Spatii Riemann Izometrice

CUPRINS

INTRODUCERE………………………………………………………………………………………..3

CAPITOLUL I – VARIETĂȚI DIFERENȚIABILE……………………………………7

Varietați diferențiabile. Exemple…………………………………………………………..7

Aplicații diferențiabile………………………………………………………………………..13

Vectori tangenți…………………………………………………………………………………15

Diferențiala unei aplicații într-un punct……………………………………………….19

Vectori cotangenți……………………………………………………………………………..21

Tensori de tip (r, s) pe o varietate diferențiabilă M………………………………..22

Algebre Lie……………………………………………………………………………………….24

Forme diferențiale……………………………………………………………………………..26

Grupuri de transformări cu un parametru ……………………………………………28

Spații fibrate vectoriale………………………………………………………………………29

Conexiuni în fibrate vectoriale…………………………………………………………….30

CAPITOLUL II – SPAȚII RIEMANN………………………………………………………32

Definiție. Exemple. Proprietăți……………………………………………………………32

Tensorul Riemann. Definiție. Proprietăți………………………………………………33

Tensorul Ricci. Definiție. Proprietăți……………………………………………………34

Spații Einstein…………………………………………………………………………………..34

Spații Riemann de curbură constantă…………………………………………………..35

Tensorul conform de curbură Weyl………………………………………………………38

Operatori diferențiali pe spații Riemann………………………………………………42

CAPITOLUL III – SPAȚII RIEMANN IZOMETRICE…………………………….47

Spații Riemann izometrice de curbură constantă…………………………………..47

Inversiuni între spații Riemann……………………………………………………………48

Aplicații……………………………………………………………………………………………51

Proprietăți spectrale ale varietăților izometrice…………………………………….54

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………………57

INTRODUCERE

Tema lucrării este “Spații Riemann izometrice”.

Lucrarea este structurată în 3 capitole dupa cum urmează:

Capitolul I – Varietăți diferențiabile, are un caracter introductiv. În el sunt studiate varietățile diferențiabile, fiind prezentate noțiunile fundamentale, indispensabile parcurgerii lucrarii: Definiție, proprietați și exemple de varietați diferențiabile, aplicații diferențiabile, vectori tangenți, cotangenți, tensori, spații fibrate vectoriale și conexiuni în fibrate vectoriale.

Capitolul II – Spații Riemann, conține rezultate referitoare la spații Riemann, spații Einstein si spații de curbură constată. În finalul capitolului sunt prezentați diverși operatori pe spații Riemann: operatorul gradient, divergența și operatorul Laplace – Beltrami. Dintre aceste rezultate citez:

Definiție

Fie M varietate diferențiabilă.

Se numește metrică Riemann g T0, 2(M) (i.e. g : X(M) x X(M) → F(M), F(M) – biliniară) a.î.:

g simetric (i.e. g(X, Y) = g(Y, X))

g pozitiv definit (i.e. g(X, X) 0 si g(X, X) = 0 X = 0)

Definiție

Fie M varietate diferențiabilă, g metrică Riemann (sau structură Riemann).

(M, g) se numește spațiu Riemann.

Definiție

Fie (M, g) spațiu Riemann, C(M).

se numește conexiune metrică dacă:

(XY)(Y, Z) = 0

( X(g(Y, Z)) = g(XY, Z) – g(Y, XZ) = 0)

se numește conexiune simetrică dacă:

T = 0

(i.e. XY – XY – [X, Y] = 0)

Teoremă

Fie (M, g) spațiu Riemann.

Atunci conexiune metrică și simetrică pe M, numită conexiunea Levi – Civita.

Definiție

Fie (M, g) spațiu Riemann, R T0,4(M).

R(X, Y, Z, W) = g(R(Z, W)Y, X) se numește tensorul Riemann, unde:

R(X, Y)Z = XXZ – YXZ – [X, Y]Z; R T1, 3(M) este tensorul de curbură.

Definiție

S(X, Y) = Tr(Z → R(X, Z)Y) se numește tensorul Ricci.

Definiție

(M, g) spațiu Riemann se numește spațiu Einstein dacă f F(M) a.i. S = fg.

Definiție

Fie (M, g) spațiu Riemann. Fie p M si π TpM 2 – plan. Fie {X, Y} o bază a 2 – planului π.

se numește curbura secțională asociată lui π.

Definiție

p M se numește punct izotrop dacă σp(π) = σp(π’) = σ(p), π, π’ TpM.

Teoremă (Schur)

Fie (M, g) spațiu Riemann, n 3, conex.

Dacă orice punct este izotrop atunci (M, g) este spațiu de curbură secțională constantă (i.e. R(X, Y)Z = σ[g(Z, Y)X – g(Z, X)Y]).

Definiție

se numește tensorul conform de curbură Weyl.

Definiție (Operatorul gradient)

grad = : F(M) → X(M)

grad f = (df)#

Definiție

O aplicație φ : (M, g) → (N, h) se numește izometrică dacă g = φ*h , X, Y X(M).

Dacă în plus, φ este difeomorfism, atunci φ se numește izometrie.

Propoziție

Fie φ : (M, g) → (N, h) izometrie. Atunci:

, F(N)

Definiție (Operatorul divergența)

div : X(M) → F(M)

div(X) = Tr(Y → YX)

Propoziție

Fie φ : (M, g) → (N, h) izometrie. Atunci:

, X X(M).

Teoremă (a divergenței)

Fie (M, g) spațiu Riemann și X X(M) cu suport compact (i.e. mulțimea supp(X) = {p M | Xp 0} este închisă si conexă). Atunci:

unde dacă (U, h) A(M) si funcțiile coordonate, avem

Definiție (tensorul Hesse)

Hf : X(M) → X(M)

Hf (X) = X(f) = X (grad f)

Definiție (forma Hesse)

hf : X(M) → F(M)

hf (X, Y) = g(X, Hf (Y)) = g(X, Y grad f)

Definiție (Operatorul Laplace-Beltrami)

: F(M) → F(M)

f = – div grad(f)

Propoziție

Fie φ : (M, g) → (N, h) izometrie. Atunci:

În Capitolul III – Spații Riemann izometrice, se tratează spațiile Riemann izometrice de curbură constantă și sunt prezentate proprietați spectrale ale varietaților izometrice. Câteva rezultate importante care se regăsesc în acest capitol sunt:

Propoziție

Fie (M, g) si (M’, g’) două varietați riemanniene și f : M → M’ o izometrie. Atunci (M, g) este cu curbură constantă dacă și numai dacă (M’, g’) este cu curbură constantă.

Definiție

Două metrici pseudo-riemannniene g și pe o varietate diferențiabilă M se numesc conform echivalente, dacă există o funcție u F(M) astfel încât = eug. Dacă u = constant, atunci spunem că g si sunt omotetice.

Definiție

Mulțimea σ(Δ, g) = {λ R | f F(M), f 0 a.î. Δf = λf} se numește spectrul operatorului Δ, iar f se numește funcție proprie corespunzătoare valorii proprii λ.

Propoziție (Lichnerowicz)

Fie (M, g) varietate Riemann, conexă, compactă, orientabilă, de dimensiune n 2. Dacă k > 0 a.î. – S kg (sau – ρ k), unde S este tensorul Ricci, iar ρ curbura Ricci, atunci .

Propoziție (Obata)

Fie (M, g) varietate Riemann, conexă, compactă, orientabilă, de dimensiune n 2. Dacă k (0, ) a.î. – S kg, atunci dacă și numai dacă (M, g) este izometrică cu sfera unitate standard Sn Rn+1, înzestrată cu metrica g0, indusă de metrica canonică a lui Rn+1.

Într-adevăr, dacă (M, g) este izometrică cu (Sn, g0), atunci σ = 1. Deci τ = – n(n – 1), ceea ce implică – S = (n – 1)g. În acest caz k = n – 1 și .

Teoremă

Fie (M, g) o varietate riemanniană conexă, inchisă, de dimensiune n. Atunci avem:

a0 = vol (M, g)

a1 =

a2 =

unde S este tensorul Ricci, τ = Tr S este curbura scalară, iar masura canonică pe M, indusă de tensorul metric g.

Propoziție

Dacă (M, g) și (M’, g’) sunt varietăți riemanienne și φ : M → M’ este o izometrie, atunci , f F(M’). Așadar dacă (M, g) (M’, g’), atunci Spec(M, g) = Spec(M’, g’), caz în care (M, g ) și (M’, g’) se numesc varietați izospectrale (sau 0 – izospectrale).

CAPITOLUL I – VARIETĂȚI DIFERENȚIABILE. PROPRIETĂȚI.

1. Varietăți diferențiabile. Exemple.

Fie M ≠ .

Definiție

Se numește Ck – atlas de tip Rn o familie A = {(Ua, ha) | aA}, Ua M, ha : Ua → Rn injectivă a.î.:

A1) ;

A2) ha(Ua∩Ub) Rn mulțime deschisă, a, b A;

A3) hbha-1 : ha(Ua ∩ Ub) → Rn aplicație Ck – diferențiabilă.

Definiție

A Ck – atlas de tip Rn se numește maximal dacă (U, h) A, UM, h : U → Rn injectivă a.î. A {(U,h)} verifică A1), A2) și A3) (U,h) A.

Definiție

M se numește varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, dacă A Ck – atlas de tip Rn pe M maximal.

Teoremă

Orice atlas se poate extinde unic la unul maximal.

Propoziție

! T(A) = {VP(M) | ha(Ua∩V) Rn mulțime deschisă, aA} topologie a.î.:

Ua T(A);

ha : Ua → ha(Ua) homeomorfism.

Demonstrație

Fie T(A) = {VP(M) | ha(Ua∩V) T, aA}

Arătăm că T(A) este topologie:

, M T(A)

ha( ∩ Ua) = ha() = T

ha(M ∩ Ua) = ha(Ua) T (cf. A2)

Fie V1, V2 T(A) V1 ∩ V2 T(A)

ha(Vk ∩ Ua) T, a A, k =

ha((V1 ∩ V2) ∩ Ua) = ha((V1 ∩ Ua) ∩ (V2 ∩ Ua)) = ha(V1 ∩ Ua) ∩ ha(V2 ∩ Ua) Rn mulțime deschisă

Fie (Vi)iI T(A) T(A)

ha(Ua ∩ Vi) T, a A, i I

ha(() ∩ Ua) = ha () = T

Ua T(A)

hb(Ub ∩ Ua) T, b A (cf. A2)

ha : (Ua, T(A)|Ua) → (ha(Ua), T|ha(Ua)) homeomorfism

ha injectivă

ha : Ua → ha(Ua) surjectivă

rezultă că ha este bijectivă pe imagine

ha continuă (i.e. m. deschisă m. deschisă)

T

care este mulțime deschisă în Rn

ha deschisă (i.e. U Ua ha(U) T)

ha(U) = ha(U Ua) T, mulțime deschisă

A rămas de demonstrat unicitatea topologiei T(A) a.î. să fie verificate 1) si 2)

Fie T ’ topologie pe M a.î sunt satisfăcute 1’) și 2’) i.e.:

1’) Ua T ’ , a A;

2’) ha : (Ua, T|Ua) → (ha(Ua), T|ha(Ua)) homeomorfism, a A.

T(A) T ’

Fie V T(A) ha(Ua) ha(V Ua) T, a A T ’ ,b

b = a V ∩ Ua T ’ V = T ’

T ’ T(A)

Fie V T ’.

Cum Ua T ’ rezultă că V ∩ Ua T ’ ha(V ∩ Ua) T a V T(A).

Teoremă

Următoarele afirmații sunt echivalente:

M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională;

M spațiu topologic a.î. A = {(Ua, ha) | aA}; UaM, ha : Ua → Rn a.î.:

A1) ;

A2) ha(Ua ∩ Ub) Rn mulțime deschisă, a, b A;

A3) hbha-1 : ha(Ua ∩ Ub) → Rn aplicație Ck – diferențiabilă.

Demonstrație

1) 2)

A Ck – atlas de tip Rn M este spațiu topologic cu topologia T(A)

A1) a1) T(A) este topologie ha : Ua → ha(Ua) homeomorfism

A3) a3)

2) 1)

A = {(Ua, ha) | aA}

Ua M, ha : Ua → Rn injectivă

a1) A1) ha(Ua ∩ Ub) Rn mulțime deschisă (ha homeomorfism)

Ua, Ub mulțimi deschise Ua ∩ Ub mulțime deschisă

a3) A3)

Observație

Rn se poate organiza ca o varietate diferențiabilă n – dimensională, cu următorul atlas ARn = {(Rn, idRn)}.

Definiție

Fie M o varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională.

M se numește varietate separată Hausdorff dacă p, q M, p ≠ q, V, W M cu pV și qW a.î. V ∩ W = .

Metode de construcție a varietăților diferențiabile

M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, separată.

Fie UM mulțime deschisă.

Atunci U este varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, separată și,

AM = {(Ua, ha) | aA} Ck – atlas de tip Rn pe M

AU = {(Ua∩U, ha|Ua∩U) | aA} Ck – atlas de tip Rn pe U

Exemplu:

GL(n, R) = {A Mn(R) | det(A) ≠ 0} Mn(R) .

A Mn(R), A = → (a11, … , a1n, … , an1, … , ann) .

varietate diferențiabilă, n2 – dimensională, separată.

det : Mn(R) → R continuă GL(n, R) varietate diferențiabilă

GL(n, R) = Mn(R) \ det-1({0}) n2 – dimensională, separată

M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, separată.

Fie M’ ≠ si f : M → M’ bijectivă.

Atunci M’ este varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, separată și,

AM = {(Ua, ha) | aA} Ck – atlas de tip Rn pe M

AM’ = {(f(Ua), haf -1) | aA} Ck – atlas de tip Rn pe M’.

f(Ua) UaRn

Exemple:

Fie c : I → En curbă parametrizată injectivă, I R mulțime deschisă.

R varietate diferențiabilă, 1 – dimensională, separată.

c : I → c(I) bijectivă

I varietate diferenția(A)

ha(Ua ∩ Vi) T, a A, i I

ha(() ∩ Ua) = ha () = T

Ua T(A)

hb(Ub ∩ Ua) T, b A (cf. A2)

ha : (Ua, T(A)|Ua) → (ha(Ua), T|ha(Ua)) homeomorfism

ha injectivă

ha : Ua → ha(Ua) surjectivă

rezultă că ha este bijectivă pe imagine

ha continuă (i.e. m. deschisă m. deschisă)

T

care este mulțime deschisă în Rn

ha deschisă (i.e. U Ua ha(U) T)

ha(U) = ha(U Ua) T, mulțime deschisă

A rămas de demonstrat unicitatea topologiei T(A) a.î. să fie verificate 1) si 2)

Fie T ’ topologie pe M a.î sunt satisfăcute 1’) și 2’) i.e.:

1’) Ua T ’ , a A;

2’) ha : (Ua, T|Ua) → (ha(Ua), T|ha(Ua)) homeomorfism, a A.

T(A) T ’

Fie V T(A) ha(Ua) ha(V Ua) T, a A T ’ ,b

b = a V ∩ Ua T ’ V = T ’

T ’ T(A)

Fie V T ’.

Cum Ua T ’ rezultă că V ∩ Ua T ’ ha(V ∩ Ua) T a V T(A).

Teoremă

Următoarele afirmații sunt echivalente:

M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională;

M spațiu topologic a.î. A = {(Ua, ha) | aA}; UaM, ha : Ua → Rn a.î.:

A1) ;

A2) ha(Ua ∩ Ub) Rn mulțime deschisă, a, b A;

A3) hbha-1 : ha(Ua ∩ Ub) → Rn aplicație Ck – diferențiabilă.

Demonstrație

1) 2)

A Ck – atlas de tip Rn M este spațiu topologic cu topologia T(A)

A1) a1) T(A) este topologie ha : Ua → ha(Ua) homeomorfism

A3) a3)

2) 1)

A = {(Ua, ha) | aA}

Ua M, ha : Ua → Rn injectivă

a1) A1) ha(Ua ∩ Ub) Rn mulțime deschisă (ha homeomorfism)

Ua, Ub mulțimi deschise Ua ∩ Ub mulțime deschisă

a3) A3)

Observație

Rn se poate organiza ca o varietate diferențiabilă n – dimensională, cu următorul atlas ARn = {(Rn, idRn)}.

Definiție

Fie M o varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională.

M se numește varietate separată Hausdorff dacă p, q M, p ≠ q, V, W M cu pV și qW a.î. V ∩ W = .

Metode de construcție a varietăților diferențiabile

M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, separată.

Fie UM mulțime deschisă.

Atunci U este varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, separată și,

AM = {(Ua, ha) | aA} Ck – atlas de tip Rn pe M

AU = {(Ua∩U, ha|Ua∩U) | aA} Ck – atlas de tip Rn pe U

Exemplu:

GL(n, R) = {A Mn(R) | det(A) ≠ 0} Mn(R) .

A Mn(R), A = → (a11, … , a1n, … , an1, … , ann) .

varietate diferențiabilă, n2 – dimensională, separată.

det : Mn(R) → R continuă GL(n, R) varietate diferențiabilă

GL(n, R) = Mn(R) \ det-1({0}) n2 – dimensională, separată

M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, separată.

Fie M’ ≠ si f : M → M’ bijectivă.

Atunci M’ este varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, separată și,

AM = {(Ua, ha) | aA} Ck – atlas de tip Rn pe M

AM’ = {(f(Ua), haf -1) | aA} Ck – atlas de tip Rn pe M’.

f(Ua) UaRn

Exemple:

Fie c : I → En curbă parametrizată injectivă, I R mulțime deschisă.

R varietate diferențiabilă, 1 – dimensională, separată.

c : I → c(I) bijectivă

I varietate diferențiabilă, 1 – dimensională, separată.

Im(c) varietate diferențiabilă, 1 – dimensională, separată.

Sfera

Proiecție stereografică

Fie = {(x1, … , xn+1) | (x1)2 + … + (xn+1)2 = r2 , r > 0} sfera n – dimensională din Rn+1.

Notăm cu N(0, 0, … , 0, r) și S(0, 0, … , 0, –r) polul nord, respectiv polul sud al sferei.

Fie P(x1, … , xn+1), P\{N} un punct pe sferă.

Fie {Q} = NP ∩ {Xn+1 = 0}.

Atunci:

.

X1 = x1t

X2 = x2t

(NP): ………….

Xn = xnt

Xn+1 – r = t(xn+1 – r)

Din ultima relație rezultă:

, xn+1 ≠ r

Deci,

Q

Notăm UN = \ {N}.

Considerăm funcția hN : UN → Rn, hN(P) = definită prin:

.

Analog avem:

US = \ {S}.

hS : US → Rn, hS(P) = ’ definită prin:

.

Atunci A = {(UN, hN), {(US, hS)} este un C∞ – atlas de tip Rn pe .

Proiecție ortogonală

Considerăm mulțimile:

U = {(x1, … , xn+1) | xi > 0}

U = {(x1, … , xn+1) | xi < 0}

Fie P U, P’ = (x1, … , xi-1, 0, xi+1, … , xn+1).

Considerăm funcțiile:

h : U → Rn

h : U → Rn.

Definite prin:

h(xi, … , xn+1) = (x1, … , xi-1, xi+1, … , xn+1)

h(xi, … , xn+1) = (x1, … , xi-1, xi+1, … , xn+1).

Atunci A = {(U, h), {(U, h) | i = } este un C∞ – atlas de tip Rn pe .

Fie M’, M” varietăți Ck’ – diferențiabilă, n’ – dimensională (respectiv Ck” – diferențiabilă, n” – dimensională), separate.

Atunci M’ x M” varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională, unde k = min{k’, k”} și n = n’ + n”.

AM’ = {(U’a’, h’a’) | a’A’} Ck’ – atlas de tip Rn pe M’

AM” = {(U”a”, h”a”) | a”A”} Ck” – atlas de tip Rn pe M”

AM’ x M” = {(U’a’ x U”a”, h’a’ x h”a”) | (a’, a”)A’ x A”} Ck – atlas de tip Rn pe M’ x M” unde:

h’a’ x h”a” : U’a’ x U”a” → Rn’+n” = Rn’ x Rn”

(h’a’ x h”a”)(x’, x”) = (h’a’(x’), h”a”(x”))

Exemplu:

Torul

Considerăm aplicația: f : R2→E3, f(x1,x2) = ((a + bcosx1)cosx2, (a + bcosx1)sinx2, bsinx1), a > b > 0.

Atunci T2=Imf poate fi organizat ca o varietate diferențiabilă de clasă C∞ și dimensiune 2.

Vom face următoarele notații:

C1 = {(u1, 0, u3) T2 | (u1 – a)2 + (u3)2 = b2}

C2 = {(u1, 0, u3) T2 | (u1 + a)2 + (u3)2 = b2}

C3 = {(u1, u2, 0) T2 | (u1)2 + (u2)2 = (a + b)2}

C4 = {(u1, u2, 0) T2 | (u1)2 + (u2)2 = (a – b)2}

U1 = T2 \ (C1 C3)

U2 = T2 \ (C1 C4)

U3 = T2 \ (C2 C3)

U4 = T2 \ (C2 C4)

V1 = (0, 2π) x (0, 2π)

V2 = (π, 3π) x (0, 2π)

V3 = (0, 2π) x (π, 3π)

V4 = (π, 3π) x (π, 3π)

Considerăm funcțiile:

φ1(x1, x2) = (x1, x2)

φ2(x1, x2) = (x1 + π, x2)

φ3(x1, x2) = (x1, x2 + π)

φ4(x1, x2) = (x1 + π, x2 + π)

Și, hi : Ui → V1 , hi = (f|Vi φi)-1.

Atunci A = {(Ui, hi) | i = } este un C∞ de tip Rn pe T2.

2. Aplicații diferențiabile

Definiție

Fie M și M’ varietăți Ck (respectiv Ck’) diferențiabile de dimensiune n (respectiv n’).

Aplicația continuă f : M → M’ se numește Cr – diferențiabilă în p M dacă (U, h) AM, (U’, h’) AM’ a.î. h’f h-1 : h(U ∩ f -1(U’)) → h’(U’ ∩ f(U)) Cr – diferențiabilă, unde r min {k, k’}.

Definiție

rang f(p) = rang J(h(p)), pM (rangul nu depinde de alegerea hărților).

Definiție

f se numește imersie în p dacă rang f(p) = n (n n’).

f se numește scufundare în p dacă este imersie injectivă.

f se numește scufundare regulată dacă f este scufundare iar topologia lui f(M) coincide cu topologia indusă de topologia lui M’.

Exemple:

Fie f : → Rn+1, definită prin f(p) = p.

f este imersie

f este scufundare

Demonstrație

pe Rn+1 avem atlasul (Rn+1, )

Rezultă că rang = n.

Cum rangpf = n, p Sn rezultă că f este o imersie.

f este incluziunea f este injectivă f este o scufundare.

Un alt exemplu este:

f : R → T2, definită prin f(t) = (eit, eiαt), α R este o imersie. Pentru α R \ Q f este scufundare.

π : Rn+1 → Pn(R), π(x) = [x] este o submersie.

Definiție

Fie M varietate diferențiabilă.

M’ se numește subvarietate a lui M dacă i : M’ → M scufundare regulată.

Teoremă (J. Nash)

Orice varietate compactă se poate scufunda (regulat) într-un spațiu euclidian de dimensiune suficient de mare, i.e. n N a.i. M Rn scufundare.

Observații

M N

f scufundare, M compactă f scufundare regulată.

X Y, f continuă, f bijectivă

X spațiu topologic compact f homeomorfism.

X spațiu topologic separat

Definiție

f se numește submersie în p dacă rang f = n’ (n’ n).

Definiție

p M se numește punct regulat dacă f este submersie în p. Altfel p se numește punct critic.

q M’ se numește valoare regulată dacă f este submersie în orice p f-1({q}). Altfel q se numește valoare critică.

Teoremă

Fie f : M → M’ aplicatie Cr – diferențiabilă, și q f(M) valoare regulată.

Atunci f -1({q}) este varietate diferențiabilă de dimensiune n – n’.

Definiție

Fie f : M → M’ aplicație Cr – diferențiabilă.

f este difeomorfism în p dacă rang f(p) = n = n’ (i.e. f este imersie și submersie).

Notație

Notăm F(M) = {f : M → R | f diferențiabilă}.

F(M) se poate înzestra cu structură de algebră în felul următor:

+ : F(M) x F(M) → F(M)

(f, g) → f + g : M → R , (f + g)(x) = f(x) + g(x) x M

: R x F(M) → F(M)

(α, f) → αf : M → R , (αf)(x) = αf(x) x M, α R

: F(M) x F(M) → F(M)

(f, g) → fg : M → R , (fg)(x) = f(x)g(x) x M.

3. Vectori tangenți

Definiție

Se numește vector tangent în p la varietatea diferențiabilă M o aplicație Xp : F(M) → R care verifică urmatoarele proprietăți:

Xp este R – liniara, i.e Xp(α∙f) = α∙Xp(f)

Xp(f∙g) = Xp(f)∙g(p) + Xp(g)∙f(p)

Observație

Xp(ct) = 0

Observație

(Uα, hα) AM, hα(p) = (x1(p), … , xn(p))

, funcții coordonate.

Notație

Notăm TpM = mulțimea de vectori tangenți în punctul p la varietatea M.

Propoziție

TpM se poate organiza ca spațiu vectorial n – dimensional.

Mai mult, reprezintă o bază.

Demonstrație

+ : TpM x TpM → TpM

: R x TpM → TpM

(TpM, +) grup abelian

Se verifică următoarele egalități a, b R, Xp, Yp TpM:

a(bXp) = (ab)Xp

a(Xp + Yp) = aXp + aYp

(a + b)Xp = aXp + bXp

1∙Xp = Xp

bază în spațiul vectorial TpM

Sistem liniar independent (i.e. λ1, …, λn R a.i. λi = 0 i = )

, j =

λj = 0 j =

sistem de generatori pentru TpM (i.e. Xp TpM, R, i = a.i. )

Fie (Uα, hα) AM, p Uα. Presupunem (eventual efectuând o translație) că .

, f F(p)

F

hα(q) = (x1, …, xn), q Uα

Deci, f(q) – f(p) = , q Uα

f – f(p) = F(p)

Obs: Xp(const) = 0

Xp TpM, Xp : F(p) → R

Xp(f – f(p)) = Xp()

Xp(f) – =

Xp(f) = Xp(xi)gi(p) + Xp(gi) (hα(p) = (0, …, 0))

Xp(f) = Xp(xi)gi(p)

, f F(p)

Legea de transformare a componentelor unui vector tangent la schimbarea hărții

(Uα, hα) AM, funcții coordonate

(Uβ, hβ) AM, funcții coordonate

p Uα, p Uβ

(baze în TpM)

| xk

Xp TpM,

, .

Notație

TM = TpP.

Teoremă

Fie M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională.

Atunci TM este varietate Ck-1 – diferențiabilă, de dimensiune 2n.

Demonstrație

AM = {(Uα, hα) | αA} – Ck atlas de tip Rn.

(Uα, hα), p Uα, funcțiile coordonate

ATM = {(TUα, Hα) | αA} unde

TUα = , Hα : TUα → hα(Uα) x Rn

Hα(Xp) = (hα(p), )

Hα este injectivă

Verificăm axiomele atlasului:

A1)

A2) Hα(TUα ∩ TUβ) R2n mulțime deschisă, α, β A

Hα(TUα ∩ TUβ) = Hα(T(Uα ∩ Uβ)) = hα(Uα ∩ Uβ) x Rn x R2n mulțime deschisă

A3)

(Uβ, hβ), p Uβ, funcțiile coordonate

u = hα(p), v = (v1, …, vn) Rn

Deci ATM este Ck-1 atlas de tip R2n.

Propoziție

Fie M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională. Atunci:

aplicația π : TM → M , π(Xp) = p, Xp TM este diferențiabilă;

dacă M este separată atunci TM este separată.

Demonstrație

π : TM → M , π(Xp) = p, Xp TM

π este continuă

Fie V M mulțime deschisă T-1(V) TM mulțime deschisă

V M mulțime deschisă hα(Uα ∩ V) Rn mulțime deschisă, α A

Arătăm că Hα(TUα ∩ π-1(V)) Rn mulțime deschisă, α A

Hα(TUα ∩ π-1(V)) = Hα(TUα ∩ TV) = Hα(T(Uα ∩ V)) = hα(Uα ∩ V) x Rn R2n mulțime deschisă, α A

π este Ck-1 – diferențiabilă

Xp TM, (TUα, Hα) ATM, (Uα, hα) AM

diferențiabilă

u = hα(p)

Fie Xp, Yq TM, Xp Yq

Cazul I: p = q

p = q Xp, Yq TpM

Hα : TUα → hα(Uα) x Rn

Xp, Yq TUα

Hα homeomorfism

Xp Yp x y

x, y Rn, Rn este spațiu topologic separat (i.e. V1, V2 Rn mulțimi deschise cu x V1, y V2 a.î. V1 ∩ V2 = )

Xp W1 =

Yp W2 =

W1, W2 TUα

W1 ∩ W2 =

Cazul II: p q

π : TM → M

π(Xp) = p

π(Yq) = q

Cum p, q M, p q și M separată rezultă că W1, W2 M mulțimi deschise cu p W1, q W2 a.î. W1 ∩ W2 =

π continuă

π-1(W1), π-1(W1) TM mulțimi deschise disjuncte

Xp π-1(W1)

Yp π-1(W2)

4. Diferențiala unei aplicații într-un punct

Propoziție

Fie φ : M → M’ aplicație diferențiabilă și φ*,p(Xp) : F(φ(M)) → R data prin φ*,p(Xp)(f ’) = Xp(f ’ φ), f ’ F(φ(M)).

Atunci φ*,p(Xp) Tφ(p)M’.

Propoziție

Fie φ : M → M’ aplicație diferențiabilă și φ*,p : TpM → Tφ(p)M’, φ*,p(Xp)(f ’) = Xp(f ’ φ) Xp TpM f ’ F(φ(M)).

Atunci:

φ*,p este R – liniară

unde,

(Uα, hα) AM , p Uα , funcții coordonate

(U’α’, h’α’) AM’ , φ(p) U’α’ , funcții coordonate

φj = yj φ,

Demonstrație

Arătăm că: , α, β R, Xp, Yp TpM

bază în TpM

bază în Tφ(p)M’

Observație

Fie φ : M → M’ o aplicație diferențiabilă.

Atunci:

φ imersie în p φ*,p injectivă

φ submersie în p φ*,p surjectivă

Propoziție

Fie φ : M → M’ o aplicație Ck – diferențiabilă, φ* : TM → TM’, φ*(Xp) = φ*,p(Xp), Xp TpM.

Atunci:

φ* aplicație Ck-1 – diferențiabilă.

Demonstrație

Rezultă că

Propoziție

Fie doua aplicații diferențiabile.

Atunci:

Demonstrație

, f” F(M”), Xp TpM

, f F(M)

Rezultă că

Propoziție

Fie φ : M → M’ difeomorfism.

Atunci φ*,p : TpM → Tφ(p)M’ este izomorfism de spații vectoriale.

Demonstrație

este R – liniară

Rezultă că (i.e. este inversabilă)

Deci, este liniară și bijectivă este izomorfism de spații vectoriale.

5. Vectori cotangenți

Definiție

Fie p M.

Se numește vector cotangent în p la M o aplicație ωp : TpM → R, R – liniară i.e. ωp(αXp + βYp) = α ωp(Xp) + β ωp(Yp), α, β R Xp, Yp TpM.

Notație

= mulțimea vectorilor cotangenți în p la M

Propoziție

se poate organiza ca spațiu vectorial n – dimensional.

Mai mult, reprezintă o bază.

Demonstrație

, Xp TpM

, Xp TpM

spațiu vectorial

bază în

(baza duală pentru din TpM)

sistem liniar independent

ai R, i = a.î. , j =

sistem de generatori

, R a.î.

Legea de transformare a componentelor unui vector cotangent la schimbarea hărții

Fie:

AM

, funcții coordonate

Fie ωp

baze în TpM

baze în

,

Notație

Teoremă

Fie M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională.

Atunci T*M este varietate Ck-1 – diferențiabilă, de dimensiune 2n.

Propoziție

Fie M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională. Atunci:

aplicația π* : T*M → M , π*(ωp) = p, ωp este diferențiabilă;

dacă M este separată atunci T*M este separată.

6. Tensori de tip (r , s) pe o varietate diferentiabilă M

Definiție

Fie M o varietate diferențiabilă și p M.

Se numește tensor de tip (r, s) pe M în p, o aplicație multiliniară:

Ap : → R

Notație

= mulțimea tensorilor de tip (r, s) în p la varietatea diferențiabilă M.

Observație

(r, s) = (0, 1)

(r, s) = (1, 0)

Propoziție

se poate organiza ca spațiu vectorial nr + s – dimensional.

Mai mult, reprezintă o bază, unde:

.

Demonstrație

Ap + Bp : → R

Ap, Bp

X1(p), …, Xs(p) TpM, ω1(p), …, ωr(p)

→ R

Arătăm că reprezintă o bază

sistem liniar independent

Fie R a.î.

sistem de generatori

Ap , R a.î.

Notație

Propoziție

Fie M varietate Ck – diferențiabilă, n – dimensională.

se poate organiza ca o varietate Ck-1 – diferențiabilă, de dimensiune n + nr + s.

Fie π(r,s) : → M, π(r,s) (Ap) = p, Ap , este aplicație diferențiabilă.

Dacă M este varietate separată, atunci este varietate separată.

Observație

are structură de F(M) – modul i.e.:

A , f F(M) fA .

7. Algebre Lie

Definiție

Fie L spațiu vectorial peste corpul K.

L se numește algebră Lie dacă care verifică:

este antisimetrică:

[u, v] = – [v, u], u, v L

este biliniară:

[au + bv, w] = a[u, w] + b[v, w], u, v, w L, a, b K

(din 1) rezultă liniaritatea în al doilea argument)

verifică identitatea Jacobi:

[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0, u, v, w L

Definiție

Fie L/K algebră Lie și L’ L.

L’ se numește subalgebră Lie dacă u, v L [u, v] L’.

Definiție

Fie L1, L2 algebre Lie peste K.

h : L1 → L2 se numește homeomorfism de algebre Lie dacă:

h morfism de spații vectoriale

h([u, v]1) = [h(u), h(v)]2 u, v, w L1

Dacă în plus h este bijectivă, h se numește izomorfism de algebre Lie

Definiție

Fie L/K algebră Lie și {E1, … , En} o bază.

Atunci: [Ei, Ej] = Ek ( se numesc constante de structură)

Exemple de algebre Lie

(R3, x) algebră Lie

[u, v] = u x v, u, v R3

Observație: u x (v x w) = <u, w> v – <u, v> w

(GL(n,R), ) algebra Lie

[a, b] = ab – ba

Câmpuri de vectori tangenți

Definiție

Se numește câmp de vectori tangenți la varietatea M o aplicație diferențiabilă:

X : M → TM, X(p) = Xp TpM

Notație

X(M) = mulțimea câmpurilor de vectori tangenți la varietatea M

Observație

X(M) are o structură de F(M) – modul dată de:

X, Y X(M) X + Y X(M)

X X(M), f F(M) f X X(M)

Definiție (în sens Chevalley)

X X(M) X : F(M) → F(M) a.i.:

X este R – liniară

X(fg) = f X(g) + g X(f), f, g F(M)

X(f) : M → R diferențiabilă

X(f)(p) = Xp(f), f F(M)

Observație

X(M) = {X : M → TM diferențiabilă} {X : F(M) → F(M) | X(fg) = f X(g) + g X(f), f, g F(M)}

Definiție (paranteza Poisson)

[X, Y] : F(M) → F(M)

[X, Y](f) = X(Y(f)) – Y(X(f)), f F(M)

Proprietati ale parantezei Poisson

Paranteza Poisson păstrează proprietățile croșetului:

este antisimetrică

este biliniară (din a) rezultă liniaritatea în al doilea argument)

verifică identitatea Jacobi

Observație

(X(M), ) este algebră Lie.

Campuri de vectori cotangenți

Definiție

Se numește câmp de vectori cotangenți la varietatea M o aplicație diferențiabilă:

ω : M → T*M, ω(p) = ωp

Notație

X*(M) = mulțimea câmpurilor de vectori tangenți la varietatea M

Observație

X*(M) are o structura de F(M) – modul

Observație

X*(M) = D1(M) = {ω : M → T*M diferențiabilă} {ω : X(M) → F(M) | F(M) – liniară}

Câmpuri de tensori de tip (r, s) pe o varietate diferențiabilă

Definiție

Fie M varietate diferențiabilă și p M.

Se numește câmp tensorial de tip (r, s) o aplicație A : M → Tr,sM, A(p) = Ap , diferențiabilă.

Notație

Tr,sM = mulțimea câmpurilor tensoriale de tip (r, s)

Observație

Tr,sM are structură de F(M) – modul i.e. A Tr,sM f F(M) fA Tr,sM.

Observație

T0,rM = {A : (X(M))r → F(M) | A este F(M) – multiliniară} i.e. A() = f A(), f F(M), Xi X(M),

T1,rM = {A : (X(M))r → X(M) | A este F(M) – multiliniară} {A : X*(M) x X(M) x … x X(M) → F(M) | A este F(M) – multiliniară}

Legea de transformare a componentelor unui câmp tensorial la schimbarea hărții

Fie:

AM

, funcții coordonate

A Tr,sM

8. Forme diferențiale

Definiție

ω se numește r – formă diferențială pe M (0 r dim(M)) dacă ω : M → , ω(p) = ωp, este aplicație diferențiabilă, unde:

= { → R | ωp este multiliniară și alternată}

, p M, TpM

Notație

Dr(M) = mulțimea r – formelor pe M

Observație

Dr(M) este F(M) – modul

Dr(M) = {ω T0,rM | ω alternat}

i.e. ω Dr(M)

ω : (X(M))r → F(M) a.î. ω este F(M) – multiliniară

, σ Sr X1,…,Xr X(M).

Produs exterior

Definiție

: Dr(M) x Ds(M) → Dr+s(M)

=

=

Notație

D(M) = Dr(M)

Observație

(D(M), ) algebră (graduata)

Proprietăți

ω η = (– 1)rs η ω ω Dr(M), η Ds(M)

(ω η) ν = ω (η ν) ω Dr(M), η Ds(M), ν Dq(M)

ω (η + ν) = ω η + ω ν ω Dr(M), η, ν Ds(M)

Demonstrație

ω Dr(M)

ω = ωI dxI, I = (i1, …, ir), 1 i1 … ir n

η = η J dxJ, J = (j1, …, js)

fără restrânge generalitatea presupunem că:

Observație

Fie ω, η D1(M)

ω η D2(M)

(ω η)(X1, X2) = ω(X1)η(X2) – ω(X2)η(X1)

ω η = – η ω

Operatorul diferențială exterioară

Definiție

d : Dr(M) → Dr+1(M)

Propoziție

d(ω η) = dω η + (–1)rω dη, ω Dr(M), η Ds(M)

d d = 0

Observație

D0(M) = F(M)

f ω = f ω

Produs interior

Definiție

Fie X X(M).

ix : Dr(M) → Dr-1(M)

(ixω)(X2,…,Xr) → ω(X1,X2,…,Xr)

Definiție

f : M → N diferențiabilă

f* : Dr(N) → Dr(M) (pull – back)

Proprietăți

f*(ω’ η’) = f*ω’ f*η’

f*dω = df*ω

Notații

Zr(M, d) = {ω Dr(M) | dω = 0} mulțimea r – formelor închise

Br(M, d) = {ω Dr(M) | ω’ Dr-1(M) a.î. dω’ = ω} mulțimea r – formelor exacte

Observație

Br(M, d) Zr(M, d)

Definiție

se numește r – grupul de coomologie de Rham.

ω1, ω2 Zr(M, d), [ω1] = [ω2] θ Dr(M) a.î. ω1 – ω2 = dθ

9. Grupuri de transformări cu un parametru

Definiție

Fie G ≠ .

G se numește grup Lie dacă:

o structură de varietate diferențiabilă pe G

o structură de grup pe G ( (G, μ) )

Cele două structuri sunt compatibile (i.e. μ : G x G → G diferențiabilă)

Exemple

(R , +) este grup Lie.

S1 cu structura de grup indusă din C*

Produsul a orice două grupuri Lie este un grup Lie față de structura de grup produs. La fel pentru un numar finit de grupuri. În particular, torul Tn = (S1)n este un grup Lie.

Definiție

Se numește grup de transformari cu un parametru sau acțiune la stânga a grupului Lie (R , +) în varietatea M o aplicație φ : R x M → M care verifică:

φ diferențiabilă

φ(t, φ(s, p)) = φ(t + s, p), t, s R, p M

φ(0, p) = p, p M

Propoziție

Fie γ : R x M → M acțiune la stânga a grupului Lie (R , +) în varietatea M. Atunci:

γt : M → M difeomorfism, t R unde γt(p) = γ(t, p) p M

(γt, )

Hp = {t R | γ(t, p) = p} R este subgrup închis numit subgrupul de stabilitate

Propoziție

Fie γ : R x M → M acțiune.

Atunci lui γ i se poate asocia un camp X X(M) în mod canonic.

Definiție

Fie X X(M).

Se numește traiectorie a lui X o aplicație diferențiabilă c : I → M a.i. .

Observație

Sistemul diferențial al traiectoriei:

unde c(t) = (x1(t), … , xn(t))

.

Propoziție

Fie X X(M), J1, J2 R cu 0 J1 ∩ J2 si γi : Ji → M traiectorie pentu X.

Dacă γ1(0) = γ(0) = p0 M atunci .

Observație

Fie γ : R x M → M acțiune și X X(M) câmpul canonic asociat.

Atunci γp este traiectorie pentru X, p M (i.e. ).

Definiție

X X(M) se numește câmp complet dacă γ : R x M → M acțiune a.î. X este câmpul asociat lui γ.

10. Spații fibrate vectoriale

Definiție

Fie M, E varietăți diferențiabile n, respectiv (n + l), dimensionale, și π : E → M aplicație diferențiabilă.

Tripletul (E, π, M) se numește fibrat vectorial de rang l dacă:

Ep = π -1({p}) spațiu vectorial l – dimensional, p M

Φα : difeomorfism

Φα|Ep : π -1({p}) → π -1({p}) x Rl izomorfism de spații vectoriale

Observație

Ep – fibră

π – proiecție canonică

M – spațiu bază

E – spațiu total

Φα – trivializări locale

dim E = dim M + l

Exemple

(M x Rl, π1, M) fibratul trivial (rang l)

(TM, π, M) fibratul tangent (rang n)

(T*M, π*, M) fibratul cotangent (rang n)

(Tr,sM, πr,s, M) fibratul tensorilor de tip (r, s) (rang n)

Definiție

Fie τ = (E, π, M) fibrat vectorial de rang l.

Se numește secțiune în fibratul τ o aplicație σ : M → E diferențiabilă a.î. πσ = idM (i.e. π(σ(p)) = p σ(p) Ep).

Notație

C∞(M, E) = Γ(E) spațiul secțiunilor fibratului vectorial τ

Observație

Γ(E) are o structură de F(M) – modul (i.e. σ Γ(E), f F(M) fσ Γ(E))

Definiție

Fie τ = (E, πE, M), ν = (F, πF, M) fibrate vectoriale de rang l.

τ și ν sunt izomorfe dacă , f difeomorfism a.î. f|Ep : Ep → Ep liniară.

Observație

Spunem că un fibrat este trivial dacă este izomorf cu fibratul (M x Rl, π1, M).

11. Conexiuni în fibrate vectoriale

Definiție

Fie τ = (E, π, M) fibrat vectorial de rang l.

Se numește conexiune în fibratul τ o aplicație : X(M) x Γ(E) → Γ(E) care verifică:

X1, X2, X X(M); σ1, σ1, σ Γ(E); f F(M).

Exemple

(TM, π, M)

: X(M) x X(M) → X(M) conexiune în sens Korzul

(T*M, , M)

: X(M) x X*(M) → X*(M)

(Tr, sM, πr, s, M)

: X(M) x Tr, s(M) → Tr, s(M)

Definiție

T : X(M) x X(M) → X(M)

T(X, Y) = XY – YX – [X, Y] se numește tensorul de torsiune.

Observații

T(X, Y) = – T(Y, X)

T T1, 2(M)

T(fX, Y) = f T(X, Y)

Definiție

este conexiune simetrică T = 0.

Definiție

R : X(M) x X(M) x X(M) → X(M)

R(X, Y)Z = XXZ – YXZ – [X, Y]Z se numește tensorul de curbură.

Observatii

R(X, Y)Z = – R(Y, X)Z

R T1, 3(M)

Identitățile Bianchi

Obs:

Obs:

CAPITOLUL II – SPAȚII RIEMANN

1. Definiție. Exemple. Proprietăți.

Definiție

Fie M varietate diferențiabilă.

Se numește metrică Riemann g T0, 2(M) (i.e. g : X(M) x X(M) → F(M), F(M) – biliniară) a.î.:

g simetric (i.e. g(X, Y) = g(Y, X))

g pozitiv definit (i.e. g(X, X) 0 și g(X, X) = 0 X = 0)

Definiție

Fie M varietate diferențiabilă, g metrică Riemann (sau structură Riemann).

(M, g) se numește spațiu Riemann.

Exemple

(R, g0), (Sn, g0), (T2 = S1 x S1, g0 x g0)

(g0)ij = δij (metrica canonică)

(B, g)

= Int Sn-1

(metrica Beltrami)

(Hn, g)

Hn = {x Rn | xn > 0}

(metrica Poincaré)

Observație

Fie (M1, g1), (M2, g2) spații Riemann.

Atunci (M1 x M2, g = g1 x g2) este spațiu Riemann cu metrica:

g(X, Y) = g1(π1,*(X), π1,*(Y)) π1 + g2(π2,*(X), π2,*(Y)) π2 X, YX(M1 x M2), unde:

π1 : M1 x M2 → M1 diferențiabilă

π1,* : X(M1 x M2) → X(M1)

π2 : M1 x M2 → M2 diferențiabilă

π2,* : X(M1 x M2) → X(M2)

Definiție (Izomorfisme muzicale)

# : D1(M) → X(M)

#(ω) = X

b : X(M) → D1(M)

b(X) = ω

Definiție

Fie (M, g) spațiu Riemann, C(M).

se numește conexiune metrică dacă:

(XY)(Y, Z) = 0

( X(g(Y, Z)) = g(XY, Z) – g(Y, XZ) = 0)

se numește conexiune simetrică dacă:

T = 0

(i.e. XY – XY – [X, Y] = 0)

Teoremă

Fie (M, g) spațiu Riemann.

Atunci conexiune metrică și simetrică pe M, numită conexiunea Levi – Civita.

Demonstrație

| (– 1)

Adunând relațiile de mai sus obținem:

Din construcție este unică.

2. Tensorul Riemann. Definiție. Proprietăți

Definiție

Fie (M, g) spațiu Riemann, R T0,4(M).

R(X, Y, Z, W) = g(R(Z, W)Y, X) se numește tensorul Riemann, unde:

R(X, Y)Z = XXZ – YXZ – [X, Y]Z; R T1, 3(M) este tensorul de curbură.

Proprietăți

R(X, Y, Z, W) = – R(Y, X, Z, W)

R(X, Y, Z, W) = – R(Y, X, W, Z)

R(X, Y, Z, W) = 0 (Bianchi I)

R(X, Y, Z, W) = R(Z, W, X, Y)

Demonstrație

= *

Știm că

* =

R(X,Y,Z,W) = g(R(Z,W)Y,X) = g(R(Z,W)Y,X) = 0

R(X,Y,Z,W) + R(X,Z,W,Y) + R(X,W,Y,Z) = 0

R(Y,Z,W,X) + R(Y,W,X,Z) + R(Y,X,Z,W) = 0 |(– 1)

R(Z,W,X,Y) + R(Z,X,Y,W) + R(Z,Y,W,X) = 0 |(– 1)

R(W,X,Y,Z) + R(W,Y,Z,X) + R(W,Z,X,Y) = 0

Adunând ultimele patru relații obținem:

2R(X,Y,Z,W) = 2R(Z,W,X,Y) R(X,Y,Z,W) = R(Z,W,X,Y)

3. Tensorul Ricci. Definiție. Proprietăți

Definiție

S(X, Y) = Tr(Z → R(X, Z)Y) se numește tensorul Ricci.

Observație

Fie {E1, …, En} reper (local) ortonormat. Atunci:

S(X, Y) = g(Ei, R(X, Ei)Y) = R(Ei, Y, X, Ei).

Proprietăți

S este simetric

S T0, 2(M)

Demonstrație

4. Spații Einstein

Definiție

(M, g) spațiu Riemann se numește spațiu Einstein dacă f F(M) a.i. S = fg.

Propoziție

Fie (M, g) spațiu Einstein.

Dacă n 3 și M este varietate conexă, atunci f = ct.

Demonstrație

S = fg

Sij = fgij

s = k și sumăm după k

(*)

| ·gij și sumăm

5. Spații Riemann de curbură constantă

Definiție

Fie (M, g) spațiu Riemann. Fie p M și π TpM 2 – plan. Fie {X, Y} o bază a 2 – planului π.

se numește curbura sectională asociată lui π.

Observatii

Definiția nu depinde de baza aleasă în π

Dacă consider {X, Y} bază ortonormată în π atunci σp(π) = Rp(X, Y, X, Y).

Definiție

p M se numește punct izotrop dacă σp(π) = σp(π’) = σ(p), π, π’ TpM.

Teoremă (Schur)

Fie (M, g) spațiu Riemann, n 3, conex.

Dacă orice punct este izotrop atunci (M, g) este spațiu de curbură secțională constantă (i.e. R(X, Y)Z = σ[g(Z, Y)X – g(Z, X)Y]).

Demonstrație

Lema 1

Fie T T0, 4(M) care verifică:

T(X, Y, Z, W) = – T(Y, X, Z, W)

T(X, Y, Z, W) = – T(X, Y, W, Z)

T(X, Y, Z, W) = 0 (Bianchi I)

Dacă T(X, Y, X, Y) = 0, atunci T = 0.

Demonstrație

T(X, Y + W, X, Y + W) = 0

T(X, Y, X, W) = – T(X, W, X, Y) T(X, Y, X, W) = 0

T(X + Z, Y, X + Z, Y) = 0

T(X, Y, Z, Y) = – T(Z, Y, X, Y)

0 = T(X + Z, Y, X + Z, W) = T(X, Y, X, W) + T(X, Y, Z, W) + T(Z, Y, X, W)

+ T(Z, Y, Z, W)

T(X, Y, Z, W) = – T(Y, Z, X, W)

Lema 2

Dacă p este punct izotrop rezultă că unde

R0(X, Y, Z, W) = g(X, Z)g(Y, W) – g(X, W)g(Y, Z)

Demonstrație

Notăm T = R – σR0

Tp(X, Y, X, Y) = 0 Tp = 0

R = σR0 ca tensori de tip (1, 3)

R0(X, Y)Z = g(Z, Y)X – g(Z, X)Y

R(X, Y, Z, W) = g(R(Z, W)Y, X)

R0(X, Y, Z, W) = g(g(Y, W)Z – g(Y, Z)W, X)

R0(X, Y, Z, W) = g(R0(Z, W)Y, X)

(Bianchi II)

este conexiune Levi – Civita

R = σR0

, R0 tensor de tip (1, 3)

Dar

Pentru n 3, Z fixat

U, X, Y = Z sistem ortonormat Z

U(σ)(g(Z,Y)X – g(Z,X)Y) + X(σ)(g(Z,U)Y – g(Z,Y)U) + Y(σ)(g(Z,X)U – g(Z,U)X) = 0

U(σ)X – X(σ)U = 0

Rezultă că:

U(σ) = 0

X(σ) = 0

σ = const.

Propoziție

Dacă (M, g) este spațiu Riemann de curbură sectională constantă atunci (M, g) este spațiu Einstein (i.e. S = fg).

Dacă (M, g) este spațiu Einstein de dimensiune n = 3 atunci (M, g) este spațiu de curbură sectională constantă.

Demonstrație

Fie p M; dim TpM = 3

Fie {e1, e2, e3} reper ortonormat în TpM

πij = Sp{ei, ej} TpM 2 – plane

Arătăm că σp(π12) = σp(π13) = σp(π23) p izotrop (M, g) spațiu cu curbură constantă.

S = fg, f = const.

Sij = fgij, gij = g(ei, ej)

S11 = fg11

S22 = fg22

S33 = fg33

restul sunt zero

σp(π12) = R(e1, e2, e1, e2)

Analog obținem:

– σp(π12) – σp(π13) = f

– σp(π12) – σp(π23) = f

– σp(π13) – σp(π23) = f

Observație

Fie (M, g) spațiu Riemann de dimensiune n = 2 (i.e. (M, g) suprafață).

Atunci curbura sectională coincide cu curbura Gauss.

6. Tensorul conform de curbură Weyl

Definiție

se numește tensorul conform de curbură Weyl.

Observație

(M, g) spațiu Riemann.

(M, = eug) spațiu Riemann, u F(M).

C =

σ = Tr S, curbura scalară = ∑ Sij

Demonstrație

Avem:

și

Așadar, obținem:

Propoziție

(M, g) spațiu Riemann, n 3. Atunci:

C T0, 4(M), p M, {e1, … ,en} reper ortonormat în TpM

gp(ei, ej) = gij(p) = δij

C(ei, ej, ek, el) = Cijkl(p)

Propoziție

Fie (M, g) spațiu Riemann de dimensiune n = 2. Atunci:

Demonstrație

Fie p M; dim TpM = 2

Fie {e1, e2,} bază ortonormată în TpM

R1212, – R2112, – R1221, R2121 componente nenule pentru R

Propoziție

Fie (M, g) spațiu Riemann de dimensiune n = 3. Atunci:

C = 0 (i.e. (M, g) spațiu conform plat)

Demonstrație

Sp : TpM x TpM → R

Sp formă biliniară, simetrică

{e1, e2, e3} reper ortonormat în TpM a.î. matricea asociată lui Sp sa fie diagonală (i.e. Sij(p) = 0 i j)

S11 = R1111 + R2112 + R3113 = – R1212 – R1313

πij = <ei, ej> TpM

σp(πij) = Rijij(p)

S11(p) = – σp(π12) – σp(π13)

S22 = R1221 + R2222 + R3223 = – R1212 – R2323

S22(p) = – σp(π12) – σp(π23)

S33 = R1331 + R2332 + R3333 = – R1313 – R2323

S33(p) = – σp(π13) – σp(π23)

S12 = R1121 + R2122 + R3123 = R3123 = 0

S13 = R1131 + R2132 + R3133 = R2132 = 0

S23 = R1231 + R2232 + R3233 = R1231 = 0

toate componentele lui R cu 3 indici diferiți vor fi 0

Propoziție

Fie (M, g) spațiu Riemann de dimensiune n 3. Atunci:

; (M, g) spațiu Einstein

; (M, g) spațiu de curbură sectională constantă

Demonstrație

Sp : TpM x TpM → R

Sp formă biliniară, simetrică

{e1, e2, e3} reper ortonormat în TpM a.î. matricea asociată lui Sp să fie diagonală (i.e. Sij(p) = 0 i j)

(inegalitatea Cauchy – Buniakowski – Schwartz)

“ = ” Rijij acelasi i, j

p izotrop

Rijij(p) = σp(πij)

(M, g) este spațiu Riemann de curbură sectională constantă.

Propoziție

Fie (M, g) spațiu Riemann de dimensiune n = 4.

Dacă (M, g) este spațiu de curbură sectională constantă atunci (M, g) este spațiu conform plat (i.e. c = 0).

Demonstrație

(M, g) spațiu de curbură sectională constantă spațiu Einstein

“ = ” în ambele inegalități de la propoziția precedentă:

spațiu conform plat.

Propoziție

Fie (M, g) spațiu Riemann de dimensiune n = 4.

Dacă (M, g) este spațiu Einstein, conform plat atunci (M, g) este spațiu de curbură sectională constantă.

Demonstrație

(M, g) spațiu Einstein

(M, g) spațiu Riemann de curbură sectională constantă.

7. Operatori diferențiali pe spații Riemann

Definiție (Operatorul gradient)

grad = : F(M) → X(M)

grad f = (df)#

Observație

g(X, f) = X(f)

Propoziție

f1, f2 F(M) se verifică relațiile:

(f1 + f2) = f1 + f2

(f1 f2) = f1f2 + f2f1

Demonstrație

, X X(M)

g nedegenarată

, X X(M)

g nedegenarată (f1 f2) = f1f2 + f2f1

Definiție

O aplicație φ : (M, g) → (N, h) se numește izometrică dacă g = φ*h , X, Y X(M).

Dacă în plus, φ este difeomorfism, atunci φ se numește izometrie.

Propoziție

Fie φ : (M, g) → (N, h) izometrie. Atunci:

, F(N)

Demonstrație

: M → N difeomorfism

: X(M) → X(N) izomorfism de algebre Lie

X(N), X X(M) a.i.

, X X(N) a)

Obs 1) : M → N

: D(N) → D(M)

2) : M → N difeomorfism

: X(M) → X(N)

, f F(N)

sau

Definiție (Operatorul divergența)

div : X(M) → F(M)

div(X) = Tr(Y → YX)

Observație

Dacă {E1, …, En} reper (local) ortonormat atunci

Propoziție

f F(M) si X1, X2 se verifică relațiile:

div(X1 + X2) = div X1 + div X2

div(f X) = f div(X) + X(f)

Demonstrație

Propoziție

Fie φ : (M, g) → (N, h) izometrie. Atunci:

, X X(M).

Demonstrație

φ : M → N difeomorfism : X(M) → X(N) izomorfism de algebre Lie

si repere ortonormate

Teoremă (a divergenței)

Fie (M, g) spațiu Riemann și X X(M) cu suport compact (i.e. mulțimea supp(X) = {p M | Xp 0} este închisă și conexă). Atunci:

unde dacă (U, h) A(M) și functiile coordonate, avem

Propoziție

Fie (M, g) spațiu Riemann compact. Atunci:

<f, div X> = – <grad f, X>, f F(M), X X(M).

Definiție (tensorul Hesse)

Hf : X(M) → X(M)

Hf (X) = X(f) = X (grad f)

Definiție (forma Hesse)

hf : X(M) → F(M)

hf (X, Y) = g(X, Hf (Y)) = g(X, Y grad f)

Observație

Hf T 1,1(M)

hf simetric

hf T 0,2(M)

Demonstrație

Lemă

Fie ω D1(M) închisă (i.e. dω = 0)

Atunci

Demonstrație

este conexiune Levi – Civita este simetrică

f F(M) df D1(M) d(df) = 0

ω = df

(1)

(2)

este metrică

Din (1) si (2) h(X, Y) = h(Y, X)

Definiție (Operatorul Laplace-Beltrami)

: F(M) → F(M)

f = – div grad(f)

Observație

Dacă {E1, …, En} reper (local) ortonormat atunci

Propoziție

f1, f2 F(M) se verifică relația:

(f1 f2) = f1 f2 + f2 f1 – 2g(f1, f2)

Demonstrație

Unde:

Propoziție

Fie (M, g) spațiu Riemann orientabil și compact. Atunci:

Consecințe:

1.

2.

Propoziție

<f, div X> = – <f, X>

Propoziție

Fie φ : (M, g) → (N, h) izometrie. Atunci:

Observație

, f F(N)

, f1, f2 F(N)

, X X(M)

Demonstrație

, f F(N)

CAPITOLUL III – SPAȚII RIEMANN IZOMETRICE

Definiție

O aplicație φ : (M, g) → (N, h) se numește izometrică dacă g = φ*h , X, Y X(M).

Dacă în plus, φ este difeomorfism, atunci φ se numește izometrie.

Două spații Riemann între care există o izometrie în sensul definiției de mai sus se numesc izometrice (sau echivalente).

1. Spații Riemann izometrice de curbură constantă

Lema

Considerăm două varietăți diferențiabile M și M’ și fie h : M → M’ un difeomorfism.

Atunci dacă este o conexiune liniară pe M’, aplicația : X(M) x X(M) → X(M) definită prin este o conexiune liniară pe M.

Propoziție

Fie (M, g) și (M’, g’) două varietăți riemanniene și f : M → M’ o izometrie. Atunci (M, g) este cu curbură constantă dacă și numai dacă (M’, g’) este cu curbură constantă.

Demonstrație

Fie p M, p’ = f (p). Consideram v, w TpM vectori unitari ortogonali și 2 – planul π generat de ei. Deoarece:

, X, Y X(M),

rezultă că sunt înca unitari și ortogonali. Notăm cu π’ 2 – planul generat de aceștia.

Din Lema precedentă, știm că pentru orice X, Y X(M). Deducem de aici că . Astfel avem:

Deci . Observăm că (M, g) este cu curbură constantă dacă și numai dacă (M’, g’) este cu curbură constantă.

Observație

Reciproc, dacă M și M’ sunt varietăți riemanniene de aceeași dimensiune și cu aceeași curbură constantă, atunci ele sunt local izometrice. Dacă în plus M și M’ sunt simplu conexe și complete, atunci sunt global izometrice.

Varietățile Rn și Tn (torul n – dimensional) sunt ambele complete și plate (cu curbura R=0), dar nu sunt global izometrice (“explicația” este ca Tn nu este simplu conexă, pentru ca π1(Tn) = Zn).

Definiție

Două metrici pseudo – riemannniene g și pe o varietate diferențiabilă M se numesc conform echivalente, dacă există o funcție u F(M) astfel încât = eug. Dacă u = constant, atunci spunem că g și sunt omotetice.

Propoziție

Fie M o varietate diferențiabilă și g, două metrici conform echivalente pe M (i.e. , , u F(M)). Atunci:

Între conexiunile Levi – Civita respectiv există relația:

Curburile R și ale conexiunilor respectiv verifică relația:

Dacă K(π), (π) sunt curburile secționale relative la 2 – planul π al metricilor g, respectiv se verifică relația:

unde v, w reprezintă o baza ortonormată a lui π.

Demonstrație

Din relația de definiție a conexiunilor Levi – Civita asociate metricilor g, respectiv și tinand seama că:

obținem pentru oricare X, Y, Z X(M) egalitatea:

unde am folosit faptul că

Din ultima relatie, în baza nedegenerării lui g, rezultă a)

Rezultă imediat din a)

Rezultă din b) și din relațiile

K(π) = R(w, v, w, v) = g(R(w, v)v, w) și

g(Huw, w) = hu(w, w), g(u, w) = du(w) = w(u)

2. Inversiuni între spații Riemann

Observație

Considerăm spațiul euclidian Rn și fie q Rn. Se numește inversiune de pol q și putere k o transformare punctuală

T : p Rn\{q} → T(p) = p’ Rn\{q},

care satisface urmatoarele condiții:

Punctele q, p si p’ = T(p) sunt coliniare

qp ∙ qp’ = k2

Presupunem că q = 0 este originea sistemului de coordonate carteziene ortogonale și fie x1, …, xn, respectiv x’1, …, x’n coordonatele punctelor p și p’. Ecuațiile dreptei qp sunt:

Din i. rezultă:

și, tinand seama de ii., obținem , i = 1,…, n.

Dacă polul de inversiune are coordonatele c1, …, cn, atunci ecuațiile inversiunii T se scriu:

, i = 1,…, n.

Propoziție

Consideram spațiile Riemann (M, g) și (M’, g’) unde:

M = {(x1, …, xn) Rn | xn > 0}

M’ = { x’1, …, x’n) Rn | }

și unde g (respectiv g’) este metrica Beltrami (respectiv Riemann) pe varietatea M (respectiv M’).

Atunci spațiile Riemann (M, g) și (M’, g’) sunt echivalente.

Demonstrație

Știm că componentele gij, respectiv g’ij ale lui g, respectiv g’ sunt

, (1)

. (2)

Spațiile Riemann (M, g) și (M’, g’) sunt echivalente dacă există un difeomorfism φ : M → M’ astfel încat să avem:

, (3)

unde am notat φr = x’r φ.

Considerăm hipersuprafața Sn-1 cu centrul în origine și de raza 1 și fie S = (0, …, 0, –1) polul sud al hipersferei Sn-1. Considerăm inversiunea T : Rn\{S} → Rn\{S} de pol S și putere k = . Ecuațiile lui T se scriu:

T : i = 1, …, n-1

Este evident că T-1 este de aceeași formă. Hiperplanul xn = 0 se transformă în frontiera hipersferei. Într-adevăr, avem:

Să arătăm că T(M) = M’. Într-adevăr, avem:

Ultima inegalitate are loc deoarece inegalitatea:

se scrie

, unde

Ultima inegalitate se mai scrie sub forma:

sau

Și cum xn > 0, rezultă că ultima inegalitate este adevarată. Deci pentru xn > 0 avem .

Am arătat că T(M) = M’. În continuare vom nota φ = T|M.

Deoarece φ φ-1 este aplicația identică, rezultă că φ : M → M’ este o bijecție. Cum φ și φ-1 sunt diferențiabile, rezultă că φ este un difeomorfism.

Să arătam că φ verifică (3). Dacă notam , atunci difeomorfismul φ se scrie:

φ : i = 1, …, n-1

Rezultă:

, i, k = 1, …, n-1

, i = 1, …, n-1

, k = 1, …, n-1

Deoarece avem , din (2) rezultă:

(2’)

Pentru orice indici k, l {1, …, n-1} avem

Pentru orice i {1, …, n-1} avem g’in = g’ni = 0, gin = gni = 0. În continuare avem:

.

Prin urmare difeomorfismul φ verifică formula (3). Rezultă că spațiile Riemann (M, g) și (M’, g’) sunt echivalente.

3. Aplicații

Aplicația 1

Considerăm spațiile Riemann (M, g) și (M’, g’), unde:

M = {(x1, …, xn) Rn | }

M’ = {(x’1, …, x’n) Rn | }

și unde g și g’ sunt metricile riemannene ale lui Riemann si Weyl având componentele:

, (1)

. (2)

Atunci:

i) Aplicația φ : M → M’ definită prin:

, (3)

este un difeomorfism.

ii) Spațiile Riemann (M, g) și (M’, g’) sunt echivalente prin difeomorfismul φ.

Rezolvare

i) Dacă notăm , atunci (3) se scrie .

Rezultă , sau . De aici obținem:

. (4)

Ținând seama de (4), formulele (3) se scriu

sau

, i = 1, …, n (5)

Prin urmare aplicația φ este inversabilă și inversa ei este definită prin formulele (5). Pană acum am arătat că aplicația φ este bijectivă. Să arătăm că φ realizează un difeomorfism între varietățile diferențiabile M și M’. Acest lucru este evident deoarece atât φ cât și inversa ei sunt aplicații diferențiabile.

ii) Să arătăm că difeomorfismul φ : M → M’ verifică formulele:

, (6)

Avem . Ținând seama de formulele (3) rezultă:

(7)

Din (3) rezultă:

(8)

Ținând seama de (7) și (8) obținem

.

Aplicația 2

Fie g și g’ două metrici Riemann pe varietatea R2, avand componentele:

g11 = 1 + (x1)2 , g12 = g21 = – x1 , g22 = 1 (1)

g’11 = g’22 = 0, g’21 = g’12 = 0 (2)

Să se calculeze componentele conexiunilor Levi – Civita ale spatiilor Riemann (R2, g) și (R2, g’)

Să se găsească un difeomorfism φ : R2 → R2 astfel încât spațiile Riemann (R2, g) și (R2, g’) să fie echivalente.

Rezolvare

Din (1) obținem , ,

|11, 1| = x1, |12, 1| = |21, 1| = 0, |22, 1| = 0,

|11, 2| = –1, |12, 2| = |21, 2| = 0, |22, 2| = 0,

det ||gij|| = 1, g11 = 1, g12 = g21 = x1, g22 = 1 + (x1)2.

Rezultă că simbolurile lui Christoffel de a doua speță ale metricii g sunt toate nule în afară de:

(3)

Din (2) rezultă că simbolurile Christoffel de speta a doua ale spațiului (R2, g’) sunt toate nule, deci

= 0, i, j, k {1, 2} (4)

Pe de altă parte, din relațiile

(5)

rezultă

(5’)

Ținând seama de formulele (3) și (4) sistemul (5’) devine

, , , i {1, 2} (6)

Din a treia ecuatie găsim

, i {1, 2} (7)

Din a doua ecuație a sitemului (6) și din (7) obținem ai = const. Folosind aceasta, din (7) rezultă

, i {1, 2} (8)

Din prima ecuație a sistemului (6) și din (8) avem i {1, 2}

De aici rezultă

, (9)

unde ci și ki sunt constante. Din (8) și (9) rezultă

, i {1, 2} (10)

Prin urmare difeomorfismul φ este dat prin formulele

, i {1, 2} (11)

unde ai, ci, ki sunt constante arbitrare.

Ținând seama de formulele (1), (2) și (10), sistemul (5) se scrie

(c1 – a1x1)2 + (c2 – a2x1)2 = 1 + (x1)2

(c1 – a1x1)a1 + (c2 – a2x1)a2 = – x1

(a1)2 + (a2)2 = 1

sau

(c1)2 + (c2)2 = 1

c1a1 + c2a2 = 0 (12)

(a1)2 + (a2)2 = 1

Din prima și a treia ecuație a sitemului (12) avem

a1 = sin t, a2 = cos t, c1 = cos t’, c2 = sin t’,

iar din a doua ecuație obținem t’ = – t. Avem deci

a1 = – c2 = sin t, a2 = c1 = cos t.

Prin urmare difeomorfismul φ se scrie

φ :

Observăm că φ este o compunere de două transformări

T1 :

T2 :

4. Proprietăți spectrale ale varietăților izometrice

Fie (M, g) o varietate riemanniană conexă, închisă, de dimensiune n.

Definiție

Mulțimea σ(Δ, g) = {λ R | f F(M), f 0 a.î. Δf = λf} se numește spectrul operatorului Δ, iar f se numește funcție proprie corespunzatoare valorii proprii λ.

Observație

Spectrul constă dintr-o infinitate numarabilă de valori proprii, distribuite în mod discret pe axa reală.

Definiție

Prin 0 – spectrul varietății riemanniene închise (M, g), notat Spec(M, g), se întelege șirul de numere reale , unde λi σ(Δ, g), i N.

Fie (M, g) o varietate riemanniană conexă, compactă, orientabilă și cu curbura secțională σ. Cu toate că geometria lui (M, g) determină în mod unic spectrul σ(Δ, g), doar pentru puține varietăți riemanniene compacte σ(Δ, g) este cunoscut în mod explicit. De exemplu, pentru un elipsoid nu se cunoaste nici măcar valoarea exactă a primei valori proprii nenule λ1. Din acest motiv este natural să se încerce determinarea pe axa reală a unor intervale “bune” pentru valorile proprii. Primele rezultate de acest tip au fost stabilite de C. Faber, E. Krahn, W. Hayman, L.E. Payne, G. Polya, G. Szegő, H. Weinberger etc. Urmatoarele rezultate vor da exemple de asemenea estimari prin date geometrice ca dim M = n, vol(M, g), diametrul D(M, g) și obiecte geometrice deduse din curbură.

Fie λ1 prima valoare proprie nenulă a lui Δ.

Propoziție (Lichnerowicz)

Fie (M, g) varietate Riemann, conexă, compactă, orientabilă, de dimensiune n 2. Dacă k > 0 a.î. – S kg (sau – ρ k), unde S este tensorul Ricci, iar ρ curbura Ricci, atunci .

Propoziție (Obata)

Fie (M, g) varietate Riemann, conexă, compactă, orientabilă, de dimensiune n 2. Dacă k (0, ) a.î. – S kg, atunci dacă și numai dacă (M, g) este izometrică cu sfera unitate standard Sn Rn+1, înzestrată cu metrica g0, indusă de metrica canonică a lui Rn+1.

Într-adevăr, dacă (M, g) este izometrică cu (Sn, g0), atunci σ = 1. Deci τ = – n(n – 1), ceea ce implică – S = (n – 1)g. În acest caz k = n – 1 si .

Spectrul unei varietăți riemanniene conexe, închise determină dimensiunea varietății precum și volumul ei.

Deoarece determinarea exactă a spectrului unei vaietăți riemanniene închise generale nu este posibilă, vom prezentă proprietățile de repartiție asimptotică ale valorilor proprii și legăturile dintre spectru și datele geometrice globale ale varietății. Considerăm varietăți riemanniene conexe, închise, de dimensiune n.

Spectrului Spec(M, g) al varietății riemanniene conexe, închise, (M, g), i se poate atașa funcția continuă Z(M, g) : (0, ∞) → R, Z(M, g)(t) = , cu o comportare singulară Z(M, g)(t) → ∞, pentru . Această funcție are pentru o dezvoltare asimptotică:

Z(M, g)(t) ~ ,

Semnul ~ este utilizat pentru a nota că două funcții reale sunt asimptotice, ceea ce, prin definiție, înseamnă că, câtul lor tinde către 1, adică:

Z(M, g)(t) – = O , k N

Existența coeficienților ai a fost dovedită de S. Minakshisundaram și A. Pleijel.

Problema determinării acestor coeficienti este una dificilă și se cunosc numai rezultate parțiale. Un astfel de rezultat este următorul:

Teoremă

Fie (M, g) o varietate riemanniană conexă, închisă, de dimensiune n. Atunci avem:

a0 = vol (M, g)

a1 =

a2 =

unde S este tensorul Ricci, τ = Tr S este curbura scalară, iar masura canonică pe M, indusă de tensorul metric g.

Propoziție

Dacă (M, g) și (M’, g’) sunt varietăți riemanienne și φ : M → M’ este o izometrie, atunci , f F(M’). Așadar dacă (M, g) (M’, g’), atunci Spec(M, g) = Spec(M’, g’), caz în care (M, g ) și (M’, g’) se numesc varietăți izospectrale (sau 0 – izospectrale).

Studiem reciproca acestei propoziții i.e. dacă două varietăți riemanniene conexe, închise sunt izospectrale, atunci sunt izometrice?

Pentru n = 1, răspunsul este afirmativ. Berger a demonstrat că în acest caz spectrul conține toate informațiile geometrice.

În cazul n = 2, două toruri plate izospectrale sunt izometrice.

În general, pentru n 2, reciproca nu este adevarată. Pentru n 2, M.F. Vignéras a dat exemple de varietăți rimanniene conexe, închise, ireductibile și izospectrale care nu sunt izometrice. Primul exemplu de acest tip, pentru n = 16, se datorează lui J. Milnor, care a construit două toruri plate neizometrice, pentru care spectrele coincid. Există exemple de astfel de toruri și pentru n = 12. Pentru 3 n 11 nu se știe încă dacă torurile plate izospectrale sunt sau nu izometrice. Pentru un tor dat TΓ numarul torurilor izospectrale și neizometrice cu TΓ este finit. Pentru n = 3, există cel mult 15 toruri izospectrale și neizometrice cu un tor dat.

BIBLIOGRAFIE

I. E. Hirică, Geometrie spectrală pe varietăți Riemann, Ed. Univ. București, 2004.

I. E. Hirică, S. Leiko, L. Nicolescu, G. Pripoae, Geometrie Diferențială. Probleme. Aplicații, Ed. Fundației Romania de Mâine, București, 1999.

G. Gheorghiev, V. Oproiu, Varietăți diferențiabile finit și infinit dimensionale, Ed. Acad. Bucuresți, 1976.

L. Nicolescu, Grupuri Lie, Ed. Univ. București, 2004.

M. Berger, Geometry II, Universitext, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1987.

I. Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, Inc., New York, 1984.

M. Craioveanu, M. Puta, Th. M. Rassias, Old and New Aspects in Spectral Geometry, Kluwer Academic Publishers, 2001.

S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I, II, Interscience, John Wiley, New York, 1963, 1969.

C. Udriște, Linii de câmp, Ed. Tehn., București, 1988.

H. Wu, The Bochner Technique in Differential Geometry, Mathematical Reports, Harwood Academic Publishers, 3 (1988), 298-542