Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014 [611355]

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
1PROBABILIT ĂȚI

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
2Cuprins»Experiment  aleator
»Definiția clasică a probabilit ății
»Spațiul fundamental  de evenimente
»Independen ța a două  evenimente
»Probabilit ăți  condiționată
Exemple medicale (Riscul  relativ, Se, Sp, VPP, VPN,  etc.)

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
3Evenimentul aleatoriu»Într‐un proces randomizat știm care rezultate  sunt 
posibile dar nu știm care din rezultatele  posibile se va 
întâmpla

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
4Evenimentul  aleatoriu»La aruncarea cu moneda avem dou ărezultate posibile
(capul sau pajura)  asociate cu  o probabilitate specific ă
(ex. 0,5)
Testul:  aplicarea unui experiment
Evenimentul:  rezultatul testului
Evenimentul aleator:  evenimentul care  se obține la 
aplicarea unui singur test
Spațiu de evenimente: {cap,  pajură}

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
5Definiții»Colecț ie a tuturor  rezultatelor  posibile ale unui test
Dacă o familie  are 2 copii, care este spațiul de evenimente 
pentru genul (F/M) acestor copii? 
+S = {FF, FM, MF, MM}
»Distribuția de probabilitate  = listă a tuturor  rezultatelor  
posibile ale unui spațiu de eveniment  și probabilit ățile 
asociate  ale acestora
»La o singură  aruncare a unei 
monede (Cap  = C, Pajură = P)
S = {C, P}
P(C) = 0,5
P(P) = 0,5»La aruncarea de  două ori a 
unei monede (Cap  = C, Pajură 
= P)
S = {CC, CP, PC, PP}
P(CC)  = 0,25
P(CP) = 0,25
P(PC) = 0,25
P(PP) = 0,25

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
6Definiții»Evenimente  complementare  = două evenimente 
mutual exclusive  a căror sumă de  probabilităț i este 
egală cu 1
»S = {C, P} – P(C)+P(P)  = 0,5+0,5 = 1
»S = {CC, CP, PC, PP} – P(CC)+P(nonCC)  = 0,25+0,75  = 1
»Evenimente  disjuncte –s p ațiul evenimentului  poate 
avea mai mult  de 2 rezultate  posibile
»Evenimente  complementare  –s p ațiul evenimentului  
poate  avea doar 2 rezultate  posibile

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
7Probabilitatea»Probabilitatea  = o măsură a șansei de realizare a  unui eveniment
»Pr(A) ∈[0, 1] / 0 ≤ P ≤ 1
»Fie A un eveniment:
Pr(A)  = probabilitatea evenimentului A
Dacăevenimentul este o  certitudine:  Pr(A) = 1
Dacăevenimentul este imposibil de  realizat: Pr(A) = 0
»Dacăun eveniment A  se poate realiza în S  probe dintr‐os e r i ed e  n 
încercări echiprobabile,  atunci probabilitatea evenimentului A  este
datăde numărul de cazuri favorabile raportat la  numărul de cazuri
posibile:
Pr(A) = (nr cazuri favorabile)/(nr  cazuri posibile)

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
8»Șansele sunt  probabilit ăți exprimate  procentual
»Șansa ia valori între 0% și 100%
Exemplu:  o probabilitate  de 0,75 este egală cu o șansă de 
75%
»Rația unui eveniment  este probabilitatea  ca un 
eveniment  să se întâmple împărțit la probabilitatea  ca 
acel eveniment  să nu se întâmple
Poate lua orice  valoare pozitivă
Fie  A evenimentul  de interes. Rația de probabilitate  = 
Pr(A)/[1‐Pr(A)] (unde 1‐Pr(A) = Pr(nonA))
Exemplu:  dacă  Pr(A) = 0,75 atunci rația de probabilitate  este 
de 3 la 1 (0,75/(1‐0,75)=0,75/0,25=3/1)8
Șansa

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
9Probabilitatea»La aruncarea  unei monede  de 10 ori, obținem de fiecare 
dată cap (C). Care este șansa ca la următoarea aruncare 
să obținem tot cap?
0,5 
< 0,5
>0 , 5
C, C, C, C, C, C, C, C, C, C, ?
»P(cap la prima aruncare) =  P(cap la  a zecea aruncare)  = 
0,5

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
10Probabilit ăți: exemplu»S‐a realizat un studiu pe un eșantion de 7782 subiec țid i n țări și s‐au 
obținut următoarele rezultate:
36,2% din populația lumii au fost de acord  cu următoarea 
propoziție “Bărbații ar trebui să aibă  mai mult dreptul la un loc 
de muncă decât femeile."  
13,8% din persoanele  incluse în studiu aveau studii universitare
3,6% din persoanele  incluse în studiu îndeplineau  simultan cele 
două criterii.
P(acord) = 0,362 ‐ P(SU) = 0,138 ‐P(acord
& SU) = 0,036
»Evenimnetele “acord” (A) ș i “studii superioare” (SU) sunt
independente?
»P(A șiS U ) = 0,036≠ 0 →  dependente
Sursa: http://www.worldvaluessurvey.org/

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
11Probabilit ăți: diagrama VennP(A) = 0,362
P(SU) = 0,138
P(A &S U ) = 0,036
0.326
0.1020,3620,138
0,036
0,362 – 0,036 = 0,326 0,138 –0 , 0 3 6 = 0,102acordStudii universitare

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
12Probabilit ăți: operații cu evenimenteP(A)  = 0,362
P(SU) = 0,138
P(A &S U ) = 0,036
»Care  este probabilitatea ca  o persoană extrasă la întâmplare  
să aibă studii universitare  sau să fie de acord?
»P(A∪SU) = P(A)  + P(SU) –P ( A∩SU)
»P(A∪SU) = 0,326 + 0,136 – 0,036 = 0,464∪(reuniune)  = SAU
∩(intersecție) = ȘI
Regula generală de adunare:
P(A∪B) = P(A) + P(B) –P ( A∩B)
Evenimente  mutual exclusive  P(A∩B) = 0

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
13
Evenimente»Evenimente  mutual exclusive  = evenimente care  nu pot 
avea loc simultan
Rezultatul  obținut la aruncarea  unei monede nu poate  fi 
în acelaș i timp și cap și pajură
Un student nu poate  în acelaș i timp să treacă și să pice un 
examen
O singură  carte extrasă dintr‐ un pachet  de cărți nu poate 
în acelaș i timp să fie și 3 și regină 
A B
P(A∩B) = 0
A B
P(A∩B) ≠ 0

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
14
Evenimente  mutual exclusiveCare  este probabilitatea  de a 
extrage dintr‐un pachet  de cărți de 
joc bine amestecat  un J sau un 3?
Regula generală  de adunare:
P(A∪B) = P(A) + P(B) –P ( A∩B)
Evenimente  mutual exclusive  P(A∩B) = 0 
P(J sau 3) = P(J) + P(3) = 4/52 + 4/52 = 0,1538

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
15Probabilit ăți: operații cu evenimenteP(A) = 0,362
P(SU) = 0,138
P(A &S U ) = 0,036
»Care este probabilitatea ca  o persoană extrasă la 
întâmplare s ă nu aibă studii universitare ș i să nu sunt de 
acord?
»P(nonA∩nonSU) = 1‐P(A∪SU) 
»P(nonA∩nonSU) = 1 ‐0,464 = 0,536∪(reuniune)  = SAU
∩(intersecție) = ȘI

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
16Probabilit ăți: operații  cu evenimenteP(A) = 0,362
P(SU) = 0,138
P(A &S U ) = 0,036
»Evenimentul  reprezentat  de existenț a studiilor superioare  este 
independent  față de evenimentul  reprezentat  de acordul c ă 
bărbații ar trebui să aibă  mai mult dreptul la un loc de muncă decât 
femeile?∪(reuniune)  = SAU
∩(intersecție) = ȘI
Produsul a două evenimente  independente:
P(A∩B) = P(A)×P(B)
P(A & SU)  = P(A)  ×P ( S U )
0,036 = 0,362 + 0,138 →
0,036 ≠0,05 →evenimentele  nu sunt independente

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
17Probabilit ăți: operații cu evenimenteP(A)  = 0,362
P(SU) = 0,138
P(A &S U ) = 0,036
»Care  este probabilitatea  ca cel puțin unul din 5 persoane 
selectate la întâmplare  să fie de acord  cu propoziția Bărbații ar
trebui să aibă mai mult dreptul la un loc de munc ă decât
femeile ?
»P(A)  = 0,362 → S = {0, 1, 2, 3, 4, 5} → S = {0, cel puțin 1}
»P(cel puțin  1 din 5 să fie  de acord) 
= 1 –P ( n o n A )  ← P(nonA) = 1‐P(acord) = 1‐0,362 = 0,638
= 1 – P(nonA, nonA, nonA,  nonA, nonA)
= 1 –0 , 6 3 85 
= 1 –0 , 1 0 6  = 0,894∪(reuniune)  = SAU
∩(intersecție) = ȘI

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
18Evenimente  independente»Două evenimente sunt  independente  dacă cunoaș terea 
rezultatului  unui eveniment  nu aduce nici  o informație cu privire 
la rezultatul  celui de‐al doilea eveniment
P(A|B) = P(A)
0
A
BABDependente /  
IndependenteDisjuncte& 
independenteA
A
Sunt frați?

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
19Probabilit ăți condiționateGoodman  E, Amick BC,  Rezendes MO,  Levine S, Kagan J, Rogers WH, Tarlov AR.  
Adolescents'  understanding  of social class:  a comparison  of white upper middle 
class  and working class  youth. J Adolesc Health.  2000;27(2):80 ‐3.
»Opinia tinerilor albi de 16 ani cu privire la  clasa socială (48  clasa 
muncitoare  & 50 clasa marginal ă)
»Evaluarea  clasei sociale pe baza ocupației, studiilor și a venitului 
prin chestionarea  părinților (evaluare  obiectivă)
»Pe baza unui chestionar  completat  de tineri  (evaluare  subiectivă )
98 50 48 Total0 0 0 Sus45 37 8 Marginală45 13 32 Mijloc8 0 8 Muncitoare0 0 0 JosMarginală Muncitoare SubiectivTotal Obiectiv

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
20 Probabilit ăți marginale»Care este probabilitatea  ca clasa social ă evaluată obiectiv (O) să fie 
clasa marginală  (Ma)?
»P(Obj Ma)  = 50/97 = 0,5198 50 48 Total0 0 0 Sus45 37 8 Marginală45 13 32 Mijloc8 0 8 Muncitoare0 0 0 JosMarginală Muncitoare SubiectivTotal Obiectiv

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
21 Probabilit ăți condiționate»Care este probabilitatea  ca clasa social ă evaluată obiectiv (Obj) și 
subiectiv (Sub) să fie ambele clasa marginal ă (Ma)?
»P(SubMa)  = 45/98
»P(ObjMa)  = 50/98
»P(SubMa și ObjMa) = 37/98 = 0,3898 50 48 Total0 0 0 Sus45 37 8 Marginală45 13 32 Mijloc8 0 8 Muncitoare0 0 0 JosMarginală Muncitoare SubiectivTotal Obiectiv

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
22 Probabilit ăți condiționate»Care este probabilitatea  ca un adolescent  din clasa muncitoare  
(evaluată obiectiv) să fie clasificat în clasa marginal ă la clasificarea 
subiectivă ?
»P(SubMa)  = 45/98
»P(ObjMu)  = 48/98
»P(ObjMu|SubMa)  = 8/48 = 0,1798 50 48 Total0 0 0 Sus45 37 8 Marginală45 13 32 Mijloc8 0 8 Muncitoare0 0 0 JosMarginală Muncitoare SubiectivTotal Obiectiv

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
23Probabilit ăți condiționate»Probabilit ăți condiționate: 
Fie A și B două evenimente
Prin probabilitatea  condiționată a lui A de către B (simbol: 
Pr(A|B)) se înțelege probabilitatea  de a se realiza 
evenimentul  A dacă  în prealabil s‐a realizat evenimentul  B
»Exemplu:  Pr(Test pozitiv tuberculin ă|TBC) este probabilitatea 
de a obține un test pozitiv la tuberculin ă la un pacient care 
are TBC
.
»P(B|A) nu este același  lucru  cu P(A|B)) B ( P) B A ( P) B | A ( P∩=

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
24TBC+ TBC ‐
Test+ 15 12
Test‐ 25 18
»Pr(A) = (15+25)/(15+12+25+18)  = 0,57 (prevalen ța bolii)
»Pr(nonA) = (12+18) /(15+12+25+18)  = 0,43
»Pr(B|A) = probabilitatea  unui test pozitiv la un pacient  cu 
TBC = 15/(15+25)  = 0,38 = SENSIBILITATE (Se)
»Pr(nonB|nonA)  = probabilitatea  de a obține un test 
negativ ș tiind că testul se aplică unui pacient indemn de  
TBC = 18/(18+12)  = 0,60 = SPECIFICITATE (Sp)24
Probabilit ăți condiționateFie: A= {TBC+} & B= {Test+}

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
25TBC+ TBC ‐
Test+ 15 12
Test‐ 25 18
»Pr(A|B) = probabilitatea  ca o persoan ă cu TBC  să prezinte 
un test pozitiv  = 15/(15+12) =  0,56 = VALOAREA 
PREDICTIVĂ  POZITIVĂ (VPP)
»Pr(nonA|nonB)  = probabilitatea  ca o persoană 
indemnă TBC să prezinte  un test negativ = 18/(18+25)  
= 0,42 = VALOAREA  PREDICTIVĂ  NEGATIVĂ (VPN)
Probabilit ăți condiționateFie: A= {TBC+} & B= {Test+}

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
26TBC+ TBC ‐
Test+ 15 12
Test‐ 25 18
»Rata falșilor pozitivi: RFP =  Pr(B|nonA)
»Rata falșilor negativi: RFN  = Pr(nonA|B)Fie: A= {TBC+} & B= {Test+}
Probabilit ăți condiționate

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
27Boală+ Boală‐ Total
Test + AP FP = AP+FP
Test ‐ FN AN = FN+AN
Total = AP+FN =FP+AN = n
Denumire  parametru Formula
Rata falșilor pozitivi =FP/(FP+AN)
Rata falșilor negativi =FN/(FN+AP)
Sensibilitatea =AP/(AP+FN)
Specificitatea =AN/(AN+FP)
Acuratețea =(AP+AN)/n
Valoarea  predictivă  pozitivă =AP/(AP+FP)
Valoarea  predictivă  pozitivă =AN/(AN+FN)
Riscul relativ =AP(FP+AN)/FN(AP+FP)
Rata ș ansei =(AP∙AN)/(FN∙FP)
Riscul atribuabil =AP/(AP+FP) ‐FN/(FN+AN)
Probabilit ăți în tabelul de contingen ță

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
28De reținut! Operații cu probabilit ățiAdunare:
»Pr(A∪B) =Pr(A) +Pr(B) – Pr(A∩B)
»Pr(A∪B) =Pr(A) +Pr(B): evenimente  mutual 
exclusive
Înmulțire:
»Pr(A∩B) = Pr(A) ·Pr(B|A)
»Pr(A∩B) = Pr(A) ·Pr(B): evenimente  independente

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
29Probabilit ăți: ProblemeA = {TAS mam ă > 140 mmHg},  Pr(A) = 0,25
B= {TAS tată  > 140 mmHg}, Pr(B)  = 0,15
Care este probabilitatea  ca într‐o familie să avem  un 
părinte hipertensiv?

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
30Probabilit ăți: Probleme»Într‐o cafenea există 20 de persoane;  la 10 le place 
ceaiul, la alți 10 le place cafeaua și la 2 le place și ceaiul 
și cafeaua.  Care este probabilitatea  de a extrage la 
întâmplare din  populație o persoan ă căreia să‐i placă 
ceaiul sau cafeaua?

Sorana D. BOLBOAC Ă Curs 12 Aprilie 2014
31Probabilit ăți: ProblemeA = {TAS mamă > 140 mmHg}, Pr(A)  = 0,10
B= {TAS tată > 140 mmHg}, Pr(B)  = 0,20
Pr(A∩B) =  0,05
»Evenimentele A ș i B sunt dependente  sau 
independente?