X;M ), e [g] clasa de echivalent , a a funct ,iilorg^ n
raport cu, [g] =fg02M(X;M )jg0gg.
Urm atoarele condit ,ii necesare s ,i suciente pentru egalitatea^ ntre clasele de echivalent , a
sunt us ,or vericate, ^ ntr-adev ar:
[g] = [h]()gh()g=h-aproape peste tot.
3.3.9 Propozit ,ie:Funct ,iak
k 1este norma spat ,iului liniar L1.
Demonstrat ,ie:
Consider am seminorma k
k peL(X;M; ) din propozit ,ia anterioar a. Astfel,
funct ,iak
k 1:L1!Reste bine denit a. De fapt, pentru orice [ g] ^ nL1(X;M; ),
k[g]k1=kgka c aror valoare nu depinde de reprezentantul gal clase de echivalent , a [g].
^Intr-adev ar, dac a gs,ig0sunt funct ,ii ^ nL(X;M; ) astfel ^ nc^ at g=g0a:p:t: ,
atuncikg0k=kgka:p:t: . Observ am c a funct ,ia satisface toate axiomele denit ,iei
3.3.1. ^In plus, dac a lu am dou a clase arbitrar, [ g] s,i [h] ^ nL1(X;M; ) s,i un scalar
2R, arbitrar, din propozit ,ia 3.3.8, avem:
k[g]k1=kgk0,k[g]k1= 0() kgk= 0()g= 0a:p:t:() [g] = [0]
k[g]k1=k[g]k1=kgk=jjkgk=jjk[g]k1
k[g] + [h]k1=k[g+h]k1=kg+hkkgk+khk=k[g]k1+k[h]k1.
Fie spat ,iul m asurabil ( X;Mmu ). Extinz^ and construct ,ia luiL1, acum denim
spat ,iile liniareLppentru orice p1 s,i spat ,iulL1^ nzestrate cu norma.
Vom ^ ncepe cu spat ,iulLp. Lu am un num ar real arbitrar, p1, o funct ,ie real ag
^ nM(X;M ) care estep- integrabil a dac a gp2L(X;M; ), echivalent cu:
R
jgjpd<1.
Pe acelas ,i criteriu de construct ,ie al spat ,iuluiL1, care este un caz particular al
spat ,iuluiLp, c^ andp= 1, avem:
Lp=Lp() =Lp(X;M; ) =fjgjM(X;M )jgp2L(X;M; )g
mult ,imea tuturor claselor de echivalent , a a funct ,iilorp- integrabile. Cu alte cuvinte,
Lp(X;M; ) este reuniunea tuturor claselor de echivalent , a a funct ,iilor realeg^ nM(X;M )
49

pentru careR
jgjpd<1pentru orice funct ,ie reprezentativ a ga lui [g]. Prin urmare,
consider am funct ,iak
kp:Lp!R, denit a prin:
k[g]kp= (R
jgjpd)1
p; pentru orice [ g]2Lp(X;M; ).
^In concluzie, consider am spat ,iulL1. O funct ,ie real a,g, extins a ^ n M(X;M ) este
^ n esent , a m arginit a dac a este m arginit a aproape peste tot, altfel spus, dac a sup
x2Xjg(x)<
1a:p:t: peX. Asta ^ nseamn a c a exist a un num ar real  > 0 astfel ^ nc^ atjgj
a:p:t. Dac a o funct ,ie real a extins a, g, ^ nM(X;M ) este esent ,ial m arginit a, atunci
avem:
essupjgj= inff0jjgja:p:t:g= inf
N2Msup
x2XnNjg(x)j;
unde inf
N2Meste luat pe toat a mult ,imeaN2Mastfel ^ nc^ at (N) = 0. Astfel vom avea:
L1=L1() =L1(X;M; ) =f[g]M(X;M )jsup
x2Xjg(x)j<1a:p:t:g.
Prin urmare, consider am funct ,iak
k1:L1!R, denit a prin:
k[g]k1=essupjgj; pentru orice [ g]2L1(X;M; ).
Am observat c a L(X;M; ) este un spat ,iu liniar, apoi L1(X;M; ) a fost f acut
^ ntr-un spat ,iu liniar, dar cu multiplicare de scalari s ,i adaos de vectori de clase de
echivalent , a denite anterior. Acesta se extinde imediat la Lp(X;M; ), astfelLp(X;M; )
este f acut ^ ntr-un spat ,iu liniar. ^In mod analog, L1(X;M; ) este, de asemenea, con-
struit ^ ntr-un spat ,iu liniar, sub aceleas ,i denit ,ii ale multiplic arii scalarilor s ,i adaosul
vectorilor.
De observat c a elementele spat ,iilorLp(X;M; ) s,iL1(X;M ) sunt clase de echivalent , a
a funct ,iilor, nu ^ nsus ,i funct ,iile. Dac ageste o funct ,ie a clasei de echivalent , a [g], atunci
este convenabil s a scriem g, in schimbul [ g]. Prin urmare, vom scrie kgkps,ikgk1s,i nu
k[g]kp,k[g]k1.
3.3.10 Propozit ,ie (Inegalitatea H older): Dac ap;q > 1 s,ig2Lps,ih2Lq,
atuncigh2L1s,i:
kghk1kgkpkhkq.
Dac ag2L1s,ih2L1, atuncigh2L1s,i:
kghk1kgk1khk1.
Observat ,ie: C^ andp=q= 2, inegalitatea lui H older devine inegalitatea lui Cauchy-
Schwartz. Un produs interior pe spat ,iul liniar real L2este o funct ,ional a biliniar a
<; > :L2L2!R, dat a de< g;h >=R
gh d pentru orice g;h2L2. Dac ags,ih
se a
 a ^ nL2, atuncigh2L1s,i:
j<g;h>j=jR
ghdjR
jghjd=kghk1kgk2khk2,
50

unde< g;h >=R
gh d este produsul interor dintre gs,ih^ nL2. Dac a(X) = 1,
atunci:
j<g;MX>jkgk1kgk2,
s,i astfel:
(R
gd)2(R
jgjd)2R
jgj2d.
3.3.11 Propozit ,ie (inegalitatea lui Minkowski): Fie orice num ar real p1.
Dac ag;h2Lp, atuncig+h2Lps,i:
kg+hkpkgkp+khkp.
Dac ag;h2L1, atuncig+h2L1s,i:
kg+hk1kgk1+khk1.
3.4 Funct ,ii m asurabile
3.4.1 Denit ,ie:Fie (X;M ) un spat ,iu m asurabil. O funct ,ief:X!Rse
numes ,teM- m asurabil a sau pe scurt m asurabil a, dac a pentru orice mult ,ime deschis a
D^ nRf1(D)2M.
3.4.2 Observat ,ii:
I. Dac a ^ n particular, X=Rm, undem1 s,iM=B(Rm), familia mult ,imilor
Boreliene ale lui Rm, atunci o funct ,ieM- m asurabil a se va numi funct ,ie m asurabil a
Borel sau funct ,ie borelian a.
II. Remarc am c a not ,iunea de funct ,ie m asurabil a depinde de - algebraMs,i de
aceea, ^ n general, dac a pe un acelas ,i spat ,iuXsunt date dou a sau mai multe - algebre,
atunci se specic a c a feste m asurabil a ^ n raport cu - algebraMsau c afesteM-
m asurabil a, pentru a nu se crea confuzii.
Dac a nu va interveni, dec^ at o singura - algebr a, o funct ,ie cu proprietatea din
denit ,ia 3.4.1 va  numit a simplu, funct ,ie m asurabil a.
3.4.3 Denit ,ie:Spunem c a o funct ,ief:X!ResteM- etajat a, sau, pe scurt
etajat a, dac a:
(a)fia un num ar nit de valori a1;a2;:::;an, distincte ^ ntre ele;
(b) mult ,imileAi=fx;f(x) =aig=f1(faig), cui= 1;2;:::;n , apart ,in luiM.
^In particular, funct ,ia caracteristic a
A(x) =8
<
:1 dac ax2A;
0 dac ax2(XA):
51

a unei mult ,imiAeste o funct ,ie etajat a dac a s ,i numai dac a A2M.
Se observ a c a orice funct ,ie etajat afse poate reprezenta prin:
f=nP
k=1akAk,
undeak2Rs,iAk2M.
3.4.4 Propozit ,ie:Orice funct ,ieM- etajat a este M- m asurabil a.
3.4.5 Teorem a: Dac a (X;) este un spat ,iu topologic pe care este dat a o -
algebr aMde p art ,i ale sale, cu proprietatea c a M, atunci orice funct ,ie continu a
f:X!ResteM- m asurabil a.
3.4.6 Teorem a: Funct ,iaf: (X;M )!ResteM- m asurabil a dac a s ,i numai
dac a sunt ^ ndeplinite urm atoarele condit ,ii:
I. pentru orice mult ,imeD, deschis a a lui R,f12M;
II. Mult ,imileE1=fx;f(x) = +1gs,iE2=fx;f(x) =1g apart ,in luiM.
3.4.7 Teorem a: FieB(R) familia tuturor mult ,imilor boreliene ale lui R. Aplicat ,ia
f: (X;M )!ResteM- m asurabil a dac a s ,i numai dac a, pentru orice B2B(R),
f1(B)2M.
3.4.8 Teorem a: Dac af:X!Ratunci urm atoarele armat ,ii sunt echivalente:
(a)feste m asurabil a;
(b) pentru orice 2R;E=fx;f(x)<g2M;
(c) pentru orice 2R;F=fx;f(x)g2M;
(d) pentru orice 2R;F0
=fx;f(x)g2M;
(e) pentru orice 2R;E0
=fx;f(x)>g2M.
3.4.9 Teorem a: Fie (X;M ) un spat ,iu m asurabil s ,i e funct ,iilef;g:X!R
m asurabile, dac a funct ,iaf+geste bine denit a, adic a nu este de forma + 11 sau
1+1, iarc2R, atunci:
(a)f+geste m asurabil a;
(b)cfeste m asurabil a;
(c)f2este m asurabil a;
(d)fgeste m asurabil a.
Demonstrat ,ie:
(a) Vom ar ata c a pentru orice 2R, mult ,imeaA=fx;f(x) +g(x)>g2M.
I. Dac a= +1atunciA+1=?2M.
52

I. Dac a=1 atunciA1=fx;f(x) +g(x)>1g =fx;f(x)>1g\
fx;g(x)>1g s,i cum funct ,iilef;gsunt m asurabile, rezult a onform teoremei 3.4.8,
c a mult ,imilefx;f(x)>1g s,ifx;g(x)>1g sunt m asurabile, ceea ce ^ nseamn a
c a s ,i mult ,imeaA12M.
Dac a2Ratunci exist a un num ar rat ,ional,r, astfel ^ nc^ at: f(x)>rs,ig(x)>r.
Prin urmare:
A=fx;f(x) +g(x)>g=S
r2Q[fx;f(x)>rg\fx;g(x)>rg]
s,i cum ecare dintre mult ,imilefx;f(x)> rgs,ifx;g(x)> rgeste m asurabil a,
iarAeste o reuniune num arabil a de intersect ,ii nite de asemenea mult ,imi, rezult a,
^ n baza faptului c a Meste o- algebr a, c a A2M. Deci, conform teoremei 3.4.8,
funct ,iaf+geste masurabil a.
(b) Dac a:
c= 0, armat ,ia de la (b) este evident a;
c>0 atunci pentru orice 2R,
fx;cf(x)>g=fxf(x)>
cg2M;
c<0 atunci pentru orice 2R,
fx;cf(x)>g=fxf(x)<
cg2M.
(c) Mult ,imea
fx;f2(x)<g=8
<
😕 pentru0;
fx;f(x)>pg\fx;f(x)<pgpentru>0;
este m asurabil a pentru orice 2R, de unde reiese m asurabilitatea funct ,ieif2.
(d) Observ am mai ^ nt^ ai c a ^ n toate punctele x2X, pentru care f(x)2Rs,i
g(x)2R, are loc egalitatea:
f(x)g(x) =1
4[(f(x) +g(x))2(f(x)g(x))2]
I. Dac a0, atunci:
C=fx;f(x)g(x)<g=fx;f(x) =1; g(x)>0g[fx;g(x) =1; f(x)>0g[
[fx;f(x)<0; g(x) = +1g[fx;g(x)<0; f(x) = +1g[
[fx;f(x)2R; g(x)2R; f(x)g(x)<g:
53

II. Dac a>0, atunci:
C=fx;f(x)g(x)<g=fx;f(x) =1; g(x)0g[fx;f(x) = +1; g(x)0g[
[fx;f(x)0; g(x) =1g[fx;f(x)0; g(x) = +1g[
[fx;f(x)2R; g(x)2R; f(x)g(x)<g:
At^ at ^ n cazul I., c^ at s ,i ^ n cazul II., ^ n compozit ,ia luiCintr a mult ,imeafx;f(x)2
R; g(x)2R; f(x)g(x)<gcare este m asurabil a. Cu us ,urint , a se poate observa c a s ,i
celelalte mult ,imi care intervin ^ n structura mult ,imilorCsunt m asurabile, iar pe baza
teoremei 3.4.8 reiese m asurabilitatea funct ,ieifg.
54

Capitolul 4
^In acest capitol vom discuta problema continuit at ,ii, diferent ,iabilit at ,ii, s ,i integra-
bilit at ,ii unor funct ,ii dente ca intregrale.
4.1 Leg aturi ^ ntre clasele de funct ,ii
4.1.1 Teorem a: Fief: [a;b][c;d]!R;f=f(x;t), o funct ,ie continu a ^ n
raport cu ambele variabile. Atunci:
F(t) =bR
af(x;t)dx
continu a pe [ c;d].
Demonstrat ,ie:
Vom ar ata c a Feste uniform continu a. Cum feste continu a pe o mult ,ime com-
pact a,feste de asemenea uniform continu a. Coform teoremei lui Heine pe care o vom
enunt ,a ulterior, e ">0. Atunci exist a  >0 astfel ^ nc^ atjx0x00j<s,ijt0t00j<
implic ajf(x0;t0)f(x00;t00)j<"
(ba).
Prin urmare, pentru orice t0s,it00, avem :
jF(t0)F(t00)jbR
ajf(x;t0)f(x;t00)jdx"
ba(ba) =".
Teorema lui Heine: Fiecare funct ,ie continu a cu valori complexe, fdenit a pe
un spat ,iu metric compact Keste uniform continu a, adic a pentru orice " >0, atunci
exist a>0 astfel ^ nc^ at:
x;y2K;d(x;y)<implic ajf(x)f(y)j<".
Urm atoarea lem a este despre funct ,ii de dou a variabile u=u(x;t). Pentru aceste
funct ,ii vom considera derivatele lor part ,iale@u
@xs,i@u
@t, calculate ca derivate ^ n funct ,ie
de o variabil a, cealalt a r am^ an^ and x a. Mai exact,
@u
@x(x0;t0) = lim
x!x0u(x;t0)u(x0;t0)
xx0
s,i
55

@u
@t(x0;t0) = lim
t!t0u(x0;t)u(x0;t0)
tt0.
O funct ,ie care admite ambele derivate de ordinul ^ nt^ ai s ,i acestea sunt continue, ^ n
raport cu ambele variabile, se numes ,te funct ,ie de clas aC1.
Derivatele de ordinul 2, sunt denite cu ajutorul formulelor:
@2u
@x2=@
@x@u
@x
;@2u
@t@x=@
@t@u
@x
;
@2u
@x@t=@
@x@u
@t
;@2u
@t2=@
@t@u
@t
:
O funct ,ie care admite toate derivatele part ,iale de ordinul 2 s ,i acestea sunt continue
se numes ,te funct ,ie de clas aC2.^In acest caz, derivatele part ,iale mixte sunt obligatoriu
egale:
@2u
@t@x=@2u
@x@t.
4.1.2 Lem a: Fief: [a;b][c;d]!R;f=f(x;t), o funct ,ie continu a ^ n raport
cu ambele variabile, diferent ,iabil a ^ n raport cu t, astfel ^ nc^ at@f
@teste continu a ^ n raport
cu ambele variabile. Atunci:
F(t) =bR
af(x;t)dx
este o funct ,ie de clas aC1pe [c;d] s,i
F0(t) =bR
a@f
@t(x;t)dx.
4.1.3 Teorem a (Regula lui Leibnitz de derivare sub semnul integralei):
Fief: [a;b][c;d]!R;f=f(x;t), o funct ,ie ca ^ n lema anterioar a s ,i e': [c;d]!
[a;b] o funct ,ie de clas aC1. Atunci:
F(t) ='(t)R
af(x;t)dx
este o funct ,ie de clas aC1pe [c;d] s,i
F0(t) ='(t)R
a@f
@t(x;t)dx+f('(t);t)'0(t).
4.1.4 Teorema lui Fubini: Fief: [a;b][c;d]!R;f=f(x;t), o funct ,ie
continu a ^ n raport cu ambele variabile. Atunci funct ,iile:
I(x) =dR
cf(x;t)dts,iJ(x) =bR
af(x;t)dx
sunt continue pe [ a;b] s,i respectiv pe [ c;d] s,i integralele lor sunt egale, de unde rezult a
c a:
bR
adR
cf(x;t)dt
dx=dR
cbR
af(x;t)dx
dt.
56

Demonstrat ,ie:
Pe baza continuit at ,ii din teorema 4.1.1, vom considera funct ,iile:
F(z) =bR
azR
cf(x;t)dt
dxs,iG(z) =zR
cbR
af(x;t)dx
dt.
pentru orice z2[c;d]. Aplict ,nd regula lui Leibniz de derivare sub semnul integralei,
vom obt ,ine:
F0(z) =G0(z) =bR
af(x;z)dx;8z2[c;d].
CumF(c) =G(c) = 0, ajungem la concluzia c a F(z) =G(z) pentru orice z2[c;d],
^ n particular pentru z=d.
4.2 Diverse aplicat ,ii
4.2.1 Fie o funct ,ie continu a f: (0;1)Rastfel ^ nc^ at f(x)2= 1 pentru orice x2
(0;1). Demonstrat ,i e c af= 1, ef=1.
Rezolvare:
Din ipotez a avem c a x2(0;1), atunci ori f(x) = 1, orif(x) =1.
Vom ar ata c a dac a f(x) = 1, atunci f1.^Intr-adev ar, dac a nu, exist a un
y2(0;1) astfel ^ nc^ at f(y) =1. Cumfare proprietatea valorii intermediare rezult a
c a exist a un z^ ntrexs,iyastfel ^ nc^ atf(z) = 0, ceeea ce este o contradict ,ie cuf(z)2= 1.
4.2.2 Fief: (0;1]![1;1] o funct ,ie astfel ^ nc^ at lim
x!0+f(x) = 0. Demonstrat ,i
c a exist a dou a funct ,ii continuef1,f2astfel ^ nc^ at f1(0) =f2(0) = 0, unde f1ff2,
f1este necresc atoare s ,if2nedescresc atoare.
Rezolvare:
Fie"2(0;1). Cum lim
t!0+f(x) = 0, exist a 2(0;1) astfel ^ nc^ atjf(x)j ",
undex2(0;). Prin urmare, exist a un s ,ir cresc ator de numere reale ( n)n1(0;1)
convergent la 0, astfel ^ nc^ at jf(x)j1
npentru orice x2(0;n1] s,i oricen2.
Fief2: [0;1]![1:1] o funct ,ie continu a denit a ^ n felul urm ator:
f2(0) = 0;f2(1) = 1;f2(n) =1
npentru orice n1 s,if2este o funct ,ie liniar a pe toate
intervalele [ 1;1] s ,i [n+1;n] cun1. Lu amf1=f2, atunci funct ,iilef1s,if2satisfac
propriet at ,ile necesare.
4.2.3 Fief:R!Ro funct ,ie continu a astfel ^ nc^ at:
f
r+2
n

=f(r),
pentru orice num ar rat ,ionalrs,i orice num ar ^ ntreg pozitiv n. Demonstrat ,i c afeste
constant a.
57

Rezolvare:
Avem umr atoarea egalitate:
f
r+2
n

=f
r+1
n

=f(r),
prin urmare:
f
r+m
n

=f(r),
pentru orice num ar rat ,ionalrs,i tot ,i ^ ntregii pozitivi ms,in.
Lu^ andr= 0 s ,ir=m
ndeducem c a:
fm
n

=f(0) =f
m
n

.
4.2.4 Fief(0)>0;f(1)<0. Demonstrat ,i c af(x0) = 0 pentru x0, presupun^ and
c a exist a o funct ,ie continu a gastfel ^ nc^ at f+geste nedescresc aoare.
Rezolvare:
FieAmult ,imea care ^ l cont ,ine pex, astfel ^ nc^ at f(x)0. Lu amx0= supA. Fie
h=f+g. Prin urmare, cum hnu este descresc atoare,
h(x0)h(x)g(x) pentru orice x2A.
As,adar, cumgeste continu a, h(x0)g(x0) as ,a s,if(x0)0.
Cumg(1)>h(1)(x0)(x0) s,igeste continu a, ^ nseam a c a exist a txoastfel
^ nc^ atg(t) =h(x0).
Atunci:
h(t)h(x0) =g(t),
s,i decif(t)0.
Din denit ,ia punctului x0deducem c a t=x0s,ig(x0) =h(x0).
As,adar,f(x0) = 0.
4.2.5 G asit ,i toate funct ,iilef:R!Rcu proprietatea valorii intermediare astfel
^ nc^ at pentru orice n1,fn(x) =xpentru orice x. (Aicif2=ffs,i as ,a mai
departe.)
Rezolvare:
Fiefo funct ,ie care satisface proprietatea iterativ a din enunt ,ul problemei.
Atuncifeste ^ n mod evident o biject ,ie. Lu^ and ^ n considerare proprietatea valorii
intermediare, feste monoton a. Mai mult,
f(x) =f[fn(x)] =fn[f(x)] =f(x);
58

decifeste o funct ,ie impar a.
^In particular, atunci f(0) = 0. Ipoteza noastr a implic a c a feste descresc atoare s ,i
xf(x)<0 pentrux6= 0.
Acum alegem orice punct x0>0 s,i exk=f(xk1). Atunci:
(1)kxk>0; xn=x0;
deci (1)nxn= (1)n+1×0>0 astfelneste un ^ ntreg impar.
Presupunem x1>x0. Cumfeste descresc atoare s ,i impar a:
x2=f(x1)<f(x0) =f(x0) =x1,
^ n mod analog:
(1)kxk>(1)k+1xk+1,
de unde ajungem la contradict ,ie cux0>xn.
^In mod analog, presupunerea x1<x0ne duce la o contradict ,ie cuxn<x0.
Prin urmare, singura solut ,ie cu proprietatea valorii intermediar a este f(x) =x.
4.2.6 Fief:R!Ro funct ,ie continu a astfel ^ nc^ at pentru orice x2R:
R1
0f(xt)dt= 0.
Ar atat ,i c af0.
Rezolvare:
Pentru orice x6= 0, avem:
R1
0f(x)dx=Rx
0f(u)du
x=1
xRx
0f(u)du.
Prin urmare,
Rx
0f(u)du= 0 pentru orice x2R.
De aici rezult a c a
d
dxRx
0f(u)du= 0,
de unde reiese c a f(x) = 0 pentru orice x2R.
4.2.7 Demonstrat ,i c a urm atoarea limit a exist a s ,i este nit a:
lim
t!0
t>0R
1
0dx
(x4+t4)1
4+lnt
59

Rezolvare:
Fie:
I(t) =R
1
0dx
(x4+t4)1
4+lnt.
Este sucient s a ar at am c a funct ,ia este cresc atoare s ,i m arginit a inferior. ^Intr-
adev ar, pentru orice x;t0 avem (x+t)4x4+t4. Prin urmare:
I(t)R
1
0dx
(x+t)+lnt=R
1+t
tdu
u+lnt=ln(1 +t)0 pentru orice t0.
Mai departe vom demonstra c a I0(t)0. Observ am c a:
I(t) =R
t
0dx
t[(x
t)4+ 1]1
4=R
1
tdx
t[(x
t)4+ 1]1
4+lnt.
Substituind y=x
t, vom obt ,ine:R
1
0dy
(y4+ 1)1
4+R1
t
1dy
(y4+ 1)1
4+lnt.
Prin urmare:
I0(t) =1
t2((1
t)4+ 1)1
4+1
t0.
4.2.8 Fief:R!Ro funct ,ie continu a astfel ^ nc^ at pentru x02R, limita
lim
h!0;h2Q[f(x0+h)f(x0)]
hexist a s ,i este nit a. Demonstrat ,i c afeste diferentiabil a
^ nx0.
Rezolvare:
Not amL:= lim
h!0;h2Q[f(x0+h)f(x0)]
h. Fie 0< " < 1. Atunci exist a v > 0
astfel ^ nc^ at pentru orice h2Q\(v;v) avem
jf(x0+h)f(x0)
hLj<"
3:
Presupunem 6= 0 s ,ijj< v. Atunci prin denit ,ia continuit at ,ii luif, exist a un
h2Q\(v;v) astfel ^ nc^ at
jhj<"
3(1 +jLj)<s,ijf(x0+)f(x0+h)j<"
3.
Atunci ^ n inegalitatea de mai sus , primul termen este cel mult"
3iar al doilea
termen este cel mult
jh
j
jf(x0+h)f(x0)
"Lj+jh
j
jLj<"
3+"jLj
3(1 +jLj)<2"
3.
Prin urmare pentru orice jj<vavem
jf(x0+)f(x0)
Lj<",
60

s,i cum 0<"< 1 ales arbitrar, am demonstrat ceea ce trebuia demonstrat .
4.2.9 Exist a o funct ,ie continu a s ,i diferent ,iabil af:R! (0;1) astfel ^ nc^ at
f0=ff?
Rezolvare:
Presupunem c a exist a o astfel de funct ,ie. Atunci, din ipotez a, feste cresc atoare.
Prin urmare, f(f(x))> f(0) pentru orice x2R. Decif(0) este o margine inferioar a
pentruf0(x), s ,i pentru orice x < 0 avemf(x)< f(0) +xf(0) = (1 + x)f(0). Prin
urmare, dac a x1 atuncif(x)0, ^ n contradict ,ie cu proprietatea f > 0.^In
consecint , a, o asemenea funct ,ie nu poate exista.
4.2.10 G asit ,i toate funct ,iile derivabile fs,igpe intervalul (0 ;1) astfel ^ nc^ at
f0(x) =g(x)
xs,ig0(x) =f(x)
x, pentru orice x>0.
Rezovlare:
Observ am c a
[x(f(x) +g(x))]0=xf0(x) +xg0(x) +f(x) +g(x) = 0
Deci, exist a o constant a real a Aastfel ^ nc^ at f(x) +g(x) =2A
xpentru orice x>0.
^In mod similar avem
[f(x)g(x)
x]0=xf0(x)xg0(x)f(x) +g(x)
x2= 0,
de unde reiese c a f(x)g(x) = 2Bx, pentru unele constante reale B. As ,adar
f(x) =A
x+Bxs,ig(x) =A
xBx
pentru orice x>0, undeA;B2R.
4.2.11 Fief: (a;b)!Ro funct ,ie de clas aC2. Demonstrat ,i c a
lim
h!0f(x+h)2f(x) +f(xh)
h2=f00(x), pentru orice x2(a;b):
Rezolvare:
Folosind formula lui Taylor avem
f(x+h)f(x) =f0(x)h+f00(t)
2h2pentru orice t2(x;x+h);h> 0
s,i
f(xh)f(x) =f0(x)h+f00(z)
2h2pentru orice z2(xh;x);h> 0.
Adun^ and acestea egalit at ,i, ^ mp art ,ind lah2, s,i trec^ and la limita h!0(h >0),
s,i f ac^ and simetria limitei ^ n funct ,ie dehdeducem c a avem acelas ,i rezultat s ,i pentru
h!0(h<0).
61

4.2.12 Fiefo funct ,ie care are a treia derivat a pe intervalul [0 ;1]. Presupun^ and
c af(0) =f0(0) =f00(0) =f0(1) =f00(1) = 0 s ,if(1) = 1. Demonstrat ,i c ac^ n [a;b]
astfel ^ nc^ at f000(c)24.
Rezolvare:
Consideram seria Taylor extins a la x= 0 s ,ix= 1 :
f(x) =f(0) +f0(0)x+f00(0)
2×2+f000()
6×3;
f(x) =f(1) +f0(1)(x1) +f00(1)
2(x1)2+f000(x)
6(x1)3;
unde 0xxs,ixx1. Deci, din ipotez a
f(x) =f000(x)
6x3s,if(x) = 1 +f000(x)
6(x1)3:
Lu^ andx=1
2, observ am c a exist a s,iastfel ^ nc^ at f000() +f000() = 48. Prin
urmare, cel put ,in una dintre f000() s,if000() este mai mare sau egala dec^ at 24 .
4.2.13 Calculat ,i:Rr
ex1
ex+ 1dx;x> 0.
Rezolvare:
^Inlocuindt=s
(ex1)
(ex+ 1);0< t < 1. Atunci x= ln(1 +t2)ln(1t2) s,i
dx= (2t
1+t2+2t
1t2)dt. Integrala devine
Z
t(2t
t2+ 1+2t
t21)dt=Z
(42
t2+ 1+2t
t21)dt=
= 4t2 arctant+Z
(1
t+ 1+1
1t)dt=
= 4t2 arctant+ ln(t+ 1)ln(t1) +C:
Aceasta arat a c a integrala noastr a este egal a cu
4r
ex1
ex+ 12 arctanr
ex1
ex+ 1+ ln(r
ex1
ex+ 1+ 1)ln(r
ex1
ex+ 11) +C:
4.2.14 Fie numerele reale a > 0> bastfel ^ nc^ at a2+b0. Presupun^ and c a
funct ,iaf:R!Rsatisface
(ff)(x) =af(x) +bxpentru orice x2R.
Demonstrat ,i c afnu admite primitive.
Rezolvare:
62

Presupunem c a Feste o primitiv a a lui f.^In primul r^ and vom demonstra c a f
este o funct ,ie injectiv a. Intr-adev ar dac a f(x) =f(y) atunci (ff)(x) = (ff)(y).
Prin urmare af(x) +bx=af(y) +by, ceea ce implic a x=y. Cumfeste injectiv a
s,i are proprietatea valorii intermediare, ^ nseamn a c a feste strict monoton a.
Consider am c a feste descresc atoare s ,i luamx < y . Atuncif(x)> f(y), ce
implic a (ff)(x)<(ff)(y), as ,adar,af(x) +bx < af (y) +by. Deducem c a 0 <
a(f(x)f(y))<b(yx)<0,este o contradict ,ie.
^In continuare, presupunem c a feste cresc atoare, iar fffeste ^ n cres ,tere.
Pe de alt a parte pentru orice x2Ravem :
(fff)(x) =a(ff)(x) +bf(x) =a(af(x) +bx) +bf(x) = (a2+b)f(x) +abx.
Egalitatea ( fff) = (a2+b)f+ab1Reste imposibil, deoarece ^ n partea st^ ang a
avem o funct ,ie cresc atoare, iar ^ n dreapta una descresc atoare.
63

Bibliograe
[1] Teodora-Liliana T. R adulescu, Vicent ,iu D. R adulescu, Titu Andreescu, Problems
in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis , Springer Dordrecht Hei-
delberg London New York.
[2] A.D.R. Choudary, Constantin P. Niculescu Real Analysis on Intervals , Springer
New Delhi Heidelberg New York Dordrecht London.
[3] Carlos S. Kubrusly, Essentials of Measure Theory ,Springer International
Publishing AG Switzerland is part of Springer Science+Business Media
(www.springer.com).
64