SOLICITĂRI DINAMICE ALE PIESELOR ȘI STRUCTURILOR Numeroase probleme inginerești trebuie abordate având în vedere mișcarea diverselor mașini și… [615714]

141 5.

SOLICITĂRI DINAMICE ALE PIESELOR
ȘI STRUCTURILOR

Numeroase probleme inginerești trebuie abordate având în
vedere mișcarea diverselor mașini și componente ale acestora, de
exemplu, în diverse regimuri de funcționare, la solicitările dinamice
produse de vânt, de cutremure, vibrațiile și șocurile diverselor
instalații, mijloacelor de transport etc, apărute în timpul manevrelor
etc. În aceste situații apar mișcări ciclice, vibrații, propagări ale
mișcărilor, disipare a energiei, oboseală, instabil itate, zgomote etc,
care induc în structurile de rezistență solicitări suplimentare.
Importanța practică și complexitatea abordării prin calcul și/sau
experimental a problemelor dinamice ale sistemelor mecanice, au dus
la constituirea mai multor discipline inginerești, de sine stătătoare,
destinate acestor probleme ca, de exemplu: dinamica mașinilor,
teoria vibrațiilor, teoria șocurilor, dinam ica construcțiilor etc . În
rezistența materialelor nu sunt incluse, de regulă, decât unele
probleme dinamice element are, foarte simple.
Considerând calculul la solicitări statice drept demersul de bază
pentru o analiză inginerească – care are în vedere modelarea
geometriei, rigidităților, sarcinilor și reazemelor – un model pentru o
analiză a comportării dinamice a unei structuri sau a unei piese
trebuie să mai ia în considerare și – cel puțin – modelarea maselor și
a amortizărilor. De asemenea, se poate pune problema considerării
valorilor constantelor mecanice și elastice dinamice ale materialelor,
a variației sarcini lor în timp, a dependenței amortizărilor de frecvență
etc.

5.1. Concepte și noțiuni de bază

Calculul dinamic al unei structuri constă, în esență, în
determinarea răspunsului (sau a efectelor de natură mecanică asupra
structurii) acesteia la acțiunea unor sarcini sau deplasări impuse,

142 variabile în timp, denumite perturbații sau excitații. Răspunsul este
determinat de caracteristicile mecanice ale structurii și de parametrii
excitației, relația cauză – efect depinzând de structură. Orice
problemă de dinamic a structurilor constă în stabilirea relațiilor dintre
excitație, caracteristicile dinamice ale structurii și răspunsul acesteia.
În acest scop, de regulă, se scrie ecuația de mișcare, care în condițiile
în care mișcarea de rotație lipsește, are f orma

)t(F uK uC uM  , (5.1)

în care: [M] este matricea de masă, simetrică și pozitiv definită, de
obicei constantă; [C] este matricea de amortizare vâscoasă, (sau [C i],
care este o matrice de amortizare gene rată de material, descriind
disiparea energiei în interiorul materialului), de obicei (semi)pozitiv
definită, constantă și simetrică; [K] este matricea de rigiditate,
(semi)pozitiv definită și simetrică (în general, matricea de rigiditate
[K] are și o comp onentă generată de rigiditatea geometrică sau a
tensiunilor inițiale [K σ], denumită matricea de rigiditate geometrică),
{u} este vectorul deplasărilor nodale; {
u } este vectorul vitezelor
nodale; {
u } este vectorul accelerațiilor nodale; {F}={F(t)} este
vectorul excitațiilor sau forțelor (al încărcărilor) nodale; t este
variabila timp.
Observații: O matrice pozitiv definită are toate elementele de pe diagonală
strict pozitive (nenule și pozitive). O matrice semi -pozitiv definită este o matrice
pozitiv definită, care are câteva elemente de pe diagonală nule.
Problemele de dinamica structurilor pot fi împărțite în două mari
categorii: directe și inverse .
Problema directă este cea în care se cunosc ecuațiile ca re
descriu comportarea dinamică a structurii, se cunoaște excitația și se
cere răspunsul structurii.
Problema inversă poate avea, în principiu, două variante:
– se cunoaște răspunsul structurii la o excitație dată, dar nu se
cunosc ecuațiile de mișcare, co nfigurația structurii sau unii parametri
ai acesteia;
– se cunosc structura și răspunsul ei, dar nu se cunoaște excitația.

Prin urmare, problema inversă poate avea următoarele va riante
inginerești, practice :

143 a. Sinteza sau proiectarea. Excitația și răspun sul fiind cunoscute,
se concepe, adică se proiectează sau se face sinteza unei structuri
realizabile tehnic, economic și t ehnologic, care să aproximeze câ t
mai bine relația excitație – răspuns. Soluția nu este unică, gradul de
aproximare fiind diferit de l a caz la caz. De asemenea, trebuie avute
în vedere și multe alte aspecte, funcționale și de calcul, privind
condițiile pe care trebuie să le îndeplinească structura.
b. Măsurarea. Se cunoaște structura și răspunsul acesteia și se
caută excitația care prod uce răspunsul respectiv. Este cazul
măsurărilor cu aparate a căror funcție de transfer sau curbă de
etalonare se cunoaște, cazul determinării forțelor excitatoare etc.
c. Identificarea structurii. Se cunosc o serie de parametri și
funcții ale excitației și răspunsului și se caută o descriere matematică
sau un model al structurii. Frecvent, datele se obțin sub forma unui
răspuns în frecvență al modelului la excitația cu “semnale de probă”
armonice, neperiodice sau aleatoare, pe baza căruia se determină
frecv ențele, modurile proprii de vibrație și proprietățile dinamice
specifice: amortizare, rigiditate dinamică etc.
Principalele categorii de fenomene care aparțin domeniului
dinamicii str ucturilor se definesc astfel :
a. Vibrațiile. Acestea sunt variații în tim p ale unei mărimi de
stare a structurii, de obicei în vecinătatea valorii corespunzătoare
unei stări de echilibru, produse de forțe de “readucere” elastice.
b. Vibrațiile libere. Dacă un sistem elastic (piesă sau structură)
este scos din poziția de echilib ru stabil, prin aplicarea unei solicitări
statice, acesta înmagazinează o cantitate de energie potențială. Dacă
apoi sistemul este lăsat liber, fără să se mai introducă energie în
sistem, acesta execută vibrații libere , prin transformarea repetată a
energi ei potențiale de deformație a sistemului elastic în energie
cinetică a maselor acestuia și invers. În prezența unor forțe de
frecare, energia sistemului este disipată, iar vibrațiile se amortizează
după un număr oarecare de cicluri.
c. Autovibrațiile. Aces tea se pot produce când scoaterea din
poziția de echilibru static a sistemului are loc în prezența unei surse
de energie. Amplitudinea mișcării crește continuu, până când este
limitată de efecte nelineare sau de amortizare. Mișcarea este

144 întreținută de o f orță periodică, creată sau determinată de mișcarea
însăși, deși energia este furnizată uniform de sursa exterioară.
d. Vibrațiile forțate sau întreținute. Sunt produse de forțe
perturbatoare independente, care aplică structurii sarcini sau
deplasări dinami ce, variabile în timp. Astfel de excitații duc la un
transfer de energie de la sursa perturbatoare la sistemul elastic . Dacă
transferul are loc periodic, constant pe fiecare ciclu, vibrația forțată
este staționară , de amplitudine constantă. Dacă transferul de energie
se face neuniform, vibrația are un caracter tranzitoriu , amplitudinea
variind până la stabilirea unui regim staționar sau până la amortizarea
completă.
e. Șocurile sau impacturile. Se produc la aplicarea bruscă a unei
perturbații, adică aceste probleme sunt cazuri particulare ale celor
definite la categoria d. Șocul este o perturbație prin care se transmite
structurii energie cinetică într -un interval de timp scurt, în comparație
cu perioada sa proprie de vibrație. Din momentul încetării acțiuni i
șocului, răspunsul structurii devine o vibrație liberă.
f. Vibrațiile aleatoare. Acestea au caracter nedeterminist,
aleator, adică valorile instantanee ale mărimilor care definesc
mișcarea nu sunt predictibile. Acesta este cazul majorității situațiilor
reale, practice, spre deosebire de vibrațiile periodice și de cele
tranzitorii, care sunt fenomene deterministe.
g. Vibrațiile proprii. În general, când asupra unei structuri
linear elastice, cu parametri invariabili în timp, se aplică o
perturbație oareca re, mișcarea rezultantă este suma a două
componente distincte: vibrația forțată, descrisă de o funcție
asemănătoare funcției excitației și vibrația proprie, dependentă doar
de caracteristicile dinamice ale structurii, a cărei funcție de timp este,
de obice i, o combinație între o sinusoidă și o exponențială. În cazul
unei perturbații armonice sau aleatoare staționare vibrația proprie se
amortizează foarte repede, imediat după începutul mișcării,
rămânând doar vibrația forțată, care, în anumite condiții, poat e
produce fenomenul de rezonanță.
h. Rezonanța . Acest fenomen dinamic ia naștere la frecvențele
la care suma celor două energii “reactive” recuperabile – potențială și
cinetică – este nulă, iar energia transmisă structurii este egală cu cea
disipată prin f recări. Rezonanța se produce când “spectrul de

145 frecvențe” al perturbației acoperă un domeniu ce cuprinde
frecvențele proprii ale sistemului.
Rezonanța se caracterizează prin amplitudini mari ale mișcării în
anumite puncte sau zone ale structurii, însoțite de tensiuni mari sau
deplasări relative considerabile, care pot duce la ruperi prin oboseală,
funcționare necorespunzătoare, uzură sau zgomot accentuate.

5.2. Principiile și etapele elaborării modelelor și a analizei
problemelor dinamice

Elaborarea unui model și abordarea prin calcul a analizei
comportării dinamice a unei piese sau structuri constă, în esență, în
definirea unui ansamblu de elemente elastice, inerțiale și
disipative , capabil să descrie
satisfăcător fenom enul care
interesează și constă în parcurgerea,
cel puțin, a următoarelor etape :
a. Adoptarea unei scheme
cinematice, prin care se aleg gradele
de libertate geometrică, care
definesc forma deformată a
structurii.
b. Definirea valorilor și
pozițiilor maselo r asociate schemei
cinematice. De exemplu, pentru
arborele din figura 5.1.a, având în
capătul liber un volant de masă M,
masa arborelui fiind m, se pot avea
în vedere numeroase modele de
calcul, dintre care se prezintă patru,
cu diverse variante de distrib uire a
maselor și a gradelor de libertate. Modelul din figura 5.1.e consideră
arborele cu masa distribuită și deci cu o infinitate de grade de
libertate; pentru volant s -au considerat două grade de libertate:
deplasarea z 1 și rotirea φ 1.
Piesele și structu rile reale au masele distribuite continuu. Dar
considerarea modelelor de calcul astfel – ceea ce înseamnă modelări
și analize mai precise – duce la dificultăți de calcul care nu sunt

Figura 5.1

146 totdeauna justificate, motiv pentru care frecvent se preferă modele de
calcul cu mase concentrate.
Operația de concentrare a maselor poate fi considerată din două
puncte de vedere și anume:
– modelul cu mase concentrate aproximează structura reală, care
are masa distribuită, gradul de aproximare fiind cu atât mai bun, cu
cât se consideră mai multe mase concentrate. Suma maselor
concentrate trebuie să fie egală cu masa totală a structurii;
– modelul cu mase concentrate este echivalent, din punct de
vedere dinamic, cu structura reală, în sensul că, atât structura reală
cât și mode lul de calcul, au aceleași deplasări maxime sau aceeași
energie de deformație. În acest caz, din condiția ca deplasările
maxime sau energiile de deformație să fie egale, rezultă masa
echivalentă a modelului, care, de obicei, nu este egală cu masa
structuri i.
c. Definirea următoarelor caracteristici ale modelului de calcul:
– legăturile interioare deformabile ale structurii;
– relațiile tensiune -deformație specifică (legea constitutivă);
– modelele corespunzătoare tipului de deformare considerat;
– proprietă țile materialelor din care este realizată structura;
– amortizările.
d. Definirea amortizărilor . Determinarea corectă a tipului de
amortizare precum și estimarea valorilor constantelor de amortizare,
specifice problemei concrete care se studiază, constitu ie o dificultate
majoră a modelării și analizei unei probleme dinamice. Variații
relativ neînsemnate ale tipului și valorilor constantelor de amortizare
pot duce, în unele situații, la comportări dinamice complet diferite
ale structurii. Informații exacte privind caracteristicile de amortizare
ale structurii nu pot fi obținute decât experimental, prin determinări
pe structura pentru care se face analiza. Dacă acest deziderat nu este
posibil (de exemplu, structura este în faza de proiectare), se folosesc
informațiile disponibile de la structuri asemănătore, existente.
Principalele cauze ale amortizării vibrațiilor unei structuri
deformabile sunt:
– neelasticitatea materialelor, care produce “amortizarea internă”;
– frecările între elementele componente, car e produc
“amortizarea de structură”;

147 – frecările cu mediul ambiant, care produc “amortizarea externă”.
Natura fizică a mecanismelor de amortizare este atât de
diferită, încât pentru descrierea lor este necesară utilizarea mai
multor modele, dintre care, ce le mai cunoscute sunt următoarele:
– Amortizarea vâscoasă lineară . Cel mai simplu model mecanic
care descrie acumularea de energie potențială de deformație și
disiparea de energie constă dintr -un element elastic ideal (reprezentat
prin arcul de constantă e lastică k în fig. 5.2.a) și un amortizor ideal
(definit prin coeficientul de amortizare c) legate în paralel (model
denumit Kelvin – Voigt).
Forța dezvoltată de arc
este proporțională cu
deplasarea relativ ă
|fe| = k(x -y) = kz, iar
forța dezvoltată de
amortizor este
proporțională cu viteza
relativă

 zc )y-xc( |f|d
.
Deci relația “forță – deplasare” pentru modelul din figura 5.2.a este


 zckz f . (5.2)
– Amortizarea histeretică. Pentru multe materiale, energia disipată
într-un ciclu de vibrație este proporțională cu pătratul amplitudinii
deplasării, fiind independentă de pulsație. Se ajunge la modelul din
figura 5.2.b, la care coeficientul de amortizare c variază invers
proporțional cu pulsația ω, adică c = h / ω, în care h este coeficientul
de amortizare histeretică .
Trebuie avut în vedere că modelul amortizării histeretice
(denumită și amortizare “construct ivă” sau “structurală”) este valabil
doar pentru vibrații armonice, în cazul regimurilor tranzitorii ducând
la rezultate absurde.
– Amortizarea ereditară. Modelul cu trei parametri (fig. 5.2.c)
este format din amortizorul vâscos liniar c și două elemente pur
elastice cu constantele k 1 și k 2. Dacă pentru modelul cu amortizare
vâscoasă lineară (fig. 5.2.a) disiparea de energie era proporțională cu
viteza relativă instantanee, pentru modelul cu trei parametri (fig.

a b c
Figura 5.2

148 5.2.c) disiparea depinde de “istoria” aceste i viteze, de aceea
amortizarea se numește “ereditară”. Modelul amortizării ereditare se
poate reduce la un model Kelvin -Voigt cu parametri dependenți de
pulsație.
– Amortizarea coulombiană. Este un model de amortizare
nelineară, produsă de frecarea uscată . Forța de amortizare
coulombiană are amplitudine constantă, este independentă de
deplasare și de pulsație, având sens contrar vitezei.
– Amortizarea echivalentă. Pentru simplificarea modelului de
calcul, forța de amortizare nelineară se înlocuiește cu o f orță
vâscoasă sau histeretică lineară echivalentă, astfel încât energia
disipată pe ciclu de amortizorul nelinear să fie egală cu cea disipată
de amortizorul echivalent, deplasarea relativă fiind aceeași. Rezultă
că un coeficient de amortizare echivalent ( vâscos sau histeretic)
depinde, în general, de pulsația și amplitudinea vibrației; utilizarea
lui ca și cum ar fi constant, presupune să se determine experimental
domeniul pentru care această ipoteză este valabilă.
Observație. Cele 3 schematizări din figur a 5.2 nu reprezintă structuri, ci
modele mecanice echivalente ale comportării materialului, deci sunt modele de
material.
La elaborarea modelului de calcul dinamic al unei structuri
trebuie să se aibă în vedere că elementele de amortizare cât și cele
elastice se introduc atât între mase, cât și între mase și puncte fixe
(reazeme).
Ca urmare a frecărilor (amortizărilor) din structură, relațiile de
dependență dintre sarcinile P și deplasările u, precum și cele dintre
tensiunile σ și deformațiile ε sun t nelineare.

a b c d e
Figura 5.3
Dacă se reprezintă grafic astfel de dependențe, se obțin așa -zisele
bucle de histerezis . În figura 5.3 se prezintă câtev a modele de bucle

149 de histerezis, tipice, idealizate, obținute pentru diverse clase de
structuri și anume:
– structuri din oțel sudate: figura 5.3.a;
– structuri asamblate cu șuruburi, în care apar lunecări la un
anumit nivel al sarcinilor: figura 5.3. b și c;
– structuri din beton armat precomprimat: figura 5.3.d;
– structuri din beton armat, ale căror rigidități scad la apariția
fisurilor: figura 5.3.e.
e. Definirea legăturilor exterioare deformabile ale structurii ,
luând în con siderare și proprietățile mediilor adiacente (dacă este
cazul: de exemplu, fundațiile).
f. Definirea acțiunilor mediului exterior considerate în calcul și
stabilirea gradelor de libertate asupra cărora acționează, adică
precizarea modului de aplicare și d efinire a modului de variație în
timp a diferitelor componente ale unei acțiuni.
Aproximațiile care se fac la elaborarea modelelor pentru studiul
dinamic al structurilor se referă la:
– înlocuirea caracteristicilor “distribuite” (continue) prin
parametri “concentrați” (discreți) similari;
– linearizarea relațiilor cauză -efect dintre variabilele fizice;
– neglijarea variației în timp a unor parametri;
– neglijarea caracterului aleator al unor fenomene.

5.3. Tipuri de analize dinamice

Pentru a acoperi div ersele cerințe ale practicii inginerești, sunt
necesare mai multe tipuri de analize (și modelări) ale dinamicii
pieselor și structurilor. Cele mai importante și mai utiliza te se
prezintă în continuare .
Analiza modală . Se consideră un model care are în ve dere doar
vibrațiile libere, fără amortizare (se neglijează amortizările, adică [C]
= 0 și forțele aplicate structurii, adică {F(t)} = 0). Ecuația de mișcare
(5.1) în aceste condiții, devine

0 uK uM  . (5.3)
Pentru ea se alege o soluție de forma
tie u , în care
 este o
funcție de poziție ( forma modală ) independentă de timp,
 este
pulsația proprie, iar t variabila timp . Înlocuind în (5.3) se obține

150

  0 K M2 , (5.4)

care este o problemă generală de valori și vectori proprii. Ea are ca
soluție n perechi de valori proprii
2
j j și n vectori proprii
corespunzători
j .
Vectorii proprii
j sunt ortogonali în raport cu matricea de
masă [M] și cu matricea de rigiditate [K] și, de obicei, se ordonează
în ordinea crescătoare a valorilor proprii. Dacă vectorii proprii se
aranjează pe coloane, într -o matrice modală
 , relațiile de
ortogonalitate se scriu în formă matriceală:
I MT
;
KT , (5.4.a)
în care: [I] este matricea unitate, iar
2
j diag , este matricea
spectral ă, care conține toate pulsațiile (frecvențele) vibrațiilor
proprii, libere, fără amortizare, ale structurii sau piesei.
Mărimea fizică uzual folosită de ingineri este frecvența proprie
fj = ω j / 2π .
Semnificația fizică a formei modale, este forma defo rmată a
structurii, care vibrează cu frecvența proprie respectivă.
Cea mai mică frecvență proprie este numită fundamentală . Dacă
structura are mișcări de corp rigid sau de mecanism, se obțin
frecvențe proprii nule, corespunzătoare fiecărei mișcări de corp rigid
sau de mecanism. Dacă structura prezintă simetrii, este posibil să se
obțină frecvențe proprii coincidente.
Analiza modală presupune, implicit, o comportare teoretică,
ideală, a structurii și anume că aceasta “vibrează numai” cu frecvențe
și moduri d e vibrații proprii, pure, aceasta fiind consecința ipotezei
că sistemul nu are amortizări. În realitate, ca urmare a existenței
amortizărilor, la o excitație dată, sunt “antrenate” mai multe
frecvențe și moduri proprii de vibrații, fiecare mod, “participân d” cu
o anumită pondere în fenomenul de ansamblu. Această observație a
dus la elaborarea unor metode de calcul dinamic, prin “suprapunerea
modurilor proprii” de vibrații, care este o etapă ulterioară analizei
modale.

151 Observație. Se poate spune c ă atâta timp cât matricele [C] și [K][M-1] nu au
aceeași vectori proprii, amortizările cuplează modurile proprii. Altfel, vibrațiile
structurii au loc ca și când modurile proprii sunt independente. Un astfel de efect
de cuplare are loc și atunci când exist ă neliniarități în sistem, de exemplu când [K]
depinde de amplitudinea vibrațiilor.
Analiza spectrală . Analiza de răspuns linear al unei structuri, pe
baza unor înregistrări spectrale obținute experimental (sau în urma
unei analize tranzitorii), este posib ilă prin analiză spectrală.
Înregistrările spectrale (funcții de frecvență) pot fi în viteză,
accelerație sau deplasare. Spectrul de încărcare al structurii, atât în
punctele fixate ale structurii, cât și în cele libere, poate fi determinist
sau aleator.
Prin analiza spectrală (denumită și analiză în frecvență), se
urmărește determinarea distribuției în frecvență (adică la frecvențe
diferite, pentru un anumit interval de valori) a puterii (sau energiei)
mărimilor “dinamice” ale structurii: viteze, acceleraț ii sau deplasări.
În acest scop se separă componentele de diferite frecvențe (sau
pentru “benzi” de frecvențe) ale unui semnal complex (de exemplu,
produs de funcționarea unei mașini sau instalații) și se determină
amplitudinea fiecăreia din ele, obținându -se, astfel, spectrul de
frecvențe al acelei mărimi: deplasare, viteză, accelerație. Aceste
informații sunt folosite pentru diferite “diagnostice” privind
comportarea structurii, ca, de exemplu, apariția unui fenomen de
rezonanță.
Metodele de calcul dife ră, funcție de caracterul excitației: întru –
un singur punct, sau în mai multe puncte. Pentru vibrații aleatoare se
folosește metoda densității spectrale de putere . În esență, metoda se
bazează pe o analiză modală, urmată de o combinație modală în
diverse i poteze. Amortizarea se consideră în calcul, dar se presupune
că ea este proporțională sau modală.
Analiza armonică. Se determină răspunsul unei structuri care are
încărcarea (vectorul forțelor și/sau al deplasărilor) variabilă după o
funcție armonică (adic ă trigonometrică, de exemplu, sinusoidală), de
pulsație ω, constantă (sau frecvența f).
În ecuația de mișcare (5.1),
ti i
max eeF)t(F . Se presupune
că răspunsul (soluția ecuației) este de forma
ti i
max eeu u , în
care:
m axF este amplitudinea forțelor ;
m axu este amplitudinea

152 răspunsului ;
 este defazajul între forțe;
 este defazajul între
deplasări și forțe.
Prin separarea părții reale și imaginare a vectorilo r deplasare {u}
și forță {F} se obține:
  ti
Im Re e ui u u
;
  ti
Im Re e Fi F F ,
iar ecuația de mișcare (5.1) devine
    Im Re Im Re2Fi F ui u K Ci M  
, (5.5)
adică se obține un sistem de ecuații liniare cu valori complexe
(echivalent problemei statice), în care necunoscutele sunt deplasările
și/sau forțele. Este posibil ca pentru o parte a gradelor de liberate să
se cunoască forțele și să nu se cunoască deplasările, sau invers.
Amplitudinea deplasării,
maxu și defazarea relativă a depla sării
față de faza forței,
 , pentru fiecare grad de libertate , se calculează
cu relațiile
2
Im2
Re m ax u u u 
;
Re Imuu arctan .
Analiza armonică a răspunsului unei structuri este foarte
importantă pentru modelarea și analiza problemelor dinamice ale
structurilor sau pieselor, deoarece orice mișcare periodică (oarecare),
poate fi descrisă ca suprapunerea unui număr, finit sau infinit, de
vibrații armonice. În practică, se consideră totdeauna, un număr finit
de “armonic e”, analizele inginerești fiind aproximative. Acest
demers este justificat și de faptul că unele moduri de vibrație au o
contribuție nesemnificativă la răspunsul structurii. Rezultă că vibrația
armonică este mișcarea periodică elementară, sau fundamentală.
Analiza tranzitorie . Cea mai generală problemă dinamică este
cea pentru care {F} = {F(t)} (sau {u} = {u(t)}) este o funcție
oarecare de timp . Soluția unei astfel de probleme se obține prin
integrarea directă , analitică sau numerică, a ecuației d e mișcare
(5.1). Această analiză permite introducerea tuturor tipurilor de
nelinearități. În cazul general încărcările pot proveni și din deplasări
impuse, variabile în timp.
În cele ce urmează se consideră cazul încărcărilor cu forțe
variabile și deplasă ri impuse nule. Analiza constă din rezolvarea pas
cu pas (incrementală), în timp, a ecuațiilor de mișcare. Rezolvarea
este posibilă dacă se cunosc condițiile inițiale în deplasări și viteze și

153 dacă pasul de timp
t , în algoritmul de in tegrare (numeric), este
suficient de mic pentru a descrie corect mișcarea și a asigura
stabilitatea algoritmilor. Din punct de vedere matematic există două
tehnici distincte de integrare directă a ecuației (5.1):
– metoda integrării implicite , în care

    ,u, u, uf un 1n 1n 1n   , (5.6)
deci pentru calculul deplasării la pasul n + 1 ar trebui cunoscute
viteza și accelerația la același pas, pe lângă deplasările, vitezele și
accelerațiile din pașii precedenți;
– metoda integrării expli cite, pentru care

   ,u,u,u,uf u1n n n n 1n   , (5.7)
deci, pasul n+1 se calculează funcție de mărimile precedente, până la
pasul n.)
Analizele tranzitorii, chiar pentru probleme dinamice relativ
simple, necesită un volum de calcul apr eciabil. De aceea, aproape
toate problemele practice se rezolvă cu metode numerice de calcul,
implementate în programe, pe calculatoare.

5.4. Exemplu
Se consideră un exemplu de
analiză dinamică a unei structuri
cu patru grade de libertate.
Structura este reprezentată în
figura 5.4 și este schema (modelul
de calcul) unei clădiri cu patru
nivele. Se face aproximarea că
fiecare nivel se poate mișca pe
orizontală independent de
celelalte, dar nu se poate roti sau
deplasa pe v erticală. Legătura
dintre nivele este asigurată de
coloane cu rigiditatea la încovoiere
cunoscută (k i, i=1…4). În
exemplul numeric se consideră că
toate rigiditățile sunt egale între
ele și au valoarea 68 MN/m.
Datorită frecărilor din elementele

Figura 5.4 f2(t)
f1(t) f4(t)
f3(t) u3 u4
u1 u2
M1 M2 M3 M4
k1 k2 k3 k4
C
1 C
2 C
3 C
4

154 de fixare, mișcarea relativă a două nivele vecine este amortizată, cu
coeficienții de amortizare (C i, i=1…4). În exemplul numeric se
consideră că toate amortizările modale sunt egale între ele și au
valoarea 0.01. Masele celor patru nivele sunt M 1 = 3200 kg, M 2 = M 3
= 2600 kg și M 4 = 1800 kg. Forțe externe f i(t) acționează asupra
fiecărui nivel.
Modelarea matematică . Se scrie ecuația de mișcare a fiecărui
nivel, luând în considerare forțele externe și cele de legătură cu
nivelele vecine. De exemplu, pentru nivelul al doilea se poate scrie:
.)uu(C)uu(k)uu(C)uu(k)t(f uM
2 3 3 2 3 31 2 2 1 2 2 2 22
 

(5.8)
Ecuația întregului sistem este de forma (5.1), unde
.}u,u,u,u{}u{,
4C 4C 0 04C 4C3C 3C 00 3C 3C2C 2C0 0 2C 2C1C
]C[,
4K 4K 0 04K 4K3K 3K 00 3K 3K2K 2K0 0 2K 2K1K
]K[,
4M0 0 003M 0 00 02M00 0 01M
]M[
4 3 2 1




  




  






(5.9)
Analiza modală . Scopul analizei modale este dublu: pe de o
parte, se urmărește determinarea frecvențelor naturale ale si stemului,
adică a acelor frecvențe care, atunci când sunt regăsite la forțele de
excitație, duc la rezonanța structurii, iar pe de altă parte, realizând
analiza modală se obține matricea modală, cu ajutorul căreia sistemul
inițial de ecuații (5.9) poate fi transformat într -un sistem de ecuații
decuplate. În analiza modală se neglijează efectul amortizărilor,
ecuația de mișcare a sistemului devenind de forma (5.3).
Tabelul 5.1
Frecvența
proprie (Hz)
{}
Modul 1 9.51 {-0.0050, -0.0092, -0.0121, -.0134}
Modul 2 26.12 { 0.0123, 0.0090, -0.0036, -0.0124}
Modul 3 39.39 {0.0107, -0.0094, -0.0075, 0.0120}
Modul 4 48.56 { -0.0048, 0.0114, -0.0130, 0.0089}
Alegând o formă particulară a soluției, aceasta este pusă în forma
unei ecuații de valori proprii de forma (5.4), în care [M] și [K] sunt

155 date în (5.9). Rezolvând această problemă de valori proprii se obțin
următoarele perechi de frecvențe și vector

Vectorii propri i arată cum se deformează structura, dacă ar vibra
liber cu frecvența proprie respectivă. Aceste moduri proprii de
vibrație sunt reprezentate în figura 5.5.

Modul 1 Modul 2 Modul 3 Modul 4

Figura 5.5
Decuplarea ecuației de mișcare . Aceasta se po ate face folosind
matricea modală [ . Decuplarea ecuației (5.1) revine la
diagonalizarea matricelor din (5.9) și este de dorit acest lucru,
deoarece, odată decuplate, ecuațiile pot fi rezolvate independent,
pentru orice forță de excitație. Pentru aceasta se procedează în felul
următor:
– Vectorul soluție, {u}, este scris în mod formal ca o superpoziție
de moduri proprii,
}q{ }u{ , unde {q} este un vector care poate fi
tratat pentru moment ca un vector de coeficienți (se mai numește și
vector ul coordonatelor modale). Introducând în ecuația de mișcare,
rezultă
)t(F q][K q][C q][M   
,
iar după înmulțirea la stânga cu inversa matricei modale, [ ]-1,
)t(F][q][K][q][C][q][M][1 1 1 1      
. (5.10)
În continuare se folosesc ecuațiile care reprezintă normalita tea
modurilor proprii de vibrație (5.4.a), astfel încât (5.10) se poate scrie
)t(F][q q C q]I[1
m 
(5.11)
unde [ I] este matricea unitate.
Vibrațiile libere . Vibrațiile libere sunt vibrațiile structurii, care
urmează unei solicitări de tip impuls. Pent ru acest exemplu s -a

156 considerat un impuls (o “lovitură de ciocan”) aplicat masei M 4.
Sistemul de ecuații a fost rezolvat impunând o viteză inițială masei
M4. Răspunsul se obține prin integrarea directă a ecuației (5.11) sau
prin analiză modală și este repr ezentat în figura 5.6.

Figura 5.6 Figura 5.7
Din cauza amortizării, răspunsul sistemului descrește spre zero,
imediat după solicitarea impuls. Se notează că în calculul de
rezistență, deplasarea dintr -un mod (al unui grad de libertate) este
oarecum irelevantă, mărimea importantă fiind deplasarea relativă a
două nivele vecine, ceea ce duce la tensiuni în elementele de
legătură.
Analiza spectrală . Spectrul de frecvențe al sistemului considerat
se obține efectuând transformata Fourier a răspunsului imp uls. Pentru
exemplificare, s -a considerat răspunsul impuls la nivelul celui de al
patrulea grad de libertate, care s -a reprezentat în figura 5.6. Astfel, se
obține spectrul răspunsului măsurat la nivelul acestei mase, ca în
figura 5.7.
Energia sistemului este concentrată în patru benzi de frecvență,
centrate la frecvențele de rezonanță. În sistemele cu amortizare,
aceste frecvențe sunt diferite de frecvențele proprii ale sistemului
(Tab. 5.1). În cazul în care amortizările sunt mici (care este și cazul
curent), diferența dintre frecvențele de rezonanță și cele proprii este
neglijabilă. În condițiile în care structura este excitată cu o forță
externă conținând una dintre aceste frecvențe, amplitudinea
răspunsului crește foarte mult (dar nu la infinit, datori tă prezenței
amortizărilor) existând pericolul cedării. În general, se recomandă

157 proiectarea structurii astfel încât să nu aibă frecvențe naturale în
regiuni apropiate frecvențelor de excitație. Pentru o structură deja
executată, se recomandă modificarea e i prin adăugarea
amortizoarelor pasive sau active, care au și scopul de a schimba
frecvența de rezonanță a structurii.

5. Concluzii

Studiul unei probleme de dinamica unei piese sau structuri
implică un proces iterativ de îmbinare a analizei teoretice cu
determinările experimentale. În acest cadru, cunoașterea
caracteristicilor dinamice ale materialelor și ale structurii în
ansamblu (foarte importantă este cunoașterea amortizărilor: tipul
procesului de amortizare și valorile exacte ale constantelor),
constituie un factor esențial pentru succesul modelării și analizei
problemei dinamice. Forma cea mai evoluată de exprimare a acestor
exigențe o constituie elaborarea modelului de calcul al sistemului
analizat, care permite efectuarea unor analize și elaborare a unor
“predicții” cantitative privind comportarea structurii în exploatare,
fiind deosebit de util în procesele de proiectare și optimizare .
În acest context se ajunge la problema identificării sistemelor ,
care este, în esență, procesul de determinare a e cuațiilor diferențiale
care descriu comportarea unui sistem, în concordanță cu un criteriu
de performanță prestabilit, pe baza unor relații între mărimile care
caracterizează excitația și cele care caracterizează răspunsul.
Identificarea dinamică are ca ob iectiv stabilirea ecuațiilor de mișcare
și implicit a coeficienților care intră în compunerea lor, deci
determinarea caracteristicilor dinamice ale structurii.

Bibliografie

1. Hangan , S.M., Crainic L.N., Concepte și metode energetice în
dinamica constru cțiilor , București, Editura Academiei, 1980 .
2. Radeș , M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor
mecanice , București, Editura Academiei, 1979 .
3. Sorohan , Șt., Constantinescu , I. N., Practica modelării și
analizei cu elemente finite , București, E ditura Politehnica Press,
2003.