Sisteme de două ecuații cu două necunoscute [618864]
UNIVERSITATEA “BABEȘ -BOLYAI” CLUJ -NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
CONF. UNIV. DR. TEODORA CĂTINAȘ
CANDIDAT: [anonimizat]. CRIȘAN (căs. PETRUȚA) IULIANA AURICA
ȘCOALA GIMNAZIALĂ CRĂCIUNELU DE JOS
JUD. ALBA
Cluj -Napoca
2021
UNIVERSITATEA “BABEȘ -BOLYAI” CLUJ -NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
METODE DE REZOLVARE
A SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE
COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
CONF. UNIV. DR. TEODORA CĂTINAȘ
CANDIDAT: [anonimizat]. CRIȘAN (căs. PETRUȚA) IULIANA AURICA
ȘCOALA GIMNAZIALĂ CRĂCIUNELU DE JOS
JUD. ALBA
Cluj -Napoca
2021
3
CUPRINS
Introducere ………………………………………………………………………………………. …….. ……. 5
I. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare ………………………………………. 7
I.1 Definiția ecuației liniare ……………………………………………………………………. ……. 7
I.2 Definiția sistemului de ecuații liniare …………………………………………………. ……. 7
I.3 Condiționarea unui sistem liniar………………………………………………………….. …… 8
I.4 Metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuații….. ……………………………… … 12
I.4.1 Tehnici de factorizare……………………………………………………………………. 12
I.4.1.1 Metoda Gauss…………………………………………………………………….. 13
I.4.1.2 Metoda Gauss -Jordan …………………………………………………………. 15
I.4.1.3 Metodele L.U ……………………………………………………………………… 16
I.4.1.4 Algoritmul Doolittle……………………………………………………………. 17
I.4.1.5 Descompunerea bloc LU……………………………………………………… 19
I.4.1.6 Descompunerea Cholesky……………………………………………………. 19
I.4.1.7 Algoritmul Cholesky ……….. ………………………………………………… 20
I.4.1.8 Descompunerea QR ……………………………………………………………. 21
I.5 Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuații …………………………………. 22
I.5.1 Metoda Jacobi ……………………………………………………………………………. 23
I.5.2 Metoda Gauss -Seidel ………………………………………………………………….. 24
I.5.3 Metoda relaxării …………………………………………………………………………. 25
I.6 Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare în gimnaziu ……………. ……. 26
I.6.1 Metoda substituției …………………. ……………………………… …………………… 26
I.6.2 Metoda reducerii …………………………………………………… …………………….. 27
I.6.3 Metoda grafică ………………………………………………………….. ………………… 28
I.7 Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare în liceu ………………. ………… 30
4
I.7.1 Metoda matriceală …………… …………………………. ……….. ……………… …….. 30
I.7.2 Metoda lui Cramer ………………………………………………… ……………………. . 31
II. Organizarea și desfășurarea cercetării didactice ………………………………………… 33
II.1 Scopul cercetării …………………………………………………………………………………… 33
II.2 Obiectivele și ipoteza cercetării …………………….. ………………………………………. 34
II.3 Coordonatele majore ale cercetării ………………………………………………………….. 35
II.3.1 Locul și perioada cercetării …………………………………………………………… 35
II.3.2 Descrierea eșantioanelor ………………………………………………………………. 35
II.4 Metode și instrumente utilizate în cercetare …………………………………………….. 37
II.4.1 Metode de învățământ specifice matematicii ………………………………….. 38
II.4.2 Metoda observației sistematice …………………………… ………………………… 42
II.4.3 Testele de evaluare ……………………………………………………………………… 44
II.4.4 Metoda experimentului psihopedagogic …………………………………………. 47
II.5 Etapele experimentului psihopedagogic ………………………………………………….. . 48
II.5.1 Etapa preexperimentală …………………………………… …………………………… 49
II.5.2 Etapa experimentală …………………………………………………………………….. 55
II.5.3 Etapa postexperimentală ……………………………………….. …………………….. 66
II.5.4 Etapa de retestare ………………………………………………………………………… 68
II.6 Analiza și interpretarea rezultatelor cercetării experimentale ……………….. …….. 70
Concluzii …………………………………………………………………………………………………….. … 76
Mini -culegere de probleme ……………………………………………………………………………… 78
Soluții ……………………………………………………………………………………………………………. 81
Bibliografie …….. …………………………………………………………………………………………… . 82
Anexe ……………………………………………………………………………………………………………. 83
Index tabele /figuri …………………………………………………………………………………………. .. 109
5
INTRODUCERE
Motto: „Învățând matematică, înveți să gândești”
Grigore Moisil
Matematica este considerată, pe drep cuvânt, un element de cultură generală absolut
necesar în orice domeniu de activitate umană. Totodată, matematica contribuie la
înțelegerea realității subiective a propriei persoane și a realității obiective a mediului
înconjurător.
Matematica nu se rezumă doar la studiul numerelor și al relațiilor dintre acestea, ci
este un domeniu de creație, bazat pe gândire logică și inovatoare.
Prin specificul său, disciplina Matematică este esențială în formarea și dezvol tarea
competențelor necesare pentru învățarea pe tot parcursul vieții și constituie o bază solidă
pentru argumentare, dezvoltare de raționament logic, spirit și gândire critică, analizare,
interpretare și rezolvare de probleme.
Abordarea în sp irit matematic a situațiilor cotidiene solicită un tip de gândire
deschisă și creativă, precum și un spirit de observație dezvoltat, matematica fiind modelul
perfect pentru exersarea și implementarea gândirii critice la elevi.
Sistemele de ecua ții liniare sunt asociate cu multe probleme în inginerie și știință,
precum și cu aplicații ale matematicii în studiul problemelor de afaceri și economice.
Găsirea soluției unui sistem de ordin mare (sau inversarea unei matrice de ordin mare)
poate fi o sa rcină dificilă în practică, datorită numărului mare de operații aritmetice
necesare pentru găsirea soluției, precum și a erorilor apărute într-un șir lung de operații cu
numere.
Prin abordarea temei ”Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare”, doresc
să îmbunătățesc modul de predare -învățare -evaluare a metodelor de rezolvare a sistemelor
de ecuații, îmbinând strategiile și tehnicile tradiționale cu cele mode rne, pentru a obține
rezultate tot mai bune la clase de elevi.
6
Lucrarea de față este structurată pe două capitole: Cap. I – ”Metode de rezolvare a
sistemelor de ecuații liniare” și Cap. II – ”Organizarea și desfășurarea cercetării didactice”.
În continuarea celor două capitole, lucrarea mai cuprinde Concluziile , anexele utilizate în
cadrul cercetării și o mini-culegere de probleme .
În capitolul I se definește sistem ul de ecuații liniare, apoi se prezintă metode directe
si metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.
Metodele directe de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prezentate : metoda
Gauss, metoda Gauss -Jordan, Algoritmul Doolittle, descompunerea bloc LU,
descompunerea Cholesky, Algoritmul Cholesky, de scompunerea QR.
Metodele iterative prezentate în acest capitol sunt: metoda Jacobi, metoda Gauss –
Seidel și metoda relaxării .
La finalul capitolului I sunt amintite metodele de rezolvare a sist emelor de ecuații
liniare studiate în gimnaziu și liceu.
Capitolul II se referă la organizarea și desfășurarea cercetării didactice , bazată pe
aplicarea a două teste de evaluare, utilizând metode de cercetare adecvate. Tot în acest
capitol este prezentată analiza și interpretarea rezultatelor cercetării didactice.
Cercetarea didactică este urmată de aplicațiile sistemelor de e cuații în gimnaziu, și
anume, o mini -culegere cuprinzând probleme cu conținut practic, care se pot rezolva
utilizând sistemele de ecuații liniare.
La final , lucrarea conține o serie de anexe folosite în cadrul cercetării: proiectul
unității de înv ățare, proiecte didactice, teste de evaluare, fișe de lucru etc.
7
CAPITOLUL I
METODE DE REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE
Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare sunt prezentate în numeroase
lucrări din literatura de specialitate. Lucrările pe care le -am folosit în acest capitol sunt: [1],
[2], [3], [6] și [7].
I.1 Definirea ecuației liniare
Definiți a I.1.1. O ecuație liniară cu n necunoscute 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 are forma:
𝑎1𝑥1+𝑎2𝑥2+⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛=𝑏,𝑏∈ℂ. (1)
Numerele 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 se numesc coeficienții necunoscutelor 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛, iar b se
numește termenul liber al ecuației (1).
Definiți a I.1.2. Se numește soluție pentru ecuația liniară (1) orice n -uplu
(𝑠1,𝑠2,…,𝑠𝑛)∈ℂ𝑛, care verifică egalitatea : 𝑎1𝑠1+𝑎2𝑠2+⋯+ 𝑎𝑛𝑠𝑛=𝑏.
I.2 Definirea sistemului de ecuații liniare
Definiția I.2.1 Fie K un corp comutativ.
1) Prin sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 și coeficienți în K se
înțelege un ansamblu de egalități:
(𝑆){𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛 , 𝑎𝑖𝑗,𝑏𝑖∈𝐾
Dacă 𝑏1=𝑏2=⋯=𝑏𝑛=0, atunci spunem că (S) este un sistem omogen.
8
2) Un vector 𝑥=(𝑥1,…,𝑥𝑛)∈𝐾𝑛 este soluție pentru (S) dacă, înlocuind
necunoscutele sistemului cu componentele vectorului 𝑋𝑖≔𝑥𝑖 , toate egalitățile ce se obțin
sunt adevărate.
3) Sistemul (S) este compatibil dacă are cel puțin o soluție și este incompatibil dacă nu
are soluții. Dacă (S) are exact o soluție, atunci este compatibil determinat, iar dacă are cel
puțin două soluții, atunci este compatibil nedeterminat.
Definiția I.2.2
Fiind dat un sistem (S), matricea A= (𝑎𝑖𝑗) se numește matricea sistemului (S).
Matricea 𝐴𝑒=[𝑎11⋯𝑎1𝑛 𝑏1
⋮⋱⋮
𝑎𝑚1⋯𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚] se numește matricea extinsă b atașată sistemului (S).
Observația I.2.3 (Forma matriceală)
Dacă A= [𝑎𝑖𝑗] este matricea sistemului (S), atunci sistemul se poate scrie sub forma:
(S) 𝐴𝑋𝑡=𝑏𝑡
unde 𝑋=(𝑋1,…,𝑋𝑛) și 𝑏=(𝑏1,…,𝑏𝑚)
Observația I.2.4 (Forma vectorială )
Dacă considerăm coloanele matricii A ca vectori coloană din K -spațiul vectorial 𝐾𝑛 ,
atunci sistemul se poate scrie sub forma:
(S) 𝑋1𝑐1𝐴+⋯+𝑋𝑛𝑐𝑛𝐴=𝑏𝑡
I.3 Condiționarea unui sistem liniar
Se dă o matrice inversabil ă A și se compar ă soluțiile exacte x și x + δx ale sistemelor
Ax = b
A(x + δx) = b + δb
Fie ∥⋅∥ o norm ă vectorial ă oarecare și ∥⋅∥ norma matricial ă subordonat ă.
Din egalit ățile
δx = 𝐴−1δb și b = Ax
9
se deduce ||△x|| ≤ ||𝐴−1||||δb||, ||b|| ≤ ||A||||x||
Eroarea relativ ă a rezultatului ∥𝛿𝑥∥
∥𝑥∥ este majorat ă în func ție de eroarea relativ ă a datelor
prin
∥𝛿𝑥∥
∥𝑥∥ ≤ ||A||||𝐴−1||∥𝛿𝑏∥
∥𝑏∥
Dacă matricea se modifică , avem de comparat solu țiile exacte ale sistemelor
Ax = b
(A + ΔA)(x + Δx) = b
Din egalitatea Δx = −𝐴−1ΔA(x +Δ x) se deduce
||Δx|| ≤ ||𝐴−1|||| ΔA||||x + Δ x||
care se mai poate scrie
∥Δ𝑥∥
∥𝑥+Δ𝑥∥ ≤ ||A|||| 𝐴−1 ||∥Δ𝐴∥
||A||
Dacă A este nesingular ă, num ărul
cond( A) = ||A||||𝐴−1 || (I.3.1)
se nume ște număr de condi ționare al matricei A.
Dacă A este singular ă convenim s ă luăm cond( A) = ∞.
Se poate da o estimare a num ărului de condi ționare în care s ă intervin ă simultan și
perturba țiile lui A și ale lui b. Consider ăm sistemul parametrizat, cu parametrul t
(A + tΔA)x(t) = b + tΔb, x(0) = x.
Matricea A fiind nesingular ă, func ția x este diferen țiabilă în t = 0:
𝑥̇(0)=𝐴−1(Δ𝑏−Δ𝐴𝑥)
Dezvoltarea Taylor a lui x(t) este dat ă de
x(t) = x + t𝑥̇(0)+ O(𝑡2).
Rezult ă că eroarea absolut ă poate fi estimat ă utiliz ând
||Δx(t)||= ||x(t) – x|| ≤ |t| ||x′(0)|| + O(𝑡2)
10
≤ |t| ||𝐴−1||(||Δb||+||ΔA|| ||x||)+ O(𝑡2)
și deoarece ||b|| ≤ ||A||||x|| obținem pentru eroarea relativ ă
||Δ𝑥(𝑡)||
||𝑥||≤|𝑡|∥𝐴−1∥(||Δ𝑏||
||𝑥||+‖Δ𝐴‖)+𝑂(𝑡2) (I.3.2)
≤ ||A||||𝐴−1 || |t| (‖Δ𝑏‖
‖𝑏‖+‖Δ𝐴‖
‖𝐴‖)+𝑂(𝑡2)
Folosind notațiile
𝜌𝐴(𝑡)≔|𝑡|‖Δ𝐴‖
‖𝐴‖ , 𝜌𝑏(𝑡)≔|𝑡|‖Δ𝑏‖
‖𝑏‖
pentru erorile relative în A și b, estimarea erorii ( I.3.2) se scrie sub forma
‖Δ𝑥(𝑡)‖
‖𝑥‖≤𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴)(𝜌𝐴+𝜌𝑏)+ 𝑂(𝑡2)
Pentru calculul sau estimarea num ărului de condi ționare , MATLAB are mai multe
funcții:
• cond (A,p), unde valoarea implicit ă este p=2. Pentru p=2 se utilizeaz ă svd, iar
pentru p=1, Inf se utilizeaz ă inv.
• condest (A) estimeaz ă 𝑐𝑜𝑛𝑑1A. Utilizeaz ă lu și un algoritm recent al lui Higham
și Tisseur [31]. Este p otrivit ă pentru matrice mari, rare.
• rcond (A) estimeaz ă 1/ 𝑐𝑜𝑛𝑑1A. Utilizeaz ă lu(A) și un algoritm utilizat de
LINPACK și LAPACK.
11
I.3.3 Exemple de matrice prost condiționate
➢ Matricea lui Hilbert1 𝐻𝒎=(ℎ𝑖𝑗) cu ℎ𝑖𝑗=1
𝑖+𝑗−1 , i,j=1,…,m.
Szegö2 a demonstrat
Cond2(𝐻𝑚)=(√2+1)4𝑚+4
214
4√𝜋𝑚
➢ Matricea Vandermonde V=(𝑣𝑖𝑗), 𝑣𝑖𝑗=𝑡𝑗𝑖−1, i,j=1,…,m
• Elemente echidistante în [−1,1]
Cond∞(𝑉𝑚)~1
𝜋𝑒−𝜋
4𝑒𝑚(𝜋
4+1
2ln2)
• 𝑡𝑗=1/j, j= 1,…,m: cond∞(𝑉𝑚)>mm+1
1 David Hilbert (1862 -1943) a fost cel mai important reprezentant al școlii matematice din Göttingen. Contribuțiile sale fundamentale în
aproape toate domeniile matematicii —algebră, teoria numerelor, geometrie, ecuații integrale, calcul variațional și fundamentele
matematicii — au dat un nou impuls și o nouă direcție matematicii din secolul al XX -lea.
2 Gabor Szegö (1895 -1985) Unul dintre cei mai i mportanți matematicieni maghiari din secolul al XX -lea. A adus contribuții importante
în domeniul problemelor extremale și matricelor Toeplitz.
12
I.4 Metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare
Fie sistemul de ecuații Ax = b, ( I.4.1)
unde A∈ℳ𝑛x𝑛(ℝ),𝑥,𝑏∈ℳ𝑛x1(ℝ).
Pentru acest sistem, A este matricea de forma
(𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛)
Metodele directe de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare găsesc soluția problemei
într-un număr finit de pași. Aceste metode au la bază câteva tehnici de factorizare .
I.4.1 Tehnici de factorizare
Metodele de bazează pe transformarea matricei A într -un produs de forma LU sau LDU,
unde L -matricea care are zero deasupra diagonalei principale, U -matricea ce are zero sub
diagonala principală, iar D -matricea care are elemente diferite de zero doar pe diagonală.
Tehnica fact orizării este utilizată de mai multe metode, de exemplu: Gauss, Gauss –
Jordan, Doolitle, Cholesky, etc.
13
I.4.1.1 Metoda lui Gauss
Metoda lui Gauss, numită și metoda eliminării parțiale , este una dintre cele mai
utilizate metode. Aceasta se bazează pe o factorizare a matricei A.
Fie sistemul ( I.4.1) scris detaliat, astfel:
{ 𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2
⋮
𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+⋯𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛 (I.4.2)
Prin metoda Gauss, sistemul ( I.4.2) se rezolvă în două etape.
Etapa 1 . Se înlocuiesc ecuațiile sistemului, prin combinarea lor (folosind transformări
algebrice elementare asupra matricei extinse 𝐴̅), obținând un sistem triunghiular:
{ 𝑎11(1)𝑥1+𝑎12(1)𝑥2+⋯+𝑎1𝑛(1)𝑥𝑛=𝑏1(1)
𝑎22(2)𝑥2+⋯+𝑎2𝑛(2)𝑥𝑛=𝑏2(2)
⋮
𝑎𝑛𝑛(𝑛)𝑥𝑛=𝑏𝑛(𝑛) (I.4.3)
Elementele noii matrici sunt reprezentate de relațiile:
𝑎𝑖𝑗(1)=𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖(1)=𝑏𝑖, 𝑖,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅
și
𝑎𝑖𝑗(𝑝+1)=𝑎𝑖𝑗(𝑝)−𝑎𝑝𝑗(𝑝)𝑎𝑖𝑝(𝑝)
𝑎𝑝𝑝(𝑝)
𝑏𝑖(𝑝+1)=𝑏𝑖(𝑝)−𝑏𝑝(𝑝)𝑎𝑖𝑝(𝑝)
𝑎𝑝𝑝(𝑝) 𝑝=1,𝑛−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, 𝑖,𝑗=𝑝+1,𝑛̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
pentru 𝑎𝑝𝑝(𝑝)≠0,𝑝=1,𝑛̅̅̅̅̅
14
Etapa 2 . Componentele vectorului x se găsesc, unul după altul, printr -un procedeu numit
substituție de la sfârșit la început . Astfel, din ultima ecuație se găsește 𝑥𝑛, care apoi este
substituit în ecuația precedentă pentru determinarea lui 𝑥𝑛−1 și așa mai dep arte.
Relațiile sunt :
𝑥𝑛=𝑏𝑛(𝑛)
𝑎𝑛𝑛(𝑛)
și (I.4.4)
𝑥𝑝=1
𝑎𝑝𝑝(𝑝)(𝑏𝑝(𝑝)−∑𝑎𝑝𝑗(𝑝) 𝑛
𝑗=𝑝+1) , 𝑝=𝑛−1,1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Procesul eliminării poate fi scris (mai simplu) și printr -un șir de matrici. Dacă notăm
𝑏𝑝(𝑝) prin 𝑎𝑝,𝑝+1(𝑝) pentru 𝑝=1,𝑛̅̅̅̅̅ și folosind matricea extinsă a sistemului ( I.4.3)
𝐴̅=(𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎1,𝑛+1
0 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑎2,𝑛+1
⋮
0 0 … 𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑛,𝑛+1) (I.4.5)
Obținem următorul șir de matrici : 𝐴̅(1),𝐴̅(2),… ,𝐴̅(𝑛), unde 𝐴̅(1) este matricea extinsă 𝐴̅
dată în ( I.4.5) și 𝐴̅(𝑝), pentru orice 𝑝=2,𝑛̅̅̅̅̅ conține elementele
𝑎𝑖𝑗(𝑝)=
{ 𝑎𝑖𝑗(𝑝−1), pentru 𝑖=1,𝑝−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ și 𝑗=1,𝑛+1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
0, pentru 𝑖=𝑝,𝑛̅̅̅̅̅ ș𝑖 𝑗=1,𝑝−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑖𝑗(𝑝−1)−𝑎𝑖,𝑝−1(𝑝−1)
𝑎𝑝−1,𝑝−1(𝑝−1)𝑎𝑝−1,𝑗(𝑝−1), pentru 𝑖=1,𝑝−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ș𝑖 𝑗=1,𝑛+1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Observația I.4.1 Dacă A este nesingulară, atunci condiția ( I.4.4) poate fi
întotdeauna îndeplinită. Astfel, folosind tehnica pivotului, chiar dacă vreun 𝑎𝑝𝑝(𝑝)=0,
căutăm
15
𝑎𝑖𝑝𝑗𝑝(𝑝)=max{|𝑎𝑖𝑗(𝑝)| 𝑖,𝑗=𝑝,𝑛̅̅̅̅̅}.
Apoi, înlocuind liniile p și 𝑖𝑝, respectiv coloanele p și 𝑗𝑝, elementul 𝑎𝑖𝑝𝑗𝑝(𝑝) va lua locul lui
𝑎𝑝𝑝(𝑝). Evident, 𝑎𝑖𝑝𝑗𝑝(𝑝)≠0
Observația I.4.2 Dacă A este singulară, atunci Ax = b fie va avea o infinitate de soluții,
fi nu va avea soluție.
Metoda Gauss poate fi folosită pentru studierea existenței soluției sistemului.
I.4.1.2 Metoda Gauss -Jordan
Metoda Gauss -Jordan , cunoscută sub denumirea ”metoda eliminării totale ” folosește
același principiu de calcul ca și metoda Gauss, deosebirea constând în faptul că în procesul
eliminării, matricea sistemului va deveni matrice diagonală , iar sistemul ( I.4.1) va avea la
final forma
{ 𝑎11(1)𝑥1 =𝑏1(1)
𝑎22(2)𝑥2 =𝑏2(2)
⋱
𝑎𝑛𝑛(𝑛)𝑥𝑛 =𝑏𝑛(𝑛)
Componentele soluției vor fi:
𝑥𝑖=𝑏𝑖(𝑖)
𝑎𝑖𝑖(𝑖) , 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅
Evident, toți 𝑎𝑖𝑖(𝑖)≠0.
16
I.4.1.3 Metodele LU
În unele situații, matricea A a sistemului ( I.4.1) poate fi exprimată ca produsul dintre o
matrice inferior triunghiulară L și una superior triunghiulară U, iar ca rezultat avem de
rezolvat două sisteme cu matrici triunghiulare.
Deci
A= LU,
și atunci sistemul ( I.4.1) devine LUx=b (I.4.6)
care se rezolvă în două etape.
Etapa I. Se rezolvă Ly=b
Etapa II . Se rezolvă Ux=y
Matricile L și U vor avea următoarele forme:
𝐿=(𝑙11 0 … 0
𝑙21 𝑙22 … 0
⋮
𝑙𝑛1 𝑙𝑛2 … 𝑙𝑛𝑛) 𝑈=( 𝑢11 𝑢12 … 𝑢1𝑛
0 𝑢22 … 𝑢2𝑛
⋮
0 0 … 𝑢𝑛𝑛)
Descompunerile LU sunt forme modificate ale eliminării Gaussiene. Modul în care se
calculează elementele lor este indicat în algoritmul următor (algoritmul Doolittle).
17
I.4.1.4 Algoritmul Doolittle
Algoritmul elimină coloană cu coloană începând de la stânga, înmulțind matricea A cu
matrici inferior triunghiulare. Se obține o matrice inferior triunghiular ă unitate ( are doar
sub diagonala principal ă elemente nenule, iar elementele diagonalei principale sunt egale cu
1) și o matrice superior triunghiulară .
Deci, pentru sistemul ( I.4.1), cu 𝑎𝑘𝑘≠0, 𝑘=1,𝑛̅̅̅̅̅, notăm
𝑙𝑖,𝑘∶=𝑎𝑖,𝑘(𝑘−1)
𝑎𝑘,𝑘(𝑘−1) , 𝑖=𝑘+1,𝑛̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑡(𝑘)=[0…0⏟ 𝑙𝑘+1,𝑘…𝑙𝑛,𝑘]𝑇
k-zerouri
și
𝑀𝑘=𝐼−𝑡(𝑘)𝑒𝑘𝑇 , (I.4.7)
unde 𝑒𝑘=
( 0
⋮
1
⋮
0) este vectorul k-unitate.
Atunci
𝑀𝑘𝑥=
( 1 … 0 0 … 0
⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 … 1 0 … 0
0… 𝑙𝑘+1,𝑘 1 … 0
⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 … 𝑙 𝑛,𝑘 0 … 1 )
18
Definiția I.4.4 O matrice 𝑀𝑘 de forma ( I.4.7) se numește matrice Gauss , componentele
𝑙𝑖,𝑘 se numesc multiplicatori Gauss , iar vectorul 𝑡(𝑘) este numit vector Gauss .
Transformarea definită cu matricea Gauss 𝑀𝑘 este o transformare Gauss .
Observația I.4.5 Dacă 𝐴∈ℳ𝑛×𝑛(ℝ), atunci matricele Gauss 𝑀1,…,𝑀𝑛−1 pot fi
determinate astfel încât
𝑀𝑛−1⋅𝑀𝑛−2⋅…⋅𝑀2⋅𝑀1⋅𝐴=𝑈
este o matrice superior triunghiulară.
Dacă se alege 𝐿=𝑀1−1⋅𝑀2−1⋅…⋅𝑀𝑛−1−1 , atunci 𝐴=𝐿⋅𝑈 și așa se obține
factorizarea dorită.
Exemplul I.4.6 Folosind algoritmul Doolitle, să se găsească factorizarea LU a matricei
𝐴=(2 1
8 7)
Soluție. Găsim matricea Gauss 𝑀1 pentru A:
𝑀1=𝐼−𝑡(1)𝑒1𝑇=(10
01)−(0
8
2)( 10)
= (10
01)−(00
40)=( 10
−41)
Astfel
𝑀1𝐴=( 10
−41)(21
87)=(21
03)=𝑈
𝑀1−1=(10
41)=𝐿
Deci
𝐴=(21
87)=𝐿⋅𝑈=(10
41)(21
03)
19
Observația I.4.7 Un alt algoritm asemănător este algoritmul lui Crout, care di feră de
algoritmul Doolitle prin faptul că, în procesul de factorizare, generează o matrice inferior
triunghiulară și o matrice triunghiular ă unitate.
I.4.1.5 Descompunerea bloc LU
Descompunerea bloc LU generează o matrice inferior triunghiulară bloc L și una
superior triunghiulară bloc U . Matricea sistemului se poate descompune într -o matrice de
matrici în felul următor
(𝐴𝐵
𝐶𝐷)=(𝐼
𝐶𝐴−1 )⋅𝐴⋅( 𝐼 𝐴−1𝐵 )+(00
0𝐷−𝐶𝐴−1𝐵)
unde matricea A se presupune că este nesingulară, I este o matrice identitate cu dimensiu ne
convenabilă și O este matricea nulă.
Descompunerea bloc LU se folosește în scopul reducerii complexității calculului și
este utilă în calculul paralel.
I.4.1.6 Descompunerea Cholesky
Descompunerea Cholesky presupune factorizarea unei matrici simetrice pozitiv
definită într -o matrice inferior triunghiulară și transpusa acesteia.
Orice matrice pătrată A se poate scrie ca produsul dintre o matrice inferior triunghiulară
L și o matri ce superior triunghiulară U. Dacă A este simetrică și pozitiv definită putem
determina factorii astfel încât U să fie transpusa lui L.
Observația I.4.8 În cazul în care se poate aplica, descompunerea Cholesky este mai
eficientă decât descompunerea LU.
Fie sistemul Ax = b (I.4.8)
unde 𝐴∈ℳ𝑛×𝑛(ℝ) este o matrice simetrică ( A=𝐴𝑇) și pozitiv definită , deci
20
𝑥𝑇𝐴𝑥>0,∀𝑥∈ℳ𝑛×1(ℝ).
De asemenea, 𝑏∈ℳ𝑛×1(ℝ).
Pentru a rezolva sistemul ( I.4.8), realizăm mai întâi descompunerea Cholesky
𝐴=𝐿∙𝐿𝑇
apoi rezolvăm L·y = b ca să găsim pe 𝑦∈ℳ𝑛×1(ℝ) și
𝐿𝑇∙𝑥=𝑦 pentru a găsi x, soluția sistemului inițial.
I.4.1.7 Algoritmul Cholesky
Algoritmul Cholesky reprezintă o versiune modificată a algoritmului recursiv Gauss.
Pasul 1 .
𝑖∶=1, 𝐴(1)∶=𝐴
Pentru i = 1 la n se execută
𝐴(𝑖)=(𝐼𝑖−100
0𝑎𝑖𝑖𝑏𝑖𝑇
0𝑏𝑖𝐵(𝑖))
unde 𝐼𝑖−1 reprezintă matricea identică de dimensiune i-1
𝐿𝑖=(𝐼𝑖−100
0√𝑎𝑖𝑖0
01
√𝑎𝑖𝑖𝑏𝑖𝐼𝑛−𝑖)
Astfel
𝐴(𝑖)=𝐿𝑖⋅𝐴(𝑖+1)⋅𝐿𝑖𝑇 ,
unde
𝐴(𝒊+𝟏)=(𝐼𝑖−10 0
01 0
00𝐵(𝑖)−1
𝑎𝑖𝑖𝑏𝑖𝑏𝑖𝑇)
21
După n pași, vom găsi 𝐴(𝑛+1)=𝐼. Deci matricea inferior triunghiulară L poate fi privită
ca
𝐿∶=𝐿1𝐿2…𝐿𝑛
Observația I.4.9 Pentru determinarea elementelor matricei L, au loc următoarele formule:
𝑙11=√𝑎11
𝑙𝑖1=𝑎𝑖1
𝑙11, 𝑖=2,𝑛̅̅̅̅̅
1/21
2
1i
ii ii ik
kl a l−
==− , 𝒊=𝟐,𝒏̅̅̅̅̅
1
11j
ij ij ik jk
k ijl a l la−
==− , 𝑖=3,𝑛̅̅̅̅̅, 𝑗=2,𝑖−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Observa ția I.4.10 Expresia de sub radical este totdeauna pozitivă deoarece A este reală și
pozitiv definită.
I.4.1.8 Descompunerea QR
Descompunerea QR a matricei este o metodă care permite scrierea matricei A ca
produsul dintre o matrice ortogonală și una triunghiulară.
Se consideră sistemul liniar de ecuații
Ax = b (I.4.9)
unde 𝐴∈ℳ𝑛×𝑛(ℝ),𝑥,𝑏 ∈ℳ𝑛×1(ℝ).
În conformitate cu descompunerea QR, matricea A poate fi scrisă
A=Q·R
unde Q este o matrice ortogonală (adică 𝑄𝑇∙𝑄=𝐼 ) și R o ma trice superior triunghiulară.
Observația I.4.11 Această factorizare este unică dacă elementele diagonalei lui R sunt
pozitive.
Descompunerea QR se poate face prin mai multe procedee de calcul: rotațiile lui
Givens, transformarea Householder sau desc ompunerea Gram -Schmidt.
22
I.5 Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare
Fie sistemul de ecuații Ax = b, (I.5.1)
unde A∈ℳ𝑛x𝑛(ℝ),𝑥,𝑏∈ℳ𝑛x1(ℝ).
Metodele iterative de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare de forma ( I.5.1),
gener ează o aproximantă a vectorului soluție x, prin intermediul unui șir de aproximații
succesive, în cazul convergenței metodei.
Pentru rezolvarea iterativă a si stemelor de ecuații, este necesară parcurgerea următorilor
pași:
Pasul 1. Determinarea convergenței metodei iterative.
Astfel, descompunem matricea A a sistemului ( I.5.1) într -o sumă de trei matrici
A=L + D + U (I.5.2)
unde
𝐿=(0 0 … 0
𝑎21 0 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 0) , 𝑈= ( 0 𝑎12… 𝑎1𝑛
0 0 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 0) , 𝐷=(𝑎11 0 … 0
0 𝑎22 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 𝑎𝑛𝑛)
Toate metodele iterative prezentate sunt de tipul
𝑀𝑥(𝑘+1)=𝑁𝑥(𝑘)+𝑏 (I.5.3)
unde A = M – N și 𝑥(𝑘), 𝑥(𝑘+1) reprezintă aproximațiile vectorului soluție x de rang k,
respectiv k+1, bazate pe aproximația inițială 𝑥(0).
Reutilizând noțiunea de rază spectrală a matricei G, expresia
𝜌(𝐺)=max{|𝜆|: λ valoare proprie a lui 𝐺}, avem următorul rezultat .
Teorema I.5.1 [3]
Fie A= M – N descompunerea matricei regulare A∈ℳ𝑛x𝑛(ℝ),ș𝑖 𝑏∈ℳ𝑛x1(ℝ).
Metoda iterativă este convergentă dacă și numai dacă matricea M este regulară și
𝜌(𝑀−1𝑁)<1.
Observația I.5.2 Dacă metoda iterativă este convergentă, atunci are sens să se continue cu
Pasul 2, pentru obținerea soluției aproximative. În caz contrar metoda nu poate fi aplicată.
23
Pasul 2. Plecând de la o valoare inițială 𝑥(0), șirul aproximațiilor succesive
𝑥(1),𝑥(2),…,𝑥(𝑘),… (I.5.4)
este generat în funcție de metoda iterativă utilizată.
Deoarece metoda este convergentă, șirul ( I.5.4) va fi convergent spre soluția exactă X a
sistemului ( I.5.1).
Pasul 3 . Condiția de oprire este ‖𝑥(𝑛)−𝑥(𝑛−1)‖≤𝜀, pentru 𝜀 dat, unde ‖⋅‖ este norma
euclidiană. Atunci x este aproximat de 𝑥(𝑛) sau 𝑥(𝑛−1).
Observația I.5.3 Aproximația inițială 𝑥(0) nu influențează convergența metodei, doar
viteza cu care se obține aproximația finală.
I.5.1 Metoda Jacobi
Considerăm sistemul ( I.5.1), scris sub forma următoare, având 𝑎𝑖𝑖≠0, 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅
1,/n
i i ij j ii
j j ix b a x a
==−
, 𝒊=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅ (I.5.5)
Plecând de la o aproximație inițială 𝒙𝒊(𝟎), 𝒊=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅, metoda iterativă Jacobi este
definită de algoritmul
( 1) ( )
1,/n
kk
i i ij j ii
j j ix b a x a+
==−
, 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅ (I.5.6)
sau, sub formă matricială, utilizând descompunerea ( I.5.2) a lui A,
𝐷𝑥(𝑘+1)=−(𝐿+𝑈)𝑥(𝑘)+𝑏 (I.5.7)
Atunci 𝑀𝐽=𝐷 și 𝑁𝐽=−(𝐿+𝑈) , iar pentru verificarea convergenței, trebuie să fie
îndeplinită proprietatea
𝜌(𝑀𝐽−1𝑁𝐽)<1
24
I.5.2 Metod a Gauss -Seidel
Pentru sistemul ( I.5.1) scris sub forma ( I.5.5) și pornind de la valoarea inițială
𝑥𝑖(0), 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅, procesul iterativ Gauss -Seidel este dat de algoritmul
1
( 1) ( 1) ( )
11/in
k k k
i i ij j ij j ii
j j ix b a x a x a−
++
= = += − −
, 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅ (I.5.8)
sau sub formă matriceală, folosind ( I.5.2),
( 1) ( )()kkD L x Ux b++ =− +
astfel
GSM D L=+ și
GSNU=− .
Pentru a stabili dacă metoda este convergentă, se verifică dacă
𝜌(𝑀𝐺𝑆−1𝑁𝐺𝑆)<1.
Observația I.5.4 Dacă matricea 𝐴∈ℳ𝑛×𝑛(ℝ) este diagonal dominantă, adică
1,n
ii ij
j j iaa
= , 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅
atunci raza spectral ă 𝜌(𝑀𝐽−1𝑁𝐽)<1.
De asemenea, dacă 𝐴∈ℳ𝑛×𝑛(ℝ) este o matrice simetrică și pozitivă atunci metoda
Gauss -Seidel este convergentă.
25
I.5.3 Metoda relaxării
În caz de convergență, metoda Gauss -Seidel este mai rapidă decât metoda Jacobi.
Viteza de convergență mai poate fi îmbunătățită, iar metoda care realizează acest lucru se
numește metoda relaxării.
Aceasta se bazează pe algoritmul
1
( 1) ( 1) ( ) ( )
11/ (1 )in
k k k k
i i ij j ij j ii i
j j ix b a x a x a x−
++
= = += − − + −
, 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅
care se poate scrie sub formă matriceală, astfel:
(𝐷+𝜔𝐿)𝑥(𝑘+1)=((1−𝜔)𝐷−𝜔𝑈)𝑥(𝑘)+𝜔𝑏
unde 𝑀=𝐷+𝜔𝐿 și 𝑁=(1−𝜔)𝐷−𝜔𝑈.
Problema constă în a găsi parametrul 𝜔 astfel ca 𝜌(𝑀−1𝑁) să fie cât mai mic.
Conform teoremei lui Kahan, metoda converge pentru 0<𝜔<2.
Observația I.5.7 Pentru 𝜔=1, metoda SOR devine metoda Gauss -Seidel .
26
I.6 Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare în gimnaziu
Programa de matematică pentru clasele a VII -a (O.M. 3393/28.02.2017) și a VIII -a
(O.M. 5097/9.09.2009) cuprinde metodele de rezolvare a sistemelor de două ecuații liniare cu
două necunoscute (metoda substituției și metoda reducerii).
Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute se poate rezolva prin:
• Metoda substituției
• Metoda reducerii
• Meto da grafică
I.6.1 Metoda substituției
Metoda substituției constă în exprimarea unei necunoscute (dintr -o ecuație) în funcție
de cealaltă necunoscută și înlocuirea în ecuația rămasă. Astfel, se obține o ecuație de gradul
I cu o necunoscută, care se rezolvă și se obține una dintre necunoscutele sistemu lui. Se
înlocuiește valoarea obținută în una dintre ecuații și se află și cealaltă necunoscută.
Exemplu:
Să se rezolve sistemul: { 𝑥−3𝑦=2
2𝑥−7𝑦=3
Soluție:
Din prima ecuație exprimăm pe x în funcție de y și obținem: x = 2+3 y (I.6.1)
Înlocuim pe x în a doua ecuație și obținem o ecuație de gradul I, cu necunoscuta y, pe care o
rezolvăm:
2(2+3 y)-7y = 3
4+6y-7y = 3
-y = -1
y = 1
În relația ( I.6.1), înlocuim pe y cu 1 și obținem x = 5.
x = 5 și y = 1, deci S= {(5;1)}
27
Observația I.6.1 Dacă în urma înlocuirii lui x, ecuația obținută (cu necunoscuta y) nu are
soluții, atunci sistemul de ecuații nu are soluție.
Observația I.6.2 Dacă în urma înlocuirii lui x obținem o identitate, atunci sistemul se
reduce la o singură ecuație, iar soluțiile sistemului sunt solu țiile ecuației (sistemul are o
infinitate de soluții).
Observația I.6.3 Metoda substituției este ușor de utilizat în cazul în care unul dintre
coeficienții necunoscutelor este 1 sau -1.
I.6.2 Metoda reducerii
Metoda reducerii constă în reducerea unei necunoscute, astfel încât să se obțină o ecuație
cu o singură necunoscută. Pentru utilizarea acestei metode se procedează astfel:
– Se alege necunoscuta care se va reduce
– Se înmulțește fiecare ecuație cu câte un număr nenul, astfel încât în urma adunării
ecuațiilor obținute, termenii care conțin necunoscuta aleasă să se reducă
– Se rezolvă ecuația obținută și se obține cealaltă necunoscută
– Se procedează asemănător pentru a reduce cealaltă necunoscută
– Se scrie soluția sistemului
–
Exemplu:
Să se rezolve sistemul: { 𝑥−3𝑦=2
2𝑥−7𝑦=3
Soluție:
Alegem necunoscuta x pentru a o reduce. Înmulțim cele două ecuații(sau una dintre ecuații)
cu numere astfel încât coeficienții lui x să fie numere opuse.
{ 𝑥−3𝑦=2 | ∙(−2)
2𝑥−7𝑦=3 ⇔{−2𝑥+6𝑦=−4
2𝑥−7𝑦=3 (+)
-y = -1
y = 1
28
Reluăm pașii pentru a reduce pe y:
{ 𝑥−3𝑦=2 |∙ 7
2𝑥−7𝑦=3 |∙(−3) ⟺{ 7𝑥−21𝑦=14
−6𝑥+21𝑦=−9 (+)
x = 5
soluția sistemului S= {(5;1)}
Observația I.6.4 În practică, pentru economie de timp, după ce am aflat prima necunoscută
nu mai reluam pașii pentru a o reduce pe a doua; înlocuim necuno scuta aflată într -una
dintre ecuații, pentru a o afla pe cealaltă.
Observația I.6.5 În anumite situații, în urma înmulțirii și adunării celor două ecuații, este
posibil să se reducă ambele necunoscute. În acest caz , sistemul nu are soluție unică.
I.6.3 Metoda grafică
Metoda grafică de rezolvare a unui sistem de două ecuații cu două necunoscute constă
în reprezentarea grafică a dreptelor soluțiilor celor două ecuații. Coordonatele punctului de
intersecție al celor două drepte reprezintă soluția sistemului.
După pozițiile relative ale celor două drepte se disting trei posibilități.
• dreptele sunt concurente – sistemul are soluție unică dată de coordonatele punctului
de intersecție al celor două drepte
• dreptele sunt paralele – sistemul nu are soluție
• dreptele coincid – sistemul are o in finitate de soluții dată de mulțimea soluțiilor uneia
dintre ecuații
Exemplu:
Să se rezolve sistemul: { 𝑥+𝑦=2
3𝑥+5𝑦=6 (I.6.2)
Soluție:
Reprezentăm dreptele soluțiilor celor două ecuații
(𝑑1) x+y = 2
(𝑑2) 3x+5y = 6
29
Figura 1 Soluția sistemului prin metoda grafică
Măsurând, determinăm coordonatele punctului de intersecție al celor două drepte. Acesta
reprezintă soluția sistemului.
Pentru sistemul ( I.6.2), soluția este S= {(2;0)}
30
I.7 Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare în liceu
Programa de matematică pentru liceu, clasa a XI -a (O.M. 3252/13.02.2006) cuprinde
metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare de ordin mai mare.
În cazul în care numă rul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, sistemul poate
fi rezolvat prin două metode:
• metoda matriceală
• metoda lui Crame r
Fie sistemul de n ecuații liniare cu n necunoscute de forma:
{ 𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2
⋮
𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+⋯𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛 (I.7)
I.7.1 Metoda matriceal ă
Fie un sistem liniar (I.7), scris sub forma:
AX = B. ( I.7.1)
Dacă det (A)≠0 (matricea sistemului este nesingulară), atunci se calculează 𝐴−1, apoi se
înmulțește egalitatea ( I.7.1), la stânga, cu 𝐴−1 și se obține soluția sistemului X=𝐴−1𝐵.
Exemplu:
Să se rezolve sistemul: {2𝑥+𝑦 =4
𝑥+2𝑦+𝑧=1
2𝑦+𝑧=0
Soluție :
𝐴=(2 1 0
1 2 1
0 2 1) 𝑋=( 𝑥
𝑦
𝑧 ) 𝐵=( 4
1
0 )
Se verifică dacă poate fi aplicată metoda matriceală, adică det (A)≠0.
det (A)=|2 1 0
1 2 1
0 2 1|=−1 ≠0⇒∃ 𝐴−1
Calculând inversa matricei A se obține :
31
𝐴−1=( 0 1 −1
1 −2 2
−2 4 −3)
Deci X=𝐴−1𝐵= ( 0 1 −1
1 −2 2
−2 4 −3)( 4
1
0 ) = ( 1
2
−4) , adică {𝑥= 1
𝑦= 2
𝑧=−4
I.7.2 Metoda lui Cramer
Metoda lui Cramer se poate aplica unui sistem scris sub forma ( I.7) sau ( I.7.1), în cazul
în care det (A)≠0. Astfel, sistemul este compatibil determinat , iar soluția unică este dată de
formulele lui Cramer:
𝑥1=∆𝑥1
∆,𝑥2=∆𝑥2
∆,…,𝑥𝑛=∆𝑥𝑛
∆,
unde ∆=det ( A), iar ∆𝑥𝑘 se obțin din ∆, înlocuind coloana coeficienților lui 𝑥𝑘 prin coloana
termenilor liberi, 𝑘=1,𝑛̅̅̅̅̅.
Exemplu:
Să se rezolve sistemul: { 𝑥 +2𝑦−3𝑧=4
2𝑥 −𝑦+4𝑧=8
3𝑥+2𝑦−5𝑧=8
Soluție:
𝐴=(1 2 −3
2 −1 4
3 2 −5), 𝐵=( 4
8
8)
∆=|1 2 −3
2 −1 4
3 2 −5| = 20 ≠0 ⇒sistemul este compatibil determinat, deci s e poate aplica
metoda lui Cramer
– se calculează ∆𝑥,∆𝑦,∆𝑧
∆𝑥=|4 2 −3
8 −1 4
8 2 −5|=60,
32
∆𝑦=|1 4 −3
2 8 4
3 8 −5| = 40,
∆𝑧=|1 2 4
2 −1 8
3 2 8| = 20
𝑥=∆𝑥
∆=60
20=3
𝑦=∆𝑦
∆=40
20=2
𝑧=∆𝑧
∆=20
20=1
Verificare:
{1∙3+2∙2−3∙1=4, adevărat
2∙3−1∙2+4∙1=8, adevărat
3∙3+2∙2−5∙1=8, adevărat
33
CAPITOLUL II
ORGANIZAREA ȘI DESFĂȘURAREA CERCETĂRII DIDACTICE
II.1 Scopul cercetării didactice
Datorită schimbărilor din societate și, implicit, din sistemul de învățământ, se
poate spune că metodele aduse în discuție în prezenta lucrare au venit în întâmpinarea
așteptărilo r elevilor și cadrelor didactice . Prezentul stu diu s -a desfășurat ținând cont de
aspectul formării elevului ca viitor individ integrat într -o societate activă, în continuă
schimbare, globalizare, o societate care nu poate progresa fără aflarea unor soluții eficiente
pentru problemele tot mai multe și m ai dificile.
Problemele care se pot rezolva folosind sistemele de ecuații se rezolvă încă din
clasele primare, însă prin metode aritmetice, care, de multe ori li se par dificile elevilor. De
aceea, pentru rezolvarea acestor situații, este nevoie ca elevii noștri să fie bine pregătiți, să
aibă capacit ăți și competențe care să -i ajute să fie creativi, să fie activi și competitivi,
fiecare la locul său de muncă sau în societate. Aceste competențe, aceste calități încep să se
formeze de timpuriu, dezvoltându -se permanent. Ținând cont de aceste aspecte, am încercat
să evidențiez prin cercetarea efectuată, impactul pe care îl au aceste metode de rezolvare a
sistemelor de ecuații asupra imaginației și atitudi nilor creatoare ale elevilor . Trebuie însă
specifica t că efectele formativ -educative ale învățământului sunt în raport direct cu nivelul
de angajare și participare individuală și colectivă a elevilor în cadrul procesului de învățare
și formare.
În educație se vorbește tot mai mult despre necesitatea realiză rii acestor obiective
majore, dar în practică lucrurile se mișcă destul de anevoios în acest sens. Iată de ce am
considerat că un studiu pe această temă, având în vedere și experiența mea la caredră, ar fi
binevenit.
34
II.2 Obiectivele și ipoteza cercetării
Ritmul alert al dezvoltării și al competiției în toate domeniile de activitate ne
impune să gândim repede și bine, iar afirmația că este nevoie de matematică este
insuficientă. Se poate susține că nu se poate trăi f ără matematică.
Ca atare, încă din clasele mici, se impune stimularea intelectului, a gândirii logice,
a judecății matematice la elevi , astfel încât matematica să devină o disciplină plăcută,
atractivă, convergentă spre dezvoltarea raționamentului, creativității și muncii
independe nte.
Astfel , mi-am propus ca în cadrul cercetării didactice , să realizez următoarele
obiective :
• Documentarea științifică în domeniul metodelor teoretice și practice de rezolvare a
sistemelor de ecuații liniare ;
• Cercetarea diverselor metode tradiționale da r și interactive de predare și consolidare
a cunoștințelor, impactul lor asupra elevilor, asupra rezultatelor școlare;
• Metode și mijloace de imprimare la elevi a unui stil dinamic, angajat prin utilizarea
procedeelor experimentale în activitatea didactică curentă ;
• Identificarea unor tipuri de jocuri didactice cu funcții psihopedagogice
semnificative care să sporească interesul elevului pentru activitățile desfășurate și
implicarea sa maximă;
• Întocmirea unei evaluări inițiale a elevilor sub raportul cunoștințelor, deprinderilor;
• Evaluarea finală;
• Analiza comparativă a rezultatelor obținute și interpretarea acestora.
Ipoteza de la care a pornit acest experiment este că există anumite strategii care pot
asigura reușita la învățătură, dezvoltarea capacit ăților de investigare, a inițiativei creatoare,
a capacităților de muncă independentă .
Prin prezenta lucrare metodico -științifică doresc să evidențiez importanța acordată
strategiilor didactice în vederea optimizării procesului instructiv -educativ în cadr ul orelor
de matematică. Aceasta constituie o permanentă preocupare în vederea găsirii de noi
modalități de lucru cât mai eficiente .
35
De asemenea, am dorit ca elevii să -și însușească metodele de rezolvare a sistemelor
de ecuații liniare, astfel încât probl emele pe care le rezolvau folosind metode aritmetice să
fie rezolvate folosind sisteme de ecuații.
Am ales cercetarea pedagogică de tip combinat: teoretic -fundamentală și practic –
aplicativă pornind de la situarea temei într -un spațiu și ajungând la reliefa rea implicațiilor
practice menite să îmbunătățească activitatea de învățare.
II.3 Coordonatele majore ale cercetării didactice
II.3.1 Locul și perioada de desfășurare a cercetării didactice
Pentru verificarea ipotezei și atingerea obiectivelor, experimentul s -a realizat asupra
unui eșantion format din elevii clasei a VIII -a, de la Școala Gimnazială Crăciunelu de Jos, pe
parcursul a cinci săptămâni (februarie -martie), ale anului școlar 2019 -2020.
II.3.2 Descrierea eșantioanelor
Eșantionul de subiecți este compus din 25 de elevi din clasa a VIIIa , dintre care 16
fete și 9 băieți. Pe grupe de vârstă, situația clasei este următoarea:
– 6 elevi – 14 ani
– 17 elevi -15 ani
– 2 elevi – 16 ani (proveniți din repetenție)
Conform chestionarului completat de părinții elevilor la începutul anului școlar
2019 – 2020, am înregistrat următoarele date despre familiile din care provin copiii:
– din toți părinții 16 au absolvit 8 clase; 12 – au 10 clase; 12 – 12 clase; 6-studii
universitare
– 26 lucrează în diverse meserii, 15 lucrează în străinătate, 5 mame sunt casnice;
– 3 copii sunt singuri la părinți
– 4 copii fac parte din familii monoparentale
36
Majoritatea copiilor sunt normal dezvoltați atât fizic, cât și intelectual. Elevii sunt
disciplinați, nu creează probleme în timpul orelor, sunt comunicativi și sociabili.
Din punct de vedere social, majoritatea elevilor fac parte din medii bune, iar din punct
de vedere familial s -a constatat, în urma ședințelor cu părinții și a vizitelor la domiciliul
elevilor, că nu există probleme familiale care să se repercuteze negativ asupra dezvoltării
intelectuale și a personalității copiilor.
De asemenea, m ajoritatea părinți lor au o atitudine pozitivă față de școală și față de
procesul de învățare, colaborarea cu ei devenind indispensabilă în activitatea instructiv –
educativă și formarea copiilor.
Nivelul la învățătură al copiilor indică o omogenitate a eșantio nului studiat.
Eșantionul de conținuț este reprezentat de metodele de rezolvare a sistemelor de
ecuații liniare (2×2).
Sistemele de ecuații liniare fac parte atât din programa de matematică pentru gimnaziu,
cât și din programa pentru liceu.
Din programa de matematică pentru clasele a VIIa (O.M. 3393/28.02.2017) și a VIIIa
(O.M. 5097/9.09.2009) fac parte metodele de rezolvare a sistemelor de două ecuații liniare cu
două necunoscute (metoda substituției și metoda reducer ii). Programa de matematică pentru
liceu, clasa a XI -a (O.M. 3252/13.02.2006) cuprinde studiul compatibilității sistemelor de
ecuații liniare (de ordin mai mare) și rezolva rea acestora prin alte metode adecvate.
37
II.4 Metode și instrumente utilizate în cercetare
Matematica este considerată în general, una din disciplinele dificile, un „instrument
de tortură”, în care problemele sunt asemenea unor obstacole în cursa elevilor în acest
domeniu, nefiind la îndemâna oricui.
Elevii privesc de multe ori cu teamă exerciț iile și, mai ales, problemele. Punerea
unor exerciții și probleme într -o formă distractivă, prezentarea lor într -o manieră nostimă,
veselă îi va face pe elevi să abordeze matematica cu zâmbetul pe buze, fără crispare,
ajutându -i astfel să asimileze numeroa se noțiuni matematice și să înlăture barierele care
făceau din matematică o disciplină greu accesibilă.
Matematica dezvoltă gândirea creatoare a elevilor, contribuie la dezvoltarea
spiritului de observație, a memoriei, a judecății logice, a ist ețimii, pregătindu -i pe aceștia să
rezolve probleme de viață pur și simpl u.
Metodele de instruire și educare privesc atât modul cum se transmit și asimileză
cunoștințele, cum se formează priceperile și deprinderile, cât și dezvoltarea unor calități
intelec tuale și morale, controlul dobândirii cunoștințelor și al formării abilităților. Metodele
folosesc unor scopuri de cunoaștere, de instruire și formative (de formare și perfecționare a
trăsăturilor de personalitate).
Metoda este considerată o formă concre tă de organizare a învățării , dar și o
modalitate de descoperire a lucrurilor . Metoda însoțește acțiunea instructiv -educativă dar
nu se identifică cu acțiunea însăși.
Cercetarea experimentală presupune culegerea de date și fapte. În acest scop am
folosit : metoda observației sistematice, testele de evaluare , metoda expe rimentului
psihopedagogic , studiul documentelor școlare.
Pentru prelucrarea și interpretarea datelor cercetării s-au utilizat metodele
statistice – matematice care au ajutat la cunoașterea progreselor și regreselor în învățare.
Aceste metode s unt:
• Întocmirea de tabele de rezultat imediat după administrarea unor probe și
înregistrarea performanțelor, sau după efectuarea observației și consemnarea datelor
în grilă de observație (tabele analitice, sintetice).
38
• Reprezentarea grafică a datelor din tabelele sintetice (diagrame areolare,
histograme, poligoane de frecvență).
Prin cercetarea produselor efectuate de elevi (teste, probleme compuse de elevi și
rezolvări inedite de probleme, portofolii, lucr ări colective, obiecte ob ținute în cadrul
activităților practice ) am putut identifica nivelul cunoștintelor, priceperilor, abilităților și
competențelor elevilor.
II.4.1 Metode de învățământ specifice matematicii
Metoda didactică reprezintă un ansamblu de principii, r eguli, tehnici și operații
construite ca instrument al cunoașterii, cu scopul de a facilita și spori eficiența acesteia.
Aceasta influențează și determină modul de receptare a conținutului, gradul de
accesibilitate al cunoștințelor, precum si valoarea form ativ-educativă a cadrului didactic.
Eficiența unei metode depinde de modul în care dec lanșează la elev actele de învățare
și de gândire prin acțiune. Metodele constituie elementul esențial al strategiei didactice,
reprezentând latura executorie, de punere în acțiune a ansamblului ce caracterizează un
curriculum dat.
Astfel, metoda este considerată ca fiind instrumentul de realizare a obiectivelor
prestabilite ale activității instructive, de aceea cadrul didactic adoptă utilizarea unor metode
variate, eficiente și adecvate nu doar specificului disciplinei, profilului școlii, ci și
cerințelor de educație ale societății contemporane. Opțiunea pentru o anumită metodă este
în strânsă relație cu personalitatea și pregătirea profesorului, dar și cu sti lurile de învățare
ale grupului cu care se lucrează.
Metodele utilizate în cadrul orelor de matematică se clasi fică în: metode tradiționale
(clasice) și metode moderne (activ -participative) .
Dintre metodele tradiționale, cele mai utilizate sunt: explicația, demonstrația,
conversația, exercițiul, lucrul cu manualul, algoritmizarea, jocul.
EXPLICAȚIA este o metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se fac
progrese în cunoaștere. Dacă explicația (ca metodă) este corect aplicată, atunci elevii găsesc
în explicație un model de raționament matematic, înțeleg mai bine ideile ce li se comunică.
Explicația este folosită atât de cadrul didactic cât și de elevi. Profesorul explică termenii
39
matematici și procedeul de lucru, iar elevii explică (motivează) modul în care au acționat,
precum și soluțiile găsite.
DEMONSTRAȚIA este una dintre metodele de bază în activitățile matematice și
valorifică cunoștințele și situațiile de învățare. Demonstrația, ca metodă intuitivă, este
domi nantă în acțiunile de dobândire de noi cunoștințe , iar ca metodă specific matematicii,
valorifică funcțiile pedagogice ale materialului didactic. Metoda are efect favorabil asupra
înțelegerii și reținerii cunoștințelor și dezvoltă capacitatea de a observa ordonat, sistematic
și de a exprima coerent datele observației.
EXERCIȚIUL este o metodă care are la bază acțiuni intelectuale, efectuate în mod
conștient și repetat, cu scopul formării de priceperi și deprinderi. Prin acțiune exersată în
mod repetat, c onștient și s istematic, copilul dobândește o îndemânare, o deprindere, iar
folosirea ei transformă deprinderea în pricepere. Ansamblul deprinderilor și priceperilor,
dobândite în cadrul activităților matematice se transform ă treptat în abilități. Exerciții le pot
fi imitative sau de exemplificare.
LUCRUL CU MANUALUL este o metodă în cadrul căreia învățarea are ca sursă
esențială și ca instrument de formare a elevului manualul școlar. La matematică, lucrul cu
manualul dă rezultate bune în aprofundarea, rep etarea și sistematizarea cunoștințelor,
ALGORITMIZAREA este metoda care utilizează algoritmii în învățare. Pentru ca
algoritmii să devină instrumentele gândirii elevilor, este mai bine sa nu fie prezentați, ci să
punem elevii în situația de a parcurge toate etapele elaborării lor, pentru a conștientiza
fiecare element. Flosirea acestei metode ne ajută să înzestrăm elevii cu modalități
economice de gândire și acțiune.
JOCUL accentuează rolul formativ al activităților matematice prin: exersarea operați ilor
gândirii, dezvoltă spiritul de inițiativă, formează deprinderi de lucru corect și rapid,
favorizează însușirea plăcută și rapidă a cunoștințelor matematice (exemple: rebus
matematic, tangram, etc.) .
Școala nu trebuie înțeleas ă ca fiind locul unde profesorul pred ă și elevii ascult ă.
Învațarea devine eficient ă doar atunci c ând elevii particip ă în mod activ la procesul de
învățare.
40
Metodele modern e au ca scop implicarea activă a elevului în procesul de învățare,
urmărind dezvoltarea gândirii, stimularea creativității, dezvoltarea interesului pentru
învățare. Metodele active se pot clasifica în:
• Metode care favorizează înțelegerea conceptelor și ideilor, dezvoltă competențe de
comunicare și relaționare și vizează f ormarea unei atitudini active.
• Metode care stimulează gândirea și creativitatea, îi determină pe elevi să caute și să
dezvolte soluții pentru diferite probleme, să compare și să analizeze.
• Metode prin care elevii învață să lucreze productiv unii cu alții și să -și dezvolte
abilități de colaborare și ajutor reciproc.
In grupa metodelor moderne se în cadează și următoarele: cubul, turul galeriei,
ciorchinele, ”Știu/Vreau să știu/Am învățat”, R.A.I., utilizarea TIC în predare -învățare.
CUBUL este metoda folo sită în cazul în care se dorește explorarea unui
subiect/situații din mai multe perspective. Se folosește un cub pe fețele căruia sunt notate:
descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează. Am folosit metoda în lecțiile
de geometrie de la cl asele a VI -a, respectiv a VII -a – Pătratul .
TURUL GALERIEI este o metodă de învățare prin cooperare care îi încurajează
pe elevi să -și exprime propriile opinii. Produsele realizate de elevi sunt expuse ca într -o
galerie, prezentate și susținute de un re prezentant al grupului, urmând a fi discutate de c ătre
toți elevii. Metoda urmărește exprimarea unor puncte de vedere personale referitoare la
tema respectivă.
Metoda am folosit -o într -o lecție de recapitulare la clasa a VIIa (pregătire pentru
Evaluare a Națională). Am împărțit colectivul de elevi în 3 grupe decâte 5 elevi , fiecare
realizând câte o planșă cu teoria pentru: triunghi, patrulatere, cerc
Metoda CIORCHINELUI pune elevii în situația de a stabili conexiuni între
elementele studiate, de a se implica activ în procesul de gândire. Ciorchinele se utilizează
mai ales în etapa de reactualizare a conținuturilor învățate anterior și poate fi realizat
individual sau ca activitate de grup. Pornind de la un cuvânt cheie, scris în centrul tablei,
elevii vor găsi cât mai multe cuvinte sau expresii care le vin în minte despre cuvântul cheie.
Cuvintele (ideile) vor fi legate de cuvântul cheie prin linii, obținându -se astfel u n ciorchine.
Această metodă am folosit -o în mai multe lecții de recapitulare: clasa a VI -a-
Unghiuri , clasa a VII -a – Patrulatere , clasa a VIIIa – Sisteme de ecuații
41
Metoda ȘTIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM ÎNVĂȚAT redă ceea ce se știe deja despre o
anumită temă și ap oi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsurilor în
lecție. Profesorul realizează pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu/Vreau să știu/
Am învățat. La finalul lecției, elevii compară ceea ce cunoșteau înainte de lecție cu ceea c e
au învățat (prima coloană și a treia coloană). De asemenea, discută la care dintre întrebările
din a doua coloană au găsit răspuns.
Am folosit metoda în lecția de la clasa a V -a – Unități de măsură pentru lungime
Metoda R.A.I (RĂSPUNDE -ARUNCĂ -INTER OGHEAZĂ) are la bază stimularea și
dezvoltarea capacităților de a comunica ceea ce au învățat prin întrebări și răspunsuri.
Profesorul împreună cu elevii investighează rezult atele obținute în urma predării –
învățării, printr -un joc de aruncare a unei mingi ușoare de la un elev la altul. Cel c are
aruncă mingea trebuie să pună o întrebare din lecția predată celui care o prinde. Acesta
răspunde la întrebare și apoi aruncă mai departe altui coleg, punând și el o întebare. Elevul
care nu cun oaște răspunsul iese din joc, iar răspunsul va veni din partea celui care a pus
întrebarea. În cazul în care cel care a pus întrebarea este descoperit că nu cunoaște
răspunsul la propria lui întrebare este scos din joc. La finalul jocului rămân elevii cei mai
pregătiți.
Această metodă am utilizat -o la clasa a VI -a, în lecțiile de divizibilitate, ca o
recapitulare a cunoștințelor anterioare.
Utilizarea TIC este o metodă care folosește calculatorul ca mijloc didactic de instruire.
Folosirea t ehnologiei în cadrul lecțiilor stimulează elevii la receptarea noului, la dezvoltarea
imaginației și gândirii logice și formează competențe de utilizare a diferitelor dispozitive.
În cadrul orelor de matematică am folosit de foarte multe ori calculatorul, soft-urile
educaționale și diferite platforme pentru lecții virtuale (manualele digitale, AeL, Microsoft
Teams, Zoom)
42
II.4.2 Metoda observației sistematice
Calitatea pedagogică a unei metode didactice de învățământ presupune
transformarea acesteia dintr -o cale de cunoaștere propusă de cadrul didactic, într -o cale de
învățare, parcursă de cel care se instruiește (prin instruire formală și nonformală), cu
deschi deri spre educația permanentă. Astfel , metodele sunt instrumente cu ajutorul cărora
elevii, sub îndrumarea profesorului , progresează în acțiunea de cunoaștere și de formare a
priceperilor și deprinderilor intelectuale și practice.
Observația este o metodă de cercetare care constă în consemnarea conștientă,
fidelă și intenționată a diferitelor manifestări de comportament, individuale sau colective,
așa cum se prezintă acestea în timpul manifestării lor, în vederea explicării faptelor
educaționale analizate. Cercetătorul va consemna comportamentele observate fără a
interveni sau fără a le influența .(Cucoș, 2009, p.764)
După gradul de explicitare a ipotezei, metoda observației se clasifică în: observația
spontană și observația sistematică:
• observația spontană , ocazională presupune studierea unui fenomen care
apare pe neașteptate și care -l determină pe cercetător să -l urmărească
persistent și organizat. Acest tip de orservație poate conduce la lansarea unei
ipoteze ce se va putea verifica ulterior prin observație sistematică.
• observația sistematică se desfășoară organizat, respectând câteva condiții:
– o documentare teoretică referitoare la fenomenele observate și eventual lansarea
unei ipoteze de cercetare
– stabilirea etapelor de desfășurare a observației (loc, dura tă, comportamente
observate)
– stabilirea mijloacelor de înregistrare a datelor (grile de observație completate de
observator)
În funcție de locul de desfășurare se distinge observația de teren (naturală) și
observația de laborator . Observația de teren s e realizează în sala de clasă, în școală sau în
afara școlii, în mediul natural, iar observația de laborator este realizată de un cercetător
psihopedagogic într -un laborator psih opedagogic.
43
Potrivit unor autori ( Cucoș, 2009 , p. 764 ) o observare presupune parcurgerea
câtorva etape:
– stabilirea scopului observației, documentarea științifică și stabilirea ipotezei de
cercetare
– locul unde se desfășoară cercetarea (școala, sala de curs)
– durata observației (30 minute, o zi, o săptămână, un an școlar)
– selectarea fenomenelor educaționale ce urmează a fi observate
– cine este observatorul
– stabilirea grilei de observație cu indicatorii ce urmează a fi observați
– desfășurarea propriu -zisă a observației
Observația cere timp îndelungat de lucru, deoarece există riscul ca
fenomenul/procesul psihic observat să nu se manifeste suficient în situații variate, astfel
încât să permită degajarea unor concluzii semnificative cu o bază de fapte suficiente. Un
bun o bservator știe în ce fel de situații se manifestă mai frecvent ceea ce urmărește și se
axează pe observații ale unor astfel de situații.
Metoda observației are avantaje, dar și dezavantaje:
Avantaje:
– surprinde fenomenele psihopedago gice în ritmul și modul lor de natural de
manifestare
– Observarea se desfășoară asupra comportamentelor reale în clasă. Ea este utilă și
eficace în orice situație educațională
– Este utilă „în situația elevilor cu dificultăți de comunica re. Pentru unii dintre
aceștia evaluările scrise sunt chiar contraindicate
Dezavantaje:
– presupune mult timp
– este cea mai subiectivă, fapt ce face absolut necesară completarea datelor primite
cu ajutorul ei cu date obținute prin a lte metode
Metoda observației – a avut cea mai mare pondere în cercetare prin permanența ei
în timp și a constat în urmărirea zilnică a comportamentelor și rezultatelor școlare în
condiții noi de învățare și prin completarea periodică a unei grile de observație. Această
metodă m -a ajutat în analiza manifestărilor și comportame ntelor variate ale elevilor, în mod
44
sistematic și continuu, în scopul cunoașterii pertinente a acestora și a performanțelor
școlare obținute.
II.4.3 Testele de evaluare
Testul este o probă standardizată care asigură o obiectivitate mai mare în procesul de
evaluare. Ele sunt instrumente de cunoașterea individualității elevilor, pentru scopurile
principale ale acestei cunoașteri (individualizarea învățământului, asistența pedagogică
acordată elevului), dar și un mijloc de colectare a uno r informații ample despre fiecare elev.
Testul de evaluare reprezintă o probă bine definită, având marele avantaj al folosirii:
sistemul de raportare valoric este unic.
Evaluarea scrisă se realizează prin fișe de muncă independentă, lucrări de c ontrol, teze
etc. Elevii își prezintă cunoștințele lor în absența unui contact direct cu cadrul didactic.
Funcția principală a evaluării prin probe scrise în context didactic cotidian (nu în
situații de examen) este aceea de a da cadrului didactic informații în ceea ce privește
calitatea activității realizate și efectele acesteia exprimate în nivelul de cunoștințe al
elevilor. Ea arată situațiile în care unii elevi nu au dobândit capacitățile, subcapacitățile,
abilitățile etc. preconizate la un niv el corespunzător și, în consecință, este necesară punerea
în practică a unor măsuri recuperatorii.
Principalele mijloace de realizare a evaluărilor prin teste sunt:
• Teste de control curent. Acestea dețin 1-2 întrebări din lecție și au ca durată
maxim 15 -20 de minute. Lucrările de acest gen sunt importante deoarece oferă un
feed-back atât pentru elev cât și pentru cadrul didactic. Itemii pot presupune atât
reproducerea celor achiziționate precum și exerciții d e muncă independentă;
• „Examinările scurte de tip obiectiv”, care durează 5 minute: se oferă 4 -6 întrebări
la care elevii răspund în scris succesiv. Corectarea se poate face fie de către elevii
înșiși prin comparare cu un model care conține răspunsuri corec te, fie de cadrul
didactic, fie de colegi prin schimbarea lucrărilor;
• Testele de evaluare aplicate la finalul unui capitol. Acest tip de probe parcurge ,
prin itemii formulați , elementele esențiale, reprezentative ale capitolului respectiv.
45
Ele verifică și evaluează îndeplinirea tuturor obiectivelor de la sfârșitul unui capitol.
Are o funcție diagnostică.
• Lucrări scrise semestriale (teze). Acestea dețin o arie mai mare de conținuturi
decât cele realizate la sfârșit de capitol (temă, unitate de învățare). Au funcția
diagnostică și prognostică.
Avantaje ale testelor de evaluare scrise
• Acceptă raportarea rezultatelor la un criteriu unic de validare;
• Dă șansa elevului de a emite judecăți de valoare mult mai obiective, bazate pe
existența unor crieterii de evalua re clar precizate ;
• Oferă elevilor șansa de a -și elabora independent răspunsul, într -un ritm propriu;
• Scoate în evidență capacitatea de gândire a elevului ;
• Se pot examina un număr mai mare de elevi pe unitatea de timp;
• Facilitează compararea rezultatelor, d ată fiind identitatea temei pentru toți elevii;
• Le oferă elevilor timizi șansa de a -și transmite nestânjeniți rezultatele/ceea ce au
învățat;
• În funcție de conjunctură se poate asigura anonimatul lucrărilor, și ca urmare,
realizarea unei aprecieri mai puți n influențată de părerea pe care profesorul și -a
întocmit -o asupra elevului;
• Reduce stările tensionale, de stres, care pot avea o influență negativă asupra
performanței elevilor timizi sau cu anumite probleme emoționale;
• Îi induce elevului sentimentul că c eea ce a realizat s -a produs prin propriile forțe;
• Oferă șansa/ocazia de a reveni, de a corecta abaterile de care și -a dat seama mai
târziu;
• Timpul și spațiu poate fi administrat;
46
Dezavantaje ale testelor de evaluare scrise
• Dă un feed -back mai slab, uneori erori sau răspunsuri incomplete neputând fi
operativ eliminate/corectate prin intervenirea profesorului;
• Timpul în care se corectează și se validează rezultatele se realizează cu relativă
întârziere;
• Nu sunt permise revenirile, în cazul unor g reșeli nesesizate la timp;
• În comparație cu evaluările orale, verificarea prin probe scrise nu permite ca unele
omisiuni ale elevului în formularea răspunsurilor să fie lămurite și corectate pe loc
de către cadrul didactic;
• Ceea ce ține de logica discursul ui, stilul personal, competențe lingvistice ale
elevului ies mai pregnant în evidență (în bine sau în rău), influențând calificativul
final;
• În general, orice probă scrisă stabilește solid și clar activitatea autorului ei, în raport
cu sarcina dată, ceea c e duce după , la o responsabilizare a elevului dar și
sancționarea în consecință etc.;
• Nu este permisă ghidarea elevilor prin întrebări ajutătoare în elaborarea unui
răspuns corect și complet;
Prin aplicarea unor teste de evaluare am reușit să re alizez, într -o primă fază, o
evaluare inițială și una finală, folosind probe scrise. Prin această probă am putut constata
nivelul de pregătire al elevilor și capacitatea de a opera cu noțiunile acumulate anterior.
Rezultatele obținute prin aplicarea ac estor teste de evaluare au fost corelate cu
rezultatele obținute prin aplicarea celorlalte metode, precum și cu rezultatele oținute în
activitatea practică. Prelucrarea rezultatelor obținute, aplicând aceste metode de cercetare s –
a făcut prin metode statis tico-matematice: tabele analitice, reprezentări grafice, diagrame,
histograme.
47
II.4.4 Metoda experimentului psihopedagogic
Experimentul este o metodă de cercetare în care se urmărește crearea sau modificarea
unor factori determinanți pentru apariția sau manifestarea unui fenomen , în condițiile de
timp și spațiu alese de cercetător. (Cucoș, 2009, p. 749)
Aplicarea riguroasă a experimentului pedagogic presupune parcurgerea unor etape:
• stabilirea problemei de studiat
• formularea ipotezei de cercetare ;
• stabilirea variabilelor;
• controlul variabilelor;
• stabilirea planului experimental și a grupurilor experimentale.
În funcție de locul unde se desfășoară experimentul, acesta poate fi de laborator sau
natural. Experimentul d e laborator este realizat într -un mediu în care toți factorii sunt
controlați cu strictețe, pe când cel natural este efectuat în mediul obișnuit al subiecților.
Experimentul psihopedagogic în care subiecții sunt constituiți din clase de elevi este un
exper iment natural.
Într-un experiment psihopedagogic intervin două categorii de variabile: variabile
independente (schimbările introduse în vederea studierii efectelor produse de acestea) și
variabile dependente (rezultatele constatate în urma utilizării varia bilelor independente).
Dacă într -un experiment variabila independentă este metoda de predare a cadrului didactic
utilizată la lecție, variabila dependentă o constituie performanțele școlare ale elevilor.
În cadrul acestei cercetării, variabila independent ă este reprezentată de metodele de
rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, iar variabila dependentă este reprezentată de
performanțele elevilor de a utiliza aceste metode.
48
II.5 Etapele experimentului psihopedagogic
Cercetarea a avut loc pe parcursul a cinci săptămâni (februarie -martie) ale anului
școlar 201 9-2020 și a fost constituită din următoarele etape:
• Etapa preexperimentală – etapa în care se identifică nivelul inițial al variabilei
dependente, prin aplicarea un ei probe de cunoștințe la matematică. S -a desfășurat în
prima parte a semestrului I I, prin aplic area unui test de evaluare , scopul fiind acela
de a stabili punctul de plecare în desfășurarea experimentului. Știind că testul de
evaluare are un caracter con statativ, acesta reflectă volumul și calitatea
cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor elevilor, constituind un punct de pornire
în demersul formativ.
• Etapa experimentală este etapa în care se aplică metodele tradiționale și cele
moderne de evaluare în mai multe lecții experimentale. Etapa s -a desfășurat pe
parcursul a patru săptămâni din semestrul al doilea , prin utilizarea unor strategii
creative/metode active. Factorul de progres , respectiv utilizarea unor strategii
eficiente în activitatea de rezolvare de exerciții și probleme a fost introdus în acest
eșantion experimental.
• Etapa postexperimentală (finală ) este etapa de comparare a rezultatelor pentru a
stabili progresul / regresul elevilor. Etapa s -a desfășurat în ulti ma parte a lunii
martie 2020 , odată cu sfârșitul perioadei pentru clasa experiment.
• Etapa de retestare – Pe baza rezultatelor obținute am adoptat decizii adecvate de
organizare a unor activități diferențiate, atât cu elevii ce dovedesc un randament
crescut la învățătură, cât și cu elevii ce manifestă lacune.
49
II.5.1 Etapa preexperimentală
Etapa preexperimentală (constatativă) s -a desfăș urat la sfârșitul lunii februarie 2020 ,
prin aplicarea unui test de evaluare , reprezentând punctul de plecare în cercetarea didactică.
Testul de evaluare reflectă volumul și calitatea cunoștințelor, deprinderilor și
priceperilor elevilor de a rezolva ecuații de gradul I și probleme folosind ecuațiile sau
metodele aritmetice învățate în clasele mai mici . Acesta a fost aplicat ca test scris, elevii
rezolvând individual testul primit.
Prin aplicarea testului de evaluare compus din 6 itemi, am urmărit următoarele
competențe specifice :
2.2 Utilizarea valorilor unor func ții în rezolvarea unor ecua ții și a unor inecua ții
3.1 Alegerea formei de reprezentare a unui num ăr real și utilizarea de algoritmi pentru
optimizarea calculului cu numere reale
5.2 Determinarea solu țiilor unor ecua ții, inecua ții sau sisteme de ecua ții
6.1 Rezolvarea unor situa ții problem ă utilizând rapoarte de numere reale reprezentate prin
litere; interpretarea rezultatului
6.2 Identificarea unor probleme care se rezolv ă cu ajutorul ecua țiilor, inecua țiilor sau a
sistemelor de ecua ții, rezolvarea acestora și interpretarea rezultatului ob ținut
Clasa : a VIII -a
Disciplina : matematică
Obiective operaționale /itemi:
I.1 – verificarea condiției ca un număr real să fie soluție a unei ecuații
I.2.a – rezolvarea ecuației de gradul I
I.2.b,c – rezolvarea unor ecuații reductibile la ecuația de gradul I
I.3.a -determinarea unei soluții a ecuației de gradul I cu două necun oscute
I.3.b- determinarea unei perechi de numere reale care sa nu fie soluție pentru
ecuația de gradul I cu două necunoscute
I.4, I.5, I.6 – redactarea corectă și completă a rezolvării unei probleme cu ajutorul
ecuațiilor sau folosind metode aritmetice
50
Test de evaluare nr.1
Clasa a VIII -a
10p 1. Determina ți numărul real a, astfel încât -2 să fie soluție pentru ecuația:
5x+a = 3x+2
15p 2. Rezolvați în ℝ ecuațiile:
a) 7x-5 = 4 x+16
b) 3x+2(x+1) = 4( x+2)
c)
1 2 1
6 2 4xx+++=
20p 3. a) Scrieți o pereche de numere reale care este soluție pentru ecuația:
3x+y -2 = 0.
b) Scrieți o pereche de numere reale care NU este soluție pentru ecuația:
-2x+5y+2=0.
15p 4. Însumând jumătatea, sfertul și optimea unui număr se obține 224.
Aflați numărul.
15p 5. Două numere naturale au suma egală cu 38 și diferența egală cu 8.
Aflați numerele.
15p 6. Marțienii au 4 sau 6 antene. Într -o navă spațială am numărat 23 de marțieni și 100
de antene.
Câți marțieni cu 4 antene sunt în navă?
Notă:
• Timp de lucru 45 min.
• Se acorda 10 puncte din oficiu
• Toate subiectele sunt obligatorii.
Nota se obține împărțind punctajul final la 10.
51
Barem de evaluare și notare -Test 1
Tabel 1 Barem de corectare Test 1
Item Criterii de evaluare punctaj
I.1
10 p -înlocuiește pe x cu -2
-determină a =6 5 p
5 p
I.2
15p a)5p -rezolvă corect ecuația…….x= 7 5 p
b)5p -rezolvarea corectă a ecuației……… x= 6 5 p
c)5p -aducerea ecuației la o formă mai simplă
-rezolvarea corectă a ecuației……x= −11
8 3 p
2 p
I.3
20p a)10p -determină o soluție corectă a ecuației 10 p
b)10p -înlocuiește una dintre necunoscute cu un număr real –
– determină o pereche de numere reale care nu este soluție a
ecuației 5 p
5p
I.4
15 p -scrierea ecuației
-rezolvarea corectă a ecuației
-interpretarea rezultatului/finalizare (x = 256) 5 p
9p
1 p
I.5
15 p -scrierea ecuației/ecuațiilor
-rezolvarea corectă
-Interpretarea rezultatelor/finalizare ( x = 23, y = 15) 5 p
9 p
1 p
I.6
15 p -scrierea ecuației/ecuațiilor
-rezolvarea corectă
-Interpretarea rezultatelor/finalizare (19 marțieni cu 4 antene) 5 p
9 p
1 p
• Se acordă 10 puncte din oficiu
• Nota se calculează prin împărțirea punctajului final la 10
52
În urma aplicării testului 1 s-au obținut următoarele rezultate
Tabel 2 Rezultate Test 1
Nr.crt Numele și prenumele elevului Nota finală
1. A.A 7,00
2. B.I 5,00
3. C.I. 6,10
4. C.A 9,30
5. C.D. 7,80
6. C.D. 6,30
7. D.C. 5,00
8. D.G. 3,80
9. F.D. 7,50
10. F.A. 8,10
11. H.R. 5,30
12. H.A. 5,00
13. I.A. 4,00
14. M.A. 5,80
15. M.Ș. 8,50
16. M.M. 4,50
17. M.A. 4,00
18. O.A. 7,40
19. P.A. 7,70
20. P.M. 9,70
21. R.M. 4,00
22. R.R. 5,50
23. S.J. 7,50
24. T.A. 6,20
25. T.A 5,00
MEDIA 6,19
53
Matricea de evaluare pentru testul 1:
Tabel 3 Matricea de evaluare Test 1
Nr. Numele
elevului
I.1
10p I.2 I.3
I.4
15p
I.5
15p
I.6
15p
Oficiu
10p
Punctaj
final a
5p b
5p c
5p a
10p b
10p
1. A.A 10 5 5 5 10 10 10 5 – 10 70
2. B.I 10 5 5 5 7 5 2 1 – 10 50
3. C.I. 10 5 5 5 10 10 5 1 – 10 61
4. C.A 10 5 5 5 10 10 15 13 10 10 93
5. C.D. 10 5 5 5 10 10 12 10 1 10 78
6. C.D. 10 5 5 5 10 10 5 2 1 10 63
7. D.C. 10 5 5 5 10 5 – – – 10 50
8. D.G. 10 3 5 – 10 – – – – 10 38
9. F.D. 10 5 5 5 10 10 15 5 – 10 75
10. F.A. 10 5 5 5 10 10 15 10 1 10 81
11. H.R. 10 5 5 5 10 8 – – – 10 53
12. H.A. 10 5 5 5 10 5 – – – 10 50
13. I.A. 10 5 5 5 5 – – – – 10 40
14. M.A. 10 5 5 5 10 5 5 2 1 10 58
15. M.Ș. 10 – 5 5 10 10 15 10 10 10 85
16. M.M. 10 5 5 – 10 5 – – – 10 45
17. M.A. 10 5 5 – 5 5 – – – 10 40
18. O.A. 10 5 5 5 10 10 12 5 2 10 74
19. P.A. 10 5 5 5 10 10 15 5 2 10 77
20. P.M. 10 5 5 5 10 10 15 15 12 10 97
21. R.M. 10 5 5 – 5 5 – – – 10 40
22. R.R. 10 5 5 – 10 10 – – – 10 50
23. S.J. 10 5 5 5 10 10 15 5 – 10 75
24. T.A. 10 5 5 5 10 10 5 2 – 10 62
25. T.A 10 5 5 – 10 10 – – – 10 50
Procent (%) 100 96 100 76 92 77 42 24 11 100 61,9
54
În urma aplicării testului de evaluare am constatat următoarele aspect pozitive și
negative:
Aspecte pozitive :
• Elevii și -au însușit noțiunile de ecuație, respectiv soluție a ecuației
• Elevii stăpânesc algoritmul rezolvării ecuațiilor de gradul I
• Majoritatea elevilor rezolvă corect ecuațiile reductibile la ecuația de gradul I
• Recunosc ecuația de gradul întâi cu două necunoscute
• Cunosc etapele rezolvării problemelor cu ajutorul ecuațiilor
• Majoritatea elevilor au rezolvat corect primii trei itemi
Aspec te negative:
• Unii elevii găsesc o soluție a ecuației de gradul I cu două necunoscute, dar
întâmpină dificultăți în găsirea unei perechi de numere reale care NU este soluție
• Nu citesc cu atenție enunțurile problemelor
• Există elevi care nu sunt atenți la ord inea efectuării operațiilor
• Unii încă întâmpină dificultăți în reprezentarea fracțiilor (jumătate, sfert, optime)
• Majoritatea întâmpină dificultăți în rezolvarea problemelor cu mai mult de o
necunoscută
• Ritmul de lucru al unor elevi este mediu
• Unii elevi c er indicații
Scopul principal al aplicării acestui test de evaluare a fost acela de a observa dacă
elevii rezolvă itemii 5, respectiv 6, folosind metode aritmetice sau ecuații.
Majoritatea elevilor au încercat să rezolve itemii respectivi folosind ecuații, însă
întâmpină dificultăți în cazul în care in problem ă apar mai multe necunoscute/ecuații.
Trei dintre elevi au încercat să rezolve problema 6 folosind metoda falsei ipoteze,
însă doar un elev a reușit să o rezolve complet și co rect.
55
II.5.2. Etapa experimentală
În urma constatărilor din etapa preexperimentală, în următoarea etapă, urmăresc
însușirea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații formate din două ecuații liniare
cu două necunoscute și rezolvarea unor probleme folosind sistemele de ecuații, astfel
încât, problemele care se rezolvau prin metode aritmetice să fie rezolvate mai rapid și
mai ”ușor” .
Pe parcursul a patru săptămâni (februarie -martie 2020), utilizând diverse strategii,
am urmărit dezvoltarea la elevi a gândirii logice, creativității, creșterea motivației și
apropierea elevilor de matematică.
În predarea -învățarea sistemelor de două ecuații cu două necunoscute am folosit
metoda ”Știu/Vreau să știu/Am învățat” . Luc rând în perechi , elevii au completat
următorul tabel:
Tabel 4 Metoda”Știu/Vreau să știu/Am învățat”
ȘTIU
VREAU SĂ ȘTIU
AM ÎNVĂȚAT
-care este forma generală a
ecuației de gradul I cu două
necunoscute
-să găsesc o soluție a
ecuației
-să găsesc o pereche de
numere reale care să nu fie
soluție
-care sunt coeficienții
necunoscutelor
-ce este un sistem de
ecuații
-cum se rezolvă un
sistem de două ecuații cu
două necunoscute
-ce este un sistem de două
ecuații cu două necunoscute
-care sunt necunoscutele
-care sunt coeficienții
necunoscutelor
-care sunt termenii liberi
-ce este soluția unui sistem de
ecuații
-cum se rezolvă un sistem de
ecuații
-cum se scrie soluția sistemului
56
Am utilizat TIC în predarea metodei reducerii de rezolvare a sistemelor de ecuații ,
precum și în lecția de recapitulare. Astfel, utilizând calculatorul si video -proiectorul elevii
au rezolvat exercițiile interactive din manualele digitale. Aceste aplicații interactive sunt
foarte des utilizare pentru captarea atenției elevilor.
(manual digital clasa a VII -a, Ed. Sigma, p . 143)
(manual digital clasa a VII -a, Ed. Litera, p. 83)
57
În lecția de recapitulare și consolidare a cunoștințelor am folosit metoda ciorchinelui
și metoda” Turul galeriei”. Elevii au realizat un ciorchine, pornind de la cuvintele cheie
” Sistem e de ecuați i”
SISTEME
DE
ECUAȚII
Sisteme de două
ecuații cu două
necunoscute
soluția unui
sistem
metode de
rezolvare coeficienții
sistemului necunoscutele
sistemului
metoda
reducerii metoda
substituției
58
Am observat că elevii s -au implicat și au depus efort pentru realiza rea cu succes a
sarcinilor care se cer . Au colaborat cu ceilalți colegi atunci când au întâmpinat dificultăți.
Am urmărit în permanență activizarea elevilor .
Prin observarea sistematică a comportamentului elevului am urmărit să obțin date
relevante privind nivelul formării deprinderilor, priceperilor, capacităților elevilor, a
capacitățile de relaționare profesor -elev, elev -elev, competențele și abilitățile acestora,
precum și atitudinea elevilor față de învăț are. Pentru ca informațiile adunate să dețină un
grad de autencitate și obiectivitate, am respectat condițiile unei bune observații, am folosit
reperele de control și am interpretat sistemati c datele obținute .
Astfel, am realizat fișe de observare curentă, pentru toți elevii clasei, fiind incluse în
portofoliile personale.
59
Fișă de observare curentă
Numele elevului:……….
Clasa a VIIIa
Data și locul observării: februarie -marti e 2020, Șc. Gimn. Crăciunelu de Jos
Tabel 5 Fișă de observare
Indicatori observaționali Interpretare psih opedagogică
• Recunoaște ecuațiile de gradul I cu o
necunoscută, respectiv, cu două
necunoscute
• Rezolvă ecuația de gradul I cu o
necunoscută
• Găsește soluții ale ecuației de gradul I
cu două necunoscute
• Rezolvă sisteme de ecuații prin metoda
substituției
• Rezolvă sisteme de ecuații prin metoda
reducerii
• Rezolv ă probleme folosind sistem ele de
ecuații
• Compune probleme folosind
ecuații/sisteme date
60
La sfârșitul celor patru săptămâni în care am utilizat diferite metode pentru însușirea
metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații formate din două ecuații cu două
necunoscute și folosirea acestora în rezolvarea problemelor, am aplicat testul 2 de eva luare.
Prin aplicarea acestui test de evaluare compus din 5 itemi, am urmărit următoarele
competențe specifice :
2.2 Utilizarea valorilor unor func ții în rezolvarea unor ecua ții și a unor inecua ții
3.1 Alegerea formei de reprezentare a unui num ăr real și utilizarea de algoritmi pentru
optimizarea calculului cu numere reale
5.2 Determinarea solu țiilor unor ecua ții, inecua ții sau sisteme de ecua ții
6.1 Rezolvarea unor situa ții problem ă utilizând rapoarte de numere reale reprezentate prin
litere; interpretarea rezultatului
6.2 Identificarea unor probleme care se rezolv ă cu ajutorul ecua țiilor, inecua țiilor sau a
sistemelor de ecua ții, rezolvarea acestora și interpretarea rezultatului ob ținut
6.3 Transpunerea unei situa ții problem ă în limbajul ecua țiilor și/sau al inecua țiilor,
rezolvarea problemei ob ținute și interpretarea rezultatului
Clasa : a VIII -a
Disciplina : matematică
Obiective operaționale /itemi:
I.1.a,b – verificarea soluției unui sistem de ecuații
I.2 – rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda substituției
I.3 – aducerea unui sistem de ecuații la o formă mai simplă
– rezolvarea unui sistem de ecuații printr -o metodă la alegere
I.4, I.5 – redactarea corectă și completă a rezolvării unei probleme cu ajutorul sistemelor
de ecuații
61
Test de evaluare nr.2
Clasa a VIIIa
(20p) 1. Fie sistemului (S1)
−=+−=−
2 1633 3
y xy x .
a) Verificați dacă perechea ( -1,2) este soluție a sistemului (S1)
b) Determinați numărul real a, astfel încât perechea (6, a) să fie soluție a
sistemului (S1).
(20p) 2. Rezolvați prin metoda substituției sistemul (S2)
2
2 3 4xy
xy−=
+=
(20p) 3. Rezolvați sistemul de ecuații (S3)
2 2 5
3 2 6
1 3 3
2 5 10xy
xy+−+=−+− =−
(15p) 4 . Trei cărți de literatură și două de matematică costă 130 lei, iar patru cărți de
literatură și una de matematică costă 140 lei.
Aflați cât costă două cărți de literatură și trei de matematică.
(15p) 5. Marțienii au 4 sau 6 antene. Într -o navă spațială am numărat 2 3 de marțieni și
100 de antene.
Câți marțieni cu 4 antene sunt în navă?
Notă:
• Timp de lucru 45 min.
• Se acorda 10 puncte din oficiu
• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Nota se calculează împărțind punctajul final la 10.
62
Barem de evaluare și notare -Test 2
Tabel 6 Barem de corectare Test 2
Item Criterii de evaluare punctaj
I.1
20p a)10p -Verificarea condiției … ( -1,2) nu este soluție 10p
b)10p -Determinarea numărului real a=1 10p
I.2
20p -folosirea metodei substituției
-rezolvarea corectă=soluția (2;0) 10p
10p
I.3
20p -aducerea ecuațiilor la o formă mai simplă
-rezolvarea corectă =soluția (2;1) 10p
10p
I.4
15p -scrierea ecuațiilor
-rezolvarea corectă: 30 lei carte de literatură
20 lei carte de matematică
-finalizare 2· lit+3·mate=120 5p
10p
I.5
15p -scrierea ecuațiilor
-rezolvarea corectă
-finalizare: 19 marțieni cu 4 antene 5p
8p
2p
oficiu 10p
• Nota se calculează prin împărțirea punctajului la 10
63
În urma aplicării testului 2 s-au obținut următoarele rezultate
Tabel 7 Rezultate Test 2
Nr.crt Numele și prenumele elevului Nota finală
1. A.A 8,50
2. B.I 5,50
3. C.I. 6,00
4. C.A 10
5. C.D. 9,20
6. C.D. 6,30
7. D.C. 5,00
8. D.G. 4,50
9. F.D. 8,60
10. F.A. 8,50
11. H.R. 5,30
12. H.A. 5,00
13. I.A. 4,30
14. M.A. 6,70
15. M.Ș. 9,20
16. M.M. 5,00
17. M.A. 5,30
18. O.A. 8,20
19. P.A. 8,30
20. P.M. 10
21. R.M. 4,50
22. R.R. 6,00
23. S.J. 8,90
24. T.A. 7,00
25. T.A 5,50
MEDIA 6,85
64
Matricea de evaluare pentru testul 2:
Tabel 8 Matricea de evaluare Test 2
Nr. Numele
elevului I.1 I.2 I.3
20p
I.4
15p
I.5
15p
Oficiu
10p
Punctaj
final a
10p b
10p 20p
1. A.A 10 10 20 10 10 15 10 85
2. B.I 10 5 13 5 10 2 10 55
3. C.I. 10 10 20 – 5 5 10 60
4. C.A 10 10 20 20 15 15 10 100
5. C.D. 10 10 20 20 12 10 10 92
6. C.D. 10 10 20 5 5 3 10 63
7. D.C. 10 10 10 5 2 3 10 50
8. D.G. 10 10 15 – – – 10 45
9. F.D. 10 10 20 15 12 9 10 86
10. F.A. 10 10 20 10 15 11* 10 85
11. H.R. 10 10 10 8 4 1 10 53
12. H.A. 10 10 10 6 2 2 10 50
13. I.A. 10 10 10 1 1 1 10 43
14. M.A. 10 10 20 10 5 2 10 67
15. M.Ș. 10 10 20 12 15 15* 10 92
16. M.M. 10 10 15 2 2 1 10 50
17. M.A. 10 10 20 3 – – 10 53
18. O.A. 10 10 20 10 12 10 10 82
19. P.A. 10 10 20 10 15 8 10 83
20. P.M. 10 10 20 10 15 15 10 100
21. R.M. 10 10 10 5 – – 10 45
22. R.R. 10 10 20 5 3 2 10 60
23. S.J. 10 10 20 12 15 12 10 89
24. T.A. 10 10 20 10 5 5 10 70
25. T.A 10 10 20 5 – – 10 55
Procent (%) 100 98 86 39 48 39 100 68,5
65
În urma aplicării testului de evaluare am constatat următoarele:
Aspecte pozitive:
• Elevii și -au însușit noțiunile de sistem de ecuație, respectiv soluție a sistemului
• Elevii recunosc necunoscutele sistemului, coeficienții și termenii liberi ai sistemului
• Majoritatea elevilor știu să verifice dacă o pereche de numere reale este soluție a
sistemului
• Cunosc metodele de rezolvare a sistemelor de două ecuații cu două necunoscute
• Majoritatea elevilor au rezolvat corect primii doi itemi
Aspect e negative:
• Nu cites c cu atenție enunțurile problemelor .
• Există elevi care nu sunt atenți la ordinea efectuării operațiilor .
• Ritmul de lucru al unor elevi este mediu
• Unii elevi încearcă să rezolve problemele folosind metode aritmetice
Scopul testului 2 este acela de a observa dacă elevii și -au însușit metodele de
rezolvare a sistemelor de două ecuații cu două necunoscute. Am constatat că majoritatea
elevilor și -au însușit aceste metode. În cazul în care se cere rezolvarea unui sistem printr -o
metodă la alegere, majorita tea elevi lor preferă metoda reducerii.
De asemenea, itemii 4 și respectiv 5, au fost rezolvați utilizând sisteme de ecuații în
locul metodelor aritmetice.
.
66
II.5.3 Etapa postexperimentală
Etapa postexperimentală reprezintă etapa de comparare a rezultatelor pentru a stabili
progresul / regresul elevilor. Etapa s -a desfășurat în ultima parte a lunii martie 2020 .
S-a urmărit evoluția elevilor pe parcursul celor patru săptămâni , atât sub ra portul
cunoștințelor, deprinderilor formate, cât și al capacităților de aplicare a cunoștințelor
însușite și al dezvoltării capacităților cognitive. Rezultatele obținute la testele aplicate, atât
în etapa preexperimentală cât și în cea postexperimentală , sunt înregistrate în tabele
centralizatoare analitice și sintetice, care au permis pentru începutul investigației depistarea
unor lacune .
În primul rând, am analizat rezultatele fiecărui elev la cele două teste pentru a stabili
progresul/regresul fiecăruia .
Am comparat media clasei obținută la primul test cu media obținută în urma aplicării
celui de -al doilea test.
În această etapă am urmărit și dacă există diferențe de gen în ceea ce privește
rezultatele obținute de elevi.
În urma comparării rezultatelor obținute la cele două teste am constatat următoarele:
– la 20 de elevi am constatat un progres;
– 5 elevi au obținut la testul 2 cu 1 punct (chiar și 1,5p) mai mult decât la primul
test
– 3 elevi au reușit un ușor progres (sub 0,5 p)
– 4 elevi au obținut aceeași notă la ambele teste
– 1 elev a înregistrat un ușor regres, de la 6,10 la 6,00
– 2 elevi au reușit să treacă de la nota 4 la nota 5
67
Tabel 9 Rezultatele elevilor la cele două teste
nr.crt Numele elevului Nota la testul 1 Nota la testul 2 Progres/regres
1. A.A 7,00 8,50 P
2. B.I 5,00 5,50 P
3. C.I. 6,10 6,00 –
4. C.A 9,30 10 P
5. C.D. 7,80 9,20 P
6. C.D. 6,30 6,30 –
7. D.C. 5,00 5,00 –
8. D.G. 3,80 4,50 P
9. F.D. 7,50 8,60 P
10. F.A. 8,10 8,50 P
11. H.R. 5,30 5,30 –
12. H.A. 5,00 5,00 –
13. I.A. 4,00 4,30 P
14. M.A. 5,80 6,70 P
15. M.Ș. 8,50 9,20 P
16. M.M. 4,50 5,00 P
17. M.A. 4,00 5,30 P
18. O.A. 7,40 8,20 P
19. P.A. 7,70 8,30 P
20. P.M. 9,70 10 P
21. R.M. 4,00 4,50 P
22. R.R. 5,50 6,00 P
23. S.J. 7,50 8,90 P
24. T.A. 6,20 7,00 P
25. T.A 5,00 5,50 P
Ca urmare a diferențelor dintre notele de la primul test și cele de la al doilea test,
media clasei s -a modificat de la 6,19 la 6,85. Astfel, se constată un ușor progres, având în
vedere și perioada scurtă d intre cele două testări .
În ceea ce privește diferențele de gen, există diferențe în tre performanța elevilor la
testele de evaluare, elevii de gen feminin înregistrând rezultate superioare rezultatelor
obținute de cei de gen masculin. Am constatat că din cei 5 elevi care au obținut la tes tul 2
un punctaj mai mare de 1 punct, 4 sunt fete.
68
II.5.4 Etapa de retestare
Pe baza rezultatelor obținute , în ultima săptămână a cercetări i am adoptat strategii
adecvate de organizare a unor activități diferențiate, atât cu elevii ce dovedesc un
randament crescut la învățătură, cât și cu elevii ce manifestă lacune.
Dintre activitățile diferențiate, amintesc:
• Suport de curs care să valorifice stilurile de învățare ale elevilor ( diagrame, planșe,
aplicațiile interactive din manualele digitale)
• Diferențierea tipurilor de sarcini și/sau a timpului alocat
• Diferențierea experiențelor de învățare ale elevilor
• Diferențierea temelor pentru acasă
• Utilizarea autoevaluării și consemnarea progreselor
În cadrul activității diferențiate am împărțit elevii pe grupe de nivel, astfel:
• Grupa 1, format ă din elevii care au obținut note mai mici decât 6 (10 elevi)
• Grupa 2, formată din elevii care au obținut la testul 2 note între 6 și 8 (5 elevi)
• Grupa 3, formată din elevii care au obținut note între 8 și 10 (10 elevi)
Fiecare elev a primit câte o fișă, conținând câte un sistem de ecuații cu grad de
complexitate diferit :
– Grupa 1 – sistem de două ecuații cu două necunoscute, care să fie rezolvat
printr -o metodă la alegere
– Grupa 2 – sistem de două ecuații cu două necunoscute, care mai întâi necesită să
fie aduse la o formă mai simplă și apoi să fie rezolvat printr -o metodă la alegere
– Grupa 3 – sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute
Timpul de lucru a fost de 20 minute.
La sfârșitul activității am verificat corectitudinea rezolvărilor, apoi am rugat câte un
elev să -și prezinte propria rezolvare.
În urma corectării rezolvărilor și a observării elevilor, am constatat următoarele:
Grupa 1 (10 elevi)
– 7 elevi au rezolvat complet și corect sistemul de ecuații
– 3 elevi au rezolvat parțial sistemul de ecuații
– 9 elevi au folosit metoda reducerii
69
– 1 elev au folosit metoda substituției
Grupa 2 (5 elevi)
– 3 elevi au rezolvat complet și corect sistemul de ecuații
– 2 elevi au rezolvat parțial sistemul de ecuații, deoarece au greșit la calcule
– toți elevii au folosit metoda reducerii
Grupa 3 (10 elevi)
– 4 elevi au rezolvat complet și corect sistemul de ecuații
– 4 elevi au rezolvat sistemul în proporție de 75%
– 2 elevi au rezolvat sistemul în proporție de 50%
– toți elevii au folosit metoda substituției
Din discuțiile cu elevii, a reieșit faptu l că majoritatea preferă metoda reducerii
deoarece ”este mai rapidă”.
Astfel, metoda reducerii a fost utilizată de 14 elevi (56%), iar metoda substituției a
fost utilizată de 11 elevi (44%) .
70
II.6 Analiza și interpretarea rezultatelor cercetării experimentale
În urma aplicării testelor de evaluare s -au obținut următoarele rezultate:
Testul 1:
Tabel 10 Rezultate pe tranșe de note -Test 1
Nota 1 – 4,99 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 10
Număr de elevi 5 elevi 7 elevi 3 elevi 6 elevi 2 elev 2 elevi
Procent obținut 20% 28% 12% 24% 8% 8%
Media rezultatelor eșantionului de subiecți la testul 1 este 6,19 .
Testul 2:
Tabel 1 1 Rezultate pe tranșe de note -Test 2
Nota 1 – 4,99 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 10
Număr de elevi 3 elevi 7 elevi 4 elevi 1 elev 6 elevi 4 elevi
Procent obținut 12% 28% 16% 4% 24% 16%
Media rezultatelor la testul 2 este 6,85.
Folosind mediile obținute la cele două teste se poate calcula indicele de progres :
6,85-6,19=0,66
Se observă că s -a înregistrat un ușor progres, deși perioada de testare a fost de doar patru
săptămâni.
În diagramele următoare sunt reprezentate procentele obținute, pe tranșe de note, la
ambele teste de evaluare.
71
Figură 2 Rezultate(%) pe tranșe de note test 1
Figura 3 Rezultat e (%)pe tranșe de note test 2
1-4,99
20%
5-5,99
28%
6-6,99
12%7-7,99
24%8-8,99
8%9-10,00
8%Procente pe tranșe de note Test 1
1-4,99
5-5,99
6-6,99
7-7,99
8-8,99
9-10,00
1-4,99
12%
5-5,99
28%
6-6,99
16%7-7,99
4%8-8,99
24%9-10,00
16%Procente pe tranșe de note Test 2
1-4,99
5-5,99
6-6,99
7-7,99
8-8,99
9-10,00
72
Observații:
– a scăzut procentul notelor sub 5, de la 20% la 12 %
– se menține procentul notelor între 5 și 6 , la 28%
– se constată o ușoară creștere a procentului notelor între 6 -7, de la 12% la 16%
– a scăzut procentul notelor cuprinse între 7 și 8, de la 24% la 4%
– a crescut procentul notelor între 8 -9, de la 8% la 24%
– s-a dublat procentul notelor între 9 -10, de la 8% la 16%
Rezultatele pe tranșe de note sunt redate în histograma următoare:
Figura 4 Rezultate pe tranșe de note la ambele teste
Am comparat rezultatele elevilor pe gen și am constat că:
– Din 16 fete, 15 au înregistrat progres, ceea ce reprezintă 93% din fete
– Din 9 băieți, 5 au înregistrat progres, adică 55% din numărul lor.
012345678
1-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-10,00Rezultatele pe tranșe de note la cele două teste
test 1 test 2
73
Histograma următoare reprezintă diferențele de gen cu privire la rezultatele obținute.
Figura 5 Diferențele de gen
În ceea ce privește diferențele de gen, există diferențe în tre performanța elevilor la
cele două teste de evaluare, elevii de gen feminin înregistrând rezultate superioare
rezultatelor obținute de cei de gen masculin. Am constatat că din cei 5 elevi care au obținut
la testul 2 un punctaj mai mare de 1 punct, 4 sunt fete.
De asemenea, am mai constatat că:
– a rămas constant procentul de rezolvare a itemilor 1 și 2 (fiind foarte
asemăn ători) din cele două teste.
– a crescut procentul de rezolvare a itemilor 4 și 5 din testul 2, care sunt
asemănători cu itemii 5 și 6 din testul 1,astfel: de la 24% și , respectiv, 11%, la
48% și, respectiv, 39%
Prin aplicarea celor două teste am urmărit și trecerea de la rezolvarea unor probleme
cu conținut practic prin metode aritmetice, la rezolvarea lor folosind sisteme de ecuații.
Astfel, ambele teste conțin ultimul item identic. Itemul constă în rezolvarea problemei
următoare:
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%
progres regres/constant
masculin feminin
74
Marțienii au 4 sau 6 antene. Într -o navă spațială am numărat 23 de marțieni și
100 de antene. Câți marțieni cu 4 antene sunt în navă?
Analizând rezultatele elevilor am constatat că la primul test, trei elevi au încercat să
rezolve problema folosind metoda falsei ipoteze, însă unul singur a reușit să rezolve
complet. Lucrul acesta se datorează faptului că metodele aritmetice studiate în c lasele mai
mici au fost ”uitate”.
La testul 2, această problemă a fost rezolvată complet de 8 elevi și parțial de 6 elevi.
Dintre elevii care au rezolvat complet și corect problema, 6 elevi au folosit în rezolvare
sistemul de ecuații și 2 elevi au rezolvat prin metode aritmetice.
În figura următoare este prezentat procentul de rezolvare al aceleeași probleme la cele
două teste.
Figura 6 Procentul de rezolvare al aceleeași probleme
Din analiza datelor prezentate se poate cons tata faptul că, rezultatele elevilor sunt
diferite de cele de la începutul cercetării, rezultate mai semnificative regăsindu -se în
testul 2 .
Acest lucru se datorează faptului că elevii și -au însușit metodele de rezolvare a
sistemelor formate di n două ecuații liniare cu două necunoscute, precum și algoritmul de
rezolvare a l problemelor cu ajutorul ecuațiilor.
Un aspect pe care l -am lăsat intenționat pentru finalul acestei analize este impactul pe
care l -au avut aceste metode de rezolva re a sistemelor de ecuații asupra atitudinii elevilor.
Dacă substituția s -a mai folosit în rezolvarea unor probleme, metoda reducerii este utilizată
0%5%10%15%20%25%30%35%
problema rezolvată
Test 1
Test 2
75
de către cei mai mulți elevi, deoarece, spun ei,” este mai rapidă”.
Preferințele pentru metodele de r ezolvare a sistemelor de două ecuații cu două
necunoscute sunt redate în diagrama următoare.
Figura 7 Preferințele pentru metodele de rezolvare
Analizând produsele activității elevilor , am putut constata o creștere semnificativă
și totodată calitativă a rezultatelor obținute.
Odată cu folosirea metodelor moderne de evaluare, elevii și -au îndreptat atenția
mult mai mult spre sarcinile de lucru.
metoda
reducerii
56%metoda
substituției
44%
metoda reducerii
metoda substituției
76
CONCLUZII
Abordarea matematică a diferitelor situații cotidiene solicită un tip de gândire
deschisă și creativă, precum și un spirit de observație dezvoltat, matematica fiind modelul
perfect pentru exersarea și implementarea gândirii critice la elevi. Predarea matematicii în
gimnaziu are ca scop formarea unor competențe legate de folosirea calculelor, algoritmilor
sau a raționamentelor matematice , precum și utilizarea terminologiei specifice acestei
discipline.
Este important ca elevii să -și însușească metodele de rezolvare a sistemelor de
ecuații liniare , deoarece acestea sunt asociate cu multe probleme din diferite domenii
precum științe, inginerie, probleme de afaceri și economice.
În realizarea studiului am avut ca scop identificarea relației dintre metodele de
rezolvare a sistemelor de ecuații liniare și performanțele elevilor în ceea ce privește
rezolvarea unor probleme cu caracter practic.
Cercetarea s -a desfășurat pe parcusul a cinci săptămâni (februarie -martie), ale anului
școlar 2019 -2020, pe un eșantion format din cei 25 de elevi ai clasei a VIII -a, de la Școala
Gimnazială Crăciunelu de Jos. Performanțele elevilor au fost înregistrate prin notele pe care
aceștia le -au obțin ut la testele de evaluare , dar și printr -o grilă de observație a atitudinii lor față
de metodele învățate.
Prin această lucrare am dorit să evidențiez faptul că metodele de rezolvare a
sistemelor de ecuații liniare îi atrage pe elevi, determinându -i să muncească cu seriozitate,
îi fac mai receptivi și astfel, competențele pe care le dobândesc sunt durabile și pot fi
aplicate în diverse situații.
După prezentarea și interpretarea rezultatelor se poate aprecia faptul că ipoteza de
lucru și scopul cercetării întreprinse se confirmă. Datele obținute la cel de -al doilea test au
pus în evidență fapt ul că elevii au obținut rezultate mai bune ca urmare a utilizării
metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații în rezolvarea unor probleme cu conținut
practic. Din discuțiile cu elevii a reieșit că problemele cu caracter practic, pe care le
rezolvau prin metode aritmetice sunt mai ușor de rezolvat dacă și -au însușit sistemele de
ecuații liniare și metodele de rezolvare ale acestora.
77
De asemenea, îmbinarea metodelor de predare tradiționale cu cele moderne au
determinat o mai bună colaborare într e elevi, au devenit dornici să se ajute între ei
formându -și totodată un spirit de echipă.
Utilizarea metodelor de colaborare a determinat la elevi mai multă spontaneitate, au
avut curaj să se exprime și să pună diverse întrebări, au învățat că lucrul în echipă dă
rezultate și satisfacții mai mari decât munca individuală.
Analizând și comparând rezultatele elevilor, am constatat o evoluție semnificativă în
ceea ce privește randamentul școlar, dar și atitudinea elevilor.
Sintetizând datele prezentate în această cercetare am constatat următoarele:
• utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare asigură creșterea
eficienței învățării și dezvoltă motivația elevilor
• prin îmbinarea metodelor tradițio nale de predare cu cele moderne se pot evidenția
trăsături de personalitate
• munca în echipă are efecte benefice, atât în planul învățării cât și pe plan
psihosocial
• de-a lungul cercetării, elevii au dobândit o atitudine pozitivă față de activitățile de
învățare
Consider că foarte importantă rămâne activitatea creativă a profesorului care, prin
experiența sa și prin corelarea permanentă cu fiecare subiect al clasei, va perfecționa
continuu actul didactic al predării matematicii .
Pentru a obține rezultate bune în munca de instruire și de educare este necesară o
pregătire psihopedagogică continuă, perseverență și mult discernământ în tot ceea ce
facem, pentru a constitui modele de urmat pentru elevii noștri, pentru că niciun profeso r nu
poate vorbi despre succesele muncii profesionale făcând abstracție de rezultatele muncii
elevilor săi.
78
Mini -culegere de probleme
1. Patru metri de mătase și trei metri de stofă costă 125 de lei, iar trei metri de mătase și
cinci metri de stofă costă 135 de lei.
Aflați cât costă un metru din fiecare material.
2. 8 bile mari și 4 bile mici cântăresc 52 de grame, iar 2 bile mari și 8 bile mici cântăresc
34 de grame.
Aflați cât cântărește fiecare bilă.
3. 17 saci cu făină și 12 saci cu zahăr cântăresc 665 de kilograme, iar 21 de saci de făină și
6 saci de zahăr cântăresc 645 de kilograme. Aflați cât cântărește un sac de făină și cât
cântărește un sac de zahăr.
4. Suma dintre dublul unui număr și triplul altui număr este egală cu 211. Aflați numele
știind că suma dintre primul număr multiplicat de cinci ori și al doilea număr
multiplicat de șase ori este egală cu 457.
5. Trei păpuși și cinci mașinuțe costă 300 de lei, iar o păpușă și o mașinuță costă 70 de lei.
Aflați cât cos tă o păpușă și cât costă o mașinuță.
6. Un test conține 25 de întrebări. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 8 puncte, iar
pentru un răspuns greșit se scad 5 puncte. Un elev a răspuns la toate întrebările și a
obținut 109 puncte.
Câte răspunsuri c orecte și câte răspunsuri greșite a dat?
7. Un zidar se angajează să facă o lucrare . Pentru fiecare zi lucrată primește 25 de lei, iar
pentru fiecare zi în care lipsește va plăti 30 de lei. După 30 de zile a constatat că nu a
câștigat nimic, dar nici nu este dator.
Câte zile a lucrat zidarul?
8. La o cabană s -au cazat 200 de turiști în 64 de camere, unele cu 2 paturi, altele cu 5
paturi.
Câte camere de fiecare fel sunt?
9. Cu 124 de lei se pot cumpăra 30 de bilete cu 3 lei și respectiv cu 5 lei. Câte bilete de
fiecare fel se pot cumpăra?
79
10. Pe o distanță de 155 de metri s -au instalat 25 de conducte de ap ă, unele cu lungimea de
5 m, altele cu lungimea de 8 m.
Câte conduc te de fiecare fel s -au instalat?
11. Bunica are în curtea sa găini și iepuri. Știind că în total sunt 37 de capete și 98 de
picioare, aflați numărul găinilor și numărul iepurilor din curtea bunicii.
12. La festivitatea de premiere a elevilor unei școli participă ș i părinții acestora. Dacă se
așează câte 4 părinți pe o bancă, 18 rămân în picioare, iar dacă se așează câte 5 pe o
bancă, rămân 4 bănci libere.
Câte bănci și câți părinți sunt în sală?
13. Să se afle două numere naturale știind că suma lor este egală cu 70, iar dacă împărțim
unul dintre ele la celălalt se obține câtul 4 și restul 5.
14. Andrei a cumpărat 4 înghețate și 6 sticle de suc și a plătit 47 de lei, iar Alin a cumpărat
4 înghețate și 8 sucuri, plătind 56 de lei. Cât costă o înghețată și cât costă un suc?
15. Trei pixuri și cinci caiete costă 21 de lei, iar cinci pixuri și un caiet costă 13 lei.
Cât costă un pix și cât costă un caiet?
16. Elevii unei clase au plantat pomi. Dacă fiecare elev ar planta câte un pom, atunci s -ar
planta cu 25 de pomi mai puțin decât era planificat. Dacă fiecare elev ar planta câte 2
pomi, atunci 4 elevi nu ar avea pomi de plantat.
Câți elevi sunt în clasă și câți pomi au de plantat?
17. Dacă mama ar p une 5 flori în fiecare vază, rămâne cu 3 flori în mână. Dacă pune câte 7
flori în fiecare vază, atunci în ultima vază ar fi doar două flori.
Câte flori și câte vaze are mama?
18. Tatăl și fiul au împreună 40 de ani. Peste 4 ani vârsta tatălui va fi de trei ori mai mare
decât a băiatului. Aflați vârsta fiecăruia .
19. Diferența a două numere naturale este egală cu 274. Împărțind numărul mare la
numărul mic se obține câtul 2 și restul 96.
Determinați cele două numere.
20. Două numere naturale au suma egală cu 156 și diferen ța egală cu 78. Aflați cele două
numere.
21. Diferența a două numere este egală cu 40. Aflați numerele știind că jumătate din primul
număr reprezintă două treimi din celălalt număr.
80
22. Ana cumpără cu 190 de lei, 9 cărți de literatură și matematică. Cartea de literatură costă
25 de lei, iar cea de matema tică costă 18 lei.
Câte cărți a cumpărat din fiecare fel?
23. Andrei are 300 de lei, în bancnote de 10 lei și de 5 lei. Știind că în total are 37 de
bancnote, aflați câte bancnote are din fiecare fel.
24. Într-o cutie sunt bile roșii, negre și albe. Af lați câte bile sunt din fiecare culoare, știind
că 32 nu sunt albe, 30 nu sunt negre și 34 nu sunt roșii.
25. Aflați trei numere naturale știind că dacă îl împărțim pe primul la al doilea sau pe al
doilea la al treilea, obținem de fiecare dată câtul 3 și rest ul 2, iar diferența dintre primul
și al treilea este egală cu 328.
26. La un magazin s -au adus 48 de saci cu orez, unii de 50 de kg, alții de 45 kg și alții de 63
de kg. Câți saci de fiecare fel sunt, dacă numărul sacilor de 50 de kg este cu 8 mai mic
decât tr iplul celor de 54 de kg și în total s -au adus 2552 kg de orez.
27. Ana cumpără un pix, o carte și un joc, plătind 43 de lei. Maria cumpără 3 pixuri, o carte
și un joc de același fel și plătește 49 de lei. Andreea cumpără și ea 3 pixuri, 2 cărți și un
joc și pl ătește 64 de lei.
Aflați cât costă fiecare obiect.
28. La o florărie s -au adus lalele, trandafiri și frezii. Aflați cât costă fiecare floare știind că
o lalea, un trandafir și o frezie costă 15 lei, o lalea, 2 trandafiri și 3 frezii costă 35 de lei,
iar 3 lalele, 2 trandafiri și 3 frezii costă 38 de lei.
29. Un țăran a vândut o gâscă, o rață și o găină cu 175 de lei. Altă dată, vânzând la același
preț, a primit pentru 3 gâște, o rață și o găină 305 lei, iar pentru o gâscă, o rață și două
găini, 225 de lei.
Care este prețul fiecărei păsări?
30. O carte de literatură, una de matematică și una de colorat costă 50 de lei. Aflați cât
costă fiecare, ș tiind că 3 cărți de literatură, 2 cărți de matematică și două cărți de colorat
costă 120 de lei, iar două cărți de literatură, una de matematică și două cărți de colorat
costă 82 de lei.
81
Soluții
1. 1 m de mătase = 20 lei ; 1 m de stofă = 15 lei
2. Bila mare cântărește 5 g ; Bila mică cântărește 3g
3. 1 sac de făină = 20 kg ; 1 sac de zahăr = 25 kg
4. numerele sunt: 35 și 47
5. păpușa = 25 lei; mașinuța = 35 lei
6. 18 răspunsuri corecte și 7 răspunsuri greșite
7. 12 zile a lucrat; 18 zile a lipsit
8. 24 camere cu 5 paturi; 40 camere cu 2 paturi
9. 13 bilete cu 3 lei; 17 bilete cu 5 lei
10. 15 conducte de 5 m; 10 conducte de 8 m
11. 12 iepuri; 25 găini
12. 38 bănci; 170 părinți
13. numerele sunt: 57 și 13
14. o înghețată = 5 lei; un suc = 4,50 lei
15. 1 pix = 2 lei; 1 caiet = 3 lei
16. 33 elevi; 58 pomi
17. 23 flori; 4 vaze
18. Tata = 32 ani; fiul = 8 ani
19. 452; 178
20. 117; 39
21. 160; 120
22. 4 cărți de literatură; 5 cărți de matematică
23. 23 bilete cu 10 lei; 14 bilete cu 5 lei
24. 16 bile albe; 18 bile negre; 14 bile roșii
25. 368; 122; 40
26. 28 saci de 50 kg; 12 saci de 54 kg; 8 saci de 63 kg
27. 1 pix = 3 lei; o carte = 15 lei; 1 joc = 25 lei
28. lalea = 3 lei; trandafir = 7 lei; frezie = 5 lei
29. gâsca = 65 lei, rața = 60 lei; găina = 50 lei
30. carte literatură= 20 lei, carte matematică = 18 lei, carte de colorat = 12 lei
82
BIBLIOGRAFIE
[1] O. Agratini, I. Chiorean, Gh. Coman, R. T. Trîımbitaș, Analiza Numerica¸si Teoria
Aproximarii, vol. III, Ed. Presa Univ. Clujeana, 2001 -2002
[2] R. L. Burde n, J. D. Faires, Numerical Analysis, Cengage Learning , 2010
[3] I. Chiorean, T. C ătinaș, R. T. Trîmbita ș, Analiza Numerica , Ed. Presa Univ.
Clujeana, 2010
[4] C. Chirilă, B. Cristescu, A. Hardulea, M. Neagu, A. Petrovici, C. Petrovici, L.
Romaniuc, A. Sava, C. Șușu, T. Stanciu , Formarea continua a profesorilor de
matematică în societatea cunoașterii, I. S. J Iași, 2012
[5] C. Cucoș, Psihopedagogie pentru examenele de definitivat și grade didactice,
Ed. Polirom , 2009 , ediția a IIIa
[6] W. Gander, M. J. Gander, F. Kwok , Scientific Computing , Springer Internat.
Publishing, 2014
[7] R. Trîmbițaș, Analiza numerica , O introducere bazata pe MATLAB,
Presa Univ . Clujeana, 2005
[8] D. Vălcan, Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică , Ed. Casa Cărții de
Știință, 2005
[9] *** Curriculum național. Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de
matematică; Consiliul Național pentru Curriculum , Ed. Aramis, București 2012
[10] *** Manuale alternative de matematică pentru clasele a VII -a, a VIII -a și a XI -a,
Editurile Teora, Sigma, Litera, Mathpress, 2006 -2019
[11] *** Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației, cercetării și inovării nr. 5097/09.09.2009
[12] *** Anexa nr. 2 la ordinul ministrului educației și cercetării nr. 3252/ 13.02.2006
[13] Webografie :
• http://math.ubbcluj.ro/~tradu/curs/cursanst.pdf
• https://www.edu.ro/
• https://www.manuale.edu.ro/
• https://www.mateinfo.ro/
83
ANEXE
84
ANEXA 1 – Proiectul unității de învățare
Școala Gimnazială Crăciunelu de Jos
Disciplina: Algebră an școlar 2019 -2020
Clasa: a VIII -a / 2 ore săpt.
Unitatea de învățare: Ecuații și inecuații
Număr ore: 14 ore
Conținuturi
Nr
de
ore CS Activități de învățare Resurse
Evaluare
Materiale Procedurale
Ecuații de forma
ax+b=0, a,b
R.
1
oră
1.6
3.1 – Rezolvarea ecua ției de forma ax+b=0 , unde a și b sunt numere reale
– Identificarea num ărului real dintr -o mul țime dat ă care verific ă o ecua ție
-Utilizarea proprietăților relației de egalitate
Manual
Culegeri
Activitate
frontală Se evaluează
corectitudinea
rezolvării Ecuații
reductibile la
ecuația
ax+b=0, a,b
R 1
oră
Ecuații de forma
ax+by+c=0
1oră 1.2
1.6
3.1
– Recunoa șterea ecua țiilor e forma ax+by+c=0 , unde a, b, c sunt numere reale,
dintr -o mul țime de egalit ăți (cu identificarea coeficien ților, a necunoscutelor și a
termenului liber)
– Explicitarea mul țimii solu țiilor unei ecua ții de forma ax+by+c=0 , unde a, b, c
sunt numere reale
– Determinarea unui număr finit de soluții pentru ecuația de gradul al doilea cu
două necunoscute Culegeri
Manual Activitate
frontală Se evaluează
corectitudinea
rezolvării
Inecuații
2
ore 1.6 – Rezolvarea inecua țiilor de forma ax+b <0, (>, ≤, ≥) în N, Z, R, unde a și b sunt
numere reale
– Rezolv ări de inecua ții reductibile la inecua ții de forma ax+b <0, (>, ≤, ≥)) unde
a și b sunt numere reale Manual
Culegeri Activitate
frontală Se evaluează
corectitudinea
rezolvării
85
Ecuații de forma
ax2+bx+c=0
2
ore 1.6
3.1 – Identificarea ecua țiilor de forma ax2+bx+c=0 , unde a,b,c , sunt numere reale care
admit solu ții reale
– Rezolvarea ecua ției ax2+bx+c=0, folosind formula de rezolvare
– Rezolv ări de ecua ții reductibile la ecua ții de forma ax2+bx+c=0
– Recunoa șterea ecua țiilor de forma ax2+bx+c=0 (cu precizarea coeficien ților
ecuației)
– Identificarea unor numere reale dintr -o mul țime dat ă care sunt solu ții ale unei
ecuații de gradul 2 Manual
Culegeri Activitate
frontală Se evaluează
corectitudinea
rezolvării
Sisteme de
ecuații
Metoda
substituției
2
ore
1.6 – Exerci ții de rezolvare a sistemelor de ecua ții, prin metoda substituției
Manual
Culegeri Activitate
frontală Se evaluează
corectitudine a
rezolvării
Metoda
reducerii 2
ore – Exerci ții de rezolvare a sistemelor de ecua ții, prin metoda reducerii
Rezolvarea de
probleme prin
metode
algebrice 2
ore 1.6
3.1
3.2
3.3
4.2 -Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecua țiilor sau a sistemelor de ecua ții
– Exerci ții de transcriere a unor situa ții-problem ă în limbaj matematic, înlocuind
necunoscutele cu litere
-Redactarea rezolv ării unei probleme date
– Discutarea în grup a metodei de rezolvare a unei probleme
– Găsirea, în grup, a unor metode alternative de rezolvare Manual
Culegeri Activitate
frontală Se evaluează
corectitudinea
și calitate a
argumentării
Evaluare 1
oră Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecua țiilor sau a sistemelor de ecua ții
– Exerci ții de transcriere a unor situa ții-problem ă în limbaj matematic, înlocuind
necunoscutele cu litere
Test de evaluare
86
ANEXA 2 – proiect didactic
PROIECT DIDACTIC
CLASA: a VIII -a;
DISCIPLINA: Matematică – Algebră;
TEMA: Sisteme de două ecuații cu două necunoscute;
TIPUL LECȚIEI: Însușire de noi cunoștințe;
Scopul lec ției: Rezolvarea si stemelor de două ecuații cu două necunosc ute prin metoda
substitutiei;
Competente specifice
1. Determinarea soluțiilor unor ecua ții, inecua ții sau sisteme de ecua ții.
2. Utilizarea operațiilor cu numere reale și a proprietăților acestora în rezolvarea unor
ecuații și sisteme de ecua ții
Competen țe derivate
1. Să stabilească etapele care se parcurg în rezolvarea sistemelor de ecuatii;
2. Să verifice dacă elementele unei mulțimi sunt soluții pentru un sistem de două ecuații
cu două necunoscute.
3. Să rezolve un sistem de două ecuații cu două necunoscute prin metoda substitu ției
STRATEGIA DIDACTICĂ:
a) Metode și procedee : conversația euristica, explicația, exercițiul, observația,
metoda ”știu/vreau să știu/am învățat”
b) Mijloace de realizare : culegere, tabla, cret ă, aplicații din manualele digitale
c) Forme de organizare : frontal, individual, pe perechi
87
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
ETAPELE
LECȚIEI/
TIMP
ACTIVITATEA
PROFESORULUI
ACTIVITATEA
ELEVULUI STRATEGII DIDACTICE
Modalități
de evaluare Metode
didactice Mijloace
didactice Forma de
organizare
1.Moment
organizatoric
(2 min)
Se creează condițiile necesare
desfășurării lecției.
Se verifică prezența elevilor. Elevii se preg ătesc de ora . Caiete, cărți,
culegeri,
2.Verificarea
temei
(3 min) Se verific ă tema și se discut ă
eventualele nel ămuriri . Elevii r ăspund la întreb ări Conversa ția
euristic ă Caiete Frontal ă
3.
Reactualizarea
cuno știntelor
(5 min) “Ce ați avut de pregătit pentru
astăzi?”
“Care este forma ecuației de gradul I
cu două necunoscute?”
“Care sunt necunoscutele ecuației?”
“Cum se numesc a,b și c?”
“. . . ecuația de gradul I cu două
necunoscute.”
“. . . ax+by+c=0”
“. . . sunt x și y.”
“. . . se numesc coeficienții
ecuației. (a – coeficientul
necunoscutei x,b – coeficientul
necunoscutei y, iar c este
termenul liber. "
88
4. Precizarea
temei și a
obiectivelor
operaționale
(3 min)
Astăzi la ora de matematică ne
propunem să studiem sistemele de
două ecuații cu două necunoscute și
să le rezolvăm.
Notez titlul pe tablă:
”Sisteme de două ecuații cu două
necunoscute ”
Elevii își notează titlul lecției.
Explica ția
Conversa ția,
explica ția
Frontal ă
4.
Desf ășurarea
lecției
(29 min)
Prezint ele vilor metoda de lucru :
”Știu/Vreau să știu/Am învățat”
Realizez tabelul și pe tablă.
Știu Vreau să știu Am
învățat
Elevii primesc fișele.
Elevii vor trece în rubrica
”Știu”:
-care este forma generală a
ecuației de gradul I cu două
necunoscute
-să găsesc o soluție a ecuației
-să găsesc o pereche de numere
reale care să nu fie soluție
-care sunt coeficienții ecuației
Elevii vor trece în rubrica
”Vreau să știu”:
-ce este un sistem de ecuații
-cum se rezolvă un sistem de
două ecuații cu două
necunoscute
conversatia
Metoda
”Știu/ Vreau
să știu/Am
învățat”
Tabla, creta,
caiete
În perechi
89
Def 1 : Se numește sistem de două
ecuații cu două necunoscute un
sistem de forma:
=+=+
2 2 21 1 1
cybxacybxa
,
x,y – necunoscutele sistemului;
a1, b 1, a 2, b 2 – coeficienții
necunoscutelor;
c1, c2 – termenii liberi;
Ex:
=+−=−
7 710 2
y xyx
“Care sunt necunoscutele
sistemului? Dar coeficienții
necunoscutelor? Dar termenii
liberi?”
Precizați care din următoarele
sisteme este sistem de două ecuații
cu două necunoscute:
=−=+
=−+=−
=−=+
1702 3
,05 30 2 2
,35
xx
vuv u
yxyx
Elevii vor lua notițe.
“Necunoscutele sistemului sunt
x și y. Coeficienții lui x sunt 2
și 1, ai lui y sunt –1 și 7, iar
termenii liberi sunt –10 și 7.”
Primele două sunt sisteme de
două ecuații cu două
necunoscute, iar ultimul nu este.
90
Def 2 : Perechea ordonată (x,y) care
este soluție pentru ambele ecuații ale
sistemului, se numește soluție a
sistemului.
Ex:
=−=+
35
yxyx are ca soluție
perechea ordonată (1,4) deoarece
dacă înlocuim pe x cu 1 și pe y cu 4
în ambele ecuații, obținem 5,
respectiv 3.
Verificați care din elementele
mulțimii {(0,2); (1, -1)} este soluție a
sistemului:
=++=−
02 35 23
y xy x
Să învățăm să rezolvăm un sistem de
două ecuații cu două necunoscute.
Există mai multe metode de
rezolvare a acestor sisteme: prin
3*0 – 2*2 = 4. Deci, perechea
(0,2) nu este soluție a sistemului
deoarece nu verifică prima
ecuație.
3*1 – 2*(-1) = 5; 1 + 3*( -1) +
2 = 0;
Deci, perechea (1, -1) este
soluție a sistemului, deoarece
verifică ambele ecuații.
Exerci țiul
matematic
Exerci țiul
matematic
Tabla, creta,
culegere, caiete
Frontal
Observare
sistematica
91
metoda reducerii, a substitu ției.
Astăzi vom încerca să învățăm să
rezolvăm un sistem de două ecuații
cu două necunoscute prin metoda
substitutiei.
Metoda substituției
=−=+
35
yxyx
=−−=
=−−−=3 255
3 55
yy x
yyy x
−=−−=
−=−−=
2 25
53 25
yy x
yy x
−=
=−=
14
15
yx
yy x
S={(4,1)}
Voi mai face un exemplu la tabla
dar de data aceasta cu ajutorul
Elevii vor lua notițe.
−=−−−=
−=−=+
1999 19991999
19991999
yyy x
yxyx
==
−=−−=19990
3998 21999
yx
yy x
Table, caietele de
clasa
Frontal,
individual
Observarea
sistematica
92
elevilor
−=−=+
19991999
yxyx
Cer elevilor să completeze și
ultima rubrică a tabelului
”Am învățat”.
(tabelul completat este anexat
proiectului)
Pentru intelegerea ideilor principale
voi propune spre rezolvare exercitii
din culegere
Pagina 48, ex.4
Elevii notează în rubrica
”Am învățat”:
-ce este un sistem de două
ecuații cu două necunoscute
-care sunt necunoscutele
-care sunt coeficienții
necunoscutelor
-care sunt termenii liberi
-ce este soluția unui sistem de
ecuații
-cum se rezolvă un sistem de
ecuații
-cum se scrie soluția sistemului
Elevii vor iesi pe rand la tabla
si vor rezolva exercitiile.
93
6. Fixarea
cuno știntelor
(5 min) Propun elevilor sa rezolve individual
următorul sistem
=+=−
137
yxyx
Elevii sunt aten ți si încep să
rezolve
explica ția
Caietele de clas ă
individual
Observare
sistematica
6. Aprecierea
activitatii
(1 min)
Se fac aprecieri, recomandări
Elevii sunt atenti
Conversatia
Observarea
sistematica
7. Tema
pentru acasă
(2 min) Culegere, pagina 48, exercițiul 5 Cer lămuriri referitoare la tema. Munc ă
independenta
94
ANEXA 3 – metoda ”Știu/Vreau să știu/Am învățat”
ȘTIU
VREAU SĂ ȘTIU
AM ÎNVĂȚAT
-care este forma generală a ecuației de
gradul I cu două necunoscute
-să găsesc o soluție a ecuației
-să găsesc o pereche de numere reale care
să nu fie soluție
-care sunt coeficienții necunoscutelor
-ce este un sistem de ecuații
-cum se rezolvă un sistem de două ecuații
cu două necunoscute
-ce este un sistem de două ecuații cu două
necunoscute
-care sunt necunoscutele
-care sunt coeficienții necunoscutelor
-care sunt termenii liberi
-ce este soluția unui sistem de ecuații
-cum se rezolvă un sistem de ecuații
-cum se scrie soluția sistemului
95
ANEXA 4 – proiect didactic
PROIECT DIDACTIC
CLASA: a VIII -a;
DISCIPLINA: Matematică – Algebră;
TEMA: Sisteme de două ecuații cu două necunoscute;
TIPUL LECȚIEI: Recapitulare, sistematizare și consolidarea cunoștințelor ;
Scopul lec ției: Rezolvarea si stemelor de două ecuații cu două necunoscute ;
Rezolvarea problemelor utilizân d sisteme de ecuații;
Competen țe specific:
3. Determinarea soluțiilor unor ecuatii, inecuatii sau sisteme de ecuatii.
4. Utilizarea operațiilor cu numere reale și a proprietăților acestora în rezolvarea unor
ecuații și sisteme de ecua ții
Competențe derivate:
4. Să stabilească etapele care se parcurg în rezolvarea sistemelor de ecuatii;
5. Să rezolve un sistem de două ecuații cu două necunoscute ;
6. Să rezolve probleme folosind sistemele de ecuații;
STRATEGIA DIDACTICĂ:
a) Metode și procedee : conversația euristica, explicația, exercițiul, observația,
metoda ciorchinelui, metoda ” Turul galeriei”
b) Mijloace de realizare : culegere, tabla, creta, aplicații din manualele digitale
c) Forme de organizare : frontal, pe grupe
96
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
ETAPELE
LECȚIEI/
TIMP
ACTIVITATEA
PROFESORULUI
ACTIVITATEA
ELEVULUI STRATEGII DIDACTICE
Modalități
de evaluare Metode
didactice Mijloace didactice Forma de
organizare
1.Moment
organizatoric
(2 min) Se creează condițiile necesare
desfășurării lecției.
Se verifică prezența elevilor.
Elevii se preg ătesc de ora .
Caiete, cărți,
culegeri,
2.Verificarea
temei
(3 min) Se verific ă tema și se discut ă
eventualele nel ămuriri . Elevii r ăspund la întreb ări Conversa ția
euristic ă Caiete Frontal
3.
Reactualizarea
cuno știntelor
(3 min) Comunic elevilor că în această
lecție vom repeta ceea ce am învățat
despre sistemele de două ecuații cu
două necunoscute
“Ce ați avut de pregătit pentru
astăzi?”
“Ce este un sistem de două ecuații
cu două necunoscute?”
“Prin ce metode se rezolvă un sistem
de două ecuații cu două
Elevii își pregătesc cele
necesare lecției
Conversa ția
frontal
97
necunoscute? ”
“Cum se rezolvă o problemă
utilizând sisteme de ecuații? ”
4. Precizarea
temei și a
obiectivelor
operaționale
(3 min)
Astăzi la ora de matematică ne
propunem să facem o recapitulare a
metodelor de rezolvare sistemelor de
două ecuații cu două necunoscute și
să le rezolvăm probleme cu ajutorul
sistemelor de ecuații.
Notez titlul pe tablă:
”Recapitulare – sisteme de două
ecuații cu două necunoscute”
Elevii își notează titlul lecției.
Explica ția
Conversa ția,
explica ția
Frontal ă
5.
Sistematizare,
consolidare,
fixarea
cunoștințelor
dobândite
anterior
(10 min)
Propun elevilor realizarea unui
ciorchine, pornind de la cuvintele
”Sisteme de ecuații”
Scriu în centrul tablei ”Sisteme de
ecuații”, iar elevii trebuie să
completeze ciorchinele cu tot ce știu
despre sisteme.
Ciorchinele realizat este anexat
proiectului.
Elevii vor ieși pe rând la tablă.
Elevii realizează un ciorchinele
în caiete și pe tablă
Conversatia
Metoda
ciorchinelui
Tabla, creta,
caiete
frontal
Observare
sistematica
98
6. Obținerea
performanței
(25 min)
Elevii sunt împărțiți în patru grupe.
Fiecare va primi câte o fișă care
conține câte un sistem de ecuații și o
problem sau două probleme, pe care
vor trebui să le rezolve pe coli mari.
Li se comunică timpul pe care îl au
la dispoziți e. După ce expiră timpul,
colie vor fi așezate pe tablă
(magnetică). La final, câte un
reprezentant al grupei va trebui să
prezinte în fața clasei rezolvările și ,
eventual să răspundă întrebărilor
colegilor.
Cer grupurilor să facă câte un tur și
să ob serve toate lucrările.
Elevii îndeplinesc sarcinile de
pe fișe.
Explica ția
Metoda
”Turul
galeriei”
Planșe, markere,
tablă magnetică
Pe grupe
Observare
sistematica
Evaluez
corectitudine
a rezolvărilor
7. Aprecierea
activitatii
(3 min)
Notez elevii care s -au remarcat și
justific acordarea notelor.
Elevii sunt atenti
Conversatia
Observarea
sistematica
8. Tema
pentru acasă
(1 min) Culegere, pagina 53, testul 5 Cer lămuriri referitoare la tema. Munc ă
independenta
99
ANEXA 5 -metoda ciorchinelui
SISTEME DE
ECUAȚII
Sisteme de
două ecuații cu
două
necunoscute
Soluția
unui sistem
Metode de
rezolvare Coeficienții
sistemului Necunoscutele
sistemului
Metoda
reducerii Metoda
substituției
100
ANEXA 6 – fișă de lucru /activitate pe grupe
Fișa nr.1
1. Rezolvați următorul sistem prin metoda substituției:
4 3 0
20xy
xy−=
+=
2. Diferența a două numere naturale este 77. Împărțind numărul mare la celălalt se
obține câtul 2 și restul 25.
Aflați cele două numere.
Fișa nr. 2
1. Rezolvați următorul sistem prin metoda reducerii:
3 2 7
35xy
xy−=
+ =−
2. Suma a două numere este 80, iar diferența dintre dublul primului și triplul celui
de-al doilea este egală cu 35.
Determinați numerele.
101
Fișa nr. 3
1 Rezolvați următorul sistem:
2 3 3 7
2 2 5 3 11xy
xy− =−
− =−
2 Diferența două numere este egală cu 36. Prin împărțirea numărului mai mar e la
cel mic se obține câtul 5 și restul 0.
Determinați numerele.
Fișa nr. 4
1 Rezolvați următorul sistem:
3( 5) 11 2 17
5 2( 3) 30xy
x y x− + = +
− − = −
3 Maria are 200 lei, în bancnote de 10 lei și 5 lei. Dacă are în total 28 de bancnote,
aflați câte bancnote are din fiecare fel.
102
ANEXA 7 -TEST 1
Test de evaluare nr.1
Clasa a VIII -a
5p 1. Determinați numărul real a, astfel încât -2 să fie soluție pentru ecuația:
5x+a = 3x+2
15p 2. Rezolvați în ℝ ecuațiile:
a) 7x-5 = 4 x+16
b) 3x+2(x+1) = 4( x+2)
c)
1 2 1
6 2 4xx+++=
10p 3. a) Scrieți o pereche de numere reale care este soluție pentru ecuația:
3x+y -2 = 0.
b) Scrieți o pereche de numere reale care NU este soluție pentru ecuația:
-2x+5y+2=0.
20p 4. Însumând jumătatea, sfertul și optimea unui număr se obține 224. Aflați
numărul.
20p 5. Două numere naturale au suma egală cu 38 și diferența egală cu 8.
Aflați numerele.
20p 6. Marțienii au 4 sau 6 antene. Într -o navă spațială am numărat 23 de marțieni și 100
de antene. Câți marțieni cu 4 antene sunt în navă?
Notă:
• Timp de lucru 45 min.
• Se acorda 10 puncte din oficiu
• Toate subiectele sunt obligatorii.
103
Barem de evaluare și notare -Test 1
Tabel 4 Barem de corectare Test 1
Item Criterii de evaluare punctaj
I.1
10 p -înlocuiește pe x cu -2
-determină a =6 5 p
5 p
I.2
15p a)5p -rezolvă corect ecuația…….x= 7 5 p
b)5p -rezolvarea corectă a ecuației……… x= 6 5 p
c)5p -aducerea ecuației la o formă mai simplă
-rezolvarea corectă a ecuației……x= −11
8 3 p
2 p
I.3
20p a)10p -determină o soluție corectă a ecuației 10 p
b)10p -înlocuiește una dintre necunoscute cu un număr real –
– determină o pereche de numere reale care nu este soluție a
ecuației 5 p
5p
I.4
15 p -scrierea ecuației
-rezolvarea corectă a ecuației
-interpretarea rezultatului/finalizare (x = 256) 5 p
9p
1 p
I.5
15 p -scrierea ecuației/ecuațiilor
-rezolvarea corectă
-Interpretarea rezultatelor/finalizare ( x = 23, y = 15) 5 p
9 p
1 p
I.6
15 p -scrierea ecuației/ecuațiilor
-rezolvarea corectă
-Interpretarea rezultatelor/finalizare (19 marțieni cu 4 antene) 5 p
9 p
1 p
• Se acordă 10 puncte din oficiu
• Nota se calculează prin împărțirea punctajului final la 10
104
ANEXA 8 -TEST 2
Test de evaluare nr.2
Clasa a VIIIa
(20p) 1. Fie sistemului (S1)
−=+−=−
2 1633 3
y xy x .
a) Verificați dacă perechea ( -1,2) este soluție a sistemului (S1)
b) Determinați numărul real a, astfel încât perechea (6, a) să fie soluție a
sistemului (S1).
(20p) 2. Rezolvați prin metoda substituției sistemul (S2)
2
2 3 4xy
xy−=
+=
(20p) 3. Rezolvați sistemul de ecuații (S3)
2 2 5
3 2 6
1 3 3
2 5 10xy
xy+−+=−+− =−
(15p) 4 . Trei cărți de literatură și două de matematică costă 130 lei, iar patru cărți de
literatură și una de matematică costă 140 lei.
Aflați cât costă două cărți de literatură și trei de matematică .
(15p) 5. Marțienii au 4 sau 6 antene. Într -o navă spațială am numărat 21 de marțieni și
94 de antene.
Câți marțieni cu 4 antene și câti marțieni cu 6 antene sunt în navă?
Notă:
• Timp de lucru 45 min.
• Se acorda 10 puncte din oficiu
• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Nota se calculează împărțind punctajul final la 10.
105
Barem de evaluare și notare -Test 2
Item Criterii de evaluare punctaj
I.1
20p a)10p -Verificarea condiției … ( -1,2) nu este soluție 10p
b)10p -Determinarea numărului real a=1 10p
I.2
20p -folosirea metodei substituției
-rezolvarea corectă=soluția (2;0) 10p
10p
I.3
20p -aducerea ecuațiilor la o formă mai simplă
-rezolvarea corectă =soluția (2;1) 10p
10p
I.4
15p -scrierea ecuațiilor
-rezolvarea corectă: 30 lei carte de literatură
20 lei carte de matematică
-finalizare 2· lit+3·mate=120 5p
10p
I.5
15p -scrierea ecuațiilor
-rezolvarea corectă
-finalizare: 5 marțieni cu 6 antene
16 marțieni cu 4 antene 5p
8p
2p
oficiu 10p
• Nota se calculează prin împărțirea punctajului la 10
106
ANEXA 9-fișă de lucru diferențiat
Grupa 1
Rezolvați sistemul de ecuații:
{2𝑥+𝑦=0
𝑥−2𝑦=5
Grupa 2
Rezolvați sistemul de ecuații:
{2𝑥+𝑥+𝑦
2=4
𝑦−𝑥
2+3𝑦=10
Grupa 3
Rezolvați sistemul de ecuații:
{ 𝑥 +𝑦+𝑧=2
2𝑥 +𝑦+𝑧=3
2𝑥+2𝑦+𝑧=5
107
ANEXA 10-aplicații interactive din manualele digitale
(manual digital clasa a VII -a, Ed. Sigma, p. 143)
(manual digital clasa a VII -a, Ed. Litera, p. 83)
108
ANEXA 11-fișă de observare curentă
Fișă de observare curentă
Numele elevului: ……….
Clasa a VIIIa
Data și locul observării: februarie -martie 2020, Șc ………….
Indicatori observaționali Interpretare psih opedagogică
• Recunoaște ecuațiile de gradul I cu o
necunoscută, respectiv, cu două
necunoscute
• Rezolvă ecuația de gradul I cu o
necunoscută
• Găsește soluții ale ecuației de gradul
I cu două necunoscute
• Rezolvă sisteme de ecuații prin
metoda substituției
• Rezolvă sisteme de ecuații prin
metoda reducerii
• Rezolva probleme folosind sistem ele
de ecuații
• Compune probleme folosind
ecuații/s isteme date
109
INDEX TABELE
Tabel 1 Barem de corectare Test 1 ……………………………………………………50
Tabel 2 Rezultate Test 1 ………………………………… ..………….…………… ….51
Tabel 3 Matricea de evaluare Test 1 ……………………………………….………….52
Tabel 4 Metoda”Știu/Vreau să știu/Am învățat” …………………………………………………..54
Tabel 5 Fișă de observare ……………………………………………..……………..58
Tabel 6 Barem de corectare Test 2 …… ……………………………………………….61
Tabel 7 Rezultate Test 2 ……………… ……………………………………………….62
Tabel 8 Matricea de evaluare Test 2 ……………………………………………….….63
Tabel 9 Rezultatele elevilor la cele două teste … ……………………………..………. .66
Tabel 10 Rezultate pe tranșe de note -Test 1 …………………………………………..69
Tabel 11 Rezultate pe tranșe de note -Test 2 ………………………………………..…69
110
INDEX FIGURI
Figura 1 Soluția sistemului prin metoda grafică ……………………………….. ………….. 29
Figură 2 Rezultate (%) pe tranșe de note test 1 ……………………………………………….70
Figura 3 Rezultate (%)pe tranșe de not e test 2 ………………………………………………..70
Figura 4 Rezultate pe tranșe de note la ambele teste ………………………………………..71
Figura 5 Diferențele de gen ……………………………………. ……………………………………72
Figura 6 Procentul de rezolvare al aceleeași probleme ……………………………………73
Figura 7 Preferințele pentru metodele de rezolvare …………………………………………74
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Sisteme de două ecuații cu două necunoscute [618864] (ID: 618864)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.