SISTEME DINAMICE OPTIMALE S I MODELE ECONOMICE [627259]

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCURES TI
FACULTATEA DE S TIINT E APLICATE
SISTEME DINAMICE OPTIMALE S I MODELE ECONOMICE
FINANCIARE
Aprobat
Decan:
Prof. dr. Emil Petrescu
SISTEME OPTIMALE
Conducator  stiint ic:
Prof. univ. dr. Valeriu
Prepelit  aAbsolvent: [anonimizat]^nca
Bucure sti
2018

Cuprins
1 Introducere 2
2 Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 3
2.1 Proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Discretizare. Sisteme continue  si sisteme discrete . . . . . . . . 8
2.3 Problematica optimiz arii sistemelor. Clasic ari . . . . . . . . . 10
2.3.1 Problema de optimizare ^ n circuit deschis . . . . . . . . 11
2.3.2 Problema de optimizare ^ n circuit ^ nchis . . . . . . . . 12
2.4 Sistemul Hamilton canonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Condit ii necesare de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Problema liniar p atratic a 24
3.1 Formularea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Solut ia problemei liniar p atratice . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Ecuat ia Riccati ^ n stiudiul comport arii optimale a sistemelor . 29
3.3.1 Solut ia ecuat iei diferent iale matriceale
Riccati.Tehnici de rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 Metoda de rezolvare a ecuat iei algebrice Riccati . . . . 36
3.4 Urm arirea  si reglarea optimal a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1 Problema urm aririi optimale . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2 Problema regl arii optimale . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1

Capitolul 1
Introducere
2

Capitolul 2
Not iuni introductive de proces,
sistem  si optimizare
2.1 Proces
Consider am un proces industrial, gura 2 :1 , unde
uxul de materii prime
este reprezentat de visi
uxul de produse nite reprezentat de vf.
Exemplu: ^In cazul unui proces energetic, vireprezint a consumul orar de
combustibil iar vfreprezint a energia orar a livrat a consumatorilor. Dac a con-
sider am un randament ideal, atunci relat ia de bilant  se poate scrie
vi=vf; (2.1)
egalitate ce semnic a destinat ia pocesului, adic a satisfacerea consumului
cerutvf.^In plus, t in^ and cont c a este variabil consumul, ^ n general vom
avea relat ia
vivf6= 0; (2.2)
care este caracteristic a fenomenelor dinamice sau tranzitorii care au loc
^ n proces. Prima relat ie corespunde regimului stat ionar, ind considerat a
un caz limit a al celei de-a doua relat ie. Diferent a dintre cei doi membrii ai
3

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 4
procesului din formula (2 :2), se traduce ^ n fenomene de acumulare (dezacu-
mulare) intern a.
M arimile zice interne ale procesului ce caracterizeaz a fenomenele de acu-
mulare se numesc m arimi zice de stare ale procesului.
Consider am o singur a m arime zic a de stare x, ^ n acest caz inegalitatea (2 :2)
devine
dx
dt=vivf; x(t0) =x0 (2.3)
sau
x(t) =x(t0) +Zt
t0(vivf)d (2.4)
undex(t0) =x0reprezint a "nivelul" de acumulare intern a specic a nivelului
stat ionar.
Prin relat ia (2 :4) se arat a c a este posibil a stabilirea unui nou regim stat ionar,
numai dac a variat ia consumului vfce a creat dezechilibrul (2 :2) dispare, cum
de altfel se ^ nt^ ampl a  si ^ n realitate,  si anume se modic a vipentru a restabili
echilibrul (2 :1), adic a ^ n sensul prelucr arii consumului vf.
Majoritatea proceselor det in propritatea de autoreglaj care se manifest a prin
faptul c a la o variat ie persistent a a lui vf, este posibil a stabilirea unui nou
regim stat ionar f ar a a ^ l modica pe vi, variat ia lui vfind prelucrat a din
resursele interne ale procesului.
Prin urmare, ecuat ia (2 :3) devine
dx
dt+ax=vivf (2.5)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 5
cua>0 regimul stat ionardx
dt= 0
ind descris prin
ax=vivf: (2.6)
Din relat ia (2 :6) rezult a c a echilibrul (2 :6) poate  satisf acut pentru o inni-
tate de perechi ( x;vi), pentru un consum dat vf.^In mediul real, valoarea lui
xeste specicat a prin funct ionarea procesului la parametrii nominali .
Exemplu: Cazul unui turbogenerator, echilibrul ^ ntre puterea cerut a de
comsumator  si puterea dat a de turbin a, se poate stabili la frecvent e diferite
av^ and frecvent a nominal a de 50 Hz. Cu alte cuvinte, frecvent a la care trebuie
livrat a puterea cerut a de consumator este de 50 Hz.
Not am cu xnvaloarea nominal a a lui x  si folosind formula (2 :6) obt inem
ecuat ia
axn=vivf; (2.7)
care ne arat a c a pentru un consum cerut vf, satisfacerea acestuia la parametrii
nominali corespunde unei valori a consumului primar vi=vf+axn. Altfel
spus, x reprezint a calitatea de livrare a "m ari" vfcerut a de consumator,
ceea ce se dore ste s a se obt in a din punct de vedere al calit at ii ind x=xn.
Trec^ and peste exemplul dat  si revenind la ecuat ia (2 :5), se observ a c a
dinamica procesului este rezultatul variat iei lui vf, ^ n sensul prelu arii lui vf,
preluare ce se reliefeaz a prin restabilirea lui xla valoarea xn, aceasta din
urm a av^ and semnicat ia calit at ii de satisfacere a consumului cerut vf.
^In cazul modic arii lui vf, aceasta se face de regul a prin modicarea unei
componente ale sale, precum ^ n cazul ^ n care vfeste un consum de com-
bustibil, modicarea acestuia se face prin modicarea debitului ( nu a puterii
calorice),  si vom avea relat ia
vi=bu; (2.8)
undeueste variabil. M arimea uprin care operatorul intervine ( direct sau
indirect printr-un element de execut ie ) asupra lui vi, se nume ste m arime de
comand a .

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 6
Not^ and
w4=vf (2.9)
natura perturbatoare a consumului, formula (2 :5) se scrie ^ mpreun a cu (2 :8)
 si (2:9) astfel
dx
dt=ax+bu+w (2.10)
Generalizare: Consider am n variabile de stare, x2Rn si m un num ar
de comenzi, adic a u2Rm, atunci ecuat ia (2 :10) se scrie astfel
dx
dt=Ax+Bu+w (2.11)
unde A  si B sunt de tipul nn si respectiv nm. Perturbat ia w nu
act ioneaz a direct asupra st arii x, ci este localizat a pe anumite canale , deci
(2:11) se rescrie
dx
dt=Ax+Bu+Ew (2.12)
unde w are r componente , v2Rr,  si E ind nrmatrice.

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 7
^Intr-un caz mai general, calitatea funct ional a a procesului se exprim a in-
direct prin intermediul variabilei de stare ^ n forma
z=Dx (2.13)
undez2Rqcu Dqnmatrice , iar cerint a de calitate este
z=zn; (2.14)
undeznpoate varia sau poate  un vector constant.
A sadar, decizia dat a asupra comenzii u trebuie elaborat a prin cunoa sterea
lui z, unde cunoa sterea se realizeaz a printr-o operat ie de m asurare.
M asurarea lui z se efectueaz a asupra unor m arimi direct m asurabile y, care
se exprim a prin
y=Cx (2.15)
undey2Rp si C ind o matrice de tip pn. Reunind relat iile (2 :12);(2:13)
 si (2:14) obt inem
8
<
:_x=Ax+Bu+Ew
z=Dx
y=Cx(2.16)
undex2Rneste starea procesului, u2Rmeste comanda, z2Rqeste
ie sirea de calitate, y2Rpeste ie sirea m asurabil a  si w2Rreste perturbat ia.
Modelul din formula (2 :16) poarta numele de modelul sistemic al proce-
sului, sau sistemul asociat procesului .
Astfel, problema conducerii acestui proces se formulez a sistemic prin inter-
mediul reprezent arii (2 :16) ^ n urm atorul mod: pentru o perturbat ie w, s a se
elaboreze pe baza m arimilor m asurate y, comanda u astfel ^ nc^ at dezideratul
de calitate funct ional a (2 :14) s a e ^ ndeplinit, unde zneste specicat
printr-un program de funct ionare prestabilit.
Modelul (2:16) este un model liniar, iar generalizarea la un sistem neliniar,

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 8
va  de forma
8
<
:_x=f(t;x;u;w )
z=h(t;x)
y=g(t;x)(2.17)
unde x,u,z,y au aceea si semnicat ie iar f;g;h sunt funct ii vectoriale de di-
mensiuni corespunz atoare vectorilor x;y;z .
2.2 Discretizare. Sisteme continue  si sisteme
discrete
Prima ecuat ie din punct de vedere al dinamicii este reprezentat a de formula
(2:17) . M arimile u  si w sunt m arimi externe descrise prin funct ii de acela si
tip  si astfel vom scrie restr^ ans
_x=f(t;x;u ); x(t0) =x0: (2.18)
Denim sistem continuu , un sistem a c arui dinamic a este descris a prin
(2:18).
Denim sistem discret , un sistem a c arui dinamic a se descrie prin
x(t+ 1) =f(t;x(t);u(t)) (2.19)
cut2Z.
Provenient a sistemelor discrete rezult a din discretizarea sistemelor con-
tinue, in majoritatea cazurilor.

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 9
Consider am forma invariant a ^ n timp a egalit at ii (2 :18),  si anume
_x=Ax+Bu (2.20)
unde A  si B sunt matrice constante de tipul nn sinm.
Folosim o aproximat ie ^ n scar a ^ n locul comenzii continue u(
), de forma
u(t)4=u(kh);cu kh< (k+ 1)h (2.21)
undek2Z, iarh>0 este pasul de discretizare .
Referindu-ne la intervalul [ kh;(k+1)h] obt inem din formula st arii sistemului
x((k+ 1)h) =eA[(k+1)hkh]x(kh) +Z(k+1)h
kheA[(k+1)ht]Bu(t)dt=
=eAhx(kh) +Z(k+1)h
kheA[(k+1)ht]dt
Bu(kh):(2.22)
^Intruc^ at
Z(k+1)h
kheA[(k+1)ht]dt=Zh
0eAtdt; (2.23)
ecuat ia (2:22) ^ mpreun a cu (2 :23) devine
x((k+ 1)h) =eAhx(kh) +Zh
0eAtdt
Bu(kh): (2.24)
Folosind ~x(k)4=x(kh)  si ~u(k)4=u(kh) cuk2Z, avem
~x(k+ 1) =Ax(k) +Bu(k) (2.25)
unde
A4=eAh; B4=Zh
0eAtdtB (2.26)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 10
 si astfel se obt ine forma discretizat a a ecuat iei (2 :20) iar relat iile (2 :26)
prezent^ and mai explicit modul de calcul al matricelor sistemului discret din
matricele sistemului continuu. Concluzion^ and, se remarc a c a operat ia de dis-
cretizare trece prin solut ia ecuat iei (2 :20)  si ^ n plus, discretizarea sistemelor
continue neliniare se identic a cu metodele de integrare numeric a a ecuat iilor
diferent iale.
2.3 Problematica optimiz arii sistemelor. Clasic ari
Consider am reprezentarea
_x=f(t;x;u ) (2.27)
cux2Rnreprezent^ and starea, u2Rmind comanda  si indicele de performant  a
de tip Lagrange
J=Ztf
t0f0(t;x(t);u(t))dt (2.28)
undef0este o funct ie scalar a  si t0;tfreprezint a momentul init ial  si momen-
tul nal, ambele xate.
Solut ia ecuat iei (2 :27) av^ and o condit ie init ial a x(t0) =x0 si o comand a
u(
), se scrie
x(t) ='(t;t0;x0;u(
)) (2.29)
iar indicele de performant  a cap at a valoarea
J=Ztf
t0f0(t;'(t;t0;x0;u(
));u(t))dt: (2.30)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 11
Astfel, se constat a c a indicele J este o funct ional a de comand a
J=V(x0;u(
)): (2.31)
^In continuare vom evident ia clasic ari ale problemei de optimizare.
2.3.1 Problema de optimizare ^ n circuit deschis
Se d a o init ializare x0 si se cere s a se determine o comand a u(
) care mini-
mizeaz a funct ionala (2 :31), adic a
V(x0;u(
))V(x0;~u(
)) (2.32)
oricare ar  comanda ~ u(
).
Solut ia problemei, u(
) se nume ste comand a optimal a , iar solut ia x(
) expri-
mat a prin ecuat ia (2 :32) se nume ste traiectorie optimal a .
Fie funct ia k:RRn!Rm, denim legea de comand a prin
u=k(t;x): (2.33)
^Inlocuind (2 :33) ^ n (2:27) obt inem sistemul ^ nchis
_x=f0(t;x) (2.34)
unde
f0(t;x)4=f(t;x;k (t;x)): (2.35)
A sadar, pentru o init ializare x(t0) =x0solut ia ecuat iei (2 :34) este
x(t) ='0(t;t0;x0) (2.36)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 12
iar comanda va
u(t) =k(t;'0(t;t0;x0)): (2.37)
^In continuare, not^ and pentru o init ializare arbitrar a x0cuux0(
) solut ia
problemei de optimizare ^ n circuit deschis enunt  am:
2.3.2 Problema de optimizare ^ n circuit ^ nchis
S a se determine legea de comand a ^ n react ie dup a stare u=k(t;x), astfel
^ nc^ at pentru orice x0s a avem
ux0(t) =k(t;'0(t;t0;x0)); t2[t0;tf]: (2.38)
Solut ia acestui tip de probleme se nume ste lege de comand a optimal a .
Restrict iile care li se pot impune celor dou a tipuri de probleme enunt ate mai
sus sunt:
1:Localizarea extremei nale a traiectoriei . Aceasta intervine atunci c^ and
se cere ca stare nal a x(tf) sa e situat a pe o suprafat  a S numit a varietate
nal a sauvarietate t int a .
^In cazul evalu arii indicelui J, se procedeaz a astfel: se determin a cel mai mic
tfpentru care '(tf;t0;x0;u(
))2S, ce poart a numele de timp de transfer .
Odat a cetfeste determinat, se calculeaz a membrul drept al lui (2 :30). De
ret inut este c a varietatea S se poate reduce la un punct xfsau poate  mobil a
^ n timp,S(t).
2:Restrict ii asupra comenzii. Acestea se exprim a ^ n urmatorul mod: se
d a o mult ime URm si se cere s a se determine minimul funct ionalei (2 :30)
numai ^ n raport cu acele comenzi pentru care u(t)2U;8t2[t0;tf].
3:Restrict ii asupra traiectoriei ce presupun ca operat ia de minimalizare
s a se fac a numai ^ n raport cu acele comenzi care p astreaz a traiectoria x(
)
^ ntr-o regiune XRn.

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 13
O alt a remarc a este aceea c a ^ n locul indicelui de performant  a se utilizeaz a
indici de tipul Monza
J=l(tf;x(tf) +Ztf
t0L(t;x(t);u(t))dt: (2.39)
Precum ^ n cazul optimiz arii sistemelor continue  si ^ n cazul optimiz arii pentru
sisteme discrete se formuleaz a problemele
x(t+ 1) =f(t;x(t);u(t)); t2Z (2.40)
cu criterii de tipul
J=tf1X
t=t0f0(t;x(t);u(t)) (2.41)
sau
J=l(tf;x(tf)) +tf1X
t=t0L(t;x(t);u(t)): (2.42)
Comenzile sistemelor discrete ind secvent e de tipul u(0);u(1);:::;u (tf1),
problemele de optimizare discret a se mai numesc probleme de optimizare ^ n
mai mult i pa si.
Lu^ and cazul unui singur pas, obt inem din ecuat ia (2 :41)
J=f0(t0;x0;u(0)): (2.43)
^Intruc^ att0;x0sunt specicat i, se poate scrie urm atoarea operat ie de opti-
mizare
F(u)4=f0(t0;x0;u(0)); u4=u(0) (2.44)
ind de tipul
minuF(u): (2.45)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 14
Astfel, se poate ajunge la problemele program arii matematice care sunt prob-
leme de optimizare ^ ntr-un pas .
2.4 Sistemul Hamilton canonic
^In continuare, vom avea ^ n vedere problema g asirii extremalelor urm atoarei
funct ionale
I[x] =I[x1;:::;xn] =Zt2
t1L(t;x1;:::;xn;x0)dt (2.46)
^ n mult imea
M=x= (x1;x2;:::;xn)2C2((t1;t2))\C0([t1;t2])jxi(t1) =ai;xi(t2) =bi;
i=1;ncuai;bi;i=1;nnumere reale date.
Amintim c a extremalele sunt solut ii ale sistemului Euler-Lagrange
d
dt@L
@x0
i
@L
@xi= 0;i=1;n; (2.47)
care este un sistem de n ecuat ii diferent iale de ordinul doi  si cu n ne-
cunoscutex1;:::;xn, care mai poate  scris  si sub urm atoarea form a
nX
j=1@2L
@x0
i@x0
jx"
j+nX
j=1@2L
@x0
i@jx0
j+@2L
@x0
i@t@L
@xi= 0;i=1;n: (2.48)
Sistemul poate  rezolvat ^ n raport cu derivatele de ordin doi x"
1;:::;x"
ndac a
Hessianul este nenul  si anume
det"
@2
@x0
i@x0
j#
1i;jn6= 0: (2.49)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 15
Consider am variabilele pi=@L
@x0
i, unde variabilele xi;i=1;n sipi;i=1;n
se numesc variabile hamiltoniene .
^In acest caz, putem scrie sistemul urm ator consider^ and ca variabile x0
1;:::;x0
n
pi=@L
@x0
i(t;x1;:::;xn;x0
1;:::;x0
n): (2.50)
Observ am c a (2 :49) este ^ ndeplinit a  si deci solut ia sistemului (2 :50) exist a  si
are forma
x0
j=fj(t;x1;:::;xn;p1;:::;pn): (2.51)
Denim Hamiltonianul funct ionalei (2 :46) funct ia
(t;x1;:::;xn;p1;:::;pn) =nX
j=1×0
j@L
@x0
jL; (2.52)
echivalent
H=nX
j=1×0
jpjL (2.53)
undex0
jsunt solut iile denite ^ n (2 :50).
`A sadar, putem reconsidera Lagrangianul
L=nX
j=1×0
jpjH(t;x1;:::;xn;p1;:::;pn ) (2.54)
 si de altfel, putem rescrie sistemul Euler-Lagrange
8
<
:d
dt
@L
@x0
i
@L
@xi= 0
d
dt
@L
@p0
i
@L
@pi= 0=)(
d
dt(pi) +@H
@xi= 0
d
dt(0)x0
i+@H
@pi= 0:(2.55)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 16
Astfel obt inem sistemul Hamilton canonic
(
x0
i=@H
@pi
p0
i=@H
@pi;(2.56)
care este un sistem de 2n ecuat ii diferent iale de ordin I cu 2n funct ii necunos-
cutexi;pi; i=1;n:
Exemplu: Consider am funct ionala
I[x1;x2] =Z
0(2x1x22×2
1+ 2×02
12×02
2)dt:
Atunci
p1=@L
@x0
1= 4×0
1
p2=@L
@x0
2=4×0
29
>>=
>>;=)x0
1=1
4p1
x0
2=1
4p2
deci Hamiltonianul corespunz ator este
H=x0
1p1+x0
2p2L=1
4p2
11
4p2
2+ 2x1x2+ 2×2
11
8p2
1+1
8p2
2=
=1
8p2
11
8p2
2+ 2x1x2+ 2×2
1
Astfel obt inem sistemul canonic
x0
1=@H
@p1=1
4p1
x0
2=@H
@p2=1
4p2=)p0
1=@H
@x1= 2×2+ 4×1
p0
2=@H
@x2= 2×1:

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 17
Folosind metoda elimin arii, acest sistem poate  rezolvat astfel
x"
2=1
4p0
2=1
42×1=1
2×1;
xIV
1=1
4p000
1=1
4(2x"
2+ 4x"
1) =1
2x"
2+x"
1=1
4×1+x"
1;
 si obt inem ecuat ia diferent ial a xIV
1x"
1+1
4×1= 0.
Ecuat ia caracteristic a aferent a ecuat iei este r4r2+1
4r= 0.
Not amr4=t2, atunci avem t2t+1
4= 0 =)t1=t2=1
2:
Deci solut ia general a este
x1=e1
2x
x2=1
2p0
12×1=1
24x"
12×1= 2x"
12×1=1
2e1
2x4e1
2x:
2.5 Condit ii necesare de optimalitate
Consider am pentru t2I= [t1;t2], sistemul neliniar
_x=f(t;x;u ); x(t1) =x1; (2.57)
unde funct ia f:IXU!Rneste neted a pe port iuni iar XRn si
URmsunt mult imi deschise numite domeniile admisibile pentru starea x
 si comanda u.
Not am cuUmult imea funct iilor m asurabile u:I!U. Perechea
(x(
);u(
)) ce veric a sistemul (2 :57)  si condit ia ( x(t);u(t))2XUpentru
oricet2I, se nume ste traiectorie saupereche admisibil a .
Denim mult imea traiectoriilor admisibile T=f(x(
);u(
))gcare este o
mult ime nevid a  si deschis a.
Consider am funct ionala costurilor
J(u) =Zt2
t1L(t;x(t);u(t))dt+M(t1;x(t1);t2;x(t2)): (2.58)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 18
Primul termen din integral a poart a numele de criteriul de tip Lagrange iar
cel de-al doilea este criteriul de tip Mayer ; o astfel de funct ional a cont in^ and
ambele criterii se nume ste criteriu de tip Bolza .
Vom presupune c a L:IXU!Reste o funct ie de clas a C1pozitiv a
 si c aM:RX1RX2!Reste o funct ie convex a de clas a C1, unde
X1X;X 2X.
Problema de control optimal este g asirea unei comenzi ~ u2U care s a
minimizeze funct ionala de cost, astfel ^ nc^ at s a avem J(~u)J(u), pentru
oriceu(
)2U, unde denim
J(~u) =Zt2
t1L(t;~x(t);~u(t))dt+M(t1;~x(t1);t2;~x(t2))
 si ~x(t) este solut ia sistemului (2 :57) ce corespunde comenzii ~ u(t).
Consider am traiectoria optimal a (~ x(
);~u(
))  si o traiectorie admisibil a a
sa (x(
);u(
))2T de forma
x(t) = ~x(t) +"h(t)
u(t) = ~u(t) +"k(t)(2.59)
unde"2R( sucient de mic )  si h(t);k(t) sunt funct ii arbitrare xe.
A sadar, costul corespunz ator poate  privit ca funct ie de ":
F(") =J(u) =J(~u+"k) =Zt2
t1L(t;~x(t) +"h(t);~u(t) +"k(t))dt+
+M(t1;~x(t1) +"h(t1);t2;~x(t2) +"h(t2)):
Dac a perechea (~ x(
);~u(
)) este o traiectorie optimal a, J(~u) =F(0), atunci
"= 0 este un punct de minim pentru F(")  si deciF0(0) = 0.
Prin urmare, derivata lui F ^ n raport cu "este:
F0(") =Zt2
t1"@L
@xT
h(t) +@L
@uT
k(t)#
dt+@M
@x1T
h(t1)+@M
@x2T
h(t2);
(2.60)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 19
unde derivatele part iale sunt calculate ^ n (~ x(t) +"h(t);~u(t) +"k(t)); deci
F0(0) are aceea si expresie, numai c a este calculat a ^ n (~ x(t);~u(t)).
Facem o mic a parantez a pentru calculul lui g0(")
g(") =L(t;~x1(t)+"h1(t);:::; ~xn(t)+"hn(t);~u1(t)+"k1(t);:::; ~um(t)+"km(t))
g0(") =@L
@x1(t;x(t);u(t))h1(t) +:::+@L
@xn(t;x(t);u(t))hn(t)+
+@L
@u1(t;x(t);u(t))k1(t) +:::+@L
@um(t;x(t);u(t))km(t) =
=@L
@xT
(t;x(t);u(t))h(t) +@L
@uT
(t;x(t);u(t))k(t);
unde
@L
@xT
=@L
@x1;@L
@x2;:::;@L
@xn
 si@L
@uT
=@L
@u1;@L
@u2;:::;@L
@um
.
Denim astfel Hamiltonianul problemei de control optimal (2 :57);(2:58)
prinH:RRnRmRn!R
H(t;x;u;p ) =L(t;x;u ) +p(t)T_x(t) =L(t;x;u ) +p(t)Tf(t;x;u )
undepT= [p1:::pn] este vectorul multiplicator Lagrange  si se numeste vec-
torul adjunct al lui x.
Prin urmare, avem L(x;t;u ) =H(t;x;u;p )p(t)Tf(t;x;u )  si (2:60) devine
F0(0) =Zt2
t1"@H
@xT
h(t) +@H
@uT
k(t)#
dt
Zt2
t1p(t)T@f
@xh(t) +@f
@uk(t)
dt+@M
@x1T
h(t1) +@M
@x2T
h(t2):
(2.61)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 20
Not^ and cu h(t) =dx sik(t) =du, avem
@f
@xh(t) +@f
@uk(t) =df=d_x=_h(t):
Integr^ and prin p art i a doua integral a obt inem
Zt2
t1p(t)T_h(t)dt=p(t)Th(t)jt2
t1Zt2
t1_p(t)Th(t)dt
deci, pentru perechea (~ x;~u) avem
F0(0) =Zt2
t1"@H
@x+ _pT
h(t) +@H
@uT
k(t)#
dt+@M
@x1+p(x1)T
h(t1)+
+@M
@x2p(t2)T
h(t2) = 0
pentru orice h(t);k(t) sucient de mici.
Prin aceste calcule, am demonstrat urm atoarea teorem a.
Teorem a: Dac a perechea (~ x;~u) este o traiectorie optimal a a sistemului
(2:57);(2:58), atunci exist a p1:::pnnumit i multiplicatorii Lagrange  si astfel
trebuie ^ ndeplinite urm atoarele condit ii:
_~x=@H
@p(t;~x;~u;p) (=f(t;~x;~u)) (2.62)
_p=@H
@x(t;~x;~u;p) (2.63)
@H
@u(t;~x;~u;p) = 0 (2.64)
@M
@x1+p(t1)T
=@M
@x2p(t2)T
h(t2) = 0 (2.65)

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 21
unde (2:62) si (2:63) reprezint a sistemul canonic, (2 :64) este ecuat ia controlu-
lui optimal  si (2 :65) este condit ia de transversalitate.
^In continuare, vom considera condit iile de transversalitate pentru anu-
mite condit ii la limit a particulare.
1:Momentul init ial t1 si momentul nal t2xate, starea init ial a x1xat a
 si starea nal a liber a x2(problema de control nal a).
Deoarecex(t1) = ~x(t1) +"h(t1) =x1= ~x(t1) atunci avem h(t1) = 0  si
h(t2) arbitrar a, deci condit ia de transversalitate devine x(t1) =x1xat,
p(t2) =@M
@x2(t1);x1;t2;~x(t2)):
2:Momentele  si starea nal a t1;t2;x2sunt xate, starea init ial a x1este
liber a atunci rezult a c a
p(t1) =@M
@x1(t1;~x(t1);t2;x2),x(t2) =x2constant a.
3:St arilex1 six2sunt xate, atunci h(t1) = 0  sih(t2) = 0, iar condit ia
de transversalitate are loc pentru orice vector adjunct p.
4:Starea init ial a x12X1 si starea "t int a" x22X2, undeX1;X2sunt
dou a hipersuprafet e
X1=f(t;x)2IXjF1(t;x) = 0g
x2=f(t;x)2IXjF2(t;x) = 0g
unde
Fi=2
64Fi1
…
Fipi3
75
i= 1;2 sunt funct ii convexe de clas a C1.
Consider am multiplicatorii Lagrange
q1= [q11q12::: q 1p1]T
q2= [q21q22::: q 2p2]T

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 22
atunci condit iile de transversalitate devin
p(t1) =@M
@x1(t1;~x(t1);t2;~x(t2)) +@F1
@x(t1;~x(t1))Tq1
p(t2) =@M
@x2(t1;~x(t1);t2;~x(t2) +@F2
@x(t2;~x(t2))Tq2:
Corolar: Pentru orice traiectorie optimal a (~ x(
);~u(
))  si ^ n condit iile de
mai sus, Hamiltonianul veric a urm atoarea egalitate
dH
dt=@H
@t;8t2[t1;t2] (2.66)
Demonstrat ie: ^IntrucatH(t;x;u;p ) =L(t;x;u ) +pTf(t;x;u )  si
H(t;x(t);u(t);p(t)) =L(t;x(t);u(t)) +p(t)Tf(t;x(t)u(t))
rezult a c a
@H
dt=@L
@t+@L
@xT
_x+@L
@uT
_u+ _pTf+pT"
@f
@t+@f
@xT
_x+@f
@uT
_u#
_x=f
 si continu^ and obt inem
@H
@t=@L
@t+pT@f
@t;@H
@x=@L
@x+pT@f
@x;@H
@u=@L
@u+pT@f
@u
deci
@H
dt=@H
@t+@H
@x+ _pT
f+@H
@uT
_u:
Din relat iile (2 :63);(2:64)  si pentru orice traiectorie optimal a, avem
_p=@H
@x si@H
@u= 0, de undedH
dt=@H
@t.

Capitolul 2. Not iuni introductive de proces, sistem  si optimizare 23
Exmplu: Presupunem c a starea init ial a  si nal a x1;x2 si momentul t,
xate.
Se cere s a se determine o traiectorie care minimizeaz a timpul de transfer al
sistemului  din x1;x2.
^In acest caz, funct ionala de cost este
J(u) =Zt2
t1dt=t2t1
 si deci Lagrangianul este L= 1.
Atunci obt inem H(t;x;u;p ) = 1+pTf(t;x;u )  si deci condit iile necesare pen-
tru o traiectorie optimal a sunt:
_~x=@H
@p(t;~x;~u;p) =f(t;~x;~u)
_p=@H
@x(t;~x;~u;p) =@f
@u(t;~x;~u)T
p
@H
@u(t;~x;~u;p) =@f
@u(t;~x;~u)T
p= 0 =)@f
@u(t;~x;~u) = 0;
pT(t1)h(t1) =pT(t2)h(t2) = 0:
Condit iile sunt^ ndeplinite deoarece din xTy=x1y1+x2y2+:::+xnynrezult a
@
@x(xTy) =2
4@
@x1(xTy)
:::
@
@xn(xTy)3
5=2
4y1
:::
yn3
5=y
 si@
@y(xTy) =x.
Concluzion^ and, pentru orice matrice P,@
@x(xTPy) =Py si
@
@y(xTy) =@
@y((pTx)T)y) =PTx:

Capitolul 3
Problema liniar p atratic a
3.1 Formularea problemei
Consider am sistemul liniar  si variabil ^ n timp
_x(t) =A(t)x(t) +B(t)u(t) (3.1)
cu stareax(t)2Rn, comanda u(t)2Rm si matricele continue pe intervalul
deschisI= (Ta;Tb),A(t),B(t) de tipulnn, respectivnm.
Fix^ and intervalul [ t0;t1]Iconsider am criteriul p atratic
J=xT(tf)Sx(tf) +Ztf
t0[xT(t)Q(t)x(t) +uT(t)R(t)u(t)]dt (3.2)
unde S este o matrice simetric a constant a de tip nn, iar Q(t)  si R(t) sunt
matrice continue simetrice de tip nn, respectiv mm, cu R(t) pozitiv
denit a pe I  si Q(t) pozitiv semidenit a.
Problema liniar p atratic a (PLP) se formuleaz a astfel: d^ andu-se o condit ie
init ial ax(t0) =x0a sistemului (3 :1), s a se determine o comand a u(
) pe in-
tervalul [t0;tf] care s a minimizeze criteriul (3 :2).
Vom nota cu V(x0) valoarea optim a a criteriului p atratic, asociat a init ializ arii
x0.
Din punct de vedere al implement arii, este interesant a determinarea unei
solut ii ^ n circuit ^ nchis, solut ia ind comanda u(
).
24

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 25
Astfel, consider am legea de comand a
u(t) =F(t)x(t) (3.3)
unde F(t) este continu a pe intervalul [ t0;tf]  si de tipul mn.
^Inlocuind ^ n relat ia (3 :1), obt inem
_x(t) =A0(t)x(t) (3.4)
unde
A0(t)4=A(t) +B(t)F(t): (3.5)
Traiectoria ecuat iei (3 :4) este
x(t) =  0(t;t0)x0 (3.6)
iar comanda dat a prin legea de comand a, va
u(t) =F(t)0(t;t0)x0 (3.7)
unde  0(t;t0) este matricea fundamental a a matricei A0(t).
^In aceste condit ii, criteriul p atratic devine
~V(x0) =xT
0T
0(tf;t0)S0(tf;t0)x0+xT
0Ztf
t0T
0(t;t0)
[Q(t) +FT(t)R(t)F(t)]0(t;t0)dtx 0:(3.8)
A sadar, matricea F(t) este o solut ie ^ n circuit ^ nchis a problemei liniar
p atratice, dac a pentru orice x02Rneste adev arat a egalitatea
~V(x0) =V(x0): (3.9)
^In acest caz legea de comand a poart a numele de lege de comand a optimal a .

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 26
3.2 Solut ia problemei liniar p atratice
Fie ecuat ia diferent ial a matriceal a
_P(t) =AT(t)P(t) +P(t)A(t)P(t)B(t)R1(t)BT(t)P(t) +Q(t) (3.10)
av^ and condit ia de cap at
P(tf) =S (3.11)
ecuat ie ce poart a numele de ecuat ie diferent ial a matriceal a Riccati (EDMR).
^In continuare, vom vedea c a solut ia ecuat iei EDMR pe intervalul [ t0;tf]
este esent ial a ^ n rezolvarea ecuat iei PLP, ^ ns a aceast a solut ie implic a c^ ateva
preciz ari.
Observat ie: Membrul drept al ecuat iei EDMR este descris de funct ia
F:IRnn!Rnndenit a prin
F(t;P) =AT(t)P+PA(t)PB(t)R1(t)BT(t)P+Q(t);
funct ie continu a ^ n t  si P, ind  si local lipschitzian a ^ n P.
^In consecint  a, ecuat ia (3 :10) are o unic a solut ie ce satisface (3 :11).
Existent a local a a solut iei nu implic a neap arat  si existent a global a a solut iei
pe [t0;tf].
De exemplu, consider am ecuat ia
_P=P2+ 1;P() = 0
pe intervalul [0 ;].
Separ^ and variabilele, obt inem solut ia P(t) =tg(t) care exist a numai pe in-
tervalul
2;3
2
 si pentru care se constat a c a nu are solut ie pe [0 ;]. Dar
este evident c a ecuat ia EDMR are o solut ie pe intervalul [ t0;tf], solut ie unic a
conform propriet at ilor funct iei F(t;P).
De asemenea, solut ia ecuat iei EDMR este simetric a  si astfel cum  si S este
simetric aP(tf) =S=PT(tf)  si deciPT(t) =P(t) pe [t0;tf].
Teorem a: Dac a ecuat ia diferent ial a matriceal a Riccati are o solut ie P(
)
ce satisface (3 :11) pe intervalul [ t0;tf], atunci

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 27
u(t) =R1(t)BT(t)P(t)x(t) (3.12)
este o solut ie ^ n circuit ^ nchis a PLP. Acest a solut ie este unic a. ^In plus, val-
oarea optim a a indicelui de performant  a este
V(x0) =xT
0P(t0)x0: (3.13)
Demonstrat ie : Consider am x02Rno init ializare oarecare  si o comand a
arbitrar au(
) pe intervalul [ t0;tf]. Fiex(
) traiectoria ecuat iei (3 :1)  si funct ia
(t)4=xT(t)P(t)x(t): (3.14)
Deriv^ and,  si ^ mpreun a cu ecuat iile (3 :1), (3:10) obt inem
_(t) = _xT(t)P(t)x(t) +xT(t)_P(t)x(t) +xT(t)P(t) _x(t) =uT(t)BT(t)P(t)x(t) +
+xTP(t)B(t)u(t) +xT(t)P(t)B(t)R1(t)BT(t)P(t)x(t)xT(t)Q(t)x(t):
(3.15)
Integr^ and ambii membrii pe intervalul [ t0;tf]  si folosind (3 :11), obt inem
xT(tf)Sx(tf)xT
0P(t0) =Ztf
t0[uT(t)BT(t)P(t)x(t) +xTP(t)B(t)u(t) +
+xT(t)P(t)B(t)R1(t)B(t)P(t)x(t)xT(t)Q(T)x(t)]dt:
(3.16)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 28
Adun^ and membru cu membru, avem
J=Ztf
t0[uT(t)R(t)u(t) +uT(t)BT(t)P(t)x(t) +xT(t)P(t)B(t)u(t)+
+xT(t)P(t)B(t)R1(t)BT(t)P(t)x(t)]dt+xT
0P(t0)x0
=Ztf
t0[u(t) +R1(t)BT(t)P(t)x(t)]TR(t)[u(t) +R1(t)BT(t)P(t)x(t)]dt+
+xT
0P(t0)x04=J1+J2
(3.17)
unde se poate observa c a ^ n ultima egalitate s-a f acut apel la simetria
solut ieiP(
). Indicele J din ultima ecuat ie este o sum a dintre J1dependent
deu(
) care este mai mare sau egal dec^ at 0  si J2care este constant.
A sadar minimul lui J corespunde la J1= 0. CumR(t) este pozitiv denit a,
se vede c aJ1= 0 dac a  si numai dac a ecuat ia (3 :12) este adev arat a.
Unicitatea solut iei (3 :12) rezult a din faptul c a J1= 0.
Concluzion^ and, valoarea minim a a lui J este J2.
Exemplu: Consider am sistemul _ x=u, cux;u2R si criteriul
I=Z
3
4(x2u2)dt:
Prima dat a se observ a c a A= 0,B= 1,S= 0,Q=1,R= 1. Atunci
ecuat ia diferent ial a matriceal a Riccati este _P=P21,P() = 0 care are
solut iaP(t) =tg(f), conform ecuat iei (3 :1), solut ie care exist a pe intervalul
[3
4;].
^In acest fel, legea de comand a optimal a este
u(t) =tg(tx0)
iar valoarea oprimal a a criteriului este
V(x0) =x2
0tg3
4=x2
0:

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 29
3.3 Ecuat ia Riccati^ n stiudiul comport arii op-
timale a sistemelor
3.3.1 Solut ia ecuat iei diferent iale matriceale
Riccati.Tehnici de rezolvare
Pornim cu sistemul canonic matriceal astfel
_X(t) =A(t)X(t)B(t)R1(t)BT(t)(t) (3.18)
_(t) =Q(t)X(t)AT(t)(t); (3.19)
av^ and condit iile la limit a
X(tf) =I (3.20)
(tf) =S; (3.21)
X  si  ind matrici de tip nn. Extindem si introducem matricea 2 n2n
H(t)4=A(t)B(t)R1(t)BT(t)
Q(t)AT(t)
(3.22)
 si notam cu ( t;tf) matricea fundamental a a lui H(t). Deci
X(t)
(t)
= (t;tf)I
S
(3.23)
este solut ia sistemului canonic matricial.
Urm atoarea teorem a este foarte important a pentru EDMR.
Teorem a: Fie matricile X(t)  si (t) date de ecuat ia (3 :23).
Dac a matricea X(t) este nesingular a pe intervalul [ t0;tf], atunci ( t)X1(t)
este o solut ie a ecuat iei diferent iale matriceale Riccati care satisface condit ia
de cap at (3 :11), ind o solut ie unic a.
Demonstrat ie: Denim
P(t)X(t) = (t): (3.24)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 30
Deriv^ and ultima ecuat ie si folosindu-ne  si de (3 :18);(3:19);(3:24) obt inem
P(t)X(t) +P(t)(A(t)X(t)B(t)R1(t)BT(t)P(t)X(t)) =
=Q(t)X(t)AT(t)P(t)X(t)(3.25)
^Inmult ind la dreapta cu inversa lui X(t) rezult a
P(t) +P(t)(A(t)B(t)R1(t)BT(t)P(t)) =Q(t)AT(t)P(t)
=)
P(t) =P(t)(A(t)B(t)R1(t)BT(t)P(t) +AT(t)) +Q(t):
adic a,P(t) satisface ecuat ia diferent ial a matriceal a Riccati.
Prin urmare, rezult a c a P(tf) =S, adic a este ^ ndeplinit a condit ia (3 :11) iar
unicitatea rezult a din observat ia (3 :1).
^In continuare, vom evident ia condit iile ^ n care X(t) este nesingular a.
Teorem a: MatriceaX(t) este nesingular a pe [ t0;tf] dac aS0  si
Q(t)0 pe intervalul [ t0;tf], S  si Q sunt semipozitiv denite .
Demonstrat ie: Presupunem c a exist a un 2[t0;tf] ^ n careX() este
singular a.
Se observ a c a X(tf) =Iprin prisma condit iei <tf.
Atunci, exist a un 2Rn,6= 0, astfel ^ nc^ at
X()= 0: (3.26)
Introducem pe intervalul [ t0;tf] urm atoarea condit ie
x(t)4=X(t) (3.27)
(t) = (t) (3.28)
 si astfel rezult a c a ^ mpreun a cu (3 :18);(3:19) avem
_x(t) =A(t)x(t)B(t)R1(t)BT(t)(t) (3.29)
_(t) =Q(t)x(t)AT(t)(t): (3.30)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 31
Consider am funct ia T(t)x(t) pe care o deriv am  si astfel avem
d
dt= [T(t)x(t)] = _T(t)x(t) +T(t) _x(t) =
=(xT(t)Q(t)x(t) +T(t)A(t)x(t) +T(t)(A(t)x(t)B(t)R1(t)BT(t)(t)) =
=xT(t)Q(t)x(t)T(t)B(t)R1(t)BT(t)(t)
(3.31)
unde am folosit condit iile (3 :29)  si (3:30).
Integr^ and tot i membrii pe [ ;tf]  si folosind (3 :20);(3:21);(3:26), avem
0 =TS+Ztf
[xT(t)Q(t)x(t) +T(t)B(t)R1(t)BT(t)(t)]dt: (3.32)
Din ipotez a  stim c a S0;Q(t)0  siR(t)>0, obligatoriu cei doi membri
din dreapta sunt egali cu zero, deci integrala este nul a  si cum R(t)>0 rezult a
BT(t)(t) = 0;t2[;tf]: (3.33)
Astfel, obt inem c a
_x(t) =A(t)x(t);t2[;tf]: (3.34)
Not am matricea fundamental a a lui A(t) cu (t)  si avem
0 =x() = (;tf)x(tf) = (;tf); 6= 0 (3.35)
^In concluzie, ( ;tf) este singular a, ceea ce este absurd.
Corolar: Dac aS0  siQ(t)0 pe intervalul [ t0;tf], atunci existent a
global a a solut iei EDMR este asigurat a  si deci solut ia ecuat iei PLP poate
construit a.
^In continuare, vom prezenta algoritmul de calcul al solut iei EDMR ^ n care
vom cere ca S0  siQ(t)0 pe [t0;tf].

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 32
Algoritmul 1
1:Se construie ste matricea H(t) ((2:22))  si se determin a matricea fundamen-
tal a a acesteia, ( t;tf), care se partit ioneaz a ^ n blocuri nnastfel
(t;tf) = 11(t;tf) 12(t;tf)
21(t;tf) 22(t;tf)
(3.36)
2:Atunci solut ia EDMR este
P(t) = [ 11(t;tf) + 22(t;tf)S][ 11(t;tf) + 12(t;tf)S]1: (3.37)
^In plus, dac a matricele A,B,Q  si R sunt matrice constante, atunci
(t;tf) =eH(ttf); (3.38)
unde H este constant a.
Aplicat ie: Consider am sistemul scalar
_x=x+u
 si indicele de performant  a
J=1
2ZT
0(x2+u2)dt:
Se cere, calcularea solut iei ecuat iei diferent iale Riccati.
Solut ie: Se observ a c a
A=1;B= 1;Q= 1;R= 1:
Atunci ecuat ia diferent ial a Riccati, devine o ecuat ie diferent ial a ordinar a de
forma
_p=ppp2+ 1

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 33
adic a
_p2pp2+ 1 = 0
cu condit ia la limit a
p(T) = 0:
Avem
H(t;x;y;u ) =1
2(x2+u2)xy+yu
de unde rezult a din Hu= 0 c au=c(t;x;y ) =y, adic a
H0(t;x;y ) =1
2×21
2y2xy:
Rezult a sistemul canonic
_x=xy
_y=x+y
care coincide cu sistemul canonic matricial, dar cu condit iile
x(T) = 1; y(T) = 0
respectiv cu
X(T) =I; Y (T) =S:
A sadar, matricea M a sistemului canonic este
M=11
1 1

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 34
Calcul am polinomul caracteristic al lui M, pentru a obt ine valorile proprii
astfel
+ 1 1
11
=22 = 0 =)2= 2 =)1;2=p
2
Deci1=p
2  si2=p
2:
Rezult a
eM(tT)=2
4(1+p
2)ep
2(tT)+(1+p
2)ep
2(tT)
2p
2ep
2(tT)+ep
2(tT)
2p
2
ep
2(tT)+ep
2(tT)
2p
2(1+p
2)ep
2(tT)+(1+p
2)ep
2(tT)
2p
23
5
=11(tT)12(tT)
21(tT)22(tT)
:
T  in^ and cont c a S= 0, atunci solut ia ecuat iei Riccati este
p(t;T;0) =21(tT)1
11(tT) =
=ep
2(tT)+ep
2(tT)
2p
2
2p
2
(1 +p
2)ep
2(tT)+ (1 +p
2)esqrt2(tT)
sau
p(t;T;0) =ep
2(tT)ep
2(tT)
(p
2 + 1)ep
2(tT)+ (p
21)ep
2(tT):
Se vede c a
lim
x!1p(t;T;0) =1p
2 + 1=1 +p
2
adic a solut ia pozitiv a a ecuat iei algebrice Riccati este
p2+ 2p1 = 0:

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 35
^Intruc^ at de-a lungul prezent arii au fost introduse matricele H(t)  si (t;tf),
este necesar a denirea urm atoarelor concepte.
Denit ie: O matrice H de tip 2 n2nse nume ste matrice de tip Hamil-
tonian dac a
JHJ =HT(3.39)
unde
J4=0In
In0
(3.40)
Denit ie: O matrice de tip 2 n2nse nume ste simplectica dac a
TJ =J: (3.41)
Teorem a: Matricea fundamental a ( t;tf) a luiH(t) este o matrice sim-
plectic a.
Demonstrat ie: Consider am matricea
(t;tf)4= T(t;tf)J (t;tf)J: (3.42)
Atunci utiliz^ and (3 :39) obt inem
_(t;tf) =_ T(t;tf)J (t;tf) + T(t;tf)J_ (t;tf) =
= T(t;tf)[HT(t)J+JH(t)] (t;tf) = 0:(3.43)
Concluzion^ and avem c a ( t;tf) =ct, deci (tf;tf) = 0 =)(t;tf) = 0;8t,
adic a proprietatea de simplecticitate.

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 36
3.3.2 Metoda de rezolvare a ecuat iei algebrice Riccati
Legat de aceast a metod a, putem ^ ncepe cu faptul c a a fost propus a de
Kleinman baz^ andu-se pe metoda general a Newton-Kantorovici de rezolvare
a ecuat iilor funct ionale ^ n spat iul Banach.
^In cazul algebrei elementare, ecuat ia algebric a P(x) = 0 admite o r ad acin a
ca limit a a  sirului recursiv
xk+1=xkP1(xk)P(xk); k= 1;2;::: (3.44)
Astfel c axk+1se va determina indirect ca solut ie a ecuat iei liniare
P0(xk)xk+1=P0(xk)xkP(xk) (3.45)
care va conduce la o ecuat ie de tip Liapunov.
^In consecint  a, tehnica de rezolvare se bazeaz a pe apelarea succesiv a a
unei rutine de rezolvare a ecuat iei Liapunov.
Pentru ^ nceput, vom demonstra urm atoarea teorem a.
Teorem a: Fie
ATP+PAPBR1BTP+Q= 0 (3.46)
ecuat ia Riccati, unde Q0, (A;B;pQ)- canonic  si e Punica solut ie poz-
itiv denit a.
Consider am de asemenea K astfel ^ nc^ at ( ABK) este stabil a, iar Punica
solut ie pozitiv a a ecuat iei Liapunov
(ABK)TP+P(ABK) +KTRK+Q= 0:
Atunci ecuat ia
(ABK)TP+P(ABK) +KT
RK+Q= 0
undeK=R1BTPare o solut ie pozitiv denit a , astfel ^ nc^ at
PP (3.47)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 37
iarABKeste stabil a.
Demonstrat ie: Ar at am c a ecuat ia
_P= (ABK)TP+P(ABK) +KT
RK+Q
cu solut ia ( t;T;0) are proprietatea c a lim
T!1(t;T;0) exist a  si este nit a.
A sadar, e
0 = (ABK)TP+P(ABK) +KTRK+Q
_P= (ABK)TP+P(ABK) +KT
RK+Q
de unde
(_z}|{
PP) = (ABK)T(PP) + (PP)(ABK)(ABR1BTP)TP
P(ABR1BTP)(ABK)TP+P(ABK) + (KK)TR(KK)
2KT
RK+KTBTP+PBK=
= (ABK)T(PP) + (PP)(ABK) + (KK)TR(KK)
ATP+PBR1BTPPA+PBR1BTP+
+ATPKTBP+PAPBK2PBR1BTP+KTBTP+PBK
adic a
(_z}|{
PP) = (ABK)T(PP) + (PP)(ABK) + (KK)TR(KK).
Atunci
P(0;T;0) =ZT
0e(ABK)Tt(KK)TR(KK)e(ABK)tdt0
adic aP(0;T;0);8T.
Totodat a avem
(0;T;0) =ZT
0e(ABK)Tt(KT
RK+Q)e(ABK)tdt> 0
deoarece (A;pQ) este complet observabil.
Se poate vedea deci c a (0 ;:;0) este monoton-cresc ator  si m arginit a.
Prin urmare
lim
T!1(0;T;0) = >0
 si evident Pceea ce ^ nseamn a c a avem
(ABK)T + (ABK) =KT
RKQ

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 38
cu (A;pQ) complet observabil a, adic a ( ABK) este stabil a.
^In fond
 =Z1
0e(ABK)Tt(KT
RK+Q)e(ABK)tdt> 0:
Lu^ and _x=AxBu(t) cuu(t) =Kx(t), avem
J=1
2Z1
0(kx(t)k2
Q+ku(t)k2
R)dt=1
2Z1
0xT(t)(Q+KT
RK)x(t)dt=1
2xTx;
cux(0) =x si cum valoarea minim a a lui J este1
2xTPxrezult a c a P si
astfel teorema este demonstrat a.
Ecuat ia ment ionat a^ n teorema anterioar a, (3 :46) poart a numele de ecuat ie
matriceal a algebric a Riccati (EMAR)
Revenind la metoda de rezolvare, denim pe spat iul matricelor p atrate  si
simetricenn, operatorul neliniar Rprin egalitatea
R(P) =ATP+PAPBR1BTP+Q: (3.48)
Calcul am derivata acestuia ^ n punctul P, operator liniar pe care o s a ^ l not am
cuR0(P)(
):
Atunci
R(P+"S) =R(P) +"(ATS+SASBR1BTPPBR1BTS)"2SBR1BTS
de unde
lim
"!0R(P+"S)R(P)
"= (ABR1BTP)TS+S(ABR1BTP):
A sadar
R0(P)(S) = (ABR1BTP)TS+S(ABR1BTP)
sau
R(P)(
) = (ABR1BTP)T+ (ABR1BTP):

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 39
Proprietate esent ial a: P' este solut ia unic a pozitiv denit a a unei
ecuat ii Liapunov.
Avem
R0(P)(P0) =R0(P)(P)R(P) (3.49)
adic a
(ABR1BTP)TP0+P0(ABR1BTP) = (ABR1BTP)TP+
+P(ABR1BTP)(ABR1BTP)TP
P(ABR1BTP)PBR1BTPQ
(3.50)
sau
(ABR1BTP)TP0+P0(ABR1BTP) =PBR1BTPQ(3.51)
ecuat ie unic a deoarece ( ABR1BTP) este stabil a.
CumP0>0, dac a P este simetric a, se va alege uniformitatea P > 0 tot ca
 si solut ie unic a pozitiv denit a a unei ecuat ii Liapunov.
Not am pentru u surarea ^ nt elegerii algoritmului K0=R1BTP.
^In acest caz avem
(ABK0)TP0+P0(ABK0) =KTRKTQ
unde K' face ABK0stabil a.
Putem acum s a descriem algoritmul de rezolvare.
Preciz am c a se va folosi ca relat ie de recursivitate (3 :51) ^ n loc de (3 :50).
Consider am P14=P siP24=P0, urm atorii termeni rezult^ and dupa cum se va
vedea ^ n continuare:
1) init ializarea: P1
Se alege un K1astfel ^ nc^ at ABK 1s a e stabil a, apoi se determin a P1ca
solut ie unic a pozitiv denit a a ecuat iei Liapunov
(ABK 1)TP1+P1(ABK 1) =KT
1RK 1Q:
2) generarea  sirului
Se va faceK2=R1BTP1iar ^ n cazul de fat  a K2corespunde lui K0.

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 40
Conform teoremei demonstrate la ^ nceput, ecuat ie (3 :51) are solut ie unic a
pozitiv denit a iar ABK 2este stabil a.
Mai mult dec^ at at^ at, PP2P1.
Continu am cu procedeul,  si anume K3=R1BTP2 si determin a unic pe P3
conform aceleia si teoreme se obt ine  sirul
0<P:::Pk:::P2P1: (3.52)
S irul este monoton descresc ator  si m arginit inferior  si ind un  sir cu operatori
pozitivi rezult a c a
lim
k!0Pk=PkP > 0: (3.53)
^In continuare ar at am c a P=P. Ecuat ia de recursivitate este
(ABKi)TPi+Pi(ABKi) +KRKi+Q= 0
adic a
(ABR1BTPi1)TPi+Pi(ABR1BTPi1) +Pi1BR1BTPi1+Q= 0:
Trecem la limit a  si obt inem
(ABR1BTP)TP+P(ABR1BTP) +PBR1BTP+Q= 0:
Adic aP > 0 veric a ecuat ia algebric a Riccati. ^In plus, conform unicit at ii
P=P. Adic a
lim
k!1Pk=P (3.54)
^In consecint  a algoritmul lui Kleinman este descris de:
1) Determinarea unei matrice Kpentru care ABKeste stabil a
2)K1=K
A1=ABK 1
Q1=Q+KT
1RK 1:

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 41
Se rezolv aAT
1P+PA1=Q1. Se faceP1=P si apoiK2=R1BTP1.
Pentru a ar ata c a exist a Kcu proprietatea dorit a, vom enunt a urm atoarea
teorem a.
Teorem a: (Kleinman) Dac a perechea ( A;B) este complet controlabil a
atunci oricare ar  >0,Kdenit prin K=R1BTP1
cu
P4=Z
0eAtBR1BTeATtdt
are matricea ABKstabil a.
Demonstat ie: Deoarece (A;B) este complet controlabil a P>0 atunci
exist aP1.
Atunci
(ABK)P+P(ABK)T= (ABR1BTP1
)P+P(ATP1
BR1BT) =
=AP+PAT2BR1BT=
=Z
0(AeAtBR1BTeATt+eAtBR1BTeeTtAT)dt
2BR1BTZ
0d
dteAtBR1BTeATtdt2BR1BT=
=(eABR1BTeAT+BR1BT):
Altfel spus
(ABK)P+P(ABK)T=(eABR1BTeAT+BR1BT) adic a ecuat ia
Liapunov dual a, cu membrul drept semipozitiv denit.
Mai r am^ ane de ar atat c a ( ABK;L) este complet controlabil a, unde
LLT=eABR1BTeAT+BR1BT:
Presupunem prin absurd c a exist a x6= 0 astfel ca
xTZ
0e(ABK)t(eABR1BTeAT+BR1BT)e(ABK)Ttdtx= 0:
^Inseamn a c a
xTe(ABK)tBR1BTe(ABK)Ttx= 0
sau c aBTe(ABK)Ttx= 0, ceea ce ^ nseamn a c a ( ABK;B) nu este com-
plet controlabil a, adic a perechea ( A;B) nu este complet controlabil a, ceea ce

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 42
este absurd. Astfel teorema este demonstrat a.
Aplicat ie: Fie sistemul
_x=0 1
0 0
x+0
1
u
 si indicele de performant  a J=1
2Z1
0(4×02+u2)dt:
Observ am din ipotez a c a
A=0 1
0 0
; B=b=0
1
; Q=4 0
0 0
;p
Q=2 0
0 0
; R= 1:
Perechea (A;b) este controlabil a dup a cum putem vedea ^ n cele ce urmeaz a
precum  si c a perechea ( A;pQ) este complet observabil a ^ ntruc^ at
[(p
Q)TAT(p
Q)T] =2 0 0 0
0 0 2 0
 si matricea av^ and rangul maximal 2.
Controlabilitatea perechii ( A;b) se demonstreaz a prin calcularea
(A;b) =
B AB A2B :::
=0 1 0
1 0 0
=)(rg(A;b)) = 2 =ordinul sistemului = )perechea este controlabil a.
Acela si procedeu se aplic a  si pentru perechea ( A;pQ).
Ecuat ia algebric a ( T=1) are deci o solut ie unic a pozitiv denit a.
Avem a sadar ecuat ia
ATP+PAPBr1BTP+Q= 0:
Consider^ and
P=p11p12
p12P22
va rezulta
0 0
0 1p11p12
p12P22
+p11p12
p12P220 1
0 0

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 43
p11p12
p12P220
1
0 1p11p12
p12P22
+4 0
0 0
=0 0
0 0
sau explicit
0 0
p11P12
+0p11
0P12
p2
12p12p22
p12p22P2
22
+4 0
0 0
=0 0
0 0
:
Obt inem sistemul de ecuat ii algebrice
8
<
:p2
12+ 4 = 0
p11p12p22= 0
2p12p22= 0
=)solut ia pozitiv denit a p11= 4; p12= 2; p22= 2:Adic a putem scrie
P=4 2
2 2
:
^In concluzie, legea de reglare optimal a va  :
u=k(t;x) =R1BTPx=bTPx=
0 14 2
2 2x1
x2
=2(x1+x2):
3.4 Urm arirea  si reglarea optimal a
3.4.1 Problema urm aririi optimale
Consider am sistemul
_x=Ax+Bu (3.55)
 si not am cu xr(
) o solut ie arbitrar a, dar xat a a sistemului liber, adic a
_xr=Axr: (3.56)
Dac a solut ia arbitrar a a sistemului (3 :55) estex(
), atunci not am
(t)4=x(t)xr(t): (3.57)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 44
Vom considera criteriul
J=Z1
0[T(t)Q(t) +uT(t)Ru(t)]dt (3.58)
undeReste strict pozitiv  si Q0.
Astfel folosindu-ne de relat iile scrise anterior, vom obt ine
_xr_x=A(xrx)Bu() _(t) =A+Bu: (3.59)
Problema liniar p atratic a formulat a ^ mpreun a cu criteriul (3 :58) pentru
sistemul anterior, se nume ste problema urm aririi optimale a traiectoriei date
xr(
)de c atre sistemul (3:55).
Prin urmare, solut ia problemei de urm arire ( dac a exist a) va  de forma
u=F=F(xxr) (3.60)
undeF=R1BTPcu P solut ia ecuat iei diferent iale matriceala Riccati.
De fapt, aceast a solut ie este chiar solut ia stabilizatoare sau solut ia pozitiv
semidenit a.
Bine^ nt eles, dac a perechea ( A;B) este stabilizat a  si (pQ;A) este detectabil a,
cele dou a solut ii coincid.
Interesant este de v azut ^ n aplicat ii atunci c^ and
Q=CTC: (3.61)
Vom considera
y=Cx2Rp(3.62)
ca ie sire m asurat a a sistemului (3 :55), unde (3 :55)  si (3:62) formeaz a acum
tripletul (A;B;C ).
Denim ^ n continuare
yr(t)4=Cxr(t) (3.63)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 45
drept referint  a  si utiliz^ and relat ia (3 :57) obt inem
"(t)4=y(t)yr(t) =C(t) (3.64)
unde not am cu "(t)eroarea ie sirii fat  a de referint  a .
^In acest caz vom rescrie criteriul (3 :58) ^ mpreun a cu (3 :61)  si (3:64), astfel
J=Z1
0(k"(t)k2+uT(t)Ru(t))dt: (3.65)
Cu acest criteriu descris mai sus, problema urm aririi optimale a traiectoriei
xr(
) devine problema urm aririi optimale a referint ei yr(
).
^Ins a pentru implementarea efectiv a a solut iei acestei probleme, trebuie
explicitarea legii (3 :60) ^ n funct ie de ", m arime ce poate  m asurat a prin
comparat ia (3 :64).
Astfel, deriv^ and succesiv (3 :64) vom obt ine
"k=CAk+CAk1Bu +:::+CABu(k2)+CBu(k1): (3.66)
Presupunem ( C;A) observabil a  si e indicele de observabilitate.
Atunci aplic^ and transformata Laplace ambilor membrii ai relat iei (3 :66) cu
0k1, obt inem
2
666664Ip
sIp
s2Ip
…
s1Ip3
777775"(s) =2
666664C
CA
CA2
…
CA13
777775(s) +2
6666640
CB
CABCB
…
CA2B:::CB3
7777752
666664Im
sIm
s2Im
…
s2Im3
777775u(s)
(3.67)
sau cu notat iile conforme relat iei de mai sus, avem
(s)"(s) =Q(s) +S1(s)u(s): (3.68)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 46
^Intrucat perechea ( C;A) este observabil a, Qveste monic a  si deci obt inem
^ mpreun a cu (3 :68), relat ia
(s) =Qs
(s)"(s)Qs
S1u(s) (3.69)
care exprim a starea ^ n funct ie de eroare  si derivatele sale p^ an a la ordinul
1.
Scot ^ andu(s) din relat ia anterioar a  si folosind  si (3 :60), avem
u(s) =[Im+FQs
S1(s)]1FQs
(s)"(s)4=TR(s)"(s):(3.70)
Not am cuT(s)4=C(sIA)1B, matricea de transfer a sistemului ( A;B;C )
 si obt inem schema din gura 3 :1, care realizeaz a urm arirea lui yrcu criteriile
de eroare (3 :65).
Se atrage ^ ns a atent ia c a acest a schem a:
– nu este o schem a de reglare intruc^ at ^ n prezent a perturbat iilor, calitate
urm aririi se deterioreaz a ind posibil a aparit ia erorii stat ionare care face
f ar a obiect criteriul descris ^ n (3 :65).
– nu urm are ste dec^ at referint e precum (3 :63) ^ n carexr(
) este o solut ie liber a
a sistemului.
Aplicat ie: Consider am sistemul av^ and matricea de transfer
T(s) =1
s2:

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 47
Pentru a a
a valoarea optim a a indicelui, este necesar a determinarea ma-
tricelor A,B  si C folosind algoritmul de realizare controlabil a, respectiv ob-
servabil a.
Varianta I:
T(s) =1
s2este scalar, atunci rezult a c a num arul de linii este p= 1.
Polinomul de la numitor este a(s) =s2=s2+ 0
s+ 0
1 av^ and gradul r= 2,
 si deci coecient ii a1= 0  sia0= 0.
T(s) are dezvoltarea ^ n serie Laurent
T(s) = 0
1
s+ 1
1
s2+ 0
1
s3+ 0
1
s4+:::
deci rezult a parametrii Markov : M0= 0; M1= 1; M2= 0.
Scriem realizarea observabil a (de dimensiune rp= 2
1 = 2) astfel:
A=OpIp
a0Ipa1Ip
:
Darp= 1 =)Ip= 1, decia0= 0  sia1= 0. Atunci
A=0 1
0 0
; B=M0
M1
=0
1
; C=
Ip0
=)C=
1 0
:
Vericare:T(s) =C(sIA)1B
sIA=s1
0s
:
Determinantul matricei sIAestedet(sIA) =s2.
Inversa matricei sIA:
(sIA)1=1
s1
s2
01
s
:
Deci prin efectuarea ^ nmult irii matricelor obt inem T(s) =1
s2.
Varianta II:

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 48
Realizarea pentru T(s) =1
s2este controlabil a.
Scriems2=s2+a1s+a0, undegrad(s2) =r= 2.
^In general, pentru T(s) =bn1sn+:::+b1s+b0
sn+an1sn1+:::+a1s+a0o realizare contro-
labil a este  = ( A;B;C ).
A=2
66640 1 0 ::: ::: 0
0 0 1 ::: ::: 0
……………
a0a1a2::: :::an13
7775; B=2
6640
:::
0
13
775; C=
b0b1::: bn1
:
Rezult aT(s) =1
s2=0
s+ 1
s2+ 0
s+ 0
1=)b0= 1; b1= 0; a0= 0; a1= 0.
Deci
A=0 1
a0a1
=)A=0 1
0 0
; B=0
1
C=
1 0
:
Ecuat ia _x(t) =Ax(t) are solut ia x(t) =eAtx(0), undeeAt=I+At
1!+A2t2
2!+:::.
Calcul amA2;A3;:::.
A=0 1
0 0
=)A2=0 0
0 0
=)A3=O2
Deci
eAt=1 0
0 1
+t
1!0 1
0 0
=1t
0t
:
Ecuat ia _x(t) =Axr(t) are solut iile libere
xr(t) =eAtx0=1t
0 1x1
0
x2
0
=x1
0+tx2
0
x2
0
yr(t) =Cxr(t) =
1 0x1
0+tx2
0
x2
0
=x1
0+tx2
0;
unde
x0=x1
0
x2
0
:

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 49
Fie de asemenea, criteriul
J=Z1
0["2(t) +2u2(t)]dt:
Av^ and ^ n vedere c a ( A;B;C ) este complet iar datele sunt A;B;Q =CTC;
R=, se poate determina solut ia
P=p11p12
p12p22
rezolv^ and ecuat ia matriceal a algebric a Riccati
ATP+PAPBR1BTP+Q= 0.
Avem
0 0
1 0p11p12
p12p22
+p11p12
p12p220 1
0 0

p11p12
p12p220
1
1
0 1p11p12
p12p22
+1 0
0 0
=0 0
0 0
Obt inem sistemul
8
>>>>><
>>>>>:1
p2
12+ 1 = 0
p111
p12p22= 0
2p121
p2
22= 0
de unde
8
<
:p11=1
4p
2
p12=p
p22=p
23
4
 si deciF=R1BTP=h
1
2p
21
4i
.
De asemenea,
Qv=C
CS
=1 0
0 1
; Sv=0
CB
=0
0
; v(s) =1
s
; v1(s) = 1:

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 50
Cu datele de mai sus obt inem
TR(s) =Fv(s)"(s) = (1
2+sp
21
4)"(s)
schema corespunz atoare ind (3 :2) unde=x1
0 si=x2
0.
^In concluzie, valoarea optim a a indicelui este
Joptim
 
P

=p
21
42+ 2p+2p
23
4:
Inserare gura 3.2
3.4.2 Problema regl arii optimale
Consider am sistemul
_x1=A1x1+A3x2+B1u; x 1(0) =x10
_x2=A2x2; x 2(0) =x20;
z=D1x1+D2x2(3.71)
undex12Rn1reprezint a starea procesului, x22Rn2este starea exogen a,
u2Rmeste comanda iar z2Rqeste m arimea reglat a.
M arimile exogene sunt persistente, adic a
(A2)C+: (3.72)
Problema primar a a regl arii intern stabilite const a ^ n a determina legea de
comand a
u=F1x1+F2x2 (3.73)
a sa ^ nc^ at:
a) sistemul ^ n circuit ^ nchis s a e stabilit intern, adic a
(A1+B1F1)C; (3.74)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 51
b) lim
t!1z(t) = 0:
Atunci problema are solut ie dac a  si numai dac a
i) (A1;B1) este stabilizat a,
ii) Sistemul de ecuat ii
A1VVA2+B1W+A2= 0
D1V+D2= 0(3.75)
are o solut ie ( V;W ).
AstfelF1se determin a conform ii) ^ nc^ at (3:74) s a e ^ ndeplinit a, iar F2
se determin a cu urm atoarea relat ie
F2=WF1V: (3.76)
Introducem relat ia
x1=+Vx2: (3.77)
Atunci folosind (3 :76), vom rescrie (3 :67) astfel
u=F1+Wx 2: (3.78)
Folosim notat ia
4=F1 (3.79)
 si vom scrie (3 :78) sub forma
u=+Wx 2: (3.80)
^Inlocuind relat iile (3 :77)  si (3:80) ^ n (3:71) obt inem
_=A1+B1+ (A1VVA2+B1W+A3)x2
z=D1+ (D1V+D2)x2(3.81)

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 52
sau folosind sistemul de ecuat ii (6 :75) obt inem
_=A1+B1u
z=D1(3.82)
Consider am criteriul urm ator
J=Z1
0[kz(t)k2+k(t)k2]dt: (3.83)
Problema regl arii optimale const a ^ n determinarea legii de comand a
u=F1x1+F2x2astfel:
a) determinarea legii de comand a 4=F1ca solut ie a problemei liniar
p atratice pentru sistemul (3 :82) cu criteriul anterior enunt at;
b) determinarea lui F2prin intermediul relat iei (3 :76).
A sadar, pentru rezolvarea problemei regl arii optimale este sucient pe l^ ang a
condit iilei)  siii), s a ad aug am  si condit ia
iii) (D1;A1) este detectabil a.
Aplicatie: Consider am procesul din gura (3 :3) supus unei perturbat ii
x2de tip treapt a. Se cere s a se regleze optimal m arimea z.
Transformata Laplace a funct iei original f(t) (t=timp) se noteaz a cu F(s)
(s=frecvent a)  si F(s) =R1
0f(t)estdt.
Schema cu funct ia de transfer T(s) =1
s+ 1se deseneaz a astfel

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 53
dar de fapt se ^ nt elege c a ^ n domeniul frecvent  a este
deciX1(s) =1
s+2F(s), de unde ( s+ 2)X1(s) =F(s) sau
sX1(s) + 2X1(s) =F(s): (3.84)
Folosind teorema deriv arii originalului avem L(f0(t)) =sF(s)f(0+):
Presupunem f(0+) = 0 deci sF(s) =L(f0(t)).
Atunci (3:84) se scrieL( _x1(t)) + 2L(x1(t)) =L(f(t)) deci ^ n domeniul timp,
schema din Figura 3 :3 reprezint a ecuat ia _ x1(t) + 2×1(t) =f(t) deci
_x1(t) =2×1(t) +f(t): (3.85)
^In gura de la ^ nceput, f este sumatorul deci f(t) =x2(t) +u(t).
Astfel (3:85) devine
_x1(t) =2×1(t) +x2(t) +u(t):
Perturbat ia x2este treapt a, deci x2(t) = 1 pentru t1. Rezult a c a _ x2= 0.
^In plus, din prima schem a reiese c a z=x1.
Gasim ^  urma calculelor urm atorul sistem ^ n forma canonic a

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 54
_x1=2×1+x2+u
_x2= 0
z=x1:
Identic am astfel prin analogie cu sistemul (3 :71) urm atoarele:
A1=2; A2= 0; A3= 1; B1= 1; D 1= 1; D 2= 0:
Deci matricele sistemului sunt
A=A1A2
0A3
=2 0
0 1
; B =B1
0
=1
0
cu _x=Ax+Bu.
Cu react ie dupa stare u=Fx, sistemul devine _ x=Ax+BFx
adic a _x= (A+BF)x.
Este asimptotic stabil dac a (A+BF)C.
Partit ion am
F=
F1F2
=)BF=B1F1B1F2
0 0
=)A+BF=A1+B1F1A2+B1F2
0 A2
:
Pentru a  intern stabil (i.e lim
t!0x1(t) = 0) este necesar ca
(A1+B1F1)C.
DacAF1=aatunciA1+B1F1=2 +a.
Polinomul caracteristic det(sI(A1+B1F1)) =s(a2), deci valoarea
propus a este =a2; a2R.
CumRe =a2<0 =)a<2. Alegema=2,deciF1=2.
Criteriul p atratic este
J=Z1
0(x2
1+2)dt
asociat sistemului
_=A1+B1
z=D1=)_=2+
z=
Ecuat iile (3 :75) devin
2V+W+ 1 = 0
V= 0=)W=1
V= 0

Capitolul 3. Problema liniar p atratic a 55
 si deci dinF2=WF1Vrezult a c aF2=1:
Prin urmare, regulatorul optimal este
u=F1+Wx 2=)u=2zx2: