Siruri De Functii. Serii De Functii Copy [625123]

ȘIRURI DE FUNCȚII. SERII DE FUNCȚII

1. Limita (simplă) a șirului de funcții
21, : 0,1 , 3n n nnnxf f R f xnx este funcția
….f
2. Limita (simplă) a șirului de funcții
21, : 0, , 2 1 1n n nnxnf f R f xx x n     este funcția
….f

3. Este punctul
1nnxn , punct de extrem pentru
nf , unde
 1, : 0,1nn
nnf x x x f R   ?
4. Limita (simplă) a șirului de funcții
 , : 0,1 , nnnf f R  unde
1 nn
nf x x x este funcția
….f

5. Fie șirul de funcții
2
21, , :n n nnf f x x f R Rx   .
a) Ce valoare de adevăr are inegalitatea:
1, , nf x x x R nn     
?
b) Este adevărat că
nnf converge uniform spre f(x)=
x pe
R? Argumentați (folosind
eventual a))
6. Fie
 : 1, , , 01nnnxf R f x nn    .
a) Care este funcția limită
f a șirului de funcții
nnf ?
b) Ce tip de convergență există:
1,nff
 simplă sau uniformă ?
7. Fie șirul
 , : 0,1 , nnnf f R 
 1n
nf x nx x .
a) Limita simplă
f a șirului de funcții
nnf este funcția f….
b) Ce afirmație este adevărată:
0,1nff simplă sau uniformă ?
8. Fie șirul
 32, : , 1n n nnnxf f R R f xnx .
a) Arătați că
1, 0,
2nf x n x R
n     ;
b) Arătați că
0nf uniform pe
R .
9. Fie
 , : 0, , sin1n n nnnxf f R f xn .
a) Arătați că
  sin , 0, 1nf x x n x Rn     ;
b) Arătați că

0, sinnf f x x
 ,uniform.
10. Fie
1, 0,
, : 0,1 ,
1 , ,1n n nnnx nxn x nf f R f x
nxxn          . Care este funcția limită a șirului de
funcții
,nnff ?

11. Arătați că șirul de funcții
cos, 1nnn nxf f xn este uniform convergent pe
R către funcția
sa limită, ce trebuie determinată în prealabil.
12. Determinând mai întâi funcția limită a șirului de funcții
  , : , 1 , ,nn
n n nnf f R R f x x f   
să se arate că
n
Rff .,uniform pe
R .
13. Fie seria de funcții
1
1 1nn
nxx
nn 
 .
a) Să se determine
nS , suma parțială de ordin
n a seriei;
b) Să se determine suma
S a acestei serii (folosind definiția).
14. Fie seria de funcții

0, 1,1 1 1 nxxnx n x
   .
a) Care este
nS , suma parțială de ordin
n a seriei?
b) Care este suma
S a acestei serii (folosind definiția).
15. Folosind eventual criteriul de uniform convergență de la serii de funcții, studiați uniform
convergența seriei:

1narctg nx
n
 pe
R .
16. Folosind eventual criteriul de uniform convergență de la serii de funcții, studiați un iform
convergența seriei:
421cos
nnx
nx
 pe
R .
17. Folosind eventual criteriul de uniform convergență de la serii de funcții, studiați uniform
convergența seriei:
2
0nx
nxe

 pe
R .
18. Folosind eventual criteriul de uniform convergență de la serii de funcții, studiați uniform
convergența seriei:
3
02 sinn
nx
n
 pe
R (folosind eventual și
 sin , a a a R   ).
19. Folosind eventual criteriul de unifo rm convergență de la serii de funcții, studiați uniform
convergența seriei:
24
1nxarctgxn
  pe
R (folosind eventual
 , arctg a a a R   ).
20. Precizați care este mulțimea de convergență a seriei de funcții
0 23n
nnx
n

 .
21. Precizați care este mulțimea de convergență a seriei de funcții
3
032
4 2 1 2 1n
nnx
n n x

   .
22. Precizați care este mulțimea de convergență a seriei de funcții
01
!n
nnx
 .
23. Precizați care este mulțimea de convergență a seriei de funcții
32
031
2n
nn
nx

 .
24. Precizați care este mulțimea de convergență a seriei de funcții

2
0sin
32nx
nn
 .
25. Precizați care este mulțimea de convergență a seriei de funcții
2
01
4
12n
n
nx
n n x

 .

26. Fie seria de funcții

01
1n nx
ne
n 

 .
a) Determinați
cM , mulțimea de convergență a seriei de funcții date.
b) Notând cu
S , suma seriei, demonstrați că:
 , 01x
xeS x S x xe  
27. Fie seria de funcții
1 22
11 2 1n n
nnx 
 .
a) Determinați
cM , mulțimea de convergență.
b) Notând
S , suma seriei, demonstrați că:
2
01xxS t dtx .
c) Determinați suma
S .
28. Calculați suma
S a seriei de funcții:
22 3 … 1 …, 1,1nx x x n x x        .
29. Calculați suma
S a seriei de funcții:
23
… …, 0,123nx x xxxn      .
30. Determinați mulțimea
cM , mulțime de convergență a seriei de funcții
01
2 3 3n
nn
nx

 .