SIMETRIE ÎN NATURĂ , SIMETRIE ÎN CRISTALE [602829]

SIMETRIE ÎN NATURĂ , SIMETRIE ÎN CRISTALE
Ligia Ion
Abstract
……………………
Oamenii de știință au descoperit că natura prezintă î n diferitele ei
manifestă ri, numeroase elemente de simetrie. O categorie importantă de
formaț iuni ale materiei existente în natură o formează cristalele care sunt de fapt
cele mai izbitoare exemple de simetrie în lumea anorganică .
Cristalele sunt sediile unor fenomene fizice precum difracț ia,
polarizarea sau rotirea luminii polarizate. S-au fo rmat din diferite subst anțe,
minerale în condiții speciale de temperatură ș i presiune.La nivel microscopi c
sunt corpuri solide, omogene ș i anizotrope.
Anizotropia la nivel microscopic se manifestă prin formele poliedrale iar
la nivel macroscopic se manife stă prin fenomenele fizice specifice, amintite mai
sus. Anizotropia nu este altceva decât dependența proprietăților de direcț ii. Dacă
proprietățile substanței nu se modifică în funcție de direcț ie sau expresia acesteia
nu depinde de orientarea sistemului de c oordo nate atunci se spune ca substanț a
este izotropă față de aceasta proprietate. Dacă avem de -a face cu o dependență a
unor proprietăți de direcț ie, atunci expresia acestora depinde de orientarea
sistemului de coordonate, dependența purtâ nd numele de anizo tropie. Trebuie
menționat că aceasta este propr ie nu numai cristalelor, ea menținându -se și î n
texturile cristaline. Este determinată de structura lor atomica, fără a fi necesar să
difere toate proprietățile după toate direcț iile.
Omogenitatea la nivel mi croscopic se manifestă prin invarianța față de
anumite translații care pun în evidență o structură laticială . Omogenitatea
microscopică înseamnă că în orice porțiune a substanței cristaline toate
proprietățile ei sunt identice ( fie că sunt proprietăț i fizice: optice, mecanice,
termice fie că sunt proprietăț i fizico -chimice: solubilitatea suprafeței, absorbț ia
pe ea a unora sau altora dintre substanțe). Pentru ca substanța cristalină să fie
omogenă înseamnă că atât componenta sa chimica cât ș i starea de faz a sunt
constante î n volum.Deci omogeni tatea este invarianta proprietăților F ale
cristalului (scalară, vectorială sau tensorială) când se trece de la măsurarea ei î n
punctul
),,(3 2 1 xxxF la măsurarea î n orice punct
)' ,' ,' (3 3 2 2 1`'
1xxxxxxFF 
adică
)' ( )( xxFxF  . Omogenitatea
poate fi statistică sau reală . În cazul omogenității statistice, răspândirea
particulelor materiale în jurul a două puncte analoage A 0 si A 1 ale aceluiași corp

poate fi nergeulată în mod detaliat, însă omogenă î n medie prin legi statistice.
Asemenea o mogenitate (izotropie statistică) se întâlnește la substanț e
necristalizate, adica amorfe, lichide sau gazoase. În cazul omogenităț ii reale
aranjamentul particulelor în jurul a două puncte analoage A 0 si A 1 ale aceluiaș i
corp este riguro s și exact identic nu numai în medie ci și î n mod detaliat.
Particulele se pot aranja după o dreapta reticulară (sau șir reticular), după o rețea
plană (plan reticular sau rețea bidimensională ) sau dupa o rețea tridimensională .
Cristalul este format din particule de diferite feluri ce pot fi atomi,
nuclee atomice sau ioni. Datorită forțelor care acționează î ntre ele aceste
particule oscileaza î n jurul unor poziț ii de echilibru care sunt nodur ile
unei reț ele cristalografice împreună cu electronii care însoț esc nucleele
atomice pentru a forma atomi sau molecule.Roentgen von Lane ,
folosindu -se de raze a arătat că distanța între doi atomi vecini î ntr-un
cristal este de ordinul unui Anystrom( 1A=10-8 cm). În particular, î ntr-un
cristal de aur distanta este de 4°.
Rețeaua cristalografică este o reuniune finită L de orbite L i ale
unui grup laticial R deci exista x 1,…, x pє E3 finit astfel î ncat L = U L i unde
i=1,.., p si L i={t u(xi), uєR} . R este generat de u=( u 1, u2, u3 ) atunci
presupunem că xi se găsesc în paralelipipedul semi -închis ∏ i={ t1u1+
t2u2+ t3u3; 0≤ t1, t2, t3 ≤1} deoarece orbita grupului R conține exact un
punct î n acest paralelipiped. Punctele mulț imii L se numesc noduri.
Fiecărei reț ele L i se asociaza gr upul H L de automorfisme ƒ A,a ale
lui E3 care invariază fiecare dintre orbitele L i.Atunci ƒ A,a(x) є L i unde
iє{1, …., p}H L se numeș te grup cristalografic spaț ial al retelei L . H L
include atât grupul translaț iilor (T R={t u , uє R}) cât și grupul
transformărilor ortogonale care lasă invariantă orbita L i. Fiecarui cristal,
reprezentâ nd un poliedru P i se asoc iaza o structură cristalografică .
∑ =( R, T R, L, G R, HL, Γp, G L’, G L″) formată din
R- grupullaticial
TR-grupultranslaț iilor
L-o reuniune de orbite
Li=TR(xi)={ t u(xi); u є R }
GR-grupul de automorfisme al grupului laticial R

HL- grupul de automorfisme al mulț imii L
Γp- grupul de automorfisme al mulț imii P
Grupul G L={ƒ A, ƒA(Li)=L i, i={1, …, p}}
Grupul G L’={ƒ A, există a є R astfelîncâ tƒA,aє HL }
Grupul factor G L″=H L/(τ∩H L) unde τ este grupultranslaț iilordin E3
Propozitie: Pentru orice transformare ƒ A,a є H L există un numar natural m
astfel incat Am=E și ( Am-1+Am-2+…+A+E)a є R.
Exemplu: Matricile diagonale A= diag( -1, -1, 1) si B=d iag (1, 1, -1)
generează un grup ortogonal de ordin 4 notat C 2h .ƒA,a și ƒB,b generează
împreună cu trei vectori liniar independenț i u1, u2, u3 un grup cristalografi
c spatial H daca Au 1, Bu 1, Au 2, Bu 2, Au 3, Bu 3, (A+E)a, (B+E)b sunt egali
cu 8 combinatii liniare de vectori u 1, u2, u3.Sunt indeplinite conditiile daca
si numai daca u 1 si u 2 sunt in planul Ox 1×2, u3 este coliniar cu axa Ox 3 iar
a si b sunt de forma:
Zmmm undeubumumbumuauaa
 
, , ,2 22
2 1 3 3 22
113 2 2 11

Bibliografie
[1]Teleman, Kostake, Fundamentele geometriei si elemente de fizica
matematica, Ed. Universitatii Bucuresti, 2006
[2]Teleman, Kostake, Lectii de fizica matematica, Ed. Universitatii
Bucuresti, 2004
[3]Weyl, Hermann, Simetria , Ed. Stiintifica ,1966
[4]Bolgiu,Ovidiu, Cristalografie, Ed.Tehnica Bucuresti 1985
[5]Mastacan, G., Cristale,minerale, roci, Ed.Stiintifica, 1967
[6]Roman, Tiberiu, Simetria, Ed. Tehnica Bucuresti , 1963

Colegiul Național Constantin Carabella, Târgoviște