. Sirul Numerelor Remarcabile

I.Preliminarii.

I.1 Construcții în N;

I.2 Numere prime;

I.2.1 Numere naturale prime;

I.2.2 Numere întregi prime;

I.2.3 Numere prime speciale;

I.2.4 Numere prime din progresii aritmetice;

II.Șiruri numerice remarcabile.

II.1 Șirul numerelor lui Fibonacci;

II.1.1 Notiuni introductive

II.1.2 Proprietăți ale numerelor lui Fibonacci

II.1.3 Numere prime din șirul lui Fibonacci

II.2 Șirul numerelor lui Mersenne;

II.2.1 Numerele prime ale lui Mersenne

II.2.2 Un criteriu pentru numerele prime ale lui Mersenne

II.3 Șirul numerelor lui Fermat;

II.3.1 Șirul lui Fermat

II.3.2 Proprietăți ale numerelor lui Fermat

II.3.3 Numerele prime ale lui Fermat

II.4 Șirul numerelor lui Dedekind;

III.Aplicații

Încã de la începuturi, omul a fost fascinat de numere. El trebuia sã știe, cumva, câte provizii mai are, cât vânat existã în zonã, de câți pești are nevoie pentru a hrãni comunitatea. În existența sa tribalã, omul nu a știut ce este numãrul. Mai târziu au apãrut numerele,dar și intrebările.
Noi ne intrebăm de ce omul are douã picioare, câinele patru, pãianjenul șase, caracatița opt, dar trifoiul are trei petale.Se observã cã numãrul total de petale al florilor alcãtuieste secventa de numere 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. De obicei crinii au trei petale, gãlbenelele au treisprezece, iar margaretele pot avea treizeci și patru, cincizeci și cinci sau chiar optzeci și nouã de petale. Aceleași caracteristici pot fi gãsite și în așezarea semințelor de pe floarea soarelui.
Regularitatea matematicã în naturã apare mai degrabã din complexitate decât din reguli aplicate la nivelul sãu. Acesta este numãrul de petale al florilor. Șirul mentionat are regula stabilitã. Fiecare urmaș este suma dintre pãrinte si strãmos.

În multe cazuri numerele implicate în naturã formeazã așa-zisul șir al lui Fibonacci în care fiecare numãr este suma celorlalte douã precedente. Numerele apar în naturã sub aceastã formã datoritã constrângerilor impuse de-a lungul anilor.De exemplu,în centrul vârfului de creștere al unei plante existã o regiune circularã numitã apex. În jurul apexului se formeazã mici excrescențe care se numesc primordii. Aranjamentul acestor primordii care vor deveni frunze, petale sau altceva, este stabilit chiar de la început, pe mãsurã ce ele se formeazã. Forma de evolutie este spiralatã, o spiralã Fibonacci. Unghiul format de primordii este de 137,5°, fapt pus în evidentã pentru prima oarã de cristalograful Auguste Bravais în 1837. Ne întrebãm, poate, ce legãturã are acest unghi cu șirul lui Fibonacci. Dacã luãm douã numere consecutive din șir, sã zicem 34 si 55, si le facem raportul, obtinem 0,6181 adicã "numãrul de aur". Multiplicând acest numãr cu 360° pentru a-l trece în plan trigonometric, obtinem 222,54°. Scãdem 180° ca sã formãm un unghi mãsurabil în sensul dextrogir si vom obtine 137,5°, adicã exact valoarea obtinutã de Bravais. Acest unghi este numit "unghiul de aur" si este lãsat în naturã la fel ca si numãrul corespondent din sirul mai sus mentionat. Spiralele au un mod de rãsucire interesant. Deoarece ochiul uman integreazã orice informatie, noi vom sesiza douã spirale, una dextrogirã si alta levogirã, numãrul spiralelor fiind egal cu douã numere consecutive din sirul lui Fibonacci.

Avand in vedere toate acestea,mi-am structurat lucrarea examinand diferite sirurile numerice remarcabile,cum ar fi :sirul numerelor lui Fibonacci,sirul numerelor lui Fermat,sirul numerelor lui Mersenne si sirul numerelor lui Dedekind.

Astfel,in capitolul I am tratat problema numerelor naturale(axioma lui Peano) si a numerelor naturale prime speciale si din progresii aritmetice.

Capitolul II se ocupa de sirurile numerice remarcabile:sirul numerelor lui Fibonacci,sirul numerelor lui Fermat,sirul numerelor lui Mersenne si sirul numerelor lui Dedekind in cadrul carora am analizat proprietatile fiecarui sir in parte.

In capitolul III am prezentat anumite aplicatii ale sirurilor,in special ale sirului lui Fibonacci.

I.1 Numere naturale

Modul intuitiv de percepere a numerelor naturale se bazeaza pe notiunea

de numar cardinal si cardinalul unei multimi ,in cadrul mai larg al teoriei multimilor.

Axiomatica lui Peano

Definitie:

Numim sistem Peano un triplet unde:

a)N este o multime nevida;

b)

c) este o aplicatie numita de succesiune ,care verifica urmatoarele conditii(axiome):

α) (adica

β) este o aplicatie injectiva;

γ) (axioma inductiei)Daca satisface proprietatile:

i)

ii)

atunci M=N;

Vom nota vom spune ca este succesorul lui n.

Dand statut de axiome proprietatilor α), β),γ) matematicianul Giuseppe Peano a reusit sa construiasca cu ajutorul lor intreaga teorie a numerelor naturale.Teoria axiomatica a lui Peano foloseste pentru numere modelul metodei logice,intrebuintat cu succes de Euclid in geometrie,inca din antichitate.

Conform definitiei axiomatice data de Peano,numerele naturale sunt elementele unei multimi N,in care se fixeaza un element 0,impreuna cu functia de succesiune,astfel incat sunt satisfacute axiomele α), β),γ).

Propozitie:

Pentru orice exista ,astfel incat: .

Demonstratie:

Consideram ,atunci si ,(deoarece ).Din axioma inductiei rezulta M=N si cum ,rezulta ca orice element din N,diferit de 0,este succesorul unui element din N.

Teorema recursiei:

Daca este un sistem Peano si este un triplet ,unde S este o multime nevida, si o functie ,atunci exista o unica functie cu proprietatile:

1)f(0)=a;

2)f(σ(n))=φ(f(n)),

Demonstratie:

Consideram produsul cartezian si fie si

.Observam ca ,deoarece ,in plus pentru orice familie nevida unde ,rezulta ca .

Fie .Conform observatiei anterioare ,se obtine ca .Aratam ca f reprezinta o functie,adica satisface urmatoarele doua conditii:

c1) astfel incat

c2)daca si atunci b=b’;

Pentru a verifica prima conditie,vom considera multimea astfel incat si vom arata ca M=N,folosind axioma inductiei.

si pentru ca ,din rezulta ca ,astfel incat si cum ,se obtine ,deci .Asadar,M=N.

Verificam acum conditia c2).

Consideram multimea .Vom aplica si pentru M’ axioma inductiei. .Presupunem ,prin reducere la absurd,ca Deoarece, ,rezulta ca exista, ,,astfel incat .

Notam cu ,deci, .Aratam ca: .Mai intai, si considerand obtinem ,si deci, ,deoarece Asadar, si din definitia lui f rezulta ,ceea ce este absurd.Prin urmare, .

Conform cu c1),exista ,incat si cum rezulta ca b este unic.Se obtine de aici ca .Presupunand ca ,rezulta ca exista astfel incat

Notam cu ,deci, .Aratam ca: .Mai intai, si considerand .

Se obtine: .

Apar doua situatii:

I)Daca ,atunci in baza injectivitatii functiei ,rezulta ca si deci, ,de unde .

II)Daca n=m,atunci .

Din si din unicitatea lui b rezulta ca s=b,deci .

Deoarece ,se obtine ,adica

Asadar, ,de unde ceea ce este absurd.

Teorema:

Daca si sunt sisteme Peano,atunci exista o unica functie ,astfel incat si f este o bijectie.

Demonstratie:

Mai ramane de aratat ca f este bijectiva.Aplicand teorema recursiei pentru sistemul lui Peano si tripletului rezulta ca exista o unica functie pentru care si .Vom arata ca g este inversa lui f.

Pentru aceasta, vom aplica teorema recursiei pentru sistemul Peano si tripletul .Rezulta ca exista o unica functie

astfel incat si .Insa si verifica conditiile satisfacute de h,deoarece: si iar .Din unicitatea lui h,rezulta ca .

Similar, aplicand de aceasta data teorema recursiei pentru sistemul Peano si tripletul se obtine .

Asadar, f este bijectiva.

I.2.1 Numere naturale prime

În mulțimea numerelor naturale,0 are ca divizor orice număr natural,iar 1 divide orice număr natural.Singurul divizor al lui 1 este 1.Orice număr natural a,mai mare ca 1,are ca divizori pe 1 și pe a.1 și a se numesc divizori improprii ai lui a . Dacă a are și alți divizori,aceștia se numesc divizori proprii ai lui a.

Cercetând primele numere din șirul natural,constatăm că orice număr se poate scrie ca un produs de factori,fiecare factor nemaiavând divizori proprii.

Definiția 1:

Se numește număr ireductibil,un număr natural i, i≠0,i≠1,care are numai divizori improprii.Dacă numărul natural n are divizori proprii,n se numește număr compus.

Definiția 2:

Un număr natural p,p≠0,p≠1,se numește număr prim dacă implică p/m sau p/n.

Teorema 1:

Fie .Următoarele două afirmații sunt echivalente:

10 p este prim:

20 p este ireductibil;

Demonstrație:

Fie p un număr prim.Arătăm,prin reducere la absurd,că p este ireductibil.Fie și conform definiției 2p/m sau p/n.Dacă p/m rezultă și contrazicem m<p,iar dacă p/n, și contrazicem n<p.

Fie p un număr ireductibil și m,n două numere naturale arbitrare astfel încât .Notăm (p,m)=d.Cum d/p rezultă d=1 sau d=p.

Dacă d=p,din d/m rezultă p/m.

Dacă d=1,din și (p,m)=1 rezultă p/n.

Deci,în N noțiunile de număr prim și număr ireductibil coincid.

Teorema 2:

Orice număr natural mai mare ca 1 sau este prim sau este un produs de numere prime.

Demonstrație:(metoda reducerii la absurd).

Presupunem că n nu este produs de numere prime}≠0

Fie m primul element din M. m nu poate fi prim,deci m=k∙l,1<k<m,1<l<m.

l și k fiind mai mici ca m se reprezintă ca produse de numere prime,deci: m=k∙l se reprezintă ca un produs de numere prime.Contrazicem ipoteza.Deci M=Ǿ și teorema este demonstrată.

Lemă:

Ordinul unui număr prim are următoarele proprietăți:

10 (αp este o functie total aditiva);

20

30 Dacă p și q sunt numere prime:

Teorema 3:

Orice număr natural diferit de zero se reprezintă în mod unic,până la ordinea factorilor,ca un produs de numere prime.

Teorema 4:(teorema lui Euclid)

În șirul numerelor naturale există o infinitate de numere prime.

Demonstrație:(metoda reducerii la absurd).

Presupunem că există un număr finit de numere prime:

P={p1,p2,…..,pk}.Fie numărul :N=p1p2…..pk+1.Cum N>1,există un număr prim p,p/N.Oricare număr prim este din P,deci există ,p=pi.Din p/N si p/p1p2………..pi………pk rezultă că p divide diferența celor două numere,adică p/1.

Rezultă p=1,ceea ce contrazice definiția numărului prim.

I.2.2 Numere întregi prime

În inelul Z al numerelor întregi 0 se divide prin orice număr întreg.Unitățile din Z, 1 și -1 sunt singurele numere care divid orice număr întreg.

Un număr întreg a,diferit de unități,are cel puțin patru divizori:

unitățile 1,-1 și asociații lui a: a și –a.Acești divizori ai lui a se numesc divizori improprii.Dacă a are și alți divizori aceștia se numesc divizori proprii ai lui a.

Definiția 1:

Un număr întreg i diferit de ±1 si de 0 se numește ireductibil dacă nu are divizori proprii.Un număr întreg,diferit de unități,care are divizori proprii se numește număr compus.

Definiția 2:

Un număr întreg p,diferit de zero și unități se numește număr prim dacă oricare ar fi întregii a și b astfel că p/a∙b,atunci p/a sau p/b.

Observații:

Numerele ireductibile din Z sunt numerele ireductibile din N și opusele(numerele associate)lor.

Un număr întreg este prim în Z dacă și numai dacă ‌‌ este prim în N.

În mulțimea numerelor întregi noțiunile de număr prim și număr ireductibil coincid.

Teorema 1:

Orice număr întreg diferit de zero și unități se reprezintă ca un produs de numere prime.Această reprezentare este unică,până la ordinea factorilor și factorilor asociați.

Teorema 2:

Fie numărul întreg n cu descompunerea canonică:

(1)

Ce din Z, 1 și -1 sunt singurele numere care divid orice număr întreg.

Un număr întreg a,diferit de unități,are cel puțin patru divizori:

unitățile 1,-1 și asociații lui a: a și –a.Acești divizori ai lui a se numesc divizori improprii.Dacă a are și alți divizori aceștia se numesc divizori proprii ai lui a.

Definiția 1:

Un număr întreg i diferit de ±1 si de 0 se numește ireductibil dacă nu are divizori proprii.Un număr întreg,diferit de unități,care are divizori proprii se numește număr compus.

Definiția 2:

Un număr întreg p,diferit de zero și unități se numește număr prim dacă oricare ar fi întregii a și b astfel că p/a∙b,atunci p/a sau p/b.

Observații:

Numerele ireductibile din Z sunt numerele ireductibile din N și opusele(numerele associate)lor.

Un număr întreg este prim în Z dacă și numai dacă ‌‌ este prim în N.

În mulțimea numerelor întregi noțiunile de număr prim și număr ireductibil coincid.

Teorema 1:

Orice număr întreg diferit de zero și unități se reprezintă ca un produs de numere prime.Această reprezentare este unică,până la ordinea factorilor și factorilor asociați.

Teorema 2:

Fie numărul întreg n cu descompunerea canonică:

(1)

Condiția necesară și suficientă ca un număr întreg d să dividă pe n este ca:

, (2)

Demonstrație:

Condiția este necesară dacă: d/n,există un întreg c astfel încât :

Condiția este suficientă:

,

unde:

Definiția 3:

Se spune că numerele a,b,….m sunt prime între ele dacă (a,b,….,m)=1

Se mai spune că a,b,……,m sunt global prime între ele.

I.2.3 Numere prime speciale

Prin numere prime speciale înțelegem numere prime care satisfac o anumită proprietate P(n) relativă la numerele naturale.Proprietatea P(n) determină o submulțime a mulțimii numerelor naturale formată din toate numerele naturale pentru care P(n) este adevărată.Mulțimea respectivă este un șir de numere naturale.Deci,prin numere prime speciale înțelegem numere prime dintr-un șir de numere naturale.

O problemă importantă în legătură cu aceste numere este următoarea:”fiind dat un șir de numere naturale există în acest șir o infinitate de numere prime?”.

Dintre șirurile de numere naturale pentru care răspunsul la întrebare nu este cunoscut nici până astăzi menționăm:

șirul lui Fibonacci: u1=u2=1;un+2=un+un+1;

șirul:u1=1;u2=3;un+2=un+un+1;

șirul numerelor “fericite”.

Teorema 1:

Există o infinitate de numere prime de forma p=n2+1.

Teorema 2:

Există o infinitate de numere prime de forma:p=n2+n+41.

I.2.4 Numere prime din progresii aritmetice

Teorema 1:

Există o infinitate de numere prime de forma:

Demonstrație:

Presupunem ca exista doar un numar finit de numere prime de forma:

si acestea sunt: .

Consideram numarul ajutator : .Deoarece N>1,exista numere prime p care divid N.Oricare numar prim impar p este de forma: sau .Daca toti divizorii primi ai lui N ar fi de forma ,atunci N ar fi de forma ,ceea ce contrazice definitia lui N.( si ,contradictie!).

Deci,exista un numar prim p,p/N si p de forma .Prin urmare, .Rezulta ca: si cum ,ar rezulta ,ceea ce contrazice definitia numarului prim.

Teorema 2:

Oricare ar fi numarul natural n, ,exista o infinitate de numere prime p de forma:

Demonstrație:

Pentru si afirmatia teoremei este adevarata(teorema lui Euclid).

Pentru n=2,teorema este adevarata(exista o infinitate de numere prime impare).

Pentru n>2,vom folosi lema urmatoare:

Lema:

Pentru orice numar natural n,n>1 avem:

Teorema 3:

Exista o infinitate de numere prime de forma:

Demonstrație:

Presupunem ca exista doar un numar finit de numere prime de forma

Consideram numarul :

cum N are un divizor prim p de forma: .

Cum rezulta ca si contrazicem definitia numarului prim.

Teorema 4:

Exista o infinitate de numere prime de forma:

Demonstrație :(metoda reducerii la absurd).

Presupunem ca exista un numar finit de numere prime de forma .

Consideram de forma .Deci:

si ,rezulta ca deci p=3 si contrazicem .

Teorema 5:

Pentru orice numar natural ,exista o infinitate de numere prime de forma:

Demonstrație:

Pentru k=1,teorema este edevarata deoarece exista o infinitate de numere prime.

Pentru k>1,aratam mai intai ca exista numere prime de forma: .

Pentru ,vom avea:

Deoarece ecuatiile au un numar finit de radacini,putem alege y astfel incat: .

Exista numere prime p care sunt divizori ai lui .Deoarece: rezulta ca: si deci nu divide

Deci:

Fie: Exista doua numere .

Fie: Exista doua numere intregi s si t astfel incat Deci:

Nu putem avea ,deci si p-1 trebuie sa fie un multiplu de k,deoarece si k este cea mai mica putere pozitiva a lui x congruenta cu 1 modulo p.

Deci .Deci,exista numere prime p de forme nk+1.

Fie un asemenea numar:

,deci: .

Conform primei parti a demonstratiei,exista un numar prim de forma :

.

Deci pentru orice numar prim de forma nk+1,exista un numar prim de aceeasi forma mai mare ca primul.Rezulta ca exista o infinitate de numere prime de forma nk+1.

Teorema 6:

Oricare ar fi numerele progresia:

(1)

contine o infinitate de numere prime pozitive.

II.1.1 Notiuni introductive

Definiția 1:

Se numeste sirul lui Fibonacci sirul dat prin relatia de recurenta:

(1)

si conditiile initiale: .

Termenii sirului lui Fibonacci se numesc numerele lui Fibonacci.

Propozitia 1:

Avem:

(2)

Demonstrație:

Conform egalitatii (1) putem scrie:

Adunand membru cu membru aceste egalitati,obtinem:

Propozitia 2:

Avem:

(3)

Demonstrație:

Conform definitiei avem:

Adunand membru cu membru aceste egalitati,obtinem:

Propozitia 3:

Avem:

(4)

Demonstrație:

Conform definitiei avem:

(5)

Scazand membru cu membru egalitatile (5) si (3) obtinem:

Propozitia 4:

Avem:

(6)

Demonstrație:

Scazand membru cu membru egalitatile (3) si (4) obtinem:

(7)

Adunand in ambii membrii ai egalitatii (7) pe obtinem:

(8)

Propozitia 5:

Avem:

(9)

Demonstrație:

Observam ca:

(10)

Conform definitiei si egalitatii (10) avem:

Sumand membru cu membru aceste egalitati obtinem:

.

Propozitia 6:

Pentru orice numere naturale avem :

(11)

Demonstrație:

Facem inductie dupa m .

Proprietatea este adevarata pentru m=1.

si pentru m=2.

Presupunem proprietatea adevarata pentru m=k si m=k+1.

Adunand membru cu membru,obtinem:

adica propozitia este adevarata pentru m=k+2.

Daca in relatia (11) facem m=n,obtinem:

si cum : ,vom avea:

(12)

Propozitia 7:

Avem:

(13)

Demonstrație:

Pentru n=1,proprietatea este adevarata.

Presupunem ca relatia (13) este adevarata.Adunand in ambii membrii

obtinem:

deci:

adica:

,

deci proprietatea este adevarata pentru n+1.

Propozitia 8:

Avem:

(14)

(15)

Demonstrație:

Identitatea (14) se demonstreaza prin metoda inductiei.

Pentru n=1 avem: .

Presupunem ca relatia (14) este adevarata.Vom avea:

Identitatea (15) rezulta imediat din (14):

Propozitia 9:

Avem:

(16)

Demonstrație:

Identitatea (16) se demonstreaza prin metoda inductiei.

Pentru n=1 avem:

.

Presupunem ca relatia (16) este adevarata.Vom avea:

.

Deci,proprietatea este adevarata.

„Consideram triunghiul lui Pascal.”

Observam ca sumele numerelor de pe diagonalele ascendente sunt tocmai numerele din sirul lui Fibonacci.

adica

Propozitia 10:

Avem:

(17)

Demonstrație:

Identitatea (17) a fost verificata pentru

Presupunem ca formula este adevarata pentru n-1 si n-2.

Vom avea:

Adaugam sirului lui Fibonacci,termenii:

Propozitia 11:

Pentru orice numar natural n, avem:

(18)

Demonstrație:

Pentru n=0 si n=1,proprietatea este adevarata:

Presupunem proprietatea adevarata pentru n:

Vom avea:

II.1.2 Proprietati ale sirului lui Fibonacci

10 Sirul lui Fibonacci coincide cu sirul coeficientilor catului impartirii polinomului x la polinomul 1-x-x2.

Acest lucru se poate verifica si direct.

Fie sirul ,unde:

Daca ,se verifica direct ca:

In egalitatea :

pentru n>0,coeficientul lui xn in membrul intai este 0,iar in membrul al doilea este .Rezulta ca:

20 Pentru sirul lui Fibonacci,dat prin

avem:

(1)

Demonstratie:

Relatia de recurenta: ii corespunde ecuatia caracteristica:

care are ca radacini (distincte) numerele:

Deci termenul general din sirul lui Fibonacci are forma:

(2)

sunt date de sistemul ,adica:

,

rezulta ca: si obtinem:

.

Aceasta formula este cunoscuta sub numele de formula lui Binet.

Fiecarui sir numeric i se asociaza functia generatoare:

(3)

Avem si:

(4)

(5)

Scazand din (3) suma lui (4) cu (5) si tinand cont ca in cazul sirului lui Fibonacci ,obtinem:

,

deci,pentru sirul lui Fibonacci functia generatoare este:

. (6)

Polinomul are radacini si .Din:

,

rezulta : ,deci:

(7)

Pentru ,avem:

Rezulta ca:

deci:

.

30 Suma patratelor a doua numere consecutive din sirul lui Fibonacci este un numar al lui Fibonacci:

Demonstratie:

Din formula lui Binet rezulta ca:

Vom avea si:

Deci:

Observam ca si Rezulta ca:

40 Formula lui Binet este valabila si pentru numerele lui Fibonacci cu indice negativ.

Demonstratie:

Stim ca Deci:

II.1.3 Numerele prime din sirul lui Fibonacci

Teorema 1:

Doua numere consecutive din sirul Fibonacci sunt prime intre ele.

Demonstrație:

Teorema rezulta din si conform algoritmului lui Euclid aplicat pentru

Teorema 2:

Oricare ar fi numarul natural m,m>1 printre primii termeni ai sirului lui Fibonacci exista unul care se divide cu m,diferit de .

Demonstrație:

Vom nota cu restul impartirii numarului intreg k prin m.

Consideram sirul de perechi.

(1)

Doua perechi sunt egale daca .

Numarul perechilor diferite doua cate doua din sirul (1) este .

Teorema 3:

Fie si numarul lui Fibonacci de rang n.Atunci daca si numai daca exista un numar intreg rational a,astfel incat .Daca atunci .

Demonstrație:

Daca atunci din rezulta ca .Daca exista ,vom avea si:

(din rezulta .

Vom avea:

.

Dar:

Rezulta ca : .

II.2.1 Numerele prime ale lui Mersenne

Definitia 1:

Se numesc numerele prime ale lui Mersenne,numerele prime de forma:

.

Definitia 2:

Fie .Daca numarul este prim,atunci a=2 si p este numar prim.

Demonstratie:

Din:

si

rezulta: deci

Pentru a arata ca daca este numar prim,atunci m este prim,procedam prin reduceri la absurd.Presupunem ca exista astfel incat: Vom avea:

si cum: ,rezulta ca este un divizor propriu al lui ,si contrazicem ipoteza ca acest ultim numar este prim.

Definitia 3:

Se numeste sirul lui Mersenne sirul ,unde: ,fiind cel de al n-lea numar natural prim(adica termenul de rangul n din sirul

).Numerele prime ale lui Mersenne sunt acei termeni din sirul lui Mersenne care sunt numere prime.

Pentru primele sase numere prime avem:

Pentru numerele prime 2,3,5,7,13 am obtinut numerele prime ale lui Mersenne 3,7,31,127,8191,carora le corespund numerele perfecte:

6=2(22-1);

28=22(23-1);

496=24(25-1);

8128=26(27-1);

33550336=212(213-1).

Pentru numarul prim p=11,211-1=23∙89 nu este prim.Acest exemplu ne arata ca pentru propozitia “2p-1 este numar prim”,propozitia “p este prim”este o conditie necesara dar nu si suficienta.

Mersenne(1588-1648) a calculat primii 55 termeni din sirul (pentru numerele prime de la 2 la 257),pe care le-am considerat ca fiind numere prime.Ulterior,s-a aratat ca este prim pentru si este compus pentru toate celelalte numere prime .

Cu ajutorul calculatorului SWAC au fost determinate numerele prime si s-a verificat ca toti termenii sirului lui Mersenne ,sunt numere compuse.Numarul prim 1279 ii corespunde numarul care are (scris in baza 10) 386 de cifre.

II.2.2 Un criteriu pentru numerele prime ale lui Mersenne

Teorema 1:

Numarul lui Mersenne este prim daca si numai daca este un divizor al termenului de rangul al sirului ,dat prin pentru

Demonstratie:

sunt numere prime si conditia este indeplinita pentru n=2 si n=3,dar nu este indeplinita pentru n=1:

Presupunem ca este prim.Trebuie sa aratam ca:

Numerele sunt impare si putem inlocui pe cu .Avem:

Observam ca:

Din rezulta ca:

(1)

In egalitatea :

(2)

facem : si obtinem:

(3)

Observam ca .Presupunem ca .Din relatiile (2) si (3) rezulta ca:

,

deci pentru orice numar natural k,avem:

(4)

Trebuie sa aratam ca ,adica .In relatia (2) facem si obtinem:

(5)

In conditiile noastre este de forma si conform proprietatilor simbolului lui Legendre si teoremei lui Euler de la resturi patratice avem:

si .

Din egalitatea (5) rezulta:

(6)

Observam ca: ,deci:

Asadar,rezulta ca:

si din (5) obtinem:

.

Teorema 2:

Daca numarul prim este de forma si este prim,atunci:

.

Demonstratie:

Stim,din teoria resturilor patratice,ca ,deci: ,deci:.

Reamintim ca am considerat ceea ce implica , adica si rezulta ca este numar compus.

II.3.1 Sirul lui Fermat

Definitia 1:

Se numeste sirul lui Fermat sirul ,unde :

3,5,17,257,……….., ,……………. (1)

Termenii sirului (1) se numesc numerele lui Fermat.Termenii sirului (1) care sunt numere prime se numesc numerele prime ale lui Fermat.

Teorema 1:

Daca numarul este numar prim ,atunci k este de forma .

Demonstratie:

Fie un numar prim.Orice numar natural se scrie sub forma ,u numar impar.Presupunem ca numarul k nu este de forma: ceea ce inseamna ca u>1.Vom avea:

.

Rezulta ca este un divizor propriu al lui p deoarece: ,ceea ce contrazice ipoteza ca p este prim.Prin urmare :

.

II.3.2 Proprietăți ale numerelor lui Fermat

Teorema 2:

Cu exceptia lui si ,toate numerele lui Fermat , scrise in baza 10,se termina cu cifra 7.

Demonstratie:

Este suficient sa aratam ca,pentru se termina cu cifra 0,adica Din:

(2)

rezulta ca :

(3)

Numarul se termina cu cifra 5,deoarece n>1.

este un numar impar si orice putere impara a lui 4 se termina cu cifra 4.Rezulta ca:

(4)

Din (3) si (4) si (4,5)=1,rezulta ceea ce implica .

Teorema 3:

Pentru orice numere naturale m,n,m>n,avem:

Demonstratie:

Exista un numar natural astfel incat: Rezulta ca:

In ultimul produs primul factor este tocmai .Rezulta ca: .

Teorema 4:

Oricare ar fi doua numere naturale m,n,m+n,avem:

Demonstratie:

Putem presupunem m>n(astfel schimbam ordinea celor doua numere).Notam:

Din (teorema 2) rezulta .Dar si rezulta Rezulta ca d=1 sau d=2.Intrucat si sunt impare avem d=1.

Teorema 5:(Euclid)

In sirul numerelor naturale exista o infinitate de numere prime.

Demonstratie:

Pentru orice numar natural n,numarul are un divizor prim .Sirului lui Fermat ii corespunde un sir de numere naturale prime Pentru .Deci este un sir de numere prime diferite doua cate doua.

II.3.3 Numerele prime ale lui Fermat

Numerele prime ale lui Fermat sunt numerele prime din sirul ,deci un numar prim p este numar prim al lui Fermat daca exista un numar natural n astfel incat

Teorema 6:

Numarul ,este prim daca si numai daca:

(5)

Demonstratie:

Pentru si

este falsa.

Pentru n>0 presupunem ca este numar prim.Observam ca :

Prin inductie,se verifica imediat ca pentru ,

deci este de forma :

Conform criteriului lui Euler de la resturi patratice,avem:

(6)

unde este simbolul lui Legendre.

In baza legii de reciprocitate a lui Gauss,avem: (7)

Din (6) si (7)rezulta ca:

.

Deci,conditia (5) este necesara pentru ca sa fie prim.Reciproc,considerand congruenta (5) adevarata,prin ridicare la patrat a ambilor membri,obtinem:

(8)

Teorema 7:

Pentru n>1,orice divizor prim al numarului are forma

Demonstratie:

Fie p un divizor prim al lui .Din rezulta si ridicand ambii membrii ai congruentei la patrat ,obtinem:

.

Rezulta ca ordinul clasei lui 2,modulo p,este si cum ordinul divide p-1,vom avea .

Pentru n>1 avem Deci,conform criteriului lui Euler,avem:

si

Rezulta ,adica si prin urmare p este de forma

Stim ca un numar natural n este prim daca si numai daca nu are nici un divizor prim Pentru a arata ca este prim trebuie sa aratam ca nu are divizori primi ,de forma si :

.

Rezulta ca:

Teorema 8:

Pentr n>1,numarul lui Fermat este prim daca si numai daca nu adimite nici un divizor prim p de forma:

Definiția 1:

Fie A un inel gaussian care admite o submultime cu proprietatile urmatoare:

S este un „sistem de reprezentanti”in raport cu relatia de asociere in divizibilitate introdusa pe ;aceasta inseamna ca orice element din este asociat in divizibilitate cu un element din S,oricare doua elemente distincte din S sunt neasociate in divizibilitate ,iar

Daca ,atunci

Daca

Vom spune ca un sir este un sir Dedekind daca satisface proprietatea aritmetica:

,

pentru oricare numere care nu se divid reciproc,adica pentru care si (echivalent pentru oricare n<m,n nu divide m).

Sa observam ca ,in particular,toate sirurile cu proprietatea ,pentru orice ,sunt siruri Dedekind.

Invers insa nu este adevarat,mai precis intr-un sir Dedekind pot exista termeni cu pentru care .

Definiția 2:

Fie A un inel gaussian care admite o submultime cu proprietatile mentionate.Vom spune ca un sir este un sir Mersenne-Fibonacci daca satisface proprietatea aritmetica:

.

Teorema 1:

Fie A un inel gaussian care admite o submultime .Un sir este un sir Mersenne-Fibonacci daca si numai daca exista un unic sir Dedekind cu proprietatea ca este satisfacuta relatia lui Dedekind:

.

produsul facandu-se dupa toti divizorii naturali ai numarului n.

Demonstratie:

Necesitatea:

Presupunem ca este un sir Mersenne-Fibonacci si aratam ca exista si este unic un sir Dedekind care satisface relatia din enunt.

Existenta sirului o vom demonstra prin inductie dupa n.

Luam .(unde ).

Sa presupunem ca am construit termenii satisfacand egalitatile pentru si trecem la constructia lui .

Pentru aceasta,vom proba mai intai egalitatea:

(1)

unde M este cel mai mic multiplu comun al elementelor ,cand d/n,d<n.

Pentru a proba egalitatea (1),aratam ca cei doi membrii se divid reciproc.

Daca este un divizor fixat al lui n, e clar ca este un multiplu si de cel mai mic multiplu comun al elementelor ,cand d/n,d<n,adica in definitiv:

(2)

Observam acum ca termenii deja construiti din sirul pe care-l cautam,satisfac proprietatea din definitia unui sir Dedekind.Intr-adevar,pentru ,k nu divide l,avem (k,l)<k,deci daca d/(k,l) rezulta in particular d/k si d<k.Atunci:

divide

La inceputul secolului al XIII-lea , in orasul Pisa din Italia a trait un matematician iscusit, mare cunoscator al diferitelor relatii dintre numere pe care il chema Leonardo.Ii ziceau si Fibonacci , adica fiul lui Bonacci din Pisa.In 1202 el a publicat in limba latina o carte intitulata “ Cartea despre abac” (Incipit Liber Abacci compositus a Leonardo filius Bonacci Pisano), care cuprindea ansamblul cunostintelorde aritmetica si algebra de la acea data.Cartea lui a fost una din primele din Europa care invata cum trebuie folosit sistemul zecimal.

Cartea lui Leonardo din Pisa a cunoscut o larga raspandire in timp de peste 2 secole a fost considerata cea mai competenta sursa de cunostinte in domeniul numerelor.

Potrivit obiceiului din acea epoca, Fibonacci a participat la concursuri matematice- dispute publice pentru cea mai buna si mai rapida solutie a unor probleme grele, ceva in genul concursurilor pe tara din zilele noastre!

Fibonacci a intocmit un sir de numere naturale, care ulterior s-a dovedit foarte folositor:

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,……

Legea formarii termenilor acestui sir este foarte simpla: primii 2 termeni sunt unu, iar fiecare termen urmator se obtine prin adunarea celor 2 termeni care il preced.De exemplu 2=1+1 3=1+2 5=2+3 8=3+5…etc..

O problema pe care a investigat-o Fibonacci in anul 1202, in cadrul unui concurs de matematica condus de imparatul Frederick al II-lea, suna astfel:

Presupunem ca o pereche de iepuri nou-născuți, un mascul si o femela, este pusa pe un camp. Iepurii sunt capabili sa se imperecheze de la varsta de o luna astfel incat la sfarsitul celei de-a doua luni din viata femelei, ea naste o alta pereche de iepuri. Presupunand ca iepurii nu mor niciodata si ca femela naste intotdeauna o perche noua :(o femela, un mascul) in fiecare luna incepand cu cea de-a doua luna, calculati cate perechi de iepuri vor fi intr-un an.

In continuare va fi prezentata solutia problemei in care vestitul sir al lui Fibonacci poate fi utilizat in rezolvare.

Solutie:

Din datele problemei rezulta ca numarul perechilor de iepuri din fiecare luna este un termen al sirului lui Fibonacci. Intr-adevar, sa presupunem ca la 1 ianuarie exista o singura pereche fertila de iepuri. Notam cu 1 perechea respectiva. Ea corespunde numarului F2 din sirul lui Fibonacci:

F2=F0+F1=0+1=1

La 1 februaria mai exista o pereche pe care o notam cu 1.1. Deci in acest moment sunt doua perechi, ceea ce corespunde termenului:

F3=F1+F2=1+1=2

La 1 martie sunt 3 perechi, doua care existau in februarie si una noua care provine de la perechea numarul 1. Notam cu 1.2 aceasta noua pereche. Numarul perechilor din aceasta luna corespunde termenului:

F4=F2+F3=1+2=3

Prezentam in figura de mai jos arborele genealogic al celor trei perechi:

1

1.2

La 1 aprilie exista 5 perechi si anume:

trei perechi existente in luna martie;

o pereche noua care provine de la parechea 1

o pereche noua care provine de la perechea 1.1 care la 1 martie a devenit fertila ( pereche pe care o notam cu 1.1.1. )

Din nou se obtine urmatorul arbore genealogic:

1

1.1 1.2 1.3

1.1.1

Numarul perechilor din aceasta luna corespunde termenului:

F5=F3+F4=2+3=5

Termenii din aceasta relatie se interpreteaza astfel:

F4=numarul perechilor existente in luna precedenta

F3=numarul perechilor noi;ele provin de la perechile existente in luna anteprecedenta;

Procedand in continuare in acest fel, vom deduce ca la data de 1 decembrie numarul perechilor este dat de termenul :

F13=F11+F12=89+144=233,

iar la 1 ianuarie anul urmator exista:

F14=F12+F13=144+233=377 perechi de iepuri.

Concluzia ar putea fi urmatoarea:

Sa notan Fn numarul de perechi de iepuri dupa n luni. Numarul de perechi de iepuri dupa n+1 luni, notat Fn+1, va fi Fn (iepurii nu mor niciodata!), la care se adauga iepurii nou-nascuti. Dar iepurasii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel putin o luna, deci vor fi Fn-1 perechi de iepuri nou-nascuti.

Obtinem astfel o relatie de recurenta:

Fn+1 = Fn + Fn-1;

F1=1;

F0=0.

Aceasta relatie de recurenta reprezinta regula care genereaza termenii sirului lui Fibonacci.

Problema inmultirii iepurilor este departe de a fi realista, chiar daca a dus la o descoperire atat de importanta cum este acest sir. Dar cunoscutul sir al lui Fibonacci, generat de aceasta problema, are numeroase aplicatii, deosebit de interesante. Unul dintre cele mai importante aspecte este legatura dintre numerele Fibonacci si sectiunea de aur.

Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale sau , pare a face parte din “constitutia” Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie. De exemplu, o regasim in modul de dispunere a frunzelor, petalelor sau semintelor la plante, in raportul dintre diferite parti ale corpului omenesc, etc…

Dispunere frunzelor, petalelor sau semintelor la plante

Plantele nu au cum sa cunoasca numerele lui Fibonacci, dar ele se dezvolta in cel mai eficient mod. Astfel, multe plante au aranjamentul frunzelor dispus intr-o secventa Fibonacci in jurul tulpinei. Anumite conuri de pin respecta o dispunere data de numerele lui Fibonacci, si de asemeni si floarea soarelui. Inelele de pe trunchiurile palmierilor respecta numerele lui Fibonacci.

Motivul pentru toate acestea este realizarea unui optim, a unei eficiente maxime. Astfel de exemplu, urmand secventa lui Fibonacci, frunzele unor plante pot fi dispuse astfel incat sa ocupe un cat mai mic spatiu si sa obtina un cat mai mult soare.
Ideea dispunerii frunzelor in acest sens pleaca de la considerarea unghiului de aur de 222, 5 grade, unghi care impartit la intregul 360 de grade va da ca rezultat cifra 0.61803398…, cunoscuta ca ratia sirului lui Fibonacci.

In alta ordine de idei, numarul petalelor florilor este, de cele mai multe ori, un numar al secventei Fibonacci:

iris, crin: 3 petale ;

trandafir salbatic, viorele, lalele, majoritatea florilor: 5 petale ;

margaretele pot avea 34 de petale sau 21 de petale cel mai comun
si exemplele sunt nenumarate.

Dreptunghiuri Fibonacci

Pornind de la două mici pătrate alăturate, cu laturile egale cu

unitatea 1, se poate desena deasupra lor un altul cu latura

2 (=1+1).In continuare se poate alipi un alt pătrat cu latura 3, iar dedesubt unul cu latura 5, ș.a.m.d. Se obține astfel o dispunere a numerelor Fibonacci într-un set de pătrate și dreptunghiuri, acestea din urmă având ca lungime a laturilor două numere Fibonacci consecutive. De fapt avem de a face cu dreptunghiuri de aur, raportul laturilor acestora fiind egal cu numărul phi.

Cochilia melcului
Designul cochiliei melcului urmeaza o spirala extrem de reusita, o spirala pe care noua ne-ar fi greu sa o realizam trasand-o cu pixul. Fiind studiata mai in amanuntime, s-a ajuns la concluzia ca aceasta spirala urmareste dimensiunile date de secventa lui Fibonacci:

pe axa pozitiva: 1, 2, 5, 13,…

pe axa negativa: 0, 1, 3, 8,….

Dupa cum se observa, aceste 2 subsiruri combinate, vor da chiar numerele lui Fibonacci.
Ratiunea si motivatia pentru aceasta dispunere este simpla: in acest fel cochilia ii creaza melcului, in interior un maxim de spatiu si de siguranta. Este inca unul din nenumaratele exemple de aplicare a secventei in natura.

Corpul omenesc

Privit din profil, majoritatea elementelor fetei sunt plasate la puncte de intretaiere dupa phi. Urechea umana prezinta o geometrie dupa spirala melcului de mare (nautilus), desenata dupa “dreptunghiurile de aur” conform phi.

Mana umana are 5 degete, fiecare deget avand 3 falange separate prin 2 incheieturi (numere in secventa). In medie, dimensiunile falangelor sunt: 2cm, 3cm, 5cm. In continuarea lor este un os al palmei care are in medie 8 cm.

Fata umana este caracterizata, din punct de vedere estetic prin cateva dimensiuni principale: distanta intre ochi, distanta dintre gura si ochi si distanta dintre nas si ochi, dimensiunea gurii. In stiinta esteticii se apreciaza ca fata este cu atat considerata mai placuta ochiului cu cat aceste dimensiuni respecta secventa lui Fibonacci mai bine.

Arhitectura si sculptura

Legãturile între aceste numere ale sirului lui Fibonacci sunt mult mai profunde. Ele au stat la baza construirii marilor edificii antice. Una dintre ele este Marea Piramidã de la Gizeh. Cel putin aici, datele sunt tulburãtoare.

Împãrtind perimetrul bazei la înaltimea piramidei vom obtine 6,28 adicã 2pi. Aceastã piramidã are valoarea unghiului de înclinare a fetelor de 51°51'. Dacã raportul dintre apotemã si jumãtatea bazei este egal cu 1,618 adicã F, vom obtine o piramidã cu fetele înclinate la 51°50', adicã cu o diferentã de 1' fatã de piramida pi. De altfel, raportul real al fetelor este 14/11, adicã 51°50'35''. Piramida fiind oblicã, se construia urcând cu 7 si înaintând pe orizontalã cu 2. Panta rezultatã este 14/11.
A doua constructie este Partenonul din Atena, construit intre anii 447-432 Î.Hr.

Monumentul este un templu doric, lung de 69,51 m și lat de 30,86 m. înconjurat de un rând de coloane : câte 8 pe laturile mici și câte 17 pe cele mari. Cele două intrări ale templului mai au în față câte un rând de 6 coloane.

Raportul dintre inaltimea si diametrul coloanelor este de 9 la 1, adica inaltimea unei coloane este de opt sau de noua ori cat diametrul, si, prin aceasta, ele par mai pline de vioiciune. Dealtfel aceste coloane nu mai rasar direct din pamant, ci stau pe un piedestal format din trei sau chiar patru inele cilindrice suprapuse, iar capitelul-coloanelor este impodobit cu doua volute in forma de spirala, care aminteste de cochilia unui melc.

Maestrul Leonardo Da Vinci a exprimat ca nimeni altul numerologia sacrã în arta sa,fiind unul din artistii la care s-au identificat cele mai multe forme de utilizare ale raporturilor in PHI.
În tabloul Buna Vestire liniile orizontale sunt mereu un multiplu de 0,618 ca si cele verticale. Ele împart întotdeauna tabloul în pãrti aflate în raport de 0,618.

Petre Minut;Cristina Simirad-„Numere prime speciale”-Ed.Didactica-Iasi (2003);

Marcel Tena-„Cinci teme de aritmetica superioara”-Ed.Tehnica -Iasi (1986);

Iaglom, A.M.; Iaglom, I.M.- “Probleme neelementare tratate elementar”- Ed. Tehnică, (1983);

Basin, S.L. “ The Fibonacci Sequence as It Appears in

Nature”, The Fibonacci Quaterly, (1963);

Petre Minut-„Teoria numerelor-Capitole de baza”-

Ed.Univ.Al.I.Cuza –Iasi (1999);

6) Petre Minut-„Teoria numerelor-Capitole introductive”-

Ed.Crenguta Galdau-Iasi (1997);

Florica T. Campan-“ Variate aplicatii ale matematicii”-

Ed.Ion Creanga – Bucuresti (1984);