SEMINARUL 1 Analiza și sinteza circuitelor Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela [622667]

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
1

SEMINARUL 1

Aplicația 1
Pentru diportul din figura 1 să se calculeze:
a) Matricea
z ; b) Matricea
y ; c) Matricea
h ;
d) Matricea
g ; e) Matricea
A ; f) Matricea
B .

Figura 1

 Soluție:
a) Din definiția parametrilor impedanță , rezultă că:

1 11 1 12 2
2 21 1 22 2U z I z I
U z I z I   
    (1.1.)
Pentru a determina parametrii
11z ,
21z trebuie anulat curentul
2I , deci trebuie lăsată
poarta 2 în gol (figura 1.a).

Figura 1.a

În aceste condiții:

 1 1 2 111 1 20 112I
( gol )I Z Z Uz Z ZII    (1.2.)

2 1 221 20 112I
( gol )U I ZzZII   (1.3.)
Similar se deduc și ceilalți doi parametrii, lăsând poarta 1 în gol (figura 1.b).

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
2

Figura 1.b

1 2 212 20 221I
( gol )U I ZzZII   (1.4.)

 223 222 2 30 221I
( gol )I Z Z Uz Z ZII    (1.5.)
Rezultă matricea:

1 2 2 11 12
2 2 3 21 22Z Z Z zzzZ Z Z zz      (1.6.)
Remarcăm că , diportul este reciproc , deoarece:

21 12zz (1.7.)
De regulă, din analiza diporților, se observă din inspectarea circuitului că acesta este
reciproc, și se calculează un singur parametru din cei doi.
b) Din definiția parametrilor admitanță , rezultă că:

1 11 1 12 2
2 21 1 22 2I y U y U
I y U y U   
    (1.8.)
Pentru a determina parametrii
11y ,
21y trebuie anulată tensiunea
2U , deci trebuie
scurtcircuitată poarta 2 (figura 1.c).

Figura 1.c

În aceste condiții:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
3
11110 12 1 1 2 3
23
23 1 2 3 1 2 1 3 2 31
2311U
( scurtcircuit )IIyU I Z Z Z
ZZ
ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZZ  

     (1.9.)
2 2 12100 1 1 122UU
( scurtcircuit ) ( scurtcircuit )I I IyU I U  
(1.10.)
12
2 3 1 2 2
2 3 2
22
1 2 300I I II Z I I ZI Z I Z
IZ
I Z Z          

(1.11.)
Din relațiile ( 1.9.), (1.10.) și (1.11.) rezultă că:

23 2221
2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3ZZ ZZyZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z       (1.12.)
Similar se deduc și ceilalți doi parametrii, scurtcircuitând poarta 1 (figura 1.d).:

Figura 1.d

22220 21 2 3 1 2
12
12 3 1 2 1 2 1 3 2 33
1211U
( scurtcircuit )IIyU I Z Z Z
ZZ
ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZZ  

     (1.13.)

1 1 21200 2 2 211UU
( scurtcircuit ) ( scurtcircuit )I I IyU I U  
(1.14.)

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
4
12
1 1 1 2 2
1 1 2
12
2 1 200I I II Z I I ZI Z I Z
IZ
I Z Z          
 (1.15.)
Din relațiile ( 1.13.), (1.14.) și (1.15.) rezultă că:

2 1 2 212
1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 3 2 3Z Z Z ZyZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z       (1.16.)
Rezultă matricea:
11 12
21 22
23 2
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3
2 1 2
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3yyyyy
ZZ Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
         
(1.17.)
Se remarcă și în acest caz respectarea condiției de reciprocitate impusă asupra matricei
y

12 21yy . Trebuie însă precizat că nu pentru orice set de parametrii condiția de
reciprocitate presupune egalitatea coeficienților de pe diagonala secundară.
O modalitate mai rapidă însă de a calcula un set de parametrii este de a folosi relațiile de
legătură cu alt set de parametrii deja calculați.
Relații între matricele
z și
y sunt:

1zy (1.18.)
adică:
11 12 22 12
21 22 21 111 z z y y
z z y y y             (1.19.)
unde:
 11 22 12 21 y det y y y y y     (1.20.)
respectiv:
1yz (1.21.)
adică:
11 12 22 12
21 22 21 111 y y z z
y y z z z             (1.22.)
unde:
 11 22 12 21 z det z z z z z     (1.23.)
Din relațiile ( 1.9.), (1.12.), (1.13.) și (1.16.), rezultă că:

1 2 1 3 2 31yZ Z Z Z Z Z (1.24.)
Din relația ( 1.19.) rezultă că:

11 221zyy (1.25.)

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
5 Folosind relațiile ( 1.13.), (1.24.) și (1.25.) se obține:

  1211 1 2 1 3 2 3 1 2
1 2 1 3 2 3ZZz Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z      (1.26.)
Din relația ( 1.19.) rezultă că:

 12 121zyy   (1.27.)
Folosind relațiile ( 1.16.), (1.24.) și (1.27.) se obține:

  212 1 2 1 3 2 3 2
1 2 1 3 2 3Zz Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z     (1.28.)
Din relația ( 1.19.) rezultă că:

 21 211zyy   (1.29.)
Folosind relațiile ( 1.12.), (1.24.) și (1.29.) se obține:

  212 1 2 1 3 2 3 2
1 2 1 3 2 3Zz Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z     (1.30.)
Din relația ( 1.19.) rezultă că:

22 111zyy (1.31.)
Folosind relațiile ( 1.9.), (1.24.) și (1.31.) se obține:

  23
22 1 2 1 3 2 3 2 3
1 2 1 3 2 3ZZz Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z      (1.32.)
Din relațiile ( 1.2.), (1.3.), (1.4.) și (1.5.), rezultă că:

1 2 1 3 2 3 z Z Z Z Z Z Z   (1.33.)
Din relația ( 1.22.) rezultă că:

11 221yzz (1.34.)
Folosind relațiile ( 1.5.), (1.33.) și (1.34.) se obține:

 23
11
1 2 1 3 2 3ZZyZ Z Z Z Z Z (1.35.)
Din relația ( 1.22.) rezultă că:

 12 121yzz   (1.36.)
Folosind relațiile ( 1.4.), (1.33.) și (1.36.) se obține:

 212
1 2 1 3 2 3ZyZ Z Z Z Z Z (1.37.)
Din relația ( 1.22.) rezultă că:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
6
 21 211yzz   (1.38.)
Folosind relațiile ( 1.3.), (1.33.) și (1.38.) se obține:

 221
1 2 1 3 2 3ZyZ Z Z Z Z Z (1.39.)
Din relația ( 1.22.) rezultă că:

 22 111yzz (1.40.)
Folosind relațiile ( 1.2.), (1.33.) și (1.40.) se obține:

 1222
1 2 1 3 2 3ZZyZ Z Z Z Z Z (1.41.)
c) Din definiția parametrilor hibrizi , rezultă că:

1 11 1 12 2
2 21 1 22 2U h I h U
I h I h U   
    (1.42.)
Pentru a determina parametrii
11h ,
21h trebuie anulată tensiunea
2U , deci trebuie
scurtcircuitată poarta 2 (figura 1.c).

Figura 1.c

În aceste condiții:

 1 1 2 3 1110 112
2 3 1 2 1 3 2 3
1 2 3 1
2 3 2 3U
( scurtcircuit )I Z Z Z UhII
Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z ZZ Z Z Z
  
     (1.43.)

2210 12U
( scurtcircuit )IhI (1.44.)
12
2 3 1 2 2
2 3 2
22
1 2 300I I II Z I I ZI Z I Z
IZ
I Z Z          

(1.45.)

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
7 Din relațiile ( 1.44.), și ( 1.45.) rezultă că:

221
23ZhZZ (1.46.)
Similar se deduc și ceilalți doi parametrii, lăsând poarta 1 în gol (figura 1.b).

Figura 1.b

1 2 2 2120 2 2 2 3 2 31I
( gol )U I Z ZhU I Z Z Z Z   (1.47.)

22220 2 2 2 3 2 311
I
( gol )IIhU I Z Z Z Z   (1.48.)
Similar, pentru parametrii hibrizi:

1 11 1 12 2
2 21 1 22 2U h I h U
I h I h U   
    (1.49.)
se pot deduce legăturile cu parametrii
z sau
y deja calculați, fără a mai efectua calcule
direct pe circuit.
Dacă se dispune de ambele seturi de parametri
z și
y (dacă s -au calculat ambele
matrice), parametrii hibrizi se pot exprima mai ușor în funcție de un set de parametrii sau de
altul. De exemplu, acei parametrii de gol se calculează mai ușor în funcție de
z , iar cei de
scurtcircuit de
y .
De pildă, parametrii
11h și
21h se calculează când
20 U , deci în aceleași condiții cu
11y
și
21y , fiind mai comod să îi exprimăm în funcție de aceștia.
Similar,
12h și
22h se calculează când
10 I , deci în aceleași condiții ca și
22z și
12z

 111021 111
U
scurtcircuitUhIy (1.50.)

   2 2 1 212100221 1 1 11UU
scurtcircuit scurtcircuitI I U yhI U I y    (1.51.)
 1 1 2 121200112 2 2 22II
gol golU U I zhU I U z    (1.52.)

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
8
222
2 22 011
IIhUz (1.53.)
Folosind relațiile ( 1.9.) și (1.50.) se obține:

2 3 1 2 1 3 2 3
11 1 2 3 1
2 3 2 3Z Z Z Z Z Z Z Zh Z Z Z ZZ Z Z Z       (1.54.)
Folosind relațiile ( 1.9.), (1.12.) și (1.50.) se obține:

2
1 2 1 3 2 3 22123 23
1 2 1 3 2 3Z
Z Z Z Z Z Z ZhZZ ZZ
Z Z Z Z Z Z  
 (1.55.)
Folosind relațiile ( 1.4.), (1.5.) și (1.52.) se obține:

212
23ZhZZ (1.56.)
Folosind relațiile ( 1.5.) și (1.53.) se obține:

22
231hZZ (1.57.)
Totuși nu este necesară cunoașterea ambelor matrice
z și
y pentru a calcula
h .
Admițând că se dorește folosirea exclusivă a parametrilor
z , dăm un exemplu de calcul al
parametrului
21h , direct în funcție de
z . Acesta se calculează când
20 U , deci relațiile de
definiție pentru
z se scriu în acest caz:

1 11 1 12 2
21 1 22 2 0U z I z I
z I z I   
    (1.58.)
Din a doua ecuație rezultă:

 2 2121021 22U
scurtcircuitIzhIz  (1.59.)
Similar, din prima ecuație avem:

 1 11 22 12 2111021 22 22U
scurtcircuitdet z U z z z zhI z z   (1.60.)
Folosind relațiile ( 1.3.), (1.5.) și (1.59.) se obține:
221
23ZhZZ
(1.61.)
Folosind relațiile ( 1.5.), (1.33.) și (1.60.) se obține:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
9
1 2 1 3 2 3
11
23Z Z Z Z Z ZhZZ (1.62.)
În final:

21 2 3
23 11 12
21 22 2
2 3 2 31ZZ Z ZZZ hhhh h Z
Z Z Z Z   (1.63.)
iar, condiția de reciprocitate este:

12 21hh (1.64.)

d) Din definiția parametrilor hibrizi inverși , rezultă că:

1 11 1 12 2
2 21 1 22 2I g U g I
U g U g I   
    (1.65.)
Pentru a determina parametrii
11g ,
21g trebuie anulat curentul
2I , deci trebuie lăsată
poarta 2 în gol (figura 1.a).

Figura 1.a

11110 1 1 1 2 1 221
I
( gol )IIgU I Z Z Z Z     (1.66.)

2 1 2 2210 1 1 1 2 1 22I
( gol )U I Z ZgU I Z Z Z Z     (1.67.)
Similar se deduc și ceilalți doi parametrii, scurtcircuitând poarta 1 (figura 1.d).:

Figura 1.d

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
10

 2 3 1 2 2220 221
1 2 1 3 2 3
12U
( scurtcircuit )I Z Z Z UgII
Z Z Z Z Z Z
ZZ
  
 (1.68.)
1120 21U
( scurtcircuit )IgI
(1.69.)
12
1 1 1 2 2
1 1 2
12
2 1 200I I II Z I I ZI Z I Z
IZ
I Z Z          
 
(1.70.)
Folosind relațiile ( 1.69.) și (1.70.) se obține:

212
12ZgZZ (1.71.)
Există următoarele relații de legătură între matricea
g și matricele
z ,
y și
h :

11 12 12
21 22 21 1111 g g z
g g z z z             (1.72.)

11 12 12
21 22 21 221
1g g y y
g g y y             (1.73.)

1 11 12 22 12
21 22 21 111 g g h hhg g h h h                (1.74.)
unde:
 11 22 12 21 h det h h h h h     (1.75.)
Fiind cunoscuți (calculați) parametrii matricelor
z ,
y și
h se pot calcula cu
ușuriță parametrii matricei
g .
Folosind relațiile ( 1.2.) și (1.72.) se obține:

11
11 1 211gz Z Z (1.76.)
Folosind relațiile ( 1.2.), (1.4.) și (1.72.) se obține:

12 212
11 1 2zZgz Z Z  (1.77.)
Folosind relațiile ( 1.2.), (1.3.) și (1.72.) se obține:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
11
21 221
11 1 2zZgz Z Z (1.78.)
Folosind relațiile ( 1.2.), (1.33.) și (1.72.) se obține:

1 2 1 3 2 3
22
11 1 2Z Z Z Z Z Zzgz Z Z  (1.79.)
Folosind relațiile ( 1.9.), (1.12.), (1.13.), (1.16.) și (1.73.) se obține:

1 2 1 3 2 3
11
22 1 2 1 2 1 3 2 3
121
1Z Z Z Z Z Z ygy Z Z Z Z Z Z Z Z
ZZ      
 (1.80.)
Folosind relațiile ( 1.13.), (1.14.) și (1.73.) se obține:

2
1 2 1 3 2 3 12 21212 22 1 2
1 2 1 3 2 3Z
Z Z Z Z Z Z yZgZZ y Z Z
Z Z Z Z Z Z   
 (1.81.)
Folosind relațiile ( 1.12.), (1.13.) și (1.73.) se obține:

2
1 2 1 3 2 3 21 22112 22 1 2
1 2 1 3 2 3Z
Z Z Z Z Z Z yZgZZ y Z Z
Z Z Z Z Z Z    
 (1.82.)
Folosind relațiile ( 1.13.) și (1.73.) se obține:

1 2 1 3 2 3
22
22 1 21 Z Z Z Z Z Zgy Z Z (1.83.)
Folosind relațiile ( 1.43.), (1.46.), (1.47.), (1.48.) și ( 1.75.) se obține:

11 22 12 21
1 2 1 3 2 3 22
2 3 2 3 2 3 2 3
12
231h h h h h
Z Z Z Z Z Z ZZ
Z Z Z Z Z Z Z Z
ZZ
ZZ    
       
 (1.84.)
Folosind relațiile ( 1.48.), (1.74.) și (1.84.) se obține:

23
11 22
1 2 2 3 1 21 1 1 ZZghh Z Z Z Z Z Z       (1.85.)
Folosind relațiile ( 1.47.), (1.74.) și (1.84.) se obține:

23 2212 12
1 2 2 3 1 21 ZZ ZZghh Z Z Z Z Z Z          (1.86.)
Folosind relațiile ( 1.46.), (1.74.) și (1.84.) se obține:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
12
23 2221 21
1 2 2 3 1 21 ZZ ZZghh Z Z Z Z Z Z        (1.87.)
Folosind relațiile ( 1.43.), (1.74.) și (1.84.) se obține:

2 3 1 2 1 3 2 3
22 11
1 2 2 3
1 2 1 3 2 3
121 Z Z Z Z Z Z Z Zghh Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
ZZ      
 (1.88.)
e) Din definiția parametrilor fundamentali (de lanț) , rezultă că:

1 11 2 12 2
1 21 2 22 2U A U A I
I A U A I   
    (1.89.)
Pentru a determina parametrii
11A ,
21A trebuie anulat curentul
2I , deci trebuie lăsată
poarta 2 în gol (figura 1.a).

Figura 1.a

În aceste condiții:

 1 1 2 1 1 2110 2 1 2 22I
( gol )I Z Z U Z ZAU I Z Z    (1.90.)

11210 2 1 2 221
I
( gol )IIAU I Z Z   (1.91.)
Pentru a determina parametrii
12A ,
22A trebuie anulată tensiunea
2U , deci trebuie
scurtcircuitată poarta 2 (figura 1.c).

Figura 1.c

În aceste condiții:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
13
 1 1 2 3 1120 222U
( scurtcircuit )I Z Z Z UAII
  (1.92.)
12
2 3 1 2 2
2 3 2
23 1
2200I I II Z I I ZI Z I Z
ZZ I
IZ          

(1.93.)
Din relațiile ( 1.92.) și (1.93.) rezultă că:

2 3 1 2 1 3 2 3
12 1 2 3
22Z Z Z Z Z Z Z ZA Z Z ZZZ      (1.94.)

23 1220 222U
( scurtcircuit )ZZ IAIZ  (1.95.)
Există următoarele relații de legătură între matricea
A și matricele
z ,
y ,
h și
g
:

11 12 11
21 22 22 211
1A A z z
A A z z            (1.96.)

11 12 22
21 22 11 211 1 A A y
A A y y y            (1.97.)

11 12 11
21 22 22 211
1A A h h
A A h h             (1.98.)

11 12 22
21 22 11 211 1 A A g
A A g g g            (1.99.)
unde:
 11 22 12 21 g det g g g g g     (1.100.)
Fiind cunoscuți (calculați) parametrii matricelor
z ,
y ,
h și
g se pot calcula cu
ușuriță parametrii matricei
A .
Folosind relațiile ( 1.2.), (1.3.) și ( 1.96.) se obține:

11 1 211
21 2z Z ZAzZ (1.101.)
Folosind relațiile ( 1.3.), (1.33.) și (1.96.) se obține:

1 2 1 3 2 3
12
21 2Z Z Z Z Z Z zAzZ  (1.102.)
Folosind relațiile ( 1.3.) și (1.96.) se obține:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
14
21
21 211AzZ (1.103.)
Folosind relațiile ( 1.3.), (1.5.) și (1.96.) se obține:

23 2222
21 2ZZ zAzZ (1.104.)
Folosind relațiile ( 1.12.), (1.13.) și (1.97.) se obține:

1 2 1 3 2 3 22 1 211
21 2 1 2 1 3 2 3
12
2Z Z Z Z Z Z y Z ZAy Z Z Z Z Z Z Z
ZZ
Z    
 (1.105.)
Folosind relațiile ( 1.12.) și (1.97.) se obține:

1 2 1 3 2 3
12
21 21 Z Z Z Z Z ZAyZ  (1.106.)
Folosind relațiile ( 1.12.), (1,24.) și (1.97.) se obține:

1 2 1 3 2 3
212 21 2
1 2 1 3 2 31
1 Z Z Z Z Z Z yAZ yZ
Z Z Z Z Z Z   
 (1.107.)
Folosind relațiile ( 1.9.), (1.12.) și (1.97.) se obține:

23
1 2 1 3 2 3 2 3 11222 21 2
1 2 1 3 2 3ZZ
Z Z Z Z Z Z Z Z yAZ yZ
Z Z Z Z Z Z     
 (1.108.)
Folosind relațiile ( 1.46.), (1.84.) și (1.98.) se obține:

23 1 2 1 211
21 2 3 2 2ZZ Z Z Z Z hAh Z Z Z Z         (1.109.)
Folosind relațiile ( 1.43.), (1.46.) și (1.98.) se obține:

1 2 1 3 2 3 2 3 1112
21 2 3 2
1 2 1 3 2 3
2Z Z Z Z Z Z Z Z hAh Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z     
 (1.110.)
Folosind relațiile ( 1.46.), (1.48.) și (1.98.) se obține:

23 2221
21 2 3 2 211 ZZ hAh Z Z Z Z    (1.111.)
Folosind relațiile ( 1.46.) și (1.98.) se obține:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
15
23
22
21 21 ZZAhZ  (1.112.)
Folosind relațiile ( 1.66.), (1.67.), (1.68.), (1.71.) și ( 1.100.) se obține:



11 22 12 21
1 2 1 3 2 3 22
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3 2 2 3 23
212121g det g g g g g
Z Z Z Z Z Z ZZ
Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z ZZ
ZZ ZZ     
       
     (1.113.)
Folosind relațiile ( 1.67.) și (1.99.) se obține:

1211
21 21 ZZAgZ (1.114.)
Folosind relațiile ( 1.67.), (1.68.) și (1.99.) se obține:

1 2 1 3 2 3 22 1 212
21 1 2 2
1 2 1 3 2 3
2Z Z Z Z Z Z g Z ZAg Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z    
 (1.115.)
Folosind relațiile ( 1.66.), (1.67.) și (1.99.) se obține:

11 1 221
21 1 2 2 211 g Z ZAg Z Z Z Z    (1.116.)
Folosind relațiile ( 1.67.), (1.99.) și (1.113.) se obține:

2 3 2 3 1222
21 1 2 2 2Z Z Z Z ZZ gAg Z Z Z Z    (1.117.)

f) Din definiția parametrilor fundamentali inverși , rezultă că:

2 11 1 12 1
2 21 1 22 1U B U B I
I B U B I   
    (1.118.)
Pentru a determina parametrii
11B ,
21B trebuie anulat curentul
1I , deci trebuie lăsată
poarta 1 în gol (figura 1.b).

Figura 1.b

În aceste condiții:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
16
 2 2 3 23 2110 1 2 2 21I
( gol )I Z Z ZZ UBU I Z Z    (1.119.)

22210 1 2 2 211
I
( gol )IIBU I Z Z   (1.120.)
Similar se deduc și ceilalți doi parametrii, scurtcircuitând poarta 1 (figura 1.d).:

Figura 1.d

În aceste condiții:

12
1 1 1 2 2
1 1 2
2 1 2
1200I I II Z I I ZI Z I Z
I Z Z
IZ          
 (1.121.)

2 1 2220 121U
( scurtcircuit )I Z ZBIZ  (1.122.)

 2 3 2 1 2 2 2 1 2120 1 1 2 2 21
1 2 1 3 2 3 1 2 1 23
2 1 2 2U
( scurtcircuit )I Z Z Z U I U Z ZBI I I Z I
Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZ Z Z Z      
       (1.123.)
Există următoarele relații de legătură între matricea
B și matricele
z ,
y ,
h ,
g
și
A :

11 12 22
21 22 11 121
1B B z z
B B z z            (1.124.)

11 12 11
21 22 22 121 1 B B y
B B y y y            (1.125.)

11 12 11
21 22 22 1211 B B h
B B h h h            (1.126.)

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
17
11 12 22
21 22 11 121
1B B g g
B B g g             (1.127.)

11 12 22 12
21 22 21 111 B B A A
B B A A A           (1.128.)
unde:
 11 22 12 21 A det A A A A A     (1.129.)
Fiind cunoscuți (calculați) parametrii matricelor
z ,
y ,
h ,
g și
A se pot
calcula cu ușuriță parametrii matricei
B .
Folosind relațiile ( 1.4.), (1.5.) și ( 1.124.) se obține:

23 2211
12 2ZZ zBzZ (1.130.)
Folosind relațiile ( 1.4.), (1.33.) și ( 1.124.) se obține:

1 2 1 3 2 3
12
12 2Z Z Z Z Z Z zBzZ  (1.131.)
Folosind relațiile ( 1.4.) și (1.124.) se obține:

21
12 211BzZ (1.132.)
Folosind relațiile ( 1.2.), (1.4.) și ( 1.124.) se obține:

11 1 222
12 2z Z ZBzZ (1.133.)
Folosind relațiile ( 1.9.), (1.16.) și ( 1.125.) se obține:

23 1111
12 2ZZ yByZ  (1.134.)
Folosind relațiile ( 1.16.) și (1.125.) se obține:

1 2 1 3 2 3
12
12 21 Z Z Z Z Z ZByZ  (1.135.)
Folosind relațiile ( 1.16.), (1.24.) și (1.125.) se obține:

21
12 21 yByZ  (1.136.)
Folosind relațiile ( 1.13.), (1.16.) și ( 1.126.) se obține:

22 1 222
12 2y Z ZByZ  (1.137.)
Folosind relațiile ( 1.47.) și ( 1.126.) se obține:

23
11
12 21 ZZBhZ (1.138.)
Folosind relațiile ( 1.43.), (1.47.) și (1.126.) se obține:

SEMINARUL 1 – Analiza și sinteza circuitelor | Autor: Teodorescu Rodica -Mihaela
18
1 2 1 3 2 3 1112
12 2Z Z Z Z Z Z hBhZ (1.139.)
Folosind relațiile ( 1.47.), (1.48.) și (1.126.) se obține:

2221
12 21 hBhZ (1.140.)
Folosind relațiile ( 1.47.), (1.84.) și ( 1.125.) se obține: .

1222
12 2ZZ hBhZ (1.141.)
Folosind relațiile ( 1.71.), (1.113.) și (1.127.) se obține:

23
11
12 2ZZ gBgZ  (1.142.)
Folosind relațiile ( 1.68.), (1.71.) și (1.127.) se obține:

1 2 1 3 2 3 2212
12 2Z Z Z Z Z Z gBgZ  (1.143.)
Folosind relațiile ( 1.66.), (1.71.) și (1.127.) se obține:

1121
12 21 gBgZ  (1.144.)
Folosind relațiile ( 1.71.) și ( 1.127.) se obține:

1222
12 21 ZZBgZ  (1.145.)
Folosind relațiile ( 1.90.), (1.91.), (1.94.), (1.95.) și (1.129.) se obține:

 11 22 12 21
2 3 1 2 1 3 2 3 12
2 2 2 211A det A A A A A
Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ
Z Z Z Z     
       (1.146.)
Folosind relațiile ( 1.95.), (1.113.) și (1.128.) se obține:

23 2211
2ZZ ABAZ (1.147.)
Folosind relațiile ( 1.94.), (1.128.) și (1.146.) se obține:

1 2 1 3 2 3 1212
2Z Z Z Z Z Z ABAZ (1.148.)
Folosind relațiile ( 1.91.), (1.128.) și (1.146.) se obține:

2121
21 ABAZ (1.149.)
Folosind relațiile ( 1.90.), (1.128.) și ( 1.146.) se obține:

11 1 222
2A Z ZBAZ (1.150.)