Sistemul de Amortizare cu Masa Acordata Tmd

Contents

1. Introducere

2. Utilizarea sistemelor cu masa acordata in lume.

3. Principii si notiuni teoretice

4. Calculul sistemelor de tip TMD

4.1. Sistem SDOF cuamortizare supus la excitatii ale bazei si la forte armonice

4.2. Structura neamortizata, TMD neamortizat supus la forte armonice.

4.3. Structura neamortizata, TMD cu amortizare, supuse la excitatii de tip “forta armonica”

4.4. Structura neamortizata, TMD cu amortizare, supuse la excitatii armonice de tip “miscarea bazei

4.5. Structura amortizata, TMD amortizat, supuse la forte exterioare armonice si excitatii ale bazei

4.6. Recapitularea analizei comportamentului TMD

5. Studiu de caz

5.1. Structura in cadre cu forma circulara in plan

5.2. Structura in cadre cu forma patrata in plan

5.3. Structura in cadre cu forma dreptunghiulara in plan

5.4. Structura duala cu forma circulara in plan

5.5. Structura duala cu forma patrata in plan

5.6. Structura duala cu forma dreptunghiulara in plan

6. Concluzii

7. Bibliografie

Lista de figuri

Fig. 1 Centerpoint Tower, Sydney Australia 1

Fig. 2 CN Tower, Toronto Canada 2

Fig. 3 One Wall Center, Vancouver, Canada 3

Fig. 4 Taipei 101, Taipei, Taiwan 3

Fig. 5 Pendulul tunului Taipei 101 4

Fig. 6 Podul Akashi Kaikyō 4

Fig. 7 Exemplu de sistem cu masa acordata 5

Fig. 8 Schema unui pendul TMD 5

Fig. 9 Rezolvarea limitarii date de lungimea prea mare a unui pendul 6

Fig. 10 Sistem SDOF supus unor excitatii ale bazei 7

Fig. 11 Sistem SDOF cu TMD supus unor excitatii de tip armonica 9

Fig. 12 Variatia factorului de amplificare dinamica in functie de raportul modificand pe 10

Fig. 13 Exemplu pentru variatia factorului de amplificare in functie de raportul modificand pe . 11

Fig. 14 Sistem primar neamortiat cu TMD amortizat supus la forte armonice 11

Fig. 15 Exemplu pentru variatia factorului de amplificare dinamica in functie de raportul modificand fractiunea din amortizarea proprie 13

Fig. 16 Sistem primar neamortizat cu TMD amortizat supus la miscari de baza 14

Fig. 17 Sistem primar amortizat cu TMD amortizat supus la miscari ale bazei si forte exterioare 17

Fig. 18 Structura in cadre cu forma circulara – plan si elevatie 21

Fig. 19 Structura in cadre cu forma patrata – plan si elevatie 22

Fig. 20 Structura in cadre cu forma dreptunghiulara – plan si elevatie 22

Fig. 21 Structura duala cu forma circulara – plan si elevatie 23

Fig. 22 Structura duala cu forma patrata – plan si elevatie 23

Fig. 23 Structura duala cu forma patrata – plan si elevatie 24

Fig. 24 Spectru de proiectare pentru ag=0.30g 25

Fig. 25 Deplasari relative pe directia X la SLS 28

Fig. 26 Deplasari relative pe directia Y la SLS 29

Fig. 27 Deplasari relative pe directia X la SLU 29

Fig. 28 Deplasari relative pe directia Y la SLU 30

Fig. 29 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C16 31

Fig. 30 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C32 32

Fig. 31 Momentele din reazemele grinzii B68 33

Fig. 32 Deplasari relative pe directia “X” la SLS 34

Fig. 33 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS 35

Fig. 34 Deplasari relative pe directia “X” la SLU 35

Fig. 35 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU 36

Fig. 36 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul de colt C32 37

Fig. 37 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul margina C7 38

Fig. 38 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C6 39

Fig. 39 Momentele din reazemele grinzii B16 40

Fig. 40 Deplasari relative pe directia “X” la SLS 41

Fig. 41 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS 42

Fig. 42 Deplasari relative pe directia “X” la SLU 42

Fig. 43 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU 43

Fig. 44 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul de colt C32 44

Fig. 45 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C4 45

Fig. 46 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C30 46

Fig. 47 Momentele din reazemele grinzii B16 47

Fig. 48 Deplasari relative pe directia “X” la SLS 48

Fig. 49 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS 49

Fig. 50 Deplasari relative pe directia “X” la SLU 49

Fig. 51 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU 50

Fig. 52 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C30 51

Fig. 53 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C44 52

Fig. 54 Forta axiala si momentul incovoietor in peretele P3 53

Fig. 55 Momentele din reazemele grinzii B86 54

Fig. 56 Deplasari relative pe directia “X” la SLS 55

Fig. 57 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS 56

Fig. 58 Deplasari relative pe directia “X” la SLU 56

Fig. 59 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU 57

Fig. 60 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C20 58

Fig. 61 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C16 59

Fig. 62 Forta axiala si momentul incovoietor in peretele P6 60

Fig. 63 Momentele din reazemele grinzii B18 61

Fig. 64 Deplasari relative pe directia “X” la SLS 62

Fig. 65 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS 63

Fig. 66 Deplasari relative pe directia “X” la SLU 63

Fig. 67 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU 64

Fig. 68 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C3 65

Fig. 69 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C24 66

Fig. 70 Forta axiala si momentul incovoietor in peretele P3 67

Fig. 71 Momentele din reazemele grinzii B68 68

Fig. 72 Schema logica pentr calculul unui amortizor cu masa acordata 70

Introducere

Sistemul de amortizare cu masa acordata TMD (tuned mass damper) este un sistem foarte eficient in controlul vibratiilor unei structuri. Este format (la nivel teoretic) dintr-o masa, un amortizor vascos si un resort atasat unei structuri pentru reducerea vibratiilor induse de vant si de sesim. Frecventa si amortizarea acestor sisteme sunt acordate in asa fel incat, atunci cand structura intra in rezonanta la o anumita frecventa(perioada) TMD-ul oscileaza cu aceeasi perioada, dar defazat fata de structura, astfel energia se transmitede la sistemul primar (structura) la cel secundar (TMD) si se disipa in amortizor.

Utilizarea sistemelor cu masa acordata in lume.

Primul sistem cu masa acordata a fost propus de Fhram (1909) pentru reducerea vibratiilor produse de forte armonice monotone. El a observat ca daca un sistem secundar format dintr-o masa, un amortizor si un arc este atasat de un sistem primar, iar perioada lui este acordata cu perioada fundamentala a sistemului primar, se obtine o reducere considerabila a raspunsului dinamic.

Prima cladire echipata cu amortizor cu masa acordata este Centerpoint Tower in Sydney, Australia. Structura a fost finalizata in 1981 si masoara 309m.

Fig. 1 Centerpoint Tower, Sydney Australia

In Canada, exista cateva cladiri echipate cu amortizori cu masa acordata printer care

CN Tower;

One Wall Center;

CN Tower are 553m inaltime si a fost finalizat in 1976. La momentul finalizarii a fost cea mai inalta cladire.

Fig. 2 CN Tower, Toronto Canada

One Wall Center cunoscut si sub numele Sheraton Vancouver Wall Center Hotel are 48 etaje, si inaltimea de 158m. Pentru a contracara posibilele vibratii armonice cauzate de vantul puternic, turnul a fost echipat cu amortizor cu apa acordat. Acest sistem a fost amplasat la ultimul nivel si este format din 2 rezervoare cu capacitatea de 227 mii litri. Aceste rezervoare au fost proiectate astfel incat frecventa armonica a miscarii apei sa echilibreze miscarea armonica a turnului.

Fig. 3 One Wall Center, Vancouver, Canada

Taipei 101, cunoscut si sub numele Taipei World Finacial Center, a fost cea mai inalta constructie incepand cu 2004 pana la construirea lui Burj Khalifa. Are 101 etaje si o inaltime de 508m.

Fig. 4 Taipei 101, Taipei, Taiwan

Fig. 5 Pendulul tunului Taipei 101

Inginerii lui Taipei 101, au proiectat un pendul din otel cu greutatea de 660 tone care sa actioneze ca un amortizor cu masa acordata. Suspendat intre etajele 92 si 87, pendulul se misca decalat fata de structura, pentru a contracara efectul dat de rafalele de vant. Pendulul cu diametru de 5.5m este format din 41 placi circulare din otel, cu inaltimea de 125mm.

Alte 2 amortizoare cu masa acordata, cu greutatea de 6 tone, sunt instalate la varful spirei si ajuta la prevenirea pagubelor cauzate de incarcarile mari date de vant.

Amortizorul cu mase acordate s-a folosit si in lucrari ingineresti precum Podul Akashi Kaikyō. Cu o lungime totala de 3911m, podul are penduli proiectati sa opereze la frecventa de rezonata a podului, amortizand fortele date de incarcarile din vant si seism.

Fig. 6 Podul Akashi Kaikyō

Principii si notiuni teoretice

Principiul de reducere a vibratiilor structurale prin introducerea TMD-ului intr-o structura este de a transfera energia de vibratie catre TMD pentru a fi disipata. Astfel frecventa TMD-ului este acordata cu o anumita frecventa a structurii. Cand aceasta frecventa este atinsa, TMD-ul va rezone, defazat fata de miscarea structurii.

Comparativ cu alte metode de disipare, utilizarea TMD-ului impune folosirea unei mase si a unor deplasari mari. Prinderea si calibrarea TMD-ului este o problema foarte importanta in proiectare sistemului. In mod usual masa sistemului de amortizare se incadreaza in valori cuprinse intre 0.25..1% din masa cladiri pe modul fundamental de vibratie.

In anumite cazuri, restrictia de spatiu nu permite amplasarea unui sistem traditional cu masa acordata. Aceasta limitare a dus la crearea unor sisteme alternative cum ar fi pendulul multi-stadiu, pendulul inversat, rulmenti hidrostatici. Pentru acordarea sistemelor se folosesc de obicei arcurile cu spire sau arcurile pneumatice cu rigiditate variabila.

Fig. 7 Exemplu de sistem cu masa acordata

Problemele care apar cu spatiul pot fi rezolvate prin introducerea unui pendul:

Fig. 8 Schema unui pendul TMD

Ecuatia de miscare pe orizontala este:

unde T este tensiunea in cablu; deplasarea structurii; deplasarea masei pendulului; greutatea pendulului; masa pendulului

Deci:

De unde se deduce ca rigiditatea echivalenta la forfecare este:

Pulsatia pendulului este:

De unde rezulta perioada:

Singura limitare majora prin introducerea unui pendul este ca lungimea pendulului sa fie mai mare decat inaltimea unui nivel. Aceasta problema se poate rezolva utilizand schema de mai jos:

Fig. 9 Rezolvarea limitarii date de lungimea prea mare a unui pendul

Legatura interioara rigida, amplifica miscarea suportului pentru pendul rezultand urmatoarea ecuatie de echilibru:

Legatura rigida se misca in faza cu amortizorul si are aceeasi amplitudine a deplasarii. Considerand avem:

Rigiditatea echivalenta este ceea ce arata ca lungimea efectiva este 2L. Prin urmare fiecare legatura aditionala creste lungimea efectiva cu valoarea “L”.

Calculul sistemelor de tip TMD

Analiza principiala a sistemelor TMD, implica precizarea raspunsului unui sistem cu doua grade de libertate, primul fiind gradul de libertate primar (structura), iar cel de-aldoilea fiind al TMD. Pentru aceasta se face apel la procedee matematice de calcul al raspunsului sistemului cu doua grade de libertate supus excitatiilor armonice in domeniul frecventelor. In continuare se vor ilustra aceste raspunsuri pentru diferite cazuri.

Sistem SDOF cuamortizare supus la excitatii ale bazei si la forte armonice

Fig. 10 Sistem SDOF supus unor excitatii ale bazei

Unde: k – rigiditatea structurii, – amortizarea structurii, m – masa, – deplasarea bazei, – deplasarea masei sistemului, – forta exterioara armonica.

In termini absolute, ecuatia de miscare a unui SDOF supus unor forte armonice si/sau o excitatie a bazei este:

In termini relativi, avem:

Deci ecuatia devine:

Pentru excitatii armonice:

si

In cazul solutiei statice (ecuatia neomogena), presupunand ca avem:

Deci solutia este:

Structura neamortizata, TMD neamortizat supus la forte armonice.

Fig. 11 Sistem SDOF cu TMD supus unor excitatii de tip armonica

Notam:

In termeni absoluti, ecuatiile de miscare ale sistemului cu 2 GLD supus uD. Pentru aceasta se face apel la procedee matematice de calcul al raspunsului sistemului cu doua grade de libertate supus excitatiilor armonice in domeniul frecventelor. In continuare se vor ilustra aceste raspunsuri pentru diferite cazuri.

Sistem SDOF cuamortizare supus la excitatii ale bazei si la forte armonice

Fig. 10 Sistem SDOF supus unor excitatii ale bazei

Unde: k – rigiditatea structurii, – amortizarea structurii, m – masa, – deplasarea bazei, – deplasarea masei sistemului, – forta exterioara armonica.

In termini absolute, ecuatia de miscare a unui SDOF supus unor forte armonice si/sau o excitatie a bazei este:

In termini relativi, avem:

Deci ecuatia devine:

Pentru excitatii armonice:

si

In cazul solutiei statice (ecuatia neomogena), presupunand ca avem:

Deci solutia este:

Structura neamortizata, TMD neamortizat supus la forte armonice.

Fig. 11 Sistem SDOF cu TMD supus unor excitatii de tip armonica

Notam:

In termeni absoluti, ecuatiile de miscare ale sistemului cu 2 GLD supus unor exictatii de tip forte armonice sunt:

Pentru excitatii armonice se obtine:

Ecuatiile neomogene, presupunand si sunt:

Aceste ecuatii pot fi rezolvate simultan pemtru functiile de frecventa si si convertite in forma polara.

Unde:

– raportul frecventelor unghiulare natural ale celor doua sisteme

– raportul dintre frecventa unghiulara indusa si cea naturala

– raportul maselor

In graficul de mai jos este ilustrata variatia factorului de amplificare dinamica

Fig. 12 Variatia factorului de amplificare dinamica in functie de raportul modificand pe

Conditiile optime sunt atinse prin modificarea rapoartelor si . Schimband raprotul frecventelor f, influenteaza pnctul pentru care factorul de amplificare dinamica devine 0(zero). Exemplu: cand . Schimband raportul maselor, se schimba distanta intre varfurile ; valorile mari se ating pe intervale mari.

Fig. 13 Exemplu pentru variatia factorului de amplificare in functie de raportul modificand pe .

Structura neamortizata, TMD cu amortizare, supuse la excitatii de tip “forta armonica”

Fig. 14 Sistem primar neamortiat cu TMD amortizat supus la forte armonice

Unde:

Ecuatiile de miscare ale sistemului cu 2 GLD supus la forte armonice, in termini absolute sunt:

Pentru excitatii armonice:

Ecuatiile neomogene sunt:

Acestea se pot rezolva simultan rezultand functiile de raspuns in frecvente si

Unde

– raportul frecventelor unghiulare natural ale celor doua sisteme

– raportul dintre frecventa unghiulara indusa si cea naturala

– raportul maselor

Fig. 15 Exemplu pentru variatia factorului de amplificare dinamica in functie de raportul modificand fractiunea din amortizarea proprie

Conditiile optime (dorite de proiectant) sunt obtinute prin schimbarea raportului maselor prin modificarea raportului de frecvente si a nivelului de amortizare . Se observa ca indiferent de combinarea parametrilor, exista intotdeauna doua puncte comune ce sunt independente de .

Cu cat raportul maselor, , este cea mai mare cu atat raspunsulva fi mai mic. De asemenea o masa mai mare a TMD-ului va avea ca efect o sensibilitate scazuta la modificarea parametrilor in vederea acordarii; o caracteristica importanta in practica, deoarece perioadele proprii de vibratie ale sistemului principal se modifica odata cu introducerea componentelor nestructurale. De regula are valori cuprinse intre 0.01 si 0.1.

Prin schimbarea raportului frecventelor, , schimbam inaltimea relativa intre cele doua puncte comune de pe graphic. Situatia optima este atinsa atunci cand aceste doua puncte sunt la aceeasi inaltime. Acest lucru se petrece atunci cand are valoarea:

Ceea ce da amplitudinea pentru punctele comune:

Schimband amortizarea , se schimba punctual de maxim al curbei. Stim ca amplitudinea la rezonanta este limitata doar de forta de amortizare. Daca , atunci nu exista disipare de energie, prin urmare cele doua varfuri de rezonanta (deoarece este un sistem cu 2 GLD) vor tinde la infinit. Cand , cele doua mase sunt practice una singura, prin urmare deplasarea relativa este 0; amortizorul nu lucreaza si va exista deci un singur varf de amplitudine infinit pe curba valoarea optima pentru va fi aceea pentru care amortizorul va lucre la capacitate maxima si aceasta se intampla in punctual in care raspunsul sistemului primar este minim. Conditia de optim pentru alegerea este aceea in care curbele au punctele comune in maximele lor. Dar acest lucru (atingerea maximelor) se intampla lamomente de timp diferite. Valoarea optima a este:

Prin urmare, pasii de principiu in proiectarea unui amortizor cu masa acordata sunt urmatorii:

se allege amplasarea TMD in punctual cu deplasarea maxima a modului ce se vrea controlat;

se allege cel mai mare raport de mase respectand criteriul deplasarii maxime;

se determina raportul optim al frecventelor , si de aici se determina reigiditatea amortizorului .

se determina fractiunea optima din amortizarea si de aici se calculeaza amortizarea .

Structura neamortizata, TMD cu amortizare, supuse la excitatii armonice de tip “miscarea bazei

Fig. 16 Sistem primar neamortizat cu TMD amortizat supus la miscari de baza

In termeni absoluti cele doua ecuatii de miscare sunt:

In termeni relativi:

Deci:

Pentru excitatii armonice,

Presupunand si se obtin ecuatiile neomogene:

Unde:

– raportul frecventelor unghiulare natural ale celor doua sisteme

– raportul dintre frecventa unghiulara indusa si cea naturala

– raportul maselor

Factorii de amplificare pentru miscarea de excitatie a bazei sunt similari cu factorii de amplificare pentru cazul fortelor exterioare armonice, cu conditia ca raportul maselor sa fie redus.

Ca si in cazurile anterioare, conditiile optime sunt atinse prin modificarea raportului maselor , prin modificarea raprtului de frecvente si a nivelului de amortizare .

Raportul optim de frecvente este:

Fractiunea optima din amortizarea critica este:

Prin urmare, pasii de principiu in proiectarea unui amortizor cu masa acordata in ipoteza de fata sun urmatorii:

se allege amplasarea TMD in punctual cu deplasarea maxima a modului ce se vrea controlat;

se allege ce mai mare raport de mase respectand criteriul deplasarii maxime;

se determina raportul optim al frecventelor si de aici se determina rigiditatea amortizorului .

se determina fractiunea optima din amortizare si de aici se calculeaza amortizarea .

Structura amortizata, TMD amortizat, supuse la forte exterioare armonice si excitatii ale bazei

Fig. 17 Sistem primar amortizat cu TMD amortizat supus la miscari ale bazei si forte exterioare

In termeni absoluti ecuatiilede miscare sunt:

In termeni relativi:

Pentru excitatii armonice:

si

Ecuatiile neomogene presupunand si sunt:

Din rezolvarea celor doua ecuatii rezulta forma functiilor raspuns in frecvente:

Conditiile optime sunt atinse prin modificarea raportului maselor , prin modificarea raportului de frecvente si a nivelului de amortizare . Cu cat raportul maselor , este mai mare cu atat raspunsul va fi mai mic. ia valori de regula intre 0.01 si 0.1. Solutiile analitice pentru raportul optim de frecvente precum si pentru amortizarea optima nu pot fi determinate. Punctele comune (independente de ) de pe curba ) nu mai exista.

Pentru excitatii de tip forta, valorile optime pentru f si sunt determinate empiric (Ioi si Ikeda, 1978):

Erorile pentru ecuatiile de mai sus, sunt sub 1% pentru si caresunt intervalele de interes.

Recapitularea analizei comportamentului TMD

Prin urmare pentru a dimensiona un dispozitiv de tip “amortizor cu masa acordata” trebuie urmati cativa pasi de principiu:

In prima faza se stabileste locatia (pozitia amortizorului) astfel incat aceasta sa coincide cu punctual de amplitudine maxima al formei modale ce se va controla.

Masa sistemului primar va fi masa participanta pe modul ce se vrea controlata prin intermediul amortizorului.

Cu cat raportul maselor, , este mai mare cu atat raspunsul va fi mai mic (amortizorul va fi mai putin sensibil la acordare). Prin urmare se allege cel mai mare raport posibil.

Se determina raportuloptim al frecventelor (perioadelor), , din care se calculeaza rigiditatea amortizorului, .

Se determina fractiunea optima din amortizarea critica cu ajutorul careia se calculeaza amortizarea dispozitivului, .

Parametrul in functie de care se face optimizarea este “deplasarea“ si este folosit pentru a asigura integritatea structurii si a elementelor nestructurale. Insa, se mai poate folosi ca parametru de optimizare si “acceleratia” pentru cazul echipamentelor grele/sensibile la acceleratii mari.

Pentru aplicatiile seismic de larga utilizare, Villaverde (1985) sugereaza folosirea urmatoarelor ecuatii cu parametrii optimi, cu raportul maselor bazat pe masa modala si vectorul propriu normalizat in punctual de instalare a dispozitivului:

Pentru aceleasi conditii, Fadek (1997) gaseste ecuatiile:

Observatie:

Acest tip de dispozitive, sunt eficiente in aplicatiile seismice cu amortizare scazuta . Pentru structure cu amortizare, nu sunt foarte eficiente deoarece raportul maselor devine prea mare. De asemenea nu sunt eficiente nici in cazul structurilor foarte rigide cu perioade de .

Studiu de caz

In continuare pentru aplicarea notiunilor descries in capitolele anterioare vom considera 6 variante de structuri din beton armat cu diferite sisteme structurale si diferite forme in plan cu regimul de inaltime P+39E. Inaltimea de nivel a fost considerat 3m. Structurile se clasifica astfel:

Functie de sistemul structural:

sistem structural cu cadre din beton armat;

sistem structural dual cadre + pereti din beton armat;

Functie de forma in plan:

Circulara;

Patrata;

Rectangulara.

Fig. 18 Structura in cadre cu forma circulara – plan si elevatie

Fig. 19 Structura in cadre cu forma patrata – plan si elevatie

Fig. 20 Structura in cadre cu forma dreptunghiulara – plan si elevatie

Fig. 21 Structura duala cu forma circulara – plan si elevatie

Fig. 22 Structura duala cu forma patrata – plan si elevatie

Fig. 23 Structura duala cu forma patrata – plan si elevatie

Pentru a minimiza numarul variabilelor si a evidentia mai bine folosirea TMD-urilor structurile au distant intre axe 5m.

Pe langa incarcarile provenite din greutatea proprie a structurii au fost considerate si urmatoarele incarca:

La nivelul etajelor curente:

Pardoseala si instalatii – 2kN/m2

Pereti despartitori – 0.5 kN/m2

Incarcarea utila – 2 kN/m2

La nivelul ultimului etaj:

Incarcarea utila 2 kN/m2

Incarcarea din zapada 2 kN/m2

Termoizolatia 3 kN/m2

Instalatii 0.5 kN/m2

Atic 5 kN/ml – pe grinzile de contur

Clasa betonului este C30/37 cu modulul de elasticitate E=33000 N/mm2

Dimensiunile elementelor sunt urmatoarele:

Pentru analiza cu spectre de raspuns s-a folosit urmatorul spectru de proiectare:

Fig. 24 Spectru de proiectare pentru ag=0.30g

Pentru dimensionarea sistemelor de amortizare cu mase acordate am tinut cont de urmatorii pasi:

In prima faza se stabileste locatia (pozitia amortizorului) astfel incat aceasta sa coincide cu punctual de amplitudine maxima al formei modale ce se va controla.

Masa sistemului primar va fi masa participant pe modul ce se vrea controlata prin intermediul amortizorului.

Cu cat raportul maselor, , este mai mare cu atat raspunsul va fi mai mic (amortizorul va fi mai putin sensibil la acordare). Prin urmare se alege cel mai mare raport posibil.

Se determina raportuloptim al frecventelor (perioadelor), , din care se calculeaza rigiditatea amortizorului, .

Se determina fractiunea optima din amortizarea critica cu ajutorul careia se calculeaza amortizarea dispozitivului, .

Modelarea sistemului cu masa acordata:

Asa cum s-a stabilit “amortizorul cu masa acordata” trebuie pozitionat in punctual de amplitudine maxima a modului ce se vrea controlat. In cazurile studiate acest punct poate fi orice punct de pe planseul ultimului nivel.

Sistemul TMD se modeleaza cu ajutorul unui isolator de tip “pendul de frecare” (friction pendulum) iar pentru a simula miscarea fizica a TMD-ului, iar pentru partea de amortizare s-a folosit un “link” de tip “amortizor vascos” (Damper). In program se introduc 2 legaturi (link) cu aceste denumiri si cu caracteristicile determinate prin calcul.

La modelare trebuie tinut cont de modul de desenare al legaturilor (de jos in sus) pentru a putea fi definita corect miscarea de amortizare. Pentru o comportare buna, punctul aflat pe planseul de la ultimul nivel va fi situat in centrul acestuia, iar cel liber pe aceeasi verticala situat la distanta egala cu lungimea pendulului.

De asemenea trebuie tinut cont ca punctului liber trebuie sa i se atribuie mase pe directiile principale, mase determinate prin calculul TMD.

– Raportul maselor;

ζ – Fractiune din amortizarea critica;

– masa antrenata pe modul 1 de vibratie;

– masa antrenata pe modul 2 de vibratie;

Pentru structurile analizate caracteristicile TMD-urilor sunt urmoatoarele:

In continuare se va prezenta in paralel comportarea structurilor cu si fara sistemul de amortizare cu masa acordata.

Structura in cadre cu forma circulara in plan

In urma analizei modala cu spectru de raspuns s-au obtinut urmatoarele perioade proprii pentru primele 4 moduri de vibratie:

Se observa ca dupa introducerea TMD-ului perioadele s-au marit si repartitia maselor s-a modificat fundamental. Astfel:

In primul caz (fara TMD) pe modurile 1 si 2 factorul de participare al maselor era 71.2%, rezultand forte seismice mari.

Dupa amplasarea TMD-ului acesti factori de participare ai maselor practic se impart in doua si se distribuie pe cate 2 moduri pe fiecare directive principala. Fenomenul de torsiune generala “coboara” dincolo de modul 4.

Daca analizam din punct de vedere al deplasarilor, se pot observa reduceri ale drift-urilor, in medie cu 25% pe directiile X si Y atat la SLS cat si la SLU, asa cum se evidentiaza in figurile de mai jos:

Fig. 25 Deplasari relative pe directia X la SLS

Fig. 26 Deplasari relative pe directia Y la SLS

Fig. 27 Deplasari relative pe directia X la SLU

Fig. 28 Deplasari relative pe directia Y la SLU

Pentru a evidentia comportarea TMD-ului in reducerea eforturilor in elemente au fost selectate:

Un stalp marginal – denumit C16;

Un stalp interior – denumit C32;

O grinda – denumita B68;

Se observa o reducere a eforturilor in elementele structurii;

In stalpul marginal C16 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 25%.

In stalpul interior C32 forta axiala a fost redusa in medie cu 8% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 25%.

In reazemelul din stanga al grinzii B86 momentele incovoietoare au fost reduse in medie cu 25%, iar in reazemul din dreapta o reducere in medie cu 30%.

Fig. 29 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C16

Fig. 30 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C32

Fig. 31 Momentele din reazemele grinzii B68

Structura in cadre cu forma patrata in plan

In urma analizei modala cu spectru de raspuns s-au obtinut urmatoarele perioade proprii pentru primele 4 moduri de vibratie:

Se observa ca dupa introducerea TMD-ului perioadele s-au marit si repartitia maselor s-a modificat fundamental. Astfel:

In primul caz (fara TMD) pe modul 1 factorul de participare al maselor era 76.11%, iar pe modul 2 factorul de participare al maselor era 76.09%.

Dupa amplasarea TMD-ului acesti factoride participare ai maselor practic se impart in doua si se distribuie pe cate 2 moduri pe fiecare directive principala. Fenomenul de torsiune generala “coboara” dincolo de modul 4.

Daca analizam din punct de vedere al deplasarilor, se pot observa reduceri ale drift-urilor, in medie cu 20% pe directiile X si Y atat la SLS cat si la SLU, asa cum se evidentiaza in figurile de mai jos:

Fig. 32 Deplasari relative pe directia “X” la SLS

Fig. 33 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS

Fig. 34 Deplasari relative pe directia “X” la SLU

Fig. 35 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU

Pentru a evidentia comportarea TMD-ului in reducerea eforturilor in elemente au fost selectate:

Un stalp de colt – denumit C32;

Un stalp marginal – denumit C7;

Un stalp interior – denumit C6;

O grinda – denumita B16;

Se observa o reducere a eforturilor in elementele structurii;

In stalpul de colt C32 forta axiala a fost redusa in medie cu 8% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 20%.

In stalpul marginal C7 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 25%.

In stalpul interior C6 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 18%.

In reazemele grinzii B16 momentele incovoietoare au fost reduse in medie cu 25%.

Fig. 36 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul de colt C32

Fig. 37 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul margina C7

Fig. 38 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C6

Fig. 39 Momentele din reazemele grinzii B16

Structura in cadre cu forma dreptunghiulara in plan

In urma analizei modala cu spectru de raspuns s-au obtinut urmatoarele perioade proprii pentru primele 4 moduri de vibratie:

Se observa ca dupa introducerea TMD-ului perioadele s-au marit si repartitia maselor s-a modificat fundamental. Astfel:

In primul caz (fara TMD) pe modurile 1 si 2 factorii de participare ai maselor erau 76.09% si 77.08%, rezultand forte seismice mari.

Dupa amplasarea TMD-ului acesti factori de participare ai maselor practic se impart in doua si se distribuie pe cate 2 moduri pe fiecare directive principala. Fenomenul de torsiune generala “coboara” dincolo de modul 4.

Daca analizam din punct de vedere al deplasarilor, se pot observa reduceri ale drift-urilor, in medie cu 25% pe directiile X si Y atat la SLS cat si la SLU, asa cum se evidentiaza in figurile de mai jos:

Fig. 40 Deplasari relative pe directia “X” la SLS

Fig. 41 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS

Fig. 42 Deplasari relative pe directia “X” la SLU

Fig. 43 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU

Pentru a evidentia comportarea TMD-ului in reducerea eforturilor in elemente au fost selectate:

Un stalp de colt – denumit C32;

Un stalp marginal – denumit C4;

Un stalp interior – denumit C30;

O grinda – denumita B35;

Se observa o reducere a eforturilor in elementele structurii;

In stalpul de colt C32 forta axiala a fost redusa in medie cu 6% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 15%.

In stalpul marginal C4 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 20%.

In stalpul interior C30 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 25%.

In reazemele grinzii B35 momentele incovoietoare au fost reduse in medie cu 25%.

Fig. 44 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul de colt C32

Fig. 45 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C4

Fig. 46 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C30

Fig. 47 Momentele din reazemele grinzii B16

Structura duala cu forma circulara in plan

In urma analizei modala cu spectru de raspuns s-au obtinut urmatoarele perioade proprii pentru primele 4 moduri de vibratie:

Se observa ca dupa introducerea TMD-ului perioadele s-au marit si repartitia maselor s-a modificat fundamental. Astfel:

In primul caz (fara TMD) pe modurile 1 si 2 factorul de participare al maselor era 71.25%, rezultand forte seismice mari.

Dupa amplasarea TMD-ului acesti factori de participare ai maselor practic se impart in doua si se distribuie pe cate 2 moduri pe fiecare directive principala. Fenomenul de torsiune generala “coboara” dincolo de modul 4.

Daca analizam din punct de vedere al deplasarilor, se pot observa reduceri ale drift-urilor, in medie cu 25% pe directiile X si Y la SLS si 20% la SLU, asa cum se evidentiaza in figurile de mai jos:

Fig. 48 Deplasari relative pe directia “X” la SLS

Fig. 49 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS

Fig. 50 Deplasari relative pe directia “X” la SLU

Fig. 51 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU

Pentru a evidentia comportarea TMD-ului in reducerea eforturilor in elemente au fost selectate:

Un stalp marginal – denumit C12;

Un stalp interior – denumit C44;

O grinda – denumita B86;

Un perete – denumit P3

Se observa o reducere a eforturilor in elementele structurii;

In stalpul de colt C12 forta axiala a fost redusa in medie cu 6% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 20%.

In stalpul interior C44 forta axiala a fost redusa in medie cu 4% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 20%.

In reazemelul din stanga al grinzii B86 momentele incovoietoare au fost reduse in medie cu 17%, iar in cel din dreapta cu 30%.

In peretele P3 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 10%.

Fig. 52 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C30

Fig. 53 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C44

Fig. 54 Forta axiala si momentul incovoietor in peretele P3

Fig. 55 Momentele din reazemele grinzii B86

Structura duala cu forma patrata in plan

In urma analizei modala cu spectru de raspuns s-au obtinut urmatoarele perioade proprii pentru primele 4 moduri de vibratie:

Se observa ca dupa introducerea TMD-ului perioadele s-au marit si repartitia maselor s-a modificat fundamental. Astfel:

In primul caz (fara TMD) pe modurile 1 si 2 factorul de participare al maselor era 66.5%.

Dupa amplasarea TMD-ului acesti factori de participare ai maselor practic se impart in doua si se distribuie pe cate 2 moduri pe fiecare directive principala. Fenomenul de torsiune generala “coboara” dincolo de modul 4.

Daca analizam din punct de vedere al deplasarilor, se pot observa reduceri ale drift-urilor, in medie cu 23% pe directiile X si Y la SLS cat si la SLU, asa cum se evidentiaza in figurile de mai jos:

Fig. 56 Deplasari relative pe directia “X” la SLS

Fig. 57 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS

Fig. 58 Deplasari relative pe directia “X” la SLU

Fig. 59 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU

Pentru a evidentia comportarea TMD-ului in reducerea eforturilor in elemente au fost selectate:

Un stalp marginal – denumit C20;

Un stalp interior – denumit C16;

O grinda – denumita B18;

Un perete – denumit P6

Se observa o reducere a eforturilor in elementele structurii;

In stalpul marginal C20 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 20%.

In stalpul interior C16 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 18%.

In reazemele grinzii B18 momentele incovoietoare au fost reduse in medie cu 23%

In peretele P3 forta axiala a fost redusa in medie cu 5% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 10%.

Fig. 60 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C20

Fig. 61 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C16

Fig. 62 Forta axiala si momentul incovoietor in peretele P6

Fig. 63 Momentele din reazemele grinzii B18

Structura duala cu forma dreptunghiulara in plan

In urma analizei modala cu spectru de raspuns s-au obtinut urmatoarele perioade proprii pentru primele 4 moduri de vibratie:

Se observa ca dupa introducerea TMD-ului perioadele s-au marit si repartitia maselor s-a modificat fundamental. Astfel:

In primul caz (fara TMD) pe modurile 1 si 2 factorii de participare ai maselor erau 71.44% si 72.31%, rezultand forte seismice mari.

Dupa amplasarea TMD-ului acesti factori de participare ai maselor practic se impart in doua si se distribuie pe cate 2 moduri pe fiecare directive principala. Fenomenul de torsiune generala “coboara” dincolo de modul 4.

Daca analizam din punct de vedere al deplasarilor, se pot observa reduceri ale drift-urilor, in medie cu 27% pe directiile X si Y la SLS si 22% la SLU, asa cum se evidentiaza in figurile de mai jos:

Fig. 64 Deplasari relative pe directia “X” la SLS

Fig. 65 Deplasari relative pe directia “Y” la SLS

Fig. 66 Deplasari relative pe directia “X” la SLU

Fig. 67 Deplasari relative pe directia “Y” la SLU

Pentru a evidentia comportarea TMD-ului in reducerea eforturilor in elemente au fost selectate:

Un stalp marginal – denumit C3;

Un stalp interior – denumit C24;

O grinda – denumita B68;

Un perete – denumit P3

Se observa o reducere a eforturilor in elementele structurii;

In stalpul marginal C3 forta axiala a fost redusa in medie cu 6% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 23%.

In stalpul interior C20 forta axiala a fost redusa in medie cu 4% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 26%.

In reazemelul din stanga al grinzii B68 momentele incovoietoare au fost reduse in medie cu 23% iar in reazemul din dreapta cu 28%

In peretele P3 forta axiala a fost redusa in medie cu 6% si o reducere a momentului incovoietor in medie cu 12%.

Fig. 68 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul marginal C3

Fig. 69 Forta axiala si momentul incovoietor in stalpul interior C24

Fig. 70 Forta axiala si momentul incovoietor in peretele P3

Fig. 71 Momentele din reazemele grinzii B68

Concluzii

In urma anizei dinamice liniare cu spectru de raspuns a structurilor in cele doua situatii se pot formula urmatoarele concluzii sub forma de avantaje si dezavantaje:

Avantaje:

Mecanism relative simplu si usor de realizat;

Fiabilitate crescuta data desimplitatea mecanismului;

Reducerile deplasarilor structurale si eforturilor in elemente cu valori cuprinse intre15-25%

Cresterea amortizarii oscilatiilor sistemului structural

Simplitatea calculului caracteristicilor sistemului deamortizare cu masa acordata

Dezavantaje:

Incarca local elementele structurii cu forte gravitationale importante;

Sistemul de prindere de structura trebuie gandit astfel incat sa distribuie incarcarea la cat mai multe elemente;

Apar problem atunci cand lungimea pendulului este mai mare decat inaltimea de nivel.

Fig. 72 Schema logica pentr calculul unui amortizor cu masa acordata

Bibliografie

“Dinamic of structures” – R.W.Clough, J. Prezien (1993)

“Application of tuned mass damper for vibration control of frame structures under seismic excitation” – Rasmi Mishra (2011)

“The effect of tuned-mass dampers on the seismic response of base-isolated structures” – Hsiang-Chuan Tsai (1993)

“Optimal design theories and applications of tuned mass dampers” – Chien-Liang Leea, Yung-Tsang Chen (2006)

Bibliografie

“Dinamic of structures” – R.W.Clough, J. Prezien (1993)

“Application of tuned mass damper for vibration control of frame structures under seismic excitation” – Rasmi Mishra (2011)

“The effect of tuned-mass dampers on the seismic response of base-isolated structures” – Hsiang-Chuan Tsai (1993)

“Optimal design theories and applications of tuned mass dampers” – Chien-Liang Leea, Yung-Tsang Chen (2006)