SISTEME DINAMICE OPTIMALE ȘI MODELE ECONOMICO -FINANCIARE [607201]

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE ȘTIINȚE APLICATE
SISTEME DINAMICE OPTIMALE ȘI MODELE ECONOMICO -FINANCIARE

Lucrare de Disertație

Coordonator științific :

Prof.univ.dr. Valeriu PREPELIȚĂ

Absolvent: [anonimizat]

2019

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE ȘTIINȚE APLICATE
SISTEME DINAMICE OPTIMALE ȘI MODELE ECONOMICO -FINANCIARE

Apro bat
Decan :
Prof. dr. Emil Petrescu

Stabilitatea sistemelor liniare

Coordonator științific:

Prof.univ.dr. Valeriu PREPELIȚĂ

Absolvent: [anonimizat]

2019

2 Aurelia -Adria na Rădulescu

Cuprins
Capitolul 1. Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 3
1.1 Introducere în teoria sistemelor ………………………….. ………………………….. ………………. 3
1.2 Conceptul de stabilitate ………………………….. ………………………….. …………………………. 4
Capitolul 2. Criterii de stabilitate ………………………….. ………………………….. ………………… 9
2.1 Stabilitatea asimptotică ………………………….. ………………………….. ………………………….. 9
2.2 Stabilitatea sistemelor discrete ………………………….. ………………………….. ……………… 13
2.3 Stabilitatea sistemelor neliniare. Prima metodă Liapunov ………………………….. …….. 16
2.4 A doua metodă Liapunov ………………………….. ………………………….. …………………….. 18
Capitolul 3. Reprezentări în domeniul frecvențelor ………………………….. ………………… 21
3.1 Matricea de transfer pentru sisteme continue ………………………….. ………………………. 21
3.2 Criteriul lui Nyquist ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 22
3.2.1 Sistemul în b uclă inchisă ………………………….. ………………………….. ……………………… 22
3.2.2 Reziduuri logaritmice ………………………….. ………………………….. ………………………….. 26
3.3.3 Criteriul lui Nyquist ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 29
3.4 Transformarea Z și legătura cu sistemele liniare discrete ………………………….. ………. 32
3.4.1 Transformarea Z ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 32

Aurelia -Adriana Rădulescu 3
Capitolul 1 . Introducere

1.1 Introducere în teoria sistemelor

Teoria sistemelor se poate defini ca fiind a nsamblu l concepte lor, cunoștințe lor,
metode lor și principii lor independente de aplicații, care sunt necesare și utile studiului
caracteristicilor dinamice , structurii, dar și proprietăților sistemelor în general, în mod
special , ale sistemelor automate . Având sistemul abstract drept obiect de studiu, desprins
de natura sa fizică concretă, sub forma unui model matematic, teoria sistemelor este un
domeniu de studiu care îmbină armonios aspectel e fenomenologice ale sistemelor reale și
elementele matematice abstracte necesare descrierii comportamentului și interacțiunii
dinamice a sistemelor.
Teoria sistemelor a introdu s un mod de gândire de tip logic, ce are la bază principiul
cauzalității , așa zis sistemic, care permite abordarea interdisciplinară a realității
înconjurătoare.
Ideea de sistem a apărut și s -a dezvoltat de -a lungul timpului, ca rezultat al evidențierii
unor trăsături și comportamente comune pentru o serie de procese și f enomene din diferite
domenii, fapt ce a permis tratarea acestora, din punct de vedere structural -funcțional, într –
un mod unitar, sistemic.
Concept ul de sistem are o arie de cuprindere foarte largă, fiind frecvent întâlnit în
tehnică și știință (în deosebi , în toate domeniile acțiunii umane și g ândirii ), însă , în mare
parte, este asociat cu câte un atribut de specificare; ca de exemplu, sistem automat, sistem
informațional, sistem de transmisie, sistem de semnalizare, sistem filozofic, sistem de
producție , sistem social etc. Vom întâlni diverse definiții ale noțiunii de sistem , în timp ce
unele vor reflect a tendința definirii conceptului de sistem într-o cât mai mare generalitate,
altele vor avea tendința de a-l particulari za la un domeniu al cunoașterii , în mod special .
În continuare, vom înțelege prin sistem un ansamblu de elemente c are interacți onează
cu exteriorul, dar și între ele, cu respectarea unor reguli, principii și legi, în vederea
realizării unui obiectiv, sens sau scop. Un sistem este constituit ca o corelație de elemente,
fiecare dintre element e constitui nd un sistem (subsistem). Interacțiunea dintre
componentele unui sistem poate oferi sistemului proprietăți, comportamente noi și
caracteristici , diferite de cele ale elemen telor component e.
În ceea ce privește sistemele fizice ( reale ), interacțiunea dintre elemente se face pe
baza legilor fizico -chimice, prin intermediul energiei și fluxurilor de masă, purtătoare de
informație. Recunoaștem două tipuri de sisteme fizi ce: artificiale sau naturale ( create de
om ).

4 Aurelia -Adriana Rădulescu

1.2 Conceptul de stabilitate

Una dintre cele mai importante proprietăți ale unui sistem o reprezintă stabilitatea
acestuia. Această noțiune este întâlnită la toate categoriile de sisteme: electrice, mecanice,
termice etc. Proprietatea de stabilitate a unui sistem automat nu se rezumă decât la o
problemă de tipul Da/ Nu ( Instabil/ Stabil). În cazul în care un sistem este slab stabil, chiar
și o mică variație a mărimii de intrare l-ar putea trece peste „graniță”, plasându -l în zona de
instabilitate.
Noțiunea de stabilitate este asociată sistemelor pentru a ilustra caracterul nemărginit
sau mărginit al mărimilor de ieșire și de stare, atunci când mărimile sau datel e de intrare
sunt mărginite. Atunci când facem referire la stabilitatea unui sistem, vom utiliza două
concepte: stabilitatea internă ( care face referire la starea sistemului ) și stabilitatea externă
( care face referire la ieșirea sistemului ). Deoarece ieșirea unui sistem este determinată de
starea curentă a acestuia , adica dacă starea este mărginită (sistemul va avea proprietatea de
stabilitatea internă ), atunci și ieșirea va fi mărginită ( sistemul este stabil extern ). Să
notăm că re ciproca afirmați ei anterioare nu este adevărată, pentru că ieșirea mărginită a
unui sistem nu conduce la obligat ivitatea existenței unei stări mărginit e.
Să notăm că s istemele fizice sunt liniare în cel mult un domeniu mărginit de variație al
mărimilor de ieșire și de stare. Asta conduce la consecința conform căreia în cazul
sistemel or fizice instabile, variabilele de ieșire și cele de stare evoluează dincolo de
domeniul de liniaritate. Deoarece fiecare sistem fizic prezintă în afara domeniului de
liniaritate proprietăți neliniare de tip blocare sau saturație , atunci mărimile de ieșire și de
stare ale unui sistem instabil rămân finite .
Luând în considerare analiza sistemelor cu feedback , se va nota că proprietatea de
stabilitate a acestora este cea mai importantă. De exemplu, multe avioane moderne sunt
proiectate instabile în buclă deschisă, și, fără un feedback activ ce asistă pilotul, ele nu pot
zbura. În acest caz, proprietatea de stabilitate a avionului face referire la tendinț a acestuia
de “a rezista” la orice modificare a vitezei, în amplitudine sau în direcție. În această
situație, această proprietate făcând posibilă menținerea avionului pe o anumită traiectorie
într-un regim staționar .
Din punct de vedere practic, un sistem în buclă închisă este considerat instabil pentru o
variație destul de mică . Multe sisteme fizice în buclă deschisă sunt inerent instabile, în
timp ce alte sisteme în buclă deschisă sunt create pentru a fi instabile. Folosind feedback –
ul putem stabiliza siste mele instabile și astfel, cu o selecție rațională a parametrilor de
control, putem ajusta performanța tranzitorie.
Conceptul de stabilitate poate fi ilustrat prin considerarea unui con circular drept plasat
pe o suprafață orizontală. Dacă acesta se sprijină pe bază și este ușor înclinat, el revine la
starea de echilibru inițială , sub acțiunea oricărui stimul extern care îi modifică starea doar
în momentul acțiunii lui. Această poziție este considerată stabil ă ( a ). Dacă el este așezat
pe o parte și e ste mișcat ușor, se va rostogoli fără a avea tendința de a-și schimba poziția de
pe o parte. Numim această stare poziție de stabilitate neutră ( b ). Pe de altă parte, dacă
așezăm conul în vârf și îl lăsăm liber, acesta va cădea într -o parte , fără posibili tatea de a -și
relua poziția inițială . Numim această stare poziție instabilă ( c ). Aceste trei poziții sunt
ilustrate în Figura 1.

Aurelia -Adriana Rădulescu 5

Figura1.

Proprietatea de stabilitate a unui sistem dinamic poate fi definit ă într-un mod similar.
Modificarea unei mărimi de intrare va avea ca și consecință un rezultat descrescător, neutru
sau crescător. Vom spune că un sistem liniar este stabil dacă și numai dacă integrala pe un
interval finit a modulului funcției răspuns, g(t) , este finită. Situarea p olilor în semiplanul
complex stâng are drept consecință un răspuns descrescător, la modi ficarea datelor de
intrare. Similar, polii aflați pe axa jω și în planul complex drept arată un răspuns crescător,
respectiv neutru, la o modif icare a datelor de intrare. Toate cele trei situații sunt prezentate
în Figura 2.

Figura 2

Un exemplu obișnuit al potențialului efect destabilizator al feedback -ului este cel al
feedback -ului amplificatorului audio și al difuzoare lor utilizate pentru audiența publică în
sălile de concert . În acest caz, un difuzor produce un semnal audio care este o versiune
amplif icată a sunetelor recepționate de un microfon. În plus, față de celelalte sunete , cel
provenit de la difuzor poate fi detectat de microfon.

6 Aurelia -Adriana Rădulescu

Puterea acestui semnal sonor particular depinde de distanța dintre difuzor și microfon.
Datorită proprietățil or atenuante ale aerului, o distanță mai mare va provoca un sunet mai
slab care ajunge la microfon.
Datorită vitezei de propagare a undelor sonore limitată va exista, de asemenea, o
întârziere de timp între semnalul produs de difuzor și semnalul det ectat de microfon. În
acest caz, rezultat ul feedback -ului este adăugat la informatiile periferice . Acesta este un
exemplu de feedback pozitiv.
Dacă distanța dintre difuzor și microfon scade, v om putea observa că dacă microfonul
este amplasat prea apr oape de difuzor, atunci sistemul va fi instabil. Rezultatul acestei
instabilități este o amplificare excesivă , o distorsiune a semnalelor audio și un sunet ascuțit
vibrant.
Un alt exemplu de sistem instabil este prezentat în Figura 3. Primul pod pest e Tacoma
Narrows din Puget Sound, Washington, a fost deschis traficului în iulie 1940 . S-a
descoperit că podul se legăna de fiecare dată când vântul sufla. După patru luni, pe 7
noiembrie 1940, vântul a produs o undă care a crescut în amplitudine până când o parte din
pod s -a prăbușit. În Figura 3(a) ne este prezentată starea podului la începutul oscilației, în
timp ce în Figura 3(b) ne este prezentată catastrofa produsă.

Figura 3.

Aurelia -Adriana Rădulescu 7

Figura 3.

În ceea ce privește sistemele liniare, recunoaștem că proprietatea de stabilitate poate fi
definită , în funcție de locația polilor funcției de transfer în buclă închisă. Funcția de
transfer de buclă închisă poate fi scrisă ca :

T(s) = 𝑝(𝑠)
𝑞(𝑠)= 𝐾∏(𝑠+𝑧𝑖)𝑀
𝑖=1
𝑠𝑁∏(𝑠+𝜎𝑘)∏[𝑠2+2𝛼𝑚𝑠+(𝛼𝑚2+𝜔𝑚2)]𝑅𝑚=1𝑄
𝑘=1 ,

unde q(s) = ∆(s) = 0 este ecuația caracteristică ale cărei rădăcini sunt polii sistemului în
buclă închisă. Soluția funcției delta, pentru N=0 este :

y(t) = ∑𝐴𝑘𝑒−𝜎𝑘𝑡 𝑄
𝑘=1 + ∑𝐵𝑚𝑅
𝑚=1(1
𝜔𝑚)𝑒−𝜎𝑚𝑡sin(𝜔𝑚𝑡+ Ѳ𝑚) ,

unde 𝐴𝑘 și 𝐵𝑘 sunt constante care depind de 𝜎𝑘, 𝑧𝑖, 𝛼𝑚, K și 𝜔𝑚. Pentru a obține
răspunsul, polii sistemului în buclă închisă trebuie să se afle în semiplanul complex stâng .
Astfel, o condiție necesară și sufic ientă pentru ca un sistem să fie stabil este ca toți polii
funcției de transfer a sistemului să aibă partea reală negativă.

8 Aurelia -Adriana Rădulescu

Un sistem este stabil dacă toți polii funcției de transfer se află în semiplanul complex
stâng. Așadar, putem spune că un sis tem este instabil dacă are cel puțin o rădăcină care nu
se află în semiplanul complex stâng. Pentru un sistem instabil, ecuația caracteristică are cel
puțin o rădăcină în semiplanul complex drept sau rădăcini imaginare, în acest caz,
răspunsul va deveni ur iaș pentru orice date de intrare .
De exemplu, dacă ecuația caracteristică a unui sistem în buclă închisă este :

(𝑠+10)(𝑠2+16)=0,

atunci spunem că sistemul este marginal stabil. Pentru a determina stabilitatea unui sistem,
putem afla rădă cinile polin omului caracteristic q(s). Cu toate acestea, pentru început
suntem interesați să determinăm răspunsul la întrebarea: Este sistemul stabil? Dacă vom
calcula rădăcinile ecuației caracteristice pentru a răspunde la această întrebare, am
determina mult mai mul te informații decât este necesar. Prin urmare, s -au dezvoltat mai
multe metode care oferă răspunsul da sau nu necesar la întrebarea de stabilitate. Cele trei
abordări ale problemei stabilității sunt: (1) abordarea planului s, (2) abordarea planului de
frecvență (𝑗𝜔) și (3) abordarea domeniului temporal.
Există aproximativ un milion de roboți în întreaga lume. Pe măsură ce capacitatea
roboților crește, este normal să presupunem că numărul lor va continua să crească. Extrem
de interesanți sunt roboți i care prezintă caracteristici umane, în special cei care pot merge
în poziție verticală. Robotul M2 descris în Figura 4 este mai eficient din punct de vedere
energetic, dar mai puțin stabil decât multe alte modele care sunt bine echilibrate, dar
consumă m ult mai multă putere . Examinând robotul M2 din Figura 4, se poate observa că
nu este în mod inerent stabil și că este necesar un control activ pentru a -l menține în poziție
verticală în timpul mișcării de mers pe jo s.

Figura 4
Robotul M2 este mult mai eficient din punct de
vedere energetic, dar mai puțin stabil decât alte
modele care sunt echilibrate, dar consumă mai
multă putere .

Aurelia -Adriana Rădulescu 9
Capitolul 2. Criterii de stabilitate

În acest capitol vom prezenta o serie de rezultate privind stabilitatea sistemelor liniare,
accentul fiind pus pe criteriile de stabilitate ( criterii frecven țiale și criterii algebrice ).

2.1 Stabilitatea asimptotică

Considerăm sistemul Σ = ( A, B, C, D ) , ∑ liniar, și comanda u, astfel încât u(t) = 0,
t ∈ R. Ecuația de stare va deveni:

Σ0: ẋ(t)=Ax(t), x(t0) = x0 . (2.1)

Vom nota cu x(t) = x(t, x0), soluția ce corespunde lui x0, starea inițială ( în
conform itate cu formula de rezolvare x(t)= eA(t−t0) x0 ). Pentru Σ0, x0=0 reprezintă o
stare de repaus ( numită și poziție de echilibru ), deoarece dacă x0=0, atunci
x(t)= Φ(t,t0)x0 = 0, oricare ar fi t, t ∈ R.

Definiția 2.1
Numim sistemul Σ0 stabil dacă pentru orice ε >0, există δ>0, așa încât pentru orice
x0 ∈ X cu proprietatea că ‖x0‖ < δ, atunci ‖x(t)‖<ε, pentru orice t >𝑡0.
Numim sistemul instabil, dacă el nu este stabil.

Iar sistemul Σ0 se va numi asimptotic stabil, atunci când el este stabil și, în plus, pentru
orice x0 ∈ X, avem lim
t→∞x(t)=0.

Observație : Situațiile prezentate mai sus vor fi ilustr ate în Fig. 5 ( pentru n = 1) .

Fig. 5

10 Aurelia -Adriana Rădulescu

Teorema 2. 2
a) Dacă și numai dacă nu există nicio valoare proprie a matricei A care să aibă partea
reală pozitivă ( σ( A) ⸦ 𝐂− ), atunci vom numi sistemul
0 asimptotic stabil.
b) Sistemul
0 este instabil, dacă există λ, o valoare proprie a matricei A , cu Re λ > 0.
c) Dacă fiecare λ, valoare proprie a matricei A, are Re λ ≤ 0 și există măcar o valoare
proprie cu Re λ = 0, însă orice valoare proprie de acest fel are multipli citatea geometrică 1
(adică reprezintă o rădăcină simplă pentru polinomul minimal al matricii A), atunci putem
spune că sistemul
0 este stabil, însă nu asimptotic stabil.
d) Dacă există λ, valoare proprie a matricei A, cu proprietatea că Re λ = 0 și aceast ă
valoare proprie are multiplicitatea geometrică > 1 (adic ă este rădăcină de ordin minim 2
pentru polinomul minimal al matricii A ), atunci spunem c ă sistemul
0 este instabil.
Demonstrație :
Forma canonică a matricei A este: Â=
[ J1
…
Ji
…
Js]
, așadar există o matrice de
trecere, o matrice T nesingulară, astfel încât A=TÂT−1, iar Ji sunt cel ule Jordan de forma
Ji =
[ λi10…0
0λi1…0
00λi…0
⋮⋮⋮⋮
…………1
0000λi]
.

Soluția în acest caz este de forma : x(t) = eAtx0=TeÂtT−1×0 și
eÂt=
[ eJ1t
…
eJit
…
eJst]
, cu eJit=
[ 1t
1!t2
2!tmi−1
(mi−1)!
1t
1!⋱
1⋱t2
2!
⋱t
1!
1]
eλit.
Așadar, vom deduce că :
a) x(t)
t→∞→ 0 ∈𝐑n <=> tkeλ i t
t→∞→ 0 pentru orice i = 1,s̅̅̅̅ și k=0,mi−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ <=>
|eλi t|
t→∞→ 0 <=> eRe λi t
t→∞→ 0 <=> Re λi<0,∀ i=1,s̅̅̅̅ .
În acest caz, matricea A se numește stabilă.

Aurelia -Adriana Rădulescu 11
b) Dacă există λi cu Re λi >0, atunci rezultă că |eλi t|
t→∞→ ∞, deci x(t)
t→∞→ ∞, așadar
sistemul este instabil.
În ceea ce privește situația prezentată la punctul c), pentru acele valori proprii λ care au
părțile reale strict negative |tkeλ t|= tkeRe λ t
t→∞→ 0, așadar funcțiile tkeλ t sunt funcții
mărginite, și pentru valorile λ proprii, cu Re λ = 0 ( λ = i β ) și multiplicitatea geometrică
egală cu 1, termenii concordanți din soluția x(t) au forma eiβ t, așadar cu | eiβt| = 1. În
concluzie, elementele exponențialei eAt vor rămâne mărginite, ‖eAt‖ ≤M, pentru o valoare
M>0, deci ‖x(t)‖≤M‖x0‖ ( Σ0 este stabil ), dar eiβ t ↛0, când t⟶∞.
În cazul de la punctul d), pentru λ, o valoare multiplă cu forma λ = i β, vom găsi în x(t)
componente de forma tkeiβ t, deci sistemul Σ0este instabil, deoarece |tkeiβ t| = tk
t→∞→ ∞.

Definiția 2.3
Polinomul p(z) = anzn + an−1zn−1 + an−2zn−2 + …+ a1z + a0 se zice polinom
Hurwitz dacă și numai dacă toți minorii principali corespunzători matricii Hurwitz asociate

Hn=
[ an−1an0000…0
an−3an−2an−1an00…0
an−5an−4an−3an−2an−1an…0
……………………
000000…a0]
,

sunt pozitivi, și anume

∆1 = an−1>0,∆2= |an−1an
an−3an−2| >0,…,∆n =detHn>0.

A. Hurwitz a demonstrat că în cazul în care ∆i ≠ 0,i= 1,n̅̅̅̅̅, atunci numărul de
rădăcini ale lui p(z) care au partea reală pozitivă va fi egal cu numărul schimbărilor de
semn din șirul finit 1, ∆1,∆2
∆1,…,∆n
∆n−1 . Prin utilizarea acest ui rezultat se poate demonstra:

Teorema 2.4 Criteriul Routh – Hurwitz

Dacă și numai dacă polinomul c aracteristic asociat matricii A este un polinom Hurwitz,
atunci sistemul Σ0: ẋ=Ax se zice asimptotic stabil.

12 Aurelia -Adriana Rădulescu

Teorema 2.5

Numim s istemul ẋ=Ax asimptotic stabil dacă și numai dacă ecuația algebrică
( mai este numită și ecuația Liapunov ) :
A′P+PA= −Q, (2.2)

are o solu ție simetrică, reală și pozitiv definită P pentru o matrice simetrică, reală și pozitiv
definită Q.

Demonstrație :
“Necesitatea ”: Oricare ar fi Q>0 considerăm matricea :

P= ∫eA′t∞
0QeAt dt.

Integrala este convergentă ( vezi demonstrația teoremei 2.2 ) pentru că elementele sale sunt
elemente de forma c tk eλ t, unde c ∈ R, k ≥ 0 și Re λ<0 ( matricea A fiind stabilă ).

Mai mult, lim
t→∞eA′tQeAt = 0, deoarece lim
t→∞tk eλ t = 0. Așadar, avem :

A′P+PA=∫A′eA′ t∞
0QeAt dt + ∫eA′ t∞
0QeAtA dt =

= ∫⌈d
dt(eA′ tQ)eAt+ eA′ tQd
dt(eAt)⌉dt=∞
0

= ∫d
dt(eA′ tQeAt)dt ∞
0= eA′ tQ eAt|t→∞ – eA′ tQ eAt|t→0 = -Q.

Observăm că P este simetrică și, pentru orice x ∈𝐑n, x≠0, rezultă că
x′Px = ∫y′Qy∞
0 dt >0 (deoarece eAt este nesingulară ).

„Suficiența” : Vom presupune că există P >0, așa încât A′P + PA = -Q, pentru Q o matrice
oarecare, Q >0.
Considerăm acum valoarea λ, o valoare proprie a matricei A, iar v, vectorul propriu
corespunzător valorii proprii λ, adică Av = λv. Deci A v̅ = λ̅v̅ ( deci v∗A= λ̅v∗, deoarece
matricea A este reală ).

Vom obține succesi v:
v∗ (A′P+PA)v = -v∗ Qv => λ̅v∗ Pv + v∗ Pvλ = -v∗Qv < 0 =>(λ + λ̅)v∗Pv <0, deoarece
P >0 =>Re λ<0.
În concluzie, sistemul ẋ=Ax este asimptotic stabil.

Corolar 2.6
Sistemul ∑0 (2.1) este asimptotic stabil dacă și numai dacă există V(x), o formă
pătratică, astfel încât :

a) V(x) să fie pozitiv definită ;
b) V̇(x(t)) <0, pentru orice x(t), soluție a sistemului (2.1), x(t) ≠0.

Aurelia -Adriana Rădulescu 13

Observația 2.7
Dacă Q, matricea din teorema 2.5, este doar negativ definită, adică V̇(x(t)) ≤0,
atunci, în c orolarul 2.6, sistemul (2.1) va fi doar stabil.

Observația 2.8
Să observăm că pute rescrie ecuația Liapunov (2.2) ca o ecuație liniară, sub forma :

LP̃ = -Q̃, (2.3)

unde P̃ reprezintă vectorul coloană n2- dimensional ob ținut în urma așezării coloanelor lui
P una sub cealaltă, Q̃ a fost obți nută în mod similar din Q, iar L reprezintă un operator
liniar, L : 𝐑n2→ 𝐑n2, L = A′⊗ I + I ⊗ A′ ( unde am notat cu A ⊗ B = [aijB]1≤i,j≤n
produsul Kronecker al celor două matrici ).

Putem arăta că valorile proprii ale lui L sunt de forma µij = λi+ λj, unde
λi,λj ∈ σ(A),1≤i,j≤n, deci µij ≠0 deoarece Re λi <0, pentru orice λi, așadar L este
inversabil. În concluzie, (2.3) are soluție unică oricare ar fi Q >0.

2.2 Stabilitatea sistemelor discrete

Pentru comanda u, u(t) = 0, t= 0, 1, … , ecuația de stare a lui ∑, sistem liniar discret ,
devine :

(2.4) ∑: x(t+1) = Ax(t), t = 0, 1, … , și

(2.5) x(t) = At x0.

Teorema 2.9

i) Dacă orice λ, valoare proprie a lui A, are modulul subunitar, adică |λ| <1, atunci
sistemul ∑ este asimptotic stabil.

ii) Dacă exită o valoare λ∈σ(A), cu |λ| >1, atunci ∑ este stabil .

iii) Dacă oricare ar fi λ ∈σ(A), |λ|≤1 și orice valoare proprie λ , |λ|=1, are
multiplicitat ea geometrică egală cu 1, atunci sistemul ∑ va fi stabil ( însă nu asimptotic
stabil ).

iv) Dacă există λ ∈σ(A), |λ|=1, care are multiplicitatea geometrică m > 1, atunci
sistemul ∑ este instabil.

14 Aurelia -Adriana Rădulescu

Demostrație:

Considerăm matricea de tranziție T astfel încât A = T ÂT−1, unde :

Â=
[ J1
⋱
Ji
⋱
Js]
reprezintă forma canonică Jordan a matricei A.

Transpunând relația de mai sus obținem At=TÂt T−1, oricare ar fi t ≥0, cu
Ât=
[ J1t
⋱
Jit
⋱
Jst]
.

Ținând cont de faptul că Ji=
[ λi1
⋱1
λi⋱
⋱1
λi]
⏟
mi, pentru i = 1,s̅̅̅̅ sau Ji= λiI+ Ki,

unde Ki=
[ 01
⋱⋱
⋱⋱
01
0]
⏟
mi, deoarece Ki2 =
[ 001
⋱⋱⋱
001
00
0]
, …,

Kim−1 = [0…01
0…00
…………
0000], Kim=O și KiI=I Ki. Utilizând formula binomului obținem :

Jit = (λiI+Ki)2= λitI+ Ct1λit−1Ki+ Ct2λit−2Ki2+⋯+ Ctmi−1λit−mi−1Kimi−1.

Deci, elementele lui At reprezintă combinații liniare de funcții care au forma λt, dacă m = 1
sau forma tjλt, dacă m >1. Vom deduce că :

i) |λ| <1 => lim
t→∞|tjλt|=0, deci ‖x‖
k→∞→ 0,deoarece x(t)= Atx(0).

ii) |λ| >1 => lim
t→∞|tjλt|= ∞.

Aurelia -Adriana Rădulescu 15

iii) |λ|=1,m=1 => |λ|t=1 => componentele lui At sunt m ărginite, așadar există

M>0 așa încât ‖At‖ ≤M,oricare ar fi t≥0. Atunci pentru orice ε>0, există δ=ε
M

astfel încât ‖x0‖<δ=>‖x(t)‖≤‖At‖∙‖x0‖≤M∙ε
M= ε, deci sistemul ∑ este stabil
(dar λt↛0).

iv) Dacă |λ|=1,m >1,lim
t→∞|tj λt|=lim
t→∞tj= ∞, atunci sistemul ∑ este instabil.

Observația 2.10

Putem observa în următoarele imagini “ regiunile de stabilitate ” corespunzătoare
valorilor proprii ale matricei A:

Sisteme continue Sisteme discrete

Observația 2.11
Considerăm transformarea omografică Z = z+1
z−1 care va transforma discul unitate în
semiplanu l stâng:

asimpt
otic

stabil

asimptotic

stabil

instabil

stabil dacă

m
=1

instabil

stabil dacă

m
=1

)
Z
(

ReZ<0

(
z
)

|
z
|<1

16 Aurelia -Adriana Rădulescu

Într-adevăr, avem :

z = 1 →Z= ∞

z= -1 →Z=0

z = i → Z= i+1
i−1= −i

z = 0 → Z=−1.

Considerăm acum polinomul caracteristic al lui A :

p(z) = det(zI – A) = anzn + an−1zn−1 + an−2zn−2 + …+ a1z + a0 ( an= 1).

Rezultă că toate rădăcinile polinomului p(z), adică valorile proprii ale matricei A, verifică
|λ| <1 ⇔ fiecare valoare proprie a lui p(Z(z)), µ , îndeplinește condiția Re µ <0 <=>
numărătorul lui p(z) este un polinom Hurwitz, adică

(z−1)np(z+1
z−1)= (z−1)n[an(z+1)n
(z−1)n+ an−1(z+1)n−1
(z−1)n−1+⋯+a1z+1
z−1+ a0]

îndeplinește criteriul Routh -Hurwitz.

2.3 Stabilitatea sistemelor neliniare. Prima metodă Liapunov

Considerăm sistemul neliniar staționar :

∑: ẋ=f(x), (2.6)

unde f ∈ C2, având poziția de echilibru x̅, f(x̅)=0 ( x̅ reprezintă o stare ideală de operare a
unei mașini, în domeniul inginerie, iar în economie reprezintă o stare de echilibru
economic ).
Utilizând substituția y(t) = x(t) – x̅ și notând cu F(y) = f (y + x̅) vom obține ẏ = ẋ=
f (y+ x̅)=F(y) și F(0) = 0, deci problema referitoare la stabilitatea poziției de echilibru a
sistemului (2.6) va fi echi valentă cu problema referitoare la stabilitatea sistemului ẏ=F(y)
relativ la starea zero.
În mod similar putem arăta că și problema referitoare la stabilitatea unei soluții
periodice se poate reduce la stabilitatea relativă la originea spațiului X al s tărilor, așadar
definițiile puse în evidență în preliminariile capitolului, definițiile ce fac referire la
stabilitatea asimptotică, instabilitate sau stabilitate se pot extinde la sisteme neliniare ce au
forma :

ẋ=f(x), f(0)=0.

Aurelia -Adriana Rădulescu 17
Definiția 2.11
Num im sistemul ∑: ẋ=f(x), f(0)=0 asimptotic stabil relativ la origine într -o
vecinătate 𝛝 a lui 0 dacă el este stabil și pentru orice x0 ∈ 𝛝 , lim
t→∞x(t)=0.

Dacă 𝛝 este mărginită, vom vorbi despre stabilitate asimptotică locală. În cazul în care
𝛝 = Rn, vom vorbi despre stabilitate asimptotică globală.
Observăm că există o legătură strânsă între stabilitatea sistemului (2.6) și cea a
sistemului său liniarizat care face referire la starea de echilibru. Aplicând formula Taylor în
vecinătatea lui x̅, o stare de echilibru, vom obține :

f(x) = f(x̅) + f′(x̅)(x−x̅)+g(x−x̅)= f′(x̅)(x−x̅)+g(x−x̅),

unde g( x – x ̅) este de ordinul o(x-x̅) (o funcție g este de ordinul 𝑜(x) dacă lim
x→0g(x)
x=0).

Dacă n otăm cu A matricea A = f′(x̅) și cu e = x – x̅, siste mul liniarizat corespunzător
sistemului ∑ poate fi rescris sub forma :

∑:̅̅̅̅ ė=Ae+g(e). (2.7)

Teorema 2.12
Sistemul (2.6) este asimptotic stabil în jurul lui x̅, starea sa de echilibru , echivalent cu a
spune că sistemul ∑̅ (2.7) este asimptotic stabil î ntr-o vecinătate a originii în cazul î n care
matricea A este stabilă.

Demonstrație :
Deoarece matricea A este stabilă, spunem că există o soluție unică , P >0, a ecuației
Liapunov:

A′P+PA = -1.

Vom considera V(t) = e(t)′Pe(t), func ția Liapunov asociată. Vom avea :

V(t)= ė(t)′Pe(t)+ e(t)′Pė(t)= e(t)′A′Pe(t)+g(e(t))′Pe(t)+ e(t)′PAe(t)+ e(t)′Pg(e(t)),̇

așadar

V̇(t)= −e(t)′e(t)+2e(t)′Pg(e(t)).

După integrarea acestei relații pe intervalul [0, T], unde T < ∞, ob ținem :

V(T) – V(0) = -∫‖e(t)‖2 dt+2∫e(t)′Pg(e(t)) dt.T
0T
0

Pentru că P > 0, rezul tă că |x′Py|≤ ‖P‖ ‖x‖ ‖y‖.

Prin urmare vom avea :

18 Aurelia -Adriana Rădulescu

V(T) + ∫‖e(t)‖2 dt=V(0) + 2∫e(t)′Pg(e(t))dt ≤V(0)+2∫|e(t)′Pg(e(t))|dtT
0T
0T
0

≤V(0)+2‖P‖ ∫‖e(t)‖‖g(e(t))‖T
0 dt,

deci și

V(t) + ∫(1−2‖P‖‖g(e(t))‖
‖e(t)‖)‖e(t)‖2 dt ≤V(0) <∞,pentru orice T >0.T
0
Pentru un ε suficient de mic, ε>0, considerăm o vecinătate nevidă a originii
( deoarece g este o(x) ):

𝛝ε= {x ∈ 𝐑n|‖g(x)‖
‖x‖ < ε≤ 1
2‖P‖}.

Utilizând ultima egalitate vom obține pe baza proprietății g(x) = o(x) și a continuității
soluției , faptul că pentru orice condiție inițială e(0) = e0∈ 𝛝ε, avem e(t) ∈ 𝛝ε, oricare ar fi
t ≥0.
Deoarece V(T) > 0, avem:

∫(1−2‖P‖‖g(e(t))‖
‖e(t)‖)‖e(t)‖2 dt ≤V(0) <∞,T
0 pentru orice T > 0,

dacă am trece la limită după T →∞, vom obține și că lim
t→∞e(t)=0.

2.4 A doua metodă Liapunov

Fie sistemul :

∑: ẋ=f(x), f(0)=0,cu f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x)) continuă. (2.8)

Putem reduce problema referitoare la stabilitate la cea referitoare la determinarea și
existența unor funcții care vor avea proprietăți spec iale, funcții Liapunov, fără a fi necesară
efectiva rezolvarea a ecuației de stare.
Fie o mulțime deschisă O, mulțime care conține originea, 0 ∈𝑶 ⊂ 𝐑𝐧. Vom
presupune că f este continuă pe O.

Definiția 2.13
Numim V: O →R funcție Liapunov pentru ∑ dacă :

i) V este o func ție pozitiv definită pe mulțimea O, V∈C1(𝑶),V(0)=0 și V(x) >0 ,
oricare ar fi x ∈𝑶\{0},

ii) V̇(x)≡grad V ∙f(x) ≤0 pe 𝑶.

Aurelia -Adriana Rădulescu 19
Într-adevăr, pentru orice x(t) soluție a sistemului (2.8), avem :

V̇(x(t))= ∑∂V
∂xi(x(t))∙ẋi(t)= n
i=1 ∑∂V
∂xi(x(t))n
i=1 fi(x(t)) = grad V∙F(x(t)).

Teorema 2.14 Teorema de stabilitate locală
Dacă există pentru ∑ o funcție Liapunov, atunci ∑ este un sistem stabil.

Demon strație :
Considerăm o mulțime deschisă O, 0 ∈𝑶 ⊂ 𝑹𝒏, și V o funcție Liapunov pe mulțimea
O. Fie acum 𝜀 un număr pozitiv, suficient de mic, astfel încât bila Bε= {x∈𝐑n|‖x‖<ε}
este inclusă strict în mulțimea O. Așadar, V(x) are un minim ce este strict pozitiv pe
frontiera Sε= ∂Bε, mε, pentru că V este strict pozitivă și continuă pe Sε. Folosind
continuitatea lui V rezultă că există 𝛿>0, astfel încât 𝑥∈𝐵𝛿,𝑉(𝑥)<𝑚𝜀.

Observăm că pentru orice x0∈Bδ, stare inițială, soluția x(t), t ≥0 a sistemului (2.8)

verifică V(x(t)) = V( x0) + ∫V̇(x(s))dst
0 și, utilizând condiția ii), vom obține că

V(x(t))≤V(x0)≤mε, deci x(t) rămâne în interiorul lui Bε, așadar sistemul ∑ este stabil.

Teorema 2.14 Stabilitatea asimptotică locală
Dacă există V o funcție Liapunov pentru sistemul ∑ și, în plus,

V̇(x)≡grad V∙f(x)<0 pe O\{0},

atunci sistemul ∑ este asi mptotic stabil.

Demonstra ție:
Conform teoremei 2.13, sistemul ∑ este stabil. Considerăm ε>0 suficient de mic
astfel încât Bε̅̅̅⊂𝑶. Atunci există δ>0 astfel încât oricare ar fi x0∈Bδ, soluți a
corspunzătoare x(t) se află în Bε, pentru orice t ≥0.

S
ε

B
ε

B
δ

x
0

0

20 Aurelia -Adriana Rădulescu

Este îndeajuns să arătăm că V(x(t))
t→∞→ 0, ( cum V(x) >0, oricare ar fi x ∈𝐎\{0} și

V(0) = 0 ) pentru a obține x(t)
t→∞→ 0.

Vom presupune că V(x(t)) ↛0. Atunci există r ∈(0,ε] astfel încât V(x(t)) ≥ r, ∀ t≥0
( pentru că din V̇(x(t))<0 rezultă că pentru t1<t2 avem V(x( t1))>V(x(t2)) ). Cum
V̇(x)=gradV∙f(x) și f(0) = 0 vom obține că V̇(0)=gradV∙ f(0) = 0. Vom considera
mulțimea Xt= {x∈𝑶|V(x)<r} ( deci astfel încât x(t)∈𝐂Xr,∀t≥0 ).

Întrucât V este continuă ș i V(x) >0, oricare ar fi x ∈𝑶\{0} și V(0) = 0, deducem că
Xr este conexă, deschisă și conține originea. Atunci 𝐂Xr, complementara sa, este închisă,
𝐂Xr ∩ Bε ̅̅̅̅ ⊂ Bε̅̅̅ ⊂𝑶,dar 0∉𝐂Xr. Deoarece V̇ este continuă pe O ( V∈C1(Ω) și
f ∈C1(Ω) ), V̇(x)<0 pe 𝑶\{0},0∉Bε̅̅̅ ∩𝐂Xr, rezultă că maximul următor există și , mai
mult, este strict negativ, să spunem –a:

max{V̇(x),x∈Bε̅̅̅ ∩𝐂Xr}= −a <0.

Deoarece x(t)∈Bε̅̅̅ ∩𝐂Xr, ∀t≥0 obținem că V̇(x(t))≤−a,∀ t≥0, deci

0 <r≤V(x(t))=V(x(0))+ ∫V̇(x(s))ds ≤V(x0)−at, ∀t≥0.t
0

Prin trecere la limită după t→∞ vom obține o contradicție, așadar V(x(t)) →0 și, în
concluzie, x(t) →0 pentru t→∞.

Teorema 2.15 Instabilitatea

Dacă există V, o funcție pozitiv definită pe 𝑶̃, astfel încât V̇(x)=gradV∙f(x) >0 pe
𝑶̃\{0}, unde 𝑶̃⊂𝑶 reprezintă o vecinătate a originii , atunci ∑ este instabil.

Aurelia -Adriana Rădulescu 21
Capitolul 3. Reprezentări în domeniul frecvențelor

3.1 Matricea de transfer pentru sisteme continue

Vom conside ra sistemul liniar staționar continuu ∑ = (A, B, C, D), unde A∈𝐑n×n,
B∈𝐑n×m,C∈𝐑p×n,D∈𝐑p×m:

∑: {ẋ(t)=Ax(t)+Bu(t) (3.1)
y(t)=Cx(t)+Du(t) (3.2)

Vom nota cu X(s) transformata Laplace a lui x(t), așadar vom avea

X(s) = L[x(t)] = [𝐋[x1(t)]
…
𝐋[xu(t)]] și, după utilizarea teoremei de derivare a originalului vom avea

𝐋[ẋ(t)]=s X(s)−x(0), ecua țiile (3.1) și (3.2) se vor transforma în :

{s X(s)−x(0)=AX(s)+BU(s)
Y(s) =CX(s)+DU(s).

Vom considera starea inițială x(0). Rezul tă că ( sI – A) X(s) = BU(s), deci pentru
s ∉ σ(A) , X(s) = (sI−A)−1BU(s), aplicația de intrare – ieșire a sistemului devine :

Y(s)= [C(sI−A)−1 B+D] U(s). (3.3)

Definiția 3.1
Matricea de dimensiune p ×n cu componentele funcții de forma
T(s) = C(sI−A)−1 B+D este numită matricea de transfer a sistemului ∑.
În cazul în care p = m = 1, sau cazul scalar, numin T(s) funcția de transfer a lui ∑.

Propoziția 3.2
Două sisteme izomorfe au aceeaș i matrice de transfer.
Demonstrație :
Dacă două sisteme ∑ = [A, B, C, D] și ∑̂=[Â,B̂,Ĉ,D̂] sunt izomorfe, atunci e xistă
matricea inversabilă T a stfel încât :

Â= T−1AT,B̂=T−1B,Ĉ=CT,D̂=D.
Așadar, matricea de transfer a sistemului ∑̂ este:

T∑̂(s)= Ĉ(sI−Â)−1 B̂+ D̂=CT(sT−1IT− T−1AT)−1T−1B+D=

= CT[T−1(sI−A)T]−1T−1 B+D=CT[T−1(sI−A)−1T]T−1 B+D=

= C(sI-A)−1B+D= T∑(s).

22 Aurelia -Adriana Rădulescu

Observația 3.3
Aplicația de intrare -ieșire a sistemu lui ∑ pentru x(0) = 0 are forma :

y(t) = ∫CeA(t−τ)Bu(τ)+Du(t)dτ,altfel scrisăt
0 y(t)= ∫R(t−τ)u(τ)dτ=(R∗u)(t),t
0

unde R(t) = C eAtB+Dδ(t) reprezint ă matricea ponderilor lui ∑. Folosind teorema de
convoluție obținem aplicația de intrare -ieșire în domeniul frecvențelor :

Y(s) = L[y(t)] = L[(R*u)(t)] = L[R(t)] ∙ 𝐋[u(t)],

deci Y(s) = L[R(t)]U(s), dar Y(s) = T(s) U(s), deci T(s) = L[R(t)].

Propoziția 3.4
Matricea de transfer a lui ∑ este transformata Laplace a matricei de răspuns la impuls,
adică T(s) = L [R(t)].

Demonstrație:
Deoarece pentru Re s >max{|λ|,λ∈σ(A)},

𝐋[eAt]=𝐋[∑Aktk
k!∞
k=0]= ∑Ak
k!∙k!
sk+1= 1
s ∑Aksk−1=(sI−A)−1∞
k=0,∞
k=0

obținem că :

L[R(t)]=C𝐋[eAt] B + DL[δ(t)]=C(sI−A)−1B+D=T(s).

3.2 Criteriul lui Nyquist

3.2.1 Sistemul în buclă inchisă

Ne punem problema ca pentru un sistem inițial, în buclă deschisă, să găsim o condiție
care să asigure stabilitatea asimptotică a sistemului cu conexiune inversă, în buclă închisă.
Consider ăm acum două matrice liniare, ∑1 și ∑2 cu matric ele de transfer strict proprii,
ce au toate elementele ireductibil e, atfel :

T1(s)= N1(s)−1M1(s) și T2(s)= N2(s)−1M2(s),

unde N1,N2,M1,M2 sunt matrice polinomiale cu dimensiunile n1×n1,n2×n2,

n1×n2,n2×n1. Fie sistemul ∑ (Fig. 6), conexiunea inversă a ∑2 și ∑1, adică u2= y1 și

u1=u−y2, unde u1,u2,y1,y2 reprezintă intrările și ieșirile celor două sisteme de mai sus.

Scopul nostru este acela de a ne asigura că în orice moment de timp t, diferența u−y2
are o valoare suficient de mică.

Aurelia -Adriana Rădulescu 23

Σ2
Fig. 6

Transformatele Laplace ale ieșirilor și intrărilor verifică următoarele relații :

Y1(s)= T1(s)(U(s) – Y2(s))

Y2(s)= T2(s)Y1(s),
deci
N1(s)Y1(s)= M1(s)(U(s)−Y2(s))
N2(s)Y2(s)= M2(s)Y1(s),
sau
[N1(s)M1(s)
−M2(s)N2(s)][Y1(s)
Y2(s)]= [M1(s)
0]U(s).
Așadar,

[Y1(s)
Y2(s)]= [N1(s)M1(s)
−M2(s)N2(s)][Y1(s)
Y2(s)]−1
[M1(s)
0]U(s),

Deci aplicația de intrare -ieșire a lui ∑, sistemul cu conexiune inversă sa u cu feedback, este :

Y1(s)=[I 0] [N1(s)M1(s)
−M2(s)N2(s)][Y1(s)
Y2(s)]−1
[M1(s)
0]U(s).

Rădăcinile ecuației carecteristice ∆(s)=0 sunt polii lui ∑, unde :

∆(s)= |N1(s)M1(s)
−M2(s)N2(s)|; notăm cu ξ(∆(s))mulțimea acestor poli.

Așadar, sistemul ∑, sistem în buclă închi să, este asimptotic stabil dacă și numai dacă

ξ(∆(s)) ⊂ 𝐂−1.
În continuare, v om considera rezultatul înmulțirii dintre matricea caracteristică și
matricea [I−M1N2−1
0I], care va fi o matrice inversabilă de forma :

[I−M1N2−1
0I][N1M1
−M2N2] = [N1+M1N2−1M20
0 N2].

T
1

(
s
)

T
2

(
s
)

u
1

=

u
–

y
2

y
1

u
2

y
2

u

_

24 Aurelia -Adriana Rădulescu

Calculând determinantul matricei de mai sus vom obține :

∆(s)=det [N1+ M1N2−1M2]detN2=detN1detN2det [I+N1−1M1N2−1M2],

așadar, polinomul caracteristic al lui ∑ este de forma :

∆(s)= detN1(s)detN2(s)det[I+T1(s)T2(s)].

Observa ția 3.5
Considerând sistemul din figura 7 (Fig.7) un siste în buclă închisă

∑2

Fig. 7
obținem matricea de transfer :
T1(s)T2(s) = N2−1(s)M2(s)N1−1(s)M1(s),
deci polii vor fi r ădăcinile ecuației caracteristice ∆0(s)=detN1(s)detN2(s).
Dacă ne -am afla în situația prezentată în figura 8 (Fig. 8), și la ieșirea ∑1 bucla
ar fi deschisă, atunci matricea de transfer ar avea forma -T1(s)T2(s).

Σ2
Fig. 8
Fie produsul T(s) = T1(s)T2(s), ieșirea devine Y1(s)= −T(s)V(s). Diferența
dintre V(s), semnalul aplicat la intrare pentru ∑2 și ieșirea lui ∑1 este
V(s)− Y1(s)=(I+T(s))V(s)
și este numită diferență de retur, iar matricea I + T(s) se numește matricea
diferenței de retur.
T

1
(
s
)

T
2

(
s
)

y
1

y
2

_

_

T

1
(
s
)

T
2

(
s
)

y
1

u
2

y
2

Aurelia -Adriana Rădulescu 25
Elementele matricei T(s) se vor nota cu tij, deci tij(s) sunt funcții rationale cu
∆0(s) numitorul comun. Deci determinantul matricei I+T(s) va fi
det(I+T(s)) = |1+t11(s)t12(s)…t1n1(s)
… ………
tn11(s)tn12(2)…1+tn1n1(s)|,
și, ținând cont de produsul elementelor situate pe diagonala principală, vom obține
expresia: det(I+T(s)) = 1 + K(s), unde am notat cu K(s) funcția strict proprie și
rațională K(s) = L(s)
∆0n1(s) ( deoarece tij(s)=αij(s)
∆0(s)).
Prin urmare,
∆(s) = ∆0(s)(1+K(s)),unde ∆(s)= ∆0(s)+ L(s)
∆0n1−1(s).

Dar și ∆(𝑠)ș𝑖 ∆0(𝑠) sunt polinoame, deci L(s) are forma :
𝐿(𝑠)=𝑃(𝑠)∆0𝑛1−1(𝑠),𝑐𝑢 𝑃(𝑠)= ∆(𝑠)−∆0(𝑠).
Atunci
𝐾(𝑠)= L(s)
∆0n1(s)= 𝑃(𝑠)
∆0(𝑠)
și rezul tă că
∆(𝑠)= ∆0(𝑠)(1+𝑃(𝑠)
∆0(𝑠))= ∆0(𝑠)+𝑃(𝑠)
∆0(𝑠) .

26 Aurelia -Adriana Rădulescu

3.2.2 Reziduuri logaritmice

Considerăm funcția f, o funcție uniform definită pe domeniul D̅ ⊂𝐂, un domeniu
închis, cu excepția unei mulțimi finite de poli {z1,…,zp} ⊂D. Vom presupune că funcția
considerată mai sus are zerourile {ξ1,…,ξn} ⊂D ( așadar, f nu are poli sau zerouri pe
γ= ∂D). Fie pk și nk,ordinele polului zk,respectiv ale zeroului ξk.
În continuare, vom nota cu N, numărul total al zerourilor și cu P, numărul total al
polilor, adică:

P= ∑pk și N= ∑nkn
k=1.n
k=1

Fig. 9

Numim funcția φ(z)= f′(z)
f(z) derivata logaritmică a funcției f, iar reziduurile
sale se vor numi reziduurile logaritmice ale funcției f. Deoarece ξk este un zerou de
ordinul nk, reiese că există g, o funcție analitică într -o vecinătate a lui ξk, așa încât
g(ξk) ≠ 0 și f(z) = (z – ξk)nkg(z). Deci, într -o vecinătate a lui ξk,avem :
φ(z)=(lnf(z))′= [nkln(z− ξk)+lng(z)]′= nk
z− ξk+ g′(z)
g(z) .
Așadar, ξk reprezintă un pol simplu pentru funcția φ(z), și nk reprezintă
reziduul lui φ în ξk, altfel spus Rez [f′(z)
f(z),ξk]= nk, pentru orice ξk.

𝛾

×

z
1

×

z
p

×

ζ
1

×

ζ
n

Aurelia -Adriana Rădulescu 27
Similar putem ar ăta că dacă zk reprezintă un pol de ordinul pk al funcției f, avem

f(z)= g(z)
(z−zk)pk,așadar φ(z)=(ln f(z))′= −pk
z− zk+ g′(z)
g(z), deci Rez[f′(z)
f(z),zk]= −pk .

Vom considera integrala curbilinie a funcției 𝜑 pe frontier a domeniului D, 𝛾, cu
orientarea în sens trigonometric, sau orientarea standard. Dacă am aplica acesteia
teorema reziduurilor, vom obține:

∮φ(z)dz=2πi (∑Rez[φ(z),ξk]+ ∑Rez[φ(z), zk]p
k=1n
k=1)=
γ+

= 2πi(∑nk− ∑pkp
k=1n
k=1)=2πi ( N−P).

Am demonstrat astfel

Teorema 3.6

Dacă f are proprietățile prezentate mai sus, atunci diferența dintre numărul total al
polilor și numărul total de zerouri ale funcției f în domeniul D va fi dată de următoarea
formulă :

N−P=1
2πi∮f′(z)
f(z) dz γ+ .

Vom nota cu Var [arg f(z) ]γ+ variația argumentului lui f(z) atunci când z parcurge
curba γ.

Teorema 3.7 Variația argumentului

N−P= 1
2π Var[arg f(z)]γ+ .

Demonstrație :
Avem
1
2πi∮f′(z)
f(z) dz γ+ = 1
2πi ∮dlnf(z) dz γ+ =1
2πi ∮d[ln|f(z)|+i argf(z)] dz= γ+
1
2πi ∮dln|f(z)|+1
2πi∮dγ+ argf(z)= γ+1
2πVar [argf(z)]γ+ ,
deoarece ln| f(z) | este o funcție uniformă, astfel, când z parcurge curba 𝛾, varația
argumentului funcției ln | f(z) | este zero.

28 Aurelia -Adriana Rădulescu

În continuare, vom considera cazul lui f, o funcție care are în plus polii
z1̃,…,zm̃ pe γ, poli de ordine p1̃,…pm̃, așadar numărul total va fi P̃= ∑pk̃m
k=1 .

Fig. 10

Rezultă că z̃k este pol simplu pentru funcția φ(z)= f′(z)
f(z) și Rez[f′(z)
f(z),z̃k] = -p̃k,
dacă de această dată vom aplica teorema semi -reziduurilor, vom obține :
∮φ
γ+(z)dz=2πi(∑Res[φ(z),ξk]n
k=1+ ∑Res [φ(z),zk]p
k=1)+ πi∑Res [φ(z),z̃k]m
k=1
=2πi(∑nk− ∑pkp
k=1n
k=1)− πi∑p̃kp
k=1=2πi( N−P)− πiP̃.
Unde am considerat integrala ∮φγ+(z)dz în sensul valorii principale, ca de
obicei. Folosind argumente asemănătoare celor folosite în demonstrarea Teoremei
3.7, dar de data aceasta vom considera 𝛾 în sens invers trigonometric, vom obține :
Teorema 3.8
𝑃+ 1
2𝑃̃−𝑁= 1
2𝜋𝑉𝑎𝑟 [arg𝑓(𝑧)]𝛾− (3.4)

~
z
1

×

γ

×

z
1

×

z
p

×

ζ
1

×

ζ
n

~
z
m

×

Aurelia -Adriana Rădulescu 29
3.3.3 Criteriul lui Nyquist

Așa cum am arătat în 3.2.1, dacă și numai dacă toate rădăcinile lui ∆(s) se află în
semiplanul complex stâng, atunci un sistem în buclă închisă este asimptotc stabil, mai
mult, rădăcinile polinomului ∆(s) reprezintă zerourile lui.
Vom considera acum conturul lui 𝛾 în planul s, acest contur este format de
semicercul C ce își are centrul în origine și este aflat în semiplanul drept, segmente
incluse în diametrul său și semicercuri 𝛾𝑖 din semiplanul drept ce sun t centrate în
polii lui K(s) de pe axa imaginară, situație ilustrată în figura 11 (Fig. 11), vom
presupune și că semicercul C are raza îndeajuns de mare, iar semicercurile 𝛾𝑖 au
razele îndeajuns de mici astfel încât toții polii lui K(s) aflați în semipla nul drept să
se gasească în domeniul mărginit de contur. Când R →∞ și r →∞, conturul
considerat în planul s “include” întregul semiplan drept, dar la limită, iar integrala
pe 𝛾 este considerată mereu în sensul valorii principale.
Fie acum Γ imaginea conturului în planul complex K prin transformarea
K = K(s).

Fig. 11 Fig. 12

×

×

×

γ

γ
1

γ
2

γ
i

~
P
polii lui
K
(
s
)

de pe axa
imaginară

P
polii lui
K
(
s
)

din semiplanul drept
C

(
s
)

(
K
)

Γ

-1

30 Aurelia -Adriana Rădulescu

Fie N, P̃ și P numărul de zerouri ale lui 1 + K(s), adică ale lui ∆(s), din
semiplanul drept, numărul de poli ai lui K(s) aflați pe axa imaginară respective
numărul de poli ai lui K(s) din semiplanul drept.
Din (3.4) deduce m că
1
2π Var[arg(1+K(s)) ]γ− =P+ 1
2P̃−N.
Dacă și numai dacă N=0 sistemul est e asimptotic s tabil, deci am ob ținut
Criteriul lui Nyquist
Un sistem î n buclă deschisă este asimptotc stabil dacă și numai dacă
1
2π Var[arg(1+K(s)) ]γ− =P+ 1
2P̃ . (3.5)
Cum funcția K(s) este strict propr ie, are limita la infinit egală cu zero, atunci,
pentru R suficient de mare, avem:
Var[arg(1+K(s))]C=Var[arg1]C=0.
Mai mult, av ând coeficienții reali,există o simetrie față de axa reală, așadar, pe
axa imaginara avem :
Var[arg (1+K(iω))]ω∈(0,∞)=Var[arg(1+K(iω))]ω∈(−∞,0).
Atunci
Var[arg(1+K(s)) ]γ− =2 Var[arg (1+K(iω))]ω∈(0,∞) ,
iar formula (3.5) devine:
1
2π Var[arg (1+K(iω))]ω∈(0,∞) = 1
2(P+ 1
2P̃). (3.6)
În plaunul K, complex, 1+K este asociat cu vectorul ce își are originea în ( -1,0) și
vârful pe conturul Γ (Fig. 12 ).

Aurelia -Adriana Rădulescu 31
Deci 1
2πVar[arg(1+K(s)) ]γ− reprezintă numărul de rotații complete ale lui
1+K, vector, în jurul punctului ( -1, 0), atunci când s descrie conturul initial în
sensul invers acelor de ceasornic.
Așadar, putem reformula criterial lui Nyquist astfel:
Teorema 3.9
Un sistem în buclă închisă se zice asimptotic stabil da că și numai dacă
T=P+ 1
2P̃.
Exemplul 3.10
Considerăm funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă
T(s)=K(s)= 3s+1
s(s−1),
numărul polilor C+ fiind ușor de observat, P = 1, iar pe axa iR , axa imaginară, la
fel de ușor se observă că P̃ = 1. Avem, în consecință :
T(iω)= 3iω+1
iω(iω−1)= −(3iω+1)(1+ iω)
iω(1+ω2)= −4
1+ ω2+i1−3ω2
ω(1+ ω2),
deci lim
ω→∞T(iω)= −4, T(i1
√3)= −3, T(i√3) = −1−i2
√3 , lim
ω→∞T(iω)=0,
deci mulțimea Nyquist sau imaginea (0, ∞) prin T(iω) este curba Γ din Fig. 13 .
Deoarece θ variază între π
2 și 2π, avem :
Var[arg (1+K(iω))]ω∈(0,∞)=2π− π
2= 3π
2 .
Așadar, relația ( 3.6) devine 1
2π∙3π
2= 1
2(1+ 1
2), în concluzie criteriul lui
Nyquist este verificat , deci sistemul în buclă închisă se zice asim ptotic stabil.

32 Aurelia -Adriana Rădulescu

Fig. 13
3.4 Trans formare a Z și legătura cu sistemele liniare discrete

3.4.1 Transformarea Z

Fie transformarea Laplace a seriei infinite de funcții Dirac care sunt translatate
δ(x−t),t∈𝐍, având ca și coeficienți valorile funcției f(t), funcție discretă. Folosind
integrala St ieltjes obținem :

𝐋[∑f(t)δ(x−t)∞
t=0]= ∫(∑f(t)e−pxδ(x−t)∞
t=0)dx= ∑f(t)e−pt=F(ep),∞
t=0∞
0

deoarece ∫f(t)δ(x−t)dx=f(t).∞
−∞
Funcția F( ep) se zice transfornarea Laplace discretă ( transformata Diriclet) a
lui f. Notăm cu z = ep și cu F∗(z)=F(ep) pentru a obține transformata Z. În
continuare, vom defini riguros transformarea Z.
Definiția 3.11 O funcție f :𝐙→ C se zice original, dacă :
i) f(t) = 0, pentru t<0;
ii) ∃M>0,R>0 astfel încât |f(t)|≤MRt, t = 0, 1, …, unde R reprezin ă raza
unui disc.
Definiția 3.12 Transformata Z a funcției f, funcția original, notată cu F∗(z) sau
Z[f(t)] reprezintă suma seriei Laurent:
F∗(z)= ∑𝑓(𝑡)𝑧−𝑡∞
𝑡=0 . (3.7)
Γ

θ

-4

–
1

(
K
)

Aurelia -Adriana Rădulescu 33
Propoziția 3.13
Seria (3.7) este convergentă dacă |z|>R, adică în afara discului |z|≤R, și
este uniform convergen tă în fiecare regiune |z|≥R′>R.

Demonstrație :
Pentru |z| > R
∑|f(t)z−t|∞
t=0 ≤ ∑|f(t)||z−t| ≤ ∑MRt|z|−t≤M∑(R
|z|)t
=M 1
1−R
|z|∞
t=0∞
t=0∞
t=0
(dupa folosirea seriei geometrice la ultimul pas).
Pe mulțimea |z|≥R′ avem |f(t)z−t|≤M(R
R′)t
. Deoarece seria geometrică
∑(R
R′)t∞
t=0 este convergentă, atunci seria (3.7) este convergentă uniform (în
conformitate cu criteriul de comparație al lui Weierstrass).
Deducem că F*(z) este o funcție analitică pe domeniul |z|>R.
Exemplul 3.14
Fie h(t) funcția treaptă unitate discretă
h(t) = {0 ,𝑡<0
1,𝑡=0,1,2,…

Deoarece |h(t)|=1,t≥0, raza de convergență este R = 1 și pentru |𝑧|>1 obține, dacă
folosim seria geometrică :
𝒁[h(t)]= ∑1
zt= 1
1−1
z= z
z−1∞
t=0.

serie convergent
ă

R

′
R

serie uniform convergent
ă

-2

-1

0

1

2

1

t

34 Aurelia -Adriana Rădulescu

Exemplul 3.15

Funcția putere
p(t)=h(t)at= {0, t<0
at,t=0,1,2,…

verifică |p(t)|= |a|t, așadar raza de convergență este R= |a|. Pentru |z| >|a|, folosind
seria geometrică obținem :

𝐙[p(t)]= ∑a−tz−t= ∑(a
z)t
= 1
1−a
z= z
z−a .∞
t=0∞
t=0

Pentru cazul a = eλ obținem transformata Z:

Z[eλt]= 𝐙[(eλ)t] = z
z−eλ , pentru |z|>|eλ|.

Teorema 3.16 Liniaritate
Dacă α, β ∈C și avem funcțiile original f și g cu razele Rf și Rg, atunci pentru
|z|>max{Rf,Rg} avem:

𝐙[αf(t)+βg(t)]= α𝐙[f(t)]+ β𝐙[g(t)].

Demonstrație :
𝐙[αf(t)+βg(t)]= ∑[αf(t)+βg(t)]z−t= α∑f(t)z−t+ β∑g(t)z−t= ∞
t=0∞
t=0∞
t=0

= α𝐙[f(t)]+ β𝐙[g(t)], seriile fiind convergente.

Exemplul 3.17
𝐙[cosωt]=Z[eiωt+e−iωt
2]=(din liniaritate )=

=1
2(𝐙[eiωt]+𝐙[e−iωt])= 1
2(z
z−eiω+ z
z−e−iω)=

=z(z−eiω+e−iω
2)
z2−2eiω+e−iω
2z+1= z(z−cosω)
z2−2z cosω+1 .

În mod asemănător,
𝐙[sinωt]= z sinω
z2−2z cosω+1 .

Aurelia -Adriana Rădulescu 35
Teorema 3.18 Asemănarea
Dacă R este raza funcției f și avem a≠0, un număr complex, atunci pentru |z|>|a|R,

𝐙[at f(t)]= F∗(z
a).

Demonstrație :
|at f(t)|≤|a|t MRt=M(|a|R)t, așadar noua rază va fi |a|R.
Avem:
𝐙[at f(t)]= ∑f(t)(z
a)−t
= F∗(z
a).∞
t=0

Exemplul 3.19

𝐙[atcosωt]= z
a(z
a−cosω)
(z
a)2
−2z
acosω+1= z(z−a cosω)
z2−2za cosω+ a2 .

În particular, dacă a = eλ,

𝐙[eλtcosωt] = z(z−eλcosω)
z2−2zeλcosω+ e2λ .

Teorema 3.20 Întârziere
Pentru n∈𝐍,
𝐙[f(t−n)]= z−nF∗(z).

Demonstrație :
Folosind substituția k = t -n, vom obține :

𝐙[f(t−n)]= ∑f(t−n)z−t∞
t=0= ∑f(t)∞
k=−nz−(k+n)=

= z−n[∑f(k)z−k+ ∑f(k)z−k∞
k=0−1
k=−n]=(deoarece f(k)=0 pentru k<0)

=z−n∑f(k)z−k= z−n F∗∞
k=0(z).

36 Aurelia -Adriana Rădulescu

Teorema 3.21 Translație, a doua teoremă de întârziere

Dat fiind n∈N,
𝐙[ f(t+n)]= zn[F∗(z)− ∑f(t)z−tn−1
t=0].

Demonstrație :
Folosind substitu ția k = t + n, obținem :

𝐙[f(t+n)]= ∑f(t+n)z−t∞
t=0= ∑f(k)∞
k=nz−(k−n)= zn[∑f(k)z−k− ∑f(k)z−kn−1
k=0∞
k=0]

= zn[F∗(z)− ∑f(t)z−tn−1
t=0].

Exemplul 3.22

𝐙[et−3]= z−3𝐙[et]= z−3z
z−e= 1
z2(z−e) ,

𝐙[et+3]= z3(𝐙[et]−1−ez−1− e2z−2)= z3z
z−e− z3−ez2− e2z= e3z
z−e ,

𝐙[(−1)t−1]= z−1𝐙[(−1)t]= z−1z
z+1= 1
z+1 .

Teorema 3.23
𝐙[∆f(t)]=(z−1)F∗(z)−zf(0).

Demonstrație :

𝐙[f(t+1)−f(t)]=(din translație și liniaritate cu n=1)=

z(F∗(z)−f(0))− F∗(z)=(z−1)F∗(z)−zf(0).

Prin inducție putem demonstra o generalizare a teoremei 3.23,

Z[∆nf(t)]=(z−1)nF∗(z)−z∑(z−1)n−i−1 ∆i f(0).n−1
i=0
Teorema 3.24 Derivarea imaginiii

𝐙[−t f(t)]=z(F∗(z))′.

Aurelia -Adriana Rădulescu 37
Demonstrație :
z(F∗(z))′=z(∑f(t)z−t∞
t=0)′
=z(∑f(t)(−t) z−t−1∞
t=0)= ∑(−t f(t))z−t=Z[−tf(t)].∞
t=0

Exemplul 3.25
𝐙[t]= −𝐙[−t h(t)]= −𝐙(z
z−1)′
,

𝐙[t2]= −𝐙[−t∙t]= −z(z
(z−1)2)′
= z(z+1)
(z−1)3 ,

𝐙[t3]= −𝐙[−t2∙t]= z(z2+4z+1)
(z−1)4 .

În schimbul integrării unei funcții original o să folosim suma definită mai jos :

g(t)=𝐒 f(t)= ∑f(k)t−1
k=0.

Teorema 3.26
Pentru |z|>max{R,1}

𝐙[𝐒 f(t)]= F∗(z)
z−1 .

Demonstrație:
∆ g(t)=g(t+1)−g(t)= ∑f(k)− ∑f(k)t−1
k=0 și ∑f(k)=0
kt
k=0.
Din teorema 3.23
F∗(z)=𝐙[f(t)]=𝐙[∆ g(t)]=(z−1)G∗(z)−g(0),de unde G∗(z)= F∗(z)
z−1 .

Exemplul 3.27
Fie funcția dată de suma de funcții original f(0) = 1, f(1) = -2, f(2) = 3, f(3) = -4,
f(t) = 0, ∀t≥4.

Rezultă că F∗(z)=1−2
z−3
z2−4
z3 , așadar 𝐙[𝐒 f(t)]= z3−2z2−3z−4
z3(z−1) .

Similar, cum 𝐙[t]= z
(z−1)2∶

𝐙[∑kt−1
k=0]= 1
z−1∙z
(z−1)2= z
(z−1)3 .

38 Aurelia -Adriana Rădulescu

Teorema 3.28 Integrarea imaginii
Dacă f(0) = 0, atunci
Z[f(t)
t]= ∫F∗(u)
u du∞
z .

Demonstrație :
Deoarece 𝐹∗(𝑧) este analitcă în domeniul |𝑧|>𝑅, însă seria sa Laurent este o serie
uniform convergentă în domeniul |𝑧|≥𝑅′, domeniu închis, pentru 𝑅′>𝑅, poate să fie
integrată termen cu termen.
Așadar

∫F∗(u)
u dub
z=∫1
u (∑f(t)∞
t=0 u−t)du= ∑f(t)∫u−t−1 du∑f(t)1
−t u−t∞
t=1b
z∞
t=0b
z luată de la z la b,

Deoarece f(0) = 0. Trecem la limită după t→∞,cum b−t→0,dacă t≥1, avem

∫F∗(u)
u du= ∑f(t)
t z−t=𝐙[f(t)
t] .∞
t=1∞
z

Exemplul 3.29

𝐙[(−1)t−1
t]= ∫du
(u+1)u= −ln(z
z+1)=ln(1+1
z).∞
z

Vom defini în cele ce urmează convoluția pentru funcții discrete :

(f∗g)(t)= ∑f(t)g(t−k),t
k=0 (3.8)

reamintim că pentru cele continue (f∗g)(t)= ∫f(s)g(t−s)ds.t
0

Teorema 3.30 Convoluție

𝐙[(f∗g)(t)]= F∗(z)∙G∗(z),pentru |z|>max(Rf,Rg).

Demonstrație :
F∗(z)G∗(z)= (∑f(k)z−k∞
k=0)(∑g(m)z−m∞
m=0)= ∑∑f(k)g(m)z−(k+m)= ∞
m=0∞
k=0

dacă t = m+k

= ∑z−t(∑f(k)g(t−k)t
k=0)=Z[∑f(k)g(t−k)t
k=0]=Z[(f∗g)(t)].∞
t=0

Aurelia -Adriana Rădulescu 39
Teorema 3.31 Produsul originalelor

Z[f(t)g(t)]= 1
2πi ∮F∗(ξ)G∗(z
ξ)dξ
ξ|𝜉|=r,unde Rf>r>|z|
Rg.

Demonstrație :

1
2πi ∮F∗(ξ) G∗(z
ξ) dξ
ξ= 1
2πi ∮(∑f(t) ξ−1∞
t=0)(∑g(k)∞
k=0(z
ξ)−k
)dξ
ξ=
|ξ|=r |ξ|=r

= ∑∑f(t)g(k)z−k1
2πi ∮ξk−t−1 dξ
|ξ|=r∞
k=0.∞
t=0

Dar ∮ξk−t−1 dξ|ξ|=r= {0, k−t−1≠−1
2πi,k−t−1= −1 , prin urmare

∑f(t)g(t)z−t=Z[f(t)g(t)]∞
t=0.

Teorema 3.32 Valoarea inițială

f(0)= lim
z→∞F∗(z).

Demonstrație :

F∗(z)=f(0)+f(1)(1
z)+f(2)1
z2+⋯poate fi scrisă sub forma F∗(z)=f(0)+H(z)
z ,

unde H(z)=f(1)+f(2)1
z+⋯ .
Pentru c ă F∗(z) este analitică pe domeniul |z|>R, atunci și H(z) va fi analitică, în plus
limitele lui F∗(z) și H(z) atunci când z→∞ există.

Deci lim
z→∞F∗(z)=f(0)+ lim
z→∞H(z)
z=f(0).

În mod similar se poate arăta că:
f(1)= lim
z→∞z(F∗(z)−f(0))
f(2)= lim
z→∞z2(F∗(z)−f(0)−f(1)z−1)

………..

f(t)= lim
z→∞zt(F∗(z)− ∑f(k)z−kt−1
k=0) .

40 Aurelia -Adriana Rădulescu

Teorema 3.33 Valoarea finală
Dacă există lim
t→∞f(t), atunci există și lim
z→1+
Im z=0(z−1)F∗(z), mai mult

lim
t→∞f(t)= limz→1
|z|>1(z−1)F∗(z).

Demonstrație :
Din teorema 3.24 asupra diferenței avem 𝐙[∆ f(t)]=(z−1)F∗(z)−zf(0).
Să calculăm :

limz→1
|z|>1(z−1)F∗(z) = limz→1
|z|>1(z f(0)+Z[∆ f(t)]=

limz→1
|z|>1(z f(0)+ ∑(f(t+1)−f(t))∞
t=0z−t)=f(0)+ ∑(f(t+1)−f(t))= ∞
t=0

(deoarece suma unei serii are valoarea egală cu valoare limitei șirului sumelor parțiale,
în cazul în care aceasta există) =

=lim
t→∞[f(0)+(f(1)−f(0))+(f(2)−f(1))+⋯+(f(t−1)−f(t−2))+(f(t)−f(t−1))]=

=lim
t→∞f(t), care, conform ipotezei, există.

Exemplul 3.34

Considerăm funcția g(t) = S f(t) definite în exemplul 3.27 .
Vom presupune că limita sa există, deci

lim
t→∞g(t)=limz→1
|z|>1(z−1)G∗(z)= limz→1
|z|>1(z−1)z3−2z2+3z−4
z3(z−1)= −2 .

Determinarea originalului
Ne vom pune acum problema determinării originalului f(t) atunci când cunoaștem
transformata sa Z, F∗(z).

Teorema 3.35
Dacă funcția F∗(z) este analitică pe mulțimea |z|>R, atunci există o unică f(t), funcție
original, definită astfel :

f(t)= { 0 ,dacă t<0
1
2πi ∮F∗(z)zt−1dz|z|=r
r>R,pentru t=0,1,…,

astfel încât Z[f(t)]= F∗(z).

Aurelia -Adriana Rădulescu 41
Demonstrație :

Reamintim că șirul ce este unic de coeficienți ai dezvoltă rii în serie Laurent a unei
funcții analitică g în jurul unui punct singular izolat a, al său, este dat de următoarele:

cn= 1
2πi ∮g(z)
(z−a)n+1 dz
Γ .

Pentru c ă F∗(z)= ∑f(t)z−t,∞
t=0 înseamnă că f(t) ar fi coeficientul pentru n= -t, a=0 al

funcției g(z) = F∗(z), deci f(t)= 1
2πi∮F∗(z)zt−1 dz|z|=r, unde r>R, ceea ce duce la
încheierea demonstrației.
Însă, dacă punctele singulare ale lui F∗(z) sunt a1,…,aj,…,an (adică toate în discul
|z|<R), după aplicar ea teoremei reziduurilor vom obține că

∮F∗(z)zt−1 dz=2πi ∑Res(F∗(z)zt−1,aj) ,n
j=1|z|=r

deci putem determina originalul și după următoarea formulă :

f(t)= ∑Res(F∗(z)zt−1,aj) .n
j=1

Dacă z = 0 reprezintă un pol pentru F∗(z), atunci va fi mai convenabil să scriem funcția
astfel : F∗(z)= z−kG∗(z),unde G∗(z) este analitică într-o vecinătate a lui a = 0, iar
G∗(0)≠0. Pentru a determina g(t), originalul acesteia din urmă, ne folosim de teorema
3.20 să scriem f (t) = g (t -k).