Sistemul Integrat Pentru Conducerea Si Identificarea Parametrilor Unui Experiment de Tip Quanser Dc Motor

Domeniul conducerii de procese industriale și al automatizărilor industriale beneficiază din plin de evoluția extraordinară a tehnicii de calcul actuale, prin implementarea de sisteme de măsură și control performante, având drept componență centrală microcontrolere sau calculatoare personale.

Prin utilizarea PC-uri în cadrul acestor sisteme se beneficiază de toate resursele de calcul disponibile ale acestuia, cum ar fi puterea de calcul impresionantă, posibilitatea stocării și reprezentării datelor, precum și flexibilitatea deosebită în reconfigurarea sistemului și adăugarea de noi funcții. Utilizarea programelor dedicate achiziției și procesării datelor, care devin din ce în ce mai puternice și performante, fac din PC soluția optimă pentru astfel de aplicații industriale.

Pachetul MATLAB/Simulink dezvoltat de firma MathWorks a revoluționat modul de realizare a aplicațiilor cu specific industrial prin abordarea unui mod simplu și eficient de programare ce acoperă o gamă largă de aplicații industriale și de cerectare. Suportul hardware oferit de firma Quanser, împreună cu bibliotecile disponibile ce cuprind funcții pentru comunicație, fac ca acest mediu de programare să reprezinte o soluție simplă și viabilă pentru aplicații de măsurare și control industrial precum și pentru monitorizarea și controlul la distanță.

În procesul de măsurare mărimile de măsurat sunt transformate în mărimi intermediare, care sunt transmise la distanță, de la locul unde se face măsurarea până la locul de procesare a informațiilor. La recepție se face conversia inversă, din mărimea intermediară în mărimea inițială.

În această lucrare sunt tratate aspecte legate de metodologia clasică de proiectare a sistemelor pentru controlul parametrilor tehnologici din automatizările industriale. În particular, interfața cu mediul extern are o importanță esențială în cadrul sistemelor informatice industriale, referindu-ne aici în special la sistemele de conducere cu calculatorul a proceselor.

Sisteme de conducere numerice industriale implică în general un număr mare de traductoare și de elemente de execuție, analogice și numerice. Elementele sensibile (senzorii) ale traductoarelor transformă mărimile măsurate în tensiune, curent, rezistență etc., ale căror valori diferă mult de la un dispozitiv la altul. Tensiunile pot fi de la milivolți la zeci de volți. De asemenea, semnalele necesare elementelor de execuție pot avea nivele de putere mult diferite în funcție de aplicația concretă. Sistemele de conducere industriale trebuie să dispună de echipamente care să convertească semnalele de la senzori în semnale numerice standardizate care pot fi prelucrate de către calculator. În plus, trebuie să existe circuite care să convertească datele numerice furnizate de către calculator în semnale de comandă (analogice în cele mai multe cazuri) adaptate la elementele de execuție. Aceste diferite funcții sunt grupate în așa-numitele unități de interfață de proces.

În domeniul automaticii, interfețele de proces se mai numesc generic plăci de achiziție, nume datorat faptului că prin intermediul interfeței de proces se realizează și achiziția de date. Trebuie precizat faptul că interfața de proces are nu numai funcția de achiziție ci și funcția de prelucrare și transmitere către exterior a semnalelor generate de calculator. Plăcile de achiziție fac parte din categoria generală a plăcilor de extensie (denumite și plăci utilizator).

Prin completarea configurației unui calculator (de regulă un calculator personal – PC) cu elemente din categoria interfețelor de proces (plăci de achiziție) și cu software specializat se obține un sistem de achiziție a datelor (trebuie precizat că noțiunea de sistem de achiziție este ceva mai generală, fiind incluse aici și alte sisteme numerice de achiziție care nu se bazează pe PC). Datorită existenței funcțiilor de conducere, o denumire mai apropiată de realitate este cea de sistem de achiziție și conducere.

Într-o primă etapă de evoluție a automaticii, identificarea analitică era singura capabilă să furnizeze, prin cunoașterea legilor fizico-chimice și tehnologice ale proceselor, modelele sistemice ale acestora. Efortul de proiectare era mare, modelele obținute complexe, dar insuficient de adecvate din punct de vedere sistemic. Efectul diferitelor acțiuni perturbatoare, aleatoare, în proces, nu putea fi inclus în aceste modele, obținute din legi operante pe mărimi deterministe.

În multe situații practice, proiectanții nu pot oferi automatistului modele analitice ale proceselor industriale. Sarcina determinării acestor modele sistemice revine inginerului automatist.

Modernizarea proceselor industriale s-a accentuat puternic în condițiile dezvoltării teoriei identificării experimentale a sistemelor și a tehnologiei calculatoarelor de proces. Dezvoltarea extraordinară a microprocesoarelor a provocat schimbări importante în proiectarea sistemelor de comandă și reglare. Puterea lor de calcul și costul scăzut le fac să preia integral sarcina comenzii și reglării cu performanțe net superioare față de cazul în care s-ar utiliza regulatoare analogice.

În viziunea tradițională, proiectarea sistemelor (continuue) de reglare se bazează pe calculul modelelor de comandă din ecuații de bilanț masic sau energetic bazate pe legități fizice, chimice care guvernează funcționarea proceselor automatizate. Algoritmii de reglare sunt cei clasici PID, iar implementarea se face prin utilizarea unei aparaturi modulare care funcționează cu semnale tipizate de curent sau tensiune.

Lucrarea este structurată în patru mari părți (capitole):

– Capitolul I cuprinde o descriere a instalației ce urmează a fi automatizată

– Capitolul II prezintă determianrea modelului matematic și a funcției de transfer;

– Capitolul III prezintă implementarea legilor de reglare PID și analiza performantelor acestora

– Capitolul IV prezintă metodele de acordare folosind legi de reglare PID

– Capitolul V prezintă proiectarea regulatoarelor după metode numerice și analiza perfomranțelor obținute

Cap 1. Descrierea platformei experimentale Quanser SRV02

1.1 Descriere

Servomotorul Quanser SRV02, prezentat în Figura 1, constă într-un motor de curent continuu, ce este încapsulat într-un cadru solid de aluminiu și este echipat cu o cutie de viteze orbitală. Motorul are propriul său angrenaj intern care conduce angrenajul extern. Varianta de bază SRV02 vine cu un senzor potențiometric ce poate fi utilizat pentru a măsura poziția unghiulară a angrenajului. Aparatul SRV02 poate fi de asemenea echipat cu un encoder ce poate masura digital poziția și un tahometru pentru a măsura viteza de rotație a angrenajului.

1.1.1 Opțiunile SRV02

După cum se prezintă în Tabelul 1, există șase optiuni disponibile pentru SRV02. În oricare dintre opțiuni, SRV02 include mereu motorul și angrenajul, dispozitivul de comanda și un potențiometru. Celelalte opțiuni caracteristice pentru SRV02, senzori adiționali, cum ar fi tahometrul pentru sistemul SRV02-T sau encoderul pentru modelul SRV02-E. Diferitele opțiuni permit utilizatorilor să lucreze atât cu măsurători digitale cât și analogice la fel de bine ca și cu măsurarea vitezei unghiulare utilizând un tahometru.

Tabelul 1: Sumar al opțiunilor SRV02

2.2 Componentele platformei experimentale Quanser SRV02

Componentele platformei experimentale Quanser SRV02 sunt prezentate în Tabelul 2, mai jos prezentat, și indicate în Figurile 2,3,4,5 și 6. De menționat ca Figura 2 prezinta platforma SRV02 în configurație “low-gear” iar în Figura 6 este prezentată configurația “high-gear”. Diferențele dintre cele două configurații vor fi explicate mai târziu, in secțiunea 2.5.

Tabelul 2: Componentele platformei Quanser SRV02

1.3 Descrierea componentelor

1.3.1 Motorul de curent continuu (componenta #9)

SRV02 încorporează un motor de curent continuu Faulhaber Coreless, model 2338S006 prezentat în Figura 3 cu ID#9. Acesta este de înaltă eficiență, motor cu o inductanță scăzută și o inductanță mică la rotor. Prin urmare, se poate obține un răspuns mult mai rapid decât un motor de curent continuu convențional.

Atentie: Semnalele de inalta frecvență aplicate motorului, vor deteliora in cele din urmă cutia de viteze. Cea mai probabilă sursă pentru zgomotul de înaltă frecvență este feedback-ul derivativ. În cazul în care câștigul derivativ este prea mare, o tensiune de zgomot va fi indusă în motor. Pentru a proteja motorul, ar trebui să limităm întotdeauna semnalul la o valoare de 50 Hz.

Atenție: Intrare: ± 15V, 3A la vârf, 1A continuu.

Atenție: Componente în mișcare expuse.

1.3.2 Potențiometrul (componenta #11)

Toate modelele SRV02 sunt echipate cu un potențiometru Vishay Spectrol model 132, prenzentat în Figura 3 cu ID#11. De menționat faptul ca potențiometrul oferă o măsuratoare precisă a pozitiei spre deosebire de o măsurare relativă de la un encoder incremental.

După cum se vede in Figura 7, potențiometrul este conectat la o sursă de curent continuu de ±12V prin doi rezistori de 7.15kΩ. În regim normal de funcționare, terminalul 1 ar trebui să măsoare -5V în timp ce terminalul 3 ar trebui să măsoare +5V. Poziția actuală a semnalului este disponibilă la terminalul 2.

1.3.3 Tahometrul (Componenta #13)

Modulele SRV02-T și SRV02-ET vin echipate cu un tahometru ce este direct atșat motorului de curent continuu și este identificat cu numărul #13 în Figura 3. Acesta previne orice latență în timpul de raspuns și asigura acuratețea măsurătorii vitezei motorului.

În Figura 8 este prezentată diagrama de cablare a motorului și a tahometrului. Conectorul motorului cu 4 pini DIN, componenta #19, conectează stația de amplificare la bornele pozitive si negative ale motorului. Acesta este semnalul de intrare care conduce motorul. Cei 6 pini DIN ai conectorului tahometrului, componenta #18, sunt conectați direct la terminalele pozitive și negative ale tahometrului. Acesta furnizează o tensiune care este proporțională cu viteza de rotație a motorului. Conectorul tahometrului este conectat la conectorul analogic de intrare S3 al stației Universal Power Module.

1.3.4 Encoderul (Componenta #12)

Opțiunile SRV02-E și SRV02-EHR au un encoder instalat care măsoară poziția unghiulară a arborelui de sarcină. Acesta este prezentat cu numărul #12 în Figura 3. În sistemul SRV02-E, encoderul este folosit este US Digital S1 care oferă o înaltă rezolutie de 4096 de numărări pe rotatie în modul de quadratură (1024 linii pe rotație). Varianta SRV02-EHR are o rezoluție de 8192 de numărări pe rotație in modul de quadratură (2042 linii pe rotație). De remarcat faptul ca encoderul incremental masoară unghiul relativ al arborelui, spre deosebire de potențiometru care măsoară unghiul absolut.

1.4 Specificațiile motorului SRV02

Tabelul 3: Specificațiile sistemului SRV02

1.5 Configurația angrenajului

Sistemul SRV02 poate fi organizat în două configurații: configurația low-gear și configurația high-gear, după cum este prezentat in Figura 10 respectiv în Figura 11. Configurația low-gear este recomandată atunci când se realizează modelarea sistemului, sau experimente de control al poziției și al vitezei cu sau fără încărcătură. Configurația high-gear este recomandat să se folosească împreună cu module adiționale cum ar fi sistemul ball-and-beam, modulul pentru legătura flexibilă sau giroscopul.

1.5.1 Schimbarea configurației angrenajului

Pentru a schimba între raportul de transmisie low-gear și high-gear, se urmează următoarea procedură:

Se slăbesc șuruburile fixate pe cei arbori de transmisie cu ajutorul cheilor Allen furnizate.

Se elimină pinioanele de pe arbori.

Se pun noile pinioane pe poziție după cum este precizat mai jos:

Pentru configurația low-gear prezentată în Figura 10: se plasează pinionul cu 72 de dinți (numărul #5 din Figura 2) pe arborele condus (numărul #8 din Figura 2) și pinionul cu 72 de dinți (numărul #4 din Figura 2) pe arborele motor.

Pentru configurația high-gear, descris în Figura 11: se intrnectați direct la terminalele pozitive și negative ale tahometrului. Acesta furnizează o tensiune care este proporțională cu viteza de rotație a motorului. Conectorul tahometrului este conectat la conectorul analogic de intrare S3 al stației Universal Power Module.

1.3.4 Encoderul (Componenta #12)

Opțiunile SRV02-E și SRV02-EHR au un encoder instalat care măsoară poziția unghiulară a arborelui de sarcină. Acesta este prezentat cu numărul #12 în Figura 3. În sistemul SRV02-E, encoderul este folosit este US Digital S1 care oferă o înaltă rezolutie de 4096 de numărări pe rotatie în modul de quadratură (1024 linii pe rotație). Varianta SRV02-EHR are o rezoluție de 8192 de numărări pe rotație in modul de quadratură (2042 linii pe rotație). De remarcat faptul ca encoderul incremental masoară unghiul relativ al arborelui, spre deosebire de potențiometru care măsoară unghiul absolut.

1.4 Specificațiile motorului SRV02

Tabelul 3: Specificațiile sistemului SRV02

1.5 Configurația angrenajului

Sistemul SRV02 poate fi organizat în două configurații: configurația low-gear și configurația high-gear, după cum este prezentat in Figura 10 respectiv în Figura 11. Configurația low-gear este recomandată atunci când se realizează modelarea sistemului, sau experimente de control al poziției și al vitezei cu sau fără încărcătură. Configurația high-gear este recomandat să se folosească împreună cu module adiționale cum ar fi sistemul ball-and-beam, modulul pentru legătura flexibilă sau giroscopul.

1.5.1 Schimbarea configurației angrenajului

Pentru a schimba între raportul de transmisie low-gear și high-gear, se urmează următoarea procedură:

Se slăbesc șuruburile fixate pe cei arbori de transmisie cu ajutorul cheilor Allen furnizate.

Se elimină pinioanele de pe arbori.

Se pun noile pinioane pe poziție după cum este precizat mai jos:

Pentru configurația low-gear prezentată în Figura 10: se plasează pinionul cu 72 de dinți (numărul #5 din Figura 2) pe arborele condus (numărul #8 din Figura 2) și pinionul cu 72 de dinți (numărul #4 din Figura 2) pe arborele motor.

Pentru configurația high-gear, descris în Figura 11: se introduce pinionul cu 120 de dinți (numărul #20 din Figura 5) urmat de cel cu 72 de dinți (numărul #8 din Figura 5) pe arborele condus și se plasează pe arborele motor pinionul cu 20 de dinți (numărul #19 din Figura 5).

Asigurați-vă ca dinții celor trei pinioane sunt îmbinați corespunzător. De remarcat faptul că în configurația high-gear, pinionul cu 72 de dinți ,de de-asupra, al angrenajului condus este conectat cu angrenajul potențiometric (numărul #6 din Figura 5).

Se strâng toate șuruburile pe arbori folosind cheilie Allen furnizate.

Cap 2. Identificarea sistemului SRV02

2.1 Modelare matematică

În continuare vom lucra pe configurația high-gear. Pentru deducerea modelului matematic, vom reprezenta schematic ecuațiile de funcționare ale motorului.

Există două tipuri de ecuații care se vor combina în determinarea modelului: ecuațiile electrice și cele mecanice. Ele au o structură asemanatoare.

Astfel, pentru partea electrică putem scrie:

În ecuația de mai sus, u(t) este tensiunea ( este tensiunea de intrare, iar este cea de la ieșire), i(t) este curentul iar R si L reprezintă rezistența, respectiv inductanța.

Pentru partea mecanică putem scrie o ecuație asemănătoare:

ecuație în care τ(t) reprezintă cuplul (de intrare sau de ieșire), ω(t) este viteza unghiulară, B este un coeficient de frecare vâscoasă iar J este momentul de inerție rotativ.

Dacă ne situăm în cazul configurației high-gear, atunci este viteza unghiulară a motorului cuplat la roata dințată mică () care transmite mișcarea la roata dințată mare (). Aceasta se va învârti cy viteza unghiulară .

Ecuațiile se vor scrie ținând cont de cele de mai sus precum și de alte relașii care fac legătura dintre mărimile electrice (curenți) și cele mecanice (cupluri de rotație).

(1)

Pentru un motor de curent continuu cu excitașie separată cu câmp electric constant sau un motor de curent continuu cu magnet permanent, armătura produce un cuplu care este proporțional cu curentul prin circuit, . Randamentul cutiei de viteze ca și randamentul motorului datorate pierderilor de rotație ar putea afecta cuplul de rotație. Randamentul cutiei de viteze nu este constant, fiind luată în considerare o valoare medie .

, unde .

În domeniul Laplace avem: unde (2)

Tensiunea contra-electromotoare a motorului este proporțională cu viteza unghiulară și intensitatea câmpului electric de excitație. Cu um câmp electric constant (excitație separată sau magnet permanent) tensiunea contra-electromotoare a motorului este data prin

sau în domeniul Laplace: . (3)

Datorita analogiei între ecuațiile electrice și cele mecanice, partea mecanică se poate modela precum una electrică, unde tensiunea este înlocuită de cuplul τ(t), rezistența de coeficientul de frecare vâscoasă B, inductanța de cuplul de rotație J, iar curentul de viteza de rotație ω(t). Figura 14 arată circuitul mecanic analog circuitului electric în domeniul Laplace.

Se pot scrie urmatoarele ecuații:

(4)

(5)

(6)

(7)

Funcția de transfer în circuit direct de la la este:

Funcțiile de transfer ale celor două bucle distincte, dar ne-disjuncte sunt:

Funcția de transfer în circuit închis va fi:

Deoarece , obținem:

Astfel, neglijând inductanța armaturii obținem funcția de transfer in circuit închis:

unde și .

Unghiul de ieșire in domeniul Laplace este: .

Funcția de transfer a servoinstalației având ieșirea este:

sau

2.2 Identificarea experimetală

În acest capito se va prezenta algoritmul de determinare experimentală a parametrilor funcțiilor de transfer sau a coeficienților ecuațiilor diferențiale, a unor obiecte fizice în următoarele condiții:

Sunt obiecte cu o intrare și o ieșire

Sunt obiecte descrise de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți

Se prelucrează răspunsurile la intrare treaptă sau caracteristicile de frecvența.

În majoritatea cazurilor se impune structura modelului matematic ca fiind de ordinul unu sau doi, cu și fără autoechilibrare, iar în câteva cazuri ordinul rezultă din calcul.

2.2.1 Condiții de experimentare

Înaintea aplicării semnalelor de test (treaptă, impuls, sinusoidal) se așteaptă intrarea în regim staționar.

Semnalele de test se aplică cel puțin pentru sarcina minimă, maximă și nominală, pentru a observa efectul neliniarităților.

Se vor aplica semnale treaptă sau impuls în ambele sensuri de variație.

Semnalele treaptă să reprezinte variații de (5÷15)% din domeniul intrării iar semnalele impuls (15÷30)% din domeniul intrării.

Dacă obiectul are întârziere pură, constanta de timp mort τ se consideră ca fiind intervalul de timp dintre momentul aplicării semnalului treaptă și momentul îm care ieșirea are o variație procentuală mai mare decât clasa de precizie a traductoarelor și înregistratoarelor.

Se va considera punct inițial al răspunsului punctul corespunzător momentului în care ieșirea variază față de regimul staționar anterior datorită semnalului treaptă de la intrare.

Observații:

Toate algoritmele de la sistemele fără timp mort se pot utiliza ți la sistemele cu timp mort, considerând însa ca moment inițial, momentul terminării timpului mort mur. La funcția de transfer se adaugă factorul ce caracterizează în domeniul complex întârzierea.

Uneori o mărime, de exemplu y, se exprimă ca produsul dintre valoarea acelei mărimi, notată val{y} și unitățile de măsură (dimensiunea lui y), notată prin [y], y=val{y}·[y].

2.2.2 Determinarea funcției de transfer, pe baza răspunsului la intrare treaptă

Funcția de transfer, considerând și timp mort este

Rezultatele experimentale sunt prezentate în Figura 17

Figura 17: Răspunsul la intrare treaptă, în circuit deschis, a motorului de curent continuu SRV02

Pentru determinarea factorului de amplificare K se măsoară valorile ∆u și corespunzătoare.

Se calculează factorul .

Pentru determinarea constantei de timp T se pot folosi următoarele trei metode reprezentate în figura anterioară.

Pentru o mai bună observabilitate a graficului se va face un zoom asupra uneia din zonele unde s-a aplicat semnalul de tip treaptă și va fi prezentat în Figura 18.

Figura 18 Identificarea experimentală a motorului de c.c.

Determinarea constantei de timp T prin metoda tangentei

În punctul inițial B se duce o tangentă la răspuns care intersectează ordonata finală în C. Proiecția DE a segmentului BC, pe axa timpului este egală cu T.

Observație: Tangenta se poate duce în orice punct F al răspunsului până la intersecția G a ordonatei finale y(∞). Aceasta subtinde pe axa timpului un segment PQ egal cu T, oricare ar fi punctul F. Dacă sistemul este de ordinul întâi, atunci toate segmentele PQ au aceeași lungime.

Pentru determinarea constantei de timp T prin metoda ordonatei, trebuie știut faptul că valoarea constantei T este egală cu intervalul de timp dintre momentul inițial (când raspunsul are valoarea ) și momentul în care ieșirea atinge valoarea .

Pentru determinarea constantei de timp T prin metoda ariei se calculează aria:

după care se calculează valoarea constantei de timp T ca fiind:

Observații:

Metoda tangentei este rapidă, însă erorile de trasare a tangentei, în special când obiectul are în realitate ordinul mai mare decât unu, afectează direct rezultatul.

Metoda ordonatei, este de asemenea rapidă, dar este dependentă de perturbațiile aditive sau erorile de măsurare care afectează direct rezultatul.

Metoda ariei, deși solicită un efort de determinare mai mare, realizează echivalarea cu un obiect de ordinul unu având în vedere întreaga evoluție a răspunsului, astfel că erorile ce apar la primele două metode aici se compensează prin mediere.

Pentru a calcula funcția de transfer a motorului SRV02 este nevoie sa analizăm răspunsul acestuia la intrare de tip treaptă, răspuns prezentat în Figura 17.

Știind că funcția de transfer în circuit deschis este de forma , unde K iar , analizând răspunsul sistemului la intrare de tip treaptă, obținem următoarele valori:

, iar

De unde rezultă

Pe acest grafic se observă cum răspunde motorul la diferite mărimi de intrare, de 1, respectiv 2 volți, oferind la ieșire o viteză unghiulară direct proporțională cu valoarea mărimii de intrare aplicate. Astfel, unei tensiuni de intrare de 1V îi corespunde o viteză unghiulară de 54.716 rad/sec.

Cap. 3 Controlul folosind legi de reglare de tip PID

3.1 Prezentare generală.

În practica industrială a reglării automate s-au impus așa numitele legi de reglare de tip PID (proporþional-integrator-derivator) sau elemente de tip PID, care satisfac în majoritatea situațiilor cerințele tehnice impuse sistemelor de reglare convențională. Se pot utiliza diversele combinații ale celor trei componente: P = proporțional; I = integrator; PI = proporțional-integrator; D = derivator, ideal și real, PD = proporþional-derivator ideal și real, PID=Proporþional-integrator-derivator, ideal și real în diferite variante.

Prin utilizarea acestor legi tipizate în cadrul unor regulatoare tipizate, proiectarea dimensional-valorică a legii de reglare se reduce la alegerea tipului de lege și poziționarea unor butoane prin care se prescriu valorile parametrilor acestor legi rezultate în urma proiectárii analitice a sistemului.

Nu se poate stabili precis efectul fiecărei componente a unei legi de tip PID asupra calității unui SRA, deoarece acestea depind de structura sistemului, de dinamica instalației automatizate. Totuși se pot face următoarele precizări:

Componenta proporțională, (exprimată prin factorul de proporționalitate ), determină o comandă proporțională cu eroarea sistemului. Cu cât factorul de proporționalitate este mai mare cu atât precizia sistemului în regim staționar este mai bunș dar se reduce rezerva de stabilitate putând conduce în anumite cazuri la pierderea stabilității sistemului.

Componenta integrală, exprimată prin constanta de timp de integrare sau constanta de integrare echivalentă , determină o comandă proporțională cu integrala erorii sistemului din care cauză, un regim staționar este posibil numai dacă această eroare este nulă. Existența unei componente I într-o lege de reglare este un indiciu clar că precizia sistemului în regim staționar (dacă se poate obține un astfel de regim) este infinită. În regim staționar, de cele mai multe ori componenta I determină creșterea oscilabilității răspunsului adică reducerea rezervei de stabilitate.

Componenta derivativăă exprimată prin constanta de timp de derivare determină o comandă proporțională cu derivata erorii sistemului. Din această cauză, componenta D realizează o anticipare a evoluției erorii permițând realizarea unor corecții care reduc oscilabilitatea răspunsului. Această component nu are nici un efect în regim staționar.

Deoarece aceste tipuri de comportări se întälnesc și la alte sisteme nu numai în cazul regulatoarelor, în cele ce urmează se vor considera intrarea uR = u, ieșirea yR = y, iar funcția de transfer HR(s) = H(s).

3.2. Element Proporțional (Lege de tip P)

Printr-o lege de tip proporțional, se descrie comportarea intrare-ieșire a unui element nedinamic (de tip scalor) sau comportarea în regim staționar a unui element dinamic, eventual descris printr-o funcție de transfer H(s), considerând această comportare liniară într-un domeniu.

Pentru o caracteristică statică Y=F(U), ca în Figura 19, se poate aproxima o comportare liniara pentru și cu , putând avea.

În afara limitelor min și max pentru intrare sau ieșire, comportarea fie nu este posibilă tehnologic fie nu este de dorit. De exemplu, în cazul elementelor de automatizare o anumită comportare declarată de constructor este garantată numai în domeniul de variație al semnalului unificat: [0, 10] V, [4, 20] mA, [0.2, 1] bar etc.

Pentru un sistem dinamic, dependența intrare-ieșire în regim staționar este aproximată în aceste domenii printr-o relație liniară de forma

, U=u(∞), Y=y(∞) (8)

unde reprezintă factorul de proporîionalitate sau factorul de amplificare de poziție. El se poate determina experimental prin raportul dintre variaăia mărimii de ieșire în regim staționar și variația mărimii de intrare in regim staționar care a produs acea ieșire:

, , (9)

Dacă o anumită valoare staționară este apreciată (aproximată la un moment finit de timp ) atunci se utilizează relația , , înțelegând că la momentul este un regim staționar.

Dacă în domeniul de liniaritate, obiectul este descris printr-o funcție de transfer H(s) atunci, (10)

Dacă H(s) nu are caracter integrator, (11)

Factorul de proporționalitate este o mărime dimensională, [] = [Y]/[U] .

Reamintim că atunci când se utilizează funcția de transfer pentru descrierea comportării intrare-ieșire (evident valabilă numai în domeniul de liniaritate) aceasta descrie variația față de un regim staționar remarcat la un moment , considerat , așa cum este ilustrat ín Figura 20.

În particular, regimul staționar poate fi reprezentat prin valorile minime , .

Un element de tip P propriu-zis, este un element nedinamic, caracterizat prin funcția de transfer , deci și (11)

Notăm prin domeniul de variație al intrării, de fapt lungimea intervalului de variație, iar prin domeniul de variație al ieșirii, și .

În domeniul complex, daca Y(s)=H(s)U(s), se defineste funcția de transfer relativă ca fiind raportul dintre transformata Laplace a ieșirii, exprimată procentual ∆Y%(s) = L{∆y%(t)}, și transformata Laplace a intrării, exprimată procentual ∆U%(s) = L{∆u%(t)}

Se poate defini factorul de proporționalitate relativ sau procentual, ca fiind raportul dintre variația procentuală a ieșirii în regim staționar și variația procentuală în regim staționar a intrării care a produs acea ieșire:

; (12)

Prin bandă de proporționalitate, notată BP%, se înțelege o măsură a amplificării unui sistem, exprimată prin procentul din domeniul mărimii de intrare care determină la ieșire o valoare de 100% din domeniul acesteia.

În general se poate spune că dacă intrarea are o variație procentuală, între două regimuri staționare consecutive, egală cu BP%, ieșirea suferă o variație procentuală, între aceste regimuri staționare, egală cu 100%.

În această situație amplificarea de poziție este exprimată prin numărul BP%.

3.3 Element Integrator (Lege de tip I)

Relația intrare-ieșire în domeniul timp este dată de ecuația diferențială

(13)

sau prin soluția

Funcția de transfer este:

(15)

unde: este factorul de proporționalitate,

este constanta de timp de integrare [] = sec

Funcția de transfer exprimată prin ecuația (15) se poate exprima printr-un singur parametru, constanta de timp echivalentă , , (16)

În această expresie, numărul 1 de la numărător este un factor dimensional, înțelegând că ar fi un factor de proporționalitate .

Deoarece , unde înseamnă valoarea mărimii fizice ,

Răspunsul la intrare treaptă , reprezentat în Figura 21, este

(17)

Figura 21: Răspunsul la intrare treaptă al unui element de tip I

Se observă că panta la intrare constantă este (18)

De notat că panta unui element integrator depinde de valoarea totală a intrării, nu de variația acesteia.

Constanta de timp de integrare echivalentă reprezintă intervalul de timp in care mărimea de ieșire creste cu o valoare egală cu valoarea intrării constantă aplicată.

Această definiție permite determinarea rapidă a constantei pe graficul răspunsului la intrare treaptă dedus expermental. În Figura 22 este prezentată evoluțoa răspunsului unui element I la intrări constante pe porțiuni.

3.4 Element Proporțional Integrator (Lege de tip PI)

Relația intrare-ieșire în domeniul timp este exprimată prin ecuația diferențială

(19)

sau prin soluția

Funcția de transfer este

unde este factorul de proporționalitate

este constanta de timp de integrare

Se observă că un element PI are un pol în originea planului complex și un zerou , așa cum se poate vedea în Figura 23.

Caracteristicile Bode:

Caracteristicile amplitudine-pulsație A(ω) și fază-pulsație φ(ω) sunt reprezentate la scară logaritmică în Figura 23.

Structura in care se evidențiază cele două componente P și I este dată în Figura 24.

Ecuația de stare este

În expresia (20) starea inițială este exprimată prin .

Răspunsul la intrare treaptă, prezentat în Figura 25, este

În Figura 26 este prezentat răspunsul unui element PI la intrări constante pe porțiuni, evidențiind modul de determinare al parametrilor pe diferitele porțiuni ale acestui răspuns.

Figura 26: Răspunsul unui element PI la intrări constante pe porțiuni

Raportul se poate calcula cunoscând doua puncte ale unei porțiuni a raspunsului, și valoarea constantă U a intrării care a determinat acel răspuns liniar.

3.5 Element Derivator Real (Lege de tip D-real)

Relația intrare-ieșire este: (23)

Funcția de transfer este: (24)

= factorul de proporționalitate

= constanta de timp de integrare

= constanta de timp parazită

Ecuația de stare se obține exprimând funcția de transfer proprie într-o sumă dintre un element scalor și un element strict propriu ca în Figura 27.

Din figura de mai sus, se obține:

Răspunsul la intrare treaptă este dat de ecuația (27) și prezentat în Figura 28.

Se observă că ieșirea în regim staționar a unui element D este nulă. Elementul D acționează numai în regim tranzitoriu. El se mai numește și „element forțator”.

Caracteristicile Bode sunt prezentate în Figura 29, de unde se observă că elementul D-real apare ca un filtru trece-sus.

4.6 Element Proporțional Derivator Real (Lege de tip PD-real).

Relația intrare-ieșire este data de ecuația:

Funcția de transfer este:

unde = factorul de proporționalitate

= constanta de timp de integrare

= constanta de timp parazită

Ecuația de stare se obține exprimând H(s) ca în relația (30) și în Figura 30.

Răspunsul la intrare treaptă în condiții inițiale nule, precum și caracteristicile Bode se prezintă pentru următoarele trei situații:

În această situație este predominant caracterul derivator. Se comportă ca un filtru trece-sus cu avans de fază, ca în Figura 31 și Figura 32.

În această situație predomină caracterul integrator. Se comport ca un filtru trece-jos cu întârziere de fază, ca in Figura 33, respectiv Figura 34.

Comportarea intrare-ieșire pentru această situație este de tip scalor, însă raspunsul liber se poate vedea și în schema din Figura 30.

Ecuațiile stării și ieșirii sunt:

3.7 Element Proporțional Integrator Derivator real (Lege de tip PID-real)

3.7.1 Conexiune paralelă între un element I și un element PD-real

În funcție de modul de realizare fizică se deosebesc mai multe structuri. În continuare vom prezenta structura bazată pe o conexiune paralelă dintre un element I și un element PD-real, structură ce este ilustrată în Figura 35.

Funcția de transfer astfel realizată este următoarea:

Respectiva funcție de transfer poate fi echivalată printr-o conexiune serie dintre un element aperiodic de ordinul I și un element PID-ideal.

unde:

Răspunsul la intrare treaptă pe care se ilustrează modul de determinare a parametrilor funcției de transfer este prezentat în Figura 36 pentru și în Figura 37 pentru .

Pentru determinarea valorilor parametrilor pe răspunsul la o variație treaptă ∆u aplicată la un moment , pornind dintr-un regim staționar, pentru , se evidențiază faptul că răspunsul este suma dintre componenta I și componenta PD-real.

procedând astfel:

În punctul inițial (A) al evoluției se duce o paralelă la porțiunea rectilinie a răspunsului. Aceasta reprezintă componenta .

Se prelungește porțiunea rectilinie a răspunsului până ce taie în punctul C abscisa momentului inițial.

Se determină componenta a răspunsului efectuând scăderea

Din vârful B al răspunsului se duce o tangent la componenta rezultând pe ordonata punctului C segmental CD.

Se determină panta răspunsului determinând în zona rectilinie valorile răspunsului în două momente .

Cunoscând valorile în unități de timp ale mărimii y corespunzătoare segmentelor AB, AC și în timp pentru CD se calculează parametrii cu relațiile:

Răspunsul unui astfel de element () la intrări constante pe porțiuni este prezentat în Figura 38.

Ecuațiile de stare ale acestui element se obțin prin concatenarea ecuațiilor elementului I și PD real:

Sub forma matriceal-vectorială aceste relații se scriusub forma

unde,

3.7.2 Conexiune paralelă între un element PI și un element D-real

Structura acestei conexiuni, precum și formele ei echivalente sunt indicate în Figura 39,

Figura 39 – Conexiune paralelă între un element PI și un element D-real

Funcția de transfer realizată de acest sistem este:

unde

Structurile 4.7.1 și 4.7.2 sunt echivalente, așa că toate tehnicile de determinare a parametrilor funcției de transfer de la cazul 4.7.1 rămân valabile. Altfel spus, putem scrie următoarea relație:

În urma celor spuse, obținem următoarele mărimi: .

Cap. 4 Metode de acordare folosind legi de reglare PID

În acest capitol se prezintă o serie de relații pentru determinarea valorilor optime ale parametrilor regulatoarelor tipizate în raport cu diferite criteria, considerând parțile fixe ale sistemului cu sau fără timp mort, de ordinul unu sau doi.

4.1 Acordarea regulatoarelor după metoda Oppelt

Funcția de transfer a instalației este:

Parametrii de acordare sunt:

Regulator P:

Regulator PI:

Regulator PD:

Regulator PID:

Pentru acordarea parametrilor regulatorului, în primul rând se va determina funncția de transfer în circuit deschis a sistemului. Aplicând un semnal treaptă de 2V, vom obține următoarea caracteristică, prezentată in Figura 40, pe baza careia vom identifica sistemul.

Dacă ducem o tangent din punctual în care se observă raspunsul motorului, pâna ce aceasta intersectează dreapta ce prelungeste valoarea de regim staționar a motorului și proiectând-o pe axa timpului, obținem valoarea constantei T:

Tot din graficul de mai jos observam că , și , după care putem scrie funcția de transfer a sistemului, în circuit deschis.

După ce am identificat experimental sistemul, putem trece la aplicarea metodelor de arcodrare a regulatoarelor.

Pentru un regulator de tip P

Aplicând acest regulator, sistemul nostru va răspunde ca în Figura 41, de unde putem determina valoarea de regim staționar a mărimii de ieșire a sistemului , suprareglajul , timpul de răspuns al sistemului , precum și eroarea stașionară de poziție .

Pentru un regulator PI, folosind metoda Oppelt de acordare, vom obține următoarele rezultate:

Aplicând acest regulator, vom obține răspunsul din Figura 42:

Pentru acest regulator, obținem următoarele valori:

Vom calcula apoi parametrii unui regulator PD folosind metoda Oppelt, astfel:

Implementând acest regulator, obținem următorul răspuns la intrare de tip treaptă:

Pe acest graphic se pot determina indicatorii de calitate pentru sistemul nostru, care sunt:

Pentru un regulator de tip PID, folosind aceeași metodă, vom obține următoarele rezultate:

Penru acești parametri, vom obține următorul răspuns:

Figura 44 – Răspunsul sistemului folosind un regulator PID, acordat cu metoda Oppelt

Pentru acest sistem putem sa determinăm următorii indicatori de calitate:

Cap.6 Controlul folosind legi de reglare numerice

6.1 Reprezentarea sistemică a unui SNRA.

Un sistem numeric de reglare automata (SNRA) este un sistem de reglare în care dispozitivul de conducere este implementat printr-un echipament numeric. Un sistem numeric de reglare automata este denumit și sistem de conducere cu calculator de process.

Un calculator de process este un calculator capabil să lucreze în timp real. Este un calculator cu interfețe de intrare și de ieșire analogice și numerice având un sistem de operare în timp real capabil să realizeze achiziții de date, calculi ți comenzi în timp real.

Putem privi un calculator de process ca o cutie neagră având câteva terminale analogice. Schema de principiu a unui sistem numeric de reglare automata este redată în figura de mai jos.

Terminalele etichetate sunt porturile analogice ale calculatorului. De exemplu, așa cum se arată în Figura 50, pentru acest sistem de reglare, sunt utilizate două semnale de intrare analogice, porturile 5 și 6 și un semnal analogic de ieșire la portul 10. La aceste porturi sunt conectate:

Mărimea prescrisă, v(t), numită și ”referință”

Mărimea măsurată, y(t), numită și ”mărime de reacție”

Mărimea de comandă, u(t), numită și ”mărime de execuție”.

Instalația reglată conține elementul de execuție, instalația tehnologică și traductorul, care împreună formează partea fixă a sistemului de reglare.

Prin două convertoare analog-numerice se convertesc mărimile de intrare v(t), y(t), care sunt funcții continuale de timp, în șiruri de numere cu și unde este factorul de conversie analog-numerică.

Se utilizează același argument de timp k sau kT pentru toate variabilele, considerând că achizițiile sistemului și toate calculele numerice se fac foarte repede și toate se execută exact la momentul t = kT.

6.1.1 Modelul discret al părții fixe. Funcția de transfer G(z)

Funcția de transfer G(z) a părții fixe reprezintă de fapt modelul matematic discret al unui sistem liniar invariant în timp cu funcția de transfer a cărui intrare este o funcție constantă pe porțiuni u(t) obținută la ieșirea CNA prevăzut cu extrapolator de ordin zero.

În continuare se urmărește demonstrarea formulei

Pentru cazul particular al intrărilor constante pe porțiuni relația (48) duce la un model discret exact. Există mai multe metode de demonstrare a relației (48), ca de exemplu utilizarea teoriei sistemelor cu eșantionare, utilizarea răspunsului ecuațiilor de stare, etc. În cazul de față, pentru demonstrațîe, se exploatează forma particulară a intrării u(t) care se exprimă ca o sumă de semnale dreptunghiulare:

unde prin se notează semnalul treaptă unitate continuu la stânga:

a cărui transformată Laplace este:

Dacă șirul de numere admite transformată Z,

atunci seria (49) este uniform convergentĂ pentru t ≥ 0, și există transformata Laplace

în care se poate schimba ordinea de însumare cu cea de integrare a operatorului L{•}, asfel că se scrie:

Ținând cont de relația (52) se obține

unde

este o funcție periodică cu perioada

Răspunsul sistemului continuu în domeniul s este

deci putem scrie

Transformata Z a răspunsului este

deoarece este o funcție periodicî cu perioada .

Deoarece substituția în relația (55) conduce la

și

relația (56) devine

de unde

6.2 Controlul SNR folosind metoda Dead-Beat clasică

6.2.1 Formularea problemei

Se consideră sistemul numeric de reglare convențională, reprezentat în figura 51:

unde:

Sinteza după metoda dead-beat clasică presupune determinarea funcției de transfer Z a legii de reglare astfel încât să fie îndeplinite următoarele performanțe, definite în momentele de eșantionare, pe răspunsul la intrare treaptă unitate a mărimii impuse:

Durată finită a regimului tranzitoriu:

∃ m finit, , ∀k ≥ m (61)

Eroare staționară nulă

Mărimea de comandă rămâne constantă la atingerea noului regim staționar:

Timp minim de răspuns, exprimat prin valoarea minima a pasului m la care se atinge noul regim staționar

6.2.2 Algoritmul dead-beat classic pentru sisteme fără timp mort

Se consideră forma discrete a părții fixe ca fiind o rațională strict proprie de forma:

unde

Faptul ca G(z) este strict proprie, implică și deci adică valoarea răspunsului la pasul initial k=0 este nulă. Știind acestea și tinând cont de relația (62), transformata Z a răspunsului trebuie să fie de forma:

Termenul din paranteză este o serie geometrică cu rația , convergentă pentru |z|>1, astfel că pentru Y(z) se obține:

În același mod se exprimă și transformata Z a mărimii de comandă:

Dacă referința are o variație treaptă unitate, atunci, și funcția de transfer în circuit închis este:

Se vede că se poate exprima prin unde este un polinom în ai cărui coeficienți , 1≤ k ≤ m, se obțin prin identificare cu cei din (70) și sunt dați de:

Prin însumarea relațiilor (71) se obține:

Se stie că, eroarea staționară de poziție în momentele de eșantionare este dată de:

În același mod se exprimă și funcția de transfer dintre mărimea de comandă și referință, numită pe scurt funcție de transfer de comandă:

Care prin identificare duce la , unde este un polinom în de forma

cu:

Prin însumarea relațiilor (76) se obține:

Din prima relație (76) rezultă că prima comandă aplicată de legea de reglare, după variația treaptă unitate este .

Așa cum se vede din Figura 51, funția de transfer a părții fixe G(z) este

Ținând cont de (70) și considerând numai efectul mărimii impuse, adică , pentru mărimea de comandă avem:

Substituind aceste ultime două relații în (78) se obține:

Se cunoaște faptul că factorul de amplificare de poziție al părții fixe în momentele de eșantionare este:

unde se reamintește că și reprezintă valorile în momentele de timp t = kT ale mărimilor și , care exprimă variațiile mărimilor fizice și respectiv față de anumite valori în regim staționar , .

Ieșirea din partea fixă și deci intrarea în CAN, notată , este o funcție oarecare de timp cu o reprezentare în variații, față de o valoare :

Aceasta determina la ieșirea din CAN, deci la intrarea în legea de reglare, un șir de numere a cărui reprezentare în variații este:

Ieșirea din CNA și deci intrarea în partea fixă, notată , este o funcție de timp constantă pe porțiuni (în ipoteza utilizării unui extrapolator de ordin zero la CNA) a cărei reprezentare în variații, față de o valoare , este:

Expresia în timp a acestei variabile în variații este:

Algoritmul numeric de conducere, implementat prin program, generează de fapt un șir de numere exprimat la ieșirea CNA printr-o variabilă . Această variabilă este reprezentată în variații față de o valoare de bias echivalentă la ieșirea CNA, , prin șirul , definit prin

Faptul că intervalul de timp din (85) este închis la dreapta, asigură pentru t = kT, valorile

În cazul de față, ținând cont de (80),

Ultima valoare a mărimii de comandă aplicată de legea de reglare este deci,

Din (64) și (80) obținem identitatea

adică

Aceasta conduce la:

În particular, pentru z=1 și ținând cont că P(1) = 1, relația (91) conduce la:

pentru structura din Figura 51 se calculează

în care, dacă se substituie (64) și (70) se obține

Ținând cont de (91) rezultă

Deci legea de reglare obținută prin metoda dead-beat clasică pentru sisteme fără timp mort este:

Prima comandă aplicatpă este

iIar ultima comandă aplicată la ieșire de către legea de reglare este:

Algoritmul numeric de conducere automată implementat este:

6.2.3 Comportarea în circuit închis

Funcția de transfer în circuit închis realizată de acest sistem este

sau

sau

unde

Se observă că se asigură o comportare în circuit închis care depinde numai de numărătorul funcției G(z).

De asemenea, sistemul are în circuit închis m poli în originea planului complex z și realizează o medie alunecătoare, întârziată cu un pas, pe ultimele m valori ale mărimii prescrise.

Un sistem de tip medie alunecătoare este denumit și sistem discret cu răspuns la impuls infinit. Această comportare este asigurată numai dacă comenzile nu depășesc anumite valori limită care mențin valabilă descrierea prin metode liniare.

Dacă mărimea impusă este un semnal treaptă, comportarea în circuit închis este cea impusă prin condițiile (61), (62), (63).

Pentru oricare alte intrări, răspunsul atinge o valoare de regim staționar egală cu valoarea constantă a mărimii impuse (dacă mărimea impusă rămâne constantă m perioade de eșantionare), deci se asigură eroare staționară de poziție nulă pentru oricare formă de variație a mărimii impuse, dacă aceasta se menține la o valoare constantă m perioade de eșantionare.

De asemenea, se observă că dacă toți coeficienții , au același semn, atunci răspunsul sistemului în circuit închis este monoton, dacă, în plus, valorile mărimii impuse păstrează același semn cel puțin m pași.

6.2.4 Evoluția în circuit închis a mărimii de comandă

Din (74) și (91) rezultă că funcția de transfer de comandă este

sau

cu

Din (79) și (104) rezultă că:

sau

de unde se obține că

care, în domeniul timp, reprezintă media alunecătoare de m pași, începând cu pasul curent.

Pentru intrare treaptă unitate, din (76) sau (106) se obține succesiunea comenzilor aplicate de către legea de reglare, dată de:

unde: înseamnă prima comandă aplicată, înseamnă a doua comandă aplicată, … înseamnă ultima comandă aplicată, dar mărimea impusă are o variație treaptă unitate aplicată la momentul k = 0 și sistemul se află în regim staționar cu starea nulă.

Această comportare este asigurată numai dacă comenzile nu depășesc anumite valori limită care mențin valabilă descrierea prin modele liniare.

Pentru instalatia experimentală, se determină:

De unde resultă funcția de transfer în circuit deschis .

Cunoscând funcția de transfer a motorului, putem determina echivalentul acesteia in domeniul Z , care este

Cunoscând aceasta, putem scrie mai departe că valoarea primei mărimi de comandă este

de unde rezulta funcția de transfer numerică a regulatorului, care este:

După ce am determinat această funcție de transfer, putem realiza programul Simulink, program ce este prezentat în Figura 52.

Pentru acest program se obține următorul răspuns la intrare de tip treaptă:

Pentru a observa mai exact răspunsul sistemului vom alege arbitrar o porțiune din grafic pe care o vom mări suficient încât să se poată observa clar răspunsul sistemului folosind metoda dead-beat clasică. Acest răspuns va fi prezentat în Figura 54.

Din acest grafic observăm eroarea staționară de poziție nulă, deci sistemul este extrem de precis, însă, prezintă un suprareglaj deosebit de mare (aproape de 60%).

6.3 Metoda proiectării directe în raport cu mărimea impusă

Pein această metodă se asigură o evoluție dorită a mărimii de reglare reprezentată prin transformata Z

considerată ca fiind răspunsul la variație de o anumită formă a mărimii impuse

și a unei perturbații P (s) = L{p(t)} care, deplasată șa ieșirea părții fixe determină componenta

a cărei transformată Z este

În cazul valabilității modelului liniar în circuit închis, mărimea reglată este

Dacă se impune o anumită formă pentru mărimea reglată, ca răspuns la variația de o anumită formă a mărimii de impuse, atunci se consideră că și funcția de transfer în circuit închis care asigură dependența este:

În același mod se poate asigura o formă dorită de variație a mărimii de reglare , ca răspuns la variația de o anumită formă a unei perturbații , în care caz se consideră că și funcția de transfer în circuit țnchis care asigură dependența este:

De cele mai multe ori, pentru mărimea impusă sau pentru perturbație, se consideră variații treaptă. O astfel de abordare directă, de unde provine și denumirea metodei, este posibilă numai în cazul sistemelor discrete de timp.

Cu toate acestea, în implementarea acestei idei simple, pot apărea multe dificultăți, determinate în mod special de existența timpilor morți sau a unor neliniarități. Se pot obține legi de conducere necauzale sau care determină o comportare nesatisfăcătoare în raport cu mărimea de comandă. Toate aceste aspecte vor fi analizate țn cele ce urmează.

6.3.1 Structura sistemului de reglare numerică

Se consideră un sistem de reglare având structura standard ca în Figura 55.

Deoarece se urmărește comportarea numai în raport cu mărimea impusă, în schema de mai sus, se consideră perturbația zero, și se obține schema bloc din Figura 56, care exprimă comportarea în circuit închis în momentele de eșantionare la variațiile mărimii prescrise, unde G(z) reprezintă partea fixă, iar reprezintă legea de reglare discretă din modelul discret în timp.

Se exprimă

ca un raport de polinoame în .

Dacă partea fixă are timp mort, echivalat la intrare sau ieșire, se scrie

unde timpul mort τ s-a exprimat ca un număr întreg (egal cu N+1) de perioade de eșantionare din care se extrage o fracțiune de perioadă de eșantionare

și

Se calculează

unde

Se poate demonstra că dacă o funcție este rațională proprie sau strict proprie și sistemul are timp mort cu , atunci

unde

sunt polinoamele în cu termen liber.

În particular, dacă instalația este fără timp mort, adică

și este rațională strict proprie, atunci

iar dacă este rațională proprie, atunci

în care și sunt dați de (121), respective (122).

Facotrul din forma generală (120), poate fi înglobat în polinomul în de la numărător sub forma

unde

În reprezentările cu polinoame în termenii liberi sunt principali. Pentru polinomul din (121) avem

Iar pentru polinomul din (122) avem

În general, daca o transformată Y(z) este de forma

în care exista limita

atunci W(z) se dezvoltă în serie de puteri sub forma

și Y(z) se exprimă sub forma

adică

căreia, pentru i ≥ 0, îi corespunde în domeniul timp șirul

Deci, dacă în condițiile (131) și (132), în transformata Y(z) apare factorul , înseamnă că prima valoare nenulă a șirului în domeniul timp este .

Fie U(z) transformata z a unui șir de intrare într-un sistem discret H(z), intrare la care prima valoare

Dacă funcția de transfer H(z) este de forma

atunci răspunsul

are toate valorile , nule și , cu i ≥ 1, este prima valoare nenulă.

Dacă i = 0, adică sistemul este propriu sau la limita de caulzalitate, atunci prima valoare a răspunsului este nenulă, adică

În răspunsul (136), efectul valorii a intrării la un pas k = j, se va manifesta în ieșirea începând cu momentul k = j + i, fiind prezent pentru . Pentru k < j + i mărimea nu depinde de valoarea .

Dacă funția de transfer are un timp mort , adică , atunci prima valoare nenulă a răspunsului la o intrare ce satisface (134) este și , .

6.3.2 Tipuri de legi de reglare

Așa cum s-a mai precizat, legea de reglare ce trebuie calculată se va reprezenta sub forma

unde D(z) reprezintă echivalentul z al programului de calculator, iar și sunt factoriide conversie Analog-Numerică, respectiv Numeric-Analogică.

Se consideră, la modul general, că mărimea de intrare în legea de reglare este

și mărimea de ieșire este

adică se realizează

Observație: Pentru a nu complica scrierea mărimilor în domeniul timp, indicele R este marcat superscript.

În particular, pentru structura din Figura 56, avem:

Se pot implementa următoarele legi de reglare:

Legi de reglare strict proprii (strict cauzale)

Într-o astfel de lege de reglare, efectul primei comenzi se manifestă la ieșirea regulatorului după un pas, adică:

Legi de reglare proprii (la limita de cauzalitate)

Într-o astfel de lege de reglare, efectul primei comenzi se manifestă la ieșire instantaneu:

6.3.3 Structuri echivalente în circuit deschis

Pentru sistemul din Figura 56, daca instalația este strict proprie și fără timp mort, G(z) este dată de relația (124), rescrisă (148):

iar dacă instalația este proprie sau strict proprie și cu timp mort, G(z) este data de (120), rescrisă (149)

Legea de reglare discretă este data de relația (143), rescrisă (150):

sau de relația (146), rescrisă (151):

Funcția de transfer în circuit deschis a sistemului este de forma:

unde

iar întârzierea i este determinată de considerarea următoarelor 4 cazuri în funcție de inexistența sau existența timpului mort în partea fixă ți de alegerea apriori a tipului de lege de reglare (strict cauzală sau la limita de cauzalitate):

Cazul 1: i = 1

Instalație strict proprie, fără timp mort, N = 0, comform (148).

Lege de reglare proprie (la limita de cauzalitate) comform (151).

Cazul 2: i = 2

Instalație strict proprie, fara timp mort, N = 0, comform (148).

Lege de reglare strict proprie (strict cauzală) comform (150).

Cazul 3: i = N+1

Instalație cu timp mort, N ≥ 1, comform (149)

Lege de reglare proprie (la limita de cauzalitate), comform (151)

Cazul 4: i = N+2

Instalație cu timp mort, N ≥ 1, comform (149)

Lege de reglare strict proprie (strict cauzală), comform (150)

6.3.4 Comportarea echivalentă în circuit închis

Funcția de transfer în circuit închis a acestui sistem este:

unde

iar indicele i are o valoare în comformitate cu cele 4 cazuri prezentate mai sus.

Notând

se observă că răspunsul în circuit închis, în raport cu mărimea impusă, este dată de forma (131):

Considerăm că mărimea impusă are o variație treaptă cu amplitudinea .

Dorim să sintetizăm legea de reglare H(z) astfel încât răspunsul să atingă regimul staționar dupa r pași, adică:

În aceste condiții, transformata Z a răspunsului este:

sau

În această formă valorile apar ca și grade de libertate. Totuși, nu toate valorile pot fi liber impuse în structura de mai sus, deoarece pornind dintr-o stare inițială nulă, primele i valori de la k = 0 la k = i – 1 sunt zero, așa cum se vede ilustrat în Figura 57:

6.3.5 Algoritmul de deducere al legii de reglare

Având clarificate aceste limitări, rezultă că metoda proiectării directe permite setarea unor valori oarecare ale răspunsului numai pentru

astfel că ieșirea dorită se exprimă prin șirul de numere , unde

Putem calcula mai departe valorile dorite ale coeficienților polinomului :

de unde se obține funcția de transfer în circuit deschis dorită

sau

unde

Dacă se însumează relațiile din (166) se obține:

Pentru sistemul din Figura 56, utilizând (155), expresia funcției de transfer a legii de reglare care asigură o funcție de transfer în circuit închis este dată de

astfel că pentru funcția de transfer dorită legea de reglare este

Ținând cont de expresia funcției de transfer din (120) sau (149), adică

se obține

iar dacă pentru se folosește (168), comform (151) avem:

în care se evidențiază

Se analizează valorile parametrului i pentru fiecare din cele 4 cazuri prezentate mai sus. Dacă i = 1 sau i = N + 1, cazurile 1 și 3, relația (174) exprimă un sistem propriu (limită de cauzalitate), adică .

Mărimea de comandă aplicată obiectului condus, în domeniul Z este:

care se transpune, printr-o metoda oarecare, într-un algoritm în domeniul timp, ce se implementează prin program de calculator.

6.3.6 Procedura de calcul

Pentru calculul algoritmului numeric de reglare obținut prin metoda proiectării directe pentru o evoluție dorită în raport cu mărimea impusă se procedează astfel:

Se precizează, comform (115), funcția de transfer a părții fixe

Se calculează cu relațiie (117) și (119):

Se calculează G(z), conform (120)

și dacă sistemul este cu timp mort, se exprimă G(z) sub forma (120) sau (149):

Dacă instalația este fără timp mort, , și este strict proprie, G(z) se exprimă sub forma (124) sau (148):

Se precizează tipul de lege de reglare: strict cauzală sau la limita de cauzalitate și, în funcție de valiarea lui N, se precizează unul din cele 4 cazuri si se evaluează indicele i.

Se precizează pasul r după care se atinge și se va menține regimul staționar.

Se precizează valoarea amplitudinii a semnalului treaptă de variație a mărimii impuse.

Se impun, conform (164), valorile dorite ale mărimii de ieșire:

Se calculează cu relațiile (166) parametrii :

Se calculează cu relația (169):

Se calculează cu relația (174):

Se implementează legea de conducere dată de (176), (177):

6.3.7 Optimizarea legii de reglare

Legea de reglare (174) are la numitor polinomul de la numărătorul expresiei G(z) astfel că zerourile părții fixe devin poli ai legii de reglare.

Este posibil ca G(z) să conțină zerouri care determină comportări nesatisfăcătoare ale mărimii de comandă. De exemplu, G(z) poate conține un zeoru real negativ care devine pol real negativ țn funcția de transfer .

Se cunoaște faptul că un pol real negative al unui sistem discret, , determină o evoluție oscilantă a ieșirii acestuia. Evident că, dacă răspunsul oscilant este crescător în aplitudine, ceea ce duce la instabilitate.

Într-adevăr, dacă

cu finit și nenul, atunci răspunsul în timp este

plus alți termeni, astfel că dacă

apare deci o componentă oscilantă.

În urma procesului de discretizare, în G(z) foarte des pot apărea zerouri reale nedorite, în special în situația în care partea fixă are timp mort și acesta nu este un număr întreg de perioade de eșantionare.

De exemplu, dacă în (115)

avem

atunci, din (117) se deduce că

sau

iar din (118),

unde . (183)

Se obține:

Relația (184) se poate rescrie sub forma:

unde

Din acest exemplu se observă că dacă timpul mort este un multiplu de perioade de eșantionare, adică expresia G(z) din (184) devine:

sau întrucât q(0)=1, avem

adică nu conține nici un zerou și este strict proprie .

În schimb, dacă , apare un zerou negativ (186) care este în afara cercului unitate dacă

adică poate introduce un pol instabil în legea de reglare. În acest caz, G(z) este proprie dacă N = 0.

Pentru evitarea apariției în a unui pol real nedorit, , provenit din zeroul al funcției G(z), se efectuează așa-numita procedură de optimizare a legii de conducere.

Considerăm că G(z) are un zerou , adică

Admițând că expresia G(z) este o rațională, condiția (189) înseamnă posibilitatea reprezentării relației (172) cu factorul la numerator, sau cu factorul în reprezentarea cu polinoame de variabilă , astfel

Adică s-a exprimat

Pentru evitarea apariției polului în legea de reglare se impune o altă funcție de transfer în circuit închis dorită, notată , care să aibă pe , ca și zerou, adică

Totodată această nouă expresie trebuie aleasă în așa fel încât să se asigure în continuare condiția (170) de eroare staționară de poziție nulă, adică

Admițând că expresia este o rațională, condiția (192), înseamnă posibilitatea reprezentării acesteia cu factorul ca în (194) adică:

Cu aceste preciz[ri suplimentare, expresia legii de reglare (173), ]n care folosim în loc de , devine

adică o lege de reglare, care nu mai are ca și pol, de forma:

Deci, spre deosebire de procedura de calcul fără optimizare, apare o singură condiție suplimentară asupra funcției de transfer în circuit închis, aceea de a avea ca și zerou.

Idea de bază în procedura de optimizare de mai jos constă în reducerea gradelor de libertate în alegerea valorilor dorite (165), rescrise în (197):

Pentru a calcula expresia funcției de transfer în circuit închis dorită care să asigure valorile dorite ale răspunsului (165) sau (197), însă cu o restrictive în plus, și care să satisfacă (192) și (193) se procedează astfel:

Se determină, folosind procedura fără optimizare, expresia și care asigură valorile dorite ale ieșirii. Aceste expresii sunt apoi modificate, prin modificarea valorilor inițiale dorite, astfel încât să se asigure și condiția de zerou pentru .

Valorile dorite (197) determină expresia cu relația (167) și (168), rescrisă în (198):

Evident, conform (170) rescrisă (199), asigură eroare staționară nulă exprimată prin (193),

însă nu se garantează că are ca și zerou.

Dacă în locul valorilor dorite , care au determinat și se impugn valori, de exemplu , se obțin, comform cu (166), parametrii , mai précis

și de aici, folosind (167) se calculează:

și din (168)

unde:

Din (200) și (203) se observă că este îndeplinită condiția de eroare staționară,

și se impune suplimentar condiția de zerou,

Comportarea dorită (197) a fost exprimată prin expresia cu parametri calculați cu (166):

Se observă că atât cât și conțin coeficienți ai puterilor lui .

Se consideră că este chiar dar având alterați aditiv un numar de

coeficienți aleși neuniform după diferite criteii sau succesiv începând cu un rang

Considerând ultima variantă, se exprimă acest lucru prin identitatea:

Expresiei din (209) i se pun ăn mod explicit ambele condiții (204) și (205)

Condiția de eroare nulă impune:

care, având în vedere (199), adică , devine

Condiția de zerou impune

care, ținând cont de (206), devine:

Ecuațiile (211) și (213) constituie un sistem de două ecuații cu M necunoscute:

Cele grade de libertate din sistemul de mai sus se pot elimina impunând condiții suplimentare, de exemplu, ca fiecare valoare dorită impusă inițial , să fie afectată cât mai puțin posibil prin impunerea suplimentară a condiției de zerou, , în funcția de transfer în circuit închis.

În particular, dacă considerăm si , identitatea (209) devine:

În care (211) impune

și (212) devine

Din (215) și (216) se calculează

sau tinând cont de (206) în care , avem:

unde s-a notat

Identitatea (214) se poate scrie sub forma

Care satisfice condițiile și .

Substituind (203) și (117) în (214) avem identitatea

cu dat de (219).

Din identitatea (222) se obțin relațiile:

care permit calculul răspunsului , generat de funcția de transfer în circuit închis corectată și care, pentru conducere, se implementează în funcție de valorile dorite inițial , care a condus la funcția de transfer necorectată .

Folosind relațiile de tipul (224) se obțin:

Într-adevăr, din prima relație (223), avem

dar avem adică și și din (225) rezultă .

De asemenea, din a doua relație (223) se obține:

6.3.8 Procedura de calcul pentru sistemul optimizat

Pentru calculul algoritmului numeric de reglare obținut prin metoda proiectării directe considerând o evoluție în raport cu mărimea impusă, cu optimizarea legii de reglare ce nu conține poli nedoriți, se procedează astfeș (pentru cazul M = 2, q = 0):

Se aplică punctele 1 până la 9 din procedura de la paragraful 6.3.6.

Se precizează că zeroul al funcției de transfer care nu trebuie să apară ca și pol în .

Se calculează din (221):

Se calculează din (218):

Se calculează funcția de transfer în circuit închis conform (202):

Se calculează legea de reglare , conform (171), în care se folosește în loc de

sau, conform (174) în care se folosește în loc de :

în care se face simplificarea cu factorul .

Se implementează legea .

În urma implementării, în loc de se obține . Restul valorilor realizate sunt cele dorite .

Pentru a calcula regulatorul numeric folosind metoda proiectării directe, pentru instalația noastră, vom folosi un program Matlab pentru calculul numitorului ți numărătorului funcției de transfer alocată acestuia.

Programul Matlab pentru calculul funcțiilor de transfer și a regulatorului este următorul:

clear;clc;

Hf=tf(1.7,[0.05 1]);

Ts=0.001;

G=c2d(Hf,Ts)

set(G,'Variable','z^-1')

Yd=[0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.08 1];

for k=1:length(Yd)-1

p(k)=Yd(k+1)-Yd(k);

end

Hv=tf(p,1,Ts,'Variable','z^-1');

Hr=(1/G)*(Hv/(1-Hv));

Gv=feedback(Hr*G,1);

Nr=Hr.num{1};

Dr=Hr.den{1};

step(Gv)

unde – Yd reprezinta valorile dorite ale ieșirii

Hv – legea de reglare în circuit închis

Hr – legea de reglare

Hf – funcția de transfer a instalației

Gv – funcția de transfer în domeniul discret a instalației

Nr, Dr – numărătorul, respeciv numitorul legii de reglare numerice folosind metoda proiectării directe

În urma rulării acestui program, care ne generează legea de reglare, putem observa inclusiv răspunsul la intrare de tip treaptă pentru funcția de transfer în circuit închis în domeniul discret, răspuns prezentat în Figura 58.

Pentru a rula în timp real acest experiment, avem nevoie de programul Simulink de conducere a motorului de curent continuu Quanser SRV02, program prezentat în Figura 59.

După rularea acestuia, în timp real, obținem următorul răspuns la diferite valori ale mărimii de intrare:

Pentru a observa mai în detaliu răspunsul sistemului la acest tip de regulator vom selecta o porțiune din acest răspuns pentru vizualizare amănunțită, ca în Figura 61.

Pe această secțiune se poate observa că deși suprareglajul este foarte mare, aproape de 75%, valoarea regimului tranzitoriu este foarte mică, sub o secundă, iar eroarea staționară de poziție este nulă.

Se poate observa deci, că răspunsul sistemului folosind un regulator numeric realizat prin metoda proiectării directe, este comparabil cu răspunsul aceluiași sistem folosind un regulator realizat prin metoda dead-beat clasică.

Cap 7. Concluzii

În această lucrare am prezentat o aplicație de identificare și control în timp real pentru o instalație experimentală de tip Quanser SRV02. Identificarea sistemelor constituie o etapă absolut obligatorie în proiectarea sistemelor moderne de conducere automată a proceselor. Realizarea de sisteme automate cu performanțe deosebite, pentru procese complexe presupune cunoașterea suficient de precisă a modelelor sistemice asociate proceselor conduse. În multe situații practice, proiectanții nu pot oferi automatistului modele analitice ale proceselor industriale. Sarcina determinării acestor modele sistemice revine inginerului automatist.

Modernizarea proceselor industriale s-a accentuat puternic în condițiile dezvoltării teoriei identificării experimentale a sistemelor și a tehnologiei calculatoarelor de proces. Dezvoltarea extraordinară a microprocesoarelor a provocat schimbări importante în proiectarea sistemelor de comandă și reglare. Puterea lor de calcul și costul scăzut le fac să preia integral sarcina comenzii și reglării cu performanțe net superioare față de cazul în care s-ar utiliza regulatoare analogice.

Pentru a beneficia integral de această capabilitate a microprocesoarelor, nu este suficientă doar reproducerea funcționării regulatoarelor analogice clasice de tip PID, ci trebuie implementate tehnici de automatică specifice și mai ales performante, dezvoltate în mod special pentru comanda proceselor cu ajutorul calculatorului. De altfel, aceste tehnici au fost intens testate în mediul industrial, in ultimii 15-20 de ani.

Primul capitol prezintă modul de utilizare al interfeței grafice IDENT din Matlab, o interfață ce implementează mai multe metode de identificare pentru obținerea unor modele continue sau discrete. Interfața pune de asemenea la dispoziția utilizatorului și o serie de instrumente pentru analiza și validarea datelor în procesul de identificare.

Capitolul II face o trecere în revistă a principalelor caracteristici ale instalației Quanser SRV02 utilizate în partea experimentală a lucrării precum și o identificare parametrică a acesteia.

Capitolul III face o trecere în revistă a pașilor necesari determinării modelului matematic pentru platforme experimentale de tip Quanser SRV02.

Capitolul V face o trecere în revistă a principalelor metode practice de acordare a regulatoarelor de tip PID. Metodele respective sunt utilizate pentru proiectarea legilor de reglare pentru controlul unor instalații experimentale de tip Quanser SRV02.

Capitolul VI este dedicat aplicațiilo de control numerice. În acest sens sunt prezentate două metode: metoda dead-beat clasică și metoda proiectării directe. Performanțele obținute sunt analizate folosind datele experimentale la răspunsul sistemelor la intrare de tip treaptă.

Sistemul prezentat în lucrare reprezintă o soluție performantă pentru realizarea monitorizării și controlului proceselor industriale. Instalația este relativ simplă, dar sper ca ea să aducă un aport în înțelegerea mai ușoară de către studenți a unui sistem de reglare automată, în cazul acesta a reglării automate a debitului de aer într-o incintă. Sistemul poate fi extins cu ușurință pentru aplicații de monitorizare și reglare a altor parametrii (temperatură, nivel, etc. Datorită conectării cu placa de achiziție Quanser Q4, sistemul se poate extinde prin cuplarea mai multor astfel de module pe aceeași rețea serială, obținându-se astfel sisteme foarte complexe pentru măsurare și control distribuit.

Performanțele deosebite ale modulelor din familia Quanser, precum și ușurința proiectării aplicațiilor în Matlab/Simulink fac posibilă realizarea de sisteme de măsură industriale deosebit de complexe și performante, cu un grad mare de fiabilitate.

BIBLIOGRAFIE

Călin S., Dumitrache I., Reglarea numerică a proceselor tehnologice, Editura Tehnică, București, 1984.

Ionescu Vl., Teoria sistemelor liniare, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1985.

Ionete, C., Selișteanu, D., Echipamente de Automatizare și Protecție, Reprografia Universității din Craiova, 2000.

Marin C., Structuri și legi de reglare automată, Editura Universitaria, Craiova, 2000.

Marin C., Ingineria reglării automate – Elemente de analiză și sinteză, Editura SITECH, Craiova, 2004.

Marin C., Sisteme neconvenționale de reglare automată, Editura SITECH, Craiova, 2004.

Marin C., Sisteme numerice cu durată finită a regimului tranzitoriu, Editura SITECH, Craiova 2005.

Marin, C., Petre, E., Popescu, D., Ionete, C., Selișteanu, D., Teoria Sistemelor. Probleme, Ediția a doua, Ed. Sitech, Craiova, 2000.

Marin, C., Popescu, D., Petre, E., Ionete, C., Selișteanu, D., Teoria Sistemelor, Ed. Universitaria, Craiova, 2001.

*** Quanser Consulting Inc., WinCon 3.2, Real-Time Digital Signal Processing and Control under Windows 95/98 and Windows NT using Simulink and TCP/IP Technology, 1998.

*** Quanser Consulting Inc., Rotary Experiments SRV02. User Manual.