Sisteme de Suspensie
Cuprins
CAPITOLUL I Introducere
CAPITOLUL II Determinarea modelului matematic (MM) aferent 1/4 suspensie activă
CAPITOLUL III Determinarea MM sub forma funcției de transfer
CAPITOLUL IV Tot modelarea sistemului de suspensie activa? Vezi CapII!?.Raspunsul sistemului in bucla deschisa
CAPITOLUL V Proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru sistemul de suspensie activa.
Analiza raspunsului in bucla inchisa
CAPITOLUL VI Proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru suspensia activa utilizand locul geometric al radacinilor(root locus
CAPITOLUL VII Analiza in domeniul frecventa al sistemului, diagramele Bode
CAPITOLUL VIII Proiectarea unui controler optimal LQR
CAPITOLUL IX Control robust fuzzy al ¼ suspensie activa
CAPITOLUL X Proiectarea unui controler optimal liniar Hinfinit, metoda1
CAPITOLUL XI Proiectarea unui controler optimal Hinfinit, metoda 2
CAPITOLUL XII. Proiectarea unui controler optimal Hinfinit prin sinteza MU, metoda 3
CAPITOLUL XIII Concluzii
CAPITOLUL I
INTRODUCERE
Odată cu creșterea vitezelor de deplasare, echiparea automobilelor cu sisteme de
suspensie din ce în ce mai evoluate, capabile să realizeze o “barieră” de vibrații și zgomote
între sistemul de rulare și caroserie, a devenit o necesitate, cu atât mai mult cu cât viteza de
deplasare pe drumuri denivelate nu este limitată de performanțele sistemului de propulsie, ci
de calitatea suspensiei. Una dintre cele mai importante realizări în acest domeniu a fost
introducerea între roată și caroserie a unui mecanism cu bare articulate, mecanism de
ghidare, care determină poziția roții față de caroseria automobilului și, totodată, preia forțele
care apar la contactul roată–sol, asigurând înclinarea necesară caroseriei în curbă și
urmărirea suprafeței căii de rulare de către roți. Aceste mecanisme împreună cu partea elastică
și cea de amortizare formează sistemul de suspensie al automobilului.
Pentru un sistem de suspensie dat, comportamentul dinamic poate fi modificat prin
modificarea caracteristicilor arcurilor și amortizoarelor, precum și prin modificarea
proprietăților flexiblocurilor din articulații. Sistemele de suspensie pasiva au limitări inerente,
ca o consecință a alegerii caracteristicilor elastice și de amortizare în vederea asigurării unui
comportament acceptabil pe întreaga gamă de frecvențe de lucru. După cum este cunoscut din
teoria sistemelor liniare, un sistem masă-arc-amortizor cu grad mare de amortizare are un
comportament acceptabil în apropierea frecvenței de rezonanță, dar necorespunzător departe
de aceasta, în timp ce un sistem cu amortizare joasă se comportă invers. Necesitatea obținerii
unui compromis între aceste cerințe contradictorii justifică cercetarea sistemelor inteligente de
suspensie, în cazul cărora caracteristicile elastice și de amortizare pot fi controlate în buclă
închisă, utilizând surse de putere externă și actuatori controlați în feedback.
În cazul suspensiilor pasive, caracteristicile sistemului rămân constante, iar răspunsul
este dependent doar de mărimile fizice care afectează răspunsul în mod direct. În plus,
răspunsul sistemului de suspensie inteligentă depinde și de mărimile fizice care nu afectează
comportamentul în mod direct. Un exemplu de mărime (fizică) ce afectează direct răspunsul
sistemului de suspensie este viteza de comprimare/destindere a amortizorului, în timp ce
viteza mișcării de ruliu a caroseriei poate fi considerată ca exemplu de mărime care nu
afectează direct funcția suspensiei automobilului. Inteligența unui sistem de suspensie este
caracterizată de existența unui controler care preia date din dinamica automobilului și
transmite semnale către sistemul de suspensie în sensul îmbunătățirii comportamentului
(control în feedback, care lipsește în cazul suspensiilor pasive).
Conform celor precizate, sistemele de suspensie ale automobilelor pot fi clasificate în
trei categorii:
-sisteme pasive -sunt realizate din elemente elastice și disipative (amortizoare),
comportarea dinamică (regim tranzitoriu și regim staționar) a acestui sistem fiind dată de
caracteristicile elementelor menționate (se precizează faptul că acest comportament nu
poate fi modificat în timpul funcționării);
-sisteme semiactive-conțin elemente comandate, prin modificarea on-line a caracteristicii
de amortizare modificându-se comportamentul dinamic al suspensiei, ceea ce permite o
mai bună funcționare a acesteia; este important de menționat faptul că strategia de sinteză
dinamică semiactivă nu introduce forțe exterioare în sistem;
-sisteme active-au în componență elemente elastice și de amortizare, alături de care apar
și sisteme de acționare (motoare hidraulice, pneumatice etc.), modificarea comportamentului dinamic al sistemului realizându-se prin forța exterioară introdusă de sistemul de acționare.
Cerințele tot mai mari în dinamica construirii mașinilor, siguranța in timpul deplasării și confortul in timpul rulării sunt provocări cu care industria auto trebuie să se confrunte atunci când proiecteaza produse noi.În plus, aspectul prietenos și eficiență energiei au devenit factori importanti pe care clienții ii iau in considerare atunci când cumpără o mașină nouă. Pentru a satisface aceste cereri, dezvoltarea eficientă a asistenței șoferului si economisirii de energie are nevoie de dinamica sistemelor de control. În 1999 Lotus a prezentat lumii un sistem de suspensie controlat activ numit Corpul de Control activ ( ABC ), care a fost folosit cu succes în mai multe modele Mercedes-Benz CL-, SL- și modelele S –Class dar acum un sistem nou, îmbunătățit este în curs de dezvoltare. În această teză, noul sistem de acționare a suspensiei este modelat și diverse controlere optime sunt testate. Sistemele de suspensie pasive constau din diferite tipuri de arcuri sau amortizoare de șoc și ele pot izola destul de bine vehiculul de lovituri și vibrații. Cu toate acestea, atunci când optimizam un sistem de suspensie pasiv, din punct de vedere fizic limitele posibile vor fi atinse și prin urmare, suspensia pasiva va fi întotdeauna un compromis între confort, manipulare și stabilitatea plimbarii. În suspensia activă sistemele de servomotoare controlate electronic sunt folosite pentru a oferi semnicativ mai multa eficiență performanței. În funcție de modul în care este construit sistemul și controlat activ sistemul poate folosi o cantitate semnificativa de energie. Avantajul metodelor de control sofisticate, cum ar fi controlul optim, este că consumul de energie poate fi luat în considerare în proiectarea de control și sancționat. Principiul de bază al controlului optimal este de a opera un sistem dinamic la costuri minime. Funcția de cost este de multe ori definita ca o sumă ponderată a abaterilor de măsuratori cheie de la valorile dorite cu posibilitățile lor suplimentare de a se concentra pe frecvențe interesante. Această teză se va concentra pe așa numita metoda Hinfinit ,metodă care poate fi utilizată pentru a analiza performanța in cel mai rău caz al sistemului.
Scopul principal al tezei este de a găsi o structură adecvată de controler optimal pentru
noul sistem de suspensie. Controlul trebuie sa fie făcut într-un mod de energie eficienta, fără a pierde confortul plimbarii. Pentru a atinge acest scop final, mai multe sub obiective pot fi definite:
*definirea ecuațiilor sistemului neliniar care descriu comportamentul sistemului.
*crearea unui model linearizat al sistemului de suspensie și compararea performanțelor sale cu modelul neliniar.
*combinând modelul sistemului de suspensie pentru un așa numit model de sfert de mașina pentru a crea un model de sistem complet.
*aplicarea metodelor optimale Hinfinit în bucle de control diferite și compararea
performanțele lor.
Crearea modelului liniarizat al sistemului este o parte importantă a proiectului. Ecuațiile neliniare originale conțin o serie de parametri care sunt prea complecsi pentru a fi utilizati cu modelul liniarizat și aproximările sale simple trebuie să fie evaluate.
CAPITOLUL II
Determinarea modelului matematic (MM) aferent 1/4 suspensie activă
Reprezentarea grafică a sistemelor. Pentru caracterizarea intuitivă dar și de detaliu a struc-turii unui sistem fizic sau sistem dinamic se utilizează reprezentările prin scheme bloc.
Cele doua tipuri de scheme bloc de bază sunt:
Schemele bloc funcționale. Aceste scheme redau prin reprezentări specifice diferitelor domenii ale tehnicii – structura funcțională – și parțial – și structura constructivă a sistemului; pe baza acestor scheme, se pot deduce principiile funcționale ale sistemului și uneori se pot construi chiar și modele matematice aferente sistemelor fizice.
Schemele bloc informaționale. Aceste scheme redau – prin reprezentări specifice domeniului automaticii – structura informațională a sistemului; aceste scheme au utilitate deosebită în analiza și dezvoltarea sistemelor cu conducere automata.
Schemele bloc informaționale ale unui sistem fizic se întocmesc pe baza ecuațiilor primare care caracterizează fenomenele din sistem; ele trebuie să evidențieze:
– mărimile sistemului fizic care sunt accesibile masurărilor și după care se poate asigura conducerea;
– mărimile prelucrate în cadrul dispozitivului de conducere.
Posibilități de determinare a modelelor matematice asociate proceselor (sistemelor fizice). Prezentările care urmeaza se referă în cea mai mare parte la partea continuală a procesului con-dus. Dependent de proprietățile instalației tehnologice, mărimile continuale ale procesului pot fi influențate în mod diferit, inclusiv cu acțiuni de tip bipozițional sau tripozițional.
Complexitatea modelului matematic prin care se caracterizează comportarea proceselor va fi – de regulă – în concordanță cu scopul pentru care se determină modelul matematic. Trebuie evidențiat faptul că, în scrierea modelului matematic trebuiesc acceptate o serie de ipoteze simplificatoare (chiar și în cazul unor procese conduse simple).
Modelul matematic aferent unui sistem fizic (proces condus) se consideră corespunzător din punct de vedere al scopului propus dacă modelul matematic determinat satisface mai multe cerințe:
– modelul matematic conține un număr limitat de parametrii și valorile numerice aferente acestor parametrii se pot determina pe cale analitică sau experimentală (parametrizare);
– modelul matematic este suficient de general (generalitate), în sensul că modelul matematic să caracterizeze toate sistemele fizice din aceeași categorie (în aceleași ipoteze simplificatoare);
– modelul matematic să poata fi adus (structural) la una din formele de bază de model matematic intrare-ieșire sau model matematic intrare-stare-ieșire.
Pentru ca modelul matematic aferent unui sistem fizic (proces condus) să fie tehnic utilizabil la dezvoltarea unui sistem cu conducere automată, el trebuie să satisfacă și următoarele două cerințe suplimentare:
– modelul matematic să redea proprietățile esențiale ale procesului condus, proprietăți necesare în dezvoltarea structurii sistemului cu conducere automată, în acord cu obiectivele definite;
– să fie cât mai simplu; pentru modele matematice relativ simple au fost definite modele tipizate numite modele tip benchmark; pentru astfel de modele au fost dezvoltate metode de proiectare a dispozitivelor de conducere, bine precizate. Observație: Primul aspect se conectează la ideea că un același proces condus va putea fi caracterizat, de exemplu:
– în faza de proiectare a regulatoarelor, prin modele matematice simplificate;
– în faza de verificare a funcționării sistemului cu conducere automată, prin intermediul “celor mai detaliate modele matematice disponibile”.
Există o varietate foarte mare de metode de identificare experimentală și de estimare a parametrilor.
Luând ctem cu conducere automată, el trebuie să satisfacă și următoarele două cerințe suplimentare:
– modelul matematic să redea proprietățile esențiale ale procesului condus, proprietăți necesare în dezvoltarea structurii sistemului cu conducere automată, în acord cu obiectivele definite;
– să fie cât mai simplu; pentru modele matematice relativ simple au fost definite modele tipizate numite modele tip benchmark; pentru astfel de modele au fost dezvoltate metode de proiectare a dispozitivelor de conducere, bine precizate. Observație: Primul aspect se conectează la ideea că un același proces condus va putea fi caracterizat, de exemplu:
– în faza de proiectare a regulatoarelor, prin modele matematice simplificate;
– în faza de verificare a funcționării sistemului cu conducere automată, prin intermediul “celor mai detaliate modele matematice disponibile”.
Există o varietate foarte mare de metode de identificare experimentală și de estimare a parametrilor.
Luând ca bază diferite puncte de vedere si modelele matematice utilizate în caracterizarea unui sistem fizic / proces condus pot fi diferite și pot fi încadrate în diferite categorii (clase de modele matematice).
Astfel, se disting:
(1) – modele matematice parametrice (reprezentări sub forme analitice în domeniul timp sau în operațional ) și – modele matematice neparametrice (reprezentări sub forma unor caracteristici grafice);
(2) – modele matematice cu timp continuu și – modele matematice cu timp discret;
(3) – modele matematice cu structură constantă / parametri constanți în timp și – modele matematice cu structură variabilă sau / și parametri variabili în timp ș.a.
(4) -dependent de numărul intrărilor și ieșirilor sistemelor fizice, modelele matematice se vor categorisite în: – modele matematice monovariabile, care caracterizeză sisteme cu o intrare și o ieșire (SISO – Single Input-Single Output) sau numai unul din canalele de transfer ale sistemului ui → yj ; – modele matematice multivariabile (MIMO – Multi Input-Multi Output), care caracterizează “complet / global” sistemul.
Scrierea acestor modele matematice și apoi tratarea sistemică a sistemelor dinamice multiva-riabile este mai dificilă decât cea a sistemelor monovariabile.
În principiu, modelul matematic asociat unui sistem fizic poate fi determinat pe mai multe căi. Pe cale analitică (construcția modelului), bazat pe “cunoștințe a priori” despre sistemul fizic; ea poartă și denumirea de identificare analitică.
Determinarea pe cale analitică a modelului matematic bazat pe legile fizico chimice ce carac-terizează fenomenele din procesele tehnice constituie de regulă apanajul tehnologului de proces, în colaborare cu inginerul automatist.
Pe cale experimentală (experimental-analitică), bazat pe “informații ulterioare” despre sistemul fizic; ea poartă și denumirea de identificare experimentală.
Unele aspecte legate de determinarea pe cale analitică a modelelor matematice vor fi detaliate si în continuare. Determinarea pe cale analitică a modelului matematic asociat unui sistem fizic (identificarea analitică). Determinarea pe cale analitică a modelului matematic este calea a-priori de stabilire a unui model matematic aferent procesului condus și presupune parcurgerea mai multor etape:
definirea procesului condus d.p.d.v. al conducerii (intrări, ieșiri, stări) și al relatiilor sale cu mediul înconjurător;
întocmirea schemei bloc informaționale aferente procesului condus;
stabilirea ipotezelor simplificatoare care pot fi adoptate la scrierea ecuatiilor primare;
scrierea ecuațiilor de bilanț de materie (masa, energie) aferente procesului condus, caracterizarea interconexiunilor din proces, întocmirea schemei bloc informaționale aferente; ca rezultat se obține modelul matematic primar al procesului condus sub forma unor ecuații diferențiale; utilizarea nemijlocită a acestora se dovedește adeseori greoaie;
precizarea ipotezelor simplificatoare în care modelul matematic primar poate fi adus la forme mai simple, prin: liniarizarea ecuațiilor neliniare (liniarizabile) sau uneori omi-terea unor neliniarități neesențiale; concentrarea parametrilor specifici s.a.;
“reducerea ordinului” modelului matematic liniarizat prin renunțarea la evidențierea efectelor datorate unor constante de timp foarte mici (in raport cu constantele de timp dominante ale procesului condus).
reordonarea ecuațiilor în vederea stabilirii formei finale a modelului matematic (model matematic intrare-ieșire, model matematic intrare-stare-ieșire); adeseori se dovedește utilă si întocmirea unei noi scheme bloc informaționale aferente. Modelul matematic obținut poate servi ca bază pentru:
determinarea valorilor parametrilor sistemului fizic pe cale analitică sau experimental-analitică;
fundamentarea unori proceduri de identificare experimentala a procesului condus.
verificarea corectitudinii modelului matematic și validarea acestuia. Aceasta operație trebuie derulată în acord cu scopul pentru care a fost creat modelul matematic. Procedeul de validare depinde de informațiile disponibile relative la procesul condus real. Din punct de vedere al utilizării nemijlocite în conducerea automată sunt importante în primul rând modele matematice parametrice. Totuși, ideea nu trebuie absolutizată, studiul sistemelor în domeniul pulsație are la baza modele neparametrice si este de actualitate (de exemplu, modelele din domeniul pulsatie pot fi utilizate eficient in proiectarea dispozitivelor de conducere, in studiile de analiza a stabilității sistemelor cu conducere automată, in studiile de sensibilitate si de robustețe a sistemelor cu conducere automata s.a.).
Modelele matematice parametrice sunt caracterizate: printr-o structură matematică” (dependența funcțională) specifică, sub forma unor modele matematice intrare-ieșire sau sub forma modelelor matematice intrare-stare-ieșire; – prin parametrii (coeficienți) care caracterizează structura. Determinarea pe cale experimentală a valorilor parametrilor care descriu modelul matematic (cu structura presupusă cunoscută) aferent procesului condus este o activitate specifică, susținută de către inginerul automatist în colaborare cu tehnologul de proces.
Estimarea parametrilor aferent unui proces condus este o activitate specifică orientată fie spre determinarea unor modele matematice cu timp discret, fie la o structura data a modelului matematic la determinarea valorilor parametrilor modelului matematic; estimarea parametrilor se bazeaza pe (1) diferite tehnici de măsurare (in faza primara) și (2) tehnici de prelucrare informațională a informațiilor (soft-computing). Observatie.
În automatică tehnicile de estimare a parametrilor se bazează pe prelucrarea numerică a informațiilor prelevate din sistem sub forma eșantioanelor (secvențelor de eșantioane ale) mărimilor de intrare sau de ieșire, fapt pentru care metodele de estimare a parametrilor sunt bazate eminamente pe modele matematice cu timp discret de forma: n m v a y k v b u k 0 0 ( ) ( ) N k cu, m ≤ n sau forme particulare ale acesteia, care au denumiri specifice.
Cum modelul matematic este un model matematic liniar, atașarea neliniarităților specifice procesului condus poate fi o problemă delicată.
Procedurile de estimare a prametrilor sunt tratate în lucrări de specialitate numai cu titlu informativ. Estimarea parametrilor este una din problemele fundamentale care trebuie soluționată și în cazul diagnostizării și localizării în timp util a defectelor posibile dintr-un sistem cu conducere automată (proces condus); pe această bază trebuie apoi dezvoltate strategiile care să asigurare funcționarea sigură a sistemului cu conducere automată.
Dacă soluțiile de conducere clasice au la bază doar monitorizarea evoluției unor mărimi carac-teristice ale procesului condus și generarea unor semnale de avertizare (luminoasă, acustica) respectiv de intervenție în vederea salvării funcționării procesului condus, soluțiile moderne presupun realizarea unor structuri informaționale de prelucrare a informațiilor măsurate relative la procesul condus (bazate pe tehnicile soft-computing) care să asigure detectarea timpurie a posibilităților și a tendințelor de defectare a procesului condus.
Tehnicile de detectare a erorilor pot fi aplicate însă și la reconstrucția cauzelor care au condus la defectarea procesului condus (backward-diagnosis). Există numeroase metode de estimare a parametrilor modelului matematic cu timp discret, din cadrul cărora se amintesc următoarele:
Metoda celor mai mici pătrate (metoda CMMP):
– metode recursive;
– metode CMMP ponderate.
Metoda aproximării stochastice;
Metoda celor mai mici pătrate generalizată (metoda CMMP generalizată);
– varianta nerecurentă (nerecursivă) a metodei CMMP generalizată;
– varianta recurentă a metodei CMMP generalizată.
Metoda variabilei instrumentale, în variante nerecurentă și în variante recurentă;
Metoda verosimilității maxime (Maximum-Likelihood-Methods, MLM);
Metode Bayes;
Metode combinate si alte metode.
Ele se pot gasi dezvoltate în detaliu în cadrul unor capitolelor dedicate ale teoriei sistemelor si al prelucrarii semnalelor, constructia modelelor matematice aferente, identificarea și estimarea parametrilor proceselor (automatizate), diagnostizarea defectiunilor s.a.
Determinarea pe cale experimentală a modelului matematic aferent procesului condus (identificarea experimentală). Identificarea experimentală reprezintă o etapă de cunoaștere a-posteriori a modelului matematic aferent procesului condus; modelul matematic va fi determinat prin identificare experimentală pe următoarele baze:
Informațiile primare furnizate de o identificare analitica efectuată a-priori;
Rezultate strict experimentale; în acest caz cunoștințele primare despre procesul condus pot fi minimale, modelul matematic poartă denumirea de model matematic black-box sau grey-box.
Într-o aplicație de identificare experimentală, metoda de identificare va fi adoptată dependent de cunoștințele primare despre proces, de aparatura la dispoziție, de metodele de prelucrare a informației disponibile (algoritmii de prelucrare a informației primare si algoritmii de determinare a modelului matematic) și de experiența de identificare.
Etapa I. Prelucrarea informațiilor primare despre proces, echipamente de identificare experimentală disponibile s.a. și pe această bază, alegerea metodei de identificare experimentală, a metodelor de prelucrare analitică și a echipamentelor de identificare experimentală.
Organizarea experimentelor legate de identificarea experimentală. Etapa a II-a. Generarea semnalului de probă:
generator de semnal de test uT(t);
efectuarea măsurărilor de regim dinamic;
înregistrarea simultană a mărimilor u(t) și y(t), eventual și a altor mărimi;
tratarea înregistrărilor (filtrarea de zgomote de masura suprapuse peste semnalul util, extragerea componentelor continue, extragerea “trendurilor variabile” din semnalul masurat ș.a.).
Etapa a III-a. Prelucrarea rezultatelor primare bazat pe cunoștințele primare relative la structura modelului matematic; de exemplu: – la o structură acceptată a modelului matematic, se prelucrează înregistrările pentru determinarea valorilor parametrilor modelului matematic; – daca se dispune de un model matematic neparametric, urmeaza ca prin prelucrarea modelului matematic neparametric să se determine un model matematic parametric și mai departe se determină valorile parametrilor; – în cazul în care se identifică direct un model matematic intrare-ieșire cu timp discret, se estimează nemijocit valorile parametrilor acestuia.
Etapa a IV-a. Verificarea corectitudinii modelului matematic obținut și validarea acestuia în concordanță cu scopul pentru care a fost determinat modelul matematic. Referitoare la practica identificării experimentale a procesului condus sunt utile și următoarele precizări:
Identificarea experimentală a unui proces condus poate fi efectuată:
– cu funcționarea procesului condus în circuit deschis, în afara buclei de reglare;
– cu funcționarea procesului condus conectat în buclă de reglare; în acest caz însă, determinarea modelului matematic aferent procesului condus este mai dificila si poate fi supusă unor restricții.
Modelele matematice primare obținute prin identificarea experimentală sunt adesori modele matematice neparametrice și au următoarele particularități:
– Valabiliatea modelelor matematice determinate experimental este limitată, legată de punctul de funcționare în care s-a făcut identificarea experimentală;
– Modelele matematice neparametrice sunt modele care caracterizează global procesul condus în relația u → y, fără evidențierea structurii interne a procesului condus; ca efect, modelele matematice parametrice asociate vor avea parametrii care pot să nu caracterizeze parametrii interni ai procesului condus;
– Modelele matematice parametrice care se construiesc sunt relativ simple; și ele au adeseori structura construită orientat spre a fi ușor utilizabile în scopul propus.
Identificarea experimentală presupune adeseori prelucrarea primară a semnalului preluat din proces; aceasta presupune alegerea adecvată a perioadei de eșantionare si prefiltrarea semnalelor masurate (inclusiv extragerea unor componente continue legate de punctul de funcționare al PC ș.a.).
Modelul matematic obținut prin identificarea experimentală poate fi cu timp continuu sau cu timp discret, dependent de tehnologia de identificare și în acord cu scopul pentru care s-a determinat modelul matematic. Conversia modelelor matematice continuale în metode matematice cu timp discret și invers are la bază tehnici și relații bine precizate, valabile în anumite condiții specifice.
Modelul matematic determinat se validează în acord cu scopul propus prin verificarea concordanței dintre evoluția modelului matematic si evoluția procesului condus real la un acelasi tip de semnal de testare.
În acest scop se poate utiliza următoarele tehnici:
– simularea pe calculator (analogic sau numeric) a comportamentului modelului matematic;
– realizarea unor modele la scară redusă ale procesului condus pe baza modelului matematic determinat și studiul comportamentului acestora ș.a.
Detalierile de identificare și de modelare trebuie puse întodeauna în acord cu scopul pentru care se construiește modelul matematic. Acesta scop poate fi:
– într-o primă etapă, pur informativ, pentru o mai bună cunoaștere a procesului condus și (eventual) îmbunătățirea calității conducerii;
– proiectarea structurilor și a algoritmilor de conducere a procesului condus; rezultatul proiectării și, în consecință, performanțele sistemului cu conducere automată vor depinde de corectitudinea modelului matematic al procesului condus;
– simularea comportării și verificarea unor soluții de reglare s.a.m.d.. Adeseori, în caracterizarea diferitelor clase de procese se apelează modele matematice simplificate care, în relația intrare ieșire pot aproxima suficient de bine comportarea procesului.
După cum s-a menționat, astfel de modele tipizate – utilizate și în proiectarea soluțiilor de conducere (dar uneori și în validarea soluțiilor de conducere) – poartă denumirea de model matematic de tip benchmark.
Un “proces” (proces condus) reprezintă un ansamblu de fenomene de transfer și de transformare de materie și energie ce au loc într-un sistem, orientat spre obținerea unui „produs” de calitate corespunzătoare (în sens general, indiferent de domeniu tehnic sau netehnic, de exemplu: energetică, chimie, mecanică, biosisteme ș.a.).
În vederea caracterizării procesului condus prin modelele matematice acestor transformări li se asociază un conținut informațional.
Procesele legate de modificările și transformările în timp ale masei determină modificări în starea energetică a sistemului. Astfel, în structura sistemelor fizico-chimice (procese) apar modificări care, dependent de natura lor, pot fi descrise de diferite tipuri de ecuații diferențiale.
În caracterizarea acestor modificări unele tipuri de fenomene sunt mai importante (esențiale) altele sunt mai puțin esențiale; drept urmare pot fi distinse “canale de transfer esențiale” și “canale de transfer colaterale” (sau neesențiale).
CAPITOLUL III
Determinarea MM sub forma funcției de transfer
Funcția de transfer a unui sistem dat prin modelul matematic intrare-ieșire:
a) În cazul particular al sistemelor monovariabile liniare, aflate în condiții inițiale nule, forma canonică a unui model matematic intrare-ieșire este dată de ecuația :
(3.1)
cu observația că m≤n, din condiția de cauzalitate.
Pe baza acestei ecuații se obține dependența operațională dintre intrarea și ieșirea sistemului liniar cu timp continuu, în condiții initiale nule, prin aplicarea transformatei Laplace:
(3.2)
adică, (3.3)
Se introduce noțiunea de funcție de transfer aferentă unui sistem, ca fiind raportul în operațional dintre mărimea de ieșire și cea de intrare a sistemului, în condiții inițiale nule:
(3,4)
, raport de doua polinoame, cu m≤n, din condiția de cauzalitate și
(3.5)
b) Dacă sistemul este multivariabil, se definește matricea de transfer H(s) ca fiind
(3.6)
unde U(s) și Y(s) sunt transformatele Laplace (imaginile în operațional) ale vectorilor u(t) și y(t). Considerând că sistemul are r intrări și q ieșiri, U(s) este un vector de dimensiune (r,1), Y(s) un vector de dimensiune (q,1), iar H(s) o matrice de transfer cu dimensiunea (q,r). Elementele matricii de transfer, H(j,i) se numesc funcții de transfer.
(3.7)
în care,
(3.8)
-deci intre fiecare ieșire Yj (j=1,…,q) și intrare Ui (i=1,…,r) a sistemului se scrie cate o funcție de transfer. În total, sistemul va admite qxr astfel de funcții.
În cazul particular al sistemelor SISO, matricea de transfer se reduce la un singur element, care este funcția de transfer a sistemului, definitǎ anterior.
Matricea de transfer a unui sistem MIMO , dat prin model matematic intrare-stare-ieșire:
(3.9)
matricea de transfer se calculează astfel:
(3.10)
În cazul particular al sistemelor SISO cu o intrare și o ieșire, funcția de transfer este:
(3.11)
Observație: Funcția de transfer și modelul matematic intrare-ieșire sunt unice pentru un sistem dat, în schimb există mai multe modele matematice intrare-stare-ieșire care pot fi atașate sistemului, datorită posibilităților multiple de alegere a variabilelor de stare.
Realizarea sistemică a funcției de transfer (trecerea de la funcția de transfer la MM-ISI).Asocierea unui MM-ISI unui sistem caracterizat prin funcție de transfer se numește realizare sistemică a funcției de transfer.
Realizările sistemice permit:
evidențierea unor proprietăți ale sistemului;
simularea pe calculator numeric a comportării sistemului;
dezvoltarea unor structuri de reglare sau a unui algoritm de reglare;
calculul unor indicatori de calitate.
Se pleacă de la funcția de transfer în forma generală, cu m=n:
(3.12)
Rezultă:
(3.13)
Se introduc variabilele de stare:
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Dupa înlocuiri repetate și revenire în domeniul timp, se obține:
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
Ceea ce corespunde tocmai MM-ISI. Matricial, relațiile se scriu:
(3.21)
(3.22)
La scrierea acestor relații s-a ținut cont de teorema derivatei în operațional
, (3.23)
respectiv
(3.24)
exemple:
Să se determine realizarea sistemică aferentă sistemului de ordinul
(3.25)
Ω=y- IE (3.26)
ua=u- IN (3.27)
f.d.t : (3.28)
n = grad A(s) =2
Forma generală a MM-ISI
(3.29)
Sistemul fiind de ordinul 2,va admite două mărimi de stare si matricial se scrie:
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
deci MM-ISI se scrie:
(3.34)
Să se asocieze o realiză sistemică sistemului caracterizat prin f.d.t.:
(3.35)
deci n=3
Matricile realizării sistemice vor fi:
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
MM-ISI:
(3.40)
Modelarea matematică a sistemelor cu interconexiuni în domeniul operațional. În majori-tatea cazurilor, sistemele existente în natură sunt la rândul lor compuse din subsisteme, inter-conectate între ele in diverse moduri. Pentru a putea trata sistemul ca întreg este necesară cu-noașterea comportării atât a subsistemelor cât și a sistemelor rezultate în urma interconectării. Din acest motiv este important studiul interconexiunilor între subsisteme pentru a ajunge ca în final să se obțină modelul matematic al sistemului ca întreg.
Problema determinării modelului matematic al unui sistem complex, având în componență subsisteme interconectate între ele se poate rezolva dacă se cunosc modelele matematice ale subsistemelor componente și modul de conectare a acestora (structura siste-mului). Prin conectarea mai multor subsisteme, se obține un sistem echivalent care:
prezintă aceleași mărimi de intrare;
prezintă aceleași mărimi de ieșire;
are aceleași proprietăți cu sistemul inițial.
Observație: Pentru obținerea modelului matematic al sistemului este obligatoriu să se lucreze cu același tip de modele ale subsistemelor componente (fie MM-II, MM-ISI sau funcție de transfer). Vom folosi variabila unificată λ deoarece relațiile ce urmează a fi prezentate sunt valabile atât la sisteme cu timp continuu cât și la sisteme cu timp discret, cu precizarea:
(3.41)
CAPITOLUL IV
Modelarea sistemului de suspensie activa.Raspunsul sistemului in bucla deschisa
Modelarea suspensiei active a unui automobile este o problema de reglare interesanta.Cand sistemul de supensie este realizat ,modelul ¼ (o roata din 4 )este utilizat pentru a simplifica problema.O reprezentare simplificata este data in figura de mai jos:
In continuare este realizata analiza raspunsului in bucla deschisa a sistemului in reprezentare de stare,in figura 1.
%date,ipoteze de lucru
%constanta de elasticitate arc suspensie
K1=80000 N/m;
%constanta de elasticitate pneu
K2=500000 N/m;
%constanta de frecare vascoasa amortizor
D1=350; N.s/m
%constanta de frecare vascoasa pneu
D2=15020;N.s/m
%masa ¼ Bus
M=2500 kg;
%masa rotii si subsistemului de suspensie
M=320 kg;
A=[0 1 0 0
-(D1*D2)/(M*m) 0 ((D1/M)*((D1/M)+(D1/m)+(D2/m)))-(k1/M) -(D1/M)
D2/m 0 -((D1/M)+(D1/m)+(D2/m)) 1
k2/m 0 -((k1/M)+(k1/m)+(k2/m)) 0];
B=[0 0
1/M (D1*D2)/(M*m)
0 -(D2/m)
(1/M)+(1/m) -(k2/m)];
C=[0 0 1 0];
D=[0 0];
figure(1);
step(A,0.1*B,C,D,2)
title('Raspunsul sistemului in reprezentare de stare la o denivelare de 10 cm a drumului');
Fig.1 Raspunsul in bucla deschisa.
Din reprezentarea raspunsului in bucla deschisa pentru o forta treapta unitara emisa de motor sistemul este subamortizat,astfel pasagerii autobuzului vor simti o oscilatie foarte mica,eroare de regim stationar fiind mica.Autobuzul are un timp tranzitoriu mare pana la atingerea starii stationare,problema putand fi rezolvata prin introducerea unui controler si a unei reactii negative.Din raspunsul sistemului in reprezentare functie de transfer este prezentat cazul in care sistemul raspunde la o intrare treapta unitara a fortei exercitate de componenta activa a suspensiei si astfel se poate observa ca pasagerii autobuzului vor simti o mica oscilatie,intrucat valoarea erorii de regim stationar este aproximativ 1.25e-4m (0.12mm).Timpul tranzitoriu are o durata mare 15.7 si astfel se impune utilizarea unui controler si a unei reactii.
num1=[M+m D2 k2];
den1=[M*m M*(D1+D2)+D1*m D1*D2+M*(k1+k2)+m*k1 D1*k2+k1*D2 k1*k2];
Hs1=tf(num1,den1);
num2=[-M*D2 -M*k2 0 0];
den2=[M*m M*(D1+D2)+D1*m D1*D2+M*(k1+k2)+m*k1 D1*k2+k1*D2 k1*k2];
Hs1=tf(num2,den2);
figure(2);
step(num1,den1);
title('Raspunsul in bucla deschisa la aplicarea unei forte Fu treapta unitara si h=0');
xlabel('timp');
ylabel('deplasare [m]');
disp('In acest caz cand sistemul raspunde la o intrare treapta unitara a fortei exercitate de componenta activa a suspensiei')'
disp('se poate observa ca pasagerii autobuzului vor simti o mica oscilatie,intrucat valoarea erorii de regim stationar este aproximativ 1.25e-4 m(0.12mm)');
Fig.2 Raspunsul in bucla deschisa.
In acest al doilea caz cand autovehiculul trece peste o denivelare de 0.15m a drumului din raspuns se poate observa ca regimul tranzitoriu este foarte mare 15s pasagerii resimtind perturbatia un timp indelungat si cu o amplificare mai mare decat la impactul initial,fapt ce se poate observa din suprareglajul ridicat datorita impactului initial.
CAPITOLaUL V
Proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru sistemul de suspensie activa.Analiza raspunsului in bucla inchisa.
In ceea ce priveste proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru sistemul de suspensie activa auto s-au impus niste cerinte de proiectare care vor determina acordarea parametrilor controlerelor.Pornind de la functiile de transfer determinate anterior, ne propunem sa determinam functia de transfer a perturbatiei care ne va fi utila la calculul functiei de transfer in bucla inchisa in contextul utilizarii unui controler. Astfel avem,
(5.1)
(5.2)
Cum,
(5.3)
Pentru determinarea functiei de transfer a sistemului in circuit inchis se considera referinta r=0,eroare Ɛ=-(x1-x2),iar functia de transfer se considera de la h la y=x1-x2.Astfel pentru controlerul PI avem,
(5.4)
din structura se poate scrie:
(5.5)
(5.6)
Efectuand calculele necesare obtinem functia de transfer a sistemului in circuit inchis pentru un controler PI data de:
(5.7)
unde denp este in final :
(5.8)
Parametrii controlerului PI pentru suspensia activa sunt kp=83210 si ki=624 iar raspunsul sistemului este prezentat in figura 1,
Fig.1 Raspunsul sistemului in bucla inchisa cu controler PI
Pornind de la cele doua functii de transfer ale sistemului in raport cu forta activa si in raport cu perturbatia si tinand cont de functia de transfer a controlerului PD,se determina functia de transfer in circuit inchis,pentru parametrii Kp=83210 si Kd=2080.
(5.9)
și ținând cont de condiția de cauzalitate
(5.10)
și pentru
(5.11)
elementul derivator real fiind :
(5.12)
Astfel functia de transfer in circuit inchis utilizata si la simulare este,
(5.13)
unde denp este in final :
(5.14)
Raspunsul sistemului in circuit inchis utilizand un controler PD este prezentat in figura 2.
Fig. 2 Răspunsul sistemului in bucla inchisă cu controler PD
In figura 2 se observa o imbunatatire a raspunsului sistemului care se incadreaza in limitele impuse pentru proiectare si pentru suprareglaj (3.5%) si pentru timpul tranzitoriu (2.7s).In continuare se prezinta raspunsul sistemului la o intrare treapta utilizand un controler PID.se fac aprecieri ale raspunsului tinand cont de varierea parametrilor specifici ai controlerului si se prezinta functia de transfer in bucla inchisa,a sistemului cu controler PID care a fost utilizata si la simularea raspunsului.
(5.15)
unde denp este in final:
(5.16)
Raspunsul sistemului in circuit inchis cu controler PID este,
Fig.3 Răspunsul sistemului in bucla inchisă cu controler PID
Se observa ca performantele in bucla inchisa pentru controlerul PID s-au imbunatati fata de controlerele PD SI PI.Putem trage niste concluzii generale in ceea ce priveste proiectarea controlerelor pentru sistemul propus,concluzii care sunt bazate pe verificarea si modificarea parametrilor controlerelor pe parcursul simularilor.Valorile pentru parametrii controlerului PID in simulare au fost Kd=20800,Kp=83210 si Ki=62400.Mai josa este prezentata o sinteza a efectelor fiecarui parametru al unui controler PID
Parametru timp creștere suprareglaj timp stabilizare eroare regim staționar
Kp scade crește variație mică scade
Ki scade crește crește se anulează
Kd scade scade scade fără efect
CAPITOLUL VI
Proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru suspensia activa utilizand locul geometric al radacinilor (root locus)
Proiectarea utilizand locul geometric al radacinilor poate fi utilizata pentru a determina valoarea factorului de amplificare k,care determina un comportament in bucla inchisa satisfacator.Se determina astfel un controler proportional care va oferi un raspuns gradual devierilor de la referinta.Daca k este prea mare poate determina aparitia instabilitatilor.Daca prin reprezentarea grafica a locului radacinilor nu se poate indeplini criteriile de performanta impuse prin ajustarea lui k atunci bucla inchisa se redimensioneaza prin adaugarea unui controler aditional Gc(s) functiei de transfer a buclei deschise.Controlerul se alege astfel incat locul radacinilor sa treaca prin regiunea potrivita a planului complex.Controlerul P insa nu are notiunea timpului si actiunile sale sunt determinate numai de valoarea curenta a erorii.Insa un controler potrivit realitatii trebuie sa faca corectii pe baza valorilor trecute si viitoare rezultand astfel utilizarea controlerelor de tip PI/PD/PID.Se ajusteaza cele 3 gainuri astfel incat sa aiba o reducere a erorii si in acelas timp un raspuns dinamic acceptabil. Locul rădăcinilor este o procedură grafică ce arată migrarea rădăcinilor ecuației caracteristice atunci când variază un parametru al sistemului. Pentru aceasta, în Matlab se utilizează funcția rlocus.
Programul Matlab corespunzator este:
m1=2500;
m2=320;
k1 = 80000;
k2 = 500000;
b1 = 350;
b2 = 15020;
nump=[(m1+m2) b2 k2];
denp=[(m1*m2) (m1*(b1+b2))+(m2*b1) (m1*(k1+k2))+(m2*k1)+(b1*b2) (b1*k2)+(b2*k1) k1*k2];
G1=tf(nump,denp);
num1=[-(m1*b2) –(m1*k2) 0 0];
den1=[(m1*m2) (m1*(b1+b2))+(m2*b1) (m1*(k1+k2))+(m2*k1)+(b1*b2) (b1*k2)+(b2*k1) k1*k2];
G2=tf(num1,den1);
numf=num1;
denf=nump;
F=tf(numf,denf);
R=roots(denp);
rlocus(G1);
z=-log(0.05)/sqrt(pi^2+(log(0.05)^2));
sgrid(z,0);
Prin rularea programului se obtine locul radacinilor:
>> R
R =
-23.9758 +35.1869i
-23.9758 -35.1869i
-0.1098 + 5.2504i
-0.1098 – 5.2504i
Fig. 1 Locul radacinilor sistemului fara compensator
Din graficul de mai sus putem observa ca exista doua perechi de poli si zerouri care sunt apropiati si fiind aproape de axa imaginara pot duce sistemul la limita de stabilitate.Urmatorul pas este de a plasa polii si zerourile cat mai departe in semiplanul stang pentru a evita instabilitatea.Se impune plasarea a doua zerouri foarte aproape de cei doi pli de pe axa imaginara din reprezentarea pentru sistemul fara compesator pentru a realiza anularea pol-zero.De asemenea este recomandata plasarea a doi poli departe de axa reala pentru a obtine un raspuns rapid.Va fi necesara adaugarea a doua zerouri aproape de cei doi poli pe axa complexa pentru a trasa locul radacinilor,conducand acesti poli la zerourile compensatorului in locul zerourilor procesului.Pentru a trage locul radacinilor spre stanga va fi nevoie de doi poli plasati departe in semiplanul stang.
Z1=3+3.5i;
z2=3-3.5i;
p1=30;
p2=60;
numc=conv([1 z1],[1 z2]);
denc=conv([1 p1],[1 p2]);
C=tf(numc,denc);
rlocus(C*G1)
Fig. 2 Locul radacinilor sistemului cu filtru
axis([-40 10 -30 30])
z=-log(0.05)/sqrt(pi^2+(log(0.05)^2))
sgrid(z,0)
Fig. 3 Locul radacinilor sistemului cu filtru-detalii
Pana in acest moment am realizat mutarea locului radacinilor peste linia care marcheaza o amortizare de 5% si astfel putem alege un gain,k,care sa satisfaca cerintele impuse.Astfel se doreste un suprareglaj si un timp de raspuns cat mai mici.Pentru a realiza acest lucru trebuie sa alegem un punct pentru k aproape de axa reala si departe de axa imaginara sau punctul in care locul radacinilor traverseaza linia imaginara si astfel va trebuie sa alegem un gain care se afla pe locul radacinilor aproape de zerouri si de axa suprareglarii procentuale.Alegand punctul selected_point pe diagrama anterioara paralel cu axa imaginara din locul radacinilor obtinem gain-ul si polii,selected_point=-1.9186+11.3469i k=4.2478e+007 si poles=1.0e+003*[-0.0640+1.2047i-0.0640-1.2047i-0.0021+0.0113i-0.0021-0.0113i-0.0030+0.0035i-0.0030-0.0035i].In continuare este prezentat raspunsul sistemului in bucla inchisa cu compensator la perturbatie treapta cu amplitudine 0.1
k = 1.0030e+08;
sys_cl=F*feedback(G1,k*C);
t=0:0.01:2;
step(0.1*sys_cl,t)
title(‘raspunsul in bucla inchisa la o perturbatie de 0.1m treapta’);
Fig 4 Răspunsul sistemului in buclă inchisă
Din raspunsul sistemului cu cimpensator la o denivelare de 10 cm a drumului se poate observa ca deviatia maxima este de 4.5mm si sistemul se stabilizeaza in 2 secunde,deci sunt indeplinite cerintele,este un raspuns satisfacator.
CAPITOLUL VII
Analiza in domeniul frecventa a sistemului,diagramele Bode si Nichols
Proiectarea in domeniul frecventa presupune utilizarea caracteristicilor Bode ale functiei de transfer in bucla deschisa pentru a estima raspunsul in bucla inchisa.Adaugarea unui controler sistemului determina modificarea caracteristicilor Bode astfel incat raspunsul in bucla inchisa va fi deasemenea schimbat.In figura 1 sunt trasate caracteristicile Bode si in figura 2 caracteristica Nichols.
w = logspace(-1,2);
bode(G1,w)
figure(2);
nichols(G1,w);
Fig. 1 Caracteristicile Bode ale sistemului in bucla deschisa
Fig. 2 Caracteristica Nichols a sistemului in bucla deschisa
Stabilitatea,prin ea insasi nu este suficienta,ea trebuie sa fie completa prin masurarea gradului de stabilitate.Marginea de faza si marginea de amplificare sunt astfel de masuri ale gradului de stabilitate al unui sistem.Marginea de faza reprezinta defazajul suplimentar care poate fi injectat in sistemul in bucla inchisa pentru a-l aduce la instabilitate,iar marginea de amplificare reprezinta amplificarea suplimentara care poate fi introdusa in sistemul de bucla inchisa pentru a-l aduce la instabilitate.In cazul de fata in cazul sistemului in bucla deschisa marginile de faza si amplificare sunt infinite,dupa cum se poate observa in figura 3.
Fig. 3 Marginile de faza si amplificare infinite
In continuare pornind de la caracteristicile Bode de mai sus se propune sinteza unui controler.Se poate observa in caracteristici ca caracteristica de faza este concava in zona de 5rad/sec.Se incearca adaugarea unei faze pozitive acestei zone astfel incat caracteristica de faza sa ramana peste linia de -180 de grade.Din moment ce o margine de faza mare determina un suprareglaj mic,se impune adaugarea a minimum 140 de grade caracteristicii de faza in zona de 5rad/sec.Stiind ca un controler lead poate introduce doar 90 de grade in caracteristica se va folosi un controler two-lead.Pentru obtinerea lui T si a se determina nevoia de faza pozitiva (70 de grade de la fiecare controler pentru a obtine 140 de grade).Se determina frecventa unde suplimentul de faza va fi adaugat (5rad/sec).Se determina constanta a din ecuatia care determina de fapt spatiul necesar intre zeroul si polul pentru maximul de fazei adaugate (a=0.031).In final se determina T si aT,de fapt frecventele care asigura ca maximul de faza va fi adaugat la frecventa dorita (T=1/W*sqrt(a)=1.13 si aT=sqrt(a)/W=0.035).In continuare este redat raspunsul in bucla inchisa,figura 4.
Fig. 4 Raspunsul in bucla inchisa cu controler
Amplitudinea răspunsului este mult mai mică decât cerința la sută depășire și timpul de soluționare , de asemenea, este mai mic de 5 secunde. Din moment ce se poate observa o amplitudine de răspuns la ieșire de mai puțin de 0,0001 m sau 1 % din mărime de intrare după 4 secunde. Prin urmare, putem spune că timpul de stabilizare este de 4 secunde. Din caracteristica Bode de mai sus , vom vedea ca o crestere a castigului va crește frecvența de tranziție și , prin urmare, face răspunsul mai repede . Vom crește câștigul și să vedem dacă putem obține un răspuns mai bun .Acum vom modifica in fisierul i numc așa cum se arată mai jos pentru a genera următorul grafic,figura 5.
numc = 4*conv([T 1], [T 1]);
denc = conv([aT 1], [aT 1]);
C = tf(numc,denc);
sys_cl = F*feedback(G1,K*C);
t=0:0.01:5;
step(0.1*sys_cl,t)
axis([0 5 -.01 .01])
Fig. 5 Răaspunsul treapta
Se poate observa in figura ca amplitudinea raspunsului este mult mai mica decat valoarea impusa precum si timpul de stabilizare este sub valoarea impusa.Deci conditiile impuse la proiectare sunt satisfacute.
CAPITOLUL VIII
Proiectarea unui controler optimal LQR
Aceasta metoda de sinteza presupune proiectarea unui controler liniar optimal pentru un indice de performanta patratic.In continuare este redat un scurt breviar teoretic despre proectarea optimala care prezinta si formalismul pentru sisteme liniare utilizat in simulare,prin functiile Matlab specifice.Fie un sistem dinamic liniar:
(8.1)
unde,A si B matrici constante,reale,de dimensiuni convenabile.Daca sistemul este de stare complet controlabila,atunci exista o infinitate de comenzi u(t) care sa asigure tranzitia din orice stare initiala in orice stare finala,intr-un interrval de timp finit.Din aceasta infinitate de posibilitati vom alege o comanda u(t) care sa asigure minimizarea unui criteriu de forma:
(8.2)
unde (A,B) este controlabil si (A,Q) observabil si unde u(t) este comanda aplicata,T este durata impusa tranzitiei,unde xf=0 este starea finala impusa;acest criteriu evidentiaza energia de comanda consumata pentru a realiza tranzitia impusa si eroarea starii fata de starea finala impusa xf=0,ponderate prin matricile constante pozitiv definite R si respectiv Q.Gasirea comenzii optimale se bazeaza pe rezolvarea sistemului de ecuatii Hamilton Jacobi obtinut pe cazul particular al sistemului dinamic liniar.Considerand criteriul integral de mai sus se obtine functia
Hamilton:
(8.3)
și setul de ecuații Hamilton:
(8.4)
(8.5)
(8.6)
cu condițiile la limită:
,care precizează condiția inițială (8.7)
,care precizează că starea finală este nulă si durata tranziției este T (8.8)
Dezavantajul sistemului de ecuatii Hamilton este ca oferă pentru solutia u*(t) o expresie în funcție de timp,greu de implementat in practica.De aceea se prefera exprimarea comenzii u*(t) ca o lege de reglare dupa stare,usor de implementat in practică.
(8.9)
unde de fapt s-a ales :
(8.10)
Folosind această formă a lui ,din sistemul de ecuații Hamilton rezultă o relație de calcul pentru matricea K(t) de tipul unei ecuații diferențiale Riccati:
(8.11)
Faptul ca matricea K este variabila in timp incomodeaza in aplicatiile practice.Se poate utiliza o matrice K invariata in timp (constanta),dar in aceasta situatie tranzitia nu va avea loc intr-un interval de timp finit T.Se poate asigura doar ca starea sistemului sa tinda asimptotic catre starea finala zero impusa.Acest lucru nu incomodeaza in practica.Durata tranzitiei va fi conside-rata aproximativ egala cu durata regimului tranzitoriu.In regim permamnent sistemul este destul de aproape de starea finala impusa;faptul ca nu se gaseste exact in starea finala impusa nu inco-modeaza in aplicatie.
In aceasta situatie se sintetizeaza o comanda liniara dupa stare:
(8.12)
unde K este o matrice constantă,simetrică,pozitiv definită care rezultă din ecuația Riccati algebrică:
(8.13)
Observație:
Ecuația algebrică Riccati rezultă din ecuația diferențială Riccati pentru cazul K constant,adică K=0.
Pentru proiectarea unui regulator liniar optimal pentru un indice de performanță pătratică vom utiliza următorul program Matlab:
a=[ 0 1 0 0
-6.571 0 -25.26 -0.14
46.94 0 -48.17 1
1563 0 -1845 0];
b=[ 0 0
0.0004 6.571
0 -46.94
0.003525 -1563];
c=[0 0 1 0];
d=[0];
q=[1000 0 0 0;0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1];
r=[0.01 0.01 ; 0.01 0.1];
k=lqr(a,b,q,r);
k1=k(1);
k2=k(2);
k3=k(3);
A=a-b*k;
B=b*k1;
C=c;
D=d;
t=0:0.01:10;
[y,x,t]=step(A,B,C,D,1,t);
subplot(2,1,1)
plot(t,y);
grid;
title('Raspunsul sistemului optimal');
xlabel('t sec');
ylabel('iesirea y');
subplot(2,1,2)
plot(t,x);
grid;
title('Curbele x1, x2, x3, x4 functie de timp');
xlabel('t sec');
ylabel('x1, x2, x3, x4');
In urma rularii fisierului lqreg.m obtinem:
Fig. 1 Răspunsul sistemului cu regulator LQR
Obtinerea unui controler ce stabilizeaza sistemul
Vom utiliza tehnica plasării (alocării) poli-zerouri pentru a stabiliza sistemul și a avea caracteristicile dinamice dorite.
Vom utiliza o schemă de reglare cu reacție de la stare:
Etape:
1)Se verifica daca sistemul este complet controlabil dupa stare ,adica se verifica rangul matrici M=[B;AB;A^2B;A^3B]
2)Se determina ecuatia caracteristica a sistemului
3)Se aleg localizarile dorite pentru poli-dorim ca sa avem un timp tranzitoriu cat mai mic si o amortizare rezonabila
4)Se determina matricea K a amplificarilor cu reactie dupa stare cu relatia:
unde matricea de transformare T este dată de relația: în care M este matricea de controlabilitate.
iar: , în care sunt coeficienți ai polinomului caracteristic:
Urmand pasi mentionati anterior in cazul sistemului cu suspensie activa obtinem:
ca sistemul este controlabil dupa stare
(rangul matrici M fiind egal cu 4)
in urma calcularii determinantului ce ne ofera ecuatia caracteristica a sistemului si a identificarilor obtinem valorile parametrilor a1,a2,a3,a4 ca fiind:
a1=48.17125;
a2=1837.93;
a3=1402.97;
a4=25444.484;
s-au ales localizarile polilor :
p1=-5+j*3,464
p2=-5-j*3,464
p3=-10
p4=-10
-s-a calculat valoarea matricii K a amplificarilor dupa stare dupa ce in prealabil s-au calculat W,T,inv(T),obtinandu-se urmatoarea valoare:
Pasi au fost parcursi si in cadrul programului Matlab urmator:
m1 = 2500;
m2 = 320;
k1 = 80000;
k2 = 500000;
b1 = 350;
b2 = 15020;
A=[0 1 0 0
-(b1*b2)/(m1*m2) 0 ((b1/m1)*((b1/m1)+(b1/m2)+(b2/m2)))-(k1/m1) -(b1/m1)
b2/m2 0 -((b1/m1)+(b1/m2)+(b2/m2)) 1
k2/m2 0 -((k1/m1)+(k1/m2)+(k2/m2)) 0];
B=[0 ;
1/m1 ;
0 ;
-(1/m1)+(1/m2)]
C=[ 0 0 1 0];
D=[0 ];
[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D);
MI=[B A*B A^2*B A^3*B];
rang=rank(MI);
I=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];
a1=48.17125;
a2=1837.93;
a3=1402.97;
a4=25444.484;
l1=60; l2=11410; l3=7050; l4=10000;
W=[a3 a2 a1 1; a2 a1 1 0; a1 1 0 0; 1 0 0 0];
T=MI*W;
T1=inv(T);
k=[l4-a4 l3-a3 l2-a2 l1-a1]*T1;
Implementarea datelor obtinute in Simulink in baza urmatoarei scheme conduc la obtinerea rezultatelor din figura 2:
Fig.2 Schema Simulink a controlerului optimal
Fig.3 Răspunsul sistemului
CAPITOLUL IX
Control robust fuzzy ¼ suspensie activa
Un sistem de suspensie activa auto este mecanismul care conectează fizic corpul masinii la roțile lor , cu alte cuvinte un sistem de suspensie izoleaza corpul mașinii de tulburările rutiere și de tulburările de inertie asociate cu viraje,frânare sau accelerare.
Fig . 1 ilustrează modelul 1/4 a suspensiei active a unui autoturism care este cel mai frecvent utilizat pentru studii de control al suspensii active.
.
Fig.1 modelul 1/4 a suspensiei active a unui autoturism
Ecuațiile de mișcare pentru modelul de mașină în ecuația de stat sunt reprezentate de :
(9.1)
Pentru a transforma ecuațiile de mișcare ale mașinii ¼ intr-un model de spațiu de stare, următoarele variabile de stare sunt considerate :
(9.2)
unde: x1(deplasarea corpului)=zb-zw,
x2(deplasarea rotii)=zw-zr
x3(viteza absoluta a corpului)=
x4(viteza absoluta a rotii)=
Apoi, ecuațiile de mișcare ale modelului ¼ pentru suspensia activa poat fi scrise în forma spațiului de stare după cum urmează :
(9.3)
(9.4)
(9.5)
fa=forta de comanda;
zr=deplasarea intrarii rutiere
Sistemele de control fuzzy se bazeaza pe reguli sau pe baza cunoașterii sistemului,
sisteme care au un set de reguli IF- THEN.Normele reprezintă un mecanism de decizie de control pentru a ajusta efectele provenite din sistem.Controlerele fuzzy au reușit în multe probleme de control practice unde teoriile convenționale au dificultăți de implementare.Figura .2 prezintă în tabelul de reguli ale funcțiilor membru ale controlerului fuzzy.
Abrevierile folosite corespunde dupa cum urmeaza :
NV-negativ foarte mare
NB-negativ mare
NM-negativ mediu
NS-negativ mic
ZE-zero
PS-pozitiv mic
PM-pozitiv mediu
PB-pozitiv mare
PV-pozitiv foarte mare
Fig. 2 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Controlul fuzzy a fost propus să abordeze problemă de suspensie auto pentru parametrii de mediu necunoscuti. Cu toate acestea,suma mare a regulilor fuzzy face analiza complexa.Unii cercetatorii au propus un design a controlul fuzzy bazat pe un slide mode control (SMC).Deoarece o singură variabilă este definită ca variabila de intrare fuzzy, principalul avantaj al FSMC(fuzzy slide mode control) este că are nevoie de mai puține reguli fuzzy decât FC(fuzzy control). Mai mult decât atât,sistemul FSMC are mai mult robustețe împotriva variației parametrului Deși FC și FSMC sunt ambele metode eficiente,dezavantajul lor major este că reguli fuzzy ar trebui să fie reglate în prealabil de către consumul de timp,proceduri de incercare și erori. Tradițională SMC reprezintă forma simplă a controlului robust . Deoarece sistemul este de ordinul întâi,funcția de comutare este selectata ca :
Fig. 3 Planul fazelor a SMC
Unde λr referinta alunecarii rotii de intrare.Miscarea de alunecare apare atunci cand ajunge subspatiul definit ca s=0.
(9.6)
(9.7)
a1:-ks/Ms (9.8)
a2:-bs/Ms (9.9)
L:un castig de control referitor la Ms
(9.10)
bmin:bus gol
bmax:bus plin
(9.11)
K satisface condiția de alunecare atunci cand sistemul de stare este pe subspatiul de comutare , lovirea controlului este zero.
(9.12)
Să presupunem există n reguli in baza de cunoștințe fuzzy și fiecare dintre ele are următoarea formă :
Regula i: daca s este Si atunci u este αi+βis
unde u este variabila de ieșire al sistemului fuzzy ; S sunt funcțiile de membru și ( αi , βi ) sunt actiunile de control singleton.Prin metoda centrului de greutate :
(9.13)
unde wi este regula greutatii de ardere ith , α=[α1, …., αn]T si β =[β1, …., βn]T
Pentru a îndeplini obiectivul de a concepe un sistem de suspensie activa , adică cresterea confortului plimbarii și manevrabilitatii , există trei parametri care trebuiesc respectati în aceste simulări. Cei trei parametri sunt devierea rotii,sarcina dinamica a anvelopei și accelerarea caroserie.
Modelul matematic al sistemului și modulul propus al controlerului de alunecare sunt definite în prealabil in ecuațiile de mai sus au fost simulate pe calculator, cu ajutorul MATLAB si SIMULINK.Figura 4 ilustrează clar modul in care suspensia activă poate absorbi în mod eficient inceputul vibrației vehiculului la 1,6 sec . în timp ce sistemul pasiv absorbe la 2,25 sec.
Fig. 4 Răspunsul sistemului cu suspensie pasiva și a sistemului de control robust fuzzy pe drum neted.(IR-intrarea rutiera;DTL-incarcarea dinamica a pneului;Body Acc.- accelerarea caroseriei ;SWS-spatiul de lucru al suspensiei;)
Mai mult decât atât deformarea roții este, de asemenea, mai mica in sistemul suspensiei active.Accelerarea caroseriei în sistemul de suspensie activă este redusă în mod semnificativ, ceea ce garantează un mai bun confort in plimbare.Efortul controlerului este ilustrat în Fig 5.
Fig. 5 Semnal de control Fuzzy pentru drum neted
Un alt model comun al intrării rutiere presupune ca vehiculul sa mearga cu o viteza constantă înainte peste:
i) un profil de drum aleator , care este aproximat de o intrare zgomot alb integrat .
ii)profilul rutier w ( t ) reprezintă un singur cucui care acționează ca tulburări , dată de funcția cosinus :
(9.14)
Unde α este înălțimea denivelarii , t1 și t2 sunt limitele de timp inferioară și superioară a denivelarii. Figura 6 arată înălțimea denivelarii de 10 cm.
Fig. 6 Răspunsul sistemului de suspensie activa cu control fuzzy robust si pasiv pe rugozitatea rutiera reala.
Fig. 7 Răspunsul sistemului de suspensie activa cu control fuzzy robust si pasiv pe profilul rutier cosinus.
In fig . ( 6,7 ) rezultatele confirmă soliditatea controlerului proiectat propus cu diferite condiții ale drumului.Prin urmare, este clar că sistemele de suspensie activa îmbunătățește confortul plimbarii în timp ce păstrând caracteristicile manipularii drumului , comparativ cu sistemul de suspensie pasiva.
CAPITOLUL X
Proiectare unui controler optimal liniar Hinfinit
Designul de controlere de suspensie liniare care pun accentul fie confortul pasagerului sau pe deformarea suspensie. Controlerele din această secțiune sunt proiectati folosind sinteza liniara H∞ . Așa cum este standard în cadrul H∞ ,obiectivele de performanță sunt realizate prin minimizarea normei funcției de transfer ponderate.
Funcțiile de ponderare au două scopuri în cadrul H∞ : acestea permit comparația directă a obiectivelor de performanță diferite, cu aceeași normă și permit informațiilor de frecvență să fie încorporate în analiză. O diagramă bloc a interconexiunii de proiectare de control H∞ pentru
problema suspensiei active este prezentat mai jos in figura 1.
Fig. 1 diagramă bloc a interconexiunii de proiectare de control H∞ pentru problemă suspensie active
Măsura de ieșire sau feedback-ul semnalului y este abaterea/eroarea suspensiei x1-x3 . Controlerul acționează pe acest semnal pentru a produce intrarea de control, forță de acționare hidraulica fs . Blocul Wn servește pentru a modela senzorul de zgomot în canal de măsurare . Senzorul Wn este setat la o valoare de zgomot de 0,01 m .
Wn=0.01;
Într-o proiectare mai realista, Wn ar putea fi dependent de frecvență și ar servi
pentru a modela zgomotul asociat cu senzorul de deplasare. Ponderea Wref este
folosita pentru a scala amploarea perturbatiilor rutiere . Să presupunem că perturbațiile maxime rutiere sunt 7 cm și, prin urmare, alegem Wref = 0,07 .
Wref = 0,07 ;
Conținutul magnitudinii și frecvenței forței de control fs sunt limitate de funcția de ponderare a actuatorului (elementului de executie), Wact. Alegem:
(10.1)
Magnitudinea creșterii functiei de ponderare peste 50 rad / s , în scopul de a limita de lățime de bandă în buclă închisă .
Wact = (100/13)*tf([1 50],[1 500]); (10.2)
Prima proiectare a unui controler Hinfinit
Scopul funcțiilor de ponderare Wx1 si Wx1-x3 este de a menține abaterea masinii și abaterea suspensiei la valori mici in plajele de frecvența dorite. În prima proiectarea, se proiecteaza controlerul pentru confortul pasagerilor, și, prin urmare, devierea/deflexia/abaterea caroseriei automobilului, x1, este penalizata.
Wx1 = 8*tf(2*pi*5,[1 2*pi*5]); (10.3)
Ponderarea magnitudinii caracteristicii Bode se face astfel ca aceasta sa varieze cazator cu frecventa (rolls off) deasupra valorii frecventei de 5×2π rad/s, pentru a fi respectata o binecunoscuta regula experimental (empirica) de proiectare Hinfinit, care cere ca ponderile performantei sa varieze cu frecventa cazator (sa se rostogo;easca, rolls off), inaintea unui zerou al buclei deschise (56.7 rad/s in acest caz). Valoarea ponderarii este mai mare decat valoarea 5 × 2π rad / s pentru ca regula empirica de proiectare sa fie respectata. Ponderarea devierii (abaterii) suspensiei, Wx1-x3, nu este inclusa în această formulare a problemei de control.
Modelul procesului ponderat H∞ pentru proiectarea controlerului, model notat qcaric1, se construieste utilizand comanda/ functia sysic. Semnalul de comanda (control) corespunde ultimei intrari la qcaric1, fs. Acceleratia caroseriei/ corpului masinii, care este contaminata cu zgomot, e semnalul masurat si corespunde ultimei iesiri a lui qcaric1.
systemnames = 'qcar Wn Wref Wact Wx1';
inputvar = '[ d1; d2; fs ]';
outputvar = '[ Wact; Wx1; qcar(3)+Wn ]';
input_to_qcar = '[ Wref; fs]';
input_to_Wn = '[ d2 ]';
input_to_Wref = '[ d1 ]';
input_to_Wact = '[ fs ]';
input_to_Wx1 = '[ qcar(1) ]';
qcaric1 = sysic;
Controlerul H∞ este sintetizat cu comanda hinfsyn . Există o intrare de comandă, forța de acționare hidraulica, fs, si un semnal măsurat, accelerația caroseriei.
ncont = 1;
nmeas = 1;
[K1,Scl1,gam1] = hinfsyn(qcaric1,nmeas,ncont);
CL1 = lft(qcar([1:4 3],1:2),K1);
sprintf('H-infinit controller K1 achieved a norm of %2.5g',gam1)
ans =
H-infinit controller K1 achieved a norm of 0.61043
Putem a analiza controlerul H∞ folosim un feedback unitar pentru a construi un sistem în buclă închisă, notat CL1. Graficul magnitudinilor Bode ale suspensiei pasive și suspensiei active sunt prezentate în figura 2:
bodemag(qcar(3,1),'k-.',CL1(3,1),'r-',logspace(0,2.3,140))
Fig. 2 Magnitudinile Bode ale cazurilor cu suspensie pasiva și suspensie activa
CAPITOLUL XI
A doua proiectare a unui controler Hinfinit
În a doua proiectare, se proiecteaza controlerul pentru a menține functia de transfer a abaterii suspensiei la valori mici in plaja de frecventa dorita. Prin urmare, f.d.t. de la perturbatia rutiera la abaterea suspensiei, x1- x3, este penalizata prin intermediul funcției de ponderare Wx1-x3 . Magnitudinea ponderii Wx1-x3 incepe sa coboare (rolls off) deasupra valorii frecventei de 10 rad/s pentru ca magnitudinea Bode sa se rostogoleasca (roll-off) înaintea zeroului buclei deschise ( 23.3 rad/s) din proiectarea controlerului 2.
Wx1x3 = 25*tf(1,[1/10 1]);
Ponderarea devierii automobilului, Wx1, nu este inclusa în această formulare a problemei de control. Pentru construirea modelului H∞ ponderat al procesului la proiectarea controlerului,
notat qcaric2, se foloseste comanda sysic . Ca alternativă la crearea modelului qcaric2, se poate folosi la conectarea obiectelor, functia iconnect. Același control și măsurători sunt utilizate ca în prima proiectare.
M = iconnect;
d = icsignal(2);
fs = icsignal(1);
ycar = icsignal(size(qcar,1));
M.Equation{1} = equate(ycar,qcar*[Wref*d(1); fs]);
M.Input = [d;fs];
M.Output = [Wact*fs;Wx1x3*ycar(1);ycar(2)+Wn*d(2)];
qcaric2 = M.System;
Cel de-al doilea controler H∞, K2, ca si primul, K1, este sintetizat tot cu comanda (functia) hinfsyn.
[K2,Scl2,gam2] = hinfsyn(qcaric2,nmeas,ncont);
CL2 = lft(qcar([1:4 2],1:2),K2);
sprintf('H-infinit controller K2 achieved a norm of %2.5g',gam2)
ans =
H-infinit controller K2 achieved a norm of 0.89949
Reamintim că aceasta proiectare a controlerului H∞ are in vedere minimizarea abaterii/devierii suspensiei (indirect tot pentru confortul pasagerilor), în timp ce prima proiectare H∞ este axata direct pentru confortul pasagerilor .
Se poate analiza comportarea controlerului H∞ K2, prin construirea unui sistem cu feedback, în buclă închisă, sistemul CL2 . Graficul magnitudinilor Bode ale funcțiilor de transfer la perturbatii rutiere ale abaterii suspensiei atât pentru ambele controlere cat și pentru sistemul de suspensie pasiva sunt prezentate în figura 1.
bodemag(qcar(3,1),'k-.',CL1(3,1),'r-',CL2(3,1),'b.',… logspace(0,2.3,140))
Fig. 1 Graficul magnitudinilor Bode ale funcțiilor de transfer aferente suspensiei deformate la perturbatii ale caii rutiere atât pentru suspensia activa ambele controlere cît și pentru sistemul cu suspensie pasiva
Liniile punctate și solide din figură 1 sunt răspunsurile la frecvență în buclă închisă
ce rezultă folosind diferitele funcții de ponderare selectate. Se observa reducerea magnitudinii Bode a abaterii suspensiei in vecinatatea frecventei de oscilatie (de saritura, de topaiala) a anvelopei (tirehop frequency, ω1 = 56,7 rad/s), si creșterea corespunzătoare din raspunsul la frecventa (magnitudinea Bode) a acceleratiei, in aceasta vecinatate. De asemenea, în comparație cu proiectarea 1, s-a obtinut o reducere a magnitudinii Bode pentru frecvente sub valoarea frecventei numite frecventa spatiului de huruiala/ zuruiala/ bataie (rattlespace frequency) a rotii, ω2 = 23,3 rad / s .
A doua proiectare control H∞ atenuează ambele moduri de rezonanță (23.3 rad/s si 56,7 rad/s), în timp ce primul controler isi concentreaza eforturile pe primul mod , frecvența rattlespace de la 23.3 rad/s .
bodemag(qcar(2,1),'k-.',CL1(2,1),'r-',CL2(2,1),'b.',…
logspace(0,2.3,140))
Fig. 2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Toate analizele de pana acum au fost în domeniul de frecvență0. Caracteristicile de performanță din domeniul timp sunt critice pentru succesul suspensiei active a unui autobuz. Graficele timpului de raspuns a două controlere H∞ (K1 si K2) sunt prezentate în următoarele figuri. Cele punctate, și liniile punctate solide corespund suspensiei pasive , controlerului H∞ 1 , si controlerului H∞ 2 , respectiv . Toate răspunsurile corespund perturbatiei rutiere r ( t ) de mai jos cu variatie trigonometrica:
r(t) = a(1 – cos8πt), 0 ≤ t ≤ 0.˜25sec
= 0 otherwise
unde a = 0,025 corespunde la o denivelare a drumului cu un vârf de magnitudine 5 cm . Se observa că răspunsul la proiectarea 1 (K1) la un varf al magnitudinii de 5 cm este foarte bun ; cu toate acestea, deformarea suspensiei este mai mare decât pentru proiectarea 2 (K2). Asta pentru ca abaterea suspensiei nu a fost sancționată în acesta proiectare. Raspunsul abaterii suspensiei la proiectarea 2 la un varf de magnitudine de 5 cm este bun; cu toate acestea raspunsul accelerației la acest varf de 5 cm este mult inferiora fata proiectarea 1 (a se vedea figura). Din nou, acest lucru se datorează faptului că deplasarea caroseriei și accelerarea nu au fost sancționate în proiectarea 2 .
time = 0:0.005:1;
roaddist = 0*time;
roaddist(1:51) = 0.025*(1-cos(8*pi*time(1:51)));
[p1,t] = lsim(qcar(1:4,1),roaddist,time);
[y1,t] = lsim(CL1(1:4,1),roaddist,time);
[y2,t] = lsim(CL2(1:4,1),roaddist,time);
subplot(221)
plot(t,y1(:,1),'b-',t,y2(:,1),'r.',t,p1(:,1),'k–',t,…
roaddist,'g-.')
title('Body Travel')
ylabel('x_1 (m)')
subplot(222)
plot(t,y1(:,2),'b-',t,y2(:,2),'r.',t,p1(:,2),'k–')
title('Body Acceleration')
ylabel('Accel (m/s/s)')
subplot(223)
plot(t,y1(:,3),'b-',t,y2(:,3),'r.',t,p1(:,3),'k–')
title('Suspension Deflection')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('x_1 – x_3 (m)')
subplot(224)
plot(t,y1(:,4),'b-',t,y2(:,4),'r.',t,p1(:,4),'k–')
title('Control Force')
xlabel('Time (sec)')
ylabel('fs (10kN)')
Fig. 3 . Graficele timpului de raspuns ale celor două controlere H∞ (K1 si K2)
Modelele 1 și 2 reprezintă capetele extreme ale spectrului compromis de performanță .
Capitolul descrie sinteza H∞ pentru a atinge obiectivele de performanță ale sistemului de suspensie activă . La fel, dacă nu chiar mai importanta, este proiectarea controlerelor robuste la sisteme cu erori de modelare sau incertitudini parametrice.
Scopul fiecărei proiectari de control este acela de a atinge specificatiile de performanța dorite privind modelul nominal, precum și altele apropiate de modelul nominal.
Cu alte cuvinte, obiectivele de performanță pe care dorim să le realizam în prezența erorii de modelare sau cu incertitudine parametrica,se numește performanță robustă .
În capitolul următor, vom proiecta un controler care realizează performanță robusta utilizând metodologia de proiectare de control prin sinteza-μ, adica folosind valori singulare structurate.
CAPITOLUL XII
Proiectare unui controler optimal Hinfinit prin sinteza μ
Controlerele suspensiei active H∞ proiectate în secțiunile anterioare au ignorat dinamica de acționare hidraulica. În acest capitol vom include ca prima comanda un model al dinamicii de acționare hidraulica, precum și un model cu incertitudine, pentru a ține seama de diferențele dintre modelul dispozitivului de acționare și elementul de acționare cu dinamica reala.
Modelul nominal al dispozitivului de acționare hidraulică (actuatorului) il consideram:
Modelul elementului de acționare (actuatorului) considerat este incert. Se poate descrie eroarea de modelare a actuatorului printr-un set de modele posibile, folosind o funcție de ponderare. La frecvență mica (JF), sub 4 rad / s , acesta poate varia până la 10% din valoarea sa nominala .În jurul valorii frecventei de 4 rad / s variația procentuală începe să crească și ajunge la 400 %, la aproximativ 800 rad / s . Incertitudinea de modelare (adica a modelului actuatorului) este reprezentata de ponderea Wunc (ce corespunde variației frecvenței incertitudinii modelului) și incertitudinii Δunc (atom de tip ultidyn), adica obiectului dinamic LTI incert Δunc, definit/denumit/notat in programul de mai jos prin unc.
Wunc = 0.10*tf([1/4 1],[1/800 1]);
unc = ultidyn('unc',[1 1]);
actmod = actnom*(1+ Wunc*unc)
USS: 2 States, 1 Output, 1 Input, Continuous System
unc: 1×1 LTI, max. gain = 1, 1 occurrence
Modelul actuatorului (a elementului de acționare), notat actmod este un sistem incert in spatiul starilor (SS). Următoarele diagrame Bode reprezinta modelul nominal de acționare, actnom, notată cu un simbolul "+", si 20 de esantioane de modele de acționare aleatoare descrise de actmod.
bode(actnom,'r+',actmod,'b',logspace(-1,3,120))
Fig 1 Modelul nominal si cele 20 de modele de actionare aleatoare
Modelul actuatorului incert actmod reprezintă modelul elementului de actionare hidraulic utilizat pentru control. Proiectarea diagramei de interconectare de control revizuită este in figura 2:
Fig. 2 Proiectarea diagramei de interconectare de control revizuită.
Se proiecteaza controlerul pentru confortul pasagerilor, ca și în primul caz de proiectare a controlerului H∞ (K1). Prin urmare abaterea caroseriei masinii, x1, se sanctioneaza (pondereaza) cu Wx1. Modelul ponderat H∞ al procesului incert, pentru proiectarea controlerului robust, notat qcaricunc , foloseste comanda sysic. Așa cum a fost descris anterior, semnalul de control corespunde ultimei intrari a qcaric1, fs . Accelerația caroseriei, care este contaminata cu zgomot este semnalul măsurat și corespunde ultimei ieșiri a modelului qcaricunc.
systemnames = 'qcar Wn Wref Wact Wx1 actmod';
inputvar = '[ d1; d2; fs ]';
outputvar = '[ Wact; Wx1; qcar(2)+Wn ]';
input_to_actmod = '[ fs ]';
input_to_qcar = '[ Wref; fs]';
input_to_Wn = '[ d2 ]';
input_to_Wref = '[ d1 ]';
input_to_Wact = '[ fs ]';
input_to_Wx1 = '[ qcar(1) ]';
qcaricunc = sysic;
Pentru obtinerea controlerului prin sinteza-μ, s-a folosit iteraria D – K, i.e. comanda dksyn. Procedura iteratiei D – K este o aproximare a sintezei-μ care permite o sintetizare (o proiectare) a unui controler care atinge performanțe robuste. Există deci o intrare de control, forța de acționare hidraulica, fs, și un semnal măsurat, acceleratia caroseriei automobilului.
[Kdk,CLdk,gdk] = dksyn(qcaricunc,nmeas,ncont);
CLdkunc = lft(qcar([1:4 2],1:2)*blkdiag(1,actmod),Kdk);
sprintf('mu-synthesis controller Kdk achieved a norm of
%2.5g',gdk)
ans =
mu-synthesis controller Kdk achieved a norm of 0.53946
Pentru analiza performanței controlerului obtinut prin sinteza-μ, se construieste cu feedback un sistem in buclă închisă, CLdkunc. Graficele magnitudinii Bode ale sistemelor cu suspensie pasiva și suspensie activă cu modelul nominal al actuatorului, in cele doua cazuri – cu controlerul H∞ proiectarea 1 și controlerul obtinut prin sinteza-μ, sunt prezentate în figura 3. Se observa că, controlerul obtinut prin sinteza-μ (culoare albastra), atenueaza mai bine primul mod rezonant (23,3 rad/s, frecventa spatiului de huruiala/ zuruiala/ bataie – rattlespace frequency a rotii), ω2 = 23,3 rad / s) la cresterea performanței ce-a scăzut, sub 3 rad/s.
bodemag(qcar(3,1),'k-.',CL1(3,1),'r-',CLmuunc.Nominal(3,1),'b.',…
logspace(0,2.3,140))
Fig 3 Graficele magnitudinii Bode ale sistemelor folosind suspensie pasiva și suspensie activă, modelul nominal al actuatorului si controlerele H∞ din proiectarea 1, respectiv controlerul H∞ obtinut prin sinteza-μ.
Este important să se înțeleaga cum ambele controlere robuste sunt în prezența erorii modelului. In acest scop se poate simula sistemul de suspensie activa folosind controlerul H∞ de la proiectarea 1 și controller obtinut prin sinteza-μ. Sistemele incerte in buclă închisă, notate CL1unc și CLdkunc, sunt formate cu controlerele K1 și KDK, respectiv .Pentru fiecare sistem incert, sunt simulate 40 de modele aleatoare esantionate din setul modelului. Se observa ca ambele controlere sunt robuste și performeaza bine în prezența erorii de modelare a actuatorului. Controlerul obtinut prin sinteza-μ, KDK, atinge o performanta usor mai buna decât controlerul H∞ de la proiectarea 1.
CL1unc = lft(qcar([1:4 2],1:2)*blkdiag(1,actmod),K1);
[CLdkunc40,dksamples] = usample(CLdkunc,40);
CL1unc40 = usubs(CL1unc,dksamples);
nsamp = 40;
for i=1:nsamp
[ymusamp,t] = lsim(CLmuunc40(1:4,1,i),roaddist,time);
plot(t,ymusamp(:,1),'b')
hold on
end
[ymusamp,t] = lsim(CLmuunc.Nominal(1:4,1),roaddist,time);
plot(t,ymusamp(:,1),'r+',t,roaddist,'m–')
Fig. 4 Evolutia in timp a celor 40 de modele esantioane aleatoare ale procesului, cu controlerul DK obtinut prin sinteza-miu
for i=1:nsamp
[y1samp,t] = lsim(CL1unc40(1:4,1,i),roaddist,time);
plot(t,y1samp(:,1),'b')
hold on
end
[y1samp,t] = lsim(CL1unc.Nominal(1:4,1),roaddist,time);
plot(t,y1samp(:,1),'r+',t,roaddist,'m–')
Fig. 5 Evolutia in timp a celor 40 de modele esantioane aleatoare ale procesului, cu controlerul Hinfinit proiectarea 1
CAPITOLUL XIV
Concluzii
In lucrare au fost dezvoltate si cercetate mai multe metode de control, diferite, pentru procesul suspensie activa la automobile, in vederea îmbunătățirii controlului acesteia. Majoritatea acestor abordări necesită modelul procesului. Mai mult, la unele abordari nu se pot obține performanțe satisfăcătoare la modificarea diferitelor condiții de drum. Exista si metode de calcul soft, de exemplu controlul fuzzy, abordat in lucrare, care nu are nevoie de un model matematic precis.
Simularile pe calculator au fost efectuate pentru a verifica fezabilitatea controlerului proiectat (fuzzy, robust etc) pentru a compara suspensia activa cu un sistem ce beneficiaza doar de suspensie pasiva. Pe baza simularilor se poate concluziona că sistemul de suspensie activă controlat (indiferent de tipul controlerului), funcționează mai bine comparativ cu un sistem de suspensie pasiva. Majoritatea controlerelor proiectate sunt relativ simplu și ușor de a fi implementate. Rezultatele simularilor au arătat ca si controlul fuzzy este eficient si poate fi folosit la vehiculele fabricate în viitor. Rezultatele sistemului de suspensie activă bazate pe logica controlerului fuzzy arată, de asemenea, stabilitatea îmbunătățită a modelului unui ¼ de masina. Tot simularile au aratat ca un controler fuzzy are performante mai bune decât un controler PID.
Controlerele obtinute prin sinteza H∞ si sinteza-μ au fost proiectate si investigate pentru utilizare într-un sistem de suspensie activa auto, reprezentarea fiind tot a unui model de ¼ masina și un model al unui actuator de ordinul 1 (dispozitiv de acționare hidraulica).
Pe de altă parte, controlerele H∞ au fost destul de greu a fi proiectate. Alegerea functiei de ponderare este o procedură complexă, delicată si care cere multa experienta. Alegerea gresita a ponderilor poate duce usor la performanțe scăzute sau controlere irealizabile. Acest lucru înseamnă, de asemenea, că există mult loc de mai bine, adica o mare marjă de îmbunătățire, prin schimbarea sau modificarea funcțiilor de ponderare. In fond, rolul acestora este acela al configurarii dorite a caracteristicilor de frecventa Bode ale sistemului deschis (loop shaping).
Controlerul obtinut prin sinteză-μ a avut cele mai bune performanțe. Sistemul inchis obtinut cu feedback, a realizat stabilitate robustă și performanță robusta; mai mult, controlerul a lucrat bine si atunci când s-a utilizat cu sistem neliniar. Performanțele sale îmbunătățite au fost observate atunci când a fost comparat cu un sistem pasiv (necontrolat), amplitudinile fiind mult reduse, la fel si timpii de stabilizare/linistire.
Metoda interativa DK pentru proiectarea controlerului prin sinteza-μ necesita un timp mare de calcul, în special la sistemele de ordin ridicat și, in aceste cazuri, nu garantează că se poate gasi un controler fezabil. De asemenea, controlerul rezultat este de obicei de ordin foarte mare, care necesită o tehnică de reducere pentru a-l face utilizabil. Proiectarea controlerului prin sinteza-μ permite, de asemenea, ca utilizand funcții de ponderare, acestea să contribuie la realizarea unor cerințe mai specifice de performanță. Procedura aceasta insa, nu a fost utilizată în lucrare.
Bibliografie
[1] Boldea, Ion, Tutelea, L. Electric Machines: Steady State, Transients, and Design With MATLAB (1st Edition), Mixed media product – November, 2009, p. 22
[2]Preitl, St., Precup, R.-E., Preitl Zs, Structuri și algoritmi pentru conducerea automată a proceselor, Vol.1, Editura Orizonturi Universitare, Timișoara, 2009, p. 31;
[3]Preitl, Zs. Model Based Design Methods for Speed Control Applications, Doctoral Thesis, Politehnica University of Timișoara, 2008, Editura Politehnica, 2008, Seria 1: Automatică, nr.8, p. 19;
[4]Voicu, M. Introducere în automatică. Editura Polirom, Iași, 2002, p. 35;
[5]Preitl, St., Precup, R.-E.(editori). Tehnici de proiectare a structurilor de reglare automata. Aplicații. Editura Orizonturi Universitare, Timișoara, 2008, p. 51;
[6]Kiencke, U., Nielsen, L. Automotive Control Systems For Engine, Driveline, and Vehicle, SpringerVerlag Berlin Heidelberg 2005, p. 29;
[7]Preitl, St. , Precup, R.-E. Introducere in conducerea fuzzy a proceselor, Editura Tehnica, Bucurest, 1999, p. 82;
[8]Preitl, St. , Precup, R.-E. Introducere in conducerea fuzzy a proceselor, Editura Tehnica, Bucurest, 1999, p. 82;
[9]Rădac M-B, Precup R-E, Preitl St et al Tire slip fuzzy control of a laboratory anti-lock braking system. In: Proc European Control Conference 2009, ECC ’09, Budapest, Hungary, p. 940;
[10] Balas, G.J., and A.K. Packard, “The structured singular value μ-framework,” CRC Controls Handbook, Section 2.3.6, January, 1996,pp. 671-688.
[11] Ball, J.A., and N. Cohen, “Sensitivity minimization in an H∞ norm:
Parametrization of all suboptimal solutions,” International Journal of Control,
Vol. 46, 1987, pp. 785-816.
[12] Bamieh, B.A., and Pearson, J.B., “A general framework for linear
periodic systems with applications to H∞ sampled-data control,” IEEE
Transactions on Automatic Control, Vol. AC-37, 1992, pp. 418-435.
[13] Doyle, J.C., Glover, K., Khargonekar, P., and Francis, B., “State-space
solutions to standard H2 and H∞ control problems,” IEEE Transactions on
Automatic Control, Vol. AC-34, No. 8, August 1989, pp. 831-847.
[14] Fialho, I., and Balas, G.J., “Design of nonlinear controllers for active
vehicle suspensions using parameter-varying control synthesis,” Vehicle
Systems Dynamics, Vol. 33, No. 5, May 2000, pp. 351-370.
[15] Francis, B.A., A course in H∞ control theory, Lecture Notes in Control
and Information Sciences, Vol. 88, Springer-Verlag, Berlin, 1987.
[16] Glover, K., and Doyle, J.C., “State-space formulae for all stabilizing
controllers that satisfy an H∞ norm bound and relations to risk sensitivity,”
Systems and Control Letters, vol. 11, pp. 167-172, August 1989. International
Journal of Control, Vol. 39, 1984, pp. 1115-1193.
[17] Hedrick, J.K., and Batsuen, T., “Invariant Properties of
Automotive Suspensions,” Proceedings of The Institution of Mechanical
Engineers, 204 (1990), pp. 21-27.
[18] Lin, J., and Kanellakopoulos, I., “Road Adaptive Nonlinear Design of
Active Suspensions,” Proceedings of the American Control Conference, (1997),
pp. 714-718.
[19] Athans, M. The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem
in Control System Design. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 22, no. 5,
1977. pp. 815 – 821.
[20] Haddad, A. and Kokotovic, P. Stochastic Control of Linear Sigularly Perturbed Systems.
IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 16, no. 6, 1971. pp. 529 – 552.
[21] Wang, J., Zolotas, A. C. and Wilson, D. A. Active Suspensions: A Reduced-Order
H1 Control Design Study. Mediterranean Conference on Control and Automation,
July 27-29 2007, Athens, Greece. Conference paper. 7 p.
[22] Porumamilla, H. W.: Modeling and Control of Active Automobile Suspension. Iowa
State University. 2003. 188 p.
[23] Kaleemullah, M., Faris, W. F. and Hasbullah, F. Design of Robust H1, Fuzzy and
LQR Controller for Active Suspension of a Quarter Car Model. 4th International
Conference on Mechatronics, Kuala Lumpur, Malaysia, 17-19 May 2011. Conference
paper. 6 p.
[24] Fallah, M., Bhat, R. and Xie, W-F. H1 Robust Control of Active Suspensions: A
Practical Point of View. American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St
Louis, MO, USA, June 10-12 2009. Conference paper. 6 p.
[25] Lasiecka, I. and Triggiani, R. Di_erential and Algebraic Riccati Equations with Application
to Boundary/Point Control Problems: Continuous Theory and Approximation
Theory. Springer Science + Business Media. 1991. 171 p.
[26] Gu, D-W., Petkov, P. Hr., and Konstantinov, M. M. Robust Control Design with
MATLAB (Advanced Textbooks in Control and Signal Processing). Springer London.
2005. 380 p.
[27] Balas, G., Chiang, R., Packard, A. and Safonov, M. Robust Control Toolbox. For Use
with MATLAB. User's Guide. 3rd ed. The MathWorks. 2006. 655 p.
[28] Fialho, I. and Balas, G.J. Design of Nonlinear Controllers for Active Vehicle Suspensions
Using Parameter-Varying Control Synthesis. Vehicle Systems Dynamics, Vol. 33,
No. 5, May 2000, pp. 351-370.
[29] Doyle, J. C., Glover, K. Khargonegar, P. P., and Francis, B. A. State-Space Solutions
to Standard H2 and H1 Control Problems. IEEE Transactions on Automatic Control,
Vol. 34, No. 8, August 1989. 17 p.
Bibliografie
[1] Boldea, Ion, Tutelea, L. Electric Machines: Steady State, Transients, and Design With MATLAB (1st Edition), Mixed media product – November, 2009, p. 22
[2]Preitl, St., Precup, R.-E., Preitl Zs, Structuri și algoritmi pentru conducerea automată a proceselor, Vol.1, Editura Orizonturi Universitare, Timișoara, 2009, p. 31;
[3]Preitl, Zs. Model Based Design Methods for Speed Control Applications, Doctoral Thesis, Politehnica University of Timișoara, 2008, Editura Politehnica, 2008, Seria 1: Automatică, nr.8, p. 19;
[4]Voicu, M. Introducere în automatică. Editura Polirom, Iași, 2002, p. 35;
[5]Preitl, St., Precup, R.-E.(editori). Tehnici de proiectare a structurilor de reglare automata. Aplicații. Editura Orizonturi Universitare, Timișoara, 2008, p. 51;
[6]Kiencke, U., Nielsen, L. Automotive Control Systems For Engine, Driveline, and Vehicle, SpringerVerlag Berlin Heidelberg 2005, p. 29;
[7]Preitl, St. , Precup, R.-E. Introducere in conducerea fuzzy a proceselor, Editura Tehnica, Bucurest, 1999, p. 82;
[8]Preitl, St. , Precup, R.-E. Introducere in conducerea fuzzy a proceselor, Editura Tehnica, Bucurest, 1999, p. 82;
[9]Rădac M-B, Precup R-E, Preitl St et al Tire slip fuzzy control of a laboratory anti-lock braking system. In: Proc European Control Conference 2009, ECC ’09, Budapest, Hungary, p. 940;
[10] Balas, G.J., and A.K. Packard, “The structured singular value μ-framework,” CRC Controls Handbook, Section 2.3.6, January, 1996,pp. 671-688.
[11] Ball, J.A., and N. Cohen, “Sensitivity minimization in an H∞ norm:
Parametrization of all suboptimal solutions,” International Journal of Control,
Vol. 46, 1987, pp. 785-816.
[12] Bamieh, B.A., and Pearson, J.B., “A general framework for linear
periodic systems with applications to H∞ sampled-data control,” IEEE
Transactions on Automatic Control, Vol. AC-37, 1992, pp. 418-435.
[13] Doyle, J.C., Glover, K., Khargonekar, P., and Francis, B., “State-space
solutions to standard H2 and H∞ control problems,” IEEE Transactions on
Automatic Control, Vol. AC-34, No. 8, August 1989, pp. 831-847.
[14] Fialho, I., and Balas, G.J., “Design of nonlinear controllers for active
vehicle suspensions using parameter-varying control synthesis,” Vehicle
Systems Dynamics, Vol. 33, No. 5, May 2000, pp. 351-370.
[15] Francis, B.A., A course in H∞ control theory, Lecture Notes in Control
and Information Sciences, Vol. 88, Springer-Verlag, Berlin, 1987.
[16] Glover, K., and Doyle, J.C., “State-space formulae for all stabilizing
controllers that satisfy an H∞ norm bound and relations to risk sensitivity,”
Systems and Control Letters, vol. 11, pp. 167-172, August 1989. International
Journal of Control, Vol. 39, 1984, pp. 1115-1193.
[17] Hedrick, J.K., and Batsuen, T., “Invariant Properties of
Automotive Suspensions,” Proceedings of The Institution of Mechanical
Engineers, 204 (1990), pp. 21-27.
[18] Lin, J., and Kanellakopoulos, I., “Road Adaptive Nonlinear Design of
Active Suspensions,” Proceedings of the American Control Conference, (1997),
pp. 714-718.
[19] Athans, M. The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem
in Control System Design. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 22, no. 5,
1977. pp. 815 – 821.
[20] Haddad, A. and Kokotovic, P. Stochastic Control of Linear Sigularly Perturbed Systems.
IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 16, no. 6, 1971. pp. 529 – 552.
[21] Wang, J., Zolotas, A. C. and Wilson, D. A. Active Suspensions: A Reduced-Order
H1 Control Design Study. Mediterranean Conference on Control and Automation,
July 27-29 2007, Athens, Greece. Conference paper. 7 p.
[22] Porumamilla, H. W.: Modeling and Control of Active Automobile Suspension. Iowa
State University. 2003. 188 p.
[23] Kaleemullah, M., Faris, W. F. and Hasbullah, F. Design of Robust H1, Fuzzy and
LQR Controller for Active Suspension of a Quarter Car Model. 4th International
Conference on Mechatronics, Kuala Lumpur, Malaysia, 17-19 May 2011. Conference
paper. 6 p.
[24] Fallah, M., Bhat, R. and Xie, W-F. H1 Robust Control of Active Suspensions: A
Practical Point of View. American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St
Louis, MO, USA, June 10-12 2009. Conference paper. 6 p.
[25] Lasiecka, I. and Triggiani, R. Di_erential and Algebraic Riccati Equations with Application
to Boundary/Point Control Problems: Continuous Theory and Approximation
Theory. Springer Science + Business Media. 1991. 171 p.
[26] Gu, D-W., Petkov, P. Hr., and Konstantinov, M. M. Robust Control Design with
MATLAB (Advanced Textbooks in Control and Signal Processing). Springer London.
2005. 380 p.
[27] Balas, G., Chiang, R., Packard, A. and Safonov, M. Robust Control Toolbox. For Use
with MATLAB. User's Guide. 3rd ed. The MathWorks. 2006. 655 p.
[28] Fialho, I. and Balas, G.J. Design of Nonlinear Controllers for Active Vehicle Suspensions
Using Parameter-Varying Control Synthesis. Vehicle Systems Dynamics, Vol. 33,
No. 5, May 2000, pp. 351-370.
[29] Doyle, J. C., Glover, K. Khargonegar, P. P., and Francis, B. A. State-Space Solutions
to Standard H2 and H1 Control Problems. IEEE Transactions on Automatic Control,
Vol. 34, No. 8, August 1989. 17 p.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Sisteme de Suspensie (ID: 163626)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.