Sistemul de Axiome Hilbertian
CUPRINS
Introducere ……………………………………………………………………………………………………… 3
Capitolul 1
Sistemul de axiome hilbertian ……………………………………………………………………………. 5
Scurt istoric al teoriilor axiomatice ………………………………………………………………………………. 5
Elemente de teorie axiomatică a geometriei …………………………………………………………………… 7
1.2.1. Axiome de incidență …………………………………………………………………………………….. 7
1.2.2. Axiome de ordonare …………………………………………………………………………………… 10
1.2.3. Axiome de congruență ………………………………………………………………………………… 15
1.2.4. Axiome de continuitate ………………………………………………………………………………. 18
1.2.5. Axioma paralelelor …………………………………………………………………………………….. 19
Capitolul 2
Coliniaritate în plan – metode și aplicații remarcabile ………………………………………… 21
2.1. Demonstrarea coliniarității folosind metodele geometriei sintetice ……………………………………… 22
2.1.1. Demonstrarea coliniarății cu ajutorul unghiurilor ………………………………………………… 22
2.1.2. Demonstrarea coliniarății prin teoreme de unicitate …………………………………………….. 35
2.1.3. Demonstrarea coliniarății cu ajutorul reciprocei teoremei lui Menelaos …………………. 48
2.2. Demonstrarea coliniarității folosind metoda analitică ………………………………………………………… 55
2.3. Demonstrarea coliniarității folosind numerele complexe …………………………………………………… 59
2.4. Demonstrarea coliniarității prin metoda vectorială ……………………………………………………………. 63
2.5. Aplicații remarcabile …………………………………………………………………………………………………….. 65
Capitolul 3
Concurență în plan – metode și aplicații remarcabile ………………………………………….. 72
3.1. Demonstrarea concurenței folosind unicitatea mijlocului unui segment ………………………………. 72
3.2. Demonstrarea concurenței folosind proprietățile liniilor importante in triunghi ……………………. 74
3.3. Demonstrarea concurenței folosind reciproca teoremei lui Ceva ………………………………………… 76
3.4. Demonstrarea concurenței prin coliniaritate …………………………………………………………………….. 80
3.5. Aplicații remarcabile …………………………………………………………………………………………………….. 81
Capitolul 4
Coliniaritate și concurență în spațiu – metode și aplicații ……………………………………. 85
4.1. Coliniaritate în spațiu ……………………………………………………………………………………………………. 85
4.1.1. Metode de demonstrare a coliniarității punctelor în spațiu ……………………………………. 85
4.1.2. Probleme rezolvate ………………………………………………………………………………………….. 86
4.2. Concurență în spațiu ……………………………………………………………………………………………………… 91
A. Drepte concurente …………………………………………………………………………………………………….. 91
4.2.1. Metode de demonstrare a concurenței în spațiu ………………………………………………….. 91
4.2.2. Probleme rezolvate ………………………………………………………………………………………….. 92
B. Plane concurente ………………………………………………………………………………………………………. 96
4.2.3. Metode de demonstrare a concurenței în spațiu …………………………………………………… 97
4.2.4. Probleme rezolvate ………………………………………………………………………………………….. 97
C. Variante vectoriale pentru teorema transversalei (Teorema lui Menelaos) și pentru teorema planului transversal …………………………………………………………………………………………………………… 100
D. Articole și note matematice. Geometrie plană și coordonate baricentrice ……………………… 102
Capitolul 5
Considerații metodice. Cercetarea aplicativă ……………………………………………………. 112
5.1. Aspecte psiho – pedagogice și metodice privind predarea geometriei …………………………………112
5.2. Coliniaritate și concurență în plan și spațiu – proiect de programă școlară pentru disciplină opțională……………………………………………………………………………………………………………….. 115
5.3. Cercetarea aplicativă …………………………………………………………………………………………………… 123
5.3.1. Obiectivele cercetării …………………………………………………………………………………………. 123
5.3.2. Ipoteza cercetării ………………………………………………………………………………………………. 125
5.3.3. Metodica cercetării ……………………………………………………………………………………………. 125
5.3.4. Desfășurarea cercetării ………………………………………………………………………………………. 126
5.3.5. Interpretarea rezultatelor…………………………………………………………………………………….. 145
5.3.6. Concluzii………………………………………………………………………………………………………….. 146
5.4. Anexe ………………………………………………………………………………………….. 148
Bibliografie selectivă …………………………………………………………….… 155
INTRODUCERE ____________________________________________
Matematica zilelor noastre este un edificiu grandios si pentru ca acest edificiu complex să devină funcțional pentru generațiile actuale si viitoare, concomitent cu armonizarea lui continuă, se impune recunoașterea lui într-un mod cât mai eficient. Această recunoaștere nu poate începe decât cu temelia edificiului și trebuie să se producă cât mai devreme. De aceea, procesul învățării matematicii, elaborarea unor metode care să permită accesul rapid la secretele matematicii pot fi realizate doar prin începerea studiului matematicii de la bazele ei actuale. Dovada faptului că este eficient ca învățarea matematicii să pornească de la bazele ei, prin axiomatizare o constituie și faptul că și în alte domenii ale învățământului, metoda câstigă teren. Nu se poate aduce acuza unei abstractizări excesive pentru că noțiunile și relațiile cărora sunt supuse acestea într-o concepție axiomatică are un pronunțat caracter intuitive, și deci lesne de acceptat, învățarea devenind rațională, permițând, totodată, accesul benefic al intuiției.
Geometria a cunoscut o primă abordare axiomatică în celebrele “Elemente” ale lui Euclid, ridicată la nivel de metodă de Hilbert. Este, deci, natural ca studiul geometriei să pornească de la recunoașterea unor noțiuni fundamentale legate printr-un sistem de raporturi care, împreună, să se constituie într-o structură ale cărei resurse interne să producă rezultate concrete sub acțiunea gândirii logice. Sistemul axiomatic ca atare acceptat devine un instrument minimal cu ajutorul căruia raționamentul produce o multitudine de fapte geometrice noi. Nu este de dorit acreditarea unui învățământ matematic preuniversitar exclusive axiomatic, dimpotrivă, un echilibru dinamic între metoda axiomatică și abordarea prin intuiție oferă eficiență sporită actului de învățare. Între aceste două coordonate esențiale, procesul învățării matematicii cunoaste un larg evantai de metode si tehnici, generale și specifice, în posesia căruia se poate intra numai prin exercițiu. Fără a crede în rețete, în marea diversitate a problemelor de geometrie, o anumită tipizare este fructuoasă.
Tema METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ a fost aleasă pentru a jalona principalele direcții în conturarea unei programe pentru opționalul Coliniaritate și concurență în plan și spațiu. Consider că tema este atractivă și utilă pentru elevi deoarece stimulează imaginația și gândirea elevilor, îi face să simtă sentimentul frumuseții matematice, al armoniei numerelor și formelor, al eleganței geometriei. Între problemele de coliniaritate și problemele de concurență există o strânsă legătură: o problemă de concurență poate fi transformată într-o problemă de coliniaritate după următoarea schemă: pentru a dovedi că dreptele , și sunt concurente vom considera punctul X comun dreptelor și , și luăm punctele Y și Z pe dreapta . În aceste fel, problema revine la a arăta coliniaritatea punctelor X, Y și Z.
În conformitate cu scopul propus, am structurat lucrarea în 5 capitole.
În capitolul 1, Sistemul de axiome hilbertian, se prezintă succint axiomatica geometriei și sunt indicate, în câteva exemple, cum anumite fapte geometrice evidente sunt, totuși, demonstrabile în acest ansamblu axiomatic.
Capitolul 2, Coliniaritate în plan – metode și aplicații remarcabile este destinat identificării unor tipuri de metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate în plan, precum și a unor probleme mai speciale. Fiecare metodă este urmată de probleme, iar ultimul subcapitol prezintă câteva aplicații remarcabile privind coliniaritatea în plan.
Cu aceeași structură cu acest capitol este capitolul 3, Concurență în plan – metode și aplicații remarcabile, în care sunt prezentate câteva metode de demonstrare a concurenței în plan, sunt rezolvate probleme pentru a exemplifica modul de aplicare a fiecărei metode și în final sunt prezentate aplicațiile remarcabile ale concurenței în plan.
Capitolul 4, Coliniaritate și concurență în spațiu – metode și aplicații, prezintă metode de demonstrare a coliniarității punctelor în spațiu, de demonstrare a concurenței dreptelor în spațiu dar și a planelor, fiecare subcapitol în care sunt prezentate metodele de demonstrare fiind urmat de un subcapitol de probleme rezolvate.
În capitolul 5, Considerații metodice, sunt prezentate câteva aspecte psiho – pedagogice și metodice privind predarea geometriei. De asemenea, este prezentat un proiect de programă școlară pentru opționalul Coliniaritate și concurență în plan și spațiu și este evidențiată analogia plan – spațiu, ilustrată prin proprietățile de coliniaritate și concurență în triunghi și tetraedru.
În această lucrare am folosit doar anumite metode de demonstrare a coliniarității și concurenței, și de aceea am alcătuit o Bibliografie selectivă prin consultarea căreia elevul își poate întregi cunoașterea geometriei.
CAPITOLUL 1
SISTEMUL DE AXIOME HILBERTIAN
Scurt istoric al teoriilor axiomatice
Axiomatizarea și formalizarea sunt specifice științelor contemporane, cu origine în antichitatea greacă. Astfel, istoria matematicii atribuie prima idee de organizare axiomatică a științei din acea vreme lui Parmenide, iar formularea celei dintâi teorii geometrice în forma axiomatică veche lui Euclid (cca.365-300 î.e.n). El a separat elementele admise fără definiție și/sau demonstrație de cele care puteau fi date prin definiție, respectiv prin deducție, enunțînd și unele reguli de deducție. Euclid face următoarea distincție între axiomă și postulat: axioma era admisă ca având o evidență intuitivă cu negația inadmisibilă, iar postulatul reprezenta o anumită propoziție empirică, ce conținea un adevăr incontestabil în sensul că nu i se putea da încă o demonstrație, cu negație care se admitea fără a fi posibilă întotdeauna o justificare.
Caracterul profund filozofic al matematicii grecești a făcut ca Postulatul lui Euclid împreună cu următoarele negații aferente să producă importante salturi calitative în gândirea matematică:
(P) – prin orice punct exterior oricărei drepte nu există nici o paralelă la acea dreaptă, ceea ce a generat ulterior geometria lui Bernhard Friedrich Riemann (1826 – 1866).
(P) – prin orice punct exterior oricărei drepte există măcar două drepte paralele la dreapta respectivă, pe care s-a fundamentat în perioada 1825 – 1826 geometria lui Bolyai Janos (1802-1860) și Lobacevski Nikolai Ivanovici (1792-1856).
Primele expuneri sistematice de geometrie au fost Elementele lui Hippocrates din Hios (sec. V î.e.n.), probabil eclipsate de Elementele lui Euclid, care au apărut aproximativ în secolul al III lea î.e.n., în ultimele geometria fiind preyentată sub forma unui sistem logic atît de închegat încât nu s-a putut adăuga nimic principial timp de peste două milenii, adică până la pariția geometriilor neeuclidiene (sintetizând rezultatele dezvoltării anterioare Euclid a expus geometria ca pe o știință teoretică, autonomă, logic construită, punând bazele, atât cât era posibil atunci, metodei axioamatice cu rol fundamental atât în matematica modernă cât și în alte științe).
Aceste geometrii care au marcat evoluția firească de la geometria antică cu originea în Egiptul faraonilor, ridicată ulterior la rangul de știință de către greci, la geometria modernă, au arătat că conceptul de axiomă în sensul lui Euclid nu era corect cel puțin din punct de vedere logic.
Astfel, geometriile neeuclodiene în care se acceptă valabilitatea Postulatului lui Euclid (celebra Axiomă a paralelelor) cuplate cu gândirea filozofică au determinat să se admită conceptul de axiomă nu ca un adevăr cu evidență intuitivă, ci ca ceva abstract care permite organizarea unei teorii în mod coerent. Pornind de la axiome se stabilesc rezultate cuprinse în teoreme și consecințele corespunzătoare folosind reguliel uzuale de deducție.
Această metodă de a construi o teorie după exigențele menționate se numește ipotetico-deductivă.
Teoriile axiomatizate sunt teorii ipotetico-deductive în care termenii primari și propozițiile primare sunt expuse explicit. Aceste teorii au parcurs două etape de dezvoltare în funcție de concepția despre axiomă.
În teoriile axiomatice ale primei etape obiectele disciplinei care se axiomatizează sunt cunoscute înaintea axiomelor, axiomele reprezintă însușiri ale obiectelor, având caracter de evidență, iar în cazul disciplinelor bazate pe experimente provin din acestea (de exemplu, teoria geometrică a lui Euclid).
În a doua etapă, axiomatica formală este caracterizată prin faptul că axiomele preced sistemul de obiecte la care se referă conducând la teoriile formal deductive.
Pretențiile logice asupra oricărei teorii axiomatice sunt următoarele:
noncontradicția
independența
completitudinea
categoricitatea ( o teorie axiomatică este categorică dacă orice două modele ilustrative sunt izomorfe).
Dintre sistemele de axiome celebre menționez:
-prima tentativă de axiomatizare a geometriei dată de Euclid în lucrarea intitulată Elemente compusă din 13 cărți;
-sistemul de axiome a lui David Hilbert (1862-1943), primul sistem axiomatic complet elaborat în anul 1899 aferent geometriei (o formă ușor modificată indicată de Birkhoff George David (1884-1944)).
-Sistemul de axiome aparținând lui Giuseppe Peano (1858-1932) privind introducerea axiomatică a mulțimii numerelor naturale stabilit în perioada 1889-1895, cu variante corespunzătoare de definire pentru numărul real. Se cuvine să menționăm că prima construcție axiomatică a mulțimii numerelor naturale a fost anticipată de Richard Dedekind (1831-1916) și precizată ulterior de Peano.
-Sistemul axiomatic al teoriei mulțimilor construit în Italia de matematicianul german Ernest Zermelo (1871-1953) în anul 1908 și perfecționat în Germania și Scandinavia în perioada 1919-1921 de Abraham Fraenkel și Thoralf Skolem.
Elemente de teorie axiomatică a geometriei
Voi prezenta în cele ce urmează sistemul de axiome al lui David Hilbert însoțit de completări adecvate.
Hilbert cere să existe trei grupuri de obiecte numite puncte, drepte, plane, fără nici o descriere prealabilă a obiectelor studiului geometriei, iar prin spațiu geometric înțelege o mulțime de elemente supuse unior relații care respectă anumite condiții impuse de axiome.
Se consideră obiectele primului grup numite puncte și se notează: A, B, C, …
Obiectele celui de al doilea grup se numesc drepte notate a, b, c, … iar ale celui de al treilea grup denumite plane le notăm cu.
Punctele și dreptele alcătuiesc elemente ale geometriei plane, iar punctele, dreptele și planele sunt elemente ale geometriei în spațiu.
Concepem mai departe punctele, dreptele si planele în anumite relații reciproce și numim aceste relații prin cuvinte ca: a fi situat semnalată prin simbolul de apartenență , a fi între prin succesiunea de liniuțe ABC, a fi paralel prin || , congruent prin semnul ; descrierea exactă a acestor relații se obține prin axiomele geometriei.
1.2.1. Axiomele de incidență
Relația primară a acestui grup de axiome este incidența sau apartenența.
Notăm că punctul A este incident dreptei d prin Ad și d dacă orice punct incident ei este incident și planului.
I Fiind date două puncte există cel puțin o dreaptă la care ele să aparțină.
I Pentru orice două puncte distincte există cel mult o dreaptă incidentă lor.
I Oricare ar fi o dreaptă, există măcar două puncte distincte care să-i aparțină. In orice plan există cel puțin trei puncte care să nu aparțină simultan aceleiași drepte arbitrare incluse în plan.
I Fiind date trei puncte există cel puțin un plan incident lor. Pentru orice plan există măcar un punct care îi aparține.
I Fiind date trei puncte care nu aparțin nici unei drepte, există cel mult un plan incident lor.
I Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci orice punct al dreptei aparține acelui plan.
I Dacă două plane au un punct comun care le aparține simultan, atunci ele mai au cel puțin încă un punct cu această proprietate.
I Există patru puncte încât nici un plan nu este incident tuturor acestor puncte.
Consecințe:
Oricare două drepte diferite au cel mult un punct comun.
Două plane sau nu au nici un punct în comun, sau au o dreaptă comună, sau coincid.
Orice plan și orice dreaptă nesituată în acel plan au cel mult un punct comun.
Pe orice dreaptă și orice punct exterior dreptei, ca și prin orice două drepte concurente trece un plan unic.
În orice plan există măcar trei puncte necoliniare.
În afara oricărui plan există măcar un punct.
Teorema I.1.
Pentru orice dreaptă a există măcar un punct A neincident ei.
Teorema I.2.
Pentru orice plan există măcar un punct A încât A.
Teorema I.3.
Oricare ar fi punctele distincte A și B există o singură dreaptă a încât Aa, Ba .
Teorema I.4.
Oricare ar fi punctele A, B, C necoliniare, există un singur plan incident lor.
Dacă Aa, Ba , dreapta a o vom nota cu (AB) , iar dacă A, B, Catunci planul îl notăm (ABC) .
Teorema I.5.
Două drepte distincte au cel mult un punct comun.
Teorema I.6.
Două plane distincte care au un punct comun, au o dreaptă și numai una în comun.
Teorema I.7.
Două plane distincte au cel mult o dreaptă în comun.
Teorema I.8.
O dreaptă a și un plan pot avea următoarele poziții relative: a; a și au un singur punct comun; a și nu au nici un punct în comun.
Din axiomele de incidență rezultă afirmații importante, pe al căror conținut unii îl etichetează ca evident. În acest sens formulăm două exemple.
Teorema I.9.
Date fiind o dreaptă a și un punct oarecare A care nu-i aparține, există un singur plan cu proprietățile ași A.
Demonstrație.
Conform I, pe dreapta a există două puncte distincte B și C. Din ipoteză și din I rezultă că punctele A, B și C nu sunt coliniare.
Aplicând axioma I, există un plan care conține punctele A, B și C.
Conform I, planul conține dreapta a și conform I, planul este unic.
Teorema I.10.
Pentru orice plan există măcar trei puncte necoliniare care îi aparțin.
Demonstrație.
Fie un plan oarecare.
Conform I, există un punct A în , iar conform I, există un punct B neincident lui .
Conform I și I, există o unică dreaptă d incidentă punctelor A și B.
Aplicând I obținem existența unui punct C nesituat pe d.
Planele și (ABC) au punctul comun A. Din I rezultă că aceste plane au încă un punct comun D. Astfel, planul conține punctele diferite A și D.
D nu se află pe dreapta d, în caz contrar ar rezulta conform I că d este conținută în și atunci B, absurd.
Acum, planul (ABD) nu conține un anumit punct E (conform I). Planul (ABE), diferit de planul (ABD), are cu planul încă un punct comun F, conform I, care nu este situat nici pe dreapta d, nici pe dreapta AD. Punctele A, D și F sunt în planul și nu sunt coliniare.
1.2.1. Axiomele de ordonare
În formularea axiomelor de ordine intervine o relație primară care atestă că un punct al unei drepte stă în raporturi date cu alte puncte ale aceleiași drepte; această relație se exprimă prin: a fi între. Funcționalitatea relației a fi între derivă din proprietățile conferite de axiomele de ordonare.
II Dacă punctul B este între punctele A și C, atunci punctele A, B, C sunt coliniare distincte și punctul B este și între punctele C și A:
coliniare și
II Pentru orice două puncte distincte A și B există măcar un punct C coliniar cu A și B astfel încât punctul B este între punctele A și C.
II Dintre trei puncte distincte două câte două ale unei drepte arbitare, cel mult unul este între celelalte două.
II (Axioma lui Pasch)
Dacă o dreaptă oarecare intersectează în interior una din laturile unui triunghi nebanal arbitrar, atunci mai intersectează în interior o altă latură a triunghiului.
Numim segment o pereche neordonată de puncte {A,B}, notată AB sau BA, A și B sunt numite extremitățile segmentului, iar punctele C cu proprietatea A – C – B sunt puncte interioare segmentului. Dacă A, atunci punctele dreptei (AB) care nu sunt extremități și nici puncte interioare segmentului AB se numesc puncte exterioare segmentului AB.
Definiție.
Numim triunghi un triplet neordonat de puncte necoliniare A, B, C.
Îl vom nota ABC. Punctele A, B, C se numesc vârfurile triunghiului iar segmentele AB, BC, CA se numesc laturile triunghiului.
Consecințe:
Orice segment nebanal are o infinitate de puncte.
Dintre trei puncte distincte arbitrare ale oricărei drepte există unul situat între celelalte două.
3. Dacă o dreaptă oarecare intersectează două dintre segmentele arbitare atunci nu poate intersecta al treilea segment, oricare ar fi punctele necoliniare A, B, C.
Pe dreapta suport a oricărui segment nebanal există o infinitate de puncte situate în interiorul segmentului cât și o infiniate de puncte situate înafară.
Proprietatea de separare a dreptei. Orice punct al oricărei drepte împarte dreapta în două submulțimi nevide și disjuncte, una închisă care conține punctul și altă deschisă, astfel încât reuniunea celor două semidrepte să coincidă cu mulțimea punctelor dreptei.
Proprietatea de separare a planului. În orice o plan orice dreaptă împarte mulțimea punctelor planului în două submulțimi nevide și disjuncte numte semiplane, unul închis care conține dreapta și un semiplan deschis astfel încât reuniunea lor epuizează mulțimea punctelor planului.
Proprietatea de separare a spațiului. Orice plan împarte mulțimea punctelor spațiului euclidian uzual în două semispații, unul închis care conține planul și unul deschis astfel încât se realizează o partiție a spațiului respectiv fiecare din cele două mulțimi este nevidă și disjuncte între ele iar reuniunea lor coincide cu mulțimea punctelor spațiului.
Teorema II.1.
Orice segment AB cu A are puncte interioare.
Teorema II.2.
Pentru orice trei puncte A, B, C coliniare și distincte două câte două, unul și numai unul se află între celelalte două.
Teorema II.3.
Fie ABC un triunghi și a o dreaptă din planul sau neincidentă cu nici un vârf. Dacă a taie în interior una dintre laturile triunghiului, atunci ea mai taie în interior una și numai una dintre celelalte două laturi.
Cu ajutorul axiomelor de ordine putem stabili existența unei relații de ordine totală pentru punctele unei drepte oarecare.
Lema II.1.
Fie A, B, C, D patru puncte coliniare. Dacă A D C și B D C nu au loc, atunci nici ADB nu are loc.
Lema II.2.
Dacă pentru patru puncte coliniare A, B, C, D au loc relațiile A D C și B D C, atunci nu are loc relația A D B.
Definiție.
Numim semidreaptă deschisă de origine O și care conține punctul A, mulțimea punctelor B pentru care avem O B A sau O A B sau A B și se notează (O;A).
Definiție.
Mulțimea (O;A){O} [O;A) se numeste semidreaptă închisă de origine O și determinată de A.
Teorema II.4.
Fie a o dreaptă și O un punct fixat al ei. Există două și numai două semidrepte deschise de origine O pe a.
Definiție.
Se numeste segment orientat o pereche ordonată de puncte din spațiu.
Dacă (A,B) este perechea de puncte considerată, segmentul orientat definit de această pereche se notează. Punctul A se numeste originea segmentului orientat, iar punctul B extremitatea segmentului orientat .
Pentru A B avem segmentul orientat nul.
Dreapta determinată de segmentul orientat se numeste dreapta suport a lui AB, notată cu AB.
O primă calitate importantă a dreptelor în spațiu este direcția lor.
Definiție.
Două drepte din spațiu au aceeasi direcție dacă sunt paralele sau coincid.
Originea si extremitatea segmentului orientat determină în mod unic dreapta suport, ceea ce înseamnă că putem atașa direcția dreptei suport segmentului orientat.
Definiție.
Două segmente orientate nenule au aceeași direcție dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.
Teorema II.5.
Relația de a avea aceeasi direcție pentru drepte este o relație de echivalență pe mulțimea dreptelor din spațiu.
Teorema II.6.
Relația de a avea aceeași direcție pentru segmente orientate nenule este o relație de echivalență pe mulțimea segmentelor orientate nenule din spațiu.
O clasă de echivalență pe o mulțime determină o împărțire a elementelor mulțimii în clase de echivalență.
Într-o clasă de echivalență intră toate elementele echivalente între ele.
În cazul nostru, clasa de echivalență determinată de o dreaptă se numește direcția dreptei, iar în cazul segmentelor orientate nenule, direcțiile sunt clase de echivalență ale dreptelor suport și se numesc direcțiile segmentelor orientate.
Segmentul orientat nenul determină direcția dreptei suport și în plus, un sens pe această dreaptă de la A la B.
Definiție.
Două segmente orientate nenule și având aceeași direcție, au acelasi sens dacă : a) A, B și A’, B’ sunt coliniare, sensurile determinate pe dreapta suport comună coincid.
b) Dreptele suport sunt paralele, extremitățile celor două segmente orientate se află în același semiplan determinat în planul celor două drepte suport de dreapta ce unește originile lor.
Teorema II.7.
Relația de a avea același sens pentru segmentele orientate nenule de aceeași direcție este o relație de echivalență.
Definiție.
Două segmente orientate au aceeași mărime (modul) dacă segmentele neorientate corespunzătoare sunt congruente.
Teorema II.8.
Relația de a avea aceeași mărime pentru segmente orientate este o relație de echivalență.
Definiție.
Două segmente orientate nenule sunt echipolente dacă au aceeași direcție, același sens și aceeași mărime.
Teorema II.9.
Relația de echipolență pentru segmente orientate este o relație de echivalență.
Definiție.
Clasele de echivalență ale segmentelor orientate relativ la relația de echipolență se numesc vectori.
Din definiția relației de echipolență se obține că un vector liber este determinat sau de segmentele orientate nenule, în care caz se numeste vector liber nul, sau este caracterizat de direcția, sensul și mărimea comune tuturor segmentelor orientate care-l determină.
Segmentul orientat determină vectorul liber notat cu . Orice alt segment echipolent cu determină acelasi vector liber. Prin urmare
~ .
Definiție.
Spunem că Aa precede punctul Ba și notăm cu A < B dacă segmentul orientat nenul este orientat pozitiv.
Vom pune A B dacă A B sau A B.
Teorema II.10.
Dacă A BC, atunci C< B< A sau A<B<C și reciproc.
Definiție.
Fie un plan și a .
În mulțimea punctelor M ale lui care nu aparțin dreptei a introducem relația
A ~ Ba .
Clasa de echivalență a lui A se numește semiplan deschis determinat de a și care are ca reprezentant pe A se notează (a;A) .
Notăm cu [a;A) (a;A)a semiplanul închis determinat de a în planul .
Definiție.
Se numeste unghi un sistem de două semidrepte [O;A) și [O;B) cu aceeași origine.
Dacă [O;A) = [O;B) unghiul se numeste nul; dacă semidreptele sunt distincte dar aparțin aceleiași drepte atunci unghiul se numește alungit. Unghiurile care nu sunt nici nule nici alungite se numesc unghiuri proprii.
Definiție.
Numim unghi orientat sistemul de două semidrepte [O;A) și [O;B) cu aceeași origine, nu neapărat diferite, considerate în această ordine.
1.2.3. Axiomele de congruență
Prin axiomele de congruență se conferă legitimitate procesului intuitiv care exprimă faptul că segmentele trebuie să se afle în anumite raporturi de mărime; în esență, deci, aceste axiome generează un sistem unitar de măsurare a segmentelor.
Relația primară a acestei grupe de axiome este relația de congruență pentru segmente și pentru unghiuri.
Hilbert a folosit pentru relația de congruență simbolul .
III Pentru orice segment nenul AB și orice semidreaptă h cu originea în A’, există un punct B'h astfel încât AB A'B' .
III Dacă AB CD, A'B'CD atunci AB A'B' .
III Dacă A -B C, A'B'C' , AB A'B' , BC B'C' atunci AC A'C' .
III Fie un unghi ∠(h,k) într-un plan , o dreaptă a și o semidreaptă h' pe a. Există în planul o singură semidreaptă k' de aceeași origine cu h' astfel încât∠(h,k) ∠(h',k') .
III Dacă ABC și A'B'C' sunt două triunghiuri pentru care AB A'B' , AC A'C', CB′A′C′, atunci CA′B′C′.
Consecințe ale grupei a III – a de axiome
Teorema III.1.
Fie ABC și A'B'C' cu proprietatea că AB A'B' , AC A'C', C B′A′C′. AtunciC A'B'C', CBA′C′B′.
Teorema III.2.
Relația este o relație de echivalență pe mulțimea segmentelor.
Teorema III.3.
Fie AB un segment și h o semidreaptă de origine A′. Există un singur punct B'h astfel încât AB A'B' .
Teorema III.4.
Dacă A B C, A'B'C' , AB A'B' și AC A'C' atunci BC B'C' .
Definiție.
Două triunghiuri ABC și A'B'C' se numesc congruente dacă laturile corespunzătoare sunt congruente.
Teorema III.5.
Relația de congruență a triunghiurilor este o relație de echivalență.
Teorema III.6. (cazul L.U.L.)
Dacă ABC și A'B'C' au proprietatea AB A'B', AC A'C', A'atunci ele sunt congruente.
Teorema III.7. (cazul U.L.U.)
Dacă ABC și A'B'C' au proprietatea BC B'C', B B', C C' atunci ele sunt congruente.
Definiție.
Un triunghi ABC cu proprietatea că AB AC se numește isoscel.
Teorema III.8.
Dacă în ABCavem AC = AB, atunci C
Teorema III.9. (Diferența unghiurilor)
Fie și . Dacă atunci
Teorema III.10. (cazul L.L.L.)
Dacă ABC și A'B'C' sunt congruente, atunci unghiurile corespunzătoare sunt congruente.
Definiție.
Fiind dat unghiul hOk se numește suplement al său un unghih’Ok unde h'Oh formează o dreaptă.
Definiție.
Numim unghi drept un unghi congruent cu suplementul său. Laturile unui unghi drept se numesc perpendiculare.
Teorema III.11.
Toate unghiurile drepte sunt congruente.
Teorema III.12.
Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci suplementele lor sunt congruente.
Teorema III.13.
Printr-un punct exterior unei drepte, în planul determinat de acel punct și de acea dreaptă se poate duce o singură perpendiculară pe dreapta considerată.
Teorema III.14.
Fiecare segment are un mijloc unic.
Teorema III.15.
Fiecare unghi are o bisectoare unică.
Teorema III.16.
Un unghi exterior unui triunghi este mai mare decât fiecare dintre unghiurile interioare neadiacente lui.
1.2.4. Axiomele de continuitate
IV (Axioma lui Arhimede) Oricare ar fi segmentul nenul AB și segmentul CD, există
n și punctele pe semidreapta [C;D) astfel încât C C, și sau
Această axiomă mai poate fi formulată și astfel: „date fiind segmentul nenul AB și segmentul CD, există n astfel încât n AB CD″.
IV (Axioma lui Cantor) Pentru orice șir infinit de segmente ale unei drepte a, cu proprietatea că AB este inclus în interiorul segmentului AB pentru toți i și nu există un segment care să se găsească în interiorul tuturor segmentelor din șirul considerat, există pe dreapta a un punct M care aparține interiorului fiecărui segment din șir.
Consecințe ale axiomelor de continuitate
Definiție.
Fie o dreaptă orientată. Se numeste sistem cartezian de coordonate pe a o aplicație
f : a R cu proprietățile:
a) numerele 0 și 1 sunt în Imf;
b) f este monoton crescătoare;
c) două segmente orientate și ale dreptei a sunt congruente și la fel orientate dacă și numai dacă: f (B) f (A) f (D) f (C) .
Definiție.
Se numeste măsură a segmentelor o aplicație m:SR U{0} care satisface condițiile:
a) pentru un segment nul AA avem m(AA) = 0;
b) există un segment nenul AB pentru care m(AB) = 1;
c) dacă AB CD atunci m(AB) m(CD) și reciproc.
d) dacă A BC, atunci m(AC) m(AB) m(BC) .
Un segment nenul AB cu m(AB) = 1 se numeste unitate de măsură. Numărul m(CD) se
numește măsura segmentului CD sau lungimea lui CD.
1.2.5. Axioma paralelelor
Definiție.
Două drepte a și b se numesc paralele dacă ele aparțin aceluiași plan și nu au nici un punct comun sau coincid.
Teorema V.1.
Fie planul determinat de o dreaptă a și A un punct. Există o paralelă în A la dreapta a.
Teorema V.2.
Dacă două drepte dintr-un plan tăiate de o secantă formează cu aceasta unghiuri alterne interne congruente, atunci cele două drepte sunt paralele.
V (Axioma paralelelor) Printr-un punct A exterior unei drepte a (în planul determinat de A și a) există cel mult o paralelă la dreapta a.
Propoziții echivalente axioma paralelelor
Suma măsurii unghiurilor interioare oricărui triunghi nebanal cioncide cu două unghiuri drepte.
Toate triunghiurile nedegenerate au aceeași sumă a unghiuruilor interioare.
Consecințe ale grupei a V – a de axiome
Teorema V.3.
Fie A un punct oarecare și Aa . Atunci (în planul determinat de A și a) există o singură dreaptă b prin punctul A paralelă la dreapta a.
Teorema V.4.
Dacă a || b și c este secantă lor, atunci unghiurile alterne interne determinate sunt congruente.
Teorema V.5.
În orice triunghi ABC suma unghiurilor C este egală cu două unghiuri drepte.
Teorema V.6.
Unghiul exterior unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interioare neadiacente lui.
CAPITOLUL 2
COLINIARITATE ÎN PLAN
Problemele a căror concluzie solicită demonstrarea apartenenței unor puncte la o aceeași dreaptă se numesc probleme de coliniaritate. Problemele de coliniaritate reprezintă un tip deosebit de probleme de geometrie, ele fiind probleme de demonstrație prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unei relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor date, justificarea unei afirmații formulate. Datorită existenței unui număr mare de propoziții matematice ce concluzionează proprietăți de coliniaritate sunt prezentate unele dintre cele mai utilizate metode de rezolvare acestui tip de probleme, atât în gimnaziu, cât și în liceu. Metodele expuse sunt însoțite de exemple (probleme), pentru ca elevul să le poată folosi fără a întâmpina dificultăți mari în rezolvarea problemelor, oricât de complexe ar fi acestea.
2.1. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII FOLOSIND METODELE GEOMETRIEI SINTETICE
DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII CU AJUTORUL UNGHIURILOR
A. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII CU AJUTORUL UNGHIULUI ALUNGIT (UNGHIURI ADIACENTE SUPLEMENTARE)
Dacă A și C sunt situate de o parte și alta a dreptei BD și m(ABD)+m(DBC)=180 ,
atunci, punctele A, B și C sunt coliniare.
Problema 1.
Fie triunghiul ABC (m(A)=90 ), înălțimea AD, iar E și F simetricele punctului D față de catetele AB și, respectiv, AC. Să se arate că punctele E, A și F sunt coliniare.
Rezolvare.
E fiind simetricul punctului D față de cateta AB, rezultă că
EABBAD,
iar F fiind simetricul lui D față de AC, urmează că
FACCAD.
Dar
m(BAD)+m(CAD)=90
și atunci avem
m(FAC)+m(CAD)+ m(BAD)+m(CAD)=180 .
Prin urmare, punctele E, A și F sunt coliniare.
Problema 2.
Să se arate că într-un trapez oarecare mijloacele laturilor paralele și intersecția diagonalelor sunt trei puncte coliniare.
Rezolvare.
Fie E punctul de intersecție al diagonalelor, iar F și G mijloacele bazelor trapezului.
Din
DFGBGF și FDEGBE ,
rezultă
FEDGEB.
Analog,
FECAED
iar
AEDCEB,
ca opuse la vârf. Din acestea, rezultă că
m(DEF)+m(AED)+ m(AEG) =180,
și deci punctele F, E, G sunt coliniare.
Problema 3.
Fie ABCD un paralelogram. Se prelungește latura AB cu un segment BE = AD iar latura AD cu un segment DF = AB. Să se arate că punctele E, C, F sunt coliniare.
Rezolvare.
Pentru a demonstra că punctele E, C, F sunt coliniare trebuie să arătăm că
m(BCE)+m(BCF)=180
Cum triunghiurile BCE și DCF sunt isoscele, iarABCADC rezultă:
m(BCE)+m(BCF)= 180.
Problema 4.
Să se demonstreze că simetricele a trei puncte coliniare față de o dreaptă sunt trei puncte coliniare.
Rezolvare.
Fie A′, B′, C′ simetricele punctelor coliniare A, B, C față de dreapta d.
Unind separat B′ cu A′ și B′ cu C′. Avem:
A′B′BABB′
și
C′B′BCBB'.
Prin urmare,
m(A′B′Bm(C′B′B)=m(ABB′)+m(CBB')= 180,
de unde rezultă că punctele A′, B′, C′ sunt coliniare.
Problema 5.
Un cerc de centru O este tangent în T la dreapta d. Se duce o paralelă la OT, care se intersectează cu dreapta d în C și cu cercul în A și B (B este între A și C). Pe prelungirea lui AC se ia punctul F, astfel încât CF = CA. Se notează cu M punctul diametral opus lui B.
Să se demonstreze că punctele M, T, F sunt coliniare.
Rezolvare.
Triunghiurile ATF și MOT sunt isoscele, iar
CATTMB,
având aceeași măsură. De asemenea,
TAFOTA,
ca alterne interne.
Atunci , și deci punctele M, T și F sunt coliniare.
B. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII UTILIZÂND RECIPROCA TEOREMEI UNGHIURILOR OPUSE LA VÂRF
Dacă punctul B este situat pe dreapta DE, iar A și C sunt de o parte și de alta a dreptei DE și ABD CBE, atunci punctele A, B și C sunt coliniare.
Problema 6.
Fie ABCD un paralelogram. Pe laturile BA, respectiv DA, se iau punctele E și F, astfel încât BE = AD și DF = AB. Să se arate că punctele C, E și F sunt coliniare.
Rezolvare.
Din triunghiurile isoscele DCF și AFE rezultă că și respectiv , de unde avem , ceea ce conduce la coliniaritatea punctelor C, E și F.
Problema 7.
Intersecția diagonalelor AC și BD ale rombului ABCD este punctul O, iar mijlocul segmentului AB este M. Să se decidă dacă M, O și mijlocul segmentului CD sunt puncte coliniare.
Rezolvare.
Fie P mijlocul lui CD. Triunghiurile BOM și DOP sunt congruente, de unde rezultă BOMDOP, și deci, punctele M, O și P sunt coliniare.
Problema 8.
În patrulaterul ABCD, se consideră M și N mijloacele laturilor opuse AB și CD. Prin M se duc MP paralelă la BC și MQ paralelă la AD, iar prin vârfurile C și D câte o paralelă la AB. Se formează astfel, paralelogramele BCPM și ADQM. Să se arate că vârfurile P și Q ale acestor paralelograme sunt coliniare cu punctul N.
Rezolvare.
Din rezultă congruența triunghiurilor CNP și DNQ, și cum P și Q sunt situate de o parte și de alta a dreptei CD rezultă că punctele P, N și Q sunt coliniare.
Problema 9.
Fie cercurile de centre O și O′, tangente exterior în A. O dreaptă dusă prin A mai intersectează cercul de centru O în B și pe cel de centru O′ în C. Fie D un punct aparținând cercului de centru O și F un punct aparținând cercului de centru O′, astfel încât BD || CF . Să se arate că punctele A, D și F sunt coliniare.
Rezolvare.
Ducem tangenta comună interioară TAT′.
Trebuie să arătăm că DAT′FAT.
Avem
DAT′ABD,
ABDACF
și
FATACF.
Deci:
DAT′FAT,
de unde rezultă coliniaritatea punctelor D, A și F.
Problema 10.
Se consideră triunghiul ABC înscris în cercul de centru O. Fie AD un diametru, F proiecția lui C pe AD, AE înălțimea din A și H proiecția lui E pe AB. Să se demonstreze că punctele H, E și F sunt coliniare.
Rezolvare.
Deoarece AECAFC (90) rezultă că patrulaterul AEFC este inscriptibil, de unde urmează că CEFCAD iar
Avem:
Deoarece
ABCADC
rezultă că
CEFBEH,
și cum H și F sunt situate de o parte și de alta a dreptei BC, rezultă că punctele H, E și F sunt coliniare.
C. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII PRIN REDEFINIREA UNUI PUNCT CE FIGUREAZĂ ÎN CONDIȚIA DE COLINIARITATE
Coliniaritatea a trei (sau mai multe) puncte se poate demonstra și prin
redefinirea acelor puncte care intră în cerința de coliniaritate.
Problema 11.
Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC, A″ punctul diametral opus lui A,
A′ mijlocul lui BC și H ortocentrul triunghiului ABC. Să se arate că H, A′, A″ sunt coliniare.
Rezolvare.
Triunghiul ACA″ este înscris într-un semicerc și deci A"CAC. Cum BHAC urmează că A"C||BH. Analog, se arată că A"B||CH și prin urmare, patrulaterul BHCA” este paralelogram. Putem, deci, redefini punctul A″ prin condiția ca patrulaterul BHCA″ să fie paralelogram și concluzia este imediată, deoarece diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc, adică A′ fiind mijlocul lui BC, rezultă că aparține dreptei HA″.
Problema 12.
Fie ABCDEF un hexagon convex, înscris într-un cerc, și fie M punctul de intersecție al diagonalelor AD și BE. Punctele C, F și M sunt coliniare dacă și numai dacă
ABCDEF BC.DE.FA.
Rezolvare.
Din asemănarea triunghiurilor AMB și EMD, respectiv AME și BMD rezultă:
,
care, prin înmulțire membru cu membru, conduc la:
.
Notând cu N punctul de intersecție al diagonalelor AD și CF, analog, obținem:
.
Coliniaritatea punctelor C, F și M revine la M=N și deci
=
adică,
ABCDEF BC.DE.FA.
Din Teorema lui Ptolemeu, aplicată în patrulaterele inscriptibile ADEF și ABCD, obținem, respectiv:
ABDF ADEF FADE
și, respectiv:
ACBD ABCD BCAD,
care înlocuite în egalitatea
ABCDAEDF ACBDFADE,
după reducerea termenilor asemenea și simplificarea factorului AD conduc la
ABCDEF BCDEFA,
adică tocmai identitatea din enunț.
Problema 13.
În triunghiul ABC se consideră punctele M, N și P pe laturile BC, CA, respectiv AB, astfel încât . Se notează cu D mijlocul laturii BC, iar prin Q simetricul lui A față de mijlocul segmentului MN. Să se demonstreze că punctele P, D, Q sunt coliniare.
Rezolvare.
Construim prin N o paralelă la BC, care intersectează latura AB în S.
Atunci:
și deci
SM || AC.
Din
rezultă că
SB PA și SA BP.
Patrulaterul MSNC este paralelogram și deci SC trece prin mijlocul segmentului AQ, deci patrulaterul ASQC este paralelogram.
Din faptul c
AS CQ și SA BP
rezultă că BQCP este paralelogram.
Astfel, am redefinit D ca fiind mijlocul diagonalei PQ a paralelogramului BQCP, de
unde rezultă că punctele P, D și Q sunt coliniare.
D. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII FOLOSIND REZULTATUL DACĂ B ȘI C SUNT DOUĂ PUNCTE DISTINCTE, SITUATE DE ACEEAȘI PARTE A DREPTEI AD ȘI DACĂ , ATUNCI PUNCTELE A, B ȘI C SUNT COLINIARE
Această metodă este, în general, complementară cu metodele anterioare, deseori fiind necesară folosirea alternativă a lor în raport cu anumite poziții particulare.
Problema 14.
Dacă A, B și C sunt puncte coliniare distincte, iar A′, B′, C′ sunt simetricele lor față de un punct O, atunci punctele A′, B′, C′ sunt coliniare.
Rezolvare.
Deoarece punctele A, B și C sunt coliniare rezultă că
.
Din rezultă că OABOA′B′, iar din OCA OC′A′ rezultă că .
Astfel, am obținut:
care conduc la
,
relație din care rezultă că punctele A′, B′, C′ sunt coliniare.
Problema 15.
Fie E interior pătratului ABCD și F exterior, astfel încât triunghiurile ABE și BCF să fie echilaterale. Să se arate că punctele D, E și F sunt coliniare.
Rezolvare.
În triunghiul isoscel DCF (DC = CF) avem:
Cum rezultă că punctele D, E și F sunt coliniare.
2.1.2. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII PRIN TEOREME DE UNICITATE
A. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII FOLOSIND POSTULATUL LUI EUCLID
Dacă dreptele AB și BC sunt paralele cu o dreaptă d, atunci, în baza postulatului lui Euclid, punctele A, B și C sunt coliniare.
Problema 16.
Fie B′ și C′ mijloacele laturilor AC, respectiv AB, ale unui triunghi ABC. Să se demonstreze că mijloacele înălțimii, bisectoarei și medianei corespunzătoare vârfului A se află pe dreapta B′C′.
Rezolvare.
Fie M, N, P mijloacele înălțimii, bisectoarei și, respectiv, medianei corespunzătoare vârfului A. B′C′ fiind linie mijlocie în triunghiul ABC, rezultă că B′C′|| BC. Din triunghiul ABD, rezultă, ca mai sus, B′M′|| BD și cum DBC rezultă că M aparține dreptei B′C′.
În triunghiul ABE, B′N este linie mijlocie și, folosind același raționament, rezultă că N aparține dreptei B′C′. La fel, se arată că P aparține dreptei B′C′.
Prin urmare, punctele B′, P, N, M, C′ sunt coliniare.
Problema 17.
Fie triunghiul oarecare ABC și fie punctul D pe latura BC astfel încât BC = 3 DC. Dacă E este mijlocul medianei CC′, să se arate că punctele A, D și E sunt coliniare.
Rezolvare.
Notăm cu F mijlocul lui BD. Atunci, în triunghiul ABD avem că C′F este linie mijlocie și deci C′F || AD.
Analog, în triunghiul CFC′ avem DE linie mijlocie, de unde urmează că DE || C′F .
Din DE || C′F și DA || C′F rezultă că punctele A, E, D sunt coliniare.
Problema 18.
Pe laturile AB și AC ale triunghiului ABC se iau, respectiv, punctele D și E, așa încât . Se prelungesc segmentele BE și CD, respectiv, cu EE′k BE și DD′k CD.
Să se arate că punctele D′, A, E′ sunt coliniare.
Rezolvare.
Cum, prin ipoteză, rezultă DE || BC.
Din urmează că DE || AE′ .
Din DE || BC și DE || AE′ rezultă că AE′|| BC.
Analog, se arată că AD′|| BC , apoi din AE′|| BC și AD′|| BC rezultă că punctele D′, A,
E′ sunt coliniare.
Problema 19.
În trapezul isoscel MNPQ (NP || MQ), circumscris unui cerc, fie E, F, G, H punctele de contact ale cercului cu laturile MN, NP, PQ și respectiv, QM, iar O punctul de intersecție al diagonalelor. Să se arate că punctele E, O, G sunt coliniare.
Rezolvare.
Cum
EN = NF și EM = MH,
ca tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc, rezultă că
Triunghiurile MOQ și NOP sunt asemenea și deci, avem că
Din și rezultă că
și prin urmare EO || MQ.
Analog, se arată că OG || MQ și atunci rezultă că punctele E, O, G sunt coliniare.
B. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII PRIN IDENTIFICAREA UNEI DREPTE CE CONȚINE PUNCTELE RESPECTIVE
Pentru a arăta că punctele A, B și C sunt coliniare se identifică o dreaptă căreia ele îi aparțin.
Problema 20.
Fie un triunghi ABC și D, E, F, G proiecțiile lui A pe bisectoarele interioare și exterioare ale unghiurilor ABC și ACB .
Să se arate că punctele D, E, F și G sunt coliniare.
Rezolvare.
Fie D și E proiecțiile lui A pe bisectoarele din B. Patrulaterul ADBE este dreptunghi și atunci DE trece prin mijlocul C′ al lui AB. Cum C′EBABE EBC, rezultă că
C′E || BC.
Deoarece paralela prin C′ la BC este linie mijlocie în triunghiul ABC, rezultă că C′E
trece și prin B′, mijlocul laturii AC. Prin urmare, punctele D și E se află pe dreapta C′B′.
Analog, se arată că punctele F și G se află pe dreapta B′C′.
Astfel, am identificat dreapta B′C′ pe care sunt situate punctele D, E, F și G.
Problema 21.
Fie triunghiul oarecare ABC. Bisectoarele interioară și exterioară ale unghiului B intersectează bisectoarele interioară și exterioară ale unghiului C în D, respectiv E. Să se arate că A, D și E sunt coliniare.
Rezolvare.
Notăm cu F intersecția dintre bisectoarea interioară a lui C cu bisectoarea exterioară a unghiului B, respectiv cu G, intersecția dintre bisectoarea interioară a lui B cu bisectoarea exterioară a unghiului C.
Astfel, s-a format triunghiul EGF în care GB este înălțime și FC este înălțime.
De aici rezultă că EA este cea de-a treia înălțime a triunghiului EFG și deci, punctele A, D și E sunt coliniare.
Problema 22.
Fie trapezul ABCD (AD|| BC). Bisectoarele interioare din A și B se taie în E, iar bisectoarele interioare din C și D se taie în F. Fie G mijlocul diagonalei AC. Să se arate că, punctele E, F și G sunt coliniare.
Rezolvare.
Triunghiul AEB este dreptunghic în E. Dacă M este mijlocul laturii AB, atunci DA || ME deoarece MEAMAE DAE. Prin urmare, paralela prin M la AD, adică linia mijlocie a trapezului conține punctul E. Analog, pentru G. Deci, punctele E, F și G se află pe linia mijlocie a trapezului.
Problema 23.
Să se arate că proiecțiile ortocentrului unui triunghi ABC pe bisectoarele, interioară și exterioară, ale unghiului A și mijlocul laturii BC sunt coliniare.
Rezolvare.
Fie B, C, A picioarele perpendicularelor duse din B, C și respectiv A, iar H ortocentrul.
Notăm cu A′ mijlocul laturii BC, cu P și Q proiecțiile lui H pe bisectoarea interioară
respectiv pe bisectoarea exterioară (care pleacă din A).
Patrulaterul ABHC este inscriptibil în cercul (C1) de diametru AH.
Cum
rezultă că P,Q(C) .
Cum patrulaterul APHQ este dreptunghi, înscris în cercul de diametru AH, rezultă că și diagonala PQ este diametru în cercul (C). Punctul P este mijlocul arcului BHC, pentru că [AP este bisectoare; atunci diametrul PQ este mediatoarea coardei BC. Patrulaterul BCBC, fiind inscriptibil în cercul (C) de diametru BC, iar BC fiind coardă comună a celor două cercuri (C) și (C), urmează că mediatoarea sa PQ va conține punctul A′, care este centrul cercului (C). Prin urmare, proiecțiile ortocentrului pe bisectoarele, interioară si exterioară, ale unghiului A și mijlocul A′ al laturii BC se află pe dreapta care unește centrele cercurilor (C) și (C), circumscrise patrulaterelor ABHC, respectiv BCBC.
C. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII UTILIZÂND IDENTITATEA AB+BC=AC, UNDE AB, BC ȘI AC SUNT SEGMENTE DE DREAPTĂ
Cu toată că aparent este cea mai simplă metodă de demonstrare a
coliniarității punctelor A, B și C, ea este folosită foarte rar in probleme concrete.
Problema 24.
Dacă A, B și C sunt puncte coliniare distincte, iar A′, B′ și C′ sunt simetricele lor față de un puncte O, atunci punctele A′, B′ și C′ sunt coliniare.
Rezolvare.
Din A, B și C coliniare și pentru că B aparține segmentului AC rezultă că
AB + BC = AC.
Din AOBA′OB′ rezultă că AB = A′B′.
Din BOCB′OC′ rezultă că BC = B′C′.
Din AOC A′OC′ rezultă că AC = A′C′.
Înlocuind aceste ultime trei relații în precedenta rezultă că:
A′B′ + B′C′ = A′C′,
adică, punctele A′, B′ și C′ sunt coliniare.
Problema 25 (Teorema lui Ptolemeu)
Fie ABCD un patrulater convex și un punct E de acea parte a lui AB de care nu este C, astfel încât triunghiurile ABE și ADC sunt asemenea. Să se demonstreze că punctele C, B și E sunt coliniare dacă și numai dacă are loc egalitatea ABCD ADBC ACBD.
Demonstrație.
Din asemănarea triunghiurilor ABE și ADC rezultă că
de unde
.
În plus,
DACBAE
și CAB este unghi comun, rezultă că
CAEDAB,
adică EAC ~BAD.
Din ABE ~ ADC rezultă:
.
Din EAC ~ BAD rezultă că:
.
Punctele C, B și E sunt coliniare dacă și numai dacă CB + BE = CE adică, dacă și numai dacă:
,
adică, dacă și numai dacă:
ABCD ADBC ACBD.
D. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII FOLOSIND REZULTATUL DINTR-UN PUNCT EXTERIOR UNEI DREPTE SE POATE DUCE O PERPENDICULARĂ ȘI NUMAI UNA PE ACEA DREAPTĂ
Fie d o dreaptă și fie punctele A, B și C. Pentru a demonstra că punctele A, B și C sunt coliniare este suficient să arătăm că dreptele AB și AC sunt amândouă perpendiculare pe dreapta d.
Problema 26.
În triunghiul ABC, bisectoarea interioară BB′ este paralelă cu tangenta la cercul circumscris triunghiului ABC, dusă în punctul T diametral opus lui A. Să se demonstreze că B′, aparținând laturii AC, centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC și mijlocul M al laturii BC sunt coliniare.
Rezolvare.
Notăm cu P punctul în care tangenta în T la cerc intersectează dreapta AC. Avem că:
.
Acum:
și deci:
.
Cum rezultă că , deci, triunghiul BB′C este isoscel și în continuare, B′M BC . Cum OM BC rezultă că punctele B′, O și M sunt coliniare.
Problema 27.
Cercurile (C) de centru O și (C′) de centru O′ sunt secante în A și B și au centrele de
aceeași parte a dreptei AB. Să se arate că dacă A și A sunt puncte diametral opuse lui A în (C), respectiv (C′), atunci B, A și A sunt puncte coliniare.
Rezolvare.
Cum
rezultă că AB AB și respectiv, AB AB.
Prin urmare, punctele B, A și A sunt puncte coliniare.
Problema 28.
Într-un trapez isoscel, mijloacele bazelor și punctul de intersecție al diagonalelor sunt coliniare.
Rezolvare.
Fie M și P mijloacele bazelor CD, respectiv AB și O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD.
Din triunghiurile isoscele DOC și AOB rezultă că OM CD și OP AB.
Din OM CD, OP AB și CD || AB rezultă că punctele M, O și P sunt coliniare.
Problema 29.
Pe segmentul AB se consideră punctul arbitrar M. Cercurile circumscrise pătratelor AMCD și BMEF, de laturi AM și MB, pătrate construite de aceeași parte a dreptei AB, se intersectează în M și N. Să se arate că A, E și N sunt coliniare. De asemenea, B, C și N sunt coliniare.
Rezolvare.
Deoarece
rezultă că
AN NB.
Cum
rezultă că
EN NB .
Prin urmare, punctele A, E și N sunt coliniare.
Analog se arată că B, N și C sunt coliniare.
2.1.3. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII FOLOSIND RECIPROCA TEOREMEI LUI MENELAOS
Teorema lui Menelaos: Fie ABC un triunghi și fie punctele M, N și P pe dreptele BC, CA și AB, fără ca vreunul dintre ele să coincidă cu vreun vârf al triunghiului. Dacă punctele M, N și P sunt coliniare atunci are loc relația:
Demonstrație.
Proiectăm vârfurile triunghiului ABC pe dreapta determinată de cele trei puncte coliniare M, N și P. Se obțin astfel trei puncte A′, B′ și C′.
Este ușor de observat că:
MBB′~ MCC′, NCC′~ NAA′, PAA′~ PBB′ .
Din triunghiurile asemenea formate rezultă:
.
Înmulțind aceste trei egalități obținem:
.
Reciproca teoremei lui Menelaos: Fie triunghiul ABC și fie punctele M, N și P (presupunem că două dintre punctele M, N și P sunt situate pe două laturi ale triunghiului, iar al treilea punct este situat pe prelungirea celei de-a treia laturi sau că toate punctele sunt pe prelungirile laturilor triunghiului). Dacă are loc egalitatea: atunci punctele M, N și P sunt coliniare.
Demonstrație.
Presupunem că M este pe prelungirea laturii BC. Dreapta MN intersectează latura AB în C″.
Aplicăm teorema lui Menelaos pentru punctele coliniare M, N și R. Rezultă:
,
dar cum, rezultă R = P, adică, punctele M, N și P sunt coliniare.
Cum reciproca teoremei lui Menelaos constituie una dintre principalele metode de demonstrare a coliniarității unor triplete de puncte, în continuare sunt prezentate aplicații ce pun in evidență eleganța pe care o implică folosirea acestei teoreme în rezolvarea problemelor de coliniaritate.
Problema 30.
O dreaptă taie laturile BC, AC și AB ale unui triunghi ABC, în punctele A′, B′ și respectiv C′. Se iau simetricele M, N și P ale fiecăruia din aceste puncte față de mijlocul laturii pe care este situat. Să se arate că punctele M, N și P sunt coliniare.
Rezolvare.
Deoarece A′, B′ și C′ sunt coliniare, avem:
.
Din ipoteză, deoarece A este mijlocul laturii BC, rezultă:
Analog, B și C sunt mijloacele laturilor AC și AB, avem că:
.
Prin urmare, utilizând prima parte a ipotezei avem:
.
Conform reciprocei teoremei lui Menelaos rezultă că punctele M, N și P sunt coliniare.
Problema 31.
Se dă triunghiul oarecare ABC și fie punctul D, aparținând laturii BC astfel încât BC3DC. Notând cu E mijlocul medianei CC′, să se arate că punctele A, D și E sunt coliniare.
Rezolvare.
Deoarece
atunci conform reciprocei teoremei lui Menelaos rezultă că punctele A, E și D sunt coliniare.
Problema 32.
Fie un triunghi oarecare ABC și B′, C′ două puncte arbitrare considerate pe laturile CA și AB, iar A mijlocul laturii BC. Paralela dusă prin A la BC intersectează dreapta B′C′ în M; AC′ și AB′ intersectează pe CA, respectiv AB, în punctele N și P. Să se demonstreze că punctele M, N și P sunt coliniare.
Rezolvare.
Fie D și E punctele unde paralela prin A taie dreptele AB′, respectiv AC′. Utilizând
teorema lui Menelaos pentru triunghiul ADE tăiat de transversalele MB′C′, NAB′ și respectiv PAC′, obținem:
care înmulțite membru cu membru dau:
Din asemănarea triunghiurilor AC′E și C′BA, AB′D și AB′C rezultă
care ridicate la pătrat și înmulțite ne dau:
,
de unde rezultă că:
,
și conform reciprocei teoremei lui Menelaos, punctele M, N și P sunt punctecoliniare.
Problema 33.
Să se demonstreze că picioarele bisectoarelor exterioare ale unui triunghi sunt trei puncte coliniare.
Rezolvare.
Notăm laturile triunghiului ABC: BC = a, AC = b, AB = c și fie A, B, C picioarele bisectoarelor exterioare, respectiv pe prelungirile laturilor AB, AC și AB. Utilizând teorema bisectoarei avem că:
Înmulțind aceste trei relații, membru cu membru, obținem:
și deci punctele A, B, Csunt coliniare.
Problema 35.
Fie un triunghi oarecare ABC, în care se duc înălțimile AA, BB, CC și medianele AA′, BB′, CC′.
Să se demonstreze că punctele {M} = BCBC′, {N} = CACA′, {P}=ABAB′ sunt coliniare.
Rezolvare.
Aplicăm teorema lui Menelaos pentru triunghiul ABC și transversalele MC′B, NA′C, respectiv PB′A, și obținem:
care prin înmulțire membru cu membru ne dă:
Pentru a arăta că se aplică teorema lui Menelaos triunghiurilor AAC și AAB, tăiate de transversalele BHC, respectiv CHC, unde H este ortocentrul triunghiului ABC și înmulțim între ele relațiile obținute. Cum rezultă că punctele M, N și P sunt coliniare.
2.2. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII FOLOSIND METODA ANALITICĂ
Dacă M(x,y), N(x,y) și P(x,y) sunt trei puncte date prin coordonatele lor, atunci condiția ca M, N și P să fie coliniare este ca ecuația dreptei determinată de două dintre ele să fie verificată de coordonatele celui de al treilea. Deci,
Condiția necesară și suficientă ca M, N și P să fie coliniare este:
.
Problema 40. (Teorema lui Gauss – Newton)
Se dă patrulaterul complet, laturile căruia au ecuațiile:
2x – y – 2 = 0, 3x – y – 3 = 0, 6x + y + 2 = 0 și x + 3y – 11 = 0.
Să se demonstreze că mijloacele diagonalelor acestui patrulater sunt trei puncte coliniare.
Demonstrație.
Aflăm coordonatele vârfurilor patrulaterului, intersectând două câte două ecuațiile
laturilor:
A(1,0), B(0, – 2), C(– 1,4), D(2,3), E(, F(.
Dacă M este mijlocul laturii AC, atunci M(0,2).
Dacă N este mijlocul laturii BD, atunci N(.
Dacă P este mijlocul laturii EF, atunci P.
Pentru punctele M, N și P astfel determinate calculăm determinantul:
,
deci, punctele M, N și P sunt coliniare.
Problema 41. (Dreapta lui Euler)
Fie ABC un triunghi oarecare. Să se demonstreze că ortocentrul, H, centru de greutate, G și centrul cercului circumscris triunghiului, O, sunt trei puncte coliniare.
Demonstrație.
Considerăm drept sistem de axe latura BA și înălțimea CD, deci originea sistemului este D și fie A(a,0), B(b,0) și C(0,c).
Ecuația dreptei CD este x = 0, iar ecuația dreptei AB este y = 0.
Ecuația dreptei AC este , deci cx + ay – ac = 0.
Dacă notăm cu m panta dreptei AC, atunci, deoarece BB′AC rezultă că panta lui BB′ este. Dar, panta lui AC este , deci panta lui BB′ este , de unde rezultă că ecuația lui BB′ este , adică ax – yc ba 0 .
Coordonatele lui H se obțin intersectând CD cu BB′, de unde obținem .
Coordonatele lui G sunt .
Punctul O este intersecția dintre mediatoarea laturii AB și mediatoarea laturii AC.
Mediatoarea laturii AB are ecuația .
Mijlocul lui AC are coordonatele , deci mediatoarea lui AC are ecuația.
Intersectând ecuațiile celor două mediatoare obținem .
Calculăm determinantul, înlocuind coordonatele punctelor H, G și O:
,
deci, punctele H, G și O sunt coliniare.
Problema 42.
Se dă triunghiul ABC. O paralelă la latura BC întâlnește pe AB în D și pe AC în E. Se duc DG și EF perpendicularele pe BC. Să se demonstreze că mijlocul laturii BC, mijlocul înălțimii dusă din A și centrul dreptunghiului DEFG sunt coliniare.
Rezolvare.
Luăm ca axe de coordonate latura BC și înălțimea dusă din A pe BC, deci A(0,a), B(b,0) și C(c,0).
Ecuația dreptei AO este x = 0.
Ecuația dreptei BC este y = 0.
Fie P mijlocul lui AO. Atunci,P.
Fie M mijlocul lui BC. Atunci, MDD.
Deoarece DE || BC rezultă că ecuația dreptei DE este x .
Ecuația dreptei AB este
Dar, , deci D .
Analog, E.
Cum F este proiecția lui E pe AC rezultă că F.
Din
rezultă că M, N și P sunt coliniare.
Problema 43.
Se dau două cercuri tangente interior în O. Diametrul prin O le mai taie în A și B. Din mijlocul P al segmentului AB se duce perpendiculara pe AB și din același punct, de aceeași parte a diametrului, se duce tangenta la cercul interior. Fie D punctul de contact al tangentei și M punctul de intersecție al perpendicularei cu cercul exterior. Să se demonstreze că O, M și D sunt coliniare.
Rezolvare.
Considerăm sistemul de coordonate cu originea în O, diametrul ca axă orizontală și
tangenta în O ca axă verticală.
Atunci O(0,0), O(r,0), A(2r,0), O(r,0), B(2r,0), P(r+r,0), iar cercurile au ecuațiile:
C1:, C2: .
M reprezintă intersecția dreptei PM, de ecuație r r x și C2, deci
.
Considerând sistemul și punând condiția să aibă soluție unică obținem D(.
Deoarece
rezultă că O, D și M sunt coliniare.
2.3. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII FOLOSIND NUMERELE COMPLEXE
Propoziția 1.
Dacă M și M sunt puncte cu afixele z1 și z, atunci mijlocul M al segmentului MM are afixul .
Propoziția 2.
Dacă M, M, M, M sunt de afixe z, z, z, z, atunci M, M, M, M sunt vârfurile unui paralelogram dacă z + z = z + z.
Propoziția 3.
Dacă M și Msunt puncte cu afixele z și z0, iar z z, atunci [OM și [OM coincid dacă 0 și sunt opuse dacă 0 .
Propoziția 4.
Dacă M, N și P sunt puncte de afixe z, z, z, atunci P MN dacă și numai dacă
.
Condiția de coliniaritatea a punctelor M, N și P de afixe z, z, z este:
.
Problema 44.
Într-un triunghi ABC, centrul de greutate, G, ortocentrul, H și centrul cercului circumscris triunghiului, O, sunt puncte coliniare.
Demonstrație.
Fie a, b și c afixele punctelor A, B și C.
Considerăm sistemul de coordonate cu originea în O.
G va avea afixul .
Fie Q simetricul lui O față de BC. Atunci, AO = OB = BQ = CQ, deci COBQ este paralelogram, de unde rezultă că OQ și BC au același mijloc, care conduce la faptul că afixul Q este b + c.
Pe de altă parte, AHQO este paralelogram, deci HO și AQ au același mijloc, deci afixul lui H este a + b + c, de unde rezultă că O GH dacă
,
care revine la faptul că O, G și H sunt coliniare dacă R, ceea ce este adevărat, deci
punctele O, G și H sunt coliniare.
Problema 46.
Fie ABC un triunghi și punctele M, N și P pe dreptele BC, CA și AB, dar fără ca vreunul din aceste puncte să coincidă cu vreun vârf. Punctele M, N și P sunt coliniare dacă și numai dacă .
Rezolvare.
Fie , a, b și c afixele punctelor A, B și, respectiv C.
Atunci, afixele punctelor M, N și P, notate prin m, n și p sunt date de formulele
.
Scriind aria triunghiului MNP în funcție de afixele vârfurilor avem:
Deoarece
iar
rezultă că M, N și P sunt coliniare dacă și numai dacă A 0, echivalent cu 1.
2.4. DEMONSTRAREA COLINIARITĂȚII FOLOSIND METODA VECTORIALĂ
Dacă punctele A, B și C sunt coliniare, atunci vectorii AB și AC vor fi coliniari, deci există un număr real r astfel încat AB = r.AC, r va reprezenta raportul în care punctul A împarte segmentul BC.
O condiție necesară și suficientă ca punctele A, B și C să fie coliniare este să existe trei numere q, r și s, nu toate nule, dar având suma 0, astfel încât să fie verificată relația:
q r s 0.
Problema 47. (Teorema lui Menelaos)
Condiția necesară si suficientă ca trei puncte P′, Q′ și R′, situate pe laturile unui triunghi PQR să fie coliniare este ca rapoartele să verifice condiția pqr 1.
Rezolvare.
Vom presupune că punctele P′, Q′ și R′ sunt definite de P, Q și R. Numerele p, q și r nu depind de alegerea punctului O. Să alegem O = P′. Din ipoteză avem:
, =, ==.
Punctele O = P′, Q′ și R′ sunt coliniare dacă există un număr real k astfel încât . Rezultă condiția (1r)( q ) k(1q)( rp ).
Punctele O, R și P nu pot fi coliniare. Ultima egalitate conduce la relațiile
r).q = k(1-q) și 1- r = – krp(1-q).
Eliminând k obținem pqr 1 și deci teorema este demonstrată.
Problema 48.
În patrulaterul ABCD fie SAB, PCD astfel încât .
Să se demonstreze că mijloacele segmentelor BC, SP și AD sunt coliniare.
Rezolvare.
Din ipoteză avem:
.
Dacă M, N și Q sunt mijloacele segmentelor PS, AD respectiv BC avem:
,
iar relația devine
,
adică, punctele M, N și Q sunt coliniare.
Problema 49.
Se prelungesc laturile AB și AD ale unui paralelogram ABCD cu segmentele BM=AD
și DN = AB. Să se demonstreze că punctele M, C și N sunt coliniare.
Rezolvare.
Notăm =k. Atunci .
În triunghiurile CBM și CDN vectorii CM și CN se exprimă prin relațiile:
.
Substituind valorile vectorilor și obținem
și
,
deci, , adică, CM și CN sunt coliniari, echivalent cu M, C și N puncte coliniare.
2.5. APLICAȚII REMARCABILE
DREAPTA LUI SIMSON-WALLACE
Proiecțiile ortogonale ale unui punct pe cercul circumscris triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.
Demonstrație.
Fie D proiecția lui M pe BC, E proiecția lui M pe AC și F proiecția lui M pe AB. Vom uni separat E cu F și E cu D.
Patrulaterele AEMF, MEDC, FBDM sunt inscriptibile. Avem:
m(DEC)=m(DMC)=90-m(FAM)=m(FMA)=m(FEA).
Deci
m(DEC)= m(FEA) (opuse la vârf) și deci D, E și F sunt coliniare.
DREAPTA LUI EULER
În orice triunghi ortocentrul (H), centrul de greutate (G) și centrul cercului circumscris triunghiului (O) sunt coliniare. Dreapta determinată de aceste puncte se numeste dreapta lui Euler.
Demonstrație.
1) Dacă triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele trei puncte se găsesc pe o mediană.
2) Fie triunghiul ABC ascuțitunghic. În cazul în care ABC este obtuzunghic, considerațiile de mai jos rămân valabile.
HAB~OA′B′ (au laturile paralele).
Din teorema fundamentală a asemănării, avem:
Dar și OGA′~HGA, conform cazului al doilea de asemănare, de unde rezultă
OA′GAGH.
Va rezulta că punctele O,G și H sunt coliniare.
DREAPTA ORTICĂ
Fie triunghiul ABC și fie:
A′= PrA , B′= PrB și C′= PrC.
Fie
BC B′C′={M}, AB A′B′={N} și AC A′C′={P}.
Atunci punctele M, N și P sunt coliniare. Dreapta determinată de aceste puncte se
numeste dreapta ortică.
Demonstrație.
Se aplică teorema lui Menelaos în următoarele cazuri:
ABC și A′, C′, P – coliniare,
ABC și B′, C′, M – coliniare,
ABC și A′, B′, N – coliniare
și se obțin relațiile:
Se aplică apoi în triunghiul ABC, teorema lui Ceva, unde: AA′ BB′ CC′={H} și
avem relația:
.
Prin înmulțirea relațiilor (1), (2), (3) și (4) se va obține:
ceea ce înseamnă că punctele M, N și P sunt coliniare.
TEOREMA LUI DESARGUES
Dacă două triunghiuri au vârfurile două câte două pe trei drepte concurente, atunci
laturile lor se intersectează două câte două în trei puncte coliniare.
Demonstrație.
Fie
BC EF ={M},
AB DE= {P},
AC DF= {N}.
În triunghiul OEF tăiat de transversala M – B – C, avem:
.
Analog,
,
de unde,
,
adică, conform teoremei lui Menelaos pentru triunghiul DEF, punctele M, N și P sunt coliniare.
TEOREMA LUI CARNOT
Dacă un cerc taie laturile unui triunghi în punctele D, M, E, N, F, P atunci
.
Demonstrație.
Cum
și
rezultă că:
TEOREMA LUI PASCAL
Laturile opuse ale unui hexagon înscris într-un cerc se intersectează în puncte coliniare.
Demonstrație.
Fie
ME AB = {S}.
PD AC = {R},
FN BC = {Q},
În triunghiul ABC tăiat de transversala N, F și Q avem: .
În triunghiul ABC tăiat de transversala D, P și R avem: .
În triunghiul ABC tăiat de transversala M, E și S avem: .
Deci,
însă, conform teoremei lui Carnot
și deci,
,
adică, punctele Q, R și S sunt coliniare.
DREAPTA LUI GAUSS
Mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sunt coliniare.
Demonstrație.
Se consideră triunghiul având ca vârfuri mijloacele M, N și P ale laturilor BC, CA și AB ale triunghiului ABC. Notând cu M′, N′ și P′ mijloacele diagonalelor AA′, BB′ și CC′ se observă că paralela dusă prin punctul M′ la dreapta BC conține punctele N și P (M′N || A′C și M′P || A′B). Analog, N′PM și P′MN.
Aplicând teorema lui Menelaos în triunghiul ABC, pentru punctele coliniare A′, B′ și C′, rezultă
și astfel,
adică,
.
Deoarece N′ [PM] , P′ [MN] și M′ [PN [PN] rezultă că se poate folosi reciproca
teoremei lui Menelaos pentru triunghiul MNP și punctele M′, N′ și P′, obținându-se astfel că punctele M′, N′ și P′ sunt coliniare, dreapta M′N′ numindu-se dreapta lui Gauss.
CAPITOLUL 3
CONCURENȚĂ ÎN PLAN
Problemele privind concurența unor drepte, la fel ca problemele de coliniaritate a unor puncte, prezintă adevăruri care sunt, în general, adevăruri ușor de intuit, însă a căror demonstrație riguroasă cere raționamente precise și o gamă variată de tehnici specifice. În acest gen de probleme avem de stabilit, pe baza unor judecăți logice că, dacă două drepte notate a și respectiv b au un punct comun X, atunci Y și Z fiind puncte aparținând unei drepte c, pentru a arăta că dreptele a, b și c sunt concurente trebuie demonstrată coliniaritatea punctelor X, Y și Z.
Astfel de drepte le întâlnim în triunghiuri ca mediane, mediatoare, înălțimi, bisectoare, de asemenea, în paralelograme sau trapeze ca diagonale, precum și în probleme combinate. Rezolvarea se bazează, în prima fază, pe găsirea punctului de intersecție, X, a două drepte a și b, apoi în raport cu datele problemei, se va demonstra că, o a treia dreaptă, c, trece prin același punct. Punctul respectiv, găsit, va fi punctul de concurență al dreptelor date.
În continuare, sunt prezentate unele metode, mai des utilizate, atât în gimnaziu, cât și în liceu, prioritar la rezolvarea acestui tip de probleme de geometrie plană.
3.1. DEMONSTRAREA CONCURENȚEI FOLOSIND UNICITATEA MIJLOCULUI UNUI SEGMENT
Pe dreapta d se identifică punctele A și B, iar pe dreapta d se identifică punctele C și D, astfel încât segmentele AB și CD să aibă același mijloc.
De reținut că, această metodă funcționează și în situația în care trebuie demonstrată concurența mai multor drepte.
Problema 1.
Fie rombul ABCD, AC fiind diagonala mare a rombului și A, A, C, Cproiecțiile punctelor A și C pe laturile opuse. Să se demonstreze că dreptele AC, AC, AC și BD sunt concurente.
Rezolvare.
Cum AC || AC, AA || CC și m(A) = 90 rezultă că patrulaterul AACC este dreptunghi. Diagonala AC trece prin mijlocul O al lui AC. Analog, se arată că și ACtrece prin mijlocul lui AC.
Problema 2.
Fie triunghiul ABC, înscris în cercul de centru O, și D punctul diametral opus lui A. Paralelele prin D la AB și AC intersectează cercul circumscris triunghiului în punctele E și, respectiv, F, iar laturile AC și AB în M, respectiv N. Să se arate că dreptele AD, CF, BE și MN sunt concurente.
Rezolvare.
Cum patrulaterele ABDE și ACDF sunt dreptunghiuri, rezultă că BE și CF sunt diametre în cerc. Patrulaterul AMDN este paralelogram, de unde rezultă că MN trece prin mijlocul lui AD, adică prin O.
Deci prin urmare, dreptele AD, CF, BE și MN sunt concurente.
3.2. DEMONSTRAREA CONCURENȚEI FOLOSIND PROPRIETĂȚILE LINIILOR IMPORTANTE ÎN TRIUNGHI
În unele probleme de geometrie plană, demonstrarea concurenței unor drepte se reduce la găsirea unui triunghi în care dreptele respectice sunt înălțimi sau mediane sau mediatoare sau bisectoare.
Problema 3.
În planul unui triunghi oarecare ABC, având lungimile laturilor a, b, respectiv c, se construiesc în exteriorul triunghiului, triunghiurile BCD, ACE și ABF astfel încât
AE = FA = a, BD = FB = b și DC = CE = c.
Să se demonstreze că perpendicularele duse din D, E și F respectiv pe BC, AC și AB sunt concurente într-un punct H.
Rezolvare.
Cum patrulaterele FBCA și ABCE sunt paralelograme, rezultă că punctele F, A și E sunt coliniare.
Analog, punctele F, B și E, respectiv D, C și E sunt coliniare.
Prin urmare, FDE este un triunghi în care FE este paralelă cu BC, FD paralelă cu AC și DE paralelă cu AB.
Perpendicularele duse din D, E și F respectiv pe BC, AC și AB sunt perpendiculare și pe FE, FD și DE. Prin urmare, ele sunt înălțimile triunghiului FDE, care, este știut, sunt concurente în H.
Problema 4.
Pe catetele AC și AB ale unui triunghi dreptunghic ABC ( m (), se construiesc în exterior, pătratele ACDE și ABFG. Să se arate că dreptele BD și CF se intersectează pe înălțimea AH a triunghiului ABC.
Rezolvare.
Notăm cu I intersecția dreptelor ED și FG. Din congruența triunghiurilor GAI și ABC rezultă că GAI , adică punctul I este situat pe înălțimea AH. Triunghiurile ABI și BFC sunt congruente, de unde rezultă că BI CF . De asemenea, BD CI . Atunci CF, IH și BD sunt înălțimile triunghiului BIC.
3.3. DEMONSTRAREA CONCURENȚEI FOLOSIND RECIPROCA TEOREMEI LUI CEVA
Teorema lui Ceva: Fie ABC un triunghi și fie punctele A′, B′ și C′ pe laturile BC, CA și AB. Dacă dreptele AA′, BB′ și CC′ sunt concurente, atunci:
.
Demonstrație.
Fie P punctul de intersecție a dreptelor AA′, BB′ și CC′.
Aplicăm teorema lui Menelaos pentru triunghiul AA′B și punctele coliniare C – P – C′.
Rezultă:
.
Teorema lui Menelaos aplicată în triunghiul AA′C și punctele coliniare B – P – B′ conduce la:
.
Înmulțind aceste două relații se obține:
.
Reciproca teoremei lui Ceva: Fie A′, B′, C′ trei puncte situate pe laturile BC, AC și AB ale triunghiului ABC. Dacă , atunci dreptele AA′, BB′ și CC′ sunt concurente.
Demonstrație.
Fie P punctul de intersecție dintre BB′ și CC′ și fie A″ intersecția lui PA cu BC.
Teorema lui Ceva pentru triunghiul ABC și dreptele concurente AA″, BB′ și CC′:
,
relație care împreună cu cea din enunț conduce la:
.
Deoarece A′ și A″ sunt puncte interioare segmentului BC, obținem că A″A′ .
Observație. Reciproca teoremei lui Ceva este adevărată și în cazul în care unul dintre punctele A′, B′, C′ se găseste pe o latură a triunghiului, de exemplu A′ aparține laturii BC, iar celelalte două puncte B′ (aparține dreptei AC) și C′ (aparține dreptei AB) verifică condiția că BB′ nu este paralelă cu CC′.
Reciproca teoremei lui Ceva furnizează o metodă relativ unitară pentru stabilirea concurenței a trei drepte.
Problema 5.
Se dă trapezul ABCD, cu AB baza mică, și cercul de centru O tangent laturilor BC, AD și AB, respectiv în punctele E, F și H. Dacă I este punctul de intersecție al laturilor AD și BC, să se demonstreze că dreptele AE, BF și IH sunt concurente.
Rezolvare.
Din ipoteză rezultă că
HA = FA, EB = HB, EI = FI.
Înmulțind între ele aceste egalități obținem:
HAEBEI FAHBFI .
Împărțind această egalitate prin membrul drept obținem
,
și deci, dreptele AE, BF și IH sunt concurente.
Problema 6.
În triunghiul ABC se duc înălțimile AA′, BB′ și CC′. Fie E, D și F mijloacele înălțimilor AA′, BB′ și CC′ și M, N și P mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. Să se demonstreze că dreptele MD, NE și PF sunt concurente.
Rezolvare.
Unind mijloacele laturilor BC, CA și AB se obține triunghiul MNP. Înălțimile MM′, NN′ și PP′ ale triunghiului MNP, fiind mediatoarele triunghiului ABC, sunt concurente într-un punct O și verifică relația:
.
Cum
M′N DP, N′P FM, N′M EP
și
ME PN′, MP′FN, ND PM′
rezultă că
,
și deci, dreptele MD, NE și PF sunt concurente.
Problema 7.
Se dă triunghiul dreptunghic ABC. Pe cateta AC se ridică în C, perpendiculara CC′ cu CC′ = AC, iar pe cateta AB se ridică în B, perpendiculara BB′ cu BB′ = AB. Să se arate că dreptele BC′ și CB′ se întâlnesc pe înălțimea AA′.
Rezolvare.
Notăm cu D și E punctele de intersecție ale dreptelor AB și B′C, respectiv AC și BC′.
Din triunghiul dreptunghic ABC avem relațiile:
AB BCBA′ și AC BCCA′ ,
de unde
.
Din triunghiurile asemenea BAE și C′CE rezultă
,
dar CC′AC.
Din asemănarea triunghiurilor DBB′ și DAC rezultă
,
dar BB′AB.
Înmulțind membru cu membru relațiile
,
,
rezultă:
.,
și prin urmare, dreptele BC′, CB′ și AA′ sunt concurente.
3.4. DEMONSTRAREA CONCURENȚEI PRIN COLINIARITATE
Între problemele de concurență și problemele de coliniaritate există o strânsă legătură; o problemă de concurență, asa cum s-a arătat și la începutul acestui capitol, poate fi transformată într-o problemă de coliniaritate după următoarea schemă: pentru a dovedi că dreptele a, b și c sunt concurente vom considera punctul X comun dreptelor a și b, și luăm punctele Y și Z pe dreapta c. În aceste fel, problema revine la a arăta coliniaritatea punctelor X, Y și Z.
Problema 8.
Fie ABCD un paralelogram și M un punct pe latura CD. Paralela prin C la diagonala BD intersectează pe AB în E și pe AM în N. Să se demonstreze că dreptele AC, ME și NB sunt concurente.
Rezolvare.
Notăm cu O punctul de intersecție al diagonalelor AC și ME ale trapezului AMCE. Se știe că punctele N, O și B sunt coliniare, prin urmare, dreapta NB trece prin O, de unde rezultă că dreptele AC, ME și BN sunt concurente.
Problema 9.
Fie ABCD și AB′C′D′ două pătrate, având laturile de aceeasi lungime. Să se demonstreze că dreptele BB′, CC′ și DD′ sunt concurente.
Rezolvare.
Fie P punctul de intersecție al dreptelor BB′ și CC′.
Se constată că
ABB′ADD′,
și atunci, patrulaterul PBCD este inscriptibil.
Avem:
m(CPB)=m(CDB)=45=m(CBD)= m(CPD).
Analog, m(CPD) )=45 , deci CPDC′PD′ de unde rezultă că D, P și D′ sunt coliniare.
Deci, dreapta DD′ trece prin P, care este punctul de intersecție al dreptelor BB′ și CC′.
Astfel BB′, CC′ și DD′ sunt concurente.
3.5. APLICAȚII REMARCABILE
PUNCTUL LUI NAGEL
Dacă A′, B′ și C′ sunt punctele de contact ale cercurilor exînscrise cu laturile triunghiului ABC (A′(BC), B′ (AC), C′ (AB)) atunci dreptele AA′, BB′ și CC′ sunt concurente într-un punct, numit punctul lui Nagel.
Demonstrație.
Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului (BC = a, AC = b, AB = c) și fie p semiperimetrul triunghiului. Notăm x = BA′, y = A′C si avem:
x + y = a și x + c = y + b
de unde rezultă
2x + c = a + b,
adică
x = p – c și y = p – b.
Prin urmare obținem:
.
Procedând în mod analog se obțin relațiile:
și
.
Înmulțind aceste trei relații obținem
și conform reciprocei teoremei lui Ceva rezultă că dreptele AA′, BB′ și CC′ sunt concurente.
PUNCTUL LUI GERGONNE
Într-un triunghi ABC dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale cercului înscris cu laturile opuse sunt concurente într-un punct (numit punctul lui Gergonne).
Demonstrație.
Notăm punctele de contact cu D, E și F, unde DBC, EAC și FAB.
Vom folosi reciproca teoremei lui Ceva pentru a arăta că are loc relația:
*.
Dar BD BF, CE CD și AE AF (tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente). Deci relația (*) este evidentă, ceea ce înseamnă că AD, BE și CF sunt concurente într-un punct.
PUNCTUL LUI NEWTON
Fie ABCD un patrulater circumscriptibil și fie A′, B′, C′ și D′ punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile patrulaterului. Atunci dreptele AC, BD, A′C′ și B′D′ trec prin același punct N, numit punctul lui Newton.
Demonstrație.
Notăm cu N= AC B′D′, a = m(AD′N) și b = m(AND′).
Se observă că
m(ND′A ) + m(NB′C) = 180 .
Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiurile NAD′ și NB′C și obținem:
.
Din aceste două egalități vom avea că
(1)
Fie N′= AC A′C′. Procedăm ca în cazul anterior si obținem:
(2)
Deoarece AA′ AD′, CC′ CB′, din (1) și (2) rezultă că N = N′, adică AC trece prin
intersecția segmentelor A′C′ și B′D′. Analog se demonstrează că N BD.
PUNCTUL LUI MIQUEL
Fie ABCD un patrulater convex și fie {E} ABCD, {F} BCAD. Cercurile circumscrise triunghiurilor ABF, ADE, CFD și ECB trec prin același punct M, numit punctul lui Miquel.
Demonstrație.
Fie M al doilea punct de intersecție al cercurilor circumscrise triunghiurilor BCE și DCF.
Deoarece CMECBA și CMFCDArezultă că
m(BAF ) + m(BMF) = m(BAF ) + m(BMC) + m(CMF) =
=m(EAD ) + m(AED) + m(ADE) =180.
Rezultă că patrulaterul ADME este inscriptibil. Prin urmare, punctul M aparține cercurilor circumscrise triunghiurilor ABF, ADE, CBE și CDF.
CAPITOLUL 4
COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ ÎN SPAȚIU
4.1. COLINIARITATE ÎN SPAȚIU
Problemele de demonstrare a coliniarității a trei sau mai multor puncte în spațiu pot fi abordate prin metode specifice geometriei spațiului și prin metode ale geometriei planului.
4.1.1. METODE DE DEMONSTRARE A COLINIARITĂȚII PUNCTELOR ÎN SPAȚIU
Metoda I.
Această metodă derivă din faptul că dacă două plane au un punct comun, atunci toate punctelor lor comune sunt coliniare. Așadar,
Dacă punctele distincte A, B, C, … se găsesc simultan în planele distincte α și β, atunci ele sunt coliniare.
Metoda II.
Această metodă derivă din teorema:
Proiecția ortogonală a unei drepte pe un plan (pe care ea nu este perpendiculară) este o dreaptă.
Deci,
Dacă trei puncte sunt coliniare, atunci proiecțiile lor pe un plan sunt coliniare și reciproc.
Metoda III.
Trei puncte sunt coliniare dacă dreptele determinate de câte două dintre ele sunt paralele cu o aceeași dreaptă.
Metoda IV.
Dacă tăiem o piramidă prin două plane paralele, care taie muchiile, atunci punctele „analoge″ ale celor două secțiuni și varful piramidei sunt coliniare.
Metoda V.
Coliniaritatea punctelor A1, A2, …, An se poate demonstra arătând, mai intâi, că ele sunt coplanare și apoi, utilizând metode ale geometriei planului.
Observație. Pentru a arăta că patru sau mai multe puncte sunt coliniare, se arată coliniaritatea oricăror trei puncte dintre ele, de unde rezultă coliniaritatea tuturor punctelor.
4.1.2. PROBLEME REZOLVATE
Problema 2.
Fie ABCA′B′C′ o prismă triunghiulară de muchii laterale AA′, BB′, CC′ și punctele A, Bși C pe muchiile AA′, BB′, CC′ astfel încât segmentele AA, BB, CCau lungimi diferite. Să se demonstreze că perechile de drepte (AB, AB), (BC, BC) și (CA, CA) sunt concurente și punctele de intersecție sunt coliniare.
Demonstrație.
AB și AB sunt drepte coplanare. Deoarece AA și BB nu sunt congruente rezultă că AB și AB nu sunt paralele, deci se intersectează într-un punct A. Fie B și Canalogele lui A. Punctele A, B și C se găsesc simultan în planele distincte (ABC) și (A′B′C′), deci, conform metodei I, ele sunt coliniare.
Problema 3.
Fie piramida patrulateră SABCD cu vârful S, O intersecția diagonalelor AC și BD, M un punct oarecare situat pe segmentul SO. Se consideră punctele A′ pe SA, B′ pe SB, C′ pe SC și D′ pe SD astfel încât dreptele A′C′ și B′D′ trec prin M. Să se demonstreze că perechile de drepte (AB, A′B′), (BC, B′C′), (CD, C′D′), (AD, A′D′), (AC, A′C′) și (BD, B′D′) se intersectează în șase puncte coliniare.
Rezolvare.
Dreptele A′C′ și B′D′ determină un plan α care conține punctele de intersecție a perechilor de drepte (AC, A′C′) și (BD, B′D′), notate cu E și F. Dreapta EF este muchia planelor α și (ABCD).
Fie G punctul de intersecție a dreptelor BC și B′C′. Atunci G se află simultan în planele α și (ABCD), și prin urmare, el este situat pe dreapta EF.
La fel se justifică apartenența celorlalte puncte de intersecție la dreapta EF.
Problema 4.
Fie cubul ABCDA′B′C′D′, în care E și F sunt mijloacele muchiilor AA′ și DD′. Pe semidreaptele [B′A′, [FE și [CB se consideră punctele M, N și, respectiv, P astfel încât . Să se demonstreze că punctele M, N și P sunt coliniare.
Rezolvare.
Fie P′ pe semidreapta [C′B′ astfel încât . Atunci PP′ este paralelă cu BB′. Planul (MPP′) este perpendicular pe planul (ABCD) și intersectează planul (ADD′A′) după o dreaptă paralelă cu P′P, deci cu muchiile laterale ale cubului. Notând cu M′, și pentru moment, Q, intersecțiile acestui plan cu dreptele A′D′ și respectiv, EF, rezultă EQ || PB și M′Q|| P′P, deci dreptele EQ și M′Q sunt în planul (MP′P). Cu aceasta se obține imediat și deci. Rezultă că Q coincide cu N și concluzia se impune.
Problema 5.
Baza unui paralelipiped oblic este un romb ABCD și muchia laterală AA′ formează cu muchiile adiacente unghiuri congruente. Fie M proiecția lui A′ pe planul bazei. Să se demonstreze că punctele A, C și M sunt coliniare.
Rezolvare.
Triunghiurile A′AB și A′AD sunt congruente. Rezultă că A′B = A′D și triunghiul A′BD este isoscel.
Mediana A′O este și înălțime.
Din A′M (ABCD) și A′O BD rezultă MO BD. Dar și AO este perpendiculară pe BD.
Cum în O nu pot fi duse două perpendiculare pe dreapta BD, rezultă că MO și AO sunt incluse amândouă în AC și deci punctele A, M și C sunt coliniare.
Problema 6.
Fie dreptele d și d și punctul O. Planul (O,d) se intersectează cu d în O și planul (O, d) se intersectează cu d în O. Să se demonstreze că O, O și O sunt coliniare.
Rezolvare.
Punctul O, fiind situat pe dreapta d, este conținut în planul (O, d). Totodată, fiind intersecția dintre dreapta d și planul (O, d) este conținut în planul (O, d). Analog, O1 fiind situat pe dreapta d, este conținut în planul (O, d) și fiind intersecția dintre dreapta d și planul (O, d2) este conținut în planul (O, d). Deci, punctele O și O sunt situate pe dreapta de intersecție a planelor (O, d) și (O, d), care trece prin punctul O, ceea ce conduce la coliniaritatea punctelor O, O și O.
Problema 9.
Arătați că dacă trei sau mai multe sfere trec printr-un acelasi cerc, atunci centrele lor sunt coliniare.
Rezolvare.
Este cunoscut că proiecția centrului unei sfere pe planul unui cerc pe care îl conține este centrul acestui cerc. Prin urmare, dacă O, O, …, O sunt centrele sferelor S, S, …, S care conțin cercul C(O,r) atunci punctele O, O, …, Ose găsesc pe perpendiculara în O pe planul cercului C(O,r).
4.2. CONCURENȚĂ ÎN SPAȚIU
A. DREPTE CONCURENTE
Problemele privind concurența dreptelor pot fi separate în:
a) probleme privind concurența a două drepte;
b) probleme privind concurența a trei sau mai multor drepte.
4.2.1. METODE DE DEMONSTRARE A CONCURENȚEI ÎN SPAȚIU
Rezolvarea problemelor privind concurența a două drepte în spațiu cuprinde tehnici foarte variate, toate acestea, cuprinse, prin ideea comună, în:
Metoda I.
Dacă dreptele a și b sunt coplanare și nu sunt paralele, atunci ele sunt concurente.
În ceea ce privește demonstrarea coplanarității a două drepte, cel mai adesea se utilizează tehnica: se identifică câte două puncte distincte pe fiecare dreaptă despre care se arată că sunt coplanare, și, atunci, evident, dreptele sunt coplanare.
Pentru rezolvarea problemelor de tipul a), cât și de tipul b) dispunem de următoarea metodă cu caracter general.
Metoda II.
Fiind date dreptele d , d , …, d într-o configurație F de puncte din spațiu, se identifică în configurația F un punct special căruia îi sunt incidente toate dreptele d , d , …, d .
Metoda III.
Dacă trei plane α, β, γ au oricare două cate două câte un punct comun, atunci muchiile a două dintre ele sunt concurente sau paralele între ele.
Metoda IV.
Dacă trei drepte , și nu toate în același plan, sunt oricare două concurente, atunci dreptele , și au un punct comun.
Metoda V.
Constatând că trei drepte, rezultate dintr-o construcție în spațiu, sunt în fapt coplanare, atunci concurența lor poate fi demonstrată prin mijloace geometrice plane.
4.2.2. PROBLEME REZOLVATE
Problema 10.
Se consideră tetraedrul ABCD în care ABCD ACBD BCAD. Să se demonstreze că segmentele care unesc vârfurile tetraedrului cu centrele cercurilor înscrise în fețele puse sunt concurente.
Rezolvare.
Fie I centrul cercului înscris în fața BCD și BB, DD, CC bisectoarele interioare ale triunghiului BCD. Atunci are loc , din care deducem că AD este bisectoare în triunghiul ABC. De aici rezultă că centru I al cercului înscris în triunghiul ABC se află pe AD. Evident, atunci AI și DI sunt concurente. Astfel, am demonstrat că oricare dintre dreptele AI, BI, CI și DI sunt concurente, și nu toate coplanare. Aplicând metoda IV rezultă că cele patru drepte sunt concurente.
Problema 12.
În planul paralelogramului ABCD se ridică perpendicularele în A și B pe care se consideră de aceeași parte a planului paralelogramului punctele A și, respectiv, B, astfel încât AA = BB. Fie P(AB), Q (CD) astfel încât (AP) (CD) . Să se demonstreze că dreptele AC, BD și PQ sunt concurente.
Rezolvare.
Segmentele ABși CD fiind paralele și congruente cu segmentul AB, sunt paralele și congruente între ele. Rezultă că punctele A, B, C și D sunt vârfurile unui paralelogram, și de aici se impune concluzia, deoarece din (AP) (CD) rezultă că PQ este paralelă cu BC și cu AD si mijlocul ei coincide cu punctul de intersecție al diagonalelor.
Problema 13.
Fie ABCD un tetraedru, M, N, P, Q, R și S mijloacele muchiilor AB, CD, AC, BD, AD și BC. Să se demonstreze că bimedianele tetraedrului (MN, PQ, RS) sunt concurente, punctul comun fiind mijlocul fiecăreia.
Rezolvare.
Deoarece MS este linie mijlocie în triunghiul ABC, iar RN este linie mijlocie în triunghiul ACD, deducem că segmentele MS și RN sunt paralele și congruente. Deci MSNR este paralelogram și atunci diagonala MN trece prin mijlocul diagonalei SR. Analog, patrulaterul PSQR este paralelogram și deci PQ trece prin mijlocul G al diagonalei SR. Astfel, segmentele MN, PQ și SR sunt concurente, punctul comun fiind mijlocul fiecăruia dintre ele.
Problema 14.
Diagonalele unui paralelipiped ABCDA′B′C′D′ sunt concurente în mijlocul lor O.
Rezolvare.
Deoarece AB || CD și CD || C′D′ rezultă AB || C′D′, deci, dreptele AB și C′D′ determină planul ABC′D′, care intersectează fețele laterale AA′D′D și BB′C′C după segmentele AD′ și BC′.
Deoarece AB = CD = C′D′ și AB || C′D′, rezultă că ABC′D′ este paralelogram, deci diagonalele sale se intersectează în mijlocul lor, O. Deci, diagonala BD′ a paralelipipedului conține punctul O și BO = OD′.
Muchiile laterale AA′ și CC′ sunt paralele și congruente, deci patrulaterul AA′C′C este paralelogram. Prin urmare, diagonala CA′ a paralelipipedului intersectează pe AC′ în mijlocul ei, O, deci, CO = OA′.
La fel, din paralelogramul BB′D′D rezultă că diagonala DB′ conține mijlocul O al diagonalei BD′ și că DO = OB′.
Problema 15.
Fie VABC o piramidă triunghiulară oarecare și VM, VN și VP înălțimile fețelor laterale. În planul bazei se ridică în punctele M, N și P perpendicularele pe laturile bazei. Să se demonstreze că aceste perpendiculare sunt concurente.
Rezolvare.
Fie O piciorul înălțimii piramidei VABC și OM BC.
Conform teoremei celor trei perpendiculare, VM BC, deci VM este tocmai înălțimea triunghiului VBC.
Analog, VN și VP.
Cele trei perpendiculare trec prin O, deci ele sunt concurente.
ele A′D, B′E și C′F sunt concurente.
B. PLANE CONCURENTE
Planele le numim plane concurente dacă sunt distincte și au o dreaptă comună. Două plane care au un punct comun au o dreaptă comună; faptul că trei plane au o dreaptă comună este o proprietate accidentală, în general vorbind, trei plane au un singur punct comun.
4.2.3. METODE DE DEMONSTRARE A CONCURENȚEI ÎN SPAȚIU
Teorema care afirmă dă două plane care au un punct comun și sunt paralele cu o dreaptă a, se intersectează după o dreaptă paralelă cu dreapta a ne oferă o primă metodă de a proba că trei plane sunt concurente.
Metoda I.
Dacă planele au un punct comun și sunt paralele cu dreapta d, atunci ele sunt concurente.
Metoda II.
Dacă planele au un punct comun și intersectează un plan după trei drepte concurente, atunci planele au o dreaptă comună.
Metoda III.
Dacă planele au un punct comun și sunt perpendiculare pe un plan atunci cele trei plane au o dreaptă comună.
4.2.4. PROBLEME REZOLVATE
Problema 17.
Să se demonstreze că planele duse prin muchiile unui unghi triedru și sunt perpendiculare pe fețele opuse au o dreaptă comună.
Rezolvare.
Fie (OA, (OB, (OC muchiile triedrului.
Planele și duse prin (OB, respectiv (OC și sunt perpendiculare pe fețele opuse acestor muchii intersectează aceste fețe după semidreptele (Ox și (Oy. Să considerăm un punct oarecare M pe muchia (OA și să notăm cu P și N punctele de intersecție ale perpendicularelor din M pe (Ox, respective (Oy cu (OB, respectiv cu (OC.
Atunci MP este perpendiculară pe , iar MN este perpendiculară pe, deoarece perpendicular pe planul (AOC), iareste perpendicular pe planul (AOB).
Dacă OH este intersecția planelor și cu H(MNP), avem că MP este perpendiculară pe NH și MN este perpendiculară pe HP, deci H este ortocentrul triunghiului MNP.
Deducem că MH este perpendiculară pe NP. Deoarece MP este perpendiculară pe planul și MP este conținută în planul (MNP), rezultă că planele (MNP) și sunt perpendiculare. Analog se arată că planele (MNP) și sunt perpendiculare.
Atunci, planul (MNP) este perpendicular pe muchia planelor și , care este OH. Rezultă că OH este perpendiculară pe NP și cum NP este perpendiculară pe MH, deducem că NP este perpendiculară pe planul (OMH) și, în consecință, planele (ONP) și (OMH) sunt perpendiculare, ceea ce impune concluzia.
Problema 18.
Să se demonstreze că planele mediatoare ale muchiilor unui tetraedru sunt concurente.
Rezolvare.
Fie P planul mediator al muchiei VA, adică planul perpendicular pe VA în mijlocul său. La fel notăm și celelalte plane mediatoare: P, P, P, P. Planele P și P sunt concurente, fiind perpendiculare pe două drepte concurente.
Fie d, dreapta comună celor două plane mediatoare.
Rezultă că d VA și d AB, deci d (AB) .
Pentru că BC nu este paralelă cu (VAB), planul P nu este perpendicular pe planul (VAB). Deci, se va intersecta cu dreapta d într-un punct O.
Deoarece OP, OP, OP avem OV = OA, OA = OB, OB = OC, de unde
OV = OB, OA = OC și OC = OV, și deci planele P, P și P trec prin punctul O.
Problema 19.
Să se demonstreze că planele bisectoare ale diedrelor unui tetraedru sunt concurente.
Rezolvare.
Fie I punctul de intersecție al planelor bisectoare ale diedrelor de muchii BC, CA și AB în tetraedrul ABCD. Deoarece punctul I este situat în planul bisector al diedrului de muchie BC, el este egal depărtat de fețele ABC și BCD. Din aceeasi cauză, I este egal depărtat de toate cele patru fețe ale tetraedrului. Fiind egal depărtat de fețele ABD și ACD, punctul I se va afla în planul bisector al diedrului de muchie AD, precum și în planele bisectoare ale diedrelor de muchii BD și CD.
Problema 20.
Să se demonstreze că într-un tetraedru, planele mediane sunt concurente.
Rezolvare.
Fie B′ mijlocul segmentului CD și G, centrul de greutate al tetraedrului. Planul median (ABB′) trece prin G, deoarece conține mediana AG, G fiind centrul de greutate al feței BCD. Analog se demonstrează că toate planele mediane trec prin G.
Problema 21.
Fie ABC un triunghi și AA′, BB′, CC′ bisectoarele unghiurilor lui, iar O un punct arbitrar nesituat în planul ABC. Să se demonstreze că planele (OAA′), (OBB′) și (OCC′) au o dreaptă comună.
Demonstrație.
Bisectoarele AA′, BB′, CC′ sunt concurente în I. Deoarece IAA′(OAA′) rezultă că OI (OAA′). Analog, OI (OBB′) și OI (OCC′), deci planele (OAA′), (OBB′) și (OCC′) au ca dreaptă comună pe OI.
C. VARIANTE VECTORIALE PENTRU TEOREMA TRANSVERSALEI (TEOREMA LUI MENELAOS) ȘI PENTRU TEOREMA PLANULUI
În cele ce urmează, pentru doi vectori coliniari notăm cu acel număr real pentru care .
Teorema transversalei.
În triunghiul ABC, vârfurile A și B au ponderile α și β cu α + β ≠ 0, iar Q este baricentrul sistemului (A, α), (B, β). Se consideră punctele arbitrare M, N, P cu: . În aceste condiții, dreapta MN trece prin P dacă și numai dacă:.
Rezolvare.
În spațiul vectorial al vectorilor liberi din planului (ABC), alegem baza și determinăm coordonatele vectorilor în această bază. Fie .
Avem: ,
Q baricentrul sistemului (A, α), (B, β)
; .
Din relațiile (), () avem: , ().
Din relațiile (), () și () se obține:
Analog: .
Ținând seama că doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă coordonatele lor într-o bază dată sunt proporționale, folosind relațiile () și () avem succesiv: coliniari dacă și numai dacă formează o proporție coeficienții vectorilor , ceea ce, prin calcule conduce la îndeplinirea relației: .
Remarcă.
Dacă T este baricentrul sistemului (A, α), (B, β), (C,γ), atunci dreapta MN trece prin T dacă și numai dacă
.
Într-adevăr, prin efectul teoremei transversalei, avem:
Teorema planului transversal.
În tetraedrul ABCD vârfurile A, B, C au ponderile α, β și respectiv γ cu α + β + γ ≠ 0, iar Q este baricentrul sistemului (A, α), (B, β), (C,γ). Se consideră punctele arbitrare M, N, P, S cu: . În aceste condiții, planul (MNP) trece prin S dacă și numai dacă:
.
Demonstrație.
Planul (ADQ) intersectează dreapta BC în U, iar dreapta NP în V. Din ipoteza că punctul ponderat (Q, α + β + γ) este baricentrul sistemului(A, α), (B, β), (C,γ) rezultă că (U, β + γ) este baricentrul sistemului (B, β), (C,γ). În triunghiul DBC, prin efectul teoremei transversalei, avem: . Invocând din nou teorema transversalei în triunghiul DAU și folosind relația anterioară, avem:
Remarcă.
Dacă T este baricentrul sistemului(A, α), (B, β), (C,γ), (D,δ), atunci planul (MNP) trece prin T dacă și numai dacă: .
Într-adevăr, prin efectul teoremei transversalei, avem:
D. ARTICOLE ȘI NOTE MATEMATICE. GEOMETRIE PLANĂ ȘI COORDONATE BARICENTRICE
Numeroase probleme de coliniaritate și concurență cu enunțuri clasice pot fi rezolvate simplu și elegant utilizând coordonatele baricentrice. Deși coordonatele baricentrice reprezintă un capitol sărac în literatura matematică românească, dat pe nedrept uitării, voi prezenta în cele ce urmează câteva exemple de probleme în care coordonatele baricentrice își vor arăta utilitatea.
Prezentăm, mai întâi, pe scurt, principalele noțiuni și teoreme utilizate.
Definiția 1.
Se consideră un triunghi ABC. Atunci pentru orice punct M din planul P al triunghiului, există și este unic tripletul (α, β, γ), astfel încât:
1. ;
2. α + β + γ =1.
Numerele (α, β, γ) se numesc coordonatele baricentrice ale lui M în raport cu triunghiul ABC.
Observație.
Numerele (α, β, γ) din definiția anterioară se numesc coordonate baricentrice absolute. Dacă renunțăm la condiția 2 din definiție vom folosi pentru (α, β, γ) denumirea de coordonate baricentrice neabsolute.
Teorema 1.
Fie triunghiul ABC și M un punct din planul său. Coordonatele baricentrice ale punctului M sunt:
,
unde dacă BC separă A și M, pentru prima variantă, sau dacă A și M sunt de aceeași parte a lui BC ( a doua variantă din acolada).
Teorema 2.
Fie ABC un triunghi și O un punct fix în planul său P, iar M (α, β, γ), α + β + γ =1 atunci:
a);
b) ;
c) dacă atunci:
.
Demonstrație.
a) cum α + β + γ =1 deducem că
b) se deduce din punctul a) alegând punctul X drept origine a planului.
c)
Teorema 3.
Se consideră un triunghi ABC, fix, și un punct O în planul său. Dacă vom considera punctul O ca origine a planului și notăm vectorii de poziție ai punctelor A, B, C, cu atunci pentru orice vector există și sunt unice trei numere reale (α, β, γ) , α + β + γ =0, astfel încât: . Reciproc, pentru orice numere(α, β, γ) , α + β + γ =0, există și este unic un vector .
Definiția 2.
Fie triunghiul ABC și originea O a planului. Atunci pentru orice vector există și sunt unice trei numere reale (α, β, γ) , α + β + γ =0, astfel încât: 1. ; 2. α + β + γ =0. Numerele (α, β, γ) se numesc coordonatele baricentrice ale vectorului în raport cu triunghiul ABC și scriem (α, β, γ).
Observație.
Coordonatele baricentrice ale unui vector nu depind de alegerea originii planului.
Consecință. Dacă (α, β, γ), α + β + γ =0, atunci:
Teorema 4.
Fie vectorii dați în coordonate baricentrice. Atunci sunt coliniari
Demonstrație.
avem vectoriiraportați la baza .
Analog raportăm vectorii la baza și deducem.
Teorema 5.
Fie , , , . Punctul P împarte segmentul în raportul . Atunci: .
Teorema 6.
Fie vectori (α, β, γ),α+ β+ γ= 0, (α, β, γ), α+β+ γ=0. Atunci:
.
Teorema 7.
Fie punctele . Punctele sunt coliniare dacă și numai dacă .
Observație.
Dacă un numitor este 0, atunci și numărătorul corespunzător este tot 0.
Demonstrație. . Punctele sunt coliniare dacă vectorii corespunzători de mai sus sut coliniari. Conform teoremei 6 vectorii sunt coliniari dacă și numai dacă .
Teorema 8.
Fie punctele . Punctelesunt coliniare dacă și numai dacă:.
Demonstrație. ceea ce este conform teoremei anterioare.
Observație. Teorema 8 rămâne valabilă și pentru coordonatele baricentrice neabsolute.
Teorema 9 (ecuația dreptei ce trece prin două puncte). Fie. Un punct P(x, y, z) este situat pe drepta dacă și numai dacă: .
Teorema 10. Arătați că fiind date numerele reale a, b, c mulțimea reprezintă o dreaptă.
Demonstrație. Vom arăta că orice trei puncte P(x, y, z),, din mulțime, sunt coliniare. Conform teoremei 7 este suficient să demonstrăm că . Avem ax+by+c(1- x- y)=0 și ax+by+c(1- x- y)=0. Prin scăderea relațiilor și gruparea corespunzătoare a cantităților, obținem : .
Analog, ax+by+c(1- x- y)=0 și ax+by+c(1- x- y)=0 care prin scădere conduc la și astfel deducem că .
Dacă a=c atunci =0 deoarece altfel am avea b=c, adică a=b=c, de unde rezultă că relația ax+by+cz=0 ar deveni x+y+z=0, ceea ce ar contrazice relația x+y+z=1. Deci dacă a=c atunci punctele P(x, y, z),, ar vaea a doua coordonată constantă. Atunci, conform teoremei 8 : deoarece coloanele 2 și 3 sunt proporționale și deducem din nou că punctele sunt coliniare.
Definiția 3. Ecuația generală a unei drepte scrisă în coordinate baricentrice este:
d: ax+by+cz=0, a,b,c numere reale, cel puțin două dintre ele distincte.
Teorema 11. Trei drepte d, , d= ax+by+cz=0, sunt concurente dacă și numai dacă : .
Demonstrație. Căutăm să găsim un triplet (x,y,z) care să reprezinte coordonatele baricentrice absolute ale unui punct situat simultan pe cele trei drepte :
.
Sistemul format din ultimele trei ecuații este omogen. Pentru a admite soluții nebanale deducem că : .
Prezentăm în continuare câteva probleme selectate din concursurile de matematică sau din unele reviste de matematică. Coordonatele baricentrice se utilizează foarte ușor la probleme legate de puncte remarcabile.
1. Dreapta lui Euler corespunzătoare triunghiului ABC, intersectează laturile BC, CA respectiv AB în punctele M, N respectiv P. Arătați că :
Demonstrație. Știm că G(1/3, 1/3, 1/3), O
Rezultă că
2. Fie M un punct interior triunghiului ABC, BC=a, CA=b, AB=c, G centrul de greutate, I centrul cercului înscris. Să se arate că punctele M, G, I sunt coliniare dacă și numai dacă :
Rezolvare. Ecuația dreptei GI în coordonate baricentrice este :
GI : (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0.
De asemenea: . Înlocuind, obținem exact condiția din enunț. (am notat cu S=).
3. Fie triunghiul ABC, astfel încât , iar G și I centrul de greutate respectiv centrul cercului înscris în triunghi. Arătați că dreptele BN, CM, GI sunt concurente dacă și numai dacă:
Rezolvare.
și împărțim cu mn.
4. Mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sunt coliniare.
Rezolvare. Avem A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(a,b,c).
BC: x=0, CA: y=0, AB: y=0
AD: yc – bz =0,
CD: bx – ay=0, .
Mijlocul lui AC este M(1/2,0,1/2). Mijlocul lui BD este N (a/2, (b+1)/2, c/2). Mijlocul lui EF este P Punctele M, N, P sunt coliniare dacă și numai dacă:=0. Prin calculul determinantului de obține0.
5. Fie triunghiul ABC și trei puncte în planul său. Prin fiecare punct Q, ducem cevienele Arătați că dreptele sunt concurente dacă și numai dacă:
Rezolvare. . Ecuațiile dreptelor sunt: Condiția de concurență a trei drepte conduce la concluzia problemei.
6. Într-un triunghi, dreptele care unesc picioarele înălțimilor corespunzătoare vârfurilor B și C, picioarele bisectoarelor corespunzătoare vârfurilor B și C și punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile AB și AC sunt concurente.
Demonstrație.
punctul lui Gergonne .
Cele trei drepte din enunț sunt concurente dacă:
utilizând formulele
Notăm
7. Pe laturile AB, AC ale triunghiului ABC considerăm punctele M, Q. Notăm Arătați că BM, CN, PQ sunt concurente dacă și numai dacă
Rezolvare. A(1,0,0), B(0,1,0),C(0,0,1),
.
Dreptele BM, CN, PQ sunt concurente dacă , ceea ce conduce la
CAPITOLUL 5
CONSIDERAȚII METODICE
5.1. ASPECTE PSIHO – PEDAGOGICE ȘI METODICE PRIVIND PREDAREA GEOMETRIEI
Formarea conceptelor geometrice, spre deosebire de altele, ridică probleme de ordin psihologic, pedagogic, deosebite. Procesul prin care se ajunge la conceptele geometriei abstracte, ca entități mentale, este un proces complex și îndelungat. El începe odată cu primele percepții și imagini și abia spre vârsta de 11 – 12 ani se conturează entitățile mentale desprinse de suportul material, senzorial, care le-a generat. Atunci când elevii au trecut de la cercetarea directă a corpurilor materiale la redarea prin desen a imaginii generale pe care și-a format-o despre ele, s-au realizat primii pași spre abstractizare și generalizare.
În însușirea de cunostințe se urmărește ca toate cunostințele dobândite să devină pentru elevi instrumente proprii, nu numai să fie reținute pur și simplu. De aceea, scopul instructiv se împletește strâns cu cel educativ și cu activitatea concretă, practică.
Aspectele psihologice ale formării conceptelor geometrice sunt deosebit de complexe. Așa se explică faptul că acestui scop i-au fost consacrate volume întregi și că pentru ilustrarea dezvoltării inteligenței copilului, în mod frecvent în cursul unor experimente, psihologii au apelat la activități cu conținut geometric.
Prin predarea geometriei în gimnaziu se urmărește ca elevii să-și însușească cunoștințe de geometrie – cele din programă – și în același timp să contribuie la dezvoltarea psihică a elevilor.
În mod deosebit, geometria este chemată să dezvolte gândirea elevilor, mai ales gândirea vie, activă si complexă, gândirea dialectică, capacitatea de a analiza si generaliza, de a extrage esențialul, de a schematiza realitatea păstrând numai aspectele matematice, deprinderea de a căuta.
O teză unanim acceptată în psihologie este aceea că evoluția mentală a copilului are un caracter stadial relevat de faptul că ea se realizează pe paliere. Într-o etapă de câțiva ani, activitatea mentală a copilului prezintă anumite particularități și o anumită organizare. Cel care a fundamentat științific această teză a fost Jean Piaget. Meritul lui este acela că indică perioadele de vârstă corespunzătoare fiecărui stadiu și caracteristicile de bază ale fiecărei etape. Sintetizând principalele aspecte ale dezvoltării stadiale a inteligenței si gândirii copilului, ca și relația dintre structurile matematice și structurile operatorii ale gândirii, Jean Piaget conchide:
„În realitate, dacă studiul matematicii se bazează pe structuri care de altfel corespund structurilor inteligenței, înseamnă că tocmai pe o organizare progresivă a acestor structuri operatorii trebuie bazată didactica matematicii. Ori, psihologic, operațiile derivă din acțiuni concrete care, interiorizandu-se, se coordonează în structuri.”
De asemenea, el nu stabilește limite rigide pentru acestea, demonstrează că nu poate fi atins un stadiu fără a se fi realizat toate achizițiile celui precedent, că trecerea de la o etapă la alta nu înseamnă eliminarea tuturor elementelor celei precedente, că saltul poate fi realizat numai printr-o valorificare cu mijloace noi, a tuturor celor câștigate în stadiul anterior. În fiecare etapă se însumează elementele care pregătesc saltul în etapa următoare, crește capacitatea copilului de a-și reconsidera mijloacele anterioare, astfel încât să-și asigure o adaptare mai ușoară la varietatea condițiilor.
Stadiul la care copilul are capacitatea de a dobândi conceptele geometrice, de a efectua operații logico – deductive cu acestea, începe la vârsta de 11 – 12 ani. El are acum capacitatea de a raționa pornind de la ipoteze, deci de a aplica operații logice asupra unor propoziții. În această etapă a gândirii formale copilul poate efectua operații asupra unor propoziții admise ipotetic drept adevărate, fără a fi cercetat veridicitatea lor printr-o operație concretă.
Un obiectiv important al predării geometriei este acela de a-i deprinde pe elevi să demonstreze, adică să fundamenteze logic, deductiv, unele propoziții pornind de la altele despre care știu că sunt adevărate. La această deprindere nu se poate ajunge dintr-o dată, ci treptat, printr-un proces educativ astfel încât elevii să devină conștienți de necesitatea demonstrației, de procedeele logice pe care le folosesc. Este necesar să zdruncinăm elevului încrederea în evidența intuitivă a unor desene și să-i formăm dorința de a justifica logic anumite proprietăți precum și capacitatea de a efectua operații logice din care se constituie demonstrația.
La geometria în spațiu, pe lângă faptul că se aprofundează unele elemente de geometrie a planului, se urmărește ca elevii să poată situa în spațiu elementele fundamentale (punctul, dreapta, planul), să stăpânească riguros pozițiile relative ale acestora, să poată utiliza cunoștințele privind aceste poziții relative în studiul unor corpuri geometrice.
Pentru a rezolva o problemă sau a demonstra o teoremă referitoare, de exemplu la concurența liniilor importante în triunghi, ne imaginăm și desenăm un triunghi. Triunghiul desenat este, pe de o parte, oarecare, căci el reprezintă o întreagă clasă de triunghiuri având o anumită proprietate, iar pe de altă parte el a devenit un triunghi particular, determinat, cu dimensiuni date, după care construim liniile importante cerute de problemă. Esențial este ca elevii să înțeleagă că demonstrația efectuată, utilizând această figură, este adevărată, oricare ar fi triunghiul cu proprietatea dată.
În tratarea subiectului de concurență și coliniaritate în gimnaziu nu avem o metodă unitară pentru a demonstra spre exemplu că trei drepte sunt concurente. Astfel, metoda folosită la mediatoare și la bisectoare este aceeași, ea constând în a arăta că punctul de intersecție a două din drepte se găseste și pe a treia dreaptă. Pentru concurența înălțimilor se folosește altă metodă, aceea de a reduce problema la altă problemă cunoscută. Pentru mediane, metoda este alta, și anume de a arăta că două drepte taie pe a treia în același punct. Lipsa unei metode unitare pentru problemele de același gen face ca studiul geometriei să ceară o concentrare mai mare, un spirit de observare mai pronunțat și o destul de largă variație a raționamentelor.
5.2. COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ ÎN PLAN ȘI SPAȚIU – PROIECT DE PROGRAMĂ ȘCOLARĂ PENTRU DISCIPLINĂ OPȚIONALĂ
CURRICULUM OPȚIONAL
ARIA CURRICULARĂ: MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE ALE NATURII
COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ ÎN PLAN ȘI SPAȚIU
– Clasele a VII-a și a VIII-a –
Proiect de programă școlară
ARGUMENT
Pentru propunerea opționalului cu tema
COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ ÎN PLAN ȘI SPAȚIU
Matematica zilelor noastre este un edificiu grandios și pentru ca acest edificiu complex să devină funcțional pentru generațiile actuale și viitoare, concomitent cu armonizarea lui continuă, se impune recunoașterea lui într-un mod cât mai eficient. Această recunoaștere nu poate începe decât cu temelia edificiului și trebuie să se producă cât mai devreme. De aceea, procesul învățării matematicii, elaborarea unor metode care să permită accesul rapid la secretele matematicii pot fi realizate doar prin începerea studiului matematicii de la bazele ei actuale.
Tema Coliniaritate și concurență nu este nominalizată explicit în programa de matematică învățământului preuniversitar decât în clasele a IX-a și a X-a, parțial însă, temele respective sunt abordate în clasele a VI-a, a VII-a, a VIII-a. Motivul lipsei unei astfel de teme poate fi faptul că este o parte mai dificilă a geometriei, elevii de nivel mediu reușind mai greu să intuiască demonstrațiile acestor tipuri de probleme. Problemele de concurență și coliniaritate ar putea fi tratate ca teme la cercurile de elevi care urmăresc performanța școlară, atât la gimnaziu cât și la liceu, dar și (având în vedere varietatea și frumusețea lor) ca un obiect opțional la liceele cu profil real. Rezolvarea de probleme are rol esențial și în atingerea obiectivelor din domeniul psihomotor care vizează deprinderile intelectuale și practice specifice matematicii. Utilitatea problemelor apare în orice etapă a procesului de învățământ: în predarea noilor cunoștințe prin situații-problemă, în învățarea și consolidarea cunoștințelor, în evaluarea sau autoevaluarea însușirii aspectelor teoretice.
Coliniaritate și concurență în plan și spațiu este pentru elevi un opțional atractiv și util deoarece stimulează imaginația și gândirea elevilor, îi face să simtă sentimentul frumuseții matematice, al armoniei numerelor și formelor, al eleganței geometriei. Între problemele de coliniaritate și problemele de concurență există o strânsă legătură, o problemă de concurență poate fi transformată într-o problemă de coliniaritate fapt ce este cuprins în conținuturi ce sunt propuse pentru opționalul Coliniaritate și concurență în plan și spațiu.
Pe parcursul celor doi ani, se vor avea în vedere următoarele obiective cadru:
OBIECTIVE CADRU
1. Formarea gândirii concrete, clare prin raționament abstract și imagine concretă
2. Dezvoltarea capacității de investigare în rezolvarea problemelor și formarea abilităților grafice
3. Utilizarea enunțurilor teoretice si formarea deprinderii de a le selecta în situații concrete
4. Sporirea interesului și motivației pentru studiul geometriei
Formarea gândirii concrete, clare prin raționament abstract și imagine concretă
Dezvoltarea capacității de investigare în rezolvarea problemelor și formarea abilităților grafice
Utilizarea enunțurilor teoretice și formarea deprinderii de a le selecta în situații concrete
Sporirea interesului și motivației pentru studiul geometriei
CONȚINUTURI
1. Noțiuni introductive
1.1. Începuturile geometriei plane
1.2. Evoluția geometriei
1.3. Mari matematicieni care au contribuit la descoperirea unor teoreme importante
2. Probleme de construcții geometrice
2.1. Construcții cu rigla și compasul
2.2. Probleme celebre din antichitate; construcții care nu se pot realiza numai cu rigla și compasul: duplicarea cubului, trisecția unghiului, cuadratura cercului.
2.3. Triunghiuri celebre: triunghiul de aur, triunghiul ortic, triunghiul lui Napoleon.
3. Teoreme și probleme clasice în geometria plană și în spațiu
3.1. Teorema bisectoarei interioare și exterioare
3.2. Teorema transversalei
3.3. Teorema lui Menelaos
3.4. Teorema lui Pascal
3.5. Teorema lui Carnot
3.6. Teorema lui Gauss
3.7. Teorema lui Simson
3.8. Dreapta lui Euler
3.9. Echivalența dintre coliniaritatea unor puncte și concurența unor drepte
3.10. Teorema lui Desargues în plan și în spațiu
3.11. Teorema lui Ceva
3.12. Teorema lui Gergonne, Teorema lui Nagel, Teorema lui Miquel
4. Coliniaritate și concurență – metode de rezolvare
4.1. Probleme de coliniaritate
4.2. Probleme de concurență
5. Analogia plan – spațiu ilustrată prin proprietățile de coliniaritate și concurență în triunghi și tetraedru
BIBLIOGRAFIA PROFESORULUI
Traian Lalescu – « Geometria triunghiului », Editura Apollo, Craiova, 1993
Ion Pascaru, Petre Nachila – « Matematica gimnazială în concursurile școlare », Editura Tiparg, 2005
Ion Chițescu, Marcel Chiriță – « Geometria patrulaterului », Editura Teora, 1998
Constantin Ionescu – Țiu « Geometrie plană și în spațiu pentru admitere », Editura Albatros, 1976
Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff – « Probleme practice de geometrie », Editura Tehnică București, 1990
Miron Oprea – « Scurtă istorie a matematicii », Editura Premier, Ploiești, 2000
Deoarece temele 2 și 3 ale opționalului sunt abordate în partea științifică a prezentei lucrări, consider că este interesant de remarcat o serie de extinderi ale proprietăților de coliniaritate și concurență de la triunghi la tetraedru, tema care face obiectul ultimei părți a opționalului propus.
În manualele de gimnaziu au fost utilizate, de-a lungul timpului, două modalități de introducere a poliedrelor: una este cea în care studiul poliedrelor debutează cu prisma, iar cea de-a doua este cea în care studiul debutează cu tetraedrul.
Prima modalitate are avantajul didactic că elevii înțeleg ușor că volumul paralelipipedului dreptunghic, ale cărui dimensiuni sunt exprimate prin numere reale este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțime. Desigur, apar unele dificultăți atunci când cel puțin o dimensiune este exprimată printr-un număr irațional.
Cea de-a doua modalitate are avantajul că teoria volumelor nu mai face apel la demonstrații care implică numărul irațional, pe de o parte, iar pe de altă parte, volumele celorlalte corpuri geometrice pot fi calculate pornind de la definirea volumului tetraedrului si folosirea teoremei: „Orice poliedru se poate descompune în tetraedre.”
Prin folosirea celei de a doua modalități în activitatea deșfăsurată cu elevii am observat că definirea tetraedrului prin analogie cu triunghiul din plan este accesibilă elevilor, ei mai având unele reprezentări despre mulțimi de puncte din spațiu.
Alegerea acestei teme dă prilejul de a stabili legături între situații spațiale și configurații plane în dublu sens:
desface problema de geometrie în spațiu în probleme de geometrie plană,
leagă între ele probleme si situații din plan pentru a obține situații exacte în spațiu.
În cadrul temei „Analogia plan – spațiu ilustrată prin proprietățile de coliniaritate și concurență în triunghi și tetraedru” vor fi prezentate în paralel teoreme, proprietăți, probleme analoge referitoare la triunghi si tetraedru. Se vor prezenta câteva soluții ale unor probleme care, deși simple, au menirea de a remarca analogii între triunghi și tetraedru nu numai privind rezultatele, ci și verigile raționamentului folosit în demonstrarea acestora.
Extensia unor propoziții referitoare la triunghi nu corespunde întotdeauna unui tetraedru oarecare, ci unor categorii speciale de tetraedre care se întâlnesc în conținutul unor probleme, dar cărora nu li se atribuie denumirile prezentate în lucrarea de față.
Evident, nu vor fi epuizate toate analogiile dintre triunghi și tetraedru, problema rămânând deschisă pentru oricine își propune să abordeze o astfel de temă cu elevii, fie la orele de clasă, dar mai ales la orele destinate cercului de matematică.
5.3. CERCETAREA APLICATIVĂ
5.3.1. OBIECTIVELE CERCETĂRII
Tema Coliniaritate și concurență nu este nominalizată explicit în programa de matematică învățământului preuniversitar decât în clasele a IX-a și a X-a, parțial însă, temele respective sunt abordate și în clasele a VI-a, a VII-a, a VIII-a, a X-a, a XI-a. Motivul lipsei unei astfel de teme poate fi faptul că este o parte mai dificilă a geometriei, elevii de nivel mediu reușind mai greu să intuiască demonstrațiile acestor tipuri de probleme. Problemele de concurență și coliniaritate ar putea fi tratate ca teme la cercurile de elevi care urmăresc performanța școlară, atât la gimnaziu cât și la liceu, sau (având în vedere varietatea și frumusețea lor) ca un obiect opțional la liceele cu profil real. Rezolvarea de probleme are rol esențial și în atingerea obiectivelor din domeniul psihomotor care vizează deprinderile intelectuale și practice specifice matematicii. Utilitatea problemelor apare în orice etapă a procesului de învățământ: în predarea noilor cunoștințe prin situații-problemă, în învățarea și consolidarea cunoștințelor, în evaluarea sau autoevaluarea însușirii aspectelor teoretice.
Pentru acei care activează în mod conștient în învățământ și, în primul rând, pentru acei care fac un învățământ axat pe problematizare, spre care toți înclinăm în mod natural chiar înainte de a auzi de teoria pedagogică respectivă, argumentele decisive nu sunt nici în teorii, nici în experiențele altora, ele sunt oferite de faptele vii. A problematiza înseamnă a urmări cum elevul descoperă treptat implicații logice, teoreme și cum, într-o fază superioară caută a le adânci și sistematiza, înseamnă a stimula și sprijini acest proces de gândire viu. (Gh. Neagu, N. Neagu: Teme alese de metodica predării matematicii). Lucrarea își evidențiază aplicabilitatea în cadrul unui cerc de matematică, în cadrul unui opțional de matematică (după cum se va vedea în lucrarea de față) sau, pur și simplu, pentru iubitorii de matematică prinși de vraja geometriei demodate (cum spunea V. Gh. Vodă).
Opționalul de matematică vine în ajutorul elevilor de clasa a VII – a și a VIII – a, fiindu-le util acelora care au început să sesizeze frumusețea problemelor de matematică și eleganța înlănțuirii raționamentelor logice. Acest opțional l-am susținut pe parcursul anilor școlari 2……-2….., cu elevii clasei a VIIa și a continuat cu aceiași elevi și pe parcursul clasei a VIII a în cadrul Școlii cu clasele I-VIII……………, județul Bacău. În temele propuse se împletește organic gândirea concretă cu cea abstractă, deci cu un rol primordial în formarea și dezvoltarea capacității deductive. În intenția de a accentua caracterul folositor al acestui opțional, am inclus atât unele probleme mai dificile, care solicită mai mult capacitatea de a raționa a elevului, sau au darul de a fixa mai bine în memorie unele formule care, nerepetate cu o suficientă frecvență, se pot uita, precum și probleme de circulație mai largă. Problemele și exercițiile propuse, care, în mare parte, prezintă acest fel de particularități legate, în primul rând, de metoda de rezolvare și în al doilea rând, de rezultatele – fie spectaculoase, fie neașteptate, invită elevii să pătrundă în tainele lor, sunt incursiuni care duc în mod cert la progres.
Prin acest opțional vreau să stimulez imaginația și gândirea elevilor, să-i fac să simtă frumusețea matematicii, al armoniei numerelor și formelor, al eleganței geometriei. Am fost preocupată de a expune mijloace care duc la invenție și la descoperiri, atrăgându-le elevilor atenția că un grăunte de descoperire se află ascuns în soluția oricărei probleme. Prin conținuturile orelor vin în sprijinul celor interesați spre a le ușura înțelegerea logică a propozițiilor si raționamentelor matematice, ilustrându-le prin exemple cât mai viabile care urmăresc cultivarea simțului pentru rigoare și le creează în același timp emoții când reușesc să descopere frumusețea unui raționament, a unei teoreme sau probleme, frumusețe care dă acel sentiment unic că până la el nimeni nu a pătruns în labirintul acestei științe, din care el iese victorios. Și, în plus, apare certitudinea că tânărul care poate conduce asemenea raționamente subtile, este apt să abordeze capitolele cele mai spinoase din orice domeniu al științei.
Tema cercetării a fost stabilită în urma constatării că elevii participă cu mai mult interes la lecțiile de matematică dacă în paralel se desfășoară și aceste ore de curs opțional. Cercetarea dorește să confirme influența pe care o are desfășurarea cursului opțional asupra rezultatelor școlare ale elevilor la obiectul matematică.
Obiectivele cercetării de față sunt reprezentate de:
Cunoașterea nivelului de pregătire al elevilor.
Măsurarea și parecierea progreselor.
Depistarea lacunelor și identificarea greutăților.
Cunoașterea și evidențierea valențelor formativ-educative ale cursului opțional.
Identificarea rolului pe care îl are cursul opțional în îmbunătățirea performanțelor școlare.
IPOTEZA CERCETĂRII
Prin acest opțional am încercat atragerea elevului spre geometrie prin observarea formelor geometrice din mediul încojurător, prin aplicarea noțiunilor predate la ora de geometrie în practică. Am conceput activități care să stimuleze interesul elevilor pentru studierea matematicii, care să-i stimuleze să edscopere calea spre lumea misterioasă și fascinantă a geometriei, cucerind dreptul la afirmarea propriei identități și înțelegerea faptului că nu se ppt desăvârși decât dacă își fac din matematică un prieten. De asemenea, prin acest opțional am dorit depistarea unor carențe în însușirea unor noțiuni teoretice studiate și remedierea lor într-un mod plăcut, atractiv.
Ipoteza pe care mi-am propus să o verific în plnaul practic al realității școlare este: dacă pe lângă orele orele de matematică propriu-zise, elevii desfășoară și orele acestui curs opțional, atunci va crește performanța lor în cadrul procesului instructiv-educativ.
5.3.3. METODICA CERCETĂRII
Cercetarea s-a desfășurat pe durata a doi ani respectiv, în anii școlari 2….-2….. și 2…..-2….. cu elevii claselor a VII a (anul școlar 2…-2….) și a VIIIa (anul școlar 2…..-2…..) ai Școlii………….., comuna ………………… Astfel, în cadrul experimentelor de aplicare a probelor, s-au utilizat două loturi de elevi proveniți de la două școli. Eșantionul experimental a fost constituit din elevii ……. Caracteristic eșantionului experimental este faptul că asupra lui s-a acționat cu ajutorul factorului experimental în conformitate cu cele propuse în ipoteza cercetării în vederea producerii unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale, în cazul nostru, la această clasă s-a desfășurat cursul opțional. Clasa eșantion martor, cea în raport cu care s-au desprins concluziile ipotezei cercetării, este alcătuită din elevii de clasa a VIII a ai …….., comuna …….. Clasa eșantion martor ca și clasa eșantion experimentală au avut același număr de elevi. La începutul anului școlar 2…..-2….. au fost aplicate aceleași teste ințiale elevilor de clasa a VII a din cele două școli. Ca urmare a desfășurării cursului opțional COLINIARITATE ȘI CONCURENȚĂ ÎN PLAN ȘI SPAȚIU, de către elevii școlii …………….., s-a constat o îmbunătățire a rezultatelor obținute de către elevii școlii …………….. la testul final din anul școlar ………….. aplicat elevilor ambilor școli.
DESFĂȘURAREA CERCETĂRII
A evalua rezultatele școlare înseamnă a determina măsura în care obiectivele programului de instruire au fost atinse precum și eficiența metodelor de predare – învățare folosite. Evaluarea nu trebuie înțeleasă numai ca un control al cunostințelor sau ca mijloc de măsurare obiectivă, ci și ca o cale de autoformare a profesorului, și de perfecționare a acestuia. Evaluarea este o componentă esențială a procesului de învățământ, având rol:
de a constata dacă o activitate instructivă s-a desfășurat în condiții optime, o cunoștință a fost încorporată, o deprindere a fost achiziționată;
de diagnosticare a cauzelor care au condus la o slabă pregătire și la o eficiență scăzută a acțiunilor educative;
pedagogică, în perspectiva elevului (stimulativă, de întărire a rezultatelor, formarea de abilități de conștientizare a posibilităților, de orientare școlară și profesională) și în perspectiva profesorului (pentru a ști ce a făcut și ce are de realizat în continuare);
de decizie privind desfășurarea în viitor a activității instructiv – educative în scopul ameliorării ei;
de informare a părinților, elevilor și a societății cu privire la rezultatele și evoluția pregătirii elevilor în școală pentru integrarea lor socio – profesională.
Funcțiile evaluării apar, se actualizează diferențiat și se pot regăsi, mai mult sau mai puțin, în toate situațiile de evaluare.
Diversitatea situațiilor didactice, multitudinea de obiective presupune conceperea și aplicarea unor strategii de evaluare diferite care pot fi clasificate astfel:
după cantitatea de informații sau experiența încorporată de elevi:
evaluare parțială;
evaluare globală.
după axa temporală la care se raportează verificarea:
evaluare inițială;
evaluare continuă;
evaluare finală.
Pentru ca notarea să fie cât mai corectă, probele de evaluare trebuie să se caracterizeze prin validitate (se referă la achizițiile cunostințelor de matematică și nu la alte comportamente desfășurate de elev la ora de matematică) și fidelitate (proba repetată conduce la o apreciere identică la același evaluator în momente diferite sau la evaluatori diferiți în același timp).
Evaluarea prin teste docimologice – alternativă și modalitate de eficientizare a examinării tradiționale
Testul docimologic este o probă complexă cu ajutorul căreia se evaluează cu mare precizie performanțele școlare în raport cu obiectivele și conținutul.
Aceste instrumente conțin itemi care permit determinarea gradului de însușire a cunoștințelor de către elevi sau a nivelului de dezvoltare a unor capacități și se aplică în condițiile obișnuite ale clasei. Un bun test docimologic nu urmărește numai verificarea informației acumulate de elevi, ci și capacitatea acestora de a folosi cunoștințele asimilate deja în situații variate.
Elaborarea unui test docimologic presupune parcurgerea următoarelor etape:
precizarea obiectivelor, realizarea concordanței dintre acestea și conținut;
documentarea științifică;
formularea unor ipoteze (conceperea sau selectarea problemelor reprezentative pentru întreaga materie asupra căreia se face verificarea);
experimentarea testului;
analiza statistică și ameliorarea testului;
aplicarea efectivă a testului.
Tipuri de teste:
test de învățare (pune accent pe aflarea performanței elevului, stabilind starea de reușită sau de eșec);
test de discriminare (clasifică subiecții prin raportarea rezultatelor unele la altele);
teste de redare a informației;
test de prelucrare creatoare a informației;
test de viteză (rapiditate);
test de randament (număr de răspunsuri corecte).
Tipuri de itemi:
cu răspunsuri deschise (stimulează creativitatea, judecata și spiritul critic);
cu răspunsuri închise:
de tip alegere multiplă (prin care se oferă mai multe soluții, din care numai una este corectă);
de tip adevărat – fals;
pereche (elevii sunt puși să găsească noțiuni sau idei corelate cu cele prezentate în întrebări, să potrivească sau să asocieze noțiuni sau idei).
Evaluarea presupune o anumită metodologie, în stabilirea căreia trebuie date răspunsuri la următoarele întrebări:
Cui folosește evaluarea?
– elevilor, profesorilor, părinților, factorilor de decizie.
Pe cine evaluăm?
– toți elevii, un anumit grup, elevi luați individual.
Când evaluăm?
– de câteva ori pe an, la date fixe, încontinuu.
Cu ce instrumente evaluăm?
– teste scrise / orale / practice, observația directă în clasă, teme pentru acasă, referate / proiecte, portofolii, tehnici de autoevaluare. (I. Neacsu, A. Stoica – Ghid general de evaluare și examinare).
Evaluarea este o componentă esențială a activității didactice care determină promovarea elevilor dintr-o etapă de învățământ în alta. Cerința obiectivă de a conferi activității de educație și instrucție o eficiență sporită, generată de exigențele vieții contemporane, face necesară intensificarea eforturilor pentru a asigura procesului de învățământ un caracter cât mai rațional și riguros prin:
determinarea cât mai precisă a obiectivelor instruirii;
organizarea conținuturilor în concordanță cu logica didactică, cu strategiile de predare – învățare și în raport cu obiectivele vizate și conținuturile definite;
perfecționarea acțiunilor de evaluare și a proceselor desfășurate.
Evaluarea la matematică urmărește să măsoare și să aprecieze progresele elevilor din punctul de vedere al cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor matematice, ca rezultat al procesului de instruire, precum și aspectele educative ale activității școlare matematice.
Evaluarea performanțelor elevilor se realizează în funcție de obiectivele operaționale propuse și permite:
să se determine momentul în care elevul și-a însusit un obiectiv și este gata să treacă la următorul;
să se identifice și să se găsească motivul eșecului în învățare și modul de ajutorare a elevului, în scopul recuperării cunoștințelor și a capacităților ce nu au fost pe deplin asimilate;
să se stabilească obiectivele la care cei mai mulți dintre elevi nu au obținut performanțe satisfăcătoare, în scopul revizuirii materiei.
MODALITĂȚI DE EVALUARE ABORDATE ÎN DESFĂȘURAREA OPȚIONALULUI
În cadrul cursului descris mai sus se vor evalua :
referate conținând demonstrații ale unor proprietăți, referate întocmite pe baza unei bibliografii ce va fi pusă la dispoziția elevilor de către profesor, cu sprijinul nemijlocit al acestuia;
participarea activă la rezolvarea frontală dirijată a problemelor ;
redactarea clară, concisă și riguroasă a soluției unei demonstrații matematice.
APLICAREA TESTELOR INIȚIALE
EȘANTIONULUI EXPERIMENTAL ȘI EȘANTIONULUI MARTOR
Test de evaluare inițială
Clasa a VII-a
Anul școlar 2….. – 2…..
Competențe generale:
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
3. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
Testul de evaluare inițială a fost aplicat elevilor de clasa a VII a din școlile …..și …….. Colectivele de elevi implicate au fost la fel de numeroase. Testul a avut durata de o oră și s-a defășurat în ambele școli în data de……………………….
Subiectul evaluării:
1. Fie segmentul [AB] și punctele C și D, distincte, ce nu aparțin dreptei AB. Știind că CA CB , DAB DBA să se demonstreze apartenența punctelor D și C la mediatoarea segmentului AB.
2. Pe laturile consecutive AB și BC ale pătratului ABCD, se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale AEB și BFC, primul interior și al doilea exterior pătratului. Determinați: a) m (DAE); b) m (DEA); c) m (EBF); d) m (FEB).
3. Fie triunghiul ABC și B′ piciorul perpendicularei dusă din B pe bisectoarea unghiului BAC. Dacă A′ și B′ sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv BC, să se arate că:
a) A′C′|| AC;
b) B′C′C′A ;
c) punctele A′, B′ și C′ sunt coliniare.
Punctaj:
Subiectul 1 = 30 puncte
– desen = 10 puncte
– demonstrația = 20 puncte
Subiectul 2 = 30 puncte
– desen = 10 puncte
a) 5 puncte
b) 5 puncte
c) 5 puncte
d) 5 puncte
Subiectul 3 = 30 puncte
– desen = 10 puncte
a) 5 puncte
b) 5 puncte
c) 10 puncte
Oficiu = 10 puncte
Total: 90 puncte + 10 puncte din oficiu = 100 puncte
Nota : 10
Timp de lucru = 50 min.
CENTRALIZAREA REZULTATELOR TESTULUI INIȚIAL
eșantion experimental (clasa a VII-a, Școala ………………………)
Anul școlar …………………
Procent mediu: 58,58%
Punctaj realizat la testul inițial Școala ……………… eșantion experimental
Note obținute la testul inițial de evaluare, Școala …………………
Histograma calificativelor obținute la testul inițial de evaluare, Școala ……………….
CENTRALIZAREA REZULTATELOR TESTULUI INIȚIAL
eșantion martor (clasa a VII-a, Școala cu clasele I-VIII ………………)
Anul școlar ………………….
Procent mediu: 56,81%
Punctaj realizat la testul inițial Școala Ciuturești eșantion martor
Histograma calificativelor obținute la testul inițial de evaluare, Școala …………….
CONSTATĂRI ÎN URMA APLICĂRII TESTULUI INIȚIAL
După înregistrarea datelor în Test inițial clasa a VII-a, am constatat următoarele despre elevii școlii incluși în eșanționul experiment (al școlii ……………..):
51,51% dintre au demonstrat apartenența punctelor C și D la mediatoarea segmentului AB;
63,63% dintre elevi au calculat măsurile unghiurilor DAE, DEA, EBF și FEB;
doar un elev a rezolvat corect problema a treia, deși un număr mare de elevi (60,60%) au observat că A′C′ este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci A′C′ || AC cât și faptul că triunghiul AB′C′ este isoscel.
De asemenea s-a constat că cele două colective de elevi implicate în cercetarea aplicativă sunt de nivel apropiat, premisă absolut obligatorie pentru a analiza competențele suplimentare achiziționate de elevi la finele anului școlar 2….-2…., după încheierea cursului opțional.
În data de 09 mai 2011 colectivele de elevi implicate în cercetarea aplicativă au fost
clasa eșantion aVIIIa școala……………….., care în anul 2…….-2… a fost în clasa a VII a și
clasa martor aVIIIa A școlii ……………..
Testul aplicat nu a abordat exerciții cu grad înalt de dificultate sau temele cuprinse în conținutul opționalului, în schimb solicitau raționamente geometrice cu care elevii care au urmat cursul opțional s-au familiarizat pe parcursul celor doi ani de studiu.
APLICAREA TESTELOR FINALE
EȘANTIONULUI EXPERIMENTAL ȘI EȘANTIONULUI MARTOR
Test de evaluare finală
Clasa a VIII-a
Anul școlar 2010 – 2011
Competențe generale
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
3. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
Subiectul evaluării:
1. Fie punctele A, B și C astfel încât AB = , BC = și AC = . Demonstrați că punctele A, B și C sunt coliniare.
2. Fie segmentul [AB] și punctele C, D și E distincte, ce nu aparțin dreptei AB. Știind că CA CB , DAB DBA și E aparține mediatoarei segmentului AB, să se demonstreze coliniaritatea punctelor C, D și E.
3. Pe laturile consecutive AB și BC ale pătratului ABCD, se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale AEB și BFC, primul interior și al doilea exterior pătratului. Să se demonstreze că punctele D, E și F sunt coliniare.
4. Fie triunghiul ABC și B′ piciorul perpendicularei dusă din B de pe bisectoarea unghiului BAC. Dacă A′ și C′ sunt mijloacele segmentelor AB respectiv BC, să se arate că punctele A′, B′ și C′ sunt coliniare.
Punctaj:
Subiectul 1 = 20 puncte
– desen = 5 puncte
– demonstrația = 15 puncte
Subiectul 2 = 20 puncte
– desen = 5 puncte
– demonstrația = 15 puncte
Subiectul 3 = 20 puncte
– desen = 5 puncte
– demonstrația = 15 puncte
Subiectul 4 = 20 puncte
– desen = 5 puncte
– demonstrația = 15 puncte
Oficiu = 20 puncte
Total: 80 puncte + 20 puncte din oficiu = 100 puncte
Nota : 10
Timp de lucru = 50 min.
CENTRALIZAREA REZULTATELOR TESTULUI FINAL
eșantion experimental (clasa a VIII-a, Școala …………………)
Anul școlar 2…… – 2……..
Procent mediu: 63,63%
Punctaj realizat la testul final, Școala ……………..
Note obținute la testul final de evaluare Școala ………………………
Histograma calificativelor obținute la testul final de evaluare Școala ……..
CENTRALIZAREA REZULTATELOR TESTULUI FINAL
eșantion martor (clasa a VIII-a, Școala ………………………)
Anul școlar 2….– 2…..
Procent mediu: 55,39%
Punctaj realizat la testul final Școala …………………….
Histograma calificativelor obținute la testul final de evaluare, Școala …………….
INTERPRETAREA REZULTATELOR
După înregistrarea datelor în Test final clasa a VIII-a din eșantionul cercetării aplicative, am constatat următoarele:
68,18% dintre elevi au rezolvat prima problemă;
59,09% dintre elevi au rezolvat problema a doua;
68,18% dintre elevi au rezolvat problema a treia;
59,59% dintre elevi au rezolvat corect problema a patra.
Una din metodele ameliorative a fost lucrul suplimentar cu elevii care întâmpină greutăți și care după un număr de ore suplimentare pot obține niște rezultate mai bune.
În aceste activități au fost solicitați toți elevii clasei.
Reprezentarea comparativă a rezultatelor obținute la cele două teste de către eșantionul experimental evidențiază progresul elevilor. Progresul la învățătură este mult vizibil, predominând calificativele bine, față de testul inițial unde predominant era calificativul suficient.
Eșantion
experimental
Comparând mediile obținute în urma celor două teste, se observă efectul de ameliorare a rezultatelor elevilor. În plus, raportând rezultatele elevilor din eșantionul experimental la rezultatele elevilor din clasa martor, se constată nivelul superior al cunoștințelor pe care le dețin cei dintâi față de cei din urmă. Ne amintim în special că geometria studiată de elevii clasei a VIIIa prin curricula obligatorie se axează în principal pe geometria în spațiu, un conținut nou pentru elevi și care necesită resurse temporale îndelungate. A II a jumătate a semestrului secund este cea care permite recapitulări ale conținturilor anterioare ca pregătire a examenelor de Evaluare Națională.
Reprezentarea comparativă a rezultatelor obținute de clasa experiment:
Rezultatele comparative obținute la testul final de către elevii clasei martor și elevii clasei experimentale
Conform observațiilor de pe parcursul anilor școlari dar și în urma administrării testului final, nivelul clasei a crescut, nu foarte spectaculos dar semnificativ. La majoritatea elevilor se observă o creștere. Una dintre cauzele aceștei creșteri este și faptul că pe parcursul celor doi ani am desfășurat cursul opțional. Aceleași teste au fost aplicate și clasei martor, clasă care nu a desfășurat de opțional, clasă cu un nivel mai scăzut (la testul inițial media a fost de 6,13). Testul final, însă, scoate în evidență o diferență semnificativă între două clase.
5.3.6. CONCLUZII
Pe parcursul celor doi ani școlari am observat contribuția opționalului la îmbunătățirea performanțelor școlare ale elevilor. După prelucrarea datelor cercetării s-a constatat că inovația își dovedește valabilitatea și ipoteza cercetării este verificată.
Rezultatele obținute prin aplicarea probelor au condus la următoarele constatări:
Creșterea motivației pentru studiul matematicii în general, a geometriei în special, al elevii care au desfășurat cursul opțional;
Rezultatele obținute de elevii care au urmat cursul opțional cunt superioare celorlalți.
Cursul opțional a fost un prilej :
De a depista carențele în însușirea noțiunilor teoretice și de remediere a lor;
De pregătire a elevilor pentru examene naționale și, cu siguranță, le va facilita asimilarea noțiunilor ce vor fi parcurse de aceștia la liceu;
Implementarea cunoștințelor pe care elevii le posedă în activități practice și atractive.
Elevii au reușit să realizeze progrese în activitatea de învățare și să recupereze lipsurile din bagajul lor de cunoștințe.
Credem cu tărie că secretul succesului în însușirea și îndrăgirea geometrie este înțelegerea, începând cu cele mai simple noțiuni. Orice act de învățare este o construcție intelectuală care trebuie să fie așezată pe o temelie solidă, construită din cunoștințe anterioare. Încercarea de a clădi cunoștinșe pe un fundament șubred este sortită eșecului.
Unirea mai multor factori cum ar fi activitatea profesorului de la clasă, organizarea conținuturilor, alegerea manualelor și auxiliarelor didactice, aplicarea strategiilor potrivite și ajutorul individual susținut vor reuși să apropie elevii de studiul matematicii.
Numai o muncă continuă și conștiicioasă duce la formarea omului ca personalitate. În acest sens, Ovidiu spunea:
“Picătura găurește piatra nu prin forță ci prin continua ei cădere”.
5.3. ANEXE
PROIECT DIDACTIC
Clasa: a VII – a
Disciplina: Matematică
Unitatea de învățare: Concurența mediatoarelor și concurența bisectoarelor într-un triunghi
Tipul lecției: de dobândire de cunoștințe
COMPETENȚE GENERALE
CG1 Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
CG2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice.
CG3 Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
CG4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
CG5 Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă.
CG6 Modelarea matematică a unor contexte matematice variate, prin integrarea cunoștințelor din
diferite domenii.
COMPETENȚE SPECIFICE
CS1 Recunoașterea și descrierea unor proprietăți ale triunghiurilor în configurații geometrice date.
CS2 Calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate.
CS3 Utilizarea unor concepte matematice în triunghiul dreptunghic, în triunghiul isoscel, în triunghiul echilateral.
CS4 Exprimarea caracteristicilor matematice ale triunghiurilor și ale liniilor importante în triunghi prin definiții, notații și desen.
CS5 Deducerea unor proprietăți ale triunghiurilor folosind noțiunile studiate.
CS6 Interpretarea informațiilor conținute în probleme legate de proprietăți ale triunghiurilor.
COMPETENȚE DERIVATE
CD1 Cunoașterea definiției și proprietăților triunghiului dreptunghic.
CD2 Utilizarea corectă a proprietăților triunghiului dreptunghic în rezolvarea problemelor.
CD3 Calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate.
CD4 Interpretarea informațiilor conținute în probleme legate de proprietăți ale triunghiurilor.
Resurse metodologice:
a. metode si procedee:
R1 – conversația
R2 – redescoperirea prin conversație;
R3 – explicația;
R4 – exercițiul;
R5 – munca independentă.
b. forme de organizare: frontală, individuală, pe grupe;
c. mijloace didactice: retroproiector, fișe.
SCENARIUL DIDACTIC
Proiect didactic
Data:
Clasa: a VIII-a
Aria curriculară: Matematică și Științe ale naturii
Disciplina: Coliniariate și concurență în plan și spațiu
Tema lecției: Punct, dreapta, plan
Tipul lecției: Comunicare de noi cunoștințe
Competențe specifice:
C 1. Recunoașterea și descrierea unor proprietăți ale unor figuri geometrice plane în configurații date in spațiu sau pe desfășurări ale acestora
C 2. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice
Obiective operaționale (la sfârșitul orei elevul va fi capabil să):
O1. Să cunoască noțiunile primare ale geometriei și să utilizeze convențiile de desen și notare
O2. Să cunoască și să aplice proprietățile fundamentale ale punctelor, dreptelor și planelor
O3. Să prezinte verbal sau în scris, deosebirile dintre un desen și corpul (obiectul, situația) pe care le sugerează
Metode si procedee: conversația euristică, explicația, demonstrația, exercițiul, observația, munca individuală, expunerea;
Resurse: a) materiale: – manual alternativ clasa a VIII-a, autori Corneliu Savu; Gina Caba – ed. Teora
– metodica predării matematicii în gimnaziu;
– cretă albă, colorată,instrumente pentru tablă, caiete de notițe
b) umane: – clasă omogenă cu cunoștințe ce necesită consolidare
– activități frontale, individuale;
c) timp: 50 min.
Desfășurarea lecției
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
[1] A.C. ALBU, V. OBĂDEANU, I.P. POPESCU
Geometrie pentru perfecționarea profesorilor,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.
[2] I. ALEXANDROV,
Probleme de construcții geometrice,
Ed. Tehnică, București, 1951.
[3] H. BANEA,
Metodica predării matematicii,
Ed. Paralela 45, 1998.
[4] V. BLĂNUȚĂ,
Curs de geometrie,
Institutul Pedagogic Bacău, 1971.
[5] M. ST. BOTEZ,
Probleme de geometrie,
Ed. Tehnică, București, 1976.
[6] M. BOTTESCH, D. ISAC,
Baricentre și centre de greutate,
G.M. nr. 7-8/2001
[7] D. BRÂNZEI,
Planul și spațiul euclidian,
Ed. Academiei, București, 1986.
[8] D. BRÂNZEI, R. BRÂNZEI,
Metodica predării matematicii,
Ed. Paralela 45, 2000.
[9] D. BRÂNZEI și colaboratorii,
Bazele raționamentului geometric,
Ed. Academiei, București, 1983.
[10] I. CERGHIT,
Metode de învățământ,
Ed. Polirom, 2006.
[11] GH. A. CHIȚEI,
Metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1969.
[12] R. COURANT,
Ce este matematica?,
Ed. Științifică, București, 1969.
[13] I. DĂNCILĂ,
Dicționar de noțiuni și metode matematice.
[14] I. C. DRĂGHICESCU,
Probleme de geometrie,
Ed. Tehnică, București,1987.
[15] GH. DUMITRIU, CONSTANȚA DUMITRIU,
Psihopedagogie,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 2003.
[16] E. M. EDWIN,
Geometrie,
Editura Didactică și Pedagogică, București,1983.
[17] E. M. EDWIN,
Geometrie elementară din punct de vedere superior,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1980.
[18] ,
Elemente
[format electronic realizat de D. E. Joyce, , 1996,http:// aleph0.clarku.edu ].
[19] J. HADAMARD,
Lecții de geometrie elementară. Geometrie plană,
Ed. Tehnică, București, 1962.
[20] A. HAIMOVICI,
Elemente de geometria planului,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1968.
[21] A. HAIMOVICI,
Elemente de geometria spațiului,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1970.
[22] T. LALESCU,
Geometria triunghiului,
Ed. Apollo, Craiova, 1993.
[23] N. N. MIHĂILEANU,
Lecții complementare de geometrie,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1976.
[24] A. MYLLER,
Geometrie analitică,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972.
[25] R. MIRON,
Geometrie elementară,
Editura Didactică și Pedagogică, 1968.
[26] E. E. MOISE,
Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1980.
[27] I. NEACSU, A. STOICA,
Ghid general de evaluare și examinare.
[28] L. NICOLESCU, V. BOSKOFF,
Probleme practice de geometrie,
Ed. Tehnică, București, 1990.
[29] N. PAVELESCU, M. LASCU,
Analogii între triunghiuri și tetraedre,
Conferința Națională de Geometrie, Timișoara, 1989.
[30] J. PIAGET,
Psihologie și pedagogie,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972.
[31] G. POLYA,
Cum rezolvăm o problemă?,
Ed. Științifică, București, 1965.
[32] G. POLYA,
Descoperirea în matematică,
Ed. Stiințifică, București, 1971.
[33] V. POPA,
Carte pentru tinerii profesori de matematică (și nu numai …),
Ed. Egal, Bacău, 2004.
[34] O. POPESCU,
Metodica predării geometriei in gimnaziu,
Editura Didactică și Pedagogică, 1983.
[35] D. POPOIU,
Matematica – complemente de geometrie in plan,
Ed. Corint, 2001.
[36] E. RUSU,
Metodica predării matematicii,
Editura Didactică și Pedagogică, 1983.
[37] M. SINGER,
Învățarea geometriei prin exerciții – clasa a VII,
Ed. Sigma, 1996.
[38] M. SINGER,
Învățarea matematicii,
Ed. Sigma, 1996.
[39] G. ȚIȚEICA,
Probleme de geometrie,
Ed. Tehnică, București, 1981.
[40] N. C. UDRIȘTE,
Probleme de matematică și observații metodologice,
Ed. Facla, Timișoara, 1980.
[41] I. VAISMAN,
Fundamentele matematicii,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1968.
[42] I. VÂRTOPEANU I., A. LEONTE,
Geometrie în spațiu,
Ed. Sibila, 1994.
[43] Gh. VRÂNCEANU,
Geometrie elementară din punct de vedere superior,
Ed. Tehnică, București, 1967.
[44] ***, Caiete metodico – științifice de matematică,
Universitatea din Timișoara, Facultatea de Științe ale naturii, nr. 1 și 3, 1983.
[45] ***, Gazeta matematică.
[46] ***, Geometrie pentru perfecționarea profesorilor,
Editura Didactică și Pedagogică , București, 1983.
[47] ***, Mică enciclopedie matematică, Ed. Tehnică, 1980.
[48] ***, Revista de pedagogie.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Sistemul de Axiome Hilbertian (ID: 123919)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.