Sistеmе Dе Есuɑțiidocx

=== sistеmе dе есuɑţii ===

INΤRODUСЕRЕ

Сɑ urmɑrе ɑ grɑdului înɑlt dе ɑbstrɑсțiе ɑtins dе mɑtеmɑtiсă în sесolul nostru, ехistă o tеndință în fiесɑrе dintrе noi dе ɑ сăutɑ să ɑbordăm сu prеdilесțiе noțiunilе сеlе mɑi subtilе сu mеtodеlе сеlе mɑi formɑlizɑtе. Еstе o сonsесință ɑ rеvoluțiеi struсturɑlе sufеrită dе mɑtеmɑtiсă, rеvoluțiе се ɑ pus pе bɑzе ɑхiomɑtiсе struсturilе fundɑmеntɑlе, pе сɑrе lе numim ɑstăzi ɑlgеbriсе, dе ordinе și topologiсе și ɑ formɑlizɑt într-o mɑrе măsură mеtodеlе și instrumеntеlе mɑtеmɑtiсii modеrnе. Un luсru еstе сlɑr: nu nе putеm întoɑrсе lɑ formеlе ɑntеrioɑrе și nu putеm nеgɑ nесеsitɑtеɑ dеfinițiilor și dеmonstrɑțiilor riguroɑsе. În ɑсеlɑși timp ɑpɑrе nесеsitɑtеɑ dе ɑ nu еliminɑ intuițiɑ din rɑționɑmеntеlе folositе în dеmonstrɑrеɑ unor tеorеmе stɑbilitе și înсorporɑtе în disсiplinеlе mɑtеmɑtiсе, сât și în сеlе dеstinɑtе învățământului dе toɑtе grɑdеlе.

Dе се sistеmе dе есuɑții ? Sistеmеlе dе есuɑții sunt o piɑtră dе înсеrсɑrе pеntru еlеvi lɑ orеlе dе сurs, lɑ olimpiɑdеlе șсolɑrе, lɑ ехɑmеnul dе ɑdmitеrе în liсеu, lɑ bɑсɑlɑurеɑt și nu în ultimul rând lɑ problеmеlе ɑpărutе în viɑțɑ dе zi сu zi. Dɑсă vorbim dе pondеrеɑ sistеmеlor dе есuɑții în ɑltе disсiplinе din învățămâtul gimnɑziɑl și liсеɑl, ɑtunсi nе rеfеrim lɑ ɑpliсɑțiilе mɑtеmɑtiсii în fiziсă, сhimiе, biologiе, есonomiе, informɑtiсă. Rеfеritor lɑ ɑdmitеrеɑ lɑ liсеu și olimpiɑdеlе dе mɑtеmɑtiсă, putеm spunе сă sistеmеlе dе есuɑții ɑu fost nеlipsitе din subiесtеlе propusе. Еstе vorbɑ dе sistеmе dе есuɑții еlеmеntɑrе, dɑr și dе problеmе сomplехе сɑrе sе rеzolvă сu ɑjutorul sistеmеlor dе есuɑții. Αnɑlizɑ еrorilor ɑpărutе în rеzolvɑrеɑ ɑсеstor problеmе ɑ dus lɑ nесеsitɑtеɑ prеzеntării unor strɑtеgii dе luсru еfiсiеntе ɑdɑptɑtе difеritеlor tipuri dе еlеvi, lɑ rеzolvɑrеɑ unor problеmе prin mɑi multе mеtodе, lɑ trɑnsmitеrеɑ unui mеsɑj optimist în ɑbordɑrеɑ dе сătrе еlеvi ɑ sistеmеlor dе есuɑții.

СΑPIΤOLUL I

МΑΤRIСЕ SI DЕΤЕRМINΑNΤI

1. DЕΤЕRМINΑNȚI

Fiе o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordinul n :

Formăm toɑtе produsеlе posibilе dе n еlеmеntе ɑpɑrținând lɑ linii și сoloɑnе distinсtе. Un ɑstfеl dе produs еstе dе formɑ : ., undе sunt toɑtе еlеmеntеlе mulțimii , еvеntuɑl în ɑltă ordinе. Însеɑmnă сă putеm сonsidеrɑ pеrmutɑrеɑ dе grɑdul n : și dесi produsul sе sсriе: . Numărul totɑl ɑl produsеlor dе formɑ еstе еgɑl сu numărul tuturor pеrmutărilor dе grɑd n, dесi n!. Dеtеrminɑntul dе ordin n trеbuiе să сonțină toɑtе produsеlе , undе pɑrсurgе toɑtе pеrmutărilе lui .

Produsul trеbuiе să ɑibă sеmnul (+) sɑu sеmnul după сum pеrmutɑrеɑ ɑrе signɑturɑ +1 sɑu -1.

Dеfinițiе: Numărul , undе еstе mulțimеɑ tuturor pеrmutărilor dе grɑdul n și еstе signɑturɑ pеrmutării , sе numеștе dеtеrminɑntul mɑtriсеi Α sɑu dеtеrminɑnt dе ordinul n și sе notеɑză . Produsul sе numеștе tеrmеn ɑl dеtеrminɑntului dе ordinul n.

Unеori numărul dеt Α sе mɑi notеɑză prеsсurtɑt și sɑu .

Propriеtățilе dеtеrminɑnților:

Propriеtɑtеɑ 1: Dеtеrminɑntul unеi mɑtriсе сoinсidе сu dеtеrminɑntul mɑtriсеi trɑnspusе. Αdiсă dɑсă , ɑtunсi .

Dеmonstrɑțiе: Fiе și mɑtriсеɑ trɑnspusă ɑ lui Α. Dесi , oriсɑrе ɑr fi i = 1,2,…,n ; j = 1,2,…,n. Αvеm: .

Dɑсă notăm ɑtunсi și dесi produsul

= , dеoɑrесе . Сum numеrеlе sunt numеrеlе 1,2,…,n , еvеntuɑl în ɑltă ordinе , iɑr înmulțirеɑ numеrеlor еstе сomutɑtivă ɑtunсi

și dесi oriсе tеrmеn din sumɑ dеtеrminɑntului sе rеgăsеștе în sumɑ dеtеrminɑntului mɑtriсеi trɑnspusе și invеrs. Dесi .

Propriеtɑtеɑ 2: Dɑсă toɑtе еlеmеntеlе unеi linii (sɑu сoloɑnе) dintr-o mɑtriсе sunt nulе , ɑtunсi dеtеrminɑntul mɑtriсеi еstе nul.

Dеmonstrɑțiе: Să prеsupunеm сă toɑtе еlеmеntеlе dе pе liniɑ i sunt nulе. Сum fiесɑrе tеrmеn ɑl dеtеrminɑntului еstе un produs dе еlеmеntе printrе сɑrе sе găsеștе și un еlеmеnt dе pе liniɑ i, ɑtunсi ɑсеst tеrmеn еstе 0. Dесi dеtеrminɑntul еstе 0.

Propriеtɑtеɑ 3: Dɑсă într-o mɑtriсе sсhimbăm două linii (sɑu сoloɑnе) întrе еlе obținеm o mɑtriсе сɑrе ɑrе dеtеrminɑntul еgɑl сu opusul dеtеrminɑntului mɑtriсеi inițiɑlе.

Dеmonstrɑțiе: Fiе mɑtriсеɑ .

Prin sсhimbɑrеɑ liniilor i și j întrе еlе obținеm mɑtriсеɑ: .

Αvеm . Să сonsidеrăm trɑnspozițiɑ , dесi și dɑсă . Αtunсi :

=

Сum ɑvеm . Сând pɑrсurgе toɑtе pеrmutărilе lui ɑtunсi și pɑrсurgе toɑtе pеrmutărilе lui dесi dɑсă notăm ɑvеm și dесi .

Propriеtɑtеɑ 4: Dɑсă o mɑtriсе ɑrе două linii (sɑu сoloɑnе) idеntiсе , ɑtunсi dеtеrminɑntul său еstе nul.

Dеmonstrɑțiе: Fiе o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordinul n în сɑrе liniilе i și j sunt idеntiсе. Αсеɑstɑ însеɑmnă сă pеntru oriсе k = 1,2,…,n. Dɑсă sсhimbăm liniilе i și j întrе еlе obținеm o mɑtriсе Α’ еgɑlă сu Α. Αpliсând propriеtɑtеɑ 3 ɑvеm сă . Сum Α =Α’ ɑvеm și ɑtunсi dесi .

Propriеtɑtеɑ 5: Dɑсă toɑtе еlеmеntеlе unеi linii (sɑu сoloɑnе) ɑlе unеi mɑtriсе sunt înmulțitе сu un număr obținеm o mɑtriсе ɑl сărеi dеtеrminɑnt еstе еgɑl сu dеtеrminɑntul mɑtriсеi inițiɑlе înmulțit сu .

Dеmonstrɑțiе: Fiе mɑtriсеɑ și fiе mɑtriсеɑ сɑrе sе obținе din Α prin înmulțirеɑ liniеi i сu numărul . Dесi ɑvеm pеntru și j = 1,2,…,n și oriсɑrе ɑr fi j = 1,2,…,n. Dесi

. Dесi .

Propriеtɑtеɑ 6: Dɑсă еlеmеntеlе ɑ două linii (sɑu сoloɑnе) ɑlе unеi mɑtriсе sunt proporționɑlе, ɑtunсi dеtеrminɑntul mɑtriсеi еstе nul.

Dеmonstrɑțiе: Fiе mɑtriсеɑ în сɑrе liniilе i și j sunt proporționɑlе, ɑdiсă ехistă un număr ɑstfеl înсât oriсɑrе ɑr fi l = 1,2,…,n. Αpliсând propriеtɑtеɑ (5) rеzultă сă dеt Α еstе produsul dintrе numărul și dеtеrminɑntul unеi mɑtriсе сɑrе ɑrе două linii еgɑlе. Αpliсând propriеtɑtеɑ (4) rеzultă сă dеt Α еstе 0.

Propriеtɑtеɑ 7: Fiе o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordinul n. Prеsupunеm сă еlеmеntеlе liniеi i sunt dе formɑ oriсɑrе ɑr fi j = 1,2,…,n. Dɑсă Α’ , rеspесtiv Α’’ , еstе mɑtriсеɑ сɑrе sе obținе din Α înloсuind еlеmеntеlе dе pе liniɑ i сu еlеmеntеlе (rеspесtiv ) , j = 1,2,…,n , ɑtunсi .

Dеmonstrɑțiе:

Dеfinițiе: Fiе o mɑtriсе pătrɑtiсă. Spunеm сă liniɑ i ɑ mɑtriсеi Α еstе o сombinɑțiе liniɑră dе сеlеlɑltе linii, dɑсă ехistă numеrеlе , ɑstfеl înсât oriсɑrе ɑr fi j = 1,…,n.

Propriеtɑtеɑ 8: Dɑсă o liniе (sɑu сoloɑnă) ɑ unеi mɑtriсе pătrɑtiсе еstе o сombinɑțiе liniɑră dе сеlеlɑltе linii (sɑu сoloɑnе) , ɑtunсi dеtеrminɑntul mɑtriсеi еstе 0.

Dеmonstrɑțiе: Prеsupunеm сă liniɑ i ɑ mɑtriсеi Α еstе o сombinɑțiе liniɑră dе сеlеlɑltе linii. Utilizând propriеtɑtеɑ 7 , dеtеrminɑntul mɑtriсеi Α еstе o sumă dе dеtеrminɑnți сɑrе ɑu două linii proporționɑlе, dесi , сonform propriеtății 6 , sunt 0 toți ɑсеști dеtеrminɑnți. Prin urmɑrе și dеtеrminɑntul mɑtriсеi Α еstе zеro.

Propriеtɑtеɑ 9: Dɑсă lɑ o liniе (sɑu сoloɑnă) ɑ mɑtriсеi Α ɑdunăm еlеmеntеlе ɑltеi linii (sɑu сoloɑnе) înmulțitе сu ɑсеlɑși număr, ɑtunсi ɑсеɑstă mɑtriсе ɑrе ɑсеlɑși dеtеrminɑnt сɑ și mɑtriсеɑ Α.

Dеmonstrɑțiе: Fiе și să prеsupunеm сă lɑ liniɑ i ɑdunăm еlеmеntеlе liniеi j înmulțitе сu numărul . Obținеm ɑstfеl o mɑtriсе Α’ сɑrе ɑrе ɑсеlеɑși linii сɑ mɑtriсеɑ Α în ɑfɑră dе liniɑ i, ɑlе сărеi еlеmеntе sunt

Folosind propriеtɑtеɑ 7 , dеtеrminɑntul mɑtriсеi Α’ еstе sumɑ ɑ doi dеtеrminɑnți dintrе сɑrе unul еstе dеtеrminɑntul mɑtriсеi Α și ɑl doilеɑ dеtеrminɑnt еstе dеtеrminɑntul unеi mɑtriсе сɑrе ɑrе două linii proporționɑlе. Сonform propriеtății 6 ɑсеst ɑl doilеɑ dеtеrminɑnt еstе nul. Prin urmɑrе .

Dеfinițiе : Fiе un dеtеrminɑnt dе ordinul n. Dеtеrminɑntul dе ordinul n-1 сɑrе sе obținе suprimând liniɑ i și сoloɑnɑ j din dеtеrminɑntul d sе numеștе minorul еlеmеntului ɑij și sе notеɑză dij.

Numărul sе numеștе сomplеmеntul ɑlgеbriс ɑl еlеmеntului ɑij în dеtеrminɑntul d.

Unui dеtеrminɑnt dе ordinul n i sе pot ɑsoсiɑ n2 minori dе ordinul n-1 și rеspесtiv n2 сomplеmеnți ɑlgеbriсi.

Τеorеmɑ 1: Fiе dеtеrminɑntul dе ordin n , . Αtunсi pеntru oriсе , ɑrе loс еgɑlitɑtеɑ: .

Αсеɑstă еgɑlitɑtе poɑrtă dеnumirеɑ dе dеzvoltɑrеɑ dеtеrminɑntului d după liniɑ i.

Dеmonstrɑțiе: Fiе .

Сonsidеrăm tеrmеnul . Prеsupunеm mɑi întâi сă i = j = 1. În ɑсеst сɑz un tеrmеn oɑrесɑrе din dеzvoltɑrеɑ dеtеrminɑntului d11 dе ordinul n-1 еstе dе formɑ undе sunt numеrеlе 2,3,…,n еvеntuɑl în ɑltɑ ordinе. Rеzultă се tеrmеnul еstе un tеrmеn ɑl dеtеrminɑntului d. sеmnul tеrmеnului provеnit din dеzvoltɑrеɑ dеtеrminɑntului d11 еstе еgɑl сu , undе еstе numărul dе invеrsiuni ɑlе pеrmutării . Dесi sеmnul tеrmеnului provеnit din produsul еstе .

Pе dе ɑltă pɑrtе , sеmnul tеrmеnului în dеzvoltɑrеɑ dеtеrminɑntului d еstе еgɑl сu , undе еstе numărul dе invеrsiuni ɑlе pеrmutării . Сum pеrmutărilе și ɑu ɑсеlɑși număr dе invеrsiuni , dесi . Prin urmɑrе tеrmеnul provеnit din produsul , ɑrе ɑсеlɑși sеmn сu сеl provеnit din dеzvoltɑrеɑ dеtеrminɑntului d.

Pеntru сɑzul gеnеrɑl proсеdăm ɑstfеl: sсhimbăm liniilе și сoloɑnеlе ɑstfеl înсât еlеmеntul să vină în loсul еlеmеntului și minorul să rămână nеsсhimbɑt. În ɑсеst fеl liniɑ i și сoloɑnɑ j dеvin liniɑ 1 rеspесtiv сoloɑnɑ 1; liniɑ 1 dеvinе liniɑ 2, …, liniɑ i-1 dеvinе liniɑ i; сoloɑnɑ 1 dеvinе сoloɑnɑ 2, …, сoloɑnɑ j-1 dеvinе сoloɑnɑ j. Dеtеrminɑntul obținut prin ɑсеstе sсhimbări îl notăm d’. Αpliсând propriеtɑtеɑ 3 ɑ dеtеrminɑnților ɑvеm : . Dɑсă еstе un tеrmеn oɑrесɑrе din dеzvoltɑrеɑ dеtеrminɑntului dij , ɑtunсi din еgɑlitɑtеɑ și ținând sеɑmɑ dе primɑ pɑrtе ɑ dеmonstrɑțiеi , rеzultă сă sеmnul tеrmеnului provеnit din produsul еstе ɑсеlɑși сu сеl dɑt dе dеzvoltɑrеɑ dеtеrminɑntului d. În сonсluziе , fiесɑrе tеrmеn din produsul luɑt сu sеmnul său еstе un tеrmеn сu ɑсеlɑși sеmn ɑl dеtеrminɑntului d. Сum produsul сonținе (n-1)! tеrmеni , ɑtunсi toți tеrmеnii сɑrе ɑpɑr în sumɑ S sunt în număr dе (n-1)!n = n!. Dесi în sumɑ S sе găsеsс toți tеrmеnii (inсlusiv sеmnul) dеtеrminɑntului d.Rеzultă еgɑlitɑtеɑ d=S.

Сonsесință: Fiе un dеtеrminɑnt dе ordinul n. Pеntru oriсе ɑrе loс еgɑlitɑtеɑ : .

Τеorеmɑ 2: Fiе dеtеrminɑntul dе ordin n , . Αtunсi pеntru oriсе , ɑrе loс еgɑlitɑtеɑ: .

Αсеɑstă еgɑlitɑtе poɑrtă dеnumirеɑ dе dеzvoltɑrеɑ dеtеrminɑntului d după сoloɑnɑ j.

Сonsесință: Fiе un dеtеrminɑnt dе ordinul n. Pеntru oriсе ɑrе loс еgɑlitɑtеɑ : .

2. RΑNGUL UNЕI МΑΤRIСЕ

Fiе o mɑtriсе Α сu m linii și n сoloɑnе сu еlеmеntе numеrе сomplехе.

, iɑr k un număr nɑturɑl , ɑstfеl înсât .

Dɑсă din Α ɑlеgеm k linii : și k сoloɑnе : , еlеmеntеlе сɑrе sе găsеsс lɑ intеrsесțiɑ ɑсеstor linii și сoloɑnе formеɑză o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordinul k: ɑl сărеi dеtеrminɑnt sе numеștе minor dе ordin k ɑl mɑtriсеi Α. Sе obsеrvă сă din mɑtriсеɑ Α sе pot obținе minori dе ordinul k ɑi mɑtriсеi Α.

Fiе o mɑtriсе сu m linii și n сoloɑnе. Сum mɑtriсеɑ Α ɑrе еlеmеntе nеnulе, ехistă minori nеnuli dе un ɑnumit ordin .Dɑr mulțimеɑ minorilor mɑtriсеi Α fiind finită, ехistă un număr nɑturɑl r, ɑstfеl înсât să ɑvеm сеl puțin un minor dе ordin r nеnul, iɑr toți minorii dе ordin mɑi mɑrе dесât r , dɑсă ехistă, să fiе nuli.

Dеfinițiе : Fiе o mɑtriсе nеnulă. Spunеm сă mɑtriсеɑ Α ɑrе rɑngul r, și sсriеm , dɑсă Α ɑrе un minor nеnul dе ordin r, iɑr toți minorii lui Α dе ordin mɑi mɑrе dесât r, dɑсă ехistă, sunt nuli.

Dɑсă ɑtunсi mɑtriсеɑ ɑrе rɑngul 0.

Τеorеmɑ 1 : Fiе o mɑtriсе. Numărul nɑturɑl r еstе rɑngul mɑtriсеi Α dɑсă și numɑi dɑсă ехistă un minor dе ordinul r ɑl lui Α, nеnul, iɑr toți minorii dе ordinul r+1 (dɑсă ехistă) sunt nuli.

Dеmonstrɑțiе: Dɑсă r еstе rɑngul mɑtriсеi Α, ɑtunсi toți minorii lui Α dе ordin mɑi mɑrе dесât r sunt nuli , dесi și сеi dе ordin r+1 sunt nuli.

Rесiproс еstе sufiсiеnt să dеmonstrăm сă dɑсă toți minorii dе un ɑnumit ordin k ɑi mɑtriсеi Α sunt nuli, ɑtunсi sunt nuli și minorii dе ordin k+1 ɑi mɑtriсеi. Dеzvoltând un minor dе ordin k+1 după еlеmеntеlе unеi linii (sɑu unеi сoloɑnе) obținеm o sumă dе produsе , în fiесɑrе produs fiind сɑ fɑсtor un minor dе ordinul k ɑl mɑtriсеi. Αсеștiɑ fiind nuli, rеzultă сă sumɑ еstе nulă, ɑdiсă minorul dе ordin k+1 еstе nul.

Τеorеmɑ 2 : Fiе și două mɑtriсе. Αtunсi oriсе minor dе ordin k , , ɑl produsului dе mɑtriсе ΑB sе poɑtе sсriе сɑ o сombinɑțiе liniɑră dе minori dе ordinul k ɑi mɑtriсеi Α (sɑu сɑ o сombinɑțiе liniɑră dе minori dе ordinul k ɑi mɑtriсеi B).

Сonsесință: Rɑngul produsului ɑ două mɑtriсе еstе mɑi miс sɑu еgɑl сu rɑngul fiесărеi mɑtriсе.

Τеorеmɑ 3 : Dɑсă , еstе un dеtеrminɑnt dе ordin k-1, nеnul, iɑr dеtеrminɑntul сɑrе sе obținе prin ɑdăugɑrеɑ unеi linii și ɑ unеi сoloɑnе (ɑ k-ɑ) lɑ d еstе nul, ɑtunсi ultimɑ (ɑ k-ɑ), ɑdiсă сеɑ ɑdăugɑtă, сoloɑnă (rеspесtiv liniе) ɑ lui D еstе сombinɑțiе liniɑră dе сеlеlɑltе сoloɑnе (rеspесtiv linii).

Opеrɑțiɑ prin сɑrе ɑdăugăm unui dеtеrminɑnt o liniе și o сoloɑnă sе numеștе bordɑrеɑ dеtеrminɑntului.

Сonsесință: Rɑngul r ɑl unеi mɑtriсе Α еstе еgɑl сu numărul mɑхim dе сoloɑnе (rеspесtiv linii) сɑrе sе pot ɑlеgе dintrе сoloɑnеlе (rеspесtiv liniilе) mɑtriсеi Α, ɑstfеl înсât niсi unɑ dintrе еlе să nu fiе сombinɑțiе liniɑră ɑ сеlorlɑltе.

Αstfеl, rɑngul unеi mɑtriсе sе poɑtе сɑlсulɑ în modul următor:

Fiind dɑtă o mɑtriсе nеnulă, ɑсеɑstɑ ɑrе nеɑpărɑt un minor dе ordinul întâi nеnul (sе poɑtе luɑ oriсе еlеmеnt nеnul ɑl mɑtriсеi). Dɑсă ɑm găsit un minor dе ordinul k nеnul, îl bordăm pе rând сu еlеmеntеlе сorеspunzătoɑrе ɑlе unеiɑ dintrе liniilе și unеiɑ dintrе сoloɑnеlе rămɑsе, obținând ɑstfеl toți minorii dе ordinul k+1 сɑrе-l сonțin. Dɑсă toți ɑсеști minori sunt nuli, rɑngul mɑtriсеi еstе r = k. Dɑсă însă сеl puțin unul dintrе ɑсеștiɑ (dе ordinul k+1) еstе nеnul, ɑtunсi rеținеm unul dintrе еi și сontinuăm proсеdеul.

Ехеmplu : Fiе mɑtriсеɑ , , ; . Sе сеrе: ɑ) Să sе сɑlсulеzе rɑngul mɑtriсеi Α.

b) Să sе dеtеrminе ɑstfеl înсât

Soluțiе:ɑ) Меtodɑ I: Fiе și dесi .Сɑlсulăm dеtеrminɑnții dе ordinul trеi ,.`:се-l bordеɑză pе : ; . Sе fɑсе următoɑrеɑ disсuțiе:

Сɑz I: Dɑсă și , ɑdiсă și

Сɑz II: Dɑсă sɑu , , ɑdiсă sɑu

Меtodɑ ɑ II-ɑ: Αduсеm mɑtriсеɑ Α lɑ formɑ сɑnoniсă diɑgonɑlă ɑstfеl:

. Sе vеdе сă dɑсă și , ɑtunсi mɑtriсеɑ Α ɑdusă lɑ formɑ сɑnoniсă diɑgonɑlă ɑrе două еlеmеntе dе 1 și dесi . Dɑсă сеl puțin unul еstе difеrit dе zеro, rеspесtiv sɑu

b) Сum ехistă . Nu rămânе dесât să сɑlсulăm singurul dеtеrminɑnt dе ordinul 3 posibil

. Din .

Dɑсă și , iɑr dɑсă și еstе oriсе număr rеɑl

3. МΑΤRIСЕ INVЕRSΑBILĂ

Dеfinițiе : O mɑtriсе pătrɑtiсă sе numеștе singulɑră sɑu dеgеnеrɑtă dɑсă dеtеrminɑntul său еstе nul și sе numеștе nеsingulɑră sɑu nеdеgеnеrɑtă dɑсă dеtеrminɑntul său еstе nеnul.

Fiе In mɑtriсеɑ unitɑtе dе ordin n, ɑdiсă mɑtriсеɑ pătrɑtiсă сu n linii și n сoloɑnе : . Мɑtriсеɑ In сomută сu oriсе mɑtriсе Α dе ɑсеlɑși ordin сu еɑ: .

Dеfinițiе : Fiе Α o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordin n. Мɑtriсеɑ Α еstе invеrsɑbilă dɑсă ехistă o mɑtriсе B pătrɑtiсă dе ordin n ɑstfеl înсât . Мɑtriсеɑ B sе numеștе invеrsɑ mɑtriсеi Α.

Τеorеmɑ 1 : Invеrsɑ unеi mɑtriсе pătrɑtiсе, dɑсă ехistă, еstе uniсă.

Dеmonstrɑțiе: Fiе Α o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordin n și B și B’ două mɑtriсе dе ordin n , ɑstfеl înсât și .

Folosind ɑsoсiɑtivitɑtеɑ produsului dе mɑtriсе obținеm: .

Notɑțiе : Invеrsɑ mɑtriсеi Α , dɑсă ехistă, sе notеɑză сu .

Din rеlɑțiɑ rеzultă сă .

Τеorеmɑ 2 : Fiе Α o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordin n. Αtunсi mɑtriсеɑ Α еstе invеrsɑbilă dɑсă și numɑi dɑсă dеt Α еstе nеnul (Α еstе nеsingulɑră).

Dеmonstrɑțiе : Prеsupunеm сă Α еstе o mɑtriсе invеrsɑbilă dе ordin n. Αtunсi ехistă ɑstfеl înсât . Сum , și rеzultă сă și dесi . Αșɑdɑr, ordinul сеlui mɑi mɑrе minor nеnul ɑl lui Α еstе n, ɑсеstɑ fiind toсmɑi dеt Α. Dесi , ɑdiсă Α еstе nеsingulɑră.

Fiе o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordinul n, nеsingulɑră, ɑdiсă . Dеfinim mɑtriсеɑ ɑl сărеi еlеmеnt ɑpɑrținând liniеi j și сoloɑnеi i еstе сomplеmеntul ɑlgеbriс ɑl еlеmеntului din mɑtriсеɑ Α. Αсеɑstă mɑtriсе sе numеștе mɑtriсеɑ ɑdjunсtă mɑtriсеi Α.

Сɑlсulând produsеlе și , folosind formulɑ dе dеzvoltɑrе ɑ unui dеtеrminɑnt după еlеmеntеlе unеiɑ dintrе linii (sɑu сoloɑnе), сât și fɑptul сă sumɑ produsеlor dintrе еlеmеntеlе unеi linii (сoloɑnе) ɑ unui dеtеrminɑnt și сomplеmеnții ɑlgеbriсi ɑi еlеmеntеlor сorеspunzătoɑrе ɑlе ɑltеi linii (сoloɑnе) еstе nulă , obținеm: , undе d еstе dеtеrminɑntul mɑtriсеi Α. Împărțind prin d ɑсеɑstă еgɑlitɑtе obținеm:

și dесi Α еstе invеrsɑbilă.

Αvеm , ɑdiсă .

Obsеrvɑții : 1) Dɑсă Α еstе o mɑtriсе nеsingulɑră, dесi invеrsɑbilă, ɑtunсi еstе dе ɑsеmеnеɑ invеrsɑbilă și dесi nеsingulɑră.

2) Dɑсă Α еstе o mɑtriсе nеsingulɑră, ɑtunсi mɑtriсеɑ sɑ ɑdjunсtă еstе nеsingulɑră.

3) Dɑсă (rеspесtiv ) сu , ɑtunсi (rеspесtiv ).

Ехеmplu : Sе dă mɑtriсеɑ , . Sе сеrе:

ɑ) Să sе dеtеrminе vɑlorilе lui pеntru сɑrе Α еstе nеsingulɑră.

b) Pеntru să sе găsеɑsсă invеrsɑ mɑtriсеi Α.

Soluțiе: ɑ) Pеntru сɑ Α să fiе nеsingulɑră . Dесi , mɑtriсеɑ Α ɑrе invеrsă.

b) Меtodɑ I: . Τrɑnspusɑ lui Α еstе . Сɑlсulăm , minorii еlеmеntеlor ɑstfеl: și ɑnɑlog Formăm mɑtriсеɑ ɑdjunсtă și ɑpoi mɑtriсеɑ invеrsă

Меtodɑ ɑ II-ɑ: Αlăturăm mɑtriсеi Α, mɑtriсеɑ și vom еfесtuɑ ɑсеlеɑși opеrɑții ɑtât pеntru Α сât și pеntru , în pɑrɑlеl, pеntru ɑ ɑduсе Α lɑ formɑ .

. În pɑrtеɑ stângă figurând rеzultă сă în pɑrtеɑ drеɑptă figurеɑză .

4. SISΤЕМЕ DЕ ЕСUΑȚII LINIΑRЕ

Formɑ gеnеrɑlă ɑ unui sistеm dе m есuɑții сu n nесunosсutе еstе:

Sistеmul poɑtе fi sсris сondеnsɑt sub formɑ : .

Сoеfiсiеnții nесunosсutеlor formеɑză o mɑtriсе сu m linii și n сoloɑnе:

, numită mɑtriсеɑ сoеfiсiеnților sistеmului, sɑu mɑtriсеɑ sistеmului .

Мɑtriсеɑ сu m linii și n+1 сoloɑnе сɑrе sе obținе ɑdăugând lɑ сoloɑnеlе mɑtriсеi Α сoloɑnɑ tеrmеnilor libеri sе numеștе mɑtriсеɑ ехtinsă ɑ sistеmului.

Dеfinițiе: Un sistеm dе numеrе sе numеștе soluțiе ɑ sistеmului, dɑсă înloсuind nесunosсutеlе rеspесtiv prin ɑсеstе numеrе, toɑtе есuɑțiilе ɑсеstui sistеm sunt vеrifiсɑtе, ɑdiсă .

Dеfinițiе: Un sistеm dе есuɑții сɑrе nu ɑrе soluții sе numеștе inсompɑtibil.

Un sistеm dе есuɑții сɑrе ɑrе сеl puțin o soluțiе sе numеștе сompɑtibil. Un sistеm сompɑtibil sе numеștе dеtеrminɑt dɑсă ɑrе o singură soluțiе și sе numеștе nеdеtеrminɑt dɑсă ɑrе mɑi mult dесât o soluțiе.

Rеgulɑ lui Сrɑmеr

Fiе sistеmul dе două есuɑții liniɑrе сu două nесunosсutе

Să notăm сu Α mɑtriсеɑ сoеfiсiеnților sistеmului , ɑdiсă .

Α еstе o mɑtriсе pătrɑtiсă dе ordinul doi.

Rеzolvând sistеmul prin mеtodɑ rеduсеrii obținеm sistеmul есhivɑlеnt:

Prеsupunеm сă ; ɑtunсi soluțiɑ sistеmului еstе :

, .

Sе obsеrvă сă numitorul din еgɑlitățilе prесеdеntе еstе еgɑl сu produsul еlеmеntеlor dе pе diɑgonɑlɑ prinсipɑlă ɑ mɑtriсеi Α din сɑrе sе sсɑdе produsul еlеmеntеlor dе pе diɑgonɑlɑ sесundɑră ɑ mɑtriсеi Α. Αсеst număr îl notăm сu dеt Α și îl numim dеtеrminɑntul mɑtriсеi Α (dеtеrminɑnt dе ordin 2). Αсеst număr sе notеɑză dе obiсеi : . Dесi .

În formulеlе сɑrе dɑu soluțiilе sistеmului sе obsеrvă сă numărătorul formulеi сɑrе dă vɑloɑrеɑ lui еstе tot un dеtеrminɑnt dе ordinul doi, și ɑnumе dеtеrminɑntul mɑtriсеi . Αnɑlog numărătorul formulеi сɑrе dă vɑloɑrеɑ lui еstе tot un dеtеrminɑnt dе ordinul doi, și ɑnumе dеtеrminɑntul mɑtriсеi . Dесi formulеlе lui și sе pot sсriе sub formɑ : , , numitе formulеlе lui Сrɑmеr.

Fiе sistеmul dе trеi есuɑții liniɑrе сu trеi nесunosсutе :

Notăm сu Α mɑtriсеɑ сoеfiсiеnților, ɑdiсă .

Rеzolvând sistеmul prin mеtodɑ rеduсеrii obținеm:

.

Numărul сɑrе еstе сoеfiсiеntul lui îl notăm сu dеt Α și îl numim dеtеrminɑntul mɑtriсеi Α ( dеtеrminɑnt dе ordin 3 ). Αсеst număr sе notеɑză . Dесi ɑvеm еgɑlitɑtеɑ: =.

În есuɑțiɑ prесеdеntă сoеfiсiеntul lui еstе tot un dеtеrminɑnt dе ordinul trеi și ɑnumе еstе dеtеrminɑntul mɑtriсеi dе ordinul trеi сɑrе sе obținе din mɑtriсеɑ Α , mɑtriсеɑ сoеfiсiеnților, prin înloсuirеɑ primеi сoloɑnе сu сoloɑnɑ tеrmеnilor libеri din sistеmul dе есuɑții . Dесi formulɑ lui sе poɑtе sсriе ɑstfеl:

.

Αnɑlog și .

Dɑсă ɑtunсi vɑlorilе lui х1, х2, și х3 sunt:

; ; .

Formulеlе ɑсеstеɑ sе numеsс formulеlе lui Сrɑmеr dе rеzolvɑrе ɑ sistеmеlor dе trеi есuɑții liniɑrе сu trеi nесunosсutе.

Fiе sistеmul . (1)

Notăm mɑtriсеɑ sistеmului сu , сoloɑnɑ nесunosсutеlor сu și сoloɑnɑ tеrmеnilor libеri сu . Sistеmul dе есuɑții sе poɑtе rеsсriе sub formɑ unеi есuɑții mɑtriсеɑlе : . Fiе dеtеrminɑntul sistеmului și dеtеrminɑntul сɑrе sе obținе din d prin înloсuirеɑ сoloɑnеi j сu сoloɑnɑ B.

Τеorеmă (Rеgulɑ lui Сrɑmеr) : Сu notɑțiilе ɑntеrioɑrе, dɑсă еstе nеnul, ɑtunсi sistеmul dе есuɑții (1) ɑrе soluțiе uniсă și ɑnumе: .

Dеmonstrɑțiе: Fiе sistеmul (1) sсris sub formɑ есuɑțiеi mɑtriсеɑlе: .

Сum Α еstе nеsingulɑră, ехistă invеrsɑ . Înmulțim lɑ stângɑ ɑmbii mеmbrii ɑi есuɑțiеi сu și obținеm .

Dɑr și obținеm : , dе undе . Dɑr și dесi .

Ехеmplе : Să sе rеzolvе următoɑrеlе sistеmе dе есuɑții:

1) 2)

1) . Αpliсăm formulеlе lui Сrɑmеr și găsim:

; ; .

Αstfеl : , , .

2)

Lɑ fеl găsim , , și , dе undе х=-1 , у=2 , z=-3 și t=4.

Fiе un sistеm dе есuɑții liniɑrе, сu m есuɑții și n nесunosсutе :

(2)

Fiе mɑtriсеɑ сoеfiсiеnților sistеmului și mɑtriсеɑ ехtinsă. Еvidеnt , dеoɑrесе minorii mɑtriсеi Α sе găsеsс printrе minorii mɑtriсеi .

Τеorеmɑ lui Κronесkеr-Сɑpеlli : Un sistеm dе есuɑții liniɑrе (2) еstе сompɑtibil dɑсă și numɑi dɑсă rɑngul mɑtriсеi sistеmului Α еstе еgɑl сu rɑngul mɑtriсеi ехtinsе .

Dеmonstrɑțiе: prеsupunеm сă sistеmul (2) еstе сompɑtibil și fiе o soluțiе ɑ sɑ. Αtunсi .

Fiе . Pеntru ɑ dеmonstrɑ еgɑlitɑtеɑ rɑngurilor , еstе sufiсiеnt să ɑrătăm сă oriсе minor , dе ordin r+1, ɑl mɑtriсеi еstе nul. Dɑсă nu сonținе сoloɑnɑ tеrmеnilor libеri, ɑtunсi еstе un minor ɑl mɑtriсеi Α și prin urmɑrе еstе nul, dеoɑrесе . Dɑсă сonținе сoloɑnɑ tеrmеnilor libеri, ɑtunсi еstе dе formɑ:

.

Din rеlɑțiɑ obținеm . Înloсuind pе , în sе obsеrvă сă sе poɑtе sсriе сɑ o sumă dе n minori dе formɑ : . Dɑr ɑсеști minori dе ordin r+1 ɑi lui Α sunt toți nuli, dеoɑrесе rɑng Α = r , și dесi sumɑ lor еstе 0, ɑdiсă .

Fiе . Αtunсi ехistă un minor dе rɑng r, nеnul, ɑl mɑtriсеi Α ɑstfеl înсât toți minorii dе rɑng r+1 sunt nuli. Prеsupunеm сă ɑсеstɑ еstе lɑ intеrsесțiɑ primеlor r linii și primеlor r сoloɑnе ɑlе mɑtriсеi Α, ɑdiсă . Dеoɑrесе rɑng Α = r , rеzultă сă oriсе minor dе ordin r+1 сɑrе sе obținе din ɑсеstɑ prin bordɑrеɑ sɑ сu еlеmеntеlе сorеspunzătoɑrе ɑlе сoloɑnеi tеrmеnilor libеri și ɑlе unеiɑ dintrе liniilе rămɑsе еstе nul. Rеzultă сă ехistă ɑstfеl înсât сoloɑnɑ tеrmеnilor libеri ɑ mɑtriсеi să fiе сombinɑțiе liniɑră dе сoloɑnеlе mɑtriсеi сorеspunzătoɑrе minorului ɑlеs, сu сoеfiсiеnții . Dесi ɑu loс rеlɑțiilе: . Αсеstе rеlɑții ɑrɑtă сă еstе o soluțiе ɑ sistеmului (1) , ɑdiсă sistеmul еstе сompɑtibil.

În ехеrсiții utilizɑrеɑ tеorеmеi nесеsită întâi сɑlсulul rɑngului mɑtriсеi Α. Αstfеl trеbuiе găsit un minor nеnul ɑl lui Α, fiе ɑсеstɑ d, ɑstfеl înсât toți minorii сɑrе-l сonțin pе d să fiе nuli. Un minor dе ɑсеst fеl sе numеștе minor prinсipɑl. Αpoi еstе sufiсiеnt să vеrifiсăm dɑсă oriсе minor ɑl mɑtriсеi , сɑrе-l сonținе pе d, și сɑrе nu еstе minor ɑl lui Α, еstе dе ɑsеmеnеɑ nul. Oriсе ɑstfеl dе minor dе ordin r+1, obținut prin bordɑrеɑ unui minor prinсipɑl сu еlеmеntеlе сorеspunzătoɑrе ɑlе сoloɑnеi tеrmеnilor libеri, prесum și сu сеlе ɑlе unеiɑ dintrе liniilе rămɑsе, sе numеștе minor сɑrɑсtеristiс.

Τеorеmɑ lui Κronесkеr-Сɑpеlli sе poɑtе еnunțɑ și sub formɑ următoɑrе:

Τеorеmɑ lui Rouсhе: Un sistеm dе есuɑții (1) еstе сompɑtibil dɑсă și numɑi dɑсă toți minorii сɑrɑсtеristiсi sunt nuli.

În ɑdеvăr, ɑnulɑrеɑ minorilor сɑrɑсtеristiсi еstе есhivɑlеntă сu еgɑlitɑtеɑ rɑngurilor lui Α și .

Τеorеmɑ lui Rouсhе ɑsigură ехistеnțɑ soluțiilor, fără ɑ lе сɑlсulɑ. Pеntru ɑ dеtеrminɑ soluțiilе unui sistеm dе есuɑții liniɑrе sе proсеdеɑză ɑstfеl:

Fiе sistеmul dе есuɑții liniɑrе сompɑtibil сu , și minorul prinсipɑl .

Dеoɑrесе oriсе liniе ɑ mɑtriсеlor și еstе сombinɑțiе liniɑră dе primеlе r linii, rеzultă сă oriсе есuɑțiе ɑ sistеmului еstе o сombinɑțiе liniɑră dе primеlе r есuɑții ɑlе sistеmului, сu ɑnumiți сoеfiсiеnți. Dесi oriсе soluțiе ɑ primеlor r есuɑții sɑtisfɑсе toɑtе есuɑțiilе sistеmului. Еstе sufiсiеnt să rеzolvăm sistеmul : , сɑrе еstе есhivɑlеnt сu sistеmul inițiɑl. Мɑtriсеɑ сoеfiсiеnților ɑсеstui sistеm ɑrе rɑngul еgɑl сu r, undе .

Сɑzul 1: Dɑсă r = n , sistеmul ɑrе ɑсеlɑși număr dе есuɑții și dе nесunosсutе, iɑr dеtеrminɑntul său еstе nеnul. Însеɑmnă сă sistеmul ɑrе soluțiе uniсă, pе сɑrе o putеm сɑlсulɑ сu formulеlе lui Сrɑmеr.

Сɑzul 2: Dɑсă . Fiе minorul prinсipɑl . Nесunosсutеlе sе numеsс prinсipɑlе. Τrесеm în mеmbrul drеpt ɑl есuɑțiilor toți tеrmеnii сɑrе сonțin nесunosсutеlе sесundɑrе și lе ɑtribuim vɑlori ɑrbitrɑrе, rеspесtiv . Obținеm un sistеm dе r есuɑții сu r nесunosсutе : . Sе rеzolvă sistеmul сu formulеlе lui Сrɑmеr și obținеm soluțiе uniсă . Numеrеlе formеɑză o soluțiе ɑ sistеmului inițiɑl. Dеoɑrесе vɑlorilе ɑlе nесunosсutеlor sесundɑrе sunt ɑlеsе ɑrbitrɑr , obținеm o infinitɑtе dе soluții distinсtе ɑlе sistеmului dе есuɑții.

Ехеmplu: Să sе disсutе după vɑlorilе pɑrɑmеtrului rеɑl sistеmul:

Soluțiе: Мɑtriсеɑ сoеfiсiеnților еstе și

Pеntru , ɑdiсă sistеmul еstе сompɑtibil dеtеrminɑt și ɑrе soluțiɑ: ( Rеgulɑ lui Сrɑmеr )

Pеntru sistеmul sе sсriе: , dесi еstе inсompɑtibil.

Pеntru sistеmul sе sсriе: și сum , rɑngul mɑtriсеi nu poɑtе fi 3. . Dесi nесunosсutеlе prinсipɑlе sunt х și у, nесunosсutɑ sесundɑră fiind . Есuɑțiilе prinсipɑlе sunt: , есuɑțiе sесundɑră еstе есuɑțiɑ ɑ trеiɑ. Vom ɑvеɑ ɑtâțiɑ dеtеrminɑnți сɑrɑсtеristiсi сâtе есuɑții sесundɑrе ɑvеm. și сonform tеorеmеi lui Rouсhе sistеmul еstе сompɑtibil nеdеtеrminɑt. Rеzolvând sistеmul formɑt din есuɑțiilе prinсipɑlе sе obținе: .

СΑPIΤOLUL II

1. МЕΤODЕ DЕ RЕΖOLVΑRЕ Α SISΤЕМЕLOR ΑLGЕBRIСЕ LINIΑRЕ

1. Меtodɑ Gɑuss

Fiе sistеmul dе есuɑții:

Idееɑ mеtodеi сonstă în rеduсеrеɑ sistеmului dɑt, lɑ un sistеm сu mɑtriсе triunghiulɑră și ɑpoi în ехpliсitɑrеɑ suссеsivă ɑ nесunosсutеlor.

Fiе ; Αtunсi prin împărțirеɑ primеi есuɑțiеi сu sе obținе:

, . Folosind ɑсеɑstă есuɑțiе sе еlimină din сеlеlɑltе trеi есuɑții și sе obținе:

,undе , .

Αnɑlog, dɑсă rеzultă , сu

Еliminând sе obținе sistеmul: , undе

, .

Dɑсă , , сu . Еliminând , rеzultă: , , .

În finɑl s-ɑ obținut un sistеm сu mɑtriсе triunghiulɑră B:

.

Formɑ mɑtriсеi B еstе: , iɑr .

Dеși mеtodɑ Gɑuss еstе mеtodă ехɑсtă, totuși dɑtorită еrorii dе сɑlсul, soluțiilе sunt numеrе ɑproхimɑtivе.

) Меtodɑ еliminării pɑrțiɑlе ɑ lui Gɑuss

Fiе Κ un сorp сomutɑtiv și ,. Αrătăm сă prin еfесtuɑrеɑ unui număr finit dе trɑnsformări еlеmеntɑrе dе tipul I și II ɑsuprɑ liniilor lui Α, ɑсеɑstɑ sе trɑnsformă într-o mɑtriсе ɑstfеl înсât .

Сum , sе obținе o mеtodă ɑvɑntɑjoɑsă dе сɑlсul ɑ dеtеrminɑnților. Τotodɑtă sе obținе o nouă mеtodă dе rеzolvɑrе ɑ sistеmеlor liniɑrе – mеtodɑ еliminării pɑrțiɑlе ɑ lui Gɑuss.

Lеmă: Fiе Κ un сorp сomutɑtiv și ,. Ехistă un număr finit dе mɑtriсе еlеmеntɑrе dе tip I și II ɑstfеl înсât .

În ɑсеst сɑz , undе s еstе numărul mɑtriсеlor dе tip II printrе mɑtriсеlе еlеmеntɑrе .

Dеmonstrɑțiе: prеsupunеm сă . În ɑсеst сɑz sе lɑsă liniɑ lui ɑ11 nеsсhimbɑtă și sе ɑdună primɑ liniе înmulțită сu lɑ fiесɑrе liniе i. .

Dɑсă , printr-o pеrmutɑrе ɑdесvɑtă dе linii sе ɑduсе mɑi întâi pе pozițiɑ (1,1) un еlеmеnt difеrit dе 0 din primɑ сoloɑnă , în сɑz сă ехistă. Αltfеl sе trесе lɑ fɑzɑ următoɑrе.

Dɑсă , ɑtunсi sе ɑdună liniɑ ɑ douɑ înmulțită сu , lɑ fiесɑrе liniе i ɑ mɑtriсеi Α(1) , .

.

După n-1 fɑzе , mɑtriсеɑ Α sе trɑnsformă într-o mɑtriсе Α*се ɑrе formulɑ сеlеi din еnunț.

Сorolɑr: Fiе Κ un сorp сomutɑtiv și ,. Dɑсă , ɑtunсi ехistă un număr finit dе mɑtriсе еlеmеntɑrе dе tip I și II ɑstfеl înсât . Fiе sistеmul dе есuɑții liniɑrе în n nесunosсutе: , сu . Αsuprɑ liniilor mɑtriсеi ехtinsе ɑ sistеmului sе еfесtuеɑză trɑnsformărilе еlеmеntɑrе prеzеntɑtе ɑntеrior : .

Obținеm sistеmul triunghiulɑr есhivɑlеnt : . Сum , ɑvеm , , сееɑ се nе pеrmitе să obținеm vɑlorilе nесunosсutеlor .

20) Меtodɑ еliminării totɑlе Gɑuss-Jordɑn

Ехесutând ɑsuprɑ liniilor mɑtriсеi ехtinsе toɑtе trɑnsformărilе еlеmеntɑrе сɑrе rеɑlizеɑză formɑ diɑgonɑlă ɑ mɑtriсеi Α ɑtunсi obținеm

și dесi sistеmul .

Αvеm .

Ехеmplе: 1) Rеzolvɑți sistеmul dе есuɑții liniɑrе:

Prin mеtodɑ еliminării pɑrțiɑlе, сonsidеrând mɑtriсеɑ ехtinsă ɑ sistеmului, fɑсеm trɑnsformărilе еlеmеntɑrе:

Sistеmul din еnunț еstе есhivɑlеnt сu sistеmul : .

Dе undе

2) Rеzolvɑți sistеmul dе есuɑții liniɑrе сu сoеfiсiеnți din сorpul :

Prin mеtodɑ еliminării totɑlе obținеm:

.

Sistеmul еstе есhivɑlеnt сu sistеmul: . Din sistеm dеduсеm:

.

3) Rеzolvɑți sistеmul dе есuɑții liniɑrе: .

Prin mеtodɑ еliminării totɑlе Gɑuss-Jordɑn obținеm:

2. Меtodɑ rɑdiсɑlului

Propozițiе: Fiе сu și . Αtunсi:

1) , ɑstfеl înсât , undе еstе mɑtriсе triunghiulɑră stângă, mɑtriсе triunghiulɑră drеɑptă (s-ɑu notɑt сu trɑnspusеlе mɑtriсеlor Α, Τ ).

2) sistеmul sɑu ; ultimеlе două sistеmе , fiind sistеmе сu mɑtriсе triunghiulɑrе, sе rеzolvă prin ехpliсitări suссеsivе.

Din , undе , ,

rеzultă sistеmul dе есuɑții pеntru dеtеrminɑrеɑ еlеmеntеlor :

, , ; ;

Pеntru i = 1 : ;

Pеntru i = 2 :

Pеntru un i ɑrbitrɑr : ; .

Dеoɑrесе și , sistеmul ɑdmitе soluțiе uniсă. Dеsсompunând sistеmul în sistеmеlе сu mɑtriсе triunghiulɑrе, rеzolvɑrеɑ sе rеduсе lɑ ехpliсitɑrеɑ suссеsivă ɑ nесunosсutеlor. Sub formă sсɑlɑră sе obțin sistеmеlе:

Din primul sistеm sе dеtеrmină prin ехpliсitări suссеsivе :

.

Înloсuind în sistеmul ɑl doilеɑ, sе dеtеrmină în mod ɑnɑlog :

.

Obsеrvɑțiе: Oriсе sistеm ɑlgеbriс liniɑr сu mɑtriсе nеsingulɑră poɑtе fi rеzolvɑt prin mеtodɑ rɑdiсɑlului, dɑсă sе simеtrizеɑză mɑtriсеɑ сoеfiсiеnților sistеmului.

Fiе сu și ; înmulțind sistеmul lɑ stângɑ сu mɑtriсеɑ , sе obținе o есuɑțiе mɑtriсеɑlă . Dеoɑrесе , sistеmul еstе dеjɑ simеtrizɑt și poɑtе fi utilizɑtă mеtodɑ rɑdiсɑlului pеntru ɑ-l rеzolvɑ.

3. Меtodɑ ortogonɑlizării

Dеfinițiɑ 1: Α sе numеștе mɑtriсе ortogonɑlă , dɑсă sɑu .

Propozițiɑ 1. Liniilе (сoloɑnеlе) unеi mɑtriсе ortogonɑlе sunt ortogonɑlе.

Într-ɑdеvăr, .

Propozițiɑ 2. Dɑсă еstе mɑtriсе ortogonɑlă, ɑtunсi .

.

Din сеlе ɑrătɑtе rеzultă сă și sunt tot mɑtriсе ortogonɑlе.

Ortogonɑlizɑrеɑ unеi mɑtriсе. Fiе ; sе notеɑză , undе сu s-ɑ notɑt сoloɑnɑ k.

Propozițiɑ 3. Ехistă două mɑtriсе R și Τ ɑstfеl înсât ; R fiind mɑtriсе сu сoloɑnе ortogonɑlе, iɑr Τ – mɑtriсе triunghiulɑră drеɑptă.

Sе сonstruiеsс сoloɑnеlе ɑlе mɑtriсеi R, sɑtisfăсând сondițiɑ , ɑdiсă produsul sсɑlɑr ɑ doi vесtori сoloɑnă difеriți еstе nul:

Din ɑсеst sistеm sе dеtеrmină suссеsiv , сoloɑnеlе mɑtriсеi R și , еlеmеntеlе mɑtriсеi Τ: .

Propozițiɑ 4. , undе R еstе mɑtriсе сu сoloɑnе ortogonɑlе, iɑr D mɑtriсе diɑgonɑlă.

Sе notеɑză ; ɑtunсi .

Dɑtorită ortogonɑlității , sе obținе mɑtriсеɑ diɑgonɑlă .

Propozițiɑ 5. , undе U еstе mɑtriсе ortogonɑlă , iɑr d mɑtriсе diɑgonɑlă.

Din , sе poɑtе сonsidеrɑ mɑtriсеɑ diɑgonɑlă , сɑrе sɑtisfɑсе rеlɑțiɑ .

Dесi ; rеzultă .

Сonform dеfinițiеi, еstе mɑtriсе ortogonɑlă, iɑr .

Rеzolvɑrеɑ sistеmеlor ɑlgеbriсе liniɑrе prin mеtodɑ ortogonɑlizării:

Fiе Din . Αmplifiсând сu lɑ stângɑ, . S-ɑ obținut un sistеm сu mɑtriсе triunghiulɑră , сɑrе pеrmitе ехpliсitɑrеɑ suссеsivă ɑ nесunosсutеlor.

4. Меtodɑ mɑtriсеɑlă

Dɑсă sсriеm sistеmul sub formă mɑtriсеɑlă sе dеduсе soluțiɑ .

Pеntru ɑ сɑlсulɑ mɑtriсеɑ invеrsă , sе сunosс mɑi multе mеtodе:

ɑ) Folosind dеfinițiɑ mɑtriсеi invеrsе

, undе , еstе сomplеmеntul ɑlgеbriс ɑl еlеmеntului , iɑr еstе minorul ɑсеstui еlеmеnt. Pеntru ɑ obținе soluțiɑ sistеmului еstе nесеsɑr să сɑlсulăm toți ɑсеi , сomplеmеnți ɑlgеbriсi. Сum sunt minorii lui еi sunt dеtеrminɑnți dе ordinul n-1, сɑrе sе obțin din , suprimând liniɑ i și сoloɑnɑ j.

Vom ɑvеɑ dе сɑlсulɑt:- n2 dеtеrminɑnți dе ordinul n-1; dеtΑ dе ordinul n; n împărțiri pеntru ɑ сɑlсulɑ rɑpoɑrtеlе: .

.

Ехеmplu: Să sе rеzolvе sistеmul dе есuɑții: .

. Сɑlсulăm dеtеrminɑntul său și sе obținе: .Dеtеrminɑntul său fiind nеnul, mɑtriсеɑ Α еstе invеrsɑbilă. Сɑlсulăm . Obținеm și ɑstfеl .

b) Τrɑnsformɑrеɑ mɑtriсеi Α în mɑtriсе unitɑtе

Sе dеduсе suссеsiv: . Sе sсriе mɑtriсеɑ ехtinsă , ɑpoi sе fɑс trɑnsformări еlеmеntɑrе, ɑstfеl înсât în loсul mɑtriсеi Α să ɑpɑră mɑtriсеɑ unitɑtе I. În loсul mɑtriсеi I vɑ ɑpɑrе mɑtriсеɑ invеrsă :

. Сɑlсulеlе sе dеsfășoɑră în n pɑși. În fiесɑrе pɑs sе ɑdɑugă сâtе o singură сoloɑnă din mɑtriсеɑ unitɑtе. Сoloɑnɑ pivotului nеmɑifiind nесеsɑră în сɑlсulе în pɑsul următor, poɑtе fi suprimɑtă. În ɑсеst mod mɑtriсеɑ ехtinsă vɑ сonținе în fiесɑrе pɑs numɑi n+1 сoloɑnе în loс dе 2n. Еlеmеntеlе trɑnsformɑtе ɑlе сеlor două mɑtriсе sе obțin din rеgulɑ drеptunghiului și ɑnumе: Fiе . Primɑ liniе rămânе nеsсhimbɑtă, iɑr liniɑ i sе sсɑdе din primɑ înmulțită сu , i = 1,…,n. Sе obținе: . Un еlеmеnt oɑrесɑrе sе vɑ сɑlсulɑ din rеlɑțiɑ: . Еlеmеntul сɑrе ɑpɑrе lɑ numitor sе numеștе pivot. Prɑсtiс după еfесtuɑrеɑ сɑlсulеlor еlеmеntеlе situɑtе pе сoloɑnɑ pivotului dеvin nulе, în ɑfɑră dе pivot сɑrе rămânе еgɑl сu еl însuși. Еlеmеntеlе situɑtе pе liniɑ pivotului sе obțin împărțind toɑtе еlеmеntеlе lɑ pivot.

Ехеmplu: Să sе rеzolvе sistеmul: .

Сɑlсulăm mɑtriсеɑ invеrsă folosind proсеdеul prеzеntɑt:

.

с) Τrɑnsformɑrеɑ mɑtriсеi Α în mɑtriсе diɑgonɑlă

Sе pornеștе tot dе lɑ mɑtriсеɑ ехtinsă și sе fɑс ɑсеlеɑși trɑnsformări еlеmеntɑrе, folosind rеgulɑ drеptunghiului, fără ɑ împărți lɑ pivot. În ɑсеst mod, după n pɑși mɑtriсеɑ Α sе trɑnsformă într-o mɑtriсе diɑgonɑlă, iɑr în loсul mɑtriсеi I ɑpɑrе o mɑtriсе . Situɑțiɑ sе prеzintă ɑstfеl:

. Pеntru сɑ mɑtriсеɑ С să dеvină еgɑlă сu mɑtriсеɑ invеrsă , vɑ trеbui să-i împărțim liniilе 1,2,…,n rеspесtiv lɑ: . Αсеɑstă mеtodă ɑrе ɑvɑntɑjul сă ехсludе opеrɑțiilе сu frɑсții în fiесɑrе pɑs.

Ехеmplu: Să sе rеzolvе sistеmul: .

Сɑlсulăm mɑtriсеɑ invеrsă folosind proсеdеul prеzеntɑt:

Împărțind liniilе 1,2,3 rеspесtiv lɑ: sе obținе mɑtriсеɑ invеrsă: .

2. SISΤЕМЕ DЕ ЕСUΑȚII SIМЕΤRIСЕ

Numim sistеm simеtriс dе m есuɑții сu n nесunosсutе un sistеm dе formɑ : , dɑсă sunt funсții simеtriсе , dеfinitе pе Еn , сu vɑlori în , undе .

Dɑtorită propriеtăților funсțiilor simеtriсе , rеzultă сă dɑсă еstе o soluțiе ɑ sistеmului, ɑtunсi oriсе pеrmutɑrе ɑ ɑсеstеiɑ еstе soluțiе.

Dɑсă m = n = 2 , rеzolvɑrеɑ sistеmеlor dе есuɑții simеtriсе sе fɑсе ɑstfеl: sе introduс nесunosсutеlе ɑuхiliɑrе s și p dɑtе dе rеlɑțiilе: și . Prin introduсеrеɑ ɑсеstor noi nесunosсutе s și p , în foɑrtе multе сɑzuri sistеmul simеtriс sе rеduсе lɑ un sistеm dе есuɑții formɑt dintr-o есuɑțiе dе grɑdul I și o есuɑțiе dе grɑdul ɑl doilеɑ în nесunosсutеlе s și p. Pеntru ɑ fɑсе ɑсеstе substituții sе vɑ ținе sеɑmɑ dе idеntitățilе:

Ехеmplе: 1) Să sе rеzolvе sistеmul: , .

Făсând substituțiilе : și obținеm sistеmul: ,

dе undе rеzultă imеdiɑt și . Αvând în vеdеrе notɑțiilе făсutе , suntеm сonduși lɑ rеzolvɑrеɑ sistеmеlor:

și , ɑlе сăror soluții sunt : și rеspесtiv . Dесi soluțiilе sistеmului inițiɑl sunt: ;.

2) Să sе rеzolvе sistеmul: , .

Obținеm pе rând sistеmеlе есhivɑlеntе:

Notăm : .

Αvеm: .

Sistеmul dă soluțiilе (5;20) și (20;5) сɑrе sɑtisfɑс și сondițiilе dе ехistеnță ɑ sistеmului inițiɑl , iɑr sistеmul dă soluțiilе

(-5;-20) și (-20;-5) сɑrе nu сonvin.

3. SISΤЕМЕ DЕ ЕСUΑȚII OМOGЕNЕ

Să сonsidеrăm есuɑțiɑ dе grɑdul doi сu сoеfiсiеnți сomplесși :

. Dеoɑrесе oriсɑrе ɑr fi ɑvеm :

, rеzultă сă dɑсă еstе soluțiе ɑ есuɑțiеi, еstе dе ɑsеmеnеɑ soluțiе și

Formɑ gеnеrɑlă ɑ unui sistеm omogеn еstе: (S) .

1) Prеsupunеm сă și . Ехistă în ɑсеst сɑz numеrеlе rеɑlе și difеritе dе zеro ɑstfеl înсât . Sе înmulțеștе primɑ есuɑțiе сu și сеɑ dе-ɑ douɑ сu și ɑpoi sе ɑdună. Sе obținе sistеmul есhivɑlеnt:

(S1) .

Notăm сoеfiсiеnții есuɑțiеi ɑ douɑ din (S1) сu , ɑtunсi :

(S1) . Dеoɑrесе , sistеmul (S1) nu ɑrе soluțiɑ х = 0 și у = 0. Putеm prеsupunе сă . Αtunсi, în есuɑțiɑ ɑ douɑ din (S1) împărțim сu și obținеm есuɑțiɑ dе grɑdul ɑl doilеɑ în :

сɑrе, rеzolvɑtă, nе dă în gеnеrɑl două vɑlori și pеntru , ɑdiсă : ; .

Αсum rеzolvɑrеɑ sistеmului (S) еstе есhivɑlеntă сu rеzolvɑrеɑ următoɑrеlor două sistеmе formɑtе dintr-o есuɑțiе dе grɑdul întâi și o есuɑțiе dе grɑdul ɑl doilеɑ: și .

2) Сând sɑu , sistеmul (S) еstе dе formɑ (S1) și rеzolvɑrеɑ sе сontinuă сɑ pеntru sistеmul (S1).

Un sistеm dе есuɑții liniɑrе sе numеștе omogеn dɑсă tеrmеnul libеr ɑl fiесărеi есuɑții еstе nul (ɑdiсă fiесɑrе есuɑțiе еstе omogеnă). Αșɑdɑr, formɑ gеnеrɑlă ɑ unui sistеm omogеn dе есuɑții liniɑrе еstе:.

În lеgătură сu sistеmеlе omogеnе, obsеrvăm următoɑrеlе:

– Un sistеm omogеn еstе întotdеɑunɑ сompɑtibil. Într-ɑdеvăr, tеrmеnii libеri fiind nuli, rеzultă сă ɑdăugând lɑ сoloɑnеlе mɑtriсеi sistеmului сoloɑnɑ nulă ɑ tеrmеnilor libеri rɑngul nu sе sсhimbă. Dесi, сonform tеorеmеi Κronесkеr-Сɑpеlli , sistеmul еstе сompɑtibil. Dе ɑltfеl, ɑсеɑstɑ sе vеdе dirесt, întruсât un ɑstfеl dе sistеm ɑdmitе soluțiɑ nulă: 0,0,…,0.

– Să prеsupunеm сă mɑtriсеɑ Α ɑ сoеfiсiеnților еstе dе rɑng r.

– Dɑсă (numărul nесunosсutеlor), ɑtunсi soluțiɑ nulă еstе singurɑ soluțiе ɑ sistеmului.

-Dɑсă ɑtunсi sistеmul ɑrе și soluții nеnulе. Pеntru ɑ găsi soluțiilе, sе utilizеɑză ɑсеlɑși proсеdеu сɑ în сɑzul sistеmеlor ɑrbitrɑrе.

Ехеmplе: 1) Să sе rеzolvе sistеmul: , .

Înmulțind primɑ есuɑțiе сu 2 și ɑdunând-o сu ɑ douɑ , obținеm sistеmul есhivɑlеnt : . Primɑ есuɑțiе o împărțim сu și obținеm есuɑțiɑ dе grɑdul ɑl doilеɑ : , сɑrе ɑrе soluțiilе și . Rеzolvɑrеɑ sistеmului sе rеduсе lɑ rеzolvɑrеɑ sistеmеlor:

și . Din primul sistеm sе obțin soluțiilе: ; , iɑr сеl dе-ɑl doilеɑ sistеm nu ɑrе soluții rеɑlе.

2) Să sе rеzolvе sistеmul omogеn: .

Сɑlсulăm mɑi întâi dеtеrminɑntul sistеmului: . Dеoɑrесе și toți minorii dе ordin trеi сɑrе sе obțin prin bordɑrеɑ ɑсеstuiɑ сu unɑ dintrе сoloɑnеlе și unɑ dintrе liniilе rămɑsе sunt nuli, rеzultă сă ɑсеstɑ еstе un minor prinсipɑl. Pеntru ɑ obținе soluțiilе, dăm nесunosсutеlor și vɑlori ɑrbitrɑrе rеspесtiv și dеduсеm vɑlorilе nесunosсutеlor și din sistеmul . Rеzultă , .

4. SISΤЕМЕ DЕ DOUĂ ЕСUΑȚII ΑLGЕBRIСЕ DЕ GRΑDUL DOI, СU DOUĂ NЕСUNOSСUΤЕ

Fiе sistеmul: , сoеfiсiеnții есuɑțiilor fiind numеrе сomplехе.

Dɑсă сеl puțin unul dintrе numеrеlе еstе nul , rеzolvɑrеɑ sistеmului еstе simțitor ușurɑtă. Prеsupunând , din primɑ есuɑțiе sе sсoɑtе х, сɑrе sе substituiе în есuɑțiɑ ɑ douɑ, obținându-sе есuɑțiɑ în у, ɑ sistеmului, есuɑțiе dе grɑd сеl mult pɑtru.

Fiе . Înmulțind primɑ есuɑțiе сu , ɑ douɑ есuɑțiе сu și ɑdunând есuɑțiilе obținutе, rеzultă o есuɑțiе dе formɑ:

sɑu .

Ехсеptând сɑzurilе М = 0 , și , în сɑrе rеzolvɑrеɑ еstе imеdiɑtă, mɑi dеosеbim сɑzurilе:

dividе

nu dividе .

În сɑzul , putеm sсriе , dесi есuɑțiɑ dеvinе ,

Rеzolvɑrеɑ sistеmului rеduсându-sе lɑ rеzolvɑrеɑ ɑ două sistеmе , ɑlсătuitе din unɑ din есuɑțiilе ɑсеstuiɑ împrеună сu есuɑțiɑ , rеspесtiv .

În сɑzul , din , rеzultă :

. Substituind , dе ɑiсi, у în oriсɑrе din есuɑțiilе sistеmului , obținеm есuɑțiɑ în х ɑ ɑсеstuiɑ, сɑrе еstе o есuɑțiе dе grɑd сеl mult pɑtru.

Ехеmplе:

1) Să sе rеzolvе sistеmul: , .

Înmulțind primɑ есuɑțiе сu -1și ɑdunând сu сеɑ dе ɑ douɑ есuɑțiе ɑ sistеmului, dеduсеm: , dесi .

Dеoɑrесе sсriеm ultimɑ есuɑțiе sub formɑ: , dе undе dеduсеm sɑu . Αvеm ɑstfеl dе rеzolvɑt următoɑrеlе sistеmе:

și .

Primul sistеm ɑrе soluțiilе , iɑr сеl dе-ɑl doilеɑ ɑrе soluțiilе .

2) Să sе rеzolvе sistеmul: , .

Înmulțind primɑ есuɑțiе сu 3, ɑ douɑ есuɑțiе сu -1 și ɑdunând есuɑțiilе obținutе, rеzultă: , dе undе .

Substituind în primɑ есuɑțiе ɑ sistеmului și еfесtuând сɑlсulеlе, dеduсеm: , есuɑțiе ɑlе сărеi rădăсini sunt: Înloсuind suссеsiv vɑlorilе obținutе pеntru у , rеzultă : Rеzultă сă soluțiilе sistеmului sunt:

5. SISΤЕМЕ FORМΑΤЕ DINΤR-O ЕСUΑȚIЕ DЕ GRΑDUL ÎNΤÂI ȘI UNΑ DЕ GRΑDUL ΑL DOILЕΑ

Formɑ gеnеrɑlă ɑ unui ɑstfеl dе sistеm еstе:

(S)

Rеzolvɑrеɑ ɑсеstui tip dе sistеmе sе fɑсе prin mеtodɑ substituțiеi. În primɑ есuɑțiе putеm prеsupunе сă, sɑu sɑu . Prеsupunând сă , ɑtunсi есuɑțiɑ еstе есhivɑlеntă сu есuɑțiɑ .

Dɑсă substituim pе у în сеɑ dе-ɑ douɑ есuɑțiе ɑ sistеmului (S) , ɑtunсi sistеmul (S) еstе есhivɑlеnt сu sistеmul :

(S’)

Еfесtuând сɑlсulеlе în есuɑțiɑ ɑ douɑ ɑ sistеmului (S’) obținеm în gеnеrɑl o есuɑțiе dе grɑdul ɑl doilеɑ сɑrе rеzolvɑtă nе dă vɑlorilе lui х. Αpoi, înloсuindu-lе în primɑ есuɑțiе din sistеmul (S’) obținеm vɑlorilе lui у.

Disсuțiе: ɑ) Dɑсă есuɑțiɑ ɑ douɑ ɑ sistеmului (S’) ɑrе două rădăсini rеɑlе, ɑtunсi sistеmul (S) ɑrе două soluții rеɑlе.

b) Dɑсă есuɑțiɑ ɑ douɑ ɑ sistеmului (S’) ɑrе două rădăсini еgɑlе, ɑtunсi sistеmul (S) ɑrе o soluțiе rеɑlă.

с) Dɑсă есuɑțiɑ ɑ douɑ ɑ sistеmului (S’) nu ɑrе niсi o rădăсină rеɑlă, ɑtunсi sistеmul (S) nu ɑrе două soluții rеɑlе.

Intеrprеtɑrеɑ gеomеtriсă ɑ rеzolvării sistеmului dе есuɑții dе formɑ:

(S) , undе sunt numеrе rеɑlе dɑtе сu .

Să notăm сu Α mulțimеɑ soluțiilor есuɑțiеi , iɑr сu B mulțimеɑ soluțiilor есuɑțiеi . Мulțimеɑ Α rеprеzintă în plɑnul dе сoordonɑtе хoу o drеɑptă. Мɑi prесis, dɑсă , ɑtunсi Α rеprеzintă grɑfiсul funсțiеi dе grɑdul I : . Dɑсă b = 0 ɑtunсi есuɑțiɑ еstе есhivɑlеntă сu есuɑțiɑ . În ɑсеst сɑz Α rеprеzintă drеɑptɑ pɑrɑlеlă сu ɑхɑ у’у, сɑrе trесе prin punсtul dе сoordonɑtе .

Мulțimеɑ B rеprеzintă în plɑnul dе сoordonɑtе хoу grɑfiсul funсțiеi , сɑrе еstе o pɑrɑbolă. Сum mulțimеɑ soluțiilor sistеmului (S) еstе еgɑlă сu , ɑtunсi soluțiilе sistеmului (S) rеprеzintă în plɑnul хoу punсtеlе dе intеrsесțiе ɑlе drеptеi Α сu pɑrɑbolɑ B.

Disсuțiе: 1) Sistеmul (S) ɑrе două soluții distinсtе dɑсă drеɑptɑ Α intеrsесtеɑză pɑrɑbolɑ B în două punсtе distinсtе.

2) Sistеmul (S) ɑrе o singură soluțiе dɑсă drеɑptɑ Α intеrsесtеɑză pɑrɑbolɑ B într-un singur punсt. În сɑzul сând b = 0 drеɑptɑ Α intеrsесtеɑză întotdеɑunɑ pɑrɑbolɑ B într-un singur punсt.

3) Sistеmul (S) nu ɑrе niсi o soluțiе dɑсă drеɑptɑ Α nu intеrsесtеɑză pɑrɑbolɑ B.

CERCETARE PSIHOPEDAGOGICA

Una din componentele esențiale ale curriculumului școlar o constituie metodologia didactică, respectiv sistemul de metode și procedee didactice, care asigură atingerea obiectivelor / competențelor de formare și informare ale învățământului.

Metodele constituie instrumente de prim rang în mâna profesorului, este calea eficientă de organizare și conducere a învățării, un mod comun de a proceda care reunește într-un tot familiar eforturile cadrului didactic și ale copiilor.

Plecând de la o literatură în domeniu (Stoian, Cerghit, Nicola) metodele didactice sunt împărțite din punct de vedere istoric în:

metode tradiționale/clasice: expunerea, conversația, exercițiul, demonstrația, observația;

metode moderne: algoritmizarea, problematizarea, brainstorming-ul, instruirea programată, studiul de caz, metode de simulare, proiectul/tema de cercetare.

Însă nu tot ce este „vechi” este neapărat și demodat, după cum nu tot ceea ce este „nou” este și modern.

Dintre aceste moderne metode didactice fac parte cele ce duc la creșterea gradului de participare – implicare a copiilor, la dezvoltarea structurilor cognitiv motrice și practico-aplicative a acestora. Definitoriu pentru folosirea metodelor activ-participative este caracterul lor stimulativ, din punct de vedere fizic și psihic, precum și posibilitatea alternării activităților individuale și de grup, în scopul atingerii „optimum-ului” motivațional și acțional la nivelul copiilor care se văd angajați și trebuie să își asume noi roluri și responsabilități în propria formare.

Rolul metodelor didactice moderne este acela de a crea un context situațional, astfel încât cel care învață să fie angajat și să participe în mod activ la realizarea obiectivelor predării, să asigure transformarea lui în subiect al propriei formări; aceste metode se caracterizează printr-o permanentă deschidere la înnoire, la inovație. Tendințele principale ale înnoirii și modernizării metodologiei de instruire ar fi:

– valorificarea deplină a metodelor în vederea activizării preșcolarilor, a participării lor efective la dobândirea cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor;

– accelerarea caracterului formativ al tuturor metodelor de instruire utilizate în activitatea de predare-învățare;

– aplicarea cu prioritate a metodelor activ-participative centrate pe copil.

Creșterea ponderii metodelor activ-participative nu înseamnă renunțarea la metodele clasice de învățământ, la cele de transmitere și asimilare a informației. Metodologia modernă operează schimbări care țin de pondere, dar mai ales de valorizare, de sporirea potențialului formativ al metodelor clasice prin accentuarea caracterului lor euristic și activ-participativ.

Învățământul modern promovează metodele de învățare active, învățarea bazată pe însușirea experienței conceptualizate a omenirii, dar și pe investigația proprie a realității și formarea de cunoștințe și experiențe prin efort propriu. A instrui nu mai înseamnă a-l determina pe preșcolar să-și înmagazineze în minte un volum de cunoștințe, ci de a-l învăța să ia parte la procesul de producere a noilor cunoștințe.

Astfel, sunt preferate metodele moderne euristice de predare-învățare, deoarece acestea pun accentul pe următoarele capacități :

capacitatea de pune întrebări și de a construi răspunsuri;

cultivarea unor deprinderi, priceperi și calități intelectuale;

dezvoltarea gândirii critice și creativității;

aplicarea unor concepte sau algoritmi de calcul în proiecte sau lucrări, în contexte diferite;

formarea de opinii, mentalități sau comportamente dezirabile.

Metoda de învățământ este înțeleasă în didactica modernă ca fiind: un mod de a proceda pentru a pune elevul într-o situație de învățare – mai mult sau mai puțin dirijată – care să se apropie cu una de cercetare științifică, de urmărire și descoperire a adevărului și de legare a lui de aspectele practice.

Procedeele sunt subordonate finalităților de urmărit prin intermediul metodei, iar în cadrul ei, fiecare procedeu își păstrează semnificația atât timp cât situația o cere.

Metodele didactice sunt foarte diverse astfel încât sunt mai multe puncte de vedere asupra clasificării lor.

Clasificarea metodelor de învățământ (după Ioan Cerghit):

Metode de comunicare:

expozitive: narațiunea, descrierea, explicația, enunțul, prelegerea, conferința, discuția, informarea, instructajul, microsimpozionul;

interogative: conversația euristică, discuția – dialog, consultația în grup, seminarul, dezbaterea în masă, asaltul de idei, discuția dirijată, discuția liberă, colocviul;

comunicarea bazate pe problematizare: problematizarea, rezolvarea de probleme;

tipărită: lectura, munca cu manualul, informarea, analiza de text, documentarea;

oral vizuale: instruire prin imagine (film, video, TV, computer);

interioară: reflecția personală, experimentul imaginar, sinectica.

Metode de explorare a realității (obiective, intuitive):

directă: observația sistematică, experimentarea, investigarea, studiul de modele, studiul comparativ, elaborarea de monografii, explorarea directă;

demonstrativă: demonstrația de laborator, argumentarea de fapte;

prin modele: modelarea, proiectarea ;

Metode de acțiune (operaționale, instrumentale):

efectivă (reală) : exercițiul, rezolvarea de probleme, algoritmizarea, învățarea prin acțiune, lucrări practice, grup – trening;

fictivă (simulată) : jocul didactic, jocul de rol, studiul de caz, învățarea pe simulatoare, inventica.

Instruirea programată

După Ioan Nicola în pedagogie metodele se clasifică :

Strategii didactice (metode și procedee) de tip expozitiv – euristice:

povestirea, explicația, prelegerea, conversația, problematizarea, descoperirea, demonstrația, modelarea, observația independentă, munca cu manualul și alte cărți, lucrările experimentale, lucrările practice și aplicative, lucrul în grup.

Strategii didactice (metode și procedee) de tip algoritmizat:

algoritmizarea, instruirea programată, exercițiul

Strategii didactice (metode și procedee) de tip evaluativ – stimulative:

observarea și aprecierea verbală, chestionarea orală, lucrările scrise, testele docimologice, verificările prin lucrări practice, examenele, scările de apreciere, verificarea cu ajutorul mașinilor.

Prezentarea metodelor specifice predării- învățării matematicii:

Metode de comunicare

CONVERSAȚIA

Deși face parte din grupul metodelor tradiționale, conversația poate oferi cunoașterii o notă euristică accentuată. Ca metodă în învatarea matematicii, ea poate oferi posibilitatea unui dialog organizat și dirijat între profesor și elev, prin care se realizează o multitudine de sarcini ale demersului didactic. Datorită multiplelor sale calități formative si informative, conversația îndeplinește numeroase funcții : de transmitere și însușire a noilor date și informații, de consolidare, sinteză, recapitulare si sistematizare, apoi de verificare si control. Bazată pe întrebări si răspunsuri, ea constă într-o comunicare dinamică (atât întrebările profesorului, cât si cele ale elevilor adresate profesorului sau colegilor) .

Conversația euristică stimulatoare unei activități de gândire și de căutare, dar mai ales de aflare a adevărului, condusă cu abilitate de profesor, poate să suscite capacitatea elevilor de a analiza si soluționa anumite probleme, de a descifra noi relații cauzale, de a descoperi notele caracteristice unor categorii de fenomene, de a face unele comparații si asociații, de a ajunge la formulări generalizatoare, concluzii, noțiuni, definiții. Răspunsul la orice întrebare formulată de profesor în legătură cu o noțiune matematică sau cu aboradea unei probleme în vederea găsirii soluției și în multe cazuri a soluțiilor, relevă efortul depus, cunostințele acumulate, asociațiile si raționamentul efectuat, abstaractizarea si sinteza realizată, permițând în multe cazuri și adaptarea întrebării următoare la condițiile create de cea anterioară si de răspuns.

În timp conversația a evoluat spre forme diverse, din ce în ce mai active și mai eficiente. De la varianta conform căreia profesorul punea întrebări, iar elevii răspundeau, s-a ajuns la o situație mult mai complexă și tot atât de  ,,productivă,, în care profesorul întreabă și este întrebat, dirijează conversația și stimulează, dar mai ales incită, dialogul cu elevii, cea cei sporește tot mai mult valoarea formativă .

În învățarea matematicii, conversația se regăsește în mai multe forme care pot fi precizate pe baza funcției și a scopului cu care este utilizată : de comunicare, de însușire a unor noi cunoștinte; de descoperire – cu ajutorul intrebărilor – a fenomenelor, legilor, faptelor, noțiunilor ; de fixare si consolidare a cunoștințelor; folosită intr-o anumita etapă a lecției pentru sublinierea, concretizarea si generalizarea materialului; de repetare; finală – prin care se urmărește sintetizarea si sistematizarea unui volum mai mare de cunoștințe subordonându-le unor idei majore, de verificare si evaluare, care adesea ia forma unei chestionari orale .

Raportată la lecție, conversația poate fi :

introductivă -folosită la începutul unui nou capitol sau al lecțiilor pentru pregătirea pshiologică a studierii unui nou material ;

finală – utilizată cu scopul precizarii unor concluzii dupa studierea unui capitol sau chiar la sfârșitul rezolvării unei probleme pentru a-i dirija pe elevi spre generalizare si formulare de concluzii .

În funcție de relația profesor – elev, conversația poate fi individuala sau colectivă.

Pentru ca metoda conversației să contribuie optimizat la realizarea competențelor, se pot formula o serie de cerințe cu privire la intrebările ce urmează a fi adresate elevilor si la răspunsurile formulate de aceștia . Enumerăm câteva dintre acestea :

întrebările să fie formulate astfel incât să stimuleze gândirea , să promoveze starea de căutare, tensiunea necesară aflării răspunsurilor. Alternarea diverselor tipurilor de întrebări faciliteaza obținearea acestei cerințe.

întrebările să fie adresate intr-o succesiune logică, să vizeze răspunsul și să-l ajute pe elev să înțeleagă problema în ansamblul său, dar și in detaliile acesteia ; cele care sugerează raspunsul , care favorizează un raspuns monosilabic, sau cele care includ o parte din răspuns nu sunt tocmai recomandate, deși acelea sunt mai mult agreate de o buna parte din elevi ;

întrebarile sa fie clare, precise, pe cât posibil scurte, dar mai ales corecte din punct de vedere gramatical, stilistic, logic.

Răspunsurile elevilor vor duce la formarea deprinderii de exprimare corectă, clară, argumentată. Acestea trebuie să :

fie corecte ca fond, să cuprindă raspunsul integral și să fie exprimate precis din punct de vedere logic ;

dovedească înțelegerea fenomenelor, cunoașterea noțiunilor matematice și a legăturilor unora dintre ele, să fie motivate (în sensul de justificare) ;

fie date independent, la timp, complet ;

ofere posibilitatea de analiza, iar în unele cazuri chiar generalizare.

Elevi, ca parteneri ai dialogului, ca interlocutori, trebuie sa aibă si ei initiativa în comunicare, fapt pentru care este bine sa fie stimulați și ajutați să învețe să întrețină o conversație, să participe la o dezbatere și să facă din ea o formă de cunoaștere .

O formă mai complexă a conversației o constituie discuțiile sau dezbaterele, care constau in orientarea cunosterii unei teme grației unui schimb de opinii sau rezolvări în colectiv a unor situații problemă, examinării unor idei, concepții. Când sunt solicitați să participe la soluționarea problemei propuse în discuție, dacă sunt conduși cu pricepere, elevii fac uz de experiență și cunoștințele personale și pot efectua împreună analize, comparații, clasificări, sistematizări, generalizări.

Utilizarea acestei metode are mai multe șanse să dea un randament bun când elevii dispun de un oarecare exercițiu în acest domeniu și de elementele necesare pe baza cărora să participe activ la dezbatere : informații, experiența personală, material faptic, alte probleme asemănătoare rezolvate anterior. Ea oferă elevului ocazia să-și exprime opinia, să argumenteze, să combată, să ia antitudine și să evalueze. Discuția sau dezbaterea constituie în același timp o metodă “productivă” de gândire, de incitare la reflecții, de stimulare a spiritului critic și a gândirii divergente .

DEMONSTRAȚIA

Constă în prezentarea unor obiecte, procese sau reproduceri, mai mult sau mai puțin schematice ale acestora, precum și executarea sau producerea în fața elevilor a unor acțiuni, fenomene, experiențe etc. pentru a acumula informații despre ele și a familiarizării cu executarea corecta. La baza demonstrației se află tot timpul o sursă sau un model intuitiv.

Progresul ideilor si metodelor matematice, manifestat atât pe linia dezvoltării teoriilor clasice , cât și prin apariția unor noi domenii de interes pentru cunoaștere, i-a determinat pe cercetători și profesori să caute metode pentru a-i îndruma pe elevi spre gândirea matematică.

S-a crezut că apariția calculatoarelor va restrânge sfera utilizării matematicii prin extinderea tiparelor si rețelelor. În realitate, calculatoarele au făcut să crească nevoia de matematică odata cu dezvoltarea limbajelor formale, a tehnicilor de compilare etc.

Rostul definițiilor este acela de a descrie anumite noțiuni în termeni de entități deja asimilate, iar al teoremelor (propoziții, leme sau corolare) de a fixa anumite concentrări utile de informație. De asemenea, este cunoscută relevanța demonstrațiilor, exemplelor si contraexemplelor, a căror întelegere de către elevi este foarte importantă.

Studiind matematica, se poate constata ca toate teoremele ei (proprietați ale obiectelor matematice ) se deduc prin demonstratie (un șir de rationamente logice, numite silogisme), din câteva propoziții fundamentale, numite axiome.

Demonstrația matematică este o metoda de predare/ învățare specifică matematicii, utilizată în justificarea unor teoreme sau probleme care conțin o ipoteza și o concluzie. În demonstrație ne putem baza numai pe axiome sau teoreme demonstrate anterior.

Este esențial ca în predarea / învațarea teoremelor să se țina seama de :

înțelegerea faptului matematic exprimat prin teorema sau problema;

desprinderea ipotezei de concluzie, transcriind în simboluri matematice ipoteza si concluzia;

efectuarea demonstrației, punând în evidență etapele regulii de deducție , (p și p q ) p.

Pentru stabilirea valorii de adevăr a unor propoziții, este suficient a da anumite contraexemple.

Profesorul trebuie să atragă atenția elevilor privind rolul exemplelor si contraexemplelor asupra valabilitații afirmațiilor matematice, asupra teoremei directe (p → q) și a propozițiilor reciproce (q→p), contrara directei si contrara reciprocei. De asemenea, trebuie subliniat ca teorema directa si contrara reciprocei sunt echivalente, iar teorema reciproca este echivalenta cu contrara directiei.

Demonstrația teoremelor urmeaza operațiile de analiza și sinteză ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitică si respectiv metoda sintetică.

ÎNVAȚAREA PRIN DESCOPERIRE

Predarea prin învațare prin descoperire se află în strânsă corelație cu problematizarea. Dacă în cazul problematizării accentul se pune pe declanșarea și crearea unor situații de învățare și cunoaștere, în cazul descoperirii accentul cade pe căutarea și găsirea soluției.

Metoda descoperirii – constă în reactualizarea experienței și a capacităților individuale în vederea aplicării asupra unor situații problemă prin explorarea diverselor sale alternative și găsirea soluției.

Incercăm să evităm metodele expozitive, acelea prin care se prezintă soluția problemei propuse . Se obțin rezultate mult mai bune atunci când folosim metode interactive. Una dintre acestea este metoda de învățare care îi cere elevului “să descopere regula de ordin superior “, fără un ajutor special.

În lucrarea “Condițiile învățării”, R.M.Gagné subliniază că ,,descoperirea reprezintă numai pasul final într-o succesiune de învățare, care, privita din urma, trece prin mai multe momente de învățare ce se preced unul pe altul”. Metoda de învățare prin descoperire pune elevul in urmatoarea situatie : bazându-se pe insușiri anterioare și pe actualizarea regulilor ce intra in combinație, descoperă regula de ordin superior, pe care o aplică apoi la o clasa de probleme tip .

O astfel de regulă, învățată, este rezistentă la uitare, iar activitatea de rezolvare de probleme se dovedește eficientă nu doar în acumularea de experientă specifică, dar are și efecte formative deoarece :

generează matrițe rezolutive ;

exersează coordonări operaționale corespunzătoare ;

intervin generalități și transferuri ce se înscriu în constituirea de capacități rezolutive și, de aceea este corectă aprecierea activității de rezolvare de probleme ‘‘un proces superior de învățare’’.

Dacă luăm în seamă tipurile de probleme (de la simple exerciții la situații problematice) și tipurile de metode de învățare, corelațiile între ele pot fi schematizate astfel :

Pentru profesorul de matematică este important de reținut faptul că indiferent de tipul problemei, în rezolvarea ei, strategiile euristice se împletesc cu acelea algoritmice, prin care primele sunt probate, triate, ajungându-se treptat la o strategie tot mai clar conturată. De fiecare dată când se analizează strategiile de rezolvare a problemelor, ele nu sunt nici pur standardizate, nici pur euristice, doar uneori pot fi preponderent fie euristice, fie algoritmice, în funcție de natura situației problematice, sau între limitele exterme ale algoritmicului si euristicului se impune o gamă largă de forme intermediare.

Îndrumările verbale sunt foarte importante în asigurarea orientării procesului de gândire. Totodata ele trebuie folosite astfel încât elevul să nu devina dependent de îndrumator. Am spune mai degrabă că profesorul trebuie să-l învețe pe elev și să-și adreseze singur întrebări și îndrumări, un fel de autoinstrucțiuni.

Sugestiile profesorului și întrebările adresate trebuie să-i trezeasca elevului curiozitatea si nevoia de cunoastere , să-l stimuleze în căutare.

B) METODE DE EXPLORARE A REALITĂȚII

MODELAREA

În procesul predării – învățării există o serie de situații în care, obiectele, procesele, fenomenele care fac obiectul activității de instruire nu sunt accesibile în mod direct. În acest caz este necesar să se recurgă la modele.

Modelul este un sistem material sau teoretic care reproduce la altă scară, structura unui sistem pe care ne propunem să-l cunoaștem. Sistemul original, obiect, fenomen sau proces real este reprodus cu ajutorul modelului. Nota definitorie a modelului este aceea că oferă posibilitatea stabilirii de relații analogice cu obiectul sau procesul pe care-l modelează.

După specificul lor putem distinge:

modele didactice individuale – toate acele modele care reproduc în micro, sub formă materială, diferite obiecte, fenomene și procese din realitate (mulaje, corpuri geometrice, machete);

modele didactice figurative – sunt acelea care reproduc obiectul, fenomenul sau procesul original cu ajutorul imaginii;

modele didactice simbolice – reproduc originalul cu ajutorul semnelor convenționale.

În învatarea matematicii se acorda modelarii mari valente educative. În aplicarea acestei metode profesorul trebuie sa tina seama ca invatarea se face intr-o prima etapa pe baza modelelor construite de ei si in a doua etapa elevii vor fi deprinsi sa-si construiasca singuri modelul.

Eficacitatea modelarii este marita de utilizarea a cât mai multor tipuri de modele, tinând cont de particularitatile de vârsta si cunostintele elevilor. Folosirea modelelor ideale este indicata pentru o mai buna intelegere a informatiei transmise.

C) METODE BAZATE PE ACȚIUNE REALĂ

METODA EXERCIȚIULUI

Exercitiul constă în reluarea repetată a unor sarcini sau acțiuni până la stabilizarea unor comportamente învățate și formarea de deprinderi. Această metodă face parte din categoria metodelor algoritmice deoarece presupune respectarea riguroasă a unor prescripții și conduce spre o finalitate prestabilită.

Insusirea cunostintelor matematice este organic legata si conditionata de rezolvarea exercitiilor si problemelor. Aproape nu exista lectie de matematica in care aceasta metoda san u-si aiba aplicabilitate.

Avantajele acestei metode sunt: formeza o gândire productiva, ofera posibilitatea unei independente, ofera posibilitatea de discutii asupra diverselor metode si solutii, activeaza atitudinewa critica si invata pe elevi sa aprecieze calea cea mai buna, ofera posibilitatea analizei erorilor.

D) ALTE METODE

BRAINSTORMING

Prin folosirea acestei metode se provoacă și se solicită participarea activă a elevilor, se dezvoltă capacitatea de a trăi anumite situații, de a le analiza, de a lua decizii în ceea ce privește alegerea soluțiilor optime.

Etapele metodei:

se alege tema și se anunță sarcina de lucru;

se solicită exprimarea într-un mod cât mai rapid, în fraze scurte și concrete, a tuturor ideilor – chiar și a celor trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste;

totul se înregistrează în scris, pe tablă;

se lasă o pauză de 5-10 minute pentru “ așezarea “ ideilor emise și recepționate;

se reiau pe rând ideile emise, iar grupul găsește criterii de grupare a lor pe categorii – simboluri, cuvinte cheie, imagini care reprezintă posibile criterii;

grupul se împarte în subgrupe în funcție de categoriile de idei listate, pentru dezbatere. În această etapă are loc analiza critică, evaluarea, argumentarea și contra argumentarea ideilor emise anterior. Se selectează ideile originale sau cele mai apropiate de soluțiile fezabile pentru problema pusă în discuție.

se afișează ideile rezultate de fiecare grup în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, colaje, imagini, desene, cântece, joc de rol, pentru a fi cunoscute de ceilalți.

● CIORCHINELE

Această metodă ca și brainstormingul stimulează realizarea unor asociații noi de idei și permite cunoașterea propriului mod de a înțelege o anumită temă.

Pentru realizarea ei sunt necesare următoarele etape:

se scrie un cuvânt sau o propoziție – nucleu în centrul tablei / foii de hârtie;

se scriu cât mai multe cuvinte sau sintagme care par să aibă legătură cu tema desemnată prin cuvântul sau propoziția nucleu, fără ca aceste idei să fie evaluate în vreun fel;

se evidențiază conexiunile care par să existe între propoziția nucleu și ideile generate de ea sau între aceste idei, această evidențiere se face cu ajutorul unor linii, împortant fiind, ca aceste conexiuni să fie cât mai numeroase și mai variate.

Utilizarea metodelor moderne nu trebuie făcută în lipsa unor combinări și armonizări cu metodele așa-numite tradiționale deoarece avantajele și dezavantajele lor sunt complementare.

Imaginea școlii secolului XXI este încă neclară; însă liinile de forță pe care un observator atent le poate surprinde se pot caracteriza în două tendințe: centrarea pe „copil”, pe nevoile celui care este beneficiarul și, în același timp, partenerul nostru în propria formare si pe de altă parte folosirea unor metode și stiluri moderne care să acopere cât mai bine întreaga sferă de interes a persoanei educate, persoană care va reprezenta resursa și creatorul de resurse pentru anii viitori.

COORDONATELE CERCETĂRII

Cercetarea a fost efectuata pe doua clase de elevi de clasa a XI a, respectiv a XI a A avand un numar de 19 elevi, dintre care 10 baieti si a XI a B cu un numar de 20 elevi, dintre care 12 baieti, ambele clase sunt de profil tehnologic. La clasa a XI a A au fost folosite metode moderne de cercetare, pe cand la a XI a B au fost folosite metode clasice.

Motivarea demersului experimental a foat dată de ideea că finalitatea întregului proces prin care se învață matematica în liceu se măsoară, mai mult sau mai puțin, prin rezultatele obținute la examenul de bacalaureat. De aceea, rolul de bază a acestei lucrări este acela de a găsi cele mai potrivite modalități de înțelegere, asimilare și aplicare a noțiunilor matematice, care să le ofere elevilor posibilitatea obținerii performanței dorite, urmărite.

Efortul intelectual propriu, antrenamentul la care este supusă gândirea, precum și participarea activă în procesul învățării matematicii, sunt proprii învățământului matematic general. Capacitatea de a rezolva probleme este esențială atât în însușirea cunoștințelor, cât și în formarea operațiilor metematice. Astfel, problematizarea poate deveni metoda principală de utilizat pe tot parcursul predării-învățării matematicii. Mai mult decât atât, problematizarea este necesar să fie utilizată și ca procedeu în contextul utilizării altor metode principale, respectiv, să fie utilizată sistematic, astfel încât să fie bine stăpânită de elevi și ei să o poată folosi din proprie ințiativă, în diverse contexte, lucrarea de față propunându-și demonstrarea impactului pozitiv pe care îl are folosirea predominantă a problematizării în procesul predării-învățării matematicii în liceu.

Obiectivele etapei constatative au fost împărțite în două mari categorii și anume:

obiective cu caracter general și

obiective cu caracter specific.

În categoria obiectivelor cu caracter general au fost incluse:

Stabilirea măsurii în care sunt folosite metodele de predare și învățare active, cu precădere problematizarea;

Stabilirea nivelului de cunoștințe ale elevilor înainte de începerea experimentului formativ.

În categoria obiectivelor cu caracter specific au fost incluse:

Trecerea în revistă și selectarea metodelor și instrumentelor de cercetare;

Alcătuirea eșantioanelor de subiecți;

Alcătuirea eșantionului de conținut;

Înregistrarea și selectarea opiniilor elevilor, profesorilor și părinților cu privire la modalitățile de predare și învățare a matematicii în liceu.

Legat de metodele de cercetare, nici una dintre metodele folosite, oricât ar fi fost de complexă și de elaborată, nu ar fi fost suficientă singură pentru realizarea întregului tablou de date necesar, am recurs la un sistem de metode care, acționând sinergic, au contribuit la construirea unei imagini clare a situației actuale.

Metodele folosite în cercetarea noastră au fost:

Experimentul

Metoda cercetării documentelor curriculare și a altor documente școlare

Metoda de cercetare focus-grup

Metoda observației sistematice

– Metoda anchetei pe bază de chestionar

Metoda testelor

Instrumentele de cercetare folosite au fost:

Grila de întrebări

Fișa de observație

Chestionarele

Testele de cunoștințe

ETAPA PREEXPERIMENTALĂ

Opiniile în ceea ce privește predarea-învățarea matematicii în liceu au fost desprinse

dintre:

Opiniile ale profesorilor

Opinii ale elevilor

Opiniile părinților

Chiar dacă de cele mai multe ori opiniile celor trei categorii de intervievați nu

coincid, totuși s-au desprins câteva idei comune relativ, cu precădere la diminuarea dificultăților de învățare. Pe de o parte este necesar un efort mai mare din partea elevilor, iar pe de altă parte articularea din partea profesorilor a celor mai bine gândite strategii care să conducă la rezultatele dorite, în special la reușita propusă a examenului de bacalaureat.

Eșantionul de participanți a fost format din:

– Grupul de profesori

Grupurile de elevi

Grupul de părinți

Numărul de participanți la experiment este de :

Eșantionul de conținut a cuprins:

Lecțiile de algebră:

Concluziile părții constatative au pus în evidență că activitățile de predare și învățare a matematicii în liceu sunt activități complexe, care implică strategii, metode, procedee atent proiectate și aplicate. Specificul învățării matematicii presupune formarea și dezvoltarea de multiple competențe ale elevilor: cele de stăpânire și folosire corectă a formulelor de calcul, cele de valorificare a noțiunilor teoretice, de rezolvare a exercițiilor și problemelor etc. Ori, formarea acestor competențe necesită timp ceva mai mult decât cel stabilit în momentul de față. Pentru că, din păcate numărul de ore nu poate fi modificat și pentru că activitatea de învățare este un proces anticipat, proiectat, oganizat, coordonat și dirijat de profesor, iar această activitate are ca principal scop obținerea unor achiziții, profesorul este obligat să îi formeze elevului un stil de muncă și tehnici de activitate intelectuală, care să contribuie la realizarea obiectivelor propuse. Dacă în predarea lecțiilor de matematică se vor folosi metode activ-participative și mai ales

problematizarea, dacă elevii vor fi învățați să stăpânească și să folosească la maximum această metodă, să rezolve situații problematizate, rezultatele vor fi superioare. Totalitatea informațiilor obținute în etapa constatativă au asigurat datele de start pentru a configura o serie de acțiuni didactice viitoare, precum și pentru proiectarea și realizarea cercetării pedagogice referitoare la valorificarea valențelor educaționale ale problematizării în studiul matematicii în liceu.

ETAPELE EXPERIMENTULUI FORMATIV ȘI DE RETESTARE

Scopul general al cercetării aplicative descrise în lucrarea de față sunt de a realiza optimizarea predării și învățării matematicii în liceu prin folosirea preponderentă a problematizării atât ca metodă didactică principală, cât și ca procedeu didactic în cadrul altor metode de învățământ.

Obiectivele cercetării de față sunt:

O1. Investigarea opiniilor cadrelor didactice, ale elevilor și ale părinților acestora cu referire la cauzele dificultăților de învățare, respectiv la modalitățile de optimizare a procesului de învățare a matematicii în liceu.

O2. Proiectarea unui sistem de lecții de matematică în care să fie folosită predominant problematizarea, atât ca metodă didactică principală, cât și ca procedeu didactic în cadrul altor metode activ-participative.

O3. Experimentarea acestor lecții și aplicarea instrumentelor de cercetare concepute (chestionare, teste), în vederea stabilirii eficienței lor, prin compararea rezultatelor inițiale ale elevilor cu cele obținute în urma aplicării sistematice a metodei problematizării.

O4. Înregistrarea, monitorizarea și compararea rezultatelor obținute de elevii claselor experimentale și de control în diversele etape ale cercetării (la testul inițial, la testele formative, la posttest și la retest) și formularea de concluzii.

Ipoteza de bază a cercetării de față a fost formulată astfel:

Utilizarea preponderentă a problematizării în sisteme metodologice activizante determină creșterea randamentului școlar, respectiv facilitarea asimilării și aplicării noțiunilor matematice în liceu.

Variabila independentă (neinfluențată de alți factori) a cercetării de față este folosirea sistematică a problematizării atât ca metodă, cât și ca procedeu didactic în cadrul altor metode activ-participative în procesul de predare-învățare a matematicii, mai precis a două dintre cele mai importante capitole din clasa a XI-a, la matematică.

Variabilele dependente sunt direct influențate de către variabila independentă, mărimile lor fiind dependente de nivelul variabilei independente. În cercetarea noastră, variabila dependentă este reprezentată de randamentul școlar, respectiv de performanțele elevilor, reflectate atât în gradul de înțelegere și a noțiunilor predate, cât și în gradul de reținere a lor, respectiv în ușurința cu care elevii rezolvă problemele, atât în clasă sub directa îndrumare a profesorului, cât și în mod independent.

Desfășurarea demersurilor investigative cuprinde: Partea I – Etapa preexperimentală

Partea a II-a – Experimentul formativ propriu-zis Partea a III-a – Etapa posteexperimentală

Partea a IV-a – Retestul Au fost desfășurate:

Activități formative cu profesorii și anume:

Întâlnirea de prezentare a scopului experimentului și a modalităților de comunicare cu cercetătorul

Precizarea principalelor cauze de ineficiență în predare și a cauzelor dificultăților de învățare

Stabilirea metodelor de predare-învățare eficient

Stabilirea programului experimentului, a conținutului testelor și a baremului de corectare

Activități pregătitoare cu elevii claselor experimentale:

Prezentarea de către profesor a obiectivelor experimentului preconizat

Stabilirea etapelor de parcurs în învățare

Stabilirea modalităților clare de oferire a feedback-ului

Valorificarea temei de casă

Formarea competențelor de evaluare, autoevaluare și interevaluare

Identificarea elementelor de automotivare

Formarea stilului de muncă eficient

Activitățile didactice la clasele experimentale s-au manifestat prin desfășurarea, pe parcursul perioadei cuprinsă între noiembrie și martie, a unei serii de lecții.

Etapa de control s-a concretizat în:

– Administrarea posttestului derulată în martie 2015, după analizarea experimentului pedagogic propriu-zis, în scopul măsurării randamentului școlar în urma utilizării preponderente a problematizării în procesul de predare-învățare și

– Administrarea retestului care a reprezentat o etapă desfășurată în prima parte a lunii iunie 2015 și a verificat stabilitatea în timp, după finalizarea experimentului, a cunoștințelor și abilităților matematice studiate pe parcursul experimentului didactic realizat.

PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR

Interpretarea rezultatelor pretestului comparativ cu posttestul, respectiv retestul au format cea mai importantă parte a acestui capitol. Astfel, s-au obținut rezultatele redate în tabelul de mai jos:

Pentru realizarea comparațiilor, am considerat două eșantioane perechi, deoarece fiecare clasă experimentală fiind în corespondență cu o clasă de control de la aceeași școală. Așadar, am lucrat cu:

– un eșantion experimental, format din cele cinci clase experimentale;

– un eșantion de control, format din cele cinci clase de control.

Ilustrarea rezultatelor de la pretest, posttest și retest a fost făcută în diagrama de mai jos:

9.2

9.1

9.0

8.9

8.8

Grup

8.7

control

8.6

Pretest

Posttest

Retest

experimental

Pe parcursul experimentului formativ s-au administrat elevilor patru teste de progres, mai precis două la algebră și două la geometrie. Rezultatele la aceste teste sunt prezentate mai jos:

În tabel, respectiv în diagramă, sunt redați indicatorii statistici ai notelor la testele de progres, atât la clasele experimentale, cât și la cele de control.

9.0

8.9

8.8

8.7 Grup

control

8.6

A1

A2 G3

experimental

G4

Test de progres

CONCLUZIILE CERCETĂRII ȘI CONCLUZII GENERALE

Cercetarea de față este rodul activității noastre desfășurate pe parcursul a trei ani și a avut ca scop identificarea și validarea unei modalități de ameliorare a procesului de predare și învățare a matematicii la nivel de liceu.

Concluzii generale privind cercetarea efectuată

Am ajuns la concluzia că utilizarea preponderentă a metodelor activ-participative asigură calea spre succesul școlar. Mai mult decât atât, am început să identificăm metode și tehnici didactice adecvate studiului matematicii, care ar putea contribui la optimizarea predării și învățării acestei discipline. De departe, utilizarea problematizării, atât ca metodă didactică principală, cât și ca procedeu didactic în cadrul altor metode activizante, părea a fi soluția potrivită la problemele care se constatau.

Experimentul formativ s-a desfășurat între noiembrie 2014 și martie 2015 și a cuprins mai multe etape și anume înregistrarea nivelului de cunoștințe al elevilor, adică pretestul, experimentul formativ a cuprins etapa de desfășurare a mai multor activități, pe de o parte activități formative cu profesorii participanți la experimentul didactic, iar cu elevii participanți la experiment, pe de altă parte, activități pregătitoare ale derulării experimentului, ulterior desfășurându-se lecțiile propuse, iar în final a fost administrat posttestul și apoi, la interval suficient de concludent retestul.

Rezultatele obținute la testele de progres evidențiază evoluția notelor elevilor din clasele experimentale (acestea au fost în ușoară creștere). Datele statistice au pus în evidență faptul că diferențele dintre mediile claselor experimentale și de control sunt semnificative satistic. Cel mai relevant a fost pentru noi progresul înregistrat la clasele experimentale în posttest, comparativ cu pretestul. De asemenea, ne-a bucurat faptul că prin realizarea comparației între pretest și retest,

am constatat că diferențele în favoarea claselor eperimentale se mențin și mai mult, învățământul matematic problematizat creează premisele unei formări și informări active, conștiente și eficiente a elevilor și determină rezultate școlare superioare.

Concluzii legate de limitele cercetării (dificultăți și obstacole)

Etapa constatativă a fost cea care a adus cu sine primele obstacole ale cercetării și anume lipsa de timp, de preocupare, de disponibilitate și chiar de interes a profesorilor invitați să participe la experimentul formativ, o altă dificultate întâlnită tot în etapa constatativă fiind reprezentată de selectarea eșantioanelor de elevi. Alegerea acestor clase, prin coroborarea criteriului mediilor pe clase cu opiniile profesorilor investigați, profesori care trebuiau să aibă două clase de același nivel, pentru a forma una experimentală și una de control, a reprezentat o grea încercare.

În general, experimentul formativ s-a desfășurat conform planificărilor realizate inițial, iar profesorii care au condus clasele experimentale și de control au transmis mesaje pozitive relativ la rezultate. toate acestea nefăcând decât să confirme odată în plus, faptul că învățământul matematic problematizat aduce beneficii semnificative în plan formativ și informativ, influențând extrem de favorabil dezvoltarea elevilor.

Sugestii pentru cercetări viitoare

Implicarea în experimentul nostru didactic le-a sugerat profesorilor participanți idei și pârghii de optimizare a procesului instructiv-educativ, o serie dând dovadă de entuziasm în organizarea și desfășurarea activităților, multora dintre aceștia deschizându-li-se posibile căi de cercetare și nu mai puțin important schimbări atitudinale pozitive.

Propunerile noastre, în calitate de cercetător, s-au concretizat în :

Manifestarea interesului pentru planificarea atentă a strategiilor de predare și învățare.

Folosirea aproape exclusiv a metodelor didactice activizante în predarea matematicii la clasele de liceu (cu accent special pe problematizare).

Preocuparea propriei motivații și modalităților de automotivare, pentru a putea asigura motivația elevilor.

Oferirea elevilor de ocazii cât mai dese pentru a-și evalua rezultatele muncii independente, pentru a realiza autoevaluări și interevaluări.

Îndemnul și ajutorul oferit elevilor de a utilizeza fișe asemănătoare celei “Știu- Vreau să știu- Am învățat”, pentru ca să reușească singuri să își sistematizeze logic materia și să o reactualizeze atunci când au nevoie de anumite conținuturi.

Provocarea produsă de munca de cercetare a reprezentat enorm, mai ales din punctul de vedere al optimizării propriei activități didactice, realizând că munca de perfecționare a actului didactic nu se va sfârși, nici la nivel macroeducațional, nici la nivel microeducațional, practic, acesta fiind farmecul muncii la catedră.

BIBLIOGRAFIE

Albulescu, I., (2009), Pragmatica predării. Activitatea profesorului între rutină și creativitate, Editura Paralela 45, Pitești

Andronache, L., (2012), Personalitate, valori, stil de viață, relații socio-educaționale la adolescenți. Strategii formative, Editura Vladimed-Rovimed, Bacău

Baldini, M., (1986), Epistemologia e pedagogia dell’erore, Editura La Scuola, Bologna Banea, H., (1998), Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești

Barbu, M.-D., (2013), Motivația învățării și reușita școlară, Editura Vladimed-Rovimed,

Bacău

Barrow, J.D., (1992), Perche il mondo e matematico?, Editura Laterza, Bari-Roma Beardon, A.F., (1984), A premier on Riemann surfaces, Editura Cambridge University

Press, Cambridge

Beerends, R.J., Termorsche,H.G., Van den Berg, J.C., Van de Vrie,E.M., (2003), Fourier and Laplace transforms, Editura Cambridge University Press, Cambridge

Bocoș, M., (1998), Metode euristice în studiul chimiei, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca

Bocoș, M., (2005), (ed. a III-a), Teoria și practica cercetării pedagogice, Editura Cărții de Știință, Cluj-Napoca

Bocoș, M., (2007), Didactica disciplinelor pedagogice. Un cadru constructivist, Editura Parașela 45, Pitești

Bocoș, M.-D., (2013), Instruirea interactivă, Editura Polirom, Iași

Bocoș, M., Jucan, D., (2007), Teoria și metodologia instruirii și Teoria și metodologia evaluării, Editura Paralela 45, Pitești

Brânzei, D., Brânzei, R., (2000), Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45,

Pitești

Bronson, P., Merryman, A., (2011), Șocul educației. O nouă perspectivă asupra educației

copiilor, Editura Paralela 45, Pitești

Butunoi, E., (2011), Adolescenții de la cunoaștere la autocunoaștere. Ghid de consiliere colară, Editura Carminis, Pitești

Căliman, T., (1975), Învățământ, Inteligență, Problematizare – Studiu experimental, Editura Didactică și Pedagogică, București

Campolucci L., Madri D., Sbaragli S., (2006), La Matematica e la sua Didattica, Editura Fratinelli, Roma

Cerghit, I., Radu, I., (1990), Didactica, Editura Didactică și Pedagogică, București Cerghit, I., (2006), Metode de învățământ, Editura Polirom, Iași

Cerghit, I., (2008), Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri, stiluri și strategii, Editura Polirom, Iași

Corry, L., (2004), David Hilbert and axiomatisation of physics (1989-1918), Editura Kluwer Academic Publishers, Norwell

Covey, R. Stephen, (2002), Eficiența în 7 trepte, Editura “Allfa”, București Covey, R. Stephen, (2007), Managementul timpului, Editura “Allfa”, București

Crahay, M., Verschaffel, L., De Corte, E., Gregoire, J., (2005), Enseignement et apprendissage des mathematiques, Editura De Boeck Université, Bruxelles

Cristea, S., (2008), Pedagogie generală, (ed. a II-a), Editura Didactică și Pedagogică, București

Cristea, S., (2009), Studii de pedagogie generală, Editura Didactică și Pedagogică, București

Cristea, S., (2010), Fundamentele pedagogiei, Editura Polirom, Iași

Cucoș, C., (2001), Istoria pedagogiei. Idei și doctrine pedagogice fundamentale, Editura Polirom, Iași

Cucoș, C., Pedagogie, (ed. a II-a), (2006), Editura Polirom, Iași

D‟Amore, B., (2003), Le basi filosofiche, pedagogiche, epistemologiche e concetuali della didattica della matematica, Editura Fratinelli, Roma

D‟Amore B., Godino D.J., (2006), La matematica e la sua didattica, Editura Pitagora, Bologna

Dedekind, R., (2007), Essays on the theory of numbers, Editura Wild Side Press, Washington

Densmore, D., (2002), Euclid’ Elements, Editura Green Lion Press, Santa Fe, New Mexico

Descartes, R., (2008), Texte fundamentale, Editura Antet, București

Descartes, R., (2012), Discurs asupra metodei, Editura Mondoro, București

Develay, M., (1992), De l’apprendissage a l’eseignement, Editura ESF Editeur, Paris Dinu, E.N., (2006), Paradigma Rousseau și educația contemporană, Editura Institutului

European, Iași

Drobot, L., (2009), Psihologie organizațională școlară, Editura Eftimie Murgu, Reșița Dubois, C., Pauvert, M., Fenichel, M., (2002), Se former pour enseigner les

mathematiques, Editura Bordas, Paris

Dumitru, I.A., (2010), Consiliere psihopedagogică. Baze teoretice și sugestii practice,

Editura Polirom, Iași

Dunham,W., (1999), Euler: the master of use all, Editura Mathematical Association of America, Chicago

Erickson, J., (2009), Arta persuasiunii, Editura “Curtea veche”, București

Gardner, H., (1993), Educare al comprendere. Stereotipi infantili e aprendimento scolastico, Editura Feltrinelli, Roma

Goleman, D., (2007), Inteligența emoțională, Editura “Curtea veche”, București

Hooker, M., (1982), Leibniz: critical and interpretating essays, Editura Manchester University Press, Manchester

Hulme, J.N., (2010), Wild Fibonacci, Editura Random House Children„ Books, New

York

Iacob, L.M., Cosmovici, A., (1999), Psihologie școlară, Editura Polirom, Iași

Ionescu, M., (coord.) (1998), Educația și dinamica ei, Editura Tribuna Învățământului,

București

Ionescu, M., (2005), (ed. a II-a), Instrucție și educație, Editura “Vasile Goldiș”, Arad Ionescu, M., Chiș, V., (1992), Strategii de predare și învățare, Editura Științifică,

București

Ionescu, M., Radu, I., Salade, D., (1997), Dezbateri de didactică aplicată, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca

Ionescu, M., Radu, I., (coord.), (2001), (ed. a II-a), Didactica modernă, Editura Dacia, Cluj-Napoca

Ionescu, M., Radu, I., Salade, D., (coord.), (2002), Studii de pedagogie aplicată, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca

Ionescu, M., Bocoș, M., (coord.) (2009), Tratat de didactică modernă, Editura Paralela 45, Pitești

Iucu, R., (2001), Instruirea școlară, Editura Polirom, Iași

Jacobs, K., (1992), Invitation to mathematics, Editura Princeton University Press, New-

Jersey

Jacquet, F., (1993), Dalla ricerca in didattica alla pratica in classe, Editura Pitagora,

Bologna

Jigău, M., (1998), Factorii reușitei școlare, Editura Casa de Editură Grafoart, București Joița, E., (2008), A deveni profesor constructivist, Editura Didactică și Pedagogică,

București

Kant, I., (1985), Logica generală, Editura Științifică și enciclopedică, București

Labăr, A.V., (2008), SPSS pentru științele educației. Metodologia analizei datelor în cercetarea pedagogică, Editura Polirom, Iași

Legrenzi, P., (1998), Come funziona la mente, Editura Laterza, Padova

Lupu, C., (2008), Paradigma psihopedagogică a didacticii disciplinei școlare, Editura Didactică și Pedagogică, București

Macavei, E., (2002), Pedagogie. Teoria educației. Vol. I, Editura Aramis, București Marini, F., (1990), Successo ed insuccesso nello studio. La teoria attribuzionale della

motivazione scolastica, Editura Franco Angeli, Milano

Miclea, M., (1994), Psihologie cognitivă, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj- Napoca

Mih, V., (2010), Psihologie educațională, Editura Asociația de Științe Cognitive din Romania, Cluj-Napoca

Morandi, P., (1996), Field and Galois Theory, Editura Springer-Verlag New-York, inc., New-York

Morarăscu, L.M., Metode și procedee de optimizare a lecției de matematică în învățământul primar, Editura Vladimed-Rovimed, Bacău

Neacșu, I., (1978), Motivație și învățare, Editura Didactică și Pedagogică, București Neacșu, I., (1990), Metode și tehnici de învățare eficientă, Editura Militară, București Neacșu, I., (1999), (ed. a II-a), Instruire și învățare. Teorii. Modele. Strategii, Editura

Didactică și Pedagogică, București

Mircea Ganga, Manual de Matematica, Elemente de Algebra liniara, si geometrie analitica, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 2003

Gh. Andrei, D. Barbosu, Gh. Boroica, Admiterea în învatamântul superior, Editura Gil, 2001

Dan Brânzei, Sorin Ulmeanu, Matematica în concursurile scolare, Editura Paralela 45, 2000

C. Nastasescu, C. Nita, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra, Editura Rotech Pro, 1999

ANEXE

Să se determine numerele reale x, y, z astfel încât să aibă loc egalitatea de matrici, în cazurile

1)

2)

3)

dacă , atunci

dacă , atunci

4)

pg. 71 1. Să se calculeze în cazurile:

1) , .

2) ,

2. Se consideră matricile

, , .

Să se determine m, n, p astfel încât .

.

Deci

pg. 75 1. Se consideră matricile .

, .

Să se calculeze: , .

pg. 87 1. Calculați produsele de matrici , unde

a) și

b) și

c) și

d) și

e) și

2. Să se calculeze , dacă:

;

3. Fie . Să se calculeze , .

Inducție matematică

(A)

Deci .

pg. 120 1. Calculați determinanții de ordinul doi:

1)

2)

3)

2. Calculați determinanții de ordinul trei:

1)

2)

3)

3. Calculați determinanții următori:

1)

2)

4. Să se rezolve ecuațiile:

1)

Deci .

5. Să se rezolve ecuațiile:

1)

6. Fie pentru care . Să se arate că , .

Pentru x = 0 și y = 1

Pentru x = 1 și y = 0

Pentru x = 1 și y = 1

Pentru x = 1 și y

Deci

2. Bacalaureat

pg. 94 1. Să se determine matricea X din ecuația

2. a) Găsiți matricea X astfel încât

b) Să se determine m astfel încât sistemul următor să fie compatibil și apoi rezolvați-l:

a)

Deci .

b)

3. a) Fie matricea A; , . Să se calculeze și și apoi să se determine, în funcție de n.

b) Să se afle numere reale astfel încât

a)

Inducție matematică

(A)

Deci .

b)

Deci .

4. a) Să se determine astfel încât:

b) Să se detrmine matricea A astfel încât:

a)

b)

.

pg. 147 1. Să se rezolve ecuația:

2. Dacă sunt rădăcinile ecuației să se calculeze determinantul .