SPECIALIZA REA: INGINERIA SISTEMELOR Controlul poziției bilei în sistemul „ball and beam” LUCRARE DE DIPLOMĂ Coordonator științific Conf.dr.ing…. [607635]

Iași, 2018
UNIVERSITATEA TEHNICĂ „Gheorghe Asachi” din IAȘI
FACULTATEA DE AUTOMATICĂ ȘI CALCULATOARE
SPECIALIZA REA: INGINERIA SISTEMELOR

Controlul poziției bilei în sistemul
„ball and beam”

LUCRARE DE DIPLOMĂ

Coordonator științific
Conf.dr.ing. Letiția Mirea
Absolvent: [anonimizat]

1
Cuprins
Capitolul 1. Introducere…………………………………………………… ………………………………. ………….2
1.1. Introducere………………………………………………………………………………………………. ..2
1.2. Relevanța sistemului în aplicațiile reale …….. ………………………. ……………….. ……….3
1.3. Introducere in controlul neliniar……………………………………………………………………4
1.4. Obi ectivele lucrării……………………………………………………………………………………. .5
Capitolul 2. Metode de control pentru sisteme instabile . …………………………………………. ……… 6

2
Capitolul 1. Introducere

1.1 Introducere

Sistemul cu bile și grinzi mai este numit și echilibrarea unei bile pe o grindă. Aceste
sisteme pot fi găsite de obicei în majoritatea laboratoarelor de control ale universităților
deoarece este unul dintre cele mai populare și importante modele pentru predarea ingineriei
sistemelor de control fiind utilizate pe o scară largă pentru că sunt ușor de înțeles, iar tehnicile
de control care pot fi studiate acoperă multe metode importante de design clasic și modern . În
general, sistemul cu bile și grinzi este legat de controlul real al problemelor cum ar fi
stabilizarea orizontală a unui avi on în timpul aterizării sau în zonele cu turbulențe.
Există două grade de libertate în acest sistem , unul fiind bila care se ros togolește de -a
lungul grindei, iar celălalt este grinda care se rotește prin axa sa centrală.
În sistem este vorba despre o bila de oțel care se rostogolește pe deasupra unei grinde.
Grinda este montată pe arborele de ieșire al unui motor electric, astfel grinda poate fi rotită în
jurul axei sale prin aplicarea unui semnal de control asupra amplificatorului motorului.
Semnalul de control poate fi obținut prin returnarea informațiilor despre poziția bilei și poate fi
derivat de motorul de curent continuu prin intermediul unui amplificator de putere, apoi
cuplul generat de acționările motorului face ca grinda să se rotească până la unghiul dor it.

Fig.1.1 Sistemul cu bile și grinzi

3
Obiectivul sistemului este de a controla poziția bilei într-un punct de referință dorit și
să respingă perturbațiile , cum ar fi așezarea unei greu tăți pe grindă . Astfel, bila poate fi adusă
in poziția do rită.
Controlul sistemului se referă la reglarea automat ă a poziției bilei prin modificarea
unghiului grindei. Aceasta este o sarcină dificilă de control deoarece bila se rotește pe grindă
cu o accelerație aproximativ proporțională cu viteza de înclinare a grindei.
Este important să subliniem faptul că sistemul în buclă deschisă este instabil și
neliniar.
Problema instabilității poate fi rezolvată prin adăugarea unei bucle de reglare care
preia semnalul de ieșire a sistemului și il compară cu un semnal de referință impus. Dacă
iesirea sistemului diferă de referința impusă regulatorul va calcula un nou semnal de comandă
și il va trimite către elementul de execuție.Modelul intrare -stare -ieșire mai poate fi utilizat
pentru a stabiliza sistemul.
Atunci când gr inda este inclinată la un unghi mic față de poziția orizontală
proprietatea neliniară nu este semnificativă, iar în acest caz liniarizarea sistemului este
posibilă. Proprietatea neliniară devine semnificativă atunci când unghiul grindei față de
poziția ori zontală este mai mare de 30 de grade sau mai mic de -30 de grade, prin urmare, o
aproximare liniară simplă nu este exactă.
Astfel,o tehnică de control mai avansată, cum ar fi controlul neliniar, va da rezultate
mai bune.

1.2. Relevanța sistemului în apli cațiile reale

Cele mai multe probleme de control pe care le întâlnim în practică sunt ușor de
controlat. De exemplu, pentru un semnal de intrare fix, ieșirea rămâne mai mult sau mai puțin
constantă. Anumite siste me importante sunt, fie prin design, fie p rin natura lor, instabile, iar
controlul neliniar este esențial pentru a le face să funcționeze în condiții de siguranță. Multe
procese industriale moderne și sisteme tehnologice sunt instabile și nu ar putea fi utilizate fără
să fie stabilizate cu ajutoru l controlului neliniar .
Exemple de sisteme instabile:
1. În industria proceselor chimice controlul reacțiilor exoterme. Dacă o reacție chimică
generează căldură, iar reacția devine mai rapidă pe măsura creșterii temperaturii, atunci
temperatura reacției trebuie stabilizată pentru a evita o explozie termică. Reacțiile exoterme
sunt folosite pentru producerea multor produse chimice utilizate in viața de zi cu zi, iar fără
controlul neliniar, aceste produse nu ar fi disponibile.

4
2. În generarea de energie es te necesar controlul poziției plasmei în Joint European Torus
(JET).În acest caz trebuie controlată poziția verticală a inelului de plasmă din interiorul unui
recipient metalic care are formă de gogoașă. Controlul se realizează prin intermediu l unor
câmpur ilor magnetice aplicate recipientului.
3. În domeniul aerospațial la controlul decolării verticale al unei rachete sau al unei aeronave.
Unghiul jeturilor de propulsie trebuie controlat permanent pentru a împiedica răsturnarea
rachetelor sau a aeronavelor. Fără stabilizarea mișcarii prin controlul neliniar, nu ar mai fi
existat rachete spațiale, iar faimosul avion cu reacție al lui Hawker Harrier ar fi rămas un doar
un vis frumos pentru compania Hawker Aircraft .
Controlul sistemelor instabile este extrem d e important pentru multe dintre cele mai
dificile probleme de control și trebuie studiat în laborator. Problema este că sistemele reale
instabile sunt de obicei periculoase și nu pot fi aduse în laborator. Sistem ul cu bile și grinzi a
fost dezvoltat pentru a rezolva acest paradox, acesta fiind un mecanism simplu și sigur care are
caracteristicile dinamice ale unui sistem instabil.

1.3. Introducere in controlul neliniar

În teorie controlul neliniar este domeniul care se ocupă de sisteme care sunt neliniare ,
variante in timp sau ambele. Controlul este o ramură interdisciplinară a ingineriei și a
matematicii care se ocupă de comportamentul sistemelor dinamice cu intrări și de modul in
care se modifică ieșirea prin modificări ale intrărilor utilizând o buclă d e reglare. Pentru a face
ca ieșirea unui sistem să urmeze un semnal de referință dorit, este proiectat un controler care
compară semnalul de ieșire a sistemului care trebuie controlat cu semnalul de ieșire dorit, prin
acest lucru obținându -se un feedback c are este trimis sistemului pentru a -și modifica ieșirea
astfel încât sa fie cat mai aproape de ieșirea dorită.
Controlul neliniar acoperă o clasă mai largă de sisteme din lumea reală, deoarece toate
sistemele de control reale sunt neliniare. Aceste sisteme sunt adesea guvernate de ecuații
diferențiale neliniare. Tehnicile matematice dezvoltate pentru a le gestiona sunt mai riguroase
și mult mai puțin generale, adesea aplicânduse doar unor categorii restrânse de sisteme.
Câteva exemple sunt teorema ciclului limită, hărțile Poincaré și teorema stabilității Liapunov.
În cazul în care sunt căutate doar soluții apropiate unui punct stabil de interes, sistemele
neliniare pot fi deseori linearizate prin aproximarea lor printr -un sistem liniar, astfel pot fi
utiliza te și tehnici lineare de control. Sistemele neliniare sunt adesea analizate folosind metode
numerice, de exemplu prin simularea funcționării lor utilizând un limbaj de simulare. Chiar
dacă partea fixată este liniară, un controler neliniar poate avea adesea o fiabilitate mai bună,

5
cum ar fi o implementare mai simplă, o viteză mai mare, o acuratețe mai mare sau o energie
de control redusă, ceea ce justifică procedura de proiectare mai dificilă a controlerului.
Un exemplu de sistem care necesită o metodă de co ntrol neliniar este un sistem de
încălzire cu termostat. Un sistem de încălzire al unei clădiri are un răspuns neliniar la
schimbările de temperatură, este pornit sau oprit, nu poate fi controlat asemenea un dispozitiv
proporțional (liniar). Prin urmare, s istemul de incălzire este oprit până când temperatura scade
sub valoarea de referință a punctului de pornire al termostatului, moment in care pornește
până când temperatura crește până la valoarea de referință a punctului de oprire a
termostatului, fapt ca re oprește furnizarea de căldură, iar ciclul se repetă. Această ciclare în
jurul temperaturii dorite este numită ciclu limită și este caracteristică sistemelor de control
neliniare.

1.4. Obiectivele lucr ării

Principalul obiectiv al lucr ării este de a controla poziția bilei în sistemul ball and
beam.
În mod specific, obiectivele sunt enumerate mai jos :

– Proiectarea unei legi de reglare după stare pentru sistemul ball and beam.
– Proiectarea unei legi de reglare după starea estimată, utilizând estimatoru l
complet.
– Proiectarea unei legi de reglare după starea estimată, utilizând estimatorul
parțial.
– Proiectarea unei legi de reglare prin metoda alocării.
– Compararea rezultatelor experimentale.
– Construirea unei animații a sistemului ball and beam.

6
Capitolul 2. Metode de control pentru sisteme instabile

2.1 Metoda al ocării polilor și a zerourilor

Relații între performanțele impuse și repartiția polilor:
Perormanțe de regim tranzitoriu:
– Suprareglarea (
 )
21e
−
−= (2.1)
– Durata regimului tranzitoriu (
tt)
2ln 0.05 1
t
nt
−=− (2.2)
Atunci când
 aparține intervalului [0.5 0.8]
4
t
nt (2.3)
– Gradul de amortizare (
2 )
22
1 2
2
1e
−
−== (2.4)
– Lărgimea de bandă (
B)
2 2 41 2 2 4 4Bn    = − + − + (2.5)
Performanțe de regim staționar:
– Eroarea sta ționară (
p)
0 0 (0) 1p G= = = (2.6)
– Eroarea de vitez ă (
v )
121 1 2
v
n pp= + = (2.7)
Performanțe de realizabilitate fizică:
– Pentru ca metoda alocării să poată fi utilizată diferența pol -zerou a lui
()RGs
trebuie să fie mai mare sau egală cu 0, rezultând că diferența pol -zerou a lui
0()Gs
trebuie să fie mai mare sau egală cu diferența pol -zerou a lui
()fGs .

0( ) 0 ( ) ( )
RfG G G p z p z p z−  = −  − (2.8)

Metoda alocării poli lor și a zerouri lor se parcurge in 3 etape:
1. Pe baza condițiilor inițiale si a performantelor impuse se alocă polii si zerourile
funcției de transfer în buclă închisă
0()Gs .
Pentru sisteme de ordin 2 ,
0()Gs este:

2
02 22()2n
nnGsss
 =++ (2.9)
Polii sistemului sunt:

7

2
1 1nn pj  − =− + − (2.10)

2
2 1nn pj  − =− − −
(2.11)

2. Determinarea funcției de transfer in circuit deschis:
0
0()()1 ( )dGsGsGs=−
(2.12)
3. Determinarea funcției de transfer a regulatorului :
1( ) ( )()Rd
fG s G sGs=
(2.13)
Structura de reglare:

Fig. 2.1 Structura de reglare pentru metoda aloc ării

2.2 Reglare după stare

Pentru a putea proiecta o le ge de regl are după stare, toate stările sistemului trebuie să
fie măsurabile.
Un model tipic de sistem intrare -stare -ieșire este urmatorul:

x Ax Bu=+
(2.14)

y Cx Du=+ (2.15)
În (2.1 4) sunt ecuațiile st ărilor , iar in (2.1 5) sunt ecuațiile ie șirii, A este matricea
stărilor , B este m atricea intrării, C este matricea ie șirii, D este matri cea de transmisie directă , x

8
reprezintă stările părții fixate, u reprezintă ieșirile părții fixate, iar u este vectorul s emnalelor
de intrare.
Ideea de feedback în reglarea după stare este similară cu meto dele de control clasice.
Semnalul de control pentru reglarea după stare este de finit astfel:

u=kx (2.16)
unde k repr ezintă gain-urile de control.
Folosind ecuațiile (2.1 4), (2.1 5) și (2.1 6) matricea st ărilor este urm ătoarea:

()x A Bk x Bu= − +
(2.17)

y Cx Du=+ (2.18)
Sistemul în buclă închisă este g uvernat de ecuația (2.1 7). Semnalul de control u este o
combinație liniară a stărilor părții fixate, care sunt măsurabile. Principala problemă în
proiectarea unei legi de reglare după stare este de a calcula gain -urile de control pentru a obține
performanț ele dorite.

2.3 Reglare după starea estimată complet

Reglarea după starea estimată este o metodă de control care folosește un estimator
pentru a obține stările sistemului. Estimatorul este folosit pentru a calcula variabilele de stare
care nu sunt acce sibile din partea fixată.
Estimatorul complet al sistemului definit in ecuațiile (2.1 4) și (2.1 5) considerând ca
matricea D este egala cu 0:

ˆ ˆ ˆ () x Ax Bu L y Cx= + + −
(2.19)
unde
ˆx reprezintă estimările stărilor x, L este m atricea estimatorului, iar partea fixată
controlată de legea de reglare după stare este data de:

ˆˆ()x A Bk LC x Ly= − − +
(2.20)

ˆ u kx=− (2.21)
Legea de reglare după starea complet estimate este guvernată de ecuați a (2. 20).
Semnalul de control u este o combinație liniară a stărilor estimate ale părții fixate. Principala
problemă în proiectarea unei legi de reglare după starea estimată complet este de a calcula

9
gain-urile matricii estimatorului L și gain -urile de con trol pentru a obține performanțele
dorite.
Gain -urile estimatorului L trebuie calculate mult mai repede decât cele de control k
pentru a putea estima sterile sistemului suficient de repede.

10
Capitolul 4. Studiu de caz

4.1.De scrierea procesului
4.1.1.Configurații ale sistemului ball and beam
Pentru susținerea grindei există două tipuri de configurații , prima dintre ele se
regăsește în Fig.4.1, care ilustrează faptul că punctul de susținere al grindei se afl ă la mijlocul
aceste ia și se rotește față de axa sa centrală, cele mai multe sisteme cu bile și grinzi utilizează
acest tip de configurație. Avantajul acestei fo rme este că sistemul poate fi ușor de construit, iar
modelul matematic este relativ simplu.

Fig.4.1 Grinda susținu tă în mijloc
Cea de -a doua configurație este prezentată în Fig 4.2. Grinda este susținută la ambele capete
de două brațe de pârghie. Unul dintre brațe este fix, iar celălalt este atașat unui motor. Deoarece
motorul se rotește , pârghia modific ă unghiul grin dei. Când unghiul este schimbat din poziția
orizontală, gravita ția face ca bila să se rostogolească de -a lungul grindei. Dezavantajul acestei
configurații este că trebuie acordată mai multă atenție părților mecanice, fapt care poate crea
unele dificultăți în derivarea unui model matematic. Avantajul acestui model este că poate fi
utilizat un motor cu o putere relativ mică datorită efectului de pârghie.

Fig.4.2 Grinda susținuta la ambele capete

11
Pe baza configurației în care grinda este susținută în mijloc , așa cum se vede în figura 4.1,
există două configurații suplimentare. Prima dintre ele fiind prezentată în figura 4.3, care
poziționează grinda în mijlocul a două suporturi. A doua configurație, prezentată în figura 4.4,
grinda este atașată direct pe arb orele motorului. Pe baza configurației în care grinda este
susținută în mijloc, așa cum se vede în figura 4.1, există două configurații suplimentare. Prima
dintre ele fiind prezentată în figura 4.3, care poziționează grinda în mijlocul a două suporturi.
A doua configurație, prezentată în figura 4.4, grinda este atașată direct pe arborele motorului.

Fig.4.3 Grinda susținută intre două suporturi

Fig.4.4 Grinda susținută pe arborele motorului

4.1.2 Modelul mathematic al sistemului

Sistemul cu bile si gr inzi trebuie să fie pe deplin înțeles înainte de orice încercare de a -l
controla, analiza teoretică fiind primul pas în abordarea acestui sistem. De obicei, procesele
analitice necesită o echipă ingineri care să investigheze un sistem universal bazat pe le gile
fizicii. În sistemul cu bile și grinzi, bila se rotește pe grindă, aceasta din urmă fiind acționată de
un motor de curent continuu. Pentru a poziționa bila în punctul dorit, grinda trebuie să se
rotească corect față de axa sa centrală, acest lucru nec esită în continuare ca motorul să fie
acționat electric corect. Prin urmare, este esențială construcția unui model matematic al
sistemului care să exprime relațiile dintre toate componentele acestuia. De obicei, există mai
multe tehnici care ar putea fi ut ilizate pentru a deriva un model matematic cum ar fi funcția de
transfer dintre semnalul de intrare și cel de ieșire. Cea mai simplă modalitate de a furniza
modelul matematic este cea în care sunt folosite legile fizicii și ale electronicii pentru a exprim a

12
sistemul. În acest caz, sistemul este foarte simplu, această metodă fiind cea mai eficientă în
vederea obținerii modelului matematic. Celelalte metode, cum ar fi identificarea sistemului sau
metoda experimentala, sunt aplicate la sistemele mai complexe, pentru care este imposibilă
obținerea unui model precis prin apliarea unor legi simple.
Merită remarcat faptul că modelul derivat mai jos este doar un model ideal, indiferent de
tipul de metodă utilizată, cu alte cuvinte, este imposibilă construția unui m odel perfect.
Pentru modelul matematic am considerat sistemul din Fig. 4.5.

Fig.4.5 Sistem ul cu bile și grinzi
Ecuația Lagrangiană de mișcare a bilei este :

2
20 ( ) sinJm r mg mrR = + + −
(4.1)
Prin lin iarizarea ecuției (4.1) cu privire la unghiul grindei, (
 = 0), rezultă următoarea
aproximare liniară a sistemului:
2()Jm r mgR + =−
(4.2)
Corelația dintre unghiul grindei si unghiul angren ajului este aproximată ca fiind liniară
de ecuația de mai jos :

d
L= (4.3)
Din ecuațiile (4.2) și (4.3) rezultă:

2()Jdm r mgRL + =−
(4.4)

13
Aplicând transformata Laplace pentru ecuația (4.4) rezultă următoarea funcție de
transfer:

2
2( ) ( ) ( )Jdm R s s mg sRL + =− (4.5)

Rearajând euația (4.5), se obține funcția de transfer a poziției bilei R(s) , în funcție de
unghiul angrenajului
 (s):
2
2( ) 1()()()R s mgdPsJ ssLmR= =−
+

[]m
rad (4.6)
Ecuațiile linearizate ale sistemului cu bile și grinzi pot fi de asemenea reprezentate sub
forma unui sistem intrare -stare -ieșire. Acest lucru se poate face prin selectarea poziției bilei (
r )
și a vitezei de deplasare a bilei pe grindă (
r
) ca variabile de stare, iar unghiul angrenajului (
)
sa fie marime a de intrare. Reprezentarea intrare -stare-ieșire a sistemului este prezentată mai
jos:
20
01
01()rr mgd
rr JLmR
     =+ −          +
(4.7)
Cu toate acestea, pentru exemplul nostru de sistem intrare -stare -ieșire vom folosi un
model ușor diferit. Pentru poziția bilei se aplică aceeași ecuație, dar în loc de a o controla prin
intermediul unghiului angrenajului (
), va fi controlat direct cuplul aplicat grindei. Mai jos este
ilustrată reprezentarea acestui sistem:
20 1 0 0
0
0 0 00()
0
0 0 0 1 1
0 0 0 0rr mgd
rr JLm uR 

      −           + =+               

(4.8)
  1 0 0 0r
ry


 =


(4.9)

14
Pentru acest sistem, angrenajul și brațul de pârghie nu vor fi folosite, în schimb se a
utiliza configurația prezentat ă in Fig.4.4, un motor aflat în centrul grindei va aplica un cuplu
asupra grindei,prin intermediul căruia se va controla poziția bilei.
Pentru această problemă, am presupus că mingea se rostogoleste, fără alunecare, iar
frecarea dintre grindă și minge este neglijabilă. Constantele si variabilele acestui exemplu
sunt de finite în Tabelul 4.1.
Tabelul 4.1 Parametrii sistemului
Nr. Crt. Parametru Simbol Unitate de măsura Valoare
1 Masa bilei m kg 0.11
2 Raza bilei R m 0.015
3 Lungime a brațul de pâr ghie d m 0.03
4 Lungimea grindei L m 1
5 Aceler ația gravitaționala g
2m
s
9.81
6 Momentul de inerție al bilei J kg.
2m 9.99e -6
7 Poziția bilei r m (-0.5,0.5 )
8 Unghiul grindei
 rad
,66−
9 Unghiul brațului de pârgh ie
 rad
,18 18−

15
Capitolul 3. Resurse software ut ilizate
3.1 Matlab