Șef lucr. dr. ing. Sebastian Radu Coman Lauren țiu Dănu ț [608106]

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA BRAȘOV
FACULTATEA DE INGINERIE MECANIC Ă
SECȚIA AUTOVEHICULE RUTIERE
GRUPA 1LR464 AR
REFERAT LA
METODA ELEMENTULUI FINIT

Coordonator : Student: [anonimizat] 2019 Anul III,IF.

Cupri ns

1. CONCEPTE FUNDAMENTALE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 3
1.1 Structura ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 3
1.2 Modelul de calcul ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 4
1.3 Discretizarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 4
1.4 Nodul ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. 5
1.5 Elementul finit ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 5
1.6 Aproximarea și interpolarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 8
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 11
2. Eficiența modelelor cu elemente finite ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………….. 12
3. BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 17

1. CONCEPTE FUNDAMENTALE

Simplitatea conceptelor de bază ale metodei elementelor finite (MEF) este unul dintre
avantajele importanate ale acesteia. Importanța însușirii și a înțelegerii corecte a acestora
rezultă din faptul că aceste concepte includ anumite ipoteze, simplificări și generalizări a
căror ignorare poate duce la erori grave în modelarea și analiza cu elemente finite (FEA). Se
prezintă, în continuare, cele mai importante dintre conceptele de bază ale MEF.
Bazele analizei cu elemente finite au fost pentru prima dată formulate în 1943 de către
matematicianul german Richard Coura nt (1888 -1972), care, îmbinând metoda Ritz cu
analiza numerică în probleme de calcul variațional și minimizare, a obținut soluții
satisfăcătoare pentru analiza sistemelor cu vibrații. Începând cu anii ’70, metoda elementelor
finite a fost folosită la rezolvarea celor mai complexe probleme din domeniul structurilor elastice
continue, de la construcțiile civile, industriale sau de baraje până la construcțiile de nave
maritime, respectiv cosmice.
Fenomenele fizice de acest fel sunt descrise din punct de vedere matematic de ecuații
diferențiale, prin a căror integrare, în condiții la limită date, se obține o soluție exactă a
problemei. Această cale analitică are dezavantajul c a este aplicabilă numai în cazul problemelor
relativ simple. Problemele care intervin în activitatea practică sunt de cele mai multe ori
complexe în ce privește alcătuirea fizicăși geometrică a pieselor, condițiile de încărcare,
condițiile la limită etc., astfelîncât integrarea ecuațiilor diferențiale este dificilă sau chiar
imposibilă. În metoda elementului finit se utilizează, ca punct de plecare, un model integral al
fenomenului studiat. El se aplică separat pentru o serie de mici regiuni ale unei structuri
continue obținute prin procedeul discretizării, denumite elemente finite, legate între ele în puncte
numite noduri.
1.1 Structura
Pentru a avea o eficiență cât mai ridicată, în FEA se utilizează un concept de structură mai general și mai
simplu decât în mod obișnuit. Uzual în FEA prin structură (de rezistență) se înțelege un ansamblu de bare,
plăci, învelișuri și volume (solide). De exemplu, o structură poate fi batiul unui strung paralel, trenul de
aterizare al unui avion, brațul unei balanțe, carcasa unui reactor nuclear, corpul unui submarin, o rețea de
conducte etc.
Definită astfel, noțiunea de structură implică acceptarea ipotezei secțiunii plane, a lui Bernoulli, pentru
bare și a ipotezei normalei rectilinii, a lui Kirchhoff, pentru plăci și învelișuri. Acceptarea acestor ipoteze
face posibilă, în MEF și FEA – pentru bare și plăci – înlocuirea forțelor exterioare reale prin rezultantele interne –
eforturile N, T, M – cu care sunt static echivalente, ceea ce nu este permis în teoria elasticității. În analiza structurilor
se poate deci introduce conceptul de forță concentrată, fără ca prin aceasta să se producă câmpuri de tensiuni,
deformații și (sau) deplasări cu singularități, așa cum se întâmplă în teoria elasticității , când aplicarea unei forțe
concentrate într -un punct al semispațiului elastic (problema lui Boussinesq) duce la producerea unor tensiuni
și deplasări infinite în punctul respectiv. De asemenea, conceptul sau noțiunea de struc tură, definită ca mai
sus permite stabilirea teoremelor deplasării unitate și a forței unitate – ale lui Maxwell – precum și a

teoremelor lui Castigliano, care au un înțeles clar în rezistența materialelor și în teoria structurilor, d ar nu și în teoria
elasticității.
1.2 Modelul de calcul

Pentru a putea efectua o analiză cu elemente finite a unei structuri, demersul hotărâtor care
trebuie întreprins este elaborarea modelului de calcul al structurii respective. Toate aspectele
privind acest proce s se prezintă în detaliu într-un paragraf separat, datorită importanței
subiectului.
Modelele MEF sunt modele matematice aproximative ale structurii care urmează să fie
analizată. Pentru trecerea de la structura reală la modelul ei de calcul nu există algoritmi și
metode generale
care să asigure elaborarea unui model unic, care să aproximeze, cu o eroare prestabilită,
cunoscută, structura care urmează să se aproximeze. În general este posibil ca pentru o structură
să se elaboreze mai multe modele, toate corecte dar cu performanțe diferite. Modelul pentru
calculul de rezistență al unei structuri se elaborează pe baza intuiției, imaginației și
experienței anterioare a celui care face modelarea. Modelul trebuie să sintetizeze eficient toate
informațiile disponibile referitoare la structura respectivă.

1.3 Discretizarea

Modelul de calcul al structurii care urmează să fie supusă analizei cu elemente finite,
în cazul general, este format din linii, care sunt axele barelor structurii, din suprafețe plane și
curbe, care sunt suprafețel e mediane ale plăcilor componenete ale structurii și volume , care sunt
corpurile masive ale structurii. În această etapă a elaborării, modelulul este un continuu, cu o
infinitate de puncte, ca și structura dată. Discretizarea este demersul fundamental cerut de
MEF și constă în trecerea de la structura continuă (cu o infinitate de puncte) la un model
discret , cu un număr finit de puncte (noduri ). Această operație se face “acoperind” modelul cu o
rețea de dicretizare și se justifică prin aceea că din punct de vedere practic, ingineresc, sunt
suficiente informațiile privind structura (ca de exemplu, cunoașterea valorilor deplasărilor și
ale tensiunilor) într-un număr oarecare de puncte ale modelului, numărul acestora putând fi oricât
de mare.
Metoda elementelor finite, în mod obișnuit, definește necunoscutele (deplasări sau
eforturi) în
punctele modelului și calculează valorile lor în aceste puncte. În aceste condiții, rezultă că
dicretizarea trebuie făcută astfe l încât să se definească un număr suficient de mare de puncte în
zonele de interes, pentru ca aproximarea geometriei structurii, a condițiilor de rezemare și a
condițiilor de încărcare să fie satisfăcătoare pentru scopul urmărit de FEA.

1.4 Nodul

Punctele definite prin rețeua de dicretizare se numesc noduri . În noduri se definesc
necunoscutele nodale primare, ale căror valori sunt rezultatele FEA. Necunoscutele
asociate nodurilor pot fi deplasările, caz în care MEF se numește model deplasare , sau
eforturile, când MEF se numește model echilibru . Relativ rar se folosește și modelul mixt.
Pentru modelul deplasare se admite că forma deformată a structurii, ca urmare a unei solicitări
oarecare, este definită de deplasările tuturor nodurilor în raport cu rețea ua nodurilor înainte de
deformare, fiecare nod putând avea maximum șase componente ale deplasării, denumite
deplasări nodale , în raport cu un reper global (la care este raportată structura în ansamblu):
trei componente u, v, w ale deplasării liniare și trei rotiri ϕx, ϕy, ϕz. Componentelor nenule ale
deplasărilor pe care le poate avea un nod al modelului structurii în procesul de deformație li se
asociază un versor denumit grad de libertate geometrică – DOF al nodului, care are va loarea
DOF=0, dacă pe direcția respectivă componenta deplasării este nulă sau cunoscută și valoarea
DOF=1, dacă deplasarea este necunoscută. Se pot defini gradele de libertate geometrică ale
structurii în totalitate. Rezultă că numărul total al necunoscute lor care trebuie determinate prin
calcul este egal cu numărul gradelor de libertate geometrică cărora le sunt atașate
necunoscute (care au DOF=1), pentru toate nodurile modelului structurii.
Unele din gradele de libertate ale modelului trebuie “eliminate” deoarece unele noduri sunt
“legate”, reprezentând reazeme și deci deplasările lor sunt nule sau au valori cunoscute,
impuse și nu mai trebuie calculate.
1.5 Elementul finit

Procesul de discretizare are drept urmare împărțirea mode lului structurii într-un număr oarecare
de fragmente sau elemente , așa cum, de exemplu, zidul unei clădiri poate fi privit ca fiind
format din cărămizile utilizate la construcția sa. De exemplu, recipientul din figura 1.1,
executat din table asamblate prin sudură, poate fi descompus sau discretizat într-un număr de
elemente patrulatere și triunghiulare – denumite elemente finite – ca în figura 1.2. Elementele
finite se leagă între ele prin nodurile comune, care sunt vârfurile patrulaterelor sau triunghiurilor
(sunt și tipuri de elemente care au noduri și pe laturi).
Un element finit poate fi privit ca o “piesă” de sine stătătoare, interacționând cu celelalte
elemente numai în noduri. Studiul structurii reale se înlocuiește cu studiul ansamblului de
elemente finite obținut prin discretizare, care devine astfel o idealizare a structurii originare
și este un model de calcul al structurii date. Pentru ca rezultatele analizei să fie cât mai precise
trebuie ca procesul de idealizare al structurii date să fie cât mai “performant”, ceea ce implică
respectarea unor regului și exigențe privind discretizarea, elaborarea modelului de calcul și –
printre altele – utilizarea unor elemente finite adecvate. În principiu, dimensiunile
elementelor finite pot fi oricât de mici, dar trebuie totdeauna să fie finite, adică nu poate fi făcută
o trecere la limită prin care dimensiunile acestora să tindă spre zero.

Figura 1.1 Figura 1.2

Din nefericire, nu se poate concepe un element finit general, care să aibă o utilitate
universală. Pentru a putea fi implementat într-un program MEF și utilizat pentru un model de
calcul, elementul finit trebuie în prealabil “proiectat” în toate detaliile, adică trebuie definit
din punct de vedere geometric, fizic, matematic etc.
Privit din punct de vedere informațional, un element finit este un “dispozitiv” – sau un model –
care trebuie să poată prelucra cât mai precis un volum cât mai mare de informații, pentru un set
de condiții impuse. Aceasta presupune ca elementul de o anumită formă geometrică, de exemplu
triunghiulară, să aibă un număr cât mai mare de noduri, fiecare nod să aibă un număr cât mai mare
de grade de libertate geometrică, iar funcțiile de interpolare să fie cât mai complexe, adică să aibă
un număr cât mai mare de parametri. Desigur că mențiunile anterioare sunt de principiu,
deoarece cu cât crește “complexitatea” elementului finit cresc și dificultățile de calcul,
astfel încât pentru fiecare situație concretă în parte se caută o soluție de compromis când se
“concepe” un element finit de un anumit tip. O consecință nefastă a acestei situații este că
program ele MEF au biblioteci cu un număr relativ mare de tipuri de elemete finite, pentru a
satisface un număr cât mai mare de cerințe, cât mai diverse.
Ideea de bază a MEF este că, pentru un element de un tip oarecare, trebuie făcută
ipoteza că deplasările din interiorul elementului variază după o lege “cunoscută”, aleasă apriori ,
determinată de o funcție de interpolare. Consecința acestui demers este că, local , acolo unde se va
afla plasat elementul finit, în urma procesului de discretizare, acesta va aproxima starea de
deplasări a structurii prin legea de interpolare implementată în elementul respectiv.

Figura
2.3
Funcțiile de interpolare au frecvent forma unor polinoame. Alegerea gradului
polinomului și determinarea valorilor coeficienților acestora trebuie să asigure o cât mai bună
aproximare a soluției exacte – necunoscute – a problemei date. În figura 3 se prezintă schematic
modul în care polinoamele de gradul zero, unu și doi – respectiv cu unu, doi și trei termeni –
pot aproxima o stare de deplasări oarecare.
Elementele care au aceleași tipuri de funcții (de obicei polinoame), atât pentru definirea
geometriei elementului (de exemplu, pentru laturile sale), cât și pentru definirea
deplasărilor în interiorul său (funcția de interpolare), se numesc elemente izoparametrice și
sunt cele mai eficiente și folosite elemente finite în practica MEF.

Elementele finite se pot clasifica după diverse criterii, dintre care cele mai importante sunt:
Tipul de analiză. Pe o rețea de discretizare se pot defini elemente finite care au “incluse”
diverse proceduri matematice destinate unor analize diverse, ca, de exemplu: liniar elastică,
neliniară, transfer de căldură, mecanica fluidelor, electro magnet ism, electro magnetism de înaltă
frcvență etc.
Rolul funcțional. Elementele finite utilizate pentru modelarea unei structuri trebuie să
poată asigura cât mai bine “rolul funcțional” al structurii date, adică, de exemplu, o grindă cu
zăbrele trebuie modelată cu elemente de tip bară, un capac din tablă subțire trebuie modelat prin
elemente de tip placă, o fundație prin elemente de tip cărămidă etc. Din aceste considerente
elementele sunt de tip punct (element de masă sau de tip arc), de tip linie (elemente de bare
drepte sau curbe, în plan sau în spațiu) de tip suprafață (elemente de plăci plane sau curbe, groase
sau subțiri, în plan sau în spațiu, elemente axial simetrice, de membrană etc) sau de tip volum
(elemente spațiale, – 3D – pentru structuri “solide”, compozite, cu număr variabil de noduri,
pentru fluide, piezoelectrice, magnetice etc). Fiecare din categoriile de elemente enumerate
au mai multe variante, numărul acestora putând ajunge la câteva zeci. De asemenea,

categoriile prezentate includ și elemente cu rol funcțional special, ca de exemplu: rigid, de
contact, de frecare, de legătură, definit prin matricea de rigiditate etc.
Forma geometrică. Elementele finite au, în general, forme simple ca, de exempl u, linie
dreaptă
sau arc de cerc, triunghi, patrulater oarecare, tetraedru, hexaedru etc. De asemenea, unele
caracteristici geometrice pot fi constante sau variabile, ca secțiunile barelor sau grosimile
plăcilor.
Numărul nodurilor. Pentru unele dintre elemente, o formă geometrică dată, de
exemplu un triunghi, poate avea mai multe variante în ceea ce privește numărul de noduri,
deoarece în afara nodurilor din vârfuri mai pot exista noduri și pe laturi și (sau) în interior. De
aseme nea se pot utiliza noduri și în interiorul elementului, pentru rezultate. Se utilizează și
elemente cu număr variabil de noduri, ca, de exemplu, pentru plăci groase elementul poate avea
între 8 și 48 de noduri.
Numărul gradelor de libertat e ale fiecărui nod. Nodurile elementelor au atașate,
implicit, unele DOF din cele șase posibile, deci se poate opera și cu numărul total de DOF pentru
un element, care este numărul nodurilor înmulțit cu numărul DOF pe nod.
Gradul polinomului de interpolare. Fiecare element finit are “implementate”
polinoame de interpolare de un anumit grad, începând cu gradul întâi. Cu cât gradul
polinoamelor este mai ridicat cu atât crește cantitatea de informații cu care elementul
operează și deci el este, în general, mai performant.
Caracteristicile materialului. În practica FEA, materialul elementului finit poate fi
omogen și izotrop sau cu o anizotropie de un anumit tip. De asemenea, constantele
elastice și fizice ale mate rialului pot fi dependente de temperatură sau solicitare.
Trebuie făcută precizarea că descrierea de mai sus a elementelor finite nu este exhaustivă, ci că
ea
doar semnalează unele aspecte importante din practica MEF. În concluzie, se menționează că
fieca re tip de element finit este un ansamblu de condiții și ipoteze și el trebuie privit ca un întreg
și folosit ca atare, numai după ce s-a studiat temeinic documentația care îl însoțește. De exemplu,
din parametrii care definesc elementul rezultă comportarea sa la solicitare, tipul stării de tensiuni,
interacțiunea sa cu celelalte elemente etc.
Programele MEF care se folosesc în practica FEA au biblioteci cu un număr impresionant de
tipuri
de elemente finite, la care se adaugă periodic elemente noi. Pentru a ilustra dinamica dezvoltării
MEF, se citează articolul [1], în care încă din anul 1984 se identificaseră 88 de variante ale
elementelor finite de placă.

1.6 Aproximarea și interpolarea

Un model matematic pentru analiza unei structuri de rezistență implică determinarea unui
număr de variabile și funcții u*( ξ) reprezentând deplasări, deformații, tensiuni etc, ξ fiind funcții
de coordonate ξ(x,y,z), definite în punctele domeniului pe care este definită structura. Dacă
soluția exactă u*(ξ) nu se cunoaște și u(ξ) este o aproximare a acesteia, funcția eroare e(ξ) este
e(ξ) = u(ξ) – u*(ξ). (
2.1) Pentru constituirea unei soluții aproximative este suficient să se descrie o expresie care să
conțină n parametrii de aproximare ai

u(ξ) = u(ξ, a1, a2, …,a n)

și să se determine acești parametri pe baza relației (2.1) și a unui criteriu de convergență adecvat.
În MEF aproximarea este nodală și are forma

în care: ui sunt parametrii nodali ai aproximării și au o semnificație fizică concretă (deplasări
nodale, temperaturi nodale etc); Ni(ξ) – funcții de interpolare sau de aproximare, care de
regulă au forme polinomiale.
Soluțiile aproximative u(ξ) pot fi construite pe întreg domeniul V de definiție a structurii
sau pe subdomenii elementare Ve – ale elementelelor finite – ceea ce înseamnă că Σ Ve
≡ V . În MEF aproximația nodală se face pe subdomenii Ve, care sunt de fapt elementele
finite, valorile funcțiilor aproximative ui( ξ) = u*(x i) fiind variabilele nodale ale problemei iar xi,
coordonatele nodurilor.

În mecanica structurilor se poate construi o funcțională π care este energia potențială
totală a structurii. Impunând acestei funcționale condiția de staționaritate

δπ = W =
0,
se obține ecuația caracteristică

W(u) =

∫R(u)wdV

= ∫w(L(u)

− fv)dV = 0
V
V
în care: L(u) este soluția exactă a problemei; fV – soluția aproximativă; R(u) = (L(u) – fV) –
funcția reziduu; w – funcții pondere, denumite și funcții de corecție.
Precizia soluției u depinde de alegerea funcțiilor de pondere w, care au uzual
forma
k
w =∑
i=1 βiψi ,
în care: ψi sunt un set de funcții liniar independente; βi – coeficienți numerici arbitrari.
Presupunând că soluțiile aproximative u satisfac condițiile de margine ale structurii, eroarea
de aproximare reprezentată de rezidul R(u) este ponderată (distribuită) prin multiplicare cu
funcțiile de pondere w, pe întreg domeniul V.
Dacă funcționala structurii este π(u) aceasta se poate aproxima prin procesul de
discretizare, dev enind
π(u) = π[u (a1, a2,
…,a n)],

Se obține sistemul de ecuații
∂π = 0, i = 1,2, …n
∂ai

2. Eficiența modelelor cu elemente finite
Modelul elaborat pentru o structură oarecare, în vederea realizării unei analize cu elemente
finite (FEA), trebuie să asigure obținerea unor rezultate corecte și sigure, pe de o parte, iar pe de
alta, el, modelul, trebuie să fie eficient. Principalele condi ții pe care trebuie să le îndeplinească
modelul pentru a fi eficient sunt:
– elaborarea modelului să se facă cu un volum de muncă rezonabil;
– modelul să valorifice toate informa țiile disponibile privind structura care se analizează;
– volumul informa țiilor obținute în urma FEA să fie suficient de mare și cu un nivel de
încredere acceptabil, având în vedere scopul urmărit, destina ția informa ților și modul de
valorificare a acestora.
În vederea satisfacerii acestor cerițe, la dispozi ția fiecărui utilizator se află diverse și
nenumărate căiși mijloace, cele mai importante fiind:

Configura ția discretizării . Este comod și rațional ca rețeaua de discretizare a modelului să fie
cât mai simplă și cât mai uniformă, ca, de exemplu, cea a unui recipient, din figura 2.1.
Dar acest deziderat este în contradic ție cu cerin ța de eficien ță a modelului. Se impune ca
discretizarea să aibă în vedere configura ția estimată a stării de tensiuni a structurii și deci și a
modelului, adică în zonele cu gradien ți mari ai stării de tensiuni discretizarea să fie fină, iar în
celelalte zone mai grosieră. Trecerea de la elemente cu dimensiuni mici la unele cu dimensiuni
mari trebuie să se facă progresiv, ca, de exemplu, în figura 2.2, pentru fundul aceluiaș
recipient, în varianta cu elemente shell patrulatere și triunghiulare.

Figura 2.1 Figura 2.2

Numărul nodurilor modelului. În principiu, este bine ca modelul să aibă un număr de noduri
cât mai mare, deoarece rezultatele FEA sunt mai precise și volumul informa țiilor obținute
este mai mare. Cerin ța de a discretiza structura printr -o rețea cât mai fină, cu un număr
cât mai mare de noduri, trebuie privită critic, cu foarte multă pruden ță și discernământ
deoarece creșterea excesivă a numărului de noduri nu duce la îmbunătă țirea soluției. În
general mărirea numărului de noduri este eficientă pentru un model cu număr relativ mic
de noduri. După ce acesta a atins un anumit prag, creșterea numărului de noduri nu mai
duce la îmbunătă țirea soluției FEA. În ceea ce privește numărul de elemente ale modelului
acesta are o dependen ță liniară în funcție de numărul nodurilor, dacă tipurile elementelor nu se
schimbă.
Pentru o discretizare cvasi uniformă a unui model, alura obișnuită a curbelor care
reprezintă dependen ța, de exemplu, a valorilor maxime ale deplasării nodale rezultante (totale),
δ și a tensiunii echivalente (von Mises) pe element σech se prezintă în figura 2.3. Pentru o
creștere de patru ori a numărului de noduri, se obține:
– în partea stângă a figurii, adică pentru valori mici ale numărului de noduri,
creșterea valorii deplasării δ este de 24 %, iar pentru valoarea tensiunii σech creștera este de 70
%;
– în partea dreaptă a figurii, adică pentru valori mari ale numărului de noduri, creșterea
valorii
deplasării δ este de 8 %, iar pentru valoarea tensiunii σech creștera este de
23%.

Figura
2.3

Se ajunge la concluzia că pentru o aceeași creștere a numărului de noduri, efectul asupra
rezultatelor FEA este de trei ori mai mic pentru valori mari decât pentru valori mici ale
numărului de noduri. Pentru a asigura o creștere a eficien ței modelului este preferabil ca o
mărire moderată a numărului de noduri și de elemente ale acestuia să fie însoțită și de o
discretizare neuniformă, adaptată configura ției stării de tensiuni a modelului.

Forma curbelor din figura 2.3 sugerează întrebarea dacă acestea tind fiecare către o asimptotă
și dacă asimptotele respective corespund sau nu soluției exacte a problemei analizate. Un
răspuns categoric nu poate fi formulat în cazul general al FEA.

Dimensiunile elementelor finite. O alternativă la cerin ța privind numărul de noduri este
cea a dimensiunilor elementelor, aceste două aspecte ale modelării fiind strâns legate între
ele. Pentru structura supusă FEA se vor stabili, în funcție de configura ția acesteia și de
scopul analizei, dimensiunile maxime și minime ale elementelor finite ale modelului.
Desigur că acestă opera ție presupune că anterior s-au stabilit tipurile elementelor ce se
vor utiliza pentru diversele regiuni ale modelului și că utilizatorul cunoaște foarte bine
proprită țile și performan țele lor. Dimensiunile maxime ale elementelor se vor stabili având în
vedere că elementele “mari” aproximează, în general, mai prost geometria și starea de tensiuni
decât cele “mici”, dar acestea au dezavantajul că pot deveni excesiv de numeroase. În
concluzie, intuitiv trebuie găsită o soluție de compromis în ceea ce privește
dimensiunile maxime și minime ale elementelor și aceasta pentru diversele regiuni ale
modelului. Se men ționează faptul că diversele variante ale procedurilor de discretizrie
automată, implementate în programele MEF, au în vedere definirea ca parametri i ai
procesului fie numărul nodurilor, fie dimensiunile (maxime sau minime) ale elementelor.

Generarea automată . Pentru ca elaboarea modelului să se facă cu un volum de muncă minim,
adică pentru ca demersul să fie cât mai eficient, programele MEF au implementate proceduri
de generare “dirijată” a nodurilor și elementelor, altele decăt cele de discretizare automată.
După ce s-au definit unele dintre nodurile si elementele modelului, flosindu -se de acestea ca
“surse”, utilizatorul dispune de o mulțime de comenzi prin care poate “genera” noi noduri și
elemente. Cele mai utilizate comenzi de generare automată sunt:
a. atât pentru noduri cât și pentru elemente:
– copiere, repozi ționare, mutare, alipire; opera ții care constau în modificarea poziției
nodurilor și elementelor “sursă” prin opera ții de transla ție și rotație corespunzătore, pentru
obținerea nodurilor și elementelor “generate”, dorite;
– simetrie față de un punct, o direc ție sau un plan; se generează noduri și elemente simetrice cu
cele“sursă”;
– schimbarea scalei; constă în multiplicarea cu un factor a valorilor coordonatelor
nodurilor și elementelor “sursă”;
b. numai pentru elemente:
– “extrudare”, “alunecare”, “măturare”, “târâre”; opera ții care duc la “acoperirea” suprafe țelor
sau “umplerea” volumelor obținute, cu elementele generate și, implicit, cu nodurile
corespuzătoare. Fiecare procedeu se definește într-un mod oarecare în programele MEF.
Genearea implică și opera ția de numerotare automată a noilor noduri și elemente.

Tipurile elementelor finite. Programele destinate FEA au biblioteci cu sute de tipuri de
elemente finite, dintre care utilizatorul trebuie să le aleagă pe cele mai eficiente pentru
modelarea structurii date. Alegerea se face pe baza intuiției și experien ței utilizatorului. MEF nu
conține “indica ții” sau restric ții în această privin ță. Pentru a asigura eficien ța modelului, trebuie
ca tipurile de elemente să fie alese în func ție de numeroși factori și condi ții, dintre care primul
este func ționalitatea , adică elementele să poată “simula” cât mai bine: principiile constructive,
preluarea și transmiterea sarcinilor, reproducerea stărilor de deplasări și de tensiuni, asigurarea
condi țiilor de rezemare, libertatea producerii anumitor deplasări și împidicarea altora etc. De
exemplu, pentru o construc ție realizată din profile laminate se vor folosi elemente de tip bară,
pentru un utilaj exectutat din table sudate se vor alege elemente de tip plac ă sau înveliș, iar
pentru o rețea de conducte se vor utiliza elemente de tip țeavă.
Pentru ilustrarea unora dintre aspectele menționate mai sus privind eficien ța modelului de
calcul, în figura 2.4 se prezintă un răcitor de gaz de mari dimensiuni (diametrul conductei 2.5 m
și înălțimea totală ≈7 m). În figura 2.5 se prezintă modelul de calcul, discretizat cu elemente
shell cu patru și trei noduri (fig. 2.5.a), și numai cu elemente shell cu trei noduri (fig. 2.5.c). În
figurile 2.5.b și 2.5.d se prezintă detalii ale discretizării în zona reazemelor. Solicitarea
răcitorului constă în: presiune exterioară de 1 bar = 0.1 N/mm2 (vacuum), greutatea proprie,
sarcină verticală pe flanșa superioară și o forță concentrată verticală, aplicată într-un nod, în
zona inferioară. Fixarea este asigurată de cele patru reazeme.
Ambele modele au avut 932 de noduri. Modelul din figura 2.5.a a avut 896 de elemente shell
cu patru noduri și 36 de elemente shell cu trei noduri, folosite numai pentru unele zone de
trecere, cu scopul de a obține o discretizare cu o configura ție cât mai simplă. Modelul din figura
2.5.c, cu 1828 elemente shell triunghiulare, a fost obținut din modelul din figura 2.5.a astfel: cele
896 elemente shell patrulatere au fost împăr țite în câte două triunghiuri, obținându -se astfel
2*896 = 1792 triunghiuri, la care s-au adăgat cele 36 ințiale, rămase nemodificate. Rețeaua de
discretizare (coordonatele nodurilor) a rămas nemodificată.

Figura
11.4

a. b. c. d.
Figura
2.5

BIBLIOGRAFIE
1. Hrabok M. M., Hrudey T. M., A review and catalogue of plane bending finite elements.
Comput. Structures, 19 (3), 479-495 (1984).
2. Pian H.H., Tong P., Basis of finite element methods for solid continua. Int. J. Numer.
Meth. Engng. 1 (1), 3-28 (1969).
3. Dowling, N. E. Mehanical Be havior of Materials. Engineering Methods for
Deformation, Fracture and Fatigue. New Jersey, Prentice Hall Publishers, 2007.
4. Mogan, G. L . Metoda elemenetelor finite în inginerie. Aplicații practice. Brașov,
Editura Lux Libris, 1998.