Sisteme de Ecuatii Liniare. Aplicatii Si Aspecte Metodice
PLANUL LUCRĂRII
ARGUMENTUL LUCRĂRII…………………………………………………………………..pag 5.
INTRODUCERE…………………………………………………………………………………….pag 6.
I . SPAȚII VECTORIALE
Definiții. Exemple………………………………………………………………………….pag. 8.
Reguli de calcul într-un spațiu vectorial………………………………………………….pag. 10.
Sistem de generatori. Mulțime liniar independentă. Bază. Dimensiune. Spații vectoriale finit–dimensionale……………………………………………………………………..pag. 11.
1.4. Subspații ale unui spațiu vectorial. Spații – cât…………………………………………..pag. 19.
1.5. Morfisme și izomorfisme de spații vectoriale……………………………………………pag. 24.
II . SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
Matricea unei aplicații liniare. Rangul unei matrice……………………………………pag.29.
2.2. Sisteme de ecuații liniare. Notații și noțiuni generale…………………………………pag. 32.
2.3. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare compatibile………………………………….pag. 37.
2.4. Metoda eliminării a lui Gauss………………………………………………………………..pag.41.
III . APLICAȚII ALE SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE
3.1.Exerciții rezolvate…………………………………………………………………………..pag. 49.
3.2. Utilizarea în alte domenii………………………………………………………………….pag. 76.
IV. CONSIDERAȚII METODICE
4.1. Analiza comparativă a unor manuale alternative de matematică clasa a XI-a …pag. 87.
4.2. Propunere opțional „ Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare – pas cu pas”……pag.96.
V.PROIECTAREA DIDACTICĂ LA MATEMATICĂ
5.1. Componentele și algoritmul proiectării ………………………………………………….pag. 102.
5.2. Cunoasterea resurselor și condițiilor de desfășurare a procesului de instruire…pag.105.
5.3.Organizarea și pregătirea continutului procesului de instruire ……………………pag.105.
5.4. Stabilirea activităților de predare-invatare (succeptibile să asigure realizarea obiectivelor propuse)……………………………………………………………………………..pag.106.
5.5. Modalităti de evaluare a rezultatelor (asigurarea conexiunii inverse)…………..pag.106.
5.6.Model de proiectare a activității didactice …………………………………………….pag.108.
5.7.Teste de evaluare………………………………………………………………………………pag.123.
BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………pag. 127.
ARGUMENTUL LUCRĂRII
Matematica zilelor noastre evoluează dinamic sub raport cantitativ și, mai ales calitativ. Cercetări și descoperiri contemporane redimensionează permanent domeniile ei și impun exigențe deosebite fundamentelor sale. Învățămantul nu poate rămâne în afara acestor frămantări. El are de rezolvat probleme noi referitoare la expunerea în școală a bazelor unor științe în continuă transformare. În consecință se impune informarea și perfecționarea permanentă și competentă a profesorilor de matematică asupra direcțiilor de dezvoltarea matematicii. Având în vedere ca bagajul de cunostințe al unui profesor trebuie să depășească substanțial nivelul manualelor, dar și de faptul că în ultima perioadă nu se mai acordă o atenție prea mare sistemelor de ecuații liniare și aplicațiilor acestora în rezolvarea unor probleme am considerat necesar și util prezentarea celor mai reprezentative metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare precum și unele aplicații ale acestora.
Studiul sistemelor de ecuații liniare reprezintă o temă de mare importanță în matematica preuniversitară, fiind un instrument foarte mult utilizat pentru modelarea unor probleme concrete. Acest studiu , începand cu clasa a VII-a ,este făcut gradat și este finalizat în clasa a XI-a cand, pe baza instrumentului oferit de calculul matricial este posibilă descrierea unei metode complete de rezolvare. Deși în aparență reprezintă o tema marginală, sistemele de ecuații liniare își dovedesc de foarte multe ori utilitatea și parcurgerea cu atenție, pricepere și tact a acelor locuri din cadrul materiei privitoare la acest subiect constituie o piatră de încercare pentru fiecare profesor în efortul de a oferi elevilor accesul la un grad ridicat de corelare a noțiunilor și rezultatelor matematice parcurse.
De aceea, lucrarea de față, va prezenta sisteme de ecuații elementare, dar și probleme complexe care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații împreună cu suportul teoretic ce stă la baza rezolvării acestora.
Lucrarea va putea constitui totodată o sursă de informare pentru profesorul care dorește să introducă o disciplină opțională de studiu a matematicii la nivelul clasei a XI-a care să aibă ca subiect probleme elementare (din alte domenii) care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații sau pentru profesorul care dorește să prezinte la clasă și alte probleme decât cele prevăzute în programa școlară. De asemenea, poate fi și o bază de studiu pentru elevii care se pregătesc pentru olimpiade și concursuri școlare.
INTRODUCERE
Această lucrare conține cinci capitole și reprezintă o sinteză a cunoștințelor de algebră referitoare la noțiunile de spațiu vectorial peste un corp, rezolvarea sistemelor de ecuații liniare si a problemelor de programare liniară. Prezentarea lor este altfel realizată decât în școală încât să conducă la o reconsiderare de pe poziția unui absolvent care are disponibilitatea unei priviri retrospective de analiză și unificare a conceptelor într-un sistem structural.
Primul capitol intitulat „Spații vectorialecuprinde noțiunile legate de spații vectoriale (liniare) peste un corp dat (definiții, exemple, reguli de calcul, sisteme de generatori, baze) cu precădere cele finit-dimensionale. Capitolul este divizat în paragrafe urmate de exemple.
Capitolul II, numit "Sisteme de ecuații liniare" prezintă noțiuni și teoreme referitoare la rangul unei matrice, teorema lui Kronecker-Capelli de rezolvare a unui sistem liniar de n ecuații cu m necunoscute și teorema referitoare la rezolvarea sistemelor omogene (făcând legătura cu spațiile vectoriale finit-dimensionale). Am prezentat în continuare într-un nou paragraf o altă metodă decât cea clasică (școlară) de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare și anume metoda lui Gauss; atât metoda eliminării parțiale cât și metoda eliminării complete.
Fiecare capitol dedicat unei anumite problematici va prezenta în prima parte definițiile și principalele teoreme în care sunt implicate noțiunile respective precum și exemple.
Capitolul III prezintă o serie de exerciții rezolvate care utilizează noțiunile teoretice din capitolele anterioare punând în evidență aplicabilitatea teoriei prezentate,exerciții propuse la bacalaureat, exerciții propuse la admitere facultate sau diferite concursuri de matematică.
Capitolul IV numit „Considerații metodice”, prezintăo analiză comparativă realizată detaliata modului în care unitatea de învățare “ Sisteme de ecuații liniare” este tratată în diferite manuale alternative de clasa a XI-a (4) , criteriile fiind: Conformitatea cu prevederile programei; Calitatea conținutului; Principiul accesibilității; Organizarea și conducerea învățării; Funcționalitatea; Probe de evaluare; Originalitatea; Prezentarea, tehnoredactarea și condițiile materiale.
De asemenea, în acest capitol va fi prezentată o propunere de curs opțional:
„ Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare – pas cu pas”
Capitolul V numit "Proiectarea didactică la matematică" va prezenta câteva noțiuni pedagogice folosite în susținerea orelor de matematică predate în învățămantul preuniversitar.
PARTEA I – SEGMENTUL ȘTIINȚIFIC
CAPITOLUL I
SPAȚII VECTORIALE
Definiții. Exemple.
Definiția 1.1.1. Fie K si M două mulțimi nevide. Numim operație (înmulțire)externă (lege de compoziție externă) pe multimea M cu domeniul de operatori K o funcție notată multiplicativ definită pe K x M cu valori în M:K x M → M, (λ, x) → λ·xcare asociază fiecărui cuplu
( λ, x )KxM un unic element λ·xM.
Observație. Atunci când K=M, o operație externă pe M cu domeniul de operatori M este de fapt o operație pe M. De aceea, pentru o mai bună delimitare a limbajului, o operație pe M se mai numește și operație internă pe mulțimea M.
Definiția 1.1.2. Dacă este dată o operație externă pe M cu domeniul de operatori K, iar H este o submulțime nevidă a lui M, spunem ca H este o parte a lui M, stabilă față de operația externă, dacă:
xH, K λ·xH.
Exemplu.Considerăm operația externă definită pe R cu domeniul de operatori R prin
(λ, f)→λf, fR, .
Submulțimea H= unde nN este fixat, este o parte stabilă a lui R, stabilă față de operația externă dată.
Definiția 1.1.3. Fie (K, +, ·) un corp comutativ. Se numește spațiu vectorial (spațiu liniar) peste corpul K un triplet (V, +, ·) unde V este o mulțime nevidă, „+” este o operație internă pe V iar „·” este o operație externă pe V cu domeniul de operatori K, astfel încât sunt satisfăcute următoarele cinci axiome:
SV1. Cuplul (V.+) este grup abelian;
SV2. (λ+)x=λ+, λ, K, xV;
SV3. (x+y)=λx+λy, K, x, yV;
SV4. λ(x)=(λ)x,K, xV;
SV5. 1·x=x, xV.
Un spațiu vectorial peste corpul comutativ K se mai numește și K – spațiuvectorial. Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari. Axiomele SV2 și SV3 arată că înmulțirea externă este „distributivă” față de suma scalarilor și față de suma vectorilor, axioma SV4 arată că avem o „asociativitate” a scalarilor, iar axioma SV5semnifică faptul că elementul unitate 1 din corpul Keste „elementul – unitate” și la înmultirea externă.
Un spațiu vectorial peste corpul R se numește spațiu vectorial real, iar un spațiu vectorial peste corpul C se numește spațiu vectorial complex.
Observație. Deși se notează la fel adunarea din corpul K și adunarea din grupul V, respectiv înmulțirea din corpul K și înmulțirea externă pe V, nu există pericol de confuzie. Astfel, spre exemplu, în axioma SV2, suma λ+ din membrul stâng se efectuează în corpul K, în timp ce suma (λx+) din membrul drept se efectuează în grupul V. În axioma SV4 () din membrul stâng semnifică înmulțirea externă dintre scalarul și vectorul x, în timp ce (λ) din membrul drept reprezintă înmulțirea internă dintre scalarii λ și în corpul K etc. De asemenea, se notează cu același simbol 0atât scalarul nul din corpul K cât și vectorul nul din spațiul vectorial V.
Exemple:
1. Să notăm cu V mulțimea vectorilor liberi din plan. Un vector liber se reprezintă printr-un segment orientat (având o origine și o extremitate) și este unic determinat de trei elemente care îl definesc: modul, direcție și sens. Aceasta înseamnă că doi vectori sunt egali dacă au același modul (lungime), aceeași direcție (aparțin aceleiași drepte sau unor drepte paralele) și același sens. De aceea originea unui vector liber dat poate fi în oricare punct din plan.
Adunarea vectorilor, ce se efectuează după bine-cunoscuta regulă a paralelogramului, determină o structură de grup abelian pe mulțimea V. De asemenea avem o înmulțire externă pe V cu domeniul de operatori R, care este înmulțirea dintre un vector și un scalar real. Sunt satisfăcute axiomele:
SV1. (V,+) grup abelian;
SV2. (λ+)=λ+,R, V;
SV3. λ(+)=λ+λ, R, , V;
SV4. λ()=(λ), R, V;
SV5. 1·=, V;
Așadar V este un spațiu vectorial real numit spațiul vectorial real alvectorilor liberi din plan. Analog putem vorbi de spațiul vectorial real alvectorilor liberi din spațiu.
2. Pentru n notăm =.
Pe mulțimea definim adunarea internă:
, …, , ⇒ prin definiție
+
În definitiv, mulțimea este mulțimea a matricelor – linie și operația de adunare din este cea de adunare a matricelor. E clar atunci că (+)este un grup abelian.
Pe definim înmulțirea externă cu domeniul de operatori în felul următor:
,
Se verifică ușor și celelalte axiome din definiția spațiului vectorial. În concluzie, este spațiu vectorial real.
3. Fie K un corp comutativ și m, n. Mulțimea este un grup abelian relativ la adunarea matricelor. Considerand operația externă pe cu domeniul de operatori K dată de înmulțirea unei matrice cu un scalar din corpul K, rezultă imediat că este un spațiu vectorial peste corpul K. În particular, când m=n rezultă că este spațiu vectorial pesteK.
4. Fie K un corp comutativ și K mulțimea polinoamelor peste corpul K. Se știe că (K este un grup abelian ( grupul aditiv al inelului de polinoameK). De asemenea, avem o înmulțire externă pe K cu domeniul de operatori K dată de înmulțirea unui polinomdin K cu un element din K (un polinom constant). Atunci K este un spațiu vectorial peste corpul K.
1.2. Reguli de calcul într-un spațiu vectorial
Sub aspect formal axiomele SV1, SV2, SV3, SV4 din definiția spațiului vectorial se scriu la fel ca axiomele pe care le întâlnim în definiția inelului. Diferența constă în aceea că la inele ambele operații sunt interne, în timp ce la spațiile vectoriale una din operații este internă iar cealaltă este externă.
Avem următoarele propoziții:
Propoziția 1.2.1.Fie V un spațiu vectorial peste corpul K comutativ. Atunci:
0·x=0,
λ·0=0, (0 este element absorbant față de cele două operații);
(regula semnelor).
λ·;
.
(înmulțirea externă este distributivă față de diferența vectorilor și a scalarilor)
Propoziția 1.2.2. Fie V un spațiu vectorial peste corpul comutativ K și λ astfel încât λ·x=0. Atunci λ=0 sau x=0.
Demonstrație. Este suficient să arătam că dacă λ atunci x=0. Într-adevăr, deoarece λeste inversabil în corpul K. Atunci:
λ·x=0⇒⇒1adică⇒1·x=0 ⇒x=0
Propoziția 1.2.3. Într-un spațiu vectorial, comutativitatea adunării este consecință a celorlalte axiome.
Demonstrație. Fie x, y arbitrari. Calculăm (1+1)(x+y) în două moduri:
(1+1)(x+y)=1(x+y)+1(x+y)=x+y+x+y (1)
(1+1)(x+y)=(1+1)x+(1+1)y=x+x+y+y (2)
Din relațiile (1) și (2) rezultă x+y+x+y=x+x+y+y adică y+x=x+y
. Sistem de generatori. Mulțime liniar independentă. Bază. Dimensiune. Spații vectoriale finit–dimensionale
Definiția 1.3.1.Fie V un spațiu vectorial peste corpul comutativ K și x1, x2, … xnV,, , … . Vectorul + se numește combinația liniară a vectorilor x1, x2, … xn cu scalarii .
Definiția 1.3.2.Fie V spațiu vectorial peste corpul K.
O submulțime S⊆V se numește sistem de generatori al lui Vdacă pentru oricare xV, existăx1, x2, … xnS astfel încât x = ++ … + (evidentn, și vectorii x1, x2, … xnS depind de x).
Așadar S este un sistem de generatori dacă orice vector din V se scrie ca o combinație liniară de vectori din S cu scalari din K.
O submulțime L⊆V se numește liniar independenta (libera)dacă din + … +=0 (cu x1, x2, … xn) ⇒ == … .
Așadar L este liniar independentă dacă singurele combinații liniare cu elemente din L care sunt egale cu vectorul nul, sunt cele triviale, adică formate cu scalari nuli. Dacă L este o submulțime liberă se spune, echivalent, că vectorii din L sunt liniar independenți.
O submulțime M⊆V care nu este liniar independentă se numește liniar depandentă. Așadar, M este liniar dependentă dacă există x1, x2, …, xnM cu λ1, 2, … , λn nu toți nuli, astfel încât . Acest lucru este echivalent cu faptul că printre elementele x1, x2, … , xn există (cel puțin) unul care se scrie ca o combinație liniară de celelalte. Dacă M este o mulțime liniar dependentă se spune, echivalent, că vectorii din M sunt liniar dependenți.
Teorema 1.3.3. (teorema bazei).Dacă x1, x2, …, xn este un sistem de generatori ai K – spațiului vectorial V în care x1, x2, …, xr , r ≤ n, sunt liniar independente, atunci există o bază B a lui V astfel încât .
Demonstratie. Fie B un sistem de elemente liniar independente, care conține pe , este conținut în și maximal cu această proprietate. Putem presupune că B = , r ≤ m ≤ n. Arătăm că B este bază în V. Prin alegerea sa B = rezultă că este un sistem de elemente liniar independente și deci rămâne să arătăm că este un sistem de generatori ai lui V. Pentru aceasta este suficient să arătăm că subspațiul conține pe x1, x2,…,xn. Fie xi, m i ≤ n; atunci prin alegerea lui B rezultă că sistemul de elemente x1, …, xm, xi este liniar dependent. Prin urmare, există o combinație liniară de forma:
în care nu toți coeficienții ai, ajK, j = 1, 2, …, m sunt nuli. Rezultă că ai ≠ 0, căci altfel sistemul B ar fi liniar dependent. Din (1) se obține:
n
xi = – ∑aj adică xi.
j=1
Corolar 1.3.3.1. Fie V un K – spațiu vectorial nenul. Atunci orice sistem de vectori liniar independent X V poate fi completat pâna la o bază a lui V.
Corolar 1.3.3.2.Fie V un K – spațiu vectorial nenul. Atunci, din orice sistem de generatori S ⊂V se poate extrage o bază.
Teorema 1.3.4. Fie V un spațiu vectorial peste corpul K și v1, v2, …, vr un sistem liniar independent de vectori din V. Pentru orice vector x următoarele afirmații sunt echivalente:
Sistemul de vectori v1, v2, …, vr, x este liniar dependent;
Vectorul x este o combinație liniară de vectorii v1, v2, …, vr.
Demonstrație.
2).Cum sistemul de vectori v1,v2, …vr, xeste liniar dependent rezultă că există1, 2rnu toți nuli, astfel încât1v12v2rvrv0Avem 0. Într-adevăr, dacă =0, atunci din 1v12v2rvrv12r0,contradicție. Așadar 0și atunci putem defini i -1i cu 1 i r și rezultă
x=1 v12v2rvr.
1).Fie 1,2r așa încât x=1v12v2rvr. Atunci:
x=1v12v2rvr + (-1) x 0Cum (–l) 0 sistemul de vectori v1, v2, …vr, x este liniar dependent. Fie 1, 2nK e o bază a spațiului vectorial V peste corpul K. Dacă xV, atunci există 1, 2nK astfel încât x=1e12e2nen.
Observăm că scalarii 1, 2n sunt unic determinați de vectorul x și baza B.
Într-adevăr, dacă pentru , Kavem x=e1e2en atunci:
(1–)e1(2–)e2(n–)en=x–x=0și, cum sistemul de vectori e1, e2,…, en este liniar independent rezultă că 1–=2–=n–= 0deci i=unde 1 i n.
Exemple.
În mod evident pentru orice K-spațiu vectorial V, submulțimea S=V este un sistem de generatori, întrucât oricare ar fi xV,există1Kastfel încât x = 1∙ x.
În spațiul vectorial real M2(R)mulțimea:
S =
este un sistem de generatori, întrucât orice matrice XM2(R),
X= se scrie sub forma:X =1+ 1
În orice K-spațiu vectorial V mulțimea formată dintr-un vector nenul este liniar independentă pentru că dacă x = 0 și x 0 = 0. De asemenea, mulțimea formată cu vectorul nul este liniar dependentă, deoarece 1 0 = 0,iar 1 0.
În spațiul vectorial R3 mulțimea L = {(1, 0, 0), (0, 3, 0)}este liniar independentă. Într-adevăr, dacă 1, 2R sunt alese astfel încât:
1(1,0,0)+ 2(0,3,0) = (0,0,0)(1,32,0) = (0,0,0)1= 2 = 0.
5) În spațiul vectorial Knpeste corpul comutativ Kmulțimea:
B={el, e2,… ,en}unde el = (l,0, ..,0), e2= (0,1,0, …,0), …,en=(0,0, .., 1) este o bază numită baza canonică..Într-adevăr, B este un sistem de generatori căci orice XKn,
X=(X1,X2,…,Xn) cu Xi Kse scrie:
X = X1(1,0, … 0) + X2(0, 1, 0, …,0) + …+ Xn(0, 0, … , 1) = X1e1+X2e2+…+Xnen. De asemenea, B este o mulțime liberă, deoarece dacă 1, 2nKsunt astfel încât 1e12e2nen= 0 aceasta se scrie succesiv:
1(1,0, …,0)+ +2(0,1,0, …,0) + n(0,0, …,1)=(0,0, …,0)
(1,2, …, n) =(0,0, …,0)1=2=n=0.
6) În spațiul vectorial K[X] al polinoamelor peste corpul K,mulțimea:
B=(l, X, X2,…,Xn) este o bază.
Într-adevăr, orice fK[X] se scrie f=a0+a1X+…+anXn cu aiKdeci ca o combinație liniară de vectori din B cu scalari din K, ceea ce înseamnă că B este un sistem de generatori. De asemenea mulțimea B este liberă întrucât:
1Xp1 + 2Xp2 + … + n Xpn= 0 (iK, p1, p2, …, pnN)
(căci polinomul nul, care apare în membrul drept, are numai coeficienți nuli).
Observații.
Orice submulțime a unei mulțimi liniar independente este liniar independentă.
Orice supramulțime a unei mulțimi liniar dependente este o mulțime liniar dependentă.
Orice supramulțime a unui sistem de generatori este un sistem de generatori.
Verificările afirmațiilor din aceste observații sunt imediate.
Definiția 1.3.5.Fie V un spațiu vectorial peste corpul comutativ K.
1) Dacă existănN, n 1 cu proprietatea că V conține o mulțime liniar independentă cu n vectori și orice mulțime cu n+1 vectori este liniar dependentă, spunem că V este un spațiu finit-dimensional de dimensiune n. Scriem dimKV=n.
În caz contrar, adică dacă în V există mulțimi liniar independente cu oricâte elemente, spunem că V este spațiu infinit-dimensional. Scriem dimKV = .
Ca o completare, spunem că spațiul vectorial nul (redus la un element) are dimensiunea zero.
Remarcă. Ținând seama de punctul 1)din definiția precedentă și de faptul că orice supramulțime a unei mulțimi liniar dependente este o mulțime liniar dependentă, rezultă că un spațiu vectorial are dimensiunea n dacă și numai dacă există o mulțime liberă cu n vectori și orice mulțime cu mai mult de n vectori este liniar dependentă.
Așadar, pentru un spațiu vectorial finit-dimensional, dimensiunea acestuia este o caracteristică intrinsecă a spațiului: ea reprezintă numărul maxim de vectori liniar independenți din acel spațiu.
Următorul rezultat este remarcabil pentru un spațiu finit-dimensional, întrucât pune într-o lumina nouă dimensiunea spațiului.
Teorema 1.3.6.Fie V un K-spațiu vectorial de dimensiune n. Atunci:
orice mulțime liniar independentă din V are cardinalul mai mic sau egal cu n;
orice sistem de generatori din V are cardinalul mai mare sau egal cu n.
Demonstrație.
1) Rezultă din faptul că dimensiunea este maximul cardinalelor mulțimilor
liniar independente incluse în V.
2) Fie S un sistem de generatori. Dacă S este infinit, afirmația se verifică în mod banal. Să presupunem că S este o mulțime finită, S={xl, x2, …, xp}. Considerăm o mulțime arbitrară cu p+1vectori inclusă în V, fie aceasta {yl, y2, …,yp+1}.
Ținând seama că S este sistem de generatori, putem scrie:
yl11×1 + … + 1p xp
y221×1 + … + 2p xp
………………………………..
yp+1p+1 x1 + … + p+1p xp
Matricea: A =
este de tipul (p+l,p), deci are rangul r p. Dar rangul unei matrice este numărul maxim de vectori-linie (vectori-coloană) liniar independenți. Cum p+1> r înseamnă că cei p+1vectori-linie din matricea A sunt liniar dependenți. Prin urmare există1, 2p+1K, nu toți nuli, astfel încât:
1(11, …, 1p) + … + p+1(p+1,1,p+12, …, p+1,p) = (0,0, … ,0)
= 0, j = 1, p
Atunci:
11 + … + p+1p+1= =
= 0.
Rezultă că vectorii y1, y2, …, yP+1sunt liniar dependenți. Deci oricare p+1 vectori din V sunt liniar dependenți și atunci, ținând seama de definiția dimensiunii, rezultă
p +1> n. Deci p > n–l, adică p n.
Remarcă. Propoziția precedentă arată că într-un spațiu vectorial finit-dimensional, dimensiunea acestuia poate fi privită ca o "graniță": este maximul cardinalelor mulțimilor liniar independente și minimul cardinalelor sistemelor de generatori.
Este adevărat că nu ne-am asigurat de existența unui sistem de generatori de cardinal minim și anume egal cu dimensiunea, dar vom da următoarea teoremă care ne asigură de existența unei baze și de faptul că oricare două baze au același cardinal, deci este un rezultat semnificativ.
Teorema 1.3.7.Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n. Atunci:
spațiul V conține cel puțin o bază;
oricare bază din V are cardinalul n.
Demonstrație.
Deoarece dimKV=n există în spațiul vectorial V o mulțime liberă cu n vectori, fie aceasta B0={x1,x2…,xn}. Arătăm ca B0 este și sistem de generatori și atunci B0 va fi o bază a lui V.
Fie xV un vector arbitrar. Mulțimea {xl, x2, …,xn, x} are n+1vectori, deci este liniar dependentă. Atunci există 1, 2nK nu toti nuli, astfel încât:
1×1 + 2×2 + … + n xn + x = 0
Nu se poate ca =0, căci ar rezulta 1×1+2×2+…+n xn=0 unde nu toți 1, 2n sunt nuli, ceea ce ar contrazice liniar independenta mulțimii B0. Așadar 0și atunci K este inversabil. Rezultă:
x = – x1 – … – x n
Deci orice vector xV este o combinație liniară de vectori din B0. Așadar B0este un sistem de generatori și fiind mulțime liberă, este o bază.
2) Fie o bază B oarecare a lui V, adică o mulțime care este liniar independentă și sistem de generatori. Să notăm cu m cardinalul bazei B care este finit,căci Beste liberă și cardinalul maxim al mulțimilor libere este egal cu dimensiunea n.
Prin urmare, m n. Cum B este și sistem de generatori, vom avea, conform teoremei precedente, m n. Așadar m = n și teorema este demonstrată.
Remarcă. Punctul 2) al teoremei precedente arată că într-un spațiu vectorial finit-dimensional dimensiunea spațiului este cardinalul comun al tuturor bazelor.
Totodată, ținând seamă și de teorema 1.3.5 deducem că o bază este în același timp o mulțime liberă maximală și un sistem de generatori minimal.
În fine, mai facem observația că teorema precedentă este valabilă și într-un spațiu vectorial infinit-dimensional.
Rezultatul următor dă o altă accepțiune pentru noțiunea de bază, mai precis dă o condiție necesară și suficientă ca o submulțime finită a unui spațiu vectorial să fíe bază.
Teorema 1.3.8.Fie V spațiu vectorial peste un corp comutativ K și
B={x1, x2, …,xn} o submulțime a lui V. Următoarele afirmații sunt echivalente:
B este o bază a spațiului vectorial V;
Pentru orice x V, existăși sunt unice1, 2n K astfel încât:
x =1 x1 + 2 x2 + … + n xn
(scalarii 1 ,2 , … ,n se numesc coordonatele vectorului x în baza B).
Demonstrație.
2) Presupunem că B este o bază. Atunci B este un sistem de generatori, deci pentru orice x V există 1,2nK astfel încât
x =1×1 + 2×2 + … + n xn.. Arătăm că scalarii 1,nsunt unic determinați pentru x ales. Fiex =1×1+ …+n xn o altă scriere a vectorului x, unde 1, 2n K.
Rezultă: 1×1 + 2×2 + … + n xn=1×1+ …+n xn (1- 1)x1+…+(n – n)xn=0
și cum Beste o mulțime liberă , înseamnă că 1- 1=2 – 2= … =n – n = 0 și deci
1 =1; 2=2 ; … ;n =n adică scrierea lui x ca o combinație liniară cu elemente din B este unică.
1) Presupunem că pentru oricarte ar fi xV ,există1,2n K , unic determinați astfel încât x=1×1 + 2×2 + … + n xn.. Înseamnă deja că B este un sistem de generatori. Arătăm că Beste și mulțime libera.
Fie 1,2nK astfel încât 1×1+2×2+… +n xn= 0. Înseamnă că 1×1+2×2+… +n xn=0x1+ 0x2+…+0xnși cum scrierea vectorului nul ca o combinație liniară cu elemente din B este că 1=2= …n=0. Așadar B este un sistem de generatori și mulțime liberă, deci este o bază a unică, de unde deducem spațiul vectorial V.
Exemple.
1).În spațiul realV al vectorilor liberi din plan, orice mulțime B = unde , sunt doi vectori nenuli care au direcții diferite, formează o bază. Într-adevăr, dacă vV este vector, descompunând vectorul v după direcțiile , avem v=v1+v2 unde v1 are aceeași direcție cuși v2 are aceeași direcție cu .Atunci v1=a, v2= cu Rv=a +b, adică B este un sistem de generatori. Arătăm că B este mulțime liberă.
Fie Rastfel încât a +b=0. Dacă am avea ar rezulta b=(a adică a și b ar avea aceeași direcție, contrar alegerii acestor vectori. Așadar =0 și deci a=0 adică =0B={a,b} este o bază. Rezultă dimKV=2.
.În K-spațiul vectorial Kn, o bază este baza canonică B={e1, e2, …, en} unde
e1=(l,0,. ..,0), e2=(0, 1,0, …,0),.., en=(0, 0, …,1). Rezultă că dimK Kn = n.
Când K=R, pentru n=1 avem spațiul vectorial real R (dreapta reală) de dimensiune 1; când n=2 avem spațiul vectorial R2(planul real) de dimensiune 2; când n=3 avem spațiul vectorial real R3(spațiul fizic real) de dimensiune 3. Coordonatele unui vector diferă de la o bază la alta. Astfel, v=(3, –2, 5)R3.
Cum v = 3e1 – 2e2+ 5e3, coordonatele lui v în baza canonică a lui R3 sunt (3, –2, 5) (adică egale cu componentele lui v).
Pe de altă parte vectorii v1=(–1,1,1) , v2=(1,–1,1), v3=(1,1,–1) formează o bază a lui R3 și coordonatele lui v=(3, –2, 5) în baza v1, v2, v3 sunt 3/2, 4, 1/2pentru că
v =(3/2)v1+4v2+(l/2)v3. Analog în spațiul vectorial Rn (sau chiar Kn, unde K corp oarecare), vectorii e1, e2, …, en formează o bază canonică a lui Rn (respectiv a lui Kn). Mai mult, pentru X= (a1, a2, …, an) avemX=a1e1+a2e2+…+anen deci coordonatele lui X în baza canonică coincid cu componentele sale, și anume a1, a2, …, an.
În K-spațiul vectorial Mm,n(K) o bază este mulțimea:
B={Eij| 1 i m ; 1 j n } unde matricea Eijeste aceea care are la intersecția liniei i cu coloana j elementul-unitate 1, iar în rest 0.
Într-adevăr, orice matrice XMm,n(K), X=(a i j)1im, 1jn se scrie unic:
X=aijEi j
1im
1jn
Deoarece Bare mn elemente rezultă că dimK Mmn(K)= mn.
În particular, pentru m=n rezultă dimK Mn(K)= n2.
Fie K corp comutativ, nN și Kn[X]={fK[X] | grad f n}. Evident Kn[X] este K-spațiu vectorial. Mulțimea B={1, X, X2, …, Xn} este o bază a lui Kn[X] deoarece oricepolinom fKn[X] se scrie unic: f=ao+a1X+a2X2+…+anXncu aiK.
Deoarece baza are n+1 elemente rezultă că dimK Kn[X]=n+1, aK polinoamele pi= (X-a)i,0i n, formează o bază a lui Kn[X].
Observație. În exemplul 4) de la primul paragraf, K[X] este spațiu vectorial infinit dimensional pe când în exemplul de mai sus Kn[X] este spațiu vectorial finit dimensional.
1.4. Subspații ale unui spațiu vectorial. Spații – cât.
Definiția 1.4.1. Fie V un K-spațiu vectorial și W o submulțime nevidă a lui V. Spunem că W este subspațiu vectorial al spațiului V dacă W este o parte a lui V, stabilă față de operațiile internă și externă de pe V, iar W împreună cu operațiile induse este un K-spațiu vectorial real.
Exemple:
Să considerăm spațiul vectorial real M2(R). Submulțimea: S =
este un subspațiu vectorial al lui M2(R) căci este ușor de verificat definiția de mai sus.
Orice K-spațiu vectorial V are două subspații improprii: subspațiul nul {0} și spațiul V însuși.
Următorul rezultat indică două condiții necesare și suficiente pe care trebuie să le satisfacă o submultime a unui spațiu vectorial pentru a fi un subspațiu vectorial.
Propoziția 1.4.2.Fie V un K-spațiu vectorial și W o submultime nevidă a lui V. Următoarele afirmații sunt echivalente:
W este subspațiu vectorial al lui V;
i) oricare ar fi x,yWx – yW;
ii) oricare ar fi K,oricare ar fixWxW;
oricare ar fi x,yW, oricare ar fi K(x-y)W.
Demonstrație.
2) Presupunem că W este subspațiu vectorial. Atunci W este K-spațiu vectorial, deci (W,+) este grup abelian, deci un subgrup al grupului (V,+) de unde rezultă i). De asemenea W fiind subspațiu vectorial este o parte a lui V stabilă fața de operația externă de pe V, de unde rezultă ii).
3) Presupunem adevărate condițiile i) și ii). Dacă x,yW oarecare și Keste oarecare, din i) rezultă x,yW și folosind ii) vom avea (x-y)W deci 3) este adevărată.
1) Presupunem 3) adevărată. Fie x,yW. Luând în 3) =1x-yW și aceasta arată că (W,+) este subgrup al grupului (V,+), deci este, în particular, o parte a lui V, stabilă față de adunarea internă de pe V. Luând în 3) y=0xW, KxW. Aceasta arată că W este o parte a lui V, stabilă față de înmulțirea externă de pe V.Deci toate axiomele spațiului vectorial sunt imediat verificate și, în concluzie, W este un subspațiu vectorial al lui V, adică 1) este adevărată.
Exemple.
Kn[X] este un subspațiu vectorial al K-spațiului vectorial K[X], întrucât K, f,gKn[X]f-g)Kn[X].
W= {(x1, x2, …,xn-1,0)|xiK} este un subspațiu vectorial al K-spațiului vectorial Kn, întrucât pentru x,yW și K avem (x-y)W.
Rezultatul care urmează se referă la subspațiile unui spațiu vectorial finit-dimensional.
Propoziția 1.4.3.Fie V un K-spațiu vectorial finit-dimensional și W un subspațiu al lui V. Atunci, W este finit-dimensional și dimKWdimKV, cu egalitate dacă și numai dacă W=V.
Demonstrație.Fie n=dimKV. Luând n+1 vectori oarecare din subspațiul W, ei fac parte și din V și atunci sunt liniar dependenți. Dar, dacă oricare n+1 vectori din W sunt liniar dependenți, înseamnă că dimensiunea lui W este cel mult egală cu n. Așadar dimKWn = dimKV.
Să arătăm acum echivalența: dimKW=dimKVW=V. Implicația () este evidentă.
Să arătăm (). Presupunem că dimKW=dimKV=n. Atunci există o bază
B={x1, x2, …,xn}W care are n elemente. Dar această mulțime B rămâne bază și în V, căci este o mulțime liberă cu număr maxim de vectori și în demonstrația teoremei 1.3.6. am văzut că o mulțime liberă maximală este și sistem de generatori, adică este o bază. Atunci, pentru xV, 1,2nK astfel încât x=1xI+2×2+ …+nxnW.Deci VW și cum VWW=V.
Fie V un K-spațiu vectorial și W un subspațiu al său. Atunci (W,+) este un subgrup al grupului abelian (V,+) deci putem vorbi de grupul-factor (V/W,+). Elementele acestui grup-factor sunt clasele modulo W adică x=x+W unde xV. Pe mulțimea V/W definim înmulțirea externă cu scalari din corpul K în felul următor:
K,xV/Wx=x
Se arată ușor că această operație este bine definită, adică ', x=x' x='x'.
Propoziția1.4.4.Dacă V este un K-spațiu vectorial și W un subspațiu al său, atunci V/W este un K-spațiu vectorial, numit spațiul-cât (spațiul-factor) al lui V prin subspațiul W. Vom încerca să determinăm dimensiunea spațiului-cât în cazul spațiilor finit-dimensionale.
Lema 1.4.5.Fie V un K-spațiu vectorial finit dimensional și x1,x2, …,xpV. Atunci:
mulțimea <x1, x2, …,xp> a tuturor combinațiilor liniare formate cu vectorii x1,x2,…, xpeste un subspațiu vectorial al lui V, numit subspațiul generat de vectorii x1,x2,…, xp.
dacă, în plus, vectorii x1, x2, …, xp sunt liniar independenți, atunci mulțimea:
B={x1, x2, …, xp} esteo bază a lui <x1, x2, …, xp> și, pentru orice xV/<x1, …, xp>vectorii x1, x2, …, xp, x sunt liniar independenți.
Demonstrație.
a) Avem: <x1,x2,…,xp> = {1 x1 + … + p xpi K}.
Pentru orice Kx,y<x1, x2, …, xp> arbitrare, cu x=1 x1+ …+p xp,
y=1 x1+…+p xp x,y) =(1-1)x1+…+(p-p)xp<x1, x2, …,xp>. Aceasta arată că<x1, x2, …,xp> este subspațiu al Iui V.
b) Din definiția subspațiului<x1, x2, …,xp>rezultă că mulțimea:
B={x1, x2, …,xp} este un sistem de generatori pentru acest spațiu vectorial, iar dacă este și mulțime liberă înseamnă că este chiar o bază.
Fie acum xV/<x1, …,xp> și să arătăm că vectorii x1, x2,…, xp, x sunt liniar independenți. Fie 1,pK astfel încât 1 x1 + … + p xp+ x= 0.
Nu putem avea 0 căci ar rezulta x=-(1/) x1 – … – (p/) xp<x1,x2,…,xp>, contrar alegerii lui x. Așadar =01 x1 + … + p xp+x=0. Cum B este bază pentru subspațiul vectorial <x1, x2, …,xp>1=2=…=p=0 adică vectorii x1, x2, …,xp,x sunt liniar independenți.
Teorema 1.4.6.Fie V un K-spațiu vectorial de dimensiune n și W un subspațiu al lui V de dimensiune m (m<n). Atunci spațiul-cât V/W are dimensiunea n-m.
Demonstrație. Cazul m=n este banal, căci atunci W=V, deci V/W se reduce la spațiul nul, care are dimensiunea 0=n-m.
Tratăm acum cazul nebanal când m<n.
Alegem o bază în W, fie aceasta B0= {x1,x2, …, xm}. Atunci W=<x1,x2,…,xm>. Deoarece m<n avem WV deci există xm+1V/W. Conform lemei precedente, mulțimea
B={x1, x2, …, xm, xm+1} este liniar independentă.
Considerăm subspațiul <x1, x2, …, xm, xm+1> în care conform lemei, mulțimea B1 este o bază. Dacă m+l<n, atunci <x1, x2, …, xm, xm+1>V și luăm un vector
xm+2V/<x1,..,xm+1>. Notăm B2= {x1, x2, …, xm, xm+1, xm+2} care va fi mulțime liberă și considerăm subspațiul generat de această mulțime, adică:<x1, x2, …, xm, xm+1, xm+2>.
În acest subspațiu mulțimea B2 este o bază. Continuăm procedeul și după un număr finit de pași, în care ținem seama de fiecare dată de Lema 1.4.5, obținem o bază:
Bn-m={x1, x2, …, xm, …,xn} a lui V, care include baza B0={x1, …, xm} a lui W. Arătăm că în spațiul-cât V/W mulțimea P={xm+1, …,xn} este o bază. Fie un element arbitrar din spațiul-cât. Cum {x1, …, xn} este o bază a lui V, avem:
x=1 x1 + … + m xm+ m+1 xm+1 + … + nxn cu iK.
Trecând la clase, ținând seama că x1, x2, …, xmW obținem: x=m+1 xm+1 + … + nxn
Aceasta arată că P este sistem de generatori pentru spațiul-cât. Acum arătăm că P este mulțime liberă.
Dacă m+1,..,nK sunt astfel încât m+1 xm+1 +…+ nxn= 0 înseamnă că
m+1 xm+1 +…+ nxnW . Atunci m+1xm+1+…+nxn=1×1+…+mxm pentru anumiți 1,…,mK. Ultima egalitate se mai scrie1×1+ … +mxm-m+1xm+1-…-nxn=0 și cum { x1,…,xn} este bază aluiV
1=2=…=m=m+1= =…=n=0. Reținem că m+1=…=n=0 și astfel P este o mulțime liberă.Așadar P este bază în spațiul-cât V/W. Mulțimea P are efectiv n-m elemente,deoarece oricare două elemente din P sunt distincte. Într-adevăr, nu putem avea xj= xipentru m+1 i j n, căci ar rezulta xi-xjW, adică xi-xj = 1×1+ … +m xm cu 1,…,mK. ceea ce se mai scrie:1×1+ … +m xm-xi+xj = 0 și s-ar contrazice liniar independența vectorilor x1, x2, …,xn.
În concluzie, dimensiunea spațiului-cât este: dimKV/W = |P| =n-m=dimKV-dimKW.
Trecerea de la o bază la alta a unui spațiu vectorial V, precum și modul în care se transformă coordonatele vectorilor când se face o schimbare de bază, se descrie în lema următoare, într-un caz particular foarte important.
Lema 1.4.7. (lema substituției).Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n,
B=(e1, e2, …,en) o baza a lui V, vV , v= 1e1+2e2+ …+nenși
B*= (e1,…, ei-1,v,ei+1,…,en). Atunci:
B* este sistem liniar independent al lui V dacă și numai dacă i 0.
Când i 0, B* este bază a lui V și coordonatele 1*,2*n*în bazaB* ale unui vector xV se exprimă în funcție de coordonatele sale 1,2n din baza B prin formulele:
i* = , j* = j – pentru ji
Demonstrație. Fie 1,2nK astfel încât:
1e1+2e2 + … +i-1ei-1+iv+i+1ei+1nen=0
Cum v=1e1+2e2+ …+nen, deducem:
(1+i1)e1+…+(i-1+i i-1)e i-1+iiei+(i+1+i i+1)e i+1+(n+in)en=0
Vectorii e1, e2, …,en, fiind liniar independenți rezultă:
(1) j+jj =0 pentru ji și ii=0
Dacă i0 se deduce 1=2=…=n=0 deci B* este un sistem liniar independent. Dacă i= 0, în (1) se poate lua i0 și deci, B* este sistem liniar dependent. Presupunem i0 și fie xV, x= 1e1+ … +nen. Cum i0, avem:
Așadar, dacă i0, atunci B* este și sistem de generatori pentru V, deci bază a lui V. Se obțin totodată și formulele de transformare pentru coordonatele vectorului x când se trece de la baza B la baza B* .
Lema substituției are un rol decisiv în elaborarea unor metode numerice ale algebrei liniare. Calculul tipic ce trebuie efectuat în cadrul acestor metode constă, păstrând notațiile din lema substituției, în a găsi coordonatele în baza B* ale vectorilor v, x, y,… când se cunosc coordonatele acestora în baza B. Se folosesc, în acest scop, tabele ale căror linii corespund vectorilor bazei B, respectiv B* și în coloanele cărora sunt inserate coordonatele vectorilor v,x,y,.. în baza B, respectiv B*.
TabelulB*
Tabelul B
Atunci când i 0 ,vectorul eial bazei B se poate înlocui cu vectorul v și se obține baza B*.În acest caz i din tabelul B este declarat pivot și se face mențiunea aceasta prin încadrarea într-un pătrat. Tabelul B* se obține din tabelul B ,după cum urmează:
a) se împart la pivot toate elementele din linia acestuia;
b) pivotul se înlocuiește cu 1 și celelalte elemente din coloana acestuia se
înlocuiesc cu 0;
c) toate elementelej din afara liniei și coloanei pivotului se înlocuiesc cu:
j – (ji)/i =
operație cunoscută sub numele de "regula dreptunghiului”.
Aplicații la lema substituției se găsesc în capitolul III, „Aplicații ale sistemelor de ecuații liniare”.
1.5. Morfisme și izomorfisme de spații vectoriale
Definiția 1.5.1. Fie V și V' două spații vectoriale peste un același corp comutativ K. O aplicație f:VV' care verifică proprietățile:
i).f(x+y)=f(x)+f(y), x,yV (se spune că f este aditivă);
ii).f(x)=f(x), xK, xV (se spune că f este omogenă)
se numește morfism de spații vectoriale sau aplicație liniară.
Observație. Fie V și V' două K-spații vectoriale.
O funcție f : V V'este o aplicație liniară dacă și numai dacă:
f(x+y)=f(x)+f(y), x,yV și ,K
Demonstrație. Presupunem că f este aplicație liniară. Rezultă:
f(x+y)= f(x)+f(y)=f(x)+f(y), x,yV și ,K
Reciproc, dacă presupunem că pentru f(x+y)=f(x)+f(y) , x,yV și ,K, luând =rezultă:
f(x+y)=f(x)+f(y), adică se verifică condiția i) din definiția 1.5.1.
Luând =0f(x)=f(x)adică se verifică condiția ii) din definiția 1.5.1.
Propoziția 1.5.2. Dacă f,g :VV' sunt două aplicații liniare, iar
B={x1,x2, …, xn} o bază a spațiului vectorial V, avem echivalența:
f =gf(xi)=g(xi) unde i {1,2,… ,n} .
Demonstrație:
() este evidentă;
() Pentru xV arbitrar există 1,2,…,nK astfel încât:
X=1×1+2×2+…+nxn. Atunci:
f(x)=f(1×1+2×2+…+nxn)=1f(x1)+2f(x2)+…+nf(xn)=g(1×1+2×2+…+nxn)
adică f=g.
Această propoziție arată că acțiunea unei aplicații liniare este perfect determinată pe tot spațiul pe care este definită dacă este cunoscută acțiunea sa pe o bază. Se mai spune că, dacă știm valorile lui f pe elementele unei baze, putem extinde "prin liniaritate" definiția lui f la tot spațiul.
Observație. Dacă f : VW* este morfism de spații vectoriale, din condiția i) a definiției 1.5.1. rezultă că f este, în particular, morfism de la grupul (V,+) la grupul (V',+).
Aplicând teorema referitoare la morfisme de grupuri, deducem:
f(0) = 0' și f(-x) = -f(x), xV unde 0 este vectorul nul al lui V și 0' este vectorul nul al lui V'.
De asemenea:
Într-adevăr, dacă n=l proprietatea rezultă din ii) a definiției 1.5.1. Dacă n>1 atunci, presupunând proprietatea adevărată, pentru n-1 avem:
Definiția 1.5.3.Un morfism de spații vectoriale de la un spațiu la el însuși se numește endomorfism al acelui spațiu vectorial. Se notează cu EndKV mulțimea tuturor aplicațiilor liniare ale lui V.
Exemple.
1). Fie V=R2 și AM2(R),A = .
Atunci aplicația fA:VV',
fA(x)=(a11x1+ a12x2, a21x1+a22x2),x=(x1,x2)R2 este o aplicație liniara a spațiului vectorial R2.
Într-adevăr, dacă R și x,yR2 cu x=(x1,x2) și y= (y1,y2) atunci:
x + y=( x1+x2, y1+y2), x=(x1,x2), de unde:
fA(x+y)=( a11(x1+y1)+ a12(x2+y2), a21(x1+y1)+ a22(x2+y2)=
= (a11x1+ a11y1+ a12x2+ a12y2, a21x1+ a21y1+ a22x2+ a22y2)=
= (a11x1+a12x2, a21x1+a22x2)+( a11y1+a12y2, a21y1+a22y2)= fA(x)+ fA(y) și
fA(x)= (a11(x1)+ a12(x2), a21(x1)+ a22(x2))=( a11x1+a12x2, a21x1+a22x2) =fA(x)
2) Aplicația f:R2R2,
f(x)=(2×1+3×2, x1+x2+1), x=(x1, x2)R2 nu este o aplicație liniară a spațiului vectorial R2.
Într-adevăr, de exemplu:
f(3x)=(6×1+9×2, 3×1+3×2+1)=3(2×1+3×2, x1+x2+1)+(0,-2)=
= 3f(x)+(0,-2)3f(x).
3) Fie V spațiu vectorial peste corpul K și 1V:VV aplicația identică. Cum:
1V(x+y)=x+y=1V(x)+ 1V(y), x,yV și
1V(ax)=ax=a1V(x)=1V(x), xV și aK rezultă că 1Veste aplicație liniară a lui V numită aplicația identică a lui V.
De asemenea, aplicația 0:VV, 0(x)=0, xV este transformare liniară numită transformarea zero a lui V.
0(x+y)=0=0+0=0(x)+0(y) x,yV și 0(ax)=0=a0=a0(x), aK și
xV
4) Fie f: R3R2 definită prin f(x1,x2, x3)=( x1,x2). Atunci f este un morfism de spații vectoriale.
Fie x,yR3 cu x=( x1,x2, x3) și y =(y1,y2, y3). Atunci,
f(x+y)=f(x1+y1, x2+y2, x3+y3)= (x1+y1, x2+y2)=(x1,x2)+ (y1,y2)=f(x)+f(y)
Pentru Roarecare avem:
f(x)=f(x1,x2,x3)=(x1,x2)=( x1,x2)=f(x)
5) Fie IR interval și D(I)={:IR| derivabilă pe I}. Notăm cu F(I) mulțimea funcțiilor integrabile Riemann. D(I) este spațiu vectorial real. Aplicația f:(I)F(I) prin f()=' este morfism de spații vectoriale.
Într-adevăr, D(I) avem: f(+)=(+)'='+' =f()+f(), iar pentru R avem f()=()'=' =f() conform definiției 1.5.1. că f este morfism de spații vectoriale.
Propoziția 1.5.4.Dacău:VV'este aplicație liniară atunci:
Ker u={xV | u(x)=0'} este un subspațiu vectorial al lui V;
ueste injectivă Ker u={0};
DacăWeste un subspațiu al luiV, atuncif(W) este un subspațiu al luiV'și, în particular,
Imf=f(V) este un subspațiu al luiV'.
Definiția 1.5.5.Fie V și V' două K-spații vectoriale. O funcție u:VV' care este un morfism inversabil de spații vectoriale (adică o funcție inversabilă, iar funcția inversă de asemenea morfism de spații vectoriale) se numește izomorfism de spații vectoriale. Funcția inversă u-1:V'V este tot un izomorfism de spații vectoriale numit izomorfism invers.
Un izomorfism de spații vectoriale de la un spațiu la el însuși se numește automorfism al acelui spațiu.
Dacă între două K-spații vectoriale V și V' există cel puțin un izomorfism spunem că ele sunt izomorfe și scriem VV'.
Propoziția 1.5.6. Un izomorfism de K-spații vectoriale u:VV' este izomorfism este bijectiv.
Pentru spații vectoriale finit-dimensionale următorul rezultat este foarte important și afirmă că toate spațiile vectoriale de aceeași dimensiune (finită) peste un corp comutativ K fixat sunt izomorfe cu spațiul vectorial Kn. Altfel spus, abstracție făcând de izomorfisme, peste un corp K există un singur spațiu vectorial de dimensiune n și anume Kn.
Teorema 1.5.7. Orice K-spatiu vectorial de dimensiune n este izomorf cu K-spațiul vectorial Kn.
Demonstrație. Fie V un K-spațiu vectorial de dimensiune n și B={x1, x2, …, xn} o bază a lui V. Fie B0={e1, e2, …,en} baza canonică a spațiului Kn. Definim funcția f:VKn mai întâi pe elementele bazei B prin f(xi)=ei cu i{1, 2, …,n} și apoi o extindem prin liniaritate, adică:
f(1×1+2×2+…+nxn)=1f(x1)+2f(x2)+…+nf(xn)=1e1+2e2+…+nen =
=(1,…,n)Knpentru orice 1,…,nK .
Din însuși modul cum o fost definită rezultă că f este o aplicație liniară. Această aplicație este și bijectivă, deoarece pentru orice (1,…,n)Kn există un unic vector
xV și anume x=1×1+2×2+…+nxn pentru care f(x)=.Deci f este aplicație liniară bijectivă, adică f este izomorfism de spații vectoriale.
Teorema 1.5.8. (teorema fundamentală de izomorfism).Fie u:VV' un morfism de K-spații vectoriale. Atunci:
există izomorfismul de K-spații vectoriale V/Ker uIm u;
dacă u este surjectiv atunci V/Ker uV';
V finit-dimensional, atunci Ker u și Im u sunt spații finit-dimensionale și avem
dimKV=dimKKer u+dimKIm u.
Demonstrație.
Funcția :V/KeruIm u prin (x)=u(x) este bine definită și este izomorfism de spații vectoriale.
Dacă ueste surjectiv, atunci Im u=V' și aplicând 1) avem V/Ker uIm u=V';
Ker u este subspațiu al lui V deci este finit-dimensional; spațiul-cât V/Ker u este de asemenea finit-dimensional și fiind izomorf cu Im u rezultă că Im u este finit-dimensional. În plus, conform teoremei 1.4.6.avem: dimKV/Ker u=dimKV-dimKKer u. Dar V/Ker uși Im u sunt izomorfe și deci au dimensiuni egale. Așadar, dimKV-dimKKer u =dimKIm u, de unde obținem exact rezultatul cerut.
CAPITOLUL II
SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
2.1. Matricea unei aplicații liniare. Rangul unei matrice.
Fie V și W două spații vectoriale peste corpul comutativ K cu dim V=m și
dim W=n, {e1,…,em} baza în V,{f1,…,fn} baza în W, iar u:V W o aplicație liniară. Dacă:
atunci matricea (aij) astfel obținută se numește matricea asociată lui u în bazele e1,…,emși
f1,.., fn.Dacă bazele sunt aceleași, pentru orice matrice (bij)Mm,n(K) definim o aplicație liniara v:VW prin :
și dacă
Așadar, pentru baze fixate există o bijecție între aplicațiile liniare de la V la W și matricile din Mm,n(K) asociate acestor baze.
Cu notațiile precedente, fie xV și x1,…, xmcoordonatele lui xîn baza e1, … ,em , iar y1,…, yn coordonatele lui u(x) în baza f1, …, fn. Atunci:
și din unicitatea scrierii lui u(x) în baza f1, …, fn rezultă relațiile:
care ne dau o nouă interpretare a matricii asociate unei aplicații liniare.
Propoziție 2.1.1. Fie V un spațiu vectorial de dimensiune m, e1,… ,em și v1,…,vm baze în V, iar u : VV o aplicație liniară. Atunci u este automorfism (adică aplicație liniară bijectivă) dacă si numai dacă matricea asociată lui u în bazele de mai sus este inversabilă.
Fie A=(aij)Mn,n(K) unde K este un corp comutativ. Dacă considerăm șirurile de numere 1 i1i2…<ipm și 1j1j2…jqn, putem construi o submatrice a matricei A, de tip pq astfel:
adică este o matrice construită din toate elementele matricei A care se găsesc la intersecția liniilor i1i2, …, ip cu coloanele jl, j2, …, jq. Astfel putem construi Cmp ∙ Cnq submatrice de tipul pq ale matricei A.
Vom numi minor de ordinul p (p>1 ) al matricei A, determinantul unei submatrice de tipul pp al lui A.
Definiția 2.1.2. Fie A o matrice nenulă cu m linii și n coloane. Se numește rangul matricei A un număr natural r>0 având următoarele proprietăți:
Există un minor de ordin r al lui A, nenul.
Orice minor de ordin mai mare decât r este egal cu zero. Numărul r se notează cu rang A.Dacă A = 0, atunci rang (A)= 0.
Proprietăți.
0 <rang(A)< min(m,n);
rang (A)=rang(tA);
rangul unei matrice nu se schimbă dacă permutăm liniile (respectiv coloanele) între ele;
rangul lui A nu se schimbă niciodată dacă înmulțim o linie (coloană) cu un element nenul din corpul K;
r=rang (A) dacă și numai dacă există un minor de ordin r nenul al lui A și orice minor de ordin r+1 al lui A este nul.
Observație: Dacă proprietățile l)-4) rezultă din proprietățile determinanților, pentru 5) trebuie să arătăm că orice minor al lui A de ordin s>r este nul.
Într-adevăr, dacă s=r+l, afirmația rezultă din ipoteză. Dacă s=r+2 se ține cont că orice determinant de ordin r+2 dezvoltat după o linie este o combinație liniară de s determinanți de ordin r+1 și deci acest minor este nul. Apoi se procedează prin recurență după s.
Alte proprietăți ale rangului unei matrice vor rezulta din teorema lui Kronecker.
Dacă E=Mm,l(K) și F=M1,n(K) este bine cunoscut că E și F sunt K-spații vectoriale în care dimKE=m și dimKF=n.
Dacă c1A, c2A, …, cmAE, iar l1A ,12A, …, lnAF, are sens să vorbim de subspațiul vectorial al lui E generat de elementele c1A, c2A, …, cmA notat prin: c1A, c2A, …, cmA, precum și de subspațiul vectorial al lui F generat de:11A ,12A, …, lnA notat
11A ,12A, …, lnA .
Teorema 2.1.3. (teorema lui Kronecker)Pentru orice matrice A =(aij)Mmxn(K) unde Keste un corp comutativ avem:
rang(A)=dimKc1A, c2A, …, cmA= dimKl1A,l2A, …, lnA, sau altfel spus, rang(A) este egal cu numărul maxim de coloane (respectiv linii) care sunt liniar independente.
Demonstrație. Fie r=rang (A). Putem presupune că A0 (deoarece pentru A=0 este evident). Atunci r0 și există un minor de ordin r nenul. Deoarece rangul unei matrice nu se schimbă dacă permutăm liniile (respectiv coloanele) între ele, putem presupune că submatricea lui A este:
B = cu determinantul diferit de zero.
Fie ij= = , 1im, r<jn.
Avem ij=0, lim, r<jn. Într-adevăr ,dacă lir, atunciij=0 pentru că ij este determinantul unei matrice cu două linii egale (liniilei și r+1), iar dacă i >r, din nou ij=0 căci este minor de ordin r+1 al matricei A, presupusă de rang r.
Să observăm că complemenții algebrici ai elementelor ai1,ai2,…, air,aijde pe linia r+1 a lui ij nu depind de i și fíe aceștia d1,d2 ,.., dr,d. Evident, d=det(B)0.
Dezvoltând ij dupa complemenții algebrici ai liniei r+1, avem:
ij=ai1di+ai2d2+ … + airdr+ aijd=0
deci aij = -d-1ai1di- d-1ai2d2 – … – d-1airdr, 1i m, r<jn
și deci c1A, c2A, …, crAeste un sistem de generatori pentru subspațiulc1A, c2A, …, crA.
Prin urmare rang (A)= dimKc1A, c2A, …, crA.
Analog se arată egalitatea rang (A ) =dimKl1A,l2A, …, lnA.
Din teorema Kronecker rezultă următoarele proprietăți ale rangului unei matrice, care se adaugă la cele 5 de mai sus.
6) rangul unei matrice AMmxn(K) nu se schimbă dacă la o linie (respectiv coloană) adunăm o altă linie (respectiv coloană) înmulțită cu un element din corpul K.
Într-adevăr, dacă A' este matricea care se obține din A adunând la o linie o altă linie înmulțită cu un element, atunci este evident că subspațiul generat de liniile lui A este egal cu subspațiul generat de liniile lui A'.
Observație. Teorema Kronecker ne permite să calculăm rangul unei matrice în mod iterativ. Fiind dată o matrice nenulă, aceasta are neapărat un minor de ordinul întâi nenul; daca am găsit un minor de ordinul k nenul îl bordăm pe rând cu elementele corespunzătoare ale uneia dintre liniile și uneia dintre coloanele rămase obținând astfel toți minorii de ordin k+1 care-l conțin. Dacă toți acești minori sunt nuli, rangul matricei este
r = k. Dacă însă cel puțin unul dintre aceștia (de ordin k+1) este nenul, atunci reținem unul dintre ei și continuăm procedeul. Numărul minorilor de ordin r+1 care trebuie considerați este (m-r)(n-r) (în loc de Cmr+1Cnr+1) reducându-se în mod substanțial numărul lor.
Exemplu:
Să se calculeze rangul matricei:
A=
Se observă că minorul:= -9 0
și dacă bordăm acest minor obținem doi minori de ordin trei, ambii nuli:
= 0 si = 0
Rezultă din teorema Kronecker că rang(A)=2.
2.2. Sisteme de ecuații liniare. Notații și noțiuni generale.
Definiție 2.2.1. Fie K un corp comutativ. Se numește sistem de ecuații liniare cu coeficienți în K în necunoscutele x1 ,x2, …, xn un ansamblu de egalități:
(S)
unde aij, numiti coeficienți și bi, numiți termeni liberi, cu 1im, ljn, sunt elemente ale corpului K.
Sistemul poate fi scris sub formă condensată astfel:
n
(1) aijxj= bi 1i m
j=1
Matricea de tip mn: A =
notată și A =(aij)1im
1jn
se numește matricea coeficienților sistemului sau matricea sistemului, iar matricea de tipul
m(n+l):
Ae=
având primele n coloane coloanele matricei A și ultima coloană formată din termenii liberi ai sistemului S, se numește matricea extinsa.
Notând coloanele matricei A prin cjA,1jn, și formând cu termenii liberi și necunoscutele matrice coloane cu m, respectiv n linii:
cjA = , L = , x =
sistemul (S) se poate scrie matriceal: Ax=L (2)
sau vectorial, în Km=Mm,1(K) astfel: c1Ax1+c2Ax2+…+cnAxn=L (3)
Pentru simplificarea scrierii vom folosi uneori, transpusa matricei X, adică:
t X = (x1,x2,…,xn).
Definiție 2.2.2. Un sistem ordonat de elemente1, 2, …, ndin K se numește soluție a sistemului (S) dacă, înlocuind în (S) xj prin j, 1jn, toate cele m ecuații sunt verificate.
În forma (2) o soluție este o matrice X* KnMn,1(K), tX*=(1, 2, …, n) care verifica ecuația matriceală.
Dacă sistemul (S) are soluție unică spunem că este compatibil determinat și dacă are mai multe soluții este compatibil nedeterminat.
Dacă sistemul (S) nu admite soluții, spunem că este incompatibil.
A rezolva un sistem de ecuații liniare (S) înseamnă a decide dacă acesta este incompatibil sau compatibil, iar în cazul compatibilității, a-i gasi soluția unică, atunci când este determinat, și soluția generală (adică o soluție depinzând de parametri din care să se obțină orice soluție, prin particularizarea parametrilor), atunci când este nedeterminat.
Observatie.Vom da sistemului (S) o altă interpretare. Fixând în K-spațiile liniare
Kn= Mn,1(K) și Km= Mm,1(K) bazele canonice, definim aplicația:
u : KnKm,u(x)=Ax, xKn
Se obține un morfism de spatii liniare, deoarece:
u(x+x')=A(x+x')=Ax+Ax'=u(x)+ u(x')
u(x)=A(x)=Ax=u(x), pentm orice x,x'Kn și orice K.
O soluție a ecuației matriceale este un vector x*Kn astfel incât u(x*)=L deci sistemul este compatibil dacă și numai dacă vectorul LKm admite o contraimagine prin u în Kn, adică LIm (u). Așadar: u(x) = c1Ax1+ c2Ax2+…+ cnAxn, xKn deci sistemul de vectori {c1A, … , cnA}generează subspațiul Im(u) în Km.
Dacă L=0 atunci sistemul Ax=0 se numește sistem liniar omogen. Se observă direct că x =0Kn este o soluție a sistemului, deci un sistem liniar omogen este sistem compatibil. Problema ce rămâne de rezolvat este dacă există soluții diferite de soluția banală x=0.
Teorema 2.2.3.Mulțimea S a soluțiilor unui sistem liniar omogen de m ecuații cu n necunoscute peste corpul comutativ K formează un subspațiu al lui Kn și
dimK S=n-r, unde r este rangul matricei sistemului.
Demonstrație. Observăm că 0S deciS0. Fiex',x''S, adică Ax'=Ax"=0 și fíeK. Atunci: A(x'+x")=Ax'+Ax"=0+0=0și A(x')=Ax’=0=0 deci x'+x",ax'S ceea ce înseamnă că S este subspațiu.
Să observăm că S constituie nucleul morfismului u definit anterior deci S=Ker(u)={xKn | u(x)=0}:={xKn | Ax=0} de unde rezultă direct că S este un subspațiu al lui Kn.
Am arătat că u este morfism de spații liniare; nucleul acestei aplicații este Ker(u)=S iar Im(u) este un subspațiu al lui Km, a cărui dimensiune este numărul maxim de vectori din Im(u) liniar independenți, adică numărul maxim de vectori linie din matricea A care sunt liniar independenți, deci rangul matricii A. Atunci, din teorema fundamentală de izomorfism, rezultă că dimK Kn =dimK S + dimK Im(u) adică dimKS=n-r.
Corolar 2.2.4.Un sistem omogen are numai soluția banală dacă și numai dacă:
rang(A)= n.
Propoziție. 2.2.5.Daca x0Kn este o soluție a sistemului (S) atunci:
x0+Ker(u)={x0+y|yKer(u)} coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (S).
Demonstrație. Dacă xx0+Ker(u)x=x0+y, yKer(u), atunci:
u(x)=u(x0+y)=u(x0)+u(y)=L+0=L.
Reciproc, dacă u(x)=L atunci u(x)=u(x0) deci x-x0Ker(u), de undexx0+Ker(u).
Vom studia în continuare sisteme de n ecuații cu n necunoscute, având matricea sistemului nesingulară, adică:
Ax=L, cu AMn(K), det (A) = d0
Astfel de sisteme se numesc sisteme Cramer.
Notăm în continuare cu dj determinantul matricei Aj obținute din A prin substituirea coloanei cjAprin L.
aj = (c1A c2A … , cj-1A L cj+1A … cn A)a cărui dezvoltare, după coloana j, este:
n
(4) dj = Ahjbh
h=1
unde Ahjeste complementul algebric al elementului ahj din matricea A. Avem:
n
(5) aijAhj =
h=1
Teorema 2.2.6. (regula lui Cramer).Fie sistemul (3) de n ecuații liniare cu n necunoscute, peste corpul comutativ K, având d 0. Atunci, sistemul are o soluție unică dată de formulele:
(6) x1=dr∙d -1, x2=d2∙d -1,…,xn=dn∙d -1
unde djsunt determinanții matricelor Aj, 1 j n.
Demonstrație. Formulele (6) dau o soluție deoarece, aplicând (4) și (5), avem:
nnnnn
aij (djd -1)= d -1 aij Ahjbh = d -1aijAhjbh = d -1(dbi) = bi ,1 i n
j=1 j=1 h=1 h=1 j=1
Aceasta este singura soluție întrucât, înmulțind la stânga cu A-1 (care există deoarece detA = d nenul) ecuația matriceală AX=L, rezultă că orice soluție satisface egalitatea:
X=A-1L
Scriind A-1 sub forma:A-1 = , devine:
X = ==
deci singura soluție este cea dată de (6).
Revenim la cazul general, dând o condiție necesară și suficientă de compatibilitate a sistemului (S) de m ecuații liniare cu n necunoscute, cu matricea sistemului A și matricea extinsa Ae.
Teorema 2.2.7. (teorema Kronecker-Capelli).Un sistem (S) de m ecuații liniare cu n necunoscute peste un corp comutativ K este compatibil, dacă și numai dacă
rang (A) = rang (Ae).
Demonstrație. Dacă sistemul (S) este compatibil atunci există o soluție 1, 2, …, nK a sa, astfel încât: c1A1+…+cnAn=L
de unde c1A,c2A,…,cnA=c1A,c2A, …,cnA,L deci:
rang (A) =rang(c1A,c2A,…,cnA)=dimKc1A,c2A,…,cnA=dimKc1A,c2A,…,cnA,L=
=rang(c1A,c2A,…,cnA,L) = rang (Ae).
Reciproc, presupunem că rang (A) =rang (Ae) = r. Atunci matricea A are r coloane liniar independente și nu mai multe. Presupunem că c1A,c2A,…,crA sunt liniar independente. Cum rang (Ae) =rrezultă că vectorii cIA,c2A,…,cnA,L sunt liniar dependenți și atunci avem:
L= c1Aa1+…+crA ar+cr+1A∙0+…+ cnA∙0,
deci (S) este compatibil.
2.3. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare compatibile
Fie (S) un sistem compatibil de m ecuații liniare cu n necunoscute;
Avem deci rang (A) =rang (Ae) = r , rmin(m, n). Numărul r se numește rangul sistemului (S). Arătăm că putem să ne mărginim în a elabora metode de rezolvare doar pentru sistemele al căror rang coincide cu numărul ecuații.
Într-adevar, să notăm cu A' matricea de tip rxn formată cu r linii liniar independente ale matricei A și cu (S') sistemul format cu ecuațiile lui (S) corespunzătoare liniilor matricei A'. Avem:
Propoziția 2.3.1. Soluțiile sistemului (S) coincid cu soluțiile sistemului (S').
Demonstrație. Fieu :KnKm,u(x)=Ax, xKn.
Definim și: u':KnKr , u’(x)= A’x,x Kn.
Evident, Ker (u)Ker(u'). Cum rang (A) =rang (A') =r rezultă că:
dimKKer (u)=n – rang (A) =n – rang (A') =dimKKer(u') de unde
Ker (u)=Ker(u').
Dacă x0Kn este o soluție a sistemului (S) atunci x0 este soluție și a lui (S’) și cum
x0+Ker (u)=x0+Ker(u') aplicăm propoziția de mai sus.
Considerăm un sistem (S) de m ecuații liniare în n necunoscute și de rang m, dat sub forma matriceală:
(S) Ax= L
Evident,mn. Asociem sistemului (S) următorul sistem omogen:
(S0) Ax=0
Notăm cu NA mulțimea soluțiilor sistemului omogen (S0) asociat lui (S):
NA={xKn| Ax=0}
Cum NA=Ker (u) unde uHomK(Kn, Km), u(x)=Ax, NAeste un subspațiu de dimensiune n -m. Rezolvarea sistemului omogen (S0) revine la a găsi o bază a subspatiului NA numită sistem fundamental de soluții.
Prin ipoteza m=rang (A) = rang (c1A, c2A,…, cnA). Deci matricea A are cel puțin un sistem de m coloane liniar independente. Vom numi bază a matricei A orice submatrice de tip mxm a lui A formată cu m coloane liniar independente ale acesteia. Evident, o submatrice B de tip mxm a lui A este bază a lui A dacă și numai dacă det (B)0. O matrice A de tip mxn și de rang m are cel mult Cnm baze.
Fie B o bază a lui A. Să notăm cu S submatricea de tip mx(n-m) a lui A formată cu coloanele acesteia ce nu intră în baza B. Definim mulțimea de indici:
B={j|cjAintră în bazaB}
S={j|cjAnu intră în baza B }
Avem: B S={l,2, …, n} și B S=
Necunoscutele xj pentru care jB se numesc necunoscute principale (de bază), iar necunoscutele xj pentru care jS se numesc necunoscute secundare.
Pentru a simplifica prezentarea metodei de determinare a unei soluții particulare x0Kn a sistemului (S) și a unui sistem fundamental de soluții pentru sistemul omogen asociat (S0) vom presupune, fără să fie afectată generalitatea, că baza B este formată cu primele m coloane ale lui A și deci matricea S este formată cu ultimele n–m coloane ale lui A. Cu această ipoteză, matricea A se partiționeaza în două blocuri: A=(B,S)
Dacă xKn,xT = (x1,x2,…,xn) definim :
xB= ; xS =
si deci x se poate scriex= .
Cum Ax = (B,S) = BxB+ SxS,
sistemul omogen (S0) se poate scrie: Bxb+Sxs =0, de unde xB= -B-1Sxs.
Fie C=-B-1S = si deci xB=CxS.
Luând pentru necunoscutele secundare xm+1,… ,xn succesiv sistemele de valori 1,0,…,0; 0,1,0,…,0; 0,0,…,1 se obțin următoarele soluții ale sistemului omogen (S0)
x (1) = , x (2) = , …, x (n-m) =
Se observă că x(1),x(2), …, x(n-m) coincid cu coloanele matricei:D = =
unde I este matricea unitate de ordin n-m. Cum det (I) = 1 0, rezultă că
rang (D)= n-m, deci x(1), x(2) , …, x(n-m) sunt vectori liniar independenți.
Dar dimKNA = n-m, deci x(1), x(2), …, x(n-m) formează un sistem fundamental de soluții pentru (S0), de unde :xNAx = 1x(1) +…+n-mx(n-m) , (jK )
Să observăm acum că sistemul (S) se poate scrie BxB + Sxs = L, de unde:xB = B-1LB-1SxS.
Considerând în relația precedentă xs = 0, se obține xB0 = B-1Lși, în definitiv:
x0= = este o soluție particulară a sistemului (S).
Conform unei propoziții anterioare (2.2.5.), forma generată a soluțiilor lui (S) este x0+1x(1)+…+n-mx(n-m), (jK).
Definiție 2.3.2. O soluție a sistemului (S) x0= (x10, x20,…,xn0)T se numește soluție de bază dacă coloanele cjA pentru care xjA 0 sunt liniar dependente.
O soluție de bază x0 se numește nedegenerată dacă are m componente diferite de 0 și se numește degenerată în caz contrar.
Exemplu. Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare
(S)
Avem, deci:A = ; L =
Se constată că rang (A) = 3 și că primele trei coloane ale lui A sunt liniar independente, deci pot constitui o bază B pentru A. Avem deci:
B = , S = , B-1 =
C = – B-1 S = ∙=
Rezultă că x(1)= (0,-1,-1,1,0)T și x(2) =( -l,-l, 0,0,1)T formează un sistem fundamental de soluții pentru sistemul omogen asociat (S0).
Soluția de bază corespunzătoare lui B este:x0 = =(3,1,
și deci soluția generală a lui (S) este:
x0+1x(1)+2x(2).=(3-2, 1-1-2 , -2-1,1, 2), 1,2R.
Observăm că x0 este o soluție de bază nedegenerată.
Sistemul anterior poate fi rezolvat si cu lema substituției.Într-adevăr, fíe (e1,e2,e3) baza canonică a lui R3=M3,1(R). Facem următorul calcul:
Din ultimul tabel rezultă că B=( c1A, c2A, c3A ) este o bază a matricei A,
L=3c1A+ c2A- 2c3A , c4A =c2A +c3A ,c5A =c1A +c2A, de unde se reconstituie ușor soluția de bază x0 și sistemul fundamental de soluții x(l),x(2) determinate prin procedeul anterior.
2.4. Metoda eliminării a lui Gauss.
2.4.1.Transformări elementare de matrice
Fie K un corp și A, BMm,n(K) două matrice de tipul mxn cu elemente din corpul K.Vom nota cu A1,A2 ,…,Am(respectiv cu B1, B2, ….,Bn) liniile matricei A, (respectiv ale matricei B).
Spunem că matricea B se obține pe linii din A printr-o transformare elementară de tipul (I) dacă B se obține din A prin permutarea a două linii între ele, celelalte linii rămânând neschimbate, adică BS=At,Bt=As pentru o anumită pereche de indici st și Bi=Ai pentru is,t.
Spunem că matricea B se obține pe linii din A printr-o transformare elementară de tipul (II) dacă B se obține din A prin adunarea la o anumită linie a lui A a altei linii înmulțită cu un element K, celelalte linii rămânând neschimbate, adică Bi=Ai pentru is și
BS=AS+At cu s t și K.
Matricele A și B se numesc echivalente ( pe linii sau pe coloane)și notăm acest fapt prin A~B , dacă B se obține din A printr-un număr finit de transformări elementare de tipul (I) sau (II) aplicate pe linii sau pe coloane. Este ușor de văzut că relațiile binare definite mai sus sunt relații de echivalență pe mulțimea Mm,n(K).
Propoziția 2.4.1.1.Fie A, B Mm,n(K). Dacă A~B atunci rang(A) =rang(B)
Demonstrație. Rezultă imediat din faptul că rangul unei matrice nu se schimbă dacă permutăm două linii (sau coloane) sau dacă la o linie (coloană) adunăm o altă linie (coloană) înmulțită cu un element din corpul K.
Definiție 2.4.1.2. O matriceA=(a¡j) cu lim și ljn se numește triunghiulară superior dacă este de forma:
A =
Unde,…,sunt nenule iar 1k1<….<kr și 1rm.
Deoarece,…,0, se vede ușor că rang (B) =r și deci r este unic determinat.
Similar se definește că o matrice A este triunghiulară inferior.
Observăm că A este o matrice triunghiulară superior dacă și numai dacă matricea transpusă tA este triunghiulară inferior.
Matricea A se numește diagonală dacă aij = 0 pentru orice ij.
Teorema 2.4.1.3.Fie A=(aij) Mm,n(K) cu1im și 1jn. Atunci:
există o matrice B Mm,n(K) triunghiulară superior astfel încât A~B.
există o matrice CMm,n(K) triunghiulară inferior astfel încât A~C.
iii) există o matrice diagonală D Mm,n(K) astfel încât A~D.
Demonstrație.
i). Fie k1 prima coloană nenulă a matricei A. Deci există 1 im astfel incât 0. Dacă0 punem =. Dacă = 0 atunci permutăm prima linie cu linia i, celelalte rămânând neschimbate și punem = .După această transformare elementară avem o nouă matrice B1echivalentă pe linii cu A. Fie o linie j din matricea B1 cu j. Această linie este egală cu linia j din A deci este egală cu
Aj = (0, 0, …,0, ajk1, …, ajn).
Dacă înmulțim prima linie a matricei B1 cu -1și o scădem din linia j a lui B1 obținem o nouă linie în care elementul din poziția (j,k1) este nul. Efectuând aceeași operație cu toate liniile j ale lui B1 unde j1, i obținem o matrice A' de forma:
A’ =
unde prima linie a lui A’ este prima linie a lui B1, k1<k2 și cel puțin un element din
,…,este nenul. Deci, în particular, =. Evident A~A’. Apoi considerăm submatricea lui A’ din care eliminăm prima linie și continuăm procedeul anterior cu această submatrice. Înseamnă că există k3 cu k2<k3 și o matrice de forma:
A”=
unde prima linie și a doua a matricei A" coincide cu prima (respectiv a doua) linie a matricei A' și cel puțin un element dintre,..,este nenul. Evident A"~A' și, din tranzitivitate, rezultă A''~A. Continuăm procedeul și, după un număr finit de pași, obținem o matrice B triunghiulară superior astfel încât A~B.
ii) Raționamentul este identic cu cel de la punctul i) numai că se operează pe
coloane.
iii) Dacă A=0, nu avem ce demonstra. Presupunem că A0. Există un a ij0. Dacă
a11=0, atunci, permutând prima linie cu linia i și apoi prima coloană cu coloana j, aducem pe a ij în locul lui a11 și obținem o matrice echivalentă cu A. Deci putem presupune că
a110. Scăzând din fiecare liniejl prima linie înmulțită cu a11 -1aij obținem o matrice echivalentă cu A având toate elementele de pe prima coloană egale cu zero mai puțin primul element.
Acum scăzând din fiecare coloană Ak =,kl, prima coloană înmulțită cu
a11-1a1k obținem o matrice echivalentă cu cea inițială având toate elementele de pe prima linie egale cu zero, mai puțin primul element. Deci obținem o matriceA'Mm,n(K) echivalentă cu A și având forma:
=
În continuare reluăm raționamentul cu submatricea:B=
care este o matrice de tipul (m-l)(n-l). După un număr finit de pași obținem o matrice diagonalăDMm,n(K) astfel încât A~D. Propoziția ne ajută să calculăm rangul unei matrice reducând matricea inițială prin transformări elementare la o matrice diagonală. În practică, pentru calculul rangului unei matrice se folosește și un alt tip de transformări elementare.
c) Spunem că o matrice B se obține pe linii (coloane) din A prin transformări elementare de tip (III) dacă B se obține din A prin înmulțirea unei anumite linii (coloane) cu un element nenul din K, celelalte linii (coloane) rămânând neschimbate.
Din proprietățile rangului unei matrice se vede că rang (A) =rang (B). Folosind și transformările elementare de tipul (III) și ținând cont de teorema 2.4.1.3. afirmația iii) obținem:
Dată fiind o matrice AMm,n(K), există o matrice diagonală de forma:
D =
unde primele r elemente de pe diagonala principală sunt 1 iar restul sunt 0 și astfel încât D se obține din A prin transformări liniare de tipul (I),(II),(III).
În acest caz rang (A) =r.
Exemplu. Fie matricea: A =
Aplicând transformări elementare de tipul (I), (II), (III), obținem succesiv:
A=~~
~~~
~~~
~~~
~~~
~~~
~~
Decirang (A) = 4.
2.4.2.Metoda eliminării parțiale a lui Gauss
Fie K un corp comutativ și AMn(K), A = (aij). Vom arăta că, prin efectuarea unui număr finit de transformări elementarea de tipul (I ) și (II) aspra liniilor lui A, aceasta se transformă într-o matriceA* =(aij) astfel încât aij= 0 pentru i>j
Cum a11a22…ann= det( A*) = ± det (A) se obține o metodă avantajoasă de calcul a determinanților. Totodată se obține o nouă metodă de rezolvare a sistemelor liniare, foarte avantajos din punct de vedere al volumului de calcule necesare – metoda eliminării parțiale a lui Gauss.
Lema 2.4.2.1.Fie K un corp comutativ și AMn(K), A=(aij). Există un număr finit de matrice elementare Ul, U2,… ,UP de tip (I), ( II) și (III ) astfel încât
Up… U2 U1A = = A*
În acest caz:
det A = (-l)s1122 …nn=(-l)sdetA*
unde s este numărul matricelor de tip (II) printre matricele elementare U1 , U2, …, UP.
Demonstratie: Pasul 1. Presupunem ca a11 0. În acest caz a11 este declarat pivot sau element generator. Se lasă linia pivotului neschimbată și se adună prima linie a matricei A înmulțită cu: -ai1/a11cu in la fiecare linie i.
A = → = A(1)
Se observă că aceasta revine la a înlocui cu 0 elementele de sub pivot din coloana acestuia și la a transforma cu regula dreptunghiului celelalte elemente de sub linia pivotului. Dacă a11 = 0, printr-o permutare adecvată de linii se aduce mai întâi în poziția (1,1) un element diferit de 0 din prima coloană, în caz că există. Altfel, se trece la pasul următor.
Pasul 2. Cum evident det(A)(1) =± det (A) 0 cel putin unul din elementele , , … , este diferit de 0. Daca a'220, atunci a'22 este declarat pivot și se adună linia a doua a lui A(1) înmulțită cu: - la fiecare linie i, 3in.
A(1)==A(2)
Dacă a'22 = 0, printr-o permutare adecvată de linii ale matricei A(1) se aduce mai întâi în poziția (2,2)un element diferit de zero de sub a'22 din coloana acestuia, în caz că există. Altfel se trece la pasul următor și raționamentul se continuă.
După n-1 faze, matricea A se transformă într-o matrice A* ce are forma celei din enunț. Ultima afirmație din enunț rezultă din faptul că determinantul unei matrice nu se schimbă când efectuăm asupra liniilor sale o transformare elementară de tip (I) și își schimbă semnul când efectuăm o transformare elementară de tip (II).
Corolar 2.4.2.2.Fie K un corp comutativ și AMn(K). Dacă det(A)0, atunci există un număr finit de matrice elementare U1, U2,… ,UP de tip (I )și (II )astfel încât:
Up… U2 U1A= ii0, 1 in
Demonstrație. Fie A matricea din enunțul lemei precedente. Cum 1122,…,nn =det(A)det(A)0 rezultă că în fiecare pas se poate alege un pivot ii0. Pentru a obține rezultatul din enunțul corolarului este suficient ca în fiecare pas să transformăm și elementele de deasupra liniei pivotului.
Considerăm un sistem de ecuații liniare în n necunoscute:
cu det(A)0. Când n este mare, metoda lui Gauss este net superioară celei a lui Cramer după cum rezultă comparând numărul operațiilor necesare în fiecare din aceste metode.
Asupra liniilor matricei extinse Ae=(A,L)=
Se efectuează transformările elementare
prescrise de algoritmul descris în demonstrația lemei anterioare prin care AA*. Atunci:
Ae= = A*e
matricea A*ecorespunzând astfel unui sistem triunghiular (S*) echivalent cu (S):
Unde 1j = , 1jn, 2j = , 2 jn, etc, ii 0, 1in.
Trecerea de la sistemul (S) la sistemul (S*) are ca efect eliminarea parțială a necunoscutelor (xk, 1kn se elimină din ecuațiile k+1, k+2, …, n). Cum det(A )0, avem ij0, li n, ceea ce ne permite ca prin "mers invers" să obținem valorile necunoscutelor xn, xn-1,… , x1:xn = ; xn-1 = , …, x1 =
2.4.3.Metoda eliminării totale Gauss-Jordan
Executând asupra liniilor matricei Aetoate transformările elementare care realizează forma diagonală a matricei A atunci:Ae=
și deci, sistemul (S) este echivalent cu sistemul : (S**)
în care s-a realizat o eliminare totală a necunoscutelor.
Avem, deci: xi=
Observație.Dacă în cadrul metodei Gauss-Jordan în fiecare pas se execută și împărțirea liniei pivotului prin pivot, rezolvarea sistemului (S) revine la aplicarea de n ori a lemei substituției.
Aplicație. Să se rezolve prin metoda eliminării sistemul cu coeficienți în Q:
Soluție.
Cu metoda eliminării parțiale matricea extinsă a sistemului se transformă astfel:
iar cu metoda eliminării totale, matricea devine:
Sistemele echivalente corespunzătoare sunt:
respectiv cu soluția unică x = t(1, 2, -1).
CAPITOLUL III
APLICAȚII ALE SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE
3.1.Exerciții rezolvate
Exercițiul nr. 1:
În spațiul vectorial R3 considerăm vectorii v1=(a,1,1), v2=(1,a,l), v3=(l, l,a) cu
aR.
Să se arate că sistemul de vectori v1, v2,v3 este liniar dependent dacă și numai dacă a=l sau a=-2.
Dacă a 1 și a-2 atunci B=( v1, v2,v3) este bază a lui V'. Când a=-l să se reprezinte vectorul v= (3,2,5) ca o combinație liniară de v1, v2,v3.
Soluție.
Fie v1, v2, v3 R3, astfel încât 1v1 +2v2 + 3v3 = 0
(a1 + 2 3, 1 + a23, 1+2a3) = (0,0,0)
(S0)
sistem omogen în necunoscutele v1, v2,v3 admite soluții nebanale dacă și numai dacă:
D= = 0(a+2)(a-1)2=0 v1, v2,v3liniar dependenți a=1sau a=-2
b) Fie xR3, x =(v1,v2, v3). Să arătăm că se pot determina scalarii 1,23R astfel încât x=1v1+2v2+3v3
Trebuie să avem: (a1+23, 1+a23, 1+2a3) =( a1,a2,a3)
(S1)
Cum al și a -2 rezultă determinantul sistemului (S1)este diferit de zero, deci
sistemul (S1)admite soluție unică conform regulii lui Cramer:
Când a= -l și a1=3, a2= -2, a3=5 rezultă D=4 și1=3/2,2=4,3=1/2 deci
V=(3,-2,5)=3/2v1+4v2+1/2v3.
Exercițiul nr. 2:
Fie L un corp comutativ și K un subcorp al lui L.
Să se arate că L este spațiu vectorial peste corpul K.
Să se deducă faptul că C este un spațiu vectorial peste R, având dimensiunea 2.
Să se deducă faptul că orice corp finit are cardinalul o putere a unui număr prim.
Soluție.
Adunarea internă pe L este adunarea din corpul L, iar înmulțirea externă pe L cu domeniul de operatori K este înmulțirea din corpul L, căci K este subcorp al lui L. Toate axiomele din definiția spațiului vectorial sunt verificate, căci ele apar în definiția corpului L. Rezultă că L este K-spațiu vectorial.
Conform cu punctul precedent, C este un R-spațiu vectorial. Orice număr complex z se scrie în mod unic sub forma z=a+bi=a∙l+b∙i, unde a,bR. Aceasta înseamnă, conform teoremei 1.3.7. de la capitolul I, că mulțimea B={1,i} este o bază a lui C peste R. Deci dimRC=2.
Fie L un corp finit. Atunci L este de caracteristică p număr prim și conține un subcorp K izomorf cu Zp. Conform lui a), corpul L este un spațiu vectorial peste subcorpul său K și acest spațiu este în mod necesar de dimensiune finită n (căci Leste mulțime finită). Atunci avem, conform teoremei 1.3.8. (capitolul I), un izomorfism de spații vectoriale LKn. Trecând la cardinal obținem |L|=pn.
Exercițiul nr. 3:
Fie n l, nN și Cn[X] spațiu vectorial complex al polinoamelor din C[X] de grad mai mic sau egal cu n. Să se arate că dacă aC este fixat, mulțimea:
B={ 1, X-a, (X-a)2,…,(X-a)n} este o bază a lui Cn[X], în care orice polinom fCn[X] se scrie:
(formula Taylor pentru polinoame).
Soluție.
Spațiul vectorial Cn[X] are dimensiunea n+1, întrucât o bază a acestui spațiu este
(1, X, X2, …, Xn). Mulțimea B are cardinalul n+1, adică egal cu dimensiunea spațiului. Atunci, este suficient să arătăm că B este sistem de generatori cu număr minim de elemente (egal cu dimensiunea) deci este o bază. Fie fCn[X] un polinom oarecare cu grad fn. Atunci: f =f(X ) = f((X-a)+a)=a0+a1(X – a)+…+an(X-a)n cu aiC.
Aceasta înseamnă că orice polinom din C[X] se scrie ca o combinație liniară de vectori din B, prin urmare B este un sistem de generatori și, conform cu cele spuse anterior, este o bază. Egalitatea din enunț o vom obține din:
f(X)=a0+a1(X-a)+…+an(X-a)n (1)
dând lui X valoarea a. Observam că f(a)=a0.
Derivând formal în (1) obținem: f(X)=a1+2a2(X-a)+…+nan(X-a)n-1 (2)
și, trecând la valoarea în a, rezultă a1=f '(a). Derivăm formal relația (2) și, trecând la valoarea în a, se obține
Continuăm procedeul si obținem:pentru i=0,1,…,n. Atunci (1) devine:
Ceea ce trebuia demonstrat.
Aplicație.Dacă f= -4+3X-5X2+2X3 și a=2 atunci:
f(2)=-2, Df(2)=7, D2f(2)=14, D3f(2)=12. De unde:
f(X) =-2+7(X-2)2+2(X-2)3+7(X-2)rezultat ce coincide cu cel obținut prin lema substituției la exemplul din paragraful 1.3.3 al capitolului II.
Exercițiul nr. 4:
Fie V un spațiu vectorial peste corpul comutativ K și End(V) mulțimea endomorfísmelor spațiului vectorial V.
Să se arate că (End(V), +, •) este un inel, numit inelul endomorfismelor spațiului V.
Presupunem că V are dimensiunea n și fíeB={e1 , e2 ,…,en} o bază fixată în V. Am văzut că fEnd(V) este determinat dacă și numai dacă cunoaștem valorile f(e1,),…f(en). Să zicem că în baza B acestea se scriu astfel
cu aij'K, sau pe scurt:
Matricea Af=(aij)Mn(K) se numește matricea endomorfismului f în baza B.
Să se arate că : (End(V), +, •) (Mn(K), +,∙), (f)=Af este un izomorfism de inele.
Soluție.
a) Verificările sunt ușoare.
b) Fie f,gEnd(V) două endomorfisme ale căror matrice sunt Af = (aij) șiAg=(bij).
Aceasta înseamnă că:
Atunci:
Rezultă că matricea endomorfismului f+g este:
Af+g= (aij+bij)=Af+Ag (1)
De asemenea putem scrie: (f°g)(ef) = f(g(e})) =
Aceasta înseamnă că matricea endomorfismului fogeste Afog=(cij) unde:
care este tocmai elementul de pe linia i și coloana j din matricea produs Af Ag.
Așadar: Afog= Af Ag (2)
Ținând seama de (1) și (2) avem: (f+g)=Af+g= Af +Ag=(f)+(g), respectiv:
(fog)= Afog= Af Ag=(f)(g)și asfel este morfism de inele.
Morfismul este bijectiv, căci pentru orice matrice A =(aij)Mn(K) există, și este unic, endomorfismul fEnd(V) definit pe baza B prin:
pentru care (f)=Af=A. Așadar este izomorfism de inele.
Observație.Izomorfismul din această problemă arată că studiul endomorfismelor unui spațiu vectorial finit-dimensional peste un corp comutativ este echivalent cu studiul matricelor pătratice de un anumit ordin (și anume dimensiunea spațiului) peste acel corp. Mai mult, modul în care se definesc operațiile de adunare și înmulțire a matricelor (de exemplu regula "bizară" de înmulțire "linii cu coloane" ) are acum o motivație clară: corespunde, prin izomorfismul discutat, adunării, respectiv compunerii endomorfismelor.
Exercițiul nr. 5:
Să se arate că vectorii g1=(l, 3, 5),g2= (6, 3,2),g3= (3, 1, 0) formează o bază G în spațiul liniar (R3, R) apoi să se determine coordonatele vectorilor
x= (3, 7 ,1), y= (0, 0,1), z=(2,3,5) în această bază.
Soluție.
Conform propoziției, vectorii sunt liniar independenți dacă și numai dacă:
rang = 3 , avem ≠ 0
Sistemul vectorilor este maximal deoarece dimR3=3. Fie:
xG=(1,23), yG=(1,23), zG=(1,23), adică:
Fiind trei sisteme de ecuații determinate cu aceeași matrice, le putem rezolva simultan prin metoda eliminării complete (Gauss-Jordan).
Deci xG are componentele: 1 = 33, 2 = -82,3 = 154,
yG are componentele: 1 = -3, 2 = 8,3 = -15,
zG are componentele: 1 = -1, 2 = 5,3 = -9.
Exercițiulnr. 6:
Ce condiții trebuie să îndeplinească scalarii a, b, c astfel încât vectorii:
x =(l, a, a2), y=(1, b, b2), z= (l, c, c2) din spațiul (R3, R)să fíe liniar dependenți?
Soluție.
Scriem combinația liniară a vectorilor x, y, z egalată cu vectorul nul al spațiului:
x+y+z = 0 unde 0=(0,0,0).
(l,a,a2)+(l,b,b2)+(l,c,c2)=(0,0,0)
(++, a+b+c, a2+b2+c2)=(0, 0,0)
Sistemul liniar și omogen obținut are și soluții nebanale dacă determinantul sistemului este nul. Deci = (a-b)(b-c)(c-a)=0a=b sau b=c sau c=a
Exercițiul nr. 7:
Fie V spațiu de dimensiune n și T:VV o aplicație liniară. Arătați că T injectivă T surjectivă.
Soluție.
Fie T injectivă și E={e1, e2,…,en} o bază algebrică în V.
Mulțimea {Te1, Te2,…,Ten} este liniar independentă deoarece:
1Te1+2Te2+…+nTen=0T(1×1+2×2+…+nxn)=0 și deci1×1+2×2+…+nxn=01=2=…=n=0.
Fie acum yV oarecare; există numerele 1,n astfel încât:
Y=1Te1+2Te2+…+nTenyT(E).
Reciproc, dacă există y1,…,ynastfel încât Ty1,=ei și, ca mai sus, se obține că
{y1 ,y2,…,yn} o bază în E.Dacă Tx=0, punând x=1y1+…+nynse obține:
1e1+…+nen =0 și deci x=0.
Exercițiul nr. 8:
Fie E spațiu de dimensiune n și {f1,…, fn} o bază algebrică în E. Fie A=(aij),
i,j=l,2,…,n o matrice cu elemente din K și considerăm:
Arătați că {e1, e2, … en} formează o bază algebrică în E dacă și numai dacă detA=0.
Soluție.
Dacă 0=1e1+2e2+…+nenatunci:
Deoarece {f1,…,fn} este bază, atunci:
Acest sistem liniar omogen are numai soluția banală dacă și numai dacă det(aij) 0.
Exercițiul nr. 9:
Se dau polinoamele în nedeterminata X cu coeficienți reali:
P1(X)=a1X2+b1X+c1
P2(X)=a2X2+b2X+c2
P3(X)=a3X2+b3X+c3
Să se arate că dacă are loc afirmația:
1PI(X)+2P2(X)+3P3(X)=0 (polinomulnul de grad 2) atunci1=2=3
Atunci:≠ 0
Reciproc, dacă determinantul de mai sus este nenul, atunci are loc afirmația de mai sus.
Presupunând realizată condiția de mai sus asupra determinantului să se arate că pentru orice polinom P(X)=aX2+bX+c există unic determinate numerele reale
1,2,3 astfel încât P(X)=1P1(X)+2P2(X)+3P3(X).
Soluție.
a)1P1(X)+2P2(X)+3P3(X)=0
1(a1X2+b1X+c1)+2(a2X2+b2X+c2)+3(a3X2+b3X+c3)=0
X2(1a1+2a2+3a3)+ X(1b1+2b2+3b3)+ (1c1+2c2+3c3)=0
1a1+2a2+3a3=0
1b1+2b2+3b3=0
1c1+2c2+3c3=0
sistemul are soluția banală dacă și numai dacă:≠ 0
b) aX2+bX +c=X2(1a1+2a2+3a3)+ X(1b1+2b2+3b3)+ (1c1+2c2+3c3) dacă și numai dacă:
1a1+2a2+3a3=a
1b1+2b2+3b3=b
1c1+2c2+3c3=c
sistem cu necunoscutele 1,2,3. Cum determinantul sistemului este diferit de zero rezultă că sistemul este compatibil determinat și deci are soluțiile unice:
Exercițiul nr. 10 (Testul bazei; calcului coordonatelor):
În spațiul vectorilor coloană R3 considerăm vectorii:
v1= ; v2 = ; v3 = ; v =
Folosind lema substituției să se arate că vectorii v1, v2, v3 formează o bază a lui R3 și să se găsească coordonatele lui v în această bază.
Soluție.
Fie B=(e1, e2, e3) baza canonică a lui R3.
Atunci: v1=2e1+e2+e3; v2=3e1+2e2+e3; v3=–e1–e2–2e3 și v=e1–e2–2e3. Înlocuim vectorii bazei B succesiv cu vectorii v1, v2, v3 și facem de fiecare dată calculul coordonatelor vectorilor v1, v2, v3 și v conform lemei substituției. Avem:
Cum B=( e1,e2,e3) este bază a lui R3, din lema substituției rezultă succesiv că
(v1,e2,e3); (v1,v2,e3) și (v1,v2,v3) sunt baze ale lui R3. În ultima coloană din ultimul tabel rezultă coordonatele lui v în baza (v1, v2, v3),
deci v=3v1–v2+2v3.
Exercițiul nr. 11 (aplicație a lemei substituției):
Să se rezolve următorul sistem de ecuații liniare:
(S):
Soluție.
Fie A matricea sistemul (S) și L vectorul coloană al termenilor liberi:
A = , L =
Vom nota coloanele matricei A cu:= ; = ; =
Observăm că:c1Ax1+c2Ax2 +c3Ax3 = = = L
Rezultăscalarii 1,2,3 formează o soluție a sistemului (S) c1A1+c2A2+c3A3=L. Observând că c1A=v1, c2A=v2, c3A=v3, unde v1 ,v2, v3, sunt vectorii de la exercițiul 10 și folosind calculul de la acest exercițiu cu lema substituției, rezultă că sistemul (S) este compatibil și admite soluție unică: x1=3,×2= -l, x3=2.
Exercițiul nr. 12:
Sa se afle inversa matricii AM3(Z5):
Soluție.
det (A ) =deci există A-1.
Metoda I
Metoda II Folosim lema substituției:
Observații.
Vectorii bazei canonice {e1, e2, …, en} a lui K n = Mn,1(K) nu pot fi înlocuițiîntotdeauna în ordine, respectiv cuc1A, c2A ,…, cnA. În general, e1, e2, …, en seînlocuiesc succesiv cu cσ(1)A, cσ(2)A ,…, cσ(n)A, unde σSn. Atunci, A-1 apare în ultimul tabel „perturbată”. Ea poate fi obținută prin permutări de linii care constituie ordine c1A, c2A ,…, cnA în baza (cσ(1)A, cσ(2)A ,…, cσ(n)A).
Calculul inversei unei matrice AMn(K) cu lema substituției poate fi început fără să ne asigurăm că det(A) 0. Dacă det(A) = 0 nu toți vectorii c1A, c2A ,…, cnA pot fi plasați în locul vectorilore1, e2, …, en, ceeace va avea ca efect blocarea calculului, fenomen care ne spune că det(A) = 0, deci că A-1 nu există.
Exercițiul nr. 13:
Se consideră sistemul liniar omogen peste C:
x+2y+3z+4t=0
x+3y+z+5t = 0
Să se determine C-spațiul vectorial al soluțiilor acestui sistem și să se afle o bază a acestui spațiu.
Soluție.
Matricea sistemului este: A =
rang (A)=2 deci sistemul are și alte soluții decât cea banală. Notăm z=ași t=b și cu regula lui Cramer se rezolvă sistemul:
Obținem soluțiile: S={(-7a-2b, 2a-b, a, b) | a,bC} și B={(-7,2,1,0), (-2, 1, 0, 1)} este baza căutată. dimRS=n-rang A =4-2=2
Exercițiul nr. 14 (Calculul inversei unei matrice cu ajutorul lemei substituției):
Fie A,B,EM3(R) unde: A = ; B = ; E =
Să se determine matricea B astfel încât AB=E.
Soluție Din egalitatea AB=E deducem:
=
ceea ce este echivalent cu 3 sisteme de ecuații liniare:
(S) : ; (S’) : ; (S”) :
Ele se mai pot scrie astfel:
(S): c1Ax + c2Ay + c3Az=e1
(S'): c1Ax' + c2Ay' + c3Az'=e1
(S''): c1Ax'' + c2Ay'' + c3Az''=e1
unde e1, e2, e3 sunt vectorii bazei canonice a spațiului vectorilor coloană R . Cum matricea fiecăruia din sistemele (S), (S') și (S") este egală cu A, putem da o rezolvare simultană a lor cu următoarea organizare a calculelor pe bază lemei substituției:
Rezultă:
B = = A-1
Exercițiul nr. 15 :
Să se rezolve în Z5sistemul: (S):
Soluție.
Metoda I
Sistemul este echivalent cu:
Sistemul s-a rezolvat începând cu a treia ecuație.
Metoda a II-a (elementară)
Se adună cele două ecuații și se obține x1același ca la prima metodă. Înlocuind în ultimele două ecuații ale sistemului obținem:
În ultimul sistem se adună ecuațiile, se reduce x2 și se obține x3=4 . Înlocuind în orice ecuație, cunoscând x1 și x3, se află x2=3 care coincid cu soluția aflată prin metoda I.
Metoda a III-a (metoda eliminării totale)
(S):
Exercițiul nr. 16:
Același enunț ca la exercițiul 15 pentru sistemul:
Soluție.
Se calculează determinantul matricei A a sistemului și se obține D =0, deci
rang (A)<4 pentru orice număr real m. Fie: d = = m3-m2– m+l
Soluțiile ecuației m3-m2– m+l=0 sunt m1=m2= 1 și m3=–1
Discuție.
Cazul I – Dacă ml atunci sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Notăm t=a și rezolvăm cu regula lui Cramer sistemul:
x= –a,y = a,z = –a, t =a
În acest caz soluțiile sistemului formează un spațiu vectorial de dimensiune
4-rang (A ) =4 – 3=l iar B={(-1,1, -l, 1)} este baza sa. S={(-a, a, -a, a)| aR}
Cazul II – Dacă m=l atunci toți determinanții de ordin 2,3,4 sunt nuli și atunci avem y=B, z=C, t=D și x=-mD – mC-B. S={(-mD – mC-B, B, C, D)\B, C,DR}.
Dimensiunea spațiului vectorial al soluțiilor este 4-rangA=4 – l=3 și o bază a sa este
B={(-1,1,0,0), (-m, 0, 1, 0), (-m, 0,0,1)}.
Exercițiul nr. 17:
Să se rezolve sistemul discutând după parametrula:
Soluție.
Determinantul sistemului este D=(a- 1)2 (a+1).
Cazul I – Dacă al și a–l, rezolvând cu formulele lui Cramer obținem soluția:
Cazul II – Pentru a= –1 avem:sistem imposibil.
Cazul III- Pentru a=1avem 2x+2y+2z=l de unde obținem x=l/2(1-2y-4z) sistem compatibil dublu nedeterminat cu soluțiile:x=l/2(l-2c-4d);y=c; z=d.
Exercițiul nr. 18:
Să se rezolve sistemul folosind metoda lui Gauss:
Soluție.
A = →→
→→ →
→
Obținem:
x+2y+3z-t=10
y+7z– 3t= 26
3 z –
-. S = {1; -1; 3; 2}
Exercițiulnr. 19:
Să se găsească p și q astfel încât sistemul să aibă o infinitate de soluții:
Soluție.
Punem condiția ca sistemul să aibă o infinitate de soluții, și anume ∆=0, deci p=l sau q=l.
Cazul I – Dacă p=l, q1soluția sistemului va fi dreapta x+y=0, z= 0 . Atunci sistemul din enunț are numai două soluții date de punctele în care dreapta intersectează sfera
x2+y2+z2=3.
Cazul II – Dacă q=l, pl obținem același lucru.
Cazul III – Dacăp = q = 1. Sistemul este:
Soluțiile sunt punctele cercului de ecuație: x2+y2+(-x-y)2=3.
Exercițiul nr. 20:
Să se determine parametrii m, n, p astfel încât sistemul:
să fie compatibil. Să se găsească toate soluțiile reale ale sistemului.
Soluție.
Ca sistemul să fie compatibil este necesar ca sistemul omogen al primelor 5 ecuații să aibă soluții nebanale, adică:A = și rang (A )=2
= 0 m = 3
= 0 n = – 3
= 0 p = 4
Așadar soluțiile sistemului omogen vor fi date de sistemul:
2x-y=–t
–x + 2y = –t
Adică, x=–t, y=–t, z=t unde t este un număr real. Inlocuind acestea în ultima ecuație a sistemului din enunț îl găsim pe:
Exercițiul nr. 21:
Să se stabilească dacă următoarele sisteme sunt compatibile iar în caz afirmativ, să se rezolve:
Soluție:
Matricea coeficienților sistemului este . Dacă rezultă rang . Se calculează rangul matricei A: ;
și (determinantul principal). Se stabilește dacă sistemul este compatibil:
Se compară cu (numărul de ecuații) și de aici sistemul este compatibil și toate ecuațiile sunt principale.
Se compară ) cu (pentru a stabili dacă sistemul este compatibil determinat sau nedeterminat)
; necunoscute principale (au coeficienți în );
necunoscută secundară, .
Sistemul devine . Scăzând prima ecuație din a doua, obținem .
Așadar soluția sistemului este .
Soluție:
Matricea coeficienților sistemului este . Dacă rezultă . .
Se stabilește dacă sistemul este compatibil:
și de aici sistemul este compatibil și toate ecuațiile sunt principale.
; rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat
necunoscute principale (au coeficienți în );
necunoscută secundară, .
Sistemul devine . Folosind metoda reducerii se obține prin înmulțirea primei ecuații cu și înlocuind în prima ecuație se obține .
Așadar soluția sistemului este .
Soluție: Matricea coeficienților sistemului este .
Dacă rezultă . Se găsește
Se stabilește dacă sistemul este compatibil:
și de aici rezultă că există un minor caracteristic , prima ecuație este cea principală iar a doua ecuație este cea secundară, , adică sistemul este compatibil.
Stabilim dacă sistemul este compatibil determinat sau nedeterminat:
; rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat
necunoscuta principală; necunoscute secundare, R
Soluția sistemului inițial este soluția sistemului format din ecuația principală .
Exercițiul nr. 22:
Să se rezolve și să se discute după valorile parametrului real , următorul sistem de ecuații liniare:
Soluție:
Matricea sistemului are .
Cazul I – Dacă , atunci .
sistemul este compatibil
sistemul este compatibil determinat și soluțiile se determină cu regula lui Cramer: .
Cazul II – Dacă , atunci sistemul se scrie: și
; un determinant principal este .
rezultă că există minori caracteristici , primele două ecuații sunt principale iar a treia ecuație este cea secundară, , adică sistemul este incompatibil.
Cazul III – Dacă , atunci avem . Se calculează rangul matricei A; un determinant principal este .
rezultă că există minori caracteristici , primele două ecuații sunt principale iar a treia ecuație este cea secundară, , adică sistemul este compatibil.
; rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat.
necunoscute principale; necunoscută secundară, .
Soluția sistemului inițial este soluția sistemului format din ecuațiile principale . Adunând ecuațiile obținem
Soluția sistemului va fi .
Concluzie:
Dacă , atunci sistemul este compatibil determinat și
Dacă , atunci sistemul este incompatibil
Dacă , atunci sistemul este compatibil nedeterminat și are soluția
3.1.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat si la examenul de admitere in invatamantul superior
Exercițiul nr.1:
Se consideră sistemul
, R
Calculați determinantul matricei sistemului.
Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluție unică.
În cazul , determinați soluția a sistemului pentru care și .
Examenul de bacalaureat 2012, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ, Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Soluție:
.
Sistemul are o soluție unică dacă și numai dacă .
și matricea sistemului are rangul doi
Soluția este
Exercițiul nr.2:
Se consideră matricea
și sistemul
, unde este un număr real.
Calculați .
Arătați că .
Determinați valorile reale ale lui m pentru care .
Verificați dacă, pentru , tripletul este soluție a sistemului .
Pentru , rezolvați sistemul .
Pentru , arătați că sistemul nu are soluții.
Examenul de bacalaureat 2012, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ, Varianta 5
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Soluție:
.
.
este soluție a sistemului.
sunt soluții ale sistemului în acest caz.
prin scăderea primelor două ecuații că . Înlocuind în a treia ecuație se obține 0=1, imposibil, ceea ce înseamnă că sistemul nu are soluții pentru .
Exercițul nr. 3:
Fie sistemul unde și matricea asociată sistemului
.
Arătați că rangul matricei A este egal cu 2.
Rezolvați sistemul în .
Determinați numărul soluțiilor sistemului din mulțimea.
Examenul de bacalaureat– 2010, Proba E c)
Probă scrisă la MATEMATICĂ, Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică – informatică.
Filiera vocațonală, profilul militar, specializarea matematică – informatică
Soluție:
(sau orice alt minor de ordinul 2 nenul), deci rangul matricei A este egal cu 2.
Minorul caracteristic este nul deci sistemul este compatibil nedeterminat. De exemplu, luând o necunoscută secundară, obținem și .
,adică sunt 9 soluții în mulțimea.
Exercițiul nr.4:
Pentru R se consideră matricea și sistemul de ecuații , unde .R
Calculați determinantul matricei A.
Determinați R pentru care matricea A este inversabilă.
Rezolvați sistemul pentru .
Examenul de bacalaureat– 2010
Probă scrisă la matematică – Proba E c), Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii.
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale
Soluție:
.
A inversabilă , adică .
Pentru se obține , adică și .
Exercițiul nr. 5:
Fie și termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
Să se calculeze .
G.M. prof. Aurel Ene
(Festivalului Internațional de Matematică și Informatică PIATRA NEAMȚ
Concurs de matematică – proba individuală(clasa a XI-a))
Soluție:
Fie q rația progresiei și determinantul. Scăzând prima linie din liniile 2,3,…,n, înmulțite cu obținem:
După schimbări de linii, prima linie va ajunge ultima:
iar determinantul este produsul elementelor diagonalei secundare, înmulțite cu semnul
permutăriiAșadar, obținem .
Exercițiul nr.6:
Pentru Rsă se discute și să se rezolve sistemul afin:
.
Admitere Facultatea de matematică din Bucuresti , 1992
Soluție:
Sistemul considerat are determinantul :
= α2. Se disting următoarele două cazuri:
Cazul I. α ≠ 0. Calculăm = α – α3 , = α2 – α3, = α4 +2α3 – α2 – α și se determină soluția unică:
x = , y = , z = .
Cazul II. α = 0. Sistemul devine: și este incompatibil.
Observatie. În cazul I, pentru α ≠ 0 se poate da o rezolvare imediată a sistemului, fără să se mai facă apel la teoria determinanților. Folosind a treia ecuație obținem din prima ecuație următoarea relație: x = (1 – α2) / α . Apoi, în a doua ecuație se înlocuiește suma cu α2, dedusă din a treia ecuatie și găsim y = 1 – α. Din ecuația a treia obținem
z = (α3 + 2α2 – α – 1 ) / α.
S = ((1 – α2) / α; 1 – α; (α3 + 2α2 – α – 1 ) / α | R)
Exercițiul nr. 7:
Să se discute în funcție de parametrii reali a, b, c, compatibiliatea sistemului:
și apoi să se rezolve.
Admitere Facultatea de matematică din Bucuresti , 1985
Soluție:
Determinantul sistemului este ∆ = (a – b)(c – 1)2.
Cazul I. Dacă ∆ ≠ 0, sistemul este cramerian cu
= c (c – 1)2(a – b); = (b – a)(c – 1)2 (2c + 1) si = (a – b)(c – 1)2(c + 2)
Atunci soluția unică a sistemului este:
x = , y= , z= si deci :
x = c, y= -1 – 2c, z= c + 2.
Cazul II. Dacă ∆ = 0 și c = 1, atunci sistemul devine: cu
= = -1 ≠ 0 și = = 0.
Sistemul este compatibil nedeterminat, cu soluția :.
Cazul III. Dacă ∆ = 0 și a = b, atunci sistemul devine: .
Matricea sistemului este B = și avem:
rang (B) = rang = rang
Dacăa + 1 – ac ≠ 0, atunci sistemul : admite solutia conform lui Cramer :
x = , y = , z = αR.
Dacăa + 1 = ac , rezultă :
a + 2 – c∙ac = a + 2 – c(a + 1) = a + 2 – ac – c = a + 1 – a – 1 – c = 1 – c.
Deci rang(B) = rang .
Dacă 1 – c≠ 0, rang(B) = 2, iar sistemul,
cu a = , devine:
adică: .
Se obține:
(c2 – 2c + 1)z = c3 – 3c + 2 (c – 1)2z = (c – 1)2(c + 2) și deci : pentru c≠ 0, respectiv , atunci când c = 0.
Când c = 1 relația a + 1 = ac devine 1 = 0 ceea ce este imposibil.
Cazul IV. Dacă ∆ = 0 , a = bșic = 1 sistemul devine:și are soluția data de : , deci .
3.2. UTILIZAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE ÎN ALTE DOMENII
3.2.1.În Geometrie ( Interpretarea geometrică a sistemelor liniare cu cel mult trei necunoscute)
1. Pozițiile relative a două drepte în plan
Fie d1 și d2 două drepte de ecuații generale a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 (1) .
Geometric, cele două drepte pot fi : confundate, parelele sau secante.
Analitic, aceste situații sunt caracterizate de natura sistemului format de ecuațiile generale ale celor doua drepte: (2).
Cazul I. Dreptele d1 și d2 sunt confundate dacă și numai dacă rang = 1.
Cazul II. Dreptele d1 și d2 sunt paralele dacă și numai dacă rang = 1 și
rang = 2.
Cazul III. Dreptele d1 și d2 sunt secante dacă și numai dacă determinantul ∆ = al sistemului (2) este nenul. Coordonatele punctului de intersecție a dreptelor se află folosind regula lui Cramer.
Aplicație:
Să se studieze poziția dreptelor de ecuații:x + ( m – 1)y + m + 2 = 0 și
2x – (m + 2)y + 5m = 0, .
Soluție:
Se formează matricele A = și = .
Rezultă det ( A) = – m – 2 – 2m + 2 = -3m.
Cazul I. Dacă m≠ 0 dreptele sunt concurente.
Cazul II. Pentru m = 0 , = , rang(A) = 1, rang() = 2, deci dreptele sunt paralele.
2. Pozițiile relative a trei drepte în plan
Fie d1 , d2 și d3 trei drepte de ecuații generale aix + biy + ci = 0, i = 1, 2, 3. Din punct de vedere geometric, cele trei drepte pot fi : concurente sau secante două cate două fără a ficoncurentetoate trei sau două drepte sunt paralele iar a treia secantă a acestora, sau paralele intre ele, eventual două fiind confundate, sau confundate.
Se consideră sistemul format din ecuațiile celor trei drepte și matricele asociate acestuia: (S): , A = , = .
Poziția celor trei drepte se intrepretează în funcție de compatibilitatea sistemului (S) și compatibilitatea sistemelor formate din câte două ecuații din cele trei ale sistemului (S).
Se întâlnesc următoarele situații:
Cazul I. rang(A) = rang() = 2 (dreptele sunt concurente);
Cazul II. rang = rang = rang = 2 , rang() = 3 (dreptele sunt secante două cate două fără a fi concurente toate trei);
Cazul III. rang() = 3, rang = 1, rang = 2, sau analoagele (două drepte sunt paralele iar a treia secantă a acestora);
Cazul IV. rang() = 2 , rang(A) = 1 (dreptele sunt paralele între ele, eventual două fiindconfundate);
Cazul V. rang() = 1 (dreptele sunt confundate)
Aplicație:
Să se studieze poziția dreptelor de ecuații:
d1: x + y – 1 =0;d2 : x + mx – m = 0; d3 :2x + y + m = 0.
Soluție:
Avem : = , A = .
det() = 1 – m2. Se întâlnesc următoarele situații:
a). mR\ { -1, ½, 1}. Atunci rang() = 3, rang(A) = 2. Dreptele sunt secante două cate două fără a fi concurente toate trei.
b).Dacă m = ½, două drepte sunt paralele, iar a treia este secanta acestora.
c). Dacă m =1, rang() = 2, rang(A) = 2, și dreptele d1= d2 ( sunt confundate) și d3 este secantă a acestora.
d). Dacă m = -1, rang() = 2, rang(A) = 2, dreptele sunt concurente în punctul P(0, 1).
3. Pozițiile relative a doua plane în spațiu
În spațiu două plane α și β pot fi secante, paralele sau confundate. Dacă ecuațiile planelor α și β sunt a1x + a2y + a3z + a0 = 0 și b1x + b2y + b3z + b0 = 0 , poziția acestora este strans legată de sistemul .
Rezultă: a). Planele α și β sunt confundate dacă și numai dacă rang= 1.
b). Planele α și β sunt paralele dacă și numai dacă rang = 1 și rang= 2.
c). Planele α și β sunt secante dacă și numai dacă rang = 2
Planele α și β se intersectează după o dreaptă ai cărei parametrii directori sunt:
l = , m = , n = .
Aplicație:
Să se determine poziția planelor de ecuații: x + y + z + 1 = 0 și 2x – y + z -3 = 0.
Soluție:
Cum rang = 2, obținem că planele sunt secante.
Sistemul are rangul 2. Se consideră necunoscutele y și z necunoscute principale. Se obține soluția: x = 2α, y = α -2, z = -3α + 1 , cu αR.
Acestea reprezintă ecuațiile parametrice ale dreptei de intersecție. Eliminând parametrul α între ecuațiile de mai sus obținem , care reprezintă ecuația cartezianăa a dreptei de intersecție. Vectorul director al dreptei este (2; 1; -3).
4. Pozițiile relative a trei plane în spațiu
Fie Pi, i = 1, 2, 3 trei plane de ecuații: aix + biy + ciz + di = 0. Un punct M(x0, y0, zo) este comun celor trei plane dacă și numai dacă coordonatele sale verifică sistemul format de ecuațiile planelor. Problema determinării punctelor comune celor trei plane este echivalentă cu problema găsirii sistemului format de cele trei ecuații:
Fie A = , = matricele asociate sistemului.
Avem:
a). Planele Pi, i = 1, 2, 3 au un singur punct comun dacă și numai dacă rang(A) = 3. Coordonatele punctului comun se pot afla folosind regula lui Cramer.
b). Două dintre plane sunt secante, iar al treilea plan este paralel cu dreapta lor de intersecție daca rang(A) = 2 si rang() = 3.
c). Planele au o drepta comuna dacă rang(A) = rang() = 2.
d). Planele sunt paralele eventual două confundate dacă rang(A) = 1 si rang() = 2.
e).Planele sunt confundate dacă rang(A) = rang() = 1 .
3.2.2. În Științele Economice
În prezent și în viitor este clar pentru oricine că o simplă observație a unui fenomen economic, fără un studiu matematic și statistic aprofundat, nu mai este satisfăcătoare și nu poate fi acceptată fără urmări. Folosirea metodelor matematice în practica economică constituie o preocupare cu efecte benefice în rezolvarea problemelor economice actuale.
Persoana interesată de studiul fenomenelor economice trebuie să aibă o pregătire interdisciplinară. Studierea globală a aspectelor calitative și cantitative ale unui fenomen economic necesită un anumit volum de noțiuni, concepte și metode matematice care considerate ca un ansamblu dau un așa numit model matematic atașat fenomenului studiat.
Un alt motiv care pledează pentru utilizarea matematicii în studiul proceselor economice este dorința omului de a atinge un anumit optim.
Aplicația 1. Optimizarea producției unei întreprinderi
Să considerăm o întreprindere care își desfășoară activitatea de producție în următoarele condiții:
În întreprindere se desfășoară n activități =;
Există m factori disponibili =;
Se cunosc coeficienții tehnici de utilizare a celor m factori în cele n activități.
Soluție: Vom încerca să obținem descrierea matematică a activității de producție.
Pentru realizarea modelării acestui program de producție vom nota cu nivelul activității , cu volumul (cantitatea) disponibil de factorul și cu factorul de proporționalitate al consumului pentru activitatea .
Acum putem scrie restricțiile:
Restricțiile de mai sus reprezintă condițiile în care întreprinderea poate să își desfășoare activitatea. Ele se pot scrie și sub formă matriceală: – matricea coeficienților tehnici, – vectorul coloană al nivelului producției, – vectorii coloană din matricea A, – vectorul coloană al volumelor disponibile. Acum, condițiile de mai sus se pot scrie sub forma:
,
sau
.
Până aici am urmărit descrierea tehnologică a producției dar orice proces de producție urmărește și o motivație economică, de exemplu să se realizeze o eficiență maximă. Practic, finalul acestui proces este optimizarea unei anumite funcții, care de fapt realizează optimizarea funcționării unui proces economic.
Aplicația 2. Problema dietei (a amestecului)
Una dintre problemele celebre de gospodărire este problema alimentării cât mai ieftine și realizarea unor cerințe de alimentație conform cu un scop propus.
Să presupunem că pentru o anumită colectivitate trebuie intocmit un meniu pentru o anumită perioadă de timp. O alimentație se consideră bună dacă se oferă anumite substanțe în cantități minimale precizate. Evident că aceste substanțe se găsesc în diferite alimente cu prețuri cunoscute. Se cere să se stabilească o dietă (rație) care să fie corespunzătoare și totodată cât mai ieftină. Substanțele care intră într-o dietă se numesc substanțenutritive( cum suntde exemplu glucide , lipide, minerale, vitamine, etc.) sau principii nutritive.
Soluție:Vom obține în continuare modelul matematico-economic pentru problema dietei.
Fie substanțele nutritive care trebuie să intre în compunerea dietei în cantitățile minimale și alimentele de care dispunem cu prețul corespunzător pe unitate .
Notăm cu numărul de unități din substanța , care se găsesc într-o unitate din alimentul ,cu . Se cere să se afle numărul de unități din alimentele astfel încât să se obțină o rație acceptabilă la un preț cât mai mic.
Datele problemei se prezintă de obicei într-un tabel de forma:
Cantitatea din substanța care se realizează este care din cerința problemei trebuie să fie , . Ajungem astfel la restricțiile:
Natura datelor cu care lucrăm impun condiții de nenegativitate așa că:
, , …, .
Funcția obiectiv care exprimă costul unei rații este dată de:
.
Problema dietei cere să determinăm astfel încât f să fie minimă. O astfel de dietă se numește optimă. Orice dietă care satisface aceste restricții se numește admisibilă.
Modelul dietei poate fi folosit și în alte situații, ca de exemplu problema furajării raționale (în zootehnie), în industria petrochimică la obținerea unor tipuri de produse cu anumite proprietăți prin amestecul unor produse, care posadă proprietățile cerute.
Aplicația 3.
O fabrică de mobilă produce trei tipuri de mese A, B și C. Fiecare masă trece prin trei etape: prelucrare, asamblare și finisare. Capacitatea maximă a fabricii pentru sculptură este de 200 ore, pentru prelucrare este de 195 ore și pentru finisare de 165 ore. Pentru fiecare masă A sunt necesare 6 ore la prelucrare, 5 ore la asamblare și 4 ore la finisare, pentru masa B 3 ore la prelucrare, 4 ore la asamblare și 3 ore la finisare, iar pentru masa C 1 oră la prelucrare, 1 oră la asamblare și 2 ore la finisare. Determinați numărul de mese de fiecare tip care pot fi produse utilizând la maxim capacitatea fabricii.
Soluție:Notăm cu x – numărul de mese tip A, y – numărul de mese tip B și cu z – numărul de mese tip C.
Cele 200 de ore destinate sculptării sunt descrise de ecuația 6x+3y+z = 200.
Cele 175 de ore destinate asamblării sunt descrise de ecuația 5x+4y+z = 195.
Cele 135 de ore destinate finisării sunt descrise de ecuația 4x+3y+2z = 165.
Deci sistemul ce trebuie rezolvat este :
= , det A = 48+12+15-16-30-24 = 5 =
1600+495+585-660-600-1170 = 250 și
x = = = 50 (scaune tip A)
= 2340+800+825-780-1170-2000 = 15 și
y = = = 3 (scaune tip B)
= 3960+2340+3000-3200-3510-2475 = 115 și
z == = 23 (scaune tip C)
3.2.3. În Chimie
Analize chimice de amestecuri multicomponente
Dacă se pune problema analizei prin specrofotometrie IR a unui amestec de mai mulți componenți, cunoscându-se dinainte spectrul de absorbție individual al acestora, se poate realiza această determinare utilizând legea Lambert-Beer. În conformitate cu legea amintită, în cazul în care componentele nu interacționează unele cu altele, se poate admite aditivitatea absorbanțelor adică: absorbanța unei substanțe aflate în amestec cu alta este aceeași cu cea care ar avea-o substanța dacă ar fi singură în celulă. Datorită numărului mare de linii metoda este aplicabilă și în domeniul IR, în special pentru amestecuri de gaze.
Aplicația 1: Să considerăm un amestec de trei compuși, fiecare având o concentrație finită simbolizată CA, CB, CC. Pentru determinarea prin analiză a substanțelor A, B și C se alege o câte o bandă caracteristică, diferită, pentru fiecare, cu maximele λ1, λ2 și λ3. Chiar dacă maximele sunt diferite la fiecare din cele trei lungimi de undă, se constată că toate cele trei substanțe absorb lumina dar într-o măsură foarte diferită. Să notăm cu A1, A2 și A3 absorbanțele măsurate pentru cele trei lungimi de undă λ1, λ2 și λ3. Evident, în virtutea celor amintite anterior, fiecare din cele trei absorbanțe măsurate reprezintă contribuția tuturor celor trei substanțe. Pentru fiecare din cele trei substanțe (A, B și C), la fiecare din cele trei lungimi de undă (λ1, λ2 și λ3) cunoscându-se coeficienții molari de extincție ε(Substanță, Lungime de undă) se pot scrie, în cazul unei celule cu lungimea b constantă, pe baza existenței aditivității absorbanțelor următoarele ecuații:
ε(A,λi)·CA + ε(B,λi)·CB + ε(C,λi)·CC = Ai/b, unde i=1, 2, 3.
Se obține astfel un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute CA, CB, CC (adică chiar concentrațiile). Soluția se află analitic:
Practic pot interveni mai mult de trei lungimi de undă. Sistemul deși are în acest caz
mai multe ecuații decât necunoscute se poate rezolva și conduce la rezultate mai precise. În
cazul anterior notând matricea coeficienților [ε], matricea absorbanțelor [A] și matricea
concentrațiilor (necunoscutelor) [C], se poate scrie soluția sistemului precedent mai simplu
astfel:
[C] = [ε]-1·[A].
Aplicația 2:Reacții chimice – Arderea propanului
Să se echilibreze următoarea reacție chimică .
Soluție:Ecuația chimică nu ne oferă suficiente informații despre această reacție. Pentru că nu se poate ca o moleculă de să reacționeze exact cu o moleculă de și să rezulte o moleculă de și una de . În realitate, toate aceste substanțe vor participa la reacție în anumite proporții exacte pe care noi le vom calcula în continuare, bazându-ne pe această ecuație chimică.
Dacă luăm molecule de propan care să reacționeze cu molecule de oxigen, vor rezulta molecule de dioxid de carbon și molecule de apă. Noi vom determina valorile acestor necunoscute cu autorul unui sistem de ecuații. De asemenea, trebuie să ținem cont de faptul că aceste necunoscute considerate trebuie să fie numere întregi pozitive, deoarece nu putem lua decât o astfel de cantitate dintr-o moleculă de substanță.
Legea conservării materiei ne spune că numărul atomilor fiecărui element din stânga ecuației trebuie să fie egal cu numărul acestora din partea dreaptă a ecuației (numărul atomilor dintr-o substanță rămâne același după o reacție chimică). Așa că vom obține următoarele ecuații pentru fiecare substanță în parte:
pentru atomii de carbon;
pentru atomii de hidrogen;
pentru atomii de oxigen.
Scrie sub forma unui sistem: , un sistem omogen ce conține cel puțin o soluție banală () dar care însă nu ne mulțumește. Vom alcătui matricea sistemului:
Considerând variabilă liberă, vom obține în funcție de aceasta soluțiile:
; ; .
Dacă îi dăm valori lui vom obține seturi de valori pentru , cu condiția să fie numere întregi pozitive, deci în același timp și trebuie să fie multiplu de 4.
Cea mai mică valoare a soluțiilor va fi și astfel putem scrie ecuația chimică inițială sub forma completă:
.
3.2.4.În studierea traficului rutier
Urmărind intensitatea traficului rutier într-o intersecție, pe o anumită perioadă de timp, se pot impune condiții asupra variabilelor implicate, oferind condiții asupra unei semaforizări corespunzătoare a acesteia. La nivelul unui oraș rețeaua străzilor studiată cu ajutorul sistemelor de ecuații liniare oferă o imagine completă asupra intensității traficului în anumite zone.
Aplicația 1: Să se calculeze intensitatea traficului rutier în zona din imagine știind că în punctul A traficul măsoară 85 mașini/oră, în punctul B intră 120 mașini/oră, în punctul C circulă 70 mașini/oră iar în punctul D, 45 mașini/oră. La fiecare din cele patru intersecții se află semafoare care dirijează circulația și pentru a evita blocajele, toate mașinile care intrăîntr-o intersecție trebuie să o părăsească.
Soluție:
Considerând cele patru intersecții A, B, C, D, respectiv întreaga zonă din imagine, precum și ținând cont de notațiile din a doua figură, putem scrie ecuațiile ce reies din aplicarea legii I a lui Kirchoff astfel:
Pentru intersecția A vom scrie ecuația:
Pentru intersecția B vom scrie ecuația:
Pentru intersecția C vom scrie ecuația:
Pentru intersecția D vom scrie ecuația:
Pentru întreaga zonă vom scrie ecuația:
Obținem astfel sistemul:
Apoi scriem matricea
Și astfel obținem soluțiile:
Observăm că datele nu sunt suficiente pentru determinarea tuturor soluțiilor. Pentru determinarea lui avem nevoie de studierea traficului pe un segment suplimentar de stradă și doar după determinarea acestuia se pot afla exact și , .
PARTEA a II-a – SEGMENTUL METODIC
CAPITOLULIV
CONSIDERAȚII METODICE
4.1 ANALIZA COMPARATIVA A UNOR MANUALE ALTERNATIVE DE MATEMATICA CLASA a XI-a
Manualele alternative sunt o consecință firească a reformei din învățământ, care, după 1990, a cunoscut mai multe etape, dintre care cea mai importantă este cea concretizată în Curriculumul Național. Programele școlare de Matematică pentru ciclul superior al liceului sunt structurate pe formarea de competențe. Înțelese ca ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare, competențele permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice domeniilor de studiu, în contexte variate. Acest tip de proiectare curriculară își propune: focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale în formarea personalității elevului, corelarea cu așteptările societății.
Flexibilitatea programelor școlare a permis apariția manualelor alternative care au generat multe controverse. În ultimii ani, practica didactică a dovedit că într-o societate democratică, în care individul este liber să opteze, aceste manuale sunt oferte variate de instruire. În felul acesta, profesorul și elevul au șansa opțiunii, pot alege varianta cea mai bună de manual.
În anul școlar 2014 – 105 au fost aprobate un număr de 15 manuale alternative pentru clasa a XI-a pentru profilul M1 și alte 7 manuale pentru profilul M2:
În programa școlară, unitatea de învățare „ Sisteme de ecuații liniare” se regăseste doar în manualele M1și M2.
Voi prezenta în continuare o analiză comparativă a 4 manuale alternative de matematică adresate elevilor clasei a XI-a de la urmatoarele filiere:
Filiera teoretică, profil real, specializarea matematică-informatică (Trunchi comun si curriculum diferentiat-)- 4 ore/ saptamană;
Filiera vocationala, profil militar MapN, specializarea matematică-informatică (curriculum diferentiat-)- 4 ore/ saptamană;
Manualul A
Matematica – Manual pentru clasa a XI-a M1
Marius Burtea , Georgeta Burtea
Editura Caraminis Educational – 2006, 335 pagini,
Unitatea de învățare : „ Sisteme de ecuații liniare” – 33 pagini
Manualul a fost realizat în conformitate cu programa analitică aprobată prin Ordin al ministrului Educației și cercetării nr. 3252 din 13.02.2006
Este alcătuit în conformitate cu programa școlară , este construit după principii bine stabilite, concepția clară este consecvent urmărită și respectată. Este bine organizatsistematic. Nivelul accesibilității conținutului tematic, al limbajului și al sarcinilor de învățare estefoarte bun. Partea teoretică a manualului este redată într-o manieră directă. Fiecare noțiune este motivată fie pornind de la situatii probleme care o impun, fie definind-o și apoi prezentand aplicații în care se propune recunoasterea noțiunii și folosirea ei. Manualul propune organizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică, în contexte variate, a competențelor dobândite prin învățare. În mod concret, s-a urmărit: esențializarea conținuturilor în scopul accentuării laturii formative; compatibilizarea cunoștințelor cu vârsta elevului și cu experiența anterioară a acestuia;continuitatea, coerența intradisciplinară; realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline; prezentarea conținuturilor într-o formă accesibilă, în scopul de a stimula motivația pentru studiul matematicii.
Temele propuse în unitatea de învățare : „ Sisteme de ecuații liniare” sunt: Matrice inversabile din Mn(C); Ecuatii matriceale ; Sisteme de ecuații liniare cu cel mult patru necunoscute- noțiuni generale; sisteme tip Cramer; rangul unei matrice; studiul compatibilitații sistemelor de ecuații liniare si rezolvarea acestora; metoda lui Gauss.
Manualul prezintă informația direct, fără a apela la cunoștințele anterioare ale elevilor, lăsând aspectele intuitive ale problemelor la latitudinea profesorului. Majoritatea teoremelor sunt demonstrate într-o manieră mai accesibilă elevilor; teorema lui Kroneker – Capelli și proprietatea lui Rouche nu sunt demonstrate dar este indicată bibliografia pentru studiul individual. Fiecare lecție cuprinde un set de probleme rezolvate și este urmată de un set de exerciții și probleme propuse spre rezolvare structurate în trei categorii:
a). Exerciții și probleme pentru exersare (E)- prin care se doreste familiarizarea cu noile noțiuni, operarea cu acestea în exerciții directe.
b). Exerciții și probleme pentru aprofundare (A)- acest set de exerciții impune aplicarea noilor cunoștințe în contexte variate, conexiuni între noțiuni, unele extrapolari și implicit au un grad de dificultate mai ridicat.
c). Exerciții și probleme pentru dezvoltare (D)- au un grad ridicat de dificultate- pentru elevii cu performanțe în studiul matematicii.
Manualul nu prezintă sistematizări ale cunoștințelor la sfârșit de capitol, scheme recapitulative, aplicații de sinteză; există doar două teste de evaluare.
Manualul B
Matematica – Manual pentru clasa a XI-a M1
Mircea Ganga
Editura Mathpress, 2006, 584 pagini;
Unitatea de învățare : Sisteme de ecuații liniare” – 45 pagini.
Manualul a fost realizat în conformitate cu programa analitică aprobată prin Ordin al ministrului Educației și cercetării nr. 3252 din 13.02.2006.
Calitatea deosebită în ceea ce privește așezarea în pagină, integrarea figurilor, tehnoredactarea, introducerea pentru fiecare capitol, cuprinsul, cat și problemele practice care sunt prezentate la începutul fiecarui capitol cat și la finalul lui dau un plus de valoare manualului. La începutul capitolelor găsim o lista de conținuturi ce urmează să fie abordate. Atenția elevului este declanșată la începutul fiecarei lecții prin problemele practice . Ca noutate apar sinteze ale capitolelor pe câte o pagină- doua , conținând nu numai o înșiruire de subtitluri, ci chiar ideile de fond și cele mai importante formule.
În capitolul „Sisteme de ecuații liniare” este descrisă forma generală a sistemelor liniare de m ecuații și n necunoscute, fiind abordate probleme privind compatibilitatea sistemelor și, în caz de compatibilitate, se indică metodele pentru determinarea soluțiilor. Metodele de abordare a sistemelor sunt împartite în doua situații. Prima cand m = nși determinantul este diferit de zero, caz în care sunt prezentate metoda matricealăși metoda lui Cramer . În cel de-al doilea caz, atunci cand mși n sunt oarecare, sistemele se rezolvă fie cu metoda lui Gauss, fie cu metoda determinanților caracteristici (Rouche). Manualul conține multe exemple și exerciții rezolvate. Teoremele nu sunt complet demonstrate.
Problemele practice vin să ilustreze diversitatea domeniilor în care se întalnesc sistemele liniare. Nu sunt prezentate interpretari geometrice ale sistemelor, dar manualul conține aplicații în alte domenii (fizica, economie, chimie) ale acestora.
La finalul capitolului sunt propuse spre rezolvare 35 de probleme cu grad diferit de dificultate și 5 teste de evaluare.
Manualul C
Matematica – Manual pentru clasa a XI-a M1
Ion Mihai, I. V. Maftei, Liviu Parsan, Adela Mihai, Cătălin-Petru Niculescu
Editura Didacticăși Pedagogică, 2006, 462 pagini;
Unitatea de învațare : ” Sisteme de ecuații liniare” – 49 pagini
Manualul a fost realizat în conformitate cu programa analitică aprobată prin Ordin al ministrului Educației și Cercetarii nr. 3252 din 13.02.2006 .
Manualul se încadrează în programa scolară, teoria este riguros prezentată, teoremele sunt complet demonstrate.Este bogat în aplicații instructive și interesante și îmbină metodele clasice cu cele moderne. La finalul manualului există o selecție probleme date la examenele de bacalaureat din anii anteriori.
Unitatea de învațare cuprinde prezentarea teoretică a : noțiunii de matrice invarsabilă; ecuațiilor matriceale; sisteme de tip Cramer; rangul unei matrice; metoda lui Kroneker, metoda lui Gauss. Fiecare temă este urmată de exerciții rezolvate (în total 46) bine alese, exerciții propuse . Nu există exemple ale aplicării sistemelor în alte domenii, manualul nu prezintă sistematizări ale cunoștințelor la sfârșit de capitol, aplicații practice.
Capitolul se încheie cu un test de evaluare , 12 exerciții propuse , 32 exerciții recapitulative și 8 probleme date la examenele de bacalaureat din anii anteriori.
Manualul D
Matematica – Manual pentru clasa a XI-a M1
Gabriela Streinu-Cercel, Gabriela Constantinescu, Gabriela Oprea, Manuela Prajea, Gheorghe Stoianovici, Boris Singer, Costel Chites, Ioan Marinescu, Romeo Ilie
Editura Sigma, 2006, 240 pagini;
Unitatea de învățare : „Sisteme de ecuații liniare” – 29 pagini
Manualul a fost realizat în conformitate cu programa analitică aprobată prin Ordin al ministrului Educației și Cercetării nr. 3252 din 13.02.2006
Conducerea învățării este îngreunată prin construcția manualului, formatul mai lat permite desfășurarea textului pe două coloane pe fiecare pagină. Sarcinile promovează învățarea
activă însă nu se propun modalități de interacțiune care să maximizeze procentul elevilor implicați. În toate lecțiile apar activități care dezvoltă capacități cognitive superioare, însă fără a oferi elevilor oportunități de antrenament prin propunerea spre rezolvare a unor probleme cu caracter aplicativ din domeniul economic și cu dominanta teoretică. Nu există aplicații pentru tratarea diferențiată a elevilor.
În acest manual (în 29 pagini) sistemele de ecuații sunt prezentate împreună cu determinanții. Se prezintă forma generală a unui sistem de ecuații, metoda lui Cramer, cu aplicație modelul economic al lui Leontief, urmează Rangul unei matrice, matrice inversabilă, sisteme de m ecuații cu n necunoscute, n < 5, metode de rezolvare : matriceală, Gauss, Kronecker- Capelli și Rouche.
Metodele prezentate nu sunt demonstrate dar sunt 2-3 exemple de sisteme ce se rezolvă folosind fiecare metodă . Capitolul se încheie cu interpretarea geometrică a sistemelor liniare de două necunoscute. Nu există evaluări parțiale. Manualul conține evaluări finale care vizează conținuturile esențiale prevăzute de programa anului de studiu.
În general, un manual este conceput și scris pentru elevi și apoi este privit ca un ghid pentru profesori. Elaborate după o programă veche și fără să aibă la bază studii educaționale, pedagogice sau științifice, fără să aibă în vedere atât părerea elevilor, a părinților, cât și a profesorilor de matematică, manualele actuale sunt de fapt niște culegeri de probleme. Elevii învață să calculeze. Nu învață ce reprezintă acele lucruri pe care le calculează, nu învață nici de ce este nevoie de ele. Învață, în schimb, să efectueze calcule din ce în ce mai complicate, din ce în ce mai bine ceea ce nu înseamnă neapărat matematică.
Conținutul manualelor de matematică și modul de predare nu trebuie să-i „sperie” pe elevi în studiul matematicii. Manualele trebuie să conțină probleme utile elevilor pentru dezvoltarea capacității de a identifica și de a înțelege rolul pe care îl joacă matematica în lume, de a face judecăți bine fundamentate, de a opera cu concepte, de a deduce logic din axiome tot felul de rezultate ,de a utiliza și de a angaja matematica în moduri care răspund nevoilor vieții individului.
Elevii trebuie să fie stimulați în înțelegerea matematicii și să fie îndrumați pentru a se convinge pe parcursul anilor că matematica folosește nu numai în viața de zi cu zi, dar este știința ce se află la baza tuturor descoperirilor științifice și contribuie la dezvoltarea societății omenești.
4.2. CONTRIBUȚII LA EDUCAȚIA MATEMATICĂ A ELEVILORÎN CADRUL SCOLII, PRIN OPȚIONALUL
„SISTEME DE ECUAȚII LINIARE – PAS CU PAS” (clasa a XI-a)
Acest opțional se doreste a fi o soluție complementară sau alternativăîn direcția realizării educației matematice a elevilor în scoală, se dorește a fi eficient în dezvoltarea capacităților rezolutive cat șiîn formarea strategiilor cognitive ale elevilor .Studiul matematicii în ciclul superior al liceului urmărește: să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii și oferă individului cunoștințele necesare pentru a acționa asupra acesteia, în funcție de propriile nevoi și dorințe; să formuleze și să rezolve probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii; să înzestreze absolventul de liceu cu un set de competențe, valori și atitudini, pentru a favoriza o integrare o integrare profesională optimă.
Date generale:
Denumirea opționalului : „SISTEME DE ECUATII LINIARE – PAS CU PAS”
Tipul : opțional ca disciplină nouă
Clasa : a XI-a
Durata : 1 an
Număr de ore pe săptămână : 1 oră
Autorul : prof.
Abilitatea pentru susținerea cursului : Facultatea de Matematică
Argument:
Obiectivul fundamental este formarea deprinderilor și priceperilor în vederea rezolvării corecte a sistemelor de ecuații liniare precum și a abilităților ce se impun la rezolvarea sistemelor cu parametrii în situații impuse, asigurând astfel nivelul de cultură generală în matematică, utilizarea lor în studiul altor capitole precum și promovarea examenului de bacalaureat și a examenelor de admitere în învățământul superior. Se vor rezolva cu precadere probleme cu un înalt grad de dificultate, cu conținut matematic sau practic-aplicative.
III.Competențe generale:
Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate.
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ., structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice
Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme.
Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian a rezolvării sau strategiilor de rezolvare a unei probleme.
Analiza de situații – problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor.
Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor.
IV. Competențe specifice:
Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic;
Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces;
Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice;
Rezolvarea unor ecuații și sisteme de ecuații utilizand algoritmi specifici;
Stabilirea unor condiții de existențăși/ sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora;
Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații –problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate ( de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic).
V. Obiective operaționale: La sfârșitul cursului elevii vor fi capabili:
Să rezolve sisteme de ecuații liniare alegând metoda adecvată.
Să stabilească ce condiții se impun pentru determinarea unor parametrii în funcție de contextul problemei.
Să rezolve sisteme de ecuații liniare cu parametri, făcând discuție asupra naturii sistemului după valorile acestora și aflând soluțiile atunci când acestea există.
VI. Valori si atitudini: Curriculumul școlar pentru Matematică are în vedere formarea la elevi a următoarelor valori și atitudini:
manifestarea curiozității și a imaginației în crearea și rezolvarea de probleme
manifestarea tenacității, a perseverenței și a capacității de concentrare
dezvoltarea unei gândiri deschise, creative și a unui spirit de obiectivitate și imparțialitate
dezvoltarea independenței în gândire și acțiune
manifestarea inițiativei și a disponibilității de a aborda sarcini variate
dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii
formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice
formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională.
VII. PLANIFICARE CALENDARISTICĂ
VIII.Sugestii metodologice:
aplicarea metodelor centrate pe elev, pe activizarea structurilor cognitive și operatorii ale elevilor, pe exersarea potențialului psihofizic al acestora, pe transformarea elevului în coparticipant la propria instruire și educație;
folosirea unor metode care să favorizeze relația nemijlocită a elevului cu obiectele cunoașterii, prin recurgere la modele concrete;
accentuarea caracterului formativ al metodelor de instruire utilizate în activitatea de predare-învățare, acestea asumându-și o intervenție mai activă și mai eficientă în cultivarea potențialului individual, în dezvoltarea capacităților de a opera cu informațiile asimilate, de a aplica și evalua cunoștințele dobândite, de a investiga ipoteze și de a căuta soluții adecvate de rezolvare a problemelor sau a situațiilor-problemă;
îmbinare și o alternanță sistematică a activităților bazate pe efortul individual al elevului (documentarea după diverse surse de informație, observația proprie, exercițiul personal, instruirea programată, experimentul și lucrul individual, tehnica muncii cu fișe etc.) cu activitățile ce solicită efortul colectiv (de echipă, de grup) de genul discuțiilor, asaltului de idei etc.;
însușirea unor metode de informare și de documentare independentă, care oferă deschiderea spre autoinstruire, spre învățare continuă.
IX. Activități de învățare:
Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare
analiza datelor unei probleme pentru verificarea noncontradicției, suficienței, redundanței și eliminarea datelor neesențiale;
interpretarea parametrilor unei probleme ca o parte a ipotezei acesteia;
analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare a unei probleme;
exprimarea rezultatelor rezolvării unei probleme în limbaj matematic;
recunoașterea și identificarea datelor unei probleme prin raportare la sisteme de comparare standard.
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice
compararea, observarea unor asemănări și deosebiri, clasificarea noțiunilor matematice studiate, după unul sau mai multe criterii explicite sau implicite, luate simultan sau separat;
formarea obișnuinței de a verifica dacă o problemă este sau nu determinată;
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme
cunoașterea și utilizarea unor reprezentări variate ale noțiunilor matematice studiate;
exprimarea în termeni logici, cu ajutorul invarianților specifici, a unei rezolvări de probleme;
utilizarea unor repere standard sau a unor formule standard în rezolvarea de probleme.
4 Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme
formarea obișnuinței de a recurge la diverse tipuri de reprezentări pentru clasificarea, rezumarea și prezentarea concluziilor unor experimente;
utilizarea metodelor standard în aplicații în diverse domenii;
redactarea unor demonstrații utilizând terminologia adecvată și făcând apel la propoziții matematice studiate.
Analiza de situații-problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor
exprimarea prin metode specifice a unor clase de probleme; formarea obișnuinței de a căuta toate soluțiile, de a stabili unicitatea soluțiilor sau de a analiza rezultatele;
verificarea validității unor afirmații, pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple si contraexemple;
Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor
analiza rezolvării unei probleme din punctul de vedere al corectitudinii, al simplității, al clarității și al semnificației rezultatelor;
rezolvarea de probleme și situații-problemă;
folosirea particularizării, a generalizării, a inducției sau analogiei pentru alcătuirea sau rezolvarea de probleme noi, pornind de la o proprietate sau de la o problemă dată;
expunerea de metode standard sau nonstandard ce permit modelarea matematică a unei situații-problemă;
transferul și extrapolarea soluțiilor unor probleme pentru rezolvarea altora;
folosirea unor idei, reguli sau metode matematice în abordarea unor probleme practice sau pentru structurarea unor situații diverse;
expunerea de metode standard sau nonstandard ce permit modelarea matematică a unor situații;
analiza capacității metodelor de a se adapta unor situații concrete;
utilizarea rezultatelor și a metodelor pentru crearea de strategii de lucru.
Toate aceste activități de învățare indică explicit apropierea conținuturilor învățării de practica învățării eficiente. Se urmărește ca, în demersul didactic, centrul acțiunii să devină elevul și nu predarea noțiunilor matematice ca atare. Accentul trece de la “ce” să se învețe, la “în ce scop” și “cu ce rezultate”.
X. Instrumente și modalități de evaluare:
Evaluarea se face în termeni calitativi; capătă semnificație dimensiuni ale cunoștințelor dobândite, cum ar fi: esențialitate, profunzime, funcționalitate, durabilitate, orientare axiologică, stabilitate, mobilitate, diversificare, amplificare treptată.
Tipuri de evaluare utilizate: predictivă, continuu-formativăși sumativă.
Notarea răspunsurilor orale prin puncte, a contribuției în timpul orei la realizarea sarcinilor didactice propuse;
Teste sumative;
Proiectul;
Tema de lucru pentru acasă, tema de lucru în clasă;
Autoevaluare sau evaluare reciprocă.
XI. Surse bibliografice, material didactic.
Marius Burtea, G. Burtea – Manual de matematică pentru clasa a XI-a, Ed. Carminis, Pitești, 2006;
Ilie Petre Iambor, I. Odăgescu – Teste de matematică, Ed. Aramis, București, 2003;
Dumitru Deleanu – Teste de matematică, Ed. Nautica, Constanța, 2003.
Mihăileanu, N. – Istoria Matematicii, vol.2, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1981
Popescu O., Raischi C. – Matematici aplicate în economie, vol. I-II, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1993
Brânzei D., Ulmeanu S. – Matematica în concursurile școlare, Ed P 45, Argeș, 2000
Ganga M. – Manual de Matematică, Elemente de Algebră liniară și Geometrie analitică, clasa a XI-a, Ed. Mathpress, Ploiești, 2006.
CAPITOLUL V
PROIECTAREA DIDACTICĂ LA MATEMATICĂ
Programa școlară de Matematică este construită astfel încât să nu îngrădească libertatea profesorului în proiectarea activităților didactice. Astfel, în condițiile realizării competențelor generale și specifice și în condițiile parcurgerii integrale a conținuturilor obligatorii, profesorul poate:
să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut;
să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;
să aleagă sau să organizeze activități de învățare
Cu toate că procesul de instruire este extrem de complex și probabilist (așa cum sunt toate acțiunile cu oameni și asupra oamenilor), există posibilităță largi ca activitatea didactică să fie minuțios pregătită și anticipată, asigurând acesteia un caracter mai sistematic, rațional și în consecință o eficiență sporită. Pentru a desfășura demersul didactic la disciplina Matematică propus prin curriculum nucleu este necesară realizarea unei proiectări pe termen mediu concretizată în planificare calendaristică și o proiectare secvențială, pe termen scurt, prin proiectarea unităților de învățare. Fiecărui obiectiv cadru/competență generală îi sunt asociate mai multe obiective de referință/competențe specifice. Atingerea obiectivelor de referință/competențelor specifice se realizează cu ajutorul temelor descrise la rubrica Conținuturi din curriculum. Pentru a fi formate la elevi capacitățile descrise prin obiectivele de referință/competențele specifice din programă cadrul didactic.
1) Proiectarea didactică pe termen lung/mediu este cunoscută în practica educațională ca planificarea calendaristică anuală și semestrială.
Elaborarea planificării calendaristice presupune parcurgerea următoarelor etape:
stabilirea unităților de învățare prin realizarea asocierilor dintre obiectivele de referință/competențe specifice și conținuturi prin intermediul matricei de asociere;
stabilirea succesiunii de parcurgere a unităților de învățare și a conținuturilor în interiorul fiecărei unități de învățare ;
asocierea competențelor specifice și a conținuturilor prezentate în programa școlară;
stabilirea bugetului de timp necesar pentru fiecare unitate de învățare prin alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare unitate de învățare, în concordanță cu obiectivele de referință/competențele de învățare vizate.
Planificarea calendaristică poate fi organizată în următoarea structură:
2).Proiectarea didactică a unei unități de învățare
Procesul de proiectare a demersului didactic realizează o anticipare a activității didactice viitoare din clasă și presupune parcurgerea de către profesor a următorilor pași:
– lectura programei școlare;
– identificarea unităților de învățare, care stau la baza realizării planificării calendaristice;
– elaborarea planificării calendaristice, semestriale și anuale;
– proiectarea unităților de învățare.
Ca sistem de lecții, unitatea de învățare a fost concepută de B.S. Bloom (1970) pentru a putea compensa diferențele de ritm de învățare dintre elevi și diferențele de timp necesar învățării pentru fiecare elev. Varietatea experiențelor de învățare pe care școala trebuie le ofere elevilor are rolul să „accelereze” învățarea în funcție de particularitățile fiecărui elev, estompând diferențele de ritm de învățare dintre elevi. Fenomenul de „accelerare a învățării” este asociat cu un feedback prin care elevii raportează propriul demers cognitiv la sarcinile și evenimentele instruirii.
Realizarea unei unități de învățare la disciplina Matematică impune un demers didactic personalizat, în sensul celor afirmate anterior, și proiectat de fiecare cadrul didactic în acord cu structura colectivului de elevi pe care îl conduce. Metodologia de proiectare a unei unități de învățare este centrată pe un proces de asociere a obiectivelor de referință/competențelor specifice cu conținuturile și alegerea resurselor adecvate în vederea atingerii setului de obiective/competențe specificecu conținuturile și alegerea resurselor adecvate în vederea atingerii setului de obiective/competențe.
Proiectarea activității didactice este un proces de gândire și nu poate fi confundat cu un plan superficial (de operații), deci trebuie considerat ca un act de creație, inedit, aflat sub impulsul unor decizii ad-hoc, de a căror calitate depinde reușita activității didactice. Operațiile și activitățile ce se întrepătrund trebuie să respecte o anumită normalitate fară a exagera rolurile operațiilor anticipative, dar nici ignorarea parțială a acestora. Din cele de mai sus rezultă că cele două funcții pe care le îndeplinește activitatea de proiectare didactică sunt funcția de creație și funcția de normativitate. O condiție importantă pentru proiectarea didactică este raportarea acțiunilor proiectate la cele trei cadre de referință: activitatea anterioară momentului, situația existentă și activitatea viitoare momentului. Înfinal, proiectarea didactică are valoare de ghid în activitatea profesorului, solicitându-1 pe acesta să se adapteze și să reconsidere demersul antticipat dacă, bineînțeles, situațiile neprevăzute impun acest lucru.
1 COMPONENTELE ȘI ALGORITMUL PROIECTĂRII DIDACTICE
Principalele procese și situații componente ale actului didactic care antrenează o acțiune de anticipare pot fi structurate în jurul conceptelor de scop instructiv-educativ și de obiectiv operațional. Prin scopuri definim intențiile și sarcinile cu caracter mai general, care privesc un demers didactic de durată, mai bogat în conținut, în timp ce obiectivele operaționale vizează schimbări de comportament imediat pe cele trei mari planuri ale personalității (cognitiv, afectiv, motric). Obiectivele operaționale reprezintă achiziții concrete, în cadrul unor secvențe mai mici de instruire (lecție) și corelate cu conținuturi mai limitate. Practica școlară a dovedit că formularea obiectivelor la începutul lecției, aproape că atrage după sine și realizarea lor. Cele două noțiuni (scop și obiectiv concret) se completează reciproc. Deși orientează activitatea didactică, scopurile nu pot dirija îndeaproape "pașii instruirii", în timp ce obiectivele concrete, care urmăresc instruirea, lasă în afară perimetrului lor scopuri de incontestabilă valoare.
2 CUNOAȘTEREA RESURSELOR ȘI CONDIȚIILOR DE DESFĂȘURARE A PROCESULUI DIDACTIC
Nu putem programa activitatea didactică dacă nu cunoaștem resursele, adică capacitatea de învățare a elevilor, de unde și necesitatea aplicării unor probe de inventariere, la începutul unui program de instruire. Rezultatele acestei probe ne sugerează adoptarea unor măsuri de recuperare a unor elevi, în vederea integrării lor, cu șanse de reușită, în noul program. De asemenea, condițiile de desfășurare privesc echipamentul necesar, materiale didactice și nu în ultimul rând, timpul disponibil de instruire.
3 ORGANIZAREA ȘI PREGĂTIREA CONȚINUTULUI PROCESULUI DE INSTRUIRE
Acesta trebuie sistematizat și delimitat pe capitole, subcapitole, teme, ajungându-se până la lecție, asigurând acesteia unitatea logică și densitatea corespunzătoare.
Nu trebuie uitat gradul de accesibilitate al conținutului, în ceea ce privește ritmul de parcurgere al acestuia și nici capacitățile intelectuale ale elevilor, deci noțiunile trebuie ierarhizate în mod gradat. În strânsă legătură cu organizarea conținutului, proiectarea implicaă identificarea obiectivelor concrete, ce urmează arealizate prin învățare.
4 STABILIREA ACTIVITĂȚILOR DE PREDARE-ÎNVĂȚARE (succeptibile să asigure realizarea obiectivelor propuse)
Din acest punct de vedere, tehnologia didactică este axată pe obiective pedagogice, exprimând schimbări ce se intenționează a fi produse la elevi. Se deosebește fundamental de didactica tradițională, în sensul că activitatea de predare-învățare nu este centrată pe ceea ce are de făcut propunătorul (input), ci pe activitatea de învățare a elevilor (output) adică elevii trebuie îndrumați de profesor, dar hotărâtor este studiul individual, munca independentă.
Condiția unei activități didactice reușite este ca ea să fie adecvată obiectivelor și conținuturilor avându-se în vedere tipul de învățare ce urmează a fi realizat (operațională, prin rezolvări de probleme teoretice și practice, prin experiment, prin descoperire, prin exercițiu etc.) tipurile de interacțiune didactică (expozitiv, dialogat și bazat pe activitatea personală a elevilor).
5 MODALITĂȚI DE EVALUARE A REZULTATELOR (asigurarea conexiunii inverse)
Într-un cuvânt, se evaluează rezulatatele școlare (ele se referă la elev în sensul de achiziție ale acestuia pe plan cognitiv, afectiv, motric, dar și la profesor, urmărindu-se caracteristicilor de personalitate și didactice) și procesele (adică obiective, conținut, metode, mijloace, strategii etc), iar tendința modernă este de la rezultate la procese. Se evaluează pentru a determina valoarea rezultatelor, nivelul pregătirii, procesele pentru a certifica o anumită pregătire minimă acceptată pentru a ierarhiza, selecta, orienta (orientare școlară, profesională) elevii, pentru ameliorarea conținuturilor programelor și manualelor. Aprecierea (etichetarea) rezultatelor cu o notă nu ne dezvăluie punctele slabe ale învățământului și nici cauzele. Pentru a determina cauzele trebuie să extindem evaluarea spre procesul de predare-învățare sau chiar asupra tuturor componentelor procesului de învățământ. Exemplu de cauze: poate programele sunt prea exigente, poate, manualele sunt prea slabe, poate elevii vin prea slab pregătiți din ciclul anterior de aceea evaluarea este pusa în serviciul îmbunătățirii procesului de învățământ și ea capătă semnificația de feed-back. Evaluarea trebuie pusă în serviciul elevului (să-și dea seama de ce se găsește la acel nivel), adică elevii să aibă la îndemână tehnici de evaluare (tendința actuală este de a transforma evaluarea în autoevaluare), deci elevii să aibă capacitatea de a se aprecia (prin raportarea la obiectivele propuse). În final, evaluarea este o chestiune de etică profesională, de corectitudine, de cinste, iar profesorul trebuie să aibă aceste calități și să nu influențeze notele.
MODEL DE PROIECTARE A ACTIVITĂȚII DIDACTICE
PROIECTAREA UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE
Unitatea de învățare: SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
Disciplina: Matematică
Clasa: a XI-a
An școlar:
Profesor:
Competențe specifice:
C1: Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic;
C2:Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces;
C3: Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice;
C4: Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici;
C5: Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme si identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora;
C6: Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate
Sugestii metodologice:
M1: Folosirea unor idei și reguli matematice în abordarea unor probleme practice sau pentru structurarea unor situații diverse
M2: Utilizarea unor formule standard în rezolvarea de probleme
M3: Analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare
M4: Citirea corectă și conștientă a enunțului unei probleme
M5: Reformularea unei probleme echivalente sau înrudite
M6: Inițierea sau realizarea creativă a unor investigații
M7: Folosirea unor reprezentări variate pentru anticiparea unor rezultate
M8: Precizarea modului de alcătuire a unei succesiuni de date și verificarea pe cazuri particulare a regulilor descoperite
M9: Imaginarea și folosirea unor reprezentări variate pentru depășirea unor dificultăți
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE „SISTEME DE ECUAȚII LINIARE”
3.PROIECTE DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ
Numele și prenumele cadrului didactic:
Disciplina: Matematică
Clasa: a XI-a
Subiectul lecției: Sisteme de ecuații liniare
Durata: 50 minute
Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor
Obiectivul fundamental: Formarea deprinderilor și priceperilor în vederea rezolvării corecte a sistemelor de ecuații liniare precum și a abilităților ce se impun la rezolvarea sistemelor cu parametrii în situații impuse, asigurând astfel nivelul de cultură generală în matematică, utilizarea lor în studiul altor capitole precum și promovarea examenului de bacalaureat și a examenelor de admitere în învățământul superior.
Competențe generale:
1. Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ., structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme.
4. Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian a rezolvării sau strategiilor de rezolvare a unei probleme.
5. Analiza de situații – problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor.
6. Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor.
Competențe specifice:
C1: Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice.
C2: Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici.
C3: Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora.
C4: Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate.
Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
Să rezolve sisteme de ecuații liniare alegând metoda adecvată.
Să stabilească ce condiții se impun pentru determinarea unor parametrii în funcție de contextul problemei.
Să rezolve sisteme de ecuații liniare cu parametri, făcând discuție asupra naturii sistemului după valorile acestora și aflând soluțiile atunci când acestea există.
Strategii didactice:
Metode și procedee de învățare:
De transmitere: conversația, explicația;
De expunere directă: observația organizată; examinarea documentară;
De expunere indirectă: demonstrația;
De acțiune reală: exercițiul.
Mijloace (resurse): culegere, manual, fișe de lucru.
Stilul de învățare:
Stilul vizual – va fi favorizat de vizualizarea informațiilor în formă tipărită (aplicarea comunicării de tip non-verbal);
Stilul auditiv – va fi favorizat de ascultarea, redarea și explicarea informațiilor (comunicare verbală);
Stilul practic – va fi favorizat de aplicarea informațiilor obținute.
Documentare bibliografică:
Marius Burtea, G. Burtea – Manual de matematică pentru clasa a XI-a, Ed. Carminis, Pitești, 2006;
Ilie Petre Iambor, Ioan Odăgescu – Teste de matematică, Ed. Aramis, București, 2003;
Dumitru Deleanu – Teste de matematică, Ed. Nautica, Constanța, 2003.
Scenariul didactic:
Captarea atenției (2’)
Profesorul asigură condițiile ergonomice, verifică materialul didactic și prezența elevilor, le captează atenția prin prezentarea fișei de lucru și a obiectivelor urmărite pe parcurs.
Reactualizarea cunoștințelor asimilate anterior (7’)
Se realizează o clasificare a sistemelor din punct de vedere al existenței soluției și al numărului de soluții cu ajutorul elevilor, folosind metoda ciorchinelui, astfel:
Se scrie în mijlocul tablei titlul temei ce urmează a fi recapitulată, „Sisteme de ecuații liniare”;
Elevii vor fi solicitați să își noteze toate tipurile de sisteme cunoscute în jurul temei din centru, trasând linii de legătură între acestea și tema inițială;
Pe măsură ce își amintesc tipurile de sisteme și le notează, elevii vor trasa linii între toate cuvintele (ideile) ce par a fi conectate.
Se reamintește algoritmul de stabilire a compatibilității unui sistem (folosind proprietatea de compatibilitate a lui Rouche), precum și modul de determinare a mulțimii soluțiilor sistemului folosind metoda ciorchinelui astfel:
Se scrie în mijlocul tablei tema: „Algoritm de rezolvare a unui sistem de m ecuații cu n necunoscute, ”;
Elevii vor fi solicitați să își noteze toate noțiunile pe care le au în minte în legătură cu acest algoritm, stabilind corespondența între acestea și tema centrală prin trasarea unor linii;
În timp ce își amintesc alte etape, elevii le notează și vor trasa linii între toate ideile ce par a fi conectate;
Activitatea se oprește în momentul în care se epuizează toate ideile.
Anunțarea competențelor (1’)
Prezentarea fișei de lucru și rezolvarea exercițiilor conținute de aceasta (22’)
Asigurarea transferului – obținerea de performanțe (15’)
Se discută și se rezolvă exercițiile mai grele de pe fișa de lucru apoi se notează răspunsurile primite.
Asigurarea feed-back-ului (3’)
Se dă tema pentru acasă (exercițiile rămase nerezolvate de pe fișa de lucru precum și exerciții asemănătoare din manual).
FIȘA DE LUCRU
1.Scriind în dreptul lor A (adevărat) sau F (fals), stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții: „Regula lui Cramer se aplică:
a) pentru aflarea rangului unei matrice;
b) pentru calculul inversei unei matrice;
c) pentru rezolvarea sistemelor liniare compatibil determinate;
d) pentru determinarea minorului caracteristic”.
2.Să se studieze compatibilitatea următoarelor sisteme și să se precizeze (acolo unde există) mulțimea soluțiilor:
; b)
3.Se consideră sistemul , . Valoarea lui m pentru care sistemul este compatibil este ……………..
4.Sistemul liniar , este compatibil nedeterminat pentru .
5.Fie sistemul și și S suma elementelor lui M. Specificați litera corespunzătoare răspunsului corect:
a) ; b) ; c) ; d) .
6. Să se determine astfel încât sistemul să fie compatibil dublu nedeterminat.
7.Fie sistemul liniar , , cu soluția . Dacă sunt în progresie aritmetică, atunci specificați litera corespunzătoare răspunsului corect:
a) ; b) ; c) ; d) .
8.Fie sistemul omogen . Să se afle pentru care sistemul are și soluții diferite de soluția banală.
9. Se consideră sistemul liniar, . Precizați care din următoarele afirmații este adevărată:
a) Pentru sistemul este compatibil dublu determinat;
b) Pentru sistemul este incompatibil;
c) Pentru , sistemul este incompatibil;
d) Pentru sistemul este compatibil dublu nedeterminat.
10.Specificați litera corespunzătoare răspunsului correct: „Condiția necesară și suficientă ca sistemul să aibă soluție nebanală este:
a)
b)
c)
d)
e) ”.
11.Se consideră sistemul , .
a) Să se scrie matricea A a sistemului
b) Să se determine rangul matricei A
c) Pentru ce valori ale parametrului real m sistemul este compatibil?
d) Pentru să se studieze natura sistemului și în caz de compatibilitate, să se rezolve.
Numele și prenumele cadrului didactic:
Disciplina: Matematică
Clasa: a VIII-a
Subiectul lecției: Rezolvarea prin metoda reducerii a sistemelor de ecuații de forma: , unde coeficienții a1,b1,c1,a2,b2,c2.
Durata: 50 minute
Tipul lecției: Mixtă
Obiectivul fundamental: Formarea deprinderilor și priceperilor în vederea rezolvării corecte a sistemelor de ecuații precum și a abilităților ce se impun la rezolvarea sistemelor cu parametrii în situații impuse, asigurând astfel nivelul de cultură generală în matematică, utilizarea lor în studiul altor capitole precum și promovarea examenului de testare națională.
Competențe generale:
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice.
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.
Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
Să rezolve sisteme de două ecuații liniare prin metoda reducerii sau substituției.
Să rezolve aplicații cu ajutorul sistemelor de ecuații studiate (determinarea coordonatelor punctului de intersecție a graficelor a două funcții; identificarea unei perechi de numere care verifică o ecuație sau un sistem a cărui soluție este dată; determinarea unei funcții de forma f: →, f(x)= ax+b, al cărei grafic conține două puncte date).
Să identifice unii termeni matematici folosind procedee specifice gramaticii.
Să determine sisteme echivalente cu sistemul dat.
Strategii didactice:
Metode și procedee de învățare:
De transmitere: conversația, explicația;
De expunere directă: observația organizată; examinarea documentară; exercițiul, jocul didactic.
De expunere indirectă: demonstrația; mozaic – învățarea prin cooperare, învățarea prin descoperire.
De acțiune reală: exercițiul.
Mijloace (resurse): culegere de exerciții, manual, fișe de lucru.
Stilul de învățare:
Stilul vizual – va fi favorizat de vizualizarea informațiilor în formă tipărită (aplicarea comunicării de tip non-verbal);
Stilul auditiv – va fi favorizat de ascultarea, redarea și explicarea informațiilor (comunicare verbală);
Stilul practic – va fi favorizat de aplicarea informațiilor obținute.
Documentare bibliografică:
Manual clasa a VIII-a, Ed. Teora Educațional
Manual clasa a VIII-a, Ed. Sigma;
Petre Simion – Matematică. Culegere de exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a, Ed. Aramis;
Manea Ion Monalisa – Culegere de probleme de matematică pentru clasa a VIII-a, Ed. Logos Junior;
Artur Bălăucă – Auxiliar la manualele alternative, Ed. Taida;
FIȘA DE LUCRU I
Rezolvarea sistemelor de ecuații de forma: ; a1,b1,c1,a2,b2,c2prin metoda substituției
I.Scrieți rezultatul corect:
1.Soluția sistemului este perechea (…. ; ….)
II.Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerință, alegeți rezultatul corect.
2.Numerele naturale m și n pentru care sistemul are soluția sunt:
A. m=-2; n= 2B. m=2; n=-2C. m=-1; n= 0,5D. m=6; n=2
3.Graficele funcțiilor f: RR, f(x)= 3-4x si g: RR, g(x)= 2x-21 au ca punct comun:
A.P(12; -45) B. P(4; -13)C. P(-4; 19)D. P(-3; 15)
III.Scrieți rezolvările complete.
4.Rezolvați sistemul ; x, y.
5.Determinați (x,y) știind că: + (y-3x-5)=0
FIȘA DE LUCRU II
Rezolvarea sistemelor de ecuații de forma: ; a1,b1,c1,a2,b2,c2. prin metoda reducerii
I. Etape în aplicarea metodei reducerii:
înmulțim convenabil ambele ecuații astfel încât prin adunarea lor să fie eliminată o necunoscută
adunăm ecuațiile membru cu membru și obținem o ecuație cu o singură necunoscută, pe care o rezolvăm
procedăm asemănător pentru a reduce cealaltă necunoscută
perechile ordonate astfel obținute sunt soluțiile sistemului
Exemplu:Rezolvați sistemul următor prin metoda reducerii: ; x,y
/ 22y = 66
y = 3
S=
11x / = 11
x = 1
II.Observații: Dacă după înmulțirea și adunarea celor două ecuații se reduc toți termenii sau se reduc numai termenii care conțin necunoscute, atunci sistemul este compatibil nedeterminat sau incompatibil.
Exemple:
1.
-18 =0 S =
2.
0=0
2x – 4y +2 =0 | :2 x- 2y +1 =0 x = 2y -1 S=(2y-1, y) | y Є R }
FIȘĂ “EXPERȚI”
1.Rezolvați, prin metoda substituției , sistemele :
a) b) c) d)
2.Rezolvați , prin metoda reducerii , sistemele:
a) b) c)d)
3.Dacă 3x+4y= 7 și x +y=2, calculați .
4.Calculați unde perechea (x,y) reprezintă soluția sistemului.
5. Rezolvați sitemele :
a) b)
c) d)
e) f)
4.TESTE DE EVALUARE
4.1.TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ (MATRICE)( Clasa a XI-a)
Matricea are…….linii și ………… coloane.
Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane atunci matricea se numește…………….…… .
Matricea , de forma se numește …………….. .
Să se determine astfel încât să avem egalitate de matrice:
.
a) ; b) ; c) ; d) .
5. Fie matricea .Valoarea lui pentru care avem egalitateaeste:
a) ; b) ; c) ; d) .
6.Se dau matricele: și .Să se calculeze .
7. Fie matricea . Să se calculeze ,.
Notă:
Timp de lucru: 50 min.
Se acorda 10 punctedinoficiu.
Toate subiectele sunt obligatorii.
Barem:
4.2.TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ (Sisteme de ecuații)( Clasa a VIII-a)
1. Valoarea numarului real a astfel încât perechea ordonată (6, a) să fie soluție a sistemului (S1) este……………
2. Rezolvați prin metoda substituției sistemul (S2) .
3. Soluția sistemului (S3) este:
A.(2;1) B.(2,3) C.(2,3) D (2,4).
4.Două numere naturale au suma egală cu 38 și diferența egală cu 8. Aflați numerele.
5.Calculați unde perechea (x,y) reprezintă soluția sistemului.
Notă:
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru este de 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii
Barem:
PRECIZĂRI METODOLOGICE
Timpul de lucru efectiv pentru test este de 50 de minute iar punctajul maxim acordat este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu.
În alcătuirea acestui test de evaluare sumativă am folosit trei tipuri de itemi:
Itemi cu răspuns scurt
Itemi obiectivi cu alegere multiplă
Itemi subiectivi cu rezolvarea completă a problemelor.
Competențele de evaluat asociate testului. La sfârșitul capitolului SISTEME DE ECUAȚII LINIARE elevii vor fi capabili:
C1. Să rezolve sisteme de două ecuații liniare prin metoda reducerii sau substituției.
C2. Să rezolve aplicații cu ajutorul sistemelor de ecuații studiate
C3. Să identifice unii termeni matematici folosind procedee specifice gramaticii.
C4.Să determine sisteme echivalente cu sistemul dat.
Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare sumativă este următoarea:
Colectivul de elevi este eterogen, 4-5 elevi se remarcă la ore cu rezultate mulțumitoare dar nu excepționale, elevii lucrând numai după programa școlară, tema pentru acasă propusă la școală și nimic suplimentar.
Distribuția pe tranșe de note (număr elevi prezenți: 22, din 25):
Diferențele sesizate între notele la lucrări și mediile notelor din timpul semestrului se datorează faptului că:
– Susținuți de profesor cu întrebări ajutătoare se descurcă mai bine în oral decât în scris;
– Atunci cand sarcinile pe care le primesc sunt diverse, formelede evaluare propuse de profesor fiind fișe de lucru, portofolii individuale, eleviiexecută cu plăcere aceste sarcini;
– Rezultatele obținute la test reflectă, evident, mai mult cunoștințele și strategiile dobândite în aceasta perioadă de timp.
Recomandări de optimizare a procesului de evaluare:
– Să rezolvăm mai multe probleme practice.
– Să lucram suplimentar diferențiat mai mult ca până acum în special cu cei mai slabi la această disciplină.
– Este util introducerea la nivelul clasei a VII-a un opțional la nivelul disciplinei care poate avea ca scop stimularea interesului elevilor pentru studiul sistemelor de ecuații.
BIBLIOGRAFIE:
ȘTIINȚIFICĂ
1. Ion D. Ion, Radu Nicolae, Algebra, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1980
2.Năstăsescu C., Niță C., Vraciu C. – Bazele algebrei, Editura Academiei RSR, București, 1986
3. Ion D. Ion, Ghioca A. P. Nediță N., Algebra-manual clasa a Xll-a, Editura Didactică și Pedagogică București 1980
4. Năstăsescu C, Niță C, Brandiburu M, Joița D., Exerciții și probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981
5.Țena MarcelAlgebra. Structuri fundamentale pentru liceu Editura Corint, București, 1996
6. Năstăsescu C, Țena M., Gheorghe A., Ortărășanu I, Probleme de structuri algebrice, Editura Academiei, București, 1998
7. Purcaru I. și alții Matematici aplicate în economie
8. Petrică L, Lazăr L,Probleme de algebră pentru licee, voi. III (clasele IX-Xll), Editura Petrion
9 .Pic Gh. – Algebră superioară, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1966
10. Proskurzakov I. V. – Problems in Linear Algebra, Mir Publishers Moscow, 1978
11. Popescu O., Raischi C. – Matematici aplicate în economie, vol. I-II, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1993
12. Năstăsescu C., Niță C., Stănescu I. – Matematica – Elemente de algebră superioară, manual pentru clasa a XI-a, Editura Didactică și Pedagogică, 1995.
13. Brânzei D., Ulmeanu S. – Matematica în concursurile școlare, Editura Paralela 45, Argeș, 2000
14. Ganga M. – Manual de Matematică, Elemente de Algebră liniară și Geometrie analitică, clasa a XI-a, Editura Mathpress, Ploiești, 2006
15. I. Purdea, I. Pop – Algebra, EdituraGIL, Zalău, 2003
16. Jantschi L., Nașcu H.I. – Chimie analitică și instrumentală, Academic Pres& Academic Direct, 2009
17. Bernard Badzoch – Linear Algebra, Applications of systems of linear equations
II. METODICĂ
Cucoș C. – Pedagogie, Editura Polirom, Iași, 1996.
Cerghit I. – Metode de învățare, E.D.P. , București, 1997.
Cristea S. – Dicționar de termeni pedagogici, E.D.P., R.A., București, 1998.
Stoica A.&Co – Evaluarea curentă și examenele, Ghid pentru profesori, Editura ProGnosis, București, 2001.
SNEE – Ghidul examinatorului, Editura Aramis, București, 2001.
Cerghit I. – Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri, stiluri și strategii, Editura Aramis, București, 2002.
Suport curs „Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii”
Suport curs DeCeE.
Programe școlare pentru ciclul superior al liceului disciplina Matematică clasa a XI-a aprobate prin ordinul ministrului nr. 3252/13.02.2006.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Sisteme de Ecuatii Liniare. Aplicatii Si Aspecte Metodice (ID: 163600)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.