Sectiuni Plane Prin Cuadrice

Introducere

Lucrarea de fata trateaza sectiunile ce le formeaza cuadricele (elipsoidul, hiperboloidul, paraboloidul, conul, cilindrul) cu plane in diverse pozitii fata de axele de coordonate.

Primul capitol “Conice” studiaza suprafetele rezultate in urma intersectarii unei cuadrice cu un plan. In acest capitol se gasesc date teoretice cu privire la cerc, elipsa, hiperbola si parabola, precum si reducerea ecuatiei unei conice la forma canonica.

Cel de-al doilea capitol prezinta pe scurt cuadricele cunoscute si ecuatiile reduse ale acestora, precum si invariantii lor.

Urmatorul capitol se ocupa de sectiunile principale ale tuturor cuadricelor, adica sectiunile prin planele de coordonate si sectiunile prin plane paralele cu planele coordonate. Aceasta problema este discutata pentru urmatoarele cuadrice : elipsoid, hiperboloid cu o panza si pentru paraboloidul eliptic.

Cel de-al patrule capitol este cel mai vast si abunda in contributii personale. Partea teoretica a acestui capitol cuprinde atat reducerea la forma canonica a unei sectiuni plane si determinarea pozitiei ei in spatiu cat si prezentarea invariantilor acestei sectiuni. In aceasta parte a lucrarii mele studiez sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte la hiperboloidul cu o panza, conul eliptic, paraboloidul hiperbolic si la cilindrul eliptic, si pozitia sectiunilor plane circulare in elipsoid, paraboloidul eliptic, hiperboloidul cu o panza, hiperboloidul cu doua panze si in conul eliptic.

Exista in lucrarea mea doua aplicatii mai speciale ale sectiunilor prin cuadrice si mai multe exemple numerice ale teoriei prezentate.

§1. Conice

Notam cu spatiul punctual bidimensional al geometriei elementare si cu multimea tuturor vectorilor liberi din acest spatiu. Evident, multimile si sunt in corespondenta biunivoca, aceasta fiind unic determinata prin fixarea originii in spatiul .

Apoi, daca consideram in spatiul vectorial o baza ortonormata , atunci ansamblul va forma un reper cartezian in spatiul punctual . Acestui reper i se poate asocia un sistem de axe de coordonate cartezian care se noteaza simplu prin . Fiecarui punct i se poate asocia in mod unic o pereche ordonata de numere reale care reprezinta coordonatele euclidiene ale vectorului in baza . Numerele reale se numesc coordonate carteziene ale punctului si ele determina complet pozitia punctului .

Voi studia anumite multimi speciale de puncte din numite conice care din punct de vedere geometric reprezinta anumite curbe in plan.

§1.1. Cercul cu centrul in originea axelor de coordonate

Este locul geometric al punctelor din care au distanta la originea axelor de coordonate constanta.

Prin urmare, conditia necesara si suficienta pentru ca punctul din sa apartina locului geometric mentionat este ca vectorul sa aiba o lungime constanta, adica

, unde .

Aceasta conditie poate fi scrisa analitic astfel

, adica ,

aceasta ultima egalitate reprezentand ecuatia implicita a cercului cu centrul in originea axelor de coordonate.

Graficul acestei curbe este reprezentat in fig. 1.

fig. 1

Daca cercul are centrul in punctul din, atunci ecuatia sa implicita este .

§1.2. Elipsa

Este locul geometric al punctelor din care poseda proprietatea ca suma distantelor la doua puncte fixe si din numite focare, este constanta.

Pentru a obtine ecuatia elipsei alegem sistemul de axe de coordonate astfel incat axa sa treaca prin punctele si , iar axa sa fie perpendiculara pe mijlocul segmentului , asa cum se vede in fig. 2.

fig. 2

Daca , atunci coordonatele carteziene ale focarelor si sunt si .

Conditia necesara si suficienta pentru ca punctul sa descrie elipsa este :

, unde .

Aceasta conditie se scrie analitic astfel :

,

adica

.

Dupa efectuarea calculelor si eliminarea radicalului ramas se obtine ecuatia

, unde .

Graficul elipsei este reprezentat in fig. 2.

Observam ca pentru elipsa coincide cu cercul avand centrul in originea axelor de coordonate si raza .

§1.3. Hiperbola

Este locul geometric al punctelor din care poseda proprietatea ca au diferenta distantelor la doua puncte fixe si , numite focare, constanta.

Ca in cazul elipsei, se aleg axele de coordonate astfel incat sa treaca prin focare, iar axa sa fie perpendiculara pe mijlocul segmentului .

Conditia necesara si suficienta pentru ca punctul sa descrie hiperbola este

.

Daca si , atunci aceasta conditie se scrie analitic astfel

.

Dupa eliminarea radicalilor se obtine ecuatia

,unde .

Graficul hiperbolei are doua ramuri si este reprezentat in fig. 3.a.

fig. 3

Mentionez ca ecuatia

, unde si ,

reprezinta tot o hiperbola a carei grafic este reprezentat in fig.3.b.

§1.4. Parabola

Este locul geometric al punctelor din care poseda proprietatea ca au distanta la un punct fix din , numit focar, egala cu distanta de la o dreapta fixa din numita directoare.

Alegem axele de coordonate astfel incat sa treaca prin focar si sa fie perpendiculara pe , iar axa sa fie perpendiculara pe si la distanta de focar (fig. 4).

fig. 4

Conditia necesara si suficienta pentru ca punctul sa descrie parabola este

Aceasta conditie se scrie analitic astfel

, unde .

Dupa eliminarea radicalului se obtine ecuatia

.

Graficul parabolei are o singura ramura si este reprezentat in fig. 4.

Mentionez ca ecuatia unde , reprezinta tot o parabola a carei grafic este reprezentat in fig. 5.

fig. 5

De asemenea, ecuatia cu sau reprezinta parabola a caror axa de simetrie este .

§1.5. Reducerea ecuatiei unei conice la forma canonica

Sa consideram spatiul vectorial real al vectorilor liberi dintr-un plan si fie o baza ortonormata in acest spatiu. Acestei baze i se poate asocia un reper cartezian in spatiul punctual si apoi un sistem de axe de coordonate cartezian notat simplu prin .

Fie o funtie definita prin egalitatea

,

unde coeficientii sunt reali si , adica cel putin unul dintre acesti trei coeficienti este diferit de zero.

Definitia 1.5.1 : Multimea de puncte din definita prin

se numeste conica sau curba algebrica de ordinul al doilea.

Pentru simplificarea scrierii se accepta notatia .

Se poate dovedi ca orice conica reprezinta una din urmatoarele multimi de puncte din  : cerc, elipsa, hiperbola, parabola, pereche de drepte, multime formata dintr-un punct si multimea vida.

In cele ce urmeaza este important sa retinem urmatoarele numere care pot fi asociate unei conice :

.

Se constata ca numerele si raman neschimbate atunci cand asupra reperului cartezian se aplica o rotatie sau o translatie. Din aceasta cauza aceste numere se numesc invarianti metrici ai conicei.

Daca aplicam reperului cartezian o translatie prin formulele

atunci ecuatia conicei devine

unde

.

Ne propunem sa alegem numerele si astfel incat si , adica aceste numere sa fie o soluti a sistemului :

,

care poate fi scris si altfel

,

a carui determinant principal este .

Pot apare urmatoarele situatii :

Cazul I :. In acest caz sistemul are solutie unica . Punctul

este un centru de simetrie al conicei se de aceea, se numeste centrul conicei, iar conica insasi se numeste conica cu centru.

Dupa aplicarea translatiei mentionate, ecuatia unei conice cu centru devine

.

Apoi, se constata prin calcule directe ca , deci ecuatia conicei se scrie

,

numita ecuatia conicei redusa la centru.

In continuare se face o rotatie de formula

,

dupa care ecuatia conicei devine

,

unde

.

Se alege unghiul de rotatie astfel incat , adica sa fie o solutie a ecuatiei trigonometrice

,

care poate fi scrisa si altfel

.

Ecuatia conicei se reduce la forma canonica :

(1)

Prin urmare, pot apare urmatoarele subcazuri:

Subcazul I :. In acest caz ecuatia (1) reprezinta o elipsa sau o hiperbola, dupa cum coeficientii si au acelasi semn sau semne contrare.

Subcazul II : . In acest caz ecuatia conicei se scrie sub forma , deci reprezinta o pereche de drepte secante sau un punct, dupa cum coeficientii si au semne contrare sau acelasi semn.

Revenind asupra ecuatiei conicei scrisa sub forma canonica se poate constata ca numerele si sunt radacinile ecuatiei in de gradul al doilea.

,

care se mai poate scrie

. (2)

Intr-adevar, deoarece si sunt invarianti la o translatie sau rotatie a reperului cartezian, rezulta ca si (deoarece pentru s-a pus conditia sa se anuleze), deci si sunt intr-adevar radacinile ecuatiei (2).

Cazul II :. In acest caz conica se numeste conica fara centru, iar

pentru a obtine ecuatia sa canonica se efectueaza mai intai o rotatie si apoi o translatie.

Observam ca din conditia rezulta ca cel putin unul dintre coeficientii si este diferit de zero, deoarece in caz contrar ar rezulta ca si este zero, ceea ce contrazice conditia pusa in definitia conicei. Daca, de exemplu, , atunci implica , deci ecuatia conicei poate fi scrisa astfel

.

Daca efectuam rotatia

ecuatia conicei devine

,

unde

.

Alegem unghiul de rotatie astfel incat , adica astfel incat sa fie solutie a ecuatiei trigonometrice . Se observa ca, pentru aceasta alegere a lui , otinem de asemena , deci ecuatia conicei devine

.

Efectuam acum translatia

,

dupa care ecuatia conicei se scrie

(3)

unde

.

Alegem pe si astfel incat si , ceea ce este posibil deoarece (in caz contrar din ecuatia (3) ar dispare termenii de gradul al doilea). Deci, ecuatia (3) se reduce la forma canonica

(4)

care reprezinta ecuatia unei parabole.

Observam ca, daca , ceea ce se intampla cand , conica se descompune in doua drepte paralele sau confundate.

Rezultatele obtinute pot fi prezentate in urmatorul tabel concluziv :

§2. Definitia unei cuadrice. Ecuatiile reduse ale cuadricelor

Fie o functie reala de trei variabile reale, definita prin egalitatea:

,

unde , adica cel putin unul din acesti sase coeficienti este diferit de 0.

Definitia 2.1 Se numeste cuadrica multimea Σ inclusa sau egala cu E3 definita astfel

,

spatiul punctual fiind raportat la un reper cartezian . Se accepta urmatoarea notatie prescurtata:

.

Prin trecerea de la reperul cartezian la un alt reper convenabil, numit reper canonic, se poate arata ca orice cuadrica reprezinta una din urmatoarele multimi de puncte din :

Sfera:

Elipsoidul: ,

Hiperboloid cu o panza: ,

Hiperboloid cu doua panze: ,

Paraboloid eliptic: ,

Paraboloid hiperbolic: ,

Con: ,

Cilindru eliptic: , (in particular, pentru a = b obtinem cilindrul circular)

Cilindru hiperbolic:

Cilindru parabolic:

Plane concurente: ,

Plane paralele: ,

Plane confundate:

Dreapta: ,

Punct: ,

Multimea vida: sau sau ,

Ecuatia cuadricei admite urmatorii invarianti:

,

Natura cuadricei se poate stabili cu ajutorul invariantilor, asa de exemplu:

a). Daca , atunci cuadrica se numeste nedegenerata. In aceasta categorie intra sfera, elipsoidul, hiperboloizii si paraboloizii.

b). Daca , cuadrica se numeste degenerata. In aceasta categorie intra conul, cilindrii si perechile de plane.

Definitia 2.2 Se numeste centrul cuadricei punctul ale carui coordonate constituie solutie pentru sistemul:

Planul tangent la o cuadrica in punctul in care cel putin unul din numerele este diferit de 0, are ecuatia

Aceasta ecuatie se obtine prin dedublare.

Normala la cuadrica in punctul are ecuatiile:

§3. Sectiuni plane paralele cu planele de coordonate

§3.1. Sectiunile elipsoidului prin planele de simetrie si prin planele paralele cu planele de simetrie

Pentru a determina forma si pozitia unei suprafete, se studiaza de obicei curbele sale de intersectie cu diferite plane.le sale de intersectie cu diferite plane. Planul intersecteaza elipsoidul

(1)

dupa curba definita de ecuatiile

,

sau de sistemul echivalent

, . (2)

La fel, planul intersecteaza elipsoidul (1) dupa curba

, (3)

iar planul il intersecteaza dupa curba

, . (4)

Curbele (2), (3) si (4) sunt elipse. Aceste curbe, adica sectiunile elipsoidului prin planele sale principale se numesc sectiuni principale.

Sa consideram sectiunile elipsoidului (1) prin plane paralele cu unul dintre planele de coordonate, de exemplu cu planul , adica sectiunile prin planele

,

unde este un numar real arbitrar.

Ecuatiile curbei de intersectie sunt definite de sistemul de ecuatii

sau de sistemul echivalent

sau

.

Daca , prima ecuatie a acestui sistem nu este satisfacuta de nici o pereche de numere reale , adica sistemul nu admite solutii reale. Aceasta inseamna ca pentru planul nu intersecteaza elipsoidul.

Pentru prima ecuatie a ultimului sistem este de forma :

de unde rezulta . Asadar, planele sunt tangente la elipsoidul (1) respectiv in varfurile sale .

In sfarsit, daca , sistemul de ecuatii care defineste sectiunea poate fi scris:

sau .

Aceste ecuatii definesc o elipsa in planul de sectiune , avand centrul pe axa in punctul , axele de simetrie paralele cu axele si si semiaxele egale cu

, .

§3.2. Sectiunile hiperboloidului cu o panza prin planele de simetrie si prin planele paralele cu planele de simetrie

Planul intersecteaza hiperboloidul cu o panza

(5)

dupa o elipsa definita de ecuatiile

,

care se numeste elipsa colier a hiperboloidului cu o panza (5).

Planul intersecteaza hiperboloidul cu o panza (5) dupa o hiperbola, definita de ecuatiile

,

iar planul il intersecteaza dupa hiperbola definita de ecuatiile

.

Sa mai consideram sectiunile hiperboloidului cu o panza (5) prin planele paralele cu planul de coordonate , adica prin planele

.

Ecuatiile curbei de intersectie vor fi

;

acest sistem de ecuatii este echivalent cu urmatorul:

sau

.

Aceste ecuatii definesc elipsa cu semiaxele

, (6)

avand centrul pe axa in punctul si axele respectiv paralele cu axele si . Din expresiile (6) rezulta

,

adica elipsa colier este cea mai mica dintre toate elipsele dupa care hiperboloidul cu o panza (5) este taiat de planele paralele cu planul (fig. 6).

fig. 6

§3.3. Sectiunile hiperboloidului cu doua panze prin planele de simetrie si prin planele paralele cu planele de simetrie

Planele si intersecteaza hiperboloidul cu doua panze

dupa hiperbolele

si

.

Sectiunea hiperboloidului cu doua panze prin planul este definita de ecuatiile

.

Daca , prima ecuatie nu are solutii reale, adica planul nu intersecteaza suprafata. Daca , avem

,

de unde rezulta

,

adica planele sunt tangente la hiperboloidul cu doua panze in varfurile sale . Daca , ecuatiile sectiunii pot fi scrise sub forma

.

Aceste ecuatii definesc elipsa cu semiaxele

,

avand centrul in punctul si axele respectiv paralele cu axele si (fig. 7).

fig.7

§3.4. Sectiunile paraboloidului eliptic prin planele de simetrie, prin planele paralele cu planele de simetrie si prin plane perpendiculare pe axa de simetrie

Planul intersecteaza paraboloidul eliptic

(7)

dupa curba

,

sau

. (8)

Daca , atunci, deoarece prima ecuatie nu are solutii reale ; aceasta inseamna ca, pentru planul nu intersecteaza paraboloidul eliptic (7). Daca , avem , adica planul este tangent la paraboloidul eliptic (7) in varful sau . Daca , atunci, scriind ecuatiile (8) sub forma

se vede ca sectiunea este o elipsa cu centrul in punctul si cu semiaxele

respectiv paralele cu axele si .

Planul intersecteaza paraboloidul eliptic (7) dupa parabola

iar planul determina parabola

.

Se vede deci ca numerele si sunt parametrii parabolelor care se obtin intersectand paraboloidul cu planele sale de simetrie (fig 8).

fig. 8

Sa consideram sectiunile paraboloidului eliptic prin plane paralele cu planul , adica prin planele definite de ecuatia

.

Ecuatiile sectiunii sunt

sau

sau

.

Aceste ecuatii definesc parabola cu varful

,

a carei axa este definita de ecuatiile

sensul acestei axe coincizand cu sensul pozitiv al axei . Parametrul parabolei

este egal cu , adica cu parametrul sectiunii principale a paraboloidului eliptic prin planul .

La fel stau lucrurile si pentru sectiunile paraboloidului eliptic (7) prin planele paralele cu planul .

Asadar, paraboloidul eliptic poate fi obtinut prin deplasarea unei parabole , astfel incat varful parabolei sa descrie o parabola , al carei plan este perpendicular pe planul parabolei , axele acestor parabole fiind paralele si avand acelasi sens (fig. 9).

fig. 9

§3.5. Sectiunile paraboloidului hiperbolic prin planele de simetrie, prin planele paralele cu planele de simetrie si prin plane perpendiculare pe axa de simetrie

Planul intersecteaza paraboloidul hiperbolic

(9)

dupa doua drepte :

sau

si .

Planul , paralele cu planul , intersecteaza paraboloidul hiperbolic dupa hiperbola  :

.

Daca , aceste ecuatii pot fi scrise sub forma

 ;

aceasta este o hiperbola situata in planul , cu centrul in punctul , avand semiaxa reala egala cu si paralela cu axa , iar semiaxa imaginara egala cu si paralela cu axa (fig. 10).

fig. 10

Daca , ecuatiile sectiunii pot fi scrise sub forma

 ;

aceasta este o hiperbola , situata in planul , cu centrul in punctul , avand semiaxa reala egala cu si paralela cu axa , iar semiaxa imaginara egala cu si paralela cu axa (fig 10).

Planul intersecteaza paraboloidul hiperbolic (9) dupa o parabola :

,

iar planul intersecteaza acest hiperboloid hiperbolic dupa o parabola :

.

Se vede ca numerele si sunt parametrii parabolelor obtinute intersectand paraboloidul hiperbolic (9) cu planele sale principale.

Sa consideram sectiunile paraboloidului hiperbolic (9) prin planele paralele cu planul , adica prin planele definite de ecuatia

.

Ecuatiile sectiunii sunt de forma

sau

.

Aceste ecuatii definesc parabola cu varful in punctul

,

avand axa definita de ecuatiile

sensul sau pozitiv coincizand cu sensul pozitiv al axei . Parametrul parabolei

este egal cu , adica cu parametrul sectiunii principale a paraboloidului hiperbolic prin planul .

Se obtine un tablou analog pentru sectiunile paraboloidului hiperbolic prin planele paralele cu planul .

Asadar, paraboloidul hiperbolic poate fi obtinut prin deplasarea unei parabole , astfel incat varful acestei parabole sa descrie o parabola  ; planul parabolei este perpendicular pe planul parabolei , iar axele acestor parabole sunt paralele si au sensuri opuse (fig.11).

fig. 11

§4. Reducerea la forma canonica a unei sectiuni plane a unei cuadrice

§4.1. Invariantii unei sectiuni plane intr-o cuadrica

Teorema 4.1.1: Daca intr-un sistem de coordonate carteziene rectangulare sunt date:

1). O suprafata de ordinul al doilea prin ecuatia ei generala

(1)

2). Un plan prin ecuatia sa normala

(2)

sistemul invariantilor curbei, dupa care planul (2) intersecteaza suprafata data, este de forma

(3)

(4)

(5)

(6)

Demonstratie: Sa rotim axele de coordonate astfel incat planul sa devina planul , adica ultima dintre formulele de transformare va avea forma . Axele si pot avea orice pozitie in acest plan (cu conditia ), iar axa va fi perpendiculara pe acest plan.

Ecuatia noastra devine

(7)

Curba de intersectie a suprafetei date cu planul considerat este definita de doua ecuatii: ecuatia (7) si ecuatia sau de ecuatiile:

Invariantii curbei de intersectie vor fi

,

Sa consideram ecuatia:

.

Dupa efectuarea transformarii indicate, aceasta ecuatie devine

Egaland semiinvariantii si pentru ultimele doua ecuatii, obtinem

Asadar, am demonstrat o parte a teoremei.

Sa demomstram acum ecuatia

a unei suprafete de ordinul al doilea in spatiu cu patru dimensiuni. Sa efectuam aceeasi rotatie a axelor (pastrand axa celei de a patra dimensiuni, adica punand); atunci obtinem o noua ecuatie:

Sa egalam invariantii pentru ultimele doua ecuatii; obtinem

Inmultind elementele din coloana a treia cu D si scazindu-le din ultima coloana obtinem un determinant egal cu .

Ramane sa demonstram invarianta lui pentru cazul in care sectiunea este o pereche de drepte paralele. Pentru aceasta, sa egalam semiinvariantul pentru ultimele doua ecuatii ale suprafetei in spatiu cu patru dimensiuni (nu am scris termenii egali cu 0):

Primul determinant din membrul intii este nul, deoarece (se presupune ca sectiunea este o pereche de drepte paralele). Ceilalti doi determinanti devin:

iar aceasta ultima expresie este egala cu.

Astfel teorema a fost demonstrata.

§4.2. Reducerea la forma canonica a sectiunii plane si pozitia sectiunii in spatiu

In acest paragraf vom determina o schimbare de coordonate in spatiu astfel incat planul sa coincida cu planul de sectiune, originea sistemului de coordonate sa coincida cu centrul conicei (in cazul in care conica are centru), iar axa sa fie normala la planul de sectiune.

Cu ajutorul invariantilor conicelor de sectiune se poate determina usor ecuatia conicii de sectiune raportata la acest reper de coordonate. Vom exemplifica determinarea ecuatiei canonice a conicei de sectiune in exemplele ce vor urma.

Sa aratam cum se determina pozitia in spatiu a unei sectiuni plane (axele de simetrie, centrul) a unei suprafete de ordinul al doilea, in cazul in care aceasta sectiune este o elipsa, o hiperbola sau o parabola.

Cazul I : Sectiunea este o elipsa sau o hiperbola.

Fie centrul sectiunii. Sa ducem in planul ei o dreapta arbitrara :

Coordonatele punctelor de intersectie ale acestei drepte cu suprafata data (in cazul in care sectiunea este o hiperbola, vom presupune ca directia vectorului nu coincide cu directia nici uneia dintre asimptotele hiperbolei), care vor fi totodata si coordonatele punctelor de intersectie ale acestor drepte cu sectiunea, se obtin inlocuind in ecuatia generala a suprafetei pe prin  :

 ; (1)

determinand valorile si din aceasta ecuatie si inlocuindu-le in formulele precedente, obtinem :

Deoarece mijlocul segmentului cu extremitatile si coincide cu punctul , avem

de aici rezulta

si, deoarece unul dintre numerele sau este nenul, avem De aici rezulta ca coeficientul lui din ecuatia (1) este egal cu zero :

De aici rezulta ca vectorul de coordonate

este perpendicular pe vectorul arbitrar , situat in planul sectiunii, deci acest vector este perpendicular pe acest plan

,

adica este coliniar cu vectorul :

(2)

Deoarece centrul al sectiunii este situat in planul ei, avem

. (3)

Asadar, coordonatele ale centrului sectiunii se obtin din sistemul (2), (3) in cazul in care sectiunea este o elipsa sau o hiperbola.

Rezolvand acest sistem, obtinem centrul sectiunii:

.

Pentru a determina pozitia elipsei sau a hiperbolei, ramane sa determinam vectorii directiilor principale ale sectiunii: fie

si

versorii coliniari respectiv cu axele de simetrie si ale sectiunii; in sistemul sectiunea este definita de ecuatia

,

unde si sunt radacinile ecuatiei caracteristice

,

iar au valorile indicate mai sus.

Sa consideram in spatiu un sistem de coordonate , luand axele de simetrie ale sectiunii drept axe de coordonate, iar drept axa normala la planul sectiunii.

Versorii axelor sunt respectiv

Formulele de transformare vor fi de forma

unde sunt coordonatele centrului al sectiunii.

In sistemul de coordonate indicat, grupul termenilor de gradul al doilea din ecuatia suprafetei va fi de forma:

,

(deoarece ecuatia cuadricii raportate la acest reper, avand in vedere ca prin intersectia cu planul se obtine conica raportata la axele proprii, va avea forma

,

dar aici , deci cuadrica raportata la reperul rotit si translatat este de forma )

unde matricea acestei forme patratice se exprima in functie de matricea formei patratice

prin relatia

,

de unde

.

Efectuand inmultirea matricilor si egaland elementele corespunzatoare ale produselor, obtinem sistemul

in plus,

 ;

de aici obtinem vectorul care are directia axei .

Mai departe :

de unde obtinem vectorul care are directia axei .

Aplicatie:

Sa se determine pozitia si ecuatia curbei dupa care planul de ecuatie

intersecteaza elipsoidul

.

Rezolvare :
Ecuatia planului trebuie adusa la forma canonica, si anume :

| :,

deci ecuatia canonica a planului secant este

.

Calculam invariantii sectiunii  :

Fie centrul sectiunii. Sa ducem in planul ei o dreapta arbitrara :

Coordonatele punctelor de intersectie ale acestei drepte cu suprafata data vor fi totodata si coordonatele punctelor de intersectie ale acestor drepte cu sectiunea si se obtin inlocuind in ecuatia generala a suprafetei pe prin  :

 ; (1)

determinand valorile si din aceasta ecuatie si inlocuindu-le in formulele precedente, obtinem :

Deoarece mijlocul segmentului cu extremitatile si coincide cu punctul , avem

de aici rezulta

si, deoarece unul dintre numerele sau este nenul, avem De aici rezulta ca coeficientul lui din ecuatia (1) este egal cu zero :

De aici rezulta ca vectorul de coordonate

este perpendicular pe vectorul arbitrar , situat in planul sectiunii, deci acest vector este perpendicular pe acest plan

,

adica este coliniar cu vectorul :

(2)

Deoarece centrul al sectiunii este situat in planul ei, avem

. (3)

Asadar, coordonatele ale centrului sectiunii se obtin din sistemul (2), (3), astfel:

Se obtine centrul sectiunii:

.

Pentru a determina pozitia elipsei, ramane sa determinam vectorii directiilor principale ale sectiunii: fie

si

versorii coliniari respectiv cu axele de simetrie si ale sectiunii; in sistemul sectiunea este definita de ecuatia

, adica

unde si sunt radacinile ecuatiei caracteristice

sau

Solutiile ecuatiei caracteristice sunt :

,

si ecuatia canonica a elipsei de intersectie va fi :

Sa consideram in spatiu un sistem de coordonate , luand axele de simetrie ale sectiunii drept axe de coordonate, iar drept axa normala la planul sectiunii.

Versorii axelor sunt respectiv

Formulele de transformare vor fi de forma

In sistemul de coordonate indicat, grupul termenilor de gradul al doilea din ecuatia suprafetei va fi de forma:

,

unde matricea acestei forme patratice se exprima in functie de matricea formei patratice

prin relatia

,

de unde

.

Efectuand inmultirea matricilor si egaland elementele corespunzatoare ale produselor, obtinem sistemul

in plus,

 ,

de unde rezulta , adica axa este axa mare a elipsei, deci .

Vectorul care are directia axei mici se obtine inmultind vectorial pe cu vectorul si se obtine

, deci .

Asadar, am determinat complet pozitia sectiunii (elipsei).

Cazul II : Sectiunea este o parabola.

In acest caz, luand drept noua origine varful al parabolei, drept axa tangenta in varf, drept axa axa de simetrie si drept axa normala la planul sectiunii, grupul termenilor de gradul al doilea din ecuatia suprafetei devine :

(deoarece ecuatia cuadricii raportate la acest reper, avand in vedere ca prin intersectia cu planul se obtine conica raportata la axele proprii, va avea forma

,

dar aici , deoarece conica de sectiune trebuie sa fie o parabola, deci grupul termenilor de gradul al doilea din ecuatia suprafetei devine ).

Se arata, cu ajutorul rationamentelor de mai sus, ca directia axei , adica a tangentei in varful parabolei, este definita de sistemul

deci ecuatia planului conjugat cu directia tangentei la parabola in varful ei

impreuna cu ecuatia planului sectiunii

,

defineste axa parabolei.

Obtinem varful parabolei rezolvand sistemul celor trei ecuatii

In sfarsit, ramane sa determinam un vector dirijat dupa axa parabolei, in sensul concavitatii ei.

Sa aratam ca, daca vectorul

este diferit de zero, el este paralel cu axa parabolei si dirijat in sensul concavitatii ei.

Daca in se inlocuieste pe rand linia a patra prin

,

apoi prin

,

apoi prin

,

si, in sfarsit prin

,

se obtine un determinant egal cu zero. Descompunandu-l dupa elementele acestei linii, obtinem relatiile

adica tocmai relatiile care definesc coordonatele unui vector paralel cu axa parabolei.

Ramane sa demonstram ca vectorul este dirijat in sensul concavitatii parabolei. Aceasta se realizeaza, cel mai simplu, trecand la ecuatia suprafetei sub forma

.

Obtinem :

.

Vectorul este dirijat in sensul concavitatii parabolei

,

care este sectiunea suprafetei noastre prin planul .

Aplicatie :

Sa se determine pozitia si ecuatia parabolei dupa care planul de ecuatie

intersecteaza conul circular de ecuatie

.

Rezolvare :
Ecuatia planului trebuie adusa la forma canonica, si anume :

| :,

deci ecuatia canonica a planului secant este

.

Calculam invariantii sectiunii  :

Ecuatia canonica a parabolei de sectiune este :

sau .

Luand drept noua origine varful al parabolei, drept axa tangenta in varf, drept axa axa de simetrie si drept axa normala la planul sectiunii, grupul termenilor de gradul al doilea din ecuatia suprafetei devine :

adica

Directia axei , adica a tangentei in varful parabolei, este definita de sistemul format de urmatoarele ecuatii :

de unde rezulta . Putem lua .

Obtinem varful parabolei prin urmatoarea formula :

deci obtinem varful

In sfarsit, ramane sa determinam un vector dirijat dupa axa parabolei, in sensul concavitatii ei.

Vectorul

este diferit de zero, este paralel cu axa parabolei si dirijat in sensul concavitatii ei.

§4.3. Sectiuni plane sub forma unor reuniuni de drepte

Observatia 4.3.1 : Intersectia unei cuadrice cu un plan este intotdeauna o conica.

Demonstratie : Fie cuadrica sub forma ei generala

si un plan de forma .

Oricare ar fi planul dat, folosind rotatia si translatia, el va coincide cu planul de ecuatie si ecuatia cuadricei va deveni

.

Curba din plan care defineste intersectia cuadricei cu planul are forma

sau altfel scris

care este ecuatia unei conice in planul .

Deci, orice cuadrica intersectata cu un plan, formeaza o conica.

Definitia 4.3.1 : O dreapta situata in intregime pe o suprafata de ordinul al doilea se numeste generatoare rectilinie a acelei suprafete.

§4.3.1. Sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte ale hiperboloidului cu o panza

Hiperboloidul cu o panza de ecuatie

se poate scrie sub forma

de unde rezulta urmatoarea relatie:

Din aceasta relatie deducem ca exista un numar real astfel incat

(1)

au loc simultan si exista un numar real astfel incat

(2)

Cele doua perechi de plane (1) si (2) determina doua familii de drepte si .

Teorema 4.3.1.1 : Doua generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panza, facand parte din familii diferite, sunt concurente.

Deci, doua drepte din familia si din familia sunt totdeauna coplanare, iar intersectia planului format de generatoarele rectilinii si cu hiperboloidul cu o panza este chiar reuniunea celor doua generatoare.

Observatia 4.3.1.1 : Prin orice punct aflat pe un hiperboloid cu o panza trece cate o dreapta din fiecare familie, deci prin orice punct de pe hiperboloidul cu o panza trec doua generatoare.

Sa deducem acum ecuatia planului format de doua generatoare din familii diferite, care trec printr-un punct de pe hiperboloid.

Dreapta din familia va avea urmatoarea ecuatie :

.

Deoarece punctul , putem determina valoarea lui

si ecuatia dreptei va deveni:

.

Pentru a putea scrie ecuatia planului determinat de cele doua drepte, avem nevoie de vectorii directori ai fiecareia. Deci, determinam un vector director pentru dreapta care va fi de forma

,

unde

,

,

,

deci , unde .

Pentru cea de-a doua dreapta urmam acelasi procedeu, astfel :

, de unde .

Ecuatia dreptei devine

.

Vectorul director va fi de forma , unde

,

,

,

deci , unde .

Acum se poate determina planul format de cele doua generatoare rectilinii care trec prin punctul  :

echivalent cu

.

Efectuand calculele, rezulta :

Impartind prin , vom obtine :

Deci ecuatia planului va deveni :

§4.3.2. Sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte ale conului eliptic

Sa consideram un con eliptic avand varful in centrul axelor de coordonate si axa este axa de simetrie a conului :

. (1)

Vom demonstra ca, daca sectionam un con eliptic cu un plan care trece prin varful lui, sectiunea va fi reuniunea a doua drepte.

Planul secant este de ecuatie , dar apartine planului, deci ecuatia lui va deveni .

Intersectia conului (1) cu planul va avea urmatoarea ecuatie:

,

iar impartind cu obtinem urmatoarea ecuatie de gradul al doilea :

, unde

Depinzand de discriminant, aceasta ecuatie de gradul al doilea poate avea sau nu radacini, de aceea studiem urmatoarele cazuri :

Cazul I : Daca discriminantul este negativ, ecuatia nu are radacini reale, deci conul eliptic si planul dat nu se intersecteaza.

Cazul II : Daca discriminantul este nul, atunci ecuatia are doua radacini reale egale. Si anume :

.

In acest caz, intersectia este o dreapta de ecuatie

.

Asadar, ecuatia intersectiei conului cu planul dat este chiar una dintre generatoarele conului.

Cazul III: In cazul in care discriminantul este pozitiv, ecuatia va avea doua radacini reale distincte si , astfel :

si .

Deci intersectia va fi formata din doua drpte date de urmatoarele ecuatii :

si

.

Aplicatie :

Se da corpul format de conul eliptic de ecuatie

sectionat cu planele si . Se da planul de ecuatie

.

Sa se determine coordonatele varfurilor triunghiurilor de sectiune si aria sectiunii.

Rezolvare :

Verificam la inceput daca planul dat intersecteaza conul. Deci rezolvam sistemul :

,

deci

.

Aceasta ecuatie de gradul al doilea are urmatoarele solutii :

si ,

care sunt ecuatiile celor doua drepte de intersectie :

si .

Fiecare dintre aceste drepte intersecteaza planele si , de unde ne rezulta patru puncte, , care trebuie determinate pentru a putea calcula aria suprafetei de intersectie.

Astfel, se afla la intersectia dreptei cu planul , deci

,

deci punctul este determinat si are urmatoarele coordonate :

.

In acelasi mod se afla si celelalte puncte :

deci

.

Sectiunea formata prin intersectia conului cu planul dat, sunt doua triunghiuri, si anume .

§4.3.3. Sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte ale paraboloidului hiperbolic

Paraboloidul hiperbolic de ecuatie

se poate scrie sub forma

Din aceasta relatie deducem ca exista un numar real astfel incat

(1)

au loc simultan si exista un numar real astfel incat

(2)

Cele doua perechi de plane (1) si (2) determina doua familii de drepte si .

Teorema 4.3.3.1 : Doua generatoare rectilinii ale paraboloidului hiperbolic, facand parte din familii diferite, sunt concurente.

Deci, doua drepte din familia si din familia sunt totdeauna coplanare, iar intersectia planului format de generatoarele rectilinii si cu hiperboloidul cu o panza este chiar reuniunea celor doua generatoare.

Observatia 4.3.3.1 : Prin orice punct aflat pe un paraboloid hiperbolic trece cate o dreapta din fiecare familie, deci prin orice punct de pe hiperboloidul cu o panza trec doua generatoare.

Sa deducem acum ecuatia planului format de doua generatoare din familii diferite, care trec printr-un punct de pe hiperboloid.

Dreapta din familia va avea urmatoarea ecuatie :

.

Deoarece punctul , putem determina valoarea lui

si ecuatia dreptei va deveni:

.

Pentru a putea scrie ecuatia planului determinat de cele doua drepte, avem nevoie de vectorii directori ai fiecareia. Deci, determinam un vector director pentru dreapta care va fi de forma

,

unde

, , ,

deci , unde .

Pentru cea de-a doua dreapta urmam acelasi procedeu, astfel :

, de unde .

Ecuatia dreptei devine

.

Vectorul director va fi de forma , unde

, , ,

deci , unde .

Acum se poate determina planul format de cele doua generatoare rectilinii care trec prin punctul  :

echivalent cu

Efectuand calculele, rezulta :

Ecuatia planului devine :

sau

Deci ecuatia planului va deveni :

§4.3.4. Sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte ale cilindrului eliptic

Sa consideram un cilindru eliptic avand generatoarele paralele cu axa  :

. (1)

Vom demonstra ca, daca sectionam un cilindru eliptic cu un plan paralel cu axa lui de simetrie, sectiunea va fi reuniunea a doua drepte.

Planul secant este de ecuatie , dar este si paralel cu , deci ecuatia lui va deveni .

Intersectia cilindrului (1) cu planul va avea urmatoarea ecuatie:

Depinzand de discriminant, aceasta ecuatie de gradul al doilea poate avea sau nu radacini, de aceea studiem urmatoarele cazuri :

Cazul I : Daca discriminantul este negativ, ecuatia nu are radacini reale, deci cilindrul eliptic si planul dat nu se intersecteaza.

Cazul II : Daca discriminantul este nul, atunci ecuatia are doua radacini reale egale. Si anume :

.

In acest caz, intersectia este o dreapta de ecuatie

.

Asadar, ecuatia intersectiei cilindrului cu planul dat este chiar una dintre generatoarele cilindrului, de ecuatie:

Cazul III: In cazul in care discriminantul este pozitiv, ecuatia va avea doua radacini reale distincte si , astfel :

si .

Deci intersectia va fi formata din doua drpte date de urmatoarele ecuatii :

si

Aplicatie :

Sa consideram cilindrul eliptic de ecuatie

si planul . Sa se determine ecuatiile dreptelor de intersectie si distanta dintre ele.

Rezolvare :

Intersectia cilindrului dat cu planul va avea urmatoarea ecuatie:

Discriminantul este pozitiv, deci intersectia va fi o reuniune a doua drepte.

si

Cele doua drepte de intersectie vor avea urmatoarele ecuatii :

si .

Pentru a afla distanta dintre si consideram un plan de sectiune perpendicular pe axa de simetrie a cilindrului. Acest plan este o elipsa de ecuatie

,

care intersecteaza cele doua drepte in doua puncte si . Pentru a afla distanta dintre dreptele rezultate prin sectionare, trebuie sa aflam coordonatele punctelor si . Astfel, coordonatele punctului sunt determinate de urmatorul sistem:

si

deci punctele vor avea urmatoarele coordonate :

si .

Distanta dintre cele doua drepte si se va calcula astfel :

§4.4. Sectiuni plane circulare

In acest paragraf, voi considera sectiunile circulare ale suprafetelor de ordinul al doilea care admit asemenea sectiuni.

§4.4.1. Sectiunile plane circulare ale elipsoidului

(1)

Fie

(2)

ecuatia normala a unui plan (adica ). Pornind de la formulele (3), (4) si (5) din paragraful 4.1., obtinem :

,

,

.

Pentru ca sectiunea elipsoidului (1), prin planul (2), sa fie un cerc, este necesar si suficient ca

.

Prima conditie devine :

sau, deoarece , avem

sau

,

si, presupunand ca , obtinem :

, ,

.

Conditia devine :

.

Deoarece , avem

,

si deci

,

sau

,

sau

.

Asadar, planele care intersecteaza elipsoidul (1) dupa cercuri sunt definite de ecuatiile

,

unde . Totodata, aceste ecuatii definesc planele tuturor sectiunilor circulare ale elipsoidului (1).

Aplicatie

Se da elipsoidul de ecuatie

.

Se taie elipsoidul cu planul . Sa se determine astfel incat sectiunea sa fie cerc.

Vectorii directori ai noilor axe vor fi :

Facem o rotatie astfel incat planul sectiunii sa coincida cu planul  :

,

deci ecuatia elipsoidului va deveni :

Aeasta este ecuatia elipsoidului raportat la noul reper rotit.

Elipsoidul intersectat cu planul este acum sectiunea noastra. Ecuatia ei este acum :

sau (2)

Ecuatia (2) reprezinta un cerc daca si numai daca :

, de unde

, deci

,

deci

,

unde , iar planul de sectiune este .

§4.4.2. Sectiunile plane circulare ale paraboloidului eliptic

.

Obtinem:

,

,

.

Conditiile devin aici

;

Inlocuind pe cu , aceasta relatie devine

,

de unde rezulta

Daca , ipoteza conduce la o contradictie: , deci trebuie sa punem (in cazul ). Atunci , deci

.

Deoarece , avem

.

Schimband semnul in membrul intai al ecuatiei , putem realiza intotdeauna inegalitatea .

Punand

,

obtinem din conditia , adica din conditia , inegalitatea

.

Prin urmare, planele sectiilor circulare (si anume a tuturor sectiunilor circulare) sunt definite de ecuatiile

,

unde este un numar oarecare, mai mic decat unu.

§4.4.3 Sectiunile plane circulare ale hiperboloidului cu o panza

.

Obtinem

,

,

.

Conditia devine :

sau

,

de unde () :

,

prin urmare

.

Conditia devine :

,

care este indeplinita pentru orice valoare a lui D. Asadar, planele

sau

,

unde este un numar real arbitrar, intersecteaza hiperboloidul cu o panza dupa un cerc.

Totodata, ecuatiile indicate definesc planele tuturor sectiunilor circulare ale suprafetei considerate.

§4.4.4. Sectiunile plane circulare ale hiperboloidului cu doua panze

.

In acest caz, calculele nu se deosebesc mult de cele efectuate in cazul sectiunilor circulare ale hiperboloidului cu o panza. Conditia devine insa aici :

, adica .

Planele tuturor sectiunilor circulare ale hiperboloidului cu doua panze sunt definite de ecuatiile

,

unde este un numar real oarecare, mai mare in valoare absoluta decat unu.

§4.4.5. Sectiunile plane circulare ale conului eliptic

Se da conul de ecuatie

care se poate reduce la urmatoarea forma:

.

Consideram axele de coordonate astfel incat varful conului se afla in origine, iar axa coincide cu axa de simetrie a conului.

Prin punctul se duce un plan paralel cu , care va avea urmatoarea ecuatie :

.

Sa se determine astfel incat sectiunea sa fie cerc.

Vectorii directori ai noilor axe de coordonate vor fi :

deoarece axa va fi perpendiculara pe planul sectiunii. Axa va fi paralela cu axa , deci , iar vectorul director al axei se poate afla prin produsul vectorial al lui cu . Astfel :

, deci

Facem o translatie in , de vector , astfel incat centrul sectiunii sa fie in originea axelor de coordonate :

,

deci ecuatia conului devine : .

Facem o rotatie astfel incat planul sectiunii sa coincida cu planul  :

,

deci ecuatia conului va deveni :

, adica

(1)

Aceasta este ecuatia conului raportat la noul reper, translatat si rotit.

Conul intersectat cu planul este acum sectiunea noastra. Ecuatia ei este acum :

(2)

Ecuatia (2) reprezinta un cerc daca si numai daca :

, de unde

.

Aplicatie :

Fie conul eliptic cu urmatoarea ecuatie

.

Sa se determine ecuatia planelor care , prin intersectie cu conul dat, formeaza cercuri.

,

deci ecuatia planelor va fi de forma : , adica

,

unde h este inaltimea la care vrem sa facem sectiunea.

§4.5. Aplicatii

§4.5.1. Segmentul cilindric

Segmentul cilindric, adesea denumit cilindru trunchiat, este corpul geometric rezultat prin taierea unui cilindru prin doua sau mai multe plane. Daca sunt doua plane secante, unul perpendicular pe axa cilindrului, iar celalalt inclinat, corpul obtinut este cunoscut sub denumirea de ic cilindric.

Daca planul este inclinat dar nu intersecteaza baza, segmentul cilindric rezultat va avea o baza circulara si una eliptica.

Fie un cilindru de baza . Prin intersectia cu doua plane se obtine un segment cilindric de inaltime minima si de inaltime maxima . Consideram un sistem de coordonate in planul bazei care taie cilindrul perpendicular pe axa lui, cu originea sistemului in centrul cercului de la baza si cu axa paralelea cu semiaxa mare a elipsei (baza superioara).

Volumul segmentului cilindric poate fi obtinut observand ca doua asemenea sectiuni cilindrice formeaza impreuna un cilindru drept de raza si inaltime  ; deci volumul segmentului cilindric este jumatate din volumul cilindrului de inaltime  :

Volumul poate fi aflat direct prin integrare, cu inaltimea exprimata in coordonate polare si carteziene :

.

Pentru a calcula volumul corpului, avem :

Pentru a calcula aceasta integrala, trecem la coordonate cilindrice. Formulele schimbarii de coordonate sunt :

Iacobianul transformarii este :

deci :

.

Coordonatele centrului de greutate se pot determina astfel :

, unde :

,

deci

Cea de-a doua coordonata a centrului de greutate se afla astfel:

,

deci

.

deci

.

Baza superioara a segmentului cilindric este o elipsa deci are doua raze, astfel:

,

,

iar suprafata ei se poate calcula astfel:

.

Aria laterala e segmentului cilindric este data de integrala

§4.5.2. Bazinul cilindric

O alta forma de segment cilindric se formeaza astfel : fie un cilindru orizontal de lungime si raza  ; cilindrul se intersecteaza cu un plan paralel cu axa de simetrie (de exemplu un bazin orizontal cilindric umplut pana la un anumit nivel cu lichid).

Pentru o taietura facuta la inaltimea , volumul al segmentului cilindric astfel format se afla inmultind lungimea cilindrului cu aria segmentului circular de inaltime .

Pentru , volumul va avea valoare 0.

Pentru , volumul va fi jumatate din volumul cilindrului de raza si inaltime  :

.

Pentru , volumul va fi .

Pentru calcularea ariei laterale a segmentului cilindric, vom calcula intai aria segmentului circular :

, deci

.

Concluzie

In aceasta lucrare sunt discutate chestiunile legate de intersectia suprafetelor de ordinul al doilea (cuadrice) cu plane. Se constata ca intersectia dintre o cuadrica si un plan este intotdeauna o conica.

Punctul de pornire al lucrarii mele l-a constituit capitolul "Sectiuni plane ale suprafetelor de ordinul al doilea" din cartea "Geometrie analitica" scrisa de P. S. Modenov, pe care l-am completat cu teorie si exemple despre sectiunile in cuadrice din lucrarile “Algebra si geometrie analitica” a profesorului doctor Gheorghe Farcas si “Algebra lineara, geometrie analitica si diferentiala si programare” de Gh. Th. Gheorghiu.

Pe parcursul lucrarii am inclus exemple si aplicatii care ajuta la o mai buna intelegere a temei lucrarii. De asemenea, am venit cu completari la principala carte din care m-am inspirat, prezentand cazul sectiunilor circulare in cuadrice in paragraful 4.4. si acela al sectiunilor sub forma unor reuniuni de drepte in diferite cuadrice (paragraful 4.3.). Aceste paragrafe sunt in intregime contributii personale. Ele cuprind, pe langa discutia teoretica a unei sectiuni circulare particulare in elipsoid, a unei sectiuni circulare particulare in con, a unor sectiuni ca reuniuni de drepte in con si cilindru, in hiperboloidul eliptic si paraboloidul hiperbolic, cate o aplicatie pentru exemplificarea celor prezentate.

Am rezolvat la paragraful 4.2. doua exemple de reducere la forma canonica si determinarea pozitiei in spatiu a unor sectiuni sub forma de elipsa si de parabola.

In paragraful 4.5., am rezolvat doua aplicatii de calcul al volumului, al ariei totale, si al centrului de greutate al unor corpuri obtinute prin sectionarea unor cuadrice.

Rezolvarea aplicatiilor a implicat cunostinte despre drepte si plane in spatiu, despre ariile figurilor plane (triunghi, sector de cerc) si despre integrale de volum.

Bibliografie

1. ″Geometrie analitica″ – P. S. Modenov – Editura Tehnica Bucuresti – 1957 

2. “Algebra si geometrie analitica”- Prof. dr. Gheorghe Farcas – Universitatea “Petru Maior” Targu Mures – Departamentul IFRD

3. “Algebra lineara, geometrie analitica si diferentiala si programare” – Gh. Th. Gheorghiu – Editura didactica si pedagogica Bucuresti – 1977

4. “Algebra lineara. Geometrie analitica si diferentiala. Ecuatii diferentiale. Probleme” – C. Udriste, C. Radu, C. Dicu, O. Malancioiu – Editura didactica si pedagogica Bucuresti – 1980

5. "Probleme de algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala" – Gh. D. Ionescu, Poliana Basilca, Daria Dumitras, Viorica Negru – Institutul Politehnic Cluj-Napoca – 1982

6. "Probleme de algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala" – C. Udriste – Editura Didactica si Pedagogica – 1976

7. "Matematici speciale" vol I – N. Ghircoiasiu – Institutul Politehnic Cluj-Napoca – 1976

8. www.mathworld.wolfram.com

9. www.wikipedia.org

10. www.math.rice.edu