SPECIALIZAREA FIZICĂ INFORMATICĂ LUCRARE DE LICENȚĂ Coordonator științific: Candidat: Conf. Dr. Dumitru Ioan Sohoreanu Cezar Marian IAȘI 2016… [629026]

UNIVERSITATEA ALEXANDRU IOAN CUZA
FACULTATEA DE FIZICĂ
SPECIALIZAREA FIZICĂ INFORMATICĂ

LUCRARE DE LICENȚĂ

Coordonator științific: Candidat: [anonimizat]
2016

UNIVERSITATEA ALEXANDRU IOAN CUZA
FACULTATEA DE FIZICĂ
SPECIALIZAREA FIZICĂ INFO RMATICĂ

LUCRARE DE LICENȚĂ

ALGORITMI DE PROCESARE A SEMNALELOR
UNIDIMENSIONALE. APLICAȚII ÎN
SPECTROSCOPIA MAGNETICĂ A
NANOPARTICULELOR

Coordonator științific: Candidat: [anonimizat].D r. Dumitru Ioan Sohoreanu Cezar Marian

IAȘI
2016

Cuprins

Pagina
Capitolul 1 Introducere ……………………………………………………………………. ……… 2
1.1 Introducere ………………………………………………………………. ……… 2
1.2 Clasificarea semnalelor …………………………………………….. ……… 3
Capitolul 2 Analiza Fourier …………………………. ………………………………….. ……… 4
2.1.1 Serii Fourier ………………………………………………………….. ………. 4
2.1.2 Serii Fourier Complexe …………………………………………. ……… 8
2.1.3 Transformata Fourier (TF) …………………………………….. ……… 9
2.1.4 Transformata Fourier Discreta(TDF) ………………………… ……… 12
2.2 Aplicții S pectrale ale analizei Fourier în modulare a semnalelor 15
2.2.1 Modulare în amplitudine (MA) ……………………………….. ………. 15
2.2.2 Modula rea în frecvență (MF)………………… ……………….. ………. 18
2.3 Aplicții Spectrale ale analizei Fourier în Filtrarea semnalelor …. 23
2.3.1.Filtru trece jos………………………………………………………………… 23
2.3.2 Filtru trece sus……………………………………………………………….. 24
2.3.3 Filtru trece bandă……………………………………………………………. 26
2.3.4 Filtru oprește bandă………………………………………………………… 27
Capitolul 3 Metodologia de lucru………………….. ………………. ………………… ……… 28
3.1 LabVIEW ………………………………………………………………… ……… 28
3.2 OriginPro……………………………………………………………….. ………. 29
3.2 Maple ……………………………………………………………………. ………. 29
3.3 Generator de semnale ……………………………………………….. ……… 30
Capitolul 4 Partea experimentală ……………………………………………………… ……… 34
4.1 Studiul seriilor Fourier ………………………………………………………. 34
4.2 Prelucrarea datelor de la un generator de semnale …………………. 38
4.2.1 Prelucrarea semnale lor dreptungiulare………………………………. 38
4.2.2 Prelucrarea semnale lor sinusoidale …………………………………… 41
4.2.3 Prelucrarea semnale lor triunghiulare………………………………… 44
4.3 Aplicați în modelarea semnalelor ………………………………………… 47
4 .3.1 Pentru un semnal sinusoidal ……………………………………………. 47
4 .3.2 Pentru un semnal triunghiular …………………………………………. 49
4 .3.2 Pentru un semnal form ă dinte de fierăstrău …………………… 50
4 .3.4 Pentru un semnal dreptunghiular ……………………………………… 52
4.4 Analiza Fourier pentru medii magnetice neliniare.
Transformatorul toroidal ………………………………………………………….
53
Anex a A …………………………………………………………………………………………….. 58
Anexa B …………………………………………………………………………………………….. 60
Bibilografie …………………………………………………………………………………………….. 61

– 2 –
Capitolul 1 Introducere
1.1 Introducere
Semnalele sunt mărimi sau variabile detectabile prin intermediul cărora se pot
transmite informațiile [1].
De exemplu în evul mediu, dacă o cetate era atacă pe timp de noapte, cei care erau de
veghe suflau în corn emițând astfel semnale sonore, semnalele erau recepț ionate de catre cei
din cetate , transmițându -le în acest fel informația că sunt atacați.
În lumea fizică, orice cantitate măsurabilă în timp sau spațiu poate fi considerată un semnal.
Considerăm semnal electric , acele informații, interpretate cu ajutorul unor dispozitive
electrice, numite traductori , sunt convertite într -o marime electric ă. Câteva tipuri de semnale
folosite la momentul actual [2]:
– semnale digitale binare , folosite în circuitele electronice ale computerelor și în
sistemele de transmisii de date.;
– semnale telefonice , const ă într-o combina ție complex ă de unde sinusoidale de
audiofrecven ță
– semnale radio , formate din unde electromagnetice;
– semnale de televiziune , de forma complex ă constând din impulsuri în care se
transmit detali le unei imagini;
– semnale radar , formate dintr -o secven ța periodic ă de impulsuri;
– semnale telegrafice , codific ă alfabetul în simboluri și apoi într -o serie de
impulsuri de tensiune;
Proprietățile necesare unei mărimi fizice pentru a purta informați e, astfel încât să poată
fi intertretată ca un semnal s unt[3]:
– Să poată fi prelucrată (adică să poată fi depusă info rmație, să se poată extrage
informație și să se poată aduce modificări informației purtate de acea mărime) .
– Să fie puțin afectată de perturbații.
– Să poată fi transmisă la distanță .

– 3 –
1.2 Clasificarea semnalelor
Din punct de vedere al timpului și a valorilor semnalele se clasifică în :
– Semnale analogice , continue în timp și în valori.
– Semnale numerice , discontinue în timp și în valori.

Figură 1 .Reprezentarea unui semnal în timp continu și în timp discret
Din punctul de vedere al informației pe care o deține un semnal se clasifică în două
categorii: semnale deterministe și semnale aleatoare. [4] Semnale deterministe, semnale ce pot
fi exprimate prin funcții analitice de timp x(t) cu un număr finit de param etri, ele nu conțin
informație, su nt folosite doar pentru testarea circuitelor și echipamentelor, în laborator sau în
exploatare. Cel mai adesea, semnalele folosite pentru testare s unt periodice. Semnale frecvent
foliste : sinusoidale, dreptunghiulare, tr iunghiulare, sub formă de dinte de fierăstrău,
impulsuri.
Semnalele aleatoare sunt cele a căror evoluție nu poate fi prezisă, poartă informație (cu
cît sînt mai puțin predictibile, cu atît aduc mai multă informație). Cel mult cunoaștem dinainte
proprietăț ile statistice ale semnalului întîmplător (domeniul valorilor, frecvența cea mai mare
a componentelor sale etc.), dar nu evoluția particulară într -un anumit interval de timp.
Exemple de semnale întîmplătoare: semnalul vocal cules de microfon , turația motor ului,
temperatura măsurată într-o încăpere, semnalul de date transmis între două calculatoare etc.

– 4 –
Capitolul 2 Baze teoretice .Analiza Fourier
2.1.1 Serii Fourier
Seriile Fourier sunt folosite pentru analiza funcților periodice descompunându -le într-o
suma de funcții sinusoidale(armonice). Sunt folsite pentru prelucrarea datelor, o funcție scrisă
cu ajutorul armoniceleor Fourier este mai ușor de prelucrat față de funcția originală . Câteva
domeni în care se folosec seriile Fourier : acustică, prel ucrarea semnalelor, optică.
Matematicianul Joseph Fourier are ideea de a descomp une orice funcții periodice ,
𝑓 𝑥+𝑇 =𝑓(𝑥) cu perioada T, într-o sumă infini tă de funcții sinus și cosinus [5].
𝑓 𝑥 =𝑎0
2+ [𝑎𝑛cos nt +𝑏𝑛sin(nt)]∞
𝑛=1 (2.1)

Unde 𝑎𝑛 și 𝑏𝑛 sunt coefic ienții Fourier al funcției 𝑓(𝑥) pe care se determină folosind
proprietați ile de ortoganalitate ale funcți ilor cosinus și sinus [6]:
cos 𝑛𝑡 cos 𝑚𝑡 𝑑𝑡= 1
2 [cos 𝑚−𝑛 𝑡 + cos 𝑚+ 𝑛 𝑡 𝜋
−𝜋𝜋
−𝜋] 𝑑𝑡 (2.2)
= 2𝜋, 𝑚=𝑛=0
𝜋, 𝑚=𝑛≠0
0 , 𝑚≠𝑛
= 2𝜋, 𝑚=𝑛=0
𝜋𝛿𝑚𝑛, 𝑚 ≠0

sin 𝑛𝑡 sin 𝑚𝑡 𝑑𝑡= 1
2 [sin 𝑚−𝑛 𝑡 + sin 𝑚+𝑛 𝑡 𝜋
−𝜋𝜋
−𝜋] 𝑑𝑡 (2.3)
= 0, 𝑚=0
𝜋𝛿𝑚𝑛, 𝑚 ≠0

sin 𝑛𝑡 cos 𝑚𝑡 𝑑𝑡= 1
2 [sin 𝑚−𝑛 𝑡 + sin 𝑚+𝑛 𝑡 𝜋
−𝜋𝜋
−𝜋] 𝑑𝑡=0 (2.4)
Cu ajutorul acestor propreietații coeficenții Fourier au expresile matematice :
𝑎𝑛=1
𝜋 f 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡𝜋
−𝜋
𝑏𝑛=1
𝜋 f 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡𝜋
−𝜋
𝑎0=1
𝜋 f 𝑡 𝑑𝑡 𝜋
−𝜋 (2.5)

– 5 –
Dacă funția noastră 𝑓(𝑥) definit ă pe intervalu [− 𝜋,𝜋] este im pară, 𝑓 −𝑥 =−𝑓(𝑥),
conform ecuaților de mai sus toți coeficenți 𝑎𝑛 sunt egali cu 0, iar este pară 𝑓 −𝑥 =𝑓(𝑥) ,
atunci toți coeficenții 𝑏𝑛 sunt nuli [7].
Exemplu l 1
Aproximarea print -o serie Fourie a unei funcții periodice de perioad ă T = 2 π definită
astfel [7].:
𝑓 𝑡 = 1 , 𝑡 ∈ (0,𝜋 )
−1 , 𝑡 ∈ (𝜋 ,2𝜋 )

Figur a 3. Graficul funcției f(t)
Calculăm coeficienții Fourier :
𝑎0=1
2𝜋 f 𝑡 𝑑𝑡=1
2𝜋 [ f 𝑡 𝑑𝑡+ f 𝑡 𝑑𝑡2𝜋
𝜋𝜋
0]= 02𝜋
0
𝑎𝑛=1
𝜋 f 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡=1
𝜋 [ cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡− cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡2𝜋
𝜋𝜋
0]= 02𝜋
0
𝑏𝑛=1
𝜋 f 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡=1
𝜋 [ sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡− sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡2𝜋
𝜋𝜋
0]= 2
𝜋 1−(−1)𝑛
𝑛 2𝜋
0
Func ția f(t) rescris ă cu ajutorul coeficenților va avea expresia :
𝑓(𝑡)=4
𝜋 sin𝑡
1 + sin3𝑡
3+ sin 5𝑡
5+ ….

– 6 –

Figur a 4 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), p ăstrând
primi i 21 de coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale (cel de culoare verde)

Exemplul 2
Aproximarea print -o serie Fourie a unei funcții de perioad ă T = 2 π definită astfel [7]. :
𝑓 𝑡 = 𝑡 , 𝑡 ∈ (0,𝜋 )
2𝜋−𝑡 , 𝑡 ∈ (𝜋 ,2𝜋 )

Figura .5 Figur a 3. Graficul funcției f(t)
Calculăm coeficienții Fourier :
𝑎0=1
2𝜋 f 𝑡 𝑑𝑡=1
2𝜋 [ 𝑡 𝑑𝑡+ (2𝜋−𝑡) 𝑑𝑡2𝜋
𝜋𝜋
0]= 𝜋
22𝜋
0
𝑎𝑛=1
𝜋 f 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡=1
𝜋 [ t cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡− 2𝜋−𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡2𝜋
𝜋𝜋
0]2𝜋
0
= 2
𝜋 1−(−1)𝑛
𝑛2
𝑏𝑛=1
𝜋 f 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡=1
𝜋 [ t sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡− 2𝜋−𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡2𝜋
𝜋𝜋
0]= 02𝜋
0

– 7 –
Func ția f(t) rescris ă cu ajutorul coeficenților va avea expresia :
𝑓 𝑡 =𝜋
2−4
𝜋 cos𝑡
12 + cos3𝑡
32+ cos 5𝑡
52+ ….

Figur a 6 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), p ăstrând
primi i 3 coeficienții , suprapus peste graficul funcției inițiale (cel de culoare verde)
Exemplul 3
Aproximarea print -o serie Fourie a unei funcții de perioad ă T = 2 π definită astfel [7].:
𝑓 𝑡 = 𝑡 , 𝑡 ∈ (0,𝜋/2 )
−𝑡+𝜋 , 𝑡 ∈ 𝜋 2,3𝜋 /2
𝑡−2𝜋 ,𝑡 𝜖 3𝜋/2 ,2𝜋

Figura .7 Graficul funcției f(t)
Coeficenții Fourier se calculeaza dupa relațile :
𝑎0=1
2𝜋 f 𝑡 𝑑𝑡= 1
2𝜋 𝑡 𝑑𝑡𝜋
0 + −𝑡+𝜋 𝑑𝑡2𝜋
𝜋 =02𝜋
0
𝑎𝑛=1
𝜋 f 𝑡 cos⁡(𝑛𝑡)𝑑𝑡= 1
𝜋 𝑡 cos⁡(𝑛𝑡) 𝑑𝑡𝜋
0 2𝜋
0
+ −𝑡+𝜋 cos⁡(𝑛𝑡) 𝑑𝑡2𝜋
𝜋 =0
𝑏𝑛=1
𝜋 f 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡 = 1
𝜋 𝑡 sin⁡(𝑛𝑡) 𝑑𝑡𝜋
0 + −𝑡+𝜋 sin⁡(𝑛𝑡) 𝑑𝑡2𝜋
𝜋 =4
𝜋 sinnπ
2
𝑛22𝜋
0

– 8 –
Funcția rescrisă în funcție de coeficienți Fourier :
𝑓 𝑡 =4
𝜋 sin𝑡
12 + sin3𝑡
32+ sin 5𝑡
52+ ….

Figur a 8 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), p ăstrând
primi i 3 coeficienții , suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde)
2.1.2 Serii Fourier Complexe

Folosind seriile Fourier ( relația 2. 1) și relațile lui Euler :
𝑐𝑜𝑠(𝑥)+𝑗 𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 𝑒𝑗𝑥 (2.6)
și ecuația :
𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑒−𝑗𝑥 (2.7)
Putem scrie serile Fourier sub forma [8]:
𝑓(𝑥)=𝑎0
2+ 𝑎𝑛𝑒𝑗𝑛𝑡+ 𝑒−𝑗𝑛𝑡
2+𝑏𝑛𝑒𝑗𝑛𝑡− 𝑒−𝑗𝑛𝑡
2j ∞
𝑛=1
= 𝑎0
2+ 𝑎𝑛− 𝑗𝑏𝑛
2𝑒𝑗𝑛𝑡∞
𝑛=1+ 𝑎−𝑘− 𝑗𝑏−𝑘
2𝑒𝑗𝑘𝑡∞
𝑛=1 (2.8)
unde am notat cu –𝑛 s-a notat cu 𝑘. Ecuația 2.8 o putem rescrie sub forma :

𝑐 𝑡 = 𝐶𝑛𝑒𝑗𝑛(2𝜋𝜈)𝑡 (2.9)∞
𝑛=−∞
Cu coeficenții dați de :
𝐶𝑛=1
𝑇 c 𝑡 𝑒−𝑗𝑛(2𝜋𝜈)𝑡 𝑑𝑡𝑇/2
−𝑇/2 (2.10)
, unde 𝜈 = 1
𝑇 reprezintă frecvența funcției.

– 9 –
𝐶𝑛 este de obicei complex, și satisface condiția:
𝐶𝑛=𝐶−𝑛∗ (2.11)
, unde 𝐶−𝑛∗ este complex con jugata .
2.1.3 Transformata Fourier (TF)
Transformata Fourier este o operație a cu ajutorul careia putem rescrie o funcție din
domeniul timp în dome niul frecvențelor . De exemplu, dacă funcția inițială este un semnal ce
depinde de timp transformata sa Fourier descompune semnalul în funcție de frecvenț ele
componente și produce un spectru al acestuia. Transformata Fourier se aplic ă unei funcții
complexe, ceeea ce face necesară utilizarea coeficienților Fourier comple cși. Prin
interpretarea acestor numere complexe putem afla amplitudinea unei undei, precum și faza sau
unghiul inițial al undei. Transforamta Fourier este o generalizare a seriei Fourier complexe
când perioda tinde spre infinit [9].
𝑓 𝑥 = 𝐴𝑛𝑒𝑗 2𝜋𝑛𝑥
𝐿 ∞
𝑛= −∞ (2.12)
𝐴𝑛= 1
𝐿 𝑓(𝑥)𝐿/2
−𝐿/2𝑒−𝑗(2𝜋𝑛𝑥/𝐿) 𝑑𝑥 (2.13)
Înlocuind sepatat 𝐴𝑛 cu 𝐹(𝑘) 𝑑𝑘 când 𝑛/𝐿 →𝑘 .Apoi dacă se schimbă suma cu o integral ă,
ecuațile de mai sus devin:
𝑓(𝑥)= 𝐹 𝑥 𝑒𝑗 2𝜋𝑛𝑥
𝐿 𝑑𝑘 (2.14)∞
−∞
𝐹(𝑥)= 𝑓 𝑥 𝑒−𝑗 2𝜋𝑛𝑥
𝐿 𝑑𝑘 (2.15)∞
−∞
Unde ( 2.14) este numită transformata Fourier, iar relația (2.15) este inversa
transformatei Fourier , unde voi nota cu tansfotmata fourier a unei funcții cu F [f(x)] iar
transformata investă cu
F – -1[F(k)]
Exemplu
Pentru o funcție ce depinde de timp, transformata Fourier are forma :
𝐻 ω = 𝑕 𝑡 𝑒−𝑗ωt 𝑑𝑡 ∞
−∞
Cu ajutorul transformatei inverse scriem funcția :
𝑕(t)= 𝐻 ω 𝑒𝑗ωt 𝑑ω ∞
−∞

– 10 –
Propietați ale transformatei Fourier :
 Transformata Fourier este liniară [10], fie funcțile f(x) și g(x), cu transformatele
Fourier F(k) si G(k) a tunci:
𝑎𝑓 𝑡 +𝑏𝑔 𝑡 𝑒−𝑗𝜔t 𝑑t= 𝑎∞
−∞ 𝑕 𝑡 𝑒−𝑗𝜔t 𝑑𝑡∞
−∞
+ 𝑏 𝑔 𝑡 𝑒−𝑗𝜔t 𝑑𝑥=𝑎𝐹 𝜔 + 𝑏𝐺 𝜔 ∞
−∞ (2.16)
 Transformata Fourier este simetrică [11]

F(k) = F [ f(x)] și F(- k) = F [f( – x)] (2.17)

 Derivarea în domeniul timp [12]:
F [ f’(t)] = 𝑓’ 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 ∞
−∞
folosind integrarea prin parți :
𝑦 𝑑𝑧= 𝑦𝑧− 𝑧 𝑑𝑦 (2.18)
Unde 𝑑𝑧=𝑓’ 𝑡 𝑑𝑡 iar 𝑦 =𝑒−𝑗𝜔𝑡 , 𝑧 =𝑓(𝑡), 𝑑𝑦 = −𝑗𝜔𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡
Atunci :
F [ f’(t)] =[ f( t) 𝑒−𝑗𝜔𝑡] ∞
−∞− 𝑓’ 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡∞
−∞
Când t→±∞
lim
𝑡→±∞𝑓 𝑡 =0
F [ f’(x)] =𝑗𝜔 𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡∞
−∞=𝑖𝜔 F [ f(t)]
Generalizând :
F [ f(n) (t)] =(−𝑗𝜔)n F [ f(t)] (2.19)

 Derivarea în domeniul frecvență
Folosindu -mă de calculul de mai sus pentru derivarea in domeniul timp [13]:
F – -1[F(n) (ω)] =(𝑗𝑡)n f(t) (2.20)
 Deplasarea în domeniul timp [14] :
𝑓 𝑡−𝑡0 𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡=∞
−∞ 𝑓 𝑡−𝑡0 𝑒−𝑗𝜔 𝑡−𝑡0 𝑒−𝑗𝜔𝑡0 𝑑 𝑡−𝑡0 =𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝐹 𝜔 ∞
−∞ (2.21)

– 11 –

 Deplasarea în domeniul frecvență
𝐹 𝜔−𝜔0 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔=∞
−∞ 𝐹 𝜔−𝜔0 𝑒𝑗𝑡 𝜔−𝜔0 𝑒−𝑗𝑡𝜔0 𝑑 𝜔−𝜔0 =∞
−∞𝑒𝑗𝑡𝜔0𝑓 𝑡 (2.22)
Integrare în domeniul timp
Consider ând doua semnale :

𝑥(𝑡)= 0, 𝑡 <0
1, 𝑡 >0 și 𝑦(𝑡)= −1/2, 𝑡 <0
1/2, 𝑡 >0 =𝑥 𝑡 −1
2
𝑑
𝑑𝑡𝑥 𝑡 =𝛿 𝑡 , 𝑑
𝑑𝑡𝑦 𝑡 =𝑑
𝑑𝑡 𝑥 𝑡 − 1
2 =𝛿 𝑡
Folosind proprietatea de derivare [10]:

X(jω)= F [x(t)] =1
𝑗𝜔 F [𝑑
𝑑𝑡𝑥 𝑡 ]

F [x(t)] =1
𝑗𝜔 F [𝑑
𝑑𝑡𝑥 𝑡 ]= 1
𝑗𝜔
Iar
F [y(t)] =1
𝑗𝜔 F [𝑑
𝑑𝑡𝛿(𝑡)]= 1
𝑗𝜔

Se observă aceași transformată la două funcți diferite deoarece constanta din ecuația
y(t) se pierde la derivare, pentu a recupera aceasta constantă introducem o funcție 𝛿(ω) în
domeniul frecvenței:
𝑥 𝑡 =𝑦 𝑡 +1
2
F [x(t)] =𝐹 [𝑦(𝑡)] F [1
2]= 1
𝑗𝜔 + π 𝛿(ω)
F [ 𝑥 𝑡 𝑑𝑡]=𝑡
−∞1
𝑗𝜔 F(jω) + π 𝐹(0)𝛿(ω) (2.23)

 Convoluția [15]
Convoluția în domeniul timp corespunde cu multiplicarea în domeniul frecvenței :
F [𝑦 𝑡 ∗𝑣 𝑡 ]=𝑌 (jω)V(jω) (2.24)

– 12 –
și viceversa. :
F [𝑦 𝑡 𝑣 𝑡 ]=𝑌 (jω)*V(jω) (2.25)
Demonstație :
F [𝑦 𝑡 ∗𝑣 𝑡 ]= 𝑦 𝑡0 ∞
−∞ ∞
−∞ 𝑣(𝑡−𝑡0) 𝑒−𝑗𝜔𝑡dt
= 𝑦 𝑡0 𝑣(𝑡−𝑡0)∞
−∞ ∞
−∞𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 d𝑡0
= 𝑦 𝑡0 𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑣(𝑡−𝑡0)∞
−∞ ∞
−∞𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑(𝑡−𝑡0) d𝑡0
= 𝑌 (jω)V(jω)
La fel se demonstrază si pentru ( Ecuația 2.25)
2.1.4 Transformata Fourier Discreta (TDF)
În masuratorile practice nu întâlnim întodeauna funcții bine definite matematic, pentu
care cunoastem transforata Fourier .Când masurăm un semnal obținem un numar finit de
valori discrete. În acest caz integrala Fourier de la – ∞ la + ∞ o aproximă m cu sume finite de
la – N la N – 1. Transformata Fourier calculată în acest mod se numește trasformata Fourier
discretă [16].
Spectrul transformatei fourier discrete este posibil dac ă înregistr ăm un semnal u(t) cu
2N puncte egal departate.
tn = nΔt, n = – N , – N + 1 , – N + 2,…. – 1, 0 ,1, …, N – 1 .
Spectrul calculat din probele de semnal discret U(f) este dat de o aproximare discretă
𝑈𝑇∆𝑇(f) = Δt 𝑕(𝑛 ∆𝑡 )𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑛∆𝑡 𝑁−1
− 𝑁 (2.26)

, unde T = N Δt
Acest semnal nu conține acleași informații co mparativ cu un semnal continu de
lungime infinită, acest lucru duce la unele distorsiuni faț ă de cazul real.

Efect de trunchiere

Suma de mai sus ,este definită pe intervalul ( – T ,T) al semnalului u(t), faț ă de
integrala Fourier care se extinde de la – ∞ la + ∞ . [16].
Semnalul trunchiat poate fi considerat ca un produs al semnalui inițial h(t) cu
funcția de trunchiere [10], care este funcția de tip dreptunghiular p(t) .

𝑝(𝑡)
= 1, 𝑡 ≤𝑇
0, 𝑡 >𝑇, (2.27)
Spectrul se mnalului trunchiat este convoluția :

UT (f) = F – -1[p(t)h(t)] = F -[p(t)] ∗ F – [h(t)] = F – [p(t)] ∗ U(f) (2.28)

– 13 –
Transformata funcției p(t) este :
F – [p(t)] = 𝑒−2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡=2𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝜋𝑓𝑇)𝑇
− 𝑇 (2.29)
Unde :

𝑠𝑖𝑛𝑐= sin⁡(𝑥)
𝑥 (2.30)

Efectul trunchieri acestui semnal este ca spectrul real este convoluționat de o funcție sinc :

𝑈𝑇 (𝑓) = 2𝑇 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓𝑡 ∗𝑈(𝑓) (2.31)

Figur a 9. a) Reprezentarea funcție i u(t) ; b) Transformata Fourier a funcției i dreptunghiulare
(funcție de tip sinc).
Exemplu :

Avem funcția 𝑢 𝑡 =𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑓0𝑡)

Figura 10. Reprezentarea grafică a funcției u(t)

folosidu -ne de formula lui Euler scriem transformata Fourier :

F -[u(t)] = F -[ cos(2π f 0t)]= 1
2 F -[ 𝑒^((2𝜋 𝑓0𝑡)]) +1
2 F -[ 𝑒^((−2𝜋 𝑓0𝑡)])

Ținând cont că transformata Fourier a unui impuls F -[δ] = 1 și de teorema de
deplasare :

F -[δ(f ± 𝑓0)] = F -[δ(f)] 𝑒(±𝑗2𝜋𝑓0𝑡) = 𝑒(±𝑗2𝜋𝑓0𝑡)

Se observă că transformata Fourier a acestei funcții se mai poate scrie ca :
𝑈(𝑓) = 1
2𝛿 𝑓− 𝑓0 +1
2𝛿 𝑓+ 𝑓0

– 14 –

Figura 1 1 .Transformata Fourier a funcției în domeniul frecvență.

De obicei convoluția unei funcți impuls 𝛿 𝑓± 𝑓0 cu o funcție oarecare este [16] :

𝛿 𝑓+ 𝑓0 ∗𝐺 𝑓 = 𝛿 𝑟− 𝑓0 𝐺 𝑓−𝑟 𝑑𝑟=𝐺(∞
− ∞𝑓± 𝑓0)

Spectrul acestei funcției U(t) in acest caz este :

𝑈𝑇 (𝑓) = 2𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝜋𝑓𝑇) ∗𝑢 𝑓 =𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐 2𝜋 𝑓− 𝑓0 𝑇 +𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐 2𝜋 𝑓+ 𝑓0 𝑇

Figura 1 2 .Spectru funcției 𝑼𝑻 (𝒇)

– 15 –
2.2 Aplicții Spectrale ale analizei Fourier în modularea semnalelor
Modula rea este procesul în care prin modificarea unei sau mai multe prop ietaiți ale
unei unde periodice , numită semnal purtator cu un semnal modulator ce conține informația ,ce
urmează a fi transmisă.
Mai exact exista 3 tipuri de semnale in procesul de modulație :
1. Semnalul modulator ,s emnalul ce conține i nformația ,cel pe care vrem să î l
transmitem .
2. Semnalul purtator , semnalul a cărui parametri sunt modificați pentru a transmite
semnalul modulator .
3. Semnalul modulat , semnalul care se transmite , și anume semnalul pu rtător modificat .
Fiecare semnal este descris de 3 parametri : frecvenț ă, amplitudine și faza inițial ă, în
funcție de parametrul care îl modificam avem :
 Modulare în amplitudine (MA);
 Modulare în frecvența (MF) ;
 Modulare în fază. (MM)

Modulare în amplitudine (MA).Caracter istici :

 Modific ă amplitudinea semnalului purtator în conformitate cu amplitudinea
semnalului modulat or, cel care conține informația .
 Toata informația se af la în amplitudinea purtatorului.
 Sistemele AM ocupă, de obicei, mai puțin ă lărgime de bandă decât sistemele MF

Modularea în frecventa ( MF) .Caracteristici :
 Amplitudinea semnalului purtător este m enținută constantă , frecvența purtătoare se
modifică în funcție de a mplitudinea semnalului modulator;
 Are o bună imunitate de zgomot .
 Rezistent interferența de a co -canal (efect de captare).

2.2.1 Modulare în amplitudine (MA)
Amplitudinea semnalului purtator este modificată in funcție de am plitudinea
semnalului modulator . De exemplu :
𝑠(𝑡) este semnalul pe care vream să îl modulam, semnalul purtator va fi de forma
𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝑓𝑝𝑡) semnalul modificat în amplitudine va avea forma [17]:
𝑆 𝑀𝐴 (𝑡) = 𝐴𝑝 [1+𝑚𝑠(𝑡)] 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝑓𝑝 𝑡) (2.32)

,unde m ,constanta de modulare este definită ca raportul :

– 16 –
𝑚 = 𝐴𝑚
𝐴𝑝 (2.33)
,unde 𝐴𝑚 este amplitudinea semnalului modulator și 𝐴𝑝 este amplitudinea semnalului
purtator.
De exemplu :
Consideram un semnal purtator de forma:
𝑢𝑝 𝑡 = 𝐴𝑝 𝑡 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑝𝑡);
și un semnal modulator de forma:
𝑢𝑚 𝑡 = 𝐴𝑚 𝑡 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑚𝑡);
𝜔𝑝 – purtatoarea de înaltă frecvență;
𝐴𝑝(𝑡) este amplitudinea semna lului purtator ,care variază în funcție de semnalul modulator ;
m – gradul de modulație;
semnalul modulat este compus din două componente [18] :
𝑈𝑀𝐴 𝑡 = 𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑝𝑡)+𝐴𝑚 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑚𝑡)𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑝𝑡)=𝐴𝑝(1 + 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑚𝑡)𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡
,unde 𝐴𝑚 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑚𝑡) este amvelopa semnalului.
Semnalul modulator (vezi fig ura 1 3 ) modulat cu un semnal purtator ( vezi figura 1 3)
este de forma ( vezi figura 1 5).

Figura 1 3. Semnalul modulator, cel care conține informația .
Semnalul purtator va fii de forma [18]:

Figura 1 4. Semnalul purt ător.

Semnalul modulat cu factorul de modulație 𝑚 ≤1 [18]:

– 17 –

Figura 1 5 Semnalul modulat cu factorul de modulație 𝑚 ≤1 .

Semnalul modulat cu factorul de modulație 𝑚 >1 apare fenomenul de supramodulație [18]:

Figura 1 6. Semnalul modulat cu factorul de modulație 𝑚 >1 .

Expresia semanlului in domeniul timp este [19]: :
𝑈𝑀𝐴(𝑡) = 𝐴𝑝(1 + 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑚𝑡)𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡 = 𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡 +𝑚𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑚𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡
= 𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡 + 𝑚𝐴𝑝
2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑝 +𝜔𝑚)𝑡 + 𝑚𝐴𝑝
2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑝 − 𝜔𝑚)𝑡
Transformata Fourier a semnalului de forma 𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡 +𝑚𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑚𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡 este [20]:
𝑈𝑀𝐴(𝜔) = 𝑇𝐹{ 𝑈𝑀𝐴(𝑡) }= 𝑇𝐹{ 𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡 +𝑚𝐴𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝𝑡 }
=𝜋𝐴𝑝[𝛿 𝜔𝑚+𝜔𝑝 +𝛿 𝜔𝑚−𝜔𝑝 ]
+ 𝑚𝐴𝑝
2𝜋 𝜋2 𝛿 𝜔𝑚+𝜔𝑝 +𝛿 𝜔𝑚−𝜔𝑝 ∗ 𝛿 𝛺+𝜔𝑝 +𝛿 𝛺−𝜔𝑝
= 𝜋𝐴𝑝[𝛿 𝜔𝑚+𝜔𝑝 +𝛿 𝜔𝑚−𝜔𝑝 ]+ 𝜋𝑚𝐴𝑝
2[𝛿 𝜔𝑚+𝜔𝑝+𝛺
+𝛿 𝜔𝑚+𝜔𝑝−𝛺 +𝛿 𝜔𝑚−𝜔𝑝+𝛺 +𝛿 𝜔𝑚−𝜔𝑝−𝛺 ]

– 18 –
Reprezentarea grafică a semnalului modelat în amplitudine ,ce corespunde
transformatei sale Fourier [21]:.

Figura 17. Spectrul semnalului în domeniul frecvenței.

2.2.2 Modulare în frecvență
Pentru un semnal sinusoidal generalizat de forma [20]:
𝑢(𝑡) = 𝐴(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝛷(𝑡)
unde A(t)este amplitudinea oscilației, Φ(t) este faza instantanee și :
𝜔 𝑡 = 𝑑𝛷 𝑡
𝑑𝑡 (2.34)
este frecvența instanee ,și un semnal purtator de forma:
𝑢𝑜(𝑡) = 𝐴0𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡+𝛷0).
Când nu avem un semnal modulator 𝑢𝑚(𝑡) ,amplitudinea si faza sunt constante,iar
faza senmnalului este :
𝛷 𝑡 = 𝜔 𝑡 +𝜑0 = 𝜔0𝑡 + 𝛷0 (2.35)
Deorece acest semnal îl modificam în frecvență, ampiltudinea semnalului va ramâne
constantă și va fi egala cu 𝐴0 ,frecvența instantane se modifică în jurul frecvenț ei purtatoarei
𝜔0 depinzând liniar de semnalul modulator 𝑢𝑚(𝑡) :
𝜔 𝑡 = 𝜔0 + 𝐾𝐹 𝑢𝑚(𝑡) (2.36)
unde 𝐾𝐹 este o constantă specifică modulatorului de frecveță .
Prin integrarea expresiei vitezei instantanee se obține expresia fazei instantan ee:
𝛷 𝑡 = 𝜔0𝑡 + 𝐾𝐹 um τ dτ+ Φ0𝑡
0 (2.37)
iar expresia generala a unui semnal modificat în frecvență va fi de forma :
𝑈𝑀𝐹 𝑡 = 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝐾𝐹 um τ dτ+ Φ0𝑡
0 (2.38)

– 19 –
Modularea în frecvență a unui semnal armonic
Fie un semnal de forma [22]:
um(𝑡) = 𝐴𝑚𝑐𝑜𝑠(𝜔m𝑡).

Figura 1 8. Spectrul semnalului modulator.

Cu un semnal purtator de forma :
u0(𝑡) = 𝐴0𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡+𝜙0).

Figura 19. Spectrul semnalului purt ător.

În procesul de modulare în frecvență se realizează :
𝜔0 → 𝜔(𝑡) = 𝜔0 + 𝐾𝐹 𝑢(𝑡) = 𝜔0 + 𝐾𝐹 𝐴𝑚𝑐𝑜𝑠(𝜔m𝑡).
Când ω0 variaza între 0 și 2𝜋 , atunci viteza instantane variază între limitele :
𝜔0 – 𝐾𝐹 𝐴𝑚 ș𝑖 𝜔0 ș𝑖 𝜔0 + 𝐾𝐹 𝐴𝑚
𝜔(𝑡) = 𝜔0 + 𝛥𝜔 𝑐𝑜𝑠(𝜔m𝑡)
integrand expresia de mai sus obținem expresia fazei semnalului :
𝛷 𝑡 = ω0+ Δω cos ωmt dt= 𝑡
0𝜔0t+ 𝛥𝜔
𝜔𝑚𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑚𝑡)
Unde:
𝛥𝜔 = 𝐾𝐹 𝐴𝑚 (2.39),
reprezintă deviația de frecvență sau variația maximă a frecvenței instantanee ω(t) fața
de ω0 iar raportul :

– 20 –

𝛽= 𝛥𝜔
𝜔𝑚 (2.40)
este indicele de modulație în frecvență. Semnalul modificat în frecvență este de forma [20]::
𝑈𝑀𝐹(𝑡) = 𝐴0 𝑐𝑜𝑠[ 𝜔0𝑡 + 𝛽𝑠𝑖𝑛𝜔𝑚𝑡) ]
= 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 𝑐𝑜𝑠( 𝛽𝑠𝑖𝑛𝜔𝑚𝑡) – 𝐴0 𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡 𝑠𝑖𝑛( 𝛽𝑠𝑖𝑛𝜔𝑚𝑡)

Figura 20. Spectrul semnalului modulat .

Pentru valori mici ale lui β [22]
cos⁡(𝛽sin𝜔0𝑡)≅1
sin⁡(𝛽sin𝜔0𝑡)≅𝛽sin𝜔0𝑡) (2.41)
Pentru 𝛽 mic expresia semnalului este :
𝑈𝑀𝐹(𝑡) = 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 – 𝐴0 𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡)
= 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 – 𝐴0𝛽
2𝑐𝑜𝑠(𝜔0−𝜔𝑚)𝑡 + 𝐴0𝛽
2𝑐𝑜𝑠(𝜔0+𝜔𝑚)𝑡
Spectrul de amplitudine

Figura 21. Spectrul semnalului în domeniul frecvenței.

Transformata Fourier a semnalului modificat în frecvență pentru β mic[22]:

– 21 –
𝑈MA(𝜔) = 𝑇𝐹{ 𝑈MA(𝑡) }= 𝑇𝐹{ 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 – 𝛽𝐴0 𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡 }
=𝜋𝐴0[𝛿 𝛺+𝜔0 +𝛿 𝛺−𝜔0 ] + 𝛽 𝐴0
2𝜋 𝜋2 𝛿 𝛺+𝜔𝑚 −𝛿 𝛺−𝜔𝑚
∗ 𝛿 𝛺+𝜔0 −𝛿 𝛺−𝜔0
= 𝜋𝐴0[𝛿 𝛺+𝜔0 +𝛿 𝛺−𝜔0 ]+ 𝜋 𝛽 𝐴0
2[𝛿 𝛺+𝜔0+𝜔𝑚
−𝛿 𝛺+𝜔0−𝜔𝑚 −𝛿 𝛺−𝜔0+𝜔𝑚 +𝛿 𝛺−𝜔0−𝜔𝑚 ]
Spectrul semnalului :

Figura 22. Spectrul unui semnal oarecare modificat în frecvență pentru β mic .

Generalizând ă [22]:
𝑈𝑀𝐹(𝑡) = 𝐴0 𝑐𝑜𝑠[ 𝜔0𝑡 + 𝛽𝑠𝑖𝑛𝜔𝑚𝑡) ] = 𝑅𝑒 {𝐴0 𝑒𝑗 (𝜔0𝑡 + 𝛽𝑠𝑖𝑛𝜔𝑚𝑡)} =
= 𝐴0 𝑅𝑒 { 𝑒𝑗 𝜔0𝑡 𝑒𝑗 𝛽𝑠𝑖𝑛𝜔𝑚𝑡}
Pentru analiza spectrală voi utiliza relația [21] :
e𝑗 𝛽sin𝑧= Jk β 𝑒𝑗 𝑘 𝑧 (2.42)∞
𝑘=−∞
unde Jk reprezintă funcțile lui Bessel de speța întâi,ordin k , și argument β, cu proprietațile :
𝐽–𝑘 𝛽 = −1 𝐽𝑘 𝛽 (2.43)

– 22 –

Figura 23. Spectrul funcților Bessel.

Utilzând relația ( 45) se scrie ecuația unda modelată în frecvență :
𝑈𝑀𝐹(𝑡) =𝐴0 𝑅𝑒 { 𝑒𝑗 𝜔0𝑡 𝐽𝑘(𝛽)∞
−∞𝑒𝑗 𝛽𝜔𝑚𝑡}= 𝐴0 𝑅𝑒 { 𝐽𝑘(𝛽)∞
−∞𝑒𝑗 (𝜔0 +𝑘𝜔𝑚)𝑡}=

= 𝐴0 𝐽𝑘(𝛽)∞
−∞ 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 +𝑘𝜔𝑚)𝑡
Spectrul de ampitudini a unui semnal modulat în frecvență oarecare :

Figura 2 4. Spectrul de ampitudini a unui semnal modulat în frecvență oarecare 2
Banda de frecvență a semnalului 𝑈𝑀𝐹(𝑡) este infinită. Banda de frecvență efectiv
ocupată depinde de 𝛽 [22].
Pentru 𝛽 mic, banda efectiv ocupată este 𝐵𝑀𝐹=2 𝜔𝑚 ,pentru alte valori ale lui 𝛽,
banda de frecvență efectiv ocupată este 𝐵𝑀𝐹= 2 𝑁 𝜔𝑚 , unde N reprezintă numarul de
component e spectral e luate în considerare , iar pentru 𝛽 foarte mare , 𝐵𝑀𝐹=2 𝛥𝜔, în acest
caz banda efectiv ocupată de semnalul modificat în frecvență nu depinde de frecvența
mesajului.

– 23 –
2.3 Aplic ații Spectrale ale analizei Fourier în Filtrarea semnalelor
În procesare a semnalelor, filtrele reduc componente nedorite sau anumite caracteristici
ale unui semnal. Filtrarea este o clasă de procesare a semnalului, caracteristica definitorie a
filtrelor fiind suprimarea totală sau parțială a unui anumit aspect al semnalului. Ce l mai
adesea, acest lucru înseamnă eliminarea unor frecvențe, în scopul de a suprima semnale de
interferență și de a reduce zgomotul de fond. Cu toate acestea, filtrele nu acționează în mod
exclusiv în domeniul frecvență; în special în domeniul de prelucra re a imaginii plus multe alte
obiective pentru care există filtrarea.
O clasificare a filtrelor se poate face în funcție de tipul de semnal pe care îl
prelucrează, și anume, filtre analogice lucerează cu semnale continue iar filtrele numeric e
lucrează pe secvențe discrete.

2.3.1 Filtru trece jos

Un filtru ideal trece jos permite să trecă semnale cu o frecvență mai mică decât o
anumită frecvență de tăiere și atenuează semnalele cu frecvențe mai mari decât frecvența de
tăiere. Filtre trece jos furnizează o formă mai bună a unui semnal, eliminând fluctuațiile pe
termen scurt. Un filtru ideal trece jos elimină complet toate frecvențele care au frevența mai
mare decât frecvența de t aiere, în timp ce frecvențele joase ramân neschimbate. Răspunsul î n
frecvență al filtrului este o funcție dreptunghiulară . Regiunea de tranziție prezentă în filtre
practice nu există într un filtru ideal. Un filtru trece jos ideal poate fi aproximat matematic
prin multiplicarea unui semnal cu o funcți e dreptunghiulară [23] în domeniul frecvență .
Se consideră un filtru trece jos de forma [4]:

𝐹𝑇𝐽 𝜔 = 1 , 𝜔 < 𝜔𝑡
0, 𝜔 ≥ 𝜔𝑡 (2.44)

Figura 2 5. Filtru trece jos .

Exprimarea spectrului semnalului la ieșirea din filtru trece jos ideal Y( ω) în funcție de
𝑋 𝜔 , spectrul semnalului la intrarea sa , este :

𝑌 𝜔 =𝑋 𝜔 𝐹𝑇𝐽 𝜔 = 𝑋 𝜔 , 𝜔 < 𝜔𝑡
0, 𝜔 > 𝜔𝑡 (2.45)

Filtrul ideal este imposibil de realizat deoarece nu respectă teorema Paley -Wiener care
cere ca :

– 24 –

log⁡(𝐹(𝜔)
1+ 𝜔2∞
−∞ (2.46)

să fie convergentă , pentru ca trasformata Fourier a unei funcții din domeniul timp în
domeniul frecvență să caracterizeze un sistem cauzal. Această integrală nu este convergentă
deoarece 𝜔 >𝜔𝑡 , 𝜔𝑡 reprezintă frecvența de trecere, log⁡(𝐻(𝜔) →∞. Poate fi aproximat
matematic avand o anumită eroare. Filtrul ideal trece jos este realizabil pentru semnale
digitale preînregistrate în mod caracteristic realizând un semnalul repetitiv și folosind analiza
Fourier.

Utilizând transformata Fourier se poa te afla răspunsul filtrului în domeniul timp :

𝑓 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡𝑡
𝜋𝑡 (2.47)

𝜔𝑡 – frecvența de taiere ;

Raspunsul funcției care definește filtru trece jos este de forma sinc care se desfașoară
într-o perioad ă delimitată de timp , putem oberva din nou că un filtru trece jos ideal nu este
realizabil pentru semnale în curs de desfașurare .

Un filtru numeric trece jos cu raspunsul în frecvență 𝐹(𝛺) de perioadă 2π are expresia :

𝐹 𝛺 = 1 , 𝛺−2𝑘𝜋 < 𝛺𝑡, 𝑘 𝜖 𝑍
0 (2.48)

Raspunsul filtrului în domeniul timp se determină aplicând r elația transformatei
Fourier pentru semnale discrete :

𝑓 n =1
2π ejΩn dΩ=𝛺𝑡
−𝛺𝑡𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑡𝑛
𝜋𝑛n 𝜖 𝑍 (2.49)
.
2.3.2 Filtru trece sus

Filtru trece sus permite să trecă nemodificate semnale cu o frecvență mai mare decât o
anumită frecvență, numită frecvență de tăiere , și atenueaz ă semnale cu frecvențe mai mici
decât frecvența de tăiere . Cantitatea de atenuare pentru fiecare frecvență depinde de
proiectarea filtrului. Dacă se ia în considerare teorema Paley -Wiener nici acest filtru nu este
realizabil.

Se consider ă filtru l trece sus ideal , cu răspunsul în frecvență este de forma [4] :

𝐹𝑇𝑆 𝜔 = 0 , 𝜔 < 𝜔𝑡
1, 𝜔 ≥ 𝜔𝑡 (2.50)

– 25 –

Figura 2 6. 𝑭𝑻𝑺(𝝎) filtru trece sus.

𝐹𝑇𝑆 poate fi scris și sub form a :

𝐹𝑇𝑆=1− 𝐹𝑇𝐽 𝜔 (2.51)

𝐹𝑇𝐽 𝜔 − răspunsul în frecvență al unui filtrului trece jos ideal.

Aplicând transformata Fourier inversă obținem raspunsul filtrului în domeniul timp :

𝑓𝑇𝑆=𝛿 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑐𝑡
𝜋𝑡,n 𝜖 𝑍 (2.52)

Răspunsul în frecvență al unui filtru numeric trece sus perioadă 2𝑘+1 π are
expresia :

𝐹𝑇𝑆 𝛺 = 1 , 𝛺− 2𝑘+1 𝜋 < 𝛺𝑡, 𝑘 𝜖 𝑍
0 (2.53)

Iar raspunsul la impuls poate fi determinat folosind de ecuația de mai sus:

𝑓𝑇𝑆 n =1
2π ejΩn dΩ + 1
2π ejΩn dΩ= 1
2π ejΩn dΩ + 1
2π ejΩn dΩ (2.54) 𝛺𝑡
−𝛺𝑡𝜋
−𝜋𝜋
𝜋−𝛺𝑡−𝜋+𝛺𝑡
−𝜋
n 𝜖 𝑍 .
Sau

𝑓 n =𝛿 n − 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑐𝑡
𝜋𝑡 (2.55)

– 26 –
2.3.3 Filtru trece bandă

Filtru trece bandă permite să trecă nemodificate sau foarte puțin modificate semnale
cu frecvențe cuprinse într -un domeniu de frecvențe numit bandă de trecere. Un filtru trece
banda este o combinație de un trece jos și un filtru trece sus.

Raspunsul în frecvență a un ui filtru trece bandă ideal este [4]:

𝐹𝑇𝐵 𝜔 = 1 ,𝜔𝑡1< 𝜔 < 𝜔𝑡2
0 (2.56)

Figura 2 7 . Filtru trece bandă.

Deoarece este o combinație între filtru trece sus și filtru trece jos avem doua frecvențe de
taiere ,una inferioară și una supeioară. Unde 𝐹𝑇𝐵(𝜔) poate fi scris sub forma :

𝐹𝑇𝐵 𝜔 = 𝑝𝜔𝑡2 𝜔 − 𝑝𝜔𝑡1 𝜔 (2.57)

Iar raspunsul filtrului în domeniul timp este de forma:

𝑓𝑇𝐵 t = 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑝2𝑡
𝜋𝑡−𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑝1𝑡
𝜋𝑡 (2.58)

Expresia unui filtru numeric ideal de tip trece bandă în domeniul − 𝜋, 𝜋) este:

𝐹𝑇𝐵(𝛺)= 1 ,𝛺𝑡1< 𝛺 < 𝛺𝑡2
0 , Ω 𝜖 − 𝜋, 𝜋) (2.59)

Raspunsul la implus este diferența a doua caracteristicii :

𝑓𝑇𝐵 n = 𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑝2𝑛
𝜋𝑛−𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑝1𝑛
𝜋𝑛 (2.60)

– 27 –
2.3.4 Filtru oprește bandă

Filtru oprește bandă este opusul unui filtru trece bandă, elimină frecvențe le dinr -un
anumit domeniu, numit bandă de taiere .
La filtru oprește bandă răspunsul în frecvență a unui filtru trece bandă ideal este [4] :

𝐹𝑇𝐵(𝜔)= 0 ,𝜔𝑡1< 𝜔 < 𝜔𝑡2
1 (2.61)

Figura 2 8. Filtru oprește bandă.

Acest filtru depinde și el de două frecvențe de taiere 𝜔𝑡1 și 𝜔𝑡2, răspunsul filtrului în
domeniul timp este de forma:

𝑓𝑂𝐵 t =𝛿 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑝2𝑡
𝜋𝑡+𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑝1𝑡
𝜋𝑡 (2.62)

Expresia unui filtru numeric ideal de tip oprește bandă în domeniul − 𝜋, 𝜋) este:

𝐹𝑂𝐵(𝛺)= 0 ,𝛺𝑡1< 𝛺 < 𝛺𝑡2
1 Ω 𝜖 − 𝜋, 𝜋) (2.63)

Iar raspunsul la implus este :

𝑓𝑇𝐵 n =𝛿 n −𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑝2𝑛
𝜋𝑛+𝑠𝑖𝑛 𝛺𝑝1𝑛
𝜋𝑛 (2.64)

– 28 –
Capitolul 3 Metodologie
Utilizând teoria explicată în capitolul precedent , am prelucrat și simulat date ,pe care
le voi prezenta în capitolul 4 . Pe prelucrarea datelor am folosit programele LabVIEW , și
OriginPro , datele prelucrate au fost obținute de la un generator de semnal construit în jurul
integratului ICL8038
3.1 LabVIEW
LabVIEW (prescurtarea de la Laboratory Virtual Instrumentation Engineering
Workbench) este o platformă și mediu de dezvoltare pentru un limbaj de programare vizual de
la National Instruments,în limbajul grafic ,,G ” . LabVIEW este folosit de obicei pentru
achiziți de date, controlul instrumentelor.
Limbajul de programare utilizat în LabVIEW, G este un flux de date. Executarea este
determinată de unui diagrama bloc k ,în care programator conectează diferite funcții, noduri,
prin fire de desen. Aceste fire propaga variabile și orice nod poate executa de îndată ce toate
datele de intrare devin disponibile.
Subrutinele LabVIEW sunt numite instrumente virtuale cu extensia ,, .vi ”. Fiecare VI
are 3 componente , o diagramă bloc, un panou de control și un panou de legatură, ultimul este
folosit pentru a reprezenta VI -urile în diagrama block. Controlele și indicatorele se a flă în
panoul de control pemițând operatorului să intoducă date. Panoul de contol este în același
timp și o interfață grafică ,care ne permite să vizualizăm datele de intrare și de ieșire. Acest
lucru ne pemite să verificăm foatre ușor funcționabilitatea programului cu extensiune a ,, .vi ”.
Fiecare VI poate fi folosit ca o subrutină într -un alt VI de dimensiune mai mare. Pentru funcții
mai compexe putem introduce funcțile in limbajul de programare C , un lucru foarte util de
altel.

Figura 29 .O funcție simplă în programul LabVIEW.

– 29 –
3.2 OriginPro
OriginPro este un software de interpretarea a datelor, realizând grafice de foarte bună
calitate , adaptat la nevoile oamenilor de stință și a inginerilor. Ce are diferit OriginPro față de
alte aplicți de interpretare a graficelor , poți importa automatic datele, analiza precum și
folosirea unor setari prestabilite în realizarea graficelor.

Figura 30 . Graficul unei funcți în programul OridinPro .
3.2 Maple
Maple este un program care poate rezolva probleme matematice ,de la simple ecuații
păna la ecuații complexe. Acest program este folosit adesea de catre matematicieni ,fizicieni ,
ingineri. De asemnea putem reprezenta grafic diverse funcții compexe, în dome nile 2D și 3D.

Figura 31 . Graficul unei funcți în Maple

– 30 –
3.3 Generator de semnale

Realizat în jurul circuitului integrat monolitic genera tor de funcț ii ICL8038 [25],
circuitul produce simultan semnale sinusoidale, dreptunghiulare și triunghiulare, în gama 40
Hz-200kHz în 4 domenii. Nivelul de tensiune al semnalului de ieșire poate fi ajustat.
Modulația în frecvență este realiza tă cu tensiune extern ă. Circuitul 8038 conține un oscilator
intern ce pro duce semnale dr eptunghiulare. Valoarea frecvenț ei este determinată de valorile
condensatoarelor C1 − C4 și a potenț iometrului de 10k Ω. Pentru o bun ă stabilitate capacit ățile
trebuie să fie de bun ă calitate și cu toleran ța mai mic ă de 10%. Intern, semnalul este
diferențiat pentru a produce sem nale triunghiulare și format intern pentru obți nerea
semnalelo r sinusoidale( puritate ajustată de potenț iometrele de 100k). Astfe l că schema cu
minim de componente realizează optim toate funcț iile ce altfel s -ar completa ex tern, devenind
foarte stufosă .
Comutatoarele sunt cu o singură secț iune, de tip rotativ, atât pentru selecția gamelor
cât și pentru selecți a tipului de semnal la ieș ire (FIG. 32)[26].

Figura 3 2 . Schema bloch generatorului de semnal .

Descrierea circuitului ICL8038 )[25].:
Un condensator extern C este încărcat și descărcat de două surse de curent. Sursa de
curent 2 este pornită și oprită de un bistabil, î n timp ce sursa de curent 1 funcționează continu.
În situția î n care bistabilul este în starea în care blochează sursa de curent 2, iar condensatorul
este încă rcat cu un curent I , tensiunea pe condensator creșt e liniar. Când aceast a atinge un
anume nivel la comparatorul 1 (fi xat la 2 /3 din tensiunea de alimentare V+) este comandat
bistabilul care îș i schimbă starea și comandă sursa de curent 2, ce genereaz ă curentul de
descărcare a condensatorului C, tensiunea scade liniar p ână la valoarea de 1 /3 din tensiunea de
alimentare. La acest prag stabilit al comparatorului bistabilul este resetat, revine în starea
ințială iar ciclul s e repet ă. Cu aceste circuite de baz ă se ob țin 3 forme de und ă. Prin valorile
stabilite ale curen ților I și 2I, timpii de încărcare și descă rcare sunt egali. Pe condensator se
obține un semnal triunghiular iar la ieșirea bistabilului se obțin semnale de formă
dreptunghiulară . [27] Ambele semnale sunt transmise prin buffer la ie șire pe pinii 3 și

– 31 –
9(FIG. 31).

Figura 3 3 . Schema bloch ICL8038
Nivelurile de curent ale surselor sunt stabilite în domenii largi de valorile a dou ă
rezisten țe externe astfel încât prin I și 2I putem genera semnale triunghilare pe pinul 3 și
semnale cu factor de umplere de la 1% p ână la mai mult de 99% pepinul 9(FIG.3 3). [26]

Figura 3 4 . Schema bloch ICL8038
Semnalul sinusoida l este creat prin conversia sem nalului triunghiular într-o rețea neliniar ă.
Aceast ă rețea asigur ă o scăderea a impedan ței șuntului, astfel încât nivelul de tensiune al
semnalului triunghiular cre ște și descreșt e față de valorile extreme. Simetria tuturor fo rmelor
de und ă poate fi ajustat ă cu rezisten țele de sincronizare externe (FIG. 35). [26]

Figura 3 5 . Forme de undă

– 32 –
Descrierea circuitului LF351 [22]: Potențiometrul de 10k controlează amplitudinea tuturor
formelor de und ă. Potentiometiometrul este conectat la IC2 care este un LF351 (FIG. 37) [28]

Figura 36 .Schema bloch LF351.

și anume un ampli ficator operați onal cuplat la intrarea neinversoare, oferind izolare între
generatorul de und ă și de asemenea creșterea semnalului de ieșire , care este direcț ionat fie pe
rezistenta de 2k2 , fi e pe rezistenta 47 Ω.Rolul rezistent,elor este de a diminua semnalul de
iesire. La iesire forma semnalele poate fi interpretat ă cu ajutorul unui osciloscop.
La "high output", amplitudinea maxim ă este în jur de 8V cu semnalul dreptunghiular.
Maximul aplitudinii pentru semnalul triunghiular și sinusoidale este în jur de 6V, respectiv
4V.
Shema electrică a generatorului (fig 3 7) [25]

Figura 37 .Schema electrica a generatorului

– 33 –

Figur a38. Semnal greptunghilar cules de la generatorul ICL8038

Figur a 39 semnal truinghiular cules de la generatorul ICL8038

Figur a 40 Montajul experimental, generatorul ICL8038

– 34 –

Capitolul 4 Partea experimentală
4.1 Studiul s eriilor Fourier
Pentru inceput am studiat descompunerea funcților cu ajutorul seriilor Furier
introducând ecuațile din capitolul 1 , în programul Maple.
Pentru funcția periodica impară 𝑓 𝑡 = 1 , 𝑡 ∈ (0,𝜋 )
−1 , 𝑡 ∈ (𝜋 ,2𝜋 ) (figura 3 ) am rescris -o
în funcție de coeficientii Fourier, păstrând mai mul ți sau mai puțini coeficienții, după cum
urmeză :
Păstrând primi i 7 coeficienții Fourier:

Figur a 41 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), păstrând
primi i 7 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde)

Păstrând 14 coeficienții Fourier:

Figur a 42 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), p ăstrând
primi i 14 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde)

– 35 –
Păstrând primi i 21 coeficienții Fourier :

Figur a 43 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), p ăstrând
primi i 21 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde).
Păstrând primi i 200 coeficienții Fourier :

Figur a 44 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), p ăstrând
prim ii 100 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde).

Se observ ă din grafice, cu cât creștem numarul de coeficienții reținuți , aproximarea
funcției prin serii Fourier devine din ce în ce mai bună. Se mai poate ovserva apariția
femomenului G ibbs( figura 42 ), fenomenul Gibbs este vizibil când numarul de armonici este
mare.

– 36 –
Aproximarea print -o serie Fourie a unei funcții periodice cu perioada T = 2 π definită
astfel:
𝑓 𝑡 = 𝑡 , 𝑡 ∈ (0,𝜋 )
2𝜋−𝑡 , 𝑡 ∈ (𝜋 ,2𝜋 ) (figura 5)
Păstrând primi i 2 coeficienții Fourier:

Figur a 45 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), păstrând
primi i 2 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde).
Păstrând primi i 3 coeficienții Fourier:

Figur a 41 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), păstrând
prim ii 3 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde).
Păstrând primi i 5 coeficienții Fourier:

Figur a 46 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), păstrând
primi i 5 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde).

– 37 –
Se observa din grafice, când creștem numarul de coeficienții reținuți, aproximarea
funcției prin serii Fourier devine din ce în ce mai bună. Acest lu cru l-am observant și la
urmatoarea funcție studiată.
Aproximarea print -o serie Fourie a unei funcții periodice impar e cu perioada T = 2π,
definită astfel:
𝑓 𝑡 = 𝑡 , 𝑡 ∈ (0,𝜋/2 )
−𝑡+𝜋 , 𝑡 ∈ 𝜋 2, 3𝜋 /2
𝑡−2𝜋 ,𝑡 𝜖 3𝜋/2 , 2𝜋
Păstrând primi i 3 coeficienții Fourier:

Figur a 47 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), păstrând
primi i 5 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde).
Păstrând primi i 5 coeficienții Fourier:

Figur a 48 .Graficul funcției f(x) aproximat ă cu ajutorul seriei Fourier(cel de culoare roșie), păstrând
primi i 5 coeficienții suprapus peste graficul funcției inițiale(cel de culoare verde).

– 38 –
4.2 Prelucrarea datelor de la un generator de semnale
Am prelucrat diferite semnale înregistrate cu ajutoul unui osciloscop, de la generatorul
de semnale construit în jurul integratului ICL8038 , cu ajut orul transformatei Fourier am
extras informați i despre frecvența semnalului , după care am filtrat semnalul la diferite valor i
ale frecvenței de taiere. Am suprapus graficul funcției filtrate peste graficul aceleași funcții
nefiltrate ș i am obsevat urmatorul lucru , când scadem frecvența de taiere, funcția filtrată va
tinde să aib ă formă de sinusoidă după cum puteții observa în graficele urmatoare. Desigur mai
este și posibilita tea de a filtra prea m ult.
4.2.1 Prelucrarea semnale lor dreptunghiulare
Să analizăm semnale dreptunghiulare de diferite frecvențe :

Figur a 49 . Graficul semnal ui dreptunghiular.
Valoarea calculată din gra fic a frecvenței este 10 kHz să comarăm această valoare cu
valoarea calculată utilizând analiza Fourier .

Figur a 50 . Frecvența semnalului dreptunghiular în funcție de amplitudine .
Din acest grafic frecvența semnalului este de apoximativ principală a semnalului este
de aproximativ 10 kHz ,în grafic mai obsevam alte două armonici.

– 39 –

Fitram acest semnalul cu filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 504 kHz.

Figur a 51 . Graficul semnalului filtrat FFT cu frecvența de taiere de 504 kHz (culoarea rosie),
suprapus peste graficul semnalului nefiltrat .
La o frecvență de taiere 10 kHz a filtru lui trece jos FFT. Spectrul semnalului va fi de
forma:

Figur a 52 . Graficul semnalului filtrat FFT cu frecvența de taiere de 10 kHz (culoarea rosi e),
suprapus peste graficul semnalului nefiltrat .
Din acest grafic observăm ca frecvența semnlului dreptunghiular este de aproximativ
10 kHz, deoarece forma semnalui filtrat la 10 kHz este formată din cel puțin două sinusoide.
Să analiz ăm unui semnal dreptunghiular de frecvență mai mare de 100 de kHz :

Figur a 53 . Graficul semnalului dreptunghiular cu frecvența mai mare de 100 kHz .

– 40 –
Frecvența calculată di grafic este de 170 de kHz , să comarăm această valoare cu
valoarea folosind analiza Fourier .

Figur a 54. Spectul semnalului în funcție de frecvenț ele componente.
Frecvența calculată din acest grafic este de 1 70 de kHz
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 900 kHz

Figur a 55 . Graficul semnalului filtrat FFT cu frecvența de taiere de 10 kHz (culoarea rosie),
suprapus peste graficul semnalului nefiltrat .
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere de 90 kHz :

Figura 56 . Graficul semnalului fil trat FFT cu frecvența de taiere de 900 kHz (culoarea roșie ) și
graficul semnalului filtrat FFT cu frecvența de taiere de 90 kHz(culoarea albastră ), suprapus e peste
graficul semnalului nefiltrat .

– 41 –
La frecvențe de taiere mai mari decât frecvența semnalului ,semnalul filtarat este
diminat foarte tare. De precizat că la frecvențe mari peste 150 kHz forma semnalului
dreptunghiular obținut de la generatorul de semnale se distorsonează tinzând spre o formă
sinusoidală.
4.2.2 Prelucrarea semnalelor sinusoidale
Să analizăm semnale sinusoidal e de diferite frecvențe :

Figur a 57 . Graficul uni semnalului sinusoidal .
Frecvența calculată din grafic este de 3 kHz , să comarăm această valoare cu valoarea
calculată folosind analiza Fourier :

Figur a 58 . Spectrul semnalului sinusoidal
Frecvența calculată din grafic este de 3kHz
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 25 kHz

Figur a 59. Graficul semnalului filtrat la 25 kHz (culoarea roșie), suprapus peste semnalul nefiltrat

– 42 –
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 2,5
kHz

Figur a 60 . Graficul semnalului filtrat la 2,5 kHz (culoarea verde ), și graficul semnalului filtrat FFT
cu frecvența de taiere de 25 kHz(culoarea roșie ), suprapus e peste graficul semnalului nefiltrat .
Pentru un semnal sinusoidal de frecvența mai mare

Figura 61 Pentru un semnal sinusoidal de frecvența mai mare de 100 kHz
Frecvența calculată din grafic este de 600 kHz , să comarăm această valoare cu
valoarea calculată folosind analiza Fourier :

Figura 62 Graficul semnalului în funcție de frecvențele componente

Frecvența calculată din grafic este de 600 kHz

– 43 –
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 4 MHz :

Figur a 63 . Graficul semnalului filtrat la 4 MHz (culoarea roșie) suprapus peste graficul semnalului
nefiltrat .
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 2
MHz

Figur a 64. Graficul semnalului filtrat la 2 MHz (culoarea ro z) suprapus peste graficul semnalului
nefiltrat .
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 404 kHz

Figur a 65 . Graficul semnalului filtrat la 404 kHz (culoarea albastră) suprapus peste graficul
semnalului nefiltrat .

– 44 –
4.2.3 Prelucrarea semnalelor triunghiular e
Pentru un semnal dreptunghiular cu frecvența su 10 kH z.

Figur a 66 . Graficul semnalului triunghiular .
Frecvența calculată din grafic este de 5.3 kHz ,să comarăm această valoare cu valoarea
folosind analiza Fourier
.

Figur a 67. Graficul semnalului triunghiular în funcție de frecvențele componente .
Frecvența calculată din grafic este de 5.3 kHz
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 50 kHz

Figur a 68 . Graficul semnalului filtrat FFT la 50 kHz (culoarea roșie), suprapus peste graficul
semnalului nefiltrat .

– 45 –
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 5 kHz

Figur a 69 . Graficul semnalului filtrat FFT la 5 kHz (culoarea roșie), suprapus peste graficul
semnalului nefiltrat .
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 3,5
kHz

Figur a 70 . Graficul semnalului filtrat FFT la 3,5 kHz (culoarea verde), suprapus peste gr aficul
semnalului nefiltrat .
Pentru un semnal triunghiular de frecvență mult mai mare

Figur a 71 . Graficul unui semnal triunghiular cu frevența peste 100 de kHz

– 46 –
Frecvența calculată din grafic este de 200 kHz ,să comarăm această valoare cu valoarea
folosind analiza Fourier .

Figur a 72 . Graficul unui semnal triunghiular în funcție de frecvențele componente
Frecvența calculată din grafic este de 200 kHz
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 500
de kHz

Figur a 73. Graficul semnalului filtrat FFT la 500 kHz (culoarea verde), suprapus peste graficul
semnalului nefiltrat .
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 250
de kHz

Figur a 74 . Graficul semnalului filtrat FFT la 250 kHz (culoarea verde), suprapus peste graficul
semnalului nefiltrat .

– 47 –
Fitram semnalul cu ajutorul unui filtru trece jos FFT, frecvența de taiere fiind de 190
de kHz

Figur a 75 . Graficul semnalului filtrat FFT la 190 kHz (culoarea verde), suprapus peste graficul
semnalului nefiltrat .

4.3 Aplicați în modelarea semnalelor
4 .3.1 Pentru un semnal sinusoidal
Am realizat un programel de interpreatare a 4 tipuri de semnale în programul
LabVIEW . În program am folosit subrutinele programului pentru generarea unor diferite
forme de semnale, am implementat ecuațile caracteristice modelari în amplitudine, și modelari
în frecvență. Am reprezentat grafic semnale de diferite amplitudini și frecvențe, iar cu ajutorul
transformatei Fourier extrag informați i despre frecvența semnalului modulat .
Am simulat un semnal sinusoidal cu frecvența de 10,7 Hz și amplitudinea de 0.4
modulat în amlitudine de un semnal putrator cu frecvența de 132 Hz și amplitudinea de 0.6 .
Cu aj utorul transformatei Fourier aflăm informații despre frecveța semnalului modulat, care
are aceași valoare cu frecvența semnalului purtator .

Figura 76 . Semalul modulator . Tensiunia semnalului în funcție de timp

– 48 –

Figura 77 . Semalul purtator . Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 78 . Semalul modulat. Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 79. Frecvența semnalului , calculată cu ajutorul transformatei fourier
Din grafic observam ca frecvența semnalului modulat , la valoarea de 132 Hz, și cele
două armonici de intenstate mai mică conform cu teoria . Frecvența semnalui modulator este
aceași cu frecvența semnalului purtator .
Pentru un același semnal e am studiat și modularea în frecvență .

Figura 80. Frecvența semnalului , calculată cu ajutorul transformatei fourier

– 49 –
Din grafic observam ca frecvența semnalului modulat , la valoarea de 132 Hz, și cele
două armonici de intenstate mai mică conform cu teoria . Frecvența semnalui modulator este
aceași cu frecvența semnalului purtator. De precizat că valoarea tensiun ii semnalului este
calculată în modul .
4 .3.2 Pentru un semnal triunghiular
Am simulat un semnal triunghiular cu frecvența de 10,7 Hz și amplitudinea de 0. 7
modulat în amlitudine de un semnal putrator cu frecvența de 214 Hz și amplitudinea de 0. 8 .
Folosind transformat a Fourier află m informații despre frecveța semnalului modulat, care are
aceași valoare cu frecvența semnalului purtator.

Figura 81 . Semal ul modulator . Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 82 . Semalul purtător . Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 83. Semalul modulat . Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 84. Frecvența semnalului , calculată cu ajutorul transformatei fourier

– 50 –
Varind amplitudinea semnalui modulator pâna la o valoare mai mare decât valoarea
amplitudini semnalului putrtator putem observa fenomenul de supra modulație.

Figura 85. Frecvența semnalului modulat cu indicele de modulaț ie 𝒎 >1 .
Pentru un același semnale am studiat și modularea în frecvență

Figura 86. Frecvența semnalului , calculată cu ajutorul transformatei fourier
Valoarea frecvenței pentu semnal modulat în amplitudine și frecvență calculată
folosind transformata Fourier este egală cu valoarea frecvenței semnalului purtator.
4 .3.3 Pentru un semnal form ă dinte de fierăstrău
Să simulăm un semnal triunghiular cu frecvența de 23de Hz și amplitudinea de 0. 96
modulat în amlitudine de un semnal putrator cu frecvența de 377 Hz și amplitudinea de 1.4 .
Folosind transformata Fourier află m informații despre frecveța semnalului modulat, care are
aceași valoare cu frecvența semnalului purtator , după cum se poate o bserva și din figura .

Figura 87. Semalul modulator . Tensiunia semnalului în funcție de timp

– 51 –

Figura 88. Semalul purt ător . Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 89. Semalul modulat . Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 90. Frecvența semnalului , calculată cu ajutorul transformatei fourier

Figura 92. Frecvența semnalului modulat cu indicele de modulație 𝒎 >1 .
Pentru un același semnale am studiat și modularea în frecvență

Figura 91. Frecvența semnalului , calculată cu ajutorul transformatei fourier

– 52 –
Varind amplitudinea semnalui modulator pâna la o valoare mai mare decât valoarea
amplitudini semnalului putrtator putem observa fenomenul de supra modulație.
4 .3.4 Pentru un semnal dreptunghiular
Să simulăm un semnal triunghiular cu frecvența de 23de Hz și amplitudinea de 0.96
modulat în amlitudine de un semnal putrator cu frecvența de 377 Hz și amplitudinea de 1.4 .
Folosind transformata Fourier aflăm informații despre frecveța semnalului modulat, care are
aceași v aloare cu frecvența semnalului purtator.

Figura 93. Semalul modulator . Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 94. Semalul purtator . Tensiunia semnalului în funcție de timp

Figura 95. Semalul modulat . Tensiunia semnalului în funcție de timp

– 53 –
Figura 96. Frecvența semnalului , calculată cu ajutorul transformatei fourier
Pentru un același semnale am studiat și modularea în frecvență

Figura 97. Frecvența semnalului , calculată cu ajutorul transformatei fourier
În figurile și , se poate observa mai multe armonici secundare deoarece semnalul
nostru este format dintr -o multitudine de semnale Dirac
4.4 Analiza Fourier pentru medii magnetice neliniare . Transformatorul
toroidal
In această parte au fost analizate ciclul de histerezis și armonicele semnalului indus în
bobina secundară a unui transformator toroidal . Procesul de magnetizare și ciclurile de
histerezis [29], au fost studiate la di verse amplitudini și frecvențe ale câmpului magnetic de
excitație de formă sinusoidală. Tensiunea indusă obținut ă în urma măsurătorilor a fost
analizat ă și reprezentat ă în domeniul frecvenț ei utilizând transformata Fourier. Armonicele la
diferite amplitudini și frecvențe ale câmpului de excitație sinusoidală a u fost analizate.
În figura 98 este reprezentată instalația experimental ă. Pe un miez toroidal realizat
dintr -un material magnetic moale , sunt înfașurat e două bobine una primară și una secundară,
bobinele a vând acelașii numar de spire. Bobina primară este conec tată în serie cu un resi stor
neinductiv cu rezistența R .Caderea de tensiune pe rezistorul R este notată cu u1, iar cadere de
tensiune pe înfașurarea secundară este notată cu u 2, și sunt masurate cu ajutorul unui
osciloscop controlat de un calculator.

Figura 98 . Instalația expe rimentală

– 54 –
Câmpul magnetic H și inducția magnetică B au fost ca lculate folosind expresii ( 4.1) și
(4.2) [30]:

11NuHlR , (4.1)

2
201dt
B u tNS , (4.2)
, unde N1 și N2 reprezintă numărul spirelor ale înfășurar ilor primar e și secundar e, l este
lungimea efectivă a circuitului magnetic iar S este aria secțiunii transversale. Datele măsurate
au fost prelucrate cu ajutorul unei aplicații LabVIEW pentru reprezenta rea inducției
magnetice obținute, folosind ecuațile (1) și (2) , ciclul de histerezis și a armonicilor
semnalului indus.
Formele de undă ale tensiunii induse și inducți a magnetică au fost analizate utilizând
transformata Fourier rapidă (FFT). Rezultatele anaizei FFT a semnalului a(t) constau în două
șiruri care conțin amplitudinile componentelor armonice Ai (i=0, 1, 2, 3, …) și fazele inițiale
ale acestora θi (i=0, 1, 2, 3, …). Ca urmare, o formă de undă în domeniul timp a semnalului
a(t) poate fi reprezentat ă aproximativ utilizând componenta continuă A0, prima armonică A1
și armonici superioare Ai (i=2, 3, 4, …) cu ajutorul ecuației (3):
 
  0
0 1 1 2 2cos 2
cos 2 cos 4 cos 2N
ii
i
NNa t A if t
A A f t A f t A N f t   
          

, (4.3)
unde N este numărul de componente armonice utilizate și f este frecvența
fundamentală armonică. Formele de undă analizate sunt funcții periodice de timp simetrice
în raport cu axa timpului .
Pentru investigatigarea c iclului de histerezis și analiza armonicelor semnalului d e
inducție în materilaul magnetic , s-au facut un număr total de șase seturi de măsurători la
diferite frecvențe (20 Hz, 30 Hz, 40 Hz, 50 Hz, 93 Hz și 141 Hz) . La fiecare set amplitudinea
câmpului magnetic de ex citație a fost variat ă în zece trepte, de la o valoare scăzută
(începutul magnetiza ției probei) la o valoarea ridicată care corespunde saturatiei magnetice
a probei. Măsuratorile au fost facute utilizând un osciloscop conectat la un computer în
vederea înregistrari datelor .

– 55 –

Figura 99.Tensiunea indusă în bobina secundară la diferite amplitudini ale câmpului
magnetic sinusoidal de excitație la frecvența de 50 Hz.

Figura 100 .Ciclul de histerezis obținut la diferite amplitudini ale câmpului mag netic de
excitație sinusoidală pentru frecvența de 50 Hz
O comparație între ciclurile de histerezis obținute la diferite frecvențe (20 Hz pâna la
141 Hz) ale câmpului magnetic de excitație sinusoidală este prezentată în Fig ura 101 . Este
evident că forma ciclurilor este foarte dependentă de frecvența câmpului de excitație. La
frecvenț e mai mari ciclul de histerezis mai larg , deoarece pierderea de putere este mai mare.

0,02 0,03 0,04 0,05
-0,6-0,4-0,20,00,20,40,6
t [s]u [V]

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000
-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8B [T]
H [A/m]

-600 -400 -200 0 200 400 600
-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,8
20 Hz30 Hz40 Hz50 Hz93 Hz141 HzB [T]
H [A/m]

– 56 –
Figura 101. Ciclul de histerezis la diferite frecvențe de excitație sinusoidal ă.
Folosin d analiza FFT a semnalului Indus în bobina secundară au fost determinate
ampitudinile componentelor armonice . În Figura 102 a sunt reprezentate valorile normate ale
prim ei armonici și ale urmatoarelor amonici impare superioare Vi/V1, i=1, 3,…, 25, (doar
armonici le impare au o valoare semnificativă) a tensiunii induse la diferite amplitudini de
excitație sinusoidală cu frecvența de 50 Hz. Componentelor armonice impare normate ale
inducției magnetice Bi/B1, i=1, 3,…, 25, sunt reprezentate î n Figura 102 b .
Rezultatele prezentate în Figura 102 .a , au confirmat o forma distorsionat ă (din
sinusoidală) a tensiunii induse. S-au observat p rezența armonic elor superioare chiar și la
câmp uri magnetic e de excitație de intensitate scăzută în timp ce la excitații mai mari (aproape
de saturațiea magnetică), chiar și armonicel e 19 și 21 au valoare semnificativă (în jur de 1%
din prima armonică).

a) b)
Figura102. Armonicele of: a) tensiunea indusă , b) induc ția magnetică ,
la excitație sinusoidală de 50 Hz
Componentele armonice ale inducției magnetice sunt foarte diferite de cele ale
tensiunii induse. În cazul inducției magnetice doar primele 11 componente armonice au o
valoari importante (mai mar i de 1% din prima armonică). Putem spune că inducția magnetică
este mai apropiată de forma sinusoidală decât tensiunea indusă.
În figura 103 sunt reprezentate valorile normate ale primei și urmatoarelor component
armonice ale tensiuni induse în bobina secundară la diferite frecvențe a câmpului de excitație
și amplitudini ale acestuia: 210 A/m, 430 A/m și 680 A/m. Se observă că amplitudinile
armonic elor pentu frecvențe mai mici de 50 Hz nu se schimbă semnificativ în funcție de
amplitudinea cămpului de excitație. La frecvențe mai mari apar difererențe ce ar putea fi
correlate cu propietațile magnetice ale probelor.

50150250350450550650750850950
1050
1150
12500.20.40.60.81.0
4769116168224
335
441
516
620
684Vi/V1
Hmax [A/m]
f [Hz]

50150250350450550650750
850
950
1050
1150
12500,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
4769116
168
224
335
441
516
620
684Bi/B1
Hmax [A/m]
f [Hz]

– 57 –

Figura. 103. Armonicele tensiu ni induse în bobina secundară la diferite frecvențe și ampitudini
ale câmpului de excitație

13579
11131517192123250,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
20
30
40
50
93
141~ Hmax 210A/m
i
f [Hz]

Vi/V1~

1357911131517192123250,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
20
30
40
50
93
141i
f [Hz]
Vi/V1~ Hmax 430A/m~

1357911131517192123250,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
20
30
40
50
93
141if [Hz]

Vi /V1~ Hmax 680A/m~

– 58 –
Anex a A
În această anexă este reprezentată aplicația creată de mine în programul LabV IEW, cu
ajutorul căreia am studiat modularea în amplitudine și frecvență, precum și analiza Fourier a
semnalului modulat . În urmatoarele două imagini este repezentaă interfața grafică.

Figura. 10 4. Panoul de control al datelor de intrare

Figura. 10 5. Caracteristicile pe care le – am studiat
Urmatoarea figură reprezintă panoul de legatură, în care am întrodus ecuațile
carecteristice tipurilor de modulație.

– 59 –

Figura. 10 6. Funcțile caracteriztice modulari în amplitudine

Figura. 10 7. Funcțile caracteriztice modulari în frecvență

– 60 –
Anex a B
În această anexă este reprezentată aplicați e LabVIEW, cu ajutorul căreia am analizat
semnale culese de la generator utilizând funcțile analizei Fourier. În urmatoarele două
imagini este repezentaă interfața grafică.

Figura. 108. Funcțile caracteriztice modulari în frecvență
În figura 108 reprentat semnalul culesc de la generator, precum și analiza Fourier a
semnalului filtrat la diferite filtre .

Figura. 10 9. Diagrama bloc, funcțiile necesare imortarii datelor și analizei Fourier

– 61 –
Bibliografie

[1] Prelucrarea semnalelor , an II – Facultatea de Inginerie Electrica U.P.B. 2006 -2007
[2] Semnale electrice ,http://www.scritub.com/tehnica -mecanica/SEMNALE –
ELECTRICE93336.php
[3] Laurențiu Frangu – Introducere în Inginerie Electronică și Telecomunicații, 2008
[4] Ioan Naforniță, Cornelia Gordan, Alexandru Isar –Semnale circuite și sisteme
,Universitatea “Politehnica” Timișoara Facultatea de Electronică și Telecomunicații 1995
[5] Joseph Fourier – Théorie analytique de la chaleur 1822
[6] Lucas Illing – Fourier Analysis 2008
[7] Ariadna – Lucia Pletea – Ecuații diferențiale și calcul operațional . Capitolul 3 Serii
Fourier
[8] Prof. Brad Osgood – The Fourier Transform and its Applications, Electrical
Engineering Department Stanford University
[9] Karl Glasner –Math 456: Partial differential equations. The Fourier
transform
[10] Ruye Wang – Properties of Fourier Transform 2009
[11] MIT – Fourier transform proprerties
[12] Lecture 5 . Propietes of Fourier Transforms. Signals and Systems. Utah State
University of Electrical and Computer Engineering .
[13] The Propietes of Fourier Transforms . University of Edinbourgh Scool of Physics and
Astronomy
[14] Lance R. Williams – Intro to Fourier Transforms
[15] Deepa Kundur – Properties of the Fourier Transform .University of Toronto
[16] J. Kauppinen, J. Partanen – Fourier Transforms in Spectroscopy
[17] Peter F. Driessen – ELEC 484 Audio Signal Processing Amplitude Modulation
[18] Andrei Ciorba – Modulatoare si demodulatoare . http://andrei.clubcisco.ro/cursuri/
[19] Șerbănescu Al., Oroian T, Semnale analogice. Teorie și Probleme , Editura A.T.M.,
București, 2010
[20] Anisia-Luiza Florescu Semnale si sisteme curs 2008 – 2009
[21] Laborator Semnale modulate în amplitudine și frecvență – UPT Departamentul de
Comunicatii Prelucrarea Semnalelor
[22] Constantin Strîmbu – Semnale și Circuite Electronice Analiza Și Prelucrarea
Semnalelor. Editura Editura Academiei Forțelor Aeriene “Henri Coandă” Brașov
[23] Semnale cu modulatie de amplitudine . Laboratorul de Semnale, Circuite si Sistem e .
Facultatea de Electronica si Telecomunicatii Universitatea Tehnica "Gh. Asachi", Iasi,
[24] Gaussian waves Generating Basic signals – Rectangular Pulse
[25] Andy Collinson – A funcțion generator using ICL8038 integrated circuit.
[26] Intresil ICL8038 April 2001 File Number 2864.4
[27] Paul Hills – Circuits PwmGenerators
[28] LF351 Wide Bandwith JFET Input Operational Amplifier . National Semiconductor
December 1995

– 62 –
[29] Y. Saito, Y. Kishino, K. Fukushima, S. Hayano, N. Tsuya, "Modeling of
magnetization charact eristics and faster magnetodynamic field computation", Journal of
Applied Physics, Vol. 63, No. 8, April 1988, pp. 3174 -3178.
[30] G. Bertotti, Hysteresis in Magnetism: For Physicists, Materials Scientists and
Engineers , Academic Press, New York, USA, 1998 .
[31] Cursul 9 Informatica industrială, Prelucrarea digitala a semnalelor
users.utcluj.ro/~sebestyen/_Word_docs/ Cursuri /Curs _infoind_ 9.ppt.
[31] Lucrarea 6 Transformata Fourier Discretă, Universitatea Tehnică "Gheorghe Asachi"
Iași Facultatea de Electronică, Telecomunicații și Tehnologia Informației
[32] Conf.Dr. Dana Constantinescu Matematici Speciale. Departamentul de Matematici
Aplicate Universitatea din Craiova
[33] Laboratorul 8 Prelucrarea semnalelor Calculul, și utilizarea transformatei Fourier
Discrete , www.schur.pub.ro/download/ps/ps_lab8.pdf
[34] Valeriu Prepeliță, Monica Pîrvan, Antonela Toma, Gheorghe Barbu, Li liana Popa,
Daniela Roșu .Transformări integrale și funcții complexe cu aplicații în tehnică volumul 1
[35] NOTIUNII DE PROCESAREA SEMNALELOR SI METODE MATEMATICE
FOLOSITE IN SIMULAREA UNOR FENOMENE DIN FIZICA (Propagarea undelor si
pulsurilor in medii elastice) . http://andrei.clubcisco.ro/curs uri/1elth/circ_num.pdf
[36] S.S. Young .Signal Filtering ,AdInstruments (2001)
[37] M. J. Roberts – Signal DistortionInTransmission.pdf ,
[38] M. J. Roberts – Linear Modulation.pdf
[39] Sophocles J. Introduction to Signal Processing, Orfanidis Rutgers University
[40] Kerry Lacanette A Basic Introduction to Filters ÐActive, Passive and Switc hed-
Capacitor, National Semiconductor Application Note 779 April 1991
[41] Foundations of Signal Processing, Martin Vetterli .University Vivek K Goyal
Massachusetts Institute of Technology & Boston University May 31, 2014
[41] Richard Markell “Better than Bessel” Linear Phase Filters for Data Communications
[42] Kertescz Csaba -Zoltan, Laurențiu -Mihail Ivanovici Procesarea Digitală a Semnalelor .
Îndrumar de Laborator . Universitatea Transilvania din Brașov 2009
[43] Peter Y.K. Cheung , Lecture 11 The Fourier transform, EE 102 spring 2001 -2002
Handout 23
[44] Laboratorul 8 Calculul¸si utilizarea Transformatei Fourier Discrete
[45] Ioan Rusu – Metode numerice , Universitatea Politehnica din București Facultatea de
Electronică, Telecomunic ații și Tehnologia Informației Catedra: Tehnologie Electronică și
Fiabilitate
[46] Valeriu Prepeliță, Muonica Pîrvan, Antonela Toma, Gheorghe Barbu, Liliana Popa,
Daniela Roșu ,Transformări integrale și funcții complexe cu aplicații în tehnică Volumul 2
[47] Bracewell – The Fourier Transform And Its Applications, Standford University
[49] Antonela TOMA Ștefan Schonstein , Coordonator : Șef Lucrări Dr. Ing. Gabriel
Fodor Program de Analiză Armonică cu Transformata Fourier Rapidă .
[49] Miodrag Iovanov , Capitolul IV Serii Fourier

– 63 –
Declarație de autenticitate,
Subsemnatul Sohoreanu Cezar Marian , cu domiciliul în Comuna
Heleșteni Sat Heleșteni , judetul Iași, înscris la examenul de licență , seria 2013
– 2016, cunoscând dispozițiile articolului 292 Cod penal cu privire la falsul in
declarații, declar pe propria răspundere următoarele:
a) lucrarea de licen ță cu titlul
Algoritmi de procesare a semnalelor . Aplicații în spectroscopia
magnetică a nanoparticulelor, a fost elaborată personal și îmi a parține
în întregime;
b) nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie;

c) nu am pre luat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau
din alte surse fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv
în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale subsemnatul ui;
d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de
concurs.

Dau prezenta declarație în vederea avizării de către conducătorul științific,
domnul Conf. Dr. Dumitru Ioan

Declarant ,
(nume, prenume )……………………………………………
( semnătura)…………………………………

Data ……………