SPECIALIZAREA MATEMATIC Ă DEICATICĂ LUCRARE DE DISERTAȚIE ÎNDRUMĂTOR: Lect. dr. Alina Mihaela Patriciu ABSOLVENT Matei Ionela Rodica IULIE 2019 2… [621884]

1
UNIVERSITATEA ”DUNĂREA DE JOS” DIN GALAȚI
FACULTATEA DE ȘTIINȚE ȘI MEDIU
SPECIALIZAREA MATEMATIC Ă DEICATICĂ

LUCRARE DE DISERTAȚIE

ÎNDRUMĂTOR:
Lect. dr. Alina Mihaela Patriciu

ABSOLVENT: [anonimizat] 2019

2
UNIVERSITATEA ”DUNĂREA DE JOS” DIN GALAȚI
FACULTATEA DE ȘTIINȚE ȘI MEDIU
DOMENIU L: MATEMATICĂ
SPECIALIZAREA: MATEMATICĂ DIDACTICĂ

Metoda reducerii la absurd în
matematica școlară

ÎNDRUMĂTOR:
Lect. dr. Alina Mihaela Patriciu

ABSOLVENT: [anonimizat] 2019

3

Cuprins

INTRODUCER E

CAPITOLUL I.

1.1 NOȚIUNI GENERALE

CAPITOLUL II

2.1 ALGEBRA
2.2 PROBLEME ALGEBRA

CAPITOLUL III
3.1 GEOMETRIE
3.2 PROBLEME GEOMETRIE

Bibliografie

4
INTRODUCERE

Matematica este una dintre cele m ai vechi științe , fiind legată la început de conceptele de
număr , mărime și formă .
În Grecia Antică , matematica a constat într -o rafinare a metodelor , în special prin
introducerea de raționamente deductive și de rigoare matemat ică în demonstrații și a extins
subiectul de studio al matematicii .
Metoda reducerii la absurd , se bazează pe o lege fundamentală în logica matematică .
numită legea țerțului exclus , care are enunțul următor “Din două propoziții contradictorii , una
este adevărată , cealaltă falsă , iar a treia posibilitate nu există ” . Legea țerțului exclus nu
precizează care propoziție este adevărată și care este falsă . Aceasta metodă constă în a admite în
mod provizoriu , drept adevărată propoziția contradictorie c erinței unei probleme , urmând ca pe
baza acestei presupuneri să deduce o serie de consecințe care duc la un rezultat contrar unui
adevăr cunoscut , sau absurd , prin contrazicerea ipotezei problemei date . ??

5

CAPITOLUL I

1.1 NOȚIUNI GENERALE

Metoda reducerii la absurd este folosită de elevi încă din primele clase de gimnaziu . În
ciuda aparenței simplității , permite rezolvarea unor probleme interesante cu dificultate
ridicată din ramuri variate ale matematicii . Reducerea la absurd este un procedeu prin care
dovedim că o propoziție este adevarată , în mod indirect , arătând că negația ei , ,
este falsă . Demonstrația prin reducere la absurd este numită și demonstrație indirectă .
Practic , pentru a arăta că propoziția este adevărată , presupunem că ea ar fi falsă , apoi
analizând consecințele acestei presupuneri , arătăm că se ajunge la un rezultat absurd sau
contradictoriu . Contradicția obținută arată că nu poate fi falsă . Invers , dacă avem de
demonstrat că propoziți a este falsă , presupunem că ea ar fi adevarată și arătăm că această
presupunere conduce la o contradicție .
Suportul teeoretic al metodei reducerii la absurd constă în următoarele :
 Propoziția este adevărată atunci și
numai atunci când negația ei , ,
este falsă .
A F
F A

 Dacă o propoziție implică o
propoziție falsă , atunci este falsă .
A A A
A F F
F A A
F F A

În cazul în care propoziția ce trebuie demonstrată este de forma ( este ipoteza iar
, concluzia ) , demonstrația prin reducere la absurd pornește de la a presupune că implicația
este falsă . Dar , în cazul în care o implicație este falsă se deduce că ipoteza ar fi

6
adevărată, iar concluzia falsă . Deci se presupune că este adevărată și falsă și din acestea
rezultă printr -un raționament logic că vom ajunge la un rezultat care contrazice fie ipoteza ,
fie o axiomă , fie o teoremă cunoscută .
În urmă cu aproximativ 2500 de ani , a fost realizată prima demonstrație prin reducere la
absurd . Ea aparține matematicianului și folosofului Hippasos , reprezentand al Școlii lui
Pitagora . Membrii acestei școli considerau că la baza organizării universul ui se află numerele
. Prin numere , ei înț elegeau numerele natural și ini țial erau convinși că raportul lungimilor
oricăror două segmente se poate exprima sub forma unui raport de numere naturale , adică ,
pentru oricare două lungimi , se poate găsi p uni tate de lungime comună . Hippasos însă , a
dovedit că există lungimi pentru care nu se poate găsi o unitate comună , adică există
segmente incomensurabile . Mai precis , el a arătat că diagonala și latura pătratului sunt
incomensurabile , așadar că √ este irațional . Hippasos folosea de fapt un limbaj geometric ,
încercând să exprime sub forma unui raport de numere întregi raportul dintre diagonala
pătratului , a ajuns la o contradicție . Transpus în zilele noastre , raționamentul său este
următorul :
Să se arate că √ este rațional , așadar √
, unde . Presupunem că fracția

a fost deja simplificată , adică sunt prime între ele . Din relația √

, deci este par , adică există astfel încât Înlocuind , obținem
așadar și este par . Dar pe de altă parte , deoarece este par iar și sunt
prime între ele , ar trebui să fie impar . Cum nu poate fi în același timp și par și impar ,
înseamnă că √ nu poate fi scris ca rapo rt de numere întregi .
După modelul demonstrației iraționalității lui √ , putem arăta un rezultat mai general :
Fie un număr natural , care n u este pătrat perfect , atunci √ este itațional .
Presupunem că √ este rațional , deci există numere natural prime între ele astfel
încât √

Întrucât nu este pătrat perfect , în
descompunerea în factori primi ai lui , exisă cel puțin un factor prim care apare la o
putere impara . Fie puterea lui deci , unde este un
număr întreg și care nu este divizibil cu . Din se divide cu , înseamnă că se
divide cu , ceea ce duce la facptul că relația
devine unde , acest lucru fiind o contradicție .

7
Adesea , când avem de arătat o propoziție de forma , după ce implicația directă a fost
demonstrată printr -un procedeu oarecare , implicația reciprocă se arată ușor prin
reducere la absurd ca în exercițiul următor :
Lema lui Carnot este un exemplu foarte bun , acesta presupunând că există trei puncte
situate pe laturile corespondente [ ] [ ] [ ] ale unui triunghi , atunci
perpendicularele d use în respectiv sunt concurente dacă și numai
dacă

[ ]

Se cunoaște faptul că perpendicularele
duse în sunt concurente și
notăm intersecția lor cu O . Aplicând
teorema lui Pitagora în triunghiurile

Obținem relația [ ] .

Figura [ ]

Reciproc , pornind de la principiul implică , atunci știind că relația [ ] este
adevarată, trebuie să demonstrăm că perpendicularele duse în pe laturi sunt
concurente . Dacă perpendicularele în pe și pe ar fi paralele , ar însemna că
punctele sunt coliniare , ceea ce este o contradicție . Așadar perpendicula rele în
pe și pe se intersectează îmtr -un punct pe care îl notăm cu . Presupunem că
perpendiculara în pe nu trece prin , fie proiecția lui pe , unde

8
Folosind implicația direct
demonstrată anterior , avem :

[ ]
Dn relația [ ] [ ] rezultă

( )
( ) , de unde
obținem , contradicție !

Figura [ ]

Așadar cum am putut observa , m etoda reducerii la absurd se aplică în mai multe domenii
ale matematicii , precum algebra , geometria sau analiza .
În continuare vom prezenta utilitatea metodei reducerii la absurd în domeniul algebrei . ??

9

Bibliografie:
1.
2. I. Crețu , Metode de rezolvare a problemelor de geometrie ., Editura Paralela 45 ;
3. L. Niculescu , Metoda reducerii la absurd , Editura Gil, Craiova, 2007 ;
4.
5.