Specializarea Matematic a didactic a [615291]

Ministerul Educat iei si Cercet arii
Universitatea OVIDIUS Constant a
Facultatea de Matematic a  si Informatic a
Specializarea Matematic a didactic a
Lucrare de Disertat ie
Ireductibilitatea polinoamelor pesteun corp
Coordonator  stiint ic, Absolvent: [anonimizat] (Mitrea) Stelut a-Iuliana
Constant a 2020

Ministerul Educat iei si Cercet arii
Universitatea OVIDIUS Constant a
Facultatea de Matematic a  si Informatic a
Specializarea Matematic a didactic a
Lucrare de Disertat ie
Ireductibilitatea polinoamelor pesteun corp
Coordonator  stiint ic, Absolvent: [anonimizat] (Mitrea) Stelut a-Iuliana
Constant a 2020

Cuprins
Capitolul 1. Construct ia inelelor de polinoame ^ ntr-o
nedeterminat a 2
1.1. Inelul polinoamelor ^ ntr-o nedeterminat a 2
1.2. R ad acinile unui polinom 7
1.3. Aplicat ii ale relat iilor lui Vi ete 11
Capitolul 2. Aritmetica inelelor de polinoame cu coecient i
^ ntr-un corp 14
2.1. Divizibilitate 14
2.2. Algoritmul lui Euclid, teorema fundamental a a aritmeticii 21
Capitolul 3. Ireductibilitatea ^ n inelele de polinoame 32
3.1. Polinoame ireductibile cu coecient i reali  si complec si 32
3.2. Fract ii rat ionale 33
Bibliograe 36
1

CAPITOLUL 1
Construct ia inelelor de polinoame ^ ntr-o
nedeterminat a
Principala surs a bibliograc a utilizat a ^ n acest capitol este [ 1].
1.1. Inelul polinoamelor ^ ntr-o nedeterminat a
Polinoamele^  si au originea^ n nevoia g asirii unui formalism de calcul
pentru problemele de algebr a solut ionate de obicei cu ajutorul sumelor
 si produselor. ^Inc a din gimnaziu se folosesc expresii de genul x, 2xy,
xy2, 5x7×2yunde se indic a faptul c a x,ysunt numere alese
arbitrar.
Pentru a lucra ^ n mod corect  si riguros cu astfel de expresii, este ne-
cesar s a e cunoscut cadrul ^ n care se efectueaz a calculele, exprim^ andu-
se leg atura acestuia cu corpurile de numere. ^In cazul acesta , cadrul
este constituit de teoria inelelor de polinoame.
Vom deni polinomul plec^ and de la un inel A, inelul polinoamelor
cu coecient i ^ n A. Astfel , orice polinom ce va  un element al inelului
A, va lua asupra lui propriet at ile algebrice ale inelului , at^ at direct c^ at
 si prin modalitatea de construct ie a lui.
Pe ^ ntreg capitolul inelele folosite sunt considerate unitare  si co-
mutative. De asemenea morsmele de inele vor   si ele unitare, iar
subinelele vor cont ine elementul unitate al inelului.
^In cele ce urmeaz a, vom demonstra c a inelul ( AN;+) este unitar
 si comuntativ: faptul c a ( AN;+) este grup comutativ este imediat:
asociativitatea  si comutativitatea adun arii de pe ANrezult a din asoci-
ativitatea  si comutativitatea adun arii de pe A, elementul neutru este
 sirul nul 0= (0;0;:::;0;:::) (ce are toate componentele egale cu zero),
iar pentru f= (a0;a1;:::;an;:::)2ANopusul s aufeste dat de
f= (a0;a1;:::;an;:::).
2

1.1. INELUL POLINOAMELOR ^INTR-O NEDETERMINAT A 3
Comutativitatea ^ nmult irii de pe ANrezult a din comutativitatea
^ nmult irii pe A. Pentru a proba asociativitatea ^ nmult irii de pe AN, e
f= (a0;a1;:::;an;:::),g= (b0;b1;:::;bn;:::),h= (c0;c1;:::;cn;:::) trei
elemente oarecare din AN si s a prob am c a ( fg)h=f(gh).^Intr-adev ar,
pentrun2Ravem:
((fg)h))(n) =nX
i=0(fg)h(ni) =nX
i=0 iX
j=0f(j)g(ij)!
h(ni)
=X
j+k+t=nf(j)h(k)h(t)
 si analog
(f(gh)) (n) =X
j+k+t=nf(j)g(k)h(t)
de unde ((fg)h)(n) = (f(gh))(n), adic a (fg)h=f(gh).
Dac a not am 1= (1;0;:::;0;:::)2AN, atunci pentru orice f2
ANavemf
1=1
f=f, de unde concluzia c a 1este elementul
neutru pentru ^ nmult irea fat  a de AN. Deoarece ^ nmult irea de pe Aeste
distributiv a fat a de adunarea de pe Adeducem c a dac a f;g;h2AN si
n2R, atunci
(f(g+h)) (n) =f(n) (g(n) +h(n)) =f(n)g(n)+f(n)h(n) = (fg+fh)(n);
adic af(g+h) =fg+fh, astfel zis^ nmult irea de pe ANeste distributiv a
fat  a de adunarea de pe AN.
FieAun inel unitar  si comutativ. O funct ie f:R!AprinAN,
poate  scris a sub forma f= (a0;a1;:::;an;:::) unde pentru orice
i2R,ai=f(i)2A. Vom nota mult imea acestor funct ii prin AN.
^In mod evident, dac a mai consider am funct ia g:R!A g =
(b0;b1;:::;bn;:::) atuncif=g,ai=bi,8i2R.
Pentruf;g2AN, undef= (a0;a1;:::;an;:::),g= (b0;b1;:::;bn;:::),
denim funct iile f+g,fg2ANprin
(f+g)(i) =f(i) +g(i)
(fg) =iX
k=0f(k)g(ik);8i2R:

1.1. INELUL POLINOAMELOR ^INTR-O NEDETERMINAT A 4
De aici rezult a
f+g= (a0+b0;a1+b1;:::;an+bn:::)
fg= (c0;c1:::cn;:::);
undeci=P
(k= 0)iakb(ik),8i2R.
Astfel,
c0=a0b0
c1=a0b1+a1b0
::: ::: :::::::::::::::
cn=a0bn+a1b(n1) +:::+a(n1)b1+anb0
::: ::: :::::::::::::::
Propozit ie 1.1.1.Inelul (AN;;
)este inel unitar comutativ. ^In
plus,iA:A!AN, denit prin iA(a) = (a;0;:::;0;:::)este un morsm
injectiv de inele. Astfel, Aeste subinel al inelului AN.
Definit ie 1.1.1.Inelul (AN;+;
)se nume ste inelul seriilor for-
male ^ n nedeterminata Xcu coecient i din A si se noteaz a prin
A[[X]].
Dac a not am X= (0;1;:::; 0;:::)2AN, t in^ and cont de operat iile
denite ^ nAN, vom obt ine o scriere formal a a polinoamelor
f= (a0;a1;:::;an;:::) =X
i0aiXi:
aceasta ind doar o notat ie, f ar a sens de adunare.
Definit ie 1.1.2.O serie formal a f=P
i0aiXi2A[[X]]cu pro-
prietatea c a mult imea fi2Rjai6= 0geste nit a se nume ste polinom
cu coecient i in A.
Polinoamele de forma aXn,a2Ase numesc monoame .
Astfel, dac a f=P
i0aiXi2A[X], atunci exist a n2Rastfel
^ nc^ atai= 0 pentru orice i2NN,in+ 1. Vom putea scrie atunci
f=a0+a1X+:::+anXn,f=sumn
i=0aiXi:
^In cazul polinomului nul, ai= 0,8i2R, vom nota prin 0polinomul
nul.

1.1. INELUL POLINOAMELOR ^INTR-O NEDETERMINAT A 5
Observat ie 1.1.1.Fief=P
i0aiXi,g=P
i0biXidou a po-
linoame din A[X]. Cum ^ n particular f;g sunt funct ii de la RlaA
deducem c a f=g,m=n siai=bi80in.
^In particular, f= 0,ai= 0 ,80in sif6= 0 dac a  si numai
dac a exist a 0inpentru care ai6= 0.
Definit ie 1.1.3.Pentru polinomul nul 02A[X]denim gradul
s au ca ind1 iar pentruf2A[X],f6=0denim gradul lui fca
ind
grad(f) = maxfijai6= 0g:
Astfel, dac a f6= 0  sigrad(f) =n1, atuncifse poate scrie
sub formaf=a0+a1X+:::+anXncuan6= 0. ^In acest caz, anse
nume ste coecientul dominant al lui f; dac aan= 1, polinomul se
mai nume ste  si monic sauunitar .
Dac agrad(f) = 0, atunci f=a,a2A; spunem ca fse nume ste
polinom constant.
Propozit ie 1.1.2.A[X]este subinel al inelului A[[X]].
Definit ie 1.1.4.InelulA[X]poart a numele de inelul polinoa-
melor ^ n nedeterminata Xcu coecient i ^ n inelul Asau, pe
scurt, inelul polinoamelor ^ ntr-o nedeterminat a .
Propozit ie 1.1.3.Dac af;g2A[X], atunci:
(i)grad(f+g)maxfgrad(f);grad (g)g
(ii)grad(fg)grad(f) +grad(g).
Dac a inelul Aeste integru, inegalitatea de la (ii) devine egalitate.
Propozit ie 1.1.4.Fief=a0+a1X+:::+anXn2A[X]. Atunci,
(i)f2U(A[x]),a02U(A[X])iara1;:::;ansunt elemente
nilpotente din A.
(ii)feste divizor al lui zero in A[X], 9a2Aastfel ^ nc^ at
af= 0.
Corolar 1.1.1.Dac aAeste domeniu de integritate, atunci
(i)f=a0+a1X+:::+anXn2U(A[X])dac a  si numai dac a f=a0
cua02U(A).

1.1. INELUL POLINOAMELOR ^INTR-O NEDETERMINAT A 6
(ii)A[X]este domeniu de integritate.
Teorem a1.1.1 (Proprietatea de universalitate a polinoamelor^ ntr-o
nedeterminat a) .FieAun unel comutativ  si unitar. Pentru orice alt
inel unitar, comutativ B, orice element b2B si orice morsm de
inelef2Hom(A;B), exist a un unic morsm de inele unitare f02
Hom(A[X];B)astfel ^ nc^ at f0(X) =biar diagrama
este comutativ a, adic a f0ia=f.
Definit ie 1.1.5.Dac af=a0+a1X+:::+anXn2A[X], atunci
~f:A!A;~f=a0+a1a+:::+anan
pentru orice a2Apoart a numele de funct ia polinomial a ata sat a
luif.
Vom spune despre o funct ie g:A!Ac a este polinomial a dac a
exist af2A[X] pentru care g=~f
Observat ie 1.1.2.Dac af;g2A[X] sif=g(ca polinoame)
atunci ~f= ~g(ca funct ii).
Reciproca acestei observat ii nu este adev arat a pentru orice inel A.
De exemplu, consider^ and A=Z2,f=^1 +X,g=^1 +X2atunci
~f= (^0) = ~g(^0) = ^1;~f(^1) = ~g(^1) = ^0;
deci ~f= ~g, pe c^ andf6=g.
Prin calcul imediat rezulta c a, pentru f;g2A[X], atunci ~fg=
~f~g si~fg=~f~g.

1.2. R ADACINILE UNUI POLINOM 7
1.2. R ad acinile unui polinom
Definit ie 1.2.1.FieKun corp,Ko extindere a sa  si MKo
submult ime oarecare. Intersect ia tuturor subcorpurilor lui Kce cont ine
K[Mse noteaz a prin K(M) si spunem c a este corpul obt inut prin
adjunct ionarea la Ka elementelor lui M. Dac aM=f1:::ngvom
scrieK(M) =K(1:::n).
Dac akKeste o extindere de corpuri, vom spune despre un
element2Kc a este algebric peste kdac a exist a un polinom nenul
f2k[X] astfel ^ nc^ at ^f() = 0.
O extindere Ka unui corp kse nume ste algebric a dac a orice element
al luiKeste algebric peste k. Dac a orice element dintr-o extindere a
luik, care este algebric peste k, apart ine lui k, vom spune despre kc a
este algebric ^ nchis.
Teorem a1.2.1 (Teorema ^ mp art irii cu rest) .FieKun corp comu-
tativ,f;g2K[X]cug6= 0. Atunci exist a  si sunt unice dou a polinoame
q;r2K[X]astfel ^ nc^ at f=g
q+r sigrad(r)<grad (g).
Demonstrat ie. Fief=a0+a1X+:::+anXn sig=b0+b1X+
:::+bmXmcubm6= 0  simn. Vom demonstra existent a polinoamelor
q;rprin induct ie matematic a dup a n, gradul lui f.
Dac agrad(g)>n, putem alege q= 0  sir=f.
Dac agrad(g)n, consider am polinomul f1=fb1
mamXnmg.
Cumgrad(f1)< n, conform ipotezei de induct ie exist a q1;r12K[X]
astfel ^ nc^ at f1=gq1+r1cugrad(r1)>grad (g).
Obt inem
fb1
mamXnmg=gq1+r1;
de unde
f=g
q1+b1
manXnm

+r1:
Not^ andq=q1+b1
manXnm sir=r1avemf=gq+riar
grad(r)< grad (g). Conform principiului induct iei matematice, teo-
rema de existent  a este demonstrat a.
Pentru a ar ata unicitatea lui q sir, s a presupunem c a mai exist a
q0 sir02K[X] pentru care f=gq0+r0 sigrad(r0)< grad (g). Cum

1.2. R ADACINILE UNUI POLINOM 8
f=gq+rdeducem c a
gq0+r0=gq+r,g(q0q) =rr0:
Dac aq0=q, atuncir0=r.
Dac aq06=q, deoarece bm6= 0, din egalitatea g(q0q) =r0r
deducem c a gradul polinomului g(q0q)npe c^ and gradul lui rr0<
nabsurd. ^In concluzie, r=r0 siq=q0.

Polinoamele q sirdin enunt ul Teoremei 1.2.1 poartu a numele de
c^ atul  si respectiv restul ^ mp art irii lui flag. Dac ar= 0 spunem c a g
dividef si scriemgjf.
Teorema 1.2.1 admite o generalizare de forma:
Fie A un inel comutativ, f;g2A[X],f=a0+a1X+:::+anXn,
g=b0+b1X+:::+bmXnde graden sim0 (decibm6= 0)  si
k= max(nm+1;0). Atunci exist a polinoamele q sirdinA[X] astfel
^ nc^ atbmfk=gq+rcugrad(r)<m.^In plus, dac a bmnu este divizor
al lui 0, atunci q;rsunt unic determinate.
Propozit ie 1.2.1 (Bezout) .FieAun inel comutativ unitar, f2
A[X] sia2A. Atunci urm atoarele armat ii sunt echivalente:
(i)aeste r ad acina lui f(adic a ^f(a) = 0 ).
(ii)Xajf.
Demonstrat ie. (i))(ii). Fief=a0+a1X+:::+anXn2A[X].
Presupunem c a aeste r ad acin a a lui f, adic a
~f(a) = 0,a0+a1a+:::+anan= 0:
Putem scrie atunci
f= (a0+a1X+:::+anXn)(a0+a1a+:::+anan)
=a1(Xa) +a2(X2a2) +:::+an(Xnan)
Deoarece pentru orice k2Ravem
Xkak= (Xa)(Xk1+aXk2+:::+ak2X+ak1;
rezult aXajXkak, deciXajf.

1.2. R ADACINILE UNUI POLINOM 9
(ii))(i) Dac aXajf, atunci putem scrie f= (Xa)g,g2A[X].
Cum ~f= ( ~xa~grezult a c a ~f(a) = (aa)~g(a) = 0
~g(a) = 0.

Definit ie 1.2.2.Fief2A[X],f6= 0 sia2A. Vom spune despre
ac a este r ad acin a multipl a de ordin ipentrufdac a (Xa)ijf si(X
a)(i+ 1)6jf. Num arul ipoart a numele de ordinul de multiplicitate
al luia(dacu a i=0, anu este r ad acin a pentru f).
Propozit ie 1.2.2.FieAun domeniu de integritate
(i) Dac aa2Aeste r ad acin a multipl a pentru polinoamele nenule
f;g2A[X]cu ordine de multiplicitate irespectivj, atunci a
este r ad acin a multipl a de ordin i+jpentrufg.
(ii) Dac aa1;:::;aksunt r ad acini distincte din Aale polinomului
nenulf2A[X]cu ordinele de multiplicitate i1;:::;ik, atuncif
se scrie sub forma f= (Xa1)i1:::(Xa1)ikgcug2A[X].
Demonstrat ie. (i) Putem scrie f= (Xa)if1 sig= (Xa)jg1
cuf1 sig12A[X] iar ~f1(a)6= 0, ~g1(a)6= 0.
Atunci
fg= (Xa)if1(Xa)jg1= (Xa)i+jf1g1
iar~f1g1(a) =~f1(a) ~g1(a)6= 0 de unde rezult a ca aeste r ad acin a multipl a
de ordini+jpentrfg.
(ii) Facem induct ie matematic a dup a k. Pentruk= 1, relat ia se ve-
ric a conform denit iei 1.2.2. Presupunem c a armat ia este adev arat a
pentruk1, cuk >1  si ar at am c a ea r am^ ane adev arat a  si pentru k.
Exist a deci f12A[X] astfel ^ nc^ at
f= (Xa1)i1:::(Xak1)ik1f1:
Cum ~f(ak) = 0 iar Aeste domeniu de integritate deducem c a
~f1(ak) = 0  si ordinul de multiplicitate al lui ak^ n cadrul lui f1este
acela si ca ^ n cazul lui f, adic af1= (Xak)ikg si astfelf= (X
a1)i1:::(Xak)ikg.


1.2. R ADACINILE UNUI POLINOM 10
Corolar 1.2.1. (i) Dac aAeste un domeniu de integritate  si
f2A[X]cugrad(f) =n1, atuncifare ^ nAcel multn
r ad acini.
(ii) Dac aKeste un corp comutativ, atunci orice subgrup nit al
grupului (K;
)este ciclic.
Demonstrat ie. (i) Rezult a din Propozit ia 1.2.2
(ii) FieGKcujGj=n. Pentru a proba c a Geste ciclic, este
sucient s a ar at am c a ^ n Gg asim un element de ordin n.
Fien=pr1
1:::prt
tdescompunerea lui n^ n factori primi distinct t i
pentru orice 1it. Existu a un element xi2Gpentru care
xn=pi
i6= 1, altfel polinomul Xn=pi12K[X] are mai multe r ad acini
dec^ at gradul s au.
Not amyi=xn=pri
i
i. Atuncio(yi) =pri
i, pentru orice 1it.
^Intr-adev ar, ypri
i
i=xn
i= 1. Deducem c a o(yi) dividepri
i, adic a
pri
i, adic ao(yi) =ps
icu 1sri. Dac as < rirezult a c aypri1
i
i =
xn=pi
i= 1, ceea ce contrazice alegerea elementului xi. Astfels=ri si
o(yi) =pri
i, pentru orice 1it.
Dac a not am y=y1
:::
yt, atuncio(y) =pri
i:::prt
t=n.

Propozit ie 1.2.3 (Relat iile lui Vi ete) .FieAun domeniu de inte-
gritate  sif2A[X]un polinom de grad n,f=a0+a1X+:::+anX
(decian6= 0).
Dac ax1;:::;xnsunt r ad acinile lui f^ nA, atunci
an(x1+:::+xn) =an1
an(x1x2+x1x3+:::+xn1xn=an2
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
an(x1x2:::xk+x1x2:::xk1xk+1+:::+xnk+1xnk+2:::xn)
= (1)kank
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
an(x1:::xn) = (1)na0:

1.3. APLICAT II ALE RELAT  IILOR LUI VI ETE 11
1.3. Aplicat ii ale relat iilor lui Vi ete
(I) Rezolvarea unor sisteme simetrice: dac a pentru un sistem de
necuat ii cu necunoscutele x1;x2;:::;xnputem calcula sumele
S1;S2;:::;Sn, atunci rezolvarea sistemului se reduce la determi-
narea r ad acinilor polinomului f=XnS1Xn1+:::+(1)nSn.
Exemplu 1.3.1.Pentru rezolvarea sistemului
8
><
>:x1+x2+x3= 0
x2
1+x2
2+x2
3= 14
x3
1+x3
2+x3
3= 18proced am astfel :
Din primele doua ecuat ii, folosind formula
x2
1+x2
2+x2
3= (x1+x2+x3)22(x1x2+x1x3+x2x3);
obt inemS2=x1x2+x1x3+x2x3=7.
Folosind formula
x3
1+x3
2+x3
33x1x2x3= (x1+x2+x3)(x2
1+x2
2+x2
3x1x2x1x3x2x3);
din a treia ecuat ie a sistemului obt inem S3=x1x2x3=6.
Poliniamele fcu r ad acinile x1;x2;x3sunt de forma f=a(X3
7X+ 6),a6= 0.
Ecuat ia ~f(x) = 0 se scriex37x+ 6 = 0 sau(x1)(x
2)(x+ 3) = 0 cu solut iile a1= 1,a2= 2,a3=3.
Sistemul ind simetric ^ n x1;x2;x3, obt inem pentru sistemul
dat solut ia
(x1;x2;x3)2n
(1;2;3);(1;3;2);(2;1;3);(2;3;1);
(3;1;2);(3;2;1)o
:
(II) Determinarea r ad acinilor unui polinom cunosc^ and o relat ie su-
plimentar a vericat a de aceasta.
Exemplu 1.3.2.Pentru polinomul f= 2X3+X2X+a, undea2
R, cu r ad acinile x1,x2 six3,  stiind c ax1+x2=3
2, s a determin am a si
r ad acinile polinomului f. Din relat iile lui Vi ete avem x1+x2+x3=1
2
 si cumx1+x2=3
2obt inemx3=2. Dinf(2) = 0 rezult aa= 10 .
Polinomul devine f= 2X3+X2X+ 10  si aplic^ and schema lui

1.3. APLICAT II ALE RELAT  IILOR LUI VI ETE 12
Horner pentru r ad acina x3=2obt inemf= (X+ 2)(2X3X+ 5).
R ad acinile x1 six2se obt in din ecuat ia 2×23x+ 5 = 0 . Avem
x1=3ip
31
4,×2=3+ip
31
4,×3=2.
Exemplu 1.3.3.Fief2R[X],f=X45X3+ 20X+ 16 , cu
r ad acinilex1;x2;x3;x42C.
(i) Calculat i sumele z2=x2
1+x2
2+x2
3+x2
4,z3=x3
1+x3
2+x3
3+x3
4,
z4=x4
1+x4
2+x4
3+x4
4,z5=x5
1+x5
2+x5
3+x5
4.
(ii) Fie  sirul (zn)n1, cu termenul general zn=xn
1+xn
2+xn
3+xn
4.
Stabilit i o formul a de recurent  a pentru acest  sir.
(iii) Determinat i un polinom g2R[X]cugrad(g) = 4 care s a
admit a r ad acinile yi=1
xi3,8i2f1;2;3;4g.
Solut ie: (i) Din relat iile lui Vi ete aplicate r ad acinilor polinomului
f, avem:S1=x1+x2+x3+x4= 5,S2= (x1+x2)(x3+x4) +
x1x2+x3x4= 0,S3=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=20,
S4=x1x2x3x4= 16 . Atunci:z2=x2
1+x2
2+x2
3+x2
4=S2
12S2= 25 .
Pentru a calcula suma z3folosim egalit at ile
x4
i5×3
i+ 20xi+ 16 = 0;8i2f1;2;3;4gechivalente cu (1.3.1)
x3
i5×2
i+ 20 +16
xi= 0;8i2f1;2;3;4g (1.3.2)
(conditiaxi6= 0 este vericata).
Prin ^ nsumarea relat iilor (1.3.2) dup aiobt inem:
z3z2+ 80 + 161
x1+1
x2+1
x3+1
x4
= 0
,z3125 + 8016S3
S4= 0
,z3= 65:
Prin ^ nsumare dup a i, relat iile (1.3.1) devinz45z3+20z2+64 = 0 ,
de undez4= 289 .^Inmult ind relat ia (1.3.1) cuxiobt inemx5
i+x4
i+
20×2
i+ 16xi= 0,i2f1;2;3;4g, care prin ^ nsumare devine z55z4+
20z2+ 16z1= 0. Deciz5= 5z420z216z1= 865 .
(ii) Relat ia (1.3.1) se mai poate scrie: xn
i5xn1
i+20xn2
i+16 = 0 ,
8i2f1;2;3;4g. Prin ^ nsumare dup a i, obt inemzn5zn1+ 20zn2+
16zn3= 0 care reprezint a relat ia de recurent  a cerut a, unde termenii
init iali sunt: z1=S1= 5,z2= 25 ,z3= 65 .

1.3. APLICAT II ALE RELAT  IILOR LUI VI ETE 13
(iii) Vom folosi echivalent a: y=1
xi3,8i2f1;2;3;4g,xi=
1+3yi
yi,8i2f1;2;3;4g,
1+3y
y4
5
1+3y
y3
+ 201+3y
y16 = 0,
(1 + 3y)4+ 5y(1 + 3y)3+ 20y3(1 + 3y)16y4= 0,10y4+ 7y3
9y27y1 = 0 . Ultima ecuat ie se scrie ~g(y) = 0 , unde ~geste
funct ia polinomial a ata sat a polinomului c autat g2R[X]. Decig=
10X4+ 7X39X27X1.

CAPITOLUL 2
Aritmetica inelelor de polinoame cu coecient i
^ ntr-un corp
Pentru o mai buna ^ nt elegere a aritmeticii ^ n inelele de polinoame,
este absolut necesar s a se cunoasc a temeinic teoria divizibilitat ii pe Z.
Aceasta din urm a, apare ^ n forme variate pe tot parcursul algebrei, dat
ind faptul c a, at^ at Zc^ at  siK[X] sunt inele euclidiene.
O clas a ce ofer a o analiz a extins a a teoriei divizibilit at ii este cea a
inelelor integre, aduc^ and rezultate care s a ^ mbog at easc a divizibilitatea
^ nZ.
^In cele ce urmeaz a, vom face referire la trei clase importante de
inele: clasa inelelor euclidiene, clasa inelelor principale  si clasa inelelor
factoriale. Not iunile furnizate cu ajutorul acestora sunt fundamentale
pentru teoria algebric a a numerelor  si teoria extinderilor de corpuri.
2.1. Divizibilitate
Consider am Run inel oarecare. Pentru acesta, denim relat ia de
divizibilitate
Definit ie 2.1.1.Dac aa;b2R, spunem c a adivideb^ nR(notat ie:
ajbsaub…a) dac a existu a c2Rastfel ^ nc^ at b=ac.
Se mai poate citi aestedivizor (uneori se spune  si factor ) al lui
b,bestemultiplu al luiasaubestedivizibil cua.
Faptul c aajb^ nRdepinde ^ n mod esent ial de inelul R.
De exemplu, 2j3 ^ nQ, dar nu  si ^ n Z! Not ama6jbdac aanu ^ l
divide peb.
Putem dezvolta teoria divizibilit at ii ^ n inele cu propriet at i ase-
man atoare cu cele ale lui Z. Astfel, inelul studiat va trebui sa e unitar,
comutativ  si f ar a divizori ai lui zero (adic a 8a;b2R, dinab= 0 rezult a
a= 0 saub= 0).
14

2.1. DIVIZIBILITATE 15
Un astfel de inel (notat ^ n continuare cu R) se nume ste inel integru
sau domeniu de integritate, denumire care provine chiar din faptul
c a propriet at ile sale sunt oarecum apropiate de cele din inelul Zal
^ ntregilor.
^In aceast a sect iune, toate inelele vor  integre, toate corpurile ce
intervin vor  presupuse comutative, iar subinelele care apar vor cont ine
elementul unitate al inelului (subinele unitare). Vom nota cu Rmult imea
Rnf0g.
Exemplu 2.1.1.Orice corp este inel integru. Teoria divizibilit at ii
^ ntr-un corp Keste trivial a:8a;b2K, are locajb(cu except ia cazului
c^ anda= 0 sib6= 0).
Orice subinel al unui inel integru este la r^ andul s au integru. ^In
particular, orice subinel al unui corp este integru. Dac a Reste inel
integru, atunci inelul de polinoame cu coecient i ^ n R,R[X], este in-
tegru.
^In inele se pot simplica factorii nenuli:
Propozit ie 2.1.1.FieRun inel integru  si a;b;c2R, cuc6= 0.
Dac aac=bc, atuncia=b.
Demonstrat ie. Avemac=bc,acbc= 0,(ab)c= 0. Nu
putem avea ab6= 0, deoarece atunci ( ab)c6= 0 din integritatea lui
R. Deciab= 0.

Relat ia de divizibilitate are urm atoarele propiet at i:
Propozit ie 2.1.2.FieRun inel integru. Atunci:
(i) Pentru orice a2Rare locaja.
(ii) Pentru orice a;b;c2Rastfel ^ nc^ at ajb sibjc, rezult aajc.
(iii) Pentru orice a2R, are locaj0 si1ja.
(iv) Oricare ar  x;y2R sia;b;c2Rastfel ^ nc^ at ajb siajc,
rezult aaj(bx+cy).

2.1. DIVIZIBILITATE 16
Relat ia de divizibilitate este a sadar o relat ie re
exiv a  sitranzi-
tiv a, adic a o relat ie de preordine peR. Relat ia de echivalent  a aso-
ciat a acestei preordini se nume ste relat ia de asociere ^ n divizibili-
tate:
Definit ie 2.1.2.Spunem c a elementele a sibdinRsuntasociate
^ n divizibilitate (pe scurt, asociate ) dac aajb sibja. Notat ie: ab.
Dac ad;a2R, spunem c a destedivizor propriu al luia(saudivide
propriu pea) dac adja sidnu este nici inversabil, nici asociat cu a.
Relat ia "" denit a mai sus este o relat ie de echivalent  a pe inelul
R si este deosebit de important a ^ nn studiul aritmeticii lui R:dou a
elemente asociate ^ n divizibilitate au acelea si propriet at i din
punct de vedere al divizibilit at ii (au aceia si divizori  si aceia si mul-
tipli). Mult imea elementelor asociate cu 1, adic a
U(R) =fx2Rj9y2Rastfel ^ nc^ at xy=yx= 1g;
are un statut special: se nume ste grupul unit at ilor luiR, deoarece,
este grup fat  a de ^ nmult irea inelului (chiar daca Rnu este comutativ).
Propozit ie 2.1.3.Fie R un inel integru. Atunci:
(i) Pentru orice u2R, avem:u2U(R),u1,uja,8a2R
,uR=R.
(ii) Pentru orice a;b2R, avem:ab,exist au2Rastfel
^ nc^ ata=bu.
Se justic a denumirea de"unit at i" dat a elementelor inversabile:
unit at ile se comport a ca  si 1(unitatea inelului) fat  a de divi-
zibilitate . De aceea, determinarea grupului unit at ilor este important a
^ n studiul divizibilit a t ii ^ n R.
Exemplu 2.1.2.(i)U(Z) =f1;1g.
(ii) Dac aKeste un corp, U(K[X]) =ff2K[X]jgrad(f) = 0g=
K.
Pe mult imea claselor de echivalent  a ^ n raport cu relat ia"" de
asociere ^ n divizibilitate, relat ia de divizibilitate"j" dene ste ^ n mod
natural o relat ie de ordine . Traduc^ and not iunile de margine inferi-
oar a (respectiv superioar a) a unei submult imi ^ ntr-o mult ime ordonat a,

2.1. DIVIZIBILITATE 17
se ajunge la not iunile clasice de cel mai mare divizor comun  sicel
mai mic multiplu comun :
Definit ie 2.1.3.FieRun inel integru, n2R sia+ 1;:::;an2R.
Spunem c a elementul ddinReste un cel mai mare divizor comun
(pe scurt, cmmdc) al elementelor a1;:::;andac a:
(i)dja1;:::;djan.
(ii) Pentru orice e2Rastfel ^ nc^ at eja1;:::;ejan, rezult aejd.
Spunem c a elementul mdinReste un cel mai mic multiplu comun
(pe scurt, cmmmc) al elementelor a1;:::;andac a satisface condit iile:
(i')a1jm;:::;anjm.
(ii') Pentru orice e2Rastfel ^ nc^ at a1je;:::;anje, rezult amje.
Observat ie 2.1.1.Pentrua1;:::;an2R, dac a exist a un cmmdc
al lord2R, atuncideste unic determinat p^ an a la o asociere ^ n
divizibilitate: dac a si eeste un cmmdc al a1;:::;an, atuncied.
Aceea si observat ie se aplic a  si pentru cmmmc.
^In continuare vom nota cu ( a1;:::;an) sau cucmmdcfa1;:::;angun
cel mai mare divizor comun al a1;:::;an, ^ n cazul ^ n care acesta exist a.
Scrieread= (a1;:::;an) semnic a faptul c a desteasociat cu un
cel mai mare divizor comun al a1;:::;an.
De exemplu, ^ n Z, putem scrie 1 = (1 ;2),  si (1;2) =1, dar aceasta
nu ^ nseamn a c a 1 = 1 (ci 11). Spunem c a a1;:::;ansuntrelativ
prime (prime ^ ntre ele) dac a  si numai dac a ( a1;:::;an) = 1,orice
divizor comun al lor este o unitate ^ n R.
Not am cu [ a1;:::;an] sau cucmmmcfa1;:::;angun cel mai mare
divizor comun al a1;:::;an, dac a exist a.
Observat ie 2.1.2.Pentru orice a2R, exist a (a;0) =a si[a;0] =
0.
Pentru un inel integru oarecare R six;y2R, nu este garantat a
existent a unui cmmdc al lor. Un inel integru Rcu proprietatea c a,
pentru orice dou a elemente x;y2R, exist a un cmmdc al lor, se numet e
GCD -inel ( Greatest Common Divisor ceea ce semnic a cel mai
mare divizor comun).

2.1. DIVIZIBILITATE 18
Vom enunt a^ n cele ce urmeaz a c^ ateva propriet at i ale celui mai mare
divizor comun  si ale celui mai mic multiplu comun:
Propozit ie 2.1.4.FieRun domeniu de integritate  si a1;:::;an,
r2Rnf0g.
(i) Dac a exist a d= (a1;:::;an), atuncia1jd;:::;anjdau cel mai
mare divizor comun egal cu 1.
(ii) Dac a exist a (a1;:::;an) =:d si exist a (ra1;:::;rann) =:e,
atuncie=rd, adic a:
(ra1;:::;ran) =r(a1;:::;an):
(iii) Dac a exist a [a1;:::;an] =:m si exist a [ra1;:::;ran] =:, atunci
=rm, adic a:
[ra1;:::;ran] =r[a1;:::;an]:
Demonstrat ie. (i) Fiexi2Rastfel ^ nc^ at ai=dxi, pentru 1
in. Evident, 1 este un divizor comun al elementelor x1;:::;xn. Dac a
e2Reste un alt divizor comun al lor, atunci deeste un divizor comun
ala1;:::;an, decidejd. De aici rezult a c a ej1.
(ii) Dinrdjrai, pentru orice i, rezult a c a rdje. Fieu2Rcue=rdu.
Ar atu am c a uj1. Fiexi;yi2Rastfel ^ nc^ at ai=xi sirai=eyi, pentru
1in. Avem, pentru orice i:rai=rdxi=rduyi. De aici rezult a
c aueste divizor comun al elementelor xi, care au cmmdc 1, conform
punctului (i).

Rezultatul urm ator este fundamental ^ n argumentele legate de di-
vizibilitate.
Corolar 2.1.1.FieRun inel integru ^ n care orice dou a elemente
au cmmdc ( GCD -inel)  sia;b;c2Rcu proprietatea c a ajbc siaeste
prim cub. Atunciajc.
Demonstrat ie. Din (a;b) = 1  si din propozit ia precedent a, punc-
tul (ii), rezult a c a ( ac;bc ) =c. Cumajac siajbc, din denit ia cmmdc
obt inemaj(ac;bc ) =c.


2.1. DIVIZIBILITATE 19
Propozit ie 2.1.5.FieRun inel integru astfel ^ nc^ at orice dou a
elemente din Rau un cmmdc. Atunci, 8a;b2R, exist a  si cmmmc al
lor[a;b] si avemab= (a;b)
[a;b]. Mai mult, pentru orice n2R,
oricenelementea1;:::;andinRau cmmdc  si cmmmc.
Demonstrat ie. Fiea;b2Rcua;b6= 0  si ed= (a;b). Exist a
x;y2Rcua=dx,b=dy. Elementul m=dxyeste un multiplu
comun al elementelor a sib. Fieun alt multiplu comun al elementelor
a sib. Exist az;t2Rastfel ^ nc^ at =az=dxz si=bt=dyt. Deci
mdivide elementele y=dxyz  six=dxyt. S tim c a exist a ( x;y ),
decimdivide  si pe ( x;y ) =(x;y) =. Aceasta arat a c a meste un
cmmmc al elementelor a sib si c aab=dm.

Pentru simplicarea exprim arii, dac a Reste inel integru, not am
R:=fx2Rjxeste nenul  si nu este inversabil g=RnU(R):
Un rol important ^ n divizibilitatea ^ n Z^ l au numerele prime .
Denit ia elementar a uzual a care se d a not iunii de num ar natural prim
este ,,num arul p >1 este prim dac a singurii s ai divizori naturali sunt
1  sip". Aceasta este de fapt not iunea de element ireductibil (se va
vedea leg atura cu not iunea de element prim denit a mai jos).
Definit ie 2.1.4.FieRun inel integru  si p2R.
(i) Spunem c a peste ireductibil (^ n R) dac ap2R sipnu are
divizori proprii:8d2R,djp)d1saudp.
(ii) Spunem c a peste prim (^ n R) dac ap2R si oricare ar
a;b2Rastfel ^ nc^ at pjab, rezult apjasaupjb.
Subliniem c a un element prim sau ireductibil este prin denit ie
nenul  si neinversabil. Se demonstreaz a imediat c a dac a peste prim  si p
divide un produs de melemente din R, atuncipdivide unul din factori.
Propozit ie 2.1.6.FieRun inel integru. Atunci orice element
prim este ireductibil.
Not iunile de element prim  si element ireductibil (care sunt echi-
valente pentru Z, dup a cum se va vedea) nu coincid ^ n general, dar
coincid pentru GCD -inele:

2.1. DIVIZIBILITATE 20
Propozit ie 2.1.7.FieRunGCD -inel. Atunci orice element ire-
ductibil ^ nReste prim ^ n R.
Demonstrat ie. Fiep2R, ireductibil  si x;y2Rastfel ^ nc^ at
pjxy. Dac apx, atunci exist a ( p;x) = 1. ^Intr-adev a ar, dac a djx si
djp, atunci este imposibil ca dp(ar rezulta pjx), decid1. Astfel,
pjxy sipeste prim cu x. Corolarul 2.1.1 ne asigur a c a pjy. 
Not iunea de divizibilitate poate  exprimat a ^ n termeni de ideale :
Propozit ie 2.1.8.FieRun inel integru, n2N sia;b;x 1;:::;xn2
R. Atunci:
(i)ajbdac a  si numai dac a RaRb. UndeRaeste idealul generat
dea:Ra=frajr2Rg=aR.
(ii)abdac a  si numai dac a Ra=Rb.
(iii)aeste inversabil dac a  si numai dac a Ra=R.
(iv)aeste prim in Rdac a  si numai dac a Raeste ideal prim.
(v)aeste ireductibil ^ n Rdac a  si numai dac a Raeste ideal ma-
ximal printre idealele principale proprii ale lui R(mai precis:
8x2Rastfel ^ nc^ at RaRx, rezult aRa=RxsauRx=R).
(vi)aeste divizor comun al x1;:::;xndac a  si numai dac a Rx 1+
:::+RxnRa.
(vii) Dac a Rx 1+:::+Rxn=Ra, atuncia= (x1;:::;xn).
(viii)aeste multiplu comun al x1;:::;xndac a  si numai dac a Rx 1\
:::\RxnRa.
(ix)a= [x1;:::;xn]dac a  si numai dac a Rx 1\:::\Rxn=Ra.
Demonstrat ie. (i)ajb,exist ac2Rcub=ca,b2Ra,
RbRa.
(v) ) Presupunem c a aeste ireductibil. Dac a Rxeste un ideal
principal propriu al lui Rastfel ^ nc^ at RaRx, rezult a c a xja. Cum
anu are divizori proprii, xeste asociat cu asauxeste o unitate.
Darxnu poate  o unitate, c aci Rxnu coincide cu inelul R. Astfel
xa, adic aRx=Ra. Reciproc, dac a Rxe maximal printre idealele
principale proprii, iar d2Reste un divizor al lui a, atunciRaRd,
deciRd=RasauRd=R. Aceasta ^ nseamn a c a dasaud1.

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 21
(vii) Din (vi) rezult a c a aeste divizor comun al x1;:::;xn. Fied2R
un alt divizor comun al lor. Cum a2Rx 1+:::+Rxn,9c1;:::;cn2R
cua=c1x1+:::+cnxn. Dindjx1;:::;djxnrezult a c adja.

2.2. Algoritmul lui Euclid, teorema fundamental a a
aritmeticii
Un rol esent ial ^ n studiul aritmeticii lui Z^ l are teorema ^ mp art irii
cu rest:
Teorem a2.2.1 (Teorema^ mp art irii cu rest) .Pentru orice a;b2Z,
cub6= 0, exist aq;r2Z, astfel ^ nc^ at a=bq+r sijrj<jbjsaur= 0.
Aceast a teorem a are drept consecint  a dou a teoreme fundamentale
inZ
Teorem a2.2.2.Orice ideal al lui Zeste principal (este de forma
nZ, cun2Z).
Teorem a2.2.3 (Teorema fundamental a a aritmeticii sau Teorema
de descompunere unic a ^ n factori primi) .Orice num ar ^ ntreg nenul  si
neinversabil se poate scrie ^ n mod unic ca un produs nit de numere
^ ntregi prime (unicitatea ind ^ nt eleas a p^ an a la ordinea factorilor  si la
o asociere a lor ^ n divizibilitate).
Prin abstractizarea teoremei se obt in not iunile generale de inel
Euclidian ,inel principal  siinel factorial .
Definit ie 2.2.1.Un inel integru Rse numet e inel euclidian dac a
exist a o funct ie ':R!Rastfel ^ nc^ at: pentru orice a;b2Rcub6= 0,
exist aq;r2Rcu propriet at ile:
a=bq+r si(r= 0 sau'(r)<'(b)):
Vom spune ^ n acest caz c a Reste inel euclidian fat  a de funct ia '.
Proprietatea din denit ie este cunoscut a sub numele de ,,teorema
^ mp art irii cu rest ^ n R";qeste numit c^ at, iarrrest al ^ mp art irii lui a
prinb. Denit ia de mai sus e inspirat a din teoremele corespunz atoare
din inelul Z(unde rolul funct iei 'este jucat de valoarea absolut a pe Z),

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 22
respectiv din inelele K[X] cuKcorp, unde'este funct ia grad. Aceste
inele constituie  si cele mai importante exemple de inele euclidiene.
Cea mai cunoscut a metoda de determinare a celui mai mare divizor
comun este Algoritmul lui Euclid.
Teorem a2.2.4.FieRun inel euclidian  si a;b2R, cub6= 0.
Atunci exist a un cmmdc dal elementelor a sib.^In plus, exist a u;v2R
astfel ^ nc^ at d=au+bv.
Demonstrat ie. Fie urm atorul  sir de ^ mp art iri cu rest ^ n R(,,Al-
goritmul lui Euclid"):
(1)a=bq1+r1cur1= 0 sau'(r1)<'(b)
(2)b=r1q2+r2cur2= 0 sau'(r2)<'(r1)
(3)r1=r2q3+r3cur3= 0 sau'(r3)<'(r2)
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
(n2)rn4=rn3qn2+rn2curn2= 0 sau'(rn2)<'(rn3)
(n1)rn3=rn2qn1+rn1curn1= 0 sau'(rn1)<'(rn2)
(n)rn2=rn1qn+rncurn= 0
Existent a elementelor qi;ri2Rcu propriet at ile specicate este
asigurat a la ecare pas de denit ia inelului euclidian. ^Intruc^ at  sirul
de numere naturale '(b);'(r1);'(r2);:::este strict descresc ator, exist a
n2Rcurn= 0 (algoritmul se termin a dup a un num ar nit de pa si).
Arm am c a rn1(,,ultimul rest nenul") este cmmdc al lui a sib.
Din relat ia ( n) avemrn1jrn2. Relat ia (n1) arat a c a rn1jrn3.
Folosind ^ n continuare egalit at ile ( n2);:::;(3);(2);(1), obt inem c a
rn1jb sirn1ja. Fie acum e2Run divizor comun al elementelor a si
b; atuncieva divide  si pe r1=abq1. Din relat ia (2), obt inem c a
ejr2=br1q2.
Prin induct ie rezult a c a ejripentru orice i<n , deciejrn1.
Pentru a obt ine scrierea lui d=rn1sub formaau+bv, observ am
c ar1=abq1.
^Inlocuindr1^ n (2), obt inem scrierea lui r1sub formaau0+bv0 si
a sa mai departe.

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 23
Urm atorul algoritm (numit algoritmul extins al lui Euclid) reali-
zeaz a acest lucru (la ecare pas variabilele u sivsunt calculate astfel
^ nc^ at ultimul rest g asit este au+bv):
Se dau :a;b2R.Se obt in :d= (a;b)2R siu;v2Rastfel
^ nc^ atd=au+bv.
^Incepe
Dac ab= 0, atunci d:=a;u:= 1,v:= 0; Stop .
Altfelu1:= 1;v1:= 0;u:= 0;v:= 1;
Pas 1. G ase ste q;r2Rcua=bq+r sir= 0 sau'(r)<'(b);
Dac ar= 0, atunci pune d:=b;Stop . Altfela:=b;b:=r;u1:=
u1q
u;v1:=v1q
v;
t:=u;u:=u1;u1:=t; ,,aici se schimb a ^ ntre ele cuplurile ( u;v)  si
t:=v;v:=v1;v1:=t; (u1;v1)"
Mergi la Pas 1.
Sf^ ar sit

Exemplu 2.2.1.(i)Zeste un inel euclidian fat  a de funct ia ,,va-
loarea absolut a". C^ atul  si restul unei ^ mp art iri cu rest nu sunt unic
determinate: de exemplu, 3 = 2
1 + 1 = 2
2 + (1).
(ii) FieKun corp. Inelul K[X]este euclidian fat  a de funct ia
grad :K[X]nf0g!R. Inelele Z siK[X]sunt cele mai importante
exemple de inele euclidiene.
Definit ie 2.2.2.Un inel integru Rse nume ste inel principal dac a
orice ideal al inelului Reste principal. Cu alte cuvinte, oricare ar
idealulIal luiR, exist aa2Rastfel ^ nc^ at I=Ra.
Orice corp Keste inel principal (singurele sale ideale sunt 0  si K).
Exemple importante de inele principale sunt furnizate de urm atoarea
teorem a.
Teorem a2.2.5.Orice inel euclidian este inel principal.
Demonstrat ie. FieRun inel euclidian fat  a de funct ia ' siIun
ideal nenul al lui R. Fief'(x)jx2I;x6= 0g, submult ime nevid a a
luiR. Aceast a submult ime are cel mai mic element, e acesta '(a),
cua2I,a6= 0 (apoate s a nu e unic determinat). Demonstr am c a

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 24
I=Ra. Evident,RaI. Pentru incluziunea invers a, presupunem c a
exist a un element b2InRa. Din teorema ^ mp art irii cu rest, exist a
q;r2Rcu proprietatea c a b=aq+r,rnot = 0 (c acib62Ra)  si
'(r)< '(a). Cuma;b2I, rezult a c a r2I.^Ins a'(r)< '(a)
contrazice alegerea lui a.

Astfel, dac a Keste corp, inelul K[X] este principal. Fiind dat un
idealI6= 0 ^ nK[X], un generator al lui Ieste un polinom g2Ide
grad minim printre gradele polinoamelor nenule din I.
Inelele principale sunt GCD -inele; oricare ar  a;b2R, exist a un
cmmdc al lor, anume orice generator al idealului aR+bR:
Propozit ie 2.2.1.FieRun inel principal  si a;b2R. Atunci:
(i) Elementul d2Reste un cmmdc al a sibdac a  si numai dac a
dR=aR+bR.^In particular, exist a un cmmdc d al lui a sib
 si exist au;v2Rastfel ^ nc^ at d=au+bv.
(ii) Elementul d2Reste un cmmmc al a sibdac a  si numai dac a
dR=aR\bR.
Demonstrat ie. (i)Rind inel principal, exist a un generator dal
idealuluiaR+bR=fax+byjx;y2Rg. Atuncia;b2dR, decidja,
djb. Dac ae2Rastfel ^ nc^ at eja,ejb, atunciejax+by;8x;y2R.^In
particular,ejd. Astfel,deste un cmmdc al a sib. Reciproc, dac a deste
un cmmdc al a sib, rezult a c a dja sidjb, decidRaR sidRbR,
adic adRaR+bR. Fieeun generator al idealului a R+bR. Cum
eja,ejb, rezult a c a ejd, adic ad2eR=aR+bR.

Propozit ia de mai sus justic a notat ia ( a;b), folosit a at^ at pentru
cmmdc al elementelor a sib, c^ at  si pentru idealul generat de a sib,
aR+bR.
Exemplu 2.2.2.FieRun inel integru care nu e corp  si r2R,
nenul, neinversabil. Atunci idealul (r;X)al ineluluiR[X]nu este prin-
cipal, deci inelul R[X]nu este principal. ^Intr-adev ar, presupunem c a
exist af2R[X]cu(f) = (r;X). Atunci rezult a c a fjr. Trec^ and la
grade, obt inem c a gradf = 0, adic af2R. DinfjX, adic a exist a

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 25
g2R[X]cuX=fg, avem c afeste inversabil ^ n R. Deci cmmdc
al luir siXeste 1. Dar idealul generat de r siXnu cont ine pe 1,
c aci altfel ar exista h;q2R[X]astfel ^ nc^ at 1 =hr+qX. Pun^ and
X= 0 ^ n aceast a egalitate de polinoame, rezult a 1 =h(0)
r, adic ar
este inversabil, contradict ie.
^In particular, inelele Z[X];K[X;Y ] cuKcorp nu sunt principale.
Deci, proprietatea ,,dac a a;b2R si exist ad= (a;b), atunci exist a
u;v2Rastfel ^ nc^ at d=au+bv" este fals a ^ n inele care nu sunt
principale. De exemplu, ^ n K[X;Y ], avem (X;Y ) = 1, dar 1 nu se
poate scrie ca X
u+Y
v, cuu;v2K[X;Y ].
T  in^ and cont de faptul c a inelele principale sunt GCD -inele avem:
Propozit ie 2.2.2.^Intr-un inel principal, not iunile de element ire-
ductibil  si element prim coincid.
Corolar 2.2.1.^Intr-un inel principal Ridealele prime nenule sunt
ideale maximale. Orice ideal maximal este de forma pR, undepeste
ireductibil ^ n R. Un element p2Reste ireductibil dac a  si numai dac a
pReste ideal maximal.
Demonstrat ie. Este sucient s a observ am c a orice ideal prim ne-
nul este principal, generat cu necesitate de un element prim p.Elemen-
tulpeste ireductibil, deci idealul pReste maximal. Celelalte armat ii
sunt evidente, t in^ and cont de faptul c a Reste principal.

Cazul particular R=Zal teoremei urm atoare este cunoscut sub
numele de ,,Teorema fundamental a a aritmeticii". Reamintim c a R=
fx2Rjxeste nenul  si nu este inversabil g.
Lema2.2.1.FieRun inel principal  si (rn)n0un  sir de elemente
dinRastfel ^ nc^ at rnRrn+1R, pentru orice n2R. Atunci exist a
m2Rastfel ^ nc^ at rmR=rm+iR, pentru orice i2R. (Orice  sir
ascendent de ideale este stat ionar).
Demonstrat ie. FieIreuniunea idealelor rnR,n2R. Se arat a
imediat c aIeste ideal ^ n R. CumReste principal, exist a a2Rastfel

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 26
^ nc^ atI2aR.^Intruc^ ata2I, exist am2Nastfel ^ nc^ at a2rmR, adic a
aR=rmR. DecirmR=aR=I=rm+iR,8i2R.

Teorem a2.2.6.FieRun inel principal. Atunci orice element
nenul  si neinversabil din Rse poate scrie ca un produs nit de elemente
prime.
Demonstrat ie. Presupunem c a exist a r02Rastfel ^ nc^ at rnu
se poate scrie ca un produs nit de elemente prime (sau, echivalent,
ireductibile, c aci Reste principal). ^In particular, r0nu este ireductibil,
decir0=r1s1, cur1s12R, neasociate cu r0. Dac ar1 sis1sunt
produse nite de ireductibile, atunci r0este produs de ireductibile,
fals.
Deci m acar unul dintre ele (e acesta r1) nu se scrie ca produs de
elemente ireductibile. ^Inlocuind ^ n rat ionamentul de mai sus pe r0cu
r1, rezult a c a exist a r22R,r2jr1,r26=r1. Proced^ and recursiv, rezult a
existent a unui  sir ( rn)n0de elemente din R, astfel ^ nc^ at pentru orice
n2R,rn+1este un divizor propriu al lui rn. Altfel spus, am obt inut un
 sir innit strict cresc ator de ideale r0Rr1R:::rnR:::. Dar
acest lucru este imposibil ^ ntr-un inel principal, t in^ and cont de Lemma
2.2.1.

Definit ie 2.2.3.Un inel integru Rcu proprietatea c a orice element
nenul  si neinversabil se scrie ca un produs nit de elemente prime
se nume ste inel factorial sau inel cu descompunere unic a ^ n factori
(primi). ^In literatura anglo-saxon a, astfel de inele sunt numite Unique
Factorization Domains (UFD).
Din Teorema 2.2.6 rezult a c a inelele principale (deci  si cele eucli-
diene) sunt factoriale. Orice corp este inel factorial, c aci nu are ele-
mente nenule  si neinversabile.
Propozit ie 2.2.3.^Intr-un inel factorial Rorice element ireductibil
este prim.
Demonstrat ie. Fiepireductibil. Cum p2R,peste un produs
de elemente prime. Acest produs nu poate avea dec^ at un factor, altfel

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 27
elementulpar admite divizori proprii. Cu alte cuvinte, peste el ^ nsu si
prim.

Propozit ia urm atoare justic a  si precizeaz a denumirea de inele cu
descompunere unic a ^ n factori primi, care se mai d a inelelor factoriale.
Propozit ie 2.2.4.FieRun inel integru  si r2R. Dac aradmite
o descompunere ^ n factori primi, atunci aceast a descompunere este unic
determinat a p^ an a la o ordine a factorilor  si p^ an a la o asociere a aces-
tora ^ n divizibilitate. Mai precis, dac a r=p1:::pn=q1:::qmsunt dou a
scrieri ale lui rca produse de elemente prime, atunci m=n si exist a
o permutare a mult imiif1;:::;ngastfel ^ nc^ at pis a e asociat ^ n
divizibilitate cu q(i);8i2f1;:::;ng.
Demonstrat ie. Demonstr am armat ia propozit iei prin induct ie
dup an.
Dac an= 1, atunci r=p1=q1:::qm, cup1;q1;:::;qmprime. Deci
reste prim  si divide q1:::qm; rezult a c a rdivide unul din factori, e
acesta (dup a o eventual a renumerotare) q1.^Intruc^ atq1este ireductibil,
rezult a c arq1, adic ar=q1u, cuuinversabil. Dac a m2, din
egalitateaq1u=q1q2:::qm, obt inemq2;:::;qm= 1, adic a q2;:::;qmsunt
inversabile, contradict ie. Deci m= 1.
Fien > 1  si presupunem c a armat ia este adev arat a pentru orice
x2Rcare admite o descompunere ^ n factori primi cu mai put in de
nfactori. Fie r2Rcur=p1:::pn=q1:::qm, cup1;:::;pn;q1;:::;qm
prime. Din faptul c a pneste prim, rezult a c a exist a i2 f1;:::;ng
astfel ^ nc^ at pnjqi. Cumqieste ireductibil, rezult a c a pnqi, adic a
vpn=qi, cuvinversabil. Simplic^ and prin pn, obt nemp1:::pn1=
vq1:::qi1qi+1:::qm. Putem acum aplica ipoteza de induct ie pentru pro-
dusulp1:::pn1 si se obt ine c a n1 =m1  sip1;;pn1sunt asociate
cuq1;:::;qi1;qi+1;:::;qm, eventual ^ n alt a ordine.

Teorem a2.2.7.FieRun inel integru. Urm atoarele armat ii sunt
echivalente:
(i)Reste inel factorial.

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 28
(ii) Orice element din Reste un produs de elemente ireductibile
 si orice element ireductibil este prim.
(iii) Orice element din Rare o descompunere ^ n factori ireducti-
bili, unic a p^ an a la ordinea factorilor  si p^ an a la o asociere ^ n
divizibilitate a acestora.
(iv) Orice element din Rare o descompunere ^ n factori ireductibili
 si orice dou a elemente au un cmmdc.
Demonstrat ie. (i))(ii) Reiese din Propozit ia 2.2.3.
(ii))(iii) Rezult a din Propozit ia 2.2.4.
(iii))(iv) Fiea;b2R(dac aa;bsunt nule sau inversabile, exist a
evident un cmmdc al lor). Pentru a g asi un cmmdc al elementelor a sib,
se folose ste procedeul de determinare a cmmdc^ nv at at^ n gimnaziu: ,,se
iau factorii primi comuni la puterea cea mai mic a". Trebuie ^ ns a put in a
atent ie la asocierea^ n divizibilitate. Fie Pun sistem de reprezentant i ai
claselor de echivalent  a ale elementelor ireductibile din R(^ n raport cu
relat ia de asociere ^ n divizibilitate). Aceasta ^ nseamn a c a orice element
ireductibil din Reste asociat cu exact un element din P. Atunci exist a
 si sunt unic determinate p1;:::;pn2P, distincte, s1;:::;sn;t 1;:::;tn2
R,u;v2U(R) astfel ^ nc^ at a=ps1
1psnnu sib=pt1
1:::ptnnv. Faptul c a
aceste elemente sunt unic determinate rezult a imediat din unicitatea
descompunerilor ^ n R. Fieri= min(si;ti)  si denim d=pr1
1:::prnn.
Se observ a c a dja,djb. Dac aeja,ejb, atunci orice factor ireductibil
c2Pcare ^ l divide pe edivide pea si peb. Aceasta implic a c2
fp1;:::;png, c aci altfel a(saub) ar avea dou a descompuneri ^ n factori
ireductibili, dintre care una ^ l cont ine pe c, iar cealalt a nu, ceea ce
contrazice unicitatea descompunerilor. Deci eeste de forma pw1
1:::pwnnq
, cuw1;:::;wn2R,q2U(R). Dinejarezult a c awisi, iar dinejb
rezult a c awiti,i=1;n. Deciwiri siejd.
(iv))(i) Folosind faptul c a orice element ireductibil este prim,
deoareceResteGCD -inel implicat ia este evident a.

^Intr-un inel factorial Rorice dou a elemente a sibau un cmmmc,
produsul ,,factorilor primi comuni  si necomuni la puterea cea mai mare".

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 29
Cu notat iile din demonstrat ie, se dene ste qi= max(si;ti), iar elemen-
tulm=pq1
1:::pqn
1este un cmmmc al lui a sib.
Proprietatea urm atoare apare adesea ^ n rat ionamentele privind di-
vizibilitatea:
Propozit ie 2.2.5.FieRun inel factorial, n2N sia;b 1;:::;bn2
R. Dac aaeste prim cu orice bi,1in, atunciaeste prim cu
produsulb1:::bn.
Demonstrat ie. Vom ar ata c a nu exist a nici un element prim p
care s a divid a at^ at pe ac^ at  si produsul b1:::bn. Dac apeste un astfel de
element, atunci exist a j, 1jnastfel ^ nc^ at pjbj. Cumpja, rezult a
c apj(a;bj) = 1. Deci peste inversabil, contradict ie.

Vom demonstra urm atorul rezultat important privitor la inelele de
polinoame:
Teorem a2.2.8.Dac aReste inel factorial, atunci inelul de poli-
noameR[X]este inel factorial.
Pentru demonstrat ie este nevoie de c^ ateva rezultate auxiliare.
Definit ie 2.2.4.FieRun inel factorial  si f=a0+a1X+:::+
anXn2R[X]. Cmmdc al coecient ilor a0;a1;:::;aneste numit cont inutul
polinomului f, notatcffg. Un polinom cu cont inutul asociat cu 1se
nume ste polinom primitiv .
Polinomulfeste primitiv dac a  si numai dac a nu exist a pprim ^ nR
astfel ^ nc^ at ps a divid a tot i coecient ii lui f. Orice polinom f2R[X]
se poate scrie sub forma f=cffg
f0, undef0este polinom primitiv.
Reciproc, dac a f=a
f0, cua2R sif0primitiv, atunci a=cffg.
Propozit ie 2.2.6. (i) FieRun inel integru. Dac a peste un
element prim ^ n R, atuncipeste prim  si ^ n R[X].
(ii)(Lema lui Gauss) FieRun inel factorial  si f;g2R[X]dou a
polinoame primitive. Atunci  si produsul fgeste polinom pri-
mitiv.
(iii) FieRun inel factorial  si f;g2R[X]. Atuncicffgg=cffg

cfgg.

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 30
Demonstrat ie. (i) Remarc am mai ^ nt^ ai c a pdivide un polinom
^ nR[X] dac a  si numai dac a pdivide tot i coecient ii polinomului. Fie
f=a0+a1X+:::+anXn,g=b0+b1X+:::+bmXm2R[X] astfel
^ nc^ atpf sipg. S a demonstr am c a pfg. Dinpfrezult a c a
exist ai, 0in, astfel ^ nc^ at pai. Alegemiminim cu aceast a
proprietate. La fel, e jminim astfel ^ nc^ at pbj. Atunci coecientul
luiXi+j^ n produsul fgeste
X
k+l=i+jakbl:
^In aceast a sum a, aibjnu este divizibil cu p, iar ceilalt i termeni sunt
divizibili cu p, ind produse de doi factori dintre care m acar unul este
divizibil cu p. Deci coecientul lui Xi+jnu este divizibil cu p si nici
polinomulfgnu este.
(ii) Dac afgnu ar  polinom primitiv, atunci ar exista p2R,
prim, astfel ^ nc^ at pjfg. Din punctul precedent obc tinem c a pjfsau
pjg, contradict ie.
(iii) Fief=cffg
f0,g=cfgg
g0, undef0 sig0sunt polinoame
primitive. Atunci
fg=cffgcfgg
f0
g0;
cuf0g0polinom primitiv din (ii). Este clar acum ca cffgg=cffgcfgg.

Propozit ie 2.2.7.FieRun inel factorial, Kcorpul s au de fract ii
 sif2R[X],gradf1. Atuncifeste ireductibil ^ n R[X]dac a  si
numai dac a feste primitiv  si este ireductibil ^ n K[X].
Demonstrat ie. Fiefireductibil ^ n R[X]. Atunci este clar c a f
este primitiv. S a ar at am c a feste ireductibil^ n K[X]. Dac af=gh, cu
g;h2K[X], atunci, ^ nmult ind cu cmmmc al numitorilor coecient ilor
polinoamelor g sih, obt inem o relat ie de forma af=g1h1, cug1,
h12R[X],a2R. Trec^ and la cont inutul polinoamelor, avem a=
cfg1gcfh1g, c acicffg= 1. Fieg1=cfg1g
g2,h1=cfh1g
h2, unde
g2,h2sunt polinoame primitive. Deci, af=cfg1g
cfh1g
g2
h2;
simplic^ and prin a, obt inemf=g2h2. Ireductibilitatea lui fimplic a
gradg 2= 0 (de exemplu). Cum gradg =gradg 1=gradg 2, rezult a
gradg = 0.

2.2. ALGORITMUL LUI EUCLID, TEOREMA FUNDAMENTAL A A ARITMETICII 31
Reciproc, dac a f2R[X] este ireductibil ^ n K[X], nu are divizori
proprii (de grad1) ^ nK[X]; cu at^ at mai mult nu are divizori de
grad1 ^ nR[X]. Dac afeste  si primitiv, nu are nici factori de grad
0 neinversabili, deci este ireductibil ^ n R[X].

Observat ie 2.2.1.Propozit ia are o important  a practic a: studiul
ireductibilit at ii unui polinom ^ n K[X]se reduce la ireductibilitatea ^ n
R[X], ^ n principiu mai abordabil a.
Teorema 2.2.8. Ar at am mai^ nt^ ai c a^ n R[X] orice ireductibil este
prim: ef2R[X], ireductibil. Dac a fjgh, cug;h2R[X], din faptul
c afeste ireductibil ^ n K[X] (deci  si prim ^ n K[X]) rezult a c a fjg
saufjh^ nK[X]. Presupunem c a fjg^ nK[X]; exist a deci a2R,q2
R[X] astfel ^ nc^ at ag=fq. Trec^ and la cont inutul polinoamelor, avem
a
cfgg=cfqg. Scriind c a q=cfqg
q0,g=cfgg
g0, cuq0,g0primitive
^ nR[X], obt inemacfgg
g0=f
cfqg
q0; simplic^ and prin cfqg=acfgg,
rezult ag0=fq0, adic afjg^ nR[X].
R am^ ane de ar atat c a orice fnenul  si neinversabil din R[X] este
un produs de ireductibile. Vom demonstra aceasta prin induct ie dup a
gradf . Dac agradf = 0, atunci f2R si deci are o descompunere ^ n
factori ireductibili^ n R, care r am^ an ireductibili^ n R[X]. Dac agradf =
0, ef=cffgf0, cuf0primitiv; este sucient s a g asim o descompunere
pentruf0. Dac af0este ireductibil, am terminat; dac a nu, f0are un
divizor propriu ^ n R[X], care este un polinom de grad strict mai mic
dec^ atgradf (f0nu are divizori proprii ^ n R, deoarece este primitiv).
^In concluzie, f0=gh, cug;h2R[X], de grade strict mai mici dec^ at
gradf . Aplic^ and ipoteza de induct ie pentru g sih, rezult a c a f0este
un produs de factori ireductibili ^ n R[X].

Deci inelele Z[X];Z[X1;:::;Xn ];K[X1;:::;Xn ] cuKcorp sunt
inele factoriale.

CAPITOLUL 3
Ireductibilitatea ^ n inelele de polinoame
Am ar atat ^ n capitolul anterior c a aritmetica inelului K[X] este , ^ n
esent  a, aceea si cu cea a inelului Zal numerelor ^ ntregi. S tim c a, pentru
orice num ar ^ ntreg a>1 exist a numerele prime pi>0, 1in, unic
determinate,astfel ^ nc^ at a=p1p2:::pn, rezultat cunoscut sub numele de
Teorema fundamental a a aritmeticii . Un rezultat asem an ator are loc
 si pentru polinoamele cu coecient i ^ ntr-un corp comutativ K, unde
locul numerelor prime este luat de polinoamele ireductibile.
3.1. Polinoame ireductibile cu coecient i reali  si complec si
^In cazul^ n care corpul de referint  a este RsauC(K=C,sauK=R)
, polinoamele ireductibile ^ n K[X] sunt denite cu ajutorul urm atoarei
teoreme.
Teorem a3.1.1 (Teorema fundamental a a algebrei ) .Orice poli-
nomf2C[X]cugradf1se poate descompune ^ n factori liniari ^ n
C[X].
Corolar 3.1.1.Singurele polinoame ireductibile ^ n C[X]sunt cele
de gradul 1.
In ceea ce priveste polinoamele cu coecient i reali, acestea au urm atoarea
proprietate: dac a 2CnReste r ad acina a polinomului f2R[X],
atunci conjugata ei notat a este r ad acin a a lui f si are acela si ordin
de multiplicitate ca .
Corolar 3.1.2.Polinoamele ireductibile din R[X]sunt cele de gra-
dul ^ nt^ ai sau cele de gradul doi care au discriminantul (
-delta) negativ
.
Demonstrat ie. Fief2R[X] un polinom ireductibil de grad 2.
S tim c afare cel put in o r ada cin a ^ n CnR.
32

3.2. FRACT II RAT IONALE 33
Dar cumfeste cu coecient i reali rezult a c a are  si r ad acina ,
decifare divizori ^ n C[X] ,adic a se divide cu un polinom gde forma
g= (X)(X),g2R[X].
^Imp art ind polinomul fla polinomul gvom obt ine c^ atul un polinom
cu coecient i reali. Cum la ^ nceput am luat fireductibil , deducem c a
f=ag, unde2R. Din aceasta rezult a ^ n mod evident c a discrimi-
nantul luigeste negativ.

3.2. Fract ii rat ionale
Definit ie 3.2.1.Corpul de fract ii, K(X), al domeniului de inte-
gritateK[X]se nume ste corpul fract iilor rat ionale ^ n nedeterminata X
cu coecient i ^ n K.
Altfel spus , o fract ie rat ional a este c^ atul a dou a polinoame f;g2
K[X],g6= 0.
Dou a fract ii rationalef
g sif0
g0sunt egale dac a f0g=fg0.
Operat iile cu fract ii rat ionale se realizeaz a exact ca operat iile cu
numere rat ionale.
Definit ie 3.2.2.O fract ie rat ional af
gse nume ste ireductibil a dac a
num ar atorul  si numitorul sunt polinoame prime ^ ntre ele.
^In mod evident , orice fract ie rat ional a se poate simplica p^ an a
c^ and devine egal a cu o fract ie ireductibil a.
Definit ie 3.2.3.O fract ie rat ional a ireductibil a se nume ste regu-
lat a dac a gradul num ar atorului este strict mai mic dec^ at gradul numi-
torului.
Vom considera 0 ca ind fract ie regulat a. Prin urmare orice fract ie
rat ional a se poate aduce la forma unei sume dintre un polinom  si o
fract ie regulat a.
^Intr-adev ar, dac a avemf
go fract ie rat ional a, exist a polinoamele
q;r2K[X] astfel ^ nc^ at f=gq+r sir= 0 saugradr<gradg .
Atunci putem scrie
f
g=q+r
g
 sir
geste fract ie regulat a.

3.2. FRACT II RAT IONALE 34
Definit ie 3.2.4.O fract ief
gse nume ste simpl a dac a geste o putere
pa unui polinom ireductibil, iar feste de grad strict mai mic dec^ at
gradul luip.
Demonstr am pe baza acestei denit ii urm atoarea teorem a:
Teorem a3.2.1.Orice fract ie rat ional a regulat a se descompune
^ ntr-o sum a nit a de fract ii rat ionale simple.
Demonstrat ie. Consider am mai ^ nt^ ai o fract ie rat ional a regulat a
fcu polinoamele g,hprime^ ntre ele. Atunci exist a overlineu;v2K[x]
astfel ^ nc^ at ug+vh= 1.
Inmult ind aceast a egalitate cu frezult af=g(uf) +h(vf):
Fieurestul ^ mpart irii lui uflah. Atunci obt inem egalitatea ug+
vh=f, ^ n caregradu<gradh .
Dar cum polinomul faregradf <gradgh , rezult a c a  si polinomul
vhare gradul strict mai mic dec^ at gradul lui gh, decigradv<gradg .
Atunci
f
gh=u
h+v
g
 sigradu < gradh ,gradv < gradg , deci fract iileu
h siv
gsunt fract ii
rat ionale regulate.
^In continuare, dac a cel put in unul dintre numitorii h,gse pot des-
compune ^ n produs de dou a polinoame prime ^ ntre ele, atunci putem
realiza o nou a descompunere ^ n sum a de fract ii regulate.
Continu^ and acest procedeu se poate obt ine descompunerea unei
fract ii regulatef
gcu numitorul g=p1
1
p2
2
:::
pl
lundep1;p2;:::;pl
sunt factori ireductibili diferit i  si 1;2;:::;l>0, astfel:
f
gu1
p1
1+u2
p2
2+:::+ul
pl
l:
Evident iem acum cazul unei fract ii regulate de forma u, undepeste
polinom ireductibil  si  > 0. Aplic^ and succesiv teorema ^ mp art irii cu

3.2. FRACT II RAT IONALE 35
rest, obt inem egalit at ile:
u=p1q1+u1
u1=p2q2+u2
::: ::: :::::::::::::::
u2=pq1+u1;
undegradu<gradp,gradu 1<p1,…,gradu1<gradp .
Din egalit at ile de mai sus rezult a c a gradqi<gradp , pentru orice i
u
p=u1
p+q1
p1+:::+q2
p2+q1
p;
Prin urmare am obt inut descompunerea luiu
pca sum a de fract ii
simple. O consecint  a la aceast a teorem a o reprezint a un rezultat pre-
zentat f ar a demonstrat ie ^ n clasa a XII-a la analiz a matematic a, pe
baza c aruia se calculeaz a primitivele funct iilor rat ionale.
Corolar 3.2.1.Orice fract ie rat ional a regulat a cu coecient i reali
se poate descompune ^ nntr-o sum a de fract ii rat ionale de forma
1
(Xa)n;AX+B
(X2+bX+c)m
undem,nsunt numere naturale nenule, a;b;c;A;B2R sib2
4ac< 0.
Observat ie 3.2.1.Scrierea unei fract ii rat ionale regulate ^ n sum a
de fract ii rat ionale simple este unic a.


Bibliograe
[1] D. Bu sneag, D. Piciu, Lect ii de algebr a , Editura Universitarea, Craiova, 2002.
36