SPECIALIZAREA: MATEMATIC A DIDACTIC A LUCRARE DE DISERTAT ,IE SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE Coordonator s ,tiint ,i c Masterand Conf. Dr…. [617847]

UNIVERSITATEA "DUN AREA DE JOS" DIN GALAT ,I
FACULTATEA DE S ,TIINT ,E S ,I MEDIU
SPECIALIZAREA: MATEMATIC A DIDACTIC A
LUCRARE DE DISERTAT ,IE
SECT ,IUNI ALE CORPURILOR
GEOMETRICE
Coordonator s ,tiint ,ic Masterand: [anonimizat] (Dorob  at,) Anis ,oara
Galat ,i
2020

Cuprins
Capitolul 1 Introducere 1
1.1 Descrierea capitolelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Capitolul 2 Poliedre convexe 2
2.1 Suprafet ,e poliedrale ^ nchise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1 Exemple de suprafet ,e poliedrale ^ nchise . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Suprafet ,e poliedrale convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Poliedre convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1 Paralelipipedul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Prisma – teoreme, formule s ,i rezultate utile . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1 Piramida – teoreme, formule s ,i rezultate utile . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Trunchiul de piramid a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6.1 Trunchiul de piramid a – teoreme, formule s ,i rezultate utile . . . . . 15
Capitolul 3 Suprafet ,e s,i corpuri rotunde 17
3.1 Suprafet ,e cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 P^ anze conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Cilindri circulari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 P^ anze conice circulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Corpuri rotunde – teoreme s ,i rezultate utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5.1 Denit ,ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5.2 Teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Capitolul 4 Sect ,iuni ale corpurilor geometrice 26
4.0.1 Volumul poliedrelor s ,i corpurilor rotunde . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.0.2 Tipuri de sect ,iuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.0.3 Sect ,iuni paralele cu baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.0.4 Sect ,iuni axiale (pentru corpuri care au ax a de simetrie) . . . . . . . 33
4.0.5 Sect ,iuni oarecare (determinate de trei puncte necoliniare) . . . . . 33
4.1 Teoreme, formule s ,i rezultate utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2

CUPRINS 3
Capitolul 5 Probleme – Sect ,iuni ^ n corpuri geometrice 45
5.1 Probleme – Poliedre convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Probleme – Corpuri rotunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Capitolul 6 Not ,iuni introductive cu GeoGebra Reality Augmented 52
6.1 Modelare AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 De la modelare 2D la modelare 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3 Exemple de modelare AR cu GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Capitolul 7 Concluzii 53
7.1 Cont ,inut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Detalii tehnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.1 Dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliograe 54
List a de guri 55
Bibliograe 57
Anexa A Sect ,iuni de cod MATLAB 58
Anexa B Diverse anexe 60
Anexa C Demonstrat ,ii matematice detaliate 61

Capitolul 1
Introducere
^In aceast a lucrare sunt prezentate no tiunile de baz a necesare ^ nsu sirii cont ,inuturilor
referitoare la corpuri geometrice s ,i la sect ,iuni ale acestora.
ˆLucrarea se adreseaz a, ^ n principal, elevilor de gimnaziu s ,i include competent ,e spe-
cice din noua program a s ,colar a a disciplinei Matematic a .
ˆLucrarea poate un ghid s ,i pentru elevii claselor a IX-a de la licee tehnologice –
^ nv at , am^ ant liceal s ,i profesional – (prol mecanic, electric, electromecanic). Acesta
poate  util pentru studiul disciplinelor tehnice ( Desen Tehnic s,iInformatic a Apli-
cat a s,i al programelor CAD Computer-Aided Design ).
ˆPentru reprezentarea geometric a a not ,iunilor teoretice s ,i a problemelor propuse s-a
utilizat programul GeoGebra cu modulele GeoGebra 2D s,iGeoGebra 3D .
ˆ"Modelarea obiectual a s ,i computat ,ional a" este o metod a didactic a care poate  in-
tegrat a ^ n predarea – ^ nv at ,area not ,iunilor de geometrie ^ n spat ,iu.^In acest sens, am
utilizat modulul integrat ^ n programul GeoGebra – GeoGebra Augmented Reality
AR 3D Math – activit at ,i pentru studiul matematicii s ,i s,tiint ,elor. Activit at ,ile ghi-
date conduc la descoperirea matematicii ^ n lumea real a, lu^ and capturi de ecran din
diferite perspective.
1.1 Descrierea capitolelor
ˆCap 02 descrie …
ˆCap 03 prezint a …
1

Capitolul 2
Poliedre convexe
2.1 Suprafet ,e poliedrale ^ nchise
Denit ,ie.Se numes ,testea de centru O, orice reuniune de suprafet ,e poligonale convexe
[P1];:::;[Pk],k3 , nesituate ^ n acelas ,i plan [P1][:::[[Pk], care au urm atoarele propriet at ,i:
(1) poligoanele [ P1];:::;[Pk] care limiteaz a suprafet ,ele poligonale, au punctul O ca v^ arf
comun;
(2) intersect ,iile [Pi]\[Pi+1];i=1;k, unde [Pk+1] = [P1] sunt formate dintr-o latur a
comun a;
(3) [Pi]\[Pj] =fOg, pentrui<j;j6=i+ 1 (intersect ,iile care nu apar ^ n (2), se reduc
la v^ arful O).
^In gura 2.1 am reprezentat o stea de centru O denit a de suprafet ,e poligonale convexe:
[P1] = [OA 1A2A3];[P2] = [OA 3A4];[P3] = [OA 4A2A5A6A7];[P4] = [OA 7A1]
^In particular, o stea de centru O ^ n care suprafet ,ele poligonale [ P1];:::;[Pk] sunt suprafet ,e
trilatere, se numes ,tesuprafat , a poliedral a conic a cu v^ arful O. De exemplu, reuniunea
[OAB ][[OBC ][[OCD ][[ODA ] (gura 2.2) constituie o suprafat , a poliedral a conic a
cu v^ arful O.
Cu ajutorul not ,iunii de stea se denes ,te not ,iunea de suprafat , a poliedral a ^ nchis a. Fie
W=f[P1];:::;[Pk]gun sistem de suprafet ,e poligonale (convexe); pentru ecare indice i,
i=1;k,Int(P(i)) se numes ,tefat , a deschis a , [P(i)] -fat , a ^ nchis a (sau simplu, fat , a),
laturile poligonului Pi-muchii s,i v^ arfurile poligonului Pi-v^ arfuri .
Denit ,ie.Se numes ,tesuprafat , a poliedral a ^ nchis a un sistem de suprafet ,e poligonale con-
vexeW=f[P1];:::;[Pk]g,k3, cu urm atoarele propriet at ,i:
ˆ(1) (i) fet ,ele deschise ale lui W sunt disjuncte dou a c^ ate dou a;
2

2.1. SUPRAFET ,E POLIEDRALE ^INCHISE 3
Figura 2.1: Stea
Figura 2.2: Suprafat , a poliedral a conic a

4 CAPITOLUL 2. POLIEDRE CONVEXE
Figura 2.3: Sistem de suprafet ,e poligonale
ˆ(1) (ii) interset ,ia a dou a fet ,e ^ nchise este sau vid a, sau format a dintr-un v^ arf comun
sau o muchie comun a.
ˆ(2) pentru ecare v^ arf O al lui W, fet ,ele ^ nchise ale lui W ce cont ,in pe O formeaz a
o stea ce centru O.
ˆ(3) dac a ^ nl atur am din W un num ar de suprafet ,e poligonale, sistemul de suprafet ,e
poligonale r amas nu mai veric a propriet at ,ile (1) s ,i (2).
De exemplu, sistemul W=f[P1];:::;[P10]gdin gura 2.3 nu satisface nici condit ,ia (2) din
denit ,ie (fet ,ele ce cont ,in v^ arfurile O s ,iO0nu formeaz a o stea de centru O respectiv O0) s,i
nici condit ,ia (3) (^ nl atur^ and cele 5 suprafet ,e poligonale din "st^ anga" lui [ OO0], r am^ ane un
sistemW0, cele din "dreapta" lui [ OO0], care satisface condit ,iile (1) s ,i (2) ).
2.1.1 Exemple de suprafet ,e poliedrale ^ nchise
Suprafat , a piramidal a
Denit ,ie.Suprafat ,a piramidal a este o suprafat , a poliedral a^ nchis a format a dintr-o suprafat , a
poliedral a conic a cu v^ arful Os,i o suprafat , a poligonal a [ P] ce nu cont ,ine v^ arfulO;Ose
numes ,te v^ arful iar [ P] – baza suprafet ,ei piramidale.
Dac a poligonul de baz a are nv^ arfuri, atunci V=n+ 1;F=n+ 1;M= 2
n.
^In gura 2.4 este reprezentat a o suprafat , a piramidal a cu n= 5:
W=f[OA 1A2];[OA 2A3];[OA 3A4];[OA 4A5];[OA 5A6];[A1A2A3A4A5]g

2.2. SUPRAFET ,E POLIEDRALE CONVEXE 5
Figura 2.4: Suprafat , a piramidal a
Denit ,ie.O suprafat , a piramidal a cu baza o suprafat , a trilater a, se numes ,tesuprafat , a te-
traedral a (gura 2.5).
Suprafat , a prismatic a
Denit ,ie.Suprafat ,a prismatic a este o suprafat , a poliedral a ^ nchis a format a din n+ 2
suprafet ,e poligonale, din care nsunt suprafet ,e patrulatere limitate de paralelograme s ,i
dou a sunt suprafet ,e poligonale cu acelas ,i num ar de v^ arfuri, numite baze (situate ^ n plane
diferite).
O astfel de suprafat , a prismatic a are bazele suprafet ,ei poligonale cu nlaturi s ,i deci:
V= 2
n;F =n+ 2;M= 3
n
(Vezi suprafat ,a prismatic a din gura 2.6, unde n= 5).
Denit ,ie.O suprafat , a prismatic a cu poligoanele de baz a paralelograme, se numes ,tesuprafat , a
paralelipipedic a (gura 2.7).
2.2 Suprafet ,e poliedrale convexe
Denit ,ie.O suprafat , a poliedral a ^ nchis a W=f[P1];:::;[Pk]gse numes ,teconvex a dac a
pentru ecare indice i, i=1;k, interioarele tuturor fet ,elor [Pj] ,j6=i, sunt situate de

6 CAPITOLUL 2. POLIEDRE CONVEXE
Figura 2.5: Suprafat , a tetraedral a
Figura 2.6: Suprafat , a prismatic a

2.2. SUPRAFET ,E POLIEDRALE CONVEXE 7
Figura 2.7: Suprafat , a paralelipipedic a
aceeas ,i parte a planului ce cont ,ine pe [Pi].
Denit ,ie.Pentru o suprafat , a poliedral a convex a W, num arul=VM+Fse numes ,te
caracteristica eulerian a a luiW.
O teorem a celebr a din 1758 – Teorema lui Euler – stabiles ,te c a valoarea caracteristicii
euleriene este aceeas ,i pentru orice suprafat , a poliedral a convex a, s ,i anume egal a cu 2.
Teorema 2.1 (Teorema lui EULER) Pentru orice suprafat , a poliedral a convex a W,
=VM+F= 2
Demonstrat ,ie:
Fix am o fat , a a luiW, de exemplu [ P1] , eB2Int(P1) s,i dac aAieste un v^ arf al lui
Wdiferit de v^ arfurile poligonului P1, consider am un punct C(din spat ,iu) astfel ^ nc^ at s a
avemAiBC. Intersect^ and dreptele determinate de punctul Cs,i toate v^ arfurile lui
Wce nu apart ,in lui [P1], cu fat ,a [P1], obt ,inem o descompunere a fet ,ei [P1] ^ n suprafet ,e
poligonale convexe ^ n num ar de f=F1, cuVv^ arfuri s ,iMmuchii. Conform teoremei
lui EULER ^ n cazul triangul arii poligoanelor ( v+f=m+ 1), avem V+F1 =M+ 1.
Denit ,ie.Se numes ,tesuprafat , a poliedral a regulat a , o suprafat , a poliedral a convex a pentru
care toate fet ,ele sunt congruente^ ntre ele s ,i ecare v^ arf apart ,ine la acelas ,i num ar de muchii.
Fie W o suprafat , a poliedral a regulat a cu Vv^ arfuri,Mmuchii s ,iFfet,e. Conform denit ,iei,
toate fet ,ele luiWau acelas ,i num ar de v^ arfuri, e acesta n, s,i ecare v^ arf al lui Wapart ,ine
la acelas ,i num ar de fet ,e, e acesta s. Rezult a relat ,iile:
n
F= 2
M=s
V

8 CAPITOLUL 2. POLIEDRE CONVEXE
Tabela 2.1: Suprafet ,e poliedrale
nSVMFDenumirea
I 33464tetraedru regulat
II 346128octaedru regulat
III 35123020icosaedru
IV 438126hexaedru regulat (suprafat ,a cubic a, cub)
V 53203012dodecaedru regulat
s,i cu relat ,ia lui EULER obt ,inem:
2 =VM+F=V

1s
1
21
n
>0
de unde rezult a:
(n2)
(s2)<4
Pentru numerele naturale n,savemn3,s3 s,i deci rezult a posibilit at ,ile:
n= 3;s= 3;4;5
n= 4;s= 3
n= 5;s= 3
Calcul^ and pe V,M,F^ n funct ,ie den,sobt ,inem:
V=4
n
4(n2)
(s2);M=s
2
V;F =s
n
V
de unde rezult a urm atoarele 5 suprafet ,e poliedrale regulate posibile (vezi tabelul 2.1).
Aceste denumiri corespund num arului de fet ,e. Din cele de mai sus rezult a c a exist a cel
mult 5 suprafet ,e poliedrale regulate.
2.3 Poliedre convexe
FieW=f[P1];


;[Pk]go suprafat , a poliedral a convex a. Not am cu i;16i6
k, planul care cont ,ine fat ,a [Pi] s,i cuisemispat ,iul denit de planul is,i care cont ,ine
interioarele tuturor celorlalte fet ,e [Pj];j6=i.
Denit ,ie.Se numes ,teinteriorul suprafet ,ei poliedrale convexe W, intersect ,ia semispat ,iilor

2.4. PRISMA 9
deschise1;


;k, deci:Int(W) =1\2\


\k
Denit ,ie.Reuniunea unei suprafet ,e poliedrale convexe Wcu interiorul s au, deci:
K(W) = [P1][


[ [Pk][Int(W)
se numes ,tepoliedru (sau corp) convex limitat de suprafat ,a poliedral a W.
Int(W) se mai numes ,teinteriorul poliedrului convex K(W). Exist a o mare varietate de
poliedre convexe. ^In natur a, cele 6 sisteme cristalograce dau 32 de tipuri de cristale care
sunt exemple de poliedre convexe.
Denit ,ie.Poliedrele limitate de suprafet ,e poliedrale regulate se numesc poliedre regulate .
Conform sect ,iunii … rezult a c a avem 5 poliedre regulate convexe.
2.4 Prisma
Se consider a un poligon s ,i o drept a d care nu este paralel a cu planul poligonului.
Poligonul este numit poligon director.
Denit ,ie.O dreapt a care se "mis ,c a" sprijinindu-se de poligonul director s ,i r am^ ane tot
timpul paralel a cu d genereaz a o suprafat , a pe care o numim suprafat , a prismatic a .
Reformulat:
Denit ,ie.Locul geometric al punctelor dreptelor paralele cu d, care un punct comun cu
poligonul director, se numes ,tesuprafat , a prismatic a .
Figura 2.8: Suprafat , a prismatic a

10 CAPITOLUL 2. POLIEDRE CONVEXE
ˆPoligoanele din planele paralele ^ mpreun a cu interioarele lor se numesc baze.
ˆParalelogramele, cu interioarele lor, de pe suprafat ,a prismatic a se numesc fet,e late-
rale.
ˆReuniunea fet ,elor laterale cu bazele formeaz a suprafat ,a prismei .
Figura 2.9: Prisma
Denit ,ie.Suma arilor fet ,elor laterale se numes ,tearia lateral a a prismei. Suma dintre aria
lateral a s ,i ariile bazelor se numes ,tearia total a a prismei.
Denit ,ie.Un punct interior segmentului care unes ,te dou a puncte de pe fet ,e diferite s ,i care
nu se g asesc pe aceeas ,i muchie se numes ,tepunct interior prismei.
Denit ,ie.Mult ,imea punctelor interioare reunit a cu suprafat ,a prismei alc atuiesc corpul
numit prism a .
Caz particular: Dac a muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor, atunci
prisma se numes ,tedreapt a , iar fet ,ele laterale sunt dreptunghiuri.
Caz particular:
Denit ,ie.Prisma dreapt a cu baza poligon regulat se numes ,teprism a regulat a .
ˆDistant ,a dintre bazele prismei se numes ,te^ n alt ,ime.
Caz particular: La prisma dreapt a ^ n alt ,imea este c^ at muchia lateral a. Observat ,iePrismele
se pot clasica astfel:

2.4. PRISMA 11
Figura 2.10: Prisma
ˆdup a pozit ,ia muchiilor laterale fat , a de planele bazelor;
ˆdrepte, dac a muchia lateral a este perpendicular a pe planul bazei;
ˆoblice, dac a d nu ste perpendicular a pe planul bazei;
ˆdup a num arul fet ,elor laterale (cate este egal cu num arul laturilor poligonului de
baz a);
2.4.1 Paralelipipedul
Denit ,ie. Paralelipipedul este prisma cu poligoanele bazelor paralelograme.
Denit ,ie.Paralelipipedul drept este paralelipipedul cu fet ,ele laterale dreptunghiuri.
Denit ,ie.Paralelipipedul drept cu baza dreptunghi se numes ,teparalelipiped dreptunghic .
Denit ,ie.Uncubeste un paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile congruente.
2.4.2 Prisma – teoreme, formule s ,i rezultate utile
Teorema 2.2 Sect ,iunile unei suprafet ,e prismatice cu dou a plane paralele sunt dou a poli-
goane egale.
Teorema 2.3 Orice dreapt a dus a prin centrul unui paralelipiped se intersecteaz a cu fet ,ele
paralelipipedului ^ n dou a puncte simetrice fat , a de centru.

12 CAPITOLUL 2. POLIEDRE CONVEXE
Figura 2.11: Paralelipiped
Teorema 2.4 Diagonalele unui paralelipiped dreptunghic sunt egale.
Teorema 2.5 ^Intr-un paralelipiped dreptunghic p atratul diagonalei este egal cu suma p a-
tratelor celor trei dimensiuni: d2=a2+b2+c2(teorema lui Pitagora ^ n spat ,iu).
Teorema 2.6 Aria lateral a a unei prisme este: Al=mp, unde m este muchia lateral a, p
perimetrul sect ,iunii drepte.
Teorema 2.7 Aria lateral a a unei prisme drepte este: Al=ph, unde p este perimetrul
bazei, h ^ n alt ,imea prismei.
Teorema 2.8 Aria total a a paralelipipedului dreptunghic este: At= 2(ab+bc+ca),
unde a, b, c sunt cele trei dimensiuni ale paralelipipedului.
Teorema 2.9 Volumul prismei este: V=Abh=Adm, undeAbeste aria bazei, h
^ n alt ,imea,Adaria sect ,iunii drepte, m muchia lateral a a prismei.
Teorema 2.10 Volumul paralelipipedului dreptunghic este: V=abc, unde a, b, c sunt
cele trei dimensiuni ale paralelipipedului.
2.5 Piramida
Se consider a un poligon s ,i o drept a d care nu este paralel a cu planul poligonului.
Poligonul este numit poligon director. O piramid a este denit a de un poligon plan, numit
baz a s ,i un punct exterior planului s au numit v^ arful piramidei .
Denit ,ie.FieS= [A1A2


An] inclus a ^ n planul o suprafat , a poligonal a s ,iV =2.
Reuniunea tuturor segmentelor [ VM], c^ and M parcurge S se numes ,tepiramid a de v^ arf V
s,i baz a S. Not am P= [VA 1A2


An].

2.5. PIRAMIDA 13
Figura 2.12: Piramida
ˆUnind v^ arful piramidei cu toate v^ arfurile poligonului de baz a se obt ,in triunghiuri
numite fet,e laterale ale piramidei (Fat ,a piramidei este considerat a cu interiorul ei).
ˆSegmentul care unes ,te v^ arful piramidei cu un v^ arf al bazei se numes ,temuchie late-
ral a.
ˆLaturile poligonului de baz a se numesc muchiile de baz a .
ˆMuchiile laterale s ,i muchiile de la baz a formeaz a mult ,imea muchiilor piramidei.
ˆSuprafat ,a piramidei este reuniunea fet ,elor laterale cu muchiile laterale, muchiile de
la baz a s ,i ^ n interiorul bazei.
ˆInteriorul piramidei este mult ,imea punctelor interioare segmentelor care unesc dou a
puncte de pe fet ,e diferite s ,i care nu se g asesc pe aceeas ,i muchie.
Denit ,ie.Opiramid a se numes ,teregulat a dac a baza ei este un poligon regulat, iar piciorul
perpendicularei duse din v^ arf pe planul bazei este centrul bazei.
ˆ^Intr-o piramid a regulat a ^ n alt ,imea unei fet ,e se numes ,teapotema piramidei .
Denit ,ie. Aria lateral a a piramidei este egal a cu suma ariilor fet ,elor laterale.
Denit ,ie. Aria total a a piramidei este egal a cu suma dintre aria lateral a s ,i aria bazei.

14 CAPITOLUL 2. POLIEDRE CONVEXE
2.5.1 Piramida – teoreme, formule s ,i rezultate utile
Teorema 2.11 Fet ,ele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale.
Denit ,ie.Aria lateral a a unei piramide regulate este: Al=pA
2, unde p este perimetrul
bazei iar A apotema piramidei.
Denit ,ie.Aria total a a unei piramide regulate este: At=p(A+a)
2, unde A este apotema
piramiedei, a apotema bazei piramidei.
Teorema 2.12 Volumul piramidei este: V=1
3Abh, undeAbeste aria bazei, h ^ n alt ,imea
piramidei.
Teorema 2.13 Dou a piramide cu bazele echivalente s ,i ^ n alt ,imile egale sunt echivalente.
2.6 Trunchiul de piramid a
Figura 2.13: Sect ,iune paralel a cu baza ^ ntr-o piramid a
PoligonulPse numes ,tebaza mare a trunchiului . Poligonul P0se numes ,tebaza
mic a a trunchiului . Toate trapezele ce r am^ an din fet ,ele laterale ^ n urma sect ,ion arii s ,i
^ ndep art arii piramidei mici se numesc fet,e laterale .
Dac a trunchiul de piramid a provine dintr-o piramid a regulat a atunci el se numes ,te
trunchi de piramid a regulat a . Fet ,ele laterale sunt trapeze isoscele. ^In alt ,imea unei astfel
de fet ,e se numes ,teapotema trunchiului de piramid a .
La un trunchi de piramid a avem trei apoteme:
ˆapotema trunchiului de piramid a

2.6. TRUNCHIUL DE PIRAMID A 15
Figura 2.14: Trunchi de piramid a
ˆapotema bazei mari
ˆapotema bazei mici
2.6.1 Trunchiul de piramid a – teoreme, formule s ,i rezultate utile
Teorema 2.14 Aria lateral a a unui trunchi de piramid a regulat a este: At=(p+p0)A
2, unde
p s ,i p' sunt perimetrele bazelor, A apotema trunchiului de piramid a.
Teorema 2.15 Volumul trunchiului de piramid a este: V=b
3
Ab+A0
b+p
AbA0
b

, unde
Abs,iA0
bsunt ariile celor dou a baze.

16 CAPITOLUL 2. POLIEDRE CONVEXE
Figura 2.15: Trunchi de piramid a

Capitolul 3
Suprafet ,e s,i corpuri rotunde
3.1 Suprafet ,e cilindrice
ˆDac a o dreapt a dse mis ,c a paralel cu ea ^ ns as ,i sprijinindu-se pe o dreapt a
, atunci
ddescrie un plan.
Figura 3.1: Generarea suprafet ,elor prismatice
ˆDac a dreapta dse mis ,c a paralel cu ea ^ ns as ,i sprijinindu-se pe un poligon Psituat
^ ntr-un plan neparalel cu d, atunci ea descrie o suprafat , a prismatic a .
^Inlocuind poligonul Pcu o curb a oarecare xat a, se obt ,ine o suprafat , a cilindric a (Vezi
gura 3.2).
17

18 CAPITOLUL 3. SUPRAFET ,E S ,I CORPURI ROTUNDE
Denit ,ie.FieCo curb a plan a s ,ido dreapt a dat a neparalel a cu planul curbei. Mult ,imea
punctelor dreptelor dcare se sprijin a pe curba Cs,i sunt paralele cu dreapta d, formez a
suprafat ,a cilindric a de baz aCs,i direct ,ied. Dac adeste perpendicular a pe planul curbei
C, atunci suprafat ,a se numes ,tesuprafat , a cilindric a dreapt a .
Drepteledse numesc generatoarele suprafet ,ei cilidrice, iar Cse numes ,te curba directoare
a suprafet ,ei cilindrice.
Figura 3.2: Generarea suprafet ,elor cilindrice
3.2 P^ anze conice
FieCo curb a plan a s ,iPun punct situat ^ n afara planului ei.
Denit ,ie.Totalitatea semidreptelor cu originea ^ n P s ,i av^ and un punct situat pe curba C
formeaz a p^ anza conic a de v^ arf P s ,i baz a C (Vezi gura 3.3).
Semidreptele se numesc generatoare ale p^ anzei.
3.3 Cilindri circulari
Denit ,ie.Uncilindru circular este un corp geometric cuprins ^ ntre o suprafat , a circular a
s,i dou a plane distincte paralele cu planul cercului ce genereaz a suprafat ,a cilindric a.
Cilindrul circular se numes ,tecilindru circular drept dac a suprafat ,a cilindric a circular a
corespunz atoare este dreapt a.

3.4. P ^ANZE CONICE CIRCULARE 19
Figura 3.3: P^ anz a conic a
3.4 P^ anze conice circulare
FieCun cerc s ,i un punct Pnesituat ^ n planul cercului.
Denit ,ie.Se numes ,tep^ anz a conic a circular a de v^ arfPs,i baz aC, totalitatea punctelor
situate pe semidreptele cu originea ^ n Pce ^ nt^ alnesc cercul C.
(Vezi gura 3.4)
Figura 3.4: P^ anz a conic a circular a

20 CAPITOLUL 3. SUPRAFET ,E S ,I CORPURI ROTUNDE
Denit ,ie.O p^ anz a conic a circular a de v^ arf Ps,i baz aCse numes ,tedreapt a dac a proiect ,ia
lui P pe planul cercului C este centrul lui C.
Figura 3.5: P^ anz a conic a circular a dreapt a
(Vezi gura 3.5).
Denit ,ie.Se numes ,tecon circular , corpul geometric m arginit de o p^ anz a conic a circular a s ,i
de planul cercului, care genereaz a p^ anza conic a. Dac a p^ anza conic a circular a este dreapt a,
atunci conul circular se numes ,tedrept .
Denit ,ie.Se numes ,tetrunchi de con circular , corpul m arginit de o p^ anz a conic a circular a,
de baza acesteia s ,i de un plan paralel cu ea, situat de aceeas ,i parte a v^ arfului ca s ,i baza.
Trunchiul de con se numes ,te drept, dac a p^ anza conic a circular a este dreapt a.
(Vezi gurile 3.6 s ,i 3.7).
Denit ,ie.Se numes ,tesfer a ce centruOs,i raz aR> 0, locul geometric al punctelor Mdin
spat ,iu, pentru care OM =R.
(Vezi gura 3.8).
3.5 Corpuri rotunde – teoreme s ,i rezultate utile
3.5.1 Denit ,ii
Denit ,ie.Suprafat ,a cilindric a este mult ,imea tuturor punctelor dreptelor din spat ,iu numite
generatoare , care se sprijin a de o curb a dat a – directoare – s,i au o direct ,ie dat a.

3.5. CORPURI ROTUNDE – TEOREME S ,I REZULTATE UTILE 21
Figura 3.6: Trunchi de con circular
Denit ,ie.Suprafat ,a conic a este mult ,imea punctelor dreptelor din spat ,iu numite genera-
toare , care se sprijin a de o curb a – directoare – dat a s ,i trec printr-un punct dat, v^ arful
suprafet ,ei conice.
Denit ,ie.Planul determinat de generatoarea s ,i tangenta la directoare ^ ntr-un punct al
suorafet ,ei cilindrice respectiv conice se numes ,teplan tangent la suprafat , a.
Denit ,ie.Cilindrul este corpul geometric m arginit de o suprafat , a cilindric a s ,i de dou a
plane paralele ^ ntre ele – baze – s ,i neparalele cu generatoarele.
Denit ,ie.Conul este corpul geometric m arginit de o suprafat , a conic a s ,i de un plan – baz a
– care taie toate generatoarele.
Denit ,ie.Trunchiul de con este corpul geometric m arginit de o suprafat , a conic a s ,i de
dou a plane paralele – baze – care intersecteaz a toate generatoarele.
Denit ,ie.Cilindrul circular drept are ca baz a un cerc s ,i generatoarele perpendiculare pe
baz a.
Denit ,ie.Conul circular drept are ca baz a un cerc s ,i dreapta determinat a de centrul bazei
s,i v^ arf perpendicular a pe baz a.
Denit ,ie.Sfera este mult ,imea punctelor din spat ,iu egal dep artate de un punct x numit
centru .
Denit ,ie.Zona sferic a este port ,iunea de suprafat , a sferic a cuprins a ^ ntre dou a plane para-
lele – bazele zonei. Distant ,a dintre cele dou a plane ale bazelor este ^ n alt ,imea zonei. Dac a
una din baze se reduce la un punct, suprafat ,a se numes ,tecalot a sferic a .

22 CAPITOLUL 3. SUPRAFET ,E S ,I CORPURI ROTUNDE
Figura 3.7: Trunchi de con circular drept
Denit ,ie.Corpul generat prin rotat ,ia unui sector circular ^ n jurul unui diametru care nu-l
traverseaz a se numes ,tesector sferic .
Denit ,ie.Segmentul sferic este port ,iunea de sfer a cuprins a ^ ntre dou a plane paralele.
Denit ,ie.Cilindrul s ,i trunchiul de con ale c aror baze sunt cercuri ale sferei sunt ^ nscrise
^ n sfer a. Conul ^ nscris are ca baz a un cerc al sferei s ,i v^ arful pe sfer a. Un poliedru este
^ nscris ^ ntr-o sfer a dac a are toate v^ arfurile pe sfer a.
Denit ,ie.O sfer a tangent a la planele bazelor s ,i la generatoarele unui cilindru, con sau
trunchi de con este ^ nscris a ^ n acel corp. O sfer a tangent a la toate fet ,ele unui poliedru este
^ nscris a ^ n acel poliedru.
AICI ADAUG SFERA ^INSCRIS A!!!!
Denit ,ie.Unpoligon sferic este o port ,iune de sfer a m arginit a de arce de cerc mare, mai
mici dec^ at un semicerc.
Denit ,ie.Lu^ and ca unitate de unghi radianul s ,i ca unitate de lungime raza sferei, aria unui
poligon sferic cu n laturi are ca m asur a excesul sumei unghiurilor sale fat , a de (n2).
3.5.2 Teoreme
Teorema 3.1 Cilindrul circular drept, conul circular drept s ,i trunchiul de con circular drept
sunt corpuri de rotat ,ie. Se obt ,in prin rotat ,ia ^ n jurul unei laturi respectiv a unui dreptunghi,
triunghi dreptunghic sau trapez dreptunghic.

3.5. CORPURI ROTUNDE – TEOREME S ,I REZULTATE UTILE 23
Figura 3.8: Sfer a
Teorema 3.2 Oric arui poligon sferic ^ i corespunde un unghi poliedru, av^ and ca v^ arf centrul
sferei s ,i ca muchii semidreptele care unesc acest centru cu v^ arfurile poligonului.
Observat ,ieDin teorema (3.2) rezult a c a toate propriet at ,ile unghiurilor poliedre ^ s ,i au
corespondent ,ele referitor la poligoanele sferice.

24 CAPITOLUL 3. SUPRAFET ,E S ,I CORPURI ROTUNDE
Figura 3.9: Cilindru
Figura 3.10: Con

3.5. CORPURI ROTUNDE – TEOREME S ,I REZULTATE UTILE 25
Figura 3.11: Sfer a

Capitolul 4
Sect ,iuni ale corpurilor geometrice
4.0.1 Volumul poliedrelor s ,i corpurilor rotunde
Aria suprafet ,elor poligonale
Denit ,ie.Se numes ,tearie (a suprafet ,elor poligonale) , o aplicat ,iearia :P!R+, care
satisface propriet at ,ile (axiomele ariei):
ˆS.1. (Axioma congruent ,ei). Dac a [ABC ] s,i
A0B0C0
sunt dou a suprafet ,e triunghiu-
lare astfel ^ nc^ at
ABC
A0B0C0, atunciaria[ABC ] =aria
A0B0C0
.
ˆS.2. (Axioma aditivit at ,ii) Dou a suprafet ,e poiligonale [ P1] s,i [P2] sunt disjuncte sau
se intersecteaz a doar ^ n v^ arfuri sau ^ n muchii (gura 4.1), atunci aria([P1] + [P2]) =
aria[P1] +aria[P2].
ˆS.3. Dac a [ABCD ] este o suprafat , a p atrat a cu muchia de lungime a, atunci aria[ABCD ] =
a2
Volumul poliedrelor s ,i corpurilor rotunde
Denit ,ie.Se numes ,tevolum (al poliedrelor) , o aplicat ,ievol:Pd!R+, care satisface
urm atoarele propriet at ,i (axiomele volumului):
ˆV.1. (Axioma congruent ,ei). Dac a dou a poliedre K1,K2sunt congruente, K1K2,
atuncivol(K1) =vol(K2).
ˆV.2. (Axioma aditivit at ,ii) Dac a dou a poliedre K1,K2sunt disjuncte sau se intersec-
teaz a ^ n v^ arfuri, muchii sau fet ,e, atuncivol(K1[K2) =vol(K1)[vol(K2).
ˆV.3. Dac aKeste un cub cu muchia l, atuncivol(K) =l3.
26

27
Figura 4.1: Axioma aditivit at ,ii ariei
ˆV.4. (Principiul lui Cavalieri). Fie K1,K2dou a poliedre, un plan arbitrar s ,i [P1] =
K1\;[P2] =K2\suprafet ,e poligonale obt ,inute prin intersect ,ia luiK1, respectiv
K2cu planul(sect ,iuni transversale cu planul ). Dac aaria[P1] =aria[P2], atunci
vol(K1) =vol(K2).
Presupun^ and acum c a exist a ^ n mod unic o funct ,ie volum, se pot stabili formulele de calcul
pentru volumele poliedrelor simple s ,i apoi volumul unui poliedru oarecare prin descompu-
nere ^ n poliedre simple (de exemplu ^ n tetraedre).
Vom demonstra volumul unei piramide triunghiulare (tetraedru).
Sistemul de axiome V.1.-V.4. de mai sus este sucient pentru a stabili s ,i volumele unor
corpuri rotunde ca cilindrul, conul s ,i sfera.
Pentru volumele solidelor vom folosi axioma:
Axioma unit at ,ii:Volumul unui paralelipiped dreptunghic este produsul dintre ^ n alt ,imea
sa s ,i aria bazei sale. (gura 4.2).
Pentru demostrat ,iile urm atoare, presupunem cunoscut (VOM DEMONSTRA URM
TEOREMA) volumul unei prisme Lcu aria bazei as,i ^ n alt ,imeah:V(L) =a
h.
Teorema 4.1 Volumul oric arei prisme este produsul ^ n alt ,imii cu aria bazei. (gura 4.3).
Demonstrat ,ie:Fie h s ,i A ^ n alt ,imea s ,i aria bazei prismei date (gura). S a consider am un
paralelipiped dreptunghic cu aceeas ,i ^ n alt ,ime h s ,i cu aria bazei A, care s a baza ^ n acelas ,i
plan cu planul bazei prismei date. S ,tim din teorema sect ,iunii transversale prin prism a c a
toate sect ,iunile transversale, ^ n ambele prisme, au aceeas ,i arie A. Conform principiului lui
Cavalieri, aceasta ^ nseamn a c a ele au acelas ,i volum. Deoarece volumul paralelipipedului
dreptunghic este A
hdin axioma unit at ,ii, teorema este demonstrat a.

28 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.2: Volumul paralelipipedului dreptunghic
Pentru a stabili volumul unui tetraedru [ VABC ], consider am planul ( ABC ) s,i e
h distant ,a de la v^ arful Vla planul (ABC ). Fieun plan paralel cu ( ABC ), de aceeas ,i
parte cuVfat, a de planul ( ABC ), care intersecteaz a muchiile [ VA];[VB];[VC] respectiv
^ n punctele A0;B0;C0. Fiekdistant ,a dintre planele paralele s,i (ABC ),k < h (gura
4.4). Cu aceste relat ,ii se stabiles ,te urm atoarea propozit ,ie matematic a:
Lem a . Aria sect ,iunii transversale la nivelul k este:
ariah
A0B0C0i
=hk
h2

aria[ABC ]:
De aici, conform principiului lui Cavalieri rezult a urm atoarea teorem a:
Teorema 4.2 Fie dou a piramide K1s,iK2cu bazele ^ n acelas ,i plan s ,i cu v^ arfurile de
aceeas ,i parte a planului baz a. Dac a K1,K2au aceeas ,i arie a bazelor s ,i aceeas ,i ^ n alt ,ime,
atunci volumele lor sunt egale, vol(K1) =vol(K2).
Pentru calclulul volumului unui tetraedru [ VABC ] cu aria bazei aria[ABC ] =as,i^ n alt ,imea
corespunz atoare h, consider am tetraedrul [ V0A0B0C0] cu aceeas ,i baz a s ,i ^ n alt ,ime ca s ,i
[VABC ] dar cu muchia [ V0A0] perpendicular a pe planul bazei ( A0B0C0) (Vezi gura 4.5).
Conform teoremei 4.2 avem vol[VABC ] =vol[V0A0B0C0]. Dac a P este prisma dreapt a
cu aceeas ,i baz a s ,i ^ n alt ,imea corepunz atoare ca s ,i [V0A0B0C0], conform axiomei aditivit at ,ii
volumelor s ,i teoremei 4.2, avem:
vol(P) = 3
vol[V0A0B0C0] =a
h
Deoarece baza s ,i ^ n alt ,imea considerate erau arbitrare, obt ,inem teorema:

29
Figura 4.3: Volumul prismei
Teorema 4.3 Volumul unui tetraedru este o treime din produsul ariei unei baze cu ^ n alt ,imea
corespunz atoare ei.
Utiliz^ and principiul lui Cavalieri, din teorema 4.3, rezult a formula volumului unui con. Fie
un conKs,i un tetraedru L, cu bazele situate ^ n acelas ,i plan, v^ arfurile de aceeas ,i parte
a planuluila aceeas ,i distant , ahdes,i av^ and ariile bazelor egale. (Vezi gura 4.6).
aria(C) =
r2=aria[
ABC ] =a
Sect ,iunile transversale ^ n Ks,iL, cu un plan paralel cu , la distant ,a k de alpha, k <h ,
au aceeas ,i arie:
hk
h2

a
Conform axiomei volumelor (V.4.) avem:
vol(K) =vol(L) =a
h
3=
r2
h
3(4.1)
4.0.2 Tipuri de sect ,iuni
Denit ,ie.Figura geometric a ob tinut a prin intersec tia unui corp geometric cu un plan se
nume ste sec tiune .
Prin sec tionarea unui corp cu un plan, putem ob tine:
ˆSec tiuni paralele cu baza

30 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.4: Aria sect ,iunii la nivelul k
ˆSec tiuni axiale (pentru un corp care are o ax a de simetrie)
ˆSec tiuni oarecare
4.0.3 Sect ,iuni paralele cu baza
Denit ,ie.Intersect ,ia unei prisme (piramid a, trunchi de piramid a, cilindru, con, trunchi de
con) cu un plan paralel cu baza, dac a nu este vid a, se numes ,tesect ,iune transversal a .
Observat ,ii
1. Set ,iunea transversal a a unei prisme este congruent a cu baza.
2. Orice sect ,iune transversal a printr-o piramid a situat a ^ ntre v^ arf s ,i planul bazei, la
distant ,a k de v^ arf este o suprafat , a asemenea cu baza cu raportul de asem anarek
h,
iar raportul ariilork2
h2(h ind ^ n alt ,imea piramidei).
3. Orice sect ,iune transversal a printr-un cilindru este un disc congruent cu baza.
4. Sect ,iunea transversal a a unui con de ^ n alt ,ime h, f acut a cu un plan situat la distant ,a
k de v^ arf are aria egal a cuk2
h2
Ab.
Teorema 4.4 COMPLETEZ AICI!!!!!!!

31
Figura 4.5: Volumul unui tetraedru
Sec tiuni paralele cu baza ^ n prisme
Denit ,ie.Osect ,iune transversal a printr-o prism a este intersect ,ia prismei cu un plan pa-
ralel cu planul bazei (dac a aceast a intersect ,ie nu este vid a).
Teorema 4.5 Toate sect ,iunile transversale ale unei prisme triunghiulare sunt congruente
cu baza.
Demonstrat ,ie:^In gura 4.7, e baza
ABC reunit a cu interiorul s au s ,i e punctele D,
Es,iFpunctele ^ n care sect ,iunea trasversal a intersecteaz a [ AA0], [BB0] s,i [CC0], Atunci
[AD]k[FC] deoarece ambele segmente sunt paralele cu dreapta d. ^In plus, [DF]k[AC].
As,adar,ADFC este paralelogram. Deci, DF=AC. Asem an ator se arat a c a DE=ABs,i
EF=BC. Din cazul de congruent , a a triughiurilor oarecare L:L:L: rezult a c a
DEF

ABC .
Teorema 4.6 (Teorema sect ,iunilor transversale prin prism a). Toate sect ,iunile transversale
printr-o prism a au aceeas ,i arie.
Demonstrat ,ie:FieRbaza s ,iSo sect ,iune transversal a (gura 4.8). Atunci aria lui R
este suma ariilor unui num ar nit de suprafet ,e triunghiulare. Aria lui Seste suma ariilor
suprafet ,elor triunghiulare corespunz atoare din S. Deoarece triunghiurile congruente au
aceeas ,i arie, suma este aceeas ,i pentruRs,iS.
Sec tiuni paralele cu baza ^ n piramide
Prin sec tionarea unei piramide cu un plan paralel cu baza ob tinem dou a corpuri
geometrice: o piramid a mic a  si un trunchi de piramid a. Sec tiunea ob tinut a este o gur a
geometric a asemenea cu baza.

32 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.6: Volumul unui con
Aplicat ,ie:Ar atat ,i c a volumul unui trunchi de piramid a este dat de formula:
V=1
3

B+B0+p
B
B0
(4.2)
undeBs,iB0sunt ariile bazelor, iar h este ^ n alt ,imea trunhiului.
Demonstrat ,ie:Fieh0^ n alt ,imea piramidei mici. (Vezi gura 4.9). Avem relat ,ia:
h+h0
h=p
Bp
B0
deci:
h
h0=p
Bp
B0
p
B0
h0=h
p
B0
p
Bp
B0
Scriind volumul trunchiului de piramid a ca diferent , a dintre volumul piramidei mari
s,i volumul piramidei mici, ^ nlocuind pe h0cu relat ,ia precedent a, obt ,inem formula volumului
trunchiului de piramid a.

33
Figura 4.7: Sect ,iune transversal a ^ n prism a triunghiular a
Sec tiuni paralele cu baza ^ n corpuri rotunde
Prin sec tionarea unui cilindru cu un plan paralel cu bazele ob tinem doi cilindri cu
bazele congruente. Prin sec tionarea unui con cu un plan paralel cu baza ob tinem dou a
corpuri geometrice: un con mic  si un trunchi de con
4.0.4 Sect ,iuni axiale (pentru corpuri care au ax a de simetrie)
Sec tiuni axiale – ^ n prisme care au ax a de simetrie
Sec tiuni axiale – ^ n piramide / trunchiuri de piramid a care au ax a de simetrie
Sec tiuni axiale – ^ n corpuri rotunde (cilindru, sfer a)
Sec tiuni axiale – ^ n corpuri rotunde (con, trunchi de con)
4.0.5 Sect ,iuni oarecare (determinate de trei puncte necoliniare)
Sec tiuni oarecare – ^ n prism a
Aplicat ,ie:Se d a cubul ABCDA0B0C0D0,M2DD0,N2CC0,P2AB. S a se
deseneze sect ,iunea determinat a de ( MNP ) ^ n cub.
Construct ,ie:
UnimMcuN(ind pe aceeas ,i fat , a), prelungim dreapta lor p^ an a taie pe DC^ nQcare
apart ,ine deci planului ( C0CD). UnimQcuP. Not amR=CB\PQ. Am obt ,inut
segmentulNRal sect ,iunii. Ducem, pe fat ,aAA0D0D,MSkNR, (S2A0A). UnimScu
P. Sect ,iunea c autat a este PRNMS . (Vezi gura 4.14).

34 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.8: Sect ,iune transversal a ^ n prism a
Sec tiuni oarecare – ^ n piramid a
Sec tiuni oarecare – ^ n corpuri rotunde
SEC  TIUNI PLANE ^IN CILINDRI Curba de intersec tie dintre un cilindru sec tionat
cu un plan neperpendicular pe ax a este o elips a . SECT ,IUNI PLANE ^IN CONURI –
CURBELE CONICE
Teorema 4.7 (Teorema lui Dandelin) Sec tiunea ^ ntr-un con de revolu tie cu un plan
ce nu trece prin v^ arf  si nu este perpendicular pe ax a poate : o elips a, o parabol a sau o
hiperbol a ^ n func tie de pozi tia planului de sec tionare.
Sec tiunea ^ ntr-un con de revolu tie cu un plan ce nu trece prin v^ arf  si nu este perpendicular
pe ax a poate :
ˆo elips a, dac a planul nu taie dec^ at o p^ anz a a conului
ˆo parabol a, dac a planul taie doar o p^ anz a a conului  si este paralel cu o generatoare
a lui
ˆhiperbol a, dac a planul taie ambele p^ anze ale conului
^ n func tie de pozi tia planului de sec tionare. Aceste curbe se numesc conice . Natura
curbelor se p astreaz a dac a ele sunt proiectate pe un plan paralel cu una din axele lor (^ n
cazul parabolei a doua ax a este ^ nlocuit a de tangenta la v^ arf).
SECT ,IUNI ^IN SFER A
Teorema 4.8 Intersect ,ia dintre un plan s ,i o sfer a este sau vid a, sau format a dintr-un
punct, sau un cerc av^ and drept centru poiect ,ia centrului sferei pe acel plan.

4.1. TEOREME, FORMULE S ,I REZULTATE UTILE 35
Figura 4.9: Volumul trunchiului de piramid a
Demonstrat ,ie:FieOcentrul sferei, Rraza sa s ,iun plan. Se va determina locul geometric
al punctelor Mdin, pentru care OM =R. FiePpiciorul perpendicularei din Ope planul
.
Dac aR < PO , cumOM > OP , oricare ar  M2, atunci nu exist a puncte M pentru
careOM =R. (gura 4.24).
Dac a R=OP, atunci OM=R, M2este posibil numai pentru M=P(gura 4.25).
Dac aR > OP , atunciOM =Reste echivalent cu MP =p
R2OP2, deoareceOP?
PM, s,i deci, intersect ,ia este cercul de centru P s ,i raz ap
R2OP2. (gura 4.26).
4.1 Teoreme, formule s ,i rezultate utile
Teorema 4.9 Sect ,iunea ^ ntr-o piramid a cu un plan paralel cu baza este un poligon asemenea
cu baza. Raportul ariilor bazelor este egal cu p atratul raportului celor dou a ^ n alt ,imi ale
piramidelor obt ,inute.

36 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.10: Sect ,iune axial a ^ n piramid a (1)
Figura 4.11: Sect ,iune axial a ^ n piramid a (2)

4.1. TEOREME, FORMULE S ,I REZULTATE UTILE 37
Figura 4.12: Sect ,iune axial a ^ n trunchi de piramid a
Figura 4.13: Sect ,iune axial a ^ n cilindru

38 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.14: Sect ,iune oarecare ^ n cub
Figura 4.15: Sect ,iune oarecare ^ n prism a (1)

4.1. TEOREME, FORMULE S ,I REZULTATE UTILE 39
Figura 4.16: Sect ,iune oarecare ^ n prism a (2)
Figura 4.17: Sect ,iune oarecare ^ n prism a (3)

40 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.18: Sect ,iune oarecare ^ n prism a (4)
Figura 4.19: Elips a

4.1. TEOREME, FORMULE S ,I REZULTATE UTILE 41
Figura 4.20: Parabol a
Figura 4.21: Sect ,iuni ^ n con

42 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.22: Sect ,iune eliptic a s ,i sect ,iune parabolic a
Figura 4.23: Intersect ,ia unei sfere cu un plan

4.1. TEOREME, FORMULE S ,I REZULTATE UTILE 43
Figura 4.24: Sfera s ,i plan (a)
Figura 4.25: Sfera s ,i plan (b)

44 CAPITOLUL 4. SECT ,IUNI ALE CORPURILOR GEOMETRICE
Figura 4.26: Sfera s ,i plan (c)

Capitolul 5
Probleme – Sect ,iuni ^ n corpuri geometrice
5.1 Probleme – Poliedre convexe
Problema 1
^Intr-un trunchi de piramid a se face o sec tiune cu un plan paralel cu bazele, la
distan t a egal a de ele. Calcula ti aria sec tiunii ^ n func tie de aria bazelor.
Observa tie: Num arul de laturi ale poligoanelor de baz a poate s a difere. Presupunem c a
bazele sunt patrulatere.
Figura 5.1: Problema 1
Solut ,ie:FieABCD poligonul bazei mari  si A0B0C0D0baza mic a, iar A0B0C0D0sec tiunea.
Not amL1;L2;L3;L4laturile bazei mari, l1;l2;l3;l4laturile bazei mici, 1;2;3;4laturile
sec tiunii, S – aria bazei mari, s – aria bazei mici  si aria sec tiunii. Pentru ecare fa t a
45

46 CAPITOLUL 5. PROBLEME – SECT ,IUNI ^IN CORPURI GEOMETRICE
lateral a, care este trapez, avem:
=L+l
2
Sect ,iunea s ,i baza mic a sunt asemenea )rapoartele de arii:
(

s=
l
2
S
s=L
l
2

s=
l2
)
s=L+l
2
l2
)p=ps
L+l
2
l)
p=1
2
ps
L
l+ 1
)p=1
2
ps
p
Sps+ 1!
)p=1
2
p
S+ps
)
p=p
S+ps
2(5.1)
Generalizare:
Dac a sec tion am trunchiul de piramid a cu un plan paralel cu bazele astfel ^ nc^ at raportul
distan telor de la baza mic a la sec tiune  si de la sec tiune la baza mare este k, rezult a:
=l+k
L
k+ 1(5.2)
p=ps+k
p
S
k+ 1(5.3)
5.2 Probleme – Corpuri rotunde
Problema 2
Pe o suprafat , a orizontal a se a
 a o sfer a de raz a Rs,i un con circular drept cu raza
bazeiR1 s ,i ^ n alt ,imeah= 2R. La ce distant , a de planul suprafet ,ei trebuie dus un plan
de sect ,iune, paralel cu suprafat ,a, astfel ^ nc^ at calota sferic a s ,i trunchiul de con cuprinse
^ ntre cele dou a plane s a aib a volume egale?
Solut ,ie:Volumul trunchiului de con este:
Vt=
h
(R2
1+r2
1+R
r)
3

5.2. PROBLEME – CORPURI ROTUNDE 47
Figura 5.2: Problema 2
undeR1s,ir1sunt razele trunchiului de con format. Cum h=x, volumul trunchiului de
con din problem a devine:
Vt=
x
(R2
1+r2
1+R1
r1)
3(5.4)
Volumul calotei sferice este:
Vs=
h
(3
r2+h2)
6(5.5)
Conform teoremei lui Pitagora exprim am raza calotei sferice ^ n funct ,ie de raza sferei s ,i de
distant ,a x, astfel (vezi gura):
r2=R2(Rx)2
Cumh=x, volumul calotei sferice din problem a devine:
Vs=
h
(3
r2+h2)
6=
x
(3
r2+x2)
6)
Vs=
x

3
R2(Rx)2+x2
6=
x
(6
R
x3
x2+x2)
6=
2
x
(3
R
xx2)
6

48 CAPITOLUL 5. PROBLEME – SECT ,IUNI ^IN CORPURI GEOMETRICE
Figura 5.3: Calote sferice
Rezult a c a:
Vs=
x2
(3
Rx)
3(5.6)
Condit ,ia din ipotez a este:
Vt=Vs (5.7)
Din relat ,iile (5.4), (5.6) s ,i (5.7) rezult a c a:

x
(R2
1+r2
1+R1
r1)
3=
x2
(3
Rx)
3
Simplic^ and prin x, obt ,inem:
R2
1+r2
1+R1
r1=x
(3
Rx) (5.8)
^In sect ,iunea din con, ^ n
BAN avemMLkAN. Conform teoremei fundamentale a ase-
m an arii, rezult a c a
BLN
BAN , ceea ce implic a egalitatea rapoartelor:LM
AN=BL
AB,
decir1
R1=2
Rx
2
R. Obt ,inem:
r1=R1
2
R
(2
Rx) (5.9)

5.2. PROBLEME – CORPURI ROTUNDE 49
^Inlocuind relat ,ia (5.9) ^ n relat ,ia (5.8), obt ,inem:
R2
1+R2
1
4
R2

4
R24
R
x+x2

+R1
R1
2
R
(2
Rx) =x
(3
Rx)
Elimin^ and numitorii, obt ,inem:
4
R2
R2
1+ 4
R2
1
R24
R2
1
R
x+R2
1
x2+ 2
R2
1
R
(2
Rx) = 12
R3
x4
R2
x2
8
R2
R2
14
R2
1
R
x+R2
1
x2+ 4
R2
1
R22
R2
1
R
X= 12
R3
x4
R2
x2
4
R2
x2+R2
1
x26
R2
1
R
x12
R3
x+ 12
R2
R2
1= 0
Form am ecuat ,ia de gradul al II-lea:

4
R2+R2
1


x26
R

2
R2+R2
1


x+ 2
R2
R2
1= 0 (5.10)
Calcul am discriminantul ecuat ,iei:

= 36
R2

2
R2+R2
1

4

4
R2+R2
1


12
R2
R2
1

= 12
R2

3

2
R2+R2
1

4

4
R2+R2
1


R2
1

= 12
R2

3

4
R4+ 4
R2
R2
1+R4
1

16
R2
R2
14
R4
1

= 12
R2

12
R4+ 12
R2
R2
1+ 3
R4
116
R2
R2
14
R4
1


= 12
R2

12
R44
R2
R2
1R4
1

Pentru a descompune ^ n factori, scriem un termen ca sum a de alt ,i doi termeni:
4
R2
R2
1=6
R2
R2
1+ 2
R2
R2
1
Obt ,inem:

= 12
R2

12
R46
R2
R2
1+ 2
R2
R2
1R4
1


= 12
R2

6
R2

2
R2R2
1

+R2
1

2
R2R2
1


50 CAPITOLUL 5. PROBLEME – SECT ,IUNI ^IN CORPURI GEOMETRICE
Discriminantul descompus ^ n factori are forma:

= 12
R2

2
R2R2
1



6
R2+R2
1

(5.11)
Condit ,ia pentru care problema are solut ,ie (condit ,ia ca ecuat ,ia s a aib a solut ,ii reale) este:

0)2
R2R2
10)2
R2R2
1)
R1<R
p
2 (5.12)
Din cele dou a r ad acini, r ad acina mai mic a veric a condit ,ia (5.12).
Rezult a c a solut ,ia ecuat ,iei (5.10) este:
x1=6
R
(2
R2+R2
1)p


2
(4
R2+R2
1)
Problema 3
Pe o mas a orizontal a se as ,eaz a un con cu baza de arie S, al doilea cu v^ arful pe mas a
s,i baza de arie S', paralel a cu planul mesei. La ce distant , a de planul mesei trebuie dus un
plan, paralel cu masa, care s a determine ^ n cele dou a conuri sect ,iuni cu aceeas ,i arie?
Figura 5.4: Problema 3
Solut ,ie:Not am cu planul de sect ,iune, cu S s ,i S' ariile bazelor celor dou a conuri s ,i
cu,0ariile celor dou a sect ,iuni prin planul .
Scriem raportul ariilor:

S=hx
h2
(5.13)

5.2. PROBLEME – CORPURI ROTUNDE 51

S0=x
h02
(5.14)
unde x reprezint a distant ,a dintre planul mesei s ,i planul.
Din relat ,iile (5.13) s ,i (5.14) obt ,inem:
p
S
(hx)
h=x
h0
p
S0
p
S
h
hp
S
x
h=x
h0
p
S0 (5.15)
)x
p
S
h+p
S0
h0!
=p
S)
x=h
h0
p
S
h0
p
S+h
p
S0(5.16)
Sau, ^ mp art ,ind egalitatea (5.15) prin x, obt ,inem:
p
S
x=p
S
h+p
S0
h0(5.17)

Capitolul 6
Not,iuni introductive cu GeoGebra
Reality Augmented
6.1 Modelare AR
6.2 De la modelare 2D la modelare 3D
6.3 Exemple de modelare AR cu GeoGebra
Pentru alte referint ,e consultat ,i Modelare AR cu GeoGebra sau accesat ,i urm atoarea
adres a:https://www.geogebra.org/m/RKYFdQJy#material/mvjzzgdw
Open up GeoGebra Augmented Reality app on iPad or iPhone
52

Capitolul 7
Concluzii
7.1 Cont ,inut
ˆun rezumat al contribut ,iilor aduse
ˆa analiz a critic a a rezultatelor obt ,inute: avantaje, dezavantaje, limit ari
ˆo descriere a posibilelor dezvolt ari s ,i ^ mbun at at ,iri ulterioare
7.2 Detalii tehnice
7.2.1 Dimensiune
Cca 3{5% din total.
Figura 7.1: Corp geometric
53

List a de guri
2.1 Stea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Suprafat , a poliedral a conic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Sistem de suprafet ,e poligonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Suprafat , a piramidal a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Suprafat , a tetraedral a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Suprafat , a prismatic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.7 Suprafat , a paralelipipedic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.8 Suprafat , a prismatic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.9 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.10 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.11 Paralelipiped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.12 Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.13 Sect ,iune paralel a cu baza ^ ntr-o piramid a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.14 Trunchi de piramid a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.15 Trunchi de piramid a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Generarea suprafet ,elor prismatice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Generarea suprafet ,elor cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 P^ anz a conic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 P^ anz a conic a circular a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 P^ anz a conic a circular a dreapt a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Trunchi de con circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Trunchi de con circular drept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8 Sfer a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9 Cilindru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.10 Con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.11 Sfer a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Axioma aditivit at ,ii ariei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Volumul paralelipipedului dreptunghic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Volumul prismei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Aria sect ,iunii la nivelul k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
54

LIST A DE FIGURI 55
4.5 Volumul unui tetraedru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6 Volumul unui con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.7 Sect ,iune transversal a ^ n prism a triunghiular a . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.8 Sect ,iune transversal a ^ n prism a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.9 Volumul trunchiului de piramid a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.10 Sect ,iune axial a ^ n piramid a (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.11 Sect ,iune axial a ^ n piramid a (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.12 Sect ,iune axial a ^ n trunchi de piramid a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.13 Sect ,iune axial a ^ n cilindru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.14 Sect ,iune oarecare ^ n cub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.15 Sect ,iune oarecare ^ n prism a (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.16 Sect ,iune oarecare ^ n prism a (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.17 Sect ,iune oarecare ^ n prism a (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.18 Sect ,iune oarecare ^ n prism a (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.19 Elips a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.20 Parabol a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.21 Sect ,iuni ^ n con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.22 Sect ,iune eliptic a s ,i sect ,iune parabolic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.23 Intersect ,ia unei sfere cu un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.24 Sfera s ,i plan (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.25 Sfera s ,i plan (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.26 Sfera s ,i plan (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Calote sferice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.1 Corp geometric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliograe
[1] W. Strunk, Jr. and E. B. White, The Elements of Style , 3rd ed. Macmillan, 1979.
[2] E. Bellucci, A. Lodder, and J. Zeleznikow, \Integrating articial intelligence, argumen-
tation and game theory to develop an online dispute resolution environment." in 16th
International Conference on Tools with Articial Intelligence , 2004, pp. 749{754.
[3] G. Antoniou, T. Skylogiannis, A. Bikakis, M. Doerr, and N. Bassiliades, \Dr-brokering:
A semantic brokering system." Knowledge-Based Systems , vol. 20, no. 1, pp. 61{72,
2007.
[4] S. J. Russell, P. Norvig, J. F. Canny, J. M. Malik, and D. D. Edwards, Articial
intelligence: a modern approach . Prentice hall Englewood Clis, 1995, vol. 2.
[5] \Ajax tutorial." [Online]. Available: http://www.tutorialspoint.com/ajax/.
56

Anexa A
Sect ,iuni de cod MATLAB
Octave, Version 5.1.0, 2019
/** Instruct ,iuni ilustrare con */
[x, y, z] = cylinder (10:-1:0, 50);
surf (x, y, z);
title ("a cone");
/** Instruct ,iuni ilustrare sfer a*/
[x, y, z] = sphere (40);
surf (3*x, 3*y, 3*z);
axis equal;
title ("sphere of radius 5");
/** Instruct ,iuni ilustrare con */
>> r= [1 1]
r =
1 1
cylinder(r);
/** Instruct ,iuni ilustrare trunchi de piramid a */
x = [0 0 1 1 0 .4
1 1 1 0 0 .4
1 .6 .6 .4 .4 .6
0 .4 .6 .6 .4 .6];
y = [0 1 1 0 0 .4
0 1 0 0 1 .6
1 .6 .4 .4 .6 .6
1 .6 .6 .4 .4 .4];
57

58 ANEXA A. SECT ,IUNI DE COD MATLAB
z = [0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1];
patch(x,y,z,'y')
view(3);xyz,box

Anexa B
Diverse anexe
59

Anexa C
Demonstrat ,ii matematice detaliate
60