SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A Cap.I MATRICE I.1. Tabel de tip matriceal. Mult imi de matrice. Not iunea de matrice st a… [616392]

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN
MATEMATICA S COLAR A
Cap.I MATRICE
I.1. Tabel de tip matriceal. Mult imi de matrice.
Not iunea de matrice st a la baza algebrei liniare. S-a ajuns la conceptul
matematic de matrice printr-un proces de abstractizare, pornind de la tabele de tip
matriceal.
Prin tabel de tip matriceal ^ nt elegem un tabel dreptunghiular de numere
reale sau complexe. Un astfel de tabel apare ^ n lucrarea unui matematician chinez
cu dou a secole ^ naintea erei noastre, ^ n leg atur a cu rezolvarea unei probleme ce
conducea la un sistem liniar.
Aplicat iile matematice ale matricelor sunt legate de sistemele liniare. ^In
acela si timp, matricele au aplicat ii ^ n domenii variate cum sunt: teoria comunic arii,
analiza vibrat ilor corpurilor ^ n mi scare, graca pe calculator, etc. Tabelele de tip
matriceal apar ^ n situat ii ^ n care este necesar a o clasicare a unor date numerice
dup a dou a criterii.
Vom considera mai ^ nt^ ai c^ ateva exemple de tip matriceal.
Exemplu: ^Intr-o ^ ntreprindere care are 3 sect ii se face o clasicare a personalului
pe grupe de v^ arst a, complet^ andu-se un tabel matriceal de tipul urm ator:
Sect ia sub 30 ani 30-39 ani 40-49 ani 50-59 ani peste 60 ani
1 5 2 3 2 1
2 3 3 4 5 0
3 10 6 2 4 2
Utilitatea unui astfel de tabel const a ^ n faptul c a datele sunt prezentate ^ ntr-
o form a organizat a, orice informat ie g asindu-se mai u sor dec^ at dac a statistica ar
constat ^ ntr-o simpl a enumerare. Astfel dac a dorim s a a
 am num arul salariat iilor
sect iei a treia, facem suma elementelor din linia a treia a tabelului. Dac a dorim s a
a
 am num arul salariat ilor din ^ ntreprindere care au v^ arsta cuprins a ^ ntre 30  si 39
de ani, facem suma elementelor din coloana a doua a tabelului.
Denit ie: O matrice mneste o serie de mnintr ari, numite elemente, aranjate
^ nmlinii  si ncoloane. ^In cazul ^ n care o matrice se noteaz a cu A, elementul din
r^ andul i si coloana jse noteaz a cu aij si matricea se scrie
1

2SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
A=0
BBBBB@a11: : : a 1n
:
:
:
am1: : : a mn1
CCCCCA:
De obicei matricele se noteaz a cu litere mari.
Exemple de matrice:
Matricea A=(1 2 3)
este matricea de tipul (1 ;3) cu elementele din N.
Elementele ei sunt a11= 1; a12= 2; a13= 3.
Matricea B=0
@p
2
5
61
Aeste matricea de tipul (3 ;1) cu elementele din R.
Elementele ei sunt a11=p
2; a21= 5; a31=6.
Matricea C=(
2 4
1 0)
este matricea de tipul (2 ;2) cu elementele din Z.
Elementele ei sunt a11= 2; a12= 4; a21=1; a22= 0.
Matricea D=0
@1
202
31
234
35
212
31
Aeste matricea de tipul (3 ;3) cu elementele din
Q. Elementele ei sunt a11=1
2; a12= 0; a13=2
3; a21=1
2; a22= 3; a23=
4
3; a31=5
2; a32= 1; a33=2
3.
Mult imea tuturor matricelor de tipul ( m; n) cu elemente din mult imea nu-
merelor complexe se noteaz a Mm;n(Q). In mult imea Mm;n(Q) se disting submult imi
importante de matrice:
Mm;n(R) -mult imea matricelor de tipul ( m; n) cu elemente numere reale;
Mm;n(Q) -mult imea matricelor de tipul ( m; n) cu elemente numere rat ionale;
Mm;n(Z) -mult imea matricelor de tipul ( m; n) cu elemente numere ^ ntregi.
Deoarece ZQRC^ ntre mult imile de matrice enumerate exist a:
Mm;n(Z)Mm;n(Q)Mm;n(R)Mm;n(C) .
Matrice particulare:
Dac a n= 1, matricea este de tipul ( m;1)  si se nume ste matrice coloan a .

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A3
Exemplu: ^In calendarul lunii iunie 2018 ziua de duminic a are urm atoarele
date: 3; 10; 17; 24 scrise pe coloan a. A sadar, avem matricea I=0
BB@3
10
17
241
CCA,
unde a11= 3; a21= 10; a31= 17; a41= 24.
Dac a m= 1, matricea este de tipul (1 ; n)  si se nume ste matrice linie .
Exemplu: S apt am^ ana a doua a anului 2018 ^ ncepe ^ n data de 8 ianuarie.
Putem forma astfel matricea linie O=(8 9 10 11 12 13 14)
.
Dac a num arul mal liniilor este egal cu num arul nde coloane, matricea este
de tipul ( n; n)  si se nume ste matrice p atratic a de ordinul n .
Forma general a a matricei p atratice de ordinul neste:
A=0
BBBBB@a11a12a13: : : a 1n
a21a22a23: : : a 2n
a31a32a33: : : a 3n
: : : : : : :
an1an2an3: : : a nn1
CCCCCA.
Sistemul ordonat de elemente ( a11; a22; a33; :::; a nn) se nume ste diag-
onal a principal a a matricei A, iar sistemul ordonat ( a1n; a2n1; :::; a n1) se
nume ste diagonal a secundar a a matricei A. Suma elementelor diagonalei
principale se nume ste urma matricei  si se noteaz a tr(A).
Exemplu: Fie matricea p atratic a A=0
@2 4 5
2 8 7
3 0 31
A2M3(R). Diago-
nala principal a este ( 2;8;3), diagonala secundar a este (5 ;8;3), iar urma
matricei este tr(A) =2 + 8 + 3 = 9.
Matricea p atratic a care are toate elementele diagonalei principale egale cu
1, iar celelalte elemente sunt egale cu zero se nume ste matricea unitate de
ordinul n  si se noteaz a In.
Forma general a a matricei unitate de ordinul neste:

4SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
In=0
BBBBB@1 0 0 : : : 0
0 1 0 : : : 0
0 0 1 : : : 0
: : : : : : :
0 0 0 : : : 11
CCCCCA.
Matricea de tipul ( m; n) cu toate elementele egale cu zero se nume ste matrice
nul a  si se noteaz a Om;n. Dac a m=n, matricea nul a se noteaz a On.
Forma general a a matricei nule de ordinul neste:
On=0
BBBBB@0 0 0 : : : 0
0 0 0 : : : 0
0 0 0 : : : 0
: : : : : : :
0 0 0 : : : 01
CCCCCA.
I.2. Operat ii cu matrice
I.2.1. Adunarea matricelor
Denit ie: Fie matricele A; B2Mmn(C), unde A= (aij)mn siB= (bij)mn.
Denim adunarea matricelor astfel:
A+B=aij+bij; i=1; n sij=1; m.
Exemplu: Dac a A=(31 2
4p
51)
 siB=(1 3 1
2p
5 0)
, atunci A+B=
(
2 2 3
2 0 1)
2M2;3(C).
Proprietat ile adun arii matricelor:
Adunarea matricelor este comutativ a:
A+B=B+A;8A; B2Mmn(C).
Adunarea matricelor este asociativ a:
(A+B) +C=A+ (B+C);8A; B; C 2Mmn(C).
Matricea nul a Omneste element neutru pentru adunarea matricelor:
A+Omn=A;8A2Mmn(C).
Exist a B2Mmn(C) astfel ^ nc^ at:
A+B=B+A=Omn.
Matricea Bcu aceast a proprietate se nume ste opusa matricei A  si se
noteaz a A= (aij)mn.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A5
Exemplu: Dac a A=(1
37p
3
01 5)
, atunci A=(
1
37p
3
0 1 5)
 siA+ (A) =(1
37p
3
01 5)
+(
1
37p
3
0 1 5)
=O23.
(A) +A=(
1
37p
3
0 1 5)
+(1
37p
3
01 5)
=O23.
Observat ie: Dac a A; B2Mmn(C), atunci suma A+ (B) se noteaz a
AB si se nume ste diferent a matricelor A  si B .
Exemplu: A=(
24
5 1)
 siB=(
4 2
13)
atunci AB=(
24
5 1)

(
4 2
13)
=(
24
5 1)
+(
42
1 3)
=0
@66
4 41
A.
I.2.2. Inmult irea unei matrice cu scalari  si ^ nmult irea matricelor
Denit ie: Fie matricea A2Mmn(C),A= (aij)mn sik2Cun num ar complex.
Se nume ste produsul dintre num arul k  si matricea A , ^ nmult irea ec arui element al
matricei cu acel num ar.
Exemplu: FieA=(3
25 9
4 17
6)
 sik=2. Avem 2
A=2
(3
25 9
4 17
6)
=
(
31018
827
3)
.
Propriet at i ale ^ nmult irii matricelor cu scalari:
(a+b)
A=a
A+b
A;8a; b2C siA2Mmn(C).
a
(A+B) =a
A+a
B;8a2C siA; B2Mmn(C).
a
(b
A) = (a
b)
A;8a; b2C siA2Mmn(C).
1
A=A;8A2Mmn(C).
Denit ie: Fie matricele A= (aij)mn siB= (bij)np. Se nume ste produsul
matricelor A  si B matricea C= (cik)mpale c arei elemente sunt date de egalit at ile:
cik=ai1b1k+ai2b2k+ai3b3k+:::+ainbnk;8i21;2;3; :::; n  si8k21;2;3; :::; p . Ma-
tricea produs se noteaz a C=A
B.
Observat ie: ^In general A
B̸=B
A. A sadar ^ nmult irea matricelor nu este
comutativ a.

6SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
Exemplu: Fie matricele A=(
5 3 2
01 2)
 siB=0
@1 2
2 4
431
A.
Calcul am A
B. Avem A2M23(R)  siB2M32(R). Rezult a c a
A
B2M22(R). Not am A
B=(
c11c12
c21c22)
. Aplic^ and regula de ^ nmult ire
linie-coloan a se obt ine:
c11=a11b11+a12b21+a13b31= 5
(1) + 3
2 + (2)
4 =7 ,
c12=a11b12+a12b22+a13b32= 5
2 + 3
4 + (2)
(3) = 28 ,
c21=a21b11+a22b21+a23b31= 0
(1) + (1)
2 + 2
4 = 6 ,
c22=a21b12+a22b22+a23b32= 0
2 + (1)
4 + 2
(3) =10.
A sadar A
B=(
7 28
610)
.
Calcul am produsul B
A2M3(R)  si avem:
B
A=0
@1 2
2 4
431
A
(
5 3 2
01 2)
=0
@55 6
10 2 4
20 15 141
A.
Propriet at i ale ^ nmult irii matricelor:
Inmult irea matricelor este asociativ a:
(A
B)
C=A
(B
C);8A2Mmn(C); B2Mnp(C); C2Mpr(C).
Inmult irea matricelor este distributiv a fat  a de adunarea matricelor:
A
(B+C) =A
B+A
C;8A2Mmn(C); B; C 2Mnp(C).
(A+B)
C=A
C+B
C;8A; B2Mmn(C); C2Mnp(C).
A
In=In
A;8A2Mn(C).
a
(A
B) = (a
A)
B=A
(a
B);8a2C; A2Mmn(C); B2Mnp(C).
I.3. Determinant i
I.3.1. Determinantul unei matrice p atratice de ordin cel mult 3
Denit ie: Fie matricea p atratic a de ordinul doi A=(
a11a12
a21a22)
. Num arul
d=a11
a22a12
a21se nume ste determinantul de ordin doi sau determinantul
matricei A de ordinul doi .

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A7
Pentru determinantul de ordinul doi se folose ste notat ia d=a11a12
a21a22,
det(A) saujAj.
Exemplu: Fie matricea A=(p
312
3p
3 + 1)
2M2(R). Determinantul ei
este num arul:
det(A) =p
312
3p
3 + 1= (p
31)
(p
3 + 1) (2)
3 = 3 1 + 6 = 8 .
Denit ie: Fie matricea p atratic a de ordinul trei A=0
@a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A. Num arul
d=a11
a22
a33+a13
a21
a32+a12
a23
a31a13
a22
a31a12
a21
a33a11
a23
a32
se nume ste determinantul de ordin trei sau determinantul matricei A de ordinul trei .
Pentru determinantul de ordinul trei se folose ste notat ia d=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33,
det(A) saujAj.
Exemplu: Fie matricea A=0
@12 5
0 3 2
4 2 71
A2M3(R). Determinantul ei este
num arul:
det(A) =12 5
0 3 2
4 2 7= 1
3
7 + (2)
(2)
(4) + 0
2
55
3
(4)
(2)
2
1(2)
0
7 = 21 16 + 0 + 60 + 4 + 0 = 69.
Observat ie: Pentru o matrice A= (a11)2M1(C), determinantul acesteia va
determinantul de ordinul unu, jAj=ja11j=a11.
Exemplu: Fie matricea A= (2 +i)2M1(C). Determinantul ei este j 2 +ij=
2 +i.
Propriet at i ale determinant iilor:
Dac a toate elementele unei linii (coloane) sunt nule, atunci determinantul
este nul.
Dac a o matrice are dou a linii (coloane) identice, atunci determinantul este
nul.

8SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
Dac a toate elementele unei linii (coloane) a unei matrice A2Mn(C) sunt
^ nmult ite cu un element k2C, obt inem o matrice al c arui determinant este
egal cu k^ nmult it cu determinantul matricei init iale.
Dac a la o linie (coloan a) a matricei A2Mn(C) adun am elementele altei linii
(coloane), ^ nmult ite cu acela si element, atunci matricea obt inut a are acela si
determinant ca  si matricea A.
Dac a elementele a dou a linii (coloane) ale unei matrice A2Mn(C) sunt
proport ionale, atunci determinantul matricei este nul.
Dac a la o linie (coloan a) a matricei A2Mn(C) este o combinat ie liniar a de
celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricei este nul.
Determinantul unei matrice p atratice este egal cu determinantul matricei
transpuse.
Dac a se permut a ^ ntre ele dou a linii (coloane) ale unei matrice A2Mn(C),
atunci determinantul matricei este opusul determinantului init ial.
Dac a A; B2Mn(C), atunci det(A
B) =det(A)
det(B).
I.3.2. Reguli de calcul pentru determinant i
A. Regula lui Sarrus
Se copiaz a sub determinant linia ^ nt^ ai  si linia a dou a;
Se adun a produsele termenilor situat i pe diagonala principal a  si pe paralelele
la aceasta;
Se scad produsele termenilor situat i pe diagonala secundar a  si pe paralelele
la aceasta.
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
a11a12a13
a21a22a23=a11
a22
a33+a21
a32
a13+a31
a12
a23a13
a22
a31a23

a32
a11a33
a12
a21.
B. Regula triunghiului
Produsul elementelor de pe diagonala principal a, a11
a22
a33,  si produsele
elementelor a13
a21
a32; a12
a23
a31, considerate "v^ arfuri" ale triunghiurilor av^ and
ecare o latur a paralel a cu diagonala principal a sunt precedate de semnul "+".

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A9
Produsul elementelor de pe diagonala secundar a, a13
a22
a31,  si produsele
elementelor a12
a21
a33; a11
a32
a23, considerate "v^ arfuri" ale triunghiurilor av^ and
ecare o latur a paralel a cu diagonala secundar a sunt precedate de semnul "-".
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=a11
a22
a33+a13
a21
a32+a31
a12
a23a13
a22
a31a11

a23
a32a33
a21
a12.
C. Regula minorilor
Fie matricea A= (aij)mno matrice ptratic de ordinul n.
Denit ie: Determinantul de ordinul n1 se nume ste minorul elementului aij,
care se obt ine din determinantul matricei Asuprim^ and linia i si coloana j si se
noteaz a dij.
Denit ie: Num arul ij= (1)i+j
dijse nume ste complementul algebric al ele-
mentului aij.
Fie matricea A=0
@a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A. Minorul elementului a11ested11=
a22a23
a32a33 si complementul algebric este num arul 11= (1)1+1
d11=d11. Mi-
norul elementului a22ested22=a11a13
a31a33 si complementul algebric este num arul
22= (1)2+2
d22=d22.
Exemplu: Fie matricea A=0
@7 5 3
1 0 1
2 4 61
A. Dorim s a calcul am matricea B=
(ij)33, unde ijreprezint a complementul algebric al elementului aijal matricei A.
Aplic^ and denit ia complementului algebric avem:
11= (1)1+1
d11=d11=0 1
4 6= 4;
12= (1)1+2
d12=d12=1 1
2 6=4;
13= (1)1+3
d13=d13=1 0
2 4= 4;
21= (1)2+1
d21=d21=0 1
4 6= 4;

10SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
22= (1)2+2
d22=d22=7 3
2 6= 36;
23= (1)2+3
d23=d23=7 5
2 4=18;
31= (1)3+1
d31=d31=5 3
0 1= 5;
32= (1)3+2
d32=d32=7 3
1 1=4;
33= (1)3+3
d33=d33=7 5
1 0=5;
Obt inem B=0
@44 4
4 36 18
5451
A.
I.3.3. Rangul unei matrice
Denit ie: FieA2Mmn(C) o matruce nenul a. Spunem c a matricea Aare
rangulr  si not am rangA =r, dac a Aare un minor nenul de ordin r, iar tot i minorii
luiAde ordin mai mare dec^ at r(dac a exist a) sunt nuli.
Observat ii:
Dac a A= 0, atunci rangA = 0;
rangA =rangAt;
Rangul unei matrice nu se schimb a dac a permutam liniile, respectiv coloanele,
^ ntre ele;
Rangul unei matrice nu se schimb a dac a^ nmult im o linie, respectiv o coloan a,
cu un element nenul;
Dac a rangA =r, tot i minorii de ordin mai mare sau egal cu r+ 1 sunt nuli.
Exemplu: Fie matricea A=0
@7 5 3
1 0 1
2 4 61
A.
det(A) =7 5 3
1 0 1
2 4 6= 0 + 12 + 10 03028 =36̸= 0 =)rang (A) = 3.
I.4. Matrice inversabile
Denit ie: O matrice A2Mn(C) se nume ste matrice inversabil a dac a exist a o
matrice B2Mn(C) astfel ^ nc^ at A
B=B
A=In. Matricea Bse nume ste inversa
matricei A si se noteaz a B=A1.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A11
Observat ie: Se poate spune c a matricea Aeste inversa matricei B si au loc
relat iile:
A
A1=A1
A=In si (A1)1=A.
Teorema I.4.1: Inversa unei matrice p atratice, dac a exist a, este unic a.
Teorema I.4.2: O matrice p atratice A2Mn(C) este inversabil a dac a  si numai
dac a det(A)̸= 0.
Inversa matricei Aeste dat a de formula A1=1
det(A)
A, unde Aeste ma-
tricea adjunct a a matricei A, ale c arei elemente reprezint a complementii algebrici ai
elementelor matricei transpuse At.
Exemplu: Fie matricea A=0
@3 2 1
0 5 0
21 01
A.
Calcul am determinantul matricei pentru a stabili dac a este inversabil a. Avem:
det(A) =3 2 1
0 5 0
21 0= 0 + 0 + 0 + 10 00 = 10 ̸= 0.
ezult a c a Aeste inversabil a  si inversa ei este A1=1
det(A)
A.
Scriem transpusa At=0
@3 0 2
2 5 1
1 0 01
A si determin am matricea adjunct a.
Obt inem A=0
@015
0 2 0
101 151
A si prin urmare A1=0
@01
101
2
01
50
101
103
21
A.
CAP.II SISTEME DE ECUAT II LINIARE
II.1. Not iuni generale
Sistemele de ecuat ii liniare intervin aproape ^ n toate domeniile matematicii
aplicate. In unele cazuri apar ^ n mod natural din formularea problemei, iar ^ n alte
cazuri rezult a din aplicarea unor metode numerice de rezolvare a problemelor init iale.
Exemplu: O fabric a de mobil a produce scaune de tip A; B; C . Fiecare scaun trece
prin trei etape: prelucrare, asamblare  si nisare. Capacitatea maxim a a fabricii
pentru prelucrare este de 308 ore, pentru asamblare este de 283 ore  si pentru nisare
este de 251 ore. Pentru scaunele de tipul Asunt necesare pentru prelucrare 6 ore,
pentru asamblare 5 ore  si pentru nisare 4 ore. Pentru scaunele de tipul Bsunt
necesare pentru prelucrare 3 ore, pentru asamblare 4 ore  si pentru nisare 3 ore, iar
pentru scaunele de tip Cavem 1 ora pentru prelucrare, 1 ora pentru asamblare  si 2
ore pentru nisare.

12SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
C^ ate scaune de ecare tip se pot produce utiliz^ and la maxim capacitatea
fabricii?
Vom ^ nregistra datele problemei ^ ntr-un tabel matriceal, ^ n care vom analiza
datele, le vom corela  si le vom interpreta.
Scaune de tip A Scaune de tip B Scaune de tip C Num arul de ore
6 3 1 308 (prelucrare)
5 4 1 283 (asamblare)
4 3 2 251 (nisare)
Not am cu:
x num arul de scaune de tip A;
y num arul de scaune de tip B;
z num arul de scaune de tip C.
Orele destinate prelucr arii, asambl arii  si nis arii sunt decise de ecuat iile:
6x+ 3y+z= 308
5x+ 4y+z= 283
4x+ 3y+ 2z= 251.
Deci sistemul ce trebuie rezolvat este: 8
<
:6x+ 3y+z= 308
5x+ 4y+z= 283
4x+ 3y+ 2z= 251.
S-a obt inut un sistem de trei ecuat ii cu trei necunoscute ^ n care necunos-
cutele x; y; z au exponentul 1.
Denit ie: Un sistem de ecuat ii de gradul 1, cu una sau mai multe necunoscute
se nume ste sistem de ecuat ii liniare .
Forma general a a unui sistem de mecuat ii liniare cu nnecunoscute este:8
>><
>>:a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+:::+a2nxn=b2
::::::::::::::::::::::::::::::::::
am1x1+am2x2+:::+amnxn=bm.
Unde:
x1; x2; :::; x nsunt necunoscutele sistemului;
aij; i=1; m; j =1; nsunt coecient ii necunoscutelor;
b1; b2; :::; b msunt termenii liberi ai sistemului.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A13
Asociem sistemului de ecuat ii liniare urm atoarele matrice:
A=0
BBBB@a11a12a13: : : a 1n
a21a22a23: : : a 2n
a31a32a33: : : a 3n
: : : : : : :
an1an2an3: : : a mn1
CCCCA2Mm;n(C);B=0
BB@b1
b2
:
bm1
CCA2Mm;1(C);
X=0
BB@x1
x2
:
xn1
CCA2Mn;1(C);~A=0
BBBB@a11a12a13: : : a 1nb1
a21a22a23: : : a 2nb2
a31a32a33: : : a 3nb3
: : : : : : :
an1an2an3: : : a mnbm1
CCCCA2Mm;n+1(C).
Aeste matricea coecient ilor necunoscutelor sau matricea sistemului;
Beste matricea termenilor liberi;
Xeste matricea necunoscutelor;
~Aeste matricea extins a a sistemului care se obt ine ad aug^ and la matricea A
coloana termenilor liberi.
Denit ie: Un sistem de ecuat ii liniare ^ n care matricea termenilor liberi are toate
elementele zero se nume ste sistem liniar omogen .
Denit ie: Se nume ste solut ie a sistemului de ecuat ii liniare un sistem ordonat de
nnumere ( 1; 2; :::;  n) astfel ^ nc^ at ^ nlocuind necunoscutele x1; x2; :::; x nrespectiv
cu aceste numere, toate ecuat iile sistemului sunt identic satisf acute.
Denit ie: Un sistem este:
compatibil dac a are cel put in o solut ie;
compatibil determinat dac a are solut ie unic a;
compatibil nedeterminat dac a are o innitate de solut ii;
incompatibil dac a nu are solut ii.
Sistemul de ecuat ii liniare se poate scrie sub forma unei ecuat ii matriceale
astfel:
A
X=B.
Dac a matricea Aeste matrice inversabil a, atunci aplic^ and tehnica rezolv arii
unei ecuat ii matriceale se obt ine solut ia sistemului:
X=A1
B.

14SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
II.2. Metode de rezolvare a sistemelor liniare
A rezolva un sistem de ecuat ii liniare ^ nseamn a a decide dac a acesta este
compatibil sau incompatibil, iar ^ n cazul incompatibilit at ii, a-i g asi solut ia unic a,
atunci c^ and este determinat,  si solut ia general a c^ and este nedeterminat.
Voi prezenta urm atoarele metode de rezolvare a sistemelor:
1.Metoda lui Cramer
Aceast a metod a permite rezolvarea sistemelor liniare de necuat ii cu nne-
cunoscute av^ and determinantul asociat matricei sistemului nenul.
Teorema II.2.1: (Teorema lui Cramer) Dac a m=n sid=det(A)̸= 0, atunci
sistemul A
X=Beste compatibil determinat, iar unica sa solut ie are componentele
xi=di
d, unde dise obt ine ^ nlocuind ^ n dcoloana icu coloana termenilor liberi.
Observat ie: Un sistem liniar ce se poate rezolva prin metoda lui Cramer se
nume ste sistem de tip Cramer.
^In concluzie, un sistem de tip Cramer este compatibil determinat dac a ma-
tricea sa este nesingula a, iar solut ia este dat a de formulele lui Cramer ( xi=di
d).
Pentru a g asi solut ia sistemului avem de calculat n+ 1 determinant i  si de efectuat
n^ mp art iri.
Exemplu: Fie sistemul8
<
:x+yz= 0
3x2y+ 2z= 5
2x+ 3y2z= 2.
Calcul^ and determinantul matricei sistemului,
det(A) =1 1 1
32 2
2 3 2=5,
deducem c a sistemul este compatibil determinat. Pentru a obt ine solut ia calcul am
determinant ii:
d1=0 1 1
52 2
2 3 2=5,
d2=1 0 1
3 5 2
2 2 2=10,
d3=1 1 0
32 5
2 3 2=5.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A15
dieste determinantul matricei obt inute din Aprin ^ nlocuirea coloanei icu
coloana termenilor liberi. Componentele solut iei sunt:
x=d1
det(A)=5
5= 1;
y=d2
det(A)=10
5= 2;
z=d3
det(A)=15
5= 3:
2. Metode de rezolvare a sistemelor liniare de mecuat ii  si nnecunos-
cute
Teorema II.2.2: (Kronecker-Capelli) Un sistem de ecuat ii liniare este compatibil
dac a  si numai dac a rg(A) =rg(~A).
Demonstrat ie: =)Vom presupune c a sistemul este compatibil. Deci exist a
2Kn,Kcorp comutativ, =0
BB@x1
x2
:
xn1
CCAastfel ^ nc^ at A
=Bsau1cA
1+2cA
2+
:::+ncA
n=B.
Obt inem c a B2< cA
1; :::; cA
n>, adic a < cA
1; :::; cA
n; b > =< cA
1; :::; cA
n>. Prin ur-
mare dim K< cA
1; :::; cA
n; B >| {z }
rg(~A)=dim K< cA
1; :::; cA
n>| {z }
rg(A), adic a rg(A) =rg(~A).
(= Fie rg(A) = rg(~A) = r. Atunci dim K< cA
1; :::; cA
n>=r=dim K<
cA
1; :::; cA
n; B > .
Cum din orice sistem de generatori ai unui spat iu vectorial se poate extrage
o baz a, rezult a c a putem extrage fcA
j1; :::; cA
jrgbaz a a subspat iului < cA
1; :::; cA
n>. Am
determinat un sistem liniar independent < cA
j1; :::; cA
jr>curelemente ^ n subspat iul
< cA
1; :::; cA
n; B > . Deoarece dim K< cA
1; :::; cA
n; b >=r, rezult a c a fcA
j1; :::; cA
jrgeste
baz a pentru subspat iul < cA
1; :::; cA
n; B > . Dar B2< cA
1; :::; cA
n>Prin urmare, exist a
(1; :::;  n)2Knastfel ^ nc^ at 1cA
1+2cA
2+:::+ncA
n=B, adic a sistemul este
compatibil.
Teorema II.2.3: ( Rouch e) Un sistem liniar este compatibil dac a  si numai dac a
tot i minorii caracteristici sunt nuli.
Demonstrat ie: =)Fie sistemul A
X=Bcompatibil. Din teorema Kronecker-
Capelli, rezult a c a rg(A) =rg(~A) =r. Fie dminorul de ordin ral lui A,d̸= 0.
Deoarece orice minor caracteristic este un minor de ordin r+1 al lui ~A, obt inut prin
bordarea lui d, din rg(~A) =rrezult a c a orice minor de ordin r+ 1 este nul. Prin
urmare orice minor caracteristic este nul.
(= Fie r=rg(A)  sidun minor de ordin ral lui A,d̸= 0. Cum tot i minorii de
ordin r+ 1 care-l bordeaz a pe d^ nAsunt nuli, pentru c a r=rg(A)  si tot i minorii

16SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
caracteristici sunt nuli. Rezult a c a rg(~A) =r=rg(A). Din teorema Kronecker-
Capelli obt inem c a sistemul este compatibil.
Cele dou a teoreme nu dau o metod a de a
are a solut iilor sistemului liniar,
ci ne permite s a decidem dac a acesta este compatibil sau nu.
Pentru a determina solut iile sistemului vom proceda astfel:
Dac a m=n sidet(A)̸= 0, sistemul este compatibil determinat  si se rezolv a
cu regula lui Cramer.
Dac a m̸=nsaum=n, dar det(A) = 0, atunci:
– calcul am rangul lui A, x^ and minorul principal dp(minorul nenul care d a rangul);
– calcul am minorii caracteristici dc; ei se obt in din minorul principal prin bordare
cu termeni liberi  si c^ ate una dintre liniile r amase ^ n afara lui dp;
– dac a exist a un minor caracteristic nenul, sistemul este incompatibil; dac a tot i mi-
norii caracteristici sunt nuli sau dac a nu exist a minori caracteristici, atunci sistemul
este compatibil; pentru a-l rezolva p astr am doar ecuat iile corespunz atoare lui dp
 si doar necunoscutele corespunz atoare lui dp; d am valori literale celorlalte necunos-
cute  si le trecem ^ n dreapta; sistemul r amas este de tip Cramer  si se rezolv a ca atare.
3. Metoda transform arilor elementare ( Metoda elimin arii a lui Gauss)
Denit ie: Dou a sisteme de ecuat ii liniare sunt echivalente dac a ambele sunt
compatibile  si au acelea si solut ii sau dac a ambele sunt incompatibile.
Teorema II.2.4: Dac a dou a sisteme au matricele extinse echivalente pe linii,
atunci ele sunt echivalente.
Metoda transform arilor elementare este de fapt procedeul de reducere a ne-
cunoscutelor, scris, eventual, sub form a matriceal a. In cazul sistemelor de dou a
ecuat ii cu dou a necunoscute, aceast a metod a este de fapt metoda reducerii.
Exist a trei tipuri de transform ari elementare:
schimbarea a dou a ecuat ii;
^ nmult irea unei ecuat ii cu un scalar nenul;
adunarea unei ecuat ii ^ nmult ite cu un scalar la o alt a ecuat ie.
Observat ii:
Metoda lui Gauss este aplicabil a pentru orice fel de sisteme de ecuat ii liniare.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A17
Trebuie remarcat a forma triunghiular a a sistemului  si simplitatea rezolv arii
lui cu cuno stint e elementare, pornind de la ultima ecuat ie c atre prima.
Dac a ultima ecuat ie a sistemului adus la forma triunghiular a (trapezoidal a)
are dou a sau mai multe necunoscute, se p astreaz a una dintre ele ca necunos-
cut a principal a, iar celelalte vor  considerate necunoscute secundare  si se
vor nota cu parametrii.
Dac a ^ n sistemul de ecuat ii liniare adus la forma triunghiular a, apar ecuat ii
contradictorii (membrul ^ nt^ ai este nul, iar al doilea este nenul), atunci sis-
temul este incompatibil.
Exemplu: Fie sistemul:8
<
:ab+ 2c+d+ 3e= 2
ab+c+d+e= 1
3a+ 2b+c4d+ 4e=3.
Aducem matricea extins a a sistemului la o matrice e salon:
eA=0
@11 2 1 3 2
11 1 1 1 1
3 2 1 4 4 31
Al2=l2l1;l3=l3+3l1!0
@11 2 1 3 2
0 0 1 0 21
01 7 1 13 31
A
l2=l3;l3=l2!0
@11 2 1 3 2
01 7 1 13 3
0 0 1 0 2 11
A.
Obt inem sistemul:8
<
:ab+ 2c+d+ 3e= 2
b+ 7cd+ 13e= 3
c+ 2e= 1,
echivalent cu cel init ial, iar rezolv^ andu-l obt inem:
S=f(42;4;12; ;  )j; 2Rg.
II.3. Sisteme omogene
Denit ie: Un sistem de ecuat ii liniare care are termenul liber al ec arei ecuat ii
nul se nume ste sistem omogen .
Forma general a a unui sistem omogen cu mecuat ii  si nnecunoscute este:8
>><
>>:a11x1+a12x2+:::+a1nxn= 0
a21x1+a22x2+:::+a2nxn= 0
::::::::::::::::::::::::::::::::::
am1x1+am2x2+:::+amnxn= 0.
Observat ie: Orice sistem omogen este compatibil.

18SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
^Intr-adev ar, se observ a c a atribuind necunoscutelor valoarea zero se obt ine
egalitate. Rezult a c a sistemul are cel put in o solut ie  si anume solut ia banal a
(0;0; :::;0).
Se pune ^ n schimb problema dac a sistemele omogene admit  si alte solut ii
 si dac a da, atunci r am^ ane de studiat cum le determin am. Este de remarcat faptul
c a rezultatele de la celelalte tipuri de sisteme se aplic a  si sistemelor omogene, cu
condit ia s a consider am termenii liberi zero.
Dac a not am rangul matricei coecient ilor cu R si num arul necunoscutelor
cunatunci avem:
Dac a r=n, atunci sistemul admite solut ia banal a ca solut ie unic a;
Dac a r < n , atunci sistemul are  si solut ii nenule.
Deci, condit ia neces a  si sucient a pentru ca un sistem omogen s a admit a  si
solut ii diferite de solut ia banal a este ca determinantul matricei sistemului s a nu e
nul.
Dac a sistemul omogen are necuat ii  si n+1 necunoscute, iar rangul matricei
Aesten, atunci sistemul este compatibil.
Fie sistemul:8
>><
>>:a11x1+a12x2+:::+a1nxna1n+1xn+1+ = 0
a21x1+a22x2+:::+a2nxn+a2n+1xn+1= 0
::::::::::::::::::::::::::::::::::
an1x1+an2x2+:::+annxn+ann+1xn+1= 0,
cu matricea A= (aij); i=1; n; j =1; n+ 1. Cum rang (A) = n, se pot forma
n+ 1 minori de ordin maxim n, nenuli. Vom considera d1, minor de ordin nnenul,
suprim^ and din Acoloana 1. Acesta va  ales minor principal, necunoscuta x1
necunoscut a secundar a  si x2; x3; :::; x n+1necunoscute principale. Analog putem alege
minorii d2; d3; :::; d n+1.
Putem rezolva ecuat iile principale^ n raport cu necunoscutele principale dup a
formulele lui Cramer deoarece di̸= 0. Solut iile sistemului sunt formate din sisteme
den+ 1 numere proport ionale cu d1;d2; d3; :::;(1)ndn+1:
x1
d1=x2
d2=x3
d3=:::=xn+1
(1)ndn+1=t.
De unde obt inem c a:
x1=t
d1;x2=t
d2;x3=t
d3;:::xn+1= (1)nt
dn+1.
Dac a ^ i d am lui tvalori arbitrare obt inem toate solut iile sistemului.
Propriet at i:
Dac a ( 1; 2; :::;  n)  si ( 1; 2; :::;  n) sunt solut ii ale unui sistem omogen,
atunci  si ( 1+1; 2+2; :::;  n+n) este solut ie a sistemului.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A19
Dac a ( 1; 2; :::;  n) este solut ie a unui sistem omogen, atunci  si ( k
1; k

2; :::; k
n) este solut ie a aceluia si sistem.
III APLICAT II
III.1. Ecuat ii matriceale
1. Fiind date a; b; c; p 2Z, ar atat i c aa2+p ab ac
ab b2+p bc
ac bc c2+peste un num ar
^ ntreg divizibil cu p2.
(Olimpiad a Alba, 2016, clasa a XI-a)
Solut ie: Calcul am determinantul  si avem: a2+p ab ac
ab b2+p bc
ac bc c2+p= (a2+p)(b2+p)(c2+p) +a2b2c2+a2b2c2a2c2(b2+
p)b2c2(a2+p)a2b2(c2+p) =a2p2+b2p2+c2p2+p3=p2(a2+b2+c2+p).
Dar numerele sunt ^ ntregi, rezult a c a se divide cu p2.
2. Fie A; B2M2(R) astfel ^ nc^ at A
B=(
5 2
7 3)
. Calculat i B
A+ (B
A)1.
(Olimpiad a Arad, 2016, clasa a XI-a)
Solut ie: Calcul am determinantul  si avem:
det(A
B) =5 2
7 3= 1514 = 1 ̸= 0. Dar det(A
B) =det(A)
det(B) = 1,
rezult a c a A siBsunt inversabile.
Not am cu X=(
5 2
7 3)
 si obt inem B
A=A1
X
A.
Prin urmare ( B
A)1= (A1
X
A)1= (X
A)1
A=A1
X1
A.
Atunci BA+ (BA)1=A1
X
A+A1
X1
A=1
(X+X1)
A.
Calcul am X1folosind eliminare Gauss  si avem:
(X=I 2) =(
5 2j1 0
7 3j0 1)

1
5L1!(
12
5j1
50
7 3j0 1)
L27L1!(
12
5j1
50
01
5j 7
51)

5L2!(
12
5j1
50
0 1j 7 5)
L12
5L2!(
1 0j32
0 1j 7 5)
.
Rezult a c a X1(
32
7 5)
.

20SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
Deci X+X1=(
5 2
7 3)
+(
32
7 5)
=(
8 0
0 8)
= 8I2. Am obt inut
B
A+ (B
A)1= 8I2.
3. a) Fie matricea X2M2(Z); X=(
1 1
0 1)
. Calculat i Xn; n2N.
b) Fie matricele A; B2M2(Z) cu proprietatea A
B=(
1 2016
0 1)
. Demonstrat i
c a exist a o matrice X2M2(Z),astfel ^ nc^ at D2016=B
A.
(Olimpiad a Galat i, 2016, clasa a XI-a)
Solut ie: a) Avem:
X2=(
1 1
0 1)

(
1 1
0 1)
=(
1 2
0 1)
;
X3=X2
X=(
1 2
0 1)

(
1 1
0 1)
=(
1 3
0 1)
.
Deducem c a Xn=(
1n
0 1)
; n2N.
b)A
B=(
1 2016
0 1)
, rezult a c a det(A
B) = 1, deci det(A)
det(B) = 1, de
unde avem c a det(A)̸= 0  si det(B)̸= 0. Prin urmare Aeste inversabil a.
A
B=(
1 2016
0 1)
=X2016=)B=A1
X2016=)B
A=A1
X2016
A=)
B
A=A1
X
X
:::
X|{z }
de2016 ori
A
=)B
A=A1
X
(A
A1)
X
(A
A1)
:::
X
(A
A1)
X
A| {z }
de2016 orifactorulXside 2015 orifactorul (A
A1)=
(A1
X
A)2016.
B
A= (A1
X
A)2016=)A1
X
A=D=) 9D2M2(Z) astfel ^ nc^ at
D2016=B
A.
4. Se consider a matricea A=(
5 4
43)
; A2M2(R).
a) Ar atat i c a A2= 2AI2.
b) G asit i inversa matricei A.
c) Determinat i matricea X2M2(R) av^ and proprietatea c a AX =B, unde
A=(
7 6
65)
.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A21
Solut ie: a) Calcul am A2 si obt inem:
A2=(
5 4
43)

(
5 4
43)
=(
9 8
87)
=(
10 8
86)
(
1 0
0 1)
=
2(
5 4
43)
(
1 0
0 1)
= 2AI2.
b) (A=I 2) =(
5 4 j1 0
43j0 1)

1
5L1!(
14
5j1
50
43j0 1)
L2+4L1!(
14
5j1
50
01
5j4
51)

5L2!
(
14
5j1
50
0 1j4 5)
L14
5L2!(
1 0j 34
0 1j4 5)
.
Deci A1=(
34
4 5)
= 2I2A.
c) Fie matricea Xde forma X=(
a b
c d)
. Avem:
AX=B=)(
5 4
43)

(
a b
c d)
=(
7 6
65)
, de unde obt inem sistemul:
8
>><
>>:5a+ 4c= 7
5b+ 4d= 6
4a3c=6
4b3d=5(){
a+c= 1
b+d= 1=)8
>><
>>:a= 3
b= 2
c=2
d=1=)X=(
3 2
21)
.
5. Se consider a matricele A=0
@2 2 3
11 0
1 2 11
A siB=0
@2 2 3
5 3 6
7 6 101
A.
a) Rezolvat i ecuat ia matriceal a X
A=B.
b) Fie Xsolut ia ecuat ie considerate. Determinat i Xn, pentru n2N.
(Concurs Haimovici, 2015, clasa a XI-a)
Solut ie: a) Calcul am determinantul matricei A:
det(A) =2 2 3
11 0
1 2 1=2 + 6 + 0 302 =1.
Cum determinantul matricei este nenul, rezult a c a exist a A1.
Avem X
A=Bj
A1=)X
(A
A1)|{z}
I3=B
A1=)X
I3=B
A1=)
X=B
A1.
^In continuare calcul am inversa matricei Afolosind eliminarea Gauss.
(A=I 3) =0
@2 2 3 j1 0 0
11 0j0 1 0
1 2 1 j0 0 11
A
1
2L1!0
@1 13
2j1
20 0
11 0j0 1 0
1 2 1 j0 0 11
AL2L1;L3+L1!

22SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A0
@1 13
2j1
20 0
023
2j 1
21 0
0 35
2j1
20 11
A
(1
2)L2!0
@1 13
2j1
20 0
0 13
4j1
41
20
0 35
2j1
20 11
AL1L2;L33L2!
0
@1 03
4j1
41
20
0 13
4j1
41
20
0 01
4j 1
43
211
A
4L3!0
@1 03
4j1
41
20
0 13
4j1
41
20
0 0 1 j 1 6 41
AL13
4L3;L23
4L3!
0
@1 0 0 j143
0 1 0 j153
0 0 1 j 1 6 41
A.
Deci A1=0
@143
153
1 6 41
A.
X=B
A1=B=0
@2 2 3
5 3 6
7 6 101
A
0
@143
153
1 6 41
A=0
@1 0 0
2 1 0
3 2 11
A=
I3+0
@0 0 0
2 0 0
3 2 01
A.
Not am D=0
@0 0 0
2 0 0
3 2 01
Asi avem:
D2=0
@0 0 0
2 0 0
3 2 01
A
0
@0 0 0
2 0 0
3 2 01
A=0
@0 0 0
0 0 0
3 0 01
A.
D3=0
@0 0 0
0 0 0
0 0 01
A=O3.
b) Avem:
Xn= (I3+D)n=C0
nIn
3+C1
nIn1
3D+C2
nIn2
3D2+:::+Cn
nDn=I3+nD+n(n1)
2D2=0
@1 0 0
0 1 0
0 0 11
A+0
@0 0 0
2n0 0
3n2n01
A+0
@0 0 0
0 0 0
2n(n1) 0 01
A=0
@1 0 0
2n 1 0
n(2n+ 1) 2 n11
A.
III.2. Sisteme de ecuat ii liniare
1. S a rezolv am sistemul de ecuat ii asociat problemei enunt ate la ^ nceputul para-
grafului II.1.:
8
<
:6x+ 3y+z= 308
5x+ 4y+z= 283
4x+ 3y+ 2z= 251.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A23
Solut ie: Matricea sistemului este A=0
@6 3 1
5 4 1
4 3 21
A, iar determinantul ei este
d=det(A) =6 3 1
5 4 1
4 3 2= 11.
Deoarece det(A)̸= 0, sistemul este de tip Cramer  si solut ia este dat a de
formulele lui Cramer:
x=dx
d; y=dy
d; z=dz
d, unde
dx=308 3 1
283 4 1
251 3 2= 2464 + 849 + 753 10049241698 = 440;
dy=6 308 1
5 283 1
4 251 2= 3396 + 1255 + 1232 113215063080 = 165;
dz=6 3 308
5 4 283
4 3 251= 6024 + 4620 + 3396 492850943765 = 253.
Solut ia sistemui este x=440
11= 40; y=165
11= 15; z=253
11= 23.
Se vor obt ine 40 scaune tip A, 15 scaune tip B, 23 scaune tip C.
2. Folosind calea matriceal a, rezolvat i sistemul:
8
<
:x+ 2y+z= 3
2xyy+ 2z= 1
x+ 2yz=3.
Solut ie: Consider am matricele A=0
@1 2 1
21 2
1 2 11
A,B=0
@3
1
31
A siX=
0
@x
y
z1
A.
Sistemul este echivalent cu ecuat ia matriceal a A
x=B. Cum det(A) =
10̸= 0, rezult a c a matricea Aeste inversabil a  si A=0
@3 4 5
42 0
5 0 51
A, de unde
deducem c a A1=1
10
0
@3 4 5
42 0
5 0 51
A. Dar A
X=B() X=A1
B, de unde

24SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
rezult a c a A1
B=1
10
0
@3 4 5
42 0
5 0 51
A
0
@3
1
31
A=1
10
0
@20
10
301
A=0
@2
1
31
A
 si obt inem x=2; y= 1; z= 3.
Tripletul ( 2; 1; 3) este solut ia sistemului.
3. Folosind regula lui Cramer, rezolvat i sistemul:
8
>><
>>:x+y+z2t= 0
2x+y+ 3z4t= 5
3xy+z+ 2t= 10
x+y3z+ 5t=5.
Solut ie: Calcul am determinantul matricei asociate sistemului  si avem:
d=1 1 1 2
2 1 3 4
31 1 2
1 1 3 5=4 0 2 0
5 0 4 2
31 1 2
4 0 2 7=4 2 0
5 4 2
42 7= 22 1 0
5 4 2
42 7=
20 1 0
3 4 2
82 7= 10̸= 0, rezult a c a sistemul este compatibil determinat.
Remarc am  si faptul c a dx=0 1 1 2
5 1 3 4
101 1 2
5 1 3 5= 50 1 1 2
1 1 3 4
21 1 2
1 1 3 5=
50 1 0 0
1 1 2 2
21 2 0
1 1 4 7=51 2 2
2 2 0
14 7=51 2 2
2 0 0
13 7= 10,
dy=1 0 1 2
2 5 3 4
3 10 1 2
153 5=20,dx=1 1 0 2
2 1 5 4
31 10 2
1 1 5 5= 30  si
dt=1 1 1 0
2 1 3 5
31 1 10
1 1 35= 10, deducem c a x= 1; y=2; z= 3; t= 1 .
4. Folosind metoda lui Gauss, rezolvat i sistemul:

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A258
>><
>>:x+ 2y4z= 13
2x+y3z+ 4t= 10
3x+y+ 2z2t= 1
2x+ 3yz+ 2t= 10.
Solut ie: Deoarece coecientul necunoscutei xdin prima ecuat ie a sistemului este
1, vom elimina necunoscuta xdin ecuat iile a 2-a, a 3-a, a 4-a. Vom ^ nmult i, pe
r^ and, prima ecuat ie cu 2, cu3  si cu 2. Adun am succesiv rezultatele obt inute
la ecuat ii. Obt inem:
8
>><
>>:x+ 2y4z= 13
3y+ 5z+ 4t=16
5y+ 14z2t=38
y7z2t= 16.
Deoarece coecientul necunoscutei ydin cea de a patra ecuat ie a sistemului
nou obt inut este 1, elimin am necunoscuta ydin ecuat iile a 2-a  si a 3-a. Vom ^ nmult i,
pe r^ and, ecuat ia a 4-a cu 3  si cu 5. Adun am succesiv rezultatele obt inute la ecuat iile
a 2-a  si a 3-a. Obt inem:
8
>><
>>:x+ 2y4z= 13
y7z2t= 16
8z+t=16
7z+ 4t= 14.
^Inmult im cea de-a treia ecuat ie a noului sistem cu 7
8 si apoi ecuat ia obt inut a
o adun am cu cea de a patra ecuat ie a sistemului. Obt inem:
8
>><
>>:x+ 2y4z= 13
y7z2t= 16
8z+t=16
t= 0.
Deducem c a t= 0; z=2; y= 2; x= 1. Prin urmare, solut ia sistemului
init ial este (1 ;2;2;0).
5. Fie sistemul8
<
:2×15×2+ 4×3= 1
3×1+x2+x3= 2
2×1x2+ 2×3= 0. Determinat i solut ia acestui sistem.
Solut ie: Pentru a determina solut ia acestui sistem o s a folosim metoda trans-
form a rilor elementare. Elimin am necunoscuta x1din ultimele dou a ecuat ii ale
sistemului  si obt inem:{
3×1+x2+x3= 2j
2
2×1x2+ 2×3= 0j
3(){
6×1+ 2×2+ 2×3= 4
6×13×2+ 6×3= 0.
Adun^ and cele dou a ecuat ii, obt inem:
6×1+ 2×2+ 2×3+ 6×13×2+ 6×3= 4 + 0 () x2+ 8×3= 4.

26SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
Lu am prima  si a treia ecuat ie:
{
2×15×2+ 4×3= 1
2×1x2+ 2×3= 0j
(1)(){
2×15×2+ 4×3= 1
2×1+x22×3= 0j
(1)
Adun^ and cele dou a ecuat ii, obt inem:
2×15×2+ 4×32×1+x22×3= 1 + 0 () 4×2+ 2×3= 1.
Sistemul echivalent care se obt ine dup a eliminarea necunoscutei x, din ul-
timele dou a ecuat ii ale sistemului dat, este:
{
x2+ 8×3= 4
4×2+ 2×3= 1.
Din prima ecuat ie obt inem x2+ 8×3= 4() x2= 8×34.
Inlocuind ^ n cea de-a doua ecuat ie a sistemului, se obt ine:
4(8×34)+2 x3= 1() 32×3+16+2 x3= 1() 30×3+16 = 1 () x3=1
2.
Rezolv am sistemul astfel obt inut, prin ^ nlocuirea de jos ^ n sus a necunos-
cutelor cu valorile g asite:8
<
:2×15×2+ 4×3= 1
x2= 8×34
x3=1
2()8
<
:2×15×2+ 4×3= 1
x2= 0
x3=1
2()8
<
:x1=1
2
x2= 0
x3=1
2.
Am obt inut solut ia S=f(1
2; 0;1
2)g.
6. S a se discute sistemul{
(m+ 1)x+my= 0
3mx(m+ 2)y= 0^ n funct ie de valorile parametru-
luim2R.
Solut ie: Se calculeaz a determinantul sistemului  si se determin a valorile lui mpen-
tru care este nul. Consider am matricea asociat a sistemului A=(
m+ 1 m
3m m + 2)
.
det(A) =m+ 1 m
3m m + 2= (m+ 1)( m+ 2)3m2=2m2+ 3m+ 2.
Rezolv am ecuat ia 2m2+ 3m+ 2 = 0, obt inem ∆ = 25, m1=3p
25
4= 2
 sim2=3+p
25
4=1
2.
Se discut a sistemul pentru cazul m=1
2.
m=1
2=)det(A) = 0 = )sistemul este compatibil nedeterminat.
{1
2x1
2y= 0j:1
2
3
2x+3
2y= 0j:3
2=){
xy= 0
x+y= 0j(1)=){
xy= 0
xy= 0=)x=y

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A27
y=; 2R=)x==)(; ); 2R.
Deci pentru m=1
2sistemul este compatibil nedeterminat cu solut ia
(; ); 2R.
Se discut a sistemul pentru cazul m= 2.
m= 2 =)det(A) = 0 = )sistemul este compatibil nedeterminat.
{
3x+ 2y= 0
6x+ 4y= 0j: 2=){
3x+ 2y= 0
3x+ 2y= 0j: 2=)3x+ 2y= 0.
y=; 2R=)x=2
3=)(2
3;); 2R.
Deci pentru m= 2 sistemul este compatibil nedeterminat cu solut ia ( 2
3;); 2
R.
Se discut a sistemul pentru cazul m2R f 2
3;g.
m2R f 2
3=)det(A)̸= 0 =)sistemul este compatibil determinat  si
are doar solut ia banal a x=y= 0.
7. Se consider a sistemul8
<
:x+y+z=o
mx+y+z=m1
x+my+ 2z=1,m2R si se noteaz a cu A
matricea lui.
a) Determinat i m, astfel ^ nc^ at det(A) = 0.
b) Ar atat i c a sistemul este compatibil, oricare ar  m2R.
c) Determinat i m,  stiind c a sistemul are o solut ie ( x0;y0;z0) cuz0= 2.
(Variant a Bac, 2009)
Solut ie: a)det(A) =1 1 1
m1 1
1m2= 2 + m2+ 11m2m=m23m+ 2.
Cum det(A) = 0, avem m23m+ 2 = 0  si discriminantul ∆ = 1.
Prin urmare, m1=31
2= 1  si m2=3+1
2= 2, deci m2 f1;2g.
b) Dac a m2Rf1;2g, atunci sistemul este de tip Cramer, deci este compatibil
determinat. Pentru m= 1, avem ~A=0
@1 1 1 0
1 1 1 0
1 1 2 11
A. Rangul matricei Aeste 2

28SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A
 sidp=(
1 1
1 2)
= 0 este un minor principal. Exist a un singur minor caracteristic
dc=0
@1 1 0
1 1 0
1 2 11
A= 0 deci, conform teoremei lui Rouch e, sistemul este compa-
tibil.
Dac a m= 2, avem ~A=0
@1 1 1 0
2 1 1 1
1 2 2 11
A. Rangul matricei Aeste 2  si
dp=(
1 1
1 2)
= 0 este un minor principal. Avem un singur minor caracteristic
dc=0
@1 1 0
2 1 0
1 2 11
A= 0 deci, conform teoremei lui Rouch e, sistemul este compa-
tibil.
c)^Inlocuind pe z0= 2, obt inem8
<
:x0+y0=2
mx 0+y0=m3
x0+my0=5.Cum x0=y02,
rezult a c a{
my02m+y0=m3
y02 +my0=5, de unde, prin adunare, obt inem c a
2m2 =m8, deci m= 2.
8. Se consider a numerele reale a; b; c distincte dou a c^ ate dou a  si urm atorul sistem
de ecuat ii ^ n mult imea numerelor reale:8
<
:x+y+z= 1
ax+by+cz= 1
a3x+b3y+c3z= 1.
a) Ar atat i c a sistemul are o singur a solut ie unic a dac a  si numai dac a a+b+c̸= 0.
b) Rezolvat i sistemul ^ n cazul a+b+c= 0.
(Olimpiad a Sibiu, 2016, clasa a XI-a)
Solut ie: a) Fie matricea sistemului A=0
@1 1 1
a b c
a3b3c31
A si calcul am determi-
nantul matricei A.
det(A) =0
@1 1 1
a b c
a3b3c31
A=bc3+ab3+ca3a3bb3cc3a= (ca)(cb)(b
a)(a+b+c).
Dara̸=b; b̸=c; c̸=a si conform enunt ului rezult a c a ( ca)(cb)(ba)̸= 0.

SISTEME DE ECUAT II LINIARE ^IN MATEMATICA S COLAR A29
Cum sistemul are solut ie unic a, avem det(A)̸= 0 rezult^ and astfel c a a+b+
c̸= 0.
b)^In cazul a+b+c= 0 avem det(A) = 0. Consider am minorul1 1
a b=ba̸= 0,
rezult a rang (A) = 2.
Minorul caracteristic va  dc= (1a)(1b)(ba)(a+b+c). Avem solut ii
pentru sistemul dat dac a a= 1 sau b= 1 sau c= 1.
Not am z=2R si obt inem:
x=(cb)+b1
ba;y=(ac)+1a
ba; 2R.